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Demonſtratiiſche
Anw e ſu n g

theoretiſchen und praktiſchen

tceniunf

Lehrer und Lernende.

Beſonders

zum

Seibſtunterrict.

Hamburg, 1788.
in Commiſſion bey Benjamin Gottlob Hoffmann,.
Gedruckt bey J. D. A. Eckhardt in Altong.

Fuͤr den Buchbinder.
Die Antworten auf die arithmetiſchen Fragen werden aur
auf Begehren hinten angebunden.

„*

Vorerinnerung.

D Wan ich der Menge von beynahe 300
deutſcher Rechenbuͤcher, deren Werth und
Unwerth ich unberuͤhrt laſſe, noch das
Meinige, und zwar fuͤr Lehrer und Ler⸗
nende, beyfuͤge, ſo geſchiehet dieſes be⸗
ſonders aus der guten Abſicht: meinen
Mitburgern nuͤtzlich zu ſeyn.
Für Lehrer ſchrieb ich. Nicht um
ihnen etwas noch Ungeſagtes zu ſagen;

Denn

Denn wer das heutiges Tages wollte,
muͤßte gar ſchweigen. — Auch nicht, um
ſie ſelbſt zu unterrichten; — ſondern um

ihnen ihre ſauern Schularbeiten, wo⸗

mit ſie oͤfters ſo ſehr uͤberladen ſind, daß
ihnen ſo wenig Zeit zum Demonſtriren

als zu den noͤthigen Wiederholungen uͤbrig

bleiben kann, zu erleichtern.

Sollte dem Lehrer, welcher auch

bey der beſten Lehrart oft erfahren muß,
daß der Schuͤler das ſchon Erlernte,

worauf ſich doch das noch zu Lernen nde

gruͤnden ſoll, groͤßten Theils oder wohl

ganz vergeſſen hat, nicht lieb ſeyn, ſtatt

aller ihm unmoͤglichen Wiederholungen, in

aller Kuͤ Kuͤrze ſagen zu koͤnnen: Da ſehet

ins =

ins Buch, und lernet das Vergeſſene

wieder! — Selbſt dem Privatlehrer
muß es Freude machen, wenn er ſeinen

Schuͤlern ein Buch in die Haͤnde geben
kann, welches ihnen nicht nur das bereits

Gelehrete wiederholt darſtellet, ſondern
auch zugleich den Weg zeiget, wie ſie auch
auſſer den Lehrſtunden weiter vorwaͤrts

komm en koͤnnen. —

Wenn der ſeiner Unwiſſenheit ſich

ſche aͤmende Schuͤler ſeinen Lehrer mit oft
wiederholten Fragen, beſonders des Ver⸗
geſſenen wegen, nicht belaͤſtigen mag, und

daher, durch Abſchreiben der Solution ſei⸗

nes Mitſchuͤlers, Lehrer und Aeltern hin⸗
tergehen, ja ſich eines hoͤchſtſchaͤdlichen

Selbſt⸗

VI
Selbſtbetruges ſchuldig machen muͤßte. —
— Wenn der Schuͤler zu arm iſt,
um einen guten Lehrer bezahlen zu koͤn⸗
nen: — Wenn endlich der durch ſchlech⸗
te Anweiſung verwahrloſete Juͤngling
J ſeine Schwaͤche fuͤhlt, ſich aber keinen Leh⸗

rer mehr uͤbergeben will; oder auch ſeiner

jetzigen Lage nach nicht kann: — Sollte
dieſen allen ein Buch, worinnen ſie die

erwuͤnſchte S elbſthuͤlfe finden koͤnnen, nicht

ſehr willkommen ſeyn? —
Ueberhaupt habe ich in dieſem Buche
nichts vorſetzlich ausgelaſſen, was irgend

dem Schuͤler von einigen Nutzen ſeyn

koͤnnte. — Ich bin vom Leichten zum

Schweren uͤbergegangen und habe ſtets

den

VII
den noch zu nehmenden Weg vorher ge⸗
ebnet. “ M
Die Antworten auf die gegebenen
arithmetiſchen Fragen, welche unter den
Aufgaben, dem Schuͤler zum groͤßten
Nachtheile, immer am unrechten Orte ſte⸗
hen, habe ich vom Buche ſelbſt abgeſon⸗
dert und beſonders drucken laſſen, damit 6
ſie der Lehrer zum Nachſehen allenfalls
fuͤr ſich allein gebrauchen koͤnne. Nur
der ſich ſelbſt lehrende Schuͤler kann
dieſelben dem Buche am Ende beyfuͤgen
laſſen: Doch muß er nie eher Gebrauch
davon machen, bis vorher jede Aufgabe

angewieſener Maſſen gerechnet iſt.

Ob

VIII

nen wohlmeinenden Arbeiten, als Fruͤchten

meiner ſehr wenigen uͤbrigen Stunden, den

zur Bearbeitung der uͤbrigen Theile der
Arithmetik zu erhalten — das alles wird
die Zeit lehren.

Der Verfaſſer.

ſpricht; ob ich ſo gluͤcklich bin, mit mei⸗

Beyfall des Publikums und einen Wink

—..

— — —.

—— —

— —

— —

Einleitung.

Ueer allen bisher erfundenen Kuͤnſten, welche des Erd⸗

buͤrgers Wuͤrde erheben, iſt keine neben der edlen Schrei⸗
bekunſt noͤthiger und naͤtzlicher, als die mit ihr unzertrenn⸗
lich verbundene Rechenkunſt. — Sie iſt, da nach den
weiſeſten Geſetzen des Ewigen, alle erſchaffene Dinge aus
Zahl, Maaß und Gewicht beſtehen, als die Kennt⸗

niß der Zahlen, Ordnungen und Proportionen,
mit allem Rechte: die Quelle des Schonen; der
Anfang und Bichtſchnur aller menſchlichen Ver⸗

nunftſchluͤſſe; ja ſie iſt die Thuͤre zu allen uͤbri⸗
gen Kuͤnſten S
Welche unendliche Zerſtreuungen wuͤrden im menſch⸗
lichen Gemuͤthe herrſchen, und welche Dunkelheit wuͤrde
ſich uͤber alle Handlungen des menſchlichen Lebens verbrei⸗
ten, daferne die Arithmetik oder Zahlenkunſt in denſelben
aufgehoben waͤre! — Wir wuͤrden in keiner Sache weiſe
ſeyn; wuͤrden nicht einmal auf Vernunft, vielweniger
noch auf Klugheit und Gelehrſamkeit Anſpruͤche machen
koͤnnen. —— Und weil die Arithmetik nicht nur in der
eigenen Oekonomie und Familienſachen, ſondern auch in
Verwaltung des Staats, wie auch in allen uͤbrigen Kuͤn⸗
ſten und Wiſſenſchaften den vorzuͤglichſten Nutzen gewaͤh⸗
retz auch uͤberdem nichts iſe welches den ſchwachen

2 Die theoretiſche Rechenkunſt.

Verſtand Verſtand mehr aufhilft, den guten aber mehr

ſchaͤrfet, als eben dieſe erhabene Kunſt, welche niemand,
er ſey Miniſter, Gelehrter, Kaufmann, Kuͤnſtler, Hand⸗
werker ꝛc., entbehren kann; ſo ſollten auch billig alle
jungen Soͤhne des Staats, ſie moͤgen ſich dem Lehr⸗
Wehr⸗ oder Naͤhrſtande widmen, nicht nar, vor allen
Studien, mit dieſer vortreflichen Kunſt den Anfang ma⸗
en ſondern es auch darin ſo weit als moͤglich zu bringen
uchen. 4
Es wird aber die Rechenkunſt als eine Wiſſenſchaft
der Zahlen eingetheilet:
1. In die theoretiſche
2. In die practiſche

I. Die theoretiſche Rechenkunſt
erweget blos, und giebt ſich allein mit Kenntniß der Zah⸗
len ab, als woher ſie auch die Zahlen kunſt (Numeratio)
genennet wird. S

Sie lehret:

Rechenkunſt.

1) Was eine Zahl ſey? (§. 1.) und wie die Zahlen ein

geetheilet werden (§. 6.)

2) Die Zeichen, womit die Zahlen ausgedruckt werden

(§. 12.) .
3) Die Zeichen oder Ziffern zu ordnen, um damit alle
nur moͤgliche Zahlen ausdruͤcken zu koͤnnen, und die
Zahlen zu leſen. (H. 18.)
4) Die Zahlen zu ſchreiben, und zwar
a) die arabiſchen Zahlen. (§. 50.)
b) die roͤmiſchen Zahlen. (§. 55.)

1. Was eine Zahl ſey.
§. 1. Eine Zahl iſt ein Begriff von einer Menge ſol⸗
cher Dinge die einerley Art ſind, wobey hauptſaͤchlich
auf dasjenige geſehen werden muß, was ſie wirklich mit
einander gemein haben.
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Die theoretiſche Rechenkunt. 3

§. 2. Es laſſen ſich aber Dinge entweder unter einen
allgemeinen oder unter einen beſondern Namen zu⸗
ſammen zaͤhlen. Z. E.
Man zaͤhle 5 Engellaͤnder und 3 Schweden zuſam⸗
men, ſo kann man, ſofern ſie die Zahl acht geben
ſollen, nur eine allgemeine Benennung gebrau⸗
chen, naͤmlich: Es ſind acht Europaͤer, oder 8
Menſchen. .
Will man ſie aber nach ihrer beſondern Benen⸗
nung zaͤhlen, ſo ſind es 5 Engellaͤnder und 3 Schwe⸗
den. In dieſem Falle aber koͤnnen ſie nicht die Zahl
8 ausmachen.
§. 3. Man kann daher von Dingen verſchiedener
Art, ihrer Menge nach, ſich nicht eher einen vollſtaͤn⸗
digen Begriff machen, oder die verſchiedenen Dinge
nicht eher zuſammenzaͤhlen, bis man ſie unter einen
bveſondern Namen gebracht hat. Z. E.
Ich haͤtte einen Korb mit Aepfel, Birnen und Pflau⸗
men angefuͤllet, und wuͤrde nach der Anzahl oder
Menge derſelben gefragt: Nun zaͤhlte ich dieſe Din⸗
ge, ohne auf ihre Art zu ſehen, und faͤnde derſelben
hundert Stuͤck: Was fuͤr einen Namen koͤnnte ich
dieſer Menge beylegen? — Es ſind weder hundert
Aepfel, noch hundert Birnen, noch hundert Pflau⸗
men?! Geſetzt, ich gebe dieſen Dingen den allge⸗
meinen Namen: hundert Fruͤchte, ſo waͤre dieſes
doch kein deutlicher Begriff, und alſo auch keine
befriedigende Antwort fuͤr denjenigen, welcher zu
wiſſen verlangt: wie groß die Menge jeder Art
dieſer Fruͤchte ſey? Zaͤhle ich aber jede Art beſon⸗
ders und ſage: Es ſind im Korbe zwanzig Aepfel,
dreyßig Birnen und funfzig Pflaumen, ſo habe
ich den Dingen ihren beſondern Namen, und
alſo einen deutlichen Begriff dieſer Menge gege⸗
ben. (§H. I.)
§. 4. Jedes Stuͤck von einer Menge der Dinge, in
RKuͤckſicht auf gleiche Benennung, wird eine Unitaͤt
= A 32 oder

4 Diie theoretiſche Rechenkunſt.

oder Einheit genennet. Die Einheit aber kann nur
in ſo fern eine Zahl genennet werden, als man damit
wirklich eine Menge zu zaͤhlen anfaͤngt, oder ſoferne ſie
eine Groͤſſe bezeichnet, die mit mehrern Groͤſſen ihrer

Art zuſammen gezaͤhlet wird. Z. E. ein, zwey, drey

Thaler ꝛc. .
§. 5. Das Wort Zahl zeiget deutlich an, daß nur
das wirklich Zuſammengezaͤhlte, alſo eine jede
Mehrheit oder Anzahl gezaͤhlter Dinge eine Zahl genen⸗
net werden muß. 1
Zuſatz: Und da in dieſem Betracht die Eins, als
der Anfang einer Zahl, nur ſehr wenig iſt, ſo
kann auch Eins keine Zahl ſeyn.
§. 6. Die Zahlen werden eingetheilet:
a) In ganze und gebrochene Zahlen.
b) In unbenamte und benamte Zahlen.
Cc) In gerade und ungerade Zahlen. .

a. Eine ganze Zahl beſtehet aus lauter Einheiten,

deren jede fuͤr ſich ein Ganzes ſeiner Art bezeichnet.
(§. 4.) Z. E. hundert Thaler ꝛc.

Denn hier iſt jede Unitaͤt ein ganzer Thaler,
und alſo in dieſer Hinſicht die Zahl hundert eine

ganze Zahl.

§. 7. Eine gebrochene Zahl hingegen iſt ſolche,

deren einzelne Unitaͤten nur gewiſſe Theile eines Ganzen
bezeichnen. Z. E. fuͤnf Sechstheil Thaler ꝛc.
Denn hier zeiget der Ausdruck fuͤnf Sechstheil
an, daß der ganze Thaler in ſechs Theile zer⸗
theilet worden, davon nur fuͤnf ſolcher Theile
einer Unitaͤt, welche man hier Thaler nennet,
vorhanden ſind, und alſo offenbar ein Sechstheil
an dem ganzen Thaler fehlet: mithin kann dieſe
Fuͤnf keine ganze Zahl, ſondern ſie muß eine ge⸗
brochene Zahl genennet werden, um damit anzu⸗
zeigen, daß jede Unitaͤt derſelben nur ein Bruch⸗
ſtuͤck des gleichſam in Theile zerbrochenen Ganzen
bezeichne.

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Die theoretiſche Rechenkunſt. §

§. 8. b. Unbenamte Zahlen wenrden alle diejenigen
genennet, deren Eintheilung man gar keinen Namen
gegeben, weil ſie dergleichen auch zu dem vorhabenden
Zwecke nicht beduͤrfen. Z. E. Zahlen, welche blos nieder⸗

geſchrieben werden, um ſie zu leſen, ſo wie bey der Nu-

meratio geſchiehet. Dergieichen ed auch alle Zahlen,

welchen man das Woͤrtchen mal beyfuͤget, um damit zu

multipliciren, als: 5ßmal 36 Mark ꝛc.

Zuſatz: Hierher gehoͤren auch die Zahlen, womit
die Fabrikanten ihre Waaren bezeichnen, um ſie nach
ihren Sorten, oder nach der Feinheit derſelben zu
unterſcheiden. —

Anm. Man braucht auch dergleichen unben amte Zah⸗
len, wenn man Dinge, ohne ſie zu nennen, mit Fin⸗
gern zeiget. Z. E. Wenn man jemand ein Feld mit
abgeſchnittenen Kohl kopfen zeigete, und ſagte: Da
liegen ſie bey Tauſenden!
Imgleichen wenn man von Dingen ſpricht, welche,
ohne ſie zu nennen, vorher ſchon bakannt genug ſind.
Z. E. So ſangen dort die Iſraelitinnen: Saul hat
kauſend geſchlagen, David aber zehentanſend.
Wer wußte nicht, daß dieſe Zahlen Philißer bezeich⸗
neten? Lc.

5§. 9. Benamte Zahlen werden alle diejenigen ge⸗
nennet, welchen man wirklich einen beſtimmten und
eigenthuͤmlichen Namen der Dinge, die zuſammen gezaͤh⸗
ler, gewogen, gemeſſen, oder nach Geld geſchaͤtzet wer⸗
den, beyleget. Z. E. hundert Pferde, tauſend Thaler,

funfzig Centner, zwanzig Ellen ꝛc.

In der erſten Zahl bezeichnet jede Unitaͤt eine Pferd,
in der zwoten einen Tha ler, in der dritten einen Cent⸗
ner, und in der vierten eine Elle ꝛc.

Anm. Dieſe benamten Zahlen ſind es, welche man
eigent klich zu unſerer Kunſt gebrauchet. Es kommt
aber uͤberaus viel darauf an, daß man wohl auf die
Benennungen einer jeden Zahl, und der! ſelben
IUnterſchied, merke, weil man ſonſt immer Gefahr
laͤuft, ſeinen Zweck zu verfehlen. Hiervon an ſeinem
Orte mehr. .
A 3 §. 10.

Diie theoretiſche Rechenkunſt.
§. 10. c. Gerade Zahlen ſind alle die, welche ſich

halbiren, d. i. in zwey gleiche Theile theilen laſſen. Z. E.
vier Aepfel, acht Birnen koͤnnen von zween Knaben in

zwey gleiche Theile getheilt werden, ſo, daß jeder

zween Aepfel und vier Birnen zu ſeinen Antheil erhaͤlt.
Zuſatz: Alle dergleichen Zahlen, ſie moͤgen groß oder
klein ſeyn, aus den einfachen Ziffern 2, 4, 6, 8, 10 be⸗
ſtehen, oder ſich mit dergleichen Ziffern endigen, als:
352, 4014, 53296, 1234518, 31750, 1199310 1:Ec.
find, da ſie ſich in zwey gerade Theile theilen
laſſen, gerade Zahlen.

F. 11. Ungerade Zaͤhlen ſind die, welche ſich nich

in zwo Haͤlften theilen laſſen. Z. E. waͤren der Aepfel
ſieben, und der Birnen fuͤnf, ſo koͤnnten zween Knaben
unmoͤglich ihre richtige Haͤlfte bekommen, daferne ſie lau⸗
ter ganze Aepfel und Birnen haben ſollten. Denn wollte

jeder drey Aepfel und zwey Birnen haben, ſo bliebe ein

Apfel und eine Birne uͤbrig; und wollte jeder vier Aepfel
und drey Birnen nehmen, ſo wuͤrde ein Apfel und eine
Birne fehlen. ð
Zuſatz: Alle diejenigen Zahlen, welche dieſe Eigen⸗
ſchaft haben, ſie moͤge klein oder groß ſeyn, aus den
einzelnen Ziffern 1, 3. 5, 7, 9 beſtehen, oder ſich mit

denſelben Ziffern endigen, als: 87341, 54873,
540205, 870327, 228769 20. ſo ſind ſie ungerade

Zahlen.

2. Die Zeichen womit die Zahlen
ausgedruckt werden.
12. So wie man, um ſeine Gedanken andern

ſchriftlich mitzutheilen, vier und zwanzig Zeichen, die

man Buchſtaben nennet, erfunden hat: ſo hat man auch
Zeichen erfinden muͤſſen, um damit ſchriftlich alle Groͤſſen
in Zahlen auszudrucken.

Die erſten Zeichen, womit die gezaͤhlten Groͤſſen

anfangs ausgedruckt worden, moͤgen freylich ſehr einfach
ge⸗

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Die theoretiſche Rechenkunſt. 7

geweſen ſeyn, und haben vielleicht nur aus bloſſen Stri⸗

chen und andern willkuͤhrlichen Zeichen beſtanden, bis
nach und nach Buchſtaben erfunden, deren ganzes Alpha⸗

beth die meiſten Voͤlker, um ihre zaͤhlbare Groͤſſen

damit auszudrucken, gebraucht haben; ſo wie die Roͤmer
ſolches nur mit einigen Buchſtaben ihres Alphabeths,
welche noch heutiges Tages ſehr beliebt ſind, gethan haben.
Wie unbequem aber mit dergleichen Zeichen zu rechnen ge⸗
weſen, moͤgen die Araber am lebhafteſten gefuͤhlt haben,
denn dieſen haben wir die Erfindung der nie genug zu prei⸗
ſenden Zeichen, welche wir Ziffern nennen, zu danken.
Die Saracenen brachten ſie zuerſt nach Africa, von da
nach Spanien, und ſo ſind ſie nach und nach in ganz Eu⸗
ropa angenommen, auch von hier nach America uͤberge⸗
bracht worden.
Dieſe Zeichen ſind:
Eins, zwey, drey, vier, fuͤnf, ſechs, ſieben, ache, neun und Nuk.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.
Mit dieſen wenigen Zeichen laſſen ſich nicht nur alle
moͤglichen Zahlen leicht ausdrucken, ſondern wir koͤn⸗
nen auch ſehr bequem damit rechnen.

1. Anm. Warum aber dieſe Zeichen juſt zehen, und nicht
mehr noch weniger, erfunden ſind, laͤßt ſich eben ſo
gut errathen, als warum ſie eben dieſe, und keine
andere Geſtalt erhalten! Denn, da die Beduͤrfniſſe der
erſten Menſchengeſchlechter ſo einfach wie ihre Habſe⸗
ligkeiten waren: ſo brauchten ſie auch wenig Kuͤnſte,
dieſelben zu zaͤhlen, um ſich von deren Menge einen
zureichenden Begriff zu machen. So wahrſcheinlich,
als natuͤrlich, waren ihre zehen Finger zureichend,
um daran von eins bis zu zehen Dingen einer Art
zu zaͤhlen — und ſo wie ein Finger gleichſarn einen
Strich vorſtellet, ſo koͤnnen ſie auch jede an den Fin⸗
gern abgezahlte Unitaͤt mit einem Strich bezeichnet⸗
und damit bis zu Ende der zehen Finger, auch mit
Wiederholung dieſer Zaͤhlart ſo lange fortgefahren ha⸗
den, als ſie es fuͤr noͤthig befunden. Die Geſtalt des
Zeichens 1 widerſpricht dieſer Meinung nicht. Auch
die roͤmiſche Zahl I ſcheint daſſelbe zu beſtaͤtigen. h. 57⸗
Weil aber, bey oft wiederholten zehn Strichen, eine
groſſe Anzahl derſelben ehen ſo beſchwerlich aufzuzeich⸗
6

neny

4

7

Die theoretiſche Rechenkunſt.

nen, als zu leſen ſeyn mußte: ſo konnte durch ein an⸗

deres willkuͤhrliches Zeichen z. E. durch ein Kreuz X
leicht die Anzahl aller zehen Finger auf einmal ange⸗
deutet, dieſes Zeichen auch ſo oft wiederholet werden,

als ſie es fuͤr noͤthis fanden. Dieſe Meinung wird

durch den weder leſen noch ſchreiben koͤnnenden ge⸗

meinen Mann beſtaͤtigt, als welcher noch heutiges Ta⸗ —

ges jede einzelne Unitaͤt mit einem Striche, und jede
zehen derſelben mit einem bemerket. Auch ſcheinen

die Roͤmer den Buchſtaben X wegen Aehnlichkeit jenes

Kreuzes gewaͤhlet zu haben, um damit ebenfalls zehen
Unitaͤten zu bezeichnen.

2. Anm. Man konnte alſo mit dieſen zwey Zeichen 1 und

4

X ſchon ziemlich weit zaͤhlen, ohne Anfangs andere

Zeichen noͤthig zu haben. Allein, wie man mit der
Zeit befunden, daß ſolche neben einander geſtellten

Striche und Kreuzen nicht anders als durch vorherige
Zuſammenzaͤhlung geleſen werden konnten; auch ſo
wentze Zeichen nicht zureichend, um damit rechnen zu
koͤnnen: ſo haben die Araber, dieſen Beſchwerden ab⸗
zuhelfen, darauf gedacht, wie ſie ſolche einzelne Uni⸗
taͤten nicht mehr, wie voͤrher geſchehen, neben einan⸗
der ſtellen, ſondern ſie bey zwey, drey, vier, fuͤnf, ſechs,

ſieben, acht und neun zuſammen gruppiren moͤchten,

um etwa folgende Figuren zu erhalten:

=OOO/ S

Dieſe Figuren haben nachher die Schreibmeiſter zier⸗

licher alſo umgeformt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Damit

aber, nach Anzahl der zehen Finger, üͤber deren

Anzahl man bisher auf einmal zu zaͤhlen nicht ge⸗

— — & Adẽ Kann .

nohnt war, der Zeichen auch zehen wuͤrden: ſo hat

man dieſen neun Zeichen noch die Null (o) als das

zehende Zeichen beygefuͤget.

5§. 13. Die Ziffern 1 2 3 4 5 6 7 89 koͤnnen, jede

fuͤr ſich allein geſetzt, nur ſo viel Unitaͤten bezeichnen, als
jede fuͤr ſich ihren Namen nach gelten kann. Z. E. 2 Pfer⸗
de, 5Hunde, 7Thiere ꝛc.

Zuſatz: Stellet man alſo dergleichen einfache Zifern
neben einander, um mit jeder derſelben eine gewiſſe
4 Zahl

Die theoretiſche Rechenkunſt. 9

Zahl zu bezeichnen, ſo muß bey jeder Ziffer ein Punct
(.) geſetzet werden. Z. E. man kann I. 2. 3. 4. 5.
6.7. 8.9. und mehr Schaafsdaͤrme zu einer Saite
nehmen. Blieben aber dieſe Puncte zwiſchen den
Ziffern weg, ſo wuͤrden ſie eine ganz andere Zahl be⸗
zeichnen, ſo wie an ſeinem Orte gezeiget werden ſoll.

§. 14. Die kleinſte Ziffer von allen iſt die 1. (§. 5. Zuſ.)

Denn was unter Eins iſt, das kann nur ein Theil
einer Unitaͤt ſeyn. (§. 7.) Sie iſt gleichſam die Wurzel

aller Zahlen; denn ich kann mir nicht einmal zween

Dinge, geſchweige eine große Menge der Dinge gedenken,
daferne nicht eine Unitaͤt derſelben Art ſchon da geweſen.

§F. 15. Die groͤßte Zahl kann nie gefunden werden;
denn es kann unmoͤglich eine Zahl geben, weiche ich nicht
duͤrch Beyfuͤgung mehrerer Ziffern vergroͤßern koͤnnte.

§. 16. Das merkwuͤrdigſte Zeichen iſt die Null.
) Sie iſt das Zeichen womit man geradezu nichts aus⸗
druͤckt. Denn wenn ich auch eine ganze Reihe Nul⸗
len, ohne derſelben eine Zahl vorzuſetzen, neben ein⸗
ander hinſchreibe, z. E. 0000000000 ꝛc., ſo gelten
alle dieſe Nullen ſo viel als eine, d. i, nichts!
b) Die Nulle hat nichts und giebt doch unendlich viel.
Denn tauſend mehr Nullen vor einer Unitaͤt, laſſen
dieſelbe in demſelben Werthe, welchen ſie auch ohne
vorſtehende Nullen hatte. Z. E. 00000001 iſt nur
Eins, weil alle vor der 1 ſtehende Nullen Nichts
gelten.
Ec) Wenn man aber hinter eine Unitaͤt eine Null nach
der andern ſetzt, ſo kann ſolche Unitaͤt dadurch bis
ins Unendliche vergroͤßert werden. Z. E. wenn
ich hinter 1, als die kleinſte Ziffer, (§H. 14.) nur
ſechs Nullen ſetze, alſo: 1000000, ſo iſt dieſe Unitaͤt
dadurch zu eine Million, welche tauſend mal tau⸗
ſend Unitaͤten enthaͤlt, erhoben worden u. ſ. f.
§. 17. Die Null, als das Zeichen von Nichts,
(§. 16. a.) dienet hauptſaͤchlich um den Mangel einer
Sorte von Einern, welcher ſie auch ſeyn moͤgen,
5 zu

–—

10 Diie theoretiſche Rechenkunſt.

zu bezeichnen, und iſt in dieſer Hinſicht gleichſam als
Luͤckenbuͤſſer zu betrachten. Z. E. Man koͤnnte ohne 0
nicht zehen, zwanzig, dreyßig ꝛc. ſchreiben, weil die groͤß⸗
te der 9 Ziffern nur 9 Unitaͤten bezeichnen kann. (H. 13.)
Schreibt man aber hinter jede dieſer einzelnen Ziffern
I. 2. 3. 4. ꝛc. eine Nulle, ſo bezeichnen alle dieſe Einer
ſodann Zehener, als: 10. zehen, 20. zwanzig, 30.
dreyßig, 40. vierzig ꝛc. Man koͤnnte ferner ohne

Null nicht zweyhundert und drey ſchreiben, wenn

die Null nicht waͤre: denn ſchriebe man nur die Ziffern
nieder, deren Ausdruck man hoͤret, ſo wuͤrde es ſo ſtehen:
2 3. Dieß hieſſe aber nur drey und zwanzig, nicht
aber zweyhundert und drey. Bemerkt man hingegen
die fehlenden Zehner mit einer Null, alſo: 203, ſo
wird dadurch die 2 in die dritte Stelle erhoben, als

wo ſie allein 2h undert gelten kann. Hievon an ſeinem

Orte mehr.
Zuſatz: Wenn Nullen unter Zahlen vorkommen, von
welchen zu vermuthen, daß Betruͤger dieſelben zu
ihrem Vortheile in Sechſen oder Neunen verwan⸗
deln koͤnnten: ſo thut man wohl, uͤber und unter
dergleichen Nullen einen Strich zu machen, alſo: O.
Kaufleute und Juriſten pflegen die Vorſicht zu ge⸗
brauchen, um allen Zahlenverfaͤlſchungen vorzubeu⸗
gen, daß ſie erſt die Geldſummen in Ziffern, dann
auch mit Worten ausdruͤcken. Z. E. 156 Thlr.
ſage hundert und ſechs Thaler ꝛc.

3. Die Zeichen oder Ziffern zu ordnen, um
damit alle nur moͤglichen Zahlen auszu⸗
druͤcken, und die Zahlen zu leſen.
§H. 18. Es wuͤrde unmoͤg lich ſeyn, mit neun Ziffern,
deren groͤßte nur neun Unitaͤten bezeichnet, (§. 13.) alle
zaͤhlbaren Groͤßen auszudrucken, daferne wir nicht mehr
als eine Art von Unitaͤten, d. i. nicht Einer, Zehner,
Hunderte, Tauſende ꝛc. und fuͤr jede Art derſelben
nicht

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hundert Einer enthaͤlt, Hunderte genennet werden.

Die theoretiſche Rechenkunſt. rII

nicht eine beſondere Stelle haͤtten, an welcher beym
erſten Anblick zu erkennen, was fuͤr eine Art von Unitaͤ⸗
ten eine jede Ziffer bezeichne: kennt man aber alle Arten
derſelben, und weiß ihnen die gehoͤrigen Stellen zu
geben, ſo iſt es nicht nur moͤglich, ſondern auch ſehr
leicht, mit den bekannten 9 Ziffern nebſt der Null alle
Zahlen, wie groß ſie auch ſeyn moͤgen, niederzuſchrei⸗
ben, um ſich dadurch von jeder Menge der Dinge

einen deutlichen Begriff zu machen.

§. 19. Es giebt aber viele Arten von Unitaͤten. Z. E.
KEiner, Zehner, Hunderte, Tauſende, Zehentau⸗
ſende, Hunderttauſende, Tauſendmaltauſende,
u. ſ. w., wovon an ſeinem Orte mehr.

Zuſatz: Alle Arten von Unitaͤten, ſo viel deren auch
ſeyn moͤgen, haben ihren Urſprung in erwaͤhnter
Fingerzaͤhlung. (H. 12. Anm. I.) Denn wie man da
mit der erſten Art Unitaͤten nicht uͤber die Zahl
Zehen hinaus gegangen, eben ſo gehet man auch
mit den JZehnern, Hunderten, Tauſenden ꝛc.
nicht uͤber die Zahl Zehen, ſondern macht alle⸗
zeit aus zehen Unitaͤten eine Unitaͤt der folgenden
Art, wie in der Folge gelehret werden ſoll.
Anm. Wir wollen kuͤnftig die erſten Unitaͤten von 1 bis 9,
zum Unterſchied der uͤbrigen Arten, beſonders aber
der Zahlenſtellen wegen, Einer nennen, aber auch
alsdann noch, wenn wir beſtimmen, wie viel eine
groſſe Unitaͤt ſolcher Einer enthaͤlt.

§. 20. Wenn man die Zehner, als Unitaͤten der
zwoten Art, zuſammen zaͤhlet, ſo ſagt man nicht, wie
Anfangs wohl geſchehen ſeyn mag, 1 Zehner, 2 Zehner,
3 Zehner, 4 Zehner ꝛc. ſondern man ſetzet blos dem Na⸗
men der Ziffer, welche die Anzahl Zehener bezeichnen
ſoll, die Sylbe zig bey, als: zwanzig, dreyßig, vierzig,

funfzig, ſechzig, ſiebenzig, achtzig, neunzig.

§. 21. Zaͤhlet man zehen Zehener zuſammen, ſo ent⸗
ſtehet die dritte Art Unitaͤten, welche, weil jede derſelben

Die

12 Die theoretiſche Rechenkunſt.

Dieſe Unitaͤten werden gezaͤhlet: Einhundert, oder

auch nur Hundert, zweyhundert, dreyhunderr,
u. ſ. f. bis neunhundert.

§. 22. Zehen Hunderte zuſammen gezaͤhlet, giebt

die 4te Art Unitaͤten, welche, weil jede derſelben tauſend
Einer enthaͤlt, Tauſende genennet werden.
Dieſe groſſen Unitaͤten werden auf eben die Art, wie

mit den Einern geſchehen, bis zu neun Hundert,

neun und neunzig Tauſend fortgezaͤhlt.
§. 23. Aus tauſend ſolcher Unitaͤten, deren jede aus
tauſend Einern beſteht, wird abermal eine große Uni⸗
taͤt, welche in Ruͤckſicht der enthaltenden Anzahl Einer:
Tauſendmaltauſend; als Unitaͤt betrachtet aber:
eine Milhon genennet wird.

Zuſatz: Wer alſo tauſend mal tauſend Thaler beſitzet,

von dem ſagt man: daß er eine Million habe.
§. 24. Tauſend mal tauſend Millionen geben wieder

eine große Unitaͤt, welche eine Billion genennet wird.

§. 25. Tauſend mal tauſend Billionen geben eine Uni⸗
taͤt welche Trillion genennet wird.

§. 26. Tauſend mal tauſend Trillionen geben eine
Unitaͤt welche Nuadrillion genennet wird, u. ſ. w.
Anm. Alle dieſe großen Unitaͤten (§. 2. 24. 25. 26.) hat
man blos kerfunden, um dem Verſtande zu Huͤlfe zu
kommen, damit man ſich von ſehr großen Mengen der
Dinge ſo deutliche Begriffe, als moͤglich, machen koͤnne.
§. 27. Um nun alle dieſe Arten von Unitaͤten mit den
wenigen Ziffern (§. 13.) ausdruͤcken zu koͤnnen, braucht
man nichts mehr, als jeder Art derſelben eine gewiſſe
Stelle zu geben, alſo: daß die erſte Stelle faͤr die
Einer, und das mit allem Rechte, weil aus dieſen alle
folgende Arten entſtehen, (§. 14.) die zwote fuͤr die
Zehener, die dritte fuͤr die Hunderte, die vierte
fuͤr die Tauſende u. ſ. f. beſtimmt werde.
Man faͤngt mit dieſen Stellen rechter Hand an,
und faͤhret damit, ſo wie die Unitaͤten ihrer Groͤße

nach auf einander folgen, nach der Linken zu, immer

weiter fort.
Anm.

l

ſeh
heit

der

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te

.
ſſ
die
alle
die
tte

in,

ße

gner

Die theoretiſche Rechenkunſt. 13

Anm. Ohne Zweifel D dieſe natuͤrliche Stellenordnung

durch die Schreisart entſtanden, nach welcher man die
Unitaͤten durch Ziffern, die Benennung derſelben aber
mit Worten ausgebruͤckt hat. Z. E. Wenn man ztau⸗
ſend, 6 hundert, 7 Zehner 9 Einer ſchreibt, und laͤßt
hernach alle Namen der undäͤten weg, ſo werden dieſe
Ziffern nach der beſchriebenen Ordn ung alſo erſcheinen?
3 67 9. Da dann die erſte Stelle 9 Einer, die
2te 7 Zehner, diez te 6 Hunderte, und die 4te
3 Tauſende enthaͤlt.
F. 28. In jeder Zahlſtelle kann die hoͤch ſte An⸗
zahl von Unitaͤten, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, nur
9 ſeyn. Denn, ſo bald noch eine Unitaͤt zu der 9 hinzu⸗
koͤmmt, ſo wird ſchon eine Unitaͤt der folgenden groͤßern
Art daraus, und muß deswegen auch in die folgen de
Stelle geſetzt, der Mangel der fehlenden Einer oder
Zehner oder Hunderte ꝛc. aber edesmal mit einer
Null bemerket werden. (§F. 17.) z. E

Wenn zu 9 Einern noch 1 Einer hinzukommt, ſo
wird daraus 13Zehener fuͤr die zwote Stelle.
Damit aber dieſe 1 in die 2 te Stelle komme, als
wo ſie allein einen Zehener vorſtellen kann, ſo
muß der Mangel der Einer mit einer Null bemerkt

werden, alſo: 2 ⸗ 10

Zwanzig, d. i. 2 Zehener 0 Einer ſteht alſo 20

Dreyßig, d. i. 3 Zehener o Einer⸗ 2 30
Vierzig, d. i. Zehener o Einer⸗ 2 40
Funfzig, d. i. 5 Zehener o Eine ⸗ ⸗ o0

20 q

§. 29. Wenn Zehener und Einer neben einander
ſtehen, ſo werden, der einmal angenommenen Gewohn⸗
heit wegen, die Einer zuerſt und darnach die Zehener
ausgeſprochen. 3. E. .
1 Zehner 8 Einer ſtehet in Ziffern alſo ⸗ 18
und wird geleſen: achtzehn.
3 Zehner und 4 Einer, oder dreyßig und vier: 34
und wird geleſen: vier und dreyßig.
Funfzig und ſechs : 56
wird geleſen: ſecht und funfzig 162

4

14 Die theoretiſche Rechenkunſt.

§. 30. Große Zahlen werden ſo geleſen, daß man
allemal die groͤßten Unitaͤten zu erſt, die uͤbrigen aber
nach ihrer naruͤrlichen Folge ausſpreche, die Zehener und
Einer ausgenommen. (§H. 29.) Z. E.
3679 wird geleſen: Drey tauſend, ſechs hundert,
neun und ſiebenzig, u. ſ. w.

§S.31. Kommen unter den Zahlen Nullen vor, ſo
werden dieſelben, als bloße Zeichen von Nichts (§. 17.)
im Leſen uͤbergangen. Z. FE.
3050 heißt: drey tauſend und funfzig. Weil
hier die beyden Nullen den Mangel der Hun⸗—
derte und Einer anzeigen, ſo koͤnnen auch dieſe
beyden Arten Unitaͤten im Leſen nicht genennet wer⸗
den.
3005 heißt: drey tauſend und fuͤnf. Hier zei⸗
gen die beyden Nullen den Mangel der Hunderte
und Zehener an, weshalben dieſe Unitaͤten im Le⸗
ſen auch nicht gedacht werden kann.

§. 32. Ein einziger Einer kann vervurſachen, daß alle
folgenden Ziffern um eine Stelle hoͤher ruͤcken.
wird zu neunhundert neun und neunzig 999
nur noch ein Einer hinzugethan I.
ſo wird aus ſolchen zehen Einern: 1 Zehner, 10
dieſen zu den obigen 9 Zehenern, werden 100;
dieſes 1 Hund. zu obigen 9 Hunderten, werden 1000;
d. i. 10 Hundert oder 1 Tauſend fuͤr die 4te Stelle.
Der Mangel der Hunderte, Zehener und Einer, iſt
mit 3 Nullen bemerkt, und dadurch iſt eben die 1
in die 4te Zahlſtelle erhoben worden, als wo ſie
allein Tauſend gelten kann.

§. 33. Da uns die Ziffern der erſten Stelle, die Ei⸗
ner, ihren Namen nach ſchon bekannt ſind, (§H. 12.) ſo
koͤnnen wir ſogleich mit Zahlen von zwo Stellen, (Zehe⸗
ner und Einer), den Anfang machen, um dieſelben zu⸗

eeſt ausſprechen zu lernen.
= Bey

man
aber
und

ndert,

Die theoretiſche Rechenkunſt. 15

Bey den erſten beyden auf zehen folgenden H
Zahlen wird der Ausdruck zehen gar nicht
gehoͤret. Deen—« 2
1 Zehener und 1 Einer heißt: eilf ⸗ 1
1 Zehener und 2 Einer heißt: zwoͤlff ⸗ 1

Die folgenden aber werden geleſen nach §. 29.
als: 1 Zehner und 3 Einer: dreyzehen 3
1 Zehener und 4 Einer: vierzehen ⸗ 1 4
u. ſ. f. 1I 5. I 6. 17. I1 8. und ⸗ 19

Kommt hierzu noch 1 Einer, ſo werden es
2 Zehener, welche nach §. 20. geleſen werden:

zwanzig 14 2 0

Alle uͤbrigen Zehner, wobey ſich Einer beſin

den, werden geleſen nach §. 29. alſo: ein

und zwanzig 3 ⸗ 2 I
zwey und zwanzig 2 2
drey und zwanzig 2 3
u. ſ. f. 2 4. 2 5. 2 6. 2 7. 2 8. und 2 9
Kommt hierzu noch 1 Einer, ſo werden es
3 Zehener, d. i. dreyßig 1 ;3 0
Wuͤrde dieſe Zahl 30 alſo umgekehrt: ⸗ 5 3

ſo wuͤrde ſie nur 3 heiſſen. (H. 16. b.)
3 Zehener und 1 Einer heißt: ein und dreyßig 3 I
3 Zehener und2 Einer heißt: zwey und dreyßig 3 2
ſ. f. 33. 3 4. 35. 36. 37. 3 8. 3 9.

Folgende zur Uebung:

44. 49. 54. 59. 64. 69. 74. 79. 84. 40. 45.

50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 41. 46. 51.
56. 61. 66. 71. 76. 81. 86. 42. 47. 52. 53.
57. 62. 67. 72. 77. 82. 87. 43. 48. 58. 63.
68. 73. 78. 83. 88. 94. 89. 95. 90. 96. 91.
97. 92. 98. 932⸗

§. 34.

16 Die theoretiſche Rechenkunſt.

§8S.34. Nachdem wir die Zahlen von zwo.
Stellen kennen gelernet, ſo wollen wir zu den
Zahlen von 3 Zahlſtellen uͤbergehen, wobey
nichts weiter zu merken, als daß die Zahlen
der zZten Stelle, die Hunderte zuer ſt, darnach
aber die Zehener und Einer, nach §. 29, geleſen
werden. MMc .
Kohmmt zu neun und neunzig ⸗
nuur noch I1 Einer
ſo wird aus 9 Einern und Einer 1Zehener.
Dieſen Zehner zu obigen 9Zehnern, ſo wer⸗
den es 10 Zehener, daß iſt 1 Hundert
fuͤr die Zte Zahlſtelle.
Durch die beygefuͤgten 2 Nullen iſt die vor⸗
ſtehende in die 3te Stelle erhoben worden,
als wo ſie allein hundert gelten kann.
Die Zahl Hundert aus Verſehen alſo ge⸗
ſchrieben: ⸗ ⸗ —‚1=
wuͤrde nur Eins heiſſen. (§. 16. b.)
1 Hundert o Zehener und 1 Einer heißt:
Hundert und eins (§. 177)
Hundert und zwey
Hyundert und drey
ferner 104. 105. 106. 107. 108:
“ Hundert und zehen
Hundert und eilf
Hüuͤndert und zwoͤlf
Hüundert und dreyzehn
ſ. f. I14. 1II5„ 116. IIYZ-. 118. II9.
Hundert ein und zwanzig
Hundert zwey und zwanzig
Hundert drey und zwanzig
§. 35. Weil, wie in der Folge gezeiget werden ſoll,
um große Zahlen zu leſen, dieſelben zuvor in Claſſen
vonz Ziffern abgetheilt werden muͤſſen, indem nur

aougo E
ouD'I

E
△ . .

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fern beſtehenden

1 Die e eheoretiſche Rechenkunſt. 17

immer 3 Ziffern auf einmal ausgeſprochen werden koͤn⸗

nen; ſo iſt es ſc noͤthig, bey Leſung ſolcher aus 3 Zif⸗
ahlen ſo lange aufzuhalten, bis man dar⸗
innen eine vollkommene Fertigkeit erhalten, des wegen for⸗

gende

Zur Uebung.

161 166137 142]147 152157 162 167
128 133 127 143 148 153 158 163 168
134 139 144 149 154 159 169 130 135
140 1451150 160 165170 1711176 181
191 196 172 177 182 187 197 173 178
188 193 174 179 184 183 189 194 175
185 190 195 F
Setzt man zu hundert neun und neunzig 199
noch einen Einer hinzu, ſo werdens juſt
Zwey hunder 200
Zwey hundert eins 201
Zwey hundert zwey 202
Zwey hundert zehen 210
206 207 209 231 [246 261 2971 296 217
232 247 262 292 218 233 248 263 278
249 234 279 264 215 224 225 222 226
240 237 2502511295 281 287 285 289
354 300 339 343 312 365 367 318 381
369 372 375 373 337 308 389 398 309
379 419 491 418 481 413 451 416 461
499422 444 403 430 447 474 408 480
512 52115131531 516561 571 523 532
524 542 565 558 585 566 577 544 511
601 610 602 620 650 605 606 670 6072%
690 609 621 654 645 666 668 686 677
698 689 696 669 619 691 718 781719
791 744 755 775 757 785 [758 700 709
782 738 783 733 745 754 868 813 83 1
842 824 852 880 [386 890 869 896 899
912 933 943 934 954 965 968 909 990
99393919981

B §. 36.

1

18 Die theoretiſche Rechenkunſt.
§. 36. Da 999 die hoͤch ſte Zahl iſt, welche in 3
Zahlſtellen gebracht werden kann, ſo verurſachet ein ein⸗
ziger Einer die vierte Zahlſtelle, in welcher die Tau⸗
ſende zu ſtehen kommen. (§. 32.) ½
Dieſe großen Unitaͤten der 4ten Zahlſtelle, † ern

die Tauſende, werden zuerſt, darnnach ρ D
auch die 3 folgenden Ziffern ausgeſpro: S. 3. 3 2
chen. (§H. 30.) L E 3 7 Ko
Tauſend „ „„1 1 I OOO
Tauſend und eins (H. 31) 1I0O0O$r1 ſi
Tauſend und zehen 101I0O die
Tauſend ſechs und zwanzig · 1 02 6 de
Zweytauſend dreyhundert ⸗ 2 3 0 0 die
2tauſend 4hundert und ach ½ 2 4 0 8
3 tauſend 4 hundert und achtzig ˖ 3 4 8 0 deh
2 auſend 5Hhundert ſechs und dreyßig 3 5 3 6. 10
Zuur Uebung 10
im Schreiben und Leſen kann man ſich folgende Zahlen Ei
auf eine Tafel ſchreiben: Nn
3333 3450[3645 3709 3007 1
3896 3999 4000 4001 1004 34
0460% °$0οSεο tNοποω? 7 40°9 4046 R—
410O 4946 4IIII4LZIIMTZIA
5874 §5I2I 5888 56785890
68886333699970407800
8008 8888 8765 8432 8440
9 50°5 9 5 5 5 97601989 819899

§. 37. Weil die großen Unitaͤten, die Tauſende,
eben ſo wie die Einer, von eins bis tauſend fortge⸗
zaͤhlet werden, (§. 22.) und bey jeder zehnten Unitaͤt
einer Art, eine neue Zahlſtelle erfordert wird: ſo

muͤſſen in die 5Ste Stelle die Zehner der Tauſende. d. i.

die Zehntauſende kommen ꝛc.
Es werden daher die Zahlen der 4ten und 5ten Stel⸗
le als Einer und Zehener der Tauſende eben ſo ge⸗
leſen, wie die Einer und Zehener der erſten
und 2ten Stelle. (§. 29.) Und, nachdem die
Tau⸗

Die theoretiſche Rechenkunt. 19
„ TLTaauſende der aten und F˖5ien Stelle
in⸗ . zuerſt ausgeſprochen worden, ſo ☚†☚ π
un werden auch die 3 uͤbrigen Ziffeen 20) 2%
geleſen, ſo wie §. 34. gelehret wor: 3 S. S
den. 3. 2 = 2 &£½
6 . 23,456 wird geleſen: 23 tauſend, SZ.* —
5 vier hundert ſechs und funfzig ꝛc. 2
Kommt zu 9tauſ. 9 hund. neun u. neunzig : 9 9 9 9
nur noch ein Einer ⸗ ⸗ . . . . .
0 ſo werden aus 9 und Einer ein Zehner : : : 1 0;
4 dieſen 1 Zehener zu 9 Zehener wird ⸗ : 1 0;
dieſes 1 hundert zu 9 hunhert wird 3 „T O O O
dieſes I Tauſend zu Tauſend wird fuͤr .
deie FIte Stelle zehen tauſend ⸗ IOO¼ & O.
3 Zehen tauſend und eins ⸗ . 1IOO/ o T
0 10 tauſend und zwanzig ⸗ 3 I O O 2 O
6. 10 tauſend dreyhundert ⸗ 2 2 1 03 00
Eilftauſend vierhundert und drey 1 I 4 0 3
Zwoͤlftauſend 8 hundert ſechs und vierzig 1 2 8 4 6
13 tauſend vier und neunzig . ⸗ 1I 3 O½ 9 4
07 24 tauſend und fuͤnf . ⸗ 3 2 4 ,0O 5F
04 36 tauſend 5 hundert drey und neunzig⸗ 3 6 5 9 3
4 Zur Uebung.
90 369044506053075 80235
00 43800°70045 8000ο°3 50407
40 80°0°0ο4 84000 24090 60843
99 24896 55555 97099 84567
de, 70094 8 4954 9 OοO I 92000
89500 99090 98630 9400X.
t 9508897589 90999 97777
,ſ 85007 87035 84591 70809
48705 60900 97042 96403
. 9090998765 0976300456
teh 994090 °0Gο2½ 8787899988
as 6666677777 88888IITIII
. 456895432119000ι9 99998
die Hr
B 2 §. 38.‧*

7

Die theoretiſche Rechenkunſt.

§. 38. So bald zu 99999 als die hoͤchſte Zahl, welche

in 5 Zahlſtellen ſtehen kann, (§. 28.) nur noch ein Einer

kommt, ſo entſtehet ſchon die 6te Zahlſtelle, welche 100

ſolcher Unitaͤten, à 1000 Einer, enthaͤlt.

Aus dieſem und dem Vorhergehenden wird man
deutlich ſehen, daß es mit dem, was §. 19. geſagt
worden, ſeine voͤllige Richtigkeit habe: Denn ſo oft
ſich in allen vorhandenen Zahlſtellen die hoͤch ſte

Ziffer 9 befindet, ſo oft entſtehet durch Zufuͤgung

einer einzigen Unitaͤt eine neue, und zwar
ſolche Zahlſtelle, in welcher jede Unitaͤt zehen⸗

mal groͤßer iſt, als die der vorhergehenden

Stelle.

Zahlen von 6 Ziffern werden ſo gele⸗

ſen, daß man die erſten 3 Ziffern
der 6ten, Sten, und 4ten Stelle, als

welche lauter Tauſende vorſtellen, †₰° *
zuerſt, mit dem Beyſatze tauſend, ) 69 σ
darnach auch die uͤbrigen 3 Ziffern, = 2= S. Z. = &
wie bekannt, ausſpreche, z. E. 343,25 1 2 3 33
wird ausgeſprochen: drey hundert 2 2 *W
drey und vierzig tauſen d, zwey hun: = & — —

7

dert ein und funfzig.

rr . . 30 Uenasgund

2

Zu 99 tauſend 9 hundert neun u. neunzig 9 9 9 9
noch 1 Einer ⸗ . . k
ſo wird aus 9 und 1 Einer . . I O;
aus 1 und 9 Zehenern wird F „ I 0o
aus I und 9 Hunderten wird I. 0°O O;
aus 1 und 9 Tauſenden wird 0°00 0;
aus 10 Tauſend und 90 Tauſend wird
hundert tauſend ⸗ . ⸗ Oο ος⏑ς o.

und alſo eine Unitaͤt fuͤr die 6te Zahlſtelle.
Zuſatz: Wer hundert tauſend Thaler hat, von dem

wird geſagt, daß er eine Tonne Goldes beſize.
§S. 39. Weil aber eine Zahl von 6 Ziffern einem An⸗
faͤnger ſchon beſchwerlich zu leſen wird, wie es denn wohl

Rechner giebt, welche, da ſie in der theoretiſchen Rechen⸗

unſt

kun
gen

uil

h

ſen

ve
,

dein
ſeg

n⸗

ſche⸗

ner
100

man
ſagt
oft
Gſe
gung
zwar
jent
den

ANonrnleoeς
aen

5⁵

dem

2

An
wohl
chenn
kunſt

Die theoretiſche Rechenkunſt. 21

kunſt verwahrloſet worden, mit Leſung ſolcher, geſchwei⸗
ge noch weit groͤſſern Zahlen nicht fortkommen koͤnnen; ſo
will ich erſt, ehe wir weiter leſen, ein Paar untruͤgliche
Huͤlfsmittel anzeigen, wodurch alle moͤgliche Zahlen, ſie
moͤgen ſo groß ſeyn als ſie wollen, richtig und leicht gele⸗

ſen werden koͤnnen.

Das erſte Huͤlfsmittel.
§. 40. Man bediene ſich der 4 ſchon bekannten Be⸗
nennungen der erſten 4 Zahlſtellen: Eins, zehen, hun⸗
dert, tauſend. Fange bey der Ziffer der erſten Stelle

an, und ſage: Eins; bey der zwoten: zehen; bey der

dritten hundert; und bey der vierten tauſen d. Bemer⸗
ke auch die Ziffer, wo hundert geſagt, unten, und die

wo tauſend geſagt werden, oben mit einem Punet (.).

alſo: 6 3 4 5

Weil nun die 4te Stelle Unitaͤten von Tauſ ende drhai,
welche eben ſo fort gezaͤhlt werden muͤſſen, wie die LEiner,
(§H. 22.) ſo faͤngt man auch bey der gten Zahlſtelle wieder
an, und ſagt wie vorher: Eins; bey der Sten zehen;
bey der 6ten hundert; und bey der 7ten tauſend.
Bemerkt auch, wie vorher, die Hunderte unten und die

Tauſende oben mit einen Punct.

alſo: 8 4 5 6 3 4 5
Und ſo bis zu Ende der zu leſenden Zahlreihe. *
alſo: 9 1 2 5 4 56 3 4 5
D 3 — Nach

22 Die theoretiſche Rechenkunſt.

Nachdem die Zahlen alſo punctirt worden, ſo hat
man, um ſie leſen zu koͤnnen, weiter nichts zu bemerken,
als: daß man

1) allemal bey der Ziffer, woruͤber der letzte Punct
gemacht worden, daferne ſich keine Zi iffer mehr vor derſel⸗

ben befindet, anfaͤngt, ſie mit der Benennung tauſend

ausſpricht, auch dieſes Wort tauſend ſo oft wiederholt,

als noch Puncte von Tauſenden uͤber den Ziffern vor⸗

handen, auſſer den letzten Punct, welcher zuerſt ge⸗
macht worden: Denn da ſagt man, wie auch bey folgen⸗
den Wiegetholungen, die letzte ausgenommen, maltau⸗
ſend; z. E.

9 00 0 0 0 0 00°0 heißt: Neun tauſend,.
tauſend mal tauſend.

2) Daß man ſodann bey der naͤchſtfolgenden Ziffer,
welche als Hunderte, der Tauſend mal tauſende, unten
mit einem Punct bemerkt, und noch nicht geleſen worden,
fortfaͤhrt, und die zwo folgenden Ziffern dazu nimmt:
weil jedesmal, wie ſchon gelehrt worden, 3 Ziffern zu⸗
ſammen genommen werden muͤßen. (§. 35.) Verwirrung

zu vermeiden, wollen wir die Stellen ſchon geleſener

Ziffern blos mit Nullen bezeichnen; z. E.

1

61 2 ⅝°ο⏑$ο⏑ο½⅓.g

hundert acht und zwanzig tauſend, mal tauſend.

3) Daß man in der Folge, wie eben geſchehen, eben⸗
falls 3 Ziffern, als Unitaͤten von Tauſenden, auf ein⸗
mal ausſpreche, doch mit dem Unterſchiede, daß der letzte

noch vorhandene Punct nicht mehr, wie vorher geſe chehen,

mal tauſend, ſondern ſchlechthin nur tauſend genennet
werde; z. E.

°ο⏑°ο4 5 6⏑6ο⏑.⁵ο½..
vier hundert ſechs und funfzig tauſend.
4)

2

alſo

eint

hat
aken,

Punct
derſeh⸗
ſend
cholt,

n do

tſt ge⸗
folgenn
ltan

nd.
cben⸗
lf ein⸗
r letzte
nennet

Zwey hundert zwey u. zwanzig tauſend,

Die theoretiſche Rechenkunſt. 23

4) Endlich werden auch die letzten 3 Ziffern geleſen
alſo:

⁶ο οοιS—ſ6ςμ3 4 5. H

Drey hundert fuͤnf und vierzig.

Wier wollen die eben ſtt uͤckweiſe geleſene Zahl nun noch
einmal punctixen und. ſodan n im Zuſammenhange leſen:

9 1 2 8 4 5 6 3 4 5.

Neun tauſend, tauſend mal tauſend G
hundert acht und zwanzig tauſend mal tauſend;
vier hundert ſechs und funfzig tauſend;
drey hundert fuͤnf und vierzig.
§. 41. Nun wieder zu den Zahlen von ſechs Ziffern
zuruͤck, um erſt bey Leſung derſelben eine gehoͤrige Fertig⸗

beit zu erlangen, ehe wir zu groͤßern Zahlen ſchreiten.

Erſt wird ſed desmal die Zahl angewieſener maſſen
punctirt und geleſen alſo:

Hundert und zwanzig tauſend. . 1 2 6 0 0 0.
Hundert tauſend und eins. ⸗„ 10°500⁸ I.
Hundert tauſend und zehen. . I100OO I O.
Zwey hundert fuͤnf tauſend. . 2055 0°⏑¾0⏑°.⁹².
Zwey hundert tauſend, drey hundert „2 0 6 3 ,0 .
Zwey huͤndert und dreyßig tauſend. „ 2 3 O ο⏑⁄6S—⏑,Ü00%⁶.
Drey hundert vier und zwanzig tauſend, S
ſechs und funfzig 3 2 4 0 5 6,
Drepy hundert fuͤnf und vierzig tauſend, .
ſechs hundert und ſieben 3 4 5 607.

zwey hundert zwey und zwanzig. 2 2 2 2 2 2.

Das ſind 2 Tonnen Goldes „22 Tauſend, 2 Hundert
und zwey und zwanzig.
Anm. Eine Tonne Goldes iſt 100000 Thaler, und
10 Ton nen Goldes machen eine Million.
B 4 Zur

24 Diie theoretiſche Rechenkunſt.

310302

4530990
500742

650054

749001

976543
Oοωοωμdοιο0ο9⁹

Zur Uebung.

300200
45600/0
5007309
620046
703021
8 23009
027684

340021
407000
54000/0

20995⏑

3 20090
0000ο D ι 9⁹

743072

*

302001

54000°⏑
7094302
688840

500O0οω0ο0ο

α 5 3 2 1
9763˙12

§. 42. Haben Zahlen von 6 Stellen ſaͤmmtlich ihre
hoͤchſten Ziffern erreicht, ſo darf nur zu 99 9999 noch
ein einziger Einer hinzukommen, ſo wird ſogleich
die 7te Zahlſtelle erfordert, die Millionen d. i. Tauſend
mal tauſende enthaͤlt, (§. 23) welche Millionen wieder
bis tauſend mal tauſend fortgezaͤhlet werden. (§. 24.)

Anm. Wegen den unter den Zahlen vorſommenden

Nullen wird es hoffentlich keine Schwierigkeiten im

Zahlenleſen geben, daferne nur allezeit beobachtet

wird, was §. 31. geſagt worden.
Tauſend mal tauſend, oder 10 Tounen

Goldes, oder eine Million⸗ I O

Zwey tauſend mal tauſend, fuͤnf tauſend

oder 2 Millionen und 5 Tauſend. 2 0 0 °ο O.
Drey tauſend mal tauſend, vierzig tau⸗

ſend ſieben hundert, oder 3 Millio⸗ 3 0o 4 ο 7 o.
nen und 40 Tauſend 7 Hundert. .
Vier tauſend mal tauſend, 5 hundert .
46 tauſend und 8; oder 4 Millio⸗ 4 54 6 0°0⏑=8S3.

₰

*

nen, §5 Tonnen Goldes, und 46 8
Tauſend und 8.
S tauſend mal tauſend, 40 tauſend 3

hundert und 2

40 Tauſend 3 Hundert und 2.
Zur Uebung.
200300⅓οαℛ113 0οσ440⁵ο
400Oο ď 43500OOωuhο ο9

708007918763040
0OOρι30°0ο0

2 3400/20

az ⁵²72

80900ο 3

345008⁸82²¾
6230000ο17 °99802

8 234500

οιπ⏑⁄.m : 876543

8754321

O..

£

₰½

z oder 5Millionen 5 °4 °3 °2.

*₰

00ο3 4500
9999299

§ 43

O ς .

gte
dehe

ZWwa

De
at

de⸗
nen

e

N

Die theoretiſche Rechenkunſt. 25
§. 43. Zu 9999999 noch einen Einer, giebt die

001 Zte Zahlſtelle, als. Zehner von Millionen.
00 % Zehen tauſend mal tauſend, oder .
302 L 10 Millionen. 5 IOOOOO 0%.
840 Zwanzig tauſend mal tauſend, nen 2
000 hundert tauſend und 96; oder 2 Oö ö °σ οος 9% 6.
321 20 Millionen, 9 Tonnen Gol⸗ „* .
312 des und 96.
) ihre Dreyßig tauſend mal tauſend, vier: .
noch zig tauſend und 70. ‚;ÿp—:3 0°040077 o.
Nleich Sechs und vierzig tauſend mal tau—
uſend 1. ſend, 503 tauſend und 45, oder 4 6 5 0° 3 0° 4 5.
dieder 46 Mill. 5 Tonnen Gold. ꝛc. 4 .
2 54 tauſend mal tauſend, 367 tauſend
erde 823; ober 54 Mill. 3 Tonnen 5 4 3 6 7 8 2 3.⸗
en imn Gold. und 67 tauſend 823. 6
lchtet H W M
. Zur Uebung.
00. 10050206 [200001718730405083
I1000Oν6ςH r⸗- D800οAοm0οDOoο 7000000
00. 34007329[48700076 5786000ο77
4 509 6073190059870858976352
0. OOο640300O IIIIIIII OOOSOOOSZ
3040057314064507699999998
8. §. 44. Zu 99999999 noch ein Einer, ſo kommt

die 9te Zahilſtelle, deren Unitaͤten Hunderte von Millio⸗
nen enthalten; z. E.
Hundert tauſend mal tauſend, oder
0 2 100 Millionen. „
20 tauſend mal tauſend, 345

„ ☚
△
.
⬤
O
.„W
ſ◻
.₰„

tauſend; oder 200 Mill. 2 0 6 3 4 5 00 0.
00 3 Tonnen Gold. u. 45 tauſ.
9 987 tauſend mal tauſ. 654 tauſ. . .
400 † 321; oder 987 Mill. 6 Ton⸗ 9 8 7 6 5 4 2 2% 1.
00 nen Goldes, 54 tauſend 321. „»

26 Die theoretiſche Rechenkunſt.

—

Zur Uebung. 6
1000αSοιοοωͤo 1n1⁊ ,᷑.ẽ. ebvnsö400οO7 00°800Oποοω0ον Milt

2000α0OαOωOοω9 30405060O71⁊ 4OOο dt1Inr0ο0ο gleih
503029507 400ι07000S5670007 4 welch
“ 20997 6 640 00%2320200O1 οιοω0οοωοω 0ο7 οſ aͤber
à 225 5 2 S 765432109 555555555 ier
2 2 2 2 2 222 I234 567892 1I,3 O020721 86 t
Das 2te Huͤlfsmittel die Zahlen leicht und Ae
bequem zu leſen. Ae,
F§. 45. Weil, laut §. 35., bey Leſung großer Zahlen di,
nur immer 3 Ziffern auf einmal ausgeſprochen werden unot
Kkoͤnnen, ſo erf man nur die zu leſenden Zahlen, von der in

Rechten zur Linken, in lauter Claſſen von 3 Ziffern durch
Strichlein C, Nabtheilen, und ſodann, von Anfange bis zu

Ende,; eine Claſſe nach der andern ausſprechen, doch ſo, hit
daß allemal d die vor dem Striche ſtehende Zahl tauſend,
die vor den zuerſt gemachten Striche aber maltauſend 25I

genennet werde, eben ſo, wie vorher mit den Puncten ge⸗
ſchehen; z. E. L
Tauſend, taufend, mal tauſend. . 1,000,000,000.
2tauſend, tauſend, mal tauſend, 9 hundert
tauſend, mal tauſend, fuͤnf hundert,
tauſend, 300.
tauſend, tauſend, mal tauſend, 434 tau⸗
3 ſend, mal tauſend, 567 tauſend, 891. 3, 434,567 891. 231

Zur Uebung.
-ðð 1, 2,0 4, 00, 00970° 2,003,700, 503
20O03 0O0οOOπ.ς 30°40°6020IO
4 5 10 67300°89 5 678007321
670008910π0οω0ο1 οπ ,„ ο Dο0οοωουds/ο
4 9 5 3 O0οου9 7%1 3 8888888882
„ 0°ο0°5 6300°0ο 7 865 432140 4
9 876 54 5 67819999 999999
Anm. Weil dieſe Abtheilung der Zahlen, durch Striche,
in Claſſen, weit bequemer iſt, als die erſte g. 40.
zumalen wenn große Zahlen, wie Billion en, T riflionen,
und OQuadrillionen (§. 24. 25. 26.) zu leſen vorkommen,
ſo wollen wir auch dieſebe knftig beybehalten. 6.46. 24
4 „ 4

2,900,500,800.

6007
0200
0794
9700
5555
9721
nd

Zahlen
verden
on der
durch
vch ſo,
ſend,
ſend
ten gen

,00,

r ſche,
. 40.
ſten⸗
nmmen,

46.

Die theoretiſche Rechenkunſt. 27

5§. 46. Damit aber auch die großen Unitaͤten, die

Millionen, Billionen ꝛe. beym erſten Anblicke ſo⸗

gleich in die Augen fallen, ſo wollen wir uͤber die Zahl,
welche nach zween Strichen folget, ein Strichlein C),
uͤber die, welche nach 4 Strichen kommt, 2 Strichlein C),

uber die nach 6 Strichen, drey „), und uͤber die nach

8 Strichen, vier Strichlein () machen: da dann die
Ziffer, uͤber welche ein Strichlein ſtehet, Millionen;
die, uͤber welche zwey Strichlein ſtehen, Billionen;
die, uͤber welche drey Strichlein ſtehen, Trillionen;
und die, uͤber welche vier Strichlein ſtehen, Quadrillio⸗

nen bezeichnen; z. E.

111 //

345,315,30142 251,325,12 5.2 236,304,02 1.
heißt: 345 Qusdrillionen, 315 tauſend 301 Trillionen,

251 tauſend 325 Billionen, 125 tauſend 236 Millionen,
304 tauſend ein und zwanzig.

1 2, o 4 5, 6 0 8, 9 0 2.
zwoͤf tauſend fuͤnf und vierzig Millionen, 608 tauſend 902.

2 3, I 4 5, 6 7 3, 5 2 5.
23 tauſend 145 Millionen, 673 tauſend 525.

Man ſchreibe auf die Tafel, theile in Claſſen,
und leſe zur Uebung:

1 0,0 066 00ο⏑οπ ¾⁄ο⏑0ο1% 5, 000 0°ÜSο⏑οεν¾Ü°0ο
2350400Oι4οι ο :%δ 34564802842
35400035890 56732040503
73456000ο496 9098909932504
987325673211l23509732145

2 4 3, 2 5 4, 5 6 0, 7 8 6.
243 tauſend 254 Millionen, zGotanſend 786.

401,

—

28 Die beoteuſche Rechenkunſt.

4 01,5 O 3,4 0 0,5 σ0° 212,2 2 13 05,80 7
570430204312 807403073083
873230560986 12 345 665432
5 I 5 I 55IL 5 I 51 5 I 909999999˙09999
§. 47. Zu der letzten Zahl nur noch einen Einer, ſo

entſtehet die 13te Zahlſtelle, welche tauſend mal tauſend

Millionen oder eine Billion giebt; (§. 24) z. E.
/ 5 ⸗
I, O O ο, ος △ Oο, Oς οςO,Oπω0ο0.

2,4 5 3,2 4 1,7 2 4,8 5 3.

2 Billionen, 453 tauſend 241 Millionen, 724 tauſend 853.

Zur Uebung.
130040OOZ300400O
8456783250764
23456780432124
1I0000Oυ οωοωοωοω a,ο, ο .
5640040OOοιοε 421
43005 6008700ο5 400
12345678987654322

5 6,7 8 7,6 4 5,3 2 1,4 7 0,4 6 I.
56 tauſend 787 Billionen, 645 tauſend 321 Millionen,
470 tauſend 461.
700340056768704325
9 8764329873210423
2 34 5 67897654321041
999999999999999999

8S. 48. Wenn zu der letzten Zahl noch ein Einer hin⸗
zugethan wird, ſo entſtehet abermal eine Art großer Uni⸗

taͤten, welche tauſend mal tauſend Billionen, d. i. eine
Trillion enthaͤlt; (§. 25.) z. E.

/ 1/

1,0 0 ,0% 0%, 0%,0 0,0 0%, 0%⏑ 0..

5//

5,4 3 2,4 5 6,3 2 1,4 5 9, 8 1 7,6 4 3.

5 Trillionen, 432 tauſend 456 Billionen, 321 tauſend

459 Millionen, Br tauſend 643.
Zur

ntſteht
lion ne
1117
1
6

z4
Auas

— — —

er, ſo

uſend

185*

ionen,

thin.

Uni⸗
. eine

0.
3.
gnſend

1r

Die theoretiſche Rechenkunſt. 29

Zur Uebung.
60055 OοO4OOOO30OOIOOA
56432087404321076329
5 47 4 3 215032143 2563217 =
666400071600074000N76000
14 2,0 4 5,6 7 0,9 1,2 3 4,5 6 7,0 9 2,12 3.
142 tauſend 45 Trillionen, 670 tauſend 901 Billionen,
234 tauſend 567 Millionen, 92 tauſend 123.
140321563214321987634256
999999999999999999999999/
§S. 49. Kommt zur letzten Zahl noch ein Einer, ſo
entſteht abermal eine große Unitaͤt, welche man Quadril⸗
lion nennet; (§. 26.) z. E.
1,0 0, 00,0 O,&ο 6,0 0,0ο 6,0 0,0ο0 o.
Zu welcher Groͤße koͤnnen die Nullen einen einzigen
Einer erheben! (§. 16. c.)

bI r =

5B6 4 3,2 1 4,5 O 4,2 0 4,3 2 0,4 O 5,6 3 2,4 5 0.

—

5 Quadrillionen, 643 tauſend 214 Trillionen, 504 tauſend

204 Billionen, 320 tauſend 405 Millionen, 632 tau⸗
ſend 45 0.
Zur Uebung.
8643215432043240098763254
203 4 567030234000ι I89212345
„7 6700 S 45 O402I56703214500067
1234567890876543210234567 8:.
Anm. Leicht koͤnnte mir zum Vorwurf gereichen, daß ich
bey meiner Numeratio, ohne ſie einmal geendigt zu
haben, weitlaͤuftiger geweſen, als alle meine Vorgaͤn⸗
ger. Wohl wahr! aber braucht mancher Schuͤler
nicht viel um zu uͤherzeugenden Wahrheiten zu gelan⸗
gen? — Und iſt die Uebung im Zahlenſchreiben, wel⸗
che dem Rechnen nothwendig vorher gehen muß, nicht
nothwendig? — Wie gerne ſiehet der Kaufmann ſchoͤ⸗
ne Ziffern! Man ſage nicht: Solche große Summen
kommen ja faſt niemalen vor, was braucht man ſie
alſo leſen zu koͤnnen? So pflegen nur diejenigen
é

Die theoretiſche Rechenkunſt.

Rechner zu ſagen, welche die theoretiſche Rechenkunſt
vernachlaͤßiget haben. — Freylich nicht bey kaufmaͤn⸗
niſchen⸗wohl aber bey marhematiſchen Rechnungen.
Wie auffallend iſt es nicht, wenn Rechner oͤfters
nicht einmal eine in Zeitungen vorkommende Summe

zu leſen im Stande ſind; geſchweige zu wiſſen, was

ſie daraus machen ſollen, wenn ſie z. E. leſen: Die
. Sanne ſey 3645252928246960 Cubiemeilen groß
u. d. m.
Wo bleiben aber bey ſo bewandten Umſtaͤnden die
richtigen Begriffe, melche man doch nothwendig von
den Groͤßen der Zahlen haben muß, wenn man anders
damit rechnen, d. i. andere Zahlen ſinden will, die der
gegebenen Frage oder Aufgabe Genuͤge leiſten koͤnnen?
Es bleibt immer wahr, was Valent. Heins Lehrern
und Schuͤlern ins Ohr ruft:
„Wo an den Grund iſt was verſehn,
„Da kann es über kurz geſchehn,
B „Daß Muͤh und Koſt zu Grunde gehn. „
Laßet euch alſo meine Lieben willig finden, den
theoretiſchen Theil der Rechenkunſt ganz zu lernen,
um ſodann deſto gluͤcklicher in der practiſchen Rechen⸗
kunſt fortkommen zu koͤndgen!
Und nun wollen wir, da es nicht zureichend, eine
Zahl gehoͤrig leſen zu koͤnnen, auch lernen

4. Vorgeſagte Zahlen zu ſchreibe
und zwar .
a) die arabiſchen Zahlen.
§. 50. Wenn die Zahlen blos nach der gewoͤhnlichen
Benennung der Tauſende, ſo wie wir ſie zuerſt kennen
gelernet, vorgeſaget werden; ſo bedient man ſich bey Nie⸗
derſchreibung derſelben der Puncte. (H. 40.)
Man ſchreibe alle Zahlen ſo wie ſie klaſſenweiſe auf
einander folgend vorgeſagt werden, von der Linken nach
der Rechten, und zwar zuerſt die eine, zwo oder drey Zif⸗
fern, bey welchen zuerſt tauſend gehoͤret wird, nieder,
und bezeichne zugleich diejenige Ziffer, welche die Stelle
von tauſend einnimmt, oberhalb mit einem Punet.
Ferner mache man auch ſo oft nach dem erſten ge⸗

nannten tauſend, uͤber welchen der Punct bereits ge⸗:

macht

macht
halb
alleme
nannt
ſtchen
mon!
nach
werde
ſo,
Untel
Ehlie
letgel
ſchehen
Ei

D

2 „½„ ——

—

— Z

222

—, ☛

Die theoretiſche Rechenkuntt. g4.

kung macht worden, noch mehr tauſend geſagt wird, ober⸗
ſnine halb einen Punct, jedoch in ſolcher Entfernung, daß
. alemal 3 Ziffern ſo ſtehen koͤnnen, damit die zte der ge⸗
Uee nannten 3 Ziffern juſt unter den folgenden Punet zu
„ 1 ſtehen komme: wo mal tauſend gehoͤret wird, da macht
De man den letzten Punet.
Srof 1 Nachdem nun alle Puncte da ſtehen, ſo ſchreibt man

nach gerade immer 3 Ziffern, welche auf einmal gehoͤret

ee werden, nach ihrer natuͤrlichen Folge neben einander hin,
nders ſo, daß allemal die zu jeder Claſſe gehoͤrige 3te Ziffer
die der unter den folgenden Punct tauſend zu ſtehen komme.
hunen? Endlich ſchreibt man auch die 3 letzten Ziffern hinter den
Pren ietztgemachten Puntt mal tauſend, nieder, ſo iſt ge⸗
ſchehen, was verlanget worden.
Ein Paar Exempel werden die Sache deutlicher machen.
1) Der Lehrer dictirt dem Schuͤl er folgende Zahl in die
der Feder: .
ernen, 3 4 5 6 2 0 I § 3 6.
ichen⸗ und ſagt: 3 tauſend, tauſend, mal tauſend. Der
Schuͤler ſchreibt:
eint 3 . .*
Der Lehrer ſagt ferner: 456 bauſend, mal tauſend.

Der Dchuͤer ſchreibt das Gehoͤrte neben die vorige
Zahl, ſo, daß die letzte dieſer 3 Ziffern juſt unter
den Punct tauſend zu ſtehen kommt, alſo:

ihen 3456

Ferner ſagt der Lehrer: 201 tauſend. (nicht mehr
NN mal tauſend §. 40. 3))
B f Der Schaͤler ſchreibt das Gehoͤrte neben die vorigen
Zahlen, wie vorher, a id
,3ß 3 4 5 6 2
feder, Endlich ſagt der Lcheer den Reſt: 536, und der
Gtele Schuͤler ſchreibt denſelben neben vorige Zahl, ſo
huntt. ſtehet die dietirte Zahl vollendet alſo:
n ge⸗ — .
tge – 34 562°1 53 6.

nact 2)

32 Die thedretiſche Rechenkunſt.
2) Es wird von dem Lehrer die Zahl
5 6 02 430048370o.
zum Nachſchreiben langſam vorgeſagt, alſo;
1) L. 56 tauſend, tauſend, tauſend, mal tauſend.
Sch. 5 6
2) L. 24 tauſend, tauſend, mal tauſend.
Sch. 5 6 0 2 4
30) L. 300 tauſend, mal tauſend.
Sch. 5 °°2 4 300%
4) 2. 483 tauſend. (nicht mehr mal tauſend)
Sch. 5 ⁶%2 4 3064 83
5) L. 7 hundert.

Sch. 562 13 G5 48 57 0 .

Anm. Bey 2) werden die fehlende Hunderte; bey 2) die
fehlenden Zehner und Einer, desgleichen die bey 5)
mit Nullen bemerket. (§. 17.)

§) Der Lehrer dictirt: 345 tauſend, tauſend, tauſend, .

tauſend, mal tauſend.
Der Schuͤler ſchreibt: 3 4 5
L. 602 tauſend, tauſend, tauſend, mal tauſend.

Sch. 3 4 5 6 02
L. 5 tauſend, tauſend, mal tauſend.
Sch. 3 4 5 6 °2˙0°°⏑5
L, 67 tauſend, mal tauſend,

Sch. 3 4 5 603%ο% 5 67
L. 400 tauſend.

Sch. 3 4 560ο⏑½ ⁄5 ⁵°⏑⁄6674 0.
Und weil hier der Lehrer ſchweigt und nichts mehr

*△ – ₰ *△

„ 11

hinzu dictirt, ſo ſchreibt der Schuͤler noch hineer

die

dabey

Decht
Entfe

Nach
Under
die N

wey

boch
unde
vier
Zeicyn

R

unt,ſ

ſchreih
Milie

N
1g

uſend,

ſteht
hintes
die

P Die theoretiſche Rechenkunſt. L 33

ter die vorige Zahl, ſtatt der folgenden Hunderte,
Zehner und Einer, 3 Nullen, ſo ſtehet die Zahl vol⸗
lendet alſo:
3 4 5 6 2 ° 5 6 7 4 0°5⏑ÜS—⏑.

Anm. Dieſe wenigen Exempel koͤnnen hinreichend ſetn,
um alle nur moͤgliche dietirte Zahlen darnach zu ſchrei⸗
pen. — Will aber der fleißliebende Schuͤler noch mehr
Uebung im Zahlenſchreiben haben, ſo darf er ſich nur
die Zahlen h. 4 5. 47., nachdem ſie vorher punetirt
worden, vorſagen laſſen, und ſie ꝛben gelehrtermaſſen
nachſchreiben.
§. 51. Werden die Zahlen nach Millionen, Billiosnen,
Trillionen ꝛc. dictirt: ſo bedienet man ſich am fuͤglichſten
dabey der Striche. (§H. 45. 46.)
Der Schreibende macht, ehe dictirt wird, von der
Rechten nach der Linken, Striche, (,) und zwar in der

Entfernung, daß allemal 3 Ziffern dazwiſchen Platz haben.

Nach dem ꝛten dieſer Striche macht er ferner, oberhalb
und etwas linker Hand zu: ein Strichlein, O) um damit
die Millionen; abermal nach zween Strichlein oberhalb:
zwey Strichlein, („) um damit die Billionen; ferner
nach folgenden zween Strichlein: drey Strichlein, ()
um damit die Trillionen; und abermal nach 2 Strichlein:
vier Strichlein ( um damit die Quadrillionen zu be⸗
zeichnen; z. E. .
11 1/1 717 % *

*

7 * 62 * „ *
Nachdem der Schreibende dieſe Striche gehoͤrig georde⸗

net, ſo giebt er acht auf das was nun dictirt wird, und

ſchreibt ſodann die Quadrillionen, Trillionen, Billionen,
Millionen ꝛc. jede in ihre gehoͤrigen Stellen, nach der Art,
wie oben §. 46. die Zahlen geleſen werden; z. E§.
A dictirt: 345 Quadrillionen.

„ .
1617 97 7*

B ſchreibt: 345, . „ „
A faͤhrt fort: 236 tauſend 524 Trillionen.
B ſchreibt dieſes in ſolgende zwo Claſſen an gehͤige
Sielle alſo: „„ „, „

—ęRꝰ 345,236,524, c7 7 „ „ 4

34 Die theoretiſche Rechenkunſt.

A ſagt ferner: 120 tauſend 231 Billionen.
B ſchreibt dieß in folgende zwo 9 Claſſen an gehoͤrige
Stelle alſo:

345,236, 524,120,231, 3 .
A faͤhrt fort: 785 tauſend 201 Millionen.
B ſchreibt das Gehoͤrte in ſolgende 2 2 Claſſen alſo:

345,236,52 24,120,231,785,20 1, .
A beſchließt mit: 205 tauſend 386. L
B fuͤgt dieſe zwo Claſſen den vorigen bey⸗ ſo ſehe
die Zahl vollendet alſo:

345,236,524, 120, 231,785,201 205,386.
2. Iſt der Schuͤler im Zahlenſchreiben ſchon etwas

geuͤbt, e braucht er nicht, wie eben geſchehen, die Striche

zur Claſſenabtheilung vor dem Dictiren zu machen; ſon⸗
dern er darf nur ſogleich das Dictirte niederſchreiben, und
die Art der Unitaͤten ſogleich oberhalb mit Strichlein be⸗
merken; z. FE.
Der Lehrer dietirt: 340 kauſend 436 Trillionen
Der Schuͤler ſchreibt dieſes alſo:

117

340,436,
Der Lehrer faͤhrt fort: 506 tauſend 200 Billionen.
Dieß fuͤgt der Schuͤler dem Vorigen bey alſo;

340,4 36, 506, 200,
Der Lehrer: 780 tauſend 609 Millionen.
Der Schuͤler:

„ 340,436,506,200,780,609,
Der Lehrer: 500 tauſend 400.
Der Schuͤler;

2340,436, 506,200,780, 609,500,400.

F. 53. Der Anfaͤnger im Zahlenſchreiben kann ſich
auch zu mehrerer Bequemlichkeit, ſtatt der Striche,

wodurch bisher die Zahlen in Claſſen eingetheilet worden,

Per⸗

Per
hbedie
Bill
dur
klein
werd

i

.

)ſehet
1
396.
etwas
riche
6 ſon⸗
9, und
ein ben⸗

neſ⸗

in ſch
riche,
otden,

hel

Die theoretiſche Rechenkunſt. 35

pPerpenticulairlinien ‚ in der Weite von 3 Ziffern,
bedienen, und oberhalb die Quadrillionen, Trillionen,

Billionen und Millionen mit Strichlein bemerken. Da⸗

durch wird er eine Tabelle erhalten, in welche große und
kleine Zahlenreihen, ſo wie ſie dietiret werden, geſchrieben

Dictirt nun A: 2 Quadrillionen;
ſo ſchreibt B dieſe 2 bey a, unter die fuͤr Quadrillionen
gemachten Striche. ()
Dictirt A ferner: 236 tauſend und § Trillionen;
ſo ſchreibt B die 236 in das Fach b, die 5 aber, vor
welche noch 2 Nullen, den Mangel der Hunderte und
Zehner zu bezeichnen, geſchrieben werden, in das
Fach c.
Dictirt A ferner: 422 tauſend 703 Billionen;
ſo ſchreibt B das Gehoͤrte in die 2 Faͤcher d und e.
A ferner: 829 tauſend 788 Millionen;
B ſchreibt dieſe in die beyden Faͤcher f und g.
A beſchließt mit: 200 tauſendz
B ſchreibt dieſe 200 in das Fach h, und fuͤllet ſodann
das Fach i mit 3 Nullen aus, ſo ſehet die geſchrie⸗
bene Zahl vollendet alſo:

236 005 422 703
d e

werden koͤnnen; z. E.

9//

a b c d e

2

829
a f

200 000
h 1
Dictirte A: 22 tauſend 703 Billionen, 829 tauſend
788 Millionen, 200 tauſend: ſo wuͤrde B in die
Claſſe a, b und c nichts zu ſchreiben haben; ſondern

die 22, mit Vorſetzung einer Nulle, in der Claſ⸗
ſe d anfangen und ſo ferner fortfahren.

7887
b c. gg

Annm. Dieſe Perpentieulairlinien koͤnnen auch nach Belie⸗

ben verlaͤngert werden, um immer mehr Zahlen, ſo
viel el dezen dietirt werden hinein zu ſchreiben,
C 2 5 54.

36 Die theoretiſche Rechenkunſt.

§. 54. Zu fernerer Uebung im Zahlenſchreiben kann

ſich der Schuͤler von den Zahlen §. 47. 48. 49. ſo viel als

noͤthig, um im Zahlenſchreiben eine zureichende Fertigkeit
zu erhalten, dietiren laſſen, und ſie, wie §. 5 I. 52. 53.
gelehret worden, nachſchreiben.

Iſt dieſes geſchehen, ſo bleibt zum Beſchluß der Nu-

meration noch uͤbrig .

b) Die roͤmiſchen Zahlen leſen und ſchreiben

zu lernen.

Rechnen, als wozu ſie ungeſchickt ſind, nicht gebrauchen,

ſo iſt die Bekanntſchaft mit denſelben doch ſehr noͤthig, ja

unentbehrlich; weil wir ſie ſo oft in alten Schriften,
Documenten; auf Denkmaͤhlern des Alterthums; auf
alten und neuen Muͤnzen ꝛc. finden. Und weil die Kunſt,
dergleichen Zahlen zu leſen, ſo einſach, daß deren Kennt⸗
niß zu erlangen wenig Muͤhe koſten kann, ſo iſt es, be⸗
ſonders Rechnern, faſt nicht zu verzeihen, wenn ſie ſa⸗
gen: „Ja, das ſind roͤmiſche Zahlen, die kann ich nicht
leſen! „ — . “
ſ Deren Lehrer muͤſſen, wenn ſie ihnen zu wenig oder
gar nichts davon geſagt haben, die roͤmiſchen Zahlen
entweder gar nicht zur Jumeratio gerechnet, oder deren
Kenntniß fuͤr uͤberfluͤßig gehalten haben.
§. 56. Es beſtehen aber die Zeichen, womit die Roͤ⸗
mer ihre Groͤßen, beſonders ihre Zeiten, bezeichneten, in
folgenden 7 Buchſtaben, welche ſie aus ihrem Alphabete
genommen haben:
I. I. V. J. X. 10. L. 50. C. 100. D. 500. M. 1000.
Anm. Ohne Zwséifel mußten die Roͤmer ihre Urſachen ha⸗
ben, warum ſie nicht mehr als ſieben, eben dieſe,
und keine andere Buchſtaben zu ihrem Zahlenalphabete
gewaͤhlet haben. Selbſt die Ordnung, in welcher dieſe
Buchſtaben als Zeichen von Zahlen auf einander
folgen, zeigen dentlich, daß ihre Wahl kein blindes
Ungefaͤhr zum Grunde gehabt, wie wir in der Folge
ſehen werden.
§. 57. Der Buchſtab I ſcheint, nicht allein wegen ſei⸗

dern

§. 55. Ob wir gleich die roͤmiſchen Zahlen zum

(65

ner Aehnlichkeit mit einem Striche, (§H. 12. Anm. 1,.) ſon⸗

dern
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Rech
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bezei

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ʒ“

7
7

Die theoretiſche Rechenkanſt. 37

dern auch, weil er der erſte Buchſtab des lateiniſchen
Worts Initium (Anfang) iſt, von den Roͤmern gewaͤhlt
zu ſeyn, und iſt dieſes wahr, ſo iſt derſelbe mit allem
Rechte der erſte des voͤmiſchen Zahlenalphabets, indem

er die Grundziffer Eins, als den Anfang aller Zahlen,
bezeichnet. (§. 14.) .

Dieſer Buchſtab bezeichnet ſo oft einen Einer, als er

neben einander geſetzet wird; z E.

I. Eins; II. zwey; III. drey; IIII. vier.
Anm. Es würde dieſer Buchſtab, 10 mal neben einander
L geſetzt, zehen; hundert mal aber: 100 Einer bezeich⸗
ghen ꝛc. Weil aber viele ſolche Einer neben einander
geſtellet, ſo muͤhſam zu ſchreiben als zu leſen waͤren,
indem man ſie erſt überzahlen muͤßte: ſo hat man den
Buchſtaben 1 nur hoͤchſtens vier mal, um damit 4 zu
bezeichnen, neben einander ſtellen, fuͤr groͤßere Zahlen
aber andere Buchſtaben erfinden wollen.
§. 58. Der zweyte Buchſtab in der Ordnung des Zah⸗
lenalphabets iſt das V, womit 5 Einer bezeichnet werden.
(§. 56.) Das V wird nie, wie mit dem I zu geſchehen
pflegt, wiederholt neben einander geſetzt, wohl aber kann
das I zu dem V, ein, zwey, drey und vier mal geſetzt wer⸗
den, um damit 6,7, 8, und 9 zu bezeichnen; z. E.
VI. 6. VII. 7. VIII. . VIIII. 9.
Aum. Man hat dieſen Buchſtaben V zu der Zahl 5 ver⸗
mutblich wegen der Aehnlichkeit mit einem ausgeſtreck⸗
ten Zeigefinger und Daumen, als worans einem An⸗
dern ſtillſchweigend die Anzahl der Finger einer Hand,
d. i. 5, gezeigt werden kann; vielleicht auch darum ge⸗
waͤhlt, weil er der zte Vocal iſt.
§. 59. Der zte Buchſtab X bezeichnet, ſo oft er neben

einander geſetzt wird, 10; z. E.

X. 10. XX. 20. XXX. 30. XXXX. 40. 2.
Um aber von X bis XX ꝛc. fortzuzaͤhlen, darf man
nur die Zahlen, ſo wie ſie bey §. 57 und 58 ſtehen, neben
die Zehener ſetzen. (§. 67.)
Anm. Warum aber der Buchſtab X als der 3te in der Orde
nung, und um damit 10 zu bezeichnen, gewaͤhlet,
ſcheinet aller Wahrſcheinlichkeit nach daher zu kom⸗
men, weil man zuerſt den Vuchſtal V verdoppelt, unr
3 ge⸗

38 Die theoretiſche Rechenkunſt.
damit zehen zu ſchreiben, etwa ſo: VV, nachher aber
bemerkt, daß aus einem ordentlichen Vund einem ver⸗
kehrten à, wenn beyder Winkel zuſammen gefuͤst wer⸗
den, das X entſtehet, welches jenem Kreuze womit
urſpruͤnglich zehen bezeichnet monen, ſo aͤhnlich ſiehet,
als ein Ey dem andern. (§. 12. Anm. 1.)

§. 60. Man koͤnnte den Buchſtaben X, welcher jedes⸗

mal 10 bezeichnet, (§H. 59.) ſo oft wiederholen als man
wollte: weil aber eine große Anzahl derſelben ſowohl dem
Schreiber als Leſer beſchwerlich fallen wuͤrde; ſo hat man

dieſen Buchſtaben, wie das I, aus gleicher Urſache, nur

Amal neben einander ſetzen wollen, und, den Griechen

nachzuahmen, das L, als den vierten Buchſtaben gewaͤh⸗

let, um damit 50 zu bezeichnen.
Zuſatz: Zu dieſen L, welcher wie V, nie verdoppelt
wird, kann 1, 2, 3, bis 4mal der Buchſtab X hin⸗
zu gefuͤget werden, um damit 60, 70, 80 und 90 zu

ſchreiben; z. E. LX. 60. LXX. 70. LXXXKX. 80.

LXXXX. 90.
Auch koͤnnen dieſen Zahlen, um von Zehener zu
Zehener weiter fortzuzaͤhlen, die kleinern Zahlbuch⸗
ſtaben von I bis VIIII (H. 57 und 58.) hinzugefuͤget
werden; z. E. LXI. 61. LXII. 62. ꝛc.

5§. 61. Weil aber angenommener maſſen I und X

nicht mehr als nur 4mal neben einander, L und V aber

nur einfach geſetzt werden ſollten; ſo konnte man auch

mit den 4 Buchſtaben: L, X, V und I nicht weiter als bis
LXXXXVIIII. 99 kommen. Daher war noͤthig den
Ften Buchſtaben zu waͤhlen, um damit 100 ſchreiben zu
koͤnnen. Der Buchſtab C, als der erſte aus dem latei⸗

niſchen Worte Centum, hundert, ward alſo darzu ber

ſtimmt, um mit demſelben, ſo oft er neben einander ge⸗
ſetzt wird, hundert zu bezeichnen; z. E. C. 100. CC. 200.
CCC 300. CCCC. 400. ꝛc.
Juſatz: Um nun von einem Hunderte zum andern
uͤber zu kommen, werden die ſchon bekannten Buch⸗
ſtaben L, X, V und I nach ihrer natuͤrlichen Foige den
Hunderten beygefuͤgt; z. E. CI. 101. CXII. 112.

CL. 150. CLXXV. 175. crXXXXVIII. 92.
. * 2.

Ee⸗
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denen
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der ge⸗
. 200,

andern
Bucht
ſge den
I1. 112.
I. 109.

72

Die theoretiſche Rechenkunſt. 39

§. 62. Sollte nun der Buchſtab C, wie X und L.
(§. 60. erwaͤhnter Urſachen wegen) ebenfalls nur 4mal
neben einander geſetzt werden, ſo konnte mit ſchon erfun:
denen 5 Buchſtaben: C. L, X, V und I auch hoͤchſtens
nur die Zahl CCCCLXXXXVIIII. 499 erreicht werden,
mithin war der 6te Buchſtab noͤthig. Man waͤhlte darzu
den D, als den erſten Buchſtaben des lateiniſchen Worts.
dimidium, halb, weil dieſes Wort abgekuͤrzt alſo:
D. Mille oder D. M. ein halbes Tauſend heißt, und alſo
eben ſo viel als 500 iſt.

Zuſatz: Der Buchſtab D wird eben ſo wenig, wie L.,
verdoppelt oder mehrmalen neben einander geſchrie⸗
ben, wohl aber koͤnnen die ſchon bekannten C, LX,
V und I demſelben beygefuͤget werden, um damit
immer weiter zu zaͤhlen; z. E. DI. 5oI. DXV. 515.
DLX. 560. DCI-XXVI. 676. ꝛc.

§. 63. Noch konnte mit dieſen 6 Buchſtaben aufs
hoͤchſte nur bis DCCCCLXXXXVIIII. 999 gezaͤhlet
werden: deswegen ward, um auch Tauſend und weiter
zaͤhlen zu koͤnnen, der erſte Buchſtab des lateiniſchen
Worts, Mille, tauſend, genommen.

Zuſatz: Ob gleich dieſer ſiebente Buchſtab M ebenfalls
nie 2 mal neben einander geſetzt wird: ſo kann man
doch, mit Beyfuͤgung der uͤbrigen Buchſtaben, nicht
nur von I bis MDCCCCLXXXKRVIIII. 19990 fort⸗
zaͤhlen, ſondern man kann mit dieſen wenigen Zahl⸗
buchſtaben noch weit groͤßere Zahlen ausdruͤcken, ſo
wie an ſeinem Orte gelehret werden ſoll.

§. 64. Man koͤnnte zwar mit bekannten 7 Buchſta⸗
ben, ihrer Groͤße nach auf einander folgend, von 1 bis
1999 ſchreiben, (§. 63.) weil aber auf dieſe Art oft ſehr
weitlaͤuftige Zahlen, wie §. 62. bey 499 und §. 63. bey
1999 zu erſehen, entſtehen wuͤrden, welche nicht nur
muͤhſam zu ſchreiben, ſondern auch ihrer Groͤße wegen
nicht leicht zu uͤberſehen waͤren: ſo hat man ein Mittel
erfunden, ſolche Zahlen abzukuͤrzen, um ſie geſchwinder
C 4 ſchrei⸗

40 Die theoretiſche Rechenkunſt.

ſchreiben und leichter leſen zu koͤnnen. Und dieſes Mittel
beſtehet in folgen der
Regel.
§.65. Kleinere Zahlbuchſtaben, vor groͤßern ſtehend,
werden denſelben abgerechnet, ausgenommen vor M nicht.
(S. 70. Anm.) Hingegen kleinere Zahlbuchſtaben, hinter
den groͤßern ſtehend, werden denſelben zugerechnet.
Stehet dieſer Regel zufolge I vor V, alſo: IV, ſo
iſt das 5 weniger 1, d. i. 4; ſtehet aber I hinter V,
alſo: VI, ſo iſt das 5 und I, alſo 6.
Dieſemnach iſt IK nur 9; XI aber II.
XL — 40; LX —– 60.
XC —-— 90; CX — rI710.
CD — 400; DC — 600.

Wenm faͤllt hier nicht in die Augen: wie vlel man bey

ſolcher abgekuͤrzten Schreibart gewinnt!
Kuͤrzer iſt IV als IIII 4.
IX — VIIII 9.
XIX — XVIIII 10.
XL – XXXX 40.
XC – LXXXX 90.
XCIX — LXXXXVIIII 99.
CD – CCCC 400. ꝛc.
§. 66. Nach dieſen vorausgeſchickten Erklaͤrungen und
Unterricht, kann hoffentlich keine Schwierigkeit mehr vor⸗
handen ſeyn, um die roͤmiſchen Zahlen mit Leichtigkeit zu
leſen und zu ſchreiben. Wir wollen alſo mit den erſten 10
Einern, welche ſchon §. 57. und 58. vorgekommen, den
Anfang machen.
I. II. III. IV. 4. V. VI. 6. VII. VIII. VIIII.
oder IX. (§. 65.) X.

§. 67. Dieſe 9 Einer werden in eben derſelben Ord⸗
nung hinter die Zehner, Hunderte und Tauſende
geſetzt, als wodurch man im Stande iſt, Unitaͤten zu
Unitaͤten, igrer naturlichen Folge nach, fort zu zaͤhlen;

(§. 59.) z E. L
XI.

ſſo:

Eben

iinte

7
Umd

Mittel

ſthend,
hinter
IV, ſ
nter V,

S
+ —

an bey

Die theoretiſche Rechenkunſt. 41

XI. 1I. XII. 12. XIII. 13. XIIII. oder XIV. 14.
XV. I5. XVI. 16. XVII. 17. XVIII. 18. XVIIII.
oder XIX. 19. XX. 20. V
Alſo: XXI. 21. XXII. 22. XXIII. 23. XIV. XXV.
XXVI. XXVII. XXVIII. XXIX. XXX.
Eben ſo: XXXI. 31. bis XXKXIX. 39. XLI. 41. bis
XLIX. 49. (§. 65.) L. Ll. 51. bis LIX. 59.
1X. 60. LXI. bis LXIX. 60. LXX. LXXI. bis
LXXIX. LXXX. 80. LXXXI. bis LXXXIX. 89.
LXXXX. 90. oder LXL. beſſer XC. (§H. 65.) bis
XCIX. 99.
§. 68. Alle dieſe Zahlen, von I bis XCIX, koͤnnen
hinter C. 100. CC. 200. CCC. 300. CD. 400. D. 500.
DC. 600. 1c. nach ihrer natuͤrlichen Folge geſetzet werden,

um damit immer weiter fort zu zaͤhlen; (§H. 61.) z. E.

CI. 101. CIV. CIX. ꝛc. CCX. 210. CCXI. CCIX.
CCCXX. 320. CCCXXIV. CCCXXXVIII. ꝛk.
CCCXL. 340. CCCXLIX. CCCLX. CCCLXIX. ꝛc.
CCCCIV. oder CDIV. 404. CDVIII. CDXIX. 419.
CDXXIV. CDXXXIX. CDXL. 440. CDXLIX.
CDLIV. CDLIX. 459. CDLXIII. CDLXXVI.
CDLXXIX. ꝛc. (§. 65.) DLXKXXI. DILXXXVI.
DLXXXIX. DXC. 590. DLXXXXIX. oder
DXCIX. DC. 600. DCI. DCIII. DClV. DCVI.
DCIX. DCXIV. DCXVI. DCXXIX. DCXLAIV.
DCXLIX. DCLV. DCLXIX. DCLXXI. ꝛc.
DCCII. 702. DCCXIII. DCCXXIV. DCCXXXV.
DCCXLVI. DCCLIX. DCCLXIV. DCCLXXI.
DCCLXXXIII. DCCLXXXXIX. oder DCCXCIX.
DCCCIV. go4. DCCCVI. DCCCIX. DCCCXXI.
DCCCXXXIII. DCCCXLIV. 844. DCCCXLVI.
DCCCXLIX. 849. DCCCLI. DCCCLXII. 862.
DCCCLXXIII. DCCCLXXXIV. DCCCLXL. 3890.
oder DCCCLXXXX. oder DOCCCXC. DCCCXEIV.
DCCCXCIX. (S§. 65.) DCCCC. 900. oder DCD.
DCDI. 901. DCDIV. DCDXIX. DCCCCXXIX.
DCDXXXII. DCDXLIII. DCDLIV. DCDLXVI.
. C 5 D

4² Die theoretiſche Rechenkunſt.
DCDLXXVIII. DCDILXXXIXY DCDLXXXX.

oder DCDXC 990. DCDXCIV. DCDXCVIII.

DCDXCIX. 999.
§. 69. Die Zahl 1000 wird mit M bezeichnet (§H. 63.)

und mill man zu 1000 eine Unitaͤt nach der andern hinzu
zaͤhlen, z. E. von 1000 bis 1999, ſo darf man nur alle

ie Zahlbuchſtaben, welche bisher gebraucht worden, um

von 1 bis 999 zu ſchreiben, hinter den Zahlbuchſtaben
Ml ſetzen; z. E.

M. MI 100I. MII. MIX. MX. bis MXIX. MXX.
MXXXI. MXLII TO42. MLIII. M-XIV. MLXXV.
MILXXXVI. MLXXXNXVII MXCVIII. 398.

MXCGIX MC. IIOO. MCII. MCXIII. MCXXIV.

MCXXXV. MCXLVI. MCLVII MCELXVIII.
MCLXXIX. MCLXXX MCLXXXXI. MCXCII.
1II92 bis MCXCIX MCGCG. rz0O MCCI MCCIX.
MCGCXI MCCXXII. MCCXXXIII. MCCXLIV.

MCCLVI MCCLXVII. MCCLXXVIII. 1278.

MCCLXXX MCCIXXXXI. MCCLXLII. 129 2.
MCCXCIII. MCCXCIX 1290. MCCC. MCCCI.
MCCCIX MCCEXI. MCCCXXII. MCCCXXXIII.

MCCCXLIV. 1 344. MCCCLXVI MCCCLXXVII.

MECCLXXXVIII. MCCCLXXXXIX. kuͤrzer
MCOCCXCIX MCCCC. MCDI. I401. MCDXII.
MCDXXIII. MCDXXXIII. MCDXLIV. MCDLV.
MCDLXVI. MCDLXXVII. MCDLXXXVIII.
MCDXCIX. r499. MD. MDI. MDXI. MDXXII.
MDXXXIII MDCXIL.IV. 1644. MDCLV 1655.
MDCLXVI. MDCLXXVII. MDCLXXXVIII.
MDGXCIX. 1699. MDCCI. MDCCXXII. 1722.
MDCCXXXIII. MDCCXLIV. MDCCLXV.
MDCCLXXVI. MDCCLXXXIV. MDCCLXXXVI.

MDCCLXXXVIII.
MoccLXXXX. furzer Moccxc. 1790. MoccrxLVIII.
MopccCxCIY. MpCCCXVI. MpcCCCXXIX. MpcCCXXXIII

MpcCCXLVIII. MCCCLIX. MpcCCIXI- MoccCIxXIV

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XXII.
15655.
VIII.
1722,
LXV.

XXVI.⸗

VVIII.
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XXIN
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7 “ -
Die theoretiſche Rechenkunſt. 43

MpcCGCCLXXXIX. MpcCCCXCVIII. 1898. MucccXCIX.
MpCCC. oder Mocb. MocbI. MpccCCCNXI. MocoxxXII.
MpcCCGCXXXIII. MoCDXLIV. MpCPLVIII. MpcbLXIX
MocDLXXI. MocoLXXXII. MDCPDLXXXXIII.
MocbXxcCIX.

§. 70. Will man noch weiter gehen, und 2000,
3000 ꝛ2c. 10000, 20000, bis 100000 ſchreiben: ſo ſetzet
man vor den Buchſtaben M, welcher 1000 bezeichnet, ſo
viel kleinere Zahlbuchſtaben, als man Tauſende bezeichnen
will. 2
Anm. Hier allein leidet die oben §. 65. gegebene Regel eine
Ausnahme; denn vor M werden die kleinern Buchſta⸗
ben 1, V, X, C ꝛc. nicht abgerechnet: ſondern ſie zaͤhlen

blos, wie viel Tauſende vorhanden ſind; z. E.
IIM. 2000. IVM. 4000. XM. 10000. XXM. 20000.

LM. 50000. CM. 100000. CCM. 200000. DM. 500000.
Zuſatz: Hinter dieſe vollen Tauſende kann man alle
die ſchon bekannten Zahlbuchſtaben ſetzen, welche
man noch uͤber die vollen Tauſende hat, eben ſo, wie
bey den Tauſenden geſchehen; (§. 69.) z. E.
IIIMII. 3002. XMXII. IoO0ODZ. XXMXXIV. 20024.
ILMXLIX. 50049. CMIXVIII. 100068. 2c. W
§. 71. Man kann auch die Anzahl der vorhandenen
Tauſende mit kleinern Zahlen uͤber M bemerken; z. E.
WwW. XN. Cl. CCXXX.
M. 4000. M. 19000. M. 101000. M. 230000. 2ꝛc.
Zuſatz: Auch hier werden die Zahlen, welche noch
uͤber die vollen Tauſende vorhanden ſind, wie §. 70.

Zuſatz gewieſen, dem M beygefuͤget; z. E.

ATSN. CopPHN
MDXLIV. 320, 544. MCDLXIX. 409, 469.
DeLE = DCCXIV
MDCLXXXI. 651,68 1. MOCCCXCIX. 714,899.

§. 72. Noch weit bequemer kann die Anzahl der Tau⸗
ſende mit den gewoͤhnlichen Zahlbuchſtaben, ohne ein
M noͤthig zu haben, blos mit einem Querſtriche —
uͤber

—

44 Die theoretiſche Rechenkunſt.

uͤber denſelben bezeichnet werden, welcher dann allemal

fuͤr tauſend geleſen wird; z. E.

— —

I. 1000. IV. 4000. X. 10000. L. 50000. C. 100000.

D. 500000. DC. 600000. M. 1000000. pder eine Million ꝛc.
Zuſatz: Die uͤbrigen Zahlen, welche uͤber die vollen
Tauſende ſind, werden, wie §. 69. gelehret wor⸗
den, ebenfalls mit den gewoͤhnlichen Zahlbuchſta⸗
ben, hinter den Tauſenden bemerket. Doch muß
allemal der Querſtrich genau, und nicht weiter als

juſt uͤber die Zahl, welche die Tauſende bezeich⸗

nen ſoll, gemacht werden; z. E.
VIHDXXIV. 85324. XXXVIIICCCLVI. 38,356.
CCCCLXXXVIII. 700, 288. DCCGCDCCCXLIV. 00,844.
DCDLCDLI. 950,A51. DCCGCGCCXXXNVIDCCCXLIV.
936,844. Le.
§. 73. Zum Beſchluß der roͤmiſchen Zahlen, und mit
dieſen der ganzen Numeratio, kann ſich der wißbegierige

Schuͤler noch folgende Zeichen, welche in alten Manu⸗

ſcripten vorkommen, bekannt machen:

20. W 30. 40. L ρσ 80. ꝛc.

DL. 500. Clo. 1000. Q. oder 59. 5000.
CCI99. oder oder W 10000.
Io90. 50000. CCCID90. 100000. [9990.
5SOOOO90. CCCCILD290. iſt das, was M iſt,
naͤmlich eine Million. (§. 72.)
Zuſatz: Auch hinter dieſe Zeichen laſſen ſich die uͤbri⸗
geiu Zahlen, welche man noch uͤber die Zehener, Hun⸗

derte, Tauſende ꝛc. haben will, wie §. 68. 69. ꝛc. ge⸗
lehret worden, hinzuſetzen; z. E.

X vI. 26. VIII. 38. L & IX 89. ꝛc.

loccLXXXIX. 789. CDDCCLXXXVII. 1787.

Au

aletnal

100000.

ilion:e.
vollen
et wor⸗
buchſt N
ch muß
iter als
bezeich⸗

.
00,944.

XIIW.

nd mit
gierige
Manl=

0. K.
000⁰.
000.
00,.
iſt,
ubri⸗
Hun⸗
e ge

9 K.
797.

Am.

Die theoretiſche Rechenkunſt. 45 D

Anm. Um das Leſen und Schreiben der roͤmiſchen Zahlen
mit einem Male oder zugleich zu bewirken, habe ich
mit Fleiß noch viele Luͤcken im Fortzaͤhlen der Zahlen
gelaſſen, damit der fleißige Schuͤler Gelegenheit habe,
dieſelben auszufuͤllen. Dieſe Uebung aber wird ſodann
nicht nur voͤllig hinreichend ſeyn, die genaueſte Be⸗
kanntſchaft mit den roͤmiſchen Zahlen zu verſchaffen;
ſondern auch die Kennthiß derſelben, durch das Schrei⸗
ben, dem Gedaͤchtniſſe deſto feſter einpraͤgen.

II. Die practiſche Rechenkunſt,

welche auch die ausuͤbende oder gemeine Rechenkunſt
genennet wird,

1 und
die ſogenannten 4 Species,
odder
Elementa Arithmetices,
wie auch

alle durch ſie nach Regeln bewirkte Rechenarten enthaͤlt.

PVorbereitung zu den Zahlenveraͤnderungen.
§. 74. Da wir im theoretiſchen Theile der Re⸗ .

chenkunſt nicht mehr gethan, als die Zahlen, womit die

Groͤßen und Anzahl der Dinge ausgedruckt werden muͤſſen,
nur kennen, leſen und ſchreiben gelernet, und alſo die Zah⸗
len unveraͤndert gelaſſen; ſo haben wir auch noch nicht
gerechnet. Denn wer da rechnen will, der muß neth⸗
wendig die Zahlen veraͤndern, d. i. er muß andere Zah⸗
len finden, als die in der arithmetiſchen Aufgabe gegeben
worden, um dadurch die aufgeworfene Frage zuverlaͤßig zu
beantworten. Und da dieſes in allen 4 folgenden Rech⸗
nungsarten geſchiehet, mithin auch wirklich gerechnet
wird, ſo koͤnnen auch nur dieſe allein E:lementa Arith-
metices genennet werden, nicht aber die Numeratio,
welche einige Arithmetici, erwaͤhnter Gruͤnde wegen, mit
Unrecht zur erſten Species gemacht, und daher 5 Specdes
gezaͤhlet haben.
5§. 75.

46 Die practiſche Rechenkunſt.

§. 75⁵. Es kann aber eine Zahl nur auf zweyerley Art

veraͤndert werden. Man kann ſie
1) vergroͤßern, .
2) verkleinern.
Beypdes aber kann bis ins Unendliche geſchehen: Denn ich
kann mir keine Zahl gedenken, zu welcher nicht noch ein
Ding, oder ein Theil eines Dinges, hinzugezaͤhlet wer⸗
den koͤnnte. (H. 15.) Eben ſo wenig kann ich mir eine
Zahl gedenken, von welcher nicht ein Ding, wie nicht
weniger ein Theil eines Dinges nach dem andern hinweg⸗
genommen werden koͤnnte, und da dieſes wahr, ſo kann
auch eine Zahl bis ins Unendliche verkleinert werden.

§. 76. Es kann aber eine Zahl auf zw eyerley Art
vergroͤßert werden, und zwar erſtlich: Indem man zu

einer Zahl eine Unitaͤt nach der andern, oder auch einen

Theil einer Unitaͤt zu andern Theilen derſelben hinzuzaͤhlet,
ſo wie uͤberhaupt bey den Zaͤhlen der Dinge einer Art ge⸗
ſchiehet, als wodurch nothwendig eine Zahl imfner groͤßer
und groͤßer werden muß. Z. E. Mir werden die Zahlen
3 und 5 gegeben, um eine Zahl zu finden, die juſt ſo groß
als beyde gegebenen Zahlen iſt: ſo wird ſich durchs Zuſam⸗
menzaͤhlen die Zahl 8 ergeben, welche in einer Summe
die beyden Zahlen 3 und 5 wirklich enthaͤlt. Dieſe Ver⸗
groͤßerungsart heißt: die Additio.
Anm. Weil hier durch die Zuſammenzaͤhlung der 3 und 5
die Zahl 8 entſtanden, welche veraͤnderte Zahl
alle Unitaͤten der gegebenen Zahlen 3 und 5 wirklich
enthaͤlt: ſo iſt auch hier gerechnet worden, (§. 74.)
§. 77. Die 2te Art eine Zahl zu vergroͤßern beſte⸗
het darinn: Wenn man eine gegebene Zahl etliche mal, oder
ſo viel mal nimmt als verlanget worden. Z. E. Man ſoll
eine Zahl finden die 5 mal ſo groß als 6 iſt. D. i. Man
ſoll die gegebene Zahl 6 ſo viel mal nehmen, als die

andere gegebene Zahl 5 Einheiten enthaͤlt: ſo wird ſich

die Zahl 30 finden. Dieſe Vergroͤßerungsart heißt: die
Multiplicatio. .
Anm. Weil die hier gefundene Zahl 30 ebenfalls eine ganz
andere Zahl als beyde gegebenen Zahlen 50 und 6 3

Wen

1—U

dend
chent

die e

gefu
Zah

Cin

und
6 u

ſhon
ſehn,
Außg
tung

muß

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365
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we⸗

man
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hinweg:
ſo kann
erden.

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Gghet,
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te gaht
wirklich
74)
n beſt⸗

al, deet

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6s die
ird ſch

ne un
6 ,
1

.

noch ein.

.

*

Die praetiſche Rechenkunſt. 47

auch alle in der Aufgabe beſindliche Einheiten
enthaͤlt; ſo iſt auch hier gerechnet worden. (5§. 74)
§. 78. Man koͤnnte denken: daß vielleicht eine von
beyden Vergroͤßerungsarten (§. 76 und 77.) ſchon zurei⸗
chend waͤre, um eine Zahl zu vergroͤßern, weil man
die eben gefundene Zahl 30 auch durch die erſte Art (§ 76.)
gefunden haben wuͤrde, wenn man naͤmlich die gegebene
Zahl 6, ſo viel mal, als die andere gegebene Zahl 5
Einheiten enthaͤlt, d. i. 5Hmal unter einander geſetzet,
und denn nach gerade zuſammen gezaͤhlet haͤtte; z. E.
6 und 6 iſt 12, und 6 iſt 18, und 6 iſt 24, und 6 iſt 30.
Wohl wahr! Aber es wuͤrde dieſe Art zu rechnen,
ſchon bey dieſer kleinen Aufgabe, weit muͤhſamer geweſen

ſeVyn, als die, durch den Weg der Multiplication. Bey

Aufgaben groͤßerer Zahlen hingegen kann die Vergroͤße⸗
rung durch die Additio gar nicht ſtatt finden, ſondern
muß allein durch den Weg der Multiplication bewerkſtel⸗⸗
ligt werden. Z. E. Man ſoll eine Zahl finden, die 236
mal ſo groß als eine gegebene Zahl 365 iſt.
Wollte man nun dieſe Rechnung durch die Addition
verrichten; ſo muͤßte nothwendig die gegebene Zahl 365 ſo
viel mal unter einander geſetzt werden, als die andere ge⸗
gebene Zahl Einheiten enthaͤlt, d. i. 236 mal. Nach die⸗
ſer muͤhſamen Arbeit koͤnnten ſo dann nach gerade, erſt
alle Einer, dann alle Zehner, und endlich alle Hun⸗

deerte zuſammen gezaͤhlet, und die verlangte Summe ge⸗
fuunden werden, welche alle Unitaͤten der gegebenen Zahl

365, und 236, naͤmlich die erſte 236 mal genommen,
enthielte. Welche Arbeit! Durch die Multiplication hin⸗
gegen iſt dieſe Aufgabe uͤberaus leicht aufzuloͤſen, ſo wie
an ſeinem Orte gezeigt werden ſoll. l
§F. 79. So wie eine Zahl auf zweyerley Art vergroͤſ⸗
ſert werden kann, (§. 76 und 77.) ſo kann ſie auch auf
zweyerley Art verkleinert werden.
Denn 1) kann eine Zahl verkleinert werden, wenn
man entweder von einer Anzahl Dinge, ein Ding
nach dem andern, nach gerade hinweg nimmt. Z. E.
Wenn von einem Haufen Aepfel ein Apfel nach dem andern

7

48 Die practiſche Rechenkunſt. .

hinweg genommen wird, wodurch die Anzahl Aepfel im⸗
mer kleiner wird; oder: wenn man von einer gegebenen
groͤßern Zahl auf einmal eine andere gegebene klei⸗

nere Zahl abziehet. Z. E. Es ſoll eine Zahl gefunden

werden, die um 2 kleiner iſt als 5, ſo wird die gefun⸗
dene Zahl 3 ſeyn. Dieſe Rechnungsart heißt: die Sub⸗
tractio. S

Anm. Da in vorſtehender Aufgabe die verlangte und gefun⸗

dene Zahl 3 wirklich eine ganz andere Zahl, als die
gegebene Zahl 50i‚ als welche um 2 kleiner gemacht,
und alſo in dieſer Hinſicht veraͤndert iſt; ſo iſt auch
hier gerechnet worden. (5. 74.)

