Ba57-2
author: Metzburg, Georg Ignaz von

Em

-

d

Á

d

a

od rl

us

*

at

x

——

IAMO

:

E

n

EuE

s.

s

o

d

*

LA

n PA

T UMA OMA

9

[]

—

L

V

a'..

oism

s gt

g

x

P

—

d

-

,&Wuää

—

a.

—€— — ——

E a Iu

r

m

-

—

al

j

B

t

m

E

s

A

*

u

ln

m

:

m

E

36

E

d

AE

s.

iÉ

N-

—

**

TOevEE:

i

E

NV

—

s

"

L

a

N

Wi

d

E^

NEDORC r

s

STKAS

N

2

"ER

E

N

ii

W

d

u

—

*

—

d

——

J

^

ewiubeis

17

um

M

(

—

z

—

—

C

Em

Il

[

i

l

p

|

CN

N

[

Í

]

nta$X—

|

ss

N

—

a

|

||

I

H

i

l

1

l

]

l

i

r

wO

,rb

1

NI

u

j

p

ww

B Tübingen

w

3

s

T

d

Es

—

CL. GEORG. IGNAT. DE METZBURG

IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA.

LL. ET

PHILOSOPHLZE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO«

RIS CAES, REGII PUBLICI, ET ORDINARIE

EZNSTITUTIONES

MATHHMATHCæ

1N USUM

TIRONUM CONSCRIPT E.

TOMULUS I

m

M

$

W

27

,

77;

NGS

Vr

,:l

n

£

[

n

|

a

|

|

|

l

?S x

"a

wI

'1

|

i

P

3

|

|

j

N

WiIT

[

E

X

ï

|

i

h

M

,

Z

;EQ!F,.

EX

[

nE

DOREETFAVORTFT

IT

VIENN E

TxPisS JOAN. THOMZJ/E xoi, pnp TRATTNERN

24&8, RRG, AUL/ES TYPOGR

ET EIBLIOPOL /fi.

MDCCLXXV]

ire

Ü

(

C

i

C

(

U

—

v)

INDEX CAPITUM

as

W:&ä

DE LINEIS

P2g.

CAPUT I. JVouones generales Geometrie, ,.

i

CAPUT IL Deproprietatibus lnearum recta-

M

rum ad fé invicem relatarum, & an-

gulorum ab üs comprehenforum

I4

CAPUT III. De proprietatibus linearum re-

Garum ad circulum velatarum. .^

Esl

[9)

2

CAPUT IV. De proprietatibus linearum re-

darum fpatium .claudentium, ,,, 32

CAPU T V. De lineis proportzonalzbus. "..« 54

DE SU PERFICIEBUS

CAPUT L JVoones generales füperficierum. "X

CAPUT.IL De menfura füperficierum.. .. 78

CAPUT 1II. De comparatione, & transmu-

e

ïaflülze aï*earunl € 0067290

88

DE SOLIDIS

-

CAPUT L. ZVotiones generales Solidorum. , 100

CAPUT IL Je dimenfone folidorum..... Y11

CAPUT III. De comparatione & transmuta-

ttone foldorum, , .««« «v eo « » » X4O

CA«

fuA-

f r

INDEX CAPITUM

(2

j

d

q N

DE SECTIONIBUS CONICIS

Ü

h

d

—

Ppag.

AA

CAPUT I .De notone & defcriptione féclio- '

E

T U d

DUm COMICGTUI, ,«« « » - c o o - 15

(gï

;:f

ä

:

E

J)

Iu

R

CAPUT II. Expre[fftones algebraice rectarum

V

[l

[

i

ä

ad féciones conicas relatarum. , . .. 168

CAPUT IIL £xpreffones linearum, que ftunt

ducta tangente ad curyam, .. .. 179

f

CAPUT IV. De diametris curvarum,, & hy-

perbole afymtotis, , 4 «.« « « 1BE

CAPUT V. De dimenfione feu quadratura &

cubatione fecfionum conicarum , cum

applicatiene practica earunden. , 392

NO'

X»

3e

.'.ïug

'ïöäm

&

E

E

d

g

ti; r

AO

$

Y

6;

g

*

^

s

:5

E Ee

AL

(

n

H

9 partiu

N

s

2, C

ln iil

18

x ep(

hi

&X qu

fola

, fCCq

4

DE-

l [tig]

äþ

)U

(Pil s )

&sm*)

(X 33

B AAL ARA

v * mf

i r

£2

"COX

x

L

g

AA R CAAMN

AL CAV

(

9506

)

£f h

s g

&t

&f 9.

l

- MAS

£a

PAX

*

"

AR xX

"

o

J*

TO

P?E-

"

E:

ss 2

?

s

*

E

)

J

*M&

ä

;:';

"

gä

[

9*5

ä

I

aA

1j

B

|

—

ugF

&

s

n2

&: »)95"

A

n

t

97)

ä

ä

m

23

Ts

ov

ï;iä

W.

&

D

Qorea x2

EX

—— —

WU.

I6

í

ELEMENTA

1f2

GHOMRBTRIJE.

-

ï18;

W

D]äï iil BIS.

1

J

C

ATPITI:

W

NOTIONES GENER ALES.

;DEFINITI/O I.

Es

£ -55

eometria eft fcientia quantitatis continus. (Sü

z'GfFä

e-um

L .Arith.) Demonftrantur ejus proprietates

- quoad extenfionem: extenflo vero eft pofie

tio partium unitarum extra partes.

COROLLARIU M.

2, Cum omnis extenüo triplici modo confiderari poffüt, in

longum fcilicet , in latum, & in profundum ; quzlibet autem eX

his vel feparatim üne alia, vel cum alia fine tertia vel cum.

utraque adeoque omnes tres fimul accipi pofünt, fequitur, tri»

d

plex quoque Geometrie óbje&um eífe, primo, dum lonsitu:o

fola; fecundo, dum longitudo latitudinijun&a; tertio, dum longi«

tudo, latitudo & profunditas fimul in conüderationem veniunt,

AMeisb, Math. P. LL

À.

P

gï

»

/

£

4

CAPUT L

Prima dimehüo Eufh;.'mem'a: altera Planimetria: &ertia Sfertomes

fria appreïllatur: de qualibet feparatim agemus,

W

SCHOLIO SZ—N.

í

partes

4. Quamvis nihil exiftat, quod non triplicem extenfionem

üt 4b

hanhc habeat, nil tamen vetat, unam fine alia; confiderare,

lta

de lBneitudine vis fine refpe&u ad latitudinem aut de latitudine

aliit)

fuvii fine refpe&u ad longitudinem loquimur. Campi, prati, aut

acri latitudinem & longitudinem fimul fine profunditate fumimus.

Notandum preterea eít, hos ipfos conceptus fejun&im fumptos

1

tantum diftantiam obje&iab objecto alio.defgnare: ita longitudo

vie denotat diftantiam unius termini vie ab alio: latitudo fuvii

2d pu

sutima

diftantiam littoris ab adverfo littore: profunditas folfe diftan-

tetor

tiam fundi infimi a fumitate.

Conjun&im autem fumpti alias

ben

&otiones involvunt, quas fequens definitio declarat.

fin&

DEFINITIO II.

168

4. Extenfio in-;ïc;ngllm Linea dicitur: in longum &

latum fimul Saperficier, feu planum: in longum, latum

p

& profundum Coq)u: feu Solidum appellatut.

m

detez,

DEFINITIO Il

s. Puntlum omni extenfione & partibus caret, adeo-

que pro extremitate linez haberi poteít.

line:

$SCHOLION,

Tea

6. Geneflim mathematicam diverfarum harum extenfionunm

bur

&

fic concipere licet. Si pun&um a loco 4ad locum B movetur, hie

znotus gzenerabitideam lnee, habebit enim folam extenfionem lon-

ft ]1

gitudinis, & fi nullibi, afua dire&ione verfus B defle&tat, Jinez re-

iu:;:t;

Yull:

éc: fi momertis fingulis a via & dire&ione declinet, linee curve

-

ideam gerierabit. $i tota hzc linea re&a alia dire&tione quam fecun-

Fnt

qdum longitudinem vel furfum vel deorfum moveatur, motu fuo

X

generabit ideam fuperficiei.

$i denique tota hzc fuperficies fur-

fum aut déorfum moveatur , corporis feu folidi ideam dabit,

I

Fig. r. €D exig linea: CDAB planum : CDLABRF folidum.

a

"

Ji

D E.

f

x RECT

at

——

. NOTIONES GENERALES.

Itf

J

DEFINITIO IV.

7

7. Liínea igitur refa eft, (Fip. 2.) cujus omnes

lonem

partes zqualem feu eandem femper dire&ionem fervant ,

5 d

ut 4B. Limea curva eft, cujus partes aliam femper &

j

qdt

ul

M

t, a

aliam. Qirec*tionem acquirunt, ut ACDB,

V,

COROLLARIUM L

mptos

$. Linea igitur re&a omnium breviffima eft, qu*e a punc&o

mada

) furii

zad pun&um duci poteft, & hinc ad diftantiam , que eft via bre-

viífhma, accurate determinandam aptiffüma eft, & cum omnes di»

difite

1 aliaf

reciones cujusvis parfis verfus pun&um Oppofitum tend-re de-

beant, fequitur non nifi unam duci poffe, quevis enim alia di-

fin&a. aliam dire&ionem contra hypothefin haberet, Ita omneg

redo ab .4ad B ducte fupra AB cadunt.

COROLLA.RIUM IT.

u &

latum

9 Duo igitur pun&a fitum rec» determinant: datis enim

pun&is datur dire&io, quam omnes partes habere debent, quee

cwn eadem per totum & una tantum fit, reca & quidem unica

determinatutr.

SCHOLION,

ideo:

IO. Bene diï*cinguendum eft, inter pun&a & inter párteg

lines.

Pars feu elementum linez tantum eít infinite parva li

nea &non puncum, uti pars auri tantum eít aurum & non plum-

bum.

Linea, addita linea infinite parva, augetur, additis pun-

102f

&is, qua omnem extenfionem excludunt, nom.augetur, non enim

It hie

fit longior.

Nec veftigia igitur pun&i moti, nec pun&a ipfa

m1or

juxta fe poüta lincam conftituunt.

Hinc duze linez fe íecantes

tt*

nullam partem. communem Rhabent, fed in unico pun&o fe fe-

ame

cant,

Deberet enim diredio partium alterutrius mnutari & hinc

ecune

A1on manerent linee rete ($. 7.). .

| fuo

; für^

DEFINITIO V.

u t

]

tr. Cum linez tantum extenfionem in longum ba-

be&þt

nonnifi juxta longitudinem inter fe comparari

poífunt, quam comparationem dum inflituimus, metiré

feu menfurare. dicimuz,

A $

SCHQ.

-- M 7";: dH M. -

d

NT

pdev-

CAPU

1

I.

P

SCPOLION

IG

*

v ]

-f

32* P

c ergo neceffarium eft, ut quedam pnus longitud

5

-]

determinetur

»

ad quam reliqu* examinentur. Talis longitudo eft

i

determinata linea re&a , quam orgyam feu hexapedam vocamus .

—]

fubdividitur in fex partes, quas pedes;

hz in duodecim alias,

ai

'—'j

quas ài

gitos; he rurfus in duodecim ahas, quas lineas vocamus,

ïv

z

-i

fubd

E- untur. $i longitudo decem pedum accipiatur, decempeda

—

dicitur,

quilibet talis pes in IO digitos,

icin Iolineas fubdi-

-[1

viditur

que fubdivifio ob faciliorem calculum frequenter adhibe-

B

&ur. in 5inis

cimalis partitio non tantum menfíuris fed étiam

ponderibus applicatur, Hzc autem determinatio cum a diverfis ho-

aninum coetibus in variis regionibus ad libitum fa&a át, meníure

quoque varis extiterunt. lta Pariüna differt a Viennenfi, hsc a

"

Londineníü &c.

ve

A

at

SCHOLION I

[l

T*

I

i€

Varias has longitudinum dimeníiones ex celeberrimis

Pari

auctoribus collegit clariffümus Liefganigius, & in fuo laudatiffimo

opere de Hlmemo gradu Meridiani recenfuit.

Ad faciliorem

i

autgm & acc

atilorem comparationem Pedem Viennenfem diftri-

i

Quay

M

buit in I& *O"OO partes,

quales continet tabula fequens: Id eft:

ami

j

fi pes Viennenás habet IOOOOCO, Alexandrinus -112962 tales par-

he

"a

tes habet, Norimbergeníi tales partes habet 96rI09

s

1

[r

Wittig

Pes Viennenfis,,

*

L

[

€o6ve e€*60990660 9** 006 9 090069$6€60 IOOGOO

[

&le x

ïPX"ndflnüS.. * €6 e6 be& ** c900 90

o e9..9 €6 96

. 112969

pum

Arablcus.. e* &«* «e »^ oót «* 60 699 «* -^ .** 6*8 096 66 84723

H

Argentoratentis UPDIGUS L. eio aecéce sss ces ss ousvOLSdA

Xcut

MOracicBE h. o a n m u LE VRR A MT RR r - . O23qE

Bohemicus,

* 4909 «€9€9 0660 9 99 99 €6'«e0 96 69 9 o ^5 90767

Bononienfis.

* eee4*o à6 o* «5 «* *6 9* «* 96 99 V6 «9 9,9 340319

Caftiliw ulna

$96 00«6060066$09$6*9 00 9**0 0669

o«2 Q047250

DanlCUu e99*90€6€9*50/,0«*.26 0* et »9 6 toq09*9* 60 «* *€ OUIOOX(G

ütam

Florentinus

*$5 29 €e$609*€* ee'.e«06 6659 525 j^ «* &6 &09/&* 1(419;

4&B

Gr

us VEEUS . LLu

*9*9^*9606*49006^7»20 60*

*599* cos-() 082

Xuod

Hebraorum cubitus

P

e*$59 8 -o-e.--.oo--OO""^'I/ (J[

l)

i

ba

LCldx,nlla,. 9* »509e69€064e€29

"**ee€e-09*9

? 09e*€99** *9 De v* 99 26

kx.'

at

')ndluf*nnS...u * -^5 «e/ 9 9 .5 o* € «o2€6 »5 46 606 ot»6 0-96460

üet

Moscuma,

RUT

(*loïa-n'-a(i.. ** 66 069 09à60*6 $6 06 99 909 99 ** «6 ^* 188400

Ote

mmmenn

NC

oravic

**o **$€96€*060 »o « o t696*8 0999 9009 060 €9 »& ..ICS

oQ

Wcen

Ó

Neapoltanus

giimu;abs" 0* *? $9 0* $6999 »€ 069 e99*9 *2 8 869

XE-. "n

LVE

Pes

/—

m

N

-

NOTIONES GENERALES,

5

PGSNiorïm.bergenüs $ ,492.4 66 $909 69 69 5.09 e6 »9 $9 60 .TQSIOQ

Parïünllsu- "9e6**9*06860 99 oo-oy *9€29? $999 9890 »9 00.0006102?6-.41

ld

Rhenolandicus feu Leidenfis, . .. 44.,.. .2 0 20 .. 99326

1

Roninus VERUSS 2. o a. 4 Q x

e*290 9* 000-909348?

u$

ROm&nUS mOdernUS. 9?*9 9999 99 99 ...,.. *€*o*9 960 »o6 »?^9 94232

'3-53

Romanus palmus modernus ,. .2.. .. o .0 v* 0074

u

Romahnuspallus modernus;....e 26 l ee c " een

AJ,

. 471160

eda

Siïeüæ..,. *6»9 29 *«* $9 €990»9 0900990 990 0690 909 99 bb0091550

Sinenüs-cquo 99 «9 e? $060989099? *9 $450 250« 9059 600001000010114*5

fl*

s

Suecicus,. .,

$ «6 0«o0 09 99 8909060902 $68 920 0* »&8 79 e5 93953

FHTTEBELLITET!

m

yaï rinenüs-' $690;090 »940 *9 090099090052500 *9 9 -'o *o oblögggg

M

SCHOLIOSNS II

üte

« 4

14. Longitudinem igitur datam quamcunque Ífi reducese

-

velis ad Viennenfem, hac proportione utere, ut menfura loci dati

in tabula expreifa ad Viennenfem tabularem , ita longitudo dat&

ad' Viennenfem quzefitam v. g, ICO pedes Pariüni quot faciun£

[

Viennenfes? erit I00000: I102764 —: 100 : 102, 764. ergo 100

Parifüni ubi-funt, Viennenfes habentur IO2, 764. Viennen-

Imo

fem ad alias fi reducere velis, hac proportione utere, ut tabus

(2ui

laris Viennenfis ad aliam tabularem , ita data Viennenfis ad

j

fe

quaefitam aliam.

Ita Hexapedam Viennenfem cum Neapolitanig

J

palmis comparaturus dices:

82889:

IO00000

—--6:7,938.

i

in regula autea

Bene hic in memoriam revocandum eít, quod

de ordinandis rite terminis dictum eft, ut in uttaque hac pro-

portione contingit, cum enim quartus in utroque .cafu debeat

M

Jv

effe major quam tertius, etiam fecundus major debet effe quam

6a

primus.

Ideo in prima eít: Vienneníis ad Pariünam, ficut Pa-

riina ad Viennenfem.

2j

In altera Neapolitanus ad Viennenfem ,

4

ficut Viennenfis ad Neapolitanum.

SCHOLION

IN

6

n

I5, In charta linea re&a ducitur plumbagine, aut calamo

00

atramento finico infe&o juxta aciem regule duobus pun&is datis

4 & B applicate. ( Fig,5.) Bona autem erit regula, fiidem latus juxta

4

xuod du&a eft linea , eidem linee, fed ex parte averfa appli-

E

3

catum congruat, ita ut pars regules, quae prius dextram fpeca-

af

bat, finiftram refpiciat; gibus aut finus in linea errorem proe

16

det.

oleo aut cera tin&o ,

vci

1n campo defignatur fune ,

(

catena infer limites datos fortiter tenfa aut baculis ita a fe in-

Vicem difpofitis, ut primus .4 omnes fubfequos B, C &c. ob-

li&-

t6gRt. (3'7?';'*. 4.) Cum enim radï*:xs vifualis linea recta pro

99

A 3

tur;

6

CAPUT I

[2

t

L

f& vifo primo reliqui difpareant , omhnes eruat 1m radi

vifuali

?Mi

onfequentet in linea recta

Baculi autem | verticaliter

erigendi funt, quod ope libelle B(Fig.5.) preftatur, zpplicando

Mf

latus ac baculo

i pondus.4 in filo fufpenfum lineam in medio du-

cl

&am o'tegat, fitus verticalis baculi erit, fi verfus c aut d cadat,

p

baculi fitus tamdiu mutandus erit,

donec 44 ad medium veniat

in t2bula

CFie.

D

Fr

i defienárl poteft,

d o a

(;) fi lum colore delibutum

in 4 &B bm-r* tenfum figatur,

in me

dio: C elevetur,

& rure

Diex

(n'x

fum demittatur, erit A4B linea de!

i$dic L sn

Lines loneitudo aut

phe

"

dividitur in partes

aut in alium locum transfertur ope in-

1i

firumenti

a

u9 x

1£&

d

uo crura ;ïl extrem

itate una cumumuntur, im

altera

ïïy,r*nu

N

3.4

varias

iftan

las divaricarl poffunt

(Fig. 7-)

& CITCURL

»

e

vOcatur.

H

duo

in

rl

f"

nenta, regula & circinus, re«

liquis omnibus

&ch

?:C

fola

i

n

2:

(—;

metria admittuntur.

inte

htu

POSTULATUM I

M

NI

16. Quzvis recta in utramque partem produci

to

& conti

ari poteft

D

POSTULATUM II

dafa puncta duc

'I! Y*

(9

iiJ

oteft recta.

I

OS

E

TULATUM III.

Pr

"Y

nE

Q

X X

gtlä.

l

recta majore polfunt partes mino-

r

fes au

4LV A

L*ï*pv

n

&

DEFINITIO VI

19. Ppura elt fpatium lineis claufum;

ä

ipfum. fpa.

u ciaufum area fi'ruf'æ

linee claudentes

(feu re&m

feu curvae ) perimeter figure & quolibet linea latus figu-

IT dx

k

DEFINITIO VI

20. Cmeulur eft linea curva in fe rediens (Pig. 8.)

r

n

ujus omnes partes a. puncto medio zqualiter diftant,

quod p

puné&tum medmm

« eentrum, ipfa vero linea CLuva

P:.

;

m

as

NOTIONES GENERALES.

?

tMis

caliter

geripheria feu. eircumferentia circüli appellatur; pats cur-

cando

vz interior, quz centrum refpicit , eft pars concava,

0 di-

exterior vero eft pars comvexa circuli; quecunque hujus

4dat,

peripheria pars eft arcus circuli v. g. EB, FL; lines a pe-

filaf,

Qunt

ripheria ad centrum du&ze .4C, BC, EC &c. radii ; du-

Wtv

plex radius feulinea per centrum tranfiens & in peri-

/ .311?.

pheria terminata .4B diameter* linea a peripheria ad pe-

H

ripheriam duca DF, DB, A4B, chorda circuli dicitur.

»

rI

"

I

)

Totum fpatium internum area circuli: pars circuli ab

It

arcu & chorda intercepta DG.LF fegmentum : pars vero

inter binos radios & arcu intercepta ECB /eor appel-

]atur.

Tangens circuli eft linea re&a . quevis HI, qua

occurrit & coincidit cum circulo in linea infinite par-

ul

va, ex quibus circulus componitur & que producta

to'a extra circulum cadit: /écazs vero eít linea re&a

KL, que a pun&o extra peripheriam perarcum tranfit,

.

SCHOLIO»N

4I. Peripheria circuli in 360 partes, quas gradus voca-

mus, dividitur, adeoque dimidia peripheria feu femicirculus

eradus habebit 180; quarta pars vero feu quadrans 9o.

Quili-

bet gradus fubdividitur in 6O partes, quas minuta prima aut

01

fimpliciter mnmufa dicimus; quodlibet minutum primum in 6o

pa

lamus: hec in 6O partes alias,

minutafecunda, que fecumda 2

R

quas fertia dicimus &c, &c. itesum dividitur,

Ideo autem hic

£raduum numerus adhibetur, quia. plurimos divifores partiales

admittit, ut 2, 3,, 4, $, 6, &c. &c.

He partes ita delignari

u

folent; 35^ 56'/ 15// hoc eft.35 gradus, 56 minuta, 13 fe-

cunda.

N

SCHOLION

i.

92, Genefm mathematicam circuli fic rurfus concipere li-

cet; fi linea re&ta AB extremitate .A fixa circa puncum 4 rote-

tur, donec extremitas B rur(us ad priorem locum B perveniat,

via hec a H fa&a ideam circuli generabit,

Cum enim longitudo

line» genitricis immutata per totum motum maneat, ejus extre-

mitas B pér totam viàm eurvain zqualiter ab extremitate 4 di-

fat, fed curva, cujug omnes partes a pun&o medio sxqualiter

diRant,

A 4

T

p

QAITPUTU

8

difant, ef citculus, erzo curva a B fa&a eft circulus, qü! rur«

fus ex meris re&'s infinite parvis, quz omni momento squali-

ter fuam dire&ionem mutant, componitur,

H

ul

COROLLARIUM TZIZIZ

4. Sequitur inde, omnes radios ejufdem circuli

adeaque

€

etiam. omn

»

diametros, que funt (F7g.

)e;

9)

luplum radiorum,

nter fe effe equales, quilibet enim linew genitrlci zqualis eft

p

not h

& pro

la affumi poteft

Patet quogue diàmetrum

r

ripheriam

in duas part s equales dividere,

Dum enim radius motu (uo eo

lod

pervenit, ut cum radio immoto in dixe

ectum jaceat v.g, CA4B,adeoque

QU

unam

: g

as

ectam,

feu diametrum efficiat, tantundem vie emenfus

eft, quantum reüat

donec ad idem puné&um B, ubi motum ine

i,

cepit, redeat,

fed.via radii eft peripheria fuperior

& inferlor,

vie funt'sq ualcs, ergo etiam peripheria fuüperior, & inferior

equalis effe debet,

COROLLARIUM

N

II

&

tif

d

24. Sequitur quoque, magnitudinem circuli a magnitudi-

fié ftadii dependere,

quo longior eft radius, eo maeis periphe-

1,(

ria a pun&o medio diftabit,

& hoc ipfo eo major erit circulus

fipy

Non tamen propterca plures habebit partes,

quam $560,

ut

Tmeniu

vel ulna major

aut minot eafdem refpe&ivas partes

fs ]

l(

[

quartas ,

Octavas &c

habet, fed hs pasrtes eo majores erun

quo peripheria major eft

omnis enim quarta pars & majoris &

ean

minoris circuli habebit 90 , omnis dimidie 180^", omnis od&a-

lin

và 45 , fed hi gradus in minori minores, in majori majores

(

erunt, proportionales femper peripheriz,

Qu

SCHOLION

Tij

n

25. In charta defcribitur circulus ope circini, cujus ünum

erus ferreum mutatur penna chalybea 2tramento finico infeca,

terum crus figitur in centro 4 , &adlongitudinem radii AB aperto

erure a] wro defcribitur mrauh,s.

In campo extremitas funis figi-

tur

baculo in centro € (Pzge IO.), &

accepta longitudine funis

hii

u

adium adequante

trem itag

altera 4 circumducitur , baculo

Qu

tidem B affixa

$i fums loco pertica & baculorum loco cufpi-

[is

$ accipiantur, circulus perticalis exiftet.

t

"u

P U

Fxm

ï

V k

Sr NWS C P&thAL

l-;&,ds

EFINITIO VIII

26, Circuli: concentrici

funt

qui idem centrn

—L

um

M i

exeeutrict , qui diverfa centra haben

que

DEFINITIO IX

(llm

$ el

27. Congruere dicimus, qux eofdem ub:qup term

I

lam

nos häueht Fundem autem /fftum habent.ea, quz refpe

(w-

t0

loci & partium. eodem modo difpofita funt, ut radZ

e0que

eniui

in duobus circulis eundem fitum habent, fi uterque fur-

f

fle

fum, vel uterque deorfum ad eandem partem ducatur

HOf

enor

DEFINITIO X

28. Similia dicuntur, quz eodem modo generantur,

& determinata funt, & easdem proprietates preter quan-

titatem habent;

hinc omnes linee rectz*, omnes circu-

/nþ

li, omnes arcus & anguli ejufdem numeri graduum funt

Jf

figurz fimiles

licet quantitate differant, & unum ma-

u

te$

jus fit altero, quod unicum eorum difcrimen eft. . ZEgua-

?t

lia füunt, qus przter genefim & proprietates eafdem

sk

eandem etiam quantitàtem feu magnitudinem habent;

f

hinc duz linez re&» zque longe, duo circuli ejufde

te$

radii zquales funt.

Onmnes igitur linez recte cujuscun-

que aong:tud nis omnes circuli cujuscunque magnitudi-

nis fimiles

nt; & in duabus figuris equalibus muta-

ta eqanmaw æthtaæ mutatur, fimilitudo manet.

^j

COROLLARIUM I

2

3

Sequitur inde, zqualia fibi fupe rimpofita perfe&e con-

£ruere debere, ita ut fe invicem perfede tegant ; adeoque fi duse

quantitates coneruunt, aut fetegunt, legitime inferre licet, easine

ter fe xquales effe. Si circulus 4( F?g, 11) impofitus circulo B eidem

tongruit, & eum ex omni parte tegit, & B impofitus 4 itidem

eum tegit, 4& B eodem radio defcripti & aquales effe debent,

€ O-

RT

/

yo

CAPUT L

COROLLARIUM II

50. Wine duo squalia v, g. circulus 4 & B(Fip. TY.)

folo numero a fe diftneuuntur ; proprietàtes enim omnes eas-

i

dem, eandem lineam genitricem habent, & eodem modo geniti

funt, ergo in ij$, per qua diftineuerentur ,

congruunt, diverfsa

&gitur fub hoc refpec&u effe non potffunt,

f

Simul igitur unum feu

"

idem funt relate ad effcntiam & proprietates, & (imul duo rela-

ü

tfe ad numerum, quód sque nullam repusenantjiam involvit, ac

ilud in arithmetica: unum poffe etiam. eífe multum ($, 3. arith,)

M

te

füb diverfo fcilicet refpecu.

&

DEFINITIO XI

egï ZAngulus eft duarum linearum in pun&o concur-

£

i

ti

um inclinatio.

Pun&um concurfus vertex anguli,

8l

due v

ro lineze crara anguli dicuntur, quibus angulus

n

«

infitere dicitur. JRelmeus ( de quo hic agitur) quem du

ï

ii

f

eQue ; mixiilineur, quem curva & re&a, curvilineus, quem

P

&

curva cum curva facit. ^ Denotamus apngulum vel litera

&

inferipta aut ad verticem appofita, vel tribus literis,

$1

ex quibus media 'angulurm, reliquxe duce extremitates

crurum defignant; Ita P;z. Y9. exhibetur angulus a vel

li

44 , vel B.AC, cujus crura funt AB , & AC.

fc

Bl

SCHOLION L

52. Genefim anguli ic concipimus: fit ( Fig. 13. ) linea

CB ita impofita linee CD, ut , perfe&e cum illa congruat.

Po-

natur pun&um C fupra C remanere , B vero a D recedere, tota

linea CB hoc ipfo a linea CD recédet, & quamdam inclina-

tionem ad eam acquiret, h»c inclinatio femper augetur , donec

ad puncum E perveniat, ubi zqualiter verfus dextram & fini-

ftram partem , feu equaliter verfus D & F. inclinatur, in motu

dein ab E verfus F inclinatio rurfus augetur, donec in F maxi-

a omnium fit, & angulus infinite magnus evadat, & linea

mota cum quiefcente unam rec&am FD efficiat, fi jam ab F

deorfum moveri incipiat, anguli eodem modo ab F^ verfus, D

crefcunt, donec primum fitum linea mota acquirat , & fupra CD

uU E M — £ * waS — o CA MR . Md

jaceat,

SCHOQ-

NOTIONES GENERALES

YX

SCHOLION I

- Tr.)

33. Qui hanc genefim angulorum confiderat, advertet, eo-

$ eas-

dem fere modo eos generari, quo fuperius generari circulum di-

eeniti

ximus , extremitas enim B linez CB mote etiam hic circulum

atf

defcrihets; & ficut B a D recedit, ita arcus BD & aneulus illi

um (eu

oppofitus crefcit; dum ad pun&um E pervenitur, ubi inclinatio

0 teli-

xqualis eft verfus utramque partem , defcriptus eft quadrans cir-

euli,

jt, a€

Dum B motu fuo ad F venit, femicirculum| defcripfit,. &

títh)

anzulus omnium poffibilium maximus habetur; & ficut circulus

zedeunte punéto B ad D totus abfolvitur, ita etiam anguli coine

fïdeme pun&do |B cum D definunt,

*

COROLLARIUM I

nc

ia

54. Inde jam clarum eft & perrpicuüm, circulum & ejus

2

ä

i

gu

&reuS pro meníura angulorum adhiberi pofífe,

'fotus circulus

Tu

l

uf

omnium aneulorum, qui circa puncdum quoddam, quod:tanquam

Qug

centrum confideratur, efformari poffunt, menfura eft, & omnesz

fimul 360 gradus efficiunt,

Omnes vero, qui fiunt a minimo

quem

ad maximum, donec mota CB cum CD ilineam re&am efficiat,

[iteta

equivalent 180 gradibus,

Quivis denique angulus tot habere

etis,

£radus dicitur, quot gradus habet arcus inter crura interceptus

9

ateh

& ex vertice tanquam centro defcriptus,

Ita omnis .angulus,

uifit, dum linea *qualem ad utramque partem inclinationem

; Vel

habet, ut angulus ECD , habet pro menfura quadrantem citculi

feu 90?: dum minorem habet inclinationem , crurà anguli mi-

nofem arcum quaim 9O^: dum majorem ha&bet inclinationem,

3iajorem quam 90 graduum intercipiünt, ut anguli BCD & HCD.

[itea

COROLLARIUM Il

P

&

3

-

B

j. Sicut quantitas arcus mon a masnitudine graduum fed

,tüä

2 numéro graduum dependet, (S. 24-) adeoque major minori fpe-

n

jonee

&ato hoc numero szqualis eífe poteít, ita etiam anguli omnes,

qu

L

1

fini-

equalem habent inclinationem , per interceptum numerum

notu

£raduum determinatam , zquales funt, quxcunque longitudo li-

nearum angulum efücientium ponatur.

axi

Longitudine enim cru-

yum mutata, inclinatio non mutatur, ficut longitudine radii mu-

ines

tata quadrans v, g.

-

circuli non mutatur , fed major & minor 90

bF

£raduum effe ponitur: ut in Fig. IA, apparet, ubi mutatis ra-

J5i D

diis nec inclinatio proin mec an

(ulus nec quantitas arcus i5

TU

Gradibus mutatur,

SCH O-

j

*v.

F3

d

T

15

CAPUT 1

SCHOLILON.

36. Ad determinandam igitur. quantitatem anguli receffa-

sium . efít circulum Ífaltem dimidium in gradus divifum habere,

410

ut arcus inter crura interceptus hac ratione determinetur,

Ín-

(fig.

firumentum hoc ex orichalco, ebano,

aut charta. crafhore pa-

ii$; Ut

fatur; defcribitur fcilicet centro C femicirculus, & in r8O par-

tes feu gradus dividitur.

C(lag. 15.) Pars folida a divifio-

num lineis ufque ad diametrum exícinditur, & penes centrum

C nonnihil ex parte quoque in/eriore demitur, ut pun&um cen-

^

P

trti accurate diftingui pofft.

Applicatur pun&um C vertici an-

L

Centto.

guliita, ut crus unum accurate radio .4B in fig. 14. conegruat;

riz infi

crus alterum ( prolongatum , fi opus fuerit) in peripheria tume-

yum graduum, quos arcus cómprehendit, deíignabit; adeoque

faus j

angulum in centro pofitum menfurabit ,

ita angulus a 98 gra-

uc

ne*

duum effe reperietur.

figun. g

DEFINITIO XIL.

37. Angulus fefíus eft angulus 9go^; obguus qui

differt a 9o0?, & in fpecie acutur, qui eft minor; obiufus,

(R

qui eQ major recto feu 9o*.

Tagis à

COROLLARIUM.

38. Omnes igitur re&i xquales funt, cum 9O gradus 90

4

gradibus femper squales fint.

Acuti vero & obtufi

tot funt,

( o

Q»ua

À

quot differentie a minimo angulo ad 9o & a 9o ad 180 dantur.

Pendioy

Derpend

DEFINITIO XII.

Brimam

Cunt,

59. Anguli conzigui funt, qui unum crus commune

Cicitur,

& eundem verticem habent, ut anguli a & ?. ( F2.16.)

Anguli deimceeps po/fiti funt, qui latere uno produ&o ex

utraque parte exiftunt ut a & &. ( Pzg. 17.)

z

an' ]Cþn

COROLLARIUM.

lt

40. Omnes igitur deinceps poüti funt contigul, fed nom

infiin

omnes contigui deinceps pofiti.

lt ;

'edun

DE-

icve

NOTIONES CENERALES.,

* 18

rieceffs.

DEFINITIO XIV.

abere,

41. Anguli veriicales feuad verticem oppofiti funt,

.

In

CFig..18.) qui fiunt a duabus re&is fe interfecanti-

te pa.

10 pate

,bUb, uta&b,c&d.

divioe

entrum

DEFINITIO XyV.

Il Cefl-

i gt

42

Angulus «d cenirum eft, cujus vertex eftin

o

centro, circuli, crura vero funt radii adeoque periphe-

fiürtie«

rix infitunt, ut in F/z. 8 angulus « a radiis EC & BC

deoque

fa&us; angulus ad peripheriam eft , Cujus vertex & cru-

j g

T3, quz chordz funt, in peripheria exiftunt, ut in eadem

figura angulus c a chordis 45 & DB efformatus.

DEFINITIO XVL

4 u

43- Linea perpeudicularir vel mormalis eft te&ta EC,

dtafut,

(Fig. 19.) que ita infiflit, alteri re& 4B , ut non

mag;s ad unam quam alteram partem inclinetur.

COROLLARIUM.

us 90

44. Angulus igitur a perpendiculari fa&us eft re&tus

t funt,

(88.24.37.), nec perpendicularis fine re&o, necrec&us fine per4

intate

pendiculari effe poteft. Et dum una linea EC ( Fig. 19.) eft

perpendicularis ad alteram .4B, hoc ipfo etiam altera AB ad

primam EC perpendicularis eft; fimul enim angulum re&um fa-

cjunt.

Linea, que cum altera angulum obliquum facit, oblique

dicitur.

mue

J6)

DEFINITIO XVII

) 6X

45. Linee parällelæ funt, qus ubivis eandem a fe

invicem diftantiam fervant, ( Pzg. 20.) & hoc ipfo

equalia perpendicula ac & $d intercipiunt, adeoque in

j

infinitum produc&te nunquam concurrunt.

Comvergentes

funt, qua ad fe acceduant : Divergems, que a íe rev

Cedunt,

D E

EL st

14

CAPUT.I.

DEFINITIO XVIII.

46. Oppon: dicimus illa, e quorum uno ad alte

$

xum perpendiculum ducere licet.

EATDT i

d

(

eidem

De proprietatibus linearum rectarum ad fe

dO 1]

invicem relatarum & angulorum ab iis com-

vettic

prehenforum,

THEOREMA L

n

n

nguli deinceps pofiti funt zequales 180* feu

TA

duobus rectis, (Fig. 17.)

DEMONSTRATIO.

Ex C.tanquam centro fuper a & ) däf'cribïmr

R

u

femicirculus, eft enim DB diameter ( $. 20. ) fed fe-

uf

-

micirculus habet 180*, & eft menfura angulorum inter-

1f e0i

Ceptorum a & P .(S- 34.) ergo etiam a & ) z 18o?

Q. E. D.

Yo

CORIOLLA.RIUM l.

48

Hine dato a datur

£

y

1

eit enim 4 -l- b — i80^ erse

bligo? — &,

Si

4

gituf P menfurari non poteft v. , angu-

angu

]

&

p

innotefcet 5.

Cor-

ius alicujus propugnaculi, menfuretur a,

füram

plementum anguli vel angulus complementi ad re&um dicitur an-

i

Tt$ 3

£ulus, qui cum altero rettum facit feu 99? : fupplementum vel

angulus fuppiementi vel complementi ad duos re&os eft

(iiig. LA M E

anc

*:

nlue

Ment

entj

tá f

qui cum altero duos re&os feu 1980? faeit,

-Y

nl

COROLLARIUM

A

I.

hnäl

49. Si duo anguli deinceps p

IDETS

nf

tifunt equales ut in f£g. I9.

* & b, uterque 90? habere debet, igitur redi funt, & linea

pexpendicularis habetur ($. 44. ).

"THE

'e

w

d

il

——À

DE PRO.PRIET. LIN. &c.

*

THEOREMA IL

| alte

So. Anguli verticales funt zequales. (Fig. 18.)

DEMONSTRATIO.

—

4 "- c 180?;- quia deinceps pofiti, fed etiam a

-«dz 180 ,

ob eandem rationem ,

ergo a --

« — 4 -- d; que enim funt eadem uni tertio, funt

3 fe

eadem inter fe: in utroque zquationis membro delen-

do « manet c z d.

0f

Sed c & d (unt verticales, ergo

verticales funt equales. Q. E. D.

*

COROLLARIUM.

$1. Hinc dato a datur b, eft enim a — b, & loco a menífurae

ti poteft b, & innotefcet a, uti $. 49. di&um eft.

o fe

THEOREM A III.

52. Anguli omnes in eodem puncto recte c

(F?g. 21. 29.) a pluribus rectis infiftentibus facti

fbittt

l

à fe-

funt

emcecczion

180? feu duobus rectis,

Si vero plures fe

in eodem puncto interfecent, anguli omnes funt z

'mtgï-

9

190

360* feu quatuor rectis.

DEMONSTRATIO.

Ex pun&o c defcribitur femicirculus menfurans

&t

angulos ,

& in altero cafu de(íciibitur. circulus men-

furans angulos, fed ille habet 18c^, hic 360?, ergo om-

p 4

nes anguli in eodem pun&o rectz a pluribus re&is infi-

In

ftentibus facti funt —— 180* feu duobus re&is, & fi plu-

res fe in eodem puncto interfecent, anguli omnes funt

z 360* feu quatuor reQds. Q. E. D.

r [3.

ii

THEO-

16

CAPUT IL

THEOREM A IV,

!

iLl2

ris

ad alteram re-

53. Linea -eft perpendicul

(ine

Cam, (Pze. 23.) fi duo puncta primze zequaliter di-

d ta|

lec ]

ftant a duobus punctis alterius.

DEMONSTRATIO.

Pofitio linee re&:x a duobus punc&is dependet,

($. 9.) fi ergo duo pun&a F & C zqualiter ab 4 & B

»

a Z

diftant, omnia pun&a zqualiter diftabunt, & hoc ipfo

totalinea FC noh magis ad unam quam alteram partem

inclinatur; fed talis eft lineà perpendicularis, ergo fi

ï.

duo punéa primz zqualiter diftant a duobus pun&is

Q

alterius, linea efít perpendicularis ad re&am alteram,

Q

A o

H

DO

!

"

COROLLARIU M.

fra ln

54. Hinc ut demonftretur lineam eíffe perpendicularem,

equili

àut ut perpendicularis defcribatur, duo tantum pund&a zqualiter

l

di(tantia a duobus puncis alterius determinanda funt, unde fe-

dicular

quentia problemata refolvuntur.

PROBLE M A.

I.

T

p

(»O dB

hcto

da

? rectz erigere. perpendi-

47

:

o t

;.'w.,)?.--ït In. (.Z

:

(b.

2

"

)

li

[2

RESOLUTIO.

luig

n

L Ex C determinentur dUO'P"

À wwC

in re&ta 4 & B

equaliter a C diftantia, quod ope circini peragitur.

:-

IL Ex 4 & B determinetur

[Tru

ali

id pun&um £ zqua-

ptwf,q à

liter rurfus ab 4 & B diftans, quod fit eadem aperturá

ii

(

—na

te

circini figendo unu

li

crus in 4 & dein in , & altero

?ana

H

defcribendo arcus fe interfecantes in F.

Ofey

HI. Conjugatur F & C, erit FC perpendicularis,

D E.

E

: À

DE PRGPREET. LIN. &c.

at

DEMONSTRATIO.

diftant ab 4 & B ex confttu-

Te

F & C zqualiter

di*

&ione, ergo tota Linea equaliter inclinatur ad 4 & B,

fed talis linea eft linea

perpendiculiris, (S$. 52.) ergo

hæc linea FC e(t perpendicularis. Q. E. D.

PROBLEMA

1I.

at,

2

56. Ex C demittere crpeädicularem ad da-

I)

tam 44D. (Fig. 94.) -

en

[

i

RESOLUTIO.

vt

I. Ex C eadem apertura circini notentur duo pun-

l

&a g & f hoc ipfo a pun&o C zqualiter diftantia.

IL. Ex g & f fiant fupra lineam in k v. g. aut in-

fra lineam in A interfeCtiones arcuum ,

er?t À vel &

zquaáliter di(tans ab 4 & B.

aïn,

HI. Conjungantur k & C vel b & £, etit k/z perpene

fee

dicularis.

DEMONSTRATIO

Pun&da & & C & k zqualiter diftant ab 4 & B,

(1!

a

ergo tota linea zequaliter inclinatur ad 44 & B, fed talis

llien ii

linea et perpendicularis, ergo linea Ac eft perpendicu-

laris. Q. E.. D.

COROLLARIUM.

b

57. Sequitur ex his, nonniü unicam perpendiculatem ex

pun&o aut ad punctum duci poffe: inter duo enim punca nonni-

la*

fi unica re&a cadit.

Jtem cum perpendicularis ex utraque par-

Jrà

te wqualem angulum feu re&os duos faciat, impofübile erit,

JU)

aliam preter hanc folam ducere, qua ansulum nec majorem nec

minorem quam re&um faciat.

Item fequitur, perpendicularem

€íle breviffünam viam a pundo ad pundumn, cum nec ad dex-

1]

tfialu

»

A eiau

&

A

/

Zath. P. ll.

B

E

P—ms

-

]

18

C

APUT

I

P

Tf2a1l

nec ad finiftra

linet

om

ali

AT

1. $

cum hoc ipfe

decli

ALvk

"ot

fore ma,

orem,

j

te

C I

O L

Ü

I

Qu

BO

)^

.Jä

erper

1

1

in

CA

Inee

Àl

t

eCr

nd

P

i

e. 9

u

1*

?

&

d

libitum, & opera

ic

itlo

ut

prius i

in Qrfhvwa

Si

;:

li

e

aute

ii

1 produc

ä

eï

£

jeat

vel a

la m

iethodus

$

metrica admcm-

"d

da

t

quam inferi

S

Bo

D1

m

us (.$.

A

:

ï

P

defcri

Di-

(:

pote

4Wr

!

fte

umento 5

t

zl

1

uod

[

r2

P

LÉ

Ea

11

e

itur $

—/7/7

*

25

*

)

&

conita

u

ä

A

d

ua

b

u

reo

y1

IS à

a

ulum-*re

:ccum

(:

€ wqm

1s

, (iJ;*;

]w m inferior

47

p

1Ca

t

u

linez

3

ata

(.:L;

ta,

ut vertex feü pi

[

ncurfus reou-

ial

lar

1l

C

1T^

eo

01

1n

t

o

neo

übi

T

perpendicularis

da eft

in

T.

fecunt

41l

m

C(i

aiter

31

gulam, er

In

(ixln. iti

linea ,

que hoc ipfo

At

Yy

ct

171

*^-^u'im?s €

epet.

ï.

L.L..

a eff norma ,

i

u

a regula al-

Ie

1fta*

t*

L

iL

)en

dic

r'tcr infi

iitadt,

Examen illus it

a

i

ituitur:

In

P

CUa

ie]

e

xOTMæ 61'192101"

perpendiculari

S

CA,

convertatur

RX

in norma ita, ut pats E ad

partem B

eni

P

rurfu

S düca-

iut

$1

p

e

ï

?

en

d

icu

]

al

i

Si

E

|

juxta prius latus in eodem pun&o 4

duc&e

O::'l

cider

leb

Tsl

1

norma exaca eft,

perpendiculare

t5

Til

ceodem emim

€«

pun&o nonnifi

u

l

duc

Oteit 5

g£entia

aut

4

4

divergentia linearunf errorem pat

tefac

,..a ...u

:

O

ie

E

1o0c

:i

afiru-

lentum paratur ex .J ;no gt W/Lff

.

26. exhib:

i

;

PROBLE

A II

R

«(

r

£0

À

mTY3

l

£

j

VJeo

Lin

I

m dat:

al

1d

E

S

?

i

I

;

:

3

i

iales. di-

Aæxl

v1

[2

l.

I

D

M

el

RESOLUTIO.

n

x-4

f

lis

puncti

$

S extremis (Flg

27.) linez

A&

B

rius & inferius interfection

IFS V'

o

inc&

ext

fiant fupe

bc

tc&g

Coi ijungantur, érit in e linea biffe&a.

li:[.

DEMONSTRATIO

r

V

Pa

i2

(/,5 ei

o

pet

LJ

enc

::

icul

À

fis

N

$. )9 ergo omnia

v

2

U

j

l

"

t')

fe

pun

q

aliter

il

anta

4

ergo etiam punctum £

SEC

u

il

t

e

!

1

ï

ia

A4G

B,

l

i

d

E

Á

:

fi equaliter diftat, Je

h

-6

'JJQ 51

go

j

eft i

4À

mec i«;)

& linea biíl

Q.E.F

)

j

$CHO-

ï

a

p

OoODm»

db

ï

.i:

3

Á »

d.

T

DE PR

V J

N. &c

19

S.CHOLION

c

60

»1

patium has interfe

&iones nonm admittat, biifectió

tentàndo peragitur,

A ]

*anp iendo aut claudendo. circinum tamdiu

f

donéc

Alxl

ruribus in 4 & B alterum ad idem punc&um e coincidat.

COROLLARIUM

6I. Hac ratione linea in partes 92;

4, 8, 16;&c. dividi

poteft,

biffecando:feiper partes biffecas;

de aliis divifionibus

mteuus, dum:de: progoruone agetur, tra&abimus.

T. HE

OREM

M A.

V,

n*

a

Si dus linez paralle

l a tertia fecentur,

X

(I*'«(. AQ.

j €H

jt pmo. anpu'us externu

s equaális in-

terno ad eandem partem )* vel.c

—— d

do. anguli

alterni interni.e & b vel f& d', item alterni ext»r-

lp

Ithx.!p, d&

w erünt zquales. 389. anguli interat

dqr)

l^

ad eand

vCiir

7aïicmfawu

c&clerunt equales 180

feu

'duobus

rec f;ib.

DEMONSTRATIO

ut due linee fint . parall

1* Impofühile eít,

101.9

nifi

ad tettiam habeant ean

m

iaclinationem

vel e

nim divergentes vel Cconvergentes erunt,

arqui

wcl natio eft angulus 4 & b, ergo fi inclinatio eft aequa-

s effe debent, fed a eft

lis, etiàm anguli a & 5 gequale

externus

, b internus, ergo angulus éxternus aquaális

m-.e!no Ld eandem ;

41'?93.!fln

ex

29.'4 z e, quia verticales, fed 4

H

n

t

ï

I

a;

cedenti, ergo atzan-e;::a./) fed € -&fffunt alterni

ergo altLTTIl interni z

es fuu—o :E.t

—ÀÁ

—

U&"Z

r

e

equ

^

4

fl&w- b zpg,quia verticales

d as r od

2

funt alterni

«te

In

1

[^]

s

"

iuntc

15

ergo alterni externi zquale

ï-—

4

- VAEBTLA

f .,.,,on

quíia dennceps pofiti, fe

-cmOP39

, fed ^ & f.

nt !

! ex UQHQHo Q!äQ

T

2

kï](

1]

ïi À

E oA

m

zM

2

Pt

o

DCAPUT

IÓ

ni ad eandem partem , ergo interni ad eandem patrtem

funt zquales 180

Q. E. D

]

COR OLLABRIUM.I.

63. Quod demonftratur de angulis a. & b etiam de aneulis

& & d dici poteft,

funt enim eorum contivui; ex eadem ratione

quod demonftratur de e & b etiam de f & d verum eft, & quod

(C

4icitur de a & g etiam- anguhs c & h applicari poteft.

Sequitur

f

inde, fi ex his o&o angulis unus datur, reliqui hoc ipfo dati

funt

Dato enim a datur verticalis e

alternus b, & huic verti-

cabs p,

omnes inter fe cquales

Datur etiam' c Jpfi a. conti-

guus, qui ?qualem habet f verticalem , d alternum , & À iterum

li

*erticalem.

te

COROLLARIUM

E

H

l

&

64. Sequitut etiam , cum linez parallelz femper has pro-

habeant

prietates

fi hz proprietates in duabus lineis a tertia

fe&is deprehendantur

lineas fore parallelas.

Si enim v. g. al*

terni e & b funt wquales, étiam externus a erit &quals interno

b, & hoc ipfo eadem duarum, linearum inclinatio, que equalis in»

chnauo üne parallelitmo linearum eife non poteft.

lt

C

COROLLARIUM

IL.

&

65$, Cum ormnes parallela. equalem a fe invicem übique

sb

diei

H

clfïantram habeant j dlüantla autem per perpen

MA L

ulares menfus-

Tetur;

et

fequitur pemendlcula ubivis intercepta xqualia fore,

a

hmul etiam equales parallelarum partes intercipere, pe*"pendl-

eu

culares enim non manerent, fi pars una intercepta magor foret

altera , ideo in fig. 20. ac z—

öd & ab z— Cd.

q

d

PROBLEMA. IV

[r

fi

s

1

66. Ducere (P?g. 29.) per punctum C' pa:

lam linee datze A4B

l

ESOLUTIO.

Ex pundo dato C demittatur perpendicularis CD,

Y in quocunque alio pun&o linez datz engatur per pen-

dicularis priori xqualis EF, per extremitatem hujus F

&

"

Metese

r

P

L

P d

DE PROPRIET. LIN. &c.

21

& pun&um datum C ducatur recta GH, erit hzc parsl-

lela ad datam.

DEMONSTRATIO

li

üe

Linew parallelze 2qualia perpendicula intercipiunf ,

9d

ur

($. 65.) fed hzec perpendicula fünt zqualia ex con-

uü

flru&ione, ergo linez funt parallele. Q. E. F

1-

COROLLARIUM SZI

fs

J/

67..Si per pun&um C ducatur recta quecunque inferiorem

Uneam datam fecans, & huic angulo interno a fuperius in € al-

ternus vel externus equalis fiat (per problema IV, $. 7I. tra-

dendum) erit prolongatum latus an2uli paradelum ad datam.

(s

Erunt enim alterni zquales, vel externus equalis interno, quod

tantum in parallelis fit.

IU

1]-

COROLLARIUM Ir

no

n-

68. Fit idetiam ope inftrumenti , (Fzz. 30.) quod Paral-

lelifmum vocamus.

Conítat id duabus reguhs equalibus .4B &

CD retinaculis uniformibus mobilibus connexis, qus intervallis

qualibus

& F, G& H a fe invicem diftant

Obtinetur hac

at

ratione, ut remota una regula equalem ab altera femper diftan-

tiam fervet, & hoc ipfo parallela maneat

In ufu inferior AE

(lle

aut

applicatur linex date, altera temovetur ad pun&um datum

e

ad aliam diftantiam ad libitum, juxta hujus aciem dué&a linea

l!s

erit inferiorl parallela,

Unica etiam regula id przítari potef

fet

que in medio duabus, aut quatuor etiam rotulis juxta longitu-

dinem inciüs inítru&a effe debet,

incifure impediunt, ne appli-

cata femel linez regula licet furfnm aut deorfum moveatur, &

fitu parallelo declinet.

Fitid etiam applicando

regule ordinas

ris aut norme lignee alteram normam ligneam

[274

,

de qua. füpes

T1us $. 58. egimus, & juxta fitum primum linez

date éam fexma«

per deorfum promovendo, ut Fig. 231. exhibet.

LÀ

),

fj

h

B

Q A.

H

m

2£

FU

H

VOEURT TR

CM PUIT

IIT.

*ï Ti*

(

;

.)

ERE

rectarum ad circue

I

roprietatibus line

]um- relata

ä

um

TT

M

À.

I.

H

?l

9

AV

Ciï

uwe

a

B

ü

]

SJC

i

ï

p

Ls

iL

im

ic

lCU

ha

b

t pro

69. Fï

Alv

n

a;ï

e

1

AL

a aícu Iil, .;-1(

eor

vch w

f*]f

nterceptut

4iie

DEJM

ONSTRA T I O.

Patet e»

«

$

€

nefi a

gulorumr& circuli ,

uperius ex-

(0

Ó

E

y?

TNML,AW& k

v

j

T-H

EM

IL.

A

À.

horda loa

1

a a

ii

Juio

?

dunt x

1

P

[5

5

o Ch

mqg(t:e s. fu

qua' es a

( P

aQ9

aut

l

"n Y

a

cus fuün

ï

ï

i

l

()

U

'3.«4:

aquales, chordae

ue

[^vi

g

u

ales

1

Ate

DEMONSTRAJ!I O.

In

CU

is

r

e

hd

rel

itate chorde :adiis.4C & CB in-

€

i

t

U

feu ap

p

t

ï

u

1€

d centrum non mutatur, ad qus&-

€

nc

u

nl*

peripheriz

*

1CC

at

iguli men-

h

aglïlcetm :

Cit

arcus

CC

1

W

ä

a

iuD

ten

f

us

ergo etiam. menfura

DEU

$m

4

i

alv

us mu

tari non

DO

t

eft,

;

nde fi zquales chor-

C;'V CTLS J.a.Cüb

i

S 4

ïï-

J

6d 2J

ntur, hi « quales effe debent.

ïï

Et fi arcus funt

eG

iaieg

e

1

C& BC »qualem in-

Qlïn

jionem ad f

f aberg

,—h n

iC

3

u aequalem angulum in («,m-

aiítan

T1

92

»

$

Cere üeoent, pui

a Pünfoti A4a 1

femper

'gEX

equalis manet, erg

Cï&

a AB mr:umge; s has extremita-

^

]

-

*^

tes feu chorda

AB

c

i

i

E

ub

)us arcub

" b

[5 T«

e

)

plicate feniper

^^

1

g. (

ikm

ii

G

iC

bent

C

'gJLAæ,n nat ï.l...

i

B.

L

E

O(ïlïl) C*(' !O'T&ü

con-

3

-

DE PROPRIET. LIN. &c

,23

1

DEF

congruentie, arcus enim azqua

.3

s fi fibi mponantvrg

chorde quoque, cum extremitates

arcuum Comungar»ï ?

&

H

coincidere cGebent; id

v

n

4

converfive de arcubus per

extremitates chordarum du&is intelligendum eft. Q. E. D

À

/V

lü

p

C J

B

-

4 A I

I. D

-

zc

C€Liis lu

rxïw]

ífY

[4 9

3uai

mdad

[48 9.

$f0

F.

(

g.

33

;

1&

)

Y

J

P j

&

iv i2

OLUITI

Ale

B

x

vertice

ati

an

ii 4 defcribatur arcus BD

Je- C

.iFrCiDi ad

lib

1;

üm 3?81&1, erit hic arcus menf/íura

angt

da

y*

o

I

n

"

P

x

C

:

de

em apertura defcribatur arcus indeft-

nit

u

$

IlI.- Aperiatur circinus ex

B usque in D & ex e

$

1

transferatur bec magnitudo in p ; per C & g ducatu

P

4

I5,

nea, erit angulus C

«qualis dato .4

o*

D

[5]

MONS

.'L

4 ,—P .g. (»-'a

Arcus ex vertice tanquam centro de

ptus eft

L

qmeni

ura anguli, fed arcus ex vertica defcripti funt. aequa-

i.

les ex conítru&tione, ergo etiam anguli funt zequal

Q.

