Ba57-2

Ba57-2 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Cl. Georg. Ignat. De Metzburg, In Universitate Viennensi AA. LL. Et Philosophiae Doctoris, Matheseos Professoris Caes. Regii Publici, Et Ordinarii Institutiones Mathematicae In Usum Tironum Conscriptae Metzburg, Georg Ignaz von Em - d Á d a od rl us * at x —— IAMO : E n EuE s. s o d * LA n PA T UMA OMA 9 [] — L V a'.. oism s gt g x P — d - ,&Wuää — a. —€— — —— E a Iu r m - — al j B t m E s A * u ln m : m E 36 E d AE s. iÉ N- — ** TOevEE: i E NV — s " L a N Wi d E^ NEDORC r s STKAS N 2 "ER E N ii W d u — * — d —— J ^ ewiubeis 17 um M ( — z — — C Em Il [ i l p | CN N [ Í ] nta$X— | ss N — a | || I H i l 1 l ] l i r wO ,rb 1 NI u j p ww B Tübingen w 3 s T d Es — CL. GEORG. IGNAT. DE METZBURG IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA. LL. ET PHILOSOPHLZE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO« RIS CAES, REGII PUBLICI, ET ORDINARIE EZNSTITUTIONES MATHHMATHCæ 1N USUM TIRONUM CONSCRIPT E. TOMULUS I m M $ W 27 , 77; NGS Vr ,:l n £ [ n | a | | | l ?S x "a wI '1 | i P 3 | | j N WiIT [ E X ï | i h M , Z ;EQ!F,. EX [ nE DOREETFAVORTFT IT VIENN E TxPisS JOAN. THOMZJ/E xoi, pnp TRATTNERN 24&8, RRG, AUL/ES TYPOGR ET EIBLIOPOL /fi. MDCCLXXV] ire Ü ( C i C ( U — v) INDEX CAPITUM as W:&ä DE LINEIS P2g. CAPUT I. JVouones generales Geometrie, ,. i CAPUT IL Deproprietatibus lnearum recta- M rum ad fé invicem relatarum, & an- gulorum ab üs comprehenforum I4 CAPUT III. De proprietatibus linearum re- Garum ad circulum velatarum. .^ Esl [9) 2 CAPUT IV. De proprietatibus linearum re- darum fpatium .claudentium, ,,, 32 CAPU T V. De lineis proportzonalzbus. "..« 54 DE SU PERFICIEBUS CAPUT L JVoones generales füperficierum. "X CAPUT.IL De menfura füperficierum.. .. 78 CAPUT 1II. De comparatione, & transmu- e ïaflülze aï*earunl € 0067290 88 DE SOLIDIS - CAPUT L. ZVotiones generales Solidorum. , 100 CAPUT IL Je dimenfone folidorum..... Y11 CAPUT III. De comparatione & transmuta- ttone foldorum, , .««« «v eo « » » X4O CA« fuA- f r INDEX CAPITUM (2 j d q N DE SECTIONIBUS CONICIS Ü h d — Ppag. AA CAPUT I .De notone & defcriptione féclio- ' E T U d DUm COMICGTUI, ,«« « » - c o o - 15 (gï ;:f ä : E J) Iu R CAPUT II. Expre[fftones algebraice rectarum V [l [ i ä ad féciones conicas relatarum. , . .. 168 CAPUT IIL £xpreffones linearum, que ftunt ducta tangente ad curyam, .. .. 179 f CAPUT IV. De diametris curvarum,, & hy- perbole afymtotis, , 4 «.« « « 1BE CAPUT V. De dimenfione feu quadratura & cubatione fecfionum conicarum , cum applicatiene practica earunden. , 392 NO' X» 3e .'.ïug 'ïöäm & E E d g ti; r AO $ Y 6; g * ^ s :5 E Ee AL ( n H 9 partiu N s 2, C ln iil 18 x ep( hi &X qu fola , fCCq 4 DE- l [tig] äþ )U (Pil s ) &sm*) (X 33 B AAL ARA v * mf i r £2 "COX x L g AA R CAAMN AL CAV ( 9506 ) £f h s g &t &f 9. l - MAS £a PAX * " AR xX " o J* TO P?E- " E: ss 2 ? s * E ) J *M& ä ;:'; " gä [ 9*5 ä I aA 1j B | — ugF & s n2 &: »)95" A n t 97) ä ä m 23 Ts ov ï;iä W. & D Qorea x2 EX —— — WU. I6 í ELEMENTA 1f2 GHOMRBTRIJE. - ï18; W D]äï iil BIS. 1 J C ATPITI: W NOTIONES GENER ALES. ;DEFINITI/O I. Es £ -55 eometria eft fcientia quantitatis continus. (Sü z'GfFä e-um L .Arith.) Demonftrantur ejus proprietates - quoad extenfionem: extenflo vero eft pofie tio partium unitarum extra partes. COROLLARIU M. 2, Cum omnis extenüo triplici modo confiderari poffüt, in longum fcilicet , in latum, & in profundum ; quzlibet autem eX his vel feparatim üne alia, vel cum alia fine tertia vel cum. utraque adeoque omnes tres fimul accipi pofünt, fequitur, tri» d plex quoque Geometrie óbje&um eífe, primo, dum lonsitu:o fola; fecundo, dum longitudo latitudinijun&a; tertio, dum longi« tudo, latitudo & profunditas fimul in conüderationem veniunt, AMeisb, Math. P. LL À. P gï » / £ 4 CAPUT L Prima dimehüo Eufh;.'mem'a: altera Planimetria: &ertia Sfertomes fria appreïllatur: de qualibet feparatim agemus, W SCHOLIO SZ—N. í partes 4. Quamvis nihil exiftat, quod non triplicem extenfionem üt 4b hanhc habeat, nil tamen vetat, unam fine alia; confiderare, lta de lBneitudine vis fine refpe&u ad latitudinem aut de latitudine aliit) fuvii fine refpe&u ad longitudinem loquimur. Campi, prati, aut acri latitudinem & longitudinem fimul fine profunditate fumimus. Notandum preterea eít, hos ipfos conceptus fejun&im fumptos 1 tantum diftantiam obje&iab objecto alio.defgnare: ita longitudo vie denotat diftantiam unius termini vie ab alio: latitudo fuvii 2d pu sutima diftantiam littoris ab adverfo littore: profunditas folfe diftan- tetor tiam fundi infimi a fumitate. Conjun&im autem fumpti alias ben &otiones involvunt, quas fequens definitio declarat. fin& DEFINITIO II. 168 4. Extenfio in-;ïc;ngllm Linea dicitur: in longum & latum fimul Saperficier, feu planum: in longum, latum p & profundum Coq)u: feu Solidum appellatut. m detez, DEFINITIO Il s. Puntlum omni extenfione & partibus caret, adeo- que pro extremitate linez haberi poteít. line: $SCHOLION, Tea 6. Geneflim mathematicam diverfarum harum extenfionunm bur & fic concipere licet. Si pun&um a loco 4ad locum B movetur, hie znotus gzenerabitideam lnee, habebit enim folam extenfionem lon- ft ]1 gitudinis, & fi nullibi, afua dire&ione verfus B defle&tat, Jinez re- iu:;:t; Yull: éc: fi momertis fingulis a via & dire&ione declinet, linee curve - ideam gerierabit. $i tota hzc linea re&a alia dire&tione quam fecun- Fnt qdum longitudinem vel furfum vel deorfum moveatur, motu fuo X generabit ideam fuperficiei. $i denique tota hzc fuperficies fur- fum aut déorfum moveatur , corporis feu folidi ideam dabit, I Fig. r. €D exig linea: CDAB planum : CDLABRF folidum. a " Ji D E. f x RECT at —— . NOTIONES GENERALES. Itf J DEFINITIO IV. 7 7. Liínea igitur refa eft, (Fip. 2.) cujus omnes lonem partes zqualem feu eandem femper dire&ionem fervant , 5 d ut 4B. Limea curva eft, cujus partes aliam femper & j qdt ul M t, a aliam. Qirec*tionem acquirunt, ut ACDB, V, COROLLARIUM L mptos $. Linea igitur re&a omnium breviffima eft, qu*e a punc&o mada ) furii zad pun&um duci poteft, & hinc ad diftantiam , que eft via bre- viífhma, accurate determinandam aptiffüma eft, & cum omnes di» difite 1 aliaf reciones cujusvis parfis verfus pun&um Oppofitum tend-re de- beant, fequitur non nifi unam duci poffe, quevis enim alia di- fin&a. aliam dire&ionem contra hypothefin haberet, Ita omneg redo ab .4ad B ducte fupra AB cadunt. COROLLA.RIUM IT. u & latum 9 Duo igitur pun&a fitum rec» determinant: datis enim pun&is datur dire&io, quam omnes partes habere debent, quee cwn eadem per totum & una tantum fit, reca & quidem unica determinatutr. SCHOLION, ideo: IO. Bene diï*cinguendum eft, inter pun&a & inter párteg lines. Pars feu elementum linez tantum eít infinite parva li nea &non puncum, uti pars auri tantum eít aurum & non plum- bum. Linea, addita linea infinite parva, augetur, additis pun- 102f &is, qua omnem extenfionem excludunt, nom.augetur, non enim It hie fit longior. Nec veftigia igitur pun&i moti, nec pun&a ipfa m1or juxta fe poüta lincam conftituunt. Hinc duze linez fe íecantes tt* nullam partem. communem Rhabent, fed in unico pun&o fe fe- ame cant, Deberet enim diredio partium alterutrius mnutari & hinc ecune A1on manerent linee rete ($. 7.). . | fuo ; für^ DEFINITIO V. u t ] tr. Cum linez tantum extenfionem in longum ba- be&þt nonnifi juxta longitudinem inter fe comparari poífunt, quam comparationem dum inflituimus, metiré feu menfurare. dicimuz, A $ SCHQ. -- M 7";: dH M. - d NT pdev- CAPU 1 I. P SCPOLION IG * v ] -f 32* P c ergo neceffarium eft, ut quedam pnus longitud 5 -] determinetur » ad quam reliqu* examinentur. Talis longitudo eft i determinata linea re&a , quam orgyam feu hexapedam vocamus . —] fubdividitur in fex partes, quas pedes; hz in duodecim alias, ai '—'j quas ài gitos; he rurfus in duodecim ahas, quas lineas vocamus, ïv z -i fubd E- untur. $i longitudo decem pedum accipiatur, decempeda — dicitur, quilibet talis pes in IO digitos, icin Iolineas fubdi- -[1 viditur que fubdivifio ob faciliorem calculum frequenter adhibe- B &ur. in 5inis cimalis partitio non tantum menfíuris fed étiam ponderibus applicatur, Hzc autem determinatio cum a diverfis ho- aninum coetibus in variis regionibus ad libitum fa&a át, meníure quoque varis extiterunt. lta Pariüna differt a Viennenfi, hsc a " Londineníü &c. ve A at SCHOLION I [l T* I i€ Varias has longitudinum dimeníiones ex celeberrimis Pari auctoribus collegit clariffümus Liefganigius, & in fuo laudatiffimo opere de Hlmemo gradu Meridiani recenfuit. Ad faciliorem i autgm & acc atilorem comparationem Pedem Viennenfem diftri- i Quay M buit in I& *O"OO partes, quales continet tabula fequens: Id eft: ami j fi pes Viennenás habet IOOOOCO, Alexandrinus -112962 tales par- he "a tes habet, Norimbergeníi tales partes habet 96rI09 s 1 [r Wittig Pes Viennenfis,, * L [ €o6ve e€*60990660 9** 006 9 090069$6€60 IOOGOO [ &le x ïPX"ndflnüS.. * €6 e6 be& ** c900 90 o e9..9 €6 96 . 112969 pum Arablcus.. e* &«* «e »^ oót «* 60 699 «* -^ .** 6*8 096 66 84723 H Argentoratentis UPDIGUS L. eio aecéce sss ces ss ousvOLSdA Xcut MOracicBE h. o a n m u LE VRR A MT RR r - . O23qE Bohemicus, * 4909 «€9€9 0660 9 99 99 €6'«e0 96 69 9 o ^5 90767 Bononienfis. * eee4*o à6 o* «5 «* *6 9* «* 96 99 V6 «9 9,9 340319 Caftiliw ulna $96 00«6060066$09$6*9 00 9**0 0669 o«2 Q047250 DanlCUu e99*90€6€9*50/,0«*.26 0* et »9 6 toq09*9* 60 «* *€ OUIOOX(G ütam Florentinus *$5 29 €e$609*€* ee'.e«06 6659 525 j^ «* &6 &09/&* 1(419; 4&B Gr us VEEUS . LLu *9*9^*9606*49006^7»20 60* *599* cos-() 082 Xuod Hebraorum cubitus P e*$59 8 -o-e.--.oo--OO""^'I/ (J[ l) i ba LCldx,nlla,. 9* »509e69€064e€29 "**ee€e-09*9 ? 09e*€99** *9 De v* 99 26 kx.' at ')ndluf*nnS...u * -^5 «e/ 9 9 .5 o* € «o2€6 »5 46 606 ot»6 0-96460 üet Moscuma, RUT (*loïa-n'-a(i.. ** 66 069 09à60*6 $6 06 99 909 99 ** «6 ^* 188400 Ote mmmenn NC oravic **o **$€96€*060 »o « o t696*8 0999 9009 060 €9 »& ..ICS oQ Wcen Ó Neapoltanus giimu;abs" 0* *? $9 0* $6999 »€ 069 e99*9 *2 8 869 XE-. "n LVE Pes /— m N - NOTIONES GENERALES, 5 PGSNiorïm.bergenüs $ ,492.4 66 $909 69 69 5.09 e6 »9 $9 60 .TQSIOQ Parïünllsu- "9e6**9*06860 99 oo-oy *9€29? $999 9890 »9 00.0006102?6-.41 ld Rhenolandicus feu Leidenfis, . .. 44.,.. .2 0 20 .. 99326 1 Roninus VERUSS 2. o a. 4 Q x e*290 9* 000-909348? u$ ROm&nUS mOdernUS. 9?*9 9999 99 99 ...,.. *€*o*9 960 »o6 »?^9 94232 '3-53 Romanus palmus modernus ,. .2.. .. o .0 v* 0074 u Romahnuspallus modernus;....e 26 l ee c " een AJ, . 471160 eda Siïeüæ..,. *6»9 29 *«* $9 €990»9 0900990 990 0690 909 99 bb0091550 Sinenüs-cquo 99 «9 e? $060989099? *9 $450 250« 9059 600001000010114*5 fl* s Suecicus,. ., $ «6 0«o0 09 99 8909060902 $68 920 0* »&8 79 e5 93953 FHTTEBELLITET! m yaï rinenüs-' $690;090 »940 *9 090099090052500 *9 9 -'o *o oblögggg M SCHOLIOSNS II üte « 4 14. Longitudinem igitur datam quamcunque Ífi reducese - velis ad Viennenfem, hac proportione utere, ut menfura loci dati in tabula expreifa ad Viennenfem tabularem , ita longitudo dat& ad' Viennenfem quzefitam v. g, ICO pedes Pariüni quot faciun£ [ Viennenfes? erit I00000: I102764 —: 100 : 102, 764. ergo 100 Parifüni ubi-funt, Viennenfes habentur IO2, 764. Viennen- Imo fem ad alias fi reducere velis, hac proportione utere, ut tabus (2ui laris Viennenfis ad aliam tabularem , ita data Viennenfis ad j fe quaefitam aliam. Ita Hexapedam Viennenfem cum Neapolitanig J palmis comparaturus dices: 82889: IO00000 —--6:7,938. i in regula autea Bene hic in memoriam revocandum eít, quod de ordinandis rite terminis dictum eft, ut in uttaque hac pro- portione contingit, cum enim quartus in utroque .cafu debeat M Jv effe major quam tertius, etiam fecundus major debet effe quam 6a primus. Ideo in prima eít: Vienneníis ad Pariünam, ficut Pa- riina ad Viennenfem. 2j In altera Neapolitanus ad Viennenfem , 4 ficut Viennenfis ad Neapolitanum. SCHOLION IN 6 n I5, In charta linea re&a ducitur plumbagine, aut calamo 00 atramento finico infe&o juxta aciem regule duobus pun&is datis 4 & B applicate. ( Fig,5.) Bona autem erit regula, fiidem latus juxta 4 xuod du&a eft linea , eidem linee, fed ex parte averfa appli- E 3 catum congruat, ita ut pars regules, quae prius dextram fpeca- af bat, finiftram refpiciat; gibus aut finus in linea errorem proe 16 det. oleo aut cera tin&o , vci 1n campo defignatur fune , ( catena infer limites datos fortiter tenfa aut baculis ita a fe in- Vicem difpofitis, ut primus .4 omnes fubfequos B, C &c. ob- li&- t6gRt. (3'7?';'*. 4.) Cum enim radï*:xs vifualis linea recta pro 99 A 3 tur; 6 CAPUT I [2 t L f& vifo primo reliqui difpareant , omhnes eruat 1m radi vifuali ?Mi onfequentet in linea recta Baculi autem | verticaliter erigendi funt, quod ope libelle B(Fig.5.) preftatur, zpplicando Mf latus ac baculo i pondus.4 in filo fufpenfum lineam in medio du- cl &am o'tegat, fitus verticalis baculi erit, fi verfus c aut d cadat, p baculi fitus tamdiu mutandus erit, donec 44 ad medium veniat in t2bula CFie. D Fr i defienárl poteft, d o a (;) fi lum colore delibutum in 4 &B bm-r* tenfum figatur, in me dio: C elevetur, & rure Diex (n'x fum demittatur, erit A4B linea de! i$dic L sn Lines loneitudo aut phe " dividitur in partes aut in alium locum transfertur ope in- 1i firumenti a u9 x 1£& d uo crura ;ïl extrem itate una cumumuntur, im altera ïïy,r*nu N 3.4 varias iftan las divaricarl poffunt (Fig. 7-) & CITCURL » e vOcatur. H duo in rl f" nenta, regula & circinus, re« liquis omnibus &ch ?:C fola i n 2: (—; metria admittuntur. inte htu POSTULATUM I M NI 16. Quzvis recta in utramque partem produci to & conti ari poteft D POSTULATUM II dafa puncta duc 'I! Y* (9 iiJ oteft recta. I OS E TULATUM III. Pr "Y nE Q X X gtlä. l recta majore polfunt partes mino- r fes au 4LV A L*ï*pv n & DEFINITIO VI 19. Ppura elt fpatium lineis claufum; ä ipfum. fpa. u ciaufum area fi'ruf'æ linee claudentes (feu re&m feu curvae ) perimeter figure & quolibet linea latus figu- IT dx k DEFINITIO VI 20. Cmeulur eft linea curva in fe rediens (Pig. 8.) r n ujus omnes partes a. puncto medio zqualiter diftant, quod p puné&tum medmm « eentrum, ipfa vero linea CLuva P:. ; m as NOTIONES GENERALES. ? tMis caliter geripheria feu. eircumferentia circüli appellatur; pats cur- cando vz interior, quz centrum refpicit , eft pars concava, 0 di- exterior vero eft pars comvexa circuli; quecunque hujus 4dat, peripheria pars eft arcus circuli v. g. EB, FL; lines a pe- filaf, Qunt ripheria ad centrum du&ze .4C, BC, EC &c. radii ; du- Wtv plex radius feulinea per centrum tranfiens & in peri- / .311?. pheria terminata .4B diameter* linea a peripheria ad pe- H ripheriam duca DF, DB, A4B, chorda circuli dicitur. » rI " I ) Totum fpatium internum area circuli: pars circuli ab It arcu & chorda intercepta DG.LF fegmentum : pars vero inter binos radios & arcu intercepta ECB /eor appel- ]atur. Tangens circuli eft linea re&a . quevis HI, qua occurrit & coincidit cum circulo in linea infinite par- ul va, ex quibus circulus componitur & que producta to'a extra circulum cadit: /écazs vero eít linea re&a KL, que a pun&o extra peripheriam perarcum tranfit, . SCHOLIO»N 4I. Peripheria circuli in 360 partes, quas gradus voca- mus, dividitur, adeoque dimidia peripheria feu femicirculus eradus habebit 180; quarta pars vero feu quadrans 9o. Quili- bet gradus fubdividitur in 6O partes, quas minuta prima aut 01 fimpliciter mnmufa dicimus; quodlibet minutum primum in 6o pa lamus: hec in 6O partes alias, minutafecunda, que fecumda 2 R quas fertia dicimus &c, &c. itesum dividitur, Ideo autem hic £raduum numerus adhibetur, quia. plurimos divifores partiales admittit, ut 2, 3,, 4, $, 6, &c. &c. He partes ita delignari u folent; 35^ 56'/ 15// hoc eft.35 gradus, 56 minuta, 13 fe- cunda. N SCHOLION i. 92, Genefm mathematicam circuli fic rurfus concipere li- cet; fi linea re&ta AB extremitate .A fixa circa puncum 4 rote- tur, donec extremitas B rur(us ad priorem locum B perveniat, via hec a H fa&a ideam circuli generabit, Cum enim longitudo line» genitricis immutata per totum motum maneat, ejus extre- mitas B pér totam viàm eurvain zqualiter ab extremitate 4 di- fat, fed curva, cujug omnes partes a pun&o medio sxqualiter diRant, A 4 T p QAITPUTU 8 difant, ef citculus, erzo curva a B fa&a eft circulus, qü! rur« fus ex meris re&'s infinite parvis, quz omni momento squali- ter fuam dire&ionem mutant, componitur, H ul COROLLARIUM TZIZIZ 4. Sequitur inde, omnes radios ejufdem circuli adeaque € etiam. omn » diametros, que funt (F7g. )e; 9) luplum radiorum, nter fe effe equales, quilibet enim linew genitrlci zqualis eft p not h & pro la affumi poteft Patet quogue diàmetrum r ripheriam in duas part s equales dividere, Dum enim radius motu (uo eo lod pervenit, ut cum radio immoto in dixe ectum jaceat v.g, CA4B,adeoque QU unam : g as ectam, feu diametrum efficiat, tantundem vie emenfus eft, quantum reüat donec ad idem puné&um B, ubi motum ine i, cepit, redeat, fed.via radii eft peripheria fuperior & inferlor, vie funt'sq ualcs, ergo etiam peripheria fuüperior, & inferior equalis effe debet, COROLLARIUM N II & tif d 24. Sequitur quoque, magnitudinem circuli a magnitudi- fié ftadii dependere, quo longior eft radius, eo maeis periphe- 1,( ria a pun&o medio diftabit, & hoc ipfo eo major erit circulus fipy Non tamen propterca plures habebit partes, quam $560, ut Tmeniu vel ulna major aut minot eafdem refpe&ivas partes fs ] l( [ quartas , Octavas &c habet, fed hs pasrtes eo majores erun quo peripheria major eft omnis enim quarta pars & majoris & ean minoris circuli habebit 90 , omnis dimidie 180^", omnis od&a- lin và 45 , fed hi gradus in minori minores, in majori majores ( erunt, proportionales femper peripheriz, Qu SCHOLION Tij n 25. In charta defcribitur circulus ope circini, cujus ünum erus ferreum mutatur penna chalybea 2tramento finico infeca, terum crus figitur in centro 4 , &adlongitudinem radii AB aperto erure a] wro defcribitur mrauh,s. In campo extremitas funis figi- tur baculo in centro € (Pzge IO.), & accepta longitudine funis hii u adium adequante trem itag altera 4 circumducitur , baculo Qu tidem B affixa $i fums loco pertica & baculorum loco cufpi- [is $ accipiantur, circulus perticalis exiftet. t "u P U Fxm ï V k Sr NWS C P&thAL l-;&,ds EFINITIO VIII 26, Circuli: concentrici funt qui idem centrn —L um M i exeeutrict , qui diverfa centra haben que DEFINITIO IX (llm $ el 27. Congruere dicimus, qux eofdem ub:qup term I lam nos häueht Fundem autem /fftum habent.ea, quz refpe (w- t0 loci & partium. eodem modo difpofita funt, ut radZ e0que eniui in duobus circulis eundem fitum habent, fi uterque fur- f fle fum, vel uterque deorfum ad eandem partem ducatur HOf enor DEFINITIO X 28. Similia dicuntur, quz eodem modo generantur, & determinata funt, & easdem proprietates preter quan- titatem habent; hinc omnes linee rectz*, omnes circu- /nþ li, omnes arcus & anguli ejufdem numeri graduum funt Jf figurz fimiles licet quantitate differant, & unum ma- u te$ jus fit altero, quod unicum eorum difcrimen eft. . ZEgua- ?t lia füunt, qus przter genefim & proprietates eafdem sk eandem etiam quantitàtem feu magnitudinem habent; f hinc duz linez re&» zque longe, duo circuli ejufde te$ radii zquales funt. Onmnes igitur linez recte cujuscun- que aong:tud nis omnes circuli cujuscunque magnitudi- nis fimiles nt; & in duabus figuris equalibus muta- ta eqanmaw æthtaæ mutatur, fimilitudo manet. ^j COROLLARIUM I 2 3 Sequitur inde, zqualia fibi fupe rimpofita perfe&e con- £ruere debere, ita ut fe invicem perfede tegant ; adeoque fi duse quantitates coneruunt, aut fetegunt, legitime inferre licet, easine ter fe xquales effe. Si circulus 4( F?g, 11) impofitus circulo B eidem tongruit, & eum ex omni parte tegit, & B impofitus 4 itidem eum tegit, 4& B eodem radio defcripti & aquales effe debent, € O- RT / yo CAPUT L COROLLARIUM II 50. Wine duo squalia v, g. circulus 4 & B(Fip. TY.) folo numero a fe diftneuuntur ; proprietàtes enim omnes eas- i dem, eandem lineam genitricem habent, & eodem modo geniti funt, ergo in ij$, per qua diftineuerentur , congruunt, diverfsa &gitur fub hoc refpec&u effe non potffunt, f Simul igitur unum feu " idem funt relate ad effcntiam & proprietates, & (imul duo rela- ü tfe ad numerum, quód sque nullam repusenantjiam involvit, ac ilud in arithmetica: unum poffe etiam. eífe multum ($, 3. arith,) M te füb diverfo fcilicet refpecu. & DEFINITIO XI egï ZAngulus eft duarum linearum in pun&o concur- £ i ti um inclinatio. Pun&um concurfus vertex anguli, 8l due v ro lineze crara anguli dicuntur, quibus angulus n « infitere dicitur. JRelmeus ( de quo hic agitur) quem du ï ii f eQue ; mixiilineur, quem curva & re&a, curvilineus, quem P & curva cum curva facit. ^ Denotamus apngulum vel litera & inferipta aut ad verticem appofita, vel tribus literis, $1 ex quibus media 'angulurm, reliquxe duce extremitates crurum defignant; Ita P;z. Y9. exhibetur angulus a vel li 44 , vel B.AC, cujus crura funt AB , & AC. fc Bl SCHOLION L 52. Genefim anguli ic concipimus: fit ( Fig. 13. ) linea CB ita impofita linee CD, ut , perfe&e cum illa congruat. Po- natur pun&um C fupra C remanere , B vero a D recedere, tota linea CB hoc ipfo a linea CD recédet, & quamdam inclina- tionem ad eam acquiret, h»c inclinatio femper augetur , donec ad puncum E perveniat, ubi zqualiter verfus dextram & fini- ftram partem , feu equaliter verfus D & F. inclinatur, in motu dein ab E verfus F inclinatio rurfus augetur, donec in F maxi- a omnium fit, & angulus infinite magnus evadat, & linea mota cum quiefcente unam rec&am FD efficiat, fi jam ab F deorfum moveri incipiat, anguli eodem modo ab F^ verfus, D crefcunt, donec primum fitum linea mota acquirat , & fupra CD uU E M — £ * waS — o CA MR . Md jaceat, SCHOQ- NOTIONES GENERALES YX SCHOLION I - Tr.) 33. Qui hanc genefim angulorum confiderat, advertet, eo- $ eas- dem fere modo eos generari, quo fuperius generari circulum di- eeniti ximus , extremitas enim B linez CB mote etiam hic circulum atf defcrihets; & ficut B a D recedit, ita arcus BD & aneulus illi um (eu oppofitus crefcit; dum ad pun&um E pervenitur, ubi inclinatio 0 teli- xqualis eft verfus utramque partem , defcriptus eft quadrans cir- euli, jt, a€ Dum B motu fuo ad F venit, femicirculum| defcripfit,. & títh) anzulus omnium poffibilium maximus habetur; & ficut circulus zedeunte punéto B ad D totus abfolvitur, ita etiam anguli coine fïdeme pun&do |B cum D definunt, * COROLLARIUM I nc ia 54. Inde jam clarum eft & perrpicuüm, circulum & ejus 2 ä i gu &reuS pro meníura angulorum adhiberi pofífe, 'fotus circulus Tu l uf omnium aneulorum, qui circa puncdum quoddam, quod:tanquam Qug centrum confideratur, efformari poffunt, menfura eft, & omnesz fimul 360 gradus efficiunt, Omnes vero, qui fiunt a minimo quem ad maximum, donec mota CB cum CD ilineam re&am efficiat, [iteta equivalent 180 gradibus, Quivis denique angulus tot habere etis, £radus dicitur, quot gradus habet arcus inter crura interceptus 9 ateh & ex vertice tanquam centro defcriptus, Ita omnis .angulus, uifit, dum linea *qualem ad utramque partem inclinationem ; Vel habet, ut angulus ECD , habet pro menfura quadrantem citculi feu 90?: dum minorem habet inclinationem , crurà anguli mi- nofem arcum quaim 9O^: dum majorem ha&bet inclinationem, 3iajorem quam 90 graduum intercipiünt, ut anguli BCD & HCD. [itea COROLLARIUM Il P & 3 - B j. Sicut quantitas arcus mon a masnitudine graduum fed ,tüä 2 numéro graduum dependet, (S. 24-) adeoque major minori fpe- n jonee &ato hoc numero szqualis eífe poteít, ita etiam anguli omnes, qu L 1 fini- equalem habent inclinationem , per interceptum numerum notu £raduum determinatam , zquales funt, quxcunque longitudo li- nearum angulum efücientium ponatur. axi Longitudine enim cru- yum mutata, inclinatio non mutatur, ficut longitudine radii mu- ines tata quadrans v, g. - circuli non mutatur , fed major & minor 90 bF £raduum effe ponitur: ut in Fig. IA, apparet, ubi mutatis ra- J5i D diis nec inclinatio proin mec an (ulus nec quantitas arcus i5 TU Gradibus mutatur, SCH O- j *v. F3 d T 15 CAPUT 1 SCHOLILON. 36. Ad determinandam igitur. quantitatem anguli receffa- sium . efít circulum Ífaltem dimidium in gradus divifum habere, 410 ut arcus inter crura interceptus hac ratione determinetur, Ín- (fig. firumentum hoc ex orichalco, ebano, aut charta. crafhore pa- ii$; Ut fatur; defcribitur fcilicet centro C femicirculus, & in r8O par- tes feu gradus dividitur. C(lag. 15.) Pars folida a divifio- num lineis ufque ad diametrum exícinditur, & penes centrum C nonnihil ex parte quoque in/eriore demitur, ut pun&um cen- ^ P trti accurate diftingui pofft. Applicatur pun&um C vertici an- L Centto. guliita, ut crus unum accurate radio .4B in fig. 14. conegruat; riz infi crus alterum ( prolongatum , fi opus fuerit) in peripheria tume- yum graduum, quos arcus cómprehendit, deíignabit; adeoque faus j angulum in centro pofitum menfurabit , ita angulus a 98 gra- uc ne* duum effe reperietur. figun. g DEFINITIO XIL. 37. Angulus fefíus eft angulus 9go^; obguus qui differt a 9o0?, & in fpecie acutur, qui eft minor; obiufus, (R qui eQ major recto feu 9o*. Tagis à COROLLARIUM. 38. Omnes igitur re&i xquales funt, cum 9O gradus 90 4 gradibus femper squales fint. Acuti vero & obtufi tot funt, ( o Q»ua À quot differentie a minimo angulo ad 9o & a 9o ad 180 dantur. Pendioy Derpend DEFINITIO XII. Brimam Cunt, 59. Anguli conzigui funt, qui unum crus commune Cicitur, & eundem verticem habent, ut anguli a & ?. ( F2.16.) Anguli deimceeps po/fiti funt, qui latere uno produ&o ex utraque parte exiftunt ut a & &. ( Pzg. 17.) z an' ]Cþn COROLLARIUM. lt 40. Omnes igitur deinceps poüti funt contigul, fed nom infiin omnes contigui deinceps pofiti. lt ; 'edun DE- icve NOTIONES CENERALES., * 18 rieceffs. DEFINITIO XIV. abere, 41. Anguli veriicales feuad verticem oppofiti funt, . In CFig..18.) qui fiunt a duabus re&is fe interfecanti- te pa. 10 pate ,bUb, uta&b,c&d. divioe entrum DEFINITIO XyV. Il Cefl- i gt 42 Angulus «d cenirum eft, cujus vertex eftin o centro, circuli, crura vero funt radii adeoque periphe- fiürtie« rix infitunt, ut in F/z. 8 angulus « a radiis EC & BC deoque fa&us; angulus ad peripheriam eft , Cujus vertex & cru- j g T3, quz chordz funt, in peripheria exiftunt, ut in eadem figura angulus c a chordis 45 & DB efformatus. DEFINITIO XVL 4 u 43- Linea perpeudicularir vel mormalis eft te&ta EC, dtafut, (Fig. 19.) que ita infiflit, alteri re& 4B , ut non mag;s ad unam quam alteram partem inclinetur. COROLLARIUM. us 90 44. Angulus igitur a perpendiculari fa&us eft re&tus t funt, (88.24.37.), nec perpendicularis fine re&o, necrec&us fine per4 intate pendiculari effe poteft. Et dum una linea EC ( Fig. 19.) eft perpendicularis ad alteram .4B, hoc ipfo etiam altera AB ad primam EC perpendicularis eft; fimul enim angulum re&um fa- cjunt. Linea, que cum altera angulum obliquum facit, oblique dicitur. mue J6) DEFINITIO XVII ) 6X 45. Linee parällelæ funt, qus ubivis eandem a fe invicem diftantiam fervant, ( Pzg. 20.) & hoc ipfo equalia perpendicula ac & $d intercipiunt, adeoque in j infinitum produc&te nunquam concurrunt. Comvergentes funt, qua ad fe acceduant : Divergems, que a íe rev Cedunt, D E EL st 14 CAPUT.I. DEFINITIO XVIII. 46. Oppon: dicimus illa, e quorum uno ad alte $ xum perpendiculum ducere licet. EATDT i d ( eidem De proprietatibus linearum rectarum ad fe dO 1] invicem relatarum & angulorum ab iis com- vettic prehenforum, THEOREMA L n n nguli deinceps pofiti funt zequales 180* feu TA duobus rectis, (Fig. 17.) DEMONSTRATIO. Ex C.tanquam centro fuper a & ) däf'cribïmr R u femicirculus, eft enim DB diameter ( $. 20. ) fed fe- uf - micirculus habet 180*, & eft menfura angulorum inter- 1f e0i Ceptorum a & P .(S- 34.) ergo etiam a & ) z 18o? Q. E. D. Yo CORIOLLA.RIUM l. 48 Hine dato a datur £ y 1 eit enim 4 -l- b — i80^ erse bligo? — &, Si 4 gituf P menfurari non poteft v. , angu- angu ] & p innotefcet 5. Cor- ius alicujus propugnaculi, menfuretur a, füram plementum anguli vel angulus complementi ad re&um dicitur an- i Tt$ 3 £ulus, qui cum altero rettum facit feu 99? : fupplementum vel angulus fuppiementi vel complementi ad duos re&os eft (iiig. LA M E anc *: nlue Ment entj tá f qui cum altero duos re&os feu 1980? faeit, -Y nl COROLLARIUM A I. hnäl 49. Si duo anguli deinceps p IDETS nf tifunt equales ut in f£g. I9. * & b, uterque 90? habere debet, igitur redi funt, & linea pexpendicularis habetur ($. 44. ). "THE 'e w d il ——À DE PRO.PRIET. LIN. &c. * THEOREMA IL | alte So. Anguli verticales funt zequales. (Fig. 18.) DEMONSTRATIO. — 4 "- c 180?;- quia deinceps pofiti, fed etiam a -«dz 180 , ob eandem rationem , ergo a -- « — 4 -- d; que enim funt eadem uni tertio, funt 3 fe eadem inter fe: in utroque zquationis membro delen- do « manet c z d. 0f Sed c & d (unt verticales, ergo verticales funt equales. Q. E. D. * COROLLARIUM. $1. Hinc dato a datur b, eft enim a — b, & loco a menífurae ti poteft b, & innotefcet a, uti $. 49. di&um eft. o fe THEOREM A III. 52. Anguli omnes in eodem puncto recte c (F?g. 21. 29.) a pluribus rectis infiftentibus facti fbittt l à fe- funt emcecczion 180? feu duobus rectis, Si vero plures fe in eodem puncto interfecent, anguli omnes funt z 'mtgï- 9 190 360* feu quatuor rectis. DEMONSTRATIO. Ex pun&o c defcribitur femicirculus menfurans &t angulos , & in altero cafu de(íciibitur. circulus men- furans angulos, fed ille habet 18c^, hic 360?, ergo om- p 4 nes anguli in eodem pun&o rectz a pluribus re&is infi- In ftentibus facti funt —— 180* feu duobus re&is, & fi plu- res fe in eodem puncto interfecent, anguli omnes funt z 360* feu quatuor reQds. Q. E. D. r [3. ii THEO- 16 CAPUT IL THEOREM A IV, ! iLl2 ris ad alteram re- 53. Linea -eft perpendicul (ine Cam, (Pze. 23.) fi duo puncta primze zequaliter di- d ta| lec ] ftant a duobus punctis alterius. DEMONSTRATIO. Pofitio linee re&:x a duobus punc&is dependet, ($. 9.) fi ergo duo pun&a F & C zqualiter ab 4 & B » a Z diftant, omnia pun&a zqualiter diftabunt, & hoc ipfo totalinea FC noh magis ad unam quam alteram partem inclinatur; fed talis eft lineà perpendicularis, ergo fi ï. duo punéa primz zqualiter diftant a duobus pun&is Q alterius, linea efít perpendicularis ad re&am alteram, Q A o H DO ! " COROLLARIU M. fra ln 54. Hinc ut demonftretur lineam eíffe perpendicularem, equili àut ut perpendicularis defcribatur, duo tantum pund&a zqualiter l di(tantia a duobus puncis alterius determinanda funt, unde fe- dicular quentia problemata refolvuntur. PROBLE M A. I. T p (»O dB hcto da ? rectz erigere. perpendi- 47 : o t ;.'w.,)?.--ït In. (.Z : (b. 2 " ) li [2 RESOLUTIO. luig n L Ex C determinentur dUO'P" À wwC in re&ta 4 & B equaliter a C diftantia, quod ope circini peragitur. :- IL Ex 4 & B determinetur [Tru ali id pun&um £ zqua- ptwf,q à liter rurfus ab 4 & B diftans, quod fit eadem aperturá ii ( —na te circini figendo unu li crus in 4 & dein in , & altero ?ana H defcribendo arcus fe interfecantes in F. Ofey HI. Conjugatur F & C, erit FC perpendicularis, D E. E : À DE PRGPREET. LIN. &c. at DEMONSTRATIO. diftant ab 4 & B ex confttu- Te F & C zqualiter di* &ione, ergo tota Linea equaliter inclinatur ad 4 & B, fed talis linea eft linea perpendiculiris, (S$. 52.) ergo hæc linea FC e(t perpendicularis. Q. E. D. PROBLEMA 1I. at, 2 56. Ex C demittere crpeädicularem ad da- I) tam 44D. (Fig. 94.) - en [ i RESOLUTIO. vt I. Ex C eadem apertura circini notentur duo pun- l &a g & f hoc ipfo a pun&o C zqualiter diftantia. IL. Ex g & f fiant fupra lineam in k v. g. aut in- fra lineam in A interfeCtiones arcuum , er?t À vel & zquaáliter di(tans ab 4 & B. aïn, HI. Conjungantur k & C vel b & £, etit k/z perpene fee dicularis. DEMONSTRATIO Pun&da & & C & k zqualiter diftant ab 4 & B, (1! a ergo tota linea zequaliter inclinatur ad 44 & B, fed talis llien ii linea et perpendicularis, ergo linea Ac eft perpendicu- laris. Q. E.. D. COROLLARIUM. b 57. Sequitur ex his, nonniü unicam perpendiculatem ex pun&o aut ad punctum duci poffe: inter duo enim punca nonni- la* fi unica re&a cadit. Jtem cum perpendicularis ex utraque par- Jrà te wqualem angulum feu re&os duos faciat, impofübile erit, JU) aliam preter hanc folam ducere, qua ansulum nec majorem nec minorem quam re&um faciat. Item fequitur, perpendicularem €íle breviffünam viam a pundo ad pundumn, cum nec ad dex- 1] tfialu » A eiau & A / Zath. P. ll. B E P—ms - ] 18 C APUT I P Tf2a1l nec ad finiftra linet om ali AT 1. $ cum hoc ipfe decli ALvk "ot fore ma, orem, j te C I O L Ü I Qu BO )^ .Jä erper 1 1 in CA Inee Àl t eCr nd P i e. 9 u 1* ? & d libitum, & opera ic itlo ut prius i in Qrfhvwa Si ;: li e aute ii 1 produc ä eï £ jeat vel a la m iethodus $ metrica admcm- "d da t quam inferi S Bo D1 m us (.$. A : ï P defcri Di- (: pote 4Wr ! fte umento 5 t zl 1 uod [ r2 P LÉ Ea 11 e itur $ —/7/7 * 25 * ) & conita u ä A d ua b u reo y1 IS à a ulum-*re :ccum (: € wqm 1s , (iJ;*; ]w m inferior 47 p 1Ca t u linez 3 ata (.:L; ta, ut vertex feü pi [ ncurfus reou- ial lar 1l C 1T^ eo 01 1n t o neo übi T perpendicularis da eft in T. fecunt 41l m C(i aiter 31 gulam, er In (ixln. iti linea , que hoc ipfo At Yy ct 171 *^-^u'im?s € epet. ï. L.L.. a eff norma , i u a regula al- Ie 1fta* t* L iL )en dic r'tcr infi iitadt, Examen illus it a i ituitur: In P CUa ie] e xOTMæ 61'192101" perpendiculari S CA, convertatur RX in norma ita, ut pats E ad partem B eni P rurfu S düca- iut $1 p e ï ? en d icu ] al i Si E | juxta prius latus in eodem pun&o 4 duc&e O::'l cider leb Tsl 1 norma exaca eft, perpendiculare t5 Til ceodem emim €« pun&o nonnifi u l duc Oteit 5 g£entia aut 4 4 divergentia linearunf errorem pat tefac ,..a ...u : O ie E 1o0c :i afiru- lentum paratur ex .J ;no gt W/Lff . 26. exhib: i ; PROBLE A II R «( r £0 À mTY3 l £ j VJeo Lin I m dat: al 1d E S ? i I ; : 3 i iales. di- Aæxl v1 [2 l. I D M el RESOLUTIO. n x-4 f lis puncti $ S extremis (Flg 27.) linez A& B rius & inferius interfection IFS V' o inc& ext fiant fupe bc tc&g Coi ijungantur, érit in e linea biffe&a. li:[. DEMONSTRATIO r V Pa i2 (/,5 ei o pet LJ enc :: icul À fis N $. )9 ergo omnia v 2 U j l " t') fe pun q aliter il anta 4 ergo etiam punctum £ SEC u il t e ! 1 ï ia A4G B, l i d E Á : fi equaliter diftat, Je h -6 'JJQ 51 go j eft i 4À mec i«;) & linea biíl Q.E.F ) j $CHO- ï a p OoODm» db ï .i: 3 Á » d. T DE PR V J N. &c 19 S.CHOLION c 60 »1 patium has interfe &iones nonm admittat, biifectió tentàndo peragitur, A ] *anp iendo aut claudendo. circinum tamdiu f donéc Alxl ruribus in 4 & B alterum ad idem punc&um e coincidat. COROLLARIUM 6I. Hac ratione linea in partes 92; 4, 8, 16;&c. dividi poteft, biffecando:feiper partes biffecas; de aliis divifionibus mteuus, dum:de: progoruone agetur, tra&abimus. T. HE OREM M A. V, n* a Si dus linez paralle l a tertia fecentur, X (I*'«(. AQ. j €H jt pmo. anpu'us externu s equaális in- terno ad eandem partem )* vel.c —— d do. anguli alterni interni.e & b vel f& d', item alterni ext»r- lp Ithx.!p, d& w erünt zquales. 389. anguli interat dqr) l^ ad eand vCiir 7aïicmfawu c&clerunt equales 180 feu 'duobus rec f;ib. DEMONSTRATIO ut due linee fint . parall 1* Impofühile eít, 101.9 nifi ad tettiam habeant ean m iaclinationem vel e nim divergentes vel Cconvergentes erunt, arqui wcl natio eft angulus 4 & b, ergo fi inclinatio eft aequa- s effe debent, fed a eft lis, etiàm anguli a & 5 gequale externus , b internus, ergo angulus éxternus aquaális m-.e!no Ld eandem ; 41'?93.!fln ex 29.'4 z e, quia verticales, fed 4 H n t ï I a; cedenti, ergo atzan-e;::a./) fed € -&fffunt alterni ergo altLTTIl interni z es fuu—o :E.t —ÀÁ — U&"Z r e equ ^ 4 fl&w- b zpg,quia verticales d as r od 2 funt alterni «te In 1 [^] s " iuntc 15 ergo alterni externi zquale ï-— 4 - VAEBTLA f .,.,,on quíia dennceps pofiti, fe -cmOP39 , fed ^ & f. nt ! ! ex UQHQHo Q!äQ T 2 kï]( 1] ïi À E oA m zM 2 Pt o DCAPUT IÓ ni ad eandem partem , ergo interni ad eandem patrtem funt zquales 180 Q. E. D ] COR OLLABRIUM.I. 63. Quod demonftratur de angulis a. & b etiam de aneulis & & d dici poteft, funt enim eorum contivui; ex eadem ratione quod demonftratur de e & b etiam de f & d verum eft, & quod (C 4icitur de a & g etiam- anguhs c & h applicari poteft. Sequitur f inde, fi ex his o&o angulis unus datur, reliqui hoc ipfo dati funt Dato enim a datur verticalis e alternus b, & huic verti- cabs p, omnes inter fe cquales Datur etiam' c Jpfi a. conti- guus, qui ?qualem habet f verticalem , d alternum , & À iterum li *erticalem. te COROLLARIUM E H l & 64. Sequitut etiam , cum linez parallelz femper has pro- habeant prietates fi hz proprietates in duabus lineis a tertia fe&is deprehendantur lineas fore parallelas. Si enim v. g. al* terni e & b funt wquales, étiam externus a erit &quals interno b, & hoc ipfo eadem duarum, linearum inclinatio, que equalis in» chnauo üne parallelitmo linearum eife non poteft. lt C COROLLARIUM IL. & 65$, Cum ormnes parallela. equalem a fe invicem übique sb diei H clfïantram habeant j dlüantla autem per perpen MA L ulares menfus- Tetur; et fequitur pemendlcula ubivis intercepta xqualia fore, a hmul etiam equales parallelarum partes intercipere, pe*"pendl- eu culares enim non manerent, fi pars una intercepta magor foret altera , ideo in fig. 20. ac z— öd & ab z— Cd. q d PROBLEMA. IV [r fi s 1 66. Ducere (P?g. 29.) per punctum C' pa: lam linee datze A4B l ESOLUTIO. Ex pundo dato C demittatur perpendicularis CD, Y in quocunque alio pun&o linez datz engatur per pen- dicularis priori xqualis EF, per extremitatem hujus F & " Metese r P L P d DE PROPRIET. LIN. &c. 21 & pun&um datum C ducatur recta GH, erit hzc parsl- lela ad datam. DEMONSTRATIO li üe Linew parallelze 2qualia perpendicula intercipiunf , 9d ur ($. 65.) fed hzec perpendicula fünt zqualia ex con- uü flru&ione, ergo linez funt parallele. Q. E. F 1- COROLLARIUM SZI fs J/ 67..Si per pun&um C ducatur recta quecunque inferiorem Uneam datam fecans, & huic angulo interno a fuperius in € al- ternus vel externus equalis fiat (per problema IV, $. 7I. tra- dendum) erit prolongatum latus an2uli paradelum ad datam. (s Erunt enim alterni zquales, vel externus equalis interno, quod tantum in parallelis fit. IU 1]- COROLLARIUM Ir no n- 68. Fit idetiam ope inftrumenti , (Fzz. 30.) quod Paral- lelifmum vocamus. Conítat id duabus reguhs equalibus .4B & CD retinaculis uniformibus mobilibus connexis, qus intervallis qualibus & F, G& H a fe invicem diftant Obtinetur hac at ratione, ut remota una regula equalem ab altera femper diftan- tiam fervet, & hoc ipfo parallela maneat In ufu inferior AE (lle aut applicatur linex date, altera temovetur ad pun&um datum e ad aliam diftantiam ad libitum, juxta hujus aciem dué&a linea l!s erit inferiorl parallela, Unica etiam regula id przítari potef fet que in medio duabus, aut quatuor etiam rotulis juxta longitu- dinem inciüs inítru&a effe debet, incifure impediunt, ne appli- cata femel linez regula licet furfnm aut deorfum moveatur, & fitu parallelo declinet. Fitid etiam applicando regule ordinas ris aut norme lignee alteram normam ligneam [274 , de qua. füpes T1us $. 58. egimus, & juxta fitum primum linez date éam fexma« per deorfum promovendo, ut Fig. 231. exhibet. LÀ ), fj h B Q A. H m 2£ FU H VOEURT TR CM PUIT IIT. *ï Ti* ( ; .) ERE rectarum ad circue I roprietatibus line ]um- relata ä um TT M À. I. H ?l 9 AV Ciï uwe a B ü ] SJC i ï p Ls iL im ic lCU ha b t pro 69. Fï Alv n a;ï e 1 AL a aícu Iil, .;-1( eor vch w f*]f nterceptut 4iie DEJM ONSTRA T I O. Patet e» « $ € nefi a gulorumr& circuli , uperius ex- (0 Ó E y? TNML,AW& k v j T-H EM IL. A À. horda loa 1 a a ii Juio ? dunt x 1 P [5 5 o Ch mqg(t:e s. fu qua' es a ( P aQ9 aut l "n Y a cus fuün ï ï i l () U '3.«4: aquales, chordae ue [^vi g u ales 1 Ate DEMONSTRAJ!I O. In CU is r e hd rel itate chorde :adiis.4C & CB in- € i t U feu ap p t ï u 1€ d centrum non mutatur, ad qus&- € nc u nl* peripheriz * 1CC at iguli men- h aglïlcetm : Cit arcus CC 1 W ä a iuD ten f us ergo etiam. menfura DEU $m 4 i alv us mu tari non DO t eft, ; nde fi zquales chor- C;'V CTLS J.a.Cüb i S 4 ïï- J 6d 2J ntur, hi « quales effe debent. ïï Et fi arcus funt eG iaieg e 1 C& BC »qualem in- Qlïn jionem ad f f aberg ,—h n iC 3 u aequalem angulum in («,m- aiítan T1 92 » $ Cere üeoent, pui a Pünfoti A4a 1 femper 'gEX equalis manet, erg Cï& a AB mr:umge; s has extremita- ^ ] - *^ tes feu chorda AB c i i E ub )us arcub " b [5 T« e ) plicate feniper ^^ 1 g. ( ikm ii G iC bent C 'gJLAæ,n nat ï.l... i B. L E O(ïlïl) C*(' !O'T&ü con- 3 - DE PROPRIET. LIN. &c ,23 1 DEF congruentie, arcus enim azqua .3 s fi fibi mponantvrg chorde quoque, cum extremitates arcuum Comungar»ï ? & H coincidere cGebent; id v n 4 converfive de arcubus per extremitates chordarum du&is intelligendum eft. Q. E. D À /V lü p C J B - 4 A I I. D - zc C€Liis lu rxïw] ífY [4 9 3uai mdad [48 9. $f0 F. ( g. 33 ; 1& ) Y J P j & iv i2 OLUITI Ale B x vertice ati an ii 4 defcribatur arcus BD Je- C .iFrCiDi ad lib 1; üm 3?81&1, erit hic arcus menf/íura angt da y* o I n " P x C : de em apertura defcribatur arcus indeft- nit u $ IlI.