§. 80. Es kann aber auch 2) eine Zahl durch die Thei⸗

lung verkleinert werden. Z. E. Zween Knaben ſollen

ſich in 4 Aepfel theilen, ſo wird jeder zu ſeinem Antheile
2 Aepfel erhalten; oder, welches einerley: Es wird ver⸗
langt, eine Zahl zu finden, die um die Haͤlfte kleiner
als eine gegebene Zahl 4 iſt; ſo wird ebenfalls die Zahl 2
erſcheinen. Dieſe Rechnungsart wird die Diviſio genannt.
Anm. Hier iſt die gegebene Zahl 4 in 2, welche nur die

Haͤlfte der gegebenen Zahl 4 bezeichnet, veraͤn⸗

dert, und alſo ebenfalls gerechnet worden. (§. 74.)

§F. 81.) Man koͤnnte auch hier denken, daß eine von
beyden Verkleinerungsarten ſchon genug waͤre, da man
auch durch die Subtrastion von der gegebenen Zahl 4,
eine andere gegebene Zahl 2 abnehmen, und ebenfalls die

verlangte Zahl 2 finden kann. Allein, wenn wir jetzt

ſchon im Stande waͤren, den Verſuch in groͤßern Zahlen
anzuſtellen, ſo waͤrde ſich zeigen, daß die Diviſion bey der
Zahlenverkleinerung eben ſo unentbehrlich, als bey
der Zahlenvergroͤßerung die Multiplieation. (§. 78.)
Des wegen an ſeinem Orte mehr hiervon.
§H. 82. Aus den Vorausgeſetzten wird man deutlich
ſehen, daß, um eine Zahl zu vergroͤßern, oder zu
verkleinern, wirklich 4 Rechnungsarten noͤthig ſind. Und
dieſe werden, wie bereits gedacht worden, insgemein ge—
nannt:

Die

geht

Wer

Hatm

fel itn⸗
ebenen
klei⸗

fanden

gefun

e Sub⸗

Rgefen⸗
ls die
iſ auch
Thei⸗
n ſollen
itheile
td ver⸗
ſeiner
nannt.
tur die
eraͤn⸗
ne von
da man
ohl 4,
als die
it jett

Zahlen.

beyl der
als beh

eutlich
der iu
d. Und
bein 90

—

Die practiſche Rechenkunſt 49

Die IV. Species.
. alls:
I. Die Additio, das Zuſammenthun. (§. 86.)

II. Die Multiplicatio, die Vermehrung. (§. 105.)

III. Die Subtractio, das Abziehen. (§. 132.)
IV. Die Diviſio, das Theilen. (§. 145.)
Anm. Mehrentheils wird mit der Addition angefangen,
ſo wie wir auch thun wollen, darauf aber laͤßt man
die Subtraetion, auf dieſe die Multiplication, zuletzt
aber die Diviſion folgen; welche Folge, auſſer der Di⸗
viſion, wir nicht beybehalten werden. ”M
Denn weil die Mul iplication der Addition, wegen
des gemeinſchaftlichen Zwecks, eine Zahl zu ver⸗
groͤßern, ſo nahe verwandt iſt; (5§.75. 77.) gleiche
Verwandſchaft ſich auch bey der Subtraction und Di⸗
viſion findet, indem beyde gleichfalls den gemeinſchaft⸗
lichen Zweck: eine Zahl zu verkleinern, haben;
ſo iſt es billig, daß dieſe 4 Species nach vorſtehender
Ordnung auf einander folgen.
§. 83. Da im gemeinen Leben nicht nur ganze und
gebrochene, ſondern auch unbenamte und benam⸗
te Zahlen (§. 6.7. 8. 9.) zu veraͤndern vorkommen; ſo
werden auch dieſe 4 Species zu dieſen verſchiedenen Arten
von Zahlen gebraucht, naͤmlich, ſo wohl zu unbenam⸗
ten ganzen oder gebrochenen Zahlen; als auch zu be⸗
namten ganzen oder gebrochenen Zahlen.
Dieſemnach werden wir die 4 Species nach vorſtehen⸗

der Ordnung abhandeln; B

1) in unbenamten ganzen Zahlen. (§. 86 — 174.)
2) in benamten ganzen Zahlen. (F. 175—215.)
§S.84. Bey Berechnung der unbenamten Zahlen
ſiehet man blos auf ihre Gradus, ob man mit Einern,
Zehnern, Hunderten, Tauſenden ꝛc. zu thun ha⸗
be, um eine groͤßere oder kleinere Zahl zu finden⸗
Anm. Es wollen zwar einige neuere Arithmetici gar nichts
von unbenamten Zahlen wiſſen, vorgebende: „ daß
dieſe in der Natur nicht augetroͤſea wuͤrden. / Aüiein

1 .

50 Die practiſche Rechenkunſt.

ob es gleich ſehr leicht waͤre, den Ungrund dieſer Mei⸗
nung darzußtellen, ſo will ich, ohne mich dabey auf⸗
zuhalten, doch nur blos meine Urſachen anfuͤhren,
warum ichs hier beym Alten gelaſſen, und ebenfalls,
wie viele meiner Vorgaͤnger gethan, mit den 4 unbe⸗
namten Rechnungsarten angefangen habe.

1) Weil ein Anfaͤnger in benamten Zahlen we⸗

nichts vom Dividiren gelernet hat; es muͤßten dann
die Aufzaben blos in Einheiten einer Sorte beſtehen.
3. E. Es muͤßten nichts als Thaler zu addiren oder
zu multipliciren vorkommen. Daferne aber die Auf⸗
gaben aus verſchiedenen Sorten, z. E. aus Tha⸗
ler, Groſchen und Pfennigen, oder aus Centner, Pfund
und Loth ꝛc beſtehen: ſo muͤſſen die ſummirten Pfen⸗
nige zu Groſchen, und dieſe zu Thaler; die ſummirten
Lothe zu Pfunde, und dieſe wieder zu Centner gemacht
werden, welches aber nicht anders, als vermittelſt der
Diviſion geſchehen kann.

2²) Weil von einem Anfaͤnger der Rechenkunſt
nichts mehr zu verlangen, als daß er vorlaͤufig eine
Fertigkeit erhalte, die Zahlen, ſo wie verlangt wird,
entweder zu vergroͤßern oder zu verkleinern;
ſo waͤre es ſehr uͤberfluͤßig, den Zahlen im Anfange
Namen zu geben, welche doch zum Rechnen eigentlich
nichts beytragen, wohl aber des Schreibens wegen
mehr Zeit wegnehmen. Denn es iſt doch leichter zu
ſagen und zu ſchreiben: addire 365 und 436, als: ad⸗
dire 365 Thaler und 436 Thaler. — Wenn hier blos
die Frage nach der Summe der gegebenen Zahlen iſt,
geben die unbenamten Zahlen nicht eben dieſelbe
Summe als die benamten? Wozu denn der Name?

3) Da ein angehender Rechner oft etwas von den
erſten vier Rechnungsarten vergeſſen kann, ehe er
die letzten geendigt, ſo halte, der algemein beliebten
Veräͤnderung wegen, dafuͤr, daß es mehr Anmuth als
Ueberdruß erwecken; ja von großem Nutzen ſeyn muß,

durch Berechnung der Benamten, als einer ſpie⸗
lenden Wiederholung, dem Gedäaͤchtniße deſto feſter

eingepraͤget wird.

—

§ 85.

der addiren noch multipliciren kann, daferne er noch

wenn das Vergeſſene der unbenamten Species,

kamt

konr

A

eſer Mei⸗
abey auf⸗
gnfähren,
ibenfals,
Auhbe⸗

ahlen we⸗
er noch
ten dantt
beſehen.
iren oder
die Auf⸗
als Lha⸗
,Hund
en Pfen⸗
mmirten
gemmacht
ttelſt der

ceykunſſft

ſg eine

t wird,

jnern;
lifange
Rentlich
veten
chter zu
gls: ad⸗
ſer ls
len it,
deſelbe
Name?

vonn dent
ehe er
liebten
uth als
n muß,
hteiei⸗
1 ſpie⸗
fſter

Die practiſche Rechenkunſt. Sr

8.85. Ehe ein Anfaͤnger der Arithmetik die unbe⸗
namte Additio anfaͤngt, wird er wohl thun, ſich erſt

bekannt zu machen folgenvdes *

Additionstaͤflein.
1 und oο iſt 1 4 und 4 iſt 8
1: I ,ꝛ:2 4 5 ; 9
1 ; 2 3 4 ⸗ 6 ⸗ 10
TI ; 3 „ 4 4 7 ⸗ II
1IK 4 1 514 8 4*% I2
1; 5 64 ⸗ 9 13
1 6 7 —
1½ 7 ⸗ 8 5 ⸗ 5 : 10
1I ⸗ 83 ; 9 5 ; 6 ⸗ I1I
1 9 „ 1015 7 12
. 5 ½ 8 „ 13
2 2 4 1
2 C 3 5 5 – 9 ⸗ 14
2 ½ 4 ‧½ 6 6 „ 6 ⸗: 12
2 7 5 2 716
2 6, ſ: 38 . 2
2 65 10 6 2 9 „ 1I15 *
2 ; 9 ‧ 11 7 7 : 14
3 3 67 ½ 8 1;?
3 1 4 77 9%⁹ 16
3 ; 5 8 —
3 6 „ 9 8 ⸗ 8 : 16
3 7 ⸗ 108 9 ⸗‧ 17
3 ½ 8 ⸗„ 11 —
3 ‧ 9 ⸗ 12 19 „ 9 „ 18

Anm. Sollte der Schuͤler, vor dem Anfange der Addition,
vorſtehendes Additionstaͤflein noch unſicher wiſſen,
ſo kann derſelbe ſich auf eine weiſſe Karte folgende
Tabelle machen, und ſie, in zwerifelhaften Faͤllen,
beym Rechnen ſo lange gebrauchen, bis er eine ſichere
Fertigkeit im Addiren zweyer Zahlen erhalten.

D252 Denn

52

Die practiſche Rechenkunſt.

Denn ich halte es fuͤr weit beſſer, ſogleich; zu wiſ⸗
ſen, daß 6 und 8 vierzehen iſt, als daß man, wie
manche Lehrer ſo gar in Vorſchlag bringen, entweder

zu der Zahl 6 die 8 in einzelnen Unitaͤten an den Fin⸗—
gern, oder auch nach hingeſchriebene Strichlein, nach
gerade zu zaͤhlen. Beydes giebt unſichere und lang⸗

ſame Rechner.
L e b
o r 2 [3 ſ45 [6 (7 8 9]
1 2 3 4 5 6 7 8 9⁹ 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1II
3 4 5 6 7 $ ⁹ 10 1II 12
4 5 6 7 8⁸ ⁹ 10 II 12 13
5„ 6 7 ⁸ 9 10 II 12 13 14
6 7 8 9⁹9 10 II I12 13 14 15
„ 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 ⁹ 10 II T r3 14 15 16 17
9 0 I IZ I3 14 I5 16 17 18

Will man wiſſen, wie viel 6 und 8 ſind, ſo kann
Man die 6 neben der Perpentieulairſeite bey a, und die

8 auf der Parallelſeite bey aufſuchen; wo beyde Li⸗

nien in den Winkel c zuſammen treffen, zeigt ſich die

Zahl 14. Oder man will wiſſen wie viel § und 6 ſind?

ſo wird von der Zahl 8 bey d, und der 6 bey e, der
Winkel f ebenfalls die Zabln 14 4 keigen ze.

Die

in wi⸗
nan, die
entweder
Ren Fin⸗
in, nach
8d lange

—

ſo kant
und die
ehde Li
ſch ie
de ſdt
9 e/ r

De

§

Die practiſche Rechenkunſt. §3
Die 4 Species in ganzen und unbe⸗
namten Zahlen.

I. Additio Simplex, das einfache
Zuſammenthun.
§. 86. Addiren heißt etliche gegebenen Groͤßen

von einerley Art zuſammen ſetzen, um dadnrch diejenige

Groͤße zu finden, welche den ſaͤmtlich gegebenen gleich
I. Erklaͤr. Unter gegebenen Groͤßen verſtehen
wir:
1) Groͤßen von Zzahlen, z. E. Einer, Zehner,
Hunderte, Tauſende, ꝛc. W
20) Von Gewichten, als: Centner, Pfunde,
3) Von Maaßen, als: Ellen, Scheffel, Kan⸗
nen, ꝛc.
4) Von Muͤnzen, als Reichsthaler, Schillin⸗
ge, Pfennige, ꝛc.
2. Erklaͤr. Groͤßen einerley Art will ſo viel
ſagen: daß man nicht gemeine Pfunde a 16 Un⸗
zen, und Apotheker⸗Pfunde a 12 Unzen; oder Du⸗
katen und Reichsthaler u. d. gl. zuſammen ſetze oder
in eine Summe bringe.
Anm. Die Additio wird im gemeinen Leben am meiſten ge⸗
braucht: denn durch ſie allein koͤnnen wir unſere Ein⸗
nahme und Ausgabe berechnen, um dadurch zu er⸗
fabren, ob unſer Vermoͤgen zu⸗ oder abgenommen
abe.
Welcher Menſch waͤre wohl der weder Einnahme
noch Ausgahbe haͤtte! Alle Menſchen brauchen die Ad⸗
dition. — Selbſt der Bettler macht, durch Zuſam⸗
menzaͤhlen ſeiner von milden Haͤnden empfangener Ga⸗
ben Ueberſchlag, wie groß ſein Vorrath ſey.

8S.87. Ehe ich aber zeige, wie das Addiren geſchiehet,
will ich 1) einige bey dem Addiren gebraͤuchliche Kunſt⸗

woͤrter und Zeichen; 2) einige hieher gehoͤrige Re⸗
geln dem fleißliebenden Schuͤler deſten empfehlen, wa⸗
3 oh /

54 Die praetiſche Rechenkunſt.

ohne dieſelben zu wiſſen, nur ein Haus ohne Grund
bauen hieße, welches im Kurzen den Einſturz zu erwarten
haͤtte. Denn eben daher vergeſſen die meiſten Rechner
faſt ihre ganze erlernte Rechenkunſt, oder wiſſen ſich bey
vorkommenden, oft ſehr leichten Aufgaben, gar nicht zu
heifen, weil ſie in ihren Lehrſtunden entweder gar we⸗
nig von Regeln gehoͤrt, oder doch dieſelbe ſehr ſchlecht
und zum Vergeſſen gefaßt haben. .

§.88. 14 1) Kunſtwoͤrter und Zeichen
der Addition. D

Numeri addendi oder ſummandi, Poſten, ſind die
ſaͤmtlichen Zahlen welche zuſammengethan werden

ſollen; z. E. die Zahlen 3 und 8 und 9 welche zuſam⸗
mengezaͤhlet werden ſollen, ſind Numeri addendxi.

Summa oder Aggregatum iſt die Zahl welche durchs
Adiren gefunden worden, und allemal ſo groß iſt,
als die gegebenen Numeri addendi; 3. E. obige Nu-
meri addendi: 3 und 8 und 9 geben die Summa
doder das Aggregatum 20, als welche Zahl eben ſo
viel Einheiten als die gegebenen Zahlen 3 und 8 und
9 enthaͤrt.
Solutio. Aufloͤſung. Wird gewoͤhnlich uͤber die Be⸗
rechnung der arithmetiſchen Aufgaben geſetzt.
Numerus fſignificans, eine Zahl die wirklich etwas

bedeutet, und welche der Nulle entgegen geſetzt; als:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
§. 89. Man braucht bey der Addition das Zeichen P,
welches plus (mehr) heißt, und ſetzt es gemeiniglich zwi⸗
ſchen die Numeri addendi, von welchen die Summa ver⸗
langt wird.
Zuſatz: Dieß Zeichen kann auch fuͤr und genommen
werden, als welches Woͤrtchen bey den Zuſammenzaͤh⸗

len wirklich gebraucht wird. Z. E. wenn es heißt:

addire 34 P+– 56, ſo kann man eben ſowohl ſagen:

34 und 56, al: 34 plus 56, oder 56 mehr als 34.

giel

etg
dor

692

ha be⸗

aß die

Grund
warten

Nechner

ſch dey
nicht zu
gor we⸗

ſclehet

ſnb die
werden
e zuſamm
lendi.
durchs
8 iſt,
bigeNo⸗
Summa
cben ſo
de ud

de Be

H ttbes
1, als:

chen 1,
ich zwe⸗

nenzih

1 heißti

1 ſage.. .

als 5 4½.

g.

Die practiſche Rechenkunſt. 55

§. 90. Es giebt noch ein allgemeines Zeichen, welches
hey allen Vergleichungen und Rechnungsarten gebraucht

wird. Dieſes iſt = und heißt gleich.

Wenn ich z. E. ſagen wollte, daß 5 und 3 die Zahl 8.
gaͤbe, ſo wuͤrde das alſo geſchrieben werden: 5 + 3 = 8,
d. i. 5 und 3 iſt gleich 8.
Anm. Dieſe Zeichen ſind von großen Nutzen. Denn 1) er⸗
ſpart man bey ſlehe kurzen Schreibart Zeit und Pa⸗
pier; 2) laſſen ſich auch, wenn dieſe bekannt ſind, ma⸗
thematiſche Schriften, welche alle, des kurzen Aus⸗
Drucks wegen, mit dieſen Zeichen geſchrieben ſind, leſen
und verſtehen. Die uͤbrigen Zeichen werde gehoͤrisen
Orts auch bekannt machen.

S9r. 2.Regeln der Addition.
Reg. 1. Eine gerade Zahl, (Numerus par) zu
einer geraden Zahl addirt, giebt zur Summe eine
gerade Zahl; z. E. .
2 + 4 = 6. (§. 10.)
Reg. 2. Eine gerade Zahl zu einer ungeraden
Zahl giebt eine ungerade Zah!; z. E.
2 3 = 5§. (H. 11.)
Ne⸗ 3. Eine ungerade Zahl zu einer ungeraden H
Zahl giebt eine gerade Jahl; z. E.
3 † 5 =— 8.
nReg. 4. Wenn 2² Zahlen mit einander addirt werden,
giebt die Haͤlfte ihrer Summa den Numerum me-
dium arithmetiee proportionalem (die mittlere
Prroportionalzahl) zwiſchen ihnen beyden; z. E.
Z 3 + 9 = 12²; halb 12 = 6.
ergo iſt 6 der Numerus medius arithmetici pro-
portionalis zwiſchen 3 und 9.

Das Addiren Eſchiehet alſo:
§. 92. Man ſetzet 1) die Zahlen, welche zuſammenge⸗

han werden ſollen, und die deshalben addendi oder

jummandi genennet werden, dergeſtalt untereinander,
zaß die Einer juſt unter die Einer; die Zehner unter
D 4 die

4

86 Die practiſche Rechenkunſt.

die Zehner; die Hunderte unter die Hunderte; die

Tauſende unter die Tauſende u. ſ. f. zu ſtehen kom⸗
men, damit jeder Gradus zu ſeinem eigentlichen Gradu
gezaͤhlet werden koͤnne.

2) Ziehet man, um Verwirrung zu vermeiden, eine

Linie unter ſaͤmtliche addendi.

3) Faͤngt man beym erſten Gradu von unten auf,

oder, welches einerley, von oben herunter an, alle
in dieſem Gradu vorhandenen Einer zuſam⸗
men zu zaͤhlen, und ſodann die Summe derſelben
unter die gemachte Linie, juſt unter die Einer, als
ihre gehoͤrige Stelle zu ſchreiben.

Nun geht man weiter und zaͤhlet, auf dieſelbe Art,

alle vorhandenen Zehn er der addendorum im 2ten

Gradu zuſammen, und ſetzet auch deren zdumma, wie
vorher geſchehen, unter die Linie an ihre gehoͤrige 2te

Eben ſo macht man es mit den Unitaͤten der Zten, 4ten,

Fiten Stelle u. ſ. f. bis alle vorhandenen addendi zuſam⸗
men gezaͤhlet und alſo in eine Summa gebracht vorden.

(§. 84.)
Anm Daß man die Addition von der Rechten nach de
Linkey verrichtet, hat ſeinen Grund in der Numerato
ſelbſt. Denn weil ſich keine Zahl gedenken laͤßt, we⸗

che nicht ihren Urſprung von der erſten Unitaͤt hat,

(§. 14.) auch ein einziger Einer zu 9 Enerr,

welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, ſchon eine Ugittt

zur folgenden Zahlſtelle giebt; (§. 28.) ſo iſt es ſ
billig als noͤthig, daß die Operation des Addirens ven
der Rechten nach der Linken geſchehe. Ein Paac
Exempel werden die Sache noch klaͤrer machen.
§. 93, 1) Es werden gegeben die addendi: 3456
und 4532. Man ſoll eine Zahl finden, die weder groͤßen
noch kleiner, ſondern juſt ſo groß als beyde gegebener
Zahlen ſind.
Man ſetze zuerſt, wie §. 92. gelehrt worden, die gege
benen Zahlen auf alſo: H
. 3 4 5 6
4 5 3 22

—

Nun

ind,

ſehen

. Nn
ſnd 8,
ihre ge

die N

komme

alſo:

gefund
lig g
talſe

— — —

erte die
hen kome
n Gradu

den, eine
ten auf,

an, alle
zuſam

derſelben †

ner, als

ebe⸗ At,
n im 2ter
mma, wie
drige 1te

ten, ten,

uſam

cordet.

ncch de .

Lumerar
ßt, m
iitt hat⸗
Een
e Uvit
es 5
ſtens be⸗
in Pae

.
: 1
er große
gebenet

ſie gese

Nun

ihre gehoͤrige Stelle alſo:

die practiſche Rechenkunſt. 57

Nun addire zuerſt die Einer, und ſage: 2 2 und 6
ſind 8, und dieſe 3 Einer ſetze juſt unter die Einer an

34 56
4 5 3 2

8

Ferner ſage: 3 und 5 ſi ſind, und da dieſes 8 Zehner
ſind, ſo ſetze ſie auch an ihre gehoͤrige 2te Stelle unter
die Zehner alſo:
3 456
4 5 3 2
. 8 8£
Veiter ſage: 5 und 4 ſind 9, dieſe als 9Hunderte

kommen in die zte Stelle, gerade unter die Hunderte

alſo:
3 4 5 6
4 5 3 2

9 8⁸ 8
Endlich ſage: 4 + 3 = 7, dieſe als 7 Tauſende

17

ſetze an ihre Stelle, ſo hat man, wie verlanget, eine Zahl

gefunden, die den gegebenen Zahlen 3456 + 4532 voͤl⸗
lig gleich iſt, und das Exempel ſtehet nun ganz vollen⸗
det alſo:
3 4 6
4 5 3 2

—

Summa 7 9 ⁸ 8

Beweis: Es ſind in dieſer gefundenen Summe durch
die Additio, alle Einer, alle Zehner, alle Hun⸗
derte, und alle Tauſende, welche die Numeri ad-
dendi enthalten, nachgerade gebracht worden; mit⸗
hin iſt dieſe Summe voͤllig gleich der gegebenen
Addendorum: folglich muß ſie auch, die verlangte

Fhl, richtig ſeyn.
D 5» §. 94.

58 Die practiſche Rechenkunſt.
§. 94. Nun wollen wir auch eine Aufgabe auflöſen,

in welcher die Anzahl jeder Axt von Einern in der Summa

die Zahl 9 uͤberſteigt, um zu zeigen, wie daher, der Nu-

meratio gleich, die Zahlen aus einem Gradu in den an:

dern Gradum uͤbergehen muͤſſen; z. E.

2) Es werden gegeben die Zahlen: 345 678 TP409.

Man n ſoll die Summa derſelben finden.

Solutio
3 4 F
578
4 9⁹

—
2 2 a
X I . . b
. I 3.. . . C

Summa 1 4 3 2

Alle Einer, naͤmlich 9 +£+ 8 †£+ 5 = 22 Einer, oder

2 Zehner und 2 Einer, ſind hier bey a an ihre gehoöͤrigen
Stellen geſetzt worden; ferner alle Zehner (die nichts
zaͤhlende uͤbergangen) 7 + 4 = II Zehner, oder 1
Hundert und 1 Zehner, ſind ebenfalls an ihre gehoͤrigen
Stellen bey b geſetzt. Endlich alle Hunderte der zten
Stelle, naͤmlich 4 + 6 + 3 = 13 Hunderte, ſehen 9 an
ihren gehoͤrigen Stellen bey c.

Eine kurze Ueberſi cht des Geſchehenen, w wird den
Uebergang der Zahlen, aus einer Zahlſtelle in die andere,

deutlich zeigen. Denn da die Summa aller Einer der
erſten Zahlſtelle uͤber 9, naͤmlich 22, d. i. 2 Zehner und
2 Einer betrug, ſo konnten auch nur 2 Einer in die erſte
Stelle kommen, die 2 Zehner aber mußten in die 2te
Stelle an ihren Platz geſetzt werden, wie bey a zu ſehen.
Ferner fanden ſich, bey Zuſammenzaͤhlung der Zehner, in
der 2ten Stelle abermal mehr als 9 Zehner; es waren
11 Zehner, d. i. I Hundert und 1 Zehner, und ſo iſt das

von dieſen ſummirten Zehnern entſtandene Hundert idie

3te Stelle aͤbergegangen, wie bey b ſichtbar. Seoleh
“ e⸗

Eetrug

JHunde
Tauſe
u ſehen

en abe⸗
her geſ

Zahl1
Ber

auflͤſen,
Summa
der Nu-
den an⸗

P40,.

t, tNe
hutigen
lichts
oder 1
herigen
er zten
Hen an

1d hen
ndere,
er der
er und
e erſte
ie 2te
ſchen.
t, in .
waren
ſ d
die
ſdlich
Ne⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 9

betrug die Summa der Hunderte 13, d. i. I Tauſend und
3 Hunderte, und ſo iſt das aus der 3ten Stelle entſtandene
Tauſend in die 4te Stelle uͤbergegangen, ſo wie in c
zu ſehen. Ziehen wir nun unter dieſe alſo gefundene Zah⸗

len abermal eine Linie, und bringen dieſelbige, wie vor⸗

her geſchehen, in eine umma, ſo entſteht die verlangte
Zahl 1432.

ZBew. Es ſind hier alle gegebenen Einer bey a,

alle gegebenen Zehner bey b. auch alle gegebenen
Hunderte bey c in ihre Summen gebracht: da
nun dieſe Summen a + b c, welche wirklich
alle Einer, Zehner und Hunderte der gegebenen ad-
dendorum enthalten, in eine Summe gebracht
worden, ſo muß auch dieſe Summe gleich ſeyn der
ſſaͤmtlichen addendorum; folglich muß es mit
dieſer Rechnung ſeine voͤllige Richtigkeit haben.
§. 95. Weil dieſe vorſtehende Art zu addiren blos her⸗
geſetzt worden, um angehenden Rechnern zu zeigen, wie
bey dem Addiren ſtets Zahlen aus einer Zahlſtelle

in die andere uͤbergehen — ſo will ich nun auch die

genoͤhnliche kuͤrzeſte Art, bey welcher keine doppelte Zu⸗
ſammenzaͤhlung noͤthig iſt, zeigen. .
Man jzaͤhlet erſt, wie vorher, alle vorhandenen Einer
uſammen, ſchreibt aber nicht die ganze Summe derſel⸗
en, wie vorher geſchehen, nieder, ſondern nur blos die

n ſolcher Summe enthaltenen Einer an ihre Stelle;

die aus den Einern entſtandenen Zehner aber behaͤlt man ſo
lange im Sinne, bis die Einer an ihre Stelle geſetzt
worden: ſodann zaͤhlet man die im Sinne behaltenen

Sehener ſogleich zu den Zehenern der Addendorum,

deren voͤllige Summe ebenfalls nicht niedergeſchrieben
dird, ſondern nur allein die in derſelben befindlichen Ze⸗
ener; die Hunderte aber werden wieder im Sinn

eerxhalen, und, nach niedergeſchriebenen Zehenern, zu

en Hinderten der Addendorum gezaͤhlet ꝛc.

WVr wollen zu mehrerer Erhellung die vorige Aufgabe
gebrauten.
So-

60 Die practiſche Rechenkunſt.
Solutio
3 4 5
6 7 8
4 9

4 3 2
c b a

1
d
Fange, wie vorher, bey den Einern an, und ſage:
9 und 8 ſind 17, und 5 ſind 22. Nun ſetze die in dieſer
Summe enthaltenen 2 Einer an ihre Stelle bey a, und
behalte, ſo lange bis dieſes geſchehen, die 2 Zehner im
Sinne. Sage ferner: 2 im Sinn und o = 2, und 7
ſind 9, und 4 ſind 13. Schreib, nachdem die I, als I
Hundert, im Sinn genommen, die 3, als Zehener, an
ihre Stelle bey b. Endlich ſage: 1 im Sinne und 4

ſind 5, und 6 ſind 11, und 3 ſind 14. Da nun dieſes

14 Hunderte ſind, auch nichts weiter zuſammen zu zaͤhlen
iſt, ſo werden dieſe 14 ganz an ihre Stellen bey c und d
niedergeſchrieben, als womit die Rechnung geendigt,
auch, zum Beweiſe der Richtigkeit, eben dieſelbe Zahl
1432 erſchienen iſt, welche wir in vorhergehender So⸗
lutio gefunden. .
§. 96. Mehr der Curioſitaͤt als des Nutzens weger,
will ich blos nur anfuͤhren, keinesweges aber Gebrauc
davon zu machen, anrathen, daß man auch von der Lin
ken zur Rechten addiren, und ſo die wahre Summa fin
den koͤnne, ſo wie ſchon Desaiguiller im Tractate de
Scientia numerorum gewieſen.
Wir wollen hiezu die vorige Aufgabe gebrauchen:
=ð olutio
4 5

„△ △0 O

Ail
lche 13
Ferner ſ
gehorige

auch al

Stellen

ec in

verlangt
We⸗
weitlatn
Na
ſo:

Ale
Rt dien

o
noͤthig
a0dena
geben n
an kan
enander
ezeigt
alle 3
ien in
llten
durchſ
niine
r
diehen

ind ſage:

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4, und

hner in—

, und/
1, als 1
ener, an
und 4
n dieſes
hlen
e und d
kendigt,
be gahl
der So⸗

weet,
Bebraub
der Lit
ma fin
nne de.

en:

dienen.

Die practiſche Rechenkunſt. 61

Alle Hunderte zuſammen gezaͤhlet, gaben hier 13,
wlche 1300 ſogleich bey a voͤllig niedergeſchrieben worden;
Ferner ſind auch alle Zehner, deren hier 11 ſind, an ihre
gehoͤrige Stellen bey b niedergeſchrieben; Eben ſo ſind
auch alle Einer, deren 22 gefunden worden, an ihre
Stellen bey c geſetzt. Endlich ſind die Hummen a — b
c in eine Summa gebracht; mithin geſchehen, was

verlangt worden.

Wer ſiehet aber nicht, daß dieſe Art zu addiren viel
weitlaͤuftiger als die vorige iſt?
Man koͤnnte dieſe letzte Art zwar noch etwas abkuͤrzen
alſo: . Solutio

3 4 5
7 S
0 9

2

+△ R

I

—

I
2

Summa 1 4 3 2
Allein dem unerachtet bleibt doch die §. 95 angewieſene

Art die kuͤrzeſte, mithin die beſte.

§. 97. In der wirklichen Praxi hat man nicht immer

noͤthig, wie gelehret worden, erſt alle gegebene Numeri

addendi unter einander zu ſetzen, zumalen wenn die Auf⸗
gaben nicht groͤßer, als die vorhergehenden ſind; ſondern
man kann die ſummandi auch ſchon ſo, wie ſie neben
einander da ſtehen, berechnen, wenn man, wie vorher

gezeigt worden, erſt alle Einer zuſammen zaͤhlt; dann

alle Zehner, endlich alle Hunderte ꝛc., jedoch mit
dem Unterſchiede, daß man allemal die zuſammenge⸗
zaͤhlten Einer jeder Art, um Verwirrung zu vermeiden,
durchſtreicht, den Betrag derſelben aber nach und nach
an eine beliebige Stelle ſetzet. .
Zur Probe mag nochmals ſchon bekannte Aufgabe

Addire 3 45 + 6578 †+ 4 %%.
Summa I1432 a. H
Man

62 Die practiſche Nechenkunſt.

Man zaͤhle alle Einer zuſammen, als: 9 +8 = 17
P 5 = 22. Nachdem dieſe zuſammengezaͤhlten Zahlen
durchſtrichen, ſo werden die 2 Einer an einen beliebigen
Ort bey a geſetzt. Ferner ſage: o +7 7 +4 = 11
und die 2 im Sinne = 13; nachdem die zuſammengezaͤhl⸗

ten Zehner abermal durchſtrichen, ſetzt man die 3, als ſo

viel Zehner, an ihre gehoͤrige Stelle, und behaͤlt, wie vor⸗

her, die 1 im Sinne. Nun ſage endlich: 1 im Sinne.

4 5 +– 6 = 1I P+ 3 = 14:; dieſe vor die ſchon

daſehenden Zahlen geſetzt, ſo erſcheint, zum Beweiſe,
daß richtig gerechnet worden, die vorhergehende Summa

1432.
§. 98. Da wir nun, nach dem was bisher von der
Additio gelehret worden, ſchon im Stande ſind, mehr
dergleichen Aufgaben, deren Numeri addendi aus glei⸗
cher Anzahl Ziffern beſtehen, aufzuloͤſen, ſo wollen wir
gleich zur Aufloͤſung nachfolgender Aufgaben ſchreiten,
wenn wir vorher noch ein fuͤr allemal bemerkt haben:
1) Daß alle Nullen bey der Addition, ais nichts zaͤh⸗
lend, voͤllig im Summiren uͤbergangen werden,

2) Daß, wenn alle vorhandenen Einer juſt eine volle

Anzahl Unitaͤten zum folgenden Gradu enthaͤlt, ſo,
daß kein Numerus ſignificans uͤbrig bleibt, man
den Mangel ſolcher Einer, wie §. 28. gelehret wor⸗

den, in der Summa mit einer Null bezeichne; z. E.

3) Addire 3478 + 4612.
Solutio

3 4 7 BG
4 6 1I 2

Summa 809 0 .
In dieſer Aufgabe ſind 2 P+ 8 Einer, juſt 10 Einer,
alſo 1 Zehner und kein Einer. Nun wird der Mangel der⸗
Einer in der Summe mit einer o bemerkt. Die im Sinn

genommene 1 + 1I = 2 + 7 = 9, als die 2te Ziffer

der Summe. Ferner 6 + 4 = 10 Hunderte, alſo.

wieder fuͤr die Stelle der Hunderte nichts, derohalben
die⸗

hieſer D
merkt t⸗
ſend zu
gene 8

K00.

die

Und gie
Vater
Ahüen
Wen

nichte

BeD

n Zahen
Ulliebigen
4 I1
bengezih⸗
13, als ſo
„wie vor⸗

n Einne.

die ſchon
Beweiſe,
Gumma

von der
d, mehr
aus glei⸗
len wir
ſchreiten,
en:
ts zah⸗
den,
evolle
ſilt, ſ⸗,
bt, mas
ket wor⸗
ſe; E

Einer,
ngel der
Sinn
hiffer
te, alſo
olben
diet

Die practiſche Rechenkunſt. 63

dieſer Mangel, wie vorher, in der 3ten Stelle mlt O be⸗
merkt wird. Endlich das im Sinn genommene 1 Tau⸗

ſend zu 4— 5 + 3 = 8, neben das vorige, ſo iſt d die

ganze dumma = = 8090.

§. 99. I. Aufgaben deren Numeri addendi aus
gleich vielen Ziffern beſtehen.
44) Man ſoll eine Zahl finden die ſo groß als 3456 £
5604 T+ 3250 + 8732.

55 Was iſt die Summa von 46384 + 32965 +
78203 +† 54628?

6) Was geben 38426 P+ 56803 T+ 42675 T. 98040

fuͤr eine umma?

7) Addire 759384 36 402 P. 483917 †. 529436.
Wieie groß iſt die Jumma?

38) Addire 459879 5689z6 Ti4512 23 T. 579545.

Was fuͤr eine Summa?

9) Man ſinde eine Zahl ſo groß als: 106arz68
31234 + 45 123 + 798561!

F. 100. 2. Aufgaben deten Numeri addendi nicht

aus gleich großen Zahlreihen
beſtehen.

Hierbey iſt nichts weiter zu bemerken, als daß; man
die Numeri addendi nach §. 92. in gehoͤriger Ordnung,
und gleichſam ruͤckwaͤrts, der natuͤrlichen Folge nach,
unter einander ſetze. Denn nichts erſchweret das
Addiren mehr, und giebt mehr Anlaß zu Irrungen, als
wenn man, zumalen bey großen Aufgaben, die Ziffern
nicht i in gerader Richtung unter einander ſetzet.

10)

64 Die practiſche Rechenkunſt.

10) Thue nſammen: 19876 † 87634 † 76033 P
9782 †+ 1234562

2

.
—
—
2.

bNe
+☚ O△O
+ O△ ◻οπ
OνN π △☚ △ $ι

&c.

11) s ,s8 .arz6 z6/8 , 13004 T 213. .ę

Wie viel betraͤgts in Summa?

12) Wie groß iſt die Summe von 2145T508 †61724 5
P 4973 + 102
13) Was fuͤr eine Summe geben 578932 P6009 12768

P 54763 + 45902 P+ 3476 † 980+72 +122

14) Aodire 5 . 67 † 890 T. 3214 PT 78473 T 102372
. 5632127 †54032190 + 2302156042
15) Was betraͤgt die Summa von 567890747 +
21032109 †+ 88762 † 532423 † 54073 †+
2103 + 987 †+ 46 † 82

16) Addire 1230579 + 42652 P 40532 T 9832 P†+

456 . 24 + 9 T. z6 307 P 9300 T+ 842 13 †.
764321 P+ 98760212
17) Addire 543205043256 P 582 32 0053 P 12 30023
2300112 + 945000 + 234562

§. 101. Man kann ſich die Beſchwerde bey Summi⸗ .

zung vieler Addendorum auch dadurch ungemein erleich⸗
tern, wenn man dieſelben, nach Belieben, etlichemal
durchſchneidet, und alſo gleichſam Stuͤckweiſe berechnet.

Folgende Aufgabe wird die Sache aufklaͤren.

18) Addire 485 T688 P+ 784 P 212 T 342 † 52 1 PB220

PA4 12 P+ 345 P+ 878 T+9 12 † 321 +1 ο επ°G¹‧13 .*
45 †a3 T42 1 T 321 T413 † 5 7 † 309.

S.

rr. —
— –°

2

X

10

+— d5
—, —

—

—
—

—

41

53†

Die prartiſche Rechenkunſt. 65

Solutio
4 8 5 Man addire, wie ſchon bekannt,
6 88 den erſten Abſchnitt, und ſetze
7 84 deſſen Summa unter den verlaͤn⸗
2 I 2 gerten Strich bey a
342 —
5 2 I 2 5 I I
2 2 0 . . . . ben ſo den 2ten Abſchnitt, deſſen
4 I 2 . . . . Summa bey b.
9 I 2 . . . .
3 2 1 3 2 8 8 b
10°$△ . . . Imgleichen den 3ten Abſchnitt,
2 1 3 . . . . und deſſen Summa bey c.
4 5 0° . . .
2 I1I 3 „ % „ *%
4 2 1 I 297c.
3 2 I . . . . Dann den Aten Abſchnitt, und
4 I 3 . . . . deſſen Summa bey d.
3 5 5 . . . . Endlich alle Summen der Ab⸗
. ſchuitte a + b + c ◻ d in eine
2 47 1IG Haupt, Summe gebracht.

Summa 9 5 6 7

§. 102. Bieweilen ſteigen, bey großen Aufgaben der
Addition, die ſaͤmtlichen Unitaten einer Art auf oder noch

dͤber [00. In dieſen Falle ſetzet man nur die erſte Ziffer

der kleinſten Unitaͤten in die Summe, und behaͤlt die
äbrigen zwo Ziffern im Sinne, um ſie auf einmal zu
den folgenden zu ſummiren. 3. E. Es haͤtten alle Einer
der erſten Stelle 236 betragen, ſo ſetzt man die 6
Einer unter die Einer der erſten Stelle, und
behaͤlt 23, als ſo viel Zehener, im Sinne, um ſie
ſogleich zu den ſolgenden Zehenern zu ſummiren.
E Und

66 Die practiſche Rechenkunſt. W

Und ſo verfaͤhrt man mit allen folgenden Zahlſtellen, de⸗
ren Summen hund ert oder mehr gegeben haben.

19) Addire 88776655 T+ 9087060 50432 P. 815762

P 9705 + 887 + 991024 + 67891 + 9083 †+£
345678 +£ 4567890 + 1047220672
20) 859424 + 999999 +ο987699 †+◻ρ589769 860998
432989 ·+ε987679 P+7 89489 + 887658 + 5 41 99
P 888888 + 919099 + 854859 + 245798
999999. .
Anm. Weil mir aus der Erfahrung bekannt iſt, daß die
Anfaͤnger, einer jeden Kunſt, groͤßten Theils mit bren⸗
nender Begierde bald weiter zu kommen ſtreben, und
man daher leicht Gefahr laufen kann, den Trieb nach
fernern Fortkommen zu ſchwaͤchen, daferne man ſich
bey ſchon gefaßten Lehren zu lange verweilet; ſo habe
mit Fleiß der Addition ſo enge Schranken geſetzt, zu⸗
malen bey der Multiplication noch Gelegenheit genug
vorkommt, um die Addition ferner in Uebung zu brin⸗
gen. Sollte aber einem Fleißliebenden dieſe Anzahl
von Aufgaben dennoch zu klein deuchten, ſo koͤnnen
dieſelben noch einmal durchgegangen werden, und das
mit mehrern Vortheile, als wenn noch eine Anzahl

fremder Aufgaben aufzuloͤſen gegeben worden, welche

doch nichts, als was bereits vorgekommen, enthalten
koͤnnten.

Von der Proba der Additio.

§. 103. Nach der Berechnung einer arithmetiſchen

Aufgabe entſtehet oft der Zweifel: ob man auch richtig ge⸗
rechnet habe? Dieſerwegen iſt noͤthig arithmetiſche Unter⸗
ſuchungen anzuſtellen, um zu einer voͤlligen Gewißheit zu
gelangen. Eine ſolche Unterſuchung aber wird gemeinig⸗
lich die Proba genennet. Ob nun wohl die Prosben der
Addition ſaͤmtlich den Fehler haben, daß ſie entweder zu

weits

veitl
allein

So

chen n

anden
bon de
Tus ad

Ann

len, der
n.

915762.
Nadz

98609098
5 499
58

„Iaß die

mit bren⸗
Ken, vrd
nieb nach
nran ſch
ſe de
ſſett,/ u⸗

eit genug

gin brin⸗
Wuhl
6e nnen
4 und das
te Auhl
/ velche
elthaltn

nefſten

rſttig 9e
ge Unten⸗
beit iu
wuain
6 ed u
ilte

Die Prartiſche Rechenkunſt. 67

weitlaͤuftig, oder auch nicht ſicher genug, und dahe

allein der Rath gegeben werden koͤnnte:
Man rechne richtig!

So will ich doch der Proben drey hier herſetzen, von wel⸗
chen man ſich die deſte waͤhlen kann.

I. Proba.

Man ziehe einen Numerum addendum nach dem
andern von unten herauf, bis auf den letzten nach,

von der Summa ab, ſo wird der nicht abgezogene Nume-

rus addendus, zur Probe der Richtigkeit, uͤbrig bleiben.

Anm. Allein da dieſe Probe fuͤr Aufaͤnger, welche noch
nicht ſubtrahiren koͤnnen, unbrauchbar, fuͤr die aber,
welche ſo geſchickt ſind, viel zu weitlaͤuftig, zu⸗
malen bey großen Exempeln, ſo iſt ſie auch nicht zu
empfehlen.

2. Proba,

Man mache neben der Solutio ein Andreaskreutz; ſo⸗
dann ziehe man von den Numeris addendis ſo oft dis

Zahl 9 ab, als ſichs thun laͤßt, was aber als unter 9

uͤbrig bleibt „ſetzet man in den obern Winkel des Kreuzes;
bleibt nichts uͤbrig, ſo wird eine o dahin geſetzt. Eben ſo
verfaͤhrt man hernach auch mit der Summe, und ſetzet
den Ueberreſt, d. i. die Zahl, welche unter 9 uͤbrig bleibt,

in den untern Winkel.

Solutio Solutio

11½ S .

7 7

1 197 7 72 2 JT 9 7 7 Z
Man pflegt, um Irrung zu vermeiden, die bey Neunen

gezaͤhlten Zahlen, wie hier ſichtbar, zu durchſtreichen,

E 2 Anm.

68 32 Die practiſche Rechenkunſt.
. Anm. Auch dieſe Probe hat den großen Fehler, daß man

deren Zuverlaͤßigkeit nicht trauen kann, weil oft im
Kreuze gleiche Zahlen ſich finden koͤnnen, obgleich
die Summa falſch iſt. 2è
Es könnten z. E. die Ziffern unſerer vorſtehenden
Summa 19772 zwar alle da ſtehen, aber nur nicht an
denſelben Zahlſtellen, ſie koͤnnten ſo ſtehen: 19727, ſo
wuͤrde ebenfalls die Zahl 8 uͤbrig bleiben, und dennoch

dieſe Summa falſch ſeyn, weil in derſelben ſtatt 7 Zeh⸗

ner nur 2 Zehner; und ſtatt 2 Einer? Einer befindlich
waͤren. Dieſem nach iſt auch dieſe Probe nicht zu

empfehlen.

3. Proba.
Man ſummire einmal von unten hinauf, das andere⸗
mal von oben herab; giebt dieſes gleiche Summen, ſo iſt
an der Richtigkeit nicht zu zweifeln.
oder
Man addire zum 2ten Male auf die Art wie §. 94. ge⸗

zeiget worden.

§. 104. Bevor wir, nach gruͤndlich erlernter Addi⸗
tion, zur Multiplication uͤbergehen, muß ich erſt, und
zwar aufs nach druͤcklichſte empfehlen: Das auf die
ganze Rechenkunſt den groͤßten Einfluß habende
Ein mal Eins. Dieſes muß mit beſtem Fleiſſe erlernet
werden, weil ſonſt, ohne daſſelbe gruͤndlich zu wiſſen,
wo nicht unmoͤglich, doch uͤberaus ſchlecht fortzukom⸗
men iſt. Ja den Schuͤler, weicher dieſe kleine Arbeit
ſcheuet, kann ich auf Treue und Glauben verſichern, daß

er im ganzen Leben ein ſchlechter Rechner bleiben, mithin

Gis ein Rechenmeiſter werden wird.

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70 Die practiſche Rechenkunſt.

II. Multiplicatio in unbenamten ganzen

§. 105. Multipliciren oder vermehren, heißt: die

eine von zwo gegebenen Zahlen ſo vielmal nehmen, als
die andere gegebene Zahl Einheiten enthaͤlt. (§. 77.)

Z. E. Man ſoll eine Zahl finden, die 3 mal ſo groß als

6 iſt: d. i. man ſoll 3 mal ſo viel Einheßten, als die 6 ent⸗
haͤlt, finden, welches 18 find. Daß aber die gefandene

Zahl 18 die richtige verlangte Zahl iſt, ergiebt ſich auch
durch die Addition: denn ſetzt man die gegebene Zaht 6
dreymal unter einander, und addirt alle die in dieſen

Zahlen vorhandene Einheiten, ſo wird ebenfalls die
Zahl 18 zur Summe kommen.

§. 106. Es erſtreckt ſich aber der Gebrauch der Multi⸗

plikation im gemeinen Leben uͤberaus weit. Man braucht

ſie beſonders, wenn die Aufgaben durch die Addition zu
weitlaͤuftig aufzuloͤſen waͤren; (§F. 78.) uͤberhaupt aber
da, wo nur zwo Zahlen in der Aufgabe vorkommen.
Z. E. Man ſoll groͤßere Unitaͤten in gleich große klei⸗
nere Unitaͤten verwandeln: Man ſoll 36 Rl zu
Schillingen machen. Hier muß ich die Zahl 36 mit
der Zahl 48 multipliciren, weil jeder einzelne Thaler
48 fß; enthaͤlt, und ſo wird 48 mal 36, oder welches

einerley, 36 mal 48 die Anzahi kleinere Unitaͤten,

von gleicher Groͤße, die hier Schillinge heiſſen,
geben, als die ſaͤmtlichen 36 groͤßere Unitaͤten,
welche Thaler heißen, derſelben enthalten. Oder:

Man ſoll eine gegebene Anzahl Dinge ſo viel mal

nehmen, als durch eine andere gegebene Zahl verlangt
worden: Z. E. Man ſoll die Anzahl Baͤume beſtim⸗
men, welche zu 24 Alleen noͤthig, wenn jede derſel⸗
ben 236 Baͤume enthalten ſoll. D. i. Man ſoll eine
Zahl finden, die 24 m al 236 enthaͤlt.
Anm. Es ließen ſich noch uͤberaus viele Faͤlle, wo die Mul⸗
tiplication gebraucht wird, angeben „ weil ſie aber der

Anfaͤnger nicht verſtehen wuͤrde, die kuͤnftige Praxdin

aber dergleichen Faͤlle zur Gnuͤge darbieten wird⸗ s

K1
ſchieht,
einige d
und Je⸗
voran
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1. K

kidor

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Oder:
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Reine

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Gropi
s

Die practiſche Rechenkunſt. Tr

mag es bey dieſen wenigen bleiben, zumalen hieraus
klar wird, welchen großen Nutzen die Multiplication
berp dergleichen, als angefuͤhrte zwo Aufgaben, habe:
Dienn daß dieſe beyden Aufgaben durch die Addition
nicht ohne große Weitlaͤuftigkeit aufzuloͤſen waͤren,
iſt ſchon 9. 78. erwieſen. H
§. 107. Bevor ich zeige, wie das Multipliciren ge⸗
ſchieht, werde erſt, wie bey der Additio §. 88. geſchehen,
einige bey der Multiplicatio gebraͤuchliche Kunſtwoͤrter
und Zeichen, nebſt einigen hierher gehoͤrigen Regeln,
voran gehen laſſen, welche wohl zu merken, ich beſtens
empfehle.
1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Multiplicatio.
Faéctores, heißen die Zahlen, welche mit einander multi⸗
pliciret werden ſollen. 4
Multiplicandus, iſt die Zahl (Factor) welche multiplici⸗
ret werden ſoll.
Multiplicans oder Multiplicator, der andere Factor,
mit welchen multipliciret werden ſoll.

Produ& oder Factum, iſt diejenige Zahl, welche nach der

Multiplicatio gefunden werden.
Dupliren, heißt eine gegebene Zahl mit 2 multipliciren.
Duplum iſt das Produét einer duplirten Zahl.

Tripliren, heißt eine gegebene Zahl mit 3 vermehren.

Triplum iſt das Factum einer triplirten Zahl.
Quadriren, heißt eine Zahl mit 4 vermehren.
Quadrat oder Quadruplum, iſt das Factum einer que
drirten Zahl.
Eine Zahl mit ſich ſelbſt vermehren, heißt: zwo
gleichnamige Zahlen miteinander multiplicirxen; z. E,
4 mal 4 oder 5 mal 5 ꝛc.
Cubiren, heißt eine Zahl mit ſich ſelbſt, und das gekommene
Produét noch einmal mit dem Multiplicatore ver⸗
mehren; z. E. 4 mal 4 iſt 16, und 4 mal 16 = 64.
Cubus, oder beſſer—
Cubiczahl, iſt das letzte Factum der cubirten Zahl, als

hier 64
E4 Raæ-

72 Die practiſche Rechenkunſt.

Radix oder Wurzel, iſt der M ultiplicandus, woraus eine
Quadrat zahl oder eine Cubiczahl entſtanden: ſo iſt
3. E. 4, die Quadratwurzel von 16, und 4, die Cubic⸗
wurzel von 64.
d. 108. Das Zeichen der Multiplication, welches ſich
die Mathematiker der Kuͤrze wegen hedienen, iſt (.)
oder , nebſt den ſchon bekannten Zeichen der Gleichung

— 2
— d“* .*

3 und 6 mit einander multipliciret merden ſollen,
und wovon alſo das Factum verlanget wird. Will
man das gekommene Produét der Aufgabe beyfuͤgen,
ſo ſteht es alſo: 3 σπ 6 = 19, oder 3.6 –— 18.
Wird geleſen: 3 multplicet mit 6 iſt gleich 18, oder
kuͤrzer: z mal 6 gleich 18. .
§. 109. 2 Regeln der Multiplication.
Reg. I. Eine gerade Zahl duſch eine gerade Zahl
mittplieirt, giebt ein Produét einer geraden Zah
(HS. 91I. Reg. I.); z. C. 4— 6 = 24.
Reg. 2. Eine gerade Zahl durch eine un gerade
Zahl multiplicirt, giebt zum Producét eine gerade
Zahtz; z. E. 3 —◻ 8 = 24

Reg 3. Eine ungerade Zahl mit einer ungeraden

Zahl vermehret, giebt das Factum einer ungeras⸗

den Zahl; z. E. 3 bσ7% 21.
Nota: Bey der Additio iſts anders. vid. J. 91. Reg. 3.
Reg. 4. Zwo Zahlen moͤgen mit einander multipliciret
werden wie man will, ſo geben ſie doch einerley
Praducécte, d. i. man mag von 2 gegebenen Zahlen
zum Multiplicando nehmen, welche von beyden
man will, ſo kommt doch ein und daſſelbe Product;
„ C. 3 ☚α9 = 27, und eben ſo: 9 ☚ 3 — 27.

Reg. 5. Die I multipliciret nicht. D. i. Eine gegebene

Zahl kann durch die Multiplicatio mit I um nichts

vergroͤßert werden; z. E. 1 αι 5 = 5, und auch

*

unmgekehrt: 5 α I = 5 ꝛc.

3 ✕ 6 oder 3. 6 bedeutet: daß die beyden Factores

—.— e5„

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vielig

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catoren
Unter

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Race

Unter

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Cubice

ches ſch
iſt l.)
echung

Sores
8 ſolen,
ryfügen,
18.
19, oder

de gehl
en Zohl

geradt

gerade

eraden

gera te

Rep 3

ſkierett

nerley
Hahlen
beyden
oguct;
.
egebene
nichts
119

zu

vermeiden, unter beyde ein. Linie gezogen. Z. E. Es
5

Die praetiſche Rechenkunſt. 7 ½

Zuſatz: Dieſer Regel zufolge, darf man hinter eine
Zahl, welche mit 10 vermehret werden ſoll, nur
eine „; hinter eine Zahl, welche mit 100 vermehret
werden ſoll, zwo Nullen; hinter eine Zahl welche
mit 1000 multipliciret werden ſoll, drey Nullen
ſetzen, ſo iſt die Multiplicatio geſchehen; z. E.
10 α☛ 86 = 860; 100 ◻ 86 = 8600; und
1000 ☚ 86 = 86000.
Reg. 6. Die Null ſelbſt kann nicht multipl ieiren; z. E.
4 = 0, und auch umgekehrt 4 %α— 0.
Zuſatz: Daraus folgt, daß wenn einer oder der
andere von den Factoribus Nullen enthaͤlt, die zwi⸗
ſchen geltenden Zahlen ſtehen, dieſelben allemal, als
nichts gebende, uͤbergangen werden, ſo wie in
der Folge gelehret werden ſoll.
Reg. 7. Wenn zwo Zahlen mit einander multiplicitet
werden, ſo meſſen ſie auch beyde das kommende
Factum aus; z. E. 7 ◻ 8 = 56. Ergo kann das
Produét 56 ſowohl mit 7 als auch mit 8 dividiret
werden, ſo, daß es allemal ohne Reſt aufgehet.

Anm. Dieſe Regel wird erſt dann vollkommen verſtanden
werden, wann man erſt Dividiren gelernt hat.

Wie das Multfpliciren geſchieht. H
G. 110. Ob es wohl, nach §. 109. Reg. 4. gleich⸗

viel iſt, welchen von beyden gegebenen Factoribus man

zum Multiplicando annimmt: ſo fetzet man doch gewoͤhn⸗
lich, der Bequemlichkeit wegen, den groͤßten Factorem
als Multiplicandum oben, darunter aber den Multipli-
catorem, und zwar Einer unter Einer, Zehner
unter Zehner, Hunderte unter Hunderte ꝛc.

eben ſo, wie bey der Addition §. 92. gelehret worden,

weil man auf dieſelbe Art, von der Rechten nach der Lin⸗
ken, das verlangte Factum darſtellen muß. (§. 92. Anm.)
Nachdem beyde Factores gehoͤrig und angewieſenermaſſen
unter einander geſetzet worden, ſo wird, Verwirrung zu

wuͤr⸗

74 Die practif ſche Rechenkanſt.

wuͤrde das Factum von 345 b 18697 verlangt, ſo wuͤr⸗

de der Aufſatz alſo ausſehen: B
1 869 7
3 4 5

Wie dergleichen Aufgaben gerechnet werden, um zu
dem verlangten Facto zu kommen, ſoll an ſeinem
Orte deutlich gezeiget werden. Erſt wollen wir uns,
wie bisher geſchehen, mit den leichteſten Aufga⸗
ben bekannt machen, dann nach gerade zu ſchwerern
uͤbergehen.
1) Aufgaben, wo der Multiplicator nur aus
einer Ziffer beſtehet.
§. 1III. Weil, nach §. 105, zwo gegebene Zahlen
mit einander zu multipliciren ſo riel heißt, als den einen
gegebenen Factorem ſo viel mal nehmen, als der an⸗
dere Factor Einheiten enthaͤlt; ſo muͤſſen auch alle
Arten von Unitaͤten des Multiplicandi ſo viel mal ge⸗

nommen werden, als der Maltipl icator Einheiten ent⸗

haͤlt. D. i. Wenn eine gegebene Zahl mit 2 multipliciret
werden ſoll, ſo muͤſſen auch alle Einer, alle Zehener,
alle Hunderte, alle Tauſende ꝛc. welche der Multipli-
candus enthaͤlt, 2 mal genommen werden. Und da die⸗
ſes iſt, ſo muͤſſen nothwendig eben ſo, wie bey der Addi⸗
tion, immer Unitaͤten einer Zahlſtelle zu Unitaͤten der fol⸗
genden Zahlſtelle uͤbergehen. Z. E. Man ſoll 345627819
wit a multiplciren:
Solutio.
3 4 5 6 27819 Mntiplicandus
. . . . . . . . 2 Multiplicator

„ I
. . . . I 4
. I 2(4 .
, I G°. „,ẽ

6(8 . .⸗ „ „

Prodoct 6 9 1 2 5 5 6 3 8 g

Da⸗

Dr

tiplieite

folgende
hen, ſu
verſch

Augen

— —

,I]W h—— — —

Die praetiſche Rechenkunſt. 75

vin Damit man deutlich ſehen moͤge, wie durch das Mul⸗
tiplieiren, von jedem einzelnen Producte immer Ziffern i in
folgende hoͤhere Zahiſtellen, wie bey der Addition, uͤberge⸗
hen, ſo habe vorſtehende Rechnung, nach allen ihren
um Nu verſchiedenen Unitaͤten, gleichſam ſtuͤckweiſe vor
ſinen Augen gelegt.

bir ue, 12) Fange bey den Einern zur Rechten an und ſage:
Aufger 2 mal 9 ſind 18, dieſe 18 Einer ſtehen bey a; 2)
rem ſage: 2 mal 1 ſind 2, und da dieſes 2 Zehner

ſind, ſo ſtehen ſie bey b eingeſchloſſen um ſie deſto
ſichtbarer von dem ſolgenden Producte zu unterſchei⸗

ans Den, in gerader Linie unter den Zehenern, an ihrer
Ageehoͤrigen Stelle. 3) ſage: 2 mal 8 ſind 16, da
Zihen = dieſes Hunderte ſind, ſo ſtehen ſie auch an ihrer
en einen gehoͤrigen zten Stelle, neben der (2 bey b. 4)
der an ſage: 2 mal/ ſind 14, dieſe, als ſo viel Tauſende,
ic ale ſttehen an ihrer gehoͤrigen Stelle in gerader Linie
nal ge urnnter die Tauſende des Multiplicandi bey c. 5)
tenent⸗ ſage: 2 mal 2 ſind 4, und da dieſes Product wieder
jipliaret eüeeine einzelne Ziffer iſt, ſo ſteht ſie eingeſchloſſen, um
eſener, neben derſelben das folgende Product ſtellen zu koͤn⸗
lihi⸗ nen, bey d. 6) ſage: 2 mal 6 ſind 12, dieſe, als ſo
da die viel Hunderttauſende, ſtehen an ihrer gehoͤri⸗
et Woi⸗ gen 6ten Stelle, neben der (4 bey d. 7) ſage:
der flle 2 mal 5 ſind 10, und ſtehen, als ſo viel Millio⸗
dl; nen, an ihrer gehoͤrigen 7ten Zahlſtelle bey e. 8)
ſage: 2 mal 4 ſind 8, welche eingeſchloſſen bey fF
—ſitehet. 9) ſager 2 mal 3 ſind 6, dieſe neben die
ddus eingeſchloſſene 8 bey f.
kor Niun waͤre zwar die Multiplication vollendet, in⸗

dem alle durch dieſelbe gekommenen Facta einzeln,
ſo wie ſie nach einander gekommen ſind, da ſtehen,
allein, da wir noch nicht wiſſen, wie groß das ein⸗
zige Produét oder Factum, welches verlanget wor⸗
den, ſey? ſo muͤſſen wir noch alle einzelnen Facta
a, b, c, d, e und f zuſammen in eine Summa g
un ger welche alſo das verlangte Product wirk⸗
iſt.

76 Die prattiſche Rechenkunſt.

Beweis: Es iſt in unſerer Aufgabe jede einzelne Zif⸗

fer des Multiplicandi, was fuͤr Unitaͤten ſie auch
enthalten mag, nach und nach ſo viel mal genom⸗

men worden, als der Multiplicator Einheiten
enthaͤlt, woraus denn alle die Facta a, b, c, d, e und
f, welche ſich auch an ihren gehoͤrigen Zahlſtellen be⸗
finden, entſtanden. Da nun alle dieſe Facta zwey⸗
mal ſo groß als alle gegebenen Unitaͤten des Multi-
plicandi, zauch dieſelben nach allen Arten ihrer
Unitaͤten bey g in eine Summa gebracht warden
ſſo muß auch dieſe Summa 2 mal ſo groß als der
Multiplicandus, Ergo, das verlangte brodut
oder Factum ſeyn.
I. Anm. Man ſiehet hieraus, daß die Multiplication ni
allei zur Aufloͤſung dergleichen Aufgaben hin
chend iſn, ig, ſender die Addition zugleich mit gebraucht
werben mu
2. An Man koͤnnte dergleichen Aufgabe, welche nur
eine einzeine Ziffer zum Multiplicatore hat, auch ebe
ſo leicht durch die Additio aufloͤſen; wenn man naͤm⸗
Seee Multiplicandum 2 mal unter. finander. ſetzte.

133 5,6 273819
3 4 S 6 2 7 8 1 9
6 9 1 2 5 5 6 3 8
Dieſe Summa iſt dem vorigen Producte voͤllig oleich,

und kann daher zum ꝛten Beweiſe dienen, daß es mit
demſelben ſeine voͤllige Richtigkeit habe.

5§. 112. Da dieſe vorſtehende Art zu multiplieiren in

praxi zu weiklaͤuftig iſt, und nur blos gezeiget worden, um
zu ſehen, wie die Zehener eines jeden Facti des Multipli-
eandi in ihre gehoͤrigen Stellen uͤbergehen, und zwar eben
ſo, wie bey der Additio §. 94. gezeiget worden: ſo will
ich, wie daſelbſt geſchehen, nunmehr auch zeigen, wie
man weit kuͤrzer rechnen kann.
Man darf nur die in jedem Faéto gekommenen Einer
gerade unter ihres gleichen und unter die gemachte
Linie niederſchreiben, die Zehner deſſelben aber ſo lange im
Sinne behalten, bis auch das folgende Faétum gefunden
. wor⸗

wordet,
es vorf
wit beh
mit jede
dann an
Er der

nelne Zif
1 ſe auch
l genome
nheiten
d,e und
ſtellen bet
Ga Wwey⸗
6s Multi⸗
en ihrer

t worden, 1

als der

odt

tion nichs

1 hin

gebtaucht

elche nut
guch eber
nan nin⸗
der ſette⸗

ig glech
es tüit

ſeiren in
den, um
ſolripli⸗
war then
ſ vil
en, wie

gencht:
lauge in
gefunder
cor⸗

Die praetiſche Rechenkunf. 77

B worden, zu welchem ſodann die im Sinn genommene Zahl
des vorhergehenden Facti hinzugethan wird, juſt eben ſo
. . 2 „

wie bey der Addition §. 95 elehrt worde 0
mit jedem Producte t6 en; Ende ſor gefahten werden, de
dann auf einmal das verlangte Factum oder Product un⸗
der der Linie erſcheinen wird. z. E. “M
Solutio e
3 4 5 6 27 8129

Fact. 69 I 2 5 563 8
Sage: 2 ε9 = 18, ſetze die 8 Einer unter die Linie,
an ihre gehoͤrige Stelkle, und behalte den 1 Zehner im
H Sinne. 2) ſage: 2 σ☚1 =: 2 +◻ im Sinn = 3.
Dieſe einſache Ziffer, welche Zehner bezeichnet, ſetze
an ihre Stelle, gerade unter die Zeh ner des Mul-
tiplicandi. 3) ſage: 2 ☚ 8 = 16, davon die 6
als ſo viel hunderte an ihre Stelle geſetzet die
aber, als ein Tauſend, wie vorher in Sinn ge⸗
nommen werden muß. 4) ſage: 2, P& 7 = 14 † 1
im Sinne = 15, davon die 5 als ſo viel Tau⸗
ſende an ihre Stelle geſetzt, die 1 aber, als ein
Zehntauſender im Sinn genommen werden muß.
5) ſage: 2 ☚ 2 =: + 1 im Sinne = 5, dieſe
einzeline Ziffer wird ganz an ihre Stelle geſett, und
alſo dieſes Mal nichts im Sinn genommen. 6) ſage:
2 ◻6 = 12, davon die 2 an ihre Stelle geſetzt, die
I aber im Sinn genommen. 7) ſage: 2 α 5 —
10 + 1 im Sinn, = 11; hier wird 1 niederge⸗
ſchrieben und 1 im Sinn genommen. 8) 2 4=
8 + 1 im Sinn = 9, dieſe an ihre Stelle geſetzt.
Letztlich die uͤbrigen 2 ☛ι 3 = 6 auch an ihre Stelle,
ſo iſt das ganze Factum auf einmal gefunden wor:
den, ohne erſt, wie vorher, noch darzu die Addition
Knhthie zu haben.
Irw. Man kann bey der Multiplieation das Zeichen der
Bileichung =, um Irrungen zu vermeiden, fuͤr i ſt
leſen, alſo: 2 7 = 14 + 1 im Sinn = 15,
wird

738 Die practiſche Rechenkunſt.
wird geleſen: 2 mal 7 iſt 14 und 1 im Sinn iſt 15.
§S. 113. Man darf nicht denken daß keine andre Art,

als von der Rechten nach der Linken zu multipliciren, moͤg⸗

lich ſey! Es kann dieſe Arbeit, wie bey der Addition §.
96 gezeiget worden, auch von der Linken nach der Rechten
verrichtet werden. z. E.
Solutio.
3 4 5 6 278319
2

4

32
O
0.
„
+☚
△Qn
—D
—

Faétum 6 9 I 2 5 5 6 3 8
Hier ſtehen bey a alle Unitaͤten der gekommenen Fa-
Sorum, ſo wie ſie der Ordnung nach, mit immer zehnmal
kleinern Unitaͤten bis auf die Einer der erſten Zahlſtelle, auf

einander ſolgen. Bey b aber ſtehen alle uͤbergegangene

Zehner der Factorum. Letztlich ſind beyde in eine Sum-
ma gebracht, und ſo das wahre Faétum, wie es ver⸗
langt, gefunden worden.
Anm. Dieſe Art zu Multiplieiren waͤre fuͤr diejenigen, wel⸗
che, des ſchwachen Gedaͤchtniß halber, nichts im Sinn
nehmen moͤgen. Weil man aber durch fleißiges Denken
das Gedaͤchtniß ſchaͤrfen muß, uͤberdem auch dieſe Art,
beſonders bey groͤßeren Aufgaben, zu weitlaͤuftig ſeyn
wuͤrde: ſo iſt billig die h. 112 gelehrte Art, als die
kuͤrzeſte, kuͤnftig beyzubehalten.
1) Duplire 345678976.
2) Man ſoll die Zahl 103200456789 tripliren.
Anm. Wegen den im Multiplicando vorkommenden Nul⸗
len wird in der 6ten Regel des 109ten § und wegen
den vollen Zehnern ohne Einer, welche ein gekomme⸗
nes PFactum gtiebt, im o8ſten ſ. 2) gehsrige Auskunft
zu finden ſeyn. Uebrigens berechnet man dieſe und fol⸗
gende Aufgaben eben ſo, wie §. 112 gelehret worden.

3) Man ſoll die Zahl 123547689 quadriren.

4) Multiplicite 213654987 mit 5. Was iſt das Pro⸗
duct?

5)

9
dichts
100.
pliogt
Multi
ſo lan⸗
gende
iſt, d
perden

Nug

Die dractiſche Rechenkunſt. 79

6) Was ſuͤr ein Factum giebt zmal 5403210608972
ndre t, 7) Was iſt das fuͤr eine Zahl, die 8 mal ſo groß iſt als
mn, ni · 1235476890002 ͦ”ꝗùẽ
lddicn J. V Solutio.
Rechten 1 2 3 5 4 7 6 9 0°0°0°.

9 ⁹ 3 & 1 5 1 200ο⁵

Weil zufolge der 6ten Regel 8 Wα 0οο = 0o iſt, ſo
braucht hier der Maltipli icator nicht unter die Nul⸗
len geſetzt zu werden; ſondern man vermehrt ſogleich
die geltenden Zahlen, und ſetzt ſodann, nach Vollen⸗
dung der Multiplication, die hinter den Zahlen des
venen li⸗ Multiplicandi ſtehenden 3 Nullen herunter, hinter

nn das Factum.
ſtelle, au
– 8) Wie viel iſt 9Q mal 9876543210000?
ine hum — .
e 2. Aufgaben, wo ein Numerus ſignificeans
des Multiplicatoris eine oder mehr
ec Nullen hat.
enſtr §. 114. Da durch die Multiplication mit der Null
eſe At, nichts vervielfaͤltiget oder vermehret werden kann, (§.
uftig i 109. Reg. 6.) ſo braucht man auch die hinter dern Malti-
,a plicatore ſtehenden Nullen nicht mit unter die Zahlen des
Multiplicandi zu ſetzen; ſondern man wirft ſie ſeitwaͤrts
ſo lange zuruͤck, bis die Multiplication, und darauf fol⸗
gende Addition groͤßerer Aufgaben (§. 110.) verrichtet
ten ſiſtt, da dann die Nullen dem Faéto am Ende beygefuget
enm, werden. z. E. 20 4567 ſteht alſo:
Auekrrft 4 5 6 7
ſe Unid fol⸗ ” 2 O
porden —

9 1 3 4 zu dieſer Zahl die
pH Null heranter, ſo iſt das Factum = 91340.
das 200 % 4567 ſtehet aſo:

Die practiſche Rechenkunſt.
4 567

S 20.0° 0

9 13 4 hierzu die 2 Nullen,
8 iſt das Factum = = 913400. 2000 —◻4567 ſteht alſo⸗

4567
2 0°5°⏑

9 I 3 4°O0°0% Eec.
Zuſatz: Wenn demnach der Numerus ſigniſicans des
Multiplicatoris nur in einer einzigen Unitaͤt be⸗
ſtehet, welche eine oder mehr Nullen hinter ſich hat,
ſo iſt die Multiplication ſchon geſchehen, wenn man
die Nullen ſogleich hinter den Multiplicandum ſetzet;
weil die 1 eine Zahl, durch den Weg der Multipli⸗
cation, nicht vergroͤßert. z. E. 10 576 — 5760;
IOO 576 = 57600; 10000 b° 5706 = 5760000
Ec. (G. 109. Reg. 5 und Zuſatz.)
9) Man ſoll die Zahl finden, welche 20 mal ſo groß iſt als
1234567892
10) 30 σ 2045169873. Was fuͤr ein Factum?
11) Multiplicire 9870532416 mit 402
12) Wie groß iſt das Prod. von 50 ☚ 7463852912
13) Wie viel von 600 α¾ 8976453212
14) Vermeh re 976432158 mit 7000.
15) 80000 — 769842315 wie viel?
16) Was kornt zum Factum wenn man 123789456 mit
900000 vermehrt?

3. Aufgaben, wo der Mualtiplicator zwo
Ziffern hat.
§. 1II5. Wenn der Multiplicator aus zwo Ziffern be⸗
ſtehet, und al ſo Einer und Zehener enthaͤlt, ſo darf man

in dieſem Falle nur die Ziffern des Multiplicatoris nach
ihren Zahlſte llen gehoͤrig unter die Ziffern des Multi-

plicandi ordnen, ſo wie §. 110 gelehret worden, dann

zuerſt mit den Einern des Multiplicatoris, darnach

auch

alchmit

liciten,

ruͤcken, ſo
mene et
Plicator
mene Fan
gefunden
die verio

7) N

15

Fa
Bew
Cin
ns
bey

3

un

1Nullen,
ſht alſo:

ſicans des

Unitat beꝛ

ſch hat,
enn man
n ſetet;

Multipllii

57bo⸗;
1760000

ß iſtal

17

2g1!

6 mi

zwe

ſfern bo

datſmag
ris och
Mulci⸗

n, Nann

datrve

1

Die practiſche Rechenkunſt. 21

auch mit den Zehneru deſſelben, den Multiplicandum multi⸗

pliciren, und das Pactum der Zehner, um eine Stelle hoͤher
ruͤcken, ſo, daß die von der Multiplication der Zehner gekom⸗

mene erſte Ziffer juſt unter die Zehner des Multi⸗

plicatoris, und unter das vorher durch die Einer gekom⸗

mene Factumzu ſtehen komme. Sind die beyden Facta
gefunden, ſo werden ſie in eine ZSumma gebracht, welche
die verlangte Zahl iſt. z. E.
17) Man ſoll eine Zahl finden die 36 mal groͤßer als
132457689 iſt!
olutio.
1 3 2 4 5 7 6

Factum 4 7 6 8 4 7 680°4c
Beweis: Erſtlich iſt der Maltiplicandus mit den 6
Einern des Multiplicatoris vermehret, und deſſen
aus Einern entſtandene Factum an gehoͤrige Stelle
beyva geſetzt worden. Ferner iſt derſelbe auch mit den
3 Zehenern des Multiplicatoris vermehret, und dieſes
aus Zehnernſentſtandene Fa Kum gehoͤrigermaſſen
um eine Stelle hoͤher geruͤcket, und unter das erſte
Faétum bey b geſetzet. Endlich ſind beyde Facta a
unnd b zuſammen gezaͤhlet und bey c in eine Sum⸗
me gebracht. Da nun das Factum a wirklich 6 mal
ſo groß als der Multiplicandus; das Factum b aber
30 mal ſo groß als derſelbe iſt; nun aber dieſe bey⸗
den Facta a b in eine Summe c gebracht wore
den: ſo muß auch dieſe Summe dalle Unitaͤten des
Multiplicandi, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, 36
mal enthalten, folglich die Zahl ſeyn, welche verlangt
worden.
Anm. Schon hier, geſchweige bey weit groͤßeren Aufgaben,
errgiebt ſich, wie viel Vorzuͤge die Multiplication, ihrer
Kuͤrze wegen, vor der Addition habe: denn wollte man
dieſe vorſtehende Aufgabe durch die Addition auflöſen,
ſo muͤßte man den Multiplicandum 36 mal unter einan⸗
der ſetzen, und dieſe Menge Bablen eben ſo muͤpſam zu⸗
am⸗

32 Die practiſche Rechenkunſt.

ſammen zaͤhlen, als ſie untereinander hingeſchrieben
worden, ehe man in der Summa das verlangte Factum
finden wuͤrde. Welche Arbeit!
§. 116. Aufgaben, wie die vorige, laſſen ſich auch noch
kuͤrzer, und ſo berechnen, daß man dabey die Addition

gaͤnzlich entbehren kann, wenn man naͤmlich den Multi-
plicatorem nach dem Ein mal Eins zerfaͤllet. Es iſt

in vorſtehender Auſgabe der Multiplicator 36,☛= 6 ₰✕6.
Multipliciret man nun den Multiplicandum zuerſt mit

6, das gekommene Factum wiederum mit 6, ſo wird die⸗
ſes letzte Faétum die Zahl geben, welche 36 mal ſo groß

als der Multiplicandus iſt, ſo wie verlanget worden. z. E⸗
Solutio.

1 3 2 4 5 7 6 8

9
6
79 47 4 613 4

4 7 6 § 47 6 0°4

Beweis: Wenn ich 1 mit 6 multiplicire, das

Fact. 6 abermal mit 6, ſo entſtehen 36. z. E. 6 1 =

6 %6 — 36, und alſo eben daſſelbe Factum, als wenn
ich 1 mit 36 auf einmal multiplicire z. E. 36 α 1=
Da nmun auf gleiche Art alle Unitaͤten des Multipli-
candi in vorſtehender Aufgabe mit 6 vermehret, das
Pactum davon abermal mit 6 multiplicirt worden,
ſo iſt auch jede im Multiplicando befindliche Unitaͤt
mit 6 ☚6 d. i. mit 36 vermehret worden. Ergo

muß das nunmehr gekommene Factum die verlang⸗

te Zahl ſeyyn. 4
Ueberdem beweiſet ſchon der Augenſchein, daß dieſes
durch 6 ◻6 gekommene Factum das wahre ſeyn
muͤſſe, weil es demjenigen, welches vorher durch 36
gefunden worden, (§. 115.) in allem vollkommen
gleich iſt, welches doch unmoͤglich ſeyn koͤnnte, da⸗
ferne im Rechnen allhier ein Irrthum vorgefallen
waͤre. “
W Zu⸗

eſchtieben
e Fadum

uch noch

Abdition

1 Muld.

E iſt

26 6.

zuerſt mit
bwird die⸗
al ſo hroß
rden. z E.

te, das
6 ½ 1=

als wenn
NIS

Mutipl:
chrtt, des
4 wrden,
6he Unitat
Lrgo
verlang

deß dieſes
hgaßte ſhn
4 durch3
ollkonmmnen
unte, de
vorgeſßlen

zu⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 83

Zuſatz: Des merklichen Vortheils wegen, den die
Multiplication mit zerfaͤlltem Multiplicatore ge⸗
waͤhrt, will ich nicht nur dieſe Art zu Rechnen, ſo
oft ſie ſich anbringen laͤßt, empfehlen, ſondern auch,
da die Zerfaͤllung nur bey ſolchen Zahlen, die im Ein⸗
mal Eins ſtehen, angehet, dem Anfaͤnger zu Ge⸗
fallen ein Verzeichniß ſolcher zur Zerſtreuung ge⸗
ſchickten Zahlen, und wie ſie zerſtreuet werden, hier⸗
herſetzen:

24 zerfaͤllt durch 3 ☛8 oder 4 ✕6
27 3 9
28
32
36
4²
45*5)
48
49

4

XXX

oder 6 %6

„⏑ „
π ◻

o N ρ ½ ☚
XXXXXXXX

s

I

0
X

Anm. Alle Zahlen die ſich mit einer o endigen, als:
10, 20, 30 zc. Imgleichen alle diejenigen, welche forn
oder hinten eine 1 haben, als: 12, 16, 18, 21, 81,
habe ich, ob ſie gleich ebenfalls im Einmal Eins vefind⸗
lich, mit Fleiß hier weggelaſſen, weil ſich betz derglei⸗
chen Zahlen noch ein beſſerer Vortheil, als die Zer⸗
Tenung gewaͤhrt, anbringen laͤßt. Davon an ſeinen

18) Multiplicire 217563984 mit 23.

19) : 125736894 mit 24.
20) 26 α987654321, was fuͤr ein Product?

271) Wie groß iſt das Factum von 27 W◻ 896754321 7

22) Vermehre 135792468 mit 28!
23) ;⸗ 317529648 mit 32!
24) . 731925846 mit 35! .
F 2 25)

84 . Die praetiſche Rechenkunſt.

2⁵) Multiplicire 317259468 mit 4 ₰ι 9
26) . 684952713 mit 6 ◻ 7
27) 5 %σ 9 ✕ 527136849. Wie viel iſts?
28) 6 ◻8 ☚— 257316498. Wie viel?
29) 7 ☚7 * 523761948. Welch Prodnek.
30⁰) 54 ☛✕ 84916732562 8
319 56 ° 489716523 2 S
32) 63 %¾ 178923456 6
§. 117. Weil, nach §. 109. Reg. §., eine Zahl durch
die 1 nicht multipliciret werden kann, ſo iſt auch bey jeder
Aufgabe, wo der Multiplicator entweder mit einer 1
anfaͤngt, als: 12, 16, 18 ꝛc. o der mit einer 1 endiget,
als: 21, 31. 81:c. die M ultiptication mit der 1 unnuͤtz, und
kann daher mit Vortheil unterlaſſen werden.
Damit aber ſowohl das Unnuͤtze der Multipication mit
der 1, als auch der Vortheil, bey Auslaſſung derſelben,

deſto beſſer in die Augen falle, ſo will ich, neben der ge⸗

woͤhnlichen Art A, wo mit der 1 multiplieiret worden,
auch die kuͤrzere Art B, wo die Multiplication mit der 1
uͤbergangen worden, ſtellen 3 z. E.

Man ſoll 3456 mit 12 multipliciren.

A. 666.
3 4 5 6 3 4 5 6 d ²– 12
1 2 6 % 1 2
6 9 I 2 a Küͤrzer. 4 4 7 2
3 4 56 b
4 1472

Bey A iſt erſtlich der Multiplicandus mit 2 muf.
und das aus Einern entſtandene Factum bey a geſetzet,
Ztens iſt auch derſelbe mit 1 mult. und das aus! 3 ehenern
deſtehende Factum bey b geſtellet: weil aber die 1 eine
Zahl, laut Reg. 5, durch die Multiplication um nichts
veraͤndern kann; ſo ſind auch natuͤrlicher Weiſe eben die⸗
ſelben Ziffern, welche der Multiplicandus enthaͤlt, bey
d, und nur als Zehener um eine e Baßiſtelle hoͤher ge⸗
ſetzt werden.

2/ 2 Da

2
Plican
einer

darna

von⸗2
und be
oder,
Zehr

RNul,

ſelbe
heſtehe
ſtelle
Facte
hier iſt
ehene
dertge
che n
dann i
Rechter
ſet aus
tir das
Eundö
bracht,
es qua
man,
und das

wie hey

Padum

geben

hl durch
bey jeder
t einer 1
enbiget,
nut,und

Ationtmnit
derſelten,
en der
t worden,
mit der 1

2 mu.
geſebet,

eheneen

e 1eine
nicht
den diet
hohen N

4

Die practiſche Rechenkunſt. 85

Daa es nun gleichviel iſt, ob ich zu erſt den Multi⸗
plicandum mit 10 vermehre, welches durch Beyſetzung

einer o ſchon geſchehen iſt, alſo: 3 4 5 6 0
darnach das aus Einern beſtehende Factum
von 2 3 4 §5 6 darunter ſetze, ☛ 6 9 I 2
und beyde Facéta addire 41 4 7 2

oder, ob ich die Zahl des Multiplicandi als lauter
Zehner betrachte, und ſie, ohne Beyfuͤgung einer
Null, fuͤr das erſte Factum anſehe; darnach auch die⸗
ſelbe Zahl mit 2 multiplicire, und dieſes aus Einern
beſtehende Factum unter das erſte um eine Zahl⸗
ſtelle zur Rechten hinausruͤcke, und ſodann beyde
Facta addire. Eben daſſelbe iſt bey B geſchehen. Denn
hier iſt der Multiplicandus d ſogleich als ein aus lauter
Zehenern beſtehendes Factum angeſehen und unveraͤn⸗
dert gelaſſen, weil die 1 des Multiplicatoris 12, wel⸗

che nicht vermehren kann, ein Zehner iſt. So⸗

dann iſt auch der Multiplicandus, um eine Zahlſtelle zur
Rechten auswaͤrts multiplicirt, weil dieſe zwote Zif⸗
fer aus 2 Einern beſtehet, und das Factum davon un⸗
ter das aus Zehenern beſtehende Factum d, bey e geſetzt.
Endlich ſind beyde Facta d + e in eine Summef ge⸗
bracht, welche der Summe c bey A voͤltig gleich, und
es auch ſeyn muß, weil es voͤllig einerley iſt, o b
man, wie bey B, das Factum der Zehener oben
und das Factum der Einer darunter, oder: ob man,
wie bey A, das Factum der Einer oben und das

pactum der Zehener darunter ſtellet. Beyde Addenti
geben gleiche Summen; ſo wie der Augenſchein zeiget.

Anm. Man pfiegt bey dergleichen Aufgaben, nach Nieder⸗
ſchreibung des Multiplicandi, zu ſagen: Einmal

ſteht ſchon da! darnach multiplieiret man mit der
folgenden Ziffer, wie gelehret worden.
§. Faſt eben ſo, und mit gleichem Vortheile, geſchie⸗
het die abgekuͤrzte Multipliegtion bey Aufgaben, wo der
Multiplicator ſich mit einer Unitaͤt endigt, als: 21, 31,
81, ꝛc. (§. 117.) Denn es findet ſich hier nur der Un⸗
terſchied: daß man, dem vorhergehenden Falle ganz ent⸗
F 3 gegen,

86 Die practiſche Rechenkunſt.

gegen, das 2te Factum, welches hier aus Zehnern
beſtehet, um eine Ziffer einwaͤrts ruͤcke. Wir wollen
gleichfalls neben der gewoͤhnlichen Art zu multipliciren,
auch die abgekuͤrzte Art ſetzen, um den Unterſchied beyder
Arten deſto deutlicher zu bemerken:

B.
5 6 7 8 5678 d
2 1 1 1 3 5 6 e
5 67 8 àW Kuͤrzer I I 9 2 3 8 f
1 1 9 238c

. Hier ſtehet, in der gewoͤhnlichen Berechnung bey A, das

Factum 1 5678, bey a, und das Factum 20 4

5678, gehoͤrigermaſſen um eine Stelle einwaͤrts
geruͤckt, bey b, beyde Faéta a und b addirt, bey c.
Weil nun die Ziffer des Multiplicatoris, welche Einer
bhezeichnet, nur einen einzigen Einer enthaͤlt, mit⸗

hin nicht multipliciren kann; ſo ſagt man, nachdem

der Multiplicandus bey B aufgeſetzet: Einmal
ſteht ſchon da! Und ſo waͤre dieſes Factur bey
d, das Factum der Einer, welches in der Berech⸗
nung A, bey a, gleichfalls das erſte war. Ferner mul⸗
tiplicirt man dieſes Factum d, nun wieder als Mul-
tiplicandum betrachtet, mit der folgenden Ziffer 2,

einwaͤrts; weil dieſe Ziffer Zehner bezeichnet, ſo

ſteht das Factum derſelben bey e, unter dem Facto d,
eben in derſelben Ordnung, wie bey der Solu-
tio A, das Factum b unter dem Facto a ſtehet.
Endlich beyde Facta d + e = f. welches Factum f
dem Fact. c, bey &, gleich iſt, und es auch ſeyn
muß; weil uͤberhaupt die Facta d, e, f eben dieſel⸗
ben ſind, auch in eben der Ordnung ſtehen, wie die
Faéta a, b. c. Dennoch iſt, wie in vorhergehender
Aufgabe, die Berechnung B um eine ganze Reihe

Ziffern kleiner, als die Berechnung A; welches daher

kommt, weil hier der Multiplicandus' in ſeiner
. voͤlligen

I

Falen,
ann Ei
uſge;
hierhe

e
4

3
4
1
.
1
39W
3
39
35)
30)
37)J
4
39) J
40
rnr
ſihe
Dißin
Mn

ehnttt
r wollen
ſpliciren,

A behder —

4, e
n 20 %
gwaͤrts
bey e.
Einer
t, mit
nachdem
einmal

Turn bh
1 BertchN

mer mul⸗
als lul⸗
Ziſer 2,
ihnet ſ⸗
to 4,
Lolu⸗
Cun .
nuch ſchn
l dieſelt
wie die
gehtiden
e Nehe
s daßet
it ſeinet
lgen

Die practiſche Rechenkunſt. 8 7

voͤlligen Geſtalt noch einmal geſchrieben, und als
Factum bey a geſtellet worden, welches bey B, als
unnuͤthis befunden, nicht geſchehen iſt.

F.. 119. Damit man ſich kuͤnftig bey vorkommenden
Faͤllen, wo der Multiplicator entweder am Anfange oder
am Ende eine Unitaͤt hat, ohne Irrthum zu begehen,
erſtgezeigte Vortheile zu Nutze machen koͤnne, will ich

hierher ſetzen folgende:

Regel: Wenn der Multiplicator mit einer Unitaͤt
gnfaͤngt, als: 12, W, 18 ꝛc. ſo wird mit den groͤßern
Ziffern, welche Einer vorſtellen, nach der Rechten
aus waͤrts multipliciret. Dahingegen, wenn der
Multiplicator ſich mit einer Unitaͤt endigt, als:

21, 31, 81 ꝛc. ſo wird mit den groͤßeren Ziffern,

welche Zehener vorſtellen, nach der Linken einwaͤrts
multipliciret.

33) Man ſoll eine Zahl finden die 16 mal ſo⸗ groß als

345678 iſt.
34) Vermehre 786450 mit 81.
35) ⸗ 334789 mit 31.
36) ⸗ 13576 mit 13.
37) Wenn 4567 mit 16, das hierdurch gekommene Prod.
aber mit 61 multiplicirt wird: Was fuͤr ein Factum?
38) Man vermehre 9876 mit 18, das Prod. dieſer Fac-
torum mit S!1
39) Was ſuͤr ein Factum giebt 19 α 5032 ✕ 91 2
40 ⸗Hß 717 2◻ 4631 ° 712²

§. 120. Wenn ſich eine, zwo, drey oder mehrere Nullen

hinter zwo Ziffern des Maltiplicatoris befinden, ſo ge⸗

ſchiehet die Maltiplication eben ſo, als wenn nur wit zie⸗
Ziffern zu multipliciren aufgegeben worden (§. 114.) z. E
Man ſoll 2468 mit 7200 multipliciren.

S4“„ So⸗

38 Die practiſche Rechenkunſt.
Solutio
2 4 6 8
7200O ö!ͤ
4 9 3 6
1 7 2 7 6G
177 6 9⁹ 6 00
1. Zuſatz: Demnach koͤnnen ſolche Nullen am Ende
des Multiplicatoris auch nicht verhindern, daß man

dergleichen Aufgaben durch die Zerfaͤllung nach S.

116. aufloͤſe. z. E.
2 4 6 8 7 209
8

1974 4

17 7696 hierzu die beyden Nullen,
ſo iſt das Fact. = 17769600, und alſo dem vorhergehen⸗
den voͤllig gleich.
41) 320 ° 8767: Wie viel iſts?
42) 3400 ☛✕ 5603: Wie viel?
43) 64000 70345. Welch Factum?
44) Nimm 75000 ◻ 87032
45) ⸗ 8100 ¼◻ 50762 ð
2. Zuſatz: Eben ſo wenig hindern auch die Nullen ſich
dens §. 117 & 118 gelehrten Vortheils bey ſolchen

Aufgaben zu bedienen, deren Multiplicat. ſich mit

einer Unitaͤt anfangen oder endigen, weilen erſt, nach
verrichteter Multiplication, die Nullen, wie vorher
gezeiget, dem Faéto beygefuͤget werden z. E.
Was betraͤgt 5798 α 1900
Solutio.

5 7 9 8 α☚ 1,9 °△
5 2 1 8 2

Fact. 1 I OoI6200

4 8
)
4 0
49)
350
1)
9

bemert
ne Sc
oder no

en: d

4

unter
mehren
E.

n Ede

,daß man
nech .

thergthen

rcten ſch
ey ſolchen
t. ſch nit
erſt nach
die vorher
E.

Die practiſche Rechenkunſt. 29

Wie viel iſt q I O ο dοαω 5 % 6 8*
7 Solutio.
5 06 8
4 5 6 I 2
Faét. 4 6 I I 388006.
46) Vermehre 2345 mit 1700.
47) . 4321 mit 71000.
48) multiplicire 87654 mit 810.
49) : 73602 mit 1800.

5SO) 50304 mit 16000.

51) Wie viel iſt 61000 α¾ 909542
32) : 510⁰0⁰0 X✕ 123452
4. Aufgaben, wo der Multiplicator
3 ziffern hat.
§. 121. Wenn man bey Auſſetzung jeder Aufgabe nur

demerket, was §. 110. gelehret worden, ſo kann ſich kei⸗
ne Schwierigkeit ſinden, der Multiplicator beſtehe aus 3
oder noch ſo viel Ziffern. Nur muß genau beobachtet wer⸗

den: daß man bey der Multiplicatio allezeit das Factum

unter derſelben Ziffer, mit welcher jedesmal ver⸗

mehre wird, anfange, und ſo bis zu Ende fortfahre.
Man ſoll 4658 mit 342 multipliciren.

Solutio.
4 6 5 8
3 4 2
9,3 I 6 a.
1863/2 b.
1 3 9 7 4 Cc.
Fact. 1 5 90° 3 0° 3 6 d

Erſtlich iſt der Multiplicandus mit 2 vermehrt, das
Factum von 2 %ℳ 4658 bey a geſetzet, auch daſſelbe,
wie gelehret, unter den Einern angefangen wor⸗
den. 2) iſt der Muldiplicandus mit 4 Zehner
vermehret, und das Fact. 40 4658. bey b geſetzet,
auch

90 Die practiſche Rechenkunſt.

auch unter den Zehnern, mit welchen jetzt ver⸗

mehret worden, angefangen. 3) iſt auch das letzte
Fact. 300 %“ 465 8 bey cgeſetzet, und unter der
Ziffer, womit jetzt multiplicirt, alſo unter der 3ten
Zahlſtelle angefangen worden. Letztens ſind die 3
Facta a b c bey d in eine Summe gebracht
worden. .
Beweis: Weil hier erſt der Multiplicandus, 2 mal
genommen, das Fact. bey a gegeben; 2tens der⸗
ſelbe auch 40 mal genommen, davon das Faét. bey b
befindlich; 3tens auch derſelbe 300 mal genommen
und das Fact. davon in c geſetzet: ſo iſt auch der
Multiplicandus ſo viel mal genommen und in die 3
Faa gebracht worden, als der Multiplicator Ein⸗

heiten enthaͤlt. (H. 105.) Da nun alle dieſe

Faéta a bec in eine Summa bey d gebracht

worden, ſo muß auch dieſe das verlangte Factum ſeyn,

welches 342 ☚ 4658 betraͤgt.
53) Man ſoll eine Zahl ſinden, die 952 mal ſo groß als
1208 iſt.
54) Wie viel iſt 876 ☛ 100922
„) ⸗ 234 — 84594342
56) Was giebt 5s672 ◻ 4723122
57) Was 999 %¾ 9999?
58) 525 9—◻ è8784. Wie viel iſts?
59) 345 ☛ 467989. Wie viel?
60) 78478 ◻721. Welch Factum? (H. 118.)

5§. Aufgaben mit 4 und mehr Ziffern des
Multiplicatoris. P
§. 122. Bepy dieſen Aufgaben iſt nichts weiter zu er⸗
innern, als daß man voͤllig ſo verfahre, wie im vorherge⸗
henden Ko gelehret worden, als weicher daruͤber noch⸗
mals nachzuſehn.
61) Wie viel macht 2399 —◻ 8
62) Wie viel 32134 ☚ 42567
63) ‧ „ 86479 ✕ 9753

„ ◻

129422
78292
12427

„

.1
Litr
6 gleich
etwͤhle⸗
eben ſo
ſeiget.

1

—

60 J

65)

66) B
67
69)
6. A

khone⸗

ichten

Man

n jetzt ber⸗
unter der
n der zten
ſind die 3

le geblacht

us, 2 mal
genontnen
kauch der
d in die 3
ator Cin⸗
alle bicſe
1 gebracht

,gruß ols

des

ter zu en
votherge⸗
er noch⸗

nz.

—

Die practiſche Rechenkunſt. 91

6§. 123. Wenn bey einer Multiplicationsaufgabe bey⸗
de Factores eine gleiche Anzahl Ziffern enthalten, ſo iſt
es gleich viel, welche von beyden man zum Multiplicando
erwaͤhlet. (§. 109. Reg. 4.) Z. E. Es iſt 324 ☚ 536
eben ſo viel als 536 ✕ 324. Wie hier der Augenſchein

zeiget.
8 3 6 oder 3 2 4
3 2 4 . d4 5 3 6G
2 1 4 4 1 9 4 4
10°7 2 9 7 2
16˙O 8 I1 6 2 0
17 3 6 64 = 173 6 6 4
64) Multiplicire 123456 mit 678972!
⸗ 5567819 mit 98576087!

65)
66) Wie viel iſt 432143 ☚ 578412 *

677) 2345678 ☛ J245678 2

68) ⸗ : 1: 123456789 —☛✕ 987654321?

6. Aufgaben, wo der Multiplicandus am Ende
Nullen hat.
§. 124. Die hierher gehoͤrigen Aufgaben berechnen zu
koͤnnen, braucht man nicht mehr, als dasjenige zu beob⸗
achten, was bey der 7ten Aufgabe geſagt worden: z. E.
Man ſoll 364000 mit 364 vermehren.
Solutio.
3 6 40°0⏑0
3

* * „

*

4 * * 9⁹
6

*
—
.

1 .
2 1 .
109 .
Faét. I 3 2 4 9 6 0°0O⏑☛° 0°
69) Vermehre 8432000 mit 356
7⁰) ⸗ 3987000 1 221!
71) 1321 ✕ Ü2940000. Wie viel iſts?
Weil es nach der 4ten Reg. F. 109. gleich viel iſt, welchen
von beyden Factaribus man zum Multiplicando
L an⸗

—

Die praetiſche Rechenkunſt.

annehmen will: ſo kann hier der Multiplicator, we⸗
gen der wenigern Ziffern, zum Multiplicando angs⸗
nommen werden. 2
72) Wie viel iſt 24442 α 876000002
73) ⸗ ⸗ ⸗212121 J234000000?

7. Aufgaben, da der Multiplicator ſowol, als

der Multiplicandus, am Ende Nullen hat.
§. 125. Wenn Aufgaben, wo beyde Factores am

Ende Nullen haben, zu multipliciren vorkommen, ſo darf
man nur, weil laut Reg. 6. J. 109. die Nullen nicht mul⸗

tipliciren koͤnnen, die wirklichen Zahlen von beyden Facto-
ribus in gehoͤriger Ordnung unter einander ſetzen, ſie mit
einander multipliciren, und dem gekommenen Facto die
Arnzahl ſaͤmtlicher Nullen, welche ſowol der Multiplican-
dus, als Multiplicans enthalten, beyfuͤgen, ſo iſt ge⸗
ſchehen, was verlangt worden. z. E.
Man ſoll 2130000 mit 234000 multipliciren.
Solutio.
I 3 0O 0⏑° 0
3 4 0Oo o

—

2
2

. 6 „
4 2 G „
———

Fact. 4 9 8 4 2000⏑.0⏑
Beweis: Wenn der Multiplicandus 2130000 nur
mit 1000 vermehrt werden ſollen, ſo haͤtte man,
weil 1 nicht multiplicirt, (§. 109. Reg. 5. & Zuſatz)
nur die 3 Nullen des Multiplicatoris, welche in
dieſer Solutio ſeitwaͤrts bey a herausgeruͤckt worden,
hinter dem Multiplicandum ſetzen duͤrfen, und das
Factum wuͤrde ſeyn = 2130000000; folglich iſt
auch das Factum von 4000 α 2130000 =
85200000ο0ο, welches Factum eben ſo bey b ſtehet,
wenn man die den Zahlen beygefuͤgte Puncte fuͤr
Nullen anſiehet; Ferner iſt auf gleiche Art der Mul-
tiplicandus 30mal, d. i. 30000mal genommen, und

₰

5§5 2 2
9 .

„ „% „
„ „ %
Q O e

*
„* *
*

9

Kn⸗
nicht nun
ae zwi
Nul, w
wie ben
s Raa

Den
Nichti 5
eergehet
ſich den
ſen ei
rüͤckung d
veranlife
muͤſſen.

cator, we⸗
indo ange

wol, als
n hat.
(tores am
en, ſo darf

nicht mul⸗

den Facto⸗

en, ſie mitt

Pacto die
ſtiplican⸗
ſ iſ ge⸗

en. 1

0000 kut
tte man,
Zuſaß)
welche in

hic i

000 .

b ſiche,
e fir
derhlu⸗

men, und

N

—

Die practiſche Nechenkunſt. 93 RMR

deſſen Fact. = 63900000000, wie ebenfalls die
Puncte zeigen, bey c geſetzt worden. Eben ſo iſt
auch der Multipl. 200mal, d. i. 200000 mal genom⸗
men und deſſen Fact. = 426000000000 bey d ge⸗
ſetzt. Endlich ſind alle 3 Facta b c — d addirt,
mithin der Multiplicandus ſo vielmal in dieſe Sum-
ma gebracht, als der Multiplicans Einheiten ent⸗
haͤlt: Ergo muß auch dieſe Summa das geſuchte
richtige Factum ſeyn.
74) Multiplicire 2460000 mit 246000!
75) Wie viel macht 2300 6732002
760 23420⁰ ° 4798000?
—— · ⸗ 23500 ° 54320000

8. Aufgaben, wo in der Mitte des Multiplicandi
Nullen vorkommen.

§. 126. Obgleich ein Numerus Significans eine o
nicht multipliciren kann, (§F. 109. Reg. 6.) ſo muß doch
jede zwiſchen den Zahlen des Multiplicandi gefundene
Null, wenn keine im Sinn behaltene Zahl ihre Stelle,
wie bey a, einnimmt, unter den Multipliciren, herunter in
das Factum gebracht werden. z. E.
2 0O △⏑% 2½
180°0°1 8
Denn wollte man dieſe Nullen blos als Zeichen von
Nichts betrachten, und ſie dieſerhalb im Faëto gaͤnzlich
uͤbergehen, ohne zu bedenken, daß dieſe Nullen auch zu⸗
gleich den Mangel der in dieſen Zahlſtellen fehlenden Zif⸗
fern bezeichnen, (5. 17.) ſo wuͤrde nothwendig wegen Vor⸗
ruͤckung der Zahlen, welche durch Auslaſſung der Nullen
veranlaßet worden, ein falſches Factum herauskommen

muͤſſen. z. C.

20002

94 Die practiſche Rechenkunſt.

2000 2
9

Dieſes Fact. 1 8 18 iſt weit kleiner als der
Multiplicandus ſelbſt, alſo offenbar falſch, und dieſes blos
daher, weil, durch Nichtherunternehmung der Nul⸗
len des Multiplicandi, dieſe Zahlen des Facti unrich⸗
uige Zahlſtellen erhalten haben.

Zuſatz: Eben ſo wie, vorgezeigtermaſſen, die Nullen
des Multiplicandi, in einem einzigen Facto her⸗

heruntergenommen werden. z. E.
Man ſoll 600024 mit 234 multipliciren.

Solutio.
6 °° °2 4
2 3 4
2 40O 0⏑°% ° 6
I1800O 0°7 2
1 2000°4 8⁸

140405 6 1 6

F. 113. und 125. gelehret worden, und ſo, daß die groͤß⸗
ten Unitaͤten des Multiplicandi zuerſt mit den groͤß⸗
ten Unitaͤten des Multiplicatoris, u. ſ. f. nach ihrer

Beweiſe der Richtigkeit, daſſelbe Factum erſcheinen. z. E.
Man rechne 1) die 600οοο des Multiplicandi 200
mal alſo: 600OOο . .⅜
2 500
giebt das Fact. I200π.– 0⏑8
2) dieſelben noch 30mal, alſo: 6 0 0ος0ο 0ο
giebt das Fact. I 8 O σο0οο⏑¾

untergenommen werden, ſo muͤſſen ſie auch in alle Ka-
(ta der Aufgabe, ſo viel derſelben auch ſeyn moͤgen,

Berechnet man dieſe Aufgabe auch nach der Art, wie

Ruͤckfolge, multipliciret werden; ſo wird ebenfalls, zum

—

—
—
—

Deane

ſtand
NR
Plicane

R)di

Die aus

dieſe

Dih
ig geich

inri

7 3
79)

4 s der
dieſes dos
det Nub
urrich,

die Nullen

Facto het⸗

in ale Fa-
n miͤgen,

At, wpit.

diegroͤß
e groß⸗
nach ihrer
ls, zum
nen. . E⸗
ndi 200
0,0
0 0
—
0006
00

Die pracliſche Rechenkunſt. 95

3) dieſelben noch Amal, alſo: 60°0°

So geben dieſe 3 Facta:

2
8
0

0ο0ο
Oι½
0% αι

TR
1

„

4
4
0

O°ς¾ O
Oπι

R.
Die aus 234 600000 ent⸗
ſtandene Summa: 14 0°40°0οο°⏑⁄ς—⏑⁄½⏑⅓..

Nun nehme man 4) die noch uͤbrigen 24 des Multi-
plicandi ebenfalls 200 mal, alſo: 2 4

O:

0

giebt das act.

8 00
55) dieſelben noch zomal, alſo: 4

NR ⏑ †£
=
00

— SO O O

giebe d das Fact.
6) Nefileen noch 4tmal, alſo:

+☚ O

α

—

ſ geben dieſe 3 lezten Facta 9 6
14 8 ◻

Die aus 234 “ 24 entſtandene Summa 5 6 5 6 1 6

Zu dieſer die obige SZumma 1 4°40αοςOοο.

giebt 1 4 4 5 6 1 6
Welche Zahl der vorhergehenden, in obiger Solut. voͤl⸗
lig gleich iſt: Ergo hat es mit dieſer Rechnung ſeine voͤl⸗
lige Richtigkeit.
78) Wie viel iſt 1 342 402 00032
79) 24743☛50000οο S⅝?
80)0) 2987654 ℛ10010012

81)

96 Die practiſche Rechenkunff.

81) Wie viel iſt 1 2 3 4 5 %ℛ20202032
82) „23457 ℛ400ο⏑10.66⁵
82) ⸗ 54326 °50°00ο°⏑77 092
9) Aufgaben, wo der Multiplicans in der
Mitten Nullen enthaͤlt.

B §. 127. Weil, zu Folge der 6ten Reg. F. 109., 0 α
4 = ο Eec. ſo wuͤrden, wenn man mit den in der Mitte
bes Multiplicatoris vorkommenden Nullen multipliciren
wollte, doch nichts als lauter Nullen zum Facto kommen,
ſo wie z. B. in ſolgender Solut. bey a.

„

7 3 5 °6 S
Dieſes Rullenfactum a aber wuͤrde, wie hier ſichtbar,
ganz unnuͤtz und vergeblich da ſtehen, weil es bey der Ad-
ditio der vorhandenen Factorum gar nichts zur Sum⸗
me beytraͤgt. Und eben dieſes giebt eine gegruͤndete Urſa⸗
che, warum man, zu Folge des Zuſatzes der 6ten Reg. §.
109, alle in der Mitten des Multiplicatoris vorkom⸗
menden Nullen gaͤnzlich uͤbergehen, und ſogleich mit der
zunaͤchſt auf die uͤbergangenen Nullen folgende Ziffer zu
multipliciren ſortfahren kann, um dadurch zu verhuͤten,
das kein unnuͤtzes Nullenſattun, wie hier bey a, rent

2
D

1

*
0.

Weil hier, dnrch Uebergehung der o, keine Zahlfell .
der Factorum verruͤckt worden, ſo mußten auch die Facta:
von 2 %4 234 von 390 2434 eben dieſelbe Sum⸗
me

me geb
lenfatte
zum
ſeine d
Nullen

Me

Na
velchez
Zahlten
ner &r.
an geh
Ce. a
3000 „
te Iiſer

Ueberg

in eine
Deeſe
Mulip
2mal ni

Re

9., 0 ℳ
det Mitte

ttipliciren

folmmen,

rſcin
NderAl-
ur Guim⸗
te lefn
Reg⸗ .
vorkonn⸗
nit der
Zifſer
verhuren,
1, ntt

zihfiii⸗
latkr.
teEm
e

84) Vermehre . 4 2 342 mit 5 008⁸! 2

W Die practiſche Rechenkunſt. 97

me geben, welche die naͤmlichen Facta, zu ſamt dem Nul⸗

lenfacto a, in vorhergehender Solution gegeben, welches
zum Beweiſe dienet, daß es mit vorſtehender Rechnung

ſeine voͤllige Richtigkeit habe. Eine Aufgabe mit mehr

Nullen wird die Sache noch mehr erhellen. z. E.
Man ſoll 2434 mit 3002 multipliciren:
Solutio
3˙00GÜ2

. .

4⁸ 668
7302 „
. 7 30 6 8 6 G⁊ S
Man ſieht hier, wie vorher, das erſte Fact. 4868,
welches aus 2 %“ 2434 entſtenden, an ſeinen gehoͤrigen
Zahlſtellen, d. i. Einer unter Einer, Zehener unter Zehe⸗
ner &c. ſtehen. Eben ſo ſtehet auch das 2te Fact. 7302

an gehoͤrigen Zahlſtellen, d. i. Tauſende unter Tauſende

Ec. Denn weil daſſelbe aus Tauſenden, naͤmlich aus

3000 — 2434 entſtanden, ſo iſt auch dieſerwegen die lez⸗

te Ziffer 2, des Facti 7302, in die 4te Zahlſtelle, durch
Uebergehung der Nullen, geſetzt, und endlich beyde Facta
in eine Summe gebracht worden, welche Summe, zum
Beweiſe der Richtigkeit, auch dann kommt, wenn man den
Multiplicandum 2434 zuerſt 3000 mal, hernach noch
2 mal nimmt. z. E. ——
300°0° 1⁹% 434 7 30200/0
+ 2 ℳ%2 434 48 60

Summa 7306868

8) ⸗ „ 684543 4100 31
86) Nimm 200 604 ☚7 236421

877 800008/S ◻9234 5 6 Ǵ

GGp = 10.

98 Die practiſche Rechenkunſt.

10. Aufgaben, wo der Multiplicandus, ſowol als

der Multiplicans, in der Mitten Nullen hat.

§. 128. Man wende bey dieſen Aufgaben nur an, was
27. gelehret worden, ſo kann es mit Aufloͤ⸗

§. 126. & 12

ſung derſelben keine Schwierigkeit haben.
88) Multiplicire 3 0 ο4ο⏑⁄ι⏑ mit 40005.

Solutio

6 20

+ 1 2

X
8 £☚
0
0

OOδ6OOO⁊,OO ο0

1I 2016 02 °°%°
und auch
300409 5
☛5
1 175 οο°ο⏑. e 4

15°2 °0 2 5
62 % ο .

2 0

x 7 5 2 2 °°⏑ 2 5

89) Wie viel 3000°ο4 30050042
:⸗ 500Oαω.ωυο.„B ι 050οοωrωο ?
91) 700I1OO ϑι☚30Oοοω°ο.S⁸
9²) Multiplicire 8765432 mit 987654, zum Product
addire 1342786023472. Wie groß iſt die Humme?
93) viel iſt 34567 ◻ 543209 + 5678 T† 7360
4573?

90) „ ⸗
⸗

94)

kation
tig gen
Pplican
der M.
kann
dang,
uns he
F.
lange e

hranch

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Additi

I.
lN

davon ſ

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ur n, was
mit Aufl⸗

104
109:
9001

n Nwodutt

ie Eunmme!
8 † o
99

Die practiſche Rechenkunſt. 99

94) Wenn man zu 3578 4 9732 addirt 444 T 777

1P 888 + 222, wie groß iſt die SHumme?

Von der Proba der Maltiplicatio.
§. 129. Um zu erfahren, ob das durch die Multipli⸗
kation gefundene Faétum auch das wahre, und alſo rich⸗
tig gerechnet ſey, darf man nur daſſelbe mit dem Multi-
plicando dividiren, ſo wird, zum Zeichen der Richtigkeit
der Multiplicator im Quotienten erſcheinen. Oder man

kann das Factum mit dem Multiplicante dividiren, da

dann, wenn richtig gerechnet worden, der Multiplican-
dus herauskommen wird. §. 109. Reg. 7.
§. 130. Weil aber dem Anfaͤnger der Rechenkunſt, ſo
lange er noch nicht dividiren kann, vorſtehende Probe un⸗
brauchbar iſt, ſo will demſelben vorlaͤufig eine andere und
weit leichtere Probe zeigen, welche derjenigen, ſo bey der
Addition (§. 103. 2 Proba) gezeiget, voͤllig gleich iſt.
Man addire die Ziffern aller Factorum, und nehme

davon ſo oft, als ſich thun laͤßt, 9 ab, den Reſt ſetze man

NR

oben in das „: Eben o verfahre man mit den
ſo verſah

Ziffern des Facti, wie bey der ten Adoitieneprole geleh⸗
ret worden. z. TC. 3 3 4

3 2 7 S

2338 a
55 6 3 b
X g &2 Cc 3
I 9 9 2T38d

Da hier von den 3 Factoribus a, b, c, nach abgezo⸗
enen Neunen, ſo oft ſichs thun laſſen, noch 3 uͤbrig
des Flieben; eine gleiche Ziffer auch das Factum d,
dach abgezogenen Neunen, gelaſſen; ſo wird aus die⸗
ſer Gleichheit die Richtigkeit der Berechnung ge⸗
ſchloſſen.
Anm. In wie weit der Zuläßigkeit dieſer Proke zu trauen,
iſt oben bey der Anmerk. zur ꝛten Additionsprobe nach⸗
zuleſen; deswegen auch dieſe Probe, ſo bals man divi⸗
diren gelernet, ihren Abſchied erhalten muß⸗
G 2 §. 131.

100

Die practiſche Rechenkunſt.

§. 131. Nachdem ich nun deutlich genug gezeiget, wie
eine Zahl, verlangter maſſen, auf zweyerley Art,
naͤmlich durch die Additio, und Multiplicatio, vergroͤſſ⸗
ſert werden kann; ſo werde auch eben ſo deutlich zeigen,
wie eine Zahl, verlangter maſſen, auf zweyerley Art,
naͤmlich, durch die Subtractio, und durch die Diviſio, zu

verkleinern ſey.

Vorausgeſetzt, daß man ſich vorher wohl bekanntmacher

Das Ein von Eins.

