Ba57-1
author: Metzburg, Georg Ignaz von

Em

-

d

Á

d

a

od rl

us

*

at

x

——

IAMO

:

E

n

EuE

s.

s

o

d

*

LA

n PA

T UMA OMA

9

[]

—

L

V

a'..

oism

s gt

g

x

P

—

d

-

,&Wuää

—

a.

—€— — ——

E a Iu

r

m

-

—

al

j

B

t

m

E

s

A

*

u

ln

m

:

m

E

36

E

d

AE

s.

iÉ

N-

—

**

TOevEE:

i

E

NV

—

s

"

L

a

N

Wi

d

E^

NEDORC r

s

STKAS

N

2

"ER

E

N

ii

W

d

u

—

*

—

d

——

J

^

ewiubeis

17

um

M

(

—

z

—

—

C

Em

Il

[

i

l

p

|

CN

N

[

Í

]

nta$X—

|

ss

N

—

a

|

||

I

H

i

l

1

l

]

l

i

r

wO

,rb

1

NI

u

j

p

ww

B Tübingen

w

3

s

T

d

Es

—

-

TA

[

*

-

Ts

-

.

RCR

TR

z

a

hs

Gd

E

.

o

VTa

CL GDO

IN UNIVEE

TEILOSOPI

RI5 C

pv

N

j

if«

TII

[

—

. Trpig ]

CA

CL. GEORG. IGNAT. »z METZBURG

IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA. LL. ET

PHILOSOPHLE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO-

RIS CJES. RFGLI PUBLICI,

ET ORDINARIIL

vt Qtü'w 5.1-; o'th, 151f. 74 W(K-ü v,? rlnu-*,

DNSILAT

UTiIONIZI

g,!- 44 f'!-

Mä A HDM.ATI C &

1N USUM

TIRONUM CONSCRIP T E

TOMULUS-I

U

G

X

Z

2

S. j

F

A

d-

b d

b

-u

ERE

4

u

|

ä

a

V—-

i

NI

E

EE

&»

& J £

"

)

EO

E

N

|

T

;

N

NS

N

f

/

ï

ï'lä—n ]

2 4l

7

j

*ä

x

q—:j

;i

|

j

s*ïä

(

ä

s

7

gl—*"

j

( N

EE

A

iU Jl ht

mulþ'* mununu

llllïllnll mlllll lm mnutit

lllllmlll!

LABOR.E E.T FAVOREJEET

VIENN E

Tvpis JOAN. THOMJE wos. pg TRATTNERN,

CJES. RBG. AULJE TYPOGR. ET RIBLIOPOL .

—

MDCCLXXV

--:"-.m'-—-

&

t

TTE Fa

4

$*y

s

x

OW:.

t :'J'

um ä).,'g.:.

E d

T

s

w

n

——

e— 9À --

BN

3^ .

21

*

oW

d

£e

E E

6

-JQ

)

-

& 59

[5] [el[a]

f8)f8]

Y5 p

3

des

5

1

äb

Daïä'*l?

l

3

ä

»

"

l]

:

à

4

]

2 u

d

fäïg

tssj (s)u)

Te)

sj (sjrei

[8)

k

fsiej(a] [a

a (a

.

G»l

[

jäïj

eee4 z o

&-»»" d- NMJH&

9g*

at* gceo

JR&

]

z(-85--—H8m— -H

-HB— —— ---

E

AD LECTOREM,:

^

oOo

r a

DT

D

t

(

[

ï

y

athefeos fuudium, quam vneceü"arium

4^

i&

J

4

e

fit philofopho, nemo jam eít, qui

s

ignoret ; nexus inter hodiernam

phyficam & principia mathematica tam arctus

eft, ut his deftitutus progreffum fibi in illa fru-

fira polliceatur; quin optandum effet, ut nema

W

ad

N

iï

—/ad' philofophize pläcita excipienda accedat, nifi

|

clementis his mathematicis jam probe animum

imbutum adferat,

Studendi enim methodus,

|

demonftrandi rigor, occultas veritates eruen-

di modus , atque quam plurima ex principiis

ftabilitis derivandi artificium, hzc funt, quibus

in hoc ftudio aíffuefcimus, & aliis dein facili ne-

gotio appï'icämus. Unum id officere , ma-

gna etiam alacritate ad hoc ftudium accedenti-

bus, longa jam experientia didici, quod ab ob-

via quacunque difficultate abíterreri fe finant,

quo fit, ut vel animum penitus defpondeant,

vel neglecta illa ad fequentia properent, ma-

jorem ibi claritatem & expeditam magis diffi-

!

cultatem expectantes. — Elegi igitur in confcri-

bendis his elementis facilimam quam poteram

methodum , addidi exempla quam plurima,

quibus propofitio magis illuftraretur, & anne-

xis

g

x

W 4 W

xis etiam copiofis Scholiis quidquid obfcurum ,

aut difficile effet , tollere conatus fum, ut

omnino confidam, quemvis nullo etiam magi-

firo difficultates omnes füperaturum, & veri-

tates affecuturum.

Si tamen alicubi adhzre-

re eum contingeret, id univerfim monitum ve-

lim, ne ad ulteriora gradum faciat, priusquam

precedentia penetrarit.

Catenz enim inftar

connexa funt principia, qua continuo fefe &

non interrupto ordine excipiunt, unum fi negli-

gatur, obfícuriora magis & implicatiora red-

dentur fingula, & viam ad ulteriora omnino

intercludent.

Ad hoc fi continua exercitatio

in omni defideratur ftudio, in hoc certo primum

fibi locum vendicat, nemo enim, ait Cicero,

quamvis artis przcepta perceperit, quidquam

magna laude dignum fine ufuü, & exercitatio-

ne confequi poteft. — Ita igitur quivis addifcer;-

dis

A)CS

dishis principis infudet, ut manum a tabula

g:e

non removeat, exempla occurrentia ipfe re-

t

folvere, & alia ad eam normam condere fa-

tagat, fibi denique firmiter perfuadeat, pro-

ä'ï

greffum femper exeroitationi refpondere.

Ü

*lb

k

L

.

E

W

K.*

x

e 'Fäf;'f

(4.

fsj

95

ID

[j

:

s« ] [u] "

T

ig

x Y ss

g

g;

CAI

(9 *

3 [8) ,

&

äm

i N-

C u d gsaö)wö)»ä? Vif a,

Q6 m pO 9.

$9

S m

f&,&g ææwæcpææmmææ mæeææ

ïäïä

äï

ä

r

INDEX CAPITUM.

WMWWW

IN ARITHMETICA

p*g*

Car. L JVotiones generales arithmetica....

9

$*9.92*99 990

I

Car. IL. Defpeciebus arithmetice

Cap. III. De nonnullis affecdiionibus numero-

ïtjjll -9 $4 999* 9-.9 99* *9 909* 99 * «6

33

Car. IV. De operationibus in guantztanöas

:Z*ïeroo'enels.. r * . 99.99..«99? 92045 :)9

?. V. De fraditonibus nottottes generales. 47

De operationibus arithmeticis in

""'752072;bu5 9599* 9** **-*5099.99 9599 58

li. De fradiionibus decimalibus,,,... 63

IN ALGEBR A

INotiones generales algebre, .. . .. ... 72

IL. De operationibus algebraicis.. ..... 76

IiI. De fractionibus algebraicis,, ,.... 89

CAP.

b .l

INDEX CAPITUM.

^

page

CAP. IV. De POtentZ.l.S..-... 999*996€ 999 $9 91

CAP. V. De æquafiünibus............... * 9

113

CAP. VI. De rationibuS. 9-99.99-.€9.99 «* $9? .0

I4I

Car. VIL. De proportionibus, . .. .. ... . s.

146

160

Gar.- VHL . De-regula- aurea, .. .. ..

Car. IX. De progre[ffonibus. .. .. .... ..

171

Car. X. De combinationibus. .. .. ..

187

CAP. X[. De lOgaïl.f?Zml-S,,....- e€e€9$99*9$999.*9

193

132 1

ee»

k s

)

4

W

9.0b- 8

E

;5

«7d

"Go-o CR

i

«t

D):

x

N O-

".

$.

k

g

£5

VN

fxrxïa

(

WQWQQM

E ete

e

äx

*s

2

-R

m

E

s

^^

gfü

8

&

Vooi

"X

l

:

Aä'ïiþ

g,

Jotrt

Uæw

&

&WW&

$..

wv*cwf)

$

i

oD2 000 202 D

«X2)^

Vee2

*

NOTIONES

GENERALES

m.")o*(LJ

s&.

du

l,

athefis eft foientia quantitatis feu magnitudinis ;

eu

-

"t

id eft, omnis rei, que augeri addendo ali-

ET

:23 quid,

minulve fubtrahendo

poteít; de-

*23o.

e€

rivatur a greco ga9wo;g — difciplina

?

qua

vox per excellentiam ad hanc folum fcientiam

indicandam translata eff.

lT.

Mapnitudo omnis

plieiter confiderari poteft; vel

eft quantitas diféreta, vel coutiaua: illa eft, ubi partes

ut

eXtra partes feu feparate a fe invicem exiitun

exerCitus vel cumulus aren, granorum &c. hac vero

ubi partes unite fimul exiftunt, ruri fus duplex eft vel

AMMetab, Math. P. £.