]Q

ett-

SCHOLIO

N

I

Jl

72. Minor propofitio patet quoque ex precedente theorema-

Jl

te, fi enim puncta DB & ge linea ze&a conjungántur, erunt ho .2qua-

;f

les chordz, eft enim eadem extremorum diftantia, fed chorde zequa-

les fubtendunt zqua

les arcus

n

ergo arcus DB & ge (unt zquales

$"C H O I

o EO UN L

6t

73. Dum angulus rectus faciendus eft,

eri Oltu

a)[-rp ^ fia

dici

ularis, fine qua angulus re&us effe non potett.

$-4

ä

Jer

o

e

E

$

C

t

i

E

CGAPU T H

24

pun

BCHOLION

HI.

30f

L'?

e

üt

74. Dum certi numeri graduum angulu

p

,fit ope trans-

[

l [2]

portatorii ($..36.) applicando radium CB in

(

,ä

)ita linez fa-

i

extremi

rä.

ra

&z, ut centrum inftrumenti uni

ati C,

us CB toti lineze

in

chart

congruat ,

ad gradum petitum fi

pu

r

né&um divifioni

4J

1

)

n

inftrumenti correfpondens; pun&um hoc cum

ex

rémitate C

ubi

il

[

1

*

entrum erat

conjungatur

habebitur

[

ulus petitus ; menfura

T

AT

enim illius, quam interceptus arcus

LEf

nspo

LL/

itoril exhibet

ha-

*

IQn

bet pc ütu

numerum g

auum

ergo et

n angulus talis elífe

debet

;

IV

M

(1

-

H O

L

I

O

N

v

e

Q

^0

75) 1

O

id praeftatur

pertics & funibus, uti fuperjus

f&

n ;CZU

naáo

ci

de defcriber

ulo diximus

Aliter id fiet

fi unum trian-

Ql

Vi

£ulum aequale alteri conftruatutr

hoec ipfo anguli erunt &quales ,

Hf

k

quod inferius demon(trabitur.

SCHOLION V

76. In campo anegulum determinamv

inftrumentoó goniome-

trico vel Aftrolabio, ( F7;

25.) quaod eft femicirculus aurichal-

"

cinus 1n gradus & partes minores a IO ad IO v. g. minuta di-

"s

Af

là

vifus ,

& regula PG ,

qua in centro mob

ilis

eft 5

mfcru&us

In extremitate hujus revuïæ due dioptre FE & G perp end:culu

«qu

riter, erigunti

3

per quas linea re&a.ab oculo ad obje&um de-

e

[

5(

terminatur, Alis due dioptre D &E in extremitate diametri DE

eriscuntur,

]

$1jam hz ultime verfi

um 0obje&um in linea D (itum

dir

rig:

àntuf ;

otur

& linea mobilis tamdiu gyre

»

donec alterum 6be

"

ï

Jc&uu- in G per illas

dioptras

appareat,

reeula

in divifio.

Alii

num pundis quantitatem aneuli quze(iti DG determinabit.

le

411

totum circulum adhibent,

alii quadr

all

tem tantum, prout com-

modum vi

uctu

idet

AT.

Dioptrarum formam P?g. 36. exhibet, una.4

án medio tantum tenuem incifuram huet , altera B penitus ex-

cifa in medio tenfum filum

eerit

[2

p

Oculus

prime applicatur,

& ita dioptre diriguntur

obje&um a filo penitus tegatur, aut

D

in medio fecetur, Demonftratio hujus cum eà de transportatorio

congruit

Qu

hoc enim infrumentum inftlar transportatorii majoris

n

haberi poteft,

5CHOLION

VI

77..91 tantum figura aneuli

haberi

debeat ,

id

fit in

pi

qua

eïtrermtaut"s fuis menfule plane. 1001 itinatur

[

: 123"(2 5

É

21

(9

( Z

*5

362

in pun&o .4

1iD1

neulus

conft

ruendus e&

quod

li

pun-

u

i n

m

$—

DE PROPRIET. LIN. &c

25

pun&o « in terra refpondet, figitur acicula , ad quam reeula

longior dioptris inftru&a Pze

& diricendo illam

Taftf«

26. applicatur

'C? Ftn

confequenter verfus utrumque obje&um juxta aciem resule du-

cantur linezg, quarum concurfus angulum determinabit, quem ob-

Luneas

hi

je&a duo in punco,

ubi acicula figitur,

faciunt.

Menfula hzc

" l

ab inventore Pratorio Pretoriana vocatur ;

de utroque inftrumento

üL

entuta

in trigonometria longior fermo habebuur

Ia

elfe

THEOREM A. lii

7$. Perpendicularis ex centro sd chordam du-

2* p

Ca, chordam & arcum fübtenfum biffecat

penus

o

nea ex centro chordam

arcum biffecans perpen-

tian

q.,

dicularis. eí

i& .

3*. Linea perpendicularis chordam

à6,

biffecans tranfit per centrum,

DEMONSTRATIO

ome

C cum fit centrum, (J'zg. 39.) xqualiter diftat ab

cial-

W

A & B, ($. 2o.) & cum fit linea perpendicularis ,

LJD,

etiam D xqualiter diftare debet ab 4 & B,($. 54.) fed fi

la

zqualiter diftat, eft in medio, & in punc&to biffe&ionis,

Ut

ergo perpehdicularis ex centro ad chordam du&a eam

DE

biffecat; fed cum omnia pun&a zqualiter diftent, etiam

itum

0b

E zqualiter diftat ab 4 & B, ergo ducte chorde AE &

£E B sxquales funt

10

fed chordz zquales fübtendunt zqua-

Al

les arcus ($. 60

ergo arcus AE — EE, & E in medio,

orrt

proin arcus A4£B bifle&us

14

Si chorda biffecatur, eft 4D z DB, vel AE

ex

7

z EB,(ed AC — CB, quia radii, ergo duo pun&ta C &

üt

D æquahter diftant ab aliis duobus 4 & B, fed linea,

10

cujus pun&ta zqualiter a duobus aliis dlüant9 eft per-

pendlculans ($. 53-), ergo CD eft linea perpendiculàris

ne

. $i CD eft perpendicularis biffeca

ib 9

omnia €jus

pun&a zqualiter diftant ab 4 & B ($. 53.) fed cen

j

trum eft pun&um zqualiter diftans ab 4 & B, ergo ii

d

linea CD eft centrum, ergo perpendicularis biffecans

tranfit per centrum. Q. E. D

B5

S

CHOQ

d&.k

26

CA PUT II

5 vcHOLIO

N

D

O. Hoe ttes proprietates,

ex qu

f

du

fmt, tertia

etiam neceffario fequitur, bene memoriz

mp ïm*c

funt; quia

utiliffima, inde corollaria deducuntur

qua

:

ï

1COr

r»: &3

tis demons

i

ftrandis & problematis refolvendis inferviunt

1

r

l

CORUDLLARITM

I.

80

Arcus inter chordas parallelas int

(

cepti zqu

fes fun

eft enim fpe&data chorda .AB,

arcus .AE :

EB

€x

r

P.l

ceadent

ï

item fpecata chorda GJH,

arcus GE —

—

H

3 .

[

]

O

o AE — G

:

—

EL BE - HEHRoc ef AG — BH,

t

COR O

A

T

L

A RA UM II

L.]

CT.

m

m

«

rcus fubtenfus ïl ecetur, etiam ansulus ad cen-

er

D

liie.

T

ri de

he

DC

t

arcus enim

5

eft menfura anguli totius, fed

nenfura biffecatur, ergo etiam angulus biffecatur

C O

OLLARIUM

IH.

82. Angulus

Va

A

itus aut arcus. datus biffecatur, (FIg. 39

ex vertice C arcus .AB ducatur, extremitates arcus chorda con-

jungantur

& 2d hanc chordam ex vertice demittatur perpendi-

cularis CD, hs

chordam,

arcum , & aneulum datum biffecabit

(

Chordám enim & arcum biff

ictc

Tec

ari ex

hr*

heo

remate PI"PC?U("P e pa-

f£et

fed arcus toti

eft menfura anguli d ti

arcus feu menfu-

ra eft biffecta,

ergo etiam angulus erit biife&us.

Tf

.ï

CLO an-

guli nondum mvmta et

PEDUM s —

COROLLARIUM IV

83. Per tfia pun&a .4, B, C, non in dire&um jacentia

eirculus d.ej

ibitur, (Fzg. 4,0,N fi pun&a data linels conjungan-

£U

o

h

m li

ii

per perpendiculares biffecentur , ex . concurtu li-

Scarum D L(mf uam centlo radio AD defcriptus circulus per tria

p!

H

fta data tranfil

DIL,

^1f

n

nee enim ut du» chorde circuli fpe-

&/Ll pOL unt, fa

d biffécante

vallt

es linee perpendiculares tranfeunt per

centrum, ergo in utraque fimul perpendiculari centrum effe debet

quod cum in alio punc&to quam concurfus effe nequeat, id enim

foiam commune habere poffunt, concurfus perpendicularium de-

erminabit centrum.

Si punda in dire&um , jacea

nt, linez per-

3)&,

Den

idiculares fiunt parallele,

1

hinc nunquam concurrent, & nul-

lum ha

bebitur

centrum,

in tribpus

Quare linea reda circulu

pv

ijcca

nj

$ fecare nequite

C 00

- DE PROPRIE

LI

&

27.'

Q.O.R OLLI ARIU M V

tertis

1

$4. Dati circuli centrum

i

nvenitur, ( PZg. 41.) f chor-

N

4

ih

de

AB &

BD ducantur, & ad has erigantur perpendiculare

äälf

fs

biffecantes, concurfus hátum det erminabit centrum circuli dati

^

Qu»vis en

152

perpendicularis biffecans debet tranüre per cen-

trum ,

concurfus igitur, qui, ut prius dictum eft, in vmco pun-

centrum. determinat,

&o dit, pun&um illud feu

Iunt

H

COR

IJAF—IUM R/!o

n

N5

:

85. Arcus dati

£, ABI) com

P

etur, fi in ill

o tria ?P

2e

T

H

n

S biffecer

f1

i

&a affumantur , «c

ii

orde du&

e

T

H

EOREMA IV

cen

*

i

1

1

^112

$ led

9

O.

Ra

s

is circuli eft perpendicu

1aT

&

sad t

CLui

€£y

p

T

t

em

LUS

o

E

MON

U

P

A U.

OJAL

4 COl

Po

o

n

urt

C

horda

i

11

er

ior

B;:

;H parallela ad 42,

'enal*

a

( Fi

[

Ü

Á

d

otu

j9)

a

T

E

]

e

lo

al

diu

recedere,

QOrK l"'

A

-U 1

t

)

antum i

1*

AR

[6]

un

ï

)

I4

cum citr

ulo

on

] F(ln

fiet tangens

T*

;

(u-/u-

Fa

circul

'e

nitione (

w

A

20

)

&

C

L Ífiet radius;

0

à

Ils

al

"tT

Ht

CR

Xd

3

,E"

Maid

dieula

wo a.

ar

:

348. $. 77:

s, (ut in fi

CE

etiani

diximus) & GH ft parallela ad .4B

yn**pemwuïar:s )d GH feu gh eífe debet, fed CE eft

radids & gÀt

igitur radius

entit

SUEEDSS

eft perpendicularis

neane

ad tangentem. Q. E. D.

[ ]t-

COR()XJ

ARIU

Xe

f ffi

T

)d2

97. Cum CE fit ad gh perpendicularis, etiam ghad CE

; pet

pert

enfi icularis;effe debet.

44.) Et cum nonnifr unica pe

ob

2"

pm

cularis ad idem pun&um duci poffit,

fequitur

nonrniiu

'U" -

nim

am tangentem ad idem punc&um duci poífe, atque. omnia re

) de-

imua tangentis pun&a prater folum E extra circulum jacere à€

| f€.

f«

bpere

1

i D enim aut alio punc&o

angulus re&us effe non poteft.

Wor

c

e

n

À

i

f m

im in E & in D re&tus, proin

externus equalis intetno,

li

nec

[100$

CE &.CD parallele , adeoque ex eodem pun&ó C due

:1.

:

ralleig ad lineam gh du&s, quod eft abfurdum,

g

00

i

Q.

-

"APUT lu

28

COROLLARIUM

1x,

N

n

füti /

$8. Hinc ducitur tangens ad pun&um E datum, 66 punctum

þ'g [

per raidium CE cum centro conjungaïur, & in E erigatur per-

-

pendicularis.

'X:

enim !

C(P)ROLLL/ARIUM U.

equi

89. Cum tangens cum circulo in pun&o E, quod reipfa linea

infinite parva circuli eft, (" 29.) congruat, adeoque hanc partem

minimam cum circulo communem habeat, fequitur, radium quo-

que cum peripheria circuli angulum rectum facere, & ad illam

perpendicularem. effe,

SCHOLIONYN.

dety

90. Paradoxum hic videtur, ( Fig. 43.) cur;a unica tantum

Nan

a&d puncum E pofüt duci re&a tansens, quomodo pofünt duci

angu

plures circuli , qui omnes in eedem pun&o E circulum tangen-

tes cum radio CE angulum re&um faciant, & ad quos omnes .4AB

Tur

tanzens maneat; at facile ex genefi & definit&jione rect» & cur-

Q,

v2-hoc quivis refolvet,

Data enim po(itione re&z infinite par-

ve E datur hoc ipfo reda tota, quas aliam directionem quam

-AB feu EH habere non poteft,

Át cum curvarum directiones

cet,

infinite fint, omnes lineam infinite parvam E communem habe-

te poffunt, & deinde fuam continuo directionem quantitate tàm

exigua mutare, ut fenfibiliter a linea re&a longiori etiam fpa-

tio noón differant,

Hinc fpatium inter EB licet exiguum, in

minora adhuc fpatia per curvas dividi poteít, & angulus re&ili-

tür

neus licet infinite parvus, major tamen femper erit curvilineo

Y

FEB, HEF &c, &c.

lis:

THEOREMA V.

gï. Anguli àd peripheram .DAB ( Fie, 44.)

a duabus chordis B.4, 24D facti menfura eft arcus

pher:

dimidius, cui crura infiftunt,

AU

Cafus. I. Diim crus unum per centrum tranfit:

DEMONSTRATIO.

Men

Ducatur per centrum diameter EF, quz fit ad al-

bür

terum crus D parallela, erit anguli « menfura i DB,

i hi

Nam

DE PROPRIET. LIN. &c.

29

Nam angulus z —2, quia alterni, fed s habet pro men-

fura AF f(eu DE, qui funt equales arcus inter paralle-

undtum

It per

las, ergo etiam anguli « menfura eft D £, fed DE ett

z ibDB, eí,enim DE — A4F, fed AP z EB, funt

enim » & o verticales zequales, ergo etiam menfur: fuünt

equales, ergo DE — EB, ergo DEZ— X DB, Q. EK. D,

? lne

Aartem

nf«

Cas.Il. Dum centrum intra crura jacet. (Fig.45.)

& um

DEMONSTRATIO.

Ducatur ab angulo diameter AE , angulus datus divi-

detur in m & z, totius vero iterum men(ura erit & DB.

tantum

Nam anguli m menfura ex prec. Cas. et — £ DE, &

nt duci

anguli z menfura ex eodem eft — 1 B, ergo angulo-

tange-

m

nes 4D

rum 5$ -- s menfuraeftt X DE -- 1 EB, hoc ett £ DB.

&

Q. E. D.

te par-

quam

Cas. IIL. Dum crus utrumque trans centrum ja-

(Hfones

cet. (Pig. 46.)

habe

te t2m

DEMONSTRATIO.

n fpr-

Du&a. diametro AE ad angulum datum z adjungt-

m, MW

redili-

tur novus angulus $, totius autem r 4- m men(ura ex

vilnee

prec. Cas. et 4 DB -- 1 BE, fed ex primo Cas. angu-

lus m.pro füa menfura habet 4 BE, ergo pro " remanet

i DB. Q. E.D.

COROLLARIUM SZ4.L

/l/

92, Ansulus isitur. ad centrum eft duplus anseuli ad pefi-

TCUS

pheriam, eidem arcui infíffentis, habet enim duplam meníuram

hujus , cum hic dimidium arcum & ille integzrum habeat,

C'OQOROLLARIUM

Il

t

93. Ergo omnes aneuli in peripheria eidem (Flff, 47- )

arcui .4B inüflentes zquales funt, cum eandem menfuram hae

beant; omnes anguli in femicirculo, ( F?g. 49.) quorum crura

;d )

DÀ

inüftunt diametro A4B, íunt recti; habent .epim pro meníura

dimi-

1

/

'g y

A.

E

i

!]

20

U "g*

L"]

*

hn

dimidiam femiperi

he

LE

í

am

eu

—

I5

oc,.eft oo

Án

1

qui

J

U

.

.*

f

arcuil c

ï

e1

rij

h

PT

un

acu

4

1

qui

IX

in3t

funt minori

qugm f

v AL .LJL..

E

Q

Oori, 1uf

it obtufi.

C

O

V

M

ATA

A.

b t

À

j

R

OLLAR

094. Cum

1».

C

—

m

5

j

s

r

]

!

15

it;

"P. 49.

pose

96

ïxns*ulus i

:

72

3

P

n/cï

r

tex hoc principio ad c

xtremitaten

neg datm.2

P

X

li

1

iculatris.

H

(

U

r

en

1m

lLIL

punc

mc

)T4

l

i

j )

tu4 & äm

a.'lli a

ï

Z4 tt

a

nsi

Z

f

aC

üGat

z

Lc

am

1411

n B

pr

a

ä

ur CB

d libitum, $8

Iu

17 all

Vil

d

aonec

Occurra

H

C

Ài

tr

iQ

Cz

a

15atur

femicircu

IV ala

4 ii

a

n

4

1

1o

recta

L

CE -;

per

f,

& A aucta

e

C

erm di

u

i

ris:

EC

t

neulus .4

ic€m

LJ.]On

Iu

in feCcus

conf

equenter linea

e.—mm

4

perpe

a

1

5

^

*

H

À

H

I

z!.

I

OR

A

VI

n

7

4

3

s

.A[

AT

»uli ad peri

D

l

de]

]

tangent

& chor-

J

ol

A O

b"

e

Ti

i

a

jus

are

us intet tan

en

Á«

&

i

me

Ài

fura.eft din

«

u

] l

Q

(

E

11

[

1ordam comipre

je

11l

35

]eu

91

4B

Vet

L

Ca

.I. Cum

e&

^5

tranfit

Ty

II

i t

h

H

er centrum.- CF fg.

J

)

Q. E

*

DEMO

á.

N 5

TRATIO

"

1

ang

[»]

ati

1Y22

f

ilel

a

*

erit «

o

17

catur dlame

x

LJu

s

4

[3]

e

R

nus inte

V25 219

ernc

ïk

MA

!ï

n h

at

*y r'an

vro menfura 7

m

ld

elt

€

xt

qu

:,Tv

fa

ad

äan m-f'-zafhyï'-

ergo

et

4

h

[5

b

e

f

ro meniutra

Z

B

i

d

f

R

x

n

—

Y

m

42

lj

PA

!»1

tescmtam

5

Ü

ÍB, eft enim J

p2

2

—

p

$; O

b.ve

ficà

;;.

$

Ib

ro

T

farna

!]

j

b

—

.

,

y

4

TA

Mu Wa

z

D. 7l

ot

par

a

3]

ï

al

b

VX

"

X

.J.;l

?

ere

O

d T

:

p

—

Fs

4

ÓH

9]

E

4X

2

j

A

7^

£^

,X

X

u A

v;'

^&T

-id

ï

iW

36Y

t1

8

i

Li

t

ilig

S

1

—e

7!(

Yl

2

(4

o

sJ

3

HUUNI il

li

IT

A.V

1

(

J

L

w

w]

Ü

R

A

O.

flia. a

ü

1

^

130

af

)

[ei

jat

t

M

&

ib

an

l

1

lo

ad

IET

H

2

rE

63

1J

Va

v & t

;

rip

3,

m -

»

)

EE

l4

"

b

vel a

l!

eul

"

ID .ä'i

;*

b

etit

a

j

menfu

::;

à

DE

P m u

ree

C

edén

ï,

e

theo

c

inac

c

?

1

ed

i;

ex p

']

of

anguli 7

met

11

fuü

Q eft -

E

44

e)ï»

;

eolt

I»

it

w

k

X

7

;':

;

a

f

gn

u

]

i«

[

5

- t i

À

1g

'-9€1E

3

6 u

": -u

AA

5

À

[ed

Ej;

g

;

&

"&

PROPRIET

IN. &c.

31

H

a7N

& anguli a in Fig. 52. eft X 4

LB

Ehoce

rfizg

L

L

iA*

Q

e

E. D.

&

T

HEOREMA

X

V

I

$jw

96 Anguli ad peri

dam (D'w

.,) à chor

da & linea, : wæ m*o"u&a LW et circulj

LMLAIÀA

i!Tä

ï J.-M»..,.L mejïm

furà eft g

Li

ïïïLp C».'

13 Ag -

C

WL

l

AE

ex aaï

X

ï'

€

-

1ln&. X'n Ux.wa. lhf ;f to.

EONFSTRATIG

Producatur fecans in E & ducatur per 4 tangens

GH

a

us quxfitus. D AB dividetur in » & o

Anu

Chof

guli o meafura eft £

4yB, & anguli » menfura &

AxE

e

[

m

funt enim anguli a t*ügwue & chorda, fed m —— n, qLua

Verticai

$5 Ci;') anguii z mentufra

a&nleü

LAXEST

tius ergo w-ä»o feu D.AB menmu eít

i AyB

mäï D är-—-jo

j

Q. E. D.

T

EORE

,v..æ fï

V

"m

£|

n

!j

,-

ula

95

Angu

intra peripheriam ( B7

D

54.) men-

eft

Y

i

iA(ï

fura

LE

*.arc

LOTOC

H..Lïn 'F-) a

RE

a

arcu. EE . in-

tercepto à cruri

us ultra verticem prolongatis.

DE:T

MONSTRATIO

&

u

Ducatur FD

a

ri AC

parallel .a erit 9 z

: d ew*ez'v

BC .4-

AC k/-g

nus interno, fed ? pro Mä"naw' ha 'T -s

Y

quia ad pe

ripheriam, fz,d CI

as

FUTI

"'S

e"Cdï*'»

inte

p

r pa-

Y Ya

mhþäabf, ergo menfura anguli

[

pl

r

-- i

DP

m

7

z

^

—— A? QF*TG qhbdli; A meníura z

i BC

4

ET

À

b

o

*

LJJ

Ld

etpV

H; j

YT

t

h du

Q«

ü

i

'CAPUTXELVO

THEOREMA IX

giti

fol;

98. Anguli extra peripheriam ( Pze. $5.) men-

fura eft 4 arcus interceptus concavus BC — 4 ar-

inteïcepgs/cænvexo EF.

tione.

DEMONSTRATIO.

fig, &

Du&a parallela KD eít s — 4, fed anguli s

tefe i

menfura eft 1 BC — £ BD, (sd BD — EF, ob paralle-

Fa

)Q

1 BC — EF,.fed s

1

a

5

ergo-arguli s menfura eft

2

ts

—— 4, ergo anguli Zmenfuraeft £ BC — £ EF.. Q. E. D.

COROLLARIUM.,

]

99. H»c etiam applicatur, dum unum crus vel utrumque

cireulum tangit, femper enim arcus à parallela abfciffus erit ar-

RW

cul intcrcepFo convexo squalis,

tv

DYYMSUNN.

——

trorfi

UE

CAP U.T V.

De proprietatibus linearum rectarum fpatium

claudentium.

um

b

DERBINITIU E

i^

-"Rigura lineis claufa polyzommm feu multangulum

100. ]1

i

1

i

dicitur, quia linee , ut fpatium claudant, ad

fe inclinari & hocipfía :

ineulum efficere debent; a nu-

A -

i^

DO

me

mero angulorum, qui fem

r zqualis eft numero late-

Wum a

ä

rum denominatio polygoni dependet.

eA

DEFINITIO Il

10i1. Polygona equalia funt, quz» & vequalesang't

los & zqualia latera habent, nulla enim ratione nifi folo

[«

ian

numero G

li

AK A

guia fumilia funt, que lon-

Zänguustur ( TE

gitu-

DE PROPRIET. LIN. &e

33

pitudine laternm divería angulos tamen zquales haben

nen.

fola enim magnitudine differunt C$. 23.2

La

DERINTTTO IH

102. Angulus polygoni e(t angulus ab inclina-

tione linearum polygoni intra polygonum fa&us, ut in

i g

FU g. angulus 5 ;

fi latus unum producatur, cum la-

r

tere adjacente facit angulum exterrüum pol$goni, ut ia

[ud L

Fig.57. angulus &. Anguli ad centrum funt, qui in cen-

" D'

tro figure a radiis ad angulos polygoni ducts fiunt.

INITIO IV.

DEZF

ungue

IO3. Anegulus procurrenr e& angulus duobus rectis

rit af

minor, cujus crura extrorfum concurtünt, ut in g.5 7. vel

e€ vel L.

Regredieus eft re&is major, cujus crura in-

trorfum concurrunt, qui & angulus gibbi dicitur. i*zg

79. angulus é,

COROLL

ARIUM L

104. Hinc figura tribus lineis claufa , qus tres angulos

if

conftituunt, dicitur trigonum , aut triangulum ; Figz. 56. 57. qua-

tuor lineis, quadrilaterum ; Prgz, 70. 7I. &c., quinque , pentago-

hecatogo-

num

fex, hexagot

m; feptem, heptagonum &c &c

num ,

quod centum

latefa ,

chiliogonum

quod mille latera,

inyriogonum , quod decem. millia habet &e, . &c,

"u

C.O.R O.L

A Rj;I.U M L

, ud

IOS. Quivis advertit

quo magis augeatut

laterum nume.e

WU

fus, eo aneulos polygzoni obtufiores fieri, & dum latera in infini-

Idta-

tum augentür

angulos quoque infinite magnos elfe,

DETIN?TIO V.

106. Diagonalis.eft re&a pqr poljgor!um ab angu-

3(,0' l*

lo ad angulum intra figuram ducta.

jl

]on

4l

Z

/7

€

4

f

2l

/

;

. ;UL/Z[]' P ,'.'E,

C

DE-

u

m

CgAP U-T IV.

34

DEFINITIO VI

107. Polygonum regulare eft, cujus omnia latera,

& omnes anguli equaless funt: zrregulare, cujus latera

fit

& anguli zquales non funt.

Syumetricum vexo eft, quod

fl

latera parallela zqualia habet, proinde in his nume-

triang

rus laterum par effe debet.

(pro

SCHOLIOSNé.

indo t

I08, Omnis figura, ut per decurfum videbimus, ad Trian-

trian

gulum refetri & in illud refolvi poteft, de hujus proprietatibus

hu

igitur feparatim agemus.

MUU

De Triangulis.

DEFINITIO VII

hus [

i09. 4Yiangulum eft figura tribus lineis claufa, qua

bus

hoc ipfo tres etiam angulos conftituunt (($. 100.).

b

litug

OEX R OLILASSBIIJUM

i16,. In quolibet igitur triangulo & tres linez, que lafere

wocantur, & tres anguli in confiderationem veniunt, que diver-

ías triapgulorum ífpecies & fequentes definitiones dant.

DEFINITIO VII.

Tut

(l

111. Triangulum equilaterum eft, quod omnia tria

Jatera zqualia habet Fzg. 62: equierurum feu lfofceles,

quod duo tantum zqualia habet Fig. 63: Sealemum quod

omnia tria inequalia habet. Fig. 64.

-1

DEFINITIO IX.

&.

112. Triangulum ve&amgulum eft, quod angulum

$ fi

m

ref&tum habet ut Pig. 65. BAD: obiüguangulum, quod

m

engulos obliquos habet, quod rurfus eft vel obianga-

li, quod angulum obtufum, Pig. $9. vel acutangulum

quod tres acutos habet. Fiz. 56,

DE-

)

DE PROPRIET. LIN. &c.

39

DEFINITIO X.

113. Latus infimum in triangulo, fupta quod con-

ftruitur triangulum , vocatur /4/; trianguli, in. Fig. $8

AB, ab; angulus huic lateri oppofitus vocatur vertex

trianguli, in eadem Fz. C, c.

Ex hoc vertice ad bafim

(produ&am fi opus fit) demiffa perpendicularis eft ali;-

iudo trianguli ; in .Fg. 60. trianguli 4pC obtufanguli &

trianguli &CB acutanguli altitudo eft eadem linea CD.

1n triangulo re&angulo latus angulo re&o oppoütum

vocatur hypotlzemyä ; reliqua duo catbeti.

DEFINITIO XI.

114. Ánguli in duobus triangulis, zqualibus lateri-

bus oppofiti dicuntur anguli Aomolog:

uti latera zequali-

Lj

bus angulis oppofita latera Aomoloza dicuntur, in Fiz

58. 4 habet homologum a, B, habet ? & C habet c,

latus 4B e(t homologum lateri a&b, &c.

THEOREMA I

"n

E.

II5. In omni Triangulo fumma trium anguto-

rum eftzequalis 180 gradibus feu duobus rects.

(Fig. 56.)

ld

DEMONSTRATIO

7

d

Per verticem ducatur bafi parallel]a, erit a-I- b-f-c

180?, quia menfurantur a femiperipheria, fed « ——

& c — f quia anguli alterni intetni inter parallelas, er-

£go fubftituendo zqualibus zqualia erit e -- 7 -F- f — 180?

fed e -- P -- f funt tres anguli trianguli, ergo furma

d

trium angulorum in triangulo eft —— 190

Q. E.D

[e

COROOLLARIEUM I

1]

II6, Sequitur inde nullum triangulum duos re&os nec duof

ebtufos, nec re&um & obtufum fimul habere poffe

Cum enim

€ 2

redus

|

C A P UA'"* IV

36

ze&tus jam 90? habeat, & obtufus plus quam 90* , pro reliquis

duobus 90? aut minus quam 90^ manent, re&dus ergo aut ob-

tufus alius effe non poteft,

Item fi duo re&i forent e & f, u-

ne» dü» forent parallele , nunquam -ergo in vertice concurre-

zemt, adeoque nec.fpatium clauderent.

ph

"

CO R^OLLÁARIUM

li

tr7. Noto uno angulo innotefcit. fumhia reliquorüm ,' no-

tis düobus innotefcit tertius: fünt enim mutua complementa ad

duos rectos.

COROLLARIUM.II

[

il

1II8. Sequitur etïa)m,— perpendicularem ex quöcunque tri-

anguli angulo ad latus oppofitum demilfam débere cadere extra

e

triangulum feu ad bafim prolongatam , fi angulus unus e reliquis

i

fuerit obtufus, quia alias in eodem triangulo plures recti, aut

e-

obtufus fimul & re&us foret, quód eft.impoffibil

$12

cadere autein

intra, ífi duo e reliquis acuti fuerint,

COR OELARI.XUM Á7IV.

&iio

119, Duo latera trianguli femper mäjora effe debere quam

£

Coincide-

tir

tertium , alias enim fpatium claudere' non. poffent.

yent enim cum latere tertio, fi illi zqualia aut minora. eífent,

ang

«

THEOREMA Il

120, Si latus unum trianguli (.Pze. $7.) pro-

Ya

ducatur, externus a eft a&equalis duobus internis op-

qui

pofitis ? & e,

DEMONSTRATIO

RE

U

4 -l- c z—1805,quià menfurantura f*emiperiphþl'ia :fed

i€5|

c- b -- e —— 180* ex praecedenti theoremate, ergo

&figi

ü--cmmc--bH-e: deleto in utioque membro c manet

azzb-4-e, fed a eft exterpus, b & & dvo interni eppo-

fiti, ergo externus . «qualis duobus internis oppofitis.

QO EI D'

4

THEO-

ï

DE PROPRIET. LIN. &c.

37

u

THEOREMA Il

02

li

I21r, Quodvis triangulum (Z*g. 40.) poteft

i

infcribi circulo,

ut vertices angulorum fint in peri-

pheria: vel quod idem eft; triangulo dato Circue

lus circumícribi,

HULS

d

DEMONSTRATIO

Per data tria pun&a non in dire&um Jacentia pot.

eft defcribi circulus ( $. 8o. ) atqui vertices angulorum

PUv

in triangulo funt tria pun&a. non in directum jacentia

Xtta

ergo poteft per illadefcribicirculus , & totum triangulum

1quis

circulo infcribi,veltriangulo circulus circumfcribi. Q.E.D.

aut

ütelt

COROLLARIUM II

122. 'Yrianguli ergo infcripti latera erunt chordo circuli,

& fi latera funt qualia, chorde quoque funt 2quales, & cum

chorde zquales fubtendant xquales arcus

arcus quoque equales

erunt, qui cum fint menfure angulorum oppofitorum ad periphe-

m

riam

Mie

hi quoque anguli equales eífe debebunt

promde in tris

llf

angulo squilatero tres anguli equales & quilibet 60?

erit;

adeo-

que trlanvulu*n equilaterum, eft Oolygonum regulare, (S. 107)

CGROLLARIUM II,

193. Cum chorda major majorem arcum fubtendat ,- arcus

pro-

yero menfure fint angulorum oppofitorum ad peripheriam, fe«

op

quitur-majori àngulo majus latus opponi, minori minus

COROLLARIUM II

$

Y24. Cum in triangulo lfofceli duo crura fint x»qualia, f

infcribatur circulo, duse quoque chorde & arcus fubtenfi equas

- (ed

les erunt, proinde etiam anguli oppofiti, qui funt ad bafim tri-

2 n

anguli, zquales erunt

anet

THEOREMA

IV

p

fits,

125. Si duo triangula habuerint unum latus

44B ( Fzg. 88.) cum duobus angulis adjacentibus

"

C

3

aequa-

E r m

CAPUT IV.

38

eequale Iafe-ri ab cum angulis a & b: vel duo late-

:1à 44C & 44B cum angulo intercepto 71 zqualia

te

lateribus ac & ab cum angulo : velommnia tria

t

4tU!

latera zequalia, reliquae quoque partes & tota trian-

aqu

£ula zequalia erunt.

£ulu

4D

DEMONSTRATIO.

p

vel

Ex . principio congruentie ; quz fibi perfe&e congruunt,

4j

squalia funt, atqui przdi&a triangula perfe&te fibi con»

$0

ti0

gruunt, ergo funt aqualia.

Aílumti propofitio per partes demonftratur:

1?, Ponatur latus 4B fupra xquale 4b, perfe&e

&

congruet, & pun&um 44 ad a, B ad ? cadet, & cum 4

fit — a, eandem habet inclinationem AC ad 4B in uno,

bu,

itig

quim habet in altero ac ad ab, ergo AC füpra ac cadere

[

debet; cum vero etiam B & », etiam BC eandem in-

do

clinationem cum ?c habere debet, adeoque BC fupra

tet

bc cadet, unde neceffario C ad « cadet, & tota triangula

tes.

iny

congruent.

2*. Pofita 4C fupra ac, & 4B fupra ab perfe&te

Mlis congruent , cum inclinatio harum linearum feu an-

gulus / & a in uno eadem cum inclinatione in altero

fit, ergo pun&um C fupra « & pun&um B fupra 5 ca-

mx

det, ergo extremitates linearum & hoc ipfo tote li.

nce BC & bc & ipfa triangula congruent.

3*. Ponatur AC fupra ac, B fupra ab, cüm fint

equalia, perfe&e congruent, & 4 ad a, B ad ? cadet,

4B

fed cum etiam BC fit z bc, impoffibile eft, ut C ma-

ang

gis diftet a B in uno, quam in altero, ergo inclinatio

ttia

C ad AB squalis eft inclinationi ae ad ab, proinde

pun&um C fupra c cadit, & totum triangulum 4BC fue

W ,

pra abc cadit, cum eoque congtruit, Q. E. D.

Wt

hi

COROL-

—

—

DE PROPRIET. LIN. &c.

39

(t«

COROLLARIUM,

alia

I26. Ex his quoque deducitur, fi dentur dud triangula

re&angula aut duo acutangula, aut duo obtufangula , & duo la.

tl

tera cum quocunque agngulo habuerint zqualia, ipfum quoque

al*

latus tertium zquale tertio eífe debere, & hoc ipfo triangula

gequalia.,

Nam Ífi ponstur latus .4C — ac, & BC — bc, & an-

gulus.4 - a, impofübile eft, ut latusab majus vel minus fit quam

AB.

ac enim fupra .4C pofito cum a fit — 4, ab quoque fu-

pra A4B cadit, & ipfum b cum Bcoincidere debet, fi enim fupra

vel infra cadere aut ab illo recedere ponatur angülus quoque

If

.A jam major vel minor erit quam a & hoc ipfo jam illi nom

j0l

equalis contra hypothefin datam, mutari enim deberet inclina-

tio lateris 4C ad AB, ut ex conftru&ione figure clarum eft.

SCHOLION.

e(te

127. Habentur ergo criteria & figna certifhma vqualitatis

24

duorum triangulorum , fi nempe habeant unum latus cum duo-

:

It

bus angulis adjacentibus: duo latera cum angulo intercepto: vel

tria latera equalia , ad quem ultimum cafum refertur etiam , (i

4

jete

duo latera cum quocunque angulo dato fuerint equalia, dummo-

d

do etiam detur, utrumque aut obtufangulum, autacutangulum, aut

tectangulum effe, Bene hec memoriz imprimenda funt, cum fequen-

pra

üla

tes demonftrationes his potiffímum tanquam principiis innitantur,

immediate ferviunt ad folutionem fequentium probiematum.

d

PROBLEMA I

at

teto

128. Triangulum dato .4BC xquale con-

(

ftruere. (Fze. $9.).

| [j

RESULOTIDSD

ftt

Si datur 4B cum angulis 4 & B, fiat ab xquale

let,

4B, & ( per $. 79.) fiat in a angulus a z 4: in b

d

ma

angulus P z

, linez duz in puné&to c concürrent, &

atio

triangulum hoc impofitum priori congruet.

Si datur 4B. & AC cum angulo A4, fiat ab z A4B,

nde

T ru'

in 4 conftruatur angulus 4z4, & ducatur linea indefi

nita, in qua abfcindatur longitudo data AC ,. conjungas

L]

tur € & ) & hoc novum priori impofitum congruet

CA

$i

z

AO

DATTUT-IV.

Si dantur tria latera, fiat AD z ab, ex a fiat lon-

gitudine AC arcus & ex ? longitudine bc interfectio,

erunt hzc tria latera ex conftructione zqualia prioribus

& hoc ipío congruent.

Si dantur duo latera cum quocunque angulo AB,

BC, & A, fiat ab z AB, in a fiat angulus indetermi-

nato latere 4f xqualis angulo 4, ex b transferatur in

af indefinitam longitudo C z bc, erit etiam ac z Zfe,

adeoque trià latera xqualia ex. pracedenti theoremate

habentur.

Demonfítratio ex Theor. IV. habetur.

SCHOLION,

I29. Ex iisdem principiis fine dato alio trïangäx-lo quode-

vis novum conftrui poteft , datis iisdem ut prius lateribus & an-

£ulis in determinata longitudine & inclinatione, aut graduum nu-

inero.

1ta v. g. fi fit conttruendum triangulum ex linea 43 &

A4D, ( Fig. 59.). que ad .4 angulum 30? faciant, fiat lineis

indefinitis angulus ad .4 3O gràduum, ad has lineas transferan-

I

tur longitudines datem,, & extremitates D. & B conjungantur,

Dum dantur duo latera non cum

erit ADB triangulum petitum.

intercepto angulo fed cum alio quocunque, in hoc cafu fimul

dari debet, an faciendum fit obtufangulum an acutangulum: da-

9.

tis enim lateribus (Fzg. 60.) .4C

s

: EC cum angulo a, conftrue-

tur triangulum petitum feu BC ad dextram feu ad finiftram v. g.

LC cadat, & triangulum vel acutangulum .4PC vel obtufangulum

ZAbC fiexi poterit, & utrumque problemati fatisfaciet; 4Cenim &

4 ad utrümque pertinent, BC vero eft — Pc, ergo in utroque

|

datze conditiones implentur.

Recangulum per fe determinatur 5

quia perpendicularis nec ad dextram mec ad finiftram cadit, fed

wnicum. tantum fitum habet.

THEOREMA.- Y,

130. Si in triangulo (Fzg. 61.)

uocunque

1

lateri uni ducatur p

araiieia,

erunt Q€uo triangula

gw

ABC & abC fimilia,

D E-

M-a

DE PROPRIET. LIN. &c.

41

Ti

DEMONSTRATIO

ectio,

Similia funt

tibus

quaz habent zquale

ngulos fola lor

gitudine laterum divería. atqui hzxc duo triangula ha-

bent zquales angulos, C enim eít communis, 4 vero

1]

et

— d &b B,quiaexternus interno inter parallelas,

ergo triangula fint finilia.

Ur 11

- ffr

PROBLEMZA II

Es

emnàs

I31. Defcribere triangulum aequilàterum dato

aut ícalenum

latere: aut zequicrurum d&uc» duobus :

datis trlbus lateribus.

RESOLUTIO

) Quoc

; & at

um nu

1*. Datum latus A4B ( Pz2. 62.) affumatur pro bafi,

4n &

& apertura circini, que fit æquth dato lateri, fixo

Tineis

pede in 4 fiat arcus.in C, & rurfus fixo pede in B fiat

sferan

interfe&tio in C, erit triangulum zquilaterum.

Antur

j cum

DEMONSTRATIO

l fimul

nda

Latera funt eiufdem longitudinis, cum eadem aper-

nirue

tura circini facta fint, ergo funt zqualia inter fe, ergo

n 5

triangulum eft æquüaterum Q. E. D.

ngulum

2*. Affumatur ex datis vel 4B vel A4D pro bafi,

enm&

utrogue

(Pig. 63.) & apertura circini

que fit alteri lateu

iatut s

AD vel AB zqualis, fiant interfe&tion

in D vel &

fed

erit .4DB I1foíceles.

DEMONSTRATIO

Duo crura funt inter fe :equalia, eadem enim aper-

i

tura circini fa&a funt, fed crura squalia faciunt trian-

l

]

4

gulum Ifofceles, ergo .4DB eft Ifofceles. Q. E. D.

l

:

3*. Latus unum ex datis affumatur pro bafi, (.P29-64.)

& apertura circini,

quz fit zqualis confequenter aliis

C 5

late«

42

CAPUT IV.

lateribus, fiat interfe&io, pun&um interfe&ionis conjun-

&um cum bafi dabit triangulum fcalenum.

Tr

DEMONSTRATIO

zhq

firu&io

Patet ex conftru&ione & definitione.

equiia

COROLLARIUM.

proia ]

132, Inde rurfus refolvitur problema, quo petitur, ut in

fine lines ( Fig. 65. ) in A. erigatur perpendicularis, | Conftrua-

tur enim fixo crure circini in .4, triangulum squilaterum .4BC,

producatur BC indefinite, & in BD ex C transferatur AC, ut fit

j

Qw

AC — CD, D & 4 conjungantur, erit DA perpendicularis,

Eft enim in .4 angulus re&us, cum enim .4BC fit »quilaterum,

erit angulus m — 60?,& iz—60^, & cum 4C — CD, erit ACD

lfofceles , & o — n, ergo i externus z n--o ($. 118.) feu

n-jl-n hoc eftz2n, & cum i — Ó60?, erit nz30, proinde

Táfüt e

m -- n —— 60 - 30 z 90, ergo in 44 angulus re&us, proinde

164

AD perpendiculyarïs.

SCHOLIOYN.

item 7

latera t

133. Quomodo hec principia theoretica praxi applicari

tur BE

eofint, fequentia Quo problemata oftendent.

dite D

PROBLEMA IIL

DEB.

ducsf.

124. Invenire diftantiam duorum locorum 44

ü p

& B, ( Fig, 66.) ad quz acceffüs patet, interje-

lls ü&;

ca autem palude feparantur,

RESOLUTIO.

Ti

Figatur baculus in pun&o C ad libitum affumpto,

f:g

é menfuretur 4C & CB; recedatur dein verfus E in

?Tæter(

dire&ione A4C, ut ECA fit eadem linea re&a, tamdiu,

scenti]

Idem fiata C verfus D, do-

donec CE fit zqualis AC.

"leriu

nec DC fit equalis BC, in D & E figantur baculi, &

Ils

menfuretur DE, que cerit squalis diftantie peti-

te ÁBD.

DE-

A

DE PROPRIET. LIN. &c.

45

]

COb

DEMONSTRATIO.

'Triangulum. A4CB eft zz triangulo CDE, — Nam «

z— b quia verticales; BC 2 CD, & CAzz CE ex con-

ftru&ione, ergo duo latera cum angulo intercepto funt

zqualia, ergo tota triangula funt zqualia ($. 123.)

proin latus DE z 4AB. Q. E. D.

t, Ut IR

Contnue

PROBLEM A IV.

um ADU

135. Invenire diftantiam duorum loöo;um, quo-

C, ut fit

dicularis,

tum unus tantum accedi poteft.

llaterutn,

erit ACD

RESOLUTIO.

[j fer

Figatur baculus in. C, menfuretue. CB, & transfe-

proinde

ratur ex C in b, fixo rurfus in » baculo.

In directio-

, proinde

ne 3 B verfus 4 figatur in D baculus, menfüretur BD,

item BE, & DE, habebuntur in triangulo DAE tria

latera nota, proin totum triangulum notum; transfera-

gplicaté

tur BE in je, & ex e longitudine ED & ex b longitu-

dine BD fiat interfectio in d, erit triangulum Led —

Pro«

DEB ob lstera zequalia, ergo angulus a — c.

ducatur d in F, donec in F ftanti C & 4 in eadem re-

vum 4

&a appareant, ut FCA fitlinea re&a, erit F» aqua-

inter

lis ditantie quafite 4B.

DEMONSTRATIO.

Triangulum 4BC eft x triangulo CbF, eft enim

f — £quia verticales, « —— a ex conítrucione, &

Tumpto,

,E

praterea latus 2C z CB, ergo latus cum angulis ad-

jacentibus unius zquale lateri cum angulis adjacentibus

tamdlly

SD, d

alterius, ergo tota triangula funt squalia, ergo latus

bF zm lateri.4B

Q. E. D.

;CUH D &

1æ Peti'

SCH Oo-

pE

C/ATUT

IV

44

SCHOLION,

I36. Dum ípatium non admittit, ut CD fiat — diftantise

H

CB, & CE — 4AC, in Fig. 66. accipiatur ejus dimidia vel tertia &c.

—

pars, ut fit Ce

i AC & Od 9 ä BC, erit etiam de — L AB,

l

.j.«

(

quod etíam in altero problernate notandum éft, Veritas hujus in-

cutmicri

ferius de lineis proportionalibus oftendetur,

Ex. Sit CA — 60 !**, BC — 40 hex, fiat Ce z— 30, dC z

"

e C'N

,

iïenfuratum de z 2$ duplicetur, erit vera diítantia 4B ——

*

50

Bi

I

THEOREMA VI.

(

1.

wudo

..147. In triangulo Ifofceli perpendicularis CD

[[208:

ex vertice ad bafim demiffa, (Fzg. 69.) hanc & an-

enim (

fituctio

gulum ad verticem & totum triangulum biffecat.

tertus

DEMONSTRATIO.

— 6

habett

In D funt re&i, quia CD' perpendiculatis ,

tota f

quia Ifofceles , ergo etiam tertius m — ntertio ($. 115.)

etiam 0

preterea latus 4C z BC, ergo latus cum angulis ad-

fed etia

jacentibus zquale, ergo tota triangula funt squalia, er«

lia : Pl*(

go etiam latus 4D — DB, Q. E. D.

triangu,

CO ROLLUASTSTIUM. L

138. Cum zquilaterum fit etiam I1fofceles , 'prædi&,a rprcw-

prietas etiam «quilatero competit,

COROLLARIUM:';—I

129. Inde fequitur, fi bafis biffecetur, etiam angulum ad

1

verticem biffecari, & lineam perpendicularem eíffe, erunt enim

lela d

tria latera unius trianguli ACD squalia tribus alterius DBC , er-

TU oj

$0 tota triangula zqualia, & m —— z, & cum in D deinceps po-

Cicitur

fiti etiam fint equales, re&i effe debent ($. 49-) proinde linea

&puli

AD perpendicularis,

(& Q

Cbiitigïgm

Rel*igu

T HEO-

DE PROPRIET. LIN. &c

45

HEOREMA VII

ia

a «t

eft

vCit

circulus 1infcrib

140. Cuivis. triangulo pot

48,

feu quod. idem eft

5 UT

triangulum |poteft circulo cir-

cum mel.

CM

AB z

DEMONSTRATIO

Biffecetur angulus: 4 ($..91.) per indefinitam .4e,

CPz9g. 69.) biflecetur etiam B.per indefinitàm Ba, ex

pun&e concurfus,hàrum re&arum c, demittantur ad la-

(D

tera perpendieula cF, cD, 'cG , h:c erunt zqualia, funt

( a

enim triangula. cA4AG. & Fz4. equslia, cum in d ex cone

v

ftru&ione duo anguli fint zquales, in G & F re&i, ergo

tertius zqualis tertio, latus 4 utrique commune, ergo

habetur latus cum angulis adjacentibus zquale,

er go

b-

tota trlangula funt sequalia, & latus Gc x— Fc

fed

,5

!

etiam ob eandem rationem BcF — DCB

^

& Dc z

E

lis àd

fed etiam Fc — Gc per priora, ergo Dc

PFe, Gc squa-

14 ea

lia, proinde funt radii ejusdem ci

uli, quem laterà

trianguli in pun&is F, D, G- tangunt. Q. E. D

De Polysonis aliis

la pti

DEFPFINITIO.K

I41. Quadrilaterum oppofita latera habens paral-

red

m

lela dicitur parallelogrammum :

G

in fpecie quadrilate:

etuitt

rum omnia latera babens zquai!ia

& angulos rectos,

P.

05 po-

dicitur guadratum ( Pg. yo

Si latera fuerint aequalia &

lines

anguli obliqui, dicitur AAombus (Pzg. 71.). Si bipa la-

tera oppofita fuerint zqualia & anguli re&ti, dicitur re-

Gangulum (Bzg 79.): fi obliqui, AAomboides (i*zo 73 )

liqua figure quadrilatere zrapesia (j.*z(g na4.) vecantu;.

o dl

(-

46

CXPUT IY

tot t

THEOREMA L

Y

d

à

142. Quodvis parallelogrammum per diapona«

]ram

lem in duo triangula eequalia dividitür, (P79. 75.)

T

adeoque biffecatur.

teta di

DEMONSTRATIO.

o du

funt be

Cum enim A4B & CD fint parallelz, erunt anguli alter-

funt b

nia & c, item ? & d xquales, /4D vero ad utrumque per-

teta de

tinet, ergo utrumque triangulum latus unum cum an-

gulis adjacentibus zquale habet, ergo triangulum .4BD

& CÁD erit; proinde figura in duas partes equales di-

ho eí

vifa, Q. E, D.

htl

COROLLARIUM,

X42. Patet inde, latera oppofita parallglegrammi cujusvis

femper xqualia effe debere; íi enim triangulum inferius fuperio-

ti imponatur, cum fint equalia, CD fupra A4B & DB íupra AC

I

cadet,

PO

Tufn g

THEOREMA il

T0mer

144. Quodvis polygonum in triangula vel in

tot refolvi poteft, quot funt latera affumpto puncto

intra perimetrum, vel infot, quot funt latera dem-

tis duobus ductis diagonalibus fefe non interfecan-

htera

lateta :

tibus.

gv

DEMONSTRATIO.

fubtra]

2!

Fa&o pun&o intra perimetrum C ad queuivïs angu-

lum duci poífunt latera triangulorum, ( Pzg. 76.) quo-

dklobus

IQ

rum vertices in puné&o aifumto funt, bafes vero firt

D Alt

ipfa latera polygoni, ergo tot funt triangula, quot

funt bafes, íed baíes tot funt quot latera, ergo etiam

tot

DE PROPRIETATIBUS LIN. &c.

47

tot triangula quot latera, ut apparet in Hexagono P9.

76. quod in fex triangula refolvitur.

fon

2^. Ductis diagonalibus latera fiunt bafes triangu-

lorum preter duo, prima enim & ultima diagonalis v.

15

g. BF & CE in Pig..77. triangulum totum & fimul la-

tera duo B4, AF, & CD, ED abfcindunt, ex his er-

£o duobus unum tantum bafis eíffe poteít, ergo omnia

] dete

funt bafes demtis duobus, fed tot funt triangula, quot

funt bafes, ergo etiam tot erunt triangula quot funt la-

je pete

tera demtis duobus,

um an.

n ABD

COROLLARIUM,

Jles i«

I45. AÁnguliigitur in centro tot fiunt, quqot funt triangula,

hoc eft, quot funt latera, &fi làtera funt equalia, etiàm triangu-

la & hi anguli ad centrum zquales funt.

THEOREM A IIl

eyjuss

fupetio-

146. Summa omnium internorum &ngulorum

ipra At

polygoni eft zequalis 180* ductis in numerum late-

rum minus 3605 vel eft zqualis 180* ductis in

numerum laterum binario imminutum.

vel n

DEMONSTRATIO.

pun&o

1^ Fado pun&o in medio tot funt triangula quot

3 den

latera ($. 144.) ergo toties 180? habentur, quot funt

(eCate

latera, fed anguli circa pun&um medium , qui funt ——

360?, non pertinent ad angulos polygoni, ergo ab iis

fubtrahi debent, Q. E. Primum.

2*. Tot funt triangula quot funt latera, demptis

, anp

duobus, fed quodvis triangulum z 180?, ergo toties

jqu

180* accipi debent, quot funt latera demptis duobus, Q.

'ü fll'.f

E. Alterum,

, quot

) 6mm

tot

THEO-

C A.

PUT IV.

ld.

[Se ]

THEOR'EM A: IV

WE

u

nf

I47. Anguliexterni, fi nullus eft gibbus

u g

j

æquajes 360* (Fig. 78.)

b,er

iere «

DEJMONSTRATIO

ta

Q xhbwt

neulus externus 4, b, &c. cum fuo in*

terno .A4, B. &c. facit 190

ergo e terni cum:. internis

ü

an

toties faciunt 180*, quot funt latera; fed.etiam interni

;

cum iis ad run&um E toties faciunt: 180

quot fun

lexterni iis ad pu "»öï;um F squa

latera, ergo w 144. ]

les effe debent, fed hi faciunt

360^, ergo etian

?

)

ex-

tened

terni 4 -- Pb -0 E diHi- 6, 360^ equales funt.

EO DD

duas |

;ihl I

T H.EO

EMA V

1113

I49.

Si anguloru

alicui

li

it^

eibbi,

fumma

exterüórum eft .ze

XL& E 360& Wä— tOilLS .2.80 (iu

ferib

funt gibbi. (fzg. 79.)

tfaïh.

DEMONSTRATIO

4 p

;]

Sit

lus gibbi in e,

du&a linea

L 5

iumma

externorum ,

b

D

?

j—a

F, eft xquali

a60? ex

0!

int

precedenti, fed etiam anguli 4, €

fk

4ilV

jguli ex-

gïu

1

p

(

terni, ergo ad priorum fuminam addi :teb nt, fed 4,. £,

i

&qUà

c, cum fuxt anguli trianguii ,

funt z

[90,

ervo ad 360

h

V

to

&udi debent 1 90, & cum hoc (mumnfücmr de omni an-

WUl

&hens

o gibbi, fequitur füummam exter

norum eífe zqualem

&(

ding

tä

O? -- toties 180?,quot f'unt gibbi

Q. E

L

&i

l«

3

P

OR R

VI.

Qei

^d

li

a?

vo

liyi

nmetricum

CT

a

li

Y 2,7 (, uodvi

e

derta

m

:

ula ad

deln

conales 3.&4

c

SHC

OU

HItOo

S I) $12

M !»,HPQ

tT

verticem Oppo

C

"p

(,V QIL

ivl

ditur. (

LHo. €

)

f*

[

Pa

n

E

ARIET

; PROPI

uio

LïN &Cg

49

MONSTRATIO

p

Cum latera oppofita femper fint parallela & zqua-

lia, & diagonalis femper ut fecans harum parallelarü

haberi poífit

femper erunt duo alterni anguli cum ]la-

tere adjacente in utroque triangulo equales, proinde

tota xqualia: ut in f72. 8O. cum latus 4B fit equa-

le & parallelum ad ED, « z d & e — ?, erit etiam

b

ECD

Idem demonftratur de FCA

triangulum A4CB

ü

& ECG, aut de FCD & 4CG. Q. E.D

COROLLARIUM

h

X

150, Deducitur inde, fi quecunque linea v. g. xy per ín-

terfe&ionem communem diagonalium C ducatur

polygzonum in

D.

Erunt enim ex utraque paàrte triand

duas partes equales dividi.

gula numero & fpecie zqualia triangulis ex altega párte,

q H.E

OREMZA VII

3

n2

g

are circulo in-

UT

I5I. Polygonum quodvis r

fcribi feu polygono circulus per

l

tces angulorum

g

tranfiens circumícribi poteft

DEMONSTRATIO

i

1

ia

re; & biffecentur an

ex

it ABDEF pentagonum regu

eX

guli per ($. 82.) (Pzg. 81.) linez biffecantes omnes

)

&quales erunt

& in eodem pun&o C concurrent. Nàm

cum toti anguli fipt equales, etiam dimidii zequales eífe

o

Al

d hfu -

L

proin omnes anguli a, m, 0, £, s, y, $, e, x & 8

el n

ales funt

& cuin latera adjacentia AB ,

BD.&c

etiam zqualia fint, erunt mem triangula æquaha & Ifof-

D

CE

celia, adeoque latera .4C,

AJ./,

CF zequa-

lia, ergo C tanquam centrum & linez he vt radii con-

fidet

circulus ergo hoc centro & his radiis

]

1

poffunt,

nu

]

deícriptus per omnia pun&a 24, B, D, E, & F tr nüre

deé

i!þ&ä ,,75/ 'Lä*g'

l].