1 von 1 bleibt o 3 von 4 bleibt 1
3 3 3 ⸗ O 3 „ 6 7 3
Reg. 4. 232 2
1 von 2 bleibt 1 4 von 5 bleibt 1
D1⸗ 3 ⸗ 2 4 66 ⸗ 2
1 ‧ 4 4 ‧ 7 3
156 : 5 4 ‧ 9 :
1⸗ 7 ⸗ 6 5 von 6 bleibt 1
1⸗ 8 ½ 7 5S ⸗ 7 ‧ 2
1 ⸗ 9 8 5 ⸗ 8 ; 3
2 von 3 bleibt 1 5 von 7 bleibt 1
2 ½ 4 2 6 ⸗ 8 ⸗ 2
2 ¾ 5 2 3 6 9 3
2 6 ⸗ 4 -
„ 2 7 „ 5 von 8 dieibt 1
2 5 8 ⸗„ 6 7 9 2
2 ⸗ 9 718 von o bleibt 1

„

Diie practiſche Rechenkunſt. 10
get, wie III. Die Subtractio in unbenamten

a ganzen Zahlen.
egen, §. 132. Subtrahiren, abziehen, heißt: den Unter⸗
) Art, ſchied von zwo gegebenen Zahlen, um welchen die eine
fo, A groͤßer iſt, als die andere, finden, welcher Unterſchied
der Re ſt heiffet. ”J”M”M
tmacher Anm. Dieſes Species iſt der Additio gerade entgegen ge⸗

ſetzt: Denn ſo wie durch das Addiren unſer Vermoͤgen
immer mehr und mehr zunimmt, indem wir einen
Thaler nach dem andern einnehmen, und unſerm Ver⸗
moͤgen zufuͤgen; ſo nimmt im Gegentheil unſer Ver⸗

1 moͤgen immer mehr und mehr ab, oder wird kleiner,
indem wir einen Thaler nach dem andern davon neh⸗
mien, oder abziehen.
Wer in ſeinem Leben das Gluͤck hat, mehr einzu⸗
nehmen und zu ſeinem Vermoͤgen zu addiren, als

auszzugeben, oder von ſeinem Vermoͤgen zu ſubtra⸗
hiren, der wird immer reicher.
Hingegen wird derjenige, welcher von ſeinem Ver⸗
moͤgen mehrausgiebt oder ſubtrahirt, als er ein⸗
SZ zunehmen, oder zu ſeinem Vermoͤgen zu addiren
hat, immer aͤrmer, ja er muß zuletzt gar in Schulden
. gerathen.

Ein Paar Exempel koͤnnen die Sache klar machen:
1) Adam beſitzt am baaren Gelde 4 Thaler, giebt da⸗
von aus 1 Thaler, behaͤlt alſo noch 3 Thaler. Nun
nipmmt er wieder ein 3 Thaler, mithin hat er ſchon 6
Thaler; folglich iſt er auch, weil ſeine Einnahme die
Ausgabe uͤbertrift, um 2 Thaler reicher gewor⸗
. den, als er im Anfange war.
. 2) Balzer hat am baaren Gelde auch 4 Thlr., giebt
davon aus Thaler, behaͤlt alſo nur noch 1 Thaler.
Nun nimmt er wiederum ein 2² Thaler, mithin beſitzt
er wiederum 3 Thaler; folglich, da ſeine Ausgabe die
Einnahme uͤberwiegt, iſt ertauch um 1 Thaler
aͤrmer geworden, als er im Anfange war.

, 3) Caſpar beſitzt ebenfalls 4 Thaler, wovon er 6 Tha⸗
. leer ausgeben ſoll. Da er aber nur 4 Thaler, und alſs
1 ?2? Thaler weniger hat, als er ausgeben ſoll, ſo iſt die⸗
2 ſes Vermoͤgen nicht hinreichend, und ob er gleich ſaͤmt⸗

liche 4 Thaler hingiebt, ſo muß er doch noch 2 Thaler
ſchuldig bleiben, die ihn an der Summe von 6 Thaler
fehlen. Würde er nun auch 1 Thaler wiederum eins
. . G 3 nehe

Die practiſche Rechenkunſt.

nehmen, ſo wuͤrde er doch, von 2 Thaler gemachter
Schuld, nur noch 1 Thaler abtragen koͤnnen, mithin

beym Verluſt ſeines ganzen Vermoͤgens noch 1 Thaler

ſchuldig bleiben.
Caſpar wird alſo unter den dreyen der Ungluͤcklichſte,
er wird arm ſeyn.
§. 133. Ehe ich zeige wie das Subtrahiren geſchie⸗
het, will ich erſt, wie bey der Addition und Multiplica⸗
tion geſchehen, einige bey der Subtractio gebraͤuchliche
Kunſtwoͤrter und Zeichen, nebſt einigen dahin gehoͤ⸗
rigen Regeln, welche wohl zu merken, voranſch icken.

1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Subtractio.

Minuendus, iſt die groͤß eſte von zwo gegebenen Zah⸗
len, und von welcher man eine kleinere gegebene
Zahl abziehen oder ſübtrahiren ſoll.
Subtrahendus, iſt die kleinſte von zwo gegebenen
Zahlen, welche von der groͤßten, dem Minuendo,
abgezogen oder ſubtrahirt werden ſoll.
Reſt oder
Reſiduum, iſt diejenige geſuchte Zahl, welche nach
verrichteter Subtraétio uͤbrig geblieben, oder ſie iſt
auch der Unterſchied, um welchen die eine der ge⸗

gebenen Zahlen groͤßer oder kleiner als die an⸗-

dere iſt. Z. E. 3 von 5§ bleibt 2. Hier iſt 5 der
Minuendus, 3 der Subtrahendus, und 2 der Reſt.
Und ſo iſt auch 2 der Unterſchied, um welchen 5
groͤßer als 3, oder um welchen 3 k keiner als 5„ iſt.
Differenz, der Unterſchied von 2 gegebenen Zahlen.
Das Zeichen der Subtractio iſt: — und heißt: Mi-
nus, weniger. Die Mathematiker pflegen, des kurzen
Ausdrucks wegen, dieſes Zeichen — zwiſchen die ge⸗
gebenen Zahlen, von welchen man den Unterſchied
wiſſen will, zwiſchen dieſen und den Reſt oder Un⸗
terſchied aber, das ſchon bekannte Zeichen: = zu ſetzen.
Z. E. 4 — 1 = 3 wird geleſen: 4 minus, oder we⸗
niger 1 iſt gleich 3z. D. i. Der Unterſchied zwiſchen 4

und 1 iſt 3, als um welche die Zahl 4 9 ro ßer als 1,

oder I kleiner als 4 iſt.
1. Anm.

1. An

7

Die ptactiſche Rechenkunſt. 103

etehhter 1. Anm. Man muß allemal, wie eben geſchehen, beſon⸗
, milhin deers wenn es eine Aufgabe betrift, den Mi⸗
Thaler nuendum zu erſt ſetzen, weil umgekehrt die Aufga⸗
5 be ein falſches Anſehen erhalten wuͤrde. Z. E. 1 — 4.
lücichſie, Eins weniger 4. — — So koͤnnte man nur ſagen,

wenn man ſeine Schulden bezeichnen wollte. Z. E. Ich
habe nur 1 Thaler, und ſoll doch 4 Thaler davon be⸗

1 geſchie aäaäaaahlen. Wollte man nun wiſſen, wie viel mir noch,
bultipliea⸗ um 4 Dhaler bezahlen zu koͤnnen, fehlten: ſo muͤßte
taͤuchliche mDan nicht die erſte, ſondern die ꝛte, als die groͤßte
hin geon Zahl, zum Minuendo annehmen, und ſodann die
6 l.) erſte von derſelben abziehen; da ſich dann finden wuͤr⸗
hhicken. de, daß mir noch 3 Thaler fehlten, welche ich alſo
a. ſchuldig bleiben muͤßte. Und ſo waͤren dieſe 3 Thaler
acio. der Unterſchied, welcher anzeigete, um wie viel
enan Zih⸗ ich zu arm waͤre, 4 Thaler bezahlen zu koͤnnen.
lieſene 2. Anm. Bey Erklaͤrungen, wie eine Aufgabe berechnet wor⸗
gege⸗ den, ſindet zwar die Schreibart, da man den Minuen-
duñm nach dem — ſetzet, Statt, z. E. 7 — 10 — 3
edebenen (85. 139.) allein bey ſolchen Faͤllen thut man wohl, um
innendo, Frrungen zu vermeiden, daß man das Zeichen — mit.
von ausdruͤcke, als: 7 von 10 &.
§. 134. 2. Regeln der Subtractio.
ce Reg. 1I. Eine gerade Zahl, von einer geraden Zahl
aſ * abgezogen, laͤßt eine gerade Zahl uͤbrig. z. E. 2.
nede 4 von 6 bleibt 4.
s di i Reg. 2. Eine gerade Zahl, von einer ungeraden—
iſ ſa 1 ſubtrahiret, laͤßt eine unger ade Zahl. z. E. 4 von
* 9 bleibt 5.
we 6 Reg. 3. Eine ungeradeZahl, von einer ungeraden
teſi Zahl abgezogen, laͤßt eine gerade Zahl. z. E. 3
eſlen. . von 7 bleibt 4. M
tißt! M. Reg. 4. Zwogleiche Groͤßen, von einander abgezogen,
des kurzen laſſen zu ihrem Reſte o, d. i. Nichts. z. E. 36
en die ge⸗ von 36 bleibt 0.
tetſchied Anm. Bey der Diviſio heißt es, wenn man das Produ&
ſ oer Un des Quotienten und Diviſoris, von einengleichgtof⸗
ſtzen. ſen Zahl des Dividendi abzieht: Esgeht auf.
oer ve⸗ Wie das Subtrahiren geſchieht.
zwiſchen SS F. 135. Von den gegebenen zwo Zahlen, deren Un⸗
er teterſchied oder Reſt man zu wiſſen verlanget, wird der

n. G 4 Mi-

7

104 Die prgetiſche Rechenkunſt.

Minuendus, ass die groͤßte Zahl, oben; der Sutbra-

hendus, als die kkeinſte Zahl, welche von der groͤßten
abgezogen werden ſoll, darunter geſetzt, und zwar eben

ſo, wie bey der Additio und Multiplicatio gelehret: die

Einer unter Einer; Zehner unter Zehner; Hunderte un⸗
ter Hunderte ꝛc. Darauf wird unter beyde alſo aufge⸗
ſetzte Zahlen eine Linie gezogen, um unter dieſelbe den
Unterſchied oder Reſt, ſo wie er nach und nach von
der Rechten nach der Linken abgezogen wird, zu ſetzen.
Man ziehet zuerſt die Einer des Subtrahendi von den
Einern des Minuendi ab, und ſetzet deren Reſt ſodann
unter die gemachte Linie, gerade unter die Einer.

Eben ſo ziehet man die Zehner von den Zehnern; 7

die Hunderte von den Hunderten ab ꝛc. und ſetzet
jeden Re ſt an ſeine gehoͤrige Stelle.

1. Aufgaben, wo die Ziffern des Subtrahendi

alle kleiner als die Ziffern des Minuendi ſind.

§. 136. Da alles, was zur Aufloͤſung oder Berech⸗
nung dieſer Art Aufgaben gehoͤret, ſchon im vorhergehen⸗

den Fpho hinreichend gelehret worden: ſo koͤnnen wir ſo⸗

gleich die Subtractio ſelbſt vor die Hand nehmen.
1) Man ſoll den Unterſchied finden, um welchen die Zahl
9 87 6 groͤßer ſey, als 4 5 2 0.
Solutio.
9 8 7 6 Minuendus
4 5 2 ⏑ Subtrahendus

Reſt 5 3 5 6

2

Fange bey den Einern an, und ſage: O von 6 bleibt 6.

Dieſe 6 ſetze an ihre gehoͤrige Stelle, unter den Strich, ge⸗
rade unter die Einer; ferner: 2 von 7 bleibt 5, dieſe
5 Zehner, als den Reſt von 7 Zehner, unter die Zeh⸗
ner, neben die Einer, an ihre Stelle geſetzt. Ferner: 5 von
8 bleiben 3, dieſe, als den Reſt von 8 Hunderten, an
ihre Zte Zahlſtelle geſetzt. Endlich ſage: 4 von 9 bleiben
F, dieſe, als den Reſt von 9 Tauſenden, an ihre 4te

Stelle geſetzt, ſo zeiget der ſaͤmtliche Reſt aller Einer,

Zeh⸗

Lehne
Um w
die an

Be

——— — — —ð

uthra⸗

oßten
t eben
te: die

erte un⸗
vaufge⸗
lbe den
ich von
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on den
ſodann
Einer.
hnern;
nb ſetet

Wendi

ſiud.
Berech⸗
gehen⸗
wir ſo⸗

ee

die andere gegebene kleinere Zahl 4520.

Die practiſche Rechenkunſt. 105

Zehner, Hunderte und Tauſende, den Unter ſchied an,
um welche die gegebene groͤßere Zahl groͤßer iſt, als
Beweis: Es enthaͤlt die gefundene Zahl in ſich, den
Reſt aller Einer, aller Zehner, aller Hunderte,
aller Tauſende; kurz aller Einer, von welcher
Art ſie immer ſeyn moͤgen. Da nun der Reſt aller
Theile, dem ganzen Reſte gleich iſt; ſerner: dieſer
Reſt mit dem Suhtrahendo zuſammen genommen,
dem Minuendo gleich iſt: ſo hat es auch mit der Re⸗
gel, nach welcher hier ſubtrahiret worden, ſeine Rich⸗
tigkeit. V
Zzuſ. 1) Dieſen Beweis noch deutlicher einzuſehen,
darf man nur erwegen: Daß von einer gegebenen
Zahl aufs hoͤchſte nur eine gleich große Zahl
abgezogen werden kann. Z. E. von der Zahl 8 kann
nicht mehr als 8 abgezogen werden: denn 8 — 8
= 0 (§. 134. Reg. 4.) Mithin muß vom Minen-
do, der Zahl 8, ſo viel uͤbrig bleiben, als man von
demſelben weniger als 8 abziehet, z. E. ziehet
man vom Minuendo 8, den Subtrahendum 7 ab,
ſo bleibt 1 und umgekehrt 8 –— 1 = 7.
Zieht man vom Min. 8. dem Subtr. 6 ab, ſo bleibt
pro Reſto 2; und umgekehrt: 8 – 2 = 6 &c.
Folglich muß der Subtrahendus und Reſt. zuſam:
men genommen, dem ganzen Minuendo gleich ſeyn.
z. E. der Subtr. 7 und der Reſt 1, geben die Zahl 8,
welche dem Minuendo voͤllig gleich iſt; alſo auch
1 + 7 = 8; ebenfalls 6 + 2 = 8; oder 2 +– 6
= 8 &c. Da nun dieſes bey allen Zahlen,
ſie moͤgen ſo groß ſeyn, als ſie immer wollen, zutrift;
ſo kann auch dieſes Verfahren zur Probe dienen, daß
richtig gerechnet worden, z. E.
Der Reſt vorſtehender Aufgabe iſt: 5 3 5 6
der Subtrahendus: 4 5 2 O

Beyde geben wieder den Minuend. 9 8 7 6.
° 5 Zuſ.

106 Die practiſche Rechenkunſt.

Zuſ. 2) Weil nun, wie vorher gezeiget worden, der
Subtrahendus 2, von dem Minuendo genommen,

den Reſt 6 laͤßt, und auch umgekehrt: 8 — 6

2: ſo muß, wenn der Reſt vom Minuendo ſubtra⸗
hiret wird, der Subtrahendus erſcheinen. z. E.
unſer voriger Minuendus = 9 8 7 6
— den Reſt 5 3 5 6

giebt wieder den Subtrah. 4 5 2 0.

Dieſes kann die zweyte Probe, daß richtig gerechnet, geben.

2) Man ſoll die Differenz, zu den gegebenen Zahlen:
12345678 und 23456789, finden.
3) Um wie viel iſt die Zahl 345679 kleiner, als die Zahl
45679892
4) Was betraͤgt der Unterſchied, von den Zahlen 56789
uund 325172
5) Um wie viel iſt die groͤßere, von den beyden Zahlen
978476 und 754213, mehr als die kleinere?

6) Man ſubtrahire 621021 von 843254, was bleibt pro

Reſto?

2. Aufgaben, da einige Ziffern des Subtrahendi
groͤßer, als die daruͤber ſtehenden des
Minuendi ſind.

§. 137. Weil im Subtrahendo oft einige Ziffern zu

ſubtrahiren vorkommen, welche groͤßer ſind, als die dar⸗

uͤber ſtehenden Ziffern des Minuendi: ſo hat man auch
ein Mittel noͤthig, wodurch der zu kleinen Ziffer des
Minuendi das Fehlende gegeben werde, um von der⸗
ſelben ſubtrahiren zu koͤnnen. Es beſtehet aber dieſes Mit⸗
tel darinnen: daß man, ſo oft eine Ziffer des Subtrahen-
di zu groß iſt, um von einer kleinern Ziffer des Mi-
nuendi abziehen zu koͤnnen, bey der naͤchſt folgenden
Ziffer des Subtrahendi, gleichſam als von einem dienſt⸗
fertigen Nachbar, eine Unitaͤt borge, auch dieſe geborgte
Unitaͤt neben der Ziffer, von welcher ſie geborgt worden,
imt einem (.) bemerke, um nicht zu vergeſſen, daß man
bey derſelben geborgt habe. Da nun dieſe geborgte une⸗
a

iſt alle
Ifer,
nuch nun
Einhei
di, hin
in Stan
hendi,
Iuendi
uͤbrig,
nun die
nem P.
den, ſit
Gehtte
Ekſertun
hrr, ehe
gun, vnl
es billig
Erenyel
Mn

en, der
ammen,
-6
0 ſultta⸗
76
355

—
520.

et, geben.

Zahlen:
bie dhl
156789
a Zhen

leibt pro

tabendi
8

ifen 1
die dan
men ouch
If des
von der⸗
ſ Mi⸗
trahen⸗
des Mi-
ge nden
m dienſt
geborgte

Die practiſche Rechenkunt. 107

tät allem al 10 ſolcher Unitaͤten enthaͤlt, als diejenige
Ziffer, um welcher willen geborget worden: ſo koͤnnen
auch nunmehr dieſe geborgten 10 kleinen Unitaͤten, zu den
Einheiten der zu kleinen Ziffer des Minuen-
di, hinzugethan werden, als wodurch man nicht nur
im Stande iſt, die vorher zu große Ziffer des Subtra-
hendi, von der vorher zu klein gefundenen Ziffer des Mi-
nuendi, abzuziehen; ſondern es bleibt auch noch ein Reſt
uͤbrig, welcher an ſeine gehoͤrige Stelle zu ſetzen. Wenn
nun die folgende Ziffer des Subtrahendi, welche mit ei⸗
nem Puncte, des Geborgten w egen, bemerket wor⸗
den, ſubtrahiret werden ſoll; ſo muß dieſer Ziffer, des

Geborgten wegen, eine Unitaͤt, als eine ſchuldige
Erſtattung, zugerechnet werden. z. E. wenn ſie vor⸗

her, ehe geborgt worden, eine 7 war, ſo muß ſie
nun, um des Geborgten willen, eine 8 gelten, weil
es billig iſt, dem Nachbar das Geborgte zu erwiedern. Ein
Exempel wird die Sache klaͤrer machen.
Man ſoll 5678 von 7432 ſubtrahiren.
Solutio
7 4 3 2 Minuendus
5. 6. 7. 8 Subtrahendus

Reſt. 1 7 5 4

Fange bey den Einern an, und ſage: 8 von 2 kann ich
nicht, muß alſo 1 borgen; bemerke dieſes Geborgte,
bey der nebenſtehenden 7, mit einem (.) addire dieſe
in dem geborgten Zehner enthaltene 10 Einer zu
den 2 Einern des Minuendi, von welchen vorher
nicht abgezogen werden konnte, und ſage: 10 P 2
= 12; nun 8 von 12 bleibt 4. Dieſe ſetze unter
die Einer, an ihre gehoͤrige Stelle. Ferner ſage:
3 (nicht 7, weil die geborgte Unitaͤt, der 7 wieder
verguͤtet werden muß,) von 3 kann ich nicht, muß
derohalben Eins borgen. Weil dieſe geborgte, und
mit einem (.) bemerkte Unitaͤt, als ein Hundert,
ebenfalls 10 Unitaͤten der Ziffer, um welcher reillen
geborgt worden, d. i. 10 Zehner enthaͤlt: ſo ſind
. nun

Die practiſche Rechenkunſt.

nun 10 + 3 = 13; nun 8 von 13 bleibt 5. Dieſe
zum Reſt an ihre gehoͤrige Stelle geſetzt. Da nun,
vorher geſagter Urſach wegen, die mit einem Puncte
bezeichnete 6, als eine 7 betrachtet werden muß, ſo
ſage ferner: 7 von 4 kann ich nicht, muß abermals
Eins borgen. Dieſe geborgte und neben der 5§. mit
einem Puncte bemerkte Unitaͤt iſt 1 Tauſend, wel⸗
che 10 Unitaͤten der vorhergehenden Zifferſtelle, d. i.
10 Huderte enthaͤlt: alſo 10 + 4 = 14 — 7
= 7. Dieſe 7 zum Reſt, an gehoͤrige Stelle geſetzt.
Endlich ſage: 6 von 7 bleibt 1, dieſe an ihre Stelle,
ſo iſt der Reſt = 1754.

Beweis: Es ſind von den Ziffern des Subtrahendi
nach und nach geborgt, und in dem Minuendo uͤber⸗

gegangen:
I1) — — 1 0 Einer
2) — — I .. Zehner
3) — — 10. . Hunderte
die betragen in Ssumma 1I I1 IO
als um welche Zahl der Minuendus wirklich ver⸗
groͤßert worden, um davon ſubtrahiren zu koͤnnen.
Es ſind aber auch dem Subtrahendo, wegen der ge⸗
borgten Unitaͤten, nach gerade zur Verguͤtung zuge⸗
rechnet worden: S
1) ein Zehner = 1 0
2) ein Hundert = I O O
3) ein Tauſend = IOOo

alſo in Summa I I I O.

Da nun dem Subtrahendo eben ſo viel, als dem Mi-
nuendo, zugerechnet, ſo iſt auch das Verhaͤltniß bey⸗

der gegebenen Zahlen durch ſolche gleichgroße Ver⸗

mehrung nicht aufgehoben, ſondern voͤllig beybehal⸗
ten worden. Mithin koͤnnen auch die gegebenen
Zahlen eben ſo betrachtet werden, als ob gar kein
Borgen noͤthig geweſen. Folglich muß der nach ge⸗
ge⸗

ebbe
lang

zuſat

5. Dieſe
Da nunt,
n Puncte
1 mg, ſo
abermals

et 5. mit

end, wel⸗
elle, de i.

4-7

elle geſett.
e Etele,

ndo uͤben

.
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ich ver⸗
3u knnen.
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tung zug’

„
.
.

iini bey

ue Ler⸗

heybeha⸗
gegebenen
. gar fein
ex nech

den .-

btrahendl

—

4

Die practiſche Rechenkunſt. 109

D gebener Regel gefundene Reſt, die geſuchte und ver⸗
langte richtige Zahl ſeyn.

zuſatz: Denn addirt man zum Minuendo 7 4 3 2
die geborgten II I G
ſo entſtehen 8 ¾ 4 2.
addirt man ebenfalls zum Subtrah. 5 6 7 8
die demſelben verguͤteten 1I IO
H ſo entſtehen 6 7 8 8.

Subtrahiret man nun von dieſen ver⸗
groͤßerten Minuendo 8 5 4 2
dem vergroͤßerten Subtr. 6 7 8 8
ſo bleibt pro Reſto 1 7 5 4
welcher dem vorigen in allen voͤllig gleich iſt.

Anm. Will man bey dergleichen Aufgaben, wo geborget
werden muͤſſen, die im 1ſten Zuſatze 16. 136. gegebene
Probe machen, und durch Addirung des Suberahendi
und Reſtes, den Minuendum, zum Zeichen, daß rich⸗
tig gerechnet worden, wieder herausbringen: ſo muß
man nicht die Ziffern des Subtrahendi, wegen beyſte⸗
benden Punctes, wie bey der Subtraction noͤthig war,
um Eins mehr; ſondern ſie nur nach ihrem eigen⸗
thuͤmlichen Werthe rechnen. z. E. —
Der Reſt der vorſtehenden Aufgabe war: 1 7 5 4
Der Subtrahendus + 5. 6. 7. G

giebt, zum Bew. der Richtigkeit, den Min. 7 4 3 2.

7) Subtrahire 34789 von 56432!

8) Subtrahire 6129478 von 8568392!
9) Wie viel iſt 98765432 weniger 123456782
10) Wie viel 432432432 — 2299338892
11) Was iſt die Differenz zwiſchen den Zahlen:
4444444444 und 369854659892

3. Aufgaben, da der Subtrahendus Nullen mit

. unter hat.
§. 128. Ob es gleich ſehr widerſinnig ſcheinet, bey ei⸗
nem Nachbar, der ſelbſt nichts hat, etwas borgen zu wol⸗
en:

110 Die praeriſche Rechenkunſt.

len: ſo geſchiehet dieſes doch allezeit, ſowol bey der Nul⸗

le, dem Zeichen von Nichts, als bey jeder wirkli⸗
chen Zahl, und zwar ohne allen Nachtheil der Richtig⸗
keit ſolcher Herechnung. Es wird auch ebenmaͤßig, wie
vorher gelehret worden, die bey der Nulle geborgte Eins
mit einem Punete bemerket, und dieſerwegen eine ſolche
Null, wobey geborget worden, nachher fuͤr eine wirk⸗
liche Unitaͤt gerechnet. z. E.
Man ſoll von 34115 abziehen 15009.
. Solutio.
3 4 1 I 5
I. 5 0 0. 9
Reſid. I 9 1 0 6
Sage: 9 von 5 kann ich nicht, muß alſo borgen, und
zwar bey der Null. Die geborgte 10 + 5 = 15,
alſo 9 von 15 bleibt 6. Weil nun die Null, bey
welcher geborgt worden, wegen der zuzuſtehenden
Verguͤtung, uuninehr füͤr I gerechnet werden muß,

ſo ſage ferner: I von 1 bleibt o. Ferner von 1
9

bleibt 1 &&c. ””ä
Proba
Reſf. 1 9IO 6
Subtr. T. I 5 0°°9

Min. 3 4 1 I 5
12) Wie viel betraͤgt 929 82142 — 500609782
132½ ⸗ 9999988888 — 60007000032
14) : 61III6IIII6 – 440000440042

XA

4. Auſgaben, da der Minundus Nullen mit
unter hat.

§. 139. Da bey dieſer Art Aufgaben eben nichts

Fremdes vorkoͤmmt, ſo will ich hier nur bemerken: daß
es nicht nothwendig iſt, die geborgten 10 erſt zu der zu
kleinen Zahl des Minuendo zu addiren, und darnach
die Zahl des Subtrahendi abzuziehen; ſondern man kann
jederzeit, von den geborgten 10, erſt die Zahl des 8 Suhers:
hendi

X5) ⸗ „ 987654321987 — 3000000000062

hendi ol
befunde
Summa
Gabt

der Nuß⸗

wirkli⸗
Nichtige
aßig, wie
gte Eins
ine ſolche
ne wirk⸗

gen, 1OD
— 15,
ch, bey
ſtehenden
en muß,
0 von .

47
000;:
00000

en mit

en gichts
ten: duß
der il
darnech
man konn
Sobta
Hendl

tommen. B
Trift ſichs, daß man wegen der letzten zu großen

Rr

Die praetiſche Rechenkunſt. 111

hendi abziehen, ſodann zum Reſte, die vorher zu klein
befundene Zahl des Minuendi darzu thun, und ſolche
Summa, als den Reſt, an gehoͤrige Stelle ſetzen. z. E.
Subtrahire 4567 von 7002! .
Solutio.
7 °%⏑
4. 5. 6.7

Reſt 2 4 3 5
Sage: 7 von 2 kann ich nicht, muß 1 borgen, nun:
7 von 10, (die geborgt werden) bleibt 3 + 2 = 5.
Ferner: 7 von o kann ich nicht, muß 1 borgen, nun:
7 — 10 = 3 + 3=— 3. (§. 133. 2 Anm.) Fer⸗
ner: 6 von o kann ich nicht, muß alſo 1 borgenz
nun; 6 — 10 = 4 +£+ = 4.
Endlich, 5 — 7 = 2. So iſt der Reſt = 2435.
Anm. Da dieſe Art zu Subtrahiren, wegen Erſparung des
Addirens, kuͤrzer, mithin bequemer als die vorige Art
iſt; ſo wollen wir ſie kunftig allezeit beybehalten.

16) Wie viel iſt: 700902 — 5712342
177 99000902 — 876543212

18) Von 900000009 ziehe ab: 7161514191

19) ⸗ 90⁰021000 „ ⸗ 631267123!

5. Aufgaben, wo der Subtrahendus aus weni⸗
gern Ziffern, als der Minuendus, beſtehet.
§. 140. Wenn der Subtrahendus aus wenigern

Ziffern, als der Minuendus, beſtehet, ſo thut man wohl,

die Ziffern des Subtrahendi, wie auch allezeit geſchehen

kann, ruͤckwaͤrts unter den Minuendum zu ſetzen, damit

Einer unter Einer, Zehner unter Zehner &c. zu ſtehen

Ziſffer des Subtrahendi borgen muß: ſo macht man
einen Punct, blos an der leeren benachbarten Zahl⸗
ſtelle, welcher Punct nachher, bey der Verguͤtung des
Geborgten, ſo gut fuͤr eine Unitaͤt angeſehen
wird, als §. 138. bey der Nulle geſchehen. z. E.
Man ſoll von 810042 ſubtrahiren: 3452.

So-

112 Die practiſche Nidatenſ,

Solutio.
8 10O0O☛ 4 2
3. 4. 5 2
8 °⏑ 6 5 9 0

Weil hier des Subtrahendi letzte Ziffer die 3, welche,
wegen des vorher Geborgten, 4 geworden, von der

nicht abgezogen werden konnte, ſo mußte dieſerwe⸗

gen bey der benachbarten leren Zahlſtelle Eins
geborgt, auch das Geborgte daſelbſt mit einem (.)

bemerkt werden. Dieſen Punct nun, ſo wie immer

geſchehen, fuͤr 1 gerechnet, und von der uͤber ihn ſte⸗
henden Ziffer des Minuendi, von der 1 abgezogen,
blieb 0.

Endlich war noch die letzte Ziffer des Minuendi, die

8 uͤbrig, weil aber von derſelben gar nichts abzu⸗

ziehen war: ſo wurde ſie zum Reſt heruntergeſetzt,
und hiermit die ganze Subtraction geendiget.

20) Wenn man von 89200436 abziehett 48254. Was

bleibt pro Reſto?
21) 8690004360 — 719829
22) 21IIIIIIIIII — 69800072
23) Subtrahire 8 von 20000000000000!

6. Aufgaben, wo Nullen unter Nullen iu
ſtehen kommen.

§. 141. Wenn Nullen von Nullen abzuziehen ſind;
ſo koͤnnen auch nichts als Nullen uͤbrig bleiben, eben
ſo wie gleiche Groͤßen, von gleichen Groͤßen, O uͤbrig laſſen,
(§. 134. Reg. 4.) Muß aber, wegen vorhergehenden
Ziffern des Subtrahendi, geborgt werden: ſo bleiben na⸗

tuͤrlich ſo viel von den geborgten 10 uͤbrig, als die abzuzie⸗

hende Ziffer des Subtrahendi- weniger als 10 enchaͤl.
z. E.
Lan ſoll die Differenz finden, von 3000002 —40002.

So⸗

20) G
2⁵)
5)

7.

Und Vi
tik elle
zu erin

orkom

tach un
herden
in rich
)S
24

2 9

1
29)

4

, welcht

„von det 1

dieſerwwe⸗
le Eins

inem (.)
vie immer

1 ijn ſter
Gezogen,

nGi, bie
18 u⸗
gtergeſeht,
iget.

4. Was

en u

en, eben
ig! aſſen,
gehenden

leiti una

rab zuzie⸗
enthalt⸗

Ho⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 1 13

Solutio.
3 O % σ△% ° 2
—R . . 4 00O 2

2 9 6 O0°⏑0°%

Die erſten gleichen Groͤßen von gleichen Groͤßen
der Einer laßen hier, wie die folgenden 3 Nullen
von 3 Nullen nich ts uͤbrig (§. 134. Reg. 4.) des⸗
wegen im Reſt auch 4 Nullen zu ſtehen kommen;
hingegen muß, wegen der 4, bey der leeren Stelle
geborgt werden, und ſo bleiben von dieſen geborgten
10 auch 6. Ferner den Punct auf der leeren Stelle,
als 1 betrachtet, von o kann ich nicht, muß alſe
abermal bey der leeren Stelle borgen. Nun: 1
(fuͤr den Punct gerechnet) von 10 bleibt 9. Endlich
den folgenden Punct, als I betrachtet, von 3 bleibt
2, und ſo erſcheint der Reſt: 2960000,
24) Subtrahire 34005 von 93002. Was bleibt?
2 400⁰60⁰08 von 6007009. ⸗ 2
2 6) ⸗ 234000 von 400000000, ⸗ 2

7. Aufgaben, wo mehr als eine Species
vorkommt.

§. 142. Da dieſe Aufgaben bloß zur Uebung, Pruͤfung,
und Wiederholung desjenigen, was bereits von der Arithme⸗
tik erlernet worden, dienen ſoll; ſo iſt hierbey weiter nichts
zu erinnern als: daß man wohl auf die bey den Aufgaben
vorkommende Zeichen merke, damit man wiſſen moͤge, was
nach und nach mit den Zahlen der Aufgaben vorgenommen
werden muͤſſe, um auf die gegebene arithmetiſche Frage

eine richtige Antwort zu finden.

27) Subtrahire 9785432 von 89765040, zu dem Reſt,
24 mal genommen, addire 8080489409. Wie groß
iſt die BHumme?
28) Wie viel iſt 98 * 405632 56043209 —
735729237
29) Was fuͤr ein Reſt giebt 84699 + 76435 503 —
47717069 öͤ H
30)

114 Die practiſche Rechenkunſt

3⁰) Wie groß iſt die Summa von 436 ✕ 89745213 —

12345678954. + 176612105302
31) Was bleibt pro Reſto von 9999 ☛ 9999 +
8764503 — 531889492 “
32) Multiplicire 8888 mit ſich ſelbſt, zum Facto addire
88888888 und ſubtrahire von der Summa
101218766. Was bleibt pro Reſto?

33) Wie viel iſt 8765 ₰ι 50005 P+ 77665532 —

66666666 — 3025723 + 331510809?
34) 58976432 – 49999978 + 55046009 ¾ 54 —
2568324114. Wie groß iſt der Reſt?
35) Welche Summe giebt 549 α 987 + 879764 —
A216282 ⸗ “
36) Was fuͤr eine Jahrzahl erſcheint, venn man 876456
mit 8 multipl. zum Facto 987643 addirt, und von
der Summa 7997504 ſubtrahiret?

§. 143. Was die Proba der Subtraction betrift, ſo

iſt davon bereits §. 136. Zuſatz 1. & 2. hinreichender Un⸗

terricht gegeben, deswegen die Subtraétio in unbenamten
ganzen Zahlen hiermit beſchloſſen ſeyn mag.

§. 144. Ehe man ſich mit der 2ten Art, eine Zahl
zu verkleinern, bekannt macht, iſt vorher das Eins
in Eins fertig zu lernen. Weil aber dieſes im Grunde
nichts anders, als das verkehrte Einmal Eins iſt; ſo
wird es denen, welche daſſelbe ruͤckwaͤrts und vorwaͤrts ge⸗
lernet haben, ſchon ſo gut als bekannt ſeyn. Denn, wie
0 4= 0% iſt; §. 109. Reg. 6., ſo habe ich auch 4 in
0. Wie I ½¼ 5 = 5§ iſt, Reg. 5. ſo habe ich auch
5 in 5= Imal, u. ſ. f. S SJMMU

Die practiſche Rechenkunſt. 115
21,- Das Eins in Eins.
1 in o habe ich Pinal
† ⸗1 ⸗1
. 1 123 „ 2 4
to addire —)
Shmm in d, 1 habe ich Ginel 5 in bis § habe ich omal
† 2 „ 2, 3 ⸗ 1 6 6 — 1 r :⸗
2 ⸗ 4, S 2 2 ⸗ 6 12 „% ⸗ 2 2
“ 2 6, 7 ⸗ 23; 656 ⸗ 18 — 23 ; 3
3332 —
32 2 ; 8, 9„ ⸗ ⸗4A:⸗ 6 – 24 — 29 4 ⸗
2 10, 1II ⸗ ⸗sS⸗ 5 ⸗„ 30 — 383 „ § ⸗
32 2 12, 13 ⸗ 6 ⸗ 6 36 — 44 „ &$ ⸗
4— 2 ⸗ 4½ 15 N⸗ „⸗ 6 ‧ 42 — 47 1 7 ⸗
2 2 16/ 17 ⸗ 8 2 6 48 — 33 ⸗ ⸗‧ 8 ⸗
12 18, 19 9 ‧ 6 54 — 59 ⸗ 9 :
64 — 3in , 1, 2 habe ich omal 7 in o bis 6 habe ich omal
ä
3 i ⸗ 2 ⸗ F⸗14 — 20 „ ⸗ 2 *
G6s 3 % 1 3½ „ 21 — 2 „ 3:
und von 3 12 — 14 3 7 7 8d8⁸ — 34 ‧½ ⸗ 4
3 18 — 17 ⸗ ⸗ 5 7 ‧ 35 — 41 „ § *
3 18 — 20 ⸗ 6bG ⸗ 7 ⸗ 42 — 48 ⸗ ⸗ 6 ⸗
. 3 21 — 23 7 2 49 — §5S 2 ⸗7 1
etrift, . 3 24 — 26 8 ⸗7 ⸗ 56 — 62 „ 8 ⸗
nber in⸗ 3 2 6 .
enatnten [4 in bis 3 habe ich omal 8 in 0 bis » habe ich omal
4 4 — 7 * ⸗1I 2 8 ⸗ 8 — 15 1I 2
4 ⸗ 8 –— 11 2 ⸗ 8 15 — 23 à „
4 ⸗ 12 — 18 ⸗ „ 3 * 8 2 24 — 31 3 3
ne gahl 12 ‧ 16 — 192 4 3 ⸗ 32 – 39 ⸗ 4 :
1s Eins 4 ⸗ 20 — 23 ⸗ S 2⸗ 8 2 40% — 472 :
a, 4 234 – 272 6 8 ⸗ 48 — zS ⸗ 6
Grunde 4 28 — 3 1 ⸗=7 8 56 – 63 „ 7 =
iſt; ⸗ 4 ⸗ 32 — 35 ⸗82 8 ½ 64 — 71 ·⸗ ⸗ 3 ⸗
artsge⸗ 4 36 — 39 ⸗ ⸗ 9⸗ ⸗ 72 – 79 2
in, wie § in o bis 4 habe ich omal 9 in es 8 habe ich emat
HLi 8s ⸗ 5 — 9 1 9 9⁹ — 17 1
ch in S ⸗ 10/— 14 ⸗ 2 : 9 ‧ 18 — 26 2:⸗
Gonch S 15 — 19 ⸗ ⸗ 3 9 ⸗ 27 — 3,5 = ⸗ 3 2⸗
S ⸗ 20 — 24 ⸗ 4 92 ⸗ 36 – 44 „ 4
15 ⸗ 25 – 29 ⸗ ⸗ S,; 9 ⸗ 45 – 533
S ⸗ 30 — 34 ⸗ 6 ⸗ 9 ⸗2 54 – 62 ⸗ 6 =
4 – 35 — 39 ⸗ ⸗7„: 9 68 —ä— 2v7 7
5S 40 — 44 5 8 ⸗ 9 ‧ 73 – 80 8 ⸗
5 ⸗ 45 — 49 ⸗ ⸗9 2 9 ⸗ 81 – 89 „ 9 „

. 16 Die praetiſche Rechenkunſt.

IV. Diviſio (Theilung) in ganzen
uUnnbenamten Zahlen.
§. 145. Dividiren, heißt eine gegebene Zahl mit er
ner andern gegebenen Zahltheilen, um zu ſehen, wie
viel mal die eine in der andern Zahl enthalten ſey: z. E.
3 Perſonen ſollen ſich in 18 Thlr. theilen, und man ver⸗
langt zu wiſſen: Wie viel Thaler jede Perſon zu ihrem
Antheile erhalten wird? D. i. man verlangt dem 3ten
Theil von 18 zu wiſſen. Sagt man nun, nachdem Eins
in Eins: 3 in 18 habe ich 6 mail; ſo iſt dieſe 6 der geſuch⸗
te 3te Theil, als ſo viel Thaler jede Perſon zu ihrem An⸗
theile erhaͤlt. Daß dieſes aber ſeine Richtigkeit habe, wird
Klar, ſo bald man die 6, als den gefundenen 3ten Theil,
3 mal nimmt, da alsdann die Anzahl der vorhandenen
18 Thaler wieder zum Vorſchein kommt: denn 3 ℳ6

Anm. Man ſieht hieraus: daß die Diviſo nichts anders,

als einenmgekehrte Multiplication iſt.
§. 146. Es erfordert aber die Diviſion, als die ſchwer⸗
ſte aller 4 Rechnungsarten, das ſchaͤrfſte Nachſinnen,
nebſt einer richtigen Beurtheilungskraft, um jedes mal
genau zu erfahren, um wie vielmal die eine gegebene in
der andern gegebenen Zahl enthalten ſey? denn, wenn ich
bey der vorhergehenden Aufgabe, F. 145, den unbedacht⸗
ſamen Irrthum begangen, und geſagt haͤtte: 3 in 18 ha⸗
be ich 7 mal; ſo wuͤrde dieſe Jals 3ter Theil betrach⸗
tet, gegen die zu theilende Zahl 18 zu groß ſeyn, weil
7 ℛ☚3 = 21. Es muͤßten alſo 21 Thlr. zu theilen auf⸗
gegeben ſeyn, wenn jeder der 3 Perſonen 7 Thlr. er⸗
halten ſollte. Haͤtte ich hingegen den Fehler begangen, zu
ſagen: 3 in 18 habe ich 5mal; ſo wuͤrde man den 3ten
Theil 5 zu klein gegen die zu theilende Zahl 18 finden,
weil 5 α3 nur 15 iſt, mithin muͤßten von 18 Thlr. noch

3 Thaler uͤbrig bleiben, in welche aber die theilende Zahl

3 juſt noch einmal enthalten waͤre; folglich auch 6, nicht
aber 5 mal, genommen werden mußte. Weit mehr wird
das Geſagte bey Aufgaben, deren zu theilen gegebene Zah⸗

len aus vielen Ziffern beſtehen, in die nn gengfallen, als

woſelbſt die Erfahrung das Uebrige lehren wir?e 8

1.
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68, nig
eht tin
beneheß

alen, 46.

Mm.

/

Die practiſche Rechenkuuſt. 117

Anm. Der Gebrauch der Divifion erſtreckt ſich im gemei⸗

nen Leben ſehr weit. Z. E. Man will wiſſen, wie viel
große Unitaͤten die man Pfunde nennet, in einer ge⸗
gebenen Mengegleichgroßer TDheile ſolcher Uni⸗
taͤt, die man Lothe nennet, enthalten? Wie viel
Mark, oder Thaler in einer gegebenen Anzahl Schil⸗
linge enthalten? ꝛc. Was ffuͤr ein Antheil ein Je⸗
der, von einer geſchloſſenen Handelsgeſellſchaft, a N
ganzen Gewinne oder Verluſte habe? — Wie
groß der Antheil eines jeden Miterben an einer gan⸗
zen Erbſchaft ſey? ꝛc. alle dieſe, und noch weit
mehrere dergleichen aritmethiſche Fragen, muͤſſen durch⸗
die Diviſio beantwortet werden.
§. 147. Bevor ich zeige, wie das Dividiren geſchie⸗
het, werde ich erſt, wie bey allen vorhergehenden Rech⸗
nungsarten geſchehen, einige bey der Diviſion gebraͤuchli⸗
che Kunſtwoͤrter, nebſt Jeichen derſelben; wie auch
einige hierher gehoͤrige Regeln voranſchicknen.
1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Didviſion.
Dividendus, iſt diejenige Zahl, welche getheilet wer⸗
den foll, z. E. Man ſoll 18 mit 3 theilen: hier
iſt 18 der Dividendus. M D
Diviſor, iſt die Zahl welche theilen ſoll. Z. E. 3 in 18.
Hier iſt 3 der Diviſor.
Quotient, iſt der Theil, welcher nach verrichteter Di⸗
viſion erſcheint. Z. E. 3 in 18 habe ich 6 mal. Hier
iſt 6 der Quotient.
Halbiren, heißt eine dahr zur Haͤlfte nehmen, d. i.
mit 2 theilen. Z. E. 2 in 8. habe ich mal. Hier
iſt 4 die Haͤlfte von 8.

Mledüren, iſt ebendaſſelbe, was halbiren iſt.

Ausmeſſen, heißt: Wenn entweder die eine Zahl
von der andern ſo oft ſubtrahiret; oder die eine mit
der andern dividiret wird, daß nichts uͤbrig bleibt.
Zuſatz: Alſo mißt 1 allein alle Zahlen kaus; weil ſie
von allen Zahlen bis auf nichts kann fubtrahiret wer⸗
den. Die 2 hingegen mißt keine anderen, als die
geraden Zahlen. Z. E. ſie mißt 12, 16, 24 ꝛc.
3 aus 7

7

118 QDDie practiſche Rechenkunſt.
aus; weil nach verrichteter Diviſion nichts uͤbrig
bleibt: dahingegen wuͤrde ſie 13, 15, 23 ꝛc. nicht
ausmeſſen, weil bey jeder dieſer ungeraden Zahlen
1uͤbrig bleibt.

Die Zeichen der Diviſton ſind:

15) Zween uͤbereinander geſetzte Puncte: welche zwi⸗
ſchen den Diviſorem und Dividendum geſetzet wer⸗

den, um dadurch anzudeuten: daß letzterer durch

erſteren dividiret werden ſoll, z. E. 4: 8. D. i. Man

ſoll 8 mit 4 theilen. Man kann dieß leſen: 4 in 8.
oder man verbindet auch durch dieſes Zeichen zween
Zahlen, welche miteinander ein gewiſſes Verhaͤltniß
haben. Z. E. 4: 8= 8: 16, Heißt: 4 zu 8 gleich
8 zu 16. =ð
2) Ein Querſtrich — uͤber welchen man den Dividen-
dum, und unter welchen man den Diviſorem
ſetzet, um damit anzudeuten: daß eine alſo bezeichnete
Zahl zu dividiren ſey. Z. E.
heißt: die Zahl 8 ſoll durch 4 dividiret werden.
Auch pflegt man ſo den Reſt, welcher nach der Di⸗
viſion uͤbrig geblieben iſt, zu bezeichnen, da das vom

Dividendo Uebriggebliebene zu oberſt, der Diviſor

zu unterſt des Strichs, wie vorher, geſetzt wird. Z.

E. 3: 8 = 2, und 2 ☛☚ 3 = 6 von 8, bleibt 2.

dieſer Reſt ſteht ſo .

Anm. Eine alſo geſchriehene Zahl wird auch ein Bruch ge⸗
nennet. Der Bruͤche aber giebt es vielerley, davon an

ſ. O. m.

§. 148. 2. Regeln der Diviſion.

Reg. 1. Wenn der Diviſor dem Dividendo gleich
iſt; ſo mißt er denſelben durch 1 aus: z. E. 6:6
= 1 mal. (vide: Ausmeſſen; §. 147.)

Reg. 2. Iſt der Diviſor groͤßer, als der Dividen-

dus; ſo giebt der Quotient einen Bruch, deſſen Zaͤh⸗
ler der Dividendus; der Nenner aber der Diviſor
iſt. Z. E. 3 in 2 kann ich nicht. Ergo kommen zum
Quotienten 2 (H. 147, 2)..

Anm.

und

ſen
ge⸗

chts ihtir
3 k. nicht
den Zahlen

4

welche zwt

eſetzet wer. —

terer durch
D i. Man
n: 4 in 9.
ſchen;weenn
Verhaͤtnis
1eug hech

Diriden⸗
Diviſorem
bezeichnete

et werben.
der Di⸗
da das vom
er Diviſor
Etwird 5.
, bleist 2.

Bruch ge
Nron N 4

do gleich
E( 6:6

Dividet.
eſen Zih
er Diviſer
mmnen zum

Aum.

Die practiſche Rechenkunſt. 119

Anm. Dergleichen Bruͤche, welche nur Theile vom

Ganzen enthalten, entſtehen allemal, ſo oft eine ge⸗
rade Zahl durch eine ungerade Zahl, oder auch
umgekehrt, dividirt wird. Z. E. 3: 8:— : 2 bleibt der
Bruch ¾ oder 2: 5 =— 2, bleibt der Bruch 2.
Doch koͤnnen auch gerade Zahlen mit geraden, wie unge⸗
rade Zahlen, mit ungeraden Zahlen, dividirt, der⸗
gleichen Bruͤche laſſen, z. E. 5: 7:— 1 bleibt der Bruch
32: und 8: 12 = 1, bleibt der Bruch 4.

Reg. 3. Wenn der Diviſor kleiner iſt, als der Di-

videndus, und doch in ſelbigem aufgehet; ſo
iſt er nur ein Theil des Dividendi. Z. E. 3:
12 = 4; Ergo iſt 3 aus 12 der 4 Theil.

Reg. 4. Iſt der Diviſor kleiner als der Dividendus
und geht doch in ſelbigem nicht auf, wie ſolches
der Fall bey allen ungeraden, durch gerade Zah⸗
len getheilet, iſt: (Reg. 2. Anm.) ſo verhaͤlt er ſich
gegen denſelben als ein Bruch, deſſen Zaͤhler eben
ſolcher Diviſor, der Nenner aber der Dividendus
iſt. Z. E. 7 in 20 geht nicht auf, Ergo verhaͤlt ſich
7 gegen 20 wie saus 20.

Reg. 5. Wenn eine Zahl von der andern durch die
3te dividiret werden kann; ſo kann ſie auch von der
3ten durch die andere, und alſo umgekehrt, dividi⸗
ret werden. z. E.
12 kann, weil 3 b4 12 und 4 % 3 = 12, (H. 109.
Reg. 4.) von der 3 durch 4, und auch von 4 durch
3 dividirt worden; z. E. 3: 12 = 4 und 4:4 = 1I
4: 12 —. 3 und 3: 3 = 1
Zuſatz: Daher kann man mit allenim Einmal Eins
enthaltenen Factoribus, nach ſogenannter Zer faͤl⸗
lung, auf vorgezeigte Art dividiren.

Reg. 6. Wie 2 Zahlen nach Belieben mit einander
multipliciret werden koͤnnen; (§. 109. Reg. 4) ſo
kann auch das daraus entſtandene Produét mit bey⸗
den Zahlen ausgemeſſen werden. Z. E. 3 α 9 = 27.
H 4 Ergo

7

120 Die practiſche Rechenkunſt.

Ergo fann 27 ſowohl mit 3 als mit 9 dividiret
werden, ſo, daß es ohne Reſt aufgehet.

Reg. 7. Wenn eine Zahl eine andere dividiret und

ausmißt, ſo dividiret und mißt ſie auch alle die aus, wel⸗
che von ſolcher andern dividiret undausgemeſſen wer⸗
den. Z. E. 4 dividiret und mißt 8 aus; 8 aber dividirt

und mißt 16, 24, 32 und ſ. f. aus. Ergo dividiret und

mißt dieſe 16, 24, 32 u. ſ. f. auch die 4 aus.
Reg. 8. Die 1 mißt alle Zahlen aus. Denn die 1 mul⸗

tipliciret nicht. §. 109. Reg. 5. V
Reg. 9. Wenn 2, 3 oder mehr Zahlen mit einem ge⸗
meinſchaftlichen Diviſore getheilet werden, ſo
bleibt das Verhaͤltniß der Quotienten daſſelbe,
welches die ungetheilten Zahlen vorher unter ſich
hatten. Z. E. die Zahlen 8, 16, 32 geben, durch
4 getheilt, die Quotienten 2, 4, 8. Nun iſt der
Quotient 2 in 4, wie 4 in 8, zweymal enthal⸗
ten; ſo wie 8 in 16 und 16 in 32 ebenſalls 2 mal
enthalten iſt. Ja, dieß Verhaͤltniß wird auch
bleiben, wenn man die Quotienten 2, 4, 8. noch ein⸗
mal mit dem gemeinſchaftlichen Diviſ. 2 theilet.
Z. E. 2: 2 + 4 + 8 = 1 + 2 + 4. Hier iſt 1 in

2, und 2 in 4 gleichfalls zweymal enthalten. Folg⸗

lich iſt das Verhaͤltniß noch immer daſſelbe,
wie es im Anfange war.

Wie das Dividiren geſchiehet.

§.149. So wie die vorhergehenden und nun ſchon be⸗
kannten 3 Rechnungsarten von der Rechten nach der
Linken vollfuͤhrt wurden, und dieſes, erwieſener maſſen,
auch ſo am Beſten zu thun war: ſo verfaͤhrt man bey der
Diviſio juſt umgekehrt, naͤmlich: Man faͤngt zur
Linken bey den groͤßten Einern an, und endiget zur
Rechten, bepy den kleinſten Einern. =

Es hat aber dieſes ſcheinbar verkehrte Verſahren

ſeinen doppelten Grund, und zwar⸗
1)

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14)

Die practiſche Rechenkunſt. 121

1) In der nahen Verwandſchaft der Diviſion mit der
Multiplication. Denn, ſo wie durch die Multiplication

eine gegebene Zahl, vermittelſt des Ein mal Eins,

von den kleinſten bis zum groͤßten Unitaͤten, von
der R. nach der L. vergroͤßert wird; eben ſo wird
eine gegebene Zahl durch die Diviſion ve rmittelſt des

Eins in Eins, welches nichts anders als das ver⸗

kehrte Ein mal Eins iſt, (§. 144.) von der Linken nach
der Rechten, die groͤßten Unitaͤten zu erſt, die klein⸗
ſten Unitaͤten zu letzt genommen, verkleinert.
2) Gruͤndet ſich dieſes Verſahren auch auf die Natur
der Sache ſelbſt. Denn ſo wie man mit der Theilung ei⸗

ner Summe Geldes, welche in einigen Tauſendthaler⸗, ei⸗

nigen Hundertthaler⸗, einigen Zehnthalerbeuteln; einigen
ganzen Thalern und einigen Groſchen beſtaͤnde, nicht bey

den Kleinigkeiten, den Groſchen anfangen und bey

den Tauſendthalerbeuteln endigen; ſondern vielmehr

bey den groͤßten Beuteln anfangen und bey

den kleinſten Muͤnzen, als den geringſten Einern

endigen wuͤrde: Eben ſo iſt es der Billigkeit gemaͤß, auch
von bloſſen Zahlen die groͤßten Unitaͤten zuerſt, die

kleinſten aber zuletzt zu theilen.
§. 150 Die Aufgaben der Diviſion werden auf unter⸗
ſchiedene Art aufgeſetzt, worunter ich die brauchbarſten
zeigen, und unter denſelben die Beſte zum ferneren
Gebrauch waͤhlen werde. .

Nachdem der Dividendus gehoͤrig vor ſich hingeſchrie⸗
ben, hinter die Zahlen deſſelben eine Perpentikulairlinie

ſgemacht, um hinter dieſelbe die nach und nach gefunde⸗

nen Ziffern des Quotienten zu ſtellen; auch der Diviſor
vor dem Dividendo, durch einen Bogen) abgeſondert,
geſtellet worden: ſo verfahre man nach folgenden allge⸗
meinen Unterricht, vermittelſt welchen alle Diviſions⸗

aufgaben, deren Diviſor nur aus einer Ziffer be⸗
ſtehet, aufzuloͤſen.

0) Suche, nach dem Eins in Eins, den Ueber⸗
ſchlag zu machen: Wie vielmal der Diviſor in der
erſten Ziffer des Dividendi, wenn dieſe nicht kleiner
5 ais

.

122² Die practiſche Rechenkunſt.

als der Diviſor, in welchem Falle zwo Ziffern des Di⸗-

videndi zum Ueberſchlag genommen werden muͤſſen, ent⸗
halten iſt? D. i. ſuche eine Ziffer zum Quotienten, wel⸗
che, mit dem Diviſore multiplicirt, ein Product giebt,
eben ſo groß als die erſte Ziffer, oder, daferne zum
Ueberſchlage zwo Ziffern genommen werden, als zwo
Ziffern des Dividendi, wenigſtens denſelben am naͤhe⸗
ſten kommend; aber ja nicht, daß ſie von der Groͤße

eines ſolchen Products uͤbertroffen werde, weil daſſelbe

ſonſt nicht abgezogen werden koͤnnte. Dieſe alſo gefundene
Ziffer ſetze ſogleich, als den erſten Theil des Quotienten,
an ihre Stelle hintern Stich.
2) Nachdem die erſte Ziffer des Quotienten an ihre
Stelle geſetzt worden, ſo multiplicire mit dieſer den Divi⸗
ſor; das Produét dieſer beyden Zahlen ſetze unter die
erſte, oder unter die erſten beyden Ziffern
des Dividendi, mit welcher, oder welchen, der Ueber⸗
ſchlag gemacht worden, ziehe es von derſelben ab, und
ſetze den Reſt an gehoͤrige Zahlſtelle, unter die zu dem
Ende gemachte Linie, ſo wie bey der Subtracétion
gebraͤuchlich. 3
3) Setze, um in der Diviſion weiter fortzufahren, ne⸗
ben dieſen Reeſt die folgende Ziffer des Dividendi, und
mache, vermittelſt des Eins in Eins, wie vor⸗
her geſchehen, abermal den Ueberſchlag: Wie oft der
Diviſor in dieſer heruntergenommenen Ziffer, nebſt dem

Reſte des vorigen Produces, enthalten ſey? und dieſes iſt,

die 2te Ziffer zum Quotienten, weiche deshalben auch
neben die zu erſt gefundene geſetzt wird.

4) Mit dieſem neuen Gliede des Quotienten multipli⸗
cire wie vorher, den Diviſorem und ſetze das Product
gleichsfalls unter die heruntergenommenen Zif⸗
fern des Dividendi. ZSiehe es ab, und ſetze neben
den Reſt, wie vorher geſchehen, abermal eine Z iffer
des Dividendi, nach ihrer Folge, herunter. Und ſo ver⸗
fahre, bis alle Ziffern des Dividendi heruntergenommen,
und zu allen der Quotient gefunden worden. Ci
Ein

Ei
ter wa

Er
Und
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1
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Prduct
n Ziß
eben
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d ſt ver⸗
ommmnen,

Ein

4

Die practiſche Rechenkunſt. 123
Ein Exempel folgender Aufgaben wird die Sache klaͤ⸗

rer machen.
5§. I51. I. Aufgaben, deren Diviſor nur aus
einer Ziffer beſteht.
1. Es ſoll die Zahl 3456 mit 2 dividiret werden: wie
groß wird der Quotient ſeyn?
HZ Solutio.

M

⸗
△

1 6
d I 6

—

ſ△ O

Nachdem der Dividendus, vorgelehrter maſſen,
(§. 150.) aufgeſetzet, hinter demſelben eine Linie,
und vor demſelben ein) gemacht, worinn der Diviſor
2 geſtellet worden, ſo ſage: 2 in 3 habe ich 1 ma; dieſe
1 wird, als die erſte Ziffer des Quotienten, hinter

den Strich, an ihre Stelle geſetzt: Nun wird das Pro⸗

duct dieſer Ziffer und des Diviſoris 2 genommen, alſo:
122 — 2, unter die 3 bey a geſetzt, von derſel⸗
ben abgezogen, und den Reſt 1 unter den Strich an
ſeine Stelle geſetzt. Zu dieſem Reſte 1 wird ſodann die
naͤchſtfolgende Ziffer des Dividendi, die 4 geſetzt, wele
che auch beym Dividendo unten mit einem (.) bemerkt
werden, ſo wie dieß, um Irrthum zu vermeiden, jedes⸗
mal geſchehen muß. Nun ſage ſerner: 2 in 14 habe ich
7 mal; dieſe 7 iſt das 2te Glied zum Quotienten, und
muß ſo gleich anihre Stelle, neben die ſchon gefundene 1,
das Prod. dieſer 7 mit dem Diviſ. 7 Wα2 = 14 aber, wie
vor⸗

124 Die praetiſche Rechenkunſt.

vorher, unter die 14 des Dividendi bey b geſetzt, und
von denſelben abgezogen werden, da dann nichts bleibt.

Es wird demnach, zu fernerem Verfahren, die folgende
Ziffer des Dividendi, die 5, und zwar ganz einſam

herunter geſetzt, weil vorher kein Reſt geblieben. Nun
heißt es: 2 in 5Ohhabe ich z mal; dieſe 2 iſt das 3te Glied
zum Quotienten, und wird neben die ſchon vorhandenen
17 an gehoͤrige Stelle; das Product aber von 2 2 =
4, unter die 5 bey e geſetzt, und abgezogen, bleibt 1.
Zu dieſen Reſt 1 wird nun die letzte Ziffer des Di-
videndi, die 6 herunter geſetzt. Endlich wird geſagt: 2

in 16 habe ich 8 mal; das Prod von 8 2 = 16 unter

die 16 des Dividendi bey d geſetzt und abgezogen, ſo
bleibt nichts uͤbrig; oder, nach der bey der Diviſion gewoͤhn⸗
chen Redensart: Es geht auf. (§. 134. Reg. 4. Anm.).
Und weil hier alles aufgeht, und nichts uͤbrig bleibt,

ſo ergiebt ſich daraus, daß der gefundene Quotient 172 8
der verlangte 2te Theil des gegebenen Dividendi accu⸗

rat ſey. .
Beweis: Es ſind hier alle im Dividendo vorhande⸗
nen Tauſende, alle Hunderte, alle Zehner, und alle
Einer durch 2 getheilet, und ſo, wie der zweyte Theil die⸗
ſer verſchiedenen Unitaͤten nach und nach herausgebracht,
im Quotienten geſetzt worden, weil nun von allen und
jeden Arten, der im Dividendo vorhandenen Unitaͤ⸗
ten, der 2ꝛte Theil richtig im Quotienten gebracht wor⸗
den: So muß auch dieſer Quotient der 2te Theil der gan⸗
zen getheilten Summe ſeyny.

Proba.

8S. 152. Um zu erfahren, ob richtig gerechnet worden,

darf man nur den Quotienten mit dem Diviſore oder auch
umgekehrt, (§. 109. Reg. 4.) multipliciren, und auf
ſolche Art den Weg, welchen man in der Diviſio genom⸗
men, wieder ruͤckwaͤrks gehen: ſo muß, zum Zeichen,
daß richtig gerechnet worden, der Dividendus wieder zum
Vorſchein kommen.

Im

der vor
he
Quotie
Diviſo
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bt, und
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1. Nu
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handenen
2 2

bleibt 1.

des Di.

leſagt: 2

unter

gen, ſo
genoohn⸗
Aunm.).
bleibt,
et 1708

di aec

Urhaube⸗
dalle
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gebrcht,
en und
lniti⸗
cht wor⸗
dergan⸗

worden,
Ner euch
und auf
genon⸗
Zeichen,
der zun

Nn

Die praetiſche Rechenkunſt. 132 5

In vorhergehender Solutio war
der Quotient 1 7 2 8
der Diviſor 2

Y a 2
b I 4
6 4
d 1 6
der vorige Dividendus 3 4 5 6 MJMM
Hieraus ſiehet man nicht nur augenſcheinlich, daß der
Quotient 1728, welcher vorher durch die Diviſion mit dem
Diviſore 2 entſtanden, und daher um die Haͤlfte ver⸗
kleinert worden, nunmehr umgekehrt, durch eben
dieſe 2 multipliciret, wieder um die Haͤlfte ver⸗
groͤßert worden, als wodurch der vorige Dividen-
dus 3456, der noch einmal ſo groß als der Quo⸗
tient, nothwendig wiederum zum Vorſchein kommen

muͤſſen; ſondern man ſiehet auch zugleich, wenn man

vorhergehende Solutio neben dieſe Proba haͤlt, wie
alle die bey der Diviſion vorkommende Facta a, b.

c, d, welche durch die Multiplication einer jeden
Ziffer des Quotienten mit dem Diviſore entſtanden,

hier wieder zum Vorſchein gekommen. Denn bey a ſtehet
das erſte Factum 2, der erſten Zeffer des Quotienten mit
dem Div. I 2 = 2; bey b das Fact. 14, entſtanden

durch die Multiplication der 2ten Ziffer des Quotienten

mit dem Diviſore; 7 2 = 14; bey c das Facét. 4,
entſtanden durch die Multiplication der 3ten Ziffer des

Quotienten mit dem Diviſore 2, 2 ₰α2 = 4; und bey

d das Fact. 16 der letzten Ziffer des Quotienten mit dem
Diviſore 8 2 = 16. Endlich geben alle dieſe Facta
a † b† c „£☚ d, die Summa 3456, welches eben die⸗

ſelbe Zahl iſt, die vorher durch 2 zu theilen aufgegeben

worden. Ergo muß bey der Diviſio richtig verfahren
worden ſeyn.
Anm. Betrachtet man dieſe vorſtehende Proba als eine
Multiplieations⸗Aufgabe; ſo iſt die vorhergehende Di⸗
viſion die Proba hierzu (J. 129.)

126 Die practiſche Rechenkunſt.
2) Halbire 4 6 7 6 8. Was iſt die Haͤlfte?

3) Manſoll 5 2 ⏑43 6 mediiren: Was kommt zum

Quotienten?
Solutio.
2) 5 2 O3 6 ½ 2 6 °1 8.
I 2
d 3
X 6G
16
00

Sage: in 5 habe ich 2 mal; das Facét. von 2 43 =
4 von F bleibt 1; hierzu die 2 herunter, ſind 2. ferner:
2 in 12 habe ich 6mal, und 6 α2 =– 12 — 12 = nichts.
Nun die herunter und ſage: 2 in habe ich o, und weil
—☚αα☛+Pichts geben kann, ſo wird auch kein Faétum unter⸗
geſetzt, ſondern ſo gleich die folgende 3 neben die o herun⸗
tergenommen, und ferner geſagt: 2 in 3 habe ich 1 mal,
und 1 % 2 = 2 — 3= 1. Zu dieſen Reſt die letzte 6 her⸗
unter und ſage: 2 in 16 habe ich 8 mal; und 8 α 2 = 16

— 16 geht auf. Der gefundene Quotient 26018 iſt das

verlangte Medium der gegebenen Zahl 52036. Der Be⸗
weis iſt wie vorher.
§. 153. Da ich die vorſtehende Art zu dividiren, nur
blos zu dem Ende gelehret, damit der Beweis der Richtig⸗
keit deſto deutlicher in die Augen fallen moͤchte, keineswe⸗
ges aber, um dieſe zu weitlaͤuftige Diviſionsart bey
zu behalten; ſo will ich, meinem Verſprechen getreu, (§. 150)
nun eine weit kuͤrzere Art lehren, nach weilcher wir
ſo gleich die vorhergehende Aufgabe berechnen wollen, um
den Unterſchied von beyden Arten deſto beſſer ſehen zu

koͤnnen. .
( Man

nen be
ben ein
in eine

P
zur kl
her 9
nommn
habei
ſeteſt

R

De

de⸗
nun:

ſer di

Pac-
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—
2—

ner:

chts.
wei
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tun⸗
mnat,
her⸗
216

das

nut
htig:
we⸗
bey
150)
wir⸗

1 zu

Non

in einen Bogen) alſo:

Die praetiſche Rechenkunſt. 1. 27

Nan ſchreibt den Dividendum, wie vorher, auf ei⸗

nen beliebigen Platz vor ſich nieder, macht unter demſel⸗

ben eine Linie, und ſetzt ſodann den Diviſor vor dieſelbe

5203 0 3 6
Nun mache mit allen unitaͤten, von der groͤßten bis
zur kleinſten Art, nach der Lehre §. 150., und ſo, wie vor⸗

her geſchehen, den Ueberſchlag; wie viel jedesmal ge⸗

nommen werden kann? Sage erſtlich: 2 in 5 (50000)

habe ich 2mal, (20000) und dieſes erſte Glied des Quot.
ſetze juſt unter die 5 an ihre gehbͤrige dahſteue, alſo: „*

5 2 °3 6

—

2)

—

Nimm das Facét. dieſer Zahl mit dem Diviſ. 2 bα 2

4, (2 ₰✕ Ü20000 = 40000) ab von 5, bleibt 1, (Hooο

— 50000 = 10000.)

Da das Fact. hier nie, wie vorher geſchehen, unter
den Dividendum geſetzt werden kann; ſo muß ſo⸗
wol das Factum, als auch der Reſtdeſſelben,
jedesmal im Sinn genommen, und ſich indeſſen ſo
vorgeſtellet werden, als ob man dieſe Zahlen wirklich
alſo vor Augen haͤtte.
Zu der uͤbriggebliebenen 1 nimmt man nun die folgen⸗
de 2, ſind 12; (10000 2000 = 12000.) Sage
nun: 2 in 12 (12000) habe ich 6mal; (6000mal.)
Dieſe 6 ſetze, als das 2te Glied des Quotienten, un⸗
ter die 2 an gehöͤrige Stelle, alſo:
5 2 0 3 0
2) 2 6
Weil nun das aus der 6 und dem Diviſ. 2 komm ende
Fact. = 12 — 12 (12000 — 12000) aufgeht; ſo ſage

ferner: 2 in habe ich omal. (Es iſt kein Hundert zu
theilen.) Dieſe O ſetze an ihre gehoͤrige Zahlſtelle, alſo:

52036

128 Die prarttiſche Rechenkunſt.

Ferner: 2 in 3 habe ich 1mal; (2: 30 = 10.) Dieſe
1 ſetze an gehoͤrige Stelle, alſo:

5 2 0 3 6
2)—

2 6 0 1

Nun: I α 2 = 2 von bleibt I. (10 b« 2 = 20 von
30 bleibt 10.) Zu dieſer 1 die letzte Ziffer 6 iſt 16. (10
+ 6= 16.) Endlich ſage: 2 in 16 habe ich 8mal, dieſe
8, als die letzte Ziffer des Quotienten, an jene Stelle, und

das Product derſelben mit dem Diviſ. 8 2 = 16 ab⸗

gezogen von 16, ſo gehts auf, und das ganze Exempel

ſteht nunmehr vollendet alſo:

—

5 2 0° 3 6
-— —

—

2 6018.

Anm. 1. Ich habe hier allezeit die bey der Divifion vorge⸗

kommenen Unitaͤten des Dividendi ſowol, als die von
ihnen und dem Diviſore entſtandenen Producte, in ih⸗
rer wahren Groͤße ausgedruckt, und ſie neben bey in
Klammern eingeſchloſſen, damit man nicht nur von
der Richtigkeit dieſer Rechnung deſto deutlicher uͤber⸗
zeugt wuͤrde; ſondern auch ſehen koͤnne, wie dieſe Thei⸗
lung der Natur gemaͤß geſchehen. (§. 149. 2.)

Wer aber noch zweiſeln will, darf nur aile die Pro⸗

ducte, ſo wie ſie nach und nach aus der Multipli⸗
kation mit den Ziffern des Quotienten, und den Di⸗
viſore entſtanden, niederſchreiben und addiren, ſo

wird die Summa derſelben dem Dividendo, zum

Zeichen der Richtigkeit, voͤllig gleich ſeyn. z. E.

Das 1ſte Fact. 2 ☚2 = 40000⏑0°
⸗ 2te⸗ 6 942 — 1I12000ͤO
„ gte ⸗ ° Ä2 =— O△ι
2 gte 2 I °GU2 =— 2
Ste 5 3 %C2 =— MBWĩC
Da dieſe 2 Summa 5 2 0 3 6, als die

Summe aller F 2Gtorum, von der ihr v zuige⸗ lei⸗
chen

— ==

iſe
werde
wird
uid
nomm
iig
1.
der woi
Pben
Etan
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220 von
6. (10
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16 ab:

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ſeChei⸗

Pro

ultipti
u Di⸗
en, ſo
zuu
E.

als di⸗

glei
ger

Die practiſche Rechenkunſt. 129

ch en Zahl des Dividendi abgezogen, eben ſo wenig
einen Reſt laͤßt, als die von dem Dividendo vorher
einzeln abgezogene Facéta gelaſſen haben: ſo iſt an
der Richtigkeit auch nicht im mindeſten zu zweifeln.

Anm. 2. Da hoffentlich dieſe vorſtehende Art zu dividiren,
“ welche man gemeiniglich das Dividiren unter
den Strich nennet, wohl gefaßt ſeyn wird; ſo wol⸗
len wir ſie auch kuͤnftig beybehalten, und ſo oft gebrau⸗
chen, als wir mit Numeris monadicis, 2 2. 2. 4. F. 6. 7.
8. 9. ober mit Numeris decadicis 20. 30. „40. 50. 60.
70. 390. 90. zu dividiren haben. (.. 159.) Ja auch denn
noch wollen wir unter dem Strich theilen, wenn
der Diviſor, hinter den erſten 9 uuttaten, 2 2, ze⸗ 4,
und mehr Nullen hat.

4 Was betraͤgt die Huͤlſte von 5987602
5) Was von 8972400 2„
6) Mediire 178301 Wie groß iſt das Medium?

Solutio.
17 8 3 0
2) — ½ 9 1 5
Weil hier der Fall iſt, wo mit dem Diviſ. 2, in die
erſte Ziffer des Dividendi, die 1, nichts genommen
werden kann, weil ſie kleiner als der Diviſor iſt; ſo
wird, in dieſem und jedem aͤhnlichen Falle, noch eine
und zwar die naͤchſte Ziffer, die hier 7 iſt, darzu ge⸗
nommen. (§H. 150. 1.) Und ſo heißt es nun; 2 in 17 habe
ich 8mal. u. ſ. f.
§S. 154. Wer wohl gefaßt hat, wie eine gegebene Zahl
mit Huͤlfe des Eins in Eins durch 2 zu dividiren,
der wird auch leicht, mit derſelben Huͤlfe, eine jede ge⸗
gebene Zahl mit 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zu dividiren im

Stande ſeyn. Ich will alſo, des beſondern Nutzens we⸗
gen, nur noch folgendes, theils nur wiederholt, zu be⸗

merken geben.
1) Wenn das durch die Multiplication des Quotien⸗
ten mit dem Diviſore gekommene Factum ju ſt ſo groß,
als die Ziffer oder Zahl des Dividendi, aus welcher der
AQAuotient genommen worden; ſo ſagt man: E sS 1.
A

130 Die praetiſche Rechenkunſt.

auf. Und in ſolchem Falle hat man nur allein mit der

Solut. bey b.)
2) Bleibt aber, nach der Subtract. des Products,
von der vor ſich habenden Ziffer oder Zahl des Dividen-
di, etwas uͤbrig: ſo wird, neben ſolchen Reſt, allemal
die folgende Zahl des Dividendi heruntergenommen, und

naͤchſtfolgenden Ziffer des Dividendi zu thun. (§. 151.

zu dieſer alſo vereinten Zahl wiederum eine neue Ziffer zum

Quotienten geſucht. (§H. 151. Solut. bey c.)
3) Iſt wohl zu merken: daß, nach jedesmaliger
Subtraction, des aus der Multipl. des Quot. mit dem
Diviſ. entſtandenen Products, vom Dividendo, feine
groͤßere Ziffer oder Zahl uͤbrig bleiben kann,

als eine ſolche, die um 1. kleiner, als der Diviſor

Wenn der Diviſ. z iſt, ſo kann der hoͤchſte Reſt nur 1 ſeyn⸗

7 2 ⸗ : : ⸗
2 Kkę „: 2 . 4 3
„ „ 2 5 ⸗ ⸗ ⸗ . 4 2
5 5 2 6 5 2 2 2 5 ⸗

Denn, iſt ein ſolcher Reſt dem Diviſore gleich; ſo
hat auch der Quot. noch um eine Unitaͤt groͤßer ge⸗

nommen werden koͤnnen. (F. 148. Reg. I.)
Itt aber der Reſt noch groͤßer als der Diviſor; ſo
iſt dieſes ebenfalls ein Kennzeichen, daß der Diviſor
noch ein oder mehrmal, je nachdem die Groͤße des
Reſtes, in demſelben enthalten, mithin der Quo⸗
tient zu klein genommen ſey. M
F. 155. Aus dieſen Bemerkungen ſiehet man, wie
nothwendig es ſey, um ſich fuͤr allen, bey der Diviſion
uͤberaus leicht vorfallenden Irrthuͤmern in Sicherheit zu
ſtellen, daß man jedesmal, nach Abzug der Pro⸗
ducte, den Reſt genau beobachte: ob er klei⸗
ner oder groͤßer als der Divifor; oder ac
glei

2

nil der
K. izt.

educts,
widen⸗

allenal
1, und

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1ſe. .

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3
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Quo⸗

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P
klei⸗

leich

zuch

Die practiſche Rechenkunſt. 131

gleich groß mit demſelben ſey? Ebe dieſes ge⸗
ſchehen, muß nie eine folgende Zahl des Dividendi zum
Reſte heruntergenommen werden. Denn nur in den bey⸗
den Faͤllen iſt der Quotient richtig genommen worden:

Wenn entweder der Reſt kleiner als der Diviſor iſt;

oder auch gar kein Reſt uͤbrig bleibt.

7) Dividire 34560 durch 3!

8) Theile 5679015 mit 3!

9) Es ſoll die Zahl 456704 durch 4 getheilet werden.
Waas kommt zum Quotienten?

10) Was betraͤgt der 4te Theil von 34789042

11) Man ſoll von 897432 den gten Theil nehmen.

§. 156. Sehr oft kommen Zahlen zu dividiren vor, in

welche der Diviſor nicht aufgehet; ſondern nach geene

digter Diviſion noch ein Reſt uͤbrig bleibt. Dergleichen

ſind alle gerade Zahlen, durch ungerade dividiret,

oder auch umgekehrt. (§. 148. Reg. 2. Anm.) wiewohl
auch gerade, durch gerade, und ungerade, durch

ungerade Zahlen dividirt, einen Reſt nachlaſſen koͤnnen.
Z. E. Man ſoll die Zahl 36 durch 5 theiten; ſo wird nach

verrichteter Diviſion noch 1 uͤbrig bleiben: Denn 5 in 36
habe ich mal; und das Produét 5 ☛Q7 = 35 von 36

bleibt I. Eben ſo laͤßt die gerade Zahl 6, durch 4 di⸗

vidirt, den gleichfalls geraden Reſt 2, nach. Imgleichen
die ungerade Zahl 7, durch 5 dividirt, den Reſt 2 nach.
Soll nun eine gegebene Zahl ganz genau getheilt
werden: ſo kann das Uebriggebliebene unmoͤglich
weggeworfen, ſondern es muß ein ſolcher Reſt gleichfalls
in die verlangten Theile getheilt werden. Um aber ſoiche
Theilung deſto deutlicher vor Augen zu ſtellen, ſo wollen
wir den Unitaͤten unſers Exempels Namen geben, und die
Aufgabe alſo einrichten: Es ſollen ſich 5 Knaben in 36
braune Kuchen theilen, ſo, daß jeder gleichviel be⸗
komme. Nun empfaͤngt, nach vorhergehender Berech⸗
nung, ein jeder 7 ganze Kuchen. Weil aber jeder
gleichviel haben ſoll: ſo kann denuͤbriggebliebenen
Kuchen niemand ganz bekommen; ſondern ſie muͤſſen ſich
J 2 ent⸗

132 Die practiſche Rechenkunſt.

entſchließen, denſelben, nach Anzahl der Perſonen,

in 50 gleiche Stuͤcken zu zerbrechen, da dann ein jeder,

noch uͤber den 71 ganzen Kuchen, ein Fuͤnftel Kuchen

zu ſeinem geraden und richtigen Antheile erhalten wird.
Soll nun dieſes Stuͤck gleichfalls in Zahlen ausgedruͤckt

werden; ſo muͤſſen die Anzahl der kleinen Stuͤcke, wel⸗

che hier 1 iſt, mit kleinern Zahlen, als die ganzen, neben
den ganzen Zah len niedergeſchrieben, darunter ein
Querſtrichlein gemacht, und unter daſſelbe, gleichfalls mit
kleinern Ziffern, die Anzahl der Theile, in welche
das Gan ze getheilet worden, bemerket werden. Stehet
demnach ein Fuͤnftel in Zahlen alſo: ½; und der ganze

5te Theil von 36 braunen Kuchen alſo: 7 ½¼. Sieben ein

Fuͤnftel.
Eine alſo geſchriebene, und nie anders als durch
die Diviſion entſtehende Zahl, wie dieſes ½,
heißt, weil ſie nur Theile oder Bruchſtuͤcke eines
Ganzen bezeichnet: Eine gebrochene Zahl (§. 7.)
oder: Ein Bruch; davon die uͤber dem Strichlein ſte⸗

hende Ziffer oder Zahl, der Jaͤhler; die unter dem

Striche ſtehende Ziffer oder Zahl aber der Nenner ge⸗

nennet wird. Zaͤh ler: Weil dieſe Zahl die vorhande⸗

nen Stuͤcke oder Theile des Ganzen zaͤhlet, oder als
gezaͤhlt angiebt. Nenner: Weil dieſe Zahl die Stuͤ⸗
cke oder Theile nach ihrer vollen Anzahl, in wel⸗
che das Ganze getheilet worden, benennet.
1I. Zuſatz: Alſo wird jeder Reſt, nach verrichteter
Piſviſion, wie obiges ½, neben den ganzen Zahlen
in einen dergleichen Bruch geſetzt; der Zaͤh⸗
ler ſey auch noch ſo groß, nur zu dieſem Zweck
nicht groͤßer, ſondern kleiner, als der Diviſor
ſelbſt, weil ſonſt ein ſolcher Bruch mehr Theile, als
zum Ganzen gehoͤren, enthalten wuͤrde. Z. E. iſt
1 Ganzes und ½. =
2. Zuſatz: Auch da, wo der Diviſor groͤßer, als
der Dividendus iſt, entſtehet ein Bruch, deſſen
zu kleine Dividendus den Zaͤhler, der Diviſor
aber den Nenner giebt. Z. E. Man ſoll 35 durch
49

49
19) Wie

theil

Sage:
eA
nebe
9½
7
non
Fin:
bledbt
der!
Viier
19) Was!

19) Es ſo

Was

13) Wan

16) D
1)7/:
19) Weey
19) Was
30) Theie

gerſontn,
ein jedet,

tel Kuchen 1.

halten wird.
ausgedruckt

Gtuͤcke, wa⸗

en, neben
atunter eint
ichfalls mit
, in welche
en. Stehet
der gonze

Güeben in

9ls burch
acke eines

hl (.)

tichlein ſte⸗
ter dem

enner ge⸗

cvothorde

1, ode d
Adie Stli
, in n

Perrißfter

r ge

der Zoͤ⸗
em Zek
.

iger als
deſn
Dini
35 u

Die practiſche Rechenkunſt. 133

49 dividiren, ſo entſteht zum Quotienten der Bruch:
4. §. r48. Reg 2.)
12) Wie groß iſt der Qustient, wenn ich 14679 mit 5
“ül theile?
Solutio

Sage: 5 in 1 kann i nicht, ai 5 in 14 habe ich
2 mal; und 2 ☛◻5 = 10 von 14 bleibt 4. Hierzu
nebenſtehende 6, alſo: 5 in 46 habe ich 9mal, und
9 ◻5 = 45 von 46 bleibt 1; hierzu nebenſtehende
7; nun: §5 in 17 habe ich zmal, und 3 α5 = 15
von 17, bleibt 2. Hierzu die letzte Zahl 9; alſo:
5 in 29 habe ich 5mal; und 5 5 = 255, von 29,
bleibt 4. Dieſer Reſt 4 giebt den Zaͤhler, und
der Diviſor 5, den Ren der, zu dem Bruch .
Vier Fuͤnftel.
13) Was betraͤgt der Ste Theil () von 432 1022
14) Es wird 3456040 durch 5 zu dividiren gegeben.
Wias kommt zum Quotienten?
15) Man theile 6584706 durch 61
16) Dividire mit 6 die Zahl 789763. Was kommt?
17) 7: 78976045. Wie viel?

18) Wie viel iſt der 7te Theil (4½) von 89760321 7

19) Was betraͤgt ½ von 897643202

20) Theile 76457043 durch 81!.

21) 9 in 87643250 dividirt: Was kommt zum Quot.?

22) Man ſoll 99956709 mit 9 theilen!

23) 9 in 9999999. Wie viel?

24) Man theile 567897694 durch 9!

2. Aufgaben, wo der Diviſor, neben einer
Ziffer, eine oder mehr Nullen hat.

§. 157. Wenn der Diviſor aus einer Unitaͤt
nebſt einer o, oder mehr Nullen beſtehet; der Dividen-
dus aber ebenfalls am Ende Nullen hat: ſo iſt die Di-

viſion ſchon dadurch geſchehen, wenn man eben ſo viel

32 Puk

134 Die praetiſche Rechenkunſt.

Nullen vom Dividendo als vom Diviſore wegſtreicht.
Denn 1) kann die 1 ſo wenig dividiren, als multipliciren,
ſondern muß eine Zahl laſſen, wie ſie iſt. F. 148. Reg.
8.) 2) Wird das Verhaͤltniß des Diviſoris gegen den
Dividendum nicht aufgehoben, wenn ich von beyden
am Ende gleich viel Nullen ausſtreiche: Denn, ha⸗
be ich, z. E. von einem Diviſore 10, eine Nulle ausge⸗
ſtrichen, und auch eine o von dem darzu gehoͤrigen Divi-

dendo 30, alſo: 18: 32; ſo habe ich beyde Zahlen

um zehen verkleinert, und es verhaͤlt ſich nunmehr
der Diviſor 1: 3 = 10: 30. Denn 10 in 30 habe ich
Zmal, und 1 in 3 habe ich auch 3mal. (§H. 148. Reg. 9.)
Daher iſt die Diviſion von 300 durch 100, oder 3000
durch 1000 ſchon geſchehen, wenn ich nur vom Dividen-
do ſo viel Nullen, als der Diviſor hat, wegſtreiche. So
giebt der Dividendus, 30 durch 100 getheilet, zum
Quot. 3, und der Dividendus 30, durch 1020, eben⸗
falls zum Quot. 3. Ec.

§. 158. Beſtehet der Diviſor aus einer Unitaͤt

nebſt einer o, oder mehr Nullen; der Dividendus
hingegen aus lauter Ziffern: ſo darf man nur am

Ende des Dividendi ſo viel Ziffern abſchneiden

oder abpunctiren, als der Diviſor Nullen hat, und ſo⸗

dann die abgeſchnittenen Zahlen im Bruch ſetzen, ſo

iſt die Diviſion geſchehen. z. E.
Man ſoll 34567 mit 100 dividiren!

Solutio ?VM
4 2 oder 34
00°) — 100) —
100) 34 5 15 3,4 5 18

25) Man ſoll 3456780 durch 10 theilen.
26) Was betraͤgt der 10te Theil von 345678900?
27) Was der 10te Theil von 9995432927
28) Theile 570963400 durch 100!
29) Dividire 8645347 durch 100!
30) Was giebt der Quot., wenn man 87673009 durch
1000 theilet?

§. 159.

§. 15.
ſtreicht me
Nullen!
ſchann m
ſhihen w
17.2)
Dir

31) Du
32) Bei
33) Was
34) Yeil
35) 40 in
3⁰) ;
K. 160
len, der
lehret, von
der Divitor

37) Mn

Nchden
des D
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den.
1, N
und3

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Nune

ſtreicht.
tipliciren,
Reg.
genen den
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Denn, hr
ule ausgen
igen Diyvi⸗
Zahlen
nunmehr
o habe ich
Reg9)
der 3000
Dividen⸗
che. Go
K, wm

1o, then

t Unitaͤt
videndus
n nut am

ſchneiden

, und ſo
9ſeten, 6

Diie practiſche Rechenkunſt. 135

§. 159. Soll man mit Numeris decad. dividiren, ſo

ſtreicht man die Nullen vom Dividendo, gegen die
Nullen des Diviſoris weg, und verrichtet die Diviſion

ſodann mit dem Numero ſignificante eben ſo, als ge⸗

ſchehen wuͤrde, wenn gar keine Null darneben ſtuͤnde, (H.

157. 2) 3Z. E.
Dividire 234560 mit 20.
Solutio.
2 3 4 5 6 ₰
20) 1 7 2 8
31) Dividire 5678980 durch 20!
32) Theile 4568420 durch 20!

33) Was betraͤgt der 20te Theil von 232045102

34) Theile 4567890 durch 30!
35) 40 in 54325670. Was fuͤr ein Theil?

36) 40 3456720. Wie groß der Quot.?

§. 160. Hat nur allein der Diviſor am Ende Nul⸗
len, der Dividendus keine, ſo werden, wie §. 158. ge⸗
lehret, vom Dividendo ſo viel Ziffern abpunctiret, als

der Diviſor Nullen hat. Z. E.
37) Man ſoll 684325 mit 50 dividiren.

Solutio.
6 ⁸ 4 3 2.5
5.0) 136 86 z5
Nachdem vorher vom Dividendo, wegen der Null
des Diviſoris, eine Ziffer, die 5 abpunctirt: ſo iſt
mit der 5o allein die Diviſion vorgenommen wor⸗
den. Alſo: § in 6 habe ich 1mal, und 1 α5 =
5, von 6, bleibt 1; ferner: 5 in 18 habe ich zmal,
und 3 α5 = 15, von 18, bl. 3. Ferner: 5 in
34 habe ich mal, und 6 α 5 = 30, von 34, bl.
4. Ferner: 5 in 43 habe ich 8mal, und 5 ☚ 8
= 40, von 43, bl. 3. Ferner: 5 in 32 habe ich
6mal, und 6 ☛◻5 = 30, von 34, bl. 2, zu die⸗
ſer 2, als 2 Zehner, die fuͤr die Null ab⸗
punctirte, und alſo ebenfalls uͤbriggebliebene
J4 5.

136 Die practiſche Rechenkunſt.

, ſo iſt der ganze Reſt 25: Unter dieſen Zaͤhler

den Diviſor 50, ſo entſteht der Bruch . (§. 156.)
Beweis: Daß aber fuͤr jede Nulle eine Zahl uͤbrig

bleiben muß, wird ſichtbar, wenn wir die Diviſion
nach der zuerſt bekanntgemachten Art, und ohne ab⸗

punctiren, verrichten, z. E.
50) 6 8 4 3 2 5 r3636

.

₰

Hier zeigt ſich ofſenbar: Daß alle aus der Multipli⸗

eat. des Quot. mit dem Diviſ. entſtandene Producte,
als: 1 ☛◻ 50 = 50 bey a; 3 α 50 — 150 bey b; 6
W◻50 = 300 bey c, 8 % 50 = 400 bey d, und 6 ☚
50: 300 bey e, am Ende Nullen haben, und ſie
auch, wegen der am Ende des Diviſoris befindlichen Nul⸗

le, nothwendig haben muͤſſen. Da nun die ſe Nullen

der Producte nichts ſubtrahiren koͤnnen, ſondern die dar⸗
uͤber ſtehenden Zahlen, ſo wie ſie ſind, unveraͤndert im
Reſt herunterwerfen muͤſſen: ſo muß auch, am Ende der
Diviſion, fuͤr jede am Ende des Diviſoris befindliche
Null, eine Zahl uͤbrig bleiben. S
Zuſatz: Eben deswegen iſt auch nicht noͤthig, derglei⸗
chen Diviſor, ais aus zwo Ziffern beſtehend,
zu betrachten, und damit auf dieſelbe Art, wie oben
geſchehen, zu dividiren, ſondern man kann derglei⸗
chen Diviſor, als aus einer Ziffer beſtehend

ι

Aſe
damm
ſo W
) S
ide
) Ee
40) We.
11) Y

42)

43) V.
44) WBJ
45) N.

40) Dr

) Wan

4 ) Wae
k49) Qr
5)

Die practiſche Rechenkunſt. 137

zäͤhler anſehen, und, durch Huͤlfe der Abpu netitung,
(.156.) damit unter dem Strich weit kuͤrzer dividiren,
gif übrig ſo wie die Solutio unter der 37ſten Aufgabe zeiget.

38) Was iſt der Quot. wenn man 78965600 mit 50 di⸗
vidiret?
39) Was der 60ſte Theil von 8976432
40⁰) Was =*ö von 564832502
41) Theile 87654630 mit 70?7
42) 7563845 mit 7oo k
43) Was betraͤgt der doſte Theil von 47 1r2368 2
44) Wie viel der 9oſte Theil von 87645602
45) Nan ſoll 3456700 mit 100 theilen!
Solutio.
1) 314 6 7 $ £ͤ
. §. 157.
46) Dividire 4567891 mit 100! (§F. 158.)
47) Was iſt der 1000ſte Theil von 8, 50: (§. 157.)
48) Was von 87656432
49) Dividire 3869700 durch 200!
50) „ 567834 mit 300!
Peer. olutio.
todutte, S 1. .00) 67 8 3 4
len bz 6 3.00) 1 8 9 2 23¾ (§. 160.)

d6 % [ 51) Dividire 48673 durch 4001
,und ſe 52) ⸗ 567897000 mit 5000!
Gen gu⸗ 53) ⸗ ⸗ 6786432 mit 600!

Diridon
ohne al⸗

Pullen 54) 2 868032 mit 7000!
diedor: DH Solutio
en n 7.00) 8 6 8 .0 3 2
ude der
1 2 4 7335

efndſih⸗ 55) Theile 8707643 durch 8001
3 97648900 ⸗ 90⁰!
derglei⸗ 57) 76 4 2 1567 96000!

,
ſehen 3 Aufgaben, wo der Diviſor zwo Ziffern hat.

die bbe
det §. 161. Bey Aufgaben, deren Diviſor aus zwo oder
fefen mnehr Ziffern ſeſtehet, muß man auch mit eden ſo
J 53 te⸗

140 Die practiſche Rechenkunſt.

vielen Ziffern vom Dividendo den Ueberſchlag ma⸗

chen; es ſey dann, daß ſo viel Ziffern des Dividen-
di weniger betruͤgen, als die Ziffern des Diviſoris;
alsdann muͤßte man eine Ziffer mehr, als der Divi⸗
ſor hat, vom Dividendo zum Ueberſchlag nehmen, z. E.
Man ſollte mit 32 die Zahl 1284 theilen: ſo koͤnnte man
hier nicht den Ueberſchlag machen und ſagen: 32 in 12

(eals gleichfalls 2 Ziffern) denn 12 iſt zu wenig gegen 32.

Man muͤßte ſagen: 32 in 12 kann ich nicht; alſo 32 in
128 E&c. (§. 150. 1) & Solut. der 6ten Aufg.)

Weil aber auch ein ſolcher Ueberſchlag fuͤr einen An⸗
faͤnger zu ſchwer ſeyn moͤchte, naͤmlich gleich zu wiſſen:

Wie viel mal man 32 in 128 nehmen koͤnnte? ſolche
Schwierigkeit aber ſich noch weit mehr bey groͤßer n Zah⸗
len zeigen wuͤrde: ſo iſt eine Regel, nach welcher ein ſol⸗
cher Ueberſchlag mit mehr Leichtigkeit zu bewirken, ſehr

noͤthig. Hier iſt ſie: Go oft eine Zahl mit einem

Diviſ. von zwo oder mehr Ziffern zu theilen
aufgegeben worden: ſo mache man allezeit nur
mit der erſten Ziffer des Diviſoris, in die
erſte Ziffer des Dividendi, den Ueberſchlag:
wie viel zu nehmen ſey? Man ſage z. E. nicht
wie vorher, 32 in 128 &c. ſondern: 3 (als die erſte

Ziffer des Diviſ.) in 12 (als die erſten 2 Ziffern des Di-

videndi) habe ich 4mal Ec. Nur muß, ſo oft vom
Dividendo, zwo Ziffern zum Ueberſchlag fuͤr die erſte
Ziffer des Diviſoris genommen worden, nie vergeſſen
werden: ſodann auch das kommende Product
um eine Ziffer weiter unter dem Dividendo
anzufangen. z. E. Weil vorher 12 zu wenig war, um
32 darin nehmen zu koͤnnen, und dieſerwegen noch die
folgende 8 des Dividendi darzu genommen werden muͤſ⸗
ſen, wodurch es nun nicht mehr 32 in 12, ſondern 32 in

128 heißt: ſo muß nun auch das kommende Prod. 4 N4

32 = 128 ſo geſetzt werden, damit die 8 Einer deſſelben,
auch unter die 3te Ziffer des Dividendi, unter die 8 zu
ſtehen komme. u. ſ. f.

Weil

Weil A
ſern
wenn
hen
wir!
) Me⸗

ſchlag me⸗
Diriden-

Dmiſoris;

der Divi-

nen, C.
knnte inan
32 in 12
ggegen 32.
aſſe 32 in
9)
einen An⸗
zu wiſeen:
le! ſoche
her ehe⸗
r ein ſo⸗
en, ſhe
ſit einem
theilen
jeit kur
in die
rſchlag:

C. dicht

die aſt
en des Di-
6 oft hom
die uſte
ergeſſen
hroduet

idendo .

war, um
noc die
den niſ⸗

dern 32 in

ros. 4

edeſſelben,

, die zin

Peil

Die praetiſche Rechenkunſt. 141

Weil Aufgaben, deren Diviſores zwo und mehr Zif⸗
ferrn haben, fuͤr Anfaͤnger zu ſchwer fallen wuͤrden,
wenn ſie, wie bisher geſchehen, dergleichen Aufga⸗
den untern Strich dividiren ſollten: ſo wollen
wir lieber kuͤnftig hintern Strich dividiren.
5) Man ſoll 345678 mit 11 dividiren.
Solutio.
11) 3 4 5 6 7 8 3 1 4 2 5 *

—

——
◻

„ D „½ △

W

—

5 8
5 5
Sage: 1 (die erſte Ziffer des Diviforis) in 3 (die er⸗
ſte Ziffer des Dividendi) habe ich zmal; das Prod.
3 11 = 33, von 34, bleibt 1, hierzu die 5 her⸗
untergenommen, iſt 15. Ferner: 1 in 1 habe ich
jmal; das Prod. I %αII = II, von 15, bl. 4;
hierzu die 6, ſind 46. Ferner: 1 in 4 habe ich 4⸗
mal; das Prod. 4 Mα 11 = 44, von 46, bleibt 2,
hierzu die 7, ſind 27. Ferner: 1 in 2 habe ich 2⸗
mal; das Prod. 2 △α II = 22, von 27, bleibt 5,
hiezu die letzte Ziffer 8, ſind 58. Endlich 1 in 5
habe ich 5mal, das Prod. 5 ☛☚ 11 = 55, von 58,
bleibt pro Reſto 3; dieſe 3p zum Quot. geſetzt, ſo
iſt die Rechnung vollendet.

Den Beweis, daß es mit vorſtehender Rechnung ſeine
voͤllige Richtigkeit habe, dießmal augenſcheinlich zu fuͤh⸗
ren, will ich, ſowol den jedesmal zum Ueberſchlag genom⸗

142 Die practiſche Rechenkunſt.

menen Zahlen des Dividendi, als auch den Quotienten,
nebſt jedem aus dem Quot. und Diviſore entſtandenen

Facto, die gehoͤrige Anzahl Nullen beyfuͤgen, welche ſie

1

haben muͤſſen, um die Groͤßen ihrer Unitaͤten durch ihre

Zahlſtellen zu bezeichnen. Z. E.
1I in . ⸗ .
1I) Fact. II 94 30000 = 330000 —

bleibt 10000
hierzu herunter † 5000

11I in ⸗ ⸗ . 15000 2½ ½ 1000
2) Fact. II Mα I0OO = II000 — G

bleibt 4000
hierzu heruntergenommen + 600

11 in ⸗ „ 2 4600 ⸗ 40 2
3) Fact. I1 α 400 = 4400 —

200
hierzu herunter + 70

11 in . , 270 ,120
4) Faét. I1I π 20 = 220 —

hierzu die letze P 83
1I in ⸗ ⸗ ⸗ y5?8 ⸗ 5 ²½
5) Fact. II α 5 = 55 — “

Reſt. 3 Quot. 31425
Alle 5 Facta addirt, geben wieder 11

den Dividendum ——
I Fact. = 330000 31425
P 2 ⸗ = I1000 31425
+3 ⸗ =— 4400
4 345675VLͤͦ
† 3 . — 220 Hierzu den Reſt z3

Reſt 3 Diyvid. 345678
Dividendus 345678 Der

340000 habe ich 30000 mal

Ae Aul
Unit
Auot
welch
dem
des!
wela,
s
netſ
Divi⸗
auch
nom
wird
eine
en:
ſeine

59) Man
60) Divi

6 16
Win dan
audet, d
So wol⸗
Teim hich
Vigendun
einen Que
Unter dem
Ues uor
nnen,
ior,
dns, je
deſſen
ſhihed

uotietten,
ftſtandenet
‚ Welche ſie

durch ihre

30000 nl

10005

!

Die prattiſche Rechenkunſt. 143

Der Augenſchein zeigt hier klar: Daß, von allen
Unitaͤten des Dividendi, der 1Ite Theil im
Quotienten richtig gebracht; auch alle Facta,
welche durch die Multiplication des Quotienten mit
dem Diviſore entſtanden, richtig von den Zahlen
des Dividendi abgezogen worden ſind, bis auf 3,
welche pro Reſto geblieben. Da nun alle dieſe
aus dem Diyviſore und Quot. entſtandene Facta,
nebſt dem Reſte 3, eine Summe gegeben, die dem
Dividendo voͤllig gleich iſt; die naͤmliche Summe
auch ebenfalls erfolget, wenn der Quot. 11mal ge⸗
nommen, und zu dem Producét der Reſt 3 addirt
wird, (welches doch unmoͤglich ſeyn koͤnnte, daferne
eine einzige Ziffer imn Quot. falſch genommen wor⸗
den:) Se muß es auch mit der ganzen Rechnung
ſeine voͤllige Richtigkeit haben.

59) Man ſoll 364872 mit 12 dividiren.
60) Dividire 34567 mit 13!

S.162. Weil es ſich weit beſſer multipliciren laͤßt,
wenn man die Factores nahe beyſammen und unter ein⸗

ander, als wenn man ſie weit von einander entfernt hat:
So wollen wir, der Bequemlichkeit wegen, den Diviſo-

rem nicht mehr, wie bisher geſchehen, hinter den Di-

videndum, ſondern vor denſelben ſtellen, und ihn durch
einen Querſtrich vom Dividendo abſondern; ſodann aber
unter dem Diviſ. eine Linie ziehen, worunter die Ziffern
des Quotienten, ſo wie ſie nach und nach zum Vorſchein
kommen, geſtellet werden ſollen. Auf dieſe Art wird der
Diviſor, wie vorher, allemal als Multiplican-
dus, jede Ziffer des Quottenten aber, als
deſſen Multiplicator betrachtet. Und ſo ge⸗
ſchiehet die Diviſio voͤllig, wie vorher gelehret worden.

3. E. Es ſollen 345678 mit 13 dividirt werden.

Se.

144 Die practiſche Rechenkunſ. V

Solutio.
13 — 3 15678
2 2 6 5 9 °⏑ 2.6 . . . . 8

Sage: 1I in 3 habe ich 2 mal, dieſe 2, als den erſten
Theil des Quotienten, unter die Linie bey a geſetzt;

dann ſage 2 — 3 = 6, dieſe unter die 2te Ziſſer

des Dividendi, und auch: 2 bσ I = 2, unter die

erſte Ziffer des Divid. neben die 6; ſo ſtehet das gan.

ze Prod. 26, unter 34, und wird davon abgezogen,
bl. 8; neben dieſe die 5heruntergenommen. Nun:
1 in ⁸ habe ich 6mal, und 6 3 = 18, davon die
8 undker die 5 des Dividendi, die I im Sinn; nun:
6 ☚1 = 6 + 1 (im Sinne) = 7, dieſe unter die

8, ſo ſteht das ganze Prod. = 78 unter 85, und wird
von demſelben abgezogen, bl. 7. u. ſ. f. bis zu Ende,

da dann 8 uͤbrig bleiben, weiche zum Auot.i im Bruch
geſetzt werden.

§. 163. Bey der §. 161. gegebenen Regel kann es oft
geſchehen, daß ein Anfaͤnger, bey ſeinem Ueberſchlage mit

der erſten Ziffer des Diviſoris, in die erſte Zifſer

des Dividendi, ſeinen Quotienten zu groß oder zu
klein nimmt; da dann im erſten Falle, das zu große
Producét nicht abgezogen werden kann; im zweyten Falle
aber, mehr uͤbrig bleibt, als der Diviſor enthaͤlt. Sol⸗
che Irrthuͤmer fallen gewoͤhnlich da am leichteſten vor, wo
der Diviſor mit einer kleinen Ziffer anfaͤngt, worauf
eine groͤßere folgt, wie z. E. der Diviſ. 13, in vorſte⸗
hender Aufgabe. Waͤre hier anfangs geſagt worden: r
in

n habt
entſandene
abgeze⸗
thell geſag
Guct 1
von 34 d
ils der D
mehrmma
don ſelſtd
egel
abg
Au
mat
nach
ſere
man
mat
eg
En
fer
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)
K 16
fällung

den kann
nichts an
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iſt mit
en anzu
Nge
teict
iten 4
alls ti
Esſal
durch

den erſten
14 Geſet;
e Ziff fer
, wter die

ſet das gale⸗

abgezogen,
hen. Nun:
,habon die
inn, hun:
tſe unter die
5 undwwih
is zu Ende,

nnh

gun es ſt
chlage nit
rſte Ziſet
ß der zu
zu gtoße
eun ſn

at. GNMO

en vot, h
t, vorunf
in nuſt

vorden: 1
. in

Die rariſhe Rechenkunſt. 145

in 3 habe ich 3mal; ſo wuͤrde das aus dieſem Irrthum
entſtandene Factum 39 zu groß geworden ſeyn, um von
34 abgezogen werden zu koͤnnen. Haͤtte man im Gegen⸗
theil geſagt: 1 in 3 habe ich 1mal: ſo wuͤrde das Pro-
duét 1I ☛☚α 13 = 13 zu klein geweſen ſeyn, weil es,
von 34 abgezogen, den Reſt 21 gelaſſen, welcher groͤßer
als der Diviſor ſelbſt, und daher der Diviſor in ſelbige
mehrmal genommen werden kann. Hieraus nun fließt
von ſelbſt die ſtets zu behaltende noͤthige

Kegel: Wenn das Product zu groß iſt, um
abgezogen werden zu koͤnnen: ſo iſt der
Quotient zu groß genommen worden, und
manmuß ihn kleiner nehmen. Bleibt aber,
nach der Subtraction des Prod., ein groͤſ⸗

ſerer Reſt, als der Diviſor groß iſt, ſo hat

mman den Quot. zu klein genommen, und
man muß ihn groͤßer nehmen. Wer dieſe
Regel ſtets vor Augen hat, und wohl behaͤlt, was
§. 155. geſagst worden, der wird nie eine zwote Zif⸗
fer im Quotienten bringen, bevor die erſte richtig
befunden worden, geſchweige gar eine einzige unrich⸗
tige Diviſion aufzuweiſen haben.
61) Theile 543214 mit 14.
§. 164. So wie eine gegebene Zahl, durch die Zer⸗
faͤllung vermittelſt des Einmal Eins, wenn nur der
Multiplicator darinnen anzutreffen, vermehret wer⸗
den kann: (§H. 116.) Eben ſo kann, da die Diviſion
nichts anders als eine umgekehrte Multiplication iſt,
ein jeder Diviſor nach dem Einmal Eins zerfaͤllet, und
alſo mit ſolchem zerfaͤllten Diviſore, wenn er nur darin⸗
nen anzutreffen, theilweiſe dividirt werden. (§. 148.

Reg. 5.) Hierdurch wird der merkliche Vortheil er⸗

reicht, daß man alsdann eben ſo unter dem Strich di⸗
vidiren kann, wie bey den Aufgaben, deren Diviſores
aus einzeln en Ziffern beſtanden, geſchehen iſt. Z. E.
Es ſoll die Zahl 48384 mit 14 getheilt werden; das iſt:
durch 2 α7.

s0-

Die practiſche Rechenkunſt.

Solutio.

19) 4 83 84 oder 18382
„ 5 2) 3 4 56

Der Diviſor 14 iſt bey a in 2 — 7 zerfaͤllet, und erſt⸗
lich der Dividendus mit 2, der hierdurch gekomme⸗
ne Quot. aber mit 7 zertheilet worden, da dann der
iichtige und verlangte Quotient 3456 gekommen.
Dieſelbe Aufgabe iſt auch, durch Zerfaͤllung des Divi-
ſoris in 7 “2, bey b berechnet; zuerſt der Divi-
dendus durch 7; der gekommene Quot. aber durch
2 dividiret, und der naͤmliche Quot., wie bey der er⸗
ſten Berechnung, gefunden worden. (§H. 148. Reg. 5.)

Beweis: Wenn ich z. E. die Zahl 14 mit einer gleich⸗

großen Zahl 14 dividire, ſo muß zum Quotient

I kommen. §. 148. Reg. I. Zerſtreue ich nun den
Diviſ. 14 in 2 Nα7, und theile den Dividendum
14 zuerſt mit 2, ſo kommt zum erſten Quot. 7, als
die Haͤlfte von 14, denn 2: 14 – 7. Dieſen
Quot. 7 zum ꝛtenmale getheilt durch 7, ſo kommt
zum zweyten wahren und verlangten Quotienten 1.
Eben daſſelbe erfolgt auch umgekehrt: denn 7:
14 = 2 und 2: 2 = I.

Oder: Man⸗ ſtelle ſich das Exempel in benamten? Zah⸗
len ſo vor: 14 Perſonen ſollen ſich in 14 Dukaten thei⸗
len. Nun theilen ſich die 14 Perſonen in zween gleiche
Geſellſchaften a 7 Perſonen. Jede Geſellſchaft verlangt
alſo die Haͤlfte von dieſen 14 Dukaten, und bekommt 7.
Theilet nun jede Geſellſchaft ihren halben Antheil, 7 Du⸗
katen, wiederum unter ſich; ſo muß jede einzelne Perſon
zu ihrem Antheile 1 Dukaten haben.

Und ſo auch umgekehrt: Die 14 Perſonen ſtellen

ſich Paarweiſe, und jedes Paar verlangt ſeinen Theil,

von 14 Dukaten, ſo werden 2 Dukaten auf ein Paar kom⸗
men. Denn 7: 14 = 2. Nun theilet jedes Pasr ſei⸗
nen

halb ſ

fn Anthe
Denn 2:2

NR
lerſt die 5
det gte
ſt 7te Ah
lendi, alt
1721.
din

Reg
62) Me

64)

K 05
ltin zu i
meine B
borden, u
cher glenn
fuß, auf o
et
dut
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5 E.
Sag
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Neun
e s:
Theil

ier die
) Gehet
ten B
einen
Rich
Eilenn
Diit

tt, und erſte⸗

h gekonnine :

da dann der
kommen.

des Dir .

ſ der Diyi⸗
aber Nitch
ben der er⸗
8 Reg. 5)
e Reich⸗
m Qubtient
ich nun den
iyidendum
ot. /, 66s
ſ fommt
Motienten 1.
et: denn 7

guunten iß
rkunn ei⸗
min gleihe
ſt detlant
bCotnitt 7
heit Du⸗
gelne⸗

ſenen ſeelien
ſinen Theih
Pane ken⸗

N ſet⸗
es aar
. R en

Die practiſche Rechenkunſt. 145

nen Antheil 2 Dukaten: ſo bekommt jede Perſon 1 Duk.
Denn 2: 2 = I. l
Da nun, in unſerer Aufgabe, aus dem Dividendo
zuerſt die Haͤlfte genommen; aus dieſer Haͤlfte aber
der 7te Theil zum Quot. gekommen: So muß die⸗
ſer 7te Theil, aus der Haͤlfte des ganzen Divi-
dendi, auch der richtige 14te Theil ſeyn; ſo richtig, als

2 7= 14 oder 7 W☚&2 = 14 iſt.

Zuſ. Alſo iſt es gleich veil, mit welcher von bey⸗
Dden zerfaͤllten Zahlen man zu erſt dividiret. (§. 148.
62) Theile 47289 mit 12. d. i. 3 04 oder 2 %66.
63) 123696 mit 24. d. i. 4 6 oder 3 8.
64) ⸗ 7294328 mit 32. d. i. 4 8.
E. 195. Man hat nicht immer ganze Zahlen al⸗
lein zu theilen; ſondern es kommen auch zuweilen ge⸗
meine Bruͤche, deren Entſtehung §. 156. gezeiget
worden, zu theilen vor. Nun gehet der Diviſor, wel⸗
cher allemal in dem Zaͤhler des Bruchs genommen werden

.

a) Geht er auf: ſo wird aus einem gemeinen
Bruche ein anderer aus denſelben Theilen
beſtehender, und alſo gleichfalls gemeiner Bruch.
3. E. Man ſoll 5 durch 2 thelen.
Sage: 2 in 4 (den Zaͤhler) habe ich 2 mal. Die⸗
ſe iſt der neue Zaͤhler, darunter des vorigen Bruchs
Nenner, die 9, geſetzt wird, ſo iſt der ate Theil
aus ½ = ¾, welche ½ ebenfabs ein aus denſelben

muß, auf, oder e. gehet nicht auf.

Theilen beſtehender gemeiner Bruch, aber nur

halb ſoe
Hier die Haͤlfte genommen iſt.
b) Gehet aber der Diviſor in den Zaͤhler des gemei⸗
nen Bruchs nicht auf; ſo wird aus einen ge⸗
meinen Bruche, ein Bruch aus einem
Bruche, welcher aus einem Zaͤhler und aus
einem doppelten Neuner beſteht, wovon der
Diviſor, unter den Neuner des einfachen oder
go⸗

groß als der vorhergehende %, aus welchen

146 Die practiſche Rechenkunſt.

gemeinen Bruchs geſetzt, den zweyten Neu
ner giebt. z. E.
Man ſoll ½ durch 2 theilen.
Hier geht der Diviſor 2, in dem Zaͤhler 5, nich t
auf, deswegen wird unter den zu theilenden Bruch
5, welcher bleibt wie er iſt, ein Strich gemacht
alſo: F, und unter demſelben der Diviſor 2 geſetzt,
ſo entſtehet der Doppelbruch: . heißt: Fuͤnf

neuntel Zweytel.
Zuſatz: Hierher gehoͤren auch diejenigen Bruͤche, deſ⸗

ſen Zaͤhler zu klein, um darin dividiren zu foͤn⸗

nen: z. E.
Man ſoll ½ mit 5 dividiren: ſ eniſtehet edenfalls,
wie vorher, ein Doppelbruch 5 F

Der Bruch ½ mit4 dwidiret, giebt ½ heißt ein galb

Viertel.
Anm. Dergleichen, wie letzt er Bruch, kommen im gemei⸗

nen Leben oft vor. Z. E. Ich will von dem Zeuge

nur ein halbes Viertel. Das Stuͤck Fleiſch wiegt
mehr als 6 Pf. Der Brauer bringt mir jedeemal nur
4Bier ꝛc.
§. 166. Um dergleichen Doppelbruͤche, beſonders
wenn ſie groß ſind, deſto beſſer zu verſtehen, macht man
ſie zu gemeinen Bruͤchen, dadurch: daß man den
Zaͤhler, ſo wie er iſt, niederſchreibt, einen Strich —
darunter macht, den doppelten Nenner mit einander
multipliciret, und das Product davon unter den

Strich ſetzet, ſo wird aus 4½ der gemeine Bruch 36.
Beweis: Weil die? durch 2 nicht ohne Reſt theilbar,

ſo ſind dieſe Neuntel, durch die Multiplication
mit dem zweyten Nenner 2, zu noch einmal ſo
kleinen Theilen, naͤmiich zu Achtzehnthei⸗
len gemacht worden. Da nun ½ = †.a mithin 5
= 1 ½, ſo muß auch die Haͤlfte von 192= ſeyn.
1. Zuſ. Daß aber der Zaͤhler 5 nicht ebenfalls, wie deſſen
Nenner 9, mit den aten Nenner a vermehrt worden,
ver⸗

heißt zney

ver

ſel
he

2
m
mar
he
das
2
18,
dem
korm
§. 16
Riſere
hält, G I
zen nebſ
oppelt

. deſen Ne

32 Miit
haſſelbe

zuſet
Bru
ner
gen

Sage
Gend
G
De

ten Ney

er;, nicht

nden Druch

ich gemucht
or 2 geſett,
bißt: Funf

Bruͤche, deſ⸗

ren zu fi⸗

gt ein habb

en in geme;
n den Zeute

eſch niutz
chesmal. us

e, leſonders
mut t man
man den
Stiich-=
git einnnder

anter X

Pylf 15.
. dicen
einmal
gehnthei
14 nihn
2 ſeht.
l, wedeſn
uhn vin⸗ . 8

Die practiſche Rechenkunſt. 147

iſt darum geſchehen, weil, wenn der Zaͤhler durch 2
vermehrt und alſo in 10verwandelt waͤre, doch der⸗
ſelbe wieder mit 2 getheilet werden muͤſſen, da
denn nichts anders, als die bereits vorhandene 5 zum
Quotienten gekommen waͤre.