Á

fie-

NOTIONES

2

fucceffva, ubi partes partibus fuccedunt, ut in. tempo-

re: vel permauens ubi partes fimul & femel exiftunt , ut

in frufro ferri, & omni corpore

Difcreta quantitas

obje&tum eft aríthmetice, que numeris: hec ultima £eo-

qu

meirie , qua figuris res fuas declarat

bu:

ide

I1I.

ch

Mathefis generaliter dividitur in paurom & mixtam.

gin

Jl quantitates confiderat ut quantitates taotum , abftra-

tà

fit

hendo ab omni applicatione principiorum ad res fenfi-

biles aut opiniones non omnino certas; ut fi lineam de-

ltit

cem orgyarum confiderem folum ut longitudinem ali-

gt

quam,

Mixta eft fcientia quantitatis jam involute

quantitatibus fenfibilibus & phyficis applicando princi-

pia ad fententias phyficas, utíi priorlinea longa fimul

ut difíantia duorum locorum confideretur. Prior in fuis

f

regulis certifima eft, hzec quoad principia arithm:tica

certa eft, non item quoad materiam.

Ád puram per-

Qu

ftr

tinet Arithmetica & Geometria

ad alt»rom Mechanica

Ti

Optica, Archite&ura &c. Prior etiam dicitur ab//racla,

Coi

altera applicata,

li

IV.

fet

lie

Mathematici in proponendis veritàtibus certam

uandam legem & methodum fequuntur, que, cum ii-

t0

lis ab initjio tantum propria fuerit

methodus mathe-

€x

matica audit; que nil aliud eft, quam ordo quidam

lt

ii

certus, quo mathematica dogmata tradi debent

atque

debita & apta quzdam argumentorum feries, ut ex alio

r

alia accurate ne&antur; confiftit autem in hoc, ut a

p

definitionibus ad axiomata vel poftulata progrediar ,

inde co-

his theoremata vel problemata fuperftruam,

rollaria deducam & ubi res poícit, hypothefes quasdam

& Ícholia annectam.

W.

V.

A

f

r

GENERALE S.

y.

Definitio eft diftin&a rei aut nominis explicatio ,

quz fit per notiones huic folum rei convenientes, qui-

bus ab omni alia re di(tinguitur.

'"Notiones autem funt

ides rerum feu imagines in mente noftra reprefentate ,

que habentur per notas rerum feu proprietates ex ori-

gine earundem aut eífentia dedu&as, atque hz idee

tam clare & diflin&tw eí(le debent, ut quivis fine he-

fitatione intelligat, quid per enuntiationem earundem

intelligam. Idearum proprietates & diftin&tiones in Lo-

gica traduntur.

VI.

Ex definitionibus fequuntur axiomata ( «E/oya di-

gnum creditu) que funt propofitiones tam clare, ut a

nullo fani judicii homine negari po!lint, atque demon-

ftratione non indigeant; ut: dotwm eff majus fua parte.

Theorema ( 95íewo fpeculatio) autem eft veritas, quae

confideranda proponitur, & demon(tratur; duas igitur

habet partes, propofitionem, que veritatem, d qua

fermo eít, enunciat, & illius demonftrationem , qua

nexum neceílarium cum axiomatis & principiis luculen-

to raciocinio oftendit. Igitur demonítratio peti debet

ex principiis vel per fecertis & evidentibus, ut funt defi-

nitiones & axiomata, vel talibus, qua per priora jam

ftabilita funt, atque h»c principia femper, ut memo-

rie confulatur, & claritati, citari debent, ubinam ia

precedentibus reperiantur.

VII.

Problema ( zre56Awjx propofitio ) eft enunciatio,

qu2 aliquid facere precipit, & fa&um eífe docet. Tres

igitur habet partes, 1mo- propofitionem quseltionis, qua

^ 2

qua- .

^NOTIONES

z

quäeftionem rei faciendz continet , 2do. refolutioner

quaílionis, que modum rei faciendz oftendit, 3tiv. de-

monítrationem hujus ipfius refolutionis.

Ut erigere li

meam perpendicularem, Hize fünt igitur demonftrationes veti-

tatis pra&ice , dum priores veritatis fpeculativa funt.

í

VIIT.

Poftulatum eft, dum interea aliquid concedi petimus,

prefcindendo, an factum fit vel fieri poffit ;; ut dum po-

ftulatur a pun&o mathematico al punttum. ducere liueam ve&ctams

H

lh

tametfi pun&um mathematicum utpote partium omnium

l

& extenflonis expers exiftere nequeat, & linea mathe»

t

matica, qua latitudine omni caret, in praxi duci nom

pofiit,

IX.

—

Hypothefés. ( mró9:801e. fuppofitio) funt res & figna

aut alie figurz rerum ad libitum affumpte, uti voca-

bula rerum, note numerice, chara&eres ad res figni-

W

ficandas ufurpatz.

In rebus phyficis hypothefis eíf

i

veritas quzdam probabilis, incerta, quz in defe&u prin-

Pr

cipiorum certorum affumitur.

Confideratur hzc tan-

n

quam poftulatum (VIII.) & poffunt.inde veritates qui-

dem certe mathematice deduci

fed que majus robur

non habent, quam fundamentum, cuiinnituntur. 'Ta-

les funt in phyfica. figura fphzrica telluris? vis gravi*

IT

tatis intrinfece &c. In mathematicis nonnunquam qua-

dlg

dam hypothetice feu füb certis conditionibus affumimus,

tüi

& ex iis veritates his rebus aífumtis proprias dedu-

cimus, quibus dein theorema tanquam thefis fuperftrui-

üi

tur,

Ita affumimus lineas duas effe parallelas & ex

hac hypothefi zqualitatem angulorum alternorum, fia

tertia linea fecentur, deducimus; atque dein theorema

flatuimus; fi anguli alterni funt zquales, lineae funt

xv

parallela.

E?

"

GENERALES

X.

Lemma (sX acceptio ) vel Poriftaa ( mfeicguo

preparatio ) eft propofitio, qua demonítratur aliquid,,

quod tanquam principium alterius demonítrationis in-

fervit,

XIO

Experieniia eft cognitio, quam per obfervationem ad

tes in fenfus incurrentes nobis comparamus, ut lucere

folem , corpora effe gravia, lunz eclipfin e telluris

umbra proficifci. Rerum igítur fingularium demonftra-

tiones inde deduci poffunt, quas ad veritates univerfa-

les applicare licet, fi plures inter fe conveniant, eun-

demque femper. modum fervent.

XII.

- . Cerollaria funt veritates, qui ex veritatibus de-

monftratis ultro fluunt, & nova demonftratione non

indigentj funt itaque cafus fpeciales, quz füub illis pro-

pofitionibus generalibus jam contiuentur, aut facillime

ad illas reducuntur.

AIIT,

Scholion eft annotatio quedam ad propofitionem jam

fa&am, elucidatio major veritatis, refolutio dubiorum ,

digna aliqua reflexio ad hiftoriam, authorem, inven-

tum, aut additamenta, qui nec inutilia nec inamoena

di&u occurrunt.

XIV.

"Mathematicam ergo methodum adhibiturus hac le-

8e tam ftricte & inviclate progrediatur, ut in nullo

omnino cafu ab ea recedat.

Non ii igitur hac metho-

A 3

do

6

NOTIONESQ

do utuntur, qui hinc inde tantum , übi commodum iïä

vifum fuerit, eam adhibent, aut voces folum hic ex-

plicatas citationesque fuis immifcent libris, de re ipfa

parum folliciti, qui definitionibus ad libitum affumptis

veritates evidentiffimas, ut quidem arbitrantur, fuper-

ftruunt, quz tamen ipfe cum infirmo fundamento col-

labantur neceffe eft. Definitiones ez eligantur, quz

yem tam clare & dilucide proponant, ut in dubium a

nemine vocentur.

Vocabula ufitata adhibeantur, aut

fi novze fint, explicentur, ne diverfum fenfum prafe-

feiant, qui alium conceptum rei, ideamque erroneam

generare poífet, & in turpe vocilitigium veritas dete-

genda defie&tat.

XV.

Ex talibus jam definitionibus principiisque ftabili-

tis veritates aut confiderand» folum aut in praxim re-

ducende derivari poffunt, in quarum demonftratione

fummus rurfus rigor obfervandus eft.

Conclufio non-

nifi ex premiffis evidentibus, jam notis & prius de-

monítratis, & per citationes adje&as in memoriam re-

vocatis juxta leges fyllogificas inferatur, ut negatio

impolflibilis fit; tum demum fecure fubjungatur: quod

etàt demonftrandum aut faciendum 3 qua formula con-

fueta theorema problemaque clauditur.

r

XV

ls

His pofitis fuis quoque corollatiis cönftabit veritas,

que vel ex uno tali theoremate quamplurima non fine

legentium ingenti commodo & voluptate derivantur ,

dum pauciffimis tantum, quz memorie imprimant , prin-

ciplis fcientiam inniti, innumeris vero, quibus appli-

centur, veritatibus fatisface*e, & fuffcere intelligent.

Scholia annexa eruditionem comparant, & tzdium fub-.

jn

-

Veeie

GENERALES

T

I$

levant, quod ex nuda veritatum fpeculatione etiri pof-

[e

fet

Hac qui methodo in quacunque feu tradenda, feu

H

IS

difcenda difciplina ufus fuerit, fructum laboris fummum,

habitumque inveniendi alia & dilucide proponendi ne-

ceHamum fibi comparabit.