- Aperiatur circinus ex B usque in D & ex e $ 1 transferatur bec magnitudo in p ; per C & g ducatu P 4 I5, nea, erit angulus C «qualis dato .4 o* D [5] MONS .'L 4 ,—P .g. (»-'a Arcus ex vertice tanquam centro de ptus eft L qmeni ura anguli, fed arcus ex vertica defcripti funt. aequa- i. les ex conítru&tione, ergo etiam anguli funt zequal Q. ]Q ett- SCHOLIO N I Jl 72. Minor propofitio patet quoque ex precedente theorema- Jl te, fi enim puncta DB & ge linea ze&a conjungántur, erunt ho .2qua- ;f les chordz, eft enim eadem extremorum diftantia, fed chorde zequa- les fubtendunt zqua les arcus n ergo arcus DB & ge (unt zquales $"C H O I o EO UN L 6t 73. Dum angulus rectus faciendus eft, eri Oltu a)[-rp ^ fia dici ularis, fine qua angulus re&us effe non potett. $-4 ä Jer o e E $ C t i E CGAPU T H 24 pun BCHOLION HI. 30f L'? e üt 74. Dum certi numeri graduum angulu p ,fit ope trans- [ l [2] portatorii ($..36.) applicando radium CB in ( ,ä )ita linez fa- i extremi rä. ra &z, ut centrum inftrumenti uni ati C, us CB toti lineze in chart congruat , ad gradum petitum fi pu r né&um divifioni 4J 1 ) n inftrumenti correfpondens; pun&um hoc cum ex rémitate C ubi il [ 1 * entrum erat conjungatur habebitur [ ulus petitus ; menfura T AT enim illius, quam interceptus arcus LEf nspo LL/ itoril exhibet ha- * IQn bet pc ütu numerum g auum ergo et n angulus talis elífe debet ; IV M (1 - H O L I O N v e Q ^0 75) 1 O id praeftatur pertics & funibus, uti fuperjus f& n ;CZU naáo ci de defcriber ulo diximus Aliter id fiet fi unum trian- Ql Vi £ulum aequale alteri conftruatutr hoec ipfo anguli erunt &quales , Hf k quod inferius demon(trabitur. SCHOLION V 76. In campo anegulum determinamv inftrumentoó goniome- trico vel Aftrolabio, ( F7; 25.) quaod eft femicirculus aurichal- " cinus 1n gradus & partes minores a IO ad IO v. g. minuta di- "s Af là vifus , & regula PG , qua in centro mob ilis eft 5 mfcru&us In extremitate hujus revuïæ due dioptre FE & G perp end:culu «qu riter, erigunti 3 per quas linea re&a.ab oculo ad obje&um de- e [ 5( terminatur, Alis due dioptre D &E in extremitate diametri DE eriscuntur, ] $1jam hz ultime verfi um 0obje&um in linea D (itum dir rig: àntuf ; otur & linea mobilis tamdiu gyre » donec alterum 6be " ï Jc&uu- in G per illas dioptras appareat, reeula in divifio. Alii num pundis quantitatem aneuli quze(iti DG determinabit. le 411 totum circulum adhibent, alii quadr all tem tantum, prout com- modum vi uctu idet AT. Dioptrarum formam P?g. 36. exhibet, una.4 án medio tantum tenuem incifuram huet , altera B penitus ex- cifa in medio tenfum filum eerit [2 p Oculus prime applicatur, & ita dioptre diriguntur obje&um a filo penitus tegatur, aut D in medio fecetur, Demonftratio hujus cum eà de transportatorio congruit Qu hoc enim infrumentum inftlar transportatorii majoris n haberi poteft, 5CHOLION VI 77..91 tantum figura aneuli haberi debeat , id fit in pi qua eïtrermtaut"s fuis menfule plane. 1001 itinatur [ : 123"(2 5 É 21 (9 ( Z *5 362 in pun&o .4 1iD1 neulus conft ruendus e& quod li pun- u i n m $— DE PROPRIET. LIN. &c 25 pun&o « in terra refpondet, figitur acicula , ad quam reeula longior dioptris inftru&a Pze & diricendo illam Taftf« 26. applicatur 'C? Ftn confequenter verfus utrumque obje&um juxta aciem resule du- cantur linezg, quarum concurfus angulum determinabit, quem ob- Luneas hi je&a duo in punco, ubi acicula figitur, faciunt. Menfula hzc " l ab inventore Pratorio Pretoriana vocatur ; de utroque inftrumento üL entuta in trigonometria longior fermo habebuur Ia elfe THEOREM A. lii 7$. Perpendicularis ex centro sd chordam du- 2* p Ca, chordam & arcum fübtenfum biffecat penus o nea ex centro chordam arcum biffecans perpen- tian q., dicularis. eí i& . 3*. Linea perpendicularis chordam à6, biffecans tranfit per centrum, DEMONSTRATIO ome C cum fit centrum, (J'zg. 39.) xqualiter diftat ab cial- W A & B, ($. 2o.) & cum fit linea perpendicularis , LJD, etiam D xqualiter diftare debet ab 4 & B,($. 54.) fed fi la zqualiter diftat, eft in medio, & in punc&to biffe&ionis, Ut ergo perpehdicularis ex centro ad chordam du&a eam DE biffecat; fed cum omnia pun&a zqualiter diftent, etiam itum 0b E zqualiter diftat ab 4 & B, ergo ducte chorde AE & £E B sxquales funt 10 fed chordz zquales fübtendunt zqua- Al les arcus ($. 60 ergo arcus AE — EE, & E in medio, orrt proin arcus A4£B bifle&us 14 Si chorda biffecatur, eft 4D z DB, vel AE ex 7 z EB,(ed AC — CB, quia radii, ergo duo pun&ta C & üt D æquahter diftant ab aliis duobus 4 & B, fed linea, 10 cujus pun&ta zqualiter a duobus aliis dlüant9 eft per- pendlculans ($. 53-), ergo CD eft linea perpendiculàris ne . $i CD eft perpendicularis biffeca ib 9 omnia €jus pun&a zqualiter diftant ab 4 & B ($. 53.) fed cen j trum eft pun&um zqualiter diftans ab 4 & B, ergo ii d linea CD eft centrum, ergo perpendicularis biffecans tranfit per centrum. Q. E. D B5 S CHOQ d&.k 26 CA PUT II 5 vcHOLIO N D O. Hoe ttes proprietates, ex qu f du fmt, tertia etiam neceffario fequitur, bene memoriz mp ïm*c funt; quia utiliffima, inde corollaria deducuntur qua : ï 1COr r»: &3 tis demons i ftrandis & problematis refolvendis inferviunt 1 r l CORUDLLARITM I. 80 Arcus inter chordas parallelas int ( cepti zqu fes fun eft enim fpe&data chorda .AB, arcus .AE : EB €x r P.l ceadent ï item fpecata chorda GJH, arcus GE — — H 3 . [ ] O o AE — G : — EL BE - HEHRoc ef AG — BH, t COR O A T L A RA UM II L.] CT. m m « rcus fubtenfus ïl ecetur, etiam ansulus ad cen- er D liie. T ri de he DC t arcus enim 5 eft menfura anguli totius, fed nenfura biffecatur, ergo etiam angulus biffecatur C O OLLARIUM IH. 82. Angulus Va A itus aut arcus. datus biffecatur, (FIg. 39 ex vertice C arcus .AB ducatur, extremitates arcus chorda con- jungantur & 2d hanc chordam ex vertice demittatur perpendi- cularis CD, hs chordam, arcum , & aneulum datum biffecabit ( Chordám enim & arcum biff ictc Tec ari ex hr* heo remate PI"PC?U("P e pa- f£et fed arcus toti eft menfura anguli d ti arcus feu menfu- ra eft biffecta, ergo etiam angulus erit biife&us. Tf .ï CLO an- guli nondum mvmta et PEDUM s — COROLLARIUM IV 83. Per tfia pun&a .4, B, C, non in dire&um jacentia eirculus d.ej ibitur, (Fzg. 4,0,N fi pun&a data linels conjungan- £U o h m li ii per perpendiculares biffecentur , ex . concurtu li- Scarum D L(mf uam centlo radio AD defcriptus circulus per tria p! H fta data tranfil DIL, ^1f n nee enim ut du» chorde circuli fpe- &/Ll pOL unt, fa d biffécante vallt es linee perpendiculares tranfeunt per centrum, ergo in utraque fimul perpendiculari centrum effe debet quod cum in alio punc&to quam concurfus effe nequeat, id enim foiam commune habere poffunt, concurfus perpendicularium de- erminabit centrum. Si punda in dire&um , jacea nt, linez per- 3)&, Den idiculares fiunt parallele, 1 hinc nunquam concurrent, & nul- lum ha bebitur centrum, in tribpus Quare linea reda circulu pv ijcca nj $ fecare nequite C 00 - DE PROPRIE LI & 27.' Q.O.R OLLI ARIU M V tertis 1 $4. Dati circuli centrum i nvenitur, ( PZg. 41.) f chor- N 4 ih de AB & BD ducantur, & ad has erigantur perpendiculare äälf fs biffecantes, concurfus hátum det erminabit centrum circuli dati ^ Qu»vis en 152 perpendicularis biffecans debet tranüre per cen- trum , concurfus igitur, qui, ut prius dictum eft, in vmco pun- centrum. determinat, &o dit, pun&um illud feu Iunt H COR IJAF—IUM R/!o n N5 : 85. Arcus dati £, ABI) com P etur, fi in ill o tria ?P 2e T H n S biffecer f1 i &a affumantur , «c ii orde du& e T H EOREMA IV cen * i 1 1 ^112 $ led 9 O. Ra s is circuli eft perpendicu 1aT & sad t CLui €£y p T t em LUS o E MON U P A U. OJAL 4 COl Po o n urt C horda i 11 er ior B;: ;H parallela ad 42, 'enal* a ( Fi [ Ü Á d otu j9) a T E ] e lo al diu recedere, QOrK l"' A -U 1 t ) antum i 1* AR [6] un ï ) I4 cum citr ulo on ] F(ln fiet tangens T* ; (u-/u- Fa circul 'e nitione ( w A 20 ) & C L Ífiet radius; 0 à Ils al "tT Ht CR Xd 3 ,E" Maid dieula wo a. ar : 348. $. 77: s, (ut in fi CE etiani diximus) & GH ft parallela ad .4B yn**pemwuïar:s )d GH feu gh eífe debet, fed CE eft radids & gÀt igitur radius entit SUEEDSS eft perpendicularis neane ad tangentem. Q. E. D. [ ]t- COR()XJ ARIU Xe f ffi T )d2 97. Cum CE fit ad gh perpendicularis, etiam ghad CE ; pet pert enfi icularis;effe debet. 44.) Et cum nonnifr unica pe ob 2" pm cularis ad idem pun&um duci poffit, fequitur nonrniiu 'U" - nim am tangentem ad idem punc&um duci poífe, atque. omnia re ) de- imua tangentis pun&a prater folum E extra circulum jacere à€ | f€. f« bpere 1 i D enim aut alio punc&o angulus re&us effe non poteft. Wor c e n À i f m im in E & in D re&tus, proin externus equalis intetno, li nec [100$ CE &.CD parallele , adeoque ex eodem pun&ó C due :1. : ralleig ad lineam gh du&s, quod eft abfurdum, g 00 i Q. - "APUT lu 28 COROLLARIUM 1x, N n füti / $8. Hinc ducitur tangens ad pun&um E datum, 66 punctum þ'g [ per raidium CE cum centro conjungaïur, & in E erigatur per- - pendicularis. 'X: enim ! C(P)ROLLL/ARIUM U. equi 89. Cum tangens cum circulo in pun&o E, quod reipfa linea infinite parva circuli eft, (" 29.) congruat, adeoque hanc partem minimam cum circulo communem habeat, fequitur, radium quo- que cum peripheria circuli angulum rectum facere, & ad illam perpendicularem. effe, SCHOLIONYN. dety 90. Paradoxum hic videtur, ( Fig. 43.) cur;a unica tantum Nan a&d puncum E pofüt duci re&a tansens, quomodo pofünt duci angu plures circuli , qui omnes in eedem pun&o E circulum tangen- tes cum radio CE angulum re&um faciant, & ad quos omnes .4AB Tur tanzens maneat; at facile ex genefi & definit&jione rect» & cur- Q, v2-hoc quivis refolvet, Data enim po(itione re&z infinite par- ve E datur hoc ipfo reda tota, quas aliam directionem quam -AB feu EH habere non poteft, Át cum curvarum directiones cet, infinite fint, omnes lineam infinite parvam E communem habe- te poffunt, & deinde fuam continuo directionem quantitate tàm exigua mutare, ut fenfibiliter a linea re&a longiori etiam fpa- tio noón differant, Hinc fpatium inter EB licet exiguum, in minora adhuc fpatia per curvas dividi poteít, & angulus re&ili- tür neus licet infinite parvus, major tamen femper erit curvilineo Y FEB, HEF &c, &c. lis: THEOREMA V. gï. Anguli àd peripheram .DAB ( Fie, 44.) a duabus chordis B.4, 24D facti menfura eft arcus pher: dimidius, cui crura infiftunt, AU Cafus. I. Diim crus unum per centrum tranfit: DEMONSTRATIO. Men Ducatur per centrum diameter EF, quz fit ad al- bür terum crus D parallela, erit anguli « menfura i DB, i hi Nam DE PROPRIET. LIN. &c. 29 Nam angulus z —2, quia alterni, fed s habet pro men- fura AF f(eu DE, qui funt equales arcus inter paralle- undtum It per las, ergo etiam anguli « menfura eft D £, fed DE ett z ibDB, eí,enim DE — A4F, fed AP z EB, funt enim » & o verticales zequales, ergo etiam menfur: fuünt equales, ergo DE — EB, ergo DEZ— X DB, Q. EK. D, ? lne Aartem nf« Cas.Il. Dum centrum intra crura jacet. (Fig.45.) & um DEMONSTRATIO. Ducatur ab angulo diameter AE , angulus datus divi- detur in m & z, totius vero iterum men(ura erit & DB. tantum Nam anguli m menfura ex prec. Cas. et — £ DE, & nt duci anguli z menfura ex eodem eft — 1 B, ergo angulo- tange- m nes 4D rum 5$ -- s menfuraeftt X DE -- 1 EB, hoc ett £ DB. & Q. E. D. te par- quam Cas. IIL. Dum crus utrumque trans centrum ja- (Hfones cet. (Pig. 46.) habe te t2m DEMONSTRATIO. n fpr- Du&a. diametro AE ad angulum datum z adjungt- m, MW redili- tur novus angulus $, totius autem r 4- m men(ura ex vilnee prec. Cas. et 4 DB -- 1 BE, fed ex primo Cas. angu- lus m.pro füa menfura habet 4 BE, ergo pro " remanet i DB. Q. E.D. COROLLARIUM SZ4.L /l/ 92, Ansulus isitur. ad centrum eft duplus anseuli ad pefi- TCUS pheriam, eidem arcui infíffentis, habet enim duplam meníuram hujus , cum hic dimidium arcum & ille integzrum habeat, C'OQOROLLARIUM Il t 93. Ergo omnes aneuli in peripheria eidem (Flff, 47- ) arcui .4B inüflentes zquales funt, cum eandem menfuram hae beant; omnes anguli in femicirculo, ( F?g. 49.) quorum crura ;d ) DÀ inüftunt diametro A4B, íunt recti; habent .epim pro meníura dimi- 1 / 'g y A. E i !] 20 U "g* L"] * hn dimidiam femiperi he LE í am eu — I5 oc,.eft oo Án 1 qui J U . .* f arcuil c ï e1 rij h PT un acu 4 1 qui IX in3t funt minori qugm f v AL .LJL.. E Q Oori, 1uf it obtufi. C O V M ATA A. b t À j R OLLAR 094. Cum 1». C — m 5 j s r ] ! 15 it; "P. 49. pose 96 ïxns*ulus i : 72 3 P n/cï r tex hoc principio ad c xtremitaten neg datm.2 P X li 1 iculatris. H ( U r en 1m lLIL punc mc )T4 l i j ) tu4 & äm a.'lli a ï Z4 tt a nsi Z f aC üGat z Lc am 1411 n B pr a ä ur CB d libitum, $8 Iu 17 all Vil d aonec Occurra H C Ài tr iQ Cz a 15atur femicircu IV ala 4 ii a n 4 1 1o recta L CE -; per f, & A aucta e C erm di u i ris: EC t neulus .4 ic€m LJ.]On Iu in feCcus conf equenter linea e.—mm 4 perpe a 1 5 ^ * H À H I z!. I OR A VI n 7 4 3 s .A[ AT »uli ad peri D l de] ] tangent & chor- J ol A O b" e Ti i a jus are us intet tan en Á« & i me Ài fura.eft din « u ] l Q ( E 11 [ 1ordam comipre je 11l 35 ]eu 91 4B Vet L Ca .I. Cum e& ^5 tranfit Ty II i t h H er centrum.- CF fg. J ) Q. E * DEMO á. N 5 TRATIO " 1 ang [»] ati 1Y22 f ilel a * erit « o 17 catur dlame x LJu s 4 [3] e R nus inte V25 219 ernc ïk MA !ï n h at *y r'an vro menfura 7 m ld elt € xt qu :,Tv fa ad äan m-f'-zafhyï'- ergo et 4 h [5 b e f ro meniutra Z B i d f R x n — Y m 42 lj PA !»1 tescmtam 5 Ü ÍB, eft enim J p2 2 — p $; O b.ve ficà ;;. $ Ib ro T farna !] j b — . , y 4 TA Mu Wa z D. 7l ot par a 3] ï al b VX " X .J.;l ? ere O d T : p — Fs 4 ÓH 9] E 4X 2 j A 7^ £^ ,X X u A v;' ^&T -id ï iW 36Y t1 8 i Li t ilig S 1 —e 7!( Yl 2 (4 o sJ 3 HUUNI il li IT A.V 1 ( J L w w] Ü R A O. flia. a ü 1 ^ 130 af ) [ei jat t M & ib an l 1 lo ad IET H 2 rE 63 1J Va v & t ; rip 3, m - » ) EE l4 " b vel a l! eul " ID .ä'i ;* b etit a j menfu ::; à DE P m u ree C edén ï, e theo c inac c ? 1 ed i; ex p '] of anguli 7 met 11 fuü Q eft - E 44 e)ï» ; eolt I» it w k X 7 ;': ; a f gn u ] i« [ 5 - t i À 1g '-9€1E 3 6 u ": -u AA 5 À [ed Ej; g ; & "& PROPRIET IN. &c. 31 H a7N & anguli a in Fig. 52. eft X 4 LB Ehoce rfizg L L iA* Q e E. D. & T HEOREMA X V I $jw 96 Anguli ad peri dam (D'w .,) à chor da & linea, : wæ m*o"u&a LW et circulj LMLAIÀA i!Tä ï J.-M»..,.L mejïm furà eft g Li ïïïLp C».' 13 Ag - C WL l AE ex aaï X ï' € - 1ln&. X'n Ux.wa. lhf ;f to. EONFSTRATIG Producatur fecans in E & ducatur per 4 tangens GH a us quxfitus. D AB dividetur in » & o Anu Chof guli o meafura eft £ 4yB, & anguli » menfura & AxE e [ m funt enim anguli a t*ügwue & chorda, fed m —— n, qLua Verticai $5 Ci;') anguii z mentufra a&nleü LAXEST tius ergo w-ä»o feu D.AB menmu eít i AyB mäï D är-—-jo j Q. E. D. T EORE ,v..æ fï V "m £| n !j ,- ula 95 Angu intra peripheriam ( B7 D 54.) men- eft Y i iA(ï fura LE *.arc LOTOC H..Lïn 'F-) a RE a arcu. EE . in- tercepto à cruri us ultra verticem prolongatis. DE:T MONSTRATIO & u Ducatur FD a ri AC parallel .a erit 9 z : d ew*ez'v BC .4- AC k/-g nus interno, fed ? pro Mä"naw' ha 'T -s Y quia ad pe ripheriam, fz,d CI as FUTI "'S e"Cdï*'» inte p r pa- Y Ya mhþäabf, ergo menfura anguli [ pl r -- i DP m 7 z ^ —— A? QF*TG qhbdli; A meníura z i BC 4 ET À b o * LJJ Ld etpV H; j YT t h du Q« ü i 'CAPUTXELVO THEOREMA IX giti fol; 98. Anguli extra peripheriam ( Pze. $5.) men- fura eft 4 arcus interceptus concavus BC — 4 ar- inteïcepgs/cænvexo EF. tione. DEMONSTRATIO. fig, & Du&a parallela KD eít s — 4, fed anguli s tefe i menfura eft 1 BC — £ BD, (sd BD — EF, ob paralle- Fa )Q 1 BC — EF,.fed s 1 a 5 ergo-arguli s menfura eft 2 ts —— 4, ergo anguli Zmenfuraeft £ BC — £ EF.. Q. E. D. COROLLARIUM., ] 99. H»c etiam applicatur, dum unum crus vel utrumque cireulum tangit, femper enim arcus à parallela abfciffus erit ar- RW cul intcrcepFo convexo squalis, tv DYYMSUNN. —— trorfi UE CAP U.T V. De proprietatibus linearum rectarum fpatium claudentium. um b DERBINITIU E i^ -"Rigura lineis claufa polyzommm feu multangulum 100. ]1 i 1 i dicitur, quia linee , ut fpatium claudant, ad fe inclinari & hocipfía : ineulum efficere debent; a nu- A - i^ DO me mero angulorum, qui fem r zqualis eft numero late- Wum a ä rum denominatio polygoni dependet. eA DEFINITIO Il 10i1. Polygona equalia funt, quz» & vequalesang't los & zqualia latera habent, nulla enim ratione nifi folo [« ian numero G li AK A guia fumilia funt, que lon- Zänguustur ( TE gitu- DE PROPRIET. LIN. &e 33 pitudine laternm divería angulos tamen zquales haben nen. fola enim magnitudine differunt C$. 23.2 La DERINTTTO IH 102. Angulus polygoni e(t angulus ab inclina- tione linearum polygoni intra polygonum fa&us, ut in i g FU g. angulus 5 ; fi latus unum producatur, cum la- r tere adjacente facit angulum exterrüum pol$goni, ut ia [ud L Fig.57. angulus &. Anguli ad centrum funt, qui in cen- " D' tro figure a radiis ad angulos polygoni ducts fiunt. INITIO IV. DEZF ungue IO3. Anegulus procurrenr e& angulus duobus rectis rit af minor, cujus crura extrorfum concurtünt, ut in g.5 7. vel e€ vel L. Regredieus eft re&is major, cujus crura in- trorfum concurrunt, qui & angulus gibbi dicitur. i*zg 79. angulus é, COROLL ARIUM L 104. Hinc figura tribus lineis claufa , qus tres angulos if conftituunt, dicitur trigonum , aut triangulum ; Figz. 56. 57. qua- tuor lineis, quadrilaterum ; Prgz, 70. 7I. &c., quinque , pentago- hecatogo- num fex, hexagot m; feptem, heptagonum &c &c num , quod centum latefa , chiliogonum quod mille latera, inyriogonum , quod decem. millia habet &e, . &c, "u C.O.R O.L A Rj;I.U M L , ud IOS. Quivis advertit quo magis augeatut laterum nume.e WU fus, eo aneulos polygzoni obtufiores fieri, & dum latera in infini- Idta- tum augentür angulos quoque infinite magnos elfe, DETIN?TIO V. 106. Diagonalis.eft re&a pqr poljgor!um ab angu- 3(,0' l* lo ad angulum intra figuram ducta. jl ]on 4l Z /7 € 4 f 2l / ; . ;UL/Z[]' P ,'.'E, C DE- u m CgAP U-T IV. 34 DEFINITIO VI 107. Polygonum regulare eft, cujus omnia latera, & omnes anguli equaless funt: zrregulare, cujus latera fit & anguli zquales non funt. Syumetricum vexo eft, quod fl latera parallela zqualia habet, proinde in his nume- triang rus laterum par effe debet. (pro SCHOLIOSNé. indo t I08, Omnis figura, ut per decurfum videbimus, ad Trian- trian gulum refetri & in illud refolvi poteft, de hujus proprietatibus hu igitur feparatim agemus. MUU De Triangulis. DEFINITIO VII hus [ i09. 4Yiangulum eft figura tribus lineis claufa, qua bus hoc ipfo tres etiam angulos conftituunt (($. 100.). b litug OEX R OLILASSBIIJUM i16,. In quolibet igitur triangulo & tres linez, que lafere wocantur, & tres anguli in confiderationem veniunt, que diver- ías triapgulorum ífpecies & fequentes definitiones dant. DEFINITIO VII. Tut (l 111. Triangulum equilaterum eft, quod omnia tria Jatera zqualia habet Fzg. 62: equierurum feu lfofceles, quod duo tantum zqualia habet Fig. 63: Sealemum quod omnia tria inequalia habet. Fig. 64. -1 DEFINITIO IX. &. 112. Triangulum ve&amgulum eft, quod angulum $ fi m ref&tum habet ut Pig. 65. BAD: obiüguangulum, quod m engulos obliquos habet, quod rurfus eft vel obianga- li, quod angulum obtufum, Pig. $9. vel acutangulum quod tres acutos habet. Fiz. 56, DE- ) DE PROPRIET. LIN. &c. 39 DEFINITIO X. 113. Latus infimum in triangulo, fupta quod con- ftruitur triangulum , vocatur /4/; trianguli, in. Fig. $8 AB, ab; angulus huic lateri oppofitus vocatur vertex trianguli, in eadem Fz. C, c. Ex hoc vertice ad bafim (produ&am fi opus fit) demiffa perpendicularis eft ali;- iudo trianguli ; in .Fg. 60. trianguli 4pC obtufanguli & trianguli &CB acutanguli altitudo eft eadem linea CD. 1n triangulo re&angulo latus angulo re&o oppoütum vocatur hypotlzemyä ; reliqua duo catbeti. DEFINITIO XI. 114. Ánguli in duobus triangulis, zqualibus lateri- bus oppofiti dicuntur anguli Aomolog: uti latera zequali- Lj bus angulis oppofita latera Aomoloza dicuntur, in Fiz 58. 4 habet homologum a, B, habet ? & C habet c, latus 4B e(t homologum lateri a&b, &c. THEOREMA I "n E. II5. In omni Triangulo fumma trium anguto- rum eftzequalis 180 gradibus feu duobus rects. (Fig. 56.) ld DEMONSTRATIO 7 d Per verticem ducatur bafi parallel]a, erit a-I- b-f-c 180?, quia menfurantur a femiperipheria, fed « —— & c — f quia anguli alterni intetni inter parallelas, er- £go fubftituendo zqualibus zqualia erit e -- 7 -F- f — 180? fed e -- P -- f funt tres anguli trianguli, ergo furma d trium angulorum in triangulo eft —— 190 Q. E.D [e COROOLLARIEUM I 1] II6, Sequitur inde nullum triangulum duos re&os nec duof ebtufos, nec re&um & obtufum fimul habere poffe Cum enim € 2 redus | C A P UA'"* IV 36 ze&tus jam 90? habeat, & obtufus plus quam 90* , pro reliquis duobus 90? aut minus quam 90^ manent, re&dus ergo aut ob- tufus alius effe non poteft, Item fi duo re&i forent e & f, u- ne» dü» forent parallele , nunquam -ergo in vertice concurre- zemt, adeoque nec.fpatium clauderent. ph " CO R^OLLÁARIUM li tr7. Noto uno angulo innotefcit. fumhia reliquorüm ,' no- tis düobus innotefcit tertius: fünt enim mutua complementa ad duos rectos. COROLLARIUM.II [ il 1II8. Sequitur etïa)m,— perpendicularem ex quöcunque tri- anguli angulo ad latus oppofitum demilfam débere cadere extra e triangulum feu ad bafim prolongatam , fi angulus unus e reliquis i fuerit obtufus, quia alias in eodem triangulo plures recti, aut e- obtufus fimul & re&us foret, quód eft.impoffibil $12 cadere autein intra, ífi duo e reliquis acuti fuerint, COR OELARI.XUM Á7IV. &iio 119, Duo latera trianguli femper mäjora effe debere quam £ Coincide- tir tertium , alias enim fpatium claudere' non. poffent. yent enim cum latere tertio, fi illi zqualia aut minora. eífent, ang « THEOREMA Il 120, Si latus unum trianguli (.Pze. $7.) pro- Ya ducatur, externus a eft a&equalis duobus internis op- qui pofitis ? & e, DEMONSTRATIO RE U 4 -l- c z—1805,quià menfurantura f*emiperiphþl'ia :fed i€5| c- b -- e —— 180* ex praecedenti theoremate, ergo &figi ü--cmmc--bH-e: deleto in utioque membro c manet azzb-4-e, fed a eft exterpus, b & & dvo interni eppo- fiti, ergo externus . «qualis duobus internis oppofitis. QO EI D' 4 THEO- ï DE PROPRIET. LIN. &c. 37 u THEOREMA Il 02 li I21r, Quodvis triangulum (Z*g. 40.) poteft i infcribi circulo, ut vertices angulorum fint in peri- pheria: vel quod idem eft; triangulo dato Circue lus circumícribi, HULS d DEMONSTRATIO Per data tria pun&a non in dire&um Jacentia pot. eft defcribi circulus ( $. 8o. ) atqui vertices angulorum PUv in triangulo funt tria pun&a. non in directum jacentia Xtta ergo poteft per illadefcribicirculus , & totum triangulum 1quis circulo infcribi,veltriangulo circulus circumfcribi. Q.E.D. aut ütelt COROLLARIUM II 122. 'Yrianguli ergo infcripti latera erunt chordo circuli, & fi latera funt qualia, chorde quoque funt 2quales, & cum chorde zquales fubtendant xquales arcus arcus quoque equales erunt, qui cum fint menfure angulorum oppofitorum ad periphe- m riam Mie hi quoque anguli equales eífe debebunt promde in tris llf angulo squilatero tres anguli equales & quilibet 60? erit; adeo- que trlanvulu*n equilaterum, eft Oolygonum regulare, (S. 107) CGROLLARIUM II, 193. Cum chorda major majorem arcum fubtendat ,- arcus pro- yero menfure fint angulorum oppofitorum ad peripheriam, fe« op quitur-majori àngulo majus latus opponi, minori minus COROLLARIUM II $ Y24. Cum in triangulo lfofceli duo crura fint x»qualia, f infcribatur circulo, duse quoque chorde & arcus fubtenfi equas - (ed les erunt, proinde etiam anguli oppofiti, qui funt ad bafim tri- 2 n anguli, zquales erunt anet THEOREMA IV p fits, 125. Si duo triangula habuerint unum latus 44B ( Fzg. 88.) cum duobus angulis adjacentibus " C 3 aequa- E r m CAPUT IV. 38 eequale Iafe-ri ab cum angulis a & b: vel duo late- :1à 44C & 44B cum angulo intercepto 71 zqualia te lateribus ac & ab cum angulo : velommnia tria t 4tU! latera zequalia, reliquae quoque partes & tota trian- aqu £ula zequalia erunt. £ulu 4D DEMONSTRATIO. p vel Ex . principio congruentie ; quz fibi perfe&e congruunt, 4j squalia funt, atqui przdi&a triangula perfe&te fibi con» $0 ti0 gruunt, ergo funt aqualia. Aílumti propofitio per partes demonftratur: 1?, Ponatur latus 4B fupra xquale 4b, perfe&e & congruet, & pun&um 44 ad a, B ad ? cadet, & cum 4 fit — a, eandem habet inclinationem AC ad 4B in uno, bu, itig quim habet in altero ac ad ab, ergo AC füpra ac cadere [ debet; cum vero etiam B & », etiam BC eandem in- do clinationem cum ?c habere debet, adeoque BC fupra tet bc cadet, unde neceffario C ad « cadet, & tota triangula tes. iny congruent. 2*. Pofita 4C fupra ac, & 4B fupra ab perfe&te Mlis congruent , cum inclinatio harum linearum feu an- gulus / & a in uno eadem cum inclinatione in altero fit, ergo pun&um C fupra « & pun&um B fupra 5 ca- mx det, ergo extremitates linearum & hoc ipfo tote li. nce BC & bc & ipfa triangula congruent. 3*. Ponatur AC fupra ac, B fupra ab, cüm fint equalia, perfe&e congruent, & 4 ad a, B ad ? cadet, 4B fed cum etiam BC fit z bc, impoffibile eft, ut C ma- ang gis diftet a B in uno, quam in altero, ergo inclinatio ttia C ad AB squalis eft inclinationi ae ad ab, proinde pun&um C fupra c cadit, & totum triangulum 4BC fue W , pra abc cadit, cum eoque congtruit, Q. E. D. Wt hi COROL- — — DE PROPRIET. LIN. &c. 39 (t« COROLLARIUM, alia I26. Ex his quoque deducitur, fi dentur dud triangula re&angula aut duo acutangula, aut duo obtufangula , & duo la. tl tera cum quocunque agngulo habuerint zqualia, ipfum quoque al* latus tertium zquale tertio eífe debere, & hoc ipfo triangula gequalia., Nam Ífi ponstur latus .4C — ac, & BC — bc, & an- gulus.4 - a, impofübile eft, ut latusab majus vel minus fit quam AB. ac enim fupra .4C pofito cum a fit — 4, ab quoque fu- pra A4B cadit, & ipfum b cum Bcoincidere debet, fi enim fupra vel infra cadere aut ab illo recedere ponatur angülus quoque If .A jam major vel minor erit quam a & hoc ipfo jam illi nom j0l equalis contra hypothefin datam, mutari enim deberet inclina- tio lateris 4C ad AB, ut ex conftru&ione figure clarum eft. SCHOLION. e(te 127. Habentur ergo criteria & figna certifhma vqualitatis 24 duorum triangulorum , fi nempe habeant unum latus cum duo- : It bus angulis adjacentibus: duo latera cum angulo intercepto: vel tria latera equalia , ad quem ultimum cafum refertur etiam , (i 4 jete duo latera cum quocunque angulo dato fuerint equalia, dummo- d do etiam detur, utrumque aut obtufangulum, autacutangulum, aut tectangulum effe, Bene hec memoriz imprimenda funt, cum fequen- pra üla tes demonftrationes his potiffímum tanquam principiis innitantur, immediate ferviunt ad folutionem fequentium probiematum. d PROBLEMA I at teto 128. Triangulum dato .4BC xquale con- ( ftruere. (Fze. $9.). | [j RESULOTIDSD ftt Si datur 4B cum angulis 4 & B, fiat ab xquale let, 4B, & ( per $. 79.) fiat in a angulus a z 4: in b d ma angulus P z , linez duz in puné&to c concürrent, & atio triangulum hoc impofitum priori congruet. Si datur 4B. & AC cum angulo A4, fiat ab z A4B, nde T ru' in 4 conftruatur angulus 4z4, & ducatur linea indefi nita, in qua abfcindatur longitudo data AC ,. conjungas L] tur € & ) & hoc novum priori impofitum congruet CA $i z AO DATTUT-IV. Si dantur tria latera, fiat AD z ab, ex a fiat lon- gitudine AC arcus & ex ? longitudine bc interfectio, erunt hzc tria latera ex conftructione zqualia prioribus & hoc ipío congruent. Si dantur duo latera cum quocunque angulo AB, BC, & A, fiat ab z AB, in a fiat angulus indetermi- nato latere 4f xqualis angulo 4, ex b transferatur in af indefinitam longitudo C z bc, erit etiam ac z Zfe, adeoque trià latera xqualia ex. pracedenti theoremate habentur. Demonfítratio ex Theor. IV. habetur. SCHOLION, I29. Ex iisdem principiis fine dato alio trïangäx-lo quode- vis novum conftrui poteft , datis iisdem ut prius lateribus & an- £ulis in determinata longitudine & inclinatione, aut graduum nu- inero. 1ta v. g. fi fit conttruendum triangulum ex linea 43 & A4D, ( Fig. 59.). que ad .4 angulum 30? faciant, fiat lineis indefinitis angulus ad .4 3O gràduum, ad has lineas transferan- I tur longitudines datem,, & extremitates D. & B conjungantur, Dum dantur duo latera non cum erit ADB triangulum petitum. intercepto angulo fed cum alio quocunque, in hoc cafu fimul dari debet, an faciendum fit obtufangulum an acutangulum: da- 9. tis enim lateribus (Fzg. 60.) .4C s : EC cum angulo a, conftrue- tur triangulum petitum feu BC ad dextram feu ad finiftram v. g. LC cadat, & triangulum vel acutangulum .4PC vel obtufangulum ZAbC fiexi poterit, & utrumque problemati fatisfaciet; 4Cenim & 4 ad utrümque pertinent, BC vero eft — Pc, ergo in utroque | datze conditiones implentur. Recangulum per fe determinatur 5 quia perpendicularis nec ad dextram mec ad finiftram cadit, fed wnicum. tantum fitum habet. THEOREMA.- Y, 130. Si in triangulo (Fzg. 61.) uocunque 1 lateri uni ducatur p araiieia, erunt Q€uo triangula gw ABC & abC fimilia, D E- M-a DE PROPRIET. LIN. &c. 41 Ti DEMONSTRATIO ectio, Similia funt tibus quaz habent zquale ngulos fola lor gitudine laterum divería. atqui hzxc duo triangula ha- bent zquales angulos, C enim eít communis, 4 vero 1] et — d &b B,quiaexternus interno inter parallelas, ergo triangula fint finilia. Ur 11 - ffr PROBLEMZA II Es emnàs I31. Defcribere triangulum aequilàterum dato aut ícalenum latere: aut zequicrurum d&uc» duobus : datis trlbus lateribus. RESOLUTIO ) Quoc ; & at um nu 1*. Datum latus A4B ( Pz2. 62.) affumatur pro bafi, 4n & & apertura circini, que fit æquth dato lateri, fixo Tineis pede in 4 fiat arcus.in C, & rurfus fixo pede in B fiat sferan interfe&tio in C, erit triangulum zquilaterum. Antur j cum DEMONSTRATIO l fimul nda Latera funt eiufdem longitudinis, cum eadem aper- nirue tura circini facta fint, ergo funt zqualia inter fe, ergo n 5 triangulum eft æquüaterum Q. E. D. ngulum 2*. Affumatur ex datis vel 4B vel A4D pro bafi, enm& utrogue (Pig. 63.) & apertura circini que fit alteri lateu iatut s AD vel AB zqualis, fiant interfe&tion in D vel & fed erit .4DB I1foíceles. DEMONSTRATIO Duo crura funt inter fe :equalia, eadem enim aper- i tura circini fa&a funt, fed crura squalia faciunt trian- l ] 4 gulum Ifofceles, ergo .4DB eft Ifofceles. Q. E. D. l : 3*. Latus unum ex datis affumatur pro bafi, (.P29-64.) & apertura circini, quz fit zqualis confequenter aliis C 5 late« 42 CAPUT IV. lateribus, fiat interfe&io, pun&um interfe&ionis conjun- &um cum bafi dabit triangulum fcalenum. Tr DEMONSTRATIO zhq firu&io Patet ex conftru&ione & definitione. equiia COROLLARIUM. proia ] 132, Inde rurfus refolvitur problema, quo petitur, ut in fine lines ( Fig. 65. ) in A. erigatur perpendicularis, | Conftrua- tur enim fixo crure circini in .4, triangulum squilaterum .4BC, producatur BC indefinite, & in BD ex C transferatur AC, ut fit j Qw AC — CD, D & 4 conjungantur, erit DA perpendicularis, Eft enim in .4 angulus re&us, cum enim .4BC fit »quilaterum, erit angulus m — 60?,& iz—60^, & cum 4C — CD, erit ACD lfofceles , & o — n, ergo i externus z n--o ($. 118.) feu n-jl-n hoc eftz2n, & cum i — Ó60?, erit nz30, proinde Táfüt e m -- n —— 60 - 30 z 90, ergo in 44 angulus re&us, proinde 164 AD perpendiculyarïs. SCHOLIOYN. item 7 latera t 133. Quomodo hec principia theoretica praxi applicari tur BE eofint, fequentia Quo problemata oftendent. dite D PROBLEMA IIL DEB. ducsf. 124. Invenire diftantiam duorum locorum 44 ü p & B, ( Fig, 66.) ad quz acceffüs patet, interje- lls ü&; ca autem palude feparantur, RESOLUTIO. Ti Figatur baculus in pun&o C ad libitum affumpto, f:g é menfuretur 4C & CB; recedatur dein verfus E in ?Tæter( dire&ione A4C, ut ECA fit eadem linea re&a, tamdiu, scenti] Idem fiata C verfus D, do- donec CE fit zqualis AC. "leriu nec DC fit equalis BC, in D & E figantur baculi, & Ils menfuretur DE, que cerit squalis diftantie peti- te ÁBD. DE- A DE PROPRIET. LIN. &c. 45 ] COb DEMONSTRATIO. 'Triangulum. A4CB eft zz triangulo CDE, — Nam « z— b quia verticales; BC 2 CD, & CAzz CE ex con- ftru&ione, ergo duo latera cum angulo intercepto funt zqualia, ergo tota triangula funt zqualia ($. 123.) proin latus DE z 4AB. Q. E. D. t, Ut IR Contnue PROBLEM A IV. um ADU 135. Invenire diftantiam duorum loöo;um, quo- C, ut fit dicularis, tum unus tantum accedi poteft. llaterutn, erit ACD RESOLUTIO. [j fer Figatur baculus in. C, menfuretue. CB, & transfe- proinde ratur ex C in b, fixo rurfus in » baculo. In directio- , proinde ne 3 B verfus 4 figatur in D baculus, menfüretur BD, item BE, & DE, habebuntur in triangulo DAE tria latera nota, proin totum triangulum notum; transfera- gplicaté tur BE in je, & ex e longitudine ED & ex b longitu- dine BD fiat interfectio in d, erit triangulum Led — Pro« DEB ob lstera zequalia, ergo angulus a — c. ducatur d in F, donec in F ftanti C & 4 in eadem re- vum 4 &a appareant, ut FCA fitlinea re&a, erit F» aqua- inter lis ditantie quafite 4B. DEMONSTRATIO. Triangulum 4BC eft x triangulo CbF, eft enim f — £quia verticales, « —— a ex conítrucione, & Tumpto, ,E praterea latus 2C z CB, ergo latus cum angulis ad- jacentibus unius zquale lateri cum angulis adjacentibus tamdlly SD, d alterius, ergo tota triangula funt squalia, ergo latus bF zm lateri.4B Q. E. D. ;CUH D & 1æ Peti' SCH Oo- pE C/ATUT IV 44 SCHOLION, I36. Dum ípatium non admittit, ut CD fiat — diftantise H CB, & CE — 4AC, in Fig. 66. accipiatur ejus dimidia vel tertia &c. — pars, ut fit Ce i AC & Od 9 ä BC, erit etiam de — L AB, l .j.« ( quod etíam in altero problernate notandum éft, Veritas hujus in- cutmicri ferius de lineis proportionalibus oftendetur, Ex. Sit CA — 60 !**, BC — 40 hex, fiat Ce z— 30, dC z " e C'N , iïenfuratum de z 2$ duplicetur, erit vera diítantia 4B —— * 50 Bi I THEOREMA VI. ( 1. wudo ..147. In triangulo Ifofceli perpendicularis CD [[208: ex vertice ad bafim demiffa, (Fzg. 69.) hanc & an- enim ( fituctio gulum ad verticem & totum triangulum biffecat. tertus DEMONSTRATIO. — 6 habett In D funt re&i, quia CD' perpendiculatis , tota f quia Ifofceles , ergo etiam tertius m — ntertio ($. 115.) etiam 0 preterea latus 4C z BC, ergo latus cum angulis ad- fed etia jacentibus zquale, ergo tota triangula funt squalia, er« lia : Pl*( go etiam latus 4D — DB, Q. E. D. triangu, CO ROLLUASTSTIUM. L 138. Cum zquilaterum fit etiam I1fofceles , 'prædi&,a rprcw- prietas etiam «quilatero competit, COROLLARIUM:';—I 129. Inde fequitur, fi bafis biffecetur, etiam angulum ad 1 verticem biffecari, & lineam perpendicularem eíffe, erunt enim lela d tria latera unius trianguli ACD squalia tribus alterius DBC , er- TU oj $0 tota triangula zqualia, & m —— z, & cum in D deinceps po- Cicitur fiti etiam fint equales, re&i effe debent ($. 49-) proinde linea &puli AD perpendicularis, (& Q Cbiitigïgm Rel*igu T HEO- DE PROPRIET. LIN. &c 45 HEOREMA VII ia a «t eft vCit circulus 1infcrib 140. Cuivis. triangulo pot 48, feu quod. idem eft 5 UT triangulum |poteft circulo cir- cum mel. CM AB z DEMONSTRATIO Biffecetur angulus: 4 ($..91.) per indefinitam .4e, CPz9g. 69.) biflecetur etiam B.per indefinitàm Ba, ex pun&e concurfus,hàrum re&arum c, demittantur ad la- (D tera perpendieula cF, cD, 'cG , h:c erunt zqualia, funt ( a enim triangula. cA4AG. & Fz4. equslia, cum in d ex cone v ftru&ione duo anguli fint zquales, in G & F re&i, ergo tertius zqualis tertio, latus 4 utrique commune, ergo habetur latus cum angulis adjacentibus zquale, er go b- tota trlangula funt sequalia, & latus Gc x— Fc fed ,5 ! etiam ob eandem rationem BcF — DCB ^ & Dc z E lis àd fed etiam Fc — Gc per priora, ergo Dc PFe, Gc squa- 14 ea lia, proinde funt radii ejusdem ci uli, quem laterà trianguli in pun&is F, D, G- tangunt. Q. E. D De Polysonis aliis la pti DEFPFINITIO.K I41. Quadrilaterum oppofita latera habens paral- red m lela dicitur parallelogrammum : G in fpecie quadrilate: etuitt rum omnia latera babens zquai!ia & angulos rectos, P. 05 po- dicitur guadratum ( Pg. yo Si latera fuerint aequalia & lines anguli obliqui, dicitur AAombus (Pzg. 71.). Si bipa la- tera oppofita fuerint zqualia & anguli re&ti, dicitur re- Gangulum (Bzg 79.): fi obliqui, AAomboides (i*zo 73 ) liqua figure quadrilatere zrapesia (j.*z(g na4.) vecantu;. o dl (- 46 CXPUT IY tot t THEOREMA L Y d à 142. Quodvis parallelogrammum per diapona« ]ram lem in duo triangula eequalia dividitür, (P79. 75.) T adeoque biffecatur. teta di DEMONSTRATIO. o du funt be Cum enim A4B & CD fint parallelz, erunt anguli alter- funt b nia & c, item ? & d xquales, /4D vero ad utrumque per- teta de tinet, ergo utrumque triangulum latus unum cum an- gulis adjacentibus zquale habet, ergo triangulum .4BD & CÁD erit; proinde figura in duas partes equales di- ho eí vifa, Q. E, D. htl COROLLARIUM, X42. Patet inde, latera oppofita parallglegrammi cujusvis femper xqualia effe debere; íi enim triangulum inferius fuperio- ti imponatur, cum fint equalia, CD fupra A4B & DB íupra AC I cadet, PO Tufn g THEOREMA il T0mer 144. Quodvis polygonum in triangula vel in tot refolvi poteft, quot funt latera affumpto puncto intra perimetrum, vel infot, quot funt latera dem- tis duobus ductis diagonalibus fefe non interfecan- htera lateta : tibus. gv DEMONSTRATIO. fubtra] 2! Fa&o pun&o intra perimetrum C ad queuivïs angu- lum duci poífunt latera triangulorum, ( Pzg. 76.) quo- dklobus IQ rum vertices in puné&o aifumto funt, bafes vero firt D Alt ipfa latera polygoni, ergo tot funt triangula, quot funt bafes, íed baíes tot funt quot latera, ergo etiam tot DE PROPRIETATIBUS LIN. &c. 47 tot triangula quot latera, ut apparet in Hexagono P9. 76. quod in fex triangula refolvitur. fon 2^. Ductis diagonalibus latera fiunt bafes triangu- lorum preter duo, prima enim & ultima diagonalis v. 15 g. BF & CE in Pig..77. triangulum totum & fimul la- tera duo B4, AF, & CD, ED abfcindunt, ex his er- £o duobus unum tantum bafis eíffe poteít, ergo omnia ] dete funt bafes demtis duobus, fed tot funt triangula, quot funt bafes, ergo etiam tot erunt triangula quot funt la- je pete tera demtis duobus, um an. n ABD COROLLARIUM, Jles i« I45. AÁnguliigitur in centro tot fiunt, quqot funt triangula, hoc eft, quot funt latera, &fi làtera funt equalia, etiàm triangu- la & hi anguli ad centrum zquales funt. THEOREM A IIl eyjuss fupetio- 146. Summa omnium internorum &ngulorum ipra At polygoni eft zequalis 180* ductis in numerum late- rum minus 3605 vel eft zqualis 180* ductis in numerum laterum binario imminutum. vel n DEMONSTRATIO. pun&o 1^ Fado pun&o in medio tot funt triangula quot 3 den latera ($. 144.) ergo toties 180? habentur, quot funt (eCate latera, fed anguli circa pun&um medium , qui funt —— 360?, non pertinent ad angulos polygoni, ergo ab iis fubtrahi debent, Q. E. Primum. 2*. Tot funt triangula quot funt latera, demptis , anp duobus, fed quodvis triangulum z 180?, ergo toties jqu 180* accipi debent, quot funt latera demptis duobus, Q. 'ü fll'.f E. Alterum, , quot ) 6mm tot THEO- C A. PUT IV. ld. [Se ] THEOR'EM A: IV WE u nf I47. Anguliexterni, fi nullus eft gibbus u g j æquajes 360* (Fig. 78.) b,er iere « DEJMONSTRATIO ta Q xhbwt neulus externus 4, b, &c. cum fuo in* terno .A4, B. &c. facit 190 ergo e terni cum:. internis ü an toties faciunt 180*, quot funt latera; fed.etiam interni ; cum iis ad run&um E toties faciunt: 180 quot fun lexterni iis ad pu "»öï;um F squa latera, ergo w 144. ] les effe debent, fed hi faciunt 360^, ergo etian ? ) ex- tened terni 4 -- Pb -0 E diHi- 6, 360^ equales funt. EO DD duas | ;ihl I T H.EO EMA V 1113 I49. Si anguloru alicui li it^ eibbi, fumma exterüórum eft .ze XL& E 360& Wä— tOilLS .2.80 (iu ferib funt gibbi. (fzg. 79.) tfaïh. DEMONSTRATIO 4 p ;] Sit lus gibbi in e, du&a linea L 5 iumma externorum , b D ? j—a F, eft xquali a60? ex 0! int precedenti, fed etiam anguli 4, € fk 4ilV jguli ex- gïu 1 p ( terni, ergo ad priorum fuminam addi :teb nt, fed 4,. £, i &qUà c, cum fuxt anguli trianguii , funt z [90, ervo ad 360 h V to &udi debent 1 90, & cum hoc (mumnfücmr de omni an- WUl &hens o gibbi, fequitur füummam exter norum eífe zqualem &( ding tä O? -- toties 180?,quot f'unt gibbi Q. E L &i l« 3 P OR R VI. Qei ^d li a? vo liyi nmetricum CT a li Y 2,7 (, uodvi e derta m : ula ad deln conales 3.&4 c SHC OU HItOo S I) $12 M !»,HPQ tT verticem Oppo C "p (,V QIL ivl ditur. ( LHo. € ) f* [ Pa n E ARIET ; PROPI uio LïN &Cg 49 MONSTRATIO p Cum latera oppofita femper fint parallela & zqua- lia, & diagonalis femper ut fecans harum parallelarü haberi poífit femper erunt duo alterni anguli cum ]la- tere adjacente in utroque triangulo equales, proinde tota xqualia: ut in f72. 8O. cum latus 4B fit equa- le & parallelum ad ED, « z d & e — ?, erit etiam b ECD Idem demonftratur de FCA triangulum A4CB ü & ECG, aut de FCD & 4CG. Q. E.D COROLLARIUM h X 150, Deducitur inde, fi quecunque linea v. g. xy per ín- terfe&ionem communem diagonalium C ducatur polygzonum in D. Erunt enim ex utraque paàrte triand duas partes equales dividi. gula numero & fpecie zqualia triangulis ex altega párte, q H.E OREMZA VII 3 n2 g are circulo in- UT I5I. Polygonum quodvis r fcribi feu polygono circulus per l tces angulorum g tranfiens circumícribi poteft DEMONSTRATIO i 1 ia re; & biffecentur an ex it ABDEF pentagonum regu eX guli per ($. 82.) (Pzg. 81.) linez biffecantes omnes ) &quales erunt & in eodem pun&o C concurrent. Nàm cum toti anguli fipt equales, etiam dimidii zequales eífe o Al d hfu - L proin omnes anguli a, m, 0, £, s, y, $, e, x & 8 el n ales funt & cuin latera adjacentia AB , BD.&c etiam zqualia fint, erunt mem triangula æquaha & Ifof- D CE celia, adeoque latera .4C, AJ./, CF zequa- lia, ergo C tanquam centrum & linez he vt radii con- fidet circulus ergo hoc centro & his radiis ] 1 poffunt, nu ] deícriptus per omnia pun&a 24, B, D, E, & F tr nüre deé i!þ&ä ,,75/ 'Lä*g' l]. D 2 b1"] CATPUT IV. [/ debet, & circulus etit p»entagono circumfcriptus, quae proprietates cum in omni adfint polygono, de omni quo- que polygono demonítrantur. Q. E. D. COR OLLARIUM L 152. Hinc latera polygoni regularis funt chorde zquales eitculorum , qua arcus xquaáles fubtendunt , per quos meníurane tur anguli.ad centrum sequáles, jam cum anguli ad centrum fint sequales 3606, fi 360^ dividam per numerum laterum, habeo angulum. quemvis, & arcum illius menífuram , & chordam huie arcui correfpondentem, In pentagono 360 divii per 5 dant 72, angvlum ad centrum, quantitatem arcus, & magnitudinem chorde. COROLLARIUM IL 153. $i hexagonum datur, angulus ad centrum habet 60?, & cum ex prioribus demonítratis, fi radii ducantur ad angulos, habeantur mera triangula lfoífcelia ,. quivis angulus ad bafim etiam 60 gradus habere debet, proinde in hexagono fimul funt triangula zquilatera , & latus hexagoni equale radio circuli, ( Fizr, 76.) Defcripturus igitur hexagonum fa&o circulo rad'umi fexies ad peripheriam transfer, qua methodo plerumque divifio circuli aut quadrantis inchoatur. | : THEOREMA VIIL I54. Cuivis polygono recgulari circulus infcri- bi aut polygonum circulo circumfcribi pofeft. (Fig. 82.) DEMONSTRATIO. Biffe&is duobus angulis habetur centrum ex pra- cedentibus, inde demiíffa ad latera feu chordas perpen- dicula erunt zqualia. Hec enim perpendicula chordas büfecant, ($. 78.) qu& cum fint larera polygoni regu- laris, cquales funt, proinde etiam dimidia erunt zqua- lia, & in triangulo ECB & BCD ]latus EB z lateri BD, in E & D fupt re&i , a z« » ex con(iru&ione, er- £o* | DE PROPRIET. LIN, é 51 Qu go triangula hec duo æqnalaa, proin latus CD 2— CE quo Eodem modo demonftratur CFefle z CE & CD & CI & CG, ergo hz uneæ pro radiis ci-culi haberi poffunt , & circulus centro C his radiis defcriptus totus intra poly- gonum ita jacebit, ut làteta eum tangant. Q. E. D qualet Uran PROBLEMAI | fiftt 0€0 155. Invenire fummam angulorum polygoni, | X.