Bb11

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Demonstrativische Anweisung zur theoretischen und praktischen Rechenkunst ðð ð Demonſtratiiſche Anw e ſu n g theoretiſchen und praktiſchen tceniunf Lehrer und Lernende. Beſonders zum Seibſtunterrict. Hamburg, 1788. in Commiſſion bey Benjamin Gottlob Hoffmann,. Gedruckt bey J. D. A. Eckhardt in Altong. Fuͤr den Buchbinder. Die Antworten auf die arithmetiſchen Fragen werden aur auf Begehren hinten angebunden. „* Vorerinnerung. D Wan ich der Menge von beynahe 300 deutſcher Rechenbuͤcher, deren Werth und Unwerth ich unberuͤhrt laſſe, noch das Meinige, und zwar fuͤr Lehrer und Ler⸗ nende, beyfuͤge, ſo geſchiehet dieſes be⸗ ſonders aus der guten Abſicht: meinen Mitburgern nuͤtzlich zu ſeyn. Für Lehrer ſchrieb ich. Nicht um ihnen etwas noch Ungeſagtes zu ſagen; Denn Denn wer das heutiges Tages wollte, muͤßte gar ſchweigen. — Auch nicht, um ſie ſelbſt zu unterrichten; — ſondern um ihnen ihre ſauern Schularbeiten, wo⸗ mit ſie oͤfters ſo ſehr uͤberladen ſind, daß ihnen ſo wenig Zeit zum Demonſtriren als zu den noͤthigen Wiederholungen uͤbrig bleiben kann, zu erleichtern. Sollte dem Lehrer, welcher auch bey der beſten Lehrart oft erfahren muß, daß der Schuͤler das ſchon Erlernte, worauf ſich doch das noch zu Lernen nde gruͤnden ſoll, groͤßten Theils oder wohl ganz vergeſſen hat, nicht lieb ſeyn, ſtatt aller ihm unmoͤglichen Wiederholungen, in aller Kuͤ Kuͤrze ſagen zu koͤnnen: Da ſehet ins = ins Buch, und lernet das Vergeſſene wieder! — Selbſt dem Privatlehrer muß es Freude machen, wenn er ſeinen Schuͤlern ein Buch in die Haͤnde geben kann, welches ihnen nicht nur das bereits Gelehrete wiederholt darſtellet, ſondern auch zugleich den Weg zeiget, wie ſie auch auſſer den Lehrſtunden weiter vorwaͤrts komm en koͤnnen. — Wenn der ſeiner Unwiſſenheit ſich ſche aͤmende Schuͤler ſeinen Lehrer mit oft wiederholten Fragen, beſonders des Ver⸗ geſſenen wegen, nicht belaͤſtigen mag, und daher, durch Abſchreiben der Solution ſei⸗ nes Mitſchuͤlers, Lehrer und Aeltern hin⸗ tergehen, ja ſich eines hoͤchſtſchaͤdlichen Selbſt⸗ VI Selbſtbetruges ſchuldig machen muͤßte. — — Wenn der Schuͤler zu arm iſt, um einen guten Lehrer bezahlen zu koͤn⸗ nen: — Wenn endlich der durch ſchlech⸗ te Anweiſung verwahrloſete Juͤngling J ſeine Schwaͤche fuͤhlt, ſich aber keinen Leh⸗ rer mehr uͤbergeben will; oder auch ſeiner jetzigen Lage nach nicht kann: — Sollte dieſen allen ein Buch, worinnen ſie die erwuͤnſchte S elbſthuͤlfe finden koͤnnen, nicht ſehr willkommen ſeyn? — Ueberhaupt habe ich in dieſem Buche nichts vorſetzlich ausgelaſſen, was irgend dem Schuͤler von einigen Nutzen ſeyn koͤnnte. — Ich bin vom Leichten zum Schweren uͤbergegangen und habe ſtets den VII den noch zu nehmenden Weg vorher ge⸗ ebnet. “ M Die Antworten auf die gegebenen arithmetiſchen Fragen, welche unter den Aufgaben, dem Schuͤler zum groͤßten Nachtheile, immer am unrechten Orte ſte⸗ hen, habe ich vom Buche ſelbſt abgeſon⸗ dert und beſonders drucken laſſen, damit 6 ſie der Lehrer zum Nachſehen allenfalls fuͤr ſich allein gebrauchen koͤnne. Nur der ſich ſelbſt lehrende Schuͤler kann dieſelben dem Buche am Ende beyfuͤgen laſſen: Doch muß er nie eher Gebrauch davon machen, bis vorher jede Aufgabe angewieſener Maſſen gerechnet iſt. Ob VIII nen wohlmeinenden Arbeiten, als Fruͤchten meiner ſehr wenigen uͤbrigen Stunden, den zur Bearbeitung der uͤbrigen Theile der Arithmetik zu erhalten — das alles wird die Zeit lehren. Der Verfaſſer. ſpricht; ob ich ſo gluͤcklich bin, mit mei⸗ Beyfall des Publikums und einen Wink —.. — — —. —— — — — — — Einleitung. Ueer allen bisher erfundenen Kuͤnſten, welche des Erd⸗ buͤrgers Wuͤrde erheben, iſt keine neben der edlen Schrei⸗ bekunſt noͤthiger und naͤtzlicher, als die mit ihr unzertrenn⸗ lich verbundene Rechenkunſt. — Sie iſt, da nach den weiſeſten Geſetzen des Ewigen, alle erſchaffene Dinge aus Zahl, Maaß und Gewicht beſtehen, als die Kennt⸗ niß der Zahlen, Ordnungen und Proportionen, mit allem Rechte: die Quelle des Schonen; der Anfang und Bichtſchnur aller menſchlichen Ver⸗ nunftſchluͤſſe; ja ſie iſt die Thuͤre zu allen uͤbri⸗ gen Kuͤnſten S Welche unendliche Zerſtreuungen wuͤrden im menſch⸗ lichen Gemuͤthe herrſchen, und welche Dunkelheit wuͤrde ſich uͤber alle Handlungen des menſchlichen Lebens verbrei⸗ ten, daferne die Arithmetik oder Zahlenkunſt in denſelben aufgehoben waͤre! — Wir wuͤrden in keiner Sache weiſe ſeyn; wuͤrden nicht einmal auf Vernunft, vielweniger noch auf Klugheit und Gelehrſamkeit Anſpruͤche machen koͤnnen. —— Und weil die Arithmetik nicht nur in der eigenen Oekonomie und Familienſachen, ſondern auch in Verwaltung des Staats, wie auch in allen uͤbrigen Kuͤn⸗ ſten und Wiſſenſchaften den vorzuͤglichſten Nutzen gewaͤh⸗ retz auch uͤberdem nichts iſe welches den ſchwachen 2 Die theoretiſche Rechenkunſt. Verſtand Verſtand mehr aufhilft, den guten aber mehr ſchaͤrfet, als eben dieſe erhabene Kunſt, welche niemand, er ſey Miniſter, Gelehrter, Kaufmann, Kuͤnſtler, Hand⸗ werker ꝛc., entbehren kann; ſo ſollten auch billig alle jungen Soͤhne des Staats, ſie moͤgen ſich dem Lehr⸗ Wehr⸗ oder Naͤhrſtande widmen, nicht nar, vor allen Studien, mit dieſer vortreflichen Kunſt den Anfang ma⸗ en ſondern es auch darin ſo weit als moͤglich zu bringen uchen. 4 Es wird aber die Rechenkunſt als eine Wiſſenſchaft der Zahlen eingetheilet: 1. In die theoretiſche 2. In die practiſche I. Die theoretiſche Rechenkunſt erweget blos, und giebt ſich allein mit Kenntniß der Zah⸗ len ab, als woher ſie auch die Zahlen kunſt (Numeratio) genennet wird. S Sie lehret: Rechenkunſt. 1) Was eine Zahl ſey? (§. 1.) und wie die Zahlen ein geetheilet werden (§. 6.) 2) Die Zeichen, womit die Zahlen ausgedruckt werden (§. 12.) . 3) Die Zeichen oder Ziffern zu ordnen, um damit alle nur moͤgliche Zahlen ausdruͤcken zu koͤnnen, und die Zahlen zu leſen. (H. 18.) 4) Die Zahlen zu ſchreiben, und zwar a) die arabiſchen Zahlen. (§. 50.) b) die roͤmiſchen Zahlen. (§. 55.) 1. Was eine Zahl ſey. §. 1. Eine Zahl iſt ein Begriff von einer Menge ſol⸗ cher Dinge die einerley Art ſind, wobey hauptſaͤchlich auf dasjenige geſehen werden muß, was ſie wirklich mit einander gemein haben. . „2. AN die ti alle ehr⸗ llen ma⸗ gen hiſt a 1o) ie t 4 ſt Die theoretiſche Rechenkunt. 3 §. 2. Es laſſen ſich aber Dinge entweder unter einen allgemeinen oder unter einen beſondern Namen zu⸗ ſammen zaͤhlen. Z. E. Man zaͤhle 5 Engellaͤnder und 3 Schweden zuſam⸗ men, ſo kann man, ſofern ſie die Zahl acht geben ſollen, nur eine allgemeine Benennung gebrau⸗ chen, naͤmlich: Es ſind acht Europaͤer, oder 8 Menſchen. . Will man ſie aber nach ihrer beſondern Benen⸗ nung zaͤhlen, ſo ſind es 5 Engellaͤnder und 3 Schwe⸗ den. In dieſem Falle aber koͤnnen ſie nicht die Zahl 8 ausmachen. §. 3. Man kann daher von Dingen verſchiedener Art, ihrer Menge nach, ſich nicht eher einen vollſtaͤn⸗ digen Begriff machen, oder die verſchiedenen Dinge nicht eher zuſammenzaͤhlen, bis man ſie unter einen bveſondern Namen gebracht hat. Z. E. Ich haͤtte einen Korb mit Aepfel, Birnen und Pflau⸗ men angefuͤllet, und wuͤrde nach der Anzahl oder Menge derſelben gefragt: Nun zaͤhlte ich dieſe Din⸗ ge, ohne auf ihre Art zu ſehen, und faͤnde derſelben hundert Stuͤck: Was fuͤr einen Namen koͤnnte ich dieſer Menge beylegen? — Es ſind weder hundert Aepfel, noch hundert Birnen, noch hundert Pflau⸗ men?! Geſetzt, ich gebe dieſen Dingen den allge⸗ meinen Namen: hundert Fruͤchte, ſo waͤre dieſes doch kein deutlicher Begriff, und alſo auch keine befriedigende Antwort fuͤr denjenigen, welcher zu wiſſen verlangt: wie groß die Menge jeder Art dieſer Fruͤchte ſey? Zaͤhle ich aber jede Art beſon⸗ ders und ſage: Es ſind im Korbe zwanzig Aepfel, dreyßig Birnen und funfzig Pflaumen, ſo habe ich den Dingen ihren beſondern Namen, und alſo einen deutlichen Begriff dieſer Menge gege⸗ ben. (§H. I.) §. 4. Jedes Stuͤck von einer Menge der Dinge, in RKuͤckſicht auf gleiche Benennung, wird eine Unitaͤt = A 32 oder 4 Diie theoretiſche Rechenkunſt. oder Einheit genennet. Die Einheit aber kann nur in ſo fern eine Zahl genennet werden, als man damit wirklich eine Menge zu zaͤhlen anfaͤngt, oder ſoferne ſie eine Groͤſſe bezeichnet, die mit mehrern Groͤſſen ihrer Art zuſammen gezaͤhlet wird. Z. E. ein, zwey, drey Thaler ꝛc. . §. 5. Das Wort Zahl zeiget deutlich an, daß nur das wirklich Zuſammengezaͤhlte, alſo eine jede Mehrheit oder Anzahl gezaͤhlter Dinge eine Zahl genen⸗ net werden muß. 1 Zuſatz: Und da in dieſem Betracht die Eins, als der Anfang einer Zahl, nur ſehr wenig iſt, ſo kann auch Eins keine Zahl ſeyn. §. 6. Die Zahlen werden eingetheilet: a) In ganze und gebrochene Zahlen. b) In unbenamte und benamte Zahlen. Cc) In gerade und ungerade Zahlen. . a. Eine ganze Zahl beſtehet aus lauter Einheiten, deren jede fuͤr ſich ein Ganzes ſeiner Art bezeichnet. (§. 4.) Z. E. hundert Thaler ꝛc. Denn hier iſt jede Unitaͤt ein ganzer Thaler, und alſo in dieſer Hinſicht die Zahl hundert eine ganze Zahl. §. 7. Eine gebrochene Zahl hingegen iſt ſolche, deren einzelne Unitaͤten nur gewiſſe Theile eines Ganzen bezeichnen. Z. E. fuͤnf Sechstheil Thaler ꝛc. Denn hier zeiget der Ausdruck fuͤnf Sechstheil an, daß der ganze Thaler in ſechs Theile zer⸗ theilet worden, davon nur fuͤnf ſolcher Theile einer Unitaͤt, welche man hier Thaler nennet, vorhanden ſind, und alſo offenbar ein Sechstheil an dem ganzen Thaler fehlet: mithin kann dieſe Fuͤnf keine ganze Zahl, ſondern ſie muß eine ge⸗ brochene Zahl genennet werden, um damit anzu⸗ zeigen, daß jede Unitaͤt derſelben nur ein Bruch⸗ ſtuͤck des gleichſam in Theile zerbrochenen Ganzen bezeichne. gen Dr . I me e ne ei let, den fun fut nit ſie er tey ut de en — ☛ Die theoretiſche Rechenkunſt. § §. 8. b. Unbenamte Zahlen wenrden alle diejenigen genennet, deren Eintheilung man gar keinen Namen gegeben, weil ſie dergleichen auch zu dem vorhabenden Zwecke nicht beduͤrfen. Z. E. Zahlen, welche blos nieder⸗ geſchrieben werden, um ſie zu leſen, ſo wie bey der Nu- meratio geſchiehet. Dergieichen ed auch alle Zahlen, welchen man das Woͤrtchen mal beyfuͤget, um damit zu multipliciren, als: 5ßmal 36 Mark ꝛc. Zuſatz: Hierher gehoͤren auch die Zahlen, womit die Fabrikanten ihre Waaren bezeichnen, um ſie nach ihren Sorten, oder nach der Feinheit derſelben zu unterſcheiden. — Anm. Man braucht auch dergleichen unben amte Zah⸗ len, wenn man Dinge, ohne ſie zu nennen, mit Fin⸗ gern zeiget. Z. E. Wenn man jemand ein Feld mit abgeſchnittenen Kohl kopfen zeigete, und ſagte: Da liegen ſie bey Tauſenden! Imgleichen wenn man von Dingen ſpricht, welche, ohne ſie zu nennen, vorher ſchon bakannt genug ſind. Z. E. So ſangen dort die Iſraelitinnen: Saul hat kauſend geſchlagen, David aber zehentanſend. Wer wußte nicht, daß dieſe Zahlen Philißer bezeich⸗ neten? Lc. 5§. 9. Benamte Zahlen werden alle diejenigen ge⸗ nennet, welchen man wirklich einen beſtimmten und eigenthuͤmlichen Namen der Dinge, die zuſammen gezaͤh⸗ ler, gewogen, gemeſſen, oder nach Geld geſchaͤtzet wer⸗ den, beyleget. Z. E. hundert Pferde, tauſend Thaler, funfzig Centner, zwanzig Ellen ꝛc. In der erſten Zahl bezeichnet jede Unitaͤt eine Pferd, in der zwoten einen Tha ler, in der dritten einen Cent⸗ ner, und in der vierten eine Elle ꝛc. Anm. Dieſe benamten Zahlen ſind es, welche man eigent klich zu unſerer Kunſt gebrauchet. Es kommt aber uͤberaus viel darauf an, daß man wohl auf die Benennungen einer jeden Zahl, und der! ſelben IUnterſchied, merke, weil man ſonſt immer Gefahr laͤuft, ſeinen Zweck zu verfehlen. Hiervon an ſeinem Orte mehr. . A 3 §. 10. Diie theoretiſche Rechenkunſt. §. 10. c. Gerade Zahlen ſind alle die, welche ſich halbiren, d. i. in zwey gleiche Theile theilen laſſen. Z. E. vier Aepfel, acht Birnen koͤnnen von zween Knaben in zwey gleiche Theile getheilt werden, ſo, daß jeder zween Aepfel und vier Birnen zu ſeinen Antheil erhaͤlt. Zuſatz: Alle dergleichen Zahlen, ſie moͤgen groß oder klein ſeyn, aus den einfachen Ziffern 2, 4, 6, 8, 10 be⸗ ſtehen, oder ſich mit dergleichen Ziffern endigen, als: 352, 4014, 53296, 1234518, 31750, 1199310 1:Ec. find, da ſie ſich in zwey gerade Theile theilen laſſen, gerade Zahlen. F. 11. Ungerade Zaͤhlen ſind die, welche ſich nich in zwo Haͤlften theilen laſſen. Z. E. waͤren der Aepfel ſieben, und der Birnen fuͤnf, ſo koͤnnten zween Knaben unmoͤglich ihre richtige Haͤlfte bekommen, daferne ſie lau⸗ ter ganze Aepfel und Birnen haben ſollten. Denn wollte jeder drey Aepfel und zwey Birnen haben, ſo bliebe ein Apfel und eine Birne uͤbrig; und wollte jeder vier Aepfel und drey Birnen nehmen, ſo wuͤrde ein Apfel und eine Birne fehlen. ð Zuſatz: Alle diejenigen Zahlen, welche dieſe Eigen⸗ ſchaft haben, ſie moͤge klein oder groß ſeyn, aus den einzelnen Ziffern 1, 3. 5, 7, 9 beſtehen, oder ſich mit denſelben Ziffern endigen, als: 87341, 54873, 540205, 870327, 228769 20. ſo ſind ſie ungerade Zahlen. 2. Die Zeichen womit die Zahlen ausgedruckt werden. 12. So wie man, um ſeine Gedanken andern ſchriftlich mitzutheilen, vier und zwanzig Zeichen, die man Buchſtaben nennet, erfunden hat: ſo hat man auch Zeichen erfinden muͤſſen, um damit ſchriftlich alle Groͤſſen in Zahlen auszudrucken. Die erſten Zeichen, womit die gezaͤhlten Groͤſſen anfangs ausgedruckt worden, moͤgen freylich ſehr einfach ge⸗ 4 . E. ilen cht fel en alt⸗ te ein pſt ine en den mit 3, de en die dch ſen Die theoretiſche Rechenkunſt. 7 geweſen ſeyn, und haben vielleicht nur aus bloſſen Stri⸗ chen und andern willkuͤhrlichen Zeichen beſtanden, bis nach und nach Buchſtaben erfunden, deren ganzes Alpha⸗ beth die meiſten Voͤlker, um ihre zaͤhlbare Groͤſſen damit auszudrucken, gebraucht haben; ſo wie die Roͤmer ſolches nur mit einigen Buchſtaben ihres Alphabeths, welche noch heutiges Tages ſehr beliebt ſind, gethan haben. Wie unbequem aber mit dergleichen Zeichen zu rechnen ge⸗ weſen, moͤgen die Araber am lebhafteſten gefuͤhlt haben, denn dieſen haben wir die Erfindung der nie genug zu prei⸗ ſenden Zeichen, welche wir Ziffern nennen, zu danken. Die Saracenen brachten ſie zuerſt nach Africa, von da nach Spanien, und ſo ſind ſie nach und nach in ganz Eu⸗ ropa angenommen, auch von hier nach America uͤberge⸗ bracht worden. Dieſe Zeichen ſind: Eins, zwey, drey, vier, fuͤnf, ſechs, ſieben, ache, neun und Nuk. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. Mit dieſen wenigen Zeichen laſſen ſich nicht nur alle moͤglichen Zahlen leicht ausdrucken, ſondern wir koͤn⸗ nen auch ſehr bequem damit rechnen. 1. Anm. Warum aber dieſe Zeichen juſt zehen, und nicht mehr noch weniger, erfunden ſind, laͤßt ſich eben ſo gut errathen, als warum ſie eben dieſe, und keine andere Geſtalt erhalten! Denn, da die Beduͤrfniſſe der erſten Menſchengeſchlechter ſo einfach wie ihre Habſe⸗ ligkeiten waren: ſo brauchten ſie auch wenig Kuͤnſte, dieſelben zu zaͤhlen, um ſich von deren Menge einen zureichenden Begriff zu machen. So wahrſcheinlich, als natuͤrlich, waren ihre zehen Finger zureichend, um daran von eins bis zu zehen Dingen einer Art zu zaͤhlen — und ſo wie ein Finger gleichſarn einen Strich vorſtellet, ſo koͤnnen ſie auch jede an den Fin⸗ gern abgezahlte Unitaͤt mit einem Strich bezeichnet⸗ und damit bis zu Ende der zehen Finger, auch mit Wiederholung dieſer Zaͤhlart ſo lange fortgefahren ha⸗ den, als ſie es fuͤr noͤthig befunden. Die Geſtalt des Zeichens 1 widerſpricht dieſer Meinung nicht. Auch die roͤmiſche Zahl I ſcheint daſſelbe zu beſtaͤtigen. h. 57⸗ Weil aber, bey oft wiederholten zehn Strichen, eine groſſe Anzahl derſelben ehen ſo beſchwerlich aufzuzeich⸗ 6 neny 4 7 Die theoretiſche Rechenkunſt. nen, als zu leſen ſeyn mußte: ſo konnte durch ein an⸗ deres willkuͤhrliches Zeichen z. E. durch ein Kreuz X leicht die Anzahl aller zehen Finger auf einmal ange⸗ deutet, dieſes Zeichen auch ſo oft wiederholet werden, als ſie es fuͤr noͤthis fanden. Dieſe Meinung wird durch den weder leſen noch ſchreiben koͤnnenden ge⸗ meinen Mann beſtaͤtigt, als welcher noch heutiges Ta⸗ — ges jede einzelne Unitaͤt mit einem Striche, und jede zehen derſelben mit einem bemerket. Auch ſcheinen die Roͤmer den Buchſtaben X wegen Aehnlichkeit jenes Kreuzes gewaͤhlet zu haben, um damit ebenfalls zehen Unitaͤten zu bezeichnen. 2. Anm. Man konnte alſo mit dieſen zwey Zeichen 1 und 4 X ſchon ziemlich weit zaͤhlen, ohne Anfangs andere Zeichen noͤthig zu haben. Allein, wie man mit der Zeit befunden, daß ſolche neben einander geſtellten Striche und Kreuzen nicht anders als durch vorherige Zuſammenzaͤhlung geleſen werden konnten; auch ſo wentze Zeichen nicht zureichend, um damit rechnen zu koͤnnen: ſo haben die Araber, dieſen Beſchwerden ab⸗ zuhelfen, darauf gedacht, wie ſie ſolche einzelne Uni⸗ taͤten nicht mehr, wie voͤrher geſchehen, neben einan⸗ der ſtellen, ſondern ſie bey zwey, drey, vier, fuͤnf, ſechs, ſieben, acht und neun zuſammen gruppiren moͤchten, um etwa folgende Figuren zu erhalten: =OOO/ S Dieſe Figuren haben nachher die Schreibmeiſter zier⸗ licher alſo umgeformt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Damit aber, nach Anzahl der zehen Finger, üͤber deren Anzahl man bisher auf einmal zu zaͤhlen nicht ge⸗ — — & Adẽ Kann . nohnt war, der Zeichen auch zehen wuͤrden: ſo hat man dieſen neun Zeichen noch die Null (o) als das zehende Zeichen beygefuͤget. 5§. 13. Die Ziffern 1 2 3 4 5 6 7 89 koͤnnen, jede fuͤr ſich allein geſetzt, nur ſo viel Unitaͤten bezeichnen, als jede fuͤr ſich ihren Namen nach gelten kann. Z. E. 2 Pfer⸗ de, 5Hunde, 7Thiere ꝛc. Zuſatz: Stellet man alſo dergleichen einfache Zifern neben einander, um mit jeder derſelben eine gewiſſe 4 Zahl Die theoretiſche Rechenkunſt. 9 Zahl zu bezeichnen, ſo muß bey jeder Ziffer ein Punct (.) geſetzet werden. Z. E. man kann I. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8.9. und mehr Schaafsdaͤrme zu einer Saite nehmen. Blieben aber dieſe Puncte zwiſchen den Ziffern weg, ſo wuͤrden ſie eine ganz andere Zahl be⸗ zeichnen, ſo wie an ſeinem Orte gezeiget werden ſoll. §. 14. Die kleinſte Ziffer von allen iſt die 1. (§. 5. Zuſ.) Denn was unter Eins iſt, das kann nur ein Theil einer Unitaͤt ſeyn. (§. 7.) Sie iſt gleichſam die Wurzel aller Zahlen; denn ich kann mir nicht einmal zween Dinge, geſchweige eine große Menge der Dinge gedenken, daferne nicht eine Unitaͤt derſelben Art ſchon da geweſen. §F. 15. Die groͤßte Zahl kann nie gefunden werden; denn es kann unmoͤglich eine Zahl geben, weiche ich nicht duͤrch Beyfuͤgung mehrerer Ziffern vergroͤßern koͤnnte. §. 16. Das merkwuͤrdigſte Zeichen iſt die Null. ) Sie iſt das Zeichen womit man geradezu nichts aus⸗ druͤckt. Denn wenn ich auch eine ganze Reihe Nul⸗ len, ohne derſelben eine Zahl vorzuſetzen, neben ein⸗ ander hinſchreibe, z. E. 0000000000 ꝛc., ſo gelten alle dieſe Nullen ſo viel als eine, d. i, nichts! b) Die Nulle hat nichts und giebt doch unendlich viel. Denn tauſend mehr Nullen vor einer Unitaͤt, laſſen dieſelbe in demſelben Werthe, welchen ſie auch ohne vorſtehende Nullen hatte. Z. E. 00000001 iſt nur Eins, weil alle vor der 1 ſtehende Nullen Nichts gelten. Ec) Wenn man aber hinter eine Unitaͤt eine Null nach der andern ſetzt, ſo kann ſolche Unitaͤt dadurch bis ins Unendliche vergroͤßert werden. Z. E. wenn ich hinter 1, als die kleinſte Ziffer, (§H. 14.) nur ſechs Nullen ſetze, alſo: 1000000, ſo iſt dieſe Unitaͤt dadurch zu eine Million, welche tauſend mal tau⸗ ſend Unitaͤten enthaͤlt, erhoben worden u. ſ. f. §. 17. Die Null, als das Zeichen von Nichts, (§. 16. a.) dienet hauptſaͤchlich um den Mangel einer Sorte von Einern, welcher ſie auch ſeyn moͤgen, 5 zu –— 10 Diie theoretiſche Rechenkunſt. zu bezeichnen, und iſt in dieſer Hinſicht gleichſam als Luͤckenbuͤſſer zu betrachten. Z. E. Man koͤnnte ohne 0 nicht zehen, zwanzig, dreyßig ꝛc. ſchreiben, weil die groͤß⸗ te der 9 Ziffern nur 9 Unitaͤten bezeichnen kann. (H. 13.) Schreibt man aber hinter jede dieſer einzelnen Ziffern I. 2. 3. 4. ꝛc. eine Nulle, ſo bezeichnen alle dieſe Einer ſodann Zehener, als: 10. zehen, 20. zwanzig, 30. dreyßig, 40. vierzig ꝛc. Man koͤnnte ferner ohne Null nicht zweyhundert und drey ſchreiben, wenn die Null nicht waͤre: denn ſchriebe man nur die Ziffern nieder, deren Ausdruck man hoͤret, ſo wuͤrde es ſo ſtehen: 2 3. Dieß hieſſe aber nur drey und zwanzig, nicht aber zweyhundert und drey. Bemerkt man hingegen die fehlenden Zehner mit einer Null, alſo: 203, ſo wird dadurch die 2 in die dritte Stelle erhoben, als wo ſie allein 2h undert gelten kann. Hievon an ſeinem Orte mehr. Zuſatz: Wenn Nullen unter Zahlen vorkommen, von welchen zu vermuthen, daß Betruͤger dieſelben zu ihrem Vortheile in Sechſen oder Neunen verwan⸗ deln koͤnnten: ſo thut man wohl, uͤber und unter dergleichen Nullen einen Strich zu machen, alſo: O. Kaufleute und Juriſten pflegen die Vorſicht zu ge⸗ brauchen, um allen Zahlenverfaͤlſchungen vorzubeu⸗ gen, daß ſie erſt die Geldſummen in Ziffern, dann auch mit Worten ausdruͤcken. Z. E. 156 Thlr. ſage hundert und ſechs Thaler ꝛc. 3. Die Zeichen oder Ziffern zu ordnen, um damit alle nur moͤglichen Zahlen auszu⸗ druͤcken, und die Zahlen zu leſen. §H. 18. Es wuͤrde unmoͤg lich ſeyn, mit neun Ziffern, deren groͤßte nur neun Unitaͤten bezeichnet, (§. 13.) alle zaͤhlbaren Groͤßen auszudrucken, daferne wir nicht mehr als eine Art von Unitaͤten, d. i. nicht Einer, Zehner, Hunderte, Tauſende ꝛc. und fuͤr jede Art derſelben nicht Ar ne ſ ſn ſte ls gen hundert Einer enthaͤlt, Hunderte genennet werden. Die theoretiſche Rechenkunſt. rII nicht eine beſondere Stelle haͤtten, an welcher beym erſten Anblick zu erkennen, was fuͤr eine Art von Unitaͤ⸗ ten eine jede Ziffer bezeichne: kennt man aber alle Arten derſelben, und weiß ihnen die gehoͤrigen Stellen zu geben, ſo iſt es nicht nur moͤglich, ſondern auch ſehr leicht, mit den bekannten 9 Ziffern nebſt der Null alle Zahlen, wie groß ſie auch ſeyn moͤgen, niederzuſchrei⸗ ben, um ſich dadurch von jeder Menge der Dinge einen deutlichen Begriff zu machen. §. 19. Es giebt aber viele Arten von Unitaͤten. Z. E. KEiner, Zehner, Hunderte, Tauſende, Zehentau⸗ ſende, Hunderttauſende, Tauſendmaltauſende, u. ſ. w., wovon an ſeinem Orte mehr. Zuſatz: Alle Arten von Unitaͤten, ſo viel deren auch ſeyn moͤgen, haben ihren Urſprung in erwaͤhnter Fingerzaͤhlung. (H. 12. Anm. I.) Denn wie man da mit der erſten Art Unitaͤten nicht uͤber die Zahl Zehen hinaus gegangen, eben ſo gehet man auch mit den JZehnern, Hunderten, Tauſenden ꝛc. nicht uͤber die Zahl Zehen, ſondern macht alle⸗ zeit aus zehen Unitaͤten eine Unitaͤt der folgenden Art, wie in der Folge gelehret werden ſoll. Anm. Wir wollen kuͤnftig die erſten Unitaͤten von 1 bis 9, zum Unterſchied der uͤbrigen Arten, beſonders aber der Zahlenſtellen wegen, Einer nennen, aber auch alsdann noch, wenn wir beſtimmen, wie viel eine groſſe Unitaͤt ſolcher Einer enthaͤlt. §. 20. Wenn man die Zehner, als Unitaͤten der zwoten Art, zuſammen zaͤhlet, ſo ſagt man nicht, wie Anfangs wohl geſchehen ſeyn mag, 1 Zehner, 2 Zehner, 3 Zehner, 4 Zehner ꝛc. ſondern man ſetzet blos dem Na⸗ men der Ziffer, welche die Anzahl Zehener bezeichnen ſoll, die Sylbe zig bey, als: zwanzig, dreyßig, vierzig, funfzig, ſechzig, ſiebenzig, achtzig, neunzig. §. 21. Zaͤhlet man zehen Zehener zuſammen, ſo ent⸗ ſtehet die dritte Art Unitaͤten, welche, weil jede derſelben Die 12 Die theoretiſche Rechenkunſt. Dieſe Unitaͤten werden gezaͤhlet: Einhundert, oder auch nur Hundert, zweyhundert, dreyhunderr, u. ſ. f. bis neunhundert. §. 22. Zehen Hunderte zuſammen gezaͤhlet, giebt die 4te Art Unitaͤten, welche, weil jede derſelben tauſend Einer enthaͤlt, Tauſende genennet werden. Dieſe groſſen Unitaͤten werden auf eben die Art, wie mit den Einern geſchehen, bis zu neun Hundert, neun und neunzig Tauſend fortgezaͤhlt. §. 23. Aus tauſend ſolcher Unitaͤten, deren jede aus tauſend Einern beſteht, wird abermal eine große Uni⸗ taͤt, welche in Ruͤckſicht der enthaltenden Anzahl Einer: Tauſendmaltauſend; als Unitaͤt betrachtet aber: eine Milhon genennet wird. Zuſatz: Wer alſo tauſend mal tauſend Thaler beſitzet, von dem ſagt man: daß er eine Million habe. §. 24. Tauſend mal tauſend Millionen geben wieder eine große Unitaͤt, welche eine Billion genennet wird. §. 25. Tauſend mal tauſend Billionen geben eine Uni⸗ taͤt welche Trillion genennet wird. §. 26. Tauſend mal tauſend Trillionen geben eine Unitaͤt welche Nuadrillion genennet wird, u. ſ. w. Anm. Alle dieſe großen Unitaͤten (§. 2. 24. 25. 26.) hat man blos kerfunden, um dem Verſtande zu Huͤlfe zu kommen, damit man ſich von ſehr großen Mengen der Dinge ſo deutliche Begriffe, als moͤglich, machen koͤnne. §. 27. Um nun alle dieſe Arten von Unitaͤten mit den wenigen Ziffern (§. 13.) ausdruͤcken zu koͤnnen, braucht man nichts mehr, als jeder Art derſelben eine gewiſſe Stelle zu geben, alſo: daß die erſte Stelle faͤr die Einer, und das mit allem Rechte, weil aus dieſen alle folgende Arten entſtehen, (§. 14.) die zwote fuͤr die Zehener, die dritte fuͤr die Hunderte, die vierte fuͤr die Tauſende u. ſ. f. beſtimmt werde. Man faͤngt mit dieſen Stellen rechter Hand an, und faͤhret damit, ſo wie die Unitaͤten ihrer Groͤße nach auf einander folgen, nach der Linken zu, immer weiter fort. Anm. l ſeh heit der ebt te . ſſ die alle die tte in, ße gner Die theoretiſche Rechenkunſt. 13 Anm. Ohne Zweifel D dieſe natuͤrliche Stellenordnung durch die Schreisart entſtanden, nach welcher man die Unitaͤten durch Ziffern, die Benennung derſelben aber mit Worten ausgebruͤckt hat. Z. E. Wenn man ztau⸗ ſend, 6 hundert, 7 Zehner 9 Einer ſchreibt, und laͤßt hernach alle Namen der undäͤten weg, ſo werden dieſe Ziffern nach der beſchriebenen Ordn ung alſo erſcheinen? 3 67 9. Da dann die erſte Stelle 9 Einer, die 2te 7 Zehner, diez te 6 Hunderte, und die 4te 3 Tauſende enthaͤlt. F. 28. In jeder Zahlſtelle kann die hoͤch ſte An⸗ zahl von Unitaͤten, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, nur 9 ſeyn. Denn, ſo bald noch eine Unitaͤt zu der 9 hinzu⸗ koͤmmt, ſo wird ſchon eine Unitaͤt der folgenden groͤßern Art daraus, und muß deswegen auch in die folgen de Stelle geſetzt, der Mangel der fehlenden Einer oder Zehner oder Hunderte ꝛc. aber edesmal mit einer Null bemerket werden. (§F. 17.) z. E Wenn zu 9 Einern noch 1 Einer hinzukommt, ſo wird daraus 13Zehener fuͤr die zwote Stelle. Damit aber dieſe 1 in die 2 te Stelle komme, als wo ſie allein einen Zehener vorſtellen kann, ſo muß der Mangel der Einer mit einer Null bemerkt werden, alſo: 2 ⸗ 10 Zwanzig, d. i. 2 Zehener 0 Einer ſteht alſo 20 Dreyßig, d. i. 3 Zehener o Einer⸗ 2 30 Vierzig, d. i. Zehener o Einer⸗ 2 40 Funfzig, d. i. 5 Zehener o Eine ⸗ ⸗ o0 20 q §. 29. Wenn Zehener und Einer neben einander ſtehen, ſo werden, der einmal angenommenen Gewohn⸗ heit wegen, die Einer zuerſt und darnach die Zehener ausgeſprochen. 3. E. . 1 Zehner 8 Einer ſtehet in Ziffern alſo ⸗ 18 und wird geleſen: achtzehn. 3 Zehner und 4 Einer, oder dreyßig und vier: 34 und wird geleſen: vier und dreyßig. Funfzig und ſechs : 56 wird geleſen: ſecht und funfzig 162 4 14 Die theoretiſche Rechenkunſt. §. 30. Große Zahlen werden ſo geleſen, daß man allemal die groͤßten Unitaͤten zu erſt, die uͤbrigen aber nach ihrer naruͤrlichen Folge ausſpreche, die Zehener und Einer ausgenommen. (§H. 29.) Z. E. 3679 wird geleſen: Drey tauſend, ſechs hundert, neun und ſiebenzig, u. ſ. w. §S.31. Kommen unter den Zahlen Nullen vor, ſo werden dieſelben, als bloße Zeichen von Nichts (§. 17.) im Leſen uͤbergangen. Z. FE. 3050 heißt: drey tauſend und funfzig. Weil hier die beyden Nullen den Mangel der Hun⸗— derte und Einer anzeigen, ſo koͤnnen auch dieſe beyden Arten Unitaͤten im Leſen nicht genennet wer⸗ den. 3005 heißt: drey tauſend und fuͤnf. Hier zei⸗ gen die beyden Nullen den Mangel der Hunderte und Zehener an, weshalben dieſe Unitaͤten im Le⸗ ſen auch nicht gedacht werden kann. §. 32. Ein einziger Einer kann vervurſachen, daß alle folgenden Ziffern um eine Stelle hoͤher ruͤcken. wird zu neunhundert neun und neunzig 999 nur noch ein Einer hinzugethan I. ſo wird aus ſolchen zehen Einern: 1 Zehner, 10 dieſen zu den obigen 9 Zehenern, werden 100; dieſes 1 Hund. zu obigen 9 Hunderten, werden 1000; d. i. 10 Hundert oder 1 Tauſend fuͤr die 4te Stelle. Der Mangel der Hunderte, Zehener und Einer, iſt mit 3 Nullen bemerkt, und dadurch iſt eben die 1 in die 4te Zahlſtelle erhoben worden, als wo ſie allein Tauſend gelten kann. §. 33. Da uns die Ziffern der erſten Stelle, die Ei⸗ ner, ihren Namen nach ſchon bekannt ſind, (§H. 12.) ſo koͤnnen wir ſogleich mit Zahlen von zwo Stellen, (Zehe⸗ ner und Einer), den Anfang machen, um dieſelben zu⸗ eeſt ausſprechen zu lernen. = Bey man aber und ndert, Die theoretiſche Rechenkunſt. 15 Bey den erſten beyden auf zehen folgenden H Zahlen wird der Ausdruck zehen gar nicht gehoͤret. Deen—« 2 1 Zehener und 1 Einer heißt: eilf ⸗ 1 1 Zehener und 2 Einer heißt: zwoͤlff ⸗ 1 Die folgenden aber werden geleſen nach §. 29. als: 1 Zehner und 3 Einer: dreyzehen 3 1 Zehener und 4 Einer: vierzehen ⸗ 1 4 u. ſ. f. 1I 5. I 6. 17. I1 8. und ⸗ 19 Kommt hierzu noch 1 Einer, ſo werden es 2 Zehener, welche nach §. 20. geleſen werden: zwanzig 14 2 0 Alle uͤbrigen Zehner, wobey ſich Einer beſin den, werden geleſen nach §. 29. alſo: ein und zwanzig 3 ⸗ 2 I zwey und zwanzig 2 2 drey und zwanzig 2 3 u. ſ. f. 2 4. 2 5. 2 6. 2 7. 2 8. und 2 9 Kommt hierzu noch 1 Einer, ſo werden es 3 Zehener, d. i. dreyßig 1 ;3 0 Wuͤrde dieſe Zahl 30 alſo umgekehrt: ⸗ 5 3 ſo wuͤrde ſie nur 3 heiſſen. (H. 16. b.) 3 Zehener und 1 Einer heißt: ein und dreyßig 3 I 3 Zehener und2 Einer heißt: zwey und dreyßig 3 2 ſ. f. 33. 3 4. 35. 36. 37. 3 8. 3 9. Folgende zur Uebung: 44. 49. 54. 59. 64. 69. 74. 79. 84. 40. 45. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 41. 46. 51. 56. 61. 66. 71. 76. 81. 86. 42. 47. 52. 53. 57. 62. 67. 72. 77. 82. 87. 43. 48. 58. 63. 68. 73. 78. 83. 88. 94. 89. 95. 90. 96. 91. 97. 92. 98. 932⸗ §. 34. 16 Die theoretiſche Rechenkunſt. §8S.34. Nachdem wir die Zahlen von zwo. Stellen kennen gelernet, ſo wollen wir zu den Zahlen von 3 Zahlſtellen uͤbergehen, wobey nichts weiter zu merken, als daß die Zahlen der zZten Stelle, die Hunderte zuer ſt, darnach aber die Zehener und Einer, nach §. 29, geleſen werden. MMc . Kohmmt zu neun und neunzig ⸗ nuur noch I1 Einer ſo wird aus 9 Einern und Einer 1Zehener. Dieſen Zehner zu obigen 9Zehnern, ſo wer⸗ den es 10 Zehener, daß iſt 1 Hundert fuͤr die Zte Zahlſtelle. Durch die beygefuͤgten 2 Nullen iſt die vor⸗ ſtehende in die 3te Stelle erhoben worden, als wo ſie allein hundert gelten kann. Die Zahl Hundert aus Verſehen alſo ge⸗ ſchrieben: ⸗ ⸗ —‚1= wuͤrde nur Eins heiſſen. (§. 16. b.) 1 Hundert o Zehener und 1 Einer heißt: Hundert und eins (§. 177) Hundert und zwey Hyundert und drey ferner 104. 105. 106. 107. 108: “ Hundert und zehen Hundert und eilf Hüuͤndert und zwoͤlf Hüundert und dreyzehn ſ. f. I14. 1II5„ 116. IIYZ-. 118. II9. Hundert ein und zwanzig Hundert zwey und zwanzig Hundert drey und zwanzig §. 35. Weil, wie in der Folge gezeiget werden ſoll, um große Zahlen zu leſen, dieſelben zuvor in Claſſen vonz Ziffern abgetheilt werden muͤſſen, indem nur aougo E ouD'I E △ . . ● bo.. rHr. oun „ „ „„ „„„ „ △— ACe...... – DeLr— S OND=LO O 0°%0 NEOONO& MWπ0 1 im⸗· im net ſer inn gen 1— ☛ goudgese u as u12 D T „ fern beſtehenden 1 Die e eheoretiſche Rechenkunſt. 17 immer 3 Ziffern auf einmal ausgeſprochen werden koͤn⸗ nen; ſo iſt es ſc noͤthig, bey Leſung ſolcher aus 3 Zif⸗ ahlen ſo lange aufzuhalten, bis man dar⸗ innen eine vollkommene Fertigkeit erhalten, des wegen for⸗ gende Zur Uebung. 161 166137 142]147 152157 162 167 128 133 127 143 148 153 158 163 168 134 139 144 149 154 159 169 130 135 140 1451150 160 165170 1711176 181 191 196 172 177 182 187 197 173 178 188 193 174 179 184 183 189 194 175 185 190 195 F Setzt man zu hundert neun und neunzig 199 noch einen Einer hinzu, ſo werdens juſt Zwey hunder 200 Zwey hundert eins 201 Zwey hundert zwey 202 Zwey hundert zehen 210 206 207 209 231 [246 261 2971 296 217 232 247 262 292 218 233 248 263 278 249 234 279 264 215 224 225 222 226 240 237 2502511295 281 287 285 289 354 300 339 343 312 365 367 318 381 369 372 375 373 337 308 389 398 309 379 419 491 418 481 413 451 416 461 499422 444 403 430 447 474 408 480 512 52115131531 516561 571 523 532 524 542 565 558 585 566 577 544 511 601 610 602 620 650 605 606 670 6072% 690 609 621 654 645 666 668 686 677 698 689 696 669 619 691 718 781719 791 744 755 775 757 785 [758 700 709 782 738 783 733 745 754 868 813 83 1 842 824 852 880 [386 890 869 896 899 912 933 943 934 954 965 968 909 990 99393919981 B §. 36. 1 18 Die theoretiſche Rechenkunſt. §. 36. Da 999 die hoͤch ſte Zahl iſt, welche in 3 Zahlſtellen gebracht werden kann, ſo verurſachet ein ein⸗ ziger Einer die vierte Zahlſtelle, in welcher die Tau⸗ ſende zu ſtehen kommen. (§. 32.) ½ Dieſe großen Unitaͤten der 4ten Zahlſtelle, † ern die Tauſende, werden zuerſt, darnnach ρ D auch die 3 folgenden Ziffern ausgeſpro: S. 3. 3 2 chen. (§H. 30.) L E 3 7 Ko Tauſend „ „„1 1 I OOO Tauſend und eins (H. 31) 1I0O0O$r1 ſi Tauſend und zehen 101I0O die Tauſend ſechs und zwanzig · 1 02 6 de Zweytauſend dreyhundert ⸗ 2 3 0 0 die 2tauſend 4hundert und ach ½ 2 4 0 8 3 tauſend 4 hundert und achtzig ˖ 3 4 8 0 deh 2 auſend 5Hhundert ſechs und dreyßig 3 5 3 6. 10 Zuur Uebung 10 im Schreiben und Leſen kann man ſich folgende Zahlen Ei auf eine Tafel ſchreiben: Nn 3333 3450[3645 3709 3007 1 3896 3999 4000 4001 1004 34 0460% °$0οSεο tNοποω? 7 40°9 4046 R— 410O 4946 4IIII4LZIIMTZIA 5874 §5I2I 5888 56785890 68886333699970407800 8008 8888 8765 8432 8440 9 50°5 9 5 5 5 97601989 819899 §. 37. Weil die großen Unitaͤten, die Tauſende, eben ſo wie die Einer, von eins bis tauſend fortge⸗ zaͤhlet werden, (§. 22.) und bey jeder zehnten Unitaͤt einer Art, eine neue Zahlſtelle erfordert wird: ſo muͤſſen in die 5Ste Stelle die Zehner der Tauſende. d. i. die Zehntauſende kommen ꝛc. Es werden daher die Zahlen der 4ten und 5ten Stel⸗ le als Einer und Zehener der Tauſende eben ſo ge⸗ leſen, wie die Einer und Zehener der erſten und 2ten Stelle. (§. 29.) Und, nachdem die Tau⸗ Die theoretiſche Rechenkunt. 19 „ TLTaauſende der aten und F˖5ien Stelle in⸗ . zuerſt ausgeſprochen worden, ſo ☚†☚ π un werden auch die 3 uͤbrigen Ziffeen 20) 2% geleſen, ſo wie §. 34. gelehret wor: 3 S. S den. 3. 2 = 2 &£½ 6 . 23,456 wird geleſen: 23 tauſend, SZ.* — 5 vier hundert ſechs und funfzig ꝛc. 2 Kommt zu 9tauſ. 9 hund. neun u. neunzig : 9 9 9 9 nur noch ein Einer ⸗ ⸗ . . . . . 0 ſo werden aus 9 und Einer ein Zehner : : : 1 0; 4 dieſen 1 Zehener zu 9 Zehener wird ⸗ : 1 0; dieſes 1 hundert zu 9 hunhert wird 3 „T O O O dieſes I Tauſend zu Tauſend wird fuͤr . deie FIte Stelle zehen tauſend ⸗ IOO¼ & O. 3 Zehen tauſend und eins ⸗ . 1IOO/ o T 0 10 tauſend und zwanzig ⸗ 3 I O O 2 O 6. 10 tauſend dreyhundert ⸗ 2 2 1 03 00 Eilftauſend vierhundert und drey 1 I 4 0 3 Zwoͤlftauſend 8 hundert ſechs und vierzig 1 2 8 4 6 13 tauſend vier und neunzig . ⸗ 1I 3 O½ 9 4 07 24 tauſend und fuͤnf . ⸗ 3 2 4 ,0O 5F 04 36 tauſend 5 hundert drey und neunzig⸗ 3 6 5 9 3 4 Zur Uebung. 90 369044506053075 80235 00 43800°70045 8000ο°3 50407 40 80°0°0ο4 84000 24090 60843 99 24896 55555 97099 84567 de, 70094 8 4954 9 OοO I 92000 89500 99090 98630 9400X. t 9508897589 90999 97777 ,ſ 85007 87035 84591 70809 48705 60900 97042 96403 . 9090998765 0976300456 teh 994090 °0Gο2½ 8787899988 as 6666677777 88888IITIII . 456895432119000ι9 99998 die Hr B 2 §. 38.‧* 7 Die theoretiſche Rechenkunſt. §. 38. So bald zu 99999 als die hoͤchſte Zahl, welche in 5 Zahlſtellen ſtehen kann, (§. 28.) nur noch ein Einer kommt, ſo entſtehet ſchon die 6te Zahlſtelle, welche 100 ſolcher Unitaͤten, à 1000 Einer, enthaͤlt. Aus dieſem und dem Vorhergehenden wird man deutlich ſehen, daß es mit dem, was §. 19. geſagt worden, ſeine voͤllige Richtigkeit habe: Denn ſo oft ſich in allen vorhandenen Zahlſtellen die hoͤch ſte Ziffer 9 befindet, ſo oft entſtehet durch Zufuͤgung einer einzigen Unitaͤt eine neue, und zwar ſolche Zahlſtelle, in welcher jede Unitaͤt zehen⸗ mal groͤßer iſt, als die der vorhergehenden Stelle. Zahlen von 6 Ziffern werden ſo gele⸗ ſen, daß man die erſten 3 Ziffern der 6ten, Sten, und 4ten Stelle, als welche lauter Tauſende vorſtellen, †₰° * zuerſt, mit dem Beyſatze tauſend, ) 69 σ darnach auch die uͤbrigen 3 Ziffern, = 2= S. Z. = & wie bekannt, ausſpreche, z. E. 343,25 1 2 3 33 wird ausgeſprochen: drey hundert 2 2 *W drey und vierzig tauſen d, zwey hun: = & — — 7 dert ein und funfzig. rr . . 30 Uenasgund 2 Zu 99 tauſend 9 hundert neun u. neunzig 9 9 9 9 noch 1 Einer ⸗ . . k ſo wird aus 9 und 1 Einer . . I O; aus 1 und 9 Zehenern wird F „ I 0o aus I und 9 Hunderten wird I. 0°O O; aus 1 und 9 Tauſenden wird 0°00 0; aus 10 Tauſend und 90 Tauſend wird hundert tauſend ⸗ . ⸗ Oο ος⏑ς o. und alſo eine Unitaͤt fuͤr die 6te Zahlſtelle. Zuſatz: Wer hundert tauſend Thaler hat, von dem wird geſagt, daß er eine Tonne Goldes beſize. §S. 39. Weil aber eine Zahl von 6 Ziffern einem An⸗ faͤnger ſchon beſchwerlich zu leſen wird, wie es denn wohl Rechner giebt, welche, da ſie in der theoretiſchen Rechen⸗ unſt kun gen uil h ſen ve , dein ſeg n⸗ ſche⸗ ner 100 man ſagt oft Gſe gung zwar jent den ANonrnleoeς aen 5⁵ dem 2 An wohl chenn kunſt Die theoretiſche Rechenkunſt. 21 kunſt verwahrloſet worden, mit Leſung ſolcher, geſchwei⸗ ge noch weit groͤſſern Zahlen nicht fortkommen koͤnnen; ſo will ich erſt, ehe wir weiter leſen, ein Paar untruͤgliche Huͤlfsmittel anzeigen, wodurch alle moͤgliche Zahlen, ſie moͤgen ſo groß ſeyn als ſie wollen, richtig und leicht gele⸗ ſen werden koͤnnen. Das erſte Huͤlfsmittel. §. 40. Man bediene ſich der 4 ſchon bekannten Be⸗ nennungen der erſten 4 Zahlſtellen: Eins, zehen, hun⸗ dert, tauſend. Fange bey der Ziffer der erſten Stelle an, und ſage: Eins; bey der zwoten: zehen; bey der dritten hundert; und bey der vierten tauſen d. Bemer⸗ ke auch die Ziffer, wo hundert geſagt, unten, und die wo tauſend geſagt werden, oben mit einem Punet (.). alſo: 6 3 4 5 Weil nun die 4te Stelle Unitaͤten von Tauſ ende drhai, welche eben ſo fort gezaͤhlt werden muͤſſen, wie die LEiner, (§H. 22.) ſo faͤngt man auch bey der gten Zahlſtelle wieder an, und ſagt wie vorher: Eins; bey der Sten zehen; bey der 6ten hundert; und bey der 7ten tauſend. Bemerkt auch, wie vorher, die Hunderte unten und die Tauſende oben mit einen Punct. alſo: 8 4 5 6 3 4 5 Und ſo bis zu Ende der zu leſenden Zahlreihe. * alſo: 9 1 2 5 4 56 3 4 5 D 3 — Nach 22 Die theoretiſche Rechenkunſt. Nachdem die Zahlen alſo punctirt worden, ſo hat man, um ſie leſen zu koͤnnen, weiter nichts zu bemerken, als: daß man 1) allemal bey der Ziffer, woruͤber der letzte Punct gemacht worden, daferne ſich keine Zi iffer mehr vor derſel⸗ ben befindet, anfaͤngt, ſie mit der Benennung tauſend ausſpricht, auch dieſes Wort tauſend ſo oft wiederholt, als noch Puncte von Tauſenden uͤber den Ziffern vor⸗ handen, auſſer den letzten Punct, welcher zuerſt ge⸗ macht worden: Denn da ſagt man, wie auch bey folgen⸗ den Wiegetholungen, die letzte ausgenommen, maltau⸗ ſend; z. E. 9 00 0 0 0 0 00°0 heißt: Neun tauſend,. tauſend mal tauſend. 2) Daß man ſodann bey der naͤchſtfolgenden Ziffer, welche als Hunderte, der Tauſend mal tauſende, unten mit einem Punct bemerkt, und noch nicht geleſen worden, fortfaͤhrt, und die zwo folgenden Ziffern dazu nimmt: weil jedesmal, wie ſchon gelehrt worden, 3 Ziffern zu⸗ ſammen genommen werden muͤßen. (§. 35.) Verwirrung zu vermeiden, wollen wir die Stellen ſchon geleſener Ziffern blos mit Nullen bezeichnen; z. E. 1 61 2 ⅝°ο⏑$ο⏑ο½⅓.g hundert acht und zwanzig tauſend, mal tauſend. 3) Daß man in der Folge, wie eben geſchehen, eben⸗ falls 3 Ziffern, als Unitaͤten von Tauſenden, auf ein⸗ mal ausſpreche, doch mit dem Unterſchiede, daß der letzte noch vorhandene Punct nicht mehr, wie vorher geſe chehen, mal tauſend, ſondern ſchlechthin nur tauſend genennet werde; z. E. °ο⏑°ο4 5 6⏑6ο⏑.⁵ο½.. vier hundert ſechs und funfzig tauſend. 4) 2 alſo eint hat aken, Punct derſeh⸗ ſend cholt, n do tſt ge⸗ folgenn ltan nd. cben⸗ lf ein⸗ r letzte nennet Zwey hundert zwey u. zwanzig tauſend, Die theoretiſche Rechenkunſt. 23 4) Endlich werden auch die letzten 3 Ziffern geleſen alſo: ⁶ο οοιS—ſ6ςμ3 4 5. H Drey hundert fuͤnf und vierzig. Wier wollen die eben ſtt uͤckweiſe geleſene Zahl nun noch einmal punctixen und. ſodan n im Zuſammenhange leſen: 9 1 2 8 4 5 6 3 4 5. Neun tauſend, tauſend mal tauſend G hundert acht und zwanzig tauſend mal tauſend; vier hundert ſechs und funfzig tauſend; drey hundert fuͤnf und vierzig. §. 41. Nun wieder zu den Zahlen von ſechs Ziffern zuruͤck, um erſt bey Leſung derſelben eine gehoͤrige Fertig⸗ beit zu erlangen, ehe wir zu groͤßern Zahlen ſchreiten. Erſt wird ſed desmal die Zahl angewieſener maſſen punctirt und geleſen alſo: Hundert und zwanzig tauſend. . 1 2 6 0 0 0. Hundert tauſend und eins. ⸗„ 10°500⁸ I. Hundert tauſend und zehen. . I100OO I O. Zwey hundert fuͤnf tauſend. . 2055 0°⏑¾0⏑°.⁹². Zwey hundert tauſend, drey hundert „2 0 6 3 ,0 . Zwey huͤndert und dreyßig tauſend. „ 2 3 O ο⏑⁄6S—⏑,Ü00%⁶. Drey hundert vier und zwanzig tauſend, S ſechs und funfzig 3 2 4 0 5 6, Drepy hundert fuͤnf und vierzig tauſend, . ſechs hundert und ſieben 3 4 5 607. zwey hundert zwey und zwanzig. 2 2 2 2 2 2. Das ſind 2 Tonnen Goldes „22 Tauſend, 2 Hundert und zwey und zwanzig. Anm. Eine Tonne Goldes iſt 100000 Thaler, und 10 Ton nen Goldes machen eine Million. B 4 Zur 24 Diie theoretiſche Rechenkunſt. 310302 4530990 500742 650054 749001 976543 Oοωοωμdοιο0ο9⁹ Zur Uebung. 300200 45600/0 5007309 620046 703021 8 23009 027684 340021 407000 54000/0 20995⏑ 3 20090 0000ο D ι 9⁹ 743072 * 302001 54000°⏑ 7094302 688840 500O0οω0ο0ο α 5 3 2 1 9763˙12 §. 42. Haben Zahlen von 6 Stellen ſaͤmmtlich ihre hoͤchſten Ziffern erreicht, ſo darf nur zu 99 9999 noch ein einziger Einer hinzukommen, ſo wird ſogleich die 7te Zahlſtelle erfordert, die Millionen d. i. Tauſend mal tauſende enthaͤlt, (§. 23) welche Millionen wieder bis tauſend mal tauſend fortgezaͤhlet werden. (§. 24.) Anm. Wegen den unter den Zahlen vorſommenden Nullen wird es hoffentlich keine Schwierigkeiten im Zahlenleſen geben, daferne nur allezeit beobachtet wird, was §. 31. geſagt worden. Tauſend mal tauſend, oder 10 Tounen Goldes, oder eine Million⸗ I O Zwey tauſend mal tauſend, fuͤnf tauſend oder 2 Millionen und 5 Tauſend. 2 0 0 °ο O. Drey tauſend mal tauſend, vierzig tau⸗ ſend ſieben hundert, oder 3 Millio⸗ 3 0o 4 ο 7 o. nen und 40 Tauſend 7 Hundert. . Vier tauſend mal tauſend, 5 hundert . 46 tauſend und 8; oder 4 Millio⸗ 4 54 6 0°0⏑=8S3. ₰ * nen, §5 Tonnen Goldes, und 46 8 Tauſend und 8. S tauſend mal tauſend, 40 tauſend 3 hundert und 2 40 Tauſend 3 Hundert und 2. Zur Uebung. 200300⅓οαℛ113 0οσ440⁵ο 400Oο ď 43500OOωuhο ο9 708007918763040 0OOρι30°0ο0 2 3400/20 az ⁵²72 80900ο 3 345008⁸82²¾ 6230000ο17 °99802 8 234500 οιπ⏑⁄.m : 876543 8754321 O.. £ ₰½ z oder 5Millionen 5 °4 °3 °2. *₰ 00ο3 4500 9999299 § 43 O ς . gte dehe ZWwa De at de⸗ nen e N Die theoretiſche Rechenkunſt. 25 §. 43. Zu 9999999 noch einen Einer, giebt die 001 Zte Zahlſtelle, als. Zehner von Millionen. 00 % Zehen tauſend mal tauſend, oder . 302 L 10 Millionen. 5 IOOOOO 0%. 840 Zwanzig tauſend mal tauſend, nen 2 000 hundert tauſend und 96; oder 2 Oö ö °σ οος 9% 6. 321 20 Millionen, 9 Tonnen Gol⸗ „* . 312 des und 96. ) ihre Dreyßig tauſend mal tauſend, vier: . noch zig tauſend und 70. ‚;ÿp—:3 0°040077 o. Nleich Sechs und vierzig tauſend mal tau— uſend 1. ſend, 503 tauſend und 45, oder 4 6 5 0° 3 0° 4 5. dieder 46 Mill. 5 Tonnen Gold. ꝛc. 4 . 2 54 tauſend mal tauſend, 367 tauſend erde 823; ober 54 Mill. 3 Tonnen 5 4 3 6 7 8 2 3.⸗ en imn Gold. und 67 tauſend 823. 6 lchtet H W M . Zur Uebung. 00. 10050206 [200001718730405083 I1000Oν6ςH r⸗- D800οAοm0οDOoο 7000000 00. 34007329[48700076 5786000ο77 4 509 6073190059870858976352 0. OOο640300O IIIIIIII OOOSOOOSZ 3040057314064507699999998 8. §. 44. Zu 99999999 noch ein Einer, ſo kommt die 9te Zahilſtelle, deren Unitaͤten Hunderte von Millio⸗ nen enthalten; z. E. Hundert tauſend mal tauſend, oder 0 2 100 Millionen. „ 20 tauſend mal tauſend, 345 „ ☚ △ . ⬤ O .„W ſ◻ .₰„ tauſend; oder 200 Mill. 2 0 6 3 4 5 00 0. 00 3 Tonnen Gold. u. 45 tauſ. 9 987 tauſend mal tauſ. 654 tauſ. . . 400 † 321; oder 987 Mill. 6 Ton⸗ 9 8 7 6 5 4 2 2% 1. 00 nen Goldes, 54 tauſend 321. „» 26 Die theoretiſche Rechenkunſt. — Zur Uebung. 6 1000αSοιοοωͤo 1n1⁊ ,᷑.ẽ. ebvnsö400οO7 00°800Oποοω0ον Milt 2000α0OαOωOοω9 30405060O71⁊ 4OOο dt1Inr0ο0ο gleih 503029507 400ι07000S5670007 4 welch “ 20997 6 640 00%2320200O1 οιοω0οοωοω 0ο7 οſ aͤber à 225 5 2 S 765432109 555555555 ier 2 2 2 2 2 222 I234 567892 1I,3 O020721 86 t Das 2te Huͤlfsmittel die Zahlen leicht und Ae bequem zu leſen. Ae, F§. 45. Weil, laut §. 35., bey Leſung großer Zahlen di, nur immer 3 Ziffern auf einmal ausgeſprochen werden unot Kkoͤnnen, ſo erf man nur die zu leſenden Zahlen, von der in Rechten zur Linken, in lauter Claſſen von 3 Ziffern durch Strichlein C, Nabtheilen, und ſodann, von Anfange bis zu Ende,; eine Claſſe nach der andern ausſprechen, doch ſo, hit daß allemal d die vor dem Striche ſtehende Zahl tauſend, die vor den zuerſt gemachten Striche aber maltauſend 25I genennet werde, eben ſo, wie vorher mit den Puncten ge⸗ ſchehen; z. E. L Tauſend, taufend, mal tauſend. . 1,000,000,000. 2tauſend, tauſend, mal tauſend, 9 hundert tauſend, mal tauſend, fuͤnf hundert, tauſend, 300. tauſend, tauſend, mal tauſend, 434 tau⸗ 3 ſend, mal tauſend, 567 tauſend, 891. 3, 434,567 891. 231 Zur Uebung. -ðð 1, 2,0 4, 00, 00970° 2,003,700, 503 20O03 0O0οOOπ.ς 30°40°6020IO 4 5 10 67300°89 5 678007321 670008910π0οω0ο1 οπ ,„ ο Dο0οοωουds/ο 4 9 5 3 O0οου9 7%1 3 8888888882 „ 0°ο0°5 6300°0ο 7 865 432140 4 9 876 54 5 67819999 999999 Anm. Weil dieſe Abtheilung der Zahlen, durch Striche, in Claſſen, weit bequemer iſt, als die erſte g. 40. zumalen wenn große Zahlen, wie Billion en, T riflionen, und OQuadrillionen (§. 24. 25. 26.) zu leſen vorkommen, ſo wollen wir auch dieſebe knftig beybehalten. 6.46. 24 4 „ 4 2,900,500,800. 6007 0200 0794 9700 5555 9721 nd Zahlen verden on der durch vch ſo, ſend, ſend ten gen ,00, r ſche, . 40. ſten⸗ nmmen, 46. Die theoretiſche Rechenkunſt. 27 5§. 46. Damit aber auch die großen Unitaͤten, die Millionen, Billionen ꝛe. beym erſten Anblicke ſo⸗ gleich in die Augen fallen, ſo wollen wir uͤber die Zahl, welche nach zween Strichen folget, ein Strichlein C), uͤber die, welche nach 4 Strichen kommt, 2 Strichlein C), uber die nach 6 Strichen, drey „), und uͤber die nach 8 Strichen, vier Strichlein () machen: da dann die Ziffer, uͤber welche ein Strichlein ſtehet, Millionen; die, uͤber welche zwey Strichlein ſtehen, Billionen; die, uͤber welche drey Strichlein ſtehen, Trillionen; und die, uͤber welche vier Strichlein ſtehen, Quadrillio⸗ nen bezeichnen; z. E. 111 // 345,315,30142 251,325,12 5.2 236,304,02 1. heißt: 345 Qusdrillionen, 315 tauſend 301 Trillionen, 251 tauſend 325 Billionen, 125 tauſend 236 Millionen, 304 tauſend ein und zwanzig. 1 2, o 4 5, 6 0 8, 9 0 2. zwoͤf tauſend fuͤnf und vierzig Millionen, 608 tauſend 902. 2 3, I 4 5, 6 7 3, 5 2 5. 23 tauſend 145 Millionen, 673 tauſend 525. Man ſchreibe auf die Tafel, theile in Claſſen, und leſe zur Uebung: 1 0,0 066 00ο⏑οπ ¾⁄ο⏑0ο1% 5, 000 0°ÜSο⏑οεν¾Ü°0ο 2350400Oι4οι ο :%δ 34564802842 35400035890 56732040503 73456000ο496 9098909932504 987325673211l23509732145 2 4 3, 2 5 4, 5 6 0, 7 8 6. 243 tauſend 254 Millionen, zGotanſend 786. 401, — 28 Die beoteuſche Rechenkunſt. 4 01,5 O 3,4 0 0,5 σ0° 212,2 2 13 05,80 7 570430204312 807403073083 873230560986 12 345 665432 5 I 5 I 55IL 5 I 51 5 I 909999999˙09999 §. 47. Zu der letzten Zahl nur noch einen Einer, ſo entſtehet die 13te Zahlſtelle, welche tauſend mal tauſend Millionen oder eine Billion giebt; (§. 24) z. E. / 5 ⸗ I, O O ο, ος △ Oο, Oς οςO,Oπω0ο0. 2,4 5 3,2 4 1,7 2 4,8 5 3. 2 Billionen, 453 tauſend 241 Millionen, 724 tauſend 853. Zur Uebung. 130040OOZ300400O 8456783250764 23456780432124 1I0000Oυ οωοωοωοω a,ο, ο . 5640040OOοιοε 421 43005 6008700ο5 400 12345678987654322 5 6,7 8 7,6 4 5,3 2 1,4 7 0,4 6 I. 56 tauſend 787 Billionen, 645 tauſend 321 Millionen, 470 tauſend 461. 700340056768704325 9 8764329873210423 2 34 5 67897654321041 999999999999999999 8S. 48. Wenn zu der letzten Zahl noch ein Einer hin⸗ zugethan wird, ſo entſtehet abermal eine Art großer Uni⸗ taͤten, welche tauſend mal tauſend Billionen, d. i. eine Trillion enthaͤlt; (§. 25.) z. E. / 1/ 1,0 0 ,0% 0%, 0%,0 0,0 0%, 0%⏑ 0.. 5// 5,4 3 2,4 5 6,3 2 1,4 5 9, 8 1 7,6 4 3. 5 Trillionen, 432 tauſend 456 Billionen, 321 tauſend 459 Millionen, Br tauſend 643. Zur ntſteht lion ne 1117 1 6 z4 Auas — — — er, ſo uſend 185* ionen, thin. Uni⸗ . eine 0. 3. gnſend 1r Die theoretiſche Rechenkunſt. 29 Zur Uebung. 60055 OοO4OOOO30OOIOOA 56432087404321076329 5 47 4 3 215032143 2563217 = 666400071600074000N76000 14 2,0 4 5,6 7 0,9 1,2 3 4,5 6 7,0 9 2,12 3. 142 tauſend 45 Trillionen, 670 tauſend 901 Billionen, 234 tauſend 567 Millionen, 92 tauſend 123. 140321563214321987634256 999999999999999999999999/ §S. 49. Kommt zur letzten Zahl noch ein Einer, ſo entſteht abermal eine große Unitaͤt, welche man Quadril⸗ lion nennet; (§. 26.) z. E. 1,0 0, 00,0 O,&ο 6,0 0,0ο 6,0 0,0ο0 o. Zu welcher Groͤße koͤnnen die Nullen einen einzigen Einer erheben! (§. 16. c.) bI r = 5B6 4 3,2 1 4,5 O 4,2 0 4,3 2 0,4 O 5,6 3 2,4 5 0. — 5 Quadrillionen, 643 tauſend 214 Trillionen, 504 tauſend 204 Billionen, 320 tauſend 405 Millionen, 632 tau⸗ ſend 45 0. Zur Uebung. 8643215432043240098763254 203 4 567030234000ι I89212345 „7 6700 S 45 O402I56703214500067 1234567890876543210234567 8:. Anm. Leicht koͤnnte mir zum Vorwurf gereichen, daß ich bey meiner Numeratio, ohne ſie einmal geendigt zu haben, weitlaͤuftiger geweſen, als alle meine Vorgaͤn⸗ ger. Wohl wahr! aber braucht mancher Schuͤler nicht viel um zu uͤherzeugenden Wahrheiten zu gelan⸗ gen? — Und iſt die Uebung im Zahlenſchreiben, wel⸗ che dem Rechnen nothwendig vorher gehen muß, nicht nothwendig? — Wie gerne ſiehet der Kaufmann ſchoͤ⸗ ne Ziffern! Man ſage nicht: Solche große Summen kommen ja faſt niemalen vor, was braucht man ſie alſo leſen zu koͤnnen? So pflegen nur diejenigen é Die theoretiſche Rechenkunſt. Rechner zu ſagen, welche die theoretiſche Rechenkunſt vernachlaͤßiget haben. — Freylich nicht bey kaufmaͤn⸗ niſchen⸗wohl aber bey marhematiſchen Rechnungen. Wie auffallend iſt es nicht, wenn Rechner oͤfters nicht einmal eine in Zeitungen vorkommende Summe zu leſen im Stande ſind; geſchweige zu wiſſen, was ſie daraus machen ſollen, wenn ſie z. E. leſen: Die . Sanne ſey 3645252928246960 Cubiemeilen groß u. d. m. Wo bleiben aber bey ſo bewandten Umſtaͤnden die richtigen Begriffe, melche man doch nothwendig von den Groͤßen der Zahlen haben muß, wenn man anders damit rechnen, d. i. andere Zahlen ſinden will, die der gegebenen Frage oder Aufgabe Genuͤge leiſten koͤnnen? Es bleibt immer wahr, was Valent. Heins Lehrern und Schuͤlern ins Ohr ruft: „Wo an den Grund iſt was verſehn, „Da kann es über kurz geſchehn, B „Daß Muͤh und Koſt zu Grunde gehn. „ Laßet euch alſo meine Lieben willig finden, den theoretiſchen Theil der Rechenkunſt ganz zu lernen, um ſodann deſto gluͤcklicher in der practiſchen Rechen⸗ kunſt fortkommen zu koͤndgen! Und nun wollen wir, da es nicht zureichend, eine Zahl gehoͤrig leſen zu koͤnnen, auch lernen 4. Vorgeſagte Zahlen zu ſchreibe und zwar . a) die arabiſchen Zahlen. §. 50. Wenn die Zahlen blos nach der gewoͤhnlichen Benennung der Tauſende, ſo wie wir ſie zuerſt kennen gelernet, vorgeſaget werden; ſo bedient man ſich bey Nie⸗ derſchreibung derſelben der Puncte. (H. 40.) Man ſchreibe alle Zahlen ſo wie ſie klaſſenweiſe auf einander folgend vorgeſagt werden, von der Linken nach der Rechten, und zwar zuerſt die eine, zwo oder drey Zif⸗ fern, bey welchen zuerſt tauſend gehoͤret wird, nieder, und bezeichne zugleich diejenige Ziffer, welche die Stelle von tauſend einnimmt, oberhalb mit einem Punet. Ferner mache man auch ſo oft nach dem erſten ge⸗ nannten tauſend, uͤber welchen der Punct bereits ge⸗: macht macht halb alleme nannt ſtchen mon! nach werde ſo, Untel Ehlie letgel ſchehen Ei D 2 „½„ —— — — Z 222 —, ☛ Die theoretiſche Rechenkuntt. g4. kung macht worden, noch mehr tauſend geſagt wird, ober⸗ ſnine halb einen Punct, jedoch in ſolcher Entfernung, daß . alemal 3 Ziffern ſo ſtehen koͤnnen, damit die zte der ge⸗ Uee nannten 3 Ziffern juſt unter den folgenden Punet zu „ 1 ſtehen komme: wo mal tauſend gehoͤret wird, da macht De man den letzten Punet. Srof 1 Nachdem nun alle Puncte da ſtehen, ſo ſchreibt man nach gerade immer 3 Ziffern, welche auf einmal gehoͤret ee werden, nach ihrer natuͤrlichen Folge neben einander hin, nders ſo, daß allemal die zu jeder Claſſe gehoͤrige 3te Ziffer die der unter den folgenden Punct tauſend zu ſtehen komme. hunen? Endlich ſchreibt man auch die 3 letzten Ziffern hinter den Pren ietztgemachten Puntt mal tauſend, nieder, ſo iſt ge⸗ ſchehen, was verlanget worden. Ein Paar Exempel werden die Sache deutlicher machen. 1) Der Lehrer dictirt dem Schuͤl er folgende Zahl in die der Feder: . ernen, 3 4 5 6 2 0 I § 3 6. ichen⸗ und ſagt: 3 tauſend, tauſend, mal tauſend. Der Schuͤler ſchreibt: eint 3 . .* Der Lehrer ſagt ferner: 456 bauſend, mal tauſend. Der Dchuͤer ſchreibt das Gehoͤrte neben die vorige Zahl, ſo, daß die letzte dieſer 3 Ziffern juſt unter den Punct tauſend zu ſtehen kommt, alſo: ihen 3456 Ferner ſagt der Lehrer: 201 tauſend. (nicht mehr NN mal tauſend §. 40. 3)) B f Der Schaͤler ſchreibt das Gehoͤrte neben die vorigen Zahlen, wie vorher, a id ,3ß 3 4 5 6 2 feder, Endlich ſagt der Lcheer den Reſt: 536, und der Gtele Schuͤler ſchreibt denſelben neben vorige Zahl, ſo huntt. ſtehet die dietirte Zahl vollendet alſo: n ge⸗ — . tge – 34 562°1 53 6. nact 2) 32 Die thedretiſche Rechenkunſt. 2) Es wird von dem Lehrer die Zahl 5 6 02 430048370o. zum Nachſchreiben langſam vorgeſagt, alſo; 1) L. 56 tauſend, tauſend, tauſend, mal tauſend. Sch. 5 6 2) L. 24 tauſend, tauſend, mal tauſend. Sch. 5 6 0 2 4 30) L. 300 tauſend, mal tauſend. Sch. 5 °°2 4 300% 4) 2. 483 tauſend. (nicht mehr mal tauſend) Sch. 5 ⁶%2 4 3064 83 5) L. 7 hundert. Sch. 562 13 G5 48 57 0 . Anm. Bey 2) werden die fehlende Hunderte; bey 2) die fehlenden Zehner und Einer, desgleichen die bey 5) mit Nullen bemerket. (§. 17.) §) Der Lehrer dictirt: 345 tauſend, tauſend, tauſend, . tauſend, mal tauſend. Der Schuͤler ſchreibt: 3 4 5 L. 602 tauſend, tauſend, tauſend, mal tauſend. Sch. 3 4 5 6 02 L. 5 tauſend, tauſend, mal tauſend. Sch. 3 4 5 6 °2˙0°°⏑5 L, 67 tauſend, mal tauſend, Sch. 3 4 5 603%ο% 5 67 L. 400 tauſend. Sch. 3 4 560ο⏑½ ⁄5 ⁵°⏑⁄6674 0. Und weil hier der Lehrer ſchweigt und nichts mehr *△ – ₰ *△ „ 11 hinzu dictirt, ſo ſchreibt der Schuͤler noch hineer die dabey Decht Entfe Nach Under die N wey boch unde vier Zeicyn R unt,ſ ſchreih Milie N 1g uſend, ſteht hintes die P Die theoretiſche Rechenkunſt. L 33 ter die vorige Zahl, ſtatt der folgenden Hunderte, Zehner und Einer, 3 Nullen, ſo ſtehet die Zahl vol⸗ lendet alſo: 3 4 5 6 2 ° 5 6 7 4 0°5⏑ÜS—⏑. Anm. Dieſe wenigen Exempel koͤnnen hinreichend ſetn, um alle nur moͤgliche dietirte Zahlen darnach zu ſchrei⸗ pen. — Will aber der fleißliebende Schuͤler noch mehr Uebung im Zahlenſchreiben haben, ſo darf er ſich nur die Zahlen h. 4 5. 47., nachdem ſie vorher punetirt worden, vorſagen laſſen, und ſie ꝛben gelehrtermaſſen nachſchreiben. §. 51. Werden die Zahlen nach Millionen, Billiosnen, Trillionen ꝛc. dictirt: ſo bedienet man ſich am fuͤglichſten dabey der Striche. (§H. 45. 46.) Der Schreibende macht, ehe dictirt wird, von der Rechten nach der Linken, Striche, (,) und zwar in der Entfernung, daß allemal 3 Ziffern dazwiſchen Platz haben. Nach dem ꝛten dieſer Striche macht er ferner, oberhalb und etwas linker Hand zu: ein Strichlein, O) um damit die Millionen; abermal nach zween Strichlein oberhalb: zwey Strichlein, („) um damit die Billionen; ferner nach folgenden zween Strichlein: drey Strichlein, () um damit die Trillionen; und abermal nach 2 Strichlein: vier Strichlein ( um damit die Quadrillionen zu be⸗ zeichnen; z. E. . 11 1/1 717 % * * 7 * 62 * „ * Nachdem der Schreibende dieſe Striche gehoͤrig georde⸗ net, ſo giebt er acht auf das was nun dictirt wird, und ſchreibt ſodann die Quadrillionen, Trillionen, Billionen, Millionen ꝛc. jede in ihre gehoͤrigen Stellen, nach der Art, wie oben §. 46. die Zahlen geleſen werden; z. E§. A dictirt: 345 Quadrillionen. „ . 1617 97 7* B ſchreibt: 345, . „ „ A faͤhrt fort: 236 tauſend 524 Trillionen. B ſchreibt dieſes in ſolgende zwo Claſſen an gehͤige Sielle alſo: „„ „, „ —ęRꝰ 345,236,524, c7 7 „ „ 4 34 Die theoretiſche Rechenkunſt. A ſagt ferner: 120 tauſend 231 Billionen. B ſchreibt dieß in folgende zwo 9 Claſſen an gehoͤrige Stelle alſo: 345,236, 524,120,231, 3 . A faͤhrt fort: 785 tauſend 201 Millionen. B ſchreibt das Gehoͤrte in ſolgende 2 2 Claſſen alſo: 345,236,52 24,120,231,785,20 1, . A beſchließt mit: 205 tauſend 386. L B fuͤgt dieſe zwo Claſſen den vorigen bey⸗ ſo ſehe die Zahl vollendet alſo: 345,236,524, 120, 231,785,201 205,386. 2. Iſt der Schuͤler im Zahlenſchreiben ſchon etwas geuͤbt, e braucht er nicht, wie eben geſchehen, die Striche zur Claſſenabtheilung vor dem Dictiren zu machen; ſon⸗ dern er darf nur ſogleich das Dictirte niederſchreiben, und die Art der Unitaͤten ſogleich oberhalb mit Strichlein be⸗ merken; z. FE. Der Lehrer dietirt: 340 kauſend 436 Trillionen Der Schuͤler ſchreibt dieſes alſo: 117 340,436, Der Lehrer faͤhrt fort: 506 tauſend 200 Billionen. Dieß fuͤgt der Schuͤler dem Vorigen bey alſo; 340,4 36, 506, 200, Der Lehrer: 780 tauſend 609 Millionen. Der Schuͤler: „ 340,436,506,200,780,609, Der Lehrer: 500 tauſend 400. Der Schuͤler; 2340,436, 506,200,780, 609,500,400. F. 53. Der Anfaͤnger im Zahlenſchreiben kann ſich auch zu mehrerer Bequemlichkeit, ſtatt der Striche, wodurch bisher die Zahlen in Claſſen eingetheilet worden, Per⸗ Per hbedie Bill dur klein werd i . )ſehet 1 396. etwas riche 6 ſon⸗ 9, und ein ben⸗ neſ⸗ in ſch riche, otden, hel Die theoretiſche Rechenkunſt. 35 pPerpenticulairlinien ‚ in der Weite von 3 Ziffern, bedienen, und oberhalb die Quadrillionen, Trillionen, Billionen und Millionen mit Strichlein bemerken. Da⸗ durch wird er eine Tabelle erhalten, in welche große und kleine Zahlenreihen, ſo wie ſie dietiret werden, geſchrieben Dictirt nun A: 2 Quadrillionen; ſo ſchreibt B dieſe 2 bey a, unter die fuͤr Quadrillionen gemachten Striche. () Dictirt A ferner: 236 tauſend und § Trillionen; ſo ſchreibt B die 236 in das Fach b, die 5 aber, vor welche noch 2 Nullen, den Mangel der Hunderte und Zehner zu bezeichnen, geſchrieben werden, in das Fach c. Dictirt A ferner: 422 tauſend 703 Billionen; ſo ſchreibt B das Gehoͤrte in die 2 Faͤcher d und e. A ferner: 829 tauſend 788 Millionen; B ſchreibt dieſe in die beyden Faͤcher f und g. A beſchließt mit: 200 tauſendz B ſchreibt dieſe 200 in das Fach h, und fuͤllet ſodann das Fach i mit 3 Nullen aus, ſo ſehet die geſchrie⸗ bene Zahl vollendet alſo: 236 005 422 703 d e werden koͤnnen; z. E. 9// a b c d e 2 829 a f 200 000 h 1 Dictirte A: 22 tauſend 703 Billionen, 829 tauſend 788 Millionen, 200 tauſend: ſo wuͤrde B in die Claſſe a, b und c nichts zu ſchreiben haben; ſondern die 22, mit Vorſetzung einer Nulle, in der Claſ⸗ ſe d anfangen und ſo ferner fortfahren. 7887 b c. gg Annm. Dieſe Perpentieulairlinien koͤnnen auch nach Belie⸗ ben verlaͤngert werden, um immer mehr Zahlen, ſo viel el dezen dietirt werden hinein zu ſchreiben, C 2 5 54. 36 Die theoretiſche Rechenkunſt. §. 54. Zu fernerer Uebung im Zahlenſchreiben kann ſich der Schuͤler von den Zahlen §. 47. 48. 49. ſo viel als noͤthig, um im Zahlenſchreiben eine zureichende Fertigkeit zu erhalten, dietiren laſſen, und ſie, wie §. 5 I. 52. 53. gelehret worden, nachſchreiben. Iſt dieſes geſchehen, ſo bleibt zum Beſchluß der Nu- meration noch uͤbrig . b) Die roͤmiſchen Zahlen leſen und ſchreiben zu lernen. Rechnen, als wozu ſie ungeſchickt ſind, nicht gebrauchen, ſo iſt die Bekanntſchaft mit denſelben doch ſehr noͤthig, ja unentbehrlich; weil wir ſie ſo oft in alten Schriften, Documenten; auf Denkmaͤhlern des Alterthums; auf alten und neuen Muͤnzen ꝛc. finden. Und weil die Kunſt, dergleichen Zahlen zu leſen, ſo einſach, daß deren Kennt⸗ niß zu erlangen wenig Muͤhe koſten kann, ſo iſt es, be⸗ ſonders Rechnern, faſt nicht zu verzeihen, wenn ſie ſa⸗ gen: „Ja, das ſind roͤmiſche Zahlen, die kann ich nicht leſen! „ — . “ ſ Deren Lehrer muͤſſen, wenn ſie ihnen zu wenig oder gar nichts davon geſagt haben, die roͤmiſchen Zahlen entweder gar nicht zur Jumeratio gerechnet, oder deren Kenntniß fuͤr uͤberfluͤßig gehalten haben. §. 56. Es beſtehen aber die Zeichen, womit die Roͤ⸗ mer ihre Groͤßen, beſonders ihre Zeiten, bezeichneten, in folgenden 7 Buchſtaben, welche ſie aus ihrem Alphabete genommen haben: I. I. V. J. X. 10. L. 50. C. 100. D. 500. M. 1000. Anm. Ohne Zwséifel mußten die Roͤmer ihre Urſachen ha⸗ ben, warum ſie nicht mehr als ſieben, eben dieſe, und keine andere Buchſtaben zu ihrem Zahlenalphabete gewaͤhlet haben. Selbſt die Ordnung, in welcher dieſe Buchſtaben als Zeichen von Zahlen auf einander folgen, zeigen dentlich, daß ihre Wahl kein blindes Ungefaͤhr zum Grunde gehabt, wie wir in der Folge ſehen werden. §. 57. Der Buchſtab I ſcheint, nicht allein wegen ſei⸗ dern §. 55. Ob wir gleich die roͤmiſchen Zahlen zum (65 ner Aehnlichkeit mit einem Striche, (§H. 12. Anm. 1,.) ſon⸗ dern Vor ſe Rech er di bezei neber funt ſſegt des den, einan Md n kantz el als igkeit 2.5. Nu- ben 1 Nn lchen, ig, i Rr biften, auf Kunſt, Kanntt 6s, bein ſe ſan icht dder Zhlen deren ie Ro en, in habete 1000, en ſe dieſe/ gßakete r dieſe tendet Ulundes 1 Felge gen ſt⸗ 1) ſun dern ʒ“ 7 7 Die theoretiſche Rechenkanſt. 37 dern auch, weil er der erſte Buchſtab des lateiniſchen Worts Initium (Anfang) iſt, von den Roͤmern gewaͤhlt zu ſeyn, und iſt dieſes wahr, ſo iſt derſelbe mit allem Rechte der erſte des voͤmiſchen Zahlenalphabets, indem er die Grundziffer Eins, als den Anfang aller Zahlen, bezeichnet. (§. 14.) . Dieſer Buchſtab bezeichnet ſo oft einen Einer, als er neben einander geſetzet wird; z E. I. Eins; II. zwey; III. drey; IIII. vier. Anm. Es würde dieſer Buchſtab, 10 mal neben einander L geſetzt, zehen; hundert mal aber: 100 Einer bezeich⸗ ghen ꝛc. Weil aber viele ſolche Einer neben einander geſtellet, ſo muͤhſam zu ſchreiben als zu leſen waͤren, indem man ſie erſt überzahlen muͤßte: ſo hat man den Buchſtaben 1 nur hoͤchſtens vier mal, um damit 4 zu bezeichnen, neben einander ſtellen, fuͤr groͤßere Zahlen aber andere Buchſtaben erfinden wollen. §. 58. Der zweyte Buchſtab in der Ordnung des Zah⸗ lenalphabets iſt das V, womit 5 Einer bezeichnet werden. (§. 56.) Das V wird nie, wie mit dem I zu geſchehen pflegt, wiederholt neben einander geſetzt, wohl aber kann das I zu dem V, ein, zwey, drey und vier mal geſetzt wer⸗ den, um damit 6,7, 8, und 9 zu bezeichnen; z. E. VI. 6. VII. 7. VIII. . VIIII. 9. Aum. Man hat dieſen Buchſtaben V zu der Zahl 5 ver⸗ mutblich wegen der Aehnlichkeit mit einem ausgeſtreck⸗ ten Zeigefinger und Daumen, als worans einem An⸗ dern ſtillſchweigend die Anzahl der Finger einer Hand, d. i. 5, gezeigt werden kann; vielleicht auch darum ge⸗ waͤhlt, weil er der zte Vocal iſt. §. 59. Der zte Buchſtab X bezeichnet, ſo oft er neben einander geſetzt wird, 10; z. E. X. 10. XX. 20. XXX. 30. XXXX. 40. 2. Um aber von X bis XX ꝛc. fortzuzaͤhlen, darf man nur die Zahlen, ſo wie ſie bey §. 57 und 58 ſtehen, neben die Zehener ſetzen. (§. 67.) Anm. Warum aber der Buchſtab X als der 3te in der Orde nung, und um damit 10 zu bezeichnen, gewaͤhlet, ſcheinet aller Wahrſcheinlichkeit nach daher zu kom⸗ men, weil man zuerſt den Vuchſtal V verdoppelt, unr 3 ge⸗ 38 Die theoretiſche Rechenkunſt. damit zehen zu ſchreiben, etwa ſo: VV, nachher aber bemerkt, daß aus einem ordentlichen Vund einem ver⸗ kehrten à, wenn beyder Winkel zuſammen gefuͤst wer⸗ den, das X entſtehet, welches jenem Kreuze womit urſpruͤnglich zehen bezeichnet monen, ſo aͤhnlich ſiehet, als ein Ey dem andern. (§. 12. Anm. 1.) §. 60. Man koͤnnte den Buchſtaben X, welcher jedes⸗ mal 10 bezeichnet, (§H. 59.) ſo oft wiederholen als man wollte: weil aber eine große Anzahl derſelben ſowohl dem Schreiber als Leſer beſchwerlich fallen wuͤrde; ſo hat man dieſen Buchſtaben, wie das I, aus gleicher Urſache, nur Amal neben einander ſetzen wollen, und, den Griechen nachzuahmen, das L, als den vierten Buchſtaben gewaͤh⸗ let, um damit 50 zu bezeichnen. Zuſatz: Zu dieſen L, welcher wie V, nie verdoppelt wird, kann 1, 2, 3, bis 4mal der Buchſtab X hin⸗ zu gefuͤget werden, um damit 60, 70, 80 und 90 zu ſchreiben; z. E. LX. 60. LXX. 70. LXXXKX. 80. LXXXX. 90. Auch koͤnnen dieſen Zahlen, um von Zehener zu Zehener weiter fortzuzaͤhlen, die kleinern Zahlbuch⸗ ſtaben von I bis VIIII (H. 57 und 58.) hinzugefuͤget werden; z. E. LXI. 61. LXII. 62. ꝛc. 5§. 61. Weil aber angenommener maſſen I und X nicht mehr als nur 4mal neben einander, L und V aber nur einfach geſetzt werden ſollten; ſo konnte man auch mit den 4 Buchſtaben: L, X, V und I nicht weiter als bis LXXXXVIIII. 99 kommen. Daher war noͤthig den Ften Buchſtaben zu waͤhlen, um damit 100 ſchreiben zu koͤnnen. Der Buchſtab C, als der erſte aus dem latei⸗ niſchen Worte Centum, hundert, ward alſo darzu ber ſtimmt, um mit demſelben, ſo oft er neben einander ge⸗ ſetzt wird, hundert zu bezeichnen; z. E. C. 100. CC. 200. CCC 300. CCCC. 400. ꝛc. Juſatz: Um nun von einem Hunderte zum andern uͤber zu kommen, werden die ſchon bekannten Buch⸗ ſtaben L, X, V und I nach ihrer natuͤrlichen Foige den Hunderten beygefuͤgt; z. E. CI. 101. CXII. 112. CL. 150. CLXXV. 175. crXXXXVIII. 92. . * 2. Ee⸗ neben denen nur di mithin den D⸗ imie D. M. tben ſ werden ühlen Worts it abet ein ver⸗ gt wer⸗ fonndtt 1 )ſehet, r jede⸗ s man hl demm e, nur riechen gewaͤh/ doppelt X hin 90 zu X. do. ner zu lluch⸗ gefüget uud X Vaber n auch ls bis ig den ben zu n Ntei⸗ tiu ber der ge⸗ . 200, andern Bucht ſge den I1. 112. I. 109. 72 Die theoretiſche Rechenkunſt. 39 §. 62. Sollte nun der Buchſtab C, wie X und L. (§. 60. erwaͤhnter Urſachen wegen) ebenfalls nur 4mal neben einander geſetzt werden, ſo konnte mit ſchon erfun: denen 5 Buchſtaben: C. L, X, V und I auch hoͤchſtens nur die Zahl CCCCLXXXXVIIII. 499 erreicht werden, mithin war der 6te Buchſtab noͤthig. Man waͤhlte darzu den D, als den erſten Buchſtaben des lateiniſchen Worts. dimidium, halb, weil dieſes Wort abgekuͤrzt alſo: D. Mille oder D. M. ein halbes Tauſend heißt, und alſo eben ſo viel als 500 iſt. Zuſatz: Der Buchſtab D wird eben ſo wenig, wie L., verdoppelt oder mehrmalen neben einander geſchrie⸗ ben, wohl aber koͤnnen die ſchon bekannten C, LX, V und I demſelben beygefuͤget werden, um damit immer weiter zu zaͤhlen; z. E. DI. 5oI. DXV. 515. DLX. 560. DCI-XXVI. 676. ꝛc. §. 63. Noch konnte mit dieſen 6 Buchſtaben aufs hoͤchſte nur bis DCCCCLXXXXVIIII. 999 gezaͤhlet werden: deswegen ward, um auch Tauſend und weiter zaͤhlen zu koͤnnen, der erſte Buchſtab des lateiniſchen Worts, Mille, tauſend, genommen. Zuſatz: Ob gleich dieſer ſiebente Buchſtab M ebenfalls nie 2 mal neben einander geſetzt wird: ſo kann man doch, mit Beyfuͤgung der uͤbrigen Buchſtaben, nicht nur von I bis MDCCCCLXXXKRVIIII. 19990 fort⸗ zaͤhlen, ſondern man kann mit dieſen wenigen Zahl⸗ buchſtaben noch weit groͤßere Zahlen ausdruͤcken, ſo wie an ſeinem Orte gelehret werden ſoll. §. 64. Man koͤnnte zwar mit bekannten 7 Buchſta⸗ ben, ihrer Groͤße nach auf einander folgend, von 1 bis 1999 ſchreiben, (§. 63.) weil aber auf dieſe Art oft ſehr weitlaͤuftige Zahlen, wie §. 62. bey 499 und §. 63. bey 1999 zu erſehen, entſtehen wuͤrden, welche nicht nur muͤhſam zu ſchreiben, ſondern auch ihrer Groͤße wegen nicht leicht zu uͤberſehen waͤren: ſo hat man ein Mittel erfunden, ſolche Zahlen abzukuͤrzen, um ſie geſchwinder C 4 ſchrei⸗ 40 Die theoretiſche Rechenkunſt. ſchreiben und leichter leſen zu koͤnnen. Und dieſes Mittel beſtehet in folgen der Regel. §.65. Kleinere Zahlbuchſtaben, vor groͤßern ſtehend, werden denſelben abgerechnet, ausgenommen vor M nicht. (S. 70. Anm.) Hingegen kleinere Zahlbuchſtaben, hinter den groͤßern ſtehend, werden denſelben zugerechnet. Stehet dieſer Regel zufolge I vor V, alſo: IV, ſo iſt das 5 weniger 1, d. i. 4; ſtehet aber I hinter V, alſo: VI, ſo iſt das 5 und I, alſo 6. Dieſemnach iſt IK nur 9; XI aber II. XL — 40; LX —– 60. XC —-— 90; CX — rI710. CD — 400; DC — 600. Wenm faͤllt hier nicht in die Augen: wie vlel man bey ſolcher abgekuͤrzten Schreibart gewinnt! Kuͤrzer iſt IV als IIII 4. IX — VIIII 9. XIX — XVIIII 10. XL – XXXX 40. XC – LXXXX 90. XCIX — LXXXXVIIII 99. CD – CCCC 400. ꝛc. §. 66. Nach dieſen vorausgeſchickten Erklaͤrungen und Unterricht, kann hoffentlich keine Schwierigkeit mehr vor⸗ handen ſeyn, um die roͤmiſchen Zahlen mit Leichtigkeit zu leſen und zu ſchreiben. Wir wollen alſo mit den erſten 10 Einern, welche ſchon §. 57. und 58. vorgekommen, den Anfang machen. I. II. III. IV. 4. V. VI. 6. VII. VIII. VIIII. oder IX. (§. 65.) X. §. 67. Dieſe 9 Einer werden in eben derſelben Ord⸗ nung hinter die Zehner, Hunderte und Tauſende geſetzt, als wodurch man im Stande iſt, Unitaͤten zu Unitaͤten, igrer naturlichen Folge nach, fort zu zaͤhlen; (§. 59.) z E. L XI. ſſo: Eben iinte 7 Umd Mittel ſthend, hinter IV, ſ nter V, S + — an bey Die theoretiſche Rechenkunſt. 41 XI. 1I. XII. 12. XIII. 13. XIIII. oder XIV. 14. XV. I5. XVI. 16. XVII. 17. XVIII. 18. XVIIII. oder XIX. 19. XX. 20. V Alſo: XXI. 21. XXII. 22. XXIII. 23. XIV. XXV. XXVI. XXVII. XXVIII. XXIX. XXX. Eben ſo: XXXI. 31. bis XXKXIX. 39. XLI. 41. bis XLIX. 49. (§. 65.) L. Ll. 51. bis LIX. 59. 1X. 60. LXI. bis LXIX. 60. LXX. LXXI. bis LXXIX. LXXX. 80. LXXXI. bis LXXXIX. 89. LXXXX. 90. oder LXL. beſſer XC. (§H. 65.) bis XCIX. 99. §. 68. Alle dieſe Zahlen, von I bis XCIX, koͤnnen hinter C. 100. CC. 200. CCC. 300. CD. 400. D. 500. DC. 600. 1c. nach ihrer natuͤrlichen Folge geſetzet werden, um damit immer weiter fort zu zaͤhlen; (§H. 61.) z. E. CI. 101. CIV. CIX. ꝛc. CCX. 210. CCXI. CCIX. CCCXX. 320. CCCXXIV. CCCXXXVIII. ꝛk. CCCXL. 340. CCCXLIX. CCCLX. CCCLXIX. ꝛc. CCCCIV. oder CDIV. 404. CDVIII. CDXIX. 419. CDXXIV. CDXXXIX. CDXL. 440. CDXLIX. CDLIV. CDLIX. 459. CDLXIII. CDLXXVI. CDLXXIX. ꝛc. (§. 65.) DLXKXXI. DILXXXVI. DLXXXIX. DXC. 590. DLXXXXIX. oder DXCIX. DC. 600. DCI. DCIII. DClV. DCVI. DCIX. DCXIV. DCXVI. DCXXIX. DCXLAIV. DCXLIX. DCLV. DCLXIX. DCLXXI. ꝛc. DCCII. 702. DCCXIII. DCCXXIV. DCCXXXV. DCCXLVI. DCCLIX. DCCLXIV. DCCLXXI. DCCLXXXIII. DCCLXXXXIX. oder DCCXCIX. DCCCIV. go4. DCCCVI. DCCCIX. DCCCXXI. DCCCXXXIII. DCCCXLIV. 844. DCCCXLVI. DCCCXLIX. 849. DCCCLI. DCCCLXII. 862. DCCCLXXIII. DCCCLXXXIV. DCCCLXL. 3890. oder DCCCLXXXX. oder DOCCCXC. DCCCXEIV. DCCCXCIX. (S§. 65.) DCCCC. 900. oder DCD. DCDI. 901. DCDIV. DCDXIX. DCCCCXXIX. DCDXXXII. DCDXLIII. DCDLIV. DCDLXVI. . C 5 D 4² Die theoretiſche Rechenkunſt. DCDLXXVIII. DCDILXXXIXY DCDLXXXX. oder DCDXC 990. DCDXCIV. DCDXCVIII. DCDXCIX. 999. §. 69. Die Zahl 1000 wird mit M bezeichnet (§H. 63.) und mill man zu 1000 eine Unitaͤt nach der andern hinzu zaͤhlen, z. E. von 1000 bis 1999, ſo darf man nur alle ie Zahlbuchſtaben, welche bisher gebraucht worden, um von 1 bis 999 zu ſchreiben, hinter den Zahlbuchſtaben Ml ſetzen; z. E. M. MI 100I. MII. MIX. MX. bis MXIX. MXX. MXXXI. MXLII TO42. MLIII. M-XIV. MLXXV. MILXXXVI. MLXXXNXVII MXCVIII. 398. MXCGIX MC. IIOO. MCII. MCXIII. MCXXIV. MCXXXV. MCXLVI. MCLVII MCELXVIII. MCLXXIX. MCLXXX MCLXXXXI. MCXCII. 1II92 bis MCXCIX MCGCG. rz0O MCCI MCCIX. MCGCXI MCCXXII. MCCXXXIII. MCCXLIV. MCCLVI MCCLXVII. MCCLXXVIII. 1278. MCCLXXX MCCIXXXXI. MCCLXLII. 129 2. MCCXCIII. MCCXCIX 1290. MCCC. MCCCI. MCCCIX MCCEXI. MCCCXXII. MCCCXXXIII. MCCCXLIV. 1 344. MCCCLXVI MCCCLXXVII. MECCLXXXVIII. MCCCLXXXXIX. kuͤrzer MCOCCXCIX MCCCC. MCDI. I401. MCDXII. MCDXXIII. MCDXXXIII. MCDXLIV. MCDLV. MCDLXVI. MCDLXXVII. MCDLXXXVIII. MCDXCIX. r499. MD. MDI. MDXI. MDXXII. MDXXXIII MDCXIL.IV. 1644. MDCLV 1655. MDCLXVI. MDCLXXVII. MDCLXXXVIII. MDGXCIX. 1699. MDCCI. MDCCXXII. 1722. MDCCXXXIII. MDCCXLIV. MDCCLXV. MDCCLXXVI. MDCCLXXXIV. MDCCLXXXVI. MDCCLXXXVIII. MoccLXXXX. furzer Moccxc. 1790. MoccrxLVIII. MopccCxCIY. MpCCCXVI. MpcCCCXXIX. MpcCCXXXIII MpcCCXLVIII. MCCCLIX. MpcCCIXI- MoccCIxXIV M Tan XNXXY. Cyl. (667) n hinzu nur alle en, um chſtaben AIVX. XXV. 98. WIV. XVlII. XCII. CCX. XLIV. 127b. 1292. (CCl. Wl. XVII. kützer DXlIl. DLV. VlII. XXII. 15655. VIII. 1722, LXV. XXVI.⸗ VVIII. XXIII XXIN N 7 “ - Die theoretiſche Rechenkunſt. 43 MpcCGCCLXXXIX. MpcCCCXCVIII. 1898. MucccXCIX. MpCCC. oder Mocb. MocbI. MpccCCCNXI. MocoxxXII. MpcCCGCXXXIII. MoCDXLIV. MpCPLVIII. MpcbLXIX MocDLXXI. MocoLXXXII. MDCPDLXXXXIII. MocbXxcCIX. §. 70. Will man noch weiter gehen, und 2000, 3000 ꝛ2c. 10000, 20000, bis 100000 ſchreiben: ſo ſetzet man vor den Buchſtaben M, welcher 1000 bezeichnet, ſo viel kleinere Zahlbuchſtaben, als man Tauſende bezeichnen will. 2 Anm. Hier allein leidet die oben §. 65. gegebene Regel eine Ausnahme; denn vor M werden die kleinern Buchſta⸗ ben 1, V, X, C ꝛc. nicht abgerechnet: ſondern ſie zaͤhlen blos, wie viel Tauſende vorhanden ſind; z. E. IIM. 2000. IVM. 4000. XM. 10000. XXM. 20000. LM. 50000. CM. 100000. CCM. 200000. DM. 500000. Zuſatz: Hinter dieſe vollen Tauſende kann man alle die ſchon bekannten Zahlbuchſtaben ſetzen, welche man noch uͤber die vollen Tauſende hat, eben ſo, wie bey den Tauſenden geſchehen; (§. 69.) z. E. IIIMII. 3002. XMXII. IoO0ODZ. XXMXXIV. 20024. ILMXLIX. 50049. CMIXVIII. 100068. 2c. W §. 71. Man kann auch die Anzahl der vorhandenen Tauſende mit kleinern Zahlen uͤber M bemerken; z. E. WwW. XN. Cl. CCXXX. M. 4000. M. 19000. M. 101000. M. 230000. 2ꝛc. Zuſatz: Auch hier werden die Zahlen, welche noch uͤber die vollen Tauſende vorhanden ſind, wie §. 70. Zuſatz gewieſen, dem M beygefuͤget; z. E. ATSN. CopPHN MDXLIV. 320, 544. MCDLXIX. 409, 469. DeLE = DCCXIV MDCLXXXI. 651,68 1. MOCCCXCIX. 714,899. §. 72. Noch weit bequemer kann die Anzahl der Tau⸗ ſende mit den gewoͤhnlichen Zahlbuchſtaben, ohne ein M noͤthig zu haben, blos mit einem Querſtriche — uͤber — 44 Die theoretiſche Rechenkunſt. uͤber denſelben bezeichnet werden, welcher dann allemal fuͤr tauſend geleſen wird; z. E. — — I. 1000. IV. 4000. X. 10000. L. 50000. C. 100000. D. 500000. DC. 600000. M. 1000000. pder eine Million ꝛc. Zuſatz: Die uͤbrigen Zahlen, welche uͤber die vollen Tauſende ſind, werden, wie §. 69. gelehret wor⸗ den, ebenfalls mit den gewoͤhnlichen Zahlbuchſta⸗ ben, hinter den Tauſenden bemerket. Doch muß allemal der Querſtrich genau, und nicht weiter als juſt uͤber die Zahl, welche die Tauſende bezeich⸗ nen ſoll, gemacht werden; z. E. VIHDXXIV. 85324. XXXVIIICCCLVI. 38,356. CCCCLXXXVIII. 700, 288. DCCGCDCCCXLIV. 00,844. DCDLCDLI. 950,A51. DCCGCGCCXXXNVIDCCCXLIV. 936,844. Le. §. 73. Zum Beſchluß der roͤmiſchen Zahlen, und mit dieſen der ganzen Numeratio, kann ſich der wißbegierige Schuͤler noch folgende Zeichen, welche in alten Manu⸗ ſcripten vorkommen, bekannt machen: 20. W 30. 40. L ρσ 80. ꝛc. DL. 500. Clo. 1000. Q. oder 59. 5000. CCI99. oder oder W 10000. Io90. 50000. CCCID90. 100000. [9990. 5SOOOO90. CCCCILD290. iſt das, was M iſt, naͤmlich eine Million. (§. 72.) Zuſatz: Auch hinter dieſe Zeichen laſſen ſich die uͤbri⸗ geiu Zahlen, welche man noch uͤber die Zehener, Hun⸗ derte, Tauſende ꝛc. haben will, wie §. 68. 69. ꝛc. ge⸗ lehret worden, hinzuſetzen; z. E. X vI. 26. VIII. 38. L & IX 89. ꝛc. loccLXXXIX. 789. CDDCCLXXXVII. 1787. Au aletnal 100000. ilion:e. vollen et wor⸗ buchſt N ch muß iter als bezeich⸗ . 00,944. XIIW. nd mit gierige Manl= 0. K. 000⁰. 000. 00,. iſt, ubri⸗ Hun⸗ e ge 9 K. 797. Am. Die theoretiſche Rechenkunſt. 45 D Anm. Um das Leſen und Schreiben der roͤmiſchen Zahlen mit einem Male oder zugleich zu bewirken, habe ich mit Fleiß noch viele Luͤcken im Fortzaͤhlen der Zahlen gelaſſen, damit der fleißige Schuͤler Gelegenheit habe, dieſelben auszufuͤllen. Dieſe Uebung aber wird ſodann nicht nur voͤllig hinreichend ſeyn, die genaueſte Be⸗ kanntſchaft mit den roͤmiſchen Zahlen zu verſchaffen; ſondern auch die Kennthiß derſelben, durch das Schrei⸗ ben, dem Gedaͤchtniſſe deſto feſter einpraͤgen. II. Die practiſche Rechenkunſt, welche auch die ausuͤbende oder gemeine Rechenkunſt genennet wird, 1 und die ſogenannten 4 Species, odder Elementa Arithmetices, wie auch alle durch ſie nach Regeln bewirkte Rechenarten enthaͤlt. PVorbereitung zu den Zahlenveraͤnderungen. §. 74. Da wir im theoretiſchen Theile der Re⸗ . chenkunſt nicht mehr gethan, als die Zahlen, womit die Groͤßen und Anzahl der Dinge ausgedruckt werden muͤſſen, nur kennen, leſen und ſchreiben gelernet, und alſo die Zah⸗ len unveraͤndert gelaſſen; ſo haben wir auch noch nicht gerechnet. Denn wer da rechnen will, der muß neth⸗ wendig die Zahlen veraͤndern, d. i. er muß andere Zah⸗ len finden, als die in der arithmetiſchen Aufgabe gegeben worden, um dadurch die aufgeworfene Frage zuverlaͤßig zu beantworten. Und da dieſes in allen 4 folgenden Rech⸗ nungsarten geſchiehet, mithin auch wirklich gerechnet wird, ſo koͤnnen auch nur dieſe allein E:lementa Arith- metices genennet werden, nicht aber die Numeratio, welche einige Arithmetici, erwaͤhnter Gruͤnde wegen, mit Unrecht zur erſten Species gemacht, und daher 5 Specdes gezaͤhlet haben. 5§. 75. 46 Die practiſche Rechenkunſt. §. 75⁵. Es kann aber eine Zahl nur auf zweyerley Art veraͤndert werden. Man kann ſie 1) vergroͤßern, . 2) verkleinern. Beypdes aber kann bis ins Unendliche geſchehen: Denn ich kann mir keine Zahl gedenken, zu welcher nicht noch ein Ding, oder ein Theil eines Dinges, hinzugezaͤhlet wer⸗ den koͤnnte. (H. 15.) Eben ſo wenig kann ich mir eine Zahl gedenken, von welcher nicht ein Ding, wie nicht weniger ein Theil eines Dinges nach dem andern hinweg⸗ genommen werden koͤnnte, und da dieſes wahr, ſo kann auch eine Zahl bis ins Unendliche verkleinert werden. §. 76. Es kann aber eine Zahl auf zw eyerley Art vergroͤßert werden, und zwar erſtlich: Indem man zu einer Zahl eine Unitaͤt nach der andern, oder auch einen Theil einer Unitaͤt zu andern Theilen derſelben hinzuzaͤhlet, ſo wie uͤberhaupt bey den Zaͤhlen der Dinge einer Art ge⸗ ſchiehet, als wodurch nothwendig eine Zahl imfner groͤßer und groͤßer werden muß. Z. E. Mir werden die Zahlen 3 und 5 gegeben, um eine Zahl zu finden, die juſt ſo groß als beyde gegebenen Zahlen iſt: ſo wird ſich durchs Zuſam⸗ menzaͤhlen die Zahl 8 ergeben, welche in einer Summe die beyden Zahlen 3 und 5 wirklich enthaͤlt. Dieſe Ver⸗ groͤßerungsart heißt: die Additio. Anm. Weil hier durch die Zuſammenzaͤhlung der 3 und 5 die Zahl 8 entſtanden, welche veraͤnderte Zahl alle Unitaͤten der gegebenen Zahlen 3 und 5 wirklich enthaͤlt: ſo iſt auch hier gerechnet worden, (§. 74.) §. 77. Die 2te Art eine Zahl zu vergroͤßern beſte⸗ het darinn: Wenn man eine gegebene Zahl etliche mal, oder ſo viel mal nimmt als verlanget worden. Z. E. Man ſoll eine Zahl finden die 5 mal ſo groß als 6 iſt. D. i. Man ſoll die gegebene Zahl 6 ſo viel mal nehmen, als die andere gegebene Zahl 5 Einheiten enthaͤlt: ſo wird ſich die Zahl 30 finden. Dieſe Vergroͤßerungsart heißt: die Multiplicatio. . Anm. Weil die hier gefundene Zahl 30 ebenfalls eine ganz andere Zahl als beyde gegebenen Zahlen 50 und 6 3 Wen 1—U dend chent die e gefu Zah Cin und 6 u ſhon ſehn, Außg tung muß ligt mal verrie gebe ſer glle dert fund 365 enthi gegen an ſe ſrt we⸗ man nac fſey A enn ich let wer⸗ mir eine bie nicht hinweg: ſo kann erden. ley Att man zu Heineun Gghet, Art ge⸗ pgtuͤßer ahlen ſͦ groß Zuſame Buwme ſe Ver! und 5 te gaht wirklich 74) n beſt⸗ al, deet han ſol . Yan 6s die ird ſch ne un 6 , 1 . noch ein. . * Die praetiſche Rechenkunſt. 