XVII

ïï

Id unum adhuc fupereft, ut de analyfi quidpiam

(

lg

& fynthefi dicamus

quae dus quafi viae funt, qua in

methodo preícripta tam ad difcendum quam docendum

progredimur,

Analyfis eít methodus quedam, qua ad

detegendam veritatem utimur.

In hac a fingulari veri-

tate ad aliam particularem vel ad principia univerfalia

fit tranfitus, & ad ipíam etíam idearum noftrarum ori-

ginem afcendimus

Veritas propofita nempe in fuag

partes & membra refolvitur, & ut ita dicam, enuclea-

tur , ut ex ipfa etymologia vocis (owoAwcus vefolutio)

clarum eft. Ita mathematici e comparatione, quam in

cognitum ad cognita habet, ipíam quantitatem incogni-

tam methodo analytica inveftigant.

Principia vaga &

suinus certa abhorret, & fümmam, que excogitari po-

$eft, exaditudinem & przcifionem fe&atur.

XVIIH

Synthefis vero (æuv&ao*z; compofitio ) priori metho-

do oppofita eft, & veritatibus generahbus ad fpecia-

les defcendit,

eas per principia Jam ftabilita, & pro-

fitiones, qus tanquam certe & indubitatz alias proba-

te funt, demonflrat, atque ita ad conclufionem per

congericm ininterruptam veritatum tranfit; a primis fci-

licet principiis, ab ipfius vocis genuino fenfu & expli-

catione ad veritatem ipfam, quam firmis inveftiunt

argumentis, &in tota luce proponunt, gradum faciunt,

Wtraque permiagnilicet fit ufus, fynthefis tamen in tra.

A 4

den-

NOTIONES GENERALES,

8

[- xj

dendis difciplinis analyfi prafertur, dum hs&c in eruen:

da veritate & invenienda primum locum fibl vendicat

XIX.

Utraque hec vulgari exemplo a genealopis petito

fuftrati folet. Ut ftirpis cujusdam v.g. Cesfaris feriem

IDCOngt m inveniam

ab ipfo Czefare initium fumo,

indeque ad ejus paréntem, tum ad avum, proavum &c.

piogredior ; donec ad caput familie , quod inquiritur,

perveniam

Hec fere via in analyfi fervatur, dum

de veritate ipfa inquirenda agitur

In fynthefi ab au«

thore familie jam hoto & invento exordium duco, ab

€o ad filium, ad nepotem &c. tamdiu progredior, do*

nec ad Cefarem, de quo fermo eft, filum generationis

adducam

Qua via propofitam veritatem optime ex-

plicari, quis eft ^ qui non intelligat

XX.

p

Axiomata, quibus tanquam ptrincipiis fcientia hxc

innititur; funt fequentia;

I. Totum eft majus fua parte

JI. Totum eft zquale partibus fifnul fumptis

Q

LI. Qua funt zqualia uni tértio, funt zqualia in-

hi

ter fe; aut quz zqualibus zqualia funt, funt aqualia

inter fe

te

IV. Si &qualibus addantür equalia, fumme. funt

ü

&quales: aut fi ab zqualibus fübtrahantur &qualia, quse

remanent ,

funt :qualia.

V: ZEqtalibus aqualia fübfitui poffunt..

u

s o

i

K

W

ELE

([5(:-

r

2

*--—

ELEM&QWP&

to

n

ARäïHMETEC.&fo

9,

—ÉÁÓ

-.ï—

m

—— —

C

It,

Jr7]

CAPUT E

iU«

NOTIONES GENERALES

ib

ARITHMETIC E.

0

ls

DEFINITIO I.

eX

rithmetica, in quantitate difcreta ( $. J1.) partes

ï.ä

componere & feparare docet, quod utrumque

cum per numeros exequatur, 4vs mumerorum dicitur.

C

DEFINITIO II

$. Numerus autem eít multitudo individuorum,

que ad eandem fpeciem pertinent, & refpectu hujus

n

numeri hec individua feu partes , unitates appellantur.

in

Talis autem pars, fi iterum in fe individua contineat,

refpe&u horum individuorum eít numetus, & indivi-

t

dua unitates.

[

DEFINITIO IIL.

3. Unitas eft quzvis quaxftitas nude & fola fpe&a-

Cum

ta, & eít igitur elementum feu initium.numeri.

enim unitas tanquam pars & numerus tanquam totum

feu colle&io partium fpectetur, ficut pars totum effe

non potefl, fed initium totius, ita etiam unitas non eft

&umerus, fed ejus initium.

Hic tamen conceptus non

A 5

impe-

T

1OÓ

CAP.L ELEMENTA

guor

impedit, quo minus eadem unitas fub diverfo refpectu :

fulip

etiam numerus eífe' poffit.

Sicut enim. pars refpe&uü

fuarum partium minorum ei totum, ita etiam unitas re.

fpe&u fuarum unitatum eít numerus; fic cohortes re-

1

[

Ípe&u legionis funt unitates, manipuli refpe&u' cohor-

quot

Y

tis, miles refpe&u manipuli.

Poteft igitur eadem

minoi

decim

quantitas fimul unum & multum eífe, fed fub diverfo

&ompi

tefpec&u.

COROLLARIUM I

4. Numerus ergo oritur, fi unitas ad unitatem v. g. globus

ad elobum ponitur, fi rurfus elobus apponatur, numerus crefcit,

& hoc tamdiu, quamdiu unitates & partes componuntur.

Si ve-

que

ro a pluribus unitas dematur, mnumerus decrefcit, & tamdiu,

Qu

&onec pars a parte feparetur, quz utraque folum quantitatis mu-

C

fatio, obje&um arithmetice eft, ($, 1.5 .

gul

bent

UDROLLARIUM lL

$, Ut autem unitas ad unitatem poni & numeru;.' effci pof-

fit, ejusdem fpeciei effe debeat: impoífibile enim eft, ut ex di-

verfis unitatibus feu partibus colle&io aut integrum fiat; fic una

domus, unus equus, unus miles, unus globus, unum pomum

Aume

coleca numerum feu totum efficere nequeunt.

Tria poma &

trium

quatuor pyra nec faciunt feptem poma, nec feptem pyra: at

Que

confiderata ut fructus feptem fru&us efficiunt.

Partes ejusdem

Stac

fpeciei dicuntur homogenes , diveríe heterogenez,

m

Uf |

Yistio

S»CHQLION.

6. Unitates,

cum tanquam partes fpecenfur, etiam in

«uantitate continua locum habent.

lta linea meníuratur per

unitatem linearem , fuperficies per unitatem fuperficialem, foli-

Ave;

da per unitates folidas.

L

COROLLARIUM Il

7. Dum unitates vel numeri componuntur , hec compofitie

fieri poteft vel diverfos & plures earundem unitatum numeros in

Quoti

unum totum colligendo; ut fex, viginti, centum, mille; vel

eundem numerum aliquoties ponendo: wt fex accipiendo fepties;

tnt,

ii

prior

Tl

Es

ARITHMETICE.

d

prior compofitionis modus additio, pofterior prioris compendium

u

multiplicatio dicitur.

fe

COROLI;ARIUM IV.

Ie-

8. Dum numeri feparantur, id vel fleri poteft minorem a

Of*

majore femel; ut a centum feparando quadraginta ; vel eundem

f

minorem aliquoties a majore fubducendo, ut quatuor ter a duo-

YO

decim fubtrahendo, illud dicitur fubtradiio , hxc, prioris rurfus

eompendium, divi/o,

HYPOTHESIS I. |

)bur

cit,

9. Hi quatuor modi fpecies arithmeticz vocantur,

que ad additionem folum & fubtra&ionem firi&e lo-

V6«

li,

quendo reducuntur, cum reliqui duo priorum tantum

m

compendium fint; interim quia feparate etiam de his re-

gule traduntur, quatuor vulgo fpecies arithmeticz ha-

bentur 4ddiiio , Subtratiio, JMultiplicatio , Druifío,

of-

SCHOLION,

lj-

IO. Pro unitatibus & exinde per additionem exfurgentibus

nà

aumeris varia figna excogitata funt, quibus unius, duarum,

NÀ

trium , quatuor &c. unitatum fummz exprimantur: apud pleros-

&

que orientis populos erant & funt litere alphabeti; ut apud

»u

grecos «, , t , Ó &c. ordine nmaturali: apud Romanes quz-

den

dam ex alphabetoeligebantur, ut D, U L, M, V, X.

In Europa in

ufu funt note ille, quze Arabice dicuntur, & ab omnibus fere

nationibus adhibentut,

Sunt autem fequentes :

I

2

3

A

5

6

1

8

unum duo

tria

quatuor

quinque

fex feptem o&o

j

.

[4]

ef

novem

Zerus ,

quod ultimum fignum abfentiam wnitatis, fet

emnis numeri indicat,

SCHOLION I

Il.

Eledionem horum characerum arbitrariam eíle ufw

r]

[

quotidiano mercatores docent, qui variis fienis merces fuas no-

tant, quibus valerem iis competentem exprimant.

Alii alphabe-

el

ii literig majoribus numerum florenorum , minoribus cruciferg«

24

fune

P o

^

5

L.

d

CAP.L ELEMENTA

hi t

r&sm denotant, alii variis literis novem fuperius expreffa fipna

immutant, v. g.