D

2

b1"]

CATPUT IV.

[/

debet, & circulus etit p»entagono circumfcriptus, quae

proprietates cum in omni adfint polygono, de omni quo-

que polygono demonítrantur. Q. E. D.

COR OLLARIUM L

152. Hinc latera polygoni regularis funt chorde zquales

eitculorum , qua arcus xquaáles fubtendunt ,

per quos meníurane

tur anguli.ad centrum sequáles,

jam cum anguli ad centrum fint

sequales 3606, fi 360^ dividam per numerum laterum, habeo

angulum. quemvis,

& arcum illius menífuram , & chordam huie

arcui correfpondentem, In pentagono 360 divii per 5 dant 72,

angvlum ad centrum, quantitatem arcus, & magnitudinem chorde.

COROLLARIUM IL

153. $i hexagonum datur, angulus ad centrum habet 60?,

& cum ex prioribus demonítratis, fi radii ducantur ad angulos,

habeantur mera triangula lfoífcelia ,. quivis angulus ad bafim

etiam 60 gradus habere debet, proinde in hexagono fimul funt

triangula zquilatera , & latus hexagoni equale radio circuli, ( Fizr,

76.) Defcripturus igitur hexagonum fa&o circulo rad'umi fexies

ad peripheriam transfer, qua methodo plerumque divifio circuli

aut quadrantis inchoatur.

|

:

THEOREMA VIIL

I54. Cuivis polygono recgulari circulus infcri-

bi aut polygonum circulo circumfcribi pofeft. (Fig.

82.)

DEMONSTRATIO.

Biffe&is duobus angulis habetur centrum ex pra-

cedentibus, inde demiíffa ad latera feu chordas perpen-

dicula erunt zqualia.

Hec enim perpendicula chordas

büfecant, ($. 78.) qu& cum fint larera polygoni regu-

laris, cquales funt, proinde etiam dimidia erunt zqua-

lia, & in triangulo ECB & BCD ]latus EB z lateri

BD, in E & D fupt re&i , a z« » ex con(iru&ione, er-

£o*

|

DE PROPRIET. LIN, é

51

Qu

go triangula hec duo æqnalaa, proin latus

CD 2— CE

quo

Eodem modo demonftratur CFefle z CE & CD & CI &

CG, ergo hz uneæ pro radiis ci-culi haberi poffunt ,

&

circulus centro C his radiis defcriptus totus intra poly-

gonum ita jacebit, ut làteta eum tangant. Q. E. D

qualet

Uran

PROBLEMAI

| fiftt

0€0

155. Invenire fummam angulorum polygoni,

|

X.«ïc

RESOLUTIO.

d

Qf 0gs

Ducatur 18O in fummam latervum demtis duobus,

factum erit füumma petita. In octogono v. g. ducitur 180 in

$

6. & factum 1080 eft fumma omnium. Patet ex Tleor.

60',

"ulos;

E91

batm

] funt

PROBLEMA IL

(fig

fexiet

156. Invenire angulum quemvis polygoni.

JcuH

RESOLUTIO

Quzratur fumma omnium, & dividatur per nümerüm

laterum.

Tot enim fünt aoguli quot latera, ergo fi fum-

feti

:»a omnium dividatur per fummam ]laterum , habetug

rF:'g,

quivis

in o&ogono 1080 dividatur pet 8, & quotus

R

135 eít angulus quazfitus

SCHOLION

I57. Sequen$ tabella angulos polygonotum usque ad dode-

tagonum exhibet.

n

| $; Anm

Ang. Pol

pen

Pol gona

Sum, 4ng.| 4ng Pal

Pol vg,

)W* $

Triangulum

180

óo

( EJS )m,

TORO

1325

260

90

Énneagon.

1260

l4Q

rnmül

Quadratum

Pentagzonum

540

Io8

Decazg. n

1440

l44

aq Ua

Hexaconum

(29

I20

£ndecag.

1690

IiA47r

ateft

teptagonum

9Q9Q

1284*

Dodecag.

|

ig2o

159

; eig

Ge

p

P

in

CATPUT IV.

x2

Ín hac tabula lfgquens fumma arlgulo;-um femper habetur ad prse-

gf&ïl

cedentem addendo 180, cum enim femper novum latus acce-

du

dat, factor alter femper unitate augetur, adeoque ad precedene

fa&tum 180 accedit.

t

tn :

PROBLEMA m».

158. Pol)fgono circulum circumfcribere.

^

RESOLUTIO.

Dividantur duo anguli bifariam, ubi linez biífe.

Cantes concurrunt, erit centrum, ex quo pun&o per

d

vertices circulus ci;/cumfcribi poteft. Patet ex Theor.

Tuà

l

VII.

PROBLEMA IV.

159. Circulo polygonum infcribere,

h.

RESOLUTIO.

Dividatur 360 per numerum laterum , ut habeatur

bt

angulus ad centrum , & arcus illi in peripheria corre-

dieu

;

fpondens, qui ope transportatorii determinetur, ad ar-

dxm

cum ducatur chorda, & in peripheriam transferatur.

enr

Patet ex Theor. II. & Coroll.

füita

COROLLARIUM.

pu

pol

I60. Cum hoc ope tranfportstoris fiat, mechanica tanturm

& non £geometrica operatio eft.

immediate

loc

Hexagonum fólum

defcribi poteft, applicando radium fexies peripherim ut $. 153. di-

&um eft, Ope hexagoni de(cribitur trigonum (77g.83.) conjungenáo

perlineas re&as duo latera, Dodecaeonum fit' bilfecando arcus he-

xagoni, & inde ulterius per biffe&iones polygonum 24 laterum ,

*qu

48 laterum &c, haberi poffunt.

Du&'s duabus diametris perpen-

i ln

Aiculariter fe 4nterfecantibus ,

fii; extremitates chordis conjüun-

ilnu

gantur, habetur quadratum, inde o&osonum &c, ut prius,

De

75 iil w

OR

infcribendo pentagono, decagono &c. dicemus inferius ($. 190.)

Wy

ubi addemus de polygono 15, 3O, GQ &c. latecum qua per bif-

D

Lhoc-T

v

Q

as

DE PROPRIET. LIN. &c.

$5

ftte

ACCte

fe&iones haberi poffunt,

Aliortum feometrica defcriptio non-

dum inventa eft.

Heptagonum quam proxime defceribetur,

f

dent

trianguli squilatgri circulo infcripti latus dimidium in periphe-

tiam transferatur,

PROBLEM .A V.

I6I. Polygono circulum infcribere.

RESOLUTIO.

jifa.

Qäæratnr centrum biffecando duos angulos, inde

pat

ad latera demittantur perpendicula, per quorum extre-

lg0r.

ma defcribitur circulus. Ptate*t ex Theor. VIII,

PROBLEMA VL

162

Polygonum circulo circumfcribere,

à

RESOLUTI O.

Inferibatur polygonum petitum circulo (ng 84.)

atur

per Probl. IV. Demittantur ad latera ex centro perpen-

oe

dicula, arcus bifariam fecantia, ad quz erecte perpen-

d r

diculares tangentes polygonum determinant.

Habetur

atuts

enim circulus datus polygono infcriptus, cum per extre-

mitates linearum ad latera perpendicularium tranfeat

per Theor. VIH. fed idem eft feu circulus fit infcriptus

polygono, feu polygonum circulo circumfcriptum, ergo

a.

hoc polygonum circulo circumfcriptum eft. Q. E. D.

ediatt

m

SCHOLION.

enáo

. 163. Extra cireulum. data

linea

defcribitus

triangulum

; he-

equilaterum , ut fuperius ($. 120.) et expofitum,

Quadratum ,

fUl s

fi in fine linez date erigantur perpendiculares ejusdem longitu-

qoene

dinis & fuperne conjungantur, Pentagonum, ut dicetur ($ 190..

nüt

Reliqua ut defcribantur, im utroque extremo lines date angulus

]

pe

Polyzoni faciendus erit, & linea, quo dat» zqualis fit, ibidera

190.

applicanda, & hoc tamdiu repetendum, donec fpatium claudatur.

f bll

L

Eadem gmethodus obfervatur, dum lines inzquales & anguli

i*

daue

D2

—

..:.,e,*.—(?m-:«v as

84

CVAPUT* Y5

dantur,'væum in his labor mere meclhanicus adhibendus ef

ope transportatoris coníftruendo angulos,

à quo geometria ab-

horret.

El

ul

COR OLLARIUM —X

[

d

in t

Y64. Apparet ex ha&enus di&is, quo major eft numerus

laterum , eo magis femper angu'um po yzoni

er

obtufum , &

utíi làteza fünt in-

pop

polygonüm accedere 24 circulum, ita quide

fnita, polygonum quoque à'circulo quantitate fenfübili non dif-

due

ferat.

Hinc fi eidem circulo pol

[$]

u

li

infcribatüur, & circume

fcribatur, & dein latera fucceffhve plura & plura fiant, utrumque

kC,

*

fem

per mazis ad circulum accedet, & tandem cum ilo congruet.

lele

Oty

A

gonum infnilorum laterum.

"

&Einc circylm eft p

t

w

Iu

^

(W

DL

[4

QOR/OLLARIUM IK.

n

i65. Sequitur ex his, eadem applicari pojfe circulo, quse

de polygonis di&a funt, v. g. etiam circulus refolvi poteít in

har

&i

€ot triangula, quot funt latera , id eft in infinita, & crura ho-

D

rum triengulorum, cum bafes fint infinite parva, erunt ipü ra-

Yv

te

fl

dii circuli, bafes vero peripheria, qus bafes cum fint infinite

Q C

parve , & crura infinite propinqua, radii a perpendiculari, a

Tür

vertice ad bafim demiffa, non different, proinde radii funt fiumul

altitudo horum trianguïgruïm

la, (

i

iaf

H

Tatioc

vv

Y

CAPUT.,L

&C.e

DE LINEIS PROPORTIONALIBUS.

fler

DEFINITIO.

f&

dum prims

Oit

366.'*-

inem proportionales dicuntur ,

]J& .A fuerit ad fecun

,

d

4rf

fernan

.1:;—11,

ficut tertia ad quartam,

velprima ad lecundam, ficut fecundà ad tertiam.

THEOREM4A X

ugo i

x67. In triangulis fimilibus feu zequiangulis la-

Itm [

tez2 homologa funt proporüonalia.

& Q

D E-

:

DE LIN. PROPORT. &c.

55

d

eft

)b

DEMONS.TRAT—'ITO-.,

Si in duobus triangulis, in quibus angulus zqualis

wquali imponitur, latera huic oppofita fuerint paralle-

Ja, litera homologa erunt propoitionalia, fed hoc fit

W

in t iangulis fimilibus , ergo in iis latera homologa funt

].«

proportionalia,

D

Ad primum demonftrandum ducantur (Bie. 98.)

due linee ad quemcunque angulum inclinate, C &

ne

BC, inter eas in zquali femper diftantia ducantur paral-

et

lele a2, le, cf, A8; & demittantur ad illas ex inter-

fecionum pun&ti: perpendicula Cm, ag, bi , cl ex una,

& Cn, dh, ek, fm ex altera parte, erunt triangula ex

l]

una parte inter fe zqualia, & triangula ex altera parta

m

etiam inter fe zqualia, nam in omnibus his triangu!is

0

eft angulus re&us ob perpendicula v. g. in 5 & g, &

n

'te

externus preterea ubique zqualis interno v. g. x — y,

& cum parallele zqualiter ex conftru&ione diftent,

i

erunt latera feu perpendicula Cm, ag, bi, & cl equa-

la, ergo etiam tota triangula inter fe zqualia, ergo

B

etiam latera Ca, ab, bc, & cA equantur.

Hxc eodem

ratiocinio ex altera parte demonftrantur, ergo etiam

latera C2, de, ef, fB inter fe xqualia funt.

Jam cum fit ex modo demonftratis Ca z ab — be

&c.ex una, & Cd — de — «f &C. ex altera parte, poterit

fieri hec proportio Ca: ab — Cd: de: & ab: be — de:

ef & bc: cA — efi fB squalium enim eadem ratio,

proin vera horum proportio eft.

——X

Ergo etiam. erit al-

r

t$ernando

Ca : Cd

tcmucaazs

E

de

-

y

& ab

de

——

bc : ef

& be: of

::A'ifB

—

"& cá: fB

&c. &c.

ergo etiam erit fumma-' omnium antecedentium ad fun-

3'—1

mam omnium confequentium , ficut quivis antecedens

ad fuum confequentem ; fed fumma omnium anteceden-

D

tium.

PCXATDT.V

86

£ium eft tota CA & fumma confeaueptium eft CB, erzo eft

tota linea CA ad totam CB ficut pars Caad partem C

vel ficut pars C^ ad partem Ce vel etiam ficut pars ab

ad partem de

vel »e ad ef &c. in genere ergo , qua-

cunque & ubicunque ducatur par?llela ad //5, erit tota

CA ad totam CB ficut pars quevis homologa prime

|

parallela ab

ad paitem quamvis homologam íecundx a

UE dl L quas : MAMES u

ïClFææ

Atque hx»c

c contingunt in omnibus triangulis fimi-

libu

fie

u.ï

Aia

m

in fï'dng"n?-a

ADC

1217., ( ä4l0

6.

X

[f imponatur, latera illis op-

aqualis angulus

q

"

cï':?

Rn

e

;

[ ofita 4b5 &

"

rio parallela effe debebunt: im-

cum a fi

—

d

Á & hz B, erunt

oofito emm c ipli . €

externi a

B, que proprietas

& b æq"au*s internis A &

fine pdzaï e!!b effe non poteft, hinc ab fiet parallela ad

AB

Si P xmpx,hg.rvr 5, erit ac parallela ad

Si

a imponatur 4, erit Pc parallela ad BC, proinde omnia

bis triangulis applicari poffunt,' qua fuperius dicta funt,

erit enim hxc pa:

lela una e

lis) que ex hypothefi

fupetius e xpofita vel ad vel be &c. affüumta eràt, cum

etiam bz parallele infinite mom,, jug effe poffint, pro-

r!" (1

inde omnem quamcu

'Ew

ue,

(vx]vj

i poteft, exhibeant;

& partes fimul erunt latera hamo;oga, cum zqualibus

angulis opponantur

Ergo in triangulis fimilibus latera homologa funt

prcport!onahag

Et erit /fC: ac m CB:cb vel A(, CB

e aL velC:aA4B

ab &c. &c. Q.E.D

C.O R OLLUZARTUM-I

168. Hincjaminfertur, fi in triangulo cuicunque lateri paral

1e!la ducatur,

hec partes to

proportionales abícindet

tem

quotiescunque demonítratur triangu!la duo habere aneulos sequa-

les, jam hoc ipfo demonftratum etiam erit, latera homologa

|

& fi

latera

—

eífe proportionalia

homolosa funt proportionalia,

hoc ipfo anguli equales, & triiangula fímilja erunt.

^

C o-

DE LIN. PROPORT. &c

r

20 Eit

COROLLARIUM 9l

3 C

169, Quin fi in duabustriangulislatera duo equalem aneulum

ts d

€ & c comprehendentia fuerint proportionalia, etiam reliqui an-

guli equales funt,

& etiam latus tertium tertio proportionale

qua

j m(-&

erit

Impofito e:mn angulo uno alteri zquali latera minora fu-

pra 1

majora cadent,

& ejus partes efficient, fed uübi partes funt

)Ena

, anguli funt equales

Vi

&

reliqua latega proportio-

proport!onales

3 ab

nalia, uti prius demonftratum -.eft,

ergo hec duo triangula funt

finilia, & latera omnia proportionalia.

lil

n

THEOREMA II

00

$0

170. Si angulus C(Fze. 87.) perlineam CD biffe-

ii

Cetur, etiam bafis proportionaliter ad latera feca-

erunt

tur

hoc eft, erit latis BC ad latus AC ficut pars

tiela$

D

ad

partem. DA.

ha ad

DEMONSTRATIO

2H

)mlua

Producatur latus. BC indefinite, ex 4 ducatur la-

rmtg

teri CD' parallela 4E, habentur duo triangula BCD &

Yheft

BEA fïmxha ob latera CD & E 4 parallela ;

ergo erit

cum

: CE — BD : AD.

Jam cum x — y ex

proporto

p

con&ru&none, & yzm

m., quia externus

— jinterno, &

eants

xlÉu

quia alterni, ob parallelas CD & 54, erit etiam

Jibus

$ —n5, cum uterque fit equalis equalibus x & y, fed

fi uzs, CEA eft triangulum Ifofceles, ergo CE —— CAf

l fint

ergo in ptroportione loco CE fab[*atuendo AC . erit

1

^

!

BC:ACzzBD:AD,. Q. E. D.

THEOREMA

II

171. Si ex angulo recto ad hypothenufam de-

il

j

mittatur perpendicularis (Pze. 89.), dividet trian-

'!L'll

eulum to^tum rectangulum in duo alia minora funi-

0109*

lia totji, & fimilia inter fe.

,ohl,

D $

DE:

58

CAPUT V

DEMONSTRATIO

Si funt zquiangula, funt fimilia, atqui funt squi-

angula.

In parvo enim .4CD eft o communis & parvo

& magno, in parvo eft re&tus in r, & in magno in C,

From tertius-m 23ualis tertio x.

In triang. lo CDB . ft x communis &

& magno & huic

I)

medio triangulo:

in f' rectus

s in hcc medio, & in C in

& planis

toto

€rgo euam tertius m z— tertio o

In triangulis 5CD

——

CDA eft s. z r quia re&i,

præterea p

..........x9

& n

d

—

o éx precedenti, ergo hec

7

duo triangula funt equiangula, proin fimilia. Q. E. D

Quentes e

ENGNS

COR O.LLATIUM I

$t ww

Portion

172. Cum in fimilibus trianeulis latera homoloega fint propor«

circulo

tlonalia, cor parando parvum & magnum erit cathetus AD ad fuam

€iamete

hypothenufam .4C in parvo, (icut cathetus AC ad fuam hypo-

thenufam 4B in máagno: comparando medium & maegnum erit

Oi p

pleria at

cathetus DB ad fuam hypothenufam BC ficüt cathetus BC ad fuam

hypothenufam .4B hoc e&t

concipi 1

AD/* HO ce- 40 AR

t habel

mifa ha

BD : BCi—— BC AB

sutando i& equationes erit 4D x 4A4B z AC?

& BD x AB — BC*

addendo

has

duas zquationes habetur 4D X AB -4- BD X AB —— AC^-- BO*

feu (AD-H-BED) X AB—— AG^ -- BC? fed AD -- BD — AB

j)

ergofubftituendo equale et 4B x AB feu AB?^ — AC* -- BC*

pundto

fed A4B eft hypothenufa, AC & BC funt catheti, ergo habetur ex

hac proportione fequens

Dàjs

THEOREMA IV

173. Quadratum hypothenufz eft zequale qua«

dratis cathetorum fimul fumtis.

pata

lel

SCHOLION Á

n

174. Si latera uniea Ditera fignemus, & hypothenufam

üttte

dicsmus a - b, & cathetes c & d erunt fequentes expreffiones

l

&;€

DE LIN. PROPORT. &c.

39

& d-b

ï

—

a -]- b mutando in vequationem, erit

£

qui

CJ—.—

c

—

Ivo

Jz

ddendo vutramque habetur

Y

ä

E

;;

gab --b* —c

-- d' idem, quod fuperius,

SCHOLION.

I

bd""

175, Geometrice id demonftrabimus, ubi de fupe

bus

. lil

& planis, adeoque de areis quadratorum agemus,

COROLL|ARIUM IL

Wi

hat

176. Comparando duo parva triangula inter fe, habentur fe-

cathetus .47) ad cathetum CD2, (icut homolog&

I)

quentes expreffiones

eathetus in altero CD ad BD, hoc eft AD: €CD — CD: ED, Quse cum

fit proportio continua erit — 4D:CD:BD & CD media pro-

portionalis inter 4D & BD

jJam cum omnis angulus in femi-

)pof«

circulo fit re&uws, in triangulo rectangulo hypothenufa tanquam

[üamt

diameter fpectari poterit, (zg. 89.) & cum angulus re&us in

ypo

omni pun&o femiperipheriw effe poffit, perpendicularis ex peri-

ent

pheria ad diametrum demü"'. tanquam ex angulo re&o demiíía

T

concipi poterit,

hinc refpectu diametzi omnes illas proprieta-

€es habebit,

quas perpendicularis ex angulo re&o ad bafin de-

mifa habet, hinc fequitur

THEOREMA V

hi

"

4B.

177. Perpendicularis ex quocunque peripherise

BC

punco ad diametrum demiffa eft media proportio-

221

nalis inter fegmenta diametri.

THEOREMA VI

yas

178. Si dux rectee EH, FG ( Fig. 90.) inter

parallelas /4B, C fefe inter(ecent, earum fegmenta

EL, LH & FL, LG, eruntm*er fe proportionalis

directe,

a

D EÉ-

o

CAPUT- V.

DEMO'NSTRATIO;

D

'Triangula ELF& GLH funt *milia, anguli erim ver-

hC f

ticales in L & alterni m & x, itemm&o fuünt equales, proín

latera homologa proportionalia, hoc eft fepmentum pri-

d pa

les (

me EL oppofitum angulo n, ad fegmentum fecund» LF

Ero !

oppofitum angulo m, ficut alterum fegmentum primze

LH oppofitum zquali o,ad fegmentum.fecunde LG op-

ximum

nimum

fpoütum equali x. Hinc EL:LFZzLH:LG: Q. E. D.

z (

THEOREM A.

VII.

pus

179. Si chordz 4B, CD in circulo fe fecent,

erunt iegmenta proportienalia reciproce.

DEMONSTRATIO.

cirey

Du&is lineís 4C, DE, erunt duo triangula 4EC

Is tir)

& DEB fimilia: funt enim anguli verticales duo zqua-

E

les, dein mzzzs ob menfuram &qualem 4 CB ( $. 90.)

& ob eandem rationem latera homologa proportionalia,

ergo AE oppofitum angulo x ad CE oppofitum angulo

« ficut LE oppofitum zquali o ad BE oppofitum zqua-

Di

li m.

Hoc eft fegmentum prim» AE ad fegmentum fe-

tl &

cunde CE, ficut fepmentum ejüfdem fecunde DE ad

hàbet

fegmentum prine BE, fed hxc eft ratio reciproca ,

dj C0l

cum fit prima ad fecundam ficut fecunda ad primam,

Qherir

ergo chorde in circulo fi fe fecent, fegmenta habent

ZX [e|

1

reciproce proportionalia, Q. E. D.

itys (

-

eft AC

THEOREMA. VII.

fortion

180. Siex eodem puncto C (Fig, 99.) extra cir-

culum ad peripheriam cavam duze linez 44C, CB du-

cantur, partes extra circulum Ce, C4 (unt totis li-

)

"Ut

neis proportionales reciproce.

DE

—

óx

DE LIN. P;ROPGR'R &c.

DEMONSTRATIO.*

Vete

Du&is.chordis 44 & Be erunt triangula 44C &

BeC fimilia.

TOf

Nam C communis utrique, 4 & B funt

ad peripheriam eidem arcui ed infiftentes, proinde squa-

: Wid

LP

les ($. 90.), ergo etiam obtufus in e z obtufo in d,

Ti

Ergo latera homologa funt proportionalia, hoc eft ma-

'r Ops

ximum in primo CA ad maximum in altero CB, ficut mi-

nimum inprimo C4 ad minimum in altero Ce; feu CA4: CB

D.

ze— Cd:Ce; hoc eít tota prima ad totam fecundam ficut

pars fecundw ad partem prime. Q. E. D.

Cellfy

THEOREMA IX

ISI.Siexeodem puü(?w C (PFg. 95.) ducatur ad

circulum fecans C/4 & tangens CB, erit tangens

AE

media proportionalis inter totam íecantem & par-

?qUZ"

tem extra circulum.

?

40)

alia,

DEMONSTRATIO.

aguïo

gquie

Du&is chordis 45 & 4B, erit triangulum CAÉ fi-

1 fe«

mile triangulo 4CB. — Nam in C utrique communis, 4

Ea

habet menfuram £ dB, cum fit a tangente BC & chorda

f02 ,

4B comprehen(us ($. 95.) & etiam m cum fit ad peti-

a Pb

— M

fain,

fememe

pheriam habet £ dB, ergo a

ergo etiam tertius

Rü at

tertio.

Ergo erit in magno triangulo latus

LAX €«$ NÀ

AC

9

d

jbent

latus CB, ficut in parvo latus CB. ad latus Cd, hoc

e(t A

A o W

C-CE

z CB:O, ergo CB tangens e(t media pro-

portionalis inter totam 4C.& partem C4, Q. E. D.

9.

Cif-

56 HOLION,

(

182. Ex his jam theorematis fequentia problemsta réfole -

j) ^^

vuntur,

PRO:

j

65

CAPUT.V.

PROBLEMA L

183. Ínvenire ad tres lineas 44B, CD, EF

I9

0"

ll

quartam. (Fig. 94.)

RESOLUTIO,

]

Jungantur 4B & CD ad angulum quemcunque;

il E,

vel potius Conjungantur duz re&zm aliw indefinite ax,

Deri

4y ad quemcunrque angulum, & in illis ex vertice 4

medi

2"

transferatur prima data in 4P, fecunda in ad, tertia ad

alteram partem in 4/, conjungantur ) & 4, & ex f du*

catur parallela ad )d , erit ag quefita proportionalis.

DEMONSTRATIO.

Qe,

Triangula ábd & afg funt fimilia ob parallélás, er-

gó latera fünt proportionalia, fed latera funt linez da-

tz & quzfita, ergo etiam linez funt proportionales. Q.E.D;

lts

COAROLLAREUM.

pundi

194. Poterat etiam linea. CD aday (Fig, 95.) & tertia EF ad

T0

&x íransferti, conjun&is pun&is b & f , ex d du&a parallela dg

Vel determie

pus .

determinabit proportionalem eandem ut prius ag;

A

nata prima ab ( Fig. 96.) transferatur altera ex a in d, tertia

iterum in ay ex b in f, conjun&is b & d,&du&a ex f parallela,

Vel

erit dg quarta proportionalis.

Krit enim ab : ad — bf dg.

i

translata A4B in ab ( Fig. 97.) transferatur fecunda transver(im

ex b in d & determinata in eadem ay tertia af, ducta ad bd pa-

Quotey

E& enim iterum ab:i4

cunqug

rallela fg erit quarta proportjonals;

iaf :Ja. " Patent hzc omnia ex Tleor. L.

junzaty

putalle

COROLLARIUMO9m$b;

Eïi(mï (

Chünie.

185. Si ad duas datas tertia invenienda fit, fecunda bis pona-

!r*ïig[a,

tut, ut hec fimul tertius terminus proportionalis fit, & ad hag

tüot N

ttes quaretur quartá& gropextionaüs , & refolvatur problema jux-

1 ducew,

ia pracedentes regulas,

D hg

PRO:-

DE LIN. PROPORT- &c

65

PROBLEMA II

EF

185. Inter duas datas, 418 & CD (Fzg

8) in4

veniré mediam proportionalem,

R

SOLUTIO

Jungantur 4B & CD.in dire&um, biffecetur 4D

']ue,

in E, & radio AE de(cribatur femicirculus,

in puncto

r ax,

ItM [4

Beri;atur perpendicularis ufque ad perlpheuam, erit BE

[f1d 3&

medis proportionalis. Demon/iratio habetur ex Theor. III

x]duv

PROBLEMA III

]is.

197. Dividere lineam 41B (Fzg. 99.) in ea ratio»

ne, in qua divifa eft alia 44D

$5 d

RESOLUTIO

Jungantur ambz ad quemcunque angulum, extremi-

)5D.

tates B & D'conjungantur re&a BD, & ex divifionis

pun&is ducantur ad BD parallelz

, erit AD in eadem

fatlone divifa.

Eít enim tota A4D ad totam 4B ficut

EM

(lela di

pars J44 ad partem Jx, vel ficut pars 4b ad païtem

fetetft

A &c. &c.

Patet ex Theor. I,

]. tertia

COROLLARIUM

jtallelds

[ Yd

I88. Hinc patet lineam quamvis v. g 4B prius d-tam im

MY erut

quotcunque partes petitas dividi poffé;

dividatur enim alia quz-

b yr

cunque v. g. CD (Fig. roo. in p.titas partes v, g 4. & huic

xWi

junzatur ad angulum linea data, conjun&is extremis, & dudig

pearallelis erit linea data in petitas partes diviía

Hac ratione

euam fectio in partes inequales v, g. tres, quinque &c. fine me-

chanica operationé haberi poteft, fit enim linea 4B CFig. I01)

«6 9002

trilecanda , jungatur illi altera AC que per biffe&iones in qua-

j la

tuor partes geometrice dividatur, conjungatur B & 2, & ex 2 &

j juf

X ducantur priori parallele, erit linea .4B triífesta

Quomodo

Àd angulià & arcabus applicari poíht, nondum inventum eft

PRO:

o

64

CA'PUT V.

PROBLEM A IV.

&

189. Secare lineam in ratione tedia & extre

;

R

à

P

n Inas

feu itauttota fitad partem majorem, ficut eade

tedia -

ü

jor ad minorem; pars itaque maior me

ia propor-

jer 4l

fcelés,

tionalis inter totam & minorem.

Conjung

RESOLUTIO.

Biffecetur (Fzg. 109.) linea. datà AB in E & in 4

Ü

erigatur perpendicularis dimidiz linee AB squalis , at-

LT

que ea tanquam radio defcribatur circulus, quem A4B

tangat. JDucatur per centrum fecans BF & pars Bd ex

irz

etpo ]

B in G transferatur, ut fit Bd z BG etit per Theor. VII.

&ra«

BF:BA-BA:Bd. Ergo fubtrahendo confequens ab

antecedente erit BF-— BA: BA — BA—- B4: Bd hoc

lijad y

[4/JJ ;

eft cuu CA z. AB, erit Fd z 2 CA z toti BÁ, igitur

pteterea

BF—-BA-Bd; Dein cum Bà fit ex conftru&ione

e— BG, erit BA— Bdzz AG, hinc loco BF— BÀ fuüb-

ttisnpul

flituto Bd, & loco BA— — Bd4 fubftituto 4G, erit pro-

hoc ef |

portio Bd:BAz— A4G: Bd.

Jam cum B4 fit zzBG

Tenum.

ert BG: BA G: BG feu invertendo B4: 5G

Qtf angu

— BG: G hoc eft tota ad partem imajorem ficut pars

EM

major ad minorem, ergo major eft media proportiona-

ïï)äüm ef

lis inter totam & minorem. Q. E. D.

SCROLION.

190. Ex lhoe problemste tanquim funcamento deducitur geos

H 16,

metrica deferiptio pentagoni; de quafuperius(3.160.) egimus, ad

ttivis ad |

quam fequens problema deducit,

VS ef diü

YO c iti

PROBLEMA V.

hipt

Ur

—& hibemr l

i9t. Defcribere triangulum Ifofceles, 1n quo quis

A det

Centty D

libet angulus ad bafim dupius eft anguli ad verticem,

E lt k

R. E-

Uüty

à,

/

1 mbl

/

DE PROPRIET. LIN. &c.

65

RESOLUTIO.

IÉ

ld

Secetur linea data AB ( Pig. 103.) in ratione

] n«

media & extrema per przcedens problema in D, fu-

pore

per A4D tanguam bafi, latere. BD fiat triangulum Ifo-

fceles, ut DC & AC fint equalia lineze 5D ('$. 1 39:),

conjungatur B & C erit 4BC triangulum petitum.

DEMONSTRATIO.

ti4

's, at«

Cum e fit externus refpe&u trianguli BCD, erie

m 4b

$ mX )y, fed xzzy, quia CD BD ex conftru&ione,

Bd ex

ergo c z 2x, fed « z /, quia CD — AC ex conftru&ione,

f VIID

ergo & —2x, fed fi AC fumatur pro bafi, £ eft ad bafim

ens 3b

& x ad verticem, ergo angulus ad bafim duplu$ angue

j ho

li!ad verticem :

fed etiam P zzza-4- y in triangulo ACB :

jgitut

cum enim ex hypothefi fit AB: BDzzBD:A4D, &

xLione

preterea. BD z CD z AC ex conftru&ione, erit in

"3/1 fü-

triangulis 4CB magno, & ACD patvo AB : AC z AC AD,

[ pro-

hoc eft latus magnum ad bafim in magno ficut latug

magnum ad bafim ín parvo, ergo latera.funt proportíonalia

m

cum angulo intercepto &, ergo triangula funt equiangula,

t PMS

& cma - y, fed & z c ex precedentibus,

ergo etiam

yrtiota

Pz—a-d-y, ergo ÁCB eft

Ifofceles, in quo angulus ad.

bafim eft duplus anguli ad verticem. Q.E.F.&D.

COROLLARIUM L

pur £*

1I9. Cum tres anguli trianguli fint zquales 180?, & anguluà

quivis ad baün fitduplus anguliad verticem

f,-'jlq'f; a'd

» fümma hzc in 5 par

$es eft diftribuenda, ut pro & veni

at unà pars, pro b dus, &

pro c itidem due, quse duüs inter f

e equales effé debent, ergo

babebitur numerus gtaduum determin

atus 180 dividendo per $,

& habetur a — 36, fed b eft ejus dupl

üm, erzo b 72, ce 72.

jam in decagono cüm ang

ulus ad centrum fi

t 2536 ($. 152.) $

centro B ( Fg,104.) radio AB defcribatur cir

culus, erit chórda AC;

z— later' ZC, latus decagoni,

quod decies in circulum translaturi da&

decagonum citculo infcriptu

m, & ex hoc alterna fi conjungans

*ur puncta 4 & D, habebit

ur pentagonum, circulo iofcriptum.

2"

E

66

CATPUT

n

COROLLARIUM 6Z.yL

j

192. Cum radius circuii fit equalis lateri hexagoni, fi radiu

fimere

AB ex 4 in peripheriam transferatur, erit àrcus AE —— Go*?,

quoties

qaahs e£ angulus ad centrum in hexagono; .4C autém habuimus

in 56

z— 36, qualis eft angulus ad centrum in decagono,

Hinc CE

differentia horum arcuum eft — 24, qualis eft angulus in pente-

comple

ih, àc

cagono.

Poterit ergzo hac xatione etiam pentecagonum regulare

latere CF geometrice circulo infcribi.

IU &

&exe

COROLLARIUM SIIL

in par

t liné

194. Si confideremus fuperius triangulum BCD in Eig. 108.

VR5 |

fupralatus Ifofcelis BC tanquam baíim eonítru&um, cujus latera CD

BIN

& DB funt zqualia bafi .4C prioris trianguli A4BC, cum in eo

angulus x & y fint equales, & quivis fit — 36 , erit nz— 108,

tet &

r ei

qualis eft angulus pentagoni.

Igitur fi triangulum Jfofceles .4BC

juxta problema prius (Fzg. t05.) conftruatur,

& fupra quodvis

def Ce!

àn lin

Alatus AB & BC tanqüam bafes conflruatur aliud triangulum 1fo-

fceles ADB & BROC,cujus latera fint equalia bafi 4C, habebitut

€ula 9

qüte 1n

pentagonum reguloret erunt enim latera 4C, CE, EB, BD,

DA :xqualia ex coníruc&ione;

fed ctiam anguh omnes funt

t? line

z— Io8

Nam habemus ex hoc Coroll. z feu D z 108 ; 5—— 72

D$

y —:36, ergo 4 —— 108., Itemcc—72 & az 36, ergo C — 108

T& [me:

d feu Ez-108, mz—36, xz—36, f£—36, ergo B—108.

B7 (eu

dws .*

$ CHOLION EL

I95. Hec,quediximus delineis proportionalibus, ferviunt ud

divifiones minimas cujusvis linez faciendas; fit v. g, linea .AB

I

ht qui

(Fig. 106.) in decem partes dividenda, erigatur ad .4 perpen-

dicularis arbitrarim lengitudinis, & claudatur parallelogrammum

i d

ABCD

ducatur diagonalis BC, & BID dividatur in 1O (aut in

quotcünque partes, quo plures partes requiruntur, eo longior

ft linea 4€ vel BD) & ex diviüonum pun&is ducantur ad 4B pa-

ll;

alele, erit 1—— i Una pars, 2 —2 dus, 3——3 tres — —

6 — 6 fex partes

funt enim ob parallelas triangula EBII, B22,

Yattes

EB33 —— —— BCD $fimila, erro et B1: BD — 1I—— 1:.CD

den

£ed B1 eft decima pars totius BD, ergo etiam 1 — 1 eft deci-

G3na totius CD

hus in

Iem B3: BD —3 — 2:CD, fed B3 eft tertia

pars totius BD, ergo 3— 3 eít tertia pars totius €D. — Unde

hac ratione linea in 90, 20

ICO &c, partes, dividendo Ífem-

per lineam BD in tot partes , dividi potett

H

$CH O.

DE LIN. PROPORT. &c.

6?

$ CHOLION

j:n

u

196. Sijam eandem velaliam minorem lineam aliquotieà

y

fumere velis, cum una alterave parte, transferatur linea data ali-

us

quoties v. g. decies in alteram , re&am BE ( Fig. 107.) erigatur

Vi

in B & E perpendicularis in 1O aut quotcünqdüe partes dividenda,

tn

compleatur paralleloztammum EBFC & ducantut tránfverfales Ba,

r

15, $c &c. conjungantur quoque per parallelas ad EB partes Ia

ILÓ &c. poterunt in hoc parallelogrammo & ipfa data aliquoti^s

& ex ejus TO partibus, quotquot libuerit, accipi: cum enim BC

in partes inter fe & linez data zquales divifa fit, habebitur da-

)!

t2 linea in illa aliquoties pofita, & cum defcendendo per BH

CD

omnes confequenter pairtes ipfius datze habeantur; fi ad fuperios

res partes ha? addantür, habebitur, quod petebatur,

£b

$i data quas

08

ter & praeterea quinque ex ejus decem partibus fümende, aperiaa

(pC

tur circinus in BE a B ufque ad 4, erit data quater fumta, deim

ls

&efcendendo per tranfverfalem 4e deorfum, donec veniatur ad x*

in linea tV, poíüto uno crure Circini in x, alterum ad m cadet;

]í0

itut

quia ob parallelitmum , B4 equalis eft xm, relico dein uno

crure in x alterum ufque ad V aperiatür, erit xmV 2qüalis peti-

D,

ibut

tmlines, nam xm —— quatüor datis, cum fit ?quális 4B, & mV.

'ex precedenti fcholio equalis 5 partibus datz, etgo xV z— petie

[4

x linez.

Q

Ita. yVZII erit z feptem datis - 4,5,, eft enim yn —

iB7 feu feptem datis , & zV4II — 44. ergo ynVlII — Íeptena

[

SCHOLION L

u

197. Ex his deducitur methodus dividendi fcalas g&ome"trïcas;

4B

&ne quibus geometria pra&ita eife nequit, ad quod declaran*

a

dui fit

jum

L

DEFINITIö 1I.

st

p*

.d 98. cala geometrica eít parallelogrammum in pïu'reä

22,

partes ita divifum, & fubdivifum, ut minores femper ejus-

den lines partes proportionales majoribus linez partie

ecie

bus in illa accipi & determinari queant,

Itia

PROBLEM4,A VI

i-ndc

a

199. Conftruere fcalam geometricam. (f

)

LE

Á E

C A^P UT. .

68

[A

RESOLUTIO.

Fiat aut in oricbalco, aut ligno, aut quacunque

Iä

[

materia crafliore parallelogrammum , fuprema & infima

Jinea in partes xquales majores 4B, BC, CD &c. di-

vidatur, qua cum inferioribus perpendiculo conjungan-

tur; una pars v. g. AB in minores fuperius & inferius

L.l

dividatur, quz transverfalibus lineis conjungantur. Tan-

vat

tat

dem perpendicularis F & B5G in 10 (aut in tot, in

g

quot partem 4 unam fcilicet prioris linee partem di-

fieu

vifam cupis) dividatur, & partes lineisad AE parallelis

K

n

conjungantur.

ük

DEMONSTRATI1IO.

fe

H

Si AB & proin etiam BC reprafentet decempedam,

Buls

partes decem in 4B neceffirio pedes, & partes 10 in

a

iriangulo BAG contentg digitos reprzfentare debent ,

cum in majori etiam & reali menfura pes fit decima pars

Si AB ref

decempedz, & digitus decima pars pedis.

fen

prafentet pedem, partes illius erunt digiti & partes

TYius

deorfum per B.4 erunt linez.

Si AB fit digitus, erunt

ü

partes ejus linez & partes deorfum per BA erunt punda.

Tien

Yep

COROLLARIUM S L

inur

qui

200. Degfinaturus ergo in charta 3 deceïhpcdas, 4 digitos, 6

das

fineas, Áxo crure circini in B alterum crus usque in E aperi,

2

v

habebis 3 decempedas/BC unam , CD alteram, DE tertiam , ma-

proi

gis apertO crure usque in 4 addes 4 digitos, dein deorfum pro-

0pe

grediendo per banc lineam transverfalem 4£ aperto femper ma-

d

gis circino maaente altero crure in EK usque ad * erit aperturá

«ircini à s usque ad * —— 2" 4' 6^/,

Tün

4«

COROLLARIUM iL

tiq

Ita

oot. Quodf linez datz «/, ey2, & ( Fig.109.) fecundum fcalam

4B

£ntdetermidande, aperiatur circinus ex « in $, vel cy in , vel tin/,

tj

& applicetur fcale ita, ut crusunum 4t in linea BG vel CH, vel DI,

W

wel EK prout longitudo requirit, & alterum ip mltmo paralleio*

g reUme-

vv

DE LIN. PROPORT. &c.

69

Ita prie

grammo alicui éx divifionum punctis aceurate congruat.

ma habebit 544//, altera cyä habebit 2? 3* 6/4, tertia ( 3^ 74 3^,

Quodí tota lineà in fcala. comprehendi nequeat, accipiatur di-

que

midia aut tertia pars, & ex fcala determinetur, & dein per ad-

fima

ditionem aut fnuitiplicationem ad totam lineam transíferatur,

. di

SGQEOLIOGN.L

p

202. Ope hujus feale triangula in charts fimilia illis, quz ig

rjus

eampo funt, efformantur, & diftantia locorum invenitur. Obfer-

If

vato enim angulo C.(fig, IIO.) & du&is lineis ac & Ec transfe-

ratur ex fcala in chartam menfura AC in ac, & BC in bc, jun-

,ü

?

gatur a & b, erit ab equalis diftantie .4B; eft enim .4C ad ac

ficut BC ad hc feu MC: ac —— AB: ab fed ac €equalis menfurze cum

lleli

Si igitur ab etiam

AC ex hypothefi, ergo etiam ab — AB.

in fcala accipiatur per corollarium precedens, habebitur diftan-

tia ver& AB. Idem obtinetur, fi ope goniometrici angulus C ob-

fervetur, & per tranfportatorium in chartam transferatur, ope

fcale dein ac & bc determinentur, habebitur ab.

Huic funda-

(

n

mento tota praxis geometrica & determinatio fitus locorum, Ichno-

po i

graphie & Mappe innituntur,

Wentv

SCHOLION HH.

| ;Ff

g

203. Ad inveniendas & determinandas Iïncas proportionales

fervite potett inftrumentum, quod circinum proportionalem voca-

.QXKQS

mus, & eít circinus, qui crurum loco duas regulas latiores cir-

i

jnt

ca centrum mobiles gerit, ut divaricari ad quamcunque latitudi-

nem proinde quemvis angulum comprehendere pofünt,

Utraque

n

regula in partes zquales IOO, 200 &c. dividitur, & dum divari-

cantur, angulum reprefentánt, de quo in Probl, I, lecuti fumus,

qui conftruendus eftícilicet, ad lJineas proportionales invenien-

NU

das; poffunt igitur in illo omnia ea triangula efformata eífe fin-

gi, de quibus in hoc & aliis ibi expolitis problematis egimus,

proinde omnis proportionalis linea inveniri, v. g. transferendo

ope circini ordinarii lineam ab 40 orgyarum in c 40, alteram

: mà*

ed (divarlcando circinum , donec poíito uno crure in 4O, alte-

ertus

rum crus ad 4O in altera regula veniat) tranfverüm in 4O —

4O: tertiam in c — 60 erit tranfverü&m GO — 60 quarta propor-

tionalis: eft enimc.— 40: 40 — 40 — c — 60: 60 — 60 &c.

Ita linea quecunque data in quotcunque partes dividi poteft, Sit

(alam

AB v. g. in 7 partes dividenda; eligatur aliquis numerus per7

divifibilis v. £. I4O, & longitudoline» dat» ad f4O tranfverfim

] eins

in utraque.norma applicetur, aperiendo fcilice

cinum propor-

1 Dd

1! cir

ü

(*sn;'*

l)

k 3

*

"d

123v

z

m

CAPUT V. DE LIN. PROPORT

70

1

£ionis tamdiu, donee apertura alterius eircini feu diftantia a

14O ad I40O accurate refpondeat longitudini linez datm, dein

eum 2O fit accurate feptima pars de I40, manente eadem aper-

tura circini proportionis accipiatur diftantia à 20 ad 20,hzc erit

feptima pars, erit enim c I40:

I4O — I40 — c 20: 20 —

90 fed 20 eft feptima pars de I4O, ergo etiam linea 20 — 20

erit feptima pars line2 14O — 140.

Solent etiam his regulis

ex eadem aut averfía parte lineze chordarum aut polygonorum in«-

N

fculpi, & inde omnia latera polygonorum aut angüli ad centrum

determinari :

ceum enim omnis radius circuli fit xqualis lateri

hexagoni ($. 151.) quod fimul eít chorda 6O graduum, deter-

minata femel hujus radii longitudine, & determinato proinde

etiam circulo, menfura angulerum ad centrum , & maegnitudineg

«hordarum , & latera polygonorum determinantur. Affumta enim

40

pro radio circuli apertura tranfverfali a 6o ad 60, habentur in

£ranfverfis quoque diftantiis longitudines laterum polygonorum

&1

eidem circulo infcribendorum; ita pentagoni a $ ad 5 , hepta-

£oni a 7 ad 7 &c. &c.

Si angulus v. g. 35

fit conftruendus ,

apertura tranfverfa a 60 ad 60 defcribe arcum , & manente ea-

dem apertura circini proportionalis accipe diftantiam tranfver-

fam a 35 ad 35 & in eundem arcum transfer, erit angulus 35

mls :

fimilia de tangentibus, fecantibus &c. problemata proponi pof-

at

funt, verum cum jam geometricam horum problematum folutio«

DUnr

pem dederimus, mechanicis his opcrauombus fuperfedendum effe

iscico,

ln

hem

EL

lela

z

-

!m,

G 5

Vettic

W. uU

$ aM

Ts

&

"o

i g

tudir

punt

15 p

fitni

Vtd

line

ff

8Ufer

N

fnt

DE

"

2

gX — W

Ya

M a

1

dein

ipet

DE SUPERFICIBBUS.

erlt

) -

CLAPR U TAI

20

mf

1 M

NOTIONES GENERALES SUPERFI

Tum

tefl

CIERUM

eer

)

DEFINITIO. I

ditef

enm

üperficies feu planum efl quantitas continua,

üt n

$04 S

qua. duplicem habet extenfionem, in longum

orum

& latum fimul, absque profunditate & altitudine.

eptt:

TU

COROLLARIUM

e €à

fret

205. Dupliceem igitur in omni plano dimenfionem habe

füus, in longum unam, in latum alteram, quse femper íimul

n

pof

accipienda eft, dum quantitatem totius fuperfciei & plani deteze

mináre oportet,

|utto

efi

$SCHOLION I

&e06, Uti lineam per motum puncdi ita planum. per motum

lines generari concepimus, ($. 2.) qux» non fecundum longitudi-

nem fed vel dire&e vel oblique furfum per fpatium inter paral-

lelas, id ef, per eandem altitudinem mp, ef, bg moventur,

ita, ut fi fingamus has lineas habere aliquam latitudinem, ecol-

ie&io harum linearum parallelarum (Fig.112.) equalium & pe-

nes fe pofitarum planum ABCD aut abcd efficeret ,

& ideam pla-

ni generaret,

At fingamus tantum dixi has lxnea:, habere lati-

tudinem

aut effe partcs plani,

ficut enim impoffibile eft, ut

punca fint partes linez,

ita etiam repugnat, ut linez fint par-

tes plani, aut latitudinem ahquam habeant, fed iterum partes

plani feu elementa funt plana infiaite parva, infinite parve la-

titudinis, qux» addita majorem & fenübllem latitudinem eficiuntz

Linez enim lineis fuperimpofite unicam lineam longam folum

eonftituunt ,

& cum prima omnes zelique confundi debent, Sicut

autem linez extremitates pun&a funt , ita planorum extremitates

fant linez, qua perimetrum eorundem confiituunt.

Ba4

$CHOQ.

D

— .

75

CAT-UT- I

1

SCHOLION

H

l

qu

207, Poteit etiam senefis plani fequenti modo eonfidevati :

M

(Fig 113.) Ponamus linez 4B alteram BC ad angulum re&tum aeffe

2in

junctam, & immota re&ta AB & angulo a rectam BC, circumagi

erit

lj

fpatium totum a reca BC decurfum fuperficies feu planum, & erit

fet

ad illud re&a .4B, vel ad rectam .4B erit totum planum perpens

diculare,

lun

Extremitas feu perimieter hujus plani, curva fcilicet

pla

linea ccCcc peripheria quoque dicitur,

[l

COROLLARIUM I

er

Id

$08, Ex his jam deducitur, partem linez refte in plane

du&» non poffe fimul in plano & fupra vel infra planum jacere,

cum enim totum hoc planum circulare ex colle&ione radtorum

BC concipi poffit, qui immutato angulo re&o a cu-ca lineam AB

pofiti funt, fequitur, fi BC aut produ&a cC quadam fui parte

n

extra planum jaceret, linea vel mutaret fuam dire&ionem, quod

g

eft contra definitionem re&z , vel angulus a, non maneret rectug

mota extremitate € furfum vel deorfum contra hypotheíin, igi-

tur tota BC aut aC aut quecunque alia in plàno du&a tota in

plano Jacet $

adeoque fi duo pun&a re&m in pláno jacent, .tot&

dti

in plano Jacere debet, cum duo fitum determinent (S 9.).

at

COROLLARIUM I

Ver

1t

209, Sequltur etjam 4B ad totam fuperficiem eífe perpen-

qua

dicularem , cum enim per totam fuperficiem angulus a re&us non

ton

ynutetur, linea AB in toto fpatio cum BC angulum re&um facit,

l

WXgitur perpendicularis manet ,

ad nullam igitur partem verfus

W

planum, 1nc11n3turx via lgitur breviífüma a pun&o 44 verífus me

pe

num ef linea AB,

COROLLARIUIM II

$10. Duo plana ABCD, ABEF (Fig. Y14.) fe interfecane

$ía, aut dum ünum alteri infiftit, lineam concurfus .4B commues

fu

$&em habent, cum enim .4B fit in plano 4BCD, & fimul fit ex«

remitas plani ABEN

punca 44 & B utrique plano communia

funt, fed duo pun&a fitum re&zs determinant, ergo etiam redta

4AB in utroque plano effe debet

$SCHOLIÍION

D

21Y. Si hanc lineam commnnem AB tanquam axem confi-

Qu

deremus, circa quem planum ABCD moveri concipimus, ea hig

:

Qpla«

TUNUPETTPUISESSS

i

NOTIONES GENERALES SUPERF. 75

planis refpe&u inclinationis & angulorum competere videbimus,

etati :

que de lineis diximus: dum enim CD fupra EF jacet, unum

idemque planum efficiunt, cum nullam profunditatem habeant,

&ett:

etit

adeoque inter fe confundi debent; fi dein immoto plano ABEFKF

fxo etiam communi axe .4B alterum extremum CD ab EF rece-

[ erit

tpene

dere incipiat, inclinatio , proinde anguli crefcunt, & per angu-

lum re&um tranfeunt, donecin dire&um jaceant, & unum majus

Cl ts

planum CDEF ( Pig. 115.) angulumque infinite magnum effi-

€lant, ut adeo planum C totum femicirculum hac ratione per-

eurrat, qui confequenter menfura omnium eft inclinationum :

inde eruitut

plans

cete,

DEFINITIO II

fonm

m 4B

212. Angulus plani eft inclinatio duorum plano-

p

rum in communi linea concurrentium, ut in F :g, 114. an-

quod

gulus DBF.

retut

, i«

COROLLARIUM,

t n

213. Hine f planhm infifat plano oblique, facit angulos

, totà

deinceps pofitos xqualés duobus re&is: fi perpendiculariter, fa.«

eit angulum re&um: $i duo plana fe fecent ( Fig. 116.), anguii

verticales m & z vel a & c fuht equales: fi duo plana parallela

à tertio fecentur, anguli alterni funt equales &c, verbo omnia,

rpene

que de inclinatione re&arum diximus, inclinationi planorum

; non

conveniunt, cum enim extremitates planorum fint linez,-& eun-

facit,

dem fitum etiam totum planum habeat, quem he linee, fequi-

retfüs

tur prOprietates linearum quoad inelinationem etiam planis come«

s s

petere,

4

THEOREM .

ecah

214. Tris puncta non in dire&tum jacentia fi-

]i

fum plani determinant. ( F7g. x17.)

ex

unia

DEMONSTRATIO,

teot

Si extremitss plani imponatur duobus pun&tis im-

mobilibus 4 & B, circa illa & totam rectam AB pla-

num circa circum rotari poterit, ut in Scholion pre-

onf-

cedenti diximus , accedat punctum tertium C im

L hïi

p?bi] 8,

E $

jam

|à

74 &£AP.L. NOTION. GEN. SUPERF.

jam ultra illud planum progredi non poterit, fed C erit

quafi fulerum quoddam , quod planum fuftentat, & mo-

tum ulteriorem impedit, igitur hunc & hac ratione

omnem fitum trià punQta non in dire&:—um pofita deter-

DI

minant.

COROLLARIUM.

315. Fer quo»dvïs igitur triangulum determinatur pofitio

419.

plani.

àm

DEFINITIO L.

er6. Planum tribus lineis feu lateribus terminae

tum dicitur planum triangulare , feu triangulum; qua-

fem

tuor, parallelogrammum , quinque, pentagonum &c.

futai

peripheria circuli terminatum dicitur planum circulare,

Latera dicuntur ambitus feu perimeter

ne

feu circulus

gitud

tià w

plani, fpatium hac perimetro comprehenfuüm feu quan-

titas hoc fpatium exprimens eíft area plani feu fuperfi«

prini

cies.

Mean

pedun

DEFINITIO IV.

lngi

$17, Bafis eft infimum latus, vertex eft vel an-

gulus vel latus fupremum ploni. - Altitudo eft ex ver-

nj

tice ad bafin, produ&am fi neceffe fit, demiffa perpens

3em

dicularis ut in Fzg. 112. altitudo plani «bcd eft lg.

thlio

DEFINITIO V.

teni

u

hat

f e]

218. Planum regulare eff, cujus perimetet eít pos

Ui h

lygonum regulare.

Wi

hibu

tico

linea

$

debü

ätief

(ïUm

€ À-

. v

j

E

Q

(5

, eni

; Io

tlone

GA PU

i.

etete

DE MENSURA SUPERFICIERUM

DEFINITIOI!I

ofitro

enfurare fuperficiem , eft ejus extenfionem

419. Rd[

in longum & latum fimul determinata qua-

&am quantitate exprimere.

TIDlde

COROLLARIUM I

gua-

226, Cum (íuperficies duplicem hanc extenüonem habeat,

&c.

fequitur lineam pro ejus menfüra adhiberi non poífe, qu» men-

furam folum longitudinis habet

& longitudines catentes latitu-

late,

[leter

dine in infinitum accumulate latitudinem dare non poffunt. Lon-

gitudinem & latitudinem quidem plani (que nil aliud nifi diftan-

juan

tia pun&orum extremorum eft) feu ejus perimetrum linea ex-

primimus, at aream totam exprimere mnequimus

Nemo enim

Pafäq

ideam totius quahtitatis arez nofa loneitudine folum bafeos IOO

pedum & longitudine lateris 20 pedum acquirit; meras enim

longmudmes habet, quibus extenfio duplex menfurari non poteft.

COROLLARIUM

.

] at«

221. Cum hzc extenfio duplex oriatur , fi bafis 4B ( Fig

ver:

118) per determinatam aliquam diftantiam , .quam per altitudi-

poi

nem feuperpendiculum BD exprimimus, vel dire&e ut ACDB vel

oblique ut 4DaB furfum moveatur ,

& cum eó major fit hec ex-

tenfio, quo baís .4B aut altitudo DB major fuerit, cum hoc ipfo

hzc plana infinite parvx latitudinis fepius ponantur, & major

fit elementorum numerus, ($.206.) fequitur, magnitudinem fpa-

r

&i hac duplici ratione geniti in dimenfione exprimendam effe :

eliquid igitur eligendum eft, quod duplicem hanc dimenfionem

habeat, & pro menfura aliarum fuperficierum fervire poffit ;

edcoque uti lineam elegimus determinatam pro meníura omnium

linearum & loneitudinum

ita fuperficiem determinatam elieere

debemus pro menfura omnium fuperficierum,

Si velimus fuper-

fciem in pedibus aut orgyis metiri, neceffario fuperficiem pe-

Q€um, digitorum , aut orgyarum adhibere debemus, at dum fu-

Qexümem pedis cogitamus, concipimus neceffario fpatium lateri«

LI

bus

CAPUT .

76

bus claufum, quod ih longum & latum pedem habeat, id eü,

LUR

$

cujus duo latera longitudinis & duo latera latitudinis fingula pe-

iun

dem adequent, fed talis figura feu fpatium eft quadratum

T !