2. Zuſ. Man hat aber in Praxin nicht noͤthig, die ge⸗
meinen Bruͤche, welche bey der Theilung nicht
aufgehen wollen, erſt zu Doppelbruͤchen zu
machen; denn man darf nur den Zaͤhler, wel⸗
cher ſich nich t theilen laͤßt, hinſetzen, und ſogleich
das aus der Multiplieation des Diviſoris, mit des
Bruche Nenner gekommene Product darunter, z. E.
2 in 5 geht nicht auf, alſo = = § und 2 —◻☚ 9:=
19, ſo iſt der gemeine Bruch * gemacht, welcher
dem Doppelbruche , aus weichen er entſtand, „volle
kommen gleich iſt.
5. 167. Bisweilen bleibt auch nach der Diviſ ein

Reſt, welcher zugleichganze und gebrochene Zahlen ent⸗
haͤlt. In dieſem Falle werden die uͤbriggebliebenen Gan⸗

zen nebſt den dabey befindlichen Gebrochenen als ein

doppelter Zaͤhler angenommen, davon der D
deſſen Nenner iſt. z. E. iwiloe
Man ſoll 32 ½ durch 3 dividiren.
Sage: 3 in 32 habe ich 10, und 3 10== 30 von

S 32 bleibt 2 „hierunter ein Strichlein 2 ¼ und unter
daſſelbe den Diviſor, ſo entſteht der gemiſchie Bru

ch 1
heißt zwey ein halbes drittel.

Zuſatz: Eben ſo entſteht auch ein gemiſch ter
Bruch, wenn der aus ganzen und gebroche⸗
nen Zahlen beſtehende Dividendus zu klein ge⸗
gen deſſen Diviſor iſt. z. E.

Man ſoll 4 ¾ durch 5 dividiren.
Sage: 5 in 4 kann ich nicht, alſo muß der Divi-
dendus, ſo wie er iſt, der Zaͤhler, der Diviſor
aber deſſen Nenner werden, mithin der gemiſchte
Bruch 4 2 entſtehen.
7

K 2 Anm.

148 Die practiſche Rechenkunſt.
Anm. Die im gemeinen Leben oft vorkommende Ausdruͤcke:
der Reſt Band haͤlt anderthalb Viertel, d. i. 1 ½¼ Elle:
das Brod iſt anderthalb Viertel zu leicht, d. i. Es fehlt
am Gewicht deſſelben 14 Pf. ꝛc. ſind dergleichen
§. 168. Auch die gemiſchten Bruͤche laſſen ſich, um⸗

ſie deſto beſſer zu verſtehen, wie die Doppelbruͤche, in

gemeine Bruͤche verwandeln. Man darf nur die im
doppelten Zaͤhler befindlichen Ganzen, mit dem
Nenner, der nebenſtehenden Gebrochenen, multiplici⸗
ren, und deſſen Zaͤhler darzu addiren, ſo entſtehet ein
neuer einfacher Zaͤhler, deſſen neuer Nenner
gefunden wird, wenn man den untern Nenner mit den

obern Nenner multipliciret, und das Product unter den

neuen Zaͤhler ſetzt. z. E.
Man ſoll den gemengten Bruch 2 ½ in einen ge⸗
meinen Bruchverwanden.—

Schreibe den gemengten Bruch nieder, und ma⸗

che hinter denſelben eine Perpentikulairlinie alſo: 2 ½ 4

nun multiplicire die 2 Ganzen, im Zaͤhler des gemeng⸗

ten Bruchs, mit dem nebenſtehenden Nenner „der 2,
und ſage: 2 ₰α 2 = 4, hierzu den Zaͤhler 1=5. Die⸗
ſenneuen Zaͤhler 5 ſetze neben den gemeng ten Zaͤh⸗
ler2 ¼, hinter die Perpentikularlinie alſo: 2 ½ ;„

Ferner multiplicire auch, mit denſelben Nenner 2, des
gemengten Bruchs Nennerz3, und ſage: 2 °3 = 6.

Dieſen neuen Nenneré6 ſetze unter den neuen Zaͤh⸗

ler alſo: 2 ½¼ . ſo iſt geſchehen was verlangt worden, denn
2 3 18 . WW
der gefundne Bruch iſt = 2 ¼.

Beweis: Indem die Ganzen, des doppelten Zaͤhlers
2 1¾, mit den nebenſtehenden Nenner 2, mult. und
deſſen Zaͤhler 1 darzu addirt, ſo ſind dadurch die 2 ¾
unter einen Namen gebracht, und alſo zu 5 halbe
(Drittel) gemacht worden. Weil nun der neue Zaͤh⸗
ler 5 nur halbe enthaͤlt, ſo kann der Name Drit⸗
del

tel,

ſnde
noch
Dri
der
geme
nent
hat,
ie

1. Zuſa
6 4
in
iſnſehe
ziher
weldrn
in ein
gleichf

2 Zuſe
Nß we
een
ſpdann
ſnden
ici
und ſod
ſeßen,

R

Die practiſche Rechenkunſt. 149
enttli tel, des gemengten Bruchs 2 ½ nicht bleiben
1 defet ſondern dieſer alte Nenner 3 muß gleichfalls
ereichen noch einmal ſo kleine Theile, alſo halbe
DRð Drittel d. i. 6tel enthalten: Da nun zu dem Ende
ſaſc, , S der alte Nenner 3 ebenfalls mit 2, ſo wie der
6 3 gemengte Zaͤhler 2 ¼ multiplicirt worden, mithin der
ene en neue Nenner den Namen 6 tel wirklich erhalten
n ſ den hat, ſo muß der gefundene geme ine Bruch auch
niſiu voͤllig gleich ſeyn dem gemengten Bruche 2 ¼
“B 1. Zuſatz: Daß es mit vorſtehender Verwandelung —
ntden des gemengten Bruches, in einen gemei⸗
ne⸗ “ nen Bruch, ſeine Richtigkeit habe, kann man auch
Mõ einſehen, wenn man den aus 2 ¼ gefundenen neuen
4 Zaͤhler 5, als 5halbe Drittel durch einen Dop⸗
n enen gu pelbruch ausdruͤckt, alſo: , dieſen aber, nach F. 166,
ubmd in einen gemeinen Bruch verwandelt, ſo wird
nie gleichfalls der Bruch Rerſcheinen. L
uneg 2. Zuſ. Bey der wirklichen Praxi iſt es nicht noͤthig,
de ne daß man dergleichen Doppelre ſte, wie 2 ¾, erſt in
ner, “ einen gemiſchten Bruch ſtelle, um denſelben
=/. N ſodann in einen gemeinen Bruch zu verwandeln,
gurhiß ſondern: man kann einen ſolchen Doppelreſt ſo⸗
2 4 Aleich in die gehoͤrigen Theile des ganzen verwandeln,
ule , uund ſodann den darzu gehoͤrigen Nenner darunter
2 76. ſetzen, z. E.
en zin⸗ Man ſoll 632 ¾ mit 3 theilen,
ben, denn
Gtt, Solutio.
ter gahlers V . 2105½ S
ni und 2. 2 1 % 4
1c die4 Sgge: 3 in 6 habe ich 2 mal, und 2 4 3= 6 — 6=
1 hulbt 9. Ferner, 3: 3: 3 habe ich 1 mal, und I 93
ete⸗ . = 3— 3 0. Endlich 3: 2 habe ich o mal,
Rane und o α3 =o, von 2 ¾, bleibt 2 ¾. Vermehre
4 K 3 die⸗

150

Die practiſche Rechenkunſt.

dieſe uͤhriggebliebenen 2 Ganze ſo gleich mit dem
Nenner des gleichfalls uͤbriggebliebenen * thue
den Zaͤhler deſſelben darzu, alſo:
6 += 8. Unter dieſen gefundenen nen en. zaͤh⸗

ler 8, ſetze das Produet, des mit dem Nenner 3

6 gleichfalls ver mehrten Divif. 2, als: 3 ◻ 3 = 9,

ſo iſt der Bruch ½ = den zten Theil von 2

Anm. Der Nutzen von dem, mas §. 16 5 168 zelehret

worden, wird ſich bey der Diviſton mit zerfällten
Zahlen, als wo dergleichen Bruͤche unvermeidlich vore
kommen, zeigen.

65) Theile 94111969 mit 48. d. i. 5 α 8.

Solutio.
9 4 1119 69
71 5 6 8 5 3 2 8 4½
3) . 1 6ο 6 6 *½⅓

Hier iſt bey der erſten Diviſion ‚qmit 6, uͤbrig geblie⸗

ben: ½. Bey der 2ten mit 6 aber iſt, nachdem
die ganzen Zahlen ſaͤmtlich aufgegangen, nur noch
der 8 te Theil aus zu nehmen geweſen. Da nun

8 in den Zaͤhler des nicht genommen werden konn⸗

te: ſo iſt der Zaͤhler 4 geblieben, wie er war, und

darunter das Prod. des Nenners 6 mit den Diviſor
8,— 48, als der neue Nenner darunter geſetzt

worden. (§F. 165. b, und §. 166. Zuſ. 2.)

66)
67)
68)
69)

Theile 800003993 mit 63! (7 ° 9)
⸗ 6807080829 mit 31! 9 49)
: 5023561318 mit 56! (7 24 8)
Man ſoll 567897 mit 42 theilen.

Solutio.
5 6 7 8 9 7 Ae 5
6)— 9 4 6 4 9 ¾
1 3 5 2 1 4
Hier

ler 1
R
2 ½
der el
ven
70) Mar.
71)
7²)
4 An

6.169
de, ſo oh

von demſel

Rull, de i
der Diviſe
wie 5 159
73) Man

1.

mit den
undthut

3 N=S

euen Zah⸗

n Nenner 3

4
12 ¾
5

168 gelchlet

jerfällten
eneidlich dore

riz gebie
, tachdem
, tur noch
n. Da nu
verden korn⸗
ewat, Vd⸗
den Dinor
urttt eſett

2)

Die practiſche Rechenkunft. 151

Hier iſt bey der erſten Diviſion, mit 6, uͤbrig geblieben
3. Bepy der 2ten Diviſion, mit 7 aber, blieben
2 ½. Welches den gemiſchten Bruch 2 ½ giebt,

der eingerichtet, nach §. 168, Zuf. 2, den gemei⸗
nen Bruch ½ giebt.
70⁰) Man theile 3456047 durch 35. (5 .7)
7½) 1985043 mit 64. (8 %“ 8)
72) ‧ 54304281 mit 45. (5§ 9)

4. Aufgaben, wo der Diviſor 2 Ziffern mit
einigen Nullen am Ende hat.

§. 169. Bey Aufgaben, deren Dividendus am En⸗
de, ſo wohl als der Diviſor, Nullen hac; ſtreichet man

von bemſeben, gegen jede Null des Diviſoris, eine

Null, d. i. Null gegen Null weg. (§F. 157.) Hat aber
der Diviſor allein Nullen am Ende: ſo verfaͤhrt man,

wie §. 158. gelehret worden.

73) Man ſoll 07t70e mit 79000 dividiren.
Solutio
7 9 ες *½ — §5 0%7 1702042
Q. 6 4 I 9 8 7 6. 4.2 4 4 õ
4 l 3 3 3 1
3 f. 6

—

I
*

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.
——

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—*◻

△O D
O

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₰ ◻⏑

6 £ £D
O% NN
O △☛ £

K 4 Ds

1 52 Die practiſche Rechenkunſt.

Da hier nichts Neues vorgekommen; ſo iſt der bloße

Augenſchein, ohne weitere Erklaͤrung, zureichend.
74) Dividire 112345324000 mit 91000 D
75) ⸗ 14024645624000 mit 22000!
76) 865423000 mit 2300! (*)
77) 470⁰987000 mit 450000! (**)
78) Man dividire 2478956972 mit 32000!
Solutio.
3 2.0 °0% — 247895 6.57 2

C. 7 7 4 6 7 18 32 2 † . . . .

„α
„ P +
0° △

„⏑

—

.

1

„ °°

„
„* + △

=ð 1 2 9 7 2
Zu dem Reſt 12, welcher, nach Abzug des letzten
Products 224, uͤbrig geblieben, werden noch die
vom Dividendo, wegen den Nullen des Diviſoris,
abpunctirten 972 geſetzt, ſo iſt der ganze Reſt:
12972 und der Zaͤhler zum Bruche: 4333

deſſen Nenner der ganze Diviſor, mit ſeinen apunc⸗

tirten Nullen iſt.

79)

.*) Hier kaͤnnen vom Dividendo nur 2 Nulen weggeſtri⸗
chen werden.

**) Hier werden 3 Nullen vom Dividendo, gegen 3 des
Diviſoris, weggeſtrichen, und fuͤr die 4te deſſelben,
vom Dividendo, eine Ziffer abpunctirt, alſo:
4⁵5.00900 — 47098.,7000
N8. Zum Nenner des Bruchs wird die abpunetirte omit⸗
genommen alſo iſt er 450, nicht 45.

Ehret,

d

*

5,170
ſſthen,
ſehn,
haben,

Der

4L86

Wal

Divie

llein

unen
ſir

det bloe

197 4
des leßten
noch die
Dirioris
angze fi
ge: 11863

nr apun⸗
79)
teggefti⸗

leſeten
lo:

girtonit⸗

79) Theile 84657123 mit 46000!
80) 25678675 mit 760000!
.Aufgaben, wo der Diviſor
Ziiffern bat. H
§. 170. Wer Aufgaben, deren Diviſores aus zwo Ziffern
beſtehen, aufzuloͤſen im Stande iſt, dem kann es auch nicht
fehlen, Aufgaben, deren Diviſores 3 und mehr Ziffern
haben, aufzuloͤſen; beſonders wenn das, was §. 161. ge⸗
lehret, wohl gefaßt und behalten worden.
Deswegen ohne Verzug zu den Aufgaben ſelbſt.
Dividire 45781526592 mit 4861!

1

Solutio.
4865 –—— 45781526592
ä
“ 2 °4 1.
I. 9. 4. 4
9 7 §
97 32
2.9 I. 6
P 3 4 9⁹9 9
3 402
27
0 0

0 ς H

Weil hier beym Ueberſchlag, die erſten 3 Ziffern des
Dividendi, gegen die 3 Ziffern des Diviſoris, zu
klein ſind, um etwas darinn nehmen zu koͤnnen: ſo
nimmt man, wie §. 161. gelehrt worden, eine Zif⸗
fer vom Dividendo mehr zu dieſem Ueberſchlage,
und ſagt alſo: 4 (die erſte Ziffer des Diviſoris) in
45 (den zwey erſten Ziffern des Dividendi) habe ich
6 r K 5 9 mal

81)
2)
83)
2884)
. 85)

viſor

7

154 Die practiſche Rechenkunſt.

9 mal; das Prod. 9 ¾ 486 = 4314 an gehoͤrige .
Stelle geſetzt, abgezogen, und zum Reſt die naͤchſt⸗
folgende 1 herunter geſetzt. Nun: 4 in 20 (weil

hier ebenfalls eine Ziffer mehr iſt, als der Diviſor
enthaͤlt,) habe ich 4mat, und 4 486 = 1944, von

2041, bleibt 97: hierzu die 5§5 herunter. Ferner:

4 in 9 = 2, und das Prod. 2 b2 486 abgezogen,
bleibt 3, hierzu die 2 herunter. Ferner: weil hier
der Dividendus zu klein gegen den Diviſor, ſo
kommt im Quot. o, welches all ez eit geſchiehet, wenn

die Zahlen des Dividendi, gegen die Zahlen des

Diviſoris, zu klein befunden werden. Da das
Prod. von o 486 nichts giebt; ſo wird die folgen⸗
de 6 herunter genommen, und abermal, wegen noch

zu klein befundenen Dividendus, o mal genommen.

Da nun das Prod. α486 abermal nichts giebt, ſo
wird die 5 noch darzu herunter genommen, und nun

geſagt: 4 in 32 = 6 mal, das Prod. 6 ✕ 486

= 2916 abgezogen, und zum Reſt die 9 herunter.
Nun: 4 in 34 = 7 mal; das Prod. 74 486 abgezo⸗
gen, bleibt 97, hierzu die letzte 2 herunter. End⸗

lich 4 in 9= 2, das Prod. 2 486 = 972 — 972

bleibt nichts.
Theile 140405487768 mit 234!
38274877359 mit 453!
2438923200 mit 348!
267800904 mit 5671!
920997000 mit 231!

6. Aufgaben, wo der Dirviſor in der
Mitte Nullen hat.

„ A

§. 171. Weil, bey Suchung der Producte, der Di-

allezeit als Multiplicandus betrachtet wird, ſo

iſt hierbey nichts weiter zu beobachten, als was hieruͤber
§. 162. geſagt worden.

Dipi⸗

x
◻

2

Der
n
66) Man
8)
Aheit
):

7.

r.

eine iſn
ge lehen

Die practiſche Rechenkunſt, 155

de nichſ⸗ Dividire 70265608 mit 203:
in 20 (weil Solutio.
er Dinllor 2 0 3 — 0 2 5
J . 0 2 6 5 6
1944, Von C—2 46136 3. 0. 5 3 0 8
. Fetnnrrrr . —
abgeogen, 9 3 G
wel hier 8 1 2
Diriſor, ſo
7 1I 2 4 5
iehet, wenn
Zahen des 28.
Da das 2 7 6
die folgen. 1. 2 0 3
begen noch .
enommen. . 30
, ſ⸗ 2 2
, und nun 121 8
6 5406 12 I 8
herunter⸗ — —
tgn M
n. Ende Der Augenſchein wird, o itere Erkla
ne weitere Erklaͤru
„ -H zuhaben, Gnuͤge ien aruns nöchis
86) Man ſoll 147875967 mit 309 theilen.
82) 712848736 mit 5008
88) 28068316629 mit 41003 theilen!
2389) Theile 145165479768 mit 2006041
90) 738772187648 mit 800008!
der 7. Aufgaben, wo der Diviſor 4, und
mehr Ziffern hat.
n der D⸗ §. 172. Auch bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts anders
uin er⸗ eine es P:1: gelehret worden. Deswegen mag
3s hiern ine einzige Solution, durch den ſchei uͤbri⸗
h ze dehren. z. W. „durch Augenſchein, das uͤbri⸗

De Man

56 Die practiſche Rechenkunſt.

Man ſoll 7000974 mit 5678 theilen.

Solutio.
5§ 6 7 8 — 72205974

— 8 .

9* . „ „

1I I

* *

— 1
N 00 .
ON— 0
0 △

4
4

17
◻

—

₰„ ◻2

7

00
91) Dividire 21375019000 mit 2375!
92) ⸗ 4⁰711II215II06 mit I10IOI
93) 87102050 mit 98765!
94) 127674000 mit 432198!
95) 9870040008⁸ mit 1928374!

O% O

8. Aufgaben, wo der Diviſor und Dividendus

gleichviel Ziffern haben.
§. 173. Bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts beſonders vor,

als daß der Quotient, bey gleicher Anzahl Ziffern des Di-

viſoris und Dividendi, nur in einer einzigen Ziffer,
den Bruch ausgenommen, beſtehen kann. Uebrigens
bleibt es immer bey dem, was §. 161. gelehret worden.

96) Dividire 8464868 mit 42324341
97) 29 4305406 mit 32578245!
98) 61928995: 72900453.
99) 12345678: 41972876.
100) 98765432
837654321 „
Anm. Wer dieſe 100 Diviſionsaufgaben mit gehoͤriger Auf⸗

(S. 147. von dem Zeichen.)

merkſamkeit gerechnet, und die dabey gegebene Unter⸗

weiſung gefaſſet hat; dem wird keine Diviſionsaufgabe
zu ſchwer ſeyn. Wer aber glaubt, noch nicht genug
geuͤbt zu ſeyn, dem ſteht frey, dem Curſum noch iin⸗
ma

nsau

N

(174
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Pene Unter⸗
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gal

1

Die rarliſche Rechenkunſt. 152

mal durchzusehen, oder auch zu den Nulirlieati⸗
onsaufgaben, die Proben zu machen.

Nun nur noch ein Paar Worte von der

Proba.

8. 174 Es iſt ſchon §. 152 geſagt: daß zum Beweiſe
der Richtigkeit, der Dividendus wiederum zum Vor⸗
ſchein kommen muß, wenn man den Quotienten mit dem
Diviſore multipliciret: wobey aber nie vergeſſen werden

muß, den bey der Diviſion gebliebenen Reſt ſedes ma 1

zu ſolchem Facto zu addiren.

Das letzte Erempel mag uns augenſcheinlich belehren.
. Solutio

WR 1

8 7 6 5 4 3 2 1 — 98 7 6,54 32
8 2 1
S
SWr IIIIIIIII.
l Proba.
=. 87 654 3 2 .a Diniſor “M
17 1 Quot. 3
è 32 6 5 4 32 1 g 8

9 876 5 4 3 2 Dividendus 4

Hiermit ſind die 4 Species in unden amken Zah⸗
len geendigt; deren Nutzen ſich in Praxi zeigen wird,
wenn wir rechnen werden:

Die

158 Die practiſche Rechenkunſt.

Die 4 Species in benamten
ganzen Zahlen.
§. 175. Benamte Zahlen, heiſſen alle diejenigen,
welchen man den Namen der Dinge, die zuſam⸗
mengezaͤhlet, gewogen, gemeſſen, oder nach Geidpreiſen
geſchaͤtzet werden, woͤrtlich oder ſchriftlich beyfuͤget. 3*
E. 100 Ducaten, 5o Mark; 5 Centner, 10 Pfund;

100 Ellen, 9 Zoll u. dergl. (§. 9.). Bisweilen wer⸗
den dieſen Benennungen noch andere beygeſuͤgt,

z. E. 100 Ducaten Species, 50 Rthlr. Banco, 100
Rthlr. Courant, oder 100 Rthlr. Hamburger Cou⸗
rant ꝛc. 5 Centner Roſinen, 100 Ellen Leinwand,
10 Fuß Holz 1c.
Erſtere einfache Benennungen des Geldes,
als: 100 Duc. 50 Rthlr. bezeichnen nur einen unbe⸗
ſtimmten Werth des Geldes; letztte Doppelbenen⸗
nung: 100 Dur. Species 50Rthir. Banco ꝛc. aber, be⸗
zeichen einen beſtimmten Werth des Geldes. Eben ſo
bezeichnen 5 Centner, 100 Ellen ꝛce, nur die Quantitaͤs
einer Waare: die doppelte Benennung §5 Centner

Roſinen aber, bezeichnet auch zugleich den Namen

der Waare, welche gewogen oder gemeſſen iſt.
F. 176. Wenn die Zahlen, nach angefuͤhrter Art,
nur einfach benamt ſind: ſo geſchiehet die Berechnung
derſelben auf eben dieſelbe Art, wie die Aufgaben
der unbenamten 4 Species berechnet worden ſind.
Denn es iſt voͤllig einerley, ob ich die Summa von
den unbenamten Zahlen 326 + 274 finde, oder von

den benamten Zahlen 326 mg. + 274 Mm., beyde—

werden eine gleiche Zumma geben, naͤmlich erſtere: 600,
und lebtere 600 m.

Zu⸗

zuſg.
4Re⸗
delt,
Narm
fuͤgu
den
wieſt

9. 177
fachengt
bleiben in

ler, Pe

groͤßem:
als peſche
Veit ,.
ſ den
Aeinen

derin 12

Echline,
finger aſ⸗
geringe⸗
denen
ten mu
beyn In
Verecht

r denen

chnunge

ſten

iejenigen,
ie zuſam
Gedyreiſen
lchfüget. 3.
10 Pfund;

wveilen wer⸗

e beygeſigt,
inet, 100
Rer Con

Leintpoſt,

des Gee,

einen unbes
hheſbenen⸗
. ober, ber
86. Ebenſo
Quant titat
15Cumner
.

ühttr At,

Dercchnung.

e Nſgaben
Lorden ſind.
Somm hon
de, oer von

e. „beyde .

gine: boo,/

„

Addition, Multiplication und Subtraction geſchehen
dus

Die practiſche Rechenkunſt. 159

Zuſatz: Es ſind daher alle Aufgaben der unbenamten
4 Rechnungsarten ſo gleich in Benamte verwan⸗
delt, ſo bald man den Zahien derſelben, ſolche
Namen, wie §. 175 beygefuͤgt, um welcher Bey⸗
fuͤgung ſi ſi e aber dech, in ihrer Berechnung, nicht
den mindeſten Unterſchied machen, ſo wie eben er⸗
wieſen worden.

§. 177. Es kann aber nicht immer bey dergleichen ein⸗
fach en Zahlbenennungen, wie §. 175. angefuͤhrt worden,
bleiben, indem wir nicht allein Unitaͤten, welche Tha⸗

ter, Mark ꝛc.; ſondern, in Beziehung auf ſdieſe

groͤßern: auch noch kleinere Sorten von Unitaͤten haben,
als welche nur einen gewiſſen und beſtimmten
Theil der groͤßern Unitaͤten, betragen. Z. E.
Nebſt den Thalern haben wir auch Groſchen, deren
24 einen Thaler; noch kleiner, naͤmlich Pfennige,

deren 12 erſt einen Groſchen betragen. Eben ſo ſind

Schillinge, dem Werthe nach, um den 16ten Theil ge⸗
ringer als Mark; die Pfennigen aber wiederum T2mal
geringer als Schillinge ꝛc. Wegen ſolcher verſchie⸗
denen Sorten, von Muͤnzen, Maaßen und Gewich⸗
ten, muß nun freylich ein kleiner Unterſchied, ſowohl
beym Aufſaͤtzen der Zahlen ſelbſt, als auch bey deren
Berechnung vorfallen, allein Schwierigkeiten giebts

fuͤr denjenigen nicht, weicher in den unbenamten 4

Rechnungsarten gehoͤrige Fertigkeit erlanget hat.
Denn, wenn man 1) nur weiß, wie die groͤßern

Sorten von Unitaͤten, nach und nach, in immer kleine⸗

re getheilet werden, undwie viel Unitaͤten der klei⸗
nern zu einer Unitaͤt der groͤßern Sorte geho⸗
ren?

2) Wenn man eben ſo, wie bey der unbenamten

bey

164S Die peactiſche Rechenkunſt.

bey den kleinern Unitaͤten anfaͤngt, und bey den groͤſ⸗
ſern aufhoͤret; bey der Diviſion aber umgekehrt ver⸗
faͤhrt.

3) Wenn man j e e So rte von Unitaͤten ordentlich

unter einander ſetzet, und gleich es z u gleichen ad⸗

dirt, oder gleiches von gleichen ſubtrahirt, ſo
wird ſich das Uebrige von ſelbſt geben.

Weil aber ein Anfaͤnger der Arlithmetik, ohne
Kenntniß ſolcher verſchiedenen Groͤßen, und
Sorten der Unitaten, nebſt deren Benennungen,
welche in Maaß, Muͤnze und Gewicht vorkommen,

und die uͤberdem noch nicht einmal an allen Orten gleich

ſind, unmoͤ glich fortkommen kann, ſo will ich, am Ende
dieſes Buchs, ein brauchbares Verzeichniß der ge⸗
braͤuchlichſten Benennungen, ſo wie ſie in dieſem Werke
vorkommen, und zwar in tabellariſcher Ordnung beyfaͤgen,
welches, ſo oft es noͤthig, nachgeſchlagen werden kann.

Und weil dieſe Benennungen der Zahlen ſehr oft mit .

Abtüreungen, oder auch andern wirklichen Zeichen
gehtentſ werden, die anders ge druckt, anders geſchrie⸗
en auſſehen, jedoch aber ſo geſtaltet ſeyn muͤſſen, damit
ſie ein jeder verſtehe: ſo will ich auch dieſen Verzeichniß
die gewoͤhnlichſten und im Buche vorkommenden A b⸗
kuͤrzungen und Zeichen voranſetzen. zer

Anm. Freylich koͤnnen dieſe nicht hinreichend ſeyn, um
alle Abkuͤrzungen und Zeichen kennen zu lernen, weil
ich mich hier nur auf die gedruckten, nicht aber
auch auf die geſchriebenen einlaſſen kann, als welche
letztere noch darzu mit ziemlich veraͤnderten Geſtalten
erſcheinen. Doch dieſe triſt man ija in den meiſten
Vorſchriften an, aus welchen ſie am Beſten zu lernen
find. Man huͤte ſich aber fuͤr neuen Erfindun⸗
gen ſolcher Zeichen, weil ſie ſonſt nicht jeder⸗
mann verßtehen moͤchte, wie es doch billig ſeyn ſollte.

I. Ad-

altt mei⸗
986, Anm
lerſchieden
will ernie
gekanft:

„Summa

Wil
Jaht, i
renloger
Und huggke
tion eſim
mann nie,
Ner hren
rhhnung
Cenbvaͤte
be bericht
Die A
Kben.

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—

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Gerzeichtiß

inden Ab

ſenn, un
ſetner, Ne 1
Geſtalten

en neif

frenma
findunt

.

Die practiſche Rechenkunſt. 161

I. Additio in ganzen benamten
Zahlen.
§. 178. Dieſe Species wird im gemeinen Leben am
aller meiſten, und ſaſt von Jedermann gebraucht. (F⸗
86. Anm.) Der Kaufmann kauft von einer Waare un⸗
terſchiedene Partheyen, zu unterſchiedenen Preiſen; ſo
will er nicht nur wiſſen: wie viel Waare er in allen
gekauft: ſondern auch, wie viel dieſe Waare in
Summa gekoſtet?
Will er, wie gebraͤuchlich, jeden Monat, oder jedes
Jahr, einen Ueberſchlag machen, wie groß ſein Waa⸗
renlager? wie viel am baaren Gelde in Caſfla?
und dergleichen mehr, ſo muß alles dieſes durch die Addi⸗

tion beſtimmt werden. Ja, ohne dieſe wuͤßte der Kauf⸗

mann nie, ob er bey ſeinem Handel gewonnen oder
verlohren haͤtte: — — Jeder Handelsmann muß ſeine
Rechnung vermikteiſt der Addition verfertigen, und jeder
Hausvater, durch ſie, ſeine Einnahme und Ausga⸗
Die Additionsaufgaben ſelbſt werden davon Beyſpiele
geben. P
1. Aufgaben, wo zwo und mehr benamte Zahlen
zu addiren vorkommen.
§. 179. Bey dieſen, und allen folgenden Aufgaben iſt
nichts weiter zu beobachten, als daß man beym Aufſatze
der Solutio, den Sorten des erſten Poſtens ihre gehoͤrigen
Namen beyfuͤge, hingegen aber die Namen der Sorten
folgender Poſten nur mit (½) bemerke; wobey zugleich
darauf geſehen werden muß, daß, bey jeder Sorte, die Ei⸗
ner unter Einer, die Zehner unter Zehner ꝛc. richtig zu ſte⸗
hen kommen, juſt ſo, wie bey der unbenamten Addi⸗
tion geſchehn. Endlich wird unter ſaͤmtliche alſo aufgeſetz⸗
te Poſten eine Linie gezogen, um uncer dieſeibe die BSum⸗
me aller Sorten, mit Beyſuͤgung ihrer Namen, welche
ſie im erſten Poſten hatten, zu ſetzen. Eine Aufgabe wird
die Sache deutlicher machen. Z. G.
2 X2— Adam

162 Die prackiſche Rechenkunſt.

Adam nimmt ein 428 Mmg 10 fs uud 635 4 ;

wie wiel in zumma?

Solutio.
“ 32 ⅛⅝ s 10 ſ)
6 3 5 4 ⸗
Summa 1 06 3 mm 1

ſS
Fange bey den kleinſten Sorten, den Schillingen,
und bey den Einern derſelben an, und ſage: 4 +

4; dieſe 4 ſetze unter die Linie, und neben die 4 auch die

1 herunter, ſo iſt die Summe! aller vorhandenen Schilinge
naͤmlich 4 ſà + 10 ſ = 14 ſö. Eben ſo addire auch die groͤß⸗
ten Sorten, die Marken: 5 T+ 8 = 13 u. ſ. f. juſt ſo wie
bey der Addition in unbenamten Zahlen geſchehen.

Beweis: Da alle Schillinge, welche die Numeri
addendi enthalten, in eine Summe gebracht; des⸗
gleichen auch alle Marken nach ihren Einern, Zeh⸗
nern und Hunderten: ſo muß auch dieſe Summe
ſo groß ſeyn, wie die beyden Numeri addendi zu⸗
ſammengenommen; ſolglich iſt geſchehen was verlan⸗
get worden.

1) Wie viel betragen 5347 M8 9 6 †+ 736 ms 6 ſi in

eeiner Summe?
2) Balzer zahlet unterſchiedene Poſten aus, als: 1430
mg 10 ſs T 73 m8 3 6* †+ 47 π2 ſs. Wie viel
cſpar hen fe b Gel Thlr
3) Caſpar hat empfangen an baaren Gelde: 432 Thlr.
ys 6 †+ 109 Thlr. 8 30 2 + 8⁸ Thlr.
. * 3 &. Wie viel in allen?
Solutio.
432 Thlr. 17. 6 ℳH
109 Thlr. 8 = 2 ⸗
8 Thlr. 1⸗ 3 ⸗

1

Summa 549 Thlr. 23 96 11

Hier betraͤgt die Summe aller Q= 11 O, weil dieſe
noch keinen Groſchen, als welcher 12 hat, betragen,
ſo werden ſie auch an ihre Stelle, ſo wie ſie find, nieder⸗
ge⸗

geſchiehen
2 K we
hat, nich
Clllch w.
und es iſt
1. Anr

keine Un
werden
großen 7
ten in d
ten zu
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1 wire
l, ſo D
i ringe
iſer Su
Af ſehe
ſalge den
96 A
lich Dhn
ich nicht
ſe ich

1

Die practiſche Rechenkunſt. 163

4 geſchrieben. Eben ſo betraͤgt die Summe aller 20 =
23 % welche, da ſie ebenfalls 24 , als ſo viel der Thir.
hat, nicht erreichen, an ihre Stelle geſchrieben werden.
Endlich werden auch alle Thir. in eine Summe gebracht,
und es iſt geſchehen was veriangt worden.
1. Anm. Aus dieſen wenigen Aufloöſungen luͤßt ſich ſchon zur
Gnüge erſehen, ſwpieuhbedeutend die Veraͤnderung,

ſz welche dieſe verſchiebenen Benennungen der
hillingen, Zahlen verurſachen, gegen der ſchon bekannten Addi⸗
4o= tion in um bengmten Zahlen ſſt. (§. 177.) .
4 alch die 2, Anm. Wenn künfktig das Zeichen Thlr. verkommt, ſo
Shlige wDird dadurch allemal ein Thaler zu 24 Groſchen oder
ch djegruß⸗ zu 72 Groten verſtanden. Dahingegen das Zeichen
ſr die dder Rthlr. einen Reichsthaler zu 48 Schiling
edeutet.
ihen. 4) David in Bremen giebt aus: 346 Thlr. 30 Groten
e Numeri 2 Schw. T+. 203 Thlr. 24 Groten, 1 Schw. + 96
tacht; des⸗ Thlr. 15 Groten 1 Schw. Wie viel in Lumma?
nen, Zeh⸗ 5) Elias hat verſchiedene Schulden zu beza ſen als:
ſe Eunne an A. 345 Re 14 ſ 3 &; an B. 407 R 4 l
lendi iu * 6 &; und an C. 96 Re 8 ſs 2 ; Wie viel „*
wos velan beetraͤgt die ſaͤmtliche Schuld? L D

. §. 180 Nicht immer, wie bisher, kommen ſo wenige
6 in Unitaͤten der kleinern Sorten in die Summe, daß daraus
keine Unitaͤten der folgeuden groͤßern Sorten aemacht
li: 41% wDerden koͤnnten, ſondern es kommen oft, zumalen bey
Vie viel großen Aufgaben, ſo viele Unitaͤten der kleinern Sor⸗
ten in die BHumme, daß davon einige groͤßere Unita⸗
. vLl. ten, zu folgenden groͤßern Sorten . gemacht werden
174 Thle koͤnnen, wie es denn auch ſeyn muß, weil es nicht ſchick⸗
lich waͤre, die kleinern Sorten nach Anzahl ihrer Umitaͤ⸗
ten, ſo wie ſie zuſammengezaͤhlet werden, in die Summe
zu bringen. Wie wuͤrde es ausſehen, wenn man z. E. in
einer Summe niederſchriebe: 2937 Thlr. 96 90 46
Wer ſiehet hier nicht, daß in den 46 % noch Unitaͤten der
folgenden groͤßern Sorte, naͤmlich Groſchen; in den
96 2. noch Unitaͤten der folgenden groͤßern Sorte, naͤm⸗
weil diee lich Thaler befindlich? Denn ſo oft ich 12 ehabe, ſage
hetregen, ich nicht 12 Aſonſondern 1 20, und ſo oft ich 24 C habe,
it, zihet: ſage ich nicht 24 ℳ, ſondern 1 Thaler ꝛc.
n/ ger 22 Die⸗

164 Die practiſche Rechenkunſt
Dieſerwegen iſt ein Mittel noͤthig, um dadurch, ſo oft
der Fall vorkommt, daß der kleinen Unitaͤten eben ſo
viel, oder mehr, als zu einer Unitaͤt folgender groͤßern
Sorte gehoͤrig, vorhanden, dieſelben ſo gleich zu Unitaͤ⸗
ten groͤßerer Sorte zu machen.

Man dividiret mit der Anzahl Unitaͤten kleine⸗
rer Sorten, welche zu einer Unitaͤt folgender
groͤßerern Sorte gehoͤren, in die ſummirten klei⸗

nern Unitaͤten, da dann der Quotient die Anzahl Unitaͤ

ten zu folgender großerer Sorte giebt, als wozu ſie
auch addirt werden muͤſſen; der Reſt aber wird allezeit un⸗
ter die Sorte geſetzt, aus welcher der Quotient gefunden
worden. So werden z. E. die Pfennige, durch die
Diviſion mit 12, zu Groſchen; die 20 aber mit 24
zu Thaler gemacht: weil 12 = 1 9. und 24 96
— 1 Thaler.

Ein Exempel wird die Sache mehr ins Licht ſetzen.

Helix in Dresden hat an 6 Erben folgende Summen
anszuzablen, als: an A 496 Thlr. 13 920 6 $. An
B; 560 Thle. 16 9 L. An C; 638 Thlr. 18
90 10 H.; An D. 239 Thlr. 17 36 8 ¾; An E.
609 Thlr. 20 90 9 & und an F. 404 Thir. 12 96.

4 . Wie viel hat er uͤberhaupt an alle 6 Erben ausge⸗

zahlt?
Solutio.
An A. 496 Lhle. 13 6 6 ℛ a) 12 — 46

⸗ B. 560 16 „ 9 36
„ C. 638 18 ⸗ 10 3 % —
⁶½ D. 239 % 17 7½ 8 10 10 &
;„ E. 600 ⸗ 3 29 ) 24 — 99 D
„ F. 404 „ 12 ⸗ 4 4Thir 96
Sömmæ 2941 Thlr. 3 Gr. 10 P. 3 96

Hier haben ſich bey Summirung der Pfennige, 46
Pf. gefunden, welche Anzahl zu groß war, um ſie ſo an ih⸗
re Stelle hinzuſchreiben, weil ſie noch Unitaͤten folgender

groͤßern Sorte enthielt. Es mußten alſo dieſe 46 Pf. mit
12

12, 46 ſo
werden, 1
Ail fuder
daf 46 G
glherige
3 Vr. ab
Eutawe

ahl Greol

Gorte en
viſion mi
Thaler
ſich4
die 3 ½
furbenen
auf bieſe
Worden.
Anm.
alf⸗
Fegel:
nern So
welche;
Sorte
N=I
12, Me
Eroſchen
R
er Maͤn

Grof

69
an
Feun
und
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ſun

2) hon

K

urch, ſo bft

ig eben ſo
er grißern
ih zu Witaͤ⸗

ten kleine⸗
it folgender
mirten klei⸗
ahl Unte⸗
als wola ſie
d allezeit un⸗
ent gefunden
e, duͤrch die
ober mit 24
and 24 0.

icht ſeten.
de Summen
6.. An
8 M. 18
N E.
Dl. n *
Eiben alige⸗

-6
10
— Y
hr 4

45

etnige,

n ſeſen

ten ftener
blin

Die practiſche Rechenkunſt. 16 5

12, als ſo viel & zu einen Groſchen gehoͤren, dividiret
werden, um die Anzahl der Groſchen, aus dieſen 46

zu finden: dieſes iſt bey a) geſchehen, und gefunden,

daß 456 = 3 10 . Die 10 QNſind an ihre

gehoͤrige Stelle in die Summe gebracht, die gefundenen
3 Gr. aber zu den Groſchen addirt worden, welche die

Summe von 99 gegeben. Weil aber in dieſer An⸗
zahl Groſchen ebenfalls Unitaͤten der folgenden groͤßern

Sorte enthalten; ſo mußten dieſe gleichfalls durch die Di⸗
viſion mit 24, als ſo viel Groſchen der Thaler hat, zu
Thaler gemacht werden, welches bey b) geſchehen, alwo
ſich 4 Thlr. gefunden, und 3 pro Reſto geblieben;
die 3 20 ſind an ihre gehoͤrige Stelle geſetzt, die ge⸗
fundenen 4 Thlr. aber zu den Thalern addirt, und
auf dieſe Art die verlangte ganze Summa gefunden
worden. ä
Anm. Dieſe Aufloͤſung giebt folgende zu allen Additions⸗
auufgaben brauchbare—« WH W

Regel: Mandividire allemaldieſummirten klei⸗

nern Sorten mit der Anzahl ihrer Unitaͤten,

welche zu einer Unitaͤt folgender groͤßerern
Sorte gehoͤren. D. i.: wenn 12 ϑ — 1 0 und 24
26 = 1 Thlr. ꝛr. ſo mache man, durch die Diviſion mit
12, die Pfennige zu Groſchen, und durch 24, die
Groſchen zu Thaler, u. ſ. f. bey allen uͤhrigen
Sorten, ſie moͤgen Namen haben wie ſie wollen, und
der Muͤnze, Maaß, Zeit, oder Gewicht angehen.

6) Groß in Altona verzaͤhrte jaͤhrlich 619 Rthlr. 42 ſ

6 verkleidete 206 Rthir. 36 ſt 8 &; bezahlte
an Dienſtlohn 26 Rthlr. 18 ſo 6 OQ; gab aus fuͤr
Feuerung: 66 Rthlr. 19 ſs 8 .; Miethe, Onera
und Waͤſche betrug 86 Rthlr. 21 ſ 9 &; und an
diverſen Neujahrsrechnungen bezahlte er uͤberhaupt
86 Rthlr. 46 ſe 3 . Wie hoch kam ihm der Hauß⸗
ſteand jaͤhrlich? MV
7) Horn empfing 236 Stein 7 † + 139 St. 6 fk †
404 St. 8 † Wolle. Wie viel in Allen?

166 Die practiſche Rechenkunſt.

8) John kauſte 130 Stein 11 †k —. 84 St. 17 fkt
996 St. 15 tb Flachs. Wie viel Flachs?
(9 Roch allhier erhandet 122 Centn. 3 2 7 + 39

Centn. 5 Lſ 4 b +— 40 Centn. 4 L 8 †b-“ Centn.

2 2b1ο1ι diverſe Waaren; wie viel betragen die
am Gewicht?
10) Rnorr nimmt in Empfang: 25 Schf 19 Lf.
7 5 + 30 Schſt 15 Lſb 3 b + 8o Schit 11 Lſt

9b +– ⁸ Schltz 2 L 13 b. Wie viel uͤberhaupt?

2. Aufgaben, wo einige groͤßere oder
kleinere Sorten fehlen.
§. 181. Wenn einige Sorten von Einheiten, in
den aufgegebenen Poſten, wirklich fehlen, ſo muß man
doch die Namen aller vorkommenden Sorten in der er⸗
ſten Zifferrriche hin ſetzen, und ſotann, ſtatt der feh⸗
lenden Ziffern, einen Strich — machen. Die Berech⸗
nung iſt ſodann wie ſchon bekannt. Z. E.
11) Leipzig hat von Magdeburg zu fodern: 396 Thlr.

12 0 + 450 Thlr. 17 ℳtℛ ú9 & + 296 Thir.

8 ₰ + 430⁰ Thlr. + 23 . 4 . Wie viel be⸗
traͤgts in Saumma? W

Solutio 3
396 Thlr. 12 °%. — % 12 — 2r &
. 45 06 ⸗ 17 ⸗ 9 ⸗ 190 12
26 — ;‚82 2
4 — — 2 24 — &
Summa 1574 Thlr. 5 Wι

12) Moſes kauft Silber; 17 Mark 11 Loth † 21 Mark
2 Quentin P+ 8 Mark 13 Loth 3 Quentin + 24 Mark

II m 1ILoth ⸗— 15 Loth 2 Quentin. Wie viel

Silber am Gewicht?
13) Nilſon verkahſte Wein, als: 35 Ahm 12 Stuͤbchen
1 Quartier + 86 Ahm 11 Stuͤbchen + 40 Ahm
2 Quartier 140 Ahm 36 Stuͤbchen + 35 Stuͤb⸗
chen 2 Quartier. Wie viel in allen?

14)

E
was nigt
met, ſo
ne ſatnere
10) En
her
8
Ein
I1

17) Ei

daß

WE
1 39

9 Centn.

ettagen die

Gc 1I1 ſe
berhaußt!

oͤder

heiten, in
up met
in der et⸗
(der ſch⸗
die Betech:

Al.
290 Thlr.
je viel be⸗

2 5§
I

—

— 6
48
14 Nark
ie viel
4 Stuͤbchen
0 Mn
GStib⸗
5

19

Die praetiſche Rechenkunſt. 167

14) Oldenburg lieferte an Korn: 11 Laſt 1 Wp. 5 Schl.
+ 19 Laſt 7 Schl. 1 Faß + 27 Laſt 2 Wp. 1 Faß

Wie viel die dumnma?

15) Paul verſendet Leinwand, als: 49 Schock 17 Ellen

+ 123 Schock 43 Ellen + 360 Schock + 213
Schock 49 Ellen. Wie viel machts?

3. Aufgaben zur Uebung, ſo wie ſie im

gemeinen Leben zu berechnen vor⸗
kommen.

§. 182. Da dieſe Aufgaben nichts beſonders haben,
was nicht ſchon in den vorhergehenden Aufgaben vorgekom⸗
men, ſo koͤnnen wir, zu Erſparung des Raums, auch oh⸗
ne fernere Erklaͤrungen und Solutiones fortfahren.

16) Ein Kaufmann in Hamburg muß, innerhalb 4 Ta⸗
gen, 8 Wechſel bezahlen, als: Einen à 640 m
5566 Banke; Einen à 498 M 12 ſs; Einen zu 376
m 13 ſt 8 A; Einen, groß: 7867 8 9 ſe 6 A;
Einen zu S00 m; Einen à 760 ς 10 ſs6; Einen
zu 705 Mm8 15 ſo 6 und den Letzten zu 890 S

11 ſ5 6 Q₰. Wie viel betragen alle dieſe Wechſel?

17) Ein Herr in Berlin verlangt von ſeinem Diener,
daß er ihm folgende Poſten einer Rechnung ſumnii⸗
ren ſolle: 34 Thlr. 21 6 7 + 80 Thlr. 4 0
38 + 9 Thlr. 9 + 232 Thlr. 18 90 +£ 17
hir. 8 96 3 + 35 Thlr. + 96 Thlr. 5 N.
+ 109 Thlr. 11 ϑ + 73 Thlr. 18 0 4 ₰
+ 21 Thlr. 5 26 3 + 89 Thlr. 2 0 7 &£
+ 48 Thlr. 15 6 + 10 Thlr. 9 + 125 Thlr.
13 0 4 + 64 Thlr. 18 0 T+ 200 Thlr.
33 Thl. » P 3 T+ 876 Thir. 14 260 10
+ 243 Thlr. 8 20 + 9 Thlr. 7 0 3 K. Wie
groß iſt die summa?
18) Ein Bremer Kaufmann hat folgende Rechnungen zu
bezahlen, als: No. 1. groß: 236 Thlr. 36 Groten 3

Die practiſche Rechenkunſt⸗

Schwaren. No. 2 groß: 96 Thlr. 50 Groten. Re.

3:185 Thl. 2 Schw. No. 4: 85 Thlr. 46 Grot.

1 Schw. No. 5§. 21I Thlr. No. 6: 85 Thlr. 56
Grot. No. 7: 185 Thlr. 64 Grot. 3 Schw. No.
8: 86 Thlr. Wie viel betragen dieſe 8 Rechnun⸗

gen in einer Summe?

19) Ein Handelsmann verkauft an Zucker: Mentags 8
Huͤte, welche gewogen 40 1 31 Loth 1 Quentin. Dien⸗

ſtag 4 Huͤte, gewogen: 19 k 17 Loth 3 Quentin.
Mittwochen, 5 Huͤte, am Gewicht: 25 †b 24 Loth.

Donnerſtag Gite, dewogen 15 [„ 3 Quentin.

Freytag 2 Huͤle, gewogen: 12 t. 2 Loth 1 Quenti.

Sonnabend 6 Huͤte am Gewiht: 31 [b I5 Loth.

Wie viel betraͤgt dieſer woͤchentliche Dertauf am Ge⸗
wicht?

20) Moſes kauft an alten Golde, nach ſeinen Gehalt be⸗
reechnet: 30 Mark 13 Karat 2 Gran 1 Graͤn + 25

Mark 20 Karat I Gran + 15 Mark 9 Karat +13
Mark 21 Karat 1 Gran 1 Graͤn + 24 Mark 2 Gran
1 Graͤn P+ 25 Mark 20 Karat 2 Gran 2 Graͤn. Wie
viel hat er in allen gekauft?

21) Ein Silberarbeiter hat an Silber verarbeitet: 5Mark

3 Loth 3 Quentin 2 £ 10 Mark 13 Loth 2
Quentin 3 ϑ +☚4 Mark 1 Quente. T. 9 Mark 15
Loth 3 Quentin 1 . +£+ 8 Mark 10 Lo
Mark 14 Loth 3 Quentin 3 . Wie viel am Ge⸗

wicht?
22) Ein Weinhaͤndler erhantelt Wein als: 3 Fudc 4

Ahm 20 Stuͤbchen 2 Quartier + 5 Fuder 2 Ahm
19 Stuͤbchen 1 Quartier + 6 Fuder 36 Stuͤbchen
21 Fuder 5 Ahm 36 Stuͤbchen + 15 Fuder 4 Ahm

3 Quartier + 8 Fuder 2 Ahm 21 Stuͤbchen 3

Quartier. Wie viel in allen?

23) Ein Kornhaͤndler verkauft an Gerſten: 15 Laſt 1

Wiſpel 8 Scheffel 4 Himmt 2 Spint 3 Laſt 1
Wiſpel, Scheffel 3 Himt 1 Spint. ernere an
964

th 1 Pe4“

Hode

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.. 45 Gr.

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8 Nechnun

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5 24 Llt,.

Quentin.
1 Obenti.
15 loth.
lfan Ge⸗

Gehalt die⸗

Pran P. 25
atat , 13
f 2 Gran

Gran. Vie

t: 5Dur
13 Loth:
Murk 15
19½4
lun Ge⸗

3 Fuder

er 2 Mn
Etibchen

Ner4 Ahn
SGtibchen 3

15 1
gur
Fermt an

i

Die practiſche Rechenkunſt. 169
Haber: 13 Laſt 7 Scheffel 2 Faß 1 Himten 3 Spint

12 L. 1 Wv. 8 Scheffel 1 Faß 3 Spint.
Frage: 1) Wie viel hat er an Gerſten verkauft.

24)

viel in allen?

25)

2) Wie viel am Getreyde? (*)
Ein Kirſchner kauft an Rauchwerk: 15 Zimmer 3
Decher 2 Stuͤck + 17 Zimmer 3 Decher 8 Stuͤck
13 Zimmer 9 Stuͤck + 10 Zimmer 2 Decher
18 Zimmer 3 Decher 9 Stuͤck + 20 Zimmer. Wie

Ein Landmann hat auf ſeinen verſchiedenen Aeckern

an Getraide geaͤrndtet: 50 Schock 3 Mandel 12

Garben + 38 Schock 2 Mandel 10 Garben + 60
Schock 1 Mandel 5 Garben + 48 Schock 2 Man⸗
del + 63 Schock 14 Garben †+ 40 Schock x1
Mandel 10 Garben. Wie groß i ſeine Aerndte ge⸗
weſen? “ 1

26) Ein Kaͤrner kauft im Anhaltiſchen Eyer auf „um ſol⸗

cche nach Berlin zu ſuͤhren, als: 25 Schock 3 Man⸗

del + 13 Schock 2 Mandel 13 Stuͤck P. 18 Schock
14 Eyer + 3 Mandel 14 Cyer T+ 36 Schock 1
Mandel 10 Stuͤck + 19 Schock 3 Mandel 10 Eyer
P+ 15 Schock. Wie viel hat er in Summa einge⸗

Anm. Wer dieſe wenigen Aufgaben mit gehörigem Fleiße

und Nachdenken gerechnet hat, dem wird kleine Ad⸗
dit ionsaufgabe in Ganzen benamten Zahlen zu
wichtig ſeyn. “ðM
Wer aber dieſe Anzahl von 26 Aufgaben zu klein fin⸗
den ſollte, dem ſteht frey, dieſelben noch einmal durch
zu gehen, oder ſich auch aͤhnliche beliebige Aufgaben
ſelbſt zu formiren. Folget demnach:

() Getraide, iſt die allgemeine Benennung aller

Arten von Hilſen fruͤchte (§. 2.)

1

170 Die practiſche Rechenkunſt,

II. Multiplicatio in benamten ganzen
MV Zahlen.
§. 183. Die Muleiplication in benamten ganzen
Zahlen iſt, in ſo ferne der Multiplicandus aus ÜUnitaͤten
einer Sorte beſtehet, welche nur einen gemeinſchaft⸗
lichen Namen fuͤhren, mit der Multiplication in

unbenamten ganzen Zahlen voͤllig einerley. Denn

wenn ich die unbenamte Zahl 336 mit 3 vermehre;
ſo wird eben daſſelbe Factum erſcheinen, als w unn ich 336
Rthlr. mit 3 multiplicire. Z. .

3 3 6 oder 3 3 6 R

IOO ̊BG 1008 Ré.

Hier geben be yde Facta 10083, undiſt weiter gar kein
Unterſchied, als daß das Factum der benamten Mul⸗
tiplication derſelbe Name, oder Zeichen der Unitaͤten
des Multiplicandi, naͤmlich Re, beygeſuͤget worden.
Zuſatz: Man darf daher nur allen den Multip licati⸗
onsaufgaben unbenamter Zahlen eine allge⸗
meine Benennung. Z. E. Rthlr. Centner, El⸗
len und d. gl. geben; ſo ſind alle dieſe un be⸗
namte Aufgaben in benamte Multiplications⸗
aufgaben verwandelt worden. (F. 176. Zuſatz.)

1. Aufgaben, wo einfach benamte Zahlen,
entweder mit einer unbenamten, oder auch
mit einer benamten Zahl, zu multipli⸗
ciren vorkommen.

§. 184. Benam te Zahlen mit unbenamten Zah⸗

len zu multipliciren, heißt nichts anders, als: eine ge⸗
gebene Anzahl, dem Namen nach beſtimmter Dinge,
ſo viel mal nehmen, als durch eine andere, aber nur der
Unitaͤtenanzahl nach, beſtimmte Zahl verlanget wird
(§. 105) z. E. Es wird blos verlangt zu wiſſen: Wie
groß die Summe von 336 Rthlr. ſey, wenn ſie mit 3
mul⸗

leiplicir
de Nulti
Aer Multi

eiter bder

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ſen: Vie

n gul⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 171

multipliciret, d. i. 3 mal genommen wuͤrde? ſo iſt hier nux

der Multiplicandus benamt worden, keineswegs aber

der Multiplicator! Denn dieſen kann ich durchaus nichts

weiter beyſetzen, als das Woͤrtchen mal; 3 mal 336

Rlr. Es iſt daher dieſes Woͤrtchen mal nur blos als

eine Endſilbe des vermehrenden Zahlworts zu betrach⸗

ten, welches zwiſchen den beyden Factoribus 3 und
436 R ſtehet, um allein deren Ver vielfaͤlti⸗
gung, und nichts mehr noch weniger, anzudenten: folg⸗
lich kann es auch keine Benennung, des Multiphi-
catoris 3 ſeyn. Ergo muß der Multiplicator, bey
dergleichen Aufgaben, wirklich eine unbenamte Zahl
ſeyn. (§. 8). . S
Anm. Was wohl die neuern Herrn Arithmerici, welche
ganz ſteif und feſt behaupten: „Es giebt gar keine
unbenamte Zahlen.“ hiebey einzuwenden haben kon⸗
nen. . .
4) Abel beſitzt am baaren Gelde: 3440 mg. Wie groß
wuͤrde ſein Vermoͤgen ſeyn, wenn er 5 mal ſo viel

haͤtte?
Solutio.
3440 mg oder 3440 Im4 oder 3440 mMmg
a 15000 200 Fac. 17200 mg
b 2000 2000b
c 200; 15000 ⸗*

Fac. 17200 hMS Fac. 17200 n8

Der Augenſchein, darſtehender 3 fachen Aufloͤſung,
A. B. C. zeiget klar, daß die Berechnnng eben dieſel⸗

be, welche mit den unbenamten Zahlen geſchehen;

weshalb auch keine weitere Erklaͤrung noͤthig, und nur
hier anzumerken: daß, wie hier dem Protucte die Be⸗

nennung Facit. d. i.: Es macht, gegeben worden, wir
auch kuͤnftig dieſelbe Benennung allen arithmetiſchen Ant⸗

worten gegeben werden,. S
Be⸗

172 Diie practiſche Rechenkunſt.

Beweis: Es ſind bey A; alle vorhandene Tauſen⸗
de mal genommen, und das Factum 5 3000
mg in a geſetzt werden; 2) ſind auch alle vorhande⸗
ne Hunderte 5 mal genommen und das Factum
5 ☛400 & bey b geſetzt worden; 3) ſind auch alle

vorhandene Zehner 5 mal genommen und das

Factum 5 —☛ 40 bey c geſetzet worden. Endlich
ſind alle Facta a + bαc in eine Summa gebracht
worden; da nun dieſe Summa alle im Multipli-

cando enthaltene Unitaͤten, von welcher Art ſie

ſeyn moͤgen, 5mal genommen wirklich enthaͤlt: ſo
muß auch dieſe Summe das wahre verlangte Facit
ſeyn.

Anm. Der Beweis der Solutio bey B wird mit wenig Ver⸗

uͤnderung leicht zu fuͤhren ſeyn. Und die Solutio bey
C, als die kuͤrzeſte, wollen wir kuͤnftig beybehalten.
1) BVernſtiel hat ſein Capital von 5936 M in eine
Handlung gegeben, und bekam nach 10 Jahren 8
mal ſo viel wieder; wie groß iſt nun ſein Capital?
2) Carſten erbt in 10 Jahren juſt 6 mal ſo viel, als
ſein Freund Lentius, welcher 4536 Thlr. geerbt.
Wie viel betraͤgt des erſtern Erbſchaft?
§. 185. Sehr oft kommen auch im gemeinen Leben mul⸗
tiplicationsaufgaben vor, wo ſowohl die Unitaͤten des
Multiplicatoris, als die, des Multiplicandi, ihre ei⸗
genthuͤmlichen Namen hahen. z. E. Es wird ge⸗
fragt: wie viel A in 6 Tagen verdiene, wenn ſein taͤgli⸗
cher Verdienſt 8 Mm betraͤgt?
Wenn nun die Antwort, auf dieſe Frage durch die
Multiplication erfolgen ſoll, ſo muß auch eine von bey⸗
den gegebenen Zahlen zum Multiplicatore angenommen
werden. Geſetzt nun, ich naͤhme den Factor 8 ms8 zum
Multiplicand. und 6 Tage zum Multiplicat. an: ſo kann ich
doch, ohne Unſinn, nicht ſagen: 6 Tage mal 8 me.
Eben ſo wenig, wenn ich umgekehrt, wie nach §. 109.
Reg. 4 geſchehen kann, den Fact. 6 Tage zum Multi-
plicand. und dem Fact. 8 m zum Multiplicat. machte,
koͤnnte ich ſagen: 8 MSs mal 6 Tage. Und wie ſollte,
wenn

wein es ſo⸗
Vge noch

Hirau

der Unit
wenn mon
ten, vnd

D. i. man

1. Zuf
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An.

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gr. geerbt.

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jititen des
ihre ei⸗
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ſein thl⸗
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N mn
ſokannich
l 8 .
chK. 109.
m Multi⸗
t., machtt,
penn

D. i. man muß ſagen: 6 b%8 M. = 48 mM.

Die practiſche Rechenkunſt. 173

wenn es ſo anginge, das Factum heiſſen? Gewiß weder
. 8

Tage noch mg. .

Hieraus wird ſchon klar, daß man d en, Namen

der Unitaͤten des Multiplicat. wegwerfen muß,

wenn man anders mit Anſtand die Multiplication verrich⸗
ten, und dem Facéto den gehoͤrigen Namen geben will.
1. Juſatz: Man muß auch, wo moͤglich, bey Aufga⸗
ben, wo beyde Factores Namen haben, denjeni⸗
gen zum Multiplicandum waͤhlen, deſſen Unitaͤ⸗
ten eben denſelben Namen fuͤhren, welchen die
Unitaͤten des verlangten Fazits haben ſollen.
Anm. We moͤglich: denn bisweilen iſt derjenige Pactor,
von welchen man den Namen zu den Unitaͤten des Fa⸗
zits haben will, zu klein, um ihn mit Beguemlich⸗
keit oben au ſetzen zu kuͤnnen: deswegen muß man den—
groſten Fact. zum Multiplicand. maͤhlen, und ſo⸗
dann den Namen des kleinſten Factoris den Unitä⸗
ten des Fazits beylegen. Man ſehe die 25'te und 20te
Aufgabe ꝛcc. B
2. Zuſ. Weil auf ſolche Art der Name der Unitaͤten
des Multiplicatoris wegfaͤllt, ſo muͤßen dergleichen
Zahlen auch ebenfalls als unbenamte Zahlen be⸗
trachtet werden, ob ſie gleich eigentlich keine ſind.
Eben ſo die Zahlen des Multiplicandi, wenn deren
Namen weggeworfen werden, weil ſie nicht mit den
Namen des verlangten Fazits uͤbereinkommen.
Anm. Dergleichen Aufgaben wie dieſe, werden von den
mieiſten Rechenmeiſßtern zur Regel de Tri gezaͤhlet, ob
ſie gleich in der Multiplication ihren eigenthuͤmlichen
Platz haben ſollten.

2) Wenn Balzer jaͤhrlich 349 RC. verdient, wie viel

wuͤrde das in 30 Jahren betragen?
. Solutio.
3 4 9 RC.
3
Fact. 1 0 4 7 0 RE
Hier faͤllt der Name des Multiplicatoris weg, denn
es heißt hier: 30 %ℳα 349 RC (Zuſ. I.)

3)

174 Die practiſche Rechenkunſt.
3) Caſpar hat, fuͤr ſich und ſeine Erben, eine jaͤhrliche leheeite

Leibrente von 1596 mg zu heben: wie viel wuͤrde Porigen, d
dieſes in 50 Jahren betragen? kleineren,
4) Dames ſetzt, an einige ſeine Handelsfreunde, vier⸗ Maeltiplie
teljaͤhrlich 36960 † Caffe ab, wie viel betraͤgts im Pnnige⸗
Jaahre? tetzogen 1
5) Erneſtus hat, nebſt 6 ſeiner Bruͤder, eine Erbſchaft Gog⸗
zu gleichen Theilen empfangen, wenn nun jedes An⸗ waͤrts m
theil 5405 & betragen: wie groß iſt die ganze Erb⸗ Stelle un
ſchaft geweſen? ſernet: 5
2. Aufgaben, wo der Multiplicndus aus verſchie⸗ 16 “
denen Sorten, und der Multiplicator nunr ganke
aus einer Ziffer beſteht. Ein zen

§. 186. Wenn Aufgaben, deren Multiplicandus aus

Zahlen verſchiedener Sorten von Unitaͤten beſtehet, Zua
mit einer Ziffer zu multipliciren vorkommen: ſo multi⸗ men
pliciret man zuerſt die kleinſten Sorten, und macht ſin
das Product derſelben, vermittelſt der Diviſion, ſo wie Rei
bey der Addition (H. 180 & 181.) geſchehen, zu der fol⸗ 4
genden groͤßern Sorte; den Reſt ſetzt man ſodann an
gehoͤrige Stelle, den gefundenen Quotienten aber addirt ſn
man ſodann zu dem gefundenen Producte fſolgender
groͤßern Sorte u. ſ. f. Z. E. . 12
Jauſtus giebt, in eine Handlung, ein Capital vo ben
2436 & 15 ſo 6 H. Wenn er daſſelbe nun nicht eher 7) B
wiederfordern will, bis es 5mal ſo groß, als es bey 30
Einſchnſſe war: wie groß wird dann ſein Capital ſeyn? beſ
Solutio G 5 1) Ein
2436 8 15 ſs 6 G 12 — 30 um
5 — 24 n
Fact. 12184 m 13 ſs 6 6
16 — 77 ſ y
68 — 4 Ri
L 13 G6G 4
Weil der Multiplicandus dieſer Aufgabe aus ver⸗ 9) En
ſchiedenen Sorten beſtehet, als: aus Unitaͤten, deren 3

jede

heſihriicht

biel woͤrde

nde, vier⸗
etraͤgto in

Crbſhaft
hſedes An⸗
ganze Eiß⸗

verſchie
wr

nOÜ⁵A
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ſo multi⸗
und macht
n, ſo wie
in det fol⸗

ſodann an

der odditt
lgendes

apital vonß
nicht cher
s es en
.lpyn!

Die practiſche Rechenkunſt. 175

jede eine Mark; aus 16mal kleinere Unitaͤten als die
vorigen, deren jede ein Schilling; und aus 12mal
kleineren, deren jede ein Pfennig heiſſet: ſo iſt der
Multiplicator unter die kleinſten Unitaͤten, die
Pfennige geſetzet, und ſolcher Aufſatz mit einer Linie un⸗
terzogen worden.

Sage nun: 5 ☛✕ 6 = 30. Dieſe 30 mache ſeit⸗
waͤrts mit 12 zu ſé, kommen 2 5 6 . Die 6 G an ihre
Stelle und die gefundenen 2 ſs im Sinn behalten. Nun
ferner: 5 ◻ 15 ſo 2 = 77 †ε; dieſe, wie vorher, durch
16 zu ms gemacht, kommen 4 m 13 ſ. Die 13 ſs an
gehoͤrige Stelle und die gefundene 4 im Sinn genom⸗
men. Endlich ſage auch: 5 α 6 = 30 † 4 cwelche im
Sinn genommen) = 34 ccc.

Beweis: Da hier alle Pfennige, alle Schillinge
und alle Marken des Multiplicandi ömal genom⸗
men und die Producte dieſer verſchiedenen Sorten
ſaͤmtlich ins Facit gebracht; ſo muß auch dieſes
Facit ein Capital bezeichnen, welches zmal ſo
groß, als es im Anfange war, mithin geſchehen
ſeyn, was verlangt worden.

6) Ein Goldſchmidt verarbeitet in einem Jahre 6mal
12 Mark 23 Karat 2 Gran 2 2 Graͤn Gold: Wie viel
betraͤgt das?
7) Bey einem Silberarbeiter werden Zmal 7 Mark 15 Loth
3 Quentin 2 Pfennig Silber, zu Hochzeitsgeſchenken
beſtimmt, verarbeit: Wie viel Silber iſts?
8) Ein Paͤchter hatte 5 Laſt 5. Scheffel 2 Faß I Himten
und 3 Spint Gerſten geſaͤet, und bey der Aernte be⸗
funden, daß ſeine Ausſaat 3faltige Frucht gebracht:
Wie groß war ſeine Aernte?
Anm. Wenn im Multiplicando eine Sorte zwiſchen den
verſchiedenen Sorten fehlt, wie hier die Wiſpel, ſo
wird der Name deſſelben ebenfalls, wie bey der Additlo
g. 181. gelehret, mit im Aufſatz gebracht. Z. E. 5 Laſt
— Wiſpel 5 Scheffel ꝛe. (S. Reſolvirungstabelle.)
9) Ein Wucherer hatte mit ſeinem Capitale, groß:
3897 RE 47 4 &, in wenigen Jahren ſo viel ge⸗
wons

176 Die practiſche Rechenkunſt.

wonnen, daß er ſein voriges Capital 9mal ſo groß
befand. Wie groß war es?
10) Ein Vater wurde von ſeinem Sohn gefragt: wie alt
er waͤre? Dieſer antwortet: Ich bin juſt 6mal ſo
alt als dein Bruder, welcher in dieſem Augenblicke
6 Jahr 11 Monat 24 Tage 13 Stunden und 50 Mi⸗
nuten alt iſt. Wie alt war der Vater?
11) Ein Papierhaͤndler verkauft an einen Buchdrucker
nach gerade 6mal 5 Ballen 9 Ries 15 Buch 15 Bogen
Papier. Wie viel Papier?

12) Ein Kaufmann vertauſcht 5 Cent. 6 L †/ 10 b feinen

Thee gegen 6mal ſo viel ordinairen Thee. Wie viel
hat er wieder bekommen?

3. Aufgaben, wo benamte Zahlen verſchiedener

Sorten mit zwo Ziffern, nach dem Ein mal
Eins zerfaͤllet, multiplicirt werden.

§. 187. Weil die Multiplication durch die Zerfaͤl⸗

lung ſchon nach §H. 116, bekannt, ſo iſt bey dieſer Art Auf⸗
gaben auch nichts weiter zu beobachten, als daß man es
juſt eben ſo mit jedem nach dem Ein mal Eins zer⸗
faͤllten Multiplicatore macht, als wie daſelbſt gelehrer
worden. Z. E.
Ein Handelsmann verſendet an 14 verſchiedene Han⸗
delsfreunde, und zwar an jeden 50 Groß 10 Dutz und
6 Stuͤck feine Lichtſcheeren. Wie viel in allen?

Solutio.
50 Groß 10 Dutz 6 Stuͤck 12 — 21 Dutz
2 àa) 12
I Gr.
101 ; 9 ⸗ — 9 Dutz
=WDW . 7 12 — 63 Dutz
pͤp) — 60
Fac. 712 Groß 3 Dutz b) 5„Gr. —

Der Maltiplicator 14 iſt durch 2 ¾–7 zerfaͤllt, ſo⸗
dann zuerſt mit 2 multiplicirt, als: 2 ε 6 = 12 Stuͤck;

da dieſe 12 Stuͤck gerade 1 Dutz betragen, ſo wird, weil
kein

h Ein

nn Feſt

der Name

etſten
1 Duh n

=— 20⁰

Groß =

Stelle un
Sinng⸗
Sing)=
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erſten M.
kommen,
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ſt Art Auf⸗
daß man es
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Ditz und

“

Dh

12

Die praetiſche Rechenkunſt. 177

kein Reſt geblieben, der Mangel an Sruͤck mit (—),
der Name aber mit (:) bezeichnet, ſo wie es bey der

erſten Multiplication allemal geſchehen muß. Das
1 Dutz wird in Sinn genommen. Ferner: 2 α10
= 20 + 1 (im Sinne) = 21 Dutz, und dieſe mit 12 zu

Groß = 1 Groß + 9 Dutz, (a) die 9 Dutz an ihre

Stelle und den Namen mit (⸗) bezeichnet, die 1 aber im

Sinnn genommen. Nun: 2 ◻ 50 = 100 + 1 (im
Sinn) = 101, dieſe an gehoͤrige Stelle geſetzet und den

Namen der Sorte mit (⸗) bezeichnet. Weil nun bey der

erſten Multiplication mit 2 kein Stuͤck ins Faétum ge⸗

kommen, ſo wird der Multiplicator 7 unter die 2te
Sorte geſetzt, und geſagt: 7 % 9 = 63; dieſe 63 Dutz

ſeitwaͤrts mit 12 zu Groß gemacht, = §5 Gr. 3 Dutz; (b)

den Reſt, mit Beyfuͤgung des Namens, an gehoͤ⸗
rige Stelle, und die 5Groß im Sinn genommen. End⸗
lich ſage: 7 α 101 = 707 †+ 5 = 712; dieſe, mit
Beyfuͤgung des Namens, an ihre Stelle, ſo iſt ge⸗
ſchehen was verlanget worden.
Anm. Die Proben zu dieſen Aufgaben durch die Zer⸗
7 ſallung berechner, koͤnnen gemacht werden nach
.,207.

13) Ein wohlthaͤtiger Menſchenfreund in Bremen ver⸗

theilt an 42 Hausarmen eine Summe Geldes, der⸗
geſtalt, daß jeder 21 Thlr. 63 Grot 4 Schwaren be⸗
kommt. Wie groß war die vertheilte SHumme?

14) Ein Berliner Kaufmann verkauft jaͤhrlich, an ſeidenen
Struͤmpfen und Tuͤchern, fuͤr 16 mal 232 Thlr.

23 20,8 . Wie viel iſts?s F
15) Ein Buchdrucker hat im Jahre zum Druck gebraucht:
18mal 35 Ballen 6 Ries 15 Buch 20 Bogen Schreib⸗
papier. Wie viel Papier? .

16) Ein Fabrikant hat zum Spinnen vertheilt: 2 mal

12 Schiff tb 13 Stein 18 Flachs. Wie viel Flachs
17) Ein Wollenhaͤndler verkauft im Jahre an erſchiedene
Handelsfreunde: 24 mal 186 Schifſſt 12 Lſ 9 ſt
Wolle. Wie viel in allen?
NM 18)

178 Die practiſche Rechenkunſt.

18) Ein Rauchwerkshuaͤndler erhandelt an unterſchiedenen
Sorten Rauchwerk: 25mal 36 Zimmer 3 Decher
9 Stuͤck. Wie viel iſt das?

19) 81 Bremer Soldaten bekamen am Geburtstage ihres 8
Hauptmanns von demſelben jeder: 54 Grot 3 Schwa⸗
ren zum Geſchenk. Wie groß war die verrheilte
Summe?

Anm. Wenn Aufgaben vorkommen, „wo im n Multiplicando
die groͤßten Sorten fehlen, und zu vermuthen, daß
durch die folgende Multiplieation ſo viele Unitaͤten der
kleinern Sorte herauskommen werden, um davon
Unitäͤten der großten Sorte machen zu koͤnnen: ſo
muß der in der Aufgabe fehlende Name der groͤß⸗
ten Sorte, im Aufſatze der Solutio mit angemerkt
werden. Demnach ſtehet der Aufſatz voritzer Aufgabe

„ . alſo:
o Tht. 34 1. Saͤr.

6 ; 59 2 2
ꝛec.
20) Martens wurde von einem ſeiner Soͤhne gefragt:
wie alt er ſey? Der Vater zeigte ihm, da ſie beyde
im Garten waren, einen Apfelbaum, und ſagte:
Dieſen pflanzte dein Großvater, als ich 1 Jahr
5 Monat 25 Tage 21 Stunden 56 Minuten alt war,
und nun bin ich juſt 32 mal ſo alt, als ich bey Pflan:
zung des Daumes war. Wie alt war Martens?

4. Aufgaben, wo benamte Zahlen mit benamten B
Zahlen vermehret werden.

§. 188. Weil von dieſer Art Aufgaben ſchon einige
vorgekommen, auch bereits §. 185. daruͤber zureichende
5 Auskunft gegeben worden, ſo habe ich hier nur zu wieder⸗
holen: daß vorzuͤglich derjenige Fator, nach welchen
das Facit den Namen haben ſoll, zum Multipli-
cando angeſetzet, und ſodann verfahren werde, wie be⸗
reits gelehret worden.

21)

— Die praetiſche Rechenkunſt. 179

uſctiunen 21) Ein Glaſer bekommt fuͤr 20 Haͤuſer, Fenſter zu
er 3 Mherr mDachen, wenn nun ein jedes Haus 74 Fenſter hat,
.— wie viel Fenſter hat er zu machen? (§H. 185. Zuſ. I.)
ttetnge iſs 22) Ein Schuſter macht fuͤr 200 Huſaren Stiefeln,

ratzSi . und bekommt fuͤr jedes Paar 9 mg. Wie viel be⸗
de venhemte traͤgts? (§. 185. Zuſ. 1. Anm.)
23) Ein Edelmann hat in ſeinem Luſtwaͤldchen 36 Alleen
Multiplicenndo angelegt, deren jede 230 Ruthen 10 Fuß 9 Zoll
— Leipziger Feldmags lang war; wenn nun ſein Schloß
mten voon dem Waͤldchen eben ſo weit entfernt lag, als
unn: ſ.. ſſuͤmtliche Alleen lang waren: Wie lang war der Weg
ſe der glit⸗ . vom Schloſſe bis zum Waͤldchen?

¹ ☚ 24) Erdmann hat von ſeinen Nußbaͤumen 42 Koͤrbe
r Ae Nuͤſſe geſchlagen; Wenn nun in jedem Korbe ſich
5 Groß Tauſend 4 Groß Hundert 2 Steige 19 Nuͤſſe
defanden: Wie groß waͤre dieſe Anzahl?
25) Ein Schlachter kauft 250 fette Schweine a 6 Rl=
das Stuͤck: Wie viel koſten ſie ſaͤmtlch? (§. 185.

1. Zuſ. Anm.)
☛ 26) Ein Wanderer reiſet taͤglich 4 Meilen. Wie viel
i ſar. Menen wird er in einem Jahre, d. i. in 365 Tagen,
reiſen
ahr
u⸗ B 27) Wie viel Stunden hat ein 16jaͤhriger Juͤngling ge⸗

. lebt? (Wie viel das Jahr Stunden hat, ſiehe IV.
a Reeſolvir. Tah.) 9
8) Steinfeld kauft 436 Stein Wolle a 7 Thlr. Wie
viel betraͤgts? (H. 185. Zuſ⸗. I. Anm.)

nanten 29) Von einer Grafſchaft ſollen 8 Bauerguͤter verkauft
werden; wenn nun jedes, eins ins andere gerechnet,
hon einhe 19998 Rc werth iſt: wie groß waͤre die Kaufſumme?
nicſede e 3⁰) Ein Galanteriehaͤndler in Berlin ſendet nach Leipzig 8
in tieden 130 Uhren, à 16 Thlr. das Stuͤck. Wie viel hat er
deice⸗ dafuͤr zu empfangen?
“ 31) Wenn in einer Stadt 150695 Menſchen wohnen,
, SZ deren jeder 8 Scheffel Getraide, à 2 R6 gebrauchte:

Wie viel Geld wuͤrde das betragen?
1) M 2 . Se-

4

580 Die practiſche Rechenkunſt.
Solutio.

1 zoeg; Menſchen oder 8 Scheffel
à 8⁸ Scheff. à 2 à 2 R6

1205560 L 16 R (f. (fuͤr? Menſchen)
à 2 R 150695 Menſchen
Tac. 2411120 R. 4— (es
602780
—4

Fact. 2411120 R (1. Zuſ. §. 185.)

22) Ein wohlhabender Buͤrger laͤßt 4 Haͤuſer bauen: de⸗

ren jedes 4 Stockwerke hoch iſt, und in jedem ſich 48

Fenſter beſinden. Wie viel Fenſter hat der Glaſer

= zu liefern?
33) Ein Fetthaͤndler verkauft: 336 hollaͤndiſche Kaͤſe,

à 10 ſchwer, das ſt zu 6 ſ. Wie viel Schil⸗

linge?
34) Ein Dachdecker belegt ein gleichſeitiges Dach mit

Ziegel; wenn nun jede Seite 32 Latten hoch iſt,

uund auf jeder Latte 125 Ziegel gehoͤren: Wie viel
Ziegel muß der Bauherr anſchaffen?

(Wink zur Solutio 32 125 2.)

35) Ein Nagelſchmidt haͤlt 6 Geſellen, deren jeder Ws⸗
chentlich 6000 Naͤgel, andere Arbeiten ausgenommen, L

ſchmiedet. Wie viel Naͤgel ſinds im Jahre?
(G 5 6000 — 52.)
36) Wenn auf dem ganzen Erdboden i in jeder Minute

57 Menſchen ſterben, wie groß wird die Todtenliſte
in einem Jahre ſeyny?

37) Ein Papiermuͤller verfertigt aͤhrlich 608 Ballen Pa⸗ .ę

pier. Wie viel Buͤcher ſi nd das in 10 Jahren?

38) Wenn ein Landesherr 20 Regimenter Soldaten er⸗

halten muß, deren jedes jaͤhrlich 66125 Thlr. koſtet: wie
viel koſtet die Unterhaltung derſelben in 10 Jahren?

39)

39) Wie ri
ſen,
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40) Vie v
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178.

41) Wen
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42) Venn
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tekoſtet: nie

10 ℳhen?
399

Die practiſche Rechenkunſt. 181t

39) Wie viel koſten 36 Kriegsſchiffe, von 60 Kano⸗

nen, à 86499 R ? (Die Kanonen kommen hier
nicht in Betracht.)

40⁰) Wie viel Tage hat unſere Erde zu ihrem Alter, wenn

ſeit ihrer Erſchaffung, nach Juͤdiſcher Rechnung,
ddeie,s auf Chriſti Geburt, 3760, und ſeit Chriſti Geb.
1787 Jahre verfloſſen?
(3760 + 1787 % 365)

41) Wenn Caſſini, die Entfernung der Sonne von der

Erde, auf 22000 halbe Erd⸗Diameter angiebt, ein
halber Erd⸗Diameter aber 860 deutſche Meilen ent:
haͤlt: Wie weit iſt die Sonne von der Erde entfernt?

42²) Wenn der Koͤnig von Frankreich taͤglich 246579
Thlr. Einkuͤnfte hat: wie viel in einem Jahre?

§. 189. Um ſich bey Berechnung gemeſſener Din⸗

ge, von dem Maaße trockener Koͤrper ſelbſt, und zwar,
der folgenden Aufgaben wegen, einen deutlichen Begriff

zu machen, ſo iſt noͤthig zu wiſſen: daß es dreyerley

Maaße, womit Koͤrper gemeſſen werden, und alſo
auch dreyerley Meſſungen giebt.
1) Giebt es Maaße weiche in bloßen Linien beſtehen,
diie eine beſtimmte und feſtgeſetzte Laͤnge haben, wel⸗
che, da ſie blos willkuͤhrlich angenommen, nicht
bey allen Nationen von gleicher Laͤnge ſeyn koͤn⸗
nen. Dergleichen ſind Ruthen, Ellen, Fuß ꝛc.
Mit ſolchen Maaßen werden alle Dinge gemeſſen,
wo die Frage blos nach der Laͤnge iſt, ohne Ruͤck⸗
ſicht auf die Breite zu haben. 3. E. Wie viel
Meilen, wie viel Schritte haͤlt der Weg von ei⸗

nem Orte zum andern? Wie lang iſt, oder wie

viel Ellen haͤlt das Band? Bey dieſen Fragen
wiird weder auf die Breite des Weges, noch des
Bandes geſehen, und eben daher, heißt dergleichen
Maaß: ein Laͤngenmaaß.
2) Es giebt aber auch Dinge zu meſſen, wo ſo wohl
auf deren Laͤnge als Breite geſehen wird. 3.

7

Quadratmaaße gemeſſen haͤtte.

1

182 Die praetiſche Rechenkunſt.

C. Der Schneider beſtimmt bloß nach der Breite
des Zeuges, die Laͤnge deſſelben, wie viel Ellen

er zum Kleide verlange: denn je ſch maͤler der Zeug,

je mehr Ellen in der Laͤnge, und je breiter daſ⸗

ſelbe, je weniger Ellen, in der Laͤnge des Zeu⸗

ges, verlangt er. Wer einen Garten kaufen will,
der verlangt nicht bloß die Laͤnge, ſondern auch

die Breite deſſelben zu wiſſen ꝛc. Und, weil bey

ſolcher Meſſung, wo nur lediglich auf den Um⸗

fang oder Inhalt einer Flaͤche geſehen wird,

wporauf die Hoͤhe oder Dicke gar nicht in Be⸗
trachtung kommt; ſo wird ein ſolches Maaß ein

Flaͤchenmaaß genannt.

So wie aber eine Laͤnge, als Line betrachtet, auch nur mit

einer Linie, die Ruthe, Elle, Fußꝛc. heißt, gemeſſen

wird; ſo muͤßte man auch, um eine Flaͤche zu meſſen,
ein Flaͤchenmaaß haben, d. i. Ein Maaß, welches eben
ſo lang als breit waͤre. Man muͤßte eine Ru⸗

the, die nicht allein eine Ruthe lang ſondern
auch eine Ruthe breit; eine Elle, die eine

Elle lang und eben ſo breit waͤre ꝛc. Und eine ſol⸗

che Ruthe oder Elle, heißt eine gevierte⸗ oder

Quadrat⸗Ruthe oder Elle. Abgekuͤrzt CI1
Ruthe, ◻ Elle ꝛc. Weil aber mit dergleichen Maaß

ſehr beſchwerlich zu meſſen ſeyn wuͤrde; ſo braucht
man eben daſſelbe Maaß, womit man blos

Laͤngen mißt. Denn wenn ich eine Flaͤche ei⸗

nen Fuß lang und einen Fuß breit befinde: ſo
ſage ich: der Flaͤcheninhalt iſt 1 Fuß; definde ich
eine Flaͤche 2 Fuß lang, und 2 Fuß breit, ſo darf
ich nur die Laͤnge und Breite multipliciren, ſo
kommen 4 ◻ Fuß fuͤr den Inhalt der Flaͤche.

Und daher iſt dieſe Meſſung mit Laͤngenmaaße

eben dieſelbe, als wenn ich mit vorerwaͤhnten

Die⸗

der Breite

diel Clen

er dergug,
teiter kiſ⸗
ge des gu
knufen uül,
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dd, weil ley

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zu Reſſen,
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ſo braucht
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ſnde: ſO.

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k, ſo larf
ſeren, ſo
Fläche.
zmaaße
taͤhnte

Dit⸗

—

man nebenſtehende Figur, welche ei⸗ Pr ⸗
ne Flaͤche vorſtellet, die 2 Fuß lang

Die practiſche Rechenkunſt. 183

Dieſes deutlicher einzuſehen, betracht 1 2

und 2 Fuß breit iſt, ſo wird man — E3 4
vorhergehende Rechnung, von 4 U◻
Fuß, augenſcheinlich wahr befinden, und zwar eben
ſo, als wenn ſie mit einem wirklichen AQuadrat⸗

maaße gemeſſen waͤre, welches, wie der Augenſchein

lehret, juſt viermal auf dieſe Flaͤche gelegt wer⸗
den koͤnnte. S
Eben ſo wird auch, wie neben⸗ 1 2 3
ſtiehende Figur, welche laͤnger
als breit iſt, den Flaͤcheninhalt 1I 2 3
durch die Multiplication beſtim⸗ „4 5 6 .
men. 3Z. E. Die beyſtehende de r
Flaͤche iſt 3 Fuß lang und 2 Fuß breit, alſo 254 3
= 6 ◻Fuß. Hieraus nun folgt die—

Regel: Um den OInhalt einer Flaͤche zu fin⸗

den, muß man das Maaß der Laͤnge, mit
dem Maaße der Breite multipliceiren.

3) Da alle Koͤrper, nebſt der Laͤnge und Breite,

auch eine Hoͤhe oder Dicke haben, und es oft im
gemeinen Leben ſehr darauf ankommt, einen ſolchen
koͤrperlichen Inhalt zu wiſſen, wenn z. E. der
Preiß eines Balkens nach ſeiner Laͤnge, Breite
und Dicke beſtimmt wird, ꝛc. So muͤßte man,

unm Koͤrper zu meſſen, auch koͤrperliche Maaße ha⸗

ben. d. i. Man muͤßte eine Elle oder Fuß haben,

welche die Geſtalt eines Wuͤrſels haͤtten; Fuß,

welche 1 Fuß lang, 1 Fuß breit und 1 Fuß hoch

4

waͤren. Eben ſolche Ruthen, ſolche Ellen ꝛc⸗

Und eben der Geſtalt wegen, wird eine, ſolche
Ruthe, eine Cubicruthe; ein ſolcher Fuß, ein

Cubicfuß ꝛc. genannt. Weil aber mit ſolchem Maaße
noch ſchlechter, als mit vorgedachten AQAuadrat⸗
maaßen, ja wohl gar unmoͤglich zu meſſen waͤre, ſo
braucht man bey dergleichen Koͤrpermeſſungen
ebenfalls das gewoͤhnliche Laͤngenmaaß.
Z. E. Ein Koͤrper weicher 2 Fuß lang, 2 Fuß

M 4 breit

184 Die practiſche Rechenkunſt.
breit, und 2 Fuß hoch befunden wird, kann nach ſeinen

koͤrperlichen Inhalte gleichfalls durch die multipli⸗
cation gefunden werden, wenn man naͤmlich deſſen

Laͤnge und Breite mit ein⸗
ander multiplicirt, und das ge⸗
kommene Faétum mit der Hoͤ⸗
he des Koͤrpers, als 2 92 =&
4 2 — 8 Cubikfſuß. Man be⸗
trachte nebenſtehende Figur, well —†
che ein Cubus, der 2 Fußlan 9. —
2 Fuß breit, und 2 hoch iſt; ſo wird man deutlich
zwo Schichten Wuͤrfel auf einander ſtehend entdecken,

wovon jede Schicht 4 Wuͤrfel enthaͤlt, deren jeder ei⸗

nen Fuß lang, einen Fuß breit und 1 Fuß dick iſt.
Regel: Den koͤrperlichen Inhalt zu finden, multipli⸗
eire des Koͤrpers Laͤnge mit deſſen Breite, und das
kommende Factum mit der Hoͤhe oder Dicke.
43) Wie viel Quadratmeilen enthaͤlt unſere Erde, deren
Umfang auf 5400 Meilen, ihr Diameter, oder
Diicke derſeiben auf 1720 Meilen gerechnet wird?*)
Regel: Den Umfang einer jeden Kugel, mit dem Dia⸗

meter oder Dicke derſelben multiplicirt, giebt den

Quadratinhalt derſelben.
44) Wie viele Cubicmeilen enthaͤlt unſere Erde?
Regel: Man darf nur den Quadratinhalt einer je⸗
den Kugel mit den 6ten Theil ihres Diameters mul⸗
tipliciren, ſo kommt der koͤrperliche Inhalt derſelben.
Man kann auch den Inhalt nochmals mit den gan⸗
zen Digmeter multipliciren und das Prod. mit 6 dis
vidiren. 45⁵)

*) Diameter, Durchmeſſer iſt die Laͤnaſte gerade Linie wel⸗
hee durch den Mittelpunet gezogen, auf beyden Seiten
den Umkreiß einer Zirkelflaͤche beruͤhret, wie in beyſte⸗

heuder Figur die Linie a.

4

„

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die practiſche Rechenkunſt. 185

4 5) Ein Garten haͤlt 536 Ellen in der Laͤnge “ 210
Fuß in der Breite. Wie groß iſt der Slacheninhalt ?
oder wie viel ◻ Fuß enthaͤlt er?
Solutio.
2 3 6 Ellen
a 2 Fuß
— 107 2 Fuß lang
2 1 0 breit Ec.

4) Ein Hofplatz der 45 Fuß lang und 48 Fuß brettiſt
ſoll mit Flieſen à Fuß lang und 1 Fuß breit, d.
i. die 1 ◻ Fuß groß ſind, belegt werden. Wie viel
werden Flieſen erfodert.
Anm. Eo viel C Fuß Flaͤch⸗ninhalt, ſo viel Flieſen, weil jede
. lieſe einen Quadratfuß groß iſt.
S. 190. Ob ſich gleich bey Fragen, wie in der vorher⸗

gehenden 46ten Aufgabe, ſchließen laͤßt: So viel Qua⸗

dratfuß die Flaͤche enthaͤlt, ſo viel Steine gebraucht man.
Weil der Stein, eines Dfußes groß, zugleich das
Maaß iſt, womit die Flaͤche nach Fußen ge⸗
meſſen werden konnte; ſo laͤßt ſich doch derſelbe

Schluß nicht anbringen, bey einer naͤmlichen Frage: HD

Wie viel Baͤume braucht man, eine ebenfalls nach Laͤnge

und Breite beſtimmte Flaͤche damit zu beſetzen, wenn

ſie einen Fuß weit von einander ſtehen?
Denn wollte ich hier ebenfalls, wie vorher geſchehen,
ſchließen: ſo viel Fuß die Flaͤche enthaͤlt, ſo viel
Haͤume muß ich haben; ſo wuͤrde ich eine merkliche An⸗

zahl Baͤume zu wenig beſtimmen.

Die Urſache iſt dieſe: weil ich auf der Linie, welche
die Graͤnze des mit Baͤumen zu beſetzenden Platzes um⸗
ſchließt, gleichfalls Baͤume ſetzen kann, und alſo den er⸗
ſten Baum da, wo ich die Laͤnge anfange zu meſſen,
den zten aber da, wo das Maaß des erſten Fußes ſich
endigt; mithin auf den erſten Fuß ſchon 2 Baͤume,
und dann ferner fuͤr jeden folgenden Fuß einen Baum⸗
folglich auf die ganze Laͤnge einen Baum mehr, als wirk⸗
ſich Fuße gemeſſen worden, zu ſetzen habe. Eben ſo ver⸗
M hiulaaͤlt

186 Die peaetiſche Rechenkanſt.

lich einzuſehen, betrachte man nebenſtehende Fi⸗
gur, welche einen gegebenen Platz, 2 Fuß l.
und 2 Fuß br. vorſtellt. Wollte man nun o— %— ₰
nach dem Flaͤchen⸗Inhalt die Anzahl Baͤume beſtim⸗
men, ſo wuͤrden nur 4 Baͤume erfordert, denn 2 b4 2
= 4; da doch der Augenſchein zeiget, daß, nach Anzahl
der Puncte, 9 Baͤume erfordert wuͤrden. Hieraus folgt
nun die
Regel: Soll einnach Fuß gemeſſener Platz

mit Baͤumen, eines Fußes weit von einander,
beſetzt werden, ſo wird ſo wohl fuͤr die Laͤn⸗

ge, als fuͤr die Breite des Platzes, ein Fuß
mehr gerechnet. Z. E. fuͤr einen Platz der 2 Fuß lang

und 2 Fuß breit iſt, nimm 3 Fuß lang und 3 Fuß breit, u.

ſ. f. bey allen aͤhnlichen Faͤllen.
47) En Gaͤrtner will auf einem Gartenlande, das 356
Fuß lang und 225 Fuß breit iſt, eine Baumſchule
anlegen, ſo, daß die Baͤume derſelben einen Fuß
weit von einander ſtehen ſollen. Wie viel Baͤume
muß er haben?

48) Vier Handwerksburſche A, B, C und D, ſind 24 Ta⸗

ge auf der Wanderſchaft geweſen. Wenn nun A
taͤglich 6, B 5, CA4 und D 3 Meilen gewandert.
Wie viel Meilen wuͤrden ſie zuſammen gemacht ha⸗
ben?
Addire A Bα CP D, ſo kommen die taͤglichen
Meilen ꝛc. HM
49) Ein Holzhaͤndler verhandelt 48 Balken, deren jeder
20 Fuß lang, 1 Fuß breit, und ein Fuß dick iſt.
Wie viel Kubikfuß ſinds?? 4
Anm. Weil hier jeder Fuß Holz ein Kubikfuß, alſs das
wirkliche Maaß, womit gemeſſen werden ſoll, iſt, ſo
ſchließ wie bey der 46 Aufgabe.
390) Ein Zimmermann kauft 36 Schwellen à 21 Fuß lang,
2 Fuß ins Gevierte dick. Wie viel Kubikfuß?
(§. 189. 3, & Reg.)

haͤlt es ſich auch mit der Breite. Dieß deut⸗ „— ‧— *

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ein Fuß
2 Zug lang
Srai,

du 336

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einen Fuß
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d 24 TO

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tihichen

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1ſs das
,it, 6

l
bikfu⸗

go⸗

Laͤnge der aneinanderhaͤngenden 4¼ ſeitigen Wand,
r 6

Die praetiſche Rechenkunſt. 187

Solutio.
2 1 Fuß lang
2 Fuß breit

—¶

4 2 22
2 Fuß dick R
8 4 Kubikfuß eine Schwelle ꝛc.

1) Ein Mauermeiſter ſoll eine Mauer auffuͤhren, wenn

nun derſelbe 200 Mauerſteine, der Laͤnge nach
genommen, lang, 12 Steine, der Breite nach
genommen, breit; 64 Steine, der Dicke nach
genommen, hoch ſeyn ſoll, wie viel Steine wer⸗
den darzu erfordert? JMV1 B
Anm. Weil hier nur blos der Stein in ſeiner unbe⸗
ſtimmten Laͤnge, Breite und Dicke gegeben worden,
ſo kann auch jeder Stein, er ſey ſo groß oder klein
er wolle, als eine Unitaͤt des Koͤrpermaaßes angeſehn,
und derohalben, nach den bloſſen angegebenen Zaßlen,
die Anzahl Steine gefunden werden.
52) Ein Mahler ſoll 4 gleich große Zimmer malen,
D wenn nun jedes Zimmer 28 Fuß lang, 20 Fuß breit
unnd 10 Fuß hoch iſt, und er fuͤr jeden Fuß 1 mg
verlangt. Wie viel wird der Eigenthumer der Zim⸗
mer zu bezahlen haben? W l
W Solutio..
Weil jedes Zimmer 4 28 Fuß lang
Seiten gleicher Hoͤhe P 20 Fuß breit
at, naͤmlich 2 Laͤngen ——ee
33 Fuß, und 2 Breiten 4 duß dangeſint hate
à 20 Fuß, ſo koͤnnen — — er
Dieſe 2 Laͤngen und 2 Brei⸗ 96 Fuß lang das ganze

ten eines Zimmers als ei⸗ 10 hoch Zimmer
ne Laͤnge gerechnet wer 960 Inhalt eines

den, zu welcher die Hoͤ⸗
he, als Breite betrach — — —
tet werden kann. Dem⸗ Fac. 3340 mH
nach iſt 28 F. l. ☚ 20 F. br. = 48 b2 = 96 als

4 Zimmers

fuͤr

188 Die practiſche Rechenkunſt.

fuͤr ein Zimmer; da nun, um den Quadratinhalt zu finden,
die Hoͤhe fuͤr die Breite genommen werden muß:
ſo iſt 10 α96= 960 der Inhalt eines Zimmers. Die⸗
ſen fuͤr 4 Zimmer, 4 —960 = 3840 Fuß: weil nun je⸗
der QFuß = 1 M zu malen koſtet, ſo muͤſſen die Uni⸗

taͤten des Products, ihren Namen Fuß, in Mark

verwandeln.

53) Ein Steinhauer kanft 12 Werkſtuͤcke à 6 Fuß lang,
4 Fuß breit, und 1 Fuß dick; 8 dito, à 5 Fuß lang,

1 Fuß ins gevierte dick; und § dito, à 4 Fuß lang,
4 Fuß breit, und 2 Fuß dick. Wie viel Kubickfuß
hat er zu bezahlen? .
Wink zur Solutio: 1) 6 4 1 α12.
2) 5 Wαπ1α α. 3) 4 % 4 %2 °5J5.
Endlich 1) P+2) P 3) = der Summa.
(§. 189. 3, n bſt Regel.) “
54) Ein Amtmunn laͤßt auf ſeine Wieſen, zu Ableitung
des uͤberfluͤßigen Waſſers, 3 Graben ziehen, deren
jeder 930 Fuß lang, 4 Fuß breit und 3 Fuß tief ſeyn
ſoll. Wenn er nun den Arbeitern, ihren Fleiß
zu befoͤrdern, den Xoten Theil ſo viel Schillinge,
als ſie Kubikfuß gegraben, verſpraͤche: wie viel
Schillinge? B “
55) Ein Makler ſoll einen Haufen Mauerſteine, 52 Fuß
lang, 8 Fuß breit, und 9 Fuß hoch, taxiren, wie

viel er Mauerſteine enthalte? Wenn er nun zu die⸗

ſem Ende, einen Kubikfuß dieſer Steine zuſammen

ſetzt, und beſindet: daß derſelbe 36 Steine enthaͤlt.

„Wie viel wird der ganze Haufen enthalten?
Wink: 52 α 94 b4 36.
56) Ein Holzhaͤndler erhandelt eine Parthey Bretter, die
14 Fuß lang, 2 Fuß breit, und 2 Zoll dick ſind, nach
Kubikfuß zu bezahlen. Wenn nun dieſe Bretter
dergeſtalt ſchichtweiſe aufeinander gelegt worden, ſo
daß 60 Bretter eine Schicht ausmachen, und ſolcher
Schichten 5 neben einander liegen: Wie viel Kubik⸗
ſfuß enthalten dieſe Bretter?
Solutio.

6Bretter⸗

5 Auf
Mu
le

N
Zahſen,

Mmaohll
uch derſ
iſtehet,

Reſen
leine
Multin
Ort,

dorbreit

66
Pern zil
Der
lein zu
Re

ſucht,

.

t iu fndet,
beden muß:
mmers. Die⸗
weil nunſe⸗
en die Uni⸗
, in Mart

6 Fuß lan,
5Fuß lang,
4 Fuß long
Kubickfuß

12.

Ableitung
ehen, deren
uß tiefſeyn
hren Hleiß

Schillinge,

vie viel

,5 fiß
riten, wie
nun zu Me⸗
Zuſatmnen
nrenthit.
4

4*

etnn dit
ſt, hech
Brettet
orden, „
ind ſolcher
ie Kutit

oletio⸗ R

Die practiſche Rechenkunſt. 189
Solutio.
6 Bretter a2 Zoll dick = 1 Fuß hoch
Ergo 60 Bretter = 10 Fuß hoch
5 Bretter breit a 2 Juß = 10 Fuß breit
—Rr 100 Kuß
Nun jedes Brett laan 14 Suß

Feac. 1400 Kubikfuß

§. Aufgaben, wo groͤßere Sorten von Muͤnzen,
Maaßen und Gewichten, durch die Multi⸗
plication zu kleinern Sorten gemacht,
oder unter einen Namen gebracht
werden ſolen.
§. 191. Weil bey der Diviſion, in benamten ganzen
Zahlen, der Diviſor oft zu groß, um eine zu kleine

Anzahl Unitaͤten groͤßerer Sorten theilen zu koͤnnen; oder

auch derſelbe ſeibſt aus m anch erley Sorten von Unitaͤten
beſtehet, weshalben er zum theilen ungeſchickt: ſo iſts in
dieſen Faͤllen noͤthig, daß man die groͤßern Sorten zu
kleineren mache. Und da dieſes allezeit durch die
Multiplication bewirket werden muß; ſo iſt eben hier der
Ort, wo man ſich zu dergleichen Sortenverwandelungen

vorbreiten muß.

Es ſind alſo der Faͤlle, große Sorten zu klei⸗

gern zu machen, zweyerley.

Der 1ſte Fall iſt: Wo man große Sorten al⸗
lein zu kleinere, oder zu den kleinſten Sorten, z. E.
RE zu ſs, oder Schilling zu O; oder auch Re, zu Q
macht, u. ſ. w. Dieß aber geſchieht, wenn ich mit der
Anzahl Unitaͤten kleinerer Sorten, welche in einer
Unitaͤt der groͤßern Sorte enthalten, die groͤßern Sor⸗
ten multiplicire d. i. die Re mit 48, die Schillinge mit
12 multiplicire, wodurch das erſte Product lauter ſo,
das letzte lauter Pfennige giebt. Man kann auch die
RK auf einmal mit 576 zu Pfennige machen.
D Der

4

190 Die peactiſche Rechenkunſt.

Der ꝛte Fall iſt: wo manmancher ley, naͤmlich große
und kleinere Sorten zu einerley Sorten machen, oder
unter einen Namen bringen muß. Z. E.
Man ſoll mS, ſs und & unter einen Namen

bringen. u. ſ. f. Dieß geſchiehet: wenn ich 1) die vor⸗

handenen a mit 16 vermehre, und zu dem Producte

die nebenſtehenden Schillinge thue; ſo giebt daſſelbe —

Prod. lauter Schillinge. Dieſes abermal mit 12 mul⸗

tiplicirt und die nebenſtehenden Pfennige darzu ad⸗

dirt, ſo beſteht daſſelbe Product aus lauter Pfennigen.

Eben ſo macht man es mit allen moͤglichen Muͤnzen,

Maaßen und Gewichten. Und wenn man nur weiß,

wie viel der Unitaͤten kleinerer Sorten zu

einer Unitaͤt groͤßerer Sorte gehoͤren,
z. E. wie viel Lt das Sit; wie viel ſpß das Lp;
wie viel Loth das tb u. ſ. f. habe? als wozu die am Ende
beſindlichen Reſolvirungstabellen die gehoͤrige Auskunft
geben: ſo kann es mit dergleichen Sortenverwandlun⸗
gen gar keine Schwierigkeiten geben.
77) Man ſoll 846 Ré6 zu Schillinge machen.
Solutio.
8 4 6 R&£
a 4 8ů̈ſs

6 7 6 8
3 3 8 4
Fac. 4 O 6 0⅓ ſs

Bew. Es iſt hier geſchloſſen worden: Wenn jeder
RE den Werth von 48 ſß enthaͤlt d. i. wenn 1 RE

= 1 26 48 ſs: ſo muͤſſen auch 846 R gleich ſeyn:
846 % 48 ſos. Weil nun 48 b 846 = 846 b2– 48,
G. 109. Reg. 4.) ſo iſt hier die gegebene Anzahl Re⸗
mit 48 multiplicirt, (H. 185. Zuſ. I. Anm.) und
alſo fuͤr jeden Re der beſtimmte Werth von 48 fs.
in die Summe gebracht worden; mithin iſt die Sum⸗
me wirklich 48 mal ſo groß, als der Multiplicandus:
folglich muß auch dieſes Facit alle Schillinge ent hal⸗
ten, welche dem Werthe von allen gegebenen Thalern
voͤllig

noͤlig
verla

Dea

und H

Gnige;

u erſt

Giling
ſehenden
Schillin
Del ab
ſenen,
Pfunni
die ic
das kor

velche

.

inlichgroße

nachen, ober

n Nanen
1) die den⸗
emn Producte

iebt daſſelbe

mit 1u mul⸗
dartzu ad⸗
feunigen.

en Mlnzen,

ur weiß,
orten zu
6 geh̃ ren,
das ſt;
am Ende
Mskonft
etwandlun

nn jeder
m 1 RE.

ud ſemn:

ri NRE

) und

n 49 6

e Eunm.
cändst:

r enthe⸗
Thten

elis

Die practiſche Rechenkunſt. 191

vöſig gleich; derohalben iſt auch geſchehen, was
verlangt worden.
58) Wie viel Pfennige haben 964 Ré: 7 (964 476)
59) Wie viel Spinte enthalten 236 Laſt Erbſen?
60) 860 Laſt Gerſten: Wie viel Himten?
61) Wie viel Stuͤbchen enthalten 205 Fuder Wein?
62) Wie viel Ausſaat braucht ein Landmann zu 96 Mor⸗
gen Landes?

63) Wie viel Acker enthalten 4⁵0 Hufen?

64) Wie viel Ellen enthalten 46 Meilen?
65) Wie viel Minuten gehoͤren zu 100 Jahren?
66) Wie viel Minuten in 48 Wochen?
67) Man ſoll 48 Groß Tauſend zu Stuͤck machen.
68) Wie viel Stuͤck betragen 36 Ringe?
69) 35 Ballen Druckpapier, wie viel Bogen?
7°) Man ſoll 495 M 13 ſs 4 & unter einen Namen
bringen.
Solutio.

, 64

„ £

„ 0ο N—

9
9 7 0
9 3 3
5 8 6 6
Fac. 9 5 2 O%
Da in dieſer Aufgabe dreyerley Sorten, a als ma ſ
und & vorkommen, ſo kann, der gethanen Forderung

Grnuͤge zu leiſten, nicht anders verfahren werden, als daß
man erſtlich die vorhandenen Mark mit 16, als ſo viel

Schillinge der Mark hat, multipliciret, und die neben⸗
ſtehenden 13 ſs darzu addiret, welches ein Faétum aller

Schillinge, die in 495 13 enthalten ſind, giebt.
Weil aber im Multiplicando auch noch Pfennige vor⸗

handen, ſo muͤſſen daher die Schillinge auch noch zu
Pfennige gemacht, das iſt: mit 12 multiplicirt, auch
die nebenſtehenden 4 & darzu addirt werden, da dann
das kommende Product die voͤllige Anzahl Pfennige,

welche in den aus 3 Sorten beſtehenden Multiplicandum

dendlich, enthaͤlt.
Bew.

192 Die practiſche Rechenkunſt.

Bew. Weil ein jeder m 16 fs enthaͤlt, ſo ſind auch
16 α 495 P+ 13 = 7933 fſ. Und weil ein jeder
Schilling 12 enthaͤlt, ſo ſind auch 12 ½ 7933 P+
= 95200 mithin iſt auch dieſe gefundene Anzahl
Pfennige den gegebenen 495 13 ſ§ 4 G ſelbſt
gleich: folglich hat es mit der Aufloͤſung dieſ er Auß
gabe ſeine voͤllige Richtigkeit.
71) Wi⸗ viel Pfennige ſind 3478 R 9 & (auf einmal

72) W viel Schwaren enthalten, 5463 Thlr. 56 Grot.
4 Schw.?
73) Prache 488 Lſterl. 6 ſoſterl. 4. Kſterl. zu Kferl.
74) Mache 8764 Lſterl. zu ſ̈ Banko.
75) Wie viel & ſind 986 Thlr. 23 W0.1892
76) Mache 403 Louisd'ors 3 Thlr. 23 20 zu Groſchen,
35§ Thlr. den Louisd'or.)
77) Wie viel Scherfe, in Berlin, ſind: 4410 Thlr. 22
111 Haͤll. 1 Scherf?
79) Wie viel Schwaren, in Bremen, ſind: 565 Thlr. 4
Schwaren?

79) 532 Laſt 8 Scheffel 1 Faß 1 Himt, 2 Spint

Weizen, wie viel Spint?
80) Bringe unter einen Namen: 564 Wiſpei 6 Scheffel
2 Himt 1 Spint Erbſen;
81) 673 Stock 2 Wiſpel 4 Scheffel a Faß Gerſten
wie viel Spint?

82) 96 Laſt 19 Scheffel 2 Faß Haber: wie viel Him⸗

ten?

83) 560 Wiſpel 9 Scheffel 1 Faß 1 Himt 2 Spint Ha⸗

ber: wie viel Spint?

84) Wie viel Stuͤbchen Wein enthalten 210 Fuder

4 Ahm 9 Stuͤbchen.
35) Wie viel Oeſſel: 96 Oxhoft 4 Anker 4 Viertel 1
Stuͤbchen 1 Quartier 1 Oeſſel?
86) Wie viel Minuten gehoͤren zu 86 Jahren 7 Monatk
23 Tagen 23 Stunden?
87) Ein Fruchthaͤndler kauft 96 Groß Tauſend 8 Groß
Hundert 4 Steige Nuͤſe: wie viel Stuͤck kuds e
88)

89) En G
atat
ſnds?
39) Wie
Siibe

(. Aufa

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laſſen, zu
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. 88

5

Die practiſche Rechenkunnt. 193

28) Ein Goldſchmidt verarbeitet im Jahre 20 Mark 23

Karat 3 Gran 2 Graͤn Gold. Wie viel Graͤn
ſinds?

89) Wie viel enthalten 108 Mark 15 Loth 2 Quentin

Silber an 2 Z
6. Aufgaben, wo unterſchiedene Sorten von

Urntitaͤten mit 2, 3 und mehr Ziffern zu

multipliciren vorkommen.

§S.192. Wenn unterſchiedene Sorten von Unitaͤten,
mit 2, 3 oder mehr Ziffern, welche ſich nicht zerfaͤllen
laſſen, zu vermehren aufgegeben worden: ſo koͤnnen An⸗
faͤnger der Arithmetik, welche in ihrer Kunſt noch nicht
weiter, als bis hieher gekommen, nicht beſſer thun, als
daß ſte erſt alle im Multiplicando vorkommenden ver⸗
ſchiedenen Sorten unter einen Namen bringen, auf die
Art, wie im vorhergehenden §. und den darauf folgenden
Aufgaben gelehret worden, und ſodann dieſe alſo gefun⸗
denen Unitaͤten der kleinſten Sorte mit dem gegebenen

Multiplicatore, wie verlanget worden, multipliciren. Z. E.

Man ſoll 36 Thlr. 12 90 3 & mit 23 multipliciren.
Hr Solutio. M
1356
r10515 4½
31545
21030

194 Die practiſche Rechenkunſt.

dieſer Pfennige dem Multiplicando voͤllig
gleich, ſo iſt es auch einerley, ob ich den Multi-

plicand. nach ſeinen verſchiedenen Sorten, oder

N

die denſelben voͤllig gleichkommende Summe von
Pfennigen, 23 mal nehme. Ergo muß es mit dem
gekommenen Facit ſeine voͤllige Richtigkeit haben.

Anm. Wie die Pf. wieder zu Thaler zu machen, ſoll an ſei⸗

nenm Orte gelehret werden.
9⁰) Abraham hat 26mal 5 Mark 13 Loth 2 Quentin
alt Silber gekauft. Wie viel Quentin ſinds?

91) Ein Kaufmann verſendet 96 Partheyen Waaren, je⸗

de zu 36 Schifft 18 Lf 13 f. Wie viel ſt
ſind es? ðèð

92) Ein Papiermuͤller verkauft im Jahre 206 mal 85

Ballen 9 Rieß 18 Buch Schreibpapier. Wie viel
Bogen?

93) Ein Handſchumacher hat 85 mal 84 Zimmer 3 Dech.

9 Stuͤck Kalbfaͤlle gekauft. Wie viel Stuͤck
ſinds?s .
94) Ein Kaufmann verkauft 35 Partheyen Caffee à 13
Sſt 19 2ſ 13 tb. Wie viel ſt?
95⁵) 235 mal 127 Lvl. 18 ſs vl. gglvel. Wie viel Grot?
96) 99 ₰α 12 Schifſt 8 Stein 4 k Federn, wie viel ſp?
97) Ein Buchdrucker hat 10 Buͤcher zu drucken, und

braucht zu jedem Buche 4 Ballen 3 Ries 10 Buch

15 Bogen Druckpapier. Ueberdem noch 15 Rieß 8
Buch 22 Bogen fuͤr die Subſcribenten; wie viel
Bogen hat er gedruckt?

Anm. Da in dieſer und folgenden 3 Aufgaben zuletzt alle
Sorten unter einen Namen gebracht werden muͤſſen,

ſo iſt es nicht noͤthig, die bey den vorhergehenden Multi⸗

plikationen entſtandenen Facta erſt durch die Diviſion
in ihre gehoͤrigen Corten zu verwandeln. L

98)

Beweis: Es ſind die im Multiplicando befindlichen 3,6
AThlr. 12 03 & unter einen Namen gebracht
und zu lauter gemacht worden. Da nun die SLumme

99) Gne⸗
24
alt;
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99) Von.
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hervor:
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orten, Rer.

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nicn, und

1410 D

15 NeS
zi⸗ e viel

tlet 4

Die praetiſche Rechenkunſt. 195

9³) Eines Vaters juͤngſter Sohn war 2 Jahr, 5 Monat,
24 Tage 7. Stunden, 24 Minuten, 50 Geanden
alt; ſein aͤlteſter Sohn noch 3 mal fſo alt; und der
Vater ſelbſt noch 6 mal aͤlter als ſein aͤlteſter Sohn.
Wie viel Secunden haben ſie ſaͤmtlich gelebt.