I

2

fSVO(

3 4

5

7

jam

c

m

[o)

1

b

h

a

( d o

que

Apud hos vox home denotaret 63223.

Quin Saunderífonius celeberrimus Anglie mathematicus palpabili-

t-ates |

bus etiam fignis numeros exprimere, &hac ratione cxcitati fus

fimpl

€onfulere addidicit,

Cum enim duodecim menfes natus vaiiolis

TLUS |

oculos ipfos amififfet, mira tamen abfolutís humanioribus literis

& auditis philofophicis difciplinis ftudii mathematici voluptate

Cadu

caperetur, tabellas excogitavit, quae vices fignorum fubirent,

tribt

omnemque numerum

defienarent.

Quo artificio eo progreffus

tus 1

et, nt in Univerütate Cantabritanna per viginti o&o annos

üt

Mathematum Profefforem cum admiratione

& laude fumma age-

xet

Tabellarum formam fig. L. exhibeti interfe&io trium li-

dimpl

mearum recarpm perforata eít, ut novem foramina hac ratione

Yiow

e2?ovn

ebtin

v od

Ytur, atque cuivis foramini claviculi lignei diver(z ma-

ten

£gnitudinis inferi poffint.

Major claviculus in medio pofitus ze-

Ver|

$um denotat, cui fi in foramine immediate fuperiore minor ad-

mm

datur, 25 fi hoc dempto ad dextram in fummitate alius minor

tl

ponatur, 2 deügnabit, & fic confequenter usque ad 9 circa ma-

LJU

jorem minores inferuntur, majore femper pro dire&ione reli&o :

0,

unitatem vero nmlinor claviculus folus in medio pofitus exhibet.

fpfe tabelle invicem conne&i poffunt, & unam quaíi tabulam

pint

efüciunt, ut fig. II. exhibet.

adu

chid

HYPOTHESIS II

teta

12. Ut autem predicta figna arabica licet novem

Cad.

£antum fint, pro omnibus numeris exprimendis quan-

bill

tumvis magnis adhiberi poffint, localem quoque valo-

LR

xem iis tribuere placuit, que loca in una numerorum

exe

ferie a dextra finiftram verfus computantur, ita quidem

tant

&t dum in primo loco feu fola ftant, unitates, dum in

du

fecundo loco verfus finiftram , decades, dum in tertio,

centenarios defignent, v. g. fequentibus notis 536 de-

fignabitur quingenta, triginta, fex, 5 fcilicet in tertio

loco, qui centenariorum, 3 in fecundo , qui decadum,

9off

& 6 in primo, qui unitatum eft, pofitis.

Hac ratione

jdhi

X n

quemvis numerum usque ad mille exprimimus , atque

has

KW

t

ARITHMETICAJE.

j

[

ca

has tres notas ad unam numeroruüm üiäpiiciïxïn claffe:

revocamus.

Dum ad mille in numerando pervenimus,

jam quarto. loco opus habemus & fecundim clafem,

qua millenariorum eft, inchoamus; ia qua rurfus uni-

ilt-

tates, decades, centenarios, fed non jam numerorum

iug

oli$

fimplicium verum millenariorum conftituimus, ita pri-

mus in hac claíffe numerus erit unitatum, fecundus dé-

RTHf

g&?« id

cadum, tertius centenariorum millenariorum.

Si ergo

ent,

tribus prioribus numeris preponantur hi tres 473, to-

efu

tus numerus 473536 defignábit quadringenta fept'agin-

1104

t«

ta tria millia, quingenta triginta fex,

Abfolutis his

J

fimplicium & millenariorum claffibus fequitur tertia mil-

one

lionum , in qua tres numeri unitates, decades & cen-

Y

tenarios millionum defignant; atque ita feptimus uni-

j 26

verfim numerus locus eít millionum, octivus decadum

ad

fot

millionum, nonus centenariorum millionum. & numerus

Ia*

819473536 exprimet o&ingentos novemdecim m llio-

d0;

nes, quadringenta feptuaginta tria millia quingenta tri-

ef.

ginta fex.

Quodfi eodem modo ulterius progrediamur;

m

adjungendo íemper prioribus movam triun motarum

claffem, hahebimus in quarta unitates, decades & cen-

tenarios millenariorum millionum: in quinta unitates de-

cades & centenarios billionum: in fexta milleniriorum

rem

billionum: in feptima trillionum & fíi» in infinitum.

i

Ut adeo hec folum novem figna ad numerum quemvis

i

Ó1d bene . no-

excogitabilem exprimendum fufficiant.

jm

tandum eít, ultimam claffem etiam unam tantum vel

ell

F

j

duas notas habere polfe,

]

0y

SCHOLION.

el

I3. Ut autem femper' numerus debitum locum occupare

lu

poffüt, licet nullus adfit, qui precedentium loca impleat, zeri

l,

adhibentur, qui pro eo tantum ferviunt, ut loca vacua expleant,

Ita . duo millia

[4

& numerum ad locum debitum promoveant,

feripturo ex precedenti hypethefi notum ef, 2 quartum locum

i

Qccu-

í4

CAP. T. ELEMENTA

Occupare debere, primus igitur, fecundus & tertlus zeris ex-

Ita ad decadem exprimendam unitas ad fecundum 1o-

plentur,

Y

c€um promovetur, zerus ergo primum explere debet; in quadrin-

gentis & o&o, cum centenarii tantum & unitates ad(int, abfentia

pendet.

decadum Zzero exprimitur 408, & fic de reliquis, generaliter no-

lot l«

tando, ad quodvis fpatium vacuum zerumi ponendum effe,

Lo-

enuncia

ealis numerorum valor fequenti tabella exhibetur.

Exet

Di

[j

o

3

lo

a

B

a'&ï

va

o

f5

H

rA

dv

iel

£5

EH

[ )

Q

f5

I

gm

eo

—

m

EH

XA

5

ie

$

E

[«

E/)

prefcri

*

*

*

gH

*

$

Q

$optoop

$23*3]URh

Soptoop

$939)IUDn

$op?oop

$930)1Un

Sopt2op

$939)1Un

Sopt?2op

$931UV)IUn

soptoop

Sapeoop

$93231UU

million

frr1eito3u22

L

BISCUCHIEN

1

L

TI1euojuo2

[111euo3u25

4

[111euo23 u22

L

IiJ$Uuo2U232

L. se»exiuu

f'rmzusmaa

el, m

«

L

1

Uwnuor

aruorp 4

Whuor[Tur

urmuorr]tur

Urnuorp[Trurd

wmoudwgï

ell,

I

Uunioiivue[rrui

iunioneue]rrur L

WnIioHtus mwl

tetdecie

PROBLEM.4A I

V tagin

Il,

1i4. Numerum datum quemvis gnunciare.

T

RESOLUTIO.

)

Divide numerum dàtum a dextra üniüfam verfus

Bràta

in claíffes, cuilibet claíffi affignando tres notas, que uni.

tates, decades, centenarii erunt, divifio per commata

) fieri: poteft,

Claffes millenariorum omnes punc&o (.) millionum

una virgula () billionum duabus (,) trillionum tribus

(j;) &c. fuperius nota, atque ita pro unitatibus, de-

cadibus, & centenariis competentes expreffiones habe-

bis.

Ubi occurrit pun&um , dic mille, ubi virgula ,

Io

milio, ubi due, billio, ubi tres, trillio &c.

liönes

L

Til

Ntüer

DE

ARITHMETICJE.

15

|ex-

DEMONSTRATIO.

| lo-

drin»

Valor numerorum a loco, quem occupant, de-

enta

pendet, (12.) per hzc figna in refolutione tradita va-

t M.

lor localis expreífus eít, ergo etiam hac ratione rite

m

enunciari poteft.

Exemplum: fit enunciandus numerus $302480603,

Dividatur juxta regulas in clafles & notetur fignis

prafcriptis :

l:.,'—'..q

$. 302/^, 480* 5ga

Quinquies mille, tercenti, (,)hic nulla decas, duo

g hE. U Neutuo . s

sopeoop

seoj3v3tuiun

milliones, quadringenta octuaginta (,) hic nulla unitas

*

eft, millia fegcenta nonaginta tria.

SCHOLION)WI.

I5. Juxta has regglas fequentes numeros enunclore facile

'uxnxa-nc'h.ugï

etrit,

i. Salomon in templi edificium impendit coronatorum

13695380050.

terdecies mille, fexcentos nonaginta quinque milliones tercente

9ecuaginta millia. & quinquaginta.

II Sardanapali divitis c(timantus

573200275757.

III. Soliditas folis eft milliarium

3645252928246960.

erfus

Rex Shehram ludi fchacchorum inventori ex pa&o debebat

grana tritici.

ul

184467 4407 3709551615.

at

PROBLEMA IL

fu.

16, Numerum enunciatum fcribere.

bus

RESOLUTIO,

T

de

De-

I. Vide, num numerus propofitus milliones, bil-

[ä,

liones &c. contineat, numque ab his immediate vela

:nille incipiat, tot dein claffes commate difingue, quot

numerus per pracedeus problema pofcit.

II.

16

CAP.L ELEMENTA

"

IL. Inter hec commata numerum itafcribe, ut cen-

tenarii, decades & unitates debitum locum occupent,

vacua vero fpatia zeris. exple.

DEMONSTRATIO.