«ïc RESOLUTIO. d Qf 0gs Ducatur 18O in fummam latervum demtis duobus, factum erit füumma petita. In octogono v. g. ducitur 180 in $ 6. & factum 1080 eft fumma omnium. Patet ex Tleor. 60', "ulos; E91 batm ] funt PROBLEMA IL (fig fexiet 156. Invenire angulum quemvis polygoni. JcuH RESOLUTIO Quzratur fumma omnium, & dividatur per nümerüm laterum. Tot enim fünt aoguli quot latera, ergo fi fum- feti :»a omnium dividatur per fummam ]laterum , habetug rF:'g, quivis in o&ogono 1080 dividatur pet 8, & quotus R 135 eít angulus quazfitus SCHOLION I57. Sequen$ tabella angulos polygonotum usque ad dode- tagonum exhibet. n | $; Anm Ang. Pol pen Pol gona Sum, 4ng.| 4ng Pal Pol vg, )W* $ Triangulum 180 óo ( EJS )m, TORO 1325 260 90 Énneagon. 1260 l4Q rnmül Quadratum Pentagzonum 540 Io8 Decazg. n 1440 l44 aq Ua Hexaconum (29 I20 £ndecag. 1690 IiA47r ateft teptagonum 9Q9Q 1284* Dodecag. | ig2o 159 ; eig Ge p P in CATPUT IV. x2 Ín hac tabula lfgquens fumma arlgulo;-um femper habetur ad prse- gf&ïl cedentem addendo 180, cum enim femper novum latus acce- du dat, factor alter femper unitate augetur, adeoque ad precedene fa&tum 180 accedit. t tn : PROBLEMA m». 158. Pol)fgono circulum circumfcribere. ^ RESOLUTIO. Dividantur duo anguli bifariam, ubi linez biífe. Cantes concurrunt, erit centrum, ex quo pun&o per d vertices circulus ci;/cumfcribi poteft. Patet ex Theor. Tuà l VII. PROBLEMA IV. 159. Circulo polygonum infcribere, h. RESOLUTIO. Dividatur 360 per numerum laterum , ut habeatur bt angulus ad centrum , & arcus illi in peripheria corre- dieu ; fpondens, qui ope transportatorii determinetur, ad ar- dxm cum ducatur chorda, & in peripheriam transferatur. enr Patet ex Theor. II. & Coroll. füita COROLLARIUM. pu pol I60. Cum hoc ope tranfportstoris fiat, mechanica tanturm & non £geometrica operatio eft. immediate loc Hexagonum fólum defcribi poteft, applicando radium fexies peripherim ut $. 153. di- &um eft, Ope hexagoni de(cribitur trigonum (77g.83.) conjungenáo perlineas re&as duo latera, Dodecaeonum fit' bilfecando arcus he- xagoni, & inde ulterius per biffe&iones polygonum 24 laterum , *qu 48 laterum &c, haberi poffunt. Du&'s duabus diametris perpen- i ln Aiculariter fe 4nterfecantibus , fii; extremitates chordis conjüun- ilnu gantur, habetur quadratum, inde o&osonum &c, ut prius, De 75 iil w OR infcribendo pentagono, decagono &c. dicemus inferius ($. 190.) Wy ubi addemus de polygono 15, 3O, GQ &c. latecum qua per bif- D Lhoc-T v Q as DE PROPRIET. LIN. &c. $5 ftte ACCte fe&iones haberi poffunt, Aliortum feometrica defcriptio non- dum inventa eft. Heptagonum quam proxime defceribetur, f dent trianguli squilatgri circulo infcripti latus dimidium in periphe- tiam transferatur, PROBLEM .A V. I6I. Polygono circulum infcribere. RESOLUTIO. jifa. Qäæratnr centrum biffecando duos angulos, inde pat ad latera demittantur perpendicula, per quorum extre- lg0r. ma defcribitur circulus. Ptate*t ex Theor. VIII, PROBLEMA VL 162 Polygonum circulo circumfcribere, à RESOLUTI O. Inferibatur polygonum petitum circulo (ng 84.) atur per Probl. IV. Demittantur ad latera ex centro perpen- oe dicula, arcus bifariam fecantia, ad quz erecte perpen- d r diculares tangentes polygonum determinant. Habetur atuts enim circulus datus polygono infcriptus, cum per extre- mitates linearum ad latera perpendicularium tranfeat per Theor. VIH. fed idem eft feu circulus fit infcriptus polygono, feu polygonum circulo circumfcriptum, ergo a. hoc polygonum circulo circumfcriptum eft. Q. E. D. ediatt m SCHOLION. enáo . 163. Extra cireulum. data linea defcribitus triangulum ; he- equilaterum , ut fuperius ($. 120.) et expofitum, Quadratum , fUl s fi in fine linez date erigantur perpendiculares ejusdem longitu- qoene dinis & fuperne conjungantur, Pentagonum, ut dicetur ($ 190.. nüt Reliqua ut defcribantur, im utroque extremo lines date angulus ] pe Polyzoni faciendus erit, & linea, quo dat» zqualis fit, ibidera 190. applicanda, & hoc tamdiu repetendum, donec fpatium claudatur. f bll L Eadem gmethodus obfervatur, dum lines inzquales & anguli i* daue D2 — ..:.,e,*.—(?m-:«v as 84 CVAPUT* Y5 dantur,'væum in his labor mere meclhanicus adhibendus ef ope transportatoris coníftruendo angulos, à quo geometria ab- horret. El ul COR OLLARIUM —X [ d in t Y64. Apparet ex ha&enus di&is, quo major eft numerus laterum , eo magis femper angu'um po yzoni er obtufum , & utíi làteza fünt in- pop polygonüm accedere 24 circulum, ita quide fnita, polygonum quoque à'circulo quantitate fenfübili non dif- due ferat. Hinc fi eidem circulo pol [$] u li infcribatüur, & circume fcribatur, & dein latera fucceffhve plura & plura fiant, utrumque kC, * fem per mazis ad circulum accedet, & tandem cum ilo congruet. lele Oty A gonum infnilorum laterum. " &Einc circylm eft p t w Iu ^ (W DL [4 QOR/OLLARIUM IK. n i65. Sequitur ex his, eadem applicari pojfe circulo, quse de polygonis di&a funt, v. g. etiam circulus refolvi poteít in har &i €ot triangula, quot funt latera , id eft in infinita, & crura ho- D rum triengulorum, cum bafes fint infinite parva, erunt ipü ra- Yv te fl dii circuli, bafes vero peripheria, qus bafes cum fint infinite Q C parve , & crura infinite propinqua, radii a perpendiculari, a Tür vertice ad bafim demiffa, non different, proinde radii funt fiumul altitudo horum trianguïgruïm la, ( i iaf H Tatioc vv Y CAPUT.,L &C.e DE LINEIS PROPORTIONALIBUS. fler DEFINITIO. f& dum prims Oit 366.'*- inem proportionales dicuntur , ]J& .A fuerit ad fecun , d 4rf fernan .1:;—11, ficut tertia ad quartam, velprima ad lecundam, ficut fecundà ad tertiam. THEOREM4A X ugo i x67. In triangulis fimilibus feu zequiangulis la- Itm [ tez2 homologa funt proporüonalia. & Q D E- : DE LIN. PROPORT. &c. 55 d eft )b DEMONS.TRAT—'ITO-., Si in duobus triangulis, in quibus angulus zqualis wquali imponitur, latera huic oppofita fuerint paralle- Ja, litera homologa erunt propoitionalia, fed hoc fit W in t iangulis fimilibus , ergo in iis latera homologa funt ].« proportionalia, D Ad primum demonftrandum ducantur (Bie. 98.) due linee ad quemcunque angulum inclinate, C & ne BC, inter eas in zquali femper diftantia ducantur paral- et lele a2, le, cf, A8; & demittantur ad illas ex inter- fecionum pun&ti: perpendicula Cm, ag, bi , cl ex una, & Cn, dh, ek, fm ex altera parte, erunt triangula ex l] una parte inter fe zqualia, & triangula ex altera parta m etiam inter fe zqualia, nam in omnibus his triangu!is 0 eft angulus re&us ob perpendicula v. g. in 5 & g, & n 'te externus preterea ubique zqualis interno v. g. x — y, & cum parallele zqualiter ex conftru&ione diftent, i erunt latera feu perpendicula Cm, ag, bi, & cl equa- la, ergo etiam tota triangula inter fe zqualia, ergo B etiam latera Ca, ab, bc, & cA equantur. Hxc eodem ratiocinio ex altera parte demonftrantur, ergo etiam latera C2, de, ef, fB inter fe xqualia funt. Jam cum fit ex modo demonftratis Ca z ab — be &c.ex una, & Cd — de — «f &C. ex altera parte, poterit fieri hec proportio Ca: ab — Cd: de: & ab: be — de: ef & bc: cA — efi fB squalium enim eadem ratio, proin vera horum proportio eft. ——X Ergo etiam. erit al- r t$ernando Ca : Cd tcmucaazs E de - y & ab de —— bc : ef & be: of ::A'ifB — "& cá: fB &c. &c. ergo etiam erit fumma-' omnium antecedentium ad fun- 3'—1 mam omnium confequentium , ficut quivis antecedens ad fuum confequentem ; fed fumma omnium anteceden- D tium. PCXATDT.V 86 £ium eft tota CA & fumma confeaueptium eft CB, erzo eft tota linea CA ad totam CB ficut pars Caad partem C vel ficut pars C^ ad partem Ce vel etiam ficut pars ab ad partem de vel »e ad ef &c. in genere ergo , qua- cunque & ubicunque ducatur par?llela ad //5, erit tota CA ad totam CB ficut pars quevis homologa prime | parallela ab ad paitem quamvis homologam íecundx a UE dl L quas : MAMES u ïClFææ Atque hx»c c contingunt in omnibus triangulis fimi- libu fie u.ï Aia m in fï'dng"n?-a ADC 1217., ( ä4l0 6. X [f imponatur, latera illis op- aqualis angulus q " cï':? Rn e ; [ ofita 4b5 & " rio parallela effe debebunt: im- cum a fi — d Á & hz B, erunt oofito emm c ipli . € externi a B, que proprietas & b æq"au*s internis A & fine pdzaï e!!b effe non poteft, hinc ab fiet parallela ad AB Si P xmpx,hg.rvr 5, erit ac parallela ad Si a imponatur 4, erit Pc parallela ad BC, proinde omnia bis triangulis applicari poffunt,' qua fuperius dicta funt, erit enim hxc pa: lela una e lis) que ex hypothefi fupetius e xpofita vel ad vel be &c. affüumta eràt, cum etiam bz parallele infinite mom,, jug effe poffint, pro- r!" (1 inde omnem quamcu 'Ew ue, (vx]vj i poteft, exhibeant; & partes fimul erunt latera hamo;oga, cum zqualibus angulis opponantur Ergo in triangulis fimilibus latera homologa funt prcport!onahag Et erit /fC: ac m CB:cb vel A(, CB e aL velC:aA4B ab &c. &c. Q.E.D C.O R OLLUZARTUM-I 168. Hincjaminfertur, fi in triangulo cuicunque lateri paral 1e!la ducatur, hec partes to proportionales abícindet tem quotiescunque demonítratur triangu!la duo habere aneulos sequa- les, jam hoc ipfo demonftratum etiam erit, latera homologa | & fi latera — eífe proportionalia homolosa funt proportionalia, hoc ipfo anguli equales, & triiangula fímilja erunt. ^ C o- DE LIN. PROPORT. &c r 20 Eit COROLLARIUM 9l 3 C 169, Quin fi in duabustriangulislatera duo equalem aneulum ts d € & c comprehendentia fuerint proportionalia, etiam reliqui an- guli equales funt, & etiam latus tertium tertio proportionale qua j m(-& erit Impofito e:mn angulo uno alteri zquali latera minora fu- pra 1 majora cadent, & ejus partes efficient, fed uübi partes funt )Ena , anguli funt equales Vi & reliqua latega proportio- proport!onales 3 ab nalia, uti prius demonftratum -.eft, ergo hec duo triangula funt finilia, & latera omnia proportionalia. lil n THEOREMA II 00 $0 170. Si angulus C(Fze. 87.) perlineam CD biffe- ii Cetur, etiam bafis proportionaliter ad latera feca- erunt tur hoc eft, erit latis BC ad latus AC ficut pars tiela$ D ad partem. DA. ha ad DEMONSTRATIO 2H )mlua Producatur latus. BC indefinite, ex 4 ducatur la- rmtg teri CD' parallela 4E, habentur duo triangula BCD & Yheft BEA fïmxha ob latera CD & E 4 parallela ; ergo erit cum : CE — BD : AD. Jam cum x — y ex proporto p con&ru&none, & yzm m., quia externus — jinterno, & eants xlÉu quia alterni, ob parallelas CD & 54, erit etiam Jibus $ —n5, cum uterque fit equalis equalibus x & y, fed fi uzs, CEA eft triangulum Ifofceles, ergo CE —— CAf l fint ergo in ptroportione loco CE fab[*atuendo AC . erit 1 ^ ! BC:ACzzBD:AD,. Q. E. D. THEOREMA II 171. Si ex angulo recto ad hypothenufam de- il j mittatur perpendicularis (Pze. 89.), dividet trian- '!L'll eulum to^tum rectangulum in duo alia minora funi- 0109* lia totji, & fimilia inter fe. ,ohl, D $ DE: 58 CAPUT V DEMONSTRATIO Si funt zquiangula, funt fimilia, atqui funt squi- angula. In parvo enim .4CD eft o communis & parvo & magno, in parvo eft re&tus in r, & in magno in C, From tertius-m 23ualis tertio x. In triang. lo CDB . ft x communis & & magno & huic I) medio triangulo: in f' rectus s in hcc medio, & in C in & planis toto €rgo euam tertius m z— tertio o In triangulis 5CD —— CDA eft s. z r quia re&i, præterea p ..........x9 & n d — o éx precedenti, ergo hec 7 duo triangula funt equiangula, proin fimilia. Q. E. D Quentes e ENGNS COR O.LLATIUM I $t ww Portion 172. Cum in fimilibus trianeulis latera homoloega fint propor« circulo tlonalia, cor parando parvum & magnum erit cathetus AD ad fuam €iamete hypothenufam .4C in parvo, (icut cathetus AC ad fuam hypo- thenufam 4B in máagno: comparando medium & maegnum erit Oi p pleria at cathetus DB ad fuam hypothenufam BC ficüt cathetus BC ad fuam hypothenufam .4B hoc e&t concipi 1 AD/* HO ce- 40 AR t habel mifa ha BD : BCi—— BC AB sutando i& equationes erit 4D x 4A4B z AC? & BD x AB — BC* addendo has duas zquationes habetur 4D X AB -4- BD X AB —— AC^-- BO* feu (AD-H-BED) X AB—— AG^ -- BC? fed AD -- BD — AB j) ergofubftituendo equale et 4B x AB feu AB?^ — AC* -- BC* pundto fed A4B eft hypothenufa, AC & BC funt catheti, ergo habetur ex hac proportione fequens Dàjs THEOREMA IV 173. Quadratum hypothenufz eft zequale qua« dratis cathetorum fimul fumtis. pata lel SCHOLION Á n 174. Si latera uniea Ditera fignemus, & hypothenufam üttte dicsmus a - b, & cathetes c & d erunt fequentes expreffiones l &;€ DE LIN. PROPORT. &c. 39 & d-b ï — a -]- b mutando in vequationem, erit £ qui CJ—.— c — Ivo Jz ddendo vutramque habetur Y ä E ;; gab --b* —c -- d' idem, quod fuperius, SCHOLION. I bd"" 175, Geometrice id demonftrabimus, ubi de fupe bus . lil & planis, adeoque de areis quadratorum agemus, COROLL|ARIUM IL Wi hat 176. Comparando duo parva triangula inter fe, habentur fe- cathetus .47) ad cathetum CD2, (icut homolog& I) quentes expreffiones eathetus in altero CD ad BD, hoc eft AD: €CD — CD: ED, Quse cum fit proportio continua erit — 4D:CD:BD & CD media pro- portionalis inter 4D & BD jJam cum omnis angulus in femi- )pof« circulo fit re&uws, in triangulo rectangulo hypothenufa tanquam [üamt diameter fpectari poterit, (zg. 89.) & cum angulus re&us in ypo omni pun&o femiperipheriw effe poffit, perpendicularis ex peri- ent pheria ad diametrum demü"'. tanquam ex angulo re&o demiíía T concipi poterit, hinc refpectu diametzi omnes illas proprieta- €es habebit, quas perpendicularis ex angulo re&o ad bafin de- mifa habet, hinc fequitur THEOREMA V hi " 4B. 177. Perpendicularis ex quocunque peripherise BC punco ad diametrum demiffa eft media proportio- 221 nalis inter fegmenta diametri. THEOREMA VI yas 178. Si dux rectee EH, FG ( Fig. 90.) inter parallelas /4B, C fefe inter(ecent, earum fegmenta EL, LH & FL, LG, eruntm*er fe proportionalis directe, a D EÉ- o CAPUT- V. DEMO'NSTRATIO; D 'Triangula ELF& GLH funt *milia, anguli erim ver- hC f ticales in L & alterni m & x, itemm&o fuünt equales, proín latera homologa proportionalia, hoc eft fepmentum pri- d pa les ( me EL oppofitum angulo n, ad fegmentum fecund» LF Ero ! oppofitum angulo m, ficut alterum fegmentum primze LH oppofitum zquali o,ad fegmentum.fecunde LG op- ximum nimum fpoütum equali x. Hinc EL:LFZzLH:LG: Q. E. D. z ( THEOREM A. VII. pus 179. Si chordz 4B, CD in circulo fe fecent, erunt iegmenta proportienalia reciproce. DEMONSTRATIO. cirey Du&is lineís 4C, DE, erunt duo triangula 4EC Is tir) & DEB fimilia: funt enim anguli verticales duo zqua- E les, dein mzzzs ob menfuram &qualem 4 CB ( $. 90.) & ob eandem rationem latera homologa proportionalia, ergo AE oppofitum angulo x ad CE oppofitum angulo « ficut LE oppofitum zquali o ad BE oppofitum zqua- Di li m. Hoc eft fegmentum prim» AE ad fegmentum fe- tl & cunde CE, ficut fepmentum ejüfdem fecunde DE ad hàbet fegmentum prine BE, fed hxc eft ratio reciproca , dj C0l cum fit prima ad fecundam ficut fecunda ad primam, Qherir ergo chorde in circulo fi fe fecent, fegmenta habent ZX [e| 1 reciproce proportionalia, Q. E. D. itys ( - eft AC THEOREMA. VII. fortion 180. Siex eodem puncto C (Fig, 99.) extra cir- culum ad peripheriam cavam duze linez 44C, CB du- cantur, partes extra circulum Ce, C4 (unt totis li- ) "Ut neis proportionales reciproce. DE — óx DE LIN. P;ROPGR'R &c. DEMONSTRATIO.* Vete Du&is.chordis 44 & Be erunt triangula 44C & BeC fimilia. TOf Nam C communis utrique, 4 & B funt ad peripheriam eidem arcui ed infiftentes, proinde squa- : Wid LP les ($. 90.), ergo etiam obtufus in e z obtufo in d, Ti Ergo latera homologa funt proportionalia, hoc eft ma- 'r Ops ximum in primo CA ad maximum in altero CB, ficut mi- nimum inprimo C4 ad minimum in altero Ce; feu CA4: CB D. ze— Cd:Ce; hoc eít tota prima ad totam fecundam ficut pars fecundw ad partem prime. Q. E. D. Cellfy THEOREMA IX ISI.Siexeodem puü(?w C (PFg. 95.) ducatur ad circulum fecans C/4 & tangens CB, erit tangens AE media proportionalis inter totam íecantem & par- ?qUZ" tem extra circulum. ? 40) alia, DEMONSTRATIO. aguïo gquie Du&is chordis 45 & 4B, erit triangulum CAÉ fi- 1 fe« mile triangulo 4CB. — Nam in C utrique communis, 4 Ea habet menfuram £ dB, cum fit a tangente BC & chorda f02 , 4B comprehen(us ($. 95.) & etiam m cum fit ad peti- a Pb — M fain, fememe pheriam habet £ dB, ergo a ergo etiam tertius Rü at tertio. Ergo erit in magno triangulo latus LAX €«$ NÀ AC 9 d jbent latus CB, ficut in parvo latus CB. ad latus Cd, hoc e(t A A o W C-CE z CB:O, ergo CB tangens e(t media pro- portionalis inter totam 4C.& partem C4, Q. E. D. 9. Cif- 56 HOLION, ( 182. Ex his jam theorematis fequentia problemsta réfole - j) ^^ vuntur, PRO: j 65 CAPUT.V. PROBLEMA L 183. Ínvenire ad tres lineas 44B, CD, EF I9 0" ll quartam. (Fig. 94.) RESOLUTIO, ] Jungantur 4B & CD ad angulum quemcunque; il E, vel potius Conjungantur duz re&zm aliw indefinite ax, Deri 4y ad quemcunrque angulum, & in illis ex vertice 4 medi 2" transferatur prima data in 4P, fecunda in ad, tertia ad alteram partem in 4/, conjungantur ) & 4, & ex f du* catur parallela ad )d , erit ag quefita proportionalis. DEMONSTRATIO. Qe, Triangula ábd & afg funt fimilia ob parallélás, er- gó latera fünt proportionalia, fed latera funt linez da- tz & quzfita, ergo etiam linez funt proportionales. Q.E.D; lts COAROLLAREUM. pundi 194. Poterat etiam linea. CD aday (Fig, 95.) & tertia EF ad T0 &x íransferti, conjun&is pun&is b & f , ex d du&a parallela dg Vel determie pus . determinabit proportionalem eandem ut prius ag; A nata prima ab ( Fig. 96.) transferatur altera ex a in d, tertia iterum in ay ex b in f, conjun&is b & d,&du&a ex f parallela, Vel erit dg quarta proportionalis. Krit enim ab : ad — bf dg. i translata A4B in ab ( Fig. 97.) transferatur fecunda transver(im ex b in d & determinata in eadem ay tertia af, ducta ad bd pa- Quotey E& enim iterum ab:i4 cunqug rallela fg erit quarta proportjonals; iaf :Ja. " Patent hzc omnia ex Tleor. L. junzaty putalle COROLLARIUMO9m$b; Eïi(mï ( Chünie. 185. Si ad duas datas tertia invenienda fit, fecunda bis pona- !r*ïig[a, tut, ut hec fimul tertius terminus proportionalis fit, & ad hag tüot N ttes quaretur quartá& gropextionaüs , & refolvatur problema jux- 1 ducew, ia pracedentes regulas, D hg PRO:- DE LIN. PROPORT- &c 65 PROBLEMA II EF 185. Inter duas datas, 418 & CD (Fzg 8) in4 veniré mediam proportionalem, R SOLUTIO Jungantur 4B & CD.in dire&um, biffecetur 4D ']ue, in E, & radio AE de(cribatur femicirculus, in puncto r ax, ItM [4 Beri;atur perpendicularis ufque ad perlpheuam, erit BE [f1d 3& medis proportionalis. Demon/iratio habetur ex Theor. III x]duv PROBLEMA III ]is. 197. Dividere lineam 41B (Fzg. 99.) in ea ratio» ne, in qua divifa eft alia 44D $5 d RESOLUTIO Jungantur ambz ad quemcunque angulum, extremi- )5D. tates B & D'conjungantur re&a BD, & ex divifionis pun&is ducantur ad BD parallelz , erit AD in eadem fatlone divifa. Eít enim tota A4D ad totam 4B ficut EM (lela di pars J44 ad partem Jx, vel ficut pars 4b ad païtem fetetft A &c. &c. Patet ex Theor. I, ]. tertia COROLLARIUM jtallelds [ Yd I88. Hinc patet lineam quamvis v. g 4B prius d-tam im MY erut quotcunque partes petitas dividi poffé; dividatur enim alia quz- b yr cunque v. g. CD (Fig. roo. in p.titas partes v, g 4. & huic xWi junzatur ad angulum linea data, conjun&is extremis, & dudig pearallelis erit linea data in petitas partes diviía Hac ratione euam fectio in partes inequales v, g. tres, quinque &c. fine me- chanica operationé haberi poteft, fit enim linea 4B CFig. I01) «6 9002 trilecanda , jungatur illi altera AC que per biffe&iones in qua- j la tuor partes geometrice dividatur, conjungatur B & 2, & ex 2 & j juf X ducantur priori parallele, erit linea .4B triífesta Quomodo Àd angulià & arcabus applicari poíht, nondum inventum eft PRO: o 64 CA'PUT V. PROBLEM A IV. & 189. Secare lineam in ratione tedia & extre ; R à P n Inas feu itauttota fitad partem majorem, ficut eade tedia - ü jor ad minorem; pars itaque maior me ia propor- jer 4l fcelés, tionalis inter totam & minorem. Conjung RESOLUTIO. Biffecetur (Fzg. 109.) linea. datà AB in E & in 4 Ü erigatur perpendicularis dimidiz linee AB squalis , at- LT que ea tanquam radio defcribatur circulus, quem A4B tangat. JDucatur per centrum fecans BF & pars Bd ex irz etpo ] B in G transferatur, ut fit Bd z BG etit per Theor. VII. &ra« BF:BA-BA:Bd. Ergo fubtrahendo confequens ab antecedente erit BF-— BA: BA — BA—- B4: Bd hoc lijad y [4/JJ ; eft cuu CA z. AB, erit Fd z 2 CA z toti BÁ, igitur pteterea BF—-BA-Bd; Dein cum Bà fit ex conftru&ione e— BG, erit BA— Bdzz AG, hinc loco BF— BÀ fuüb- ttisnpul flituto Bd, & loco BA— — Bd4 fubftituto 4G, erit pro- hoc ef | portio Bd:BAz— A4G: Bd. Jam cum B4 fit zzBG Tenum. ert BG: BA G: BG feu invertendo B4: 5G Qtf angu — BG: G hoc eft tota ad partem imajorem ficut pars EM major ad minorem, ergo major eft media proportiona- ïï)äüm ef lis inter totam & minorem. Q. E. D. SCROLION. 190. Ex lhoe problemste tanquim funcamento deducitur geos H 16, metrica deferiptio pentagoni; de quafuperius(3.160.) egimus, ad ttivis ad | quam fequens problema deducit, VS ef diü YO c iti PROBLEMA V. hipt Ur —& hibemr l i9t. Defcribere triangulum Ifofceles, 1n quo quis A det Centty D libet angulus ad bafim dupius eft anguli ad verticem, E lt k R. E- Uüty à, / 1 mbl / DE PROPRIET. LIN. &c. 65 RESOLUTIO. IÉ ld Secetur linea data AB ( Pig. 103.) in ratione ] n« media & extrema per przcedens problema in D, fu- pore per A4D tanguam bafi, latere. BD fiat triangulum Ifo- fceles, ut DC & AC fint equalia lineze 5D ('$. 1 39:), conjungatur B & C erit 4BC triangulum petitum. DEMONSTRATIO. ti4 's, at« Cum e fit externus refpe&u trianguli BCD, erie m 4b $ mX )y, fed xzzy, quia CD BD ex conftru&ione, Bd ex ergo c z 2x, fed « z /, quia CD — AC ex conftru&ione, f VIID ergo & —2x, fed fi AC fumatur pro bafi, £ eft ad bafim ens 3b & x ad verticem, ergo angulus ad bafim duplu$ angue j ho li!ad verticem : fed etiam P zzza-4- y in triangulo ACB : jgitut cum enim ex hypothefi fit AB: BDzzBD:A4D, & xLione preterea. BD z CD z AC ex conftru&ione, erit in "3/1 fü- triangulis 4CB magno, & ACD patvo AB : AC z AC AD, [ pro- hoc eft latus magnum ad bafim in magno ficut latug magnum ad bafim ín parvo, ergo latera.funt proportíonalia m cum angulo intercepto &, ergo triangula funt equiangula, t PMS & cma - y, fed & z c ex precedentibus, ergo etiam yrtiota Pz—a-d-y, ergo ÁCB eft Ifofceles, in quo angulus ad. bafim eft duplus anguli ad verticem. Q.E.F.&D. COROLLARIUM L pur £* 1I9. Cum tres anguli trianguli fint zquales 180?, & anguluà quivis ad baün fitduplus anguliad verticem f,-'jlq'f; a'd » fümma hzc in 5 par $es eft diftribuenda, ut pro & veni at unà pars, pro b dus, & pro c itidem due, quse duüs inter f e equales effé debent, ergo babebitur numerus gtaduum determin atus 180 dividendo per $, & habetur a — 36, fed b eft ejus dupl üm, erzo b 72, ce 72. jam in decagono cüm ang ulus ad centrum fi t 2536 ($. 152.) $ centro B ( Fg,104.) radio AB defcribatur cir culus, erit chórda AC; z— later' ZC, latus decagoni, quod decies in circulum translaturi da& decagonum citculo infcriptu m, & ex hoc alterna fi conjungans *ur puncta 4 & D, habebit ur pentagonum, circulo iofcriptum. 2" E 66 CATPUT n COROLLARIUM 6Z.yL j 192. Cum radius circuii fit equalis lateri hexagoni, fi radiu fimere AB ex 4 in peripheriam transferatur, erit àrcus AE —— Go*?, quoties qaahs e£ angulus ad centrum in hexagono; .4C autém habuimus in 56 z— 36, qualis eft angulus ad centrum in decagono, Hinc CE differentia horum arcuum eft — 24, qualis eft angulus in pente- comple ih, àc cagono. Poterit ergzo hac xatione etiam pentecagonum regulare latere CF geometrice circulo infcribi. IU & &exe COROLLARIUM SIIL in par t liné 194. Si confideremus fuperius triangulum BCD in Eig. 108. VR5 | fupralatus Ifofcelis BC tanquam baíim eonítru&um, cujus latera CD BIN & DB funt zqualia bafi .4C prioris trianguli A4BC, cum in eo angulus x & y fint equales, & quivis fit — 36 , erit nz— 108, tet & r ei qualis eft angulus pentagoni. Igitur fi triangulum Jfofceles .4BC juxta problema prius (Fzg. t05.) conftruatur, & fupra quodvis def Ce! àn lin Alatus AB & BC tanqüam bafes conflruatur aliud triangulum 1fo- fceles ADB & BROC,cujus latera fint equalia bafi 4C, habebitut €ula 9 qüte 1n pentagonum reguloret erunt enim latera 4C, CE, EB, BD, DA :xqualia ex coníruc&ione; fed ctiam anguh omnes funt t? line z— Io8 Nam habemus ex hoc Coroll. z feu D z 108 ; 5—— 72 D$ y —:36, ergo 4 —— 108., Itemcc—72 & az 36, ergo C — 108 T& [me: d feu Ez-108, mz—36, xz—36, f£—36, ergo B—108. B7 (eu dws .* $ CHOLION EL I95. Hec,quediximus delineis proportionalibus, ferviunt ud divifiones minimas cujusvis linez faciendas; fit v. g, linea .AB I ht qui (Fig. 106.) in decem partes dividenda, erigatur ad .4 perpen- dicularis arbitrarim lengitudinis, & claudatur parallelogrammum i d ABCD ducatur diagonalis BC, & BID dividatur in 1O (aut in quotcünque partes, quo plures partes requiruntur, eo longior ft linea 4€ vel BD) & ex diviüonum pun&is ducantur ad 4B pa- ll; alele, erit 1—— i Una pars, 2 —2 dus, 3——3 tres — — 6 — 6 fex partes funt enim ob parallelas triangula EBII, B22, Yattes EB33 —— —— BCD $fimila, erro et B1: BD — 1I—— 1:.CD den £ed B1 eft decima pars totius BD, ergo etiam 1 — 1 eft deci- G3na totius CD hus in Iem B3: BD —3 — 2:CD, fed B3 eft tertia pars totius BD, ergo 3— 3 eít tertia pars totius €D. — Unde hac ratione linea in 90, 20 ICO &c, partes, dividendo Ífem- per lineam BD in tot partes , dividi potett H $CH O. DE LIN. PROPORT. &c. 6? $ CHOLION j:n u 196. Sijam eandem velaliam minorem lineam aliquotieà y fumere velis, cum una alterave parte, transferatur linea data ali- us quoties v. g. decies in alteram , re&am BE ( Fig. 107.) erigatur Vi in B & E perpendicularis in 1O aut quotcünqdüe partes dividenda, tn compleatur paralleloztammum EBFC & ducantut tránfverfales Ba, r 15, $c &c. conjungantur quoque per parallelas ad EB partes Ia ILÓ &c. poterunt in hoc parallelogrammo & ipfa data aliquoti^s & ex ejus TO partibus, quotquot libuerit, accipi: cum enim BC in partes inter fe & linez data zquales divifa fit, habebitur da- )! t2 linea in illa aliquoties pofita, & cum defcendendo per BH CD omnes confequenter pairtes ipfius datze habeantur; fi ad fuperios res partes ha? addantür, habebitur, quod petebatur, £b $i data quas 08 ter & praeterea quinque ex ejus decem partibus fümende, aperiaa (pC tur circinus in BE a B ufque ad 4, erit data quater fumta, deim ls &efcendendo per tranfverfalem 4e deorfum, donec veniatur ad x* in linea tV, poíüto uno crure Circini in x, alterum ad m cadet; ]í0 itut quia ob parallelitmum , B4 equalis eft xm, relico dein uno crure in x alterum ufque ad V aperiatür, erit xmV 2qüalis peti- D, ibut tmlines, nam xm —— quatüor datis, cum fit ?quális 4B, & mV. 'ex precedenti fcholio equalis 5 partibus datz, etgo xV z— petie [4 x linez. Q Ita. yVZII erit z feptem datis - 4,5,, eft enim yn — iB7 feu feptem datis , & zV4II — 44. ergo ynVlII — Íeptena [ SCHOLION L u 197. Ex his deducitur methodus dividendi fcalas g&ome"trïcas; 4B &ne quibus geometria pra&ita eife nequit, ad quod declaran* a dui fit jum L DEFINITIö 1I. st p* .d 98. cala geometrica eít parallelogrammum in pïu'reä 22, partes ita divifum, & fubdivifum, ut minores femper ejus- den lines partes proportionales majoribus linez partie ecie bus in illa accipi & determinari queant, Itia PROBLEM4,A VI i-ndc a 199. Conftruere fcalam geometricam. (f ) LE Á E C A^P UT. . 68 [A RESOLUTIO. Fiat aut in oricbalco, aut ligno, aut quacunque Iä [ materia crafliore parallelogrammum , fuprema & infima Jinea in partes xquales majores 4B, BC, CD &c. di- vidatur, qua cum inferioribus perpendiculo conjungan- tur; una pars v. g. AB in minores fuperius & inferius L.l dividatur, quz transverfalibus lineis conjungantur. Tan- vat tat dem perpendicularis F & B5G in 10 (aut in tot, in g quot partem 4 unam fcilicet prioris linee partem di- fieu vifam cupis) dividatur, & partes lineisad AE parallelis K n conjungantur. ük DEMONSTRATI1IO. fe H Si AB & proin etiam BC reprafentet decempedam, Buls partes decem in 4B neceffirio pedes, & partes 10 in a iriangulo BAG contentg digitos reprzfentare debent , cum in majori etiam & reali menfura pes fit decima pars Si AB ref decempedz, & digitus decima pars pedis. fen prafentet pedem, partes illius erunt digiti & partes TYius deorfum per B.4 erunt linez. Si AB fit digitus, erunt ü partes ejus linez & partes deorfum per BA erunt punda. Tien Yep COROLLARIUM S L inur qui 200. Degfinaturus ergo in charta 3 deceïhpcdas, 4 digitos, 6 das fineas, Áxo crure circini in B alterum crus usque in E aperi, 2 v habebis 3 decempedas/BC unam , CD alteram, DE tertiam , ma- proi gis apertO crure usque in 4 addes 4 digitos, dein deorfum pro- 0pe grediendo per banc lineam transverfalem 4£ aperto femper ma- d gis circino maaente altero crure in EK usque ad * erit aperturá «ircini à s usque ad * —— 2" 4' 6^/, Tün 4« COROLLARIUM iL tiq Ita oot. Quodf linez datz «/, ey2, & ( Fig.109.) fecundum fcalam 4B £ntdetermidande, aperiatur circinus ex « in $, vel cy in , vel tin/, tj & applicetur fcale ita, ut crusunum 4t in linea BG vel CH, vel DI, W wel EK prout longitudo requirit, & alterum ip mltmo paralleio* g reUme- vv DE LIN. PROPORT. &c. 69 Ita prie grammo alicui éx divifionum punctis aceurate congruat. ma habebit 544//, altera cyä habebit 2? 3* 6/4, tertia ( 3^ 74 3^, Quodí tota lineà in fcala. comprehendi nequeat, accipiatur di- que midia aut tertia pars, & ex fcala determinetur, & dein per ad- fima ditionem aut fnuitiplicationem ad totam lineam transíferatur, . di SGQEOLIOGN.L p 202. Ope hujus feale triangula in charts fimilia illis, quz ig rjus eampo funt, efformantur, & diftantia locorum invenitur. Obfer- If vato enim angulo C.(fig, IIO.) & du&is lineis ac & Ec transfe- ratur ex fcala in chartam menfura AC in ac, & BC in bc, jun- ,ü ? gatur a & b, erit ab equalis diftantie .4B; eft enim .4C ad ac ficut BC ad hc feu MC: ac —— AB: ab fed ac €equalis menfurze cum lleli Si igitur ab etiam AC ex hypothefi, ergo etiam ab — AB. in fcala accipiatur per corollarium precedens, habebitur diftan- tia ver& AB. Idem obtinetur, fi ope goniometrici angulus C ob- fervetur, & per tranfportatorium in chartam transferatur, ope fcale dein ac & bc determinentur, habebitur ab. Huic funda- ( n mento tota praxis geometrica & determinatio fitus locorum, Ichno- po i graphie & Mappe innituntur, Wentv SCHOLION HH. | ;Ff g 203. Ad inveniendas & determinandas Iïncas proportionales fervite potett inftrumentum, quod circinum proportionalem voca- .QXKQS mus, & eít circinus, qui crurum loco duas regulas latiores cir- i jnt ca centrum mobiles gerit, ut divaricari ad quamcunque latitudi- nem proinde quemvis angulum comprehendere pofünt, Utraque n regula in partes zquales IOO, 200 &c. dividitur, & dum divari- cantur, angulum reprefentánt, de quo in Probl, I, lecuti fumus, qui conftruendus eftícilicet, ad lJineas proportionales invenien- NU das; poffunt igitur in illo omnia ea triangula efformata eífe fin- gi, de quibus in hoc & aliis ibi expolitis problematis egimus, proinde omnis proportionalis linea inveniri, v. g. transferendo ope circini ordinarii lineam ab 40 orgyarum in c 40, alteram : mà* ed (divarlcando circinum , donec poíito uno crure in 4O, alte- ertus rum crus ad 4O in altera regula veniat) tranfverüm in 4O — 4O: tertiam in c — 60 erit tranfverü&m GO — 60 quarta propor- tionalis: eft enimc.— 40: 40 — 40 — c — 60: 60 — 60 &c. Ita linea quecunque data in quotcunque partes dividi poteft, Sit (alam AB v. g. in 7 partes dividenda; eligatur aliquis numerus per7 divifibilis v. £. I4O, & longitudoline» dat» ad f4O tranfverfim ] eins in utraque.norma applicetur, aperiendo fcilice cinum propor- 1 Dd 1! cir ü (*sn;'* l) k 3 * "d 123v z m CAPUT V. DE LIN. PROPORT 70 1 £ionis tamdiu, donee apertura alterius eircini feu diftantia a 14O ad I40O accurate refpondeat longitudini linez datm, dein eum 2O fit accurate feptima pars de I40, manente eadem aper- tura circini proportionis accipiatur diftantia à 20 ad 20,hzc erit feptima pars, erit enim c I40: I4O — I40 — c 20: 20 — 90 fed 20 eft feptima pars de I4O, ergo etiam linea 20 — 20 erit feptima pars line2 14O — 140. Solent etiam his regulis ex eadem aut averfía parte lineze chordarum aut polygonorum in«- N fculpi, & inde omnia latera polygonorum aut angüli ad centrum determinari : ceum enim omnis radius circuli fit xqualis lateri hexagoni ($. 151.) quod fimul eít chorda 6O graduum, deter- minata femel hujus radii longitudine, & determinato proinde etiam circulo, menfura angulerum ad centrum , & maegnitudineg «hordarum , & latera polygonorum determinantur. Affumta enim 40 pro radio circuli apertura tranfverfali a 6o ad 60, habentur in £ranfverfis quoque diftantiis longitudines laterum polygonorum &1 eidem circulo infcribendorum; ita pentagoni a $ ad 5 , hepta- £oni a 7 ad 7 &c. &c. Si angulus v. g. 35 fit conftruendus , apertura tranfverfa a 60 ad 60 defcribe arcum , & manente ea- dem apertura circini proportionalis accipe diftantiam tranfver- fam a 35 ad 35 & in eundem arcum transfer, erit angulus 35 mls : fimilia de tangentibus, fecantibus &c. problemata proponi pof- at funt, verum cum jam geometricam horum problematum folutio« DUnr pem dederimus, mechanicis his opcrauombus fuperfedendum effe iscico, ln hem EL lela z - !m, G 5 Vettic W. uU $ aM Ts & "o i g tudir punt 15 p fitni Vtd line ff 8Ufer N fnt DE " 2 gX — W Ya M a 1 dein ipet DE SUPERFICIBBUS. erlt ) - CLAPR U TAI 20 mf 1 M NOTIONES GENERALES SUPERFI Tum tefl CIERUM eer ) DEFINITIO. I ditef enm üperficies feu planum efl quantitas continua, üt n $04 S qua. duplicem habet extenfionem, in longum orum & latum fimul, absque profunditate & altitudine. eptt: TU COROLLARIUM e €à fret 205. Dupliceem igitur in omni plano dimenfionem habe füus, in longum unam, in latum alteram, quse femper íimul n pof accipienda eft, dum quantitatem totius fuperfciei & plani deteze mináre oportet, |utto efi $SCHOLION I &e06, Uti lineam per motum puncdi ita planum. per motum lines generari concepimus, ($. 2.) qux» non fecundum longitudi- nem fed vel dire&e vel oblique furfum per fpatium inter paral- lelas, id ef, per eandem altitudinem mp, ef, bg moventur, ita, ut fi fingamus has lineas habere aliquam latitudinem, ecol- ie&io harum linearum parallelarum (Fig.112.) equalium & pe- nes fe pofitarum planum ABCD aut abcd efficeret , & ideam pla- ni generaret, At fingamus tantum dixi has lxnea:, habere lati- tudinem aut effe partcs plani, ficut enim impoffibile eft, ut punca fint partes linez, ita etiam repugnat, ut linez fint par- tes plani, aut latitudinem ahquam habeant, fed iterum partes plani feu elementa funt plana infiaite parva, infinite parve la- titudinis, qux» addita majorem & fenübllem latitudinem eficiuntz Linez enim lineis fuperimpofite unicam lineam longam folum eonftituunt , & cum prima omnes zelique confundi debent, Sicut autem linez extremitates pun&a funt , ita planorum extremitates fant linez, qua perimetrum eorundem confiituunt. Ba4 $CHOQ. D — . 75 CAT-UT- I 1 SCHOLION H l qu 207, Poteit etiam senefis plani fequenti modo eonfidevati : M (Fig 113.) Ponamus linez 4B alteram BC ad angulum re&tum aeffe 2in junctam, & immota re&ta AB & angulo a rectam BC, circumagi erit lj fpatium totum a reca BC decurfum fuperficies feu planum, & erit fet ad illud re&a .4B, vel ad rectam .4B erit totum planum perpens diculare, lun Extremitas feu perimieter hujus plani, curva fcilicet pla linea ccCcc peripheria quoque dicitur, [l COROLLARIUM I er Id $08, Ex his jam deducitur, partem linez refte in plane du&» non poffe fimul in plano & fupra vel infra planum jacere, cum enim totum hoc planum circulare ex colle&ione radtorum BC concipi poffit, qui immutato angulo re&o a cu-ca lineam AB pofiti funt, fequitur, fi BC aut produ&a cC quadam fui parte n extra planum jaceret, linea vel mutaret fuam dire&ionem, quod g eft contra definitionem re&z , vel angulus a, non maneret rectug mota extremitate € furfum vel deorfum contra hypotheíin, igi- tur tota BC aut aC aut quecunque alia in plàno du&a tota in plano Jacet $ adeoque fi duo pun&a re&m in pláno jacent, .tot& dti in plano Jacere debet, cum duo fitum determinent (S 9.). at COROLLARIUM I Ver 1t 209, Sequltur etjam 4B ad totam fuperficiem eífe perpen- qua dicularem , cum enim per totam fuperficiem angulus a re&us non ton ynutetur, linea AB in toto fpatio cum BC angulum re&um facit, l WXgitur perpendicularis manet , ad nullam igitur partem verfus W planum, 1nc11n3turx via lgitur breviífüma a pun&o 44 verífus me pe num ef linea AB, COROLLARIUIM II $10. Duo plana ABCD, ABEF (Fig. Y14.) fe interfecane $ía, aut dum ünum alteri infiftit, lineam concurfus .4B commues fu $&em habent, cum enim .4B fit in plano 4BCD, & fimul fit ex« remitas plani ABEN punca 44 & B utrique plano communia funt, fed duo pun&a fitum re&zs determinant, ergo etiam redta 4AB in utroque plano effe debet $SCHOLIÍION D 21Y. Si hanc lineam commnnem AB tanquam axem confi- Qu deremus, circa quem planum ABCD moveri concipimus, ea hig : Qpla« TUNUPETTPUISESSS i NOTIONES GENERALES SUPERF. 75 planis refpe&u inclinationis & angulorum competere videbimus, etati : que de lineis diximus: dum enim CD fupra EF jacet, unum idemque planum efficiunt, cum nullam profunditatem habeant, &ett: etit adeoque inter fe confundi debent; fi dein immoto plano ABEFKF fxo etiam communi axe .4B alterum extremum CD ab EF rece- [ erit tpene dere incipiat, inclinatio , proinde anguli crefcunt, & per angu- lum re&um tranfeunt, donecin dire&um jaceant, & unum majus Cl ts planum CDEF ( Pig. 115.) angulumque infinite magnum effi- €lant, ut adeo planum C totum femicirculum hac ratione per- eurrat, qui confequenter menfura omnium eft inclinationum : inde eruitut plans cete, DEFINITIO II fonm m 4B 212. Angulus plani eft inclinatio duorum plano- p rum in communi linea concurrentium, ut in F :g, 114. an- quod gulus DBF. retut , i« COROLLARIUM, t n 213. Hine f planhm infifat plano oblique, facit angulos , totà deinceps pofitos xqualés duobus re&is: fi perpendiculariter, fa.« eit angulum re&um: $i duo plana fe fecent ( Fig. 116.), anguii verticales m & z vel a & c fuht equales: fi duo plana parallela à tertio fecentur, anguli alterni funt equales &c, verbo omnia, rpene que de inclinatione re&arum diximus, inclinationi planorum ; non conveniunt, cum enim extremitates planorum fint linez,-& eun- facit, dem fitum etiam totum planum habeat, quem he linee, fequi- retfüs tur prOprietates linearum quoad inelinationem etiam planis come« s s petere, 4 THEOREM . ecah 214. Tris puncta non in dire&tum jacentia fi- ]i fum plani determinant. ( F7g. x17.) ex unia DEMONSTRATIO, teot Si extremitss plani imponatur duobus pun&tis im- mobilibus 4 & B, circa illa & totam rectam AB pla- num circa circum rotari poterit, ut in Scholion pre- onf- cedenti diximus , accedat punctum tertium C im L hïi p?bi] 8, E $ jam |à 74 &£AP.L. NOTION. GEN. SUPERF. jam ultra illud planum progredi non poterit, fed C erit quafi fulerum quoddam , quod planum fuftentat, & mo- tum ulteriorem impedit, igitur hunc & hac ratione omnem fitum trià punQta non in dire&:—um pofita deter- DI minant. COROLLARIUM. 315. Fer quo»dvïs igitur triangulum determinatur pofitio 419. plani. àm DEFINITIO L. er6. Planum tribus lineis feu lateribus terminae tum dicitur planum triangulare , feu triangulum; qua- fem tuor, parallelogrammum , quinque, pentagonum &c. futai peripheria circuli terminatum dicitur planum circulare, Latera dicuntur ambitus feu perimeter ne feu circulus gitud tià w plani, fpatium hac perimetro comprehenfuüm feu quan- titas hoc fpatium exprimens eíft area plani feu fuperfi« prini cies. Mean pedun DEFINITIO IV. lngi $17, Bafis eft infimum latus, vertex eft vel an- gulus vel latus fupremum ploni. - Altitudo eft ex ver- nj tice ad bafin, produ&am fi neceffe fit, demiffa perpens 3em dicularis ut in Fzg. 112. altitudo plani «bcd eft lg. thlio DEFINITIO V. teni u hat f e] 218. Planum regulare eff, cujus perimetet eít pos Ui h lygonum regulare. Wi hibu tico linea $ debü ätief (ïUm € À- . v j E Q (5 , eni ; Io tlone GA PU i. etete DE MENSURA SUPERFICIERUM DEFINITIOI!I ofitro enfurare fuperficiem , eft ejus extenfionem 419. Rd[ in longum & latum fimul determinata qua- &am quantitate exprimere. TIDlde COROLLARIUM I gua- 226, Cum (íuperficies duplicem hanc extenüonem habeat, &c. fequitur lineam pro ejus menfüra adhiberi non poífe, qu» men- furam folum longitudinis habet & longitudines catentes latitu- late, [leter dine in infinitum accumulate latitudinem dare non poffunt. Lon- gitudinem & latitudinem quidem plani (que nil aliud nifi diftan- juan tia pun&orum extremorum eft) feu ejus perimetrum linea ex- primimus, at aream totam exprimere mnequimus Nemo enim Pafäq ideam totius quahtitatis arez nofa loneitudine folum bafeos IOO pedum & longitudine lateris 20 pedum acquirit; meras enim longmudmes habet, quibus extenfio duplex menfurari non poteft. COROLLARIUM . ] at« 221. Cum hzc extenfio duplex oriatur , fi bafis 4B ( Fig ver: 118) per determinatam aliquam diftantiam , .quam per altitudi- poi nem feuperpendiculum BD exprimimus, vel dire&e ut ACDB vel oblique ut 4DaB furfum moveatur , & cum eó major fit hec ex- tenfio, quo baís .4B aut altitudo DB major fuerit, cum hoc ipfo hzc plana infinite parvx latitudinis fepius ponantur, & major fit elementorum numerus, ($.206.) fequitur, magnitudinem fpa- r &i hac duplici ratione geniti in dimenfione exprimendam effe : eliquid igitur eligendum eft, quod duplicem hanc dimenfionem habeat, & pro menfura aliarum fuperficierum fervire poffit ; edcoque uti lineam elegimus determinatam pro meníura omnium linearum & loneitudinum ita fuperficiem determinatam elieere debemus pro menfura omnium fuperficierum, Si velimus fuper- fciem in pedibus aut orgyis metiri, neceffario fuperficiem pe- Q€um, digitorum , aut orgyarum adhibere debemus, at dum fu- Qexümem pedis cogitamus, concipimus neceffario fpatium lateri« LI bus CAPUT . 