($. Y41.) ergo fuperficies quadrata pedis aut digiti &c. feu pes

po

quadratus, digitus quadratus &c. eft menfura fuperficierum,

du

dnt 3

COROLLARIEUM IIl

adátis

222. Tot isiturt orgyarum , pedüm, digitorum &c. aream

minor

évjuscunque figurz dicemus, quot talia quadrata in fe includet,

Sit

m;jori

que neceffario includi videbimus, fi ad genefim redeamus.

j 6

.

enim bafis (Fig. 110.)/ 4B 6 pedes longa, altitudo BD vero $5

majr

cum jam ipía bafis fuperficies. quedam effe debeat, habebit 6

fione

pedes quadratos, feu quadrata pedum, qux ferjes toties poni-

Teduci

tur, quoties pes in latitudine continetur, hoc ef quinquies, in

s &

unum collec&a hx»c quadtata dant 3O quadrata, erit igitur area

e

ABCD 30 pedum quadratoruim.

dem

COROLLARIUM

IV.

223. Quoties igitur in menfuris fuperficierum orgya, pes,

digitus, linea nominatur, femper orgyse, pedes, digiti, linem

quadrate intelliguntur.

Oreya igitur quadrata 36 pedes quadra-

tem i

tos habet, cum quzlibet ümplex fex pedes comple&atur, pes

7ü p&

144 digitos quadratos, digitus 144 lineas quadratas &c. &c. uti

uiat

apparebit, fi pes v. £. quadratus tam in longum quam in latum

in I2 digitos dividatur; duc&is enim uti prius pafallelis, 144

quadrata parvula digitorum habebuntur.

Data igitur menfura

cujusdam fuperficliei in orgyis, pedibus, digitis &c. ut fpecies

£inor reducatur ad raajorem , divifio non per fimplices pedes,

digitos &c, inftituenda erit, fed per quadraticos, ita fi detur

dem

fuperficies $184 digitorum, ut reducantur ad pedes, dividenda

eft fumma per I44, & erunt 36 pedes quadrati, qui reducendi

ha

ad orgyam dividi debent per 36 & erunt zquales uni orgyx.

SCHOLIOQOUWN

924. Magnum harum operationum habebitur compendiu.m,

& menfura decimalis adhibéatur.

Cum enim omnes quantitateg

fupyä

(ubdivife IO femper partibus crefcant, & decempeda IO pedes,

Quo

fic IO digitos, hic IO lineas complectatur, ordinaria longitu-

quiä

dinum menfura major reducitur ad minorem fine omni multipli-

extione, adjungendo ad priorem quantitatem zerum., quadratica

Eïian

vero adjungendo duos zeros; ita $ decempede dant 2O pedes,

a

200 digitos, QOOO lineas &c, ordinarim menfure? quadratieg

&

vexo

DE MENSURA SUPERFICIERUM. 77

d et

la pe

vero decempeds 2 dant 2OO pedes, 2COOO digitos

2000000

iratum

lineas quadraticas; uti ex mnatura multiplicationis notum eft.

"u pes

Ergo fpecies minor ordinaria reducitur ad majorem feparando

pro qualibet majori quantitate unam notam;

ita 3462 linez

Un

Ex prioribus enim 3 decempedz

dont 3dec 4ped 6dvg 2

dant 30OOlin. 4 pedes dant 400 lin, 8. digiti dant 60 lineis,

additis 2 lineis habentur 2462 line:.

Quadratica vero fpecies

Jcam

minor.reducitur ad majorem feparando pro qualibet quantitate

udet

maJon duas notas; ita fuperficies 2654296 linearum continet

Nt

Cum enim quzlibet fpecies

0i

3 65P. 42415, 96un quadraticas.

divi-

major IOO partes quadraticas fpeciei minoris contineat,

|bit 6

fone per IOO id eft feparando düas notas, minor ad ma;orcm

poni

zeducitur; in refolntione problematum his tantum exprefhoni-

$, n

bus decimalibus utemvr,

Si latus unum quzratur, extrahenda

g

erit ex fa&o radix quadrata, cum ex duplicimultiplicatione ejus-

dem numerii facdum hoc utpote quadratum ortum efíle ponatur,

DEFINITIO II

p5

[ineg

25. Qualdryare figuram feu aream eít ejus quantita-

tem in menfura quadratica determinare, igitur quadrata-

dta

, p

ra parallelogrammi , trianguli, circuli &c. eft harum fi-

utt

gurarum quantitas in menfura quadratica determinata.

LUR

MA

T-H EOR EM'A 4

fura

eciet

edes,

226. Parallelogramma fupra eadem bafi & ejuf-

letur

dem altitudinis

feu parallelogramma fupra eadem

enda

bafi & inter parallelas habent areas aequales.

enat

DEMONSTRATIO

i,

Sint (P?g. 120.) parallelogramma 4BCD & 4Bcd

fupra bafi /4B inter parallelas Cd & 4b erunt triangula

atef

| d!],

duo 4Cc & DBd zqualia

Nam CAzsDB, 4cz Bb

tü-

quia funt latera oppofita parallelogrammi ($. 141.) fed

)u

etiam tertium CezzD4; nam CDzz AB,quia funt late-

t

ra oppofita parallelogrammi, fed etiam cd—— 4B ob

((27

i

eandem rationem, ergo etiam CD ——cd, cum fint &qua-

lia

TERNRRE

76

CAPUT Il

it

lia tertio .4B

ad utrumque addendo De erit CD -- Dé

du

L Dc-eod, hoc eft C z2 DÀ

éergo tria latera duo:

Sub-

gmum

rum triangulorum zqualiàá, tota ergoó zqualia.

trahendo jam utrinque part&i conimunem Dcx , erit tra-

& d

162 02

pezium 4xD(C squale trapezio Bxcd

addendo deiü

flatex

utrinque triangulum ZxB erit parallelogrammum CD.AB

z parallelogrammo ZBcd. Q, E. D

eepti

duo «

COROLLARIUM I!ZYI

interi

227. Cum quodvis parallelogrammum per diagonalem i

riat

áuo triangula zqualia dividatur,

C$. 142-) triangülum érgo quode

fit (

vis'tanquam dimidia pars parallelogrammi ejusdem altitudinis

& fuper eadem baíi fpe&ari pofüit ,

dimidia autem fint ut intes

W,

£ta, fequitur, que de parallelogrammis di&a funt

de triafigi-

pats

lis etiam dici debere, hinc triangula duo (Fig. 191.) ABC &

tall

ABc fuper eadem baáü .4B & ejusdem altitudinis CD —cd , aut

f0

inter parallelas 4d, Cc, equalia funt, & eandem aream habent,

ln al

COROLLARIÍIUM 9H

ADG

928. Sequitur etiam fi fuper eadem baíi inter parallelaé

&

erigatur parallelogrammum & triangulum PFig. I22. v. g. ABCD

0b r2

& ABc,

erit trlangulum hujus paralielozrammi dimidium.

E&

elt di

enim . hoc triangulum alterius parallelogrammi .4Bcd dimidium

ob diagonalem . CB

fed parallelogrammum .A4Bcd eft

ABCD

ii

per theorema precedens, ergo etiam triangulum A4BC eft parale

ef

lelosrammi .4BCD dimidium,.

pus

totur

1HEHOREMA H

4

4bl

229. Si in triangulo rectangulo L4BC fupra

hypo

quodvis latus erigatur quadratum, erit quadtatum

intr

hypothenufe * zequale quadraüs cathetorum fimul

Gtatu

fumtis;, (EFzg. 123))

Cille

DEMONSTRATIO

Ex angulo re&o demittatur perpendicularis Ca, 'die

V

videt hec quadratum maximum in duo re&angula H ae,

n

&

DE MENSURA SUPERFICIERUM: 79

Di

& ae]1B; primum etit 2quale quadrato minimi DECA

uo

alterüm medio CFBG. JDuc&is DB & CH erit trian-

ub

gulum DAB z

z triangulo CAH ; eft enim DA z AC

[

& 4 B z AH,. quia fünt latera ejusdem quadrati: prete-

eu

rea angulus obtufus D.AB ab his lateribus interceptus con*

4

ftat ex re&to ; & acuto s. 'Et angulus obtufus alterius intetr-

€eptus CAH conítat ex recto & & eodem acuto m, ergo hi

duo anguli ; -- 9 & m-1- 9 a duobus lateribus zqualibus

H

intercepti funt zquales, tota ergo triangula zqualia, fed

triangulum DAB ett dimidia pars quadrati DEAC, cum

0d$

fit fuper eadem bafi D.4, & inter parallelas DA4, &

Jinis

EC, vel Db

Inte

& EB j & triangulum A4CH eft dimidia

ig

pars re&anguli /eHz fuper eadem bafi 4H & inter pa-

C&

rallelas AH & ea

dimidia funt equalia, ergo etiam

a

n

tota funt equalia , ergo quadratum A4DEC z— eHa.

In altera parte du&is G] & CI habentur, duo triangula

ABG & CBI equalia ob latus BG z— CB & AB z Bl

elid

& angulus obtufus primi z «- o z obtufo alterius r -4- s

CD

ob rationes prius allatas, ergo 45G z CBI, fed 4BG

j

eft dimidium quadrati CBFG quia fuper eadem bafi BG

un

J

& inter easdem parallelas F & Gb; & triangulum CBI

eft dimidium re&anguli eabI ob bafim aqualem BJ &

A

parallelas BI & ea, fed hac dimidia funt xqualia, ergo

totum quadratum medium CBFG eft equale re&angulo

4Bl, additis jam zqualibus erit /fe Ha -1- eBIa hoc eft

ABHI z DAEC -- CBFG, fed illud eft quadratum

:M

hypothenufe A4B, hoc cathetorum, AC & CB , ergo fi

in triangulo rectangulo fupra quodvis latus erigatur qua-

J

nl

ératum, erit quadratum hypothenufee æquale quadratis

cathetorum fimul fumtis. Q. E. D.

COROLLARIUM,

230. Si catheti duz fint zquales, quodlibet quadratum qua-

du

érati hypothenuiz dimidium erit, & tunc data catheto innoteí-

*€it hypothenuía; À fcilcet € quadraso eatbeti bis fumpto extra-

il

hatur

806

*

CAPUT IL

hatur radix, Sittalis cathetus —4, erit ejus quadratum f6, quoá

X 9232 ergo hypothenufa —

32,4e8 5, 65 &r.

Inverfa

2j

operatione data hypothenufa innotefcunt catheti,

Si catheti ünt

« baf

inzquales, duo latera dari debent, ut innotefcat tertium, extrada

enim ràdix ex fumma vel differentia quadratorum dat tertium,

Data hypothenufa 5 & una catheto 2 erit differentia quadrato»

fumn 25 — 9 z I6, cujus radix 4 eft altera cathetus,

t

ejusder

TU BOREM ZA IIL

gramm

231. Area parallelogrammi eft zequalis facto

€mo t

ex bafi in altitudinem,

DEMONSTRA T I0O.

Re&anguli area habetur , ex baíi toties pofita,

quot ejufmodi partes funt in altitudine totius re&anguli,

ut patet ex genefi, & corollariis ad definitionem I. fed

hec colle&io obtinetur ex multiplicatione bafeos pet

2

I

:

1

altitudinem, ergo rectánguli area eft zqualis fa&to ex

—

--

j

-

D

1

bafi in altitudinem , fed omne parallelogramráum eft

K2

equale re&angulo ejusdem bafeos & altitudinis, ergo

omnis parallelogrammi area eft xqualis fa&to ex bafi i

altitudinem, Q. E. D:

1

delum

COROLLARÍUM L

Ctefcen,

2232. Si igitur fit bafis parallelozrammi —— B; altitudo z

ibetà

tüom Y

45 Íuperficies feu area z $, erit $ —— .AB.

bafís,

COROLL:ARIUM 1I.

Vrfnite

bebitur

232. Si paranelogrammuh datum íit quadratum , erit bafie

'.T'.O&u

Eu aïtitudini, & S z— B* vel A4^,

*

( 17

SCHOLION,

lz

— IT

224. Si igitur fit in parauelogfammo dato Bizz 9* 5f 6!^:

4 -- 30 Al 5 feu B— 256! & A 345// erit $— 88320

linearum quadraticarum feu 8? 83'/ 20.

Si datur $ & B erit

1

r

4 z m. Sidatr $ & d eritBz -; ut patet ex fegulis equae

?(ïcnum(,

THEO-

lie

DE MENSURA SUPERFICIERUM

9L

THEOREMA VI

qued

Vetfa

. fint

235 Area trianguli eft aequalis dlmldl() facto

£

ex. bafi i in altitudinem,

lum

DEM'.ONTSTRATIO

iato^

Omne trlarguïam eft dimidium parallelogrammi

ejusdem bafeos & altitudinis, ($. 142.) fed parallelo-

grammi area eft e&qualis toti fa&o bafeos. & altitudiniS

fU

ergo triánguli area eft zqualis dimidio fa&o. Q. E. D

COROLLARIUM

236. Denominationibus pofitis ut prius erit in triangule

,

$ — ——"íeuSziadxB,tuS$Ax-tB

"ully

SCHOLION I

fed

227.

lin triangulo dato B

2560

pet

A ——428// ,erit $

p

109560

256X428

—

— 54784; quod obtinetur yel e

X —— vel 256

el

X 214 vel 128 X 428.

gO

SCHOLION

lI

, 1

238. Si genefim trianzuli confideremus .per motum paral-

lelum bafeos infinite parva fui parte proportionaliter femper de-

crefcentis, donec in vertice penitus evanefcat

& inftar pundi

habeatur, erit area tota colle&io harum partium , quz arithme-

)

icam progreffhonem confüituunt, cujus maximusterminus eft ipfa

- gpe dl

bafis, minimus-vero zqualis nihilo, cum ponatur effe quafttitas

nfinite parva, numerus vero terminorum :qualis altitudin. Ha-

bebitur fumma hujus progreíhonis, Ífi fumma ex termino pri-

d

mo & ultimo per dimidium terminorum numerum multiplicetur,

(S. 179. Algebr.) hoc eft a-4- & x X n. Sedazenihilo, « z bati,

n alutudini,

rgo0 fumma — w x L nhocetB x iA

COROLLARIUM

l.

«

20

239. Cum omnis figura quádrilatera, omne

O 4*4?971&5&-

jiid

ver diagonalem in duo triangula refolvatur , ha r.ehl*u-: eju$ ares

ex

Jute

AMeisb, Math, P. 11

n

[]

CAPUT

I

80

ex fumma arearum utriusqu&

trianguli.

Igitur (Fzg. 124.) dias

conali CE

que pro bali communi affumi poteft, & altitudine

Ac & DA veldata, vel juxta fcalam geometricam determinata in-

;

veniantur afez trjangulorum, & habebitur area totius trsoe/u fc1-

(

BC,

Si'fuerit BC — I

licet .A

-- Da X

We m 5^,

IH

rel '—-—)x12—4429

là

EO ,e€eritarea itape

- 2x6-42

COROLLARIUM

i.

.H46. Si trapezium fit ejufmodi, ut duo latera ( F7g. 125.)

Is

ZAB &

c« DC fint parallela,

erit ejus

r

i

'ea

cqualis facto ex fumma

i

1

fium. in

dimidiam- altitudinen

tra

5

7-1,

ducta enim diagonali

13

n

, utriusque trianguli

I.L( L

& BCD cadem (ft 'ïit*',*ld() Bc vxel

Tl

[

b

es ducantur in

2

Cb

e

orum triangulorum aree habeftur

a

xx12

AR

M

x

:

Cb

:

E

4;

1

1em , hoc eft L'U X -ï (77 wzwm

sfu !k(D"!"'

11

ï/

(6)

L

—;

D

ergo etiam tnpe/n area habetur, fi báfes AB &

C

4

)

1

Uuca

t;

n X altitudinem Cb

Poterit etiam area haberi, fi

*

il

uidr

L,c:.a..u.ux u

451

EU

ucatur in totam aititudi AL,TVI, ut me)t ex 1159

€

€ tfAal

'ulorüm dimenüone diximus:

1

THEOREMSA

V.

-

(s

i

F

.20

79 oni re 0'*

ilai

(?Q

elt e

)d

;x.

e

iaàCtt

4

av

auc

t

a

u

De

V'ï; ^

n

by:

cul

[73

1

centro «

ad latus demiffà

Íe

in

VA

1

imi

dia

^^

111

)erimetrum p*'*'vn";",

c

E

M.C

ONS

|IRATIUO

(

»

j

Y

À

!H

]

e

1»:01 jtur in tot trian-

*y" onum r egm&r

.,

lali

i,

Íi

guia a&

equ

, quot funt latera, ergo fumma arearum

horum tri

g llorum conflituit aream. polygoni, fed cu-

jusvis tri

guli-area habetur,

fi dimidia

bafis ducatur

ofumma omnium habetur, fi omnes

in u;tnud:nem , €i

ä

eOtrmm

ä

dmmhæ bafes du

antur in

Ititudin

LAia ^

que cum ubi-

f? Cpp!

ans,

fat erit

omnes dimidias bafes 1n ean.

d

)i 4xF

2

dem aïv

udinem ducere, þoL eft (.Pz9. 126.)

d

AL2

1«

m

Y

t n

z

x F feu

X o

/'x'( F

^

:'?Vl'r«z—-g

M

P i

s

TX

€)

--

-

——2

fed bafes funt perimeter

&

1

DE MENSURA SUPERFICIERUM

95

Ha*

udme

& dimidie bafes dimidia perimeter,

altitudo vero , ubi-

à M.

que eft perpendiculum ex centro ad bafin feu ad latus

fci-

polygoni demiffum , ergo etiam area polygoni regula-

J

ris eft zqualis fa&to ex perpendiculari ex centro ad

"

latus demiffa du&a in dimidiam perimetrum. Q. E. D

COROLLEAXRIUM

242. In omni igitur polygono acciplatur dimidius numerus

25.)

n

laterum, & ducatur in altitudine

n, habebitur area; íi datur la-

tus pentagoni —— I9/4

n

0.

altitudo

m IO/

erit perimeter tota 12

R.

—

^

j vel

X

e—gO

[vd

a um i

Vs

OO

$1 latus hexasoni fit I24 &

altitudo II4 erit nc

im.

eftc

CUC

f RO

LI!* 1*3

72 & - X 11 — 396

DA

[

]

CH OLITO:!J.

AB &

^n0

243. Longitudines laterum & perpendicula determinantur

)95

ex f

Ca

ge

ometrica, uti

alias didum eft, cum enim latus & per-

end

^$

:

ilum fint ligez re&», & longitudines earum commenfurae

piies LU"LT.,

& eodem modo deter

nari poffunt

THEOREMA:*VI

11(7'

uv

)

244. Circuli area eft aequalis facto ex radio in

femiperipheriam

DEMONSTRATIO

Circulus eft polygonum regulare infinitorum late:

triae

rum (

164.), ergo etiam refolvi poteft in triangula,

4 dm

cujus bafes fimul fumpt

funt peripheria , altitudo ve-

d Cüs

ro radius ($. 165.), fed polygoni area habetur, fi femi-

ea ul

perimeter ducatur in altitudinem , ergo circuli area ha-

783

betur, fi femiperipheria ducatur in radium.

uoi

eafj

COROLLARIUM.

i F

245. Si peripheria dicatur P, radius R, erit tofa prorfiw

eu

cies circuli feu area $ 2 PR, & fi ex peripheria fiat linea- re/ta,

/l/z,". 127.) eritea bafistrianguli, quod habet altitudinem radium,

netet

& eít 2quale circulo dato,

&

71

E

C

i

i

Q

o E iqgecr

CAPUT

II.

94

CHOLION.

*

LU

246, Ad hoc igitur iterum neceffarium ef, ut detur men-

4á

fura radi] & periplerie , aut faltem ratio aliqua nota fit, quam

fK

radius vel diameter ad peripheriam habet, ut ex loneitudine

di

xecte ilhus linee quantitas hujus curva ervatur

& area inde ine

T

veniri adeoque circulus, ut reliqua de quibus egimus fpatia , qua»

arari

Ti

pofiü

Na&enus hanc quadraturam nemo invenit , licet

multi in ea gusrenda defudarint; Archimedes aliique periti hac

ph

methodo rationem diametri ad peripherjiam inveftüegarunt. Notum

eft ex $

o

t cud

e radio circuli, fi igitur

a

153. latus hexagoni eife æfï

xadius affumatur IOOCOOO, erit

id

123

us hexagoni —— 10000O00. Si

"

"

ja1 (?

5*

0O

128.) latus hexagoni .A4B dividatur in duas partes zqua-

ic

K*A*'

B. latus dodecaeoni?

ut hujus quantitas innotefcat

4

cum C

(

aB. fi

re&angulum »

erit CB? — Ba

-- Ca^, fed CB eft

P

—

Aotu

3441

5

à radius, Ba eft notum, quia

2

radius, ergo Ífi ex ra-

€

lio

& dimidio *adio fiant quadrata, & ex differentia extrahatur

"

Y

ac'

'9

habebitur Ca : fübtrahatur a CD feu radio inventum mo-

do Ca habebitur Da,

Jam. in triangulo re

e&angulo DaB eft rur-

fus

T"*æa

- Ba?

— DB^, fed Da ef& modo inventum, aB eft

[

*

rad xh'ï »

rgo fumma horum quadratorum aut quadratum DB^

W

& ext:

&a radix dat latus dodecagoni DE

Si hoc rurfus per

CE biffecetur in £, erit D

E latus polygon

T^ 1

ut hujus

di

i 94 laterum;

rurfus quantitas. innotefcat

accipiatur triangulum rec&angulum

t

€bD

, erit Cb? —— CD* — Db?, ergo Cb —— V (CD*

Db ) fed

41q

3l

CD ett 1&.11

3

Db eft ilatus dodecagoni prius inventi, ergo habes

4

tur etiam 5C;

hoc LC fubtrahatur

«

2]

radio CE, habetur pars bE

jJam in Luamulo re&angulo EbD eft Eb^ -- DV

ED?

fed

Eb modo & Db prius eft inventum

ergo habetur DE latus poly-

goni :4 laterum

fi hoc rurfus biffecetur

habetur jam latus po-

leterum

lygsoni

dein.96 laterum &c, quse omnia pracedenti

methodo inveniri, & tam prope ad circulum accedi poteft, ut chor«

da ab arcu fenfibiliter non differat

pr

n ratio diametri ad po-

lvgonum circulo inferiptum vera, & quam proxima ad ipfum cir-

b

culum obtineatur.

Eadem via queritur ratio diametri ad poly-«

gonüm eid

n. circulo cucumfuwtum incipiendo ab hexagono us-

qué ad 1

us valde ex

guU;n-

Jam circulus inter hec duo polya

gona jacens erit infenfibiliter minor quam polygonum circum-

fcriptum & 1

ajor quam infcr)

um,-ita quidem ut ex hoc circulo

;

pofita diametro zz I Archime

in polv«ono 96 laterum invene-

nerit pcti I,hermu effe ad inf

s:p

um ut I ad 3 5 1 adcircumfcriptum

-..-

;

oo9

Xt I ad 3

713

hoc eft f

tyd

-u d o

lovicus a Ceylem

s:fT

accue

!

l

DE MENSURA SUPERFICIERUM.

8

$

accuratius determinaturus hanc rationem

nl

ul

terius progreffus eft

[

X

-

pofita diametro — 2, 0000000000000000 invenit peripherian

lu

ninorem effe quam 6, 2831852071795865

dam

majorem effe quam 6, 2831853071795862, ut adeo fola diffe-

ine

rentia a circulo fit in mille billioneüimis partibus? ftatuit igitue

m

diametrum eífe ad circulum ut 200: 628 velin minoribus ter-

qua

minis ut IOO: 314-

Metius eam ftatuit ut II3: 255, qus pro

icet

minoribus terminis adhuc accuratior eft: plerique tamen ob com-

ae

modiorem calculum priorem adhibent, cum & ihi differentia in

m

praxi infenfibilis 6t,

igitur diameter in fua

.peräpheria ter &

t

aliquanto plus continetur,

. $i

CÜROLLARIUM.L

que

(at,

.247. Ex his jam videmus quadraturam circuli veram, etó

) eft

detegatur, numeros tam prolixos habituram, ut in praxi propte-

Tà:

rea ufui effe nequeat, adeoque inanem ille labore:

impendat,

atur

«ui in ea quarenda vel minimum temporis fpatium ponit,

Ino

T

nt-

COROLLARIUM

E

[.

L]

j eft

2482 Data igitur diametro queritur peripheria ex hac pro-

p* à

portiqne ut ICOad 314, ita diameter data ad peripheriam, Sit

p

514 X 56

diameter data —— 56, erit peripheria

—— m I75. 8A. Da-

jjl$

w

ta peripheria ad querendam diametrum proportio invertitur, ut

[ed

|hee

?[4: I,OO &c, .Ex his jam fequentia-problemata refolvuntur,

VE

PROBLEMA L

fed

oly-

249. Data diametro circuli invenire aream..

: pü.

lenti

RESOLUTIO.

liot^

p

Tiam,

. Fiat ut 100: 314, itg diameter data ad periphe-

(i^

Jj«

—

X

II. Peripheria ducatur in

2

diametri, fa&um eft

w

equale arez circuli.

olya

Demonftratio eft ex theoremate VT.

i*

culo

5690 RÜRSLARIUM Lt

pe^

$50. Exempl. Sit diameter data — 56^, fiat I()(;ï 314

rurm

70 54 g^l 41;'/0

Hec peripheria

ylei

- 56/: 175*, '84 hoc eft ad 1

du-

d

F 3

1

a

86

ÜCARFUT

ducatur in quartam partem diametri in I44, feu I400/// nt habe-

VESISADESSHSURLN

aántur quantitàtes homogenez ,

erit tota area — 2461/, (Cco

hoc et 24? 614 76// oo^,

feparando duas fcilicet notas, cum

menfura jam exiftat quadratica.

($. 224.)

lii

CHOLION.

ti

X

II

25YJ. Diameter vel menfurata fupponitut

n campo. , vel

1

data quantitate longitudo ejusdem ex fcala geometrica determi-

n lndu- e&o

H

d

H

COROLLZARIUM:/T

1

252

Hac ratione igitui

omnis peripnerja in ilis invenl-

qu

tur dimenfionis partibus ,

in quibus radius vel diameter datur.

Si diameter datur in pedibus

peripheria in pedibus habetur;

fi

ÀN

datur in digitis, perm"*wrls in digitis habetur &c.

Quin omnes

[

partes peripheri2, omnes arcus certi numeri graduum hac ratio-

c1

ne invenire licet, inferendo per fimplicem proportionem, ut 260

eradus ad peripheriam totam in pedibus,

dieitis &c, inventam ,

ita 7O, 40, 1309 &c. gradus ad partem peripherie proportionalem

in eadem menfura

Si peripheria fuerit 17584/// invenitur ar-

cus 3O' ex hac proportione 360

ï/ 84/// — 30

14651/1 L

PROBLEMSZA II

$«

255. Invenire aream fectoris

ABC

Fig. 129.)

&

arcu ZAB

d to radio Z4C'in orgyis vel peäzb

: eradibus.

&t

RESOLUTIO

dni

baï

as

I. Fiat proportio, ut 100: 314

Mu

radius AC ad

tt

für

peripheriam totam

II. Ut 360? ad peripheriam

inventam, ita gradus

dati ad menfuram arcu

HI. Arcus inventus. ducatur

AC fa&um erit

area quafita

E

D E.

——

i

—

w

]

&

DE MENSURA SUPERFICIERUM.

97

habe«

ATE GT

^DEMONSTRATIO.

]600

, Qm

Cum tota area circuli confideretur ut' aggregatum

Ev

gs

2 d

triangulorum infinite patvorum, quorum bafes funt p

ripheria & altitudo radius, erit etiam fector, utpote pars

ol

circuli, collectio triangulorum , quoruim bafes eft arcus

'eLIllf»

-AB & altitudo radius 4C, proinde etiam hzc area tota

habetur, fi bafis 45 ducatur in & altitudinem, hoc eft

Ut autem. arcus

area eft zqualis arcui. 4B x x AC.

i veti

B cum AC multiplicari poffit, ad eam: menfüram, ín

datut.

qua AC datur, reducendus eft, quod fit per propor-

tt; f

tiones fuperius exhibitas, inventa ex generali propor-

Ua

tione peripheria circuli feu menfura 360 gradibus cir-

matio»

culH conveniente, hec ipfa menfura dein per alteram

ut 360

proportionem partibus petitis applicatur.

entalit ,

onalem

Exempl. Sit CA feu

BCH

r

diameter z—

tut at«

004., & ADB v 300.

Á

EistutiOO: 314 & 56': 12584/*.

)

lii ;'

r..

*

ut/$00 * 1789490 —— 30"

I465/1/

1465 5 feu'

4394 4H

-

?;-

E

X I1400///,z-s 2051466'^^ $ (eu

——

—

area,

29105/ 14/4 664 5

2

QU R ULILABRBIUA,

9)

254. Si detur(Pig.130.) fegmentum AEBD A, invento centro

& du&isradiis 4C, BC habetur fe&or ADBOC, quiper chordam 4B

infegmentum ADBEA & in triangzlum ABC dividitur, ut igitur

radio & altitudine

habeatur fegmentum,

dato arcu,

chorda ,

trianguli, inveniatur fe&or & triangulum ,

fera-

& hoc ab illq au

!

ÁCad

tur, dïffgl-czxtia erit area fegmenti,

PROBLEMA

III.

fdd

u

u

?;(

'25 $. Invenire aream poligoni

cuj

svis. (

$

n a

131)

j

4

E-

PA

jl

—

As s

Ts

88

CATPUT HI

/

RESOLUTIO

fei

Refolvatur duc&is diagonalibus in triangula, & in-

[

ventz triangulotum arez'addantur, fumma erit area po-

1ite

lygoni.

tus |

DEMONSTRATIO

quo

fequ

Quodvis polygonum refolvitur in tot triangula,

eiti

quot funt latera demtis duobus ($. 144.) ergo triangue

ho

Ja funt p.rtes

& polygonum eít totum , additis parti.

bus habetur totum

Exempl. Sit polyzonum ABCDEF, du&is BR, BE, CE tri-

du

angula habentur quatuor; accipiantur ex fcaia geometuca eorum

altitudines & bafes;

Wt BEI— G.. Agcts

2 EB——-S F——v.) »

I!

Ccc-4 OEX Dd W. quéis baübus in dlmldlas altitudi-

fn

nes erit 4F:::6X1-.«6,BFE--8X-——.12, BEC z2

8x2-—-16' & BED-— 6 X2 —

I2?, hz ares addantur,

habebitur tota area — 6 -- 12 -F- I6 -- I2 — 46

&l

CATUT.H

DE COMPARATIONE ET TRANS-

MUTATIONE AREARUM

Tüu

&if]

THEOREMA I

il 2

erimetr

fieurarum fimilium funt ut latera

C

256P

DA

vel dimenfiones homologe.

p

DEMONSTRATIO

(üar

Cum perimeter fit ipfa fumma laterum, erit peri-

erg

p

meter primze, ad perimetrum fecunde, ut fumma la-

terum prime, ad fummam laterum fecundz, fed cum fi

gure fint fimiles, hàbent latera proportionalia ($. 168.)

&t

igitur fumma laterum prima eft fumma antecedentium,

&

g

DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c

89

& fumma laterum fecunde eft fumma confequentium ;

fed füumma antecedentium eft ad fummam confequentium,

] &m'

62 pO

ut quodvis antecedens ad fuüum confequens, hoc eft pe-

rimeter prime ad perimetrum fecunde, ut quodvis la-

tus prim: homologum, quod eft quodvis antecedens,. ad

quodvis latus fecundze homologum, quod eft quodvis con-

fequens.

Sed latera homologa fuat etiam dimenfiones,

Qgula ,

jgitur perimetri figurarum fumilium funt ut dimenfiones

daee

homologze

$ atl

COROLLARIUM

CE tri

257. Cum circuli omnes, feu arcus ejusdem numeri sra-

A eorum

duum fint figure ümx)þs, quarum dimenfiones homologe funt

B

xa ii vel diametri, fequitur peripherias circulorum , aut arcuum

altitudi

fimilium effe ut radios vel diametros,

BEC —

ddantür,

THEOREMA II

'

258. Parallelogramma funt in ratione compofi-

ta bafium & altitudinum.

DEMONSTRATIO

NY

Sit unius parallelogrammi fuperficies —— $, alte-

primi altitudo — .4, bafis zz B, alterius

altitudo z a, bafls —— 5

Ent in primo $ 2 4 x B,

in altero * zz a x 5 ($. 231.) ergo erit primum ad fe-

cundum feu .S

$emdxB;axbíeuS$:sz ÁAB:

fatett

4b, hoc eft primum ad fecundum, ut factum ex altitudine

primi in fuam bafim, ad. factum ex altitudine fecundi in

füam bafim, fed hzc eít ratio compofita ex 4: a& B: b

ergo parallelogramma funt in ratione compoüta bafium

U

& altitudinum.

mi i

Exempl. Sit altitudo primi

—l

——

6, bafis —— 2, fecundi al-

um j

titudo z 8, baüs — 4,erit primum ad fecundum ut 18:

32-

16.)

ytiurts

Yi

C O.

a

RI TR

pI

QcO

T

i

E..

O

L

A2

Á

I

U

M

H

g

31l

f

€

S

alt

3

je&

y*

ieitu

tudines squales fint ,

ecqu

26

&

ï;&

iactc

fatta

A

*

I

jai

:Li

quoque

íunt arex

equales, etiam

e

E

ahi

—

ï

lent d

altitudinem

ae

2

6;1 eti

p

H t 54 etiam. dB

av

25r

uat

t m b B.

':

hac

u

&

lone

in prt

opo

rtione

em refoluta erit A:

L od

e

itudo pr imi ad

altitudinem fecundi ut

bafis fecundi '1d ba-

Z

;

At

H

primi,

fed . hec

eft vatio reciproca

rgeo parallelogramma

Sit

inquai

d

que habent equales areas

funt in ratione reciproca

fem

altitudinum & . bafum.

$j tantur

bafes fint &quales;

reg erunt

ut altitudines, & fi altitudines fint equales, erunt ut bafes

Erit

hac if

eni

TY

S.

$

AxB:axB deleto communi fedtore B ma-

h&t

ne

Do

A

a,

$i autem

4 m i

erit $

sH

1e05 f

Paj Jïh

'ato

UV

[

:

Bd

Z

Ksu

^

xel

pl.

w

p p mi

altitudo 6G bafis 4, fecundi bafis 8 alti-

ec

cunqa

udo

m

;

utriusque

aree fint equale

2

3

quia fatum ex 6 in

fe; fe

ln 9 £ C:A, erunt altitudines

baübus recipróce propot-

E

£120 1

"

id

06

3*

4

lïcnaïe

logram

C O RO LL* R

UM I

Daleg

60

m triangula fint. dimidia parailelogrammorum ejus-

ral]

dem

D«

S

o

Ua

ltitudinis, que de pa

112

elogr

ammis dicuntur

de

trian

gul

;

jam di&a funt, quia dimidia funt ut tota

H

)etul

4

t

T

enim etiam

area.trianguli ex dimidio

4

a&o bafeos

in aititu

et

f:

fup

ä

a

(

nem,

Hinc etiam triangula funt in

i

vlone compofit

a

battum

1*

imï' W

d*m;d. rum

altit

dinum, feu dimldnïm altituc

num & bafium.

H

T .

Xones h

ioc

t :

t

s:::-iA)(B'

WqW-bsyels:

^

$m AX

E p

a

2

n

folops

»]

ab

vel $

i

COROLILARIUM

HI

261

Si

ur in uiancuhs arez funt »quales, facaà ex be

fi

il

ti

f

in "thunnem

equalia

effe

debent

fi^bafes & altitudines

zquales funt,

aree quoque zquales funt

$i arez

funt equales,

Ti

olog

habent bafes

altitudinibus

altitudinibus reciprocas, & íi bafes

are

fi bafes

funt a.qu:'

reciproce funt

quoque zazquantur $

erunt ut altitudines

& fi altitu

nes funt $q

Ya

ud

T(.uo

erunt

ut D&

Ezedem

iV

f-^

fes.

jlicet proprietates triar

jlis wmym nt, quas de

18

nb a

arallelogra

fuperius diximus.

15

xli

*

Í

Q

1

E

2;

DECOMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 91

THEOREM A Il

At

1

262. 'Triangula aut parallelogramma fimilia ha-

s

— dé,

bent dimenfiones homologas proportionales.

D.

D,n0C

DEMONSTRATIOGO.

40 00

am m

Sint duo.triangula fimilia ( Pzg. 132.) 4BC, abc.

7proca

erunt

Demiffis ex angulo zquali perpendiculis CD & cd erunt

s M

hazc ipfa perpendicula altitudo, & fimul erunt triangu-

p

la & tota ex hypothefi, & parva ob /z-a & D&d

»e5

re&tos fimilia, ergo erit 4C : ac m /Db: ab & etiam

yoroae mmCDS igtur 4B. ab mCD: cdi Qus-

f alti-

cunque enim funt eadem uni tertio, funt eadem inter

x 6u

fe; fed 4B & ab funt bafes, CD & cd funt altitudines,

Xopote

ergo triangula & proinde eorum dupla fcilicet paralle-

logramma habent dimenfiones homologas proportio-

nales.

D^

1 ejur-

-CO'ROLLARIUM.

r, d

ibetut

263. Cum omnis fupefücies in trlangula refolvi poffit,

fuperficies feu figure funt fimiles, etiam triangula, in que re-

folvuntür, fimilia effe debent, fed hec triangula funt ut dimen-

m

fones homologe , ergo etiam tote fisurs funt ut dimenüones ho-

mologse.

THEOREMA IV.

264. Parallelogramma feu triangula fimilia

f

e

funt in ratione duplicata feu ut quadíata latera ho-

jdines

mologorum,

jales,

qibus

DEMONSTRATIO.

quid

Sint parallelogramma fimilia4BCD & abed( Big.133.)

i5 ec

erit area primi ad aream fecundi ut 4D x« BE : adx be

($.258.) fed ex praecedenti theoremate eft D : «d

—— BE:beergo he due rationes zquales funt, ex qui-

bus

AE

CIATPUT

ID

D!

92

bus ratio prior componitur, fed ratio compofita ex ra-

tionibus zqualibus et ratio duplicata, feu eft ut quadra-

06/ L

tum terminorum fimplicium , ergo arezfunt in ratione

Ti nnatur

duplicata feu ut quadrata terminorum D & a4d;

fi

"-

et

AiÀ

m

in AD x BE

.

L]

ad x be fubftituatur loco BJ::, be

aT d

2eq

4

'!

AD :ad ,

ad aream fecundi ut

&mnibus C

erit area primi

.M,

fZ

diameter

fed etiam cum fint figurz fimiles eft 4D : ad

Sit diamet

—DC: dc' vel ut BC:bc vel ut 4B :ab, etgo etiam erit

porttone ]

MNena e

area primi ad aream fecundi ut DC : dc* *vel ut BC* : bc*

roportio

vel ut 45*:4b*, fed hec funt latera homologa, ergo

parahmogïamma funt ut laterum homologorum quadra-

ta, fed triangula funt dimidia parallelogrammorum, di-

;

midiía fubt ut tota

26

[

ergo etiam triangula funt ut quadra-

Toaximi

ta laterum homologorun

latera

Exempl. Sit bafis parallelogrammi minoris ——4, altitude

femicirc

m duor

t2 2, majoris bafis z— 12 altitudo —— 6 , erit area primi z— 8,

alterius — 72, fed $:

u:,..-v—

L^

—

16:144 hoc eft, ut quadratum ba-

jungantut

nuia AC;

fisprimi ad quadratum bafeos alterius; vel 8: 72——4 : 36 hoc eft, ut

quadratum altitudinis primi ad quadratum altitudinis fecundi

eulorum .

&udrata

COR OLLARNIUM-.IE

A? du

-

tlà comm

265. Cum omnia polygona fimilia in triangula, qux hoc

&üe luny!

ipfo etiam fimilia erunt, refolvi pofünt, fequitur etiam areas

Qu 31

polygonorum fore ut quadratum feu in ratione duplicata late-

rum homologorum.

&CCurate

(1.22s

COROLLARIUM I

DO

QU quas

266. Cum omnes circuli fint fgure fimiles quorum di-

m enfüo

eft vadius. ( eft enim altitudo

communis

omnium

triangulorum aream conftituentium ) fequitur areas-circulorum

effe inter fe ut quadrata radiorum vel diametrorum , cum dimi-

P

dia fint ut tota, vel ut quadrata peripheriarum aut quadrata ar-

la tan

cuum fimiUum, chordarum fimilium &c. &c.

Hinc circulus du-

Qrim à

plo radio defcriptus eft quadruplus alterius; cum enim arez

COMWH(

fint ut quadrata diametrorum , erunt ut quadratum de 1 ad quas

d'u danty

dratum de

hoc eft ut 1:4.

APæ em

eu ld 1

ul IC[(I

C O-

EV

"M

d

DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 93

71

W

COROLLARIUM SIi.

d-

2967. Quia arez.circulorum funt ut quadrata diametftorum,

Ione

fi ponatur diameter — IOO ut prius; peripheria —— 32314; erit

l;

atea — 2314X25-—7850;

hec area jam erit ad quadratum

D

d

(

diametri ficut 7850

10000 vel 785: 1000 ;

quod cum pro

u w

&mnibus circulis utpote figuris funilibus ferviat, poterit ex area

diameter aut ex diametro area ex propofita ratione invenirl

!.D.Jl

$it diameter $64 erit area hujus circuli terminus quartus in pro-

| efit

portione I000: 785 — 3136/:246176/^qualis fuperius ($. 250.)

1

l

&

* lx'c

inventa erat.

Data area ad inveniendam diametrum invertatur

£

proportio ut 785: 1000 —:2461'76:x.

ia«

COROLLARIUM. IV

lls Qt

268. In triangulo re&aneulo habuimus, quadratum lateris

Qd

maximi effe *quale quadratis reliquorum fimul fumtis:

f heec

latera fint »qualia radiis trium circulorum, erit area circuli aut

tituce

femicirculi, qui habet maximum radium,

qualis

eis reliquo-

zum duorum. Hinc fi d

duo minores fà4

ii ad ansulum rectum con-

zb

jungantur, (Plrf ï?z;) ut .4B & BC, & tertius tanquam hypothe-

m b à2

nuía .4C adjunsatur, efitarea femicirculi AdBAC — areis femicit-

M

v

culorum .4eB -- BfC, erunt enim ut

quadrata diametrorum , fed

'2«

[

quadrata duo minora fur

2qtialia

quadrato majori ; CIEO etiam

are2 duorum minorum fun

arce m

equal

f1S.

Si ja:

fpa-

tia communia'x & y a majori & mànoribus auferantur, manent

V& XXQ»

du

lunule , qux ab inventore Hypocrate lunule Hypocratis vo-

| ara

€antur, squales triangulo ABC, fpatium, igitur hoc curvilineum

i latee

vera

i

itur

lius

tura

accurate scequale eft

re&ilineo,

g

quadr

;::

Ofcele

demiifa

($.225.) habetur. Si triangulum ditum foret I

ex B perpendicularis triangulum in duo

-

ualia re

f:

ï

A

3

olveret ;

pars quaevis foret equalis fuz lunule,

m d*

COROLLAR

IUM V

Dv'f,un

yforum.

969. Poterunt ex hoc principio quzec inque

fiveure fimiles

:

ótmr

in uham tertiam mutari, cujus area fit Tqualis fümme priorum

4

a af*

duarum arearum ;

4 nempe illrum quzevis duo latera 1 )0moloza

lus d

conj

1g?antur

ad aneulum re&um

& ext

i

í

te

s*

mitates

ea . recua

2ted

claudantur, fupra hanc ere&a fieura fith

ilis erit priorum f.!m:nm

d

u

qu

Átec enim horum polvsconorum fimilium funt inter fe |

-ä

drata laterum homolosorum ; qua hic conflituunt late

ac*a

a

?

Liid

n-

guli r

CCca

nguli,

fed-in triansulo re

2

gu

quadratum h

othes

[2 M:

eft equ ale

P

Jï.

]

qu&dratió cathetgrum , ergo

€t

i

24

alrca

PM

1'2)0Im

4

"10,,

1

ï

Di

DCAPUT H

.94

Ta4we

ni fupra

idtu5

maximum exítru&i eft equalis duabus areis reli-

»

quorum polygonorum.

n

[

jt

à

COROLLARIUM

VI

Tl

"

ln

;]

270

$i petatur polygonum, quod fit squale differentie

ft]

1Cet

duorum aliorum , fuper quocunque latere majoris tanquaim

lia»

fi&or a

metro defcribatur femicirculus, &

tus. homolosgum alterius ex

trHangu

2

1

1

pheriam trans

l

r*tm

er

punétum

peri-

diametrl extremo in 134

bit a

cum mLClü extremo diametr

pherie

in quod hoc latus cadit,

ä«(l*wis

conjung&atur,

erit hec linea latus homologum

m

polvgoni

petit

id

ety

VL

Eft enim tu:* eulu

in f

femi

circulo

ergo re&angulum , &

Y

4

quas

$

ud

5

TT

dratum lateri:

ii

^

O

;ï

atorum 1e '; um alioru

Qi

f diferentia qua«

Ws

fed arez

*

»

"

£o et

£

:

e

[:!

novi eft differentia

]

ünt ut quadrata

priorum,

IUM VIi

C OR

OTI

LAR

!

à

t

[

4

]ia conftruen-

O71. 12u

À.

n ieitur fieure dat

pProportionals

!

da eft, v, g. dupla, tripla, quadrupla &c

ita procedendum eft

Dicatur, ut ratio ares date ad aream queíitam id eft

nDt ls

.

^

n ïxyü

vel I: 3 vel 1:4 ita quadratum cujusvis. la

ter

ix

a

au

aratum

1

r

lateris þomn]em, extra&a radix dat latus hotm

10

gum^;

ita vel

i

0r

per omni

latera procedendum eft, vel invento

^

uno later

a

r

hec propoxuo pro reliquis inftituatu

r, ut latus

CL Vi

n ,

ad

E

2

tus inventum, ita quodvis aliud latus dati polygoni,

e

latus

homoldgum polygoni novi,

Exempl. I. Parallelogrammi bafis fit 6

ltitudo fit

*

& fit

at

nv

W D

conftruenóum aliud hujus quadruplum ; fiat ut 1:4——536 : I44,

entr-

iT

Ut.6:12

Que

extrada ex IA44 radicé habetur 12 bafis nov

Conüru&um ergo parallelogram-

"""'46(3

t.8 alütudo novi.

M

mum fuper baü I2 & altitudine g erit prioris quadruplum.

Qu

Nam area prioris eft 6 X 4 —:24, alterius I2X 8 — 96 , fed 24

Vatür

in 96

uater continetur, ergo novum eft quadruplum d

[(Ud

.

ali

u

ü hgy

ies]

xempl, II. Sit qua

drati bafis I9 & fit conftruendu

*

li

E

hu

jus q

P

lum

iat u

[9

I:4—:144:,576 extraca inde radix

D

ïad-lïb

24

Gat bafin novi.

Eb

j

fit

on

Ài

firuen-

Exe

m

i.

p

IU

Sit diame

er circ

ld

à

t

—

:

v

t

ls

Es

:

Ex

f

dus circt

dati f

fu*quadr

;7*

ï

8

t ut -

-

2

90

;

2&1

TO

TY

uiLi

1]

V

hae quantitate

extraca

x?l.r

n

&O

Gat

novainm

d

;M

kl

etrum circ

ï

LE

(ubquadrupli,

8

H O.«

M

n

'T'

«

EMX

W

DE CO!

TRANS]

IUT.

3

C. 9

SCHOLION

iE

-

*

E

1

X

i

Q/Za

$5

qui

ia&enus de planorum & fuperfí

;-

d

1!

»

T

menítíur:z

& d

raii

smutatione unius in alteram dicta fur

cla-

rum

am eft, qu ami

ibet

Ji?x

am

dat

aata

am etiam poffe in triangu-

lum

ä

nsfori

mhari,

G uod

zqualem cum eadem aream habeat

fi

enüg

fcilice

lt

quantitas arez figur

£

dia»

2.date refolvatur

in

i

& unus

l t(ïres

fac&or affumatur pro bafi, & alter fa&or duplic

u

s

fiat altitudo,

o ex

triàngulum fupra hanc bafin & hac altitudine

onftru&um

habe

)etie

bit zqualem

cum priore

aream,

Cum

f

enim txiangdïi area

üiïltlïül"x,i'l

.L(.

j*

&ore

E

[

fin

ï

M

lo

vqualis fa&o ex bafi in dimidiam

f

iidem ,

q ul aream

ii

gurae

latz& conftituebant,

factores

2

1

tem

æguam"

zequale fatum dare debeant,

tur

has areas

d

EL

1

"

les, & triangulum

il5

£ oura

À o-

datze zqu

a

efte.

"

COR OLLTARIIU

M.

VIII.

i

r

quadratum

mu 1

r

1

À

LA,(,L

nþ

igulum aiï'g

073. E

uno

!

d&

At

£

r

e

Dro

[

)

a

i

H

0.

tere

aiter

o

a

;

t

U

3

1

1

pro

üdine.

in

ï

aral

tuene

le

1

Q

famimo

s

afi

ti

1CC1IDpI

S pro b

«

aur

&

al

t

itudo

]

r

:

I

u

t eft

e

n

;E

Q

IK

(

i

circ

n

I

Y

jher

D

DI

)4

il

&

ra

ilu»

pro

lt

1

tud

LZ

hne,

1

a

3

P

I/)

n

5

Onis

eo1

o*

at

15U

SUSIV

E

;.)

perimete

iLU

ba

Hs

r

a

t

t

1

id

a

ï

anmm

&Lt

El

altitu

lo

trian

$

t

ï

1

in

,rrnr 1

iï

jus eliea

tur

nu

:i

'1

at

;i

"

1 vl

nfit

ut

ï

[^N

J

chol

1;.

?

1

Q.

&ores, qui aream co

tuunt,

on dié

uI

a eft,

ïl

nus

o

er

bafi

S

j

fiat

&

lter duplus altitudo,

d-

COR O

i2

r

EX

T

ARIUM

lát

4»

IX

21

274

ata figura polygona pra&ice fe

'»OPTL

AV

h

o

d

TOÓC

AU

1 1

-

&

i

citur

1n

suram trie

i5

lg9u

nrmm

a

[

I )j ecto

v Ài

1

p

wbe

g

ulo a

T

i

denti pol ygono: fï datur

g

tfrv

pezium v

n

i

B

CD

D

)

J

)1'

5

d

uc

tur diago

ii

na

H

Cz

P

1

(P

X

^

) 71

&o D

para

111

6:12

ela

DE

ernu

H

t

ii

I

rïu is trian

o)

ui

J

r

x,

Lal

r?lg

& 4

Cll

iu

b

[

i

inmumni

4

,

t int

P

Q.

l

Cr

"

4

inn

m

para

lï

lelas

D

[

potw

foinde

e

ju

:

en

ii

11

L

M

hn

is

ana

ä

L

;;

"

datür

ut

ïque trian

o

u

ii

u1t

commune ABC

€tur

il

T

fumm

ü

hoc

TT d.*"'"..h

E.

CL

1

C

f

J

[nssrem

-

A

1 (

-

B

P

E

2

:)(.. *'*"ä' ,f

, hOC

H

1:

CE

——

te

p

J

triangulum

juadril

Pos

CE

Ü

1

à

Detu:

pentag

n

uim

j

Ig.12

) 4

n

Z

AE

Iu

H

ducz

Ed

[2014

(

tur

ii

par

1*]Q

D

£

r

P cmi u

?

LL

I

G

H

?.

erit

;

ria

"r

geulum. CE

BI—C

fupt

ei

a ucil

ddantd

i

93afi €

T

1

MOA

Rcinter ,

2231

'allelas, ergo fu

bft

ftit

uto CEF pro CE

?

riett

quod al

1

Jicitur

etit au

drilate

mt

P

BC

BI pe

t

gor

o Ai

J L

"

a2

E

w Q

ï)w»la

B

B

x paia

i

j

ela

(

CconJju

----- kie H

1it

eritti

rnanzulum

21c

H

L fC', ob commanun

b

&

i Í

,

n

B

E

&

p

2

parallelas j

BE

Z «

H

da

Je

—

*

^L

96

DXPUT ..

datut utrique BEA, erit triangulum .BFG. — quadrïiater;» ALBCF;

t t

& toti pentagono ABCDE.

Subtra

Sit heptagonum (Z7g.137.) ABCDEFG; ducatur BD & illi

ttit

ex C parallela Ca, donec occurrat ED produ&e, B & a copjun-

us div

gatur, habebitur abje&o uno triangulo hexagonum equale hepta-

gono ut prius demonftratum eít: du&a BE &.ex a parallela ab,

donec Occurrat Eb produ&zm, dabit conjun&da Bb pentagonum

ta

t

(abje&o rurfus triangulo ) priori hep

gono »quale: du&a BF

& ex b parallela bc, conjun&isque B& c, erit quadrilaterum

heptagono equale: du&a BG & parallela cx, dabit BxÁ trian-

gulum heptagono sequale,

Plura de his in Trigonometria &

geometria practica dicemus.

SCHDLITIOTN.l1L

$75, Si figura guecunque in certas partes fit diftribuenda,

aget v. g. (Pig. 138.) tuftcis dividendus, ope triangulorum

Duta

id quoque preftatur. Sit ABCDE ager, refolvatur in tylangula

3 vel.

per diagonales, ut habeatur area in numeris, hec in par-

tes petitas dividatur, habebitur menfura quadratica numerica

Sit £x.

cuivis conveniens,

Videatur dein, an primum triangulum BCD

vnam talem partem adzequet, aut ab illa deficiat, vel eam fu-

ex hac differentia conftruatur

peret, & differentia annotetur:

triangulum : hoc éft dividatur Jdifferentia per bafüin primi trian-

guli BD , quotus erit dimidia altitudo novi trianguli, interval-

1o duple altitudinis ducatur ad bafin parallela xy & ex x ad B

vel ex y ad D du&a linea determinat triangulum novum ; quod

extra triangulum primum cadit, fi addendum, intra, fi fübtrahendum.

Supra hanc novam bafin Bx conftruatur rurfus triangulum quafi-

ta prius altitudine, cujus area fit equalis vel parti petite, fi

figura admittit, vel dimidie parti petite, cui dein rurfus novum

trlangulum inveniendum & addendum, ut habeatur pars petita,

Da&a ]

& jta ufque ad finem procedendum,

B erl

Sit. BD —— 516'4, AD — &90^,, Cc z 154/^, Bb — 315^, Ee

(li'vlfa

e 27 5//, erit BCD — 39732, ABD — 91350, DAE — 1087 $0.

$it dividenda figura lu 3 partes

Ergo are2 «— 239822.

)

ht

?Lï[hodü

p 'äï*f;g te

5*

nt

P

L

ts

i b

U

DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 97

Xf

Erit tertià pars are2 79944

V

Subtrahatur BCD

?97 32

yjun

erit differentia —— 40212

jta

516

quz divid, eft per BD:

C77, 93

| dl

2612

num

4092

155,86 íeu 156, queett altitus

"aud

TUm

516

do triahgull novi

3612

Ia

a&

4800

516

4644

1560

516

enaa,

lorurt

&c,

&c,

ngu

l

Du&a parallela xy ad BD in diítantia 1567 determmatur pun&um

Vp»r

x vel y, & du&a Bx erit fpatium primum BCEx-una pars tertia,

Sit Bxz5928.

Erit

9944

I51, 4O

;erica

9

BCD

528

P

m H

2714

302, 80 feu 303, altitudo tri-

yatur

528

anguli fecundi,

tt*

2640

erval

744

ii D

52:8

quod

2r60

pd!

('hæ(i

528

j

OT

(

novürm

480

petity

Du&a parallela xu ad EBx in diítantia 302, & fa&o triangulo

4xcB erit hoc iterum tertia par$, adeoque remanens trapezium

/F-1

x4AEx ultima pars tertia, & habetur figura in tres partes petitas

divifa,

Yb

SCHOLIOS—N,II

276. $1 fupra Bx fuerit triangulum facum soauale fext*

perti, & huic rurfus additum alterum etiam fexte parti equale,

methodo hie tradita du&a rs determinat in trapezio Bx4E duas

partes tertios Bxrs & rs.4E ; due enim fexte partes fupra Dx &

novam baán conftructe funt zquales uni tertie parti

g

AMeizb, Maih. P. II.

G

CHO-

98

LATUT I

SCHOLION B.

^

277. Si figura dividenda ( F3g. 139. ) fit triangulum , tan-

tum baíüs dividenda erit in partes petitas, & divifionum !

puncta

t

D

£tà

cum vertice conjungenda; cum enim altitudines triangulorum

tioi

fint 2quales, arez erunt ut bafes, fed bafes funt ut pars tertia,

ergo etiam arez,

&

Si fit parallelogrammum dividendum, divi-

fio fiat in lateribus oppofitis, & punca lineis conjungantur, quz

H

di

ad.alia duo latera erunt parallela, & omnes partes figure feu

alt

parallelogramma minora inter fe equalia ob zquales bafes & al-

titudines; refpe&u vero totius erunt aree ut bafes, cum ejus-

qu

dem íint altitudinis.

pto

tà]

SCHOLION S V,

$N

278. In ejusmodi divifionibus femper ratio'figuræ, mate-

d

zi», & finis haberi debet; fi ager, qui coli & arari debet, fit

fi

diftribuendus, cavendum ne divifiones. omnes in acuto concur-

sant angulo, quin, quantum fieri poteft, angulofa figura evite-

tur, optimum igitur femper erit partes per divifionem ad paral-

lelogramma aut trapezia reducere , quod etiam pro limitibus in

maj

recta linea confütuendis commoditatem majorem adfert; princi-

plis theoreticis exculto mnon difficile erit, in variis rerum ad-

plur

quo

junc&is optimum eligere, & diverfiflimis licet qui occurrere pof-

funt cafibus, illa applicare.

toci

ütc

SCHOLION

VI

erit

'279. Rarifime accidit, ut extremitates figure 1linels reás

inn

faltem longioribus claudantur, hinc in dimenfione & divifione

min

latera curva ita ad lineas re&as funt reducenda , ut quantum ex

d

etia

una parte figure demitur, ex altera iterum addatur, ut Fig.,

140 exhibet, in qua re fi magna accuratio requiratur, ma-

I

gnitudines ipforum horum ípatiorum per perpendicula ab cd &c,

brio

demifa determinanda funt,

ml

güre

SCHOLION VIIL.