47 auch alle in der Aufgabe beſindliche Einheiten enthaͤlt; ſo iſt auch hier gerechnet worden. (5§. 74) §. 78. Man koͤnnte denken: daß vielleicht eine von beyden Vergroͤßerungsarten (§. 76 und 77.) ſchon zurei⸗ chend waͤre, um eine Zahl zu vergroͤßern, weil man die eben gefundene Zahl 30 auch durch die erſte Art (§ 76.) gefunden haben wuͤrde, wenn man naͤmlich die gegebene Zahl 6, ſo viel mal, als die andere gegebene Zahl 5 Einheiten enthaͤlt, d. i. 5Hmal unter einander geſetzet, und denn nach gerade zuſammen gezaͤhlet haͤtte; z. E. 6 und 6 iſt 12, und 6 iſt 18, und 6 iſt 24, und 6 iſt 30. Wohl wahr! Aber es wuͤrde dieſe Art zu rechnen, ſchon bey dieſer kleinen Aufgabe, weit muͤhſamer geweſen ſeVyn, als die, durch den Weg der Multiplication. Bey Aufgaben groͤßerer Zahlen hingegen kann die Vergroͤße⸗ rung durch die Additio gar nicht ſtatt finden, ſondern muß allein durch den Weg der Multiplication bewerkſtel⸗⸗ ligt werden. Z. E. Man ſoll eine Zahl finden, die 236 mal ſo groß als eine gegebene Zahl 365 iſt. Wollte man nun dieſe Rechnung durch die Addition verrichten; ſo muͤßte nothwendig die gegebene Zahl 365 ſo viel mal unter einander geſetzt werden, als die andere ge⸗ gebene Zahl Einheiten enthaͤlt, d. i. 236 mal. Nach die⸗ ſer muͤhſamen Arbeit koͤnnten ſo dann nach gerade, erſt alle Einer, dann alle Zehner, und endlich alle Hun⸗ deerte zuſammen gezaͤhlet, und die verlangte Summe ge⸗ fuunden werden, welche alle Unitaͤten der gegebenen Zahl 365, und 236, naͤmlich die erſte 236 mal genommen, enthielte. Welche Arbeit! Durch die Multiplication hin⸗ gegen iſt dieſe Aufgabe uͤberaus leicht aufzuloͤſen, ſo wie an ſeinem Orte gezeigt werden ſoll. l §F. 79. So wie eine Zahl auf zweyerley Art vergroͤſ⸗ ſert werden kann, (§. 76 und 77.) ſo kann ſie auch auf zweyerley Art verkleinert werden. Denn 1) kann eine Zahl verkleinert werden, wenn man entweder von einer Anzahl Dinge, ein Ding nach dem andern, nach gerade hinweg nimmt. Z. E. Wenn von einem Haufen Aepfel ein Apfel nach dem andern 7 48 Die practiſche Rechenkunſt. . hinweg genommen wird, wodurch die Anzahl Aepfel im⸗ mer kleiner wird; oder: wenn man von einer gegebenen groͤßern Zahl auf einmal eine andere gegebene klei⸗ nere Zahl abziehet. Z. E. Es ſoll eine Zahl gefunden werden, die um 2 kleiner iſt als 5, ſo wird die gefun⸗ dene Zahl 3 ſeyn. Dieſe Rechnungsart heißt: die Sub⸗ tractio. S Anm. Da in vorſtehender Aufgabe die verlangte und gefun⸗ dene Zahl 3 wirklich eine ganz andere Zahl, als die gegebene Zahl 50i‚ als welche um 2 kleiner gemacht, und alſo in dieſer Hinſicht veraͤndert iſt; ſo iſt auch hier gerechnet worden. (5. 74.) §. 80. Es kann aber auch 2) eine Zahl durch die Thei⸗ lung verkleinert werden. Z. E. Zween Knaben ſollen ſich in 4 Aepfel theilen, ſo wird jeder zu ſeinem Antheile 2 Aepfel erhalten; oder, welches einerley: Es wird ver⸗ langt, eine Zahl zu finden, die um die Haͤlfte kleiner als eine gegebene Zahl 4 iſt; ſo wird ebenfalls die Zahl 2 erſcheinen. Dieſe Rechnungsart wird die Diviſio genannt. Anm. Hier iſt die gegebene Zahl 4 in 2, welche nur die Haͤlfte der gegebenen Zahl 4 bezeichnet, veraͤn⸗ dert, und alſo ebenfalls gerechnet worden. (§. 74.) §F. 81.) Man koͤnnte auch hier denken, daß eine von beyden Verkleinerungsarten ſchon genug waͤre, da man auch durch die Subtrastion von der gegebenen Zahl 4, eine andere gegebene Zahl 2 abnehmen, und ebenfalls die verlangte Zahl 2 finden kann. Allein, wenn wir jetzt ſchon im Stande waͤren, den Verſuch in groͤßern Zahlen anzuſtellen, ſo waͤrde ſich zeigen, daß die Diviſion bey der Zahlenverkleinerung eben ſo unentbehrlich, als bey der Zahlenvergroͤßerung die Multiplieation. (§. 78.) Des wegen an ſeinem Orte mehr hiervon. §H. 82. Aus den Vorausgeſetzten wird man deutlich ſehen, daß, um eine Zahl zu vergroͤßern, oder zu verkleinern, wirklich 4 Rechnungsarten noͤthig ſind. Und dieſe werden, wie bereits gedacht worden, insgemein ge— nannt: Die geht Wer Hatm fel itn⸗ ebenen klei⸗ fanden gefun e Sub⸗ Rgefen⸗ ls die iſ auch Thei⸗ n ſollen itheile td ver⸗ ſeiner nannt. tur die eraͤn⸗ ne von da man ohl 4, als die it jett Zahlen. beyl der als beh eutlich der iu d. Und bein 90 — Die practiſche Rechenkunſt 49 Die IV. Species. . alls: I. Die Additio, das Zuſammenthun. (§. 86.) II. Die Multiplicatio, die Vermehrung. (§. 105.) III. Die Subtractio, das Abziehen. (§. 132.) IV. Die Diviſio, das Theilen. (§. 145.) Anm. Mehrentheils wird mit der Addition angefangen, ſo wie wir auch thun wollen, darauf aber laͤßt man die Subtraetion, auf dieſe die Multiplication, zuletzt aber die Diviſion folgen; welche Folge, auſſer der Di⸗ viſion, wir nicht beybehalten werden. ”M Denn weil die Mul iplication der Addition, wegen des gemeinſchaftlichen Zwecks, eine Zahl zu ver⸗ groͤßern, ſo nahe verwandt iſt; (5§.75. 77.) gleiche Verwandſchaft ſich auch bey der Subtraction und Di⸗ viſion findet, indem beyde gleichfalls den gemeinſchaft⸗ lichen Zweck: eine Zahl zu verkleinern, haben; ſo iſt es billig, daß dieſe 4 Species nach vorſtehender Ordnung auf einander folgen. §. 83. Da im gemeinen Leben nicht nur ganze und gebrochene, ſondern auch unbenamte und benam⸗ te Zahlen (§. 6.7. 8. 9.) zu veraͤndern vorkommen; ſo werden auch dieſe 4 Species zu dieſen verſchiedenen Arten von Zahlen gebraucht, naͤmlich, ſo wohl zu unbenam⸗ ten ganzen oder gebrochenen Zahlen; als auch zu be⸗ namten ganzen oder gebrochenen Zahlen. Dieſemnach werden wir die 4 Species nach vorſtehen⸗ der Ordnung abhandeln; B 1) in unbenamten ganzen Zahlen. (§. 86 — 174.) 2) in benamten ganzen Zahlen. (F. 175—215.) §S.84. Bey Berechnung der unbenamten Zahlen ſiehet man blos auf ihre Gradus, ob man mit Einern, Zehnern, Hunderten, Tauſenden ꝛc. zu thun ha⸗ be, um eine groͤßere oder kleinere Zahl zu finden⸗ Anm. Es wollen zwar einige neuere Arithmetici gar nichts von unbenamten Zahlen wiſſen, vorgebende: „ daß dieſe in der Natur nicht augetroͤſea wuͤrden. / Aüiein 1 . 50 Die practiſche Rechenkunſt. ob es gleich ſehr leicht waͤre, den Ungrund dieſer Mei⸗ nung darzußtellen, ſo will ich, ohne mich dabey auf⸗ zuhalten, doch nur blos meine Urſachen anfuͤhren, warum ichs hier beym Alten gelaſſen, und ebenfalls, wie viele meiner Vorgaͤnger gethan, mit den 4 unbe⸗ namten Rechnungsarten angefangen habe. 1) Weil ein Anfaͤnger in benamten Zahlen we⸗ nichts vom Dividiren gelernet hat; es muͤßten dann die Aufzaben blos in Einheiten einer Sorte beſtehen. 3. E. Es muͤßten nichts als Thaler zu addiren oder zu multipliciren vorkommen. Daferne aber die Auf⸗ gaben aus verſchiedenen Sorten, z. E. aus Tha⸗ ler, Groſchen und Pfennigen, oder aus Centner, Pfund und Loth ꝛc beſtehen: ſo muͤſſen die ſummirten Pfen⸗ nige zu Groſchen, und dieſe zu Thaler; die ſummirten Lothe zu Pfunde, und dieſe wieder zu Centner gemacht werden, welches aber nicht anders, als vermittelſt der Diviſion geſchehen kann. 2²) Weil von einem Anfaͤnger der Rechenkunſt nichts mehr zu verlangen, als daß er vorlaͤufig eine Fertigkeit erhalte, die Zahlen, ſo wie verlangt wird, entweder zu vergroͤßern oder zu verkleinern; ſo waͤre es ſehr uͤberfluͤßig, den Zahlen im Anfange Namen zu geben, welche doch zum Rechnen eigentlich nichts beytragen, wohl aber des Schreibens wegen mehr Zeit wegnehmen. Denn es iſt doch leichter zu ſagen und zu ſchreiben: addire 365 und 436, als: ad⸗ dire 365 Thaler und 436 Thaler. — Wenn hier blos die Frage nach der Summe der gegebenen Zahlen iſt, geben die unbenamten Zahlen nicht eben dieſelbe Summe als die benamten? Wozu denn der Name? 3) Da ein angehender Rechner oft etwas von den erſten vier Rechnungsarten vergeſſen kann, ehe er die letzten geendigt, ſo halte, der algemein beliebten Veräͤnderung wegen, dafuͤr, daß es mehr Anmuth als Ueberdruß erwecken; ja von großem Nutzen ſeyn muß, durch Berechnung der Benamten, als einer ſpie⸗ lenden Wiederholung, dem Gedäaͤchtniße deſto feſter eingepraͤget wird. — § 85. der addiren noch multipliciren kann, daferne er noch wenn das Vergeſſene der unbenamten Species, kamt konr A eſer Mei⸗ abey auf⸗ gnfähren, ibenfals, Auhbe⸗ ahlen we⸗ er noch ten dantt beſehen. iren oder die Auf⸗ als Lha⸗ ,Hund en Pfen⸗ mmirten gemmacht ttelſt der ceykunſſft ſg eine t wird, jnern; lifange Rentlich veten chter zu gls: ad⸗ ſer ls len it, deſelbe Name? vonn dent ehe er liebten uth als n muß, hteiei⸗ 1 ſpie⸗ fſter Die practiſche Rechenkunſt. Sr 8.85. Ehe ein Anfaͤnger der Arithmetik die unbe⸗ namte Additio anfaͤngt, wird er wohl thun, ſich erſt bekannt zu machen folgenvdes * Additionstaͤflein. 1 und oο iſt 1 4 und 4 iſt 8 1: I ,ꝛ:2 4 5 ; 9 1 ; 2 3 4 ⸗ 6 ⸗ 10 TI ; 3 „ 4 4 7 ⸗ II 1IK 4 1 514 8 4*% I2 1; 5 64 ⸗ 9 13 1 6 7 — 1½ 7 ⸗ 8 5 ⸗ 5 : 10 1I ⸗ 83 ; 9 5 ; 6 ⸗ I1I 1 9 „ 1015 7 12 . 5 ½ 8 „ 13 2 2 4 1 2 C 3 5 5 – 9 ⸗ 14 2 ½ 4 ‧½ 6 6 „ 6 ⸗: 12 2 7 5 2 716 2 6, ſ: 38 . 2 2 65 10 6 2 9 „ 1I15 * 2 ; 9 ‧ 11 7 7 : 14 3 3 67 ½ 8 1;? 3 1 4 77 9%⁹ 16 3 ; 5 8 — 3 6 „ 9 8 ⸗ 8 : 16 3 7 ⸗ 108 9 ⸗‧ 17 3 ½ 8 ⸗„ 11 — 3 ‧ 9 ⸗ 12 19 „ 9 „ 18 Anm. Sollte der Schuͤler, vor dem Anfange der Addition, vorſtehendes Additionstaͤflein noch unſicher wiſſen, ſo kann derſelbe ſich auf eine weiſſe Karte folgende Tabelle machen, und ſie, in zwerifelhaften Faͤllen, beym Rechnen ſo lange gebrauchen, bis er eine ſichere Fertigkeit im Addiren zweyer Zahlen erhalten. D252 Denn 52 Die practiſche Rechenkunſt. Denn ich halte es fuͤr weit beſſer, ſogleich; zu wiſ⸗ ſen, daß 6 und 8 vierzehen iſt, als daß man, wie manche Lehrer ſo gar in Vorſchlag bringen, entweder zu der Zahl 6 die 8 in einzelnen Unitaͤten an den Fin⸗— gern, oder auch nach hingeſchriebene Strichlein, nach gerade zu zaͤhlen. Beydes giebt unſichere und lang⸗ ſame Rechner. L e b o r 2 [3 ſ45 [6 (7 8 9] 1 2 3 4 5 6 7 8 9⁹ 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1II 3 4 5 6 7 $ ⁹ 10 1II 12 4 5 6 7 8⁸ ⁹ 10 II 12 13 5„ 6 7 ⁸ 9 10 II 12 13 14 6 7 8 9⁹9 10 II I12 13 14 15 „ 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 ⁹ 10 II T r3 14 15 16 17 9 0 I IZ I3 14 I5 16 17 18 Will man wiſſen, wie viel 6 und 8 ſind, ſo kann Man die 6 neben der Perpentieulairſeite bey a, und die 8 auf der Parallelſeite bey aufſuchen; wo beyde Li⸗ nien in den Winkel c zuſammen treffen, zeigt ſich die Zahl 14. Oder man will wiſſen wie viel § und 6 ſind? ſo wird von der Zahl 8 bey d, und der 6 bey e, der Winkel f ebenfalls die Zabln 14 4 keigen ze. Die in wi⸗ nan, die entweder Ren Fin⸗ in, nach 8d lange — ſo kant und die ehde Li ſch ie de ſdt 9 e/ r De § Die practiſche Rechenkunſt. §3 Die 4 Species in ganzen und unbe⸗ namten Zahlen. I. Additio Simplex, das einfache Zuſammenthun. §. 86. Addiren heißt etliche gegebenen Groͤßen von einerley Art zuſammen ſetzen, um dadnrch diejenige Groͤße zu finden, welche den ſaͤmtlich gegebenen gleich I. Erklaͤr. Unter gegebenen Groͤßen verſtehen wir: 1) Groͤßen von Zzahlen, z. E. Einer, Zehner, Hunderte, Tauſende, ꝛc. W 20) Von Gewichten, als: Centner, Pfunde, 3) Von Maaßen, als: Ellen, Scheffel, Kan⸗ nen, ꝛc. 4) Von Muͤnzen, als Reichsthaler, Schillin⸗ ge, Pfennige, ꝛc. 2. Erklaͤr. Groͤßen einerley Art will ſo viel ſagen: daß man nicht gemeine Pfunde a 16 Un⸗ zen, und Apotheker⸗Pfunde a 12 Unzen; oder Du⸗ katen und Reichsthaler u. d. gl. zuſammen ſetze oder in eine Summe bringe. Anm. Die Additio wird im gemeinen Leben am meiſten ge⸗ braucht: denn durch ſie allein koͤnnen wir unſere Ein⸗ nahme und Ausgabe berechnen, um dadurch zu er⸗ fabren, ob unſer Vermoͤgen zu⸗ oder abgenommen abe. Welcher Menſch waͤre wohl der weder Einnahme noch Ausgahbe haͤtte! Alle Menſchen brauchen die Ad⸗ dition. — Selbſt der Bettler macht, durch Zuſam⸗ menzaͤhlen ſeiner von milden Haͤnden empfangener Ga⸗ ben Ueberſchlag, wie groß ſein Vorrath ſey. 8S.87. Ehe ich aber zeige, wie das Addiren geſchiehet, will ich 1) einige bey dem Addiren gebraͤuchliche Kunſt⸗ woͤrter und Zeichen; 2) einige hieher gehoͤrige Re⸗ geln dem fleißliebenden Schuͤler deſten empfehlen, wa⸗ 3 oh / 54 Die praetiſche Rechenkunſt. ohne dieſelben zu wiſſen, nur ein Haus ohne Grund bauen hieße, welches im Kurzen den Einſturz zu erwarten haͤtte. Denn eben daher vergeſſen die meiſten Rechner faſt ihre ganze erlernte Rechenkunſt, oder wiſſen ſich bey vorkommenden, oft ſehr leichten Aufgaben, gar nicht zu heifen, weil ſie in ihren Lehrſtunden entweder gar we⸗ nig von Regeln gehoͤrt, oder doch dieſelbe ſehr ſchlecht und zum Vergeſſen gefaßt haben. . §.88. 14 1) Kunſtwoͤrter und Zeichen der Addition. D Numeri addendi oder ſummandi, Poſten, ſind die ſaͤmtlichen Zahlen welche zuſammengethan werden ſollen; z. E. die Zahlen 3 und 8 und 9 welche zuſam⸗ mengezaͤhlet werden ſollen, ſind Numeri addendxi. Summa oder Aggregatum iſt die Zahl welche durchs Adiren gefunden worden, und allemal ſo groß iſt, als die gegebenen Numeri addendi; 3. E. obige Nu- meri addendi: 3 und 8 und 9 geben die Summa doder das Aggregatum 20, als welche Zahl eben ſo viel Einheiten als die gegebenen Zahlen 3 und 8 und 9 enthaͤrt. Solutio. Aufloͤſung. Wird gewoͤhnlich uͤber die Be⸗ rechnung der arithmetiſchen Aufgaben geſetzt. Numerus fſignificans, eine Zahl die wirklich etwas bedeutet, und welche der Nulle entgegen geſetzt; als: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. §. 89. Man braucht bey der Addition das Zeichen P, welches plus (mehr) heißt, und ſetzt es gemeiniglich zwi⸗ ſchen die Numeri addendi, von welchen die Summa ver⸗ langt wird. Zuſatz: Dieß Zeichen kann auch fuͤr und genommen werden, als welches Woͤrtchen bey den Zuſammenzaͤh⸗ len wirklich gebraucht wird. Z. E. wenn es heißt: addire 34 P+– 56, ſo kann man eben ſowohl ſagen: 34 und 56, al: 34 plus 56, oder 56 mehr als 34. giel etg dor 692 ha be⸗ aß die Grund warten Nechner ſch dey nicht zu gor we⸗ ſclehet ſnb die werden e zuſamm lendi. durchs 8 iſt, bigeNo⸗ Summa cben ſo de ud de Be H ttbes 1, als: chen 1, ich zwe⸗ nenzih 1 heißti 1 ſage.. . als 5 4½. g. Die practiſche Rechenkunſt. 55 §. 90. Es giebt noch ein allgemeines Zeichen, welches hey allen Vergleichungen und Rechnungsarten gebraucht wird. Dieſes iſt = und heißt gleich. Wenn ich z. E. ſagen wollte, daß 5 und 3 die Zahl 8. gaͤbe, ſo wuͤrde das alſo geſchrieben werden: 5 + 3 = 8, d. i. 5 und 3 iſt gleich 8. Anm. Dieſe Zeichen ſind von großen Nutzen. Denn 1) er⸗ ſpart man bey ſlehe kurzen Schreibart Zeit und Pa⸗ pier; 2) laſſen ſich auch, wenn dieſe bekannt ſind, ma⸗ thematiſche Schriften, welche alle, des kurzen Aus⸗ Drucks wegen, mit dieſen Zeichen geſchrieben ſind, leſen und verſtehen. Die uͤbrigen Zeichen werde gehoͤrisen Orts auch bekannt machen. S9r. 2.Regeln der Addition. Reg. 1. Eine gerade Zahl, (Numerus par) zu einer geraden Zahl addirt, giebt zur Summe eine gerade Zahl; z. E. . 2 + 4 = 6. (§. 10.) Reg. 2. Eine gerade Zahl zu einer ungeraden Zahl giebt eine ungerade Zah!; z. E. 2 3 = 5§. (H. 11.) Ne⸗ 3. Eine ungerade Zahl zu einer ungeraden H Zahl giebt eine gerade Jahl; z. E. 3 † 5 =— 8. nReg. 4. Wenn 2² Zahlen mit einander addirt werden, giebt die Haͤlfte ihrer Summa den Numerum me- dium arithmetiee proportionalem (die mittlere Prroportionalzahl) zwiſchen ihnen beyden; z. E. Z 3 + 9 = 12²; halb 12 = 6. ergo iſt 6 der Numerus medius arithmetici pro- portionalis zwiſchen 3 und 9. Das Addiren Eſchiehet alſo: §. 92. Man ſetzet 1) die Zahlen, welche zuſammenge⸗ han werden ſollen, und die deshalben addendi oder jummandi genennet werden, dergeſtalt untereinander, zaß die Einer juſt unter die Einer; die Zehner unter D 4 die 4 86 Die practiſche Rechenkunſt. die Zehner; die Hunderte unter die Hunderte; die Tauſende unter die Tauſende u. ſ. f. zu ſtehen kom⸗ men, damit jeder Gradus zu ſeinem eigentlichen Gradu gezaͤhlet werden koͤnne. 2) Ziehet man, um Verwirrung zu vermeiden, eine Linie unter ſaͤmtliche addendi. 3) Faͤngt man beym erſten Gradu von unten auf, oder, welches einerley, von oben herunter an, alle in dieſem Gradu vorhandenen Einer zuſam⸗ men zu zaͤhlen, und ſodann die Summe derſelben unter die gemachte Linie, juſt unter die Einer, als ihre gehoͤrige Stelle zu ſchreiben. Nun geht man weiter und zaͤhlet, auf dieſelbe Art, alle vorhandenen Zehn er der addendorum im 2ten Gradu zuſammen, und ſetzet auch deren zdumma, wie vorher geſchehen, unter die Linie an ihre gehoͤrige 2te Eben ſo macht man es mit den Unitaͤten der Zten, 4ten, Fiten Stelle u. ſ. f. bis alle vorhandenen addendi zuſam⸗ men gezaͤhlet und alſo in eine Summa gebracht vorden. (§. 84.) Anm Daß man die Addition von der Rechten nach de Linkey verrichtet, hat ſeinen Grund in der Numerato ſelbſt. Denn weil ſich keine Zahl gedenken laͤßt, we⸗ che nicht ihren Urſprung von der erſten Unitaͤt hat, (§. 14.) auch ein einziger Einer zu 9 Enerr, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, ſchon eine Ugittt zur folgenden Zahlſtelle giebt; (§. 28.) ſo iſt es ſ billig als noͤthig, daß die Operation des Addirens ven der Rechten nach der Linken geſchehe. Ein Paac Exempel werden die Sache noch klaͤrer machen. §. 93, 1) Es werden gegeben die addendi: 3456 und 4532. Man ſoll eine Zahl finden, die weder groͤßen noch kleiner, ſondern juſt ſo groß als beyde gegebener Zahlen ſind. Man ſetze zuerſt, wie §. 92. gelehrt worden, die gege benen Zahlen auf alſo: H . 3 4 5 6 4 5 3 22 — Nun ind, ſehen . Nn ſnd 8, ihre ge die N komme alſo: gefund lig g talſe — — — erte die hen kome n Gradu den, eine ten auf, an, alle zuſam derſelben † ner, als ebe⸗ At, n im 2ter mma, wie drige 1te ten, ten, uſam cordet. ncch de . Lumerar ßt, m iitt hat⸗ Een e Uvit es 5 ſtens be⸗ in Pae . : 1 er große gebenet ſie gese Nun ihre gehoͤrige Stelle alſo: die practiſche Rechenkunſt. 57 Nun addire zuerſt die Einer, und ſage: 2 2 und 6 ſind 8, und dieſe 3 Einer ſetze juſt unter die Einer an 34 56 4 5 3 2 8 Ferner ſage: 3 und 5 ſi ſind, und da dieſes 8 Zehner ſind, ſo ſetze ſie auch an ihre gehoͤrige 2te Stelle unter die Zehner alſo: 3 456 4 5 3 2 . 8 8£ Veiter ſage: 5 und 4 ſind 9, dieſe als 9Hunderte kommen in die zte Stelle, gerade unter die Hunderte alſo: 3 4 5 6 4 5 3 2 9 8⁸ 8 Endlich ſage: 4 + 3 = 7, dieſe als 7 Tauſende 17 ſetze an ihre Stelle, ſo hat man, wie verlanget, eine Zahl gefunden, die den gegebenen Zahlen 3456 + 4532 voͤl⸗ lig gleich iſt, und das Exempel ſtehet nun ganz vollen⸗ det alſo: 3 4 6 4 5 3 2 — Summa 7 9 ⁸ 8 Beweis: Es ſind in dieſer gefundenen Summe durch die Additio, alle Einer, alle Zehner, alle Hun⸗ derte, und alle Tauſende, welche die Numeri ad- dendi enthalten, nachgerade gebracht worden; mit⸗ hin iſt dieſe Summe voͤllig gleich der gegebenen Addendorum: folglich muß ſie auch, die verlangte Fhl, richtig ſeyn. D 5» §. 94. 58 Die practiſche Rechenkunſt. §. 94. Nun wollen wir auch eine Aufgabe auflöſen, in welcher die Anzahl jeder Axt von Einern in der Summa die Zahl 9 uͤberſteigt, um zu zeigen, wie daher, der Nu- meratio gleich, die Zahlen aus einem Gradu in den an: dern Gradum uͤbergehen muͤſſen; z. E. 2) Es werden gegeben die Zahlen: 345 678 TP409. Man n ſoll die Summa derſelben finden. Solutio 3 4 F 578 4 9⁹ — 2 2 a X I . . b . I 3.. . . C Summa 1 4 3 2 Alle Einer, naͤmlich 9 +£+ 8 †£+ 5 = 22 Einer, oder 2 Zehner und 2 Einer, ſind hier bey a an ihre gehoöͤrigen Stellen geſetzt worden; ferner alle Zehner (die nichts zaͤhlende uͤbergangen) 7 + 4 = II Zehner, oder 1 Hundert und 1 Zehner, ſind ebenfalls an ihre gehoͤrigen Stellen bey b geſetzt. Endlich alle Hunderte der zten Stelle, naͤmlich 4 + 6 + 3 = 13 Hunderte, ſehen 9 an ihren gehoͤrigen Stellen bey c. Eine kurze Ueberſi cht des Geſchehenen, w wird den Uebergang der Zahlen, aus einer Zahlſtelle in die andere, deutlich zeigen. Denn da die Summa aller Einer der erſten Zahlſtelle uͤber 9, naͤmlich 22, d. i. 2 Zehner und 2 Einer betrug, ſo konnten auch nur 2 Einer in die erſte Stelle kommen, die 2 Zehner aber mußten in die 2te Stelle an ihren Platz geſetzt werden, wie bey a zu ſehen. Ferner fanden ſich, bey Zuſammenzaͤhlung der Zehner, in der 2ten Stelle abermal mehr als 9 Zehner; es waren 11 Zehner, d. i. I Hundert und 1 Zehner, und ſo iſt das von dieſen ſummirten Zehnern entſtandene Hundert idie 3te Stelle aͤbergegangen, wie bey b ſichtbar. Seoleh “ e⸗ Eetrug JHunde Tauſe u ſehen en abe⸗ her geſ Zahl1 Ber auflͤſen, Summa der Nu- den an⸗ P40,. t, tNe hutigen lichts oder 1 herigen er zten Hen an 1d hen ndere, er der er und e erſte ie 2te ſchen. t, in . waren ſ d die ſdlich Ne⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 9 betrug die Summa der Hunderte 13, d. i. I Tauſend und 3 Hunderte, und ſo iſt das aus der 3ten Stelle entſtandene Tauſend in die 4te Stelle uͤbergegangen, ſo wie in c zu ſehen. Ziehen wir nun unter dieſe alſo gefundene Zah⸗ len abermal eine Linie, und bringen dieſelbige, wie vor⸗ her geſchehen, in eine umma, ſo entſteht die verlangte Zahl 1432. ZBew. Es ſind hier alle gegebenen Einer bey a, alle gegebenen Zehner bey b. auch alle gegebenen Hunderte bey c in ihre Summen gebracht: da nun dieſe Summen a + b c, welche wirklich alle Einer, Zehner und Hunderte der gegebenen ad- dendorum enthalten, in eine Summe gebracht worden, ſo muß auch dieſe Summe gleich ſeyn der ſſaͤmtlichen addendorum; folglich muß es mit dieſer Rechnung ſeine voͤllige Richtigkeit haben. §. 95. Weil dieſe vorſtehende Art zu addiren blos her⸗ geſetzt worden, um angehenden Rechnern zu zeigen, wie bey dem Addiren ſtets Zahlen aus einer Zahlſtelle in die andere uͤbergehen — ſo will ich nun auch die genoͤhnliche kuͤrzeſte Art, bey welcher keine doppelte Zu⸗ ſammenzaͤhlung noͤthig iſt, zeigen. . Man jzaͤhlet erſt, wie vorher, alle vorhandenen Einer uſammen, ſchreibt aber nicht die ganze Summe derſel⸗ en, wie vorher geſchehen, nieder, ſondern nur blos die n ſolcher Summe enthaltenen Einer an ihre Stelle; die aus den Einern entſtandenen Zehner aber behaͤlt man ſo lange im Sinne, bis die Einer an ihre Stelle geſetzt worden: ſodann zaͤhlet man die im Sinne behaltenen Sehener ſogleich zu den Zehenern der Addendorum, deren voͤllige Summe ebenfalls nicht niedergeſchrieben dird, ſondern nur allein die in derſelben befindlichen Ze⸗ ener; die Hunderte aber werden wieder im Sinn eerxhalen, und, nach niedergeſchriebenen Zehenern, zu en Hinderten der Addendorum gezaͤhlet ꝛc. WVr wollen zu mehrerer Erhellung die vorige Aufgabe gebrauten. So- 60 Die practiſche Rechenkunſt. Solutio 3 4 5 6 7 8 4 9 4 3 2 c b a 1 d Fange, wie vorher, bey den Einern an, und ſage: 9 und 8 ſind 17, und 5 ſind 22. Nun ſetze die in dieſer Summe enthaltenen 2 Einer an ihre Stelle bey a, und behalte, ſo lange bis dieſes geſchehen, die 2 Zehner im Sinne. Sage ferner: 2 im Sinn und o = 2, und 7 ſind 9, und 4 ſind 13. Schreib, nachdem die I, als I Hundert, im Sinn genommen, die 3, als Zehener, an ihre Stelle bey b. Endlich ſage: 1 im Sinne und 4 ſind 5, und 6 ſind 11, und 3 ſind 14. Da nun dieſes 14 Hunderte ſind, auch nichts weiter zuſammen zu zaͤhlen iſt, ſo werden dieſe 14 ganz an ihre Stellen bey c und d niedergeſchrieben, als womit die Rechnung geendigt, auch, zum Beweiſe der Richtigkeit, eben dieſelbe Zahl 1432 erſchienen iſt, welche wir in vorhergehender So⸗ lutio gefunden. . §. 96. Mehr der Curioſitaͤt als des Nutzens weger, will ich blos nur anfuͤhren, keinesweges aber Gebrauc davon zu machen, anrathen, daß man auch von der Lin ken zur Rechten addiren, und ſo die wahre Summa fin den koͤnne, ſo wie ſchon Desaiguiller im Tractate de Scientia numerorum gewieſen. Wir wollen hiezu die vorige Aufgabe gebrauchen: =ð olutio 4 5 „△ △0 O Ail lche 13 Ferner ſ gehorige auch al Stellen ec in verlangt We⸗ weitlatn Na ſo: Ale Rt dien o noͤthig a0dena geben n an kan enander ezeigt alle 3 ien in llten durchſ niine r diehen ind ſage: in dieſet 4, und hner in— , und/ 1, als 1 ener, an und 4 n dieſes hlen e und d kendigt, be gahl der So⸗ weet, Bebraub der Lit ma fin nne de. en: dienen. Die practiſche Rechenkunſt. 61 Alle Hunderte zuſammen gezaͤhlet, gaben hier 13, wlche 1300 ſogleich bey a voͤllig niedergeſchrieben worden; Ferner ſind auch alle Zehner, deren hier 11 ſind, an ihre gehoͤrige Stellen bey b niedergeſchrieben; Eben ſo ſind auch alle Einer, deren 22 gefunden worden, an ihre Stellen bey c geſetzt. Endlich ſind die Hummen a — b c in eine Summa gebracht; mithin geſchehen, was verlangt worden. Wer ſiehet aber nicht, daß dieſe Art zu addiren viel weitlaͤuftiger als die vorige iſt? Man koͤnnte dieſe letzte Art zwar noch etwas abkuͤrzen alſo: . Solutio 3 4 5 7 S 0 9 2 +△ R I — I 2 Summa 1 4 3 2 Allein dem unerachtet bleibt doch die §. 95 angewieſene Art die kuͤrzeſte, mithin die beſte. §. 97. In der wirklichen Praxi hat man nicht immer noͤthig, wie gelehret worden, erſt alle gegebene Numeri addendi unter einander zu ſetzen, zumalen wenn die Auf⸗ gaben nicht groͤßer, als die vorhergehenden ſind; ſondern man kann die ſummandi auch ſchon ſo, wie ſie neben einander da ſtehen, berechnen, wenn man, wie vorher gezeigt worden, erſt alle Einer zuſammen zaͤhlt; dann alle Zehner, endlich alle Hunderte ꝛc., jedoch mit dem Unterſchiede, daß man allemal die zuſammenge⸗ zaͤhlten Einer jeder Art, um Verwirrung zu vermeiden, durchſtreicht, den Betrag derſelben aber nach und nach an eine beliebige Stelle ſetzet. . Zur Probe mag nochmals ſchon bekannte Aufgabe Addire 3 45 + 6578 †+ 4 %%. Summa I1432 a. H Man 62 Die practiſche Nechenkunſt. Man zaͤhle alle Einer zuſammen, als: 9 +8 = 17 P 5 = 22. Nachdem dieſe zuſammengezaͤhlten Zahlen durchſtrichen, ſo werden die 2 Einer an einen beliebigen Ort bey a geſetzt. Ferner ſage: o +7 7 +4 = 11 und die 2 im Sinne = 13; nachdem die zuſammengezaͤhl⸗ ten Zehner abermal durchſtrichen, ſetzt man die 3, als ſo viel Zehner, an ihre gehoͤrige Stelle, und behaͤlt, wie vor⸗ her, die 1 im Sinne. Nun ſage endlich: 1 im Sinne. 4 5 +– 6 = 1I P+ 3 = 14:; dieſe vor die ſchon daſehenden Zahlen geſetzt, ſo erſcheint, zum Beweiſe, daß richtig gerechnet worden, die vorhergehende Summa 1432. §. 98. Da wir nun, nach dem was bisher von der Additio gelehret worden, ſchon im Stande ſind, mehr dergleichen Aufgaben, deren Numeri addendi aus glei⸗ cher Anzahl Ziffern beſtehen, aufzuloͤſen, ſo wollen wir gleich zur Aufloͤſung nachfolgender Aufgaben ſchreiten, wenn wir vorher noch ein fuͤr allemal bemerkt haben: 1) Daß alle Nullen bey der Addition, ais nichts zaͤh⸗ lend, voͤllig im Summiren uͤbergangen werden, 2) Daß, wenn alle vorhandenen Einer juſt eine volle Anzahl Unitaͤten zum folgenden Gradu enthaͤlt, ſo, daß kein Numerus ſignificans uͤbrig bleibt, man den Mangel ſolcher Einer, wie §. 28. gelehret wor⸗ den, in der Summa mit einer Null bezeichne; z. E. 3) Addire 3478 + 4612. Solutio 3 4 7 BG 4 6 1I 2 Summa 809 0 . In dieſer Aufgabe ſind 2 P+ 8 Einer, juſt 10 Einer, alſo 1 Zehner und kein Einer. Nun wird der Mangel der⸗ Einer in der Summe mit einer o bemerkt. Die im Sinn genommene 1 + 1I = 2 + 7 = 9, als die 2te Ziffer der Summe. Ferner 6 + 4 = 10 Hunderte, alſo. wieder fuͤr die Stelle der Hunderte nichts, derohalben die⸗ hieſer D merkt t⸗ ſend zu gene 8 K00. die Und gie Vater Ahüen Wen nichte BeD n Zahen Ulliebigen 4 I1 bengezih⸗ 13, als ſo „wie vor⸗ n Einne. die ſchon Beweiſe, Gumma von der d, mehr aus glei⸗ len wir ſchreiten, en: ts zah⸗ den, evolle ſilt, ſ⸗, bt, mas ket wor⸗ ſe; E Einer, ngel der Sinn hiffer te, alſo olben diet Die practiſche Rechenkunſt. 63 dieſer Mangel, wie vorher, in der 3ten Stelle mlt O be⸗ merkt wird. Endlich das im Sinn genommene 1 Tau⸗ ſend zu 4— 5 + 3 = 8, neben das vorige, ſo iſt d die ganze dumma = = 8090. §. 99. I. Aufgaben deren Numeri addendi aus gleich vielen Ziffern beſtehen. 44) Man ſoll eine Zahl finden die ſo groß als 3456 £ 5604 T+ 3250 + 8732. 55 Was iſt die Summa von 46384 + 32965 + 78203 +† 54628? 6) Was geben 38426 P+ 56803 T+ 42675 T. 98040 fuͤr eine umma? 7) Addire 759384 36 402 P. 483917 †. 529436. Wieie groß iſt die Jumma? 38) Addire 459879 5689z6 Ti4512 23 T. 579545. Was fuͤr eine Summa? 9) Man ſinde eine Zahl ſo groß als: 106arz68 31234 + 45 123 + 798561! F. 100. 2. Aufgaben deten Numeri addendi nicht aus gleich großen Zahlreihen beſtehen. Hierbey iſt nichts weiter zu bemerken, als daß; man die Numeri addendi nach §. 92. in gehoͤriger Ordnung, und gleichſam ruͤckwaͤrts, der natuͤrlichen Folge nach, unter einander ſetze. Denn nichts erſchweret das Addiren mehr, und giebt mehr Anlaß zu Irrungen, als wenn man, zumalen bey großen Aufgaben, die Ziffern nicht i in gerader Richtung unter einander ſetzet. 10) 64 Die practiſche Rechenkunſt. 10) Thue nſammen: 19876 † 87634 † 76033 P 9782 †+ 1234562 2 . — — 2. bNe +☚ O△O + O△ ◻οπ OνN π △☚ △ $ι &c. 11) s ,s8 .arz6 z6/8 , 13004 T 213. .ę Wie viel betraͤgts in Summa? 12) Wie groß iſt die Summe von 2145T508 †61724 5 P 4973 + 102 13) Was fuͤr eine Summe geben 578932 P6009 12768 P 54763 + 45902 P+ 3476 † 980+72 +122 14) Aodire 5 . 67 † 890 T. 3214 PT 78473 T 102372 . 5632127 †54032190 + 2302156042 15) Was betraͤgt die Summa von 567890747 + 21032109 †+ 88762 † 532423 † 54073 †+ 2103 + 987 †+ 46 † 82 16) Addire 1230579 + 42652 P 40532 T 9832 P†+ 456 . 24 + 9 T. z6 307 P 9300 T+ 842 13 †. 764321 P+ 98760212 17) Addire 543205043256 P 582 32 0053 P 12 30023 2300112 + 945000 + 234562 §. 101. Man kann ſich die Beſchwerde bey Summi⸗ . zung vieler Addendorum auch dadurch ungemein erleich⸗ tern, wenn man dieſelben, nach Belieben, etlichemal durchſchneidet, und alſo gleichſam Stuͤckweiſe berechnet. Folgende Aufgabe wird die Sache aufklaͤren. 18) Addire 485 T688 P+ 784 P 212 T 342 † 52 1 PB220 PA4 12 P+ 345 P+ 878 T+9 12 † 321 +1 ο επ°G¹‧13 .* 45 †a3 T42 1 T 321 T413 † 5 7 † 309. S. rr. — — –° 2 X 10 +— d5 —, — — — — — 41 53† Die prartiſche Rechenkunſt. 65 Solutio 4 8 5 Man addire, wie ſchon bekannt, 6 88 den erſten Abſchnitt, und ſetze 7 84 deſſen Summa unter den verlaͤn⸗ 2 I 2 gerten Strich bey a 342 — 5 2 I 2 5 I I 2 2 0 . . . . ben ſo den 2ten Abſchnitt, deſſen 4 I 2 . . . . Summa bey b. 9 I 2 . . . . 3 2 1 3 2 8 8 b 10°$△ . . . Imgleichen den 3ten Abſchnitt, 2 1 3 . . . . und deſſen Summa bey c. 4 5 0° . . . 2 I1I 3 „ % „ *% 4 2 1 I 297c. 3 2 I . . . . Dann den Aten Abſchnitt, und 4 I 3 . . . . deſſen Summa bey d. 3 5 5 . . . . Endlich alle Summen der Ab⸗ . ſchuitte a + b + c ◻ d in eine 2 47 1IG Haupt, Summe gebracht. Summa 9 5 6 7 §. 102. Bieweilen ſteigen, bey großen Aufgaben der Addition, die ſaͤmtlichen Unitaten einer Art auf oder noch dͤber [00. In dieſen Falle ſetzet man nur die erſte Ziffer der kleinſten Unitaͤten in die Summe, und behaͤlt die äbrigen zwo Ziffern im Sinne, um ſie auf einmal zu den folgenden zu ſummiren. 3. E. Es haͤtten alle Einer der erſten Stelle 236 betragen, ſo ſetzt man die 6 Einer unter die Einer der erſten Stelle, und behaͤlt 23, als ſo viel Zehener, im Sinne, um ſie ſogleich zu den ſolgenden Zehenern zu ſummiren. E Und 66 Die practiſche Rechenkunſt. W Und ſo verfaͤhrt man mit allen folgenden Zahlſtellen, de⸗ ren Summen hund ert oder mehr gegeben haben. 19) Addire 88776655 T+ 9087060 50432 P. 815762 P 9705 + 887 + 991024 + 67891 + 9083 †+£ 345678 +£ 4567890 + 1047220672 20) 859424 + 999999 +ο987699 †+◻ρ589769 860998 432989 ·+ε987679 P+7 89489 + 887658 + 5 41 99 P 888888 + 919099 + 854859 + 245798 999999. . Anm. Weil mir aus der Erfahrung bekannt iſt, daß die Anfaͤnger, einer jeden Kunſt, groͤßten Theils mit bren⸗ nender Begierde bald weiter zu kommen ſtreben, und man daher leicht Gefahr laufen kann, den Trieb nach fernern Fortkommen zu ſchwaͤchen, daferne man ſich bey ſchon gefaßten Lehren zu lange verweilet; ſo habe mit Fleiß der Addition ſo enge Schranken geſetzt, zu⸗ malen bey der Multiplication noch Gelegenheit genug vorkommt, um die Addition ferner in Uebung zu brin⸗ gen. Sollte aber einem Fleißliebenden dieſe Anzahl von Aufgaben dennoch zu klein deuchten, ſo koͤnnen dieſelben noch einmal durchgegangen werden, und das mit mehrern Vortheile, als wenn noch eine Anzahl fremder Aufgaben aufzuloͤſen gegeben worden, welche doch nichts, als was bereits vorgekommen, enthalten koͤnnten. Von der Proba der Additio. §. 103. Nach der Berechnung einer arithmetiſchen Aufgabe entſtehet oft der Zweifel: ob man auch richtig ge⸗ rechnet habe? Dieſerwegen iſt noͤthig arithmetiſche Unter⸗ ſuchungen anzuſtellen, um zu einer voͤlligen Gewißheit zu gelangen. Eine ſolche Unterſuchung aber wird gemeinig⸗ lich die Proba genennet. Ob nun wohl die Prosben der Addition ſaͤmtlich den Fehler haben, daß ſie entweder zu weits veitl allein So chen n anden bon de Tus ad Ann len, der n. 915762. Nadz 98609098 5 499 58 „Iaß die mit bren⸗ Ken, vrd nieb nach nran ſch ſe de ſſett,/ u⸗ eit genug gin brin⸗ Wuhl 6e nnen 4 und das te Auhl / velche elthaltn nefſten rſttig 9e ge Unten⸗ beit iu wuain 6 ed u ilte Die Prartiſche Rechenkunſt. 67 weitlaͤuftig, oder auch nicht ſicher genug, und dahe allein der Rath gegeben werden koͤnnte: Man rechne richtig! So will ich doch der Proben drey hier herſetzen, von wel⸗ chen man ſich die deſte waͤhlen kann. I. Proba. Man ziehe einen Numerum addendum nach dem andern von unten herauf, bis auf den letzten nach, von der Summa ab, ſo wird der nicht abgezogene Nume- rus addendus, zur Probe der Richtigkeit, uͤbrig bleiben. Anm. Allein da dieſe Probe fuͤr Aufaͤnger, welche noch nicht ſubtrahiren koͤnnen, unbrauchbar, fuͤr die aber, welche ſo geſchickt ſind, viel zu weitlaͤuftig, zu⸗ malen bey großen Exempeln, ſo iſt ſie auch nicht zu empfehlen. 2. Proba, Man mache neben der Solutio ein Andreaskreutz; ſo⸗ dann ziehe man von den Numeris addendis ſo oft dis Zahl 9 ab, als ſichs thun laͤßt, was aber als unter 9 uͤbrig bleibt „ſetzet man in den obern Winkel des Kreuzes; bleibt nichts uͤbrig, ſo wird eine o dahin geſetzt. Eben ſo verfaͤhrt man hernach auch mit der Summe, und ſetzet den Ueberreſt, d. i. die Zahl, welche unter 9 uͤbrig bleibt, in den untern Winkel. Solutio Solutio 11½ S . 7 7 1 197 7 72 2 JT 9 7 7 Z Man pflegt, um Irrung zu vermeiden, die bey Neunen gezaͤhlten Zahlen, wie hier ſichtbar, zu durchſtreichen, E 2 Anm. 68 32 Die practiſche Rechenkunſt. . Anm. Auch dieſe Probe hat den großen Fehler, daß man deren Zuverlaͤßigkeit nicht trauen kann, weil oft im Kreuze gleiche Zahlen ſich finden koͤnnen, obgleich die Summa falſch iſt. 2è Es könnten z. E. die Ziffern unſerer vorſtehenden Summa 19772 zwar alle da ſtehen, aber nur nicht an denſelben Zahlſtellen, ſie koͤnnten ſo ſtehen: 19727, ſo wuͤrde ebenfalls die Zahl 8 uͤbrig bleiben, und dennoch dieſe Summa falſch ſeyn, weil in derſelben ſtatt 7 Zeh⸗ ner nur 2 Zehner; und ſtatt 2 Einer? Einer befindlich waͤren. Dieſem nach iſt auch dieſe Probe nicht zu empfehlen. 3. Proba. Man ſummire einmal von unten hinauf, das andere⸗ mal von oben herab; giebt dieſes gleiche Summen, ſo iſt an der Richtigkeit nicht zu zweifeln. oder Man addire zum 2ten Male auf die Art wie §. 94. ge⸗ zeiget worden. §. 104. Bevor wir, nach gruͤndlich erlernter Addi⸗ tion, zur Multiplication uͤbergehen, muß ich erſt, und zwar aufs nach druͤcklichſte empfehlen: Das auf die ganze Rechenkunſt den groͤßten Einfluß habende Ein mal Eins. Dieſes muß mit beſtem Fleiſſe erlernet werden, weil ſonſt, ohne daſſelbe gruͤndlich zu wiſſen, wo nicht unmoͤglich, doch uͤberaus ſchlecht fortzukom⸗ men iſt. Ja den Schuͤler, weicher dieſe kleine Arbeit ſcheuet, kann ich auf Treue und Glauben verſichern, daß er im ganzen Leben ein ſchlechter Rechner bleiben, mithin Gis ein Rechenmeiſter werden wird. * — — — — — — — — ò — — —.— —⏑ –⏑ — + — W% ☚ &τ △ n „ + & %ο ο ⏑ & ο e ee e NHARDSOENANANTTD& O NSZYRE S= — „„ „„ „* „„. „⏑. . . .„ –„ S er £ —νοςυe . ⅓ cer e e Eee ° △ S 3 E △. , ⏑. „ . „ A “ * N — — — — S S N N . π . σ ο ⏑ 0 ο% Wμ . Q.ρQι ο O ρπ . π W△ α¾☚ ,ϑρ † O π☚Q.απ ω u e Q °△ O ☚ μ £π K2 P„ π ° ϑ & Aen τ. n en e. E Oen e de e r ”«”M „ 8 S S — — — A Snrrana n— * — — — — A —w — 2 νoο α.— c h e e h te e ee ee S= S E — — „ N ⏑ =S *☚ TtXtTTITTTX OQMQMπMππ. ρν MνnD π α πϑ ◻☚ ° °° . O R α☚0 — + — GOK & c—ο πW.ο α A& π %- & ò S. e RHRAHS GR = „„ „— — „ R 2—— — „ . A O — „. — — c ας .ος . e e e ee e eee e e 5 „= „ „— — „ . „ — — „* „ — — .*„ aA — = n ddA QA & & & . en e e e ee. =SeO z ee - D EE ee =S– & ☛ S=S S = =– S == SSS — — = — — — — — — — — 70 Die practiſche Rechenkunſt. II. Multiplicatio in unbenamten ganzen §. 105. Multipliciren oder vermehren, heißt: die eine von zwo gegebenen Zahlen ſo vielmal nehmen, als die andere gegebene Zahl Einheiten enthaͤlt. (§. 77.) Z. E. Man ſoll eine Zahl finden, die 3 mal ſo groß als 6 iſt: d. i. man ſoll 3 mal ſo viel Einheßten, als die 6 ent⸗ haͤlt, finden, welches 18 find. Daß aber die gefandene Zahl 18 die richtige verlangte Zahl iſt, ergiebt ſich auch durch die Addition: denn ſetzt man die gegebene Zaht 6 dreymal unter einander, und addirt alle die in dieſen Zahlen vorhandene Einheiten, ſo wird ebenfalls die Zahl 18 zur Summe kommen. §. 106. Es erſtreckt ſich aber der Gebrauch der Multi⸗ plikation im gemeinen Leben uͤberaus weit. Man braucht ſie beſonders, wenn die Aufgaben durch die Addition zu weitlaͤuftig aufzuloͤſen waͤren; (§F. 78.) uͤberhaupt aber da, wo nur zwo Zahlen in der Aufgabe vorkommen. Z. E. Man ſoll groͤßere Unitaͤten in gleich große klei⸗ nere Unitaͤten verwandeln: Man ſoll 36 Rl zu Schillingen machen. Hier muß ich die Zahl 36 mit der Zahl 48 multipliciren, weil jeder einzelne Thaler 48 fß; enthaͤlt, und ſo wird 48 mal 36, oder welches einerley, 36 mal 48 die Anzahi kleinere Unitaͤten, von gleicher Groͤße, die hier Schillinge heiſſen, geben, als die ſaͤmtlichen 36 groͤßere Unitaͤten, welche Thaler heißen, derſelben enthalten. Oder: Man ſoll eine gegebene Anzahl Dinge ſo viel mal nehmen, als durch eine andere gegebene Zahl verlangt worden: Z. E. Man ſoll die Anzahl Baͤume beſtim⸗ men, welche zu 24 Alleen noͤthig, wenn jede derſel⸗ ben 236 Baͤume enthalten ſoll. D. i. Man ſoll eine Zahl finden, die 24 m al 236 enthaͤlt. Anm. Es ließen ſich noch uͤberaus viele Faͤlle, wo die Mul⸗ tiplication gebraucht wird, angeben „ weil ſie aber der Anfaͤnger nicht verſtehen wuͤrde, die kuͤnftige Praxdin aber dergleichen Faͤlle zur Gnuͤge darbieten wird⸗ s K1 ſchieht, einige d und Je⸗ voran enpfehl 1. K kidor Pl Nultip rel Uultip “ Produs 1 Dhuiir⸗ Dupm Triplit Trilu AQuadr Quadr dr Eine 4 Ubire 5 Cn Cubi nen t: die . en, als 87) eß als 6 cht⸗ fandene ich auch dieſen l die Wulti⸗ Lraucht ton zu t aber 1 etlei⸗ 36 n t Thalet. veſches itaten, eiſet, lͤten, Oder: mal tlangt ſtim erſelt Reine ul⸗ er det Gropi s Die practiſche Rechenkunſt. Tr mag es bey dieſen wenigen bleiben, zumalen hieraus klar wird, welchen großen Nutzen die Multiplication berp dergleichen, als angefuͤhrte zwo Aufgaben, habe: Dienn daß dieſe beyden Aufgaben durch die Addition nicht ohne große Weitlaͤuftigkeit aufzuloͤſen waͤren, iſt ſchon 9. 78. erwieſen. H §. 107. Bevor ich zeige, wie das Multipliciren ge⸗ ſchieht, werde erſt, wie bey der Additio §. 88. geſchehen, einige bey der Multiplicatio gebraͤuchliche Kunſtwoͤrter und Zeichen, nebſt einigen hierher gehoͤrigen Regeln, voran gehen laſſen, welche wohl zu merken, ich beſtens empfehle. 1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Multiplicatio. Faéctores, heißen die Zahlen, welche mit einander multi⸗ pliciret werden ſollen. 4 Multiplicandus, iſt die Zahl (Factor) welche multiplici⸗ ret werden ſoll. Multiplicans oder Multiplicator, der andere Factor, mit welchen multipliciret werden ſoll. Produ& oder Factum, iſt diejenige Zahl, welche nach der Multiplicatio gefunden werden. Dupliren, heißt eine gegebene Zahl mit 2 multipliciren. Duplum iſt das Produét einer duplirten Zahl. Tripliren, heißt eine gegebene Zahl mit 3 vermehren. Triplum iſt das Factum einer triplirten Zahl. Quadriren, heißt eine Zahl mit 4 vermehren. Quadrat oder Quadruplum, iſt das Factum einer que drirten Zahl. Eine Zahl mit ſich ſelbſt vermehren, heißt: zwo gleichnamige Zahlen miteinander multiplicirxen; z. E, 4 mal 4 oder 5 mal 5 ꝛc. Cubiren, heißt eine Zahl mit ſich ſelbſt, und das gekommene Produét noch einmal mit dem Multiplicatore ver⸗ mehren; z. E. 4 mal 4 iſt 16, und 4 mal 16 = 64. Cubus, oder beſſer— Cubiczahl, iſt das letzte Factum der cubirten Zahl, als hier 64 E4 Raæ- 72 Die practiſche Rechenkunſt. Radix oder Wurzel, iſt der M ultiplicandus, woraus eine Quadrat zahl oder eine Cubiczahl entſtanden: ſo iſt 3. E. 4, die Quadratwurzel von 16, und 4, die Cubic⸗ wurzel von 64. d. 108. Das Zeichen der Multiplication, welches ſich die Mathematiker der Kuͤrze wegen hedienen, iſt (.) oder , nebſt den ſchon bekannten Zeichen der Gleichung — 2 — d“* .* 3 und 6 mit einander multipliciret merden ſollen, und wovon alſo das Factum verlanget wird. Will man das gekommene Produét der Aufgabe beyfuͤgen, ſo ſteht es alſo: 3 σπ 6 = 19, oder 3.6 –— 18. Wird geleſen: 3 multplicet mit 6 iſt gleich 18, oder kuͤrzer: z mal 6 gleich 18. . §. 109. 2 Regeln der Multiplication. Reg. I. Eine gerade Zahl duſch eine gerade Zahl mittplieirt, giebt ein Produét einer geraden Zah (HS. 91I. Reg. I.); z. C. 4— 6 = 24. Reg. 2. Eine gerade Zahl durch eine un gerade Zahl multiplicirt, giebt zum Producét eine gerade Zahtz; z. E. 3 —◻ 8 = 24 Reg 3. Eine ungerade Zahl mit einer ungeraden Zahl vermehret, giebt das Factum einer ungeras⸗ den Zahl; z. E. 3 bσ7% 21. Nota: Bey der Additio iſts anders. vid. J. 91. Reg. 3. Reg. 4. Zwo Zahlen moͤgen mit einander multipliciret werden wie man will, ſo geben ſie doch einerley Praducécte, d. i. man mag von 2 gegebenen Zahlen zum Multiplicando nehmen, welche von beyden man will, ſo kommt doch ein und daſſelbe Product; „ C. 3 ☚α9 = 27, und eben ſo: 9 ☚ 3 — 27. Reg. 5. Die I multipliciret nicht. D. i. Eine gegebene Zahl kann durch die Multiplicatio mit I um nichts vergroͤßert werden; z. E. 1 αι 5 = 5, und auch * unmgekehrt: 5 α I = 5 ꝛc. 3 ✕ 6 oder 3. 6 bedeutet: daß die beyden Factores —.— e5„ — — Kr vielig zum An lich, Ne ls M catoren Unter n ſo me ten, e Race Unter verne aus eine ſo it Cubice ches ſch iſt l.) echung Sores 8 ſolen, ryfügen, 18. 19, oder de gehl en Zohl geradt gerade eraden gera te Rep 3 ſkierett nerley Hahlen beyden oguct; . egebene nichts 119 zu vermeiden, unter beyde ein. Linie gezogen. Z. E. Es 5 Die praetiſche Rechenkunſt. 7 ½ Zuſatz: Dieſer Regel zufolge, darf man hinter eine Zahl, welche mit 10 vermehret werden ſoll, nur eine „; hinter eine Zahl, welche mit 100 vermehret werden ſoll, zwo Nullen; hinter eine Zahl welche mit 1000 multipliciret werden ſoll, drey Nullen ſetzen, ſo iſt die Multiplicatio geſchehen; z. E. 10 α☛ 86 = 860; 100 ◻ 86 = 8600; und 1000 ☚ 86 = 86000. Reg. 6. Die Null ſelbſt kann nicht multipl ieiren; z. E. 4 = 0, und auch umgekehrt 4 %α— 0. Zuſatz: Daraus folgt, daß wenn einer oder der andere von den Factoribus Nullen enthaͤlt, die zwi⸗ ſchen geltenden Zahlen ſtehen, dieſelben allemal, als nichts gebende, uͤbergangen werden, ſo wie in der Folge gelehret werden ſoll. Reg. 7. Wenn zwo Zahlen mit einander multiplicitet werden, ſo meſſen ſie auch beyde das kommende Factum aus; z. E. 7 ◻ 8 = 56. Ergo kann das Produét 56 ſowohl mit 7 als auch mit 8 dividiret werden, ſo, daß es allemal ohne Reſt aufgehet. Anm. Dieſe Regel wird erſt dann vollkommen verſtanden werden, wann man erſt Dividiren gelernt hat. Wie das Multfpliciren geſchieht. H G. 110. Ob es wohl, nach §. 109. Reg. 4. gleich⸗ viel iſt, welchen von beyden gegebenen Factoribus man zum Multiplicando annimmt: ſo fetzet man doch gewoͤhn⸗ lich, der Bequemlichkeit wegen, den groͤßten Factorem als Multiplicandum oben, darunter aber den Multipli- catorem, und zwar Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderte unter Hunderte ꝛc. eben ſo, wie bey der Addition §. 92. gelehret worden, weil man auf dieſelbe Art, von der Rechten nach der Lin⸗ ken, das verlangte Factum darſtellen muß. (§. 92. Anm.) Nachdem beyde Factores gehoͤrig und angewieſenermaſſen unter einander geſetzet worden, ſo wird, Verwirrung zu wuͤr⸗ 74 Die practif ſche Rechenkanſt. wuͤrde das Factum von 345 b 18697 verlangt, ſo wuͤr⸗ de der Aufſatz alſo ausſehen: B 1 869 7 3 4 5 Wie dergleichen Aufgaben gerechnet werden, um zu dem verlangten Facto zu kommen, ſoll an ſeinem Orte deutlich gezeiget werden. Erſt wollen wir uns, wie bisher geſchehen, mit den leichteſten Aufga⸗ ben bekannt machen, dann nach gerade zu ſchwerern uͤbergehen. 1) Aufgaben, wo der Multiplicator nur aus einer Ziffer beſtehet. §. 1III. Weil, nach §. 105, zwo gegebene Zahlen mit einander zu multipliciren ſo riel heißt, als den einen gegebenen Factorem ſo viel mal nehmen, als der an⸗ dere Factor Einheiten enthaͤlt; ſo muͤſſen auch alle Arten von Unitaͤten des Multiplicandi ſo viel mal ge⸗ nommen werden, als der Maltipl icator Einheiten ent⸗ haͤlt. D. i. Wenn eine gegebene Zahl mit 2 multipliciret werden ſoll, ſo muͤſſen auch alle Einer, alle Zehener, alle Hunderte, alle Tauſende ꝛc. welche der Multipli- candus enthaͤlt, 2 mal genommen werden. Und da die⸗ ſes iſt, ſo muͤſſen nothwendig eben ſo, wie bey der Addi⸗ tion, immer Unitaͤten einer Zahlſtelle zu Unitaͤten der fol⸗ genden Zahlſtelle uͤbergehen. Z. E. Man ſoll 345627819 wit a multiplciren: Solutio. 3 4 5 6 27819 Mntiplicandus . . . . . . . . 2 Multiplicator „ I . . . . I 4 . I 2(4 . , I G°. „,ẽ 6(8 . .⸗ „ „ Prodoct 6 9 1 2 5 5 6 3 8 g Da⸗ Dr tiplieite folgende hen, ſu verſch Augen — — ,I]W h—— — — Die praetiſche Rechenkunſt. 75 vin Damit man deutlich ſehen moͤge, wie durch das Mul⸗ tiplieiren, von jedem einzelnen Producte immer Ziffern i in folgende hoͤhere Zahiſtellen, wie bey der Addition, uͤberge⸗ hen, ſo habe vorſtehende Rechnung, nach allen ihren um Nu verſchiedenen Unitaͤten, gleichſam ſtuͤckweiſe vor ſinen Augen gelegt. bir ue, 12) Fange bey den Einern zur Rechten an und ſage: Aufger 2 mal 9 ſind 18, dieſe 18 Einer ſtehen bey a; 2) rem ſage: 2 mal 1 ſind 2, und da dieſes 2 Zehner ſind, ſo ſtehen ſie bey b eingeſchloſſen um ſie deſto ſichtbarer von dem ſolgenden Producte zu unterſchei⸗ ans Den, in gerader Linie unter den Zehenern, an ihrer Ageehoͤrigen Stelle. 3) ſage: 2 mal 8 ſind 16, da Zihen = dieſes Hunderte ſind, ſo ſtehen ſie auch an ihrer en einen gehoͤrigen zten Stelle, neben der (2 bey b. 4) der an ſage: 2 mal/ ſind 14, dieſe, als ſo viel Tauſende, ic ale ſttehen an ihrer gehoͤrigen Stelle in gerader Linie nal ge urnnter die Tauſende des Multiplicandi bey c. 5) tenent⸗ ſage: 2 mal 2 ſind 4, und da dieſes Product wieder jipliaret eüeeine einzelne Ziffer iſt, ſo ſteht ſie eingeſchloſſen, um eſener, neben derſelben das folgende Product ſtellen zu koͤn⸗ lihi⸗ nen, bey d. 6) ſage: 2 mal 6 ſind 12, dieſe, als ſo da die viel Hunderttauſende, ſtehen an ihrer gehoͤri⸗ et Woi⸗ gen 6ten Stelle, neben der (4 bey d. 7) ſage: der flle 2 mal 5 ſind 10, und ſtehen, als ſo viel Millio⸗ dl; nen, an ihrer gehoͤrigen 7ten Zahlſtelle bey e. 8) ſage: 2 mal 4 ſind 8, welche eingeſchloſſen bey fF —ſitehet. 9) ſager 2 mal 3 ſind 6, dieſe neben die ddus eingeſchloſſene 8 bey f. kor Niun waͤre zwar die Multiplication vollendet, in⸗ dem alle durch dieſelbe gekommenen Facta einzeln, ſo wie ſie nach einander gekommen ſind, da ſtehen, allein, da wir noch nicht wiſſen, wie groß das ein⸗ zige Produét oder Factum, welches verlanget wor⸗ den, ſey? ſo muͤſſen wir noch alle einzelnen Facta a, b, c, d, e und f zuſammen in eine Summa g un ger welche alſo das verlangte Product wirk⸗ iſt. 76 Die prattiſche Rechenkunſt. Beweis: Es iſt in unſerer Aufgabe jede einzelne Zif⸗ fer des Multiplicandi, was fuͤr Unitaͤten ſie auch enthalten mag, nach und nach ſo viel mal genom⸗ men worden, als der Multiplicator Einheiten enthaͤlt, woraus denn alle die Facta a, b, c, d, e und f, welche ſich auch an ihren gehoͤrigen Zahlſtellen be⸗ finden, entſtanden. Da nun alle dieſe Facta zwey⸗ mal ſo groß als alle gegebenen Unitaͤten des Multi- plicandi, zauch dieſelben nach allen Arten ihrer Unitaͤten bey g in eine Summa gebracht warden ſſo muß auch dieſe Summa 2 mal ſo groß als der Multiplicandus, Ergo, das verlangte brodut oder Factum ſeyn. I. Anm. Man ſiehet hieraus, daß die Multiplication ni allei zur Aufloͤſung dergleichen Aufgaben hin chend iſn, ig, ſender die Addition zugleich mit gebraucht werben mu 2. An Man koͤnnte dergleichen Aufgabe, welche nur eine einzeine Ziffer zum Multiplicatore hat, auch ebe ſo leicht durch die Additio aufloͤſen; wenn man naͤm⸗ Seee Multiplicandum 2 mal unter. finander. ſetzte. 133 5,6 273819 3 4 S 6 2 7 8 1 9 6 9 1 2 5 5 6 3 8 Dieſe Summa iſt dem vorigen Producte voͤllig oleich, und kann daher zum ꝛten Beweiſe dienen, daß es mit demſelben ſeine voͤllige Richtigkeit habe. 5§. 112. Da dieſe vorſtehende Art zu multiplieiren in praxi zu weiklaͤuftig iſt, und nur blos gezeiget worden, um zu ſehen, wie die Zehener eines jeden Facti des Multipli- eandi in ihre gehoͤrigen Stellen uͤbergehen, und zwar eben ſo, wie bey der Additio §. 94. gezeiget worden: ſo will ich, wie daſelbſt geſchehen, nunmehr auch zeigen, wie man weit kuͤrzer rechnen kann. Man darf nur die in jedem Faéto gekommenen Einer gerade unter ihres gleichen und unter die gemachte Linie niederſchreiben, die Zehner deſſelben aber ſo lange im Sinne behalten, bis auch das folgende Faétum gefunden . wor⸗ wordet, es vorf wit beh mit jede dann an Er der nelne Zif 1 ſe auch l genome nheiten d,e und ſtellen bet Ga Wwey⸗ 6s Multi⸗ en ihrer t worden, 1 als der odt tion nichs 1 hin gebtaucht elche nut guch eber nan nin⸗ der ſette⸗ ig glech es tüit ſeiren in den, um ſolripli⸗ war then ſ vil en, wie gencht: lauge in gefunder cor⸗ Die praetiſche Rechenkunf. 77 B worden, zu welchem ſodann die im Sinn genommene Zahl des vorhergehenden Facti hinzugethan wird, juſt eben ſo . . 2 „ wie bey der Addition §. 95 elehrt worde 0 mit jedem Producte t6 en; Ende ſor gefahten werden, de dann auf einmal das verlangte Factum oder Product un⸗ der der Linie erſcheinen wird. z. E. “M Solutio e 3 4 5 6 27 8129 Fact. 69 I 2 5 563 8 Sage: 2 ε9 = 18, ſetze die 8 Einer unter die Linie, an ihre gehoͤrige Stelkle, und behalte den 1 Zehner im H Sinne. 2) ſage: 2 σ☚1 =: 2 +◻ im Sinn = 3. Dieſe einſache Ziffer, welche Zehner bezeichnet, ſetze an ihre Stelle, gerade unter die Zeh ner des Mul- tiplicandi. 3) ſage: 2 ☚ 8 = 16, davon die 6 als ſo viel hunderte an ihre Stelle geſetzet die aber, als ein Tauſend, wie vorher in Sinn ge⸗ nommen werden muß. 4) ſage: 2, P& 7 = 14 † 1 im Sinne = 15, davon die 5 als ſo viel Tau⸗ ſende an ihre Stelle geſetzt, die 1 aber, als ein Zehntauſender im Sinn genommen werden muß. 5) ſage: 2 ☚ 2 =: + 1 im Sinne = 5, dieſe einzeline Ziffer wird ganz an ihre Stelle geſett, und alſo dieſes Mal nichts im Sinn genommen. 6) ſage: 2 ◻6 = 12, davon die 2 an ihre Stelle geſetzt, die I aber im Sinn genommen. 7) ſage: 2 α 5 — 10 + 1 im Sinn, = 11; hier wird 1 niederge⸗ ſchrieben und 1 im Sinn genommen. 8) 2 4= 8 + 1 im Sinn = 9, dieſe an ihre Stelle geſetzt. Letztlich die uͤbrigen 2 ☛ι 3 = 6 auch an ihre Stelle, ſo iſt das ganze Factum auf einmal gefunden wor: den, ohne erſt, wie vorher, noch darzu die Addition Knhthie zu haben. Irw. Man kann bey der Multiplieation das Zeichen der Bileichung =, um Irrungen zu vermeiden, fuͤr i ſt leſen, alſo: 2 7 = 14 + 1 im Sinn = 15, wird 738 Die practiſche Rechenkunſt. wird geleſen: 2 mal 7 iſt 14 und 1 im Sinn iſt 15. §S. 113. Man darf nicht denken daß keine andre Art, als von der Rechten nach der Linken zu multipliciren, moͤg⸗ lich ſey! Es kann dieſe Arbeit, wie bey der Addition §. 96 gezeiget worden, auch von der Linken nach der Rechten verrichtet werden. z. E. Solutio. 3 4 5 6 278319 2 4 32 O 0. „ +☚ △Qn —D — Faétum 6 9 I 2 5 5 6 3 8 Hier ſtehen bey a alle Unitaͤten der gekommenen Fa- Sorum, ſo wie ſie der Ordnung nach, mit immer zehnmal kleinern Unitaͤten bis auf die Einer der erſten Zahlſtelle, auf einander ſolgen. Bey b aber ſtehen alle uͤbergegangene Zehner der Factorum. Letztlich ſind beyde in eine Sum- ma gebracht, und ſo das wahre Faétum, wie es ver⸗ langt, gefunden worden. Anm. Dieſe Art zu Multiplieiren waͤre fuͤr diejenigen, wel⸗ che, des ſchwachen Gedaͤchtniß halber, nichts im Sinn nehmen moͤgen. Weil man aber durch fleißiges Denken das Gedaͤchtniß ſchaͤrfen muß, uͤberdem auch dieſe Art, beſonders bey groͤßeren Aufgaben, zu weitlaͤuftig ſeyn wuͤrde: ſo iſt billig die h. 112 gelehrte Art, als die kuͤrzeſte, kuͤnftig beyzubehalten. 1) Duplire 345678976. 2) Man ſoll die Zahl 103200456789 tripliren. Anm. Wegen den im Multiplicando vorkommenden Nul⸗ len wird in der 6ten Regel des 109ten § und wegen den vollen Zehnern ohne Einer, welche ein gekomme⸗ nes PFactum gtiebt, im o8ſten ſ. 2) gehsrige Auskunft zu finden ſeyn. Uebrigens berechnet man dieſe und fol⸗ gende Aufgaben eben ſo, wie §. 112 gelehret worden. 3) Man ſoll die Zahl 123547689 quadriren. 4) Multiplicite 213654987 mit 5. Was iſt das Pro⸗ duct? 5) 9 dichts 100. pliogt Multi ſo lan⸗ gende iſt, d perden Nug Die dractiſche Rechenkunſt. 79 6) Was ſuͤr ein Factum giebt zmal 5403210608972 ndre t, 7) Was iſt das fuͤr eine Zahl, die 8 mal ſo groß iſt als mn, ni · 1235476890002 ͦ”ꝗùẽ lddicn J. V Solutio. Rechten 1 2 3 5 4 7 6 9 0°0°0°. 9 ⁹ 3 & 1 5 1 200ο⁵ Weil zufolge der 6ten Regel 8 Wα 0οο = 0o iſt, ſo braucht hier der Maltipli icator nicht unter die Nul⸗ len geſetzt zu werden; ſondern man vermehrt ſogleich die geltenden Zahlen, und ſetzt ſodann, nach Vollen⸗ dung der Multiplication, die hinter den Zahlen des venen li⸗ Multiplicandi ſtehenden 3 Nullen herunter, hinter nn das Factum. ſtelle, au – 8) Wie viel iſt 9Q mal 9876543210000? ine hum — . e 2. Aufgaben, wo ein Numerus ſignificeans des Multiplicatoris eine oder mehr ec Nullen hat. enſtr §. 114. Da durch die Multiplication mit der Null eſe At, nichts vervielfaͤltiget oder vermehret werden kann, (§. uftig i 109. Reg. 6.) ſo braucht man auch die hinter dern Malti- ,a plicatore ſtehenden Nullen nicht mit unter die Zahlen des Multiplicandi zu ſetzen; ſondern man wirft ſie ſeitwaͤrts ſo lange zuruͤck, bis die Multiplication, und darauf fol⸗ gende Addition groͤßerer Aufgaben (§. 110.) verrichtet ten ſiſtt, da dann die Nullen dem Faéto am Ende beygefuget enm, werden. z. E. 20 4567 ſteht alſo: Auekrrft 4 5 6 7 ſe Unid fol⸗ ” 2 O porden — 9 1 3 4 zu dieſer Zahl die pH Null heranter, ſo iſt das Factum = 91340. das 200 % 4567 ſtehet aſo: Die practiſche Rechenkunſt. 4 567 S 20.0° 0 9 13 4 hierzu die 2 Nullen, 8 iſt das Factum = = 913400. 2000 —◻4567 ſteht alſo⸗ 4567 2 0°5°⏑ 9 I 3 4°O0°0% Eec. Zuſatz: Wenn demnach der Numerus ſigniſicans des Multiplicatoris nur in einer einzigen Unitaͤt be⸗ ſtehet, welche eine oder mehr Nullen hinter ſich hat, ſo iſt die Multiplication ſchon geſchehen, wenn man die Nullen ſogleich hinter den Multiplicandum ſetzet; weil die 1 eine Zahl, durch den Weg der Multipli⸗ cation, nicht vergroͤßert. z. E. 10 576 — 5760; IOO 576 = 57600; 10000 b° 5706 = 5760000 Ec. (G. 109. Reg. 5 und Zuſatz.) 9) Man ſoll die Zahl finden, welche 20 mal ſo groß iſt als 1234567892 10) 30 σ 2045169873. Was fuͤr ein Factum? 11) Multiplicire 9870532416 mit 402 12) Wie groß iſt das Prod. von 50 ☚ 7463852912 13) Wie viel von 600 α¾ 8976453212 14) Vermeh re 976432158 mit 7000. 15) 80000 — 769842315 wie viel? 16) Was kornt zum Factum wenn man 123789456 mit 900000 vermehrt? 3. Aufgaben, wo der Mualtiplicator zwo Ziffern hat. §. 1II5. Wenn der Multiplicator aus zwo Ziffern be⸗ ſtehet, und al ſo Einer und Zehener enthaͤlt, ſo darf man in dieſem Falle nur die Ziffern des Multiplicatoris nach ihren Zahlſte llen gehoͤrig unter die Ziffern des Multi- plicandi ordnen, ſo wie §. 110 gelehret worden, dann zuerſt mit den Einern des Multiplicatoris, darnach auch alchmit liciten, ruͤcken, ſo mene et Plicator mene Fan gefunden die verio 7) N 15 Fa Bew Cin ns bey 3 un 1Nullen, ſht alſo: ſicans des Unitat beꝛ ſch hat, enn man n ſetet; Multipllii 57bo⸗; 1760000 ß iſtal 17 2g1! 6 mi zwe ſfern bo datſmag ris och Mulci⸗ n, Nann datrve 1 Die practiſche Rechenkunſt. 21 auch mit den Zehneru deſſelben, den Multiplicandum multi⸗ pliciren, und das Pactum der Zehner, um eine Stelle hoͤher ruͤcken, ſo, daß die von der Multiplication der Zehner gekom⸗ mene erſte Ziffer juſt unter die Zehner des Multi⸗ plicatoris, und unter das vorher durch die Einer gekom⸗ mene Factumzu ſtehen komme. Sind die beyden Facta gefunden, ſo werden ſie in eine ZSumma gebracht, welche die verlangte Zahl iſt. z. E. 17) Man ſoll eine Zahl finden die 36 mal groͤßer als 132457689 iſt! olutio. 1 3 2 4 5 7 6 Factum 4 7 6 8 4 7 680°4c Beweis: Erſtlich iſt der Maltiplicandus mit den 6 Einern des Multiplicatoris vermehret, und deſſen aus Einern entſtandene Factum an gehoͤrige Stelle beyva geſetzt worden. Ferner iſt derſelbe auch mit den 3 Zehenern des Multiplicatoris vermehret, und dieſes aus Zehnernſentſtandene Fa Kum gehoͤrigermaſſen um eine Stelle hoͤher geruͤcket, und unter das erſte Faétum bey b geſetzet. Endlich ſind beyde Facta a unnd b zuſammen gezaͤhlet und bey c in eine Sum⸗ me gebracht. Da nun das Factum a wirklich 6 mal ſo groß als der Multiplicandus; das Factum b aber 30 mal ſo groß als derſelbe iſt; nun aber dieſe bey⸗ den Facta a b in eine Summe c gebracht wore den: ſo muß auch dieſe Summe dalle Unitaͤten des Multiplicandi, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen, 36 mal enthalten, folglich die Zahl ſeyn, welche verlangt worden. Anm. Schon hier, geſchweige bey weit groͤßeren Aufgaben, errgiebt ſich, wie viel Vorzuͤge die Multiplication, ihrer Kuͤrze wegen, vor der Addition habe: denn wollte man dieſe vorſtehende Aufgabe durch die Addition auflöſen, ſo muͤßte man den Multiplicandum 36 mal unter einan⸗ der ſetzen, und dieſe Menge Bablen eben ſo muͤpſam zu⸗ am⸗ 32 Die practiſche Rechenkunſt. ſammen zaͤhlen, als ſie untereinander hingeſchrieben worden, ehe man in der Summa das verlangte Factum finden wuͤrde. Welche Arbeit! §. 116. Aufgaben, wie die vorige, laſſen ſich auch noch kuͤrzer, und ſo berechnen, daß man dabey die Addition gaͤnzlich entbehren kann, wenn man naͤmlich den Multi- plicatorem nach dem Ein mal Eins zerfaͤllet. Es iſt in vorſtehender Auſgabe der Multiplicator 36,☛= 6 ₰✕6. Multipliciret man nun den Multiplicandum zuerſt mit 6, das gekommene Factum wiederum mit 6, ſo wird die⸗ ſes letzte Faétum die Zahl geben, welche 36 mal ſo groß als der Multiplicandus iſt, ſo wie verlanget worden. z. E⸗ Solutio. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 6 79 47 4 613 4 4 7 6 § 47 6 0°4 Beweis: Wenn ich 1 mit 6 multiplicire, das Fact. 6 abermal mit 6, ſo entſtehen 36. z. E. 6 1 = 6 %6 — 36, und alſo eben daſſelbe Factum, als wenn ich 1 mit 36 auf einmal multiplicire z. E. 36 α 1= Da nmun auf gleiche Art alle Unitaͤten des Multipli- candi in vorſtehender Aufgabe mit 6 vermehret, das Pactum davon abermal mit 6 multiplicirt worden, ſo iſt auch jede im Multiplicando befindliche Unitaͤt mit 6 ☚6 d. i. mit 36 vermehret worden. Ergo muß das nunmehr gekommene Factum die verlang⸗ te Zahl ſeyyn. 4 Ueberdem beweiſet ſchon der Augenſchein, daß dieſes durch 6 ◻6 gekommene Factum das wahre ſeyn muͤſſe, weil es demjenigen, welches vorher durch 36 gefunden worden, (§. 115.) in allem vollkommen gleich iſt, welches doch unmoͤglich ſeyn koͤnnte, da⸗ ferne im Rechnen allhier ein Irrthum vorgefallen waͤre. “ W Zu⸗ eſchtieben e Fadum uch noch Abdition 1 Muld. E iſt 26 6. zuerſt mit bwird die⸗ al ſo hroß rden. z E. te, das 6 ½ 1= als wenn NIS Mutipl: chrtt, des 4 wrden, 6he Unitat Lrgo verlang deß dieſes hgaßte ſhn 4 durch3 ollkonmmnen unte, de vorgeſßlen zu⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 83 Zuſatz: Des merklichen Vortheils wegen, den die Multiplication mit zerfaͤlltem Multiplicatore ge⸗ waͤhrt, will ich nicht nur dieſe Art zu Rechnen, ſo oft ſie ſich anbringen laͤßt, empfehlen, ſondern auch, da die Zerfaͤllung nur bey ſolchen Zahlen, die im Ein⸗ mal Eins ſtehen, angehet, dem Anfaͤnger zu Ge⸗ fallen ein Verzeichniß ſolcher zur Zerſtreuung ge⸗ ſchickten Zahlen, und wie ſie zerſtreuet werden, hier⸗ herſetzen: 24 zerfaͤllt durch 3 ☛8 oder 4 ✕6 27 3 9 28 32 36 4² 45*5) 48 49 4 XXX oder 6 %6 „⏑ „ π ◻ o N ρ ½ ☚ XXXXXXXX s I 0 X Anm. Alle Zahlen die ſich mit einer o endigen, als: 10, 20, 30 zc. Imgleichen alle diejenigen, welche forn oder hinten eine 1 haben, als: 12, 16, 18, 21, 81, habe ich, ob ſie gleich ebenfalls im Einmal Eins vefind⸗ lich, mit Fleiß hier weggelaſſen, weil ſich betz derglei⸗ chen Zahlen noch ein beſſerer Vortheil, als die Zer⸗ Tenung gewaͤhrt, anbringen laͤßt. Davon an ſeinen 18) Multiplicire 217563984 mit 23. 19) : 125736894 mit 24. 20) 26 α987654321, was fuͤr ein Product? 271) Wie groß iſt das Factum von 27 W◻ 896754321 7 22) Vermehre 135792468 mit 28! 23) ;⸗ 317529648 mit 32! 24) . 731925846 mit 35! . F 2 25) 84 . Die praetiſche Rechenkunſt. 2⁵) Multiplicire 317259468 mit 4 ₰ι 9 26) . 684952713 mit 6 ◻ 7 27) 5 %σ 9 ✕ 527136849. Wie viel iſts? 28) 6 ◻8 ☚— 257316498. Wie viel? 29) 7 ☚7 * 523761948. Welch Prodnek. 30⁰) 54 ☛✕ 84916732562 8 319 56 ° 489716523 2 S 32) 63 %¾ 178923456 6 §. 117. Weil, nach §. 109. Reg. §., eine Zahl durch die 1 nicht multipliciret werden kann, ſo iſt auch bey jeder Aufgabe, wo der Multiplicator entweder mit einer 1 anfaͤngt, als: 12, 16, 18 ꝛc. o der mit einer 1 endiget, als: 21, 31. 81:c. die M ultiptication mit der 1 unnuͤtz, und kann daher mit Vortheil unterlaſſen werden. Damit aber ſowohl das Unnuͤtze der Multipication mit der 1, als auch der Vortheil, bey Auslaſſung derſelben, deſto beſſer in die Augen falle, ſo will ich, neben der ge⸗ woͤhnlichen Art A, wo mit der 1 multiplieiret worden, auch die kuͤrzere Art B, wo die Multiplication mit der 1 uͤbergangen worden, ſtellen 3 z. E. Man ſoll 3456 mit 12 multipliciren. A. 666. 3 4 5 6 3 4 5 6 d ²– 12 1 2 6 % 1 2 6 9 I 2 a Küͤrzer. 4 4 7 2 3 4 56 b 4 1472 Bey A iſt erſtlich der Multiplicandus mit 2 muf. und das aus Einern entſtandene Factum bey a geſetzet, Ztens iſt auch derſelbe mit 1 mult. und das aus! 3 ehenern deſtehende Factum bey b geſtellet: weil aber die 1 eine Zahl, laut Reg. 5, durch die Multiplication um nichts veraͤndern kann; ſo ſind auch natuͤrlicher Weiſe eben die⸗ ſelben Ziffern, welche der Multiplicandus enthaͤlt, bey d, und nur als Zehener um eine e Baßiſtelle hoͤher ge⸗ ſetzt werden. 2/ 2 Da 2 Plican einer darna von⸗2 und be oder, Zehr RNul, ſelbe heſtehe ſtelle Facte hier iſt ehene dertge che n dann i Rechter ſet aus tir das Eundö bracht, es qua man, und das wie hey Padum geben hl durch bey jeder t einer 1 enbiget, nut,und Ationtmnit derſelten, en der t worden, mit der 1 2 mu. geſebet, eheneen e 1eine nicht den diet hohen N 4 Die practiſche Rechenkunſt. 85 Daa es nun gleichviel iſt, ob ich zu erſt den Multi⸗ plicandum mit 10 vermehre, welches durch Beyſetzung einer o ſchon geſchehen iſt, alſo: 3 4 5 6 0 darnach das aus Einern beſtehende Factum von 2 3 4 §5 6 darunter ſetze, ☛ 6 9 I 2 und beyde Facéta addire 41 4 7 2 oder, ob ich die Zahl des Multiplicandi als lauter Zehner betrachte, und ſie, ohne Beyfuͤgung einer Null, fuͤr das erſte Factum anſehe; darnach auch die⸗ ſelbe Zahl mit 2 multiplicire, und dieſes aus Einern beſtehende Factum unter das erſte um eine Zahl⸗ ſtelle zur Rechten hinausruͤcke, und ſodann beyde Facta addire. Eben daſſelbe iſt bey B geſchehen. Denn hier iſt der Multiplicandus d ſogleich als ein aus lauter Zehenern beſtehendes Factum angeſehen und unveraͤn⸗ dert gelaſſen, weil die 1 des Multiplicatoris 12, wel⸗ che nicht vermehren kann, ein Zehner iſt. So⸗ dann iſt auch der Multiplicandus, um eine Zahlſtelle zur Rechten auswaͤrts multiplicirt, weil dieſe zwote Zif⸗ fer aus 2 Einern beſtehet, und das Factum davon un⸗ ter das aus Zehenern beſtehende Factum d, bey e geſetzt. Endlich ſind beyde Facta d + e in eine Summef ge⸗ bracht, welche der Summe c bey A voͤltig gleich, und es auch ſeyn muß, weil es voͤllig einerley iſt, o b man, wie bey B, das Factum der Zehener oben und das Factum der Einer darunter, oder: ob man, wie bey A, das Factum der Einer oben und das pactum der Zehener darunter ſtellet. Beyde Addenti geben gleiche Summen; ſo wie der Augenſchein zeiget. Anm. Man pfiegt bey dergleichen Aufgaben, nach Nieder⸗ ſchreibung des Multiplicandi, zu ſagen: Einmal ſteht ſchon da! darnach multiplieiret man mit der folgenden Ziffer, wie gelehret worden. §. Faſt eben ſo, und mit gleichem Vortheile, geſchie⸗ het die abgekuͤrzte Multipliegtion bey Aufgaben, wo der Multiplicator ſich mit einer Unitaͤt endigt, als: 21, 31, 81, ꝛc. (§. 117.) Denn es findet ſich hier nur der Un⸗ terſchied: daß man, dem vorhergehenden Falle ganz ent⸗ F 3 gegen, 86 Die practiſche Rechenkunſt. gegen, das 2te Factum, welches hier aus Zehnern beſtehet, um eine Ziffer einwaͤrts ruͤcke. Wir wollen gleichfalls neben der gewoͤhnlichen Art zu multipliciren, auch die abgekuͤrzte Art ſetzen, um den Unterſchied beyder Arten deſto deutlicher zu bemerken: B. 5 6 7 8 5678 d 2 1 1 1 3 5 6 e 5 67 8 àW Kuͤrzer I I 9 2 3 8 f 1 1 9 238c . Hier ſtehet, in der gewoͤhnlichen Berechnung bey A, das Factum 1 5678, bey a, und das Factum 20 4 5678, gehoͤrigermaſſen um eine Stelle einwaͤrts geruͤckt, bey b, beyde Faéta a und b addirt, bey c. Weil nun die Ziffer des Multiplicatoris, welche Einer bhezeichnet, nur einen einzigen Einer enthaͤlt, mit⸗ hin nicht multipliciren kann; ſo ſagt man, nachdem der Multiplicandus bey B aufgeſetzet: Einmal ſteht ſchon da! Und ſo waͤre dieſes Factur bey d, das Factum der Einer, welches in der Berech⸗ nung A, bey a, gleichfalls das erſte war. Ferner mul⸗ tiplicirt man dieſes Factum d, nun wieder als Mul- tiplicandum betrachtet, mit der folgenden Ziffer 2, einwaͤrts; weil dieſe Ziffer Zehner bezeichnet, ſo ſteht das Factum derſelben bey e, unter dem Facto d, eben in derſelben Ordnung, wie bey der Solu- tio A, das Factum b unter dem Facto a ſtehet. Endlich beyde Facta d + e = f. welches Factum f dem Fact. c, bey &, gleich iſt, und es auch ſeyn muß; weil uͤberhaupt die Facta d, e, f eben dieſel⸗ ben ſind, auch in eben der Ordnung ſtehen, wie die Faéta a, b. c. Dennoch iſt, wie in vorhergehender Aufgabe, die Berechnung B um eine ganze Reihe Ziffern kleiner, als die Berechnung A; welches daher kommt, weil hier der Multiplicandus' in ſeiner . voͤlligen I Falen, ann Ei uſge; hierhe e 4 3 4 1 . 1 39W 3 39 35) 30) 37)J 4 39) J 40 rnr ſihe Dißin Mn ehnttt r wollen ſpliciren, A behder — 4, e n 20 % gwaͤrts bey e. Einer t, mit nachdem einmal Turn bh 1 BertchN mer mul⸗ als lul⸗ Ziſer 2, ihnet ſ⸗ to 4, Lolu⸗ Cun . nuch ſchn l dieſelt wie die gehtiden e Nehe s daßet it ſeinet lgen Die practiſche Rechenkunſt. 8 7 voͤlligen Geſtalt noch einmal geſchrieben, und als Factum bey a geſtellet worden, welches bey B, als unnuͤthis befunden, nicht geſchehen iſt. F.. 119. Damit man ſich kuͤnftig bey vorkommenden Faͤllen, wo der Multiplicator entweder am Anfange oder am Ende eine Unitaͤt hat, ohne Irrthum zu begehen, erſtgezeigte Vortheile zu Nutze machen koͤnne, will ich hierher ſetzen folgende: Regel: Wenn der Multiplicator mit einer Unitaͤt gnfaͤngt, als: 12, W, 18 ꝛc. ſo wird mit den groͤßern Ziffern, welche Einer vorſtellen, nach der Rechten aus waͤrts multipliciret. Dahingegen, wenn der Multiplicator ſich mit einer Unitaͤt endigt, als: 21, 31, 81 ꝛc. ſo wird mit den groͤßeren Ziffern, welche Zehener vorſtellen, nach der Linken einwaͤrts multipliciret. 33) Man ſoll eine Zahl finden die 16 mal ſo⸗ groß als 345678 iſt. 34) Vermehre 786450 mit 81. 35) ⸗ 334789 mit 31. 36) ⸗ 13576 mit 13. 37) Wenn 4567 mit 16, das hierdurch gekommene Prod. aber mit 61 multiplicirt wird: Was fuͤr ein Factum? 38) Man vermehre 9876 mit 18, das Prod. dieſer Fac- torum mit S!1 39) Was ſuͤr ein Factum giebt 19 α 5032 ✕ 91 2 40 ⸗Hß 717 2◻ 4631 ° 712² §. 120. Wenn ſich eine, zwo, drey oder mehrere Nullen hinter zwo Ziffern des Maltiplicatoris befinden, ſo ge⸗ ſchiehet die Maltiplication eben ſo, als wenn nur wit zie⸗ Ziffern zu multipliciren aufgegeben worden (§. 114.) z. E Man ſoll 2468 mit 7200 multipliciren. S4“„ So⸗ 38 Die practiſche Rechenkunſt. Solutio 2 4 6 8 7200O ö!ͤ 4 9 3 6 1 7 2 7 6G 177 6 9⁹ 6 00 1. Zuſatz: Demnach koͤnnen ſolche Nullen am Ende des Multiplicatoris auch nicht verhindern, daß man dergleichen Aufgaben durch die Zerfaͤllung nach S. 116. aufloͤſe. z. E. 2 4 6 8 7 209 8 1974 4 17 7696 hierzu die beyden Nullen, ſo iſt das Fact. = 17769600, und alſo dem vorhergehen⸗ den voͤllig gleich. 41) 320 ° 8767: Wie viel iſts? 42) 3400 ☛✕ 5603: Wie viel? 43) 64000 70345. Welch Factum? 44) Nimm 75000 ◻ 87032 45) ⸗ 8100 ¼◻ 50762 ð 2. Zuſatz: Eben ſo wenig hindern auch die Nullen ſich dens §. 117 & 118 gelehrten Vortheils bey ſolchen Aufgaben zu bedienen, deren Multiplicat. ſich mit einer Unitaͤt anfangen oder endigen, weilen erſt, nach verrichteter Multiplication, die Nullen, wie vorher gezeiget, dem Faéto beygefuͤget werden z. E. Was betraͤgt 5798 α 1900 Solutio. 5 7 9 8 α☚ 1,9 °△ 5 2 1 8 2 Fact. 1 I OoI6200 4 8 ) 4 0 49) 350 1) 9 bemert ne Sc oder no en: d 4 unter mehren E. n Ede ,daß man nech . thergthen rcten ſch ey ſolchen t. ſch nit erſt nach die vorher E. Die practiſche Rechenkunſt. 29 Wie viel iſt q I O ο dοαω 5 % 6 8* 7 Solutio. 5 06 8 4 5 6 I 2 Faét. 4 6 I I 388006. 46) Vermehre 2345 mit 1700. 47) . 4321 mit 71000. 48) multiplicire 87654 mit 810. 49) : 73602 mit 1800. 5SO) 50304 mit 16000. 51) Wie viel iſt 61000 α¾ 909542 32) : 510⁰0⁰0 X✕ 123452 4. Aufgaben, wo der Multiplicator 3 ziffern hat. §. 121. Wenn man bey Auſſetzung jeder Aufgabe nur demerket, was §. 110. gelehret worden, ſo kann ſich kei⸗ ne Schwierigkeit ſinden, der Multiplicator beſtehe aus 3 oder noch ſo viel Ziffern. Nur muß genau beobachtet wer⸗ den: daß man bey der Multiplicatio allezeit das Factum unter derſelben Ziffer, mit welcher jedesmal ver⸗ mehre wird, anfange, und ſo bis zu Ende fortfahre. Man ſoll 4658 mit 342 multipliciren. Solutio. 4 6 5 8 3 4 2 9,3 I 6 a. 1863/2 b. 1 3 9 7 4 Cc. Fact. 1 5 90° 3 0° 3 6 d Erſtlich iſt der Multiplicandus mit 2 vermehrt, das Factum von 2 %ℳ 4658 bey a geſetzet, auch daſſelbe, wie gelehret, unter den Einern angefangen wor⸗ den. 2) iſt der Muldiplicandus mit 4 Zehner vermehret, und das Fact. 40 4658. bey b geſetzet, auch 90 Die practiſche Rechenkunſt. auch unter den Zehnern, mit welchen jetzt ver⸗ mehret worden, angefangen. 3) iſt auch das letzte Fact. 300 %“ 465 8 bey cgeſetzet, und unter der Ziffer, womit jetzt multiplicirt, alſo unter der 3ten Zahlſtelle angefangen worden. Letztens ſind die 3 Facta a b c bey d in eine Summe gebracht worden. . Beweis: Weil hier erſt der Multiplicandus, 2 mal genommen, das Fact. bey a gegeben; 2tens der⸗ ſelbe auch 40 mal genommen, davon das Faét. bey b befindlich; 3tens auch derſelbe 300 mal genommen und das Fact. davon in c geſetzet: ſo iſt auch der Multiplicandus ſo viel mal genommen und in die 3 Faa gebracht worden, als der Multiplicator Ein⸗ heiten enthaͤlt. (H. 105.) Da nun alle dieſe Faéta a bec in eine Summa bey d gebracht worden, ſo muß auch dieſe das verlangte Factum ſeyn, welches 342 ☚ 4658 betraͤgt. 53) Man ſoll eine Zahl ſinden, die 952 mal ſo groß als 1208 iſt. 54) Wie viel iſt 876 ☛ 100922 „) ⸗ 234 — 84594342 56) Was giebt 5s672 ◻ 4723122 57) Was 999 %¾ 9999? 58) 525 9—◻ è8784. Wie viel iſts? 59) 345 ☛ 467989. Wie viel? 60) 78478 ◻721. Welch Factum? (H. 118.) 5§. Aufgaben mit 4 und mehr Ziffern des Multiplicatoris. P §. 122. Bepy dieſen Aufgaben iſt nichts weiter zu er⸗ innern, als daß man voͤllig ſo verfahre, wie im vorherge⸗ henden Ko gelehret worden, als weicher daruͤber noch⸗ mals nachzuſehn. 61) Wie viel macht 2399 —◻ 8 62) Wie viel 32134 ☚ 42567 63) ‧ „ 86479 ✕ 9753 „ ◻ 129422 78292 12427 „ .1 Litr 6 gleich etwͤhle⸗ eben ſo ſeiget. 1 — 60 J 65) 66) B 67 69) 6. A khone⸗ ichten Man n jetzt ber⸗ unter der n der zten ſind die 3 le geblacht us, 2 mal genontnen kauch der d in die 3 ator Cin⸗ alle bicſe 1 gebracht ,gruß ols des ter zu en votherge⸗ er noch⸗ nz. — Die practiſche Rechenkunſt. 91 6§. 123. Wenn bey einer Multiplicationsaufgabe bey⸗ de Factores eine gleiche Anzahl Ziffern enthalten, ſo iſt es gleich viel, welche von beyden man zum Multiplicando erwaͤhlet. (§. 109. Reg. 4.) Z. E. Es iſt 324 ☚ 536 eben ſo viel als 536 ✕ 324. Wie hier der Augenſchein zeiget. 8 3 6 oder 3 2 4 3 2 4 . d4 5 3 6G 2 1 4 4 1 9 4 4 10°7 2 9 7 2 16˙O 8 I1 6 2 0 17 3 6 64 = 173 6 6 4 64) Multiplicire 123456 mit 678972! ⸗ 5567819 mit 98576087! 65) 66) Wie viel iſt 432143 ☚ 578412 * 677) 2345678 ☛ J245678 2 68) ⸗ : 1: 123456789 —☛✕ 987654321? 6. Aufgaben, wo der Multiplicandus am Ende Nullen hat. §. 124. Die hierher gehoͤrigen Aufgaben berechnen zu koͤnnen, braucht man nicht mehr, als dasjenige zu beob⸗ achten, was bey der 7ten Aufgabe geſagt worden: z. E. Man ſoll 364000 mit 364 vermehren. Solutio. 3 6 40°0⏑0 3 * * „ * 4 * * 9⁹ 6 * — . 1 . 2 1 . 109 . Faét. I 3 2 4 9 6 0°0O⏑☛° 0° 69) Vermehre 8432000 mit 356 7⁰) ⸗ 3987000 1 221! 71) 1321 ✕ Ü2940000. Wie viel iſts? Weil es nach der 4ten Reg. F. 109. gleich viel iſt, welchen von beyden Factaribus man zum Multiplicando L an⸗ — Die praetiſche Rechenkunſt. annehmen will: ſo kann hier der Multiplicator, we⸗ gen der wenigern Ziffern, zum Multiplicando angs⸗ nommen werden. 2 72) Wie viel iſt 24442 α 876000002 73) ⸗ ⸗ ⸗212121 J234000000? 7. Aufgaben, da der Multiplicator ſowol, als der Multiplicandus, am Ende Nullen hat. §. 125. Wenn Aufgaben, wo beyde Factores am Ende Nullen haben, zu multipliciren vorkommen, ſo darf man nur, weil laut Reg. 6. J. 109. die Nullen nicht mul⸗ tipliciren koͤnnen, die wirklichen Zahlen von beyden Facto- ribus in gehoͤriger Ordnung unter einander ſetzen, ſie mit einander multipliciren, und dem gekommenen Facto die Arnzahl ſaͤmtlicher Nullen, welche ſowol der Multiplican- dus, als Multiplicans enthalten, beyfuͤgen, ſo iſt ge⸗ ſchehen, was verlangt worden. z. E. Man ſoll 2130000 mit 234000 multipliciren. Solutio. I 3 0O 0⏑° 0 3 4 0Oo o — 2 2 . 6 „ 4 2 G „ ——— Fact. 4 9 8 4 2000⏑.0⏑ Beweis: Wenn der Multiplicandus 2130000 nur mit 1000 vermehrt werden ſollen, ſo haͤtte man, weil 1 nicht multiplicirt, (§. 109. Reg. 5. & Zuſatz) nur die 3 Nullen des Multiplicatoris, welche in dieſer Solutio ſeitwaͤrts bey a herausgeruͤckt worden, hinter dem Multiplicandum ſetzen duͤrfen, und das Factum wuͤrde ſeyn = 2130000000; folglich iſt auch das Factum von 4000 α 2130000 = 85200000ο0ο, welches Factum eben ſo bey b ſtehet, wenn man die den Zahlen beygefuͤgte Puncte fuͤr Nullen anſiehet; Ferner iſt auf gleiche Art der Mul- tiplicandus 30mal, d. i. 30000mal genommen, und ₰ 5§5 2 2 9 . „ „% „ „ „ % Q O e * „* * * 9 Kn⸗ nicht nun ae zwi Nul, w wie ben s Raa Den Nichti 5 eergehet ſich den ſen ei rüͤckung d veranlife muͤſſen. cator, we⸗ indo ange wol, als n hat. (tores am en, ſo darf nicht mul⸗ den Facto⸗ en, ſie mitt Pacto die ſtiplican⸗ ſ iſ ge⸗ en. 1 0000 kut tte man, Zuſaß) welche in hic i 000 . b ſiche, e fir derhlu⸗ men, und N — Die practiſche Nechenkunſt. 93 RMR deſſen Fact. = 63900000000, wie ebenfalls die Puncte zeigen, bey c geſetzt worden. Eben ſo iſt auch der Multipl. 200mal, d. i. 200000 mal genom⸗ men und deſſen Fact. = 426000000000 bey d ge⸗ ſetzt. Endlich ſind alle 3 Facta b c — d addirt, mithin der Multiplicandus ſo vielmal in dieſe Sum- ma gebracht, als der Multiplicans Einheiten ent⸗ haͤlt: Ergo muß auch dieſe Summa das geſuchte richtige Factum ſeyn. 74) Multiplicire 2460000 mit 246000! 75) Wie viel macht 2300 6732002 760 23420⁰ ° 4798000? —— · ⸗ 23500 ° 54320000 8. Aufgaben, wo in der Mitte des Multiplicandi Nullen vorkommen. §. 126. Obgleich ein Numerus Significans eine o nicht multipliciren kann, (§F. 109. Reg. 6.) ſo muß doch jede zwiſchen den Zahlen des Multiplicandi gefundene Null, wenn keine im Sinn behaltene Zahl ihre Stelle, wie bey a, einnimmt, unter den Multipliciren, herunter in das Factum gebracht werden. z. E. 2 0O △⏑% 2½ 180°0°1 8 Denn wollte man dieſe Nullen blos als Zeichen von Nichts betrachten, und ſie dieſerhalb im Faëto gaͤnzlich uͤbergehen, ohne zu bedenken, daß dieſe Nullen auch zu⸗ gleich den Mangel der in dieſen Zahlſtellen fehlenden Zif⸗ fern bezeichnen, (5. 17.) ſo wuͤrde nothwendig wegen Vor⸗ ruͤckung der Zahlen, welche durch Auslaſſung der Nullen veranlaßet worden, ein falſches Factum herauskommen muͤſſen. z. C. 20002 94 Die practiſche Rechenkunſt. 2000 2 9 Dieſes Fact. 1 8 18 iſt weit kleiner als der Multiplicandus ſelbſt, alſo offenbar falſch, und dieſes blos daher, weil, durch Nichtherunternehmung der Nul⸗ len des Multiplicandi, dieſe Zahlen des Facti unrich⸗ uige Zahlſtellen erhalten haben. Zuſatz: Eben ſo wie, vorgezeigtermaſſen, die Nullen des Multiplicandi, in einem einzigen Facto her⸗ heruntergenommen werden. z. E. Man ſoll 600024 mit 234 multipliciren. Solutio. 6 °° °2 4 2 3 4 2 40O 0⏑°% ° 6 I1800O 0°7 2 1 2000°4 8⁸ 140405 6 1 6 F. 113. und 125. gelehret worden, und ſo, daß die groͤß⸗ ten Unitaͤten des Multiplicandi zuerſt mit den groͤß⸗ ten Unitaͤten des Multiplicatoris, u. ſ. f. nach ihrer Beweiſe der Richtigkeit, daſſelbe Factum erſcheinen. z. E. Man rechne 1) die 600οοο des Multiplicandi 200 mal alſo: 600OOο . .⅜ 2 500 giebt das Fact. I200π.– 0⏑8 2) dieſelben noch 30mal, alſo: 6 0 0ος0ο 0ο giebt das Fact. I 8 O σο0οο⏑¾ untergenommen werden, ſo muͤſſen ſie auch in alle Ka- (ta der Aufgabe, ſo viel derſelben auch ſeyn moͤgen, Berechnet man dieſe Aufgabe auch nach der Art, wie Ruͤckfolge, multipliciret werden; ſo wird ebenfalls, zum — — — — Deane ſtand NR Plicane R)di Die aus dieſe Dih ig geich inri 7 3 79) 4 s der dieſes dos det Nub urrich, die Nullen Facto het⸗ in ale Fa- n miͤgen, At, wpit. diegroͤß e groß⸗ nach ihrer ls, zum nen. . E⸗ ndi 200 0,0 0 0 — 0006 00 Die pracliſche Rechenkunſt. 95 3) dieſelben noch Amal, alſo: 60°0° So geben dieſe 3 Facta: 2 8 0 0ο0ο Oι½ 0% αι TR 1 „ 4 4 0 O°ς¾ O Oπι R. Die aus 234 600000 ent⸗ ſtandene Summa: 14 0°40°0οο°⏑⁄ς—⏑⁄½⏑⅓.. Nun nehme man 4) die noch uͤbrigen 24 des Multi- plicandi ebenfalls 200 mal, alſo: 2 4 O: 0 giebt das act. 8 00 55) dieſelben noch zomal, alſo: 4 NR ⏑ †£ = 00 — SO O O giebe d das Fact. 6) Nefileen noch 4tmal, alſo: +☚ O α — ſ geben dieſe 3 lezten Facta 9 6 14 8 ◻ Die aus 234 “ 24 entſtandene Summa 5 6 5 6 1 6 Zu dieſer die obige SZumma 1 4°40αοςOοο. giebt 1 4 4 5 6 1 6 Welche Zahl der vorhergehenden, in obiger Solut. voͤl⸗ lig gleich iſt: Ergo hat es mit dieſer Rechnung ſeine voͤl⸗ lige Richtigkeit. 78) Wie viel iſt 1 342 402 00032 79) 24743☛50000οο S⅝? 80)0) 2987654 ℛ10010012 81) 96 Die practiſche Rechenkunff. 81) Wie viel iſt 1 2 3 4 5 %ℛ20202032 82) „23457 ℛ400ο⏑10.66⁵ 82) ⸗ 54326 °50°00ο°⏑77 092 9) Aufgaben, wo der Multiplicans in der Mitten Nullen enthaͤlt. B §. 127. Weil, zu Folge der 6ten Reg. F. 109., 0 α 4 = ο Eec. ſo wuͤrden, wenn man mit den in der Mitte bes Multiplicatoris vorkommenden Nullen multipliciren wollte, doch nichts als lauter Nullen zum Facto kommen, ſo wie z. B. in ſolgender Solut. bey a. „ 7 3 5 °6 S Dieſes Rullenfactum a aber wuͤrde, wie hier ſichtbar, ganz unnuͤtz und vergeblich da ſtehen, weil es bey der Ad- ditio der vorhandenen Factorum gar nichts zur Sum⸗ me beytraͤgt. Und eben dieſes giebt eine gegruͤndete Urſa⸗ che, warum man, zu Folge des Zuſatzes der 6ten Reg. §. 