76 bus claufum, quod ih longum & latum pedem habeat, id eü, LUR $ cujus duo latera longitudinis & duo latera latitudinis fingula pe- iun dem adequent, fed talis figura feu fpatium eft quadratum T ! ($. Y41.) ergo fuperficies quadrata pedis aut digiti &c. feu pes po quadratus, digitus quadratus &c. eft menfura fuperficierum, du dnt 3 COROLLARIEUM IIl adátis 222. Tot isiturt orgyarum , pedüm, digitorum &c. aream minor évjuscunque figurz dicemus, quot talia quadrata in fe includet, Sit m;jori que neceffario includi videbimus, fi ad genefim redeamus. j 6 . enim bafis (Fig. 110.)/ 4B 6 pedes longa, altitudo BD vero $5 majr cum jam ipía bafis fuperficies. quedam effe debeat, habebit 6 fione pedes quadratos, feu quadrata pedum, qux ferjes toties poni- Teduci tur, quoties pes in latitudine continetur, hoc ef quinquies, in s & unum collec&a hx»c quadtata dant 3O quadrata, erit igitur area e ABCD 30 pedum quadratoruim. dem COROLLARIUM IV. 223. Quoties igitur in menfuris fuperficierum orgya, pes, digitus, linea nominatur, femper orgyse, pedes, digiti, linem quadrate intelliguntur. Oreya igitur quadrata 36 pedes quadra- tem i tos habet, cum quzlibet ümplex fex pedes comple&atur, pes 7ü p& 144 digitos quadratos, digitus 144 lineas quadratas &c. &c. uti uiat apparebit, fi pes v. £. quadratus tam in longum quam in latum in I2 digitos dividatur; duc&is enim uti prius pafallelis, 144 quadrata parvula digitorum habebuntur. Data igitur menfura cujusdam fuperficliei in orgyis, pedibus, digitis &c. ut fpecies £inor reducatur ad raajorem , divifio non per fimplices pedes, digitos &c, inftituenda erit, fed per quadraticos, ita fi detur dem fuperficies $184 digitorum, ut reducantur ad pedes, dividenda eft fumma per I44, & erunt 36 pedes quadrati, qui reducendi ha ad orgyam dividi debent per 36 & erunt zquales uni orgyx. SCHOLIOQOUWN 924. Magnum harum operationum habebitur compendiu.m, & menfura decimalis adhibéatur. Cum enim omnes quantitateg fupyä (ubdivife IO femper partibus crefcant, & decempeda IO pedes, Quo fic IO digitos, hic IO lineas complectatur, ordinaria longitu- quiä dinum menfura major reducitur ad minorem fine omni multipli- extione, adjungendo ad priorem quantitatem zerum., quadratica Eïian vero adjungendo duos zeros; ita $ decempede dant 2O pedes, a 200 digitos, QOOO lineas &c, ordinarim menfure? quadratieg & vexo DE MENSURA SUPERFICIERUM. 77 d et la pe vero decempeds 2 dant 2OO pedes, 2COOO digitos 2000000 iratum lineas quadraticas; uti ex mnatura multiplicationis notum eft. "u pes Ergo fpecies minor ordinaria reducitur ad majorem feparando pro qualibet majori quantitate unam notam; ita 3462 linez Un Ex prioribus enim 3 decempedz dont 3dec 4ped 6dvg 2 dant 30OOlin. 4 pedes dant 400 lin, 8. digiti dant 60 lineis, additis 2 lineis habentur 2462 line:. Quadratica vero fpecies Jcam minor.reducitur ad majorem feparando pro qualibet quantitate udet maJon duas notas; ita fuperficies 2654296 linearum continet Nt Cum enim quzlibet fpecies 0i 3 65P. 42415, 96un quadraticas. divi- major IOO partes quadraticas fpeciei minoris contineat, |bit 6 fone per IOO id eft feparando düas notas, minor ad ma;orcm poni zeducitur; in refolntione problematum his tantum exprefhoni- $, n bus decimalibus utemvr, Si latus unum quzratur, extrahenda g erit ex fa&o radix quadrata, cum ex duplicimultiplicatione ejus- dem numerii facdum hoc utpote quadratum ortum efíle ponatur, DEFINITIO II p5 [ineg 25. Qualdryare figuram feu aream eít ejus quantita- tem in menfura quadratica determinare, igitur quadrata- dta , p ra parallelogrammi , trianguli, circuli &c. eft harum fi- utt gurarum quantitas in menfura quadratica determinata. LUR MA T-H EOR EM'A 4 fura eciet edes, 226. Parallelogramma fupra eadem bafi & ejuf- letur dem altitudinis feu parallelogramma fupra eadem enda bafi & inter parallelas habent areas aequales. enat DEMONSTRATIO i, Sint (P?g. 120.) parallelogramma 4BCD & 4Bcd fupra bafi /4B inter parallelas Cd & 4b erunt triangula atef | d!], duo 4Cc & DBd zqualia Nam CAzsDB, 4cz Bb tü- quia funt latera oppofita parallelogrammi ($. 141.) fed )u etiam tertium CezzD4; nam CDzz AB,quia funt late- t ra oppofita parallelogrammi, fed etiam cd—— 4B ob ((27 i eandem rationem, ergo etiam CD ——cd, cum fint &qua- lia TERNRRE 76 CAPUT Il it lia tertio .4B ad utrumque addendo De erit CD -- Dé du L Dc-eod, hoc eft C z2 DÀ éergo tria latera duo: Sub- gmum rum triangulorum zqualiàá, tota ergoó zqualia. trahendo jam utrinque part&i conimunem Dcx , erit tra- & d 162 02 pezium 4xD(C squale trapezio Bxcd addendo deiü flatex utrinque triangulum ZxB erit parallelogrammum CD.AB z parallelogrammo ZBcd. Q, E. D eepti duo « COROLLARIUM I!ZYI interi 227. Cum quodvis parallelogrammum per diagonalem i riat áuo triangula zqualia dividatur, C$. 142-) triangülum érgo quode fit ( vis'tanquam dimidia pars parallelogrammi ejusdem altitudinis & fuper eadem baíi fpe&ari pofüit , dimidia autem fint ut intes W, £ta, fequitur, que de parallelogrammis di&a funt de triafigi- pats lis etiam dici debere, hinc triangula duo (Fig. 191.) ABC & tall ABc fuper eadem baáü .4B & ejusdem altitudinis CD —cd , aut f0 inter parallelas 4d, Cc, equalia funt, & eandem aream habent, ln al COROLLARIÍIUM 9H ADG 928. Sequitur etiam fi fuper eadem baíi inter parallelaé & erigatur parallelogrammum & triangulum PFig. I22. v. g. ABCD 0b r2 & ABc, erit trlangulum hujus paralielozrammi dimidium. E& elt di enim . hoc triangulum alterius parallelogrammi .4Bcd dimidium ob diagonalem . CB fed parallelogrammum .A4Bcd eft ABCD ii per theorema precedens, ergo etiam triangulum A4BC eft parale ef lelosrammi .4BCD dimidium,. pus totur 1HEHOREMA H 4 4bl 229. Si in triangulo rectangulo L4BC fupra hypo quodvis latus erigatur quadratum, erit quadtatum intr hypothenufe * zequale quadraüs cathetorum fimul Gtatu fumtis;, (EFzg. 123)) Cille DEMONSTRATIO Ex angulo re&o demittatur perpendicularis Ca, 'die V videt hec quadratum maximum in duo re&angula H ae, n & DE MENSURA SUPERFICIERUM: 79 Di & ae]1B; primum etit 2quale quadrato minimi DECA uo alterüm medio CFBG. JDuc&is DB & CH erit trian- ub gulum DAB z z triangulo CAH ; eft enim DA z AC [ & 4 B z AH,. quia fünt latera ejusdem quadrati: prete- eu rea angulus obtufus D.AB ab his lateribus interceptus con* 4 ftat ex re&to ; & acuto s. 'Et angulus obtufus alterius intetr- €eptus CAH conítat ex recto & & eodem acuto m, ergo hi duo anguli ; -- 9 & m-1- 9 a duobus lateribus zqualibus H intercepti funt zquales, tota ergo triangula zqualia, fed triangulum DAB ett dimidia pars quadrati DEAC, cum 0d$ fit fuper eadem bafi D.4, & inter parallelas DA4, & Jinis EC, vel Db Inte & EB j & triangulum A4CH eft dimidia ig pars re&anguli /eHz fuper eadem bafi 4H & inter pa- C& rallelas AH & ea dimidia funt equalia, ergo etiam a n tota funt equalia , ergo quadratum A4DEC z— eHa. In altera parte du&is G] & CI habentur, duo triangula ABG & CBI equalia ob latus BG z— CB & AB z Bl elid & angulus obtufus primi z «- o z obtufo alterius r -4- s CD ob rationes prius allatas, ergo 45G z CBI, fed 4BG j eft dimidium quadrati CBFG quia fuper eadem bafi BG un J & inter easdem parallelas F & Gb; & triangulum CBI eft dimidium re&anguli eabI ob bafim aqualem BJ & A parallelas BI & ea, fed hac dimidia funt xqualia, ergo totum quadratum medium CBFG eft equale re&angulo 4Bl, additis jam zqualibus erit /fe Ha -1- eBIa hoc eft ABHI z DAEC -- CBFG, fed illud eft quadratum :M hypothenufe A4B, hoc cathetorum, AC & CB , ergo fi in triangulo rectangulo fupra quodvis latus erigatur qua- J nl ératum, erit quadratum hypothenufee æquale quadratis cathetorum fimul fumtis. Q. E. D. COROLLARIUM, 230. Si catheti duz fint zquales, quodlibet quadratum qua- du érati hypothenuiz dimidium erit, & tunc data catheto innoteí- *€it hypothenuía; À fcilcet € quadraso eatbeti bis fumpto extra- il hatur 806 * CAPUT IL hatur radix, Sittalis cathetus —4, erit ejus quadratum f6, quoá X 9232 ergo hypothenufa — 32,4e8 5, 65 &r. Inverfa 2j operatione data hypothenufa innotefcunt catheti, Si catheti ünt « baf inzquales, duo latera dari debent, ut innotefcat tertium, extrada enim ràdix ex fumma vel differentia quadratorum dat tertium, Data hypothenufa 5 & una catheto 2 erit differentia quadrato» fumn 25 — 9 z I6, cujus radix 4 eft altera cathetus, t ejusder TU BOREM ZA IIL gramm 231. Area parallelogrammi eft zequalis facto €mo t ex bafi in altitudinem, DEMONSTRA T I0O. Re&anguli area habetur , ex baíi toties pofita, quot ejufmodi partes funt in altitudine totius re&anguli, ut patet ex genefi, & corollariis ad definitionem I. fed hec colle&io obtinetur ex multiplicatione bafeos pet 2 I : 1 altitudinem, ergo rectánguli area eft zqualis fa&to ex — -- j - D 1 bafi in altitudinem , fed omne parallelogramráum eft K2 equale re&angulo ejusdem bafeos & altitudinis, ergo omnis parallelogrammi area eft xqualis fa&to ex bafi i altitudinem, Q. E. D: 1 delum COROLLARÍUM L Ctefcen, 2232. Si igitur fit bafis parallelozrammi —— B; altitudo z ibetà tüom Y 45 Íuperficies feu area z $, erit $ —— .AB. bafís, COROLL:ARIUM 1I. Vrfnite bebitur 232. Si paranelogrammuh datum íit quadratum , erit bafie '.T'.O&u Eu aïtitudini, & S z— B* vel A4^, * ( 17 SCHOLION, lz — IT 224. Si igitur fit in parauelogfammo dato Bizz 9* 5f 6!^: 4 -- 30 Al 5 feu B— 256! & A 345// erit $— 88320 linearum quadraticarum feu 8? 83'/ 20. Si datur $ & B erit 1 r 4 z m. Sidatr $ & d eritBz -; ut patet ex fegulis equae ?(ïcnum(, THEO- lie DE MENSURA SUPERFICIERUM 9L THEOREMA VI qued Vetfa . fint 235 Area trianguli eft aequalis dlmldl() facto £ ex. bafi i in altitudinem, lum DEM'.ONTSTRATIO iato^ Omne trlarguïam eft dimidium parallelogrammi ejusdem bafeos & altitudinis, ($. 142.) fed parallelo- grammi area eft e&qualis toti fa&o bafeos. & altitudiniS fU ergo triánguli area eft zqualis dimidio fa&o. Q. E. D COROLLARIUM 236. Denominationibus pofitis ut prius erit in triangule , $ — ——"íeuSziadxB,tuS$Ax-tB "ully SCHOLION I fed 227. lin triangulo dato B 2560 pet A ——428// ,erit $ p 109560 256X428 — — 54784; quod obtinetur yel e X —— vel 256 el X 214 vel 128 X 428. gO SCHOLION lI , 1 238. Si genefim trianzuli confideremus .per motum paral- lelum bafeos infinite parva fui parte proportionaliter femper de- crefcentis, donec in vertice penitus evanefcat & inftar pundi habeatur, erit area tota colle&io harum partium , quz arithme- ) icam progreffhonem confüituunt, cujus maximusterminus eft ipfa - gpe dl bafis, minimus-vero zqualis nihilo, cum ponatur effe quafttitas nfinite parva, numerus vero terminorum :qualis altitudin. Ha- bebitur fumma hujus progreíhonis, Ífi fumma ex termino pri- d mo & ultimo per dimidium terminorum numerum multiplicetur, (S. 179. Algebr.) hoc eft a-4- & x X n. Sedazenihilo, « z bati, n alutudini, rgo0 fumma — w x L nhocetB x iA COROLLARIUM l. « 20 239. Cum omnis figura quádrilatera, omne O 4*4?971&5&- jiid ver diagonalem in duo triangula refolvatur , ha r.ehl*u-: eju$ ares ex Jute AMeisb, Math, P. 11 n [] CAPUT I 80 ex fumma arearum utriusqu& trianguli. Igitur (Fzg. 124.) dias conali CE que pro bali communi affumi poteft, & altitudine Ac & DA veldata, vel juxta fcalam geometricam determinata in- ; veniantur afez trjangulorum, & habebitur area totius trsoe/u fc1- ( BC, Si'fuerit BC — I licet .A -- Da X We m 5^, IH rel '—-—)x12—4429 là EO ,e€eritarea itape - 2x6-42 COROLLARIUM i. .H46. Si trapezium fit ejufmodi, ut duo latera ( F7g. 125.) Is ZAB & c« DC fint parallela, erit ejus r i 'ea cqualis facto ex fumma i 1 fium. in dimidiam- altitudinen tra 5 7-1, ducta enim diagonali 13 n , utriusque trianguli I.L( L & BCD cadem (ft 'ïit*',*ld() Bc vxel Tl [ b es ducantur in 2 Cb e orum triangulorum aree habeftur a xx12 AR M x : Cb : E 4; 1 1em , hoc eft L'U X -ï (77 wzwm sfu !k(D"!"' 11 ï/ (6) L —; D ergo etiam tnpe/n area habetur, fi báfes AB & C 4 ) 1 Uuca t; n X altitudinem Cb Poterit etiam area haberi, fi * il uidr L,c:.a..u.ux u 451 EU ucatur in totam aititudi AL,TVI, ut me)t ex 1159 € € tfAal 'ulorüm dimenüone diximus: 1 THEOREMSA V. - (s i F .20 79 oni re 0'* ilai (?Q elt e )d ;x. e iaàCtt 4 av auc t a u De V'ï; ^ n by: cul [73 1 centro « ad latus demiffà Íe in VA 1 imi dia ^^ 111 )erimetrum p*'*'vn";", c E M.C ONS |IRATIUO ( » j Y À !H ] e 1»:01 jtur in tot trian- *y" onum r egm&r ., lali i, Íi guia a& equ , quot funt latera, ergo fumma arearum horum tri g llorum conflituit aream. polygoni, fed cu- jusvis tri guli-area habetur, fi dimidia bafis ducatur ofumma omnium habetur, fi omnes in u;tnud:nem , €i ä eOtrmm ä dmmhæ bafes du antur in Ititudin LAia ^ que cum ubi- f? Cpp! ans, fat erit omnes dimidias bafes 1n ean. d )i 4xF 2 dem aïv udinem ducere, þoL eft (.Pz9. 126.) d AL2 1« m Y t n z x F feu X o /'x'( F ^ :'?Vl'r«z—-g M P i s TX €) -- - ——2 fed bafes funt perimeter & 1 DE MENSURA SUPERFICIERUM 95 Ha* udme & dimidie bafes dimidia perimeter, altitudo vero , ubi- à M. que eft perpendiculum ex centro ad bafin feu ad latus fci- polygoni demiffum , ergo etiam area polygoni regula- J ris eft zqualis fa&to ex perpendiculari ex centro ad " latus demiffa du&a in dimidiam perimetrum. Q. E. D COROLLEAXRIUM 242. In omni igitur polygono acciplatur dimidius numerus 25.) n laterum, & ducatur in altitudine n, habebitur area; íi datur la- tus pentagoni —— I9/4 n 0. altitudo m IO/ erit perimeter tota 12 R. — ^ j vel X e—gO [vd a um i Vs OO $1 latus hexasoni fit I24 & altitudo II4 erit nc im. eftc CUC f RO LI!* 1*3 72 & - X 11 — 396 DA [ ] CH OLITO:!J. AB & ^n0 243. Longitudines laterum & perpendicula determinantur )95 ex f Ca ge ometrica, uti alias didum eft, cum enim latus & per- end ^$ : ilum fint ligez re&», & longitudines earum commenfurae piies LU"LT., & eodem modo deter nari poffunt THEOREMA:*VI 11(7' uv ) 244. Circuli area eft aequalis facto ex radio in femiperipheriam DEMONSTRATIO Circulus eft polygonum regulare infinitorum late: triae rum ( 164.), ergo etiam refolvi poteft in triangula, 4 dm cujus bafes fimul fumpt funt peripheria , altitudo ve- d Cüs ro radius ($. 165.), fed polygoni area habetur, fi femi- ea ul perimeter ducatur in altitudinem , ergo circuli area ha- 783 betur, fi femiperipheria ducatur in radium. uoi eafj COROLLARIUM. i F 245. Si peripheria dicatur P, radius R, erit tofa prorfiw eu cies circuli feu area $ 2 PR, & fi ex peripheria fiat linea- re/ta, /l/z,". 127.) eritea bafistrianguli, quod habet altitudinem radium, netet & eít 2quale circulo dato, & 71 E C i i Q o E iqgecr CAPUT II. 94 CHOLION. * LU 246, Ad hoc igitur iterum neceffarium ef, ut detur men- 4á fura radi] & periplerie , aut faltem ratio aliqua nota fit, quam fK radius vel diameter ad peripheriam habet, ut ex loneitudine di xecte ilhus linee quantitas hujus curva ervatur & area inde ine T veniri adeoque circulus, ut reliqua de quibus egimus fpatia , qua» arari Ti pofiü Na&enus hanc quadraturam nemo invenit , licet multi in ea gusrenda defudarint; Archimedes aliique periti hac ph methodo rationem diametri ad peripherjiam inveftüegarunt. Notum eft ex $ o t cud e radio circuli, fi igitur a 153. latus hexagoni eife æfï xadius affumatur IOOCOOO, erit id 123 us hexagoni —— 10000O00. Si " " ja1 (? 5* 0O 128.) latus hexagoni .A4B dividatur in duas partes zqua- ic K*A*' B. latus dodecaeoni? ut hujus quantitas innotefcat 4 cum C ( aB. fi re&angulum » erit CB? — Ba -- Ca^, fed CB eft P — Aotu 3441 5 à radius, Ba eft notum, quia 2 radius, ergo Ífi ex ra- € lio & dimidio *adio fiant quadrata, & ex differentia extrahatur " Y ac' '9 habebitur Ca : fübtrahatur a CD feu radio inventum mo- do Ca habebitur Da, Jam. in triangulo re e&angulo DaB eft rur- fus T"*æa - Ba? — DB^, fed Da ef& modo inventum, aB eft [ * rad xh'ï » rgo fumma horum quadratorum aut quadratum DB^ W & ext: &a radix dat latus dodecagoni DE Si hoc rurfus per CE biffecetur in £, erit D E latus polygon T^ 1 ut hujus di i 94 laterum; rurfus quantitas. innotefcat accipiatur triangulum rec&angulum t €bD , erit Cb? —— CD* — Db?, ergo Cb —— V (CD* Db ) fed 41q 3l CD ett 1&.11 3 Db eft ilatus dodecagoni prius inventi, ergo habes 4 tur etiam 5C; hoc LC fubtrahatur « 2] radio CE, habetur pars bE jJam in Luamulo re&angulo EbD eft Eb^ -- DV ED? fed Eb modo & Db prius eft inventum ergo habetur DE latus poly- goni :4 laterum fi hoc rurfus biffecetur habetur jam latus po- leterum lygsoni dein.96 laterum &c, quse omnia pracedenti methodo inveniri, & tam prope ad circulum accedi poteft, ut chor« da ab arcu fenfibiliter non differat pr n ratio diametri ad po- lvgonum circulo inferiptum vera, & quam proxima ad ipfum cir- b culum obtineatur. Eadem via queritur ratio diametri ad poly-« gonüm eid n. circulo cucumfuwtum incipiendo ab hexagono us- qué ad 1 us valde ex guU;n- Jam circulus inter hec duo polya gona jacens erit infenfibiliter minor quam polygonum circum- fcriptum & 1 ajor quam infcr) um,-ita quidem ut ex hoc circulo ; pofita diametro zz I Archime in polv«ono 96 laterum invene- nerit pcti I,hermu effe ad inf s:p um ut I ad 3 5 1 adcircumfcriptum -..- ; oo9 Xt I ad 3 713 hoc eft f tyd -u d o lovicus a Ceylem s:fT accue ! l DE MENSURA SUPERFICIERUM. 8 $ accuratius determinaturus hanc rationem nl ul terius progreffus eft [ X - pofita diametro — 2, 0000000000000000 invenit peripherian lu ninorem effe quam 6, 2831852071795865 dam majorem effe quam 6, 2831853071795862, ut adeo fola diffe- ine rentia a circulo fit in mille billioneüimis partibus? ftatuit igitue m diametrum eífe ad circulum ut 200: 628 velin minoribus ter- qua minis ut IOO: 314- Metius eam ftatuit ut II3: 255, qus pro icet minoribus terminis adhuc accuratior eft: plerique tamen ob com- ae modiorem calculum priorem adhibent, cum & ihi differentia in m praxi infenfibilis 6t, igitur diameter in fua .peräpheria ter & t aliquanto plus continetur, . $i CÜROLLARIUM.L que (at, .247. Ex his jam videmus quadraturam circuli veram, etó ) eft detegatur, numeros tam prolixos habituram, ut in praxi propte- Tà: rea ufui effe nequeat, adeoque inanem ille labore: impendat, atur «ui in ea quarenda vel minimum temporis fpatium ponit, Ino T nt- COROLLARIUM E [. L] j eft 2482 Data igitur diametro queritur peripheria ex hac pro- p* à portiqne ut ICOad 314, ita diameter data ad peripheriam, Sit p 514 X 56 diameter data —— 56, erit peripheria —— m I75. 8A. Da- jjl$ w ta peripheria ad querendam diametrum proportio invertitur, ut [ed |hee ?[4: I,OO &c, .Ex his jam fequentia-problemata refolvuntur, VE PROBLEMA L fed oly- 249. Data diametro circuli invenire aream.. : pü. lenti RESOLUTIO. liot^ p Tiam, . Fiat ut 100: 314, itg diameter data ad periphe- (i^ Jj« — X II. Peripheria ducatur in 2 diametri, fa&um eft w equale arez circuli. olya Demonftratio eft ex theoremate VT. i* culo 5690 RÜRSLARIUM Lt pe^ $50. Exempl. Sit diameter data — 56^, fiat I()(;ï 314 rurm 70 54 g^l 41;'/0 Hec peripheria ylei - 56/: 175*, '84 hoc eft ad 1 du- d F 3 1 a 86 ÜCARFUT ducatur in quartam partem diametri in I44, feu I400/// nt habe- VESISADESSHSURLN aántur quantitàtes homogenez , erit tota area — 2461/, (Cco hoc et 24? 614 76// oo^, feparando duas fcilicet notas, cum menfura jam exiftat quadratica. ($. 224.) lii CHOLION. ti X II 25YJ. Diameter vel menfurata fupponitut n campo. , vel 1 data quantitate longitudo ejusdem ex fcala geometrica determi- n lndu- e&o H d H COROLLZARIUM:/T 1 252 Hac ratione igitui omnis peripnerja in ilis invenl- qu tur dimenfionis partibus , in quibus radius vel diameter datur. Si diameter datur in pedibus peripheria in pedibus habetur; fi ÀN datur in digitis, perm"*wrls in digitis habetur &c. Quin omnes [ partes peripheri2, omnes arcus certi numeri graduum hac ratio- c1 ne invenire licet, inferendo per fimplicem proportionem, ut 260 eradus ad peripheriam totam in pedibus, dieitis &c, inventam , ita 7O, 40, 1309 &c. gradus ad partem peripherie proportionalem in eadem menfura Si peripheria fuerit 17584/// invenitur ar- cus 3O' ex hac proportione 360 ï/ 84/// — 30 14651/1 L PROBLEMSZA II $« 255. Invenire aream fectoris ABC Fig. 129.) & arcu ZAB d to radio Z4C'in orgyis vel peäzb : eradibus. &t RESOLUTIO dni baï as I. Fiat proportio, ut 100: 314 Mu radius AC ad tt für peripheriam totam II. Ut 360? ad peripheriam inventam, ita gradus dati ad menfuram arcu HI. Arcus inventus. ducatur AC fa&um erit area quafita E D E. —— i — w ] & DE MENSURA SUPERFICIERUM. 97 habe« ATE GT ^DEMONSTRATIO. ]600 , Qm Cum tota area circuli confideretur ut' aggregatum Ev gs 2 d triangulorum infinite patvorum, quorum bafes funt p ripheria & altitudo radius, erit etiam fector, utpote pars ol circuli, collectio triangulorum , quoruim bafes eft arcus 'eLIllf» -AB & altitudo radius 4C, proinde etiam hzc area tota habetur, fi bafis 45 ducatur in & altitudinem, hoc eft Ut autem. arcus area eft zqualis arcui. 4B x x AC. i veti B cum AC multiplicari poffit, ad eam: menfüram, ín datut. qua AC datur, reducendus eft, quod fit per propor- tt; f tiones fuperius exhibitas, inventa ex generali propor- Ua tione peripheria circuli feu menfura 360 gradibus cir- matio» culH conveniente, hec ipfa menfura dein per alteram ut 360 proportionem partibus petitis applicatur. entalit , onalem Exempl. Sit CA feu BCH r diameter z— tut at« 004., & ADB v 300. Á EistutiOO: 314 & 56': 12584/*. ) lii ;' r.. * ut/$00 * 1789490 —— 30" I465/1/ 1465 5 feu' 4394 4H - ?;- E X I1400///,z-s 2051466'^^ $ (eu —— — area, 29105/ 14/4 664 5 2 QU R ULILABRBIUA, 9) 254. Si detur(Pig.130.) fegmentum AEBD A, invento centro & du&isradiis 4C, BC habetur fe&or ADBOC, quiper chordam 4B infegmentum ADBEA & in triangzlum ABC dividitur, ut igitur radio & altitudine habeatur fegmentum, dato arcu, chorda , trianguli, inveniatur fe&or & triangulum , fera- & hoc ab illq au ! ÁCad tur, dïffgl-czxtia erit area fegmenti, PROBLEMA III. fdd u u ?;( '25 $. Invenire aream poligoni cuj svis. ( $ n a 131) j 4 E- PA jl — As s Ts 88 CATPUT HI / RESOLUTIO fei Refolvatur duc&is diagonalibus in triangula, & in- [ ventz triangulotum arez'addantur, fumma erit area po- 1ite lygoni. tus | DEMONSTRATIO quo fequ Quodvis polygonum refolvitur in tot triangula, eiti quot funt latera demtis duobus ($. 144.) ergo triangue ho Ja funt p.rtes & polygonum eít totum , additis parti. bus habetur totum Exempl. Sit polyzonum ABCDEF, du&is BR, BE, CE tri- du angula habentur quatuor; accipiantur ex fcaia geometuca eorum altitudines & bafes; Wt BEI— G.. Agcts 2 EB——-S F——v.) » I! Ccc-4 OEX Dd W. quéis baübus in dlmldlas altitudi- fn nes erit 4F:::6X1-.«6,BFE--8X-——.12, BEC z2 8x2-—-16' & BED-— 6 X2 — I2?, hz ares addantur, habebitur tota area — 6 -- 12 -F- I6 -- I2 — 46 &l CATUT.H DE COMPARATIONE ET TRANS- MUTATIONE AREARUM Tüu &if] THEOREMA I il 2 erimetr fieurarum fimilium funt ut latera C 256P DA vel dimenfiones homologe. p DEMONSTRATIO (üar Cum perimeter fit ipfa fumma laterum, erit peri- erg p meter primze, ad perimetrum fecunde, ut fumma la- terum prime, ad fummam laterum fecundz, fed cum fi gure fint fimiles, hàbent latera proportionalia ($. 168.) &t igitur fumma laterum prima eft fumma antecedentium, & g DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c 89 & fumma laterum fecunde eft fumma confequentium ; fed füumma antecedentium eft ad fummam confequentium, ] &m' 62 pO ut quodvis antecedens ad fuüum confequens, hoc eft pe- rimeter prime ad perimetrum fecunde, ut quodvis la- tus prim: homologum, quod eft quodvis antecedens,. ad quodvis latus fecundze homologum, quod eft quodvis con- fequens. Sed latera homologa fuat etiam dimenfiones, Qgula , jgitur perimetri figurarum fumilium funt ut dimenfiones daee homologze $ atl COROLLARIUM CE tri 257. Cum circuli omnes, feu arcus ejusdem numeri sra- A eorum duum fint figure ümx)þs, quarum dimenfiones homologe funt B xa ii vel diametri, fequitur peripherias circulorum , aut arcuum altitudi fimilium effe ut radios vel diametros, BEC — ddantür, THEOREMA II ' 258. Parallelogramma funt in ratione compofi- ta bafium & altitudinum. DEMONSTRATIO NY Sit unius parallelogrammi fuperficies —— $, alte- primi altitudo — .4, bafis zz B, alterius altitudo z a, bafls —— 5 Ent in primo $ 2 4 x B, in altero * zz a x 5 ($. 231.) ergo erit primum ad fe- cundum feu .S $emdxB;axbíeuS$:sz ÁAB: fatett 4b, hoc eft primum ad fecundum, ut factum ex altitudine primi in fuam bafim, ad. factum ex altitudine fecundi in füam bafim, fed hzc eít ratio compofita ex 4: a& B: b ergo parallelogramma funt in ratione compoüta bafium U & altitudinum. mi i Exempl. Sit altitudo primi —l —— 6, bafis —— 2, fecundi al- um j titudo z 8, baüs — 4,erit primum ad fecundum ut 18: 32- 16.) ytiurts Yi C O. a RI TR pI QcO T i E.. O L A2 Á I U M H g 31l f € S alt 3 je& y* ieitu tudines squales fint , ecqu 26 & ï;& iactc fatta A * I jai :Li quoque íunt arex equales, etiam e E ahi — ï lent d altitudinem ae 2 6;1 eti p H t 54 etiam. dB av 25r uat t m b B. ': hac u & lone in prt opo rtione em refoluta erit A: L od e itudo pr imi ad altitudinem fecundi ut bafis fecundi '1d ba- Z ; At H primi, fed . hec eft vatio reciproca rgeo parallelogramma Sit inquai d que habent equales areas funt in ratione reciproca fem altitudinum & . bafum. $j tantur bafes fint &quales; reg erunt ut altitudines, & fi altitudines fint equales, erunt ut bafes Erit hac if eni TY S. $ AxB:axB deleto communi fedtore B ma- h&t ne Do A a, $i autem 4 m i erit $ sH 1e05 f Paj Jïh 'ato UV [ : Bd Z Ksu ^ xel pl. w p p mi altitudo 6G bafis 4, fecundi bafis 8 alti- ec cunqa udo m ; utriusque aree fint equale 2 3 quia fatum ex 6 in fe; fe ln 9 £ C:A, erunt altitudines baübus recipróce propot- E £120 1 " id 06 3* 4 lïcnaïe logram C O RO LL* R UM I Daleg 60 m triangula fint. dimidia parailelogrammorum ejus- ral] dem D« S o Ua ltitudinis, que de pa 112 elogr ammis dicuntur de trian gul ; jam di&a funt, quia dimidia funt ut tota H )etul 4 t T enim etiam area.trianguli ex dimidio 4 a&o bafeos in aititu et f: fup ä a ( nem, Hinc etiam triangula funt in i vlone compofit a battum 1* imï' W d*m;d. rum altit dinum, feu dimldnïm altituc num & bafium. H T . Xones h ioc t : t s:::-iA)(B' WqW-bsyels: ^ $m AX E p a 2 n folops »] ab vel $ i COROLILARIUM HI 261 Si ur in uiancuhs arez funt »quales, facaà ex be fi il ti f in "thunnem equalia effe debent fi^bafes & altitudines zquales funt, aree quoque zquales funt $i arez funt equales, Ti olog habent bafes altitudinibus altitudinibus reciprocas, & íi bafes are fi bafes funt a.qu:' reciproce funt quoque zazquantur $ erunt ut altitudines & fi altitu nes funt $q Ya ud T(.uo erunt ut D& Ezedem iV f-^ fes. jlicet proprietates triar jlis wmym nt, quas de 18 nb a arallelogra fuperius diximus. 15 xli * Í Q 1 E 2; DECOMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 91 THEOREM A Il At 1 262. 'Triangula aut parallelogramma fimilia ha- s — dé, bent dimenfiones homologas proportionales. D. D,n0C DEMONSTRATIOGO. 40 00 am m Sint duo.triangula fimilia ( Pzg. 132.) 4BC, abc. 7proca erunt Demiffis ex angulo zquali perpendiculis CD & cd erunt s M hazc ipfa perpendicula altitudo, & fimul erunt triangu- p la & tota ex hypothefi, & parva ob /z-a & D&d »e5 re&tos fimilia, ergo erit 4C : ac m /Db: ab & etiam yoroae mmCDS igtur 4B. ab mCD: cdi Qus- f alti- cunque enim funt eadem uni tertio, funt eadem inter x 6u fe; fed 4B & ab funt bafes, CD & cd funt altitudines, Xopote ergo triangula & proinde eorum dupla fcilicet paralle- logramma habent dimenfiones homologas proportio- nales. D^ 1 ejur- -CO'ROLLARIUM. r, d ibetut 263. Cum omnis fupefücies in trlangula refolvi poffit, fuperficies feu figure funt fimiles, etiam triangula, in que re- folvuntür, fimilia effe debent, fed hec triangula funt ut dimen- m fones homologe , ergo etiam tote fisurs funt ut dimenüones ho- mologse. THEOREMA IV. 264. Parallelogramma feu triangula fimilia f e funt in ratione duplicata feu ut quadíata latera ho- jdines mologorum, jales, qibus DEMONSTRATIO. quid Sint parallelogramma fimilia4BCD & abed( Big.133.) i5 ec erit area primi ad aream fecundi ut 4D x« BE : adx be ($.258.) fed ex praecedenti theoremate eft D : «d —— BE:beergo he due rationes zquales funt, ex qui- bus AE CIATPUT ID D! 92 bus ratio prior componitur, fed ratio compofita ex ra- tionibus zqualibus et ratio duplicata, feu eft ut quadra- 06/ L tum terminorum fimplicium , ergo arezfunt in ratione Ti nnatur duplicata feu ut quadrata terminorum D & a4d; fi "- et AiÀ m in AD x BE . L] ad x be fubftituatur loco BJ::, be aT d 2eq 4 '! AD :ad , ad aream fecundi ut &mnibus C erit area primi .M, fZ diameter fed etiam cum fint figurz fimiles eft 4D : ad Sit diamet —DC: dc' vel ut BC:bc vel ut 4B :ab, etgo etiam erit porttone ] MNena e area primi ad aream fecundi ut DC : dc* *vel ut BC* : bc* roportio vel ut 45*:4b*, fed hec funt latera homologa, ergo parahmogïamma funt ut laterum homologorum quadra- ta, fed triangula funt dimidia parallelogrammorum, di- ; midiía fubt ut tota 26 [ ergo etiam triangula funt ut quadra- Toaximi ta laterum homologorun latera Exempl. Sit bafis parallelogrammi minoris ——4, altitude femicirc m duor t2 2, majoris bafis z— 12 altitudo —— 6 , erit area primi z— 8, alterius — 72, fed $: u:,..-v— L^ — 16:144 hoc eft, ut quadratum ba- jungantut nuia AC; fisprimi ad quadratum bafeos alterius; vel 8: 72——4 : 36 hoc eft, ut quadratum altitudinis primi ad quadratum altitudinis fecundi eulorum . &udrata COR OLLARNIUM-.IE A? du - tlà comm 265. Cum omnia polygona fimilia in triangula, qux hoc &üe luny! ipfo etiam fimilia erunt, refolvi pofünt, fequitur etiam areas Qu 31 polygonorum fore ut quadratum feu in ratione duplicata late- rum homologorum. &CCurate (1.22s COROLLARIUM I DO QU quas 266. Cum omnes circuli fint fgure fimiles quorum di- m enfüo eft vadius. ( eft enim altitudo communis omnium triangulorum aream conftituentium ) fequitur areas-circulorum effe inter fe ut quadrata radiorum vel diametrorum , cum dimi- P dia fint ut tota, vel ut quadrata peripheriarum aut quadrata ar- la tan cuum fimiUum, chordarum fimilium &c. &c. Hinc circulus du- Qrim à plo radio defcriptus eft quadruplus alterius; cum enim arez COMWH( fint ut quadrata diametrorum , erunt ut quadratum de 1 ad quas d'u danty dratum de hoc eft ut 1:4. APæ em eu ld 1 ul IC[(I C O- EV "M d DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 93 71 W COROLLARIUM SIi. d- 2967. Quia arez.circulorum funt ut quadrata diametftorum, Ione fi ponatur diameter — IOO ut prius; peripheria —— 32314; erit l; atea — 2314X25-—7850; hec area jam erit ad quadratum D d ( diametri ficut 7850 10000 vel 785: 1000 ; quod cum pro u w &mnibus circulis utpote figuris funilibus ferviat, poterit ex area diameter aut ex diametro area ex propofita ratione invenirl !.D.Jl $it diameter $64 erit area hujus circuli terminus quartus in pro- | efit portione I000: 785 — 3136/:246176/^qualis fuperius ($. 250.) 1 l & * lx'c inventa erat. Data area ad inveniendam diametrum invertatur £ proportio ut 785: 1000 —:2461'76:x. ia« COROLLARIUM. IV lls Qt 268. In triangulo re&aneulo habuimus, quadratum lateris Qd maximi effe *quale quadratis reliquorum fimul fumtis: f heec latera fint »qualia radiis trium circulorum, erit area circuli aut tituce femicirculi, qui habet maximum radium, qualis eis reliquo- zum duorum. Hinc fi d duo minores fà4 ii ad ansulum rectum con- zb jungantur, (Plrf ï?z;) ut .4B & BC, & tertius tanquam hypothe- m b à2 nuía .4C adjunsatur, efitarea femicirculi AdBAC — areis femicit- M v culorum .4eB -- BfC, erunt enim ut quadrata diametrorum , fed '2« [ quadrata duo minora fur 2qtialia quadrato majori ; CIEO etiam are2 duorum minorum fun arce m equal f1S. Si ja: fpa- tia communia'x & y a majori & mànoribus auferantur, manent V& XXQ» du lunule , qux ab inventore Hypocrate lunule Hypocratis vo- | ara €antur, squales triangulo ABC, fpatium, igitur hoc curvilineum i latee vera i itur lius tura accurate scequale eft re&ilineo, g quadr ;:: Ofcele demiifa ($.225.) habetur. Si triangulum ditum foret I ex B perpendicularis triangulum in duo - ualia re f: ï A 3 olveret ; pars quaevis foret equalis fuz lunule, m d* COROLLAR IUM V Dv'f,un yforum. 969. Poterunt ex hoc principio quzec inque fiveure fimiles : ótmr in uham tertiam mutari, cujus area fit Tqualis fümme priorum 4 a af* duarum arearum ; 4 nempe illrum quzevis duo latera 1 )0moloza lus d conj 1g?antur ad aneulum re&um & ext i í te s* mitates ea . recua 2ted claudantur, fupra hanc ere&a fieura fith ilis erit priorum f.!m:nm d u qu Átec enim horum polvsconorum fimilium funt inter fe | -ä drata laterum homolosorum ; qua hic conflituunt late ac*a a ? Liid n- guli r CCca nguli, fed-in triansulo re 2 gu quadratum h othes [2 M: eft equ ale P Jï. ] qu&dratió cathetgrum , ergo €t i 24 alrca PM 1'2)0Im 4 "10,, 1 ï Di DCAPUT H .94 Ta4we ni fupra idtu5 maximum exítru&i eft equalis duabus areis reli- » quorum polygonorum. n [ jt à COROLLARIUM VI Tl " ln ;] 270 $i petatur polygonum, quod fit squale differentie ft] 1Cet duorum aliorum , fuper quocunque latere majoris tanquaim lia» fi&or a metro defcribatur femicirculus, & tus. homolosgum alterius ex trHangu 2 1 1 pheriam trans l r*tm er punétum peri- diametrl extremo in 134 bit a cum mLClü extremo diametr pherie in quod hoc latus cadit, ä«(l*wis conjung&atur, erit hec linea latus homologum m polvgoni petit id ety VL Eft enim tu:* eulu in f femi circulo ergo re&angulum , & Y 4 quas $ ud 5 TT dratum lateri: ii ^ O ;ï atorum 1e '; um alioru Qi f diferentia qua« Ws fed arez * » " £o et £ : e [:! novi eft differentia ] ünt ut quadrata priorum, IUM VIi C OR OTI LAR ! à t [ 4 ]ia conftruen- O71. 12u À. n ieitur fieure dat pProportionals ! da eft, v, g. dupla, tripla, quadrupla &c ita procedendum eft Dicatur, ut ratio ares date ad aream queíitam id eft nDt ls . ^ n ïxyü vel I: 3 vel 1:4 ita quadratum cujusvis. la ter ix a au aratum 1 r lateris þomn]em, extra&a radix dat latus hotm 10 gum^; ita vel i 0r per omni latera procedendum eft, vel invento ^ uno later a r hec propoxuo pro reliquis inftituatu r, ut latus CL Vi n , ad E 2 tus inventum, ita quodvis aliud latus dati polygoni, e latus homoldgum polygoni novi, Exempl. I. Parallelogrammi bafis fit 6 ltitudo fit * & fit at nv W D conftruenóum aliud hujus quadruplum ; fiat ut 1:4——536 : I44, entr- iT Ut.6:12 Que extrada ex IA44 radicé habetur 12 bafis nov Conüru&um ergo parallelogram- """'46(3 t.8 alütudo novi. M mum fuper baü I2 & altitudine g erit prioris quadruplum. Qu Nam area prioris eft 6 X 4 —:24, alterius I2X 8 — 96 , fed 24 Vatür in 96 uater continetur, ergo novum eft quadruplum d [(Ud . ali u ü hgy ies] xempl, II. Sit qua drati bafis I9 & fit conftruendu * li E hu jus q P lum iat u [9 I:4—:144:,576 extraca inde radix D ïad-lïb 24 Gat bafin novi. Eb j fit on Ài firuen- Exe m i. p IU Sit diame er circ ld à t — : v t ls Es : Ex f dus circt dati f fu*quadr ;7* ï 8 t ut - - 2 90 ; 2&1 TO TY uiLi 1] V hae quantitate extraca x?l.r n &O Gat novainm d ;M kl etrum circ ï LE (ubquadrupli, 8 H O.« M n 'T' « EMX W DE CO! TRANS] IUT. 3 C. 9 SCHOLION iE - * E 1 X i Q/Za $5 qui ia&enus de planorum & fuperfí ;- d 1! » T menítíur:z & d raii smutatione unius in alteram dicta fur cla- rum am eft, qu ami ibet Ji?x am dat aata am etiam poffe in triangu- lum ä nsfori mhari, G uod zqualem cum eadem aream habeat fi enüg fcilice lt quantitas arez figur £ dia» 2.date refolvatur in i & unus l t(ïres fac&or affumatur pro bafi, & alter fa&or duplic u s fiat altitudo, o ex triàngulum fupra hanc bafin & hac altitudine onftru&um habe )etie bit zqualem cum priore aream, Cum f enim txiangdïi area üiïltlïül"x,i'l .L(. j* &ore E [ fin ï M lo vqualis fa&o ex bafi in dimidiam f iidem , q ul aream ii gurae latz& conftituebant, factores 2 1 tem æguam" zequale fatum dare debeant, tur has areas d EL 1 " les, & triangulum il5 £ oura À o- datze zqu a efte. " COR OLLTARIIU M. VIII. i r quadratum mu 1 r 1 À LA,(,L nþ igulum aiï'g 073. E uno ! d& At £ r e Dro [ ) a i H 0. tere aiter o a ; t U 3 1 1 pro üdine. in ï aral tuene le 1 Q famimo s afi ti 1CC1IDpI S pro b « aur & al t itudo ] r : I u t eft e n ;E Q IK ( i circ n I Y jher D DI )4 il & ra ilu» pro lt 1 tud LZ hne, 1 a 3 P I/) n 5 Onis eo1 o* at 15U SUSIV E ;.) perimete iLU ba Hs r a t t 1 id a ï anmm &Lt El altitu lo trian $ t ï 1 in ,rrnr 1 iï jus eliea tur nu :i '1 at ;i " 1 vl nfit ut ï [^N J chol 1;. ? 1 Q. &ores, qui aream co tuunt, on dié uI a eft, ïl nus o er bafi S j fiat & lter duplus altitudo, d- COR O i2 r EX T ARIUM lát 4» IX 21 274 ata figura polygona pra&ice fe '»OPTL AV h o d TOÓC AU 1 1 - & i citur 1n suram trie i5 lg9u nrmm a [ I )j ecto v Ài 1 p wbe g ulo a T i denti pol ygono: fï datur g tfrv pezium v n i B CD D ) J )1' 5 d uc tur diago ii na H Cz P 1 (P X ^ ) 71 &o D para 111 6:12 ela DE ernu H t ii I rïu is trian o) ui J r x, Lal r?lg & 4 Cll iu b [ i inmumni 4 , t int P Q. l Cr " 4 inn m para lï lelas D [ potw foinde e ju : en ii 11 L M hn is ana ä L ;; " datür ut ïque trian o u ii u1t commune ABC €tur il T fumm ü hoc TT d.*"'"..h E. CL 1 C f J [nssrem - A 1 ( - B P E 2 :)(.. *'*"ä' ,f , hOC H 1: CE —— te p J triangulum juadril Pos CE Ü 1 à Detu: pentag n uim j Ig.12 ) 4 n Z AE Iu H ducz Ed [2014 ( tur ii par 1*]Q D £ r P cmi u ? LL I G H ?. erit ; ria "r geulum. CE BI—C fupt ei a ucil ddantd i 93afi € T 1 MOA Rcinter , 2231 'allelas, ergo fu bft ftit uto CEF pro CE ? riett quod al 1 Jicitur etit au drilate mt P BC BI pe t gor o Ai J L " a2 E w Q ï)w»la B B x paia i j ela ( CconJju ----- kie H 1it eritti rnanzulum 21c H L fC', ob commanun b & i Í , n B E & p 2 parallelas j BE Z « H da Je — * ^L 96 DXPUT .. datut utrique BEA, erit triangulum .BFG. — quadrïiater;» ALBCF; t t & toti pentagono ABCDE. Subtra Sit heptagonum (Z7g.137.) ABCDEFG; ducatur BD & illi ttit ex C parallela Ca, donec occurrat ED produ&e, B & a copjun- us div gatur, habebitur abje&o uno triangulo hexagonum equale hepta- gono ut prius demonftratum eít: du&a BE &.ex a parallela ab, donec Occurrat Eb produ&zm, dabit conjun&da Bb pentagonum ta t (abje&o rurfus triangulo ) priori hep gono »quale: du&a BF & ex b parallela bc, conjun&isque B& c, erit quadrilaterum heptagono equale: du&a BG & parallela cx, dabit BxÁ trian- gulum heptagono sequale, Plura de his in Trigonometria & geometria practica dicemus. SCHDLITIOTN.l1L $75, Si figura guecunque in certas partes fit diftribuenda, aget v. g. (Pig. 138.) tuftcis dividendus, ope triangulorum Duta id quoque preftatur. Sit ABCDE ager, refolvatur in tylangula 3 vel. per diagonales, ut habeatur area in numeris, hec in par- tes petitas dividatur, habebitur menfura quadratica numerica Sit £x. cuivis conveniens, Videatur dein, an primum triangulum BCD vnam talem partem adzequet, aut ab illa deficiat, vel eam fu- ex hac differentia conftruatur peret, & differentia annotetur: triangulum : hoc éft dividatur Jdifferentia per bafüin primi trian- guli BD , quotus erit dimidia altitudo novi trianguli, interval- 1o duple altitudinis ducatur ad bafin parallela xy & ex x ad B vel ex y ad D du&a linea determinat triangulum novum ; quod extra triangulum primum cadit, fi addendum, intra, fi fübtrahendum. Supra hanc novam bafin Bx conftruatur rurfus triangulum quafi- ta prius altitudine, cujus area fit equalis vel parti petite, fi figura admittit, vel dimidie parti petite, cui dein rurfus novum trlangulum inveniendum & addendum, ut habeatur pars petita, Da&a ] & jta ufque ad finem procedendum, B erl Sit. BD —— 516'4, AD — &90^,, Cc z 154/^, Bb — 315^, Ee (li'vlfa e 27 5//, erit BCD — 39732, ABD — 91350, DAE — 1087 $0. $it dividenda figura lu 3 partes Ergo are2 «— 239822. ) ht ?Lï[hodü p 'äï*f;g te 5* nt P L ts i b U DE COMPARAT. ET TRANSMUT. &c. 97 Xf Erit tertià pars are2 79944 V Subtrahatur BCD ?97 32 yjun erit differentia —— 40212 jta 516 quz divid, eft per BD: C77, 93 | dl 2612 num 4092 155,86 íeu 156, queett altitus "aud TUm 516 do triahgull novi 3612 Ia a& 4800 516 4644 1560 516 enaa, lorurt &c, &c, ngu l Du&a parallela xy ad BD in diítantia 1567 determmatur pun&um Vp»r x vel y, & du&a Bx erit fpatium primum BCEx-una pars tertia, Sit Bxz5928. Erit 9944 I51, 4O ;erica 9 BCD 528 P m H 2714 302, 80 feu 303, altitudo tri- yatur 528 anguli fecundi, tt* 2640 erval 744 ii D 52:8 quod 2r60 pd! ('hæ(i 528 j OT ( novürm 480 petity Du&a parallela xu ad EBx in diítantia 302, & fa&o triangulo 4xcB erit hoc iterum tertia par$, adeoque remanens trapezium /F-1 x4AEx ultima pars tertia, & habetur figura in tres partes petitas divifa, Yb SCHOLIOS—N,II 276. $1 fupra Bx fuerit triangulum facum soauale fext* perti, & huic rurfus additum alterum etiam fexte parti equale, methodo hie tradita du&a rs determinat in trapezio Bx4E duas partes tertios Bxrs & rs.4E ; due enim fexte partes fupra Dx & novam baán conftructe funt zquales uni tertie parti g AMeizb, Maih. P. II. G CHO- 98 LATUT I SCHOLION B. ^ 277. Si figura dividenda ( F3g. 139. ) fit triangulum , tan- tum baíüs dividenda erit in partes petitas, & divifionum ! puncta t D £tà cum vertice conjungenda; cum enim altitudines triangulorum tioi fint 2quales, arez erunt ut bafes, fed bafes funt ut pars tertia, ergo etiam arez, & Si fit parallelogrammum dividendum, divi- fio fiat in lateribus oppofitis, & punca lineis conjungantur, quz H di ad.alia duo latera erunt parallela, & omnes partes figure feu alt parallelogramma minora inter fe equalia ob zquales bafes & al- titudines; refpe&u vero totius erunt aree ut bafes, cum ejus- qu dem íint altitudinis. pto tà] SCHOLION S V, $N 278. In ejusmodi divifionibus femper ratio'figuræ, mate- d zi», & finis haberi debet; fi ager, qui coli & arari debet, fit fi diftribuendus, cavendum ne divifiones. omnes in acuto concur- sant angulo, quin, quantum fieri poteft, angulofa figura evite- tur, optimum igitur femper erit partes per divifionem ad paral- lelogramma aut trapezia reducere , quod etiam pro limitibus in maj recta linea confütuendis commoditatem majorem adfert; princi- plis theoreticis exculto mnon difficile erit, in variis rerum ad- plur quo junc&is optimum eligere, & diverfiflimis licet qui occurrere pof- funt cafibus, illa applicare. toci ütc SCHOLION VI erit '279. Rarifime accidit, ut extremitates figure 1linels reás inn faltem longioribus claudantur, hinc in dimenfione & divifione min latera curva ita ad lineas re&as funt reducenda , ut quantum ex d etia una parte figure demitur, ex altera iterum addatur, ut Fig., 140 exhibet, in qua re fi magna accuratio requiratur, ma- I gnitudines ipforum horum ípatiorum per perpendicula ab cd &c, brio demifa determinanda funt, ml güre SCHOLION VIIL. S»get 580. Pro figuris in formam zqualem aut fimilem feu ma- poffu joremi feu minorem transmutandis utimur inftrumento, quod pan- &CQui tographum nominamus, & ita componitur: (Fig. I41. & 142.) Aldter Duo paria regularum .4C, 4B, & DG, DH connexa, & mobilia ïefpoï ün pun&o .4 & D, fitu inverfo fibi imponuntur, ut vertex 4 fu- ltim perius, D inferius fit; fingule foramellis cwquidiflantibus aut 5o aut IOO &c. perforantur ut ih omni diftantia a vertice una alteri applicazi & diverfa parallelogramrzaa ut EAFD, eqfd , fi« cut n - A DE COMPARAT, ET TRANSMUT. &c. 99 eut utraque figura oftendit, effici poffint, ita ut femper diftan- tia EA ts vel ez fit vqualis diftantie DF vel df, adeoque etiam unds ED & d — AF & af, & verum femper obtineatur parallelos orum g£rammum , in quo regule due femper maneant parallele, hoc ipfo erit etiam EE — — ED, & DF — FC. Item be — ed tl2 d- & df — f & angulus ÉI aut o — r- Si jam confideremus que in utraque figura fitum regularum , & fingamus ex B per D ad C feu duci re&aàm , erunt in primo fitu triangula BED & DFC, item in ; al- altero fitu bed & dfc fimilia, quomodocunque regule circa hzc - Que quatuor puné&a mobilia divaricentur, & per hoc bafis BC & bc prolongetur aut contrahatur, & femper habebitur Proportio ve- ra BE: BD — DF: DC aut be: bd — df: dc, hoc ett numerus divifionum feu di&antia BE eft ad ditantiam BD f[icut numerus divifionum feu diftantia FD ad diftantiam DC, Si BE fuerit zz at tt, fit DFP, erit BD in omni motu & cafu — DC; fi be quadruplum ips ) cute fius df, bd femper manebit quadruplum ipfius dc evite- CUuROLL.ARIUM L patal 281. Si igitur planum quoddam minus cd fit in quadruplo us 1 majus mutandum , fiat ea regtülarum difpofitio, ut be fit quadru- r plum ipfius dfj eligatur dein penes planum pun&um aliquod, in T. quo pars inftrumenti d firmiter figatur, quod ope ponderis aut p* cochlez przítatur, moveatur totum reliquum inftrumentum 1tàs utc ad pun&um primum circumferentie plani minoris veniat, erit b in punéto homologo plani majoris; motis ulterius regulis immoto punco d transferatur c ad aliud punc&um quoddam plani vedtis riione minoris, erit b in homologo plani majoris & diftantia nova qua- drupla prioris: eft enim be: df — 4: I ex confítru&ione, fed um ex etiam be: df — bd: dc ex natura inftrumenti , ergo bd: dc — 4: hp Tà* I,Ííed duo pun&a nova ope inftrumenti ita pofita funt refpectu priorum, ut fint in diftantia ficut hd: dc, ergo etiam nova ad prio- (d &Cc ia m u I ita tota perimeter tam hujus quam cujuscunque fi- gure alterius & omnia etiam interiora pun&a proportionaliter augeri vel imminui aut, fi BE — DF, «qualiter transferri poffunt, id unum notando , quod inverfum fitum omnia pun&a j m acquirant , fi pun&um fixum inftrumenti d in medio maneat; fi " p auctem C vel B figatur, d cum alterutro pun&to mobile erit, & cor- Jt.) refpondentia pun&a mutande figure equalem, vel proportionalem 0118 fitum habebunt. Afe COROTLLSIARIUM 6wI s 20f ce n 282. Seu 'igitur dimenfio quedam geometrica feu delinea- p tio machine, figure, plantarum , quin imagines etiaum hominum G aut a 2 | ico CA PUT. IL aut quidcunque aliud in minus majusve immutandum aut trans- ferendum deiur, ope hujus inftrumenti id peragitur, quod in cochleis ita inftrui r minutifimas partes dividi & foraminum loco potef, ut proportio inter be & df quam accuratiffime determina- à riqueat, Exextremitatibus B & C illa v. g. Cquz figuíze delinean- in de ( quod origz'nale dicimus ) imponitur, cufpidem x gerit; illa alt wero v. 5 o B, que imaginem (quam copiam nominamus) depin- ex gere debet, plumbagine y inftru&a eft, ut ficut cufpis in C [U per omnia pun&a & totam perimetrum movetur, ita plumbum 1ni feu ceruffa in B fimilem viam defignet, adeoque perimetrum in H « petita proportigne ampliorem, ar&ioremve reddat, SCHOLION. $ 283. Ob hanc proprietatem inftrumentum hoc fimia mathee maticorum nominatur, eiu matbemati[cbev 2£ (f Alii illud geranium GCtordyn Cdjnabel appellant. gl 3à IÀ ol DE SOLIDIS. per Tür CAPUI —L & lii hi fà NQTIONES GENERALES SOLIDO: RUM. DEFINITIO I der [ olidum feu corpus eft quantitas continua , qu£ u 2$4- S triplicem dimenfionem habet, in longum, ?tà datum fimul & profundum. d COROLLARIUM. $n et 9$5, Corpus igitur omne & longum & latum feu profun- Wr dumeft, quetriplex dimenfio femper exprimi debet, dum quan» N titatem folidi determinamus, SCHO- Ef NOTIONES GENER. SOLIDOR. 