99) Von 4 We inhaͤndlern, hat der erſte an Wein ver⸗
kauft: 3 Fuber 4 Ahm, 2 Anker 3 Viertel 1

—

Sltuͤbchen 2 Quartier 1 Oeſſel. Der nte noch ein⸗

mal ſo viel. Der zte noch ꝛ mal ſo viel als der 2te.
Der 4te noch 3 mal ſo viel als der 3te. Wit viel
Oeſſel haben ſie ſaͤmtlich verkauſt?

xo) Wenn A in Bremen 3435 Thlr. 63 Groten ag

Schwaren geerbt, und noch 4 mai ſo viel darzu ge⸗
winnt. B aber noch 4 mal ſo viel erbt, als A geerbt
und gewonnen: Wie viel Schwaren haben beyde in
einer Summe geerbt und gewonnen? 7 .

II. Subtrattio im benamten ganzen Zahlen.

4 §S. 193. Der Gebrauch dieſer Species thut ſich im ge⸗
meinem Leben vielfaͤltig, beſonders aber bey Kaufleuten
hervor: denn wenn dieſe wiſſen wollen, wie viel ſie an

einer Parthey Waaren gewonnen oder verlohren
haben; ſo ziehen ſie, im erſten Falle, den kleinern

Einkauſpreis von dem groͤßern Verkaufpreis ab, und fin⸗
den ſodann im Reſte den Gewinn. Dahingegen er fah⸗
ren ſie auf dieſelbe Art den Verluſt, wenn ſie den klei⸗
nern Verkaufpreis vom groͤßern Einkaufpreis abzie⸗
hen. Will der Kaufmann beym jaͤhrlichen Abſchluſſe
ſeiner Buͤcher wiſſen, ob ſein Vermoͤgen zu oder ab⸗
genommen habe: ſo ſummirt er ſo wohl ſeine Einnah⸗
me, und was dahin gehoͤrt; als auch ſeine Ausgabe
und was dahin gehoͤrt, und ziehet ſodann die kleinere

Summe von den groͤßern ab, da ihm der Reſt unfehl⸗

bare Nachricht, von dem was er zu wiſſen verlangt, giebt.
Denn giebt die Einnahme den Minuendum, ſo
zeigt der Reſt den Gewinn; muß aber der Minuen-

196 Die ractiſche Rechenkunſt.

dus die Ausgabe vorſtellen, ſo zeigt der Reſt den Ver⸗
luſt an. —
§. 194. Bey Aufgaben, wo der Minuendus ſo
wohl als der Subtrahendus nur eine Sorte be⸗
namte Einheiten enthaͤlt, iſt nicht der geringſte Un⸗
terſchied zwiſchen dieſer benamten und jener ſchon er⸗
lernten unbenamten Subtraétion. Denn es iſt voͤl⸗
lig einerley: ob ich.

von 285 ¾ oder von ezr⸗ iſt der un⸗

Inbtrahire 120 ſubtrah. 120

benam te Reſt 163 dem benamt. Reſt 163 163 m voͤllig gleich. B
Zuſatz: Daher ſind alle unbenamte Subtractions⸗

aufgaben ſogleich in benamte Subtractionsaufgaben
verwandelt, ſo bald man den Unitaͤten derſelben Na⸗
men beyfuͤget.

1. Aufgaben, wo der Minucndus in allen
Sorten von Einheiten groͤßer iſt als der
Subtrahendus.
§. 195. Sind die Zahlen des Minuendi; nach
ihren verſchiedenen Sorten, alle groͤßer, als die des
Subtrahendi nach ihren verſchiednen Sorten, ſo iſt auch
bey dergleichen Aufgaben, in Anſehung der ſchon bekann⸗
ten Berechnung, kein Unterſchied. Denn wenn man nur
darauf Acht hat, daß alle Sorten in gehoͤriger Ordnung,
und nach ihrer natuͤrlichen Folge unter einander ge⸗
ſetzt werden. D. i. Die Thaler unter Thaler, die
Groſchen unter Groſchen, die Pfennige unter Pfennige;
und ſo bey allen Sorten, von welcher Art ſie immer

ſeyn moͤgen; ſo darf man nur Sorte von Sorte, auf

ſchon bekannte Art abziehen, und ſodann den Reſt jeder
Sorte den gehoͤrigen Namen beyfuͤgen. Z. E.
1) Man ſoll 4305 Thlr. 19. 1 10 von 5141 Thlr.
21 20 11 O ſubtrahiren.
Solutio.
5141 Thlr. 21 11 Minuend.
4. 3 O0.5 ⸗ 1I.9 10 . Subtrah.

Reſt 836 Thlr. 2 % 1 £D

Erſt⸗

ſt den Ver⸗

nuendus ſo

Gortte he⸗ †

gerinoſte n⸗
ner ſchon er⸗
in ts iſ vol⸗

iſt daun⸗

lig geich.
uhcrations⸗
onsaufgoben 4

ſelen M⸗

in olen
41 der

ndi, tich
l die des

ſ iſ ich

hon beknn⸗
nin man nur
1 Ordnung,
ander ge⸗
rle, die
Ponnige;

ſe imme

Sorte, in
Reſjeder

141 Thlr⸗

1d.

Erſe⸗

7

Die practiſche Rechenkunſt. 197

Erſtlich ſind 10 & von 11 abgezogen, und der Reſt

1 an ſeine Stelle geſetzt. Eben ſo ſind auch 19
gr. von 21 gr. abgezogen, und der Reſt 2 gr. an ſei⸗
ne Stelle geſetzt. Endlich auch 4305 Thlr. von 5141
Thlr. ſubtrahiret und d. Reſt an ſeine Stelle geſetzet,
und hiermit die ganze Subtraction geendigt worden.
DMVM Proba.
Reſt 836 Thlr. 2 ℳ% 1 &
+ 430 5 ‧ 19 10 ⸗ Subtrah.

Summa 5141 Thlr. 21 W°. 11I O Minuendus.

2) Auguſt hat in Caſſa 7823 M 15 ſs8 6 H&, und giebt

davon aus 5202 M8 12 ſs 3 O wie viel behaͤlt er in
Caſſa?
2) Bernhard kauft 85 Laſt 25 Scheffel 3 Himten 3
Spint Waizen, und verkauft davon wieder 36 Laſt
24 Scheffel 2 Himten 1 Spint. Wie viel bleibt
ihm uͤbrig?
4) Carl verkauft, von 56 Groß Tauſend 9 Groß Hundert,
5 Stiege 18 Stuͤck Nuͤſſe, 45 Groß Tauſend 8 Groß
Hundert 4 Stiege 16 Nuͤſſe. Wie viel bleibt ihm
pro Reſto? .
5) Ein Weisgerber verſertigt 96 Zimmer 3 Dech. 6
Stuͤck Kalbfelle, und verhandelt davon an einen
Beutler: 36 Zimmer 2 Dech. 5 Stuͤck. Wie viel
bleiben unverkauft? ð
6) Ein Knopfmacher verfertigt 436 Groß 11 Dutzt 10
Stuͤck große und kleine Knoͤpfe; verhandelt davon
an einen Galanteriehaͤndler: 236 Groß 11 Dutzt 10
Stuͤck. Wie viel behaͤlt er?
Solutio.
436 Gr. 11 Dutzt 10 Stuͤck
236 II ⸗ 10 Stück

. Reſt 200 Gr. — Dutzt — Stuͤck
Anm. Wenn, wie hier, bey einigen Sorten nichts uͤbrig
bleibt, ſo werden dennoch, blos der Ordnung wegen,
die Zeichen der Namen in dem Reſte bemerkt, die
ſehlenden Zahlen der Sorten aber mit — bezeichnet,
ſo wie der Augenſchein zeiget.
N 3 3)

2 1

298 Die practiſche Rechenkunſtt.
7) Ein Goldſchmidt kauft 36 Mark 23 Karat 3 Gran 2 Bihe nn
Graͤn Gold; und verarbeitet davon 24 Mark 23 Karat

1 Gr. 2 Gr. Wie viel behaͤlt er uͤbrig?
3³) Salomon giebt, von 96 Mark 15 Loth 3 Quentin 3

Silber, an einen Silberarbeiter, zu Verfertigung
Loth 3 Quentin

verſchiedener Gefaße, 46 Mark 15
2 W Wie viel bleibt unverarbeitet?
2. Aufgaben, wo einige Sorten des Subtra-
hendi groͤßer ſind, als einige des
Minuendi.

§. 196. Nachdem die Aufgabe gehoͤrig aufgeſetzt, und

die Zahlen, der Sorten des Subtrahendi, nachher groͤßer

befunden worden, als die, des Minuendi: ſo muß man

ſeine Zuflucht eben ſo, wie bey der Subtract. in un be⸗

namten Zahlen gelehrt worden, zum Borgen nehmen.
(§. 137.) Hier aber iſt es eben, wo die Subtraction in
benamten Zahlen, beſonders des Bo rgens wegen, von

der Subtract, in undenamten Zahlen abweicht: Und

ob gleich die geborgte Unitaͤt, von nebenſtehender Ziffer
derſelben Sorte, in Abſicht der Za hlſtelle, ebenfalls
fuͤr 10 gerechnet wird, (F. 137.) ſo verhaͤlt ſichs doch ganz
anders, wenn man nicht bey den Zahlen derſelben

Sorte, ſondern bey Zahlen der benachbarten

Sorte, borgen muß. Denn da kann die geborgte
Unitaͤt nicht 10; ſondern ſie muß allemal ſo viel
kleine Unitaͤten derſelben Sorte, um welcher
Willen geborget worden, gelten, als die ge⸗
borgte Unitaͤt kleinere Unitaͤten enthaͤlt. Z. E.
Wenn man 9 & von 8 H nicht abziehen koͤnnte: ſo muͤßte
des wegen bey der naͤchſten Sorte, bey den Schillingen ge⸗
borgt werden: dieſe geborgte Unitaͤt aber, welche 1ſs
iſt, enthaͤlt 12 Unitaͤten derſelben Sorte: um wel⸗
cher willen geborgt worden, d. i. 12 J. Von dieſen 12

& koͤnnten nun 9 Habgezogen, und zu dem Reſte 3 Q, die

3 O., von welchen vorher 9 O nicht abgezogen werden
vonunten, darzu addirt werden, ſo waͤre der Reſt = 11 K.

Wuͤrde

Polen, ſo
ſben ale

n moͤgen

3 EC.
9) Mand
8334

Rek

Wul!
len,
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3
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gen,
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48
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unk 2) Krat

3uentin 3

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13 Qulin

6 Fubtra⸗
des

geſeßt, und

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muß man
i vobe⸗
en nehmen.
ttaction in
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cht: UAnd

nder Zifer
, cbenſal
doch ganz
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ſo viel
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die ge⸗

ſo nißte,
lingen ge⸗
he 16
m wel⸗
ſeſen 12
werden
zuI
Wirdt

Die practiſche Rechenkunſt. 1999

Waͤrde man, der Schillinge wegen, bey den Thalern

borgen, ſo wuͤrde die geborgte Unitaͤt = 48 ſs ſeyn, u.
ſ. f. bey allen vorkommenden Sorten, welcher Art ſie auch

ſeyn moͤgen. Ein Exempel wird die Sache klaͤrer machen.

3. E.

9) Man ſoll von 9445 R6 36 ( 6 Pf. abziehen:

8556 Rb. 47 ſ 9 . Was bieibt pro Reſto?
Solutio.
9445 R6 36 ſ 6 §
8.5.5.6. ⸗ 47. ⸗ 9 ⸗
Reſt: 888 RE 36 ſs 9 ₰ L
Weil hier 9 & von 6 nicht abgezogen werden koͤn⸗
nen, ſo iſt bey naͤchſtfolgender Sorte 1 ſs geborget
worden: dieſer ſy enthaͤlt 12 , davon 9 &, bleibt
3 + 6 9 . Da nun die 47 ſo, wegen den
Geborgten, fuͤr 48 ſs gerechnet werden muͤſſen,
o koͤnnen dieſelben von 36 ſß ebenfalls nicht abgezo⸗
gen, ſondern es muß bey nebenſtehender Sorte Xx
Rer geborgt werden, welcher 48. ſs enthaͤlt. Nun⸗
48 — 48 ſ5 = + 36 6ι = 36 . Endlich werden auch
die Rthlr. von den Thalern; wie ſchon zur Gnuͤge
bekannt, abgezogen.
Beweis: Es iſt von den Sorten des Subtrahendi
1. Rthlr. 1 ſ geborgt, und dem Minuendo in
48 6 12 ϑ zugerechnet; eben dieſer 1 Rthlr. 1 ſs iſt
auch dem Subtrahendo wieder verguͤtet worden.
Da nun auf ſolche Art der Subtrahendus um eben
ſo viel, als der Minuendus vergroͤßert, ſo iſt,
durch dieſe gleich große Vermehrung, das
Verhaͤltniß beyder gegebenen Zahlen nicht au fge⸗
hoben, ſondern voͤllig beybehalten worden. Mit⸗
hin koͤnnen auch die gegebenen Zahlen eben ſo betrach⸗
ter werden, als ob gar kein Borgen noͤthig geweſen.
Folglich muß der nach gegebener Regel gefundene
Reſt die verlangte richtige Zahl ſeyn. Z. E.

N 4 zu

Die praetiſe che Rechenkunſt.

200

zu dem Minuend. 9 44 5 R6. 36 fs 6 OD

den geborgten 1 Ré 1ſ8 = 48 12 ⸗

ſo iſt der vergroͤßerter Min. 9 445 Rl 84 6 18 &
Hiervon den um 1 Rthlr. I1 ſS „ „ . g
vergroͤßerten Subtrah. ſo er⸗ .. K.7 Re 4.8 ſr 9 &
ſcheint der Reſt 8 8 8 R. 3 6 ſ8 9 H
welcher den vorhergehenden voͤllig gleich iſt.
10) Wenn ein Kaufmann, von einer Einnahme 596
Lvl. 12 ſzvl. 7 Grotvl. ausgiebt: 499 Lvl. 16
ſsvl. 10 Grotol. Was bleibt von ſolcher Ein⸗
nahme pro Reſto?

11) Ein Bremer bezahlt, auf eine empfangene Rech⸗
nung von 396 Thlr. 56 Groten 2 Schwaren, auf
Abſchlag: 189 Thlr. 67 Groten 3 Schwaren. Was
bleibt er noch auf dieſe Rechnung ſchuldig?

12) Ein Weinhaͤndler hat auf ſeinen Lager liegen: 289
Fuder 4 Ahm 25 Stuͤbgen 2 Quartier. Wenn er
nun davon verkauft 99 Fuder 5 Ahm 26 Stuͤbgen 3
Quartier. Wie viel Wein behaͤlt er noch?
13) Ein Kornhaͤndler ſoll einen Brauer 136 Laſt 15
Scheffel 1 Faß 5 Spint Gerſten liefern, der Brau⸗
er empfangt aber nur 106 Laſt 16 Scheffel 2 Faß 4
Spint. Wie viel fehlt an der Lieferungg
14) Von einer beſtimmten Zeit von 496 Jahren 10 Mo⸗
naten 26 Tagen 21 Stunden 50 Minuten ſind be⸗
reits verfloſſen: 238 Jahre 11 Monate 28 Tage
22 Stunden 58 Minuten. Wie viel fehlt noch an
der beſtimmten Zeit?
15) Ein Fabrikant vertheilet an ſeine Spinnerinnen: 286
Schiſtt 18 Lf 12 [5 Flachs, und empfaͤngt an ge⸗
ſponnenen Garn wieder zuruͤck: 210 Schifſt 19

Lit 10 . Wie viel mangelt ihm noch, den Abfall

ungerechnet?

B 16) Eine Bettſtopferinn kauft 54 Schiffß 7 Stein 8 1
Sedern, und verſtopfet davon in verſchiedene Bet⸗
ten:

hat
Aufg

u:

ten,

19
ge Gort

gen, die
Solatio
derſelben
bey denn
3. E. Y
ſub

s

MHwne

ten
6 r
129
Nichte
486,
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17) G
de

e

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1566 69

4r 12:

Kn

64 869

——

zeſt aO

nnahme 96
99 Lyl 16
ſolcher Ein⸗

nhene Rech
grel, alf
ten. Was
81
iegen: 299
Wenn er
Stibgen 3
1

uſt 15

der Braltt

fela haß⸗

en 10 Mo⸗
n ſb be⸗
29 Tage
l noch an

nen: 496
ytan ge⸗
gifft 19

n Abfal

tein 9
ene Bet⸗
ſen:

Die practiſche Rechenkunſt. 20
ten: 18 Schiſſt 10 Stein 9 lb. Wie viel Federn
hat ſie noch?

3. , Aufgaben, wo einige Sorten von Einbet⸗
ten, welche der Subtrahendus hat, im
Minuendo fehlen.

§. 197. Bey Aufgaben, wo im Minuendo eini⸗

ge Sorten gaͤnzlich fehlen, muß man der Ordnung we⸗

gen, die Ramen der fehlenden Sorten in der
Solutio mit hin ſetzen, und die fehlenden Zahlen
derſelben mit einem Strich (—) bemerken, ſo wie

bey dem Reſt in der Solut. der 6. Aufgabe geſchehen.
Z. E. Man ſoll 1879 Rchlr. 42 ſs 6 von 3496 ihlr.

ſubtrahiren.
Solutio.
3496 Rthlr. — ſ6s — £
1.8 7.9. ⁸ 42.: 6 ⸗

Reſt 161 6 Rthlr. 5 ß 6

Nachdem, der Ordnung wegen, im Minuendo die
Namen der fehlenden Sorten geſetzt, der Mangel an Uni⸗
taͤten ſolcher Gorten aber mit (—) bezeichnet, ſo ſage:
6 O von nichts kann ich nicht, borge alſo 1 ſs, dieſer hat
12 ₰; alſo 6 von 12, beibt 6 . Ferner 43 ſe von
Nichts, kann ich nicht, borge alſo 1 Rthlr. dieſer hat
48 6, alſo 43 von 48 bleibt 5 ſs; auch dieſe neben die
6 & herunter im Reſt geſetzt. ꝛc.
17) Ein Schmidt kauft 1225 Centner Eiſen, verarbeitet
davon: 876 Centner 6 Lb 12 b. Wie groß bleibt
ſein Vorrath? 4

13) Salomon kaufte 295 Mark alt Silber und ſchmolz

davon: 199 Mark 13 Leth 3 Quentin 2 . um.
Wie viel ungeſchmolzen Silber behaͤlt er noch?
19) Ein Buchdrucker gebraucht, um einige Werke zu
drucken 95 Ballen 10 Buch. Wenn ihm nun der
Papierhaͤndler hierzu erſt 56 Ballen 8 Ries 5
Buch geliefert; wie viel mutz er noch liefern?
N 5 20⁰)

202 Die practiſche Rechenkunſt.

20) Martin hat von ſeinen Nußbaͤumen 36 Groß

Tauſend 1 Schock MNuͤſſe geſchlagen. Jobs aber
nur 24 Groß Tauſend 5 Groß Hundert 1 Schock 2

Steige 18 Stuͤck. Wie viel hat Jobs weni⸗

ger als Wartin? . .
21) Wie viel betraͤgt der Unterſchied von 304 Laſt 8 Schef⸗

fel Erbſen, und 199 Laſt 2 Wiſpel 5 Scheffel 1

Faß 1 Himt. 3 Spint?
22) Koſe empfaͤngt einen Wechſel, groß: 439 Lvl.
8 Grotol. und ſoll damit bezahlen 429 Lvl. 18 ſavl. 10
Grotvſ. Wie groß iſt der Ueberſchuß?

4. Aufgaben, wo einige Sorten im
Subtrahendo fehlen.
§. 198. Fehlen einige Sortenim Subtrahendo, von de⸗

nen die im Minuendo vorkommen, ſo koͤnnen auch die Feh⸗
lenden nicht abgezogen werden; es ſey dann, daß bey ei⸗

ner leeren Stelle geborgt worden: In dieſem Falle

gilt der fuͤr das Geborgte gemachte (.) eine Unitaͤt

derſelben Sorte, welche die leere Stelle erhalten ſollte.

(H. 138. und 140.) Z. E. .
Man ſoll den Unterſchied finden, von 36 Mmg 15 Loth
2 Quentin 1 ϑ und 24 ms 3 Quentin? .

Solutio.
36 Mark 15 Loth 2 Quentin 1 O
24 .⸗e — 7 3 . — 2

*

Unterſchied 12 Mark 14 Loth 3 Quentin 1
Weil hier von 1 Qnichts abzuziehen war, ſo ward
auch dieſer 1 & im Reſt herunter geſetzt. Nun konnten
aber 3 Quentin von 2 Quentin nicht abgezogen werden,
weshalben bey der benachbarten Stelle, der Lothe, 1 Loth
geborgt, und dieſes geborgte auf der leeren Stelle
mit einen (.) bemerkt werden; alſo 3 Quentin von den
geborgten 4 Quentin bleist 1 + 2= 3 Quentin, auch dieſe
in den Reſt geſetzt. Ferner ſage, (dieſen Punct fuͤr 1 gerech⸗
net;) I von 15 bleibt 14 Loth ie.
23)

144) Bar
25 ) Ein
ger
26) Cin
ch
r
27) En
33
k.
W A

1

Die pracetiſche Rechenkunſt. 203

en 23) Tobias ſoll nach London ſenden: 850 Lſtl. 12 ſty ſtl
s der , hat aber nur in Caſſa: 496 Lſtl. 8 J.. Wie viel

ainen⸗ ſe let ihm noch?
224) Rarſtens empfaͤngt aus Berlin 455 Louisd'ors 2
uſg Se Trr. 21 8. Soll aber nur empfangen 454
Scheſ. DI. Louisd'or 9 . Wie viel hat er zu viel em⸗
Schefſel 1 „
pfangen?
9 dl. 25) Ein Stallmeiſter ſoll eine Lieferung Haber empfan⸗
19 ſrl 1o gen, von 96 Laſt 1 Wiſpel 8 Scheffel 2 Faß 1 Himte

3 Spint. Empfaͤngt aber nur 9)5 Laſt 3 Faß 3
S Sopint. Was ſehlt an der Lieferung?
in 26) Ein Landmann aͤrndtet auf einem Acker 136 Schock
3 Mandel 10 Garben; ſein Nachbar aber nur 124
Schock 11 Garben: Wie viel hat er weniger ge⸗

aͤrndtet?
den d 27) Ein Kaufmann ſoll, lant Ordre, liefern: 85 Schiff
ſſem Fale 13 Stein 18 fb Flachs, hat aber nur, wie bey Waͤ⸗
lnitaͤt gung deſſelben befunden, gelieſert: 84 Schifſt 19
ten ſolte. . 8 E. Wie viel ſehlt noch 2 .
28) Abraham bekoͤmmt zum Umſchmelzen 536 Mark
izh 13 Loth 3 Graͤn alt Süber: wenn er das umge⸗
315 hH ſchmolzene Silber nur noch 535 Mark 4 Graͤn ſchwer
. befindet. Wie viel iſt verlohren gegangen?
5. Aufgaben, wo ein doppelter Subtrahendus
S vorkommt. .

§. 199. Kommt in einer Aufgabe ein Minuendus
6e watd und zween oder mehr Subtrahendi vor, ſo ziehet
mDan erſt einen Subtrahendum vom Minuendo, und

. e
nule, von dem Reſte auch den andern Subtrahendum ab.
Iich Wiill man aber dergleichen Aufgaben durch eine ein
Gtele zige Subtraction aufloͤſen, ſo darf man nur die gegebe⸗
en de nen Subtrahendi erſt abdiren, unter deſſen Summa den
diee R Minuendum ſetzen, und ſodann von oben herab,
gerege nach unten zu, fubtrahiren. Ein Beyſpiel wird das

Geſagte in volles Licht ſetzen.
9 1 Wenn

7

204 Die praectiſche Rechenkunſt.

Wenn Albrecht aus ſeiner Caſſa, groß: 839 Rthlr.
131ſ 6 OQ, zween Rechnungen bezahlen ſoll, davon die er⸗
ſte 213 Rthlr. 28 ſo 4 §; die andere aber 348 Rthlr.
21 ſo 9 & enthaͤlt: Wie viel wird er in Caſſa be⸗
halten? “

r. Solutio 2. §olutio.
83 9 RC 13 ſ6 6 H 2 13 RC. 28 ſ5 4
2 I 3. ⸗ 28 ’4 P 34 8ͦ; 219 2

62 5 .33 ⸗ 2 4 Ausgabe 5.5 1 2 1
3.4. 8 21.:9 in Caſſa 8 39 136 ⸗

R. 277 R 11 6 5 &H R. 277 R 11 65

Beweis: Es iſt einer ley: ob ich von einer Zahl
8, die Zahl 5 in zween oder 3 Poſten nach gerade,
oder ob ich die Zahl 5, von 8, auf ein mal ſubtra-
hire. 3. E. 8 — 2:— 6 — 2= 4 — 12=3 oder 8 —

5= 3. Denn die im erſten Falle nach gerade abge⸗

zogenen 2 2 r—1 ſind der Zahl 5, welche im ande⸗
ren Falle auf ein mal, von der Zahl 8, abgezogen
werden, voͤllig gleich: mithin mußten auch in
beyden Faͤllen einerley Reſte, naͤmlich 3 bleiben.
Ergo iſt es einerley; ob ich unterſchiedene Subtra-
hendi nach gerade, oder ob ich die Lumma aller
gegebenen Subtrahendorum auf ein mal vom
gegebenen Minuend. abziehe. Da nun in vorher⸗
gehenden Solutionibus im Großen geſchehen, was
hier im kleinern erwieſen worden; ſo iſt auch der
Beweis eben derſelbe. Denn es muß einerley Reſt
errfolgen: ob ich von den zween Poſten 213 Rthlr⸗
28 ſ5 4 ϑ 348 Rthlr. 21 ſs 9 & einen nach
den andern abziehe, ſo wie in der 1 Solut.
geſchehen, oder ob ich die umma beyder Subtra-
hentorum, naͤmlich 213 Rthlr. 28 ſ5 4 +£ 348
Rthlr. 21 ſ6 9 anf einmal von der in Caſſa be⸗
findlichen Summe ſubtrahire. 1.

Anm.

4

Mn. Es

Folg
wech
Fert
gden
mei

29) CEin
A1

De
30) Jon
dels
35
31) n
1
105

K

So
En.
nocd
Weil
D

ſt.
1 Ethir,

daben die er⸗
et 348 Rth ſthr.
in Calla be⸗

olutlo.
E 2864

42119:

21417

1316 4

EuIſ
einer Jahl
chgerade,
hal fuhtra⸗
3 oder 9—
vrade abgen
he in ane⸗
abgezogen
en auch in
i3 bleiben.
ne Hubtta⸗
hmmma alet
mal vorn
in worper⸗
tn, was
auch der
rlen Reſt
13 3 Nthlt
et ech
1 Hlut.
. Fubtta⸗
1T 36
Calla be

m.

Die racliche Rechenkunſt. 205

Anm. Es wird wohlgethan ſeyn, wenn man ſich in der

Folge, bey dergleichen Aufgaben, beyder Aufloͤſungen
wechſelsweiſe bedienet, um durch die erſte deſto mehr
Fertigkeit im Subtrahiren zu erhalten, durch letztere
aber ſich vorzubereiten, zu der in Praxi oft vorkom⸗
menden Subtract. von oben herab nach unten zu.

29) Ein Kaufmann hat von 36 Laſt Heringe verkauft an

A: 18 Laſt 9 Tonnen: an B; 12 Laſt 8 Tonnen.
Wie viel behaͤlt er noch?

30) Von 136 Laſt ſpaniſch Salz, werden an zween Han⸗

delsfreunde verkauft: 1) 46 Laſt 14 Tonnen, 29
35 Laſt 7 Tonnen. Was bleibt.

31) Pulverthurm ſoll empfangen: 496 Centner 10
† Pulver, empfaͤngt aber nur in 2 Partheyen 1)
185 Centner 4 L 9 b, 2) 231 Centner 5 Lſt 12
[b. Wie viel muß noch geliefert werden?

32²) Linnemann verſpricht an Leinen zu liefern: 896

Schock 54 Ellen; liefert aber nur 405 Schock 48
Elllen † 236 Schock 56 Ellen. Wie viel muß er
nooch liefern?
33) Silberberg hat 896 Mark 14 Loth 3 Quentin
Silber liegen, verkauft davon 408 Mark 15 Loth und
299 Mark 10 Loth 3 Quentin. Wie viel behaͤlt
er noch?
34) Ein Papiermuͤller hat 586 Ballen 8 Ries Papiex,
verkauft davon 224 Ballen; und 109 Ballen 9 Ries
8 Buch; und 90 Ballen 3 Nies 7 Buch. Wie groß
bieibt ſein Vorrgath?;

35) Keinbold verſilbert einige Waaren, und minmt

dafuͤr ein: 7893 mg 12 ſs5 6 H. Kauft dagegen fuͤr
1782 ms Caffee; fuͤr 987 π15 ſs Thee und fuͤr
den Reſt Zucker. Wie viel⸗ hat⸗ er fuͤr Zucker an⸗
gelegt?
(Wink: Caffee Thee von der Einnahme, bleibt
Zucker.)
36) Ein Fleiſ ſcher kauft fuͤr 5497 8 12 ſ5 unterſchiedli⸗ 4
ches Schlachtvieh als: fuͤr 2896 15 ſ 6 ϑ Och⸗
ſenz fuͤr 1470 Mms 13. ſ Schweine; fuͤr d den Reſt

gber

206 Die practiſche Rechenkunſt. 5

aber Schaafe. Wie viel hat er fuͤr Schaafe an⸗
gelegt?
37) An verſchiedene Schmiede werden 999 Laſt 10 Ton⸗

nen Steinkohlen verkauft, als: an A 329 Laſt 9 Ton⸗
nen; an B 288 Laſt 11 Tonnen und an C den Reſt.

Wie viel hat C bekommen?
6. Aufgaben, die Zeit betreffend.

§. 200. Es kommen im gemeinen Leben nicht ſelten

Aufgaben vor, wo von gegenwaͤrtiger Zeit angerech⸗
net, nach einem bereits verfloſſenen Zeitrau⸗
me; oder nach einem beſtimmten verfloſſenem Zeit⸗
raume bis zur gegenwaͤrtigen Zeit; oder nach

zween oder mehreren bereits verfloſſenen Zeitpuncten, o der

auch nach zween odet mehrern kuͤnftigen Zeitraͤumen u.
dergl. m. gefraget wird. Will man nun auf dergleichen Fragen
eine arithmetiſche Antwort finden, ſo muͤſſen allemal ge⸗
wiſſe Data, als ſchon bekannt, angegeben werden,
weil ſonſt unmoͤglich eine Antwort zu finden waͤre. Z. E.
Man wollte fragen: 1) Wie alt Peter ſey? oder 2)
Wann er gebohren? oder 3) Wie viel Zeit von Huſſens
Geburt bis auf die Geburt Lutheri verfloſſen? So wuͤrde

auf alle dieſe Fragen keine Antwort gefunden werden koͤn:

nen, daferne nicht bey der 1ſten Frage zugleich bekannt ge⸗
macht worden: wann Peter gebohren und bis zu
welchem Zeitpunete man ſein Alter wiſſen wolle?
Bey der ꝛten Frage: wann und in welchem Alter
er geſtorben? oder wie alt er zu der Zeit ſey, von
welcher, zuruͤck gerechnet, man den Tag ſeiner Ge⸗
burt zu wiſſen verlange? Bey der 3ten: wann Huß
und wann Luther gebohren?

Sind aber ſolche noͤthige Data den Fragen beygefuͤͤ,

get; dann iſt es uͤberaus leicht, die verlangten arithmeti⸗
ſchen Antworten, auf dergleichen Fragen, zu finden, wenn
man nur allezeit die juͤngſte Zeit zum Minuendo,
die aͤltere Zeit aber zum Subtrahendo anſetzet.
Z. E. So wuͤrde bey der 1ſten Frage, die gegenwaͤr⸗
tige oder juͤngſte Zeit, als bis dahin man Peters Alter
wiſſen wolle, zum Minuend. und die Zeit der Ge⸗
. burt

kurt zum
Alter Pe

Iilßte eben

Aler den
eage gede

tg als d

hurtstag,
Reſt gieb

Frage.

Bey
gende
Reyel⸗
den 2
40,
Aht.
1) Gin
viel
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3) Ligt
dN
E
Ditſen
1790
4) Rea
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oden
zu
4) Arn
und
gewo

Echgefe anu

Laſt 10 Ton⸗
29 Lſt on:

10 den Agſ.

end.
n nicht ſelten

Zeit ongetei.

n Zeitte⸗
ſenenn geit⸗
ddet nach
puneten, oder
eittaumen 1,

ichengen

abemal ge⸗

eben wetden,

vere. 9.C⸗
97 ober2)
den Huſeens

S wüͤrde

uden kön
ch bekannt ge⸗
und bis /1
Hiſen *
it it ſeh . ſen
ſeiner Ge⸗
Kann n

igen ben Cefi⸗
n artßmeti

ſnden, penn
lrmento

oenſetet⸗
genwaͤn

Die practiſche Rechenkunſt. 207

burt zum Subtrah. angeſetzet, da dann der Reſt das

Alter Peters beſtimmen wuͤrde. Bey der 2ten Frage
muͤßte ebenfalls die gegenwaͤrtige Zeit den Minuend. das
Alter den Subtr. und ſodann der Reſt die Antwort zur

Frage geben. Bey der 3ten Frage giebt Luthers Geburts⸗
tag als die juͤngſte Zeit, den Minuend. Huſſens Ge⸗
burtstag, als die aͤlteſte Zeit, den Subtrah. und der

Reſt giebt die grithmetiſche Antwort auf die gethane

Frage.

Bey Aufgaben der Zeitrechnung merke man ſi , fol⸗
gende
Regel: Wenn z. E. geſagt wird: Er ſtarb Ao. 1780
den 21ſten April, ſetze man bey der Solutio 1) ſtatt
Ao., blos hinter der Jahrzahl. die Zeitbenennung
Jahr.
) Statt den Namen des Monats blos der wie
vielſte vom Januar als den 1ſten Monat angerech⸗
net, der gegebene Monat ſey? 3. E. ſtatt den April
ſetzt man 4 Monat.

30 Fuͤgt man, mit Auslaſſung: den, der Zahl, welche

den Datum bezeichnet, blos den Namen Tag bey. Z.
C. ſtatt den 21ſten, ſetzt man: 21 Tage u. ſ. f.
Dieſem nach wird: Ao. 1780 den 21 April alſo. ſtehen
1780 Jahr 4 Monat 21 Tage.
4) Rechnet man, weil ein Monat 30 ein anderer 31
Tage hat, wenns naͤmlich aufeinen Tagmehr
oder weniger nicht ankommt, jeden Monat
zu 30 Tage.

38) Arnhold ward gebohren Ao. 1 1721 den 26ſten May V

und ſtarb den 21ſten April 1780. Wie alt iſt er
geworden?

Solutio J
geſt. 1780° Jahr 4 Monat 21 Tage
gebohren 172.1. ⸗ J5. ⸗ 26

Alt 5 8 Jahr 10 Monat 25 Tage

208 Die praetiſche Nechenkunſt⸗

Nach dem gelehrter maſſen die juͤngſte Zeit, der

Sterbe⸗Tag, naͤmlich 1780, der 4te Monat, (welches

von Januar angerechnet der April iſt) der 21ſte Tag deſſel⸗

ben Monats, zum Minuendo genommen und die aͤlte ſte

Zeit, naͤmlich der Geburtstag: 1721, der Ste Mo⸗
nat (welches der May vom Januar an gerechnet iſt) und

der 26ſte Tag deſſelben Monats, als Subtrah. daruͤber
geſetzet, ſo ſagt man: 26 Tage von 21 Tage kann ich

nicht, muß alſo 1 Monat borgen, dieſer hat 30 Tage⸗
Nun: 26 von 30 bleibt 4 P 21= 25 Tage. Ferner:
6 Monat von 4 Monat kann ich nicht, muß 1 Jahr bor⸗
gen; dieſes hat 12 Monakt, alſo: 6 von 12 bleibt 6 +4 =
10 Monat. Endlich 2 von 0 ꝛc. So erſcheint das ge⸗
ſuchte Alter von 58 Jahren 10 M tonat und 25 Tagen.
I1. Beweis. Weil die ganze verfloſſene Le⸗
benszeit zwiſchen dem Geburts⸗ und Sterbe⸗
tage enthalten, ſo iſt auch deswegen die den Ge⸗
burtstag bezeichnende Jahrzahl nebſt Monaten und
Tagen, von der Jahrzahl nebſt Monaten und Ta⸗

gen, welche den Sterbetag bezeichnen, abgezogen

worden, mithin muß auch der erfolgte Reſt alle Jah⸗
re, Monate und Tage, welche zwiſchen dem Ge⸗

burts und Sterbetage verfloſſen, wirklich enthal⸗
ten; folglich muß dieſer Reſt das voͤllige Alter des

Arnholds bezeichnen.

Rehets Daß es mit dem Alter Arnholds ſeine

Nichtigkeit habe, darf man nur nach §. 136, Zuſ.
1 und 2 die Proben machen, und zu dem Subtrah.

oder dem Geburtstage den Reſt, weicher hier das
Alter iſt, addiren, ſo wird der Minuentus oder

Sterbetag. wieder zum Vorſchein kommen. Z. E.
I. Proba.

Subtrah, oder Geburtstag 1721 Jahr 5 Mt. 26 T.

Reſt oder Alter † 58 4I0 ⸗ 25

Mlin. od. d. Arnolds Sterbetag 1780 Jahr 4 Mt. 24 T.
Weil hier zu der Jahrzahl nebſt Monaten
und Lagen, welche den Geburtstag eeger
rn⸗

Arthols

mis auch

Zyil 17

llig g

uch rich
(trahir

dem vor
den Neſt

ſo erſhe

di den

ſers Ar
Vei
ten und
holde,
velche de

uß ovd

cen ſen
Anmn.
1. z
ſe

ſt.

e deit, det

nat, (welches
ſte Tngdeſſel

ddie aͤſteſte
der zte Mo⸗
hnet iſ) und
h. darüber

age knun ich

hat 30 Toge⸗

e. Ferner: .

1 goht bor⸗
t 6†4
Heint dos ge⸗
2) gen.

oſſene es

d Gterde
die den e⸗

Monaten und

ten und Ta⸗

„ebgengen

alle Jah⸗
en dem Ge⸗
tkich enthe⸗
ge Mar des

jholds hin⸗

n Pobtrah.

Gr hier das

endus doe
robe.
N.262.
10 25
—
Mt. 21–
Nonaten
Nem

auch richtig gerechnet worden.

Die practiſche Rechenkunſt. 209

Arnholds ganzes Alter hinzu vorden
nholds g8 hinzugethan worden, ſo
muß auch dieſe Summa den Todestag, welcher den
April 1780 erfolgt, bezeichnen, und da dieſe Ssumma
voͤllig gleich dem Minuendo in voriger Aufgabe, ſo iſt

ſubtrahire vom Sterbetage, 2. Proba
dem vorigen Minuend. 1780J. 4 .
dem nd. J. 4 Mt. 21 Ta
den Reſt oder das gekomme Alter 58 16 25 336

ſo erſcheint der Snbtrahendus 1721. Tage
er⸗ er 1721J. 5 Mt. 26 Tage
d. i den 26ten May 1721, weiches der Geburt B
ſers Arnholds iſt. “ ttstag uude
Weil hier alle verfloſſenen Lebensjahre n
2 . ver jahre nebſt Monga⸗
ten und Tagen, mithin das ganze Alter Re Arn⸗
holds, von der Jahrzahl nebſt Monaten und Tagen,

welche den Sterbetag bezeichnen, abgezogen worden, ſo⸗

muß auch der erfolgte Reſt den Tag bezeichnen, 5
chen ſein Alter den Anfang gen omnnen. n „, an wel⸗
znn⸗ Dieſe zweite Probe iſt zugleich eine Probe der erſtem

Probe.
1. Zuſ. Man kann, wie aus vorherge ender Aufga⸗
be nebſt folgenden zwoen Proben 1 er Na
dieſer Aufgaben auf dreyerley Art veraͤndern . d. i⸗
1) den kann eus einer Auſgah drey machen.
an kann fragen: Wan hrer
(2. Proba.) ⸗ 8 Aenhold gebohren
2) Wann er geſtorben? (1 Proba.)
ota: Dieſe Aufgabe gehoͤret eigentlich ni zu
Subtraction, ſondern H niche zur
3) Wie alt er ſey? (38 Aufgabe.) .
2. Zuſatz: Aus vorhergehender 38ſten Aufgabe und fol⸗
eree zwoen Proben flieſſen dieſe ſolgende 3 Regeln .
1. Reg. Wenn nach den Geburtstag eine
Menſchen, deſſen Alter ſo wohl als deſſen es⸗
tag bekannt, die Frage iſt: ſo darf man nur
das Alter von dem Todestage abziehen
ſobleibt der Geburtstag brig. (2. Proba.)
2. Reg. Wenn nach den Todestag eines
Menſchen, deſſen Gehurtstas und Alter bekannt
ge⸗

210 Die prartiſche Rechenkunſt.

gemacht worden, gefraget wird: ſo darf man
nur zu dem Geburtstage das Alter addi⸗
ren, ſo wird die Summa den Todestag
anzeigen. (I. Proba.) 4

3. Reg. Will man das Alter eines Men⸗
ſchen wiſſen, ſo darf man nur den Ge⸗
burtstag von dem Sterbetage abziehen,
ſo wird der Reſt das Alter anzeigen.

(Solut. der 38ſten Aufgabe.)

39) Carl XII. ward den 27ſten Junii 1682 gebohren,
uund ſtarb den 11ten Dec. 1718. Wie alt iſt er ge⸗

worden. (Reg. 3.)
40) Behrend will ſich Ao. 1785 den 15ten Junii in die
Todtenlade kaufen, und wird zu dem Ende gefragt:
wie alt er ſey? Da er aber dieſes nicht weis, ſo
wird er ferner gefragt: wann er gebohren? J
bin, ſagt er, den 9ten Dec. 1737 gebohren. Wie
alt iſt er? êſ
41) Cornelius feyert den 1oten September 1780 ſeine
funfzigjaͤhrige Jubelhochzeit. Wann iſt er ver⸗
maͤhlt?
42) Daniel, welcher den 17ten October 1759 gebohren,
fragte 1769 den 2ten Februar nach ſeinem Alter?
43) Erneſtus feyerte den 26ſten Aug. 1780 ſeinen 45ſten
Geburtstag. Wann iſt er gebohren?

Solutio. “
1780 Jahr 8 Mt. 26 Tage
— 4.5 . — 2 — 12

Ao. 1735 des 8. Mts. 26. Tag

Nachdem die gegenwaͤrtige Zeit, in welcher der Ge⸗
burtstag gefeyert worden, zum Minuendo angenommen,
die ſeit dem Geburtstage bis zur Feyer deſſelben ver⸗
floſſene Zeit darunter geſetzet, und von der Zeit der
Geburtsſeyer abgezogen worden, ſo iſt der 26 ſte Aug.
1735 zum Facit gekommen, welches der verlangte Ge⸗

burtstag iſt.

Anm.

feit der

ſchkeit
Ao. 17
Aug. .
4 Fitz
14 J
6) Georg
Monet
toge!

486) Heinz

Fllife
ben der
47) Joh
ſein u
Nobemd
ſet V⸗
beſen!
68) Kriedr
1796, i
Moyaten
Wdae
. 0l.
genau derfa
der Mone
und genei
nmeßt, eis
on 30 auch
Würde mn
nen, ſo wn

AAlgtoohre

an qn
alle Wugt⸗
Jahn ſan
Denn n
3655 Dege
lln aber D
lurf man

darf man
llter addi⸗

Todistag

ines Mep

den Ge⸗

abziehen,

anzeigen.

22 gebohren,

alt iſt er gee⸗

Bbiz in die
nde geſtggt/
weis, ſo
ent. I
gren. Be

1780 ſeine

iſt e ner⸗ D

9 gebheen,
in Alter?
ſinenſtnn

her de e⸗

Henummen,
ſn ver⸗
geit der
bſte Ang⸗
rlngte Ge⸗

.

Die praetiſche Rechenkunſt. 211

Hr Anm. Man kann bepy dergleichen Berechnungen, der Deut⸗

lichkeit wegen, ſtatt der Namen des Minuendi. fetzen:
Ao. 1735 des 8ten Monats 26ſter Tag d. i. den 26ſten
Aug. 1735. (Siehe Solut.) en
44) Fritz ſtarb den 13ten November 1718, da er juſt
14 Jahr alt war: wann iſt er gebohren? (RKegel 1.)

45) Georg, den 18ten Jan. 1769 juſt 21 Jahr 2
Monat 19 Tage alt, fragt nach ſeinem Geburts⸗

tage?

46) Heinz beſitzt ein Schauſtuͤck, welches 1513 den gten

Julii gepraͤget; wie alt iſt es heute, da wir ſchrei⸗
ben den 25ſten Februar 17872
47) John legte 1700 den 13ten Februar den Grund⸗
ſtein zu ſeinem Hauſe: Wenn er nun den 25ſten
November 1780 ſtarb, wie lange iſt dieſes Haus,
ſeit Legung des Grundſteins, ſein Eigenthum ge⸗
weſen?
48) Friedrich der Einzige ſtarb den 17ten Auguſt
“ 1786, in einem glorreichen Alter von 74 Jahren 6
Monaten und 24 Tagen. Wann war dieſes großen
Monarchen Geburtstag? (Aufgabe 43 und Anm.)
§. 201. Will men bey dergleichen Zeitrechnungen ſehr
genau verfahren, ſo muß man ſo wohl auf die Ungleich⸗
heit der Jahre, als auch auf die Ungleichheit
der Monate Auͤckſicht haben: denn es giebt Schalt⸗
und gemeine Jahre, welche erſtere einen Tag
mehr, als letztere, haben. Eben ſo giebt es Monate
von 30 auch von 31 Tagen.
Wuͤrde man nun alle Jahre von gleicher Laͤnge anneh⸗
men, ſo wuͤrden nothwendig eben ſo viel Tage, als

Schaltjahre in einer Reihe zu berechnenden Jahren vor⸗
kommen, an der Rechnung fehlen. Naͤhme man aber
aille Monate zu 30 Tagen an, ſo wuͤrden in einem

Jahre ſchon 5 Tage zu wenig gerechnet werden,.
Denn 12 α 30 = 360 Tage, da doch das gemeine Jahr
365 Tage, das Schaltjahr aber gar 366 Tage enthaͤlt.
Um aber zu erfahren, welches Jahr ein Schaltjahr iſt,

darf man nur eine jede Jahrzahl, von weicher man wiſ⸗
7 . 2

ſen

212 „ Die practiſche Rechenkunſt.

ſen will: ob ſie ein Schaltjahr, oder gemeines Jahr ent⸗
halte? mit 4 dividiren. Bleibt kein Reſt, ſo zeiget die⸗
ſes ein Schaltjahr an, z. E. bey 1780, dividirt mit 4,
bleibt nichts. Ergo iſt 1780 ein Schaltjahr. Der
Qusotient 445 aber zeigt an, daß ſeit Ao. I bis 1780
juſt 445 Schaltjahr geweſen, alſo, um dieſe Jahrzahl
richtig zu beſtimmen, noch 445 Tage darzu ad diret
werden muͤßten. Bleibt aber ein Reſt. Z. E. 1,
2 oder 3, ſo zeigt dieſes an, daß ein ſolches Jahr das 1ſte

2te oder 3te Jahr nach einem Schaltjahre ſey. Z3. C.

178 7782 178
)—,— bl. 1. 4) — — bl. 2. 4) —– bl. 3.

Zuſatz: Weil die vollen Jahrhunderte allemal, durch

4 dividirt, ohne Reſt aufgehn muͤſſen, ſo hat man

mehrentheils auch nur noͤthig die beyd en letzten
Ziffern einer Jahrzahl mit 4 zu dividiren. Z. E. 4
21

geht auf, und zeigt ebenfalls an, daß 84 ein

Schaltjahr ſey: der Quotient 21 aber: daß ſeit 1701
bis ult. 84. juſt 21 Schaltjahre verfloſſen, und da⸗
hero zu den Jahren, von 1 bis 94, eben ſo viel
Tage als Schaltjahre d. i. 21 Tage hinzugethan
werden muͤſſen.

49) A. hat im Jahre 1765 den 4ten Junii ein Kind ge⸗
4 .

zeuget, welches aber den 6ten Julii 1767 wieder ge⸗
ſtorben iſt. B hat ebenfalls ein Kind gezeuget, und

zwar Ao. 1779 den 4ten Junii, welches den 6ten Ju⸗

lii 1781 gleichfalls ſtarb. Wenn nun, laut Teſta⸗

mente eines reichen Onkels, das aͤlteſte von beyden,

und nach deſſen Abſterben, der Vater deſſelben zum

Univerſalerben ernannt waͤre: welcher Vater wuͤrde

Erbe ſeyn?
A.

I.

1 geſt. yb
geb. 17
——,U——
ſes Kind u:

B. gſt. In
geb. 17
2es Kindelt:
Iſtes Kind

Vell
das Sd
doſte iſt,
befuinden,
der Unive

inen
Gahorth

und alſo ſt
worden,
un einen
1. Wy
1
t
de
m
2, Ann

ahr entt

ſd iget die⸗
widin mit4,

jahr. Der
1 bis 9.
zu addinet
Jahr das ſte

ſh. 3. G

„

femnel, ourch
het wan
den lehten

8
2C. 4
21 †1

daß u ein
daß ſittror
Ven, und da⸗
ben ſ hiel
hinzutethen

ein Kind ges

07 birber ge⸗
ſeugt, und
den 6ten Ju
laut Teſtn⸗

von beydeſ⸗ S

deſſelben inmn.

4

Viter vlde

Die practiſche Rechenkunſt. 213

I. Solutio. 2. Solutio.

A. geſt. 1767 J. 7 Mt. 6 Tege A. geſt. 1767 J. 7 Mt. 6 Tage
geb. 1765 66 4 2 geb. 1765 ⸗ 6 42 2=

1ſtes Kind alt: 2 J. 1 Mt. 2 Tage 1ſtes Kind alt: 2 J.1 Mt. 2 Tage

B. geſt. 1781 J. 7 Mt. 6 Tage B. geſt. 1781 J. 7 Mt. 7 Tage
geb. 177.9 6 ; 4⸗ geb. 177.9⸗ 656 ⸗ 4 Tage

ates Kind alt: 2 J. 1 Mt. 2 Tage ztes Kind alt: 2 J. 1 Mt. 3 Tage
Iſtes Kind⸗ 2 ⸗ 1 2 ⸗ ſtes Kind ⸗ 2 J. ⸗ 2 Tage

alſe beyde Kinder gleiches Alters Ergo das 2te Kind aͤlter um 1 Tag.
Weil bey der erſten Solut. nicht Ruͤckſicht auf
das Schaltjahr genommen, welches bey B. das
goſte iſt, ſo ward das Alter deyder Kinder voͤllig gleich
befunden, und konnte aiſo, wegen dieſen Rechnungsfehler,
der Univerſalerbe auch nicht beſtimmt werden.

Hingegen iſt bey der aten Solut., wegen den zwiſchen dem

Geburts⸗und Sterbetage des 2ten Kindes vorgefallenen

Schaltjahre, dem Minuendoein Tas zugerechnet,

und alſo ſtatt den 6ten, der 7te Tag des 7ten Mogats geſetzt

worden, da ſich dann ergiebt: daß das ꝛte Kind wirklich
um einen Tag aͤlter als das 1ſte, folglich B der Erbe iſt.

1. Anm. Hieraus wird klar, daß um genau zu rechnen,
beſonders wenn es ſo wichtige Faͤlle, wie vorher⸗
gehenden, betrift, die Schalttage der vorhan⸗
denen Schaltjahre nie vergeſſen werden
muͤſſen. Weil fuͤr jedes uͤberſehene Schaltjahr.
unfehlbar ein Tag zu wenig im Fazite erſcheinen
wuͤrde. . SðèM
2. Anm. Billig muͤßte fuͤr jedes Jahrhundert ein
Schaltjahr, und alſo ein Tag weniger gerechnet wer⸗
den, als die Diviſion durch 4 bringt, und zwar daher:
weil das Jahr, uͤber 365 Tage, nur 5 Stunden 48
Min. 37 Secunden haͤlt, dieſer Ueberſchuß aber in 4
Jahren nur 23 Stunden 14 Min. 28 Sec., nicht aber
volle 24 Stunden betraͤgt, welche doch ſuͤr jedes 4te
Jahr berechnet und eingeſchaltet werden.
530) C. ward gebohren 1740 den 7ten Auguſt. Wenn
er nun Ao. 1787 ſeinen wahren Geburtstag feyern
wollte, wann muͤßte das geſchehen?

z5 So.

214 Die praetiſche Rechenkunſt.

Solutio.

Jur Geburtsfeyer beſtimmt das Jahr 1787
ab das Geburtsjahr — 1740

mithin zwiſchen beyden Jahrzahlen verfloſſen 47 Jahr

ppelche enthalten 4 11 Schaltj.
Tolglich muͤſſen dem 7ten Auguſt eben ſo viel Tage

das iſt: 11 Tage zu gerechnet werden; „

Demnach iſt der 18te Auguſt des 1787ſten Jahres wah,
rer Geburtstag —
9. 202. Um aber auch, wegen der Ungleichheit der Mo⸗
nate, (§K. 201.) keine Unrichtigkeit im Rechnen hervorzu⸗
bringen, ſo darf man nur beym Borgen unterſuchen: ob
der Monat, welchen man borget, (und der allezeit der
Letzte derſelben Zahl, bey welcher man borget, iſt) 30 oder
31 Tage habe? Z. KT.

51) D. ſtarb Ao. 1786 den ˖ten April in einem Alter

von 46 Jahren 5 Monaten und 6 Tagen. Wann
iſt er gebohren?

Solutio. 2ðèðè
geſt. 1786 Jahr 4 Mt. 5 Tage
Ale 4.6. z. ⸗ 6 ⸗
Gebohren 1739 des 10ten Mts. Z0ſten Tag

Bey den 5Monaten, wo geborget werden mußte, iſt
hier der 5te Monat der 31 Tage haltende May, alſe
6 von 31 = 25 + 5= 30 Tage ꝛc.

7. Aufgaben, wo nebſt den Jahren, Monaten
und Tagen, auch noch Stunden zu berechnen
1 vorkommen.

§. 203. Kommen bey der Zeitrechnung auch noch
Stunden zu berechnen vor, ſo iſt hey dergleichen Aufga⸗
ben nichts weiter zu bemerken, als: daß man die erſte
Stunde eines gemeinen Tages von 24 Stunden feſt⸗
ſetze,

Wauc⸗

ſtße, und
Fole bis
dug um
eum 1
1ags; die
Mitternae
meinen
52) Boc
Aber
toder
den:

geſt. 17
8e0. 17

—

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33) Leo

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guch nech
hen Auſge

n die ſe

unden ſei⸗
ſitt,

4

Die practiſche Rechenkunſt. . 215

ſetze, und ſo die uͤbrigen Stunden nach ihrer natuͤrlichen
Folge bis 24 fortzaͤhle. Es faͤngt aber der gemeine
Tag um Mitternacht an, und iſt demnach die 1ſte Stun⸗
de um 1 Uhr Nachmitternacht, die 12te, um 12 Uhr Mit⸗
tags; die 18te, Nachmittags um 6 Uhr u. ſ. f. bis 12 Uhr
Mitternacht, welches die 24ſte Stunde und Ende des ge⸗

.

meinen Tages iſt.

52) Koch ward gebohren Ao. 1719 den 20ſten Aug⸗

Abends um 6 Uhr, und ſtarb 1743 den 17ten Oc’
tober Morgens um 7 Uhr. Wie⸗alt iſt er gewor⸗

den?
Solutio.
geſt. 17 4 3 Jahr 10 Mt. 17 Tage 7 Stunden
geb. I7 1.9 8. 20. ⸗ 18 2

2 4 * I, ⸗ 2

27 :13
6 Schalttage
Alt 24 Jahr 2 Mt. 3 Tage 13 Stunden.
Weil hier der geborgte Monat den Auguſt betrift, ſo

ſind auch 31 Tage geborgt worden. Und weil in 24 Jah⸗
ren des gefundenen Alters, 6 Schaltjahre enthalten, ſo
mußte auch dem zuerſt gefundnen Alter noch 6 Tage zuge⸗

fuͤget werden (H. 201.)
53) Leopold ſtarb 1758 den FIten May, Morgens um
8 Uhr, in einem Alter von 25 Jahren 5 Monat 12
Tage 5 Stunden. Wann iſt er gebohren?
Anm. Weil in den 25 Jahren des Alters 6 Schaltjahre vor⸗
panden, ſo werden dem Alter noch 6 Tage zugerech⸗
net, und alſo in der Solutio angeſetzt: 25 Jahr 5 Mo⸗
nat 18 Tage 5 Stunden ꝛc.
54) Martin ſtarb 1786 den 22ſten April Ab. um 10 Uhr.
Wiaann er nun 1758 den gten Jan. Morgens um
3 Uhr gebohren. Wie alt iſt er geworden?
§. 204. Es muß uͤberdem auch erwogen werden: um
welche Zeit der Geburtstag einfalle? Denn
faͤllt er noch ins vorige Jahrhundert, oder vor 1701,
und der Geburtstag iſt in nem proteſtantiſchen Lande
4 als

—

216 Die practiſche Rechenkunſt.

als Deutſchland, F olland, Schweiz, Daͤnnemark ꝛc. ſo
muͤſſen allemal, vor der Berechnung, dem Geburtsta⸗
ge noch 10 Tage zugerechnet werden: weil in den prote⸗
ſtantiſchen Laͤndern damals noch der alte Julianiſche
Calender gebraͤuchlich war, welcher von dem neuen
verbeſſerten Calender im vorigen Seculo um 10
Tage, ſo wie im jetzigen, um 11 Tage unterſchieden
eſt. Dieſe Bemerkung wollen wir dey folgenden Auſga⸗
ben anwenden.

55) Neander, welcher in Berlin 1681r den 5ten Octo⸗
ber Ab. um 9 Uhr gebohren, ſtarb 1763 den 11ten
May Morgens um 2 Uhr. Wie alt iſt er gewor⸗
den?

Solutio

geſt. 1763 Jahr 5 Mt. 11 Tage 2 Stunden

Leb. I1I 6.8 J. ⸗ 10. 15. ⸗ 21

Alt 8 1 Jahr 6. Mt. 26 Tage 5⁵ Stunden

Nachdem die juͤngſte Zeit, der Todestag, gehoͤrig an⸗
geſetzet worden, ſo ſind nachher dem Geburtstage, weil
er in die Zeit des alten Julian. Calenders ſaͤllt, 10 Ta⸗
ge zugerechnet, und alſo ſtatt 5 Tage, nun 15 angeſetzet,
und ſo ferner verf. wie zur Gnuͤge gelehrt worden.

56) Mart. Kuther ſtarb den 18ten Februar 1546, in

einem Alter von 62 Jahren 3 Monat 38 Tagen.
Wann iſt er gebohren?ꝰ

. 57) Marx ward in Amſterdam gebohren 1694 den 1 3ten

Auguſt Abends um 9 Uhr, und ſtarb 1758 den 2ſten
December Abends um 6 Uhr. Wie alt war er?

8. Aufgabe en, welche in der Haushaltung und
in der Handlung vorkommen.
58) Ao. 1787 den 7ten Januar bezahlte ich Geld,

welches vor 2 Jahren 5 Monat 28 5 Tagen geborgt.
Was ſchrieb man da?

59)

etiark te, ſo
Gckurtsta⸗
n den Rote⸗
Ulianiſche
em neynen
culo um 10
Unterſchieden

nden Aufga⸗

n zten Oet⸗

9 ben 1IItek

her gewor:

EWNden

31 2
—

Stunden
gfirig n⸗
tcge, heil
lt, 10 1
1 angeſchet,
j
ar 1546,n.
t 8 Tagel

den 13t
den 25ſten
wor er
ſtung und

4 60

en Ktent

„

Die praetiſche Rechenkunſt. 217

7555) Neumann nimmt Monatlich ein: 300 Mm8. Giebt

dagegen zur monatlichen Haushaltung 160 M9.
Fur jahrliche Miethe 300 M8; fuͤr Onera 80 ms 12
15; fuͤr Feuerung 200 fW; an Schulgeld 200 M8
14 ſs; an Weynachtsgeſchenken 86 m 10 ſs. Ueber⸗
dem bezahlt er noch fuͤr folgende Neujahrsrechnungen
1) dem Seidenhaͤndler: 108 M& 9 ſs 2) dem Tuch⸗
haͤndler 168 Mm8 12 ſo 6 , 3) dem Schneider:
89 m I1 ſs 6 G, 4) noch an diverſen kleinen Rech⸗
nungen in Samma 131 m 7 ſs 6 &. Wie viel hat
er im Jahre Ueberſchuß gehabt?

60) Paul braucht taͤglich fuͤr Koffee und Zucker 4 ſ †
zum Fruͤhſtuͤck 3 ſà 6 ϑ; zum Mittagseſſen 8 ſo;
zum Abendbrod 4 ſe; fuͤr Wein und Bier 9 15⁵ 6 &.
Monatlich fuͤr Miethe 8 8; jaͤhrlich fuͤr Feuerung
438 mz; fuͤr Haar und Bart 45 ms; fuͤr Wacht⸗
geld und Onera 28 m 12 ſs; fuͤr Kleidung 150
mg; fuͤr Waͤſche 24 9; Taſchengeld 100 ms 3
wie viel beträgt die jaͤhrliche Ausgabe, und 2) wie

viel hat er uͤbrig, wenn er monatlich 100 mg ver⸗

dient ?

Pr) Ein Handſchuhmacher kauft 20 Decher Schaaffelle
à II M; 12 Decher Kalbfaͤlle à 21 Mm; 8 Decher
Rehfelle à 86 8 ſe; und verfertigt daraus 105
Paar ſchaflederne Hoſen à 4 m ; 120 kalblederne
Hoſen à 7 mg; 86 rehlederne Hoſen à 15 mg. Wie⸗
viel hat er verdient?

62) Ein Galanteriehaͤndler kauft 24 Dutzend Paar ſeide⸗
ne Struͤmpfe à 84 m 12 ſs; 36 Dutz. Paar
Handſchuh 3 24 8 14 ſ und 22 Dutz. ſeidene Tuͤ⸗
cher à 60 ms; Verkauft dieſe wieder zu folgenden
Preiſen: das Paar Struͤmpfe zu 9 ms, das Paar
Handſchuh zu 3 m, und ein Tuch zu 6 Mmg. Wie
viel iſt hieran gewonnen? .
Hiermit mag auch die Sub⸗traction beſchloſſen ſeyn.
Folget demnach: W
9 5 Iv.

Die practiſche Rechenkunſt.
IV. Diviſio in benamten ganzen Zahlen,

§. 205. Durch die Diviſio in benamten ganzen Zah⸗
len, deren Gebrauch ſich hauptſaͤchlich bey Proporti⸗
onsaufgaben hervorthut, werden die kleinern Sor⸗
ten zu groͤßern Sorten gemacht. Sie iſt alſo juſt um⸗
gekehrt, was die Multiplication in benamten gan⸗
zen Zahlen iſt: denn, ſo wie man dort eine gegebene An⸗

zahl großer Sorten zu kleinern macht, z. E. Mark

oder Rthlr. zu Schillingen, ſo macht man, durch die Di⸗
viſion, eine gegebene Anzahl kleinere Sorten zu
groͤßern z. E. Schillinge zu Marken, oder Thalern
u. ſ. . 4 D

Zuſ. Es koͤnnen daher alle Multiplications⸗

aufgaben ſo gleich in Diviſionsaufgaben ver⸗

wandelt werden, ſo bald man deren Multiplicato-
res, als Diviſores, und deren gefundene Producte,

als Dividendi annimmt, da dann die groͤßern
Sorten, welche der Multiplicandus vorher hatte,

wiederum zum Vorſchein kommen. Und in dieſem
Falle iſt eine ſolche Diviſion als eine Probe oder
Pruͤfung der Multiplication anzuſehen. (H. 129.)
1. Aufgaben, wo man kleinere Sorten zu
groͤßern Sorten macht.
§.206. In ſo ferne der Dividendus nur aus ei⸗
ner Sorte Unitaͤten beſtehet, iſt die Diviſion in be⸗
namten ganzen Zahlen, von derjenigen in unbenam⸗
ten ganzen Zahlen, in nichts unterſchieden. Denn
ob ich z. E. die unbenamte Zahl 48 mit 12 dividire,
oder die benamte Zahl 48 Q mit 12 zu Schillingen ma⸗
che; beydes iſt einerley Arbeit; giebt einerley Quo⸗
tienten, und iſt in nichts unterſchieden, als daß
der aus der unbenamten Zahl 48 entſtandene Quoti⸗
ent 4, der aus der benamten Zahl 48 & aber 4 ſ
heißt.

2)½

Mar

I

—

Hac. 2

Mr
11
te
tun
2
de

1
Bewe
wee
8

gel
¹
ien
gen
als
dun
did
7
An⸗
wel⸗
ibe
Rerte
ſ
kle⸗

Zahlen,

gonzen Zah⸗..

Proporti⸗
nern Gor⸗
ſo juſt um
nten gaon⸗
egebene An⸗

Urch die Di⸗
Nrten ju
er Thalers⸗

icotion

aben ver⸗

pliceto⸗
Moduttt,
graͤßern
her hatte,
in bieſen
probe oder

9.129))

R

tten 1

aus ei⸗
ſanin he⸗
inbenam⸗
n. Denn
2 dividire,
lingen ma⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 219
1) Man ſoll 34 56 7 ſg zu me machen.

16 -—· 34567 oder: 34567 ſs
ERac. 2160 mW — 78641 à
2 5 9) ꝛr60oE )

5 7 ſ
Man ſieht hier deutlich, daß in der Berechnung der
benamten Zahl, ſo wohl in der erſten, als in der
2ten Solutio, nicht das Geringſte von Veraͤnde⸗
rung, gegen die ſchon bekannte Diviſion in unbe
namten ganzen Zahlen, vorgefallen. Es muͤßte
denn dieſes ſeyn, daß in der erſten Solutio, der Reſt
„ 6; in der Aten, wegen der Zerfaͤllung, W,„
und beyde Quotienten nunmehro g heiſſen.
Beweis: Weil 16 Unitaͤten einer kleinern Sorte,
welche Schillinge heiſſen, nur 1 Unitaͤt einer
groͤßern Sorte, welche Mark heißt, giebt, d. i.
weil 16 ſ 1 M8; ſo muß auch in einer jeden ge⸗
gebenen Summe dergleichen kleineren Sorten, al⸗
ſo auch in 34567 ſ5, ſo oft 1 a enthalten ſeyn,
als man, mit 16 dividirt, Imal darinn nehmen
kann. Folglich muͤſſen in den gegebenen Schillin⸗
gen des Dividendi ben 16ten Theil ſo viel Mark,
als Schillinge vorhanden, enthalten ſeyn. Danun
durch die Diviſion mit 16, der 16te Theil des Di⸗
videndi wirklich im Quotienten gekommen, und noch
7 ſs uͤbrig geblieben. So muß der Quotient die
Anzahl Marken, nebſt noch 7 ſe, wirklich enthalten,
welche in der gegebenen Anzahl Schillingen des Di⸗
videndi befindlich ſind. Ergo iſt auch geſchehen, was
verlangt worden.
Zuſ. Alſo koͤnnen durch die Diviſio alle moͤgliche
kleinen Sorten zu verlangten groͤßern Sorten

ge⸗

Die practiſche Rechenkunſt.

gemacht werden, wenn man nur weiß, wie viel
Unitaͤten der kleinern Sorte zu einer
Urnitaͤt der groͤßern Sorte gehoͤren. 3.
E. man kann mit 192 & (weil ſo viel Pfennige zu
1 g gehoͤren,) eine jede gegebene Anzahl Pfen⸗
nige zu mg, mit 48, eine gegebene Anzahl Schillinge
„ zu Rthlr. mit 112, eine Anzahl Pfunde zu Cent.
u. ſ. f. machen. .
Anm. Es muͤſſen aber auch alle Reſte, wie in voriger
Aufgabe, den Namen der Sorte des Dividendi
erhal en. d. i. wenn man im Dividendo Unitaͤten hat,
welche Pfennige heiſſen, ſo muͤſſen auch Pfenni⸗
ge; wenn Schillinge, ſo muͤſſen Schillinge;

wenn Pfunde, ſo muͤſſen Pfunde uͤbrig bleiben u. ſ. w.

Proba.

2 1 60° ms
1 2 9 6 0

Fac. 3 4 5 6 7 ſs iſt dem vorigen Dididen-

do voͤllig gleich.
Auf dieſe Art kann eine jede Diviſionsaufgabe gepruͤft
werden; wenn man naͤmlich den Quotienten mit dem
Diviſore multiplicirt, und den Reſt zum Producte
addiret (§H. 152.) 2 =èð
2) Man ſoll 4 5 678 O zu ma machen.
Solutio.
192 — — —— 45 678
3.8 4 ‧.
O. 237 4 666 22.4.
5.7 6G6
1518
1 3.4 4

12 -— 1748
4G 2“
54
4.8
6 %

Weil

Weil

192
Lient
gebli
eitet
1
ot
!

1971

Ai. 6

ten

al
3) Es ſ⸗

) Wen

5) Mache
6 Wed
) Wer
3) Wie
9) Wie
10) Wi
Aum.
1
1

Gie el
zu einer
hren. 3.
fennige zu.
zahl Pen⸗
Gchliage
t zu Vnt.

in priter
Diyvidendi
pitgteg hat,
f Pfenti⸗
hillinge;
de v. ſ. d.

enDiciden⸗
gleich.
obe gepruͤft
en mit bem
n Praducte

,

Die praetiſche Rechenkunſt. 221

Weil 192 H 1 g, ſo ſind die gegebenen & mit
192 dividiret worden, da dann 237 g zum Quo⸗
tienten gekommen. Es ſind aber noch 174 uͤbrig
geblieben; weil es aber nicht ſchicklich zu ſagen: 237
mg 174 Q, indem zwiſchen den ig und noch
eine Sorte Unitaͤten vorhanden, die man ſe heiſſet;
1 ſs aher 12 ”; ſo ſind dieſe uͤbriggebliebenen
174 & auch mit 12 dividiret, da dann noch zum
Quotienten 14 ſs hinzu gekommen, und noch 6 &
pro Reſto geblieben, mithin iſt das ganze Facit
237 M& 14 ſs 6 ˙.
Anm. So verfaͤhrt man allemal, wenn diekleinſßen Sor⸗
ten auf einmal, wie hier mit den Pfennigen geſche⸗
- hen, zu den groͤßten Sorten gemacht wer⸗
den. Man macht immer den erſten Reſt der klein⸗
ſten Sorte, zu den auf die groͤßten folgende klei⸗
nern Sorten, und zwor ſo wie ſie nach der Ordnung
auf einander folgen.
3) Es ſollen 874321 & zu Rthlr. gemacht werden.
4) Wie viel Thlr. MWι und & ſind 87643 ₰2
5) Mache 23692876 Bremer Grot zu Thlr.!

65) Wie viel ſind 3456789 Schwaren Thlr.?2

7) Wie viel Schifftb, Lſt und ſy ſind 23068 F?
8) Wie viel Centner, Lſt, und ſt ſind 31482. IB2
9) Wie viel ſt, Loth und Quentin ſind 45893 Quentin?
70) Wie viel Laſt, Wiſpel, Scheffel, Faß, Himten und
Spint ſind 19971 Spint Rocken?
Anm. Wer noch mehr von dieſer Art Aufgaben zur Uebung
rechnen will, der kann nur zu den benamten Mul⸗
tiplicationsaufsaben, von No. ˖58 bis 89, die gewoͤhnli⸗
che Proben machen. Man mach die in dem Pacit ei⸗
ner jeden dieſer Aufgaben befindlichen klein ſten Sor⸗
ten zur Aufgabe, und fragt: wie viel dieſelben Uni⸗
taͤten der groͤßten Sorte enthalte? So wie
mnmnun ſchon Leiehret worden.

2. Aufgaben, wo benamte ganze Zahlen mit
unbenamten Zahlen zu theilen vorkommen.
§S. 207. Wann eine benamte, und aus verſchie⸗
denen Sorten beſtehende Zahl, durch zine unbenamte

Zahl

22;ʒ2 Die practiſche Rechenennſt.

Zahil zu theilen, aufgegeben worden: ſo theilet man zuerft
die groͤßten Sorten, was uͤbrig bleibt, macht man zu

den naͤchſtfolgenden kleinern Sorten, und addirt die
in der Aufgabe beſindlichen Unitaͤten derſelben Sor⸗

te darzu. Nun dividirt man auch die kleinere Sorte,
und was hier uͤbrig bleibt, wird wieder, wie vorher, zur
naͤchſtſolgenden kleinern Sorte gemacht, und auch die
hieher gehoͤrigen und in der Aufgabe vorhandenen Unitaͤ⸗

ten derſelben Gorte darzugethan. — Was aber endlich

von der kleinſten Sorte noch abrigbieidt, das wird
im Bruch geſetzt. Z. E.

Man ſoll 346 mL 6 ſs§ 4 & durch 3 Geien.

Solutio.

346 mg 7 6 4 ₰£
Fac. 115 MS 7 ſs 9 ½ ₰

Theile erſtlich die 346 m’s durch 3, ſo kommen 115
n, da aber das Product 3 ¼ 115 = 345, ſo bleibt

von 346 noch 1 M§ uͤbrig, dieſer ins hat 16 ſz, hie⸗

zu die nebenſtehenden 7 ſ6 = 23 ſö. Nun ferner 3:
23 = 7, und 3 b 7 = 21 von 23 bleibt 2 ſg. Dieſe

2 ſs ſind 24 Q, hierzu nebenſtehende 4 2 8. Nun:
3:28=9, und 3 “ = 27 von 28 bleibt 1 ”; die⸗
ſen im Bruch geſeht = , ſo iſt geſchehen, was ver⸗
langt worden.
Bew. Es iſt hier von allen im Dividendo vorhande⸗
nen Marken, von allen Schillingen, und auch
von allen Pfennigen der 3te Theil genommen, und
im Quotienten gebracht worden. Mithin iſt auch
dieſer Quotient gleich dem 3ten Theile des ganzen
Dividendi: Folglich iſt auch geſchehen, was ver⸗
langt worden.

zuß. Daß aber der Quotient wirklich der 3te Theil des

gegebenen Dividendi ſey, wird auch wahr befunden
werden, wenn man den Quotienten wieder 3mal
nimmt, da ſich dann der Dividendus, zum Zeichen
der Richtigkeit, wieder ſinden wird. Z. E. .

de. 39

Da dief

voͤllt

Quot
11) Mn

12) Ve⸗ 1

14) Vas e

Geet

13) Wn

39.

Aitſir

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Und nehe
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1 Urden

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St man zu
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„„ heißt
6 ſ, hien
ſerner 3:
. Dicſe
,29. Nun:
was vens

vporhonder
Und ouch

iſt anch

e ganzen
ws den

Thei des
rbefunden

eder 3mdl.

„

Die practiſche Rechenkunſt. 223

Proba.
115 W 7 ſs 9 3 %= 1
Fac. 346 8 7 ſs 4 & 28
12),——
2 ſ 4 §
Da dieſes Facit dem Dividendo der vorigen Aufgabe

Quotienten geſchloſſen werden.
11) Man theile 4567 Thlr. 57 Grot. 4 Schwaren mit 41
12) Wie viel betraͤgt der 7te Theil von 2980 Thlr. 12
13) Wi⸗ groß iſt der 8te Theil von 5867 Rthlr. 19 ſs

14) Was betraͤgt der ote Theil von 896 Lvl. 18 ſvl.
3 Grotol.

¹ 5) Man ſoll 396 Centner 5 Lft 3 K durch 10 theilen!

Solutio. .
39.6 Ct. 5 Lb 3 . 6 Ct. = 4 8 ’H
10) . 4
Fac. 39 Ct. 5 Lſt 4 f — è5
t
3 B = 42 b 3 =4,5

Weil hier die r nicht dividirt. (§. 157.) ſo bleiben, füͤr
diie O., die 6 Centn. uͤbrig, welche mit 8 zu Lſt gemacht,

6 ◻ 8 48 T 5= 53 Lf. Dieſe, durch Abſchnei⸗
dung der 3, fuͤr die o, getheilt, giebt 5 Lf; ferner
die 3 L† mit 14 zu ſ, und die nebenſtehenden 3
darzu addirt, als: 3 σ 14 = 42 b α 3 b:=
45. Dieſe getheilt, wie vorher, kommen 4 t, und
bleiben noch 5 b uͤbrig. Weil dieſes nun die klein⸗
ſten Sorten ſind, welche vor dieſesmal verlangt,
ſoo werden ſie im Bruch geſetzt, wie die Solutio
deutlich zeiget.
16) Theile 4965 Thlr. 21 96 9 durch 100! (§. 158.)
17) ⸗ 55678 Rthlr. 47 ſ5 6 ϑ durch 1000!
. 18)

voͤllig gleich, ſo kann daraus die Richtigkeit des

und nebenſtehende 5 Lft darzu gethan werden, als:

224 Die pracliſche Rechenkunſt.

18) Man theile 456 Lvl. 13 ſvl. 9 Gyl. durch 20. (§. 1597
und Aufg. 37 und §. 160.)

49) Ein Sohn fragt ſeinen Vater: wie alt das von

ihm bewohnte “ ſey? Sohn, ſagt der Vater,
wenn unſer Hans 30 mal ſo lange geſtanden haben
wird, als es ſchon itzt ſtehet, ſo wird es das Alter
von unſers Nachbars Hauſe haben, welches nun 66
ZJahre 6 Monat 10 Tage, 21 Stunden 50 Minu⸗
ten geſtanden hat. Wie alt war das Haus?

80) Wie alt bin ich nun? fragt ein Sohn ſeinen Vater.
„Wenn du noch 9 mal ſo lange leben wirſt, als du

ſchon gelebt haſt; ſo wirſt du ſo alt ſeyn als dein
Großvater geworden iſt, welcher in einem Alter von

101 Jahr 1 Monat 21 Tage 9 Stunden geſtorben⸗
Nun kanſt du berechnen wie alt du biſt“s⸗.

21) Palzer hat einen Korb voll Aepfel und wird von ſei⸗

nem Bruder gefragt: wie viel derſelben ſind? Du

darfſt nur, erwiederte Balzer, die Anzahl Aepfel,
welche in unſers Vaters Aepfelkammer liegen, be⸗
ſtehend aus 198 Schock 2 Mandein und 10 Stuͤck,
mit 40 dividiren, ſo wirſt du die Anzahl der meini⸗
gen finden. Wie viel waren der Aepfel?

22) Knabe, der Thurm nach deſſen Hoͤhe du frageſt, iſt
50 mal ſo hoch als du, ſagt ein Alter. Wenn nun
der Thurm 245 Fuß 10 Zoll hoch; wie groß war
der Knabe?

23) Ein Kornhaͤndler verkauft von 298 Laſt 2 Wiſpel
6 Scheffel o Faß 1 Himt Weizen den boſten Theil.
1) ⸗Wie viel hat er verkauft? 2) wie viel behaͤlt er
noch?

Anm Man kann ſich die Disiſion in benamten Zahlen bey
Aufgaben, den Divſores in ſolchen Zahlen gegeben
worden, die ſich zerfaͤllen laſſen, durch ſolche Zer⸗
faltens eben ſo wohl erleichrern, als bey der Divi⸗
ſion in nubenamten Lanzen Zahlen geſchehen
. 164) 3. E,

9

Man

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Man

Die prattiſche Rechenkunſt. 225

Man theile 256 T hlr. 56 Grot 4 Schwaren mit 21
(3 —☛☚7 oder 7 2 3).
I. Solutio 2. Solutio.

) 256 Thlr. 56 Grt. 4 Schw. oder 256 Thlr. 56 Grt 4Schw.

——

32 7)
. 8 5 42 4 ¾ 36 % 49 ¾ 12

7) 12 Thlr. 16 Grt. 2 ¾. S. 3) 12 Thlr. 16 Grt. 2
(S§F. 148. Reg. 5.)

24) Was betraͤgt der 42ſte Thl. von 346 Centn. 5Lſt 4 k ?2
3. Aufgaben, wo der Diviſor aus 3 oder mehr

unbenamten Ziffern beſtehet.
§. 208. Kommen Aufgaben vor, wo der Dividendus

aus verſchiebenen benamten Sorten; der Divi-

ſor aber aus etlichen unbenamten Ziffern beſtehet; ſo
darf man nur in allen verfahren, wie §. 207. gelehret wor⸗

den. Denn es iſt hier kein Unterſchied in der Berechnung,

als daß man den Quotienten neben den Dividendum un⸗

ter dem Diviſor ſetze, ſo wie jener unter den Strich ge⸗

ſetzet worden. Z. E.

25) Man ſoll 346 M8 12 ſ. 6 & mit 124 theilen.

olutio.

12 4 — — 346 6 12 66&

n6 ra S433 248— 248
„8
588

1580
124²
340
2.4.8

Sõ
184

TIIO .
. 6.9.2

P

——

226 Diie practiſche Rechenkunſt.

Nach der Diviſion mit 124 in 346 mg ſind zum Qua⸗

tienten 2 Ms gekommen, es ſeude aber noch uͤbrig ge⸗

blieben: 98 mg, dieſe ſind zu ſe gemacht, die im

Dividendo vorhandenen 12 ſ5 darzu gethan, und
alſo die Diviſion in die 1580ſs ferner vollfuͤhrt wor⸗
den, da dann zum Quotienten noch 12 ſo hinzugekom⸗
men. Noch ſind 92 ſ uͤbrig geblieben, weiche zu
gemacht, die im Dividendo vorhandenen 6 dazu
gethan, und ſodann die Diviſio vollendet worden; da
dann noch 8 4 4½ zum Quotienten hinzugekommen.

68. 209. Weil es ſi aber oft zutraͤgt, daß nach der

Diviſion ein aus vielen Ziffern beſtehender Bruch uͤbrig
bleibt, ein ſolcher aber nicht ſo leicht zu verſtehen, als

wenn er aus wenig en Ziffern beſteht, ſo will ich hier zei⸗
gen: wie man dergleichen Bruͤche verkleinern koͤnne.

Wenn zu Folge der gten Regel §. 148, zwey oder

meht Zahlen mit einen gemeinſchaftlichen Diviſor ge⸗

theilet werden koͤnnen, ohne daß dadurch die Verhaͤltniſſe
der Quotienten gegen die Verhaͤltniſſe der getheilten Zah⸗

len aufgehoben werden, es mag ſolche Theilung auf ein⸗

oder mehrere male geſchehen: ſo kann das Verhaͤltniß

eines durch gemeinſchaftlichen Theiler verklei⸗

nerten Bruchs, gegen einen unverkleinerten Bruche,
welcher aus zwey im Verhaͤltniß ſtehenden Zahlen,

deren eine der Zaͤhler, die andere der Nenner iſt, de⸗:

ſtehet, ebenfalls nicht aufgehoben werden. Z. E.

Man verkleinere den gemeinen Bruch 4 durch den
gemeinſchaftlichen Diviſor 16 auf einmal. Sage

16 in den Zaͤhler 16 habe ich 1 mal, und 16 in den Nen⸗
Rer 32 habe ich 2 mal, ſo entſtehet der verkleinerte
Bruch ½ welcher dem unverkleinerten Bruche 4*
vollkommen gleich iſt, weil deſſen Verhaͤltniſſe zu
einander gar nicht aufgehoben worden. Denn
wie der Zaͤhler des verkleinerten Bruchs 1 ſich
zu den Zaͤhler des unverkleinerten Bruchs 16 ver⸗

haͤlt; eben ſo verhaͤlt ſich auch der verkleinerte Nen⸗

RBes

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(1:

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Ne
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4

Die praetiſche Rechenkunſt. 227

ner 2 zu den unverkleinerten Nenner 32, als:

: 16 =– 16

2— – Heoder: wie ſich der Zaͤ
2 6 die ſich der Z hler des unver⸗

kleinerten Bruchs zu deſſen Nenner verhaͤlt, ſo verhaͤlt
ſich auch der verkleinerte Zaͤhler zu degenRehner aͤ
die Zaͤhler beyder Bruͤche ſind die Haͤlfte von ihren Nen⸗
nern. Folglich iſt ? = .

Eben daſſelbe wird ſich erweiſen „ wenn man auch di
Verkleinerung des Bruchs ½ nach gerade, mt.
zem inſchaftlichen Zahlen, z. E. mit 2, 4 und 2 thei⸗
ien will. ”M”MV

Sage; 2 in den Zaͤhler 16— 8 und 2 in den Nenner
32 = 16, ſo entſtehet vorerſt der Bruch: .. Ferner
4:8 (den Zaͤhler) = 2, und 4: 16 (den Nenner) — 4,
ſo entſteht der ate Bruch 2¾. Endlich 2: 2 (den Zaͤhler) = H
1, und 2: 4 (den Nenner) = ſo entſteht der moͤglichſt
kleinſte Bruch 4. Auch ſind alle die Bruͤche 1 ½, 3, 3
und ½ einander voͤllig gleich. 15*, 2

Juſ. Es iſt, wie aus vorhergehenden Beyſpiele zu ſe⸗
hen, gleich viel, ob man einen Bruch auf ein, di
enl mehr male durch gemeinſchaftliche Theiler ver⸗
kleinert.

Wie ein jeder Bruch, der nicht unverklei
. . . 1
neerlich iſt, zu verkleinern.

§. 210. Man mache hinter den Bruch, welcher kleiner
gemacht werden ſoll, eine Perpenticularlinie] und ſetze,

nach dem man Ueberſchlag gemacht, was fuͤr eine Zahl

ſo wohl im Zaͤhler als Nenner des Bruchs ohne Ra
aufgeht, dieſelbe Zahl als gemeinſch aneichr, Pien
ſor in einen Bogen „vuͤber die gemachte Linie? und ver⸗
laͤngere auch ſodann den Querſtrich des vorhandenen
Bruchs, welcher Zaͤhler und Nenner von einander ſchei⸗
det, damit man uͤber denſelben, hinter, die gemachte
Linie, den neuen gefundenen Zaͤhler, unter denſelben

228 Die practiſche Rechenkunſt.

aber deſſen Nenner ſetzen koͤnne. Hat man auf ſolche
Art einen neuen, aber kleinern Bruch, als der vorige
war, gefunden: ſo kann man noch ein oder mehrmal ver⸗
ſuchen, ob ſich zu ſolchen verkleinerten Bruche
noch ein gemeinſchaftlicher Divifſor finden
laͤßt, um denſelben auf die naͤmliche Art noch kleiner
zu machen. Findet ſich aber keine Zahl mehr „ wodurch
ſo wohl der Zaͤhler als Nenner ohne Reſt aufgeht;
ſo iſt der kleinſte Bruch, der moͤglich war, auch ſchon
gefunden. Z. E. è

Man ſoll den Bruch

In der erſten Solutjon iſt erſt durch den gemein⸗
ſchaftlichen Diviſor 5 der verkleinerte Bruch 212
gefunden; dieſen durch den gemeinſchaftlichen Thei⸗
ler 3 verkleinert, iſt der noch kleinere Bruch *. ent⸗
ſtanden; dieſen abermal mit 3 auf eben die Art verklei⸗
nert, iſt der noch kleinere Bruch ε gekommen; und
dieſen nochmals mit den gemeinſchaftli ſchen Theiler 7
verkleinert, iſt der kleinſte Bruch erſchienen, welcher
ſich darum nicht kleiner machen laͤßt; weil keine Zahl mehr
vorhanden, die ſo wohl in den Zaͤ
Nenner 5 ohne Reſt aufgehet. =
In der 2ꝛten Solutio iſt dieſe naͤm liche Arbeit durch
die gemeinſchaftlichen Diviſores 7 und 5§5 und 9 ver⸗
richtet und eben derſeibe verkleinerte Br

hler 4 als auch in deſſen

ie Urſach aber, worum beyde Solutiones am Ende
einerley verkleinerte Bruͤche gebracht, da doch vor⸗
ſchiedene Theiler hierzu gebraucht worden, laͤßt ſich
leicht ſinden, wenn man ſich uur alle dieſe verſchie⸗
denen Diviſores als ſolche Theile, die durch Zerfaͤl⸗
lung eines einzigen Theilers entſtanden, vorftellet.
In der erſten Solut. ſind die gemeinſchaft⸗
lichen Theiler 5, 3, 3 und 7, in der zten aber

Kn
hat, 6
mittelt
gelehtet.
habe,
Zahlen:
u vertei
3 6

R

Hie
Btuch
ſon ſih⸗
werden t
der gen
iu verf
ſelhaften
ſilender

m auf ſolche
lder vorige
ſehmma ver⸗
en Bruche
or finden
ch kleiner
hr, wonrch
eſt auſcht;
,auch ſhen

m gemein
ichen Dher
ch S int⸗
t verklei⸗
nmen; ud
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Uſtfi

gelfel
ch Zel
htie.
einſchaft⸗

in

. Die practiſche Rechenkunſt. 229

und 9 gebraucht worden. Maltiplieirt man nun die⸗
ſelben in einander, als, 5 23 σ3 *7— 315 und
auuch 7 5 & — 315, ſo ſiehet man klar, daß ſo wohl
dieiie einzelnen Diviſores der 1ſten Solur. als auch die, der
zwoten, den groͤßten Diviſor 315 geben, wodurch
ich der gegebene Bruch auf einmal verkleinern läßt?
und den Bruch 2 giebt, als; 315: 1260 — 4, und
315: 1575 — 5„ R

H §. 211. Es giebt aber auch Faͤlle, wo es das Anſehn
hat, als ob man durch dergleichen Verkleinerung ver⸗

mittelſt willkuͤhrlicher Theiler, auf die Art, wie eben
gelehret worden, den kleinſten Bruch ſchon gefunden
habe, weil von allen zum ſernern Verſuche gebrauchten
Zahlen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und II, keine in den
verkleinernden Bruch ohne Reſt weiter aufgehen will.
Man ſoll den Bruch 123 verkleinern.

Solutio.

14 S
Hier hat der durch die Diviſion mit 2 entſtandene

Bruch † voͤllig das Anſehn, als ob er der kleinſte
ſchon ſey; weil deſſen Zaͤhler durch keine der Zahlen 2

bis 11 ferner zu verkleinern iſt: und doch iſt dieſer

Bruch bey weiten der kleinſte noch nicht, der gefunden
werden kann. Daher ſiehet man, daß noch eine an⸗
dere genugthuendere Art, dergleichen Bruͤche
zu verkleinern, noͤthig iſt, um ſie bey ſolchen zwei⸗

felhaften Faͤllen gebrauchen zu koͤnnen. Sie beſtehet in

ſolgender

negel: Man dividire den Zaͤhler des Bruchs

in deſſen Nenner, den nach Abzug des Pro⸗
ducts erfolgten Reſt in den vorherigen Di⸗
viſor, und fahre, mit Wegwerfung des Quo⸗

tienten, mit ſolcher Diviſion ſo lange fort,
bis ſich ein Divifor findet, in welchen alles

P 3z ohne

2329 Die practiſche Rechenkunſt.

iſt eben derſelbe, wodurch ſich der gegebene
Bruch auf einmal verkleinern laͤßt. Z. E.
Zaͤhler 1234 — 2468 Nenner des vorigen Bruchs.

2 5

Hier geht der Zaͤhler in ſeinen Nenner ohne Reſt auf,
deswegen iſt en auch der gemeinſchaftliche Theiler,
Ddurch welchen ſich der gegebene Bruch auf einma.l zu
Deen kleinſten machen laͤßt. 3. G
S 1234 4 S
214 4 Iſt demnach 43¾ = ½ und alſo weit
kleiner als der vorher unverkleinerlich ſchei⸗
nende Bruch nα.
Noch ein Exempel wird die Sack
Man ſoll verkleinern den Bruch: 32

252 — 5 I 2
x 1

je deutlicher machen.
2

2
TX6 352
2. I1I60
X X
8058

Weil hier durch den letzten Diviſor 32 alles aufgeht,
ſo iſt auch dieſer der gemeinſchaftliche Theiler,

durch welchen der gegebene Bruch auf einmal zu
verkleinern iſt: als

32
l

Anm. Bruͤche, welche ſich ſo wenig nach F. sre. als nach

eben bezeichneter Art verkleinern laſſen, ſind unver⸗
kleinerliche Bruͤche. Mehr von Verkleinerung
der Bruͤche, und was dahin gehoͤret, zu ſagen, iſt
hier der Ort nicht, weil ich mir vorgeſetzet, in dieſen
. Theile nicht mehr von Bruͤchen zu lehren, als was
6. unumgaͤnglich noͤthig iſt. Das uͤbrige kuͤnftis ber
der ausfuͤhriichen Lehre von den Bruͤchen.

26,

ohne Reſt aufgeht. Ein ſolcher Divifor nan

Hiet

Mn

30) ie

0 thil

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den
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ſelhe d
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war.

theilſe

1 Man

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29) Ditti

K

Hon han

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3.

ruch,

nt Reſtunf,
he Thaln,
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1 weit
lich ſchet⸗

het machen.

fes auſeet
ſe Theilt,
einmel il

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ind under⸗
erkleineruns
ſagen,

m, alt ms

Die praeckiſche Rechenkunſt. . 2
ðð Solutio. r
2 2 6— 2 8⁸ 8 Rthlr. 39 65 10 H

1kXkXk H
Hier iſt nach verrichteter Diviſion der Bruch durch
den gemeinſchaftlichen Diviſor 2 verkleinert
und in H verwandelt worden. Weil nun der⸗
ſelbe durch keine Zahl weiter verkleinert werden kann,
woeder nach §. 210, noch nach §. 211, ſo iſt dieſer
c auch der kleinſte, der zu finden moͤglich
ar. Z SS

27) Man ſoll 2467 Thlr. 54 Grst 3 Schwaren mit 336 V

theilen.
28) Man nehme den 433ſten Theil aus 999 Laſt 1 Wi⸗
ſpel 5 Scheffel 1 Himt 2 Spint Gerſten.
29) Dividire 989 Jahr 10 Monat 2 Wochen 6 Tage
bis zu den kleinſten Zeittheilen mit 533.

20) Eben ſo: 4444 Jahte mit 1456 1

Pp4 32

232 Die praetiſche Rechenkunſt.

31) Was betragt der 1221ſte Theil von 1643 Zlimmer

3 Decher 9 Stuͤck?

32) Was von 9876 Ballen Druckpapier der 236 5ſte
Theil? “

33) Dividire 847 Schiffſtb 19 Lſt 8 fb mit 252!
34 ⸗5543 Mark 23 Karat 2 Gran 2 Graͤn
Gold mit 212! “
35) ‧ 399 Mark Gold mit 183.
4. Aufgaben, wo der unbenamte Diviſor groͤßer,
als die groͤßten Sorten bes benamten Di⸗
vigendi, iſt.

§. 212. Wenn Aufgahen zu dividiren vorkommen, wo

der unbenamte Diviſor groͤßer iſt, als die er ſte Sorte
des benamten Dividendi, ſo muͤſſen dieſe groͤßern Sor⸗
ten, worinnen nichts genommen werden kann, zu den
naͤchſtfolgenden kleinern Sorten gemacht werden;
und daferne dieſer Anzahl noch zu klein, um darinn et⸗

was nehmen zu koͤnnen, ſo macht man auch dieſe zu
noch kleinern Sorten ze.
Uebrigens iſt bey der Diviſion ſelbſt nichts weiter zu
beobachten, als was bereits gelehret worden. Z. E.
Man ſoll 36 Thlr. 45 Groten 2 Schwaren mit 3496
heilen.
SE Solutio “
3496 —— 3 6Thlr. 45 Grt. 2 Schw.
k. 3 424 Schwaren ?—2² —
2 637 Groten

. -

13187 Schw.
1/0.4.8.8
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72699 D
3496

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Nt Gecden;
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h dieſe zu
8 weiter u

1. J. E.
iit 3495

Die praetiſche Rechenkunſt. 233

Hier konnte mit 3496 in 36 Thlr. nichts genommen

werden, deswegen mußten dieſe 36 Thir. mit 72 zu
Groten gemacht und nebenſtehende 45 Groten
darzu gethan werden. Weil aber auch 2637
Groten eine noch zu kleine Summe war, um mit
dem Diviſore darin theilen zu koͤnnen, ſo ſind die⸗
ſe Groten zu der folgenden Sorte, zu Schwaren
gemacht, da dann endlich eine Summe erfolgt, wo⸗
rinn der Diviſor 3mat genommen werden konnte.
Der Reſt gab einen unverkleinerlichen Bruch, wel⸗
cher, ſo wie er war, im Quotienten geſetzt werden
mußte.

36) Theile 77 Mark 14 Loth 3 Quentin 2 Silber mit
8151

37) 896 Mark dito mit 945! =
38) ½ 9999 Schock 3 Mandel 13 Nuͤſſe mit 12222!
39) ½ 8888 Schock Aepfel mit 9945!

g0o) ⸗ 7896 Ahm 2 Anker 3 Viertel 1 Stuͤbchen
Wein mit 8946!

41) Wie viel iſt der 83233ſte Theil von 678 Fuder 5 Ahm
Wiein?

3 Aufgaben, wo ganze benamte Zahlen mit
ganzen benamten Zahlen getheilt werden.
§S. 213. Sollen benamte ganze Zahlen durch be⸗

Rnamte ganze Jahlen getheilt werden, ſo faͤllt, im Auf⸗

ſatze ſolcher Aufgaben, der Name der Unitaͤten des Divi⸗

ſoris, fuͤr deren jeder Unitaͤtman einen Theil aus

den benamten Sorten des gegebenen Dividendi ver⸗
langet, weg. Die Namen der Sorten des Dividendi hin⸗
gegen bleiben, und muͤſſen in der Solutio mit angeſetzet
werden, weil das Facit den fuͤr jede Unitaͤt des
Diviſoris beſtimmten Theil enthalten, und alſo auch
aus denſelben Sorten, welche im Dividendo vorhan⸗
den, beſtehen muß. Uebrigens faͤllt bey der Diviſtion
ſelbſt nichts unbekanntes vor. Z. E.

5 es

234 Die practiſche Rechenkunſt.
Es ſollen ſich 5 Bremer Erben in 7896 Thlr. 63 Gro⸗

ten 4 Schwaren theilen. Wie viel bekommt jeder Erbe?

Solutio.
7896 Thlr. 63 Groten 4 Schwaren
Fac. 1579 Thlr. 27 Groten ½¾Schwaren.
Hieraus ſieht man klar, daß die benamte Zahl 5
BHrremer Erben in die unbenamte Zahl 5 verwan⸗
delt, ſo angeſetzt, und damit zu erſt die Thlr. gethei⸗
let werden; aus den uͤbriggebliebenen Thaler = 72
Groten +63 Groten = 135 Groten iſt ebenfalls der
.te Theil = 27 Groten dem Quotienten beygefuͤget
worden. Endlich ſollen auch die noch vorhandenen 4
Schwaren durch 5 getheilet werden, weil aber 5 in

4 nicht angehe⸗ ſo iſt daraus der Bruch ½ Schwa⸗

ren entſtanden (§. 156. Zuſ. 2.)
Das gefundene Pacit iſt alſo der richtige Fte Theil
welcher einen jeden Erben aus der ganzen Erbſchaft
zukommt.
42) Drey Arbeiter ſollen einen Graben von 344 Ruthen
8 Fuß lang machen. Wie viel Ruthen, Fuß und
Zoll kommen auf einen Arbeiter?
43) Fuͤnf Handelsfreunde, welche in ihre Compagnie⸗
Handlung eine gleiche Summe geſchoſſen haben,
beym Jahrſchluſſe einen Avancement von 61496 me
5 ſs 6 & zu theilen. Was bekommt jeder?

44) Wie viel Louisd'ors laſſen ſich, à 5 Thlr. gerechnet,

fuͤr 23470 Thaler einwechſeln?
Wenn 5 Thlr. = I Louisd'or, ſo muͤſſen auch
den Iten Theil ſo viel Louisd'or, als Thaler
vorhanden, eingewechſelt werden.

45) Wenn 7 Kinder ihren vaͤterlichen Nachlaß, beſtehend

in 145678 10 ſs, zu theilen haben: Wie viel
bekommt jedes Kind? S
46) In Berlin werden 847896 Groſchenſtuͤcke geſchla⸗
gen; Wie viel ſinds Thaler? e

M.
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9) W
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Die practiſche Rechenkunft.

47) Fuͤr ein Capital von 179008 Rthlr. ſollen 64 Haͤuſer
gebauet werden. Wie viel muß zu jedem Hauſe an an⸗
gewandt werden?

48) Es ſollen zu einem bevorſtehenden Kriege von einen

Monarchen 22 neue Regimenter geworben werden.
Wenn nun hierzu eine Summe von 2170740 Thlr.
beſtimmt ſind: Wie viel zu einem Regimente?

49) Wenn 26 Kaufleute zu Ausruͤſtung zweyer Schiffe

424970 Rthlr. zuſammen bringen: Wie viel hat je⸗
der zu dieſer Summe beygetragen?
50) Ein Papiermuͤller ſchickt 63 Buchdruckern 489 Bal⸗
len 1 Riß 6 Buch 10 Bogen Druckpavier. Wie viel
bekommt jeder?
31) Wenn an 54 Regimenter 6909 Schock 1 Mandel 3
Bund Stroh vertheilet werden: Was bekommt ein
Regiment?

52) Es werden 465 Schock 3 Mandel Zitronen in 45

Kiſten gepackt: Wie viel in Eine?

6. Aufgaben zur Uebung, wo mehrere Speciss
vorkommen.

§. 214. Es kommen im gemeinen Leben nicht immer

Aufgaben, welche ſich durch eine Rechnungsart allein

aufloͤſen laſſen, ſondern auch oft ſolche vor, zu deren Auf⸗
loͤſung man zween, drey oder wohl gar alle vier
Rechnungsarten gebrauchen muß. Fuͤr ſolche Aufgaben
laſſen ſich nun freylich keine Hauptregeln, wohl aber der
Rath geben: daß man vor allen Dingen genau
auf die Frage: ſodann aber auch auf die in

der Aufgabe vorkommenden Data merke, wel⸗
che, um die Frage aufloͤſen zu koͤnnen, als ber

kant gegeben worden.
Dieſem Rathe zu folge, wird ſich bey reifen Nach⸗
denken, welches ein Arithmetikus uͤberall haben muß,
von ſelbſt zeigen: welche Rechnungsarten man bey einer
Aufgabe gebrauchen; mit welcher man aufange, und
mit weicher man endigen muͤſſe.

236 Die practiſche Rechenkunſt.

keinen Weg zur Solution zeigen wollen.
33) Ein Kaufmann verkauft fuͤr 9745 9 ſo 6 O& Coffee;
ſuͤr 4879 8 12 ſs Thee; fuͤr 9960 2 15 ſ 6 H
Zucker. Setzt die geloͤßte Summe wieder um, und

Frage: 1) Wie viel hat er fuͤr Roſinen angelegt?
2) Wie viel blieb von dem geloßten Gelde uͤbrig?

G Solutio
Verkauf. “ Einkauf.
Caffe 9745 9 ſ6 6 Q Roſ. 8195 m 7 ſs - G

Thee 4879 12⸗— Cand. 7983 4 9
Zucker 9960 ⸗156 2 Reiß 8039 ⸗10⸗—

X Verk. 24586 Mg 5ſe — G Eink. 2421 . E 5. ſͤ 9 ⸗
3 1. Fac. 8195 8’ 7 6β - & 448 2 5S
2. Fac. 367 15 ſs 3 &
Erſtlich ſind alle 3 Poſten des Verkaufs in eine
Summe gebracht, und von dieſer der 3Zte Theil ge⸗
nommen worden, welcher die Antwort zur 1ſten Fra⸗
ge gegeben. “ .
2) ſind auch alle 3 Poſten des Einkaufs in eine Sum⸗
me gebracht, welche von der Verkanfſumme abgezo⸗
gen worden, welcher Reſt die Antwort auf die 2te
Frage gegeben, naͤmlich: 367 2 15 ſz 3 & als ſo
viel der Ueberſchuͤß des geloͤſeten Geldes betruug.
54) Ein Berliner Juwelenhaͤndler verkauft 6 Ringe 156
Louisd'or; 6 Stockknoͤpfe à 5 Louisd'or und ein Paar
Armbaͤnder fuͤr 395 Louisd'or. Von dem geloͤſeten

wiederum ein, fuͤr 3498 Thlr. 23 0 8 & Steine,
und fuͤr den Reſt, Gold. Frage 1) wie viel hat er in
Caſſa behalten? 2) Wie viel Gold hat er gekauft?
. Wink

Anm. Von den Winken zur Solutio, welche den Aufgaben
nachgeſetzt ſtehen, muß nicht eher Gebrauch gemacht
werden, bis eigenes Nachdenken, uͤber die Aufgabe,

kauſt: fuͤr der ganzen Summe Roſinen; fuͤr
„ 7983 4 ſo 9⁹ Candis: fuͤr 8039 mà 10 ſs Reiß.

W er
Gelde behaͤlt er den 5ten Theil in Caſſa; kauft auch

57) Ein
ben
wele
ken

eſin

diel

r

Wa

PB

en Aufeiben
lch genucht
die Auſerbe,
6Gfe;
1 ſt

um, urd

ſinen; ſir

1o 6 Reß.
angelett?
idde hhrig

gtauf.

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4 191
10 3

156
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Liſ38
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e Thell he⸗
,Iſen gra⸗

eine Gumm⸗
ne obgezo⸗
ufbie 2t

zgas ſ

hetrng.
ing tin
ein ear
1 gelcſet ten
fauft auch
2 Steine,
lhtern 1n
eknnf
1. Pint

Die praetiſche Rechenkunſt. 37

Wink: Von der Verkaufſumme giebt der te
Lheit in Louisd'ors die Antwort auf die 1ſte Fra⸗
ge. Das u½ von der ganzen Summe abgezogen
und den⸗ Reſt zu Thaler gemacht, giebt die Sum⸗
me wovon der Einkauf der Steine du ſubtrahiren:
der Reſt giebt Antwort auf die 2te Frage.
55) Ein wohlhabender Buͤrger beſtimmt in ſeinem Teſta⸗
mente den 24ſten Theil ſeines Vermoͤgens dem Wai⸗
ſenhauſe; von dem Reſte ſollen 3 ſeiner naͤheſten An⸗
verwandten jeber 1500 M§ haben, und das Uebrige
ſollen ſeine 5Kinder zu gleichen Theilen empfangen.
Wenn nun ſein Vermoͤgen in 255028 ms beſtanden:
1) wie viel bekommt das Wäiſenhaus, 2) wie viel
jedes Kind?
56) Criſpin gebraucht zaͤhrich 2436 m8 12 ſs fur Wein;
9585 ms zum Spiele; 3346 § zu andern Ver⸗
gnuͤgungen. Wenn er nun findet, daß ſolche Ver⸗
ſchwendung ſeinem Wohlſtande nachtheilig, und ſich
deswegen entſchl ießt: kuͤnftig g den Zten Theii am
Wieine; den zten Theil am Spiele und den 6ten
Theil an Vergnuͤgungen zu erſparen, von dieſen Er⸗
ſparten aber den Armen jaͤhrlich 500 m. zuflieſſen zu
laſſen. Wie viel wird er dabey gewinnen?
Wink: addire das Erſparte, ſubtrahire von der
Summe die Armengelder, ſo wird der Reſt
den Gewinn geben.
57) Eine alte Bettelmuhme hinterließ bey ihrem Abſter⸗
ben ihren 5 Kindern nichts als einen alten Rock, in
welchen 99 Falten, in jeder Falte 99 Beutel, in de⸗
ren jeden 991 Fach, in jeden Fache aber 99 Scherfe
befindlich. 1) Wie viel betrug der Nachlaß 2) wie

viel erbte jedes Kind?

58) Freudenreich laͤßt eine Allee anlegen, welche 36445
Ruthen lang ſeyn ſoll. Wenn er nun die Baͤume
65 Fuß weit von einander ſetzen laͤßt, und jeder Baum
5 ſs zu ſtehen kommt: wie viel Rthir. koſten dieſe
Baͤume?
Wink: — — Ruthen *12= Fuß; dividire mit 6
giebt eine Reihe Daͤume Ma5. 190) 5 ſe ꝛc.

59)

238 Die praetiſche Rechenkunſt.

59) Wenn ein Berliner Nadler woͤchentlich 36000 Na⸗
deln verfertigte, und 20 Nadeln fuͤr 1 verkaufte:
was wuͤrde er im Jahr, à 48 Wochen, fuͤr Nadeln
loͤſen?

60) In einer kleinen Handlung wird woͤchentlich 758 m8S

eingenommen: Wenn nun an dieſer Einnahme 10
Procent gewonnen worden, von dieſem Gewinne aber

der Hausſtand, welcher monathlich 60 Rthlr. koſtet,
gefuͤhret werden ſoll; wie viel wird der jaͤhrliche Ue⸗

berſchuß betragen?
Wink von der jaͤhrlichen Einnahme den 10ten
Theil — Ausgabe = Ueberſchuß. .
§. 215. Oft kommen im gemeinen dLeben Faͤlle vor,
wo man zu wiſſen verlangt: Ob die Zahl der Bewohner
eines Ortes, oder Landes, in einer beſtimmten Reihe von
Jahren, zu; oder abgenommen habe? Wie viel ein Guth,
welches man zu kaufen geſonnen, jaͤhrlich eintrage? ꝛc.
Um nun dergleichen Fragen zu beantworten, hat man das

ſogenannte arithmetiſche Mittel noͤthig, welches da⸗

rinn beſtehet: daß man aus der Summe verſchiedener

gegebenen Zahlen ungleicher Groͤße, durch die Divi⸗

ſion, mit der Anzahl der gegebenen Zahlpoſten, eine
Mittelzahl, d. i. eine ſolche fſinde, welche, im Durch⸗

ſchnitt gerechnet, von ſolchen Inhalte iſt, als ob je de

der gegebenen Zahlen, welche vorher un gleich er Groͤße
waren, von einer und derſelben Groͤße waͤre. E. 91.

Reg. 4.). Z. E.

*

Es waͤre bekannt, wie viel ein Guth, ſeit 10 auf

einander⸗ſolgenden Jahren, jedes Jahr beſonders gerech⸗

net, eingetragen, und man verlangte demnach den jaͤhre:
lichen Ertrag eines ſolchen Guthes, eines ins an⸗

dere gerechnet, zu wiſſen: ſo darf man nur die ſaͤmt⸗
lichen jaͤhrlichen verſchiedenen Eintraͤge addiren, und
mit der Anzahl der Jahre, welche hier 10 ſind, divi⸗

diren, ſo wird der Quotient den jaͤhrlichen Ertrag eines

ſolchen Guthes geben u. dergl. m.
61) Ein Landguth trug Ao. 1779 ein: 4188 ms 10 ſ
6 § Ao. 8o: 3559 m 38 6;; Ao. 81: 4684 mg
15

geln,

Grun
hl
u
dn
ders

od Na

Nwerkufte:
für Nadeln

ich n
innahmme 10
twinneaber
thlr. boſtet,
ſihrlche le⸗

den Ioten

Fale vor,
Bewehner
1 Neihe von
ein Guth,
atrage? u.
hat man das

weſches dar

chiedenet
die Divi⸗
ſten, eme

Diie practiſche Rechenkunſt. 259

15 ſ 6 9; Ao. 82: 2990 8 10 ; Ao. 83:
5486 Mmg 11 ſ8 9 &; Ao. 84: 3439 8 7 ſ8 3 §:

Ao. 85: 4896 mMs 766; Ao 86: 7432 8 15 ſ
9 Q. Wie viel hat dieſes Landguth im Durchſchnit;

te jaͤhrlich eingebracht?

E2) In einem Orte ſind Ao. 1776 gebohren 3126 und

geſtorben: 3586. Ao. 77: geb. 2834, geſt. 2598;

Ao. 78 geb. 3435, geſt. 3128; Ao. 79 geb. 3509,

geſt. 3685; Ao. 80 geb. 2087, geſt. 3407; Ao.

81 geb. 3436, geſt. 2109; Ao. 82 geb. 2986 geſt.
1536; Ao. 83 geb. 3201, geſt. 2985; Ao. 84 geb.
2876, geſt. 2936; Ao. 85 geb. 3214, geſt. 3124.
Wie hoch belaͤuft ſich die Jahl der Gebohrnen und

Geſtorbnen jaͤhrlich im Durchſchnitte? 2) Sind
mDehr geſtorben oder gebohren, und wie viel?
63) Wenn Sempronius

Ao.

△ς△ ,△¾ ⏑.,

im Durch

s ob ſede⸗
cher Eiße
t. G9l.

ſtlo auf
las gerech⸗

den jahr

4 ins an⸗
diren, und
ſind, dint

ettag tines⸗

5841
1: 64,,

8s ⸗ 3458 „“
Fragt ſich 1) wie viel ſeine jaͤhrliche Einnahme und
Ausgabe im Durchſchnitt geweſen, 2) wie viel der

77 eingenom.: 3436 M. 12 ß, ausgegeben: 2125 M. 14 fß:
286 M. § 656 Pf. ⸗ 4132 M. ⸗6 Pf.

78 2
79 . 3698 M. 13 6 . 2035 M. 4 6 Pf.
80 ⸗ 4734 M. 9 6 ⸗ 2136 M. 11 65G9 Pf.
SSr ⸗ 3886 M.⸗ 9 Pf.) ⸗ 2578 M. 4 3 Pf.
8² . 2345 M. 765ß ⸗ 33456 M.
83 5006 M. 3 5 3 Pf. ⸗ 3496 M. 3 9 Pf.
8 46 ⸗ 4563 M. 13 5C 9 Pf. 4800 R. ⸗ 9 Pf.

4986 M. 5136 M. 2 6 9⁹ Pf.

jaͤhrliche Ueberſchuß betrage?

Hiermit moͤgen die 4 Species beſchloſſen ſeyn, mit Ver⸗
ſicherung: daß es jeden fleißliebenden Schuͤler, wel⸗
cher darinnen gehoͤrige Fertigkeit erlanget, und das

bisher Gelehrete wohl gefaſſet und behalten
hat, an den weitern Fortkommen in der Rechen⸗
kunſt nicht fehlen werde: Denn alle uͤbrigen Re⸗

geln, wie ſie auch heiſſen moͤgen, haben und koͤen⸗

nen nichts anders als die 4 Species zum

Grunde haben, weil nach §. 75. 76. 77. mit einer
Zahl nichts anders, als ſie zu vergroͤſſern oder

zu verkleinern vorgenommen, und daher auch keine
Frage aufgeworfen werden kann, welche etwas an⸗

ders, als die Vergroͤßerung od er Verkleine⸗

rung einer Zahl zux Folge hat. ?

240 Die practiſche Rechenkunſt.
Regula de Tri.
47 oder

die Regel von dreyen Zahlſaͤtzen.

§. 216. Die Regula de Tri, in welcher alles,
was bisher gelehret worden, gleichſam zuſammen
fließet und practiſch angewendet werden muß, wird ein⸗
getheilet:
A. In die einfache Regel de Tri, als welche nun
aus dreyen Saͤtzen beſtehet.
B. In die zuſammengeſetzte Regel de Tri, als
welche aus mehr als drey Saͤtzen beſtehet,
Von dieſer ſoll im ꝛten Theile gehandelt werden.
Die einſache Regel de Tri wird wiederum in zwey Thei⸗
le getheilet und zwar:
I. In die Regula de Tri fimplex direéta.
II. In die Regula de Tri fimpiex inverſa.
Dieſe beyden letzten Regeln ſind es, welche hier nach
einander vorgetragen werden ſollen. Auch werde
mit unter, und an ſeinen Orte, noch ſo viel von
Bruͤchen lehren, als unumsgaͤnglich noͤthig, um die⸗
ſen Theil der Arithmetik gruͤndlich vollenden zu koͤn⸗
nen.