109, alle in der Mitten des Multiplicatoris vorkom⸗ menden Nullen gaͤnzlich uͤbergehen, und ſogleich mit der zunaͤchſt auf die uͤbergangenen Nullen folgende Ziffer zu multipliciren ſortfahren kann, um dadurch zu verhuͤten, das kein unnuͤtzes Nullenſattun, wie hier bey a, rent 2 D 1 * 0. Weil hier, dnrch Uebergehung der o, keine Zahlfell . der Factorum verruͤckt worden, ſo mußten auch die Facta: von 2 %4 234 von 390 2434 eben dieſelbe Sum⸗ me me geb lenfatte zum ſeine d Nullen Me Na velchez Zahlten ner &r. an geh Ce. a 3000 „ te Iiſer Ueberg in eine Deeſe Mulip 2mal ni Re 9., 0 ℳ det Mitte ttipliciren folmmen, rſcin NderAl- ur Guim⸗ te lefn Reg⸗ . vorkonn⸗ nit der Zifſer verhuren, 1, ntt zihfiii⸗ latkr. teEm e 84) Vermehre . 4 2 342 mit 5 008⁸! 2 W Die practiſche Rechenkunſt. 97 me geben, welche die naͤmlichen Facta, zu ſamt dem Nul⸗ lenfacto a, in vorhergehender Solution gegeben, welches zum Beweiſe dienet, daß es mit vorſtehender Rechnung ſeine voͤllige Richtigkeit habe. Eine Aufgabe mit mehr Nullen wird die Sache noch mehr erhellen. z. E. Man ſoll 2434 mit 3002 multipliciren: Solutio 3˙00GÜ2 . . 4⁸ 668 7302 „ . 7 30 6 8 6 G⁊ S Man ſieht hier, wie vorher, das erſte Fact. 4868, welches aus 2 %“ 2434 entſtenden, an ſeinen gehoͤrigen Zahlſtellen, d. i. Einer unter Einer, Zehener unter Zehe⸗ ner &c. ſtehen. Eben ſo ſtehet auch das 2te Fact. 7302 an gehoͤrigen Zahlſtellen, d. i. Tauſende unter Tauſende Ec. Denn weil daſſelbe aus Tauſenden, naͤmlich aus 3000 — 2434 entſtanden, ſo iſt auch dieſerwegen die lez⸗ te Ziffer 2, des Facti 7302, in die 4te Zahlſtelle, durch Uebergehung der Nullen, geſetzt, und endlich beyde Facta in eine Summe gebracht worden, welche Summe, zum Beweiſe der Richtigkeit, auch dann kommt, wenn man den Multiplicandum 2434 zuerſt 3000 mal, hernach noch 2 mal nimmt. z. E. —— 300°0° 1⁹% 434 7 30200/0 + 2 ℳ%2 434 48 60 Summa 7306868 8) ⸗ „ 684543 4100 31 86) Nimm 200 604 ☚7 236421 877 800008/S ◻9234 5 6 Ǵ GGp = 10. 98 Die practiſche Rechenkunſt. 10. Aufgaben, wo der Multiplicandus, ſowol als der Multiplicans, in der Mitten Nullen hat. §. 128. Man wende bey dieſen Aufgaben nur an, was 27. gelehret worden, ſo kann es mit Aufloͤ⸗ §. 126. & 12 ſung derſelben keine Schwierigkeit haben. 88) Multiplicire 3 0 ο4ο⏑⁄ι⏑ mit 40005. Solutio 6 20 + 1 2 X 8 £☚ 0 0 OOδ6OOO⁊,OO ο0 1I 2016 02 °°%° und auch 300409 5 ☛5 1 175 οο°ο⏑. e 4 15°2 °0 2 5 62 % ο . 2 0 x 7 5 2 2 °°⏑ 2 5 89) Wie viel 3000°ο4 30050042 :⸗ 500Oαω.ωυο.„B ι 050οοωrωο ? 91) 700I1OO ϑι☚30Oοοω°ο.S⁸ 9²) Multiplicire 8765432 mit 987654, zum Product addire 1342786023472. Wie groß iſt die Humme? 93) viel iſt 34567 ◻ 543209 + 5678 T† 7360 4573? 90) „ ⸗ ⸗ 94) kation tig gen Pplican der M. kann dang, uns he F. lange e hranch veit lei Additi I. lN davon ſ ohen N Dn! let wor JDaſ Da h bwpol als hat. ur n, was mit Aufl⸗ 104 109: 9001 n Nwodutt ie Eunmme! 8 † o 99 Die practiſche Rechenkunſt. 99 94) Wenn man zu 3578 4 9732 addirt 444 T 777 1P 888 + 222, wie groß iſt die SHumme? Von der Proba der Maltiplicatio. §. 129. Um zu erfahren, ob das durch die Multipli⸗ kation gefundene Faétum auch das wahre, und alſo rich⸗ tig gerechnet ſey, darf man nur daſſelbe mit dem Multi- plicando dividiren, ſo wird, zum Zeichen der Richtigkeit der Multiplicator im Quotienten erſcheinen. Oder man kann das Factum mit dem Multiplicante dividiren, da dann, wenn richtig gerechnet worden, der Multiplican- dus herauskommen wird. §. 109. Reg. 7. §. 130. Weil aber dem Anfaͤnger der Rechenkunſt, ſo lange er noch nicht dividiren kann, vorſtehende Probe un⸗ brauchbar iſt, ſo will demſelben vorlaͤufig eine andere und weit leichtere Probe zeigen, welche derjenigen, ſo bey der Addition (§. 103. 2 Proba) gezeiget, voͤllig gleich iſt. Man addire die Ziffern aller Factorum, und nehme davon ſo oft, als ſich thun laͤßt, 9 ab, den Reſt ſetze man NR oben in das „: Eben o verfahre man mit den ſo verſah Ziffern des Facti, wie bey der ten Adoitieneprole geleh⸗ ret worden. z. TC. 3 3 4 3 2 7 S 2338 a 55 6 3 b X g &2 Cc 3 I 9 9 2T38d Da hier von den 3 Factoribus a, b, c, nach abgezo⸗ enen Neunen, ſo oft ſichs thun laſſen, noch 3 uͤbrig des Flieben; eine gleiche Ziffer auch das Factum d, dach abgezogenen Neunen, gelaſſen; ſo wird aus die⸗ ſer Gleichheit die Richtigkeit der Berechnung ge⸗ ſchloſſen. Anm. In wie weit der Zuläßigkeit dieſer Proke zu trauen, iſt oben bey der Anmerk. zur ꝛten Additionsprobe nach⸗ zuleſen; deswegen auch dieſe Probe, ſo bals man divi⸗ diren gelernet, ihren Abſchied erhalten muß⸗ G 2 §. 131. 100 Die practiſche Rechenkunſt. §. 131. Nachdem ich nun deutlich genug gezeiget, wie eine Zahl, verlangter maſſen, auf zweyerley Art, naͤmlich durch die Additio, und Multiplicatio, vergroͤſſ⸗ ſert werden kann; ſo werde auch eben ſo deutlich zeigen, wie eine Zahl, verlangter maſſen, auf zweyerley Art, naͤmlich, durch die Subtractio, und durch die Diviſio, zu verkleinern ſey. Vorausgeſetzt, daß man ſich vorher wohl bekanntmacher Das Ein von Eins. 1 von 1 bleibt o 3 von 4 bleibt 1 3 3 3 ⸗ O 3 „ 6 7 3 Reg. 4. 232 2 1 von 2 bleibt 1 4 von 5 bleibt 1 D1⸗ 3 ⸗ 2 4 66 ⸗ 2 1 ‧ 4 4 ‧ 7 3 156 : 5 4 ‧ 9 : 1⸗ 7 ⸗ 6 5 von 6 bleibt 1 1⸗ 8 ½ 7 5S ⸗ 7 ‧ 2 1 ⸗ 9 8 5 ⸗ 8 ; 3 2 von 3 bleibt 1 5 von 7 bleibt 1 2 ½ 4 2 6 ⸗ 8 ⸗ 2 2 ¾ 5 2 3 6 9 3 2 6 ⸗ 4 - „ 2 7 „ 5 von 8 dieibt 1 2 5 8 ⸗„ 6 7 9 2 2 ⸗ 9 718 von o bleibt 1 „ Diie practiſche Rechenkunſt. 10 get, wie III. Die Subtractio in unbenamten a ganzen Zahlen. egen, §. 132. Subtrahiren, abziehen, heißt: den Unter⸗ ) Art, ſchied von zwo gegebenen Zahlen, um welchen die eine fo, A groͤßer iſt, als die andere, finden, welcher Unterſchied der Re ſt heiffet. ”J”M”M tmacher Anm. Dieſes Species iſt der Additio gerade entgegen ge⸗ ſetzt: Denn ſo wie durch das Addiren unſer Vermoͤgen immer mehr und mehr zunimmt, indem wir einen Thaler nach dem andern einnehmen, und unſerm Ver⸗ moͤgen zufuͤgen; ſo nimmt im Gegentheil unſer Ver⸗ 1 moͤgen immer mehr und mehr ab, oder wird kleiner, indem wir einen Thaler nach dem andern davon neh⸗ mien, oder abziehen. Wer in ſeinem Leben das Gluͤck hat, mehr einzu⸗ nehmen und zu ſeinem Vermoͤgen zu addiren, als auszzugeben, oder von ſeinem Vermoͤgen zu ſubtra⸗ hiren, der wird immer reicher. Hingegen wird derjenige, welcher von ſeinem Ver⸗ moͤgen mehrausgiebt oder ſubtrahirt, als er ein⸗ SZ zunehmen, oder zu ſeinem Vermoͤgen zu addiren hat, immer aͤrmer, ja er muß zuletzt gar in Schulden . gerathen. Ein Paar Exempel koͤnnen die Sache klar machen: 1) Adam beſitzt am baaren Gelde 4 Thaler, giebt da⸗ von aus 1 Thaler, behaͤlt alſo noch 3 Thaler. Nun nipmmt er wieder ein 3 Thaler, mithin hat er ſchon 6 Thaler; folglich iſt er auch, weil ſeine Einnahme die Ausgabe uͤbertrift, um 2 Thaler reicher gewor⸗ . den, als er im Anfange war. . 2) Balzer hat am baaren Gelde auch 4 Thlr., giebt davon aus Thaler, behaͤlt alſo nur noch 1 Thaler. Nun nimmt er wiederum ein 2² Thaler, mithin beſitzt er wiederum 3 Thaler; folglich, da ſeine Ausgabe die Einnahme uͤberwiegt, iſt ertauch um 1 Thaler aͤrmer geworden, als er im Anfange war. , 3) Caſpar beſitzt ebenfalls 4 Thaler, wovon er 6 Tha⸗ . leer ausgeben ſoll. Da er aber nur 4 Thaler, und alſs 1 ?2? Thaler weniger hat, als er ausgeben ſoll, ſo iſt die⸗ 2 ſes Vermoͤgen nicht hinreichend, und ob er gleich ſaͤmt⸗ liche 4 Thaler hingiebt, ſo muß er doch noch 2 Thaler ſchuldig bleiben, die ihn an der Summe von 6 Thaler fehlen. Würde er nun auch 1 Thaler wiederum eins . . G 3 nehe Die practiſche Rechenkunſt. nehmen, ſo wuͤrde er doch, von 2 Thaler gemachter Schuld, nur noch 1 Thaler abtragen koͤnnen, mithin beym Verluſt ſeines ganzen Vermoͤgens noch 1 Thaler ſchuldig bleiben. Caſpar wird alſo unter den dreyen der Ungluͤcklichſte, er wird arm ſeyn. §. 133. Ehe ich zeige wie das Subtrahiren geſchie⸗ het, will ich erſt, wie bey der Addition und Multiplica⸗ tion geſchehen, einige bey der Subtractio gebraͤuchliche Kunſtwoͤrter und Zeichen, nebſt einigen dahin gehoͤ⸗ rigen Regeln, welche wohl zu merken, voranſch icken. 1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Subtractio. Minuendus, iſt die groͤß eſte von zwo gegebenen Zah⸗ len, und von welcher man eine kleinere gegebene Zahl abziehen oder ſübtrahiren ſoll. Subtrahendus, iſt die kleinſte von zwo gegebenen Zahlen, welche von der groͤßten, dem Minuendo, abgezogen oder ſubtrahirt werden ſoll. Reſt oder Reſiduum, iſt diejenige geſuchte Zahl, welche nach verrichteter Subtraétio uͤbrig geblieben, oder ſie iſt auch der Unterſchied, um welchen die eine der ge⸗ gebenen Zahlen groͤßer oder kleiner als die an⸗- dere iſt. Z. E. 3 von 5§ bleibt 2. Hier iſt 5 der Minuendus, 3 der Subtrahendus, und 2 der Reſt. Und ſo iſt auch 2 der Unterſchied, um welchen 5 groͤßer als 3, oder um welchen 3 k keiner als 5„ iſt. Differenz, der Unterſchied von 2 gegebenen Zahlen. Das Zeichen der Subtractio iſt: — und heißt: Mi- nus, weniger. Die Mathematiker pflegen, des kurzen Ausdrucks wegen, dieſes Zeichen — zwiſchen die ge⸗ gebenen Zahlen, von welchen man den Unterſchied wiſſen will, zwiſchen dieſen und den Reſt oder Un⸗ terſchied aber, das ſchon bekannte Zeichen: = zu ſetzen. Z. E. 4 — 1 = 3 wird geleſen: 4 minus, oder we⸗ niger 1 iſt gleich 3z. D. i. Der Unterſchied zwiſchen 4 und 1 iſt 3, als um welche die Zahl 4 9 ro ßer als 1, oder I kleiner als 4 iſt. 1. Anm. 1. An 7 Die ptactiſche Rechenkunſt. 103 etehhter 1. Anm. Man muß allemal, wie eben geſchehen, beſon⸗ , milhin deers wenn es eine Aufgabe betrift, den Mi⸗ Thaler nuendum zu erſt ſetzen, weil umgekehrt die Aufga⸗ 5 be ein falſches Anſehen erhalten wuͤrde. Z. E. 1 — 4. lücichſie, Eins weniger 4. — — So koͤnnte man nur ſagen, wenn man ſeine Schulden bezeichnen wollte. Z. E. Ich habe nur 1 Thaler, und ſoll doch 4 Thaler davon be⸗ 1 geſchie aäaäaaahlen. Wollte man nun wiſſen, wie viel mir noch, bultipliea⸗ um 4 Dhaler bezahlen zu koͤnnen, fehlten: ſo muͤßte taͤuchliche mDan nicht die erſte, ſondern die ꝛte, als die groͤßte hin geon Zahl, zum Minuendo annehmen, und ſodann die 6 l.) erſte von derſelben abziehen; da ſich dann finden wuͤr⸗ hhicken. de, daß mir noch 3 Thaler fehlten, welche ich alſo a. ſchuldig bleiben muͤßte. Und ſo waͤren dieſe 3 Thaler acio. der Unterſchied, welcher anzeigete, um wie viel enan Zih⸗ ich zu arm waͤre, 4 Thaler bezahlen zu koͤnnen. lieſene 2. Anm. Bey Erklaͤrungen, wie eine Aufgabe berechnet wor⸗ gege⸗ den, ſindet zwar die Schreibart, da man den Minuen- duñm nach dem — ſetzet, Statt, z. E. 7 — 10 — 3 edebenen (85. 139.) allein bey ſolchen Faͤllen thut man wohl, um innendo, Frrungen zu vermeiden, daß man das Zeichen — mit. von ausdruͤcke, als: 7 von 10 &. §. 134. 2. Regeln der Subtractio. ce Reg. 1I. Eine gerade Zahl, von einer geraden Zahl aſ * abgezogen, laͤßt eine gerade Zahl uͤbrig. z. E. 2. nede 4 von 6 bleibt 4. s di i Reg. 2. Eine gerade Zahl, von einer ungeraden— iſ ſa 1 ſubtrahiret, laͤßt eine unger ade Zahl. z. E. 4 von * 9 bleibt 5. we 6 Reg. 3. Eine ungeradeZahl, von einer ungeraden teſi Zahl abgezogen, laͤßt eine gerade Zahl. z. E. 3 eſlen. . von 7 bleibt 4. M tißt! M. Reg. 4. Zwogleiche Groͤßen, von einander abgezogen, des kurzen laſſen zu ihrem Reſte o, d. i. Nichts. z. E. 36 en die ge⸗ von 36 bleibt 0. tetſchied Anm. Bey der Diviſio heißt es, wenn man das Produ& ſ oer Un des Quotienten und Diviſoris, von einengleichgtof⸗ ſtzen. ſen Zahl des Dividendi abzieht: Esgeht auf. oer ve⸗ Wie das Subtrahiren geſchieht. zwiſchen SS F. 135. Von den gegebenen zwo Zahlen, deren Un⸗ er teterſchied oder Reſt man zu wiſſen verlanget, wird der n. G 4 Mi- 7 104 Die prgetiſche Rechenkunſt. Minuendus, ass die groͤßte Zahl, oben; der Sutbra- hendus, als die kkeinſte Zahl, welche von der groͤßten abgezogen werden ſoll, darunter geſetzt, und zwar eben ſo, wie bey der Additio und Multiplicatio gelehret: die Einer unter Einer; Zehner unter Zehner; Hunderte un⸗ ter Hunderte ꝛc. Darauf wird unter beyde alſo aufge⸗ ſetzte Zahlen eine Linie gezogen, um unter dieſelbe den Unterſchied oder Reſt, ſo wie er nach und nach von der Rechten nach der Linken abgezogen wird, zu ſetzen. Man ziehet zuerſt die Einer des Subtrahendi von den Einern des Minuendi ab, und ſetzet deren Reſt ſodann unter die gemachte Linie, gerade unter die Einer. Eben ſo ziehet man die Zehner von den Zehnern; 7 die Hunderte von den Hunderten ab ꝛc. und ſetzet jeden Re ſt an ſeine gehoͤrige Stelle. 1. Aufgaben, wo die Ziffern des Subtrahendi alle kleiner als die Ziffern des Minuendi ſind. §. 136. Da alles, was zur Aufloͤſung oder Berech⸗ nung dieſer Art Aufgaben gehoͤret, ſchon im vorhergehen⸗ den Fpho hinreichend gelehret worden: ſo koͤnnen wir ſo⸗ gleich die Subtractio ſelbſt vor die Hand nehmen. 1) Man ſoll den Unterſchied finden, um welchen die Zahl 9 87 6 groͤßer ſey, als 4 5 2 0. Solutio. 9 8 7 6 Minuendus 4 5 2 ⏑ Subtrahendus Reſt 5 3 5 6 2 Fange bey den Einern an, und ſage: O von 6 bleibt 6. Dieſe 6 ſetze an ihre gehoͤrige Stelle, unter den Strich, ge⸗ rade unter die Einer; ferner: 2 von 7 bleibt 5, dieſe 5 Zehner, als den Reſt von 7 Zehner, unter die Zeh⸗ ner, neben die Einer, an ihre Stelle geſetzt. Ferner: 5 von 8 bleiben 3, dieſe, als den Reſt von 8 Hunderten, an ihre Zte Zahlſtelle geſetzt. Endlich ſage: 4 von 9 bleiben F, dieſe, als den Reſt von 9 Tauſenden, an ihre 4te Stelle geſetzt, ſo zeiget der ſaͤmtliche Reſt aller Einer, Zeh⸗ Lehne Um w die an Be ——— — — —ð uthra⸗ oßten t eben te: die erte un⸗ vaufge⸗ lbe den ich von l ſchen. on den ſodann Einer. hnern; nb ſetet Wendi ſiud. Berech⸗ gehen⸗ wir ſo⸗ ee die andere gegebene kleinere Zahl 4520. Die practiſche Rechenkunſt. 105 Zehner, Hunderte und Tauſende, den Unter ſchied an, um welche die gegebene groͤßere Zahl groͤßer iſt, als Beweis: Es enthaͤlt die gefundene Zahl in ſich, den Reſt aller Einer, aller Zehner, aller Hunderte, aller Tauſende; kurz aller Einer, von welcher Art ſie immer ſeyn moͤgen. Da nun der Reſt aller Theile, dem ganzen Reſte gleich iſt; ſerner: dieſer Reſt mit dem Suhtrahendo zuſammen genommen, dem Minuendo gleich iſt: ſo hat es auch mit der Re⸗ gel, nach welcher hier ſubtrahiret worden, ſeine Rich⸗ tigkeit. V Zzuſ. 1) Dieſen Beweis noch deutlicher einzuſehen, darf man nur erwegen: Daß von einer gegebenen Zahl aufs hoͤchſte nur eine gleich große Zahl abgezogen werden kann. Z. E. von der Zahl 8 kann nicht mehr als 8 abgezogen werden: denn 8 — 8 = 0 (§. 134. Reg. 4.) Mithin muß vom Minen- do, der Zahl 8, ſo viel uͤbrig bleiben, als man von demſelben weniger als 8 abziehet, z. E. ziehet man vom Minuendo 8, den Subtrahendum 7 ab, ſo bleibt 1 und umgekehrt 8 –— 1 = 7. Zieht man vom Min. 8. dem Subtr. 6 ab, ſo bleibt pro Reſto 2; und umgekehrt: 8 – 2 = 6 &c. Folglich muß der Subtrahendus und Reſt. zuſam: men genommen, dem ganzen Minuendo gleich ſeyn. z. E. der Subtr. 7 und der Reſt 1, geben die Zahl 8, welche dem Minuendo voͤllig gleich iſt; alſo auch 1 + 7 = 8; ebenfalls 6 + 2 = 8; oder 2 +– 6 = 8 &c. Da nun dieſes bey allen Zahlen, ſie moͤgen ſo groß ſeyn, als ſie immer wollen, zutrift; ſo kann auch dieſes Verfahren zur Probe dienen, daß richtig gerechnet worden, z. E. Der Reſt vorſtehender Aufgabe iſt: 5 3 5 6 der Subtrahendus: 4 5 2 O Beyde geben wieder den Minuend. 9 8 7 6. ° 5 Zuſ. 106 Die practiſche Rechenkunſt. Zuſ. 2) Weil nun, wie vorher gezeiget worden, der Subtrahendus 2, von dem Minuendo genommen, den Reſt 6 laͤßt, und auch umgekehrt: 8 — 6 2: ſo muß, wenn der Reſt vom Minuendo ſubtra⸗ hiret wird, der Subtrahendus erſcheinen. z. E. unſer voriger Minuendus = 9 8 7 6 — den Reſt 5 3 5 6 giebt wieder den Subtrah. 4 5 2 0. Dieſes kann die zweyte Probe, daß richtig gerechnet, geben. 2) Man ſoll die Differenz, zu den gegebenen Zahlen: 12345678 und 23456789, finden. 3) Um wie viel iſt die Zahl 345679 kleiner, als die Zahl 45679892 4) Was betraͤgt der Unterſchied, von den Zahlen 56789 uund 325172 5) Um wie viel iſt die groͤßere, von den beyden Zahlen 978476 und 754213, mehr als die kleinere? 6) Man ſubtrahire 621021 von 843254, was bleibt pro Reſto? 2. Aufgaben, da einige Ziffern des Subtrahendi groͤßer, als die daruͤber ſtehenden des Minuendi ſind. §. 137. Weil im Subtrahendo oft einige Ziffern zu ſubtrahiren vorkommen, welche groͤßer ſind, als die dar⸗ uͤber ſtehenden Ziffern des Minuendi: ſo hat man auch ein Mittel noͤthig, wodurch der zu kleinen Ziffer des Minuendi das Fehlende gegeben werde, um von der⸗ ſelben ſubtrahiren zu koͤnnen. Es beſtehet aber dieſes Mit⸗ tel darinnen: daß man, ſo oft eine Ziffer des Subtrahen- di zu groß iſt, um von einer kleinern Ziffer des Mi- nuendi abziehen zu koͤnnen, bey der naͤchſt folgenden Ziffer des Subtrahendi, gleichſam als von einem dienſt⸗ fertigen Nachbar, eine Unitaͤt borge, auch dieſe geborgte Unitaͤt neben der Ziffer, von welcher ſie geborgt worden, imt einem (.) bemerke, um nicht zu vergeſſen, daß man bey derſelben geborgt habe. Da nun dieſe geborgte une⸗ a iſt alle Ifer, nuch nun Einhei di, hin in Stan hendi, Iuendi uͤbrig, nun die nem P. den, ſit Gehtte Ekſertun hrr, ehe gun, vnl es billig Erenyel Mn en, der ammen, -6 0 ſultta⸗ 76 355 — 520. et, geben. Zahlen: bie dhl 156789 a Zhen leibt pro tabendi 8 ifen 1 die dan men ouch If des von der⸗ ſ Mi⸗ trahen⸗ des Mi- ge nden m dienſt geborgte Die practiſche Rechenkunt. 107 tät allem al 10 ſolcher Unitaͤten enthaͤlt, als diejenige Ziffer, um welcher willen geborget worden: ſo koͤnnen auch nunmehr dieſe geborgten 10 kleinen Unitaͤten, zu den Einheiten der zu kleinen Ziffer des Minuen- di, hinzugethan werden, als wodurch man nicht nur im Stande iſt, die vorher zu große Ziffer des Subtra- hendi, von der vorher zu klein gefundenen Ziffer des Mi- nuendi, abzuziehen; ſondern es bleibt auch noch ein Reſt uͤbrig, welcher an ſeine gehoͤrige Stelle zu ſetzen. Wenn nun die folgende Ziffer des Subtrahendi, welche mit ei⸗ nem Puncte, des Geborgten w egen, bemerket wor⸗ den, ſubtrahiret werden ſoll; ſo muß dieſer Ziffer, des Geborgten wegen, eine Unitaͤt, als eine ſchuldige Erſtattung, zugerechnet werden. z. E. wenn ſie vor⸗ her, ehe geborgt worden, eine 7 war, ſo muß ſie nun, um des Geborgten willen, eine 8 gelten, weil es billig iſt, dem Nachbar das Geborgte zu erwiedern. Ein Exempel wird die Sache klaͤrer machen. Man ſoll 5678 von 7432 ſubtrahiren. Solutio 7 4 3 2 Minuendus 5. 6. 7. 8 Subtrahendus Reſt. 1 7 5 4 Fange bey den Einern an, und ſage: 8 von 2 kann ich nicht, muß alſo 1 borgen; bemerke dieſes Geborgte, bey der nebenſtehenden 7, mit einem (.) addire dieſe in dem geborgten Zehner enthaltene 10 Einer zu den 2 Einern des Minuendi, von welchen vorher nicht abgezogen werden konnte, und ſage: 10 P 2 = 12; nun 8 von 12 bleibt 4. Dieſe ſetze unter die Einer, an ihre gehoͤrige Stelle. Ferner ſage: 3 (nicht 7, weil die geborgte Unitaͤt, der 7 wieder verguͤtet werden muß,) von 3 kann ich nicht, muß derohalben Eins borgen. Weil dieſe geborgte, und mit einem (.) bemerkte Unitaͤt, als ein Hundert, ebenfalls 10 Unitaͤten der Ziffer, um welcher reillen geborgt worden, d. i. 10 Zehner enthaͤlt: ſo ſind . nun Die practiſche Rechenkunſt. nun 10 + 3 = 13; nun 8 von 13 bleibt 5. Dieſe zum Reſt an ihre gehoͤrige Stelle geſetzt. Da nun, vorher geſagter Urſach wegen, die mit einem Puncte bezeichnete 6, als eine 7 betrachtet werden muß, ſo ſage ferner: 7 von 4 kann ich nicht, muß abermals Eins borgen. Dieſe geborgte und neben der 5§. mit einem Puncte bemerkte Unitaͤt iſt 1 Tauſend, wel⸗ che 10 Unitaͤten der vorhergehenden Zifferſtelle, d. i. 10 Huderte enthaͤlt: alſo 10 + 4 = 14 — 7 = 7. Dieſe 7 zum Reſt, an gehoͤrige Stelle geſetzt. Endlich ſage: 6 von 7 bleibt 1, dieſe an ihre Stelle, ſo iſt der Reſt = 1754. Beweis: Es ſind von den Ziffern des Subtrahendi nach und nach geborgt, und in dem Minuendo uͤber⸗ gegangen: I1) — — 1 0 Einer 2) — — I .. Zehner 3) — — 10. . Hunderte die betragen in Ssumma 1I I1 IO als um welche Zahl der Minuendus wirklich ver⸗ groͤßert worden, um davon ſubtrahiren zu koͤnnen. Es ſind aber auch dem Subtrahendo, wegen der ge⸗ borgten Unitaͤten, nach gerade zur Verguͤtung zuge⸗ rechnet worden: S 1) ein Zehner = 1 0 2) ein Hundert = I O O 3) ein Tauſend = IOOo alſo in Summa I I I O. Da nun dem Subtrahendo eben ſo viel, als dem Mi- nuendo, zugerechnet, ſo iſt auch das Verhaͤltniß bey⸗ der gegebenen Zahlen durch ſolche gleichgroße Ver⸗ mehrung nicht aufgehoben, ſondern voͤllig beybehal⸗ ten worden. Mithin koͤnnen auch die gegebenen Zahlen eben ſo betrachtet werden, als ob gar kein Borgen noͤthig geweſen. Folglich muß der nach ge⸗ ge⸗ ebbe lang zuſat 5. Dieſe Da nunt, n Puncte 1 mg, ſo abermals et 5. mit end, wel⸗ elle, de i. 4-7 elle geſett. e Etele, ndo uͤben . rte ich ver⸗ 3u knnen. en der ge⸗ tung zug’ „ . . iini bey ue Ler⸗ heybeha⸗ gegebenen . gar fein ex nech den .- btrahendl — 4 Die practiſche Rechenkunſt. 109 D gebener Regel gefundene Reſt, die geſuchte und ver⸗ langte richtige Zahl ſeyn. zuſatz: Denn addirt man zum Minuendo 7 4 3 2 die geborgten II I G ſo entſtehen 8 ¾ 4 2. addirt man ebenfalls zum Subtrah. 5 6 7 8 die demſelben verguͤteten 1I IO H ſo entſtehen 6 7 8 8. Subtrahiret man nun von dieſen ver⸗ groͤßerten Minuendo 8 5 4 2 dem vergroͤßerten Subtr. 6 7 8 8 ſo bleibt pro Reſto 1 7 5 4 welcher dem vorigen in allen voͤllig gleich iſt. Anm. Will man bey dergleichen Aufgaben, wo geborget werden muͤſſen, die im 1ſten Zuſatze 16. 136. gegebene Probe machen, und durch Addirung des Suberahendi und Reſtes, den Minuendum, zum Zeichen, daß rich⸗ tig gerechnet worden, wieder herausbringen: ſo muß man nicht die Ziffern des Subtrahendi, wegen beyſte⸗ benden Punctes, wie bey der Subtraction noͤthig war, um Eins mehr; ſondern ſie nur nach ihrem eigen⸗ thuͤmlichen Werthe rechnen. z. E. — Der Reſt der vorſtehenden Aufgabe war: 1 7 5 4 Der Subtrahendus + 5. 6. 7. G giebt, zum Bew. der Richtigkeit, den Min. 7 4 3 2. 7) Subtrahire 34789 von 56432! 8) Subtrahire 6129478 von 8568392! 9) Wie viel iſt 98765432 weniger 123456782 10) Wie viel 432432432 — 2299338892 11) Was iſt die Differenz zwiſchen den Zahlen: 4444444444 und 369854659892 3. Aufgaben, da der Subtrahendus Nullen mit . unter hat. §. 128. Ob es gleich ſehr widerſinnig ſcheinet, bey ei⸗ nem Nachbar, der ſelbſt nichts hat, etwas borgen zu wol⸗ en: 110 Die praeriſche Rechenkunſt. len: ſo geſchiehet dieſes doch allezeit, ſowol bey der Nul⸗ le, dem Zeichen von Nichts, als bey jeder wirkli⸗ chen Zahl, und zwar ohne allen Nachtheil der Richtig⸗ keit ſolcher Herechnung. Es wird auch ebenmaͤßig, wie vorher gelehret worden, die bey der Nulle geborgte Eins mit einem Punete bemerket, und dieſerwegen eine ſolche Null, wobey geborget worden, nachher fuͤr eine wirk⸗ liche Unitaͤt gerechnet. z. E. Man ſoll von 34115 abziehen 15009. . Solutio. 3 4 1 I 5 I. 5 0 0. 9 Reſid. I 9 1 0 6 Sage: 9 von 5 kann ich nicht, muß alſo borgen, und zwar bey der Null. Die geborgte 10 + 5 = 15, alſo 9 von 15 bleibt 6. Weil nun die Null, bey welcher geborgt worden, wegen der zuzuſtehenden Verguͤtung, uuninehr füͤr I gerechnet werden muß, ſo ſage ferner: I von 1 bleibt o. Ferner von 1 9 bleibt 1 &&c. ””ä Proba Reſf. 1 9IO 6 Subtr. T. I 5 0°°9 Min. 3 4 1 I 5 12) Wie viel betraͤgt 929 82142 — 500609782 132½ ⸗ 9999988888 — 60007000032 14) : 61III6IIII6 – 440000440042 XA 4. Auſgaben, da der Minundus Nullen mit unter hat. §. 139. Da bey dieſer Art Aufgaben eben nichts Fremdes vorkoͤmmt, ſo will ich hier nur bemerken: daß es nicht nothwendig iſt, die geborgten 10 erſt zu der zu kleinen Zahl des Minuendo zu addiren, und darnach die Zahl des Subtrahendi abzuziehen; ſondern man kann jederzeit, von den geborgten 10, erſt die Zahl des 8 Suhers: hendi X5) ⸗ „ 987654321987 — 3000000000062 hendi ol befunde Summa Gabt der Nuß⸗ wirkli⸗ Nichtige aßig, wie gte Eins ine ſolche ne wirk⸗ gen, 1OD — 15, ch, bey ſtehenden en muß, 0 von . 47 000;: 00000 en mit en gichts ten: duß der il darnech man konn Sobta Hendl tommen. B Trift ſichs, daß man wegen der letzten zu großen Rr Die praetiſche Rechenkunſt. 111 hendi abziehen, ſodann zum Reſte, die vorher zu klein befundene Zahl des Minuendi darzu thun, und ſolche Summa, als den Reſt, an gehoͤrige Stelle ſetzen. z. E. Subtrahire 4567 von 7002! . Solutio. 7 °%⏑ 4. 5. 6.7 Reſt 2 4 3 5 Sage: 7 von 2 kann ich nicht, muß 1 borgen, nun: 7 von 10, (die geborgt werden) bleibt 3 + 2 = 5. Ferner: 7 von o kann ich nicht, muß 1 borgen, nun: 7 — 10 = 3 + 3=— 3. (§. 133. 2 Anm.) Fer⸗ ner: 6 von o kann ich nicht, muß alſo 1 borgenz nun; 6 — 10 = 4 +£+ = 4. Endlich, 5 — 7 = 2. So iſt der Reſt = 2435. Anm. Da dieſe Art zu Subtrahiren, wegen Erſparung des Addirens, kuͤrzer, mithin bequemer als die vorige Art iſt; ſo wollen wir ſie kunftig allezeit beybehalten. 16) Wie viel iſt: 700902 — 5712342 177 99000902 — 876543212 18) Von 900000009 ziehe ab: 7161514191 19) ⸗ 90⁰021000 „ ⸗ 631267123! 5. Aufgaben, wo der Subtrahendus aus weni⸗ gern Ziffern, als der Minuendus, beſtehet. §. 140. Wenn der Subtrahendus aus wenigern Ziffern, als der Minuendus, beſtehet, ſo thut man wohl, die Ziffern des Subtrahendi, wie auch allezeit geſchehen kann, ruͤckwaͤrts unter den Minuendum zu ſetzen, damit Einer unter Einer, Zehner unter Zehner &c. zu ſtehen Ziſffer des Subtrahendi borgen muß: ſo macht man einen Punct, blos an der leeren benachbarten Zahl⸗ ſtelle, welcher Punct nachher, bey der Verguͤtung des Geborgten, ſo gut fuͤr eine Unitaͤt angeſehen wird, als §. 138. bey der Nulle geſchehen. z. E. Man ſoll von 810042 ſubtrahiren: 3452. So- 112 Die practiſche Nidatenſ, Solutio. 8 10O0O☛ 4 2 3. 4. 5 2 8 °⏑ 6 5 9 0 Weil hier des Subtrahendi letzte Ziffer die 3, welche, wegen des vorher Geborgten, 4 geworden, von der nicht abgezogen werden konnte, ſo mußte dieſerwe⸗ gen bey der benachbarten leren Zahlſtelle Eins geborgt, auch das Geborgte daſelbſt mit einem (.) bemerkt werden. Dieſen Punct nun, ſo wie immer geſchehen, fuͤr 1 gerechnet, und von der uͤber ihn ſte⸗ henden Ziffer des Minuendi, von der 1 abgezogen, blieb 0. Endlich war noch die letzte Ziffer des Minuendi, die 8 uͤbrig, weil aber von derſelben gar nichts abzu⸗ ziehen war: ſo wurde ſie zum Reſt heruntergeſetzt, und hiermit die ganze Subtraction geendiget. 20) Wenn man von 89200436 abziehett 48254. Was bleibt pro Reſto? 21) 8690004360 — 719829 22) 21IIIIIIIIII — 69800072 23) Subtrahire 8 von 20000000000000! 6. Aufgaben, wo Nullen unter Nullen iu ſtehen kommen. §. 141. Wenn Nullen von Nullen abzuziehen ſind; ſo koͤnnen auch nichts als Nullen uͤbrig bleiben, eben ſo wie gleiche Groͤßen, von gleichen Groͤßen, O uͤbrig laſſen, (§. 134. Reg. 4.) Muß aber, wegen vorhergehenden Ziffern des Subtrahendi, geborgt werden: ſo bleiben na⸗ tuͤrlich ſo viel von den geborgten 10 uͤbrig, als die abzuzie⸗ hende Ziffer des Subtrahendi- weniger als 10 enchaͤl. z. E. Lan ſoll die Differenz finden, von 3000002 —40002. So⸗ 20) G 2⁵) 5) 7. Und Vi tik elle zu erin orkom tach un herden in rich )S 24 2 9 1 29) 4 , welcht „von det 1 dieſerwwe⸗ le Eins inem (.) vie immer 1 ijn ſter Gezogen, nGi, bie 18 u⸗ gtergeſeht, iget. 4. Was en u en, eben ig! aſſen, gehenden leiti una rab zuzie⸗ enthalt⸗ Ho⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 1 13 Solutio. 3 O % σ△% ° 2 —R . . 4 00O 2 2 9 6 O0°⏑0°% Die erſten gleichen Groͤßen von gleichen Groͤßen der Einer laßen hier, wie die folgenden 3 Nullen von 3 Nullen nich ts uͤbrig (§. 134. Reg. 4.) des⸗ wegen im Reſt auch 4 Nullen zu ſtehen kommen; hingegen muß, wegen der 4, bey der leeren Stelle geborgt werden, und ſo bleiben von dieſen geborgten 10 auch 6. Ferner den Punct auf der leeren Stelle, als 1 betrachtet, von o kann ich nicht, muß alſe abermal bey der leeren Stelle borgen. Nun: 1 (fuͤr den Punct gerechnet) von 10 bleibt 9. Endlich den folgenden Punct, als I betrachtet, von 3 bleibt 2, und ſo erſcheint der Reſt: 2960000, 24) Subtrahire 34005 von 93002. Was bleibt? 2 400⁰60⁰08 von 6007009. ⸗ 2 2 6) ⸗ 234000 von 400000000, ⸗ 2 7. Aufgaben, wo mehr als eine Species vorkommt. §. 142. Da dieſe Aufgaben bloß zur Uebung, Pruͤfung, und Wiederholung desjenigen, was bereits von der Arithme⸗ tik erlernet worden, dienen ſoll; ſo iſt hierbey weiter nichts zu erinnern als: daß man wohl auf die bey den Aufgaben vorkommende Zeichen merke, damit man wiſſen moͤge, was nach und nach mit den Zahlen der Aufgaben vorgenommen werden muͤſſe, um auf die gegebene arithmetiſche Frage eine richtige Antwort zu finden. 27) Subtrahire 9785432 von 89765040, zu dem Reſt, 24 mal genommen, addire 8080489409. Wie groß iſt die BHumme? 28) Wie viel iſt 98 * 405632 56043209 — 735729237 29) Was fuͤr ein Reſt giebt 84699 + 76435 503 — 47717069 öͤ H 30) 114 Die practiſche Rechenkunſt 3⁰) Wie groß iſt die Summa von 436 ✕ 89745213 — 12345678954. + 176612105302 31) Was bleibt pro Reſto von 9999 ☛ 9999 + 8764503 — 531889492 “ 32) Multiplicire 8888 mit ſich ſelbſt, zum Facto addire 88888888 und ſubtrahire von der Summa 101218766. Was bleibt pro Reſto? 33) Wie viel iſt 8765 ₰ι 50005 P+ 77665532 — 66666666 — 3025723 + 331510809? 34) 58976432 – 49999978 + 55046009 ¾ 54 — 2568324114. Wie groß iſt der Reſt? 35) Welche Summe giebt 549 α 987 + 879764 — A216282 ⸗ “ 36) Was fuͤr eine Jahrzahl erſcheint, venn man 876456 mit 8 multipl. zum Facto 987643 addirt, und von der Summa 7997504 ſubtrahiret? §. 143. Was die Proba der Subtraction betrift, ſo iſt davon bereits §. 136. Zuſatz 1. & 2. hinreichender Un⸗ terricht gegeben, deswegen die Subtraétio in unbenamten ganzen Zahlen hiermit beſchloſſen ſeyn mag. §. 144. Ehe man ſich mit der 2ten Art, eine Zahl zu verkleinern, bekannt macht, iſt vorher das Eins in Eins fertig zu lernen. Weil aber dieſes im Grunde nichts anders, als das verkehrte Einmal Eins iſt; ſo wird es denen, welche daſſelbe ruͤckwaͤrts und vorwaͤrts ge⸗ lernet haben, ſchon ſo gut als bekannt ſeyn. Denn, wie 0 4= 0% iſt; §. 109. Reg. 6., ſo habe ich auch 4 in 0. Wie I ½¼ 5 = 5§ iſt, Reg. 5. ſo habe ich auch 5 in 5= Imal, u. ſ. f. S SJMMU Die practiſche Rechenkunſt. 115 21,- Das Eins in Eins. 1 in o habe ich Pinal † ⸗1 ⸗1 . 1 123 „ 2 4 to addire —) Shmm in d, 1 habe ich Ginel 5 in bis § habe ich omal † 2 „ 2, 3 ⸗ 1 6 6 — 1 r :⸗ 2 ⸗ 4, S 2 2 ⸗ 6 12 „% ⸗ 2 2 “ 2 6, 7 ⸗ 23; 656 ⸗ 18 — 23 ; 3 3332 — 32 2 ; 8, 9„ ⸗ ⸗4A:⸗ 6 – 24 — 29 4 ⸗ 2 10, 1II ⸗ ⸗sS⸗ 5 ⸗„ 30 — 383 „ § ⸗ 32 2 12, 13 ⸗ 6 ⸗ 6 36 — 44 „ &$ ⸗ 4— 2 ⸗ 4½ 15 N⸗ „⸗ 6 ‧ 42 — 47 1 7 ⸗ 2 2 16/ 17 ⸗ 8 2 6 48 — 33 ⸗ ⸗‧ 8 ⸗ 12 18, 19 9 ‧ 6 54 — 59 ⸗ 9 : 64 — 3in , 1, 2 habe ich omal 7 in o bis 6 habe ich omal ä 3 i ⸗ 2 ⸗ F⸗14 — 20 „ ⸗ 2 * G6s 3 % 1 3½ „ 21 — 2 „ 3: und von 3 12 — 14 3 7 7 8d8⁸ — 34 ‧½ ⸗ 4 3 18 — 17 ⸗ ⸗ 5 7 ‧ 35 — 41 „ § * 3 18 — 20 ⸗ 6bG ⸗ 7 ⸗ 42 — 48 ⸗ ⸗ 6 ⸗ . 3 21 — 23 7 2 49 — §5S 2 ⸗7 1 etrift, . 3 24 — 26 8 ⸗7 ⸗ 56 — 62 „ 8 ⸗ nber in⸗ 3 2 6 . enatnten [4 in bis 3 habe ich omal 8 in 0 bis » habe ich omal 4 4 — 7 * ⸗1I 2 8 ⸗ 8 — 15 1I 2 4 ⸗ 8 –— 11 2 ⸗ 8 15 — 23 à „ 4 ⸗ 12 — 18 ⸗ „ 3 * 8 2 24 — 31 3 3 ne gahl 12 ‧ 16 — 192 4 3 ⸗ 32 – 39 ⸗ 4 : 1s Eins 4 ⸗ 20 — 23 ⸗ S 2⸗ 8 2 40% — 472 : a, 4 234 – 272 6 8 ⸗ 48 — zS ⸗ 6 Grunde 4 28 — 3 1 ⸗=7 8 56 – 63 „ 7 = iſt; ⸗ 4 ⸗ 32 — 35 ⸗82 8 ½ 64 — 71 ·⸗ ⸗ 3 ⸗ artsge⸗ 4 36 — 39 ⸗ ⸗ 9⸗ ⸗ 72 – 79 2 in, wie § in o bis 4 habe ich omal 9 in es 8 habe ich emat HLi 8s ⸗ 5 — 9 1 9 9⁹ — 17 1 ch in S ⸗ 10/— 14 ⸗ 2 : 9 ‧ 18 — 26 2:⸗ Gonch S 15 — 19 ⸗ ⸗ 3 9 ⸗ 27 — 3,5 = ⸗ 3 2⸗ S ⸗ 20 — 24 ⸗ 4 92 ⸗ 36 – 44 „ 4 15 ⸗ 25 – 29 ⸗ ⸗ S,; 9 ⸗ 45 – 533 S ⸗ 30 — 34 ⸗ 6 ⸗ 9 ⸗2 54 – 62 ⸗ 6 = 4 – 35 — 39 ⸗ ⸗7„: 9 68 —ä— 2v7 7 5S 40 — 44 5 8 ⸗ 9 ‧ 73 – 80 8 ⸗ 5 ⸗ 45 — 49 ⸗ ⸗9 2 9 ⸗ 81 – 89 „ 9 „ . 16 Die praetiſche Rechenkunſt. IV. Diviſio (Theilung) in ganzen uUnnbenamten Zahlen. §. 145. Dividiren, heißt eine gegebene Zahl mit er ner andern gegebenen Zahltheilen, um zu ſehen, wie viel mal die eine in der andern Zahl enthalten ſey: z. E. 3 Perſonen ſollen ſich in 18 Thlr. theilen, und man ver⸗ langt zu wiſſen: Wie viel Thaler jede Perſon zu ihrem Antheile erhalten wird? D. i. man verlangt dem 3ten Theil von 18 zu wiſſen. Sagt man nun, nachdem Eins in Eins: 3 in 18 habe ich 6 mail; ſo iſt dieſe 6 der geſuch⸗ te 3te Theil, als ſo viel Thaler jede Perſon zu ihrem An⸗ theile erhaͤlt. Daß dieſes aber ſeine Richtigkeit habe, wird Klar, ſo bald man die 6, als den gefundenen 3ten Theil, 3 mal nimmt, da alsdann die Anzahl der vorhandenen 18 Thaler wieder zum Vorſchein kommt: denn 3 ℳ6 Anm. Man ſieht hieraus: daß die Diviſo nichts anders, als einenmgekehrte Multiplication iſt. §. 146. Es erfordert aber die Diviſion, als die ſchwer⸗ ſte aller 4 Rechnungsarten, das ſchaͤrfſte Nachſinnen, nebſt einer richtigen Beurtheilungskraft, um jedes mal genau zu erfahren, um wie vielmal die eine gegebene in der andern gegebenen Zahl enthalten ſey? denn, wenn ich bey der vorhergehenden Aufgabe, F. 145, den unbedacht⸗ ſamen Irrthum begangen, und geſagt haͤtte: 3 in 18 ha⸗ be ich 7 mal; ſo wuͤrde dieſe Jals 3ter Theil betrach⸗ tet, gegen die zu theilende Zahl 18 zu groß ſeyn, weil 7 ℛ☚3 = 21. Es muͤßten alſo 21 Thlr. zu theilen auf⸗ gegeben ſeyn, wenn jeder der 3 Perſonen 7 Thlr. er⸗ halten ſollte. Haͤtte ich hingegen den Fehler begangen, zu ſagen: 3 in 18 habe ich 5mal; ſo wuͤrde man den 3ten Theil 5 zu klein gegen die zu theilende Zahl 18 finden, weil 5 α3 nur 15 iſt, mithin muͤßten von 18 Thlr. noch 3 Thaler uͤbrig bleiben, in welche aber die theilende Zahl 3 juſt noch einmal enthalten waͤre; folglich auch 6, nicht aber 5 mal, genommen werden mußte. Weit mehr wird das Geſagte bey Aufgaben, deren zu theilen gegebene Zah⸗ len aus vielen Ziffern beſtehen, in die nn gengfallen, als woſelbſt die Erfahrung das Uebrige lehren wir?e 8 1. g g. t 2 I d 4 6 l. het, te nungsort che Kun fffigehi 1. F Pivid den ſ Dirn H Quot iſt ſſe Halbi mi iſt. Medii Aur wn ier A de⸗ ge 1 mit d en, wie. . E. man der: 1 ihten dem zten den Eins er geſuch⸗ hrem Ane abe, wi l Zeil, jandenen 36 45 endete, e ſchwen chſinnen, de w egebene in Genn ich unbedacht in 19 0 betrech⸗ ilt, bei⸗ ſen auf⸗ r. mngen, z 1g füben, e noch ende Zaht 68, nig eht tin beneheß alen, 46. Mm. / Die practiſche Rechenkuuſt. 117 Anm. Der Gebrauch der Divifion erſtreckt ſich im gemei⸗ nen Leben ſehr weit. Z. E. Man will wiſſen, wie viel große Unitaͤten die man Pfunde nennet, in einer ge⸗ gebenen Mengegleichgroßer TDheile ſolcher Uni⸗ taͤt, die man Lothe nennet, enthalten? Wie viel Mark, oder Thaler in einer gegebenen Anzahl Schil⸗ linge enthalten? ꝛc. Was ffuͤr ein Antheil ein Je⸗ der, von einer geſchloſſenen Handelsgeſellſchaft, a N ganzen Gewinne oder Verluſte habe? — Wie groß der Antheil eines jeden Miterben an einer gan⸗ zen Erbſchaft ſey? ꝛc. alle dieſe, und noch weit mehrere dergleichen aritmethiſche Fragen, muͤſſen durch⸗ die Diviſio beantwortet werden. §. 147. Bevor ich zeige, wie das Dividiren geſchie⸗ het, werde ich erſt, wie bey allen vorhergehenden Rech⸗ nungsarten geſchehen, einige bey der Diviſion gebraͤuchli⸗ che Kunſtwoͤrter, nebſt Jeichen derſelben; wie auch einige hierher gehoͤrige Regeln voranſchicknen. 1. Kunſtwoͤrter und Zeichen der Didviſion. Dividendus, iſt diejenige Zahl, welche getheilet wer⸗ den foll, z. E. Man ſoll 18 mit 3 theilen: hier iſt 18 der Dividendus. M D Diviſor, iſt die Zahl welche theilen ſoll. Z. E. 3 in 18. Hier iſt 3 der Diviſor. Quotient, iſt der Theil, welcher nach verrichteter Di⸗ viſion erſcheint. Z. E. 3 in 18 habe ich 6 mal. Hier iſt 6 der Quotient. Halbiren, heißt eine dahr zur Haͤlfte nehmen, d. i. mit 2 theilen. Z. E. 2 in 8. habe ich mal. Hier iſt 4 die Haͤlfte von 8. Mledüren, iſt ebendaſſelbe, was halbiren iſt. Ausmeſſen, heißt: Wenn entweder die eine Zahl von der andern ſo oft ſubtrahiret; oder die eine mit der andern dividiret wird, daß nichts uͤbrig bleibt. Zuſatz: Alſo mißt 1 allein alle Zahlen kaus; weil ſie von allen Zahlen bis auf nichts kann fubtrahiret wer⸗ den. Die 2 hingegen mißt keine anderen, als die geraden Zahlen. Z. E. ſie mißt 12, 16, 24 ꝛc. 3 aus 7 7 118 QDDie practiſche Rechenkunſt. aus; weil nach verrichteter Diviſion nichts uͤbrig bleibt: dahingegen wuͤrde ſie 13, 15, 23 ꝛc. nicht ausmeſſen, weil bey jeder dieſer ungeraden Zahlen 1uͤbrig bleibt. Die Zeichen der Diviſton ſind: 15) Zween uͤbereinander geſetzte Puncte: welche zwi⸗ ſchen den Diviſorem und Dividendum geſetzet wer⸗ den, um dadurch anzudeuten: daß letzterer durch erſteren dividiret werden ſoll, z. E. 4: 8. D. i. Man ſoll 8 mit 4 theilen. Man kann dieß leſen: 4 in 8. oder man verbindet auch durch dieſes Zeichen zween Zahlen, welche miteinander ein gewiſſes Verhaͤltniß haben. Z. E. 4: 8= 8: 16, Heißt: 4 zu 8 gleich 8 zu 16. =ð 2) Ein Querſtrich — uͤber welchen man den Dividen- dum, und unter welchen man den Diviſorem ſetzet, um damit anzudeuten: daß eine alſo bezeichnete Zahl zu dividiren ſey. Z. E. heißt: die Zahl 8 ſoll durch 4 dividiret werden. Auch pflegt man ſo den Reſt, welcher nach der Di⸗ viſion uͤbrig geblieben iſt, zu bezeichnen, da das vom Dividendo Uebriggebliebene zu oberſt, der Diviſor zu unterſt des Strichs, wie vorher, geſetzt wird. Z. E. 3: 8 = 2, und 2 ☛☚ 3 = 6 von 8, bleibt 2. dieſer Reſt ſteht ſo . Anm. Eine alſo geſchriehene Zahl wird auch ein Bruch ge⸗ nennet. Der Bruͤche aber giebt es vielerley, davon an ſ. O. m. §. 148. 2. Regeln der Diviſion. Reg. 1. Wenn der Diviſor dem Dividendo gleich iſt; ſo mißt er denſelben durch 1 aus: z. E. 6:6 = 1 mal. (vide: Ausmeſſen; §. 147.) Reg. 2. Iſt der Diviſor groͤßer, als der Dividen- dus; ſo giebt der Quotient einen Bruch, deſſen Zaͤh⸗ ler der Dividendus; der Nenner aber der Diviſor iſt. Z. E. 3 in 2 kann ich nicht. Ergo kommen zum Quotienten 2 (H. 147, 2).. Anm. und ſen ge⸗ chts ihtir 3 k. nicht den Zahlen 4 welche zwt eſetzet wer. — terer durch D i. Man n: 4 in 9. ſchen;weenn Verhaͤtnis 1eug hech Diriden⸗ Diviſorem bezeichnete et werben. der Di⸗ da das vom er Diviſor Etwird 5. , bleist 2. Bruch ge Nron N 4 do gleich E( 6:6 Dividet. eſen Zih er Diviſer mmnen zum Aum. Die practiſche Rechenkunſt. 119 Anm. Dergleichen Bruͤche, welche nur Theile vom Ganzen enthalten, entſtehen allemal, ſo oft eine ge⸗ rade Zahl durch eine ungerade Zahl, oder auch umgekehrt, dividirt wird. Z. E. 3: 8:— : 2 bleibt der Bruch ¾ oder 2: 5 =— 2, bleibt der Bruch 2. Doch koͤnnen auch gerade Zahlen mit geraden, wie unge⸗ rade Zahlen, mit ungeraden Zahlen, dividirt, der⸗ gleichen Bruͤche laſſen, z. E. 5: 7:— 1 bleibt der Bruch 32: und 8: 12 = 1, bleibt der Bruch 4. Reg. 3. Wenn der Diviſor kleiner iſt, als der Di- videndus, und doch in ſelbigem aufgehet; ſo iſt er nur ein Theil des Dividendi. Z. E. 3: 12 = 4; Ergo iſt 3 aus 12 der 4 Theil. Reg. 4. Iſt der Diviſor kleiner als der Dividendus und geht doch in ſelbigem nicht auf, wie ſolches der Fall bey allen ungeraden, durch gerade Zah⸗ len getheilet, iſt: (Reg. 2. Anm.) ſo verhaͤlt er ſich gegen denſelben als ein Bruch, deſſen Zaͤhler eben ſolcher Diviſor, der Nenner aber der Dividendus iſt. Z. E. 7 in 20 geht nicht auf, Ergo verhaͤlt ſich 7 gegen 20 wie saus 20. Reg. 5. Wenn eine Zahl von der andern durch die 3te dividiret werden kann; ſo kann ſie auch von der 3ten durch die andere, und alſo umgekehrt, dividi⸗ ret werden. z. E. 12 kann, weil 3 b4 12 und 4 % 3 = 12, (H. 109. Reg. 4.) von der 3 durch 4, und auch von 4 durch 3 dividirt worden; z. E. 3: 12 = 4 und 4:4 = 1I 4: 12 —. 3 und 3: 3 = 1 Zuſatz: Daher kann man mit allenim Einmal Eins enthaltenen Factoribus, nach ſogenannter Zer faͤl⸗ lung, auf vorgezeigte Art dividiren. Reg. 6. Wie 2 Zahlen nach Belieben mit einander multipliciret werden koͤnnen; (§. 109. Reg. 4) ſo kann auch das daraus entſtandene Produét mit bey⸗ den Zahlen ausgemeſſen werden. Z. E. 3 α 9 = 27. H 4 Ergo 7 120 Die practiſche Rechenkunſt. Ergo fann 27 ſowohl mit 3 als mit 9 dividiret werden, ſo, daß es ohne Reſt aufgehet. Reg. 7. Wenn eine Zahl eine andere dividiret und ausmißt, ſo dividiret und mißt ſie auch alle die aus, wel⸗ che von ſolcher andern dividiret undausgemeſſen wer⸗ den. Z. E. 4 dividiret und mißt 8 aus; 8 aber dividirt und mißt 16, 24, 32 und ſ. f. aus. Ergo dividiret und mißt dieſe 16, 24, 32 u. ſ. f. auch die 4 aus. Reg. 8. Die 1 mißt alle Zahlen aus. Denn die 1 mul⸗ tipliciret nicht. §. 109. Reg. 5. V Reg. 9. Wenn 2, 3 oder mehr Zahlen mit einem ge⸗ meinſchaftlichen Diviſore getheilet werden, ſo bleibt das Verhaͤltniß der Quotienten daſſelbe, welches die ungetheilten Zahlen vorher unter ſich hatten. Z. E. die Zahlen 8, 16, 32 geben, durch 4 getheilt, die Quotienten 2, 4, 8. Nun iſt der Quotient 2 in 4, wie 4 in 8, zweymal enthal⸗ ten; ſo wie 8 in 16 und 16 in 32 ebenſalls 2 mal enthalten iſt. Ja, dieß Verhaͤltniß wird auch bleiben, wenn man die Quotienten 2, 4, 8. noch ein⸗ mal mit dem gemeinſchaftlichen Diviſ. 2 theilet. Z. E. 2: 2 + 4 + 8 = 1 + 2 + 4. Hier iſt 1 in 2, und 2 in 4 gleichfalls zweymal enthalten. Folg⸗ lich iſt das Verhaͤltniß noch immer daſſelbe, wie es im Anfange war. Wie das Dividiren geſchiehet. §.149. So wie die vorhergehenden und nun ſchon be⸗ kannten 3 Rechnungsarten von der Rechten nach der Linken vollfuͤhrt wurden, und dieſes, erwieſener maſſen, auch ſo am Beſten zu thun war: ſo verfaͤhrt man bey der Diviſio juſt umgekehrt, naͤmlich: Man faͤngt zur Linken bey den groͤßten Einern an, und endiget zur Rechten, bepy den kleinſten Einern. = Es hat aber dieſes ſcheinbar verkehrte Verſahren ſeinen doppelten Grund, und zwar⸗ 1) . R Muttipti iine gege von den der N. eine gege Einsi kehrte der Re ſten ll „) der Ei ner Enn nigen genzen den K den T bey d den k endigen Ddn b klei 4 ſhiede leigen Gebra⸗ NR ben, gem nen3 vor! eſtell Mein Uuſta ſtche “ ſchie irſt dividitee int uns eaus, weh⸗ ſeſſen werr zer dividirt bidiet und⸗ aus. bie Imu⸗ einen ge⸗ eden, ſo aſſelbe, nter ſch n, dutch in iſt der l enthal⸗ 62 mal bird auch noch ein⸗ 2 theilt⸗ r iſt t in eſte Folg aſſelbe, chon be⸗ nach der maſen, beß der lgt zur get zur tſihten 14) Die practiſche Rechenkunſt. 121 1) In der nahen Verwandſchaft der Diviſion mit der Multiplication. Denn, ſo wie durch die Multiplication eine gegebene Zahl, vermittelſt des Ein mal Eins, von den kleinſten bis zum groͤßten Unitaͤten, von der R. nach der L. vergroͤßert wird; eben ſo wird eine gegebene Zahl durch die Diviſion ve rmittelſt des Eins in Eins, welches nichts anders als das ver⸗ kehrte Ein mal Eins iſt, (§. 144.) von der Linken nach der Rechten, die groͤßten Unitaͤten zu erſt, die klein⸗ ſten Unitaͤten zu letzt genommen, verkleinert. 2) Gruͤndet ſich dieſes Verſahren auch auf die Natur der Sache ſelbſt. Denn ſo wie man mit der Theilung ei⸗ ner Summe Geldes, welche in einigen Tauſendthaler⸗, ei⸗ nigen Hundertthaler⸗, einigen Zehnthalerbeuteln; einigen ganzen Thalern und einigen Groſchen beſtaͤnde, nicht bey den Kleinigkeiten, den Groſchen anfangen und bey den Tauſendthalerbeuteln endigen; ſondern vielmehr bey den groͤßten Beuteln anfangen und bey den kleinſten Muͤnzen, als den geringſten Einern endigen wuͤrde: Eben ſo iſt es der Billigkeit gemaͤß, auch von bloſſen Zahlen die groͤßten Unitaͤten zuerſt, die kleinſten aber zuletzt zu theilen. §. 150 Die Aufgaben der Diviſion werden auf unter⸗ ſchiedene Art aufgeſetzt, worunter ich die brauchbarſten zeigen, und unter denſelben die Beſte zum ferneren Gebrauch waͤhlen werde. . Nachdem der Dividendus gehoͤrig vor ſich hingeſchrie⸗ ben, hinter die Zahlen deſſelben eine Perpentikulairlinie ſgemacht, um hinter dieſelbe die nach und nach gefunde⸗ nen Ziffern des Quotienten zu ſtellen; auch der Diviſor vor dem Dividendo, durch einen Bogen) abgeſondert, geſtellet worden: ſo verfahre man nach folgenden allge⸗ meinen Unterricht, vermittelſt welchen alle Diviſions⸗ aufgaben, deren Diviſor nur aus einer Ziffer be⸗ ſtehet, aufzuloͤſen. 0) Suche, nach dem Eins in Eins, den Ueber⸗ ſchlag zu machen: Wie vielmal der Diviſor in der erſten Ziffer des Dividendi, wenn dieſe nicht kleiner 5 ais . 122² Die practiſche Rechenkunſt. als der Diviſor, in welchem Falle zwo Ziffern des Di⸗- videndi zum Ueberſchlag genommen werden muͤſſen, ent⸗ halten iſt? D. i. ſuche eine Ziffer zum Quotienten, wel⸗ che, mit dem Diviſore multiplicirt, ein Product giebt, eben ſo groß als die erſte Ziffer, oder, daferne zum Ueberſchlage zwo Ziffern genommen werden, als zwo Ziffern des Dividendi, wenigſtens denſelben am naͤhe⸗ ſten kommend; aber ja nicht, daß ſie von der Groͤße eines ſolchen Products uͤbertroffen werde, weil daſſelbe ſonſt nicht abgezogen werden koͤnnte. Dieſe alſo gefundene Ziffer ſetze ſogleich, als den erſten Theil des Quotienten, an ihre Stelle hintern Stich. 2) Nachdem die erſte Ziffer des Quotienten an ihre Stelle geſetzt worden, ſo multiplicire mit dieſer den Divi⸗ ſor; das Produét dieſer beyden Zahlen ſetze unter die erſte, oder unter die erſten beyden Ziffern des Dividendi, mit welcher, oder welchen, der Ueber⸗ ſchlag gemacht worden, ziehe es von derſelben ab, und ſetze den Reſt an gehoͤrige Zahlſtelle, unter die zu dem Ende gemachte Linie, ſo wie bey der Subtracétion gebraͤuchlich. 3 3) Setze, um in der Diviſion weiter fortzufahren, ne⸗ ben dieſen Reeſt die folgende Ziffer des Dividendi, und mache, vermittelſt des Eins in Eins, wie vor⸗ her geſchehen, abermal den Ueberſchlag: Wie oft der Diviſor in dieſer heruntergenommenen Ziffer, nebſt dem Reſte des vorigen Produces, enthalten ſey? und dieſes iſt, die 2te Ziffer zum Quotienten, weiche deshalben auch neben die zu erſt gefundene geſetzt wird. 4) Mit dieſem neuen Gliede des Quotienten multipli⸗ cire wie vorher, den Diviſorem und ſetze das Product gleichsfalls unter die heruntergenommenen Zif⸗ fern des Dividendi. ZSiehe es ab, und ſetze neben den Reſt, wie vorher geſchehen, abermal eine Z iffer des Dividendi, nach ihrer Folge, herunter. Und ſo ver⸗ fahre, bis alle Ziffern des Dividendi heruntergenommen, und zu allen der Quotient gefunden worden. Ci Ein Ei ter wa Er Und geſe l Wird den S duct 1 hen ſine ic chen werde ngl 7 md muß as n des Di. ſen, ent. Nen, wel⸗ dutt giebt, ferne zan als zwo n haͤhe⸗ der Grie eil daſſelbe gefundene ottenten., n an ihre en Diyi⸗ nter die Jiffern⸗ der Uebet: eb, und zu dem ttaction ten, u0 . ndi, und wie vor⸗ ie oft der veſ dem ſes iſt, en auch multigl? Prduct n Ziß eben zif fer d ſt ver⸗ ommmnen, Ein 4 Die practiſche Rechenkunſt. 123 Ein Exempel folgender Aufgaben wird die Sache klaͤ⸗ rer machen. 5§. I51. I. Aufgaben, deren Diviſor nur aus einer Ziffer beſteht. 1. Es ſoll die Zahl 3456 mit 2 dividiret werden: wie groß wird der Quotient ſeyn? HZ Solutio. M ⸗ △ 1 6 d I 6 — ſ△ O Nachdem der Dividendus, vorgelehrter maſſen, (§. 150.) aufgeſetzet, hinter demſelben eine Linie, und vor demſelben ein) gemacht, worinn der Diviſor 2 geſtellet worden, ſo ſage: 2 in 3 habe ich 1 ma; dieſe 1 wird, als die erſte Ziffer des Quotienten, hinter den Strich, an ihre Stelle geſetzt: Nun wird das Pro⸗ duct dieſer Ziffer und des Diviſoris 2 genommen, alſo: 122 — 2, unter die 3 bey a geſetzt, von derſel⸗ ben abgezogen, und den Reſt 1 unter den Strich an ſeine Stelle geſetzt. Zu dieſem Reſte 1 wird ſodann die naͤchſtfolgende Ziffer des Dividendi, die 4 geſetzt, wele che auch beym Dividendo unten mit einem (.) bemerkt werden, ſo wie dieß, um Irrthum zu vermeiden, jedes⸗ mal geſchehen muß. Nun ſage ſerner: 2 in 14 habe ich 7 mal; dieſe 7 iſt das 2te Glied zum Quotienten, und muß ſo gleich anihre Stelle, neben die ſchon gefundene 1, das Prod. dieſer 7 mit dem Diviſ. 7 Wα2 = 14 aber, wie vor⸗ 124 Die praetiſche Rechenkunſt. vorher, unter die 14 des Dividendi bey b geſetzt, und von denſelben abgezogen werden, da dann nichts bleibt. Es wird demnach, zu fernerem Verfahren, die folgende Ziffer des Dividendi, die 5, und zwar ganz einſam herunter geſetzt, weil vorher kein Reſt geblieben. Nun heißt es: 2 in 5Ohhabe ich z mal; dieſe 2 iſt das 3te Glied zum Quotienten, und wird neben die ſchon vorhandenen 17 an gehoͤrige Stelle; das Product aber von 2 2 = 4, unter die 5 bey e geſetzt, und abgezogen, bleibt 1. Zu dieſen Reſt 1 wird nun die letzte Ziffer des Di- videndi, die 6 herunter geſetzt. Endlich wird geſagt: 2 in 16 habe ich 8 mal; das Prod von 8 2 = 16 unter die 16 des Dividendi bey d geſetzt und abgezogen, ſo bleibt nichts uͤbrig; oder, nach der bey der Diviſion gewoͤhn⸗ chen Redensart: Es geht auf. (§. 134. Reg. 4. Anm.). Und weil hier alles aufgeht, und nichts uͤbrig bleibt, ſo ergiebt ſich daraus, daß der gefundene Quotient 172 8 der verlangte 2te Theil des gegebenen Dividendi accu⸗ rat ſey. . Beweis: Es ſind hier alle im Dividendo vorhande⸗ nen Tauſende, alle Hunderte, alle Zehner, und alle Einer durch 2 getheilet, und ſo, wie der zweyte Theil die⸗ ſer verſchiedenen Unitaͤten nach und nach herausgebracht, im Quotienten geſetzt worden, weil nun von allen und jeden Arten, der im Dividendo vorhandenen Unitaͤ⸗ ten, der 2ꝛte Theil richtig im Quotienten gebracht wor⸗ den: So muß auch dieſer Quotient der 2te Theil der gan⸗ zen getheilten Summe ſeyny. Proba. 8S. 152. Um zu erfahren, ob richtig gerechnet worden, darf man nur den Quotienten mit dem Diviſore oder auch umgekehrt, (§. 109. Reg. 4.) multipliciren, und auf ſolche Art den Weg, welchen man in der Diviſio genom⸗ men, wieder ruͤckwaͤrks gehen: ſo muß, zum Zeichen, daß richtig gerechnet worden, der Dividendus wieder zum Vorſchein kommen. Im der vor he Quotie Diviſo kleint dieſe 2 grlßer us 34 eint, miſſen vorhetg alle h 8 Iffer hier w das er⸗ denn Di durch iuit de kutſtan Autie 4 das Abd. ſilbe worden worden Ann bt, und s bleibt. ſolgende tinſam 1. Nu e Glied handenen 2 2 bleibt 1. des Di. leſagt: 2 unter gen, ſo genoohn⸗ Aunm.). bleibt, et 1708 di aec Urhaube⸗ dalle Tel din gebrcht, en und lniti⸗ cht wor⸗ dergan⸗ worden, Ner euch und auf genon⸗ Zeichen, der zun Nn Die praetiſche Rechenkunſt. 132 5 In vorhergehender Solutio war der Quotient 1 7 2 8 der Diviſor 2 Y a 2 b I 4 6 4 d 1 6 der vorige Dividendus 3 4 5 6 MJMM Hieraus ſiehet man nicht nur augenſcheinlich, daß der Quotient 1728, welcher vorher durch die Diviſion mit dem Diviſore 2 entſtanden, und daher um die Haͤlfte ver⸗ kleinert worden, nunmehr umgekehrt, durch eben dieſe 2 multipliciret, wieder um die Haͤlfte ver⸗ groͤßert worden, als wodurch der vorige Dividen- dus 3456, der noch einmal ſo groß als der Quo⸗ tient, nothwendig wiederum zum Vorſchein kommen muͤſſen; ſondern man ſiehet auch zugleich, wenn man vorhergehende Solutio neben dieſe Proba haͤlt, wie alle die bey der Diviſion vorkommende Facta a, b. c, d, welche durch die Multiplication einer jeden Ziffer des Quotienten mit dem Diviſore entſtanden, hier wieder zum Vorſchein gekommen. Denn bey a ſtehet das erſte Factum 2, der erſten Zeffer des Quotienten mit dem Div. I 2 = 2; bey b das Fact. 14, entſtanden durch die Multiplication der 2ten Ziffer des Quotienten mit dem Diviſore; 7 2 = 14; bey c das Facét. 4, entſtanden durch die Multiplication der 3ten Ziffer des Quotienten mit dem Diviſore 2, 2 ₰α2 = 4; und bey d das Fact. 16 der letzten Ziffer des Quotienten mit dem Diviſore 8 2 = 16. Endlich geben alle dieſe Facta a † b† c „£☚ d, die Summa 3456, welches eben die⸗ ſelbe Zahl iſt, die vorher durch 2 zu theilen aufgegeben worden. Ergo muß bey der Diviſio richtig verfahren worden ſeyn. Anm. Betrachtet man dieſe vorſtehende Proba als eine Multiplieations⸗Aufgabe; ſo iſt die vorhergehende Di⸗ viſion die Proba hierzu (J. 129.) 126 Die practiſche Rechenkunſt. 2) Halbire 4 6 7 6 8. Was iſt die Haͤlfte? 3) Manſoll 5 2 ⏑43 6 mediiren: Was kommt zum Quotienten? Solutio. 2) 5 2 O3 6 ½ 2 6 °1 8. I 2 d 3 X 6G 16 00 Sage: in 5 habe ich 2 mal; das Facét. von 2 43 = 4 von F bleibt 1; hierzu die 2 herunter, ſind 2. ferner: 2 in 12 habe ich 6mal, und 6 α2 =– 12 — 12 = nichts. Nun die herunter und ſage: 2 in habe ich o, und weil —☚αα☛+Pichts geben kann, ſo wird auch kein Faétum unter⸗ geſetzt, ſondern ſo gleich die folgende 3 neben die o herun⸗ tergenommen, und ferner geſagt: 2 in 3 habe ich 1 mal, und 1 % 2 = 2 — 3= 1. Zu dieſen Reſt die letzte 6 her⸗ unter und ſage: 2 in 16 habe ich 8 mal; und 8 α 2 = 16 — 16 geht auf. Der gefundene Quotient 26018 iſt das verlangte Medium der gegebenen Zahl 52036. Der Be⸗ weis iſt wie vorher. §. 153. Da ich die vorſtehende Art zu dividiren, nur blos zu dem Ende gelehret, damit der Beweis der Richtig⸗ keit deſto deutlicher in die Augen fallen moͤchte, keineswe⸗ ges aber, um dieſe zu weitlaͤuftige Diviſionsart bey zu behalten; ſo will ich, meinem Verſprechen getreu, (§. 150) nun eine weit kuͤrzere Art lehren, nach weilcher wir ſo gleich die vorhergehende Aufgabe berechnen wollen, um den Unterſchied von beyden Arten deſto beſſer ſehen zu koͤnnen. . ( Man nen be ben ein in eine P zur kl her 9 nommn habei ſeteſt R De de⸗ nun: ſer di Pac- fern thei — 2— ner: chts. wei nter⸗ tun⸗ mnat, her⸗ 216 das nut htig: we⸗ bey 150) wir⸗ 1 zu Non in einen Bogen) alſo: Die praetiſche Rechenkunſt. 1. 27 Nan ſchreibt den Dividendum, wie vorher, auf ei⸗ nen beliebigen Platz vor ſich nieder, macht unter demſel⸗ ben eine Linie, und ſetzt ſodann den Diviſor vor dieſelbe 5203 0 3 6 Nun mache mit allen unitaͤten, von der groͤßten bis zur kleinſten Art, nach der Lehre §. 150., und ſo, wie vor⸗ her geſchehen, den Ueberſchlag; wie viel jedesmal ge⸗ nommen werden kann? Sage erſtlich: 2 in 5 (50000) habe ich 2mal, (20000) und dieſes erſte Glied des Quot. ſetze juſt unter die 5 an ihre gehbͤrige dahſteue, alſo: „* 5 2 °3 6 — 2) — Nimm das Facét. dieſer Zahl mit dem Diviſ. 2 bα 2 4, (2 ₰✕ Ü20000 = 40000) ab von 5, bleibt 1, (Hooο — 50000 = 10000.) Da das Fact. hier nie, wie vorher geſchehen, unter den Dividendum geſetzt werden kann; ſo muß ſo⸗ wol das Factum, als auch der Reſtdeſſelben, jedesmal im Sinn genommen, und ſich indeſſen ſo vorgeſtellet werden, als ob man dieſe Zahlen wirklich alſo vor Augen haͤtte. Zu der uͤbriggebliebenen 1 nimmt man nun die folgen⸗ de 2, ſind 12; (10000 2000 = 12000.) Sage nun: 2 in 12 (12000) habe ich 6mal; (6000mal.) Dieſe 6 ſetze, als das 2te Glied des Quotienten, un⸗ ter die 2 an gehöͤrige Stelle, alſo: 5 2 0 3 0 2) 2 6 Weil nun das aus der 6 und dem Diviſ. 2 komm ende Fact. = 12 — 12 (12000 — 12000) aufgeht; ſo ſage ferner: 2 in habe ich omal. (Es iſt kein Hundert zu theilen.) Dieſe O ſetze an ihre gehoͤrige Zahlſtelle, alſo: 52036 128 Die prarttiſche Rechenkunſt. Ferner: 2 in 3 habe ich 1mal; (2: 30 = 10.) Dieſe 1 ſetze an gehoͤrige Stelle, alſo: 5 2 0 3 6 2)— 2 6 0 1 Nun: I α 2 = 2 von bleibt I. (10 b« 2 = 20 von 30 bleibt 10.) Zu dieſer 1 die letzte Ziffer 6 iſt 16. (10 + 6= 16.) Endlich ſage: 2 in 16 habe ich 8mal, dieſe 8, als die letzte Ziffer des Quotienten, an jene Stelle, und das Product derſelben mit dem Diviſ. 8 2 = 16 ab⸗ gezogen von 16, ſo gehts auf, und das ganze Exempel ſteht nunmehr vollendet alſo: — 5 2 0° 3 6 -— — — 2 6018. Anm. 1. Ich habe hier allezeit die bey der Divifion vorge⸗ kommenen Unitaͤten des Dividendi ſowol, als die von ihnen und dem Diviſore entſtandenen Producte, in ih⸗ rer wahren Groͤße ausgedruckt, und ſie neben bey in Klammern eingeſchloſſen, damit man nicht nur von der Richtigkeit dieſer Rechnung deſto deutlicher uͤber⸗ zeugt wuͤrde; ſondern auch ſehen koͤnne, wie dieſe Thei⸗ lung der Natur gemaͤß geſchehen. (§. 149. 2.) Wer aber noch zweiſeln will, darf nur aile die Pro⸗ ducte, ſo wie ſie nach und nach aus der Multipli⸗ kation mit den Ziffern des Quotienten, und den Di⸗ viſore entſtanden, niederſchreiben und addiren, ſo wird die Summa derſelben dem Dividendo, zum Zeichen der Richtigkeit, voͤllig gleich ſeyn. z. E. Das 1ſte Fact. 2 ☚2 = 40000⏑0° ⸗ 2te⸗ 6 942 — 1I12000ͤO „ gte ⸗ ° Ä2 =— O△ι 2 gte 2 I °GU2 =— 2 Ste 5 3 %C2 =— MBWĩC Da dieſe 2 Summa 5 2 0 3 6, als die Summe aller F 2Gtorum, von der ihr v zuige⸗ lei⸗ chen — == iſe werde wird uid nomm iig 1. der woi Pben Etan a, melke ten n als Auo ) Dieſe 220 von 6. (10 al, dieſe lle, und 16 ab: Cranpel ore“ die von in ih⸗ den in tur von er übet⸗ ſeChei⸗ Pro ultipti u Di⸗ en, ſo zuu E. als di⸗ glei ger Die practiſche Rechenkunſt. 129 ch en Zahl des Dividendi abgezogen, eben ſo wenig einen Reſt laͤßt, als die von dem Dividendo vorher einzeln abgezogene Facéta gelaſſen haben: ſo iſt an der Richtigkeit auch nicht im mindeſten zu zweifeln. Anm. 2. Da hoffentlich dieſe vorſtehende Art zu dividiren, “ welche man gemeiniglich das Dividiren unter den Strich nennet, wohl gefaßt ſeyn wird; ſo wol⸗ len wir ſie auch kuͤnftig beybehalten, und ſo oft gebrau⸗ chen, als wir mit Numeris monadicis, 2 2. 2. 4. F. 6. 7. 8. 9. ober mit Numeris decadicis 20. 30. „40. 50. 60. 70. 390. 90. zu dividiren haben. (.. 159.) Ja auch denn noch wollen wir unter dem Strich theilen, wenn der Diviſor, hinter den erſten 9 uuttaten, 2 2, ze⸗ 4, und mehr Nullen hat. 4 Was betraͤgt die Huͤlſte von 5987602 5) Was von 8972400 2„ 6) Mediire 178301 Wie groß iſt das Medium? Solutio. 17 8 3 0 2) — ½ 9 1 5 Weil hier der Fall iſt, wo mit dem Diviſ. 2, in die erſte Ziffer des Dividendi, die 1, nichts genommen werden kann, weil ſie kleiner als der Diviſor iſt; ſo wird, in dieſem und jedem aͤhnlichen Falle, noch eine und zwar die naͤchſte Ziffer, die hier 7 iſt, darzu ge⸗ nommen. (§H. 150. 1.) Und ſo heißt es nun; 2 in 17 habe ich 8mal. u. ſ. f. §S. 154. Wer wohl gefaßt hat, wie eine gegebene Zahl mit Huͤlfe des Eins in Eins durch 2 zu dividiren, der wird auch leicht, mit derſelben Huͤlfe, eine jede ge⸗ gebene Zahl mit 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zu dividiren im Stande ſeyn. Ich will alſo, des beſondern Nutzens we⸗ gen, nur noch folgendes, theils nur wiederholt, zu be⸗ merken geben. 1) Wenn das durch die Multiplication des Quotien⸗ ten mit dem Diviſore gekommene Factum ju ſt ſo groß, als die Ziffer oder Zahl des Dividendi, aus welcher der AQAuotient genommen worden; ſo ſagt man: E sS 1. A 130 Die praetiſche Rechenkunſt. auf. Und in ſolchem Falle hat man nur allein mit der Solut. bey b.) 2) Bleibt aber, nach der Subtract. des Products, von der vor ſich habenden Ziffer oder Zahl des Dividen- di, etwas uͤbrig: ſo wird, neben ſolchen Reſt, allemal die folgende Zahl des Dividendi heruntergenommen, und naͤchſtfolgenden Ziffer des Dividendi zu thun. (§. 151. zu dieſer alſo vereinten Zahl wiederum eine neue Ziffer zum Quotienten geſucht. (§H. 151. Solut. bey c.) 3) Iſt wohl zu merken: daß, nach jedesmaliger Subtraction, des aus der Multipl. des Quot. mit dem Diviſ. entſtandenen Products, vom Dividendo, feine groͤßere Ziffer oder Zahl uͤbrig bleiben kann, als eine ſolche, die um 1. kleiner, als der Diviſor Wenn der Diviſ. z iſt, ſo kann der hoͤchſte Reſt nur 1 ſeyn⸗ 7 2 ⸗ : : ⸗ 2 Kkę „: 2 . 4 3 „ „ 2 5 ⸗ ⸗ ⸗ . 4 2 5 5 2 6 5 2 2 2 5 ⸗ Denn, iſt ein ſolcher Reſt dem Diviſore gleich; ſo hat auch der Quot. noch um eine Unitaͤt groͤßer ge⸗ nommen werden koͤnnen. (F. 148. Reg. I.) Itt aber der Reſt noch groͤßer als der Diviſor; ſo iſt dieſes ebenfalls ein Kennzeichen, daß der Diviſor noch ein oder mehrmal, je nachdem die Groͤße des Reſtes, in demſelben enthalten, mithin der Quo⸗ tient zu klein genommen ſey. M F. 155. Aus dieſen Bemerkungen ſiehet man, wie nothwendig es ſey, um ſich fuͤr allen, bey der Diviſion uͤberaus leicht vorfallenden Irrthuͤmern in Sicherheit zu ſtellen, daß man jedesmal, nach Abzug der Pro⸗ ducte, den Reſt genau beobachte: ob er klei⸗ ner oder groͤßer als der Divifor; oder ac glei 2 nil der K. izt. educts, widen⸗ allenal 1, und fer zumm maliger Hit dem keine foln, iiſor † 1ſe. . 24 3 4 e 6 ich ſ⸗ er ge⸗ or; ſ Vor ge des Quo⸗ , wie iſion ſett jn P klei⸗ leich zuch Die practiſche Rechenkunſt. 131 gleich groß mit demſelben ſey? Ebe dieſes ge⸗ ſchehen, muß nie eine folgende Zahl des Dividendi zum Reſte heruntergenommen werden. Denn nur in den bey⸗ den Faͤllen iſt der Quotient richtig genommen worden: Wenn entweder der Reſt kleiner als der Diviſor iſt; oder auch gar kein Reſt uͤbrig bleibt. 7) Dividire 34560 durch 3! 8) Theile 5679015 mit 3! 9) Es ſoll die Zahl 456704 durch 4 getheilet werden. Waas kommt zum Quotienten? 10) Was betraͤgt der 4te Theil von 34789042 11) Man ſoll von 897432 den gten Theil nehmen. §. 156. Sehr oft kommen Zahlen zu dividiren vor, in welche der Diviſor nicht aufgehet; ſondern nach geene digter Diviſion noch ein Reſt uͤbrig bleibt. Dergleichen ſind alle gerade Zahlen, durch ungerade dividiret, oder auch umgekehrt. (§. 148. Reg. 2. Anm.) wiewohl auch gerade, durch gerade, und ungerade, durch ungerade Zahlen dividirt, einen Reſt nachlaſſen koͤnnen. Z. E. Man ſoll die Zahl 36 durch 5 theiten; ſo wird nach verrichteter Diviſion noch 1 uͤbrig bleiben: Denn 5 in 36 habe ich mal; und das Produét 5 ☛Q7 = 35 von 36 bleibt I. Eben ſo laͤßt die gerade Zahl 6, durch 4 di⸗ vidirt, den gleichfalls geraden Reſt 2, nach. Imgleichen die ungerade Zahl 7, durch 5 dividirt, den Reſt 2 nach. Soll nun eine gegebene Zahl ganz genau getheilt werden: ſo kann das Uebriggebliebene unmoͤglich weggeworfen, ſondern es muß ein ſolcher Reſt gleichfalls in die verlangten Theile getheilt werden. Um aber ſoiche Theilung deſto deutlicher vor Augen zu ſtellen, ſo wollen wir den Unitaͤten unſers Exempels Namen geben, und die Aufgabe alſo einrichten: Es ſollen ſich 5 Knaben in 36 braune Kuchen theilen, ſo, daß jeder gleichviel be⸗ komme. Nun empfaͤngt, nach vorhergehender Berech⸗ nung, ein jeder 7 ganze Kuchen. Weil aber jeder gleichviel haben ſoll: ſo kann denuͤbriggebliebenen Kuchen niemand ganz bekommen; ſondern ſie muͤſſen ſich J 2 ent⸗ 132 Die practiſche Rechenkunſt. entſchließen, denſelben, nach Anzahl der Perſonen, in 50 gleiche Stuͤcken zu zerbrechen, da dann ein jeder, noch uͤber den 71 ganzen Kuchen, ein Fuͤnftel Kuchen zu ſeinem geraden und richtigen Antheile erhalten wird. Soll nun dieſes Stuͤck gleichfalls in Zahlen ausgedruͤckt werden; ſo muͤſſen die Anzahl der kleinen Stuͤcke, wel⸗ che hier 1 iſt, mit kleinern Zahlen, als die ganzen, neben den ganzen Zah len niedergeſchrieben, darunter ein Querſtrichlein gemacht, und unter daſſelbe, gleichfalls mit kleinern Ziffern, die Anzahl der Theile, in welche das Gan ze getheilet worden, bemerket werden. Stehet demnach ein Fuͤnftel in Zahlen alſo: ½; und der ganze 5te Theil von 36 braunen Kuchen alſo: 7 ½¼. Sieben ein Fuͤnftel. Eine alſo geſchriebene, und nie anders als durch die Diviſion entſtehende Zahl, wie dieſes ½, heißt, weil ſie nur Theile oder Bruchſtuͤcke eines Ganzen bezeichnet: Eine gebrochene Zahl (§. 7.) oder: Ein Bruch; davon die uͤber dem Strichlein ſte⸗ hende Ziffer oder Zahl, der Jaͤhler; die unter dem Striche ſtehende Ziffer oder Zahl aber der Nenner ge⸗ nennet wird. Zaͤh ler: Weil dieſe Zahl die vorhande⸗ nen Stuͤcke oder Theile des Ganzen zaͤhlet, oder als gezaͤhlt angiebt. Nenner: Weil dieſe Zahl die Stuͤ⸗ cke oder Theile nach ihrer vollen Anzahl, in wel⸗ che das Ganze getheilet worden, benennet. 1I. Zuſatz: Alſo wird jeder Reſt, nach verrichteter Piſviſion, wie obiges ½, neben den ganzen Zahlen in einen dergleichen Bruch geſetzt; der Zaͤh⸗ ler ſey auch noch ſo groß, nur zu dieſem Zweck nicht groͤßer, ſondern kleiner, als der Diviſor ſelbſt, weil ſonſt ein ſolcher Bruch mehr Theile, als zum Ganzen gehoͤren, enthalten wuͤrde. Z. E. iſt 1 Ganzes und ½. = 2. Zuſatz: Auch da, wo der Diviſor groͤßer, als der Dividendus iſt, entſtehet ein Bruch, deſſen zu kleine Dividendus den Zaͤhler, der Diviſor aber den Nenner giebt. Z. E. Man ſoll 35 durch 49 49 19) Wie theil Sage: eA nebe 9½ 7 non Fin: bledbt der! Viier 19) Was! 19) Es ſo Was 13) Wan 16) D 1)7/: 19) Weey 19) Was 30) Theie gerſontn, ein jedet, tel Kuchen 1. halten wird. ausgedruckt Gtuͤcke, wa⸗ en, neben atunter eint ichfalls mit , in welche en. Stehet der gonze Güeben in 9ls burch acke eines hl (.) tichlein ſte⸗ ter dem enner ge⸗ cvothorde 1, ode d Adie Stli , in n Perrißfter r ge der Zoͤ⸗ em Zek . iger als deſn Dini 35 u Die practiſche Rechenkunſt. 133 49 dividiren, ſo entſteht zum Quotienten der Bruch: 4. §. r48. Reg 2.) 12) Wie groß iſt der Qustient, wenn ich 14679 mit 5 “ül theile? Solutio Sage: 5 in 1 kann i nicht, ai 5 in 14 habe ich 2 mal; und 2 ☛◻5 = 10 von 14 bleibt 4. Hierzu nebenſtehende 6, alſo: 5 in 46 habe ich 9mal, und 9 ◻5 = 45 von 46 bleibt 1; hierzu nebenſtehende 7; nun: §5 in 17 habe ich zmal, und 3 α5 = 15 von 17, bleibt 2. Hierzu die letzte Zahl 9; alſo: 5 in 29 habe ich 5mal; und 5 5 = 255, von 29, bleibt 4. Dieſer Reſt 4 giebt den Zaͤhler, und der Diviſor 5, den Ren der, zu dem Bruch . Vier Fuͤnftel. 13) Was betraͤgt der Ste Theil () von 432 1022 14) Es wird 3456040 durch 5 zu dividiren gegeben. Wias kommt zum Quotienten? 15) Man theile 6584706 durch 61 16) Dividire mit 6 die Zahl 789763. Was kommt? 17) 7: 78976045. Wie viel? 18) Wie viel iſt der 7te Theil (4½) von 89760321 7 19) Was betraͤgt ½ von 897643202 20) Theile 76457043 durch 81!. 21) 9 in 87643250 dividirt: Was kommt zum Quot.? 22) Man ſoll 99956709 mit 9 theilen! 23) 9 in 9999999. Wie viel? 24) Man theile 567897694 durch 9! 2. Aufgaben, wo der Diviſor, neben einer Ziffer, eine oder mehr Nullen hat. §. 157. Wenn der Diviſor aus einer Unitaͤt nebſt einer o, oder mehr Nullen beſtehet; der Dividen- dus aber ebenfalls am Ende Nullen hat: ſo iſt die Di- viſion ſchon dadurch geſchehen, wenn man eben ſo viel 32 Puk 134 Die praetiſche Rechenkunſt. Nullen vom Dividendo als vom Diviſore wegſtreicht. Denn 1) kann die 1 ſo wenig dividiren, als multipliciren, ſondern muß eine Zahl laſſen, wie ſie iſt. F. 148. Reg. 8.) 2) Wird das Verhaͤltniß des Diviſoris gegen den Dividendum nicht aufgehoben, wenn ich von beyden am Ende gleich viel Nullen ausſtreiche: Denn, ha⸗ be ich, z. E. von einem Diviſore 10, eine Nulle ausge⸗ ſtrichen, und auch eine o von dem darzu gehoͤrigen Divi- dendo 30, alſo: 18: 32; ſo habe ich beyde Zahlen um zehen verkleinert, und es verhaͤlt ſich nunmehr der Diviſor 1: 3 = 10: 30. Denn 10 in 30 habe ich Zmal, und 1 in 3 habe ich auch 3mal. (§H. 148. Reg. 9.) Daher iſt die Diviſion von 300 durch 100, oder 3000 durch 1000 ſchon geſchehen, wenn ich nur vom Dividen- do ſo viel Nullen, als der Diviſor hat, wegſtreiche. So giebt der Dividendus, 30 durch 100 getheilet, zum Quot. 3, und der Dividendus 30, durch 1020, eben⸗ falls zum Quot. 3. Ec. §. 158. Beſtehet der Diviſor aus einer Unitaͤt nebſt einer o, oder mehr Nullen; der Dividendus hingegen aus lauter Ziffern: ſo darf man nur am Ende des Dividendi ſo viel Ziffern abſchneiden oder abpunctiren, als der Diviſor Nullen hat, und ſo⸗ dann die abgeſchnittenen Zahlen im Bruch ſetzen, ſo iſt die Diviſion geſchehen. z. E. Man ſoll 34567 mit 100 dividiren! Solutio ?VM 4 2 oder 34 00°) — 100) — 100) 34 5 15 3,4 5 18 25) Man ſoll 3456780 durch 10 theilen. 26) Was betraͤgt der 10te Theil von 345678900? 27) Was der 10te Theil von 9995432927 28) Theile 570963400 durch 100! 29) Dividire 8645347 durch 100! 30) Was giebt der Quot., wenn man 87673009 durch 1000 theilet? §. 159. §. 15. ſtreicht me Nullen! ſchann m ſhihen w 17.2) Dir 31) Du 32) Bei 33) Was 34) Yeil 35) 40 in 3⁰) ; K. 160 len, der lehret, von der Divitor 37) Mn Nchden des D tnit de den. 1, N und3 unnt ſin Nune ſtreicht. tipliciren, Reg. genen den beſden Denn, hr ule ausgen igen Diyvi⸗ Zahlen nunmehr o habe ich Reg9) der 3000 Dividen⸗ che. Go K, wm 1o, then t Unitaͤt videndus n nut am ſchneiden , und ſo 9ſeten, 6 Diie practiſche Rechenkunſt. 135 §. 159. Soll man mit Numeris decad. dividiren, ſo ſtreicht man die Nullen vom Dividendo, gegen die Nullen des Diviſoris weg, und verrichtet die Diviſion ſodann mit dem Numero ſignificante eben ſo, als ge⸗ ſchehen wuͤrde, wenn gar keine Null darneben ſtuͤnde, (H. 157. 2) 3Z. E. Dividire 234560 mit 20. Solutio. 2 3 4 5 6 ₰ 20) 1 7 2 8 31) Dividire 5678980 durch 20! 32) Theile 4568420 durch 20! 33) Was betraͤgt der 20te Theil von 232045102 34) Theile 4567890 durch 30! 35) 40 in 54325670. Was fuͤr ein Theil? 36) 40 3456720. Wie groß der Quot.? §. 160. Hat nur allein der Diviſor am Ende Nul⸗ len, der Dividendus keine, ſo werden, wie §. 158. ge⸗ lehret, vom Dividendo ſo viel Ziffern abpunctiret, als der Diviſor Nullen hat. Z. E. 37) Man ſoll 684325 mit 50 dividiren. Solutio. 6 ⁸ 4 3 2.5 5.0) 136 86 z5 Nachdem vorher vom Dividendo, wegen der Null des Diviſoris, eine Ziffer, die 5 abpunctirt: ſo iſt mit der 5o allein die Diviſion vorgenommen wor⸗ den. Alſo: § in 6 habe ich 1mal, und 1 α5 = 5, von 6, bleibt 1; ferner: 5 in 18 habe ich zmal, und 3 α5 = 15, von 18, bl. 3. Ferner: 5 in 34 habe ich mal, und 6 α 5 = 30, von 34, bl. 4. Ferner: 5 in 43 habe ich 8mal, und 5 ☚ 8 = 40, von 43, bl. 3. Ferner: 5 in 32 habe ich 6mal, und 6 ☛◻5 = 30, von 34, bl. 2, zu die⸗ ſer 2, als 2 Zehner, die fuͤr die Null ab⸗ punctirte, und alſo ebenfalls uͤbriggebliebene J4 5. 136 Die practiſche Rechenkunſt. , ſo iſt der ganze Reſt 25: Unter dieſen Zaͤhler den Diviſor 50, ſo entſteht der Bruch . (§. 156.) Beweis: Daß aber fuͤr jede Nulle eine Zahl uͤbrig bleiben muß, wird ſichtbar, wenn wir die Diviſion nach der zuerſt bekanntgemachten Art, und ohne ab⸗ punctiren, verrichten, z. E. 50) 6 8 4 3 2 5 r3636 . ₰ Hier zeigt ſich ofſenbar: Daß alle aus der Multipli⸗ eat. des Quot. mit dem Diviſ. entſtandene Producte, als: 1 ☛◻ 50 = 50 bey a; 3 α 50 — 150 bey b; 6 W◻50 = 300 bey c, 8 % 50 = 400 bey d, und 6 ☚ 50: 300 bey e, am Ende Nullen haben, und ſie auch, wegen der am Ende des Diviſoris befindlichen Nul⸗ le, nothwendig haben muͤſſen. Da nun die ſe Nullen der Producte nichts ſubtrahiren koͤnnen, ſondern die dar⸗ uͤber ſtehenden Zahlen, ſo wie ſie ſind, unveraͤndert im Reſt herunterwerfen muͤſſen: ſo muß auch, am Ende der Diviſion, fuͤr jede am Ende des Diviſoris befindliche Null, eine Zahl uͤbrig bleiben. S Zuſatz: Eben deswegen iſt auch nicht noͤthig, derglei⸗ chen Diviſor, ais aus zwo Ziffern beſtehend, zu betrachten, und damit auf dieſelbe Art, wie oben geſchehen, zu dividiren, ſondern man kann derglei⸗ chen Diviſor, als aus einer Ziffer beſtehend ι Aſe damm ſo W ) S ide ) Ee 40) We. 11) Y 42) 43) V. 44) WBJ 45) N. 40) Dr ) Wan 4 ) Wae k49) Qr 5) Die practiſche Rechenkunſt. 137 zäͤhler anſehen, und, durch Huͤlfe der Abpu netitung, (.156.) damit unter dem Strich weit kuͤrzer dividiren, gif übrig ſo wie die Solutio unter der 37ſten Aufgabe zeiget. 38) Was iſt der Quot. wenn man 78965600 mit 50 di⸗ vidiret? 39) Was der 60ſte Theil von 8976432 40⁰) Was =*ö von 564832502 41) Theile 87654630 mit 70?7 42) 7563845 mit 7oo k 43) Was betraͤgt der doſte Theil von 47 1r2368 2 44) Wie viel der 9oſte Theil von 87645602 45) Nan ſoll 3456700 mit 100 theilen! Solutio. 1) 314 6 7 $ £ͤ . §. 157. 46) Dividire 4567891 mit 100! (§F. 158.) 47) Was iſt der 1000ſte Theil von 8, 50: (§. 157.) 48) Was von 87656432 49) Dividire 3869700 durch 200! 50) „ 567834 mit 300! Peer. olutio. todutte, S 1. .00) 67 8 3 4 len bz 6 3.00) 1 8 9 2 23¾ (§. 160.) d6 % [ 51) Dividire 48673 durch 4001 ,und ſe 52) ⸗ 567897000 mit 5000! Gen gu⸗ 53) ⸗ ⸗ 6786432 mit 600! Diridon ohne al⸗ Pullen 54) 2 868032 mit 7000! diedor: DH Solutio en n 7.00) 8 6 8 .0 3 2 ude der 1 2 4 7335 efndſih⸗ 55) Theile 8707643 durch 8001 3 97648900 ⸗ 90⁰! derglei⸗ 57) 76 4 2 1567 96000! , ſehen 3 Aufgaben, wo der Diviſor zwo Ziffern hat. die bbe det §. 161. Bey Aufgaben, deren Diviſor aus zwo oder fefen mnehr Ziffern ſeſtehet, muß man auch mit eden ſo J 53 te⸗ 140 Die practiſche Rechenkunſt. vielen Ziffern vom Dividendo den Ueberſchlag ma⸗ chen; es ſey dann, daß ſo viel Ziffern des Dividen- di weniger betruͤgen, als die Ziffern des Diviſoris; alsdann muͤßte man eine Ziffer mehr, als der Divi⸗ ſor hat, vom Dividendo zum Ueberſchlag nehmen, z. E. Man ſollte mit 32 die Zahl 1284 theilen: ſo koͤnnte man hier nicht den Ueberſchlag machen und ſagen: 32 in 12 (eals gleichfalls 2 Ziffern) denn 12 iſt zu wenig gegen 32. Man muͤßte ſagen: 32 in 12 kann ich nicht; alſo 32 in 128 E&c. (§. 150. 1) & Solut. der 6ten Aufg.) Weil aber auch ein ſolcher Ueberſchlag fuͤr einen An⸗ faͤnger zu ſchwer ſeyn moͤchte, naͤmlich gleich zu wiſſen: Wie viel mal man 32 in 128 nehmen koͤnnte? ſolche Schwierigkeit aber ſich noch weit mehr bey groͤßer n Zah⸗ len zeigen wuͤrde: ſo iſt eine Regel, nach welcher ein ſol⸗ cher Ueberſchlag mit mehr Leichtigkeit zu bewirken, ſehr noͤthig. Hier iſt ſie: Go oft eine Zahl mit einem Diviſ. von zwo oder mehr Ziffern zu theilen aufgegeben worden: ſo mache man allezeit nur mit der erſten Ziffer des Diviſoris, in die erſte Ziffer des Dividendi, den Ueberſchlag: wie viel zu nehmen ſey? Man ſage z. E. nicht wie vorher, 32 in 128 &c. ſondern: 3 (als die erſte Ziffer des Diviſ.) in 12 (als die erſten 2 Ziffern des Di- videndi) habe ich 4mal Ec. Nur muß, ſo oft vom Dividendo, zwo Ziffern zum Ueberſchlag fuͤr die erſte Ziffer des Diviſoris genommen worden, nie vergeſſen werden: ſodann auch das kommende Product um eine Ziffer weiter unter dem Dividendo anzufangen. z. E. Weil vorher 12 zu wenig war, um 32 darin nehmen zu koͤnnen, und dieſerwegen noch die folgende 8 des Dividendi darzu genommen werden muͤſ⸗ ſen, wodurch es nun nicht mehr 32 in 12, ſondern 32 in 128 heißt: ſo muß nun auch das kommende Prod. 4 N4 32 = 128 ſo geſetzt werden, damit die 8 Einer deſſelben, auch unter die 3te Ziffer des Dividendi, unter die 8 zu ſtehen komme. u. ſ. f. Weil Weil A ſern wenn hen wir! ) Me⸗ ſchlag me⸗ Diriden- Dmiſoris; der Divi- nen, C. knnte inan 32 in 12 ggegen 32. aſſe 32 in 9) einen An⸗ zu wiſeen: le! ſoche her ehe⸗ r ein ſo⸗ en, ſhe ſit einem theilen jeit kur in die rſchlag: C. dicht die aſt en des Di- 6 oft hom die uſte ergeſſen hroduet idendo . war, um noc die den niſ⸗ dern 32 in ros. 4 edeſſelben, , die zin Peil Die praetiſche Rechenkunſt. 141 Weil Aufgaben, deren Diviſores zwo und mehr Zif⸗ ferrn haben, fuͤr Anfaͤnger zu ſchwer fallen wuͤrden, wenn ſie, wie bisher geſchehen, dergleichen Aufga⸗ den untern Strich dividiren ſollten: ſo wollen wir lieber kuͤnftig hintern Strich dividiren. 5) Man ſoll 345678 mit 11 dividiren. Solutio. 11) 3 4 5 6 7 8 3 1 4 2 5 * — —— ◻ „ D „½ △ W — 5 8 5 5 Sage: 1 (die erſte Ziffer des Diviforis) in 3 (die er⸗ ſte Ziffer des Dividendi) habe ich zmal; das Prod. 3 11 = 33, von 34, bleibt 1, hierzu die 5 her⸗ untergenommen, iſt 15. Ferner: 1 in 1 habe ich jmal; das Prod. I %αII = II, von 15, bl. 4; hierzu die 6, ſind 46. Ferner: 1 in 4 habe ich 4⸗ mal; das Prod. 4 Mα 11 = 44, von 46, bleibt 2, hierzu die 7, ſind 27. Ferner: 1 in 2 habe ich 2⸗ mal; das Prod. 2 △α II = 22, von 27, bleibt 5, hiezu die letzte Ziffer 8, ſind 58. Endlich 1 in 5 habe ich 5mal, das Prod. 5 ☛☚ 11 = 55, von 58, bleibt pro Reſto 3; dieſe 3p zum Quot. geſetzt, ſo iſt die Rechnung vollendet. Den Beweis, daß es mit vorſtehender Rechnung ſeine voͤllige Richtigkeit habe, dießmal augenſcheinlich zu fuͤh⸗ ren, will ich, ſowol den jedesmal zum Ueberſchlag genom⸗ 142 Die practiſche Rechenkunſt. menen Zahlen des Dividendi, als auch den Quotienten, nebſt jedem aus dem Quot. und Diviſore entſtandenen Facto, die gehoͤrige Anzahl Nullen beyfuͤgen, welche ſie 1 haben muͤſſen, um die Groͤßen ihrer Unitaͤten durch ihre Zahlſtellen zu bezeichnen. Z. E. 1I in . ⸗ . 1I) Fact. II 94 30000 = 330000 — bleibt 10000 hierzu herunter † 5000 11I in ⸗ ⸗ . 15000 2½ ½ 1000 2) Fact. II Mα I0OO = II000 — G bleibt 4000 hierzu heruntergenommen + 600 11 in ⸗ „ 2 4600 ⸗ 40 2 3) Fact. I1 α 400 = 4400 — 200 hierzu herunter + 70 11 in . , 270 ,120 4) Faét. I1I π 20 = 220 — hierzu die letze P 83 1I in ⸗ ⸗ ⸗ y5?8 ⸗ 5 ²½ 5) Fact. II α 5 = 55 — “ Reſt. 3 Quot. 31425 Alle 5 Facta addirt, geben wieder 11 den Dividendum —— I Fact. = 330000 31425 P 2 ⸗ = I1000 31425 +3 ⸗ =— 4400 4 345675VLͤͦ † 3 . — 220 Hierzu den Reſt z3 Reſt 3 Diyvid. 345678 Dividendus 345678 Der 340000 habe ich 30000 mal Ae Aul Unit Auot welch dem des! wela, s netſ Divi⸗ auch nom wird eine en: ſeine 59) Man 60) Divi 6 16 Win dan audet, d So wol⸗ Teim hich Vigendun einen Que Unter dem Ues uor nnen, ior, dns, je deſſen ſhihed uotietten, ftſtandenet ‚ Welche ſie durch ihre 30000 nl 10005 ! Die prattiſche Rechenkunſt. 143 Der Augenſchein zeigt hier klar: Daß, von allen Unitaͤten des Dividendi, der 1Ite Theil im Quotienten richtig gebracht; auch alle Facta, welche durch die Multiplication des Quotienten mit dem Diviſore entſtanden, richtig von den Zahlen des Dividendi abgezogen worden ſind, bis auf 3, welche pro Reſto geblieben. Da nun alle dieſe aus dem Diyviſore und Quot. entſtandene Facta, nebſt dem Reſte 3, eine Summe gegeben, die dem Dividendo voͤllig gleich iſt; die naͤmliche Summe auch ebenfalls erfolget, wenn der Quot. 11mal ge⸗ nommen, und zu dem Producét der Reſt 3 addirt wird, (welches doch unmoͤglich ſeyn koͤnnte, daferne eine einzige Ziffer imn Quot. falſch genommen wor⸗ den:) Se muß es auch mit der ganzen Rechnung ſeine voͤllige Richtigkeit haben. 59) Man ſoll 364872 mit 12 dividiren. 60) Dividire 34567 mit 13! S.162. Weil es ſich weit beſſer multipliciren laͤßt, wenn man die Factores nahe beyſammen und unter ein⸗ ander, als wenn man ſie weit von einander entfernt hat: So wollen wir, der Bequemlichkeit wegen, den Diviſo- rem nicht mehr, wie bisher geſchehen, hinter den Di- videndum, ſondern vor denſelben ſtellen, und ihn durch einen Querſtrich vom Dividendo abſondern; ſodann aber unter dem Diviſ. eine Linie ziehen, worunter die Ziffern des Quotienten, ſo wie ſie nach und nach zum Vorſchein kommen, geſtellet werden ſollen. Auf dieſe Art wird der Diviſor, wie vorher, allemal als Multiplican- dus, jede Ziffer des Quottenten aber, als deſſen Multiplicator betrachtet. Und ſo ge⸗ ſchiehet die Diviſio voͤllig, wie vorher gelehret worden. 3. E. Es ſollen 345678 mit 13 dividirt werden. Se. 144 Die practiſche Rechenkunſ. V Solutio. 13 — 3 15678 2 2 6 5 9 °⏑ 2.6 . . . . 8 Sage: 1I in 3 habe ich 2 mal, dieſe 2, als den erſten Theil des Quotienten, unter die Linie bey a geſetzt; dann ſage 2 — 3 = 6, dieſe unter die 2te Ziſſer des Dividendi, und auch: 2 bσ I = 2, unter die erſte Ziffer des Divid. neben die 6; ſo ſtehet das gan. ze Prod. 26, unter 34, und wird davon abgezogen, bl. 8; neben dieſe die 5heruntergenommen. Nun: 1 in ⁸ habe ich 6mal, und 6 3 = 18, davon die 8 undker die 5 des Dividendi, die I im Sinn; nun: 6 ☚1 = 6 + 1 (im Sinne) = 7, dieſe unter die 8, ſo ſteht das ganze Prod. = 78 unter 85, und wird von demſelben abgezogen, bl. 7. u. ſ. f. bis zu Ende, da dann 8 uͤbrig bleiben, weiche zum Auot.i im Bruch geſetzt werden. §. 163. Bey der §. 161. gegebenen Regel kann es oft geſchehen, daß ein Anfaͤnger, bey ſeinem Ueberſchlage mit der erſten Ziffer des Diviſoris, in die erſte Zifſer des Dividendi, ſeinen Quotienten zu groß oder zu klein nimmt; da dann im erſten Falle, das zu große Producét nicht abgezogen werden kann; im zweyten Falle aber, mehr uͤbrig bleibt, als der Diviſor enthaͤlt. Sol⸗ che Irrthuͤmer fallen gewoͤhnlich da am leichteſten vor, wo der Diviſor mit einer kleinen Ziffer anfaͤngt, worauf eine groͤßere folgt, wie z. E. der Diviſ. 13, in vorſte⸗ hender Aufgabe. Waͤre hier anfangs geſagt worden: r in n habt entſandene abgeze⸗ thell geſag Guct 1 von 34 d ils der D mehrmma don ſelſtd egel abg Au mat nach ſere man mat eg En fer efi ) K 16 fällung den kann nichts an ein jeder iſt mit en anzu Nge teict iten 4 alls ti Esſal durch den erſten 14 Geſet; e Ziff fer , wter die ſet das gale⸗ abgezogen, hen. Nun: ,habon die inn, hun: tſe unter die 5 undwwih is zu Ende, nnh gun es ſt chlage nit rſte Ziſet ß der zu zu gtoße eun ſn at. GNMO en vot, h t, vorunf in nuſt vorden: 1 . in Die rariſhe Rechenkunſt. 