1o: SCHOLION X. Mf« B 986. Ad ea hic quoque advertendum eft, que de lineis & trül elanis monuimus clementa folidorum & partes funt iterum foli- |fià» da, feu corpuscula infinite parva, elementa fcilicet, que jam Z triplicem dimenfionem contineant; planis enim profunditate feu ila altitudine carentibus in infinitum accumulatis folidum. nunquam j exiferet, plana enim omnia coinciderent, & ne minimam alti- T tüdinem procrearent, Solidum igitur ut colle&ionem folidorum umn minimerum confüderamus, quemadmodum lineam nt colle&ionem jin linearum , planum ut colle&ionem planorum fpe&m;'imus, quam eolle&ionem feu numerum elementorum rurfus perpendiculari$ sltitudo determinabit. SCHOLIOIN l. ythte nium 287. Genefim tamen folidi fimili rurfu$ modo per moturm& $lani concipere licet: fingamus fcilicet planum 44Bcd motu pa- rallelo vel dire&e furfum utin Fig, 143, veloblique, ut in Fig. I44 moveri, donec conficiat fpatium fe, hoc fpatium i motu plani confe&um dabit 3deam folidi, fi igitur plano infini. £e parvam altitudinem copcedamus, tot concipi poffunt in hoc folido plana, quot partes infinite parvz altitudinis funt in per- pendiculari ef, 'que hoc ipfo numerum folidorum infinite parvo- rum feu elementorum determinat, & obliquum tantum in eo differt & re&o, quod in hoc pars fuperior accurate eum fitum habeat, quem inferior, in altero quxlibet pars fuperior, inferiori quidem :zqualis, nonnihil tamen verfus dextram vel(íüniftram rece- u dat, & ita fitum perpendicularem plani mutet. COROLLARIUM L 288, Ex his jam fequitur, a figura plani inferjoris depen- dere figuram totam folidi, cui planum fuperius femper equale eífe debet in motu parallelo & geneíi fuperius expofita: fi plani inferioris perimeter fuerint linez re&ze, latera erunt parallelo- gu;e Uf , £ramma, cum fiant ex motu rede per äliquam altitudinem , uti de-genefi plani di&um eft $. 206 ; & quidem tot erunt parallelo- gramma, quot fuerint in bafi latera, i bafis fuerit (F7g. 145.146.) circulus, planum fuperius quoque circulus erit, & latera erunt parallelogrammà , qu» infinite parvam latitudinem habent, cum fütte peripheria cirg:zli conftet ex meris re&is infinite parvis, quan- G CQ« $ o 10£2 CATPUT L ànm COROLLARIUM Ii, tug 289. Si planum irïferius ita furfum vel recte vel/oblique PU ! ! j d (Fig. 147. & 148.) moveatur, ut femper infinitefima fui parte li C decrefcat in proportione arithmetica , tandem degenerabit in pun&um & tunc latera erunt triangula tot rurfus, quot linem in ireq baá, ut di&um eft,de planis triangularibus $. 238. Idem contin- terti get, fi planum inferius fit circulus ( PZg. 119. 140.), latera to- otie tius folidi tunc erunt triangula infinite parva ob rationem fupes rius datam, tum DEFINITIO H 290. /ingulus folidi eft inclinatio planorum , qu:e in totu eodem apice concurrunt, eumque claudunt. Igitur fit p ex angulis plani. opus COROLLARIUM, 29I. Saltem tres debent adeffe anguli plani aut tria pla- na, ut angulus folidi exiftat; duo enim apicem non claudunt, fed partem vacuam relinquunt; fimul hi tres anguli plani mino- res eile debent quam quatuor re&i feu 360^; (i enim angulum (ic a folidi ere&um deprimamus, ut in plano jaceat ; (FZg. 151.) relin- spice quetur fpatium vacuum x zquale angulo x, fi hoc etiam angulo Centr plani expleatur, habentur 360 . gradus, & impoíhbile erit cufpi- dem elevare, & angulum folidum efficere, nifi pars quedam feu angulus quidam ex illis 360?^ dematur, ut cuilibet apparebit, fi chartam quampiam crafüorem in medio ita elevare conetur, ut extremitates in tabula maneant, neceíffarium enim erit quid- mtus. piun ex medio exfcindere, & ita angulum 360 graduum qua- dam fui parte imminuere., Igitur fumma omnium angulorum fo- omni lidum componentium feu tres feu pllures fint, minor effe debet quans tuuy 260". DEFINITIO II. 292. Anguli folidi zquales funt, fi ab sequalibus LOT planis; fimiles, fi a fimilibus efficiantur. um f ï U'nor DEPFINITIO IV. bGIeï 2953. Polyedrum eft omne corpus planis fuperfi- fed ; Wi ciebus terminatum , in fpecie , tetraedyum , pentae- drum NOTIONES GENER. SOLIDOR. ï(*g drum &c. dicitur a numero planorum folidum confti- . tuencium $ regulare eft, fi plana fuerint regularia & blique parte zquàlia ejusdem fpeciei, & hoc ipfo anguli etiam fo- bit lidi omnes :quales ; irregularia , quzx planis & angulis eg in inequalibus terminantur; a numero planorum, quibus ytine v L tetraedrum quatuor ; [4 (0- terminantur, nomen fortiuntur o&aedrum o&o ; icofiedrum viginti planis termina- füpe« tum eft, DEFINITIO V. je in 294. Bafir folidi eft plamlm infimnim, cui infiftit ur fit totum corpus. Pertexeff planum autangulus fupremus. Altitudo folidi eft ex vertice ad bafin ( prolongatam fi opus fuerit) demiíía perpendicularis. DEFINITIO VL à pl ydunt, 29 v. Axir eft re&ta a centro infimi plani generan- mino- , ad gulurt tis ad centrum fupremi, velfi continuo decrefcat relie apicem feu. pun&um fupremum du&a. E(t itaque via ao centri plani motu fuo generantis folidum. cifpi- m feu DEFINITIO VII, Lrebih »netür , 2096. Superficier folidi eft perimeter exterior , feu Soliditas autem eít colle&io quid totus ambitus corporis. ) qua- omnium elementorum feu partium, qua folidum confti- us fo tuunt, .qua SCHOLION, Soliditas hic eadem fumitur cum volumine corporis, 297 «uod fpatium tantum a corpore occupatum f ne refpecu ad maf- Tibus Ex duobus igitut,; fam feu inateriam , quam continet, defignat. corporibus unum plus maífe & minus VO lumen quam aliud ha- Maffa enim eít numerus partium , que f plures bere poteft, fed magis contiguzs ad invicem ponan tur, pluscerto mafíe; fed Solidita- perfr minprem extenüonem, minus ergo volumen efüciunt. t£cr G 4 Pe;zme- n IOA. CAPUT I v tem feu volumen per geometriam de terminamus, maíf 43 .w(e;s echanica examinamus per pondera in m DEFINITIO VII 35 l homo- 208. Solida «uslia funt , quz dimenfiones nite lopas equales habent , bafin bafi, altitudinem altitudi- TUl ni, perimetrum perimetro zqualem. .S/milia funt, qus dimenfiones homologas pr »Pomm ale $ & angulos foli- dos equales habent ut fit bafis tota d altitudinem in una, ficut bafis ad altit tudinem in altera, folum igitur Al nagnitudinis feu. quantitatis difi Iere tiam habunt , Unuim at Db h i cilicet majus eft altero, j'l DEF UNITIO IX T i !u um l /. Fx( 209. Prifua eft folid bus zqualibus & late- ol ribus pazaïïelo**"'n? nis t*vnhmau m5- patet ex motu pla- )r in ng p ni in . Coroll. 1. ägs 288, & in I43. Id4. &c. e A0 q pofito ,. Ret Clam , fi a.uiü QX & la x tera E ümul fuerint perpen dic Lïæ«'z A T [7 od J ad bafin, ( .Frg. 43. I45. I47. ïqra.) ob u 1i la 5 LLEE 4 » tera &axis fuerint obliqua ad ba.fin..(r bbü I4 g' lf, I. e Q U?s d[!x rMe :; i. ,O ï triangulare, ( Fzg. 153. ) à n " o r ulare, ä 7g. X I54:), pcmagcn jm ; ( Fig. 1 'ya-) &c . VO* ! H D æils £ e 1 E y Tatet cat Üf , Á u V 'th tri gulum, aut quad 4 ilaterum! 0 '?f'ïi- p l 31 *pnum b Vi m , ita ut fbmper denominatio pri(iati e 1 afeo a figura bafeos prifma generant i Gep dea 1&':. D rE 2FINITIO X. pent: Tüe l tit 400, Pa p;pe[h " eft prifma , cujus bafis eft pa- " q ïk ""ïie l am n um te&angulum Pzg. 154. Cubus eft. pris- D l! &L mà , Cïj ua V CL afis & omnia latera funt quadrata zq lia, hoc eft, fi *n ua- Wärmum per altitudinem lateri fuo (Jkd lem peïpenuzf ulariter f 1 *(vï ii d m moveatur cenerabit cu- bum, qm iv fa drata contn ,ï AZJ x aequalia qua Eft igitur l N cubus lo ï.»æ ul FC"MWE« 1 TA D Hmnis] C i: OTIO ï& E n ss V —3: fi ÀX o 9U L J W Pa i iO ..: H d. FINITIO X I ;-'Df'x"?' JLo Cyiaer ett prifma, enujus bafis eft. circulus, ("(' KZ(ö. ï"*y- ïþ& /I latera proinde parallelc d &.) anuma mfïc HU e nite parva latitudini S* D & n zü 1im- la. tudi Proin eft prifima inp cerum. ! .& fo]i« S C H.O LIOSYN,. v m )u . Poteft preter me thodum fuperius er v pofm eenefis y. igi tut Q"hndll etiam hac ratione exp licari; fi cogitamu s ( Fiz. Snjä um rectangulum .4BCD cxrca lat s BD immotum Otari , erit ex & Dc tra ba(ium circularium & in BD Def. VI. BD axis, . p&, fun centra omnium ci : rum qu£ infünite propinquorum, radiis mn T?, fu d Rri*m*ï ] » & quorum colle&io totum cya lindrum ef ämr* conudaerari, 21 mngura gener 1S 18 e 'ï("'- r IOT m AO oi- L at des, Cylinder eodem modo ,quo prior gen itus, effet cylinder Omnis icsitur u DL j* bliquus. cylinder eft colle &io cylindrorum , feu prifmatum aut quewn minima rur m li 9 infinite parva 'ïl*lxud'ïllä o CX fed eoualium bafium, n« DETFINITIO XIL j ,f'x;'æ I d " * M p ;ïdhl'& efï" foli ïun, cmas bafis eft g:oïy'gOD H h! i num ( F ijZ O. I4 : c*OS js (o & latera funt ma*amma ut : v'Or Ot ii patet n L!Pl.l i ds«.' 'efcentis ia Coroll. II. gg 289. ex- "t 3. f!ï L nl pofito de 1 5-— L nin ationes nartxaee 1t terum a. fig ür VL 1 a ] e ä ld i afeos c ï 1 9 angularis , fi D2 jfis triang x f:."':i tr Ouæu i Y1 jadt a )3 lari 1 ET par allelogrammum , . pentagona , m J ä um pent o D lyg: onum exït fi bafis polygon fue &i $3 eO(* ( 2 E VC UC $ fia x i S perpendicularis a vertice per li i centrum ba 30:—) Ccral 14 feat, obliqua , íi aliam axis ha- buer 1it ii ».æ'y oulilo nri$* lhä- ' 4 [j3 T2 [1 D A. J NITIO XII ^nt Viu / n Q2 o v ni x.i us et folidum ( P. 149. I5 6,); bafis efi f* [( MA "4 * gU irculus, & latera i r'zmgula:9 quorum bafes in G —) fi Hjm » — i V f^. 6 CATPUT I T0 finite parvz latitudinis funt; proin eft pyramis inni- torum iaterum. [s ) *T SCHOLI odOo concipti : 308. Poteft geneíis coni etiam ha & iriafzu:t uv Lfd' gu l C ['Iu lsJ) n i1etus Xa maneat , atc & alteta cathetus circuma gatur, defcribet catlie ! balin cir- [2 O data cularem , & hypothenufa latera coni, 4B er, ? gquo Crei yurfus omnja centra funt circulorum radiis mm 1 $ 5 otOoe & rum, qui i fi itelima fui pirte femper decrefcunt , & tandera im Ícat pun&um .4 definunt, & quorum colle&io totum conum eihcit, (H EINITIO XIV t duo ubi 406. Pyramis aut conus £run atus (Pzg. 137 183-)) eft pars pyramidis aut coni ufe,xor, a qua pars fupe- rior demitur; concipitur, fi motus plam bafeos , ante- quam ad cufpidem perveniat, ceífet & fiftatur, latera I fed geni igit;r pyramidis truncate J n nonfíunt triangula, T&K trapezia bafium parallelarum, quzs etiam in cono, fed hi f infinite parvo, confider prao DEFINITIO XV 1pfo edi fidet 40'T- Sphera ( Fz 159.).) eft folidum, cujus om- "es partes feu p.m&d fuþf*ïflbïci a pun&o medio, quod h;a At h ntrum fpherex appellatur, zqualiter ditant. tb COROLLARIU fM. fee quia feu 5308. Sphzraigitur figuram rotundam habere debet ea3 fola omnia pun&a a pün&o medio squaliter diftant Qui | dtis $CHOLION L Dytar 309,. Geneíis fphere concipi poteft per motum femicircue Yeng i circa^fuam diametrum fixam AB (]gl;r 160.) revoluti , qus [ jameter per centrum fphzere tranfens axis dicitur, & cum quae- Dytu ibet linea . per centrum tranfens tanquam diameter fpe&ari pof- l0re quelibet quoque axis erit , & omnes axes & diametri inter f Mfd e nqoales eífe debent. Circulus qui totum. áxin diametrum Iu aLet , circulus maximus fphare dicitüur, quals erit, fi ad fe- V* xnie- exif € NOTION ES. GENER. SOLEDOR. IO7 iaj micirculun genitorem alter femicirculus adjungatur , & totus circulus cempleatur, SCHOLION 1I. :d 2ro. Genefin fphzerz hàc quoque ratione fpe&are licet; fi at , circulus infinite parvus ita perpendiculariter furfum per recam 1 Oj« datam moveatur, ut femper usque ad medium iníiniteüma parte n quo creícat, & a medio, ubi circulus maximus eít, cujus diameter Iptg equalis effe debet linez date, iterum eadem.proportione decre- i t fcat, erit hac ratione fphera colleé&tio circulorum parallelorum at (Fig. 161.) certa quadam proportione crefcentium & decrefcens tium, eodem fere modo, quo genefim coni expliculmus , ita ut duo quivis circuli contigui inftar coni truncati fpe&ari pofünt, ubi fuperior circulus femper minor eife debet quam inferior, [upe« $SCHOLION Ht. a L 3Ir. 5i concipiamus« fupra diametrum A4B intra circulum atera genitorem innumeros alios femicirculos ( Fig. 162.) radiis arith- fed metice & infinite parva magnitudine decrefcentibus defcriptos, le hi femicirculi totidem fpheras generabunt , quarum- fingule a precedenti infinite parva quantitate differant, ita ut ultima cum ipfo centro c congruat, Hac ratione defcriptam fpheram ut col- le&ionem aliarum fphaerarum intra fuperficiem contentarum con- fiderare licet, que fumma foliditatem (phzre efficit. Oftt- SCHOLION IV. quoi 312. Pöteü etiam fphara conüderari ut compo(ita ex pyrami- dibus,aut conulis infinite parvis , quorum bafes in fuperficie fphz- f? exiftunt, vertices vero in centro coeunt, uti fecionem talem, feu circulum maximum exhis conulis confe&um exhibet Fzg. 136. . quit Qui foliditatis conceptus in omnibus etiam prifmatibus aut polye- dris haberi poteft, ut ícilicet con(iderentur tanquam collectio pyramidum, quarum bafes funt ipfe fuperficles folidi, apices vero earum omnes in punc&o medio feu centro concurrant, ita citete prifma quadrangulare feu parallelepipedum conftabit ex quatuor ! qüæ pyramidibus lateralibus, & duabus aliis a bafi fuperiore & infe- n u exhibet. ;:iqu.- riore ad centrum usque prolongatis ut. ff'ig. I64 lcofaedrum continebit 2O pyramides triangulares equales, qua- ] jnit rum bafes funt fuperficles, & apices centrum. Cubus habet 6 j pyramides quadrangulares zquales, quarum vertices in centro cubi ad. fer exiftunt; parallelepjpedum etiam 6, fed inequales; prifma penta- pi go- * 108 ÜUUP U T«3/ gonum 7, qïxinqu'e quadrangulares laterales, & duas pentagonas pyramides fuperius & inferius, & fic de reliquis, erg. ha SCHOLION V, Cl 313. Cum fphere rurfus tantum magnitudine radii inter &qua fe differant, ut ex genefi patet, adeoque una ab altera tantum tüot magnitudine diftinguatur, fequitur, omnes fphzras folida fimilia €ffe, quod DEFINITIO XVI. traerifj 814. Setio folidi eft planum per folidum tranfiens, €onj TU illudque in duas partes fecans, quz fectio polygonum. ütat eífle debet tot laterum , quot planis fuperficiei folidi gul planum fecans occurrit, pti THEOREMA L ls gu 315. Polyedra regularia tantum poffunt effe ejusn quinque, fetraedrum , octoedrum , & icofaedrum ex pus a triangulis aequilateris, cubus ex quadratis, & do- Poiyg decaedrum ex pentagonis. 166 DEMONSTRATIO. bebit Polyedrum eít corpus planis regularibus & angu- dus lis folidis sequalibus conftans, qui femper minores quam fàgon 360^ eíle debent $. 291. atqui plana regularia alia quam infta predi&a tria & ad alium angulum folidum quam in. prz- femp dicis quinque corporibus componi nequeunt, ut fumma pet ( iminorfit quam 360?, ergo alia quam pradiéta corpora This I regularia quinque exiftere nequeunt. Qulis flàny Minor propofitio per partes probatur, Primum planum regulare, quod occurrit, eít triangulum zqui- «Fzg laterum, cujus angulus quivis eft 60*; cum' faltem tria componi debeant, ut habeatur angulus folidus, (S. 291.) EH&N ? MT fumma trium erit 60 X ó zz I$90,minor quam 360* Curj ergo NOTIONES GE L N IN N i5 4 R. SOLIDOR. 109 ftonts ergo ex his tribus angulus folidus componi poteít; ad hac trià triangula plana fi addatur inferius quartum ad claudendum corpus, erunt quoque omnes tres anguli i dnter tantutg &quales, ergo ex quatuor triangulis zquilateris & qua- tuor angulis zqualibus habetur polyedrum regulare, | ümilia quod a pyramide triangulari non differt, & vocatur fe- traedrum. ( Pig. 165.) 5i quatuor triangula equilatera ad angulum folidum wfiens, co.njungantur , erit angulus folidus z 60 X 4 — 240, gonumï minor quam 360 gradus, & habebitur pyramis qua- . fojidi drangularis fine bafi: fi inferius squalia quatuor triar- gula in vertice combinata adjungantur, quorum bafes prioribus bafibus conjun&e fint, habebitur altera pyra- mis quadrangularis priori zqualis & erunt octo trian- gula regularia equalia, & fex anguli, finguli a quatuor [ eff ejusmodi planis efformati, equales, proinde totum cor- Yf ex pus aqualibus planis & angulis claufüum, & hoc ipfo ( do- polyedrum regulare, quod oHeedrum vocamus. ( P:g. 166.) $i quinque ad angulum folidum conjungantur, ha- bebit is 60 x 5 z 300, minor rurfus quam 360 gra- a dus & hec quinque triangula efficient pyramidem pen- ; quan tagonam Íine bafi: fi his quinque alia decem inferius inftar fafcie ita adjungantur, ut intra bafes fuperiorum 1 quam feniper vertex inferiorum jaceat, latus vero unum fem- n p fumma per commune habeant , poterit inferius equalis pyra- mis pentagona adjici, & folidum claudi, viginti trian- gulis zquilateris & duodecim angulis zqualibus con- flans, erit igitur polyedrum regulare, ;cofaedrum di&um. rium (Füg. 167.) jaqul Sex triangula equilatera ad folidum angulum fi com- binare velis, habebitur angulus plani 360 graduum, 29!-/ erit enin 60 X 6 — 360; pfoinde hic planorum con- h 360 curfus ad angulum folidum efformandum elevari non pot- ergo erit, 110 PATUT I erit, ut P;o. 151:, Ífi angulus x etiam plano clau- duá datur, exhibet. Ex triangulis igitur Jam nullus alius WSOF n ( angulus folidus, adeoque nullum aliud polyedrum re- gulare exiítet folis exifte Si tria quadrata, quz figura regulatis poft triangu- fum zquilaterum fequitur, combinantur , erit angulus folidus — 90 X 3 — 270, cum quadrati angulus fit p rec&tus €— 9go Si ex altera parte zqualia tria quadra- : torpor ta adjungantur, fpatium erit claufum, & habebitur fo- 3€ C0l lidum fex quadratis regularibus & o&o angulis zequali- funt bus claufüm, quod fexaedrum feu cubus vocatur. (Pig. Tur e Ts 269.) Quatuor quadrata combinata dant 360 gradus, hinc junge per quadrata jam nullus alius angulus proinde nullum polyedrum regulàare efformabitur. Si tria pentagona regularia ad angulum folidum conjungantur, cum pentagoni angulus fit. 108 graduum, erit angulus folidus — 108 X 3 — 5324 minor 360 gradibus. Si jam pentagonum affumatur pro bafi, & C in quolibet latere erigatur equale pentagonum, erunt terum quinque anguli ad bafim :zquales a tribus pentagonis Vatten concurrentibus fa&i & fex pentagona, quinque nempe lu erecta, & vunum pro bafi, Quodfi ex parte fuperiore €nt totidem adjungantur, unum fcilicet pro bafi fuperiore avgu affumatur, & quinque ex lateribus hujus bafis rurfus CirTe| erigantur, & prioribus inverfe imponantur , erit fpa- tiunir claufum duodecim pentagonis regularibus equali- bus cum angulis folidis 20 aqualibus; hoc . folidum 3 Tonnih: dodecaedrum dicitur. (Pzg. 168.) CF: d Quàtuor pentagona combinata dant 430 gradus ma- Vütine jores 360 gradibus, neque ex illis igitur, neque ex V fub ullo alio pentagono polyedrum regulare eífe poterit Qh(it T Hexagona tria combinata dant 360 gradus, quili- bet enim hexagoni angulus eft 120 gradibus qui du- NOTIONES GENER. SOLIDOR. i1i Cldu- du&i, in 3 dant 360? angulum plani, proinde nec he- ? alius xagona nec alia plana regularia combinata dant angu- IIl 16 lum folidi, ergo nec pólyedrum regulare. Igitur ex folis predi&is quinque poly gonis polyedrum regulare Wnue €xiflere poteft. Q. E. D. ngulus SCHOLION, us fit 316. Opf*mum quis fecerit, fi fibi ex charta craffüore hmc udta- tur l eorpora ipfe efformaverit, ex quorum infpe&ione & conftru&io- ne confrmari ea plane perfpiciet , que in demonftratione di&a tquii« funt. .Facile autem hzc polyedra feu ambitus potius eorum pa- (Fi. fatur ex rctibus eo artificio conftru&is , quod fequentia proble- Tiata docent, ubi ímul aliorum quorumdam corporum retia ad- jungemus. , hiX mollum PROBLEMA. L ^ SI7. Rete pro tetraedro: conftruere. lidum. iduurm, RESOLUTIO. ! 360 fi, & Conftruatur triangulum (Fzg. 170.) ABC gequila- erunt terum ejusdem magnitudinis, qua corporis bafim aut. apoliS partem quamvis habere velis. Supra quodvis latus fiat nene aliud &quale triangulum zquilaterum 4BD , ACE, B CF, erit rete perfe&um. Periore Si juxta lineas BC, AB, AC, tri- angula reliqua complicentur, pun&a D, E & F con- Periore vutfus current in apice & pyramidem feu tetraedrum dabunt. tfpr SCHOLIOS?—. æg»l!äli' 318. Ut firmari plana & folidum reprzfehtare queant, Jidura nonnihil chart? ex uno trianguli latere relinquatur, ut A4E, DB, CF, dum figura exfcinditur, qua pars fupra alterum triangulum us ia glutine jungitur, & totum folidum compingitur , quod de omni- bus fubfequis notandum eft; manum tandum admoveamus operi ye ex eportet, & nafci fub illa hae corpora fge difficultate expezie« i mur. qmll b qu PROe d 112 AJQPUT 1 ini PROBLEMA It bi 319. Rete pro octoedro conftruere. RESOLUTIO Fiat rete pro tetraedro ( Pzg. 171.), prolouge- tur CE in G, AE in H, BC in K & I, ut EG fit — CE, AE um EH BOK KI, .conjun&is E & K, K & H, H&lI erunt ex hac parte rur- lite hil fus 4 triangula equilatera prioribus zqualia, quz juxta &i linearum du&um complicat conftituent plana duarum pyramidum triangularium ad bafes oppofitarum & o&oe- g drum regulare. bi e &U hf PROBLEMA IIT u 320. Rete pro icofaedto conftruere pu RESOLUTIO Fa&o triangulo zquilatero 4BC ( Pig. 172.) pto- ducatur bafis indefinite, & in eam transferatur quater bafis prior ut, 45, BD, DE, EF, FG fint equales, & fiant fupra has baf'es Iu.fum & deorfum triangula xquie latera priori zqualia, terminata in H, I, K, L fupe- &t rius & in M, IV, O, P, R inferius, äucatur per ver- tices recta MS, geor hoc ipfo parallela ad 4G , determina- bit hac alia quatuor triangula prioribus zqualia MB.N, angu & n NDO, OEP, PFR, his adjungatur quintum G. Qür Supra b&leo MN, AU OP, PR, RS fiant quinque V nova triangula pnorlbus zqualia in VeïtICe FU, lm Y, Z, terminata, erunt ao triangula zquilatera zequa UT lia, & rete pro icofaedro coaftru&um Comoblicata enim lia ( charta juxta linearum duc&um fpatium totum claudet fuperiora triangula in verticibus fuis concurrent, uti & Va i. NOTIONES GENER. SOLIDOR. 115 inferiora, & media decem tanquam faícia corpus aie bient. PROBLEMA IV. ..821. Rete pro cubo feu hexaedro defcribere. loge RESOLUTIO. ft z W E Fa&o quadrato 4BCD ( Fze. 1 73.) producantut e n latera ad omnem partem , duo tamen 45 & CD nonni- : quxta hil longius, transferantur in illa longitudines laterum , duarum & per perpendiculares quadrata compleantur, erit ubique zquale quadratum adjun&um, in longiora latus quadrati : odot- bis transferatur, & claudatur linea ef, erunt fex quadrata zqualia & rete . perfe&um. Reli&o enim 4BCD pro bafi erigaptur quatuor contigua ad angulum re&um, & fuprema bafis quadrato efms claudatur, habebitur cor- pus hexaedrum feu cubus. 422. Rete pro dodecaedro defcribere. N/ p quater RESOLUTIO. des, & Fiat pentagonum regulare (PFig. 174.) vel ope h æqui- [ pe angulorum & circuli , cui infcribitur, vel methodo jer vl* geometrica fuperius expofita 4BCDE. A vertice .4 per ermit" angulos oppofitos C, D, ducantur re&e indefinite 4e, Af L MBN? & in illa longitudo lateris pentagoni in F& G transferae tur, ex F & G eadem longitudine fiat interfe&io in H, f65. guinqüe erit hoc pentagonum novum regulare priori zquale. Idem ex quolibet angulo per angulos oppofitos fiat, Ü, X, erunt circa primum pentagonum quinque reliqua zequa- p enim lia defcripta. Seigatur ex iftis quinque quodcunque pet 1 ;Mudet j & adjungatur illi novum priori methodo ex D | & , Vi & AMeisb, MMath. P. 1I. H M 114 CI&PUTIO & K du&is re&is. Huic rurfus aliud ex 7 du&is rectis adjungatur, eritabzde novum pentagonum, cui tanquam medio reliqua quatuor ut prius circumfcribantur, & ha- bebuntur duodecim pentagona regularia xqualia, qus juxta du&um linearum complicata dant corpus, quod dodecaedrum nominamus. E minatic Y DEMONSTRATIO. i5 quadta Prima tria problemata demonftratione non egent, pistu éx conftru&ione enim zquali circini apertura triangula ummq omnia zqualia squilatera fac&ta funt. Idem eft in quar- bafeo: to; du&z enim perpendiculares angulos rectos faciunt, eulare ergo habentur zquales figure lineis zqualibus claufe paralle cum angulis rectis , fed tales figurze funt quadrata , ergo I6 o habentur fex quadrata zqualia. In quinto latera oni- liore. nia xqualia effs ex conftru&ione patet, at fimul angu- dun, los habere 108 gradus, quales funt anguli pentagoni regularis, ita demonftratur: B totus —— 108?*, quia fa- &um eft primum pentagonum regulare, ergo x 4- y 222 72, i fedx z yob 54 BC, ergo y z— 36, fed etiam y -- if batu r $ - 108, quia eft angulus pentagoni primi ex con. f ?i ftru&ione, fed y — 36 ex prioribus, ergo $ — 72, AkBe fed m -- s — 108, quia deinceps pofiti, ergo s z— ni iven i180-—— m,fíed m z 72, ergor —— 180 — 72 z 1o8. d) 4lü Eodem modo demonítlratur r zc 108 , &c. fedin CFHGD Vitmun Mcatum. funt omnialatera equalia, angulos duos jam demonftra- vimus effe 108 graduum, erpgo omnes reliqui etiam 108 graduum effe debent, proinde hoc, & omnia pentago- naregularia funt & equalia, quod enim de hoc demon- 32 Rratur, eadem methodo de omnibus demonftrari poteft. Dlta ]i "U ind 93 Q- 9t Line 115 NOTIONES GI?NER. SOLIDOR, e(tis PROBLEM.A VI, um ; hà 323. Rete pro prifmate deícribere, qua RESOLUTIO. juod Fiat bafis squalis polygono, unde prifma deno- minationem fortitur, triaügulo, fi triangulare, (Pzg. 175.) pentagono (Fiz. i76.) i prifna pentagonum: quadrato , aut parallelogrammo, (Fig. 177.) fi parallele- ent pipedum &c. &c. requiritur, continuetur bafis .4B ad teula J utramque partem, in eam transferantur linez reliquz Quat bafeos: in his divifionum punctis erigantur perpendi- "iutt, culares zquales altitudini prifmatis , & compleantur i rR Jaufe parallelogramima tot, 'quot funt latera bafeos, fuper ,epo FG conftruatur polygonum alteri equale pro bafi infe- ; oni riore. Juxta du&um linearum complicata dabunt foli- angu dum, quod pri(ma vocamus. cgom COROLLARIU M. i f 324. Si fit rete pro cylindro conftruendum, qui eft prifma LO rï&* infinitorum laterum , bais ett circulus, proinde radio dato defcri- batur circulus ad 4 producatur diameter ( F7g. 178.) , donec AB 4 coq, fit equalis altitudini cylindri, inveniatur peripheria bafeos, in [5 44 & B erigantur perpendiculares & in eas transferatur periphe-^ l- ria inventa 4C & BD, compleatur parallelozrammum, & ad B 108 adjungatur circulus priori zqualis pro bafi altera. Parallelos £rammum juxta peripherias parallele ad fe invicem pofitas com- Tl B6b plicatum. dabit cylindrum. )l 1fïra- etanm PROBLEM.,A VII. niago* 325. Rete pro pyramide conftruere, mote RESOLUTIO. ?o*;efis Data longitudine literis tanquam radio defcribatur areus indefinitus, & in illum tot chordz transferantur, quot linearum polygonum bafeos eít, (Fig. 179.? que Hs chor- (* zi ROVE a | 116 CAPUT l chorde equalis etiam longitudinis cum lateribus bafeos fat effe debent , fupra unam ex his chotdis con(truatur burt polygonum bafeos, & chordz radiis cum centro. con- PT ) jungantur; vel: fist polygonum, fupra quod tanquam bafim (P?79. 180.) pyramis vel triangularis vel qua- drangularis &c. conftruenda eft, & fupra quodvis latus hat ( conftruatur triangulum zequalis altitudinis , ere&a trian- di& gula ad apicem concurrentia claudent fpatium, & py- pr i Qts, ramidem determinabunt, v. g. rete pyramidis triangu- lais in l7g. 180. exhibetur. COROLLARIUM I.þ 326. Si.bafis fit circulus, pyramis igitur infinitorum 1late- zum feu conus, longitudine lateris coni CA (Fig. 181.). defcri- batur arcus indefinitus, adjungatur illi eirculus bafeos & inve- niatur ejus peripheria in hexapedis aut pedibus &c, hec men-* fura rurfus applicetur peripherie radio .4C defcripte & hábebi- tur longitudo arcus, qui complicatus peripheriam bafeos ambit. COROLLARIUM I : * 327. Pro pyramide aut cono truncato .teta altitudo & alti- bngm tudo fimul truncati danda eft, & conftru&is chordis & bafi ut prius, differentia altitudinum chordse & planum pro fuperiore qqanti baf conftruantur , ut Frg. 182. exhibet, & bafibus parallele pofi- ?is plana lateralia circuæplicentzzr , & tete claudatur, tetmin; COROLLAARIUM Il intm 328. Rete pro fphaera quam proxime ita defcribi poteft? YT CFig. 183.) linea re&a AB fiat equalis peripherie circuli ma- s que ximi & dividatur in quotcunque partes, quo. plures partes fue- QUs m xint, eo melius rete fe claudet, & producatur A4B ad utramque Drofüng partem indefinite, prima divifio BI biffecetur, & in pun&o biffe- terine, &ionis erigatur perpendicularis ab zqualis femiperipherie íeu dimidio AB, ita ut dimidium ab (íit fupra, dimidium infra li- QUs eyy s p neam .AB, Ad trià punda a, I, b, queratur centrum C & de- E]ïel fcribatur arcus a 1 5, erit C & omnia centra arcuum in linea .AB grodu&a, fi igitur eodem radio IC per omnia divifionum pun- &a I, 2, 2 — — —- Adefcribantur arcus accedendo femper a 3 € verfus B. & idem ex altera parte affumtis centgs a B verfus 4 "nes ] fiat, *f j NOTIONES GENER. SOLIDOR 117 Qafeos Siat, duo arcus inter parallelas cd & ef fe claudent & rete formas EUaCUE VRR bunt; feciones enim arcuum in utroque vertice fi conjungantur, - Cotl 4 ad B veniet, & fpheram quamproxime efformabit. iquam SCHOLION | qui- 329. Qui fibi aut ex charta juxta methodum modo traditam ls triat- hzc corpora efünxerit, aut ex lieno comparaverit,in dimetien- dis & fuperficiebus & foliditatibus corporum ingens adjumentum per illa nancifcetur, i py. Retia. enim explicata erunt ipfa fuperfi- lagv cies, compaca folidum reprzfentabunt. ä m Tatee C AT UTO ) defcti &ime DE DIMENSIONE SOLIDORUM jec men* hibebls DEFINITIO VI s ambifi 330. Menfurare folidum eft ejus extenfionem in longum , latum & profundum determmata quadam ) & alti* ^ & bt quantitate exprimere. fuperoe COROLLARIUM SYIL jgle pl 331. dgitur linea, qus» tantum longitudinem corporis de- terminaret, pro menfura ejus adhiberi non poteft, neque qua- dratum, quod longitudinem & latitudinem fimul definiret, quali in planorum menfura ufi fumus, non enim veram ideam corpo- y potef ris aut differentie magnitudinis inter unum & alterum per ha veuli m* duas menfuras obtineremus, fed tertia quoque altitudinis feu ttes me profunditatis menfura accedat neceffe eft, ut quantitas folidi de- veramque termainetur lta inadequate omnino & incomplete magnitudinem j du bl!ïe * quis explicaret, fi dicat, corpus hoc eífe tres pedes longum, & ere 1 duos latum, ni fimul addat illud quoque quatuor pedes altum sníra D effe. KEU CR ncghde- 1]163 AB COROLLARIUM II oIan Pun 332. Elugenda isitur eft ea. menfure fpecies, quae Jam r meer : omnes has tres dimenüones in fe contineat, proin aliquid, quod j vertii 4 feipfa jam folidum ef, & has tres dimenfiones includat, juxtà fat H 3 quod 118 C'AP'»UT IT. quod dein reliqua eorpora expendantur, & determinentur, adeo- für que ficut in planimetria quadratum elegimus tanquam normam ei & criterium omnium dimenfionum planorum ; ita folidum rurfus in pedibus, digitis aut lillels determinaturi, jam non fimplices fed tales adhibere debebimus, que & longe, late & profundwe fimul fuerint, $i igitur, quod maxime obvium ef & fimplicif- fmum apprehendamus, & quadrato, quod jam zque longum & de tr fnént latum eít, zqualem quoque altitudinem adjungamus, habebi- mus cubum, qui tertiam quadrato dimenüonem pro folidis re- terio) quifitam addit, & obtinetur fi fa&um ex linea inlineam qua- tur, Erunt igitur di-« U lem rurfus per eandem lineam müitiplicetur, Phenfiones folidorum pedes cubici, diziti cubici &c. & dum pro- em vonetur maffam quamdam, murum v. g. habere 1OOO pedes, p ben non fimplices, non quadratos, fed cubicos eos intelligere debe- inus, pet COROLLARIUM : lUt 333. Patebit hoc clarius, fi ad génefüm folidorum redea- inus; cum orjatur cubus, & quadraetum bafeos in altitudinem yerf zqualem ducatur; fi linea bafeos fuerit hexapeda feu 6 pedum, quoty tota bafis habebit 36 pedes ut in planis oftendimus, 6 fcilicet du&um in 6, Ííi hoc rurfus per hexapedam feu 6 pedes multi- eQUd omj plicetur; habebitur totus cubus id eft 36 X 6 —— 216 pedibus cu- bicis, & cubus totus in totidem cubulos parvulos, ut Fisg. 184. Vete V t exhibet, diítribuetur, quodlibet enim quadratum pedale (Fzg. GN 185.) utita dicam, triginta fex cubulos per altitudinem fex pedum producit. Hexapeda igitur cubica 216 pedes continet, Üe1 pes cubicus 1728 digitos cubicos, I2 fcilicet ductis in 12 & hoc fa&um rurfus in I2, totidem lineas cubicas continet digitus cu- bicus. Data itaque menfura in digitis, ut reducantur ad pedes, per 1728 divifio inftituenda erit; pedes cubici reducentur ad hexapedas divifione per or6 facta. SCHOLION I. 324. Si unquam, hic certe menfura decimalis laborem mi- &uit; in hac enim menfura decempeda continet IOOO pedes æqu: eubicos, pes IOOO digitos, digitus YooO lineas, cum cubus de Tati iO femper fit 1OOOC., Si igitur detur tota alicujus maíle folidi- tas z 34789426// digitorum cubicorum , continebit maffa 24^789/426^ id e& 534 decempedas 789 pedes cubicos 426 digitos cubicos. Sit tota foíffa 372946829"/, id fignificabit habe- fe eam 372 decempedas, 946 pedes, $29 digitos cubicos, Si la- Wor tus - DE DIMENSIONE SOLIDORUM. lI9 adete tus quodvis queratur, extrahenda erit radix cubica, cum factum J'aarit ex triplici multiplicatione, utpote cubus, Oortum effe ponatur. tutfüs iplices SCHOLTON m a funde yicit- 335. Bene in dimentione folidorum diftinguendum eft, an 'om & de tota corporis foliditate , feu maífa, id eíft de colle&ione ele- :bebi- mentarium partium corpus conftituentium fermo fit, an de ex- l$ f&« teriore tantum ambitu & peiimetro, qu» fuperficies folidi dici- z£ur Ila enim triplicem dimenfionem feu cubicam imenfuram , "o tur d ut mox diximus, poflulat, hec duplicem tantum feu quadrati- a prt» €am admittit, ibi enim eít bafis, qux jàm duplicem dimeníio- pedesy nem habet, du&a in altitudinem;, hic econtra mera tantum ha- debee bentur plana, que altitudinis omnis feu profunditatis expertia E per longitudinem tantum, du&am in latitudinem, menfurantur. SCHOVLION IH fedet« 336. Ad fuperficiem igitur folidorum determinandam fu- ndinem perficies planorum omnium invenienda eft, que corpus ambiunt, pedum , quorum fumma fuperficiem totam dabit. Si fuerint plura plana (cilicet zqualia, unum inveniíle fat erit, quod per numerum planorum multi« omnium multiplicatum 'dat totam fuperficiem. Ad foliditatem us cu» vere inveniendam, baíis in altitudinem feu integram feu pare " 384' X*em tertiam ducenda erit, prout plana feu equalia feu decre- : (Fig. fcentia per altitudinem perpendicularem mota folidum efficiunt. em [ex ntinet , De utroqge Quoaq omnes folidorum fpecies feparatim agemus. ; & hoc jtus Cl* De þpe;fciebus Jolidorum. «,nwf ad THEOREMA L 337. Superficies prifmatis demtis bafibus eft 5 mi squalis perimetro bafeos ductz in altitudinem prif- ?eäes matis gbus de ] !-Oï'ldi' DEMONSTRATIO. , mifía x 416 Prifmatis fuperficies lateralis funt parallelogramma, , habe* quorum bafes funt latera feu perimeter polygoni ba- E H 4 feos tus - D 120 CAPUT Il Ttit feos prifmatis, altitudo autem eadem, quzxeft pri(matis sulelograx fed parallelogrammorum zquialtorum aree habentur, O fi bafes ducantur in communem altitudinem, evgo fu- perficies tota lateralis habetur, fi perimeter bafeos du catur in altitudinem prifmatis. Q. E. D. COROLLARIUM L 358. Ut tota ergo fuperficies habeatur, ad prius inventam dateralinn fuperficiem lateralem fuperficies bafeos utriusque addenda eft, inveniatur fcilicet una, & multiplicetur per duo, cum ambe pàrallele & equales effe debeànt. COROLLARIUM IL 359. Cum cylinder etiam fit prifma infinitorum 'pkarallelo- stammorum, quotum bafes funt peripheria ipfius baífeos cylin- dri, altitudo vero communis ea, que eft cylindri, habetur fu- perfcies, fi peripheria bafeos ducatur in altitudinem cylindri, & ad hoc fa&um addatur area circularis bafeos du&ta in 2, cum fuperior & inferior fumi debeat. l SUHBHBOLIORN L Detfcley : 240. Eodem modo invenitur fuperficies, feu prifma re- étum feu obliquum fit. Id patet ex eo, quod in planimetria 3 de zqualitate arearum in parallelogrammis fuper eadem bafi & feparatin ejusdems altitudinis diximus; cum enim bafis eadem maneat, feu Exe prifma re&um feu obliquum fit, & altitudo etiam eadem poffit concipi, feu parallelogramma lateralia perpendiculariter feu ob- dàta di3] DB :40 lique bafi infiftant, dummoedo inter parallelas bafes fuperiorem & inferiorem contineantur, evidens eft & horum & illorum pa- PIO inV& U0 perj rallelogrammorum areas per eosdem factores inveniri, proinde zquales effe. d/ OI/ : Exempl, l. Sit invenienda fuperficies prifmatis (Fzg. 186.), eujus bafis eft triangulum " zquilaterum , bafis hujus trianguli ab fit A? 3 2" , altitudo hujus trianguli ed fit 3? 5. 7 ; altitudo to- tius ec fit B^ 6 9. t 43j Erit DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 121 tl Erit perimeter trianguli infimi feu omnes bafes trium pa- Ir, rallelozrammorum lateralium —— 432 xX 2 z 1296 , quod in communem altitudinem —— 869 du&um dat: fü 1296 du 869 11664 7776 10368 am II 26224 -- areas parallelogrammorum t lateralium, Area trianguli habetur ducendo 357 in 4 bafim 108 216 357 1512 1080 elo 648 li 77112" li 2 bis fumtum l, 154224 CU 1126224 additis parallelogràmmis lateralibus 1280448" reducis ad pedes; erit tota fu- perficies — I928^ 4' 4$8" SCHOLION II It r 241. Si area fuiffet polygonum irregulare, quodvis latus ( & feparatim dari debuiffet. fei offi Exempl. HL.Sit invenienda (Fzg. 187.) fuperficies cylindri data diametro 4B — 5? 6' & altitudine feu longitudine lateris ob DB a4? 6 teft Pro invenienda peripheria bafeos fit 100 : 314 —— 56: 17584 j 24 p £rg0o peripheria m —— i d- 9" 4 du&a in 24? 6" feu 24? 6' de 0" Q" erit 17584 24600 3 10550400 | 20336 [o- 35168 432566400 — fuperficiei demtis bafi- bus 4320 56' 64" H 3 Ba- d. Yy22 CAPUT IL Bafis feu area circuli fupra diametrum AB habétur & peripheria dcit * ducatur in & .AB —— — O' ,& erit fatum H dini 17584" y 14' feu 140 "n 24617600 feu 24? 6x' 76" OO dupla ergo area feu utraque 1j») baüis AB & CD zx 4952* $2"00" j liti addita fuperficie lateralà 4327 56 64 481? 80' 16" tota fuperficles cylin- dri quafita, . &i, f THEOREMA IL des ! 