I. Regula de Tri ſimplex directa.
„§. 217. Dieſe Regel fuͤhret den Namen, weil ſie aus
dreyen einfachen Zahlſaͤtzen beſtehet, in welchen beyden
erſten ein ſchon bekanntes Verhaͤltniß; im 3ten
Satze aber eine Frage gegeben wird, welche ſich auf

die beyden erſten Saͤtze beziehet, und auf welche

Frage, nach geſchehener Multiplication des 2ten Sa⸗
ges mit dem 3ten, und der Diviſio dieſes Products mit
dem erſten Satze, geradezu die Antwort auf die auf⸗
geworfene Frage erſolgen muß. 5

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7

Die praetiſche Rechenkunt. 24t

Dieſe Regel wurde auch, ihres unſchaͤtzbaren Nutzens

wegen, Regula aurea, die goldene Regel genannt.
Auch heißt ſie Regula proporticnum, weil ſie weiſet?
wie aus 3 bekannten Zahlen die 4te unbekante zu
finden, welche ſich nach den 3 bekannten proportionaliter
verhaͤlt alſo: daß ſich die vorher unbekannte, durch
die Berechnung aber bekannt gewordene4te Zahl, zur
Zten eben ſo verhaͤlt, wie die 2te zur Iſten.
8§. 218. Weil aber bey der Regeldetri alles auf richti⸗
ge Kenntniß der Verhaͤltniſſe und Proportionen
ankoͤmmt, ſo iſt es noͤthig, ſich mit denſelben fruͤher, als

mit den Aufgaben der Regeldetrie ſelbſt, bekannt zu mas

chen.

Es giebt aber der Verhaͤltniſſe zweyerley
1) ein arithmetiſches :
2) ein geometriſches Verhaͤltniß
Aus dieſen zweyerley Verhaͤltniſſen aber ent⸗
ſtehen nothwendig auch zweyerley Proportionen,

naͤmlick.

1) eine arithmetiſche ⸗
2) eine geometriſche Proportion.

Von den Verhaͤltniſſen.
§. 219. Das Verhaͤltniß (Ratio) zweyerley
Groͤßen beſtehet uͤberhaupt in Vergleichung derſel⸗
ben, in ſo fern man ſich vorſtellet: wie eine aus der
andern entſteht. H
Eine Groͤße aber entſteht aus der and ern auf

zweyerley Art. Daher auch eben die §. 218. erwaͤhn⸗

ten zwey Verhaͤltniſſe kommen.
1. Von dem arithmetiſchen Verhaͤltniſſe.

§. 220. Entweder entſtehet eine Groͤße durch die
Addition, da man blos auf das Verhaͤltniß der ge⸗
gebenen Addentorum und deren Summa ſiehet, welche
beyde einander gleich ſind. 3.*. 8 † 4 12. Hier

ver⸗

—

242 Die practiſche Rechenkunſt.

verhaͤlt ſich die Summa 12 zu 8 + 4, woraus ſie entſtan⸗

den iſt, eben ſo, wie ſich 8⸗+α44 zur Summa 12 ver⸗

halten, denn ſie ſind einander voͤllig gleich.

Oder durch die Subtraction, wo man blos auf den

Unterſchied, Differenz, ſiehet, um wie viel eine
Zahl groͤßer oder kleiner als die andere ſey?
Z. E. 8 –— 12 = 4. Hier iſt die Zahl 4 der Unterſchied
beyder Zahlen 8 und 12, als um ſo viel die Zahl 8 klei⸗
ner, als die mit ihr im Verhaͤltniß ſtehende Zahl 12;
oder um ſo viel die Zahl 12 groͤßer, als die mit ihr im
Ver haͤltniſſe ſtehende Zahl 8 iſt. Ein ſolches Ver⸗
haͤltniß aber, wie dieſes, wo man blos auf den Un⸗
terſchied ſiehet, welcher durch die Subtrackion gefunden
wird, heißt: Ein arithmetiſches Verhaͤltniß,
und wird bezeichnet 8 — 12.
Anm. Ein arithmetiſches Verhaͤltniß kann nur bey
gleichartigen Zahlen ſtatt finden; denn ich kann ſo
wenig 8 Aepfel und 4 Thaler in eine Summe bringen
(8§. z.) lals ich 8 Aepfel von 12 Thaler ſubtrahiren,

oder die Differenz von beyden ungleich benamten
Groͤßen finden kann.

2. Von dem geometriſchen Verhaͤltniſſe.
§. 221. Eine Groͤße entſtehet auch durch die Multi⸗
plication und Diviſion, wo man forſchet: wie oft eine
Zahl in der andern enthalten ſey? 3. E. Die
Zahl 12 entſtehet aus 8, durch die Diviſion mit 2, und
multiplicirt mit 3, als 2: 8 = 4 ☚3 = 12. oder kuͤrzer:
durch die Multiplication mit 3, als 3 ☛☚8 = 24 und
2:24 = 12. Oder Diviſion mit 4¾, als 2: 8 = 4 und
4 α◻ 3= 12. S ”M
Ein ſolches Verhaͤltniß wie dieſes, wo man blos auf

4

den Quotienten, der durch die Diviſion gefunden wird,

ſiehet, um wie vielmal die kleinere Zahl in der
groͤßern enthalten iſt, heißt: ein geometriſches
Verhaͤltniß, und wird bezeichnet 8: 12. Die Groͤßen
ſelbſt werden Glieder des Verhaͤltniſſes, davon das vor⸗
hergehende, das erſte, das folgende aber das zweyte
Glied genennet wird. S=DDWBW—
Von

6,22
Proportie
muß es
1.
6 22
Verhat
ſo nennt
.. E. 20,
der Unte
Zahlen de
Dennder!
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wegen der
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Ate und 31
.224

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iſſe.
Dde Nulti
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dakiezt:
und
4Ind

n blos auf

nden wied,
l in der
triſches
Groͤßen
das von
zweyte

Von

Die praetiſche Rechenkunſt. 243

Von der Proportion.
§. 222. Die Gleichheit der Verhaͤttniſſe heißt: eine
Proportion, und da es zweyerley Verhaltniſſe giebt,
ſo muß es auch zweyerley Proportionen geben. G. 218.)
1. Von der arithmetiſchen Proportion.
§. 223. Wenn 2 oder mehrere arirthmetiſche
Verhaltniſſe einander aͤhnlich, oder gleich ſind,
ſo nennt man ſie eine arithmetiſche Proportion,
z. E. 20, 8. und 16. 4 ſind einander ahnlich, weil
der Unterſchied dieſer Glieder eiherley, ob gleich die
Zahlen derſelben ihrer Groͤße nach verſchieden ſind:
Denn der Unterſchied zwiſchen 20 und 8= 12, und eben
ſo, der Unterſchied zwiſchen 16 und 4, auch = 12
Dieſer Urſache wegen werden dergleichen Ver haͤlt⸗
niſſe, wie dieſe, auch gleiche Verhältniſſe, ſo wie ſie
wegen der Verſchiedenheit der Zahlen, woraus die
Glieder beſtehen, aͤhnliche Derhaͤltniſte genennet werden.
Beyde Verhaͤltniſſe werden nach gemeiner Art ſo ge⸗
ſchrieben: a ete 6 8. und geleſen: Wie ſich ver⸗
haͤlt die erſte Zahl zur andern; ſo die zte zur 4ten.
Das heißt: Um wie viel die erſte Zahl groͤßer oder
kleiner iſt, als die 2te, um ſo viel ſt auch die 3te
groͤßer oder kleiner, als die 4te. Denn hier iſt 20— 8

=12, und auch 16 — 4= 12. Alſo beyde arithmeti⸗

ſche Verhaͤttniſſe: aͤhnliche oder gleiche Verhaltniſſe.
Folglich eine arithmetiſche e Proportion, wovon
das erſte und vierte Glied, die beyden aͤufſern, das
2te und 3te aber, die mitrlern Glieder heiſſen.
§. 224. In einer axithmetiſchen Proportion
iſt die Summa beyder mittlern Glieder ſo groß,
als die summa beyder aͤuſſern Glieder. Z. E. bey 8
— 20= 4—– 16 ſind die beyden mittlern Glieder 20 + 4
= 24, ſo wie die beyden aͤuſſern 8 – 16 24 ſind.
Waͤre auch dieſe Proportion ſo geſchrieben worden:
20.— 8= 16 — 4
ſo wuͤrden die mittlern Glieder 8 ☛16 ebenfalls die⸗
ſelbe Snmme 24, wie die beyden aͤuſſern 20 + 4,
geben.
Q 2 §. 225.

244 Die praetiſche Rechenkunſt.

§. 225. Wenn man, in einer arithmetiſchen Propor⸗

tion, von der Zumma des 2ꝛten und Zten Gliedes, das
1ſte Glied abziehet, ſo bleibt das 4te Glied uͤbrig. Z. E.
Das 2te und 3te Glied 20 +4= 24, davon ab das
1ſte Glied 8, bleibt 16 als das 4te Glied.
Imgleichen die beyden mittlern Glieder 8 P+ 16=
24 — 20 = 4, welches das gte Glied war. (§. 224 ult.)
Auch umgekehrt muß dieſes zutreffen: denn wenn ich
von den beyden mittlern Gliedern das 3te abziehe, ſo
bleibt das erſte Glied uͤbrig, als: 8 16 = 24 — 4=

Die Urſache dieſes Erfolgs aber beruhet auf ſehr

natuͤrlichen Gruͤnden: denn wenn das 1ſte und gte Glied

dieſelbe Summe, als das 2te und 3te Glied giebt; ſo iſt
ſo wohl das erſte, als das 4te Glied, ein gewiſſer Theil
der ganzen Summe, welcher, daſerne er der groͤßte
ſiſt, den kleinſten, und wenn er der Kleinſte iſt, den.
groͤßten Theil der Summe nachlaſſen muß; weil
beyde Theile einer Summe, wie ungleich groß ſie
auch immer ſehn moͤgen, doch der ganzen Summe gleich
ſeyn muͤſſen. (§. 136. Zuſ. I1.) .
§. 226. Sind die beyden mittlern Glieder einan⸗
der gleich, ſo heißt das eine zuſammenhaͤngende
oder ſtetige Proportion, Proportio arithmetica con-
tinua. 3. E. 6— 9— 9 – 12. —MU
Auch hier giebt die Summe beyder mittlern
Glieder, wovon das erſte Glied ſubtrahirt worden, das
4te Glied, als: 9 αC — 6 = 12. Und auch umgekehrt:
9 +9– 12 =6, das erſte Glied.

.

1. Zuſ. Daher iſt das mittlere Glied, in einer ſte⸗

tigen arithmetiſchen Proportion, die halbe Summe
der beyden aͤufſern Glieder, z. E. die beyden aͤuſ⸗
ſern Glieder, 6 + 12 + 18, und davon iſt 9, als
das mittelſte Glied, die Haͤlfte.

2. Zuſ. Man kann daher das mittelſte Glied zu ei⸗

ner ſtetigen Proportion gleich finden, wenn auch
nur

die be

ſurf die

2.

6. 227
Verhaͤltn

verley ie

und ihee!

mettſch

welcheeius

20. 6fld

ſo ezte
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gerennet.
Deſe!
datnend de
gleich die
das 2tt 6
9,226 9
=6: 12,

Hier

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ſchen der
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. 220
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daſnet de

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iedes, das
Nvon ad as
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un wenn ich
Giehe, ſt

—
224 -,

et auf ſehr

Ate Glied

ebtz ſo iſt
ſer Theit
der groͤßte
ſe iſt, den.
muß; weil

ich groß ſe.

ntae geich

ſeder einan⸗
thaͤngende
meticacon⸗

mittlern
woren, das
ungekehtt:

in eint ſte⸗
ſte Eunne

niſt 9/4

Gied in e⸗

6
nur.

nur die beyden aͤuſſern Glieder gegeben worben: man
darf die Summe derſelben nur halbiren.

2. Von der geometriſchen Proportion.
§. 227. Wenn in 2 oder mehrern geometriſchen

Verhaͤltniſſen, 3. 12 und 5. 20, der Name derſelben ei⸗

nerley iſt, ſo nennt man ſie aͤhnlich oder auch gleich,
und ihre Aehnlichkeit oder Gleichheit: eine geo⸗
metriſche Proportion. Man ſchreibt dergleichen Zahlen,
welche eine geometriſche Proportion machen, ſo: 3: 12=5:

20. wird geleſen: Wie ſich verhaͤlt die erſte Zahl zur andern,

ſo die zte zur Aten, d. i. wie vielmal die erſte Zahl in der

Die praetiſche Rechenkunſt. 245½

—

andern enthalten iſt, ſo viel mal iſt auch die 3te in der

4ten enthalten. Hier iſt 3 in 12:=4, und eben ſo auch
5:20= 4 enthalten; ſolglich machen dieſe beyden geo⸗
metriſchen Verhaͤltniſſe auch eine geometriſche

Proportion.

Das Iſte und 4te Glied werden die beyden aͤuſſern,

das 2te und zte Glied aber: die beyden mittlern Glieder

genennet.

Dieſe Proportio geometrica disjuncta iſt das Fun⸗

dament der Regulæ de Tri directæ.
228. Bisweilen muß auch das andere Glied zu⸗
gleich die Stelle des 3ten Gliedes vertreten, da dann
das 2te Glied zmal neben einander geſetzet wird, ſo wie
§. 226 geſchehen. Z. E. 3. 6. 12. wird geſchrieben 3:6
= 6: 12. “
Hier heiſſen jede der beyden mittlern Zahlen, die
mittlere geometriſche Proportionalzahl zwi⸗
ſchen den beyden aͤuſſern. Eine ſolche Proportion
wird eine zuſammenhaͤngende oder ſtetige, Pro-

portio geometrica continua genennt.

§. 229. Noch giebt es eine Proportio geometrica

reciproca, wo ſich die I1ſte Zahl zur 3ten verhaͤlt, wie
die 4te zur 2ten, als: 2. 16. 4. 8. und dieſe iſt das FTun⸗

dament der Regulæ de Tri inverſee. Wovon an ſei⸗

nem Orte mehr

Q 3 §. 230.

246 Die practiſche Rechenkunſt.

§. 230. Bevor wir nun zur Ausuͤbung der Regula

de Tri ſelbſt ſchreiten, muß ich noch voran ſchicken fol⸗
gende

Regeln.

Reg. 1. Wenn, von 3 gegebenen Zahlen, die ate und

3te mit einander multipliciret werden, und das
kommende Factum mit der erſten Zahl dividiret
wird, ſo giebt der Quoteent, zu den 3 gegebenen Zah,

len, quartam proportionalem d. i. die 4te Pro

portiona zahl, welche ſich zur ꝛten verhaͤit, wie ſich⸗
die 3te zur 1ſten verhaͤtt. Z. E. von 4. 6. 8 geben
6 b 8 48, und dieſe mit 4 dividirt = 12, als den
quartum numerum proportionalem, der ſich zu
6 verhaͤlt, wie 8 zu 4. Und hierinn ſteckt die Ke⸗
gula de Tri directa. (G. 227.)
Reg. 2. Wenn 3 Zahlen gegen einander arithmetice
proporltioniret ſind, ſo machen die erſte und letzte zu⸗
ſammen, noch einmal ſo viel, als die mittelſte. Z. E.
in 3. 4. 5o machen 3 P. 5= g, welches noch einmat
ſo viel, als die mittelſte Zahl 4 iſt. =
Reg. 3. Wenn 3 Zahlen auf einander geome-
trice proportionales ſind, ſo iſt das Quadrad ber
mittlern = der Gumme ſo aus der Multiplica⸗
tion der erſten und 3ten entſtehet. Z. E. in 3. 9.
27 macht 3 °f27 = 81, und auch 9 Mα¾ 8 1.
Reg. 4. Wenn eine Zahl andere Zahlen multipliciret,
ſo ſind die kommenden Sumſmen gegen die multiplieir⸗
ten gleich proportionirt. Z. E.
4 und 8
mit 2 mult.

gieht 8 und 16
Hier verhaͤlt ſich 8: 16 eben ſo, als vorher 4: 8; denn

4:8:= 2, und 8: 16:— 2. Auch ſind beyde erſten Zahlen

4 und 8, in den letzten 8 und 16, 2 mal enthalten.

Anm. Der Nutzen dieſer Regel ergiebt ſich F. 236. und Zuſ.

Reg. 5. Wenn eine Zahl andere dividiret, ſo find die
. kom:

un
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Hierve
eing
len
Anm.!
nen
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A
Hen
Eire
biert
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in 2.

Am. D
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ſchhon heß⸗

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die in ater
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Verndern
Wden. 9,
2. Vin
lun 9
3. Pr 6
denee

der Regule
ſchicken fol⸗

die 1tennd⸗
en, und s
ahl dinietet
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die tehte

lt, wie ſch⸗
1,. H geͤben
12, als den
der ſich zu
leckt die Re⸗

fithmetice

god lette zu⸗
telſte. 3,E.
noch einmel

t geome⸗

nadrad ber

Multiplica⸗
E in3. 9.
2el.
nutiblittret,
,nnitipligrt

ſſen Zahlen
ſeen.
. und Al.
„ nd die
ſit d
7 fon⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 247

kommenden Quotienten gegen die Dividendi gleich
proportioniret z. E. man dividire. P
8 und 111656
. mit 2) — —
giebt 4 und C
Hier verhalten ſich die Quotienten 4 und 8 eben ſo z
einander, als vorher 8 und 16; denn erſtere Zah⸗
Aleen ſind in lezteren 2 mal enthalten.
Anm. Dieß giebt den Grund zu der vortheilhaften Verklei⸗
nerung zweyer Zahlen eines Verhaͤltniſſes, als
modurch man ſich bey den Regelbetriaufgaben die
Arbeit ſehr erleichtern kann (§. 237.) .
Reg. 6. Wenn 4 Zahlen gegen einander geometrice
directe proportioniret ſind, ſo geben die erſte und
vierte mit einander multipliciret, eben ſo viel,
als die 2te und zte. Z. E.
in 2.4. 8. 16 geben 2 ☛α 16= 32 und eben ſo auch
Anm. Dieſes giebt eine Probe zur Regula de Tri
directa. 2
§S. 231. Nun wollen wir nach gerade die theoretiſche
Lehre von den Verhaͤltniſſen und Proportionen,
weiche in unbenamten Zahlen vorgetragen worden,
bey der Regula de Tri directa, in benamten Zahlen
practiſch anwenden. ä
Es kommen aber in jeder Aufgabe der R. d. Tr. 3

ſchon bekannte Zahlſaͤtze oder Glieder vor, zu wel⸗

chen die 4te unbekannte Zahl, als eine Antwort, auf

die im 2Aten Satze oder Gliede gegebene Frage, gefun⸗

den werden ſoll. (H. 217.)
Dieſe aus dreyen Zahlſaͤtzen beſtehende Aufgaben koͤn:.
nen aber auch auf dreyerley Art, und mit verſchiedenen
Veraͤnderungen, der darzu gebraͤuchlichen Worte, gegeben
werden. Z. E.
1. Was koſten 8 [t Tobak, wenn 3 b 6 Mg gelten?
2. Wenn 3 †§ Tobak um 6 1 zu haben, was kom⸗
men 8 p? .
3. Fuͤr 6 M kann ich 3 †£ Tobak haben, was muß
demnach fuͤr 8 bezahlt werden?
Q 4 Allein

.*

248 Die practiſche Rechenkunſt⸗

Allein eben ſolche dreyfache Veraͤnderungen der Auf⸗

gaben machen oft Anfaͤngern die meiſten Schwierigkeiten,

weiche nicht ſelten eine fortdauernde Ungewißheit, wie

dergleichen Aufgaben zu verſtehen, um ſie berechnen zu
koͤnnen, zur Folge haben; beſonders wenn ſie keine von
gen §. 218 — 229 gelehrten Vorkenntniſſen haben.

Damit aber kuͤnftig „ aus dergleichen auf verſchie⸗

dene Art gegebenen Regeldetriaufgaben, weder Miß⸗

verſtaͤndniß noch Irrungen erfoelgen moͤgen, ſo will ich eine

zu allen Aufgaben der R. d. Tr. dienende ſichere Regel geben.

Regel: Suche in der Aufgabe zu erſt die Fra⸗
gezahl und ſtelle dieſe ins 3te Glied; was der Frage⸗
zahl dem Namen nach gleich iſt, in das 1ſte Glied

und diejenige, welche mit dem 1ſten Gliede im Ver⸗
haͤltniſſe ſtehet, oder demſelben dem Werthe nach

gleich, auch allemal dieſelbe Zahl iſt, welche in der Auf⸗
gabe nur einmal vorkommt, in der Mitten d. i.

ins 2te Glied. Z. E.
In obiger Aufgabe iſt die Fragezahl: 8 k. Denn

man verlangt zu wiſſen: was 8 b koſten? Dieſe 8 f

kommen alſo, der Regel nach, ins z3te Glied. Nun iſt
ſerner bekannt gegeben der Preis von 3 : dieſe 3 p
ſind alſo der Fragezahl, dem Namen nach, voͤllig
gleich, denn beyder Unitaͤten ſind t; derohalben geben
dieſe 3 k das 1ſte Glied. Da nun ferner der Preiß:
6 , als ſo viel dieſe 3 koſten, mit dem erſten Gliede

3 k. im Verhaͤtlniſſe ſtehet, auch dem Werthe nach

mit 3 Pfunden Tobakvoͤllig gleich; wie auch, der Regel
zu folge, dieſer Satz 6 ff in der Aufgabe nur einmal
daliſt, ſo muß er im 2ten Gliede ſtehen, alſo:

3 E — 6mS — 8 5F»’-n-

Anm. Man ſetzet, wie hier zu ſehen, die 3 gegebenen Zah⸗

len etwas von einender entfernt, und unterſcheidet
ſie, ſtatt der Worte: koſten und wasgelten? mit
Strichen — theils, um Verwirrung zu vermeiden,
theils, um Plaß genug zur Berechnung zu haben.

Tobak b

3Site
fihlten,

Ane ſolch

5. C. B
ſo wuͤrde

ir Pre⸗

gehmtl
ſchließen

Seß zur

Daß
ein witfl

aus eine

Witd to⸗
niß ſtehe
weil es
ich 6 6
bekotmmme
.

.

en der uf⸗

bietigkelen,
heit, die

crechnen zu

ſe keine von
gben.

verſchis

beder Miß:

wil ich tine

Negelgtben.
die Fra⸗

der Frages: 1
1ſe Glied

im Vet⸗
the nach

unde uf⸗
jtten deie

6. Denn
Dieſt Ir

d. Nun ſt

ditſe3

, villig

aben geben
der Preiß 1
lſin Gliede
rthe na
dder Negel
einnal

eenen Zhe
gteſchrdet
lten, int
pekineidet/
haben.

1.

der Preis des Tobaks unbekannt. (§. 217.)

7 .

Die practiſche Rechenkunſt. 249
S. 232. Keine Regeldetriaufgabe kann weniger als
3 Saͤtze enthalten: denn wo einer, oder zween derſelben

fehlten, alſo nicht alle Data vorhanden waͤren; ſo waͤre

eine ſolche unrichtige Aufgabe unmoͤglich zu berechnen.

Z. E. Wenn man fragen wollte: was koſten 8 15 Tobak?
ſo wuͤrde die Antwort ſeyn: Das weiß ich nicht, weil mir
Iſt mir aber der Preis von einen oder mehr Pfunden
Tobak bekannt gemacht worden; ſo habe ich hierdurch ein
geometriſches Verhaͤltniß, vermittelſt deſſen ich
ſchließen kann: wie der erſte Satz zum 2ten, ſo der 3te
Satz zur 4ten unbekannten Zahl. (H. 227.)

Daß aber 3 ſb Tobak, und der Preis derſelben, 6 mS.

ein wirkliches geometriſches Verhaͤltniß ſey, wor⸗

aus eine geometriſche Proportion entſtehen muß,
wird klar, wenn man betrachtet, daß beyde im Verhaͤlt⸗
niß ſtehende Zahlen dem Werthe nach voͤklig gleich,
weil es gleichviel iſt, ob ich 3 ſb Tobak habe, wo fuͤr
ich 6 g, oder ob ich 6 mMmg habe, wofuͤr ich 3 ſt Tobak
bekommen kann, SS
Zuſ. Es iſt demnach voͤllig einerley, ob ich in benam⸗
ten Zahlen ſage: wie ſich 3 b Tobak zu 6 mg, (als
dem Preis der Waare) verhalten, ſo 8 ſkÿ Tobak

zum 4ten Satze, zum unbekannten Preiße der 8 b
Toback, oder, ob ich in unb enamten Zahlen

ſage: 3:6— 69: X, als der 4ten Zahl.
Anm. Man⸗ pflegt das 4te unbekannte Glied gemei⸗
niglich mit dem Buchſtaben X zu bezeichnen z. SKF.

Was aber X fuͤr eine Zahl ſey, laͤßt ſich durch Be⸗

trachtung des gegebenen Verhaͤltniſſes 3:6 leicht fin⸗

den; denn, wenn hier die Zahl des erſten Gliedes
3, halb ſo groß als die Zahl des 2ten Gliedes 6

iſt. ſo muß auch die Zahl des zten Gliedes 8, halb
ſo groß als X ſeyn, mithin kann X keine andere
Zahl als 16 ſeyn. Oder umgekehrt: wenn die 2te

Zahl noch einma! ſo groß als die 1Iſte, ſo

3

250⁰ Die practiſche Rechenkunſt.

muß auch X noch einmal ſo groß, als die 3 te

Zahl, folglich 16 ſeyn. Und ſo ſtehet die Proportion
alſo: “
3 k: 6ms = 8 t : 16 m.
§S. 233. Nun wollen wir dieſe Aufgabe nach der 1ſten
Regel §. 230, als wornach alle Aufgaben der Regel de
Tri berechnet werden muͤſſen, gehoͤrig aufloͤſen:
Solutio.
3 b — eNS — 8 fb?

48

3 =-

„Fac. 16 Q
Hier iſt auf die Frage: was koſten 8 k? nach der 1ſten

Regel, die 4te Proportionalzahl geſucht, und nach

geſchehener Multiplication des 3ten Gliedes mit
dem 2ten, das gekommene Product 48 mit dem er⸗
ſten Gliede dividiret, und ſodann der Quotient 16
m, als die Antwort auf gethane Frage, gefunden
worden (H. 217.) . 4

Bew. Wenn das gegebene Verhaͤltniß, ſtatt 3 h:

6 ms hieße: 1 †: 6 M, ſo wuͤrden 8 † auch Smal
6 g koſten, und alſo das Product 48 Mmg ſchon das
verlangte Facit ſeyn. Da aber nun, nach dem be⸗
kannt gegebenen Verhaͤltniſſe, nicht 1 ,
ſondern 3 b 6 mg koſten; ſo iſt auch das Product
48 mg nun zmal groͤßer, als es ſeyn ſollte: folglich
muß der zte Theil, aus dem 3 mal zu großen
Product 48, der verlangte Preis fuͤr 8 5 ſeyn.
Eben daher iſt mit der 3, des erſten Gliedes, auch
das Product 48 dividiret worden. Ergo muß der
gefundene Quotient 16 m, als der 3te Theil von 48
m, auch das richtige Facit und die unfehlbare Ant⸗
wort auf gethane Frage ſeyn. .
Anm. Es iſt nicht noͤthig, daß man allemal, wie hier
eſchehen, das ate Glied mit dem zten vermehre,
Pndern man kann auch, wens es die Umſtaͤnde
er⸗

„
1

u

ten

das etſte
bder auch
. 230. d
as zZie

In 1
ſten Gl
indem 4

zuſ⸗
deie

4

lei

Das

vor

as die zte

Peaportion

ch der Iſer
e Negel N
:

der 1ſteg
ud vach
jedes mit
it dem er⸗
Gtient 16
gefunden

dat 3ſ:
uch zmal
ſchon das
dem de⸗
Product
ſ
to en
ſyn.
4,alch
nuß der
don 48
re Ant⸗

vie hier
gettnehre,

4

Die practiſche Rechenkuntt. 254

erfordern, das 3te Glied mit dem ꝛten vermehren,
weil es nach der 4ten Resel § 109. einerley Priuſduct
giebt. Nur muß nie vergeſſen werden, daß
manallemal den Unitaͤten des kommen den
Preduets den Namen der Unitaäten des
2ten Gliedes gebe, weil das 4te unbekannte
Glied nothwendig, dem im erſten und zwoten
Gliede gegedenen Verhaͤltniſſe nach, den⸗
ſelben Namen haben muß, welchen das ꝛte Glied
bat: denn wie 3 Pfund zum Preiße 6 Mark; ſo auch
§ Pfund zum Preiße 16 Mark. Man ſehe auch hier⸗
uͤber was g. 185. uͤber die Multiplication der benam⸗
ten Zahlen mit benamten Zahlen gelehret worden.
8S.234. Wenn ſich, wie §. 232. Zuſ. gelehret worden,
das erſte Glied zum ten verhaͤlt, wie das 3te zum 4ten,
oder auch umgekehrt, ſo muß auch nach der 1ſten Regel
§. 230. das 4te Glied ſich zum 2ten verhalten, wie ſich
das 31e zum erſten verhaͤlt.
In unſerer Anfgabe iſt das erſte Glied 3, in dem
zten Gliede 8, juſt 2 mal, eben ſo das 2te Glied 6,
in dem 4ten Gliede 16, = 2 ¾ mal enthalten. Z. E.

3 b: 6 ms = gf : 16 ms
-

— i. – *

Zuſ. Solchem nach kann man auch diejenigen Zahlen,
weiche gleiche Namen haben, als Waare mit
Waare, und Preis mit Preis in Verhaͤltniſſe
bringen, und dann ſtuͤnde dieſe Auſgabe ſo:
3 K : 8 = 6 MW: 16 Mm. .
Das Product 8 %6, durch 3 dividirt, bringt hier eben ſo
wohl, wie vorher, die 4te Proportionalzahl 16 Mg her⸗
vor. Nur muß hier die Benennung des ten Glie⸗
des bey der Multiplication wegfallen, und dagegen
dem Producte der Name des 3ten Gliedes
aegeben werden, wie ſolches das Verhaͤltniß ſelbſt
mit ſich bringet, naͤmlich 6 zu 16 M.

Auch

4a52 Die praetiſche Rechenkunſt.

Auch geben hier, wie dort, nach der 6ten Regel .
230. die beyden mittlern Glieder daſſelbe Product⸗
welches die beyden aͤnſſern Glieder geben, als:
3 K: 6 ms = 8 : 16 mg

3 : 8 E = 6S: 16 mg
4 48 14

Anm. Und dieſem nach ſollte man auch eigentlich dieſe letzte

Art, eine Aufgabe der Regel de Tri aufzuſetzen, an⸗

genommen haben, weil ſie viel natuͤrlicher, als die—˙

vorhersgehende iſt. Allein da die Rechen meiſter die erſte
Art beliebt, und nunmehr die allgemeine Gewohnheit
im Wege ſtebet, ſo wollen wir es beym Alten laſſen,
und uns kuͤnftig der gewoͤhnlichen Art auch bedienen,
zumalen es,

7

einerley iſt.
§. 235. Es iſt gleichviel, ob ich das Product von
zween gegebenen Factoribus, oder ob ich nur einen
der gegebenen Factorum durch den gegebenen Diviſo-
rem theile, und im letzten Falle den gekommenen Quo⸗
tienten mit dem andern Factore multiplicire, denn beydes
giebt einerley Facit. Z. E. Die beyden Facétores ſollen
ſeyn: 4 und 8, der Diviſor aber 2, ſo iſt 4 8 = 32,
und 2: 32 16. Eben ſo 2:4=2, und 2 b 8 = 10
oder, welches einerley, 2: 8=— 4 und 4 24 16. Dar⸗

aus folgt: daß, wenn ich meinen Vortheil da⸗

bey ſehe, ich auch zuerſt mit dem erſten Gliede, einer Regel⸗
detriaufgabe, das 3te Glied derſelben dividiren, und den

gekommenen Quotienten darnach mit dem 2ten Gliede‧—

multipliciren kann. Z. E.
3 — 6 18 — 8 †5?
6
Tac. 16 .

wie hier ſichtbar, der Berechnung nach

RDe
ſen Gl
Glide

Jym

5

22 reer — — 222

Zahl 9
den P

.“ Zuhlen

Nig4.
der
Glied
veches
3E

Die praetiſche Rechenkuntt. 253

ten Reg O Oder ich kann auch zuerſt das 2te Glied mit dem er⸗
Kehedut⸗ fſen Gliede dividiren und den Quotienten mit dem 3ten
4,,as: Gliede multipliciren. Z. C.
3 2) 6 ms — ⁸ ?
. 22) 2
8ͤ
Foeac. 16 M8
Anm. Es wird nicht ſchwer einzuſehen ſeyn, daß dieſe Art
.. zu ꝛrechnen, zumalen bey Aufgaben, welche im 2ten
ſch ieſeſegte oder zten Gliede viel Ziffern haben, einen merklichen
fuſehen, dd Vortheil gewaͤhret. Denn je weniger Zahlen ich zu .
Oet, als die meiner Rechnung gebrauche, je hurtiger kann ich zu
fer die ee mDeinem PFacit gelangen. Der langſamſte Rechner muß
Gemohnßeſſſtttt es, mit dergleichen Vortheilen begabet, dem geſchwin⸗
Aien iuſen deſtn, welcher davon keinen Gebrauch zu machen
ch bediene, weis, zuvor thun. Ueberdem iaſſen ſich die beym Rech⸗
lchrung nach nen etwa vorgefallenen Fehler weit leichter, unter weni⸗
geen Ziffern einer Soluno, als unter vielen derſelben,
Nde an finden. Deswegen wollen wir uns kuͤnftig dergleichen
u einen. 2 ⸗ Vortheile bedienen, ſo oft es ſich thun laͤßt.
hen Diil. §. 236. Wenn verſchiedene Zahlen mit einer andern

nenen u. Zahl gemeinſchaftlich vermehret werden, ſo bleibt in
denn bedes den Producten daſſelbe Verhaͤltniß, welches die

Kores ſolen. Zahlen von der Multiplication unter ſich halten. (§H. 230.
123= 3 † Reg. 4.) Deswegen geben auch die beyden mittlern Glie⸗
23=6 der eines Regeldetriſatzes, wenn das erſte und 2te
216, Di Elied vergroͤßert worden, eben daſſelbe Produnet,
Utheil nd wieches die beyden aͤuſſern Glieder geben. (H. 224. Juſ.)
n e. 3 : 6 = ⁸ t: 16 W6
₰ . . 4
12 24 R
—

192

254 Diie praetiſche Rechenkunſt.

Urnd weil hier die durch 4 vergroͤßerte Zahlen 12:2

= 3:05, (§. 230 Reg. 4.) ſo muß auch das naͤmliche Facit
erſcheinten, welches §. 233. gekommen, wenn wir unſere

Aufgalde, wie daſelbſt geichret worden, berechnen. Z. E.
12 — 24 mS — 8⁸ Kr
8

—

192
12) Fac. 16 mg

7

. Doaſſelbe wird auch erfolgen, wenn man das 1ſte und

3te (Glied mit einer Zahl gemeinſchaftlich vermehrt.

„ Wi

3 E — 6 mg — ⁸ b?
—8
12 32
6
192

12) —
Fac. 16 MW
Zuſ. Aus dieſer Lehre folgt: daß, wenn ſich bey einer
Regeldetriaufgabe, es ſey im 1 ſten 2ten oder zten
Gliede, nebſt den Ganzen noch ein Bruch findet,
man nur mit den Nennern des Bruchs die
ganzen Zahlen deſſelben Gliedes vermehren, den
Zaͤhler darzu addiren; ſodann aber auch das mit die⸗
ſer alſo vermehrten Zahl im Verhaͤltniß ſtehende
Glied zu den naͤmlichen Theilen machen darf

Z. E.
a) 2 ½ — 2 mE — 6
5 4
4
24

Fac. 4 ms

*B

Die praetiſche Rechenkunt. 255
len 12 24 oder
liche kuitt 2 1¼ † — ²2 m8 — 6 ½
wir unſere 5 2

1 12
2

—

24

FFc

b) 2 — 4 ¾ ms — ˖5K
1 Iſte und —
vermnehtt. 1. 4 9
45
P) Fac. II ½ S
ec) 3 k — 4 — 4¾ t
. 2 9 UMUMẽV
8 6) Fac. 6 Mm .
hben einet Anm. Doch ißt eben nicht noͤthig, bey vorkommenden Faͤl⸗
oder zten len, ſich der Aufloͤſungen Lit. b. und c. zu bedienen,
ch findet, weil die Buͤche im ꝛten oder 3ten Gliede keine Hin⸗ 4
uchs die G derniß, zum bequemen Rechnen, in den Weg legen,
P en, der wiie die Erfahrung zeigen wirdb.
Dren, . 4 , . .
mit die⸗ 8§S. 237. Das Verhaͤltniß, welches die Zahlen in ei⸗
hende ner Regeldetriaufgabe unter ſich haben, wird, zu Folge

ſcen daef der Ften Regel §F. 230, auch da nicht aufgehoben, wenn das
. erſte und 2te Glied, oder auch das 1ſte und 3te Glied
durch einen gemeinſchaftlichen Theiler verkleinert werden.

a) 3 — 6 — 8f?
3) — G 2
Fac. 16 f

256 Die practiſche Rechenkunſt.
) 3 k.— 6 — A

32K. „21
1 2
6
Fac. 16 m

Aus dieſer Lehre fließt der wichtige Vortheil, daß,
weil bey ſolcher Verkleinerung oͤfters der Diviſor, wie
bey a und b, bisweilen auch der Factor des 2ten Gliedes,
in eine einzige Unitaͤt verwandelt wird, als wo⸗
durch im erſten Falle die Diviſion, im letzten aber die

Multiplication gaͤnzlich wegfaͤllt. Wo aber auch

dieſes nicht, ſo wird wenigſtens, durch ſolche verklei⸗
nerte Verhaͤltniſſe, ſowohl die Multiplication als Divi⸗
ſion ungemein erleichtert, indem ein kleineres Pro⸗
duct, wie auch ein kleinerer Diviſor, erfolgt.

Wir wollen uns alſo dieſes Vortheils ſo oft bedienen,

als er ſich bey kuͤnftigen Aufgaben anwenden laͤßt.

Anm. Der Lehrbegierige Fechenſchüler, welcher im Ernſe
muͤnſcht ein gruͤndlicher Arithmeticus zu werden,
wird wohl thun, wenn er nicht eher weiter gehet, bis
er die bisher gelehrte Theorie vollkommen gefaſſet hat.
— Und follte er dieſelbe auch 3, 4 und mehrmal wie⸗

derholen, ſo wird ihm dieſe Muͤhe nie gereuen, beſon⸗
ders wenn er findet, daß mik ſolchen Grundſaͤtzen berei⸗

chert, jede Aufgabe leicht zu verſtehen, und ſodann in
der Praxi ohne ſon erlichen Anſtoß fort zu kommen iſt.
Neberdem wird ein ſolcher theoretiſch⸗ practiſcher
Arithmeticus ſei e Kunſt nie wieder vergeſſen, wie ſol⸗
ches oft der Fall bey denen iſt, welche nur mechaniſche
Rechner, Rechner ohne Theorie ſinb.

1. Aufgaben, wo in allen 3 Saͤtzen oder
Gliedern nur Zahlen von einfacher Be⸗
nennung vorkommen.

§. 238. Weil dieſe Aufgaben denjenigen, welche F.

233. vorgekommen, vollkommen gleich, auch in denſel⸗

ben nichts vorkommt als die benamten Zahlen mit benam⸗
ten Zahlen zu multipliciren, und das Prodnet mit benam e†—

ten

Ley⸗

, Zohen
ehnmener
Auflöſung
tes finden
1) Vas
Mert

nd

mat

ttheil, taß,

Fiſor, Ne

ten Glides,

d, als wo⸗

ten aber die
9 ebet auch
e derklei⸗
, 1s Divi⸗
eres Pro⸗

er in Enn

werden,

gehet, bis
geſacet at.
ghtmnel Nie :
reuen, beſpn⸗
Nſezen bereſi
1dſedann in
fommen iſ .
muiſe .
ſen, nie⸗
ſn iie⸗

5

oder

Be⸗

belche

Hin denſeb

mitbenmm.
mit bennm
mſin

4

Die praetiſche Rechenkunſt. 257

ten Zahlen zu dividiren, als wovon §. 185. und 213 voll⸗ .
kommener Unterricht gegeben worden, ſo kann ſich auch bey

Aufloͤſung dieſer Aufgaben nichts ſchweres oder unbekan⸗

tes finden. ęHM
14) Was kommen 32 , wenn 4 k zu 2 mg bezahlet
werden? MM
Solutio.
4 *A — aANS — 22 R

2 64
po —
FTF.ac. 16 8
AKuͤrzer.
„4K — en
3 1r Fac. 16 = G
Oder:
4* — 2 — 32 n?
H Fac. 16.
Bep der 2ten Solutio iſt, nach §. 237. a, das erſt
urnnd 2te Glied, durch den gemeinſchaftlichen Theiler
2, verkleinert worden, und dadurch das 2te Glied
in eine einzige Unitaͤt verwandelt worden, da—

man nun dieſe nicht multipliciren kann, ſo darf
auch nur mit dem verkleinerten Gliede 2 ſogleich das

R

2 ttte Glied 32 getheilet werden, welches den bey der

errſten Solutio gleichfalls gekommenen Quotienten:
12126 M8 zum Facit giebt.
Bepy der zten Solutio iſt die 4 im erſten Gliede
durchſtrichen, weil ſie in dem Zten Gliede 8 mal ent⸗
Halten; dieſe 8 aber mit dem mittelſten Gliede 2
vermehret, giebt gleichfalls 16 1ͤã zum Facit.
L A . 39.

258 Diie practiſche Rechenkunſt.

§. 239. Will man bey dergleichen Aufgaben eine Pruͤ⸗
fung anſtellen, um zu erfahren, ob man recht gerechnet
habe: ſo laͤßt ſich eine ſolche Probe nach der 6ten Regel
§. 230. machen. Z. E.

–1 à I. Prob. —
4 FF: 2 M = 32 f: 16 ms
— *½

Weil hier die beyden mittlern Glieder eben daſſelbe
Product, als die beyden aͤuſſern, naͤmlich 64 geben, ſo
wird hierdurch die Richtigkeit bewieſen. V
Oder: Man kehret, nach der gewoͤhnlichen Art einer
Probe, den ganzen Regeldetriſatz um, ſo, daß das 3te
Glied das erſte; das Facit, als mit demſelben im Ver⸗
haͤltniſſe ſtehend, das 2ꝛte; das erſte aber das Zte Glied
oder die Fragezahl werde; ſo muß, wenn recht gerechnet
worden, das 2te Glied zum Facit kommen. 3Z. E.

2. Proba.
32 fk — 16 m — 4 K?
2 r PFac. 2 8&

x. Anm. Dieſe Probe muß eben ſo richtig, als die erſte

ſeyn, weil hier nichts anders geſchehen, als daß die

vorigen proportionirten Verhaͤltniſſe 4: 2 — 32: 16

nur umgekehrt worden, ſo, daß das ꝛte Verhaͤltniß

zum erſten und das erſte zum aten genommen worden;

alſo: 32: 16 — 4: 2. .
Auch hier geben die beyden mittlern Glieder wie
die beyden aͤuſſern gleiche Producte, naͤmlich 16 «
4 — 6 ¼ und auch 2 ½ 32 — 64. Eben ſo auch die ver⸗
kleinerten Glieder. Z. E.

2

Wenn

4. Mm.
Glie
beſte
4

365
3 Flr 16
be
Es we
konm
Aum. Be
.2)
wer
5, Cent
6) Cent
7)7Cutt
) Veng
ttag

9) Was!

i

II) Wus

ung

.

den eine ri⸗
cht gerecnet
1 fen Regel

eben doſehe
A geben, ſp

en Art einer
haſ das zte
en in Ver⸗
1 3e Giid
ccht gchtet

zni lini

Gleder ni⸗

niden

4

Die practiſche Rechenkunſt. 259

2. Anm. Die erſte Probe künn zu allen Aufgaben, deren
Glieder nur, wie dieſe, aus einfachen Be nennungen
beſtehen, mit Vortheil gebraucht we⸗ den.
Kommen aber Aufgaben vor, wo die Glieder ver⸗
ſcien ge Soxten von Unitaͤten enthalten, ſo iſt
ate Probe mit mehrerer Leichti keit zu gebraͤuchen.
2) Wenn ich 8 ſt fuͤr 12 haben kann, was werden
346 kb koſten?
3) Fuͤr 16 g werden 12 k gekauſt: Was muß fuͤr 288
P bezahlt werden?
4) Es werden 125 Thlr. fuͤr 4 Centn. bezahlt, wie viel
kommen 32 Centn. ?
Anm. Bepy dieſer bis zur folgenden 1oten Aufgabe fann der

9. 238. bey der zten oluͤt. gezeigte Vortheil angewandt
werden.

5) 6 Centner koſten 236 Thlr. was 54 Centner?

56) 5Centnn.⸗ 342 ⸗ 35 Lentn.?

2) 7 Cennn. ⸗ 426 „ 49 Centn. 2
3) Wenn 8 Centn. mit 53 5 Thir. bezahlt werden, was be⸗
er ded 72 Centn;

9) Was koſten 81 untti., wenn 9 Centn. fuͤr 731 Thlr.

bezahlt werden?
10) Was 72 Ellen, wenn 9 Ellen um 135 I zu haben?
II) Was koſten 48 Ellen, wenn 36 Ellen fuͤr 144S be⸗
dungen werden? 7—

Solutio. D
2) 36 Elken 4 . — 4⁸ Ellene
69912
6) 1152

260 Die practiſche Rechenkunſt.

Oder:
d) 36 Ellen — en — 48 Ellen
S S
Fac. 192 mS
Oder:

e) 356 Ellen — 144 8 — 48 Elen
12) = 4 12)
6
3) — 57
Fac. 192

) . 36 Ellen — r44 ns — — 48 Elen?
6) 6 2 4
6) . Fac. 192 mg

a) Bey der Solutio a) iſt, ut. 164., die Diviſt ſion
durch die Zerfaͤllung erleichtert worden, welches kuͤnf⸗
tig bey allen aͤhnlichen Faͤllen geſchehen kann, wenn
naͤmlich ſonſt, wegen Ungleichheit der aͤbrigen
Glieder, kein beſſerer Vortheil anzubringen moͤglich

iſt. Allein hier ſinden ſich noch unterſchiedene beſſere
Vorlheile, welche bey b) c) und 4) angebracht wor⸗

den.
b) Bey b) iſt ſowol das erſte Glied, als Diviſor, durch
6 %6, als auch das 3te Glied, als Multiplica-

tor, durch 6 α 8 zerfaͤllet worden: (§. 116.) Und
weil ſich unter beyden alſo zerfaͤllten Zahlen eine

gleichgroße Zahl, naͤmlich die 6, findet, ſo ſind

bepyde gegen einander aufgehoben und durchſtrichen

worden; denn wenn ich eine Zahl z. E. 3 mit 6 mul⸗
tiplicire und das Product mit derſelben Zahl 6 divi⸗

dire, ſo wird die erſte Zahl, ſo wie ſie Anfangs war,
wiederum zum Vorſchein kommen, als 6 bα 3 18

und 6: 18 = 3. Demnach kann man in allen
dergleichen Kallen, wo der Multiplicator dem
Di⸗

Pivil

als di
lut.r
das
der
ches
Arbe
9
Ele
cher

len!
Elen?

SMn!

die Diviſton
belchꝛs künf⸗
kann, wenn
der hbrigen
gen mogich

iedene beſere
gebracht wor,

riſor, urh
Muoltphca⸗

14,) Und

Nahlen eine
det, ſo ind
duncſfrihen
mit mul⸗
Zehl dinn

Die practiſche Rechenkunſt. 261

Diviſore voͤllig gleich iſt, ſowol die Multiplicat.
als die Diviſion erſparen. Demnach iſt in dieſer So⸗
lut. nur noch mit der uͤbrigen 8, des 3ten Gliedes,

das mittlere zu multipliciren, und das Prod. mit

.

der uͤbrigen 5 des erſten Gliedes zu dividiren, wel⸗
ches mit wenigen Ziffern, und alſo mit halber
Arbeit das ganze Fa cit gewaͤhrt.
Bey c iſt nach §. 237. b) zu verfahren, und das 1ſte
Glied ſowol als das 3te Glied mit dem gemeinſchaft⸗
lichen Theile 12 verkleinert, ſo, daß im erſten Glie⸗
de, ſtatt 36, der Diviſor nur 3, und im 3ten Gliede

der Multiplicator, ſtatt 48, nur 4 geworden. Wein

ſollte nicht in die Augen fallen, wie groß der Vor⸗
theil bey ſolchen verkleinerten Zahlen iſt. Denn

es laͤßt ſich weit geſchwinder, und mit wenigern Zah⸗

len, alſo in wenigerer Zeit, mit 4, als mit 48 mul⸗
tipliciren; weit leichter mit 3, als mit 36 dividi⸗
ren. — DI

und 2te Glied, welche mit einander im Verhaͤlt⸗

4) Bey d iſt, nach der ˖Iten Reg. §. 230, das 1ſte und

niß ſtehen, erſtlich durch 6, und atens die gekomme⸗

nen Quotienten, 6 und 24, noch einmal durch 6 ver⸗

kleinert worden, da dann im erſten Gliede 1, im 2ten

Gliede aber 4 gekommen. Hierdurch iſt die Divi-
Koön ganz weggefallen, und darf nur mit dem mittel⸗
ſten Gliede 4 das hintere Glied 48 multipliciret wer⸗
den, um das verlangte Facit 192 Mm zu finden.—

Anm. Man kann bey dergleichen Vorfaͤllen, mit ſolchen

12)

13)

Verkleinerungen allezeit ſo lange fortfahren, als ſich
noch beyde vordre Glieder durch irgend eine
Zahl, ohne Reſt, theilen laſſen; und gleich viel, ob
man 2, 3 oder mehrere Zahlen zum Verkleinern des
erſten und ꝛten Gliedes gebraucht, Man wende der⸗
gleichen Vortheile, wie hier bey der u1ten Aufgabe ge⸗
zeiget worden, ſo oft an, als es ſich thun laſſen will.

Wenn man 72 Centner mit 128 Thlr. bezahlt, was
werden demnach 250 Centn. koſten?
Was koſten 96 Lwenn 12 Lk 24 Thlr. koſten?

R 3 14)

262 Die practiſche Rechenkunſt.

14) Wenn 42 Ellen um 56 Thlr. zu haben, was muß für
56⁹ Cllen bezahlt werden?
15) Wenn 96 Ellen fur 16 Duc. a 6 m bedungen wor⸗
den, was werden 896 Ellen betragen? (Die Duca⸗
ten werden vorher zu s gemacht.)
96 Ellen — 16 Duc. — 896 Ellen?
a 6 8. Z

96 mS &c.

16) Wenn ein Maler far 68 ◻ Fuß 8 ms anzuſtreichen
bekommt, wie viei muß er fuͤr 584 —◻ Fuß haben?

17) 48 Schock Aepfel werden fuͤr 8 Thlr. bezahlt, was

muß füͤr 496 Schock gegeben werden?

F. 240. Bisweilen finden ſich im erſten und ꝛten Glie⸗
de, auch wohl zugleich im 3ten Gliede, am Ende der Zah⸗
len, Nullen. In ſolchen Faͤllen ſtreicht man ſo oft eine
Null des erſten Satzes gegen eine Null des 2ten Satzes
weg, als es ſich thun laͤßt. Dieſer Fall findet ſeinen Grund
§. 157. & 159. Auch kann man Nullen des erſten Sa⸗
tzes gegen Nullen des zten Satzes in gleicher Anzahl
wegſtreichen. Nur d darſ man nicht Nullen des 2ten Sa⸗

tzes gegen Nullen des 3ten Satzes wegſtreichen, weil dieſe

beyden Glieder in keinem Verhaͤltniſſe, ſondern nur allein

der geometriſchen Proportion nach in Verbin⸗

dung ſtehen.

18) Für 120 Schſt ſind 2040 nig bezahlt worden, was

gelten 18 Sn: 2

Solutio.
1296 Sl — 2040 ms — 18 Ek
ſce 1224
4) Fac. 306 mG „

Hier ſind 1) die Nullen des erſten Verhaͤltnißes
gegen einander ausgeſtrichen, als wodurch beyde Zah⸗
len gleichſam mit 10 dividirt, aber deswegen das
Ve rhaͤltniß, ob zwar verkleinert, doch nicht auf⸗

ge⸗

“
24) 180
1) Ven

für

Weij
tint,
ſind
len
240
meht
men
Fuͤt
ab⸗
2) Po
29) Wes
A
29) 0
48

wbas niß fir

edaungen wor⸗
(Die Oca⸗

len?

anzuſttichen
Fuß haben?
hezohlt, wns

und 2ten Glie⸗
Enbe ber Zah⸗
ſo oſt eine
Aen Sches
ſeinen Grund
1s erſten Sar⸗

het Anzahl
dis ten Gaa

en, ei dieſe
ern nur clein
9) in Verbin⸗

pttben, was

ittnißes
dendedih⸗
wigen das
doch cgt auſ⸗
ge⸗

4
1

=
+ –—

*

Die praetiſche Rechenkunſt. 263

gehoben worden, (§. 230. Reg. 5.) 2) ſind noch
uͤberdem das Iſte und 3zte Glied zerfaͤllet, und ver⸗
fahren worden, wie bey der 1Iten Aufgabe Solutio
19) Wenn 140 Lft fuͤr 280 mMmg gekauft werden, wie viel
muß fuͤr 4348 Llk bezahlt werden?
20) Wenn 20 Q† um 60 Thlr. zu haben, was 454 2 bz2
21) 50 Ellen werden mit 250 mg bezahlt, wie viel fuͤr
8348 Ellen?
22) 220 Centner koſten 110 Duc. was 88 Centn.?
23) 180 Cennt. ⸗ 360 Duc. ⸗ 444 Centn.?
24) 280 k ⸗ : 140 Thlr.⸗8888 I5?

K

8

fſuͤr 860 bezahlt werden?

25) Wenn 400 fuͤr 220 Mm8 gekauft werden, was muß

AAà&ο — 226 mM9 — 862 F ²
22
1892

P)Fac. 473 ms

Weeil hier im erſten Gliede 2 Nullen, im 2ꝛten Gliede

eine, und im Zten Gliede auch eine Null befindlich, ſo
ſiind die 2 Nullen des erſten Gliedes fuͤr die 2 Nul⸗
kleern des 2ꝛten und 3ten Gliedes weggeſtrichen. (§F.
2940.) Darauf iſt das 3te Glied mit dem 2ꝛten ver⸗
mehret worden, wodurch aber das Product den Na⸗
mmDen des 2ꝛten Gliedes erhalten. (§. 233. Anm.) u. ſ. f.
26) Fuͤr 500 Ellen werden 350 Thlr. bezahlt, was fuͤr
44”80 Ellen?
27) 300 Centner koſten 450 Thlr., was 1760 Cntn.?
28) Was koſten 2720 Ellen, wenn 600 Ellen fuͤr 560
Thlr. bedungen worden?
29) 280 werden fuͤr 360 m bedungen, was muß fuͤr

488° bezahlt werden?
R 4 3⁰)

. 264 Die praetiſche Rechenkunſt,

30) Es ſind 9000 Ruthen = 13 5000 Fuß. Wie viel Fuß
enthalten 360000 Ruthen?
31) Wenn 4000 Schritte 12000 Ellen halten, wie viel
gehoͤren zu 480000 Schritten? =
§. 241. Oſt werden zu einer Regelbdetriaufgabe nicht
alle Data gegeben, ſondern diejenigen verſchwiegen, von
welchen man vermuthen kann, daß ſie der Rechner von
ſelbſt wiſſe, oder ſie doch wenigſtens in den Reſolvirungs⸗
tabellen aufſuchen koͤnne. Dergleichen ſind folgende 4 Auf⸗
gaben. Bepy alle dieſen und dergleichen Aufgaben muͤſſen
allemal, die hierzu noͤthigen Gleichung en oder die er⸗
ſten Verhaͤltniſſe zu ergaͤnzen, die Reſolvirungstabel⸗
len nachgeſehen werden, daferne die Gleichung nicht
ſchon bekannt iſt.

32) Wie viel Brabanter Ellen enthalten 855 engliſche
Gards? (Tab. III. 3 engliſche Gards = 4 Brab.

Ellen.)

33) Wie viel Nuͤrnberger Ellen enthalten 480 Brabanter
Ellen?

34) Wie viel Hamburger Ellen enthalten 5670 Nuͤrnber⸗

ger Ellen?
35) Wie viel Hamburger Ellen enthalten 5436 engliſche
Gards?? =

85. 242. Nicht allezeit wird verlangt zu wiſſen, wie bey
den vorhergehenden Aufgaben, wie viel, nach einem be⸗

ſtimmt gegebenen Preiſe, eine Quantitaͤt Waare koſte?
Sondern es wird auch oft gefragt: Wie viel Waare man
fuͤr eine beſtimmte Summe Geldes haben koͤnne?

In ſoſchem Falle wird, nachdem die Frage im 3ten Satz
gebracht, das bekannt gegebene Verhaͤltniß ſo geordnet, daß

der Preiß der Waare im erſten Gliede, die Waare aber,
* .

als welche nur einmal da, im 2ten Gliede zu ſtehen

komme. Da dann das Facit, als Antwort auf die Frage,
gieichfalls Waare heiſſen muß. (§. 231.) Z. E.

36) Wenn eine Parthey Waare von 150 b fuͤr 96 Thlr.
bedungen worden, wie viel koͤnnte man von derſelben

fuͤr 512 Thlr. kaufen?
L So-

diebelzuß
, ri ſiel

fgabe nicht
ſiegen, don
ſchner vonr
eſolvirungs:
ende 4Aufe⸗
oben nuͤſen
bber die et⸗
rungstabel⸗
hung nicht

engliſche
4Drab.

Brabantte

) Nuͤrnbet⸗

35 engiſche

ſen, biebey
einen be⸗
ote byſte?
Waare man
S

ſdehrage

1 95 Th,.

7 derſiten

So⸗

gten Set R
ordnet, dc
Baare dbet,

5„

—

Die praetiſche Rechenkunſt. 265

Solutio.
4) 96 Thlr. — 150 — 512 Thlr.
8) . 32 55
50
. T2
Fac. 800 ft?
Oder:

by) 956 Thlr. — 150 — 512 Thlr.
”M 4 Fac. 800 F
2) Bey der Solutio a) ſind zuerſt das 1ſte und 2te
Glied mit 6 verkleinert, 2tens der Quotient des 1ſten
Gliedes und auch das 3te Glied mit 8 verkleinert, da
dann der Quotient des erſten Gliedes = 2, der aber
des 3ten Gliedes 64. 3tens iſt der Quotient 2, als
das erſte verkleinerte Glied, durchſtrichen worden,
weil mit dieſer Zahl das verkleinerte 3te Glied 64 di⸗
vidirt worden; welches 32 gegeben. Endlich iſt mit
dieſen 32 das 2te Glied 25 multipliciret und das Pro⸗
duct 800 f als das wahre Facit geſunden worden,
als ſo viel man fuͤr 512 Thlr. nach vorhergegebenen
Preiſe kaufen kann. D
b) Bey der Solutio b) iſt vorerſt das 1ſte und zZte Glied
mit 16 dividiret worden, wodurch im 1ſten Gliede 6,
im z3ten aber 32 gekommen. Da nun ferner die 6
des erſten Gliedes in dem 2ten Gliede 150, zu 25.
mal genommen, ohne Re ſt aufgeht, ſo iſt die 6 des
erſten Gliedes durchſtrichen und alſo gaͤnzlich wegge⸗
fallen. Endlich ſollte das 3te Glied 32 mit 25 ver⸗
mehret werden. Es ſind alſo den 32 zween Puncte,
ſtatt 2 Nullen, beygefuͤgt, als wodurch dieſe Zahl mir
100 vermehrt worden. Weil aber dieſes Produet
3200 nun 4 mal groͤßer, als es ſeyn ſollte; denn die
Zahl 25, mit welcher⸗ die Multiplication eigentlich
R 3 ge⸗

266 Die practiſche Rechenkunſtt.

geſchehen ſollte, iſt nur der 4te Theil von 100, ſo iſt

„

dieſerwegen das um 4 mal groͤßere Product 32, oder

3200 mit 4 dividirt, und dadurch das wahre Pro⸗

duct 800, und zugleich das verlangte Facit gefunden

worden.
Anm. Man kann ſich dieſes Vortheils kuͤnftig ſo oft bedie⸗
gneen, als eine Zahl mit 25 multipliciret werden ſoll.
37) Wie viel kauft man fuͤr 672 , wenn 231 Ellen fuͤr
224 M bezahlt werden? G
38) Wenn n
bekommt man fuͤr 15900 ms?
39) Wie viel Schſß kauft man fuͤr 1768 , wenn 8
Sib fuͤr 408 mg bedungen worden?
40) Wie viel gelten 5435 FF, wenn 100 t = 46 m ?
3 Solutito.
109 ſ5s — 46 ms — 54352

—

an 128 Centner fuͤr 848 ms kauft, wie viel

32610
21740
250019

. 10). Fac. 2500 M 1 ſs 7 ½ &
Weil mit 100 gut zu dividiren iſt, (F. 158.) ſo ſucht
man hier keine Verkleinerung, ob wohl das 1ſte und
2te Glied durch 2, oder auch das 1ſte und ISte Glied
durch 5 kleiner gemacht werden koͤnnten. Denn alle
Zahlen, welche am Ende eine Hoder5 ha⸗
ben, laſſen ſich durch ˖5Ho0kleiner machen.
Wohl aber iſt die o am Ende des Products, gegen eine
o des erſten Gliedes ausgeſtrichen, als wodurch bey⸗
de Zahlen, der Diviſor und Dividendus, den roten
Thyeil kleiner geworden; mithin auch nur noch mit
. 10 getheilet werden durfte &c.
41) Wenn 100 fuͤr 35 bedungen worden, wie viel
muß fuͤr 5400 % bezahlt werden? (H. 2400.)
42) Was koſten 5340 à 32 Thlr. die 100 ?
43) Was 8000 ſt à 200 8 die 100 FEF?äl;?́
. 44)

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et 32, er
nahte Pro⸗.

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4

-=

Die practiſche Rechenkunſt. 267

44) Wenn 100 ſ fuͤr 53 me bedungen worden, was wer⸗
deen demnach 4567 b koſten?

45⁵5) Fuͤr 37 Thlr. werden 100 f gekauft, was kommen

4325 b?

46) Wenn ein Kaufmann 5400 ff zu 2450 m. bedingt,
abbber nur von derſelben Waare 4846 b bekommt, was

muß dafuͤr bezahlt werden?
2. Aufgaben, wo das Factum des aten und 3ten
Gliedes zu klein iſt, um darin mit dem erſten
Glliede theilen zu koͤnnen, &
§. 243. Sehr oft kommen Aufgaben vor, wo das
Product des ꝛten und zten Gliedes zu klein, als daß
man mit dem erſten Gliede darinn theilen koͤnnte. Z. E.
Das Product des 2ten und zten Gliedes waͤre 363 Thlr.
das erſte Glied als Diviſor aber 742; ſo koͤnnte mit die⸗
ſen zu großen Diviſor nichts gewonnen werden, ſondern
es muͤßte, laut §. 156. Zuſ. 2, zum Quotienten ein Bruch
erfolgen, davon der Dividendus, als Product des aten
und 3ten Gliedes den Zaͤhler, der Diviſor aber den Nen⸗
ner gaͤbe. Alſo: 24 ¾ Thlr.
Wollte man nun einen ſolchen Betrag von 34½ Thlr.
bezahlen, ſo koͤnnte das nicht anders angehen, als wenn
man einen ganzen Thaſer in 742 gleiche Stuͤcklein zer⸗
theilte, und von dieſen Theilen 363 zur Bezahlung gaͤbe.
Wer koͤnnts das
Hieraus ſiehet man, wie noͤthig es der Handlung we⸗

gen war, nicht nur Thaler, ſondern außer dieſen noch an⸗

dere kleinere Scheidemuͤnzen, als Groſchen, Pfennige,
Haͤller und Schaͤrfe zu praͤgen, um nicht mit Stuͤcklein ei⸗
ner Muͤnze, als 2 2 Thlr., ſondern mit wirklich ganzen
Muͤnzſorten, welche ſaͤmtlich das genaueſte Verhaͤltniß
zu einander haben, befriedigen zu koͤnnen.

. e

Denn nun, da wir Scheidemuͤnzen haben, koͤnnen
wir, ſo oft der Diviſor in eine Anzahl Thaler nicht genom⸗
men werden kann, die Thaler nur zu Groſchen machen,
und ſodann in die Groſchen theilen; den Reſt der Groſchen
koͤnnen wir wieder zu Pfennige machen, und die Diviſion

auch

268 Die praetiſche Rechenkunſt.

auch darinn wiederholen; was aber da noch uͤbrig bleibt,

im Bruch ſetzen. Da wir nun wiſſen, daß dieſer Bruch

uͤberaus wenig, nicht einmal 1 ganzer , ſondern nur
ein Theil deſſelben iſt, ſo iſt auch wenig oder nichts
verloren, wenn wir einen ſolchen Theil von Pfennig als
nichts betrachten, und in Bezahlung weder geben noch
nehmen. .
27) Wenn 742 Ellen Band 3 Thlr. gelten, was werden
demnach 121 Ellen betragen?

. Solutio. .
) 742 Ellen — 3 Thlr. — 121 Ellen?
363
2 363
Fac. 34 Thlr.
b) 242² Ellen — 3 Thlr. — r21 Ellen?
363 Thlr.
24
1452
726

242 — 8712 36*
Fac. 11 20 8 43 ¾ 242
1292
742²

Prig hlebt,
ieſer Brrch
ſondern nur⸗

oder nichts

pPfennig als

gehen nuch

bas werden

en?

Die practiſche Rechenkunſt. 269

Bey a) iſt, weil mit 742 in 363 Thlr. Nichts genom⸗
men werden konnte, der Bruch 3⁄2¾ Thlr. zum Fa-
cit genommen.

Da aber, wie oben geſagt, eine ſolche Summe nicht

bezahlt werden kann, auch wegen der vorhandenen
Scheidemuͤnzen nicht noͤthig iſt, ſich in Handels⸗
rechnungen mit dergleichen unverſtaͤndlichen
Bruͤchen abzugeben, ſo wird auch die Rechnung nicht
auf dieſe Art, ſondern ſo, wie in b) gemacht.

Nachdem hier das dritte Glied mit dem 2ten multipli⸗

eirt, ſo ſiehet man gleich, daß, weil mit dem zu
großen Diviſore 742 nicht in das Product 363
Thlr. genommen werden kann, die 121 Ellen auch
keinen ganzen Thaler betragen koͤnnen. Deswegen

iſt das Product 363 Thlr. mit 24 zu Groſchen ge⸗

macht, und darinn getheilt worden, welches im Quo⸗
tienten 11 gebracht. Weil aber noch 550 20 uͤbrig
geblieben, und man noch kleinere Sorten, als
96, naͤmlich Pfennige hat, ſo ſind dieſe 550 90
mit 12 zu & gemacht, und abermal darinn dividiret
worden, welches zum Quotienten noch 8 ge⸗
bracht. Da aber hier noch 664 &, als die klein⸗
ſte Muͤnzſorte im Handel, uͤbrig geblieben, ſo ſind
dieſe im Bruch geſetzt, welches = 6, durch 2
verkleinert 32 ¾ &, folglich das ganze Facit 11 20
8 32¾ &, als ſo viel die 121 Ellen betragen. (§.
1. Anm. Anfaͤnger thun wohl, wenn ſie ihre ganze Divi⸗
ſion, zur Nachſicht ihrer Lehrer, ſo ſtehen laſſen, wie
hier bey b) ſichtbar. ð “
Gejuͤbte Rechner hingegen koͤnnen in Praxi, nach ge⸗
fundenen Facit, die auf der Tafel gerechnete ganze Di⸗
viſion wegwiſchen, eine Linie unter den Dividendum
machen, und darunter das ganze Vacit, den Diviſor
b vor den Strich ſetzen, dann ſtehet das Exempel
lſo: l

270 Die practiſche Rechenkunſt.
742 Ellen — 3 Thlr. — 121 Ellen?

N3 Fac. II NW 8 32 ₰
2. Anm. Kaufleute pflegen einen Bruch, welcher uͤber
dieHaͤlfte eines Ganzen beiraͤgt, fuͤr ein Gan⸗
zes zu rechnen; demnach wuͤrde ein Berliner Kauf⸗
mann, da, wo es wirkliche Pfennige in Natna giebt,
vorſtehen e 3 Pfen. fuͤ einen ganzen Pfen. rechnen,
Da dann das Facit ſeyn wuͤrde 11 Gt. 9 Pfen. L
HBSingegen wuͤrde ei! Hamburger Kaufmann, weil all⸗
hier keine wirkliche Pfennige vorhanden find,
das, was uͤber 6 Pfen. betraͤgt, für einen vollen ßl,
was aber unter 6 Pfen. iſt, fuͤr gar nichts rechnen.
3. Anm. Weil aber ein Anfaͤnger der Arithmetik ſich zum

genauern und richrigern Rechnen gewoͤhnen muß,
ſo wollen wir auch kuͤnftig alle Bruͤche genau und
. richtig beſtimmen, und keinen derſelben wegwerfen.
4 8)Was koſten 36 †b, wenn 298 ſp. 6 s gelten?
49) Was 100 ſ, wenn 445 zu 4 Thlr. gerechnet wer⸗
50) Was 35 Centner, wenn 5 Lol. fuͤr 210 Centner be⸗
2 zahlt werden
51) Wenn an einer kleinen Parthey Waare, welche Ein⸗
kaufs 25 R betragen, nur 3 pr. C. d. i. an jeden
100 Re Einkauf 3 R6 gewonnen: Wie viel be⸗
traͤgt der Gewinn? S 4
52) Wenn dem Fuhrmanne 352 Sf fuͤr 7 Lvl. bedungen
worden, wie viel muß er fuͤr 36 Sf haben?

53) Wenn an 34965 Ellen Band 12 M gewonnen worden,

wie viel betraͤgt der Gewinn von 246 Ellen?
54) Wenn an 956 fk Kaffee 7 g verloren worden, was
betraͤgts auf 100 †? (d. i. Wie viel pr. Ct. ſind ver⸗
loren worden?

3*

Auſa

24
tion, o
rechnet t
Unitäten
welchen
Ate Gied
Glich ent
Centn.,
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nicht Cnt
t heißt.

tagen, e

Vele
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1) wi
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welch/ Ein⸗

an jeden
e viel ben

Nugen

41

en vorden,

den, 6
t. ſnd en

3

Die prartiſche Rechenkunſ. arr

3. Aufgaben, wo der erſte und letzte Satz nicht
einerley Benennungen haben.

§. 244. Weil zu einer geometriſchen Propor⸗

tion, ohne welche keine Aufgabe der Regula de Tri be⸗

rechnet! werden kann, nothwendig erfordert wird, daß die
Unitaͤten des zten Gliedes eben denſelben Namen fuͤhren,
welchen die Unitaͤten des erſten Gliedes haben, ſo wie das
Ate Glied aus denſelben Unitaͤten beſtehet, welche das 2te
Glied enthaͤlt: ſo kann auch, wenn z. E. das 1ſte Glied
Centn., das Zte aber p; oder auch umgekehrt, das 1ſte
Glied †r und das 3te Centn. heißt, die Benennung Centn.
im erſten Gliede nicht bleiben, wenn das zte Glied ſt;
nicht Entn. im 3ten Gliede bleiben, wenn das 1ſte Glied
heißt. Denn die Pfunde, deren 112 e erſt 1 Centn. be⸗
tragen, verhalten ſich nur als ein Bruch zuln Ganzen weil

e = –2½ Centn.

Dieſemnach wuͤrde es ungereimt ſeyn, zu ſgen:

D 1Centn.: 52 MH = 3436 fb: NX.
Weil ein ſolcher Satz keine von den Eigenſchaften, wel⸗
che von 4 proportionirten Zahlen abſolut verlanget werden,
haben wuͤrde. Denn
1) wuͤrde das 2te und 3te. Glied nicht gleiche Pro⸗
ducte mit dem 1ſten und 4ten Gliede geben:;:
2 2) wuͤrde das 1ſte Glied ſich nicht zum zten, wie das
2te zum Aten verhalten; mithin koͤnnte ſich auch
nicht das 1ſte zum aten, wie das zte zum Aten Glie⸗
de verhalten. (§. 234.) Folglich wuͤrde —
3) auch nicht das naͤm liche Verhaͤltniß bleiben, wel⸗
ches doch bleiben muß, wenn 4 proportionirte
Zaahlen dergeſtalt unter einander geſetzt werden, daß

Ddas zte Gled unter das 1ſte, und das Ate unter das

Ltte Glied zu ſtehen kommt, wo deren Summen das
vorige Verhaͤltniß nicht aufheben. Z. E.

Wenn

27² Die practiſche Rechenkunſt.

Wenn wir auf dieſe Art die Verhhaͤltniſſe

H 3 : 6 m = 4 k: 8
unter einander ſetzen, alſo:

3 FP: 6 g “
. = 4 ⸗:82⸗

ſo ſtehen 7 k: 14 m, als Summen der vo⸗
rigen Glieder, noch in eben demſelben Verhaͤltniſſe,

welche die einzelnen Glieder zu einander hatten:
Denn 3:6 = 2, und 4: 8= 2; alſo auch 7;
14 2.

Hingegen wird ſich das Gegentheil finden, wenn wit

ohige ungleichbenamten Verhaͤlniſſe eben ſo un⸗

ter einander ſeben: 3. 2

= 3436 b : 1585 ma 4 6⁵ 6a: O

Faͤllt hier nicht deutlich in die Augen, daß alle Verhaͤlt⸗
niſſe ſehlen? Und warum? Weil das 1ſte Glied Uni⸗
taͤten ganz anderer Art, als das Zte Glied, naͤmlich
ſolche enthaͤlt, die rramal ſo groß, als die, des zten
Gliedes.

Hieraus aber wird klar: daß in einer Aufgabe der R.
de T. ſich nebſt der Gleichheit des Werthes, wei⸗
che im 1ſten und 2ꝛten Gliede vorhanden, (§H. 232.) auch
noch eine zwote Gleichheit, eine Gleichheit des Na⸗
mens, und dieſe im 1ſten und 3ten Gliede finden, und
daferne eine ſolche in der Aufgabe ſeibſt nicht vorhanden,
ſie hergeſtellet werden muͤſſe, nach folgender

Regel: Wenn das erſte Glied aus 2 od er meh⸗
rern Sorten beſtehet, oder uͤberhaupt das
erſte und dritte Glied ungleiche Benen⸗
nung haben; ſo muͤſſen, bevor gerechnet
werden kann, dieſe verſchie denen Benen⸗
nungen erſt unter einen Name n gebracht
werden. Z. E.

Wenn das erſte Glied KF und Loth, das dritte aber E
allein; oder auch ſt und Lth. enhaͤte⸗ ſo muß, in benr⸗

1.

niſſe

emen der den

Verhältniſe,
nder halnn :

lſo au7:

, wenn it
eben ſo vnn

8

l Grhitr

e Glied Uni:
ied, haͤmlich
de, des zun

ſabe der 1.
iſet vel⸗
12) auch
it des N e
ſtden, ind
t vorhonden,

der Meh⸗

haunptdes
Belen⸗

en Henen

gihtet

itte ate *
muß,

beh
den S

4

Die practiſche Rechenkunſt. 273

den Faͤllen, ſowol das Iſte
als das te G L
2 wath gemacht werden. lied zu lek
enn das erſte Glied Centn., L.
und
aber Centn. allein, oder Ceutn. D dar z⸗
4 2

ſo muͤſſen beyde Glieder zu lau ter funde gemacht,

d. i. unter einen Namen ebrach
So auch, wenn das 1ſte Glied Tentne. das ate b
nur ſp enthaͤlt, muß das erſte Glied zu ſt; Dl
umgekehrt; wenn das erſte Glied nur t as gi
aber Centn. enthaͤlt, ſo muß das 3te Gl Glied zee
macht werden, &c. zn As ge⸗
55) Was koſten 3436 f, wenn der Centn. zu 52 mS be⸗

dungen?
Solutio.
1 Centu. — 52 — 3436 b?
IISEKE 10308
4 28 13 7 44668
2 47 III67I
7) Fac. 1595 mm 46 65 £

nahen, u Folge vorſtehender Regel, das 1ſte Glied
rcht⸗ en⸗ liede⸗ den Namen nach gleich ge⸗
n te n. er 1 Centn. des 1ſten Gliedes in 112
8 elt worden, als wodurch nun das richtige
erhaͤltniß 112 b: 52 M = 3436 k: X. entſt .
den; ſo ſind beyde vordre Glieder zmeinſchaftlich

durch 4 verkleinert; ſodann auch das 1ſte Glied 28

durch 4 2— 7 zerfaͤllet, und
6 ſo wie der Augenſchein e. verſahren worden,
5 ) Was koſten 4730 , wenn 1 Centn. fuͤr 36 Mm zu

haben?
: . SeK 4 3 47 r Centn.?
à 50 d 1
393 WVenn der Centn. 48 m koſtet, wer
61 us koſten 43 4567 ſt, das Schſt à 36 Thlr.
3 3 ge
52) „5542 fbt ⸗ ⸗ à 95 Thlr.?
„ 3

274 Die practiſche Rechenkunſt.

3) Was toſten 8380k, das Scht à 86 Thlr.?2
64) 2 4444 , : ⸗ à 100 Thlr.
65) Wenn das S zu 59 bedungen wird, was ko⸗

ſten 499 L5?
66) Was 896 2 à 66 mMm das Schf?

67) Was 9432 L5 5475 mS das Schlb⸗
68) 4933 à 86 m g ⸗ ⸗ 2
699) ⸗ 9400 à 96 S; 2 2

70) Wenn das L5 8 koſtet, was muß fuͤr 3400 8

bezahlet werden?
71) Was fuͤr 5604 5 à 12 ms das Ltz ?
72) ⸗ 6666 à 15 ms ,·2
73) ‧ 4564 à 21 ms ;2
74) Was koſten 3456 Stuͤck, wenn das Schock fůͤr 4
In bezahiet wird?

75) Was koſten 3465 Stuͤbchen Wein, das Fuder zu

120 & gerechnet?
76) Was 88460 Quart. à 32 mg das Oxhoft?
77) Wenn Jemand in einem Jahre 566 Thlr. gebraucht,
wie viel muß er fuͤr 262800 Stunden haben?

78) Wenn das groß Tauſend 23 g koſtet, was 56423

Stuͤck?

79) Wenn 3465 ft zu 386 ms bezahlt werden, wie hoch

kommt der Centner?
Solutio.
3465 K — 386 ms — 1 Centner?
386

—

245 43232
3465) Fac. 12 M8 7 ſ 7 *
30⁰) Fuͤr 5684 ff werden 86 Thlr. , was kommt
der Centner?
81) Wie hoch das Schſt, wenn 48600 ſ = 8400 ng
82) Wenn 58742 Stuͤck 2406 Thlr. koſten, was das
. Schocke
83) 4030 Felle koſten 840 Lpl,: was 1 Zimmer?

4³)

R

–

34) 0
ker?

4, Auf

. 44
der me!

Gled nn

dleichfall⸗

hedope

Unitaͤten

ſettn Dipil

nicht theile
mal, ehe⸗
Ne in ler
dage
den Nam
8) Ven
wie
156
4
1266
644
FFoß

Mh
glei
ſer

*

Thlr.?
Dhlr.

diid, wei ke⸗

ſir 3400

Ett ſißh

66 Fuder zu

oſt!
r gebraucht,
haben? 1
was 56042 2

den, wiehh

P“

was umunt

, was d

mer?

N 2

Die praetiſche Rechenkunſt. 275
84) 8496 Quart. Wein kommen 3985 mg. Was 1 An⸗
4. Aufgaben, wo im erſten Gliede mehr als
eeine Sorte Unitaͤten vorkommen.
§. 245. Aufgaben, beren erſtes Glied aus zwo

oder mehr Sorten Unitaͤten beſteher, wenn das Zzte
Glied nur eine der größten Sorten, welche ſich

gleichfa lls im 1ſten Gliede befindet, hat, koͤnnen eine ſol⸗

che doppelte, noch weniger dreyfache Benennung der
Unitaͤten im 1ſten Gliede nicht behalten, weil ſich mit ei⸗
nem Diviſore, welcher zweyerley Sorten enthaͤlt,
nicht theilen laͤßt. Es muͤſſen alſo in ſolchem Falle alle⸗
mal, ehe gerechnet werden kann, laut der Regel §. 244.
die Zahlen des 1ſten Gliedes unter einen Namen ge⸗

pracht, und ſo dann auch das 3te Glied mit dem erſten

den Namen nach gleich gemacht werden. Z. E. .
85) Wenn man 166 R 18 ſs fuͤr 64 Ellen bezahlt
wie viel bekommt man fuͤr 845 R? 4

156 R6 18 ſo — 64 Ellen — 845 RC 2
4.. 4
1266 5H5760
75 06 ſt 40560 ſt8
J 644
162240
243360

7506) Fac. 345 17 Ellen
Nachdem das 1ſte und zte Gled dem Namen nach
gleich gemacht worden, ſo ſind auch die Zahlen die⸗
ſer Aufgabe dadurch geometrice proportionirt,
und

276 Die practiſche Rechenkunſt.

40560 ſs: X. Und nun erſt kann die Rechnung durch
Mult. des 3ten Gliedes mit dem 2ten angeſangen
werden alſo: 64 α 40560. Das Factum muß ſo⸗
Dann, laut §. 233. Anm., nach dem 2ten Gliede,
alſo mit Ellen benamt, und dieſes mit dem erſten
Gliede dividirt werden, da dann ſogleich das richtige
Facit erfolgt. L

86) Wenn fuͤr 86 RC. 36 ſz zu haben 468 : wie viel

bekommt man fuͤr 346 R—? S=S
87) Fuͤr 45 Ré 42² ſs kauft man 560 : wie viel be⸗
kommt man fuͤr 8734 m8 ?
bekommt man fuͤr 5670 m5g 2
89) Wenn in Bremen fuͤr 647 Ellen 96 Thlr. 15 Grt.
bezahlt werden: wie viel kann man fuͤr 836 Thlr.
kaufen? M
90⁰) Wie viel Waare kauft man fuͤr 496 R., wenn 24
Lk mit 48 M& 12 fz bezahlt werden? WJ”VMU

838) Für 346 13 f werden 568 h gekauft: wie viel

Solutio.
48 M 12 6 — 24 cſt — 496 Ré6 ?2
42) 4 1⸗ 2 48
23 3968
”l 23808 ſ8
2 *
47616 Lb

65) Fac. 732 2b 7 24 7 r. 30 f,

Bevor das 1ſte Glied unter einen Namen gebracht
worden, iſt daſſelbe, nebſt dem 2ten Gliede, durch

12 verkleinert worden. (Denn dieſes kann allemal

geſchehen, wenn nur die kleinern Sorten des 1ſten
Gliedes ohne Reſt aufgehen,) darnach iſt erſt das ſte

Glied 4 m*0 1 ſs unter einen Namen ge⸗

und die Aufgabe heißt nun 7506 ſz: 64 Ellen —

92) Fir

rac
das
geie

ar

ie

was

93) 16 6
as

no

72

A

64

2 —
271586
Wec ſie
werde
Das
viel
men
chalea

Thir.

9) Für 1

Ppbe
96) G

.

64 Elen =

ihnung durch
angeſangen
kum muß ſa

ten Gliede,

iit dem erſten

das richige

E: wie viel

ſie viel des

ft wie ien

le. 15 Grt.

e , 4
, Denn 24

Die vraeſchi Nechenkunſ. 277

bracht, welches 65 ſy gegeben. Darauf iſt auch
das zte Glied, den Namen nach, dem erſten
gleich gemacht worden ꝛc.
91) Fuͤr 96 Thlr. 21 20 werden 3 Centner bedungen⸗
wiie viel kann man fuͤr 896 Thlr. bekommen?
92) Fuͤr 87 Thlr. 28 Groten werden 2 Scht gekauft:
waßs fuͤr 735 Thlr.?
93) 16 Centner koſten 120 Thlr. 57 Geaten 3 Schw.
was fuͤr 2124 Thlr.?
. Solutio.
120 Thlr. 57 Grot. 3 Schr. — Et I:rs zt.: .
7² 360

2899 11727440
l S.

—
aor.
2 34306. à2
nisSn WG 1 Centner

Weil hier im rſten Glede ſich 3 Sorten befinden, ſo
werden ſie nach und nach unter einen Namen gebracht.
Das 3te Glied kann auf einmal durch 360, als ſo
viel Schw. der Thlr. hat, den 1ſten Gliede den Na⸗
men nach gleich gemacht werden, ſo wie ſolches in
mlcher Faͤllen allemal geſchehen kann ꝛc.
94) Fuͤr 2 Wiſpel 5 Scheffel 1 Faß Rocken werden 42
Thir. bezahlt; was koſten 324 Wiſpel?
95) Fuͤr 12 Laſt 1 Wiſpiel 1 Faß Haber werden 1198
Ins bezahlt; was fuͤr 136 Laſt?
96) Ein Weinhaͤndler kauft 348 Ahm Wein, bedingt 3
Anker 3 Viertel 1I Stuͤbchen zu 60 W: wie viel hat
er bezahlt 7 .

63 B 97

27 8 Die praetiſche Rechenkunſt.

957) Eine Haushaltung gebraucht in 36 Wochen 4 Tagen
97) n Ranhe 6 m, wie vĩ⸗ betraͤgt das in 12
Zahren? (die Jahre mit 8760 zu Stunden.)
98) Ein Papierhandler kauft 21 Ball. 5 Ries 15 Buch
fuͤr 1058 ig, und will dieſem Preiſe nach eine an⸗
dere Parthey von 84 Ballen kaufen: wie viel muß
dafuͤr bezahlt werden?
99) an Eih 5 Ltb 10 ſbb werden 118 m8 bezahlt:
was kommen 221 Schfß?

§. Aufgaben, wo im zten Gliede mehr als eine
Soeorte Unitaͤten vorkommen.

F. 246. Aufgaben, deren zZtes Glied aus unte r⸗
ſchiedenen Sorten Unitaͤten beſtehet, werden eben ſo, wie
die vorhergehenden Aufgaben, nach der Regel §. 244. be⸗

rechnet. Z. E. 2ððð
T00) Wenn 5 Lentner mit 205 m. bezahlt werden: was

kommen 36 Centner 4 Lſt.

J Cntn. — zo; 6 — ze Cen. 4
— ½ ee
Z 1168

8⁸) pao. 1496 8 S
„In bieſem Satze findet fich ebenfalls eine geometri⸗
Anne Naertiſen⸗ wie P einer Regeldetriaufgabe verlangt

als: 8 Llt: 41 M rG 292 Lb 1496 8 ſs
hut nichts, daß das zte Glied Marknur allein,
rs erer⸗ 4te Giten Res und Schilling enthaͤlt;
denn man darf nur dieſe benden Glieder den Namen
nach gleich machen, wie vorher bey dem erſten und
zten Gliede geſchehen iſt, ſo wird man finden, daß die
Moyportion diefelbe iſt.

lſachen
falten de
tine S
thig hat,
Glied in
das Iſe
zu machen
kleinern
den groͤß
rſchtige
verfahren
uns pothe
ſie Thei
ſind, nah
Pus
nern G
ner Unit
abgenmeſe
und guch ſ
ten klei
der griß
den, dade
che noch ni
te hetrigt,
der klein⸗
gruͤßerge
E. Weil
ner; 2 ,
Cntnet in
ſern Gort
ederglee
beſthen i
4) as
1,
8s:

ett 4 Tagen
St das in 12
nden.)
s 15 Buch
ſach eine an⸗
die viel nuß

bengftt:

Ut als eine

1

gus unten
Aben ſo, wie

6. 24 ber

verden: “Z

0?

te geottitt
nte etinge.

95E86
uiniraleſt,
ling enthaͤt
r den umn
en etſen e
nen,

41

Die praetiſche Rechenkunſt. 279

5.247. Ob gleich das 1ſte Glied, §. 245 angefuͤhrter
Urſachen wegen, nicht mehr als eine Sorte Unitaͤten ent⸗

halten darf — ſo kann doch das zte Glied mehr als

7

eine Sorte von Unitaͤten enthalten, ohne daß man noͤ⸗
thig hat, ſo wie in voriger Solutio geſchehen, das 3te
Glied unter einen Namen zu bringen, und dieſerhalb
das 1ſte Glied dem 3ten, den Namen nach, gleich

zu machen; ſondern man darf nur die Unitaͤten der

kleinern Sorte, als Theile einer Unitaͤt der folgen⸗

den groͤßern Sorte, wozu ſie ihr abgemeſſenes

richtiges Verhaͤltniß haben, betrachten, und damie
verfahren, wie hernach gelehret werden ſoll, wenn wir
uns vorher mit den kleinern Sorten, in wie ferne
ſie Theile von einer Unitaͤt groͤßerer Sorte
ſind, naͤher bekannt gemacht haben.
§. 248. Wenn wir uns jede Unitaͤt einer kleie
nern Sorte als einen beſtimmten Theil von ei⸗
ner Unitaͤt der groͤßern Sorte, zu welcher ſie ein
abgemeſſenes Verhaͤltniß hat, vorſtellen koͤnnen
und auch ſo vorſtellen muͤſſen, ſo koͤnnen auch alle Uni⸗

taͤten kleinerer Sorten, mit einer Unitaͤt folgen⸗

der groͤßern Sorte, in einen Bruch geſtellet wer⸗
den, davon die Anzahl der kleinern Sorte, wel⸗

che noch nicht eine Unitaͤt der folgenden groͤßern Sor⸗

te betraͤgt, den Zaͤhler, die volle Anzahl Unitaͤten

der kleinern Sorte aber, weiche einer Unitaͤt der
groͤßern Sorte gleich iſt, den Nenner giebt. Z.

E. Weil 1 Centner = 8 Lſſ, ſo iſt auch 1 L = Cent⸗
ner; 2 Lſt = ½ oder ½ Centner; 3 L= Centner; 4
Lib oder ½ Centner; 5 Lk = * Centner; 6Lb= 5
Centner und 7 2 = Centner. Und ſo mit allen an⸗

dern Sorten, welchen Namen ſie auch haben moͤgen.
Alle dergleichen aus kl einern Sorten gemachte Bruͤche

beſtehen ihren Zaͤhler nach
a) aus unzerſtreulichen Theilen, Partes aliquotgz
b) zerſtreulichen Theilen, Partes aliquantæ
als: , ½, ⅞ . 1 s
S 4 5. 249‧

280⁰ Die praetiſche Rechenkunſt. ⸗

§. 249. a) Unzerſtreuliche Theile, Partes ali-
quotæ, ſind alle diejenigen, welche zu ihren Zaͤhler I ha⸗
ben, als ½, ¼, :c. Sie entſtehen aus Zahlen kleine⸗

rer Sorten, welche wie 12 und 4 Lf, in ihren

Nenner, der nach dem Verhaltniß zu 1 Centner =— 8 L

iſt, ohne Reſt aufgehen, und alſo allemal ein ge⸗

wiſſer Theil vom Ganzen der groͤßern Sorte
ſind. S

Und da ſie, ſo wie ſie ſind, zu unſerm Zweck

dienen, ſo werden ſie auch daher unzerſtr eulich

genannt. 2

§. 150. b) Zerſtreuliche Theile, Partes ali-
quantæ, hingegen ſind alle die aus kleinern Sor⸗
ten entſtandene Bruͤche, welche zu ihrem Zaͤhler
mehr als 1 haben, als: z, 5, F, F:c. Und weil kei⸗
ne andere Bruͤche als ſolche, deren Zaͤhler 1 iſt,
zu unſerm Zwecke dienen, ſo muͤſſen die aus groͤßern
Zahlen beſtehenden Zaͤhler; 3, 5, 6 und ?7 in ſolche
Zahlen zerſtreuet werden, davon die erſten dieſer zer⸗
ſtreuten Theile eines ſolehen Zaͤhlers in ihren Nenner
ohne Reſt aufgehen, und alſo einen Zaͤhler geben, wel⸗
cher nicht mehr als 1 iſt: die uͤbrigen Theile des zer⸗
ſtreuten Zaͤhlers aber muͤſſen, Theile aus Theilen

genommen, ebenfalls Bruͤche geben, deren Zaͤhler x

iſt. Z. E. Weil 3 L als der Zaͤhler von ¾ Centner,
nicht in den Nenner 8 ohne Reſt aufgehn, ſo werden die⸗
ſe 3 Lſt zerſtreuet in 2 und 1, weil 2, als der groͤßte
Theil von 3 L, in den Neuner 8 ohne Reſt aufgeht,
und der 4te Theil aus den Nenner 8, d. i. + Centner:
das uͤbrige Lt aber oder der 2te Theil von 2 Lf iſt.
Und ſo mit allen uͤbrigen Zahlen von der Art.

Man wird vun leicht gewahr werden, woher das Wort

Ferſtreuen koͤmmt.

Wir wollen, zu mehrener Deutlichkeit, ſo wohl die
Partes aliquotæ als auch die Partes aliquantæ, ſo wie
ſie auf einander folgen, von 1 bis 7 At nacheinander
herſetzen, und die letzten zerſtreuen.

x

118

.

M
he zeiſt
ſelben M.
men zur

ie 1,2

aber, w.
ſtreute⸗
unter eit
nit ſeßet
Darin de
ſtrenten

der gte⸗

zur Linke
Rechten 5
d. Ne
en

der

Kinge
Rrſtreuet
ſtreuten

14

☛

4

+☛☚

zur Linken

geſett, ſ
ſo witd

2te Theil

(Cben
n Wo⸗ .
hen, den
Dhne Net
uhne he

Ulſo die⸗

Partes ali-.

ihler l he⸗
len kleine⸗
b, in ihen
net = 9 t

l ein ga

ern Goktt

ſſern Zeck

erſtrelich

Pattes ali-
nern SGoy
tein Hügter
weil ktit
er 1 iſ,
1s groͤßern
7 in ſothe
t dieſer zet⸗
ten Nennr
geben, we⸗
eile des zer⸗
5 Theilen
en Haͤhler 1
1 Cuntnet,

werden die⸗ V

der grüfte
leſ ,uggeht,
Centner;

.

das Vott

ſ wohl ni
nte⸗ ſt e
hacheinaner

1

a 2 M

alſo die 7 Lſ in 4, 2 und 1 zerſtreuet werden; ſodann i

Die praectiſche Rechenkunſt. 281

1 2 3 4 65 7 2*
———

F 1 — — —
18 214 2 4 412 1 42 4 12
112 14 212 2 2
1 2

Man macht, wie hier ſichtbar, unter die Zahl, wel⸗
che zerſtreuet werden ſoll, einen Strich — und unter deſ⸗

. —. 14“
ſelben Mitte eine Perpentikulairlinie „ſodann ſeltzet

man zur Linken derſelben die unzerſtreulichen Zahlen,
wie 1,2 und 4 21½ (§. 249) ganz, die zerſtreulichen

aber, wie 3, 5, 6 und 7 L (§. 250) nach ihren zer⸗
ſtreuten Theilen, ſo wie ſie auseinander folgen,
unter einander hin: zur Rechten dieſer Perpentikulairli⸗
nie ſetzetman, was fuͤr ein Theil vom Ganzen,
worin zerſtreuet worden, die unzerſtreuten oder zer⸗
ſtreuten Zahlen ſind, als: weil 1 Lf, = Centn. d. i.
der Ste Theil vom Centner iſt, ſo ſtehet die 1 (1 L †d)
zur Linken der Perpentikulairlinie 1die 8 aber zur
Rechten derſelben, welche anzeiget: daß 1 Lt = ½ Centn.
dei. der Zte Theil von 1 Centn. iſt. 18 Weil 2 Lfk.
= ½ Centn., d. i. der 4te Theil von 1 Lentn. iſt, ſo ſtehet
4 der 2 zur Rechten; ſo auch mit 4 2ſ.
Hingegen muͤſſen die Partes aliquantæ laut §. 250.
zerſtreuet werden, als 3 L in 2 und 1, und dieſe zer⸗

ſtreuten Theile werden, wie hier ſichtbar, unter einander

zur Linken des Strichs, ihre Theile aber zur Rechten
geſetzt, naͤmlich weil 2 Lſt der 4te Theil vom Centner,
ſo wird die 4 neben die 2, und weil 1 2 aus 2 ff der
2te Theil iſt, ſo wird dieſe 2 neben die 1 geſetzt. .

Eben ſo mit 5 und 6 Lſ. 7 Lſt aber laſſen ſich nicht
in zwo Zahlen zerſtreuen, wie mit 3, 5 und 6 Lf geſche⸗
hen, denn weil 4 Lf½ die hoͤch ſte Zahl iſt, welche in 8
ohne Reſt aufgeht, die uͤbrigen 3 Lſ aber nicht in 4 2
ohne Reſt aufgehen, ſo muͤſſen dieſe noch in 2 und 1,
ſt
5 4

282 Die bractiſche Rechenkunſt.

4 Lſk der 2ꝛte Theil von 1 Centn. oder 8 2†, 2 L der

2te Theil aus 4 Lb, und 1 Lſ der 2te Theil aus 2 L†.
1. Anm. Weil die Zaͤhler von 4, 5 dc. bey der Rechnung
nicht gebraucht werden, ſo hat man auch nicht noͤthig
dieſelben neben den zerſtreuten Zahlen hinzuſetzen;
ſondern nur blos ihre Neunnee, als welche allein

dehraucht werden, weshalben ich auch geſagt: ſtatt „
T, 6, , der 4te⸗ gte⸗2te Theil. *

X 2. Anm. So mie die Lispfund, als Theile von 1 Centner
betrachtet, zerſtreuet worden, eben ſo werden die
Pfunde als Theile von Lispfund; die Loth als

Theile vom Pfunde zerſtreuet. Eben ſo die Gro⸗

ſchen, Schillinge, Graten, als Theile vom Thaler⸗

die Pfennige als Theile vom Groſchen oder Echil⸗

linge ꝛc. als wovon ich nach und nach Tabellen, gleich
der vorigen, beyfuͤgen werde.

§. 251. Nun will ich auch den Nutzen dieſer Zer⸗
ſtreuungen der kleinern Sorte, gegen eine Unitaͤt
der Groͤßern, zeigen, als welcher nicht gering iſt, in⸗
dem beym Gebrauch derſelben nicht noͤthig iſt, ſo wenig
das aus verſchiedenen Sorten beſtehende 3te Glied
unter einen Namen zu bringen, als das erſte
Glied, der im dritten Glied befindlichen kteinern Sor⸗
ten wegen, ebenfalls zu kleinern Sorten zu machen.
Und alſo muß, bey Verhinderung eines großen Multipli-

catoris und großen Diviſoris, unfehlbar die Rechnung

ſehr abgekuͤrzt, folglich erleichtert werden. Wir wollen
die 100te Aufgabe zur Probe waͤhlen.

Solutio.
5 Centn. — 205 mS — 356 Centner 4 2?
Hr D 41 . : 8 4 2%
FPac. 1496 8 ſs

Nachdem die 4 Lſt im zten Gliede, als der 2te Theil
eines Centners gehoͤrig bemerket worden, ſo iſt ſodann
das 1ſte und ꝛte Glied mit §5 verkleinert, und mit dem
alſo verkleinerten aten Gliede 41, das Zte Glied 36 Centn.
vermehret worden. Das Produét 41 — 36, als der
Betrag fuͤr 36 Centn. allein, iſt noch nicht in Summa
gebracht, weil der Betrag von 4 Lſtb noch fehlet. Nun
aber

WN)V

aber it
ſo muß
Theil d
durch 5
AII)

dividitt,

Bettag
benſelber

f. 14.

gabe, 9
An,

— — —

=

— — —

or) D
loſt

36

Die practiſche Rechenkunſt. 2893

1 der aber iſt geſchloſſen worden: Wenn 1 Centn. = 41 m,
ſo muß der 2te Theil eines Centners auch nur den 2ten

Nang Theil des Preiſes von 1 Centner betragen; (denn das
iht de durch 5 verkleinerte Verhaͤltniß iſt hier wirklich 1 Centn.:
Uerſema; A1 m.8) deshalb iſt mit dieſer 2 auch in den Preis 41 m8
ge allein dividirt, und der Quotient: 20 mMmg 8 ſe, als der wirkliche
eſagt: ſun Betrag fuͤr 4 Lſ,, unter die vorigen Facta geſetzt, mit
1 Criner denſelben in eine Zumma gebracht, und alſo das naͤmliche
verden ie. Fac. 1496 M2 8 ſe, wie bey der Solutio der 100 ſten Auf⸗
it ii gabe, gefunden worden. D
ſh die Gre⸗ Anm. Dieſe Rechnungsart wird insgemein die Welſche
n Chalers Practica genannt. Allein, da jeder in der Rechenkunſt
der Echl⸗ Unerfahrne erſt die größern Sorten, und nach die⸗
Nen gleich ſem auch die kleinern Sorten, alſs ebegfalls theil⸗
neiſe: wie hier geſchehen, berechnet; ganz natuͤrlich
er get⸗ folgert und ſchließt: wenn 1 Centn, 41 Mark koſtet,
e Unitit ſoo koſten 36 Centn. auch 36 mal 41 Mark, und weil

4 Lispfund ein halber Centner iſt, ſo muß er auch

ſt in⸗ Jalb 41 Mark koſten ꝛc., ſo koͤnnte dieſe Rechnungs⸗
ſo wenig tlauch da natürliche beißen.
zt: Gd Lo) Wenn 18 Centn. mit 146 i§ bezahlt werden, was,
das ete 1 keoſten 121 Centn. 2 L b?
in SLo2) Was koſten 96 Centn. 5§ LAſtk, wenn 3 Centn. zu
mnchen. 446 Thaler bezahlt werden? õ
Multip. “ Solutio.
Rechnung Centn. –— 46 Thlr. — 96 Centn. 5 Lfb.
tr wolen 96 2
276 114
t⸗ 23 Beteag fuͤr 48fB5.
4* 5 . 18 . Betrag fuͤr 1 8f.
4444 18
n Bil 3) Fac. 1491 Thlr. 14 S½
iſ ſcaun Nachdem 5 Lſ in 4 und 1 zerſtreuet worden, iſt erſt⸗
fit dem lich der Preis von 3 Centn. 96mal genommen, aßer
35Centn. . die Facta ſind noch nicht in Summa gebracht, weil
ls ee. nooch der Betrag fuͤr 5 Llb darzu kommen muß.
Sunmnt Weil nun 4 Lſb der 2te Theil eines Centners, ſo
Der 1

284 Die practiſche Rechenkunſt.

muß auch der 2te Theil aus dem Preiſe 46 Thlr.
(welchen man inzwiſchen ſo annimmt, als ob er nur
fuͤr 1 Centner waͤre) genommen werden, und dieſer iſt
23 Thlr. als ſo viel fuͤr 4 Lſ oder ½ Centner kom⸗
men mußten, daferne 1 Centner = 46 Thlr. Weil
aber noch der Betrag von 1 Lf fehlet, welches der
4te Theil von 4 Lf, uns auch ſchon der Betrag von
4 ftb bekannt iſt, naͤmlich 4 2 / = 23 Thlr. ſo iſt
auch der 4te Theil aus dieſe 23 Thlr. genommen
und = 5 Thlr. 18 20 befunden, nun ſind ſowohl die
Facta 96 —α 46, als auch der Betrag von 4 Lt +
Lſt, alſo von 5 Lſt in eine Summe gebracht, und end⸗
lich mit dem erſten Gliede dieſe um zmal zu große
Summe dividirt, und demnach das richtige Facit
gefunden worden.
103) 8 Centner werden mit 39 Rß bezahlt: was werden
86 Centner 6 Lſt betragen?—

104) 5 Centner koſten 19 Lvl. was 35 Centner 7 Lkt ?·
Solutio. SS .
6 Centn. — 10 Lvl. — 35 Centn. 7 At?

6 :.
3 3 7 4 412
I5;: 16 8 112
IIO⸗ 16 ⸗ 8 Betrag ſuͤr 35 Centn.
I = II ⸗ 8 ⸗ — ⸗ 4 Lſt
—, I15 10 ⸗ 2 Lff.

— 7 Ir ⸗ ⸗ I Lit
Fac. 113 Lvl. 12 ſtvl. 1

Weil hier 35 Centner im zten Gliede zerfaͤllt werden
koͤnnen, ſo iſt es Vortheil, das 1ſte und 2te Glied
durch 6 zuver kleinern, ob auch gleich im ꝛten Gliede
drey Sorten, Lol., ſevl. und grvl. entſtehen:
lieſ⸗

—

46 e.
ob er nar
d dieſerſt

ener kum

t. Weit
belches der

etrag dun

hlr ſoſt
enofmnnen
ſoohl Re
4be
, Undend:
u große

ge Faciit

Werden

14!

22
12

4At:
2
1

f werden
te Glied
Gliede .
Utſiehen:
ſtſ⸗

Die praetiſche Rechenkunſt. 285

nieſſen ſich aber die Centner des zten Glieds nicht zer⸗
faͤllen, ſo wuͤrden die dreyerley Sorten im 2ꝛten Glie⸗
de die Arbeit erſchweren. Nachdem das verkleinerte
2te Glied, 3 Lwv. 3 ſovl. 4 vl. mit 5 α7 multi⸗
plicirt, ſo⸗ iſt das Product 110 Lvl. 16 ſSol. § Gvl.
der Betrag fuͤr 35 Centner. Ferner iſt fuͤr die 7
Lff, nach ihren zerſtreuten Theilen: 4 2t = ¼ Cent⸗
ner; 2 Lſkt = 4: 4 L, und 1 Lſt = 4: 2 Lb,
nach und nach aus den mittelſten Gliede; 3Lvl. 3 ſevl.
4 Gol. der gehoͤrige Theil genommen, und geſchloſ⸗
ſen worden: wenn 4 Lf der 2ꝛte Theil von 1 Cent⸗
ner, ſo muß auch der 2te Theil des Preiſes eines
Centners der Betrag fuͤr 4 2 ſ ſeyn; desha ben auch
der 2te Theil aus 3 Av. 3 fs vl. 4 Gvl. genommen
und unter den Betrag fuͤr 35 Centner geſetzt wor⸗
dDden iſt. Ferner: weil 2 2f aus 4 Lf der ate Theil,
ſo iſt auch, durch die Diviſion mit 2, in den Betrag
fuͤr 4 8 t, ebenfalls der 2te Theil deſſelben genom⸗
men und unter den Betrag fuͤr 4 Lſt geſetzet worden.
Ferner iſt auch fuͤr 1 L†, als den 2ten Theil von 2
Afß, der 2te Theil des Betrags fuͤr 2 2 genommen,
und unter den Betrag fuͤr 2 L geſetzt: Endlich
Abber alle dieſe einzelen Betraͤge fuͤr 35 Centner; fuͤr
4?fur 2 und fuͤr 1 2t in eine Summe gebracht wor⸗
den; als welche Summe, da ſie, wie der Augen⸗
ſchein in der Solutio zeiget, den Betrag ſo wohl
der 35 Centner als auch der 7 Lſß wirklich enthaͤlt,
auch das verlangte richtige Facit ſeyn muß.

§. 252. Weil die Partes aliquotæ, ans welchen klei⸗
nern Sorten ſie auch genommen werden, ſaͤmtlich einan⸗
der aͤhnlich ſind, und Bruͤche geben, deren Zaͤhler 1 iſt,
(§. 249.) ſo kann es auch mit Niederſchreibung derſelben
keine Schwierigkeit geben, deshalben werde ich ſie kuͤnf⸗
tig bey noch zu zerſtreuenden Sorten weglaſſen, und nur
allein die zu der E Zerſtrenung gehoͤrigen Partes aliquantas
hinſetzen. Z3. E.

Zer⸗

a86 Die practiſche Rechenkunſt.

Zerſtreuung der A gegen Scht à 20 L ¼.
3 6 7 8 9 11 12

2 10 54 54 45 4 15 10 2 10 2
5 15 1 5 411 41 10 5
III 114
13 14 15 16 1272 18
—,,— r= – — —,— —,—
10 2 I10 2 10 2 10 2 I0 2 1I10 2
2 5 2 5 52 52 52 2
112 211 1 5 15
1I1 I 1
X1
19 Lf.
102 Man darf nicht denken, daß nur eine Art zu
5 2 zerſtreuen moͤglich. Keinesweges! Man
1 5 kann vielmehr auf ſehr verſchiedene Arten
11 zerſtreuen, von welchen immer eine Art beym
I 1 Rechnen vortheilhafter als die andere iſt.
XI Wir wollen z. B. einige der vorigen Zahlen

auf eine andere Art zerſtreuen. L
5 9 12 17 18 19 oder 19 Lf.

4 4 4 5 10 ſ2 (10 ſ2 (10ſ2 (10 ſ2
2 2 4 5 4 1( 5 2 4 5 4 5 (5 4
112 4 2 5 411 41 45
114

Die 9 Lſtb ſind hier in 50 und 4 zerſtreuet, und beyde
Jahlen aus dem ganzen Sfp, d. i. aus 20 L genommen
worden. . . 4 1
Und weil 5 2 = ½ Sſt, und 4 2k = 4 Schfß,
Bruͤche geben, deren Zaͤhler 1 iſt, ſo koͤnnen dieſe alſo
zerſtreuten Theile als Partes aliquotæ betrachtet werden
Die 17 L Sâ ſind in 10, 5 und 2, alſo ebenfalls, wie
bey 9 Lſt, nicht in auseinandergenommenen
Zahlen zerſtreuet worden; denn die letzten 2 LQſ, ſind
nicht

nicht an
tthen 1
heſe, h
2, nich

Pringn

den.
len 10

p gen

Di
Zerſtren
genomm

*
120=

8
₰

10 2
32

15
—
10 2
52
15
11
1 1

e Art in
61 Man
dene Arten
Attbeym
noere iſt⸗
n gahlen

1 i h.
—
10 %

0
34
45

s bede

enomtnen

dlo

Se verden—

ſels, vie .

mme il
1 . 7
3 ſiht

Die practiſche Rechenkunſt. 287

nicht aus den uͤber ihnen ſtehenden 5 Lfp ſondern aus den

erſten 10 2, der te Theil. Eine ſolche Zerſtreuu
. rſtreuung, wie
dieſe, heißt durch Ueb erſpringung zerſtreuen, welt die
2, nicht aus der uͤber ihr ſtehenden 5, ſondern mit Ueber⸗

ſpringung dieſer 5, aus der ſolgenden 10 genommen wor⸗

den. Bey 18 und 19 Ll ſind die erſten z
S erſtreuten Zah⸗
len 10 und 4 ebenfalls, wie bey 9 Lf geſchenmn⸗ aus 8
Lft genommen worden, die uͤbrigen aber nach ihrer Folge
Die am Ende ſtehenden 19 ſind in
zerſtreuet, und alle 3 Zahlen aus dem ganzen Sehſe

genemmen worden; denn 10:20:—2; 5: 20= 4 und

4:20=— 5.
1. Anm. Um Irrungen zu vermeiden, pfl man
chen zerſtreute Zahlen, welche gemetaſchafrlich a⸗
bdem Ganzen genommen worden, wie die 5H und 4 ben
9 Lispfund; die 10 und 4 bey 18; und die 10, 5 und
4 bey den letzten 19 Lispfund mit einem Bogen (zu be
zeichnen, um dadurch zu bemerken, daß mit ihren
Theilen, welche gemeinſchaftlich aus dem Gan⸗
zen entſtanden, auch gemeinſchaftlich aus dem
Preiſ⸗ des Ganzen genommen werden muͤſſe. Und
1 bkeichne, der dereak Bogen bey den am Ende ſte⸗
nd, daß die Theile aller 3 zerſtrene
Zablen. 1 F und 8 Lispfund aus den bangen
nlien em Schiffpfunde genommen werden
ben ſo geben die Spitzen des B
„Eben ſo geben . ogens
Liesgienn iuedemerken, daf die untern 3 is den a
den en ſtehenden 5 Lispfund, ſondern, mi
NVeberſpringung der 5 Lispfund, aus den ſgern, wit

7

Lispfunden genommen worde“, und alſo auch der aus

2 Lispfund entſtandene eil aus dem fu
dene ˖Ste Theil aus dem für 10 Lis⸗
vfund gekommen Betrage, genommenen werden aie⸗

2. Anm. Wenn Zahlen, ſo wie bey a) mit ei
und bey b) mit 12 Lispfund de Beben, a. ichel
Zahlen zerſtreuet worden, die völlig einander
gleich, ſo koͤnnen ihre Theile auseinander genome
men nur 1 ſeyn. Den 4 Lispfund: 4 Lispfund — 1
d. i. 4 Lispfund ſind aus 4 Liespfund der 1ſte Theil.
8 148. Reg. 1.) Da unn 1 nicht dividiren kann ſo
darf man vuch nur in ſolchem Falle, wie bey 8 Lispfund
en fuͤr die erſten 4 Lispfund gefundenen Betrag juͤr
. die

288 Die practiſche Rechenkunſt.

aber, welche in 4 P+ 4 =4 zerſtreugt worden, fuͤr dis
eten und 3zten 4 Lispfund noch amal ſetzen.
1. Zuſ. Daraus ſiehet man, daß es ungemein vor⸗
theilhaft iſt, ſo zu zerſtreuen, damit die zerſtreueten
Zahlen zu ihren Theilen, ſo oft als moͤglich, 1 ge⸗
ben: denn bey Zerſtreuung der 12 Lfb in 4 P4 P+4
iſt nur einmal zu dividiren noͤthig, und daher eben
ſo viel, als ob dieſe Zahl gar nicht zerſtreuet waͤre.
2. Zuſ. Daher kann man auch bey a) die 19 Lf ſo
anſehen, als ob ſie nur in 3 Zahlen, naͤmlich in 10,
5 und 1 zerſtreuet waͤren, weil die 3 folgenden ein⸗
zelnen L† Theile geben, welche = I ſind. .

§. 253. Ob es gleich einem offenen Kopfe ſehr leicht

ſeyn wird, daferne er nur eine Art kleinere Sorten gegen

eine Unitaͤt groͤßerer Sorten zu zerſtreuen gelernet hat,
nach dieſer, alle nur moͤglichen Sorten, ſie moͤgen
Namen haben wie ſie wollen, zu zerſtreuens ſo kann ich
doch nicht unterlaſſen, um derer willen, welchen jedes
Neue eine gewiſſe Schwierigkeit verurſacht, noch mehrere
Zerſtreuungen, das Gewicht betreffend, hieher zu
ſetzen. .

Zerſtreuung der t gegen Lſb à 14 ff

3 4 5 6 8 9 10 rIr
—— — —,— —— —,— — —— —
2 2 27 2 7 2 7 17 72 (712 2“
1aD 2 I 2 1 2 1I 17 ſ 2 7 2 7
1 2 2 2 III I 2 2 11.
I 2
12 13 fk
—,— ——
2 72
07 2 7
2 1 2 1

2 23

die aten 4 Lispfund noch einmal; bey die 12 Lispfünd

Miden

1: Asun
A

h.

emein N
jetſtreieten
ich, 1 ge

daher tbeſt
reuet ware⸗

19 b

lich in10,
Neuden ik

ten gegen
lernet hat,

4 kunn ich

lchen /ehes
ch mehrere

Die practiſche Rechenkunſi. 289

Zerſtreuung, der Lothe gegen 32 Loth.

5 6 7 9.

1I14 212 2
2
15 “
—,—
4 8
2 † 16 8
2 2 I
2
23

8

IO II 12

4 5 3 4 34 2 4 2
118 214 2 4 4 2

I 2

oder 17 8. 19

—

“ S 1 8
X 2

24 oder 24

ſhr ife

ſe nign 26

1612

414

2 2
1

28

16 1612
a ro

314 3 4
2 1

12 4

2 * “
7 29 30 31
+ —,—

8 4 16
4

612
8 2
2 4 12 4 31
4 2
1I2

162
812 8

*
2 16 2 r
2 8 2

4 212

105) Wenn 5 Schfß 25 Lvl. koſten, was muß ſr 34

Schl bezahlt werden?

Solutio.

5Schſt— — 25 Lvl. — 34 Schl;

5

—
170

en

1 25
—,—
1 20
3

Fac. 170 Lvl. 5 ſevl.

4

Nachdem hier erſtlich mit dem verkleinerten 2ten Glie⸗

de die 34 Schit des zten Gliedes vermehrt und der
Betrag fuͤr 34 Schſt = 170 Lol. geſunden; ſo iſt

auch

290 Die practiſche Rechenkunſt.

auch 2tes der 20te Theil aus 5 Lvl. oder 120 ſzvl.

S= 5 ſzvl. genommen, und endlich beyde Betraͤge in

eine Summe gebracht und alſo das Facit 170 Lvl.
5ſovl. gefunden worden.