S»get

580. Pro figuris in formam zqualem aut fimilem feu ma-

poffu

joremi feu minorem transmutandis utimur inftrumento, quod pan-

&CQui

tographum nominamus, & ita componitur: (Fig. I41. & 142.)

Aldter

Duo paria regularum .4C, 4B, & DG, DH connexa, & mobilia

ïefpoï

ün pun&o .4 & D, fitu inverfo fibi imponuntur, ut vertex 4 fu-

ltim

perius, D inferius fit; fingule foramellis cwquidiflantibus aut

5o aut IOO &c. perforantur ut ih omni diftantia a vertice una

alteri applicazi & diverfa parallelogramrzaa ut EAFD, eqfd , fi«

cut

n

-

A

DE COMPARAT, ET TRANSMUT. &c.

99

eut utraque figura oftendit, effici poffint, ita ut femper diftan-

tia EA

ts

vel ez fit vqualis diftantie DF vel df, adeoque etiam

unds

ED &

d — AF & af, & verum femper obtineatur parallelos

orum

g£rammum ,

in quo regule

due femper maneant parallele,

hoc ipfo erit etiam EE

—

—

ED, & DF — FC. Item be — ed

tl2

d-

& df — f

& angulus

ÉI aut o — r- Si jam confideremus

que

in utraque figura fitum regularum , & fingamus ex B per D ad C

feu

duci re&aàm , erunt in primo fitu triangula BED & DFC, item in

; al-

altero fitu bed & dfc fimilia, quomodocunque regule circa hzc

-

Que

quatuor puné&a mobilia divaricentur, & per hoc bafis BC & bc

prolongetur aut contrahatur, & femper habebitur Proportio ve-

ra BE: BD — DF: DC aut be: bd — df: dc, hoc ett numerus

divifionum feu di&antia BE eft ad ditantiam BD f[icut numerus

divifionum feu diftantia FD ad diftantiam DC, Si BE fuerit zz

at

tt, fit

DFP, erit BD in omni motu & cafu — DC; fi be quadruplum ips

) cute

fius df, bd femper manebit quadruplum ipfius dc

evite-

CUuROLL.ARIUM L

patal

281. Si igitur planum quoddam minus cd fit in quadruplo

us 1

majus mutandum , fiat ea regtülarum difpofitio, ut be fit quadru-

r

plum ipfius dfj eligatur dein penes planum pun&um aliquod, in

T.

quo pars inftrumenti d firmiter figatur, quod ope ponderis aut

p*

cochlez przítatur, moveatur totum reliquum inftrumentum 1tàs

utc ad pun&um primum circumferentie plani minoris veniat,

erit b in punéto homologo plani majoris; motis ulterius regulis

immoto punco d transferatur c ad aliud punc&um quoddam plani

vedtis

riione

minoris, erit b in homologo plani majoris & diftantia nova qua-

drupla prioris: eft enim be: df — 4:

I ex confítru&ione, fed

um ex

etiam be: df — bd: dc ex natura inftrumenti , ergo bd: dc — 4:

hp

Tà*

I,Ííed duo pun&a nova ope inftrumenti ita pofita funt refpectu

priorum, ut fint in diftantia ficut hd: dc, ergo etiam nova ad prio-

(d &Cc

ia m u

I

ita tota perimeter tam hujus quam cujuscunque fi-

gure alterius & omnia etiam interiora pun&a proportionaliter

augeri vel imminui

aut, fi BE — DF, «qualiter transferri

poffunt, id unum notando , quod inverfum fitum omnia pun&a

j m

acquirant , fi pun&um fixum inftrumenti d in medio maneat; fi

" p

auctem C vel B figatur, d cum alterutro pun&to mobile erit, & cor-

Jt.)

refpondentia pun&a mutande figure equalem, vel proportionalem

0118

fitum habebunt.

Afe

COROTLLSIARIUM 6wI

s 20f

ce n

282. Seu 'igitur dimenfio quedam geometrica feu delinea-

p

tio machine, figure, plantarum , quin imagines etiaum hominum

G

aut

a

2

|

ico

CA PUT. IL

aut quidcunque aliud in minus majusve immutandum aut trans-

ferendum deiur, ope hujus inftrumenti id peragitur, quod in

cochleis ita inftrui

r

minutifimas partes dividi & foraminum loco

potef, ut proportio inter be & df quam accuratiffime determina-

à

riqueat, Exextremitatibus B & C illa v. g. Cquz figuíze delinean-

in

de ( quod origz'nale dicimus ) imponitur, cufpidem x gerit; illa

alt

wero v.

5

o

B, que imaginem (quam copiam nominamus) depin-

ex

gere debet, plumbagine y inftru&a eft,

ut ficut cufpis in C

[U

per omnia pun&a & totam perimetrum movetur, ita plumbum

1ni

feu ceruffa in B fimilem viam defignet, adeoque perimetrum in

H

«

petita proportigne ampliorem, ar&ioremve reddat,

SCHOLION.

$

283. Ob hanc proprietatem inftrumentum hoc fimia mathee

maticorum nominatur, eiu matbemati[cbev 2£ (f Alii illud geranium

GCtordyn Cdjnabel appellant.

gl

3à

IÀ

ol

DE SOLIDIS.

per

Tür

CAPUI —L

&

lii

hi

fà

NQTIONES GENERALES SOLIDO:

RUM.

DEFINITIO I

der

[

olidum feu corpus eft quantitas continua , qu£

u

2$4- S

triplicem dimenfionem habet, in longum,

?tà

datum fimul & profundum.

d

COROLLARIUM.

$n

et

9$5, Corpus igitur omne & longum & latum feu profun-

Wr

dumeft, quetriplex dimenfio femper exprimi debet, dum quan»

N

titatem folidi determinamus,

SCHO-

Ef

NOTIONES GENER. SOLIDOR. 1o:

SCHOLION

X.

Mf«

B

986. Ad ea hic quoque advertendum eft, que de lineis &

trül

elanis monuimus

clementa folidorum & partes funt iterum foli-

|fià»

da, feu corpuscula infinite parva, elementa fcilicet, que jam

Z

triplicem dimenfionem contineant; planis enim profunditate feu

ila

altitudine carentibus in infinitum accumulatis folidum. nunquam

j

exiferet, plana enim omnia coinciderent, & ne minimam alti-

T

tüdinem procrearent,

Solidum igitur ut colle&ionem folidorum

umn

minimerum confüderamus, quemadmodum lineam nt colle&ionem

jin

linearum , planum ut colle&ionem planorum fpe&m;'imus, quam

eolle&ionem feu numerum elementorum rurfus perpendiculari$

sltitudo determinabit.

SCHOLIOIN l.

ythte

nium

287. Genefim tamen folidi fimili rurfu$ modo per moturm&

$lani concipere licet: fingamus fcilicet planum 44Bcd motu pa-

rallelo vel dire&e furfum utin Fig, 143, veloblique, ut in

Fig.

I44 moveri, donec conficiat fpatium fe, hoc fpatium

i

motu plani confe&um dabit 3deam folidi, fi igitur plano infini.

£e parvam altitudinem copcedamus, tot concipi poffunt in hoc

folido plana, quot partes infinite parvz altitudinis funt in per-

pendiculari ef, 'que hoc ipfo numerum folidorum infinite parvo-

rum feu elementorum determinat, & obliquum tantum in eo

differt & re&o, quod in hoc pars fuperior accurate eum fitum

habeat, quem inferior, in altero quxlibet pars fuperior, inferiori

quidem :zqualis, nonnihil tamen verfus dextram vel(íüniftram rece-

u

dat, & ita fitum perpendicularem plani mutet.

COROLLARIUM L

288, Ex his jam fequitur, a figura plani inferjoris depen-

dere figuram totam folidi, cui planum fuperius femper equale

eífe debet in motu parallelo & geneíi fuperius expofita: fi plani

inferioris perimeter fuerint linez re&ze, latera erunt parallelo-

gu;e

Uf ,

£ramma, cum fiant ex motu rede per äliquam altitudinem , uti

de-genefi plani di&um eft $. 206 ; & quidem tot erunt parallelo-

gramma, quot fuerint in bafi latera, i bafis fuerit (F7g. 145.146.)

circulus, planum fuperius quoque circulus erit, & latera erunt

parallelogrammà , qu» infinite parvam latitudinem habent, cum

fütte

peripheria cirg:zli conftet ex meris re&is infinite parvis,

quan-

G

CQ«

$

o

10£2

CATPUT L

ànm

COROLLARIUM

Ii,

tug

289. Si planum irïferius ita furfum vel recte vel/oblique

PU

!

!

j

d

(Fig. 147. & 148.) moveatur, ut femper infinitefima fui parte

li C

decrefcat in proportione arithmetica , tandem degenerabit in

pun&um & tunc latera erunt triangula tot rurfus, quot linem in

ireq

baá, ut di&um eft,de planis triangularibus $. 238. Idem contin-

terti

get, fi planum inferius fit circulus ( PZg. 119. 140.), latera to-

otie

tius folidi tunc erunt triangula infinite parva ob rationem fupes

rius datam,

tum

DEFINITIO H

290. /ingulus folidi eft inclinatio planorum , qu:e in

totu

eodem apice concurrunt, eumque claudunt.

Igitur fit

p

ex angulis plani.

opus

COROLLARIUM,

29I. Saltem tres debent adeffe anguli plani aut tria pla-

na, ut angulus folidi exiftat; duo enim apicem non claudunt,

fed partem vacuam relinquunt; fimul hi tres anguli plani mino-

res eile debent quam quatuor re&i feu 360^; (i enim angulum

(ic a

folidi ere&um deprimamus, ut in plano jaceat ; (FZg. 151.) relin-

spice

quetur fpatium vacuum x zquale angulo x, fi hoc etiam angulo

Centr

plani expleatur, habentur 360 . gradus, & impoíhbile erit cufpi-

dem elevare, & angulum folidum efficere, nifi pars quedam feu

angulus quidam ex illis 360?^ dematur, ut cuilibet apparebit,

fi chartam quampiam crafüorem in medio ita elevare conetur,

ut extremitates in tabula maneant, neceíffarium enim erit quid-

mtus.

piun ex medio exfcindere, & ita angulum 360 graduum qua-

dam fui parte imminuere.,

Igitur fumma omnium angulorum fo-

omni

lidum componentium feu tres feu pllures fint, minor effe debet quans

tuuy

260".

DEFINITIO II.

292. Anguli folidi zquales funt, fi ab sequalibus

LOT

planis; fimiles, fi a fimilibus efficiantur.

um f

ï

U'nor

DEPFINITIO IV.

bGIeï

2953. Polyedrum eft omne corpus planis fuperfi-

fed ;

Wi

ciebus

terminatum ,

in fpecie , tetraedyum , pentae-

drum

NOTIONES GENER. SOLIDOR.

ï(*g

drum &c. dicitur a numero planorum folidum confti-

.

tuencium

$

regulare eft, fi plana fuerint regularia &

blique

parte

zquàlia ejusdem fpeciei, & hoc ipfo anguli etiam fo-

bit

lidi omnes :quales ; irregularia , quzx planis & angulis

eg in

inequalibus terminantur; a numero planorum, quibus

ytine

v

L

tetraedrum

quatuor ;

[4 (0-

terminantur, nomen fortiuntur

o&aedrum o&o ; icofiedrum viginti planis termina-

füpe«

tum eft,

DEFINITIO V.

je in

294. Bafir folidi eft plamlm infimnim, cui infiftit

ur fit

totum corpus. Pertexeff planum autangulus fupremus.

Altitudo folidi eft ex vertice ad bafin ( prolongatam fi

opus fuerit) demiíía perpendicularis.

DEFINITIO VL

à pl

ydunt,

29

v. Axir eft re&ta a centro infimi plani generan-

mino-

, ad

gulurt

tis ad centrum fupremi, velfi continuo decrefcat

relie

apicem feu. pun&um fupremum du&a. E(t itaque via

ao

centri plani motu fuo generantis folidum.

cifpi-

m feu

DEFINITIO

VII,

Lrebih

»netür ,

2096. Superficier folidi eft perimeter exterior , feu

Soliditas autem eít colle&io

quid

totus ambitus corporis.

) qua-

omnium elementorum feu partium, qua folidum confti-

us fo

tuunt,

.qua

SCHOLION,

Soliditas hic eadem fumitur cum volumine corporis,

297

«uod fpatium tantum a corpore occupatum f

ne refpecu ad maf-

Tibus

Ex duobus igitut,;

fam feu inateriam , quam continet, defignat.

corporibus unum plus maífe & minus VO

lumen quam aliud ha-

Maffa enim eít numerus partium , que f

plures

bere poteft,

fed magis contiguzs ad invicem ponan

tur, pluscerto mafíe; fed

Solidita-

perfr

minprem extenüonem, minus ergo volumen efüciunt.

t£cr

G 4

Pe;zme-

n

IOA.

CAPUT I

v

tem feu volumen per geometriam de

terminamus, maíf

43

.w(e;s

echanica examinamus

per pondera in m

DEFINITIO VII

35

l

homo-

208. Solida «uslia funt , quz dimenfiones

nite

lopas equales habent , bafin bafi, altitudinem altitudi-

TUl

ni, perimetrum perimetro zqualem. .S/milia funt, qus

dimenfiones homologas pr »Pomm ale

$ & angulos

foli-

dos equales habent

ut fit bafis

tota

d altitudinem in

una, ficut bafis ad

altit

tudinem in altera, folum igitur

Al

nagnitudinis feu. quantitatis difi

Iere

tiam habunt , Unuim

at

Db

h

i

cilicet majus eft altero,

j'l

DEF

UNITIO

IX

T

i

!u

um

l

/.

Fx(

209. Prifua eft folid

bus zqualibus & late-

ol

ribus pazaïïelo**"'n? nis t*vnhmau m5- patet ex motu pla-

)r in

ng p

ni in . Coroll. 1. ägs 288, & in

I43. Id4. &c. e

A0 q

pofito

,. Ret Clam ,

fi

a.uiü

QX

& la

x

tera

E

ümul fuerint perpen

dic Lïæ«'z

A

T

[7 od

J

ad bafin, ( .Frg.

43. I45. I47.

ïqra.) ob

u

1i la

5

LLEE

4

»

tera &axis fuerint obliqua ad ba.fin..(r

bbü

I4

g'

lf,

I.

e

Q

U?s

d[!x

rMe

:;

i.

,O ï triangulare, ( Fzg. 153. )

à

n

"

o

r

ulare, ä

7g. X

I54:), pcmagcn jm ; ( Fig. 1 'ya-) &c

. VO*

!

H

D

æils

£

e

1

E

y

Tatet

cat

Üf ,

Á

u

V

'th tri

gulum, aut quad

4

ilaterum!

0

'?f'ïi-

p

l

31

*pnum

b Vi

m ,

ita ut fbmper denominatio pri(iati

e

1

afeo

a figura bafeos prifma generant

i

Gep

dea

1&':.

D rE

2FINITIO

X.

pent:

Tüe

l

tit

400,

Pa

p;pe[h " eft prifma , cujus bafis eft pa-

"

q

ïk

""ïie

l

am n um te&angulum Pzg. 154. Cubus eft. pris-

D

l!

&L

mà , Cïj

ua

V CL

afis & omnia latera funt quadrata zq

lia,

hoc eft, fi

*n

ua-

Wärmum per altitudinem lateri fuo

(Jkd

lem peïpenuzf ulariter f

1 *(vï

ii d

m moveatur

cenerabit cu-

bum, qm

iv

fa

drata contn

,ï

AZJ

x aequalia qua

Eft igitur

l

N

cubus lo

ï.»æ

ul

FC"MWE«

1

TA

D

Hmnis]

C

i:

OTIO

ï&

E

n

ss

V

—3:

fi

ÀX o

9U

L

J W

Pa

i

iO

..:

H

d.

FINITIO

X

I

;-'Df'x"?'

JLo

Cyiaer ett prifma, enujus bafis eft. circulus,

("('

KZ(ö.

ï"*y- ïþ& /I

latera proinde parallelc

d

&.)

anuma mfïc

HU

e

nite parva latitudini

S*

D

&

n

zü 1im- la.

tudi

Proin eft prifima inp

cerum.

!

.&

fo]i«

S

C H.O

LIOSYN,.

v

m

)u

. Poteft preter me

thodum fuperius

er

v

pofm

eenefis

y.

igi

tut

Q"hndll etiam hac ratione exp licari; fi cogitamu

s ( Fiz.

Snjä

um

rectangulum .4BCD cxrca lat

s BD immotum

Otari ,

erit

ex

& Dc

tra ba(ium circularium &

in BD

Def. VI. BD axis, .

p&, fun

centra omnium ci

:

rum

qu£

infünite propinquorum,

radiis mn

T?, fu d Rri*m*ï ]

»

& quorum

colle&io totum cya

lindrum ef ämr*

conudaerari,

21 mngura gener

1S

18

e 'ï("'-

r

IOT

m

AO

oi-

L

at

des, Cylinder eodem modo ,quo prior gen

itus, effet cylinder

Omnis icsitur

u DL

j*

bliquus.

cylinder eft colle

&io cylindrorum , feu

prifmatum aut

quewn minima

rur

m

li 9

infinite parva 'ïl*lxud'ïllä

o CX

fed eoualium bafium,

n«

DETFINITIO XIL

j

,f'x;'æ

I

d

"

* M

p ;ïdhl'& efï" foli ïun, cmas bafis eft g:oïy'gOD

H

h!

i

num ( F

ijZ

O.

I4

:

c*OS

js

(o

& latera funt ma*amma ut

: v'Or

Ot

ii

patet n

L!Pl.l

i ds«.' 'efcentis ia Coroll. II. gg 289. ex-

"t

3.

f!ï

L

nl

pofito

de

1

5-— L

nin

ationes nartxaee

1t

terum a. fig

ür

VL

1

a ]

e

ä

ld

i

afeos c

ï

1

9

angularis ,

fi

D2

jfis

triang

x

f:."':i tr

Ouæu i

Y1

jadt

a

)3

lari

1

ET

par

allelogrammum , . pentagona ,

m

J

ä

um

pent

o

D

lyg:

onum exït

fi bafis polygon

fue

&i

$3

eO(*

(

2

E

VC

UC $

fia

x

i

S perpendicularis a vertice per

li

i

centrum

ba

30:—) Ccral

14

feat, obliqua , íi aliam axis ha-

buer

1it ii

».æ'y

oulilo

nri$*

lhä- '

4

[j3

T2

[1

D

A.

J

NITIO XII

^nt

Viu

/

n

Q2

o

v

ni

x.i

us

et folidum ( P.

149. I5

6,);

bafis efi

f*

[(

MA

"4

*

gU

irculus,

& latera i r'zmgula:9 quorum bafes in

G

—)

fi

Hjm

»

—

i

V

f^.

6

CATPUT I

T0

finite parvz latitudinis funt; proin eft pyramis inni-

torum iaterum.

[s

)

*T

SCHOLI

odOo concipti :

308. Poteft geneíis coni etiam ha

&

iriafzu:t

uv Lfd' gu

l

C ['Iu

lsJ)

n

i1etus

Xa

maneat ,

atc

& alteta cathetus circuma

gatur, defcribet catlie

! balin cir-

[2 O

data

cularem , & hypothenufa latera coni, 4B er,

? gquo

Crei

yurfus omnja centra funt circulorum radiis mm

1

$

5

otOoe

&

rum, qui i fi itelima fui pirte femper decrefcunt , & tandera im

Ícat

pun&um .4 definunt, & quorum colle&io totum conum eihcit,

(H

EINITIO

XIV

t

duo

ubi

406. Pyramis aut conus £run

atus (Pzg. 137 183-))

eft pars pyramidis aut coni ufe,xor, a qua pars fupe-

rior demitur; concipitur, fi motus plam bafeos , ante-

quam ad cufpidem perveniat, ceífet & fiftatur, latera

I

fed

geni

igit;r pyramidis truncate

J

n nonfíunt triangula,

T&K

trapezia bafium parallelarum, quzs etiam in cono, fed

hi f

infinite parvo, confider

prao

DEFINITIO XV

1pfo

edi

fidet

40'T- Sphera ( Fz

159.).) eft folidum, cujus om-

"es partes feu p.m&d fuþf*ïflbïci

a pun&o medio, quod

h;a

At h

ntrum fpherex appellatur,

zqualiter ditant.

tb

COROLLARIU fM.

fee

quia

feu

5308. Sphzraigitur figuram rotundam habere debet

ea3 fola omnia pun&a a pün&o medio squaliter diftant

Qui |

dtis

$CHOLION L

Dytar

309,. Geneíis fphere concipi poteft per motum femicircue

Yeng

i circa^fuam diametrum fixam AB (]gl;r

160.) revoluti , qus

[

jameter per centrum fphzere tranfens axis dicitur,

& cum quae-

Dytu

ibet linea . per centrum tranfens tanquam diameter fpe&ari pof-

l0re

quelibet quoque axis erit , & omnes axes & diametri inter

f

Mfd

e nqoales eífe debent.

Circulus qui totum. áxin diametrum

Iu

aLet , circulus maximus fphare dicitüur, quals erit, fi ad fe-

V*

xnie-

exif

€

NOTION ES. GENER. SOLEDOR. IO7

iaj

micirculun genitorem alter femicirculus adjungatur , & totus

circulus cempleatur,

SCHOLION

1I.

:d

2ro. Genefin fphzerz hàc quoque ratione fpe&are licet; fi

at ,

circulus infinite parvus ita perpendiculariter furfum per recam

1 Oj«

datam moveatur, ut femper usque ad medium iníiniteüma parte

n quo

creícat, & a medio, ubi circulus maximus eít, cujus diameter

Iptg

equalis effe debet linez date, iterum eadem.proportione decre-

i t

fcat, erit hac ratione fphera colleé&tio

circulorum parallelorum

at

(Fig. 161.) certa quadam proportione

crefcentium & decrefcens

tium, eodem fere modo, quo genefim

coni expliculmus , ita ut

duo quivis circuli contigui inftar coni truncati fpe&ari pofünt,

ubi fuperior circulus femper minor eife debet quam inferior,

[upe«

$SCHOLION

Ht.

a

L

3Ir. 5i concipiamus« fupra diametrum A4B intra circulum

atera

genitorem innumeros alios femicirculos ( Fig. 162.) radiis arith-

fed

metice & infinite parva magnitudine decrefcentibus defcriptos,

le

hi femicirculi totidem fpheras generabunt , quarum- fingule a

precedenti infinite parva quantitate differant, ita ut ultima cum

ipfo centro c congruat,

Hac ratione defcriptam fpheram ut col-

le&ionem aliarum fphaerarum intra fuperficiem contentarum con-

fiderare licet, que fumma foliditatem (phzre efficit.

Oftt-

SCHOLION

IV.

quoi

312. Pöteü etiam fphara conüderari ut compo(ita ex pyrami-

dibus,aut conulis infinite parvis , quorum bafes in fuperficie fphz-

f? exiftunt, vertices vero in centro coeunt, uti fecionem talem,

feu circulum maximum exhis conulis confe&um exhibet Fzg. 136.

. quit

Qui foliditatis conceptus in omnibus etiam prifmatibus aut polye-

dris haberi poteft, ut ícilicet con(iderentur tanquam collectio

pyramidum, quarum bafes funt ipfe fuperficles folidi,

apices

vero earum omnes in punc&o medio feu centro concurrant, ita

citete

prifma quadrangulare feu parallelepipedum conftabit ex quatuor

!

qüæ

pyramidibus lateralibus, & duabus aliis a bafi fuperiore & infe-

n u

exhibet.

;:iqu.-

riore ad centrum usque prolongatis ut. ff'ig. I64

lcofaedrum continebit 2O pyramides triangulares equales, qua-

]

jnit

rum bafes funt fuperficles, & apices centrum.

Cubus habet 6

j

pyramides quadrangulares zquales, quarum vertices in centro cubi

ad. fer

exiftunt; parallelepjpedum etiam 6, fed inequales; prifma penta-

pi

go-

*

108

ÜUUP U T«3/

gonum 7, qïxinqu'e quadrangulares laterales, & duas pentagonas

pyramides fuperius & inferius, & fic de reliquis,

erg.

ha

SCHOLION V,

Cl

313. Cum fphere rurfus tantum magnitudine radii inter

&qua

fe differant, ut ex genefi patet, adeoque una ab altera tantum

tüot

magnitudine diftinguatur, fequitur, omnes fphzras folida fimilia

€ffe,

quod

DEFINITIO XVI.

traerifj

814. Setio folidi eft planum per folidum tranfiens,

€onj

TU

illudque in duas partes fecans, quz fectio polygonum.

ütat

eífle debet tot laterum , quot planis fuperficiei folidi

gul

planum fecans occurrit,

pti

THEOREMA L

ls

gu

315. Polyedra regularia tantum poffunt effe

ejusn

quinque, fetraedrum , octoedrum , & icofaedrum ex

pus a

triangulis aequilateris, cubus ex quadratis, & do-

Poiyg

decaedrum ex pentagonis.

166

DEMONSTRATIO.

bebit

Polyedrum eít corpus planis regularibus & angu-

dus

lis folidis sequalibus conftans, qui femper minores quam

fàgon

360^ eíle debent $. 291. atqui plana regularia alia quam

infta

predi&a tria & ad alium angulum folidum quam in. prz-

femp

dicis quinque corporibus componi nequeunt, ut fumma

pet (

iminorfit quam 360?, ergo alia quam pradiéta corpora

This I

regularia quinque exiftere nequeunt.

Qulis

flàny

Minor propofitio per partes probatur,

Primum

planum regulare, quod occurrit, eít triangulum zqui-

«Fzg

laterum, cujus angulus quivis eft 60*; cum' faltem tria

componi debeant, ut habeatur angulus folidus, (S. 291.)

EH&N

?

MT

fumma trium erit 60 X

ó

zz I$90,minor quam 360*

Curj

ergo

NOTIONES GE

L

N

IN

N

i5

4

R. SOLIDOR.

109

ftonts

ergo ex his tribus angulus folidus componi poteít; ad

hac trià triangula plana fi addatur inferius quartum ad

claudendum corpus, erunt quoque omnes tres anguli

i dnter

tantutg

&quales, ergo ex quatuor triangulis zquilateris & qua-

tuor angulis zqualibus habetur polyedrum regulare,

| ümilia

quod a pyramide triangulari non differt, & vocatur fe-

traedrum. ( Pig. 165.)

5i quatuor triangula equilatera ad angulum folidum

wfiens,

co.njungantur , erit angulus folidus z 60 X 4 — 240,

gonumï

minor quam 360 gradus, & habebitur pyramis qua-

. fojidi

drangularis fine bafi: fi inferius squalia quatuor triar-

gula in vertice combinata adjungantur, quorum bafes

prioribus bafibus conjun&e fint, habebitur altera pyra-

mis quadrangularis priori zqualis & erunt octo trian-

gula regularia equalia, & fex anguli, finguli a quatuor

[ eff

ejusmodi planis efformati, equales, proinde totum cor-

Yf ex

pus aqualibus planis & angulis claufüum, & hoc ipfo

( do-

polyedrum regulare, quod oHeedrum vocamus. ( P:g.

166.)

$i quinque ad angulum folidum conjungantur, ha-

bebit is 60 x 5 z 300, minor rurfus quam 360 gra-

a

dus & hec quinque triangula efficient pyramidem pen-

; quan

tagonam Íine bafi: fi his quinque alia decem inferius

inftar fafcie ita adjungantur, ut intra bafes fuperiorum

1 quam

feniper vertex inferiorum jaceat, latus vero unum fem-

n p

fumma

per commune habeant , poterit inferius equalis pyra-

mis pentagona adjici, & folidum claudi, viginti trian-

gulis zquilateris & duodecim angulis zqualibus con-

flans, erit igitur polyedrum regulare, ;cofaedrum di&um.

rium

(Füg. 167.)

jaqul

Sex triangula equilatera ad folidum angulum fi com-

binare velis, habebitur angulus plani 360 graduum,

29!-/

erit enin 60 X 6 — 360; pfoinde hic planorum con-

h 360

curfus ad angulum folidum efformandum elevari non pot-

ergo

erit,

110

PATUT I

erit, ut P;o. 151:, Ífi angulus x etiam plano clau-

duá

datur, exhibet.

Ex triangulis igitur Jam nullus alius

WSOF

n (

angulus folidus, adeoque nullum aliud polyedrum re-

gulare exiítet

folis

exifte

Si tria quadrata, quz figura regulatis poft triangu-

fum zquilaterum fequitur, combinantur , erit angulus

folidus — 90 X 3 — 270, cum quadrati angulus fit

p

rec&tus

€—

9go

Si ex altera parte zqualia tria quadra-

:

torpor

ta adjungantur, fpatium erit claufum, & habebitur fo-

3€ C0l

lidum fex quadratis regularibus & o&o angulis zequali-

funt

bus claufüm, quod fexaedrum feu cubus vocatur. (Pig.

Tur e

Ts

269.)

Quatuor quadrata combinata dant 360 gradus, hinc

junge

per quadrata jam nullus alius angulus proinde nullum

polyedrum regulàare efformabitur.

Si tria pentagona regularia ad angulum folidum

conjungantur, cum pentagoni angulus fit. 108 graduum,

erit angulus folidus — 108 X 3 — 5324 minor 360

gradibus.

Si jam pentagonum affumatur pro bafi, &

C

in quolibet latere erigatur equale pentagonum, erunt

terum

quinque anguli ad bafim :zquales a tribus pentagonis

Vatten

concurrentibus fa&i

& fex pentagona, quinque nempe

lu

erecta, & vunum pro bafi,

Quodfi ex parte fuperiore

€nt

totidem adjungantur, unum fcilicet pro bafi fuperiore

avgu

affumatur, & quinque ex lateribus hujus bafis rurfus

CirTe|

erigantur, & prioribus inverfe imponantur , erit fpa-

tiunir claufum duodecim pentagonis regularibus equali-

bus cum angulis folidis 20 aqualibus; hoc . folidum

3

Tonnih:

dodecaedrum dicitur. (Pzg. 168.)

CF: d

Quàtuor pentagona combinata dant 430 gradus ma-

Vütine

jores 360 gradibus, neque ex illis igitur, neque ex

V fub

ullo alio pentagono polyedrum regulare eífe poterit

Qh(it

T

Hexagona tria combinata dant 360 gradus, quili-

bet enim hexagoni angulus eft

120 gradibus

qui

du-

NOTIONES GENER. SOLIDOR.

i1i

Cldu-

du&i, in 3 dant 360? angulum plani, proinde nec he-

? alius

xagona nec alia plana regularia combinata dant angu-

IIl 16

lum folidi, ergo nec pólyedrum regulare. Igitur ex

folis predi&is quinque poly

gonis polyedrum regulare

Wnue

€xiflere poteft. Q. E. D.

ngulus

SCHOLION,

us fit

316. Opf*mum quis fecerit, fi fibi ex charta craffüore hmc

udta-

tur l

eorpora ipfe efformaverit, ex quorum infpe&ione & conftru&io-

ne confrmari ea plane perfpiciet , que in demonftratione di&a

tquii«

funt. .Facile autem hzc polyedra feu ambitus potius eorum pa-

(Fi.

fatur ex rctibus eo artificio conftru&is , quod fequentia proble-

Tiata docent, ubi ímul aliorum quorumdam corporum retia ad-

jungemus.

, hiX

mollum

PROBLEMA. L

^ SI7. Rete pro tetraedro: conftruere.

lidum.

iduurm,

RESOLUTIO.

! 360

fi, &

Conftruatur triangulum (Fzg. 170.) ABC gequila-

erunt

terum ejusdem magnitudinis, qua corporis bafim aut.

apoliS

partem quamvis habere velis.

Supra quodvis latus fiat

nene

aliud &quale triangulum zquilaterum 4BD , ACE, B CF,

erit rete perfe&um.

Periore

Si juxta lineas BC, AB, AC, tri-

angula reliqua complicentur, pun&a D, E & F con-

Periore

vutfus

current in apice & pyramidem feu tetraedrum dabunt.

tfpr

SCHOLIOS?—.

æg»l!äli'

318. Ut firmari plana & folidum reprzfehtare queant,

Jidura

nonnihil chart? ex uno trianguli latere relinquatur, ut A4E, DB,

CF, dum figura exfcinditur, qua pars fupra alterum triangulum

us ia

glutine jungitur, & totum folidum compingitur , quod de omni-

bus fubfequis notandum eft; manum tandum admoveamus operi

ye ex

eportet, & nafci fub illa hae corpora fge difficultate expezie«

i

mur.

qmll

b qu

PROe

d

112

AJQPUT 1

ini

PROBLEMA

It

bi

319. Rete pro octoedro conftruere.

RESOLUTIO

Fiat rete pro tetraedro ( Pzg. 171.), prolouge-

tur CE in G, AE in H, BC in K & I, ut EG fit —

CE, AE um EH BOK

KI, .conjun&is E

& K, K & H, H&lI

erunt ex hac parte rur-

lite

hil

fus 4 triangula equilatera prioribus zqualia, quz juxta

&i

linearum du&um complicat

conftituent plana duarum

pyramidum triangularium ad bafes oppofitarum & o&oe-

g

drum regulare.

bi

e

&U

hf

PROBLEMA

IIT

u

320. Rete pro icofaedto conftruere

pu

RESOLUTIO

Fa&o triangulo zquilatero 4BC ( Pig.

172.) pto-

ducatur bafis indefinite,

& in eam transferatur quater

bafis prior ut, 45, BD, DE, EF, FG fint equales, &

fiant fupra has baf'es Iu.fum & deorfum triangula xquie

latera priori zqualia, terminata in H, I, K, L fupe-

&t

rius & in M, IV, O, P, R inferius, äucatur per ver-

tices recta MS,

geor

hoc ipfo parallela ad 4G

, determina-

bit hac alia quatuor triangula prioribus zqualia MB.N,

angu

& n

NDO, OEP, PFR, his adjungatur quintum G.

Qür

Supra b&leo MN, AU OP, PR, RS fiant quinque

V

nova triangula pnorlbus zqualia in VeïtICe FU,

lm

Y, Z, terminata, erunt ao triangula zquilatera zequa

UT

lia, & rete pro icofaedro coaftru&um

Comoblicata enim

lia (

charta juxta linearum duc&um fpatium totum claudet

fuperiora triangula in verticibus fuis concurrent, uti &

Va

i.

NOTIONES GENER. SOLIDOR.

115

inferiora, & media decem tanquam faícia corpus aie

bient.

PROBLEMA IV.

..821. Rete pro cubo feu hexaedro defcribere.

loge

RESOLUTIO.

ft z

W E

Fa&o quadrato 4BCD ( Fze. 1 73.) producantut

e n

latera ad omnem partem , duo tamen 45 & CD nonni-

: quxta

hil longius, transferantur in illa longitudines laterum ,

duarum

& per perpendiculares quadrata compleantur, erit ubique

zquale quadratum adjun&um, in longiora latus quadrati

: odot-

bis transferatur, & claudatur linea ef, erunt fex quadrata

zqualia & rete . perfe&um.

Reli&o enim 4BCD pro

bafi erigaptur quatuor contigua ad angulum re&um, &

fuprema bafis quadrato efms claudatur, habebitur cor-

pus hexaedrum feu cubus.

422. Rete pro dodecaedro defcribere.

N/ p

quater

RESOLUTIO.

des, &

Fiat pentagonum regulare (PFig. 174.) vel ope

h æqui-

[ pe

angulorum & circuli , cui infcribitur, vel methodo

jer vl*

geometrica fuperius expofita 4BCDE. A vertice .4 per

ermit"

angulos oppofitos C, D, ducantur re&e indefinite 4e, Af

L MBN?

& in illa longitudo lateris pentagoni in F& G transferae

tur, ex F & G eadem longitudine fiat interfe&io in H,

f65.

guinqüe

erit hoc pentagonum novum regulare priori zquale.

Idem ex quolibet angulo per angulos oppofitos fiat,

Ü, X,

erunt circa primum pentagonum quinque reliqua zequa-

p enim

lia defcripta.

Seigatur ex iftis quinque quodcunque

pet 1

;Mudet j

& adjungatur illi novum priori methodo ex D |

&

, Vi &

AMeisb, MMath. P. 1I.

H

M

114

CI&PUTIO

& K du&is re&is.

Huic rurfus aliud ex 7 du&is rectis

adjungatur, eritabzde novum pentagonum, cui tanquam

medio reliqua quatuor ut prius circumfcribantur, & ha-

bebuntur duodecim pentagona regularia xqualia, qus

juxta du&um linearum complicata dant corpus, quod

dodecaedrum nominamus.

E

minatic

Y

DEMONSTRATIO.

i5

quadta

Prima tria problemata demonftratione non egent,

pistu

éx conftru&ione enim zquali circini apertura triangula

ummq

omnia zqualia squilatera fac&ta funt.

Idem eft in quar-

bafeo:

to; du&z enim perpendiculares angulos rectos faciunt,

eulare

ergo habentur zquales figure lineis zqualibus claufe

paralle

cum angulis rectis , fed tales figurze funt quadrata , ergo

I6 o

habentur fex quadrata zqualia.

In quinto latera oni-

liore.

nia xqualia effs ex conftru&ione patet, at fimul angu-

dun,

los habere 108 gradus, quales funt anguli pentagoni

regularis, ita demonftratur: B totus —— 108?*, quia fa-

&um eft primum pentagonum regulare, ergo x 4- y 222 72,

i

fedx z yob 54 BC, ergo y z— 36, fed etiam y --

if

batu r

$ - 108, quia eft angulus pentagoni primi ex con.

f ?i

ftru&ione, fed y — 36 ex prioribus, ergo $ — 72,

AkBe

fed m -- s — 108, quia deinceps pofiti, ergo s z—

ni iven

i180-—— m,fíed m z 72, ergor —— 180 — 72 z 1o8.

d)

4lü

Eodem modo demonítlratur r zc 108 , &c. fedin CFHGD

Vitmun

Mcatum.

funt omnialatera equalia, angulos duos jam demonftra-

vimus effe 108 graduum, erpgo omnes reliqui etiam

108 graduum effe debent, proinde hoc, & omnia pentago-

naregularia funt & equalia, quod enim de hoc demon-

32

Rratur, eadem methodo de omnibus demonftrari poteft.

Dlta

]i

"U ind

93

Q-

9t Line

115

NOTIONES GI?NER. SOLIDOR,

e(tis

PROBLEM.A VI,

um

; hà

323. Rete pro prifmate deícribere,

qua

RESOLUTIO.

juod

Fiat bafis squalis polygono, unde prifma deno-

minationem fortitur, triaügulo, fi triangulare, (Pzg.

175.) pentagono (Fiz. i76.) i prifna pentagonum:

quadrato , aut parallelogrammo, (Fig. 177.) fi parallele-

ent

pipedum &c. &c. requiritur, continuetur bafis .4B ad

teula

J

utramque partem, in eam transferantur linez reliquz

Quat

bafeos: in his divifionum punctis erigantur perpendi-

"iutt,

culares zquales altitudini prifmatis , & compleantur

i rR

Jaufe

parallelogramima tot, 'quot funt latera bafeos, fuper

,epo

FG conftruatur polygonum alteri equale pro bafi infe-

; oni

riore. Juxta du&um linearum complicata dabunt foli-

angu

dum, quod pri(ma vocamus.

cgom

COROLLARIU M.

i f

324. Si fit rete pro cylindro conftruendum, qui eft prifma

LO

rï&*

infinitorum laterum , bais ett circulus, proinde radio dato defcri-

batur circulus ad 4 producatur diameter ( F7g. 178.) , donec AB

4 coq,

fit equalis altitudini cylindri, inveniatur peripheria bafeos, in

[5

44 & B erigantur perpendiculares & in eas transferatur periphe-^

l-

ria inventa 4C & BD, compleatur parallelozrammum, & ad B

108

adjungatur circulus priori zqualis pro bafi altera.

Parallelos

£rammum juxta peripherias parallele ad fe invicem pofitas com-

Tl

B6b

plicatum. dabit cylindrum.

)l

1fïra-

etanm

PROBLEM.,A VII.

niago*

325. Rete pro pyramide conftruere,

mote

RESOLUTIO.

?o*;efis

Data longitudine literis tanquam radio defcribatur

areus indefinitus, & in illum tot chordz transferantur,

quot linearum polygonum bafeos eít, (Fig. 179.? que

Hs

chor-

(*

zi

ROVE a

|

116

CAPUT

l

chorde equalis etiam longitudinis cum lateribus bafeos

fat

effe debent , fupra unam ex his chotdis con(truatur

burt

polygonum bafeos, & chordz radiis cum centro. con-

PT

)

jungantur; vel: fist polygonum, fupra quod tanquam

bafim (P?79. 180.) pyramis vel triangularis vel qua-

drangularis &c. conftruenda eft, & fupra quodvis latus

hat (

conftruatur triangulum zequalis altitudinis , ere&a trian-

di&

gula ad apicem concurrentia claudent fpatium, & py-

pr i

Qts,

ramidem determinabunt, v. g. rete pyramidis triangu-

lais in l7g. 180. exhibetur.

COROLLARIUM I.þ

326. Si.bafis fit circulus, pyramis igitur infinitorum 1late-

zum feu conus, longitudine lateris coni CA (Fig. 181.). defcri-

batur arcus indefinitus, adjungatur illi eirculus bafeos & inve-

niatur ejus peripheria in hexapedis aut pedibus

&c, hec men-*

fura rurfus applicetur peripherie radio .4C defcripte & hábebi-

tur longitudo arcus, qui complicatus peripheriam bafeos ambit.

COROLLARIUM I

:

* 327. Pro pyramide aut cono truncato .teta altitudo & alti-

bngm

tudo fimul truncati danda eft,

& conftru&is chordis & bafi ut

prius, differentia altitudinum chordse & planum pro fuperiore

qqanti

baf conftruantur , ut Frg. 182. exhibet, & bafibus parallele pofi-

?is plana lateralia circuæplicentzzr , & tete claudatur,

tetmin;

COROLLAARIUM Il

intm

328. Rete pro fphaera quam proxime ita defcribi poteft?

YT

CFig. 183.) linea re&a AB fiat equalis peripherie circuli ma-

s que

ximi & dividatur in quotcunque partes, quo. plures partes fue-

QUs m

xint, eo melius rete fe claudet, & producatur A4B ad utramque

Drofüng

partem indefinite, prima divifio BI biffecetur, & in pun&o biffe-

terine,

&ionis erigatur perpendicularis ab zqualis femiperipherie íeu

dimidio AB, ita ut dimidium ab (íit fupra, dimidium infra li-

QUs eyy

s p

neam .AB, Ad trià punda a, I, b, queratur centrum C & de-

E]ïel

fcribatur arcus a 1 5, erit C & omnia centra arcuum in linea .AB

grodu&a, fi igitur eodem radio IC per omnia divifionum pun-

&a I, 2, 2 — — —- Adefcribantur arcus accedendo femper a

3

€ verfus B. & idem ex altera parte affumtis centgs a B verfus 4

"nes ]

fiat,

*f j

NOTIONES GENER. SOLIDOR

117

Qafeos

Siat, duo arcus inter parallelas cd & ef fe claudent & rete formas

EUaCUE

VRR

bunt; feciones enim arcuum in utroque vertice fi conjungantur,

- Cotl

4 ad B veniet, & fpheram quamproxime efformabit.

iquam

SCHOLION

| qui-

329. Qui fibi aut ex charta juxta methodum modo traditam

ls

triat-

hzc corpora efünxerit, aut ex lieno comparaverit,in dimetien-

dis & fuperficiebus & foliditatibus corporum ingens adjumentum

per illa nancifcetur,

i py.

Retia. enim explicata erunt ipfa fuperfi-

lagv

cies, compaca folidum reprzfentabunt.

ä

m Tatee

C AT UTO

) defcti

&ime

DE DIMENSIONE SOLIDORUM

jec men*

hibebls

DEFINITIO VI

s ambifi

330. Menfurare folidum eft ejus extenfionem in

longum , latum & profundum determmata quadam

) & alti*

^

& bt

quantitate exprimere.

fuperoe

COROLLARIUM SYIL

jgle pl

331. dgitur linea, qus» tantum longitudinem corporis de-

terminaret, pro menfura ejus adhiberi non poteft, neque qua-

dratum, quod longitudinem & latitudinem fimul definiret, quali

in planorum menfura ufi fumus, non enim veram ideam corpo-

y potef

ris aut differentie magnitudinis inter unum & alterum per ha

veuli m*

duas menfuras obtineremus, fed tertia quoque altitudinis feu

ttes me

profunditatis menfura accedat neceffe eft, ut quantitas folidi de-

veramque

termainetur

lta inadequate omnino & incomplete magnitudinem

j du bl!ïe *

quis explicaret, fi dicat, corpus hoc eífe tres pedes longum, &

ere 1

duos latum, ni fimul addat illud quoque quatuor pedes altum

sníra D

effe.

KEU CR

ncghde-

1]163 AB

COROLLARIUM II

oIan Pun

332. Elugenda isitur eft ea. menfure fpecies, quae Jam

r meer :

omnes has tres dimenüones in fe contineat, proin aliquid, quod

j vertii 4

feipfa jam folidum ef, & has tres dimenfiones includat, juxtà

fat

H 3

quod

118

C'AP'»UT IT.

quod dein reliqua eorpora expendantur, & determinentur, adeo-

für

que ficut in planimetria quadratum elegimus tanquam normam

ei

& criterium omnium dimenfionum planorum ; ita folidum rurfus

in pedibus, digitis aut lillels determinaturi, jam non fimplices

fed tales adhibere debebimus, que & longe, late & profundwe

fimul fuerint,

$i igitur, quod maxime obvium ef & fimplicif-

fmum apprehendamus, & quadrato, quod jam zque longum &

de tr

fnént

latum eít, zqualem quoque altitudinem adjungamus, habebi-

mus cubum, qui tertiam quadrato dimenüonem pro folidis re-

terio)

quifitam addit, & obtinetur fi fa&um ex linea inlineam qua-

tur,

Erunt igitur di-«

U

lem rurfus per eandem lineam müitiplicetur,

Phenfiones folidorum pedes cubici, diziti cubici &c. & dum pro-

em

vonetur maffam quamdam, murum v. g. habere 1OOO pedes,

p

ben

non fimplices, non quadratos, fed cubicos eos intelligere debe-

inus,

pet

COROLLARIUM : lUt

333. Patebit hoc clarius, fi ad génefüm folidorum redea-

inus; cum orjatur cubus, & quadraetum bafeos in altitudinem

yerf

zqualem ducatur; fi linea bafeos fuerit hexapeda feu 6 pedum,

quoty

tota bafis habebit 36 pedes ut in planis oftendimus, 6 fcilicet

du&um in 6, Ííi hoc rurfus per hexapedam feu 6 pedes multi-

eQUd

omj

plicetur; habebitur totus cubus id eft 36 X 6 —— 216 pedibus cu-

bicis, & cubus totus in totidem cubulos parvulos, ut Fisg. 184.

Vete

V t

exhibet, diítribuetur, quodlibet enim quadratum pedale (Fzg.

GN

185.) utita dicam, triginta fex cubulos per altitudinem fex

pedum producit.

Hexapeda igitur cubica 216 pedes continet,

Üe1

pes cubicus 1728 digitos cubicos, I2 fcilicet ductis in 12 & hoc

fa&um rurfus in I2, totidem lineas cubicas continet digitus cu-

bicus.

Data itaque menfura in digitis, ut reducantur ad pedes,

per 1728 divifio inftituenda erit; pedes cubici reducentur ad

hexapedas divifione per or6 facta.

SCHOLION I.

324. Si unquam, hic certe menfura decimalis laborem mi-

&uit; in hac enim menfura decempeda continet IOOO pedes

æqu:

eubicos, pes IOOO digitos, digitus YooO lineas, cum cubus de

Tati

iO femper fit 1OOOC.,

Si igitur detur tota alicujus maíle folidi-

tas z 34789426// digitorum cubicorum , continebit maffa

24^789/426^ id e& 534 decempedas 789 pedes cubicos 426

digitos cubicos. Sit tota foíffa 372946829"/, id fignificabit habe-

fe eam 372 decempedas, 946 pedes, $29 digitos cubicos, Si la-

Wor

tus

-

DE DIMENSIONE SOLIDORUM.

lI9

adete

tus quodvis queratur, extrahenda erit radix cubica, cum factum

J'aarit

ex triplici multiplicatione, utpote cubus, Oortum effe ponatur.

tutfüs

iplices

SCHOLTON m

a

funde

yicit-

335. Bene in dimentione folidorum diftinguendum eft, an

'om &

de tota corporis foliditate , feu maífa, id eíft de colle&ione ele-

:bebi-

mentarium partium corpus conftituentium fermo fit, an de ex-

l$ f&«

teriore tantum ambitu & peiimetro, qu» fuperficies folidi dici-

z£ur

Ila enim triplicem dimenfionem feu cubicam imenfuram ,

"o

tur d

ut mox diximus, poflulat, hec duplicem tantum feu quadrati-

a prt»

€am admittit, ibi enim eít bafis, qux jàm duplicem dimeníio-

pedesy

nem habet, du&a in altitudinem;, hic econtra mera tantum ha-

debee

bentur plana, que altitudinis omnis feu profunditatis expertia

E

per longitudinem tantum, du&am in latitudinem, menfurantur.

SCHOVLION IH

fedet«

336. Ad fuperficiem igitur folidorum determinandam fu-

ndinem

perficies planorum omnium invenienda eft, que corpus ambiunt,

pedum ,

quorum fumma fuperficiem totam dabit.

Si fuerint plura plana

(cilicet

zqualia, unum inveniíle fat erit, quod per numerum planorum

multi«

omnium multiplicatum 'dat totam fuperficiem.

Ad foliditatem

us cu»

vere inveniendam, baíis in altitudinem feu integram feu pare

" 384'

X*em tertiam ducenda erit, prout plana feu equalia feu decre-

: (Fig.

fcentia per altitudinem perpendicularem mota folidum efficiunt.

em [ex

ntinet ,

De utroqge Quoaq omnes folidorum fpecies feparatim agemus.

; & hoc

jtus Cl*

De þpe;fciebus Jolidorum.

«,nwf ad

THEOREMA L

337. Superficies prifmatis demtis bafibus eft

5 mi

squalis perimetro bafeos ductz in altitudinem prif-

?eäes

matis

gbus de

] !-Oï'ldi'

DEMONSTRATIO.

, mifía

x 416

Prifmatis fuperficies lateralis funt parallelogramma,

, habe*

quorum bafes funt latera feu perimeter polygoni ba-

E

H 4

feos

tus

-

D

120

CAPUT Il

Ttit

feos prifmatis, altitudo autem eadem, quzxeft pri(matis

sulelograx

fed parallelogrammorum zquialtorum aree habentur,

O

fi bafes ducantur in communem altitudinem, evgo fu-

perficies tota lateralis habetur, fi perimeter bafeos du

catur in altitudinem prifmatis. Q. E. D.

COROLLARIUM L

358. Ut tota ergo fuperficies habeatur, ad prius inventam

dateralinn

fuperficiem lateralem fuperficies bafeos utriusque addenda eft,

inveniatur fcilicet una, & multiplicetur per duo, cum ambe

pàrallele & equales effe debeànt.

COROLLARIUM IL

359. Cum cylinder etiam fit prifma infinitorum 'pkarallelo-

stammorum, quotum bafes funt peripheria ipfius baífeos cylin-

dri, altitudo vero communis ea, que eft cylindri, habetur fu-

perfcies, fi peripheria bafeos ducatur in altitudinem cylindri,

& ad hoc fa&um addatur area circularis bafeos du&ta in 2, cum

fuperior & inferior fumi debeat.

l

SUHBHBOLIORN L

Detfcley :

240. Eodem modo invenitur fuperficies, feu prifma re-

étum feu obliquum fit.

Id patet ex eo, quod in planimetria

3

de zqualitate arearum in parallelogrammis fuper eadem bafi &

feparatin

ejusdems altitudinis diximus; cum enim bafis eadem maneat, feu

Exe

prifma re&um feu obliquum fit, & altitudo etiam eadem poffit

concipi, feu parallelogramma lateralia perpendiculariter feu ob-

dàta di3]

DB :40

lique bafi infiftant, dummoedo inter parallelas bafes fuperiorem

& inferiorem contineantur, evidens eft & horum & illorum pa-

PIO inV&

U0 perj

rallelogrammorum areas per eosdem factores inveniri, proinde

zquales effe.

d/ OI/ :

Exempl, l. Sit invenienda fuperficies prifmatis (Fzg. 186.),

eujus bafis eft triangulum " zquilaterum , bafis hujus trianguli ab

fit A? 3 2" , altitudo hujus trianguli ed fit 3? 5. 7 ; altitudo to-

tius ec fit B^ 6 9.

t 43j

Erit

DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 121

tl

Erit perimeter trianguli infimi feu omnes bafes trium pa-

Ir,

rallelozrammorum lateralium —— 432 xX 2 z 1296 , quod in

communem altitudinem —— 869 du&um dat:

fü

1296

du

869

11664

7776

10368

am

II 26224 -- areas parallelogrammorum

t

lateralium,

Area trianguli habetur ducendo 357 in 4 bafim

108

216

357

1512

1080

elo

648

li

77112"

li

2

bis fumtum

l,

154224

CU

1126224

additis parallelogràmmis lateralibus

1280448"

reducis ad pedes;

erit tota fu-

perficies — I928^ 4' 4$8"

SCHOLION II

It

r

241. Si area fuiffet polygonum irregulare, quodvis latus

( &

feparatim dari debuiffet.

fei

offi

Exempl. HL.Sit invenienda (Fzg. 187.) fuperficies cylindri

data diametro 4B — 5? 6' & altitudine feu longitudine lateris

ob

DB a4? 6

teft

Pro invenienda peripheria bafeos fit 100 : 314 —— 56: 17584

j

24

p

£rg0o peripheria

m

——

i d-

9" 4

du&a in 24? 6" feu 24? 6'

de

0" Q" erit

17584

24600

3

10550400

|

20336

[o-

35168

432566400

—

fuperficiei demtis bafi-

bus 4320 56' 64"

H 3

Ba-

d.

Yy22

CAPUT IL

Bafis feu area circuli fupra diametrum AB habétur & peripheria

dcit

* ducatur in & .AB

——

—

O' ,& erit fatum

H

dini

17584"

y

14' feu 140

"n

24617600 feu 24? 6x' 76"

OO dupla ergo area feu utraque

1j»)

baüis AB & CD

zx 4952* $2"00"

j

liti

addita fuperficie lateralà 4327 56 64

481? 80' 16" tota fuperficles cylin-

dri quafita, .

&i, f

THEOREMA IL

des !

3n coi

242. Superficies pyramidis rectz habentis ba-

fin tegularem demta bafi eft eequalis facto ex femi-

perimetro in perpendicularem rectam a vertice ad

habe

latus quoddam bafeos demiffam.

&h

N

N

feu

DEMONSTRATIO.

do e

Süperücies lateralis pyramidis funt triangula , qüo-

, fecur

Áint jn

rum bafes funt latera polygoni bafeos generantis pyra-

itinari

nmidem, altitudo vero omnium zqualis$ eft, perpendi-

periri

culum fcilicet ex vertice ad hoc latus demiífum, fed

,

area triangulorum habetur, fi dimidia bafis ducatur in

Yi !

ltitudinem communem, ergo fuperficies lateralis obti-

erit y

netur dimidia perimetro du&a in perpendiculuüm ex ver-

VY.

tice ad latus demiffum. Si bafis fuerit (.Pzg. 188.) qua-

dratum .4BCD, du&a ex vertice E ad BD perpendi-

cularis EF , erit hxc altitudo in omnibus triangulis

equalis, proin fuperficies omnium erit (.4B -- BD

AB 4- BD -- CD -- CÁ

-F- CD 4- CA) x EFveI(

Z

)EF.

t f

Qo EO D.

riuadfä

COROLLARIUM Z

243. Cum conus fit þyramis, cujus latera funt triangula

infnite parva bafeos, adeoque quz latera infinite vicina habent,

fequitur altitudinem horum triangulorum , feu perpendiculum ex

dit ?

wertice talis trianguli ad baüm demiffum non differre a latere

trianguli, pmïn nec ab ipfo latere coni, habebitur erg

o fuper

do la

ficiee

d

"

DE DIMENSIONE SOLIDORUM,

125

átia

ficies lateralis coni fe&i, feu area omnium triangulotum, fi

tum

dimidia peripheria bafeos ducatur in latus coni.

Cum 4C (Fig.

u

189.) üit infiuite parvum , angulus ad D etiam infinite parvus,

proinde 44 & C pro re&is haberi polfunt & DA pro perpendicu-

liri.

t

COROLL/A-RPIUM IL.