3n coi 242. Superficies pyramidis rectz habentis ba- fin tegularem demta bafi eft eequalis facto ex femi- perimetro in perpendicularem rectam a vertice ad habe latus quoddam bafeos demiffam. &h N N feu DEMONSTRATIO. do e Süperücies lateralis pyramidis funt triangula , qüo- , fecur Áint jn rum bafes funt latera polygoni bafeos generantis pyra- itinari nmidem, altitudo vero omnium zqualis$ eft, perpendi- periri culum fcilicet ex vertice ad hoc latus demiífum, fed , area triangulorum habetur, fi dimidia bafis ducatur in Yi ! ltitudinem communem, ergo fuperficies lateralis obti- erit y netur dimidia perimetro du&a in perpendiculuüm ex ver- VY. tice ad latus demiffum. Si bafis fuerit (.Pzg. 188.) qua- dratum .4BCD, du&a ex vertice E ad BD perpendi- cularis EF , erit hxc altitudo in omnibus triangulis equalis, proin fuperficies omnium erit (.4B -- BD AB 4- BD -- CD -- CÁ -F- CD 4- CA) x EFveI( Z )EF. t f Qo EO D. riuadfä COROLLARIUM Z 243. Cum conus fit þyramis, cujus latera funt triangula infnite parva bafeos, adeoque quz latera infinite vicina habent, fequitur altitudinem horum triangulorum , feu perpendiculum ex dit ? wertice talis trianguli ad baüm demiffum non differre a latere trianguli, pmïn nec ab ipfo latere coni, habebitur erg o fuper do la ficiee d " DE DIMENSIONE SOLIDORUM, 125 átia ficies lateralis coni fe&i, feu area omnium triangulotum, fi tum dimidia peripheria bafeos ducatur in latus coni. Cum 4C (Fig. u 189.) üit infiuite parvum , angulus ad D etiam infinite parvus, proinde 44 & C pro re&is haberi polfunt & DA pro perpendicu- liri. t COROLL/A-RPIUM IL. 244. Habetur ergo tota fuperficies & pyramidis & coni re- &i, fi ad fuperficiem lateralem prius inventam addatur fuperfi- cies bafeos, area polygoni infuimi in pyramide, & area circuli b in cono, It COROLLARIUM II i 345. Si pyramis non fit re&a, fingula triangula diverfam habent altitudinem, proinde feparatim fngula invenienda funt, & horum fummz arex bafeos addende, Majus enim ((Zzg. r90-) feu altius eft triangulam .4BD quam BCD, prioris enim altitu« fecundi do eft DE, alterius DF , hinc prioris area habetur i 4B xX DE — Y 2 BC X DF. Coni obliqui cum triangula elementaria 1 fint infinita, infinite parvs bafeos, diverfa horum altitudo deter- t minari non poteft, proin eorundem arez & coni fuperficies re- ii periri nequit, fed Exempl. Sit pyramidis rect. quadrangularis (Fipg. 188.) p latus bafeos A4B —— 4?.5 2" altitudo lateralis EF — 9? 6' 9^, t erit perimeter bafeos feu quatuor latera quadrati —— 432 X 4— yel. 17^ 2' $", dimidia ergo perimeter — 8? 6' 4", quod du&um in 869 qh& 864 ndi. .. 3476 guïis 5214 ID 6952 dat 7508t6 EF, Cum 1latus bafeos etgo fuperfidiles lateralis — 75^ $! t6 . quadrate fit 432 erit area quádrata — — 186624 432 X 432 additis lateribus pyramidis — 750816 ;guïa t M—ÀMMÁ— — 937440 tota (fuperfi- penty m ex eies pyramidis 2— 95? 74 40" Sit diameter coni 4B ( Fig. 189.) — 5? 6 altitu- ateit do lateris D4 — Á H apet 24? 6 , erit peripheria — 317584 & dimi- tet 124 CAPUT I ? facit dimidia z 8792' quod du&um in 24* 6' o"o mïp.s 792 & i [ iU —— 24600. 52752 35168 17584 ]s fm; 216283200 z fuperficiei laterali. eui f addita bafí, que (ut in cylindro 216? 28/ 32 ^ 00" enm — — 24 61 76.00 T invenimus) equalis eft p — rns& ergo tota fuperüc;es coni 240? 90 og" addent SCHOLION. 246. Si detur tantum altitudo totius coni DE (Fzg. 189.) cum diametro bafeos AB, inveniri poterit longitudo lateris D.A qia f ex proprietatibus trianguli re&anguli DEA, ubi quadratà dua- xum cathetorum funt squalia quadrato hypothenufe, hoc eft Jlo m Si DE þaüs x DE^ -- AE* — DA^ ergo y DA^ z lateri A. fium | fit - 946 & EA — 28 (cum AB fit z 56) erit 605^ 16 -- ficles 7? 84 —5 61300' & hinc extra&a radix erit fere 24? 7/ 5^ , ltera] invento D.A ulterius ut prius operatio procedit. bits, THEOREM A III. 54]. Pyramidis rectz truncatz (P79. I9I.) bafim regularem habentis fuperficies lateralis eft æqua'. zequalis femiperimetro bafium ductz in altitudinem plan perpendicularem inter latera perimetri fuperioris & inferioris interceptam. DEMONSTRATIÍO. ET ficlei Latera pyramidis truncate funt trapezia bafium pa- rallelarum ex Defin. ( $ 306.) & ejusdem ajtitudinis, füye fed horum arez habentur, fi femiperimetri bafium du- Cata - cantur in altitudinem communem, cum omnia refolvi leti; poffint in triangula ejusdem altitudinis (f. 240. ) er- iber £o etiam fuperficies pyramidis truncate eft equalis fa« inl- DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 125 miperimetro bafis füperioris ( ob bc -- ocd - da & inferioris -- 4B -- BC -- CD- -- DA) du&s in communem altitudinem EF. Q. E. D. COR:OLLARIUTM . I 248. Ergo coni truncati (Pig. 192) fuperficies eft equa- lis fumm? femiperipheriarum feu femifummz peripheriarum cir- culi fuperioris & inferioris duc& in latus conl truncati, non enim differt à pyramide, niüi in figura bafeos, quae polygonum infinitorum laterum eft. Pro tota fuperficie arez plani fuperio- i lat ris & inferioris & in cono & in pyramide fuperflciei laterali addende funt, COROLLA'RIlUM 1. j ; 189) teris DA 349. Cum bafes in progreffüione arithmetica decrefcant, in qua fumma extremórum eft equalis fumme mediorum aut du- n due plo medii, fi bafes tanquam extrema fpe&entur, & inter illas hoc ef $i DE bafis media proportionalis inveniatur v. g. ef, femifummo bas fium loco, hec media proportionalis accipi poterit & erit fuper- ? g b 14 1 UMl ficies feu pyramidis feu coni demtis bafibus zqualis altitudini laterali du&e in totam perimetrum medie proportionalem inter bafes.: ITHEOREMA.IV, 191) 350. Superficies polyedrorum regularium eft ; ef &qualis fuperficiei plani unius ducte in numerum udinem planorum omnium. ors & DEMONSTRATIO. Polyedra regularia conftant ex planis regularibus & zqualibus, ergo eorum fuperficies eft zqualis fuper- u pæ ficiei omnium planorum illa componentium, fed hz tudinisa füperficies planorum funt zquales, ergo una multipli- cata per numerum planorum dat fuperficiem polyedri. jm d* fefOIV i Retia horum . cor hibent. Q. E. D. porum füperius expofita plana ifta ex Lo, ) e mlis. f Exempl. ff 126 CAPUT IL.- Exempl. Sit in icofaedro baíis trianguli z 4' altitudo z Gon 6' erit arez —— 12, quod du&um in 20 dat 2? 40 totam icov tuti faedri fuperficiem, ti Vf THEOREMA V, (í. &f 551. Superficies fphaerze eft. zequalis circumfe- am yentig circuli maximi fphaerze ductze in. diametrum. quiot fumta o NI (Fig. 193.) etit DEMONSTRATIO. equ Tüetri s . Sit tangens infinite parva mz & ex medio d ubi 4 cum circulo congruit, fit du&a do perpendicularis ad diametrum .4B. . Si femicirculum 44B circa diametrum abä A4B moveri ponamus, defcribet sm füperficiem latera- diff trun lem coni truncati swmgh & do circulum medie propor- ent tionalem inter perimetrum fuperiorem & inferiorem co- ni truncati, uti füperius de fuperficie coni truncati di- ximus, & zg, df, & mh erunt parallele, cum incli- Du&a natio ipfius »z ad do per motum non mutetur. (R 6 perpendiculari sé & -radio cd erunt triangula mme & cdo lt at fimilia; in o enim &e funt recti ex conftru&tione; mzze, inc hg nam m ex! feü ndfquia externus —— interno ob paral- PT lelas df & mh , fed ; 2 c, cum enim ; fiata tangente ds & chorda df, habebit menfuram dimidium arcum 4/, hoc eft d.A quz etiam eft 'menfura anguli c feu dcA, ergo etiam 5 zc, ergo tertius zqualis tertio & latera homologa E Tadij ; proportionalia. Stabit ergo hec proportio: cd: de — 10 )"e$ cum autem ge ob par.llelas fit equale r*, erit fl fpler; ed: do zzmu: vr. per j li jJàm fi confideremus cd ut radium circuli maximi Yél w fpherz, do ut radium circuli minoris fphzre in fegmen- L to dof, & cum ex $. 24. conftet, peripheriss effe ut radios , fi peripheriam circuli maximi dicamus E. minoris p, erit cd: do z : p,ergo etiam in propor- j LT tio- DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 127 itüdo z tam ieoe tione fuperiori fubftitutis zequalibus loco cd & do fuübfti» tutis P & p erit P: p — mu:rs & fa&ta. zquatione erit —— Px r: À p X mnfed p X mn eft fuperficies coni truncati mugh ($.. 349.) ergo fuperficies coni trunca- ti eft zqualis circulo maximo du&to in altitudinem rx. Ourofe« Jam cum hoc dici poffit de omnibus conis truncatis, ex CU quibus fphera coalefcit , & quorum altitudines fimul fumtz funt zequales altitudini feu diametro fphzre A4B, erit fuperficies omnium horum conorum truncatorum zqualis circulo maximo du&o in diametrum , feu fi dia- o d ubi metrum vocemus D, erit zz PD,- aris ad Si "s fupponamus infinite parvum, non differet üetturm ab arcu feu fafcia fphzre & omnes coni truncati non | latera« different a luperficie fphare ($. 360.) ergo conorum propoï' truncatorum loco ipía fuperficies fphzrz poni poteft: & rem C0« erit tota fuperficies z PD,. Q. E. D. cad di COROLLARIUM L n incli« 352. Si ergo fuperficiei tantum pats quedam quetratur Duda (Fig. 194.), fafcia feu zona mmio, veltruncüs v. g. man, erit T hec aqualis circulo maximo du&o in altitudinem zone rx vel LE trunci ar, hoc eít P X rx vel P X ar. Eít enim zona *qualis b p cono truncato, cujus fuperficies ex precedentibus &qualis eft P X rx. ldem de parte man intelligendum eft, jelte d COROLLARIUM IL , oc eí 353. Superficies feu areà circuli eft vqualis femiperipherise ymologä Su&e in radium ; cum autem radius fit dimidia diameter, loco radii poterit fubftitui $ D, ergo erit fuperficies circuli maximi ld fphers — 2 P X LD hoc eft m PD, fed fuperficdies totius //, efït fpheres eft zqualis PD, ergo eít tota fuperficies fphzrz ad fu- perfceiem circüli maximi ut PD ad À PD, hoc eft ut P: zP quxifti vel ut 4P: P, ergo fuperficies fphere eft quadruüpla circuli ma- Ximi,. figmet COROLLARIUM II ,'ils eiïe QU5 £ ( 254- S? fupponamus cylindrum Ífphere circumícriptum (F zg . 195.), hoc et equalis altitwdinis & latitudinis cum dia- 2 t0 ie- ] 128 CAPUT I sietro fphere; cum fuperficies lateralis cylindri demptis bafi« L bus fit equalis peripherie dudte in altitudinem feu diametrum, * diamete proinde — PD, erit eadem cum fuperficie fphere,.que etiant zpDo Jam cum fuperficies fphzro fit quadrupla circuli ma« ximl, erit etiam lateralis fuperficies cylindri quadrupla circuli maximij ergo fuperficies totalis feu adjun&is bafibus, cum in his bis comprehendatur circulus maximus, erit fextupla circuli maximi, erit ergo cylinder ad fphxram infcriptam ut 6: 4 vel 3: 2., 3 COROLLARIUM IV. äcïesvä:' Si zona squalis & in cylindro & in fphzra per pa« tür, & 355, ciem d. rallelas mm & io abfcindatur, es zo ne fuperficiem equalem ha- bere debent: cylindri enim zona habetur, füi peripheria bafeos feu circuli maximi ducatur in altitudinem zone, fed etíam fphe- r» zona h abetur peripheria circuli maximi du&a in altitudinem zonz, ergo fa&a equalia & fuperüc;es equales funt, COROLLARI'UM Ts 256. Data ergo diametro fphzere invenitur ejus fuperfi- cles, fi inventa peripheria datw diametro correfpondens duca- eüä tür in diametrum vel area inventa in 4. Exempl. Si diameter fphzere 56' erit peripheria 175 84-", du&a in diametrum ; 600"' pn—— Ü 10550400 87920 fei | — fitu, 98470400 fuperficies fpherz. Ut velinventa peripheria 17584 lz ; 140 o tl, d du&a in 1,': diametrum — À 70336 fif"f( 17584 &ion( 24617600 p- — areas ies ir ducatur in 4 E fuper — 98470400" dinen gadem fuperficies ,'i) C üne; Exempl, DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 129 : baü- mm, —ä Exempl, Sit quzrenda fuperü&ies fegm&nti fphetze, cujus etlati diameter —— 56/, altitudo autem fegmenti 10 erit | fhde 17584 "" 1toyli | 1000 - m in itculi ! 17584000"' z fuperficiei fegmenti quefiti, 64 SCHOLION. 357. Si detur aliud corpus pe'hïtu,s irregulare, cujus fuper- ficies fit inveftiganda, ad plana, quantum fieri poteft, reduca- t pie tur, & fingulerum ares inguirantur, quae addite totam fuperfi- 1 la« ciem dabünt, J afeos fplig« Jittemt De jölid'ätate borporunfi. [ THEOREMA( L tf QUi« 359. Soliditas prifmatis feu recti feu obïïqüi eft zequalis areze bafeos ducte in altitudinem. älä DEMONSTRHXATIO. Soliditas prifmatis feu re&i feu obliqui efï numeru-s feu' colle&io omnium elementorum, qus folidum con- ftituunt (5 287.), fed fi fe&iones infinite parvza paral- lela ad bafim fiant, bafis erit figura fimul] & area elemen- As ti, -fe&iones vero ipfa elementa, quorum numerum al- hasss titudo perpendiculàris continebit, tot fcilicet erunt fe- &iones, quot particule in perpendiculo, neque plu- res in re&o quam obliquo eíle poffunt, ut ex genefi fuperius expofita patet, ergo fi bafis ducatur in altitu- l dinem, habebitur colle&io omnium elementorum, fed ! hzc colle&io dat foliditatem , ergo bafi du&a in altitu- dinem habetur foliditas prifmatis. J, I CO. Mes, Mat. P. II | ? CAPUT:H T €O RT OLILIA:RIUM L. pH 259. Si igitor dentur prifmata (7/ig. 196.), quorum ba- (ità fes abd xquales fuerint, & altitudo: cd commuhis, foliditates quoque horum prifmatum zquales erunt, faca enim ex bafiin ET altitudinem , quae foliditatem confüituunt, quales habent fa&o- res abd X cd proinde squalia effe debent. COROLLARIUNM 'I 360. Si bafis fuerit quadratum , & altitudo sxqualis lateri s bafeos, ex latere bafeos fiat cubus, & habebitur foliditas cor- poris; folidum enim hoc eft cubus , cujus bafis quadratum & altitudo eadem. qua eft lateris bafeos, THEOREMA IT : 361. Diagonalis dividit parallelepipedum in duo prifmata zequalia. (zg. 197.) !l Ef P m DEMONSTRATIO ( Cum parallelogramma 4BCD & EFGH fint. :qua- h lia, diagonalis autem parallelogrammum in duo trian- gula zqualia dividat erit triangulum .45C z EHF & li BCD — HFG, ergo pritmata triangularia ABCHEF-. & li BCDHFG habent zquales bafes 45C & BCD & zqua- VA lem altitudinem C vel FB, ergo fa&a utraque, cum & faCtores fint »quales, debent eíle aqualia, fed facta E funt foliditates utriusque prifmatis,ergo paralleleplpedum h in duo prifmata zqualia divifum eft. h COROLLARIUM !l 262. lgitur prifma triangulare eft dimidium parallelepipedi fuper dupla bafi & ejusdem altitudinis Exempl l Sit parallelepipedi bafeos latus unum d — ä C 432 ? & ilius alttudo — 347 ,trit bafis totgz— 15 429 24 , altitudo totius fit —— 869 , erit tota foliditas —— 124020656 Exemopl N DE DIMENSIONE SOLIDORUM X3t Exempl. II, Detuer cylindri bafeos diameter 56 erit area bafeos — 00Ó —À - 1 a« ,1,01/6 , altitudo cylindri fit — 246, erit foli ditas tota —— 665 ?502'860 ltateg Exempl III. Sit cubi latus unum —2 5 OO erit bafis — f in lao« OO OQ' &foliditas totius - I25 OOO OOO THEOREM A. II s -e 363. Pyramis eft tertia pars prifmatis ejusdem Jutett cor bafis & altitudinis. (Fzg. 199.) m & DFMONSTRATIO Sit prifma triangulare 4BCDEF: du&is CD, CF & abiciffa hac parte juxta diagonales CF, CD ex toto prifmate, habebitur pyramis CDEF (N,. 1r,) & rema- duo nebit ex prifmate pars 4BCDF (N. 2.) Si h»c pats rurfus juxta diagonalem BD per planum CBD fecetur, erunt dus 'pyramides alie 4BCD (N. 3) & BCFD (N. 4.) Jam he duz ultimz nymmdes equales funt; g habent enin eandem bafin, cum utriusque bafis fit di: f1at! midium parallelogrammorum zqualium, qus latera prif- F& matis efficiunt, proinde & ipfa zqualiz; eadem quoque F& utriusque eft altitudo, non enim ab aïmtudlne partis eo - wqua CABFD (N. 2.) diverfa eft, proin pars 4BCD (N ) Curit zqualis eft. parti CBDF . ( N. 4.), fed Pham /ng) C"TUDW 4 ata (N- 3.) equalis eft pyramidi DEC 1*"N 1,); fi enim Qu hec deponatur, ut N. 5. exhibetur, eritpars triangu- laris 4BC zz parti EDF, cum fint bafes prifmatis datz : al titudo .Ex — altitudini y, ergo he duse pyramides edndem bafin, & altitudinem habeht, proin squales rpt?dl funt, fed 4BCD (N. 3.) etiam eft »qualis parti CBED (N. 4.) ex prioribus, ergo etiaim CAFE (W B«) zM I CBFD (N. 4.), ergo omnes tres xquales, qualibet ergo 24 pars tertia totius eífe debet. Q. E. D- " i2 Cco L. pAPLULT H 139 ' COROELLARIUM : '/I r r 364. Cum cubus conftat fex pyr amidibus cqualibus ( P7g, (64.) in centro concurrentibus ($. c,xx 312.), dimidius cubus tri- i bus talibus pyramidibus conftare debebit; fi ergo accxplatur prifma ejusdem cum dimidio cubo, proinde ejusdem cum pyra- Q2 ] autem mide altitudinis ( Pig. 199.), prifma hoc tres pyramides tales continebit; hoc eft: pyramis eft fexta pars prifmatis dupla alti- teoet tudinis , ergo eft pyramis tertia pars prifmatis equalis altitudinis, $0C 3 vette CO ROLILIARIUIM I fervi 3»5] 265. Cum conus/ad pyramides, & cylinder ad prifmata xeferatur, cumque conus pro pyramide infinitangula, & cylinder pro prifmate infinitangulo habeatur, fequitur conum quoque eífe tertiam partem cylindri, dum eadem bafis & altitudo utriusque eft. COROLLARIUM 1II. 366. Habetur ergo foliditas pyramidis vel coni, fi baáfis ducatur in tertiam altitudinis partem ; prifmatis enim habetur fohditas baífi du&a in altitudinem , atqui pyramis eft tertia pars prifmatis, ergo tertia pars fa&i eít foliditas pyramidis vel coni. fatu ermpl I t pyramls quadrangularis, cujus bafis habeat NT 154424', altitudo fit 24?6', erit totafolidit.s 154224 x 820 | hi z I26 462"680"/ Exempl H Sit coni bafeos diameter z 56, altitudo Íet 24^6', erit bafis tota — 246176, que du&a in 246, & fado las divifo per 3. 0rM 246[76 246 e ten D I477056 u 984704 un 92352 60559296 - | 20186432 23 -! C H vel bafis'ducta in ? 3 m altitudinis , hoc eft in 82 dat .246176 b* 82 Q 492352 1969408 — MU 20186432 foliditatem coni, W Q« - Be- DE DIMENSIONE SOLIDORUM. 133 COROLLARIUM, H, -267. Si pyramidis aut conj truncati foliditas fit invenien- ! (t]« da, neceffarium erit prius pyramidem aut conum complere, hoc atur cft invenire pyramidem , quz impofita baü fuperiori cum trun- Ytà- catà parte unam pyramidem , unumve conum efficiat, Ad hoc tales autem neceffarium eít, ut inveniatur altitudo, quam tota habere lti- debet, que cum angulus converzentim laterum ad bafim detur, [ hoc ipfo determinata eft; produé&a enim latera in. pun&o, quod vertex eft, concurrere debent, ad hoc igitut fequens problema fervit; folutionem damus pro cono, que omnibus pyramidibus applicari poteft. t'ata der effe PROBLEMAQ. Y ef i A 8'. Conum truncatþm corlnplþere. (Pig. 200.) lls RRESOLUTI O. tur l$ Ab extremitate diametri bafeos fuperioris C demit- nl tatur parallele ad axim ro perpendicularis Cwm, quz erit at H zqualis ipfi oz . altitudini 6oni truncati, praterea erit " 4im 2qualis differentizs radiorum bafeos füperioris & in- o ferioris; eft enim Co z mn ob parallelas inter paralle- t0] las, fed m — mn —— 4m, feu n — Co z m, Auau- tem & Co fünt radii, ergo m — differentie radiorum ; producantur latera CA & DB, donec concurrant in E ? erunt duo triangula fimilia 42E & JfmC, ob parallelas Cm, nE, ergo erit proportio l: C — 7: nE, hoc eít differentia radiorum bafiumad aititudinem coni trun- Ca f V i, ut radius major, ad altitudinem totam. Ab inventa altitudine tota rE fubtrahatur altitudo coni truncati oz, rémanebit altitudo fuperioris coni Ee. Ex radio igitur ^m inveniatur area bafeos totius coni, quae du&a in m 5 I En dat (oliditatem totius coni: dein ex radio Co inveniatur area bafeos fuperjoris; qua i3 du- Ü ÜCADPUT IL 134 du&a in 4 Fo dat foliditatem coni fuperioris CDE , hec a priori fübtra&a relinquit foliditatem coni truncati ABCD. Exempl. Sit AB :: 36', CD — 20 ,»o0n — Cm 12 lipe —- erit 4n — 18', Co — IO', proin Am z $, fiat 8: 12 18: 129 x L8 8 —— 271—-—'* Enm altitudini coni totius, a qua fubtra&a altitudo coni fruncati I2 erit 27 — I92 —— E5. pot Pro invenienda peripheria bafeos majoris gccipiatur dimidia dia- Wiedtcr e nat IOO: 3IA4 —— I18: dio 18 omd 2512 Ciem u Yj 5652'' z femiperipherie majori 3 1900 — n 1v 4521600 ba 5652 füp — bafl majoti fpl: 10173600" 900 1 zEn Mi 9156240000 — foïïiditati coni totius, Pro peripheria minori accepta dimidia diametro fiat 100.3T14 m fo: io qu L3 foli z 3440" - femiperipheris minori tem 1ooo" — Co m bz;ü qninori fed 3140000"" € , 500 —;,-Eo pon 1570000000 " foliditati coni fuperioris tya 91562 40ooo"" pesmni foliditati totius coni qt m — foliditati coni truncati, [2 41 2586240c0o"" d hü feu fün bea hh 'THEog DE DIMENSIONE SOLIDORUM 135 hzc THEOREMA IV. ICat 369. Soliditas fpharze eft aequalis 4 facti ex I2 fupelhme in radium. g DEMONSTRATIO rattz Diximus $. 312. fphxram concipi poffeut com- NI d 2o pofitum ex conulis innumeris zqualis altitudinis cum ra- dio fphzrz , fed infinite parvze bafeos, quorum vertices omaes in centro fphere exiftunt, bafes vero fuperfi- ciem fphxre efficiunt (Pis. 163-). Horum autem cono- . H altitudinis feu rum foliditas eft zqualis bafi du&a in 3 fa&o bafeos in altitudinem , ergo etiam foliditas fphze- re, que ex his conulis componitur , eít — £ fa&i bafeos horum conorum in altitudinem, bafis autem eft fuperficies fpherze, altitudo eft radius, ergo foliditas fphzre eft — i fa&i fuperficiei in radium , feu fuper- ficiei in radu, feu $ diametri. ï COROLLARIUM I 379 Diximus quoque $. 353 fuperficiem fphxre . effe quadruplam circuli maximi, hoc eft effe equalem 4P, Si ergo foliditatem exprimamus per fuperücæm du&dam in fextam. par- tem diametri, feu per S X Z D & fuperüc1e1 loco fubihtua- PD íeu 2 PD mus A4P, erit fohdltas z 4P )( z D hoc eft 4 fed D eft æquahs axi fphere, ergo foliditas fphæræ eft æqualls 2 fa&i ex axe in aream circuli maximi. $i igitur (Fzg. 201.) ponatur cylinder , fphzra, & conus ejusdem altitudinis; & bafis cylindrti & coni fimul zqualis fuerit circulo maximo fphzre, erit altitudo omnium trium f[fimul axis feu diameter fphxre, ergo zz D. Jam ex pracedentibus, coni foliditas eft equalis bafí du&e in s Y 3 altitudinis, hoc eft P x; D -; PD; fphere fo- liditas — P X Pp E — $ PD; & foliditas cylindri — PXD ï,. feu P x $D —34PD, ervo folldltates horum trium corporum funt ut 3 PD PD i PD, hoc.et ut 3. 2. r. Si ergo ha- beatur fO.leltZS cylindri , p4 * 2 ejus. foliditatis dant foliditatem fphzre, & $ foliditatem coni ejusdem baüs & altitudinis. C€ O. I4 g" 126 4CAPSUT. I ? OROLILIARIUMM. L 3 ji 271. Invenitur ergo foliditas fphere data diametro, fi in- ^ venta peripheria & area circuli maximi ducatur in $3 date dia- ) metri, vel inventa prius fuperficies ducaturlin fextam diametri - fimm partem. Detur. diameter fphzre 21-56', erit peripheria circuli ma- et a Y -s ximi — 17584", qux duca in diametrl in 1400" dat Cun 24617600 ", quod du&um in $ diametrifeu du&um in 56 X; 9 — pyra I1200"' dat 24617600 edri II9O0O 4(, 2520000 3 24 , AGT ': g Wyed 275717120000 | 91905706666' " 2 — foliditati fplue- àn &div. per 3 j re Si.ex precedentibus fuperficies inventa effet — 98470406 ii hec duca in £ diametri feu. *5 en dgbit 98470460 feu 5600 5908224ooob 4923520 551424240000 -; 91905706666"" $ — foliditati, uti div. per 6 i j prius inventa erat, 4 THREROREM A y. 372: Soliditas corporum 5 regularium eft aequa- IN lis fuperficiei du&ze in 2 altitudinis. P fc DEMONSTRATIO. Yé W Polyedra regularia conftapt ex totidem pyrami- a( dibus zqualibus; quot furt plzna polyedrum componen- D tia ($. 812.), quarum vertices in centro polyedii exi- M fiupt, bafes vero.fuperficiem efficiunt, ergo ejus fo- h liditas habetur &qualis foliditati omnium harum py- ramidum, atque foliditas pyramidum , cum altitudo ubi- que fit eadem, eft zqualis fummz bafium du&s in 4 alti- DI À. DIMENSIONE SOLIDORU^ 13 altitudinis, hoc eft B primx x £ 4, - B fecunde X a 4A,-- D tertie x £ 4 &c. hoc eft (B -- B -- 5 Glà letri &c.) X 4 4, ergo etiam foliditas polyedri eft equalis fumnms bafium ducte in 4 altitudinis, fed fumma bafium T eft xqualis fuperficiei & altitudo. cujusvis pyramidis qà cum in centro coeant, efti altitudo totius, proin j u7 ! A pyramidis — £ 4 £otius polyedrl, ergo foliditas poly*- edri eft «qualis fuperficiei du&z in raltitudinis. Q. E. D. C KE OoLLAIHMISUWM 373. Data igitur bafi & altitudine invenitur foliditas po» lyedri, fi bafis ducatur in numerum planorum & hic in Z-altitu- It dinis Exemp! Sit icofaedri ba^s triangularis feu planum unius trlanguli zquilateri — I2' & altitudo totius icofaedri —— I8 rg erit fuperficies tota — I2 X 90 — 240 quod du&um in $. feu in 3 dat totam foliditatem — — 72p5 PROBLEMA II 574. Invenire foliditatem corporis pemtus ir- d reguïaus. Ó RESOLUTIO Paretur vas parallelepipedum (P7g. 202.), cujus interius fpatium vacuum accurate menfuretur, accepta fcilicet ejus longitudine & latitudine bafeos & altitudine vaíis interiore; impleatur totum aqua, & huie corpus, cu« jus foliditas queritur, immittatur, impofito corpore tantum aqua effluere debet, quantum fpatium corpus occupat, exemto corpore aqua rurfus fubfidet & fpatium va- cuum parallelepipedeum ín vafe relinquetur, quod íe- liditati corporis immerfi equale effe debet 2 hü - 138 CAPUT IT. DEMONSTRAT IO. ycxtip::x acptet a e Tantum aque extruditur, quantum fpatium cor- fibidel pus immiflum occupat, ergo foliditas corporis immilfi eft zqualis quantitati aquze extrufe, fed quantitas aquz extrufe eft zqualis parallelepipedo, quod excepto cor- 1 pore vacuum relinquitur, ergo etiam foliditas corporis immitt eífl swqualis parallelepipedo, quo excepto Corpore va- inftrua :e vt cyuum relinquitur. Q. E. D. N tWt , COROLLARIUM'.L ditat magn 375..81 detur corpus cavum geometricum v. g. x*cgflinder cavus ,Z?g. 203.), vel pracedenti methodo ejus foliditas in- Tigne lius ! venitur, vel juxta regulas prius expofitas invenitur foliditas to- tius fupponende illud non eífe vacuum, dein foliditas cavitatis quaA fupponendo illam eàndem cum corpore figuram & dimenfiones tud homoloszas habere, hzc foliditas, a priore fubdu&a relinquit fo- lt liditatem corporis dati. Quo COROLLARIUM II. [ 376. Si detür cylinder oblique truncatus, ejus planum fu- A perius jam non erit circulus, fed ellypüs , proin juxta leges fu- perius datas ejus foliditas inveniri non poteft, fed vel ope pra- Sit fentis problematis quzritur, vel geometrice ita determinatur. 4 Sit v. g. datus cylinder truncatus .4CEDB ((Fig. 204.), patet E ex theoremate II, fi cylinder totus compleatur, partem CEFD perplanum diagonale ED in duas partes dividi, ita ut CEJ (it 2t «qualis EDF, uti parallelepipedum per planum diagonale in duo à prifmata zqualia dividi poffe ibidem oftendimus, proinde dimi- dia foliditas cylindri CEFD eft xqualis foliditati partis ECD. & Si igitur queratur foliditas partis 4CDB du&a bafi 4B in alti- Y tudinem CA & huic addatur fa&um ex CD in : v EC habebitur tota folíditas cylindri truncati petita, $i ex utraque parte truncatus fit, (Pzg. 208.) erit ejus foliditas baüs 4B du&a in AC CE-- i AG, fdem de fuperficie laterali intelligendum eft, ad, quam pro tota fuperficie bafis etiam elliptica addenda eft , qux a fublimioribus principi;s aut fectionibus conicis repetitur, COROLLARIUM IH. 34.77. Si corpus tale detur, quod citra damnum madefieri nequit, & aquam imbibit, adeoque equalem foliditati corporis por- DE DIMENSIONE SOLIDORUM 1939 portionem aque non extrudlt, aque loco arena tenuifima eft acciplenda, & corpus inter eam. abfcondendum , tunc tantundem C0f arene extrudet, quantum aliud corpus aquz; excepto corpore, fubfidente arena fpatium vacuum menfuretur |ug COROLLARIUM IV At r 378. Sicorpus fit majus, quam ut vas illud recipere queat , immittatur alteri vafi majori aqua repleto & fuperius canaliculo d* inflruatur, per quem aqua immifífo corpore effluere poflit prio- re vàfe, cujus meníura determináta eft, aqua eiuuens excipia- tür, & quantitas in hoc vafe menfuretur erit hec squalis foli- ditati corporis dati. $i nec hoc fieri poffit, & corpus vel nimis agnum vel immobile detur, illud circa circum parállelepipedo der Is ligneo veftiendum erit, & arena implendum , quantitas arenz fo- 0« lius menfuranda, differentia inter totum parallelepipedum & quantitatem arens corporis foliditatem. dabit, us I" Exempl. I, Sit vafis patallelepipedi bafis tota — 48 alti- 0. tudo fit — 8, erit cápacitas vafis — 384. Lmmiffo corpore ita fubfidat, ut ejus altitudo fit 5 erit -altitudo fpatii vacui 3, quod du&um in baün 48 rit capacitas fpatii vacui & folidita. tis corporis — I44- Exempl IL Detur cyhnder cavus ARBCD , diameter totius [44 AC fit 56', longitudo fit 146/, erit foliditas totius — 605592960 . . Sit diameter cavitatis 5 feu 500 erit ejus foliditas c— H 482775000 , que a priori fubtra&a dat dl*ïerentlam 12281 7960 zqualem foliditati cylindri dati. Exempl. IIÍ. Detur cylindri oblique truncati diameter bafis — 28,eritperipheria bafeos IOO: 214 —2 28:8792,quze peripheria ïf du&a in 7 dat 61544 aream bafeos Sit altitudo partis 4CDB 1O, erit ejus foliditas 615440, altitudo partis ECDF z— 4, erit CJUSdC'TL dimidia foliditas 123088, qua addita priori 615440 123088 dat 738528, foliditatem truncati cylindri, C A- 140 CATP.UT It eic ( funi, at CO ATT I1T. 3 DE COMPARATIONE ET TRANS- fs & tem 1 MUTATIONE SOLIDORUM diximus PUR THEOREMIZA l. Winc 9 altitud 579. Prismata & pyramides funt in ratione compofiti arearum bafeos & altitudinum. 1 feut DEMONSTRATIO qe Q per fi area bafis Prifmatis primi foliditas habetur folid S$ ducatur in altitudinem A. & fecundi, fi arca da el ejus bafis s ducatur in altitudinem z, ergo I: I —— us Tüenito SA $a ? fed ratio , :a eft rztio compofita ex ratio- nibus $: * & A fimiliy a, ergo prifmata funt in ratione com- $ a( Taetti pofità bafium & altitudinum Ur, CO R.O-LLEAARI,UM I. PX 380. Hinc prifmata & confequenter cylindri zqualis bafis eode| tron ,jusdem aititudinis, feu inter parallelas easdem æquaha £unt, hcet unum recum & alterum obliquum fit. C OR'^Q/L L-.AR:1 U.M, I ISI Cum baís folidorum jam duas contineat dimenfiones; eft enim planum feu fuperficies, qus obtinetur ex facto bafis in altitudinem, fequitur folidum ratlonem compofitam trium di- L Mi menfionum habere. O R OOLLARIUM - Wr, 382. Si igitur zqualem bafem habent , funt ut altitudines, $i autem faca ex bafi in d jn zqualem altitudinem funt ut bafes altitudinem funt cequalia, foliditates quoque *quales eífe de- U bent, & ( foliditates funt zquales, faca quoque illa $qualia T eífe DE COMP. ET TRANSM. SOLID I41 eíífc debent, atque tunc bafes altitudinibus reciproce zquales funt, ut fuperius $. 259 de planis diximus, COROLLARIUM IV: ANS- 383. Cum pyramides fint tertia pars prïfmatxs ejusdem ba- fis & altitudinis, adeoque proportionem cüm prifmate conftan- tem fervent, fequitur, quz de prifmatibus inter fe comparatis diximus, pyramidibus quoque- applicari poífe, ut itidem fupe- rius $. 260. de triangulis refpe&u parallelogrammorum diximus, Hinc pyramides zqualis bafis & inter parallelas hoc eít ejusdem altitudinis wquales funt. attofte SCHOLION 284. Dum de baíü folidorum fermo eft femper planum feu fuperficies adeoque area duplicis dimenfionis intelligi debet de qua cum fuperiori capite jam acum fíit, ea bis 'repetere fu- . bafis pervacaneum foret id unice notandum , dum de comparatione folidorum relate ad fuperficies tantum agitur, eà illis applican- | dI€d da eife que de menfura & comparatione fuperficierum dixi- ]l 10nus, Smhcet fuperfcies folidorum fimilium effe ut quadraua di- menfionum homologarum. [atio lta füperficies duorum cylindrorum finihum funt ut quadrata altitudinum ; eft enim primi fuperfü- Cotme cies ad fecundi ut P X 4: p X a, fed peripherie íunt ut dia- mettri ergo P: p — D: d, cum autem cylindri fimiles ponan- turs entt D- d : d erso tlam: PoUp d a,ergo loco 2 . PXA:pXaífubtitu poteft 4 xX A: aX a, hoc et 4* : s balts eodem modo etiam fphæx.num fuperficies effe ut quadrata dxame- trorum oftenditur. lunt THEOREM.A II nones 385. Soliditates corporum fimilium funt ut di- - fafts menfiones homologe u di- DEMONSTRATIO Soliditates funt ut factum ex area bafeos in alti- fte$ tudinem, fed facum in coerporibus fimilibus eít fa- 1]f &um ex terminis proportiopalibus , alias non eífent e de J fimilia, factum eft foliditas, & facores íunt bafes & alti- [f M CAPUT Til 142 eat f I altitudines, qus funt dimefaüones homologs, ergo funt tat, pI eorum foliditates ut dimenfiones homologz. COROLLARIEUM IY 286. Si igitur latera feu dimenfiones homologz (ïuoräm j corporum funt proportionales , corpora quoque fimilia erunt. t10ne Hinc fi fuerit in parallelepipedo primo latitudo AB ad longitu- dinem BD, ficut in parallelepipedo fecundo latitudo ab ad lon- garutm gitudinem bd; hoc eft AB: BD —— «b: bd & przeterea latitudo DB ad altitudinem BG — 4db: bg, erit.etiam ex wquo ($. 146. Algebre) 4B: BG — «ab: bg & hoc ipfo omnia latera propor- tionalia , ergo eft foliditas AB x BD X BG: ab x kd x bg us ia R H Povrs APR-. ab vel BD : bd xvel BG * bg fed AB & ab, item BD 6& b4, tiowh & BG & bg funt proportionalia, ergo etiam fadum feu corpora Cen proportionalia & hoc ipfo fimilia effe debent. N bus; COROL'LARIUM II. tiam dine 387. Cum in fphwra tantum ratio diametri habeatur, & dimen conftans fit proportio in omnibus fphzris diametri' ad periphe- nt Tation riam aut altitudinem, fola igitur magnitudine dä.ffef"a 1;;1, feq»uif-' tur,omnes fpharas ügurgs 'fmiles effe. libus, &ua] COROLLARIUM I &X tf 388. Cum polyedra r»s:üïar.;a. equalibus planis regul « 23T| 1 L bus tripli terminentur, in quibus determinata quoque proportio laterum folidi & dimenfionum eft, habita enim magnitudine unius lateris, cum lioo omnia xqualia effe debeant, totum corpus & omnes réliquz di- smenfiones determinantur, equitur fimiliaà effe, Ergo omnia te- trzedra, octoedra, icofaedra , cubi & dodecaedza figure fimiles fünt. P ïum r, CORIOTLIESASRITIUM AY, el'ï[ PT 389. in cylindris & conis cum tantdm fit difïerenöa in- Detj ter diametrum. bafeos & altitudinis, fimilitudo erit, fi diame- ter ad altitudinem eandem rationem dicat; ex diametro enim & altitudine tota foliditas utriusque determinatur, Si erzo hv proportionales funt, foliditates quoque proportionales fint opor- * Lal iet, proinde figure fimiles, $i cylindri aut coni fint obliqui, u hnu vqualis quoque angulus,, quem axis cum diametro bafis facit in hx [ urroque effe debet, hoc ipfo etiam altitudines, quz funt altera & ( CA p —— DE COMP. ET TRA&SM. SOLID. 143 tro funt cäthetus, dum axis. hypothenufam & radius cathetum reprafen- tat, pgoportionales ob triangula fxmiiia«manent. THEOREMA 1II. Wotum 390. Soliditates corporum fimilium funt in ra- 1 EUA longitu- tone triplicata feu ut cubi dimenfionum. homolo- «d lon- garum. N'IX d ...... (s 145. DEMONSTRATIO. Dropore * — xh j ugeme Ratio triplicata eít ratio compofita ex tribus ra- D & b tionibus zqualibus, atqui folida fimilia funt ad fe. invi- corpora cem in ratione compofita ex tribus rationibus zquali- bus; foliditas enim refultat ex facto fuperficiei in ter- tiam dimenfionem , fed fuperficies eít factum duarum dimenfionum, ergo folida refültant ex producto trium 3tu4r,! k dimenfionum ; duo igitur folida fimilia funt inter fe in ratione compofita ex tribus dimenfionibus proportiona- libus, fed dimerfiones proportionales habent rationem zqualem, erzo folida fimilia funt inter fe ut productum ex tribus rationibus squalibus, ergo funt in ratione alartbos triplicata, fed ratio triplicata eít ratio cuborum, ergo latetum foliditates corperum fimilium funt ut cubi dimenfionum fs, eun homülogarum. Qu2 (i- ia t COROLLARIUM J umllf 39I. Cum omnes fphere fint fieure fimiles, in quibus fo- lum radii feu diametri funt dimenüones homologs, íphera .4 erit ad fphzram B, ut metri fphere B »cubus diametri fphere 4 ad cubum dia- i j diame COROLLARIUTGM IL 0 enm rgo hæ 392. Eruitur inde altera methodus inveniendi fuperficiem. & foliditatem fphzere data diametro. Cum enim fuperficies ä üt : Qpor* " Ut quadrata diametrorum, folid$tates ut cubi, ftatuta femel ra- M 1 À tione quadrati & cubi diametri determinata ad fuam fuperficiem )C & foliditatem, habebitur ex his & fqperfxcies & foliditas, Sit dia« (d« DH 144 CAPU IHf diameter z IOO, erit peripheria circuli maximi — 314 & (8 area — 7850; PL 249.) fuperficies ergo fphaere hujus diametri 3* cum fit quadrupla circuli maximi, erit — 2:4CO ergo eritqua- ( ] Ài m f l | dratum diametri ad fuperficiem IOCOOS? in omni fphera ut 21400 Data itaque diametro fphere novza "epacna) — — 6^ ut mv nia- /II tur fuperficies fiat IOoOOÍ- 2126Q — 31400: 984704"00 uti fuperjus $. 350. inventa erat. X( Si diameter rurfus ponatur IOO erit foliditas cubi ean- Ventatu dem cum hac fphwra baíin & altitudinem habens — 7850CO, eft $um d enim area circuli maximl 7850 du&a in altitudinem feu 100, ergo ut inde eruatur foliditas fphaerze, erit hec quantitas mul- z 1 p4 tiplicanda per Z ;» cum fphera fit cylindri ejusdem baíis;&alti- Qquantita 3 tudinis, hoc eft 785000 x £ — VMOU CY d ï(7nooo — $23333$ ergo (u$ CUgI cubus diametri ad foliditatem fghæræ ut IOOOOCO: 52333335 auferendo fractionem, omnia multiplicando per 3, erit ut 3000000: Data ita- 1570CCO feu in minoribus terminis ut 3O00: I57. NI q diametro alterius fphere v. g, 56 invenitur ejus foliditas, facto caübo ex diametro data & inferendo 200 175616 ——157: tut oj 21 o IT7IA2 —: 9190570 eadem qua fuperius inventa foliditas. &U2 C'OROLLABISUM It iV fo]i (litas| 293. Si duo cylindri habuerint altitudines diuerfas, fed (fatà, fuis diametris zquales, erunt quoque in ràtione triplicata di ido 184 it inetrorum Bafes enim funt ut D-—. d 5 cum circuli fint ut z quadrata diarhetrorum , & cum ltitudines etiam f[fint ut D: d dht o M. t foliditas ad foliditatem ut D^ x D: d? x d hoc et ut D*: & U$, n Si affumatur diameter cylindri — 100, erit ejus bafis —— 50, & cum altitudo etiam fit roo erit foliditas —785000, cubus autem diametri erit ut IOCOCOO, hinc cylindri foliditas ad cubum diametri ut 785: 1000, hinc data. diametro cujus- cunque cylindriinvenitur ejus foliditas inferendo ut IOOO 785; 9 ita cubus diametri datae ad foliditatem. Sit.data diameter 5 1[5 bä;ü pedum, erit 1000 785 —-125 98 125 COROLLIATTI1IUIM IV 394. Si igitur cylindro proportionalis alt er ejusdem cum &i t priore alttudinis fit. conftruendus, folum opus erit ád quadra- a$ Qy l tum. diametri bafeos prioris invenit proportionale quadratum , di W cujus radix erit diaméter bafeos fecundi, & "m inter quadra- ïSq n ta in triangulis re&angulis. proportio vera exiflat, etiam tale u lhi - diametri pro diverfis vafi$ geoinetrice determinari poterunt, 1 V j n h inferius videbimus, PRO» MTA TT DE COMP. ET TRANSM. SOLID 9 143 414 '« PROBLEMA4A I —.v* ? diametri ' entquas 395. "ransmufare fphzeram in cubum ejuscem I00 cum fphaera fOlldlfaüS. Wv u U ET 0 "V A , RESOLUTIO Ubl ean- Ex diametro data & pemph maximi in- ï CEFCE!E (C0, ett veniatur area cir culi maximi , & fo ; tas fp! hzere, que ï m wo, Íi area dxca*m ? & diame ter D e 5 $ P:), SXhaC titas mul- -:-3-.- s. al quantitate c;&üax,u radix cubica feu ; PD d dabit la- o tus cubi. 2333339 X 000000: fate04100 DEMONSTRATIO xlx Dat folid (23, Si hoc latus elevetur ad tertiam potentiam, habe- j n tur foliditas cubi, cum longitud , latitudo & altitudo f14 /*)lldl£75' zquales fi ,fede viac m tertia me ntia äx i5 lateris vVLe eft foliditas fphere, cum ind e fit v £iit I«XCI;; f .. P*ïtM*rm ex- tra&a, ergo f 1?*&1: r Aiic Ix3 in cubum tran a2iii enm utata eft. Q.E. 1e'ï Sit diameter fpharz z 56/, erit foliditas ($ ata Qu /// a7E ) x n u — 91?905 706 666 .Unde extracta r X c DICA 4 // * : d dat 4 C)...l 2 quam prA: ne, ex qua radice fi fiat e€ - Ls ^" 1 - s n t w D bus, habebit i: 2 i liditatem fphara.zqualem. pai$ — £^no [ 3CQU ! PROB T ALa4 EMA I fol jditas ro. Cuni» 20 H 9 6. "Eransmutare cylindrum in conum rzequa- -Q,. J lis b à i eo 5 Tci ut data uttiusque diametro baíeos. RESOLU O Si bafes fint 2quales, & vocentur P, erit folidi- em cuü tas eylindri — 4 bafi du&a in altitudinem 4, & fo« ls liditas quzerendi coni Prx feu bafi du&a in tertiam al- Q u' h es cum titudinis partem , quze * zquales rde de« bs..lnt feenisca. a e1 LX t er tPA:*:.:PW, *L./I g go 341 DA l; Math P. IT, 174 Si )U* — Dï 326 CAPUT I Si ergo fuper eadem bafi conus triple altitudinis cylin- 'la dri fiat, squalem habebit foliditatem. fio prit Si altitudines fint equales, ratio bafium habenda ttiam ij inve erit, quz cum fint ut quadrata:diametrorum, feu D* : x*, erit foliditas cylindri ut D *4, & coni ut 1x* 4, hoc eft D* m ag o - Ix* & RD* x. Si ergo ex trrplo quadrato dia- etri extrahatur radix, habebitur diameter nova pro (o cono. p Si etiam b&LPa fint inequales & cylindri diameter dices e z D, coni — d, erit foliditas cylindri D* x 4 & coni denonf E aD* XA ta füt &^ X ix, proin d 51 z d propo DEMONSTRATIO Soliditates utriusque zquales erunt, fi fa&ores in- p ) venti dederint zqualia fa&a; atqui predi&a methodo li ( ] ] ut ex folutione fa&ores inventi dant xaqualia facta, Ua f equationum & fubftitutione patet, ergo foliditates sequa- les erunt, & fubftitutio rite fa&a eft. Q. R. D PROBLE LA H1. In geen 9] 96. Corpori dato quodcunque fimile conftrue- Ungay re in ratione data. lypot RESOLUTIO dupla Ouzratur ad rationem datam ut 1: 2 vel I: u ^ L.] vel 1:4 Vela: b &cubum dimenfionis cujusvis quarta pro- portionalis; e hac extralatur radix cubica, dabit qu qu, Mid c dimenfionem homologam alterius corporis; v. g. . 1 j 1: 2 — long , item 1 * 9 at y'dennivs ï Duia z altit: «* erit * , y, triplex dimenfio corporis ho- molo quadra g Q eti Vel DE COMP. ET TRANSMUT. SOLID. . 147 Cyitt Vel inventa prima dimenüone ihferat'ur ut dimen- fio prima in corpore dàto ad dimenfionem alteram & benda tertiam in dato, ita dimenfio inventa in corpore faciendo ^g ad inveniendam fecundam & tertiam. (t ]* DEMONSTRATIO. o dia 1 pio Corpora fimilia funt ut cubi dimenfionum homolo- garum ($. 390.), ergo fa&ta proportione cuborum , ra- Weter dices eorum debent effe ipfa latera, ut in Theor. III. MU Ea S iUR VET a - COR demonftravimus. Dein cum corpora fint fimilia, late- ta funt proportionalia , inventó ergo uno latere per proportionem reliqua determinantur. Q. E. D. : l;) ]Se. ä:) :Eg jï;r lï: 1&4[ 14& ][ivr.' "d 397- Invenire diametrum bafeos cylindri 2equa- r hodo lis cum dato altitudinis, fed qui duplo majorem ac (ione prior quantitatem fluidi capiat. (P29. 