Valor a locis dependet, fed bac ratione numeri ad

fua loca ponuntur, ergo etiam juxta valorem fcribuntur.,

Exemplum, Scribe : Quindecies mille ,. fexcentos

18,

& o&o milliones, quadringenta viginti feptem millia ,

.f

& octuaginta novem.

quod i]

Cum milliones adíünt, tribus jam claffibus opus

d fe

eft, & cum millia precedant, quarta adjungi debet.

$

,

e

?

?

E

ad quartam ponitur r$ ; ad tertiam fexcentai dein

Zerus & o&o, 608.; ad fecundam 427., ad primam

zerus & 89. hoc eft:

1

I

:

15, 608/, 437', 089

Dtes Lu

]

SCHOLIO.N

Dariis Q

ll

i7. Hac methodo fcribentur fequentes numeri :

L Ambitus terre habet viginti milliones, ducenta quinqua-

Oriatur,

sinta fex millia hexapedarum.

I

IL Si cuivis homini concederentur 4. pedes quadrati, in

T unje

(uperficie telluris ftarent mille quingenti viginti duo billiones,

nongenta novemdecim millia, quadringenta qvinque milliones, .

litesn (

$ucenta quinquaginta millia,

Qu* ad-

dum es|

Cum b3]

d

j

d

u

z

S

bUS, d

fiitri

tur&fl

CA

At

ARITHMETICAZR.

ii

ii

(,

CAPUT R.

De fpeciebus arithmeticze.

d

jte

DEESINITIO.::

t0S

18,

dditio eft augmentum quantitatis per alteram,

i,

. feu plurium numerorum in unum totum,

quod illis zequale fit, colle&io: illi dicuntur addendi,

l$

iftud feu novus numerus dicitur fumma.

j/

ïï

PROBLEMA I

I9. Addere numeros datos,

2l

lii

RESOLUTIO.

I. Numeri addendi ita inter fe fcribantur, ut uni-

tates unitatibus, decades decadibus , centenarii cente-

nariis &c. refpondeant.

II. Sub his numeris ducatur linea , ne confufio

oriatur.

IIL Unitates annumerentur unitatibus, & fi fum-

n

ma unica nota exprimi poteft, ea fub unitatibus infra

is,

lineam feribatur; fi duabus , ea nota tantum feribatur,

ns,

qua ad dextram ílare deberet, finitima fequenti deca-

dum columnz annumeretur, cum reipfa valorem decadi-

cum habeat, decades rurfus in unam fummam colligan-

tur, & Ífi hzec unica conftet nota, i(ta(cribitur, fi dua-

bus, dextima tàantum ad locum decadum ponitur, &

finiterior fequenti centenariorum columne annumera-

tur & fic cum centenariis, millenarüis &c. per omnes

&olumnas procedendo fumma quzfita obtinetur.

B

Exem-

AMfetsb, AMhth. P H

,

18

CAP. It DE SPECïEBUS

Exemplum I. Sint addendi numeri 342, 425, 1214.

1.

342

2 & 3 & 4 tunt 9 unitates

51 Exit

IT.

423

^4 & 2 & 1 funt 7 decades

IIl. Y9I4

jsvis colurme

3 & 4 & 2 funt 9 centenarii

(ümmas COMHE

1979

I millenarius manet,

enorem abelt

Exemplum IL Sint addendi 3564, 4878, 7345, 8596.

3564

4. & B. funt 19. & 5. funt 17. & 6. fust

22. Nor

4878

23, unitates, 3. ergo ad locum unitatum

emnibos um

7245

ponitur, & 2. decadibus annumerantur:

tates fpedtatis

8596

9, & 6. & 7. & 4, & 9. faciunt 28. deca-

selituum ybi

des,

8. ergo ad locum decadum ponitur

amen hat (

24383

&2:

centenariis annumeratutr:

2. € 5.

fcribendo V

funt 7. & 8. funt 15. & 3. funt I8. & 5. funt 23,, 3. ergo ad

tius ii nor

locum contenariorum ponitur, & O. gnillenariis annumeratur,

quorum fumma 24. eificit, & tota fcribitur.

$1

DEMONSTRATIO.

m wnius «

tunc dextr

fummam

Additio eft plurium numerorum in unam

t& fequenti

fummam 1.

colle&io ($. 18.) fed hac ratione unitates, decades,

centenarii &c.

feu omnes numeri in unam

fummam

fequenti «

quam cj

colle&i funt, ergo addiþio fa&a eít.

Tes brevio

SCHOLION i,

le&as. fumo

exemplum

20. Ipfa finifterjoris note translàtio ad fequentem locum

hac etiam methodo exhiberi poteft, Ííi partiales cujusvis colum-

f fumma loco debito una infra aliam fcribantur,

& dein in

Precedens exemplum fic ftaret.

unam colligantur.

3564

4878

7243

8596

n

23 . . Summa unitatum

96

*

Sumima decadum

DL .

LÀ

x

.

Summa centenarlotur

22

.

*

. . Simma millenariorum,

34382

$CHO-

*

ARITHMETIC.JE,

19

,SS;.CHOLION —IL

.41, Examen additionis rite fa&z eft, fi initio fummo» cu-

jusvis columnz deorfum computando fiant, dein operatio furfum

fummas collizendo repetatur, íi eadem fumma generalis prodeat,

errorem abeífe fat certum eft.

;

HI.

sjc*H OLION

fust

22. Nonnuili examen inítituunt abjiciendo toties 9 ei;:

tUt

omnibus numeris addendis fecundum valorem naturalem ut uni-

lUH

tates fpe&atis, quotiés fieri poteít: idem fit in fumma generali;

iC

refiduum ubique zxquale operationem probat,

At cum. hoc exa«

Jrilu

anen fallatx(tranfpofito enim . per etrorem uno alterove numero

9t

ad

fcribendo v. g. 93. loco 32., refiduum tamen equale erit) din«

Wt ,

tius -Villi non immorabimur,

S;-CHOLI'ON

IV.

93. Dum loneiores numerorum feries addend» funt, fum-

ma unius columnz. etjam tribus notis conítare poterit,

atque

tunc dextima fcribatur, & finiftims duz valore decadico accep-

te fequenti co'uimux annuwhnerentur v. g. fi unitates colledzx dent

--

fummam 135. quinque fcribatur ad locum unitatum, & tredecim

Ut autem tam hoc,

R

fequenti columnz decadum snnumeretur.

quam conjun&um errandi periculum evitetur, has feries in plu-

yes breviores per lineolas dividere expedit; & hac ratione col-

de&as fummas partiales in. unam rurfus totalem colligere;

Ut

exemplum adje&um exhibet:

29

5

-

57

d

118

"39

EH

791252

$8

io9

58

s €

28

334

99

I9

$;

2

* 9

——

205

792

s

Bs

E X E. M-

Zo

CAP. H. DESPECIEBUS

EXEMPLA ADDITIONIS.

L In exercitu nnmerantur 15453. granatarii: 25340. pe«

&ites:

12835. equites:

220. pyrobolarii: 69, archite&i milia-

Tes

145CO. auxiliares copiz

3110 levis armature milites :

quot numerat totus exercitus ?

II. Princeps ex fundo A habet reditnum annuorum 54048

ex B. 2976475; ex C. 29870: ex D. 70coO

ex E.

IO04Q00:

ex F. 14925

Quales hàábet reditus annuos? &c. &c.

DEFINITIO II

p

24. Subtradio eft imminutio alicujüs - quantitatis

date, feu ablatio numeri a toto , ut inveniatür tertiu$ ,

qui differentia feu refiduum nommatur. minor fubtra-

hend us dlcltur,

PROBLEMA lr

25. Subtrahere minorem numerum a ma;ore.

RESOLUTIO.

i. Subtrabendus ita majon feu minuendo. fübfcribae

tur, ut unitates fub unitatibus

decades fub decadibus

&c. ponantur.

1I. Sub his ducatur lmea ad confufionem evitandam.

IIl. Initio a dextris facto aufer unitates fubtrahen-

di 3b unitatibus minuendi ; refiduum infra lineam ad 1o-

cum unitatum fcribe

Idem cum decadibus, idein cum

centenariis fac, vide Exempl. 1. Si nota fubtrahendi

fit xqualis fuperiori, refiduum eít squale nihilo; ze-

rus igitur inferius ponendus efl. Si notam inferiorem

majorem effe conGngeret nota füperiore, ex fequenti

proxime fuperiore nota unitas mutuatur, & ita notze

minuendze ultimz connumeratur, ut duas notas fepara-

tim pofitas cum hac efficiat, hoc eft valorem fuum de-

cadicum retineat, & ab hac ita aucta inferior fubtra-

hitur. Nota, a qua unitas ablata eft fignatur pun&o,

ut

——

P

ARITHMETIC E.

PA1

at in fequentis notze fubtra&tione fciatur, hane notam

)g4

unitate imminutam effe: vide Exempl. II. .Si denique

(

"

fuperius fit zerus, & inferius etiam, zerus in refiduo

fcribitur: fi a fuperiore numero inferior zerus auferen-

dus eft, superior numerus ponitur : fi a zero fuperiore

inferior numerus fubtrahi debet, ad zerum ex fequen-

ti nota unitas mutuatur, ut jam decem valeat; fi fe-

quens etiam fit zerus, a proxime fequenti nota unitas

ä

mnutuatur, per quod hic zerus initio in 10. & transla-

]

ta ad fubfequam notam unitate in 9. abit, quod de

B,

omnibus precedentibus zeris, donec ad numerum per-

(

veniatur, intelligendum eít: ut in Exempl. III.