Anm. Man hat nicht immer noͤthig, wenn der Diviſor,
wie hier, 20 in 5 Lol. nicht genommen werden kann,

die groͤßern Sorten des Dividendi erſt zu den folgenden
kleinern Sorten, wie hier die 5 Lol. mit 20 zu ßol.
in machen; ſondern man darf nur bey dergleichen Faͤl⸗
en den Dividend. zum Zaͤhler, den Diviſor aber zum Nen⸗
ner annehmen, ſo entſteht zum Ouotienten ein Bruch

welcher hier 38 Lol. iſt. Wenn man nun weiß,

daß Lyl. = 1 ßvl., ſo weiß man auch daß Lol.
— 5 ßvl. ſeyn muͤſſen. Macht man dieſen Bruch auch

kleiner, alſo 4. ſo wird ebenfalls nicht ſchwer ſeyn

um einzuſehen, daß 3 Lol. d. i. der 4te Theil von 20
ßol. — 5HOßvl. Gewiß ein Vortheil welcher, da ihn die
Zerſtreuung ſelbſt an die Hand giebt, wohl werth iſt,
ihn ſo oft als moͤglich zu nutzen.

106) 4 Schlb koſten 105 ma: was 36 Schlk 6 ,lb7

107) Was koſten 55 Schſt 7 A, wenn 3 Schf fuͤr 96
mng bedungen werden? . .

108) Was 86 Sch 9 wenn Schſp fuͤr 108 mMm8 zu
haben? Sðð “??”MVMU

S=Jèð Solutio.
4l 1oen — 86 Schfb o Lf
4 . . 3 —,—
27 — 5 4 (§.
2322
6 ‧12
64 4

Fac. 2334 8 2 ſ54 G
Weil hier 9 2ſtb in 5o und 4 zerſtreuet und beyde Zahlen,

aus dem Ganzen genommen, Theile ſind, deſſen

Zaͤhler

4

.

109) 2G

FES

II0) Va

mit

1II) Ven
wird

32 64

Eiſt iſt
Factn
weilne
Aur
ſauch
tmne
nnfi

oſr. .
Bettage in
It 170 l.

der Dimior,
verden kan
en folgenden

it 20 pol.
gleichen Fil⸗
Her zumn Nen⸗
en kin Bruch
1 nun ten,
daß ,Lyl.
Brdchouch

tſchver ‚ao .

heil tun 10
W ih die
werth iſ,

zihles

ſnd, deſſen

—„

Die practiſche Rechenkunſt. 2 91

Zaͤhler 1 iſt, ſo iſt auch ſo wohl mit den als ½ aus
dem verkleinerten 2ten Gliede 27 genommen, und fuͤr 5
Afp der Betrag von 6 M8 12 ſe; fuͤr 4 2 aber der
HLeetrag von 5 m 6 4 ¼ Q gefunden worden ꝛc.
Anm. Ben der vſten Diviſ. mit 4 in 27 ließ ſich der in vor⸗
hergehender Anmerkung gezeigte Vortheil anbringen,
denn von den 2 Mark, welche nach Abzug des Products
24 von 27, übrig bleiben, laͤßt ſich leicht einſehen, daß

E
venn 1 Mark — 4 † ſo auch ?2 Mark — 12 ſeyn muͤſſen.

Hingegen kann dieſer Vortheil nicht ſtatt ſinden dey
der folgenden Diviſon, der 5 in 27, weil man bey den
hier entſtehenden Bruch nicht ſo leicht einſehen kann,
wie viel ? Mark ſey? verohalben maͤſſen hier, die nach
der Diviſion uͤbriggebliebenen groͤßere Sorten, die Nark
zu ß gemacht werden ꝛc. Und ſo mit allen Reſten, wel⸗
che dergleichen aͤhnliche Bruͤche geben.
109) 2 Schit werden bezahlt mit 95 S.: was kommen
35 Schſb 9 Lib?
110) Was kommen 40 Schl 12 Lb, wenn 3 Schk?†
mit 85 Ra bezahlt werden?

1II) Wenn 32 Scht fuͤr 324 m bezahlt werden, was

wird man fuͤr 36 Sch 17 Ap bezahlen?

=ðWU Solutio. ”Gä
22 Schlk — 324 MW — 36 Schi 12 ct?
4) —— 288 —
8 81: “ IO 12
30 3 (52 2
204 5

(§. 252. P.) 8 I 17 ½
2984 13 7 ½
JU 373 8 1 66 8 4 % dr ½ K.
Erſt iſt, bekanntermaſſen, 36 mit 81 muttipliciret, das
Faétum davon aber noch nicht in Summa gebracht,
weil noch etliche Poſten darzu kommen muͤſſen naͤmlich:
Fuͤr 10 Lfÿ„„als der 2te Theil eines Schiffpfundes,
iſt auch der ꝛte Theil aus 81 8 = 40 Mm§ 8 5 ge⸗
nommen und unter das Vorige geſetzt worden. Fer⸗
ner fuͤr 5 Lſt, als den 2ten Theil von 10 Lſ5½, iſt
T 2 auch

Die vpractiſche Rechenkunſt.

uuch der 2te Theil des Betrags fuͤr 10 Lf d. i.

20 m 4 ſ genommen und unter das Vorhergehende

geſetzt; ferner iſt auch fuͤr 2 2t, als den Sten Theil

(durch Ueberſpringu ng der 5) von 10 Lſ aus

deren Betrage: 43 mM8 8 ſ, der 5te Theil = 8
1fſ571 genommen; darauf aber alle Betraͤge fuͤr

. 36 SchaT. 10 2 b 5 LE P2 Llꝑi in eine Humme
gebracht, und dieſe endlich mit 8 dividiret worden,

da dann das wahre Facit erſchienen.

1) 15 Schf werden fuͤr 96 Ré. bedungen, was kom⸗

men demnach 18 Schl 18 21½?
Solutio.

eal eec — 1Sht gal

356
6 : 19 2 ½¾ Betr. fuͤr 4 8t
6 19 ⸗2 2 ⸗ 4 2f
604: 38 ;T 44
5) Fac. 120 Rl 46 ſsa oder 4½ (§. 167 Zuſ. u. f.

Da hier 18 Afk in 10 P4-P4 zerſtreuet, die 10 2

aber ſo wohl als die folgenden 4 L aus dem gan⸗
zen Sch i d. i. aus 20 L genommen worden, davon
10 25 der ate⸗4 Lf½ aber der Ste Theil, ſo ſind auch
beyde Theile aus 32 Re genommen worden; und
weil die ſolgenden 4 eſÿ der 1ſte Theil aus 4 2 d.
i. weil 4 2 ½ = 4 ſt, ſo iſt auch der Preis fuͤr .V
4 L noch einmal genommen worden ꝛc.

§. 254. Wenn die Unitaͤten der kleinern Sorten,
neben den Unitaͤten der großern Sorten, in ſolcher An⸗
zahl vorhanden, daß noch wenig derſelben fehlen, um da⸗
fuͤr eine Unitaͤt der groͤßern Sorte rechnen zu koͤnnen: ſo
ſetzt man, mit Weglaſſung der Unitaͤten kleinerer
Sorten, den unitiiten groͤßerer Sorten eine Uni⸗
. taͤt

16 Betr. für rot⸗ 252. b.) H

tat u, be
wie piel a
Gorte
utn dafuir
Doch mi.
geben,
Gtat
ſtatt 10
19 Schk
An.
e
it

15 Cg
‚—

Venn hi
den,
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das P.
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worden

113) Vene

fur 24

10 r Nͤi.
rhetgehende
ten Teil
10 b, ans
helleN
Betruͤgeſſir
eine Summe
döret worden,

en, Wad iun⸗

1G25.)

—⏑

t, die 1o ſb
s den gan⸗
Utden, Kron
ſoſth ench
dorden, und
nus d.
1 Pres fir

rt Etten,

ſolcher An⸗
len, un de

konnen: e
zlingt
eint in
neie ſtet

fuͤr 24 Schl 19 Lt Ce werden?

8

Die practiſche Rechenkunſt. 293

taͤt zu, bemerkt aber, mit vorgeſetzten Zeichen — (minus)
wie viel an der nun um 1 vergroͤßerten Anzahl groͤßerer
Sorte noch an Unitaͤten der kleinen Sorte fehlen,
um dafuͤr 1 Ganzes groͤßerer Sorte rechnen zu koͤnnen.
Doch muß das fehlende allemal einen Bruch
geben, deſſen Zaͤh ler 1iſt. Z3 E.
Statt 9 Centner 7 2ſt ſetzt man 9 LCentner — 1 L ½,
ſtatt 10 Centner 6 Lf ½ ſetze 11 Centner — 2 Lk: ſtatt

18 Schſ 18 2k: 19 Sch b — 2 2 ½ ꝛc.

Anm. Man nennt dergleichen Zerſtreuungen: durch minus
zerſtreuen. Wie groß der Vortheil davon iſt, wollen
wir gleich bey Berechnung vorhergehender Aufgabe ſehen.

Solutio.
5 15 Schts — 96 Ré — 18 Schſp 18 2fk
5 23232 19 Schlt 2 E
228 2ro

608
604 ⸗ 38; 44
5) Fac. 120 R 46 s 4 oder 39 .

Wenn hier zu 18 Schlſtb 18 A noch 2 Lf gelegt wuͤr⸗
den, ſo waͤren es 19 Schitß, deswegen haben wir⸗
unter die gemachte Linie geſetzet: 19 Schſtb — 2 f,
und dieſe 2 2 ſind = a; oder der 10te Theil von
Schlſp. D
MNun iſt der Preis 32 RE mit 19 vermehrt, und
das Factum 608 RC gefunden worden. Da aber
in dieſem Facto der Preis fuͤr 2 2 d. i. 1 Schſt
zu viel ſteckt; ſo iſt auch der 1ote Theil des Preiſes
32 von dem zu großen Faéto 608 widerum abgezogen
worden, da dann der Reſt mit 5 dividiret, das wah⸗
re Facit geben muß.
113) Wenn man fuͤr 5 Schlẗ 25 Lvl. bezahlt, was muß

So⸗

294 Die practiſche Rechenkunſt⸗

Solutio.
5 Schſt— 25 Lvl. — 24 Schſk 19 Lſ
5) da. — 22 28
1 5 . 10 2
2121220 5 2
Betrag fuͤr 1o Lb 2 ⸗ 10 1 §
5 1 5 I1 1I
R 5 II
,1 — S5 II
„ 1 52”
4 „ 1 — , F
Fac. 124 Lvl. 15 ſsvl.
oder:
Schlt — 25 Lvl. — 24 Schkk 19 9fk?
— — 5 —, —
5 2
. 120 5 4
2 10 ſ5
11 5
1 5—

Hier ſind 19 in 10 Prs PA4 zerſtreuet, und alle 3 Zah⸗
kern aus den ganzen Schifpfunde; aiſe auch die Theile
4½, ¾ und aus dem ganzen Preiſe vom Schib ge⸗

nommen worden.

124 Lvl. 15vl.

oder.

zScft — 25 Lvl. — 24 Schetbh 19 A

5

(vid. §.254.) + — : 5

—

—,,—

,S r

— — 120
ac. 124 Lvl. 15 ſavl.

cier
wor
die
N
tipl
liche
vorh
Set
zu
ſchu
Sch

Eun
iichti
Anm. D
vor
ſ
ere

6255

Wen, deren

Wundk

Auth e en
niſe tin

Mſen: ſo

ſchiedenen

2
2
1
1

—

Die practiſche Rechenkunſt. 295

Hier ſind 19 Lſt durch minus zerſtreuet, und geſagt
worden: 24 Schſ 19 Alt ſind 25 Schſk — 1 Lfſk:
dieſes 1 2 aber iſt der 20ſte Theil von 1 Schſt.
Nun ſind die 25 Schf mit dem Preiſe 5 Lvl. mul⸗
tiplicirt und das Product 125 Lvl. als der Betrag fuͤr
25 Schfß gefunden worden. Weil aber nicht wirk⸗
liche 25 Schſtp, ſondern nur 25 Schſt weniger 12
vorhanden; ſo iſt auch in der Summe 125 Lvl. der
Betrag fuͤr 1 Oſt, welches an 25 Schſp noch fehlt,

zu viel enthalten. Mithin mußte dieſer Ueber⸗

ſchuß, welcher, als Schſ aus dem Preiſe fuͤr x
Schſp, naͤmlich aus 5 Lvl., § ſovl. betraͤgt, auch
wieder weggenommen, und von der zu großen
Summe 125 Lvl. abgezogen werden; da dann das
richtige Facit 124 Lvl. 15 ſevl. erfolgte.
Anm. Dieſe letzte Solutio iſt, ihrer Kuͤrze wegen, allen
vorigen Solutionen vorzuziehen, und werth, daß man
ic derſelben Art zu rechnen ſo oft als moͤglich be⸗
diene. .

§. 255. Wenn, wie oft geſchiehet, Aufgaben vorkom⸗
men, deren ztes Glied dreyerley Sorten, z. E. Scht,
Lſt und *; oder: Centner, Lſb und 15, oder Lb t und
Loth ꝛc. enthalten, die auseinander, nach dem Verhaͤlt⸗
niſſe zu einer Unitaͤt der groͤßten Sorte, zerſtreuet werden
muͤſſen: ſo hat man, weil alle zerſtreueten Theile der ver⸗
ſchiedenen kleinern Sorten, als Glieder einer
Kette aneinander haͤngend, auseinander folgen muͤſſen,
nur darauf zu ſehen, daßder letzte zerſtreuete Theil der
kleinern Sorte, welche der Groͤßten am naͤchſten

iſt, wo moͤglich, nur eine Unitaͤt, doch wenigſtens eine

ſolche Ziffer enthalte, daraus der erſte zerſtreuete Theil
der letzten kleinern oder vielmehr kleinſten Sor⸗
te einen ſolchen Bruch geben, deſſen! Nenner nicht
zu groß ſey, damit die Diviſion nicht ohne Urſache er⸗

ſchweret werde. Denn je kleiner ein ſolcher Nenner,

je leichter die Diviſion damit. Z. E.

„ Ran

296 Die practiſche Rechenkunſt.

Man ſoll 10 Lſ 8 b gegen 1 Schfh zerſtreuen.
10 2 8 5 beſſer: 10 Lf 8 †

240 2 7 20 4 [5 7
212

Bey der erſten Zerſtreuung ſind die 10 Lſtb als der 2te
Theil eines Schfß angeſetzt, die 8 aber gegen 1 L 2
14 k in 7 und 1 zerſtreuet, und weil die “2t aus 10 Lf
genommen werden muͤſſen, ſo iſt hier geſchloſſen worden:
wenn 7 aus 1 L oder 14 k der Ste Theil, ſo iſt 7 k

aus 10 Lf5 der 20te Theil; und 1 ſt aus 7 der 7te

Theil.

genommen worden, auch ein ſo großer Diviſor, als ;

iſt, entſtehen muͤſſen, als wodurch man eine ziemlich un.

bequeme Diviſion, zumalen in den kleinſten Muͤnzſor⸗
Len, nebſt daraus erſolgenden großen Bruͤchen zu er⸗

warten hat, welche man doch beſtmoͤglichſt zu vermei⸗

den ſuchen muß.

Hingegen zeiget der Augenſchein, daß die 2te Zer⸗
ſtreuung, erwaͤhnter Urſachen wegen, weit bequemer

faͤlt. Denn da hier die 10 Lf in 4 †4 P zerſtreuet
worden, ſo iſt die letzte Ziffer 2 eine ſolche Zahl, worin⸗
nen die folgenden 7 leicht zu nehmen, ohne daß ein
großer Diviſor, wie vorher geſchehen, daraus entſtehen
koͤnnte. Man ſchließt nun: Wenn 71† aus 1 L der ꝛte
Theil iſt, ſo muß 7 † aus 2 Lf der 4te Theil ſeyn u. ſ. f.
Ob gleich dieſes einzige Beyſpiel, zu Zerſtreuung ſol⸗
cher zuſammengeſetzten kleinern Sorten, ſchon zureichend
waͤre, um alle uͤbrigen darnach machen zu koͤnnen, zuma⸗
len die Zerſtreuung ſolcher kleinen Sorten einzeln
ſchon vorkommen (§. 250. 252. 253.) und die Zuſammen⸗

ſetzung derſelben weiter keine Schwierigkeit haben kann,

ſo will ich doch zur Uebung noch hieher ſetzen:

Wer ſieht hier nicht, daß, weil die 7 b aus 10 L

i b

iit

——

1 20

6b „
—

3

ſer 1u!

3) 3
1.
——
ur

reuen.

tin
4
177

, als det ꝛte
gen 1eft
ans 10 ft
ſen worden:
7 der te

aus 10 b

r, e 33
ziemli lich un:
n Muͤnzſor:
chen zu et⸗
u perlnei

die Ae Zet

it beguenmer
82 Zertt treuet
orin:
nein

4 e⸗ n
ſſenn u. f.
keuung ſil
4 zuu greichend
men, mna⸗
ten ei hein
ammen
haben kann,

.
*

Die practiſche Rechenkunſt. 297

. ) Zerſtreuungen zuſammengeſetzter kleinerer Sorten,

als L und [t gegen Schlt.
1eff 2 k. zett 3lk. 4 2F 4. en 5F.

7[20 2 7 2 10 2 14 210 2 217
1 12 2 1
2 1 2

6 2† K. 8 L1k „k. ret 10 ſ. 12 L I1 ſb.

6 712 4 R 7 3 D 2 7 2 102 7 4
155 2 100 7 215 117
I I 1I1
1r
beſer 12 Lb A 15 12 b. 18 1z ſ.
10 2 102 1 2 77
110 3 2 3 64 2 ( 21
4 2 1 4 5 211
11 3 112 2 1

Die uͤbrigen hier noch fehlenden Zerſtreuungen dleiben
dem Fleißliebenden — — .

b) Zerſkrenungen von zuſammengeſetzten kleinern Sorten
gegen Centner.

2 eb 1K. 3 15 5l. 4 81b 6t. 5ET K. 6 9lt 8fb.

18 3 7 2 4 2 7 2 4 2 2 7 12 4 2 7 2
Iir alr rI ar I a 2 1 r 1 4 Iz
4IZ IXI 2 1

Auch hier bleibt das Ausgelaſſene dem Fleißigen zur
Eegaͤnzung uͤberlaſſen.

4 c) Zerſtreuungen kleinerer S Sorten gegen L.

1 E 1 Loth. l 3 Loth. 3 ſt 4 Loth. 4 ſb 6 Loth.

114 1[32 1 14 2 16 2 7 418 2 7 4 16
III 112 rI12 2 1 212
T 5 beſſer

298 Die practiſche Rechenkunſt. .

1 —r ——
7 4 8 2 7 4 27 814
JI 2 2 2 2 I 214 2 11 4 2
I 2 1 2 212
7 * 177 voth. 8f 20 Loth. 9 r 24 Loth.
— — 11 † 1 1 2
27 8 4 12 16 2 7 2 16 4
2 I 8 I IZ 414 217 81ʃ2
1I 2

Auch hier mag der Fleißige das Fehlende hinzuthun.

114) Wenn 5 Centner bedungen werden zu 26 Thlr., wie

hoch kommen 36 Centner 5 L b4 b?

5Centner — 26 Thlr. — 36 Centner 5Lft 4 k.
36
— 112 2 7
150 114 211

Betr. von 48 ſt. 13
2 2 I 5 3 5 6
553 7 4 ;: 33
5) .
. Ppac. 190 Thlr. 15 90 3 32% Q.
Bew. Es iſt hier geſchloſſen worden: Wenn 1 Centner

26 Thlr. koſtete, ſo muͤßten 36 Centner auch 36 ℳ₰W₰M

26 Thlr. koſten, Weil nun, uͤber den 36 Centnern,
noch 5 Lſt 4 vorhanden, fuͤr welche ebenfalls die

Betrage derſelben hinzu kommen muͤſſen; ſo ſind—

dieſe 5 t, um ſie in ein Verhaͤltniß zu einen
ganzen Centner zu bringen, in 4 = Centner †
1. L = ¼ aus 4 L ſ, oder ½ Centner; eben ſo die
noch uͤbrigen 4 ſt, in 2 ! = ½2t † 2 b = 2 ſ?k
oder

X

beſſer 4 6 Loth. Irſ 10 Loth. 6 b 14 Loth.

inptchun.
, nie

11 Ceutuer
auch 36

,
6 Centneth,

zbenfels die
ſens ind

z ein en
Emtner⸗
een ſo die
17

—
1

oder

X

Die practiſche Rechenkunſt. 299

oder ½ L, zerſtreuet, und ferner geſchloſſen worden:
Wenn der Betrag fuͤr 1 Centner = 26 Thlr., ſo muß
auch die Haͤlfte dieſes Betrages, den Betrag fuͤr
Centner, d. i. fuͤr 4 Lſt, alſo 13 Thlr. geben; Wenn
4 Lſÿ den Betrag von 13 Thlr. geben, ſo muß auch
1 Li, als der 4te von 4 L, den 4ten Theil von
13 Thlr., alſo 3 Thlr. 6 ℳ geben; wenn 1 Lſt? den
Betrag von 3 Thlr. 6 90 giebt, ſo muß auch 2 †k
— ¾ Lſſt den 7ten Theil von 3 Thlr. 6 W, mithin
11 90 1 ½ Q geben; und weil die letzten 2 FK = 2 r,
ſo muß auch der Betrag derſelben dem vorigen
gleich, mithin ebenfalls 11 90 1 ½ & ſeyn.
Da nun alle dieſe Betraͤge, von allen Cent⸗

nern, allen Lispfunden, allen Pfunden, in eine

Summe gebracht worden, ſo muß auch dieſe SZumme
gleich ſeyn der ſaͤmtlichen Betraͤge; weil aber dieſelbe,
wie alle einzelnen Betraͤge, aus welchen ſie entſtan⸗
den, Fmal groͤßer iſt, als ſie eigentlich ſeyn ſollte,
indem nicht 26 Thlr. der Preis fuͤr einen Centner,
wie anfangs nur angenommen worden, ſondern fuͤr
5SCentr. iſt, ſo iſt auch dieſe BGumme mit 5 dividiret
worden, folglich muß dieſer S5te Theik, der um 5mal

zu großen Summe, das wahre Facit ſoeen.
Anm. Man bemerke hier, ein fuͤr allemal, daß, ſo wie

bey der Zerſtreuung zuſamm engeſetzter kleine⸗
rer Sorten, immer eine Zahl aus der andern
genommen worden, ſo auch ihre Theile in der Divi⸗

ſion auf einander folgen muͤßen.
§. 256. Weil bey den Doppelzerſtreuung

en, wegen

den vi len oft noch darzu ungeraden Theilen, welche

—

fie geben, mancherley Bruͤche entſtehen, welche in eine
Summe gebracht werden muͤſſen, ſo iſt noͤthig zu zeigen:

wie Bruͤche zu addiren.

Es giebt aber der Bruͤche, welcheaddirt werden koͤn
nen, zweyerley:

Bruͤche von gleichen Theilen, de i. ſolche, die

a)

einerley Nenner haben.

1

–

(b

300 Die praetiſche Rechenkunſt.

b) Bruͤche von ungleichen Theilen, d. i. ſolche, die
mancherley Nenner haben.

a) Bruͤche von gleichen Theilen, dei. gleichen

Nenunnern, verurſachen bey ihrer Addition gar keine
Schwierigkeit: Denn man darf nur ihre Zaͤhler addiren,
und unter die Summe derſelben den gemeinſchaftli⸗
chen Nenner ſehen, ſo iſt, daferne der gefundene Zaͤhler
kleiner als deſſen Nenner, die Addition ſchon geſchehen.
Iſt aber der durch die Addition gefundene Zaͤhler
groͤßer als der gemeinſchaftliche Nenner, welcher
bezeichnet, was fuͤr Theile in eine Summe gebracht wor⸗
den, ſo ſind in ſolchem Bruche Ganze enthalten. Wie

viel aber? erfaͤhrt man durch die Diviſion des Nenners

in dem Zaͤhler: Denn ſo oft der Nenner in dem
Zaͤhler enthalten iſt, eben ſo viele Ganze ent⸗
haͤlt der Bruch: was aber nach ſolcher Diviſion uͤbrig
bleibt, wird wieder neben dem gefundenen Ganzen im
Bruch geſetzt, ſo, daß der Reſt den Zaͤhler giebt, worzu
der alte Nenner, als Diviſor, der Nenner iſt.
Auf dieſe Art ſind die in vorſtehender Solution aus
gleichen Theilen beſtehendem Bruͤche 5 + £ addirt
worden, alſo: Die Zaͤhler 5 +5 = 10, darunter den
gemeinſchaftlichen Nenner 7, ſo entſtehet der neue Bruch

v, welcher, da er alle Theile der addirten beyden Bruͤche

P+ ½ enthaͤlt, auch denſelben voͤllig gleich iſt. Weil
aber der Zaͤhler 10 groͤßer als deſſen Nenner 7, ſo ſind
auch in dieſem Bruche Ganze enthalten.
Mache derowegen hinter dieſen Bruch einen Strich,
um den Quotienten dahinter zu ſetzen, alſo: 6 Nun
ſage: den Nenner 7 in dem Zaͤhler 10 habe ich 1mal,
d. i. 1 Ganzes fuͤr den Quotienten, alſo: ρ 1. Das
Produet 1 °7= 7 — 10 bleibt 3, darunter den Divi⸗
ſor oder alten Nenner, ſo entſtehet der neue Bruch 3, als
ſo viel Theile noch uͤber 1 Ganzes in dem Bruche ent⸗
Halten; dieſe neben das Ganze, ſteht alſo: 1 13, iſt
demnach ½⁹ = 1 ½ H.
1. Anm. Es moͤgen der gleichtheiligen Bruͤche, welche in
eine Summe zu bringen, auch noch ſo viel ſeyn⸗ 4

elche die

5)

de nicht,
en, laſt

ſchieden
unter eit
ſe benigi
Summa
(K86.
dieſer Gei
wird klar,
in ane E
dunch alt
gebrocht i
ungleicht
i⸗
N. Ie.
Mecti⸗ 4
Ren Thei

ihler, ſ. .

ſolche, die

i gleichtn
gor ktine
ler additen,
nſchaftlit
dent Ziher
geſchehen.
dene Züher
ſr, welger
hracht tor⸗
Aen. We
es Nenner
r in dem
auze ent⸗
ſon Wäg
Ganzen imn
iebt, worzu

lution aus
1 oddirt
gruater den
neue Bin
ben Brute
it. Wl
17, d

10 Nun

6 umnl,

Die praetiſche Rechenkunſt. 301

werden allemal, wie hier mit 5½ ¾ geſchehen, alle
vorhandenen Zaͤhler ſummirt, der gemeinſchaftli⸗
che Neuner darunter geſetzt, mit dieſem der zu große
Zaͤhler dividiret, um die Ganzen zu finden, und
darneben den Reſt in einen Bruch geſetzt. HS
2. Anm. Betraͤgt aher die Summe der vorhandenen Theiſe
einer Art juſt ſo viel, als der Nenner enthaͤlt, und
iſt alſo der Zaͤhler und Nenuer gleich groß, z. E.
5, F., 1 2¾ c. ſo iſt ein ſolcher Bruch eigentlich kein
Bruch mehr, ſondern ein Ganzes, weil alle Theile,
worin das Ganze getheilet worden, vorhanden ſind.

) Bruͤche von ungleichen Theilen, d. i. ſoiche,

die nicht, wie die vorigen, aus einerley Theilen beſte⸗
hen, laſſen ſich eben ſo wenig, als ganze Unitkaͤten ver⸗
ſchie dener Art, in eine Summe bringen, bevor ſie
unter einen Namen gebracht worden. (§. 3.) Denn
ſo wenig ich ſagen kann: 3 Rl. T 2 ſs + 1 G ſind in
Summa 6, weil dieſe Groͤßen nicht einerley Art ſind,
(§. 86.) ſo wenig kann ich auch ſagen: die Jaͤhler der
Bruͤche ½ ε betragen in Summa 8, weil die Theile

dieſer Bruͤche von ungleicher Groͤße ſind. Hieraus
wird klar, daß, um ſolche Bruͤche verſchiedener Art

in eine Summe zu bringen, ein Mittel noͤthig iſt, wo⸗
durch alle dergleichen Bruͤche erſt unter einen Namen
gebracht werden koͤnnen. Wer ſich alſo mit der Additio
ungleichtheiliger Bruͤche abgeben will, muß erſt lernen
Bruͤche unter einen Namen zu bringen.
S. 157. Man ſetze, ſo wie es beym Rechnen in der
Practik ohnehin allezeit geſchiehet, die aus verſchiede⸗
nen Theilen beſtehenden Bruͤche unter einander, und
mache hinter denſelben eine Perpentikulairlinie, als hinter
welche die neuen, ans einerley Theilen beſtehenden
Zaͤhler, ſo wie ſie nach und nach gefunden werden, und
zwar juſt neben die Bruͤche, aus welchen ſie entſtanden
ſind, zu ſetzen. Dann ſehe man zu, ob in den groͤßten
Nenner, dieſer in Summe zu bringenden Bruͤche, die
uͤbrigen Nenner alle ohne Reſt aufgehen, oder nicht?
Iſt das Erſte, ſo iſt dieſer groͤßte Nenner als Gene⸗
ralnenner in einen Bogen, welcher oben an die gemach⸗
te

302 Die practiſche Rechenkunſt.

te Perpentikulairlinie gefuͤget wird, zu ſetzen. Darauf

wird zuerſt mit dem Nenner des erſten Bruchs in den Ge

neralnenner dividiret, und der Quotient mit dem Zaͤhler
deſſelben multipliciret, das Factum iſt der neue Zaͤhler,
welcher neben den Bruch, woraus er entſtanden, geſetzt
wird. Eben ſo wird mit allen vorhandenen Bruͤchen
verfahren.

Iſt nun auf ſolche Art, aus jedem vorhandenen

einzelnen Bruche, ein neuer Zaͤhler gefunden worden,
ſo ſind auch, wie hernach erwieſen werden ſoll, alle

Bruͤche unter einem Namen gebracht, d. i. zu
einerley Theilen gemacht worden, und koͤnnen daher

alle dieſe neuen Zaͤhler eben ſo, wie bey a gelehret, in
eine Summe gebracht und darunter der Generalnenner
geſetzt, auch, daferne der Zaͤhler dieſes Bruchs, (welcher

ſo groß als alle addirten Bruͤche zuſammen genommen)

groͤßer als deſſen Nenner, ferner verfahren werden wie

gelehret worden. Man ſoll ½ + ¼ † *½ + =& addiren.

Solutio.
16 Wieil hier 16, unter allen Nennern der
6 gegebenen Bruͤche, der groͤßte Nenner
2 5 iſt, worinnen auch alle uͤbrigen Nenner,
4 2, 4 und 8 ohne Reſt aufgehen, ſo iſt
2 derſelbe zum Generalnenner gewaͤhlet
75 5 und oben an geſetzet worden. Nun iſt

LL:11 „ der Nenner des erſten Bruchs ½, in den
Generalnenner 8mal enthalten, dieſe 8
mit den Zaͤhler deſſelben Bruchs vermehrt,
giebt 8, welche als ein neuer Zaͤhler
neben den Bruch geſetzt worden.

Ferner ſage bey den 2ten Bruch ½, 4:

16= 4 und 4 α¾1 = 4. Dieſe ſetze,
als den gefundenen neuen Zaͤhler, ne⸗
ben den Bruch ½

Ferner ſage: 8 in 16:— 2 und 2 %3 = 6, ſo iſt der

neue Zaͤhler des 3ten Bruchs gefunden. Ferner ſage:
16 (als Nenner des letzten Bruchs *½) in 16— 1I und
. I ☛ 5

1

4
7

1 &

und hiem
men geb

14†

arunter!

Bruch,
Bew.
Bruͤt
nenn
Gan
gen
den,
dirio
derg
vond
ß
d
nen
ſihen,
tinen!
Diß n⸗
meyr
legebe
etgiebt

Die practiſche Rechenkunſt. 303

1 5= 5, ſo iſt auch dieſer le letzte neue Zaͤhler gefunden,
Otaf und hiemit ſind alle gegebenen Bruͤche unter einen Na⸗
iden s men gebracht worden. Endlich ſind alle dieſe neuen Zaͤhler—
den Ziſllr 8 + 4 + 6+ 5 addirt, welche die Summe 23 gegeben,
e zae, darunter den Generalnenner 16, ſo iſt der gefundene
den, geit Brnch⸗ welcher alle gegebene Bruͤche enthaͤlt = 2 oder
en Brichn 1 =. E. 256. ),

lthanderen Bew. Indem hier, aus den zur Addition beſtimmten
den oein, — Bruͤchen, der groͤßte Nenner 16 zum General⸗
ſol ltle ½ nenner genommen, ſo⸗ iſt auch dadurch zugleich das
, d 4 Gnze zu 1 und alſo nach dieſen Theilen zu einem
en Ner 2 gemeinſcheftlichen Maaße angenommen wor⸗
gtfet, i OUWMU den, nach welchen in einerley Theilen, der Ad⸗
perlterter dition wegen zu beſtimmen: wie viel ein jeder
6 relhet 1 der gegebenen Bruͤche dergleichen Theile
Cormme). 2 von Ganzen enthalte: Da nun gefundenworden,
enn mie daß aus 1 = :; aus = E; aus =
e. uund mithin auch alle dieſe geſunde⸗
N nen neuen Bruͤche aus lauter 16 Theilen be⸗
ſtehen, ſo ſind auch die gegebenen Bruͤche unter
Nemmn de aeinen Namen gebracht.
tt N Nenler Daß aber dieſe gefundenen 16 theilige Bruͤche weder
gen Nenntt, mnmebhr noch weniger vom Ganzen enthalten, als die
ſen Ne gegebenen Bruͤche, aus welchen ſie entſtanden ſind,
gergen kſ ergiebt ſich, wenn ſie durch Verkleinerung die vori⸗:
Nun iſt D. N.
e in uie gen Bruͤche wieder geben. 3. E. ☛ k 3 4t :
l nie, HM ſiu und hieraus n wird klar, daß = 4, = 4,
jeler Zahte = = ¾ wie 5 7. (§. 209.)
rden. . Weil nun, wie erwieſen, die gefundenen 16 theili⸗
drucht gen Bruͤche, den zur Addition gegebenen Bruͤchen
Diſe ebe voͤllig gleich, ſo iſt es auch einerley, ob dieſe
h gihet, oder jene in eine Summe gebracht werden. Nun
ſind ſtatt der gegebenen ungleichen Bruͤche, alle aus
6, ite denſelben entſtandenen 16theiligen Bruͤ⸗
e che it in eine Summe gebracht, wodurch der

„ 4

30 4½ Die pratiſche Rechenkunſt.

Bruch 23 2 gefunden worden, folglich enthaͤlt dieſer
Bruch die Summe aller gegebenen Bruͤche.

§. 258. Bisweilen finden ſich Bruͤche zu addiren, an

deren groͤßten Nenner die uͤbrigen d Nenner zum Theil,
oder alle nicht aufgehen. In ſolchen Faͤllen darf
man nur den naͤchſten Nenner, welcher in den groͤßten

nicht aufgehen will, mit denſelben multipliciren, und ſo⸗

dann verſuchen, welcher von den uͤbrigen Nennern in dem
Producte noch nicht aufgehen will, mit demſelben wird

das Produect abermal vermehrt, und ſo ſerner fortgefah⸗

ren, bis alle Nenner in einem der gefundenen Producten
aufgehen. Ein ſolches Product iſt ſodann der Gene⸗
ralnenner. Ein Exempel wird die Sache klaͤrer
machen.
Nan ſoll ½ T+ P 4 Té in eine Summe bringen.
Hier geht in dem groͤßten Nenner 5, der folgende
Nenner Anicht auf, deswegen giebt 5α4den neuen Nen⸗
ner 20. Weil in dieſen aber nur der Nenner 2, nicht
aber auch der Nenner 3 aufgeht, ſo werden dieſe 20 auch
mit der 3 multiplicirt, 3 % 20 = 60, welche 60 den Ge⸗
neralnenner geben. als:

60
. .„, α1
230 Hier iſt = 2
40 14= 48
45 = 2 ⁵
* 48 *½ = 2 ½⅝ .
63 2 4¾

Zuſ. Ohne das Mittel, Bruͤche unter einen
Namen zu bringen, wuͤrde man ſchwerlich den
Unterſchied von zween oder mehr gegebenen un⸗
gleichen Bruͤchen beſtimmen koͤnnen. Z. E. Es
wuͤrde gefragt: welcher von beyden Bruͤchen † und
4 iſt der Groͤßte? Weiß man aber daß 3 =2 ⅞ und

ſo laͤßt ſich leicht ſagen: daß um , oder um

5„Zeoößer als † ſehy.
*Mehr von Bruͤchen zu ſagen, behalte mir im
folgenden Theile vor.
Nun

120) We
121) WVie

Mh

Nun!
115) Va
für⸗ .
116) Vo
gyd
117) Wi⸗
werde

W

6r

n) Für

396
für

verde

122) Ver

103

ten als

g eg
Gliede E

men, ale⸗ .
lnitit 1

ſtreuen:
ſnnungen

henarhtin

welce der

nung itſcht
46 horthe
lſen Glie
Gicdes ver
dus e g
des iſn 6
frecin
in Zien

nthilt dieſer
lche.
oddiren, an
An Theil,
Fülen darf
den grͤßten
en, und ſor
Unern indem
nſelben wird
ger ſortgefeh⸗
en Producten
der Genen

Sache klaree

e bringen.

de Plgende V
nede Nen

aner 2, nicht
hieſe 20 uch
60 ben Ge⸗

ſtet einen

hwerlich en
egebenen un⸗
9 E E 5

BRW

g. 9.
viten 4und

42 4 und

. oder um
7

grite nit n

Nun

4

Die praetiſche Rechenkunſt. 305

D Nun wieder zur Practik! —èꝗMWDd
115) Was koſten 45 Centner 6 Lk5 5 b, wenn 3 Centner
far 28 Thaler bedungen worden? 8
116) Was 58 Centner 72 8 b, wenn 6 Centner um
97 RC zu haben?
117) Wie viel muß fuͤr 100 Centner 2 L 12 b bezahlt
werden, wenn 8 Lentner fuͤr 86 Lvl. zu haben?

1I8) Was gelten 34 Schſt 10 2]tb 9 ſr, wenn 3 Sch

76 Lvl. koſten?
119) Fuͤr 5 Sſß werden 305 Mg bezahlt, was fuͤr
38 Sch b 13 et II FE
120) Was koſten 736 Schſt 18 ſb 12 , wenn 9 Sch ſt
fuͤr 86 vl. bezahlt verden? —
121) Wie viel muß fuͤr 97 Schſ 19 L5 13 b bezahlt
werden, wenn 4 Scht 396 mg koſten?
122) Wenn man fur 12 Schſtb 506 ni8 bezahlt, was fuͤr
103 Schltb 17 2lt 13 lt

6. Aufgaben, wo im erſten Gliede groͤßere Sor⸗

ten als im dritten, welches verſchiedene kleinere

Sorten enthaͤlt, vorkommen.

§. 259. Man koͤnnte zwar, wenn z. E. im erſten

Bliede Centner, im zten aber Lſß, ſt und Loth vorkom⸗

men, alle 3 kleinere Sorten des 3ten Gliedes, nach einer
Unitaͤt der im erſten Gliede befindlichen groͤßten Sorte,
zerſtreuen: Allein, weil eine ſolche lange Kette von Zer⸗
ſtreuungen eine Menge von Bruͤchen unvermeidlich
hervorbringen, und dadurch, dem Zwecke der Practik,
welche der Kuͤrze wegen erfunden, zuwider, die Rech⸗
nung erſchwere und weitfäuftiger gemacht wuͤrde: ſo iſt

Es es vortheilhafter, daß man in ſolchen Fallen die im
Iſten Gliede befindliche groͤßte Sorte in die I1ſte des 3ten

Gliedes verwandele. D. i. Wenn das 1ſte Glied Lentner,
das zte aber Lß, ̈ und Loth enthaͤlt, man die Lentner
des 1ſten Gliedes zu Liß mache. Auf ſolche Art erfolgt
freylich ein groͤßerer Diviſor, als vorher, allein, da
im 3ten Gliede nun auch eine Sorte weniger zu zer⸗

4

306 Die practiſche Rechenkunſt.

ſtreuen vorkoͤmmt, ſo wird dadurch, daß nunmehr auch
keine ſonderliche Bruͤche zu befuͤrchten, die durch den
groͤßern Diviſor verurſachte Maͤhe hinreichend vergolten.
123) Wenn 4 Lentner um 196 RC zu haben, was wer⸗

den 36 Lft5 7 b 9 Loth koſten?

Solutio.
Aentner — 196 Rl. — 36 L 7 S 9 Loth?
49 “
294
14757 Betrag fuͤrz ü.
3 : 24 Betr. fuͤr 1 ſt.

42 „ ⸗ 8 Loth.
523 ⸗ 1 5
3) Fac. 2 2 3 Ré 32 ſs 107 ü.
Nachdem das Verhaͤltniß 4 Centner: 196 R6 durch
4 verkleinert, ſo iſt der im 1ſten Gliede gekommene 1 Cent⸗

—

ner mit 8 zu Lſtb gemacht worden, weil die 1ſte Sorte des

3ten Gliedes aus den ſelben Unitaͤten beſtehet. Darauf
ſind, wie §. 255. c. gelehret worden, die 7 b gegen 1 Lſ

oder 14 †; in 2 + 2 †+ 2 †+ 1 ; die 9 Loth aber gegen

den letzten Theil der Pfunde, naͤmlich 1 oder 32 Loth zer⸗
ſtreuet worden, in 8 Loth = ½ aus 32 Loth 1 Loth =
aus 8 Loth.
Nun iſt der Preis 49 Ré mit 36 multipliciret, dar⸗
nach fuͤr 2 ſtb als der 7te Theil eines Lispfundes auch der
7te Theil des Preiſes 49 R = (27 unter das Iſte Factum,
unter die 4 geſetzt worden. Und weil die folgenden 2
= 2k, ſo iſt auch derſelbe Betrag fuͤr 2 † noch einmal
unter die 1ſten 7 Rer und fuͤr die folgenden 2 t, welche
gleichfalls weder mehr noch weniger als die vorſtehenden
2 koſten koͤnnen, derſelbe Betrag 7 Re noch einmal
un⸗

eer das

V2 K

44 6 un

Koth den
Bettags

gte Thef⸗

iſt, genon
eine Eum
MNdurch de

ſonde
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8Wt
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16

Denn

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Haͤlfte
mol,

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qls ejf

Men un

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das vert
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1lß w

Alet e

die de⸗

ge berlan

4

umehr dunnch
durch den
gtent. von 2 ſt, auch die Haͤlfte des Betrags fuͤr 2 ſt = 3 R.=
na uis 24 ſz unter den Betrag fuͤr 2 t. geſetzt. Ferner: weil
Betrxags fuͤr = = 42 ſ&; und aus dieſem Betrage der
8te Theil fuͤr 1 Loth, weil Loth aus 8 Loth der Ite Theil
iſt, genommen wor den. Endlich ſind alle dieſe Betraͤge in
eine Summe gebracht und zuletzt mit 8 dividiret worden,

wodurch das wahre ver langte Facit gefunden iſt.

—
—
2
=
=
—

—
— 4-

dh.
1

l drch .
une bte
ſiGarte deS

het. Darauf
tgein
ih ah⸗ cher egen
rznbtch zer⸗
1lh=
hliine, der
ndes all

1ſehattum,

H Die practiſche Rechenkunſt. 307

Anter das Vorige geſetzt. Ferner iſt, weil 1 t die Haͤfte

8 Loth der 4te Theil von 1 b, ſo iſt auch der 4te Theil des

Bew. Da anfaͤnglich angenommen, als ob nicht 8 L ½

ſſondern 1 At = 49 RC. ſo iſt erſtlich fuͤr die 36 L†

der Preis 49 R auch 36 ma genommen, die Facta
davon aber noch nicht addirt worden, weil noch die
Betraͤge fuͤr die uͤbrigen 7 9 Loth hinzukommen
mußten. Nun ſind ferner die 7 , der folgenden
8 Loth wegen, in 2 + 2 +£ 2 †£ 1 f5 derſtreuet,
und fuͤr dieſelben, pro rata ihrer Theile, aus 1 L „
auch die gehoͤrigen Theile des Preiſes fuͤr
12ſb zum Vorigen nach und nach hinzugekommen.
Denn es iſt voͤllig einerley, ob ich den Betrag
fuͤr 7 b als die Haͤlfte von 1 L, alſo auch die
Haͤlfte des Preiſes 49 RE = 24 R6 24 ſ auf ein⸗
mal, oder ob ich die einze nen Bekraͤge fuͤr 2 +. 2 P
e 2 P 1RE = 7 Rl P 7 Ré P 7 Rlé P. 3 RE
24 ſ5, welche ebenfalls = 24 Rb 24ſ§5, in Rech⸗
nung bringe. Da ferner zu allen dieſen Betraͤgen noch
die Betraͤge fur 8 — 1 Loth, pro rata ihrer Theile,
aus einem Pfunde, aus dem Preiſe fuͤr 1 ÿ genom⸗
mmaen und gleichfalls dem Vorigen beygefuͤget; alle
dieſe Betraͤge fuͤr 36 2,/½ + 7 b +—9 Loth aber in
eine Summe gebracht worden; ſo muͤßte dieſe ſchon
das verlangte Facit enthalten, wenn, wie anfaͤnglich
nur angendmimen, 49 Rle der wirkliche Preis fuͤr
1 Lſÿ waͤre. Weil aber hier nicht 1 2, ſonder
8 Lſ = 49 S ſo iſt dieſe Summe auch 8mal
groͤßer als ſie ſeyn ſ ſollte — folglich muß der durch
die Diviſion mit 8 gerommene Quot. auch das wah⸗
re verlangte Facit ſeyn. S
2 124)

6

S0o8 Die practiſche Rechenkunſt.

124) Was koſten 84 Lf 9 b 10 Loth, wenn 6 Centner
fuͤr 200 RCr bezahlt werden?
125) Was 96 Lſt 10 16 Loth, wenn 3 Centner um
36 Lvl. zu haben?
126) Was 7 2t 13 It 24 Loth à 58 M den Centner?

Solutio.
1 1Centner — z8 mg — 7 2s 13 ſH 24 deth.
20°⸗ 2 (2 2 16 2
— 2 2 2 7 8 12
W : :1: 4
7 4 — GEr a g ete
3 ⸗ 10 —
1;: — ſ 656 4
1— 67 6 S* A
—‧ 4* 4 5½ 2
— 2 ½ —2

(AlA *
Fac. 57 Ing 13 ſ5 11¼ ⁹ [4 4½ 2 11417

Weil dieſe Solut. laut §. 259. eben nicht zu empfeh⸗
len, ſo werde auch keine andere Erklaͤrung daruͤber geben,
als welche der Augenſchein ſelbſt zeigt. Denn mehr, um

eilen augenſcheinlichen Beweis des Geſagten, als um ein
Muſter von Rechnungsart zu geben, habe ich dieſe Solu-
tio aufgeſtellet. Dafuͤr aber will ich zeigen eine weit
kuͤrzere

Solutio.
s b . “ d
465 „ 8 ſ[56
⸗6656 , 5
6: S1 aſe
—— — z612 *
462 : 15 “=òèDYM

8
) Tac zeme 13 ſt1re 2 5
Hier ſind die ver ſchiedenen⸗ Sorten des zten Gliedes

nach Minus zerſtreuet und geſetzt: daß 7 8 5 3 24 Loth
A=⸗ 8 Loth. Diee 8 Loth ſind aus 1 L der
556ſte

de Diiſt

Nun
lutt ſchon
Frage nn
nur nach/

fundenen4

dem Preeiſ

BPome
ſfſs

erflgte Q.

den, ſo m

der zoͤſte

Luth ſoyn

obgeſogen

den Betrag

nach geſchen

üilgge Pacit

Aun. M
nhl
als
Nurch
nl
geben

129) Wen.

loſt ſten

WB

derſirazf
velgnonn

nn 6 Cntner

Centner un .

Centner!

Die praetiſche Rechenkunſt. 3⁰9

z6 ſte Theil, welche Zahl in 7 — 8 zerfaͤllet worden, um

die Diviſion zu erleichtern.
Nun iſt der Preis 58 mit 8 vermehret, welches Pro⸗
duct ſchon das wahre Facit ſeyn wuͤrde, wenn wuͤrklich die
Frage nach 8 Lſtb ſeyn koͤnnte. Nun aber iſt die Frage
nur nach 88t weniger 8 Loth; mithin ſteckt in der ge⸗
fundenen Summe 464 noch ein Ue berfluß, welcher

dem Preiſe fuͤr 8 Loth gleich iſt, welcher alſo von der

66.209210.)
4

al,

0
2

y/

„

(7

t zu enpſch .

ruͤber geben,

n nehr, uun. .

4 dieſe Gr.

en eine weit

Summe wieder weggenommen werden muß. Da nun
die 58 nS zuerſt mit dem zerfaͤllten Theil 7 dividiret, der
erfolgte Quotient mit dem andern Theil 8 dividiret wor⸗
den, ſo muß auch dieſer gefundene Quotient 1 I8 6 ⅝ ,
der F6ſte Theil des Preiſes 58 M, mithin der Betrag fuͤr
8 Loth ſeyn. Weil nun dieſer Ueberfluß von der Summe
abgezogen iſt, ſo muß der Reſt 462 15 ſs 5 ¼ & auch
den Betrag fuͤr 7 Lb 13 24 Loth enthalten. Folglich
nach geſchehener Diviſion mit dem erſten Gliede, das rich⸗
tige Facit erſcheinen, ſo wie verlangt worden.
Anm. Man pflest allezeit, um Irrthum zu vermeiden, ſo⸗
wohl die erſte zerfaͤllte Ziffer, als vorlaäͤufigen Diviſor,
als auch den durch ſie gekom enen Quotienten, zu
durchſtreichen, weil nur der Quotient der folgenden
zerfaͤllten Ziffer, die hier 3 iſt, den abzuziehenden Theil
geben kann.
127) Wenn das Schfß zu 202 8 bezahlt wird, was
kroſten 19 Lſt II IS 30 Loth?

Solutio.
1 Scht — 202 ms — 18 , 1r 30 oth?
280 bw —
2) 140 507 263 zoLoth
. 264 £— 2 Loth
264 2[16
26664 4
der fuͤr 2 Loth zu 26 .

viel genommene Berr. + 6 5

26657 ;⸗1II

r 140) Fac. 190 6657
4 3 128)

310 Die praetiſche Rechenkunſt,

wenn das Schf 36 Lv.. koſtet?
129) Fuͤr 2 Schſt werden 96 Lvl. bezahlt, was fuͤr
36 2† 8 † 16 Lorh?

130) Das Schfp koſtet 34 R, was 24 Lf 10 8 Loth? .

7. Aufgaben, wo im aten Gliede nur kleine
Sorten allein vorkommen.

§. 260. Weil gewoͤhnlich im 2ten Gliede der Preis

der Waaren, alſo Muͤnzſorten zu ſtehen kommen, ſo wird
Hier der Ort ſeyn, wo man auch kleinere Muͤnzſorten gegen

eine Unitaͤt der groͤßern, ſo wie vorhin mit dem Gewicht

geſchehen, zerſtreuen lerne.
Und weil die Zerſtreuungen nach Minus, wie ſchon
vekannt, einen merklichen Vortheil im Rechnen gewaͤhren,
ſo will ich hiermit anrathen, kuͤnftig alle Zahlen der
kleinen Muͤnzforten, woran ein ſolcher Theil
am Ganzen fehlet, der einen Bruch giebt, deſ⸗
ſen Zaͤhler 1 iſt, nach Minus zu zerſtreuen.
Der Kuͤrze wegen will ich nur allein, wie ſchon vorher
geſchehen, hierher ſetzen: die Partes aliquantæ, von den

Zerſtreuungen der ſe in Ré.

22 2% r r; rz 14
n 6 S 86 8 [6 I2 4 oder 3 6 17 4
14 1II6 1IS 2 4 1KzZz 4 2¾ 2 6⁶
. 112 114 1 2
15 17 18 19 20 23 25
1217 —— – — - –- – —- —
12 4 12 4 16 3 16 3 16 3 153 163
314 413 28 2 ⁸8 44 4 4 3832
. 114 12 22 1I S
27 z30 32 ſ5 33 36 ſz
—— —,— — — — —. —
24 2½ 242 1 R6 — 16 ſ5 242 1 Rl. — 12 ſs

16 3

128) Was werden fuͤr 19 L 13 b 31 Loth bezahlt,

1 ) Wes
demr

uth bezahlt,

lt, was fuͤr
1och?

fur kleine
.

ede der Preis

mmen, ſo wird
nzſorten gegen
dein Gericht

15, Wit ſchot

en gewaͤhren,
Zahlin der
ſcher Theil

len.
eſchen verher

nte, don dea .

3

—3—

8 6 4
6

practiſche Rechenkunſt. 311

1LB

— 2
2

36 37 309 40 6⁊ 4½
2412 16-3 24 12 1 Re — 8 6G 16 3
12 2 16 1I rI2 2 S 16 1
44 314 8 16 2
14 118
42 6β 43 446 45
1 Ré + 6 5 24 2 1RE — 4 ⁶ 1I R6 — 3 ſ
—— 12 2 — —
618 652 4 ſ12 3 116
46 ſs 47 oder 47 6
1 R — 2 ſ 16 3 1Rl. —– 1 ſ5
— 16 1 —⸗
2124 8 2 1148
4
222 C
1I 2

131) Wenn 1 Lb mit 21 ſs bezahlt wird „was kommen
demnach 1456 15b2

Solutio.
— 21ſS — 1456 b ²
16 3 485 16
4 4 121 ½ 16
1I4 30: 16
637 —
2— 11 —

2²) Fac. 45 RC 241ſs.

MNachdem das 1ſte Glied dem 3ten Gliede dem Na⸗

men nach gleich gemacht, auch dieſe 14 ſt durch 7 α¾2

zerfaͤllet; imgleichen auch das 2te Glied in Rehlr. a 48 ſG

gehoͤrig zerſtreuet, ſo iſt ſodann geſchloſſen worden: Wenn

IIIE 16 5, d. i. ½ Rthlr. koſten; ſo muͤſſen 1456 ſt auch

U 4

312 Die practiſche Rechenkunſt.

deswegen iſt auch mit der 3 in 1456 dividiret worden, um
dieſe Anzahl drittel Rthlr. zu ganzen Rthlr. zu machen,
deren hier 485 Rthlr. 16 ſs gefunden worden. Weil nun
ferner, nach der Zerſtrenung, jedes ſẗ, uͤber die
16 ſz noch 4 ſs, d. i. den 4ten Theil mehr als 16 ſz koſtet,
ſo muß auch der 4te Theil der von 16 ſ5 gekommenen
Summe, dem Betrage fuͤr 1456 ff. a 4 ſ gleich ſeyn,
deswegen iſt auch aus der von 16 ſs gekommenen Summe:
485 Rthlr. 16 ſs, der 4te Theil genommen und unter die
vorige Summe geſetzt worden. Ferner: Weil, der Zer⸗
ſtreuung nach, das ſß, uͤber den 16 + 4 66, noch 1 ſs
mehr koſtet; 1ſs aber der 4te Theil von 4 ſ iſt: ſo muß
auch der 4te Theil, aus der von 4ſs entſtandenen Bumme,
dem Betrage fuͤr 1456 fb a 1 ſe, gleich ſeyn; des halben
iſt auch aus der von 4 ſe entſtandenen Summe: 121 Rthlr.

16 ſs, der 4te Theil genommen, unter das Vorige geſetzet,

und ſodann alle 3 Poſten, welche aus 1456 f a 16 + 4

+ 1 ſ5 = 21 ſs entſtanden, in eine Summe gebracht.

Endlich iſt dieſe BGumme 637 Rthlr., aus ſchon bekannten
Urſachen, mit 7 α 2 dividiret und alſo das wahre Fac.
45 Rthlr. 24 ſs gefunden worden.
L Proba.
1456 k — 45 Rthlr. 24 5 — 14 ſ?

MRB 91 · — „*
637 Rthlr.
3822
8
30576ſ9

1456) Fac. 21 ſy.

oder

eben ſo viel drittel Rthlr., d. i. 1456, * Rthlr koſten;.

131) B
133)
134)
13 ) A
136) B
137) B

1Scho
bo

Hier
den: daß
wor den;
19846 G
auf dieſe
gerechnet
umme
dahet iſ d
von der zu

ieſer Rr
Whrden, ſ

138) Va
139) J

140) N

thle koſten;

borden, An
zu mechen,
Veil fin

16 6 koſtet,

gekotnmenen

gleich ſehn,

en Summne:
nd unter die
, der Zer⸗
, nochS
iſt: ſo muß

n Eimn ,
deshallen —

Nhl.
okigt gaſcket,

S216 †4 “

nne getracht.

n bekannten

dahre Lac. .

„“ Odder: ð
1456 k — 45 Rthlr. 24 — 14 k
14) 104 “ —

13) Fac. 21 ſö.

132) Wenn das Lfb 36 F koſtet, was 5486 fk ?*
133) ⸗ 24 F/ ⸗ ⸗ 749 6e2

1344 4)% ⸗ 26 ſS : 999 P2
135) Was koſten 4556 Aepfel a 17 ſs das Schock?
136) Was 5498 Ellen Band a 38 ſs das Schock?
137) Was 1846 Eyer a 40 das Schock?
S Solutio. “
1 Schock — 40 ſ5 — 18 46 Stuͤck?

— 2* .
60 1Rthlr. — S 2
ð 1538 ⸗ 16
fs 60) – 3 5.
. Fac. 2 5 Rthlr. 30 ſs 8⸗
Hier ſind 40 ſz durch minus zerſtreuet und geſagt wor⸗

den: daß 40 1 Rthlr. — 8 ſe ſey. Nun iſt geſchloſſen

worden: Wenn das Stuͤck 1 Rthlr. koſtete, ſo muͤßten
1846 Stuͤck auch eben ſo viel Rthlr. koſten. Da aber
auf dieſe Art fuͤr jedes Stuͤck 8 ſs oder ½Rthlr. zu viel
gerechnet worden, ſo muß auch die angenommene
Summe 1946 Rthlr. um den 6ten Theil zu groß ſeyn;
daher iſt der 6te Theil von 1846 Rthlr. = 307 Rthlr. 32 ſt
von der zu großen Summe 1846 Rthlr. abgezogen; auch
dieſer Reſt, bekannter Urſach wegen, mit 60 dividiret

worden, folglich muß dieſer Quot. das verlangte richtige

Fac. ſeyn.
138) Was koſten 5442 Stuͤck à 42 ſz das Schock?
139) Was 4005 Stuͤck à 36 5 das Schock?
140) Was 2888 Stuͤck à46 fs das Schock?
U 5 3.

„

31r4 Die praetiſche Rechenkunſt.⸗

8. Aufgaben, wo im ꝛten Gliede Doppel⸗
zerſtreuungen vorkommen.
§. 261. Wer wohl gefaßt und behalten hat, was
AÄberhaupt von den Zerſtreuungen §. 247 bis 250, imglei⸗
chen §. 252. 253., beſonders aber von den Doppel⸗
zerſtreuungen F§. 255. gelehret worden, der wuͤrde es
uͤberfluͤßig finden, wenn er hier noch eine Doppelzerſtreu⸗
ung von ſz und & gegen Rthlr. antraͤfe. Denn eben das,
was dort bey den Zerſtreuungen der Gewichtſorten
gilt, das gilt auch bey den Muͤnz⸗ und Maaßſorten.
Ueberhaupt wuͤrde es nur den Schein haben, als ob ich

Nachahmung abſprechen, ihnen Thor und Thuͤr zur
Belbſterfindung verſperren wollte, wenn ich faͤr jede
Muͤnz. Maaß⸗ und Gewichtſorte, deren es im heil. roͤm.
Reiche ſo viele giebt, ein beſonderes Schema aufſtellete.
Deshalben mag es, ſtatt aller fernern Zerſtreuungsmuſter,
mit folgender Generalregel, wornach alle uͤbrigen
Sorten, wie ſie auch heißen moͤgen, zerſtreuet werden
koͤnnen, genug ſeyn. “
Regel: Man ſehe 1) bey jeder vorkommenden
Muͤnz⸗ Maaß⸗ oder Gewichtſorte, welche ge⸗
gen eine Unitaͤt der groͤßern Sorte zerſtreuet werden
ſoll, in den Reſolvirungstabellen zu: Wie viel von
ſolchen kleinern Unitaͤten, als Theile vom Gan⸗
zen betrachtet, zu einer Unitaͤt der groͤſſern Sorte
. gehoͤren? z. E. B

Man ſoll Pfennige gegen Schillinge zerſtreuen. So

von 1 ſsö. Folglich iſt 12 die Zahl, worinn alle
Pfennige von 1 bis 11 zerſtreuet werden muͤſſen.
Und ſo mit allen moͤglichen Sorten, welche Namen
ſie auch haben moͤgen. . ÿZ
2) Mache man ſich von jeder kleinern Sorte, welche ge⸗
gen 1 Unitaͤt der groͤßern Sorte, welchen Namen ſie
auch haben moͤge, zerſtreuet werden ſoll, alle FPartes
ali⸗-

meinen jungen aufmerkſamen Leſern, (denn fuͤr andre
ſchreibt man nicht) den angebohrnen Trieb zur

iſt 1 ſt= 12 Q, mithin ein jeder H der r12te Theil

oppel⸗

hat, as
0, inngle n
Doppee
k wuͤrde es
peſzerſtreͤl:

eben das,

chtſorten 1.
aßſorten.
Gls ob ich
hfür andre
tieb zurt.

Thüͤr zur
ſir jede
hen. iw.
aulfſtelete.

gömmuſtet,
le ubtigen
et verden

enmindeen
wwelche he

uet werden
viel von
von Gant

ern Gotte —

men. So
121e Theil

dotinn

den muͤſſen.
che Numen

delche ge
Nannen ſe
te Partes
li⸗

Die praetiſche Rechenkunſt. 315

aliquoteæe bekannt, (§. 249 *) als welche nur allein zum
erſten Theile einer zerſtreuten Zahl dienen koͤnnen. Z. E.
Von I. 2. 3Z. 4. 5. 6. 7. B. 9. 10 und 11 ſind nur
I. 2. 3. 4 und 6 ſolche Theile die in 12 & ohne Reſt
aufgehen, und alſo einen gewiſſen Theil von is
oder 12 O geben, deſſen Zaͤhler nur 1 iſt. (§. 249.)

3) Werden alle Partes aliquantæ in ſolche Theile zerglie⸗

dert, von welchen die erſten derſelben, ſelbſt Partes
aliquotæ, d. i. ſolche gewiſſe Theile vom Gan⸗
zen ſind, deren Zaͤhler 1 iſt. Z. E.
Von 5 kann die er ſte Zahl 4, oder 3, oder 2 ſeyn,
welches lauter Fartes aliguote naͤmlich 4 ℛ =
1ß; 3 ϑ= ſs und 2 % = ½ 6.
Von 7 G kann die erſte Zahl6, oder 4, oder 3, oder
2 ſeyn; davon 6 ϑ ¾ ſs ꝛc.
Von 8 Gkann die erſte Zahl 6 oder 4 ꝛc.
Von 9, 10 und 11 Q ebenfalls 6, 4, 3 ꝛc. ſeyn.

4) Wird, wenn der erſte Theil einer zu zerſtreuenden
Zahl ſchon gefunden iſt, der Reſt derſelben in lauter
ſolche Theile zergliedert, daß immer der folgende
Theil, aus dem vorhergehenden, einen ſolchen
Theil gebe, deſſen Zaͤhler 1 iſt. Z. E.
Wenn von §5 O der erſte Theil 4+ ₰ο = 4 ſz iſt, ſo iſt
der Reſt 1 O aus 4 ϑ ½; wenn aber aus 5
zum erſten Theile 2 O genommen worden, ſo kann
der Reſt 3 & nicht auf einmal aus 2 O genommen
werden ſondern dieſe 3 muͤſſen nun noch in 2 und
1 zerſtreuet werden, davon 2 aus 2 der erſte Theil,
d. i. 2 = 2 ₰; 16 aber aus 2 H der 2e Theil iſt.
Es ſey dann, man wollte den Reſt 3 & ebenfalls aus
dem Ganzen, wie vorher mit dem erſten Theile
2 geſchehen, nehmen; dann iſt 3 ₰ — 1ſ, ſo
wie 2 ſß war.
Wenn aus 7 & der 1ſte Theil 6 ϑ 1 66 genom⸗
men, ſo iſt der Reſt 1 aus 6 & der 6te Theil;
oder iſt aus 7 & der erſte Theil 4, G ½ ſe, ſo kann
der

316 Die prattiſche Rechenkunſt.

der Reſt 3 O nicht ganz aus dem erſten Theil 40₰
genommen, ſondern muß noch zerſtreuet werden in
2 und I, davon 2 aus 4 & der ate, und 1 aus
2 O der 2te Theil iſt; es ſey dann, man wollte den
Reſt 3 O& ebenfalls, wie den erſten Theil 4 aus
dem Ganzen nehmen, dann iſt 3 ϑ= ſs, wie
4ϑ= ½ ſs war. Und ſo ferner, mit allen moͤgli⸗
chen zerſtreulichen Zahlen, ſie moͤgen Namen haben 0
er 2te
euuß an

mwie ſie wollen.
141) Was koſten 3426 Stuͤck à 41 ſs 11 O das Schock?

Solutio.
I Schock — 41ſ1I — 3426 Stuͤck?
60 16 3 4 3 57 41
. z 190 , 16
8 12 190 16
118 I 2 9; 8
1I , 43
3 . 46 ⸗4
3 ‧ 46 :4
1 47;2

498 ½ 30 5
10) — P —
Fac. 49 Rthlr. 41 ſo 58 GH.
Nachdem das 1ſte und zte Glied mit 6 verkleinert,
das 2ꝛte Glied aber, wie der Augenſchein zeiget, gegen
1 Rthlr. zerſtreuet, ſo iſt nun geſchloſſen worden: Wenn
1 Stuͤck 16 ſs d. i. Rthlr. koſten, ſo muͤſſen 571 Stuͤck
auch ſo viel drittel Rthlr. alſo = 190 Rthlr. 16 fg koſten.

Und weil ferner der 2te Theil der zerſtreueten 41 ſo aber⸗

mal 16 ſs oder Rthlr. iſt, ſo muͤſſen auch die vorigen
190 Rthlr. 16 ſs noch einmal unter den ſten Betrag ge⸗
ſetzet werden. Ferner: weil der 3te zerſtreuete Theil 3 ſs
der 2te Theil von 16 ſs iſt, ſo muß auch der ate Theil des
fuͤr 16 ſ gekommenen Betrags, der richtige Betrag von
8 = 95 Rthir. 8 ſs ſeyn. Ferner; wenn der letzte 1 ſ,
der

er ſerſ
n g
menen

e6
eczten

de i. an

Thei,

ge geſel
Theil,
1Rthi
don 29
76.
gebracht
deſſelben

142)
143)

140 T

145) L
1460) Q
D

1Duß

Etiea

C

Thel 4 9
werden in
19 us
wollte den
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1ſt, wie,
len moglili:.
nen helen

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— *

—

7
3
.
.
7

915
—

1ſ5

betreg .

1feldes

enig dn
legte 1i

1
etkleinett,

—„

Die practiſche Rechenkunſt. 31¹7

der zerſtreueten 41 ſs, der Ite Theil aus den vorhergehen⸗ B

den 38 ſ; iſt, ſo muß auch der 8te Theil der fuͤr 8 ſs gekom⸗

menen Summe dem Betrage fuͤr 1 ſo, alſo = 1I1 Rthlr.

43 ſs ſeyn. Da nun ferner der 1ſte Theil der gegen den

letzten ſs zerſtreueten 11 O., naͤmlich die 1ſten 4 aus 1ſs,
d. i. aus 12 Q, der dritte Theil iſt, ſo muß auch der 3te
Theil, des für 1 ſs gekommenen Betrags, dem Betrage
fuͤr 4 ; und alſo = 3 Rthlr. 46 fs 4 & ſeyn. Und weil
der 2te Theil der zerſtreueten 11 & abermal 4 & iſt, ſo

muß auch der naͤmliche Betrag noch einmal unter das vori⸗

ge geſetzt werden. Nun iſt ferner 2 aus 4 O der 2te
Theil, dafuͤr der Ate Theil des Betrags fuͤr 4 οnalſo =

1 Rthlr. 47 ſS 2 Q. Fuͤr den letzten 1, als 2ter Theil

von 2 Q, den ꝛten Theil des Betrags fuͤr 2 ₰, alſo =
47 ſs 7 &. Endlich alle dieſe Betraͤge in eine Summe
gebracht, ſo muß, bekannter Urſach wegen, der 10te Theil
deſſelben das richtige verlangte Facit ſeyn.
142) Was koſten 4564 Stuͤck à 45 ſs 9 & das Schock?
143) Was 5572 Stuͤck à 43 ſ5 8 & das Schock?
144) Was 5678 Stuͤck à 39 ſs 7 das Schockk
145) Wenn der Decher 47 ſS 10 O koſtet; was 4568
146) Wie viel ms koſten 8446 Stuͤck à 9 ſs 10 & das
” Solutio.
1 Dutz — * 10 ϑ — 8446 Stuͤck?

R 12 Stuͤck 62 4223

₰ 1 8

.
—

3 527 14
1 263 ⸗ 15
87 : 15 :8
5190 :12 4
2) 2595 6 :2
6) Fac. 432 m 9 ſs 2 oder ½ K.
oder

2
2

318 Die praetiſche Rechenkunſt.

oooder „
Dutz — 9 ſ6 10 & — 8446 Stuͤck
12 Stuͤck z;1 “ 8
2) A: II: 4 87 ‧ 15 ; 8
r
3 2595 6 2
112

6)pac. 432 mS 9 ſe 0½§. 1
1s ei treuli il, aus dem
Hi d 4 ſsg, als ein unzerſtreulicher Theil,
Gann 1† 1 Weil nun 4 ſs, gegen welche die 1 8
erſtreuet verden ſollen, = 48 Q, ſo ſind die ac
d 2 + 1 zerſtreuet worden, davon 8 aus der
6te Theil, 2 & aus 8 & der 4te, und 1 aus 2 e
Theil ſind. ꝛc.

147) Was koſten 4560 Stuͤck à 10 ſ6 das Dutz?

Duk ?2
3) Was 5909 Stuͤck A II ſs 8 das Dutze
143 Was zoos Stuͤck 1 13 ſ5 7 G an ee
Was 9999 Stuͤck 1 12 11 dutz?
1579 Wes 8883 Stück à 14 ſs 5 & das Dutz . S
1 2) Was 6008 Stuͤck à 15 ſs 11 das Dutz 1 3 denn
133 Wenn das Dutz 18 ſevl. 8 Nvl. koſtet, was denn

542 aͤck?
420 Ses Solutio. ick
1 Dutz — 18 ſe vl. 8 Hvl. — 3420 Sthe
12 (10ſa 8 6 4) 1352 “
4—— 4 5 = 7 10
4 :ö7 1—
271 ‧½ —
44 à3 4
.* . 1264 13⸗4
3) “êr

Fac. 421 Lvl. 11 ſ 11l.
Lol. iſt voͤllig der
euung der ßol. gegen Lv HH
Annze Die Hergren Lispf. gegen Echiffyf. gleich. 252.)
Dutz koſtet 16 ſsvl. 6 grvl. was 4700 Stuͤck?
154) 1 Dutz 154)

1358) 8
159)

SS
756)

620

was here

in des

ſotten m

Gies

hatte, ſp

üunten ge
och nich

kleinert
nun 2)
Unitten 5

heben,

gar tein
funden,
denen Ger
ſhehen,
Mn ſu
ler zu29

Cntr.
IIZ

Die practiſche Rechenkunſt. 319

H 155) Wenn das Schock 15 ſevl. 6 grol. koſtet, was 7860

Stuͤck
156) Was 334. Stuͤck à 13 ſevl. 7 gryol. das Schock?

157) Was 5555 Ellen à 14 ſvl. 10 grvl. das Schock?

158) Was 4856 à 15 ſövl. 11 grvl. das L5 ?

159) Was 4568 Stück à 14 ſevl. 9 grvl. den Decher?

9. Aufgaben, wo im ꝛten Gliede große und
kleine Muͤnzſorten vorkommen.
§S. 262. Bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts vor, als
was bereits bekannt iſt. Denn wenn man 1) die Unitaͤ⸗
ten des Zten Gliedes mit den Ganzen, als groͤßten Muͤnz⸗
ſorten multipliciret, eben ſo wie geſchehen, wenn das 2te
Glied gar keine kleinere Muͤnzſorten neben der groͤßten

hatte, ſo iſt auch ſchon der Betrag fuͤr die groͤßten Muͤnz⸗

ſorten gefunden worden; nur muͤſſen die Facta derſelben
noch nicht addirt werden, weil noch fuͤr die folgenden
kleinern Sorten Betraͤge hinzu kommen. Wenn man

nun 2) die Betraͤge der kleinern Sorten, eben ſo aus den
Urnitaͤten des 3ten Gliedes heraus nimmt, als wie bisher

geſchehen, wenn ſich neben dieſen kleinern Muͤnzſorten

gar keine der groͤßern, in welche zerſtreuet worden, ge⸗

funden, und dieſe aus den kleinern Muͤnzſorten entſtan⸗

denen Betraͤge zu den vorigen addirt n. ſ. f. ſo iſt auch

geſchehen, was verlangt worden. Z. E.
Man ſoll den Betrag fuͤr 5678 finden, wenn der Cent⸗

ner zu 28 Thlr. 56 Groten (Bremer Muͤnzze) gerechnet wird.

Solutio.
1 1Centn.⸗ — 28 Thle. 56 Grot. —— 5678 ?
112 K 36 2
1 8 45424
219 11356
Betrag fuͤr 36 Groten 2839
18 - 1419 ⸗ 36
2 2 157 52

163400 ⸗„ 16

112) Fac. 1458 Thlr. 67 Grot.
Hier

320 Die practiſche Rechenkunſt.
Hier iſt geſchloſſen worden: Wenn der Preis eines M

Pfundes = 28 Thlr. waͤre, ſo muͤßten 5678 ſo vie!
mal 28 Thlr. koſten, deswegen dieſe 5678 fk mit 28 ver⸗
mehret, die Facta aber noch nicht addirt worden, weil 15
noch der Betrag fuͤr 56 Groten hinzukommen muͤßte. —
Ferner: Wenn das noch 36 Groten, d. i. ¾ Thlr. mehr 290

als 28 Thlr. koſtet; ſo muͤſſen auch noch 5678 halbe Thaler
zur ſchon gefun ſenen Summe hinzu kommen; u. ſ. f. der
Betrag fuͤr 18 + 2 Groten. Endlich muͤſſen alle dieſe
Betraͤge fuͤr 28 Thlr. + fuͤr 36 Groten P+ fr 18 und
fuͤr 2 Groten in eine BHumme gebracht, und dieſe mit dem
erſten Gliede, bekannter Urſachen wegen, getheilt werden,
da dann das verlangte richtige Facit erſcheinen muß. Der
Beweis hievon wird leicht zu fuͤhren ſeyn. .

kuͤrzer: r
. Centn a8 Thlr. z6 Grot.- ze,8 51 4r
4) — 39746 5—
28 7„ 4 946 24 4 60
2 12 6 ’ SS n
2 16 4085 0 4 ⸗é⸗—⁵
„ 4

610o212 ½ 37 —

P)Eac. 1458 Thlr. 67 Grot. 1ir
160) Was koſten 4568 K J à 36 Thh. 64 Grot den Centz— RW

ner à 112 †b? 0S
161) Was 5425 à 120 Thlr. 68 Grot den Cennn?. —
162) Was 7634 b à 129 Thlr. 33 Grot den Centn. ? ;
Dieſe 3 folgenden Aufgaben koͤnnen durch minus zer: —
ſtreuet werden. 8:
163) Was 5543 b à 109 Thlr. 21 Grot den Centn.? 99—
164) Was 8697 ſb à 30 Thlr. 22 Grot das Lſt? 12

165) Was 7864 ſ à 29 Thlr. 23 Grot das Lſtb2
166) Was koſten 100 ÿ wenn 567 ſ um 47 6 4 ⁵ zu
haben?

167) Was 606 p, wenn 3 SIt fuͤr 454 ms 8 ſy zu
haben?
168)

Die practiſche Rechenkunſt. 321
Preis eine ? 168) Wenn das Fuder Wein 121 S 14 6 koſte, was

ſo vll 5436 Stuͤbgen?
mit 29 ber Solutio.
l — Tub 1 Fuder — 121 T21 M 14 6ß — 543 6 Stuͤbgen? .
zte, 2
Thlr unht 240 240 Stuͤbg. 122 122 8 – Pſs 12
halbe Thler . 2 2ſ8 8 10872
1. ſſder S 10872
en oll ieſe 5436
fit 19, und “ 663192
ieſe mit deaum 467.9. 8
eilt etden, . 6722.8
muß. Der 66251 2⸗8
240 . 2760mH766
Oder:
1 Fuder — 121 m8 14 s — 5 43 6 Stuͤbgen?
6 240 Stuͤbg. SS 44—
4 21232 — 339, 12
— 2208 3⸗12
IS 38) 276ι7hâορ
1./Geet. r Fuder — 121 M 4 ˙* — 2343 6Stuͤbgen?
or den Cent 240 Stuͤbg. = 1359
9Cent? 40 ⸗ 20 5: 673 ⸗ 8
Centt. 5) 12„
miois ett ” 8 2 4 7 I . . .
8) Fac. 2760ρπ⅓ 7 6 6 &
Cunn, er. —: 8½
e ——
62 42
gd £ Bey
166) .

322 Die practiſche Rechenkunſt.
Bey der lezten Solutio iſt durch eine dreyfache Verklei⸗

nerung der Diviſor weggefallen, und nur im 2ten

17
!

Gliede 8 ⅞ geblieben, welche in 4 + 2 + 2 P+ ½ 6
zerſtreuet worden &c. Daß ½ ſs der 16 /e Theil aus
2 ſ iſt 4 vtgiebt ſce⸗ — man ſchließt: Wenn 1ſs
= F, ſo ſind au = 6; folglich i † aus ½*
der 16te Theil. V

169) Was koſten 8474 Stuͤbgen rothen Wein à 132 M5

15 ſo das Fuder?
170) 2a Si: ng koſten 536 Alt Flachs 342 Rthlr. 20 ſt
da
Solutio.
1 San — 4 Rchir. 20 ft — 536 Lb?
P⸗ , 134
3 33 ; 8

–—

31 13 6 5).
8 ſ2 kac. 3410 M 4 ſ6 9 ½
4 2
Weil in dieſer Aufgabe das Facit in ma verlanget wor⸗
den, ſo ſind auch, nachdem vorher das erſte und 2te
lied durch 4 verkleinert, die 10 Rthlr. 29 ſs in ms
voerwandelt worden, welches bey dergleichen Faͤllen
allemal geſchehen muß. Ferner iſt verfahren —
ſo wie der Augenſchein zeiget.

171) Wie viel koſten 1265 Steine Flachs à 33 Rthlr. 40

ſo das Schf?

1 172) Was koſten 2465 * Wolle a8 mg 10 ſ der Stein?

173) Was 2486 fr dito à 16 M 14 ſz der Stein?
174) Was 4080 Scheffel Weitzen à 86 Rthlr. 36 ſs die

175) E 3496 Scheff. Rocken à 64 Rthlr. 35 ſs de
Laſt?

176)

N 4

6

t

10)
S

16
1o]

e Verkleit

im 2ten

kis
Theil aus

Wenn 166s

als

1N “

H

8

B Die practiſche Rechenkunſt. 3323

175⁵) Was koſten 5445 Stuͤbgen Wein à 166 Rthlr. 45
6 das Fuder?

177) Was 223 Paar Struͤmpfe à 12 Lvl. 15 ſzvl. das

Dutzendd
178) Was 424 Paar dito à 13 Lvl. 12 ſovl.?
179) Was 542 ſeidene Tuͤcher à 5 Lvl. 18 ſovl. das Du⸗
end

180) Was koſten 5436 b Wolle à 17 10 9 & der

Stein?
Solutio.
1 Stein — 17 10 ſ6 9 % — 5436 ſkkt ?
tosRE 3ſ2 83 3 6
”s 214 1IS 6 79:8
226:8
28:5
96064·5
Far. 9606 mMm 6 10 ¾½

Nach F. 117. iſt hier mit der 7, der 17 mg, hinten⸗
aus multipliciret worden, wodurch das Factum
urm eine Stelle weiter zur Rechten hinausgekommen,
deswegen mußte auch der 2te Theil (ſuͤr die 8 ſs)⸗
von 5436 ſo geſtellet werden, daß nicht die aus der
5 entſtandene 2, wie ſonſt geſchehen muß, unter die
35, ſondern nur eine Stelle weiter zur Rechten hin⸗
ausgeruͤcket werde, ſo, daß die Tauſende, Hunderte,
Zehner und Einer, jedes an gehoͤrige Stelle zu ſte⸗
hen kommen. Das Uebrige, wie bekannt.

S 181) Wenn das Schf Flachs fuͤr 36 Rthlr. 45 ſS 10 HD£

beedungen, wie hoch kommen 2425 fk?
182) Was koſten 5486 Scheffel Weitzen à 288 M 12 fs
4 die Laſt?
183) a6 4550 Scheffel Rocken à 66 Rthlr. 45 ſ 9 ℳ£$
die Laſt?
184) Wie viel Mmg koſten 4888 Stuͤbgen Wein 180
Rthlr. 46 s 4 das Fuder?
*X 2 185).

324 Die practiſche Rechenkunſt.
285) Was: 327 Paar ſeidene Struͤmpfe à 13 Lvl. 15ſyl.

5 Gol. das Dutzend?

186) Was 5436 Paar ſidene Handſchuhe8l 15 ſevk.
7 Qvl. das Dutzend?
187) Was koſten 5436 [b a 36 Thlr. 21 gl. 10 H die
TLTLo0 ſÿ5?

188) Suck: glen⸗ 7836 Eſten à4 36 W s 5 8 das

10. Aufgaben, wo in der Mitten ſowol, als hin⸗
ten, Zerſtreuungen vorkommen.
§. 263. Wenn im 2ten, und auch im 3zten Gliede ver⸗

ſchiedene Sorten vorkommen ſo zerſtreuet man die
kleinern Sorten gegen eine Unitaͤt der groͤßern Sor⸗

te, ſowol im 2ꝛten, als zten Gliede, auf eben die Art,

wie bey den Aufgaben, wo nur in einem Gliede al⸗

lein Zerſtreuungen vorkommen, gelehrt worden. So⸗

dann werden erſt die groͤßten Sorten des 3ten Gliedes,
welche mit den Sorten des erſten Gliedes einen Namen
haben, mit der groͤßten Sorte des aten Gliedes vermeh⸗
ret, auch mit den zerſtreueten Theilen dividiret, eben ſo,
wie bey No. 180 und folgenden Aufgaben geſchehen. Iſt
dieſe Arbeit vollendet, ſo iſt auch der voͤllige Betrag fuͤr
die groͤßten Sorten des zZten Gliedes, aber noch nicht
fuͤr die kleinern Sorten deſſelben gefunden. Nun aber
werden auch die kleinern Sorten nach ihren zerſtreue⸗
ten Theilen, ihrer Folge nach, aus dem im 2ten
Gliede befindlichen ganzen Preiſe genommen, auf eben
die Art, wie bereits bey den Aufgaben, wo im 3ten Glie⸗

de allein Zerſtreuungen vorkamen, gelehret worden. Ein

Beyſpiel wird die Sache klaͤrer machen. Z. E. r

Wenn 3 Centner um 56 Mg 12 ſ 6 bedungent w wer⸗
den, was koſten 236 Centn. nts “ 2

. iſt.

1 Izſok.

10 —

5A
als int

liede ver⸗
manj le
tn Sor⸗
liede al⸗
en. So⸗
Gliebes,
Numen
Wrtteh⸗
eben ſ,

hen. N.

etrag ſir
noch nicht
Nun eber
erſtreue⸗
in 2ten
gof eben
ten Gbe⸗

ggen wer⸗

.

Diie practiſche Rechenkuntt. 325.

Ctn. — 56 mM 12 f6 6 — 236 Ctn. 7 2 5 K?
8882 1
SzSIS 9e
4ſ2214 29
2412 2 7I3 4
Betrag fuͤr 42 9;: 7 ‧ 5 8
⸗ ⸗2 ⸗ ⸗ 2 5 I10 ¾ 2
57Fk I1⸗ 2 11 ½ 11

faac. 44 48 8 ſs 6 ⅞ G
Nachdem das 1ſte und 2ete Glied durch 3 verkleinert, ſo⸗
dann die kleinern Sorten des Aten und dritten Glie⸗
dees gehoͤrig zerſtreuet, ſo ſind die Centn. mit 18
ng vermehret, und ſodann geſchloſſen worden: Wenn
1Centn. = 18 Mg, ſo koſten 236 Centn. auch 236
r18 mg. Nun aber koſtet der Centn. noch 8 ſe

1 P 46 P+2 6 8ει ☚2 & mehr als 18 ms, des⸗

wegen iſt mit allen dieſen Theilen, ſo wie ſie aus
eiinander folgen, bekanntermaſſen, auch der Be⸗
trrag dieſer Theile aus den 236 Centn. genommen
worden. Mithin waͤre nun der ganze Betrag fuͤr⸗
236 Centn. à 18 M 14 ſs 10 & gefunden. Weil
Abber uͤber den 236 Centn. noch 7 Lſb 7 e vorhan⸗
den, welche auch noch nach dem gegebenen Preiſe ei⸗
nes Centners berechnet werden muͤſſen; ſo iſt nun
ferner geſchloſſen: Wenn 1 Centn. = 18 8 14 ſs
10, ſo muͤſſen 4 2 als ½ Centn. auch ſo viel als

deen halben Preis eines Centners, d. i. 9 7 ſs

5 betragen Ec. Endlich ſind alle dieſe Betraͤge
in eine Summe gebracht. ?́òèòè
Da nun dieſe Summe alle Betraͤge fuͤr 236 Centn. .

7 b † 7 , à 18 Mm9 14 ſ5 10 & den Centn. gerechnet,

wirklich enthaͤlt: ſo muß auch dieſe Summe das richtige
verlangte Facit ſeenny. .
* 189)

326 Die practiſche Rechenkunſt.

189) 5Centn. koſten 96 Pr. 58 Grot 3 Schwaeren, was

542 Centn. 6 L 8 † 5
190⁰) Wenn 5 Centn. um 36Rrhir. 356 9 bedungen,
waas kommen 345 Centn. 6 L† 9 ſt?
191) Wenn Balzer in 10 Jahren 9040 Thlr. 16 96 8
zu ſeiner Haushaltung gebraucht hat, wie viel wird
er in 36 Jahren 7 Monaten 3 Wochen gebrauchen?
192) Wenn 3 Centn. fuͤr 215 Mg8 10 ſs 8 bedungen wor⸗
den, was kommen 210 Centn. 7 L †† 3

193) Wenn 2 Sch ſt fuͤr 215 Thlr. 21 62. eahlewer

den, wie hoch kommen 87 Sſt½ 12 Lſt 5ſt?
194) Wenn 3 Schft fuͤr 211 Rthlr. 46 ſS 35 zu haben:
N: wie viel ms koſten 987 Schſſt 13 Lf 10 6

§. 264. Von ganz beſondern Nutzen iſt die ſchon oft
gebrauchte Zerfaͤllung der groͤſſern Sorten, nach dem
Einmal eins, bey Aufgaben, welche in der Mitten und hin⸗
ten kleinere Sorten neben den groͤſſern haben; denn

Hierdurch kann man die Zerſtreuungen des 2ten Gliedes

Laͤnzlich uͤberhoben ſeyn.
Es kan aber ſolche Zerfaͤllung nicht allein bey Zahlen,

welche im Einmal eins befindlich, (§. 116.) veranſtalter
werden; ſondern auch bey Zahlen, welche um einige—

Unitaͤten groͤßer oder kleiner ſind, als das
Product der zur Zerfaͤllung gewaͤhlten Zahlen. Denn ſind
Die Zahlen gr oͤßer als das Product, ſo wird durch plus
P; ſind ſie aber kleiner, ſo wird durch minus * zer⸗
faͤllet. Z. E. Man wollte die Zahl 37 zerfaͤllen: ſo koͤnn⸗
te das geſchehen durch 6 6 †+ 1. Das heißt: 37 =

6 b% 6 plus I. In dieſem Falle wuͤrde eine gegebene

Zahl erſt mit 6, das Produet davon wiederum mit 6 mul⸗
tiplicirt, und zu dieſem Producte die gegebene Zahl noch
einmal, fuͤr das + 1, darzu addirt werden. Eben ſo
koͤnnte eine Zahl 41 durch minus zerfaͤllt werden; alſo:
7 W☚ 6 + 1. D. i. 41 = 7 ℳ 6 minus 1.
In dieſem Falle wuͤrde eine gegebene Zahl erſt mit 7,
das Produnet abermal mit 6, multiplicirt, und von die⸗
ſem Producte die gegebene Jahl, fuͤr minus 1, ſgere⸗
. iret.

hirc.=
t man
War

u

13 64

gret, was

hedungen,

16 2

diel drd

rauchen!

ungennor

itahtnor⸗

4
Aikhoben:
.

ſchen oſt
uach dem
en uod hine
oben; dem

ten Gedes L

Rtatſtaltet

um eini ge

als das
. Denn ſd
durch us
nus † zer⸗
m ſilnn
eißt: 37
1e gegeben
imikonin⸗
gt ſoch

. (Clen ſo

dabenz a:
l.

ſübitaa
firtt.

31/

cher

E

Die practiſche Rechenkunſt. 327

hiret. — Ein Paar Exempel werden die Sache deutli⸗

machen.

Was k 10 L 8
„Biian eek wikshk nms ak n

Solutio.

13 Scht — 236 m 10 s 4 — 82 Schkk 10 fß 8

— 9 E
211 3 — W 4 1ir
9 zlt 117

19168 ⸗ 5—

3
+ 236 10:4 2
59 27 ⸗

13 455 — 14 18 ;

—

9530 — : 8 ½ 5½ 1 3
Fac. 1502 M 4,5 113 ½

Nachdem im zten Gliede die 10 Lf5 8 † 5 gehoͤrig zer⸗

ſtreuet, ſo ſind auch die 82 Schf durch 9 ασ ⁹ + 1

zerfaͤllet und ſodann geſchlogGen worden: Wenn 1

Schf 236 M8 10 ſs 4 & koſt
101 ete, ſo mußten
im mittelſten Gliede durch 9 ½ multiplicirt das
„

Product davon, 19168 i
trag fuͤr 81 Sch , mithin n . ree,

wegen iſt fuͤr das + 1, auch no
10 ſ4 Qunter den Betrag enaer hrenn aee
ner ſind auch, nach und nach, die Betraͤge fuͤr 5 .

SFeff., fuͤr 7 + 1 5, wie bekannt, hinzu gekom⸗

men &c.
uſatz: 83 wurde durch 9 †. 2, u
9 % % †.2, und
„* 9 †. 3 &c. zerfaͤllet und im erſten aur ee
„der Preis noch 2mal, fuͤr + 3 aber der Preis

noch zmal zum Probuct 99) 9 hinzugefuͤgt wer⸗

den ꝛc. tc.
X 4 Einer

3:8 Die practiſche Rechenkunſt.

Einer kauft 41 Sch 9 L 8 ſt und bedingt 3 Schhk

fuͤr 39 Lvl. 18 Fvl. 6 Grvl.
5„ Solutio. .

3 Schfk— 39 Lvl. 18 ßvl. 6 grvl. — 41 Sf 9 2s b 2
„ 13 6 2 „:1. 415 7 ſ2
ä 6 ⸗ £☛ 112 i1
o , 141
558 ‧ 19 ‧ — ⸗
+ I3 ⸗ 6 ½ 2 2-
545 12 ⸗ 10 „ 0
2 13 1 2 7 1I12
2 13 ½ 2 II2
— 13½ 3 75 89
—, ⁶$, 71 ſrr9
— —⸗ II 57
Fac. 552 Lvl. oßvl. 2 ⁶ 42 ] 3 1 5 37

Hier ſind 41 Schf durch minus, d. i. durch 6 b 7
— zerfaͤllet, ſodann der Preis 13 Lol. 6 ſzvl. 2
durch 6 7 multiplicirt, und dadurch das Product:
558 Lvl. 19 ſovl., als der Betrag fuͤr 42 Sch ge⸗
funden worden. Weil aber nur 41 Schſt vorhan⸗
den, ſo iſt auch der Betrag fuͤr 1 Schß zu viel in
der gefundenen Summe, deswegen iſt auch der

ganze Preis eines Schfſps = 13 Lvl. 6 ſzvl. 2 m

fuͤr das — 1 Schfß von der zu großen Summe
abgezogen worden; folglich muß der Reſt: 545
Lvl. 12 ſtvl. 10 O., der richtige Betrag fuͤr 41 Schf
ſeyn. Mit den zerſtreueten 9 L †+ 8 ſp iſt ferner
verfahren worden, wie der Augenſchein giebt.
195) Wenn 3 Schſpß fuͤr 42 Thlr. 57 Grot 2 Schwaren
bedungen worden, was werden 43 Schfſb 8 2ſt 7 t
betragen? W MR
196) Was 70 Schſt 5Lſt 3 ? wenn 2 Schfp̈ fuͤr 36
Thlr. 46 Grot 1 Schwaren bedungen worden?
197.

R 106) B.

199)
hen
48)
199)
we

200) J
2
0I) B
R

. 202)

3
2,) a
den
204) T
„de
205) B
38

de
11,

9. 21
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Eliede
den⸗ da
Gorten
Und mit
ben Ran
men wer
borden.

M
wenn 3

ahben

Ir norhan⸗

Niel in

ich der
Sſel 20
GSumme

ſeſt: 54)

41 Ecſ⸗

ſer erner
ebt.
Snten

in 76
197) .“

hle,

Die praetiſche Rechenkunſt.

197) Wenn ˖ Centner fuͤr 46 Lol. 19 ſevl. 8 Grvl. zu h

ben, was werden 44 Centn. 6 L 5ſt koſten?

198) Was koſten 82 Centn. 7 2ſt 10 , wenn 3 Centn.

fuͤr 96 Rthlr. 42 ſs 9 & zu haben?

199) Wenn 3 Mark Silber zu 74 mg8 15 ſ5 8 & bezahlt

werden, was koſten 37 Mark 12 Loth 3 Quentl.⸗
200) Was koſten 50 Mk. 14 Lth. 1 Quentl. Silber, wenn
2 Mk. fuͤr 50 mg 10 ſ8 6 & gekauft werden? .
201) Wie viel g koſten 3396 fk 22 Lth. 3 Quentl. à 56
Rthlr. 40 ſs 3 & die 100 k? L
202) Wie viel 543 30 Lth. 1 Q. à 50 Rthlr. 21 fs
3 die 100 ff?

203) Was koſten 999 ſt 31 Lth. 2Q.. à4210 m 8 6 6

den Centn.?
204) Was 756 24 th. 12. 329 Dhr. 21 26 4 £
deen Centn.?
205) Wie viel toſten 360 Afß 10g 8 Lth. 487 Thlr. 4 2
3 den Centn
n66) Was 5496 Lſtk 11 k Lth. à 59 Ehr. 22 1e 8 D
„doen Centn.,. .

11. Aufgaben, wo in allen dreyen Saͤtzen große
und kleine Sorten vorkommen.

§. 265. Aufgaben deren 1ſtes und 3tes Glied verſchie⸗
dene Sorten enthalten, muͤſſen laut §. 245, des erſten
Gliedes wegen, unter einen Namen gebracht wer⸗
den, da dann, wenn dieſes geſchehen, die kleinern
Sorten des ten Gliedes bekanntermaſſen zerſtreuet,
und mit ſolchen zerſtreueten Theilen, aus den unter ei⸗

nen Namen gebrachten Unitaͤten des 3ten Gliedes genom⸗

men werden, und ferner verſahren wird, wie gelehret
worden.

Man ſoll berechnen, was 56 Centner 7 Lt 5 ſt koſten,
wenn 3 Centner 6 L 7 K fuͤr 34 Thlr. 16 90 4 zu

haben?
X 5 So⸗

330 Die prackiſche Rechenkunſt.

Solutio.
6t. 6Lpf. Pf. — 84Chlt. 16Gr. 45 — 56Ct. 7Lpf. 5Pf.?
— 12 2 416 .
30 Lpf. . 2 6 4 55
. 211 1820
4²7 Pf. 65375
8 4
25500
51000
3187 † 12
531 2 6
531 % 6
88 13

539838 ⸗ 13

„J

Nachdem das erſte und 3te Glied unter einen Na⸗
men gebracht, d. i. beyde zu ſt gemacht, ſo iſt mit den
zerſtreuten Theilen des 2ten Gliedes, aus den Unitaͤten des
Zten Gliedes, nach und nach genommen, und dabey ge⸗
ſchloſſen worden: wenn 1 84 Thlr. koſtete, ſo muͤßten
6375 b auch 6375 —☚ 84 Thlr. koſten: Ferner: wenn
1IE noch 12 20, d. i. ½ Thlr. mehr koſtet, ſo muͤſſen auch
6375 kb noch eben ſo viel halbe Thlr. koſten ꝛc. Endlich
find alle Betraͤge, fuͤr 84 Thlr. + 12 06 P+2 26 † 296
+ 4 in eine Summe gebracht worden, welche, weil
nicht I1 , wie anfangs angenommen worden, ſondern 427
† dem Preiſe des mittelſten Gliedes gleich, nun auch
mit 427 dividirt, und ſodann in den Quotienten das wah⸗

re Facit gefunden worden.
207) Wenn 4 Centner 72'ſt 8l fuͤr 96 Thlr. 56 Groten

2 Schwaren bezahlt werden, was kommen demnach

34 Centner 6 L 3 k.
208) Handelmann kauft eine kleine Parthey Waare
von 2 Centner 62 t 8 fuͤr 63 m8 13 ſ 9, und
will nach demſelben Preiſe eine andere Parthey glei⸗

cher Waare kaufen, welche gewogen 564 Centner

5Lt 71?b. Was muß er dafuͤr bezahlen—
2009)

u:
¹²7) Pac. 1264 Thr. 6gr. a72.

209 6
bedi

210) F.
6

Khlr.
4 4

115
52

Iar.
—
7640 N

Me
gebracht
haben t
zten G
diſſe ln;
Produt
Ann.)
nnch 40
ſonuſe
Uet Ni,
men z.
in eine
ony

—

.

nen N

ſ mit den

ttitendes

daben ge⸗

uͤßtern

e: wenn
iſen auch

(17
ge, nel
jdern427
gun euch
ns wahe⸗

9 Groten
dennech

Eitih

Die vractiſche Rechenkunſt, 331

209) Streſow erhandelt 6
Was in. Demer 2elt 13 ft iir 0 Ath 3, dd ga
as muß er bezahlen. hlr. 37 ſ 8

0) Fuͤr 26 Thlr. 12 36 8 & kauft Abraham 7 Centner

6 2 5”t, wie viel bekommi er fuͤr 568 Thlr. 21 96

7 .
Solutio.
26Thlr. 22 Gk. 3. — Ct. 6Lpf. 5 .
23 * 7Ct. 6Lpf. 5Pf. — 568 Thlr. 21 Gr. 7.
; 11ſ2 4 7 2
1 Z 2123114 2293
1136
272 2 33
7640 N 05 5
Ne⸗ 1563843 A.
1146901
81921 2 4
4696 6
H 58514 4 2
1462 ⸗7 4
12770 ⸗
7640) 7097 5 *½ 5
2c. 167 Ct. 1Lpf. 3 33 Pf.

N
gebracnt. ec 1ſte und zte Glied unter einen Nam
haben 3 ren er geſchloſſen worden: Wenn fuͤr 1 en
Zten Gliedes ch , Craſner uere man fuͤrjeden & das
dieſe Anzahl Q nmit 7 Cent. vermehrt een werenſtn
5*

Produet ſo gleich den Namen Cent. angekommen. (§. 233

Anm.) Ferner iſt geſchloſſen: wenn man aber fuͤr 1 G

noch 4 Lt d. i. C
Bur. Centner mehr als 7 Centner haben kann,
„ und
they gen

o muͤ ͤr j
moͤſſen auch faͤr jeden des Zten Gliedes noch ½ Cent
men en S3843 2 Centuer zum Vorigen hinzu kom⸗
don n „und wei eine Parthe
7 Centner 6 Lſt 5 lb, nicht fuͤr 1 Q, wie ——

332 Oie practiſche Rechenkunſt.

genommen, ſondern fuͤr 7640 gekauft worden, ſo iſt
auch die geſundene Summe 7640 mal zu groß, weshal⸗

ben auch der 7640ſte Theil das verlangte richtige Facit

211) Wie viel kann man fuͤr 346 Rthlr. 47 ſs 8 haben,

wenn fuͤr 28 Rehlr. 40 ſ5S 6 zu haben Centner SLE

10 b?

212) Wie viel Papier kann man fuͤr 346 Rthlr. 36 ſ5 8
haben, wenn fuͤr 1 Ball 8 Ries 18 Buch 64 mm 15ſs
6 bezahlt wirdd
213) Wennfuͤr 1 Ball 5 Ries 8 Buch Druckpapier 21 m
13 ſ; 6 &bezahlt wird, wie viel kann man fuͤr 396 mI
13 ſ̈ 8 haben? òäl
214) Ein Kaufmann will fuͤr 93456 Rthlr. 26 ſz 8 Ze⸗
bel kaufen, wenn er nun fuͤr 3600 Rthlr. 36 f 9 G

1I Zimmer 2 Decher 8 Stuͤck haben kann, wie viel

bekommt er fuͤrs Geld?
215) Wenn ein Galanteriehaͤndler fuͤr 345 Lvl. 18 ſavl.
8 Groten Knoͤpfe einkaufen will, fuͤr 1 Groß 10
Dutz aber 5 Lvl. 2ſtzvl. 3 Grvl. bezahlt; Wie viel
bekommt er?

216) Wenn 12 Schf 9 L 8 . betragen 1164 mg 10 fg

8 : Was werden 6 Schſt 1 2ſt 5lb koſten?

217) Wenn fuͤr 2361 Thlr. 51 Groten gekauft werden:

44 Schſt 1 Lf 11 ſk; wie viel kann man fuͤr 836
Thlr. 48 Groten 3 Schwaren haben? L

12. Aufgaben, wo im iſten Satze eine Unitaͤt
vorkommt.
S§. 266. Aufgaben, deren 1ſtes Glied nur aus ei⸗

ner Unitaͤt beſtehet z. E. 1 :2 MW = 8b: X, und

welche bey den Kaufleuten am meiſten vorkommen, wer⸗
den gewoͤhnlich daher, weil die Diviſion, wegen der Uni⸗
taͤt im 1ſten Gliede, gaͤnzlich wegfaͤllt, und nur al⸗
Aein die Multiplication des ꝛten und 3ten Gliedes uͤbrig
bleibt, auch Multiplicationsexempel genennet. Und weil
die hieher gehoͤrigen Aufgaben wirklich keine andere ſind,
als

als helch
des Iſten
ſehet, ſ
man auc
Iſten Gl
gegebene
V.

Veil

venn 1
ſeyu: ſon
Veſt An
des alſo

dn, ſolf
ſ, neshal⸗

Gtige kcit

39 haben,

Utner Tr⸗

3668
iſs

Heral
ir z0

6699

6ßN
„We W

. igſt.
Groß 10
Wie viel

noß 4

en?

ſ werden:

n fir 836

Unität

aus e9
X, und

nin, wet⸗
der Uni⸗

Die practiſche Rechenkunſt. 333

als welche §. 185. ſchon vorgekommen, auch die Unitaͤt
des 1ſten Satzes nur der Vergleichung wegen da⸗

ſtehet, ſonſt aber gar nicht gehraucht wird; ſo kann

man auch dergleichen Solutiones mit Auslaſſung des
I1ſten Gliedes berichtigen, beſenders, wenn der bekannkt
gegebene Preis nur aus einer Muͤnzſorte beſtehet. Z. E.
Was koſten 3456 k, wenn 1 um 2 M zu haben?

Solutio.
IIE — a8 — 3486 FP2

Fac. 6912 Mm
Weil hier nicht anders geſchloſſen werden kann, als:
wenn 1 k = 2 mg, ſo muͤſſen 3456 kt = 3456 2 mS
ſeyn: ſo muß es auch einerley Facit geben, wenn man
dieſe Aufgabe, mit Auslaſſung des erſten Glie⸗
des alſo aufſetzet und eben ſo, wie vorher, berechnet.

Solutio.

23456
2 2 8
Fac. 69 12 mMS
Anm. Man ſieht hieraus, daß dieſe letzte Solutio nach ei⸗
nerley Verfahren mit der Erſtern, auch einerley Facit
giebt, auch hier, wie dort, der Name des Multiplicandi
wegfaͤllt, und dem Facit der Name des Multiplicatoris
gegeben werden muß. Wir wollen alſo dieſe letzte Art
Leybehalten, ſe oft der Preis einer Aufgabe nur ei⸗
ne und zwar die groͤßte Muͤnzſorte enthaͤlt.
218) Wenn 1 /5 5mg koſtet, was koſten demnach
6789 ſ½ SSl M
219) Was koſten 346 Centner à 36 Rthlr. den Centner?
220) Was 998 L ſ à 47 Thlr. das Lt? 8
221) Was 5436 Ellen à 15 M die Elle?

d nur a, 222) Wie viel me geben 4396 Dukaten à 6 § gerech⸗

edes igreig
lnd tel
dere ſnd ,
als

net? V
223) Wenn man fuͤr 1 Elle 6 bezahlt, was koſten

Die practiſche Rechenkunſk.

1 Elle — 6 & — 5436 Ellen 2
Ffza 1359
½ Fac. 169 n 14
Oder:
5436 Ellen à 6 £
r= 6 32
³) Tac. 169 mMg 14 ſ5 „.

In beyden Solutionibus ſind die 6 & gegen 192, als
ſo viel &Q zu einem m gehoͤren, zerſtreuet, auch, weil mit
ehen nicht bequem zu dividiren, dieſe 32 im 4 ⁸%8 zer⸗
fallet, damit bekanntermaſſen dividiret, und ſodann das
richtige Facit 169 14 ſs gefunden wordern.
Proba.
5436 Ellen — 169 mMS 14 ſ5 — I Elle?
IOTIA

2718ſ8

5436
32616
5436) Fac. 6
Weil hier der Diviſor 5436 zu groß, um in 165
mg etwas nehmen zu koͤnnen, ſo iſt hieraus zu urtheilen;
daß eine Elle nicht einen ganzen Mark, ſondern nur ei⸗
nen Theil deſſelben kommen koͤnne; deswegen ſind die
169 m8 14 ſs zu ſs gemacht und = 2718 ſs befunden wor⸗

den. Weil aber auch dieſe Summe von Schillingen zu

klein, um darin dividiren zu koͤnnen, ſo kann die Elle auch
nicht einmal 1ſs, ſondern ſie muß nochweniger kom⸗
men, deswegen ſind dieſe 2718 ſS5 zu noch kleinern
Theilen, zu H gemacht worden, als in welcher An⸗
zaßl Pfennige nun erſt 6mal genommen werden fonnte.

29

2)

elcher
den, ſ
ſahren
22⁴⁰
2²⁵

9407
„0

=ãSRee =.

— ———ʒ—NU—U—U

4

2²

— =ẽ —
2—☛ 2—

20)

231)

)
239)
234
5)
36)

25)

399)
24)

243)

— aA

—

10, 4a
twei mit
er⸗
ſodann dar

n i1 165
theilen;
n nur ei⸗
en ſind die
unden wot⸗
ingen zu
E lean
iger konm⸗
fleinern
belcher An⸗
Da

Die prartiſche Rechenkunſt. 335

Da nun dieſe 6 als der Preis einer Elle eben derſelbe iſt

welcher in der vorſtehenden A
ufgabe bekan
den, ſo iſt auch bey Berechnung len Aanig ver⸗

fahren.

224) Was koſten 5569 ff 4 9 d. das *?

225) Was 8764 f 5 à 10
25 Was 7897 b à 11A 2
27) Was wird fuͤr 3333 Ellen bezahlt 3 4 3 ſd die Elle?

228) Was fuͤr 8965 Ellen à 4 ſS?

229) Was ſur 8770 à 6 ſs

230) 8764 5à 11 6
231) 8970 :

5 2
232) ⸗ 9735 Lſt àr
3 7
545 ock à 1 das
3 ⁸ , 8493 Stein 4¾ ſe de Saha
4444 Dutz à 17 3 7

237) Was koſten 5550 Dutzt 7Grvl das Dutt?

Solutio.

1 Dutzt — —Grvl. — 5550 Dutzt?

1* 138 Ml
23 2 8
Fac. 161 Lul.
5550 Dutzt 8 7rnl
138 15 6
23 : 2:⸗ 6
Fac. 161 Lvl. 176vl. 6 Grvl.

1

238) Was koſten 8740 Ellen à 8 Grvl. die Elle?

239) Was 4734 Ellen à
240) Was 6666 Ellen à gn.
241 5435 f à 10 Wrrr;
24 A :⸗ 7474 à 5 vl.
233 . 3400 à 6 ſevl.
44) as koſten in Bremen 9465 fkb à 36 Groten?
245⁵)

336 Die practiſche Rechenkunſt.

245) Was daſelbſt 2143 Lſt à 65 Groten?
46) Was koſten 5675 F 4 Grvl. nach berechnet?
olutio. =ðèð

1K - 4rrl. — 5678 ſ2

4S Fac. 709 M 12 ſs
We 1 Grvl. = 1 Sechsling oder 6 Q ſo ſind au
Grvl. 1I M8 deswegen ſind c ſet E
folglich 5678 ½ s = 709 Mg 12 ſs.
Amm. So oft künftig das Facit in Mark verlanget wird,
wenn der Preis in Grol. gegeben worben, ſo oft wer⸗
den auch die Grol. gegen 32 zerſtreuet.
247) Was koſten 3456 Ellen à 5 Grvl. ?
248) Was 5404 Ellen à 6 Grvl.
249) Was kommen 7864 Ellen à 8 Grrol.? 2
250) Was 8473 ſk à 9 Grvl.?
251) Was 9940 à 10 Grvl.?
52) Was 15400 Lf5æ à 15 Grvl. ?
25 339, Was 8000 Stuͤck à 19 Grvl.?
254) Was 7864 Stuͤck à 21 Grvl. ?
255) Was 5004 Dutzt 223 Grvl.?
256) Was 8009 Dutzt aPES Grvl. ?
257) Was 3333 Dutzt à 26 Grvl. ?
258) Was 6666 Stein à 28 Grvl.?
259) Was 9999 Stein à 31 Evl.
260) Was koſten 4567 [ à 4 6svl. das ſpi in n berechnet?
Solutio. .
K — 46vl. — 4567,
=ðèð 2283 ‧ 8
24 Fac. 6850 M 8 ſs
im .
82 H
Da iſrl. = 66, ſo muͤſſen auch jedesmal, da⸗
ferne das Facit in Mark verlanget wird, die gegebenen
ſzvl. mit 6 multiplicirt und das aus ſyl. beſtehende Factum
welches den gegebenen ſsvl. voͤllig gleich iſt, ſodann mit 16 zu

M gemacht werden. Demnach ſind hier 4ſvl. = 4 ſ5 Ll.
dder

16.

in.

Re
eIN
lieſe in
ſuͤr eben
hen die

und zu
da darn

.
461)
262)
263)
264)

5
266)

20)

268)
469)

270)

271)

29,)

279

270 C

1Ele.

etechatt?

6
d auch .
D

inget wid,
ſpeſt nen⸗

etchtet!

oder = 1 8ſz. Nun iſt geſchloſſen worden: wenn 1
= IM, ſo muͤſſen 4567 †b = 4567 mMmg ſeyn, deswegen
dieſe in der Fragezahl ſich befindenden 4567 f ſogleich
fuͤr eben ſo viel m angenommen, und ſodann aus denſel⸗
ben die Haͤlfte, fuͤr den Betrag à 8 ſs das , genommen

Die praetiſche Rechenkunſt. 337

und zu dem vorigen Betrage à I1 M pr. ſp† addirt worden,

da dann die Summa das richtige verlangte Fac. gegeben.
Anm. Folgende Anfgaben, bis 268, ſollen, wie in vorſte⸗

hender Solutio geſchehen, nach Markl. berechnet
werden.

261) Wenn das Dutzt FSſevl. koſtet, was 7890 Dutzt?
262) . ; 6ſSvl. „8743
263) ½ „v1vl. 8764
264 10oſsvl. ⸗ 4325 2
265) Das Stuͤck koſtet 12ſsvl. was 20000 Stuͤck?
266) „ ⸗ 14 ſs vl.⸗ 9876 Stuͤck ?
267) Die Elle à 16ſsvl. was 3576 Ellen?
268) ⸗ à 19 ſsvl.⸗ 5430 Ellen?
269) Wenn das ſ† 7 Kſtrl. koſtet was 4500 ?

J

M Solutio.
1IEE — 7Kſtrl. — 4500 ff
6 40 1I12 ⸗ 10
116 12 : 15

Fac. 131 Lſtrl. zſovl.

270) Was koſten 3406 f à 8 Kſtrl.?
271) Was 7503 ſ à 9 Kſtrl.
272) ‧ 5432 5 à 10 Kſtrl.
273 4032 ſb à 11 Kſtrl.

274) Was 3496 Ellen à 3 ſoſtrl. in Hamburger Banko?

1 Elle — 3ſtſtll. – 3496 Ellen?
. 10 H 2

zoſs Banko

— —,

699a

2 mS +2 ⁶
—,—

à2 8

Fac. 6555 MS Banko.

D

68

338 Die practiſche Rechenkunſt.

ſoſtrl. als der Preis von 1 Elle, mit 10 vermehrt, und
demnach gefunden worden, daß 3 6ſ8ſtrl. = 30 Banco.
Dieſe 30 fs ſind mit 16 zu mg gemacht, welches IN
14 ſ oder 2 M = 2 ſ gebracht ꝛc.
275) Was koſten 536 Ellen 4ſoſtrl. die Elle? Crievorhen
276) Was 8764 Ellen à Fſöſterl.?
277) Was 7342 Ellen à 6 8ſtrl.
278) Was 9732 Ellen à 7ſſtrl.
279) Was 7540 Ellen à 9 ſoſtrl.
280) Was 456 Lſtb à roſoſtrl.
281) Was 8764 L à 126Sſtrl.?
282) Was 5673 Lſt à 15ſſtrl.?
283) Was 7400 Lfk à 18ſsſtrl.?
284) Was 4403 Lf†b à 19 6ſ6ſtrl.?

Da 1ſoſtrl. = 10 ſz Hamburger Banko, ſo ſind die z

13. Aufgaben, wo die Unitaͤt des erſten Gliedes
kleiner, als die des 3ten Gliedes iſt.

267. Wenn das 3te Glied groͤßere Sorten ent⸗

haͤlt, als das 1ſte Glied, ſo muͤſſen die groͤßern Sor⸗
ten des Zten Gliedes zu eben den Sorten, welche das erſte
Glied enthaͤlt, d. i. beyde Glieder den Ramen nach
gleich gemacht werden. Z. E.

285) Was koſten 532 Centner à 2mg das I7 ⸗
Solutio.

1 — 2 mg — 532 Centner?
fIIZZ
10646
8332
332
39584 fk

———=—

PFrcit. 119169 mS

4
* doder

9 .
9) B
die

14. Au
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4 4
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Gnet

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tten ent⸗

en Sor⸗
e daserſte
amen taoch

lder

Die practiſche Rechenkunſt. 339

Oder:
5322 Centr. à 112 à 2 m
532
1064
59584 k.
a 2 (§. 266.)

Fac. 119168 m

286) Was koſten 764 Centner à 5 m das ſp?
2877) ⸗ ;⸗ 864 ⸗ à 70 8 das Lf?
288) ⸗ ⸗ 84 Schf à 20 m das Le?
2899 C ; 94 à 248 das Lp?
290) Was koſten 543 †b à 1mg das Loth?;
291) Was 8640 f à 2 Ms die Unze?

292) Was 350 Schock à 4 M die Elle?

293) ⸗ 96 Schock à 7 Mg die Elle?
294) Wenn die Tonne Luͤneburger Salz 9 § koſtet: was
5 Laſt 7 Tonnen?

295) Eine Tonne dito koſtet 10 ms: was 10 Laſt 11

Tonnen?
296) Wenn 1 Tonne Spaniſch Salz 7 Mg koſtet, was
36 Laſt 12 Tonnen?