145 in 3 habe ich 3mal; ſo wuͤrde das aus dieſem Irrthum entſtandene Factum 39 zu groß geworden ſeyn, um von 34 abgezogen werden zu koͤnnen. Haͤtte man im Gegen⸗ theil geſagt: 1 in 3 habe ich 1mal: ſo wuͤrde das Pro- duét 1I ☛☚α 13 = 13 zu klein geweſen ſeyn, weil es, von 34 abgezogen, den Reſt 21 gelaſſen, welcher groͤßer als der Diviſor ſelbſt, und daher der Diviſor in ſelbige mehrmal genommen werden kann. Hieraus nun fließt von ſelbſt die ſtets zu behaltende noͤthige Kegel: Wenn das Product zu groß iſt, um abgezogen werden zu koͤnnen: ſo iſt der Quotient zu groß genommen worden, und manmuß ihn kleiner nehmen. Bleibt aber, nach der Subtraction des Prod., ein groͤſ⸗ ſerer Reſt, als der Diviſor groß iſt, ſo hat mman den Quot. zu klein genommen, und man muß ihn groͤßer nehmen. Wer dieſe Regel ſtets vor Augen hat, und wohl behaͤlt, was §. 155. geſagst worden, der wird nie eine zwote Zif⸗ fer im Quotienten bringen, bevor die erſte richtig befunden worden, geſchweige gar eine einzige unrich⸗ tige Diviſion aufzuweiſen haben. 61) Theile 543214 mit 14. §. 164. So wie eine gegebene Zahl, durch die Zer⸗ faͤllung vermittelſt des Einmal Eins, wenn nur der Multiplicator darinnen anzutreffen, vermehret wer⸗ den kann: (§H. 116.) Eben ſo kann, da die Diviſion nichts anders als eine umgekehrte Multiplication iſt, ein jeder Diviſor nach dem Einmal Eins zerfaͤllet, und alſo mit ſolchem zerfaͤllten Diviſore, wenn er nur darin⸗ nen anzutreffen, theilweiſe dividirt werden. (§. 148. Reg. 5.) Hierdurch wird der merkliche Vortheil er⸗ reicht, daß man alsdann eben ſo unter dem Strich di⸗ vidiren kann, wie bey den Aufgaben, deren Diviſores aus einzeln en Ziffern beſtanden, geſchehen iſt. Z. E. Es ſoll die Zahl 48384 mit 14 getheilt werden; das iſt: durch 2 α7. s0- Die practiſche Rechenkunſt. Solutio. 19) 4 83 84 oder 18382 „ 5 2) 3 4 56 Der Diviſor 14 iſt bey a in 2 — 7 zerfaͤllet, und erſt⸗ lich der Dividendus mit 2, der hierdurch gekomme⸗ ne Quot. aber mit 7 zertheilet worden, da dann der iichtige und verlangte Quotient 3456 gekommen. Dieſelbe Aufgabe iſt auch, durch Zerfaͤllung des Divi- ſoris in 7 “2, bey b berechnet; zuerſt der Divi- dendus durch 7; der gekommene Quot. aber durch 2 dividiret, und der naͤmliche Quot., wie bey der er⸗ ſten Berechnung, gefunden worden. (§H. 148. Reg. 5.) Beweis: Wenn ich z. E. die Zahl 14 mit einer gleich⸗ großen Zahl 14 dividire, ſo muß zum Quotient I kommen. §. 148. Reg. I. Zerſtreue ich nun den Diviſ. 14 in 2 Nα7, und theile den Dividendum 14 zuerſt mit 2, ſo kommt zum erſten Quot. 7, als die Haͤlfte von 14, denn 2: 14 – 7. Dieſen Quot. 7 zum ꝛtenmale getheilt durch 7, ſo kommt zum zweyten wahren und verlangten Quotienten 1. Eben daſſelbe erfolgt auch umgekehrt: denn 7: 14 = 2 und 2: 2 = I. Oder: Man⸗ ſtelle ſich das Exempel in benamten? Zah⸗ len ſo vor: 14 Perſonen ſollen ſich in 14 Dukaten thei⸗ len. Nun theilen ſich die 14 Perſonen in zween gleiche Geſellſchaften a 7 Perſonen. Jede Geſellſchaft verlangt alſo die Haͤlfte von dieſen 14 Dukaten, und bekommt 7. Theilet nun jede Geſellſchaft ihren halben Antheil, 7 Du⸗ katen, wiederum unter ſich; ſo muß jede einzelne Perſon zu ihrem Antheile 1 Dukaten haben. Und ſo auch umgekehrt: Die 14 Perſonen ſtellen ſich Paarweiſe, und jedes Paar verlangt ſeinen Theil, von 14 Dukaten, ſo werden 2 Dukaten auf ein Paar kom⸗ men. Denn 7: 14 = 2. Nun theilet jedes Pasr ſei⸗ nen halb ſ fn Anthe Denn 2:2 NR lerſt die 5 det gte ſt 7te Ah lendi, alt 1721. din Reg 62) Me 64) K 05 ltin zu i meine B borden, u cher glenn fuß, auf o et dut eſteh 5 E. Sag ſeaiſd Neun e s: Theil ier die ) Gehet ten B einen Rich Eilenn Diit tt, und erſte⸗ h gekonnine : da dann der kommen. des Dir . ſ der Diyi⸗ aber Nitch ben der er⸗ 8 Reg. 5) e Reich⸗ m Qubtient ich nun den iyidendum ot. /, 66s ſ fommt Motienten 1. et: denn 7 guunten iß rkunn ei⸗ min gleihe ſt detlant bCotnitt 7 heit Du⸗ gelne⸗ ſenen ſeelien ſinen Theih Pane ken⸗ N ſet⸗ es aar . R en Die practiſche Rechenkunſt. 145 nen Antheil 2 Dukaten: ſo bekommt jede Perſon 1 Duk. Denn 2: 2 = I. l Da nun, in unſerer Aufgabe, aus dem Dividendo zuerſt die Haͤlfte genommen; aus dieſer Haͤlfte aber der 7te Theil zum Quot. gekommen: So muß die⸗ ſer 7te Theil, aus der Haͤlfte des ganzen Divi- dendi, auch der richtige 14te Theil ſeyn; ſo richtig, als 2 7= 14 oder 7 W☚&2 = 14 iſt. Zuſ. Alſo iſt es gleich veil, mit welcher von bey⸗ Dden zerfaͤllten Zahlen man zu erſt dividiret. (§. 148. 62) Theile 47289 mit 12. d. i. 3 04 oder 2 %66. 63) 123696 mit 24. d. i. 4 6 oder 3 8. 64) ⸗ 7294328 mit 32. d. i. 4 8. E. 195. Man hat nicht immer ganze Zahlen al⸗ lein zu theilen; ſondern es kommen auch zuweilen ge⸗ meine Bruͤche, deren Entſtehung §. 156. gezeiget worden, zu theilen vor. Nun gehet der Diviſor, wel⸗ cher allemal in dem Zaͤhler des Bruchs genommen werden . a) Geht er auf: ſo wird aus einem gemeinen Bruche ein anderer aus denſelben Theilen beſtehender, und alſo gleichfalls gemeiner Bruch. 3. E. Man ſoll 5 durch 2 thelen. Sage: 2 in 4 (den Zaͤhler) habe ich 2 mal. Die⸗ ſe iſt der neue Zaͤhler, darunter des vorigen Bruchs Nenner, die 9, geſetzt wird, ſo iſt der ate Theil aus ½ = ¾, welche ½ ebenfabs ein aus denſelben muß, auf, oder e. gehet nicht auf. Theilen beſtehender gemeiner Bruch, aber nur halb ſoe Hier die Haͤlfte genommen iſt. b) Gehet aber der Diviſor in den Zaͤhler des gemei⸗ nen Bruchs nicht auf; ſo wird aus einen ge⸗ meinen Bruche, ein Bruch aus einem Bruche, welcher aus einem Zaͤhler und aus einem doppelten Neuner beſteht, wovon der Diviſor, unter den Neuner des einfachen oder go⸗ groß als der vorhergehende %, aus welchen 146 Die practiſche Rechenkunſt. gemeinen Bruchs geſetzt, den zweyten Neu ner giebt. z. E. Man ſoll ½ durch 2 theilen. Hier geht der Diviſor 2, in dem Zaͤhler 5, nich t auf, deswegen wird unter den zu theilenden Bruch 5, welcher bleibt wie er iſt, ein Strich gemacht alſo: F, und unter demſelben der Diviſor 2 geſetzt, ſo entſtehet der Doppelbruch: . heißt: Fuͤnf neuntel Zweytel. Zuſatz: Hierher gehoͤren auch diejenigen Bruͤche, deſ⸗ ſen Zaͤhler zu klein, um darin dividiren zu foͤn⸗ nen: z. E. Man ſoll ½ mit 5 dividiren: ſ eniſtehet edenfalls, wie vorher, ein Doppelbruch 5 F Der Bruch ½ mit4 dwidiret, giebt ½ heißt ein galb Viertel. Anm. Dergleichen, wie letzt er Bruch, kommen im gemei⸗ nen Leben oft vor. Z. E. Ich will von dem Zeuge nur ein halbes Viertel. Das Stuͤck Fleiſch wiegt mehr als 6 Pf. Der Brauer bringt mir jedeemal nur 4Bier ꝛc. §. 166. Um dergleichen Doppelbruͤche, beſonders wenn ſie groß ſind, deſto beſſer zu verſtehen, macht man ſie zu gemeinen Bruͤchen, dadurch: daß man den Zaͤhler, ſo wie er iſt, niederſchreibt, einen Strich — darunter macht, den doppelten Nenner mit einander multipliciret, und das Product davon unter den Strich ſetzet, ſo wird aus 4½ der gemeine Bruch 36. Beweis: Weil die? durch 2 nicht ohne Reſt theilbar, ſo ſind dieſe Neuntel, durch die Multiplication mit dem zweyten Nenner 2, zu noch einmal ſo kleinen Theilen, naͤmiich zu Achtzehnthei⸗ len gemacht worden. Da nun ½ = †.a mithin 5 = 1 ½, ſo muß auch die Haͤlfte von 192= ſeyn. 1. Zuſ. Daß aber der Zaͤhler 5 nicht ebenfalls, wie deſſen Nenner 9, mit den aten Nenner a vermehrt worden, ver⸗ heißt zney ver ſel he 2 m mar he das 2 18, dem korm §. 16 Riſere hält, G I zen nebſ oppelt . deſen Ne 32 Miit haſſelbe zuſet Bru ner gen Sage Gend G De ten Ney er;, nicht nden Druch ich gemucht or 2 geſett, bißt: Funf Bruͤche, deſ⸗ ren zu fi⸗ gt ein habb en in geme; n den Zeute eſch niutz chesmal. us e, leſonders mut t man man den Stiich-= git einnnder anter X Pylf 15. . dicen einmal gehnthei 14 nihn 2 ſeht. l, wedeſn uhn vin⸗ . 8 Die practiſche Rechenkunſt. 147 iſt darum geſchehen, weil, wenn der Zaͤhler durch 2 vermehrt und alſo in 10verwandelt waͤre, doch der⸗ ſelbe wieder mit 2 getheilet werden muͤſſen, da denn nichts anders, als die bereits vorhandene 5 zum Quotienten gekommen waͤre. 2. Zuſ. Man hat aber in Praxin nicht noͤthig, die ge⸗ meinen Bruͤche, welche bey der Theilung nicht aufgehen wollen, erſt zu Doppelbruͤchen zu machen; denn man darf nur den Zaͤhler, wel⸗ cher ſich nich t theilen laͤßt, hinſetzen, und ſogleich das aus der Multiplieation des Diviſoris, mit des Bruche Nenner gekommene Product darunter, z. E. 2 in 5 geht nicht auf, alſo = = § und 2 —◻☚ 9:= 19, ſo iſt der gemeine Bruch * gemacht, welcher dem Doppelbruche , aus weichen er entſtand, „volle kommen gleich iſt. 5. 167. Bisweilen bleibt auch nach der Diviſ ein Reſt, welcher zugleichganze und gebrochene Zahlen ent⸗ haͤlt. In dieſem Falle werden die uͤbriggebliebenen Gan⸗ zen nebſt den dabey befindlichen Gebrochenen als ein doppelter Zaͤhler angenommen, davon der D deſſen Nenner iſt. z. E. iwiloe Man ſoll 32 ½ durch 3 dividiren. Sage: 3 in 32 habe ich 10, und 3 10== 30 von S 32 bleibt 2 „hierunter ein Strichlein 2 ¼ und unter daſſelbe den Diviſor, ſo entſteht der gemiſchie Bru ch 1 heißt zwey ein halbes drittel. Zuſatz: Eben ſo entſteht auch ein gemiſch ter Bruch, wenn der aus ganzen und gebroche⸗ nen Zahlen beſtehende Dividendus zu klein ge⸗ gen deſſen Diviſor iſt. z. E. Man ſoll 4 ¾ durch 5 dividiren. Sage: 5 in 4 kann ich nicht, alſo muß der Divi- dendus, ſo wie er iſt, der Zaͤhler, der Diviſor aber deſſen Nenner werden, mithin der gemiſchte Bruch 4 2 entſtehen. 7 K 2 Anm. 148 Die practiſche Rechenkunſt. Anm. Die im gemeinen Leben oft vorkommende Ausdruͤcke: der Reſt Band haͤlt anderthalb Viertel, d. i. 1 ½¼ Elle: das Brod iſt anderthalb Viertel zu leicht, d. i. Es fehlt am Gewicht deſſelben 14 Pf. ꝛc. ſind dergleichen §. 168. Auch die gemiſchten Bruͤche laſſen ſich, um⸗ ſie deſto beſſer zu verſtehen, wie die Doppelbruͤche, in gemeine Bruͤche verwandeln. Man darf nur die im doppelten Zaͤhler befindlichen Ganzen, mit dem Nenner, der nebenſtehenden Gebrochenen, multiplici⸗ ren, und deſſen Zaͤhler darzu addiren, ſo entſtehet ein neuer einfacher Zaͤhler, deſſen neuer Nenner gefunden wird, wenn man den untern Nenner mit den obern Nenner multipliciret, und das Product unter den neuen Zaͤhler ſetzt. z. E. Man ſoll den gemengten Bruch 2 ½ in einen ge⸗ meinen Bruchverwanden.— Schreibe den gemengten Bruch nieder, und ma⸗ che hinter denſelben eine Perpentikulairlinie alſo: 2 ½ 4 nun multiplicire die 2 Ganzen, im Zaͤhler des gemeng⸗ ten Bruchs, mit dem nebenſtehenden Nenner „der 2, und ſage: 2 ₰α 2 = 4, hierzu den Zaͤhler 1=5. Die⸗ ſenneuen Zaͤhler 5 ſetze neben den gemeng ten Zaͤh⸗ ler2 ¼, hinter die Perpentikularlinie alſo: 2 ½ ;„ Ferner multiplicire auch, mit denſelben Nenner 2, des gemengten Bruchs Nennerz3, und ſage: 2 °3 = 6. Dieſen neuen Nenneré6 ſetze unter den neuen Zaͤh⸗ ler alſo: 2 ½¼ . ſo iſt geſchehen was verlangt worden, denn 2 3 18 . WW der gefundne Bruch iſt = 2 ¼. Beweis: Indem die Ganzen, des doppelten Zaͤhlers 2 1¾, mit den nebenſtehenden Nenner 2, mult. und deſſen Zaͤhler 1 darzu addirt, ſo ſind dadurch die 2 ¾ unter einen Namen gebracht, und alſo zu 5 halbe (Drittel) gemacht worden. Weil nun der neue Zaͤh⸗ ler 5 nur halbe enthaͤlt, ſo kann der Name Drit⸗ del tel, ſnde noch Dri der geme nent hat, ie 1. Zuſa 6 4 in iſnſehe ziher weldrn in ein gleichf 2 Zuſe Nß we een ſpdann ſnden ici und ſod ſeßen, R Die practiſche Rechenkunſt. 149 enttli tel, des gemengten Bruchs 2 ½ nicht bleiben 1 defet ſondern dieſer alte Nenner 3 muß gleichfalls ereichen noch einmal ſo kleine Theile, alſo halbe DRð Drittel d. i. 6tel enthalten: Da nun zu dem Ende ſaſc, , S der alte Nenner 3 ebenfalls mit 2, ſo wie der 6 3 gemengte Zaͤhler 2 ¼ multiplicirt worden, mithin der ene en neue Nenner den Namen 6 tel wirklich erhalten n ſ den hat, ſo muß der gefundene geme ine Bruch auch niſiu voͤllig gleich ſeyn dem gemengten Bruche 2 ¼ “B 1. Zuſatz: Daß es mit vorſtehender Verwandelung — ntden des gemengten Bruches, in einen gemei⸗ ne⸗ “ nen Bruch, ſeine Richtigkeit habe, kann man auch Mõ einſehen, wenn man den aus 2 ¼ gefundenen neuen 4 Zaͤhler 5, als 5halbe Drittel durch einen Dop⸗ n enen gu pelbruch ausdruͤckt, alſo: , dieſen aber, nach F. 166, ubmd in einen gemeinen Bruch verwandelt, ſo wird nie gleichfalls der Bruch Rerſcheinen. L uneg 2. Zuſ. Bey der wirklichen Praxi iſt es nicht noͤthig, de ne daß man dergleichen Doppelre ſte, wie 2 ¾, erſt in ner, “ einen gemiſchten Bruch ſtelle, um denſelben =/. N ſodann in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, gurhiß ſondern: man kann einen ſolchen Doppelreſt ſo⸗ 2 4 Aleich in die gehoͤrigen Theile des ganzen verwandeln, ule , uund ſodann den darzu gehoͤrigen Nenner darunter 2 76. ſetzen, z. E. en zin⸗ Man ſoll 632 ¾ mit 3 theilen, ben, denn Gtt, Solutio. ter gahlers V . 2105½ S ni und 2. 2 1 % 4 1c die4 Sgge: 3 in 6 habe ich 2 mal, und 2 4 3= 6 — 6= 1 hulbt 9. Ferner, 3: 3: 3 habe ich 1 mal, und I 93 ete⸗ . = 3— 3 0. Endlich 3: 2 habe ich o mal, Rane und o α3 =o, von 2 ¾, bleibt 2 ¾. Vermehre 4 K 3 die⸗ 150 Die practiſche Rechenkunſt. dieſe uͤhriggebliebenen 2 Ganze ſo gleich mit dem Nenner des gleichfalls uͤbriggebliebenen * thue den Zaͤhler deſſelben darzu, alſo: 6 += 8. Unter dieſen gefundenen nen en. zaͤh⸗ ler 8, ſetze das Produet, des mit dem Nenner 3 6 gleichfalls ver mehrten Divif. 2, als: 3 ◻ 3 = 9, ſo iſt der Bruch ½ = den zten Theil von 2 Anm. Der Nutzen von dem, mas §. 16 5 168 zelehret worden, wird ſich bey der Diviſton mit zerfällten Zahlen, als wo dergleichen Bruͤche unvermeidlich vore kommen, zeigen. 65) Theile 94111969 mit 48. d. i. 5 α 8. Solutio. 9 4 1119 69 71 5 6 8 5 3 2 8 4½ 3) . 1 6ο 6 6 *½⅓ Hier iſt bey der erſten Diviſion ‚qmit 6, uͤbrig geblie⸗ ben: ½. Bey der 2ten mit 6 aber iſt, nachdem die ganzen Zahlen ſaͤmtlich aufgegangen, nur noch der 8 te Theil aus zu nehmen geweſen. Da nun 8 in den Zaͤhler des nicht genommen werden konn⸗ te: ſo iſt der Zaͤhler 4 geblieben, wie er war, und darunter das Prod. des Nenners 6 mit den Diviſor 8,— 48, als der neue Nenner darunter geſetzt worden. (§F. 165. b, und §. 166. Zuſ. 2.) 66) 67) 68) 69) Theile 800003993 mit 63! (7 ° 9) ⸗ 6807080829 mit 31! 9 49) : 5023561318 mit 56! (7 24 8) Man ſoll 567897 mit 42 theilen. Solutio. 5 6 7 8 9 7 Ae 5 6)— 9 4 6 4 9 ¾ 1 3 5 2 1 4 Hier ler 1 R 2 ½ der el ven 70) Mar. 71) 7²) 4 An 6.169 de, ſo oh von demſel Rull, de i der Diviſe wie 5 159 73) Man 1. mit den undthut 3 N=S euen Zah⸗ n Nenner 3 4 12 ¾ 5 168 gelchlet jerfällten eneidlich dore riz gebie , tachdem , tur noch n. Da nu verden korn⸗ ewat, Vd⸗ den Dinor urttt eſett 2) Die practiſche Rechenkunft. 151 Hier iſt bey der erſten Diviſion, mit 6, uͤbrig geblieben 3. Bepy der 2ten Diviſion, mit 7 aber, blieben 2 ½. Welches den gemiſchten Bruch 2 ½ giebt, der eingerichtet, nach §. 168, Zuf. 2, den gemei⸗ nen Bruch ½ giebt. 70⁰) Man theile 3456047 durch 35. (5 .7) 7½) 1985043 mit 64. (8 %“ 8) 72) ‧ 54304281 mit 45. (5§ 9) 4. Aufgaben, wo der Diviſor 2 Ziffern mit einigen Nullen am Ende hat. §. 169. Bey Aufgaben, deren Dividendus am En⸗ de, ſo wohl als der Diviſor, Nullen hac; ſtreichet man von bemſeben, gegen jede Null des Diviſoris, eine Null, d. i. Null gegen Null weg. (§F. 157.) Hat aber der Diviſor allein Nullen am Ende: ſo verfaͤhrt man, wie §. 158. gelehret worden. 73) Man ſoll 07t70e mit 79000 dividiren. Solutio 7 9 ες *½ — §5 0%7 1702042 Q. 6 4 I 9 8 7 6. 4.2 4 4 õ 4 l 3 3 3 1 3 f. 6 — I * AR OOD . —— N — 00 —*◻ △O D O △ D ₰ ◻⏑ 6 £ £D O% NN O △☛ £ K 4 Ds 1 52 Die practiſche Rechenkunſt. Da hier nichts Neues vorgekommen; ſo iſt der bloße Augenſchein, ohne weitere Erklaͤrung, zureichend. 74) Dividire 112345324000 mit 91000 D 75) ⸗ 14024645624000 mit 22000! 76) 865423000 mit 2300! (*) 77) 470⁰987000 mit 450000! (**) 78) Man dividire 2478956972 mit 32000! Solutio. 3 2.0 °0% — 247895 6.57 2 C. 7 7 4 6 7 18 32 2 † . . . . „α „ P + 0° △ „⏑ — . 1 „ °° „ „* + △ =ð 1 2 9 7 2 Zu dem Reſt 12, welcher, nach Abzug des letzten Products 224, uͤbrig geblieben, werden noch die vom Dividendo, wegen den Nullen des Diviſoris, abpunctirten 972 geſetzt, ſo iſt der ganze Reſt: 12972 und der Zaͤhler zum Bruche: 4333 deſſen Nenner der ganze Diviſor, mit ſeinen apunc⸗ tirten Nullen iſt. 79) .*) Hier kaͤnnen vom Dividendo nur 2 Nulen weggeſtri⸗ chen werden. **) Hier werden 3 Nullen vom Dividendo, gegen 3 des Diviſoris, weggeſtrichen, und fuͤr die 4te deſſelben, vom Dividendo, eine Ziffer abpunctirt, alſo: 4⁵5.00900 — 47098.,7000 N8. Zum Nenner des Bruchs wird die abpunetirte omit⸗ genommen alſo iſt er 450, nicht 45. Ehret, d * 5,170 ſſthen, ſehn, haben, Der 4L86 Wal Divie llein unen ſir det bloe 197 4 des leßten noch die Dirioris angze fi ge: 11863 nr apun⸗ 79) teggefti⸗ leſeten lo: girtonit⸗ 79) Theile 84657123 mit 46000! 80) 25678675 mit 760000! .Aufgaben, wo der Diviſor Ziiffern bat. H §. 170. Wer Aufgaben, deren Diviſores aus zwo Ziffern beſtehen, aufzuloͤſen im Stande iſt, dem kann es auch nicht fehlen, Aufgaben, deren Diviſores 3 und mehr Ziffern haben, aufzuloͤſen; beſonders wenn das, was §. 161. ge⸗ lehret, wohl gefaßt und behalten worden. Deswegen ohne Verzug zu den Aufgaben ſelbſt. Dividire 45781526592 mit 4861! 1 Solutio. 4865 –—— 45781526592 ä “ 2 °4 1. I. 9. 4. 4 9 7 § 97 32 2.9 I. 6 P 3 4 9⁹9 9 3 402 27 0 0 0 ς H Weil hier beym Ueberſchlag, die erſten 3 Ziffern des Dividendi, gegen die 3 Ziffern des Diviſoris, zu klein ſind, um etwas darinn nehmen zu koͤnnen: ſo nimmt man, wie §. 161. gelehrt worden, eine Zif⸗ fer vom Dividendo mehr zu dieſem Ueberſchlage, und ſagt alſo: 4 (die erſte Ziffer des Diviſoris) in 45 (den zwey erſten Ziffern des Dividendi) habe ich 6 r K 5 9 mal 81) 2) 83) 2884) . 85) viſor 7 154 Die practiſche Rechenkunſt. 9 mal; das Prod. 9 ¾ 486 = 4314 an gehoͤrige . Stelle geſetzt, abgezogen, und zum Reſt die naͤchſt⸗ folgende 1 herunter geſetzt. Nun: 4 in 20 (weil hier ebenfalls eine Ziffer mehr iſt, als der Diviſor enthaͤlt,) habe ich 4mat, und 4 486 = 1944, von 2041, bleibt 97: hierzu die 5§5 herunter. Ferner: 4 in 9 = 2, und das Prod. 2 b2 486 abgezogen, bleibt 3, hierzu die 2 herunter. Ferner: weil hier der Dividendus zu klein gegen den Diviſor, ſo kommt im Quot. o, welches all ez eit geſchiehet, wenn die Zahlen des Dividendi, gegen die Zahlen des Diviſoris, zu klein befunden werden. Da das Prod. von o 486 nichts giebt; ſo wird die folgen⸗ de 6 herunter genommen, und abermal, wegen noch zu klein befundenen Dividendus, o mal genommen. Da nun das Prod. α486 abermal nichts giebt, ſo wird die 5 noch darzu herunter genommen, und nun geſagt: 4 in 32 = 6 mal, das Prod. 6 ✕ 486 = 2916 abgezogen, und zum Reſt die 9 herunter. Nun: 4 in 34 = 7 mal; das Prod. 74 486 abgezo⸗ gen, bleibt 97, hierzu die letzte 2 herunter. End⸗ lich 4 in 9= 2, das Prod. 2 486 = 972 — 972 bleibt nichts. Theile 140405487768 mit 234! 38274877359 mit 453! 2438923200 mit 348! 267800904 mit 5671! 920997000 mit 231! 6. Aufgaben, wo der Dirviſor in der Mitte Nullen hat. „ A §. 171. Weil, bey Suchung der Producte, der Di- allezeit als Multiplicandus betrachtet wird, ſo iſt hierbey nichts weiter zu beobachten, als was hieruͤber §. 162. geſagt worden. Dipi⸗ x ◻ 2 Der n 66) Man 8) Aheit ): 7. r. eine iſn ge lehen Die practiſche Rechenkunſt, 155 de nichſ⸗ Dividire 70265608 mit 203: in 20 (weil Solutio. er Dinllor 2 0 3 — 0 2 5 J . 0 2 6 5 6 1944, Von C—2 46136 3. 0. 5 3 0 8 . Fetnnrrrr . — abgeogen, 9 3 G wel hier 8 1 2 Diriſor, ſo 7 1I 2 4 5 iehet, wenn Zahen des 28. Da das 2 7 6 die folgen. 1. 2 0 3 begen noch . enommen. . 30 , ſ⸗ 2 2 , und nun 121 8 6 5406 12 I 8 herunter⸗ — — tgn M n. Ende Der Augenſchein wird, o itere Erkla ne weitere Erklaͤru „ -H zuhaben, Gnuͤge ien aruns nöchis 86) Man ſoll 147875967 mit 309 theilen. 82) 712848736 mit 5008 88) 28068316629 mit 41003 theilen! 2389) Theile 145165479768 mit 2006041 90) 738772187648 mit 800008! der 7. Aufgaben, wo der Diviſor 4, und mehr Ziffern hat. n der D⸗ §. 172. Auch bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts anders uin er⸗ eine es P:1: gelehret worden. Deswegen mag 3s hiern ine einzige Solution, durch den ſchei uͤbri⸗ h ze dehren. z. W. „durch Augenſchein, das uͤbri⸗ De Man 56 Die practiſche Rechenkunſt. Man ſoll 7000974 mit 5678 theilen. Solutio. 5§ 6 7 8 — 72205974 — 8 . 9* . „ „ 1I I * * — 1 N 00 . ON— 0 0 △ 4 4 17 ◻ — ₰„ ◻2 7 00 91) Dividire 21375019000 mit 2375! 92) ⸗ 4⁰711II215II06 mit I10IOI 93) 87102050 mit 98765! 94) 127674000 mit 432198! 95) 9870040008⁸ mit 1928374! O% O 8. Aufgaben, wo der Diviſor und Dividendus gleichviel Ziffern haben. §. 173. Bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts beſonders vor, als daß der Quotient, bey gleicher Anzahl Ziffern des Di- viſoris und Dividendi, nur in einer einzigen Ziffer, den Bruch ausgenommen, beſtehen kann. Uebrigens bleibt es immer bey dem, was §. 161. gelehret worden. 96) Dividire 8464868 mit 42324341 97) 29 4305406 mit 32578245! 98) 61928995: 72900453. 99) 12345678: 41972876. 100) 98765432 837654321 „ Anm. Wer dieſe 100 Diviſionsaufgaben mit gehoͤriger Auf⸗ (S. 147. von dem Zeichen.) merkſamkeit gerechnet, und die dabey gegebene Unter⸗ weiſung gefaſſet hat; dem wird keine Diviſionsaufgabe zu ſchwer ſeyn. Wer aber glaubt, noch nicht genug geuͤbt zu ſeyn, dem ſteht frey, dem Curſum noch iin⸗ ma nsau N (174 r Nichtit ſhein komne Diriſorem muß, di be ſelchen F. eetr 1 — Hiernt eendin in wir te en. Fidendus ſondersdor, n des Di⸗ ge 14 Zife, uitgen 1 worden⸗ en.) 4 ngd Pene Unter⸗ nsalſti te gich t erlg ich eſt⸗ gal 1 Die rarliſche Rechenkunſt. 152 mal durchzusehen, oder auch zu den Nulirlieati⸗ onsaufgaben, die Proben zu machen. Nun nur noch ein Paar Worte von der Proba. 8. 174 Es iſt ſchon §. 152 geſagt: daß zum Beweiſe der Richtigkeit, der Dividendus wiederum zum Vor⸗ ſchein kommen muß, wenn man den Quotienten mit dem Diviſore multipliciret: wobey aber nie vergeſſen werden muß, den bey der Diviſion gebliebenen Reſt ſedes ma 1 zu ſolchem Facto zu addiren. Das letzte Erempel mag uns augenſcheinlich belehren. . Solutio WR 1 8 7 6 5 4 3 2 1 — 98 7 6,54 32 8 2 1 S SWr IIIIIIIII. l Proba. =. 87 654 3 2 .a Diniſor “M 17 1 Quot. 3 è 32 6 5 4 32 1 g 8 9 876 5 4 3 2 Dividendus 4 Hiermit ſind die 4 Species in unden amken Zah⸗ len geendigt; deren Nutzen ſich in Praxi zeigen wird, wenn wir rechnen werden: Die 158 Die practiſche Rechenkunſt. Die 4 Species in benamten ganzen Zahlen. §. 175. Benamte Zahlen, heiſſen alle diejenigen, welchen man den Namen der Dinge, die zuſam⸗ mengezaͤhlet, gewogen, gemeſſen, oder nach Geidpreiſen geſchaͤtzet werden, woͤrtlich oder ſchriftlich beyfuͤget. 3* E. 100 Ducaten, 5o Mark; 5 Centner, 10 Pfund; 100 Ellen, 9 Zoll u. dergl. (§. 9.). Bisweilen wer⸗ den dieſen Benennungen noch andere beygeſuͤgt, z. E. 100 Ducaten Species, 50 Rthlr. Banco, 100 Rthlr. Courant, oder 100 Rthlr. Hamburger Cou⸗ rant ꝛc. 5 Centner Roſinen, 100 Ellen Leinwand, 10 Fuß Holz 1c. Erſtere einfache Benennungen des Geldes, als: 100 Duc. 50 Rthlr. bezeichnen nur einen unbe⸗ ſtimmten Werth des Geldes; letztte Doppelbenen⸗ nung: 100 Dur. Species 50Rthir. Banco ꝛc. aber, be⸗ zeichen einen beſtimmten Werth des Geldes. Eben ſo bezeichnen 5 Centner, 100 Ellen ꝛce, nur die Quantitaͤs einer Waare: die doppelte Benennung §5 Centner Roſinen aber, bezeichnet auch zugleich den Namen der Waare, welche gewogen oder gemeſſen iſt. F. 176. Wenn die Zahlen, nach angefuͤhrter Art, nur einfach benamt ſind: ſo geſchiehet die Berechnung derſelben auf eben dieſelbe Art, wie die Aufgaben der unbenamten 4 Species berechnet worden ſind. Denn es iſt voͤllig einerley, ob ich die Summa von den unbenamten Zahlen 326 + 274 finde, oder von den benamten Zahlen 326 mg. + 274 Mm., beyde— werden eine gleiche Zumma geben, naͤmlich erſtere: 600, und lebtere 600 m. Zu⸗ zuſg. 4Re⸗ delt, Narm fuͤgu den wieſt 9. 177 fachengt bleiben in ler, Pe groͤßem: als peſche Veit ,. ſ den Aeinen derin 12 Echline, finger aſ⸗ geringe⸗ denen ten mu beyn In Verecht r denen chnunge ſten iejenigen, ie zuſam Gedyreiſen lchfüget. 3. 10 Pfund; wveilen wer⸗ e beygeſigt, inet, 100 Rer Con Leintpoſt, des Gee, einen unbes hheſbenen⸗ . ober, ber 86. Ebenſo Quant titat 15Cumner . ühttr At, Dercchnung. e Nſgaben Lorden ſind. Somm hon de, oer von e. „beyde . gine: boo,/ „ Addition, Multiplication und Subtraction geſchehen dus Die practiſche Rechenkunſt. 159 Zuſatz: Es ſind daher alle Aufgaben der unbenamten 4 Rechnungsarten ſo gleich in Benamte verwan⸗ delt, ſo bald man den Zahien derſelben, ſolche Namen, wie §. 175 beygefuͤgt, um welcher Bey⸗ fuͤgung ſi ſi e aber dech, in ihrer Berechnung, nicht den mindeſten Unterſchied machen, ſo wie eben er⸗ wieſen worden. §. 177. Es kann aber nicht immer bey dergleichen ein⸗ fach en Zahlbenennungen, wie §. 175. angefuͤhrt worden, bleiben, indem wir nicht allein Unitaͤten, welche Tha⸗ ter, Mark ꝛc.; ſondern, in Beziehung auf ſdieſe groͤßern: auch noch kleinere Sorten von Unitaͤten haben, als welche nur einen gewiſſen und beſtimmten Theil der groͤßern Unitaͤten, betragen. Z. E. Nebſt den Thalern haben wir auch Groſchen, deren 24 einen Thaler; noch kleiner, naͤmlich Pfennige, deren 12 erſt einen Groſchen betragen. Eben ſo ſind Schillinge, dem Werthe nach, um den 16ten Theil ge⸗ ringer als Mark; die Pfennigen aber wiederum T2mal geringer als Schillinge ꝛc. Wegen ſolcher verſchie⸗ denen Sorten, von Muͤnzen, Maaßen und Gewich⸗ ten, muß nun freylich ein kleiner Unterſchied, ſowohl beym Aufſaͤtzen der Zahlen ſelbſt, als auch bey deren Berechnung vorfallen, allein Schwierigkeiten giebts fuͤr denjenigen nicht, weicher in den unbenamten 4 Rechnungsarten gehoͤrige Fertigkeit erlanget hat. Denn, wenn man 1) nur weiß, wie die groͤßern Sorten von Unitaͤten, nach und nach, in immer kleine⸗ re getheilet werden, undwie viel Unitaͤten der klei⸗ nern zu einer Unitaͤt der groͤßern Sorte geho⸗ ren? 2) Wenn man eben ſo, wie bey der unbenamten bey 164S Die peactiſche Rechenkunſt. bey den kleinern Unitaͤten anfaͤngt, und bey den groͤſ⸗ ſern aufhoͤret; bey der Diviſion aber umgekehrt ver⸗ faͤhrt. 3) Wenn man j e e So rte von Unitaͤten ordentlich unter einander ſetzet, und gleich es z u gleichen ad⸗ dirt, oder gleiches von gleichen ſubtrahirt, ſo wird ſich das Uebrige von ſelbſt geben. Weil aber ein Anfaͤnger der Arlithmetik, ohne Kenntniß ſolcher verſchiedenen Groͤßen, und Sorten der Unitaten, nebſt deren Benennungen, welche in Maaß, Muͤnze und Gewicht vorkommen, und die uͤberdem noch nicht einmal an allen Orten gleich ſind, unmoͤ glich fortkommen kann, ſo will ich, am Ende dieſes Buchs, ein brauchbares Verzeichniß der ge⸗ braͤuchlichſten Benennungen, ſo wie ſie in dieſem Werke vorkommen, und zwar in tabellariſcher Ordnung beyfaͤgen, welches, ſo oft es noͤthig, nachgeſchlagen werden kann. Und weil dieſe Benennungen der Zahlen ſehr oft mit . Abtüreungen, oder auch andern wirklichen Zeichen gehtentſ werden, die anders ge druckt, anders geſchrie⸗ en auſſehen, jedoch aber ſo geſtaltet ſeyn muͤſſen, damit ſie ein jeder verſtehe: ſo will ich auch dieſen Verzeichniß die gewoͤhnlichſten und im Buche vorkommenden A b⸗ kuͤrzungen und Zeichen voranſetzen. zer Anm. Freylich koͤnnen dieſe nicht hinreichend ſeyn, um alle Abkuͤrzungen und Zeichen kennen zu lernen, weil ich mich hier nur auf die gedruckten, nicht aber auch auf die geſchriebenen einlaſſen kann, als welche letztere noch darzu mit ziemlich veraͤnderten Geſtalten erſcheinen. Doch dieſe triſt man ija in den meiſten Vorſchriften an, aus welchen ſie am Beſten zu lernen find. Man huͤte ſich aber fuͤr neuen Erfindun⸗ gen ſolcher Zeichen, weil ſie ſonſt nicht jeder⸗ mann verßtehen moͤchte, wie es doch billig ſeyn ſollte. I. Ad- altt mei⸗ 986, Anm lerſchieden will ernie gekanft: „Summa Wil Jaht, i renloger Und huggke tion eſim mann nie, Ner hren rhhnung Cenbvaͤte be bericht Die A Kben. Kro nichts der Solut Namen i ſlhente grauf ge gee nr unter in nkomme gſhe te Ofen zne n ie e die ee den gruſ⸗ ihtt din orintich ichen ad⸗ i, ofne en, ind anungen, orkommen, ten gltich am Ende iß der ge⸗ m WetI — tnn. ihr oft mmit etchtie 1n, dormie Gerzeichtiß inden Ab ſenn, un ſetner, Ne 1 Geſtalten en neif frenma findunt . Die practiſche Rechenkunſt. 161 I. Additio in ganzen benamten Zahlen. §. 178. Dieſe Species wird im gemeinen Leben am aller meiſten, und ſaſt von Jedermann gebraucht. (F⸗ 86. Anm.) Der Kaufmann kauft von einer Waare un⸗ terſchiedene Partheyen, zu unterſchiedenen Preiſen; ſo will er nicht nur wiſſen: wie viel Waare er in allen gekauft: ſondern auch, wie viel dieſe Waare in Summa gekoſtet? Will er, wie gebraͤuchlich, jeden Monat, oder jedes Jahr, einen Ueberſchlag machen, wie groß ſein Waa⸗ renlager? wie viel am baaren Gelde in Caſfla? und dergleichen mehr, ſo muß alles dieſes durch die Addi⸗ tion beſtimmt werden. Ja, ohne dieſe wuͤßte der Kauf⸗ mann nie, ob er bey ſeinem Handel gewonnen oder verlohren haͤtte: — — Jeder Handelsmann muß ſeine Rechnung vermikteiſt der Addition verfertigen, und jeder Hausvater, durch ſie, ſeine Einnahme und Ausga⸗ Die Additionsaufgaben ſelbſt werden davon Beyſpiele geben. P 1. Aufgaben, wo zwo und mehr benamte Zahlen zu addiren vorkommen. §. 179. Bey dieſen, und allen folgenden Aufgaben iſt nichts weiter zu beobachten, als daß man beym Aufſatze der Solutio, den Sorten des erſten Poſtens ihre gehoͤrigen Namen beyfuͤge, hingegen aber die Namen der Sorten folgender Poſten nur mit (½) bemerke; wobey zugleich darauf geſehen werden muß, daß, bey jeder Sorte, die Ei⸗ ner unter Einer, die Zehner unter Zehner ꝛc. richtig zu ſte⸗ hen kommen, juſt ſo, wie bey der unbenamten Addi⸗ tion geſchehn. Endlich wird unter ſaͤmtliche alſo aufgeſetz⸗ te Poſten eine Linie gezogen, um uncer dieſeibe die BSum⸗ me aller Sorten, mit Beyſuͤgung ihrer Namen, welche ſie im erſten Poſten hatten, zu ſetzen. Eine Aufgabe wird die Sache deutlicher machen. Z. G. 2 X2— Adam 162 Die prackiſche Rechenkunſt. Adam nimmt ein 428 Mmg 10 fs uud 635 4 ; wie wiel in zumma? Solutio. “ 32 ⅛⅝ s 10 ſ) 6 3 5 4 ⸗ Summa 1 06 3 mm 1 ſS Fange bey den kleinſten Sorten, den Schillingen, und bey den Einern derſelben an, und ſage: 4 + 4; dieſe 4 ſetze unter die Linie, und neben die 4 auch die 1 herunter, ſo iſt die Summe! aller vorhandenen Schilinge naͤmlich 4 ſà + 10 ſ = 14 ſö. Eben ſo addire auch die groͤß⸗ ten Sorten, die Marken: 5 T+ 8 = 13 u. ſ. f. juſt ſo wie bey der Addition in unbenamten Zahlen geſchehen. Beweis: Da alle Schillinge, welche die Numeri addendi enthalten, in eine Summe gebracht; des⸗ gleichen auch alle Marken nach ihren Einern, Zeh⸗ nern und Hunderten: ſo muß auch dieſe Summe ſo groß ſeyn, wie die beyden Numeri addendi zu⸗ ſammengenommen; ſolglich iſt geſchehen was verlan⸗ get worden. 1) Wie viel betragen 5347 M8 9 6 †+ 736 ms 6 ſi in eeiner Summe? 2) Balzer zahlet unterſchiedene Poſten aus, als: 1430 mg 10 ſs T 73 m8 3 6* †+ 47 π2 ſs. Wie viel cſpar hen fe b Gel Thlr 3) Caſpar hat empfangen an baaren Gelde: 432 Thlr. ys 6 †+ 109 Thlr. 8 30 2 + 8⁸ Thlr. . * 3 &. Wie viel in allen? Solutio. 432 Thlr. 17. 6 ℳH 109 Thlr. 8 = 2 ⸗ 8 Thlr. 1⸗ 3 ⸗ 1 Summa 549 Thlr. 23 96 11 Hier betraͤgt die Summe aller Q= 11 O, weil dieſe noch keinen Groſchen, als welcher 12 hat, betragen, ſo werden ſie auch an ihre Stelle, ſo wie ſie find, nieder⸗ ge⸗ geſchiehen 2 K we hat, nich Clllch w. und es iſt 1. Anr keine Un werden großen 7 ten in d ten zu innn, 1 wire l, ſo D i ringe iſer Su Af ſehe ſalge den 96 A lich Dhn ich nicht ſe ich 1 Die practiſche Rechenkunſt. 163 4 geſchrieben. Eben ſo betraͤgt die Summe aller 20 = 23 % welche, da ſie ebenfalls 24 , als ſo viel der Thir. hat, nicht erreichen, an ihre Stelle geſchrieben werden. Endlich werden auch alle Thir. in eine Summe gebracht, und es iſt geſchehen was veriangt worden. 1. Anm. Aus dieſen wenigen Aufloöſungen luͤßt ſich ſchon zur Gnüge erſehen, ſwpieuhbedeutend die Veraͤnderung, ſz welche dieſe verſchiebenen Benennungen der hillingen, Zahlen verurſachen, gegen der ſchon bekannten Addi⸗ 4o= tion in um bengmten Zahlen ſſt. (§. 177.) . 4 alch die 2, Anm. Wenn künfktig das Zeichen Thlr. verkommt, ſo Shlige wDird dadurch allemal ein Thaler zu 24 Groſchen oder ch djegruß⸗ zu 72 Groten verſtanden. Dahingegen das Zeichen ſr die dder Rthlr. einen Reichsthaler zu 48 Schiling edeutet. ihen. 4) David in Bremen giebt aus: 346 Thlr. 30 Groten e Numeri 2 Schw. T+. 203 Thlr. 24 Groten, 1 Schw. + 96 tacht; des⸗ Thlr. 15 Groten 1 Schw. Wie viel in Lumma? nen, Zeh⸗ 5) Elias hat verſchiedene Schulden zu beza ſen als: ſe Eunne an A. 345 Re 14 ſ 3 &; an B. 407 R 4 l lendi iu * 6 &; und an C. 96 Re 8 ſs 2 ; Wie viel „* wos velan beetraͤgt die ſaͤmtliche Schuld? L D . §. 180 Nicht immer, wie bisher, kommen ſo wenige 6 in Unitaͤten der kleinern Sorten in die Summe, daß daraus keine Unitaͤten der folgeuden groͤßern Sorten aemacht li: 41% wDerden koͤnnten, ſondern es kommen oft, zumalen bey Vie viel großen Aufgaben, ſo viele Unitaͤten der kleinern Sor⸗ ten in die BHumme, daß davon einige groͤßere Unita⸗ . vLl. ten, zu folgenden groͤßern Sorten . gemacht werden 174 Thle koͤnnen, wie es denn auch ſeyn muß, weil es nicht ſchick⸗ lich waͤre, die kleinern Sorten nach Anzahl ihrer Umitaͤ⸗ ten, ſo wie ſie zuſammengezaͤhlet werden, in die Summe zu bringen. Wie wuͤrde es ausſehen, wenn man z. E. in einer Summe niederſchriebe: 2937 Thlr. 96 90 46 Wer ſiehet hier nicht, daß in den 46 % noch Unitaͤten der folgenden groͤßern Sorte, naͤmlich Groſchen; in den 96 2. noch Unitaͤten der folgenden groͤßern Sorte, naͤm⸗ weil diee lich Thaler befindlich? Denn ſo oft ich 12 ehabe, ſage hetregen, ich nicht 12 Aſonſondern 1 20, und ſo oft ich 24 C habe, it, zihet: ſage ich nicht 24 ℳ, ſondern 1 Thaler ꝛc. n/ ger 22 Die⸗ 164 Die practiſche Rechenkunſt Dieſerwegen iſt ein Mittel noͤthig, um dadurch, ſo oft der Fall vorkommt, daß der kleinen Unitaͤten eben ſo viel, oder mehr, als zu einer Unitaͤt folgender groͤßern Sorte gehoͤrig, vorhanden, dieſelben ſo gleich zu Unitaͤ⸗ ten groͤßerer Sorte zu machen. Man dividiret mit der Anzahl Unitaͤten kleine⸗ rer Sorten, welche zu einer Unitaͤt folgender groͤßerern Sorte gehoͤren, in die ſummirten klei⸗ nern Unitaͤten, da dann der Quotient die Anzahl Unitaͤ ten zu folgender großerer Sorte giebt, als wozu ſie auch addirt werden muͤſſen; der Reſt aber wird allezeit un⸗ ter die Sorte geſetzt, aus welcher der Quotient gefunden worden. So werden z. E. die Pfennige, durch die Diviſion mit 12, zu Groſchen; die 20 aber mit 24 zu Thaler gemacht: weil 12 = 1 9. und 24 96 — 1 Thaler. Ein Exempel wird die Sache mehr ins Licht ſetzen. Helix in Dresden hat an 6 Erben folgende Summen anszuzablen, als: an A 496 Thlr. 13 920 6 $. An B; 560 Thle. 16 9 L. An C; 638 Thlr. 18 90 10 H.; An D. 239 Thlr. 17 36 8 ¾; An E. 609 Thlr. 20 90 9 & und an F. 404 Thir. 12 96. 4 . Wie viel hat er uͤberhaupt an alle 6 Erben ausge⸗ zahlt? Solutio. An A. 496 Lhle. 13 6 6 ℛ a) 12 — 46 ⸗ B. 560 16 „ 9 36 „ C. 638 18 ⸗ 10 3 % — ⁶½ D. 239 % 17 7½ 8 10 10 & ;„ E. 600 ⸗ 3 29 ) 24 — 99 D „ F. 404 „ 12 ⸗ 4 4Thir 96 Sömmæ 2941 Thlr. 3 Gr. 10 P. 3 96 Hier haben ſich bey Summirung der Pfennige, 46 Pf. gefunden, welche Anzahl zu groß war, um ſie ſo an ih⸗ re Stelle hinzuſchreiben, weil ſie noch Unitaͤten folgender groͤßern Sorte enthielt. Es mußten alſo dieſe 46 Pf. mit 12 12, 46 ſo werden, 1 Ail fuder daf 46 G glherige 3 Vr. ab Eutawe ahl Greol Gorte en viſion mi Thaler ſich4 die 3 ½ furbenen auf bieſe Worden. Anm. alf⸗ Fegel: nern So welche; Sorte N=I 12, Me Eroſchen R er Maͤn Grof 69 an Feun und diven “ ſun 2) hon K urch, ſo bft ig eben ſo er grißern ih zu Witaͤ⸗ ten kleine⸗ it folgender mirten klei⸗ ahl Unte⸗ als wola ſie d allezeit un⸗ ent gefunden e, duͤrch die ober mit 24 and 24 0. icht ſeten. de Summen 6.. An 8 M. 18 N E. Dl. n * Eiben alige⸗ -6 10 — Y hr 4 45 etnige, n ſeſen ten ftener blin Die practiſche Rechenkunſt. 16 5 12, als ſo viel & zu einen Groſchen gehoͤren, dividiret werden, um die Anzahl der Groſchen, aus dieſen 46 zu finden: dieſes iſt bey a) geſchehen, und gefunden, daß 456 = 3 10 . Die 10 QNſind an ihre gehoͤrige Stelle in die Summe gebracht, die gefundenen 3 Gr. aber zu den Groſchen addirt worden, welche die Summe von 99 gegeben. Weil aber in dieſer An⸗ zahl Groſchen ebenfalls Unitaͤten der folgenden groͤßern Sorte enthalten; ſo mußten dieſe gleichfalls durch die Di⸗ viſion mit 24, als ſo viel Groſchen der Thaler hat, zu Thaler gemacht werden, welches bey b) geſchehen, alwo ſich 4 Thlr. gefunden, und 3 pro Reſto geblieben; die 3 20 ſind an ihre gehoͤrige Stelle geſetzt, die ge⸗ fundenen 4 Thlr. aber zu den Thalern addirt, und auf dieſe Art die verlangte ganze Summa gefunden worden. ä Anm. Dieſe Aufloͤſung giebt folgende zu allen Additions⸗ auufgaben brauchbare—« WH W Regel: Mandividire allemaldieſummirten klei⸗ nern Sorten mit der Anzahl ihrer Unitaͤten, welche zu einer Unitaͤt folgender groͤßerern Sorte gehoͤren. D. i.: wenn 12 ϑ — 1 0 und 24 26 = 1 Thlr. ꝛr. ſo mache man, durch die Diviſion mit 12, die Pfennige zu Groſchen, und durch 24, die Groſchen zu Thaler, u. ſ. f. bey allen uͤhrigen Sorten, ſie moͤgen Namen haben wie ſie wollen, und der Muͤnze, Maaß, Zeit, oder Gewicht angehen. 6) Groß in Altona verzaͤhrte jaͤhrlich 619 Rthlr. 42 ſ 6 verkleidete 206 Rthir. 36 ſt 8 &; bezahlte an Dienſtlohn 26 Rthlr. 18 ſo 6 OQ; gab aus fuͤr Feuerung: 66 Rthlr. 19 ſs 8 .; Miethe, Onera und Waͤſche betrug 86 Rthlr. 21 ſ 9 &; und an diverſen Neujahrsrechnungen bezahlte er uͤberhaupt 86 Rthlr. 46 ſe 3 . Wie hoch kam ihm der Hauß⸗ ſteand jaͤhrlich? MV 7) Horn empfing 236 Stein 7 † + 139 St. 6 fk † 404 St. 8 † Wolle. Wie viel in Allen? 166 Die practiſche Rechenkunſt. 8) John kauſte 130 Stein 11 †k —. 84 St. 17 fkt 996 St. 15 tb Flachs. Wie viel Flachs? (9 Roch allhier erhandet 122 Centn. 3 2 7 + 39 Centn. 5 Lſ 4 b +— 40 Centn. 4 L 8 †b-“ Centn. 2 2b1ο1ι diverſe Waaren; wie viel betragen die am Gewicht? 10) Rnorr nimmt in Empfang: 25 Schf 19 Lf. 7 5 + 30 Schſt 15 Lſb 3 b + 8o Schit 11 Lſt 9b +– ⁸ Schltz 2 L 13 b. Wie viel uͤberhaupt? 2. Aufgaben, wo einige groͤßere oder kleinere Sorten fehlen. §. 181. Wenn einige Sorten von Einheiten, in den aufgegebenen Poſten, wirklich fehlen, ſo muß man doch die Namen aller vorkommenden Sorten in der er⸗ ſten Zifferrriche hin ſetzen, und ſotann, ſtatt der feh⸗ lenden Ziffern, einen Strich — machen. Die Berech⸗ nung iſt ſodann wie ſchon bekannt. Z. E. 11) Leipzig hat von Magdeburg zu fodern: 396 Thlr. 12 0 + 450 Thlr. 17 ℳtℛ ú9 & + 296 Thir. 8 ₰ + 430⁰ Thlr. + 23 . 4 . Wie viel be⸗ traͤgts in Saumma? W Solutio 3 396 Thlr. 12 °%. — % 12 — 2r & . 45 06 ⸗ 17 ⸗ 9 ⸗ 190 12 26 — ;‚82 2 4 — — 2 24 — & Summa 1574 Thlr. 5 Wι 12) Moſes kauft Silber; 17 Mark 11 Loth † 21 Mark 2 Quentin P+ 8 Mark 13 Loth 3 Quentin + 24 Mark II m 1ILoth ⸗— 15 Loth 2 Quentin. Wie viel Silber am Gewicht? 13) Nilſon verkahſte Wein, als: 35 Ahm 12 Stuͤbchen 1 Quartier + 86 Ahm 11 Stuͤbchen + 40 Ahm 2 Quartier 140 Ahm 36 Stuͤbchen + 35 Stuͤb⸗ chen 2 Quartier. Wie viel in allen? 14) E was nigt met, ſo ne ſatnere 10) En her 8 Ein I1 17) Ei daß WE 1 39 9 Centn. ettagen die Gc 1I1 ſe berhaußt! oͤder heiten, in up met in der et⸗ (der ſch⸗ die Betech: Al. 290 Thlr. je viel be⸗ 2 5§ I — — 6 48 14 Nark ie viel 4 Stuͤbchen 0 Mn GStib⸗ 5 19 Die praetiſche Rechenkunſt. 167 14) Oldenburg lieferte an Korn: 11 Laſt 1 Wp. 5 Schl. + 19 Laſt 7 Schl. 1 Faß + 27 Laſt 2 Wp. 1 Faß Wie viel die dumnma? 15) Paul verſendet Leinwand, als: 49 Schock 17 Ellen + 123 Schock 43 Ellen + 360 Schock + 213 Schock 49 Ellen. Wie viel machts? 3. Aufgaben zur Uebung, ſo wie ſie im gemeinen Leben zu berechnen vor⸗ kommen. §. 182. Da dieſe Aufgaben nichts beſonders haben, was nicht ſchon in den vorhergehenden Aufgaben vorgekom⸗ men, ſo koͤnnen wir, zu Erſparung des Raums, auch oh⸗ ne fernere Erklaͤrungen und Solutiones fortfahren. 16) Ein Kaufmann in Hamburg muß, innerhalb 4 Ta⸗ gen, 8 Wechſel bezahlen, als: Einen à 640 m 5566 Banke; Einen à 498 M 12 ſs; Einen zu 376 m 13 ſt 8 A; Einen, groß: 7867 8 9 ſe 6 A; Einen zu S00 m; Einen à 760 ς 10 ſs6; Einen zu 705 Mm8 15 ſo 6 und den Letzten zu 890 S 11 ſ5 6 Q₰. Wie viel betragen alle dieſe Wechſel? 17) Ein Herr in Berlin verlangt von ſeinem Diener, daß er ihm folgende Poſten einer Rechnung ſumnii⸗ ren ſolle: 34 Thlr. 21 6 7 + 80 Thlr. 4 0 38 + 9 Thlr. 9 + 232 Thlr. 18 90 +£ 17 hir. 8 96 3 + 35 Thlr. + 96 Thlr. 5 N. + 109 Thlr. 11 ϑ + 73 Thlr. 18 0 4 ₰ + 21 Thlr. 5 26 3 + 89 Thlr. 2 0 7 &£ + 48 Thlr. 15 6 + 10 Thlr. 9 + 125 Thlr. 13 0 4 + 64 Thlr. 18 0 T+ 200 Thlr. 33 Thl. » P 3 T+ 876 Thir. 14 260 10 + 243 Thlr. 8 20 + 9 Thlr. 7 0 3 K. Wie groß iſt die summa? 18) Ein Bremer Kaufmann hat folgende Rechnungen zu bezahlen, als: No. 1. groß: 236 Thlr. 36 Groten 3 Die practiſche Rechenkunſt⸗ Schwaren. No. 2 groß: 96 Thlr. 50 Groten. Re. 3:185 Thl. 2 Schw. No. 4: 85 Thlr. 46 Grot. 1 Schw. No. 5§. 21I Thlr. No. 6: 85 Thlr. 56 Grot. No. 7: 185 Thlr. 64 Grot. 3 Schw. No. 8: 86 Thlr. Wie viel betragen dieſe 8 Rechnun⸗ gen in einer Summe? 19) Ein Handelsmann verkauft an Zucker: Mentags 8 Huͤte, welche gewogen 40 1 31 Loth 1 Quentin. Dien⸗ ſtag 4 Huͤte, gewogen: 19 k 17 Loth 3 Quentin. Mittwochen, 5 Huͤte, am Gewicht: 25 †b 24 Loth. Donnerſtag Gite, dewogen 15 [„ 3 Quentin. Freytag 2 Huͤle, gewogen: 12 t. 2 Loth 1 Quenti. Sonnabend 6 Huͤte am Gewiht: 31 [b I5 Loth. Wie viel betraͤgt dieſer woͤchentliche Dertauf am Ge⸗ wicht? 20) Moſes kauft an alten Golde, nach ſeinen Gehalt be⸗ reechnet: 30 Mark 13 Karat 2 Gran 1 Graͤn + 25 Mark 20 Karat I Gran + 15 Mark 9 Karat +13 Mark 21 Karat 1 Gran 1 Graͤn + 24 Mark 2 Gran 1 Graͤn P+ 25 Mark 20 Karat 2 Gran 2 Graͤn. Wie viel hat er in allen gekauft? 21) Ein Silberarbeiter hat an Silber verarbeitet: 5Mark 3 Loth 3 Quentin 2 £ 10 Mark 13 Loth 2 Quentin 3 ϑ +☚4 Mark 1 Quente. T. 9 Mark 15 Loth 3 Quentin 1 . +£+ 8 Mark 10 Lo Mark 14 Loth 3 Quentin 3 . Wie viel am Ge⸗ wicht? 22) Ein Weinhaͤndler erhantelt Wein als: 3 Fudc 4 Ahm 20 Stuͤbchen 2 Quartier + 5 Fuder 2 Ahm 19 Stuͤbchen 1 Quartier + 6 Fuder 36 Stuͤbchen 21 Fuder 5 Ahm 36 Stuͤbchen + 15 Fuder 4 Ahm 3 Quartier + 8 Fuder 2 Ahm 21 Stuͤbchen 3 Quartier. Wie viel in allen? 23) Ein Kornhaͤndler verkauft an Gerſten: 15 Laſt 1 Wiſpel 8 Scheffel 4 Himmt 2 Spint 3 Laſt 1 Wiſpel, Scheffel 3 Himt 1 Spint. ernere an 964 th 1 Pe4“ Hode Zing 44) E d 8 roten. At, .. 45 Gr. 5 Dh. 6⸗ Schw. Ni. 8 Nechnun Mantage 3 entin. Ditn 3Qlentin⸗ 5 24 Llt,. Quentin. 1 Obenti. 15 loth. lfan Ge⸗ Gehalt die⸗ Pran P. 25 atat , 13 f 2 Gran Gran. Vie t: 5Dur 13 Loth: Murk 15 19½4 lun Ge⸗ 3 Fuder er 2 Mn Etibchen Ner4 Ahn SGtibchen 3 15 1 gur Fermt an i Die practiſche Rechenkunſt. 169 Haber: 13 Laſt 7 Scheffel 2 Faß 1 Himten 3 Spint 12 L. 1 Wv. 8 Scheffel 1 Faß 3 Spint. Frage: 1) Wie viel hat er an Gerſten verkauft. 24) viel in allen? 25) 2) Wie viel am Getreyde? (*) Ein Kirſchner kauft an Rauchwerk: 15 Zimmer 3 Decher 2 Stuͤck + 17 Zimmer 3 Decher 8 Stuͤck 13 Zimmer 9 Stuͤck + 10 Zimmer 2 Decher 18 Zimmer 3 Decher 9 Stuͤck + 20 Zimmer. Wie Ein Landmann hat auf ſeinen verſchiedenen Aeckern an Getraide geaͤrndtet: 50 Schock 3 Mandel 12 Garben + 38 Schock 2 Mandel 10 Garben + 60 Schock 1 Mandel 5 Garben + 48 Schock 2 Man⸗ del + 63 Schock 14 Garben †+ 40 Schock x1 Mandel 10 Garben. Wie groß i ſeine Aerndte ge⸗ weſen? “ 1 26) Ein Kaͤrner kauft im Anhaltiſchen Eyer auf „um ſol⸗ cche nach Berlin zu ſuͤhren, als: 25 Schock 3 Man⸗ del + 13 Schock 2 Mandel 13 Stuͤck P. 18 Schock 14 Eyer + 3 Mandel 14 Cyer T+ 36 Schock 1 Mandel 10 Stuͤck + 19 Schock 3 Mandel 10 Eyer P+ 15 Schock. Wie viel hat er in Summa einge⸗ Anm. Wer dieſe wenigen Aufgaben mit gehörigem Fleiße und Nachdenken gerechnet hat, dem wird kleine Ad⸗ dit ionsaufgabe in Ganzen benamten Zahlen zu wichtig ſeyn. “ðM Wer aber dieſe Anzahl von 26 Aufgaben zu klein fin⸗ den ſollte, dem ſteht frey, dieſelben noch einmal durch zu gehen, oder ſich auch aͤhnliche beliebige Aufgaben ſelbſt zu formiren. Folget demnach: () Getraide, iſt die allgemeine Benennung aller Arten von Hilſen fruͤchte (§. 2.) 1 170 Die practiſche Rechenkunſt, II. Multiplicatio in benamten ganzen MV Zahlen. §. 183. Die Muleiplication in benamten ganzen Zahlen iſt, in ſo ferne der Multiplicandus aus ÜUnitaͤten einer Sorte beſtehet, welche nur einen gemeinſchaft⸗ lichen Namen fuͤhren, mit der Multiplication in unbenamten ganzen Zahlen voͤllig einerley. Denn wenn ich die unbenamte Zahl 336 mit 3 vermehre; ſo wird eben daſſelbe Factum erſcheinen, als w unn ich 336 Rthlr. mit 3 multiplicire. Z. . 3 3 6 oder 3 3 6 R IOO ̊BG 1008 Ré. Hier geben be yde Facta 10083, undiſt weiter gar kein Unterſchied, als daß das Factum der benamten Mul⸗ tiplication derſelbe Name, oder Zeichen der Unitaͤten des Multiplicandi, naͤmlich Re, beygeſuͤget worden. Zuſatz: Man darf daher nur allen den Multip licati⸗ onsaufgaben unbenamter Zahlen eine allge⸗ meine Benennung. Z. E. Rthlr. Centner, El⸗ len und d. gl. geben; ſo ſind alle dieſe un be⸗ namte Aufgaben in benamte Multiplications⸗ aufgaben verwandelt worden. (F. 176. Zuſatz.) 1. Aufgaben, wo einfach benamte Zahlen, entweder mit einer unbenamten, oder auch mit einer benamten Zahl, zu multipli⸗ ciren vorkommen. §. 184. Benam te Zahlen mit unbenamten Zah⸗ len zu multipliciren, heißt nichts anders, als: eine ge⸗ gebene Anzahl, dem Namen nach beſtimmter Dinge, ſo viel mal nehmen, als durch eine andere, aber nur der Unitaͤtenanzahl nach, beſtimmte Zahl verlanget wird (§. 105) z. E. Es wird blos verlangt zu wiſſen: Wie groß die Summe von 336 Rthlr. ſey, wenn ſie mit 3 mul⸗ leiplicir de Nulti Aer Multi eiter bder ge. C ene En ten, we gung, u ſich kann Cators dergeiche ſeyn. Aun g gen und NR 1) Aber tiͤ⸗ hitt A. B. i we deelb ſer n Henrn auch i worten anzen n ganzen us Unitaten einſchafn gieation in eh. Denn vetmehre; enn ich 330 e gar keis nten Mol⸗ r Unitaten vorden. nultiplicati⸗ ine allge⸗ nrnet, Cr eſe unde⸗ ipltations⸗ uſch.) Zahlen, r auch lili: nten hoh⸗ 6: eine ge⸗ et Dinge, nur der ſen: Vie n gul⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 171 multipliciret, d. i. 3 mal genommen wuͤrde? ſo iſt hier nux der Multiplicandus benamt worden, keineswegs aber der Multiplicator! Denn dieſen kann ich durchaus nichts weiter beyſetzen, als das Woͤrtchen mal; 3 mal 336 Rlr. Es iſt daher dieſes Woͤrtchen mal nur blos als eine Endſilbe des vermehrenden Zahlworts zu betrach⸗ ten, welches zwiſchen den beyden Factoribus 3 und 436 R ſtehet, um allein deren Ver vielfaͤlti⸗ gung, und nichts mehr noch weniger, anzudenten: folg⸗ lich kann es auch keine Benennung, des Multiphi- catoris 3 ſeyn. Ergo muß der Multiplicator, bey dergleichen Aufgaben, wirklich eine unbenamte Zahl ſeyn. (§. 8). . S Anm. Was wohl die neuern Herrn Arithmerici, welche ganz ſteif und feſt behaupten: „Es giebt gar keine unbenamte Zahlen.“ hiebey einzuwenden haben kon⸗ nen. . . 4) Abel beſitzt am baaren Gelde: 3440 mg. Wie groß wuͤrde ſein Vermoͤgen ſeyn, wenn er 5 mal ſo viel haͤtte? Solutio. 3440 mg oder 3440 Im4 oder 3440 mMmg a 15000 200 Fac. 17200 mg b 2000 2000b c 200; 15000 ⸗* Fac. 17200 hMS Fac. 17200 n8 Der Augenſchein, darſtehender 3 fachen Aufloͤſung, A. B. C. zeiget klar, daß die Berechnnng eben dieſel⸗ be, welche mit den unbenamten Zahlen geſchehen; weshalb auch keine weitere Erklaͤrung noͤthig, und nur hier anzumerken: daß, wie hier dem Protucte die Be⸗ nennung Facit. d. i.: Es macht, gegeben worden, wir auch kuͤnftig dieſelbe Benennung allen arithmetiſchen Ant⸗ worten gegeben werden,. S Be⸗ 172 Diie practiſche Rechenkunſt. Beweis: Es ſind bey A; alle vorhandene Tauſen⸗ de mal genommen, und das Factum 5 3000 mg in a geſetzt werden; 2) ſind auch alle vorhande⸗ ne Hunderte 5 mal genommen und das Factum 5 ☛400 & bey b geſetzt worden; 3) ſind auch alle vorhandene Zehner 5 mal genommen und das Factum 5 —☛ 40 bey c geſetzet worden. Endlich ſind alle Facta a + bαc in eine Summa gebracht worden; da nun dieſe Summa alle im Multipli- cando enthaltene Unitaͤten, von welcher Art ſie ſeyn moͤgen, 5mal genommen wirklich enthaͤlt: ſo muß auch dieſe Summe das wahre verlangte Facit ſeyn. Anm. Der Beweis der Solutio bey B wird mit wenig Ver⸗ uͤnderung leicht zu fuͤhren ſeyn. Und die Solutio bey C, als die kuͤrzeſte, wollen wir kuͤnftig beybehalten. 1) BVernſtiel hat ſein Capital von 5936 M in eine Handlung gegeben, und bekam nach 10 Jahren 8 mal ſo viel wieder; wie groß iſt nun ſein Capital? 2) Carſten erbt in 10 Jahren juſt 6 mal ſo viel, als ſein Freund Lentius, welcher 4536 Thlr. geerbt. Wie viel betraͤgt des erſtern Erbſchaft? §. 185. Sehr oft kommen auch im gemeinen Leben mul⸗ tiplicationsaufgaben vor, wo ſowohl die Unitaͤten des Multiplicatoris, als die, des Multiplicandi, ihre ei⸗ genthuͤmlichen Namen hahen. z. E. Es wird ge⸗ fragt: wie viel A in 6 Tagen verdiene, wenn ſein taͤgli⸗ cher Verdienſt 8 Mm betraͤgt? Wenn nun die Antwort, auf dieſe Frage durch die Multiplication erfolgen ſoll, ſo muß auch eine von bey⸗ den gegebenen Zahlen zum Multiplicatore angenommen werden. Geſetzt nun, ich naͤhme den Factor 8 ms8 zum Multiplicand. und 6 Tage zum Multiplicat. an: ſo kann ich doch, ohne Unſinn, nicht ſagen: 6 Tage mal 8 me. Eben ſo wenig, wenn ich umgekehrt, wie nach §. 109. Reg. 4 geſchehen kann, den Fact. 6 Tage zum Multi- plicand. und dem Fact. 8 m zum Multiplicat. machte, koͤnnte ich ſagen: 8 MSs mal 6 Tage. Und wie ſollte, wenn wein es ſo⸗ Vge noch Hirau der Unit wenn mon ten, vnd D. i. man 1. Zuf ben, gen len iſe An. Tauſeß n5 3000 e hande⸗ s Fatum dauch alle en und das 1 1. Cndlich ma gebracht n Multipli. er Art, ſt enthalt: ſ⸗ igte Facit veri, Der Soluto Ney tholten. W in ee⸗ ) Johren n Capital? hbiel, als gr. geerbt. Lebenmul. jititen des ihre ei⸗ 8 wird ge⸗ ſein thl⸗ durch die don bey⸗ genommmen N mn ſokannich l 8 . chK. 109. m Multi⸗ t., machtt, penn D. i. man muß ſagen: 6 b%8 M. = 48 mM. Die practiſche Rechenkunſt. 173 wenn es ſo anginge, das Factum heiſſen? Gewiß weder . 8 Tage noch mg. . Hieraus wird ſchon klar, daß man d en, Namen der Unitaͤten des Multiplicat. wegwerfen muß, wenn man anders mit Anſtand die Multiplication verrich⸗ ten, und dem Facéto den gehoͤrigen Namen geben will. 1. Juſatz: Man muß auch, wo moͤglich, bey Aufga⸗ ben, wo beyde Factores Namen haben, denjeni⸗ gen zum Multiplicandum waͤhlen, deſſen Unitaͤ⸗ ten eben denſelben Namen fuͤhren, welchen die Unitaͤten des verlangten Fazits haben ſollen. Anm. We moͤglich: denn bisweilen iſt derjenige Pactor, von welchen man den Namen zu den Unitaͤten des Fa⸗ zits haben will, zu klein, um ihn mit Beguemlich⸗ keit oben au ſetzen zu kuͤnnen: deswegen muß man den— groſten Fact. zum Multiplicand. maͤhlen, und ſo⸗ dann den Namen des kleinſten Factoris den Unitä⸗ ten des Fazits beylegen. Man ſehe die 25'te und 20te Aufgabe ꝛcc. B 2. Zuſ. Weil auf ſolche Art der Name der Unitaͤten des Multiplicatoris wegfaͤllt, ſo muͤßen dergleichen Zahlen auch ebenfalls als unbenamte Zahlen be⸗ trachtet werden, ob ſie gleich eigentlich keine ſind. Eben ſo die Zahlen des Multiplicandi, wenn deren Namen weggeworfen werden, weil ſie nicht mit den Namen des verlangten Fazits uͤbereinkommen. Anm. Dergleichen Aufgaben wie dieſe, werden von den mieiſten Rechenmeiſßtern zur Regel de Tri gezaͤhlet, ob ſie gleich in der Multiplication ihren eigenthuͤmlichen Platz haben ſollten. 2) Wenn Balzer jaͤhrlich 349 RC. verdient, wie viel wuͤrde das in 30 Jahren betragen? . Solutio. 3 4 9 RC. 3 Fact. 1 0 4 7 0 RE Hier faͤllt der Name des Multiplicatoris weg, denn es heißt hier: 30 %ℳα 349 RC (Zuſ. I.) 3) 174 Die practiſche Rechenkunſt. 3) Caſpar hat, fuͤr ſich und ſeine Erben, eine jaͤhrliche leheeite Leibrente von 1596 mg zu heben: wie viel wuͤrde Porigen, d dieſes in 50 Jahren betragen? kleineren, 4) Dames ſetzt, an einige ſeine Handelsfreunde, vier⸗ Maeltiplie teljaͤhrlich 36960 † Caffe ab, wie viel betraͤgts im Pnnige⸗ Jaahre? tetzogen 1 5) Erneſtus hat, nebſt 6 ſeiner Bruͤder, eine Erbſchaft Gog⸗ zu gleichen Theilen empfangen, wenn nun jedes An⸗ waͤrts m theil 5405 & betragen: wie groß iſt die ganze Erb⸗ Stelle un ſchaft geweſen? ſernet: 5 2. Aufgaben, wo der Multiplicndus aus verſchie⸗ 16 “ denen Sorten, und der Multiplicator nunr ganke aus einer Ziffer beſteht. Ein zen §. 186. Wenn Aufgaben, deren Multiplicandus aus Zahlen verſchiedener Sorten von Unitaͤten beſtehet, Zua mit einer Ziffer zu multipliciren vorkommen: ſo multi⸗ men pliciret man zuerſt die kleinſten Sorten, und macht ſin das Product derſelben, vermittelſt der Diviſion, ſo wie Rei bey der Addition (H. 180 & 181.) geſchehen, zu der fol⸗ 4 genden groͤßern Sorte; den Reſt ſetzt man ſodann an gehoͤrige Stelle, den gefundenen Quotienten aber addirt ſn man ſodann zu dem gefundenen Producte fſolgender groͤßern Sorte u. ſ. f. Z. E. . 12 Jauſtus giebt, in eine Handlung, ein Capital vo ben 2436 & 15 ſo 6 H. Wenn er daſſelbe nun nicht eher 7) B wiederfordern will, bis es 5mal ſo groß, als es bey 30 Einſchnſſe war: wie groß wird dann ſein Capital ſeyn? beſ Solutio G 5 1) Ein 2436 8 15 ſs 6 G 12 — 30 um 5 — 24 n Fact. 12184 m 13 ſs 6 6 16 — 77 ſ y 68 — 4 Ri L 13 G6G 4 Weil der Multiplicandus dieſer Aufgabe aus ver⸗ 9) En ſchiedenen Sorten beſtehet, als: aus Unitaͤten, deren 3 jede heſihriicht biel woͤrde nde, vier⸗ etraͤgto in Crbſhaft hſedes An⸗ ganze Eiß⸗ verſchie wr nOÜ⁵A het, ſo multi⸗ und macht n, ſo wie in det fol⸗ ſodann an der odditt lgendes apital vonß nicht cher s es en .lpyn! Die practiſche Rechenkunſt. 175 jede eine Mark; aus 16mal kleinere Unitaͤten als die vorigen, deren jede ein Schilling; und aus 12mal kleineren, deren jede ein Pfennig heiſſet: ſo iſt der Multiplicator unter die kleinſten Unitaͤten, die Pfennige geſetzet, und ſolcher Aufſatz mit einer Linie un⸗ terzogen worden. Sage nun: 5 ☛✕ 6 = 30. Dieſe 30 mache ſeit⸗ waͤrts mit 12 zu ſé, kommen 2 5 6 . Die 6 G an ihre Stelle und die gefundenen 2 ſs im Sinn behalten. Nun ferner: 5 ◻ 15 ſo 2 = 77 †ε; dieſe, wie vorher, durch 16 zu ms gemacht, kommen 4 m 13 ſ. Die 13 ſs an gehoͤrige Stelle und die gefundene 4 im Sinn genom⸗ men. Endlich ſage auch: 5 α 6 = 30 † 4 cwelche im Sinn genommen) = 34 ccc. Beweis: Da hier alle Pfennige, alle Schillinge und alle Marken des Multiplicandi ömal genom⸗ men und die Producte dieſer verſchiedenen Sorten ſaͤmtlich ins Facit gebracht; ſo muß auch dieſes Facit ein Capital bezeichnen, welches zmal ſo groß, als es im Anfange war, mithin geſchehen ſeyn, was verlangt worden. 6) Ein Goldſchmidt verarbeitet in einem Jahre 6mal 12 Mark 23 Karat 2 Gran 2 2 Graͤn Gold: Wie viel betraͤgt das? 7) Bey einem Silberarbeiter werden Zmal 7 Mark 15 Loth 3 Quentin 2 Pfennig Silber, zu Hochzeitsgeſchenken beſtimmt, verarbeit: Wie viel Silber iſts? 8) Ein Paͤchter hatte 5 Laſt 5. Scheffel 2 Faß I Himten und 3 Spint Gerſten geſaͤet, und bey der Aernte be⸗ funden, daß ſeine Ausſaat 3faltige Frucht gebracht: Wie groß war ſeine Aernte? Anm. Wenn im Multiplicando eine Sorte zwiſchen den verſchiedenen Sorten fehlt, wie hier die Wiſpel, ſo wird der Name deſſelben ebenfalls, wie bey der Additlo g. 181. gelehret, mit im Aufſatz gebracht. Z. E. 5 Laſt — Wiſpel 5 Scheffel ꝛe. (S. Reſolvirungstabelle.) 9) Ein Wucherer hatte mit ſeinem Capitale, groß: 3897 RE 47 4 &, in wenigen Jahren ſo viel ge⸗ wons 176 Die practiſche Rechenkunſt. wonnen, daß er ſein voriges Capital 9mal ſo groß befand. Wie groß war es? 10) Ein Vater wurde von ſeinem Sohn gefragt: wie alt er waͤre? Dieſer antwortet: Ich bin juſt 6mal ſo alt als dein Bruder, welcher in dieſem Augenblicke 6 Jahr 11 Monat 24 Tage 13 Stunden und 50 Mi⸗ nuten alt iſt. Wie alt war der Vater? 11) Ein Papierhaͤndler verkauft an einen Buchdrucker nach gerade 6mal 5 Ballen 9 Ries 15 Buch 15 Bogen Papier. Wie viel Papier? 12) Ein Kaufmann vertauſcht 5 Cent. 6 L †/ 10 b feinen Thee gegen 6mal ſo viel ordinairen Thee. Wie viel hat er wieder bekommen? 3. Aufgaben, wo benamte Zahlen verſchiedener Sorten mit zwo Ziffern, nach dem Ein mal Eins zerfaͤllet, multiplicirt werden. §. 187. Weil die Multiplication durch die Zerfaͤl⸗ lung ſchon nach §H. 116, bekannt, ſo iſt bey dieſer Art Auf⸗ gaben auch nichts weiter zu beobachten, als daß man es juſt eben ſo mit jedem nach dem Ein mal Eins zer⸗ faͤllten Multiplicatore macht, als wie daſelbſt gelehrer worden. Z. E. Ein Handelsmann verſendet an 14 verſchiedene Han⸗ delsfreunde, und zwar an jeden 50 Groß 10 Dutz und 6 Stuͤck feine Lichtſcheeren. Wie viel in allen? Solutio. 50 Groß 10 Dutz 6 Stuͤck 12 — 21 Dutz 2 àa) 12 I Gr. 101 ; 9 ⸗ — 9 Dutz =WDW . 7 12 — 63 Dutz pͤp) — 60 Fac. 712 Groß 3 Dutz b) 5„Gr. — Der Maltiplicator 14 iſt durch 2 ¾–7 zerfaͤllt, ſo⸗ dann zuerſt mit 2 multiplicirt, als: 2 ε 6 = 12 Stuͤck; da dieſe 12 Stuͤck gerade 1 Dutz betragen, ſo wird, weil kein h Ein nn Feſt der Name etſten 1 Duh n =— 20⁰ Groß = Stelle un Sinng⸗ Sing)= Natten d erſten M. kommen, Gorte ie ſeitwerts den Re, kige Stel lch ſage⸗ Boyfig ſchehen p Anm. 4 ll 1.2 )G he kon 14) En Et „3 15ʒ) En UI pap 126 ſs: 17) s han PB al ſo geeß gt: wie alt ſt 6omal ſo Augenblicke und 50 Mi⸗ Buchdrucker h15 Bgen 1o ſeinen Pe viel Chicdenee in mal . ie gerfaͤl⸗ ſt Art Auf⸗ daß man es Cins der⸗ ſt guchen ſdene hi⸗ Ditz und “ Dh 12 Die praetiſche Rechenkunſt. 177 kein Reſt geblieben, der Mangel an Sruͤck mit (—), der Name aber mit (:) bezeichnet, ſo wie es bey der erſten Multiplication allemal geſchehen muß. Das 1 Dutz wird in Sinn genommen. Ferner: 2 α10 = 20 + 1 (im Sinne) = 21 Dutz, und dieſe mit 12 zu Groß = 1 Groß + 9 Dutz, (a) die 9 Dutz an ihre Stelle und den Namen mit (⸗) bezeichnet, die 1 aber im Sinnn genommen. Nun: 2 ◻ 50 = 100 + 1 (im Sinn) = 101, dieſe an gehoͤrige Stelle geſetzet und den Namen der Sorte mit (⸗) bezeichnet. Weil nun bey der erſten Multiplication mit 2 kein Stuͤck ins Faétum ge⸗ kommen, ſo wird der Multiplicator 7 unter die 2te Sorte geſetzt, und geſagt: 7 % 9 = 63; dieſe 63 Dutz ſeitwaͤrts mit 12 zu Groß gemacht, = §5 Gr. 3 Dutz; (b) den Reſt, mit Beyfuͤgung des Namens, an gehoͤ⸗ rige Stelle, und die 5Groß im Sinn genommen. End⸗ lich ſage: 7 α 101 = 707 †+ 5 = 712; dieſe, mit Beyfuͤgung des Namens, an ihre Stelle, ſo iſt ge⸗ ſchehen was verlanget worden. Anm. Die Proben zu dieſen Aufgaben durch die Zer⸗ 7 ſallung berechner, koͤnnen gemacht werden nach .,207. 13) Ein wohlthaͤtiger Menſchenfreund in Bremen ver⸗ theilt an 42 Hausarmen eine Summe Geldes, der⸗ geſtalt, daß jeder 21 Thlr. 63 Grot 4 Schwaren be⸗ kommt. Wie groß war die vertheilte SHumme? 14) Ein Berliner Kaufmann verkauft jaͤhrlich, an ſeidenen Struͤmpfen und Tuͤchern, fuͤr 16 mal 232 Thlr. 23 20,8 . Wie viel iſts?s F 15) Ein Buchdrucker hat im Jahre zum Druck gebraucht: 18mal 35 Ballen 6 Ries 15 Buch 20 Bogen Schreib⸗ papier. Wie viel Papier? . 16) Ein Fabrikant hat zum Spinnen vertheilt: 2 mal 12 Schiff tb 13 Stein 18 Flachs. Wie viel Flachs 17) Ein Wollenhaͤndler verkauft im Jahre an erſchiedene Handelsfreunde: 24 mal 186 Schifſſt 12 Lſ 9 ſt Wolle. Wie viel in allen? NM 18) 178 Die practiſche Rechenkunſt. 18) Ein Rauchwerkshuaͤndler erhandelt an unterſchiedenen Sorten Rauchwerk: 25mal 36 Zimmer 3 Decher 9 Stuͤck. Wie viel iſt das? 19) 81 Bremer Soldaten bekamen am Geburtstage ihres 8 Hauptmanns von demſelben jeder: 54 Grot 3 Schwa⸗ ren zum Geſchenk. Wie groß war die verrheilte Summe? Anm. Wenn Aufgaben vorkommen, „wo im n Multiplicando die groͤßten Sorten fehlen, und zu vermuthen, daß durch die folgende Multiplieation ſo viele Unitaͤten der kleinern Sorte herauskommen werden, um davon Unitäͤten der großten Sorte machen zu koͤnnen: ſo muß der in der Aufgabe fehlende Name der groͤß⸗ ten Sorte, im Aufſatze der Solutio mit angemerkt werden. Demnach ſtehet der Aufſatz voritzer Aufgabe „ . alſo: o Tht. 34 1. Saͤr. 6 ; 59 2 2 ꝛec. 20) Martens wurde von einem ſeiner Soͤhne gefragt: wie alt er ſey? Der Vater zeigte ihm, da ſie beyde im Garten waren, einen Apfelbaum, und ſagte: Dieſen pflanzte dein Großvater, als ich 1 Jahr 5 Monat 25 Tage 21 Stunden 56 Minuten alt war, und nun bin ich juſt 32 mal ſo alt, als ich bey Pflan: zung des Daumes war. Wie alt war Martens? 4. Aufgaben, wo benamte Zahlen mit benamten B Zahlen vermehret werden. §. 188. Weil von dieſer Art Aufgaben ſchon einige vorgekommen, auch bereits §. 185. daruͤber zureichende 5 Auskunft gegeben worden, ſo habe ich hier nur zu wieder⸗ holen: daß vorzuͤglich derjenige Fator, nach welchen das Facit den Namen haben ſoll, zum Multipli- cando angeſetzet, und ſodann verfahren werde, wie be⸗ reits gelehret worden. 21) — Die praetiſche Rechenkunſt. 179 uſctiunen 21) Ein Glaſer bekommt fuͤr 20 Haͤuſer, Fenſter zu er 3 Mherr mDachen, wenn nun ein jedes Haus 74 Fenſter hat, .— wie viel Fenſter hat er zu machen? (§H. 185. Zuſ. I.) ttetnge iſs 22) Ein Schuſter macht fuͤr 200 Huſaren Stiefeln, ratzSi . und bekommt fuͤr jedes Paar 9 mg. Wie viel be⸗ de venhemte traͤgts? (§. 185. Zuſ. 1. Anm.) 23) Ein Edelmann hat in ſeinem Luſtwaͤldchen 36 Alleen Multiplicenndo angelegt, deren jede 230 Ruthen 10 Fuß 9 Zoll — Leipziger Feldmags lang war; wenn nun ſein Schloß mten voon dem Waͤldchen eben ſo weit entfernt lag, als unn: ſ.. ſſuͤmtliche Alleen lang waren: Wie lang war der Weg ſe der glit⸗ . vom Schloſſe bis zum Waͤldchen? ¹ ☚ 24) Erdmann hat von ſeinen Nußbaͤumen 42 Koͤrbe r Ae Nuͤſſe geſchlagen; Wenn nun in jedem Korbe ſich 5 Groß Tauſend 4 Groß Hundert 2 Steige 19 Nuͤſſe defanden: Wie groß waͤre dieſe Anzahl? 25) Ein Schlachter kauft 250 fette Schweine a 6 Rl= das Stuͤck: Wie viel koſten ſie ſaͤmtlch? (§. 185. 1. Zuſ. Anm.) ☛ 26) Ein Wanderer reiſet taͤglich 4 Meilen. Wie viel i ſar. Menen wird er in einem Jahre, d. i. in 365 Tagen, reiſen ahr u⸗ B 27) Wie viel Stunden hat ein 16jaͤhriger Juͤngling ge⸗ . lebt? (Wie viel das Jahr Stunden hat, ſiehe IV. a Reeſolvir. Tah.) 9 8) Steinfeld kauft 436 Stein Wolle a 7 Thlr. Wie viel betraͤgts? (H. 185. Zuſ⸗. I. Anm.) nanten 29) Von einer Grafſchaft ſollen 8 Bauerguͤter verkauft werden; wenn nun jedes, eins ins andere gerechnet, hon einhe 19998 Rc werth iſt: wie groß waͤre die Kaufſumme? nicſede e 3⁰) Ein Galanteriehaͤndler in Berlin ſendet nach Leipzig 8 in tieden 130 Uhren, à 16 Thlr. das Stuͤck. Wie viel hat er deice⸗ dafuͤr zu empfangen? “ 31) Wenn in einer Stadt 150695 Menſchen wohnen, , SZ deren jeder 8 Scheffel Getraide, à 2 R6 gebrauchte: Wie viel Geld wuͤrde das betragen? 1) M 2 . Se- 4 580 Die practiſche Rechenkunſt. Solutio. 1 zoeg; Menſchen oder 8 Scheffel à 8⁸ Scheff. à 2 à 2 R6 1205560 L 16 R (f. (fuͤr? Menſchen) à 2 R 150695 Menſchen Tac. 2411120 R. 4— (es 602780 —4 Fact. 2411120 R (1. Zuſ. §. 185.) 22) Ein wohlhabender Buͤrger laͤßt 4 Haͤuſer bauen: de⸗ ren jedes 4 Stockwerke hoch iſt, und in jedem ſich 48 Fenſter beſinden. Wie viel Fenſter hat der Glaſer = zu liefern? 33) Ein Fetthaͤndler verkauft: 336 hollaͤndiſche Kaͤſe, à 10 ſchwer, das ſt zu 6 ſ. Wie viel Schil⸗ linge? 34) Ein Dachdecker belegt ein gleichſeitiges Dach mit Ziegel; wenn nun jede Seite 32 Latten hoch iſt, uund auf jeder Latte 125 Ziegel gehoͤren: Wie viel Ziegel muß der Bauherr anſchaffen? (Wink zur Solutio 32 125 2.) 35) Ein Nagelſchmidt haͤlt 6 Geſellen, deren jeder Ws⸗ chentlich 6000 Naͤgel, andere Arbeiten ausgenommen, L ſchmiedet. Wie viel Naͤgel ſinds im Jahre? (G 5 6000 — 52.) 36) Wenn auf dem ganzen Erdboden i in jeder Minute 57 Menſchen ſterben, wie groß wird die Todtenliſte in einem Jahre ſeyny? 37) Ein Papiermuͤller verfertigt aͤhrlich 608 Ballen Pa⸗ .ę pier. Wie viel Buͤcher ſi nd das in 10 Jahren? 38) Wenn ein Landesherr 20 Regimenter Soldaten er⸗ halten muß, deren jedes jaͤhrlich 66125 Thlr. koſtet: wie viel koſtet die Unterhaltung derſelben in 10 Jahren? 39) 39) Wie ri ſen, nichtin 40) Vie v ſeit i dis a 178. 41) Wen Erde (ulen it: 42) Venn W. K W gt, von d der ſolgen ul gachen Maaße, auch dee 1)G die ge ben nen B 1 aſten) n Zuſ .18,) t bauen: dee⸗ jedenſchgg tber Glabt Wece Ki, e viel Sch Ouch mit en ſoch ſt, ie viel 2) « jeder Wo⸗ 8genemmen, hnn ee Ninute Todtenliſte Helence hren! eſdaten tekoſtet: nie 10 ℳhen? 399 Die practiſche Rechenkunſt. 181t 39) Wie viel koſten 36 Kriegsſchiffe, von 60 Kano⸗ nen, à 86499 R ? (Die Kanonen kommen hier nicht in Betracht.) 40⁰) Wie viel Tage hat unſere Erde zu ihrem Alter, wenn ſeit ihrer Erſchaffung, nach Juͤdiſcher Rechnung, ddeie,s auf Chriſti Geburt, 3760, und ſeit Chriſti Geb. 1787 Jahre verfloſſen? (3760 + 1787 % 365) 41) Wenn Caſſini, die Entfernung der Sonne von der Erde, auf 22000 halbe Erd⸗Diameter angiebt, ein halber Erd⸗Diameter aber 860 deutſche Meilen ent: haͤlt: Wie weit iſt die Sonne von der Erde entfernt? 42²) Wenn der Koͤnig von Frankreich taͤglich 246579 Thlr. Einkuͤnfte hat: wie viel in einem Jahre? §. 189. Um ſich bey Berechnung gemeſſener Din⸗ ge, von dem Maaße trockener Koͤrper ſelbſt, und zwar, der folgenden Aufgaben wegen, einen deutlichen Begriff zu machen, ſo iſt noͤthig zu wiſſen: daß es dreyerley Maaße, womit Koͤrper gemeſſen werden, und alſo auch dreyerley Meſſungen giebt. 1) Giebt es Maaße weiche in bloßen Linien beſtehen, diie eine beſtimmte und feſtgeſetzte Laͤnge haben, wel⸗ che, da ſie blos willkuͤhrlich angenommen, nicht bey allen Nationen von gleicher Laͤnge ſeyn koͤn⸗ nen. Dergleichen ſind Ruthen, Ellen, Fuß ꝛc. Mit ſolchen Maaßen werden alle Dinge gemeſſen, wo die Frage blos nach der Laͤnge iſt, ohne Ruͤck⸗ ſicht auf die Breite zu haben. 3. E. Wie viel Meilen, wie viel Schritte haͤlt der Weg von ei⸗ nem Orte zum andern? Wie lang iſt, oder wie viel Ellen haͤlt das Band? Bey dieſen Fragen wiird weder auf die Breite des Weges, noch des Bandes geſehen, und eben daher, heißt dergleichen Maaß: ein Laͤngenmaaß. 2) Es giebt aber auch Dinge zu meſſen, wo ſo wohl auf deren Laͤnge als Breite geſehen wird. 3. 7 Quadratmaaße gemeſſen haͤtte. 1 182 Die praetiſche Rechenkunſt. C. Der Schneider beſtimmt bloß nach der Breite des Zeuges, die Laͤnge deſſelben, wie viel Ellen er zum Kleide verlange: denn je ſch maͤler der Zeug, je mehr Ellen in der Laͤnge, und je breiter daſ⸗ ſelbe, je weniger Ellen, in der Laͤnge des Zeu⸗ ges, verlangt er. Wer einen Garten kaufen will, der verlangt nicht bloß die Laͤnge, ſondern auch die Breite deſſelben zu wiſſen ꝛc. Und, weil bey ſolcher Meſſung, wo nur lediglich auf den Um⸗ fang oder Inhalt einer Flaͤche geſehen wird, wporauf die Hoͤhe oder Dicke gar nicht in Be⸗ trachtung kommt; ſo wird ein ſolches Maaß ein Flaͤchenmaaß genannt. So wie aber eine Laͤnge, als Line betrachtet, auch nur mit einer Linie, die Ruthe, Elle, Fußꝛc. heißt, gemeſſen wird; ſo muͤßte man auch, um eine Flaͤche zu meſſen, ein Flaͤchenmaaß haben, d. i. Ein Maaß, welches eben ſo lang als breit waͤre. Man muͤßte eine Ru⸗ the, die nicht allein eine Ruthe lang ſondern auch eine Ruthe breit; eine Elle, die eine Elle lang und eben ſo breit waͤre ꝛc. Und eine ſol⸗ che Ruthe oder Elle, heißt eine gevierte⸗ oder Quadrat⸗Ruthe oder Elle. Abgekuͤrzt CI1 Ruthe, ◻ Elle ꝛc. Weil aber mit dergleichen Maaß ſehr beſchwerlich zu meſſen ſeyn wuͤrde; ſo braucht man eben daſſelbe Maaß, womit man blos Laͤngen mißt. Denn wenn ich eine Flaͤche ei⸗ nen Fuß lang und einen Fuß breit befinde: ſo ſage ich: der Flaͤcheninhalt iſt 1 Fuß; definde ich eine Flaͤche 2 Fuß lang, und 2 Fuß breit, ſo darf ich nur die Laͤnge und Breite multipliciren, ſo kommen 4 ◻ Fuß fuͤr den Inhalt der Flaͤche. Und daher iſt dieſe Meſſung mit Laͤngenmaaße eben dieſelbe, als wenn ich mit vorerwaͤhnten Die⸗ der Breite diel Clen er dergug, teiter kiſ⸗ ge des gu knufen uül, ondern alch dd, weil ley ſden Un⸗ ſehen witd, cht in Be⸗ Manß an lcfur tit ,gemeſſen zu Reſſen, belches eben eine Nu g ſondern „die eine deine ſol erte⸗ oder künt O hen Maaß ſo braucht mnan blos liche ei⸗ ſnde: ſO. eſude ih k, ſo larf ſeren, ſo Fläche. zmaaße taͤhnte Dit⸗ — man nebenſtehende Figur, welche ei⸗ Pr ⸗ ne Flaͤche vorſtellet, die 2 Fuß lang Die practiſche Rechenkunſt. 183 Dieſes deutlicher einzuſehen, betracht 1 2 und 2 Fuß breit iſt, ſo wird man — E3 4 vorhergehende Rechnung, von 4 U◻ Fuß, augenſcheinlich wahr befinden, und zwar eben ſo, als wenn ſie mit einem wirklichen AQuadrat⸗ maaße gemeſſen waͤre, welches, wie der Augenſchein lehret, juſt viermal auf dieſe Flaͤche gelegt wer⸗ den koͤnnte. S Eben ſo wird auch, wie neben⸗ 1 2 3 ſtiehende Figur, welche laͤnger als breit iſt, den Flaͤcheninhalt 1I 2 3 durch die Multiplication beſtim⸗ „4 5 6 . men. 3Z. E. Die beyſtehende de r Flaͤche iſt 3 Fuß lang und 2 Fuß breit, alſo 254 3 = 6 ◻Fuß. Hieraus nun folgt die— Regel: Um den OInhalt einer Flaͤche zu fin⸗ den, muß man das Maaß der Laͤnge, mit dem Maaße der Breite multipliceiren. 3) Da alle Koͤrper, nebſt der Laͤnge und Breite, auch eine Hoͤhe oder Dicke haben, und es oft im gemeinen Leben ſehr darauf ankommt, einen ſolchen koͤrperlichen Inhalt zu wiſſen, wenn z. E. der Preiß eines Balkens nach ſeiner Laͤnge, Breite und Dicke beſtimmt wird, ꝛc. So muͤßte man, unm Koͤrper zu meſſen, auch koͤrperliche Maaße ha⸗ ben. d. i. Man muͤßte eine Elle oder Fuß haben, welche die Geſtalt eines Wuͤrſels haͤtten; Fuß, welche 1 Fuß lang, 1 Fuß breit und 1 Fuß hoch 4 waͤren. Eben ſolche Ruthen, ſolche Ellen ꝛc⸗ Und eben der Geſtalt wegen, wird eine, ſolche Ruthe, eine Cubicruthe; ein ſolcher Fuß, ein Cubicfuß ꝛc. genannt. Weil aber mit ſolchem Maaße noch ſchlechter, als mit vorgedachten AQAuadrat⸗ maaßen, ja wohl gar unmoͤglich zu meſſen waͤre, ſo braucht man bey dergleichen Koͤrpermeſſungen ebenfalls das gewoͤhnliche Laͤngenmaaß. Z. E. Ein Koͤrper weicher 2 Fuß lang, 2 Fuß M 4 breit 184 Die practiſche Rechenkunſt. breit, und 2 Fuß hoch befunden wird, kann nach ſeinen koͤrperlichen Inhalte gleichfalls durch die multipli⸗ cation gefunden werden, wenn man naͤmlich deſſen Laͤnge und Breite mit ein⸗ ander multiplicirt, und das ge⸗ kommene Faétum mit der Hoͤ⸗ he des Koͤrpers, als 2 92 =& 4 2 — 8 Cubikfſuß. Man be⸗ trachte nebenſtehende Figur, well —† che ein Cubus, der 2 Fußlan 9. — 2 Fuß breit, und 2 hoch iſt; ſo wird man deutlich zwo Schichten Wuͤrfel auf einander ſtehend entdecken, wovon jede Schicht 4 Wuͤrfel enthaͤlt, deren jeder ei⸗ nen Fuß lang, einen Fuß breit und 1 Fuß dick iſt. Regel: Den koͤrperlichen Inhalt zu finden, multipli⸗ eire des Koͤrpers Laͤnge mit deſſen Breite, und das kommende Factum mit der Hoͤhe oder Dicke. 43) Wie viel Quadratmeilen enthaͤlt unſere Erde, deren Umfang auf 5400 Meilen, ihr Diameter, oder Diicke derſeiben auf 1720 Meilen gerechnet wird?*) Regel: Den Umfang einer jeden Kugel, mit dem Dia⸗ meter oder Dicke derſelben multiplicirt, giebt den Quadratinhalt derſelben. 44) Wie viele Cubicmeilen enthaͤlt unſere Erde? Regel: Man darf nur den Quadratinhalt einer je⸗ den Kugel mit den 6ten Theil ihres Diameters mul⸗ tipliciren, ſo kommt der koͤrperliche Inhalt derſelben. Man kann auch den Inhalt nochmals mit den gan⸗ zen Digmeter multipliciren und das Prod. mit 6 dis vidiren. 45⁵) *) Diameter, Durchmeſſer iſt die Laͤnaſte gerade Linie wel⸗ hee durch den Mittelpunet gezogen, auf beyden Seiten den Umkreiß einer Zirkelflaͤche beruͤhret, wie in beyſte⸗ heuder Figur die Linie a. 4 „ ( Gr Ein 6 Fuß i dder 46) Ein fl lerd An & Flie 100. gihenden Rrakfuß d Peil der Maaß 1 ſteſſen Sach BeW And Br ſe einen Den leßen. Bfume johl Bn Die hlieft, n Ban den Nten endit Und den folgſich ſich Fn nnechſeiten die muſtipi⸗ lich deſen Ve N ran deutlich Hentdecken, en ſeder ei⸗ dick iſt Mllleini⸗ , urd das e 1de, deren teter, oder wirb?*) de Dic⸗ gubt den ner ‚A4 eters mal⸗ tderſelten. it dengan⸗ h i dir 40 rie u ele Geit ten it lee die practiſche Rechenkunſt. 185 4 5) Ein Garten haͤlt 536 Ellen in der Laͤnge “ 210 Fuß in der Breite. Wie groß iſt der Slacheninhalt ? oder wie viel ◻ Fuß enthaͤlt er? Solutio. 2 3 6 Ellen a 2 Fuß — 107 2 Fuß lang 2 1 0 breit Ec. 4) Ein Hofplatz der 45 Fuß lang und 48 Fuß brettiſt ſoll mit Flieſen à Fuß lang und 1 Fuß breit, d. i. die 1 ◻ Fuß groß ſind, belegt werden. Wie viel werden Flieſen erfodert. Anm. Eo viel C Fuß Flaͤch⸗ninhalt, ſo viel Flieſen, weil jede . lieſe einen Quadratfuß groß iſt. S. 190. Ob ſich gleich bey Fragen, wie in der vorher⸗ gehenden 46ten Aufgabe, ſchließen laͤßt: So viel Qua⸗ dratfuß die Flaͤche enthaͤlt, ſo viel Steine gebraucht man. Weil der Stein, eines Dfußes groß, zugleich das Maaß iſt, womit die Flaͤche nach Fußen ge⸗ meſſen werden konnte; ſo laͤßt ſich doch derſelbe Schluß nicht anbringen, bey einer naͤmlichen Frage: HD Wie viel Baͤume braucht man, eine ebenfalls nach Laͤnge und Breite beſtimmte Flaͤche damit zu beſetzen, wenn ſie einen Fuß weit von einander ſtehen? Denn wollte ich hier ebenfalls, wie vorher geſchehen, ſchließen: ſo viel Fuß die Flaͤche enthaͤlt, ſo viel Haͤume muß ich haben; ſo wuͤrde ich eine merkliche An⸗ zahl Baͤume zu wenig beſtimmen. Die Urſache iſt dieſe: weil ich auf der Linie, welche die Graͤnze des mit Baͤumen zu beſetzenden Platzes um⸗ ſchließt, gleichfalls Baͤume ſetzen kann, und alſo den er⸗ ſten Baum da, wo ich die Laͤnge anfange zu meſſen, den zten aber da, wo das Maaß des erſten Fußes ſich endigt; mithin auf den erſten Fuß ſchon 2 Baͤume, und dann ferner fuͤr jeden folgenden Fuß einen Baum⸗ folglich auf die ganze Laͤnge einen Baum mehr, als wirk⸗ ſich Fuße gemeſſen worden, zu ſetzen habe. Eben ſo ver⸗ M hiulaaͤlt 186 Die peaetiſche Rechenkanſt. lich einzuſehen, betrachte man nebenſtehende Fi⸗ gur, welche einen gegebenen Platz, 2 Fuß l. und 2 Fuß br. vorſtellt. Wollte man nun o— %— ₰ nach dem Flaͤchen⸗Inhalt die Anzahl Baͤume beſtim⸗ men, ſo wuͤrden nur 4 Baͤume erfordert, denn 2 b4 2 = 4; da doch der Augenſchein zeiget, daß, nach Anzahl der Puncte, 9 Baͤume erfordert wuͤrden. Hieraus folgt nun die Regel: Soll einnach Fuß gemeſſener Platz mit Baͤumen, eines Fußes weit von einander, beſetzt werden, ſo wird ſo wohl fuͤr die Laͤn⸗ ge, als fuͤr die Breite des Platzes, ein Fuß mehr gerechnet. Z. E. fuͤr einen Platz der 2 Fuß lang und 2 Fuß breit iſt, nimm 3 Fuß lang und 3 Fuß breit, u. ſ. f. bey allen aͤhnlichen Faͤllen. 47) En Gaͤrtner will auf einem Gartenlande, das 356 Fuß lang und 225 Fuß breit iſt, eine Baumſchule anlegen, ſo, daß die Baͤume derſelben einen Fuß weit von einander ſtehen ſollen. Wie viel Baͤume muß er haben? 48) Vier Handwerksburſche A, B, C und D, ſind 24 Ta⸗ ge auf der Wanderſchaft geweſen. Wenn nun A taͤglich 6, B 5, CA4 und D 3 Meilen gewandert. Wie viel Meilen wuͤrden ſie zuſammen gemacht ha⸗ ben? Addire A Bα CP D, ſo kommen die taͤglichen Meilen ꝛc. HM 49) Ein Holzhaͤndler verhandelt 48 Balken, deren jeder 20 Fuß lang, 1 Fuß breit, und ein Fuß dick iſt. Wie viel Kubikfuß ſinds?? 4 Anm. Weil hier jeder Fuß Holz ein Kubikfuß, alſs das wirkliche Maaß, womit gemeſſen werden ſoll, iſt, ſo ſchließ wie bey der 46 Aufgabe. 390) Ein Zimmermann kauft 36 Schwellen à 21 Fuß lang, 2 Fuß ins Gevierte dick. Wie viel Kubikfuß? (§. 189. 3, & Reg.) haͤlt es ſich auch mit der Breite. Dieß deut⸗ „— ‧— * d he, 4 eieet o nch i Vai Giiten ht na 25 duß 4 iſeid in eines ne n in, Aage . k0— 9= 0—0— 0— 0— 3 tume beſin denn 2 2 nach Anphl eraus ſigt net Pleh einandet, die Lin⸗ ein Fuß 2 Zug lang Srai, du 336 Hautmſchule einen Fuß el Beume d 24 TO nn nun 4 eondett. macht ha⸗ tihichen ten jedet dictiſ. 1ſs das ,it, 6 l bikfu⸗ go⸗ Laͤnge der aneinanderhaͤngenden 4¼ ſeitigen Wand, r 6 Die praetiſche Rechenkunſt. 187 Solutio. 2 1 Fuß lang 2 Fuß breit —¶ 4 2 22 2 Fuß dick R 8 4 Kubikfuß eine Schwelle ꝛc. 1) Ein Mauermeiſter ſoll eine Mauer auffuͤhren, wenn nun derſelbe 200 Mauerſteine, der Laͤnge nach genommen, lang, 12 Steine, der Breite nach genommen, breit; 64 Steine, der Dicke nach genommen, hoch ſeyn ſoll, wie viel Steine wer⸗ den darzu erfordert? JMV1 B Anm. Weil hier nur blos der Stein in ſeiner unbe⸗ ſtimmten Laͤnge, Breite und Dicke gegeben worden, ſo kann auch jeder Stein, er ſey ſo groß oder klein er wolle, als eine Unitaͤt des Koͤrpermaaßes angeſehn, und derohalben, nach den bloſſen angegebenen Zaßlen, die Anzahl Steine gefunden werden. 52) Ein Mahler ſoll 4 gleich große Zimmer malen, D wenn nun jedes Zimmer 28 Fuß lang, 20 Fuß breit unnd 10 Fuß hoch iſt, und er fuͤr jeden Fuß 1 mg verlangt. Wie viel wird der Eigenthumer der Zim⸗ mer zu bezahlen haben? W l W Solutio.. Weil jedes Zimmer 4 28 Fuß lang Seiten gleicher Hoͤhe P 20 Fuß breit at, naͤmlich 2 Laͤngen ——ee 33 Fuß, und 2 Breiten 4 duß dangeſint hate à 20 Fuß, ſo koͤnnen — — er Dieſe 2 Laͤngen und 2 Brei⸗ 96 Fuß lang das ganze ten eines Zimmers als ei⸗ 10 hoch Zimmer ne Laͤnge gerechnet wer 960 Inhalt eines den, zu welcher die Hoͤ⸗ he, als Breite betrach — — — tet werden kann. Dem⸗ Fac. 3340 mH nach iſt 28 F. l. ☚ 20 F. br. = 48 b2 = 96 als 4 Zimmers fuͤr 188 Die practiſche Rechenkunſt. fuͤr ein Zimmer; da nun, um den Quadratinhalt zu finden, die Hoͤhe fuͤr die Breite genommen werden muß: ſo iſt 10 α96= 960 der Inhalt eines Zimmers. Die⸗ ſen fuͤr 4 Zimmer, 4 —960 = 3840 Fuß: weil nun je⸗ der QFuß = 1 M zu malen koſtet, ſo muͤſſen die Uni⸗ taͤten des Products, ihren Namen Fuß, in Mark verwandeln. 53) Ein Steinhauer kanft 12 Werkſtuͤcke à 6 Fuß lang, 4 Fuß breit, und 1 Fuß dick; 8 dito, à 5 Fuß lang, 1 Fuß ins gevierte dick; und § dito, à 4 Fuß lang, 4 Fuß breit, und 2 Fuß dick. Wie viel Kubickfuß hat er zu bezahlen? . Wink zur Solutio: 1) 6 4 1 α12. 2) 5 Wαπ1α α. 3) 4 % 4 %2 °5J5. Endlich 1) P+2) P 3) = der Summa. (§. 189. 3, n bſt Regel.) “ 54) Ein Amtmunn laͤßt auf ſeine Wieſen, zu Ableitung des uͤberfluͤßigen Waſſers, 3 Graben ziehen, deren jeder 930 Fuß lang, 4 Fuß breit und 3 Fuß tief ſeyn ſoll. Wenn er nun den Arbeitern, ihren Fleiß zu befoͤrdern, den Xoten Theil ſo viel Schillinge, als ſie Kubikfuß gegraben, verſpraͤche: wie viel Schillinge? B “ 55) Ein Makler ſoll einen Haufen Mauerſteine, 52 Fuß lang, 8 Fuß breit, und 9 Fuß hoch, taxiren, wie viel er Mauerſteine enthalte? Wenn er nun zu die⸗ ſem Ende, einen Kubikfuß dieſer Steine zuſammen ſetzt, und beſindet: daß derſelbe 36 Steine enthaͤlt. „Wie viel wird der ganze Haufen enthalten? Wink: 52 α 94 b4 36. 56) Ein Holzhaͤndler erhandelt eine Parthey Bretter, die 14 Fuß lang, 2 Fuß breit, und 2 Zoll dick ſind, nach Kubikfuß zu bezahlen. Wenn nun dieſe Bretter dergeſtalt ſchichtweiſe aufeinander gelegt worden, ſo daß 60 Bretter eine Schicht ausmachen, und ſolcher Schichten 5 neben einander liegen: Wie viel Kubik⸗ ſfuß enthalten dieſe Bretter? Solutio. 6Bretter⸗ 5 Auf Mu le N Zahſen, Mmaohll uch derſ iſtehet, Reſen leine Multin Ort, dorbreit 66 Pern zil Der lein zu Re ſucht, . t iu fndet, beden muß: mmers. Die⸗ weil nunſe⸗ en die Uni⸗ , in Mart 6 Fuß lan, 5Fuß lang, 4 Fuß long Kubickfuß 12. Ableitung ehen, deren uß tiefſeyn hren Hleiß Schillinge, vie viel ,5 fiß riten, wie nun zu Me⸗ Zuſatmnen nrenthit. 4 4* etnn dit ſt, hech Brettet orden, „ ind ſolcher ie Kutit oletio⸗ R Die practiſche Rechenkunſt. 189 Solutio. 6 Bretter a2 Zoll dick = 1 Fuß hoch Ergo 60 Bretter = 10 Fuß hoch 5 Bretter breit a 2 Juß = 10 Fuß breit —Rr 100 Kuß Nun jedes Brett laan 14 Suß Feac. 1400 Kubikfuß §. Aufgaben, wo groͤßere Sorten von Muͤnzen, Maaßen und Gewichten, durch die Multi⸗ plication zu kleinern Sorten gemacht, oder unter einen Namen gebracht werden ſolen. §. 