Exempl. l. 6795 Dic 4 a 5 relinquunt x unitatem

1324.

2 à 9 relinquunt 7 decades

3 3 7 relinguunt 4 centenarios

refiduum

547X

I à 6 relinquit

5 millenarios.

Exempl. II. 3-',420

Dic Oa O manet O

25760

6 à I2 manent G

j

——

9660

7 à I3 manent 6

i

5 a 14 manent 9 '

22 2 manet nihil,

l,

Exempl. Ill 90000

Dic O a o ütuoþ

[l*

PÓ

2240

4 & 10 funt 6

0-

33.

9 funt 6

$7660

u

22a 9 sunt f

Jdi

nihil ab 8 funt g

e-

DEMONSTRATIO.

n

n fubtradione inveniendus eff numerus tertius,

ü

qui differentiam inter datos exhibeat, fed per prece-

dentes regulas differentia inter unitates, decades, cente-

e

narios &c. accepta eft, & infra lineam fcripta, erge

fubtra&io hac ratione rite facta eft,

0,

"2

$cERO-

.

L d

"

22

CAP,*.II. DESPECIEBUS

SOJGLOLION,.I

26. Examen fubtradionis fit per additionem, differentia

aádita numero minori dat numerum majorem.

Cum enim fola

differentia exhibeat quantitatem , qua miner a majori deficit,

f hic defe&us rurfus minori addatur deficere ab illo non poteft,

fed equalis illi effe debet. In Exemplo L'minor & refiduum ad*

diFum dat termidum majorem.

| 1;324 numerus minor

as o

5471 differentia

numerus major.

6795

SCHOLION,II.

97. Poteft etiam per ipfam fubtracionem fubtra&tio exa«

h

P

minari: refüduum enim a majori numero fubtradum de

[5

effe

l;

Y ima-

equale minori numero. Hic enim eft ipfaQ differentia in

jorem & refiduum.

6795 . numerus major

5471

differentia

1324 numerus minot.

ZA E RRE . o

p

EXEMPLA'SUBTRACMONW,

Y. Mercator e'xpendït in merces 34060. florenos, vendi-

dit autem illas &1985. florenis. Quot habet refiduos?

EM a. RE

IL Annus prefens eft 1775. Petrus natus eft 1741. Quot

habet annos?

IH. Exercitus hoftilis erat ante pugnam

þ510942. occiü

funt 30043., quot remanferunt?

DEFINITIO. III.

P^

4g. Multiplicatio eft ejusdem numeti iterata addi-

tio toties, quoties unitas continetur in altero, feu mul-

üplicare eft querere numerum ,

qui toties contineat

eC. AE o MK . nEDE

unum ex datis, quoties alter unitatem continet. Nu-

ueij ambo, qui multiplicantur, dicuntur fa&ores: nu-

merus ex multiplicatione ortus faEum vel productum di-

r dl

eitur: dta 6. & T. funt fa&ores, 432. e(t fadum.

C

"

P

ARITHMETIC.E.

35

COROLLARIUM.

'1

uii

11

"

g()

ii

ibet ergo ex his factoribus multiplieandus, & qui-

jl

ibet mu tiplicator effe poteft.

Idem enim eft, feu tria quater ,

feu quatuor te

f addam.

Ín fa&o enim unus eorum tofies conti-

lt,

metur, quoties unitas in altero.

$i unus factor eft unitas, alter

z

(je

tantum femel ponitur, hoc eft, ícribitur, qualis e& ; hinc dici-

fur : unrtas ndul multtplicat.

$SCHOLION I

ä(

39. Multiplicatio primarum novem notarum feu fafta ha-

ram inter fe nullas habent regulas, fed exercitio aut| computa-

tione in digitis faéta addifcitur, & memoris mandatur.

Confu-

litur huic vel per regulam pigri, vel per tabulam pythagoricam.

Per ilam produ&a fa&orum a 6. incipiendo in digitis manuum

1*

reperiuntur (infra 6. enim qui funt numeri, facile multiplican-

ie

tur)

Dextra facorem unum

finiftra alterum continet; fac&o-

"

"

rem ipfum digiti ereci exprimunt

?

ut dum 6. eft fa&or,

unus

erigitur, dum 7. duo*.. dum &8. tres,

&c. ftantes per IO., enun-

eiantur

jacentes per unitates, hac tamen lege, ut fantes fim-

pliciter addantur, jacentes vero unius manus per jacentes alte-

rlus multiplicentur. $i 6. per 6. multiplicandum (it, unus di-

gitus in quavis mamu erigitur, quatuor in utraque jacent:

duo

fantes additi funt 20., quatuor & quatuor multiplicati dant 16

ergo ftantes fumul & jacentes faciunt 36. fa&um ex 6. in 6. Si

d

Z.per 8. fit multxphcandum, in una duo ftant, in altera tres-

duo vero

in una , & tres in áàltera jacent, quinque ftantes

additi faciunt 50.;

yt

duo vero & tres jacentes ; multiplicati dant

$,, ergo facum totum eft 56.

SCHOLION IL.

3I. Tabula pythagorica fac&a omnium numerorum fimpli-

eium continet

Confiruitur hac ratione: fuperius & inferius in

tabella fiunt novem divifiones, & ex parte finidira & dextima to-

fs

tidem; hw & ille lineis re&is conjunguntur.

Inm prima fuprema

ferie fcribuntur numeri novem fimplices; in fecunda binarii

l

ejusque faca in omnes fimplices

ad priorem fcllicet numerum

f

femper addendo duo; in tertia ternarius, ejusque fa&a, ad

1-

priorem femper addendo tria & fic usque ad novenarium , & ta-

.

bula omnia fa&a continebit numerorum fimplicium : ut fig. 3-

]

exhibet.

Ufus tabul» feguens eft: Quzratur unus fa&or in ferie

fuprema,

alter in ferie finiftima: communis areolarum. concur-

fus a fuprema deorfum & a finitra dextram verfus progrediende

B 4

ho-

ais

CAP.I. DESPECIEBUS

24

thorum facorum producum continet.

Exempl

Sit 6. per 7.

multiplicandum

a 6. e fummitate deorfum progrediendo linea

xe&a, donec veniatur ad feriem, in qua e finiftris 7. ftat, habe-

tur fadum 42.

PROBLEM.A. IIT

42, Multiplicare numeros datos.

RESOLUTIO

I. Fa&or minor majori fübícribatur , ita ut unita-

tes fub unitatibus , decades íub decadibus &c. po-

[

nantur.

II Ducatur mfra fac&ores linea.

III. Ducantur unitates multiplicatoris in omnes no-

tas multiplicandi a dextra finiftram verfus, & fa&a par-

tialia fi una nota exprimanfur, ita a dextra finiftram

verfus fcribantur, ut fa&a unitatum, decadum &c. fub

notis unitatum, decadum multiplicandi ponantur, ut in

1

Exempl. I. Si fa&um duabus notis exprimi deberet

ea Ícribitur, quae ad dextram poneretur, altera mente

retinetur

facto fequentis notz addendas; utin Exempl

eadem omnie

1I. Abfoluta multiplicatione per unitates

no methodo cum decadibus fit, ducendo fcilicet hanc

notim in omnes notas multiplicandi & fa&um ftatim fub

fecunda multiplicatoris feu ad locum decadum ponatur;

cum omnia hec fa&a reipfa decadica fint.

Id univer-

u

fim notandum, fa&um debere im eo loco incipere, iu quo eff

l

woia multiplicans. .Abfoluta per decades multiplicatione

[

fit per centenarios feu per tertiam notam dein per quar*

tam, é& fic ulterius quotquot funt: ut in Exempl. III.

IV. Hxc partialia fa&a in unam generalem addan-

für,

qua erit fa&tum quafitum,

Exemp!.

I

1342

Dic 2 per 2 dat 4 unitates

4 per 2 dat 8 decades

d

RUE

t

26

P

[*

3 per 2 dat 6 centenarios

X per 2 manent 2 millenarii

Exeme

ia

ARITHMETIC.R&E.

79

jf

í*

Exempl,IL $96 Dicó per 3 dat IQ remianet I

inea

3

9 per 5 dat 27 &unamquod remanfit 28

rh

2688

8 per 3 dat 24 .& duo funt 26

Exempl IIl. 53684 Dic 4 per 5 dat 20

325

8 per 5 dat 40 & 2 funt 42

268420

6 per $ dat 3O & 4 funt 34

2 per 5 dat I5 & 3 funt 18

I07568

161052

$ per 5 dat 25 & 1 funt 26

Dein incipit multiplicatio per 2. fed

ia

17447300

fcribendo primum facum 8. ad locum

p

decadum 4. per. 2. dant 98., 8. per 2. dant 16., remanet I.

&c, &c.

DEMONSTRATIO,

; no

Numerus fuperior feu multiplicahdüs toties pofitus

que

eft, quot inferior feu multiplicator unitates in fe con-

(.ram

fub

tinet; ter enim in Exempl. II. pofite funt unitates

9

ter decades, ter centenarii; fed hoc ex definitione eft

t in

LY

multiplicare, ergo dati numeri multiplicati funt.

ret,

SCHOLION r

onte

IUPL

33. Translatio notz finifterioris ad fequens fattum demon-

ymnie

firari poteft, ut in additione di&um eft, fi quodlibet fa&um lo-

fonc

co debito feparatim fcribatur: ut inferius Exempl. IV. exhibet.