244. Habetur ergo tota fuperficies & pyramidis & coni re-

&i, fi ad fuperficiem lateralem prius inventam addatur fuperfi-

cies bafeos, area polygoni infuimi in pyramide, & area circuli

b

in cono,

It

COROLLARIUM II

i

345. Si pyramis non fit re&a, fingula triangula diverfam

habent altitudinem, proinde feparatim fngula invenienda funt,

& horum fummz arex bafeos addende, Majus enim ((Zzg. r90-)

feu altius eft triangulam .4BD quam BCD, prioris enim altitu«

fecundi

do eft DE, alterius DF , hinc prioris area habetur i 4B xX DE

—

Y

2

BC X DF. Coni obliqui cum triangula elementaria

1

fint infinita, infinite parvs bafeos, diverfa horum altitudo deter-

t

minari non poteft, proin eorundem arez & coni fuperficies re-

ii

periri nequit,

fed

Exempl. Sit pyramidis rect. quadrangularis (Fipg. 188.)

p

latus bafeos A4B —— 4?.5 2" altitudo lateralis EF — 9? 6' 9^,

t

erit perimeter bafeos feu quatuor latera quadrati —— 432 X 4—

yel.

17^ 2' $", dimidia ergo perimeter — 8? 6' 4", quod du&um in

869

qh&

864

ndi.

.. 3476

guïis

5214

ID

6952

dat

7508t6

EF,

Cum 1latus bafeos

etgo fuperfidiles lateralis — 75^ $! t6 .

quadrate fit 432 erit area quádrata

—

—

186624

432 X 432

additis lateribus pyramidis

—

750816

;guïa

t M—ÀMMÁ— —

937440

tota (fuperfi-

penty

m ex

eies pyramidis 2— 95? 74 40"

Sit diameter coni 4B ( Fig. 189.) — 5? 6

altitu-

ateit

do lateris D4

—

Á

H

apet

24? 6 , erit

peripheria — 317584 &

dimi-

tet

124

CAPUT I

?

facit

dimidia z 8792'

quod du&um in 24* 6' o"o

mïp.s

792

& i

[

iU

——

24600.

52752

35168

17584

]s fm;

216283200

z fuperficiei laterali.

eui f

addita bafí, que (ut in cylindro

216? 28/ 32 ^ 00"

enm

—

—

24 61 76.00

T

invenimus) equalis eft

p

—

rns&

ergo tota fuperüc;es coni

240? 90 og"

addent

SCHOLION.

246. Si detur tantum altitudo totius coni DE (Fzg. 189.)

cum diametro bafeos AB, inveniri poterit longitudo lateris D.A

qia f

ex proprietatibus trianguli re&anguli DEA, ubi quadratà dua-

xum cathetorum funt squalia quadrato hypothenufe,

hoc eft

Jlo m

Si DE

þaüs x

DE^ -- AE* — DA^ ergo y DA^ z lateri A.

fium |

fit - 946 & EA — 28 (cum AB fit z 56) erit 605^ 16 --

ficles

7? 84 —5 61300' & hinc extra&a radix erit fere 24? 7/ 5^ ,

ltera]

invento D.A ulterius ut prius operatio procedit.

bits,

THEOREM A III.

54]. Pyramidis rectz truncatz (P79. I9I.)

bafim regularem habentis fuperficies lateralis eft

æqua'.

zequalis femiperimetro bafium ductz in altitudinem

plan

perpendicularem inter latera perimetri fuperioris &

inferioris interceptam.

DEMONSTRATIÍO.

ET

ficlei

Latera pyramidis truncate funt trapezia bafium pa-

rallelarum ex Defin. ( $ 306.) & ejusdem ajtitudinis,

füye

fed horum arez habentur, fi femiperimetri bafium du-

Cata -

cantur in altitudinem communem,

cum

omnia refolvi

leti;

poffint in triangula ejusdem altitudinis (f.

240. ) er-

iber

£o etiam fuperficies pyramidis truncate eft equalis fa«

inl-

DE DIMENSIONE SOLIDORUM.

125

miperimetro bafis füperioris ( ob bc -- ocd - da

& inferioris -- 4B -- BC -- CD- -- DA) du&s in

communem altitudinem EF. Q. E. D.

COR:OLLARIUTM . I

248. Ergo coni truncati (Pig. 192) fuperficies eft equa-

lis fumm? femiperipheriarum feu femifummz peripheriarum cir-

culi fuperioris & inferioris duc& in latus conl truncati, non

enim differt à pyramide, niüi in figura bafeos, quae polygonum

infinitorum laterum eft.

Pro tota fuperficie arez plani fuperio-

i lat

ris & inferioris & in cono & in pyramide fuperflciei laterali

addende funt,

COROLLA'RIlUM 1.

j

; 189)

teris DA

349. Cum bafes in progreffüione arithmetica decrefcant, in

qua fumma extremórum eft equalis fumme mediorum aut du-

n due

plo medii, fi bafes tanquam extrema fpe&entur, & inter illas

hoc ef

$i DE

bafis media proportionalis inveniatur v. g. ef, femifummo bas

fium loco, hec media proportionalis accipi poterit & erit fuper-

? g

b 14

1 UMl

ficies feu pyramidis feu coni demtis bafibus zqualis altitudini

laterali du&e in totam perimetrum medie proportionalem inter

bafes.:

ITHEOREMA.IV,

191)

350. Superficies polyedrorum regularium eft

; ef

&qualis fuperficiei plani unius ducte in numerum

udinem

planorum omnium.

ors &

DEMONSTRATIO.

Polyedra regularia conftant ex planis regularibus

& zqualibus, ergo eorum fuperficies eft zqualis fuper-

u pæ

ficiei omnium planorum illa componentium, fed hz

tudinisa

füperficies planorum funt zquales, ergo una multipli-

cata per numerum planorum dat fuperficiem polyedri.

jm d*

fefOIV i

Retia horum . cor

hibent. Q. E. D.

porum füperius expofita plana ifta ex

Lo, ) e

mlis. f

Exempl.

ff

126

CAPUT IL.-

Exempl. Sit in icofaedro baíis trianguli z 4' altitudo z

Gon

6' erit arez —— 12, quod du&um in 20 dat 2? 40 totam icov

tuti

faedri fuperficiem,

ti

Vf

THEOREMA V,

(í. &f

551. Superficies fphaerze eft. zequalis circumfe-

am

yentig circuli maximi fphaerze ductze in. diametrum.

quiot

fumta

o NI

(Fig. 193.)

etit

DEMONSTRATIO.

equ

Tüetri

s

. Sit tangens infinite parva mz & ex medio d ubi

4

cum circulo congruit, fit du&a do perpendicularis ad

diametrum .4B. . Si femicirculum 44B circa diametrum

abä

A4B moveri ponamus, defcribet sm füperficiem latera-

diff

trun

lem coni truncati swmgh & do circulum medie propor-

ent

tionalem inter perimetrum fuperiorem & inferiorem co-

ni truncati, uti füperius de fuperficie coni truncati di-

ximus, & zg, df, & mh erunt parallele, cum incli-

Du&a

natio ipfius »z ad do per motum non mutetur.

(R

6

perpendiculari sé & -radio cd erunt triangula mme & cdo

lt at

fimilia; in o enim &e funt recti ex conftru&tione; mzze,

inc

hg

nam m ex! feü ndfquia externus —— interno ob paral-

PT

lelas df & mh , fed ; 2 c, cum enim ; fiata tangente ds

& chorda df, habebit menfuram dimidium arcum 4/, hoc eft

d.A quz etiam eft 'menfura anguli c feu dcA, ergo etiam

5 zc, ergo tertius zqualis tertio & latera homologa

E

Tadij ;

proportionalia.

Stabit ergo hec proportio: cd: de —

10

)"e$ cum autem ge ob par.llelas fit equale r*, erit

fl

fpler;

ed: do zzmu: vr.

per j li

jJàm fi confideremus cd ut radium circuli maximi

Yél w

fpherz, do ut radium circuli minoris fphzre in fegmen-

L

to dof, & cum ex $.

24. conftet, peripheriss effe

ut radios , fi peripheriam circuli maximi dicamus E.

minoris p, erit cd: do z : p,ergo etiam in propor-

j

LT

tio-

DE DIMENSIONE SOLIDORUM.

127

itüdo z

tam ieoe

tione fuperiori fubftitutis zequalibus loco cd & do fuübfti»

tutis P & p erit P: p — mu:rs & fa&ta. zquatione erit

——

Px r:

À

p X mnfed p X mn eft fuperficies coni

truncati mugh ($.. 349.) ergo fuperficies coni trunca-

ti eft zqualis circulo maximo du&to in altitudinem rx.

Ourofe«

Jam cum hoc dici poffit de omnibus conis truncatis, ex

CU

quibus fphera coalefcit , & quorum altitudines fimul

fumtz funt zequales altitudini feu diametro fphzre A4B,

erit fuperficies omnium horum conorum truncatorum

zqualis circulo maximo du&o in diametrum , feu fi dia-

o d ubi

metrum vocemus D, erit zz PD,-

aris ad

Si "s fupponamus infinite parvum, non differet

üetturm

ab arcu feu fafcia fphzre & omnes coni truncati non

| latera«

different a luperficie fphare ($. 360.) ergo conorum

propoï'

truncatorum loco ipía fuperficies fphzrz poni poteft: &

rem C0«

erit tota fuperficies z PD,. Q. E. D.

cad di

COROLLARIUM L

n incli«

352. Si ergo fuperficiei tantum pats quedam quetratur

Duda

(Fig. 194.), fafcia feu zona mmio, veltruncüs v. g. man, erit

T

hec aqualis circulo maximo du&o in altitudinem zone rx vel

LE

trunci ar, hoc eít P X rx vel P X ar.

Eít enim zona *qualis

b p

cono truncato, cujus fuperficies ex precedentibus &qualis eft

P X rx. ldem de parte man intelligendum eft,

jelte d

COROLLARIUM IL

, oc eí

353. Superficies feu areà circuli eft vqualis femiperipherise

ymologä

Su&e in radium ; cum autem radius fit dimidia diameter, loco

radii poterit fubftitui $ D, ergo erit fuperficies circuli maximi

ld

fphers — 2 P X LD hoc eft m PD, fed fuperficdies totius

//, efït

fpheres eft zqualis PD, ergo eít tota fuperficies fphzrz ad fu-

perfceiem circüli maximi ut PD ad À PD, hoc eft ut P: zP

quxifti

vel ut 4P: P, ergo fuperficies fphere eft quadruüpla circuli ma-

Ximi,.

figmet

COROLLARIUM II

,'ils eiïe

QU5 £ (

254- S? fupponamus cylindrum Ífphere circumícriptum

(F zg . 195.), hoc et equalis altitwdinis & latitudinis cum dia-

2

t0

ie-

]

128

CAPUT I

sietro fphere; cum fuperficies lateralis cylindri demptis bafi«

L

bus fit equalis peripherie dudte in altitudinem feu diametrum,

*

diamete

proinde —

PD, erit eadem cum fuperficie fphere,.que etiant

zpDo

Jam cum fuperficies fphzro fit quadrupla circuli ma«

ximl,

erit etiam lateralis fuperficies cylindri quadrupla circuli

maximij

ergo fuperficies totalis feu adjun&is bafibus, cum in

his bis comprehendatur circulus maximus, erit fextupla circuli

maximi, erit ergo cylinder ad fphxram infcriptam ut 6: 4

vel 3: 2.,

3

COROLLARIUM IV.

äcïesvä:'

Si zona squalis & in cylindro & in fphzra per pa«

tür, &

355,

ciem d.

rallelas mm & io abfcindatur, es zo

ne fuperficiem equalem ha-

bere debent: cylindri enim zona habetur, füi peripheria bafeos

feu circuli maximi ducatur in altitudinem zone, fed etíam fphe-

r» zona h

abetur peripheria circuli maximi du&a in altitudinem

zonz, ergo fa&a equalia & fuperüc;es equales funt,

COROLLARI'UM Ts

256. Data ergo diametro fphzere invenitur ejus fuperfi-

cles, fi inventa peripheria datw diametro correfpondens duca-

eüä

tür in diametrum vel area inventa in 4.

Exempl. Si diameter fphzere 56' erit peripheria

175 84-",

du&a in diametrum

; 600"'

pn—— Ü

10550400

87920

fei |

—

fitu,

98470400 fuperficies fpherz.

Ut

velinventa peripheria

17584

lz ;

140 o

tl, d

du&a in 1,': diametrum

— À

70336

fif"f(

17584

&ion(

24617600

p-

—

areas

ies ir

ducatur in 4

E

fuper

—

98470400"

dinen

gadem fuperficies

,'i)

C

üne;

Exempl,

DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 129

: baü-

mm,

—ä

Exempl, Sit quzrenda fuperü&ies fegm&nti fphetze, cujus

etlati

diameter —— 56/, altitudo autem fegmenti 10 erit

| fhde

17584

""

1toyli

|

1000 -

m in

itculi

! 17584000"' z fuperficiei fegmenti quefiti,

64

SCHOLION.

357. Si detur aliud corpus pe'hïtu,s irregulare, cujus fuper-

ficies fit inveftiganda, ad plana, quantum fieri poteft, reduca-

t pie

tur, & fingulerum ares inguirantur, quae addite totam fuperfi-

1 la«

ciem dabünt,

J

afeos

fplig«

Jittemt

De jölid'ätate borporunfi.

[

THEOREMA( L

tf

QUi«

359. Soliditas prifmatis feu recti feu obïïqüi

eft zequalis areze bafeos ducte in altitudinem.

älä

DEMONSTRHXATIO.

Soliditas prifmatis feu re&i feu obliqui efï numeru-s

feu' colle&io omnium elementorum, qus folidum con-

ftituunt (5 287.), fed fi fe&iones infinite parvza paral-

lela ad bafim fiant, bafis erit figura fimul] & area elemen-

As

ti, -fe&iones vero ipfa elementa, quorum numerum al-

hasss

titudo perpendiculàris continebit, tot fcilicet erunt fe-

&iones, quot particule in perpendiculo, neque plu-

res in re&o quam obliquo eíle poffunt, ut ex genefi

fuperius expofita patet, ergo fi bafis ducatur in altitu-

l

dinem, habebitur colle&io omnium elementorum, fed

!

hzc colle&io dat foliditatem , ergo bafi du&a in altitu-

dinem habetur foliditas prifmatis.

J,

I

CO.

Mes, Mat. P. II

|

?

CAPUT:H

T

€O RT OLILIA:RIUM

L.

pH

259. Si igitor dentur prifmata (7/ig. 196.), quorum ba-

(ità

fes abd xquales fuerint, & altitudo: cd

commuhis, foliditates

quoque horum prifmatum zquales erunt,

faca enim ex bafiin

ET

altitudinem , quae foliditatem confüituunt, quales habent fa&o-

res abd X cd proinde squalia effe debent.

COROLLARIUNM 'I

360. Si bafis fuerit quadratum , & altitudo sxqualis lateri

s

bafeos, ex latere bafeos fiat cubus, & habebitur foliditas cor-

poris; folidum enim hoc eft cubus , cujus bafis quadratum &

altitudo eadem. qua eft lateris bafeos,

THEOREMA

IT

:

361. Diagonalis dividit parallelepipedum in duo

prifmata zequalia. (zg. 197.)

!l

Ef

P m

DEMONSTRATIO

(

Cum parallelogramma 4BCD & EFGH fint. :qua-

h

lia, diagonalis autem parallelogrammum in duo trian-

gula zqualia dividat

erit triangulum .45C z EHF &

li

BCD — HFG, ergo pritmata triangularia ABCHEF-. &

li

BCDHFG habent zquales bafes 45C & BCD & zqua-

VA

lem altitudinem C vel FB, ergo fa&a utraque, cum

&

faCtores fint »quales, debent eíle aqualia, fed facta

E

funt foliditates utriusque prifmatis,ergo paralleleplpedum

h

in duo prifmata zqualia divifum eft.

h

COROLLARIUM

!l

262. lgitur prifma triangulare eft dimidium parallelepipedi

fuper dupla bafi & ejusdem altitudinis

Exempl

l

Sit

parallelepipedi

bafeos

latus unum

d

—

ä

C

432

?

& ilius alttudo — 347 ,trit bafis totgz— 15 429 24 ,

altitudo totius fit —— 869 , erit tota foliditas —— 124020656

Exemopl

N

DE DIMENSIONE SOLIDORUM

X3t

Exempl. II,

Detuer cylindri bafeos diameter

56 erit

area bafeos

— 00Ó

—À -

1 a«

,1,01/6 , altitudo cylindri fit — 246, erit foli

ditas tota —— 665

?502'860

ltateg

Exempl

III. Sit cubi latus unum —2 5 OO erit bafis —

f in

lao«

OO OQ' &foliditas totius - I25 OOO OOO

THEOREM A. II

s

-e

363. Pyramis eft tertia pars prifmatis ejusdem

Jutett

cor

bafis & altitudinis. (Fzg. 199.)

m &

DFMONSTRATIO

Sit prifma triangulare 4BCDEF: du&is CD, CF

& abiciffa hac parte juxta diagonales CF, CD ex toto

prifmate, habebitur pyramis CDEF (N,. 1r,) & rema-

duo

nebit ex prifmate pars 4BCDF (N. 2.)

Si h»c pats

rurfus juxta diagonalem BD per planum CBD fecetur,

erunt dus 'pyramides alie 4BCD (N. 3) & BCFD

(N. 4.) Jam he duz ultimz nymmdes equales funt;

g

habent enin eandem bafin, cum utriusque bafis fit di:

f1at!

midium parallelogrammorum zqualium, qus latera prif-

F&

matis efficiunt, proinde & ipfa zqualiz;

eadem quoque

F&

utriusque eft altitudo, non enim ab aïmtudlne partis

eo

-

wqua

CABFD (N. 2.) diverfa eft, proin pars 4BCD (N

)

Curit

zqualis eft. parti CBDF . ( N. 4.), fed

Pham /ng)

C"TUDW 4

ata

(N- 3.) equalis eft pyramidi DEC

1*"N

1,); fi enim

Qu

hec deponatur, ut N. 5. exhibetur, eritpars triangu-

laris 4BC zz parti EDF, cum fint bafes prifmatis datz : al

titudo .Ex — altitudini

y, ergo he duse pyramides

edndem bafin, & altitudinem habeht,

proin squales

rpt?dl

funt, fed 4BCD (N. 3.) etiam eft »qualis parti CBED

(N. 4.) ex prioribus, ergo etiaim CAFE (W B«) zM

I

CBFD (N. 4.), ergo omnes tres xquales, qualibet ergo

24

pars tertia totius eífe debet. Q. E. D-

"

i2

Cco

L.

pAPLULT H

139 '

COROELLARIUM : '/I

r

r

364. Cum cubus conftat fex pyr amidibus cqualibus ( P7g,

(64.) in centro concurrentibus ($.

c,xx

312.), dimidius cubus tri-

i

bus talibus pyramidibus

conftare debebit;

fi ergo accxplatur

prifma ejusdem cum dimidio cubo, proinde ejusdem cum pyra-

Q2 ]

autem

mide altitudinis ( Pig. 199.), prifma hoc tres pyramides tales

continebit; hoc eft: pyramis eft fexta pars prifmatis dupla alti-

teoet

tudinis , ergo eft pyramis tertia pars prifmatis equalis altitudinis,

$0C 3

vette

CO ROLILIARIUIM I

fervi

3»5]

265. Cum conus/ad pyramides, & cylinder ad prifmata

xeferatur, cumque conus pro pyramide infinitangula, & cylinder

pro prifmate infinitangulo habeatur, fequitur conum quoque eífe

tertiam partem cylindri, dum eadem bafis & altitudo utriusque eft.

COROLLARIUM

1II.

366. Habetur ergo foliditas pyramidis vel coni, fi baáfis

ducatur in tertiam altitudinis partem ; prifmatis enim habetur

fohditas baífi du&a in altitudinem , atqui pyramis eft tertia pars

prifmatis, ergo tertia pars fa&i eít foliditas pyramidis vel coni.

fatu

ermpl

I t pyramls quadrangularis, cujus bafis habeat

NT

154424', altitudo fit 24?6', erit totafolidit.s 154224 x 820 |

hi

z I26 462"680"/

Exempl

H

Sit coni bafeos diameter z 56, altitudo

Íet

24^6', erit bafis tota — 246176, que du&a in 246, & fado

las

divifo per 3. 0rM 246[76

246

e

ten

D

I477056

u

984704

un

92352

60559296 - | 20186432

23

-!

C

H

vel bafis'ducta in

?

3

m

altitudinis , hoc eft in 82 dat

.246176

b*

82

Q

492352

1969408

—

MU

20186432

foliditatem coni,

W

Q«

-

Be-

DE DIMENSIONE SOLIDORUM.

133

COROLLARIUM,

H,

-267. Si pyramidis aut conj truncati foliditas fit invenien-

! (t]«

da, neceffarium erit prius pyramidem aut conum complere, hoc

atur

cft invenire pyramidem , quz impofita baü fuperiori cum trun-

Ytà-

catà parte unam pyramidem , unumve conum efficiat,

Ad hoc

tales

autem neceffarium eít, ut inveniatur altitudo, quam tota habere

lti-

debet, que cum angulus converzentim laterum ad bafim detur,

[

hoc ipfo determinata eft; produé&a enim latera in. pun&o, quod

vertex eft, concurrere debent, ad hoc igitut fequens problema

fervit; folutionem damus pro cono, que omnibus pyramidibus

applicari poteft.

t'ata

der

effe

PROBLEMAQ. Y

ef

i A 8'. Conum truncatþm corlnplþere. (Pig. 200.)

lls

RRESOLUTI O.

tur

l$

Ab extremitate diametri bafeos fuperioris C demit-

nl

tatur parallele ad axim ro perpendicularis Cwm, quz erit

at

H

zqualis ipfi oz . altitudini 6oni truncati, praterea erit

"

4im 2qualis differentizs radiorum bafeos füperioris & in-

o

ferioris; eft enim Co z mn ob parallelas inter paralle-

t0]

las, fed m — mn —— 4m, feu n — Co z m, Auau-

tem & Co fünt radii, ergo m — differentie radiorum ;

producantur latera CA & DB, donec concurrant in E

?

erunt duo triangula fimilia 42E & JfmC, ob parallelas

Cm, nE, ergo erit proportio l: C — 7: nE, hoc

eít differentia radiorum bafiumad aititudinem coni trun-

Ca

f

V

i, ut radius major, ad altitudinem totam.

Ab inventa altitudine tota rE fubtrahatur altitudo

coni truncati oz, rémanebit altitudo fuperioris coni Ee.

Ex radio igitur ^m inveniatur area bafeos totius

coni, quae du&a in

m

5

I

En dat (oliditatem totius coni:

dein ex radio Co inveniatur area bafeos fuperjoris; qua

i3

du-

Ü

ÜCADPUT IL

134

du&a in 4 Fo dat foliditatem coni fuperioris CDE , hec

a priori fübtra&a relinquit foliditatem coni truncati

ABCD.

Exempl. Sit AB :: 36', CD — 20 ,»o0n — Cm

12

lipe

—-

erit 4n — 18', Co — IO', proin Am z $, fiat 8: 12

18:

129 x L8

8

—— 271—-—'* Enm altitudini coni totius, a qua fubtra&a

altitudo coni fruncati I2 erit 27 — I92 —— E5.

pot

Pro invenienda peripheria bafeos majoris gccipiatur dimidia dia-

Wiedtcr e nat IOO: 3IA4 —— I18:

dio

18

omd

2512

Ciem

u

Yj

5652'' z femiperipherie majori

3

1900 — n

1v

4521600

ba

5652

füp

— bafl majoti

fpl:

10173600"

900 1 zEn

Mi

9156240000 — foïïiditati coni totius,

Pro peripheria minori accepta dimidia diametro fiat

100.3T14 m fo:

io

qu

L3

foli

z 3440" - femiperipheris minori

tem

1ooo"

—

Co

m

bz;ü qninori

fed

3140000""

€

,

500

—;,-Eo

pon

1570000000 "

foliditati coni fuperioris

tya

91562 40ooo""

pesmni

foliditati totius coni

qt

m

—

foliditati coni truncati,

[2 41

2586240c0o""

d

hü

feu

fün

bea

hh

'THEog

DE DIMENSIONE SOLIDORUM

135

hzc

THEOREMA

IV.

ICat

369. Soliditas fpharze eft aequalis 4 facti ex

I2

fupelhme in radium.

g

DEMONSTRATIO

rattz

Diximus $. 312. fphxram concipi poffeut com-

NI

d

2o

pofitum ex conulis innumeris zqualis altitudinis cum ra-

dio fphzrz , fed infinite parvze bafeos, quorum vertices

omaes in centro fphere exiftunt, bafes vero fuperfi-

ciem fphxre efficiunt (Pis. 163-). Horum autem cono-

.

H

altitudinis feu

rum foliditas eft zqualis bafi du&a in

3

fa&o bafeos in altitudinem , ergo etiam foliditas fphze-

re, que ex his conulis componitur , eít — £ fa&i

bafeos horum conorum in altitudinem, bafis autem eft

fuperficies fpherze, altitudo eft radius, ergo foliditas

fphzre eft — i fa&i fuperficiei in radium , feu fuper-

ficiei in

radu, feu $ diametri.

ï

COROLLARIUM I

379

Diximus quoque $. 353

fuperficiem fphxre . effe

quadruplam circuli maximi, hoc eft effe equalem 4P, Si ergo

foliditatem exprimamus per fuperücæm du&dam in fextam. par-

tem diametri,

feu per S X Z D & fuperüc1e1 loco fubihtua-

PD íeu 2 PD

mus A4P, erit fohdltas z 4P )( z D hoc eft 4

fed D eft æquahs axi fphere, ergo foliditas fphæræ eft æqualls

2 fa&i ex axe in aream circuli maximi.

$i igitur (Fzg. 201.)

ponatur cylinder ,

fphzra, & conus ejusdem altitudinis; & bafis

cylindrti & coni fimul zqualis fuerit circulo maximo fphzre,

erit altitudo omnium trium f[fimul axis feu diameter fphxre,

ergo zz D.

Jam ex pracedentibus, coni foliditas eft equalis bafí

du&e in

s

Y

3

altitudinis, hoc eft P x; D -; PD; fphere fo-

liditas — P X Pp E —

$ PD; & foliditas cylindri — PXD

ï,.

feu P x

$D —34PD, ervo folldltates horum trium corporum

funt ut 3

PD

PD

i PD, hoc.et ut 3. 2. r. Si ergo ha-

beatur fO.leltZS cylindri ,

p4

*

2

ejus. foliditatis dant foliditatem

fphzre, & $ foliditatem coni ejusdem baüs & altitudinis.

C€ O.

I4

g"

126

4CAPSUT. I

? OROLILIARIUMM. L

3

ji

271. Invenitur ergo foliditas fphere data diametro, fi in-

^

venta peripheria & area circuli maximi ducatur in

$3 date dia-

)

metri, vel inventa prius fuperficies ducaturlin fextam diametri

-

fimm

partem.

Detur. diameter fphzre 21-56', erit peripheria circuli ma-

et a

Y

-s

ximi — 17584", qux duca in

diametrl in

1400" dat

Cun

24617600 ", quod du&um in $ diametrifeu du&um in 56 X; 9 —

pyra

I1200"' dat 24617600

edri

II9O0O

4(,

2520000

3

24

,

AGT

':

g

Wyed

275717120000 | 91905706666' " 2 — foliditati fplue-

àn

&div. per 3

j

re

Si.ex precedentibus fuperficies inventa effet — 98470406

ii

hec duca in £ diametri feu. *5

en

dgbit

98470460

feu

5600

5908224ooob

4923520

551424240000 -; 91905706666"" $ — foliditati, uti

div. per

6

i

j

prius inventa erat,

4

THREROREM A

y.

372: Soliditas corporum 5 regularium eft aequa-

IN

lis fuperficiei du&ze in 2 altitudinis.

P

fc

DEMONSTRATIO.

Yé

W

Polyedra regularia conftapt ex totidem pyrami-

a(

dibus zqualibus; quot furt plzna polyedrum componen-

D

tia ($. 812.), quarum vertices in centro polyedii exi-

M

fiupt, bafes vero.fuperficiem efficiunt, ergo ejus fo-

h

liditas habetur

&qualis foliditati omnium harum py-

ramidum, atque foliditas pyramidum , cum altitudo ubi-

que fit eadem, eft zqualis fummz bafium du&s in 4

alti-

DI

À.

DIMENSIONE SOLIDORU^

13

altitudinis, hoc eft B primx x £ 4, - B fecunde X

a

4A,-- D tertie x £ 4 &c. hoc eft (B -- B -- 5

Glà

letri

&c.) X 4 4, ergo etiam foliditas polyedri eft equalis

fumnms bafium ducte in 4 altitudinis, fed fumma bafium

T

eft xqualis fuperficiei & altitudo. cujusvis pyramidis

qà

cum in centro coeant, efti

altitudo totius, proin j

u7

!

A

pyramidis — £ 4 £otius polyedrl, ergo foliditas poly*-

edri eft «qualis fuperficiei du&z in raltitudinis. Q. E. D.

C

KE OoLLAIHMISUWM

373. Data igitur bafi & altitudine invenitur foliditas po»

lyedri, fi bafis ducatur in numerum planorum & hic in Z-altitu-

It

dinis

Exemp!

Sit icofaedri ba^s triangularis feu planum unius

trlanguli zquilateri — I2' & altitudo totius icofaedri —— I8

rg

erit fuperficies tota — I2 X 90 — 240 quod du&um in

$.

feu in 3 dat totam foliditatem

—

—

72p5

PROBLEMA II

574. Invenire foliditatem corporis pemtus ir-

d

reguïaus.

Ó

RESOLUTIO

Paretur vas parallelepipedum (P7g. 202.), cujus

interius fpatium vacuum accurate menfuretur, accepta

fcilicet ejus longitudine & latitudine bafeos & altitudine

vaíis interiore; impleatur totum aqua, & huie corpus, cu«

jus foliditas queritur, immittatur, impofito corpore tantum

aqua effluere debet, quantum fpatium corpus occupat,

exemto corpore aqua rurfus fubfidet

& fpatium va-

cuum parallelepipedeum ín vafe relinquetur, quod íe-

liditati corporis immerfi equale effe debet

2

hü

-

138

CAPUT IT.

DEMONSTRAT IO.

ycxtip::x

acptet

a e

Tantum aque extruditur, quantum fpatium cor-

fibidel

pus immiflum occupat, ergo foliditas corporis immilfi

eft zqualis quantitati aquze extrufe, fed quantitas aquz

extrufe eft zqualis parallelepipedo, quod excepto cor-

1

pore vacuum relinquitur, ergo etiam foliditas corporis

immitt

eífl swqualis parallelepipedo, quo excepto Corpore va-

inftrua

:e vt

cyuum relinquitur. Q. E. D.

N

tWt ,

COROLLARIUM'.L

ditat

magn

375..81 detur corpus cavum geometricum v. g. x*cgflinder

cavus ,Z?g. 203.), vel pracedenti methodo ejus foliditas in-

Tigne

lius !

venitur, vel juxta regulas prius expofitas invenitur foliditas to-

tius fupponende illud non eífe vacuum, dein foliditas cavitatis

quaA

fupponendo illam eàndem cum corpore figuram & dimenfiones

tud

homoloszas habere, hzc foliditas, a priore fubdu&a relinquit fo-

lt

liditatem corporis dati.

Quo

COROLLARIUM

II.

[

376. Si detür cylinder oblique truncatus, ejus planum fu-

A

perius jam non erit circulus, fed ellypüs , proin juxta leges fu-

perius datas ejus foliditas inveniri non poteft, fed vel ope pra-

Sit

fentis problematis quzritur, vel geometrice ita determinatur.

4

Sit v. g. datus cylinder truncatus .4CEDB ((Fig. 204.), patet

E

ex theoremate II,

fi cylinder totus compleatur, partem CEFD

perplanum diagonale ED in duas partes dividi, ita ut CEJ (it

2t

«qualis EDF, uti parallelepipedum per planum diagonale in duo

à

prifmata zqualia dividi poffe ibidem oftendimus, proinde dimi-

dia foliditas cylindri CEFD eft xqualis foliditati partis ECD.

&

Si igitur queratur foliditas partis 4CDB du&a bafi 4B in alti-

Y

tudinem CA & huic addatur fa&um ex CD in

:

v

EC habebitur

tota folíditas

cylindri

truncati petita,

$i ex utraque parte

truncatus fit, (Pzg. 208.) erit ejus foliditas baüs 4B du&a in

AC CE-- i AG, fdem de fuperficie laterali intelligendum

eft, ad, quam pro tota fuperficie bafis etiam elliptica addenda

eft , qux a fublimioribus principi;s aut fectionibus conicis repetitur,

COROLLARIUM IH.

34.77. Si corpus tale detur, quod citra damnum madefieri

nequit, & aquam imbibit, adeoque equalem foliditati corporis

por-

DE DIMENSIONE SOLIDORUM

1939

portionem aque non extrudlt, aque loco arena tenuifima eft

acciplenda, & corpus inter eam. abfcondendum , tunc tantundem

C0f

arene extrudet, quantum aliud corpus aquz; excepto corpore,

fubfidente arena fpatium vacuum menfuretur

|ug

COROLLARIUM

IV

At

r

378. Sicorpus fit majus, quam ut vas illud recipere queat ,

immittatur alteri vafi majori aqua repleto & fuperius canaliculo

d*

inflruatur, per quem aqua immifífo corpore effluere poflit

prio-

re vàfe, cujus meníura determináta eft, aqua eiuuens excipia-

tür, & quantitas in hoc vafe menfuretur

erit hec squalis foli-

ditati corporis dati.

$i nec hoc fieri poffit, & corpus vel nimis

agnum vel immobile detur, illud circa circum parállelepipedo

der

Is

ligneo veftiendum erit, & arena implendum , quantitas arenz fo-

0«

lius menfuranda, differentia inter totum parallelepipedum &

quantitatem arens corporis foliditatem. dabit,

us

I"

Exempl. I, Sit vafis patallelepipedi bafis tota — 48

alti-

0.

tudo fit — 8, erit cápacitas vafis — 384. Lmmiffo corpore

ita fubfidat, ut ejus altitudo fit 5 erit -altitudo fpatii vacui 3,

quod du&um in baün 48

rit capacitas fpatii vacui & folidita.

tis corporis — I44-

Exempl IL Detur cyhnder cavus ARBCD , diameter totius

[44

AC fit 56', longitudo fit 146/, erit foliditas totius — 605592960 .

.

Sit diameter

cavitatis 5

feu 500

erit ejus foliditas c—

H

482775000 , que a priori fubtra&a dat dl*ïerentlam 12281 7960

zqualem foliditati cylindri dati.

Exempl. IIÍ. Detur cylindri oblique truncati diameter bafis —

28,eritperipheria bafeos IOO: 214 —2 28:8792,quze peripheria

ïf

du&a in 7 dat 61544 aream bafeos

Sit altitudo partis 4CDB

1O,

erit ejus foliditas 615440, altitudo partis ECDF z— 4, erit

CJUSdC'TL dimidia foliditas 123088, qua addita priori

615440

123088

dat

738528, foliditatem truncati cylindri,

C A-

140

CATP.UT It

eic (

funi, at

CO ATT

I1T.

3

DE COMPARATIONE ET TRANS-

fs &

tem 1

MUTATIONE SOLIDORUM

diximus

PUR

THEOREMIZA

l.

Winc 9

altitud

579. Prismata & pyramides funt in ratione

compofiti arearum bafeos & altitudinum.

1

feut

DEMONSTRATIO

qe Q

per

fi

area bafis

Prifmatis primi foliditas habetur

folid

S$ ducatur

in altitudinem

A. & fecundi,

fi

arca

da el

ejus bafis s ducatur in altitudinem z, ergo I: I ——

us

Tüenito

SA

$a

?

fed ratio ,

:a eft rztio compofita ex ratio-

nibus $: * & A

fimiliy

a, ergo prifmata funt in ratione com-

$ a(

Taetti

pofità bafium & altitudinum

Ur,

CO R.O-LLEAARI,UM

I.

PX

380. Hinc prifmata & confequenter cylindri zqualis bafis

eode|

tron

,jusdem aititudinis, feu inter parallelas easdem æquaha £unt,

hcet unum recum & alterum obliquum fit.

C OR'^Q/L L-.AR:1 U.M, I

ISI

Cum baís folidorum jam duas contineat dimenfiones;

eft enim planum feu fuperficies, qus obtinetur ex facto bafis

in altitudinem,

fequitur folidum ratlonem compofitam trium di-

L

Mi

menfionum habere.

O R OOLLARIUM

-

Wr,

382. Si igitur zqualem bafem habent , funt ut altitudines,

$i autem faca ex bafi

in

d

jn zqualem altitudinem funt ut bafes

altitudinem funt cequalia, foliditates

quoque *quales eífe de-

U

bent, & ( foliditates funt zquales, faca quoque illa $qualia

T

eífe

DE COMP. ET TRANSM. SOLID

I41

eíífc debent, atque tunc bafes altitudinibus reciproce zquales

funt, ut fuperius $. 259

de planis diximus,

COROLLARIUM

IV:

ANS-

383. Cum pyramides fint tertia pars prïfmatxs ejusdem ba-

fis & altitudinis, adeoque proportionem cüm prifmate conftan-

tem fervent,

fequitur, quz de prifmatibus inter fe comparatis

diximus, pyramidibus quoque- applicari poífe, ut itidem fupe-

rius $. 260. de triangulis refpe&u parallelogrammorum diximus,

Hinc pyramides zqualis bafis & inter parallelas hoc eít ejusdem

altitudinis wquales funt.

attofte

SCHOLION

284. Dum de baíü folidorum fermo eft

femper planum

feu fuperficies adeoque area duplicis dimenfionis intelligi debet

de qua cum fuperiori capite jam acum fíit, ea bis 'repetere fu-

. bafis

pervacaneum foret

id unice notandum , dum de comparatione

folidorum relate ad fuperficies tantum agitur, eà illis applican-

| dI€d

da eife

que de menfura & comparatione fuperficierum dixi-

]l

10nus,

Smhcet fuperfcies folidorum fimilium effe ut quadraua di-

menfionum homologarum.

[atio

lta füperficies duorum cylindrorum

finihum funt ut quadrata altitudinum ; eft enim primi fuperfü-

Cotme

cies ad fecundi ut P X 4: p X a, fed peripherie íunt ut dia-

mettri

ergo P: p — D: d, cum autem cylindri fimiles ponan-

turs entt D- d

: d erso tlam: PoUp d

a,ergo loco

2

.

PXA:pXaífubtitu poteft 4 xX A:

aX a, hoc et 4* :

s balts

eodem modo etiam fphæx.num fuperficies effe ut quadrata dxame-

trorum oftenditur.

lunt

THEOREM.A II

nones

385. Soliditates corporum fimilium funt ut di-

- fafts

menfiones homologe

u di-

DEMONSTRATIO

Soliditates funt ut factum ex area bafeos in alti-

fte$

tudinem, fed facum in coerporibus fimilibus eít fa-

1]f

&um ex terminis proportiopalibus , alias

non eífent

e de

J

fimilia, factum eft foliditas, & facores íunt bafes &

alti-

[f

M

CAPUT

Til

142

eat

f

I

altitudines, qus funt dimefaüones homologs, ergo funt

tat, pI

eorum foliditates ut dimenfiones homologz.

COROLLARIEUM IY

286. Si igitur latera feu dimenfiones homologz (ïuoräm

j

corporum funt proportionales , corpora quoque fimilia erunt.

t10ne

Hinc fi fuerit in parallelepipedo primo latitudo AB ad longitu-

dinem BD, ficut in parallelepipedo fecundo latitudo ab ad lon-

garutm

gitudinem bd; hoc eft AB: BD —— «b: bd & przeterea latitudo

DB ad altitudinem BG — 4db: bg, erit.etiam ex wquo ($. 146.

Algebre) 4B: BG — «ab: bg & hoc ipfo omnia latera propor-

tionalia , ergo eft foliditas AB x BD X BG: ab x kd x bg

us

ia

R

H

Povrs

APR-.

ab vel BD : bd xvel BG

*

bg fed AB & ab, item BD 6& b4,

tiowh

& BG & bg funt proportionalia, ergo etiam fadum feu corpora

Cen

proportionalia & hoc ipfo fimilia effe debent.

N

bus;

COROL'LARIUM II.

tiam

dine

387. Cum in fphwra tantum ratio diametri habeatur, &

dimen

conftans fit proportio in omnibus fphzris diametri' ad periphe-

nt

Tation

riam aut altitudinem, fola igitur magnitudine dä.ffef"a

1;;1,

feq»uif-'

tur,omnes fpharas ügurgs 'fmiles effe.

libus,

&ua]

COROLLARIUM I

&X tf

388. Cum polyedra r»s:üïar.;a. equalibus planis regul

«

23T|

1

L

bus

tripli

terminentur, in quibus determinata quoque proportio laterum

folidi

& dimenfionum eft, habita enim magnitudine unius lateris, cum

lioo

omnia xqualia effe debeant, totum corpus & omnes réliquz di-

smenfiones determinantur,

equitur fimiliaà effe,

Ergo omnia te-

trzedra, octoedra, icofaedra , cubi & dodecaedza figure fimiles

fünt.

P

ïum r,

CORIOTLIESASRITIUM AY,

el'ï[ PT

389. in cylindris & conis cum tantdm fit difïerenöa in-

Detj

ter diametrum. bafeos & altitudinis, fimilitudo erit, fi diame-

ter ad altitudinem eandem rationem dicat; ex diametro enim

& altitudine tota foliditas utriusque determinatur,

Si erzo hv

proportionales funt, foliditates quoque proportionales fint opor-

* Lal

iet, proinde figure fimiles,

$i cylindri aut coni fint obliqui,

u

hnu

vqualis quoque angulus,, quem axis cum diametro bafis facit in

hx [

urroque effe debet, hoc ipfo etiam altitudines, quz funt altera

& (

CA

p

——

DE COMP. ET TRA&SM. SOLID.

143

tro funt

cäthetus, dum axis. hypothenufam & radius cathetum reprafen-

tat, pgoportionales ob triangula fxmiiia«manent.

THEOREMA

1II.

Wotum

390. Soliditates corporum fimilium funt in ra-

1 EUA

longitu-

tone triplicata feu ut cubi dimenfionum. homolo-

«d lon-

garum.

N'IX d

......

(s 145.

DEMONSTRATIO.

Dropore

* —

xh

j ugeme

Ratio triplicata eít ratio compofita ex tribus ra-

D & b

tionibus zqualibus, atqui folida fimilia funt ad fe. invi-

corpora

cem in ratione compofita ex tribus rationibus zquali-

bus; foliditas enim refultat ex facto fuperficiei in ter-

tiam dimenfionem , fed fuperficies eít factum duarum

dimenfionum, ergo folida refültant ex producto trium

3tu4r,! k

dimenfionum ; duo igitur folida fimilia funt inter fe in

ratione compofita ex tribus dimenfionibus proportiona-

libus, fed dimerfiones proportionales habent rationem

zqualem, erzo folida fimilia funt inter fe ut productum

ex tribus rationibus squalibus, ergo funt in ratione

alartbos

triplicata, fed ratio triplicata eít ratio cuborum, ergo

latetum

foliditates corperum fimilium funt ut cubi dimenfionum

fs, eun

homülogarum.

Qu2 (i-

ia t

COROLLARIUM J

umllf

39I. Cum omnes fphere fint fieure fimiles, in quibus fo-

lum radii feu diametri funt dimenüones homologs, íphera .4

erit ad fphzram B, ut

metri fphere B

»cubus diametri fphere 4 ad cubum dia-

i j

diame

COROLLARIUTGM IL

0 enm

rgo hæ

392. Eruitur inde altera methodus inveniendi fuperficiem.

& foliditatem fphzere data diametro.

Cum enim fuperficies

ä

üt

: Qpor*

"

Ut quadrata diametrorum, folid$tates ut cubi, ftatuta femel ra-

M

1 À

tione quadrati & cubi diametri determinata ad fuam fuperficiem

)C

& foliditatem, habebitur ex his & fqperfxcies & foliditas, Sit

dia«

(d«

DH

144

CAPU

IHf

diameter z IOO, erit peripheria circuli maximi

—

314 &

(8

area — 7850;

PL

249.) fuperficies ergo fphaere hujus diametri

3*

cum fit quadrupla circuli maximi, erit — 2:4CO

ergo eritqua-

(

]

Ài

m

f

l

|

dratum diametri

ad fuperficiem

IOCOOS?

in omni fphera ut

21400

Data itaque diametro fphere novza

"epacna)

— —

6^ ut mv nia-

/II

tur fuperficies

fiat IOoOOÍ- 2126Q —

31400: 984704"00

uti fuperjus $. 350. inventa erat.

X(

Si diameter rurfus ponatur

IOO

erit foliditas

cubi ean-

Ventatu

dem cum hac fphwra baíin & altitudinem habens — 7850CO, eft

$um d

enim area circuli maximl 7850 du&a in altitudinem feu 100,

ergo ut inde eruatur foliditas fphaerze, erit hec quantitas mul-

z

1

p4

tiplicanda per Z

;» cum fphera fit

cylindri ejusdem baíis;&alti-

Qquantita

3

tudinis, hoc eft 785000 x £ —

VMOU CY d

ï(7nooo

— $23333$ ergo

(u$ CUgI

cubus diametri ad foliditatem fghæræ ut IOOOOCO:

52333335

auferendo fractionem, omnia multiplicando per 3, erit ut 3000000:

Data ita-

1570CCO feu in minoribus terminis ut 3O00: I57.

NI

q

diametro alterius fphere v. g, 56 invenitur ejus foliditas,

facto caübo ex diametro data & inferendo

200

175616 ——157:

tut oj

21

o

IT7IA2

—: 9190570 eadem qua fuperius inventa foliditas.

&U2

C'OROLLABISUM It

iV

fo]i

(litas|

293. Si duo cylindri habuerint altitudines diuerfas, fed

(fatà,

fuis diametris zquales, erunt quoque in ràtione triplicata di

ido

184

it

inetrorum

Bafes enim funt ut

D-—.

d

5

cum circuli fint ut

z

quadrata diarhetrorum , & cum

ltitudines etiam f[fint ut D: d

dht

o

M.

t foliditas ad foliditatem ut D^ x D: d? x d hoc et ut D*:

&

U$,

n

Si affumatur diameter cylindri — 100, erit ejus bafis ——

50, & cum altitudo etiam fit roo

erit foliditas —785000,

cubus autem diametri erit ut IOCOCOO, hinc cylindri foliditas

ad

cubum diametri ut

785: 1000, hinc data. diametro cujus-

cunque cylindriinvenitur ejus foliditas inferendo ut IOOO

785;

9

ita cubus diametri datae ad foliditatem.

Sit.data diameter 5

1[5

bä;ü

pedum, erit 1000

785 —-125

98 125

COROLLIATTI1IUIM

IV

394. Si igitur cylindro proportionalis alt

er ejusdem cum

&i t

priore alttudinis fit. conftruendus, folum opus erit ád quadra-

a$ Qy

l

tum. diametri

bafeos prioris invenit

proportionale quadratum ,

di

W

cujus radix erit diaméter bafeos fecundi, &

"m

inter quadra-

ïSq

n

ta in triangulis re&angulis. proportio vera exiflat, etiam tale

u

lhi

-

diametri pro diverfis vafi$ geoinetrice determinari poterunt, 1

V

j

n

h

inferius videbimus,

PRO»

MTA

TT

DE COMP. ET TRANSM. SOLID

9

143

414 '«

PROBLEMA4A I

—.v*

? diametri

' entquas

395. "ransmufare fphzeram in cubum ejuscem

I00

cum fphaera fOlldlfaüS.

Wv

u

U ET

0

"V

A

,

RESOLUTIO

Ubl ean-

Ex diametro data & pemph

maximi in-

ï

CEFCE!E

(C0, ett

veniatur area cir

culi maximi , & fo

;

tas fp!

hzere, que

ï

m wo,

Íi area dxca*m ?

& diame

ter D e

5

$

P:), SXhaC

titas mul-

-:-3-.-

s. al

quantitate c;&üax,u radix cubica feu

;

PD d

dabit la-

o

tus cubi.

2333339

X

000000:

fate04100

DEMONSTRATIO

xlx

Dat

folid

(23,

Si hoc latus elevetur ad tertiam potentiam, habe-

j n

tur foliditas cubi, cum longitud

, latitudo & altitudo

f14

/*)lldl£75'

zquales fi

,fede

viac

m tertia me ntia

äx i5 lateris

vVLe

eft

foliditas fphere, cum ind

e fit

v £iit

I«XCI;;

f

..

P*ïtM*rm ex-

tra&a, ergo f

1?*&1:

r Aiic

Ix3 in cubum

tran

a2iii

enm

utata eft. Q.E.

1e'ï

Sit diameter fpharz z 56/, erit foliditas ($

ata Qu

///

a7E )

x n u

— 91?905 706 666

.Unde extracta r

X c

DICA

4 //

* : d

dat 4

C)...l

2

quam prA: ne, ex qua radice fi fiat

e€ -

Ls

^"

1

-

s n

t w D

bus, habebit i:

2 i

liditatem fphara.zqualem.

pai$ —

£^no

[

3CQU !

PROB

T

ALa4

EMA I

fol jditas

ro. Cuni»

20

H

9

6. "Eransmutare cylindrum in conum rzequa-

-Q,.

J

lis b

à

i

eo

5

Tci

ut data uttiusque diametro baíeos.

RESOLU

O

Si bafes fint 2quales, & vocentur P, erit folidi-

em cuü

tas eylindri — 4 bafi du&a in altitudinem 4, & fo«

ls

liditas quzerendi coni Prx feu bafi du&a in tertiam al-

Q u'

h

es

cum

titudinis partem , quze

*

zquales rde de«

bs..lnt

feenisca.

a

e1

LX

t

er tPA:*:.:PW, *L./I

g

go 341

DA l;

Math

P. IT,

174

Si

)U*

—

Dï

326

CAPUT

I

Si ergo fuper eadem bafi conus triple altitudinis cylin-

'la

dri fiat, squalem habebit foliditatem.

fio prit

Si altitudines fint equales, ratio bafium habenda

ttiam

ij inve

erit, quz cum fint ut quadrata:diametrorum, feu D* : x*,

erit foliditas cylindri ut D *4, & coni ut 1x* 4, hoc eft D*

m

ag o

-

Ix* & RD* x. Si ergo ex trrplo quadrato dia-

etri extrahatur radix, habebitur diameter nova pro

(o

cono.

p

Si etiam b&LPa fint inequales & cylindri diameter

dices e

z D, coni — d, erit foliditas cylindri D* x 4 & coni

denonf

E

aD* XA

ta füt

&^ X ix, proin

d

51

z

d

propo

DEMONSTRATIO

Soliditates utriusque zquales erunt,

fi fa&ores in-

p

)

venti dederint zqualia fa&a; atqui predi&a methodo

li

(

]

]

ut ex folutione

fa&ores inventi dant xaqualia facta,

Ua

f

equationum & fubftitutione patet, ergo foliditates sequa-

les erunt, & fubftitutio rite fa&a eft. Q. R. D

PROBLE

LA

H1.

In

geen

9]

96. Corpori dato quodcunque fimile conftrue-

Ungay

re in ratione data.

lypot

RESOLUTIO

dupla

Ouzratur ad rationem datam ut 1: 2 vel I:

u

^

L.]

vel

1:4 Vela: b &cubum dimenfionis cujusvis quarta pro-

portionalis; e

hac extralatur radix cubica,

dabit

qu

qu,

Mid

c dimenfionem homologam alterius corporis; v. g.

.

1

j

1: 2 — long

, item 1

*

9

at y'dennivs

ï

Duia

z altit: «* erit * , y,

triplex dimenfio corporis ho-

molo

quadra

g

Q eti

Vel

DE COMP. ET TRANSMUT. SOLID. . 147

Cyitt

Vel inventa prima dimenüone ihferat'ur ut dimen-

fio prima in corpore dàto ad dimenfionem alteram &

benda

tertiam in dato, ita dimenfio inventa in corpore faciendo

^g

ad inveniendam fecundam & tertiam.

(t ]*

DEMONSTRATIO.

o dia

1 pio

Corpora fimilia funt ut cubi dimenfionum homolo-

garum ($. 390.), ergo fa&ta proportione cuborum , ra-

Weter

dices eorum debent effe ipfa latera, ut in Theor. III.

MU Ea S iUR VET a

- COR

demonftravimus.

Dein cum corpora fint fimilia, late-

ta funt proportionalia , inventó ergo uno latere per

proportionem reliqua determinantur. Q. E. D.

: l;) ]Se. ä:) :Eg jï;r lï: 1&4[ 14& ][ivr.'

"d

397- Invenire diametrum bafeos cylindri 2equa-

r

hodo

lis cum dato altitudinis, fed qui duplo majorem ac

(ione

prior quantitatem fluidi capiat. (P29. 206.)

PQZ)Z*

RESOLUSTIO

In extremitate diametri bafeos date 4B erigatur

petpendicularis DD, eidem diametro zqgualis, & con-

If'üe«

jungantur extremitates.dus Rhypothenüfa .4D, hzc

hypothenufa erit diameter bafeos novi cylindri, qui

duplam quantitatem capiat.

DEMONSTRATIO.

p'O

Cylindri ejusdem altitudinis fequuntur rationem

jbit

quadratorum diametrorum, fed quadratum novs diame-

tri eft duplum prioris; diameter enim nova eft hypo-

ï

thenufa, & cathetus utraque eít prior diameter, ergo

h

quadratum novz diametri eft equale duplo prioris, er-

go ?tïzxm cylinder novus eft prioris FIUPIUS, Q. E. D.

K a

CO-

149

CAPUT IlL

COROLLARIUM ^

298. Si triplus conftruendus fit, diameter prior inï*enza

X

|

dupli cylindri fiat nova cathetus translata longitudine ex B in

m

E, reli&a pro altera catheto AB diametro primi, & du&a hy-

atqui

pothenufa , AE erit diameter tripli.

Si quadruplus, tripli cy-

DI

lindri diameter fit eathetus BE reli&a iterum pro altera ca-

nE

3

theto primi diametro &c, hypothenuía erit. diamcter qua-

0 (

&rupli,

Tibr

COROLLARIUM

i,

& f

399. Si igitur hae ratione longitudines diametrorum in li-

fic

Xeam re&am transferantur, conftituta femel magnitudine vafig

144

unam v. g. menfuram capientis & determinata certa altitudine

L

t bafi juxta illam 're&am vafa ejusdem altitudinis pro duabus,

&ribus &c, meníuris facili negotio conficientur, accipiendo eam

ex linea hypothenufam , cui multiplum petitum adfcriptum eft,

u

COROLLARIUM

li,

b

n

C

!

400, Si manente eadem bafi dupla altitudo fiat, vas hoe

0

$rioris duplum erit, capacitas enim erit ut altitudines, altitue

:

P

;

j

do dupla eft, ergo etjam capacitas, hinc ut eadem ícala etiam

Val

in hoc cafu adhiberi poffit, altitudo primi cylindri aliquoties

in.alteram fcale partem transferatur, ut refpectiva cujusvis Cy-

Vsq

Nndri altitudo examinari & capacitas determinarl poíht.

Wo

Y«

i. CHOLION

m

i

hr

)

401, Huic principió innititur conítru&io diverfarum fcae

&il

larum ,

&

virgularum ,

quibus capacitates corporum v.

£»

a

fnerfurarum , globorum, doliorum feu in folidis feu liquidis feu

n

ita coníütuta diae

ponderibus examinantur, & determinantur.

N

aut

meníurae

&

altitudine ejusdem,

metro unius metretm ,

LU

ad

talem

fcalam diametrt

poterunt

vaforum ,

que duas,

di

tres &c. metretas.aut menfuras capiunt, transferri & vafa con-

fitui

vel conftructa examinari,

Cum in *qualibus vafis etiang

diasonales fint squales, poterunt eodem modo diagonales invee

&

n

niri & ad fcalam transferri, fed applicatio vireule' in vafe etiam

el

fecundum diagonaiem . fieri debet,

Servit

etiam talis fcala ad

xaminandes acervos frumenti, aut alterius folidi, qui inftar

: 1

T

cOni re&di aut truncati eonfiderari

U

int

x

determinata diame-

&

tro inferiori

o

fuperiori ex hac

äf

.!

3.

ej

8

foliditas invenitur,

SCHO-

)

ub

D

le»|

COMP. ET TRANSM. SoLID

149

$

HOLION

.

inventa

402.

Cum globi feu fphere fint vt cubi diametrorum, f

ex Din

sjametrum

efobi unius 1

ibread fcalam transferamus, CFip.207-)

ia hy«

atque eam

in IoO partes divifam iupncmmus, erit foliditas hu-

ipli c)

t Ca*

jus elobi 10000060 partium

, quot fcilicet cubus diametri conti-

net

ergo foliditas duarüm hbraru"n continet partes 2000005;,

foQue

ex quibus extra&a radix cubica dat diametrum globi duaruüm

librarum in fcalam tmnmerenäam, ex 3000000 extrada radix

dat diametrum sglobi trium librarum in ícalam transferendam ,

& üc ullerius diametri usque ad IOO continuari & tabu'a cone

n n l-

fici pot

erit,

Íta diameter IOO dat Y libtam, r26 dat 2 libras,

ye valit

144 dat tres libras, 31I dat 4O libras, 368 dat $O libras

itimdine

&c, &c.

quabus

100 €am

$CHOLION Ill

tm eft,

. Cum ordinaria fluidorum receptacula & menfure,

403

præmpue ü major fit quantitas , nom cylindrice fed ín utraque

bafi infar coni truncati convergentes adhibeantur,

que dolid

vos 1104

dicimus, .fequitur, ea, illis in rigore geometrico applicari non

altit

poíe, que fuperius $. 394. de cylindrorum menfura diximus.

Poffunt tamen aliquo artificio ad cylindros reduci, cum enim

2 etiam

d

vafa hec (Fig. 208.) conorum inftar a circulo medio maximo

tht'eS

usque. ad bafes decrefcant,

decrementum hoc, ut in conis, im

xii Cj

& bafis inter maximam & minimam,

proportione arithmetica fit,

medie proportionalis pro commum dolii ba(i inftar eylindri cone

fiderati affumi poterit.