206.) PQZ)Z* RESOLUSTIO In extremitate diametri bafeos date 4B erigatur petpendicularis DD, eidem diametro zqgualis, & con- If'üe« jungantur extremitates.dus Rhypothenüfa .4D, hzc hypothenufa erit diameter bafeos novi cylindri, qui duplam quantitatem capiat. DEMONSTRATIO. p'O Cylindri ejusdem altitudinis fequuntur rationem jbit quadratorum diametrorum, fed quadratum novs diame- tri eft duplum prioris; diameter enim nova eft hypo- ï thenufa, & cathetus utraque eít prior diameter, ergo h quadratum novz diametri eft equale duplo prioris, er- go ?tïzxm cylinder novus eft prioris FIUPIUS, Q. E. D. K a CO- 149 CAPUT IlL COROLLARIUM ^ 298. Si triplus conftruendus fit, diameter prior inï*enza X | dupli cylindri fiat nova cathetus translata longitudine ex B in m E, reli&a pro altera catheto AB diametro primi, & du&a hy- atqui pothenufa , AE erit diameter tripli. Si quadruplus, tripli cy- DI lindri diameter fit eathetus BE reli&a iterum pro altera ca- nE 3 theto primi diametro &c, hypothenuía erit. diamcter qua- 0 ( &rupli, Tibr COROLLARIUM i, & f 399. Si igitur hae ratione longitudines diametrorum in li- fic Xeam re&am transferantur, conftituta femel magnitudine vafig 144 unam v. g. menfuram capientis & determinata certa altitudine L t bafi juxta illam 're&am vafa ejusdem altitudinis pro duabus, &ribus &c, meníuris facili negotio conficientur, accipiendo eam ex linea hypothenufam , cui multiplum petitum adfcriptum eft, u COROLLARIUM li, b n C ! 400, Si manente eadem bafi dupla altitudo fiat, vas hoe 0 $rioris duplum erit, capacitas enim erit ut altitudines, altitue : P ; j do dupla eft, ergo etjam capacitas, hinc ut eadem ícala etiam Val in hoc cafu adhiberi poffit, altitudo primi cylindri aliquoties in.alteram fcale partem transferatur, ut refpectiva cujusvis Cy- Vsq Nndri altitudo examinari & capacitas determinarl poíht. Wo Y« i. CHOLION m i hr ) 401, Huic principió innititur conítru&io diverfarum fcae &il larum , & virgularum , quibus capacitates corporum v. £» a fnerfurarum , globorum, doliorum feu in folidis feu liquidis feu n ita coníütuta diae ponderibus examinantur, & determinantur. N aut meníurae & altitudine ejusdem, metro unius metretm , LU ad talem fcalam diametrt poterunt vaforum , que duas, di tres &c. metretas.aut menfuras capiunt, transferri & vafa con- fitui vel conftructa examinari, Cum in *qualibus vafis etiang diasonales fint squales, poterunt eodem modo diagonales invee & n niri & ad fcalam transferri, fed applicatio vireule' in vafe etiam el fecundum diagonaiem . fieri debet, Servit etiam talis fcala ad xaminandes acervos frumenti, aut alterius folidi, qui inftar : 1 T cOni re&di aut truncati eonfiderari U int x determinata diame- & tro inferiori o fuperiori ex hac äf .! 3. ej 8 foliditas invenitur, SCHO- ) ub D le»| COMP. ET TRANSM. SoLID 149 $ HOLION . inventa 402. Cum globi feu fphere fint vt cubi diametrorum, f ex Din sjametrum efobi unius 1 ibread fcalam transferamus, CFip.207-) ia hy« atque eam in IoO partes divifam iupncmmus, erit foliditas hu- ipli c) t Ca* jus elobi 10000060 partium , quot fcilicet cubus diametri conti- net ergo foliditas duarüm hbraru"n continet partes 2000005;, foQue ex quibus extra&a radix cubica dat diametrum globi duaruüm librarum in fcalam tmnmerenäam, ex 3000000 extrada radix dat diametrum sglobi trium librarum in ícalam transferendam , & üc ullerius diametri usque ad IOO continuari & tabu'a cone n n l- fici pot erit, Íta diameter IOO dat Y libtam, r26 dat 2 libras, ye valit 144 dat tres libras, 31I dat 4O libras, 368 dat $O libras itimdine &c, &c. quabus 100 €am $CHOLION Ill tm eft, . Cum ordinaria fluidorum receptacula & menfure, 403 præmpue ü major fit quantitas , nom cylindrice fed ín utraque bafi infar coni truncati convergentes adhibeantur, que dolid vos 1104 dicimus, .fequitur, ea, illis in rigore geometrico applicari non altit poíe, que fuperius $. 394. de cylindrorum menfura diximus. Poffunt tamen aliquo artificio ad cylindros reduci, cum enim 2 etiam d vafa hec (Fig. 208.) conorum inftar a circulo medio maximo tht'eS usque. ad bafes decrefcant, decrementum hoc, ut in conis, im xii Cj & bafis inter maximam & minimam, proportione arithmetica fit, medie proportionalis pro commum dolii ba(i inftar eylindri cone fiderati affumi poterit. Soliditas igitur feu capacitas dolii erit hzec bafis du&a in longitudinem a baü adbafin accepta, que pro um fa. altitudine cylindri haberi poterit; tota capacitas dolii divifa pe£ R capacitatem unius menfure in Schol. l. invente dat menfuras in dolio contentas. ldls feLl V. g, fit diameter major AB 86, erit area citculi feu bafis j d — — — — — pomemo — majotris 80 5,8 ;hSdemi UER diam. minor CD — 64,eritarea minoris 321 5.3 j con 902 LI | 4510,$ euam 2 Y 8 Md diferentia feu media proportionalis bafis — 4510,5 g etiam. que du&a in longitudinem CE-— 130 I 30 L* jl 3 1353150 Umur 45105 prwu nitüf dat 386365 [e) SCH G- U K 3 m M m m — as C T ss ia w yev ^g 150 CAP.III. DE COMP. ET TRANSM. &c. 404. Si jam eodem modo uti prius diximus, virgula feu fcala conftruatur & diametri vafis unius menfure cum longitu. dine, aut diagonales tantum dimidii cylindri in eàm transfe- zantur, poterit ad examinanda quzvis dolia adhiberi; fcietur enim ex illa diameter major & minor dolii, fcietur longitudo vafis, que altitudinem cylindri exhibet, fcietur diagonalis di- $ E midii doli, quod dimidium cylindrum adzequat, & inde íüne calculo quantitas menfurarum determinari poterit. Requiritur autem ad hoc, ut vafa omnia feu dolia ad eandem normam & juxta easdem leges efformentur, & utfemper eadem proportio in- ter altitudinem & longitudinem fervetur, quod in Auftria Lege fancitum eít; fi deir pro vafe unius menfurz virgula paretur, DE ? que per orificium diaganaliter ad fundum immittatur, & pars vir- gulead orificium vaüis 'fignetur, poterunt per regulam propor- tionis (cum vafa proportionaliter crefcant) in eam diagonales vafis duarum, trium, vieinti, centum &c. menfurarum transferri, & f virgula diagonaliter in vas quodcunque immittatur, ignum, quod adorificium vafis invirgula erit, menfuras contentas in vafe defi- L gnabit. ( tür, &1 diculari x Qti, d [2 extiteru S E L d & z " . i 2) [ 7 4 É $, peuis 1n late j tallela Titatur Véreun Vetoy ELE — a u NO0 Mb x i5r a feu Dgitoe Anstc Cletut itudo s d- SE CTä(?**TUM CONICARU N i i i. iil Tr d 5 m& &mmmmdfä 0M UC UXPU e Lege etur DE NOTIONE ET DESCRIPTIONE ; vl 1 opot SECTIONUM CONICARUM nale$ &il DEFINITIO I yod dell e&io conica eft linea curva, qua oritur in fu. C perficie coni, dum per planum quoddam feca- tur, & cum fe&io poffit fieri, vel parallele vel perpen- diculariter, vel oblique, refpe&u bafis, lateris, & axis coni, diverfe quoque denominationes harum curvarum extiterunt, & in fpecie DEFINITIO H 2. Cireulus eft fe&io conica 4B (Fie 1.) per- pendicularis ad axim, & parallela ad bafim, qua cum in lateribus coni terminetur, eít curvà in fe rediens DEFINIT IHi Parabola et. fe&io conica .A4CB (zo. 9.) pa- rallela ad latus coni, qus neceífario in baíi coni ter- minatur proinde ficut latera verfus bafim femper di- vergunt , ita curva hac femper magis & magis di- vergit K 4 D &- — j 3 CAPUT I 352 DEPFINITIO I!IV ï)l z j 4. Ellipfis eft fe&io conica F (zg. 3.) obli- Id qua & ad àxim & ad bafim, terminatur ergo rurfus in Ve lateribus coni, proinde eft curva in fe rediens; fili DEFINITIO V 5. Hyperbola eft f2&io conica GHI (Pzg. 4-) per al pendicularis ad bafim, & parallela ad axim, quae cum J; rurfus in bafi terminetur, eft curva, que femper magis :* U & inagis divergit. i 1 COROLLARIUM Ti $. Cum ha curv oriantur ex fectioné coni folidi, om- nis autem ífec&io folidi fit planum ($. 314 ) fequitur has etiam fe&iones inftat plinorum confiderari debere , adeoque oms nes linege a perimetro ad perüunetrum curva ducte in €0o- dem plano exiftant ; ad determinandam igitur & inveftigandam. ]i naturàm harum curvarum, earum genefim planorum inftar .con- i'ideraïnm s. inde earum proprietates, expreffiones algebraicas, d methodum défcribendi & imetiendi dabimus, atque nonnulla, «que ad praxim p tinent C':;' 'oblemata anne&emus, ad. quod fe- E as hypotheüis deduc * H.YPOTHES S pünécti determinanduin duas ]lineas 7 Ad ffdm z auur !ïsq que vel ad angulum re&un) vel obliquum f Ra N Mi i fe fecent diftantia enim pun&i ab utraque linea fitum PU ilius accurate determinabit ; cum tàmen hic fitus vel ï» füperi uo lR vel inferius, aut àd dextram aut ad finiftram effle pofiü id fimul dari prius debet, ut fciatur, ex ï qua 'parte diftantiz accipiende. fint. Ita in aftronomia c' ad fitum fiellarum: determinandum duas curvas feu cir» | culos maximos fPhæræ czletti fu fecantes: in geogra- *v L hia circulos maximos duos fp! tv terreftris ad fitum PU s UL Oru AA À en peu dum: in delineationibus duas rectas, ho- rizon- DE NOT. ET DESCRIPT. SEC . &c. 15 rizontalem & perpendicularem ad fitum pun&orum de terminandum affümimus, atque hac methodo eam accu- obl rationem calculis & dimenfionibus procuramus, ut a 15 vero & ftellarum & locorum & punctorum loco ne mi. nima quidem parte aberremus. C O OLLARIUM Wf* 8. Patet inde etiam fitum pun&i determinari poffe ; fi duo CU al'atantum pun&a, aut re&a cum uno punc&o detur, ad qua il- iud andamní rel rtam I:Ciá itionem habet, uti in geometria varias ngs fe&iones in linea relate ad duo alia puné&a aut extremitates li- nearum iecimus Secuimus lineam in ratione media & extrema, in partes proportionales &c &c. ita nt proportio data, mutata licet magnitudine, invariata femper manferit on - tlam PR EMA..I Otfe | €0 9. D e terminare iné umM([; "),) ] tlt a T. vlattt linea z47 L3 dift a ntia ^ 4 ? !:n ARil ea CD difl *o ta ntia GH C0f abfit & id em . U (à$ . Ju erius verfus dextram Jaceat ïï) TK d ft RESOLUTIO ET DEMOQNSTRATIO In linea CD ab x,verfus D determinetur longitudo EF in a, & ducatur per « parallela ad — x4, rit in haclinea pun&um datum M, cum enim x & ac fint [ie2j parallele, perpendicula inter:eas interce ptfæ qualla funt UT proinde omnes equales parti xa vel EF. Àin x tUl accipiatur ab x verfus 4 diftantia G.H z xb, & ducatur rel ad CD parallela ?2, etiam in hac pun&um M effe de- am bet, cun p omnes diftantie inter has parallelas iterum ex fint æqLaiea datze Cum ergo in utraque linea pun ia &um 4 effe debeat, in alio loco quam in communi Íe non As interfe&ione, quod folum commune habent, Mu poteft, proinde in M exiftere debet. Q. E. D um ho K 5 C O- 154 CAPUT I COROÉZLARIUM TAX vatio! COnICA IO. Si in « non fit angulus rectus (Pig. 6.), erieantur J 1pi in eo perpendiculares ad utramque lineam xy & xz equales di- 0 » ftantiis datis, & per earum extremitates y & z ducantur paral- lelw ad B & CD, haàbebit M (ütum petitum , ob :qualitatem — — perpendiculorum inter parallelas, & Mu —— zx — 'G'H, & Mr xy z EF datis. .CIOROLL.ARIUM . II. Quin inter ii)fas etiam parallelas interceptas propor- l I$ f d dto tio petita liac ratione obtinetur, triangula enim Mrb & Mua fi- milia fünt ; uterque enim re&us in M communem ha*et angulum dem rMu feu &, quo communi ablato manet angulus rMb — uMa, R proinde m -— n, quialioquin inter parallelas quatuor & figuram —— fiet fthomboidalem zquales eífe debent, adeoque.bM: Ma — rM : —— gt Mu,ÍíedrM — xy-—EP; & Mu — xx —— GH, eigo bM: Ma peenemnd — Tit 1 EF: GH, hoc eft in ratione data linearum EF & GH, Idem eíft de bx & xu, que ob parallelismum 2quales funt parallelis Quil Ma & Mb,'ergo Betiam xb BHOUORH. Ü COROGTLLARIUM i. dif Cuy 19. Si ergo detur pun&um, ut ratio. detegatur, quam ad *rectas duas CJ) & .AB habet, ducantur per W ad utramque re» gual cam parallele, he femper rationem datam determinabunt, vel vice vería, ut determinetur pun&um M accipiantur in CD & AB partes xa, xb in »roportione data, ducantur parallele ut prius, quarum concurfus pu;cïum M determinabit. Q COROLLARIUM IV, 13. Ut detefminetur fitus pün&i refpe&u linesm & alterius & pun&i v, g. F (Pig. 7.), in ratione data EF & GH, demittatur Cor ex F ad AB perpendicularis Ex, & ex x determinetur xa —— EF, erisatur perpendicularis 8c . & ex F abfcindatur longitudo efft GH, erit in M (tus punci in ratione data, eft enim ex con- lag fru&ione FM: bM —— GH: EF, pu COROLLARIUM V. 14. Cum hec methodus determinandi fitum punc&i M pro omnibus cafbus valeat, fi pun&um M ulterius progrediatur, & ftum mutet, hic novus fitus. eadem methodo rurfüs determina- Me em fervet& bitur, & ä-ea quidem iege moveatur, ut femper eand f2itiOe lr —— v D£ NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c 15 rationem a linea & a pun&o dato, curva erit '*dgebxalca & fe&i o conica in plano defcripta, quam convenire cum illis 1ih Deüni- tt j i tionibus expofitis inferius Ooftendemus, ieitur erit refpe&u harum inl- proprietatum tem DEREINITIO VI 15. Sectio conica in plano defcripta eft curva, cu- E jus partium fingularum diftanti» a recta altera & pun&o u 1 Íi- 'dato rationem eandem feu conft antenr 'fervant. Et qui- LUf dem fi fuerit ratio zqualitatis, ut pun&um . motum Ma, (.Fig. 8.) femper zqualiter a linea 4G & pun&o F di- tart ftet " via curva per motum defcripta erit parabola a Sifue- M greca voce zraga[QoAw zqualitatem fignificante. dem rit ratio minoritatis (Pzg. 9.) & diftantia ab F minor elis quam a linea ZG, curva erit Ellypfis a graca voce eAAzi- Wug defe&um exhibente Si fuerit ratio majoritatis & diftantia a pun&o major quam a linea 4G, (Pzg. 10 curva erit Hyperbola a greco vzee[2oA« exceffum defi- te^ gnante. * &r* DEFINITIO Vil j! 16. Linea 4/G & pun&um F igitur funt termini comparationis, ad quos ratio motus punc&i expenditur, & linea quidem dicitur dire&irix , pun&um vero focus , 1üs & hoc idéo quideni, quia experientia habetur, radios (Ut corporis lucidi in fpeculum ad normam talis curvature P " efformatum incidentes in eo punéto colligi, & mate N - tiam combuftibilem ibidem pofitam accendere, ut adeo pun&um hoc pro foco ignis rervxat SCHOLION j & 17. Si pun&um S ad ipfam lineam accedat, & in 4 í 2* adeoque SF refpe&u .4 üit infinite magnum, & ratio infinita [ r 14 R femper fola & wqualis manet, adeoque curva erit circult . J um y» p 156 CAT UT ].' M centruin. Si S ad F accedat & cum F confündatur, ut $F re- —— ?.CG( fpe&u AF (it infinite parvum feu p IM (uni infinitefimz), motus à N [ dtorm un&i S generabit lineam rectam. lif, DEPFINLLLO-VHIL 19. Reda SAE"perpexïdRCLllaris ad dire&ricem sSini per F du&a eft axis principalis curve, S eft vertex, ayis i feu origo fe&iormis, cujus diftantia a foco vel propior vel remotior , vel xqualis curvam determinat. $ cu yz & DEFINITIO IX üngj&n lekes 10. Linea (Pzs. 11.) ad axim demiffa perpendi- que cularis M Mm & in utraque parte in curva terminafa &Qus] dicitur ordinata, dimidia, a curva ad axim usque, MF, gulu . MP femiordiuata, partes , que in axe a vertice incipien- do per has ordinatas abfcinduntur SF, SP, vocantur abfciffe. JEguatio ad curvam: eft expreffüo algebraica, L [ que legem, de qua fuperius egimus, feu rationem con- [UE flantem duarum linearum femiordinatarum & abfíciífa- feit g Diameter rum fefpe&u pun&i moti in curva denotat. [pito curva eftlinea a perimetro ad. perimetrum du&a, & fï-:'ï sz' per centrum tranfiens, que vel ipfe axis eft. vel.in pa- Giciti rabola (J72. 12.)parallelaad axim v. g. .SP, cum cen- trum fit infinite remotum a vertice ; in aliis inclinatur * ad xim, & utrinque in curva terminetur, per eamt 1 fi liaez a curva ad curvam, du&z, biffecentur, vocan- otüin tur ordimate , & emiordinate ad diamelrum,, aut. ordmatim bhd f H app:'z'catæ ad diameirum. I$ f DEFINITIO X. ïlOI' in 410 * 'd H 90 L ikh a TM ( öo 153.) qu» occurrit curvs, n quin eam fecet , dicitur fangens curvee; ere&a ad pur&um & € conta&us /M perpendicularis M dicitur Normalis s ex M . À sE . — W—--— [ "5'1 D NOT. ET DESCRI A o5 L)JL,J CT. &6 137 $? te. M demiífa perperNicularis ad axim ]WP ex definitione Cyo 2] Linea a P precedente e(t femiordinata & .SP ab , InotUS l H ^ ad AN-feu inter femiordinatam & norma! ! & 1 PN eft Jübnormalis ; TP vero a 4 ad femiordinatam eft /ubian- $h. DEFINITIO XI TICeR r Tlex, " 21. Si femiordinata ita verfus o i o o1 m diametri nopot amus, ut tantum pun éc&tum axis S (Pzg 12 ) remove $ cum curva commune habeant fiet AQ. tangens cur- v& & fiex omnibus pun&is M cvmw ducantur ad hanc Pfk,lll cet 4 U'h, ]þ!/?,' & para ingentem parallele per 5 lelead SP, OM Q fïo*namma fimili: 5 M &c. fient para Læ, ? ?IUA Qx untur, omnes :J() pend qua païall!io gvamma coordiuata zquales ipfis PM funt coordimatae LJT mJulus; OSP eft an« minata MF guïus coordzratærum. i llp Dns 1u Bd D 119,4' powu ïa antur aitd, 22. Linea ex foco ad curvam du CUA ï ( ('ïïr ;Zr/ ,-e Y*1T r *x3 21 | COf* 'Lgtcïx)./ & fi per tria punca 1 A aM ar d A Curv e tr rl CLde' feat arcus circuli, adeoque cum 4 in 111O CODET 5 u H t n- ! 27/'&57' i*pmo. circulu$, cujus pars e iL pI £? -; icti IG re '*), Cuzv& 4 lus ofculator , ejus radius, radius ofculi au ! b Va £ : C'LLIWTL.,A "n adicitur [ pa- 1 cete DE NITIO g):- II N 1natut. P[]f;; h) x,l« b* P 4 S rincip à l 1S f 181 ac a im Q earlt 225 ns Cuius nae i ü fl* ordinata Per focum tranfi 5 pro enae m t quo eni n x l- fb gltumklï nagnitudo curve dep CUurva fit explicae gis tomq a ver tice rec (:l'" T R eo * $ 141 TYX tior, proin paramete cií joa C .j' Oor eg conjtautes ;11'1(x ? [e Va funt axis, aiateter ei ;. Ipie O CICTCUIIL , parama- 1 ^ WE ter' &c. Fariabiles que in emx L n C'H Va CI o 'Hf ',"i "z n étura decrefcunt , funt femiordinata " J abícilà ï] ua 3 v n2 i » f z -— 3 o J 15 o & x, -illas vero initialibus htens a, d, p, &c. in æqua- uonlbus exprimemus. 26 ünam S.OROLLARIUM. t etta in $t 4. Cum curva per rationem zqualem feu conftantem pro- portloncm duarum linearum determinetur 5 POAILK femel 1311008, j vero ma quam v..n&u n m initio motus feu vertice curvae ad dire&ricem & focum habet, facile tota curva determinatur & H via punc&i de- lipi mi fcribitur inventis confequenter aliis proportionalibus terminis, ut ex fequenti problemate patet. P $ PROBLEMA I proport foonder Data ratione puncti ad direc&ricem & fo- PD,a cum w uncti $ ad Z4G, & F viamillius defigna- emm Y *C Cionem conicam deícribere. i p e, & Curvam feu K!4 - f H (Fzg. 14-) eret RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO iCant ent Qu I In pun&to dato erigatur perpendicularis 55 SF iE erit igitur 445 : SB — 4S: ex J ducatur per B i Parte e indefinita Zx, ex illa ad lineam ZFyprolongatam demittan- BUUOITS tur perpendiculates PD, PD, PD quotquot lubet, erit femper AP ad fuam correfpondentem PD, ficut .4S ad Quzli- SB($. 167. geom,) hoc eft in ratione data. bet longitudo PD ex F in eandem PD , cujus longitu- do accepta eít, transferatur in pun&a /M, M, M FM femper fit »quale illi PD, in qua 7 determinatur, *QR& erit etiam P7V in eadem ratione ad P, in qua eft SF L.illf, ad 4S, hoc eft in ratione data, erit enim .4P: PD — er AS: SB ted PD — F/E/ly &)S?L) - SE,ergo AP: FM lum « pessemnd Ab). A("?.F Igitur omnia 'g:u*mtr, infinite propinqua CLf( fi accipiantur , defighant viám curve /M M M MM pil fat, . cujus omnia puncta /Vf eandem rationem fervant: igitur xlF curva defcribitur, quze ex definitione VL ($. 15.) fg- H j ( i e &io conica eít. Q. 1 lnte C Qs -9 $* DENOT. ET DESCRIPT. SECT. &c. 139 nE COROLLARIUM I p 26. Cum ex Defin Vl. ($. 15.) conftet, fi 49 — SF, n ii «urvam effe parabolam , & cum SBex co m ftrudione fit —— SFE, erit etiam SB z 48, & ASB triangulum lfofceles, proin cum temt pro in S fit re&us, erit 4 — 45^, proinde in parabola angulus .4 nitone , —— 45^, & cum in ellipü SF minor quam A4S, in hyperbola 'edricem vero major ex eadem definitione, erit quoque angulus .4 in el- nái de« lipü minor quam 45^, in hyperbola major, qminis, , COT^OLLARISU! Y Y. 1 n. 97. Ápparet ex hac conftru&ione , cum re&e P (íemper proportiona iVS les ünt fuis PD, & FM accipiantur »quales corre- fpondentibus PD , re&as EP (emper minores effe debere quam PD, adeoque in PD pun&um M femper determinzri poffe, FM ] | «Ec fo- PY h enim femper eít hypothenufa in ttia Axäl»' "o £ lo PFM, hinc & FM voh "tlDere, fieri poffet z— PM, hypothenufa foret equalis catheto, & trian- £ulum nullum. conftrueretur ,. fed P. F,HMin eadem recta id " eft in axe jacerent. Idem eft, fi FP adhuc major quam PD fieret. Hinc cum in parabola femper AP & PD xquaáliter cre- Ícant, cum .48 — SB, femper $F adeoque etiam FP minor T erit quam hypothenufa FM , hinc femper puncta M determinari J j poftunt, Si SB producatur ad alteram partem , & fiat Sb —— SB, M PUES duc&a d per b & produ&is FD usque in d, pu n* C [ hl ex aitera : parte eodem modo deferminantur, acceptis iterum Pd — Em& mittan quevis P4 fuo PD a vértice equidiftanti equalis et, proin erit t, erit Y Ls para bola curva, cujus duo rami fupra & infra axim zquales in ASad infinitum divergunt. » Qugli CORBOTLLARIUM II. ngiti M, ut 28. In ellipü (Fig. 15.) re&» AP & hinc etiam FP ma- [ Zo £i$ crefcunt quam correfpondentes PD, quia .A5 LSB,ert jnatul, [6) reca guedam FP tandem zqualis evadet uni ex PD, inq & A cafü pun&um M adaxim in S cadit; erit ergo ellipás curva infe ä ) d rediens, que axim $5 term inat LjÀat um habet, cujus medium c cen- trum ellipfeos: & in hoc centro ere&a ad axim perpendicularis I CL , femiaxis minor feu conjugatus, dum. alter ax15 major feu princi- ngu p palis vocatur, Pun&um d. uod. a vertice s ea quantitate di- j i; 14 ftat, qua F ab S, eít alter focus eXlipfeos, Quo magis 4 ad S gitu vel F & f ad fe invicem accedunt, co ellipfis fefe magis ex p u & ('a €aàt, &-angulus .A o x axis conjugatus crefcit, donec A coinci- $) Géente cum, $, vel F cum f; in 44 angulus re&us evadat. AD net (; - T 74 160 C AjQ Br I p 2 fiet parallela ad SB. & dimidius axis conjugsatus —— dimidio aXl minabi principali, curva igitur in femicirculum, abibit. Ef isitur el- lipüs curva in fe rediens duplici axe, foco & vertice inftru&a, cepot hc D,q C OxROLLARIUM IV. libent 99. In hyperbola (Fig. 16.) cum .4S «7 SB re&m AP & aquile FP minus crefcunt quam PD, nulla igitur AP lineam PD adeo- lateta que nec EM zquare poterit, igitur pun&a M , M M, in in&- & nitufn ab axe recedunt, produ&is PI) ad alteram partem, u t fit,oni 7u in parabola dic&um eft, defcribetur alter ramus hyperbole; eft lesfuni igitur hyperbola curva, cujus brachia feu rami in infinitum di- gulos . vergunt, Si autem. PD ex F ad alteram partem dire&ricis ac- tallelz cipiantur produ&o axe .49 & linea .4B verfus alteram partem , ut fi punda p, p,p, in ea ab 4 diftantia accipiantür, quam ha- paralle bent pun&a P, P ex priore parte, omnes PD, PD $qualiter Di, eft 51 ab..4 dift&ntibus pD , pD ob parallelismum. zquales erunt, & devenietur ad aliquam PD, cui zqualis FM pun&um in axe $ ovf trans| abfcindet, qui v Lt ex alterius hyperbole oppoüte erit, quae de- 17 terminatis pundis £, [4, M$, ut prius ( accepto femper Fm squa- Linea inter utramque hyperbo- «10 Q li fuo PD aut pD) defcribitur. lam intercepta Ss eft axis principalis , .cujus medium C eftcen- li, fed trum, hinc ere&a perpendicularis L/ eft àxis conjugatus hyper- Offiles bole, cujus dimidium CL eit latus trianguli rectanguli, cujus hypothenufa SL eft equalis diftantie centri a foco.& alterum * Dl latus eft. equale dimidio axi CS, & accepta diftantia, quie fit etian equalis ipfi SE od in axe ultra verticem alterum s5, fciïic»et 5f enb Qf in f alter focus hyperbolz. lt m I^ ZH /I A I. T^ TA* 20. Lines H 4 [ T jnm ine Hl' Á r ofi Pjp. 1 5 ex focis ad idem p a rim etri unctum du Vi & n D n squales axi principali iSs. li DEMONSTRAT 1 O. Axis prolongetur, ut s« fit wqualis $4 & in a erigatur perpendicularis ar erit XAlc- ï'*:',ü C dire&rix ex alté- H ;] rà parte; in s fiat &b z— sf — Sb5, & d neat ARU U ur abd t i pro- Vetno Á aGetere du&tis.SB, PD, PD, PD, ad alteram parten lu Imnipa L] DE NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c, 161 dio ax—ï itur el minabitur ellipfeos altera pars infra axim , s, m, m ac«- ftnda, cepto rurfus d z fin, & omnes Pd zquale$ erunt aliis PD , que &qualem cum his a. vertice $ & x diítantiam habent; cum enim aP"' zquale affumatur .AP, in a & 4 AP & zquales anguli ex conítru&ione, & in P re&i, eru n ) adeo h j latera oppofita P"'d zez PD, & cumhoc de omnibus veru ,U fit, omnes correfpoudentes PD, P"'4, P'D', P^d &c. squa- BUGBIC les funt. Priterea omnes D4, Dd, Dd xquales erunt, ob an- um Q I$ aC gulos enim 4 & « zquales alternos, erunt 4D & ad pa- ralele, & cum omnes Dd etiam parallele fint, erunt tm.ut m parallele inter parallelas, proinde zquales, ergo B4, Valiter D4, D4, Dd, Db zquales funt5 fed ex . conftru&ione nt, & eft B — F, & Fs — :D"(ex conftru&ione enim axe $ )e Qe translato :D" ex F ad :D",ea in Fy cadet) ergo SF -- F* feu Sr axis principalis z ,S$/2 -- 54 feu. Bd aut D^», eQua peroo ergo omnes re&ze Bd, Dd, funt equales axi priz« ipa- t cen li, fed Dd conftant ex DP & Pd vel D'P' & P'd, e:go hpl omnes DP -1- Pd funt 2quales axi principali, fed DP cujus -- Pl ex conftru&ione funt. xquales F/ -- £M, ergo Ug i etiam .F/M -t- fM funt zquales axi principali, hoc eft omues limee a focis ad idem puucium e n ene lipfeos duflg fünt equa- les axi priucipali. Q. E. D. THEOREMA IL [ I. Si ex focis ad hyperbolam (Pz7. 16.) du- li cantur lineze Z & i, erit earum diflerentia zequa- lis axi principali. DEMONSTRATIO. 14 . Cum fit s« — S4, & in * ere&a perpendicularis £ |]te z SB, erit abddd parallela ad 48DDD ob zquales al- ternos 4 & a, & ounes partes bD & 4D" , D4, utpote FïO' Sed otefe parallele inter parallelas erunt zquales inter fe. AMeizb, Math. P. LI. L ^l* 162 CAPUT L erunt quoque axi principali Sr zqu2!es : eft enim (S.29.) ;D" feu sb -- bD" ex conftru&ione equale Fy, feu ES -- Sr, fed sb —— SEF, ergo manet /D" — Ss, ergo om- Írod nes dD squales axi $r. Sed quzevis dD eft equalis F Tabol — pf. Nam quevis dD e(t equalis füo D — pd, ut fi- omne J'ura exhibet, fed quzvis 9D ex conftru&tione eft z«qua- ($,. lis fuo Fjt, & quxvis d fuo fu, ergo etiam Fj —quf — D « —— Óraxi principali, ergo differentia duarum linearum a focis ad idem hyperbole pun&um du&arum eft zqua- lig àxi principali. Q. E. D. . COROLIARAIUM AR 32. Ex his jam proprietatibus deducitur/alia methodus de- fcribendl has cürv as mofu coxxtinuoä quod fequentia problemata declarant. PROBLEMA IL t fieC 33 Defcriber'e parabolam motu continuo , da- W t diredtrice GH, vertice S, & foco F. (Fig. I7.) plic RESOLUTIO. Jtic tinu Ad GH firmetur regula DI, ei ita admoveatur hy norma BCE, ut crus brevius dire&tricem , crus longius pun&a F & S tangat. In B figatur filum Jongitudine cruri CB xquale, alterum fili extremum figatur in F; intra plicaturam fili in S ponatur ftylus, & norma fe- t cundum fuperiorem regulam fixam ita moveatur,ut CÉ fun femper ipi G/T adhareat , & filum quoque norme HH latei CB fortiter adürihg:&tur, defcribet veftigium lyr ítyli ramum parabole ex una & inverfa norma & repe- tita operatione etiam ex altera paite. [ DE- -- DENOT. ET DESCRIPT. SECT. &e. 163 ) DEMONSTRATIO. feu FS FM -4- MB .eft zquale ipi CM -- MB ex con- 0 Of is F fru&ione, ergo F/M zz MC & cum id per omnia pa- vt f rabole pun&a fiat, omnia EM erunt —— /MC, hoc efít omnes diítantie a foco funt zquales diítantiis a directri- QUi -27//] ce, fed hzc eít proprietas curvze parabolicz ($. 15.), AU ergo ftylus defcribet curvam parabolicam. Q. E. D, &QUi- CROBPERMA HH ! 34. Defcribere Ellipfim: motu continuo dato jf de« aXe&'focis. (Fig. 18)) lematt RESOLUTIO. Affümatur filum longitudini axeos 5* :quale, ejus- que extrema in utroque foco figantur , plicatura fili dà neceíflario ad ,S' cadet, cum SF z /f*, ergo 2FS -- Ff equales ipfi Sr,feu longitudini fili. — Stylus in hac I7j plicatura pofitus circumagatur, deferibet curvam elly- pticam 5/Ms, hic motus ultra' * deorfum verfüs S' con- tinuatus alteram partem defcribet, & totam aream el- 'eatur lypticam claudet. »ngïUS DEMONSTRATIO. udine UF9 Si omnes linee EM 4- fM funt zquales axi majo- j fe ti, pun&a 7M funt in Ellypfi $. 30. atqui KM -t- £M « (E funt alfumte xquales axi majori, & per totum motum J manent illi equales , ergo punda 4444 funt in El- giuiïl lypfi. Q. E. D. ï epe Y PROBLEM A IV. 31. Defcribere motu continuo Hyperbolam da- þ,is focis & axe, (F:g. 19.) ) L 9 RE- C A& P UT 1 164 RESOLUTIO. NT b Regule ext1em1taq Á in foco f'ita figatur, ut mo- a veri poffit, alteri extremitati D alligatur filum ejus lon- gitudinis, ut regula eam quantitate axeos Sr fuperet 5 aXI fili extremitas altera figatur in F & regula pun&is f* p SF admoveatur Intra fili plicaturam, qus in .S erit, te ponatur ftylus qui una cum regula primo verfus dex- tram, dein verfus finillram moveatur ita, ut fortiter & tu femper appreffus regule maneat, defcribet utrumque tàl hyperbole ramum:; fixa dein regula in £ & filo in f etiam oppofitam hyperbolam defcribet MONSTRATIO f p In Hyperbola fM — FM eft zqualis axi princi- u pali $. 31., fed in hoc cafu omnes /7M — FV funt fin equales axi principali; ex conítru&ione enim eft £ o -- MD z EM -- MD - Ss utrinque fübtrahendo MD eft fM zz FM - .Sr, utrinque fubtrahendo FM - et //V — FM zz Ss, ergo linea ,S/MB Hyperbola. , E.. D. PROBLEMA V 56. Datis axibus invenire focos, aut datis fo- cis & axe majote invenire minorem in Ellypfi & Hyperbola. (Fzg. 20. & 21.) In Ellypfi. Cum axis minor fit in medio Ellyp- feos, linez ex focis ad extremum axis minoris ducte funtinterfe equales, id eft FL — /L,fed FL--fL - 1 $s axi majori ex przcedenti, eíft enim .L pun&um in ellypfi ad quod ex focis du&e linez zquales funt;, ergo EL — iS$r&fLziSs. i igitur circino ac- cipiatur diftantia 4 Sr, &ex.L adaxim in F & f trans feratur, erunt in 4 & foci; erit enim EL -- f/L z IN fs - DE NOT. ET DESCRIPT. SECT. &c. 165 Sr. Dato axe Ss & focis F & f, & accepto circino di- üt mo midio axe, ex focis fiat interfe&io in L & 1, erit Ll ob $ ]on .eandem rationem axis minor. ial r at i Yerets In Hyperbola (Fiz. 21.) Cum ex S. 39. dimidius axis conjugatus fit latus trianguli re&anguli, cujus hy- — ts ft V'erít pothenufa eff zqualis diftantie foci a centro; fi detur j dex uterque axis $s & Ll, accipiatur hi»c hypothenufa feu £L Ottet & ex Cin axem transferatur, cadet illa ad F & f/; fi de- tur axis & foci, accipiatur CF & ex $. in & 4 transfe- Imque 0if ratur, determinabit LL axim conjugatum. COROLLARIUM $7. Ex his jJam omnibus fequitur, omnes parabolas eife fizuras füimiles, cum in omnibus eadem fit linearum $: SRK princi proportio, qux» femper eft zqualitatis Ellypfes & hyperbolas tunc fore fíimiles fi axes omnes aut ditant * verticum unius l[ (unt fint proportionales diftantiis alterius omnes enim dimenfione$ ' fVI homologs tunc erunt proportionales proinde figurz (imiles bendo M 'pola, C APU"F H EXPRESSIONES ALGEBRAIC/E RE- CTARUM AD SECTIONES CONICAS RE- jsfo LATARUM. pfl& THEOREMAIL J uda 38 D1&antxa foci a vertice in parabola eft «uadropla parametri. (Fzg. 99.) 9 m j DEMONSTRATIO (unt , o aC Erigatur in-foco F perpendicularis FA; inPa- rans rabola quodvis pun&um /M zqualiter diflat a foco 4 -t !t F & a dire&rice 4G , ergo fi ex M ad dire&u- cem ? Las 166 CATUT I er cem demittatur perpendicularis, erit G7M. z FM, fed GM - AF, in Fenim eft angulus re&us, quia FM [ eft perpendicularis , ergo G7M & AF fünt parallele in- —— —— ter parallelas, ergo zquales, ergo etiam F/M z AF fed .4F eft AS -I- SF, AS autem —— SF, quiacut- fetie va eft parabola , ergo loco AF fubftituto 25F, erit ent ; etiam FM — 2SF, ergo 2F/M z 4SF, fed 2FM eft di parameter ($. 25.), SF eft diftantiafoci a vertice, ergo DT diftantia foci a vertice in parabola eft. quadrupla para- metri. Si jam ? FM feu parameter dicatur P, & SFfeu U diftantia foci a vertice dicatur « cum fint linee con- e ftantes, erit P zzz 4a4. Q. E. D L ftm THEOREMA IT. [ 39 Quadrata femiordinatarum in parabo]a funt Junga d ut abíciffe, hoc eft.^: Y*z x: X. (Fg. 22.) atüit DEMONSTRATIO $x n V t Sit puzmy,Spmmx,SFEza, erit PpzmSF—5p S, N zx:a — x. In triangulo re&angulo pmP et FW —— pm*' trar -- pP*, hoc eft Fo^ z y! -a — x fed Fs — mg, ex ptoj & $ priecedenti, & mg z Afp, ergo Fm — /Ip, fed 4p z .AS : 4 d Sp.... a -- x ergo etit Puai,ergo Pm* feu 4 -- x* prop mzy -a — x*, ergo erit a* -- 2ax -- x* zm - tàbo n 4* — 2a4x "- x*, ergo tran»ponendo erit a* -- 3ax - &* d* -- a4x — x'c y* & redu&ione fa&a 44x zz y^,& cum ex precedenti fit 45 z p, erit )* 1)&! Jam cum hoc verum fit de omni feriordinata re[þe&u fuse abíciffe (fi enim trar$ focum acCipiatur SP, erit SP zma-x & EP-x— a,cujus quadratum etxam eft a* — w 1 fax *i- x' quod (upcrius accepimus, ergo eadem fiet ex- u ige EXPRES. ALGEBR. RECT. &c. 16 -X á M fM expreffio) erit etiam. Y* pX, ergo »* RW. m px ia FM pï hocefty: Y:zx; X. Q. E. D ele i« COROTL b AR IUUM::I z r A CUE» 4O. Cum fit y^ z px, erunt quadrata femiordinatarum uf jfacfa ex.parametro in abfciffum; fa&a proportione ex ewquatione ?. erit entx;y-y: p hoc eft fermiordinata eft media proportionalis inter M et abfciffam & parametrum ; jam fa&a proportione continua eft —— x. , « y . ps parameter tertia proportionalis ad abfcif[am & femwrdmatam ä 1 pare COR OLLARIUM n ! 4 Si SP fiat —— SF. ent x —— a, proin y^ ezpr fiet y* ST feu T pr, fedp--4a eYPO y" z— da* ergo y —— 2a fed p — 44 & COl ergo y — £ p, hoc ef femiordinata per focum tranfens ét mqualit J&mzparame(ro ut füperius di&um ef in definitione. 7 COR OLLARIUM Ill 42. Eruitur inde alia 1iterum methodus defcribendi parabos fam data parametro (FIg. 23.). Affumatur Sx pro axe & con j ( ut cum axe unam recam efíBciat jungatur ili $B parameter 32) in S.erigatur perpendicularis .4D defcribantur circuli pro arbitrio transeunte'—' per B, lineam AD in r, 2,:.3 &c. & lineam. $x in P',P^,P "fecautes,erxt Cex $. 186. geometr.) B$ : $1 z Sr: SP' & H$: $2 — $2: SP" & BS: $3 —— 53: SP"' &c. ergo [—FSP Sr, S2, S3 funt medie geometrice proportionales inter BS & SP', SP^, SP', ergo i St ad P'/I, $2 ad P'IL S3 ad P'III ) transferatur, erit etiam PI, P"II P'"III. medie geometrice proportionalis inter BS & SP', SP'", SP' (ed SH'eft parameter, f ex & SP/, Sp" P/" funt abíciffe, ergo P'I, P'II, P'"III funt A medie proportionale$ intcr parametrum & abíciffas, hxc autem 4 i proprietas eft in parabola, ergo pun&a I, IJ, IlI, (unt in pa- tabola, quse i per lineam $7, I I], II III conjungsntur & in zle j &cram partem transferantut , erit parabola de(cripta, x *dï — THEOREM A Ir Pxe 43. Quadrata femiordinatarum in circolo funt U fut t SP ut facta ex abícifis. (Fig. 24.) ad n ft L 4 DE. d — 168 CAPUT n Qs J DEMONSTRATIO d-—- Sit PM — y: St z a, SP x ert Pr z — *fP v; & cum perpendiculares ex peripheria ad diametrum -4(1 fint medie proportionales inter partes diametri, erit 64 Xx:y m y:4—x hoc eít, fa&a equatione, ax — xx —— y', & fi altera femiordinata P"M"'fitz Y & SP"—X, Oil £rit iterum aX — XX z Y*, ergo : Y* z ax — xx: 4X — XX. Q. E. D. eto :1 SCHOLION LE *.. ] 44. Ad demonfrandas fequentes proprietates his expreffio- &te nibus linearum pro ellypfi utemur, $s (Fzg. 15.) axis major — 24, $C —— a,.C$ - a; CL m 2b, L — » SF vel fs di« fiaàntia focorum a vertice z c, erzo CF z d — c, Ff — 2a fot — Ocs; SP abltila — * ,. PM. femxordmata d. ermo.Ps Q. f i SCHOLOIN It A5 Pro Hyperbola e»dem expreffiones manent, hoc folo diferimine, quod fighi — loco, flgnum -f adhibendum fit, quia IXIS trans utrumquc 'verticem jacet. 1ta CF-—a-c, Ffe $a-F 2c, P$ 2—2a-- x, PC — a-IE x, Df 2 x --2a*9Be CF z—a-d-c, FPzx — c. (Fig, 16.) yvat PROBLEMA I Mu A46. Invenire radium vectorem 7 & fM. (Fip. 15.) RESOLUTIO Cum addita femidifferentia ad femifummam det ter- pott minum majorem, fubtra&a vero minorem ($.97. Algebr.) ext & cum fumma //M -- FM fit z 22 ($. 40.) erit femifumma z 4, fi differentiam feu f — FM dicamus 24, erit femi- diferentiazs d, hinc a -- d — //M & a—4d —— FM, fupponendo fM majus effe quam M. — Jam in triangu- ten lis EXPRES, ALGEBR. RECT. &c. 169 lis FMP & PMf.eh FM* z PM*-4- FPhoc eft a* — 23ad -- d z y!-- x* — a2cx "- cs &sz'—-PM' mll ] fhetrut -- fP* hoc eft. 4* -- 24d -- d* o m— y!4- 444 —— 446 l, erit — 4ax - 20x tb c^ - x? Subtra&a. primatota zquatio- ne a fecunda erit 4ad......4a — 4ac-—-4ax-—-4cx / Mp 6X raaer ) m c—-—x—ï——— omnia divid. per.4aetit d — a fx —ZZ' ergo eft femifumma z & femidxiferentla—- & — gX ex Cex , igiturterminus major u- —i—a — m m o ll vprefto & terminus minor z« — « -- c—l— x — --,eft ergo ajor zz [ fi d ex cx fM'—-Za-—-x-—-c—l- — &FM:c-I—x-——-- fz u & & ) Pt - Lal Q. E. », & $CHOLION'L v fola 47. In Hyperbole eft EM CM Ex—. , qu py- SCHOLION IL "D n 49£. Idem obtineretür, 8 valor de y* bis queratur, & eliminato yvalores duo inter fe comparentur, & dein valor de d tranfpofitig omnibus aliis inveniatur, ut iw Algebr; $. 96. diximus, j THEOREMA IV, *::49. * Quadratum femiaxis minoris eft. medla pro- portxonahs inter diftantiam unius e focis E vel |fab t ter extremitatibus axis majoris,. "ebr.) Jrmft1a DEMONSTRATIO.: fetm» ", Yn triangulo FLC eft FL2 FC* -- LC'; eft au- Ingu tem FL — Lf;nam FLC triangulum z Lf triangulo, i5 Ls in [ 170 CAPUT I s u) - in C enim fü-nt. re&i , L utrique commune, & FC — Cf fgi- tur FL —fL , fed FL-4- Lfz Sr z 20 ($. 20.), igitur y"': [24 " - dlistavuri, TCLIa, FC-—ma—c, C z Lb, ergo fubftitutis his expre(fionibus eft 2^ z 4* — 2a2c *F- «* -- , ergo dratum fer 246 —— cc z ^ — ^ -- D hoc eft 246 — c& z b5, tis, etgo &kuri ex a refoluta equatione in proportionem 22 — c; 5 zzb:c; fed P eít femiaxis minor, 2a —— c eft diítantia foci F. axi$ mitiot ab-s, & c diflantia ejusdem ab S, igitur quadratum fe- e(uiio al miaxls minoris eft media proportionalis inter diftantiam uniu$' e focis F vel f ab extremitatibus axis m " ajogis,- A. V. n ellip, hoc / TH LE""LOA"R EMA V. zP ENCIBUS eh*x | 350.' Quadratüm femiordinate in Ellypfi eft ad --* factum ex abíciffis correfpondentibus ut quadratum femiaxis majoris ad quadratum femiaxis minoris. DEMONSTRAT:IO. $. ( In triangulo rectangulo PAZF ef PA z FA Ux 'l'—-",& — PF*, fed PM — , FM ex Probl. preced. —— x [j ab qqe d- 6 — *fï, PFzxzx —c, igitur fubflitutis his va- ) [ acx* 262x7 tüto t jn 2 ioribus eft r £ * z x* at (* L —— & a a ua&i tadic — x* J4-. 2ex — (* redu&ione fa&a eft 5^ —— 4ex sQuale p ". 2! 2ex* Ls ii 9cx -—.k.ve d fg theo- a d ", fed habemusex prio vilot de « Ltl .rlem'a'tnïe D5 z 2ac — €6t, efgo ec L 246 — 634 poteft Qc hod [j ergo hic valor de &* in zquatione noftra fübftitui, erit 2cx? 4acx gl^x 2aacx b*x* igitur y^ z 42X — — — —— —— — — —— T d a [ aa aa 2b at ORpottion Fmpcfffüng & feduöiïone rfa&a manet )* zz- & d hoc eft a* y' ER EXPRES. ALGEBR. RECT. &c. 17I z(fi m gax)^ — x'^, mutats zquatione Ín proportionem eft )yigitor y: (24 — x)x z : a, fed Y* et quadratum femior- ub(titutis dinatarum, (32 — x) x e"t fü&um abfciffarum ; J* qua- þergo dratum femiaxis minoris, & a^ quadratum femiaxis majoe n—þ! ris, ergo quadratum femiordinate in Ellypfi eft ad fa- h é&tum ex abfciílis correfpondentlbu; ut quadratum femi- Voct F axis minoris ad quadratum femiaxis maJons. qua e w fe» æqzmtzo ad Ellypfrm. iflantiam COROLLARIUM r yris. T. Cum in hypea:bola egdem- fint determmatmnes, quæ ia ellipfi, hoc folum difcrimine, quod Ps fitz 2a -- x, PCx-4 --x, Pf m 26 -- x -- c, CF a --c,fsno — ex elhpii snutate in -, fadis omnibus ut prius habebitur in. ünel/ gb*x 622 f eü äd m 4« quæ ej! æquatzo gd Hyperbolam. d z COROLLARIUM: Il'. VOT ..... j Àe 2Cx ^ LA '52. Cum fuent fupcnus yt ::: 4cx — - "- -, & cum parameter fit otdinata per focum tranfiens, erit abíciffa correfpondens SF Em ergom hoc cafu x u c, fubfti- 20 2c? € 4 his v* L tuto « in æquatmnc, erit y* —— 4c us v of mcortie x a [ E a r "T tra&a radice erit y — 2e — —, hujus igitur duplum feu 2y eft aquale parametro, cum y üt femxordmata, ergo erit p — 4€ ,n c £ 200 — CC p D $i —— À veï -ap 1g1tur c* te ho walor de cc fuperius cxpreffus 2ac — bb in zquatione p z 4€ £ z : 4ac 2 potef! xeup —— fubihtuafur, erit p AC — —— ..'.. — feup l, rit 9b? 2 — 46 -- ——..hoceB-P....——- feup z — vel -ap —2/ fac'ta yyz - — n proportione etit 2a: 9b — 9b: P5 u;uur paramc!er cji teriia proportiozolis ad axem majorem & . minorem, (j C o- CA RB-U-T: Hl h 1375 COROLLARIUM III. ext // zo $7 53 Quia p — ——,. cnt ap — 217 i p : 1g1- lat 2172 ï teitio , *ur in zquatione generali y — hic valor: fnb- a dd et ab futuacur, erit y* Px,....f —— feu gay — gapx — px , re- Quria, —-—p: 249 CUtVà foluta æquatione in analovmm, erit- yz t QAx — xX eftautem 2ax —- xx íatum ex 9a — x in x feu ex SP x Ps, que funt abíciffe, ergo quadrata femiordinatarum ad'axim mo- jorem in ellypfi &- hyperbola ( —— x mutato in «t x) funt ad vel cum p* fa&um abfciffamum ut parameter ad axim majorem Yneae /da fit'ratio ^conftans: quadrata [ämzordmatarum fwzt ut faäa ab- jör,gïzrum corrojþordmtzum. s féhim didy CATUT- I münis aX EXPRESSIONES LINEARUM , QUAE genten FIUNT DUCTA TANGENTE AD : CURVAM, PROBLEMA I. feni by, 4 - Ducere tangentem ad. punöï:um M datum. Tiem bola (Fzg 25) omiff RESOLUTIO Ducatur ex F linea FM & ex f linea /Mm ita, ut Jfn fit xquale F7M; fm igitut eft equale', 2 -- FM hoc eft z $r ; angulus mMF bifariam dxvædatur per TM, ent hæc tangens curva, DEMONSTRATIO. Pun&um M re&e- TM et in curva, & nullum Q aliud effe poteft. Sit enim etiam pun&um 4 in curva, fim erit EXPRESSIONES LINEARUM, &c. H73 rtfA - Jmetian zquale f4 -4- AF z axi majodi S$, ergo f A -- Z squale fm, fed f -- Am (unt duo tf ige latera trianguli fzim, & fm tertium, ergo duo zqualia lor: fub tertio, vel curva f - m.equalis re&te fm, quod l eft abfurdum , igitur folum 7 & nullum aliud eft im curva, ergo fola. TM eft tangéns, que pun&um 4M cum p5 curva commune habet. Q. E..D. SPXPS, Xim wo- COROLLARIUM I ) fuat ad $5. Cum in parabola focus alter f infinite diftet a primo, | cim p f d Xinea ex altero foco ad L du&a erit parallela ad axim (ig. 26.); fatto Mm z FHM, & biffeto angulo M erit TM tangens, folum enim pun&um M commune cum curva habebn, ut priug dicum eiít, COROLLARIUM II 56. Cum angulus M]üt biffetus, Mm — FM, & MK com* munis utrique, eft MinK — MKF proinde anguli deinceps pofiti ad K equales, igitur redi funt, & FK perpendicularis ad tan- o gentem TM COROLLARIUM L. 57. Du&a perpendiculari (Fig. 25.) vel normali NM & femiordinata PM , determinatur fubfangens PT & fubnormalis PN, que fequenubus algebraicis formulis exprimuntur, ÍInve- daturti niemus equationes pro ellipü, qus etiam hoc ipfo pro hyper- bola mutato figno-habebuntur, parabolg vero ob axim mfimmm mxffo termino axeos applicabimus, PROBLEMA 31 Mn! t2 D 598. Invenire expreffionem fubnormalis PJV. TM RESOLUTIO Cum FK vel Fx fit perpendicularis ad T7 ($, $6.), erit neceífario parallela ad V, & triangula fmF & f/M. gullum fimilia funt, ergo eR fm: fF-' 4Mn: FN & quia Cüt V en fn 174 cAPUTIm """'—-— CH x fn — 24, fF:iza — 2c, Mm — ILM Cx ex 2aae ——j erit.m: 28 — 2 :.:cr-l-x-- — [ 245 24ax 9acx oacc 2aecx 2cecx —— - — s us — u H ÁÁ — —— redu&ione 284 244 2aa 2aa Zaq laris 2cx x fa&a eü F27V:nc-l- MM -- asuelele . — , fed EN. tlent. aa um b M FP, fed FP FP - PN( z ergo PXf — FalV 0' 2ex ex —— — m ok —— c; ergo DN Em x o & aa Dy £ 26cx c*x p — x "- c reductione fa&a eft 2e — — — — -- —, 4 [ fed cum «* maecoen us 2ac — Xap($. s2.) erit equatio 2c r 2cx 2uc 24cx.: —— — —— —— apx d p , redu&iono fa- 9a a4a aa quod - &a eft P.N —— 1p — -;7:, fcdp: —g'(s; 52.) ergo * bz pe . fubftitutione fa&a erit P.V 2 — ^5 & ' -g- pro ellypfi, fs p4 4 : pro hyperbola. WU COROLLARIUM. hoc 59, Cum in parabola fitaxis infinitus, adeoque in formula feit, PN — lp — —, terminus fecundus — abit in z feu wuna H infiniteüma pars de px, qus refpecu alterius quantitatis evane« fcit & negligitur, ergo manet PN — ip, feu fubnormalis eft e— dimidie parametro, fed parameter eít quadrupla diítantiz fo- ci a vertice, igitur femiparameter — duple dif&antie foci a ver- p f equalis diftantie verticis a tice, fed diftantia foci a vertice e dire&rice, ergo Jubnormalis eff equ alis. duple dij?antiæ foci « di- U fgärïcc. E H PRO- EXPRESSIONES LINEARUM, &c. 175 PROBLEM4A II - » — 20 60. Invenire expreffionem fubtangentis PT 1 u RESOLUTIO «du&tione Cum MP fit ex angulo TMN demiffa perpendicu- laris ad bafim, eít ea media proportionalis inter feg- fed F iienta bafeos hoóc eft PJV: PM PM PT, feu PT P "n A FP fed PA* feu y px — EL (S 53.) & [ ex —UBN? [/1 PN zIip — (ex Probl Il.) ergo ett PT xX . .,.,--,—-——- p ; aC eü 24px — pxx ex px——-——-—-—- 24 9 Ti 2 44 n 2ap—-2px —..L..