191. Weil bey der Diviſion, in benamten ganzen Zahlen, der Diviſor oft zu groß, um eine zu kleine Anzahl Unitaͤten groͤßerer Sorten theilen zu koͤnnen; oder auch derſelbe ſeibſt aus m anch erley Sorten von Unitaͤten beſtehet, weshalben er zum theilen ungeſchickt: ſo iſts in dieſen Faͤllen noͤthig, daß man die groͤßern Sorten zu kleineren mache. Und da dieſes allezeit durch die Multiplication bewirket werden muß; ſo iſt eben hier der Ort, wo man ſich zu dergleichen Sortenverwandelungen vorbreiten muß. Es ſind alſo der Faͤlle, große Sorten zu klei⸗ gern zu machen, zweyerley. Der 1ſte Fall iſt: Wo man große Sorten al⸗ lein zu kleinere, oder zu den kleinſten Sorten, z. E. RE zu ſs, oder Schilling zu O; oder auch Re, zu Q macht, u. ſ. w. Dieß aber geſchieht, wenn ich mit der Anzahl Unitaͤten kleinerer Sorten, welche in einer Unitaͤt der groͤßern Sorte enthalten, die groͤßern Sor⸗ ten multiplicire d. i. die Re mit 48, die Schillinge mit 12 multiplicire, wodurch das erſte Product lauter ſo, das letzte lauter Pfennige giebt. Man kann auch die RK auf einmal mit 576 zu Pfennige machen. D Der 4 190 Die peactiſche Rechenkunſt. Der ꝛte Fall iſt: wo manmancher ley, naͤmlich große und kleinere Sorten zu einerley Sorten machen, oder unter einen Namen bringen muß. Z. E. Man ſoll mS, ſs und & unter einen Namen bringen. u. ſ. f. Dieß geſchiehet: wenn ich 1) die vor⸗ handenen a mit 16 vermehre, und zu dem Producte die nebenſtehenden Schillinge thue; ſo giebt daſſelbe — Prod. lauter Schillinge. Dieſes abermal mit 12 mul⸗ tiplicirt und die nebenſtehenden Pfennige darzu ad⸗ dirt, ſo beſteht daſſelbe Product aus lauter Pfennigen. Eben ſo macht man es mit allen moͤglichen Muͤnzen, Maaßen und Gewichten. Und wenn man nur weiß, wie viel der Unitaͤten kleinerer Sorten zu einer Unitaͤt groͤßerer Sorte gehoͤren, z. E. wie viel Lt das Sit; wie viel ſpß das Lp; wie viel Loth das tb u. ſ. f. habe? als wozu die am Ende beſindlichen Reſolvirungstabellen die gehoͤrige Auskunft geben: ſo kann es mit dergleichen Sortenverwandlun⸗ gen gar keine Schwierigkeiten geben. 77) Man ſoll 846 Ré6 zu Schillinge machen. Solutio. 8 4 6 R&£ a 4 8ů̈ſs 6 7 6 8 3 3 8 4 Fac. 4 O 6 0⅓ ſs Bew. Es iſt hier geſchloſſen worden: Wenn jeder RE den Werth von 48 ſß enthaͤlt d. i. wenn 1 RE = 1 26 48 ſs: ſo muͤſſen auch 846 R gleich ſeyn: 846 % 48 ſos. Weil nun 48 b 846 = 846 b2– 48, G. 109. Reg. 4.) ſo iſt hier die gegebene Anzahl Re⸗ mit 48 multiplicirt, (H. 185. Zuſ. I. Anm.) und alſo fuͤr jeden Re der beſtimmte Werth von 48 fs. in die Summe gebracht worden; mithin iſt die Sum⸗ me wirklich 48 mal ſo groß, als der Multiplicandus: folglich muß auch dieſes Facit alle Schillinge ent hal⸗ ten, welche dem Werthe von allen gegebenen Thalern voͤllig noͤlig verla Dea und H Gnige; u erſt Giling ſehenden Schillin Del ab ſenen, Pfunni die ic das kor velche . inlichgroße nachen, ober n Nanen 1) die den⸗ emn Producte iebt daſſelbe mit 1u mul⸗ dartzu ad⸗ feunigen. en Mlnzen, ur weiß, orten zu 6 geh̃ ren, das ſt; am Ende Mskonft etwandlun nn jeder m 1 RE. ud ſemn: ri NRE ) und n 49 6 e Eunm. cändst: r enthe⸗ Thten elis Die practiſche Rechenkunſt. 191 vöſig gleich; derohalben iſt auch geſchehen, was verlangt worden. 58) Wie viel Pfennige haben 964 Ré: 7 (964 476) 59) Wie viel Spinte enthalten 236 Laſt Erbſen? 60) 860 Laſt Gerſten: Wie viel Himten? 61) Wie viel Stuͤbchen enthalten 205 Fuder Wein? 62) Wie viel Ausſaat braucht ein Landmann zu 96 Mor⸗ gen Landes? 63) Wie viel Acker enthalten 4⁵0 Hufen? 64) Wie viel Ellen enthalten 46 Meilen? 65) Wie viel Minuten gehoͤren zu 100 Jahren? 66) Wie viel Minuten in 48 Wochen? 67) Man ſoll 48 Groß Tauſend zu Stuͤck machen. 68) Wie viel Stuͤck betragen 36 Ringe? 69) 35 Ballen Druckpapier, wie viel Bogen? 7°) Man ſoll 495 M 13 ſs 4 & unter einen Namen bringen. Solutio. , 64 „ £ „ 0ο N— 9 9 7 0 9 3 3 5 8 6 6 Fac. 9 5 2 O% Da in dieſer Aufgabe dreyerley Sorten, a als ma ſ und & vorkommen, ſo kann, der gethanen Forderung Grnuͤge zu leiſten, nicht anders verfahren werden, als daß man erſtlich die vorhandenen Mark mit 16, als ſo viel Schillinge der Mark hat, multipliciret, und die neben⸗ ſtehenden 13 ſs darzu addiret, welches ein Faétum aller Schillinge, die in 495 13 enthalten ſind, giebt. Weil aber im Multiplicando auch noch Pfennige vor⸗ handen, ſo muͤſſen daher die Schillinge auch noch zu Pfennige gemacht, das iſt: mit 12 multiplicirt, auch die nebenſtehenden 4 & darzu addirt werden, da dann das kommende Product die voͤllige Anzahl Pfennige, welche in den aus 3 Sorten beſtehenden Multiplicandum dendlich, enthaͤlt. Bew. 192 Die practiſche Rechenkunſt. Bew. Weil ein jeder m 16 fs enthaͤlt, ſo ſind auch 16 α 495 P+ 13 = 7933 fſ. Und weil ein jeder Schilling 12 enthaͤlt, ſo ſind auch 12 ½ 7933 P+ = 95200 mithin iſt auch dieſe gefundene Anzahl Pfennige den gegebenen 495 13 ſ§ 4 G ſelbſt gleich: folglich hat es mit der Aufloͤſung dieſ er Auß gabe ſeine voͤllige Richtigkeit. 71) Wi⸗ viel Pfennige ſind 3478 R 9 & (auf einmal 72) W viel Schwaren enthalten, 5463 Thlr. 56 Grot. 4 Schw.? 73) Prache 488 Lſterl. 6 ſoſterl. 4. Kſterl. zu Kferl. 74) Mache 8764 Lſterl. zu ſ̈ Banko. 75) Wie viel & ſind 986 Thlr. 23 W0.1892 76) Mache 403 Louisd'ors 3 Thlr. 23 20 zu Groſchen, 35§ Thlr. den Louisd'or.) 77) Wie viel Scherfe, in Berlin, ſind: 4410 Thlr. 22 111 Haͤll. 1 Scherf? 79) Wie viel Schwaren, in Bremen, ſind: 565 Thlr. 4 Schwaren? 79) 532 Laſt 8 Scheffel 1 Faß 1 Himt, 2 Spint Weizen, wie viel Spint? 80) Bringe unter einen Namen: 564 Wiſpei 6 Scheffel 2 Himt 1 Spint Erbſen; 81) 673 Stock 2 Wiſpel 4 Scheffel a Faß Gerſten wie viel Spint? 82) 96 Laſt 19 Scheffel 2 Faß Haber: wie viel Him⸗ ten? 83) 560 Wiſpel 9 Scheffel 1 Faß 1 Himt 2 Spint Ha⸗ ber: wie viel Spint? 84) Wie viel Stuͤbchen Wein enthalten 210 Fuder 4 Ahm 9 Stuͤbchen. 35) Wie viel Oeſſel: 96 Oxhoft 4 Anker 4 Viertel 1 Stuͤbchen 1 Quartier 1 Oeſſel? 86) Wie viel Minuten gehoͤren zu 86 Jahren 7 Monatk 23 Tagen 23 Stunden? 87) Ein Fruchthaͤndler kauft 96 Groß Tauſend 8 Groß Hundert 4 Steige Nuͤſe: wie viel Stuͤck kuds e 88) 89) En G atat ſnds? 39) Wie Siibe (. Aufa Uan mit 2, laſſen, zu faͤnget der weiter, al daß ſe erſ ſciedenen Art, Wien Aufzaben denen Un Nultiplie Mo ſ . ſ̃ ſn⸗ aulch veil ein jeder Ang . dene AMahl 14 ſͤſt N dieſer Auf⸗ (auf ennal t. 56 Grot. 4 e. , Groſchen, Dhr⸗ 2 Spint 16 Sheffel is Getſten viel Hin ein d 110 F1d ,Vertel 1 17 Matn nd Gnf 7 ſindt/ . 88 5 Die practiſche Rechenkunnt. 193 28) Ein Goldſchmidt verarbeitet im Jahre 20 Mark 23 Karat 3 Gran 2 Graͤn Gold. Wie viel Graͤn ſinds? 89) Wie viel enthalten 108 Mark 15 Loth 2 Quentin Silber an 2 Z 6. Aufgaben, wo unterſchiedene Sorten von Urntitaͤten mit 2, 3 und mehr Ziffern zu multipliciren vorkommen. §S.192. Wenn unterſchiedene Sorten von Unitaͤten, mit 2, 3 oder mehr Ziffern, welche ſich nicht zerfaͤllen laſſen, zu vermehren aufgegeben worden: ſo koͤnnen An⸗ faͤnger der Arithmetik, welche in ihrer Kunſt noch nicht weiter, als bis hieher gekommen, nicht beſſer thun, als daß ſte erſt alle im Multiplicando vorkommenden ver⸗ ſchiedenen Sorten unter einen Namen bringen, auf die Art, wie im vorhergehenden §. und den darauf folgenden Aufgaben gelehret worden, und ſodann dieſe alſo gefun⸗ denen Unitaͤten der kleinſten Sorte mit dem gegebenen Multiplicatore, wie verlanget worden, multipliciren. Z. E. Man ſoll 36 Thlr. 12 90 3 & mit 23 multipliciren. Hr Solutio. M 1356 r10515 4½ 31545 21030 194 Die practiſche Rechenkunſt. dieſer Pfennige dem Multiplicando voͤllig gleich, ſo iſt es auch einerley, ob ich den Multi- plicand. nach ſeinen verſchiedenen Sorten, oder N die denſelben voͤllig gleichkommende Summe von Pfennigen, 23 mal nehme. Ergo muß es mit dem gekommenen Facit ſeine voͤllige Richtigkeit haben. Anm. Wie die Pf. wieder zu Thaler zu machen, ſoll an ſei⸗ nenm Orte gelehret werden. 9⁰) Abraham hat 26mal 5 Mark 13 Loth 2 Quentin alt Silber gekauft. Wie viel Quentin ſinds? 91) Ein Kaufmann verſendet 96 Partheyen Waaren, je⸗ de zu 36 Schifft 18 Lf 13 f. Wie viel ſt ſind es? ðèð 92) Ein Papiermuͤller verkauft im Jahre 206 mal 85 Ballen 9 Rieß 18 Buch Schreibpapier. Wie viel Bogen? 93) Ein Handſchumacher hat 85 mal 84 Zimmer 3 Dech. 9 Stuͤck Kalbfaͤlle gekauft. Wie viel Stuͤck ſinds?s . 94) Ein Kaufmann verkauft 35 Partheyen Caffee à 13 Sſt 19 2ſ 13 tb. Wie viel ſt? 95⁵) 235 mal 127 Lvl. 18 ſs vl. gglvel. Wie viel Grot? 96) 99 ₰α 12 Schifſt 8 Stein 4 k Federn, wie viel ſp? 97) Ein Buchdrucker hat 10 Buͤcher zu drucken, und braucht zu jedem Buche 4 Ballen 3 Ries 10 Buch 15 Bogen Druckpapier. Ueberdem noch 15 Rieß 8 Buch 22 Bogen fuͤr die Subſcribenten; wie viel Bogen hat er gedruckt? Anm. Da in dieſer und folgenden 3 Aufgaben zuletzt alle Sorten unter einen Namen gebracht werden muͤſſen, ſo iſt es nicht noͤthig, die bey den vorhergehenden Multi⸗ plikationen entſtandenen Facta erſt durch die Diviſion in ihre gehoͤrigen Corten zu verwandeln. L 98) Beweis: Es ſind die im Multiplicando befindlichen 3,6 AThlr. 12 03 & unter einen Namen gebracht und zu lauter gemacht worden. Da nun die SLumme 99) Gne⸗ 24 alt; Vate Wie 99) Von. kulft t al Ner Deſſ 100) V Sch Wn und Il Sud Wmüberd d hervor: einer P heben; ſe Cinkanſpr den ſodant ren ſie an nern Ne ſiner Bu genomm N, und id vbas Semes Dem ſeigt der . efntſchen 46 en gebracht ndie Eunmme nbo villig den Malti- orten, Rer. Gumme von es mitdem keit haben. , ſel on ſei⸗ 2 Queniin ſade Wooren, j’i Wie viel 2obmal 85 1. Vie viel D E Seh Cife 113 wiel Grot? tenie b? nicn, und 1410 D 15 NeS zi⸗ e viel tlet 4 Die praetiſche Rechenkunſt. 195 9³) Eines Vaters juͤngſter Sohn war 2 Jahr, 5 Monat, 24 Tage 7. Stunden, 24 Minuten, 50 Geanden alt; ſein aͤlteſter Sohn noch 3 mal fſo alt; und der Vater ſelbſt noch 6 mal aͤlter als ſein aͤlteſter Sohn. Wie viel Secunden haben ſie ſaͤmtlich gelebt. 99) Von 4 We inhaͤndlern, hat der erſte an Wein ver⸗ kauft: 3 Fuber 4 Ahm, 2 Anker 3 Viertel 1 — Sltuͤbchen 2 Quartier 1 Oeſſel. Der nte noch ein⸗ mal ſo viel. Der zte noch ꝛ mal ſo viel als der 2te. Der 4te noch 3 mal ſo viel als der 3te. Wit viel Oeſſel haben ſie ſaͤmtlich verkauſt? xo) Wenn A in Bremen 3435 Thlr. 63 Groten ag Schwaren geerbt, und noch 4 mai ſo viel darzu ge⸗ winnt. B aber noch 4 mal ſo viel erbt, als A geerbt und gewonnen: Wie viel Schwaren haben beyde in einer Summe geerbt und gewonnen? 7 . II. Subtrattio im benamten ganzen Zahlen. 4 §S. 193. Der Gebrauch dieſer Species thut ſich im ge⸗ meinem Leben vielfaͤltig, beſonders aber bey Kaufleuten hervor: denn wenn dieſe wiſſen wollen, wie viel ſie an einer Parthey Waaren gewonnen oder verlohren haben; ſo ziehen ſie, im erſten Falle, den kleinern Einkauſpreis von dem groͤßern Verkaufpreis ab, und fin⸗ den ſodann im Reſte den Gewinn. Dahingegen er fah⸗ ren ſie auf dieſelbe Art den Verluſt, wenn ſie den klei⸗ nern Verkaufpreis vom groͤßern Einkaufpreis abzie⸗ hen. Will der Kaufmann beym jaͤhrlichen Abſchluſſe ſeiner Buͤcher wiſſen, ob ſein Vermoͤgen zu oder ab⸗ genommen habe: ſo ſummirt er ſo wohl ſeine Einnah⸗ me, und was dahin gehoͤrt; als auch ſeine Ausgabe und was dahin gehoͤrt, und ziehet ſodann die kleinere Summe von den groͤßern ab, da ihm der Reſt unfehl⸗ bare Nachricht, von dem was er zu wiſſen verlangt, giebt. Denn giebt die Einnahme den Minuendum, ſo zeigt der Reſt den Gewinn; muß aber der Minuen- 196 Die ractiſche Rechenkunſt. dus die Ausgabe vorſtellen, ſo zeigt der Reſt den Ver⸗ luſt an. — §. 194. Bey Aufgaben, wo der Minuendus ſo wohl als der Subtrahendus nur eine Sorte be⸗ namte Einheiten enthaͤlt, iſt nicht der geringſte Un⸗ terſchied zwiſchen dieſer benamten und jener ſchon er⸗ lernten unbenamten Subtraétion. Denn es iſt voͤl⸗ lig einerley: ob ich. von 285 ¾ oder von ezr⸗ iſt der un⸗ Inbtrahire 120 ſubtrah. 120 benam te Reſt 163 dem benamt. Reſt 163 163 m voͤllig gleich. B Zuſatz: Daher ſind alle unbenamte Subtractions⸗ aufgaben ſogleich in benamte Subtractionsaufgaben verwandelt, ſo bald man den Unitaͤten derſelben Na⸗ men beyfuͤget. 1. Aufgaben, wo der Minucndus in allen Sorten von Einheiten groͤßer iſt als der Subtrahendus. §. 195. Sind die Zahlen des Minuendi; nach ihren verſchiedenen Sorten, alle groͤßer, als die des Subtrahendi nach ihren verſchiednen Sorten, ſo iſt auch bey dergleichen Aufgaben, in Anſehung der ſchon bekann⸗ ten Berechnung, kein Unterſchied. Denn wenn man nur darauf Acht hat, daß alle Sorten in gehoͤriger Ordnung, und nach ihrer natuͤrlichen Folge unter einander ge⸗ ſetzt werden. D. i. Die Thaler unter Thaler, die Groſchen unter Groſchen, die Pfennige unter Pfennige; und ſo bey allen Sorten, von welcher Art ſie immer ſeyn moͤgen; ſo darf man nur Sorte von Sorte, auf ſchon bekannte Art abziehen, und ſodann den Reſt jeder Sorte den gehoͤrigen Namen beyfuͤgen. Z. E. 1) Man ſoll 4305 Thlr. 19. 1 10 von 5141 Thlr. 21 20 11 O ſubtrahiren. Solutio. 5141 Thlr. 21 11 Minuend. 4. 3 O0.5 ⸗ 1I.9 10 . Subtrah. Reſt 836 Thlr. 2 % 1 £D Erſt⸗ ſt den Ver⸗ nuendus ſo Gortte he⸗ † gerinoſte n⸗ ner ſchon er⸗ in ts iſ vol⸗ iſt daun⸗ lig geich. uhcrations⸗ onsaufgoben 4 ſelen M⸗ in olen 41 der ndi, tich l die des ſ iſ ich hon beknn⸗ nin man nur 1 Ordnung, ander ge⸗ rle, die Ponnige; ſe imme Sorte, in Reſjeder 141 Thlr⸗ 1d. Erſe⸗ 7 Die practiſche Rechenkunſt. 197 Erſtlich ſind 10 & von 11 abgezogen, und der Reſt 1 an ſeine Stelle geſetzt. Eben ſo ſind auch 19 gr. von 21 gr. abgezogen, und der Reſt 2 gr. an ſei⸗ ne Stelle geſetzt. Endlich auch 4305 Thlr. von 5141 Thlr. ſubtrahiret und d. Reſt an ſeine Stelle geſetzet, und hiermit die ganze Subtraction geendigt worden. DMVM Proba. Reſt 836 Thlr. 2 ℳ% 1 & + 430 5 ‧ 19 10 ⸗ Subtrah. Summa 5141 Thlr. 21 W°. 11I O Minuendus. 2) Auguſt hat in Caſſa 7823 M 15 ſs8 6 H&, und giebt davon aus 5202 M8 12 ſs 3 O wie viel behaͤlt er in Caſſa? 2) Bernhard kauft 85 Laſt 25 Scheffel 3 Himten 3 Spint Waizen, und verkauft davon wieder 36 Laſt 24 Scheffel 2 Himten 1 Spint. Wie viel bleibt ihm uͤbrig? 4) Carl verkauft, von 56 Groß Tauſend 9 Groß Hundert, 5 Stiege 18 Stuͤck Nuͤſſe, 45 Groß Tauſend 8 Groß Hundert 4 Stiege 16 Nuͤſſe. Wie viel bleibt ihm pro Reſto? . 5) Ein Weisgerber verſertigt 96 Zimmer 3 Dech. 6 Stuͤck Kalbfelle, und verhandelt davon an einen Beutler: 36 Zimmer 2 Dech. 5 Stuͤck. Wie viel bleiben unverkauft? ð 6) Ein Knopfmacher verfertigt 436 Groß 11 Dutzt 10 Stuͤck große und kleine Knoͤpfe; verhandelt davon an einen Galanteriehaͤndler: 236 Groß 11 Dutzt 10 Stuͤck. Wie viel behaͤlt er? Solutio. 436 Gr. 11 Dutzt 10 Stuͤck 236 II ⸗ 10 Stück . Reſt 200 Gr. — Dutzt — Stuͤck Anm. Wenn, wie hier, bey einigen Sorten nichts uͤbrig bleibt, ſo werden dennoch, blos der Ordnung wegen, die Zeichen der Namen in dem Reſte bemerkt, die ſehlenden Zahlen der Sorten aber mit — bezeichnet, ſo wie der Augenſchein zeiget. N 3 3) 2 1 298 Die practiſche Rechenkunſtt. 7) Ein Goldſchmidt kauft 36 Mark 23 Karat 3 Gran 2 Bihe nn Graͤn Gold; und verarbeitet davon 24 Mark 23 Karat 1 Gr. 2 Gr. Wie viel behaͤlt er uͤbrig? 3³) Salomon giebt, von 96 Mark 15 Loth 3 Quentin 3 Silber, an einen Silberarbeiter, zu Verfertigung Loth 3 Quentin verſchiedener Gefaße, 46 Mark 15 2 W Wie viel bleibt unverarbeitet? 2. Aufgaben, wo einige Sorten des Subtra- hendi groͤßer ſind, als einige des Minuendi. §. 196. Nachdem die Aufgabe gehoͤrig aufgeſetzt, und die Zahlen, der Sorten des Subtrahendi, nachher groͤßer befunden worden, als die, des Minuendi: ſo muß man ſeine Zuflucht eben ſo, wie bey der Subtract. in un be⸗ namten Zahlen gelehrt worden, zum Borgen nehmen. (§. 137.) Hier aber iſt es eben, wo die Subtraction in benamten Zahlen, beſonders des Bo rgens wegen, von der Subtract, in undenamten Zahlen abweicht: Und ob gleich die geborgte Unitaͤt, von nebenſtehender Ziffer derſelben Sorte, in Abſicht der Za hlſtelle, ebenfalls fuͤr 10 gerechnet wird, (F. 137.) ſo verhaͤlt ſichs doch ganz anders, wenn man nicht bey den Zahlen derſelben Sorte, ſondern bey Zahlen der benachbarten Sorte, borgen muß. Denn da kann die geborgte Unitaͤt nicht 10; ſondern ſie muß allemal ſo viel kleine Unitaͤten derſelben Sorte, um welcher Willen geborget worden, gelten, als die ge⸗ borgte Unitaͤt kleinere Unitaͤten enthaͤlt. Z. E. Wenn man 9 & von 8 H nicht abziehen koͤnnte: ſo muͤßte des wegen bey der naͤchſten Sorte, bey den Schillingen ge⸗ borgt werden: dieſe geborgte Unitaͤt aber, welche 1ſs iſt, enthaͤlt 12 Unitaͤten derſelben Sorte: um wel⸗ cher willen geborgt worden, d. i. 12 J. Von dieſen 12 & koͤnnten nun 9 Habgezogen, und zu dem Reſte 3 Q, die 3 O., von welchen vorher 9 O nicht abgezogen werden vonunten, darzu addirt werden, ſo waͤre der Reſt = 11 K. Wuͤrde Polen, ſo ſben ale n moͤgen 3 EC. 9) Mand 8334 Rek Wul! len, wode 3 Get ſ 16 gen, Ne N— des heke Bewe 1 48 auch Dar ſo di dure Verl hob n K t3 Gin 2. unk 2) Krat 3uentin 3 ekfettigung 13 Qulin 6 Fubtra⸗ des geſeßt, und Shergtöer muß man i vobe⸗ en nehmen. ttaction in egen, von cht: UAnd nder Zifer , cbenſal doch ganz er ſelben chbarten geborgtt ſo viel pbelcher die ge⸗ ſo nißte, lingen ge⸗ he 16 m wel⸗ ſeſen 12 werden zuI Wirdt Die practiſche Rechenkunſt. 1999 Waͤrde man, der Schillinge wegen, bey den Thalern borgen, ſo wuͤrde die geborgte Unitaͤt = 48 ſs ſeyn, u. ſ. f. bey allen vorkommenden Sorten, welcher Art ſie auch ſeyn moͤgen. Ein Exempel wird die Sache klaͤrer machen. 3. E. 9) Man ſoll von 9445 R6 36 ( 6 Pf. abziehen: 8556 Rb. 47 ſ 9 . Was bieibt pro Reſto? Solutio. 9445 R6 36 ſ 6 § 8.5.5.6. ⸗ 47. ⸗ 9 ⸗ Reſt: 888 RE 36 ſs 9 ₰ L Weil hier 9 & von 6 nicht abgezogen werden koͤn⸗ nen, ſo iſt bey naͤchſtfolgender Sorte 1 ſs geborget worden: dieſer ſy enthaͤlt 12 , davon 9 &, bleibt 3 + 6 9 . Da nun die 47 ſo, wegen den Geborgten, fuͤr 48 ſs gerechnet werden muͤſſen, o koͤnnen dieſelben von 36 ſß ebenfalls nicht abgezo⸗ gen, ſondern es muß bey nebenſtehender Sorte Xx Rer geborgt werden, welcher 48. ſs enthaͤlt. Nun⸗ 48 — 48 ſ5 = + 36 6ι = 36 . Endlich werden auch die Rthlr. von den Thalern; wie ſchon zur Gnuͤge bekannt, abgezogen. Beweis: Es iſt von den Sorten des Subtrahendi 1. Rthlr. 1 ſ geborgt, und dem Minuendo in 48 6 12 ϑ zugerechnet; eben dieſer 1 Rthlr. 1 ſs iſt auch dem Subtrahendo wieder verguͤtet worden. Da nun auf ſolche Art der Subtrahendus um eben ſo viel, als der Minuendus vergroͤßert, ſo iſt, durch dieſe gleich große Vermehrung, das Verhaͤltniß beyder gegebenen Zahlen nicht au fge⸗ hoben, ſondern voͤllig beybehalten worden. Mit⸗ hin koͤnnen auch die gegebenen Zahlen eben ſo betrach⸗ ter werden, als ob gar kein Borgen noͤthig geweſen. Folglich muß der nach gegebener Regel gefundene Reſt die verlangte richtige Zahl ſeyn. Z. E. N 4 zu Die praetiſe che Rechenkunſt. 200 zu dem Minuend. 9 44 5 R6. 36 fs 6 OD den geborgten 1 Ré 1ſ8 = 48 12 ⸗ ſo iſt der vergroͤßerter Min. 9 445 Rl 84 6 18 & Hiervon den um 1 Rthlr. I1 ſS „ „ . g vergroͤßerten Subtrah. ſo er⸗ .. K.7 Re 4.8 ſr 9 & ſcheint der Reſt 8 8 8 R. 3 6 ſ8 9 H welcher den vorhergehenden voͤllig gleich iſt. 10) Wenn ein Kaufmann, von einer Einnahme 596 Lvl. 12 ſzvl. 7 Grotvl. ausgiebt: 499 Lvl. 16 ſsvl. 10 Grotol. Was bleibt von ſolcher Ein⸗ nahme pro Reſto? 11) Ein Bremer bezahlt, auf eine empfangene Rech⸗ nung von 396 Thlr. 56 Groten 2 Schwaren, auf Abſchlag: 189 Thlr. 67 Groten 3 Schwaren. Was bleibt er noch auf dieſe Rechnung ſchuldig? 12) Ein Weinhaͤndler hat auf ſeinen Lager liegen: 289 Fuder 4 Ahm 25 Stuͤbgen 2 Quartier. Wenn er nun davon verkauft 99 Fuder 5 Ahm 26 Stuͤbgen 3 Quartier. Wie viel Wein behaͤlt er noch? 13) Ein Kornhaͤndler ſoll einen Brauer 136 Laſt 15 Scheffel 1 Faß 5 Spint Gerſten liefern, der Brau⸗ er empfangt aber nur 106 Laſt 16 Scheffel 2 Faß 4 Spint. Wie viel fehlt an der Lieferungg 14) Von einer beſtimmten Zeit von 496 Jahren 10 Mo⸗ naten 26 Tagen 21 Stunden 50 Minuten ſind be⸗ reits verfloſſen: 238 Jahre 11 Monate 28 Tage 22 Stunden 58 Minuten. Wie viel fehlt noch an der beſtimmten Zeit? 15) Ein Fabrikant vertheilet an ſeine Spinnerinnen: 286 Schiſtt 18 Lf 12 [5 Flachs, und empfaͤngt an ge⸗ ſponnenen Garn wieder zuruͤck: 210 Schifſt 19 Lit 10 . Wie viel mangelt ihm noch, den Abfall ungerechnet? B 16) Eine Bettſtopferinn kauft 54 Schiffß 7 Stein 8 1 Sedern, und verſtopfet davon in verſchiedene Bet⸗ ten: hat Aufg u: ten, 19 ge Gort gen, die Solatio derſelben bey denn 3. E. Y ſub s MHwne ten 6 r 129 Nichte 486, 6e 17) G de e He 1566 69 4r 12: Kn 64 869 —— zeſt aO nnahme 96 99 Lyl 16 ſolcher Ein⸗ nhene Rech grel, alf ten. Was 81 iegen: 299 Wenn er Stibgen 3 1 uſt 15 der Braltt fela haß⸗ en 10 Mo⸗ n ſb be⸗ 29 Tage l noch an nen: 496 ytan ge⸗ gifft 19 n Abfal tein 9 ene Bet⸗ ſen: Die practiſche Rechenkunſt. 20 ten: 18 Schiſſt 10 Stein 9 lb. Wie viel Federn hat ſie noch? 3. , Aufgaben, wo einige Sorten von Einbet⸗ ten, welche der Subtrahendus hat, im Minuendo fehlen. §. 197. Bey Aufgaben, wo im Minuendo eini⸗ ge Sorten gaͤnzlich fehlen, muß man der Ordnung we⸗ gen, die Ramen der fehlenden Sorten in der Solutio mit hin ſetzen, und die fehlenden Zahlen derſelben mit einem Strich (—) bemerken, ſo wie bey dem Reſt in der Solut. der 6. Aufgabe geſchehen. Z. E. Man ſoll 1879 Rchlr. 42 ſs 6 von 3496 ihlr. ſubtrahiren. Solutio. 3496 Rthlr. — ſ6s — £ 1.8 7.9. ⁸ 42.: 6 ⸗ Reſt 161 6 Rthlr. 5 ß 6 Nachdem, der Ordnung wegen, im Minuendo die Namen der fehlenden Sorten geſetzt, der Mangel an Uni⸗ taͤten ſolcher Gorten aber mit (—) bezeichnet, ſo ſage: 6 O von nichts kann ich nicht, borge alſo 1 ſs, dieſer hat 12 ₰; alſo 6 von 12, beibt 6 . Ferner 43 ſe von Nichts, kann ich nicht, borge alſo 1 Rthlr. dieſer hat 48 6, alſo 43 von 48 bleibt 5 ſs; auch dieſe neben die 6 & herunter im Reſt geſetzt. ꝛc. 17) Ein Schmidt kauft 1225 Centner Eiſen, verarbeitet davon: 876 Centner 6 Lb 12 b. Wie groß bleibt ſein Vorrath? 4 13) Salomon kaufte 295 Mark alt Silber und ſchmolz davon: 199 Mark 13 Leth 3 Quentin 2 . um. Wie viel ungeſchmolzen Silber behaͤlt er noch? 19) Ein Buchdrucker gebraucht, um einige Werke zu drucken 95 Ballen 10 Buch. Wenn ihm nun der Papierhaͤndler hierzu erſt 56 Ballen 8 Ries 5 Buch geliefert; wie viel mutz er noch liefern? N 5 20⁰) 202 Die practiſche Rechenkunſt. 20) Martin hat von ſeinen Nußbaͤumen 36 Groß Tauſend 1 Schock MNuͤſſe geſchlagen. Jobs aber nur 24 Groß Tauſend 5 Groß Hundert 1 Schock 2 Steige 18 Stuͤck. Wie viel hat Jobs weni⸗ ger als Wartin? . . 21) Wie viel betraͤgt der Unterſchied von 304 Laſt 8 Schef⸗ fel Erbſen, und 199 Laſt 2 Wiſpel 5 Scheffel 1 Faß 1 Himt. 3 Spint? 22) Koſe empfaͤngt einen Wechſel, groß: 439 Lvl. 8 Grotol. und ſoll damit bezahlen 429 Lvl. 18 ſavl. 10 Grotvſ. Wie groß iſt der Ueberſchuß? 4. Aufgaben, wo einige Sorten im Subtrahendo fehlen. §. 198. Fehlen einige Sortenim Subtrahendo, von de⸗ nen die im Minuendo vorkommen, ſo koͤnnen auch die Feh⸗ lenden nicht abgezogen werden; es ſey dann, daß bey ei⸗ ner leeren Stelle geborgt worden: In dieſem Falle gilt der fuͤr das Geborgte gemachte (.) eine Unitaͤt derſelben Sorte, welche die leere Stelle erhalten ſollte. (H. 138. und 140.) Z. E. . Man ſoll den Unterſchied finden, von 36 Mmg 15 Loth 2 Quentin 1 ϑ und 24 ms 3 Quentin? . Solutio. 36 Mark 15 Loth 2 Quentin 1 O 24 .⸗e — 7 3 . — 2 * Unterſchied 12 Mark 14 Loth 3 Quentin 1 Weil hier von 1 Qnichts abzuziehen war, ſo ward auch dieſer 1 & im Reſt herunter geſetzt. Nun konnten aber 3 Quentin von 2 Quentin nicht abgezogen werden, weshalben bey der benachbarten Stelle, der Lothe, 1 Loth geborgt, und dieſes geborgte auf der leeren Stelle mit einen (.) bemerkt werden; alſo 3 Quentin von den geborgten 4 Quentin bleist 1 + 2= 3 Quentin, auch dieſe in den Reſt geſetzt. Ferner ſage, (dieſen Punct fuͤr 1 gerech⸗ net;) I von 15 bleibt 14 Loth ie. 23) 144) Bar 25 ) Ein ger 26) Cin ch r 27) En 33 k. W A 1 Die pracetiſche Rechenkunſt. 203 en 23) Tobias ſoll nach London ſenden: 850 Lſtl. 12 ſty ſtl s der , hat aber nur in Caſſa: 496 Lſtl. 8 J.. Wie viel ainen⸗ ſe let ihm noch? 224) Rarſtens empfaͤngt aus Berlin 455 Louisd'ors 2 uſg Se Trr. 21 8. Soll aber nur empfangen 454 Scheſ. DI. Louisd'or 9 . Wie viel hat er zu viel em⸗ Schefſel 1 „ pfangen? 9 dl. 25) Ein Stallmeiſter ſoll eine Lieferung Haber empfan⸗ 19 ſrl 1o gen, von 96 Laſt 1 Wiſpel 8 Scheffel 2 Faß 1 Himte 3 Spint. Empfaͤngt aber nur 9)5 Laſt 3 Faß 3 S Sopint. Was ſehlt an der Lieferung? in 26) Ein Landmann aͤrndtet auf einem Acker 136 Schock 3 Mandel 10 Garben; ſein Nachbar aber nur 124 Schock 11 Garben: Wie viel hat er weniger ge⸗ aͤrndtet? den d 27) Ein Kaufmann ſoll, lant Ordre, liefern: 85 Schiff ſſem Fale 13 Stein 18 fb Flachs, hat aber nur, wie bey Waͤ⸗ lnitaͤt gung deſſelben befunden, gelieſert: 84 Schifſt 19 ten ſolte. . 8 E. Wie viel ſehlt noch 2 . 28) Abraham bekoͤmmt zum Umſchmelzen 536 Mark izh 13 Loth 3 Graͤn alt Süber: wenn er das umge⸗ 315 hH ſchmolzene Silber nur noch 535 Mark 4 Graͤn ſchwer . befindet. Wie viel iſt verlohren gegangen? 5. Aufgaben, wo ein doppelter Subtrahendus S vorkommt. . §. 199. Kommt in einer Aufgabe ein Minuendus 6e watd und zween oder mehr Subtrahendi vor, ſo ziehet mDan erſt einen Subtrahendum vom Minuendo, und . e nule, von dem Reſte auch den andern Subtrahendum ab. Iich Wiill man aber dergleichen Aufgaben durch eine ein Gtele zige Subtraction aufloͤſen, ſo darf man nur die gegebe⸗ en de nen Subtrahendi erſt abdiren, unter deſſen Summa den diee R Minuendum ſetzen, und ſodann von oben herab, gerege nach unten zu, fubtrahiren. Ein Beyſpiel wird das Geſagte in volles Licht ſetzen. 9 1 Wenn 7 204 Die praectiſche Rechenkunſt. Wenn Albrecht aus ſeiner Caſſa, groß: 839 Rthlr. 131ſ 6 OQ, zween Rechnungen bezahlen ſoll, davon die er⸗ ſte 213 Rthlr. 28 ſo 4 §; die andere aber 348 Rthlr. 21 ſo 9 & enthaͤlt: Wie viel wird er in Caſſa be⸗ halten? “ r. Solutio 2. §olutio. 83 9 RC 13 ſ6 6 H 2 13 RC. 28 ſ5 4 2 I 3. ⸗ 28 ’4 P 34 8ͦ; 219 2 62 5 .33 ⸗ 2 4 Ausgabe 5.5 1 2 1 3.4. 8 21.:9 in Caſſa 8 39 136 ⸗ R. 277 R 11 6 5 &H R. 277 R 11 65 Beweis: Es iſt einer ley: ob ich von einer Zahl 8, die Zahl 5 in zween oder 3 Poſten nach gerade, oder ob ich die Zahl 5, von 8, auf ein mal ſubtra- hire. 3. E. 8 — 2:— 6 — 2= 4 — 12=3 oder 8 — 5= 3. Denn die im erſten Falle nach gerade abge⸗ zogenen 2 2 r—1 ſind der Zahl 5, welche im ande⸗ ren Falle auf ein mal, von der Zahl 8, abgezogen werden, voͤllig gleich: mithin mußten auch in beyden Faͤllen einerley Reſte, naͤmlich 3 bleiben. Ergo iſt es einerley; ob ich unterſchiedene Subtra- hendi nach gerade, oder ob ich die Lumma aller gegebenen Subtrahendorum auf ein mal vom gegebenen Minuend. abziehe. Da nun in vorher⸗ gehenden Solutionibus im Großen geſchehen, was hier im kleinern erwieſen worden; ſo iſt auch der Beweis eben derſelbe. Denn es muß einerley Reſt errfolgen: ob ich von den zween Poſten 213 Rthlr⸗ 28 ſ5 4 ϑ 348 Rthlr. 21 ſs 9 & einen nach den andern abziehe, ſo wie in der 1 Solut. geſchehen, oder ob ich die umma beyder Subtra- hentorum, naͤmlich 213 Rthlr. 28 ſ5 4 +£ 348 Rthlr. 21 ſ6 9 anf einmal von der in Caſſa be⸗ findlichen Summe ſubtrahire. 1. Anm. 4 Mn. Es Folg wech Fert gden mei 29) CEin A1 De 30) Jon dels 35 31) n 1 105 K So En. nocd Weil D ſt. 1 Ethir, daben die er⸗ et 348 Rth ſthr. in Calla be⸗ olutlo. E 2864 42119: 21417 1316 4 EuIſ einer Jahl chgerade, hal fuhtra⸗ 3 oder 9— vrade abgen he in ane⸗ abgezogen en auch in i3 bleiben. ne Hubtta⸗ hmmma alet mal vorn in worper⸗ tn, was auch der rlen Reſt 13 3 Nthlt et ech 1 Hlut. . Fubtta⸗ 1T 36 Calla be m. Die racliche Rechenkunſt. 205 Anm. Es wird wohlgethan ſeyn, wenn man ſich in der Folge, bey dergleichen Aufgaben, beyder Aufloͤſungen wechſelsweiſe bedienet, um durch die erſte deſto mehr Fertigkeit im Subtrahiren zu erhalten, durch letztere aber ſich vorzubereiten, zu der in Praxi oft vorkom⸗ menden Subtract. von oben herab nach unten zu. 29) Ein Kaufmann hat von 36 Laſt Heringe verkauft an A: 18 Laſt 9 Tonnen: an B; 12 Laſt 8 Tonnen. Wie viel behaͤlt er noch? 30) Von 136 Laſt ſpaniſch Salz, werden an zween Han⸗ delsfreunde verkauft: 1) 46 Laſt 14 Tonnen, 29 35 Laſt 7 Tonnen. Was bleibt. 31) Pulverthurm ſoll empfangen: 496 Centner 10 † Pulver, empfaͤngt aber nur in 2 Partheyen 1) 185 Centner 4 L 9 b, 2) 231 Centner 5 Lſt 12 [b. Wie viel muß noch geliefert werden? 32²) Linnemann verſpricht an Leinen zu liefern: 896 Schock 54 Ellen; liefert aber nur 405 Schock 48 Elllen † 236 Schock 56 Ellen. Wie viel muß er nooch liefern? 33) Silberberg hat 896 Mark 14 Loth 3 Quentin Silber liegen, verkauft davon 408 Mark 15 Loth und 299 Mark 10 Loth 3 Quentin. Wie viel behaͤlt er noch? 34) Ein Papiermuͤller hat 586 Ballen 8 Ries Papiex, verkauft davon 224 Ballen; und 109 Ballen 9 Ries 8 Buch; und 90 Ballen 3 Nies 7 Buch. Wie groß bieibt ſein Vorrgath?; 35) Keinbold verſilbert einige Waaren, und minmt dafuͤr ein: 7893 mg 12 ſs5 6 H. Kauft dagegen fuͤr 1782 ms Caffee; fuͤr 987 π15 ſs Thee und fuͤr den Reſt Zucker. Wie viel⸗ hat⸗ er fuͤr Zucker an⸗ gelegt? (Wink: Caffee Thee von der Einnahme, bleibt Zucker.) 36) Ein Fleiſ ſcher kauft fuͤr 5497 8 12 ſ5 unterſchiedli⸗ 4 ches Schlachtvieh als: fuͤr 2896 15 ſ 6 ϑ Och⸗ ſenz fuͤr 1470 Mms 13. ſ Schweine; fuͤr d den Reſt gber 206 Die practiſche Rechenkunſt. 5 aber Schaafe. Wie viel hat er fuͤr Schaafe an⸗ gelegt? 37) An verſchiedene Schmiede werden 999 Laſt 10 Ton⸗ nen Steinkohlen verkauft, als: an A 329 Laſt 9 Ton⸗ nen; an B 288 Laſt 11 Tonnen und an C den Reſt. Wie viel hat C bekommen? 6. Aufgaben, die Zeit betreffend. §. 200. Es kommen im gemeinen Leben nicht ſelten Aufgaben vor, wo von gegenwaͤrtiger Zeit angerech⸗ net, nach einem bereits verfloſſenen Zeitrau⸗ me; oder nach einem beſtimmten verfloſſenem Zeit⸗ raume bis zur gegenwaͤrtigen Zeit; oder nach zween oder mehreren bereits verfloſſenen Zeitpuncten, o der auch nach zween odet mehrern kuͤnftigen Zeitraͤumen u. dergl. m. gefraget wird. Will man nun auf dergleichen Fragen eine arithmetiſche Antwort finden, ſo muͤſſen allemal ge⸗ wiſſe Data, als ſchon bekannt, angegeben werden, weil ſonſt unmoͤglich eine Antwort zu finden waͤre. Z. E. Man wollte fragen: 1) Wie alt Peter ſey? oder 2) Wann er gebohren? oder 3) Wie viel Zeit von Huſſens Geburt bis auf die Geburt Lutheri verfloſſen? So wuͤrde auf alle dieſe Fragen keine Antwort gefunden werden koͤn: nen, daferne nicht bey der 1ſten Frage zugleich bekannt ge⸗ macht worden: wann Peter gebohren und bis zu welchem Zeitpunete man ſein Alter wiſſen wolle? Bey der ꝛten Frage: wann und in welchem Alter er geſtorben? oder wie alt er zu der Zeit ſey, von welcher, zuruͤck gerechnet, man den Tag ſeiner Ge⸗ burt zu wiſſen verlange? Bey der 3ten: wann Huß und wann Luther gebohren? Sind aber ſolche noͤthige Data den Fragen beygefuͤͤ, get; dann iſt es uͤberaus leicht, die verlangten arithmeti⸗ ſchen Antworten, auf dergleichen Fragen, zu finden, wenn man nur allezeit die juͤngſte Zeit zum Minuendo, die aͤltere Zeit aber zum Subtrahendo anſetzet. Z. E. So wuͤrde bey der 1ſten Frage, die gegenwaͤr⸗ tige oder juͤngſte Zeit, als bis dahin man Peters Alter wiſſen wolle, zum Minuend. und die Zeit der Ge⸗ . burt kurt zum Alter Pe Iilßte eben Aler den eage gede tg als d hurtstag, Reſt gieb Frage. Bey gende Reyel⸗ den 2 40, Aht. 1) Gin viel net, tn 3) Ligt dN E Ditſen 1790 4) Rea Dane oden zu 4) Arn und gewo Echgefe anu Laſt 10 Ton⸗ 29 Lſt on: 10 den Agſ. end. n nicht ſelten Zeit ongetei. n Zeitte⸗ ſenenn geit⸗ ddet nach puneten, oder eittaumen 1, ichengen abemal ge⸗ eben wetden, vere. 9.C⸗ 97 ober2) den Huſeens S wüͤrde uden kön ch bekannt ge⸗ und bis /1 Hiſen * it it ſeh . ſen ſeiner Ge⸗ Kann n igen ben Cefi⸗ n artßmeti ſnden, penn lrmento oenſetet⸗ genwaͤn Die practiſche Rechenkunſt. 207 burt zum Subtrah. angeſetzet, da dann der Reſt das Alter Peters beſtimmen wuͤrde. Bey der 2ten Frage muͤßte ebenfalls die gegenwaͤrtige Zeit den Minuend. das Alter den Subtr. und ſodann der Reſt die Antwort zur Frage geben. Bey der 3ten Frage giebt Luthers Geburts⸗ tag als die juͤngſte Zeit, den Minuend. Huſſens Ge⸗ burtstag, als die aͤlteſte Zeit, den Subtrah. und der Reſt giebt die grithmetiſche Antwort auf die gethane Frage. Bey Aufgaben der Zeitrechnung merke man ſi , fol⸗ gende Regel: Wenn z. E. geſagt wird: Er ſtarb Ao. 1780 den 21ſten April, ſetze man bey der Solutio 1) ſtatt Ao., blos hinter der Jahrzahl. die Zeitbenennung Jahr. ) Statt den Namen des Monats blos der wie vielſte vom Januar als den 1ſten Monat angerech⸗ net, der gegebene Monat ſey? 3. E. ſtatt den April ſetzt man 4 Monat. 30 Fuͤgt man, mit Auslaſſung: den, der Zahl, welche den Datum bezeichnet, blos den Namen Tag bey. Z. C. ſtatt den 21ſten, ſetzt man: 21 Tage u. ſ. f. Dieſem nach wird: Ao. 1780 den 21 April alſo. ſtehen 1780 Jahr 4 Monat 21 Tage. 4) Rechnet man, weil ein Monat 30 ein anderer 31 Tage hat, wenns naͤmlich aufeinen Tagmehr oder weniger nicht ankommt, jeden Monat zu 30 Tage. 38) Arnhold ward gebohren Ao. 1 1721 den 26ſten May V und ſtarb den 21ſten April 1780. Wie alt iſt er geworden? Solutio J geſt. 1780° Jahr 4 Monat 21 Tage gebohren 172.1. ⸗ J5. ⸗ 26 Alt 5 8 Jahr 10 Monat 25 Tage 208 Die praetiſche Nechenkunſt⸗ Nach dem gelehrter maſſen die juͤngſte Zeit, der Sterbe⸗Tag, naͤmlich 1780, der 4te Monat, (welches von Januar angerechnet der April iſt) der 21ſte Tag deſſel⸗ ben Monats, zum Minuendo genommen und die aͤlte ſte Zeit, naͤmlich der Geburtstag: 1721, der Ste Mo⸗ nat (welches der May vom Januar an gerechnet iſt) und der 26ſte Tag deſſelben Monats, als Subtrah. daruͤber geſetzet, ſo ſagt man: 26 Tage von 21 Tage kann ich nicht, muß alſo 1 Monat borgen, dieſer hat 30 Tage⸗ Nun: 26 von 30 bleibt 4 P 21= 25 Tage. Ferner: 6 Monat von 4 Monat kann ich nicht, muß 1 Jahr bor⸗ gen; dieſes hat 12 Monakt, alſo: 6 von 12 bleibt 6 +4 = 10 Monat. Endlich 2 von 0 ꝛc. So erſcheint das ge⸗ ſuchte Alter von 58 Jahren 10 M tonat und 25 Tagen. I1. Beweis. Weil die ganze verfloſſene Le⸗ benszeit zwiſchen dem Geburts⸗ und Sterbe⸗ tage enthalten, ſo iſt auch deswegen die den Ge⸗ burtstag bezeichnende Jahrzahl nebſt Monaten und Tagen, von der Jahrzahl nebſt Monaten und Ta⸗ gen, welche den Sterbetag bezeichnen, abgezogen worden, mithin muß auch der erfolgte Reſt alle Jah⸗ re, Monate und Tage, welche zwiſchen dem Ge⸗ burts und Sterbetage verfloſſen, wirklich enthal⸗ ten; folglich muß dieſer Reſt das voͤllige Alter des Arnholds bezeichnen. Rehets Daß es mit dem Alter Arnholds ſeine Nichtigkeit habe, darf man nur nach §. 136, Zuſ. 1 und 2 die Proben machen, und zu dem Subtrah. oder dem Geburtstage den Reſt, weicher hier das Alter iſt, addiren, ſo wird der Minuentus oder Sterbetag. wieder zum Vorſchein kommen. Z. E. I. Proba. Subtrah, oder Geburtstag 1721 Jahr 5 Mt. 26 T. Reſt oder Alter † 58 4I0 ⸗ 25 Mlin. od. d. Arnolds Sterbetag 1780 Jahr 4 Mt. 24 T. Weil hier zu der Jahrzahl nebſt Monaten und Lagen, welche den Geburtstag eeger rn⸗ Arthols mis auch Zyil 17 llig g uch rich (trahir dem vor den Neſt ſo erſhe di den ſers Ar Vei ten und holde, velche de uß ovd cen ſen Anmn. 1. z ſe ſt. e deit, det nat, (welches ſte Tngdeſſel ddie aͤſteſte der zte Mo⸗ hnet iſ) und h. darüber age knun ich hat 30 Toge⸗ e. Ferner: . 1 goht bor⸗ t 6†4 Heint dos ge⸗ 2) gen. oſſene es d Gterde die den e⸗ Monaten und ten und Ta⸗ „ebgengen alle Jah⸗ en dem Ge⸗ tkich enthe⸗ ge Mar des jholds hin⸗ n Pobtrah. Gr hier das endus doe robe. N.262. 10 25 — Mt. 21– Nonaten Nem auch richtig gerechnet worden. Die practiſche Rechenkunſt. 209 Arnholds ganzes Alter hinzu vorden nholds g8 hinzugethan worden, ſo muß auch dieſe Summa den Todestag, welcher den April 1780 erfolgt, bezeichnen, und da dieſe Ssumma voͤllig gleich dem Minuendo in voriger Aufgabe, ſo iſt ſubtrahire vom Sterbetage, 2. Proba dem vorigen Minuend. 1780J. 4 . dem nd. J. 4 Mt. 21 Ta den Reſt oder das gekomme Alter 58 16 25 336 ſo erſcheint der Snbtrahendus 1721. Tage er⸗ er 1721J. 5 Mt. 26 Tage d. i den 26ten May 1721, weiches der Geburt B ſers Arnholds iſt. “ ttstag uude Weil hier alle verfloſſenen Lebensjahre n 2 . ver jahre nebſt Monga⸗ ten und Tagen, mithin das ganze Alter Re Arn⸗ holds, von der Jahrzahl nebſt Monaten und Tagen, welche den Sterbetag bezeichnen, abgezogen worden, ſo⸗ muß auch der erfolgte Reſt den Tag bezeichnen, 5 chen ſein Alter den Anfang gen omnnen. n „, an wel⸗ znn⸗ Dieſe zweite Probe iſt zugleich eine Probe der erſtem Probe. 1. Zuſ. Man kann, wie aus vorherge ender Aufga⸗ be nebſt folgenden zwoen Proben 1 er Na dieſer Aufgaben auf dreyerley Art veraͤndern . d. i⸗ 1) den kann eus einer Auſgah drey machen. an kann fragen: Wan hrer (2. Proba.) ⸗ 8 Aenhold gebohren 2) Wann er geſtorben? (1 Proba.) ota: Dieſe Aufgabe gehoͤret eigentlich ni zu Subtraction, ſondern H niche zur 3) Wie alt er ſey? (38 Aufgabe.) . 2. Zuſatz: Aus vorhergehender 38ſten Aufgabe und fol⸗ eree zwoen Proben flieſſen dieſe ſolgende 3 Regeln . 1. Reg. Wenn nach den Geburtstag eine Menſchen, deſſen Alter ſo wohl als deſſen es⸗ tag bekannt, die Frage iſt: ſo darf man nur das Alter von dem Todestage abziehen ſobleibt der Geburtstag brig. (2. Proba.) 2. Reg. Wenn nach den Todestag eines Menſchen, deſſen Gehurtstas und Alter bekannt ge⸗ 210 Die prartiſche Rechenkunſt. gemacht worden, gefraget wird: ſo darf man nur zu dem Geburtstage das Alter addi⸗ ren, ſo wird die Summa den Todestag anzeigen. (I. Proba.) 4 3. Reg. Will man das Alter eines Men⸗ ſchen wiſſen, ſo darf man nur den Ge⸗ burtstag von dem Sterbetage abziehen, ſo wird der Reſt das Alter anzeigen. (Solut. der 38ſten Aufgabe.) 39) Carl XII. ward den 27ſten Junii 1682 gebohren, uund ſtarb den 11ten Dec. 1718. Wie alt iſt er ge⸗ worden. (Reg. 3.) 40) Behrend will ſich Ao. 1785 den 15ten Junii in die Todtenlade kaufen, und wird zu dem Ende gefragt: wie alt er ſey? Da er aber dieſes nicht weis, ſo wird er ferner gefragt: wann er gebohren? J bin, ſagt er, den 9ten Dec. 1737 gebohren. Wie alt iſt er? êſ 41) Cornelius feyert den 1oten September 1780 ſeine funfzigjaͤhrige Jubelhochzeit. Wann iſt er ver⸗ maͤhlt? 42) Daniel, welcher den 17ten October 1759 gebohren, fragte 1769 den 2ten Februar nach ſeinem Alter? 43) Erneſtus feyerte den 26ſten Aug. 1780 ſeinen 45ſten Geburtstag. Wann iſt er gebohren? Solutio. “ 1780 Jahr 8 Mt. 26 Tage — 4.5 . — 2 — 12 Ao. 1735 des 8. Mts. 26. Tag Nachdem die gegenwaͤrtige Zeit, in welcher der Ge⸗ burtstag gefeyert worden, zum Minuendo angenommen, die ſeit dem Geburtstage bis zur Feyer deſſelben ver⸗ floſſene Zeit darunter geſetzet, und von der Zeit der Geburtsſeyer abgezogen worden, ſo iſt der 26 ſte Aug. 1735 zum Facit gekommen, welches der verlangte Ge⸗ burtstag iſt. Anm. feit der ſchkeit Ao. 17 Aug. . 4 Fitz 14 J 6) Georg Monet toge! 486) Heinz Fllife ben der 47) Joh ſein u Nobemd ſet V⸗ beſen! 68) Kriedr 1796, i Moyaten Wdae . 0l. genau derfa der Mone und genei nmeßt, eis on 30 auch Würde mn nen, ſo wn AAlgtoohre an qn alle Wugt⸗ Jahn ſan Denn n 3655 Dege lln aber D lurf man darf man llter addi⸗ Todistag ines Mep den Ge⸗ abziehen, anzeigen. 22 gebohren, alt iſt er gee⸗ Bbiz in die nde geſtggt/ weis, ſo ent. I gren. Be 1780 ſeine iſt e ner⸗ D 9 gebheen, in Alter? ſinenſtnn her de e⸗ Henummen, ſn ver⸗ geit der bſte Ang⸗ rlngte Ge⸗ . Die praetiſche Rechenkunſt. 211 Hr Anm. Man kann bepy dergleichen Berechnungen, der Deut⸗ lichkeit wegen, ſtatt der Namen des Minuendi. fetzen: Ao. 1735 des 8ten Monats 26ſter Tag d. i. den 26ſten Aug. 1735. (Siehe Solut.) en 44) Fritz ſtarb den 13ten November 1718, da er juſt 14 Jahr alt war: wann iſt er gebohren? (RKegel 1.) 45) Georg, den 18ten Jan. 1769 juſt 21 Jahr 2 Monat 19 Tage alt, fragt nach ſeinem Geburts⸗ tage? 46) Heinz beſitzt ein Schauſtuͤck, welches 1513 den gten Julii gepraͤget; wie alt iſt es heute, da wir ſchrei⸗ ben den 25ſten Februar 17872 47) John legte 1700 den 13ten Februar den Grund⸗ ſtein zu ſeinem Hauſe: Wenn er nun den 25ſten November 1780 ſtarb, wie lange iſt dieſes Haus, ſeit Legung des Grundſteins, ſein Eigenthum ge⸗ weſen? 48) Friedrich der Einzige ſtarb den 17ten Auguſt “ 1786, in einem glorreichen Alter von 74 Jahren 6 Monaten und 24 Tagen. Wann war dieſes großen Monarchen Geburtstag? (Aufgabe 43 und Anm.) §. 201. Will men bey dergleichen Zeitrechnungen ſehr genau verfahren, ſo muß man ſo wohl auf die Ungleich⸗ heit der Jahre, als auch auf die Ungleichheit der Monate Auͤckſicht haben: denn es giebt Schalt⸗ und gemeine Jahre, welche erſtere einen Tag mehr, als letztere, haben. Eben ſo giebt es Monate von 30 auch von 31 Tagen. Wuͤrde man nun alle Jahre von gleicher Laͤnge anneh⸗ men, ſo wuͤrden nothwendig eben ſo viel Tage, als Schaltjahre in einer Reihe zu berechnenden Jahren vor⸗ kommen, an der Rechnung fehlen. Naͤhme man aber aille Monate zu 30 Tagen an, ſo wuͤrden in einem Jahre ſchon 5 Tage zu wenig gerechnet werden,. Denn 12 α 30 = 360 Tage, da doch das gemeine Jahr 365 Tage, das Schaltjahr aber gar 366 Tage enthaͤlt. Um aber zu erfahren, welches Jahr ein Schaltjahr iſt, darf man nur eine jede Jahrzahl, von weicher man wiſ⸗ 7 . 2 ſen 212 „ Die practiſche Rechenkunſt. ſen will: ob ſie ein Schaltjahr, oder gemeines Jahr ent⸗ halte? mit 4 dividiren. Bleibt kein Reſt, ſo zeiget die⸗ ſes ein Schaltjahr an, z. E. bey 1780, dividirt mit 4, bleibt nichts. Ergo iſt 1780 ein Schaltjahr. Der Qusotient 445 aber zeigt an, daß ſeit Ao. I bis 1780 juſt 445 Schaltjahr geweſen, alſo, um dieſe Jahrzahl richtig zu beſtimmen, noch 445 Tage darzu ad diret werden muͤßten. Bleibt aber ein Reſt. Z. E. 1, 2 oder 3, ſo zeigt dieſes an, daß ein ſolches Jahr das 1ſte 2te oder 3te Jahr nach einem Schaltjahre ſey. Z3. C. 178 7782 178 )—,— bl. 1. 4) — — bl. 2. 4) —– bl. 3. Zuſatz: Weil die vollen Jahrhunderte allemal, durch 4 dividirt, ohne Reſt aufgehn muͤſſen, ſo hat man mehrentheils auch nur noͤthig die beyd en letzten Ziffern einer Jahrzahl mit 4 zu dividiren. Z. E. 4 21 geht auf, und zeigt ebenfalls an, daß 84 ein Schaltjahr ſey: der Quotient 21 aber: daß ſeit 1701 bis ult. 84. juſt 21 Schaltjahre verfloſſen, und da⸗ hero zu den Jahren, von 1 bis 94, eben ſo viel Tage als Schaltjahre d. i. 21 Tage hinzugethan werden muͤſſen. 49) A. hat im Jahre 1765 den 4ten Junii ein Kind ge⸗ 4 . zeuget, welches aber den 6ten Julii 1767 wieder ge⸗ ſtorben iſt. B hat ebenfalls ein Kind gezeuget, und zwar Ao. 1779 den 4ten Junii, welches den 6ten Ju⸗ lii 1781 gleichfalls ſtarb. Wenn nun, laut Teſta⸗ mente eines reichen Onkels, das aͤlteſte von beyden, und nach deſſen Abſterben, der Vater deſſelben zum Univerſalerben ernannt waͤre: welcher Vater wuͤrde Erbe ſeyn? A. I. 1 geſt. yb geb. 17 ——,U—— ſes Kind u: B. gſt. In geb. 17 2es Kindelt: Iſtes Kind Vell das Sd doſte iſt, befuinden, der Unive inen Gahorth und alſo ſt worden, un einen 1. Wy 1 t de m 2, Ann ahr entt ſd iget die⸗ widin mit4, jahr. Der 1 bis 9. zu addinet Jahr das ſte ſh. 3. G „ femnel, ourch het wan den lehten 8 2C. 4 21 †1 daß u ein daß ſittror Ven, und da⸗ ben ſ hiel hinzutethen ein Kind ges 07 birber ge⸗ ſeugt, und den 6ten Ju laut Teſtn⸗ von beydeſ⸗ S deſſelben inmn. 4 Viter vlde Die practiſche Rechenkunſt. 213 I. Solutio. 2. Solutio. A. geſt. 1767 J. 7 Mt. 6 Tege A. geſt. 1767 J. 7 Mt. 6 Tage geb. 1765 66 4 2 geb. 1765 ⸗ 6 42 2= 1ſtes Kind alt: 2 J. 1 Mt. 2 Tage 1ſtes Kind alt: 2 J.1 Mt. 2 Tage B. geſt. 1781 J. 7 Mt. 6 Tage B. geſt. 1781 J. 7 Mt. 7 Tage geb. 177.9 6 ; 4⸗ geb. 177.9⸗ 656 ⸗ 4 Tage ates Kind alt: 2 J. 1 Mt. 2 Tage ztes Kind alt: 2 J. 1 Mt. 3 Tage Iſtes Kind⸗ 2 ⸗ 1 2 ⸗ ſtes Kind ⸗ 2 J. ⸗ 2 Tage alſe beyde Kinder gleiches Alters Ergo das 2te Kind aͤlter um 1 Tag. Weil bey der erſten Solut. nicht Ruͤckſicht auf das Schaltjahr genommen, welches bey B. das goſte iſt, ſo ward das Alter deyder Kinder voͤllig gleich befunden, und konnte aiſo, wegen dieſen Rechnungsfehler, der Univerſalerbe auch nicht beſtimmt werden. Hingegen iſt bey der aten Solut., wegen den zwiſchen dem Geburts⸗und Sterbetage des 2ten Kindes vorgefallenen Schaltjahre, dem Minuendoein Tas zugerechnet, und alſo ſtatt den 6ten, der 7te Tag des 7ten Mogats geſetzt worden, da ſich dann ergiebt: daß das ꝛte Kind wirklich um einen Tag aͤlter als das 1ſte, folglich B der Erbe iſt. 1. Anm. Hieraus wird klar, daß um genau zu rechnen, beſonders wenn es ſo wichtige Faͤlle, wie vorher⸗ gehenden, betrift, die Schalttage der vorhan⸗ denen Schaltjahre nie vergeſſen werden muͤſſen. Weil fuͤr jedes uͤberſehene Schaltjahr. unfehlbar ein Tag zu wenig im Fazite erſcheinen wuͤrde. . SðèM 2. Anm. Billig muͤßte fuͤr jedes Jahrhundert ein Schaltjahr, und alſo ein Tag weniger gerechnet wer⸗ den, als die Diviſion durch 4 bringt, und zwar daher: weil das Jahr, uͤber 365 Tage, nur 5 Stunden 48 Min. 37 Secunden haͤlt, dieſer Ueberſchuß aber in 4 Jahren nur 23 Stunden 14 Min. 28 Sec., nicht aber volle 24 Stunden betraͤgt, welche doch ſuͤr jedes 4te Jahr berechnet und eingeſchaltet werden. 530) C. ward gebohren 1740 den 7ten Auguſt. Wenn er nun Ao. 1787 ſeinen wahren Geburtstag feyern wollte, wann muͤßte das geſchehen? z5 So. 214 Die praetiſche Rechenkunſt. Solutio. Jur Geburtsfeyer beſtimmt das Jahr 1787 ab das Geburtsjahr — 1740 mithin zwiſchen beyden Jahrzahlen verfloſſen 47 Jahr ppelche enthalten 4 11 Schaltj. Tolglich muͤſſen dem 7ten Auguſt eben ſo viel Tage das iſt: 11 Tage zu gerechnet werden; „ Demnach iſt der 18te Auguſt des 1787ſten Jahres wah, rer Geburtstag — 9. 202. Um aber auch, wegen der Ungleichheit der Mo⸗ nate, (§K. 201.) keine Unrichtigkeit im Rechnen hervorzu⸗ bringen, ſo darf man nur beym Borgen unterſuchen: ob der Monat, welchen man borget, (und der allezeit der Letzte derſelben Zahl, bey welcher man borget, iſt) 30 oder 31 Tage habe? Z. KT. 51) D. ſtarb Ao. 1786 den ˖ten April in einem Alter von 46 Jahren 5 Monaten und 6 Tagen. Wann iſt er gebohren? Solutio. 2ðèðè geſt. 1786 Jahr 4 Mt. 5 Tage Ale 4.6. z. ⸗ 6 ⸗ Gebohren 1739 des 10ten Mts. Z0ſten Tag Bey den 5Monaten, wo geborget werden mußte, iſt hier der 5te Monat der 31 Tage haltende May, alſe 6 von 31 = 25 + 5= 30 Tage ꝛc. 7. Aufgaben, wo nebſt den Jahren, Monaten und Tagen, auch noch Stunden zu berechnen 1 vorkommen. §. 203. Kommen bey der Zeitrechnung auch noch Stunden zu berechnen vor, ſo iſt hey dergleichen Aufga⸗ ben nichts weiter zu bemerken, als: daß man die erſte Stunde eines gemeinen Tages von 24 Stunden feſt⸗ ſetze, Wauc⸗ ſtße, und Fole bis dug um eum 1 1ags; die Mitternae meinen 52) Boc Aber toder den: geſt. 17 8e0. 17 — At Vei hi ken des mußte an filger wer 33) Leo uh Vge An. dan et ððð Ma Var 17% — Hhr — 11Scalt,. Tae tden; Juhit wah heitder Mo⸗ n hervetz⸗ etſuchen: o aNlrtit Nr )30 de einem Alter ſten e e Muy. lſe Mnaten technen guch nech hen Auſge n die ſe unden ſei⸗ ſitt, 4 Die practiſche Rechenkunſt. . 215 ſetze, und ſo die uͤbrigen Stunden nach ihrer natuͤrlichen Folge bis 24 fortzaͤhle. Es faͤngt aber der gemeine Tag um Mitternacht an, und iſt demnach die 1ſte Stun⸗ de um 1 Uhr Nachmitternacht, die 12te, um 12 Uhr Mit⸗ tags; die 18te, Nachmittags um 6 Uhr u. ſ. f. bis 12 Uhr Mitternacht, welches die 24ſte Stunde und Ende des ge⸗ . meinen Tages iſt. 52) Koch ward gebohren Ao. 1719 den 20ſten Aug⸗ Abends um 6 Uhr, und ſtarb 1743 den 17ten Oc’ tober Morgens um 7 Uhr. Wie⸗alt iſt er gewor⸗ den? Solutio. geſt. 17 4 3 Jahr 10 Mt. 17 Tage 7 Stunden geb. I7 1.9 8. 20. ⸗ 18 2 2 4 * I, ⸗ 2 27 :13 6 Schalttage Alt 24 Jahr 2 Mt. 3 Tage 13 Stunden. Weil hier der geborgte Monat den Auguſt betrift, ſo ſind auch 31 Tage geborgt worden. Und weil in 24 Jah⸗ ren des gefundenen Alters, 6 Schaltjahre enthalten, ſo mußte auch dem zuerſt gefundnen Alter noch 6 Tage zuge⸗ fuͤget werden (H. 201.) 53) Leopold ſtarb 1758 den FIten May, Morgens um 8 Uhr, in einem Alter von 25 Jahren 5 Monat 12 Tage 5 Stunden. Wann iſt er gebohren? Anm. Weil in den 25 Jahren des Alters 6 Schaltjahre vor⸗ panden, ſo werden dem Alter noch 6 Tage zugerech⸗ net, und alſo in der Solutio angeſetzt: 25 Jahr 5 Mo⸗ nat 18 Tage 5 Stunden ꝛc. 54) Martin ſtarb 1786 den 22ſten April Ab. um 10 Uhr. Wiaann er nun 1758 den gten Jan. Morgens um 3 Uhr gebohren. Wie alt iſt er geworden? §. 204. Es muß uͤberdem auch erwogen werden: um welche Zeit der Geburtstag einfalle? Denn faͤllt er noch ins vorige Jahrhundert, oder vor 1701, und der Geburtstag iſt in nem proteſtantiſchen Lande 4 als — 216 Die practiſche Rechenkunſt. als Deutſchland, F olland, Schweiz, Daͤnnemark ꝛc. ſo muͤſſen allemal, vor der Berechnung, dem Geburtsta⸗ ge noch 10 Tage zugerechnet werden: weil in den prote⸗ ſtantiſchen Laͤndern damals noch der alte Julianiſche Calender gebraͤuchlich war, welcher von dem neuen verbeſſerten Calender im vorigen Seculo um 10 Tage, ſo wie im jetzigen, um 11 Tage unterſchieden eſt. Dieſe Bemerkung wollen wir dey folgenden Auſga⸗ ben anwenden. 55) Neander, welcher in Berlin 1681r den 5ten Octo⸗ ber Ab. um 9 Uhr gebohren, ſtarb 1763 den 11ten May Morgens um 2 Uhr. Wie alt iſt er gewor⸗ den? Solutio geſt. 1763 Jahr 5 Mt. 11 Tage 2 Stunden Leb. I1I 6.8 J. ⸗ 10. 15. ⸗ 21 Alt 8 1 Jahr 6. Mt. 26 Tage 5⁵ Stunden Nachdem die juͤngſte Zeit, der Todestag, gehoͤrig an⸗ geſetzet worden, ſo ſind nachher dem Geburtstage, weil er in die Zeit des alten Julian. Calenders ſaͤllt, 10 Ta⸗ ge zugerechnet, und alſo ſtatt 5 Tage, nun 15 angeſetzet, und ſo ferner verf. wie zur Gnuͤge gelehrt worden. 56) Mart. Kuther ſtarb den 18ten Februar 1546, in einem Alter von 62 Jahren 3 Monat 38 Tagen. Wann iſt er gebohren?ꝰ . 57) Marx ward in Amſterdam gebohren 1694 den 1 3ten Auguſt Abends um 9 Uhr, und ſtarb 1758 den 2ſten December Abends um 6 Uhr. Wie alt war er? 8. Aufgabe en, welche in der Haushaltung und in der Handlung vorkommen. 58) Ao. 1787 den 7ten Januar bezahlte ich Geld, welches vor 2 Jahren 5 Monat 28 5 Tagen geborgt. Was ſchrieb man da? 59) etiark te, ſo Gckurtsta⸗ n den Rote⸗ Ulianiſche em neynen culo um 10 Unterſchieden nden Aufga⸗ n zten Oet⸗ 9 ben 1IItek her gewor: EWNden 31 2 — Stunden gfirig n⸗ tcge, heil lt, 10 1 1 angeſchet, j ar 1546,n. t 8 Tagel den 13t den 25ſten wor er ſtung und 4 60 en Ktent „ Die praetiſche Rechenkunſt. 217 7555) Neumann nimmt Monatlich ein: 300 Mm8. Giebt dagegen zur monatlichen Haushaltung 160 M9. Fur jahrliche Miethe 300 M8; fuͤr Onera 80 ms 12 15; fuͤr Feuerung 200 fW; an Schulgeld 200 M8 14 ſs; an Weynachtsgeſchenken 86 m 10 ſs. Ueber⸗ dem bezahlt er noch fuͤr folgende Neujahrsrechnungen 1) dem Seidenhaͤndler: 108 M& 9 ſs 2) dem Tuch⸗ haͤndler 168 Mm8 12 ſo 6 , 3) dem Schneider: 89 m I1 ſs 6 G, 4) noch an diverſen kleinen Rech⸗ nungen in Samma 131 m 7 ſs 6 &. Wie viel hat er im Jahre Ueberſchuß gehabt? 60) Paul braucht taͤglich fuͤr Koffee und Zucker 4 ſ † zum Fruͤhſtuͤck 3 ſà 6 ϑ; zum Mittagseſſen 8 ſo; zum Abendbrod 4 ſe; fuͤr Wein und Bier 9 15⁵ 6 &. Monatlich fuͤr Miethe 8 8; jaͤhrlich fuͤr Feuerung 438 mz; fuͤr Haar und Bart 45 ms; fuͤr Wacht⸗ geld und Onera 28 m 12 ſs; fuͤr Kleidung 150 mg; fuͤr Waͤſche 24 9; Taſchengeld 100 ms 3 wie viel beträgt die jaͤhrliche Ausgabe, und 2) wie viel hat er uͤbrig, wenn er monatlich 100 mg ver⸗ dient ? Pr) Ein Handſchuhmacher kauft 20 Decher Schaaffelle à II M; 12 Decher Kalbfaͤlle à 21 Mm; 8 Decher Rehfelle à 86 8 ſe; und verfertigt daraus 105 Paar ſchaflederne Hoſen à 4 m ; 120 kalblederne Hoſen à 7 mg; 86 rehlederne Hoſen à 15 mg. Wie⸗ viel hat er verdient? 62) Ein Galanteriehaͤndler kauft 24 Dutzend Paar ſeide⸗ ne Struͤmpfe à 84 m 12 ſs; 36 Dutz. Paar Handſchuh 3 24 8 14 ſ und 22 Dutz. ſeidene Tuͤ⸗ cher à 60 ms; Verkauft dieſe wieder zu folgenden Preiſen: das Paar Struͤmpfe zu 9 ms, das Paar Handſchuh zu 3 m, und ein Tuch zu 6 Mmg. Wie viel iſt hieran gewonnen? . Hiermit mag auch die Sub⸗traction beſchloſſen ſeyn. Folget demnach: W 9 5 Iv. Die practiſche Rechenkunſt. IV. Diviſio in benamten ganzen Zahlen, §. 205. Durch die Diviſio in benamten ganzen Zah⸗ len, deren Gebrauch ſich hauptſaͤchlich bey Proporti⸗ onsaufgaben hervorthut, werden die kleinern Sor⸗ ten zu groͤßern Sorten gemacht. Sie iſt alſo juſt um⸗ gekehrt, was die Multiplication in benamten gan⸗ zen Zahlen iſt: denn, ſo wie man dort eine gegebene An⸗ zahl großer Sorten zu kleinern macht, z. E. Mark oder Rthlr. zu Schillingen, ſo macht man, durch die Di⸗ viſion, eine gegebene Anzahl kleinere Sorten zu groͤßern z. E. Schillinge zu Marken, oder Thalern u. ſ. . 4 D Zuſ. Es koͤnnen daher alle Multiplications⸗ aufgaben ſo gleich in Diviſionsaufgaben ver⸗ wandelt werden, ſo bald man deren Multiplicato- res, als Diviſores, und deren gefundene Producte, als Dividendi annimmt, da dann die groͤßern Sorten, welche der Multiplicandus vorher hatte, wiederum zum Vorſchein kommen. Und in dieſem Falle iſt eine ſolche Diviſion als eine Probe oder Pruͤfung der Multiplication anzuſehen. (H. 129.) 1. Aufgaben, wo man kleinere Sorten zu groͤßern Sorten macht. §.206. In ſo ferne der Dividendus nur aus ei⸗ ner Sorte Unitaͤten beſtehet, iſt die Diviſion in be⸗ namten ganzen Zahlen, von derjenigen in unbenam⸗ ten ganzen Zahlen, in nichts unterſchieden. Denn ob ich z. E. die unbenamte Zahl 48 mit 12 dividire, oder die benamte Zahl 48 Q mit 12 zu Schillingen ma⸗ che; beydes iſt einerley Arbeit; giebt einerley Quo⸗ tienten, und iſt in nichts unterſchieden, als daß der aus der unbenamten Zahl 48 entſtandene Quoti⸗ ent 4, der aus der benamten Zahl 48 & aber 4 ſ heißt. 2)½ Mar I — Hac. 2 Mr 11 te tun 2 de 1 Bewe wee 8 gel ¹ ien gen als dun did 7 An⸗ wel⸗ ibe Rerte ſ kle⸗ Zahlen, gonzen Zah⸗.. Proporti⸗ nern Gor⸗ ſo juſt um nten gaon⸗ egebene An⸗ Urch die Di⸗ Nrten ju er Thalers⸗ icotion aben ver⸗ pliceto⸗ Moduttt, graͤßern her hatte, in bieſen probe oder 9.129)) R tten 1 aus ei⸗ ſanin he⸗ inbenam⸗ n. Denn 2 dividire, lingen ma⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 219 1) Man ſoll 34 56 7 ſg zu me machen. 16 -—· 34567 oder: 34567 ſs ERac. 2160 mW — 78641 à 2 5 9) ꝛr60oE ) 5 7 ſ Man ſieht hier deutlich, daß in der Berechnung der benamten Zahl, ſo wohl in der erſten, als in der 2ten Solutio, nicht das Geringſte von Veraͤnde⸗ rung, gegen die ſchon bekannte Diviſion in unbe namten ganzen Zahlen, vorgefallen. Es muͤßte denn dieſes ſeyn, daß in der erſten Solutio, der Reſt „ 6; in der Aten, wegen der Zerfaͤllung, W,„ und beyde Quotienten nunmehro g heiſſen. Beweis: Weil 16 Unitaͤten einer kleinern Sorte, welche Schillinge heiſſen, nur 1 Unitaͤt einer groͤßern Sorte, welche Mark heißt, giebt, d. i. weil 16 ſ 1 M8; ſo muß auch in einer jeden ge⸗ gebenen Summe dergleichen kleineren Sorten, al⸗ ſo auch in 34567 ſ5, ſo oft 1 a enthalten ſeyn, als man, mit 16 dividirt, Imal darinn nehmen kann. Folglich muͤſſen in den gegebenen Schillin⸗ gen des Dividendi ben 16ten Theil ſo viel Mark, als Schillinge vorhanden, enthalten ſeyn. Danun durch die Diviſion mit 16, der 16te Theil des Di⸗ videndi wirklich im Quotienten gekommen, und noch 7 ſs uͤbrig geblieben. So muß der Quotient die Anzahl Marken, nebſt noch 7 ſe, wirklich enthalten, welche in der gegebenen Anzahl Schillingen des Di⸗ videndi befindlich ſind. Ergo iſt auch geſchehen, was verlangt worden. Zuſ. Alſo koͤnnen durch die Diviſio alle moͤgliche kleinen Sorten zu verlangten groͤßern Sorten ge⸗ Die practiſche Rechenkunſt. gemacht werden, wenn man nur weiß, wie viel Unitaͤten der kleinern Sorte zu einer Urnitaͤt der groͤßern Sorte gehoͤren. 3. E. man kann mit 192 & (weil ſo viel Pfennige zu 1 g gehoͤren,) eine jede gegebene Anzahl Pfen⸗ nige zu mg, mit 48, eine gegebene Anzahl Schillinge „ zu Rthlr. mit 112, eine Anzahl Pfunde zu Cent. u. ſ. f. machen. . Anm. Es muͤſſen aber auch alle Reſte, wie in voriger Aufgabe, den Namen der Sorte des Dividendi erhal en. d. i. wenn man im Dividendo Unitaͤten hat, welche Pfennige heiſſen, ſo muͤſſen auch Pfenni⸗ ge; wenn Schillinge, ſo muͤſſen Schillinge; wenn Pfunde, ſo muͤſſen Pfunde uͤbrig bleiben u. ſ. w. Proba. 2 1 60° ms 1 2 9 6 0 Fac. 3 4 5 6 7 ſs iſt dem vorigen Dididen- do voͤllig gleich. Auf dieſe Art kann eine jede Diviſionsaufgabe gepruͤft werden; wenn man naͤmlich den Quotienten mit dem Diviſore multiplicirt, und den Reſt zum Producte addiret (§H. 152.) 2 =èð 2) Man ſoll 4 5 678 O zu ma machen. Solutio. 192 — — —— 45 678 3.8 4 ‧. O. 237 4 666 22.4. 5.7 6G6 1518 1 3.4 4 12 -— 1748 4G 2“ 54 4.8 6 % Weil Weil 192 Lient gebli eitet 1 ot ! 1971 Ai. 6 ten al 3) Es ſ⸗ ) Wen 5) Mache 6 Wed ) Wer 3) Wie 9) Wie 10) Wi Aum. 1 1 Gie el zu einer hren. 3. fennige zu. zahl Pen⸗ Gchliage t zu Vnt. in priter Diyvidendi pitgteg hat, f Pfenti⸗ hillinge; de v. ſ. d. enDiciden⸗ gleich. obe gepruͤft en mit bem n Praducte , Die praetiſche Rechenkunſt. 221 Weil 192 H 1 g, ſo ſind die gegebenen & mit 192 dividiret worden, da dann 237 g zum Quo⸗ tienten gekommen. Es ſind aber noch 174 uͤbrig geblieben; weil es aber nicht ſchicklich zu ſagen: 237 mg 174 Q, indem zwiſchen den ig und noch eine Sorte Unitaͤten vorhanden, die man ſe heiſſet; 1 ſs aher 12 ”; ſo ſind dieſe uͤbriggebliebenen 174 & auch mit 12 dividiret, da dann noch zum Quotienten 14 ſs hinzu gekommen, und noch 6 & pro Reſto geblieben, mithin iſt das ganze Facit 237 M& 14 ſs 6 ˙. Anm. So verfaͤhrt man allemal, wenn diekleinſßen Sor⸗ ten auf einmal, wie hier mit den Pfennigen geſche⸗ - hen, zu den groͤßten Sorten gemacht wer⸗ den. Man macht immer den erſten Reſt der klein⸗ ſten Sorte, zu den auf die groͤßten folgende klei⸗ nern Sorten, und zwor ſo wie ſie nach der Ordnung auf einander folgen. 3) Es ſollen 874321 & zu Rthlr. gemacht werden. 4) Wie viel Thlr. MWι und & ſind 87643 ₰2 5) Mache 23692876 Bremer Grot zu Thlr.! 65) Wie viel ſind 3456789 Schwaren Thlr.?2 7) Wie viel Schifftb, Lſt und ſy ſind 23068 F? 8) Wie viel Centner, Lſt, und ſt ſind 31482. IB2 9) Wie viel ſt, Loth und Quentin ſind 45893 Quentin? 70) Wie viel Laſt, Wiſpel, Scheffel, Faß, Himten und Spint ſind 19971 Spint Rocken? Anm. Wer noch mehr von dieſer Art Aufgaben zur Uebung rechnen will, der kann nur zu den benamten Mul⸗ tiplicationsaufsaben, von No. ˖58 bis 89, die gewoͤhnli⸗ che Proben machen. Man mach die in dem Pacit ei⸗ ner jeden dieſer Aufgaben befindlichen klein ſten Sor⸗ ten zur Aufgabe, und fragt: wie viel dieſelben Uni⸗ taͤten der groͤßten Sorte enthalte? So wie mnmnun ſchon Leiehret worden. 2. Aufgaben, wo benamte ganze Zahlen mit unbenamten Zahlen zu theilen vorkommen. §S. 207. Wann eine benamte, und aus verſchie⸗ denen Sorten beſtehende Zahl, durch zine unbenamte Zahl 22;ʒ2 Die practiſche Rechenennſt. Zahil zu theilen, aufgegeben worden: ſo theilet man zuerft die groͤßten Sorten, was uͤbrig bleibt, macht man zu den naͤchſtfolgenden kleinern Sorten, und addirt die in der Aufgabe beſindlichen Unitaͤten derſelben Sor⸗ te darzu. Nun dividirt man auch die kleinere Sorte, und was hier uͤbrig bleibt, wird wieder, wie vorher, zur naͤchſtſolgenden kleinern Sorte gemacht, und auch die hieher gehoͤrigen und in der Aufgabe vorhandenen Unitaͤ⸗ ten derſelben Gorte darzugethan. — Was aber endlich von der kleinſten Sorte noch abrigbieidt, das wird im Bruch geſetzt. Z. E. Man ſoll 346 mL 6 ſs§ 4 & durch 3 Geien. Solutio. 346 mg 7 6 4 ₰£ Fac. 115 MS 7 ſs 9 ½ ₰ Theile erſtlich die 346 m’s durch 3, ſo kommen 115 n, da aber das Product 3 ¼ 115 = 345, ſo bleibt von 346 noch 1 M§ uͤbrig, dieſer ins hat 16 ſz, hie⸗ zu die nebenſtehenden 7 ſ6 = 23 ſö. Nun ferner 3: 23 = 7, und 3 b 7 = 21 von 23 bleibt 2 ſg. Dieſe 2 ſs ſind 24 Q, hierzu nebenſtehende 4 2 8. Nun: 3:28=9, und 3 “ = 27 von 28 bleibt 1 ”; die⸗ ſen im Bruch geſeht = , ſo iſt geſchehen, was ver⸗ langt worden. Bew. Es iſt hier von allen im Dividendo vorhande⸗ nen Marken, von allen Schillingen, und auch von allen Pfennigen der 3te Theil genommen, und im Quotienten gebracht worden. Mithin iſt auch dieſer Quotient gleich dem 3ten Theile des ganzen Dividendi: Folglich iſt auch geſchehen, was ver⸗ langt worden. zuß. Daß aber der Quotient wirklich der 3te Theil des gegebenen Dividendi ſey, wird auch wahr befunden werden, wenn man den Quotienten wieder 3mal nimmt, da ſich dann der Dividendus, zum Zeichen der Richtigkeit, wieder ſinden wird. Z. E. . de. 39 Da dief voͤllt Quot 11) Mn 12) Ve⸗ 1 14) Vas e Geet 13) Wn 39. Aitſir died h Und nehe 6 nung der die 3 A datzu n 45. D iben n n Err 1 Urden nan zuert St man zu addirt die en Son⸗ te Gorte, ther, zur dauch die en Unitce ir endlich das wird nmmen 115 „„ heißt 6 ſ, hien ſerner 3: . Dicſe ,29. Nun: was vens vporhonder Und ouch iſt anch e ganzen ws den Thei des rbefunden eder 3mdl. „ Die practiſche Rechenkunſt. 223 Proba. 115 W 7 ſs 9 3 %= 1 Fac. 346 8 7 ſs 4 & 28 12),—— 2 ſ 4 § Da dieſes Facit dem Dividendo der vorigen Aufgabe Quotienten geſchloſſen werden. 11) Man theile 4567 Thlr. 57 Grot. 4 Schwaren mit 41 12) Wie viel betraͤgt der 7te Theil von 2980 Thlr. 12 13) Wi⸗ groß iſt der 8te Theil von 5867 Rthlr. 19 ſs 14) Was betraͤgt der ote Theil von 896 Lvl. 18 ſvl. 3 Grotol. ¹ 5) Man ſoll 396 Centner 5 Lft 3 K durch 10 theilen! Solutio. . 39.6 Ct. 5 Lb 3 . 6 Ct. = 4 8 ’H 10) . 4 Fac. 39 Ct. 5 Lſt 4 f — è5 t 3 B = 42 b 3 =4,5 Weil hier die r nicht dividirt. (§. 157.) ſo bleiben, füͤr diie O., die 6 Centn. uͤbrig, welche mit 8 zu Lſt gemacht, 6 ◻ 8 48 T 5= 53 Lf. Dieſe, durch Abſchnei⸗ dung der 3, fuͤr die o, getheilt, giebt 5 Lf; ferner die 3 L† mit 14 zu ſ, und die nebenſtehenden 3 darzu addirt, als: 3 σ 14 = 42 b α 3 b:= 45. Dieſe getheilt, wie vorher, kommen 4 t, und bleiben noch 5 b uͤbrig. Weil dieſes nun die klein⸗ ſten Sorten ſind, welche vor dieſesmal verlangt, ſoo werden ſie im Bruch geſetzt, wie die Solutio deutlich zeiget. 16) Theile 4965 Thlr. 21 96 9 durch 100! (§. 158.) 17) ⸗ 55678 Rthlr. 47 ſ5 6 ϑ durch 1000! . 18) voͤllig gleich, ſo kann daraus die Richtigkeit des und nebenſtehende 5 Lft darzu gethan werden, als: 224 Die pracliſche Rechenkunſt. 18) Man theile 456 Lvl. 13 ſvl. 9 Gyl. durch 20. (§. 1597 und Aufg. 37 und §. 160.) 49) Ein Sohn fragt ſeinen Vater: wie alt das von ihm bewohnte “ ſey? Sohn, ſagt der Vater, wenn unſer Hans 30 mal ſo lange geſtanden haben wird, als es ſchon itzt ſtehet, ſo wird es das Alter von unſers Nachbars Hauſe haben, welches nun 66 ZJahre 6 Monat 10 Tage, 21 Stunden 50 Minu⸗ ten geſtanden hat. Wie alt war das Haus? 80) Wie alt bin ich nun? fragt ein Sohn ſeinen Vater. „Wenn du noch 9 mal ſo lange leben wirſt, als du ſchon gelebt haſt; ſo wirſt du ſo alt ſeyn als dein Großvater geworden iſt, welcher in einem Alter von 101 Jahr 1 Monat 21 Tage 9 Stunden geſtorben⸗ Nun kanſt du berechnen wie alt du biſt“s⸗. 21) Palzer hat einen Korb voll Aepfel und wird von ſei⸗ nem Bruder gefragt: wie viel derſelben ſind? Du darfſt nur, erwiederte Balzer, die Anzahl Aepfel, welche in unſers Vaters Aepfelkammer liegen, be⸗ ſtehend aus 198 Schock 2 Mandein und 10 Stuͤck, mit 40 dividiren, ſo wirſt du die Anzahl der meini⸗ gen finden. Wie viel waren der Aepfel? 22) Knabe, der Thurm nach deſſen Hoͤhe du frageſt, iſt 50 mal ſo hoch als du, ſagt ein Alter. Wenn nun der Thurm 245 Fuß 10 Zoll hoch; wie groß war der Knabe? 23) Ein Kornhaͤndler verkauft von 298 Laſt 2 Wiſpel 6 Scheffel o Faß 1 Himt Weizen den boſten Theil. 1) ⸗Wie viel hat er verkauft? 2) wie viel behaͤlt er noch? Anm Man kann ſich die Disiſion in benamten Zahlen bey Aufgaben, den Divſores in ſolchen Zahlen gegeben worden, die ſich zerfaͤllen laſſen, durch ſolche Zer⸗ faltens eben ſo wohl erleichrern, als bey der Divi⸗ ſion in nubenamten Lanzen Zahlen geſchehen . 164) 3. E, 9 Man Na 356T 6 8 1 12 1 24) W 3. Auf 62 aus vet ſor aber darf mat den, De as daß et dem ſetzet por 2 ) Wir — 2 Wi G15 t das ven der Vate, nden heten. 6 das Alter hes nun 66 150 Mun 167 inen Vefet. ſt, als da N s ein n Alter von⸗ 1 glſfuthe⸗ wird ven ſnd! Du aht Neyfel, ſn, ber d wEde⸗ det mein⸗ 6 fanhel, iſ Wena dunm bie groß war : Wiſpel ſten el. ,zihlen be gegehin ſolche⸗ ze deß⸗ 1 ſer Mi⸗ en gfſcehen Man Die prattiſche Rechenkunſt. 225 Man theile 256 T hlr. 56 Grot 4 Schwaren mit 21 (3 —☛☚7 oder 7 2 3). I. Solutio 2. Solutio. ) 256 Thlr. 56 Grt. 4 Schw. oder 256 Thlr. 56 Grt 4Schw. —— 32 7) . 8 5 42 4 ¾ 36 % 49 ¾ 12 7) 12 Thlr. 16 Grt. 2 ¾. S. 3) 12 Thlr. 16 Grt. 2 (S§F. 148. Reg. 5.) 24) Was betraͤgt der 42ſte Thl. von 346 Centn. 5Lſt 4 k ?2 3. Aufgaben, wo der Diviſor aus 3 oder mehr unbenamten Ziffern beſtehet. §. 208. Kommen Aufgaben vor, wo der Dividendus aus verſchiebenen benamten Sorten; der Divi- ſor aber aus etlichen unbenamten Ziffern beſtehet; ſo darf man nur in allen verfahren, wie §. 207. gelehret wor⸗ den. Denn es iſt hier kein Unterſchied in der Berechnung, als daß man den Quotienten neben den Dividendum un⸗ ter dem Diviſor ſetze, ſo wie jener unter den Strich ge⸗ ſetzet worden. Z. E. 25) Man ſoll 346 M8 12 ſ. 6 & mit 124 theilen. olutio. 12 4 — — 346 6 12 66& n6 ra S433 248— 248 „8 588 1580 124² 340 2.4.8 Sõ 184 TIIO . . 6.9.2 P —— 226 Diie practiſche Rechenkunſt. Nach der Diviſion mit 124 in 346 mg ſind zum Qua⸗ tienten 2 Ms gekommen, es ſeude aber noch uͤbrig ge⸗ blieben: 98 mg, dieſe ſind zu ſe gemacht, die im Dividendo vorhandenen 12 ſ5 darzu gethan, und alſo die Diviſion in die 1580ſs ferner vollfuͤhrt wor⸗ den, da dann zum Quotienten noch 12 ſo hinzugekom⸗ men. Noch ſind 92 ſ uͤbrig geblieben, weiche zu gemacht, die im Dividendo vorhandenen 6 dazu gethan, und ſodann die Diviſio vollendet worden; da dann noch 8 4 4½ zum Quotienten hinzugekommen. 68. 209. Weil es ſi aber oft zutraͤgt, daß nach der Diviſion ein aus vielen Ziffern beſtehender Bruch uͤbrig bleibt, ein ſolcher aber nicht ſo leicht zu verſtehen, als wenn er aus wenig en Ziffern beſteht, ſo will ich hier zei⸗ gen: wie man dergleichen Bruͤche verkleinern koͤnne. Wenn zu Folge der gten Regel §. 148, zwey oder meht Zahlen mit einen gemeinſchaftlichen Diviſor ge⸗ theilet werden koͤnnen, ohne daß dadurch die Verhaͤltniſſe der Quotienten gegen die Verhaͤltniſſe der getheilten Zah⸗ len aufgehoben werden, es mag ſolche Theilung auf ein⸗ oder mehrere male geſchehen: ſo kann das Verhaͤltniß eines durch gemeinſchaftlichen Theiler verklei⸗ nerten Bruchs, gegen einen unverkleinerten Bruche, welcher aus zwey im Verhaͤltniß ſtehenden Zahlen, deren eine der Zaͤhler, die andere der Nenner iſt, de⸗: ſtehet, ebenfalls nicht aufgehoben werden. Z. E. Man verkleinere den gemeinen Bruch 4 durch den gemeinſchaftlichen Diviſor 16 auf einmal. Sage 16 in den Zaͤhler 16 habe ich 1 mal, und 16 in den Nen⸗ Rer 32 habe ich 2 mal, ſo entſtehet der verkleinerte Bruch ½ welcher dem unverkleinerten Bruche 4* vollkommen gleich iſt, weil deſſen Verhaͤltniſſe zu einander gar nicht aufgehoben worden. Denn wie der Zaͤhler des verkleinerten Bruchs 1 ſich zu den Zaͤhler des unverkleinerten Bruchs 16 ver⸗ haͤlt; eben ſo verhaͤlt ſich auch der verkleinerte Nen⸗ RBes 2/ 1 ¹ (1: kleiner ſchauch ie Zahl gern. Eb⸗ Verkt gemeil jen wil S 32=1l 418(de ſo entſt I, und lleinſte und 1 e Du. auf me kleine wie Kere Aemacht ch den 1 det auſge ht ſorhen laͤrgen Brug det, d dinie, hzum Qns dchuͤbrig ge⸗ cht, die im ethen, und blfüͤhrtner⸗ hinzugkeme 1, weice zu gen6 glazu worden; da ugekommen, aß nach der Broch uͤbrig tſtehen, 6 icß hier ei ern konnt. wey odut Diriſor ge⸗ Verhaltniſe heiten Zah⸗ g auf ein⸗ Verhältniß . t vetkle ten Gruch, den Zußen,. ner ſ det 3 durch den l. Se ia den Men⸗ tkleinerte auche 45 leniſſe in n. Dent che Ne it ts 4 Die praetiſche Rechenkunſt. 227 ner 2 zu den unverkleinerten Nenner 32, als: : 16 =– 16 2— – Heoder: wie ſich der Zaͤ 2 6 die ſich der Z hler des unver⸗ kleinerten Bruchs zu deſſen Nenner verhaͤlt, ſo verhaͤlt ſich auch der verkleinerte Zaͤhler zu degenRehner aͤ die Zaͤhler beyder Bruͤche ſind die Haͤlfte von ihren Nen⸗ nern. Folglich iſt ? = . Eben daſſelbe wird ſich erweiſen „ wenn man auch di Verkleinerung des Bruchs ½ nach gerade, mt. zem inſchaftlichen Zahlen, z. E. mit 2, 4 und 2 thei⸗ ien will. ”M”MV Sage; 2 in den Zaͤhler 16— 8 und 2 in den Nenner 32 = 16, ſo entſtehet vorerſt der Bruch: .. Ferner 4:8 (den Zaͤhler) = 2, und 4: 16 (den Nenner) — 4, ſo entſteht der ate Bruch 2¾. Endlich 2: 2 (den Zaͤhler) = H 1, und 2: 4 (den Nenner) = ſo entſteht der moͤglichſt kleinſte Bruch 4. Auch ſind alle die Bruͤche 1 ½, 3, 3 und ½ einander voͤllig gleich. 15*, 2 Juſ. Es iſt, wie aus vorhergehenden Beyſpiele zu ſe⸗ hen, gleich viel, ob man einen Bruch auf ein, di enl mehr male durch gemeinſchaftliche Theiler ver⸗ kleinert. Wie ein jeder Bruch, der nicht unverklei . . . 1 neerlich iſt, zu verkleinern. §. 210. Man mache hinter den Bruch, welcher kleiner gemacht werden ſoll, eine Perpenticularlinie] und ſetze, nach dem man Ueberſchlag gemacht, was fuͤr eine Zahl ſo wohl im Zaͤhler als Nenner des Bruchs ohne Ra aufgeht, dieſelbe Zahl als gemeinſch aneichr, Pien ſor in einen Bogen „vuͤber die gemachte Linie? und ver⸗ laͤngere auch ſodann den Querſtrich des vorhandenen Bruchs, welcher Zaͤhler und Nenner von einander ſchei⸗ det, damit man uͤber denſelben, hinter, die gemachte Linie, den neuen gefundenen Zaͤhler, unter denſelben 228 Die practiſche Rechenkunſt. aber deſſen Nenner ſetzen koͤnne. Hat man auf ſolche Art einen neuen, aber kleinern Bruch, als der vorige war, gefunden: ſo kann man noch ein oder mehrmal ver⸗ ſuchen, ob ſich zu ſolchen verkleinerten Bruche noch ein gemeinſchaftlicher Divifſor finden laͤßt, um denſelben auf die naͤmliche Art noch kleiner zu machen. Findet ſich aber keine Zahl mehr „ wodurch ſo wohl der Zaͤhler als Nenner ohne Reſt aufgeht; ſo iſt der kleinſte Bruch, der moͤglich war, auch ſchon gefunden. Z. E. è Man ſoll den Bruch In der erſten Solutjon iſt erſt durch den gemein⸗ ſchaftlichen Diviſor 5 der verkleinerte Bruch 212 gefunden; dieſen durch den gemeinſchaftlichen Thei⸗ ler 3 verkleinert, iſt der noch kleinere Bruch *. ent⸗ ſtanden; dieſen abermal mit 3 auf eben die Art verklei⸗ nert, iſt der noch kleinere Bruch ε gekommen; und dieſen nochmals mit den gemeinſchaftli ſchen Theiler 7 verkleinert, iſt der kleinſte Bruch erſchienen, welcher ſich darum nicht kleiner machen laͤßt; weil keine Zahl mehr vorhanden, die ſo wohl in den Zaͤ Nenner 5 ohne Reſt aufgehet. = In der 2ꝛten Solutio iſt dieſe naͤm liche Arbeit durch die gemeinſchaftlichen Diviſores 7 und 5§5 und 9 ver⸗ richtet und eben derſeibe verkleinerte Br hler 4 als auch in deſſen ie Urſach aber, worum beyde Solutiones am Ende einerley verkleinerte Bruͤche gebracht, da doch vor⸗ ſchiedene Theiler hierzu gebraucht worden, laͤßt ſich leicht ſinden, wenn man ſich uur alle dieſe verſchie⸗ denen Diviſores als ſolche Theile, die durch Zerfaͤl⸗ lung eines einzigen Theilers entſtanden, vorftellet. In der erſten Solut. ſind die gemeinſchaft⸗ lichen Theiler 5, 3, 3 und 7, in der zten aber Kn hat, 6 mittelt gelehtet. habe, Zahlen: u vertei 3 6 R Hie Btuch ſon ſih⸗ werden t der gen iu verf ſelhaften ſilender m auf ſolche lder vorige ſehmma ver⸗ en Bruche or finden ch kleiner hr, wonrch eſt auſcht; ,auch ſhen m gemein ichen Dher ch S int⸗ t verklei⸗ nmen; ud n Wheiler7 ſen, ſelchet Zafinehe * in ſen Pietdutch † d 9 ver e eſce s ene dech ve Uſtfi gelfel ch Zel htie. einſchaft⸗ in . Die practiſche Rechenkunſt. 229 und 9 gebraucht worden. Maltiplieirt man nun die⸗ ſelben in einander, als, 5 23 σ3 *7— 315 und auuch 7 5 & — 315, ſo ſiehet man klar, daß ſo wohl dieiie einzelnen Diviſores der 1ſten Solur. als auch die, der zwoten, den groͤßten Diviſor 315 geben, wodurch ich der gegebene Bruch auf einmal verkleinern läßt? und den Bruch 2 giebt, als; 315: 1260 — 4, und 315: 1575 — 5„ R H §. 211. Es giebt aber auch Faͤlle, wo es das Anſehn hat, als ob man durch dergleichen Verkleinerung ver⸗ mittelſt willkuͤhrlicher Theiler, auf die Art, wie eben gelehret worden, den kleinſten Bruch ſchon gefunden habe, weil von allen zum ſernern Verſuche gebrauchten Zahlen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und II, keine in den verkleinernden Bruch ohne Reſt weiter aufgehen will. Man ſoll den Bruch 123 verkleinern. Solutio. 14 S Hier hat der durch die Diviſion mit 2 entſtandene Bruch † voͤllig das Anſehn, als ob er der kleinſte ſchon ſey; weil deſſen Zaͤhler durch keine der Zahlen 2 bis 11 ferner zu verkleinern iſt: und doch iſt dieſer Bruch bey weiten der kleinſte noch nicht, der gefunden werden kann. Daher ſiehet man, daß noch eine an⸗ dere genugthuendere Art, dergleichen Bruͤche zu verkleinern, noͤthig iſt, um ſie bey ſolchen zwei⸗ felhaften Faͤllen gebrauchen zu koͤnnen. Sie beſtehet in ſolgender negel: Man dividire den Zaͤhler des Bruchs in deſſen Nenner, den nach Abzug des Pro⸗ ducts erfolgten Reſt in den vorherigen Di⸗ viſor, und fahre, mit Wegwerfung des Quo⸗ tienten, mit ſolcher Diviſion ſo lange fort, bis ſich ein Divifor findet, in welchen alles P 3z ohne 2329 Die practiſche Rechenkunſt. iſt eben derſelbe, wodurch ſich der gegebene Bruch auf einmal verkleinern laͤßt. Z. E. Zaͤhler 1234 — 2468 Nenner des vorigen Bruchs. 2 5 Hier geht der Zaͤhler in ſeinen Nenner ohne Reſt auf, deswegen iſt en auch der gemeinſchaftliche Theiler, Ddurch welchen ſich der gegebene Bruch auf einma.l zu Deen kleinſten machen laͤßt. 3. G S 1234 4 S 214 4 Iſt demnach 43¾ = ½ und alſo weit kleiner als der vorher unverkleinerlich ſchei⸗ nende Bruch nα. Noch ein Exempel wird die Sack Man ſoll verkleinern den Bruch: 32 252 — 5 I 2 x 1 je deutlicher machen. 2 2 TX6 352 2. I1I60 X X 8058 Weil hier durch den letzten Diviſor 32 alles aufgeht, ſo iſt auch dieſer der gemeinſchaftliche Theiler, durch welchen der gegebene Bruch auf einmal zu verkleinern iſt: als 32 l Anm. Bruͤche, welche ſich ſo wenig nach F. sre. als nach eben bezeichneter Art verkleinern laſſen, ſind unver⸗ kleinerliche Bruͤche. Mehr von Verkleinerung der Bruͤche, und was dahin gehoͤret, zu ſagen, iſt hier der Ort nicht, weil ich mir vorgeſetzet, in dieſen . Theile nicht mehr von Bruͤchen zu lehren, als was 6. unumgaͤnglich noͤthig iſt. Das uͤbrige kuͤnftis ber der ausfuͤhriichen Lehre von den Bruͤchen. 26, ohne Reſt aufgeht. Ein ſolcher Divifor nan Hiet Mn 30) ie 0 thil le1 den Und i ſelhe d weder Buc war. theilſe 1 Man ſelz 29) Ditti K Hon han gegebene 3. ruch, nt Reſtunf, he Thaln, tinmal zu 1 weit lich ſchet⸗ het machen. fes auſeet ſe Theilt, einmel il , ell nach ind under⸗ erkleineruns ſagen, m, alt ms Die praeckiſche Rechenkunſt. . 2 ðð Solutio. r 2 2 6— 2 8⁸ 8 Rthlr. 39 65 10 H 1kXkXk H Hier iſt nach verrichteter Diviſion der Bruch durch den gemeinſchaftlichen Diviſor 2 verkleinert und in H verwandelt worden. Weil nun der⸗ ſelbe durch keine Zahl weiter verkleinert werden kann, woeder nach §. 210, noch nach §. 211, ſo iſt dieſer c auch der kleinſte, der zu finden moͤglich ar. Z SS 27) Man ſoll 2467 Thlr. 54 Grst 3 Schwaren mit 336 V theilen. 28) Man nehme den 433ſten Theil aus 999 Laſt 1 Wi⸗ ſpel 5 Scheffel 1 Himt 2 Spint Gerſten. 29) Dividire 989 Jahr 10 Monat 2 Wochen 6 Tage bis zu den kleinſten Zeittheilen mit 533. 20) Eben ſo: 4444 Jahte mit 1456 1 Pp4 32 232 Die praetiſche Rechenkunſt. 31) Was betragt der 1221ſte Theil von 1643 Zlimmer 3 Decher 9 Stuͤck? 32) Was von 9876 Ballen Druckpapier der 236 5ſte Theil? “ 33) Dividire 847 Schiffſtb 19 Lſt 8 fb mit 252! 34 ⸗5543 Mark 23 Karat 2 Gran 2 Graͤn Gold mit 212! “ 35) ‧ 399 Mark Gold mit 183. 4. Aufgaben, wo der unbenamte Diviſor groͤßer, als die groͤßten Sorten bes benamten Di⸗ vigendi, iſt. §. 212. Wenn Aufgahen zu dividiren vorkommen, wo der unbenamte Diviſor groͤßer iſt, als die er ſte Sorte des benamten Dividendi, ſo muͤſſen dieſe groͤßern Sor⸗ ten, worinnen nichts genommen werden kann, zu den naͤchſtfolgenden kleinern Sorten gemacht werden; und daferne dieſer Anzahl noch zu klein, um darinn et⸗ was nehmen zu koͤnnen, ſo macht man auch dieſe zu noch kleinern Sorten ze. Uebrigens iſt bey der Diviſion ſelbſt nichts weiter zu beobachten, als was bereits gelehret worden. Z. E. Man ſoll 36 Thlr. 45 Groten 2 Schwaren mit 3496 heilen. SE Solutio “ 3496 —— 3 6Thlr. 45 Grt. 2 Schw. k. 3 424 Schwaren ?—2² — 2 637 Groten . - 13187 Schw. 1/0.4.8.8 2 6 72699 D 3496 den bene lanhet, n Lgen ble Merden, Dicris lbſ n 433 lame der ſte † z21 n 2 Gis or groer, en Di- mmen, we erſte Gorte Gßern Cor⸗ 1, iu den Nt Gecden; derinn et⸗ h dieſe zu 8 weiter u 1. J. E. iit 3495 Die praetiſche Rechenkunſt. 233 Hier konnte mit 3496 in 36 Thlr. nichts genommen werden, deswegen mußten dieſe 36 Thir. mit 72 zu Groten gemacht und nebenſtehende 45 Groten darzu gethan werden. Weil aber auch 2637 Groten eine noch zu kleine Summe war, um mit dem Diviſore darin theilen zu koͤnnen, ſo ſind die⸗ ſe Groten zu der folgenden Sorte, zu Schwaren gemacht, da dann endlich eine Summe erfolgt, wo⸗ rinn der Diviſor 3mat genommen werden konnte. Der Reſt gab einen unverkleinerlichen Bruch, wel⸗ cher, ſo wie er war, im Quotienten geſetzt werden mußte. 36) Theile 77 Mark 14 Loth 3 Quentin 2 Silber mit 8151 37) 896 Mark dito mit 945! = 38) ½ 9999 Schock 3 Mandel 13 Nuͤſſe mit 12222! 39) ½ 8888 Schock Aepfel mit 9945! g0o) ⸗ 7896 Ahm 2 Anker 3 Viertel 1 Stuͤbchen Wein mit 8946! 41) Wie viel iſt der 83233ſte Theil von 678 Fuder 5 Ahm Wiein? 3 Aufgaben, wo ganze benamte Zahlen mit ganzen benamten Zahlen getheilt werden. §S. 213. Sollen benamte ganze Zahlen durch be⸗ Rnamte ganze Jahlen getheilt werden, ſo faͤllt, im Auf⸗ ſatze ſolcher Aufgaben, der Name der Unitaͤten des Divi⸗ ſoris, fuͤr deren jeder Unitaͤtman einen Theil aus den benamten Sorten des gegebenen Dividendi ver⸗ langet, weg. Die Namen der Sorten des Dividendi hin⸗ gegen bleiben, und muͤſſen in der Solutio mit angeſetzet werden, weil das Facit den fuͤr jede Unitaͤt des Diviſoris beſtimmten Theil enthalten, und alſo auch aus denſelben Sorten, welche im Dividendo vorhan⸗ den, beſtehen muß. Uebrigens faͤllt bey der Diviſtion ſelbſt nichts unbekanntes vor. Z. E. 5 es 234 Die practiſche Rechenkunſt. Es ſollen ſich 5 Bremer Erben in 7896 Thlr. 63 Gro⸗ ten 4 Schwaren theilen. Wie viel bekommt jeder Erbe? Solutio. 7896 Thlr. 63 Groten 4 Schwaren Fac. 1579 Thlr. 27 Groten ½¾Schwaren. Hieraus ſieht man klar, daß die benamte Zahl 5 BHrremer Erben in die unbenamte Zahl 5 verwan⸗ delt, ſo angeſetzt, und damit zu erſt die Thlr. gethei⸗ let werden; aus den uͤbriggebliebenen Thaler = 72 Groten +63 Groten = 135 Groten iſt ebenfalls der .te Theil = 27 Groten dem Quotienten beygefuͤget worden. Endlich ſollen auch die noch vorhandenen 4 Schwaren durch 5 getheilet werden, weil aber 5 in 4 nicht angehe⸗ ſo iſt daraus der Bruch ½ Schwa⸗ ren entſtanden (§. 156. Zuſ. 2.) Das gefundene Pacit iſt alſo der richtige Fte Theil welcher einen jeden Erben aus der ganzen Erbſchaft zukommt. 42) Drey Arbeiter ſollen einen Graben von 344 Ruthen 8 Fuß lang machen. Wie viel Ruthen, Fuß und Zoll kommen auf einen Arbeiter? 43) Fuͤnf Handelsfreunde, welche in ihre Compagnie⸗ Handlung eine gleiche Summe geſchoſſen haben, beym Jahrſchluſſe einen Avancement von 61496 me 5 ſs 6 & zu theilen. Was bekommt jeder? 44) Wie viel Louisd'ors laſſen ſich, à 5 Thlr. gerechnet, fuͤr 23470 Thaler einwechſeln? Wenn 5 Thlr. = I Louisd'or, ſo muͤſſen auch den Iten Theil ſo viel Louisd'or, als Thaler vorhanden, eingewechſelt werden. 45) Wenn 7 Kinder ihren vaͤterlichen Nachlaß, beſtehend in 145678 10 ſs, zu theilen haben: Wie viel bekommt jedes Kind? S 46) In Berlin werden 847896 Groſchenſtuͤcke geſchla⸗ gen; Wie viel ſinds Thaler? e M. beſe 9) W 444. ler; 350 Ein len te 4) We⸗ Bun 59) Er Kii 6. Auſg Sen Auſgobe aufiöſen ſung me Rechnung Aſſen ſch Nath geͤ auf die der Auf⸗ e un t. 63 Gre⸗ eder Erbe? n. te zahl , 1 vertan lr gethen ler /2 henfalss der begeſugen handenen⸗ aber 5 in 4Schrn Felhal 1 ragin⸗ Nurthen g6 und Lomnpaynte⸗ ni en mgnt, . 6ſinenh ls Tholer ,lefehend Ver viel e geſctl⸗ Die practiſche Rechenkunft. 47) Fuͤr ein Capital von 179008 Rthlr. ſollen 64 Haͤuſer gebauet werden. Wie viel muß zu jedem Hauſe an an⸗ gewandt werden? 48) Es ſollen zu einem bevorſtehenden Kriege von einen Monarchen 22 neue Regimenter geworben werden. Wenn nun hierzu eine Summe von 2170740 Thlr. beſtimmt ſind: Wie viel zu einem Regimente? 49) Wenn 26 Kaufleute zu Ausruͤſtung zweyer Schiffe 424970 Rthlr. zuſammen bringen: Wie viel hat je⸗ der zu dieſer Summe beygetragen? 50) Ein Papiermuͤller ſchickt 63 Buchdruckern 489 Bal⸗ len 1 Riß 6 Buch 10 Bogen Druckpavier. Wie viel bekommt jeder? 31) Wenn an 54 Regimenter 6909 Schock 1 Mandel 3 Bund Stroh vertheilet werden: Was bekommt ein Regiment? 52) Es werden 465 Schock 3 Mandel Zitronen in 45 Kiſten gepackt: Wie viel in Eine? 6. Aufgaben zur Uebung, wo mehrere Speciss vorkommen. §. 