Soliditas igitur feu capacitas dolii erit

hzec bafis du&a in longitudinem a baü adbafin accepta, que pro

um fa.

altitudine cylindri haberi poterit; tota capacitas dolii divifa pe£

R

capacitatem unius menfure in Schol. l. invente dat menfuras

in dolio contentas.

ldls feLl

V. g, fit diameter major AB

86, erit area citculi feu bafis

j d

—

—

—

—

—

pomemo

—

majotris

80 5,8

;hSdemi

UER

diam. minor CD — 64,eritarea minoris 321 5.3

j con

902 LI | 4510,$

euam

2

Y

8

Md

diferentia feu media proportionalis bafis — 4510,5

g etiam.

que du&a in longitudinem CE-— 130

I 30

L*

jl 3

1353150

Umur

45105

prwu

nitüf

dat

386365 [e)

SCH G-

U

K 3

m

M m m

—

as

C

T

ss ia

w

yev

^g

150 CAP.III. DE COMP. ET TRANSM. &c.

404. Si jam eodem modo uti prius diximus, virgula feu

fcala conftruatur & diametri vafis unius menfure cum longitu.

dine, aut diagonales tantum dimidii cylindri in eàm transfe-

zantur, poterit ad examinanda quzvis dolia adhiberi; fcietur

enim ex illa diameter major & minor dolii, fcietur longitudo

vafis, que altitudinem cylindri exhibet, fcietur diagonalis di-

$

E

midii doli, quod dimidium cylindrum adzequat, & inde íüne

calculo quantitas menfurarum determinari poterit.

Requiritur

autem ad hoc, ut vafa omnia feu dolia ad eandem normam &

juxta easdem leges efformentur, & utfemper eadem proportio in-

ter altitudinem & longitudinem fervetur, quod in Auftria Lege

fancitum eít; fi deir pro vafe unius menfurz virgula paretur,

DE ?

que per orificium diaganaliter ad fundum immittatur, & pars vir-

gulead orificium vaüis 'fignetur, poterunt per regulam propor-

tionis (cum vafa proportionaliter crefcant) in eam diagonales

vafis duarum, trium, vieinti, centum &c. menfurarum transferri, & f

virgula diagonaliter in vas quodcunque immittatur, ignum, quod

adorificium vafis invirgula erit, menfuras contentas in vafe defi-

L

gnabit.

(

tür, &1

diculari

x

Qti, d

[2

extiteru

S

E

L

d

& z

"

.

i

2)

[

7

4

É

$,

peuis

1n late

j

tallela

Titatur

Véreun

Vetoy

ELE

—

a

u

NO0

Mb x

i5r

a feu

Dgitoe

Anstc

Cletut

itudo

s d-

SE CTä(?**TUM CONICARU

N

i

i

i.

iil

Tr

d

5

m&

&mmmmdfä

0M

UC UXPU

e

Lege

etur

DE NOTIONE ET DESCRIPTIONE

; vl

1

opot

SECTIONUM CONICARUM

nale$

&il

DEFINITIO I

yod

dell

e&io conica eft linea curva, qua oritur in fu.

C

perficie coni, dum per planum quoddam feca-

tur, & cum fe&io poffit fieri, vel parallele vel perpen-

diculariter, vel oblique, refpe&u bafis, lateris, & axis

coni, diverfe quoque denominationes harum curvarum

extiterunt, & in fpecie

DEFINITIO H

2. Cireulus eft fe&io conica 4B (Fie

1.) per-

pendicularis ad axim, & parallela ad bafim, qua cum

in lateribus coni terminetur, eít curvà in fe rediens

DEFINIT

IHi

Parabola et. fe&io conica .A4CB (zo. 9.) pa-

rallela ad latus coni, qus neceífario in baíi coni ter-

minatur

proinde ficut latera verfus bafim femper di-

vergunt , ita curva hac femper magis & magis di-

vergit

K 4

D &-

—

j

3

CAPUT I

352

DEPFINITIO I!IV

ï)l

z j

4. Ellipfis eft fe&io conica F (zg. 3.) obli-

Id

qua & ad àxim & ad bafim, terminatur ergo rurfus in

Ve

lateribus coni, proinde eft curva in fe rediens;

fili

DEFINITIO V

5. Hyperbola eft f2&io conica GHI (Pzg. 4-) per

al

pendicularis ad bafim, & parallela ad axim, quae cum

J;

rurfus in bafi terminetur, eft curva, que femper magis

:*

U

& inagis divergit.

i

1

COROLLARIUM

Ti

$. Cum ha curv

oriantur ex fectioné coni folidi, om-

nis autem ífec&io folidi fit planum ($. 314 ) fequitur has etiam

fe&iones

inftat

plinorum

confiderari debere ,

adeoque oms

nes

linege a perimetro ad perüunetrum curva

ducte

in €0o-

dem plano exiftant ;

ad determinandam igitur & inveftigandam.

]i

naturàm harum curvarum, earum genefim planorum inftar .con-

i'ideraïnm s.

inde earum proprietates, expreffiones algebraicas,

d

methodum

défcribendi &

imetiendi dabimus, atque nonnulla,

«que ad praxim p

tinent

C':;'

'oblemata anne&emus, ad. quod fe-

E

as hypotheüis deduc

*

H.YPOTHES

S

pünécti

determinanduin duas ]lineas

7 Ad ffdm

z

auur

!ïsq

que vel ad angulum re&un) vel obliquum

f Ra N Mi i

fe fecent

diftantia enim pun&i ab utraque linea fitum

PU

ilius accurate determinabit ;

cum tàmen hic fitus vel

ï»

füperi

uo

lR

vel inferius, aut àd dextram aut ad finiftram

effle pofiü

id fimul dari prius debet, ut fciatur, ex

ï

qua 'parte diftantiz accipiende. fint.

Ita in aftronomia

c'

ad fitum fiellarum: determinandum duas curvas feu cir»

|

culos maximos fPhæræ czletti

fu fecantes: in geogra-

*v

L

hia circulos maximos duos fp!

tv terreftris ad fitum

PU

s

UL

Oru

AA À

en

peu

dum: in delineationibus duas rectas, ho-

rizon-

DE NOT. ET DESCRIPT. SEC

. &c.

15

rizontalem & perpendicularem ad fitum pun&orum de

terminandum affümimus, atque hac methodo eam accu-

obl

rationem calculis

& dimenfionibus procuramus, ut a

15

vero & ftellarum & locorum & punctorum loco ne mi.

nima quidem parte aberremus.

C O

OLLARIUM

Wf*

8. Patet inde etiam fitum pun&i determinari poffe ; fi duo

CU

al'atantum pun&a, aut re&a cum uno punc&o detur, ad

qua il-

iud

andamní

rel

rtam

I:Ciá

itionem habet,

uti in geometria varias

ngs

fe&iones in linea relate ad duo alia puné&a aut extremitates li-

nearum iecimus

Secuimus lineam in ratione media & extrema,

in partes proportionales &c

&c. ita nt proportio data, mutata licet

magnitudine, invariata femper manferit

on

-

tlam

PR

EMA..I

Otfe

| €0

9. D

e

terminare

iné umM([;

"),) ] tlt a

T.

vlattt

linea z47

L3

dift

a

ntia

^

4

?

!:n

ARil

ea CD difl

*o

ta

ntia GH

C0f

abfit

&

id

em . U

(à$ .

Ju

erius verfus dextram Jaceat

ïï)

TK

d ft

RESOLUTIO ET DEMOQNSTRATIO

In linea CD ab x,verfus D determinetur longitudo

EF in a, & ducatur per « parallela ad — x4,

rit

in

haclinea pun&um datum M, cum enim x & ac fint

[ie2j

parallele, perpendicula inter:eas interce ptfæ

qualla

funt

UT

proinde omnes equales parti xa vel EF.

Àin x

tUl

accipiatur ab x verfus 4 diftantia G.H z xb, & ducatur

rel

ad CD parallela ?2, etiam in hac pun&um M effe de-

am

bet, cun p omnes diftantie inter has parallelas iterum

ex

fint æqLaiea datze

Cum ergo in utraque linea pun

ia

&um 4 effe debeat, in alio loco quam in communi

Íe non

As

interfe&ione, quod folum commune habent,

Mu

poteft, proinde in M exiftere debet. Q. E. D

um

ho

K 5

C O-

154

CAPUT

I

COROÉZLARIUM TAX

vatio!

COnICA

IO. Si in « non fit angulus rectus (Pig. 6.), erieantur

J

1pi

in eo perpendiculares ad utramque lineam xy & xz equales di-

0

»

ftantiis datis, & per earum extremitates y & z ducantur paral-

lelw ad B & CD, haàbebit M (ütum petitum , ob :qualitatem

—

—

perpendiculorum inter parallelas, & Mu —— zx — 'G'H, & Mr

xy z EF datis.

.CIOROLL.ARIUM .

II. Quin inter ii)fas etiam parallelas interceptas propor-

l

I$ f

d

dto

tio petita liac ratione obtinetur, triangula enim Mrb & Mua fi-

milia fünt ; uterque enim re&us in M communem ha*et angulum

dem

rMu feu &, quo communi ablato manet angulus rMb — uMa,

R

proinde m -— n, quialioquin inter parallelas quatuor & figuram

——

fiet

fthomboidalem zquales eífe debent, adeoque.bM: Ma

—

rM :

——

gt

Mu,ÍíedrM — xy-—EP; & Mu

—

xx —— GH, eigo bM: Ma

peenemnd

—

Tit 1

EF: GH, hoc eft in ratione data linearum EF & GH, Idem

eíft de bx & xu, que ob parallelismum 2quales funt parallelis

Quil

Ma & Mb,'ergo Betiam xb BHOUORH.

Ü

COROGTLLARIUM

i.

dif

Cuy

19. Si ergo detur pun&um, ut ratio. detegatur, quam ad

*rectas duas CJ) & .AB habet, ducantur per

W ad utramque re»

gual

cam parallele, he femper rationem datam determinabunt, vel

vice vería, ut determinetur pun&um M accipiantur in CD &

AB partes xa, xb in »roportione data, ducantur parallele ut

prius, quarum concurfus pu;cïum M determinabit.

Q

COROLLARIUM IV,

13. Ut detefminetur fitus pün&i refpe&u linesm & alterius

&

pun&i v, g. F (Pig. 7.), in ratione data EF & GH, demittatur

Cor

ex F ad AB perpendicularis Ex, & ex x determinetur xa —— EF,

erisatur

perpendicularis

8c .

& ex F abfcindatur longitudo

efft

GH, erit in M (tus punci in ratione data, eft enim ex con-

lag

fru&ione FM: bM —— GH: EF,

pu

COROLLARIUM V.

14. Cum hec methodus determinandi fitum punc&i M pro

omnibus cafbus valeat, fi pun&um M ulterius progrediatur, &

ftum mutet, hic novus fitus. eadem methodo rurfüs determina-

Me

em fervet&

bitur, & ä-ea quidem iege moveatur, ut femper eand

f2itiOe

lr

——

v

D£ NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c

15

rationem a linea & a pun&o dato, curva erit '*dgebxalca & fe&i o

conica in plano defcripta, quam convenire cum illis

1ih

Deüni-

tt

j i

tionibus expofitis inferius

Ooftendemus, ieitur erit refpe&u harum

inl-

proprietatum

tem

DEREINITIO VI

15. Sectio conica in plano defcripta eft curva, cu-

E

jus partium fingularum

diftanti» a recta altera & pun&o

u

1 Íi-

'dato rationem eandem feu conft antenr 'fervant.

Et qui-

LUf

dem fi fuerit ratio zqualitatis, ut pun&um . motum

Ma,

(.Fig. 8.) femper zqualiter a linea 4G & pun&o F di-

tart

ftet

"

via curva per motum defcripta erit parabola a

Sifue-

M

greca voce zraga[QoAw zqualitatem fignificante.

dem

rit ratio minoritatis (Pzg. 9.) & diftantia ab F minor

elis

quam a linea ZG, curva erit Ellypfis a graca voce eAAzi-

Wug defe&um exhibente

Si fuerit ratio majoritatis &

diftantia a pun&o major quam a linea 4G, (Pzg. 10

curva erit Hyperbola a greco vzee[2oA« exceffum defi-

te^

gnante.

*

&r*

DEFINITIO Vil

j!

16. Linea 4/G & pun&um F igitur funt termini

comparationis, ad quos ratio motus punc&i expenditur,

& linea quidem dicitur dire&irix , pun&um vero focus ,

1üs

& hoc idéo quideni, quia experientia habetur, radios

(Ut

corporis lucidi in fpeculum ad normam talis curvature

P

"

efformatum incidentes in eo punéto colligi, & mate

N

- tiam combuftibilem ibidem pofitam accendere, ut adeo

pun&um hoc pro foco ignis rervxat

SCHOLION

j

&

17. Si pun&um S ad ipfam lineam accedat, & in 4 í

2*

adeoque SF refpe&u .4 üit infinite magnum, & ratio infinita

[

r 14

R

femper fola & wqualis manet, adeoque curva erit circult

.

J

um

y»

p

156

CAT UT

].'

M

centruin.

Si S ad F accedat & cum F confündatur, ut $F re-

——

?.CG(

fpe&u AF (it infinite parvum feu

p

IM (uni infinitefimz), motus

à

N

[

dtorm

un&i S generabit lineam rectam.

lif,

DEPFINLLLO-VHIL

19. Reda SAE"perpexïdRCLllaris ad dire&ricem

sSini

per F du&a eft axis principalis curve, S eft vertex,

ayis i

feu origo fe&iormis, cujus diftantia a foco vel propior

vel remotior , vel xqualis curvam determinat.

$ cu

yz &

DEFINITIO IX

üngj&n

lekes

10. Linea (Pzs. 11.) ad axim demiffa perpendi-

que

cularis M Mm & in utraque parte in curva terminafa

&Qus]

dicitur ordinata, dimidia, a curva ad axim usque, MF,

gulu .

MP femiordiuata, partes , que in axe a vertice incipien-

do per has ordinatas abfcinduntur SF, SP, vocantur

abfciffe.

JEguatio ad curvam: eft expreffüo algebraica,

L

[

que legem, de qua fuperius egimus, feu rationem con-

[UE

flantem duarum linearum femiordinatarum

& abfíciífa-

feit g

Diameter

rum fefpe&u pun&i moti in curva denotat.

[pito

curva eftlinea a perimetro ad. perimetrum du&a, &

fï-:'ï sz'

per centrum tranfiens, que vel ipfe axis eft. vel.in pa-

Giciti

rabola (J72. 12.)parallelaad axim v. g. .SP, cum cen-

trum fit infinite remotum a vertice ; in aliis inclinatur

*

ad

xim, & utrinque in curva terminetur, per eamt

1

fi liaez a curva ad curvam, du&z, biffecentur, vocan-

otüin

tur ordimate , & emiordinate ad diamelrum,, aut. ordmatim

bhd

f

H

app:'z'catæ ad diameirum.

I$ f

DEFINITIO X.

ïlOI'

in

410

*

'd H

90

L

ikh

a TM (

öo

153.) qu» occurrit curvs,

n

quin eam fecet , dicitur fangens curvee; ere&a ad pur&um

&

€

conta&us /M perpendicularis M dicitur Normalis s ex

M

.

À sE .

— W—--—

[ "5'1

D

NOT. ET DESCRI

A o5 L)JL,J

CT. &6

137

$? te.

M demiífa perperNicularis ad axim ]WP ex definitione

Cyo

2]

Linea a P

precedente e(t femiordinata & .SP ab

, InotUS

l

H

^

ad AN-feu inter femiordinatam & norma!

!

&

1 PN eft

Jübnormalis ; TP vero a 4 ad femiordinatam eft /ubian-

$h.

DEFINITIO XI

TICeR

r

Tlex,

"

21. Si femiordinata

ita verfus o

i

o

o1

m diametri

nopot

amus, ut tantum pun éc&tum

axis S (Pzg

12 ) remove

$ cum curva commune habeant

fiet

AQ.

tangens cur-

v& & fiex omnibus pun&is M cvmw ducantur ad hanc

Pfk,lll cet 4 U'h, ]þ!/?,'

& para

ingentem parallele per 5

lelead SP, OM

Q

fïo*namma fimili:

5

M &c. fient para

Læ,

?

?IUA

Qx

untur,

omnes

:J()

pend

qua païall!io gvamma coordiuata

zquales ipfis PM funt coordimatae

LJT

mJulus; OSP eft an«

minata

MF

guïus coordzratærum.

i

llp Dns

1u

Bd

D

119,4'

powu

ïa

antur

aitd,

22. Linea ex foco ad curvam

du

CUA

ï ( ('ïïr ;Zr/ ,-e

Y*1T

r *x3

21

| COf*

'Lgtcïx)./

& fi per tria punca 1

A

aM

ar

d

A

Curv

e

tr

rl

CLde'

feat arcus circuli, adeoque cum

4 in

111O CODET

5

u

H

t

n-

! 27/'&57'

i*pmo. circulu$, cujus pars e

iL

pI

£?

-;

icti

IG

re

'*), Cuzv&

4

lus ofculator , ejus radius, radius ofculi au

!

b

Va

£

:

C'LLIWTL.,A

"n

adicitur

[ pa-

1 cete

DE

NITIO

g):-

II

N

1natut.

P[]f;;

h) x,l«

b*

P

4

S

rincip

à

l

1S

f

181

ac

a

im

Q

earlt

225

ns

Cuius

nae

i

ü

fl*

ordinata Per focum tranfi

5

pro

enae

m

t

quo

eni

n

x

l-

fb

gltumklï

nagnitudo curve dep

CUurva

fit

explicae

gis tomq a ver

tice

rec

(:l'"

T R

eo

*

$

141

TYX

tior, proin paramete

cií

joa

C

.j'

Oor

eg conjtautes ;11'1(x

?

[e

Va

funt

axis,

aiateter ei

;.

Ipie

O

CICTCUIIL ,

parama-

1

^

WE

ter' &c. Fariabiles que in emx

L

n

C'H Va

CI

o 'Hf

',"i

"z

n

étura

decrefcunt , funt femiordinata

"

J

abícilà

ï]

ua

3

v

n2

i

»

f

z

-—

3

o

J

15

o

& x, -illas vero initialibus htens a, d, p, &c. in æqua-

uonlbus exprimemus.

26

ünam

S.OROLLARIUM.

t etta

in $t

4. Cum curva

per rationem zqualem feu conftantem pro-

portloncm duarum linearum determinetur 5 POAILK femel 1311008,

j

vero ma

quam v..n&u n m initio motus feu vertice curvae ad dire&ricem

& focum habet, facile tota curva determinatur

&

H

via punc&i de-

lipi mi

fcribitur inventis confequenter aliis proportionalibus terminis,

ut ex fequenti problemate patet.

P

$

PROBLEMA I

proport

foonder

Data ratione puncti

ad direc&ricem & fo-

PD,a

cum

w

uncti $ ad Z4G,

& F viamillius defigna-

emm

Y

*C

Cionem conicam deícribere.

i p

e, & Curvam feu

K!4

-

f H

(Fzg. 14-)

eret

RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO

iCant

ent Qu

I

In pun&to dato erigatur perpendicularis 55

SF

iE

erit igitur 445 : SB — 4S:

ex J ducatur per B

i

Parte e

indefinita Zx, ex illa ad lineam ZFyprolongatam demittan-

BUUOITS

tur perpendiculates PD, PD, PD quotquot lubet, erit

femper AP ad fuam correfpondentem PD, ficut .4S ad

Quzli-

SB($. 167. geom,) hoc eft in ratione data.

bet longitudo PD ex F in eandem PD , cujus longitu-

do accepta eít, transferatur in pun&a /M, M, M

FM femper fit »quale illi PD, in qua 7 determinatur,

*QR&

erit etiam P7V in eadem ratione ad

P, in qua eft SF

L.illf,

ad 4S, hoc eft in ratione

data, erit enim .4P: PD —

er

AS: SB ted PD —

F/E/ly &)S?L)

- SE,ergo AP: FM

lum «

pessemnd Ab). A("?.F

Igitur omnia 'g:u*mtr, infinite propinqua

CLf(

fi accipiantur ,

defighant viám curve /M M M MM

pil

fat, .

cujus omnia puncta /Vf eandem rationem fervant: igitur

xlF

curva defcribitur, quze

ex definitione VL ($. 15.) fg-

H

j

(

i

e

&io conica eít. Q. 1

lnte

C

Qs

-9

$*

DENOT. ET DESCRIPT. SECT. &c. 139

nE

COROLLARIUM I

p

26. Cum ex Defin Vl. ($. 15.) conftet, fi 49 — SF,

n

ii

«urvam effe parabolam , & cum SBex co

m

ftrudione fit —— SFE,

erit etiam SB z 48, & ASB triangulum lfofceles, proin cum

temt pro

in S fit re&us, erit 4 — 45^, proinde in parabola angulus .4

nitone ,

—— 45^, & cum in ellipü SF minor quam A4S, in hyperbola

'edricem

vero major ex eadem definitione, erit quoque angulus .4 in el-

nái de«

lipü minor quam 45^, in hyperbola major,

qminis,

,

COT^OLLARISU!

Y

Y.

1

n.

97. Ápparet ex hac conftru&ione , cum re&e P (íemper

proportiona

iVS

les

ünt fuis PD, & FM accipiantur »quales corre-

fpondentibus PD , re&as EP (emper minores effe debere quam

PD, adeoque in PD pun&um M femper determinzri poffe, FM

]

| «Ec fo-

PY

h

enim femper eít hypothenufa in ttia

Axäl»'

"o

£

lo PFM,

hinc & FM

voh

"tlDere,

fieri poffet z— PM, hypothenufa foret equalis catheto, & trian-

£ulum nullum. conftrueretur ,. fed P. F,HMin eadem recta id

"

eft in axe jacerent.

Idem eft, fi FP adhuc major quam PD

fieret.

Hinc cum in parabola femper AP & PD xquaáliter cre-

Ícant, cum .48 — SB, femper $F adeoque etiam FP minor

T

erit quam hypothenufa FM , hinc femper puncta M determinari

J

j

poftunt,

Si SB producatur ad alteram partem , & fiat Sb —— SB,

M

PUES

duc&a d per b & produ&is FD usque in d, pu

n*

C

[

hl ex

aitera

:

parte eodem modo deferminantur, acceptis iterum Pd — Em&

mittan

quevis P4 fuo PD a vértice equidiftanti equalis et, proin erit

t, erit

Y

Ls

para

bola curva, cujus duo rami fupra & infra axim zquales in

ASad

infinitum divergunt.

»

Qugli

CORBOTLLARIUM

II.

ngiti

M, ut

28. In ellipü (Fig. 15.) re&» AP & hinc etiam FP ma-

[

Zo

£i$ crefcunt quam correfpondentes PD, quia .A5 LSB,ert

jnatul,

[6)

reca guedam FP tandem zqualis evadet uni ex PD, inq

&

A

cafü pun&um M adaxim in S cadit; erit ergo ellipás curva infe

ä

)

d

rediens, que axim $5 term

inat

LjÀat

um habet, cujus medium c cen-

trum ellipfeos: & in hoc centro ere&a ad axim perpendicularis

I

CL , femiaxis minor feu conjugatus, dum. alter ax15 major feu princi-

ngu

p

palis vocatur,

Pun&um d.

uod. a vertice s ea quantitate di-

j

i;

14

ftat, qua F ab S, eít alter focus eXlipfeos,

Quo magis 4 ad S

gitu

vel F & f ad fe invicem accedunt, co ellipfis fefe magis ex

p

u

&

('a

€aàt, &-angulus .A

o

x

axis conjugatus crefcit, donec A coinci-

$)

Géente cum, $, vel F cum f; in 44 angulus re&us evadat.

AD

net

(;

-

T

74

160

C AjQ Br

I

p

2

fiet parallela ad SB. & dimidius axis conjugsatus —— dimidio

aXl

minabi

principali, curva igitur in femicirculum, abibit.

Ef isitur el-

lipüs curva in fe rediens duplici axe, foco & vertice inftru&a,

cepot

hc

D,q

C OxROLLARIUM

IV.

libent

99. In hyperbola (Fig. 16.) cum .4S «7 SB re&m AP &

aquile

FP minus crefcunt quam PD, nulla igitur AP lineam PD adeo-

lateta

que nec EM zquare poterit, igitur pun&a M , M

M, in in&-

&

nitufn ab axe recedunt, produ&is PI) ad alteram partem, u

t

fit,oni

7u

in parabola dic&um eft, defcribetur alter ramus hyperbole; eft

lesfuni

igitur hyperbola curva, cujus brachia feu rami in infinitum di-

gulos .

vergunt,

Si autem. PD ex F ad alteram partem dire&ricis ac-

tallelz

cipiantur produ&o axe .49 & linea .4B verfus alteram partem , ut

fi punda p, p,p, in ea

ab 4 diftantia accipiantür, quam ha-

paralle

bent pun&a P, P ex priore parte, omnes PD, PD $qualiter

Di,

eft 51

ab..4 dift&ntibus pD , pD ob parallelismum. zquales erunt, &

devenietur ad aliquam PD, cui zqualis FM pun&um in axe $

ovf

trans|

abfcindet, qui v

Lt

ex alterius hyperbole oppoüte erit, quae de-

17

terminatis pundis £, [4, M$, ut prius ( accepto femper Fm squa-

Linea inter utramque hyperbo-

«10 Q

li fuo PD aut pD) defcribitur.

lam intercepta Ss eft axis principalis , .cujus medium C eftcen-

li, fed

trum, hinc ere&a perpendicularis L/ eft àxis conjugatus hyper-

Offiles

bole, cujus dimidium CL eit latus trianguli rectanguli, cujus

hypothenufa SL eft equalis diftantie centri a foco.& alterum

* Dl

latus eft. equale dimidio axi CS, & accepta diftantia, quie fit

etian

equalis ipfi

SE

od

in axe ultra verticem alterum s5, fciïic»et 5f enb

Qf

in f alter focus hyperbolz.

lt m

I^

ZH

/I A I.

T^

TA*

20. Lines

H 4

[

T jnm

ine

Hl'

Á

r

ofi

Pjp. 1

5

ex focis ad idem p

a

rim

etri

unctum du

Vi

&

n

D

n

squales axi principali iSs.

li

DEMONSTRAT 1 O.

Axis prolongetur, ut s« fit wqualis $4 & in a

erigatur perpendicularis ar erit

XAlc-

ï'*:',ü

C dire&rix ex alté-

H

;]

rà parte; in s fiat &b z— sf — Sb5, & d

neat

ARU U

ur abd

t

i pro-

Vetno

Á

aGetere

du&tis.SB, PD, PD, PD, ad alteram parten

lu

Imnipa

L]

DE NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c, 161

dio ax—ï

itur el

minabitur ellipfeos altera pars infra axim , s, m, m ac«-

ftnda,

cepto rurfus d z fin, & omnes Pd zquale$ erunt aliis

PD , que &qualem cum his a. vertice $ & x diítantiam

habent; cum enim aP"' zquale affumatur .AP, in a & 4

AP &

zquales anguli ex conítru&ione, & in P re&i, eru

n

) adeo

h

j

latera oppofita P"'d zez PD, & cumhoc de omnibus veru

,U

fit, omnes correfpoudentes PD, P"'4, P'D', P^d &c. squa-

BUGBIC

les funt. Priterea omnes D4, Dd, Dd xquales erunt, ob an-

um Q

I$ aC

gulos enim 4 & « zquales alternos, erunt 4D & ad pa-

ralele, & cum omnes Dd etiam parallele fint, erunt

tm.ut

m

parallele inter parallelas, proinde zquales, ergo B4,

Valiter

D4, D4, Dd, Db zquales funt5 fed ex . conftru&ione

nt, &

eft B — F, & Fs — :D"(ex conftru&ione enim

axe $

)e Qe

translato :D" ex F ad :D",ea in Fy cadet) ergo SF --

F* feu Sr axis principalis z ,S$/2 -- 54 feu. Bd aut D^»,

eQua

peroo

ergo omnes re&ze Bd, Dd, funt equales axi priz« ipa-

t cen

li, fed Dd conftant ex DP & Pd vel D'P' & P'd, e:go

hpl

omnes DP -1- Pd funt 2quales axi principali, fed DP

cujus

-- Pl ex conftru&ione funt. xquales F/ -- £M, ergo

Ug i

etiam .F/M -t- fM funt zquales axi principali, hoc eft

omues limee a focis ad idem puucium e

n ene

lipfeos duflg fünt equa-

les axi priucipali. Q. E. D.

THEOREMA IL

[

I. Si ex focis ad hyperbolam (Pz7. 16.) du-

li

cantur lineze Z & i, erit earum diflerentia zequa-

lis axi principali.

DEMONSTRATIO.

14

. Cum fit s« — S4, & in * ere&a perpendicularis £

|]te

z SB, erit abddd parallela ad 48DDD ob zquales al-

ternos 4 & a, & ounes partes bD & 4D" , D4, utpote

FïO'

Sed

otefe

parallele inter parallelas erunt zquales inter fe.

AMeizb, Math. P. LI.

L

^l*

162

CAPUT L

erunt quoque axi principali Sr zqu2!es : eft enim (S.29.)

;D" feu sb -- bD" ex conftru&ione equale Fy, feu ES

-- Sr, fed sb —— SEF, ergo manet /D" — Ss, ergo om-

Írod

nes dD squales axi $r. Sed quzevis dD eft equalis F

Tabol

— pf. Nam quevis dD e(t equalis füo D — pd, ut fi-

omne

J'ura exhibet, fed quzvis 9D ex conftru&tione eft z«qua-

($,.

lis fuo Fjt, & quxvis d fuo fu, ergo etiam Fj —quf — D

«

—— Óraxi principali, ergo differentia duarum linearum

a focis ad idem hyperbole pun&um du&arum eft zqua-

lig àxi principali. Q. E. D. .

COROLIARAIUM

AR

32. Ex his jam proprietatibus deducitur/alia methodus de-

fcribendl has cürv

as mofu coxxtinuoä quod fequentia problemata

declarant.

PROBLEMA IL

t

fieC

33 Defcriber'e parabolam motu continuo , da-

W

t diredtrice GH, vertice S, & foco F. (Fig. I7.)

plic

RESOLUTIO.

Jtic

tinu

Ad GH firmetur regula DI, ei ita admoveatur

hy

norma BCE, ut crus brevius dire&tricem , crus longius

pun&a F & S tangat. In B figatur filum Jongitudine

cruri CB xquale, alterum fili extremum figatur in F;

intra plicaturam fili in S ponatur ftylus, & norma fe-

t

cundum fuperiorem regulam fixam ita moveatur,ut CÉ

fun

femper ipi G/T adhareat , & filum quoque norme

HH

latei CB fortiter adürihg:&tur, defcribet veftigium

lyr

ítyli ramum parabole ex una & inverfa norma & repe-

tita operatione etiam ex altera paite.

[

DE-

--

DENOT. ET DESCRIPT. SECT. &e. 163

)

DEMONSTRATIO.

feu FS

FM -4- MB .eft zquale ipi CM -- MB ex con-

0 Of

is F

fru&ione, ergo F/M zz MC & cum id per omnia pa-

vt f

rabole pun&a fiat, omnia EM erunt —— /MC, hoc efít

omnes diítantie a foco funt zquales diítantiis a directri-

QUi

-27//]

ce, fed hzc eít proprietas curvze parabolicz ($. 15.),

AU

ergo ftylus defcribet curvam parabolicam. Q. E. D,

&QUi-

CROBPERMA HH

!

34. Defcribere Ellipfim: motu continuo dato

jf de«

aXe&'focis. (Fig. 18))

lematt

RESOLUTIO.

Affümatur filum longitudini axeos 5* :quale, ejus-

que extrema in utroque foco figantur , plicatura fili

dà

neceíflario ad ,S' cadet, cum SF z /f*, ergo 2FS --

Ff equales ipfi Sr,feu longitudini fili. — Stylus in hac

I7j

plicatura pofitus circumagatur, deferibet curvam elly-

pticam 5/Ms, hic motus ultra' * deorfum verfüs S' con-

tinuatus alteram partem defcribet, & totam aream el-

'eatur

lypticam claudet.

»ngïUS

DEMONSTRATIO.

udine

UF9

Si omnes linee EM 4- fM funt zquales axi majo-

j fe

ti, pun&a 7M funt in Ellypfi $. 30. atqui KM -t- £M

« (E

funt alfumte xquales axi majori, & per totum motum

J

manent illi equales , ergo punda 4444 funt in El-

giuiïl

lypfi. Q. E. D.

ï

epe

Y

PROBLEM A IV.

31. Defcribere motu continuo Hyperbolam da-

þ,is focis & axe, (F:g. 19.)

)

L 9

RE-

C A& P UT 1

164

RESOLUTIO.

NT

b

Regule ext1em1taq Á in foco f'ita figatur, ut mo-

a

veri poffit, alteri extremitati D alligatur filum ejus lon-

gitudinis, ut regula eam quantitate axeos Sr fuperet 5

aXI

fili extremitas altera figatur in F & regula pun&is f*

p

SF admoveatur

Intra fili plicaturam, qus in .S erit,

te

ponatur ftylus

qui una cum regula primo verfus dex-

tram, dein verfus finillram moveatur ita, ut fortiter

&

tu

femper appreffus regule maneat, defcribet utrumque

tàl

hyperbole ramum:; fixa dein regula in £ & filo in f

etiam oppofitam hyperbolam defcribet

MONSTRATIO

f

p

In Hyperbola fM — FM eft zqualis axi princi-

u

pali $. 31., fed in hoc cafu omnes /7M — FV funt

fin

equales axi principali; ex conítru&ione enim eft £

o

-- MD z EM -- MD - Ss

utrinque fübtrahendo

MD eft fM zz FM - .Sr,

utrinque fubtrahendo FM

-

et //V — FM zz Ss, ergo linea ,S/MB Hyperbola.

, E.. D.

PROBLEMA V

56. Datis axibus invenire focos, aut datis fo-

cis & axe majote invenire minorem in Ellypfi &

Hyperbola. (Fzg. 20. & 21.)

In Ellypfi. Cum axis minor fit in medio Ellyp-

feos, linez ex focis ad extremum axis minoris ducte

funtinterfe equales, id eft FL — /L,fed FL--fL -

1

$s axi majori ex przcedenti, eíft enim .L pun&um in

ellypfi

ad quod ex focis du&e linez zquales funt;,

ergo EL — iS$r&fLziSs.

i igitur circino ac-

cipiatur diftantia 4 Sr, &ex.L adaxim in F & f trans

feratur, erunt in 4 & foci; erit enim EL -- f/L z

IN

fs

-

DE NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c.

165

Sr. Dato axe Ss & focis F & f, & accepto circino di-

üt mo

midio axe, ex focis fiat interfe&io in L & 1, erit Ll ob

$ ]on

.eandem rationem axis minor.

ial r at

i

Yerets

In Hyperbola (Fiz. 21.) Cum ex S. 39. dimidius

axis conjugatus fit latus trianguli re&anguli, cujus hy-

—

ts ft

V'erít

pothenufa eff zqualis diftantie foci a centro; fi detur

j dex

uterque axis $s & Ll, accipiatur hi»c hypothenufa feu £L

Ottet

& ex Cin axem transferatur, cadet illa ad F & f/; fi de-

tur axis & foci, accipiatur CF & ex $. in

& 4 transfe-

Imque

0if

ratur, determinabit LL axim conjugatum.

COROLLARIUM

$7. Ex his jJam omnibus fequitur, omnes parabolas eife

fizuras füimiles, cum in omnibus eadem fit linearum $: SRK

princi

proportio, qux» femper eft zqualitatis

Ellypfes & hyperbolas

tunc fore fíimiles

fi axes omnes aut ditant * verticum unius

l[ (unt

fint proportionales diftantiis alterius

omnes enim dimenfione$

' fVI

homologs tunc erunt proportionales proinde figurz (imiles

bendo

M

'pola,

C APU"F H

EXPRESSIONES ALGEBRAIC/E RE-

CTARUM AD SECTIONES CONICAS RE-

jsfo

LATARUM.

pfl&

THEOREMAIL

J

uda

38 D1&antxa foci a vertice in parabola eft

«uadropla parametri. (Fzg. 99.)

9

m j

DEMONSTRATIO

(unt ,

o aC

Erigatur in-foco F perpendicularis FA; inPa-

rans

rabola quodvis pun&um /M zqualiter diflat a foco

4 -t

!t

F & a dire&rice 4G , ergo fi ex M ad dire&u-

cem

?

Las

166

CATUT I

er

cem demittatur perpendicularis, erit G7M. z FM, fed

GM - AF, in Fenim eft angulus re&us, quia FM

[

eft perpendicularis , ergo G7M & AF fünt parallele in-

—— ——

ter parallelas, ergo zquales, ergo etiam F/M z AF

fed .4F eft AS -I- SF, AS autem —— SF, quiacut-

fetie

va eft parabola , ergo loco AF fubftituto 25F, erit

ent ;

etiam FM — 2SF, ergo 2F/M z 4SF, fed 2FM eft

di

parameter ($. 25.), SF eft diftantiafoci a vertice, ergo

DT

diftantia foci a vertice in parabola eft. quadrupla para-

metri.

Si jam ? FM feu parameter dicatur P, & SFfeu

U

diftantia foci a vertice dicatur « cum fint linee con-

e

ftantes, erit P zzz 4a4. Q. E. D

L

ftm

THEOREMA

IT.

[

39 Quadrata femiordinatarum in parabo]a funt

Junga

d

ut abíciffe, hoc eft.^: Y*z x: X. (Fg. 22.)

atüit

DEMONSTRATIO

$x n

V t

Sit puzmy,Spmmx,SFEza, erit PpzmSF—5p

S,

N

zx:a — x. In triangulo re&angulo pmP et FW —— pm*'

trar

-- pP*, hoc eft Fo^ z y! -a — x fed Fs — mg, ex

ptoj

& $

priecedenti, & mg z Afp, ergo Fm — /Ip, fed 4p z .AS : 4

d

Sp.... a -- x ergo etit Puai,ergo Pm* feu 4 -- x*

prop

mzy -a — x*, ergo erit a* -- 2ax -- x* zm -

tàbo

n

4* — 2a4x "- x*, ergo tran»ponendo erit a* -- 3ax -

&* d* -- a4x — x'c y* & redu&ione fa&a 44x zz

y^,& cum ex precedenti fit 45 z p, erit )*

1)&!

Jam cum hoc verum fit de omni feriordinata re[þe&u fuse

abíciffe (fi enim trar$ focum acCipiatur SP, erit SP

zma-x & EP-x— a,cujus quadratum etxam eft a* —

w 1

fax *i- x' quod (upcrius accepimus, ergo eadem fiet

ex-

u ige

EXPRES. ALGEBR. RECT. &c.

16

-X

á

M fM

expreffio) erit etiam. Y*

pX, ergo »*

RW. m px

ia FM

pï hocefty: Y:zx; X. Q. E. D

ele i«

COROTL

b AR IUUM::I

z r

A CUE»

4O. Cum fit y^ z px, erunt quadrata femiordinatarum uf

jfacfa ex.parametro in abfciffum; fa&a proportione ex ewquatione

?. erit

entx;y-y: p hoc eft fermiordinata eft media proportionalis inter

M et

abfciffam & parametrum ; jam fa&a proportione continua eft —— x.

, «

y . ps parameter tertia proportionalis ad abfcif[am & femwrdmatam

ä

1 pare

COR

OLLARIUM

n

!

4

Si SP fiat —— SF. ent x —— a, proin y^ ezpr fiet y*

ST feu

T pr, fedp--4a eYPO y" z— da*

ergo y —— 2a fed p — 44

& COl

ergo y —

£ p, hoc ef femiordinata per focum tranfens ét mqualit

J&mzparame(ro ut füperius di&um ef in definitione.

7

COR OLLARIUM Ill

42. Eruitur inde alia 1iterum methodus defcribendi parabos

fam data parametro (FIg. 23.). Affumatur Sx pro axe & con

j (

ut cum axe unam recam efíBciat

jungatur ili $B parameter

32)

in S.erigatur perpendicularis .4D

defcribantur circuli pro

arbitrio transeunte'—' per B,

lineam AD in r,

2,:.3 &c. & lineam.

$x in P',P^,P "fecautes,erxt Cex $. 186. geometr.) B$ : $1 z Sr:

SP' & H$: $2 — $2: SP" & BS: $3 —— 53: SP"' &c. ergo

[—FSP

Sr, S2, S3 funt medie geometrice proportionales inter BS &

SP', SP^, SP', ergo i St ad P'/I, $2 ad P'IL S3 ad P'III

)

transferatur, erit etiam PI, P"II P'"III. medie geometrice

proportionalis inter BS & SP', SP'", SP' (ed SH'eft parameter,

f ex

& SP/, Sp"

P/" funt abíciffe,

ergo P'I, P'II, P'"III funt

A

medie proportionale$ intcr parametrum & abíciffas, hxc autem

4 i

proprietas eft in parabola, ergo pun&a I, IJ, IlI, (unt in pa-

tabola, quse i per lineam $7, I I], II III conjungsntur & in zle

j

&cram partem transferantut , erit parabola de(cripta,

x

*dï —

THEOREM A Ir

Pxe

43. Quadrata femiordinatarum in circolo funt

U

fut

t SP

ut facta ex abícifis. (Fig.

24.)

ad

n ft

L 4

DE.

d

—

168

CAPUT n

Qs J

DEMONSTRATIO

d-—-

Sit PM — y: St z a, SP x ert Pr z —

*fP

v; & cum perpendiculares ex peripheria ad diametrum

-4(1

fint medie proportionales inter partes diametri, erit

64

Xx:y m y:4—x hoc eít, fa&a equatione, ax — xx ——

y', & fi altera femiordinata P"M"'fitz Y & SP"—X,

Oil

£rit iterum aX — XX z Y*, ergo : Y* z ax — xx:

4X — XX. Q. E. D.

eto

:1

SCHOLION LE

*..

]

44. Ad demonfrandas fequentes proprietates his expreffio-

&te

nibus linearum pro ellypfi utemur, $s (Fzg. 15.) axis major —

24, $C —— a,.C$ - a; CL m 2b, L —

» SF vel fs di«

fiaàntia focorum a vertice z c,

erzo CF z d — c, Ff — 2a

fot

— Ocs; SP abltila — * ,. PM. femxordmata d. ermo.Ps

Q. f

i

SCHOLOIN It

A5

Pro Hyperbola e»dem expreffiones manent, hoc folo

diferimine, quod fighi — loco, flgnum -f adhibendum fit, quia

IXIS trans utrumquc 'verticem jacet.

1ta CF-—a-c, Ffe

$a-F 2c, P$ 2—2a-- x, PC — a-IE x, Df 2 x --2a*9Be

CF z—a-d-c, FPzx — c. (Fig, 16.)

yvat

PROBLEMA I

Mu

A46. Invenire radium vectorem 7 & fM.

(Fip. 15.)

RESOLUTIO

Cum addita femidifferentia ad femifummam det ter-

pott

minum majorem, fubtra&a vero minorem ($.97. Algebr.)

ext

& cum fumma //M -- FM fit z 22 ($. 40.) erit femifumma

z 4, fi differentiam feu f — FM dicamus 24, erit femi-

diferentiazs d, hinc a -- d — //M & a—4d —— FM,

fupponendo fM majus effe quam M. — Jam in triangu-

ten

lis

EXPRES, ALGEBR. RECT. &c.

169

lis FMP & PMf.eh FM* z PM*-4- FPhoc eft

a* — 23ad -- d z y!-- x* — a2cx "- cs &sz'—-PM'

mll ]

fhetrut

-- fP* hoc eft. 4* -- 24d -- d* o m— y!4- 444 —— 446

l, erit

— 4ax - 20x tb c^ - x? Subtra&a. primatota zquatio-

ne a fecunda erit

4ad......4a — 4ac-—-4ax-—-4cx

/

Mp

6X

raaer

)

m

c—-—x—ï———

omnia divid. per.4aetit d — a

fx

—ZZ'

ergo eft femifumma z & femidxiferentla—- & — gX

ex

Cex

, igiturterminus major u- —i—a — m m o

ll

vprefto

& terminus minor z« — « -- c—l— x — --,eft ergo

ajor zz

[

fi d

ex

cx

fM'—-Za-—-x-—-c—l- — &FM:c-I—x-——--

fz u

&

&

) Pt

-

Lal

Q. E.

»,

&

$CHOLION'L

v fola

47. In Hyperbole eft EM

CM Ex—.

, qu

py-

SCHOLION IL

"D n

49£. Idem obtineretür, 8 valor de y* bis queratur, & eliminato

yvalores duo inter fe comparentur, & dein valor de d tranfpofitig

omnibus aliis inveniatur, ut iw Algebr; $. 96. diximus,

j

THEOREMA IV,

*::49. * Quadratum femiaxis minoris eft. medla pro-

portxonahs inter diftantiam unius e focis E vel |fab

t ter

extremitatibus axis majoris,.

"ebr.)

Jrmft1a

DEMONSTRATIO.:

fetm»

",

Yn triangulo FLC eft FL2

FC* -- LC'; eft au-

Ingu

tem FL — Lf;nam FLC triangulum z Lf triangulo,

i5

Ls

in

[

170

CAPUT I

s u) -

in C enim fü-nt. re&i , L utrique commune, & FC — Cf fgi-

tur FL —fL , fed FL-4- Lfz Sr z 20 ($. 20.), igitur

y"': [24 "

- dlistavuri,

TCLIa, FC-—ma—c,

C z Lb, ergo fubftitutis

his expre(fionibus eft 2^ z 4* — 2a2c *F- «* -- , ergo

dratum fer

246 —— cc z ^ — ^ -- D hoc eft 246 — c& z b5,

tis, etgo

&kuri ex a

refoluta equatione in proportionem 22 — c; 5 zzb:c;

fed P eít femiaxis minor, 2a —— c eft diítantia foci F.

axi$ mitiot

ab-s, & c diflantia ejusdem ab S, igitur quadratum fe-

e(uiio al

miaxls minoris eft media proportionalis inter diftantiam

uniu$' e focis F vel f ab extremitatibus axis m

"

ajogis,-

A.

V. n

ellip, hoc

/

TH LE""LOA"R EMA V.

zP

ENCIBUS

eh*x

| 350.' Quadratüm femiordinate in Ellypfi eft ad

--*

factum ex abíciffis correfpondentibus ut quadratum

femiaxis majoris ad quadratum femiaxis minoris.

DEMONSTRAT:IO.

$. (

In triangulo rectangulo PAZF ef PA z FA

Ux

'l'—-",&

— PF*, fed PM — , FM ex Probl. preced. —— x

[j

ab qqe

d- 6 — *fï, PFzxzx —c, igitur fubflitutis his va-

)

[

acx*

262x7

tüto t jn 2

ioribus eft

r

£

* z x* at (* L ——

&

a

a

ua&i tadic

— x* J4-. 2ex — (* redu&ione fa&a eft 5^ —— 4ex

sQuale p

".

2!

2ex*

Ls ii

9cx

-—.k.ve

d

fg theo-

a

d

", fed habemusex prio

vilot de «

Ltl

.rlem'a'tnïe D5 z 2ac — €6t, efgo ec

L

246 — 634 poteft

Qc

hod

[j

ergo hic valor de &* in zquatione noftra fübftitui, erit

2cx?

4acx

gl^x

2aacx

b*x*

igitur y^ z 42X — — — —— ——

— — ——

T d

a

[

aa

aa

2b at

ORpottion

Fmpcfffüng

&

feduöiïone rfa&a manet )* zz-

&

d

hoc eft a* y'

ER

EXPRES. ALGEBR. RECT. &c.

17I

z(fi

m gax)^ — x'^, mutats zquatione Ín proportionem eft

)yigitor

y: (24 — x)x z : a, fed Y* et quadratum femior-

ub(titutis

dinatarum, (32 — x) x e"t fü&um abfciffarum ; J* qua-

þergo

dratum femiaxis minoris, & a^ quadratum femiaxis majoe

n—þ!

ris, ergo quadratum femiordinate in Ellypfi eft ad fa-

h

é&tum ex abfciílis correfpondentlbu; ut quadratum femi-

Voct F

axis minoris ad quadratum femiaxis maJons.

qua e

w fe»

æqzmtzo ad Ellypfrm.

iflantiam

COROLLARIUM r

yris.

T. Cum in hypea:bola egdem- fint determmatmnes, quæ ia

ellipfi, hoc folum difcrimine, quod Ps fitz 2a -- x, PCx-4

--x, Pf m 26 -- x -- c,

CF a --c,fsno — ex elhpii

snutate in -, fadis omnibus ut prius habebitur in. ünel/

gb*x

622

f eü äd

m 4«

quæ ej! æquatzo gd Hyperbolam.

d

z

COROLLARIUM: Il'.

VOT

.....

j Àe

2Cx

^

LA

'52. Cum fuent fupcnus yt ::: 4cx —

-

"-

-, & cum parameter fit otdinata per focum tranfiens, erit

abíciffa correfpondens SF Em ergom hoc cafu x u c, fubfti-

20

2c?

€

4

his v*

L

tuto « in æquatmnc, erit y* —— 4c us v of mcortie x a

[ E

a

r

"T

tra&a radice erit y — 2e — —, hujus igitur duplum feu 2y eft

aquale parametro, cum y üt femxordmata, ergo erit p — 4€

,n

c

£

200 — CC

p

D

$i

—— À veï -ap

1g1tur c*

te ho

walor de cc fuperius cxpreffus 2ac — bb in zquatione p z 4€

£

z

: 4ac

2

potef!

xeup —— fubihtuafur, erit p AC — —— ..'.. — feup

l, rit

9b?

2

— 46 -- ——..hoceB-P....——- feup z — vel -ap —2/ fac'ta

yyz

- —

n

proportione etit 2a: 9b — 9b: P5

u;uur paramc!er cji teriia

proportiozolis ad axem majorem & . minorem,

(j

C o-

CA RB-U-T: Hl

h

1375

COROLLARIUM III.

ext //

zo

$7

53 Quia p — ——,. cnt ap — 217

i

p

: 1g1-

lat

2172

ï

teitio ,

*ur in zquatione generali y

—

hic valor: fnb-

a

dd

et ab

futuacur, erit y*

Px,....f —— feu gay — gapx — px , re-

Quria,

—-—p: 249

CUtVà

foluta æquatione in analovmm, erit- yz t QAx — xX

eftautem 2ax —- xx íatum ex 9a — x in x feu ex SP x Ps,

que funt abíciffe, ergo quadrata femiordinatarum ad'axim mo-

jorem in ellypfi &- hyperbola ( —— x mutato in «t x) funt ad

vel cum p*

fa&um abfciffamum ut parameter ad axim majorem

Yneae

/da fit'ratio ^conftans: quadrata [ämzordmatarum fwzt ut faäa ab-

jör,gïzrum corrojþordmtzum.

s

féhim

didy

CATUT- I

münis

aX

EXPRESSIONES LINEARUM ,

QUAE

genten

FIUNT DUCTA TANGENTE AD

: CURVAM,

PROBLEMA I.

feni

by,

4 - Ducere tangentem ad. punöï:um M datum.

Tiem

bola

(Fzg 25)

omiff

RESOLUTIO

Ducatur ex F linea FM & ex f linea /Mm ita,

ut Jfn fit xquale F7M; fm igitut eft equale', 2 -- FM

hoc eft z $r ; angulus mMF bifariam dxvædatur per TM,

ent hæc tangens curva,

DEMONSTRATIO.

Pun&um M re&e- TM et in curva, & nullum

Q

aliud effe poteft. Sit enim etiam pun&um 4 in curva,

fim

erit

EXPRESSIONES LINEARUM, &c.

H73

rtfA - Jmetian zquale f4 -4- AF z axi majodi

S$, ergo f A -- Z squale fm, fed f -- Am (unt duo

tf ige

latera trianguli fzim, & fm tertium, ergo duo zqualia

lor: fub

tertio, vel curva f - m.equalis re&te fm, quod

l

eft abfurdum , igitur folum 7 & nullum aliud eft im

curva, ergo fola. TM eft tangéns, que pun&um 4M cum

p5

curva commune habet. Q. E..D.

SPXPS,

Xim wo-

COROLLARIUM I

) fuat ad

$5. Cum in parabola focus alter f infinite diftet a primo,

| cim p

f d

Xinea ex altero foco ad L du&a erit parallela ad axim (ig.

26.); fatto Mm z FHM, & biffeto angulo M erit TM tangens,

folum enim pun&um M commune cum curva habebn, ut priug

dicum eiít,

COROLLARIUM II

56. Cum angulus M]üt biffetus, Mm — FM, & MK com*

munis utrique, eft MinK — MKF proinde anguli deinceps pofiti

ad K equales, igitur redi funt, & FK perpendicularis ad tan-

o

gentem TM

COROLLARIUM

L.

57. Du&a perpendiculari (Fig. 25.) vel normali NM &

femiordinata PM , determinatur fubfangens PT & fubnormalis

PN, que fequenubus algebraicis formulis exprimuntur,

ÍInve-

daturti

niemus equationes pro ellipü, qus etiam hoc ipfo pro hyper-

bola mutato figno-habebuntur, parabolg vero ob axim mfimmm

mxffo termino axeos applicabimus,

PROBLEMA

31

Mn! t2

D

598. Invenire expreffionem fubnormalis PJV.

TM

RESOLUTIO

Cum FK vel Fx fit perpendicularis ad T7 ($, $6.),

erit neceífario parallela ad V, & triangula fmF & f/M.

gullum

fimilia funt, ergo eR fm: fF-' 4Mn: FN & quia

Cüt V

en

fn

174

cAPUTIm

"""'—-— CH x

fn — 24, fF:iza — 2c, Mm — ILM

Cx

ex

2aae

——j erit.m: 28 — 2

:.:cr-l-x-- —

[

245

24ax

9acx

oacc

2aecx

2cecx

—— - — s us — u H ÁÁ

— —— redu&ione

284

244

2aa

2aa

Zaq

laris

2cx

x

fa&a eü F27V:nc-l- MM

-- asuelele . —

, fed EN.

tlent.

aa

um

b M FP, fed FP

FP - PN( z ergo PXf — FalV

0'

2ex

ex

——

—

m ok —— c; ergo DN Em x o

&

aa

Dy

£

26cx

c*x

p

— x "- c reductione fa&a eft 2e — — — — -- —,

4

[

fed cum «*

maecoen

us

2ac — Xap($. s2.) erit equatio 2c

r

2cx

2uc

24cx.:

—— — —— ——

apx

d p

, redu&iono fa-

9a

a4a

aa

quod

-

&a eft P.N —— 1p — -;7:, fcdp: —g'(s; 52.) ergo

*

bz

pe .

fubftitutione fa&a erit P.V 2 —

^5

&

' -g- pro ellypfi,

fs

p4

4

: pro hyperbola.

WU

COROLLARIUM.

hoc

59, Cum in parabola fitaxis infinitus, adeoque in formula

feit,

PN — lp — —, terminus fecundus — abit in z feu wuna

H

infiniteüma pars de px, qus refpecu alterius quantitatis evane«

fcit & negligitur, ergo manet PN — ip, feu fubnormalis eft

e— dimidie parametro, fed parameter eít quadrupla diítantiz fo-

ci a vertice, igitur femiparameter — duple dif&antie foci a ver-

p

f equalis diftantie verticis a

tice, fed diftantia foci a vertice e

dire&rice, ergo Jubnormalis eff equ

alis. duple dij?antiæ foci « di-

U

fgärïcc.

E

H

PRO-

EXPRESSIONES LINEARUM, &c.

175

PROBLEM4A II

-

»

—

20

60. Invenire expreffionem fubtangentis PT

1

u

RESOLUTIO

«du&tione

Cum MP fit ex angulo TMN demiffa perpendicu-

laris ad bafim, eít ea media proportionalis inter feg-

fed F

iienta bafeos hoóc eft PJV: PM PM PT, feu PT

P "n

A FP

fed PA* feu y

px — EL (S 53.) &

[

ex

—UBN?

[/1

PN zIip — (ex Probl Il.) ergo ett PT

xX

.

.,.,--,—-——-

p

; aC eü

24px — pxx

ex

px——-——-—-—-

24

9

Ti

2

44

n

2ap—-2px

—..L..——-

- pxx

d

44

aquatio a

—— — ——, inverfo divifore eft FUR

44

2

24p — 2px

(Gione fs

Saapx

4apxx

quod dat

—— —— — — —— — —— , omnia dividendo

444p — Aapx

4üdP —— 4apx

292ax

X

29

d

per 4ap manet PT —

&—2ax

& —

;in Hyperbola PT

2ü0x -- xx

i

M

act- x

COROLLARIUM L

gmx — XX

6I. Cum in parabola fit a zx «o erit, PT —

"

—

x

[^e]

— X

hoc eft ——

fecundus enim terminus refpe&u primi evane«

ii formula

fcit, & reductione fatta eft. PT & 2x feu fubtangens equalis du-

fey m

pl« ebfcife,

(j eae

COROLLARIUM I

rmaha el.t

62. Quia CP -- PT z CT, CP autem fit a — x erit CR

fantiz D

2ax — xx

a* — 2ax -- x* -IeO92ax — x*

fom 4 vef»

d- PTL—a-—x--

f

—

G —X

go-—-—x

us 9

fictinl

—— fafta proportione ex hac equationefiet a — x: a—a:

m

t*

g —

C

í.

Ersro invenitur CT feu punáum T, f ad CP & €S quaratur

?ftia proportionalis.

PROe

RO

176

-CAPUT II-

PROJBLEM A. IV.

63. Invenire expreffionem perpendi'cularïs iSB.

RESOLUTIO.

Triangula TPM , ILSB funt fimilia ob perþendi-

culares.SB, & PM, ergo eft TDPr. D w PBAP: SE.

qi ?

gax

atqui TP —

"* TSfeu TP — .SP, hoc eft

ü-—X

2ax — xx — ax *t-.xx

)

2üx — XX

—.—c.—...-x—*-cfeu

4 —— X

—!