; lub

SCHOLION IIL

JP

34. Examen multiplicationis eft divifio fequenti problema-

[2

te tradenda, quod enim & qua ratione multiplicatio componit ,

hoc divifio rurfus eadem ratione in fuas partes refolvit,

Si igi-

d

ione

neceffe eít.

tur facum per unum e facoribus dividatur, alter fa&or prodeat ,

!UHI' *

Ill

$CHOLION II.

i

45. Dum unus aut ambo factores in fine annexos habent

Zeros, abfciffüis interea zeris multiplicatio per notas alias fecun-

dum regulas fit, & fa&o totali feu fumm omnium produ&orum

tot z2eri apponuntur , quot in utroque fa&ore erant :

ut i&

Exem gl. N

h

55

$CH Os

D

26

CARILDESPECIEBUS

S.CHOLION,IV.

!

$iny!

u

36. Si in loco intermedio occurrant zeri in multiplic

Guv

ata-

ze, etiam ii omitti poffunt,

hoc folum notato ,

quod fuperius

Triph

de pofitione fa&i partialis di&um eft: fcilicet, fa&um per figu-

aür

Qd (

ram Zzeros immediate fequentem in eo inferius loco incipere

Qu

Sex

debere, in quo nota multiplicans ítat : ut in Exempl. VI.

$ep

Exempl. IV,

896

Exempl. V. 2:000

300

Qdor

——

Nox

18

24|o0co3

27

L

3

2 4.

ïmt

72|oocoe

TW

2688

iee

Exempl. Vl. 450864

vidl

i

4002

L

A

901728

pn

Y803456

& in

1804357728

t :

B^UHOLtE-0N.-V

i

37. Si majotes vel longiores numeri per majores multipli-

eandi funt, magno erit fubfidio,fi prius omnia multiplicandi mul-

te&

itont

tipla (hoc eft omn!a fa&a ipfius multiplicandi in numeros novem

fimplices ceu duplum triplum quadruplum &c.) fiaut & feparattm

Q

EM

L

fcribantur; facile erit deinde ex his factis ea, qu& note muki*

plicatoris exigunt, excerpere & loco & ordine debito [cribere.

H

Dell:

Si muitiplicandus 97868. per 75896.

p

Duplum multiplicandi habetur vel addendo eum fíibi ipf

Qu

vel per 2, muitiplicando.

'friplum addendo duplio fimplum vel

m

hnm

multiplicando per 3. Quadruplum addendo triplo fimplum vel

duplum multiplicando per 2.

Quintuplum addendo iterum prio-

j

ri fmplum vel addendo duplum & triplum & fic de reliquis.

Qrdine multipla fic ftarent.

tet

Lf

Qm

10

eime

3

ARITHMETICJR.

27

97868

Sin;p]um

97868

i

at

[

-

Duplum

1957236

75895

Derius

'Triplum

293604

Sextuplum

587208

figus

—

—

880812

j

Quadruplum

391472

Noncuplum

cipere

Quintuplum

Octoplum

- 782944

489340

Sextuplum

587208

Quintupl. — 489240

Septuplum

685076

Septupl, z 685075

Octoplum

782944

Noncuplum

$80812

74277779728

JYpfa autem hxc multipla facillime habentur per tabellas auí

lamelias Neperianas, qus parantur ex abaco pythagorico fupe-

rius explicato, feparando quaslibet notas per lineas tranfverfa-

les, ut fig. S. exhibet, excepta fuprema ferie, que non ita di-

viditur, atque omnia quadrata hac ratione in duas partes diftin-

In dextima cujufvis areole parte funt unitates, in fini-

guuntur.

ftima decades.

Preter has due tabelie feparate eífe debent,

pro zeris una, cujus areole etiam per tranfverfales divife funt,

& in dextima parte zeri ponuntur: altera areolas integras habet

& numeros novem fimplices ordine continet, ut fig. 5.

Paran-

tur autem ex ligno vel alia materia craffore, & plures ad ma-

nus effe debent, cum eadem nota fzpius occurrere poíht.

38. Ufus fequens eft: Lamelle ita difponuntur, ut in fron-

ipli-

te exhibeant multiplicandum , ez fcilicet accipiuntur, qus im

mule

fronte notas multiplicardi gerunt & ordine, quo in multipliotn-

yrem

do flant, fibi invicem adjunguntur.

Ante hos ad finittram po-

um

nitur columna numerorum fimplicium, qus multiplicatoris mu-

I

nere fungitur: utin fig. 7. precedens exemplum explicatur. Ta-

bert.

belle 97868. multiplicandum exhibent, multiplicatoris note in

prima tabella queruntur. . Multipla hac methodo excerpuntur,

Quzritur in columna numerorum fimplicium nota multiplicatoris

p

f

in noftro cafu 6. feries tota à 6. verfus dextram multipla hujus

Y

numeri continet.

Prima ad dextrám nota exhibet 8. unitates,

ï

j v€

in facto ad locum unitatum ponendas; altera ad finiftram nota

Jrit

4. additur illi, quz ad dextram in fequenti columna ftat fcili-

Q

cet 6,, fumma eíft 1O., zerus ad locum decadum fa&o fcribitur,

I. fequenti note 3. annumeratur, qus» jam abibit in 4., hzc

cum fequentis columnz nota 9. facit I2.: 9. fcribitür igitur ad

locum centenariorum, I annumeraturfequenti note 4, qus cum

contigua 3 jam 7, facere debet pro millenariis: fequitur 4 & 4

funt 8 & tandem folus numerus 5; ut adeo totum multiplum fe

idem cum feguenti nota 9 ia ultima fi

fextupvlum fit 587308-

xie

adue

28

CAP.II. DESPECIEBUS

rie prefiatur addendo femper notam finiftimam prioris columsse

note dextimz fequentis columne; fumme ordine fcripte facta

P

omnia exhibent, qux. in unam fummam colle&a dant fa&um to-

qnla certa

tum multiplicatoris in multiplicandum ; ut prius exemplum often-

fus per di

dit.

Veritas operationis inde patet; quzlibet areola continet

rica at 3

fa&dum mnote fupreme in notam lateralem finiftimam, quod fa-

viftima, (

&um ita juxta leges prius datas in- produ&o fcribitur, ut dexti-

titur um

ma folum nota ponatur, finifima autem feu decas fequenti fa&o

vedens: 3

annumeretur; fed id preftatur per has tabellas, quz fa&a ordine

quotus n

debito continent, ergo operatio recte juxta has leges abfolvitur.

6 contie

EXEMPLA MULTIPLICATIONIS.

mitate fi

extety ac

L. Infula quepiam continet 36. difiri&us: quilibet diftri-

« divif

&us 4O paroecias, quzxlibet paroecia 98 familias, quzlibet fa-

Vb fto

amilia 9 perfonas.

Quot erunt perfone ? 1270080.

(Íet qu

II. Campus quidam longus eft 102004 pedes: latus 02002

pedes.

Yilione :

Quot habettotus pedes quadratos multiplicata longitudine

per latitudinem ? 104047140I2.

/

I1l. 1775 anni, quot habent dies ? pqu uno computatis

2365 diebus* quot horas?

ï24 diei attributis? quot minuta? 69

4

in qualibet hora.

l

Rüterum

tomponit

DEFiNITIOIW

Vifim pe

39. Divifio eft iterata cujusdam numeri ab altere

fubtradio toties, quot unitates tertius quarendus ha-

)

bet; feu dividere eft qua&rere numerum, in quo toties

Major

Vilione ;

continetur unitas, quoties minor in majore.

maximm

vocatur

dividendus ,

minor divifor, tertius quotus.

9&91

P:imus oftendit, totum in partes diftribuendum; alter

in quot partes totum diftribui debeat, tertius, quot

partes cuilibet ex toto obveniant: ut 20 florenis in 10

A

Wam ;

pauperes diftributis cuilibet 2 dandi funt.

101 pote

COROLLARIUM

Qum

Qu

6 putts

4O. Si divifor fit unitas, quotus debet effe zqualis divi-

dendo ; cum enim quotus toties continere debeat unitatem,

brond oft

quoties divifor continetur in dividendo, divifor autem toties

contineatur, quot dividendus habet unitates; hoc eftin cafu

propofito, qualis eft ipfe numerus datus, etiam alius quotus

N

quam ipfe numerus datus effe non poteft: hinc dicitur: unitas

Jmü

zil dividid Ysa

i

T

in 6 continetur fexies, quotus ergo etcam

t

*!ä'itiä

c£& ó.

SCHO-

j

29

ARITHMETICA:X |

SCHOLION I.

luttisg

! fada

4t. Ut íciatur, quoties minor in majore contineatur, re-

Wt tü«

| often

£ula certa tradi non poteft, fed exercitio aut computatione rur-

fus per digitos addifcitur.

Adjumentum tamen tabula pythago-

Ontinet

od -

rica aut Neperiana adfert.

Queritur nempe divifor ex parte (i-

nifima, & dire&e verfus dextram progrediendo in areolis que-

dexti-

ritur numerus major datus, feu numerus ad datum proxime ac-

fado

cedens: ab hac areola dire&e furfum progrediendo invenitur

yrtne

quotus in fuprema ferie; ut fi fcire vellem , quoties in 42 nota

dieuta

6 contineatur: a 6 verfus dextram venitur ad 42, cui in füm-

mitate refpondet 7 quotus qusfitus.