297) Die Tonne dito à 9 ms: was 45 Laſt 13 Tonnen?
298) Wenn die Tonne Heringe 36 M koſtet: was 24 Laſt

9 Tonnen?

299) Was betragen 30 Laſt 10 Tonnen dito, à 12 Rthlr.

die Tonne?

14. Aufgaben, wo bey einer Unitaͤt des 1ſten
Gliedes Zerſtreuungen im 2ten und Zten
Gliede vorkommen.
§. 268, Aufgaben, welche ſo wohl im 2ten als 3ten
Gliede verſchiedene Sorten, im erſten aber nur eine Uni⸗
taͤt der groͤßten Sorte haben, ſind von denjenigen,
weilche §. 263. vorgekommen, in nichts unterſchieden, als

daß die Summa aller Betraͤge, welche die Aufgaben mit

2 ſich

340 Die praeiſche Rechenkunſt.

ſich bringen, wegen der Unitaͤt im 1ſten Gliede, nicht di.
vidirt werden kann, alſo eine ſplcher gefundene Summe

ſo gleich das verlangte Facit iſt. Z. E

300) Wenn der Centner 36 M2 96 4 O koſtet; was
werden 345 Centner 6 Lf 75 koſten?

S

Solutio.

1 Centn. — 36 Mm8 9 ſs 4 — 345 Centn. 6 2tb 7r

—— — 3 —,— —,—

8 2 4 13 — 4 12 7 4
118s 2070 212
1035 .
Bettag d⸗ der 345 Centn. 8ſ 172 ⸗ 8
412 21 29
. 4 J 7 3
Betrag fuͤr 2 18 4 ⸗ 8
9 ½ 2 74

Fac. 12650 mM8 15 s 7

301) Was koſten 436 Centn. 6 Lf 9fß 2 8 Rthlr. 36 ſ

9 den Centner?

302) Was koſten 504 Centner 5 Lt 13 B5 à 9 Rthir. 42

ſs 4 den Centner?
303) Was koſten 89 Schf 15 L 8 à 36 Thlr. 42
Groten 3 Schwaren das Sch ſt?
3904) Was 75 Schfÿ 17 Lf† 9 à 46 Thlr. 56 Groten
2 Schwaren das Schft?
305) Wenn das Schſp fuͤr 72 Thlr. 13 26 9 & zu haben:
was koſten 36 Sch b 19 Lſt 13 F2
306) Wenn das Schock 50 Thlr. 17 8 & koſtet, was
69 Schock 50 Ellen?
307) Wenn der Centn: 25 Lvl. 16 ſzvl. 5 Q koſtet; was
340 Centner 4 Lſb ?
308) Der Centner koſter 36 Lvl. 17 ſsvl. 8.: was 205
Centner 3 L 10 ſt
309) Wenn der Ballen Papier 8 Lſterl. 13 ſöſtrl. 7 ko⸗
ſtet: was 320 Ballen 9 Ries 5 Buch?

310⁰)

We
ſd hier
nddadi
69 A
er
ent ſt
erſchiene

nicht e⸗

Sumine

t; war

— ——
1 7

Die praetiſche Rechenkunſt. 341

310) Wenn das Loth Silber 1 mg 9 ſz 6 & koſtet: was
115 M8 12 Loth 3 Quentin? (Hier werden die 115
Mark erſt zu Loth gemacht.)
311) Wenn I1 Mark Silber zu 1 Lſterl. 12ſsſterl. 9
bedungen wird: was werden 341 Mm8 15 Loth 2
Quentin gelten?

212 Was koſten 296 Mark 13 Loth 1 Quentin engliſch

Silber à 1Lſterl. 15 ſoſterl. 10 & die Mark?
313) Wenn die Laſt Rocken 156 Thlr. 13 . 8 koſtet:
was 350 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel?

314) Wenn die Laſt Weitzen 190 Thlr. 21 9 9 koſtet

Was 235 Laſt 1 Wiſpel 2 Scheffel?
315) Wenn das Lf 36 ſsvl. 9 Grvl. koſtet, wie viel ms
werden 56 Centner 7 Lf 13 ſtb koſten?

Solutio.
1eſt — 36 ſevl. 9 Grvl. — 56 Centn. 7 2 13 ſ ?
6 8 ——
— —— —— 2
6 ſS 6 & 4 5 LE 2 7
16) — — 136 5 21
13 8 12 6* 6O H zr
812 68 113 12
4 12 14 ½ 3 , 6G
6 ½ 14 3
1I 15 6
I 15 G
I⸗ 15; 6

fac. 6283 aſs 38
Weil 1ſvl. = 666 Luͤbſ. wie ein Qvl. = 69 Luͤbſ. ſo
ſind hier erſt, ſo wohl die & als ſevl. mit 6 multiplicirt,

und dadurch die 36 ſzvl. Grvl. zuſt und & Luͤbſ. dieſe 220

ſS 6 Luͤbſ., aber mir 16 zu Mo gemacht worden, welche

13 m 12 ſt 6 gegeben. Ferner ſind auch die 56 Lentn.

im zten Gliede zu Eſt gemacht, weil das erſte Glied Lp

enthalt; und ſo iſt erſt die ganze Aufgabe in der Geſtalt

erſchienen: 12 : 13 M 12 ſs 6 = 455 Lb 13 1b: X ꝛc.

3 316)

342 Die practiſche Rechenkunſt.

316) Wenn der Centner 48 ſzvl. 10 Grvl. koſtet, was 96

Centner 5 Lſt 3 b 2
317) Wenn der Centner 50ſsvl. 11 Grvl. koſtet, was 236
Centner 4 Oſt ol?
318) Wenn das Loth 36 ſzvl. 9Grvl. koſtet, was 956 ms
15 Loth 3 Quentin?
319) Wenn das Loth 40 ſe vl. 8 Grvl. koſtet, was 532 m
13 Loth 1 Quentin.

320) Was koſten 432 g 12 Loth 2 Quentin à 41 ſzvl.
11 Grvl. das Loth?

15. Aufgaben, wo im 3ten Gliede eine Unitaͤt

vorkommt.

§. 269. Aufgaben, wo die Frage nach dem Preiſe
einer Unitaͤt des Maaßes oder Gewichts iſt, kommen
ebenfalls bey Kaufleuten, und im gemeinen Leben uͤber⸗
haupt, oft vor. Denn wenn der Kaufmann eine Parthey
Waare um eine gewiſſe Summe, z. E. in der Auction er⸗
handelt hat, ſo verlangt er zu wiſſen: Wie hoch ihm 1
Centner, oder 1 Lt, oder I f oder 1 Elle u. dgl. zu ſte⸗
hen komme? — Wenn ein Hauswirth einen Ochſen

ſchlachtet, und nach dem Einkauf, wozu alle Unkoſten ge⸗

hoͤren, zu wiſſen verlangt: Wie hoch ihm nun das 1
Fleiſch zu ſtehen komme? u. dgl. Faͤlle mehr, ſo iſt die
Fragezahl allemal eine Unitaͤ:ͤt.
Und weil in ſolchen Faͤllen, eine Unitaͤt im 3ten Glie⸗
de nicht multipliciren kann, ſo bleibt auch nur die Divi-

ſion des 1ſten Gliedes in das 2ꝛe uͤbrig; weshalben dieſe

Art Aufgaben auch Diviſionsaufgaben heiſſen. Z. E.

321) Wenn 36 ſ fuͤr 38 8 ſs gekauft werden, was
koſtet 1e

Solutio.
36 k — 38 m ſt — IR 2
3 6 ½ 6 ;: 8

Fac. 1 g T ſs 1½ &

RA

L. Anm

1. A

23
Veil

ſ0
Di⸗
G
erſt
ma
des
die
ion

Die practiſche Rechenkunſt. 343

, N:eh65 1. Anm. Man ſiehet aus dieſer Solutio, daß dieſe Art Auf⸗
gaben nichts anders als eben die 9. ar3. vorgekomme⸗
nen Diviſionsaufgaben ſind, und daher nichts Frem⸗

wu⸗ es enthalten.
Proba.
gnn 1K — 1 m r ſs I11 — 36 fk?
—,—2 —— 24
en 1116 112 — 3
d. ee 8
Fac. 38 M8 8 s
,,6 e:. Anm. Hieraus ſiehet man zugleich, daß die Diviſtons⸗
Unitaͤt aufgaben durch Multiplieationsaufgaben, wie dieſe

B durch jene, probiret werden.
322) Wenn 343 ſk mit 122 mMmg 8 6 § bezahlt werden,

dei was kommt Ip?
anntt 223) Wenn 30 Centn. fuͤr 127 M8 8 ſs gekauft werden,
den Wer⸗ was kommt 1 Centn.?

ePnen 2294) Wenn man fuͤr 1174 § 8 ſ5, 48 Schſt kauft, was
uction er⸗ kommt 1 Schſ?
9ihn 1 325) Wenn 11 Sch t 15 Lltk fuͤr 99 1 6 ſs 6 bezahlt

a werden, wie theuer 1 L ?
koſten ge . Soludie. „
das h 11 Schl 15 Lſb — 99 1 18 6 6 6 ½ — 1 AV ?
iſ zi 20 2 — =
iſt die — — 35) F. 4 mg 3 6 6 &.
ten Gie⸗ Weil hier im erſten Gliede ſich 2 Sorten befinden, da⸗
die Dii⸗ vonn die kleinſte den Namen des Zzten Gliedes hat;
ben e⸗ ſo muͤſſen dieſer Urſache wegen, wie auch, weil ein
1. 3 E. Dieiviſor nur aus einerley Unitaͤten beſtehen darf,
en, dos . (§. 245.) die beyden Sorten des erſten Gliedes

erſt zu einer Sorte, und zwar zu derjenigen ge⸗
macht werden, welche mit der Unitaͤt des Zten Glie⸗
des einen Namen hat, bevor mit dem erſten Gliede
die Diviſion in dem 2ten vorgenommen werden
kfkann, Ec.
2326) Wenn 23 Schlſtb 10 L½ fuͤr 96 Rthlr. 47 5 3 & be⸗
zahlt werden, was 1 2t

344 Die practiſche Rechenkunſt.

was kommt 1 Lth.?

328) Wenn 156 Decher 7 Stuͤck fuͤr 914 1 ſ8 4 ge⸗

kauft worden, was koſtet 1 Stuͤck?

329) Wenn 36 Laſt 9 Tonnen Heringe 5496 Thlr. 18 G

6 koſten, wie theuer 1 Tonne?

33⁰) 236 Laſt 1 Wiſpel §5 Scheffel Rocken koſten 12096

Thlr. 21 6 8 Q, was 1 Scheffel?

331) Wenn 10 Ahm 15 Stuͤbgen Wein 985 Mg 10 ſ5 9
koſten, was 1 Quart?

332) Für 630 Mark gemachtes Silber werden 16064 m

bezahlt, was koſtet 1 Loth?
333) Wenn 3 Laſt 1 Wiſp. 5 Scheff. Gerſten 506 ms 4 ſ5
koſten, was 1 Faß?
334) Wenn 9 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel Gerſten 1634 8
10 ſ5 4 koſten, was 1 Scheffel?
335⁵) Wenn 24 Perſonen 136 mM8 8 ſs 6 & verzehren, was
bezahlt jede Perſon? SS
336) Wenn fuͤr 36 Lſ 5 p, 25 ſe vl. 9 Grvl. bezahlt wer⸗
den, was koſtet 1 ? (nach Hamb. Muͤnze.)
337) Wenn man fuͤr 39 Groß 8 Dutzend 136 Thlr. 19
9C 8 & bezahlt, was kommt 1 Dutz.?
338) Wenn 136 Centn. 7Lff 5 b fuͤr 435 Rthlr. 42 fg
8 bezahlt werden, was 1 6HG

16. Aufgaben, wo im 2ꝛten Gliede nur eine
Unitaͤt vorkommt.
§. 270. Weil das 2te und 3te Glied in jeder Regel⸗

detriaufgabe mit einander multipliciret werden muͤſſen;
ſo iſt es auch voͤllig einerley, ob das zte oder das 2te

Glied aus einer Unitaͤt beſtehet; denn in beyden Faͤllen

muß, der Unitaͤt wegen, die Multiplication wegfal⸗
len. Und eben daher ſind auch dieſe folgenden Aufgaben
den Vorigen voͤllig gleich. d. i. Sie ſind ebenfalls wie

die Vorigen, nichts anders als Diviſionsaufgaben. Wenn

daher das Zte Glied mit dem erſt en dividiret worden, ſo
iſt auch ſchon das Facit gefunden. Z. E.

339)

3227) Fuͤr 385 25 Lth. ſind 1928 M8 14 s 6 H bezahlt,

—

hezehl,
OgH

12006

loſt 9

466
111s

Hl6

ltwen
t. 19
4ſ
ine

egele
ſſen;
21e
Filen
egfat⸗
aben
wie
Venn
1,6

9

Die nraciſche Rechenkunſt 345

339) Wenn man fͤr 1 bezahlt en, was wird man
fuͤr 3480 mMm kaufen?

Solutio.

86 — F — 3480 ng

Pa gz; ſ 435⁵ FF
Hier iſt geſchloſſen worden: Wenn fuͤr 8 Mm8 1 ge⸗
kauft worden: ſo muͤſſen auch fuͤr 3480 m ſo oft
1ſt gekauft werden koͤnnen, als ich 8 in 3480 m
haben kann. Und da dieſes 43 5mal moͤglich, ſo be⸗
ſtimmt auch dieſer Quotient die zuverlaͤßige Anzahl
Pfunde, welche fuͤr die in der Aufgabe beſtimmte
Summe gekauft werden koͤnnen.
Anm. Ob gleich bey dergleichen Aufgaben die Multipliea⸗
tion, wegen der Unitaͤt im 2ten Gliede, weg⸗
faͤllt, ſo erhaͤlt deswegen doch, aus bekannten Urſa⸗
chen, das Facit allemal den Namen des ꝛten Glie⸗
des. Denn die geomekriſche Proportion iſt, 8 Mark?:
1 Pfund = — 3480 Mark: 435 Pfund.
Proba.
3480 m2s — 435 — 8 r⁶

) 696 87
8

9*% 8
Fac. I b. “
Oder: G

Proba nncs der 6ten Reg. z
8 8: 1 = 3480 M8 : 435 K
1 — 34

656).

3480 4
160

340) Fuͤr 9 me kauft man 1 Elle, wie viel fuͤr 9999 ma 2
341) Fuͤr 12 1 kauft man 1 Elle, wie viel fuͤr 3888

Rthlr.?

346 Die practiſche Rechenkunſt.

342) Wenn die Elle mit 15 me bezahlt wird, wie viel

kauft man fuͤr 5190 Rthlr.?
343) Wie viel kauft man fuͤr 3430 Rthlr. à 36 Rthlr.
deen Centn.? MM

Solutio.
36 R — 1 Centn. — 3430 Rl.
6 577 5 :4
S 6)

Ob man gleich mit der Unitaͤt des 2ten Gliedes das
3te Glied nicht multipliciren kann; ſo nimmt man es
doch, der Proportion wegen eben ſo an, als wenn
die Multiplication wirklich geſchehen waͤre: und eben da⸗
her verlieren die Zahlen des 3ten Gliedes den Namen
Rehlr., und nehmen dafuͤr den Namen Centn. an. Eben
deswegen kommen, durch die Diviſion mit 6 in 3430,
auch Centn. zum Quotienten, und ſo muß der Reſt eben⸗
falls Centn. enthalten, welche zu Lÿ gemacht, und aber⸗
mal mit 6 dividiret werden; was da noch uͤbrig bleibt,
ſind L†p, welche zu ſ̈ gemacht, und gleichfalls mit 6 divi⸗
dirt werden; da dann der erſte Quotient 571 Centn. 4
Lft 4 ¾ gegeben. &c.
344) Wenn der Centn. 7 mg 4 ſs 8 O gilt: was kann fuͤr
112 1 ſs 9 gekauft werden? (Aufgabe 339.
Anm.) H .
Solutio.

2 4 8 § — 1 Centn. — 112 m 1 ſs 9 2
16 672

—..,—

116 F 1793
232 H 3586
1400 21525
&c.

345) Ein Schmidt kauft fuͤr 178 mg 1 ſs Eiſen, bedingt
das Sch fuͤr 18 M8 8 ſs, wie viel hat er Eiſen be⸗
kommen?

346)

Fac. 95 Ct. 2 Lſtb 3 ½ od. ½ bt.

346
).

3ic⸗

39,

30)
3

3)
333)

34
36
37
358
3

N

bie vie

Nehle.

dert.
es das
nan es
wenn
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Namen
Eben
3430,
eben⸗
d abet:
bleibt,
b divi⸗
Nen. 4

nn für

edingt
en ber

347) Wie viel Weizen b

Die praetiſche Rechenkunſt. 347

346) Eine Laſt Rocken koſtet 12 j
5) . et 125 M, wie vi
fuͤr 679 m8 2 6 8 haben? e viel kann man
. bekommt
à65 Rthlr. die Laſt? unt man faͤr 1485 S 4 ⁵ B

348) Wie viel Haber kann man fuͤr 797 Rthlr. 31 ſs 6 Q

haben, à 31 Rthlr. 12 ſs pr. Laſt?
. . * pr. Laſt!
349) Wie viel kann man fuͤr 401 8 ſs haben, wenn
das t zu 1 m 2 ſ 3 & bezahlt wird? (Wie viel ß ?)
350) Wie viel bekommt man fuͤr 2426 Mm8 10 ſ 8 à à
enn das [p̈ 2 Rthlr. 9 ſt ie vi
ite man fuͤr n8 108 koſter⸗ wie viel bee⸗
352 ie viel kauft man fuͤr 232 à
156 30 das ih . 23 Rthir. 15 ſ 7
353) Wie viel fuͤr 166 Rthlr. à 24 ſs das Loth?
Solutio

24 ff — r1 Lth. — 166 RN
S 48.

132 G
664
27968
24 332 Loth
32
. Rac. I0 th.
354) Wie viel fuͤr 295 Rthlr. à Ben deor.
355) Wie viel fuͤr 79 Rthlr. 8 ſs pr. Unze?
35⁵6) Wie vien Schfßß fuͤr 310 Rthlv. à 32 ſo das Liß?
357) Wie viel fuͤr 435 Rthlr. 30 ſs à 30 fs das Ltt?

358) Wie viel ſ fuͤr 2467 Rthlr. 24 ſ5 à 2 Rthir. 24 ſ

das Loth?
Unze? 2198 Rthlr. à 4 Rthlr. 32 ſ die
360) Wie viel Stuͤck fuͤr 1453 2
ie 53 Thlr. à 6 Thl.
8 00 Grot 2 Schw. das Saran 44 Greten d 6Kh
361) e viel Steige fuͤr 3261 Thlr. 38 Groten 4
Schwaren, à 7 Thlr. 39 Groten 2 Schwaren das

Steige?
362)

348 Die practiſche Rechenkunſt. „

362) Wie viel ſẗ fuͤr 355 Lvl. à 15 ſzvl. das Loth?
363) Wie viel fuͤr 399 Lol. 6 ſovl. à 11 ſzvl. die Unze?

364) Wie viel Steige fuͤr 2214 Lvl. 10 ſsvl. à 5 Lvl. 7

ſol. 6 Grvl. die Steige?

365) Wie viel Decher fuͤr 1854 Lvl. à 6 Lvl. 8 ſEvl.

Gevl. den Decher?
366) Wie viel ſt fuͤr 617 8& à 16 Grvl. das ſt?
367) Wie viel fuͤr 1141 M8 12 ſs à 8 Grvl. das ?

368) Wie viel Stuͤck fuͤr 750 g 4 26 ſovl. 8 Hvl. das

Stuͤck?
Solutio.
26 ſe vl. 8 Hvl. — 1 Stuͤck — 750 ms ?
22 32
320 Grvl. 1500
4 2250
S 24009 Grvl.
14 600
8)
Fac. 75 Stuͤck.
369) Wie viel Stuͤck fuͤr 2425 fMhg 12 ſt 6 ϑ à 28 ſevl.
9 Yvl. das Stuͤck?

3370) Wie viel Stein Flachs fuͤr 278 mg 11 ſs a 2 Rthlr.
44 ſ5 den Stein? .
371) Wie viel dito fuͤr 1234 Thlr. 696 a 3 Thlr. 3 20
den Stein?

3372) Wie viel Laſt Erbſen fuͤr 2499 mg a 35 Rthlr. die

373) Wie viel Fuder, Ahm und Stuͤbgen Wein fuͤr
233875 Thlr. 45 Groten 2 Schwaren a 75 Thlr. das
Fuder?
274) Wie viel Theer fuͤr 1282 Thlr. 64 Groten a 38 Thlr.
die Laſt?ꝰ—

375) Wie viel Pech fuͤr 3063 Rthlr. 12 ſs a 57 Rthlr.

die Laſt?
376) Wie viel ſpaniſch Salz a 150 mMg die Laſt kauft man
fuͦr 3575 m?

377)

97

P!

Gl. s

Unze?
5l .

ſel 9. .

Die practiſche Rechenkunſt. 349

377) Wie viel Schock Latten kauft man fuͤr 196 Thlr. 36

Groten 3 Schwaren 7 Thlr. 3 2 Groten das Schock?

378) Wie viel Groß Hundert Better fuͤr 320 Mmg 10 ſs

à 11 Rthlr. 12 ſs das Schock?
379) Wie viel Groß Tauſend Pipenſtaͤbe fuͤr 1124 Mm8
9 ſ5 8 à 1I1S M das Groß Tauſend?

380) Wie viel Huͤte fuͤr 59 Thlr. oGrot 2 2 S waren
à 20 Thlr. das Dutzend? h. 3 9

381) Wie viel Zimmer Grauwerk fuͤr 192 Mm 3 65 ² à 17

ma 8 ſs das Zimmer?
382) Wie viel Papier fuͤr 6 mg 4 ſ à 5 m 10 ſs das

383) Wien viel Silber fuͤr 676 m8 13 6 à 24 m 8 ſ die
Nark?

384) Wie viel Mark, Loth und Quentlein Gold fuͤr
5983 8 8 ſ à 384 8 die Mark?

385) Wie viel ſt und Unzen dito fuͤr 3421 M 14 6’,

250 Rthlr. pr. ſt?
386) Wie viel kauft man fuͤr 2183 Mm8 10 ſ
2 ſ das Schſt? 59 248 n8

387) Was kauft man fuͤr 1602 m8 5 à 43 m8 12 ſ

pr. Centner?

H 388) Wie viel fuͤr 1936 Mm 12 fſ5 à 35 mg 9 ſ 4 den

Centner?

389) Wie viel Flachs fuͤr 332 Rthle. 38 ſs à 15 8 5 ſS

den Stein?

390) Das Schock à 50 Thlr. 10 90 48, wie viel fuͤr

1486 Thlr. 16 202

391) Wie viel rheiniſche Wolle fuͤr 781 Mmg 1I ſs à 10

me 5ſs den Stein?

392) Vi⸗ viel Salpeter fuͤr 4661 Thlr. 11 0 6 4

19 Thlr. 16 40 6 & den Centner?

393) Wie viel Ruͤboͤhl fuͤr 2613 m8 13 ſ 8 ¾ 16 mg
12 ſ den Centner?

394) Wie viel engliſch Bley fſuͤr 8296 Thlr. à Thlr⸗

18 90 8 das Sk?
395) Wie viel Schwed. Kupfer, 264 Rthir. 36 ſ5 das
Schſſt, fuͤr 5400 ?
396)

3 0 Die practiſche Rechenkunſt.

396) Wie viel fuͤr 3500 ρ Koͤnigsberger Hanf 4 14 Rthlr⸗
838 66 8⁸ das Schſt?

397) Wie viel Stuͤck Mittelwalder Leinwand fuͤr 2875

8 ſs, à 35 ſoövl. 0 Qvl. das Stuͤck?
398) K 8ß eine lang. e 91 Mark z Loth wiegt, und
die Mark ins feine haͤlt 21 Karat 4 Graͤn: wie viel
fein Gold enthaͤtt die Stange? —Rr
399) Eine dito wiegt 73 Mark 2 Loth à 22 Karat 8 Graͤn
fein: wie viel ſein Gold? .
400) Wenn vorige Stange Gold 2 128 Rthlr. die Mark
fein verkauft wird: wie viel betraͤgt ſie?

II. Regula de Tri ſimplex inverſa,
oder

die einfache verkehrte Regel de Tri.

§. 271. Die Regel hat ihren Namen daher, weil die
nach ihr zu berechnenden Aufgaben, auf eine der Regula
de Tri direéta ganz entgegengeſetzte und alſo ver⸗
kehrte Art ſolvirt werden. Denn wenn nach dieſer, der 3te
Satz mit dem 2ten multipliciret, und das Factum mit dem
erſten dividiret werden muß, ſo verlanget jene: daß der er⸗
ſte Satz mit dem 2ten multipliciret, und das Factum
mit dem 3ten Satze dividiret werden ſoll. Der Grund die⸗
ſes verkehrten Verfahrens, bey der Regula de Tri in⸗
verſa, ſteckt in ſolgenden Regeln:
1. Reg: Wenn von 3 gegebenen Zahlen die 1 ſte und 2te
multipliciret, das Product derſelben aber mit der zten
dividirt wird, ſo giebt der Quotient den Quartum
numerum reciproce Pproportionalem, d. i. die 4te
verkehrte Proportionalzahl, zu der ſich die 2te Zahl
verhaͤlt, wie die Zte zur 1ſten. (§. 229.) 8. E. von
3. 8.6 geben, die erſten beyden mültiplicirt: 24,
dieſe mit der 3ten dividirt aber 4, als: 3 8=
24, 6: 24 = 4, welche 4 die geſuchte gte verkehrte
Proportionalzahl iſt, die ſich zu 8 eben ſo als 3: 5

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Die praetiſche Rechenkunſt. 351

verhaͤlt. Denn ſo wie die 4te Zahl 4 in der 2ten Zahls
juſt 2 mal enthalten, eben ſo iſt die 1ſte Zahl 3, i in der
zten Zahl 6 auch 2mal enthalten.
2. Reg. Wenn 4 Zahlen gegen einander geometrice
reciproce proportionirt ſind, ſo geben die 1ſte und
2te mit einander multiplicirt, eben ſo viel zum Pro⸗
duct als die 3te und 4Ate Z. E.
in 3.8. 6. 4 geben4 6 = 24 und eben ſo auch 3 *8
— 24.
Dieß giebt die Proba zur Regula de Tri inverfa.
. 272. Aber wer braucht die Regula de Tri inver⸗
2 Jedermann. Doch einer mehr, der andere weniger.
E. Wer ſich ein kleid will machen laſſen, wozu Zeug
von verſchiedener Breite gewaͤhlet werden kann, wird ein⸗
ſehen: Daß von einem ſchmalen Zeuge mehr Ellen er⸗
fordert werden, als von einembreiten Zeuge. Wie viel
aber? wird duech die Regula de Tri inverſa erfahren.
Denn ſo bald man nur weiß, wie viel Ellen von einem
Zeuge beſtimmter Breite, zum Kleide erfordert wer⸗
den; ſo laͤßt ſich darnach das Ellenmaaß eines jeden Zeu⸗

ges; deſſen Breite bekannt, vermittelſt dieſer Regel leicht

finden.
Am meiſten braucht dieſe Regel der Schneider, ja ſelbſt

der Kaufinann, bey dem die Zeuge gekauft werden, wenn

die an beyde gethane Frage: Wie viel brauche ich zum
Kleide? richtig beantwortet werden ſoll.
Der Baͤcker muß ſich mit der Groͤſſe ſeines Brods, nach
dem Einkaufspreiſe des Getreides richten; muß das Brod
beym theuren Einkauf klein, beym wohlfeilen Ein⸗
kauf aber groß backen. Wie groß, wie klein aber? be⸗

ſtunmt dieſe Regel.

Die Vaumeiſter und Bauherren ‚ welchen bekannt,
in wie viel Zeit ſie ihr Werk mit einer beſtimmten kleinen
Anzahl Arbeitern vollfuͤhren koͤnnen, und nun verlangen
zu wiſſen: Wie viel ſie mehr Arbeiter haben muͤſſen, um
in einer beſtimmten kuͤrzern Zeit fertig zu werden?
Die Hausmutter muß fuͤr ihr Garn vom Leinweber,

mehr Laͤngenmaaß von einem ſchmalen, als vom breiten

Lei⸗

352 Die practiſche Rechenkunſt.

Leinen erhalten. Wie viel aber? Alle dieſe und noch weit
mehrere Fragen muͤſſen durch die Regula de Tri inverſa
beantwortet werden. Nun zu den Aufgaben ſelbſt.
(1 Wenn 3 Arbeiter ein Werk in 8 Tagen vollenden,
Wie viel Zeit wuͤrden 6 Arbeiter gebrauchen?
M Solutio.
3 Arbeiter — 8 Tage — 6 Arbeiter?

6 Fac. 4
Nachdem die Aufgabe eben ſo, wie bey der Reguldetri
gebraͤuchlich, aufgeſetzet, und die Frage in das 3te Glied
geſtellet, ſo iſt, nach der 1ſten Regel §. 271, das 2te
Gllied mit dem erſten multipliciret, und das Product mit

dem 3ten dividiret, da dann der gefundene Quotient die

richtige Zeit von 4 Tagen beſtimmt, welche 6 Arbeiter

haben muͤſſen, um daſſelbe Werk zu Stande zu bringen,
zu deſſen Vollendung 3 Arbeiter 8 Tage Zeit ge⸗

hrauchen.
Den Beweiß giebt die 1ſte Regel §. 271.
Anm. Weil das Facit, als Antwort auf die gethane Frage,

allezeit den Namen des aten Gliedes fuͤhren muß, ſo

thut man wohl, ſich daran gemoͤhnen, bey all n zur
Regula de Tri inverſa geht 2
Glied mit dem u1ſten, wie hier geſchehen, zu multipli⸗
eciren, und nicht umgekehrt, weil ſolches dem Anfaͤn⸗

ger leicht zur Irrung Anlaß geben, oder gar den Zwei⸗

I. Proba.
6 Arbeiter — 4 Tage — 3 Arbeiter?

fel erregen koͤnnte, als haͤtte er nicht recht gerechnet.

3) ac. 8 Tage.
2. Proba nach der 2ten Reg. §. 271.

24 = 24

5§5. 273.

rigen Aufgaben, das ate 3Arbe

de
recta

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mal ſo
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645 *

Die praeiſhhe Rechenkunſt. 353

F. 273. Wollte man Aufgaben, welche in die Regula
de TPri inverſa gehoͤren, nach der Regula de Tri di-
recta aufſetzen und berechnen, ſo wuͤrde ein ganz un⸗
richtiges Facit zum Vorſchein kommen. Z. E.

Solutio.
3 Arbeiter — 8 Tage — 6Arbeiter?

48
3) Fac. 16 Tage.
Proba. M
6 Arbeiter — 16 Tage — 3 Arbeiter?
6) Fac. 8 Tage.

Nach dieſer Berechnung muͤßten 6 Arbeiter noch ei ein⸗
mal ſo viel Zeit als 3 Arbeiter, naͤmlich 16 Tage gebrau⸗

chen, welches doch hoͤchſt falſch iſt: Denn wenn 6 Ar⸗
beiter noch einmal ſoviel thun koͤnnen, als 3 Arbeiter, ſo

haben ſie auch nur die Haͤlfte der Zeit noͤthig, welche
3 Arbeiter gebrauchen; alſo nur 4 Tage, nicht aber 16 Tage.

Und doch heißt die Proba dieſen Irrthum gut, indem
ſie beweiſet, daß richtig gerechnet worden. —
Wuͤrde man aber dieſen Zahlen andere Namen geben,
z. E. 3 ſ: 8 ms = 6 †: α ma ſo haͤtte es mit beyden

Faciten ſeine Richtigkeit. Woher aber dieſes?

Weil man bey einer Regeldetriaufgabe im 1ſten und
2ten Gliebe eine Gleichheit des Werths antrift,
(§. 232.) welche den Aufgaben der Regula de Tri

inverſa fehlt.

Denn man kann hier nicht ſagen: Wenn ich 3 Ar⸗
beiter habe, ſo habe ich auch den Werth von 8 Tage,
und umgekehrt: Wenn ich 8 Tage habe, ſo kann ich 3

8 Da

Arbeiter dafuͤr bekommen.

354 Die practiſche Rechenkunſt.

Daa nun unſere Aufgabe dieſen Mangel an Gleichheit
des Werths hat, ſo kann ſie auch nicht, ſo wie ſie da ſte⸗
het, nach der Regula de Tri direéta aufgeloͤſet werden.
§. 274. Faſt jeder Anfaͤnger der Arithmetik pflegt zu
fragen: Woran kennt man aber die Aufgaben, weiche
nach der verkehrten Regel berechnet werden muͤſſen?
An folgenden zween Kennzeicher:
1) Wenn, wie ſchon geſagt, im erſten und zweyten
Gliede keine Gleichheit des Werths zu finden, (§.273.)
ſo iſt das ein ſicheres Kennzeichen, daß ſolche Aufgabe zur
Regula de Tri inverſa gehoͤre.
2) Das 2ꝛte Kennzeichen wird durch an das 3te Glied
gethane Selbſtfeagen ſichtbar. Z. E. Wenn man bey der
Aufgabe: 3 Arb.: 8 Tage = 6 Arbeiter: W✕ fragt:
Brauchen 6 Arbeiter mehr oder weniger Zeit als 3 Ar⸗
beiter? ſo wird die Antwort: weniger von ſelbſt folgen.
Loͤſet man aber die Aufgabe durch die Regula de Tri di-
recta auf, ſo wird das Facit mehr geben. Dieſer Wi⸗
derſpruch iſt ein Kennzeichen, daß ſolche Aufgabe zur Re-
gula de Tri inverſa gehoͤre.

Eben ſo wird bey der Aufgabe, 6 Arbeiter: 4 Tage =

3 Arbeiter: Wα, auf die Frage: Brauchen 3 Arbeiter mehr
oder weniger Zeit? die Antwort: mehr erfolgen; da
hingegen die Berechnung durch die Regula de Tri di-
recta weniger bringen wird. Ein Widerſpruch, welcher
dieſe, wie die vorige Aufgabe zur verkehrten Regel verweiſet.
Mehr als dieſe zwey Kennzeichen, um alle zur Re-
gula de Tri inverſa gehoͤrigen Aufgaben von denen zur
Regula de Tri directa gehoͤrigen zu unterſcheiden, braucht
man nicht.
Zuſatz: Um ſolche Widerſpruͤche, ohne vorhergehende
Rechnung durch die Regel de Tri, auf dem kuͤrzeſten
Wege zu finden, darf man nur das 2te und 3te Glied

addiren, die Summe aber halbiren. Iſt der Quotient

ſodann groͤſſer als das 1ſte Glied, ſo giebt auch das Fa-⸗
cit, daferne die Rechnung ganz vollfuͤhret wird, eine
groͤſſere Zahl als das zweyte Glied, mithin den Wider⸗

ſpruch:

htun
wen

eichheit
da ſte
tden.
pflegtin
elche
ſſen?

wgttn
6273)

ſgobe zuat.

e Glic
bey der
fuogt:
163 A.
tfohen.
eſer Wie
ezut Re⸗

LVe
iter mehr
blgen; da
Ti i⸗
nite
verweiſt.
b zur he⸗
denen zue
n, hraucht

hetzehende
n kürſele
a1 Glied
1.5 .
t Outien
uch dose⸗
wird, .

ſptuch:

tzeſien

eine

Die practiſche Rechenkunſt. 355

ſpruch: mehr, wo die Antwort, auf die Selbſtfrage,
weniger hieß.
3Z. E. 3 Arbeiter: 8 Tage = 6 Arbeiter: 54. Hier
iſt 8 + 6 = 14 davon die Haͤlfte = 7, mithin
mehr als 3 das erſte Glied; folglich bringt auch das
Facit eine groͤſſere Zahl als das 2te Glied 8. als:
6 ☛☚ 8 = 48, und 3:48 = 16. Iſt hingegen der
Quotient klein er als das 1ſte Glied, ſo bringt auch
das Facit eine kleinere Zahl als das 2te Glied,
mithin den Widerſpruch weniger, wo die Antwort
auf die gethane Selbſtfrage mehr hieß, z. E. 6 Arbei⸗
ter: 4 Tage = 3 Arbeiter: ε. Hier iſt 3 + 4= 7
davon die Haͤlfte = 3 ½, welches weniger als das
1ſte Glied 6 iſt; ſolglich muß das Facit auch weni⸗
ger als das 2te Glied geben, als: 3 ι 4 = 12,
und 6: 12 = 2. H
§. 275. Indeſſen darf man nicht denken, daß in derglei⸗

chen Aufgaben, welche zur Regula de Tri inverſa gehoͤ⸗

ren, gar kein paſſendes Verhaͤltniß zu finden, und ſie daher

auch nicht durch die Regula de Tri directa aufzuloͤſen
waͤren: Keinesweges! Denn das konnte §. 273. nur

darum nicht geſchehen, weil die Aufgabe nach der Regula
de Tri directa zwar aufgeſetzt, aber doch die Gleich⸗
heitdes Werths, 1ſten und 2ten Gliedes, ſehlte. —
Bringt man aber die Aufgabe in gleichnamige Ver⸗
haͤltniſſe, um richtig ſchlieſſen zu koͤnnen: Wie ſich die
Arbeiter zu den Arbeiten verhalten: ſo die Zeit
zur Zeit; wobey aber auch zugleich die Fragzahlje⸗

des mal zum 1ſten Gliede gemacht werden muß;
ſo kann die Aufgabe nicht nur beſſer verſtanden, ſondern
ſie kann auch nach der Regula de Tri directa richtig auf⸗

geloͤſet werden. Z. E.
Solutio.

6 Arbeiter?: 3 Arbeiter = 8 Tage: XTage?
24

6) Fo. 4 Tage.
3 2 Pro.-

356 Die practiſche Rechenkunſt.
Proba.

3 Tage?: 4 Tage = 6 Arbeiter: X Arbeiter?

24 .
8 Fac. 3 Arbeiter.

Nachdem die Fragezahl 6 Arbeiter zum 1ſten Gliede,
und die 3 Arbeiter, der Gleichheit des Namens we⸗

gen, zum 2ten Gliede, die Zeit 8 Tage aber, weiche fuͤr B
die 3 Arbeiter bekannt gegeben, zum zten Gliede ange⸗

ſetzet worden, ſo iſt nun geſchloſſen: Wie 6 Arbeiter:

Arbeiter, ſo 8 Tage zu ¼ Tage. Da nun durch Rrultipli⸗

cation des 3ten Gliedes mit dem 2fen, und Diviſion des
Products mit dem 1ſten Gliede, die 4te Proportionalzahl
gefunden worden, ſo muß dieſe auch das verlangte Facit
ſeyn. Denn dieſe gefundenen 4 Tage ſind eben ſo die Haͤlfte
von 8 Tage, wie 3 Arbeiter die Haͤlfte von 6 Arbeiter ſind.

Anm. Es bleibt eines jeden Wahl uͦberlaſſen ,B ob er lieber,
um den Namen der verkehrten Regel nicht zu ver⸗

unglimpfen, nach der Regula de Tri inverſa, oder lie⸗
ber, der Deutlichkeit und Gewohnheit wegen, derglei⸗
chen Aufgaben, wie eben geſchehen, nach der Regula
de Tri directa rechnen wolle?

2) Wenn an einem Werke 8 Arbeiter 12 Tage zu thun
haben, und nun verlangt wuͤrde, daſſelbe in 4 Tagen⸗

zu vollenden, wie viel Arbeiter wuͤrden erfordert?

3) Wie lange muͤſſen 12 Mann an einem Werke arbeiten,

welches 25 Mann in 16 Tagen vollenden koͤnnen?

4) Wenn ein Canal von 500 Mann in 6 Wochen gegraben
werden kann, und nun zu dieſer Arbeit 7506 Mann
gedungen wuͤrden, wann koͤnnte der Canal fertig ſeyn?

5) Wenn der Schneider zu einem Kleide, von einem Stoffe
3 Viertel breit, 16 Ellen verlangte, und man nun
nen andern 4 Viertel breiten Stoff waͤhlte: Wie
viel muͤßte der Schneider nun haben?

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Die practiſche Rechenkunſt. 357

I. Solutio.
3 Quartier — 16 Ellen — 4 Quartier?

—

,4) Fac. 12 Ellen.

2. Solutio.
4 Quartier?: 3 Quartier = 16 Ellen: X Ellen?

48
4 Fac. 12 Ellen.
Weil hier das 1ſte Glied Quartier oder Viertel, alſo
nur Theile einer Elle, das ꝛte aber ganze Ellen enthaͤlt, ſo iſt

in beyden Gliedern auch keine Gleichheit des Werths.

Alſo das 1ſte Kennzeichen der verkehrten Regel. (§. 274. I.)
Die Selbſtfrage: Brauche ich zum Kleide von einem
Zeuge, welches 4 Viertel breit iſt, mehr oder weniger 2

muß die Antwort weniger bringen, weil natuͤrlicher Weiſe

von einem breitern Zeuge weniger Ellen, der Laͤnge nach,
als von einem ſchmaͤlern erfordert werden. Addire ich nun
das 2te und 3te Glied 4 + 16 = 20 und halbire dieſe
20, ſo kommt 10, welches mehr als 3, des 1ſten Glie⸗
des, iſt. — Ein Widerſpruch, welcher das 2te Kennzei⸗
chen der verkehrten Regel giebt. (§. 274. Zuſ.)
Bey der 2ꝛten Solut. iſt das 4te Glied 12, in dem zten
Gliede 16, 1 ½ mal, und auch 3 Quart.: 4 Quart.
= 1I ½ mal enthalten, welches alſo zum Beweiſe der
Richtigkeit dienet.
6⁶) Wenn der Tapezierer ein Zimmer mit Leinen à 5 Vier⸗
tel breit ausſchlagen ſoll, und darzu 104 Ellen ver⸗
langt, wie viel muͤßte er haben, falls auf 8 Viertel
breites Linnen reflectiret wuͤrde?
7) Wenn 12 Mann auf 15 Tage mit Brod verſorgt
ſind, wie lange wuͤrden damit 36 Mann auskom⸗

men?
3 3 8)

358 Die praetiſche Rechenkunſt.

8) Von einer gewiſſen Summe, welche unter 234 Mann

vertheilt wird, bekommt jeder 64 Thlr. 16 Gr. wie
viel wuͤrde jeder bekommen, falls dieſe Summe unter
468 Mann vertheilet wuͤrde?
9) Eine Naͤherin ſoll eine Decke, 12 Ellen lang und 2 ¼
Elle (10 Viertel) breit, mit Zeuge futtern, welches
1 ¼ Elle (6 Viertel) breit iſt: wie viel wird darzu er⸗
fordert? .

10) Ein Landmeſſer bekommt den Auftrag, ein Stuͤck

Landes, welches das Eigenthum von 76 Bauern iſt,
deren jeder 1 Hufe 20 Acker 224 Ruthen beſitzet,
unter 212 Bauern zu vertheilen. Wie viel wird je⸗
der nun zu ſeinem Antheile erhalten?

Solutio.
76 Bauern — 1 Hufe 20 Acker 224 R. — 212 Bauern.
— 29
4 19 3 — 4) 53
50 A. 224 R.
19 ———
—.— I100 3
95⁵ ITOO I
6 ½ 100 20 5§F
6 ½ 100 45 4
1 2 80 .
264 56 —
53) ac. 18 Ack. 57 ¾4 Ruthen
Oder:

212 Bauern: 76 Bauern — 1 Hufe 20 Acker 224 Ruth.: X

53 *19 2c. .
Anm. Sollte dieſe Anfgabe nach der Regula de Tri directa
anfgeloͤſet werden, ſo muͤßte erſt gefunden werden, wie
viel 75 Bauern uͤberhaupt Land gehabt haͤtten? ſo
dann muͤßte die gefundene Summe durch 212 getheilt
werden. — Dieſe Rechnung würde aber weitlaͤuftiger als
die Vorſtehende ſeyn.
11) Wenn der Baͤcker, beym Einkauf des Wiſpels Rocken
257 Mg, ein Sechslings Brod 9 Loth ſchwer backen
muß

4 Mann
Gr. wie
mme unter

gund 2 ½
wvelches
darzaner⸗

in Stuͤck
alern iſt,
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wer hacken
au;

Die praetiſche Rechenkunſt. 359

muß: wie viel muͤßte ein ſolches Brod waͤgen, wenn

er den Wiſpel zu 48 bezahlte?
12) Wie ſchwer muß ein Brod à ſs ſeyn, wenn der Wi⸗
ſpel Rocken zu 60 mg bezahlt worden, daferne daſ⸗
ſelbe, bey einem Preiſe von 45 ms, 9 ½ ſchwer
ſeyn muß. .
13) Wenn der Baͤcker ein Schillingsrundſtuͤck 24 Loth
ſchwer backen muß, beym Preiſe à 65 Rthlr. die Laſt
Weizen, wie ſchwer muß es ſeyn, wenn die Laſt zu 60
Rthlr. bezahlt wird? Sð
14) Wenn ein Rennthier taͤglich 24 Meilen 225 geome⸗
triſche Schritte liefe, und einen beſtimmten Weg in
47 Jahren 3 Monaten 6 Tagen 14 Stunden zu⸗
ruͤcklegte; wie lange wuͤrde es laufen muͤſſen, wenn
es taͤglich 42 Meilen 2446 Schritte machte?
15) Eine Hausmutter giebt dem Weber eine Parthey
Garn, davon verſpricht er 60 Ellen à 6 Quartier
breit zu liefern: wenn ſie aber 8 Quartier breites Lei⸗
nen haben wollte, wie viel Ellen muͤßte der Weber
dann liefern?
16) Ein Weber kann von einer Parthey Garn nur 75
Elllen, à 8 Quartier breit, machen; die Eigenthuͤ⸗
merinn dieſes Garns will aber 100 Ellen haben, wie
breit muͤßte der Leinweber dieſe Leinwand nun
machen?
17) Wenn in einer Feſtung 1386 Mann auf 10 Monat
20 Tage proviantirt ſind, wie lange koͤnnen 2380
Mann mit dieſem Proviant auskommen?
18) In einem Lazarethe koͤnnen die Kranken mit einer
beſtimmten Quantitaͤt Fleiſch 12 Tage reichen, wenn
der Fleiſcher taͤglich 30 † liefert; nun ſollen ſie aber
mit derſelben Quantitaͤt 18 Tage auskommen, wie
viel muß taͤglich geliefert werden?
19) Ein Schiffcapitain, welcher findet, daß ſein Fleiſch⸗
vorrath noch 14 Tage zureichen koͤnne, daſerne er
jeden Mann woͤchentlich 2 beſtimmte, will noch
10 Tage laͤnger auskommen. wie viel muß er nun
woͤchentlich jeden Mann austheilen?

2

3690 Die practiſche Rechenkunſt. H

Solutio.
14 Tage
14 Tage — 2 — + 10 Tage
2) 7 2 24 Tage
12) -— 12
Foac. I 5 5½ Loth.
Oder:
14 Tage
PIO⸗
24 Tage?: 14 Tage = 2ſ: X à
2)12 „ —
12) 14

. Fac. It 5 ½ Loth
20) Ein Kaufmann verdingt einem Fuhrmanne 40 Schf
Waaren um einen gewiſſen Preis 30 Meilen zu fah⸗
ren. Wenn er nun einem andern Fuhrmanne auf⸗
legte nach derſelben Bedingung eine andere Parthey

Waaren 50 Meilen weit zu fahren. Wie groß muͤßte

die Parthey ſeyn?

21) Ein Capitain welcher ſich mit 450 Mann in einer
Schanze befindet und auf 4 Monat proviantirt iſt,
aber in 5 Monaten keine Zufuhr zu hoffen hat, muß
ſich entſchlieſſen, um keinen Mangel ausgeſetzt zu
ſeyn, einen Theil ſeiner Manſchaft abgehen zu laſſen,
um 5 Monat auskommen zu koͤnnen. Wie viei Mann
muͤſſen abgehen? “M
Wink: Den Quotienten ab von 450.
22) Wenn eine Feſtung, mit 4000 Mann beſetzt, ſich auf
§ Monat 10 Tage proviantirt hat, und nun noch
eine Verſtaͤrkung von 485 Mann einzunehmen ge⸗
noͤthigt iſt: wie lange iſt ſie nun proviantirt?
Wink: 4000 + 485? ic.

23)

10

)

1 Scht
zu fah⸗
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Morthey
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nun noch

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3

Die practiſche Rechenkunſt. 36

23) Wenn eine Schanze mit 560 Mann beſetzt auf 5 Mo⸗
nat proviantirt, ſich, ohne Mangel zu leiden, noch
2 Monat laͤnger halten ſoll: Wie viel Mann muͤſſen
herausgenommen werden? “

Solutio.
5 Mt.
5Mt. — 560 Mann — 7 Mt.?
2800
7) 4 400 A

Fac. 160 Mann.
24) Wenn ein Reiſender taͤglich 4 Meilen machte, und
ſeine Reiſe in 2 Jahren 4 Monat 4 Tage vollen⸗
dete, wie lange wuͤrde er auf ſeiner Reiſe zugebracht
haben, daferne er taͤglich 6 Meilen zuruͤckgelegt haͤtte?

25) Wenn ein Reiſender 1 Jahr 2 Monat 10 Tage, und

taͤglich 5 Meilen gereiſet haͤtte, wie weit muͤßte er
taͤglich gereiſet haben, um ſeine Reiſe in 10 Mona
ten zu endigen?

26) Wenn Adam ſeinem Freunde Balzer 1400 g auf

38. Menate ohne Intreſſen leihet, nachher aber
Balzer dem Adam die Freundſchaft zu erwiedern,
ebenfalls 2000 m8 leihet. Wie lange kann Adam
dieſes gleichfals ohne Intreſſen geliehene Capital be⸗
halten, um einen Dienſt dem andern voͤllig zu gleichen?
27) Cajus ſtreckt ſeinem Freunde 800 Thlr. vor, welche
er nach 10 Monaten, ohne Intreſſen, wieder erhaͤlt:
wenn nun Cajus von ſeinem Freunde nachher wie⸗
der eine Summe von 1000 Thlr. auf Anleihe er⸗
haͤlt, dieſes Capital aber erſt nach 12 Monaten wie⸗
der bezahlt: wie lange hat er es uͤber die Gebuͤhr
behalten? NS
3 5 So-

2

362 Die praetiſche Rechenkunſt.

Solutio.
1 Thlr.?: 8e Thlr. = 16 Monat: X Monat?

+ 8 Monat
12

Fac. 4 Monat uͤber die Gebuͤhr.

28) Wenn Titius ſeinem Verwandten 1000 mg auf 8

Monat ohne Intreſſen leihet, dieſer aber, um ſolche

Freundſchaft voͤllig zu erwiedern, dem Titio wiederum

ein Capital auf 10 Monat leihet, wie groß iſt die⸗
ſes Capital geweſen?

9) Sempronius bedingt 100 Ellen Leinwand 2 14 ſ5

die Elle, verlangt aber nachher fuͤr den ganzen Be⸗
trag ſolcher 100 Ellen eine beſſere Gattung, wovon
die Elle 15 ſs koſtet: wie viel Ellen kann er nun be⸗
kommen?

30⁰) Neander bedingt 25 Ellen Tuch à 12 mg die Elle,

da er aber befindet, daß ein anderes nur 10 ¼½ M ko⸗

ſtendes Tuch ihm ebenfalls gut genug; wie viel wird

er nun erhalten?

31) A. hat an B, auf Lieferung einer gewiſſen Waare,

30 Schf à 56 mM8 verkauft, auch dafuͤr bereits das

Geld empfangen: Da er aber zur Lieferung nachher

nicht rathen kann, degegen aber eine andere Waare
à 64 m8S pr. Sch anzubieten hat, B auch damit fried⸗

lich: ſo fraͤgt ſichs wie viel Schſp̈ Bempfangen muß?

32) Ein Gaͤrtner kauft 100 junge Baͤume à 6 96,

verpflanzt ſie, und findet im folgenden Jahre, daß
ihm einige Baͤume davon ausgegangen, weshalben
er ſagt: nun koſtet mir das Stuͤck ſchon 726 6 H.

Wie viel ſind Baͤume ausgegangen?

57

So-

39

36)

1)

uuf5

n ſolche
ederum
iſ die⸗

Uß
en Be⸗
ovon
nun be⸗

e Ele,
ko⸗
AWd

Wanre,
its das
ſachher
Vaate
itftied⸗
nuß!
6 %,
e, daß
ghalben

66

S.

33)

34

35⁵)

36⁵)

37)

1

Die tareſhe N drtni 363

79 62: = 100 Baͤume: X
12 4
90⁰ . 400
9) 10 8 522 80
2) J 100
3 4
Fac. 20 Baͤume.
Wenn 6 Schreiber in 5 Wochen eine beſtiminte An⸗

zahl Bogen ſchreiben, und man, dieſe Arbeit zu be⸗
ſchleunigen, nunmehr 20 Schreiber arbeiten lieſſe, in
welcher Zeit wuͤrden ſie fertig?

Wenn 24 Schreiber ein Werk in 7 Wochen vollen⸗
den koͤnnten, man aber noch 5 Wochen laͤnger Zeit
geben koͤnnte, und daher nur einigen Schreibern
dieſe Arbeit goͤnnen wollte, wie viel muͤßten von den
24 Schreibern behalten werden?

Ein Landmann laͤßt durch ſeine Wieſen zu Ableitung
des Waſſers einige Graben ziehen, welche 9 Tage⸗
loͤhner in 4 Wochen zu verfertigen verſprochen.
Wenn aber dem Landmanne daran gelegen iſt, dieſe
Graͤben in 12 Tagen fertig zu haben: wie viel
muͤſſen hierzu mehr Tageloͤhner angenommen werden?

Ein Gutsherr laͤßt einen Fiſchteich anlegen, und ver⸗
nimmt, daß 36 Arbeiter denſelben in 4 Wochen vol⸗
lenden koͤnnten: weil er aber ſo viel Arbeiter nicht
auftreiben kann, und ohnedem erſt innerhalb 9 Wo⸗
chen den Teich mit Fiſchen beſetzen kann, ſo fragt
ſichs: wie viel er nun Arbeiter noͤthig hat?

Ein Bauherr braucht zu unterſchiedenen Fußboͤden
1800 Fuß vierzehnzoͤllige Bretter; wenn ihm nun
zu Brettern 4 12 Zoll breit gerathen wuͤrde: wie
viel Fuß muͤßte er nun haben?

364 Die practiſche Rechenkunſt.

38) Wann ein Stuͤck 11 Viertel breites Tuch, welches

36 Ellen haͤlt, gegen ein anderes gleich, feines Stuͤck,

7

welches aber nur 10 Viertel breit iſt, vertauſcht wer⸗
den ſoll; wie viel Ellen muß es halten?

39) Wenn der Schneider von einem Stoffe, welcher

Viertel breit, 9 Ellen à 6 Mmg 8 ſ5 verlangte, und
dabey eine Probe von 5 Viertel breiten Stoffe vor⸗

zeigte, davon die Elle 7m8 4 ſs koſtete. Auf
welchen von beyden wuͤrde die Wahl fallen, daferne

man nur den Beutel ſchoͤnen wollte?

Wink: Berechne erſtlich wie viel man von den breiten
Zeuge haben muͤſſe, 2) wie viel der Einkauf eines je⸗
den? Zeuges zum Kleide betrage? ꝛc.

40⁰) Zu einem Schanzloͤper verlangt der Schneider 6 ½
Elle breites Tuch, wenn derſelbe nun mit Felbe⸗
ret, we lcher breit, gefuttert werden ſoll: Wie viel
Ellen gehoͤren zum Unterfutter?

Wer dieſes Buch zum erſtenmale mit gehoͤrigem Fleiſſe

und Nachdenken durchgegangen, und nun daſſelbe

noch ein oder zwey mal wiederholen wird, dem iſt

ſicher zu verſprechen: daß er zu den uͤbrigen Theilen
der Arithmetik mit leichten Schritten uͤbergehen
werde.

1

wbelches
Stuͤck,
cht wer⸗

eicher

6, und
fe vor/
Auf

dafetht

teiten
ines ſe

der 6 ½
Zobe⸗
Wieviel

Fhiſe
doſſelbe
den iſ
Theilen
hergehen

=-=⸗=

—

Abkürzungen und Zeichen,

365

welche ſowohl im Buche als in folgenden
Tabellen vorkommen.

4

I. Von Muͤnzen. II. Vom Maaße tro⸗

Rthlr. RC Reichsthaler à

8 ſs

48 ſ.
Thlr. Thaler zu 24 Groſchen.

.°Groſchen.
m Mark Luͤbiſch.
ſo Schilling.
Sechsl. Sechsling.
Drl. Dreyling.
Pfennig.
Lvol. Pfund vlaͤmiſch.

ſvl. Schilling vlaͤmiſch.
Lvl. Pfennig vlaͤmiſch oder
Grvl. Groot vlaͤmiſch.

Lſtl. Pfundſterling.
ſoſtl. Schillingſterling.
Aſtl. Pfennigſterling.
Ld'or Louisd'or, eine Gold⸗
muͤnze von 5 Thlr.
Duc. Ducat.
Haͤll. Haͤller.
Schrf. Schaͤrf.
Grt. Grooten, deren 72 =
1 Thaler.
Schw. Schwaren.
Bo. Banco, z. E. Rthlr. Bo.
mm Bo. ſs Bo. &c.

p.ꝗͤC. pro Centum, fur 100.

ckener und fluͤßiger
Dinge.
Lſt. Laſt in Getraidemaas, oder
auch in Tonnen. 8

Wiſpl. Wiſpel.
Schl. Scheffel⸗

Fß. Faß.
Ht. Himte.
Spt. Spint. 4
Fud. Fuder. (Wein)
Oyh. Oxhoft.
A. Ahm.
Ank. Anker.
Vtl. Viertel.
Stuͤbl. Stuͤbgen.
Qtl. Quartier.
Oeſ. Oeſſel.
III. Vom Laͤngen⸗
maaße.
Ell. Elle.
Hamb. Ell. Br. Ell. Nrbl. Ell.
Hamburger Brabanter⸗
Nuͤrnberger Elle.

Engl. Grd. Engliſche Gaͤrden.

Rth. Ruthen.

aAanmHE

————

89. guß. Rfl. Rheinlaͤndiſche V. Von zaͤhlenden
U 4

Z1l. Zoll.
Die Zeichen: o, „ „uͤber
der letzten Ziffer einer
Zahl heißen: Ruthen,
„Fuß, Zoll, 2, Striche.
Siehe Tab. III. b. 2.

IV. Vom Zeitmaaße.
J. Jahr.
Mt. Monat, pr. Mt. fuͤr den
Monat oder monatlich.
T. Tag.
N. Nacht.
St. Stunde.
M. Minute.
S. Secunde.
Tt. Tertie.
Die 12 Monate des
Jahrs.
Jan. Januarius hat 31 Tage.
Febr. Februarius⸗ 28
¹im Schaltjahr aber 29

Mrt. Martius hatzI ⸗
Apr. Aprilis „30
Mey Majus ⸗31 2
Jun. Junius „30
Jul. Julius 3I 3
Aug. Auguſtus⸗ 31 ⸗
Ztembr. September3o ⸗-
8tobr. Otober ⸗ 31 ⸗
9vembr. Noveinber3o -

Xcbr. December; 31

—

Dingen.
Grt. Großtauſend.
Grh. Großhundert.
Schk. Schock.
St Stuͤck.
Zim. Zimmer.
Dech. Decher.
Dz. Dutz.
Ball. Ballen.
Rs. Ries.
Bg. Bogen. =
Lſt. Laſt.
Ton. Tonnen.

VI. Vom Gewicht.
Schft Schiffpfund.
Centn. Centner.
Lt Lispfund.
St. Stein.
Pfund.
g Mark Silber à 16 Loth.
Lth. Loth.
Krt. Karat.
Unz. Unze.
Qtl. Quentlein.
Pfennige.
Gr. Gran auch Graͤn.

Die uͤbrigen im Buche vor⸗

kommenden Zeichen und

Wooͤrter ſind ſo bekannt,
daß es deren Erklaͤrung

nicht bedarf.

0)

(*) w

nden

wicht,

16 de

gin.

uhe vo⸗

0 bekanut. .

Eklorurg

Reſolvirungstabellen.
J. Von Muͤnzen.
a. In Hamburg und Altona.
0 Rchte s m Luͤb. a des Luͤb.] ſzvl.

576
192 2 32
4 — 32
*) Lyl. rl en Grvl. od. Qvl. wed akr ſo Luͤb. Luͤb.
20 240 2 ½ 120 1440
1I 2 — — . 72
6

20 240 12 ½ 200
I 12 — 10

pbp.. In Berlin.
() ſee dr — [Haͤll. Scherf.

) Mr. 6eft g ms Be ſeB.

—

1 2 — — —
24 288 576 1II52
II 12 24 48
1 2 4

⸗ c. In Bremen.
Thlr. Bremer mA Kopfſtuͤck Duͤtgen Flinriche ſy [Groten Schwaren.⸗
1 2 6 116 18 148 72 360
5

() Ein Thaler, oder Kaufmannsthaler, nach welchen die Ochſen gekauft
wurden = 2 18 oder 33 ſ'.

Ein Hamburger Gulden aber iſt nur der Preis von einen halben Athlr.

Die Pfennige ſind keine wirkliche Muͤnze, ſondern nur ein angenom⸗
mener Werth.

(*) 1 Lyke iſt keine gepraͤgte Muͤnze, ſondern nur ein im Handel angenom⸗
mener Werth = 2 ¼ Rthlr. oder = 7 ½ M.

((**) 1I Lſtl. iſt ebenfalls keine gepraͤgte Muͤnze, ſondern nur ein angenomme⸗
. ner Werth von 12 ½¼ Mπ Bo.

() Ld'or, Fuͤnfthalerſtüͤcke, werden nach dem Landesherrn, welcher ſie
ncen laſſen, genennet, Alſo giebt es auch Friedrichsd'or, Carl-
0 r C.

II. Vom Maaße. a. trockener⸗ b. fläßiger

Dinge.

a. Getraidemaas.
1. In Weitzen, Rocken und Erbſen.

ein ene eene S Faß Himte Spint.

30 120 480
1 10 20 40 160
1 i2 4 16
2 *2

4

2. In Gerſten und Haber.

Stock Laſt wareEarhe de⸗ Faß Aunt Ener
1 .

I
²32 20 i1 480
X I10 30 60 240
1I 13 1. 6 24
3 2 8
2

b. Weinmaas.

Fuder Ohef Khm Anker Viertel Stuͤbchen Quartier
1 4 4 3 240 960
1 ½ 60 240
1 “ 36 40⁰ 160
1I5 TIO 40⁰
12 8
1 4
1

Oeſſel

1920
180

320

16

Eugl.

— —⏑

i1Morten
1Ehefi⸗

20
iulſe⸗

hufe.

1

D — —

III.

a. Ellenmaas.

— — . 2

Laͤngenmaas.

Quartier.

Zoll.! Sech⸗

1 Ruthe

Engl. BrabEll. Hamb. Ell. Nuͤrnb Ell. Fuß. ch⸗
Gaͤrden ſzehntheil
— — 44 —
3 =4 = = A —
5 èð 8 — 7 — — — —
5 = 6 — — — — —
1I 2 21 8
. 1 6 4

b. Land⸗
I. Hieſiges Feldmaas.
1 Morsen. Landes iſt 120 Ruthen lang;, 5 Ruthen breit, und haͤlt
0 Scheffel Saat.
1 Scheffel Saat iſt 3 Ruthen lang und 1 Ruthe breit.
= 8 Ellen oder 16 Fuß, auch wohl weniger lang.
2. Leipziger Feldmaas.

oder Feldmaas.

Hufe. Acker. Authen Ellen. Suß. Zoll. Striche.
/
1 34 9000 67500 135000 1620000 —
2300 22321 45001 54000 —
1 12 190 —
2 24 —
18 121 —
11
II 12

c. Meilenmaas.

Meile (*). Geometr. Schritte Tritte, Ellen. aheelz Fuß⸗
affus (**). greflus (***).
1 400⁰⁰ 8000 [12000 24000

1 1 ½ 3
(*) Eine gemeine deutſche⸗ oder geographiſche Meile, deren 15 einen Grad
machen, häͤlt eigentlich 23642 rheinläͤndiſche gemeine Juß.
Eine kleine deutſche Meile hingegen haͤlt nur 20000 rheinlaͤndiſche Fuß
oder 8333 bequeme Schritte.
(**) Ein geometriſcher Schritt (p alſis) Doppelſchritt, kann von einem Manne
wohl geſchritten werden, allein im gewahuli chen Gange legt man unt
mit jedem Tritte (greſfus) ungefehr 2 ½ Fuß zur uͤck.
(***) Tritt, dei. einfacher Schritt, davon der⸗ bequemſie Schritt eines Man⸗
nes, gewoͤhnlicher Groͤſſe, 2 ¼ rheinlaͤndiſche Fuß, alſo noch erwas weni⸗
ger als 2¼ Fuß enthaͤlt.

. Aa

IV. Zeitmgass.

Jahr (*) Mayar Aachen Tage Stund. Minut. (**) Secund. G***) Tertien 2
I 12 152 365 Woo 55600 — —
I 4 , c — —
1I1 7 168 — — —
1I 24 1440 — —
e
1I 60 —
1 60 à. 6

(*⁹) Ein Jahr iſt entweder ein gemeines Jahr von 365 Tagen, oder ein
Schaltjahr von 366 Tagen Jutius Cætar machte jedes 4te Jahr zum
Schaltjahre. Daher kann man durch die Diviſion mit 4 die Schaltjahre
einer jeden Jahrzahl beſtimmen. §. 201.
(7) Die Dauer einer Minute wird durch jede Taſchenuhr beſtimmt.

( Die Dauer einer Secunde kann jeder nach ſeinem Pulsſchlage abmeſſen, .
wenn er Achrung giebt, wie oft derſelbe in einer Minute ſchlaͤgt.

6u) Aatit

1

—

1

60

gen, Gder ein 4

Ste Jahr zum

ieSchaltzehe

nmt.

ſchligt.

age ahnneſſe,

V. Zaͤhlende Dinge.

2. Groß Tauſend Ringe Groß Hundert Schock Steige Sruͤck.
1I 5 20 20 60 1200
1 2 4 E I2 240˙
JI 2 6 120
“ XI 3 60
1 kl. Tauſ. — [10 kl. Hund. — ! 50 1000
p. Groß Schock Zimmer Alt Schock Mandel! Dutz Decher Stuͤck
b. e e . r 144
11 1 ½ 3 † 4 5 6 60
2 22 34 40
1 1 1 2 20
11 1 1 14 15
TI 1 ½ 12
I1T10

c. Papier.
Balen Ries! Buch Bogen—
110 200 5000
11 20 500 .
24 Schreibpapier
25 Druckpapier.

d. Zaͤhlende Waaren bey Quantitaͤten.
1 Laſt Luͤneburger Salz, Heringe, Rothſcheer, Kalk, Pech,
Theer, Steinkohlen in Tonnen, haͤlt 12 Tonnen.
Die Tonne Heringe enthaͤlt circa 800 Stuͤck.
1 Laſt Spaniſches oder Portugieſiſches Salz haͤlt 18 Tonnen.

õõ

me e ſches Handelsgewicht.
eek Sn me dihe Centn.

2 2½

1

6*) Flachs enthaͤlt der Stein 20 Pfund.
Wolle und Federn aber 10 Pfund.

512

256

32

16

4
1

Stein

280
320
112
14
20 ⁰)

b. Gold⸗ und Silber⸗Gewicht.
Karat (*) Gran Graͤn

96 288
6 18
4 I2
1 . 3

(*) Karat oder gradus betrift den innern Gehalt oder Feinheit des Goldes.
Das feinſte Gold haͤlt 24 Karat, ſo wie das feinſte Silber 16 Loth
Sden gradus haͤlt. 3

5 geiſe
1.1I. Zu
.14.9.4
1.16.b):
Pag 17
140.9.7
1.78,9.
0.50 3)3
94 ute
5,64 14
ſ.1,7 3.
b. G. bont
ng3.)
P. 109.3.
— p
PeIlo
139 9,4
Pe1a1. .
b. 132. 9.
P.I55. Ul
Nach er.
4 163. Nee⸗

ict nee
bIih, g.

be ,. h

ll. gech

,1r ugt
1 174. 8. 1

lhgr. oſe

193,ol

e Etd⸗
jber 16 Cuih

1.

Corrigenda.

(.8. Zeile 2. Eintheilung lies Einheiten.

J. 11. Zuſ. Z. 2. moͤge l. moͤgen.
g. 14. Z. 4. zween l. zwey.

. 16. b) Z. 2. l. tauſend und mehr.

pag. 17. Z. 3. l. Zahlen ſich ſo.
z. 40. Z. 7. werden l. worden
6g. 78. Z. 8. denn l. dann
p. 50. 3) Z. 2. l. erſten der vier

9. 94. unter der Solutio Z. 4. l. zaͤhlende o.

p. 64. 14) Z. 2. l. + 5632127

— 17) Z. 2. l. 2300112

§. 107. Z. 15. werden l. worden
P. 85. von unten S. 5. l. F. 118.
J. 119. Z. 5. nach folgende iſt der: uͤberfl.
p. 109. Z. 9. dieſen l. dieſem
— 3. 11. dem l. den
— von unten Z. 2. l. F. 138.

P. 1I10. v. unt. Z. 8. Minundus l. Minuendus

§. 139. Z. 4. Minuendo l. Minuendi

p. 121. Z. 4. bis zum l. bis zu den
p. 132. v. unt. Z. 2. l. zu kleiner

p. 135. v. Unt. Z. 3. von 34 l. von 32
Nach pag. 137 folgt 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144.
g. 163. Reg. ult. eine einzige l. eine
g. 164. nach der Solut. Z. 3. zertheilet l. getheilet.
p. 145. Z. 15. h. 195 l. J. 165.
P. 149. v. unt. Z. 3. l. Ferner 3: 3 habe
p. 150. nach der Sol. Z. 2. mit 6. l. mit 8.
P. 151. Z. 3. fat 22 l. 24. 2 ⁸

Pp. 171. uut. der 801. Z. 1. . darſtehender l. darſtehende
P. 174. Z. II. Multipliendus l. Multiplicandus
P. 191. 5 8ſte Aufg. l. (964 576)
J. 193., Sol. muß die 4te und te Zahl ſo ſtehen: 876 Gr.
. 1752

nn

2

P. 202. v. Unt. Z. 4. werden l. worden.
P. 204. 2. Sol. 3te Zahlreihe l. 5.62
p. 208. 3. 7. daruͤber l. darunter
P. 222. Z. 12. fuͤr 6 (3 l. 7 ſ½
P. 224. 20 ſte Aufgabe Z. 2. l. Wenn du nal
— Anm. Z. 2. den l. deren
P. 234. 43) Z. 3. l. einen Avanz
P. 235. 48) Z. 4. ſind l. iſt
P. 23 8. 60) ult. l. Wink: Von
b. 231. Z. 9. fur 2eten l. 3ten
P. 248. Z. 29. fuͤr 6 Pfund l. 6 m
255. muß das erſte Glied ſtehen: 2. 5

p. 257. nach der Sal. Z. 5. l. da nun ß de
P. 261. C) Z. 3. I. Theiler .
p. 266. S01. im erſten Gliede l. 100 fk .
P. 268. Sol. a. muß unter der ꝛten Lin. des 3ten Gliedes ſtatt

363 das Fac. ſtehen.
Pp. 273. Sol. muß unter dem zten Gliede 3436 Pfund “
die folgende Zahl ſo ſtehen 1030⁸
P.2744. Sol. muͤſſen unterm ꝛten Gliede 386 m &
die folgenden ſo ſtehen: 386
772 .
p. 276. Sol. muß unter dem verkleinerten erſten Gl iede 4, ſtatt
25 die Zahl 16 ſtehen. 5
P. 282. Z. 7. l. gebraucht
p. 287. 2. Anm. Z. 2. ſolchen l. ſolche
Pp. 290. ult. deſſen l. deren N
P. 291. Sol. muͤſſen unter den zerfreueten 10 Pfund ſtatt 52
ſtehen: 5, und unter dieſe die 2.
P. 292. Z. 5. ſtatt 43 ma l. 40 m
P. 299. Z. I. ſind die erſten Worte: oder Lispf. uͤberfluͤßig.

p. 308. neben der Sol. giebt der eingerichtete Doppelbruch 26 25˙
nich 28 ſondern 29.

P. 320. muß in der 163ſten, 164ſten und 165ſten Aufsabe ſtatt
Grrot geleſen werden: Eroſchen N.

— 3 X

ſches fett

ſ6

ſede/, ſatt

Ubtuch 2

ſtcte ſt

Antworten

auf alle
in

der demonſtrativiſchen Amwveiſung

zur

theoretiſchen und practiſchen

Rechenkunſt

vorkommende

Arithmetiſche Fragen

fuͤr

den Lehrer.

Da dieſe aus guter Abſicht fuͤr den Lehrer allein be⸗
ſtimmten Fazitte in derſelben Ordnung, wie die Aufgaben,
auf einander folgen, ſo darf der Lehrer nur nach der Num⸗
mer jeder berechneten Aufgabe, und nach der gefundenen
Summe, Reſt, Quotienten oder Fazit fragen, und die Ant⸗

wort mit dem allhier unter derſelben Nummer vorkommenden
Fazitte vergleichen, um zu erfahren: ob der Schuͤler recht

oder unrecht gerechnet habe? — Jedoch iſt in beyden Faͤllen
allemal nachzuſehen: ob auch nach der vorgeſchriebenen Art
verfahren?— zu erforſchen: ob die vorgetragenen Lehren
gruͤndlich gefaſſet worden und ob auch die Richtigkeit des
Fazits mit gehoͤrigem Beweiſe vertreten werden kann?

Weis der Gefragte nicht richtig, oder gar nicht zu ant⸗

worten, ſo muß jeden Mitſchuͤler frey ſteben, die verlangte
Antwort zu geben. 2

Hierdurch werden nicht nur die ſaͤmmtlichen Lehrlinge bey

gehoͤriger Aufmerkſamkeit erhalten und gleichſam alle zu⸗
gleich unterrichtet; ſondern ſie werden auch dadurch ges

noͤthiget, ſich mit den im Buche vorgetragenen Lehren, zu
aͤhren unausbleiblichen Nutzen, immer bekannter machen. —

7„

N/

N.
4, 21.
5. 21
6. 23
7. 21
8 193
9. 190
10. 900
II.
la
N.
I. 69.
2. 300
3· 404

4. 100

5 2.

565. 37.

8. 900
9 2

10. 613
1I. 306

12. 37.
13. 539
19, 683
15. 6015
16. III

19. z00

19 zor,
20. 2 6.
21. 24
22. 380.

213. I0.

24. 256
25. 114
26, 297

fleit dee

Auſgeben,
der Nunn⸗
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Lehren/ s
nnochen.

4. 21042.
5. 212180.
6. 235944.
7. 2134139.
8. 1953503.
9. 188737.
10. 3068211.
11. 52924.

Nr.
1. 691357952.
2. 309601370367.
3. 494190756.
4. 1068274935.

2. 27379264788.

6. 3782247426279.

3. 88888888890000.

. 2469 135780.
10. 61355096190.

I1I. 39482 1296640.

2 373 19264550.
13. 538587192600.
14. 6835025 106000.
15. 61587385200000.
16. 1114105 10400000.
18. 5003971632.
19. 3017685456.
20. 25679012346.
21. 24212366667.
22. 3802189104.
23. 10160948736.
24. 356,734 61 .
. 11421340848
26. 18368373942.
27. 23721158205.
28. 12351191904.
29. 25664335452.

Summen der Additi

12. 624973.
13. 601596905.

14. 290064942.
[IS. 594389200.

16. 12442212.

117. 543802932107.

19. 209444134.

1[20. 11838546.
Facta der unbenamten Multiplicatio. §. 15.
*

Nr.

[30. 45855035550.

31. 27424125288.
32. 1127217772 8
33. 5530848.
34. 63702450.
35. 1078459.
36. 176488.

137:. 4457392.

38. 14399208.
39. 8700328.
41. 2805440.
42. 19050200.
43. 4502080000.
44 652725000.
45. 41115600.
46. 3986500.
47. 306791000.
48. 70999740.
49. 132483600.
50. 804864000.
51I. 5548194000.
[52. 6295950000.,
53 1156016.
34. 956592.
55. 1979507556.
56. , 330956.

4
ANr.
57. 9989001.
58. 4611600.
59. 16142205.
60. 56582638.
61. 1942118438.
62. 1 136 8736852.
63. 843440410396.
64. 83815759872.
55973375 44253.
249956696916.
576281479684.

23001792000.
920997000.
3883740000.
214 119200000.
496363 14000000.
605I60000000.
1548360000.

2. IIIIIIII.
3. 122310.
4. 242 2.
* 222233. 1
21643
5 2438914. 6
86419754.
202498543.
II. 745897455.
12. 42922064.
23999288885.
.17111567112.
687654321981.
. 129668.
11346581.
183848590.
268753877.

„

18.
19.

121932631112635269.

28.

16409 1600000.
1276520000000.
78. 5394844026.
123715 197944.
988642641654.
24939406035.
23945425742.
271668517134.
712848736.
28268316629.
145 165479768.
73877218648.
9030049940016.
48000593002654.
91.
92.
93.

IOOOOOOOο0ο0οπ°00°0°0ο.–‧.
18777123114.
34823427.

Reſte der unbenamten Subtractio. 5. 132.

Nr.
20. 89152182.
21. 8689284531.
22. 211104131104.
23. 19999999999992.
24. 58997.
25. 2001001.
26. 399766000.
27. 10020%0° 0οοnτι..
22222222.
33333333:
44444444444.
3 1. 55555555.
32. 66666666.
33. 777777777.
34. 888888888.
35. 999999.
36, 1787.

29.

7

2100930746188016.

Ouc

E.

2. 233
4. 299
5. 49
7. I15.
9. 199.
dng
. 9867
II. 224
1. g.

1½. 601

15. 100,
10. 1316
17. 112
16. 1297
19, 112,
20. 955,
21. g79
22. III0L
23. U
4. 630
1 366
36. 3456,
27. 99)
298. 509
29, 5645
30. 9967
31. 8
.
33. n
34. 15221
3. 1358.
86. atl

112,

6
9992.

1

£π

Nr.

10.
II.

13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

„

31.
32
33.
34.

36.
38.
39
40.
41.
42.
43*

Quotienten der unbenamten Diviſio. §. 145.

233984.

4486200.
11520.
1893005.
114176.
869726.
224358.
864204%.
69 1208.

1097451.

131627⅞½².

11282292 ½.

12822993.

11220540.

9557 130 ¾.

9738138 5.
. 11106301.

IIIIIII.

63099743 ¾:.

345673.

34567890.
9995432 53
5709534.
29.
. 876731355

85453 1S5
283949.

228421.

1160225¾²
152263.

. 13581413.

86418.
1579312.
149607 3 .
94 1387 ⅜-
12 52209.
10912 .

58904 ⁄.

Nr.

849 4 5363.
30406.
. 2659.

3880.
2940¾.
5154. 5
2279475

. 126998476 %¼.
749482 5 1 7:
89706452 *.
98744 7.
. 31016 ⅞v".

12067614%¾2

. 1234564.

637483892.

. 37627022⸗

287

. 10462¾.

123
1840 7836:

25986 2¾
3335606

600023452⸗

84492003.
7008400.
472312.⸗
3987000.

478563

.142342.
.684543⸗
723642.

Nr.

90. 923456.
91. 9000008.
92. 403040506.
93 88 132922*%.
94. 2952215.
95. 5118319 T.

Summen der Additio in benamten ganzen

E V
N=
—0

98. 1
99. 3
900.

„ „*
— 0
21
A
JJ

——
—

ILLILTIZE,
8.7654321*

Zahlen. §. 178.

3 79800 m.

1. Summa: 6093 m 15 ſz.
2.⸗ 2213 M8 15 S.
4. 645 Thlr. 69 Groten 4 Schw.
F5F. 2 848 Rthlr. 26 ſs 11 .
6. 2 1092 Rthlr. 41 ſs8 4 Q.
7. „ 781 Stein I1 ρ Wolle.
8. 2- „312 Stein 3 ſ b Flachs.
9. 2 „ 212 Centn. OLf 1I;.
10 2 „ 145Schlß 9 Lſt 4
12. 2 ⸗84 Mark 3 Loth 3 Quentin.
13. „ 303 Ahm 15 Stuͤbchen 1 Quartier
14 ½ 5”8 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel Korn.
15. 2 ⸗2746 Schock 49 Ellen.
16. „12740 mg 13 6ſ5 8 Banco.
17. 2 2412 Thlr. 1 0 10 ˙.
18. 2 1172 Thlr. 37 Groten 4 Schw.
19. 2 : 144 lb 27 Loöth.
20. : 135 Mark 13 Karat 1 Gran 2 Graͤn Gold.
21. ⸗ „ 43 Mark 15 Loth 2 Quentin 2 H.
22. „ 61 Fuder 2 Ahm 14 Stuͤbchen 1 Quartier.
23. 5§ 1) 19 Laſt 1 Wiſpel 4 Scheffel 1 H. 3 Sp. Gerſten.
3.5 2) ‧½ 46 Laſt 2 Faß 1 Spint Getraide.
24 „ 96 Zimmer 1 Decher 8 Stuͤck.
25. 4 „302 Schock 6 Garben.
236. „ 130 Schock 1 Stuͤck.
Facta der Multiplicatio in benamten gan⸗
zen Zahlen. §. 183.,
1. Facit: 46688 M.
2, ⸗ ⸗ 27216 Thlr.

— - - — — —

4. Facit: 147840 f5.
37835 .
6. ⸗77 Mark 22 Karat Gold.
7. ⸗563 Mark 15Loth Silber.
s. 158 Laſt Wiſpel 8 Scheffel 2 Faß 2 Sp. Gerſten,
9. ⸗350⁰81Rthlr. 42 ſz.
10.⸗ ⸗41 Jahr 10 Monat 27 Tage 1I1 Stunden.
en II. ⸗ 35 Balln 8 Ries 13 Buch 18 Bogen.
12. ⸗ 35 Centner 4 b.
13. ⸗ ⸗919 Thlr. 15 Groten 3 Schwaren.
14. 35727 Thlr. 18 C 8 .
15. 642 Balln 2 Ries 5 Buch.
16. ⸗ ⸗272 Schß 11 Stein 18 Flachs
17.⸗ ⸗ 4479 Schf 3 L b 6bf.
18. 924 Zimmer 1 Decher 5 Stuͤck.
19. ⸗ ⸗ 661 Thlr. 30 Groten 3 Schwaren.
20. ⸗47 Jahr 7 Monat 19 Tage 5 Stunden 52 Minut.
21. ⸗ 1480 Fenſter.
22. ⸗ 1800 mg. 6
23. „ 83 12 Ruthen 3 Fuß.
24.⸗— 328 Großtanſend 8 Großh. 3 Steige 18 Stuͤck.
J 25. ⸗ 1500 Rthir.
26. ⸗ 1460 Meilen.
27. ⸗ 140160 Stunden.
28. 3052 Thrr. ”
29. 159984 Rthlr.
30. ⸗2080 Thlr. Oð
iGeh. 232. ⸗ ⸗ 7568 Fenſter⸗
33. ⸗ : 20160ſs.
auattiet. 34. ⸗ : 3000 Ziegel.
E. Geſfen 35. ⸗ 1872000 Naͤgel.

A

36. 29959200 Menſchen.
37. ⸗ 121600⁰0 Buͤcher.
38. „ 13225090 Thlr.
39. 3113964 Rthlr.
40. 2024655 Tage.
n gan⸗ 41. ⸗ ⸗18920000 Meilen.

42. 9000133¾ Thlr.
43. ⸗— 92880⁰⁰0 Meilen.
44. =⸗ 2662560000 Cub. Meilen.

Nr.
45. facit: 225120 ◻Fuß.
46.⸗ ⸗ 2160 Flieſen.

A7. ⸗80682 Baͤute,
48. ⸗ 432 Meilen.
49. ½„ 960 Cub. Fuß.
50. ⸗ ⸗3024 Cub. Fuß.
5FI. 153600 Steine.
53 ⸗ 488 Cub. Fuß.
534 ½⸗ 3348 ſe.
5S. ⸗ ⸗ 134784 Mauerſteine.
58. ½ ⸗ 555264 ⁶.
„59. 2 113280 Spint Erbſen.
60. 2 103200 Himten Gerſten.

63. :⸗ 13500 Acker.
64. 2½ ⸗ 552000 Ellen.
65. ⸗ : 52560000 Minuten.
66. 483840 Minuten.

⸗ 57600 Stuͤck.
68. ⸗ 8640 Stuͤck.

71. ⸗ ⸗ 2003337 G.
72. 2 1966964 Schwaren.
73. 117196 Kſterl.
74. . 1752800 ſs Banco.

75. · 284252 JJ.
76. ⸗ ⸗48455 .

J
A
aA W
*½

₰◻W
ES
*

85. ⸗46475 Oeſſel Wein.
86. 449 19300 J Ninuten.
87. ⸗116240 Nuͤſſe.
88. „ 6047 Graͤn Gold.

61. ⸗41 49200 Stuͤbgen Wein.
92. „ 1920 Scheffel Ausſaat.

69. ⸗ ⸗ 175000 Bogen Druckpapier.

: 5081423 Schaͤrfe.
: 203404 Schwaren.
79. 255502 Spint Weizen.
90345 Spint Erbſen.
81. :. 485152 Spint Gerſten.
82. ⸗11638 Himten Haber.
3 ⸗ ⸗134630 Spint Haber,
84. ⸗⸗ 50569 Stuͤbchen Wein.

Ki
Frlei
men.

nene
tion 41
D

99. Facit: 27896 & Silber. .
90. 9724 Quentin Silber.
91. ⸗993120 b. .B
92. ⸗285026912 Bogen Schreibpapier.
93 5 2 288915 Kalbfelle.
94. ½: 137165 lb Kaffee.
95. ⸗7215440 Grvl.
96. ⸗ ⸗ 174636 Federn. L
97. ⸗225372 Bogen Druckpapier:
98. 2549853570 Secunden *).
99. ⸗239613 Oeſſel Wein.
190. ⸗37107510 Schwaren.
*) Solutio.

Juͤngſte Sohn 2 Jahr § Mt. 24 Tage 7 St. 24 Minu. 80 S.

*

Alterer Sohn 8 ⸗ 20 2 96 28 96 ⸗*

200
Vater 86 ⸗ 140 ⸗ 672 196 672 ⸗ 1400 ⸗
+ 8 2 20 ⸗ 96 28 96 % 200 ⸗
+ 2 . S 24 ⸗ „ 2 24 ⸗ S0 *$
Sämtl. alt: 66 ½ 165 ½ 792 ⸗ 231 2 792 ⸗ 16560

. Kuͤrzer:
2 Jahr 5§ Mt. 24 Tage 7 Stunden 24 Mt. 0 St. 54
8 20 2 96 ⸗ 28 5 96 200 7
8s6 ⸗ 140 ⸗ 672 2 196 ⸗ 672 2 1.400 ⸗

6566 165 792 23 ⸗ 792 1650 ⸗
Dieſe verſchiedeuen Sorten unter einen Namen gebracht, giebt das
Fac. (Anm. der 9ten Aufgabe.) l

Anm. Den Schuͤler anf alle Worrte einer arithmetiſchen Aufgabe auf⸗
merkſam zu machen, und ihn zum gehoͤrigen Nachdenken uͤber deren
Bedeutung oder eigentlichen Forderung zu gewoͤhnen, habe ich in der
98, 99 und 100ten Aufgabe das Wörrchen noch gebraucht, als wel⸗
ches hier wie in allen aͤhnlichen Faͤllen voraus ſetzt, daß, über der
ſchon vorhandenen Summe, dieſelbe noch ein, zwen, drey oder
Smal mehr genommen werden ſoll. Z. G. Wonn verlauget wird ei⸗
ne Summe a noch einmal ſo groß zu mehmen, ſo heißt das: die
Summe a zweymal nehmen; denn a a + noch 1 ¾“àa = a Ta
d. i. 2 ℳ à — 2 àa. Mithin heißt eine Summe a noch zweymal ſo
groß, dieſelbe dreymal nehmen: denn a = à † noch 2 α a —: 3 Aà
Folglich heißt eine Gumme a noch 6mal ſo groß, dieſelbe zmal neh⸗

men. Denn aSa P† aà — 7 àa ꝛc.
Hieraus unun folgt, daß man, wegen den ben einer Aufgabe vorkom⸗
menden Woͤrtchen noch, dem Vultiplicatoré vor der Multiplica⸗
tion alemal nech eine Unitat zu legen müͤſſe, ſo wie bey obiger So⸗

lution geſchehen⸗

Nr.

Reſte der Subtractio in benamten ganzen

Zahlen. §F. 193.

2. eſt⸗ 2621 ms 3 65 3, GW

28.

59 Laſt 1 Scheffel 1 Himt 2 Spint Weizen. 4

3˙*
4 ⸗ 1II Großtauſend 1 Großh. 1 Steige 2 Nuͤſſe.
5. ⸗ 60 Zimmer 1 Decher 1 Stuͤck Kalbfelle.
7 12 mMmà 2 Gran Gold.
8. „ 50 mS 1 & Silber
10. ⸗ 96 Lvl. 15 ſ vl. 9 Grvl.
II. ⸗ 206 Thlr. 60 Groten 4 Schwaren.
12.⸗ 189 Fuder 4 Ahm 38 Stuͤbgen 3 Quart. Wein.
13. ⸗ 20 Laſt 18 Scheffel 2 Faß 1 Spint Gerſten.
14. ½ 257 Jahr 10 Mt. 27. Tage 22 Stunden 52 Min.
15. „ 75 Schſt 19 L b 2 b. B
16.⸗ 35 Schſt 10 Stein off Federn.
17.⸗ 348 Centner 1 Lſt 2l Eiſen
18.⸗ 96 ☚ 2 Loth 2 9 Silber.
19.⸗ 38 Balln 2 Ries 5 Buch Papier.
20. ⸗ 11Großt. 4 Großh. 1 Schock 2 Nuͤſſe.
21. ⸗ 104 Laſt 1 Wiſpel 2 Scheffel 1 Spint Erbſen.
22.⸗ 9 Lol. 1 ſovl. 10 Grvl.
23.⸗ 354Lſterl. 11 ſöſtl. 11 Kſterl.
24. ⸗ 1Louisd'or 2 Thlr. 20 W. 11 §.
25. 2½ I Laſt 1 Wiſpel 7 Scheſſel 2 Faß 1 Hirnt Haber⸗
26. 5 12 Schock 2 Mand. 14 Garben
27. ⸗ TSchff 12 Stein 19 Flachs.
⸗ 1 Mark 12 Loth 17 Graͤn.
29. 2 4ALaſt 7 Tonnen Heringe.
⸗ 853 Laſt 15 Tonnen Spaniſch Sal.
31. ⸗ 78 Centner 6 Lf 3f.
32. ˖ 254 Schock 10 Ellen.
33.²½ 188 Mark 5 Loth.
34. 262 Balln 5 Ries 5 Buch.
35. ⸗ 5123 M 1365 6 ϑο Zucker
36. ragm 15 ſ§ 6 . Schaaſe.
37. 381 vaſt 2 2 Tonnen Steink. an E.

59.
59.

60

6jt.

ba.

—

11

n 39. Faäc. Carl XII. alt: 36 Jahr 5 Monat 14 Tagé.
40.⸗ Bernhard alt: 47 Jahr 6 Monat 6 Tage.
41. „ Cornelius vermaͤhlt 1730 den 1oten Sept.
42. ⸗ Daͤniel alt: 9 Jahr 3 Monat 15 Tage.
et. 44.: Fritz gebohren: 1704 den 13ten November.
iſe. 45. ⸗ Georg gebohren: 1747 den 29ten May.
46.⸗ Heinzens Schauſtuͤckalt: 273 J. 7Mt. 16 T.
47.⸗ Johns Hauß alt: 80 Jahr 9 Mt. 12 Tage.
48. Friedrichs des Einzigen Geburtstag der 23te 1
. Januar 1712.
53.⸗ Leopold geb. 1732 den 17ten Nov. Morgens
. Ve. um 3 Uhr. RKR
ſin. 54.⸗ Martin alt: 28 Jahr 3 Mt. 20 Tage 17
WN. Stunden. W
8 356. ⸗ Martin (uther: gebohren 1483 den 10. Nov.
837. ⸗‧ Marx alt: 64 Jahr 4 Monat 17 Tage 21
ſ Stunden.
58. Mann ſchrieb den gten Julii 1784.
59. Neummnn hat jaͤhrlich Ueberſchuß: 313 M.
60 ½ Paul 1) Ausgabe: 1153 M8 5ſs.
Unſen. 2) uͤbrig: 46 M 11 ſv.
61.„ Verdient: 1386 mW.
62. ½ Gewonnen: 1222 mMm8 8ſ75.
ut hiben⸗

Quotienten der Diviſ. in benamten ganzen
“ Zahlen §. 205,
3. Fac. 1517 Rthlr. 44 ſs5 1 Q.

4. ⸗ 304 Thlr. 7 07 .
5. ⸗ 329067 Thlr. 52 Groten.
6. ⸗ 9602 Thlr. 13 Groten 4 Schwaren.
7. ⸗ 82 Schſ 7 2 10 fE.
3. ⸗ 23651 Centner Lſ 10b.
9. ⸗ 358 b 17 Loth Quentin. MM
10 – A1 Laſt 1 Wiſpel 1 Scheffel 1 Faß 1 Himt 3 Sp.
II.⸗ 1II41 Thlr. 68 Groten 2 ½ Schwaren
12. ⸗ 425 Thlr. 18 Groten 11 %₰.

14.
16.
17.
18.
19.
20
21
22
23

12
13. Fac. 733 Rthlr. 20 ſz 5 ¼ .

7
5
2
5
5

N —

98070 Thlr.

99 Lvl. 13 ſyvl. 1 ½ N.
49 Thlr. 15 90 9 6 N..
5 Rthlr. 32 ſ 758 N (z 8 5)

22 Lvl. 16 ſz vl. 8 ¼ Grvl.

2 Jahr 2 Mt. 18 Tage 8 Stunden 43 ¾ Min.
11 Jahr 2 Monat 25 Tage 17 Stunden.
4 Schock 3 Mandel 13 Stuͤck.
4 Fuß 11 Zoll.

1) 4 Laſt 2 Wiſpel 9 Scheffel o Faß 1 Himt 3 Sp.

2) 293 Laſt 2 Wiſpel 6 Scheffel 1 Faß I Himt
1 Spint Weizen. .
8 Centner 2 Lf oâ ſ.
7 Thlr. 24 Groten 4 ½ 2 Schwaren.
2 Laſt o Wiſpel 6 Scheffel 1 Himt 0½¾¾¾½ Spint
Gerſten. “
1 Jahr 10 Mouat 1 Woche 1 Tag 32 Min. 25
Sec. 12 59¾ Tert.

3 Jahr 2 Wochen 3 Tage 12 St. 55 Minuten 23

Sec. 4 . Tert.
. . e
1 Zimmer 1 Decher 3 2¾2 Stuͤck.

4 Ballen 1Rieß 15 Buch 43¾ Bogen Druckpapß.
3 Schib 7 8½ 4 %†. B

2 Mark 13 Karat 2 Gran 1 Graͤn

2 Mark 2 Karat 3 Gran 2 ¼ Graͤn.

1I Loth 2 Quentin O*. H.
15 Loth Quentin 2 2. H.

3 Mandel 4 ½ 26 Nuͤſſe.
3 Mandel 84 ¼¾ Aepfel.
3 Anker 2Viert. 1Stuͤbchen [Quart. o Oeſſel.
1Anker 4 Viert. 1 Stuͤbchen 2 Quart. o;? 2Oeſſel.
114 Ruthen 10 Fuß 8 Zoll.
12299 a 4 ſ6 3 .
4694 Louisd'or.
20811 18 365 83 J7.

7

35329 Thlr.

2797 Rthlr.

8

4.
5So.

„—

54.

59.
60.
61.

62. 1

49. Fac. 16345 Rthlr.
So. ⸗ 7 Ballen 7Ries 12 Buc 20 Vogen Druckpapter.
5I.⸗ 127 Schock 3 Mand. 12 Bund Stroh.
52. :⸗ 10 Schock 1 Mandel6 Stuͤck. .
54.; 1) in Caſſa: 272 Louisde'or 1 Thlr. UMMV
2) fuͤr Gold 1945 Thlr. O ℳ 4 &. l
e. 55. Fac. 1) 10626 m 2 ſs 89 das Waiſenhaus.
3 2) 47980 M 5 ſs5 10 ¾ & jedes Kind.
56. ; 3620 4
57.⸗ 1) 83385 Thlr. 190 88TScherf.
1361 =OWUYDM 2) 16677 Thlr. 49 Scherf jedes Kind.
Ihit SS.⸗ 15195 Rthlr. 30 ſ5.
59.⸗ 300 Thlr.

560. ⸗ 1781 Mm 9ſ5 7 ½ .
Sr. ⸗ 4584 M 14 65 89.
Grit 62. 5„ 1) 3070¾ gebohren 2909 geſtorben.
2) 161 mehr gebohren als geſtorben.
„ 63. „ 10) Einnahme: 3827 2 ſs 4 Ausgabe 3321
Nk ms r3 667 .
utne, “ 2) Eruͤbtiget: 505 m 46 9 ½ H.
Keguls de Tri directa in benamten ganzen
tuckp. Zahlen. §. 217.
2. Fac. 519 mM.
3. 384 8

4. 1000 Thlr.
5. ; 2124 Thlr.
6. ⸗ 2394 Thlr.

7. 2982 Thlr.
d8. ⸗ 4815 Thlr.
d. o. . 4 ,5 Thu.
deſil I1Io. ⸗ 1080 m.
12. 444 Thlr. 1096 8 §.
1I3. ⸗ 192 Thlr.
14. ⸗ 757 Thlr. 8 0.
15.⸗ 896 Mſh§.

16. 68 8 11ſs 3 %,. H.

19.
20.
21.
22.

. 23.

26.
27.
28.
29.

32.
33

35.

35.
39.
41.
42.

4*
4⁵:.
456.

49.
50.
51.
52.
53˙
54.
56.

58

60.
1.

N.

17. Fac. 82 Thlr. 16 36,

—

30.
31.

—

34‧*

43‧*

4.

57.
79.˙

2

N n ——

A NNNXNNR N NR „ F „ A „ —

8696 m.
1362 Thlr.
4240 m..
44 Ducaten.
888 Ducaten.
4444 Thlr.
3136 Thlr.
2640 Thl.
2538 Thlr. 16 6.
6274 465 6 .
5400000 Fuß.
1440000 Ellen.
1140 Br. Ellen.

504 Nuͤrnberger Ellen.

6480 Hamb. Ellen.

98697 ¾ Hamb. Ellen.

693 Ellen.
2400 Centner.
34 Schkb 13 Lfb 44 F.
1890 WB.

1708 Thlr. 19 90 2 ¾ Q.

16000 M8.
2420 M8 8ſ5 12 ¼ .
1600 Thlr. 6 °.
2198 m 10ſs 4 .
IIſs 7 .
212 6 ¾
26 66vl. D Gryl.
146gvl. 3 Qol.

◻⏑ 0.*
ον.α α
S

4 n ſs 33 &
587 Thlr. 4 0 51 :8.
23778 Thlk. 1896,

67.⸗ 35370 mg.
69. ⸗ 45120 M.

Nr. . 4 1

62. Fac. 1880 Thlr. 296 8 .
63. 2727 Thlr. 1090 33¾ J.
64. ⸗ 1597 Thlr. Be 5 ¾ .

63. : 1372 m ooi .
66. 2 2956 ma 12 ſ6 94.

68. ⸗ rarrm 14t 448.
70. ⸗ 1942 8 1366 84 .

71. 4803 m 6 6 102.
72. ⸗ 742 m 2 ſ 3 .

73. 6846
74. 230 M 6ſs 44.
75. ⸗ 1732 8ſs.
76. ⸗ 11794 8 10ſ 8.
77. ⸗ 16980Thlr.
78. ⸗ 1081 8 765

80. ⸗ I Thlr. 10 ℳ. Sre Q⸗

81. 488 6ſs 34
82.: 2 Thlr. 10 96 112 44 42 K.
83.⸗ 8 Lvl. 6 6ſzvl. 84 Qvl.
84. ½ 18 8 12ſ6 2 4 ⁄ .
86.⸗ 1866 ¾ 2 ſ.
87.⸗ 35538 21 22 ſb.
88. 9286 % .

89. 5622 ¾ ½826 Ellen.

91. ⸗ 27 Ceniner 5 Lſtb 13 b 21 2 ½ Loth.
92. — 16 Sch5 16 L 5 31 4 33 Loth.
93. ⸗ 238 Centner 2 L 8b 11 ¾1 Loth.
94 ⸗„ 5336 Thlr. 1120 3 Q.
95. 130⁰16 m 14s 1 % .
96. ⸗ 22572 M8 15ſ5 6 35 Q.

97. ‧ 21105mg 356 5,.
98. ⸗ 4119 368 4 .
99 ‧½ 114091R 2ſ.
101.5 983 m8 716 6 ¾ .
103. : 422 Rthlr. 43 6ſ8 6 .
1I06.⸗ 952m 146.

16
Nr.

107. Fac. 1771 M 35 2 .

109.
IIO.
1I15.
116.
1IIZ.
118.

5*

—

119.

120.
121.

X

122.2

124.
125.
128.

X N

130.

132. 7

133.

1342:

135‧*
136.
138.
139.
140.

2

N
„

1I42.

143.

144.

145.

147.

148.

149.

150.
151.
152.

A W„ „

154. 2

155. 2

156.

157.

1683 m8 14 ſs.
1150 Rthlr. 16 ſ5.
42²7 Thlr. 10 %.
952 Rthlr. 46 ſs 54 .
1078 Lol. 16ſsvl. 92 Rvl.
874 Lvl. 16 ſsvl. 33 Q.
3260 mg oſs 8 2 .
7041 Lpl. 17 ſsvl. d 1.
970 1 m 10ſ8 4 .
480 mQ 1566 5478.
352 Rthlr. 37ſ03.
145 Lvl. 2ſvl. 6.
35 Lvl. 19 ſ6svl. 11 6 .

87 Lvl. 17ſovl. 1¾ J.

42 Rthlr. 2ſ5 15½ .

293 Rthlr. 42ſs8 10¾ 4K.

26 Rthlr. 36 ſ5.
38 Rthlr. 31ſ5 32 Q.
26 Rthlr. aſe 10 ¾ .
72 Rthlr. 26 ſ6 02ε% %.
79 Rthlr. 170l 450.
57 Rthlr. 3ſs.
6 Rthlr. 665 1 ¾½ .
12 Rthlr. 24 ſs ).
84 Rthlr 23ſ65 2 ½²
78 Rthlr. 1ſ 10 ½
455 Rthlr. 10ſ5 3 ½ .
255mg 5Sſ.
359 ma oſs 10 ¼ Q.
545 5ſs ½7.
62721 ε 1oſs 9 ¾ ⸗
667 Iſs 1I1 ½¼ Q.
498 2 oſs 11 ¼ 0.

3009 Lvl. ſzͤvl. 6Grvl.

101 Lvl. 10ſsvl. 6 &.
37 Lvl. 17ſsvl. 3 ¼¾ Grvl.

186
197
150.
1980.
I90.
191.
192.

194
195,.
196.

68 Lvl. 13 ſsvl. 3 ¾

158.
159.
160.
161.3

1I162. 2

163.2
164. 2
165.
166. 2
167.
169. 2
171.2
1I72. 2
173.
174*2
175.
177.
178‧2
179‧ 2
181. 2
182.2
183.
184.
185.

—

186. :

1987.
188‧
189
190.
191.2
192.
193. :
194
195.
196.
197. 2
198.

772
276 Lvl. oſsvl. 9 ½ Qo0l.
336 Lvl. 17ſz vl. 9 ¾ . .
1504 Thlr. 38 Groten 4 ¾ Schw.
5858 Thlr. 17 Groten 3 ¼ Schw.
8619 Thlr. 35 Grot. 12¾ Schw.
5437 Thlr. 190 11 %.
19205 Thlr. 2196.
16828 Thlr. 0ℳ 6⅝ .
8 8 5ſs 4 9

327 6 14 ſs 2 ¾ ½ W.

4693 9 12 ſ5 975 A.
91718 4 ſ66.
2126R 1ſ5.
4 5 mn 2ſ.

11798 Rthlr.

7543 Rthir. 5ſe 0½ ˙Wο.₰ t
3787 Rthlr. 18ſ5 11NR.
236 Lvl. 18ſsvl. 9Grvl.
480 Lvl. 10ſtvl. 8Grol.

266 Lvl. 9ſeovl. 8 Qvl.

320 Rthlr. 2ſ6 72 ⅝ N.
5280 6m8 8ſ5 11 75 ů.
10154 Rt hlr. 26 ſs. 9.
3685 Rthlr. 31ſs 7 ¼ 2 .
375 Lvl. 5ſsvl. 1 ¼ Grvl.
3976 Lvl. 19 ſzvl. 3 Qvl.

2006 Thlr. 9 ° 10 ¾ .
4778 m 7 6 5.

—

10510 Thlr. 38 Grot. 1 1½ Schw.
2541 Rthlr. 23ſS 7 ½ ½ .
33130 Thlr. 9 Wι O½¾.
1516 1m8 766 11r .
9458 Thlr. m 7 2

18587m8 1ſs 4 ½ ½ :

619 Thlr. 35 Groten 1 ½3 Schw.
1287Thlr 16 Grot. 4 ¾2 Schwa.

420 Lvl. 18ſsvl. 4 2 Grvl.
2679 Rthlr. 23 6ſs 4 2-

Nr.
199. Fac. 944 mg roſt6; N
200. 1288 N 1ſe. .
201. : 579178 14 ſ5 92 ½
202.⸗ 823 mm8 2 ſ8 3 ½142
ſoͤ 5 ½

203. 1879 8 111ſs .
204.; 201 Thlr. 22 6 10122.
205. ½ 3930 Thlr. 22 96 833 ½ .
206. : 41187 Thlr. 19 34 44 O.
207. 680 Thlr. 32 Groten 3 432 Schw
208. ⸗ 127808 15ſ8 6 N.
209. 9332 Rthlr. 11 644 5.
211.⸗ 20Centner 4 2 1 322 42 k.
212.⸗ 30 Ball. 2R. 12 Binch 14¾2¾22% Bogen
213 27 Ball. 9R. 15 Buch 17 ½8 ⁄6 Bogen Druckp.
214. 44 Zimmer Decher 4 6 ε Stuͤck.
2 15 124 Groß Dutzt 7½2 ε2 Stuͤck.
216, ⸗ 566 mMg ˖Sſ5 4.
217.⸗ 1I5Schf 19 Lf† 5224 36 ſt.
218.⸗ 33945 . =
219.⸗ 12456 Rthlr.
220.: 46906 Thrr. 3
221.⸗ 8IS4o lK .
222.; 26370.

224. 261 M8 oſs 9.
225. 456m8 7 4 .

226.⸗ 452 m 6ſ5 11.
227.⸗ 624 m8 15ſ.
228. 224 1 4 ſs.
229.5 3288 § 12ſ5.
230.⸗ 6025 M 4 ſs.
231. 6727 8ſ3.
232.; 7909 1Iſs.
233. 6805 mMm 12 .
234 51I6 1rAſSgö.
235. ² 5662 Thrr.
236.⸗ 3147 Thlr. 20 96.
238.„ 291 Lvl. 6ſzvl. 8,Q.

239.½ 138 Lvl. 16svl. 67,

3

duch

Ir. 123
240. Fac. 249 Lvl. 19 ſzvl. 6, Q. ““ÿ
241.⸗ 226 Lvl. 66ſsvl. 2₰.
242.⸗ 1868 Lvl. 10ſvl.
243.‧ 1020 L0l. H
244.½ 4232 Thlr. 36 Groten.
245. 5½ 1934 Thlr 47 Groten.
247. 540
248. ⸗ 10132 4 ſ65.
249.; 19663.
250.„ 2383 oſ 6. H
251. ⸗ 3106m 4 ſ6. W B
252. 7218 12ſ5. W
253. 4 4750 m.
254.: 5S160 m 12 6.
255.; 3596 8 1oſß.
256. 6257 ma oſs 6ϑ0.
257. 2708m 1ſs.
258. 5832m 126ö˙=.
259. ½ 9686n8 866 6 .
261. ⸗ 147938 1265.
262. ⸗ 19671 8 12.
263. 23005 8˙s.
264. 162188 1266.
265. · 90000mg.
266. 51849 M.
267.⸗ 21456 M.
268.⸗ 38688 12.
270. ; 113 Lſterl. 10ſsſterl. 8.
271. ½ 2381 Lſterl. 7ſͤſterl. 3 Q..
272.„ 226 Lſterl. 6ſoſterl. 8 Kſterl.
273.⸗ 184 Lſterl. 16ſsSſterl.
275. ½ 1340 Banco.
276. 27387 m 865 Banco.
277. 27532 86 Banco. .
178. 42577 865 Banco. —
279. 42412 ρ 86 Banco.
280. 2850 Banco.
281.2

65730 & Banco.

20

Nr.

283. 2
284.:
286.2
287. 2
288.
289.
290. 2
291. 2:
292.:

293. :
294.

295. 2
296. 2
297. 2
298.
299. 2
301. 2
302. 3
303.2
304. :
305.
306.
307. 2
308. 2
309.
310.
311. 2
312. 2
313. 2
316. 2
317.
3 18. :
320. 2

22 2
— =.

An 4ſ.

282. Fac. 53184 M§ 615 Banco.

83250 M& Banco.
52285 K roſs Banco.
427840 8.
48384 mg.
33600 ms.
45 120 Mρ.
17376 MW.
276480 8.
84000 Mg.
80327 .
93 M.
1310 M.
4620 mM.
6584 —n
10692 mMSs.
4440 Rthlr. .
3829 Rthlr. 4,5 4 33, H.
4987 Rthlr. 39 ſS 6 G.
3285 Thlr. 10Grot. 3 1 Schw.
3596 Thlr. 57 Grot. 421 Schw.
2684 Thlr. 2296 6 2
3543 Thlr. 190 82 §.
9134 Lvl. 3ſsvl. 42½ .
7578 Lvl. 4 ſsvl. 16 J.
2785 Lſterl. Zßſterl. 2 ½ .
2952 ng 13,6 1 ½ .
559 Lſterl. 19 ſeſterl. 5.4 ¾ O.
531 Lſterl. 16 ſeöſterl. 4 N⸗
54867 Thlr. 390 7 ½ 1 .
44939 Thlr. 720 11¾ M
1769 m8 14 ſ6 11 ½ 2.
4417 m 318 3 3 Q.
211015 mg oſe 10 ½ Q.
130010 mg rſ;.
108844 8 715 9.

O

*

21

Nr.
324. Fac. 24 m8 76 6.
326.: 9ſ8 10 ¾ 2¾ N⸗

327. 2ſs 6. 1
329. ⸗ 12 Thlr. 1II 11427. H.
330.⸗ 1IThlr. 16 30 11 6,, .

331. 91ſ 6

332. 25 518
34.‧ 2 75 07%2K*
335. 5 11ſ .AK.
336.; 3 ¾2..
337. . 6 10 36 .
338.‧ 1ſ 4 22*½Ne

340. : 1111 Ellen.
341.: 972 Ellen.
342.⸗ 1038 Ellen.

344.⸗ 1I5Centner 3 L)ſb.
345. ⸗ 9Schft 12 eſt 7 kk.
346.⸗ 5 Laſt 1Wiſpel 3Scheffel Rocken.
347.⸗ 7Laſt I1 Wiſpel 8 Scheffel 1 Faß Weizen.

348.⸗ 25 Laſt 1 Wiſpel 1 Faß 1 Himt Haber.
349. 352 k.
350.⸗ 728 .
566 29 22 Loth.

35I. ²
352. ¹ 876 k. 4
354. 36 28 Loth. .
355. 29 ſr 10 Unzen.
356. 23 Schſ 5L.
347.; 34 Schf 17 L.
358. . 30ſ† 27 Loth.
359. 29 † 7 Unzen.
360.:; 212 3. Stuͤck.
361.⸗ 432 Steige 32427 Stuͤck.
362. : 231 4 Loth.
363.⸗ 45 ſt 6 Unzen.
364 412 Steige.
365.* 2388 Decher.

367.
369.

3270.
371. 2
372.:
373. :
374.:

375.

375.

377.

378.2

379⸗
380.

366. Fac. 1234 f.
4567 b.
„ 225 Stück.

2
„

27

2
⸗ 7

381. 2
382. 2

383.

384.2

385.
386.
387.
388. .
389.

X — — A A

390.

391.
392.
393.
394.
395.
496.

A ä

397. :
398.2
399.

300:

31 Stein 17 Flachs.
394 Stein 19 ½ † Flachs.
3 Laſt 2Wiſpel 4 Scheffel Erbſen.
19 3 Fuda⸗ 2 Ahm 11 Stuͤb.
33 Laſt 9,. Tonnen Theer
53 Laſt 8 ½ Tonnen Pech.
23 Laſt 15 Tonnen Sp. Salz.
26 Schock 23427%– Latten.
9 Großh. Schock Diehlen.
9 Großt. 7 Himt 4 S teige 15 Stuͤck.
29 Dutz 8 ¼2 Huͤthe.

10 Zim. 3 Dech. 9 Stuͤck Grauwerk.

11 Ries 12 Buch Papier.
27 Mark 10 Loth Silber.
15 Mark 9Loth 1½¼ Quentl. Gold.
4 † 9 Unzen Gold.

45 Schf 79 ½ 7lf.

36 Centner 4 L†5 13 ½5 ½
54 Centner 3 L† 6 ſt.
65 Stein 4 Ftachs.
29 Schock 28 ¾22% Stuͤck.
75 Stein 8 ſt Wolle.
236 Centner 5 Lft 2 1 62p.
156 Centner oſ 5eεεocU:F-ubRG
945 Schf 22 †* Bz3
27 Schf 15 Lſt 13
78 Schfß 15 Lſb 13
216 Stuͤck.
81 Mark fein Gold.
62 Mark 23 Karat 3 Graͤn.
8060 Rthlr. 32 ſe.

ſe

Regula de Tri fſimplex. inveria.
2. Antw. 24 Arbeiter.

33 ½¼ Tage.

23
4. Anm. 4 Wochen.
6. 65 Ellen.

7. ; 5Tage.
8. ⸗ 32 Thlr. 8 9 G.
9. ⸗ 20 Ellen. “
11. ⸗ 10 1½ ½¼ Loth.
12. ; 7t* 4 Loth.
13. ⸗ 26 Lotch.
14. „ 26 Jahr 8 Meonat 6 Tage 16
Stunden. 23 ¾222½ Minuten.
I15. 45 Ellen.
16.⸗ 6 Quart breit.
17. ⸗ 6 Monat 6 ½ Tag.
18. ⸗ 20 5.
20. ⸗ 24 Schl.
21. ; 90 Mann.
22.⸗ 4 Monat 22 5 ¾5 Tage.
24. 1 Jahr 6 Monat 22 ¾ Tage,
25. * Meilen. .
26. ½ 5 Monat 18 Tage.
28. 2 800 m Capital.
29. ⸗ 93 ½ Ellen.
30. ; 28¾ Ellen.
31.⸗ 26 Schf 5Lfb. L
33. ⸗ 1I Woche 3 ½ Tage.
34. 14 Schreiber.
35. ⸗ noch 12 Tageloͤhner mehr.
36. 16 Arbeiter.
37. ⸗ 2100 Fuß.
38. ⸗ 39¾ Ellen.
;⸗ Antw. auf den 5 Viertel breiten

39.*
Stoffe, welcher nur 52 Mg 3 ½ ſö,
hingegen der 4 Viertel breite 58 ½
ma koſtet.
23 ¾ Ellen.

40.

—

——

Demonſtrativiſche

Anweiſung
zur

theoretiſchen und praktiſchen

echen kunſt

fuͤr

Lehrer und Lernende.

Beſonders

zum

Selbſtunterricht.

15

Hamburg, 1788.

in Commiſſion bey Benjamin Gottlob Hoffmann.
Gedruckt bey J. D. A. Eckhardt in Altong.

10

Euroskala Offset

VierFarbSelector Standard*-

4 Copyright 471999 VXyMaster GmoH wWwW.yXVMaster. com