(X

ü

Ó

od

d

cocm ebgo- W*

ERE

D onsnt]

— PM - , ergo erit

a-—-—x

—X

ax

g m

2(€x — XX :

*

— y: SB, feu2ax — xx: axc :

ü ——X

d-X

l08

SB, vel 2a — x: a z y: SB, elevatis fingulis termi-

hisad quadratum erit 44^ — 44x -- xx: 46 z y:55

81]( Pz

Qéblbx — P

efl 44* — A4ax

fubílituto valore de ^ ——

a

À

2abblx — bbxx

Qabbx —— bbxx

: SB*, hoce

-Exx:d5-—

&

444 — 44x *l- Xx

omni

— SB*, & quiaex $..89. iap m bb, loco Pb fübfti-

i,

abx?*

——

d

pE -t

tuendo Xaf, erit 5*

——-. In Hyperbola eft

444—4ax7l- xx

m

$B*

d

i Lbei us

m —

44& -- 4ax-t- xx

COROLLARIU M.

—— ——

oosz.

h eft

64, In parabola cum a fit —— 09, erit S.B'-:-..-

i

4 o *

terminus enim fecundus evanefcit, cum re

fpe&u co? fit — ni-

Z2

tilo, deleto dein in —— fuperius & inferius oo * , manet 4p7,

LT

ergo SB* z ipx,

fed px — y^ ergo zpx — ï-y'l, extra&;i

zadice erit $B. z 4 y, hoc eft SB fl aqualis

dimidiz ]2mior4z'nat:t

'eliqu

hi, i

n parabolfz.

PRO-

lj

us

r

"

1

EXPRESSIONES LINEARUM, &c.

M

]F) :!55 (::) :IE; ;l:J ]ju ]!ï([. JQL .'97

sB

65$. Dfvenire expreffionem normalis 2VM.

RESOLUTIO

xpendie

in tnangulo NPM et NM: — PM* 4- PN5, at-

. b

2bx

Z]QQ

2a3)]x — abz

e

qui BM z

—

E

u

3

PNM

hot sf

[

aa

a

«

p*

l]2

-

a^ b? —-ab?x

4

—ÀÓ

—.—.—.————,

feu

P

ergo

PN*

a

aa

(;3

TO erit

EE a** — Q9a9b*x -- ab*x

6

,omnibus terminis divifis per

a

2p* — oab*x -- b*x*

zx:y.

4' manet

ü

4

mulüphcando omnes t*r«

8 fetti

minosin Valore de PM'2 per a, ut habeatur denominator 4*,

2 a?l?^x

— a? l? x? -- a*b* — 22b5 x -- J*x

p

eut PM?^ - PN*

124

-— 4X

-- NM,

fed . cum 2*

? fubftituto hoc valore, &

. lx

n t

omnibus tetminis duétis in 92 erit

fübfi

4aipx — 2a*px

-- 4*p ——-zaspx-l-apx

?

44*

ol

jdi

omnibus termini$

divifis

per a

erit. "VM*

44 px — 2apx^ -- a^p^ — gap^x -- p'x

2

In Hypeérbo-

ER

4a^px 7- 2apx^ -- a^p^ *t- gapx -- p

Ja et MN*

2

—— f

o p

44*

LL(:

COROLLARIUM.

zM

C

i

jJet

P^

4 ^0 px—l-oo

——

66. Cüm in pàrabola fit a — o , erit NM^

?

400

exidà

teliquis terminis utpote infinite parvis refpe&u oo *

ev- nefce ntis

d

bus, & deletis ubique 429 " manet NM* zz pX -- 4p :

Metzb AMath. P. 4I.

M

PRO-

pno

p

EL

176

(CAPUTIE

PROBLEMA VI

ipiti

67. Ynvenire expreffionem rxeöf'æ SIV, quz eft

diftantia verticis $ a puncto JV.

"

] t

D

RESOLUTIO.

fitut

bi

b?x

.52)h*

SN z SP -F PN, fed SPzzx, PN —

[

m feu

a

s.

a

—— üa^x

, reducta ad communem denominatorem utra-

*]^— ab?x -- a?x

que quantitate tam de P.N, quam SP erit -

?

1

ü

P Vr ts

$ & rUbüi'

diviüsv omnibus pet a, erit :

&

a

2

p

p -- ppx9amwm

CYatit

tuto -- pro P erit

2

: I"p Hyperbola

Yvà :

«p -- px -- z)ax.a

24

COROLLAIRIUM.

]

tit

68. In parabola igitur ob a-— « , formula abit in hane

cop -- px-- 20x

op-- 2cox

iyw

209

; p* evgnefcit, 6

—— abit in Ip

2»00

eàsi

x

& «

[

PROBLEM À VIIL

^ -

um

»6'9.' ?nvenirg exprelïlonem tangentis 7/M.

Íci

(s

1à

b -

RESOLUTiIZO.

Tatis

2D?x

þaxz

Wt

TAf m;PMZ; -- PT*, fed PM z

—————

Du—À

, feu

h[

gab^x — Dx*

p

24 lx ngu abx*

eu

;

E

OA d

i

4

868

,&PT:—T:

4—X

R

ä

igi*

»

EXPRESSIONES LINEARUM, &c. 179

Aatx* — i'ax? ..'. x*

igitut PT* —

, ergo PM* —f- PT"z

et

& — 54x -- x^

u

[

adx — V*

4 r 4axt

z TM-*,fub-

a*

4^ — 9X -- x*

z

b

e

-

X

fütuto. . — 1Qco

ert TM* — pi —

2,

14

ü

$a

-;ï'eu

4qtx —— Amcer

Ü

Q

a ——9x -- x

. In Hyperbola ecritï IMz- päc

[1| uTd»

x 4a^x

tox

"- — 4

* 4ax* -- x*g

v

2

á^ - 24x--x*

COROLLARIUIM.

fub(t

70. Ín parabola dOW

——

—

c€ et TM^ — pxr -RA4x^,

evanefcunt eniríi —— item

—— —— ——

4ox? « x*

209x-x^

cum Ífint infinite par-

vrbolà

2

z

/

va fefpedu ——

2

» quod reducitur ad 4x*.

SCHOLION;

71. Confideravimus ha&enus abfciffasa vertice compütatas 'e

erat femper (Fzgz, I5. 16:) SP — x , hinc CBinellypfi2ca—-x; in

j hane

hyperbola — a -- x, Si abfciifas a. centto computemus erit CP

d

e—x & SP-a--xin/elypi,;&a -- x in hyperbola, fet

easdem omninoó proprietates detegemus, quas fupérius

$. $O.

& coroliariis fequentibus retulimus; ita in circulo fi CP dica:ir

«, erit SPcza — x&sPocca-5x, hinc PM^-czSP X P; feu

y^ - (a—x) X (a-I2x) hoc et y^z-a* — x^,

In eltypü

cum fuerit equatio x^: (2a — x) x — b^: a* (s. 50.) &a -

fcifle etiam a centro computentur, erit ($. 44.) SP — a — x,

Ps — a-- x, & re&angulum ex abfciffis —— 9

2

— x*, hinc

Y

:^ — x^ z b^5:a*, Atque idem verum eft de femiordi-

natis ad alterum axem, ita etiam. MH^ (Fg. 15.) erit ut re-

&anzulum ex abíciffs; du&a enim fémiordinata MH, quz eft equa-

fei

hs 6P.——x, erntCH —iMP-— y, proin HL": b— y, & Hl

2

z

e bb y, erit igitür iterum y*-b*— —— inel

D

./,'(X'

b^x

f

b?a?

iypü; & y*

Pl

EX ——

Zzbï

a

2

25 1 þyperboïa, factaexinde proportio eritax

M .3g

o a

1

E

180

CAPUT H(l. EXPRES. LIN. &c.

4 —

b^, etgo quadrata femiordinatarum utriusque axis

funtad facta ex fuis abfcifis, ut quadrata femiaxium ad fe invicem,

& in genere quadrata femiordinatarum utriusque axis funt ut fa-

&a ex fuis abíciif's,

Hinc etiam relique formule fuperius expo-

2

— X

fit2 in alias parum diverfas aueurt, ut TP ent z ————É—

2

2

DE

x

in ellypü,

in hyperbola &c, &c

THEOREM

72

Superficies ellypfis eft ad' fuperficiem cir-

&am

culi fupra axem majorem fanguam diametrum de-

tam

fcripti ficut femiaxis minor eft ad femiaxem majo-

D

rem, (Pzg. 27.)

titg

DEMONSTRATIO.

tri d

IU

chatur P.N femiordinata circuli z Y PM femiote

bitiec

dinata ellypfeos — y,erit Y?zz 4* — x* ($.432, & z

& di

I,a X ([z —x)

2

bz)((a —x* )

(5.50);hibe P* ^ at

z

Q

feu reductis ultmns terminis ad communem denominatorem

A*X a^ -— x

b x a —-x

erit

4

z

u

2

, omifío zquali divi-

Uf,

fore &* & squali multiplicatore 4* — x? manet 4

bz

ergo Y*

2-—-—-0

b*, ergo etiam Y : y

a: b'vel

y y

: d

Jam fi fupponamus has femiordinatas

infinite parvam latitudinem habere, colle&io harum fe-

Darte

ib

miordinatarum juxta fe pofitarum & dimidiam ellypfeos,

& dimidiam femicirculi fuperficiem dabit, ergo erit fu-

lu

Iï

perficwb ellypfeos ad fuperficiem circuli fupra axem ma.

m

jorem. de(cripti ut femiaxis minor ad femiaxim majorem

ld

Q. E. D.

pret

A

tent;

C A-

Otqin

ag

a

j

L

Z^

o

TY

6f

Z

(s

&

ORE

181

lique axis

e Imvicen

nt ut f

2

1U$ expo.

COA-PU T IV

--x

at

X

DE DIAMETRIS CURVARUM ET DE

HYPERBOL/E ASYMTOTIS

— i

DERPFINITIO I

em ar

73. Diametrum curvze definivimus fuperius effe re-

À

wm de

&am per centrum tranfeuntem & in.perimetro termina-

[ [2)

tam v. g. (Pzg. 28.) MN.

Diameter curve confugata

EF dicitur refpe&u alterius diametri, fifit parallela ad

|

tangentem 77M, quae ad extremitatem alterius diame-

tri ducitur, ordinatas diametrorum fuperius quoque di-

ximus eífe rectas in curva'terminatas & per diametrum

[ (emiote

biffe&tas

hoc ipfo igitur funt parallele ad tangentem

&V! —

& diametrum conjugatam

——

[j

0

THEOREMA I

natotem.

.74. Diametri omnes bxfmam in centro fecan-

ali dir

tur. (F?e, 28.).

T2

DEMONSTRATIO

í bvel

yrdinatas

Demittatur ex M ordinata MQ, & CQ ad alteram

partem transferatur in G ut fit CO. z

CG, erigatur

an fe

ibi perpendicularis GJV, erit hxc vordinata & pun&um

ypïeos,

N eritin curva; eft enim triangulum. MQC — CNG

:!

erit fü

cum enim 7MQ & GV utpote perpendiculares fint paral-

em 1*

|

lele, erit angulus 7M z N, in Q & G (unt re&i, &

najorem

reterea. CO z CG, ergo tota xqualia

ergo etiam

& ordinate a

MQ — GN

fed JMQ eít ordinata

centro zequidiftantes funt xquales, ergo etiam GJV eít

ordinata, & AV in ellypfi vel hyperbela

E

M 3

THEO-

nl

182

CAPLT.IV

THEOREM4A II

$. Siab extremis // &V duarum diametro-

KC

rum conjugatarum ducantur /MP & XNQ ordinatze

T

ad axem $s,

erit quadratum. CQ* feu abícifte in-

»-

terceptze a

a centro & una ordinata, zequale facto ex

1um

abfciffis correfponaentlbus alterius ordinatz,

id eft

duot.

CQ — SPx Ps. (Fig. 29.)

M

M

r

DEMONSTRATIO

Teu

Sit CO z »x, $0 z a4—u

QrzzaM-u

NO

—— .

cum triangula PMT' & CNQ ob re&tos in P&

"—

Q & alternos in C & T equaliafint, erit TP : o um

te

PM : NO, feu TP: CQ ——PM:NO*, hoc eft FP*;

u —yticzt, fedgt!:z*m—a4—x

a —u, quadmta

frá

enim femiordinatarum funt ut facta abíciffarum ($. 53

Vel

g —*

dica-

coroll. III.) ergo TP^ : ; zoa —x

€en

camus TP —t. erit i?

"- 00 —— X

d u D

fed TP

feu $ z

(5 ya )ergo ix z — x fubftitu-

to hoc' valore in tertio termino erit 2^: 2* z x:

4^— , feu alterpando 7^ : zx zzs w^:a6^ — ,dividendo

l

primos duos terminos per £ erit / : x, utrumque multi-

plicando per x erit 2x : xx z

4* — , & compo-

nendo eft £x :

xx-i-tx—u

.a-——zlz-i-u

& alter-

nando eft x

u om— x ix:

«&, fed cum fit x — 4

Z

E

—— x", erit 2à^ —— x* -- ix, ergo erit !x

u"a

ü

boceft tx i at . ergo etiam g^ — 4* — x*, fed u....CQ,

(*

s'ïsz....a-—-x5 P;-—aax, ergOe"cCä-—bP

x Pr &in hy perbola eft i m a* — at

Q. E. D.

R

COROLLARIU:M

E

76. Cum igitur femper fit SOX Q

CP*

$P X Ps; — NQ

* cum in ellypfi fit CP. zz x, fi fiat ex proprietatibus eïlypïcos

t

&

R

DE DIAMETRIS CURVARUM &c.

193

z

2 s

£

bz

——

: ONQ'erit NQ' z ——.

Dein in tnanguhS CPM

.aa

efto

& CNQ utpote re&anguh., e CM* — CP^ . PM* & CN* ze-eco*

B* x*

MEICS

|

& In

-N* ,eutCM*-—x —l—b*—----—-&NCz-—a —ax*

bz

Q CX

-R —-—, ergoCHt^ -- CN2 z b*-La*, hoceffumma quàdrato-

1:

ä

leff

rum diametrorum conjugatarum quarumvis eít cequalis fumm»

duorum axium quadratorum, adeoque cum axes conítantes fint

in eadem ellypü, etiam fumma quadratorum dla.metrorum cone

jusatarum conftans eft,

In Hyperbola fiet b*

— a^, hinc diffe-

rentia quadratorum duarum diametrorum, conítans eft,

.ï;

THEOREMA T.

]

?

P&

£

7. Triangulum MPT a tangente fubtangen-

te & ordinata factum eft zquale trapezio SPrM

[

*

dratà

facto ab abíciffa SP, ordinata /MP, tangente in

5)

vertice r9 & recta rM per punctum contactus &

Jíca

centrum dudta. (Fig, 30.)

TP

DEMONSTRATIO

titu«

Cum ZP ft —

It

ls AON d

a——-x

ndo

abfciífis a centro computatls, erit CA ——

-F xíeu

2

x

ult

A* — x* m x

X

id eft —; refoluta hac

x

equatione . CT

1po

lfet

2,

Cs

£

Wuene

um

— in PTOPOI'UOHSBI erit x

*

9

42 4: CT, id eft

D

2

CP : CS z« CS: CT, obtriangula vero fimilia CMP,

Fg,

CrS. erit CP: CS....PM : Sr, ergo etiam C5 :.C T -'-'PZV[

P

XSV

SV&CS)(Sr

CT x PM vel etiam

2

E ssl

CTx PM

um

, Ífed he quantltates funt zquales areis

v*

fe05

triangulorum S£C & €M T eff enim dumdmm factum

M4

ba-

".

i

o

):(

184

CAPUTP:-IV

bafium- C T' & CS in altitudinem 5v & PM, ergo trian-

gulum CM T — triangulo CSr , ablata ab utroque parte

communi P/MC manet TPM triangulum z trapezio

,M() j

SPAMr.. Q. E. D.

&ur f

COROLLARIUM I

inh

78. Inde patet, ü./o (Fäg ?I) femiordinata ad diame-

tiof

itrüum prolongetur usque ad axim in y, & demittatur ab 4 femi-

leti

ordinata ad axim /g, fore triangulum /qu z trapezio qkr$ ; tri-

l* s

angula enim PMT, glu funt fimilia ob parallelas lu, MT & re-

W.

&os in g & P, ergo et MPT: glu — pu*

:gl^ (funt enim tri-

angula fimilia uf quadrata laterum homologorum) eft autem ob

(

frovrietates ellyfeos PM* :

CP?:c6to*

gl2 zcS? —

— C &

-(

CS* — CP* : C5* — Qg* — PSrM : qkSr hoc e PS? 148* —— PSrM

vel

: gk$r. (cum enim trapezia hec habeant eandem altïtudmem,

erünt eorum areze ut quadrata bafium PS & g$) ergo etiam PM*

gl2 z PSrM :

gkSr, ergo etiam MPT : PSrM — glu

qkSr ,

fed MPT — PSrM, ergo etiam glu z gksr, demendo SrMP &

üy

addendo MPT erit glu —— qkMT.

CM

COROLLARIUM 1I.

-I|

79. Ergo tuangulum parvum Klo eft æquale trapezio oMuT

ctm enim fit g/u — qkMT, auferendo ab utroque kgou com-

L] 42'

mune, manet Jok z oMaurT.

COROLLARIUM

III

80. Si nd ducatur parallela ad /k erit Cnd —— CMT. Nam

xremoto pun&o 7 usque in V, linea /u eoincidet cum Nn , -& tra-

at

pezium MouT degenerabit in triangulum CMT, & Jok in NCD, fed

aX

Iok &rat z MouT,

ergo etiam NCD — CMT , fed NCD eft ol

üit

parallelas$ equale 1pfi nCd, ergo etiam cnd —— CMT,

)

pl

THEOREMA.IV

81. In ellypfi quadratum femiordinatz /oad dia-

metrum Z/Mm eít ad productum ex abíciffis 7Mo

i

X oOonm,

T

ut quadratum femidiametri conjugata JNC

*qu

'vd quadratum femidiametri alterius. 72MC', hoc eft

d

hn

: Mo x om — NC' : AMc'*. (sz gi)

D E-

st

195

DE DIAMETRIS CURVARUM &c.

) (riatt-

&

DEMONSTRATIO.

e parte

Sit lo

rE

anmeamuna

d

Foinoms]

apezio

y, Mn

2a, Co

x, MC zxa,

Mo X om

amtuose ts

ss

44 — xx, NC zm b, mC .

ETA

]

4; duca-

tur sd parallela ad /k, erunt triangula zde, lok fimilia,

in k enim & d feu y & a funt alterni, item cum /zux fit

diome-

rhomboides a quatuor parallelis, anguli oppofiti & &

l femi«

l etiam debenteffe zequales, ergo totum ndc z—lok, ergo

fs tti«

"&

lo* ; nc* z lob : ncd ($. 264.), fed triangula fimilia CMT,

C dant CA : C — CMT': Cou, ergo dividendo

lm tri«

]tem ob

CM* — Q* : CMe. z5 CMTT — Cou: CMT , fed CMT

Q

— Cou z MouT, ergo CM* —Co* : CM* — Mou T: CM T,

- Pt

vel quia Jok — AMouT'($. 19.), & MCT — ncd, ett CAP

dinem ,

— (Qo* : CM*

—

p

n py*

lok : tcd & quia erat fuperius Co* :nC*

z lok: nd, erit etiam CM* — Co? : CA z eo* : n*

: K,

TP k

fi jam fubíituamus valores fuperius expreffos erit. ( ob

CAMP — & - CM-r-Cox CM — Cozza-c-xXa

pl

x) à* — x* : a^ z y* : ^, vel permutando y* : à^ — x*

Z—bä

Dd

3MuT ,

b* : &^. In hyperbola autem eritv y:x —àa

4 com-

: azo Q- Eo D!

DEFINITIO IL

82. Si per verticem hyperbole S (Fig. 32.) du-

[ Nu

catur linea perpendicularis ad axem , & fiat zqualis

& tfo-

axi conjugato, ita ut LL/ fit zqualis Yx, linez indefi-

p, f&

et o

nitzs ex centro per Y & x ducte dicuntur afymtoti Hy-

perbalfz.

COROLLARIUM I.

] dii

7O, Patet inde, quia Yx femper eft equalis Ll, prout L7

major vel minor fuerit, angulum , cui opponitur latus Yx, etiam

IMo

majorem vel minorem eífe, & f fuerit re&us, axis conjugatus

NC

squalis axi principali effe debet, cum enim in C fupponatur effe

re&us adeoque m-j-2 n — 90^, eritm 2—45^, proin cum in u ete

el

lam fit re&us, erit r etiam —— 45^, proin C$ 2— SY — CL.

Cum jam hac ratione a]terutg;* axis pro conjusato háberi poffit,

M

E.

5

qua-

186

ÜOAPUT.IV

quatuor hyperbole, ex quibus due quevis fibi opponuntur

de-

(

fcribi poterunt, & vocabuntur hx Ayperbole «quilatere,

COROLLARIUM I

105

84, In hac hyperbola equilatera abfciff s a vertice compue

(I

tatis habetur ad eapm equatio y

z 2agx - xx & abíciíüs a

centro computatis eft .a

gb &

— 4 ,quia 4 — b,& p z— Q

parameter eri£ aqualis axi

DRERBSJIAITIO

HT.

85. Quevis re&a ab hyperbola ad afgmtotum du-

&a vel parallela alteri affymtoto ut MY vel parallela axi

quà

conjugato ut /Vía vel parallela axi principali ut 4 Y dicune

r

tur ordinate ad afymtotum.

t

tei

THEOREMA V

fni

pl

86. Rectangulum linearum a7M x JMe, que

funt ordinata P/M prolongata utrinque ad afyinto-

tum in a & e, eft aequale quadrato femiaxis Conju-

d

gatl feu D.

to

DEMONSTRATIO

li

]

Dicatur CY pars afymtoti ab altera ordinata MY

abíciffa 2 x, erit ob triangula CSY, CPa fimilia. CS

bx

SYzzCP

Pa, hoc eft a

b z x: Pa, ergo Pa —

fed 4 — aP — MP , hóc eft 4M — — — y & Ms

&

N

— MP -- Pefeucb PDz- ]V'P & Pe — a4P, erit 7Me

le

z P: -- MP hoc eftMe—. u -l-y, ergoaMX]Wc—-

&

94

Qu

—2 77 J fed in expreffione ellypfeos abfciffis a centro

2 vX

$

L

computatis eraty^ z

— L^, & quia CL* zz , erit

CL*

|

|

DE DIAMETRIS CURVARUM &c.

I87

üntut, de

þ2l 2

e

CLz REU

refoluta hac sequatione in facto-

aa

bx———y

res erit. CL^ —

) (E»x

OM

&& Compti

4b

CL* z aM x Me.

QED

Z:—-Aä&

COROLLARIUM

z

2

87. Cum fit Pa — —,erit P4^ & ———, fed, PM*

eft

52

62 da

a

otum d

—

m ul ls nE

z

2

($. 7:) ergo Pa femper major eít debea

a

allela a

quam PAT, cum femper P iit æquahs ipfi Pa — quanutate

Y dicu

b2 2

———.4 ergo inter, ordmatam & afymtotum femper aliquod fpa-

tlum intercedere debet

proinde nunquam illi xqualis fieri pos»

teft. Ergo hyperbola nunquam cum afymtoto concurrit , licet in in-

finitum producatur

THEOREMA VI

que

afyim

898. Rectangulum ex ordinata quacunque MY

Qotj

ad unam afymtotum, & parallela ad | alteram. afym-

totum & ex fua abfmü"a CY -—x elt femper zequa-

lis rectangulo ex $K * CK . feu CK* id eft, erit

JIYICA CM CCE

st MY

lia

h

DEMONSTRATIO

..--,

Ducatur Jx parallela & zqualis ad CY, triangu-

la KSY & MaY funt fimilia, o enim & ; ob parallelas

j&Me

SK & MY, item r & c ob parallelas SY & 4/MM. zqua-

erit Jf

les funt

ergo erit MY : SK — 4M : YS vel CL, fed

ex precedenti theoremate eft 4/M : CL — CL : Me, &

um

quia SK Y & MZe ob parallelifmum fimilia funt, erit etiam

SY : Me z YK : MZfed YK et — SK & MZzCY

; centto

ergo SY : Mezz SK ; CY, ergo etiam MY : bK SKÉ:

p, ett

CY. Q. E. D.

SCHO-

(

188

CAPUT IV

z

SCHOLION

- (l

$9. SK eífe xquale KL apparet ob C rectum per afymto-

ium blffe*"rum proin m — $,in K funt redi, ergo CSK :KLC'

Tàfe

fil

ergo SK —— KL ob eandem ranonem SK x K,

COROLLARIUM Y,

ad ftü

90. Si CK vel SK faciamus — c, CY — X,& My,.—y,

te ha

erit ex precedenti theoremate y

C — C

« ergo. L

-- Xy.

&10ne

que eft equatio hyperbole velate ad afymtotos ,- & quantitas cc. eft

n d

potentia hyperbole

COR(C

LLARIUM — Ik

91.

Cum ob re&ansulum €LS fit LS? —— CL* -IF- CS? hoc

eít LS* —b --2

fed L3 — 928K , ergo 4SK — b? -4a^,

SK?

(ioj

E

bz

fæa. c?

— À

b* -a*

—

——

pan

4

4

- — , ergo potentia hyperbolæ eft

equalis quarte parti fumme quadratorum fomiaxium.

THEOREM.A VII

qu£ :

Tiete

92. Si quzecunque linea ae (P7g. 33.) per hy-

h 5l

perbolam ab afymtoto ad afymtotum ducatur, par-

Ebf

tes aJM , me inter curvam & afymtotum compre-

[

henfze funt inter fe zequales.

DEMONSTRATIO

tàli

Ducantur per /M, & m perpendiculares ad axim

illi l

BQ & DT', erunt triangula 4MB, amD ob parallelas

BO, DT fimilia, ergo et 4/M : MB z am : Dm, fed

h

etiam triangula Tme & eMQ funt fimilia ob easdem pa-

Ly

ralelas, ergo eft M : MQ z em : m T multiplicatis

his proportionibus,uti ftant, erit a/M x Me: MB x MQ.

z—am x en:mD x mT, fed BM x MQ — V, item

zD xmTz-Fextheor. V. ergo BM x MQ —nD

x ml. ergo etiam aM x« /Me zz am X me , .fed Me zzx Mm

-- sne & am

d

ao eem

/ZM "ä'" 1Mm

ergo aM x . Mm -- me

anS|laees

d

kIj)'E DIAMETRIS CURVARUM &c. 189

— aM -- Mn x me hoc eft aMXXMm -- 2/M X me

d

p

fymto-

4M x me -- /Mim x me, delendo ubique a/M X me

z ELC

maret a/M x Mmn z Mu x me,

deleto JWm» manet 444

f':..f me; Q. E. D.

SCHOLION,

93. Plura hic addi poffent, verum cum elementa tantum

-),

ad ftudium phy(icum neceffaria confcribere propofuerim, fuffice-

z.

re hec arbitror; id unum hic fupereft, ut oftendatur, has fe-

&iores planas eas omnino effe, quas initio ex fectiene coni ori-

T

;l diximus.

Sit igitur.

PROBLEM.A II

. 94. Determinare naturam curvze orte ex fe-

$* hoc

* se

&ione coni, cujus fectionis axis fit ad latus coni

lol tj

parallelus, Lp4MN. (Pig. 44.)

Rs

R.ESOLUTIO;

Secetur idem conus plano ad bafim paralleloxHPI]/VI,

qua neceffario erit circulus ex definitione coni, & dia-

tty

meter HL erit parallela ad diametrum .4B, & triangu-

la SPI & SEB (ümilia, proinde erit SP : S E —— PI:

p

EBfitSPzzx; SE-z,

z

D m entkcocmi:

;mpïe'

X HO

EB — ïï- Jam cum PM fit media proportio-

nalis refpe&u circuli inter. PI & IHP, erit PAf —— PI

x HP,& bN:

Mu

Guceccem

AE x EB. Siergo fit HP z- «,

| axitt

ili parallela & zqualis AE etiam erit z— v, erit P/M*

jllelaó

z ivG EW aoX ii feu -

j fed

x

x

77 igiturfi PA* fiat y &

1 pe

EN* fiat. 4* erit.

heats

PL DBhebH. AEXEB

"H

2

2

——

2l

1, item

J

A

]

ll

iv

: hoec eft

— mD

]

q'Z

fux

viz

z Mm

n

2

M

J

4

3, hOG eü P]þïz:

J

EN:

d

190

CAPUT IV

EN -—x

2, fed refpe&u curvze S7MEN funt PM &

iteim

fut

EN femiordinate, & SP & SE;abfciffe, ergo quadra-

ta femlordlnat..rum funt ut abfciffe, hzec autem pro-

foos

2

prietas tantum eft in parabola, ergo curva,

que Ori 'Tur

ex fc&ione pamllela ad latus, eff. parabola.

PROBLEMA

IL

95 Determinare naturam curvz ortze ex fectio-

fie (

ne coni oblique ad axim. EpS MANE, (Fig. 5)

RES

OLUTI1O.

Secetur cónus idem duobus circulis ad bafin paral-

fim

lelis HpIM & LKNL, & fimul per fe&ionem tranfeun-

ES

&tit

tibus, ut prius, PJ fit iterum — £, SQ.....v SP....x,

SE za,LQ z s, erit ergo PE —

li,

— v, ob triangula fimilia SPI, & SLK erit

SP: PI-SQ:QK

x

i

d

U

i &ob triangula fimilia ELO &

&o

EPH

$p

eiit EQ : QL — EP PH

$ —— $x

& — "

z y Em (1—JX

——

, ergo cum iterum fit ob

Q —— "D

u$ —X

t

propnetates curcuh PM' —

: HP x PIerit PM* z

— $xÍ

a-—uw

eri

X t hoc ef'c

&

& —

et

ON

KQx QL ergo Q* z — X * hoc efï — ergo eft

£xb

vi;

zutx —— fixx

fed

QNz

: — hoc

i

x

[j

E

vtg — wvl

— ormiffo denommatore coinmmuni &

divifis

x —-'Ux

per

omnibus per £* erit ax — xx : av — vv, fed refpe&u cur-

I

ve EpSMAME funt PM & QV femiordinate , 5P & PE

item

i

DE DIAMETRIS CURVARUM &c.

19*

DM &

item EQ, Q; abfciffe, ärgowquadratva femiordïnatarumr

quadra:

funt ut re&tangula ex abfciffis , quz eft proprietas ellip-

m pro«

feos, ergo curva, qua eritur ex feclione obliqua ad axim, eft

"2771

cllz'g/z':.

PROBLEM A IIL

96. Determinare naturam curvze ortze ex xfe&io-

r«

ne coni parallele ad axim LpSAMMNL. (Fig. 36.)

45)

RESOLUTIO.

Secetur conus idem du&o circulo parallele ad-bä-

n paril

fim HpIMH & fimul per fe&ionem tranfeunte ut prius,

tanfetie

erit EP z a-H-x&E

ES L a,SPzx, SQov, PHol,PI-;, ergo

9P:1',

—— 4-i- v; ob triangula fimi-

MT

la EPH, EQ 4erit EP : PH — EQ : O4, hoc eft

ab -- uf

ü-i-x

fomzmmadx:

4 vb x

"

&K ob triangula fimilia /SPI & SQB erit

EPH

SP : P[ z 5Q : QB ergo

X

$ E «

—. cum iterum ü,t ob proptietates

n fitob

t - 1X

circuli PA — HPx x PI &, QN* — 4Q x QB

—

at - v

Ey/4

q-9

erit PM* 'f—' x r& DNAS E

Qd m c N at i Cs

—

hoc

4 Ti- x

x

atfu -- vvis

aifU --

ft

—, ergo PM* : ON* z t :

M

ax "- xx

üx -- xx

240 ett

?fedu&is ad commuhem de*nominaforein eft

irax ,—'— ixx

——

- n

at "- vuotr

|düx eeoxx

P

/

UR AERS

ax "- xx

omiífo commuhj denomjnatore & divifis

qivilis

per ts manet ax -- xx

4v *k- vv, fed fefpectu curvze

tu cut

LpSMNL, PM & QN funt femiordinate, & SP &

&P

$Q abíciífz , ergo quadrata femiorgdiqatarum fünt ut re-

ia

; &an.

192

CAPUT V.

y -

&aggula ex abfciffis, que eft proprietas hypetbole,

[2

ergo curve, que ovitur ex fe&lione coui parallele ad axim, ef

pium

; hyper?ola.

men

plun

CA-þUyT V

fpat

NT

DE DIMENSIONE SEU QUADRATU-

talle

'þäït

RA AUT CUBATIONE SECTIONUM

teit

CONICARUM.

Hi)

DEFTITINITIO L

$at

97. Quadrare fe&ionem conicam eft dimenfmneni

pu

plani fe&ione conica claufi in menfura quadratica

determinare. Cubare eft quantitatem folidi fe&ione co-

nica fa&i ut Paraboloidis , Ellz'ptoidi:, in menfura cu-

& M

bica determinare.

Qu

QTHROREMSA

I

G

98. Area fpatii parabolici , ramo, axe, & femi-

ordinata claufi ZV.SIN. eft sequalis 2 facti ex bale

feu femiordinata in altitudinem feu partem axeos Ss.

.

(Fig. 37-)

RESOLUT. ET DEMONST.

Ex M ducatur tangens M T', &in S erigatur per-

pendicularis S indefinita, ad hanc ex /M ducatur pet-

-

pendicularis 7Ma, & illi infinite propingua sz, uttaque

erit parallela ad axim, per pun&um r ducatur re&a u

perpendicularis ad axim & parallela ad.mS; fi MMr pro

recta utpote infinite parva habeatur, erunt triangula

Mrsn & M Ts fmilia, & erit sT : £M z u

nM,

HT"UB|ND

P Ral

2mu &

fed s ^ zz 25s utpote fubtangens ($. '61.)" !

L )

D.

DE DIMENS. SEU QUADRAT. &c. 193

fbole,

yr z— 5,ergo amn : sM zsi : nM & oamn X nM

i, ef

z £M x s, ergo re&angulum intekrius fiuM eft du-

E

plum re&anguli exterioris a/V£mm, ergo quodlibet. ele-

mentum fpatii interioris dimidiz arez parabolice eft du-

i

plum elementi correfpondentis exterioris, ergo totum

fpatium parabolicum .S/Mr eít duplum fpatii exterioris

SaM, fed hwc duo fpatia fimul fumta funt zqualia pa-

TU.

rallelogrammo ,$4/Mr; ergo fi totum dividatur in tres

partes, erit fpatium parabolicum ,S/Mr &quale duabus

j

tertiis parallelogrammi correfpondentis & fpatium exte-

rius ,S/Vía eft una tertia.

Si igitur ex altera parte pet

ramum alterum parabole fpatium claudatur, cum hzxe

pars fit mqualis alt

fionem

eri ^ erit totum zz $ M x Ss,

Q. E. D,

-

dratica

$CHOLION E

ye CO

ià QU

99, Cum aM & nm fint infinite propinqua, triangula Mrn

& Mrn funt infinite parva, proin refpe&u re&angulorum, ad

que pertinent, negligi poffunt, & MMuis pro interno, ammM pro

externo haberi poteft.

SCHOLIöN It,

fefmie

Ioo; Siigitur datur quadrandum fpatium MSJN & flt MN

, bule

zx $64 , $s — 230 eritípatium parabolicum

*OS SSa

z 564

39

[Era s SSRKSISIE m

16920

1128

r per

129720

t pel

ttaque

quadratia

.259440 | 86480 pedibus

i

fs u

f pto

n guïü

nM j

j & :

AMetsh, Matä P. IH.

N

THE

tf

T

194

CAPUT V.

THEOREMA II

lor. Soliditas corporis perimetro parabolico

üx

claufi feu paraboloidis eft — dimidiz arez baíeos

tet

ducbz in altitudinem. (Pzg. 38.)

Jus

DEMONSTRATIO

Si planum $Ms circa axem s rotetur

SM de«

fcribet corpus figura parabolica 7MSm claufum & quz-

]

libet ordinata ut /Mr, OP defcribet circulos; funt igi-

lii

tur elementa hujus corporis plana circularia, que:a

vettice. 5 usque ad bafim crefcunt ut quadrata ordinata»

po

rum,-cum fint arez ut quadràta diametrorum, fed qua-

i

drata ordinatarum funt ut abíciffe ($. 39.) ergo arez

borum circulorum funt ut abíciffe SP,.Sr &c. Si igi-

tur ab(ciffas in progreffione arlthmetlca crefcere fuppo-

namus, cujus primus terminus 5 eft infinite parvus — 0,

fe

& ultimus —— circulo radio /Mt defcripto, qui vocetut

ad

B erunt quadrata ordinatarum feu atéx circulorum zequa-

les fummz progreffionis arithmetice, cujus primus ter-

m

minus —— o, & ultimus — B. Numerus circulorum feu

terminorum progreílionis eft altitudo 5s, qua vocetur

.4, erit füumma zz . ——, fed fumma. elementorum, feu

fumma harum arearum eft zqualis toti foliditati feu pa-

e

aboloidi, ergo foliditas paraboloidis eft z— dimidio

(

fa&o ex area bafeos in altitudinem.- Q. E.

L4

i

^

SCHOLION

r

fit Ms

102 Sit igitur cubandum corpu: parabolmdmum

z 56 , erit tota bafis -— 24 6176 , füt $s e« 60 elit tota

(ohstas

246176

QU

e

306"

73^852 800*

Y

N

THE-

Fad

DE DIMENS. SEU QUADRAT. &c

19

J

THEOREM A. IIL

Quco

103. Superficies ellipfeos eft zequalis fuperficiei

l808

circuli, cujus radius eft medius proportionalis in-

fer axes,

hoc eft fi axis major —d4,minorzzb,cu-

jus radlus um W

DEMONSTRATIO

| de.

que

Sit « circumferentia circuli radio v defcripti, inve-

it pj

nietur circumferentia mrcuh radio a defcripti per pro-

ub 3

*

L

e

ao

—

IDatte

POI'UO']EHI y

É (5 244. gemz), ut habea-

ac

a

que

tur hujus circuli area, ducatm — in —, erit fuperficies

area

Li

».

l ii

circuli radio « defcripti z ——

fed fuperficies ellip-

ippo

0

feos eft ad hanc fuperümem arcularem ficut axis minor

&Uf

Ó

i

b

lqw&

ad majorem, ($. 62.) feu S':

ld

$ 85

ergo 95

atbc

abc

t&ft

—

—

——

m

24/'

2

; fed hec e(t area circuli, cujus radius

j feu

CeLUE

eft [/au, affumto enxm hoc radio mvemetur ejus cir»

ce

cumferentia dicendo v : e ——

ab :

fei

-———..,

que cit.

L

xf?.

cumferentxa du&a in dimidium radium feu *— — dat

Yiol0

—-QED

gT

COROLLAR I U.M

I.

h

IO4. Ad inveniendam igitur fuperficiem ellipfeos exttalia-

tota

tur ex fa&o axium radix, quse erit radius circuli, cujus area

eft »qualis arez ellipfeos

Sit quadranda ellipfis , cujus axis

major a — 9 , minor b — 4 , erit radius medius proportiona-

lis —6 , eít enim 4 X9 —5 36, cujus radix —6 5 pofita igitur

diametro z I2, arsà hujus circuli

habetur ex

proportione

^E

L "od

-

E

UI

o E

D

196

CAPUT V.

144 : I1304 , que fimul

af

($..267, -reorre*) 1000 : 785 —

eft area ellipfeo$ quzíita.

ad (i

COROLLARIUM IL.

du u

Yo»5

Apparet eX hoc ?

cum qmdratura ellipfeos ab area

fufpon

tmfer.

Circuli dependeat, eam quoque veram & abfolutam inveniri iion

poffe, ut de quadratura circuli diximus.

foidi f

a

feript

TL EOO.R EM .A IV.

fed (l

106 Soliditas ellipfoidis zequalis eft 2 fadti ex

yli

e€eUxr

bafecs

area circuli

.

e minori tanquam bàfi defcnptl, in

g

w

j

axim majorem. (F?9g. 29.)

t

tüáo

DEMONSTRATIO

Jis &

Si concipiamus circulum fupra axim majorem el-

fcrip

lipfeos Sr defcriptum , eumque una cum ellipfi circá

RHBSSS

axem 5$s circumagi, ordinatz circuli CB, .PD tanquam

|

1

radii defecribent circulos, qui fint ad circulos per CV

um

alitud

PM ordinatas. correfpondentes ellipfeos defcriptos ut

if

quadrata ordinatárum Circuli ad quadrata ordinatarum

UY

ellipfeos (funt eniim circuli ut quadtata radiorum) feu

ut quadratum femiaxis majoris ad quadratum fémiaxis

minoris, ut dictum eft in (

79, radii vero circuli de-

fcribent fpheram & :àdii ellipfeos ellipfoidem, ita ut

18,

quod

ficut fphzra eft colle&io fuorum circulorum tanquam ele-

d

inenta fpectatorum , ita etiam ellipfois ex colle&ione

fuorum circulorum tanquam elementorum confurgit , igi-

tur fphzra , CU]US circulus maximus diametrum habét

tqualem axi majori ellipfeos

eft ad ellipfoidem ut

Qited

pan

quadratum íemiaxis majoris ad quadratum femiaxis mi-

noris.

ia

$i jam concipiamus duos cylindros ejusdem al-

Que

titudinis ;

fed quorum unus FEGH pro radio bafeos ha*

Ut

beat femnxe'n majorem

alter femiaxim minorém, hi

Y f

duo cvlindri erunt ut bafe

. vel ut quadrata radiorum

^

A

as

. 4

DE DIMENS. SEU QUADRAT.

&C.

197

w

bafium hoc eft ut quadratum femiaxis majoris ellipfeos

ad quadratum femiàx

minoris, & fi hos duos Cylin-

dros unum fphare , alterum elhpfmdl circumfcriptum

aK

fupponamus, erit fphzra ad ellipfoidem ut cylinder cir-

non

cumfcriptus fphzra ad alterum circumícriptum ellip:

foidi feu alternando fphera ad fuum cyliadrum circum-

fcriptum ut ellipfois ad fuum cyhndrum circumfcriptum,

fed fphzera habet 5

* cylindri primi, ergo ellipfois habet

bl ekc

£ cylindri Aïtemr-*,

fed foliditas hujus eft fa&tum ex area

bafecs in altvudmem, ergo etiam foliditas ellipfoidis eft

jin

E fa&i ex area bafeos in altitudinem ,. fed bafis eft

cnculus axe minore tanquam radio defcriptus, & alti-

tudo.eít axis major, ergo foliditas ellipfoidis eft zequa-

lis 2

- fa&i ex areá cncuh, axe minori tanquam bafi de-

) d

fcrxptx in axim majorem.

Q. E, D

j

COROLLARIUM i.

!

Ual

l l

to7. S: axis

major affüumeretut pro bafá, erit minor axi$

7

h

altitudo cylindri circumfcripti , & eodem ratiocinio probatur,

W

ellipfoidem effe — 2 fa&i ex atea bafeos femiaxe I&ajore tans

ITUDI

quam radio defcrlptæ du&a in axem minorem.

ieu

COROLLARIUM Il

d

I08. Si igitur cubanda fit ellipfois, cujus axis major fit

18

minor I2 eritarea circuli axe minore defcriptiz— I1304 ,

3 Ui

^

120

LP 4

da$

quod duc&um in 72

xis majoris feu in I92 vel

ele

1?356 480 *

iOnte

SCHoOLrOoN I

Íri-

q09. Ufu$ parabole eftinlapífu aut projectione ctavium non

bàt

üire&a via motorum: via 'enim ab his defcripta quam proxime

ür

parabolica eft,

Si enim fupponamus, quod in phyfica demon*

[

itratur, corpus fola vi gravitatis fine obítaculo moveri, fpatia,

Qque percurrit, erunt ut quadrata témporum , experientia fcilicet

a,-

conítat

quod corpus tmotum tempore, quod eft ut duo , defcri-

has

bat fpatium. quadruplum illius, quod defctiberet, fi per témpus,

hi

quod eft ut unum moveretur. Concipiamus mobile ferri dire&ione

ufl

"

AG squabiliter (Fig. 40.), ut fpatia defcriptafint equalia 4B, HE,

hGs

N 3

-

198

UA PU

V.

EG, fed fimul moveatur accelerate, ita ut dum tempore prim

e

defcriberet 4B , accelerate defcribat AC, erit corpus poft pri-

at

mum tempus in H, poft alterum per ,4D in l poft tertium per

tiií

AF in K, & CH, D[ FK. erunt æouaha temporibus 4B, AE,

n

-G . & fpatia erunt .40 AD, AFP; fed fpatia funt ut quadrata

t

temporum, ergo AC nt CH^ , AD ut DI?^,

AF ut FK* hoc eft

an

AC O ADIS

L—CH? : DIi?: conüderaus AC, AD , AF ut abfciffis

CR

& reliquis ut fémiordinatis, erunt abíciffe ut quadrata femior-

dinatarum ; C, H, I, K ergo fünt in parabola,

Eodem modo corpus furfum obhque motum & iterum reci-

dehs parabolam .defcribit

cui principio fcientia balliftica , feu

ii

N

ex mortarus ejiciendi bombas & quodcunque obje&um feriendi

innititur data enim diftantia horizontali 2FK , data altitudine

lu

AF, ad quam quantitas pulveris pyrii blobum elevat

determie

g

natur angulus, ad quem mortarium go*mültuendum eftt, ut globus

parabolam his lineis 2FK & AF accommodatam. defcribat, Ve-

q

«(

rum aeris refiftentia hic tanta, tamque varia eft, pulvis pyrius

tam diverfus, ut praxis nunquam huic theorim refpondeat

fed

g

ex primofum ja&uum effe&u, qui circiter ad metam diriguntut,

p

Qh

im rationem dirigendi mortarii indagandum eft.

'Tabule variz

jam conftruce habentur, qus» & dire&ionem & qua-mt item pul-

vetis pyrii relate ad diítantiam corporis feriendi complec&untur.

[

te

SCHOLION II

fo

YIO. Álter ufus patabols effe poteft intubis locutorlis & atue

fücis, cum enim ex $.

ï

;

16, conítet radios omnes in parabolam

incidentes ad unum. pun&um, quod focum, d1c1mus

reflet&i, &

Y

in illo congregari ; i fupponamus inftrumentum, (Fig. 41 )quod ex

i

totatione p:nabmæ circa axem fuum ox formetur, & ita áptetur ,

ut in ipfo foco fit foramen.o, cüi os applicetur, excellens tuba

f

locutoria habebitur;

radii enim vocales ex. ore feu o emiíffi &

in latera inftrumenti impingentes paralleli tefle&entur, & ex tu-

ba exibunt, proin quelibet vox a pluribus radiis fonoris multo

clarius & ad majorem multo diítantiam ad aures alterius defete-

ä

tur. Si parabole adjungatur ellipfojs, que cum illa communem

unum habeat focum, (friz, 42.) alter autem inipfo foramine feu ad

os loquentis exiítat, majorem adhuc effe&um expetiemur; radii

enim fonoti ex o in p impingentes ad f refle&tentur, unde jam

per mutuam a&ionem condenfati in m & m impingent, & dupli-

ci vireflexi paralleli ad aures procul diftantis pervenient,

$i ufus tubz iuvertatur , acuft/ca vocatur, (Fig. 43.) & foramen

feu canaliculus a auri apphca.tur radii enim fonori paralleli in con*

€a*

DE DIMENS, SEU QUADRAT. &c.

199

Dtirmo

ft ptie

cavitatem paraboloidis incidentes ad f refle&entur, unde ope

i pe

aeris fortiter impulfü fumul ad a perferentur, & tympanum au-

) 4

£,

1is ferient. Magnam idfurdaftris commoditatem adfert, Simajos

AGrata

rem effe&um quis cupiat , ellipfoidem CEiz, 44.) adhibebit, in quo

0c eft

inftrumento os loquentis aperture o applicatur, & canaliculus &

auri audientis immittitur, radii fongri in z reflexi & ig f col«

»taffg

Iiote

le&i magna vi in aurem irruent , & fenfum afficient,

SCHOLLILON

L.

tet]e

IN

IrI. Ex eadem radiorum ad focum reflexorum proprietate de-

endi

ducuntur fpecula cauftica feu uftoria. CFrg. 45.) Si enim plures radii

udine

luminofi paralleli in planum parabolicum bene politum incidant ,

(eNe

quemadmodum funt radii a fole venientes, qui ob infinitam di&tan-

?lobus

tiam parallelam viam fequuntur, ii omnes ad focum refe&entur S i

, Ve-

quo cum inmagna quantitate colligantur, materiam combuftibilem

accendent,

oyrius

Si autem in foco flammam aut càndens metallum

,fel

$lobum v. g. ferreum ponamus, rádii in m, m, m incidentes

Intüfy

paralele progredientur, & cameram, plateam, aut quodcunque

vae

obje&um inter radios parallelos pofitum illuminabunt,

| pule

Si radii in debita diftantia altero zquali fpeculo excipian-

Itf

tur, ii rurfus in z,z, z reflexi in foco x coligentur, & ma-

teriam combuftibilem in x pofltam accendent.

Si prior aurem

foco x applicet, &alter fubmiffa voce. quidpiam in f pronunciet,

prior folum loquentem in f intelliget, quin in medio fubíften-

AC

tes vel minimum fonum percipiant ;

radii enim fonori,

ut

olart

luminis.ex f in parabolam primam incidentes- & parallele

i&

usque ad alteram progredientes hic rurfus ad x refle&tentur,

ydex

& aurem ferient; idem . erit, fi obfcure fonorum corpus horolo-

ofüf

gium v. g, faccale ad f ponatur, in x ita fonus percipietur, ac

tuba

fi ipfi horologio auris applicaretur.

Quin ipfi muri cubiculi ita

f&

conftrui aut duo íaxa ita ad formam parabolicam exfcindi poí-

T

funt, ut loquens vérfus primum murum tantum ab eo intelliga-

ulto

tur, qui e regione muro oppofito aurem applicát, quin interme-

fetee

dii quidpiam audiant,

At bene notandum eft, fpatium interje-

fonm

&um & in priori & ifto cafü non nimis magnum eífe debere,

jad

nec clamorem intermedium validum excitandum eífe, radii enim

T

aut vaporibus aut

motibus alterius foni a lineis parallelis de-

m

iorquerentur, & in obje&um fpeculum aut murum non incide-

pl«

tent, proin nec ad focum refle&erentur.

8i alterius parabole loco adhibeatur portio ellipfoidis, cu»

1en

juS focus unus fit f, alter &, auditor aurem foco x applicans fi-

on*

inul fonum dire&um ex f yenientezg & funul reflexum ex m pere

cipi-

Aaoo

CAP. DE DIMENS. SEU QUAD. &c.

A

eipiet , aäeoque ellipfois proó efformando Echo ferviet. Si cor-

pus luminofum ad focum f ellipfoidis (E/g. 47.) ponatur , radii ex f

exeuntes & in psmrconcavitatem ellipfoidis incidentes ad alterum

fat,

focum p refle&entur, ubi corpus combufibile inflammabunt,

tl

EEE

*

eo

I1dem de fonoro corpore in f pofito intelligendum eft, Si fornix

cubiculi ad formam ellipfeos conftrüatur, perfonz duw inp & Í

f

iv

*

E —

ftantes fecum colloqui fubmiffa voce poterunt, quin adfcamium

E

—

RO

quispiam eas intelligere queát.

cons

E2c

€

J

Es

BO Cya c» *

SCHOLIGN IV.

f0 « 1

X I2. Camini (Fz'g, 48.) ad formam paraboïïcam extru&i multo

64* 1

66 -

1)

J

magis quam alii cameram calefaciunt; radii enim ab accenfo in f

ligno & in m, g,m impingentes, omnes parallele ad cubiculum

E

68 * 25

L

veflectuntur.

In fornacjbus chymicis ufus iterum prioris inver«

- 26

r

jus eft ; pofito enim corporein foco & accenfo inferius igne , radii

29

igniferi omnes in latera incidentes ad focum refledentur , & vi

fua corpus totum pervadent,

Plures hujus generis applicationes

$2

principiorum in fe&ionibus conicis traditorum fieri poíffunt, quag

83—59

$5 -

quilibet iis bene inftru&us proprio marte facile elaborabit.. No«*

bis fufficitexempla hic nonnulla attuliffe , qua ratione ea ad praxim

36

xeducantur. Re.ligua phyfice relinquamus

96. I

0.

!

M

ä

I

4

,

ï

19

i

44

TO

T

e

30-"»3

—

E

13s

Q

uf ,

m

Pt f

;

«X X

3

9-

[

Z:(

ä:»sqä

"

4

aE d

"-

SXE — x

3 N

9

* *s o of* I*

—

o ( ER

d

ü

ERRATA IN TOM. ILBENEVOLUS LECTOR

Si COlv

L

SiIC CORRIGET,

il ex f

alterum

Lin.

mabutt,

Pa*

[ fognix

27

18

$. 77

æIl

Corrige

9

78.

1p&j

39

29

5 79:0 ^6099*9e9*0o0o06 09 5690 ,0 5.

7X

flantium

42

!3

lN

So IISDQ.Q *9»9,999o9 o9 $0 9909

BL

I20

53

25

50 1300.-0 ***?9?9oe0 90 oà 50 ..S-

I3I

59

12

"'-:OD: ED,. 999 206?9009090 oaoo:CD: BD

h

6o

13

DE:.& $0** 909 909 69002992.2 5060 $06 ,,DB (Higæ 9!)

d multa

64.

lII

Theor, VIL ..

*eot'9 —o055092090 50 Theoro IXs

66

enfom f

I3

n......."""'IOS. s

LELE EX s.kob 9 6 .o,,O.—.Iog

ubiculutt

68

23

(

4digitos 6 lineas,....... .. .. 4 pedes 6 digitog

1s inyet«

26

4digitos-0 *9 99 9029 0099 00 90 '4 Pedes-

v

6

60 lineas

ne , radii

H

990909006090*9 9900 $9

e .«80 lineas,

29

Ac—Bb, ,

v2 6 sosos6co o , , lzzzBd

f,&?!

jcationes

$2

3

Ac & DA.. f 9. Weceresssects)do & Ia

$3

29

S—PR

nt, quaa

*9*9992009092506^59 9*5 oa..S———-'ä— PR

bi, No:

85

28

$86

'ä' diametfi,, $69 6909099 6 »$9990o0 'ä— diameïïï

j prixill

25

radius,, .. .. .ceece o eses su O düplus radiug

ï

96

I

BFG-'--oa-o *«9$*9 o60o20

*$900699 'BAG

102

r

CEigd9. 140 .. ..

107

o (CFig. 149. 150)

27

F[,g- 136-0 ^909004105 ^0

cexo s PUL TOX

114

Y

& K

9*9*595,a$609502$90^0909

ooooab&H

229

m--n

—MÀ

1080000 $49 * 66 99 «2 6v m"-l'?Z::ISC)

19

3t

(s* 340-)-0 99 90960092^2029260^56 29 069 (S- 240.)

127

14

(S* 360)'000 **$25e99606 *^óo0000929 o.cg' 306)

130

29

p 347,1.0;050-0 ** ee6996060 9 $9 :::357"

135

3o

PX'!D.. 9099 909 6950 0960 690 99 004 PX'ä'-D

165

quadrupïa. *e4à»o 9"*5605.oo609 948 4450 Sübquadruplaa

169

i

J

— ACX.

*$999999*95o09€9.,909 12 29 '*4"4 CX,

——

-

-

d

U

ATT

ss

U

EEE

— uY

M

E

CL 6

IN UM

f

TO

M

z

Ti

—n

—

m

U

""

-

BIÉ

m

-

—

x

t

—Ó

——

——

—

i

ke

$

E

o

r

ov

.x

2

A

X

A

od

"

zi

VE

i

e

025

s

a

ul

d

f

2

:

d

^

^

zi

as

-B

a

i uie. K

u

I

EX

E

v

A

PL

s

N

E

.w

[

"

r

.

M

5

P

z

4

at

d

UT

À

um

X

RT

H

P

E

700

l

É

?

Ver

2

|

4

26

5

Yr

as

E

D

2

Eu

P

£

2j

z

m

a

m

x

5

E

Y

i

zi

:

ts

s

2

A

4

E

É

s

x

[

B

EM

[

P

|-

n

E

t

PV

p

PU

—

s

ER

--

T

E

—

——

s. i

P

D CH RRR

p ia z

—

Ü

À

4

ï

j

E

|

z

*

5]

a

2

: ]

*

N

i*

4

^

w

.

EY

N

*

1

P d

p^

E

51

x

p

1

n R at

ii

- du

CL. GEORG. IGNAT. »z METZBURG,

IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA. LL. ET

PHILOSOPHLE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO-

RIS CAES, REGII PUBLICI, ET ORDINARIE

INSTITUTIONES

9

x

MA'THEM ATICJE

VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset

—:2

1N USUM

us

;g;

o

TIRONUM CONSCRIPT A.

ä

ä

TOMULTSÜUS — L

15

:Lä

À

þl«u!

i

»'

TR

9

7"]'*»;?()

/;1-"

ex

*

$

TAl

"

B

L

)l

ial

^

;l

|

|

j

|

&-ä

ä

|

'a

ï/? :

12

NS

s

—

NSESA

S

Rä

—

li

3

11

l/!

UPN

)::

;

ä

|

a

y

«

L

|

E

2

Ws

(

*

10

—

ci

DORE

XJL

R

AVO

8

VIENN A&,

6

TvyPiS JOAN. THOMJE xo&, png TRATTNERN

5

C.€X8. KRG, AUL/E TYPOGRB. ET EIBLIGPGL!&':

ä

MDCCLXXVI.

1

W Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com