214. Es kommen im gemeinen Leben nicht immer Aufgaben, welche ſich durch eine Rechnungsart allein aufloͤſen laſſen, ſondern auch oft ſolche vor, zu deren Auf⸗ loͤſung man zween, drey oder wohl gar alle vier Rechnungsarten gebrauchen muß. Fuͤr ſolche Aufgaben laſſen ſich nun freylich keine Hauptregeln, wohl aber der Rath geben: daß man vor allen Dingen genau auf die Frage: ſodann aber auch auf die in der Aufgabe vorkommenden Data merke, wel⸗ che, um die Frage aufloͤſen zu koͤnnen, als ber kant gegeben worden. Dieſem Rathe zu folge, wird ſich bey reifen Nach⸗ denken, welches ein Arithmetikus uͤberall haben muß, von ſelbſt zeigen: welche Rechnungsarten man bey einer Aufgabe gebrauchen; mit welcher man aufange, und mit weicher man endigen muͤſſe. 236 Die practiſche Rechenkunſt. keinen Weg zur Solution zeigen wollen. 33) Ein Kaufmann verkauft fuͤr 9745 9 ſo 6 O& Coffee; ſuͤr 4879 8 12 ſs Thee; fuͤr 9960 2 15 ſ 6 H Zucker. Setzt die geloͤßte Summe wieder um, und Frage: 1) Wie viel hat er fuͤr Roſinen angelegt? 2) Wie viel blieb von dem geloßten Gelde uͤbrig? G Solutio Verkauf. “ Einkauf. Caffe 9745 9 ſ6 6 Q Roſ. 8195 m 7 ſs - G Thee 4879 12⸗— Cand. 7983 4 9 Zucker 9960 ⸗156 2 Reiß 8039 ⸗10⸗— X Verk. 24586 Mg 5ſe — G Eink. 2421 . E 5. ſͤ 9 ⸗ 3 1. Fac. 8195 8’ 7 6β - & 448 2 5S 2. Fac. 367 15 ſs 3 & Erſtlich ſind alle 3 Poſten des Verkaufs in eine Summe gebracht, und von dieſer der 3Zte Theil ge⸗ nommen worden, welcher die Antwort zur 1ſten Fra⸗ ge gegeben. “ . 2) ſind auch alle 3 Poſten des Einkaufs in eine Sum⸗ me gebracht, welche von der Verkanfſumme abgezo⸗ gen worden, welcher Reſt die Antwort auf die 2te Frage gegeben, naͤmlich: 367 2 15 ſz 3 & als ſo viel der Ueberſchuͤß des geloͤſeten Geldes betruug. 54) Ein Berliner Juwelenhaͤndler verkauft 6 Ringe 156 Louisd'or; 6 Stockknoͤpfe à 5 Louisd'or und ein Paar Armbaͤnder fuͤr 395 Louisd'or. Von dem geloͤſeten wiederum ein, fuͤr 3498 Thlr. 23 0 8 & Steine, und fuͤr den Reſt, Gold. Frage 1) wie viel hat er in Caſſa behalten? 2) Wie viel Gold hat er gekauft? . Wink Anm. Von den Winken zur Solutio, welche den Aufgaben nachgeſetzt ſtehen, muß nicht eher Gebrauch gemacht werden, bis eigenes Nachdenken, uͤber die Aufgabe, kauſt: fuͤr der ganzen Summe Roſinen; fuͤr „ 7983 4 ſo 9⁹ Candis: fuͤr 8039 mà 10 ſs Reiß. W er Gelde behaͤlt er den 5ten Theil in Caſſa; kauft auch 57) Ein ben wele ken eſin diel r Wa PB en Aufeiben lch genucht die Auſerbe, 6Gfe; 1 ſt um, urd ſinen; ſir 1o 6 Reß. angelett? idde hhrig gtauf. rb- 4 191 10 3 156 — Liſ38 iite e Thell he⸗ ,Iſen gra⸗ eine Gumm⸗ ne obgezo⸗ ufbie 2t zgas ſ hetrng. ing tin ein ear 1 gelcſet ten fauft auch 2 Steine, lhtern 1n eknnf 1. Pint Die praetiſche Rechenkunſt. 37 Wink: Von der Verkaufſumme giebt der te Lheit in Louisd'ors die Antwort auf die 1ſte Fra⸗ ge. Das u½ von der ganzen Summe abgezogen und den⸗ Reſt zu Thaler gemacht, giebt die Sum⸗ me wovon der Einkauf der Steine du ſubtrahiren: der Reſt giebt Antwort auf die 2te Frage. 55) Ein wohlhabender Buͤrger beſtimmt in ſeinem Teſta⸗ mente den 24ſten Theil ſeines Vermoͤgens dem Wai⸗ ſenhauſe; von dem Reſte ſollen 3 ſeiner naͤheſten An⸗ verwandten jeber 1500 M§ haben, und das Uebrige ſollen ſeine 5Kinder zu gleichen Theilen empfangen. Wenn nun ſein Vermoͤgen in 255028 ms beſtanden: 1) wie viel bekommt das Wäiſenhaus, 2) wie viel jedes Kind? 56) Criſpin gebraucht zaͤhrich 2436 m8 12 ſs fur Wein; 9585 ms zum Spiele; 3346 § zu andern Ver⸗ gnuͤgungen. Wenn er nun findet, daß ſolche Ver⸗ ſchwendung ſeinem Wohlſtande nachtheilig, und ſich deswegen entſchl ießt: kuͤnftig g den Zten Theii am Wieine; den zten Theil am Spiele und den 6ten Theil an Vergnuͤgungen zu erſparen, von dieſen Er⸗ ſparten aber den Armen jaͤhrlich 500 m. zuflieſſen zu laſſen. Wie viel wird er dabey gewinnen? Wink: addire das Erſparte, ſubtrahire von der Summe die Armengelder, ſo wird der Reſt den Gewinn geben. 57) Eine alte Bettelmuhme hinterließ bey ihrem Abſter⸗ ben ihren 5 Kindern nichts als einen alten Rock, in welchen 99 Falten, in jeder Falte 99 Beutel, in de⸗ ren jeden 991 Fach, in jeden Fache aber 99 Scherfe befindlich. 1) Wie viel betrug der Nachlaß 2) wie viel erbte jedes Kind? 58) Freudenreich laͤßt eine Allee anlegen, welche 36445 Ruthen lang ſeyn ſoll. Wenn er nun die Baͤume 65 Fuß weit von einander ſetzen laͤßt, und jeder Baum 5 ſs zu ſtehen kommt: wie viel Rthir. koſten dieſe Baͤume? Wink: — — Ruthen *12= Fuß; dividire mit 6 giebt eine Reihe Daͤume Ma5. 190) 5 ſe ꝛc. 59) 238 Die praetiſche Rechenkunſt. 59) Wenn ein Berliner Nadler woͤchentlich 36000 Na⸗ deln verfertigte, und 20 Nadeln fuͤr 1 verkaufte: was wuͤrde er im Jahr, à 48 Wochen, fuͤr Nadeln loͤſen? 60) In einer kleinen Handlung wird woͤchentlich 758 m8S eingenommen: Wenn nun an dieſer Einnahme 10 Procent gewonnen worden, von dieſem Gewinne aber der Hausſtand, welcher monathlich 60 Rthlr. koſtet, gefuͤhret werden ſoll; wie viel wird der jaͤhrliche Ue⸗ berſchuß betragen? Wink von der jaͤhrlichen Einnahme den 10ten Theil — Ausgabe = Ueberſchuß. . §. 215. Oft kommen im gemeinen dLeben Faͤlle vor, wo man zu wiſſen verlangt: Ob die Zahl der Bewohner eines Ortes, oder Landes, in einer beſtimmten Reihe von Jahren, zu; oder abgenommen habe? Wie viel ein Guth, welches man zu kaufen geſonnen, jaͤhrlich eintrage? ꝛc. Um nun dergleichen Fragen zu beantworten, hat man das ſogenannte arithmetiſche Mittel noͤthig, welches da⸗ rinn beſtehet: daß man aus der Summe verſchiedener gegebenen Zahlen ungleicher Groͤße, durch die Divi⸗ ſion, mit der Anzahl der gegebenen Zahlpoſten, eine Mittelzahl, d. i. eine ſolche fſinde, welche, im Durch⸗ ſchnitt gerechnet, von ſolchen Inhalte iſt, als ob je de der gegebenen Zahlen, welche vorher un gleich er Groͤße waren, von einer und derſelben Groͤße waͤre. E. 91. Reg. 4.). Z. E. * Es waͤre bekannt, wie viel ein Guth, ſeit 10 auf einander⸗ſolgenden Jahren, jedes Jahr beſonders gerech⸗ net, eingetragen, und man verlangte demnach den jaͤhre: lichen Ertrag eines ſolchen Guthes, eines ins an⸗ dere gerechnet, zu wiſſen: ſo darf man nur die ſaͤmt⸗ lichen jaͤhrlichen verſchiedenen Eintraͤge addiren, und mit der Anzahl der Jahre, welche hier 10 ſind, divi⸗ diren, ſo wird der Quotient den jaͤhrlichen Ertrag eines ſolchen Guthes geben u. dergl. m. 61) Ein Landguth trug Ao. 1779 ein: 4188 ms 10 ſ 6 § Ao. 8o: 3559 m 38 6;; Ao. 81: 4684 mg 15 geln, Grun hl u dn ders od Na Nwerkufte: für Nadeln ich n innahmme 10 twinneaber thlr. boſtet, ſihrlche le⸗ den Ioten Fale vor, Bewehner 1 Neihe von ein Guth, atrage? u. hat man das weſches dar chiedenet die Divi⸗ ſten, eme Diie practiſche Rechenkunſt. 259 15 ſ 6 9; Ao. 82: 2990 8 10 ; Ao. 83: 5486 Mmg 11 ſ8 9 &; Ao. 84: 3439 8 7 ſ8 3 §: Ao. 85: 4896 mMs 766; Ao 86: 7432 8 15 ſ 9 Q. Wie viel hat dieſes Landguth im Durchſchnit; te jaͤhrlich eingebracht? E2) In einem Orte ſind Ao. 1776 gebohren 3126 und geſtorben: 3586. Ao. 77: geb. 2834, geſt. 2598; Ao. 78 geb. 3435, geſt. 3128; Ao. 79 geb. 3509, geſt. 3685; Ao. 80 geb. 2087, geſt. 3407; Ao. 81 geb. 3436, geſt. 2109; Ao. 82 geb. 2986 geſt. 1536; Ao. 83 geb. 3201, geſt. 2985; Ao. 84 geb. 2876, geſt. 2936; Ao. 85 geb. 3214, geſt. 3124. Wie hoch belaͤuft ſich die Jahl der Gebohrnen und Geſtorbnen jaͤhrlich im Durchſchnitte? 2) Sind mDehr geſtorben oder gebohren, und wie viel? 63) Wenn Sempronius Ao. △ς△ ,△¾ ⏑., im Durch s ob ſede⸗ cher Eiße t. G9l. ſtlo auf las gerech⸗ den jahr 4 ins an⸗ diren, und ſind, dint ettag tines⸗ 5841 1: 64,, 8s ⸗ 3458 „“ Fragt ſich 1) wie viel ſeine jaͤhrliche Einnahme und Ausgabe im Durchſchnitt geweſen, 2) wie viel der 77 eingenom.: 3436 M. 12 ß, ausgegeben: 2125 M. 14 fß: 286 M. § 656 Pf. ⸗ 4132 M. ⸗6 Pf. 78 2 79 . 3698 M. 13 6 . 2035 M. 4 6 Pf. 80 ⸗ 4734 M. 9 6 ⸗ 2136 M. 11 65G9 Pf. SSr ⸗ 3886 M.⸗ 9 Pf.) ⸗ 2578 M. 4 3 Pf. 8² . 2345 M. 765ß ⸗ 33456 M. 83 5006 M. 3 5 3 Pf. ⸗ 3496 M. 3 9 Pf. 8 46 ⸗ 4563 M. 13 5C 9 Pf. 4800 R. ⸗ 9 Pf. 4986 M. 5136 M. 2 6 9⁹ Pf. jaͤhrliche Ueberſchuß betrage? Hiermit moͤgen die 4 Species beſchloſſen ſeyn, mit Ver⸗ ſicherung: daß es jeden fleißliebenden Schuͤler, wel⸗ cher darinnen gehoͤrige Fertigkeit erlanget, und das bisher Gelehrete wohl gefaſſet und behalten hat, an den weitern Fortkommen in der Rechen⸗ kunſt nicht fehlen werde: Denn alle uͤbrigen Re⸗ geln, wie ſie auch heiſſen moͤgen, haben und koͤen⸗ nen nichts anders als die 4 Species zum Grunde haben, weil nach §. 75. 76. 77. mit einer Zahl nichts anders, als ſie zu vergroͤſſern oder zu verkleinern vorgenommen, und daher auch keine Frage aufgeworfen werden kann, welche etwas an⸗ ders, als die Vergroͤßerung od er Verkleine⸗ rung einer Zahl zux Folge hat. ? 240 Die practiſche Rechenkunſt. Regula de Tri. 47 oder die Regel von dreyen Zahlſaͤtzen. §. 216. Die Regula de Tri, in welcher alles, was bisher gelehret worden, gleichſam zuſammen fließet und practiſch angewendet werden muß, wird ein⸗ getheilet: A. In die einfache Regel de Tri, als welche nun aus dreyen Saͤtzen beſtehet. B. In die zuſammengeſetzte Regel de Tri, als welche aus mehr als drey Saͤtzen beſtehet, Von dieſer ſoll im ꝛten Theile gehandelt werden. Die einſache Regel de Tri wird wiederum in zwey Thei⸗ le getheilet und zwar: I. In die Regula de Tri fimplex direéta. II. In die Regula de Tri fimpiex inverſa. Dieſe beyden letzten Regeln ſind es, welche hier nach einander vorgetragen werden ſollen. Auch werde mit unter, und an ſeinen Orte, noch ſo viel von Bruͤchen lehren, als unumsgaͤnglich noͤthig, um die⸗ ſen Theil der Arithmetik gruͤndlich vollenden zu koͤn⸗ nen. I. Regula de Tri ſimplex directa. „§. 217. Dieſe Regel fuͤhret den Namen, weil ſie aus dreyen einfachen Zahlſaͤtzen beſtehet, in welchen beyden erſten ein ſchon bekanntes Verhaͤltniß; im 3ten Satze aber eine Frage gegeben wird, welche ſich auf die beyden erſten Saͤtze beziehet, und auf welche Frage, nach geſchehener Multiplication des 2ten Sa⸗ ges mit dem 3ten, und der Diviſio dieſes Products mit dem erſten Satze, geradezu die Antwort auf die auf⸗ geworfene Frage erſolgen muß. 5 ſtehen n Griß Du Ptgen, Auch he wie aus finden, vethaͤlt die Bere zten ehe 1 ge Kenn ankomtn mit den chen. Es 1 )) Ans naͤmlich: 1) 2 ben, ande? Cine iweyer iun zwen 1 u. ite ebenen beyde 4 R tt alles, uſammen , wird ein⸗ belche nur Ai, al heſteß el⸗ aden. dt They⸗ hier tach ch wnde⸗ ſ vitl von bia g, un den tn a. deil ſe ⸗ Hen benden in zten ſich auf ttn Sin oducts nt die af 7 Die praetiſche Rechenkunt. 24t Dieſe Regel wurde auch, ihres unſchaͤtzbaren Nutzens wegen, Regula aurea, die goldene Regel genannt. Auch heißt ſie Regula proporticnum, weil ſie weiſet? wie aus 3 bekannten Zahlen die 4te unbekante zu finden, welche ſich nach den 3 bekannten proportionaliter verhaͤlt alſo: daß ſich die vorher unbekannte, durch die Berechnung aber bekannt gewordene4te Zahl, zur Zten eben ſo verhaͤlt, wie die 2te zur Iſten. 8§. 218. Weil aber bey der Regeldetri alles auf richti⸗ ge Kenntniß der Verhaͤltniſſe und Proportionen ankoͤmmt, ſo iſt es noͤthig, ſich mit denſelben fruͤher, als mit den Aufgaben der Regeldetrie ſelbſt, bekannt zu mas chen. Es giebt aber der Verhaͤltniſſe zweyerley 1) ein arithmetiſches : 2) ein geometriſches Verhaͤltniß Aus dieſen zweyerley Verhaͤltniſſen aber ent⸗ ſtehen nothwendig auch zweyerley Proportionen, naͤmlick. 1) eine arithmetiſche ⸗ 2) eine geometriſche Proportion. Von den Verhaͤltniſſen. §. 219. Das Verhaͤltniß (Ratio) zweyerley Groͤßen beſtehet uͤberhaupt in Vergleichung derſel⸗ ben, in ſo fern man ſich vorſtellet: wie eine aus der andern entſteht. H Eine Groͤße aber entſteht aus der and ern auf zweyerley Art. Daher auch eben die §. 218. erwaͤhn⸗ ten zwey Verhaͤltniſſe kommen. 1. Von dem arithmetiſchen Verhaͤltniſſe. §. 220. Entweder entſtehet eine Groͤße durch die Addition, da man blos auf das Verhaͤltniß der ge⸗ gebenen Addentorum und deren Summa ſiehet, welche beyde einander gleich ſind. 3.*. 8 † 4 12. Hier ver⸗ — 242 Die practiſche Rechenkunſt. verhaͤlt ſich die Summa 12 zu 8 + 4, woraus ſie entſtan⸗ den iſt, eben ſo, wie ſich 8⸗+α44 zur Summa 12 ver⸗ halten, denn ſie ſind einander voͤllig gleich. Oder durch die Subtraction, wo man blos auf den Unterſchied, Differenz, ſiehet, um wie viel eine Zahl groͤßer oder kleiner als die andere ſey? Z. E. 8 –— 12 = 4. Hier iſt die Zahl 4 der Unterſchied beyder Zahlen 8 und 12, als um ſo viel die Zahl 8 klei⸗ ner, als die mit ihr im Verhaͤltniß ſtehende Zahl 12; oder um ſo viel die Zahl 12 groͤßer, als die mit ihr im Ver haͤltniſſe ſtehende Zahl 8 iſt. Ein ſolches Ver⸗ haͤltniß aber, wie dieſes, wo man blos auf den Un⸗ terſchied ſiehet, welcher durch die Subtrackion gefunden wird, heißt: Ein arithmetiſches Verhaͤltniß, und wird bezeichnet 8 — 12. Anm. Ein arithmetiſches Verhaͤltniß kann nur bey gleichartigen Zahlen ſtatt finden; denn ich kann ſo wenig 8 Aepfel und 4 Thaler in eine Summe bringen (8§. z.) lals ich 8 Aepfel von 12 Thaler ſubtrahiren, oder die Differenz von beyden ungleich benamten Groͤßen finden kann. 2. Von dem geometriſchen Verhaͤltniſſe. §. 221. Eine Groͤße entſtehet auch durch die Multi⸗ plication und Diviſion, wo man forſchet: wie oft eine Zahl in der andern enthalten ſey? 3. E. Die Zahl 12 entſtehet aus 8, durch die Diviſion mit 2, und multiplicirt mit 3, als 2: 8 = 4 ☚3 = 12. oder kuͤrzer: durch die Multiplication mit 3, als 3 ☛☚8 = 24 und 2:24 = 12. Oder Diviſion mit 4¾, als 2: 8 = 4 und 4 α◻ 3= 12. S ”M Ein ſolches Verhaͤltniß wie dieſes, wo man blos auf 4 den Quotienten, der durch die Diviſion gefunden wird, ſiehet, um wie vielmal die kleinere Zahl in der groͤßern enthalten iſt, heißt: ein geometriſches Verhaͤltniß, und wird bezeichnet 8: 12. Die Groͤßen ſelbſt werden Glieder des Verhaͤltniſſes, davon das vor⸗ hergehende, das erſte, das folgende aber das zweyte Glied genennet wird. S=DDWBW— Von 6,22 Proportie muß es 1. 6 22 Verhat ſo nennt .. E. 20, der Unte Zahlen de Dennder! ſo, Nelinn Deeſer niſſe, W wegen der Glieder bea Beyde ſcrieben: halt die er Das haßt kleiner i großer o⸗ In, Uhd ſhe Verhel Folgich ei Ate und 31 .224 die F — A 44 . 6 Wg ſo wuͤrhen ſelbe En ben. ſie enttan⸗ na 12 ver, 68 alf den viel eine dete ſey! ſterſchied ohl Sklei⸗ e Zahl2; mit iht im ches Ver⸗ f den Une n gefanden hältniß, yvur bey ic kann ſe⸗ me higen ſabtrahiten ela tenH iſſe. Dde Nulti oft eine E. Oe KR , und dakiezt: und 4Ind n blos auf nden wied, l in der triſches Groͤßen das von zweyte Von Die praetiſche Rechenkunſt. 243 Von der Proportion. §. 222. Die Gleichheit der Verhaͤttniſſe heißt: eine Proportion, und da es zweyerley Verhaltniſſe giebt, ſo muß es auch zweyerley Proportionen geben. G. 218.) 1. Von der arithmetiſchen Proportion. §. 223. Wenn 2 oder mehrere arirthmetiſche Verhaltniſſe einander aͤhnlich, oder gleich ſind, ſo nennt man ſie eine arithmetiſche Proportion, z. E. 20, 8. und 16. 4 ſind einander ahnlich, weil der Unterſchied dieſer Glieder eiherley, ob gleich die Zahlen derſelben ihrer Groͤße nach verſchieden ſind: Denn der Unterſchied zwiſchen 20 und 8= 12, und eben ſo, der Unterſchied zwiſchen 16 und 4, auch = 12 Dieſer Urſache wegen werden dergleichen Ver haͤlt⸗ niſſe, wie dieſe, auch gleiche Verhältniſſe, ſo wie ſie wegen der Verſchiedenheit der Zahlen, woraus die Glieder beſtehen, aͤhnliche Derhaͤltniſte genennet werden. Beyde Verhaͤltniſſe werden nach gemeiner Art ſo ge⸗ ſchrieben: a ete 6 8. und geleſen: Wie ſich ver⸗ haͤlt die erſte Zahl zur andern; ſo die zte zur 4ten. Das heißt: Um wie viel die erſte Zahl groͤßer oder kleiner iſt, als die 2te, um ſo viel ſt auch die 3te groͤßer oder kleiner, als die 4te. Denn hier iſt 20— 8 =12, und auch 16 — 4= 12. Alſo beyde arithmeti⸗ ſche Verhaͤttniſſe: aͤhnliche oder gleiche Verhaltniſſe. Folglich eine arithmetiſche e Proportion, wovon das erſte und vierte Glied, die beyden aͤufſern, das 2te und 3te aber, die mitrlern Glieder heiſſen. §. 224. In einer axithmetiſchen Proportion iſt die Summa beyder mittlern Glieder ſo groß, als die summa beyder aͤuſſern Glieder. Z. E. bey 8 — 20= 4—– 16 ſind die beyden mittlern Glieder 20 + 4 = 24, ſo wie die beyden aͤuſſern 8 – 16 24 ſind. Waͤre auch dieſe Proportion ſo geſchrieben worden: 20.— 8= 16 — 4 ſo wuͤrden die mittlern Glieder 8 ☛16 ebenfalls die⸗ ſelbe Snmme 24, wie die beyden aͤuſſern 20 + 4, geben. Q 2 §. 225. 244 Die praetiſche Rechenkunſt. §. 225. Wenn man, in einer arithmetiſchen Propor⸗ tion, von der Zumma des 2ꝛten und Zten Gliedes, das 1ſte Glied abziehet, ſo bleibt das 4te Glied uͤbrig. Z. E. Das 2te und 3te Glied 20 +4= 24, davon ab das 1ſte Glied 8, bleibt 16 als das 4te Glied. Imgleichen die beyden mittlern Glieder 8 P+ 16= 24 — 20 = 4, welches das gte Glied war. (§. 224 ult.) Auch umgekehrt muß dieſes zutreffen: denn wenn ich von den beyden mittlern Gliedern das 3te abziehe, ſo bleibt das erſte Glied uͤbrig, als: 8 16 = 24 — 4= Die Urſache dieſes Erfolgs aber beruhet auf ſehr natuͤrlichen Gruͤnden: denn wenn das 1ſte und gte Glied dieſelbe Summe, als das 2te und 3te Glied giebt; ſo iſt ſo wohl das erſte, als das 4te Glied, ein gewiſſer Theil der ganzen Summe, welcher, daſerne er der groͤßte ſiſt, den kleinſten, und wenn er der Kleinſte iſt, den. groͤßten Theil der Summe nachlaſſen muß; weil beyde Theile einer Summe, wie ungleich groß ſie auch immer ſehn moͤgen, doch der ganzen Summe gleich ſeyn muͤſſen. (§. 136. Zuſ. I1.) . §. 226. Sind die beyden mittlern Glieder einan⸗ der gleich, ſo heißt das eine zuſammenhaͤngende oder ſtetige Proportion, Proportio arithmetica con- tinua. 3. E. 6— 9— 9 – 12. —MU Auch hier giebt die Summe beyder mittlern Glieder, wovon das erſte Glied ſubtrahirt worden, das 4te Glied, als: 9 αC — 6 = 12. Und auch umgekehrt: 9 +9– 12 =6, das erſte Glied. . 1. Zuſ. Daher iſt das mittlere Glied, in einer ſte⸗ tigen arithmetiſchen Proportion, die halbe Summe der beyden aͤufſern Glieder, z. E. die beyden aͤuſ⸗ ſern Glieder, 6 + 12 + 18, und davon iſt 9, als das mittelſte Glied, die Haͤlfte. 2. Zuſ. Man kann daher das mittelſte Glied zu ei⸗ ner ſtetigen Proportion gleich finden, wenn auch nur die be ſurf die 2. 6. 227 Verhaͤltn verley ie und ihee! mettſch welcheeius 20. 6fld ſo ezte andern en 4en et ao4 itriſche Poport DdoS Mate un gerennet. Deſe! datnend de gleich die das 2tt 6 9,226 9 =6: 12, Hier minlere ſchen der wird eine Nortio D . 220 reahroe⸗ dir neir daſnet de nem On in Propor. iedes, das Nvon ad as d. SP16= 224 u) un wenn ich Giehe, ſt — 224 -, et auf ſehr Ate Glied ebtz ſo iſt ſer Theit der groͤßte ſe iſt, den. muß; weil ich groß ſe. ntae geich ſeder einan⸗ thaͤngende meticacon⸗ mittlern woren, das ungekehtt: in eint ſte⸗ ſte Eunne niſt 9/4 Gied in e⸗ 6 nur. nur die beyden aͤuſſern Glieder gegeben worben: man darf die Summe derſelben nur halbiren. 2. Von der geometriſchen Proportion. §. 227. Wenn in 2 oder mehrern geometriſchen Verhaͤltniſſen, 3. 12 und 5. 20, der Name derſelben ei⸗ nerley iſt, ſo nennt man ſie aͤhnlich oder auch gleich, und ihre Aehnlichkeit oder Gleichheit: eine geo⸗ metriſche Proportion. Man ſchreibt dergleichen Zahlen, welche eine geometriſche Proportion machen, ſo: 3: 12=5: 20. wird geleſen: Wie ſich verhaͤlt die erſte Zahl zur andern, ſo die zte zur Aten, d. i. wie vielmal die erſte Zahl in der Die praetiſche Rechenkunſt. 245½ — andern enthalten iſt, ſo viel mal iſt auch die 3te in der 4ten enthalten. Hier iſt 3 in 12:=4, und eben ſo auch 5:20= 4 enthalten; ſolglich machen dieſe beyden geo⸗ metriſchen Verhaͤltniſſe auch eine geometriſche Proportion. Das Iſte und 4te Glied werden die beyden aͤuſſern, das 2te und zte Glied aber: die beyden mittlern Glieder genennet. Dieſe Proportio geometrica disjuncta iſt das Fun⸗ dament der Regulæ de Tri directæ. 228. Bisweilen muß auch das andere Glied zu⸗ gleich die Stelle des 3ten Gliedes vertreten, da dann das 2te Glied zmal neben einander geſetzet wird, ſo wie §. 226 geſchehen. Z. E. 3. 6. 12. wird geſchrieben 3:6 = 6: 12. “ Hier heiſſen jede der beyden mittlern Zahlen, die mittlere geometriſche Proportionalzahl zwi⸗ ſchen den beyden aͤuſſern. Eine ſolche Proportion wird eine zuſammenhaͤngende oder ſtetige, Pro- portio geometrica continua genennt. §. 229. Noch giebt es eine Proportio geometrica reciproca, wo ſich die I1ſte Zahl zur 3ten verhaͤlt, wie die 4te zur 2ten, als: 2. 16. 4. 8. und dieſe iſt das FTun⸗ dament der Regulæ de Tri inverſee. Wovon an ſei⸗ nem Orte mehr Q 3 §. 230. 246 Die practiſche Rechenkunſt. §. 230. Bevor wir nun zur Ausuͤbung der Regula de Tri ſelbſt ſchreiten, muß ich noch voran ſchicken fol⸗ gende Regeln. Reg. 1. Wenn, von 3 gegebenen Zahlen, die ate und 3te mit einander multipliciret werden, und das kommende Factum mit der erſten Zahl dividiret wird, ſo giebt der Quoteent, zu den 3 gegebenen Zah, len, quartam proportionalem d. i. die 4te Pro portiona zahl, welche ſich zur ꝛten verhaͤit, wie ſich⸗ die 3te zur 1ſten verhaͤtt. Z. E. von 4. 6. 8 geben 6 b 8 48, und dieſe mit 4 dividirt = 12, als den quartum numerum proportionalem, der ſich zu 6 verhaͤlt, wie 8 zu 4. Und hierinn ſteckt die Ke⸗ gula de Tri directa. (G. 227.) Reg. 2. Wenn 3 Zahlen gegen einander arithmetice proporltioniret ſind, ſo machen die erſte und letzte zu⸗ ſammen, noch einmal ſo viel, als die mittelſte. Z. E. in 3. 4. 5o machen 3 P. 5= g, welches noch einmat ſo viel, als die mittelſte Zahl 4 iſt. = Reg. 3. Wenn 3 Zahlen auf einander geome- trice proportionales ſind, ſo iſt das Quadrad ber mittlern = der Gumme ſo aus der Multiplica⸗ tion der erſten und 3ten entſtehet. Z. E. in 3. 9. 27 macht 3 °f27 = 81, und auch 9 Mα¾ 8 1. Reg. 4. Wenn eine Zahl andere Zahlen multipliciret, ſo ſind die kommenden Sumſmen gegen die multiplieir⸗ ten gleich proportionirt. Z. E. 4 und 8 mit 2 mult. gieht 8 und 16 Hier verhaͤlt ſich 8: 16 eben ſo, als vorher 4: 8; denn 4:8:= 2, und 8: 16:— 2. Auch ſind beyde erſten Zahlen 4 und 8, in den letzten 8 und 16, 2 mal enthalten. Anm. Der Nutzen dieſer Regel ergiebt ſich F. 236. und Zuſ. Reg. 5. Wenn eine Zahl andere dividiret, ſo find die . kom: un prop Hierve eing len Anm.! nen e A Hen Eire biert als di in 2. Am. D H iree⸗ 2. dchre . Weiche bey der de practiſch g Es kor ſchhon heß⸗ gen die t die in ater den werden Diſß nen aber en Verndern Wden. 9, 2. Vin lun 9 3. Pr 6 denee der Regule ſchicken fol⸗ die 1tennd⸗ en, und s ahl dinietet gebenen h, die tehte lt, wie ſch⸗ 1,. H geͤben 12, als den der ſich zu leckt die Re⸗ fithmetice god lette zu⸗ telſte. 3,E. noch einmel t geome⸗ nadrad ber Multiplica⸗ E in3. 9. 2el. nutiblittret, ,nnitipligrt ſſen Zahlen ſeen. . und Al. „ nd die ſit d 7 fon⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 247 kommenden Quotienten gegen die Dividendi gleich proportioniret z. E. man dividire. P 8 und 111656 . mit 2) — — giebt 4 und C Hier verhalten ſich die Quotienten 4 und 8 eben ſo z einander, als vorher 8 und 16; denn erſtere Zah⸗ Aleen ſind in lezteren 2 mal enthalten. Anm. Dieß giebt den Grund zu der vortheilhaften Verklei⸗ nerung zweyer Zahlen eines Verhaͤltniſſes, als modurch man ſich bey den Regelbetriaufgaben die Arbeit ſehr erleichtern kann (§. 237.) . Reg. 6. Wenn 4 Zahlen gegen einander geometrice directe proportioniret ſind, ſo geben die erſte und vierte mit einander multipliciret, eben ſo viel, als die 2te und zte. Z. E. in 2.4. 8. 16 geben 2 ☛α 16= 32 und eben ſo auch Anm. Dieſes giebt eine Probe zur Regula de Tri directa. 2 §S. 231. Nun wollen wir nach gerade die theoretiſche Lehre von den Verhaͤltniſſen und Proportionen, weiche in unbenamten Zahlen vorgetragen worden, bey der Regula de Tri directa, in benamten Zahlen practiſch anwenden. ä Es kommen aber in jeder Aufgabe der R. d. Tr. 3 ſchon bekannte Zahlſaͤtze oder Glieder vor, zu wel⸗ chen die 4te unbekannte Zahl, als eine Antwort, auf die im 2Aten Satze oder Gliede gegebene Frage, gefun⸗ den werden ſoll. (H. 217.) Dieſe aus dreyen Zahlſaͤtzen beſtehende Aufgaben koͤn:. nen aber auch auf dreyerley Art, und mit verſchiedenen Veraͤnderungen, der darzu gebraͤuchlichen Worte, gegeben werden. Z. E. 1. Was koſten 8 [t Tobak, wenn 3 b 6 Mg gelten? 2. Wenn 3 †§ Tobak um 6 1 zu haben, was kom⸗ men 8 p? . 3. Fuͤr 6 M kann ich 3 †£ Tobak haben, was muß demnach fuͤr 8 bezahlt werden? Q 4 Allein .* 248 Die practiſche Rechenkunſt⸗ Allein eben ſolche dreyfache Veraͤnderungen der Auf⸗ gaben machen oft Anfaͤngern die meiſten Schwierigkeiten, weiche nicht ſelten eine fortdauernde Ungewißheit, wie dergleichen Aufgaben zu verſtehen, um ſie berechnen zu koͤnnen, zur Folge haben; beſonders wenn ſie keine von gen §. 218 — 229 gelehrten Vorkenntniſſen haben. Damit aber kuͤnftig „ aus dergleichen auf verſchie⸗ dene Art gegebenen Regeldetriaufgaben, weder Miß⸗ verſtaͤndniß noch Irrungen erfoelgen moͤgen, ſo will ich eine zu allen Aufgaben der R. d. Tr. dienende ſichere Regel geben. Regel: Suche in der Aufgabe zu erſt die Fra⸗ gezahl und ſtelle dieſe ins 3te Glied; was der Frage⸗ zahl dem Namen nach gleich iſt, in das 1ſte Glied und diejenige, welche mit dem 1ſten Gliede im Ver⸗ haͤltniſſe ſtehet, oder demſelben dem Werthe nach gleich, auch allemal dieſelbe Zahl iſt, welche in der Auf⸗ gabe nur einmal vorkommt, in der Mitten d. i. ins 2te Glied. Z. E. In obiger Aufgabe iſt die Fragezahl: 8 k. Denn man verlangt zu wiſſen: was 8 b koſten? Dieſe 8 f kommen alſo, der Regel nach, ins z3te Glied. Nun iſt ſerner bekannt gegeben der Preis von 3 : dieſe 3 p ſind alſo der Fragezahl, dem Namen nach, voͤllig gleich, denn beyder Unitaͤten ſind t; derohalben geben dieſe 3 k das 1ſte Glied. Da nun ferner der Preiß: 6 , als ſo viel dieſe 3 koſten, mit dem erſten Gliede 3 k. im Verhaͤtlniſſe ſtehet, auch dem Werthe nach mit 3 Pfunden Tobakvoͤllig gleich; wie auch, der Regel zu folge, dieſer Satz 6 ff in der Aufgabe nur einmal daliſt, ſo muß er im 2ten Gliede ſtehen, alſo: 3 E — 6mS — 8 5F»’-n- Anm. Man ſetzet, wie hier zu ſehen, die 3 gegebenen Zah⸗ len etwas von einender entfernt, und unterſcheidet ſie, ſtatt der Worte: koſten und wasgelten? mit Strichen — theils, um Verwirrung zu vermeiden, theils, um Plaß genug zur Berechnung zu haben. Tobak b 3Site fihlten, Ane ſolch 5. C. B ſo wuͤrde ir Pre⸗ gehmtl ſchließen Seß zur Daß ein witfl aus eine Witd to⸗ niß ſtehe weil es ich 6 6 bekotmmme . . en der uf⸗ bietigkelen, heit, die crechnen zu ſe keine von gben. verſchis beder Miß: wil ich tine Negelgtben. die Fra⸗ der Frages: 1 1ſe Glied im Vet⸗ the nach unde uf⸗ jtten deie 6. Denn Dieſt Ir d. Nun ſt ditſe3 , villig aben geben der Preiß 1 lſin Gliede rthe na dder Negel einnal eenen Zhe gteſchrdet lten, int pekineidet/ haben. 1. der Preis des Tobaks unbekannt. (§. 217.) 7 . Die practiſche Rechenkunſt. 249 S. 232. Keine Regeldetriaufgabe kann weniger als 3 Saͤtze enthalten: denn wo einer, oder zween derſelben fehlten, alſo nicht alle Data vorhanden waͤren; ſo waͤre eine ſolche unrichtige Aufgabe unmoͤglich zu berechnen. Z. E. Wenn man fragen wollte: was koſten 8 15 Tobak? ſo wuͤrde die Antwort ſeyn: Das weiß ich nicht, weil mir Iſt mir aber der Preis von einen oder mehr Pfunden Tobak bekannt gemacht worden; ſo habe ich hierdurch ein geometriſches Verhaͤltniß, vermittelſt deſſen ich ſchließen kann: wie der erſte Satz zum 2ten, ſo der 3te Satz zur 4ten unbekannten Zahl. (H. 227.) Daß aber 3 ſb Tobak, und der Preis derſelben, 6 mS. ein wirkliches geometriſches Verhaͤltniß ſey, wor⸗ aus eine geometriſche Proportion entſtehen muß, wird klar, wenn man betrachtet, daß beyde im Verhaͤlt⸗ niß ſtehende Zahlen dem Werthe nach voͤklig gleich, weil es gleichviel iſt, ob ich 3 ſb Tobak habe, wo fuͤr ich 6 g, oder ob ich 6 mMmg habe, wofuͤr ich 3 ſt Tobak bekommen kann, SS Zuſ. Es iſt demnach voͤllig einerley, ob ich in benam⸗ ten Zahlen ſage: wie ſich 3 b Tobak zu 6 mg, (als dem Preis der Waare) verhalten, ſo 8 ſkÿ Tobak zum 4ten Satze, zum unbekannten Preiße der 8 b Toback, oder, ob ich in unb enamten Zahlen ſage: 3:6— 69: X, als der 4ten Zahl. Anm. Man⸗ pflegt das 4te unbekannte Glied gemei⸗ niglich mit dem Buchſtaben X zu bezeichnen z. SKF. Was aber X fuͤr eine Zahl ſey, laͤßt ſich durch Be⸗ trachtung des gegebenen Verhaͤltniſſes 3:6 leicht fin⸗ den; denn, wenn hier die Zahl des erſten Gliedes 3, halb ſo groß als die Zahl des 2ten Gliedes 6 iſt. ſo muß auch die Zahl des zten Gliedes 8, halb ſo groß als X ſeyn, mithin kann X keine andere Zahl als 16 ſeyn. Oder umgekehrt: wenn die 2te Zahl noch einma! ſo groß als die 1Iſte, ſo 3 250⁰ Die practiſche Rechenkunſt. muß auch X noch einmal ſo groß, als die 3 te Zahl, folglich 16 ſeyn. Und ſo ſtehet die Proportion alſo: “ 3 k: 6ms = 8 t : 16 m. §S. 233. Nun wollen wir dieſe Aufgabe nach der 1ſten Regel §. 230, als wornach alle Aufgaben der Regel de Tri berechnet werden muͤſſen, gehoͤrig aufloͤſen: Solutio. 3 b — eNS — 8 fb? 48 3 =- „Fac. 16 Q Hier iſt auf die Frage: was koſten 8 k? nach der 1ſten Regel, die 4te Proportionalzahl geſucht, und nach geſchehener Multiplication des 3ten Gliedes mit dem 2ten, das gekommene Product 48 mit dem er⸗ ſten Gliede dividiret, und ſodann der Quotient 16 m, als die Antwort auf gethane Frage, gefunden worden (H. 217.) . 4 Bew. Wenn das gegebene Verhaͤltniß, ſtatt 3 h: 6 ms hieße: 1 †: 6 M, ſo wuͤrden 8 † auch Smal 6 g koſten, und alſo das Product 48 Mmg ſchon das verlangte Facit ſeyn. Da aber nun, nach dem be⸗ kannt gegebenen Verhaͤltniſſe, nicht 1 , ſondern 3 b 6 mg koſten; ſo iſt auch das Product 48 mg nun zmal groͤßer, als es ſeyn ſollte: folglich muß der zte Theil, aus dem 3 mal zu großen Product 48, der verlangte Preis fuͤr 8 5 ſeyn. Eben daher iſt mit der 3, des erſten Gliedes, auch das Product 48 dividiret worden. Ergo muß der gefundene Quotient 16 m, als der 3te Theil von 48 m, auch das richtige Facit und die unfehlbare Ant⸗ wort auf gethane Frage ſeyn. . Anm. Es iſt nicht noͤthig, daß man allemal, wie hier eſchehen, das ate Glied mit dem zten vermehre, Pndern man kann auch, wens es die Umſtaͤnde er⸗ „ 1 u ten das etſte bder auch . 230. d as zZie In 1 ſten Gl indem 4 zuſ⸗ deie 4 lei Das vor as die zte Peaportion ch der Iſer e Negel N : der 1ſteg ud vach jedes mit it dem er⸗ Gtient 16 gefunden dat 3ſ: uch zmal ſchon das dem de⸗ Product ſ to en ſyn. 4,alch nuß der don 48 re Ant⸗ vie hier gettnehre, 4 Die practiſche Rechenkuntt. 254 erfordern, das 3te Glied mit dem ꝛten vermehren, weil es nach der 4ten Resel § 109. einerley Priuſduct giebt. Nur muß nie vergeſſen werden, daß manallemal den Unitaͤten des kommen den Preduets den Namen der Unitaäten des 2ten Gliedes gebe, weil das 4te unbekannte Glied nothwendig, dem im erſten und zwoten Gliede gegedenen Verhaͤltniſſe nach, den⸗ ſelben Namen haben muß, welchen das ꝛte Glied bat: denn wie 3 Pfund zum Preiße 6 Mark; ſo auch § Pfund zum Preiße 16 Mark. Man ſehe auch hier⸗ uͤber was g. 185. uͤber die Multiplication der benam⸗ ten Zahlen mit benamten Zahlen gelehret worden. 8S.234. Wenn ſich, wie §. 232. Zuſ. gelehret worden, das erſte Glied zum ten verhaͤlt, wie das 3te zum 4ten, oder auch umgekehrt, ſo muß auch nach der 1ſten Regel §. 230. das 4te Glied ſich zum 2ten verhalten, wie ſich das 31e zum erſten verhaͤlt. In unſerer Anfgabe iſt das erſte Glied 3, in dem zten Gliede 8, juſt 2 mal, eben ſo das 2te Glied 6, in dem 4ten Gliede 16, = 2 ¾ mal enthalten. Z. E. 3 b: 6 ms = gf : 16 ms - — i. – * Zuſ. Solchem nach kann man auch diejenigen Zahlen, weiche gleiche Namen haben, als Waare mit Waare, und Preis mit Preis in Verhaͤltniſſe bringen, und dann ſtuͤnde dieſe Auſgabe ſo: 3 K : 8 = 6 MW: 16 Mm. . Das Product 8 %6, durch 3 dividirt, bringt hier eben ſo wohl, wie vorher, die 4te Proportionalzahl 16 Mg her⸗ vor. Nur muß hier die Benennung des ten Glie⸗ des bey der Multiplication wegfallen, und dagegen dem Producte der Name des 3ten Gliedes aegeben werden, wie ſolches das Verhaͤltniß ſelbſt mit ſich bringet, naͤmlich 6 zu 16 M. Auch 4a52 Die praetiſche Rechenkunſt. Auch geben hier, wie dort, nach der 6ten Regel . 230. die beyden mittlern Glieder daſſelbe Product⸗ welches die beyden aͤnſſern Glieder geben, als: 3 K: 6 ms = 8 : 16 mg 3 : 8 E = 6S: 16 mg 4 48 14 Anm. Und dieſem nach ſollte man auch eigentlich dieſe letzte Art, eine Aufgabe der Regel de Tri aufzuſetzen, an⸗ genommen haben, weil ſie viel natuͤrlicher, als die—˙ vorhersgehende iſt. Allein da die Rechen meiſter die erſte Art beliebt, und nunmehr die allgemeine Gewohnheit im Wege ſtebet, ſo wollen wir es beym Alten laſſen, und uns kuͤnftig der gewoͤhnlichen Art auch bedienen, zumalen es, 7 einerley iſt. §. 235. Es iſt gleichviel, ob ich das Product von zween gegebenen Factoribus, oder ob ich nur einen der gegebenen Factorum durch den gegebenen Diviſo- rem theile, und im letzten Falle den gekommenen Quo⸗ tienten mit dem andern Factore multiplicire, denn beydes giebt einerley Facit. Z. E. Die beyden Facétores ſollen ſeyn: 4 und 8, der Diviſor aber 2, ſo iſt 4 8 = 32, und 2: 32 16. Eben ſo 2:4=2, und 2 b 8 = 10 oder, welches einerley, 2: 8=— 4 und 4 24 16. Dar⸗ aus folgt: daß, wenn ich meinen Vortheil da⸗ bey ſehe, ich auch zuerſt mit dem erſten Gliede, einer Regel⸗ detriaufgabe, das 3te Glied derſelben dividiren, und den gekommenen Quotienten darnach mit dem 2ten Gliede‧— multipliciren kann. Z. E. 3 — 6 18 — 8 †5? 6 Tac. 16 . wie hier ſichtbar, der Berechnung nach RDe ſen Gl Glide Jym 5 22 reer — — 222 Zahl 9 den P .“ Zuhlen Nig4. der Glied veches 3E Die praetiſche Rechenkuntt. 253 ten Reg O Oder ich kann auch zuerſt das 2te Glied mit dem er⸗ Kehedut⸗ fſen Gliede dividiren und den Quotienten mit dem 3ten 4,,as: Gliede multipliciren. Z. C. 3 2) 6 ms — ⁸ ? . 22) 2 8ͤ Foeac. 16 M8 Anm. Es wird nicht ſchwer einzuſehen ſeyn, daß dieſe Art .. zu ꝛrechnen, zumalen bey Aufgaben, welche im 2ten ſch ieſeſegte oder zten Gliede viel Ziffern haben, einen merklichen fuſehen, dd Vortheil gewaͤhret. Denn je weniger Zahlen ich zu . Oet, als die meiner Rechnung gebrauche, je hurtiger kann ich zu fer die ee mDeinem PFacit gelangen. Der langſamſte Rechner muß Gemohnßeſſſtttt es, mit dergleichen Vortheilen begabet, dem geſchwin⸗ Aien iuſen deſtn, welcher davon keinen Gebrauch zu machen ch bediene, weis, zuvor thun. Ueberdem iaſſen ſich die beym Rech⸗ lchrung nach nen etwa vorgefallenen Fehler weit leichter, unter weni⸗ geen Ziffern einer Soluno, als unter vielen derſelben, Nde an finden. Deswegen wollen wir uns kuͤnftig dergleichen u einen. 2 ⸗ Vortheile bedienen, ſo oft es ſich thun laͤßt. hen Diil. §. 236. Wenn verſchiedene Zahlen mit einer andern nenen u. Zahl gemeinſchaftlich vermehret werden, ſo bleibt in denn bedes den Producten daſſelbe Verhaͤltniß, welches die Kores ſolen. Zahlen von der Multiplication unter ſich halten. (§H. 230. 123= 3 † Reg. 4.) Deswegen geben auch die beyden mittlern Glie⸗ 23=6 der eines Regeldetriſatzes, wenn das erſte und 2te 216, Di Elied vergroͤßert worden, eben daſſelbe Produnet, Utheil nd wieches die beyden aͤuſſern Glieder geben. (H. 224. Juſ.) n e. 3 : 6 = ⁸ t: 16 W6 ₰ . . 4 12 24 R — 192 254 Diie praetiſche Rechenkunſt. Urnd weil hier die durch 4 vergroͤßerte Zahlen 12:2 = 3:05, (§. 230 Reg. 4.) ſo muß auch das naͤmliche Facit erſcheinten, welches §. 233. gekommen, wenn wir unſere Aufgalde, wie daſelbſt geichret worden, berechnen. Z. E. 12 — 24 mS — 8⁸ Kr 8 — 192 12) Fac. 16 mg 7 . Doaſſelbe wird auch erfolgen, wenn man das 1ſte und 3te (Glied mit einer Zahl gemeinſchaftlich vermehrt. „ Wi 3 E — 6 mg — ⁸ b? —8 12 32 6 192 12) — Fac. 16 MW Zuſ. Aus dieſer Lehre folgt: daß, wenn ſich bey einer Regeldetriaufgabe, es ſey im 1 ſten 2ten oder zten Gliede, nebſt den Ganzen noch ein Bruch findet, man nur mit den Nennern des Bruchs die ganzen Zahlen deſſelben Gliedes vermehren, den Zaͤhler darzu addiren; ſodann aber auch das mit die⸗ ſer alſo vermehrten Zahl im Verhaͤltniß ſtehende Glied zu den naͤmlichen Theilen machen darf Z. E. a) 2 ½ — 2 mE — 6 5 4 4 24 Fac. 4 ms *B Die praetiſche Rechenkunt. 255 len 12 24 oder liche kuitt 2 1¼ † — ²2 m8 — 6 ½ wir unſere 5 2 1 12 2 — 24 FFc b) 2 — 4 ¾ ms — ˖5K 1 Iſte und — vermnehtt. 1. 4 9 45 P) Fac. II ½ S ec) 3 k — 4 — 4¾ t . 2 9 UMUMẽV 8 6) Fac. 6 Mm . hben einet Anm. Doch ißt eben nicht noͤthig, bey vorkommenden Faͤl⸗ oder zten len, ſich der Aufloͤſungen Lit. b. und c. zu bedienen, ch findet, weil die Buͤche im ꝛten oder 3ten Gliede keine Hin⸗ 4 uchs die G derniß, zum bequemen Rechnen, in den Weg legen, P en, der wiie die Erfahrung zeigen wirdb. Dren, . 4 , . . mit die⸗ 8§S. 237. Das Verhaͤltniß, welches die Zahlen in ei⸗ hende ner Regeldetriaufgabe unter ſich haben, wird, zu Folge ſcen daef der Ften Regel §F. 230, auch da nicht aufgehoben, wenn das . erſte und 2te Glied, oder auch das 1ſte und 3te Glied durch einen gemeinſchaftlichen Theiler verkleinert werden. a) 3 — 6 — 8f? 3) — G 2 Fac. 16 f 256 Die practiſche Rechenkunſt. ) 3 k.— 6 — A 32K. „21 1 2 6 Fac. 16 m Aus dieſer Lehre fließt der wichtige Vortheil, daß, weil bey ſolcher Verkleinerung oͤfters der Diviſor, wie bey a und b, bisweilen auch der Factor des 2ten Gliedes, in eine einzige Unitaͤt verwandelt wird, als wo⸗ durch im erſten Falle die Diviſion, im letzten aber die Multiplication gaͤnzlich wegfaͤllt. Wo aber auch dieſes nicht, ſo wird wenigſtens, durch ſolche verklei⸗ nerte Verhaͤltniſſe, ſowohl die Multiplication als Divi⸗ ſion ungemein erleichtert, indem ein kleineres Pro⸗ duct, wie auch ein kleinerer Diviſor, erfolgt. Wir wollen uns alſo dieſes Vortheils ſo oft bedienen, als er ſich bey kuͤnftigen Aufgaben anwenden laͤßt. Anm. Der Lehrbegierige Fechenſchüler, welcher im Ernſe muͤnſcht ein gruͤndlicher Arithmeticus zu werden, wird wohl thun, wenn er nicht eher weiter gehet, bis er die bisher gelehrte Theorie vollkommen gefaſſet hat. — Und follte er dieſelbe auch 3, 4 und mehrmal wie⸗ derholen, ſo wird ihm dieſe Muͤhe nie gereuen, beſon⸗ ders wenn er findet, daß mik ſolchen Grundſaͤtzen berei⸗ chert, jede Aufgabe leicht zu verſtehen, und ſodann in der Praxi ohne ſon erlichen Anſtoß fort zu kommen iſt. Neberdem wird ein ſolcher theoretiſch⸗ practiſcher Arithmeticus ſei e Kunſt nie wieder vergeſſen, wie ſol⸗ ches oft der Fall bey denen iſt, welche nur mechaniſche Rechner, Rechner ohne Theorie ſinb. 1. Aufgaben, wo in allen 3 Saͤtzen oder Gliedern nur Zahlen von einfacher Be⸗ nennung vorkommen. §. 238. Weil dieſe Aufgaben denjenigen, welche F. 233. vorgekommen, vollkommen gleich, auch in denſel⸗ ben nichts vorkommt als die benamten Zahlen mit benam⸗ ten Zahlen zu multipliciren, und das Prodnet mit benam e†— ten Ley⸗ , Zohen ehnmener Auflöſung tes finden 1) Vas Mert nd mat ttheil, taß, Fiſor, Ne ten Glides, d, als wo⸗ ten aber die 9 ebet auch e derklei⸗ , 1s Divi⸗ eres Pro⸗ er in Enn werden, gehet, bis geſacet at. ghtmnel Nie : reuen, beſpn⸗ Nſezen bereſi 1dſedann in fommen iſ . muiſe . ſen, nie⸗ ſn iie⸗ 5 oder Be⸗ belche Hin denſeb mitbenmm. mit bennm mſin 4 Die praetiſche Rechenkunſt. 257 ten Zahlen zu dividiren, als wovon §. 185. und 213 voll⸗ . kommener Unterricht gegeben worden, ſo kann ſich auch bey Aufloͤſung dieſer Aufgaben nichts ſchweres oder unbekan⸗ tes finden. ęHM 14) Was kommen 32 , wenn 4 k zu 2 mg bezahlet werden? MM Solutio. 4 *A — aANS — 22 R 2 64 po — FTF.ac. 16 8 AKuͤrzer. „4K — en 3 1r Fac. 16 = G Oder: 4* — 2 — 32 n? H Fac. 16. Bep der 2ten Solutio iſt, nach §. 237. a, das erſt urnnd 2te Glied, durch den gemeinſchaftlichen Theiler 2, verkleinert worden, und dadurch das 2te Glied in eine einzige Unitaͤt verwandelt worden, da— man nun dieſe nicht multipliciren kann, ſo darf auch nur mit dem verkleinerten Gliede 2 ſogleich das R 2 ttte Glied 32 getheilet werden, welches den bey der errſten Solutio gleichfalls gekommenen Quotienten: 12126 M8 zum Facit giebt. Bepy der zten Solutio iſt die 4 im erſten Gliede durchſtrichen, weil ſie in dem Zten Gliede 8 mal ent⸗ Halten; dieſe 8 aber mit dem mittelſten Gliede 2 vermehret, giebt gleichfalls 16 1ͤã zum Facit. L A . 39. 258 Diie practiſche Rechenkunſt. §. 239. Will man bey dergleichen Aufgaben eine Pruͤ⸗ fung anſtellen, um zu erfahren, ob man recht gerechnet habe: ſo laͤßt ſich eine ſolche Probe nach der 6ten Regel §. 230. machen. Z. E. –1 à I. Prob. — 4 FF: 2 M = 32 f: 16 ms — *½ Weil hier die beyden mittlern Glieder eben daſſelbe Product, als die beyden aͤuſſern, naͤmlich 64 geben, ſo wird hierdurch die Richtigkeit bewieſen. V Oder: Man kehret, nach der gewoͤhnlichen Art einer Probe, den ganzen Regeldetriſatz um, ſo, daß das 3te Glied das erſte; das Facit, als mit demſelben im Ver⸗ haͤltniſſe ſtehend, das 2ꝛte; das erſte aber das Zte Glied oder die Fragezahl werde; ſo muß, wenn recht gerechnet worden, das 2te Glied zum Facit kommen. 3Z. E. 2. Proba. 32 fk — 16 m — 4 K? 2 r PFac. 2 8& x. Anm. Dieſe Probe muß eben ſo richtig, als die erſte ſeyn, weil hier nichts anders geſchehen, als daß die vorigen proportionirten Verhaͤltniſſe 4: 2 — 32: 16 nur umgekehrt worden, ſo, daß das ꝛte Verhaͤltniß zum erſten und das erſte zum aten genommen worden; alſo: 32: 16 — 4: 2. . Auch hier geben die beyden mittlern Glieder wie die beyden aͤuſſern gleiche Producte, naͤmlich 16 « 4 — 6 ¼ und auch 2 ½ 32 — 64. Eben ſo auch die ver⸗ kleinerten Glieder. Z. E. 2 Wenn 4. Mm. Glie beſte 4 365 3 Flr 16 be Es we konm Aum. Be .2) wer 5, Cent 6) Cent 7)7Cutt ) Veng ttag 9) Was! i II) Wus ung . den eine ri⸗ cht gerecnet 1 fen Regel eben doſehe A geben, ſp en Art einer haſ das zte en in Ver⸗ 1 3e Giid ccht gchtet zni lini Gleder ni⸗ niden 4 Die practiſche Rechenkunſt. 259 2. Anm. Die erſte Probe künn zu allen Aufgaben, deren Glieder nur, wie dieſe, aus einfachen Be nennungen beſtehen, mit Vortheil gebraucht we⸗ den. Kommen aber Aufgaben vor, wo die Glieder ver⸗ ſcien ge Soxten von Unitaͤten enthalten, ſo iſt ate Probe mit mehrerer Leichti keit zu gebraͤuchen. 2) Wenn ich 8 ſt fuͤr 12 haben kann, was werden 346 kb koſten? 3) Fuͤr 16 g werden 12 k gekauſt: Was muß fuͤr 288 P bezahlt werden? 4) Es werden 125 Thlr. fuͤr 4 Centn. bezahlt, wie viel kommen 32 Centn. ? Anm. Bepy dieſer bis zur folgenden 1oten Aufgabe fann der 9. 238. bey der zten oluͤt. gezeigte Vortheil angewandt werden. 5) 6 Centner koſten 236 Thlr. was 54 Centner? 56) 5Centnn.⸗ 342 ⸗ 35 Lentn.? 2) 7 Cennn. ⸗ 426 „ 49 Centn. 2 3) Wenn 8 Centn. mit 53 5 Thir. bezahlt werden, was be⸗ er ded 72 Centn; 9) Was koſten 81 untti., wenn 9 Centn. fuͤr 731 Thlr. bezahlt werden? 10) Was 72 Ellen, wenn 9 Ellen um 135 I zu haben? II) Was koſten 48 Ellen, wenn 36 Ellen fuͤr 144S be⸗ dungen werden? 7— Solutio. D 2) 36 Elken 4 . — 4⁸ Ellene 69912 6) 1152 260 Die practiſche Rechenkunſt. Oder: d) 36 Ellen — en — 48 Ellen S S Fac. 192 mS Oder: e) 356 Ellen — 144 8 — 48 Elen 12) = 4 12) 6 3) — 57 Fac. 192 ) . 36 Ellen — r44 ns — — 48 Elen? 6) 6 2 4 6) . Fac. 192 mg a) Bey der Solutio a) iſt, ut. 164., die Diviſt ſion durch die Zerfaͤllung erleichtert worden, welches kuͤnf⸗ tig bey allen aͤhnlichen Faͤllen geſchehen kann, wenn naͤmlich ſonſt, wegen Ungleichheit der aͤbrigen Glieder, kein beſſerer Vortheil anzubringen moͤglich iſt. Allein hier ſinden ſich noch unterſchiedene beſſere Vorlheile, welche bey b) c) und 4) angebracht wor⸗ den. b) Bey b) iſt ſowol das erſte Glied, als Diviſor, durch 6 %6, als auch das 3te Glied, als Multiplica- tor, durch 6 α 8 zerfaͤllet worden: (§. 116.) Und weil ſich unter beyden alſo zerfaͤllten Zahlen eine gleichgroße Zahl, naͤmlich die 6, findet, ſo ſind bepyde gegen einander aufgehoben und durchſtrichen worden; denn wenn ich eine Zahl z. E. 3 mit 6 mul⸗ tiplicire und das Product mit derſelben Zahl 6 divi⸗ dire, ſo wird die erſte Zahl, ſo wie ſie Anfangs war, wiederum zum Vorſchein kommen, als 6 bα 3 18 und 6: 18 = 3. Demnach kann man in allen dergleichen Kallen, wo der Multiplicator dem Di⸗ Pivil als di lut.r das der ches Arbe 9 Ele cher len! Elen? SMn! die Diviſton belchꝛs künf⸗ kann, wenn der hbrigen gen mogich iedene beſere gebracht wor, riſor, urh Muoltphca⸗ 14,) Und Nahlen eine det, ſo ind duncſfrihen mit mul⸗ Zehl dinn Die practiſche Rechenkunſt. 261 Diviſore voͤllig gleich iſt, ſowol die Multiplicat. als die Diviſion erſparen. Demnach iſt in dieſer So⸗ lut. nur noch mit der uͤbrigen 8, des 3ten Gliedes, das mittlere zu multipliciren, und das Prod. mit . der uͤbrigen 5 des erſten Gliedes zu dividiren, wel⸗ ches mit wenigen Ziffern, und alſo mit halber Arbeit das ganze Fa cit gewaͤhrt. Bey c iſt nach §. 237. b) zu verfahren, und das 1ſte Glied ſowol als das 3te Glied mit dem gemeinſchaft⸗ lichen Theile 12 verkleinert, ſo, daß im erſten Glie⸗ de, ſtatt 36, der Diviſor nur 3, und im 3ten Gliede der Multiplicator, ſtatt 48, nur 4 geworden. Wein ſollte nicht in die Augen fallen, wie groß der Vor⸗ theil bey ſolchen verkleinerten Zahlen iſt. Denn es laͤßt ſich weit geſchwinder, und mit wenigern Zah⸗ len, alſo in wenigerer Zeit, mit 4, als mit 48 mul⸗ tipliciren; weit leichter mit 3, als mit 36 dividi⸗ ren. — DI und 2te Glied, welche mit einander im Verhaͤlt⸗ 4) Bey d iſt, nach der ˖Iten Reg. §. 230, das 1ſte und niß ſtehen, erſtlich durch 6, und atens die gekomme⸗ nen Quotienten, 6 und 24, noch einmal durch 6 ver⸗ kleinert worden, da dann im erſten Gliede 1, im 2ten Gliede aber 4 gekommen. Hierdurch iſt die Divi- Koön ganz weggefallen, und darf nur mit dem mittel⸗ ſten Gliede 4 das hintere Glied 48 multipliciret wer⸗ den, um das verlangte Facit 192 Mm zu finden.— Anm. Man kann bey dergleichen Vorfaͤllen, mit ſolchen 12) 13) Verkleinerungen allezeit ſo lange fortfahren, als ſich noch beyde vordre Glieder durch irgend eine Zahl, ohne Reſt, theilen laſſen; und gleich viel, ob man 2, 3 oder mehrere Zahlen zum Verkleinern des erſten und ꝛten Gliedes gebraucht, Man wende der⸗ gleichen Vortheile, wie hier bey der u1ten Aufgabe ge⸗ zeiget worden, ſo oft an, als es ſich thun laſſen will. Wenn man 72 Centner mit 128 Thlr. bezahlt, was werden demnach 250 Centn. koſten? Was koſten 96 Lwenn 12 Lk 24 Thlr. koſten? R 3 14) 262 Die practiſche Rechenkunſt. 14) Wenn 42 Ellen um 56 Thlr. zu haben, was muß für 56⁹ Cllen bezahlt werden? 15) Wenn 96 Ellen fur 16 Duc. a 6 m bedungen wor⸗ den, was werden 896 Ellen betragen? (Die Duca⸗ ten werden vorher zu s gemacht.) 96 Ellen — 16 Duc. — 896 Ellen? a 6 8. Z 96 mS &c. 16) Wenn ein Maler far 68 ◻ Fuß 8 ms anzuſtreichen bekommt, wie viei muß er fuͤr 584 —◻ Fuß haben? 17) 48 Schock Aepfel werden fuͤr 8 Thlr. bezahlt, was muß füͤr 496 Schock gegeben werden? F. 240. Bisweilen finden ſich im erſten und ꝛten Glie⸗ de, auch wohl zugleich im 3ten Gliede, am Ende der Zah⸗ len, Nullen. In ſolchen Faͤllen ſtreicht man ſo oft eine Null des erſten Satzes gegen eine Null des 2ten Satzes weg, als es ſich thun laͤßt. Dieſer Fall findet ſeinen Grund §. 157. & 159. Auch kann man Nullen des erſten Sa⸗ tzes gegen Nullen des zten Satzes in gleicher Anzahl wegſtreichen. Nur d darſ man nicht Nullen des 2ten Sa⸗ tzes gegen Nullen des 3ten Satzes wegſtreichen, weil dieſe beyden Glieder in keinem Verhaͤltniſſe, ſondern nur allein der geometriſchen Proportion nach in Verbin⸗ dung ſtehen. 18) Für 120 Schſt ſind 2040 nig bezahlt worden, was gelten 18 Sn: 2 Solutio. 1296 Sl — 2040 ms — 18 Ek ſce 1224 4) Fac. 306 mG „ Hier ſind 1) die Nullen des erſten Verhaͤltnißes gegen einander ausgeſtrichen, als wodurch beyde Zah⸗ len gleichſam mit 10 dividirt, aber deswegen das Ve rhaͤltniß, ob zwar verkleinert, doch nicht auf⸗ ge⸗ “ 24) 180 1) Ven für Weij tint, ſind len 240 meht men Fuͤt ab⸗ 2) Po 29) Wes A 29) 0 48 wbas niß fir edaungen wor⸗ (Die Oca⸗ len? anzuſttichen Fuß haben? hezohlt, wns und 2ten Glie⸗ Enbe ber Zah⸗ ſo oſt eine Aen Sches ſeinen Grund 1s erſten Sar⸗ het Anzahl dis ten Gaa en, ei dieſe ern nur clein 9) in Verbin⸗ pttben, was ittnißes dendedih⸗ wigen das doch cgt auſ⸗ ge⸗ 4 1 = + –— * Die praetiſche Rechenkunſt. 263 gehoben worden, (§. 230. Reg. 5.) 2) ſind noch uͤberdem das Iſte und 3zte Glied zerfaͤllet, und ver⸗ fahren worden, wie bey der 1Iten Aufgabe Solutio 19) Wenn 140 Lft fuͤr 280 mMmg gekauft werden, wie viel muß fuͤr 4348 Llk bezahlt werden? 20) Wenn 20 Q† um 60 Thlr. zu haben, was 454 2 bz2 21) 50 Ellen werden mit 250 mg bezahlt, wie viel fuͤr 8348 Ellen? 22) 220 Centner koſten 110 Duc. was 88 Centn.? 23) 180 Cennt. ⸗ 360 Duc. ⸗ 444 Centn.? 24) 280 k ⸗ : 140 Thlr.⸗8888 I5? K 8 fſuͤr 860 bezahlt werden? 25) Wenn 400 fuͤr 220 Mm8 gekauft werden, was muß AAà&ο — 226 mM9 — 862 F ² 22 1892 P)Fac. 473 ms Weeil hier im erſten Gliede 2 Nullen, im 2ꝛten Gliede eine, und im Zten Gliede auch eine Null befindlich, ſo ſiind die 2 Nullen des erſten Gliedes fuͤr die 2 Nul⸗ kleern des 2ꝛten und 3ten Gliedes weggeſtrichen. (§F. 2940.) Darauf iſt das 3te Glied mit dem 2ꝛten ver⸗ mehret worden, wodurch aber das Product den Na⸗ mmDen des 2ꝛten Gliedes erhalten. (§. 233. Anm.) u. ſ. f. 26) Fuͤr 500 Ellen werden 350 Thlr. bezahlt, was fuͤr 44”80 Ellen? 27) 300 Centner koſten 450 Thlr., was 1760 Cntn.? 28) Was koſten 2720 Ellen, wenn 600 Ellen fuͤr 560 Thlr. bedungen worden? 29) 280 werden fuͤr 360 m bedungen, was muß fuͤr 488° bezahlt werden? R 4 3⁰) . 264 Die praetiſche Rechenkunſt, 30) Es ſind 9000 Ruthen = 13 5000 Fuß. Wie viel Fuß enthalten 360000 Ruthen? 31) Wenn 4000 Schritte 12000 Ellen halten, wie viel gehoͤren zu 480000 Schritten? = §. 241. Oſt werden zu einer Regelbdetriaufgabe nicht alle Data gegeben, ſondern diejenigen verſchwiegen, von welchen man vermuthen kann, daß ſie der Rechner von ſelbſt wiſſe, oder ſie doch wenigſtens in den Reſolvirungs⸗ tabellen aufſuchen koͤnne. Dergleichen ſind folgende 4 Auf⸗ gaben. Bepy alle dieſen und dergleichen Aufgaben muͤſſen allemal, die hierzu noͤthigen Gleichung en oder die er⸗ ſten Verhaͤltniſſe zu ergaͤnzen, die Reſolvirungstabel⸗ len nachgeſehen werden, daferne die Gleichung nicht ſchon bekannt iſt. 32) Wie viel Brabanter Ellen enthalten 855 engliſche Gards? (Tab. III. 3 engliſche Gards = 4 Brab. Ellen.) 33) Wie viel Nuͤrnberger Ellen enthalten 480 Brabanter Ellen? 34) Wie viel Hamburger Ellen enthalten 5670 Nuͤrnber⸗ ger Ellen? 35) Wie viel Hamburger Ellen enthalten 5436 engliſche Gards?? = 85. 242. Nicht allezeit wird verlangt zu wiſſen, wie bey den vorhergehenden Aufgaben, wie viel, nach einem be⸗ ſtimmt gegebenen Preiſe, eine Quantitaͤt Waare koſte? Sondern es wird auch oft gefragt: Wie viel Waare man fuͤr eine beſtimmte Summe Geldes haben koͤnne? In ſoſchem Falle wird, nachdem die Frage im 3ten Satz gebracht, das bekannt gegebene Verhaͤltniß ſo geordnet, daß der Preiß der Waare im erſten Gliede, die Waare aber, * . als welche nur einmal da, im 2ten Gliede zu ſtehen komme. Da dann das Facit, als Antwort auf die Frage, gieichfalls Waare heiſſen muß. (§. 231.) Z. E. 36) Wenn eine Parthey Waare von 150 b fuͤr 96 Thlr. bedungen worden, wie viel koͤnnte man von derſelben fuͤr 512 Thlr. kaufen? L So- diebelzuß , ri ſiel fgabe nicht ſiegen, don ſchner vonr eſolvirungs: ende 4Aufe⸗ oben nuͤſen bber die et⸗ rungstabel⸗ hung nicht engliſche 4Drab. Brabantte ) Nuͤrnbet⸗ 35 engiſche ſen, biebey einen be⸗ ote byſte? Waare man S ſdehrage 1 95 Th,. 7 derſiten So⸗ gten Set R ordnet, dc Baare dbet, 5„ — Die praetiſche Rechenkunſt. 265 Solutio. 4) 96 Thlr. — 150 — 512 Thlr. 8) . 32 55 50 . T2 Fac. 800 ft? Oder: by) 956 Thlr. — 150 — 512 Thlr. ”M 4 Fac. 800 F 2) Bey der Solutio a) ſind zuerſt das 1ſte und 2te Glied mit 6 verkleinert, 2tens der Quotient des 1ſten Gliedes und auch das 3te Glied mit 8 verkleinert, da dann der Quotient des erſten Gliedes = 2, der aber des 3ten Gliedes 64. 3tens iſt der Quotient 2, als das erſte verkleinerte Glied, durchſtrichen worden, weil mit dieſer Zahl das verkleinerte 3te Glied 64 di⸗ vidirt worden; welches 32 gegeben. Endlich iſt mit dieſen 32 das 2te Glied 25 multipliciret und das Pro⸗ duct 800 f als das wahre Facit geſunden worden, als ſo viel man fuͤr 512 Thlr. nach vorhergegebenen Preiſe kaufen kann. D b) Bey der Solutio b) iſt vorerſt das 1ſte und zZte Glied mit 16 dividiret worden, wodurch im 1ſten Gliede 6, im z3ten aber 32 gekommen. Da nun ferner die 6 des erſten Gliedes in dem 2ten Gliede 150, zu 25. mal genommen, ohne Re ſt aufgeht, ſo iſt die 6 des erſten Gliedes durchſtrichen und alſo gaͤnzlich wegge⸗ fallen. Endlich ſollte das 3te Glied 32 mit 25 ver⸗ mehret werden. Es ſind alſo den 32 zween Puncte, ſtatt 2 Nullen, beygefuͤgt, als wodurch dieſe Zahl mir 100 vermehrt worden. Weil aber dieſes Produet 3200 nun 4 mal groͤßer, als es ſeyn ſollte; denn die Zahl 25, mit welcher⸗ die Multiplication eigentlich R 3 ge⸗ 266 Die practiſche Rechenkunſtt. geſchehen ſollte, iſt nur der 4te Theil von 100, ſo iſt „ dieſerwegen das um 4 mal groͤßere Product 32, oder 3200 mit 4 dividirt, und dadurch das wahre Pro⸗ duct 800, und zugleich das verlangte Facit gefunden worden. Anm. Man kann ſich dieſes Vortheils kuͤnftig ſo oft bedie⸗ gneen, als eine Zahl mit 25 multipliciret werden ſoll. 37) Wie viel kauft man fuͤr 672 , wenn 231 Ellen fuͤr 224 M bezahlt werden? G 38) Wenn n bekommt man fuͤr 15900 ms? 39) Wie viel Schſß kauft man fuͤr 1768 , wenn 8 Sib fuͤr 408 mg bedungen worden? 40) Wie viel gelten 5435 FF, wenn 100 t = 46 m ? 3 Solutito. 109 ſ5s — 46 ms — 54352 — an 128 Centner fuͤr 848 ms kauft, wie viel 32610 21740 250019 . 10). Fac. 2500 M 1 ſs 7 ½ & Weil mit 100 gut zu dividiren iſt, (F. 158.) ſo ſucht man hier keine Verkleinerung, ob wohl das 1ſte und 2te Glied durch 2, oder auch das 1ſte und ISte Glied durch 5 kleiner gemacht werden koͤnnten. Denn alle Zahlen, welche am Ende eine Hoder5 ha⸗ ben, laſſen ſich durch ˖5Ho0kleiner machen. Wohl aber iſt die o am Ende des Products, gegen eine o des erſten Gliedes ausgeſtrichen, als wodurch bey⸗ de Zahlen, der Diviſor und Dividendus, den roten Thyeil kleiner geworden; mithin auch nur noch mit . 10 getheilet werden durfte &c. 41) Wenn 100 fuͤr 35 bedungen worden, wie viel muß fuͤr 5400 % bezahlt werden? (H. 2400.) 42) Was koſten 5340 à 32 Thlr. die 100 ? 43) Was 8000 ſt à 200 8 die 100 FEF?äl;?́ . 44) wan man mn Ds P dos erſ ſen zu ts miß itſoſgen und zte Nr. gabe hezahie man e theilte, Vert h gen yye dere kie Häler per N Mung⸗ Weina De w, ſ men wr und ſe koͤhnen 100, ſt iſt et 32, er nahte Pro⸗. dit gefunden ſt oft bedie⸗ tden ſol. Elen flir ſt, wie viel „wenn 5 46 1 1710 )ſe ſicht 1ſe und tt Gied enn aile er z ha⸗ en. Ggen eine uech be⸗ den loen nch nit pie vitl 4 -= Die practiſche Rechenkunſt. 267 44) Wenn 100 ſ fuͤr 53 me bedungen worden, was wer⸗ deen demnach 4567 b koſten? 45⁵5) Fuͤr 37 Thlr. werden 100 f gekauft, was kommen 4325 b? 46) Wenn ein Kaufmann 5400 ff zu 2450 m. bedingt, abbber nur von derſelben Waare 4846 b bekommt, was muß dafuͤr bezahlt werden? 2. Aufgaben, wo das Factum des aten und 3ten Gliedes zu klein iſt, um darin mit dem erſten Glliede theilen zu koͤnnen, & §. 243. Sehr oft kommen Aufgaben vor, wo das Product des ꝛten und zten Gliedes zu klein, als daß man mit dem erſten Gliede darinn theilen koͤnnte. Z. E. Das Product des 2ten und zten Gliedes waͤre 363 Thlr. das erſte Glied als Diviſor aber 742; ſo koͤnnte mit die⸗ ſen zu großen Diviſor nichts gewonnen werden, ſondern es muͤßte, laut §. 156. Zuſ. 2, zum Quotienten ein Bruch erfolgen, davon der Dividendus, als Product des aten und 3ten Gliedes den Zaͤhler, der Diviſor aber den Nen⸗ ner gaͤbe. Alſo: 24 ¾ Thlr. Wollte man nun einen ſolchen Betrag von 34½ Thlr. bezahlen, ſo koͤnnte das nicht anders angehen, als wenn man einen ganzen Thaſer in 742 gleiche Stuͤcklein zer⸗ theilte, und von dieſen Theilen 363 zur Bezahlung gaͤbe. Wer koͤnnts das Hieraus ſiehet man, wie noͤthig es der Handlung we⸗ gen war, nicht nur Thaler, ſondern außer dieſen noch an⸗ dere kleinere Scheidemuͤnzen, als Groſchen, Pfennige, Haͤller und Schaͤrfe zu praͤgen, um nicht mit Stuͤcklein ei⸗ ner Muͤnze, als 2 2 Thlr., ſondern mit wirklich ganzen Muͤnzſorten, welche ſaͤmtlich das genaueſte Verhaͤltniß zu einander haben, befriedigen zu koͤnnen. . e Denn nun, da wir Scheidemuͤnzen haben, koͤnnen wir, ſo oft der Diviſor in eine Anzahl Thaler nicht genom⸗ men werden kann, die Thaler nur zu Groſchen machen, und ſodann in die Groſchen theilen; den Reſt der Groſchen koͤnnen wir wieder zu Pfennige machen, und die Diviſion auch 268 Die praetiſche Rechenkunſt. auch darinn wiederholen; was aber da noch uͤbrig bleibt, im Bruch ſetzen. Da wir nun wiſſen, daß dieſer Bruch uͤberaus wenig, nicht einmal 1 ganzer , ſondern nur ein Theil deſſelben iſt, ſo iſt auch wenig oder nichts verloren, wenn wir einen ſolchen Theil von Pfennig als nichts betrachten, und in Bezahlung weder geben noch nehmen. . 27) Wenn 742 Ellen Band 3 Thlr. gelten, was werden demnach 121 Ellen betragen? . Solutio. . ) 742 Ellen — 3 Thlr. — 121 Ellen? 363 2 363 Fac. 34 Thlr. b) 242² Ellen — 3 Thlr. — r21 Ellen? 363 Thlr. 24 1452 726 242 — 8712 36* Fac. 11 20 8 43 ¾ 242 1292 742² Prig hlebt, ieſer Brrch ſondern nur⸗ oder nichts pPfennig als gehen nuch bas werden en? Die practiſche Rechenkunſt. 269 Bey a) iſt, weil mit 742 in 363 Thlr. Nichts genom⸗ men werden konnte, der Bruch 3⁄2¾ Thlr. zum Fa- cit genommen. Da aber, wie oben geſagt, eine ſolche Summe nicht bezahlt werden kann, auch wegen der vorhandenen Scheidemuͤnzen nicht noͤthig iſt, ſich in Handels⸗ rechnungen mit dergleichen unverſtaͤndlichen Bruͤchen abzugeben, ſo wird auch die Rechnung nicht auf dieſe Art, ſondern ſo, wie in b) gemacht. Nachdem hier das dritte Glied mit dem 2ten multipli⸗ eirt, ſo ſiehet man gleich, daß, weil mit dem zu großen Diviſore 742 nicht in das Product 363 Thlr. genommen werden kann, die 121 Ellen auch keinen ganzen Thaler betragen koͤnnen. Deswegen iſt das Product 363 Thlr. mit 24 zu Groſchen ge⸗ macht, und darinn getheilt worden, welches im Quo⸗ tienten 11 gebracht. Weil aber noch 550 20 uͤbrig geblieben, und man noch kleinere Sorten, als 96, naͤmlich Pfennige hat, ſo ſind dieſe 550 90 mit 12 zu & gemacht, und abermal darinn dividiret worden, welches zum Quotienten noch 8 ge⸗ bracht. Da aber hier noch 664 &, als die klein⸗ ſte Muͤnzſorte im Handel, uͤbrig geblieben, ſo ſind dieſe im Bruch geſetzt, welches = 6, durch 2 verkleinert 32 ¾ &, folglich das ganze Facit 11 20 8 32¾ &, als ſo viel die 121 Ellen betragen. (§. 1. Anm. Anfaͤnger thun wohl, wenn ſie ihre ganze Divi⸗ ſion, zur Nachſicht ihrer Lehrer, ſo ſtehen laſſen, wie hier bey b) ſichtbar. ð “ Gejuͤbte Rechner hingegen koͤnnen in Praxi, nach ge⸗ fundenen Facit, die auf der Tafel gerechnete ganze Di⸗ viſion wegwiſchen, eine Linie unter den Dividendum machen, und darunter das ganze Vacit, den Diviſor b vor den Strich ſetzen, dann ſtehet das Exempel lſo: l 270 Die practiſche Rechenkunſt. 742 Ellen — 3 Thlr. — 121 Ellen? N3 Fac. II NW 8 32 ₰ 2. Anm. Kaufleute pflegen einen Bruch, welcher uͤber dieHaͤlfte eines Ganzen beiraͤgt, fuͤr ein Gan⸗ zes zu rechnen; demnach wuͤrde ein Berliner Kauf⸗ mann, da, wo es wirkliche Pfennige in Natna giebt, vorſtehen e 3 Pfen. fuͤ einen ganzen Pfen. rechnen, Da dann das Facit ſeyn wuͤrde 11 Gt. 9 Pfen. L HBSingegen wuͤrde ei! Hamburger Kaufmann, weil all⸗ hier keine wirkliche Pfennige vorhanden find, das, was uͤber 6 Pfen. betraͤgt, für einen vollen ßl, was aber unter 6 Pfen. iſt, fuͤr gar nichts rechnen. 3. Anm. Weil aber ein Anfaͤnger der Arithmetik ſich zum genauern und richrigern Rechnen gewoͤhnen muß, ſo wollen wir auch kuͤnftig alle Bruͤche genau und . richtig beſtimmen, und keinen derſelben wegwerfen. 4 8)Was koſten 36 †b, wenn 298 ſp. 6 s gelten? 49) Was 100 ſ, wenn 445 zu 4 Thlr. gerechnet wer⸗ 50) Was 35 Centner, wenn 5 Lol. fuͤr 210 Centner be⸗ 2 zahlt werden 51) Wenn an einer kleinen Parthey Waare, welche Ein⸗ kaufs 25 R betragen, nur 3 pr. C. d. i. an jeden 100 Re Einkauf 3 R6 gewonnen: Wie viel be⸗ traͤgt der Gewinn? S 4 52) Wenn dem Fuhrmanne 352 Sf fuͤr 7 Lvl. bedungen worden, wie viel muß er fuͤr 36 Sf haben? 53) Wenn an 34965 Ellen Band 12 M gewonnen worden, wie viel betraͤgt der Gewinn von 246 Ellen? 54) Wenn an 956 fk Kaffee 7 g verloren worden, was betraͤgts auf 100 †? (d. i. Wie viel pr. Ct. ſind ver⸗ loren worden? 3* Auſa 24 tion, o rechnet t Unitäten welchen Ate Gied Glich ent Centn., Glied h im erſten nicht Cnt t heißt. tagen, e Vele che von , haben wi 1) wi duet 2 ALe nih eevy ) aus che⸗ ul das Ae N - 20 9 ſcher hber ein Gan⸗ kinet Kauſ⸗ ateta giebt, A. chnet, l. . Wen d⸗ neen fnd, vollen ſir ingu te ſt zum innnn, etat und egwetſen. ehne nen Centner ber welch/ Ein⸗ an jeden e viel ben Nugen 41 en vorden, den, 6 t. ſnd en 3 Die prartiſche Rechenkunſ. arr 3. Aufgaben, wo der erſte und letzte Satz nicht einerley Benennungen haben. §. 244. Weil zu einer geometriſchen Propor⸗ tion, ohne welche keine Aufgabe der Regula de Tri be⸗ rechnet! werden kann, nothwendig erfordert wird, daß die Unitaͤten des zten Gliedes eben denſelben Namen fuͤhren, welchen die Unitaͤten des erſten Gliedes haben, ſo wie das Ate Glied aus denſelben Unitaͤten beſtehet, welche das 2te Glied enthaͤlt: ſo kann auch, wenn z. E. das 1ſte Glied Centn., das Zte aber p; oder auch umgekehrt, das 1ſte Glied †r und das 3te Centn. heißt, die Benennung Centn. im erſten Gliede nicht bleiben, wenn das zte Glied ſt; nicht Entn. im 3ten Gliede bleiben, wenn das 1ſte Glied heißt. Denn die Pfunde, deren 112 e erſt 1 Centn. be⸗ tragen, verhalten ſich nur als ein Bruch zuln Ganzen weil e = –2½ Centn. Dieſemnach wuͤrde es ungereimt ſeyn, zu ſgen: D 1Centn.: 52 MH = 3436 fb: NX. Weil ein ſolcher Satz keine von den Eigenſchaften, wel⸗ che von 4 proportionirten Zahlen abſolut verlanget werden, haben wuͤrde. Denn 1) wuͤrde das 2te und 3te. Glied nicht gleiche Pro⸗ ducte mit dem 1ſten und 4ten Gliede geben:;: 2 2) wuͤrde das 1ſte Glied ſich nicht zum zten, wie das 2te zum Aten verhalten; mithin koͤnnte ſich auch nicht das 1ſte zum aten, wie das zte zum Aten Glie⸗ de verhalten. (§. 234.) Folglich wuͤrde — 3) auch nicht das naͤm liche Verhaͤltniß bleiben, wel⸗ ches doch bleiben muß, wenn 4 proportionirte Zaahlen dergeſtalt unter einander geſetzt werden, daß Ddas zte Gled unter das 1ſte, und das Ate unter das Ltte Glied zu ſtehen kommt, wo deren Summen das vorige Verhaͤltniß nicht aufheben. Z. E. Wenn 27² Die practiſche Rechenkunſt. Wenn wir auf dieſe Art die Verhhaͤltniſſe H 3 : 6 m = 4 k: 8 unter einander ſetzen, alſo: 3 FP: 6 g “ . = 4 ⸗:82⸗ ſo ſtehen 7 k: 14 m, als Summen der vo⸗ rigen Glieder, noch in eben demſelben Verhaͤltniſſe, welche die einzelnen Glieder zu einander hatten: Denn 3:6 = 2, und 4: 8= 2; alſo auch 7; 14 2. Hingegen wird ſich das Gegentheil finden, wenn wit ohige ungleichbenamten Verhaͤlniſſe eben ſo un⸗ ter einander ſeben: 3. 2 = 3436 b : 1585 ma 4 6⁵ 6a: O Faͤllt hier nicht deutlich in die Augen, daß alle Verhaͤlt⸗ niſſe ſehlen? Und warum? Weil das 1ſte Glied Uni⸗ taͤten ganz anderer Art, als das Zte Glied, naͤmlich ſolche enthaͤlt, die rramal ſo groß, als die, des zten Gliedes. Hieraus aber wird klar: daß in einer Aufgabe der R. de T. ſich nebſt der Gleichheit des Werthes, wei⸗ che im 1ſten und 2ꝛten Gliede vorhanden, (§H. 232.) auch noch eine zwote Gleichheit, eine Gleichheit des Na⸗ mens, und dieſe im 1ſten und 3ten Gliede finden, und daferne eine ſolche in der Aufgabe ſeibſt nicht vorhanden, ſie hergeſtellet werden muͤſſe, nach folgender Regel: Wenn das erſte Glied aus 2 od er meh⸗ rern Sorten beſtehet, oder uͤberhaupt das erſte und dritte Glied ungleiche Benen⸗ nung haben; ſo muͤſſen, bevor gerechnet werden kann, dieſe verſchie denen Benen⸗ nungen erſt unter einen Name n gebracht werden. Z. E. Wenn das erſte Glied KF und Loth, das dritte aber E allein; oder auch ſt und Lth. enhaͤte⸗ ſo muß, in benr⸗ 1. niſſe emen der den Verhältniſe, nder halnn : lſo au7: , wenn it eben ſo vnn 8 l Grhitr e Glied Uni: ied, haͤmlich de, des zun ſabe der 1. iſet vel⸗ 12) auch it des N e ſtden, ind t vorhonden, der Meh⸗ haunptdes Belen⸗ en Henen gihtet itte ate * muß, beh den S 4 Die practiſche Rechenkunſt. 273 den Faͤllen, ſowol das Iſte als das te G L 2 wath gemacht werden. lied zu lek enn das erſte Glied Centn., L. und aber Centn. allein, oder Ceutn. D dar z⸗ 4 2 ſo muͤſſen beyde Glieder zu lau ter funde gemacht, d. i. unter einen Namen ebrach So auch, wenn das 1ſte Glied Tentne. das ate b nur ſp enthaͤlt, muß das erſte Glied zu ſt; Dl umgekehrt; wenn das erſte Glied nur t as gi aber Centn. enthaͤlt, ſo muß das 3te Gl Glied zee macht werden, &c. zn As ge⸗ 55) Was koſten 3436 f, wenn der Centn. zu 52 mS be⸗ dungen? Solutio. 1 Centu. — 52 — 3436 b? IISEKE 10308 4 28 13 7 44668 2 47 III67I 7) Fac. 1595 mm 46 65 £ nahen, u Folge vorſtehender Regel, das 1ſte Glied rcht⸗ en⸗ liede⸗ den Namen nach gleich ge⸗ n te n. er 1 Centn. des 1ſten Gliedes in 112 8 elt worden, als wodurch nun das richtige erhaͤltniß 112 b: 52 M = 3436 k: X. entſt . den; ſo ſind beyde vordre Glieder zmeinſchaftlich durch 4 verkleinert; ſodann auch das 1ſte Glied 28 durch 4 2— 7 zerfaͤllet, und 6 ſo wie der Augenſchein e. verſahren worden, 5 ) Was koſten 4730 , wenn 1 Centn. fuͤr 36 Mm zu haben? : . SeK 4 3 47 r Centn.? à 50 d 1 393 WVenn der Centn. 48 m koſtet, wer 61 us koſten 43 4567 ſt, das Schſt à 36 Thlr. 3 3 ge 52) „5542 fbt ⸗ ⸗ à 95 Thlr.? „ 3 274 Die practiſche Rechenkunſt. 3) Was toſten 8380k, das Scht à 86 Thlr.?2 64) 2 4444 , : ⸗ à 100 Thlr. 65) Wenn das S zu 59 bedungen wird, was ko⸗ ſten 499 L5? 66) Was 896 2 à 66 mMm das Schf? 67) Was 9432 L5 5475 mS das Schlb⸗ 68) 4933 à 86 m g ⸗ ⸗ 2 699) ⸗ 9400 à 96 S; 2 2 70) Wenn das L5 8 koſtet, was muß fuͤr 3400 8 bezahlet werden? 71) Was fuͤr 5604 5 à 12 ms das Ltz ? 72) ⸗ 6666 à 15 ms ,·2 73) ‧ 4564 à 21 ms ;2 74) Was koſten 3456 Stuͤck, wenn das Schock fůͤr 4 In bezahiet wird? 75) Was koſten 3465 Stuͤbchen Wein, das Fuder zu 120 & gerechnet? 76) Was 88460 Quart. à 32 mg das Oxhoft? 77) Wenn Jemand in einem Jahre 566 Thlr. gebraucht, wie viel muß er fuͤr 262800 Stunden haben? 78) Wenn das groß Tauſend 23 g koſtet, was 56423 Stuͤck? 79) Wenn 3465 ft zu 386 ms bezahlt werden, wie hoch kommt der Centner? Solutio. 3465 K — 386 ms — 1 Centner? 386 — 245 43232 3465) Fac. 12 M8 7 ſ 7 * 30⁰) Fuͤr 5684 ff werden 86 Thlr. , was kommt der Centner? 81) Wie hoch das Schſt, wenn 48600 ſ = 8400 ng 82) Wenn 58742 Stuͤck 2406 Thlr. koſten, was das . Schocke 83) 4030 Felle koſten 840 Lpl,: was 1 Zimmer? 4³) R – 34) 0 ker? 4, Auf . 44 der me! Gled nn dleichfall⸗ hedope Unitaͤten ſettn Dipil nicht theile mal, ehe⸗ Ne in ler dage den Nam 8) Ven wie 156 4 1266 644 FFoß Mh glei ſer * Thlr.? Dhlr. diid, wei ke⸗ ſir 3400 Ett ſißh 66 Fuder zu oſt! r gebraucht, haben? 1 was 56042 2 den, wiehh P“ was umunt , was d mer? N 2 Die praetiſche Rechenkunſt. 275 84) 8496 Quart. Wein kommen 3985 mg. Was 1 An⸗ 4. Aufgaben, wo im erſten Gliede mehr als eeine Sorte Unitaͤten vorkommen. §. 245. Aufgaben, beren erſtes Glied aus zwo oder mehr Sorten Unitaͤten beſteher, wenn das Zzte Glied nur eine der größten Sorten, welche ſich gleichfa lls im 1ſten Gliede befindet, hat, koͤnnen eine ſol⸗ che doppelte, noch weniger dreyfache Benennung der Unitaͤten im 1ſten Gliede nicht behalten, weil ſich mit ei⸗ nem Diviſore, welcher zweyerley Sorten enthaͤlt, nicht theilen laͤßt. Es muͤſſen alſo in ſolchem Falle alle⸗ mal, ehe gerechnet werden kann, laut der Regel §. 244. die Zahlen des 1ſten Gliedes unter einen Namen ge⸗ pracht, und ſo dann auch das 3te Glied mit dem erſten den Namen nach gleich gemacht werden. Z. E. . 85) Wenn man 166 R 18 ſs fuͤr 64 Ellen bezahlt wie viel bekommt man fuͤr 845 R? 4 156 R6 18 ſo — 64 Ellen — 845 RC 2 4.. 4 1266 5H5760 75 06 ſt 40560 ſt8 J 644 162240 243360 7506) Fac. 345 17 Ellen Nachdem das 1ſte und zte Gled dem Namen nach gleich gemacht worden, ſo ſind auch die Zahlen die⸗ ſer Aufgabe dadurch geometrice proportionirt, und 276 Die practiſche Rechenkunſt. 40560 ſs: X. Und nun erſt kann die Rechnung durch Mult. des 3ten Gliedes mit dem 2ten angeſangen werden alſo: 64 α 40560. Das Factum muß ſo⸗ Dann, laut §. 233. Anm., nach dem 2ten Gliede, alſo mit Ellen benamt, und dieſes mit dem erſten Gliede dividirt werden, da dann ſogleich das richtige Facit erfolgt. L 86) Wenn fuͤr 86 RC. 36 ſz zu haben 468 : wie viel bekommt man fuͤr 346 R—? S=S 87) Fuͤr 45 Ré 42² ſs kauft man 560 : wie viel be⸗ kommt man fuͤr 8734 m8 ? bekommt man fuͤr 5670 m5g 2 89) Wenn in Bremen fuͤr 647 Ellen 96 Thlr. 15 Grt. bezahlt werden: wie viel kann man fuͤr 836 Thlr. kaufen? M 90⁰) Wie viel Waare kauft man fuͤr 496 R., wenn 24 Lk mit 48 M& 12 fz bezahlt werden? WJ”VMU 838) Für 346 13 f werden 568 h gekauft: wie viel Solutio. 48 M 12 6 — 24 cſt — 496 Ré6 ?2 42) 4 1⸗ 2 48 23 3968 ”l 23808 ſ8 2 * 47616 Lb 65) Fac. 732 2b 7 24 7 r. 30 f, Bevor das 1ſte Glied unter einen Namen gebracht worden, iſt daſſelbe, nebſt dem 2ten Gliede, durch 12 verkleinert worden. (Denn dieſes kann allemal geſchehen, wenn nur die kleinern Sorten des 1ſten Gliedes ohne Reſt aufgehen,) darnach iſt erſt das ſte Glied 4 m*0 1 ſs unter einen Namen ge⸗ und die Aufgabe heißt nun 7506 ſz: 64 Ellen — 92) Fir rac das geie ar ie was 93) 16 6 as no 72 A 64 2 — 271586 Wec ſie werde Das viel men chalea Thir. 9) Für 1 Ppbe 96) G . 64 Elen = ihnung durch angeſangen kum muß ſa ten Gliede, iit dem erſten das richige E: wie viel ſie viel des ft wie ien le. 15 Grt. e , 4 , Denn 24 Die vraeſchi Nechenkunſ. 277 bracht, welches 65 ſy gegeben. Darauf iſt auch das zte Glied, den Namen nach, dem erſten gleich gemacht worden ꝛc. 91) Fuͤr 96 Thlr. 21 20 werden 3 Centner bedungen⸗ wiie viel kann man fuͤr 896 Thlr. bekommen? 92) Fuͤr 87 Thlr. 28 Groten werden 2 Scht gekauft: waßs fuͤr 735 Thlr.? 93) 16 Centner koſten 120 Thlr. 57 Geaten 3 Schw. was fuͤr 2124 Thlr.? . Solutio. 120 Thlr. 57 Grot. 3 Schr. — Et I:rs zt.: . 7² 360 2899 11727440 l S. — aor. 2 34306. à2 nisSn WG 1 Centner Weil hier im rſten Glede ſich 3 Sorten befinden, ſo werden ſie nach und nach unter einen Namen gebracht. Das 3te Glied kann auf einmal durch 360, als ſo viel Schw. der Thlr. hat, den 1ſten Gliede den Na⸗ men nach gleich gemacht werden, ſo wie ſolches in mlcher Faͤllen allemal geſchehen kann ꝛc. 94) Fuͤr 2 Wiſpel 5 Scheffel 1 Faß Rocken werden 42 Thir. bezahlt; was koſten 324 Wiſpel? 95) Fuͤr 12 Laſt 1 Wiſpiel 1 Faß Haber werden 1198 Ins bezahlt; was fuͤr 136 Laſt? 96) Ein Weinhaͤndler kauft 348 Ahm Wein, bedingt 3 Anker 3 Viertel 1I Stuͤbchen zu 60 W: wie viel hat er bezahlt 7 . 63 B 97 27 8 Die praetiſche Rechenkunſt. 957) Eine Haushaltung gebraucht in 36 Wochen 4 Tagen 97) n Ranhe 6 m, wie vĩ⸗ betraͤgt das in 12 Zahren? (die Jahre mit 8760 zu Stunden.) 98) Ein Papierhandler kauft 21 Ball. 5 Ries 15 Buch fuͤr 1058 ig, und will dieſem Preiſe nach eine an⸗ dere Parthey von 84 Ballen kaufen: wie viel muß dafuͤr bezahlt werden? 99) an Eih 5 Ltb 10 ſbb werden 118 m8 bezahlt: was kommen 221 Schfß? §. Aufgaben, wo im zten Gliede mehr als eine Soeorte Unitaͤten vorkommen. F. 246. Aufgaben, deren zZtes Glied aus unte r⸗ ſchiedenen Sorten Unitaͤten beſtehet, werden eben ſo, wie die vorhergehenden Aufgaben, nach der Regel §. 244. be⸗ rechnet. Z. E. 2ððð T00) Wenn 5 Lentner mit 205 m. bezahlt werden: was kommen 36 Centner 4 Lſt. J Cntn. — zo; 6 — ze Cen. 4 — ½ ee Z 1168 8⁸) pao. 1496 8 S „In bieſem Satze findet fich ebenfalls eine geometri⸗ Anne Naertiſen⸗ wie P einer Regeldetriaufgabe verlangt als: 8 Llt: 41 M rG 292 Lb 1496 8 ſs hut nichts, daß das zte Glied Marknur allein, rs erer⸗ 4te Giten Res und Schilling enthaͤlt; denn man darf nur dieſe benden Glieder den Namen nach gleich machen, wie vorher bey dem erſten und zten Gliede geſchehen iſt, ſo wird man finden, daß die Moyportion diefelbe iſt. lſachen falten de tine S thig hat, Glied in das Iſe zu machen kleinern den groͤß rſchtige verfahren uns pothe ſie Thei ſind, nah Pus nern G ner Unit abgenmeſe und guch ſ ten klei der griß den, dade che noch ni te hetrigt, der klein⸗ gruͤßerge E. Weil ner; 2 , Cntnet in ſern Gort ederglee beſthen i 4) as 1, 8s: ett 4 Tagen St das in 12 nden.) s 15 Buch ſach eine an⸗ die viel nuß bengftt: Ut als eine 1 gus unten Aben ſo, wie 6. 24 ber verden: “Z 0? te geottitt nte etinge. 95E86 uiniraleſt, ling enthaͤt r den umn en etſen e nen, 41 Die praetiſche Rechenkunſt. 279 5.247. Ob gleich das 1ſte Glied, §. 245 angefuͤhrter Urſachen wegen, nicht mehr als eine Sorte Unitaͤten ent⸗ halten darf — ſo kann doch das zte Glied mehr als 7 eine Sorte von Unitaͤten enthalten, ohne daß man noͤ⸗ thig hat, ſo wie in voriger Solutio geſchehen, das 3te Glied unter einen Namen zu bringen, und dieſerhalb das 1ſte Glied dem 3ten, den Namen nach, gleich zu machen; ſondern man darf nur die Unitaͤten der kleinern Sorte, als Theile einer Unitaͤt der folgen⸗ den groͤßern Sorte, wozu ſie ihr abgemeſſenes richtiges Verhaͤltniß haben, betrachten, und damie verfahren, wie hernach gelehret werden ſoll, wenn wir uns vorher mit den kleinern Sorten, in wie ferne ſie Theile von einer Unitaͤt groͤßerer Sorte ſind, naͤher bekannt gemacht haben. §. 248. Wenn wir uns jede Unitaͤt einer kleie nern Sorte als einen beſtimmten Theil von ei⸗ ner Unitaͤt der groͤßern Sorte, zu welcher ſie ein abgemeſſenes Verhaͤltniß hat, vorſtellen koͤnnen und auch ſo vorſtellen muͤſſen, ſo koͤnnen auch alle Uni⸗ taͤten kleinerer Sorten, mit einer Unitaͤt folgen⸗ der groͤßern Sorte, in einen Bruch geſtellet wer⸗ den, davon die Anzahl der kleinern Sorte, wel⸗ che noch nicht eine Unitaͤt der folgenden groͤßern Sor⸗ te betraͤgt, den Zaͤhler, die volle Anzahl Unitaͤten der kleinern Sorte aber, weiche einer Unitaͤt der groͤßern Sorte gleich iſt, den Nenner giebt. Z. E. Weil 1 Centner = 8 Lſſ, ſo iſt auch 1 L = Cent⸗ ner; 2 Lſt = ½ oder ½ Centner; 3 L= Centner; 4 Lib oder ½ Centner; 5 Lk = * Centner; 6Lb= 5 Centner und 7 2 = Centner. Und ſo mit allen an⸗ dern Sorten, welchen Namen ſie auch haben moͤgen. Alle dergleichen aus kl einern Sorten gemachte Bruͤche beſtehen ihren Zaͤhler nach a) aus unzerſtreulichen Theilen, Partes aliquotgz b) zerſtreulichen Theilen, Partes aliquantæ als: , ½, ⅞ . 1 s S 4 5. 249‧ 280⁰ Die praetiſche Rechenkunſt. ⸗ §. 249. a) Unzerſtreuliche Theile, Partes ali- quotæ, ſind alle diejenigen, welche zu ihren Zaͤhler I ha⸗ ben, als ½, ¼, :c. Sie entſtehen aus Zahlen kleine⸗ rer Sorten, welche wie 12 und 4 Lf, in ihren Nenner, der nach dem Verhaltniß zu 1 Centner =— 8 L iſt, ohne Reſt aufgehen, und alſo allemal ein ge⸗ wiſſer Theil vom Ganzen der groͤßern Sorte ſind. S Und da ſie, ſo wie ſie ſind, zu unſerm Zweck dienen, ſo werden ſie auch daher unzerſtr eulich genannt. 2 §. 150. b) Zerſtreuliche Theile, Partes ali- quantæ, hingegen ſind alle die aus kleinern Sor⸗ ten entſtandene Bruͤche, welche zu ihrem Zaͤhler mehr als 1 haben, als: z, 5, F, F:c. Und weil kei⸗ ne andere Bruͤche als ſolche, deren Zaͤhler 1 iſt, zu unſerm Zwecke dienen, ſo muͤſſen die aus groͤßern Zahlen beſtehenden Zaͤhler; 3, 5, 6 und ?7 in ſolche Zahlen zerſtreuet werden, davon die erſten dieſer zer⸗ ſtreuten Theile eines ſolehen Zaͤhlers in ihren Nenner ohne Reſt aufgehen, und alſo einen Zaͤhler geben, wel⸗ cher nicht mehr als 1 iſt: die uͤbrigen Theile des zer⸗ ſtreuten Zaͤhlers aber muͤſſen, Theile aus Theilen genommen, ebenfalls Bruͤche geben, deren Zaͤhler x iſt. Z. E. Weil 3 L als der Zaͤhler von ¾ Centner, nicht in den Nenner 8 ohne Reſt aufgehn, ſo werden die⸗ ſe 3 Lſt zerſtreuet in 2 und 1, weil 2, als der groͤßte Theil von 3 L, in den Neuner 8 ohne Reſt aufgeht, und der 4te Theil aus den Nenner 8, d. i. + Centner: das uͤbrige Lt aber oder der 2te Theil von 2 Lf iſt. Und ſo mit allen uͤbrigen Zahlen von der Art. Man wird vun leicht gewahr werden, woher das Wort Ferſtreuen koͤmmt. Wir wollen, zu mehrener Deutlichkeit, ſo wohl die Partes aliquotæ als auch die Partes aliquantæ, ſo wie ſie auf einander folgen, von 1 bis 7 At nacheinander herſetzen, und die letzten zerſtreuen. x 118 . M he zeiſt ſelben M. men zur ie 1,2 aber, w. ſtreute⸗ unter eit nit ſeßet Darin de ſtrenten der gte⸗ zur Linke Rechten 5 d. Ne en der Kinge Rrſtreuet ſtreuten 14 ☛ 4 +☛☚ zur Linken geſett, ſ ſo witd 2te Theil (Cben n Wo⸗ . hen, den Dhne Net uhne he Ulſo die⸗ Partes ali-. ihler l he⸗ len kleine⸗ b, in ihen net = 9 t l ein ga ern Goktt ſſern Zeck erſtrelich Pattes ali- nern SGoy tein Hügter weil ktit er 1 iſ, 1s groͤßern 7 in ſothe t dieſer zet⸗ ten Nennr geben, we⸗ eile des zer⸗ 5 Theilen en Haͤhler 1 1 Cuntnet, werden die⸗ V der grüfte leſ ,uggeht, Centner; . das Vott ſ wohl ni nte⸗ ſt e hacheinaner 1 a 2 M alſo die 7 Lſ in 4, 2 und 1 zerſtreuet werden; ſodann i Die praectiſche Rechenkunſt. 281 1 2 3 4 65 7 2* ——— F 1 — — — 18 214 2 4 412 1 42 4 12 112 14 212 2 2 1 2 Man macht, wie hier ſichtbar, unter die Zahl, wel⸗ che zerſtreuet werden ſoll, einen Strich — und unter deſ⸗ . —. 14“ ſelben Mitte eine Perpentikulairlinie „ſodann ſeltzet man zur Linken derſelben die unzerſtreulichen Zahlen, wie 1,2 und 4 21½ (§. 249) ganz, die zerſtreulichen aber, wie 3, 5, 6 und 7 L (§. 250) nach ihren zer⸗ ſtreuten Theilen, ſo wie ſie auseinander folgen, unter einander hin: zur Rechten dieſer Perpentikulairli⸗ nie ſetzetman, was fuͤr ein Theil vom Ganzen, worin zerſtreuet worden, die unzerſtreuten oder zer⸗ ſtreuten Zahlen ſind, als: weil 1 Lf, = Centn. d. i. der Ste Theil vom Centner iſt, ſo ſtehet die 1 (1 L †d) zur Linken der Perpentikulairlinie 1die 8 aber zur Rechten derſelben, welche anzeiget: daß 1 Lt = ½ Centn. dei. der Zte Theil von 1 Centn. iſt. 18 Weil 2 Lfk. = ½ Centn., d. i. der 4te Theil von 1 Lentn. iſt, ſo ſtehet 4 der 2 zur Rechten; ſo auch mit 4 2ſ. Hingegen muͤſſen die Partes aliquantæ laut §. 250. zerſtreuet werden, als 3 L in 2 und 1, und dieſe zer⸗ ſtreuten Theile werden, wie hier ſichtbar, unter einander zur Linken des Strichs, ihre Theile aber zur Rechten geſetzt, naͤmlich weil 2 Lſt der 4te Theil vom Centner, ſo wird die 4 neben die 2, und weil 1 2 aus 2 ff der 2te Theil iſt, ſo wird dieſe 2 neben die 1 geſetzt. . Eben ſo mit 5 und 6 Lſ. 7 Lſt aber laſſen ſich nicht in zwo Zahlen zerſtreuen, wie mit 3, 5 und 6 Lf geſche⸗ hen, denn weil 4 Lf½ die hoͤch ſte Zahl iſt, welche in 8 ohne Reſt aufgeht, die uͤbrigen 3 Lſ aber nicht in 4 2 ohne Reſt aufgehen, ſo muͤſſen dieſe noch in 2 und 1, ſt 5 4 282 Die bractiſche Rechenkunſt. 4 Lſk der 2ꝛte Theil von 1 Centn. oder 8 2†, 2 L der 2te Theil aus 4 Lb, und 1 Lſ der 2te Theil aus 2 L†. 1. Anm. Weil die Zaͤhler von 4, 5 dc. bey der Rechnung nicht gebraucht werden, ſo hat man auch nicht noͤthig dieſelben neben den zerſtreuten Zahlen hinzuſetzen; ſondern nur blos ihre Neunnee, als welche allein dehraucht werden, weshalben ich auch geſagt: ſtatt „ T, 6, , der 4te⸗ gte⸗2te Theil. * X 2. Anm. So mie die Lispfund, als Theile von 1 Centner betrachtet, zerſtreuet worden, eben ſo werden die Pfunde als Theile von Lispfund; die Loth als Theile vom Pfunde zerſtreuet. Eben ſo die Gro⸗ ſchen, Schillinge, Graten, als Theile vom Thaler⸗ die Pfennige als Theile vom Groſchen oder Echil⸗ linge ꝛc. als wovon ich nach und nach Tabellen, gleich der vorigen, beyfuͤgen werde. §. 251. Nun will ich auch den Nutzen dieſer Zer⸗ ſtreuungen der kleinern Sorte, gegen eine Unitaͤt der Groͤßern, zeigen, als welcher nicht gering iſt, in⸗ dem beym Gebrauch derſelben nicht noͤthig iſt, ſo wenig das aus verſchiedenen Sorten beſtehende 3te Glied unter einen Namen zu bringen, als das erſte Glied, der im dritten Glied befindlichen kteinern Sor⸗ ten wegen, ebenfalls zu kleinern Sorten zu machen. Und alſo muß, bey Verhinderung eines großen Multipli- catoris und großen Diviſoris, unfehlbar die Rechnung ſehr abgekuͤrzt, folglich erleichtert werden. Wir wollen die 100te Aufgabe zur Probe waͤhlen. Solutio. 