——- - pxx d 44 aquatio a —— — ——, inverfo divifore eft FUR 44 2 24p — 2px (Gione fs Saapx 4apxx quod dat —— —— — — —— — —— , omnia dividendo 444p — Aapx 4üdP —— 4apx 292ax X 29 d per 4ap manet PT — &—2ax & — ;in Hyperbola PT 2ü0x -- xx i M act- x COROLLARIUM L gmx — XX 6I. Cum in parabola fit a zx «o erit, PT — " — x [^e] — X hoc eft —— fecundus enim terminus refpe&u primi evane« ii formula fcit, & reductione fatta eft. PT & 2x feu fubtangens equalis du- fey m pl« ebfcife, (j eae COROLLARIUM I rmaha el.t 62. Quia CP -- PT z CT, CP autem fit a — x erit CR fantiz D 2ax — xx a* — 2ax -- x* -IeO92ax — x* fom 4 vef» d- PTL—a-—x-- f — G —X go-—-—x us 9 fictinl —— fafta proportione ex hac equationefiet a — x: a—a: m t* g — C í. Ersro invenitur CT feu punáum T, f ad CP & €S quaratur ?ftia proportionalis. PROe RO 176 -CAPUT II- PROJBLEM A. IV. 63. Invenire expreffionem perpendi'cularïs iSB. RESOLUTIO. Triangula TPM , ILSB funt fimilia ob perþendi- culares.SB, & PM, ergo eft TDPr. D w PBAP: SE. qi ? gax atqui TP — "* TSfeu TP — .SP, hoc eft ü-—X 2ax — xx — ax *t-.xx ) 2üx — XX —.—c.—...-x—*-cfeu 4 —— X —! (X ü Ó od d cocm ebgo- W* ERE D onsnt] — PM - , ergo erit a-—-—x —X ax g m 2(€x — XX : * — y: SB, feu2ax — xx: axc : ü ——X d-X l08 SB, vel 2a — x: a z y: SB, elevatis fingulis termi- hisad quadratum erit 44^ — 44x -- xx: 46 z y:55 81]( Pz Qéblbx — P efl 44* — A4ax fubílituto valore de ^ —— a À 2abblx — bbxx Qabbx —— bbxx : SB*, hoce -Exx:d5-— & 444 — 44x *l- Xx omni — SB*, & quiaex $..89. iap m bb, loco Pb fübfti- i, abx?* —— d pE -t tuendo Xaf, erit 5* ——-. In Hyperbola eft 444—4ax7l- xx m $B* d i Lbei us m — 44& -- 4ax-t- xx COROLLARIU M. —— —— oosz. h eft 64, In parabola cum a fit —— 09, erit S.B'-:-..- i 4 o * terminus enim fecundus evanefcit, cum re fpe&u co? fit — ni- Z2 tilo, deleto dein in —— fuperius & inferius oo * , manet 4p7, LT ergo SB* z ipx, fed px — y^ ergo zpx — ï-y'l, extra&;i zadice erit $B. z 4 y, hoc eft SB fl aqualis dimidiz ]2mior4z'nat:t 'eliqu hi, i n parabolfz. PRO- lj us r " 1 EXPRESSIONES LINEARUM, &c. M ]F) :!55 (::) :IE; ;l:J ]ju ]!ï([. JQL .'97 sB 65$. Dfvenire expreffionem normalis 2VM. RESOLUTIO xpendie in tnangulo NPM et NM: — PM* 4- PN5, at- . b 2bx Z]QQ 2a3)]x — abz e qui BM z — E u 3 PNM hot sf [ aa a « p* l]2 - a^ b? —-ab?x 4 —ÀÓ —.—.—.————, feu P ergo PN* a aa (;3 TO erit EE a** — Q9a9b*x -- ab*x 6 ,omnibus terminis divifis per a 2p* — oab*x -- b*x* zx:y. 4' manet ü 4 mulüphcando omnes t*r« 8 fetti minosin Valore de PM'2 per a, ut habeatur denominator 4*, 2 a?l?^x — a? l? x? -- a*b* — 22b5 x -- J*x p eut PM?^ - PN* 124 -— 4X -- NM, fed . cum 2* ? fubftituto hoc valore, & . lx n t omnibus tetminis duétis in 92 erit fübfi 4aipx — 2a*px -- 4*p ——-zaspx-l-apx ? 44* ol jdi omnibus termini$ divifis per a erit. "VM* 44 px — 2apx^ -- a^p^ — gap^x -- p'x 2 In Hypeérbo- ER 4a^px 7- 2apx^ -- a^p^ *t- gapx -- p Ja et MN* 2 —— f o p 44* LL(: COROLLARIUM. zM C i jJet P^ 4 ^0 px—l-oo —— 66. Cüm in pàrabola fit a — o , erit NM^ ? 400 exidà teliquis terminis utpote infinite parvis refpe&u oo * ev- nefce ntis d bus, & deletis ubique 429 " manet NM* zz pX -- 4p : Metzb AMath. P. 4I. M PRO- pno p EL 176 (CAPUTIE PROBLEMA VI ipiti 67. Ynvenire expreffionem rxeöf'æ SIV, quz eft diftantia verticis $ a puncto JV. " ] t D RESOLUTIO. fitut bi b?x .52)h* SN z SP -F PN, fed SPzzx, PN — [ m feu a s. a —— üa^x , reducta ad communem denominatorem utra- *]^— ab?x -- a?x que quantitate tam de P.N, quam SP erit - ? 1 ü P Vr ts $ & rUbüi' diviüsv omnibus pet a, erit : & a 2 p p -- ppx9amwm CYatit tuto -- pro P erit 2 : I"p Hyperbola Yvà : «p -- px -- z)ax.a 24 COROLLAIRIUM. ] tit 68. In parabola igitur ob a-— « , formula abit in hane cop -- px-- 20x op-- 2cox iyw 209 ; p* evgnefcit, 6 —— abit in Ip 2»00 eàsi x & « [ PROBLEM À VIIL ^ - um »6'9.' ?nvenirg exprelïlonem tangentis 7/M. Íci (s 1à b - RESOLUTiIZO. Tatis 2D?x þaxz Wt TAf m;PMZ; -- PT*, fed PM z ————— Du—À , feu h[ gab^x — Dx* p 24 lx ngu abx* eu ; E OA d i 4 868 ,&PT:—T: 4—X R ä igi* » EXPRESSIONES LINEARUM, &c. 179 Aatx* — i'ax? ..'. x* igitut PT* — , ergo PM* —f- PT"z et & — 54x -- x^ u [ adx — V* 4 r 4axt z TM-*,fub- a* 4^ — 9X -- x* z b e - X fütuto. . — 1Qco ert TM* — pi — 2, 14 ü $a -;ï'eu 4qtx —— Amcer Ü Q a ——9x -- x . In Hyperbola ecritï IMz- päc [1| uTd» x 4a^x tox "- — 4 * 4ax* -- x*g v 2 á^ - 24x--x* COROLLARIUIM. fub(t 70. Ín parabola dOW —— — c€ et TM^ — pxr -RA4x^, evanefcunt eniríi —— item —— —— —— 4ox? « x* 209x-x^ cum Ífint infinite par- vrbolà 2 z / va fefpedu —— 2 » quod reducitur ad 4x*. SCHOLION; 71. Confideravimus ha&enus abfciffasa vertice compütatas 'e erat femper (Fzgz, I5. 16:) SP — x , hinc CBinellypfi2ca—-x; in j hane hyperbola — a -- x, Si abfciifas a. centto computemus erit CP d e—x & SP-a--xin/elypi,;&a -- x in hyperbola, fet easdem omninoó proprietates detegemus, quas fupérius $. $O. & coroliariis fequentibus retulimus; ita in circulo fi CP dica:ir «, erit SPcza — x&sPocca-5x, hinc PM^-czSP X P; feu y^ - (a—x) X (a-I2x) hoc et y^z-a* — x^, In eltypü cum fuerit equatio x^: (2a — x) x — b^: a* (s. 50.) &a - fcifle etiam a centro computentur, erit ($. 44.) SP — a — x, Ps — a-- x, & re&angulum ex abfciffis —— 9 2 — x*, hinc Y :^ — x^ z b^5:a*, Atque idem verum eft de femiordi- natis ad alterum axem, ita etiam. MH^ (Fg. 15.) erit ut re- &anzulum ex abíciffs; du&a enim fémiordinata MH, quz eft equa- fei hs 6P.——x, erntCH —iMP-— y, proin HL": b— y, & Hl 2 z e bb y, erit igitür iterum y*-b*— —— inel D ./,'(X' b^x f b?a? iypü; & y* Pl EX —— Zzbï a 2 25 1 þyperboïa, factaexinde proportio eritax M .3g o a 1 E 180 CAPUT H(l. EXPRES. LIN. &c. 4 — b^, etgo quadrata femiordinatarum utriusque axis funtad facta ex fuis abfcifis, ut quadrata femiaxium ad fe invicem, & in genere quadrata femiordinatarum utriusque axis funt ut fa- &a ex fuis abíciif's, Hinc etiam relique formule fuperius expo- 2 — X fit2 in alias parum diverfas aueurt, ut TP ent z ————É— 2 2 DE x in ellypü, in hyperbola &c, &c THEOREM 72 Superficies ellypfis eft ad' fuperficiem cir- &am culi fupra axem majorem fanguam diametrum de- tam fcripti ficut femiaxis minor eft ad femiaxem majo- D rem, (Pzg. 27.) titg DEMONSTRATIO. tri d IU chatur P.N femiordinata circuli z Y PM femiote bitiec dinata ellypfeos — y,erit Y?zz 4* — x* ($.432, & z & di I,a X ([z —x) 2 bz)((a —x* ) (5.50);hibe P* ^ at z Q feu reductis ultmns terminis ad communem denominatorem A*X a^ -— x b x a —-x erit 4 z u 2 , omifío zquali divi- Uf, fore &* & squali multiplicatore 4* — x? manet 4 bz ergo Y* 2-—-—-0 b*, ergo etiam Y : y a: b'vel y y : d Jam fi fupponamus has femiordinatas infinite parvam latitudinem habere, colle&io harum fe- Darte ib miordinatarum juxta fe pofitarum & dimidiam ellypfeos, & dimidiam femicirculi fuperficiem dabit, ergo erit fu- lu Iï perficwb ellypfeos ad fuperficiem circuli fupra axem ma. m jorem. de(cripti ut femiaxis minor ad femiaxim majorem ld Q. E. D. pret A tent; C A- Otqin ag a j L Z^ o TY 6f Z (s & ORE 181 lique axis e Imvicen nt ut f 2 1U$ expo. COA-PU T IV --x at X DE DIAMETRIS CURVARUM ET DE HYPERBOL/E ASYMTOTIS — i DERPFINITIO I em ar 73. Diametrum curvze definivimus fuperius effe re- À wm de &am per centrum tranfeuntem & in.perimetro termina- [ [2) tam v. g. (Pzg. 28.) MN. Diameter curve confugata EF dicitur refpe&u alterius diametri, fifit parallela ad | tangentem 77M, quae ad extremitatem alterius diame- tri ducitur, ordinatas diametrorum fuperius quoque di- ximus eífe rectas in curva'terminatas & per diametrum [ (emiote biffe&tas hoc ipfo igitur funt parallele ad tangentem &V! — & diametrum conjugatam —— [j 0 THEOREMA I natotem. .74. Diametri omnes bxfmam in centro fecan- ali dir tur. (F?e, 28.). T2 DEMONSTRATIO í bvel yrdinatas Demittatur ex M ordinata MQ, & CQ ad alteram partem transferatur in G ut fit CO. z CG, erigatur an fe ibi perpendicularis GJV, erit hxc vordinata & pun&um ypïeos, N eritin curva; eft enim triangulum. MQC — CNG :! erit fü cum enim 7MQ & GV utpote perpendiculares fint paral- em 1* | lele, erit angulus 7M z N, in Q & G (unt re&i, & najorem reterea. CO z CG, ergo tota xqualia ergo etiam & ordinate a MQ — GN fed JMQ eít ordinata centro zequidiftantes funt xquales, ergo etiam GJV eít ordinata, & AV in ellypfi vel hyperbela E M 3 THEO- nl 182 CAPLT.IV THEOREM4A II $. Siab extremis // &V duarum diametro- KC rum conjugatarum ducantur /MP & XNQ ordinatze T ad axem $s, erit quadratum. CQ* feu abícifte in- »- terceptze a a centro & una ordinata, zequale facto ex 1um abfciffis correfponaentlbus alterius ordinatz, id eft duot. CQ — SPx Ps. (Fig. 29.) M M r DEMONSTRATIO Teu Sit CO z »x, $0 z a4—u QrzzaM-u NO —— . cum triangula PMT' & CNQ ob re&tos in P& "— Q & alternos in C & T equaliafint, erit TP : o um te PM : NO, feu TP: CQ ——PM:NO*, hoc eft FP*; u —yticzt, fedgt!:z*m—a4—x a —u, quadmta frá enim femiordinatarum funt ut facta abíciffarum ($. 53 Vel g —* dica- coroll. III.) ergo TP^ : ; zoa —x €en camus TP —t. erit i? "- 00 —— X d u D fed TP feu $ z (5 ya )ergo ix z — x fubftitu- to hoc' valore in tertio termino erit 2^: 2* z x: 4^— , feu alterpando 7^ : zx zzs w^:a6^ — ,dividendo l primos duos terminos per £ erit / : x, utrumque multi- plicando per x erit 2x : xx z 4* — , & compo- nendo eft £x : xx-i-tx—u .a-——zlz-i-u & alter- nando eft x u om— x ix: «&, fed cum fit x — 4 Z E —— x", erit 2à^ —— x* -- ix, ergo erit !x u"a ü boceft tx i at . ergo etiam g^ — 4* — x*, fed u....CQ, (* s'ïsz....a-—-x5 P;-—aax, ergOe"cCä-—bP x Pr &in hy perbola eft i m a* — at Q. E. D. R COROLLARIU:M E 76. Cum igitur femper fit SOX Q CP* $P X Ps; — NQ * cum in ellypfi fit CP. zz x, fi fiat ex proprietatibus eïlypïcos t & R DE DIAMETRIS CURVARUM &c. 193 z 2 s £ bz —— : ONQ'erit NQ' z ——. Dein in tnanguhS CPM .aa efto & CNQ utpote re&anguh., e CM* — CP^ . PM* & CN* ze-eco* B* x* MEICS | & In -N* ,eutCM*-—x —l—b*—----—-&NCz-—a —ax* bz Q CX -R —-—, ergoCHt^ -- CN2 z b*-La*, hoceffumma quàdrato- 1: ä leff rum diametrorum conjugatarum quarumvis eít cequalis fumm» duorum axium quadratorum, adeoque cum axes conítantes fint in eadem ellypü, etiam fumma quadratorum dla.metrorum cone jusatarum conftans eft, In Hyperbola fiet b* — a^, hinc diffe- rentia quadratorum duarum diametrorum, conítans eft, .ï; THEOREMA T. ] ? P& £ 7. Triangulum MPT a tangente fubtangen- te & ordinata factum eft zquale trapezio SPrM [ * dratà facto ab abíciffa SP, ordinata /MP, tangente in 5) vertice r9 & recta rM per punctum contactus & Jíca centrum dudta. (Fig, 30.) TP DEMONSTRATIO titu« Cum ZP ft — It ls AON d a——-x ndo abfciífis a centro computatls, erit CA —— -F xíeu 2 x ult A* — x* m x X id eft —; refoluta hac x equatione . CT 1po lfet 2, Cs £ Wuene um — in PTOPOI'UOHSBI erit x * 9 42 4: CT, id eft D 2 CP : CS z« CS: CT, obtriangula vero fimilia CMP, Fg, CrS. erit CP: CS....PM : Sr, ergo etiam C5 :.C T -'-'PZV[ P XSV SV&CS)(Sr CT x PM vel etiam 2 E ssl CTx PM um , Ífed he quantltates funt zquales areis v* fe05 triangulorum S£C & €M T eff enim dumdmm factum M4 ba- ". i o ):( 184 CAPUTP:-IV bafium- C T' & CS in altitudinem 5v & PM, ergo trian- gulum CM T — triangulo CSr , ablata ab utroque parte communi P/MC manet TPM triangulum z trapezio ,M() j SPAMr.. Q. E. D. &ur f COROLLARIUM I inh 78. Inde patet, ü./o (Fäg ?I) femiordinata ad diame- tiof itrüum prolongetur usque ad axim in y, & demittatur ab 4 femi- leti ordinata ad axim /g, fore triangulum /qu z trapezio qkr$ ; tri- l* s angula enim PMT, glu funt fimilia ob parallelas lu, MT & re- W. &os in g & P, ergo et MPT: glu — pu* :gl^ (funt enim tri- angula fimilia uf quadrata laterum homologorum) eft autem ob ( frovrietates ellyfeos PM* : CP?:c6to* gl2 zcS? — — C & -( CS* — CP* : C5* — Qg* — PSrM : qkSr hoc e PS? 148* —— PSrM vel : gk$r. (cum enim trapezia hec habeant eandem altïtudmem, erünt eorum areze ut quadrata bafium PS & g$) ergo etiam PM* gl2 z PSrM : gkSr, ergo etiam MPT : PSrM — glu qkSr , fed MPT — PSrM, ergo etiam glu z gksr, demendo SrMP & üy addendo MPT erit glu —— qkMT. CM COROLLARIUM 1I. -I| 79. Ergo tuangulum parvum Klo eft æquale trapezio oMuT ctm enim fit g/u — qkMT, auferendo ab utroque kgou com- L] 42' mune, manet Jok z oMaurT. COROLLARIUM III 80. Si nd ducatur parallela ad /k erit Cnd —— CMT. Nam xremoto pun&o 7 usque in V, linea /u eoincidet cum Nn , -& tra- at pezium MouT degenerabit in triangulum CMT, & Jok in NCD, fed aX Iok &rat z MouT, ergo etiam NCD — CMT , fed NCD eft ol üit parallelas$ equale 1pfi nCd, ergo etiam cnd —— CMT, ) pl THEOREMA.IV 81. In ellypfi quadratum femiordinatz /oad dia- metrum Z/Mm eít ad productum ex abíciffis 7Mo i X oOonm, T ut quadratum femidiametri conjugata JNC *qu 'vd quadratum femidiametri alterius. 72MC', hoc eft d hn : Mo x om — NC' : AMc'*. (sz gi) D E- st 195 DE DIAMETRIS CURVARUM &c. ) (riatt- & DEMONSTRATIO. e parte Sit lo rE anmeamuna d Foinoms] apezio y, Mn 2a, Co x, MC zxa, Mo X om amtuose ts ss 44 — xx, NC zm b, mC . ETA ] 4; duca- tur sd parallela ad /k, erunt triangula zde, lok fimilia, in k enim & d feu y & a funt alterni, item cum /zux fit diome- rhomboides a quatuor parallelis, anguli oppofiti & & l femi« l etiam debenteffe zequales, ergo totum ndc z—lok, ergo fs tti« "& lo* ; nc* z lob : ncd ($. 264.), fed triangula fimilia CMT, C dant CA : C — CMT': Cou, ergo dividendo lm tri« ]tem ob CM* — Q* : CMe. z5 CMTT — Cou: CMT , fed CMT Q — Cou z MouT, ergo CM* —Co* : CM* — Mou T: CM T, - Pt vel quia Jok — AMouT'($. 19.), & MCT — ncd, ett CAP dinem , — (Qo* : CM* — p n py* lok : tcd & quia erat fuperius Co* :nC* z lok: nd, erit etiam CM* — Co? : CA z eo* : n* : K, TP k fi jam fubíituamus valores fuperius expreffos erit. ( ob CAMP — & - CM-r-Cox CM — Cozza-c-xXa pl x) à* — x* : a^ z y* : ^, vel permutando y* : à^ — x* Z—bä Dd 3MuT , b* : &^. In hyperbola autem eritv y:x —àa 4 com- : azo Q- Eo D! DEFINITIO IL 82. Si per verticem hyperbole S (Fig. 32.) du- [ Nu catur linea perpendicularis ad axem , & fiat zqualis & tfo- axi conjugato, ita ut LL/ fit zqualis Yx, linez indefi- p, f& et o nitzs ex centro per Y & x ducte dicuntur afymtoti Hy- perbalfz. COROLLARIUM I. ] dii 7O, Patet inde, quia Yx femper eft equalis Ll, prout L7 major vel minor fuerit, angulum , cui opponitur latus Yx, etiam IMo majorem vel minorem eífe, & f fuerit re&us, axis conjugatus NC squalis axi principali effe debet, cum enim in C fupponatur effe re&us adeoque m-j-2 n — 90^, eritm 2—45^, proin cum in u ete el lam fit re&us, erit r etiam —— 45^, proin C$ 2— SY — CL. Cum jam hac ratione a]terutg;* axis pro conjusato háberi poffit, M E. 5 qua- 186 ÜOAPUT.IV quatuor hyperbole, ex quibus due quevis fibi opponuntur de- ( fcribi poterunt, & vocabuntur hx Ayperbole «quilatere, COROLLARIUM I 105 84, In hac hyperbola equilatera abfciff s a vertice compue (I tatis habetur ad eapm equatio y z 2agx - xx & abíciíüs a centro computatis eft .a gb & — 4 ,quia 4 — b,& p z— Q parameter eri£ aqualis axi DRERBSJIAITIO HT. 85. Quevis re&a ab hyperbola ad afgmtotum du- &a vel parallela alteri affymtoto ut MY vel parallela axi quà conjugato ut /Vía vel parallela axi principali ut 4 Y dicune r tur ordinate ad afymtotum. t tei THEOREMA V fni pl 86. Rectangulum linearum a7M x JMe, que funt ordinata P/M prolongata utrinque ad afyinto- tum in a & e, eft aequale quadrato femiaxis Conju- d gatl feu D. to DEMONSTRATIO li ] Dicatur CY pars afymtoti ab altera ordinata MY abíciffa 2 x, erit ob triangula CSY, CPa fimilia. CS bx SYzzCP Pa, hoc eft a b z x: Pa, ergo Pa — fed 4 — aP — MP , hóc eft 4M — — — y & Ms & N — MP -- Pefeucb PDz- ]V'P & Pe — a4P, erit 7Me le z P: -- MP hoc eftMe—. u -l-y, ergoaMX]Wc—- & 94 Qu —2 77 J fed in expreffione ellypfeos abfciffis a centro 2 vX $ L computatis eraty^ z — L^, & quia CL* zz , erit CL* | | DE DIAMETRIS CURVARUM &c. I87 üntut, de þ2l 2 e CLz REU refoluta hac sequatione in facto- aa bx———y res erit. CL^ — ) (E»x OM && Compti 4b CL* z aM x Me. QED Z:—-Aä& COROLLARIUM z 2 87. Cum fit Pa — —,erit P4^ & ———, fed, PM* eft 52 62 da a otum d — m ul ls nE z 2 ($. 7:) ergo Pa femper major eít debea a allela a quam PAT, cum femper P iit æquahs ipfi Pa — quanutate Y dicu b2 2 ———.4 ergo inter, ordmatam & afymtotum femper aliquod fpa- tlum intercedere debet proinde nunquam illi xqualis fieri pos» teft. Ergo hyperbola nunquam cum afymtoto concurrit , licet in in- finitum producatur THEOREMA VI que afyim 898. Rectangulum ex ordinata quacunque MY Qotj ad unam afymtotum, & parallela ad | alteram. afym- totum & ex fua abfmü"a CY -—x elt femper zequa- lis rectangulo ex $K * CK . feu CK* id eft, erit JIYICA CM CCE st MY lia h DEMONSTRATIO ..--, Ducatur Jx parallela & zqualis ad CY, triangu- la KSY & MaY funt fimilia, o enim & ; ob parallelas j&Me SK & MY, item r & c ob parallelas SY & 4/MM. zqua- erit Jf les funt ergo erit MY : SK — 4M : YS vel CL, fed ex precedenti theoremate eft 4/M : CL — CL : Me, & um quia SK Y & MZe ob parallelifmum fimilia funt, erit etiam SY : Me z YK : MZfed YK et — SK & MZzCY ; centto ergo SY : Mezz SK ; CY, ergo etiam MY : bK SKÉ: p, ett CY. Q. E. D. SCHO- ( 188 CAPUT IV z SCHOLION - (l $9. SK eífe xquale KL apparet ob C rectum per afymto- ium blffe*"rum proin m — $,in K funt redi, ergo CSK :KLC' Tàfe fil ergo SK —— KL ob eandem ranonem SK x K, COROLLARIUM Y, ad ftü 90. Si CK vel SK faciamus — c, CY — X,& My,.—y, te ha erit ex precedenti theoremate y C — C « ergo. L -- Xy. &10ne que eft equatio hyperbole velate ad afymtotos ,- & quantitas cc. eft n d potentia hyperbole COR(C LLARIUM — Ik 91. Cum ob re&ansulum €LS fit LS? —— CL* -IF- CS? hoc eít LS* —b --2 fed L3 — 928K , ergo 4SK — b? -4a^, SK? (ioj E bz fæa. c? — À b* -a* — —— pan 4 4 - — , ergo potentia hyperbolæ eft equalis quarte parti fumme quadratorum fomiaxium. THEOREM.A VII qu£ : Tiete 92. Si quzecunque linea ae (P7g. 33.) per hy- h 5l perbolam ab afymtoto ad afymtotum ducatur, par- Ebf tes aJM , me inter curvam & afymtotum compre- [ henfze funt inter fe zequales. DEMONSTRATIO tàli Ducantur per /M, & m perpendiculares ad axim illi l BQ & DT', erunt triangula 4MB, amD ob parallelas BO, DT fimilia, ergo et 4/M : MB z am : Dm, fed h etiam triangula Tme & eMQ funt fimilia ob easdem pa- Ly ralelas, ergo eft M : MQ z em : m T multiplicatis his proportionibus,uti ftant, erit a/M x Me: MB x MQ. z—am x en:mD x mT, fed BM x MQ — V, item zD xmTz-Fextheor. V. ergo BM x MQ —nD x ml. ergo etiam aM x« /Me zz am X me , .fed Me zzx Mm -- sne & am d ao eem /ZM "ä'" 1Mm ergo aM x . Mm -- me anS|laees d kIj)'E DIAMETRIS CURVARUM &c. 189 — aM -- Mn x me hoc eft aMXXMm -- 2/M X me d p fymto- 4M x me -- /Mim x me, delendo ubique a/M X me z ELC maret a/M x Mmn z Mu x me, deleto JWm» manet 444 f':..f me; Q. E. D. SCHOLION, 93. Plura hic addi poffent, verum cum elementa tantum -), ad ftudium phy(icum neceffaria confcribere propofuerim, fuffice- z. re hec arbitror; id unum hic fupereft, ut oftendatur, has fe- &iores planas eas omnino effe, quas initio ex fectiene coni ori- T ;l diximus. Sit igitur. PROBLEM.A II . 94. Determinare naturam curvze orte ex fe- $* hoc * se &ione coni, cujus fectionis axis fit ad latus coni lol tj parallelus, Lp4MN. (Pig. 44.) Rs R.ESOLUTIO; Secetur idem conus plano ad bafim paralleloxHPI]/VI, qua neceffario erit circulus ex definitione coni, & dia- tty meter HL erit parallela ad diametrum .4B, & triangu- la SPI & SEB (ümilia, proinde erit SP : S E —— PI: p EBfitSPzzx; SE-z, z D m entkcocmi: ;mpïe' X HO EB — ïï- Jam cum PM fit media proportio- nalis refpe&u circuli inter. PI & IHP, erit PAf —— PI x HP,& bN: Mu Guceccem AE x EB. Siergo fit HP z- «, | axitt ili parallela & zqualis AE etiam erit z— v, erit P/M* jllelaó z ivG EW aoX ii feu - j fed x x 77 igiturfi PA* fiat y & 1 pe EN* fiat. 4* erit. heats PL DBhebH. AEXEB "H 2 2 —— 2l 1, item J A ] ll iv : hoec eft — mD ] q'Z fux viz z Mm n 2 M J 4 3, hOG eü P]þïz: J EN: d 190 CAPUT IV EN -—x 2, fed refpe&u curvze S7MEN funt PM & iteim fut EN femiordinate, & SP & SE;abfciffe, ergo quadra- ta femlordlnat..rum funt ut abfciffe, hzec autem pro- foos 2 prietas tantum eft in parabola, ergo curva, que Ori 'Tur ex fc&ione pamllela ad latus, eff. parabola. PROBLEMA IL 95 Determinare naturam curvz ortze ex fectio- fie ( ne coni oblique ad axim. EpS MANE, (Fig. 5) RES OLUTI1O. Secetur cónus idem duobus circulis ad bafin paral- fim lelis HpIM & LKNL, & fimul per fe&ionem tranfeun- ES &tit tibus, ut prius, PJ fit iterum — £, SQ.....v SP....x, SE za,LQ z s, erit ergo PE — li, — v, ob triangula fimilia SPI, & SLK erit SP: PI-SQ:QK x i d U i &ob triangula fimilia ELO & &o EPH $p eiit EQ : QL — EP PH $ —— $x & — " z y Em (1—JX —— , ergo cum iterum fit ob Q —— "D u$ —X t propnetates curcuh PM' — : HP x PIerit PM* z — $xÍ a-—uw eri X t hoc ef'c & & — et ON KQx QL ergo Q* z — X * hoc efï — ergo eft £xb vi; zutx —— fixx fed QNz : — hoc i x [j E vtg — wvl — ormiffo denommatore coinmmuni & divifis x —-'Ux per omnibus per £* erit ax — xx : av — vv, fed refpe&u cur- I ve EpSMAME funt PM & QV femiordinate , 5P & PE item i DE DIAMETRIS CURVARUM &c. 19* DM & item EQ, Q; abfciffe, ärgowquadratva femiordïnatarumr quadra: funt ut re&tangula ex abfciffis , quz eft proprietas ellip- m pro« feos, ergo curva, qua eritur ex feclione obliqua ad axim, eft "2771 cllz'g/z':. PROBLEM A IIL 96. Determinare naturam curvze ortze ex xfe&io- r« ne coni parallele ad axim LpSAMMNL. (Fig. 36.) 45) RESOLUTIO. Secetur conus idem du&o circulo parallele ad-bä- n paril fim HpIMH & fimul per fe&ionem tranfeunte ut prius, tanfetie erit EP z a-H-x&E ES L a,SPzx, SQov, PHol,PI-;, ergo 9P:1', —— 4-i- v; ob triangula fimi- MT la EPH, EQ 4erit EP : PH — EQ : O4, hoc eft ab -- uf ü-i-x fomzmmadx: 4 vb x " &K ob triangula fimilia /SPI & SQB erit EPH SP : P[ z 5Q : QB ergo X $ E « —. cum iterum ü,t ob proptietates n fitob t - 1X circuli PA — HPx x PI &, QN* — 4Q x QB — at - v Ey/4 q-9 erit PM* 'f—' x r& DNAS E Qd m c N at i Cs — hoc 4 Ti- x x atfu -- vvis aifU -- ft —, ergo PM* : ON* z t : M ax "- xx üx -- xx 240 ett ?fedu&is ad commuhem de*nominaforein eft irax ,—'— ixx —— - n at "- vuotr |düx eeoxx P / UR AERS ax "- xx omiífo commuhj denomjnatore & divifis qivilis per ts manet ax -- xx 4v *k- vv, fed fefpectu curvze tu cut LpSMNL, PM & QN funt femiordinate, & SP & &P $Q abíciífz , ergo quadrata femiorgdiqatarum fünt ut re- ia ; &an. 192 CAPUT V. y - &aggula ex abfciffis, que eft proprietas hypetbole, [2 ergo curve, que ovitur ex fe&lione coui parallele ad axim, ef pium ; hyper?ola. men plun CA-þUyT V fpat NT DE DIMENSIONE SEU QUADRATU- talle 'þäït RA AUT CUBATIONE SECTIONUM teit CONICARUM. Hi) DEFTITINITIO L $at 97. Quadrare fe&ionem conicam eft dimenfmneni pu plani fe&ione conica claufi in menfura quadratica determinare. Cubare eft quantitatem folidi fe&ione co- nica fa&i ut Paraboloidis , Ellz'ptoidi:, in menfura cu- & M bica determinare. Qu QTHROREMSA I G 98. Area fpatii parabolici , ramo, axe, & femi- ordinata claufi ZV.SIN. eft sequalis 2 facti ex bale feu femiordinata in altitudinem feu partem axeos Ss. . (Fig. 37-) RESOLUT. ET DEMONST. Ex M ducatur tangens M T', &in S erigatur per- pendicularis S indefinita, ad hanc ex /M ducatur pet- - pendicularis 7Ma, & illi infinite propingua sz, uttaque erit parallela ad axim, per pun&um r ducatur re&a u perpendicularis ad axim & parallela ad.mS; fi MMr pro recta utpote infinite parva habeatur, erunt triangula Mrsn & M Ts fmilia, & erit sT : £M z u nM, HT"UB|ND P Ral 2mu & fed s ^ zz 25s utpote fubtangens ($. '61.)" ! L ) D. DE DIMENS. SEU QUADRAT. &c. 193 fbole, yr z— 5,ergo amn : sM zsi : nM & oamn X nM i, ef z £M x s, ergo re&angulum intekrius fiuM eft du- E plum re&anguli exterioris a/V£mm, ergo quodlibet. ele- mentum fpatii interioris dimidiz arez parabolice eft du- i plum elementi correfpondentis exterioris, ergo totum fpatium parabolicum .S/Mr eít duplum fpatii exterioris SaM, fed hwc duo fpatia fimul fumta funt zqualia pa- TU. rallelogrammo ,$4/Mr; ergo fi totum dividatur in tres partes, erit fpatium parabolicum ,S/Mr &quale duabus j tertiis parallelogrammi correfpondentis & fpatium exte- rius ,S/Vía eft una tertia. Si igitur ex altera parte pet ramum alterum parabole fpatium claudatur, cum hzxe pars fit mqualis alt fionem eri ^ erit totum zz $ M x Ss, Q. E. D, - dratica $CHOLION E ye CO ià QU 99, Cum aM & nm fint infinite propinqua, triangula Mrn & Mrn funt infinite parva, proin refpe&u re&angulorum, ad que pertinent, negligi poffunt, & MMuis pro interno, ammM pro externo haberi poteft. SCHOLIöN It, fefmie Ioo; Siigitur datur quadrandum fpatium MSJN & flt MN , bule zx $64 , $s — 230 eritípatium parabolicum *OS SSa z 564 39 [Era s SSRKSISIE m 16920 1128 r per 129720 t pel ttaque quadratia .259440 | 86480 pedibus i fs u f pto n guïü nM j j & : AMetsh, Matä P. IH. N THE tf T 194 CAPUT V. THEOREMA II lor. Soliditas corporis perimetro parabolico üx claufi feu paraboloidis eft — dimidiz arez baíeos tet ducbz in altitudinem. (Pzg. 38.) Jus DEMONSTRATIO Si planum $Ms circa axem s rotetur SM de« fcribet corpus figura parabolica 7MSm claufum & quz- ] libet ordinata ut /Mr, OP defcribet circulos; funt igi- lii tur elementa hujus corporis plana circularia, que:a vettice. 5 usque ad bafim crefcunt ut quadrata ordinata» po rum,-cum fint arez ut quadràta diametrorum, fed qua- i drata ordinatarum funt ut abíciffe ($. 39.) ergo arez borum circulorum funt ut abíciffe SP,.Sr &c. Si igi- tur ab(ciffas in progreffione arlthmetlca crefcere fuppo- namus, cujus primus terminus 5 eft infinite parvus — 0, fe & ultimus —— circulo radio /Mt defcripto, qui vocetut ad B erunt quadrata ordinatarum feu atéx circulorum zequa- les fummz progreffionis arithmetice, cujus primus ter- m minus —— o, & ultimus — B. Numerus circulorum feu terminorum progreílionis eft altitudo 5s, qua vocetur .4, erit füumma zz . ——, fed fumma. elementorum, feu fumma harum arearum eft zqualis toti foliditati feu pa- e aboloidi, ergo foliditas paraboloidis eft z— dimidio ( fa&o ex area bafeos in altitudinem.- Q. E. L4 i ^ SCHOLION r fit Ms 102 Sit igitur cubandum corpu: parabolmdmum z 56 , erit tota bafis -— 24 6176 , füt $s e« 60 elit tota (ohstas 246176 QU e 306" 73^852 800* Y N THE- Fad DE DIMENS. SEU QUADRAT. &c 19 J THEOREM A. IIL Quco 103. Superficies ellipfeos eft zequalis fuperficiei l808 circuli, cujus radius eft medius proportionalis in- fer axes, hoc eft fi axis major —d4,minorzzb,cu- jus radlus um W DEMONSTRATIO | de. que Sit « circumferentia circuli radio v defcripti, inve- it pj nietur circumferentia mrcuh radio a defcripti per pro- ub 3 * L e ao — IDatte POI'UO']EHI y É (5 244. gemz), ut habea- ac a que tur hujus circuli area, ducatm — in —, erit fuperficies area Li ». l ii circuli radio « defcripti z —— fed fuperficies ellip- ippo 0 feos eft ad hanc fuperümem arcularem ficut axis minor &Uf Ó i b lqw& ad majorem, ($. 62.) feu S': ld $ 85 ergo 95 atbc abc t&ft — — —— m 24/' 2 ; fed hec e(t area circuli, cujus radius j feu CeLUE eft [/au, affumto enxm hoc radio mvemetur ejus cir» ce cumferentia dicendo v : e —— ab : fei -———.., que cit. L xf?. cumferentxa du&a in dimidium radium feu *— — dat Yiol0 —-QED gT COROLLAR I U.M I. h IO4. Ad inveniendam igitur fuperficiem ellipfeos exttalia- tota tur ex fa&o axium radix, quse erit radius circuli, cujus area eft »qualis arez ellipfeos Sit quadranda ellipfis , cujus axis major a — 9 , minor b — 4 , erit radius medius proportiona- lis —6 , eít enim 4 X9 —5 36, cujus radix —6 5 pofita igitur diametro z I2, arsà hujus circuli habetur ex proportione ^E L "od - E UI o E D 196 CAPUT V. 144 : I1304 , que fimul af ($..267, -reorre*) 1000 : 785 — eft area ellipfeo$ quzíita. ad (i COROLLARIUM IL. du u Yo»5 Apparet eX hoc ? cum qmdratura ellipfeos ab area fufpon tmfer. Circuli dependeat, eam quoque veram & abfolutam inveniri iion poffe, ut de quadratura circuli diximus. foidi f a feript TL EOO.R EM .A IV. fed (l 106 Soliditas ellipfoidis zequalis eft 2 fadti ex yli e€eUxr bafecs area circuli . e minori tanquam bàfi defcnptl, in g w j axim majorem. (F?9g. 29.) t tüáo DEMONSTRATIO Jis & Si concipiamus circulum fupra axim majorem el- fcrip lipfeos Sr defcriptum , eumque una cum ellipfi circá RHBSSS axem 5$s circumagi, ordinatz circuli CB, .PD tanquam | 1 radii defecribent circulos, qui fint ad circulos per CV um alitud PM ordinatas. correfpondentes ellipfeos defcriptos ut if quadrata ordinatárum Circuli ad quadrata ordinatarum UY ellipfeos (funt eniim circuli ut quadtata radiorum) feu ut quadratum femiaxis majoris ad quadratum fémiaxis minoris, ut dictum eft in ( 79, radii vero circuli de- fcribent fpheram & :àdii ellipfeos ellipfoidem, ita ut 18, quod ficut fphzra eft colle&io fuorum circulorum tanquam ele- d inenta fpectatorum , ita etiam ellipfois ex colle&ione fuorum circulorum tanquam elementorum confurgit , igi- tur fphzra , CU]US circulus maximus diametrum habét tqualem axi majori ellipfeos eft ad ellipfoidem ut Qited pan quadratum íemiaxis majoris ad quadratum femiaxis mi- noris. ia $i jam concipiamus duos cylindros ejusdem al- Que titudinis ; fed quorum unus FEGH pro radio bafeos ha* Ut beat femnxe'n majorem alter femiaxim minorém, hi Y f duo cvlindri erunt ut bafe . vel ut quadrata radiorum ^ A as . 4 DE DIMENS. SEU QUADRAT. &C. 197 w bafium hoc eft ut quadratum femiaxis majoris ellipfeos ad quadratum femiàx minoris, & fi hos duos Cylin- dros unum fphare , alterum elhpfmdl circumfcriptum aK fupponamus, erit fphzra ad ellipfoidem ut cylinder cir- non cumfcriptus fphzra ad alterum circumícriptum ellip: foidi feu alternando fphera ad fuum cyliadrum circum- fcriptum ut ellipfois ad fuum cyhndrum circumfcriptum, fed fphzera habet 5 * cylindri primi, ergo ellipfois habet bl ekc £ cylindri Aïtemr-*, fed foliditas hujus eft fa&tum ex area bafecs in altvudmem, ergo etiam foliditas ellipfoidis eft jin E fa&i ex area bafeos in altitudinem ,. fed bafis eft cnculus axe minore tanquam radio defcriptus, & alti- tudo.eít axis major, ergo foliditas ellipfoidis eft zequa- lis 2 - fa&i ex areá cncuh, axe minori tanquam bafi de- ) d fcrxptx in axim majorem. Q. E, D j COROLLARIUM i. ! Ual l l to7. S: axis major affüumeretut pro bafá, erit minor axi$ 7 h altitudo cylindri circumfcripti , & eodem ratiocinio probatur, W ellipfoidem effe — 2 fa&i ex atea bafeos femiaxe I&ajore tans ITUDI quam radio defcrlptæ du&a in axem minorem. ieu COROLLARIUM Il d I08. Si igitur cubanda fit ellipfois, cujus axis major fit 18 minor I2 eritarea circuli axe minore defcriptiz— I1304 , 3 Ui ^ 120 LP 4 da$ quod duc&um in 72 xis majoris feu in I92 vel ele 1?356 480 * iOnte SCHoOLrOoN I Íri- q09. Ufu$ parabole eftinlapífu aut projectione ctavium non bàt üire&a via motorum: via 'enim ab his defcripta quam proxime ür parabolica eft, Si enim fupponamus, quod in phyfica demon* [ itratur, corpus fola vi gravitatis fine obítaculo moveri, fpatia, Qque percurrit, erunt ut quadrata témporum , experientia fcilicet a,- conítat quod corpus tmotum tempore, quod eft ut duo , defcri- has bat fpatium. quadruplum illius, quod defctiberet, fi per témpus, hi quod eft ut unum moveretur. Concipiamus mobile ferri dire&ione ufl " AG squabiliter (Fig. 40.), ut fpatia defcriptafint equalia 4B, HE, hGs N 3 - 198 UA PU V. EG, fed fimul moveatur accelerate, ita ut dum tempore prim e defcriberet 4B , accelerate defcribat AC, erit corpus poft pri- at mum tempus in H, poft alterum per ,4D in l poft tertium per tiií AF in K, & CH, D[ FK. erunt æouaha temporibus 4B, AE, n -G . & fpatia erunt .40 AD, AFP; fed fpatia funt ut quadrata t temporum, ergo AC nt CH^ , AD ut DI?^, AF ut FK* hoc eft an AC O ADIS L—CH? : DIi?: conüderaus AC, AD , AF ut abfciffis CR & reliquis ut fémiordinatis, erunt abíciffe ut quadrata femior- dinatarum ; C, H, I, K ergo fünt in parabola, Eodem modo corpus furfum obhque motum & iterum reci- dehs parabolam .defcribit cui principio fcientia balliftica , feu ii N ex mortarus ejiciendi bombas & quodcunque obje&um feriendi innititur data enim diftantia horizontali 2FK , data altitudine lu AF, ad quam quantitas pulveris pyrii blobum elevat determie g natur angulus, ad quem mortarium go*mültuendum eftt, ut globus parabolam his lineis 2FK & AF accommodatam. defcribat, Ve- q «( rum aeris refiftentia hic tanta, tamque varia eft, pulvis pyrius tam diverfus, ut praxis nunquam huic theorim refpondeat fed g ex primofum ja&uum effe&u, qui circiter ad metam diriguntut, p Qh im rationem dirigendi mortarii indagandum eft. 'Tabule variz jam conftruce habentur, qus» & dire&ionem & qua-mt item pul- vetis pyrii relate ad diítantiam corporis feriendi complec&untur. [ te SCHOLION II fo YIO. Álter ufus patabols effe poteft intubis locutorlis & atue fücis, cum enim ex $. ï ; 16, conítet radios omnes in parabolam incidentes ad unum. pun&um, quod focum, d1c1mus reflet&i, & Y in illo congregari ; i fupponamus inftrumentum, (Fig. 41 )quod ex i totatione p:nabmæ circa axem fuum ox formetur, & ita áptetur , ut in ipfo foco fit foramen.o, cüi os applicetur, excellens tuba f locutoria habebitur; radii enim vocales ex. ore feu o emiíffi & in latera inftrumenti impingentes paralleli tefle&entur, & ex tu- ba exibunt, proin quelibet vox a pluribus radiis fonoris multo clarius & ad majorem multo diítantiam ad aures alterius defete- ä tur. Si parabole adjungatur ellipfojs, que cum illa communem unum habeat focum, (friz, 42.) alter autem inipfo foramine feu ad os loquentis exiítat, majorem adhuc effe&um expetiemur; radii enim fonoti ex o in p impingentes ad f refle&tentur, unde jam per mutuam a&ionem condenfati in m & m impingent, & dupli- ci vireflexi paralleli ad aures procul diftantis pervenient, $i ufus tubz iuvertatur , acuft/ca vocatur, (Fig. 43.) & foramen feu canaliculus a auri apphca.tur radii enim fonori paralleli in con* €a* DE DIMENS, SEU QUADRAT. &c. 199 Dtirmo ft ptie cavitatem paraboloidis incidentes ad f refle&entur, unde ope i pe aeris fortiter impulfü fumul ad a perferentur, & tympanum au- ) 4 £, 1is ferient. Magnam idfurdaftris commoditatem adfert, Simajos AGrata rem effe&um quis cupiat , ellipfoidem CEiz, 44.) adhibebit, in quo 0c eft inftrumento os loquentis aperture o applicatur, & canaliculus & auri audientis immittitur, radii fongri in z reflexi & ig f col« »taffg Iiote le&i magna vi in aurem irruent , & fenfum afficient, SCHOLLILON L. tet]e IN IrI. Ex eadem radiorum ad focum reflexorum proprietate de- endi ducuntur fpecula cauftica feu uftoria. CFrg. 45.) Si enim plures radii udine luminofi paralleli in planum parabolicum bene politum incidant , (eNe quemadmodum funt radii a fole venientes, qui ob infinitam di&tan- ?lobus tiam parallelam viam fequuntur, ii omnes ad focum refe&entur S i , Ve- quo cum inmagna quantitate colligantur, materiam combuftibilem accendent, oyrius Si autem in foco flammam aut càndens metallum ,fel $lobum v. g. ferreum ponamus, rádii in m, m, m incidentes Intüfy paralele progredientur, & cameram, plateam, aut quodcunque vae obje&um inter radios parallelos pofitum illuminabunt, | pule Si radii in debita diftantia altero zquali fpeculo excipian- Itf tur, ii rurfus in z,z, z reflexi in foco x coligentur, & ma- teriam combuftibilem in x pofltam accendent. Si prior aurem foco x applicet, &alter fubmiffa voce. quidpiam in f pronunciet, prior folum loquentem in f intelliget, quin in medio fubíften- AC tes vel minimum fonum percipiant ; radii enim fonori, ut olart luminis.ex f in parabolam primam incidentes- & parallele i& usque ad alteram progredientes hic rurfus ad x refle&tentur, ydex & aurem ferient; idem . erit, fi obfcure fonorum corpus horolo- ofüf gium v. g, faccale ad f ponatur, in x ita fonus percipietur, ac tuba fi ipfi horologio auris applicaretur. Quin ipfi muri cubiculi ita f& conftrui aut duo íaxa ita ad formam parabolicam exfcindi poí- T funt, ut loquens vérfus primum murum tantum ab eo intelliga- ulto tur, qui e regione muro oppofito aurem applicát, quin interme- fetee dii quidpiam audiant, At bene notandum eft, fpatium interje- fonm &um & in priori & ifto cafü non nimis magnum eífe debere, jad nec clamorem intermedium validum excitandum eífe, radii enim T aut vaporibus aut motibus alterius foni a lineis parallelis de- m iorquerentur, & in obje&um fpeculum aut murum non incide- pl« tent, proin nec ad focum refle&erentur. 8i alterius parabole loco adhibeatur portio ellipfoidis, cu» 1en juS focus unus fit f, alter &, auditor aurem foco x applicans fi- on* inul fonum dire&um ex f yenientezg & funul reflexum ex m pere cipi- Aaoo CAP. DE DIMENS. SEU QUAD. &c. A eipiet , aäeoque ellipfois proó efformando Echo ferviet. Si cor- pus luminofum ad focum f ellipfoidis (E/g. 47.) ponatur , radii ex f exeuntes & in psmrconcavitatem ellipfoidis incidentes ad alterum fat, focum p refle&entur, ubi corpus combufibile inflammabunt, tl EEE * eo I1dem de fonoro corpore in f pofito intelligendum eft, Si fornix cubiculi ad formam ellipfeos conftrüatur, perfonz duw inp & Í f iv * E — ftantes fecum colloqui fubmiffa voce poterunt, quin adfcamium E — RO quispiam eas intelligere queát. cons E2c € J Es BO Cya c» * SCHOLIGN IV. f0 « 1 X I2. Camini (Fz'g, 48.) ad formam paraboïïcam extru&i multo 64* 1 66 - 1) J magis quam alii cameram calefaciunt; radii enim ab accenfo in f ligno & in m, g,m impingentes, omnes parallele ad cubiculum E 68 * 25 L veflectuntur. In fornacjbus chymicis ufus iterum prioris inver« - 26 r jus eft ; pofito enim corporein foco & accenfo inferius igne , radii 29 igniferi omnes in latera incidentes ad focum refledentur , & vi fua corpus totum pervadent, Plures hujus generis applicationes $2 principiorum in fe&ionibus conicis traditorum fieri poíffunt, quag 83—59 $5 - quilibet iis bene inftru&us proprio marte facile elaborabit.. No«* bis fufficitexempla hic nonnulla attuliffe , qua ratione ea ad praxim 36 xeducantur. Re.ligua phyfice relinquamus 96. I 0. ! M ä I 4 , ï 19 i 44 TO T e 30-"»3 — E 13s Q uf , m Pt f ; «X X 3 9- [ Z:( ä:»sqä " 4 aE d "- SXE — x 3 N 9 * *s o of* I* — o ( ER d ü ERRATA IN TOM. ILBENEVOLUS LECTOR Si COlv L SiIC CORRIGET, il ex f alterum Lin. mabutt, Pa* [ fognix 27 18 $. 77 æIl Corrige 9 78. 1p&j 39 29 5 79:0 ^6099*9e9*0o0o06 09 5690 ,0 5. 7X flantium 42 !3 lN So IISDQ.Q *9»9,999o9 o9 $0 9909 BL I20 53 25 50 1300.-0 ***?9?9oe0 90 oà 50 ..S- I3I 59 12 "'-:OD: ED,. 999 206?9009090 oaoo:CD: BD h 6o 13 DE:.& $0** 909 909 69002992.2 5060 $06 ,,DB (Higæ 9!) d multa 64. lII Theor, VIL .. *eot'9 —o055092090 50 Theoro IXs 66 enfom f I3 n......."""'IOS. s LELE EX s.kob 9 6 .o,,O.—.Iog ubiculutt 68 23 ( 4digitos 6 lineas,....... .. .. 4 pedes 6 digitog 1s inyet« 26 4digitos-0 *9 99 9029 0099 00 90 '4 Pedes- v 6 60 lineas ne , radii H 990909006090*9 9900 $9 e .«80 lineas, 29 Ac—Bb, , v2 6 sosos6co o , , lzzzBd f,&?! jcationes $2 3 Ac & DA.. f 9. Weceresssects)do & Ia $3 29 S—PR nt, quaa *9*9992009092506^59 9*5 oa..S———-'ä— PR bi, No: 85 28 $86 'ä' diametfi,, $69 6909099 6 »$9990o0 'ä— diameïïï j prixill 25 radius,, .. .. .ceece o eses su O düplus radiug ï 96 I BFG-'--oa-o *«9$*9 o60o20 *$900699 'BAG 102 r CEigd9. 140 .. .. 107 o (CFig. 149. 150) 27 F[,g- 136-0 ^909004105 ^0 cexo s PUL TOX 114 Y & K 9*9*595,a$609502$90^0909 ooooab&H 229 m--n —MÀ 1080000 $49 * 66 99 «2 6v m"-l'?Z::ISC) 19 3t (s* 340-)-0 99 90960092^2029260^56 29 069 (S- 240.) 127 14 (S* 360)'000 **$25e99606 *^óo0000929 o.cg' 306) 130 29 p 347,1.0;050-0 ** ee6996060 9 $9 :::357" 135 3o PX'!D.. 9099 909 6950 0960 690 99 004 PX'ä'-D 165 quadrupïa. *e4à»o 9"*5605.oo609 948 4450 Sübquadruplaa 169 i J — ACX. *$999999*95o09€9.,909 12 29 '*4"4 CX, —— - - d U ATT ss U EEE — uY M E CL 6 IN UM f TO M z Ti —n — m U "" - BIÉ m - — x t —Ó —— —— — i ke $ E o r ov .x 2 A X A od " zi VE i e 025 s a ul d f 2 : d ^ ^ zi as -B a i uie. K u I EX E v A PL s N E .w [ " r . M 5 P z 4 at d UT À um X RT H P E 700 l É ? Ver 2 | 4 26 5 Yr as E D 2 Eu P £ 2j z m a m x 5 E Y i zi : ts s 2 A 4 E É s x [ B EM [ P |- n E t PV p PU — s ER -- T E — —— s. i P D CH RRR p ia z — Ü À 4 ï j E | z * 5] a 2 : ] * N i* 4 ^ w . EY N * 1 P d p^ E 51 x p 1 n R at ii - du CL. GEORG. IGNAT. »z METZBURG, IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA. LL. ET PHILOSOPHLE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO- RIS CAES, REGII PUBLICI, ET ORDINARIE INSTITUTIONES 9 x MA'THEM ATICJE VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset —:2 1N USUM us ;g; o TIRONUM CONSCRIPT A. ä ä TOMULTSÜUS — L 15 :Lä À þl«u! i »' TR 9 7"]'*»;?() /;1-" ex * $ TAl " B L )l ial ^ ;l | | j | &-ä ä | 'a ï/? : 12 NS s — NSESA S Rä — li 3 11 l/! UPN ):: ; ä | a y « L | E 2 Ws ( * 10 — ci DORE XJL R AVO 8 VIENN A&, 6 TvyPiS JOAN. THOMJE xo&, png TRATTNERN 5 C.€X8. KRG, AUL/E TYPOGRB. ET EIBLIGPGL!&': ä MDCCLXXVI. 1 W Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com