5 Centn. — 205 mS — 356 Centner 4 2? Hr D 41 . : 8 4 2% FPac. 1496 8 ſs Nachdem die 4 Lſt im zten Gliede, als der 2te Theil eines Centners gehoͤrig bemerket worden, ſo iſt ſodann das 1ſte und ꝛte Glied mit §5 verkleinert, und mit dem alſo verkleinerten aten Gliede 41, das Zte Glied 36 Centn. vermehret worden. Das Produét 41 — 36, als der Betrag fuͤr 36 Centn. allein, iſt noch nicht in Summa gebracht, weil der Betrag von 4 Lſtb noch fehlet. Nun aber WN)V aber it ſo muß Theil d durch 5 AII) dividitt, Bettag benſelber f. 14. gabe, 9 An, — — — = — — — or) D loſt 36 Die practiſche Rechenkunſt. 2893 1 der aber iſt geſchloſſen worden: Wenn 1 Centn. = 41 m, ſo muß der 2te Theil eines Centners auch nur den 2ten Nang Theil des Preiſes von 1 Centner betragen; (denn das iht de durch 5 verkleinerte Verhaͤltniß iſt hier wirklich 1 Centn.: Uerſema; A1 m.8) deshalb iſt mit dieſer 2 auch in den Preis 41 m8 ge allein dividirt, und der Quotient: 20 mMmg 8 ſe, als der wirkliche eſagt: ſun Betrag fuͤr 4 Lſ,, unter die vorigen Facta geſetzt, mit 1 Criner denſelben in eine Zumma gebracht, und alſo das naͤmliche verden ie. Fac. 1496 M2 8 ſe, wie bey der Solutio der 100 ſten Auf⸗ it ii gabe, gefunden worden. D ſh die Gre⸗ Anm. Dieſe Rechnungsart wird insgemein die Welſche n Chalers Practica genannt. Allein, da jeder in der Rechenkunſt der Echl⸗ Unerfahrne erſt die größern Sorten, und nach die⸗ Nen gleich ſem auch die kleinern Sorten, alſs ebegfalls theil⸗ neiſe: wie hier geſchehen, berechnet; ganz natuͤrlich er get⸗ folgert und ſchließt: wenn 1 Centn, 41 Mark koſtet, e Unitit ſoo koſten 36 Centn. auch 36 mal 41 Mark, und weil 4 Lispfund ein halber Centner iſt, ſo muß er auch ſt in⸗ Jalb 41 Mark koſten ꝛc., ſo koͤnnte dieſe Rechnungs⸗ ſo wenig tlauch da natürliche beißen. zt: Gd Lo) Wenn 18 Centn. mit 146 i§ bezahlt werden, was, das ete 1 keoſten 121 Centn. 2 L b? in SLo2) Was koſten 96 Centn. 5§ LAſtk, wenn 3 Centn. zu mnchen. 446 Thaler bezahlt werden? õ Multip. “ Solutio. Rechnung Centn. –— 46 Thlr. — 96 Centn. 5 Lfb. tr wolen 96 2 276 114 t⸗ 23 Beteag fuͤr 48fB5. 4* 5 . 18 . Betrag fuͤr 1 8f. 4444 18 n Bil 3) Fac. 1491 Thlr. 14 S½ iſ ſcaun Nachdem 5 Lſ in 4 und 1 zerſtreuet worden, iſt erſt⸗ fit dem lich der Preis von 3 Centn. 96mal genommen, aßer 35Centn. . die Facta ſind noch nicht in Summa gebracht, weil ls ee. nooch der Betrag fuͤr 5 Llb darzu kommen muß. Sunmnt Weil nun 4 Lſb der 2te Theil eines Centners, ſo Der 1 284 Die practiſche Rechenkunſt. muß auch der 2te Theil aus dem Preiſe 46 Thlr. (welchen man inzwiſchen ſo annimmt, als ob er nur fuͤr 1 Centner waͤre) genommen werden, und dieſer iſt 23 Thlr. als ſo viel fuͤr 4 Lſ oder ½ Centner kom⸗ men mußten, daferne 1 Centner = 46 Thlr. Weil aber noch der Betrag von 1 Lf fehlet, welches der 4te Theil von 4 Lf, uns auch ſchon der Betrag von 4 ftb bekannt iſt, naͤmlich 4 2 / = 23 Thlr. ſo iſt auch der 4te Theil aus dieſe 23 Thlr. genommen und = 5 Thlr. 18 20 befunden, nun ſind ſowohl die Facta 96 —α 46, als auch der Betrag von 4 Lt + Lſt, alſo von 5 Lſt in eine Summe gebracht, und end⸗ lich mit dem erſten Gliede dieſe um zmal zu große Summe dividirt, und demnach das richtige Facit gefunden worden. 103) 8 Centner werden mit 39 Rß bezahlt: was werden 86 Centner 6 Lſt betragen?— 104) 5 Centner koſten 19 Lvl. was 35 Centner 7 Lkt ?· Solutio. SS . 6 Centn. — 10 Lvl. — 35 Centn. 7 At? 6 :. 3 3 7 4 412 I5;: 16 8 112 IIO⸗ 16 ⸗ 8 Betrag ſuͤr 35 Centn. I = II ⸗ 8 ⸗ — ⸗ 4 Lſt —, I15 10 ⸗ 2 Lff. — 7 Ir ⸗ ⸗ I Lit Fac. 113 Lvl. 12 ſtvl. 1 Weil hier 35 Centner im zten Gliede zerfaͤllt werden koͤnnen, ſo iſt es Vortheil, das 1ſte und 2te Glied durch 6 zuver kleinern, ob auch gleich im ꝛten Gliede drey Sorten, Lol., ſevl. und grvl. entſtehen: lieſ⸗ — 46 e. ob er nar d dieſerſt ener kum t. Weit belches der etrag dun hlr ſoſt enofmnnen ſoohl Re 4be , Undend: u große ge Faciit Werden 14! 22 12 4At: 2 1 f werden te Glied Gliede . Utſiehen: ſtſ⸗ Die praetiſche Rechenkunſt. 285 nieſſen ſich aber die Centner des zten Glieds nicht zer⸗ faͤllen, ſo wuͤrden die dreyerley Sorten im 2ꝛten Glie⸗ de die Arbeit erſchweren. Nachdem das verkleinerte 2te Glied, 3 Lwv. 3 ſovl. 4 vl. mit 5 α7 multi⸗ plicirt, ſo⸗ iſt das Product 110 Lvl. 16 ſSol. § Gvl. der Betrag fuͤr 35 Centner. Ferner iſt fuͤr die 7 Lff, nach ihren zerſtreuten Theilen: 4 2t = ¼ Cent⸗ ner; 2 Lſkt = 4: 4 L, und 1 Lſt = 4: 2 Lb, nach und nach aus den mittelſten Gliede; 3Lvl. 3 ſevl. 4 Gol. der gehoͤrige Theil genommen, und geſchloſ⸗ ſen worden: wenn 4 Lf der 2ꝛte Theil von 1 Cent⸗ ner, ſo muß auch der 2te Theil des Preiſes eines Centners der Betrag fuͤr 4 2 ſ ſeyn; desha ben auch der 2te Theil aus 3 Av. 3 fs vl. 4 Gvl. genommen und unter den Betrag fuͤr 35 Centner geſetzt wor⸗ dDden iſt. Ferner: weil 2 2f aus 4 Lf der ate Theil, ſo iſt auch, durch die Diviſion mit 2, in den Betrag fuͤr 4 8 t, ebenfalls der 2te Theil deſſelben genom⸗ men und unter den Betrag fuͤr 4 Lſt geſetzet worden. Ferner iſt auch fuͤr 1 L†, als den 2ten Theil von 2 Afß, der 2te Theil des Betrags fuͤr 2 2 genommen, und unter den Betrag fuͤr 2 L geſetzt: Endlich Abber alle dieſe einzelen Betraͤge fuͤr 35 Centner; fuͤr 4?fur 2 und fuͤr 1 2t in eine Summe gebracht wor⸗ den; als welche Summe, da ſie, wie der Augen⸗ ſchein in der Solutio zeiget, den Betrag ſo wohl der 35 Centner als auch der 7 Lſß wirklich enthaͤlt, auch das verlangte richtige Facit ſeyn muß. §. 252. Weil die Partes aliquotæ, ans welchen klei⸗ nern Sorten ſie auch genommen werden, ſaͤmtlich einan⸗ der aͤhnlich ſind, und Bruͤche geben, deren Zaͤhler 1 iſt, (§. 249.) ſo kann es auch mit Niederſchreibung derſelben keine Schwierigkeit geben, deshalben werde ich ſie kuͤnf⸗ tig bey noch zu zerſtreuenden Sorten weglaſſen, und nur allein die zu der E Zerſtrenung gehoͤrigen Partes aliquantas hinſetzen. Z3. E. Zer⸗ a86 Die practiſche Rechenkunſt. Zerſtreuung der A gegen Scht à 20 L ¼. 3 6 7 8 9 11 12 2 10 54 54 45 4 15 10 2 10 2 5 15 1 5 411 41 10 5 III 114 13 14 15 16 1272 18 —,,— r= – — —,— —,— 10 2 I10 2 10 2 10 2 I0 2 1I10 2 2 5 2 5 52 52 52 2 112 211 1 5 15 1I1 I 1 X1 19 Lf. 102 Man darf nicht denken, daß nur eine Art zu 5 2 zerſtreuen moͤglich. Keinesweges! Man 1 5 kann vielmehr auf ſehr verſchiedene Arten 11 zerſtreuen, von welchen immer eine Art beym I 1 Rechnen vortheilhafter als die andere iſt. XI Wir wollen z. B. einige der vorigen Zahlen auf eine andere Art zerſtreuen. L 5 9 12 17 18 19 oder 19 Lf. 4 4 4 5 10 ſ2 (10 ſ2 (10ſ2 (10 ſ2 2 2 4 5 4 1( 5 2 4 5 4 5 (5 4 112 4 2 5 411 41 45 114 Die 9 Lſtb ſind hier in 50 und 4 zerſtreuet, und beyde Jahlen aus dem ganzen Sfp, d. i. aus 20 L genommen worden. . . 4 1 Und weil 5 2 = ½ Sſt, und 4 2k = 4 Schfß, Bruͤche geben, deren Zaͤhler 1 iſt, ſo koͤnnen dieſe alſo zerſtreuten Theile als Partes aliquotæ betrachtet werden Die 17 L Sâ ſind in 10, 5 und 2, alſo ebenfalls, wie bey 9 Lſt, nicht in auseinandergenommenen Zahlen zerſtreuet worden; denn die letzten 2 LQſ, ſind nicht nicht an tthen 1 heſe, h 2, nich Pringn den. len 10 p gen Di Zerſtren genomm * 120= 8 ₰ 10 2 32 15 — 10 2 52 15 11 1 1 e Art in 61 Man dene Arten Attbeym noere iſt⸗ n gahlen 1 i h. — 10 % 0 34 45 s bede enomtnen dlo Se verden— ſels, vie . mme il 1 . 7 3 ſiht Die practiſche Rechenkunſt. 287 nicht aus den uͤber ihnen ſtehenden 5 Lfp ſondern aus den erſten 10 2, der te Theil. Eine ſolche Zerſtreuu . rſtreuung, wie dieſe, heißt durch Ueb erſpringung zerſtreuen, welt die 2, nicht aus der uͤber ihr ſtehenden 5, ſondern mit Ueber⸗ ſpringung dieſer 5, aus der ſolgenden 10 genommen wor⸗ den. Bey 18 und 19 Ll ſind die erſten z S erſtreuten Zah⸗ len 10 und 4 ebenfalls, wie bey 9 Lf geſchenmn⸗ aus 8 Lft genommen worden, die uͤbrigen aber nach ihrer Folge Die am Ende ſtehenden 19 ſind in zerſtreuet, und alle 3 Zahlen aus dem ganzen Sehſe genemmen worden; denn 10:20:—2; 5: 20= 4 und 4:20=— 5. 1. Anm. Um Irrungen zu vermeiden, pfl man chen zerſtreute Zahlen, welche gemetaſchafrlich a⸗ bdem Ganzen genommen worden, wie die 5H und 4 ben 9 Lispfund; die 10 und 4 bey 18; und die 10, 5 und 4 bey den letzten 19 Lispfund mit einem Bogen (zu be zeichnen, um dadurch zu bemerken, daß mit ihren Theilen, welche gemeinſchaftlich aus dem Gan⸗ zen entſtanden, auch gemeinſchaftlich aus dem Preiſ⸗ des Ganzen genommen werden muͤſſe. Und 1 bkeichne, der dereak Bogen bey den am Ende ſte⸗ nd, daß die Theile aller 3 zerſtrene Zablen. 1 F und 8 Lispfund aus den bangen nlien em Schiffpfunde genommen werden ben ſo geben die Spitzen des B „Eben ſo geben . ogens Liesgienn iuedemerken, daf die untern 3 is den a den en ſtehenden 5 Lispfund, ſondern, mi NVeberſpringung der 5 Lispfund, aus den ſgern, wit 7 Lispfunden genommen worde“, und alſo auch der aus 2 Lispfund entſtandene eil aus dem fu dene ˖Ste Theil aus dem für 10 Lis⸗ vfund gekommen Betrage, genommenen werden aie⸗ 2. Anm. Wenn Zahlen, ſo wie bey a) mit ei und bey b) mit 12 Lispfund de Beben, a. ichel Zahlen zerſtreuet worden, die völlig einander gleich, ſo koͤnnen ihre Theile auseinander genome men nur 1 ſeyn. Den 4 Lispfund: 4 Lispfund — 1 d. i. 4 Lispfund ſind aus 4 Liespfund der 1ſte Theil. 8 148. Reg. 1.) Da unn 1 nicht dividiren kann ſo darf man vuch nur in ſolchem Falle, wie bey 8 Lispfund en fuͤr die erſten 4 Lispfund gefundenen Betrag juͤr . die 288 Die practiſche Rechenkunſt. aber, welche in 4 P+ 4 =4 zerſtreugt worden, fuͤr dis eten und 3zten 4 Lispfund noch amal ſetzen. 1. Zuſ. Daraus ſiehet man, daß es ungemein vor⸗ theilhaft iſt, ſo zu zerſtreuen, damit die zerſtreueten Zahlen zu ihren Theilen, ſo oft als moͤglich, 1 ge⸗ ben: denn bey Zerſtreuung der 12 Lfb in 4 P4 P+4 iſt nur einmal zu dividiren noͤthig, und daher eben ſo viel, als ob dieſe Zahl gar nicht zerſtreuet waͤre. 2. Zuſ. Daher kann man auch bey a) die 19 Lf ſo anſehen, als ob ſie nur in 3 Zahlen, naͤmlich in 10, 5 und 1 zerſtreuet waͤren, weil die 3 folgenden ein⸗ zelnen L† Theile geben, welche = I ſind. . §. 253. Ob es gleich einem offenen Kopfe ſehr leicht ſeyn wird, daferne er nur eine Art kleinere Sorten gegen eine Unitaͤt groͤßerer Sorten zu zerſtreuen gelernet hat, nach dieſer, alle nur moͤglichen Sorten, ſie moͤgen Namen haben wie ſie wollen, zu zerſtreuens ſo kann ich doch nicht unterlaſſen, um derer willen, welchen jedes Neue eine gewiſſe Schwierigkeit verurſacht, noch mehrere Zerſtreuungen, das Gewicht betreffend, hieher zu ſetzen. . Zerſtreuung der t gegen Lſb à 14 ff 3 4 5 6 8 9 10 rIr —— — —,— —— —,— — —— — 2 2 27 2 7 2 7 17 72 (712 2“ 1aD 2 I 2 1 2 1I 17 ſ 2 7 2 7 1 2 2 2 III I 2 2 11. I 2 12 13 fk —,— —— 2 72 07 2 7 2 1 2 1 2 23 die aten 4 Lispfund noch einmal; bey die 12 Lispfünd Miden 1: Asun A h. emein N jetſtreieten ich, 1 ge daher tbeſt reuet ware⸗ 19 b lich in10, Neuden ik ten gegen lernet hat, 4 kunn ich lchen /ehes ch mehrere Die practiſche Rechenkunſi. 289 Zerſtreuung, der Lothe gegen 32 Loth. 5 6 7 9. 1I14 212 2 2 15 “ —,— 4 8 2 † 16 8 2 2 I 2 23 8 IO II 12 4 5 3 4 34 2 4 2 118 214 2 4 4 2 I 2 oder 17 8. 19 — “ S 1 8 X 2 24 oder 24 ſhr ife ſe nign 26 1612 414 2 2 1 28 16 1612 a ro 314 3 4 2 1 12 4 2 * “ 7 29 30 31 + —,— 8 4 16 4 612 8 2 2 4 12 4 31 4 2 1I2 162 812 8 * 2 16 2 r 2 8 2 4 212 105) Wenn 5 Schfß 25 Lvl. koſten, was muß ſr 34 Schl bezahlt werden? Solutio. 5Schſt— — 25 Lvl. — 34 Schl; 5 — 170 en 1 25 —,— 1 20 3 Fac. 170 Lvl. 5 ſevl. 4 Nachdem hier erſtlich mit dem verkleinerten 2ten Glie⸗ de die 34 Schit des zten Gliedes vermehrt und der Betrag fuͤr 34 Schſt = 170 Lol. geſunden; ſo iſt auch 290 Die practiſche Rechenkunſt. auch 2tes der 20te Theil aus 5 Lvl. oder 120 ſzvl. S= 5 ſzvl. genommen, und endlich beyde Betraͤge in eine Summe gebracht und alſo das Facit 170 Lvl. 5ſovl. gefunden worden. Anm. Man hat nicht immer noͤthig, wenn der Diviſor, wie hier, 20 in 5 Lol. nicht genommen werden kann, die groͤßern Sorten des Dividendi erſt zu den folgenden kleinern Sorten, wie hier die 5 Lol. mit 20 zu ßol. in machen; ſondern man darf nur bey dergleichen Faͤl⸗ en den Dividend. zum Zaͤhler, den Diviſor aber zum Nen⸗ ner annehmen, ſo entſteht zum Ouotienten ein Bruch welcher hier 38 Lol. iſt. Wenn man nun weiß, daß Lyl. = 1 ßvl., ſo weiß man auch daß Lol. — 5 ßvl. ſeyn muͤſſen. Macht man dieſen Bruch auch kleiner, alſo 4. ſo wird ebenfalls nicht ſchwer ſeyn um einzuſehen, daß 3 Lol. d. i. der 4te Theil von 20 ßol. — 5HOßvl. Gewiß ein Vortheil welcher, da ihn die Zerſtreuung ſelbſt an die Hand giebt, wohl werth iſt, ihn ſo oft als moͤglich zu nutzen. 106) 4 Schlb koſten 105 ma: was 36 Schlk 6 ,lb7 107) Was koſten 55 Schſt 7 A, wenn 3 Schf fuͤr 96 mng bedungen werden? . . 108) Was 86 Sch 9 wenn Schſp fuͤr 108 mMm8 zu haben? Sðð “??”MVMU S=Jèð Solutio. 4l 1oen — 86 Schfb o Lf 4 . . 3 —,— 27 — 5 4 (§. 2322 6 ‧12 64 4 Fac. 2334 8 2 ſ54 G Weil hier 9 2ſtb in 5o und 4 zerſtreuet und beyde Zahlen, aus dem Ganzen genommen, Theile ſind, deſſen Zaͤhler 4 . 109) 2G FES II0) Va mit 1II) Ven wird 32 64 Eiſt iſt Factn weilne Aur ſauch tmne nnfi oſr. . Bettage in It 170 l. der Dimior, verden kan en folgenden it 20 pol. gleichen Fil⸗ Her zumn Nen⸗ en kin Bruch 1 nun ten, daß ,Lyl. Brdchouch tſchver ‚ao . heil tun 10 W ih die werth iſ, zihles ſnd, deſſen —„ Die practiſche Rechenkunſt. 2 91 Zaͤhler 1 iſt, ſo iſt auch ſo wohl mit den als ½ aus dem verkleinerten 2ten Gliede 27 genommen, und fuͤr 5 Afp der Betrag von 6 M8 12 ſe; fuͤr 4 2 aber der HLeetrag von 5 m 6 4 ¼ Q gefunden worden ꝛc. Anm. Ben der vſten Diviſ. mit 4 in 27 ließ ſich der in vor⸗ hergehender Anmerkung gezeigte Vortheil anbringen, denn von den 2 Mark, welche nach Abzug des Products 24 von 27, übrig bleiben, laͤßt ſich leicht einſehen, daß E venn 1 Mark — 4 † ſo auch ?2 Mark — 12 ſeyn muͤſſen. Hingegen kann dieſer Vortheil nicht ſtatt ſinden dey der folgenden Diviſon, der 5 in 27, weil man bey den hier entſtehenden Bruch nicht ſo leicht einſehen kann, wie viel ? Mark ſey? verohalben maͤſſen hier, die nach der Diviſion uͤbriggebliebenen groͤßere Sorten, die Nark zu ß gemacht werden ꝛc. Und ſo mit allen Reſten, wel⸗ che dergleichen aͤhnliche Bruͤche geben. 109) 2 Schit werden bezahlt mit 95 S.: was kommen 35 Schſb 9 Lib? 110) Was kommen 40 Schl 12 Lb, wenn 3 Schk?† mit 85 Ra bezahlt werden? 1II) Wenn 32 Scht fuͤr 324 m bezahlt werden, was wird man fuͤr 36 Sch 17 Ap bezahlen? =ðWU Solutio. ”Gä 22 Schlk — 324 MW — 36 Schi 12 ct? 4) —— 288 — 8 81: “ IO 12 30 3 (52 2 204 5 (§. 252. P.) 8 I 17 ½ 2984 13 7 ½ JU 373 8 1 66 8 4 % dr ½ K. Erſt iſt, bekanntermaſſen, 36 mit 81 muttipliciret, das Faétum davon aber noch nicht in Summa gebracht, weil noch etliche Poſten darzu kommen muͤſſen naͤmlich: Fuͤr 10 Lfÿ„„als der 2te Theil eines Schiffpfundes, iſt auch der ꝛte Theil aus 81 8 = 40 Mm§ 8 5 ge⸗ nommen und unter das Vorige geſetzt worden. Fer⸗ ner fuͤr 5 Lſt, als den 2ten Theil von 10 Lſ5½, iſt T 2 auch Die vpractiſche Rechenkunſt. uuch der 2te Theil des Betrags fuͤr 10 Lf d. i. 20 m 4 ſ genommen und unter das Vorhergehende geſetzt; ferner iſt auch fuͤr 2 2t, als den Sten Theil (durch Ueberſpringu ng der 5) von 10 Lſ aus deren Betrage: 43 mM8 8 ſ, der 5te Theil = 8 1fſ571 genommen; darauf aber alle Betraͤge fuͤr . 36 SchaT. 10 2 b 5 LE P2 Llꝑi in eine Humme gebracht, und dieſe endlich mit 8 dividiret worden, da dann das wahre Facit erſchienen. 1) 15 Schf werden fuͤr 96 Ré. bedungen, was kom⸗ men demnach 18 Schl 18 21½? Solutio. eal eec — 1Sht gal 356 6 : 19 2 ½¾ Betr. fuͤr 4 8t 6 19 ⸗2 2 ⸗ 4 2f 604: 38 ;T 44 5) Fac. 120 Rl 46 ſsa oder 4½ (§. 167 Zuſ. u. f. Da hier 18 Afk in 10 P4-P4 zerſtreuet, die 10 2 aber ſo wohl als die folgenden 4 L aus dem gan⸗ zen Sch i d. i. aus 20 L genommen worden, davon 10 25 der ate⸗4 Lf½ aber der Ste Theil, ſo ſind auch beyde Theile aus 32 Re genommen worden; und weil die ſolgenden 4 eſÿ der 1ſte Theil aus 4 2 d. i. weil 4 2 ½ = 4 ſt, ſo iſt auch der Preis fuͤr .V 4 L noch einmal genommen worden ꝛc. §. 254. Wenn die Unitaͤten der kleinern Sorten, neben den Unitaͤten der großern Sorten, in ſolcher An⸗ zahl vorhanden, daß noch wenig derſelben fehlen, um da⸗ fuͤr eine Unitaͤt der groͤßern Sorte rechnen zu koͤnnen: ſo ſetzt man, mit Weglaſſung der Unitaͤten kleinerer Sorten, den unitiiten groͤßerer Sorten eine Uni⸗ . taͤt 16 Betr. für rot⸗ 252. b.) H tat u, be wie piel a Gorte utn dafuir Doch mi. geben, Gtat ſtatt 10 19 Schk An. e it 15 Cg ‚— Venn hi den, nter Un d 1Sch Nu das P. in die u viel Nvon worden 113) Vene fur 24 10 r Nͤi. rhetgehende ten Teil 10 b, ans helleN Betruͤgeſſir eine Summe döret worden, en, Wad iun⸗ 1G25.) —⏑ t, die 1o ſb s den gan⸗ Utden, Kron ſoſth ench dorden, und nus d. 1 Pres fir rt Etten, ſolcher An⸗ len, un de konnen: e zlingt eint in neie ſtet fuͤr 24 Schl 19 Lt Ce werden? 8 Die practiſche Rechenkunſt. 293 taͤt zu, bemerkt aber, mit vorgeſetzten Zeichen — (minus) wie viel an der nun um 1 vergroͤßerten Anzahl groͤßerer Sorte noch an Unitaͤten der kleinen Sorte fehlen, um dafuͤr 1 Ganzes groͤßerer Sorte rechnen zu koͤnnen. Doch muß das fehlende allemal einen Bruch geben, deſſen Zaͤh ler 1iſt. Z3 E. Statt 9 Centner 7 2ſt ſetzt man 9 LCentner — 1 L ½, ſtatt 10 Centner 6 Lf ½ ſetze 11 Centner — 2 Lk: ſtatt 18 Schſ 18 2k: 19 Sch b — 2 2 ½ ꝛc. Anm. Man nennt dergleichen Zerſtreuungen: durch minus zerſtreuen. Wie groß der Vortheil davon iſt, wollen wir gleich bey Berechnung vorhergehender Aufgabe ſehen. Solutio. 5 15 Schts — 96 Ré — 18 Schſp 18 2fk 5 23232 19 Schlt 2 E 228 2ro 608 604 ⸗ 38; 44 5) Fac. 120 R 46 s 4 oder 39 . Wenn hier zu 18 Schlſtb 18 A noch 2 Lf gelegt wuͤr⸗ den, ſo waͤren es 19 Schitß, deswegen haben wir⸗ unter die gemachte Linie geſetzet: 19 Schſtb — 2 f, und dieſe 2 2 ſind = a; oder der 10te Theil von Schlſp. D MNun iſt der Preis 32 RE mit 19 vermehrt, und das Factum 608 RC gefunden worden. Da aber in dieſem Facto der Preis fuͤr 2 2 d. i. 1 Schſt zu viel ſteckt; ſo iſt auch der 1ote Theil des Preiſes 32 von dem zu großen Faéto 608 widerum abgezogen worden, da dann der Reſt mit 5 dividiret, das wah⸗ re Facit geben muß. 113) Wenn man fuͤr 5 Schlẗ 25 Lvl. bezahlt, was muß So⸗ 294 Die practiſche Rechenkunſt⸗ Solutio. 5 Schſt— 25 Lvl. — 24 Schſk 19 Lſ 5) da. — 22 28 1 5 . 10 2 2121220 5 2 Betrag fuͤr 1o Lb 2 ⸗ 10 1 § 5 1 5 I1 1I R 5 II ,1 — S5 II „ 1 52” 4 „ 1 — , F Fac. 124 Lvl. 15 ſsvl. oder: Schlt — 25 Lvl. — 24 Schkk 19 9fk? — — 5 —, — 5 2 . 120 5 4 2 10 ſ5 11 5 1 5— Hier ſind 19 in 10 Prs PA4 zerſtreuet, und alle 3 Zah⸗ kern aus den ganzen Schifpfunde; aiſe auch die Theile 4½, ¾ und aus dem ganzen Preiſe vom Schib ge⸗ nommen worden. 124 Lvl. 15vl. oder. zScft — 25 Lvl. — 24 Schetbh 19 A 5 (vid. §.254.) + — : 5 — —,,— ,S r — — 120 ac. 124 Lvl. 15 ſavl. cier wor die N tipl liche vorh Set zu ſchu Sch Eun iichti Anm. D vor ſ ere 6255 Wen, deren Wundk Auth e en niſe tin Mſen: ſo ſchiedenen 2 2 1 1 — Die practiſche Rechenkunſt. 295 Hier ſind 19 Lſt durch minus zerſtreuet, und geſagt worden: 24 Schſ 19 Alt ſind 25 Schſk — 1 Lfſk: dieſes 1 2 aber iſt der 20ſte Theil von 1 Schſt. Nun ſind die 25 Schf mit dem Preiſe 5 Lvl. mul⸗ tiplicirt und das Product 125 Lvl. als der Betrag fuͤr 25 Schfß gefunden worden. Weil aber nicht wirk⸗ liche 25 Schſtp, ſondern nur 25 Schſt weniger 12 vorhanden; ſo iſt auch in der Summe 125 Lvl. der Betrag fuͤr 1 Oſt, welches an 25 Schſp noch fehlt, zu viel enthalten. Mithin mußte dieſer Ueber⸗ ſchuß, welcher, als Schſ aus dem Preiſe fuͤr x Schſp, naͤmlich aus 5 Lvl., § ſovl. betraͤgt, auch wieder weggenommen, und von der zu großen Summe 125 Lvl. abgezogen werden; da dann das richtige Facit 124 Lvl. 15 ſevl. erfolgte. Anm. Dieſe letzte Solutio iſt, ihrer Kuͤrze wegen, allen vorigen Solutionen vorzuziehen, und werth, daß man ic derſelben Art zu rechnen ſo oft als moͤglich be⸗ diene. . §. 255. Wenn, wie oft geſchiehet, Aufgaben vorkom⸗ men, deren ztes Glied dreyerley Sorten, z. E. Scht, Lſt und *; oder: Centner, Lſb und 15, oder Lb t und Loth ꝛc. enthalten, die auseinander, nach dem Verhaͤlt⸗ niſſe zu einer Unitaͤt der groͤßten Sorte, zerſtreuet werden muͤſſen: ſo hat man, weil alle zerſtreueten Theile der ver⸗ ſchiedenen kleinern Sorten, als Glieder einer Kette aneinander haͤngend, auseinander folgen muͤſſen, nur darauf zu ſehen, daßder letzte zerſtreuete Theil der kleinern Sorte, welche der Groͤßten am naͤchſten iſt, wo moͤglich, nur eine Unitaͤt, doch wenigſtens eine ſolche Ziffer enthalte, daraus der erſte zerſtreuete Theil der letzten kleinern oder vielmehr kleinſten Sor⸗ te einen ſolchen Bruch geben, deſſen! Nenner nicht zu groß ſey, damit die Diviſion nicht ohne Urſache er⸗ ſchweret werde. Denn je kleiner ein ſolcher Nenner, je leichter die Diviſion damit. Z. E. „ Ran 296 Die practiſche Rechenkunſt. Man ſoll 10 Lſ 8 b gegen 1 Schfh zerſtreuen. 10 2 8 5 beſſer: 10 Lf 8 † 240 2 7 20 4 [5 7 212 Bey der erſten Zerſtreuung ſind die 10 Lſtb als der 2te Theil eines Schfß angeſetzt, die 8 aber gegen 1 L 2 14 k in 7 und 1 zerſtreuet, und weil die “2t aus 10 Lf genommen werden muͤſſen, ſo iſt hier geſchloſſen worden: wenn 7 aus 1 L oder 14 k der Ste Theil, ſo iſt 7 k aus 10 Lf5 der 20te Theil; und 1 ſt aus 7 der 7te Theil. genommen worden, auch ein ſo großer Diviſor, als ; iſt, entſtehen muͤſſen, als wodurch man eine ziemlich un. bequeme Diviſion, zumalen in den kleinſten Muͤnzſor⸗ Len, nebſt daraus erſolgenden großen Bruͤchen zu er⸗ warten hat, welche man doch beſtmoͤglichſt zu vermei⸗ den ſuchen muß. Hingegen zeiget der Augenſchein, daß die 2te Zer⸗ ſtreuung, erwaͤhnter Urſachen wegen, weit bequemer faͤlt. Denn da hier die 10 Lf in 4 †4 P zerſtreuet worden, ſo iſt die letzte Ziffer 2 eine ſolche Zahl, worin⸗ nen die folgenden 7 leicht zu nehmen, ohne daß ein großer Diviſor, wie vorher geſchehen, daraus entſtehen koͤnnte. Man ſchließt nun: Wenn 71† aus 1 L der ꝛte Theil iſt, ſo muß 7 † aus 2 Lf der 4te Theil ſeyn u. ſ. f. Ob gleich dieſes einzige Beyſpiel, zu Zerſtreuung ſol⸗ cher zuſammengeſetzten kleinern Sorten, ſchon zureichend waͤre, um alle uͤbrigen darnach machen zu koͤnnen, zuma⸗ len die Zerſtreuung ſolcher kleinen Sorten einzeln ſchon vorkommen (§. 250. 252. 253.) und die Zuſammen⸗ ſetzung derſelben weiter keine Schwierigkeit haben kann, ſo will ich doch zur Uebung noch hieher ſetzen: Wer ſieht hier nicht, daß, weil die 7 b aus 10 L i b iit —— 1 20 6b „ — 3 ſer 1u! 3) 3 1. —— ur reuen. tin 4 177 , als det ꝛte gen 1eft ans 10 ft ſen worden: 7 der te aus 10 b r, e 33 ziemli lich un: n Muͤnzſor: chen zu et⸗ u perlnei die Ae Zet it beguenmer 82 Zertt treuet orin: nein 4 e⸗ n ſſenn u. f. keuung ſil 4 zuu greichend men, mna⸗ ten ei hein ammen haben kann, . * Die practiſche Rechenkunſt. 297 . ) Zerſtreuungen zuſammengeſetzter kleinerer Sorten, als L und [t gegen Schlt. 1eff 2 k. zett 3lk. 4 2F 4. en 5F. 7[20 2 7 2 10 2 14 210 2 217 1 12 2 1 2 1 2 6 2† K. 8 L1k „k. ret 10 ſ. 12 L I1 ſb. 6 712 4 R 7 3 D 2 7 2 102 7 4 155 2 100 7 215 117 I I 1I1 1r beſer 12 Lb A 15 12 b. 18 1z ſ. 10 2 102 1 2 77 110 3 2 3 64 2 ( 21 4 2 1 4 5 211 11 3 112 2 1 Die uͤbrigen hier noch fehlenden Zerſtreuungen dleiben dem Fleißliebenden — — . b) Zerſkrenungen von zuſammengeſetzten kleinern Sorten gegen Centner. 2 eb 1K. 3 15 5l. 4 81b 6t. 5ET K. 6 9lt 8fb. 18 3 7 2 4 2 7 2 4 2 2 7 12 4 2 7 2 Iir alr rI ar I a 2 1 r 1 4 Iz 4IZ IXI 2 1 Auch hier bleibt das Ausgelaſſene dem Fleißigen zur Eegaͤnzung uͤberlaſſen. 4 c) Zerſtreuungen kleinerer S Sorten gegen L. 1 E 1 Loth. l 3 Loth. 3 ſt 4 Loth. 4 ſb 6 Loth. 114 1[32 1 14 2 16 2 7 418 2 7 4 16 III 112 rI12 2 1 212 T 5 beſſer 298 Die practiſche Rechenkunſt. . 1 —r —— 7 4 8 2 7 4 27 814 JI 2 2 2 2 I 214 2 11 4 2 I 2 1 2 212 7 * 177 voth. 8f 20 Loth. 9 r 24 Loth. — — 11 † 1 1 2 27 8 4 12 16 2 7 2 16 4 2 I 8 I IZ 414 217 81ʃ2 1I 2 Auch hier mag der Fleißige das Fehlende hinzuthun. 114) Wenn 5 Centner bedungen werden zu 26 Thlr., wie hoch kommen 36 Centner 5 L b4 b? 5Centner — 26 Thlr. — 36 Centner 5Lft 4 k. 36 — 112 2 7 150 114 211 Betr. von 48 ſt. 13 2 2 I 5 3 5 6 553 7 4 ;: 33 5) . . Ppac. 190 Thlr. 15 90 3 32% Q. Bew. Es iſt hier geſchloſſen worden: Wenn 1 Centner 26 Thlr. koſtete, ſo muͤßten 36 Centner auch 36 ℳ₰W₰M 26 Thlr. koſten, Weil nun, uͤber den 36 Centnern, noch 5 Lſt 4 vorhanden, fuͤr welche ebenfalls die Betrage derſelben hinzu kommen muͤſſen; ſo ſind— dieſe 5 t, um ſie in ein Verhaͤltniß zu einen ganzen Centner zu bringen, in 4 = Centner † 1. L = ¼ aus 4 L ſ, oder ½ Centner; eben ſo die noch uͤbrigen 4 ſt, in 2 ! = ½2t † 2 b = 2 ſ?k oder X beſſer 4 6 Loth. Irſ 10 Loth. 6 b 14 Loth. inptchun. , nie 11 Ceutuer auch 36 , 6 Centneth, zbenfels die ſens ind z ein en Emtner⸗ een ſo die 17 — 1 oder X Die practiſche Rechenkunſt. 299 oder ½ L, zerſtreuet, und ferner geſchloſſen worden: Wenn der Betrag fuͤr 1 Centner = 26 Thlr., ſo muß auch die Haͤlfte dieſes Betrages, den Betrag fuͤr Centner, d. i. fuͤr 4 Lſt, alſo 13 Thlr. geben; Wenn 4 Lſÿ den Betrag von 13 Thlr. geben, ſo muß auch 1 Li, als der 4te von 4 L, den 4ten Theil von 13 Thlr., alſo 3 Thlr. 6 ℳ geben; wenn 1 Lſt? den Betrag von 3 Thlr. 6 90 giebt, ſo muß auch 2 †k — ¾ Lſſt den 7ten Theil von 3 Thlr. 6 W, mithin 11 90 1 ½ Q geben; und weil die letzten 2 FK = 2 r, ſo muß auch der Betrag derſelben dem vorigen gleich, mithin ebenfalls 11 90 1 ½ & ſeyn. Da nun alle dieſe Betraͤge, von allen Cent⸗ nern, allen Lispfunden, allen Pfunden, in eine Summe gebracht worden, ſo muß auch dieſe SZumme gleich ſeyn der ſaͤmtlichen Betraͤge; weil aber dieſelbe, wie alle einzelnen Betraͤge, aus welchen ſie entſtan⸗ den, Fmal groͤßer iſt, als ſie eigentlich ſeyn ſollte, indem nicht 26 Thlr. der Preis fuͤr einen Centner, wie anfangs nur angenommen worden, ſondern fuͤr 5SCentr. iſt, ſo iſt auch dieſe BGumme mit 5 dividiret worden, folglich muß dieſer S5te Theik, der um 5mal zu großen Summe, das wahre Facit ſoeen. Anm. Man bemerke hier, ein fuͤr allemal, daß, ſo wie bey der Zerſtreuung zuſamm engeſetzter kleine⸗ rer Sorten, immer eine Zahl aus der andern genommen worden, ſo auch ihre Theile in der Divi⸗ ſion auf einander folgen muͤßen. §. 256. Weil bey den Doppelzerſtreuung en, wegen den vi len oft noch darzu ungeraden Theilen, welche — fie geben, mancherley Bruͤche entſtehen, welche in eine Summe gebracht werden muͤſſen, ſo iſt noͤthig zu zeigen: wie Bruͤche zu addiren. Es giebt aber der Bruͤche, welcheaddirt werden koͤn nen, zweyerley: Bruͤche von gleichen Theilen, de i. ſolche, die a) einerley Nenner haben. 1 – (b 300 Die praetiſche Rechenkunſt. b) Bruͤche von ungleichen Theilen, d. i. ſolche, die mancherley Nenner haben. a) Bruͤche von gleichen Theilen, dei. gleichen Nenunnern, verurſachen bey ihrer Addition gar keine Schwierigkeit: Denn man darf nur ihre Zaͤhler addiren, und unter die Summe derſelben den gemeinſchaftli⸗ chen Nenner ſehen, ſo iſt, daferne der gefundene Zaͤhler kleiner als deſſen Nenner, die Addition ſchon geſchehen. Iſt aber der durch die Addition gefundene Zaͤhler groͤßer als der gemeinſchaftliche Nenner, welcher bezeichnet, was fuͤr Theile in eine Summe gebracht wor⸗ den, ſo ſind in ſolchem Bruche Ganze enthalten. Wie viel aber? erfaͤhrt man durch die Diviſion des Nenners in dem Zaͤhler: Denn ſo oft der Nenner in dem Zaͤhler enthalten iſt, eben ſo viele Ganze ent⸗ haͤlt der Bruch: was aber nach ſolcher Diviſion uͤbrig bleibt, wird wieder neben dem gefundenen Ganzen im Bruch geſetzt, ſo, daß der Reſt den Zaͤhler giebt, worzu der alte Nenner, als Diviſor, der Nenner iſt. Auf dieſe Art ſind die in vorſtehender Solution aus gleichen Theilen beſtehendem Bruͤche 5 + £ addirt worden, alſo: Die Zaͤhler 5 +5 = 10, darunter den gemeinſchaftlichen Nenner 7, ſo entſtehet der neue Bruch v, welcher, da er alle Theile der addirten beyden Bruͤche P+ ½ enthaͤlt, auch denſelben voͤllig gleich iſt. Weil aber der Zaͤhler 10 groͤßer als deſſen Nenner 7, ſo ſind auch in dieſem Bruche Ganze enthalten. Mache derowegen hinter dieſen Bruch einen Strich, um den Quotienten dahinter zu ſetzen, alſo: 6 Nun ſage: den Nenner 7 in dem Zaͤhler 10 habe ich 1mal, d. i. 1 Ganzes fuͤr den Quotienten, alſo: ρ 1. Das Produet 1 °7= 7 — 10 bleibt 3, darunter den Divi⸗ ſor oder alten Nenner, ſo entſtehet der neue Bruch 3, als ſo viel Theile noch uͤber 1 Ganzes in dem Bruche ent⸗ Halten; dieſe neben das Ganze, ſteht alſo: 1 13, iſt demnach ½⁹ = 1 ½ H. 1. Anm. Es moͤgen der gleichtheiligen Bruͤche, welche in eine Summe zu bringen, auch noch ſo viel ſeyn⸗ 4 elche die 5) de nicht, en, laſt ſchieden unter eit ſe benigi Summa (K86. dieſer Gei wird klar, in ane E dunch alt gebrocht i ungleicht i⸗ N. Ie. Mecti⸗ 4 Ren Thei ihler, ſ. . ſolche, die i gleichtn gor ktine ler additen, nſchaftlit dent Ziher geſchehen. dene Züher ſr, welger hracht tor⸗ Aen. We es Nenner r in dem auze ent⸗ ſon Wäg Ganzen imn iebt, worzu lution aus 1 oddirt gruater den neue Bin ben Brute it. Wl 17, d 10 Nun 6 umnl, Die praetiſche Rechenkunſt. 301 werden allemal, wie hier mit 5½ ¾ geſchehen, alle vorhandenen Zaͤhler ſummirt, der gemeinſchaftli⸗ che Neuner darunter geſetzt, mit dieſem der zu große Zaͤhler dividiret, um die Ganzen zu finden, und darneben den Reſt in einen Bruch geſetzt. HS 2. Anm. Betraͤgt aher die Summe der vorhandenen Theiſe einer Art juſt ſo viel, als der Nenner enthaͤlt, und iſt alſo der Zaͤhler und Nenuer gleich groß, z. E. 5, F., 1 2¾ c. ſo iſt ein ſolcher Bruch eigentlich kein Bruch mehr, ſondern ein Ganzes, weil alle Theile, worin das Ganze getheilet worden, vorhanden ſind. ) Bruͤche von ungleichen Theilen, d. i. ſoiche, die nicht, wie die vorigen, aus einerley Theilen beſte⸗ hen, laſſen ſich eben ſo wenig, als ganze Unitkaͤten ver⸗ ſchie dener Art, in eine Summe bringen, bevor ſie unter einen Namen gebracht worden. (§. 3.) Denn ſo wenig ich ſagen kann: 3 Rl. T 2 ſs + 1 G ſind in Summa 6, weil dieſe Groͤßen nicht einerley Art ſind, (§. 86.) ſo wenig kann ich auch ſagen: die Jaͤhler der Bruͤche ½ ε betragen in Summa 8, weil die Theile dieſer Bruͤche von ungleicher Groͤße ſind. Hieraus wird klar, daß, um ſolche Bruͤche verſchiedener Art in eine Summe zu bringen, ein Mittel noͤthig iſt, wo⸗ durch alle dergleichen Bruͤche erſt unter einen Namen gebracht werden koͤnnen. Wer ſich alſo mit der Additio ungleichtheiliger Bruͤche abgeben will, muß erſt lernen Bruͤche unter einen Namen zu bringen. S. 157. Man ſetze, ſo wie es beym Rechnen in der Practik ohnehin allezeit geſchiehet, die aus verſchiede⸗ nen Theilen beſtehenden Bruͤche unter einander, und mache hinter denſelben eine Perpentikulairlinie, als hinter welche die neuen, ans einerley Theilen beſtehenden Zaͤhler, ſo wie ſie nach und nach gefunden werden, und zwar juſt neben die Bruͤche, aus welchen ſie entſtanden ſind, zu ſetzen. Dann ſehe man zu, ob in den groͤßten Nenner, dieſer in Summe zu bringenden Bruͤche, die uͤbrigen Nenner alle ohne Reſt aufgehen, oder nicht? Iſt das Erſte, ſo iſt dieſer groͤßte Nenner als Gene⸗ ralnenner in einen Bogen, welcher oben an die gemach⸗ te 302 Die practiſche Rechenkunſt. te Perpentikulairlinie gefuͤget wird, zu ſetzen. Darauf wird zuerſt mit dem Nenner des erſten Bruchs in den Ge neralnenner dividiret, und der Quotient mit dem Zaͤhler deſſelben multipliciret, das Factum iſt der neue Zaͤhler, welcher neben den Bruch, woraus er entſtanden, geſetzt wird. Eben ſo wird mit allen vorhandenen Bruͤchen verfahren. Iſt nun auf ſolche Art, aus jedem vorhandenen einzelnen Bruche, ein neuer Zaͤhler gefunden worden, ſo ſind auch, wie hernach erwieſen werden ſoll, alle Bruͤche unter einem Namen gebracht, d. i. zu einerley Theilen gemacht worden, und koͤnnen daher alle dieſe neuen Zaͤhler eben ſo, wie bey a gelehret, in eine Summe gebracht und darunter der Generalnenner geſetzt, auch, daferne der Zaͤhler dieſes Bruchs, (welcher ſo groß als alle addirten Bruͤche zuſammen genommen) groͤßer als deſſen Nenner, ferner verfahren werden wie gelehret worden. Man ſoll ½ + ¼ † *½ + =& addiren. Solutio. 16 Wieil hier 16, unter allen Nennern der 6 gegebenen Bruͤche, der groͤßte Nenner 2 5 iſt, worinnen auch alle uͤbrigen Nenner, 4 2, 4 und 8 ohne Reſt aufgehen, ſo iſt 2 derſelbe zum Generalnenner gewaͤhlet 75 5 und oben an geſetzet worden. Nun iſt LL:11 „ der Nenner des erſten Bruchs ½, in den Generalnenner 8mal enthalten, dieſe 8 mit den Zaͤhler deſſelben Bruchs vermehrt, giebt 8, welche als ein neuer Zaͤhler neben den Bruch geſetzt worden. Ferner ſage bey den 2ten Bruch ½, 4: 16= 4 und 4 α¾1 = 4. Dieſe ſetze, als den gefundenen neuen Zaͤhler, ne⸗ ben den Bruch ½ Ferner ſage: 8 in 16:— 2 und 2 %3 = 6, ſo iſt der neue Zaͤhler des 3ten Bruchs gefunden. Ferner ſage: 16 (als Nenner des letzten Bruchs *½) in 16— 1I und . I ☛ 5 1 4 7 1 & und hiem men geb 14† arunter! Bruch, Bew. Bruͤt nenn Gan gen den, dirio derg vond ß d nen ſihen, tinen! Diß n⸗ meyr legebe etgiebt Die practiſche Rechenkunſt. 303 1 5= 5, ſo iſt auch dieſer le letzte neue Zaͤhler gefunden, Otaf und hiemit ſind alle gegebenen Bruͤche unter einen Na⸗ iden s men gebracht worden. Endlich ſind alle dieſe neuen Zaͤhler— den Ziſllr 8 + 4 + 6+ 5 addirt, welche die Summe 23 gegeben, e zae, darunter den Generalnenner 16, ſo iſt der gefundene den, geit Brnch⸗ welcher alle gegebene Bruͤche enthaͤlt = 2 oder en Brichn 1 =. E. 256. ), lthanderen Bew. Indem hier, aus den zur Addition beſtimmten den oein, — Bruͤchen, der groͤßte Nenner 16 zum General⸗ ſol ltle ½ nenner genommen, ſo⸗ iſt auch dadurch zugleich das , d 4 Gnze zu 1 und alſo nach dieſen Theilen zu einem en Ner 2 gemeinſcheftlichen Maaße angenommen wor⸗ gtfet, i OUWMU den, nach welchen in einerley Theilen, der Ad⸗ perlterter dition wegen zu beſtimmen: wie viel ein jeder 6 relhet 1 der gegebenen Bruͤche dergleichen Theile Cormme). 2 von Ganzen enthalte: Da nun gefundenworden, enn mie daß aus 1 = :; aus = E; aus = e. uund mithin auch alle dieſe geſunde⸗ N nen neuen Bruͤche aus lauter 16 Theilen be⸗ ſtehen, ſo ſind auch die gegebenen Bruͤche unter Nemmn de aeinen Namen gebracht. tt N Nenler Daß aber dieſe gefundenen 16 theilige Bruͤche weder gen Nenntt, mnmebhr noch weniger vom Ganzen enthalten, als die ſen Ne gegebenen Bruͤche, aus welchen ſie entſtanden ſind, gergen kſ ergiebt ſich, wenn ſie durch Verkleinerung die vori⸗: Nun iſt D. N. e in uie gen Bruͤche wieder geben. 3. E. ☛ k 3 4t : l nie, HM ſiu und hieraus n wird klar, daß = 4, = 4, jeler Zahte = = ¾ wie 5 7. (§. 209.) rden. . Weil nun, wie erwieſen, die gefundenen 16 theili⸗ drucht gen Bruͤche, den zur Addition gegebenen Bruͤchen Diſe ebe voͤllig gleich, ſo iſt es auch einerley, ob dieſe h gihet, oder jene in eine Summe gebracht werden. Nun ſind ſtatt der gegebenen ungleichen Bruͤche, alle aus 6, ite denſelben entſtandenen 16theiligen Bruͤ⸗ e che it in eine Summe gebracht, wodurch der „ 4 30 4½ Die pratiſche Rechenkunſt. Bruch 23 2 gefunden worden, folglich enthaͤlt dieſer Bruch die Summe aller gegebenen Bruͤche. §. 258. Bisweilen finden ſich Bruͤche zu addiren, an deren groͤßten Nenner die uͤbrigen d Nenner zum Theil, oder alle nicht aufgehen. In ſolchen Faͤllen darf man nur den naͤchſten Nenner, welcher in den groͤßten nicht aufgehen will, mit denſelben multipliciren, und ſo⸗ dann verſuchen, welcher von den uͤbrigen Nennern in dem Producte noch nicht aufgehen will, mit demſelben wird das Produect abermal vermehrt, und ſo ſerner fortgefah⸗ ren, bis alle Nenner in einem der gefundenen Producten aufgehen. Ein ſolches Product iſt ſodann der Gene⸗ ralnenner. Ein Exempel wird die Sache klaͤrer machen. Nan ſoll ½ T+ P 4 Té in eine Summe bringen. Hier geht in dem groͤßten Nenner 5, der folgende Nenner Anicht auf, deswegen giebt 5α4den neuen Nen⸗ ner 20. Weil in dieſen aber nur der Nenner 2, nicht aber auch der Nenner 3 aufgeht, ſo werden dieſe 20 auch mit der 3 multiplicirt, 3 % 20 = 60, welche 60 den Ge⸗ neralnenner geben. als: 60 . .„, α1 230 Hier iſt = 2 40 14= 48 45 = 2 ⁵ * 48 *½ = 2 ½⅝ . 63 2 4¾ Zuſ. Ohne das Mittel, Bruͤche unter einen Namen zu bringen, wuͤrde man ſchwerlich den Unterſchied von zween oder mehr gegebenen un⸗ gleichen Bruͤchen beſtimmen koͤnnen. Z. E. Es wuͤrde gefragt: welcher von beyden Bruͤchen † und 4 iſt der Groͤßte? Weiß man aber daß 3 =2 ⅞ und ſo laͤßt ſich leicht ſagen: daß um , oder um 5„Zeoößer als † ſehy. *Mehr von Bruͤchen zu ſagen, behalte mir im folgenden Theile vor. Nun 120) We 121) WVie Mh Nun! 115) Va für⸗ . 116) Vo gyd 117) Wi⸗ werde W 6r n) Für 396 für verde 122) Ver 103 ten als g eg Gliede E men, ale⸗ . lnitit 1 ſtreuen: ſnnungen henarhtin welce der nung itſcht 46 horthe lſen Glie Gicdes ver dus e g des iſn 6 frecin in Zien nthilt dieſer lche. oddiren, an An Theil, Fülen darf den grͤßten en, und ſor Unern indem nſelben wird ger ſortgefeh⸗ en Producten der Genen Sache klaree e bringen. de Plgende V nede Nen aner 2, nicht hieſe 20 uch 60 ben Ge⸗ ſtet einen hwerlich en egebenen un⸗ 9 E E 5 BRW g. 9. viten 4und 42 4 und . oder um 7 grite nit n Nun 4 Die praetiſche Rechenkunſt. 305 D Nun wieder zur Practik! —èꝗMWDd 115) Was koſten 45 Centner 6 Lk5 5 b, wenn 3 Centner far 28 Thaler bedungen worden? 8 116) Was 58 Centner 72 8 b, wenn 6 Centner um 97 RC zu haben? 117) Wie viel muß fuͤr 100 Centner 2 L 12 b bezahlt werden, wenn 8 Lentner fuͤr 86 Lvl. zu haben? 1I8) Was gelten 34 Schſt 10 2]tb 9 ſr, wenn 3 Sch 76 Lvl. koſten? 119) Fuͤr 5 Sſß werden 305 Mg bezahlt, was fuͤr 38 Sch b 13 et II FE 120) Was koſten 736 Schſt 18 ſb 12 , wenn 9 Sch ſt fuͤr 86 vl. bezahlt verden? — 121) Wie viel muß fuͤr 97 Schſ 19 L5 13 b bezahlt werden, wenn 4 Scht 396 mg koſten? 122) Wenn man fur 12 Schſtb 506 ni8 bezahlt, was fuͤr 103 Schltb 17 2lt 13 lt 6. Aufgaben, wo im erſten Gliede groͤßere Sor⸗ ten als im dritten, welches verſchiedene kleinere Sorten enthaͤlt, vorkommen. §. 259. Man koͤnnte zwar, wenn z. E. im erſten Bliede Centner, im zten aber Lſß, ſt und Loth vorkom⸗ men, alle 3 kleinere Sorten des 3ten Gliedes, nach einer Unitaͤt der im erſten Gliede befindlichen groͤßten Sorte, zerſtreuen: Allein, weil eine ſolche lange Kette von Zer⸗ ſtreuungen eine Menge von Bruͤchen unvermeidlich hervorbringen, und dadurch, dem Zwecke der Practik, welche der Kuͤrze wegen erfunden, zuwider, die Rech⸗ nung erſchwere und weitfäuftiger gemacht wuͤrde: ſo iſt Es es vortheilhafter, daß man in ſolchen Fallen die im Iſten Gliede befindliche groͤßte Sorte in die I1ſte des 3ten Gliedes verwandele. D. i. Wenn das 1ſte Glied Lentner, das zte aber Lß, ̈ und Loth enthaͤlt, man die Lentner des 1ſten Gliedes zu Liß mache. Auf ſolche Art erfolgt freylich ein groͤßerer Diviſor, als vorher, allein, da im 3ten Gliede nun auch eine Sorte weniger zu zer⸗ 4 306 Die practiſche Rechenkunſt. ſtreuen vorkoͤmmt, ſo wird dadurch, daß nunmehr auch keine ſonderliche Bruͤche zu befuͤrchten, die durch den groͤßern Diviſor verurſachte Maͤhe hinreichend vergolten. 123) Wenn 4 Lentner um 196 RC zu haben, was wer⸗ den 36 Lft5 7 b 9 Loth koſten? Solutio. Aentner — 196 Rl. — 36 L 7 S 9 Loth? 49 “ 294 14757 Betrag fuͤrz ü. 3 : 24 Betr. fuͤr 1 ſt. 42 „ ⸗ 8 Loth. 523 ⸗ 1 5 3) Fac. 2 2 3 Ré 32 ſs 107 ü. Nachdem das Verhaͤltniß 4 Centner: 196 R6 durch 4 verkleinert, ſo iſt der im 1ſten Gliede gekommene 1 Cent⸗ — ner mit 8 zu Lſtb gemacht worden, weil die 1ſte Sorte des 3ten Gliedes aus den ſelben Unitaͤten beſtehet. Darauf ſind, wie §. 255. c. gelehret worden, die 7 b gegen 1 Lſ oder 14 †; in 2 + 2 †+ 2 †+ 1 ; die 9 Loth aber gegen den letzten Theil der Pfunde, naͤmlich 1 oder 32 Loth zer⸗ ſtreuet worden, in 8 Loth = ½ aus 32 Loth 1 Loth = aus 8 Loth. Nun iſt der Preis 49 Ré mit 36 multipliciret, dar⸗ nach fuͤr 2 ſtb als der 7te Theil eines Lispfundes auch der 7te Theil des Preiſes 49 R = (27 unter das Iſte Factum, unter die 4 geſetzt worden. Und weil die folgenden 2 = 2k, ſo iſt auch derſelbe Betrag fuͤr 2 † noch einmal unter die 1ſten 7 Rer und fuͤr die folgenden 2 t, welche gleichfalls weder mehr noch weniger als die vorſtehenden 2 koſten koͤnnen, derſelbe Betrag 7 Re noch einmal un⸗ eer das V2 K 44 6 un Koth den Bettags gte Thef⸗ iſt, genon eine Eum MNdurch de ſonde der dovon Betri nßte 8Wt und fi glch 16 Denn ſ 7 Haͤlfte mol, 2I 24 , nungb di⸗ Bet qls ejf Men un nieſe Be eine O das vert Mur ang 1lß w Alet e die de⸗ ge berlan 4 umehr dunnch durch den gtent. von 2 ſt, auch die Haͤlfte des Betrags fuͤr 2 ſt = 3 R.= na uis 24 ſz unter den Betrag fuͤr 2 t. geſetzt. Ferner: weil Betrxags fuͤr = = 42 ſ&; und aus dieſem Betrage der 8te Theil fuͤr 1 Loth, weil Loth aus 8 Loth der Ite Theil iſt, genommen wor den. Endlich ſind alle dieſe Betraͤge in eine Summe gebracht und zuletzt mit 8 dividiret worden, wodurch das wahre ver langte Facit gefunden iſt. — — 2 = = — — — 4- dh. 1 l drch . une bte ſiGarte deS het. Darauf tgein ih ah⸗ cher egen rznbtch zer⸗ 1lh= hliine, der ndes all 1ſehattum, H Die practiſche Rechenkunſt. 307 Anter das Vorige geſetzt. Ferner iſt, weil 1 t die Haͤfte 8 Loth der 4te Theil von 1 b, ſo iſt auch der 4te Theil des Bew. Da anfaͤnglich angenommen, als ob nicht 8 L ½ ſſondern 1 At = 49 RC. ſo iſt erſtlich fuͤr die 36 L† der Preis 49 R auch 36 ma genommen, die Facta davon aber noch nicht addirt worden, weil noch die Betraͤge fuͤr die uͤbrigen 7 9 Loth hinzukommen mußten. Nun ſind ferner die 7 , der folgenden 8 Loth wegen, in 2 + 2 +£ 2 †£ 1 f5 derſtreuet, und fuͤr dieſelben, pro rata ihrer Theile, aus 1 L „ auch die gehoͤrigen Theile des Preiſes fuͤr 12ſb zum Vorigen nach und nach hinzugekommen. Denn es iſt voͤllig einerley, ob ich den Betrag fuͤr 7 b als die Haͤlfte von 1 L, alſo auch die Haͤlfte des Preiſes 49 RE = 24 R6 24 ſ auf ein⸗ mal, oder ob ich die einze nen Bekraͤge fuͤr 2 +. 2 P e 2 P 1RE = 7 Rl P 7 Ré P 7 Rlé P. 3 RE 24 ſ5, welche ebenfalls = 24 Rb 24ſ§5, in Rech⸗ nung bringe. Da ferner zu allen dieſen Betraͤgen noch die Betraͤge fur 8 — 1 Loth, pro rata ihrer Theile, aus einem Pfunde, aus dem Preiſe fuͤr 1 ÿ genom⸗ mmaen und gleichfalls dem Vorigen beygefuͤget; alle dieſe Betraͤge fuͤr 36 2,/½ + 7 b +—9 Loth aber in eine Summe gebracht worden; ſo muͤßte dieſe ſchon das verlangte Facit enthalten, wenn, wie anfaͤnglich nur angendmimen, 49 Rle der wirkliche Preis fuͤr 1 Lſÿ waͤre. Weil aber hier nicht 1 2, ſonder 8 Lſ = 49 S ſo iſt dieſe Summe auch 8mal groͤßer als ſie ſeyn ſ ſollte — folglich muß der durch die Diviſion mit 8 gerommene Quot. auch das wah⸗ re verlangte Facit ſeyn. S 2 124) 6 S0o8 Die practiſche Rechenkunſt. 124) Was koſten 84 Lf 9 b 10 Loth, wenn 6 Centner fuͤr 200 RCr bezahlt werden? 125) Was 96 Lſt 10 16 Loth, wenn 3 Centner um 36 Lvl. zu haben? 126) Was 7 2t 13 It 24 Loth à 58 M den Centner? Solutio. 1 1Centner — z8 mg — 7 2s 13 ſH 24 deth. 20°⸗ 2 (2 2 16 2 — 2 2 2 7 8 12 W : :1: 4 7 4 — GEr a g ete 3 ⸗ 10 — 1;: — ſ 656 4 1— 67 6 S* A —‧ 4* 4 5½ 2 — 2 ½ —2 (AlA * Fac. 57 Ing 13 ſ5 11¼ ⁹ [4 4½ 2 11417 Weil dieſe Solut. laut §. 259. eben nicht zu empfeh⸗ len, ſo werde auch keine andere Erklaͤrung daruͤber geben, als welche der Augenſchein ſelbſt zeigt. Denn mehr, um eilen augenſcheinlichen Beweis des Geſagten, als um ein Muſter von Rechnungsart zu geben, habe ich dieſe Solu- tio aufgeſtellet. Dafuͤr aber will ich zeigen eine weit kuͤrzere Solutio. s b . “ d 465 „ 8 ſ[56 ⸗6656 , 5 6: S1 aſe —— — z612 * 462 : 15 “=òèDYM 8 ) Tac zeme 13 ſt1re 2 5 Hier ſind die ver ſchiedenen⸗ Sorten des zten Gliedes nach Minus zerſtreuet und geſetzt: daß 7 8 5 3 24 Loth A=⸗ 8 Loth. Diee 8 Loth ſind aus 1 L der 556ſte de Diiſt Nun lutt ſchon Frage nn nur nach/ fundenen4 dem Preeiſ BPome ſfſs erflgte Q. den, ſo m der zoͤſte Luth ſoyn obgeſogen den Betrag nach geſchen üilgge Pacit Aun. M nhl als Nurch nl geben 129) Wen. loſt ſten WB derſirazf velgnonn nn 6 Cntner Centner un . Centner! Die praetiſche Rechenkunſt. 3⁰9 z6 ſte Theil, welche Zahl in 7 — 8 zerfaͤllet worden, um die Diviſion zu erleichtern. Nun iſt der Preis 58 mit 8 vermehret, welches Pro⸗ duct ſchon das wahre Facit ſeyn wuͤrde, wenn wuͤrklich die Frage nach 8 Lſtb ſeyn koͤnnte. Nun aber iſt die Frage nur nach 88t weniger 8 Loth; mithin ſteckt in der ge⸗ fundenen Summe 464 noch ein Ue berfluß, welcher dem Preiſe fuͤr 8 Loth gleich iſt, welcher alſo von der 66.209210.) 4 al, 0 2 y/ „ (7 t zu enpſch . ruͤber geben, n nehr, uun. . 4 dieſe Gr. en eine weit Summe wieder weggenommen werden muß. Da nun die 58 nS zuerſt mit dem zerfaͤllten Theil 7 dividiret, der erfolgte Quotient mit dem andern Theil 8 dividiret wor⸗ den, ſo muß auch dieſer gefundene Quotient 1 I8 6 ⅝ , der F6ſte Theil des Preiſes 58 M, mithin der Betrag fuͤr 8 Loth ſeyn. Weil nun dieſer Ueberfluß von der Summe abgezogen iſt, ſo muß der Reſt 462 15 ſs 5 ¼ & auch den Betrag fuͤr 7 Lb 13 24 Loth enthalten. Folglich nach geſchehener Diviſion mit dem erſten Gliede, das rich⸗ tige Facit erſcheinen, ſo wie verlangt worden. Anm. Man pflest allezeit, um Irrthum zu vermeiden, ſo⸗ wohl die erſte zerfaͤllte Ziffer, als vorlaäͤufigen Diviſor, als auch den durch ſie gekom enen Quotienten, zu durchſtreichen, weil nur der Quotient der folgenden zerfaͤllten Ziffer, die hier 3 iſt, den abzuziehenden Theil geben kann. 127) Wenn das Schfß zu 202 8 bezahlt wird, was kroſten 19 Lſt II IS 30 Loth? Solutio. 1 Scht — 202 ms — 18 , 1r 30 oth? 280 bw — 2) 140 507 263 zoLoth . 264 £— 2 Loth 264 2[16 26664 4 der fuͤr 2 Loth zu 26 . viel genommene Berr. + 6 5 26657 ;⸗1II r 140) Fac. 190 6657 4 3 128) 310 Die praetiſche Rechenkunſt, wenn das Schf 36 Lv.. koſtet? 129) Fuͤr 2 Schſt werden 96 Lvl. bezahlt, was fuͤr 36 2† 8 † 16 Lorh? 130) Das Schfp koſtet 34 R, was 24 Lf 10 8 Loth? . 7. Aufgaben, wo im aten Gliede nur kleine Sorten allein vorkommen. §. 260. Weil gewoͤhnlich im 2ten Gliede der Preis der Waaren, alſo Muͤnzſorten zu ſtehen kommen, ſo wird Hier der Ort ſeyn, wo man auch kleinere Muͤnzſorten gegen eine Unitaͤt der groͤßern, ſo wie vorhin mit dem Gewicht geſchehen, zerſtreuen lerne. Und weil die Zerſtreuungen nach Minus, wie ſchon vekannt, einen merklichen Vortheil im Rechnen gewaͤhren, ſo will ich hiermit anrathen, kuͤnftig alle Zahlen der kleinen Muͤnzforten, woran ein ſolcher Theil am Ganzen fehlet, der einen Bruch giebt, deſ⸗ ſen Zaͤhler 1 iſt, nach Minus zu zerſtreuen. Der Kuͤrze wegen will ich nur allein, wie ſchon vorher geſchehen, hierher ſetzen: die Partes aliquantæ, von den Zerſtreuungen der ſe in Ré. 22 2% r r; rz 14 n 6 S 86 8 [6 I2 4 oder 3 6 17 4 14 1II6 1IS 2 4 1KzZz 4 2¾ 2 6⁶ . 112 114 1 2 15 17 18 19 20 23 25 1217 —— – — - –- – —- — 12 4 12 4 16 3 16 3 16 3 153 163 314 413 28 2 ⁸8 44 4 4 3832 . 114 12 22 1I S 27 z30 32 ſ5 33 36 ſz —— —,— — — — —. — 24 2½ 242 1 R6 — 16 ſ5 242 1 Rl. — 12 ſs 16 3 128) Was werden fuͤr 19 L 13 b 31 Loth bezahlt, 1 ) Wes demr uth bezahlt, lt, was fuͤr 1och? fur kleine . ede der Preis mmen, ſo wird nzſorten gegen dein Gericht 15, Wit ſchot en gewaͤhren, Zahlin der ſcher Theil len. eſchen verher nte, don dea . 3 —3— 8 6 4 6 practiſche Rechenkunſt. 311 1LB — 2 2 36 37 309 40 6⁊ 4½ 2412 16-3 24 12 1 Re — 8 6G 16 3 12 2 16 1I rI2 2 S 16 1 44 314 8 16 2 14 118 42 6β 43 446 45 1 Ré + 6 5 24 2 1RE — 4 ⁶ 1I R6 — 3 ſ —— 12 2 — — 618 652 4 ſ12 3 116 46 ſs 47 oder 47 6 1 R — 2 ſ 16 3 1Rl. —– 1 ſ5 — 16 1 —⸗ 2124 8 2 1148 4 222 C 1I 2 131) Wenn 1 Lb mit 21 ſs bezahlt wird „was kommen demnach 1456 15b2 Solutio. — 21ſS — 1456 b ² 16 3 485 16 4 4 121 ½ 16 1I4 30: 16 637 — 2— 11 — 2²) Fac. 45 RC 241ſs. MNachdem das 1ſte Glied dem 3ten Gliede dem Na⸗ men nach gleich gemacht, auch dieſe 14 ſt durch 7 α¾2 zerfaͤllet; imgleichen auch das 2te Glied in Rehlr. a 48 ſG gehoͤrig zerſtreuet, ſo iſt ſodann geſchloſſen worden: Wenn IIIE 16 5, d. i. ½ Rthlr. koſten; ſo muͤſſen 1456 ſt auch U 4 312 Die practiſche Rechenkunſt. deswegen iſt auch mit der 3 in 1456 dividiret worden, um dieſe Anzahl drittel Rthlr. zu ganzen Rthlr. zu machen, deren hier 485 Rthlr. 16 ſs gefunden worden. Weil nun ferner, nach der Zerſtrenung, jedes ſẗ, uͤber die 16 ſz noch 4 ſs, d. i. den 4ten Theil mehr als 16 ſz koſtet, ſo muß auch der 4te Theil der von 16 ſ5 gekommenen Summe, dem Betrage fuͤr 1456 ff. a 4 ſ gleich ſeyn, deswegen iſt auch aus der von 16 ſs gekommenen Summe: 485 Rthlr. 16 ſs, der 4te Theil genommen und unter die vorige Summe geſetzt worden. Ferner: Weil, der Zer⸗ ſtreuung nach, das ſß, uͤber den 16 + 4 66, noch 1 ſs mehr koſtet; 1ſs aber der 4te Theil von 4 ſ iſt: ſo muß auch der 4te Theil, aus der von 4ſs entſtandenen Bumme, dem Betrage fuͤr 1456 fb a 1 ſe, gleich ſeyn; des halben iſt auch aus der von 4 ſe entſtandenen Summe: 121 Rthlr. 16 ſs, der 4te Theil genommen, unter das Vorige geſetzet, und ſodann alle 3 Poſten, welche aus 1456 f a 16 + 4 + 1 ſ5 = 21 ſs entſtanden, in eine Summe gebracht. Endlich iſt dieſe BGumme 637 Rthlr., aus ſchon bekannten Urſachen, mit 7 α 2 dividiret und alſo das wahre Fac. 45 Rthlr. 24 ſs gefunden worden. L Proba. 1456 k — 45 Rthlr. 24 5 — 14 ſ? MRB 91 · — „* 637 Rthlr. 3822 8 30576ſ9 1456) Fac. 21 ſy. oder eben ſo viel drittel Rthlr., d. i. 1456, * Rthlr koſten;. 131) B 133) 134) 13 ) A 136) B 137) B 1Scho bo Hier den: daß wor den; 19846 G auf dieſe gerechnet umme dahet iſ d von der zu ieſer Rr Whrden, ſ 138) Va 139) J 140) N thle koſten; borden, An zu mechen, Veil fin 16 6 koſtet, gekotnmenen gleich ſehn, en Summne: nd unter die , der Zer⸗ , nochS iſt: ſo muß n Eimn , deshallen — Nhl. okigt gaſcket, S216 †4 “ nne getracht. n bekannten dahre Lac. . „“ Odder: ð 1456 k — 45 Rthlr. 24 — 14 k 14) 104 “ — 13) Fac. 21 ſö. 132) Wenn das Lfb 36 F koſtet, was 5486 fk ?* 133) ⸗ 24 F/ ⸗ ⸗ 749 6e2 1344 4)% ⸗ 26 ſS : 999 P2 135) Was koſten 4556 Aepfel a 17 ſs das Schock? 136) Was 5498 Ellen Band a 38 ſs das Schock? 137) Was 1846 Eyer a 40 das Schock? S Solutio. “ 1 Schock — 40 ſ5 — 18 46 Stuͤck? — 2* . 60 1Rthlr. — S 2 ð 1538 ⸗ 16 fs 60) – 3 5. . Fac. 2 5 Rthlr. 30 ſs 8⸗ Hier ſind 40 ſz durch minus zerſtreuet und geſagt wor⸗ den: daß 40 1 Rthlr. — 8 ſe ſey. Nun iſt geſchloſſen worden: Wenn das Stuͤck 1 Rthlr. koſtete, ſo muͤßten 1846 Stuͤck auch eben ſo viel Rthlr. koſten. Da aber auf dieſe Art fuͤr jedes Stuͤck 8 ſs oder ½Rthlr. zu viel gerechnet worden, ſo muß auch die angenommene Summe 1946 Rthlr. um den 6ten Theil zu groß ſeyn; daher iſt der 6te Theil von 1846 Rthlr. = 307 Rthlr. 32 ſt von der zu großen Summe 1846 Rthlr. abgezogen; auch dieſer Reſt, bekannter Urſach wegen, mit 60 dividiret worden, folglich muß dieſer Quot. das verlangte richtige Fac. ſeyn. 138) Was koſten 5442 Stuͤck à 42 ſz das Schock? 139) Was 4005 Stuͤck à 36 5 das Schock? 140) Was 2888 Stuͤck à46 fs das Schock? U 5 3. „ 31r4 Die praetiſche Rechenkunſt.⸗ 8. Aufgaben, wo im ꝛten Gliede Doppel⸗ zerſtreuungen vorkommen. §. 261. Wer wohl gefaßt und behalten hat, was AÄberhaupt von den Zerſtreuungen §. 247 bis 250, imglei⸗ chen §. 252. 253., beſonders aber von den Doppel⸗ zerſtreuungen F§. 255. gelehret worden, der wuͤrde es uͤberfluͤßig finden, wenn er hier noch eine Doppelzerſtreu⸗ ung von ſz und & gegen Rthlr. antraͤfe. Denn eben das, was dort bey den Zerſtreuungen der Gewichtſorten gilt, das gilt auch bey den Muͤnz⸗ und Maaßſorten. Ueberhaupt wuͤrde es nur den Schein haben, als ob ich Nachahmung abſprechen, ihnen Thor und Thuͤr zur Belbſterfindung verſperren wollte, wenn ich faͤr jede Muͤnz. Maaß⸗ und Gewichtſorte, deren es im heil. roͤm. Reiche ſo viele giebt, ein beſonderes Schema aufſtellete. Deshalben mag es, ſtatt aller fernern Zerſtreuungsmuſter, mit folgender Generalregel, wornach alle uͤbrigen Sorten, wie ſie auch heißen moͤgen, zerſtreuet werden koͤnnen, genug ſeyn. “ Regel: Man ſehe 1) bey jeder vorkommenden Muͤnz⸗ Maaß⸗ oder Gewichtſorte, welche ge⸗ gen eine Unitaͤt der groͤßern Sorte zerſtreuet werden ſoll, in den Reſolvirungstabellen zu: Wie viel von ſolchen kleinern Unitaͤten, als Theile vom Gan⸗ zen betrachtet, zu einer Unitaͤt der groͤſſern Sorte . gehoͤren? z. E. B Man ſoll Pfennige gegen Schillinge zerſtreuen. So von 1 ſsö. Folglich iſt 12 die Zahl, worinn alle Pfennige von 1 bis 11 zerſtreuet werden muͤſſen. Und ſo mit allen moͤglichen Sorten, welche Namen ſie auch haben moͤgen. . ÿZ 2) Mache man ſich von jeder kleinern Sorte, welche ge⸗ gen 1 Unitaͤt der groͤßern Sorte, welchen Namen ſie auch haben moͤge, zerſtreuet werden ſoll, alle FPartes ali⸗- meinen jungen aufmerkſamen Leſern, (denn fuͤr andre ſchreibt man nicht) den angebohrnen Trieb zur iſt 1 ſt= 12 Q, mithin ein jeder H der r12te Theil oppel⸗ hat, as 0, inngle n Doppee k wuͤrde es peſzerſtreͤl: eben das, chtſorten 1. aßſorten. Gls ob ich hfür andre tieb zurt. Thüͤr zur ſir jede hen. iw. aulfſtelete. gömmuſtet, le ubtigen et verden enmindeen wwelche he uet werden viel von von Gant ern Gotte — men. So 121e Theil dotinn den muͤſſen. che Numen delche ge Nannen ſe te Partes li⸗ Die praetiſche Rechenkunſt. 315 aliquoteæe bekannt, (§. 249 *) als welche nur allein zum erſten Theile einer zerſtreuten Zahl dienen koͤnnen. Z. E. Von I. 2. 3Z. 4. 5. 6. 7. B. 9. 10 und 11 ſind nur I. 2. 3. 4 und 6 ſolche Theile die in 12 & ohne Reſt aufgehen, und alſo einen gewiſſen Theil von is oder 12 O geben, deſſen Zaͤhler nur 1 iſt. (§. 249.) 3) Werden alle Partes aliquantæ in ſolche Theile zerglie⸗ dert, von welchen die erſten derſelben, ſelbſt Partes aliquotæ, d. i. ſolche gewiſſe Theile vom Gan⸗ zen ſind, deren Zaͤhler 1 iſt. Z. E. Von 5 kann die er ſte Zahl 4, oder 3, oder 2 ſeyn, welches lauter Fartes aliguote naͤmlich 4 ℛ = 1ß; 3 ϑ= ſs und 2 % = ½ 6. Von 7 G kann die erſte Zahl6, oder 4, oder 3, oder 2 ſeyn; davon 6 ϑ ¾ ſs ꝛc. Von 8 Gkann die erſte Zahl 6 oder 4 ꝛc. Von 9, 10 und 11 Q ebenfalls 6, 4, 3 ꝛc. ſeyn. 4) Wird, wenn der erſte Theil einer zu zerſtreuenden Zahl ſchon gefunden iſt, der Reſt derſelben in lauter ſolche Theile zergliedert, daß immer der folgende Theil, aus dem vorhergehenden, einen ſolchen Theil gebe, deſſen Zaͤhler 1 iſt. Z. E. Wenn von §5 O der erſte Theil 4+ ₰ο = 4 ſz iſt, ſo iſt der Reſt 1 O aus 4 ϑ ½; wenn aber aus 5 zum erſten Theile 2 O genommen worden, ſo kann der Reſt 3 & nicht auf einmal aus 2 O genommen werden ſondern dieſe 3 muͤſſen nun noch in 2 und 1 zerſtreuet werden, davon 2 aus 2 der erſte Theil, d. i. 2 = 2 ₰; 16 aber aus 2 H der 2e Theil iſt. Es ſey dann, man wollte den Reſt 3 & ebenfalls aus dem Ganzen, wie vorher mit dem erſten Theile 2 geſchehen, nehmen; dann iſt 3 ₰ — 1ſ, ſo wie 2 ſß war. Wenn aus 7 & der 1ſte Theil 6 ϑ 1 66 genom⸗ men, ſo iſt der Reſt 1 aus 6 & der 6te Theil; oder iſt aus 7 & der erſte Theil 4, G ½ ſe, ſo kann der 316 Die prattiſche Rechenkunſt. der Reſt 3 O nicht ganz aus dem erſten Theil 40₰ genommen, ſondern muß noch zerſtreuet werden in 2 und I, davon 2 aus 4 & der ate, und 1 aus 2 O der 2te Theil iſt; es ſey dann, man wollte den Reſt 3 O& ebenfalls, wie den erſten Theil 4 aus dem Ganzen nehmen, dann iſt 3 ϑ= ſs, wie 4ϑ= ½ ſs war. Und ſo ferner, mit allen moͤgli⸗ chen zerſtreulichen Zahlen, ſie moͤgen Namen haben 0 er 2te euuß an mwie ſie wollen. 141) Was koſten 3426 Stuͤck à 41 ſs 11 O das Schock? Solutio. I Schock — 41ſ1I — 3426 Stuͤck? 60 16 3 4 3 57 41 . z 190 , 16 8 12 190 16 118 I 2 9; 8 1I , 43 3 . 46 ⸗4 3 ‧ 46 :4 1 47;2 498 ½ 30 5 10) — P — Fac. 49 Rthlr. 41 ſo 58 GH. Nachdem das 1ſte und zte Glied mit 6 verkleinert, das 2ꝛte Glied aber, wie der Augenſchein zeiget, gegen 1 Rthlr. zerſtreuet, ſo iſt nun geſchloſſen worden: Wenn 1 Stuͤck 16 ſs d. i. Rthlr. koſten, ſo muͤſſen 571 Stuͤck auch ſo viel drittel Rthlr. alſo = 190 Rthlr. 16 fg koſten. Und weil ferner der 2te Theil der zerſtreueten 41 ſo aber⸗ mal 16 ſs oder Rthlr. iſt, ſo muͤſſen auch die vorigen 190 Rthlr. 16 ſs noch einmal unter den ſten Betrag ge⸗ ſetzet werden. Ferner: weil der 3te zerſtreuete Theil 3 ſs der 2te Theil von 16 ſs iſt, ſo muß auch der ate Theil des fuͤr 16 ſ gekommenen Betrags, der richtige Betrag von 8 = 95 Rthir. 8 ſs ſeyn. Ferner; wenn der letzte 1 ſ, der er ſerſ n g menen e6 eczten de i. an Thei, ge geſel Theil, 1Rthi don 29 76. gebracht deſſelben 142) 143) 140 T 145) L 1460) Q D 1Duß Etiea C Thel 4 9 werden in 19 us wollte den 4 ns 1ſt, wie, len moglili:. nen helen Eten — * — 7 3 . . 7 915 — 1ſ5 betreg . 1feldes enig dn legte 1i 1 etkleinett, —„ Die practiſche Rechenkunſt. 31¹7 der zerſtreueten 41 ſs, der Ite Theil aus den vorhergehen⸗ B den 38 ſ; iſt, ſo muß auch der 8te Theil der fuͤr 8 ſs gekom⸗ menen Summe dem Betrage fuͤr 1 ſo, alſo = 1I1 Rthlr. 43 ſs ſeyn. Da nun ferner der 1ſte Theil der gegen den letzten ſs zerſtreueten 11 O., naͤmlich die 1ſten 4 aus 1ſs, d. i. aus 12 Q, der dritte Theil iſt, ſo muß auch der 3te Theil, des für 1 ſs gekommenen Betrags, dem Betrage fuͤr 4 ; und alſo = 3 Rthlr. 46 fs 4 & ſeyn. Und weil der 2te Theil der zerſtreueten 11 & abermal 4 & iſt, ſo muß auch der naͤmliche Betrag noch einmal unter das vori⸗ ge geſetzt werden. Nun iſt ferner 2 aus 4 O der 2te Theil, dafuͤr der Ate Theil des Betrags fuͤr 4 οnalſo = 1 Rthlr. 47 ſS 2 Q. Fuͤr den letzten 1, als 2ter Theil von 2 Q, den ꝛten Theil des Betrags fuͤr 2 ₰, alſo = 47 ſs 7 &. Endlich alle dieſe Betraͤge in eine Summe gebracht, ſo muß, bekannter Urſach wegen, der 10te Theil deſſelben das richtige verlangte Facit ſeyn. 142) Was koſten 4564 Stuͤck à 45 ſs 9 & das Schock? 143) Was 5572 Stuͤck à 43 ſ5 8 & das Schock? 144) Was 5678 Stuͤck à 39 ſs 7 das Schockk 145) Wenn der Decher 47 ſS 10 O koſtet; was 4568 146) Wie viel ms koſten 8446 Stuͤck à 9 ſs 10 & das ” Solutio. 1 Dutz — * 10 ϑ — 8446 Stuͤck? R 12 Stuͤck 62 4223 ₰ 1 8 . — 3 527 14 1 263 ⸗ 15 87 : 15 :8 5190 :12 4 2) 2595 6 :2 6) Fac. 432 m 9 ſs 2 oder ½ K. oder 2 2 318 Die praetiſche Rechenkunſt. oooder „ Dutz — 9 ſ6 10 & — 8446 Stuͤck 12 Stuͤck z;1 “ 8 2) A: II: 4 87 ‧ 15 ; 8 r 3 2595 6 2 112 6)pac. 432 mS 9 ſe 0½§. 1 1s ei treuli il, aus dem Hi d 4 ſsg, als ein unzerſtreulicher Theil, Gann 1† 1 Weil nun 4 ſs, gegen welche die 1 8 erſtreuet verden ſollen, = 48 Q, ſo ſind die ac d 2 + 1 zerſtreuet worden, davon 8 aus der 6te Theil, 2 & aus 8 & der 4te, und 1 aus 2 e Theil ſind. ꝛc. 147) Was koſten 4560 Stuͤck à 10 ſ6 das Dutz? Duk ?2 3) Was 5909 Stuͤck A II ſs 8 das Dutze 143 Was zoos Stuͤck 1 13 ſ5 7 G an ee Was 9999 Stuͤck 1 12 11 dutz? 1579 Wes 8883 Stück à 14 ſs 5 & das Dutz . S 1 2) Was 6008 Stuͤck à 15 ſs 11 das Dutz 1 3 denn 133 Wenn das Dutz 18 ſevl. 8 Nvl. koſtet, was denn 542 aͤck? 420 Ses Solutio. ick 1 Dutz — 18 ſe vl. 8 Hvl. — 3420 Sthe 12 (10ſa 8 6 4) 1352 “ 4—— 4 5 = 7 10 4 :ö7 1— 271 ‧½ — 44 à3 4 .* . 1264 13⸗4 3) “êr Fac. 421 Lvl. 11 ſ 11l. Lol. iſt voͤllig der euung der ßol. gegen Lv HH Annze Die Hergren Lispf. gegen Echiffyf. gleich. 252.) Dutz koſtet 16 ſsvl. 6 grvl. was 4700 Stuͤck? 154) 1 Dutz 154) 1358) 8 159) SS 756) 620 was here in des ſotten m Gies hatte, ſp üunten ge och nich kleinert nun 2) Unitten 5 heben, gar tein funden, denen Ger ſhehen, Mn ſu ler zu29 Cntr. IIZ Die practiſche Rechenkunſt. 319 H 155) Wenn das Schock 15 ſevl. 6 grol. koſtet, was 7860 Stuͤck 156) Was 334. Stuͤck à 13 ſevl. 7 gryol. das Schock? 157) Was 5555 Ellen à 14 ſvl. 10 grvl. das Schock? 158) Was 4856 à 15 ſövl. 11 grvl. das L5 ? 159) Was 4568 Stück à 14 ſevl. 9 grvl. den Decher? 9. Aufgaben, wo im ꝛten Gliede große und kleine Muͤnzſorten vorkommen. §S. 262. Bey dieſen Aufgaben faͤllt nichts vor, als was bereits bekannt iſt. Denn wenn man 1) die Unitaͤ⸗ ten des Zten Gliedes mit den Ganzen, als groͤßten Muͤnz⸗ ſorten multipliciret, eben ſo wie geſchehen, wenn das 2te Glied gar keine kleinere Muͤnzſorten neben der groͤßten hatte, ſo iſt auch ſchon der Betrag fuͤr die groͤßten Muͤnz⸗ ſorten gefunden worden; nur muͤſſen die Facta derſelben noch nicht addirt werden, weil noch fuͤr die folgenden kleinern Sorten Betraͤge hinzu kommen. Wenn man nun 2) die Betraͤge der kleinern Sorten, eben ſo aus den Urnitaͤten des 3ten Gliedes heraus nimmt, als wie bisher geſchehen, wenn ſich neben dieſen kleinern Muͤnzſorten gar keine der groͤßern, in welche zerſtreuet worden, ge⸗ funden, und dieſe aus den kleinern Muͤnzſorten entſtan⸗ denen Betraͤge zu den vorigen addirt n. ſ. f. ſo iſt auch geſchehen, was verlangt worden. Z. E. Man ſoll den Betrag fuͤr 5678 finden, wenn der Cent⸗ ner zu 28 Thlr. 56 Groten (Bremer Muͤnzze) gerechnet wird. Solutio. 1 1Centn.⸗ — 28 Thle. 56 Grot. —— 5678 ? 112 K 36 2 1 8 45424 219 11356 Betrag fuͤr 36 Groten 2839 18 - 1419 ⸗ 36 2 2 157 52 163400 ⸗„ 16 112) Fac. 1458 Thlr. 67 Grot. Hier 320 Die practiſche Rechenkunſt. Hier iſt geſchloſſen worden: Wenn der Preis eines M Pfundes = 28 Thlr. waͤre, ſo muͤßten 5678 ſo vie! mal 28 Thlr. koſten, deswegen dieſe 5678 fk mit 28 ver⸗ mehret, die Facta aber noch nicht addirt worden, weil 15 noch der Betrag fuͤr 56 Groten hinzukommen muͤßte. — Ferner: Wenn das noch 36 Groten, d. i. ¾ Thlr. mehr 290 als 28 Thlr. koſtet; ſo muͤſſen auch noch 5678 halbe Thaler zur ſchon gefun ſenen Summe hinzu kommen; u. ſ. f. der Betrag fuͤr 18 + 2 Groten. Endlich muͤſſen alle dieſe Betraͤge fuͤr 28 Thlr. + fuͤr 36 Groten P+ fr 18 und fuͤr 2 Groten in eine BHumme gebracht, und dieſe mit dem erſten Gliede, bekannter Urſachen wegen, getheilt werden, da dann das verlangte richtige Facit erſcheinen muß. Der Beweis hievon wird leicht zu fuͤhren ſeyn. . kuͤrzer: r . Centn a8 Thlr. z6 Grot.- ze,8 51 4r 4) — 39746 5— 28 7„ 4 946 24 4 60 2 12 6 ’ SS n 2 16 4085 0 4 ⸗é⸗—⁵ „ 4 610o212 ½ 37 — P)Eac. 1458 Thlr. 67 Grot. 1ir 160) Was koſten 4568 K J à 36 Thh. 64 Grot den Centz— RW ner à 112 †b? 0S 161) Was 5425 à 120 Thlr. 68 Grot den Cennn?. — 162) Was 7634 b à 129 Thlr. 33 Grot den Centn. ? ; Dieſe 3 folgenden Aufgaben koͤnnen durch minus zer: — ſtreuet werden. 8: 163) Was 5543 b à 109 Thlr. 21 Grot den Centn.? 99— 164) Was 8697 ſb à 30 Thlr. 22 Grot das Lſt? 12 165) Was 7864 ſ à 29 Thlr. 23 Grot das Lſtb2 166) Was koſten 100 ÿ wenn 567 ſ um 47 6 4 ⁵ zu haben? 167) Was 606 p, wenn 3 SIt fuͤr 454 ms 8 ſy zu haben? 168) Die practiſche Rechenkunſt. 321 Preis eine ? 168) Wenn das Fuder Wein 121 S 14 6 koſte, was ſo vll 5436 Stuͤbgen? mit 29 ber Solutio. l — Tub 1 Fuder — 121 T21 M 14 6ß — 543 6 Stuͤbgen? . zte, 2 Thlr unht 240 240 Stuͤbg. 122 122 8 – Pſs 12 halbe Thler . 2 2ſ8 8 10872 1. ſſder S 10872 en oll ieſe 5436 fit 19, und “ 663192 ieſe mit deaum 467.9. 8 eilt etden, . 6722.8 muß. Der 66251 2⸗8 240 . 2760mH766 Oder: 1 Fuder — 121 m8 14 s — 5 43 6 Stuͤbgen? 6 240 Stuͤbg. SS 44— 4 21232 — 339, 12 — 2208 3⸗12 IS 38) 276ι7hâορ 1./Geet. r Fuder — 121 M 4 ˙* — 2343 6Stuͤbgen? or den Cent 240 Stuͤbg. = 1359 9Cent? 40 ⸗ 20 5: 673 ⸗ 8 Centt. 5) 12„ miois ett ” 8 2 4 7 I . . . 8) Fac. 2760ρπ⅓ 7 6 6 & Cunn, er. —: 8½ e —— 62 42 gd £ Bey 166) . 322 Die practiſche Rechenkunſt. Bey der lezten Solutio iſt durch eine dreyfache Verklei⸗ nerung der Diviſor weggefallen, und nur im 2ten 17 ! Gliede 8 ⅞ geblieben, welche in 4 + 2 + 2 P+ ½ 6 zerſtreuet worden &c. Daß ½ ſs der 16 /e Theil aus 2 ſ iſt 4 vtgiebt ſce⸗ — man ſchließt: Wenn 1ſs = F, ſo ſind au = 6; folglich i † aus ½* der 16te Theil. V 169) Was koſten 8474 Stuͤbgen rothen Wein à 132 M5 15 ſo das Fuder? 170) 2a Si: ng koſten 536 Alt Flachs 342 Rthlr. 20 ſt da Solutio. 1 San — 4 Rchir. 20 ft — 536 Lb? P⸗ , 134 3 33 ; 8 –— 31 13 6 5). 8 ſ2 kac. 3410 M 4 ſ6 9 ½ 4 2 Weil in dieſer Aufgabe das Facit in ma verlanget wor⸗ den, ſo ſind auch, nachdem vorher das erſte und 2te lied durch 4 verkleinert, die 10 Rthlr. 29 ſs in ms voerwandelt worden, welches bey dergleichen Faͤllen allemal geſchehen muß. Ferner iſt verfahren — ſo wie der Augenſchein zeiget. 171) Wie viel koſten 1265 Steine Flachs à 33 Rthlr. 40 ſo das Schf? 1 172) Was koſten 2465 * Wolle a8 mg 10 ſ der Stein? 173) Was 2486 fr dito à 16 M 14 ſz der Stein? 174) Was 4080 Scheffel Weitzen à 86 Rthlr. 36 ſs die 175) E 3496 Scheff. Rocken à 64 Rthlr. 35 ſs de Laſt? 176) N 4 6 t 10) S 16 1o] e Verkleit im 2ten kis Theil aus Wenn 166s als 1N “ H 8 B Die practiſche Rechenkunſt. 3323 175⁵) Was koſten 5445 Stuͤbgen Wein à 166 Rthlr. 45 6 das Fuder? 177) Was 223 Paar Struͤmpfe à 12 Lvl. 15 ſzvl. das Dutzendd 178) Was 424 Paar dito à 13 Lvl. 12 ſovl.? 179) Was 542 ſeidene Tuͤcher à 5 Lvl. 18 ſovl. das Du⸗ end 180) Was koſten 5436 b Wolle à 17 10 9 & der Stein? Solutio. 1 Stein — 17 10 ſ6 9 % — 5436 ſkkt ? tosRE 3ſ2 83 3 6 ”s 214 1IS 6 79:8 226:8 28:5 96064·5 Far. 9606 mMm 6 10 ¾½ Nach F. 117. iſt hier mit der 7, der 17 mg, hinten⸗ aus multipliciret worden, wodurch das Factum urm eine Stelle weiter zur Rechten hinausgekommen, deswegen mußte auch der 2te Theil (ſuͤr die 8 ſs)⸗ von 5436 ſo geſtellet werden, daß nicht die aus der 5 entſtandene 2, wie ſonſt geſchehen muß, unter die 35, ſondern nur eine Stelle weiter zur Rechten hin⸗ ausgeruͤcket werde, ſo, daß die Tauſende, Hunderte, Zehner und Einer, jedes an gehoͤrige Stelle zu ſte⸗ hen kommen. Das Uebrige, wie bekannt. S 181) Wenn das Schf Flachs fuͤr 36 Rthlr. 45 ſS 10 HD£ beedungen, wie hoch kommen 2425 fk? 182) Was koſten 5486 Scheffel Weitzen à 288 M 12 fs 4 die Laſt? 183) a6 4550 Scheffel Rocken à 66 Rthlr. 45 ſ 9 ℳ£$ die Laſt? 184) Wie viel Mmg koſten 4888 Stuͤbgen Wein 180 Rthlr. 46 s 4 das Fuder? *X 2 185). 324 Die practiſche Rechenkunſt. 285) Was: 327 Paar ſeidene Struͤmpfe à 13 Lvl. 15ſyl. 5 Gol. das Dutzend? 186) Was 5436 Paar ſidene Handſchuhe8l 15 ſevk. 7 Qvl. das Dutzend? 187) Was koſten 5436 [b a 36 Thlr. 21 gl. 10 H die TLTLo0 ſÿ5? 188) Suck: glen⸗ 7836 Eſten à4 36 W s 5 8 das 10. Aufgaben, wo in der Mitten ſowol, als hin⸗ ten, Zerſtreuungen vorkommen. §. 263. Wenn im 2ten, und auch im 3zten Gliede ver⸗ ſchiedene Sorten vorkommen ſo zerſtreuet man die kleinern Sorten gegen eine Unitaͤt der groͤßern Sor⸗ te, ſowol im 2ꝛten, als zten Gliede, auf eben die Art, wie bey den Aufgaben, wo nur in einem Gliede al⸗ lein Zerſtreuungen vorkommen, gelehrt worden. So⸗ dann werden erſt die groͤßten Sorten des 3ten Gliedes, welche mit den Sorten des erſten Gliedes einen Namen haben, mit der groͤßten Sorte des aten Gliedes vermeh⸗ ret, auch mit den zerſtreueten Theilen dividiret, eben ſo, wie bey No. 180 und folgenden Aufgaben geſchehen. Iſt dieſe Arbeit vollendet, ſo iſt auch der voͤllige Betrag fuͤr die groͤßten Sorten des zZten Gliedes, aber noch nicht fuͤr die kleinern Sorten deſſelben gefunden. Nun aber werden auch die kleinern Sorten nach ihren zerſtreue⸗ ten Theilen, ihrer Folge nach, aus dem im 2ten Gliede befindlichen ganzen Preiſe genommen, auf eben die Art, wie bereits bey den Aufgaben, wo im 3ten Glie⸗ de allein Zerſtreuungen vorkamen, gelehret worden. Ein Beyſpiel wird die Sache klaͤrer machen. Z. E. r Wenn 3 Centner um 56 Mg 12 ſ 6 bedungent w wer⸗ den, was koſten 236 Centn. nts “ 2 . iſt. 1 Izſok. 10 — 5A als int liede ver⸗ manj le tn Sor⸗ liede al⸗ en. So⸗ Gliebes, Numen Wrtteh⸗ eben ſ, hen. N. etrag ſir noch nicht Nun eber erſtreue⸗ in 2ten gof eben ten Gbe⸗ ggen wer⸗ . Diie practiſche Rechenkuntt. 325. Ctn. — 56 mM 12 f6 6 — 236 Ctn. 7 2 5 K? 8882 1 SzSIS 9e 4ſ2214 29 2412 2 7I3 4 Betrag fuͤr 42 9;: 7 ‧ 5 8 ⸗ ⸗2 ⸗ ⸗ 2 5 I10 ¾ 2 57Fk I1⸗ 2 11 ½ 11 faac. 44 48 8 ſs 6 ⅞ G Nachdem das 1ſte und 2ete Glied durch 3 verkleinert, ſo⸗ dann die kleinern Sorten des Aten und dritten Glie⸗ dees gehoͤrig zerſtreuet, ſo ſind die Centn. mit 18 ng vermehret, und ſodann geſchloſſen worden: Wenn 1Centn. = 18 Mg, ſo koſten 236 Centn. auch 236 r18 mg. Nun aber koſtet der Centn. noch 8 ſe 1 P 46 P+2 6 8ει ☚2 & mehr als 18 ms, des⸗ wegen iſt mit allen dieſen Theilen, ſo wie ſie aus eiinander folgen, bekanntermaſſen, auch der Be⸗ trrag dieſer Theile aus den 236 Centn. genommen worden. Mithin waͤre nun der ganze Betrag fuͤr⸗ 236 Centn. à 18 M 14 ſs 10 & gefunden. Weil Abber uͤber den 236 Centn. noch 7 Lſb 7 e vorhan⸗ den, welche auch noch nach dem gegebenen Preiſe ei⸗ nes Centners berechnet werden muͤſſen; ſo iſt nun ferner geſchloſſen: Wenn 1 Centn. = 18 8 14 ſs 10, ſo muͤſſen 4 2 als ½ Centn. auch ſo viel als deen halben Preis eines Centners, d. i. 9 7 ſs 5 betragen Ec. Endlich ſind alle dieſe Betraͤge in eine Summe gebracht. ?́òèòè Da nun dieſe Summe alle Betraͤge fuͤr 236 Centn. . 7 b † 7 , à 18 Mm9 14 ſ5 10 & den Centn. gerechnet, wirklich enthaͤlt: ſo muß auch dieſe Summe das richtige verlangte Facit ſeenny. . * 189) 326 Die practiſche Rechenkunſt. 189) 5Centn. koſten 96 Pr. 58 Grot 3 Schwaeren, was 542 Centn. 6 L 8 † 5 190⁰) Wenn 5 Centn. um 36Rrhir. 356 9 bedungen, waas kommen 345 Centn. 6 L† 9 ſt? 191) Wenn Balzer in 10 Jahren 9040 Thlr. 16 96 8 zu ſeiner Haushaltung gebraucht hat, wie viel wird er in 36 Jahren 7 Monaten 3 Wochen gebrauchen? 192) Wenn 3 Centn. fuͤr 215 Mg8 10 ſs 8 bedungen wor⸗ den, was kommen 210 Centn. 7 L †† 3 193) Wenn 2 Sch ſt fuͤr 215 Thlr. 21 62. eahlewer den, wie hoch kommen 87 Sſt½ 12 Lſt 5ſt? 194) Wenn 3 Schft fuͤr 211 Rthlr. 46 ſS 35 zu haben: N: wie viel ms koſten 987 Schſſt 13 Lf 10 6 §. 264. Von ganz beſondern Nutzen iſt die ſchon oft gebrauchte Zerfaͤllung der groͤſſern Sorten, nach dem Einmal eins, bey Aufgaben, welche in der Mitten und hin⸗ ten kleinere Sorten neben den groͤſſern haben; denn Hierdurch kann man die Zerſtreuungen des 2ten Gliedes Laͤnzlich uͤberhoben ſeyn. Es kan aber ſolche Zerfaͤllung nicht allein bey Zahlen, welche im Einmal eins befindlich, (§. 116.) veranſtalter werden; ſondern auch bey Zahlen, welche um einige— Unitaͤten groͤßer oder kleiner ſind, als das Product der zur Zerfaͤllung gewaͤhlten Zahlen. Denn ſind Die Zahlen gr oͤßer als das Product, ſo wird durch plus P; ſind ſie aber kleiner, ſo wird durch minus * zer⸗ faͤllet. Z. E. Man wollte die Zahl 37 zerfaͤllen: ſo koͤnn⸗ te das geſchehen durch 6 6 †+ 1. Das heißt: 37 = 6 b% 6 plus I. In dieſem Falle wuͤrde eine gegebene Zahl erſt mit 6, das Produet davon wiederum mit 6 mul⸗ tiplicirt, und zu dieſem Producte die gegebene Zahl noch einmal, fuͤr das + 1, darzu addirt werden. Eben ſo koͤnnte eine Zahl 41 durch minus zerfaͤllt werden; alſo: 7 W☚ 6 + 1. D. i. 41 = 7 ℳ 6 minus 1. In dieſem Falle wuͤrde eine gegebene Zahl erſt mit 7, das Produnet abermal mit 6, multiplicirt, und von die⸗ ſem Producte die gegebene Jahl, fuͤr minus 1, ſgere⸗ . iret. hirc.= t man War u 13 64 gret, was hedungen, 16 2 diel drd rauchen! ungennor itahtnor⸗ 4 Aikhoben: . ſchen oſt uach dem en uod hine oben; dem ten Gedes L Rtatſtaltet um eini ge als das . Denn ſd durch us nus † zer⸗ m ſilnn eißt: 37 1e gegeben imikonin⸗ gt ſoch . (Clen ſo dabenz a: l. ſübitaa firtt. 31/ cher E Die practiſche Rechenkunſt. 327 hiret. — Ein Paar Exempel werden die Sache deutli⸗ machen. Was k 10 L 8 „Biian eek wikshk nms ak n Solutio. 13 Scht — 236 m 10 s 4 — 82 Schkk 10 fß 8 — 9 E 211 3 — W 4 1ir 9 zlt 117 19168 ⸗ 5— 3 + 236 10:4 2 59 27 ⸗ 13 455 — 14 18 ; — 9530 — : 8 ½ 5½ 1 3 Fac. 1502 M 4,5 113 ½ Nachdem im zten Gliede die 10 Lf5 8 † 5 gehoͤrig zer⸗ ſtreuet, ſo ſind auch die 82 Schf durch 9 ασ ⁹ + 1 zerfaͤllet und ſodann geſchlogGen worden: Wenn 1 Schf 236 M8 10 ſs 4 & koſt 101 ete, ſo mußten im mittelſten Gliede durch 9 ½ multiplicirt das „ Product davon, 19168 i trag fuͤr 81 Sch , mithin n . ree, wegen iſt fuͤr das + 1, auch no 10 ſ4 Qunter den Betrag enaer hrenn aee ner ſind auch, nach und nach, die Betraͤge fuͤr 5 . SFeff., fuͤr 7 + 1 5, wie bekannt, hinzu gekom⸗ men &c. uſatz: 83 wurde durch 9 †. 2, u 9 % % †.2, und „* 9 †. 3 &c. zerfaͤllet und im erſten aur ee „der Preis noch 2mal, fuͤr + 3 aber der Preis noch zmal zum Probuct 99) 9 hinzugefuͤgt wer⸗ den ꝛc. tc. X 4 Einer 3:8 Die practiſche Rechenkunſt. Einer kauft 41 Sch 9 L 8 ſt und bedingt 3 Schhk fuͤr 39 Lvl. 18 Fvl. 6 Grvl. 5„ Solutio. . 3 Schfk— 39 Lvl. 18 ßvl. 6 grvl. — 41 Sf 9 2s b 2 „ 13 6 2 „:1. 415 7 ſ2 ä 6 ⸗ £☛ 112 i1 o , 141 558 ‧ 19 ‧ — ⸗ + I3 ⸗ 6 ½ 2 2- 545 12 ⸗ 10 „ 0 2 13 1 2 7 1I12 2 13 ½ 2 II2 — 13½ 3 75 89 —, ⁶$, 71 ſrr9 — —⸗ II 57 Fac. 552 Lvl. oßvl. 2 ⁶ 42 ] 3 1 5 37 Hier ſind 41 Schf durch minus, d. i. durch 6 b 7 — zerfaͤllet, ſodann der Preis 13 Lol. 6 ſzvl. 2 durch 6 7 multiplicirt, und dadurch das Product: 558 Lvl. 19 ſovl., als der Betrag fuͤr 42 Sch ge⸗ funden worden. Weil aber nur 41 Schſt vorhan⸗ den, ſo iſt auch der Betrag fuͤr 1 Schß zu viel in der gefundenen Summe, deswegen iſt auch der ganze Preis eines Schfſps = 13 Lvl. 6 ſzvl. 2 m fuͤr das — 1 Schfß von der zu großen Summe abgezogen worden; folglich muß der Reſt: 545 Lvl. 12 ſtvl. 10 O., der richtige Betrag fuͤr 41 Schf ſeyn. Mit den zerſtreueten 9 L †+ 8 ſp iſt ferner verfahren worden, wie der Augenſchein giebt. 195) Wenn 3 Schſpß fuͤr 42 Thlr. 57 Grot 2 Schwaren bedungen worden, was werden 43 Schfſb 8 2ſt 7 t betragen? W MR 196) Was 70 Schſt 5Lſt 3 ? wenn 2 Schfp̈ fuͤr 36 Thlr. 46 Grot 1 Schwaren bedungen worden? 197. R 106) B. 199) hen 48) 199) we 200) J 2 0I) B R . 202) 3 2,) a den 204) T „de 205) B 38 de 11, 9. 21 dene Se Eliede den⸗ da Gorten Und mit ben Ran men wer borden. M wenn 3 ahben Ir norhan⸗ Niel in ich der Sſel 20 GSumme ſeſt: 54) 41 Ecſ⸗ ſer erner ebt. Snten in 76 197) .“ hle, Die praetiſche Rechenkunſt. 197) Wenn ˖ Centner fuͤr 46 Lol. 19 ſevl. 8 Grvl. zu h ben, was werden 44 Centn. 6 L 5ſt koſten? 198) Was koſten 82 Centn. 7 2ſt 10 , wenn 3 Centn. fuͤr 96 Rthlr. 42 ſs 9 & zu haben? 199) Wenn 3 Mark Silber zu 74 mg8 15 ſ5 8 & bezahlt werden, was koſten 37 Mark 12 Loth 3 Quentl.⸗ 200) Was koſten 50 Mk. 14 Lth. 1 Quentl. Silber, wenn 2 Mk. fuͤr 50 mg 10 ſ8 6 & gekauft werden? . 201) Wie viel g koſten 3396 fk 22 Lth. 3 Quentl. à 56 Rthlr. 40 ſs 3 & die 100 k? L 202) Wie viel 543 30 Lth. 1 Q. à 50 Rthlr. 21 fs 3 die 100 ff? 203) Was koſten 999 ſt 31 Lth. 2Q.. à4210 m 8 6 6 den Centn.? 204) Was 756 24 th. 12. 329 Dhr. 21 26 4 £ deen Centn.? 205) Wie viel toſten 360 Afß 10g 8 Lth. 487 Thlr. 4 2 3 den Centn n66) Was 5496 Lſtk 11 k Lth. à 59 Ehr. 22 1e 8 D „doen Centn.,. . 11. Aufgaben, wo in allen dreyen Saͤtzen große und kleine Sorten vorkommen. §. 265. Aufgaben deren 1ſtes und 3tes Glied verſchie⸗ dene Sorten enthalten, muͤſſen laut §. 245, des erſten Gliedes wegen, unter einen Namen gebracht wer⸗ den, da dann, wenn dieſes geſchehen, die kleinern Sorten des ten Gliedes bekanntermaſſen zerſtreuet, und mit ſolchen zerſtreueten Theilen, aus den unter ei⸗ nen Namen gebrachten Unitaͤten des 3ten Gliedes genom⸗ men werden, und ferner verſahren wird, wie gelehret worden. Man ſoll berechnen, was 56 Centner 7 Lt 5 ſt koſten, wenn 3 Centner 6 L 7 K fuͤr 34 Thlr. 16 90 4 zu haben? X 5 So⸗ 330 Die prackiſche Rechenkunſt. Solutio. 6t. 6Lpf. Pf. — 84Chlt. 16Gr. 45 — 56Ct. 7Lpf. 5Pf.? — 12 2 416 . 30 Lpf. . 2 6 4 55 . 211 1820 4²7 Pf. 65375 8 4 25500 51000 3187 † 12 531 2 6 531 % 6 88 13 539838 ⸗ 13 „J Nachdem das erſte und 3te Glied unter einen Na⸗ men gebracht, d. i. beyde zu ſt gemacht, ſo iſt mit den zerſtreuten Theilen des 2ten Gliedes, aus den Unitaͤten des Zten Gliedes, nach und nach genommen, und dabey ge⸗ ſchloſſen worden: wenn 1 84 Thlr. koſtete, ſo muͤßten 6375 b auch 6375 —☚ 84 Thlr. koſten: Ferner: wenn 1IE noch 12 20, d. i. ½ Thlr. mehr koſtet, ſo muͤſſen auch 6375 kb noch eben ſo viel halbe Thlr. koſten ꝛc. Endlich find alle Betraͤge, fuͤr 84 Thlr. + 12 06 P+2 26 † 296 + 4 in eine Summe gebracht worden, welche, weil nicht I1 , wie anfangs angenommen worden, ſondern 427 † dem Preiſe des mittelſten Gliedes gleich, nun auch mit 427 dividirt, und ſodann in den Quotienten das wah⸗ re Facit gefunden worden. 207) Wenn 4 Centner 72'ſt 8l fuͤr 96 Thlr. 56 Groten 2 Schwaren bezahlt werden, was kommen demnach 34 Centner 6 L 3 k. 208) Handelmann kauft eine kleine Parthey Waare von 2 Centner 62 t 8 fuͤr 63 m8 13 ſ 9, und will nach demſelben Preiſe eine andere Parthey glei⸗ cher Waare kaufen, welche gewogen 564 Centner 5Lt 71?b. Was muß er dafuͤr bezahlen— 2009) u: ¹²7) Pac. 1264 Thr. 6gr. a72. 209 6 bedi 210) F. 6 Khlr. 4 4 115 52 Iar. — 7640 N Me gebracht haben t zten G diſſe ln; Produt Ann.) nnch 40 ſonuſe Uet Ni, men z. in eine ony — . nen N ſ mit den ttitendes daben ge⸗ uͤßtern e: wenn iſen auch (17 ge, nel jdern427 gun euch ns wahe⸗ 9 Groten dennech Eitih Die vractiſche Rechenkunſt, 331 209) Streſow erhandelt 6 Was in. Demer 2elt 13 ft iir 0 Ath 3, dd ga as muß er bezahlen. hlr. 37 ſ 8 0) Fuͤr 26 Thlr. 12 36 8 & kauft Abraham 7 Centner 6 2 5”t, wie viel bekommi er fuͤr 568 Thlr. 21 96 7 . Solutio. 26Thlr. 22 Gk. 3. — Ct. 6Lpf. 5 . 23 * 7Ct. 6Lpf. 5Pf. — 568 Thlr. 21 Gr. 7. ; 11ſ2 4 7 2 1 Z 2123114 2293 1136 272 2 33 7640 N 05 5 Ne⸗ 1563843 A. 1146901 81921 2 4 4696 6 H 58514 4 2 1462 ⸗7 4 12770 ⸗ 7640) 7097 5 *½ 5 2c. 167 Ct. 1Lpf. 3 33 Pf. N gebracnt. ec 1ſte und zte Glied unter einen Nam haben 3 ren er geſchloſſen worden: Wenn fuͤr 1 en Zten Gliedes ch , Craſner uere man fuͤrjeden & das dieſe Anzahl Q nmit 7 Cent. vermehrt een werenſtn 5* Produet ſo gleich den Namen Cent. angekommen. (§. 233 Anm.) Ferner iſt geſchloſſen: wenn man aber fuͤr 1 G noch 4 Lt d. i. C Bur. Centner mehr als 7 Centner haben kann, „ und they gen o muͤ ͤr j moͤſſen auch faͤr jeden des Zten Gliedes noch ½ Cent men en S3843 2 Centuer zum Vorigen hinzu kom⸗ don n „und wei eine Parthe 7 Centner 6 Lſt 5 lb, nicht fuͤr 1 Q, wie —— 332 Oie practiſche Rechenkunſt. genommen, ſondern fuͤr 7640 gekauft worden, ſo iſt auch die geſundene Summe 7640 mal zu groß, weshal⸗ ben auch der 7640ſte Theil das verlangte richtige Facit 211) Wie viel kann man fuͤr 346 Rthlr. 47 ſs 8 haben, wenn fuͤr 28 Rehlr. 40 ſ5S 6 zu haben Centner SLE 10 b? 212) Wie viel Papier kann man fuͤr 346 Rthlr. 36 ſ5 8 haben, wenn fuͤr 1 Ball 8 Ries 18 Buch 64 mm 15ſs 6 bezahlt wirdd 213) Wennfuͤr 1 Ball 5 Ries 8 Buch Druckpapier 21 m 13 ſ; 6 &bezahlt wird, wie viel kann man fuͤr 396 mI 13 ſ̈ 8 haben? òäl 214) Ein Kaufmann will fuͤr 93456 Rthlr. 26 ſz 8 Ze⸗ bel kaufen, wenn er nun fuͤr 3600 Rthlr. 36 f 9 G 1I Zimmer 2 Decher 8 Stuͤck haben kann, wie viel bekommt er fuͤrs Geld? 215) Wenn ein Galanteriehaͤndler fuͤr 345 Lvl. 18 ſavl. 8 Groten Knoͤpfe einkaufen will, fuͤr 1 Groß 10 Dutz aber 5 Lvl. 2ſtzvl. 3 Grvl. bezahlt; Wie viel bekommt er? 216) Wenn 12 Schf 9 L 8 . betragen 1164 mg 10 fg 8 : Was werden 6 Schſt 1 2ſt 5lb koſten? 217) Wenn fuͤr 2361 Thlr. 51 Groten gekauft werden: 44 Schſt 1 Lf 11 ſk; wie viel kann man fuͤr 836 Thlr. 48 Groten 3 Schwaren haben? L 12. Aufgaben, wo im iſten Satze eine Unitaͤt vorkommt. S§. 266. Aufgaben, deren 1ſtes Glied nur aus ei⸗ ner Unitaͤt beſtehet z. E. 1 :2 MW = 8b: X, und welche bey den Kaufleuten am meiſten vorkommen, wer⸗ den gewoͤhnlich daher, weil die Diviſion, wegen der Uni⸗ taͤt im 1ſten Gliede, gaͤnzlich wegfaͤllt, und nur al⸗ Aein die Multiplication des ꝛten und 3ten Gliedes uͤbrig bleibt, auch Multiplicationsexempel genennet. Und weil die hieher gehoͤrigen Aufgaben wirklich keine andere ſind, als als helch des Iſten ſehet, ſ man auc Iſten Gl gegebene V. Veil venn 1 ſeyu: ſon Veſt An des alſo dn, ſolf ſ, neshal⸗ Gtige kcit 39 haben, Utner Tr⸗ 3668 iſs Heral ir z0 6699 6ßN „We W . igſt. Groß 10 Wie viel noß 4 en? ſ werden: n fir 836 Unität aus e9 X, und nin, wet⸗ der Uni⸗ Die practiſche Rechenkunſt. 333 als welche §. 185. ſchon vorgekommen, auch die Unitaͤt des 1ſten Satzes nur der Vergleichung wegen da⸗ ſtehet, ſonſt aber gar nicht gehraucht wird; ſo kann man auch dergleichen Solutiones mit Auslaſſung des I1ſten Gliedes berichtigen, beſenders, wenn der bekannkt gegebene Preis nur aus einer Muͤnzſorte beſtehet. Z. E. Was koſten 3456 k, wenn 1 um 2 M zu haben? Solutio. IIE — a8 — 3486 FP2 Fac. 6912 Mm Weil hier nicht anders geſchloſſen werden kann, als: wenn 1 k = 2 mg, ſo muͤſſen 3456 kt = 3456 2 mS ſeyn: ſo muß es auch einerley Facit geben, wenn man dieſe Aufgabe, mit Auslaſſung des erſten Glie⸗ des alſo aufſetzet und eben ſo, wie vorher, berechnet. Solutio. 23456 2 2 8 Fac. 69 12 mMS Anm. Man ſieht hieraus, daß dieſe letzte Solutio nach ei⸗ nerley Verfahren mit der Erſtern, auch einerley Facit giebt, auch hier, wie dort, der Name des Multiplicandi wegfaͤllt, und dem Facit der Name des Multiplicatoris gegeben werden muß. Wir wollen alſo dieſe letzte Art Leybehalten, ſe oft der Preis einer Aufgabe nur ei⸗ ne und zwar die groͤßte Muͤnzſorte enthaͤlt. 218) Wenn 1 /5 5mg koſtet, was koſten demnach 6789 ſ½ SSl M 219) Was koſten 346 Centner à 36 Rthlr. den Centner? 220) Was 998 L ſ à 47 Thlr. das Lt? 8 221) Was 5436 Ellen à 15 M die Elle? d nur a, 222) Wie viel me geben 4396 Dukaten à 6 § gerech⸗ edes igreig lnd tel dere ſnd , als net? V 223) Wenn man fuͤr 1 Elle 6 bezahlt, was koſten Die practiſche Rechenkunſk. 1 Elle — 6 & — 5436 Ellen 2 Ffza 1359 ½ Fac. 169 n 14 Oder: 5436 Ellen à 6 £ r= 6 32 ³) Tac. 169 mMg 14 ſ5 „. In beyden Solutionibus ſind die 6 & gegen 192, als ſo viel &Q zu einem m gehoͤren, zerſtreuet, auch, weil mit ehen nicht bequem zu dividiren, dieſe 32 im 4 ⁸%8 zer⸗ fallet, damit bekanntermaſſen dividiret, und ſodann das richtige Facit 169 14 ſs gefunden wordern. Proba. 5436 Ellen — 169 mMS 14 ſ5 — I Elle? IOTIA 2718ſ8 5436 32616 5436) Fac. 6 Weil hier der Diviſor 5436 zu groß, um in 165 mg etwas nehmen zu koͤnnen, ſo iſt hieraus zu urtheilen; daß eine Elle nicht einen ganzen Mark, ſondern nur ei⸗ nen Theil deſſelben kommen koͤnne; deswegen ſind die 169 m8 14 ſs zu ſs gemacht und = 2718 ſs befunden wor⸗ den. Weil aber auch dieſe Summe von Schillingen zu klein, um darin dividiren zu koͤnnen, ſo kann die Elle auch nicht einmal 1ſs, ſondern ſie muß nochweniger kom⸗ men, deswegen ſind dieſe 2718 ſS5 zu noch kleinern Theilen, zu H gemacht worden, als in welcher An⸗ zaßl Pfennige nun erſt 6mal genommen werden fonnte. 29 2) elcher den, ſ ſahren 22⁴⁰ 2²⁵ 9407 „0 =ãSRee =. — ———ʒ—NU—U—U 4 2² — =ẽ — 2—☛ 2— 20) 231) ) 239) 234 5) 36) 25) 399) 24) 243) — aA — 10, 4a twei mit er⸗ ſodann dar n i1 165 theilen; n nur ei⸗ en ſind die unden wot⸗ ingen zu E lean iger konm⸗ fleinern belcher An⸗ Da Die prartiſche Rechenkunſt. 335 Da nun dieſe 6 als der Preis einer Elle eben derſelbe iſt welcher in der vorſtehenden A ufgabe bekan den, ſo iſt auch bey Berechnung len Aanig ver⸗ fahren. 224) Was koſten 5569 ff 4 9 d. das *? 225) Was 8764 f 5 à 10 25 Was 7897 b à 11A 2 27) Was wird fuͤr 3333 Ellen bezahlt 3 4 3 ſd die Elle? 228) Was fuͤr 8965 Ellen à 4 ſS? 229) Was ſur 8770 à 6 ſs 230) 8764 5à 11 6 231) 8970 : 5 2 232) ⸗ 9735 Lſt àr 3 7 545 ock à 1 das 3 ⁸ , 8493 Stein 4¾ ſe de Saha 4444 Dutz à 17 3 7 237) Was koſten 5550 Dutzt 7Grvl das Dutt? Solutio. 1 Dutzt — —Grvl. — 5550 Dutzt? 1* 138 Ml 23 2 8 Fac. 161 Lul. 5550 Dutzt 8 7rnl 138 15 6 23 : 2:⸗ 6 Fac. 161 Lvl. 176vl. 6 Grvl. 1 238) Was koſten 8740 Ellen à 8 Grvl. die Elle? 239) Was 4734 Ellen à 240) Was 6666 Ellen à gn. 241 5435 f à 10 Wrrr; 24 A :⸗ 7474 à 5 vl. 233 . 3400 à 6 ſevl. 44) as koſten in Bremen 9465 fkb à 36 Groten? 245⁵) 336 Die practiſche Rechenkunſt. 245) Was daſelbſt 2143 Lſt à 65 Groten? 46) Was koſten 5675 F 4 Grvl. nach berechnet? olutio. =ðèð 1K - 4rrl. — 5678 ſ2 4S Fac. 709 M 12 ſs We 1 Grvl. = 1 Sechsling oder 6 Q ſo ſind au Grvl. 1I M8 deswegen ſind c ſet E folglich 5678 ½ s = 709 Mg 12 ſs. Amm. So oft künftig das Facit in Mark verlanget wird, wenn der Preis in Grol. gegeben worben, ſo oft wer⸗ den auch die Grol. gegen 32 zerſtreuet. 247) Was koſten 3456 Ellen à 5 Grvl. ? 248) Was 5404 Ellen à 6 Grvl. 249) Was kommen 7864 Ellen à 8 Grrol.? 2 250) Was 8473 ſk à 9 Grvl.? 251) Was 9940 à 10 Grvl.? 52) Was 15400 Lf5æ à 15 Grvl. ? 25 339, Was 8000 Stuͤck à 19 Grvl.? 254) Was 7864 Stuͤck à 21 Grvl. ? 255) Was 5004 Dutzt 223 Grvl.? 256) Was 8009 Dutzt aPES Grvl. ? 257) Was 3333 Dutzt à 26 Grvl. ? 258) Was 6666 Stein à 28 Grvl.? 259) Was 9999 Stein à 31 Evl. 260) Was koſten 4567 [ à 4 6svl. das ſpi in n berechnet? Solutio. . K — 46vl. — 4567, =ðèð 2283 ‧ 8 24 Fac. 6850 M 8 ſs im . 82 H Da iſrl. = 66, ſo muͤſſen auch jedesmal, da⸗ ferne das Facit in Mark verlanget wird, die gegebenen ſzvl. mit 6 multiplicirt und das aus ſyl. beſtehende Factum welches den gegebenen ſsvl. voͤllig gleich iſt, ſodann mit 16 zu M gemacht werden. Demnach ſind hier 4ſvl. = 4 ſ5 Ll. dder 16. in. Re eIN lieſe in ſuͤr eben hen die und zu da darn . 461) 262) 263) 264) 5 266) 20) 268) 469) 270) 271) 29,) 279 270 C 1Ele. etechatt? 6 d auch . D inget wid, ſpeſt nen⸗ etchtet! oder = 1 8ſz. Nun iſt geſchloſſen worden: wenn 1 = IM, ſo muͤſſen 4567 †b = 4567 mMmg ſeyn, deswegen dieſe in der Fragezahl ſich befindenden 4567 f ſogleich fuͤr eben ſo viel m angenommen, und ſodann aus denſel⸗ ben die Haͤlfte, fuͤr den Betrag à 8 ſs das , genommen Die praetiſche Rechenkunſt. 337 und zu dem vorigen Betrage à I1 M pr. ſp† addirt worden, da dann die Summa das richtige verlangte Fac. gegeben. Anm. Folgende Anfgaben, bis 268, ſollen, wie in vorſte⸗ hender Solutio geſchehen, nach Markl. berechnet werden. 261) Wenn das Dutzt FSſevl. koſtet, was 7890 Dutzt? 262) . ; 6ſSvl. „8743 263) ½ „v1vl. 8764 264 10oſsvl. ⸗ 4325 2 265) Das Stuͤck koſtet 12ſsvl. was 20000 Stuͤck? 266) „ ⸗ 14 ſs vl.⸗ 9876 Stuͤck ? 267) Die Elle à 16ſsvl. was 3576 Ellen? 268) ⸗ à 19 ſsvl.⸗ 5430 Ellen? 269) Wenn das ſ† 7 Kſtrl. koſtet was 4500 ? J M Solutio. 1IEE — 7Kſtrl. — 4500 ff 6 40 1I12 ⸗ 10 116 12 : 15 Fac. 131 Lſtrl. zſovl. 270) Was koſten 3406 f à 8 Kſtrl.? 271) Was 7503 ſ à 9 Kſtrl. 272) ‧ 5432 5 à 10 Kſtrl. 273 4032 ſb à 11 Kſtrl. 274) Was 3496 Ellen à 3 ſoſtrl. in Hamburger Banko? 1 Elle — 3ſtſtll. – 3496 Ellen? . 10 H 2 zoſs Banko — —, 699a 2 mS +2 ⁶ —,— à2 8 Fac. 6555 MS Banko. D 68 338 Die practiſche Rechenkunſt. ſoſtrl. als der Preis von 1 Elle, mit 10 vermehrt, und demnach gefunden worden, daß 3 6ſ8ſtrl. = 30 Banco. Dieſe 30 fs ſind mit 16 zu mg gemacht, welches IN 14 ſ oder 2 M = 2 ſ gebracht ꝛc. 275) Was koſten 536 Ellen 4ſoſtrl. die Elle? Crievorhen 276) Was 8764 Ellen à Fſöſterl.? 277) Was 7342 Ellen à 6 8ſtrl. 278) Was 9732 Ellen à 7ſſtrl. 279) Was 7540 Ellen à 9 ſoſtrl. 280) Was 456 Lſtb à roſoſtrl. 281) Was 8764 L à 126Sſtrl.? 282) Was 5673 Lſt à 15ſſtrl.? 283) Was 7400 Lfk à 18ſsſtrl.? 284) Was 4403 Lf†b à 19 6ſ6ſtrl.? Da 1ſoſtrl. = 10 ſz Hamburger Banko, ſo ſind die z 13. Aufgaben, wo die Unitaͤt des erſten Gliedes kleiner, als die des 3ten Gliedes iſt. 267. Wenn das 3te Glied groͤßere Sorten ent⸗ haͤlt, als das 1ſte Glied, ſo muͤſſen die groͤßern Sor⸗ ten des Zten Gliedes zu eben den Sorten, welche das erſte Glied enthaͤlt, d. i. beyde Glieder den Ramen nach gleich gemacht werden. Z. E. 285) Was koſten 532 Centner à 2mg das I7 ⸗ Solutio. 1 — 2 mg — 532 Centner? fIIZZ 10646 8332 332 39584 fk ———=— PFrcit. 119169 mS 4 * doder 9 . 9) B die 14. Au Gii 4 4 tt 8 weilche daß di ſind die 3 hchet, Uund ſs Denco. iſches i tievetheh) Gnet ſ tten ent⸗ en Sor⸗ e daserſte amen taoch lder Die practiſche Rechenkunſt. 339 Oder: 5322 Centr. à 112 à 2 m 532 1064 59584 k. a 2 (§. 266.) Fac. 119168 m 286) Was koſten 764 Centner à 5 m das ſp? 2877) ⸗ ;⸗ 864 ⸗ à 70 8 das Lf? 288) ⸗ ⸗ 84 Schf à 20 m das Le? 2899 C ; 94 à 248 das Lp? 290) Was koſten 543 †b à 1mg das Loth?; 291) Was 8640 f à 2 Ms die Unze? 292) Was 350 Schock à 4 M die Elle? 293) ⸗ 96 Schock à 7 Mg die Elle? 294) Wenn die Tonne Luͤneburger Salz 9 § koſtet: was 5 Laſt 7 Tonnen? 295) Eine Tonne dito koſtet 10 ms: was 10 Laſt 11 Tonnen? 296) Wenn 1 Tonne Spaniſch Salz 7 Mg koſtet, was 36 Laſt 12 Tonnen? 297) Die Tonne dito à 9 ms: was 45 Laſt 13 Tonnen? 298) Wenn die Tonne Heringe 36 M koſtet: was 24 Laſt 9 Tonnen? 299) Was betragen 30 Laſt 10 Tonnen dito, à 12 Rthlr. die Tonne? 14. Aufgaben, wo bey einer Unitaͤt des 1ſten Gliedes Zerſtreuungen im 2ten und Zten Gliede vorkommen. §. 268, Aufgaben, welche ſo wohl im 2ten als 3ten Gliede verſchiedene Sorten, im erſten aber nur eine Uni⸗ taͤt der groͤßten Sorte haben, ſind von denjenigen, weilche §. 263. vorgekommen, in nichts unterſchieden, als daß die Summa aller Betraͤge, welche die Aufgaben mit 2 ſich 340 Die praeiſche Rechenkunſt. ſich bringen, wegen der Unitaͤt im 1ſten Gliede, nicht di. vidirt werden kann, alſo eine ſplcher gefundene Summe ſo gleich das verlangte Facit iſt. Z. E 300) Wenn der Centner 36 M2 96 4 O koſtet; was werden 345 Centner 6 Lf 75 koſten? S Solutio. 1 Centn. — 36 Mm8 9 ſs 4 — 345 Centn. 6 2tb 7r —— — 3 —,— —,— 8 2 4 13 — 4 12 7 4 118s 2070 212 1035 . Bettag d⸗ der 345 Centn. 8ſ 172 ⸗ 8 412 21 29 . 4 J 7 3 Betrag fuͤr 2 18 4 ⸗ 8 9 ½ 2 74 Fac. 12650 mM8 15 s 7 301) Was koſten 436 Centn. 6 Lf 9fß 2 8 Rthlr. 36 ſ 9 den Centner? 302) Was koſten 504 Centner 5 Lt 13 B5 à 9 Rthir. 42 ſs 4 den Centner? 303) Was koſten 89 Schf 15 L 8 à 36 Thlr. 42 Groten 3 Schwaren das Sch ſt? 3904) Was 75 Schfÿ 17 Lf† 9 à 46 Thlr. 56 Groten 2 Schwaren das Schft? 305) Wenn das Schſp fuͤr 72 Thlr. 13 26 9 & zu haben: was koſten 36 Sch b 19 Lſt 13 F2 306) Wenn das Schock 50 Thlr. 17 8 & koſtet, was 69 Schock 50 Ellen? 307) Wenn der Centn: 25 Lvl. 16 ſzvl. 5 Q koſtet; was 340 Centner 4 Lſb ? 308) Der Centner koſter 36 Lvl. 17 ſsvl. 8.: was 205 Centner 3 L 10 ſt 309) Wenn der Ballen Papier 8 Lſterl. 13 ſöſtrl. 7 ko⸗ ſtet: was 320 Ballen 9 Ries 5 Buch? 310⁰) We ſd hier nddadi 69 A er ent ſt erſchiene nicht e⸗ Sumine t; war — —— 1 7 Die praetiſche Rechenkunſt. 341 310) Wenn das Loth Silber 1 mg 9 ſz 6 & koſtet: was 115 M8 12 Loth 3 Quentin? (Hier werden die 115 Mark erſt zu Loth gemacht.) 311) Wenn I1 Mark Silber zu 1 Lſterl. 12ſsſterl. 9 bedungen wird: was werden 341 Mm8 15 Loth 2 Quentin gelten? 212 Was koſten 296 Mark 13 Loth 1 Quentin engliſch Silber à 1Lſterl. 15 ſoſterl. 10 & die Mark? 313) Wenn die Laſt Rocken 156 Thlr. 13 . 8 koſtet: was 350 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel? 314) Wenn die Laſt Weitzen 190 Thlr. 21 9 9 koſtet Was 235 Laſt 1 Wiſpel 2 Scheffel? 315) Wenn das Lf 36 ſsvl. 9 Grvl. koſtet, wie viel ms werden 56 Centner 7 Lf 13 ſtb koſten? Solutio. 1eſt — 36 ſevl. 9 Grvl. — 56 Centn. 7 2 13 ſ ? 6 8 —— — —— —— 2 6 ſS 6 & 4 5 LE 2 7 16) — — 136 5 21 13 8 12 6* 6O H zr 812 68 113 12 4 12 14 ½ 3 , 6G 6 ½ 14 3 1I 15 6 I 15 G I⸗ 15; 6 fac. 6283 aſs 38 Weil 1ſvl. = 666 Luͤbſ. wie ein Qvl. = 69 Luͤbſ. ſo ſind hier erſt, ſo wohl die & als ſevl. mit 6 multiplicirt, und dadurch die 36 ſzvl. Grvl. zuſt und & Luͤbſ. dieſe 220 ſS 6 Luͤbſ., aber mir 16 zu Mo gemacht worden, welche 13 m 12 ſt 6 gegeben. Ferner ſind auch die 56 Lentn. im zten Gliede zu Eſt gemacht, weil das erſte Glied Lp enthalt; und ſo iſt erſt die ganze Aufgabe in der Geſtalt erſchienen: 12 : 13 M 12 ſs 6 = 455 Lb 13 1b: X ꝛc. 3 316) 342 Die practiſche Rechenkunſt. 316) Wenn der Centner 48 ſzvl. 10 Grvl. koſtet, was 96 Centner 5 Lſt 3 b 2 317) Wenn der Centner 50ſsvl. 11 Grvl. koſtet, was 236 Centner 4 Oſt ol? 318) Wenn das Loth 36 ſzvl. 9Grvl. koſtet, was 956 ms 15 Loth 3 Quentin? 319) Wenn das Loth 40 ſe vl. 8 Grvl. koſtet, was 532 m 13 Loth 1 Quentin. 320) Was koſten 432 g 12 Loth 2 Quentin à 41 ſzvl. 11 Grvl. das Loth? 15. Aufgaben, wo im 3ten Gliede eine Unitaͤt vorkommt. §. 269. Aufgaben, wo die Frage nach dem Preiſe einer Unitaͤt des Maaßes oder Gewichts iſt, kommen ebenfalls bey Kaufleuten, und im gemeinen Leben uͤber⸗ haupt, oft vor. Denn wenn der Kaufmann eine Parthey Waare um eine gewiſſe Summe, z. E. in der Auction er⸗ handelt hat, ſo verlangt er zu wiſſen: Wie hoch ihm 1 Centner, oder 1 Lt, oder I f oder 1 Elle u. dgl. zu ſte⸗ hen komme? — Wenn ein Hauswirth einen Ochſen ſchlachtet, und nach dem Einkauf, wozu alle Unkoſten ge⸗ hoͤren, zu wiſſen verlangt: Wie hoch ihm nun das 1 Fleiſch zu ſtehen komme? u. dgl. Faͤlle mehr, ſo iſt die Fragezahl allemal eine Unitaͤ:ͤt. Und weil in ſolchen Faͤllen, eine Unitaͤt im 3ten Glie⸗ de nicht multipliciren kann, ſo bleibt auch nur die Divi- ſion des 1ſten Gliedes in das 2ꝛe uͤbrig; weshalben dieſe Art Aufgaben auch Diviſionsaufgaben heiſſen. Z. E. 321) Wenn 36 ſ fuͤr 38 8 ſs gekauft werden, was koſtet 1e Solutio. 36 k — 38 m ſt — IR 2 3 6 ½ 6 ;: 8 Fac. 1 g T ſs 1½ & RA L. Anm 1. A 23 Veil ſ0 Di⸗ G erſt ma des die ion Die practiſche Rechenkunſt. 343 , N:eh65 1. Anm. Man ſiehet aus dieſer Solutio, daß dieſe Art Auf⸗ gaben nichts anders als eben die 9. ar3. vorgekomme⸗ nen Diviſionsaufgaben ſind, und daher nichts Frem⸗ wu⸗ es enthalten. Proba. gnn 1K — 1 m r ſs I11 — 36 fk? —,—2 —— 24 en 1116 112 — 3 d. ee 8 Fac. 38 M8 8 s ,,6 e:. Anm. Hieraus ſiehet man zugleich, daß die Diviſtons⸗ Unitaͤt aufgaben durch Multiplieationsaufgaben, wie dieſe B durch jene, probiret werden. 322) Wenn 343 ſk mit 122 mMmg 8 6 § bezahlt werden, dei was kommt Ip? anntt 223) Wenn 30 Centn. fuͤr 127 M8 8 ſs gekauft werden, den Wer⸗ was kommt 1 Centn.? ePnen 2294) Wenn man fuͤr 1174 § 8 ſ5, 48 Schſt kauft, was uction er⸗ kommt 1 Schſ? 9ihn 1 325) Wenn 11 Sch t 15 Lltk fuͤr 99 1 6 ſs 6 bezahlt a werden, wie theuer 1 L ? koſten ge . Soludie. „ das h 11 Schl 15 Lſb — 99 1 18 6 6 6 ½ — 1 AV ? iſ zi 20 2 — = iſt die — — 35) F. 4 mg 3 6 6 &. ten Gie⸗ Weil hier im erſten Gliede ſich 2 Sorten befinden, da⸗ die Dii⸗ vonn die kleinſte den Namen des Zzten Gliedes hat; ben e⸗ ſo muͤſſen dieſer Urſache wegen, wie auch, weil ein 1. 3 E. Dieiviſor nur aus einerley Unitaͤten beſtehen darf, en, dos . (§. 245.) die beyden Sorten des erſten Gliedes erſt zu einer Sorte, und zwar zu derjenigen ge⸗ macht werden, welche mit der Unitaͤt des Zten Glie⸗ des einen Namen hat, bevor mit dem erſten Gliede die Diviſion in dem 2ten vorgenommen werden kfkann, Ec. 2326) Wenn 23 Schlſtb 10 L½ fuͤr 96 Rthlr. 47 5 3 & be⸗ zahlt werden, was 1 2t 344 Die practiſche Rechenkunſt. was kommt 1 Lth.? 328) Wenn 156 Decher 7 Stuͤck fuͤr 914 1 ſ8 4 ge⸗ kauft worden, was koſtet 1 Stuͤck? 329) Wenn 36 Laſt 9 Tonnen Heringe 5496 Thlr. 18 G 6 koſten, wie theuer 1 Tonne? 33⁰) 236 Laſt 1 Wiſpel §5 Scheffel Rocken koſten 12096 Thlr. 21 6 8 Q, was 1 Scheffel? 331) Wenn 10 Ahm 15 Stuͤbgen Wein 985 Mg 10 ſ5 9 koſten, was 1 Quart? 332) Für 630 Mark gemachtes Silber werden 16064 m bezahlt, was koſtet 1 Loth? 333) Wenn 3 Laſt 1 Wiſp. 5 Scheff. Gerſten 506 ms 4 ſ5 koſten, was 1 Faß? 334) Wenn 9 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel Gerſten 1634 8 10 ſ5 4 koſten, was 1 Scheffel? 335⁵) Wenn 24 Perſonen 136 mM8 8 ſs 6 & verzehren, was bezahlt jede Perſon? SS 336) Wenn fuͤr 36 Lſ 5 p, 25 ſe vl. 9 Grvl. bezahlt wer⸗ den, was koſtet 1 ? (nach Hamb. Muͤnze.) 337) Wenn man fuͤr 39 Groß 8 Dutzend 136 Thlr. 19 9C 8 & bezahlt, was kommt 1 Dutz.? 338) Wenn 136 Centn. 7Lff 5 b fuͤr 435 Rthlr. 42 fg 8 bezahlt werden, was 1 6HG 16. Aufgaben, wo im 2ꝛten Gliede nur eine Unitaͤt vorkommt. §. 270. Weil das 2te und 3te Glied in jeder Regel⸗ detriaufgabe mit einander multipliciret werden muͤſſen; ſo iſt es auch voͤllig einerley, ob das zte oder das 2te Glied aus einer Unitaͤt beſtehet; denn in beyden Faͤllen muß, der Unitaͤt wegen, die Multiplication wegfal⸗ len. Und eben daher ſind auch dieſe folgenden Aufgaben den Vorigen voͤllig gleich. d. i. Sie ſind ebenfalls wie die Vorigen, nichts anders als Diviſionsaufgaben. Wenn daher das Zte Glied mit dem erſt en dividiret worden, ſo iſt auch ſchon das Facit gefunden. Z. E. 339) 3227) Fuͤr 385 25 Lth. ſind 1928 M8 14 s 6 H bezahlt, — hezehl, OgH 12006 loſt 9 466 111s Hl6 ltwen t. 19 4ſ ine egele ſſen; 21e Filen egfat⸗ aben wie Venn 1,6 9 Die nraciſche Rechenkunſt 345 339) Wenn man fͤr 1 bezahlt en, was wird man fuͤr 3480 mMm kaufen? Solutio. 86 — F — 3480 ng Pa gz; ſ 435⁵ FF Hier iſt geſchloſſen worden: Wenn fuͤr 8 Mm8 1 ge⸗ kauft worden: ſo muͤſſen auch fuͤr 3480 m ſo oft 1ſt gekauft werden koͤnnen, als ich 8 in 3480 m haben kann. Und da dieſes 43 5mal moͤglich, ſo be⸗ ſtimmt auch dieſer Quotient die zuverlaͤßige Anzahl Pfunde, welche fuͤr die in der Aufgabe beſtimmte Summe gekauft werden koͤnnen. Anm. Ob gleich bey dergleichen Aufgaben die Multipliea⸗ tion, wegen der Unitaͤt im 2ten Gliede, weg⸗ faͤllt, ſo erhaͤlt deswegen doch, aus bekannten Urſa⸗ chen, das Facit allemal den Namen des ꝛten Glie⸗ des. Denn die geomekriſche Proportion iſt, 8 Mark?: 1 Pfund = — 3480 Mark: 435 Pfund. Proba. 3480 m2s — 435 — 8 r⁶ ) 696 87 8 9*% 8 Fac. I b. “ Oder: G Proba nncs der 6ten Reg. z 8 8: 1 = 3480 M8 : 435 K 1 — 34 656). 3480 4 160 340) Fuͤr 9 me kauft man 1 Elle, wie viel fuͤr 9999 ma 2 341) Fuͤr 12 1 kauft man 1 Elle, wie viel fuͤr 3888 Rthlr.? 346 Die practiſche Rechenkunſt. 342) Wenn die Elle mit 15 me bezahlt wird, wie viel kauft man fuͤr 5190 Rthlr.? 343) Wie viel kauft man fuͤr 3430 Rthlr. à 36 Rthlr. deen Centn.? MM Solutio. 36 R — 1 Centn. — 3430 Rl. 6 577 5 :4 S 6) Ob man gleich mit der Unitaͤt des 2ten Gliedes das 3te Glied nicht multipliciren kann; ſo nimmt man es doch, der Proportion wegen eben ſo an, als wenn die Multiplication wirklich geſchehen waͤre: und eben da⸗ her verlieren die Zahlen des 3ten Gliedes den Namen Rehlr., und nehmen dafuͤr den Namen Centn. an. Eben deswegen kommen, durch die Diviſion mit 6 in 3430, auch Centn. zum Quotienten, und ſo muß der Reſt eben⸗ falls Centn. enthalten, welche zu Lÿ gemacht, und aber⸗ mal mit 6 dividiret werden; was da noch uͤbrig bleibt, ſind L†p, welche zu ſ̈ gemacht, und gleichfalls mit 6 divi⸗ dirt werden; da dann der erſte Quotient 571 Centn. 4 Lft 4 ¾ gegeben. &c. 344) Wenn der Centn. 7 mg 4 ſs 8 O gilt: was kann fuͤr 112 1 ſs 9 gekauft werden? (Aufgabe 339. Anm.) H . Solutio. 2 4 8 § — 1 Centn. — 112 m 1 ſs 9 2 16 672 —..,— 116 F 1793 232 H 3586 1400 21525 &c. 345) Ein Schmidt kauft fuͤr 178 mg 1 ſs Eiſen, bedingt das Sch fuͤr 18 M8 8 ſs, wie viel hat er Eiſen be⸗ kommen? 346) Fac. 95 Ct. 2 Lſtb 3 ½ od. ½ bt. 346 ). 3ic⸗ 39, 30) 3 3) 333) 34 36 37 358 3 N bie vie Nehle. dert. es das nan es wenn en dar Namen Eben 3430, eben⸗ d abet: bleibt, b divi⸗ Nen. 4 nn für edingt en ber 347) Wie viel Weizen b Die praetiſche Rechenkunſt. 347 346) Eine Laſt Rocken koſtet 12 j 5) . et 125 M, wie vi fuͤr 679 m8 2 6 8 haben? e viel kann man . bekommt à65 Rthlr. die Laſt? unt man faͤr 1485 S 4 ⁵ B 348) Wie viel Haber kann man fuͤr 797 Rthlr. 31 ſs 6 Q haben, à 31 Rthlr. 12 ſs pr. Laſt? . . * pr. Laſt! 349) Wie viel kann man fuͤr 401 8 ſs haben, wenn das t zu 1 m 2 ſ 3 & bezahlt wird? (Wie viel ß ?) 350) Wie viel bekommt man fuͤr 2426 Mm8 10 ſ 8 à à enn das [p̈ 2 Rthlr. 9 ſt ie vi ite man fuͤr n8 108 koſter⸗ wie viel bee⸗ 352 ie viel kauft man fuͤr 232 à 156 30 das ih . 23 Rthir. 15 ſ 7 353) Wie viel fuͤr 166 Rthlr. à 24 ſs das Loth? Solutio 24 ff — r1 Lth. — 166 RN S 48. 132 G 664 27968 24 332 Loth 32 . Rac. I0 th. 354) Wie viel fuͤr 295 Rthlr. à Ben deor. 355) Wie viel fuͤr 79 Rthlr. 8 ſs pr. Unze? 35⁵6) Wie vien Schfßß fuͤr 310 Rthlv. à 32 ſo das Liß? 357) Wie viel fuͤr 435 Rthlr. 30 ſs à 30 fs das Ltt? 358) Wie viel ſ fuͤr 2467 Rthlr. 24 ſ5 à 2 Rthir. 24 ſ das Loth? Unze? 2198 Rthlr. à 4 Rthlr. 32 ſ die 360) Wie viel Stuͤck fuͤr 1453 2 ie 53 Thlr. à 6 Thl. 8 00 Grot 2 Schw. das Saran 44 Greten d 6Kh 361) e viel Steige fuͤr 3261 Thlr. 38 Groten 4 Schwaren, à 7 Thlr. 39 Groten 2 Schwaren das Steige? 362) 348 Die practiſche Rechenkunſt. „ 362) Wie viel ſẗ fuͤr 355 Lvl. à 15 ſzvl. das Loth? 363) Wie viel fuͤr 399 Lol. 6 ſovl. à 11 ſzvl. die Unze? 364) Wie viel Steige fuͤr 2214 Lvl. 10 ſsvl. à 5 Lvl. 7 ſol. 6 Grvl. die Steige? 365) Wie viel Decher fuͤr 1854 Lvl. à 6 Lvl. 8 ſEvl. Gevl. den Decher? 366) Wie viel ſt fuͤr 617 8& à 16 Grvl. das ſt? 367) Wie viel fuͤr 1141 M8 12 ſs à 8 Grvl. das ? 368) Wie viel Stuͤck fuͤr 750 g 4 26 ſovl. 8 Hvl. das Stuͤck? Solutio. 26 ſe vl. 8 Hvl. — 1 Stuͤck — 750 ms ? 22 32 320 Grvl. 1500 4 2250 S 24009 Grvl. 14 600 8) Fac. 75 Stuͤck. 369) Wie viel Stuͤck fuͤr 2425 fMhg 12 ſt 6 ϑ à 28 ſevl. 9 Yvl. das Stuͤck? 3370) Wie viel Stein Flachs fuͤr 278 mg 11 ſs a 2 Rthlr. 44 ſ5 den Stein? . 371) Wie viel dito fuͤr 1234 Thlr. 696 a 3 Thlr. 3 20 den Stein? 3372) Wie viel Laſt Erbſen fuͤr 2499 mg a 35 Rthlr. die 373) Wie viel Fuder, Ahm und Stuͤbgen Wein fuͤr 233875 Thlr. 45 Groten 2 Schwaren a 75 Thlr. das Fuder? 274) Wie viel Theer fuͤr 1282 Thlr. 64 Groten a 38 Thlr. die Laſt?ꝰ— 375) Wie viel Pech fuͤr 3063 Rthlr. 12 ſs a 57 Rthlr. die Laſt? 376) Wie viel ſpaniſch Salz a 150 mMg die Laſt kauft man fuͦr 3575 m? 377) 97 P! Gl. s Unze? 5l . ſel 9. . Die practiſche Rechenkunſt. 349 377) Wie viel Schock Latten kauft man fuͤr 196 Thlr. 36 Groten 3 Schwaren 7 Thlr. 3 2 Groten das Schock? 378) Wie viel Groß Hundert Better fuͤr 320 Mmg 10 ſs à 11 Rthlr. 12 ſs das Schock? 379) Wie viel Groß Tauſend Pipenſtaͤbe fuͤr 1124 Mm8 9 ſ5 8 à 1I1S M das Groß Tauſend? 380) Wie viel Huͤte fuͤr 59 Thlr. oGrot 2 2 S waren à 20 Thlr. das Dutzend? h. 3 9 381) Wie viel Zimmer Grauwerk fuͤr 192 Mm 3 65 ² à 17 ma 8 ſs das Zimmer? 382) Wie viel Papier fuͤr 6 mg 4 ſ à 5 m 10 ſs das 383) Wien viel Silber fuͤr 676 m8 13 6 à 24 m 8 ſ die Nark? 384) Wie viel Mark, Loth und Quentlein Gold fuͤr 5983 8 8 ſ à 384 8 die Mark? 385) Wie viel ſt und Unzen dito fuͤr 3421 M 14 6’, 250 Rthlr. pr. ſt? 386) Wie viel kauft man fuͤr 2183 Mm8 10 ſ 2 ſ das Schſt? 59 248 n8 387) Was kauft man fuͤr 1602 m8 5 à 43 m8 12 ſ pr. Centner? H 388) Wie viel fuͤr 1936 Mm 12 fſ5 à 35 mg 9 ſ 4 den Centner? 389) Wie viel Flachs fuͤr 332 Rthle. 38 ſs à 15 8 5 ſS den Stein? 390) Das Schock à 50 Thlr. 10 90 48, wie viel fuͤr 1486 Thlr. 16 202 391) Wie viel rheiniſche Wolle fuͤr 781 Mmg 1I ſs à 10 me 5ſs den Stein? 392) Vi⸗ viel Salpeter fuͤr 4661 Thlr. 11 0 6 4 19 Thlr. 16 40 6 & den Centner? 393) Wie viel Ruͤboͤhl fuͤr 2613 m8 13 ſ 8 ¾ 16 mg 12 ſ den Centner? 394) Wie viel engliſch Bley fſuͤr 8296 Thlr. à Thlr⸗ 18 90 8 das Sk? 395) Wie viel Schwed. Kupfer, 264 Rthir. 36 ſ5 das Schſſt, fuͤr 5400 ? 396) 3 0 Die practiſche Rechenkunſt. 396) Wie viel fuͤr 3500 ρ Koͤnigsberger Hanf 4 14 Rthlr⸗ 838 66 8⁸ das Schſt? 397) Wie viel Stuͤck Mittelwalder Leinwand fuͤr 2875 8 ſs, à 35 ſoövl. 0 Qvl. das Stuͤck? 398) K 8ß eine lang. e 91 Mark z Loth wiegt, und die Mark ins feine haͤlt 21 Karat 4 Graͤn: wie viel fein Gold enthaͤtt die Stange? —Rr 399) Eine dito wiegt 73 Mark 2 Loth à 22 Karat 8 Graͤn fein: wie viel ſein Gold? . 400) Wenn vorige Stange Gold 2 128 Rthlr. die Mark fein verkauft wird: wie viel betraͤgt ſie? II. Regula de Tri ſimplex inverſa, oder die einfache verkehrte Regel de Tri. §. 271. Die Regel hat ihren Namen daher, weil die nach ihr zu berechnenden Aufgaben, auf eine der Regula de Tri direéta ganz entgegengeſetzte und alſo ver⸗ kehrte Art ſolvirt werden. Denn wenn nach dieſer, der 3te Satz mit dem 2ten multipliciret, und das Factum mit dem erſten dividiret werden muß, ſo verlanget jene: daß der er⸗ ſte Satz mit dem 2ten multipliciret, und das Factum mit dem 3ten Satze dividiret werden ſoll. Der Grund die⸗ ſes verkehrten Verfahrens, bey der Regula de Tri in⸗ verſa, ſteckt in ſolgenden Regeln: 1. Reg: Wenn von 3 gegebenen Zahlen die 1 ſte und 2te multipliciret, das Product derſelben aber mit der zten dividirt wird, ſo giebt der Quotient den Quartum numerum reciproce Pproportionalem, d. i. die 4te verkehrte Proportionalzahl, zu der ſich die 2te Zahl verhaͤlt, wie die Zte zur 1ſten. (§. 229.) 8. E. von 3. 8.6 geben, die erſten beyden mültiplicirt: 24, dieſe mit der 3ten dividirt aber 4, als: 3 8= 24, 6: 24 = 4, welche 4 die geſuchte gte verkehrte Proportionalzahl iſt, die ſich zu 8 eben ſo als 3: 5 ver ui zte 2. R relt 1t du in Dee ⸗ ſa? I „ C. B von perſ ſhen: ſordert i⸗ aber? t Denn ſo deuge be den; ſo ges deſe finden. Amm der Kauf ie an de Kende! Der denn Ein behmthe auß ader ſtimmt d Die n bie vi Mnhl u wiſen in einer Die neht di 14 Rhl ſir 27 viegt, und : wie viel at gGrin die Mart 1, , vei N 1 Eegola ſſo ven⸗ ſe, der de n mit den haß dereN Fadumn Grund die: le Tri in. e und 1te it der zien Ohattunn Ni. biete 21 Zeh 9. C. vn feirt: 29 673 ⸗ Uerkehtie buie i Die praetiſche Rechenkunſt. 351 verhaͤlt. Denn ſo wie die 4te Zahl 4 in der 2ten Zahls juſt 2 mal enthalten, eben ſo iſt die 1ſte Zahl 3, i in der zten Zahl 6 auch 2mal enthalten. 2. Reg. Wenn 4 Zahlen gegen einander geometrice reciproce proportionirt ſind, ſo geben die 1ſte und 2te mit einander multiplicirt, eben ſo viel zum Pro⸗ duct als die 3te und 4Ate Z. E. in 3.8. 6. 4 geben4 6 = 24 und eben ſo auch 3 *8 — 24. Dieß giebt die Proba zur Regula de Tri inverfa. . 272. Aber wer braucht die Regula de Tri inver⸗ 2 Jedermann. Doch einer mehr, der andere weniger. E. Wer ſich ein kleid will machen laſſen, wozu Zeug von verſchiedener Breite gewaͤhlet werden kann, wird ein⸗ ſehen: Daß von einem ſchmalen Zeuge mehr Ellen er⸗ fordert werden, als von einembreiten Zeuge. Wie viel aber? wird duech die Regula de Tri inverſa erfahren. Denn ſo bald man nur weiß, wie viel Ellen von einem Zeuge beſtimmter Breite, zum Kleide erfordert wer⸗ den; ſo laͤßt ſich darnach das Ellenmaaß eines jeden Zeu⸗ ges; deſſen Breite bekannt, vermittelſt dieſer Regel leicht finden. Am meiſten braucht dieſe Regel der Schneider, ja ſelbſt der Kaufinann, bey dem die Zeuge gekauft werden, wenn die an beyde gethane Frage: Wie viel brauche ich zum Kleide? richtig beantwortet werden ſoll. Der Baͤcker muß ſich mit der Groͤſſe ſeines Brods, nach dem Einkaufspreiſe des Getreides richten; muß das Brod beym theuren Einkauf klein, beym wohlfeilen Ein⸗ kauf aber groß backen. Wie groß, wie klein aber? be⸗ ſtunmt dieſe Regel. Die Vaumeiſter und Bauherren ‚ welchen bekannt, in wie viel Zeit ſie ihr Werk mit einer beſtimmten kleinen Anzahl Arbeitern vollfuͤhren koͤnnen, und nun verlangen zu wiſſen: Wie viel ſie mehr Arbeiter haben muͤſſen, um in einer beſtimmten kuͤrzern Zeit fertig zu werden? Die Hausmutter muß fuͤr ihr Garn vom Leinweber, mehr Laͤngenmaaß von einem ſchmalen, als vom breiten Lei⸗ 352 Die practiſche Rechenkunſt. Leinen erhalten. Wie viel aber? Alle dieſe und noch weit mehrere Fragen muͤſſen durch die Regula de Tri inverſa beantwortet werden. Nun zu den Aufgaben ſelbſt. (1 Wenn 3 Arbeiter ein Werk in 8 Tagen vollenden, Wie viel Zeit wuͤrden 6 Arbeiter gebrauchen? M Solutio. 3 Arbeiter — 8 Tage — 6 Arbeiter? 6 Fac. 4 Nachdem die Aufgabe eben ſo, wie bey der Reguldetri gebraͤuchlich, aufgeſetzet, und die Frage in das 3te Glied geſtellet, ſo iſt, nach der 1ſten Regel §. 271, das 2te Gllied mit dem erſten multipliciret, und das Product mit dem 3ten dividiret, da dann der gefundene Quotient die richtige Zeit von 4 Tagen beſtimmt, welche 6 Arbeiter haben muͤſſen, um daſſelbe Werk zu Stande zu bringen, zu deſſen Vollendung 3 Arbeiter 8 Tage Zeit ge⸗ hrauchen. Den Beweiß giebt die 1ſte Regel §. 271. Anm. Weil das Facit, als Antwort auf die gethane Frage, allezeit den Namen des aten Gliedes fuͤhren muß, ſo thut man wohl, ſich daran gemoͤhnen, bey all n zur Regula de Tri inverſa geht 2 Glied mit dem u1ſten, wie hier geſchehen, zu multipli⸗ eciren, und nicht umgekehrt, weil ſolches dem Anfaͤn⸗ ger leicht zur Irrung Anlaß geben, oder gar den Zwei⸗ I. Proba. 6 Arbeiter — 4 Tage — 3 Arbeiter? fel erregen koͤnnte, als haͤtte er nicht recht gerechnet. 3) ac. 8 Tage. 2. Proba nach der 2ten Reg. §. 271. 24 = 24 5§5. 273. rigen Aufgaben, das ate 3Arbe de recta tichti R mal ſo chen, beiter haben Vn ſee ben W C. 3 Faiten Aten ( 6 23 erla De beiter beite h wet Nyetſa 3 1 guldetti e Glied dos 2e et mit t die Abeter 4 britgen., it gee ee. nuß/ ſ A inr des 1e multirls 4 rtt en Znei⸗ vcret. 645 * Die praeiſhhe Rechenkunſt. 353 F. 273. Wollte man Aufgaben, welche in die Regula de TPri inverſa gehoͤren, nach der Regula de Tri di- recta aufſetzen und berechnen, ſo wuͤrde ein ganz un⸗ richtiges Facit zum Vorſchein kommen. Z. E. Solutio. 3 Arbeiter — 8 Tage — 6Arbeiter? 48 3) Fac. 16 Tage. Proba. M 6 Arbeiter — 16 Tage — 3 Arbeiter? 6) Fac. 8 Tage. Nach dieſer Berechnung muͤßten 6 Arbeiter noch ei ein⸗ mal ſo viel Zeit als 3 Arbeiter, naͤmlich 16 Tage gebrau⸗ chen, welches doch hoͤchſt falſch iſt: Denn wenn 6 Ar⸗ beiter noch einmal ſoviel thun koͤnnen, als 3 Arbeiter, ſo haben ſie auch nur die Haͤlfte der Zeit noͤthig, welche 3 Arbeiter gebrauchen; alſo nur 4 Tage, nicht aber 16 Tage. Und doch heißt die Proba dieſen Irrthum gut, indem ſie beweiſet, daß richtig gerechnet worden. — Wuͤrde man aber dieſen Zahlen andere Namen geben, z. E. 3 ſ: 8 ms = 6 †: α ma ſo haͤtte es mit beyden Faciten ſeine Richtigkeit. Woher aber dieſes? Weil man bey einer Regeldetriaufgabe im 1ſten und 2ten Gliebe eine Gleichheit des Werths antrift, (§. 232.) welche den Aufgaben der Regula de Tri inverſa fehlt. Denn man kann hier nicht ſagen: Wenn ich 3 Ar⸗ beiter habe, ſo habe ich auch den Werth von 8 Tage, und umgekehrt: Wenn ich 8 Tage habe, ſo kann ich 3 8 Da Arbeiter dafuͤr bekommen. 354 Die practiſche Rechenkunſt. Daa nun unſere Aufgabe dieſen Mangel an Gleichheit des Werths hat, ſo kann ſie auch nicht, ſo wie ſie da ſte⸗ het, nach der Regula de Tri direéta aufgeloͤſet werden. §. 274. Faſt jeder Anfaͤnger der Arithmetik pflegt zu fragen: Woran kennt man aber die Aufgaben, weiche nach der verkehrten Regel berechnet werden muͤſſen? An folgenden zween Kennzeicher: 1) Wenn, wie ſchon geſagt, im erſten und zweyten Gliede keine Gleichheit des Werths zu finden, (§.273.) ſo iſt das ein ſicheres Kennzeichen, daß ſolche Aufgabe zur Regula de Tri inverſa gehoͤre. 2) Das 2ꝛte Kennzeichen wird durch an das 3te Glied gethane Selbſtfeagen ſichtbar. Z. E. Wenn man bey der Aufgabe: 3 Arb.: 8 Tage = 6 Arbeiter: W✕ fragt: Brauchen 6 Arbeiter mehr oder weniger Zeit als 3 Ar⸗ beiter? ſo wird die Antwort: weniger von ſelbſt folgen. Loͤſet man aber die Aufgabe durch die Regula de Tri di- recta auf, ſo wird das Facit mehr geben. Dieſer Wi⸗ derſpruch iſt ein Kennzeichen, daß ſolche Aufgabe zur Re- gula de Tri inverſa gehoͤre. Eben ſo wird bey der Aufgabe, 6 Arbeiter: 4 Tage = 3 Arbeiter: Wα, auf die Frage: Brauchen 3 Arbeiter mehr oder weniger Zeit? die Antwort: mehr erfolgen; da hingegen die Berechnung durch die Regula de Tri di- recta weniger bringen wird. Ein Widerſpruch, welcher dieſe, wie die vorige Aufgabe zur verkehrten Regel verweiſet. Mehr als dieſe zwey Kennzeichen, um alle zur Re- gula de Tri inverſa gehoͤrigen Aufgaben von denen zur Regula de Tri directa gehoͤrigen zu unterſcheiden, braucht man nicht. Zuſatz: Um ſolche Widerſpruͤche, ohne vorhergehende Rechnung durch die Regel de Tri, auf dem kuͤrzeſten Wege zu finden, darf man nur das 2te und 3te Glied addiren, die Summe aber halbiren. Iſt der Quotient ſodann groͤſſer als das 1ſte Glied, ſo giebt auch das Fa-⸗ cit, daferne die Rechnung ganz vollfuͤhret wird, eine groͤſſere Zahl als das zweyte Glied, mithin den Wider⸗ ſpruch: htun wen eichheit da ſte tden. pflegtin elche ſſen? wgttn 6273) ſgobe zuat. e Glic bey der fuogt: 163 A. tfohen. eſer Wie ezut Re⸗ LVe iter mehr blgen; da Ti i⸗ nite verweiſt. b zur he⸗ denen zue n, hraucht hetzehende n kürſele a1 Glied 1.5 . t Outien uch dose⸗ wird, . ſptuch: tzeſien eine Die practiſche Rechenkunſt. 355 ſpruch: mehr, wo die Antwort, auf die Selbſtfrage, weniger hieß. 3Z. E. 3 Arbeiter: 8 Tage = 6 Arbeiter: 54. Hier iſt 8 + 6 = 14 davon die Haͤlfte = 7, mithin mehr als 3 das erſte Glied; folglich bringt auch das Facit eine groͤſſere Zahl als das 2te Glied 8. als: 6 ☛☚ 8 = 48, und 3:48 = 16. Iſt hingegen der Quotient klein er als das 1ſte Glied, ſo bringt auch das Facit eine kleinere Zahl als das 2te Glied, mithin den Widerſpruch weniger, wo die Antwort auf die gethane Selbſtfrage mehr hieß, z. E. 6 Arbei⸗ ter: 4 Tage = 3 Arbeiter: ε. Hier iſt 3 + 4= 7 davon die Haͤlfte = 3 ½, welches weniger als das 1ſte Glied 6 iſt; ſolglich muß das Facit auch weni⸗ ger als das 2te Glied geben, als: 3 ι 4 = 12, und 6: 12 = 2. H §. 275. Indeſſen darf man nicht denken, daß in derglei⸗ chen Aufgaben, welche zur Regula de Tri inverſa gehoͤ⸗ ren, gar kein paſſendes Verhaͤltniß zu finden, und ſie daher auch nicht durch die Regula de Tri directa aufzuloͤſen waͤren: Keinesweges! Denn das konnte §. 273. nur darum nicht geſchehen, weil die Aufgabe nach der Regula de Tri directa zwar aufgeſetzt, aber doch die Gleich⸗ heitdes Werths, 1ſten und 2ten Gliedes, ſehlte. — Bringt man aber die Aufgabe in gleichnamige Ver⸗ haͤltniſſe, um richtig ſchlieſſen zu koͤnnen: Wie ſich die Arbeiter zu den Arbeiten verhalten: ſo die Zeit zur Zeit; wobey aber auch zugleich die Fragzahlje⸗ des mal zum 1ſten Gliede gemacht werden muß; ſo kann die Aufgabe nicht nur beſſer verſtanden, ſondern ſie kann auch nach der Regula de Tri directa richtig auf⸗ geloͤſet werden. Z. E. Solutio. 6 Arbeiter?: 3 Arbeiter = 8 Tage: XTage? 24 6) Fo. 4 Tage. 3 2 Pro.- 356 Die practiſche Rechenkunſt. Proba. 3 Tage?: 4 Tage = 6 Arbeiter: X Arbeiter? 24 . 8 Fac. 3 Arbeiter. Nachdem die Fragezahl 6 Arbeiter zum 1ſten Gliede, und die 3 Arbeiter, der Gleichheit des Namens we⸗ gen, zum 2ten Gliede, die Zeit 8 Tage aber, weiche fuͤr B die 3 Arbeiter bekannt gegeben, zum zten Gliede ange⸗ ſetzet worden, ſo iſt nun geſchloſſen: Wie 6 Arbeiter: Arbeiter, ſo 8 Tage zu ¼ Tage. Da nun durch Rrultipli⸗ cation des 3ten Gliedes mit dem 2fen, und Diviſion des Products mit dem 1ſten Gliede, die 4te Proportionalzahl gefunden worden, ſo muß dieſe auch das verlangte Facit ſeyn. Denn dieſe gefundenen 4 Tage ſind eben ſo die Haͤlfte von 8 Tage, wie 3 Arbeiter die Haͤlfte von 6 Arbeiter ſind. Anm. Es bleibt eines jeden Wahl uͦberlaſſen ,B ob er lieber, um den Namen der verkehrten Regel nicht zu ver⸗ unglimpfen, nach der Regula de Tri inverſa, oder lie⸗ ber, der Deutlichkeit und Gewohnheit wegen, derglei⸗ chen Aufgaben, wie eben geſchehen, nach der Regula de Tri directa rechnen wolle? 2) Wenn an einem Werke 8 Arbeiter 12 Tage zu thun haben, und nun verlangt wuͤrde, daſſelbe in 4 Tagen⸗ zu vollenden, wie viel Arbeiter wuͤrden erfordert? 3) Wie lange muͤſſen 12 Mann an einem Werke arbeiten, welches 25 Mann in 16 Tagen vollenden koͤnnen? 4) Wenn ein Canal von 500 Mann in 6 Wochen gegraben werden kann, und nun zu dieſer Arbeit 7506 Mann gedungen wuͤrden, wann koͤnnte der Canal fertig ſeyn? 5) Wenn der Schneider zu einem Kleide, von einem Stoffe 3 Viertel breit, 16 Ellen verlangte, und man nun nen andern 4 Viertel breiten Stoff waͤhlte: Wie viel muͤßte der Schneider nun haben? Qua Wei nne T h itbeyden ſo das Die Zlge, h muß die won ene als von das te 20, ſok⸗ des iſ. chen der Bey⸗ ltbeitet! Gliede, ens we beche fin ede ange⸗ tbeiter: 3 Multipii viſton des ionalzahl gte Tacit die Hilſte eiter ſind. r Neben, t in ber⸗ , dder lie⸗ 4) detglei⸗ Ner hegui thin 14Tagen ddert! porbeiten, ennen? gegthin 0 Wonn. ig ſen ein Goft mar nun Ale: 4 Die practiſche Rechenkunſt. 357 I. Solutio. 3 Quartier — 16 Ellen — 4 Quartier? — ,4) Fac. 12 Ellen. 2. Solutio. 4 Quartier?: 3 Quartier = 16 Ellen: X Ellen? 48 4 Fac. 12 Ellen. Weil hier das 1ſte Glied Quartier oder Viertel, alſo nur Theile einer Elle, das ꝛte aber ganze Ellen enthaͤlt, ſo iſt in beyden Gliedern auch keine Gleichheit des Werths. Alſo das 1ſte Kennzeichen der verkehrten Regel. (§. 274. I.) Die Selbſtfrage: Brauche ich zum Kleide von einem Zeuge, welches 4 Viertel breit iſt, mehr oder weniger 2 muß die Antwort weniger bringen, weil natuͤrlicher Weiſe von einem breitern Zeuge weniger Ellen, der Laͤnge nach, als von einem ſchmaͤlern erfordert werden. Addire ich nun das 2te und 3te Glied 4 + 16 = 20 und halbire dieſe 20, ſo kommt 10, welches mehr als 3, des 1ſten Glie⸗ des, iſt. — Ein Widerſpruch, welcher das 2te Kennzei⸗ chen der verkehrten Regel giebt. (§. 274. Zuſ.) Bey der 2ꝛten Solut. iſt das 4te Glied 12, in dem zten Gliede 16, 1 ½ mal, und auch 3 Quart.: 4 Quart. = 1I ½ mal enthalten, welches alſo zum Beweiſe der Richtigkeit dienet. 6⁶) Wenn der Tapezierer ein Zimmer mit Leinen à 5 Vier⸗ tel breit ausſchlagen ſoll, und darzu 104 Ellen ver⸗ langt, wie viel muͤßte er haben, falls auf 8 Viertel breites Linnen reflectiret wuͤrde? 7) Wenn 12 Mann auf 15 Tage mit Brod verſorgt ſind, wie lange wuͤrden damit 36 Mann auskom⸗ men? 3 3 8) 358 Die praetiſche Rechenkunſt. 8) Von einer gewiſſen Summe, welche unter 234 Mann vertheilt wird, bekommt jeder 64 Thlr. 16 Gr. wie viel wuͤrde jeder bekommen, falls dieſe Summe unter 468 Mann vertheilet wuͤrde? 9) Eine Naͤherin ſoll eine Decke, 12 Ellen lang und 2 ¼ Elle (10 Viertel) breit, mit Zeuge futtern, welches 1 ¼ Elle (6 Viertel) breit iſt: wie viel wird darzu er⸗ fordert? . 10) Ein Landmeſſer bekommt den Auftrag, ein Stuͤck Landes, welches das Eigenthum von 76 Bauern iſt, deren jeder 1 Hufe 20 Acker 224 Ruthen beſitzet, unter 212 Bauern zu vertheilen. Wie viel wird je⸗ der nun zu ſeinem Antheile erhalten? Solutio. 76 Bauern — 1 Hufe 20 Acker 224 R. — 212 Bauern. — 29 4 19 3 — 4) 53 50 A. 224 R. 19 ——— —.— I100 3 95⁵ ITOO I 6 ½ 100 20 5§F 6 ½ 100 45 4 1 2 80 . 264 56 — 53) ac. 18 Ack. 57 ¾4 Ruthen Oder: 212 Bauern: 76 Bauern — 1 Hufe 20 Acker 224 Ruth.: X 53 *19 2c. . Anm. Sollte dieſe Anfgabe nach der Regula de Tri directa anfgeloͤſet werden, ſo muͤßte erſt gefunden werden, wie viel 75 Bauern uͤberhaupt Land gehabt haͤtten? ſo dann muͤßte die gefundene Summe durch 212 getheilt werden. — Dieſe Rechnung würde aber weitlaͤuftiger als die Vorſtehende ſeyn. 11) Wenn der Baͤcker, beym Einkauf des Wiſpels Rocken 257 Mg, ein Sechslings Brod 9 Loth ſchwer backen muß 4 Mann Gr. wie mme unter gund 2 ½ wvelches darzaner⸗ in Stuͤck alern iſt, en beſitet, wird je⸗ Bauettt⸗ 1 5 th. I Tn Girek berdet wie itten? ſ s Rocn wer hacken au; Die praetiſche Rechenkunſt. 359 muß: wie viel muͤßte ein ſolches Brod waͤgen, wenn er den Wiſpel zu 48 bezahlte? 12) Wie ſchwer muß ein Brod à ſs ſeyn, wenn der Wi⸗ ſpel Rocken zu 60 mg bezahlt worden, daferne daſ⸗ ſelbe, bey einem Preiſe von 45 ms, 9 ½ ſchwer ſeyn muß. . 13) Wenn der Baͤcker ein Schillingsrundſtuͤck 24 Loth ſchwer backen muß, beym Preiſe à 65 Rthlr. die Laſt Weizen, wie ſchwer muß es ſeyn, wenn die Laſt zu 60 Rthlr. bezahlt wird? Sð 14) Wenn ein Rennthier taͤglich 24 Meilen 225 geome⸗ triſche Schritte liefe, und einen beſtimmten Weg in 47 Jahren 3 Monaten 6 Tagen 14 Stunden zu⸗ ruͤcklegte; wie lange wuͤrde es laufen muͤſſen, wenn es taͤglich 42 Meilen 2446 Schritte machte? 15) Eine Hausmutter giebt dem Weber eine Parthey Garn, davon verſpricht er 60 Ellen à 6 Quartier breit zu liefern: wenn ſie aber 8 Quartier breites Lei⸗ nen haben wollte, wie viel Ellen muͤßte der Weber dann liefern? 16) Ein Weber kann von einer Parthey Garn nur 75 Elllen, à 8 Quartier breit, machen; die Eigenthuͤ⸗ merinn dieſes Garns will aber 100 Ellen haben, wie breit muͤßte der Leinweber dieſe Leinwand nun machen? 17) Wenn in einer Feſtung 1386 Mann auf 10 Monat 20 Tage proviantirt ſind, wie lange koͤnnen 2380 Mann mit dieſem Proviant auskommen? 18) In einem Lazarethe koͤnnen die Kranken mit einer beſtimmten Quantitaͤt Fleiſch 12 Tage reichen, wenn der Fleiſcher taͤglich 30 † liefert; nun ſollen ſie aber mit derſelben Quantitaͤt 18 Tage auskommen, wie viel muß taͤglich geliefert werden? 19) Ein Schiffcapitain, welcher findet, daß ſein Fleiſch⸗ vorrath noch 14 Tage zureichen koͤnne, daſerne er jeden Mann woͤchentlich 2 beſtimmte, will noch 10 Tage laͤnger auskommen. wie viel muß er nun woͤchentlich jeden Mann austheilen? 2 3690 Die practiſche Rechenkunſt. H Solutio. 14 Tage 14 Tage — 2 — + 10 Tage 2) 7 2 24 Tage 12) -— 12 Foac. I 5 5½ Loth. Oder: 14 Tage PIO⸗ 24 Tage?: 14 Tage = 2ſ: X à 2)12 „ — 12) 14 . Fac. It 5 ½ Loth 20) Ein Kaufmann verdingt einem Fuhrmanne 40 Schf Waaren um einen gewiſſen Preis 30 Meilen zu fah⸗ ren. Wenn er nun einem andern Fuhrmanne auf⸗ legte nach derſelben Bedingung eine andere Parthey Waaren 50 Meilen weit zu fahren. Wie groß muͤßte die Parthey ſeyn? 21) Ein Capitain welcher ſich mit 450 Mann in einer Schanze befindet und auf 4 Monat proviantirt iſt, aber in 5 Monaten keine Zufuhr zu hoffen hat, muß ſich entſchlieſſen, um keinen Mangel ausgeſetzt zu ſeyn, einen Theil ſeiner Manſchaft abgehen zu laſſen, um 5 Monat auskommen zu koͤnnen. Wie viei Mann muͤſſen abgehen? “M Wink: Den Quotienten ab von 450. 22) Wenn eine Feſtung, mit 4000 Mann beſetzt, ſich auf § Monat 10 Tage proviantirt hat, und nun noch eine Verſtaͤrkung von 485 Mann einzunehmen ge⸗ noͤthigt iſt: wie lange iſt ſie nun proviantirt? Wink: 4000 + 485? ic. 23) 10 ) 1 Scht zu fah⸗ nne auf⸗ Morthey toß muͤßte in einer antitt iſt, hat nuß geſett zu zu laſen, ia Mann , ſchan nun noch ehnen NO t 3 Die practiſche Rechenkunſt. 36 23) Wenn eine Schanze mit 560 Mann beſetzt auf 5 Mo⸗ nat proviantirt, ſich, ohne Mangel zu leiden, noch 2 Monat laͤnger halten ſoll: Wie viel Mann muͤſſen herausgenommen werden? “ Solutio. 5 Mt. 5Mt. — 560 Mann — 7 Mt.? 2800 7) 4 400 A Fac. 160 Mann. 24) Wenn ein Reiſender taͤglich 4 Meilen machte, und ſeine Reiſe in 2 Jahren 4 Monat 4 Tage vollen⸗ dete, wie lange wuͤrde er auf ſeiner Reiſe zugebracht haben, daferne er taͤglich 6 Meilen zuruͤckgelegt haͤtte? 25) Wenn ein Reiſender 1 Jahr 2 Monat 10 Tage, und taͤglich 5 Meilen gereiſet haͤtte, wie weit muͤßte er taͤglich gereiſet haben, um ſeine Reiſe in 10 Mona ten zu endigen? 26) Wenn Adam ſeinem Freunde Balzer 1400 g auf 38. Menate ohne Intreſſen leihet, nachher aber Balzer dem Adam die Freundſchaft zu erwiedern, ebenfalls 2000 m8 leihet. Wie lange kann Adam dieſes gleichfals ohne Intreſſen geliehene Capital be⸗ halten, um einen Dienſt dem andern voͤllig zu gleichen? 27) Cajus ſtreckt ſeinem Freunde 800 Thlr. vor, welche er nach 10 Monaten, ohne Intreſſen, wieder erhaͤlt: wenn nun Cajus von ſeinem Freunde nachher wie⸗ der eine Summe von 1000 Thlr. auf Anleihe er⸗ haͤlt, dieſes Capital aber erſt nach 12 Monaten wie⸗ der bezahlt: wie lange hat er es uͤber die Gebuͤhr behalten? NS 3 5 So- 2 362 Die praetiſche Rechenkunſt. Solutio. 1 Thlr.?: 8e Thlr. = 16 Monat: X Monat? + 8 Monat 12 Fac. 4 Monat uͤber die Gebuͤhr. 28) Wenn Titius ſeinem Verwandten 1000 mg auf 8 Monat ohne Intreſſen leihet, dieſer aber, um ſolche Freundſchaft voͤllig zu erwiedern, dem Titio wiederum ein Capital auf 10 Monat leihet, wie groß iſt die⸗ ſes Capital geweſen? 9) Sempronius bedingt 100 Ellen Leinwand 2 14 ſ5 die Elle, verlangt aber nachher fuͤr den ganzen Be⸗ trag ſolcher 100 Ellen eine beſſere Gattung, wovon die Elle 15 ſs koſtet: wie viel Ellen kann er nun be⸗ kommen? 30⁰) Neander bedingt 25 Ellen Tuch à 12 mg die Elle, da er aber befindet, daß ein anderes nur 10 ¼½ M ko⸗ ſtendes Tuch ihm ebenfalls gut genug; wie viel wird er nun erhalten? 31) A. hat an B, auf Lieferung einer gewiſſen Waare, 30 Schf à 56 mM8 verkauft, auch dafuͤr bereits das Geld empfangen: Da er aber zur Lieferung nachher nicht rathen kann, degegen aber eine andere Waare à 64 m8S pr. Sch anzubieten hat, B auch damit fried⸗ lich: ſo fraͤgt ſichs wie viel Schſp̈ Bempfangen muß? 32) Ein Gaͤrtner kauft 100 junge Baͤume à 6 96, verpflanzt ſie, und findet im folgenden Jahre, daß ihm einige Baͤume davon ausgegangen, weshalben er ſagt: nun koſtet mir das Stuͤck ſchon 726 6 H. Wie viel ſind Baͤume ausgegangen? 57 So- 39 36) 1) uuf5 n ſolche ederum iſ die⸗ Uß en Be⸗ ovon nun be⸗ e Ele, ko⸗ AWd Wanre, its das ſachher Vaate itftied⸗ nuß! 6 %, e, daß ghalben 66 S. 33) 34 35⁵) 36⁵) 37) 1 Die tareſhe N drtni 363 79 62: = 100 Baͤume: X 12 4 90⁰ . 400 9) 10 8 522 80 2) J 100 3 4 Fac. 20 Baͤume. Wenn 6 Schreiber in 5 Wochen eine beſtiminte An⸗ zahl Bogen ſchreiben, und man, dieſe Arbeit zu be⸗ ſchleunigen, nunmehr 20 Schreiber arbeiten lieſſe, in welcher Zeit wuͤrden ſie fertig? Wenn 24 Schreiber ein Werk in 7 Wochen vollen⸗ den koͤnnten, man aber noch 5 Wochen laͤnger Zeit geben koͤnnte, und daher nur einigen Schreibern dieſe Arbeit goͤnnen wollte, wie viel muͤßten von den 24 Schreibern behalten werden? Ein Landmann laͤßt durch ſeine Wieſen zu Ableitung des Waſſers einige Graben ziehen, welche 9 Tage⸗ loͤhner in 4 Wochen zu verfertigen verſprochen. Wenn aber dem Landmanne daran gelegen iſt, dieſe Graͤben in 12 Tagen fertig zu haben: wie viel muͤſſen hierzu mehr Tageloͤhner angenommen werden? Ein Gutsherr laͤßt einen Fiſchteich anlegen, und ver⸗ nimmt, daß 36 Arbeiter denſelben in 4 Wochen vol⸗ lenden koͤnnten: weil er aber ſo viel Arbeiter nicht auftreiben kann, und ohnedem erſt innerhalb 9 Wo⸗ chen den Teich mit Fiſchen beſetzen kann, ſo fragt ſichs: wie viel er nun Arbeiter noͤthig hat? Ein Bauherr braucht zu unterſchiedenen Fußboͤden 1800 Fuß vierzehnzoͤllige Bretter; wenn ihm nun zu Brettern 4 12 Zoll breit gerathen wuͤrde: wie viel Fuß muͤßte er nun haben? 364 Die practiſche Rechenkunſt. 38) Wann ein Stuͤck 11 Viertel breites Tuch, welches 36 Ellen haͤlt, gegen ein anderes gleich, feines Stuͤck, 7 welches aber nur 10 Viertel breit iſt, vertauſcht wer⸗ den ſoll; wie viel Ellen muß es halten? 39) Wenn der Schneider von einem Stoffe, welcher Viertel breit, 9 Ellen à 6 Mmg 8 ſ5 verlangte, und dabey eine Probe von 5 Viertel breiten Stoffe vor⸗ zeigte, davon die Elle 7m8 4 ſs koſtete. Auf welchen von beyden wuͤrde die Wahl fallen, daferne man nur den Beutel ſchoͤnen wollte? Wink: Berechne erſtlich wie viel man von den breiten Zeuge haben muͤſſe, 2) wie viel der Einkauf eines je⸗ den? Zeuges zum Kleide betrage? ꝛc. 40⁰) Zu einem Schanzloͤper verlangt der Schneider 6 ½ Elle breites Tuch, wenn derſelbe nun mit Felbe⸗ ret, we lcher breit, gefuttert werden ſoll: Wie viel Ellen gehoͤren zum Unterfutter? Wer dieſes Buch zum erſtenmale mit gehoͤrigem Fleiſſe und Nachdenken durchgegangen, und nun daſſelbe noch ein oder zwey mal wiederholen wird, dem iſt ſicher zu verſprechen: daß er zu den uͤbrigen Theilen der Arithmetik mit leichten Schritten uͤbergehen werde. 1 wbelches Stuͤck, cht wer⸗ eicher 6, und fe vor/ Auf dafetht teiten ines ſe der 6 ½ Zobe⸗ Wieviel Fhiſe doſſelbe den iſ Theilen hergehen =-=⸗= — Abkürzungen und Zeichen, 365 welche ſowohl im Buche als in folgenden Tabellen vorkommen. 4 I. Von Muͤnzen. II. Vom Maaße tro⸗ Rthlr. RC Reichsthaler à 8 ſs 48 ſ. Thlr. Thaler zu 24 Groſchen. .°Groſchen. m Mark Luͤbiſch. ſo Schilling. Sechsl. Sechsling. Drl. Dreyling. Pfennig. Lvol. Pfund vlaͤmiſch. ſvl. Schilling vlaͤmiſch. Lvl. Pfennig vlaͤmiſch oder Grvl. Groot vlaͤmiſch. Lſtl. Pfundſterling. ſoſtl. Schillingſterling. Aſtl. Pfennigſterling. Ld'or Louisd'or, eine Gold⸗ muͤnze von 5 Thlr. Duc. Ducat. Haͤll. Haͤller. Schrf. Schaͤrf. Grt. Grooten, deren 72 = 1 Thaler. Schw. Schwaren. Bo. Banco, z. E. Rthlr. Bo. mm Bo. ſs Bo. &c. p.ꝗͤC. pro Centum, fur 100. ckener und fluͤßiger Dinge. Lſt. Laſt in Getraidemaas, oder auch in Tonnen. 8 Wiſpl. Wiſpel. Schl. Scheffel⸗ Fß. Faß. Ht. Himte. Spt. Spint. 4 Fud. Fuder. (Wein) Oyh. Oxhoft. A. Ahm. Ank. Anker. Vtl. Viertel. Stuͤbl. Stuͤbgen. Qtl. Quartier. Oeſ. Oeſſel. III. Vom Laͤngen⸗ maaße. Ell. Elle. Hamb. Ell. Br. Ell. Nrbl. Ell. Hamburger Brabanter⸗ Nuͤrnberger Elle. Engl. Grd. Engliſche Gaͤrden. Rth. Ruthen. aAanmHE ———— 89. guß. Rfl. Rheinlaͤndiſche V. Von zaͤhlenden U 4 Z1l. Zoll. Die Zeichen: o, „ „uͤber der letzten Ziffer einer Zahl heißen: Ruthen, „Fuß, Zoll, 2, Striche. Siehe Tab. III. b. 2. IV. Vom Zeitmaaße. J. Jahr. Mt. Monat, pr. Mt. fuͤr den Monat oder monatlich. T. Tag. N. Nacht. St. Stunde. M. Minute. S. Secunde. Tt. Tertie. Die 12 Monate des Jahrs. Jan. Januarius hat 31 Tage. Febr. Februarius⸗ 28 ¹im Schaltjahr aber 29 Mrt. Martius hatzI ⸗ Apr. Aprilis „30 Mey Majus ⸗31 2 Jun. Junius „30 Jul. Julius 3I 3 Aug. Auguſtus⸗ 31 ⸗ Ztembr. September3o ⸗- 8tobr. Otober ⸗ 31 ⸗ 9vembr. Noveinber3o - Xcbr. December; 31 — Dingen. Grt. Großtauſend. Grh. Großhundert. Schk. Schock. St Stuͤck. Zim. Zimmer. Dech. Decher. Dz. Dutz. Ball. Ballen. Rs. Ries. Bg. Bogen. = Lſt. Laſt. Ton. Tonnen. VI. Vom Gewicht. Schft Schiffpfund. Centn. Centner. Lt Lispfund. St. Stein. Pfund. g Mark Silber à 16 Loth. Lth. Loth. Krt. Karat. Unz. Unze. Qtl. Quentlein. Pfennige. Gr. Gran auch Graͤn. Die uͤbrigen im Buche vor⸗ kommenden Zeichen und Wooͤrter ſind ſo bekannt, daß es deren Erklaͤrung nicht bedarf. 0) (*) w nden wicht, 16 de gin. uhe vo⸗ 0 bekanut. . Eklorurg Reſolvirungstabellen. J. Von Muͤnzen. a. In Hamburg und Altona. 0 Rchte s m Luͤb. a des Luͤb.] ſzvl. 576 192 2 32 4 — 32 *) Lyl. rl en Grvl. od. Qvl. wed akr ſo Luͤb. Luͤb. 20 240 2 ½ 120 1440 1I 2 — — . 72 6 20 240 12 ½ 200 I 12 — 10 pbp.. In Berlin. () ſee dr — [Haͤll. Scherf. ) Mr. 6eft g ms Be ſeB. — 1 2 — — — 24 288 576 1II52 II 12 24 48 1 2 4 ⸗ c. In Bremen. Thlr. Bremer mA Kopfſtuͤck Duͤtgen Flinriche ſy [Groten Schwaren.⸗ 1 2 6 116 18 148 72 360 5 () Ein Thaler, oder Kaufmannsthaler, nach welchen die Ochſen gekauft wurden = 2 18 oder 33 ſ'. Ein Hamburger Gulden aber iſt nur der Preis von einen halben Athlr. Die Pfennige ſind keine wirkliche Muͤnze, ſondern nur ein angenom⸗ mener Werth. (*) 1 Lyke iſt keine gepraͤgte Muͤnze, ſondern nur ein im Handel angenom⸗ mener Werth = 2 ¼ Rthlr. oder = 7 ½ M. ((**) 1I Lſtl. iſt ebenfalls keine gepraͤgte Muͤnze, ſondern nur ein angenomme⸗ . ner Werth von 12 ½¼ Mπ Bo. () Ld'or, Fuͤnfthalerſtüͤcke, werden nach dem Landesherrn, welcher ſie ncen laſſen, genennet, Alſo giebt es auch Friedrichsd'or, Carl- 0 r C. II. Vom Maaße. a. trockener⸗ b. fläßiger Dinge. a. Getraidemaas. 1. In Weitzen, Rocken und Erbſen. ein ene eene S Faß Himte Spint. 30 120 480 1 10 20 40 160 1 i2 4 16 2 *2 4 2. In Gerſten und Haber. Stock Laſt wareEarhe de⸗ Faß Aunt Ener 1 . I ²32 20 i1 480 X I10 30 60 240 1I 13 1. 6 24 3 2 8 2 b. Weinmaas. Fuder Ohef Khm Anker Viertel Stuͤbchen Quartier 1 4 4 3 240 960 1 ½ 60 240 1 “ 36 40⁰ 160 1I5 TIO 40⁰ 12 8 1 4 1 Oeſſel 1920 180 320 16 Eugl. — —⏑ i1Morten 1Ehefi⸗ 20 iulſe⸗ hufe. 1 D — — III. a. Ellenmaas. — — . 2 Laͤngenmaas. Quartier. Zoll.! Sech⸗ 1 Ruthe Engl. BrabEll. Hamb. Ell. Nuͤrnb Ell. Fuß. ch⸗ Gaͤrden ſzehntheil — — 44 — 3 =4 = = A — 5 èð 8 — 7 — — — — 5 = 6 — — — — — 1I 2 21 8 . 1 6 4 b. Land⸗ I. Hieſiges Feldmaas. 1 Morsen. Landes iſt 120 Ruthen lang;, 5 Ruthen breit, und haͤlt 0 Scheffel Saat. 1 Scheffel Saat iſt 3 Ruthen lang und 1 Ruthe breit. = 8 Ellen oder 16 Fuß, auch wohl weniger lang. 2. Leipziger Feldmaas. oder Feldmaas. Hufe. Acker. Authen Ellen. Suß. Zoll. Striche. / 1 34 9000 67500 135000 1620000 — 2300 22321 45001 54000 — 1 12 190 — 2 24 — 18 121 — 11 II 12 c. Meilenmaas. Meile (*). Geometr. Schritte Tritte, Ellen. aheelz Fuß⸗ affus (**). greflus (***). 1 400⁰⁰ 8000 [12000 24000 1 1 ½ 3 (*) Eine gemeine deutſche⸗ oder geographiſche Meile, deren 15 einen Grad machen, häͤlt eigentlich 23642 rheinläͤndiſche gemeine Juß. Eine kleine deutſche Meile hingegen haͤlt nur 20000 rheinlaͤndiſche Fuß oder 8333 bequeme Schritte. (**) Ein geometriſcher Schritt (p alſis) Doppelſchritt, kann von einem Manne wohl geſchritten werden, allein im gewahuli chen Gange legt man unt mit jedem Tritte (greſfus) ungefehr 2 ½ Fuß zur uͤck. (***) Tritt, dei. einfacher Schritt, davon der⸗ bequemſie Schritt eines Man⸗ nes, gewoͤhnlicher Groͤſſe, 2 ¼ rheinlaͤndiſche Fuß, alſo noch erwas weni⸗ ger als 2¼ Fuß enthaͤlt. . Aa IV. Zeitmgass. Jahr (*) Mayar Aachen Tage Stund. Minut. (**) Secund. G***) Tertien 2 I 12 152 365 Woo 55600 — — I 4 , c — — 1I1 7 168 — — — 1I 24 1440 — — e 1I 60 — 1 60 à. 6 (*⁹) Ein Jahr iſt entweder ein gemeines Jahr von 365 Tagen, oder ein Schaltjahr von 366 Tagen Jutius Cætar machte jedes 4te Jahr zum Schaltjahre. Daher kann man durch die Diviſion mit 4 die Schaltjahre einer jeden Jahrzahl beſtimmen. §. 201. (7) Die Dauer einer Minute wird durch jede Taſchenuhr beſtimmt. ( Die Dauer einer Secunde kann jeder nach ſeinem Pulsſchlage abmeſſen, . wenn er Achrung giebt, wie oft derſelbe in einer Minute ſchlaͤgt. 6u) Aatit 1 — 1 60 gen, Gder ein 4 Ste Jahr zum ieSchaltzehe nmt. ſchligt. age ahnneſſe, V. Zaͤhlende Dinge. 2. Groß Tauſend Ringe Groß Hundert Schock Steige Sruͤck. 1I 5 20 20 60 1200 1 2 4 E I2 240˙ JI 2 6 120 “ XI 3 60 1 kl. Tauſ. — [10 kl. Hund. — ! 50 1000 p. Groß Schock Zimmer Alt Schock Mandel! Dutz Decher Stuͤck b. e e . r 144 11 1 ½ 3 † 4 5 6 60 2 22 34 40 1 1 1 2 20 11 1 1 14 15 TI 1 ½ 12 I1T10 c. Papier. Balen Ries! Buch Bogen— 110 200 5000 11 20 500 . 24 Schreibpapier 25 Druckpapier. d. Zaͤhlende Waaren bey Quantitaͤten. 1 Laſt Luͤneburger Salz, Heringe, Rothſcheer, Kalk, Pech, Theer, Steinkohlen in Tonnen, haͤlt 12 Tonnen. Die Tonne Heringe enthaͤlt circa 800 Stuͤck. 1 Laſt Spaniſches oder Portugieſiſches Salz haͤlt 18 Tonnen. õõ me e ſches Handelsgewicht. eek Sn me dihe Centn. 2 2½ 1 6*) Flachs enthaͤlt der Stein 20 Pfund. Wolle und Federn aber 10 Pfund. 512 256 32 16 4 1 Stein 280 320 112 14 20 ⁰) b. Gold⸗ und Silber⸗Gewicht. Karat (*) Gran Graͤn 96 288 6 18 4 I2 1 . 3 (*) Karat oder gradus betrift den innern Gehalt oder Feinheit des Goldes. Das feinſte Gold haͤlt 24 Karat, ſo wie das feinſte Silber 16 Loth Sden gradus haͤlt. 3 5 geiſe 1.1I. Zu .14.9.4 1.16.b): Pag 17 140.9.7 1.78,9. 0.50 3)3 94 ute 5,64 14 ſ.1,7 3. b. G. bont ng3.) P. 109.3. — p PeIlo 139 9,4 Pe1a1. . b. 132. 9. P.I55. Ul Nach er. 4 163. Nee⸗ ict nee bIih, g. be ,. h ll. gech ,1r ugt 1 174. 8. 1 lhgr. oſe 193,ol e Etd⸗ jber 16 Cuih 1. Corrigenda. (.8. Zeile 2. Eintheilung lies Einheiten. J. 11. Zuſ. Z. 2. moͤge l. moͤgen. g. 14. Z. 4. zween l. zwey. . 16. b) Z. 2. l. tauſend und mehr. pag. 17. Z. 3. l. Zahlen ſich ſo. z. 40. Z. 7. werden l. worden 6g. 78. Z. 8. denn l. dann p. 50. 3) Z. 2. l. erſten der vier 9. 94. unter der Solutio Z. 4. l. zaͤhlende o. p. 64. 14) Z. 2. l. + 5632127 — 17) Z. 2. l. 2300112 §. 107. Z. 15. werden l. worden P. 85. von unten S. 5. l. F. 118. J. 119. Z. 5. nach folgende iſt der: uͤberfl. p. 109. Z. 9. dieſen l. dieſem — 3. 11. dem l. den — von unten Z. 2. l. F. 138. P. 1I10. v. unt. Z. 8. Minundus l. Minuendus §. 139. Z. 4. Minuendo l. Minuendi p. 121. Z. 4. bis zum l. bis zu den p. 132. v. unt. Z. 2. l. zu kleiner p. 135. v. Unt. Z. 3. von 34 l. von 32 Nach pag. 137 folgt 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. g. 163. Reg. ult. eine einzige l. eine g. 164. nach der Solut. Z. 3. zertheilet l. getheilet. p. 145. Z. 15. h. 195 l. J. 165. P. 149. v. unt. Z. 3. l. Ferner 3: 3 habe p. 150. nach der Sol. Z. 2. mit 6. l. mit 8. P. 151. Z. 3. fat 22 l. 24. 2 ⁸ Pp. 171. uut. der 801. Z. 1. . darſtehender l. darſtehende P. 174. Z. II. Multipliendus l. Multiplicandus P. 191. 5 8ſte Aufg. l. (964 576) J. 193., Sol. muß die 4te und te Zahl ſo ſtehen: 876 Gr. . 1752 nn 2 P. 202. v. Unt. Z. 4. werden l. worden. P. 204. 2. Sol. 3te Zahlreihe l. 5.62 p. 208. 3. 7. daruͤber l. darunter P. 222. Z. 12. fuͤr 6 (3 l. 7 ſ½ P. 224. 20 ſte Aufgabe Z. 2. l. Wenn du nal — Anm. Z. 2. den l. deren P. 234. 43) Z. 3. l. einen Avanz P. 235. 48) Z. 4. ſind l. iſt P. 23 8. 60) ult. l. Wink: Von b. 231. Z. 9. fur 2eten l. 3ten P. 248. Z. 29. fuͤr 6 Pfund l. 6 m 255. muß das erſte Glied ſtehen: 2. 5 p. 257. nach der Sal. Z. 5. l. da nun ß de P. 261. C) Z. 3. I. Theiler . p. 266. S01. im erſten Gliede l. 100 fk . P. 268. Sol. a. muß unter der ꝛten Lin. des 3ten Gliedes ſtatt 363 das Fac. ſtehen. Pp. 273. Sol. muß unter dem zten Gliede 3436 Pfund “ die folgende Zahl ſo ſtehen 1030⁸ P.2744. Sol. muͤſſen unterm ꝛten Gliede 386 m & die folgenden ſo ſtehen: 386 772 . p. 276. Sol. muß unter dem verkleinerten erſten Gl iede 4, ſtatt 25 die Zahl 16 ſtehen. 5 P. 282. Z. 7. l. gebraucht p. 287. 2. Anm. Z. 2. ſolchen l. ſolche Pp. 290. ult. deſſen l. deren N P. 291. Sol. muͤſſen unter den zerfreueten 10 Pfund ſtatt 52 ſtehen: 5, und unter dieſe die 2. P. 292. Z. 5. ſtatt 43 ma l. 40 m P. 299. Z. I. ſind die erſten Worte: oder Lispf. uͤberfluͤßig. p. 308. neben der Sol. giebt der eingerichtete Doppelbruch 26 25˙ nich 28 ſondern 29. P. 320. muß in der 163ſten, 164ſten und 165ſten Aufsabe ſtatt Grrot geleſen werden: Eroſchen N. — 3 X ſches fett ſ6 ſede/, ſatt Ubtuch 2 ſtcte ſt Antworten auf alle in der demonſtrativiſchen Amwveiſung zur theoretiſchen und practiſchen Rechenkunſt vorkommende Arithmetiſche Fragen fuͤr den Lehrer. Da dieſe aus guter Abſicht fuͤr den Lehrer allein be⸗ ſtimmten Fazitte in derſelben Ordnung, wie die Aufgaben, auf einander folgen, ſo darf der Lehrer nur nach der Num⸗ mer jeder berechneten Aufgabe, und nach der gefundenen Summe, Reſt, Quotienten oder Fazit fragen, und die Ant⸗ wort mit dem allhier unter derſelben Nummer vorkommenden Fazitte vergleichen, um zu erfahren: ob der Schuͤler recht oder unrecht gerechnet habe? — Jedoch iſt in beyden Faͤllen allemal nachzuſehen: ob auch nach der vorgeſchriebenen Art verfahren?— zu erforſchen: ob die vorgetragenen Lehren gruͤndlich gefaſſet worden und ob auch die Richtigkeit des Fazits mit gehoͤrigem Beweiſe vertreten werden kann? Weis der Gefragte nicht richtig, oder gar nicht zu ant⸗ worten, ſo muß jeden Mitſchuͤler frey ſteben, die verlangte Antwort zu geben. 2 Hierdurch werden nicht nur die ſaͤmmtlichen Lehrlinge bey gehoͤriger Aufmerkſamkeit erhalten und gleichſam alle zu⸗ gleich unterrichtet; ſondern ſie werden auch dadurch ges noͤthiget, ſich mit den im Buche vorgetragenen Lehren, zu aͤhren unausbleiblichen Nutzen, immer bekannter machen. — 7„ N/ N. 4, 21. 5. 21 6. 23 7. 21 8 193 9. 190 10. 900 II. la N. I. 69. 2. 300 3· 404 4. 100 5 2. 565. 37. 8. 900 9 2 10. 613 1I. 306 12. 37. 13. 539 19, 683 15. 6015 16. III 19. z00 19 zor, 20. 2 6. 21. 24 22. 380. 213. I0. 24. 256 25. 114 26, 297 fleit dee Auſgeben, der Nunn⸗ efundenen d die Ant omnmerden huler kecht der Fillen denen Art Hen Keen ttt des inn! it nt nnungtt cinte beh. alle e dadurch ges Lehren/ s nnochen. 4. 21042. 5. 212180. 6. 235944. 7. 2134139. 8. 1953503. 9. 188737. 10. 3068211. 11. 52924. Nr. 1. 691357952. 2. 309601370367. 3. 494190756. 4. 1068274935. 2. 27379264788. 6. 3782247426279. 3. 88888888890000. . 2469 135780. 10. 61355096190. I1I. 39482 1296640. 2 373 19264550. 13. 538587192600. 14. 6835025 106000. 15. 61587385200000. 16. 1114105 10400000. 18. 5003971632. 19. 3017685456. 20. 25679012346. 21. 24212366667. 22. 3802189104. 23. 10160948736. 24. 356,734 61 . . 11421340848 26. 18368373942. 27. 23721158205. 28. 12351191904. 29. 25664335452. Summen der Additi 12. 624973. 13. 601596905. 14. 290064942. [IS. 594389200. 16. 12442212. 117. 543802932107. 19. 209444134. 1[20. 11838546. Facta der unbenamten Multiplicatio. §. 15. * Nr. [30. 45855035550. 31. 27424125288. 32. 1127217772 8 33. 5530848. 34. 63702450. 35. 1078459. 36. 176488. 137:. 4457392. 38. 14399208. 39. 8700328. 41. 2805440. 42. 19050200. 43. 4502080000. 44 652725000. 45. 41115600. 46. 3986500. 47. 306791000. 48. 70999740. 49. 132483600. 50. 804864000. 51I. 5548194000. [52. 6295950000., 53 1156016. 34. 956592. 55. 1979507556. 56. , 330956. 4 ANr. 57. 9989001. 58. 4611600. 59. 16142205. 60. 56582638. 61. 1942118438. 62. 1 136 8736852. 63. 843440410396. 64. 83815759872. 55973375 44253. 249956696916. 576281479684. 23001792000. 920997000. 3883740000. 214 119200000. 496363 14000000. 605I60000000. 1548360000. 2. IIIIIIII. 3. 122310. 4. 242 2. * 222233. 1 21643 5 2438914. 6 86419754. 202498543. II. 745897455. 12. 42922064. 23999288885. .17111567112. 687654321981. . 129668. 11346581. 183848590. 268753877. „ 18. 19. 121932631112635269. 28. 16409 1600000. 1276520000000. 78. 5394844026. 123715 197944. 988642641654. 24939406035. 23945425742. 271668517134. 712848736. 28268316629. 145 165479768. 73877218648. 9030049940016. 48000593002654. 91. 92. 93. IOOOOOOOο0ο0οπ°00°0°0ο.–‧. 18777123114. 34823427. Reſte der unbenamten Subtractio. 5. 132. Nr. 20. 89152182. 21. 8689284531. 22. 211104131104. 23. 19999999999992. 24. 58997. 25. 2001001. 26. 399766000. 27. 10020%0° 0οοnτι.. 22222222. 33333333: 44444444444. 3 1. 55555555. 32. 66666666. 33. 777777777. 34. 888888888. 35. 999999. 36, 1787. 29. 7 2100930746188016. Ouc E. 2. 233 4. 299 5. 49 7. I15. 9. 199. dng . 9867 II. 224 1. g. 1½. 601 15. 100, 10. 1316 17. 112 16. 1297 19, 112, 20. 955, 21. g79 22. III0L 23. U 4. 630 1 366 36. 3456, 27. 99) 298. 509 29, 5645 30. 9967 31. 8 . 33. n 34. 15221 3. 1358. 86. atl 112, 6 9992. 1 £π Nr. 10. II. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. „ 31. 32 33. 34. 36. 38. 39 40. 41. 42. 43* Quotienten der unbenamten Diviſio. §. 145. 233984. 4486200. 11520. 1893005. 114176. 869726. 224358. 864204%. 69 1208. 1097451. 131627⅞½². 11282292 ½. 12822993. 11220540. 9557 130 ¾. 9738138 5. . 11106301. IIIIIII. 63099743 ¾:. 345673. 34567890. 9995432 53 5709534. 29. . 876731355 85453 1S5 283949. 228421. 1160225¾² 152263. . 13581413. 86418. 1579312. 149607 3 . 94 1387 ⅜- 12 52209. 10912 . 58904 ⁄. Nr. 849 4 5363. 30406. . 2659. 3880. 2940¾. 5154. 5 2279475 . 126998476 %¼. 749482 5 1 7: 89706452 *. 98744 7. . 31016 ⅞v". 12067614%¾2 . 1234564. 637483892. . 37627022⸗ 287 . 10462¾. 123 1840 7836: 25986 2¾ 3335606 600023452⸗ 84492003. 7008400. 472312.⸗ 3987000. 478563 .142342. .684543⸗ 723642. Nr. 90. 923456. 91. 9000008. 92. 403040506. 93 88 132922*%. 94. 2952215. 95. 5118319 T. Summen der Additio in benamten ganzen E V N= —0 98. 1 99. 3 900. „ „* — 0 21 A JJ —— — ILLILTIZE, 8.7654321* Zahlen. §. 178. 3 79800 m. 1. Summa: 6093 m 15 ſz. 2.⸗ 2213 M8 15 S. 4. 645 Thlr. 69 Groten 4 Schw. F5F. 2 848 Rthlr. 26 ſs 11 . 6. 2 1092 Rthlr. 41 ſs8 4 Q. 7. „ 781 Stein I1 ρ Wolle. 8. 2- „312 Stein 3 ſ b Flachs. 9. 2 „ 212 Centn. OLf 1I;. 10 2 „ 145Schlß 9 Lſt 4 12. 2 ⸗84 Mark 3 Loth 3 Quentin. 13. „ 303 Ahm 15 Stuͤbchen 1 Quartier 14 ½ 5”8 Laſt 1 Wiſpel 3 Scheffel Korn. 15. 2 ⸗2746 Schock 49 Ellen. 16. „12740 mg 13 6ſ5 8 Banco. 17. 2 2412 Thlr. 1 0 10 ˙. 18. 2 1172 Thlr. 37 Groten 4 Schw. 19. 2 : 144 lb 27 Loöth. 20. : 135 Mark 13 Karat 1 Gran 2 Graͤn Gold. 21. ⸗ „ 43 Mark 15 Loth 2 Quentin 2 H. 22. „ 61 Fuder 2 Ahm 14 Stuͤbchen 1 Quartier. 23. 5§ 1) 19 Laſt 1 Wiſpel 4 Scheffel 1 H. 3 Sp. Gerſten. 3.5 2) ‧½ 46 Laſt 2 Faß 1 Spint Getraide. 24 „ 96 Zimmer 1 Decher 8 Stuͤck. 25. 4 „302 Schock 6 Garben. 236. „ 130 Schock 1 Stuͤck. Facta der Multiplicatio in benamten gan⸗ zen Zahlen. §. 183., 1. Facit: 46688 M. 2, ⸗ ⸗ 27216 Thlr. — - - — — — 4. Facit: 147840 f5. 37835 . 6. ⸗77 Mark 22 Karat Gold. 7. ⸗563 Mark 15Loth Silber. s. 158 Laſt Wiſpel 8 Scheffel 2 Faß 2 Sp. Gerſten, 9. ⸗350⁰81Rthlr. 42 ſz. 10.⸗ ⸗41 Jahr 10 Monat 27 Tage 1I1 Stunden. en II. ⸗ 35 Balln 8 Ries 13 Buch 18 Bogen. 12. ⸗ 35 Centner 4 b. 13. ⸗ ⸗919 Thlr. 15 Groten 3 Schwaren. 14. 35727 Thlr. 18 C 8 . 15. 642 Balln 2 Ries 5 Buch. 16. ⸗ ⸗272 Schß 11 Stein 18 Flachs 17.⸗ ⸗ 4479 Schf 3 L b 6bf. 18. 924 Zimmer 1 Decher 5 Stuͤck. 19. ⸗ ⸗ 661 Thlr. 30 Groten 3 Schwaren. 20. ⸗47 Jahr 7 Monat 19 Tage 5 Stunden 52 Minut. 21. ⸗ 1480 Fenſter. 22. ⸗ 1800 mg. 6 23. „ 83 12 Ruthen 3 Fuß. 24.⸗— 328 Großtanſend 8 Großh. 3 Steige 18 Stuͤck. J 25. ⸗ 1500 Rthir. 26. ⸗ 1460 Meilen. 27. ⸗ 140160 Stunden. 28. 3052 Thrr. ” 29. 159984 Rthlr. 30. ⸗2080 Thlr. Oð iGeh. 232. ⸗ ⸗ 7568 Fenſter⸗ 33. ⸗ : 20160ſs. auattiet. 34. ⸗ : 3000 Ziegel. E. Geſfen 35. ⸗ 1872000 Naͤgel. A 36. 29959200 Menſchen. 37. ⸗ 121600⁰0 Buͤcher. 38. „ 13225090 Thlr. 39. 3113964 Rthlr. 40. 2024655 Tage. n gan⸗ 41. ⸗ ⸗18920000 Meilen. 42. 9000133¾ Thlr. 43. ⸗— 92880⁰⁰0 Meilen. 44. =⸗ 2662560000 Cub. Meilen. Nr. 45. facit: 225120 ◻Fuß. 46.⸗ ⸗ 2160 Flieſen. A7. ⸗80682 Baͤute, 48. ⸗ 432 Meilen. 49. ½„ 960 Cub. Fuß. 50. ⸗ ⸗3024 Cub. Fuß. 5FI. 153600 Steine. 53 ⸗ 488 Cub. Fuß. 534 ½⸗ 3348 ſe. 5S. ⸗ ⸗ 134784 Mauerſteine. 58. ½ ⸗ 555264 ⁶. „59. 2 113280 Spint Erbſen. 60. 2 103200 Himten Gerſten. 63. :⸗ 13500 Acker. 64. 2½ ⸗ 552000 Ellen. 65. ⸗ : 52560000 Minuten. 66. 483840 Minuten. ⸗ 57600 Stuͤck. 68. ⸗ 8640 Stuͤck. 71. ⸗ ⸗ 2003337 G. 72. 2 1966964 Schwaren. 73. 117196 Kſterl. 74. . 1752800 ſs Banco. 75. · 284252 JJ. 76. ⸗ ⸗48455 . J A aA W *½ ₰◻W ES * 85. ⸗46475 Oeſſel Wein. 86. 449 19300 J Ninuten. 87. ⸗116240 Nuͤſſe. 88. „ 6047 Graͤn Gold. 61. ⸗41 49200 Stuͤbgen Wein. 92. „ 1920 Scheffel Ausſaat. 69. ⸗ ⸗ 175000 Bogen Druckpapier. : 5081423 Schaͤrfe. : 203404 Schwaren. 79. 255502 Spint Weizen. 90345 Spint Erbſen. 81. :. 485152 Spint Gerſten. 82. ⸗11638 Himten Haber. 3 ⸗ ⸗134630 Spint Haber, 84. ⸗⸗ 50569 Stuͤbchen Wein. Ki Frlei men. nene tion 41 D 99. Facit: 27896 & Silber. . 90. 9724 Quentin Silber. 91. ⸗993120 b. .B 92. ⸗285026912 Bogen Schreibpapier. 93 5 2 288915 Kalbfelle. 94. ½: 137165 lb Kaffee. 95. ⸗7215440 Grvl. 96. ⸗ ⸗ 174636 Federn. L 97. ⸗225372 Bogen Druckpapier: 98. 2549853570 Secunden *). 99. ⸗239613 Oeſſel Wein. 190. ⸗37107510 Schwaren. *) Solutio. Juͤngſte Sohn 2 Jahr § Mt. 24 Tage 7 St. 24 Minu. 80 S. * Alterer Sohn 8 ⸗ 20 2 96 28 96 ⸗* 200 Vater 86 ⸗ 140 ⸗ 672 196 672 ⸗ 1400 ⸗ + 8 2 20 ⸗ 96 28 96 % 200 ⸗ + 2 . S 24 ⸗ „ 2 24 ⸗ S0 *$ Sämtl. alt: 66 ½ 165 ½ 792 ⸗ 231 2 792 ⸗ 16560 . Kuͤrzer: 2 Jahr 5§ Mt. 24 Tage 7 Stunden 24 Mt. 0 St. 54 8 20 2 96 ⸗ 28 5 96 200 7 8s6 ⸗ 140 ⸗ 672 2 196 ⸗ 672 2 1.400 ⸗ 6566 165 792 23 ⸗ 792 1650 ⸗ Dieſe verſchiedeuen Sorten unter einen Namen gebracht, giebt das Fac. (Anm. der 9ten Aufgabe.) l Anm. Den Schuͤler anf alle Worrte einer arithmetiſchen Aufgabe auf⸗ merkſam zu machen, und ihn zum gehoͤrigen Nachdenken uͤber deren Bedeutung oder eigentlichen Forderung zu gewoͤhnen, habe ich in der 98, 99 und 100ten Aufgabe das Wörrchen noch gebraucht, als wel⸗ ches hier wie in allen aͤhnlichen Faͤllen voraus ſetzt, daß, über der ſchon vorhandenen Summe, dieſelbe noch ein, zwen, drey oder Smal mehr genommen werden ſoll. Z. G. Wonn verlauget wird ei⸗ ne Summe a noch einmal ſo groß zu mehmen, ſo heißt das: die Summe a zweymal nehmen; denn a a + noch 1 ¾“àa = a Ta d. i. 2 ℳ à — 2 àa. Mithin heißt eine Summe a noch zweymal ſo groß, dieſelbe dreymal nehmen: denn a = à † noch 2 α a —: 3 Aà Folglich heißt eine Gumme a noch 6mal ſo groß, dieſelbe zmal neh⸗ men. Denn aSa P† aà — 7 àa ꝛc. Hieraus unun folgt, daß man, wegen den ben einer Aufgabe vorkom⸗ menden Woͤrtchen noch, dem Vultiplicatoré vor der Multiplica⸗ tion alemal nech eine Unitat zu legen müͤſſe, ſo wie bey obiger So⸗ lution geſchehen⸗ Nr. Reſte der Subtractio in benamten ganzen Zahlen. §F. 193. 2. eſt⸗ 2621 ms 3 65 3, GW 28. 59 Laſt 1 Scheffel 1 Himt 2 Spint Weizen. 4 3˙* 4 ⸗ 1II Großtauſend 1 Großh. 1 Steige 2 Nuͤſſe. 5. ⸗ 60 Zimmer 1 Decher 1 Stuͤck Kalbfelle. 7 12 mMmà 2 Gran Gold. 8. „ 50 mS 1 & Silber 10. ⸗ 96 Lvl. 15 ſ vl. 9 Grvl. II. ⸗ 206 Thlr. 60 Groten 4 Schwaren. 12.⸗ 189 Fuder 4 Ahm 38 Stuͤbgen 3 Quart. Wein. 13. ⸗ 20 Laſt 18 Scheffel 2 Faß 1 Spint Gerſten. 14. ½ 257 Jahr 10 Mt. 27. Tage 22 Stunden 52 Min. 15. „ 75 Schſt 19 L b 2 b. B 16.⸗ 35 Schſt 10 Stein off Federn. 17.⸗ 348 Centner 1 Lſt 2l Eiſen 18.⸗ 96 ☚ 2 Loth 2 9 Silber. 19.⸗ 38 Balln 2 Ries 5 Buch Papier. 20. ⸗ 11Großt. 4 Großh. 1 Schock 2 Nuͤſſe. 21. ⸗ 104 Laſt 1 Wiſpel 2 Scheffel 1 Spint Erbſen. 22.⸗ 9 Lol. 1 ſovl. 10 Grvl. 23.⸗ 354Lſterl. 11 ſöſtl. 11 Kſterl. 24. ⸗ 1Louisd'or 2 Thlr. 20 W. 11 §. 25. 2½ I Laſt 1 Wiſpel 7 Scheſſel 2 Faß 1 Hirnt Haber⸗ 26. 5 12 Schock 2 Mand. 14 Garben 27. ⸗ TSchff 12 Stein 19 Flachs. ⸗ 1 Mark 12 Loth 17 Graͤn. 29. 2 4ALaſt 7 Tonnen Heringe. ⸗ 853 Laſt 15 Tonnen Spaniſch Sal. 31. ⸗ 78 Centner 6 Lf 3f. 32. ˖ 254 Schock 10 Ellen. 33.²½ 188 Mark 5 Loth. 34. 262 Balln 5 Ries 5 Buch. 35. ⸗ 5123 M 1365 6 ϑο Zucker 36. ragm 15 ſ§ 6 . Schaaſe. 37. 381 vaſt 2 2 Tonnen Steink. an E. 59. 59. 60 6jt. ba. — 11 n 39. Faäc. Carl XII. alt: 36 Jahr 5 Monat 14 Tagé. 40.⸗ Bernhard alt: 47 Jahr 6 Monat 6 Tage. 41. „ Cornelius vermaͤhlt 1730 den 1oten Sept. 42. ⸗ Daͤniel alt: 9 Jahr 3 Monat 15 Tage. et. 44.: Fritz gebohren: 1704 den 13ten November. iſe. 45. ⸗ Georg gebohren: 1747 den 29ten May. 46.⸗ Heinzens Schauſtuͤckalt: 273 J. 7Mt. 16 T. 47.⸗ Johns Hauß alt: 80 Jahr 9 Mt. 12 Tage. 48. Friedrichs des Einzigen Geburtstag der 23te 1 . Januar 1712. 53.⸗ Leopold geb. 1732 den 17ten Nov. Morgens . Ve. um 3 Uhr. RKR ſin. 54.⸗ Martin alt: 28 Jahr 3 Mt. 20 Tage 17 WN. Stunden. W 8 356. ⸗ Martin (uther: gebohren 1483 den 10. Nov. 837. ⸗‧ Marx alt: 64 Jahr 4 Monat 17 Tage 21 ſ Stunden. 58. Mann ſchrieb den gten Julii 1784. 59. Neummnn hat jaͤhrlich Ueberſchuß: 313 M. 60 ½ Paul 1) Ausgabe: 1153 M8 5ſs. Unſen. 2) uͤbrig: 46 M 11 ſv. 61.„ Verdient: 1386 mW. 62. ½ Gewonnen: 1222 mMm8 8ſ75. ut hiben⸗ Quotienten der Diviſ. in benamten ganzen “ Zahlen §. 205, 3. Fac. 1517 Rthlr. 44 ſs5 1 Q. 4. ⸗ 304 Thlr. 7 07 . 5. ⸗ 329067 Thlr. 52 Groten. 6. ⸗ 9602 Thlr. 13 Groten 4 Schwaren. 7. ⸗ 82 Schſ 7 2 10 fE. 3. ⸗ 23651 Centner Lſ 10b. 9. ⸗ 358 b 17 Loth Quentin. MM 10 – A1 Laſt 1 Wiſpel 1 Scheffel 1 Faß 1 Himt 3 Sp. II.⸗ 1II41 Thlr. 68 Groten 2 ½ Schwaren 12. ⸗ 425 Thlr. 18 Groten 11 %₰. 14. 16. 17. 18. 19. 20 21 22 23 12 13. Fac. 733 Rthlr. 20 ſz 5 ¼ . 7 5 2 5 5 N — 98070 Thlr. 99 Lvl. 13 ſyvl. 1 ½ N. 49 Thlr. 15 90 9 6 N.. 5 Rthlr. 32 ſ 758 N (z 8 5) 22 Lvl. 16 ſz vl. 8 ¼ Grvl. 2 Jahr 2 Mt. 18 Tage 8 Stunden 43 ¾ Min. 11 Jahr 2 Monat 25 Tage 17 Stunden. 4 Schock 3 Mandel 13 Stuͤck. 4 Fuß 11 Zoll. 1) 4 Laſt 2 Wiſpel 9 Scheffel o Faß 1 Himt 3 Sp. 2) 293 Laſt 2 Wiſpel 6 Scheffel 1 Faß I Himt 1 Spint Weizen. . 8 Centner 2 Lf oâ ſ. 7 Thlr. 24 Groten 4 ½ 2 Schwaren. 2 Laſt o Wiſpel 6 Scheffel 1 Himt 0½¾¾¾½ Spint Gerſten. “ 1 Jahr 10 Mouat 1 Woche 1 Tag 32 Min. 25 Sec. 12 59¾ Tert. 3 Jahr 2 Wochen 3 Tage 12 St. 55 Minuten 23 Sec. 4 . Tert. . . e 1 Zimmer 1 Decher 3 2¾2 Stuͤck. 4 Ballen 1Rieß 15 Buch 43¾ Bogen Druckpapß. 3 Schib 7 8½ 4 %†. B 2 Mark 13 Karat 2 Gran 1 Graͤn 2 Mark 2 Karat 3 Gran 2 ¼ Graͤn. 1I Loth 2 Quentin O*. H. 15 Loth Quentin 2 2. H. 3 Mandel 4 ½ 26 Nuͤſſe. 3 Mandel 84 ¼¾ Aepfel. 3 Anker 2Viert. 1Stuͤbchen [Quart. o Oeſſel. 1Anker 4 Viert. 1 Stuͤbchen 2 Quart. o;? 2Oeſſel. 114 Ruthen 10 Fuß 8 Zoll. 12299 a 4 ſ6 3 . 4694 Louisd'or. 20811 18 365 83 J7. 7 35329 Thlr. 2797 Rthlr. 8 4. 5So. „— 54. 59. 60. 61. 62. 1 49. Fac. 16345 Rthlr. So. ⸗ 7 Ballen 7Ries 12 Buc 20 Vogen Druckpapter. 5I.⸗ 127 Schock 3 Mand. 12 Bund Stroh. 52. :⸗ 10 Schock 1 Mandel6 Stuͤck. . 54.; 1) in Caſſa: 272 Louisde'or 1 Thlr. UMMV 2) fuͤr Gold 1945 Thlr. O ℳ 4 &. l e. 55. Fac. 1) 10626 m 2 ſs 89 das Waiſenhaus. 3 2) 47980 M 5 ſs5 10 ¾ & jedes Kind. 56. ; 3620 4 57.⸗ 1) 83385 Thlr. 190 88TScherf. 1361 =OWUYDM 2) 16677 Thlr. 49 Scherf jedes Kind. Ihit SS.⸗ 15195 Rthlr. 30 ſ5. 59.⸗ 300 Thlr. 560. ⸗ 1781 Mm 9ſ5 7 ½ . Sr. ⸗ 4584 M 14 65 89. Grit 62. 5„ 1) 3070¾ gebohren 2909 geſtorben. 2) 161 mehr gebohren als geſtorben. „ 63. „ 10) Einnahme: 3827 2 ſs 4 Ausgabe 3321 Nk ms r3 667 . utne, “ 2) Eruͤbtiget: 505 m 46 9 ½ H. Keguls de Tri directa in benamten ganzen tuckp. Zahlen. §. 217. 2. Fac. 519 mM. 3. 384 8 4. 1000 Thlr. 5. ; 2124 Thlr. 6. ⸗ 2394 Thlr. 7. 2982 Thlr. d8. ⸗ 4815 Thlr. d. o. . 4 ,5 Thu. deſil I1Io. ⸗ 1080 m. 12. 444 Thlr. 1096 8 §. 1I3. ⸗ 192 Thlr. 14. ⸗ 757 Thlr. 8 0. 15.⸗ 896 Mſh§. 16. 68 8 11ſs 3 %,. H. 19. 20. 21. 22. . 23. 26. 27. 28. 29. 32. 33 35. 35. 39. 41. 42. 4* 4⁵:. 456. 49. 50. 51. 52. 53˙ 54. 56. 58 60. 1. N. 17. Fac. 82 Thlr. 16 36, — 30. 31. — 34‧* 43‧* 4. 57. 79.˙ 2 N n —— A NNNXNNR N NR „ F „ A „ — 8696 m. 1362 Thlr. 4240 m.. 44 Ducaten. 888 Ducaten. 4444 Thlr. 3136 Thlr. 2640 Thl. 2538 Thlr. 16 6. 6274 465 6 . 5400000 Fuß. 1440000 Ellen. 1140 Br. Ellen. 504 Nuͤrnberger Ellen. 6480 Hamb. Ellen. 98697 ¾ Hamb. Ellen. 693 Ellen. 2400 Centner. 34 Schkb 13 Lfb 44 F. 1890 WB. 1708 Thlr. 19 90 2 ¾ Q. 16000 M8. 2420 M8 8ſ5 12 ¼ . 1600 Thlr. 6 °. 2198 m 10ſs 4 . IIſs 7 . 212 6 ¾ 26 66vl. D Gryl. 146gvl. 3 Qol. ◻⏑ 0.* ον.α α S 4 n ſs 33 & 587 Thlr. 4 0 51 :8. 23778 Thlk. 1896, 67.⸗ 35370 mg. 69. ⸗ 45120 M. Nr. . 4 1 62. Fac. 1880 Thlr. 296 8 . 63. 2727 Thlr. 1090 33¾ J. 64. ⸗ 1597 Thlr. Be 5 ¾ . 63. : 1372 m ooi . 66. 2 2956 ma 12 ſ6 94. 68. ⸗ rarrm 14t 448. 70. ⸗ 1942 8 1366 84 . 71. 4803 m 6 6 102. 72. ⸗ 742 m 2 ſ 3 . 73. 6846 74. 230 M 6ſs 44. 75. ⸗ 1732 8ſs. 76. ⸗ 11794 8 10ſ 8. 77. ⸗ 16980Thlr. 78. ⸗ 1081 8 765 80. ⸗ I Thlr. 10 ℳ. Sre Q⸗ 81. 488 6ſs 34 82.: 2 Thlr. 10 96 112 44 42 K. 83.⸗ 8 Lvl. 6 6ſzvl. 84 Qvl. 84. ½ 18 8 12ſ6 2 4 ⁄ . 86.⸗ 1866 ¾ 2 ſ. 87.⸗ 35538 21 22 ſb. 88. 9286 % . 89. 5622 ¾ ½826 Ellen. 91. ⸗ 27 Ceniner 5 Lſtb 13 b 21 2 ½ Loth. 92. — 16 Sch5 16 L 5 31 4 33 Loth. 93. ⸗ 238 Centner 2 L 8b 11 ¾1 Loth. 94 ⸗„ 5336 Thlr. 1120 3 Q. 95. 130⁰16 m 14s 1 % . 96. ⸗ 22572 M8 15ſ5 6 35 Q. 97. ‧ 21105mg 356 5,. 98. ⸗ 4119 368 4 . 99 ‧½ 114091R 2ſ. 101.5 983 m8 716 6 ¾ . 103. : 422 Rthlr. 43 6ſ8 6 . 1I06.⸗ 952m 146. 16 Nr. 107. Fac. 1771 M 35 2 . 109. IIO. 1I15. 116. 1IIZ. 118. 5* — 119. 120. 121. X 122.2 124. 125. 128. X N 130. 132. 7 133. 1342: 135‧* 136. 138. 139. 140. 2 N „ 1I42. 143. 144. 145. 147. 148. 149. 150. 151. 152. A W„ „ 154. 2 155. 2 156. 157. 1683 m8 14 ſs. 1150 Rthlr. 16 ſ5. 42²7 Thlr. 10 %. 952 Rthlr. 46 ſs 54 . 1078 Lol. 16ſsvl. 92 Rvl. 874 Lvl. 16 ſsvl. 33 Q. 3260 mg oſs 8 2 . 7041 Lpl. 17 ſsvl. d 1. 970 1 m 10ſ8 4 . 480 mQ 1566 5478. 352 Rthlr. 37ſ03. 145 Lvl. 2ſvl. 6. 35 Lvl. 19 ſ6svl. 11 6 . 87 Lvl. 17ſovl. 1¾ J. 42 Rthlr. 2ſ5 15½ . 293 Rthlr. 42ſs8 10¾ 4K. 26 Rthlr. 36 ſ5. 38 Rthlr. 31ſ5 32 Q. 26 Rthlr. aſe 10 ¾ . 72 Rthlr. 26 ſ6 02ε% %. 79 Rthlr. 170l 450. 57 Rthlr. 3ſs. 6 Rthlr. 665 1 ¾½ . 12 Rthlr. 24 ſs ). 84 Rthlr 23ſ65 2 ½² 78 Rthlr. 1ſ 10 ½ 455 Rthlr. 10ſ5 3 ½ . 255mg 5Sſ. 359 ma oſs 10 ¼ Q. 545 5ſs ½7. 62721 ε 1oſs 9 ¾ ⸗ 667 Iſs 1I1 ½¼ Q. 498 2 oſs 11 ¼ 0. 3009 Lvl. ſzͤvl. 6Grvl. 101 Lvl. 10ſsvl. 6 &. 37 Lvl. 17ſsvl. 3 ¼¾ Grvl. 186 197 150. 1980. I90. 191. 192. 194 195,. 196. 68 Lvl. 13 ſsvl. 3 ¾ 158. 159. 160. 161.3 1I162. 2 163.2 164. 2 165. 166. 2 167. 169. 2 171.2 1I72. 2 173. 174*2 175. 177. 178‧2 179‧ 2 181. 2 182.2 183. 184. 185. — 186. : 1987. 188‧ 189 190. 191.2 192. 193. : 194 195. 196. 197. 2 198. 772 276 Lvl. oſsvl. 9 ½ Qo0l. 336 Lvl. 17ſz vl. 9 ¾ . . 1504 Thlr. 38 Groten 4 ¾ Schw. 5858 Thlr. 17 Groten 3 ¼ Schw. 8619 Thlr. 35 Grot. 12¾ Schw. 5437 Thlr. 190 11 %. 19205 Thlr. 2196. 16828 Thlr. 0ℳ 6⅝ . 8 8 5ſs 4 9 327 6 14 ſs 2 ¾ ½ W. 4693 9 12 ſ5 975 A. 91718 4 ſ66. 2126R 1ſ5. 4 5 mn 2ſ. 11798 Rthlr. 7543 Rthir. 5ſe 0½ ˙Wο.₰ t 3787 Rthlr. 18ſ5 11NR. 236 Lvl. 18ſsvl. 9Grvl. 480 Lvl. 10ſtvl. 8Grol. 266 Lvl. 9ſeovl. 8 Qvl. 320 Rthlr. 2ſ6 72 ⅝ N. 5280 6m8 8ſ5 11 75 ů. 10154 Rt hlr. 26 ſs. 9. 3685 Rthlr. 31ſs 7 ¼ 2 . 375 Lvl. 5ſsvl. 1 ¼ Grvl. 3976 Lvl. 19 ſzvl. 3 Qvl. 2006 Thlr. 9 ° 10 ¾ . 4778 m 7 6 5. — 10510 Thlr. 38 Grot. 1 1½ Schw. 2541 Rthlr. 23ſS 7 ½ ½ . 33130 Thlr. 9 Wι O½¾. 1516 1m8 766 11r . 9458 Thlr. m 7 2 18587m8 1ſs 4 ½ ½ : 619 Thlr. 35 Groten 1 ½3 Schw. 1287Thlr 16 Grot. 4 ¾2 Schwa. 420 Lvl. 18ſsvl. 4 2 Grvl. 2679 Rthlr. 23 6ſs 4 2- Nr. 199. Fac. 944 mg roſt6; N 200. 1288 N 1ſe. . 201. : 579178 14 ſ5 92 ½ 202.⸗ 823 mm8 2 ſ8 3 ½142 ſoͤ 5 ½ 203. 1879 8 111ſs . 204.; 201 Thlr. 22 6 10122. 205. ½ 3930 Thlr. 22 96 833 ½ . 206. : 41187 Thlr. 19 34 44 O. 207. 680 Thlr. 32 Groten 3 432 Schw 208. ⸗ 127808 15ſ8 6 N. 209. 9332 Rthlr. 11 644 5. 211.⸗ 20Centner 4 2 1 322 42 k. 212.⸗ 30 Ball. 2R. 12 Binch 14¾2¾22% Bogen 213 27 Ball. 9R. 15 Buch 17 ½8 ⁄6 Bogen Druckp. 214. 44 Zimmer Decher 4 6 ε Stuͤck. 2 15 124 Groß Dutzt 7½2 ε2 Stuͤck. 216, ⸗ 566 mMg ˖Sſ5 4. 217.⸗ 1I5Schf 19 Lf† 5224 36 ſt. 218.⸗ 33945 . = 219.⸗ 12456 Rthlr. 220.: 46906 Thrr. 3 221.⸗ 8IS4o lK . 222.; 26370. 224. 261 M8 oſs 9. 225. 456m8 7 4 . 226.⸗ 452 m 6ſ5 11. 227.⸗ 624 m8 15ſ. 228. 224 1 4 ſs. 229.5 3288 § 12ſ5. 230.⸗ 6025 M 4 ſs. 231. 6727 8ſ3. 232.; 7909 1Iſs. 233. 6805 mMm 12 . 234 51I6 1rAſSgö. 235. ² 5662 Thrr. 236.⸗ 3147 Thlr. 20 96. 238.„ 291 Lvl. 6ſzvl. 8,Q. 239.½ 138 Lvl. 16svl. 67, 3 duch Ir. 123 240. Fac. 249 Lvl. 19 ſzvl. 6, Q. ““ÿ 241.⸗ 226 Lvl. 66ſsvl. 2₰. 242.⸗ 1868 Lvl. 10ſvl. 243.‧ 1020 L0l. H 244.½ 4232 Thlr. 36 Groten. 245. 5½ 1934 Thlr 47 Groten. 247. 540 248. ⸗ 10132 4 ſ65. 249.; 19663. 250.„ 2383 oſ 6. H 251. ⸗ 3106m 4 ſ6. W B 252. 7218 12ſ5. W 253. 4 4750 m. 254.: 5S160 m 12 6. 255.; 3596 8 1oſß. 256. 6257 ma oſs 6ϑ0. 257. 2708m 1ſs. 258. 5832m 126ö˙=. 259. ½ 9686n8 866 6 . 261. ⸗ 147938 1265. 262. ⸗ 19671 8 12. 263. 23005 8˙s. 264. 162188 1266. 265. · 90000mg. 266. 51849 M. 267.⸗ 21456 M. 268.⸗ 38688 12. 270. ; 113 Lſterl. 10ſsſterl. 8. 271. ½ 2381 Lſterl. 7ſͤſterl. 3 Q.. 272.„ 226 Lſterl. 6ſoſterl. 8 Kſterl. 273.⸗ 184 Lſterl. 16ſsSſterl. 275. ½ 1340 Banco. 276. 27387 m 865 Banco. 277. 27532 86 Banco. . 178. 42577 865 Banco. — 279. 42412 ρ 86 Banco. 280. 2850 Banco. 281.2 65730 & Banco. 20 Nr. 283. 2 284.: 286.2 287. 2 288. 289. 290. 2 291. 2: 292.: 293. : 294. 295. 2 296. 2 297. 2 298. 299. 2 301. 2 302. 3 303.2 304. : 305. 306. 307. 2 308. 2 309. 310. 311. 2 312. 2 313. 2 316. 2 317. 3 18. : 320. 2 22 2 — =. An 4ſ. 282. Fac. 53184 M§ 615 Banco. 83250 M& Banco. 52285 K roſs Banco. 427840 8. 48384 mg. 33600 ms. 45 120 Mρ. 17376 MW. 276480 8. 84000 Mg. 80327 . 93 M. 1310 M. 4620 mM. 6584 —n 10692 mMSs. 4440 Rthlr. . 3829 Rthlr. 4,5 4 33, H. 4987 Rthlr. 39 ſS 6 G. 3285 Thlr. 10Grot. 3 1 Schw. 3596 Thlr. 57 Grot. 421 Schw. 2684 Thlr. 2296 6 2 3543 Thlr. 190 82 §. 9134 Lvl. 3ſsvl. 42½ . 7578 Lvl. 4 ſsvl. 16 J. 2785 Lſterl. Zßſterl. 2 ½ . 2952 ng 13,6 1 ½ . 559 Lſterl. 19 ſeſterl. 5.4 ¾ O. 531 Lſterl. 16 ſeöſterl. 4 N⸗ 54867 Thlr. 390 7 ½ 1 . 44939 Thlr. 720 11¾ M 1769 m8 14 ſ6 11 ½ 2. 4417 m 318 3 3 Q. 211015 mg oſe 10 ½ Q. 130010 mg rſ;. 108844 8 715 9. O * 21 Nr. 324. Fac. 24 m8 76 6. 326.: 9ſ8 10 ¾ 2¾ N⸗ 327. 2ſs 6. 1 329. ⸗ 12 Thlr. 1II 11427. H. 330.⸗ 1IThlr. 16 30 11 6,, . 331. 91ſ 6 332. 25 518 34.‧ 2 75 07%2K* 335. 5 11ſ .AK. 336.; 3 ¾2.. 337. . 6 10 36 . 338.‧ 1ſ 4 22*½Ne 340. : 1111 Ellen. 341.: 972 Ellen. 342.⸗ 1038 Ellen. 344.⸗ 1I5Centner 3 L)ſb. 345. ⸗ 9Schft 12 eſt 7 kk. 346.⸗ 5 Laſt 1Wiſpel 3Scheffel Rocken. 347.⸗ 7Laſt I1 Wiſpel 8 Scheffel 1 Faß Weizen. 348.⸗ 25 Laſt 1 Wiſpel 1 Faß 1 Himt Haber. 349. 352 k. 350.⸗ 728 . 566 29 22 Loth. 35I. ² 352. ¹ 876 k. 4 354. 36 28 Loth. . 355. 29 ſr 10 Unzen. 356. 23 Schſ 5L. 347.; 34 Schf 17 L. 358. . 30ſ† 27 Loth. 359. 29 † 7 Unzen. 360.:; 212 3. Stuͤck. 361.⸗ 432 Steige 32427 Stuͤck. 362. : 231 4 Loth. 363.⸗ 45 ſt 6 Unzen. 364 412 Steige. 365.* 2388 Decher. 367. 369. 3270. 371. 2 372.: 373. : 374.: 375. 375. 377. 378.2 379⸗ 380. 366. Fac. 1234 f. 4567 b. „ 225 Stück. 2 „ 27 2 ⸗ 7 381. 2 382. 2 383. 384.2 385. 386. 387. 388. . 389. X — — A A 390. 391. 392. 393. 394. 395. 496. A ä 397. : 398.2 399. 300: 31 Stein 17 Flachs. 394 Stein 19 ½ † Flachs. 3 Laſt 2Wiſpel 4 Scheffel Erbſen. 19 3 Fuda⸗ 2 Ahm 11 Stuͤb. 33 Laſt 9,. Tonnen Theer 53 Laſt 8 ½ Tonnen Pech. 23 Laſt 15 Tonnen Sp. Salz. 26 Schock 23427%– Latten. 9 Großh. Schock Diehlen. 9 Großt. 7 Himt 4 S teige 15 Stuͤck. 29 Dutz 8 ¼2 Huͤthe. 10 Zim. 3 Dech. 9 Stuͤck Grauwerk. 11 Ries 12 Buch Papier. 27 Mark 10 Loth Silber. 15 Mark 9Loth 1½¼ Quentl. Gold. 4 † 9 Unzen Gold. 45 Schf 79 ½ 7lf. 36 Centner 4 L†5 13 ½5 ½ 54 Centner 3 L† 6 ſt. 65 Stein 4 Ftachs. 29 Schock 28 ¾22% Stuͤck. 75 Stein 8 ſt Wolle. 236 Centner 5 Lft 2 1 62p. 156 Centner oſ 5eεεocU:F-ubRG 945 Schf 22 †* Bz3 27 Schf 15 Lſt 13 78 Schfß 15 Lſb 13 216 Stuͤck. 81 Mark fein Gold. 62 Mark 23 Karat 3 Graͤn. 8060 Rthlr. 32 ſe. ſe Regula de Tri fſimplex. inveria. 2. Antw. 24 Arbeiter. 33 ½¼ Tage. 23 4. Anm. 4 Wochen. 6. 65 Ellen. 7. ; 5Tage. 8. ⸗ 32 Thlr. 8 9 G. 9. ⸗ 20 Ellen. “ 11. ⸗ 10 1½ ½¼ Loth. 12. ; 7t* 4 Loth. 13. ⸗ 26 Lotch. 14. „ 26 Jahr 8 Meonat 6 Tage 16 Stunden. 23 ¾222½ Minuten. I15. 45 Ellen. 16.⸗ 6 Quart breit. 17. ⸗ 6 Monat 6 ½ Tag. 18. ⸗ 20 5. 20. ⸗ 24 Schl. 21. ; 90 Mann. 22.⸗ 4 Monat 22 5 ¾5 Tage. 24. 1 Jahr 6 Monat 22 ¾ Tage, 25. * Meilen. . 26. ½ 5 Monat 18 Tage. 28. 2 800 m Capital. 29. ⸗ 93 ½ Ellen. 30. ; 28¾ Ellen. 31.⸗ 26 Schf 5Lfb. L 33. ⸗ 1I Woche 3 ½ Tage. 34. 14 Schreiber. 35. ⸗ noch 12 Tageloͤhner mehr. 36. 16 Arbeiter. 37. ⸗ 2100 Fuß. 38. ⸗ 39¾ Ellen. ;⸗ Antw. auf den 5 Viertel breiten 39.* Stoffe, welcher nur 52 Mg 3 ½ ſö, hingegen der 4 Viertel breite 58 ½ ma koſtet. 23 ¾ Ellen. 40. — —— Demonſtrativiſche Anweiſung zur theoretiſchen und praktiſchen echen kunſt fuͤr Lehrer und Lernende. Beſonders zum Selbſtunterricht. 15 Hamburg, 1788. in Commiſſion bey Benjamin Gottlob Hoffmann. Gedruckt bey J. D. A. Eckhardt in Altong. 10 Euroskala Offset VierFarbSelector Standard*- 4 Copyright 471999 VXyMaster GmoH wWwW.yXVMaster. com