$i fa&um quzíitum non

diftti«

extet, accipitur fa&um proxime minus,

Ratio in promptu eft,

cum. divifio refolvat, quod multiplicatio componit, dato faco &

jet f«

uno fa&ore (feu dividendo & divifore) habetur alter fa&or

(feu quotus) multiplicatis fa&oribus coalefcit fa&um, quod di-

02003

vifione refolvitu& in factores.

ituding

COROLLARI.UM I.

outatis

! 8

42. Hinc quantitas divifa & multiplicata fimul per eunderm

numerum non mutatur, quia in eas partes refolvitur , in quas

componitur.

Tta 42. multiplicatum per G & fa&um iterum di-

vifum per 6 manet 42.

|tete

COROLLA:RIUM T.

i ha

43. Deducitur quoque ex eodem principio, quotum ex di-

totie$

vifione partiali majorem quam 9 effe non poffe; fa&um enim

Mojot

maximum duorum numerorum 81 majores fa&ores fimplices quam

QLUS.

9 &9 habgre non poteft,

SCHOLION

Ií.

jltet

quot

44. Si contingeret dividendum nümerum minorem effe

«uam diviforem , divilio fecundum regulas preícriptas a&u fier$

n 10

non poteft, fed tantum indicatur hac ratione, ut infra dividen-

dum ducatur linea & divifor infra lineam fcribatur: ut fi 5 in

6 partes diftribui debent, fcribe fupra 5 & G infra lineam

*

5

divi*

quod oftendit, 5 per 6 dividi feu in 6 partes diftribui debere.

'em ,

SCHOLION

IH.

oties

caf

45. Hwc operatio fola a finitra dextram verfus peragitur,

j0tus

dum .omnes

alie a dextra finiftrorfum fiunt,

cum in di-

fributione feu divifüone rerum majorum partium initio ra3tio ha-

nita$

tiam

benda

Q«

& n

30

CAP. II DE SPECIEBUS

benda fit, ut reüidua ex partibus majoribus in debitas minores

0

rurfus partes diftribul pofünt

PROBLEMA IV

dum divifor

46. Numerum datüm dividere

anica nota conftat.

RESOLUTIO

I. Poft dividendum fiat lunula, poft quam quoti

3ad evitandam confufzonem fcribuntur.

II. Divifor primz notze finiftime diwidendi aut fi

hec minor fit quam divifor, fecund» fubfcribatur.

dii

III. Quzre, quoties divifor in prima, aut fi major

quod

Qüi à

fuerit, in duabus primis notis eontineatur, & quotum

Wn a

hunc inventum poftlunulam fcribe.

IV. Per hunc quotum multiplica diviforem , & fa-

&um fub divifore ita pone, ut accurate notz vel no-

que divife funt, correfpondeat: infra fa&um due

tine;

lineam

tar

V: Hoc factum.a notis immediate fuperioribus di-

les ;

videndi fubtraàhe, refiduum infra lineam pone.

dit

VI. Huic refiduo adjunge notam fequentem divi.

1n

dendi, quz fimul figno aliquo notetur, quod oftendat,

0j

hanc notam jam translatam effe, & easdem operationes

Cent,

Tar

a fecunda incipiendo repete.

3 n&ï

4 Q

ad;h'

Vaut

Exemp!

w

ARITHMETICJA.

3t

0t

Exempl. Y,

Sit dividendum 7638 per 3. Ponatur 3 fub 7

r

VE

poí dividendum fiat.

(Dic 3 in 7 continetur 2 qui quotusg

7638 (2546

pof lunulam ponitur, & per eum di-

3

vifor 3 multiplicatur, fa&um 6 infra

»

diviforem. ita fcribitur, ut dividendo

16

7 reífpondeat , & fubtrahatur; ad refi-

fot

duum I adjungitur nota fequens 6 &

3

$ub G fcribe divifo-

15

punc&o notetur.

—

rem

2

239

& quere, quoties 3 in 16,

13

& invenietur 5, qui ad locum quoti

3

poft 2 fcribitur, & per diviforem 3

12

—

multiplieatur, factum I5 a I6 fubtra-

hitur, & ad refiduum I adjungitur fe-

uoti

18

Subfcripto divifore

À2

n

3

quens nota 3.

[3

quere, quoties in I3 contineatur &

n

*s

quotus 4 poft 5 quotis adjungitur, perg

X ü.

o

hune quotum multiplicatus divifor 3

dat factum 12 quod fubtra&um a I2 relinquit refiduum I, ad

quod adjungitür nota ultima 8, & quere 3 in I9 continetur 6,

jot

qui ad. quotos pofitus & du&us in 3 dat fa&um 18, quod abla-

Curtt

tum ab 18 relinquit O, & habetur quotus 2446.

j h-

DEMONSTRATIQ

| 10*

Dividere eít querere numerum, dui totics con-

| duc

tineat unitatem, quoties minor in majori, feu in mille-

nariis, centenariis &c. contineatur, fed per prxceden-

di

tes regulas id quiefitum erat, & numerus, qui id often-

dit, inventus, ergo divifio rite pera&a eít. Scilicet

7 millenarii in 3 partes divifi dant quotum 2 millena-

QlVie

tios & reftat adhuc 1. mille, ad quod adjunguntur 6

!däf D

centenarii, qui in 3 partes divifi cuivis dant 5 cente-

(nes

narios, & reítat iterum I centenarius, ad quem ad-

juncte 3 decades dant r3 decades, divife per 3 dant

4 decades in quoto, cum refidua 1 decade, ad quam

adjunécte $ unitates faciunt 18 unitates, äiyjfæ per 3

dant quotum 6 unitates.

C Q-

pl

CAP. IL. DE SPE

IEBUS

$2

COROLLARIU M.

47. Patet inde, tot notas in quoto futuras , quot divifio-

mes partiales fa&w funt, hoc eít, tot fore notas in quoto, quot

mote in dividendo fubfcripto divifore reftant, quibus nil íub-

fcriptum eft plus una nota, qua ex prima divifione habetur.

PROBLEMA V

48. Numerum datum dividere

dum divifor

ex pluribus notis conftat.

RESOLUTIO

fotem

tus to

Q

1. Fa&a lunula ut prius.

II. Prima diviforis nota primz finiftimz dividendi

4

(nifi minor fit) relique reliquis 'notis fubícribantur.

&

IM. Quzre quoties prima diviforis in prima (aut

1Vii0)

m 4

duabus primis) dividendi contineatur, & quotum hunc

tür 4

jnventum poft lunujam fcribe.

IV. Quotus inventus in totum diviforem ducatur,

& fa&um íüb correfpondentibus notis diviforis fcriba-

Tne

tur.

Duus

Vi (

V. Du&a linea hoc fa&um ab iis notis dividendi,

qulbus fubfcriptum eft, fubtrahatur.

CSi autem fac&um

majus fit, quam ut fubtrahi poffit, quotus unitate mi-

nor accipiendus eft ).

utus

teipi:

U de

VI. Ad refiduum adjungatur nota fequens, 3 qua

fubtra&io nondum facta eft, & divifor totus fubfcriba-

Drima

feriy

tur, atque operatio a tertia incipiendo repetatur.

ï,hls

QUOtU

"MOrIs

Exempi

—

-

ARITHMETICZE

33

Exempl. II.

Sit dividendam 36448 per 68.

j«

36448 (536 Dic 6 in 36 quoties

contineretur

4

nt

68

quidem 6, at facum hujus quoti in di-

340

lb«

——

viforem foret 408 majus quam ut fub-

244

trihi pofit, hinc quotus a-cipitur 5,

qui

duc&tus in diviforem 68 dat fa-

68

204

&um 340, fubtra&um relinquit 24 ,

adjunca nota fequens 4 dat dividen-

AOS8

dum, 244, quod per 68 divifum dat

68

0

quotum 3, qui ductus in diviforem

408

— À

dat 204 quod fubtra&um relinquit 40

cum ultima nota 408 & divifura per

68 dat quotum 6 , qui du&us in divi-

forem dat fa&um 408 quo ífubtrado refiduum eft — O & quo-

tus.totus —2 5236.

Ita omnia exempla, ubi dwxfor trxum, qua-

tuor aut plurium notarum eft,

folvuntur,

SCHOLION L

4

49. Si peraca diviüone fuerit ex ultima fubtra&ione reft-

$uum, illud ad dextram quoti pomtur, eique interpofita lineo!a

29

Ed

divifor fubfcribatur. (g, 44.)5

divifum per 5 dat quo-

t

tum 4 & refiduum 25; quod poft quotum fubfcnpto dlvxiorc poni«

tur 42.

[

S.COLOLION k

50, Si fub ipfa divifione nota adjun&a refiduo minorem

j

numerum efficiat quam fit divifor, in quoto zerus ponitur & ad

prius refiduum quuens rurfus dividendi nota adjungitur, & di-

viüo continuatur: ut in Exempl. lII

SCHOLION II

51. Dum divifor pluribus notis conítat, f»pius accidit, ut

quotug ex prima nota diviforis in primam dividendi

jufto major

acciplatur, cum reliquarum etiam notarum diviforis

ratio habe-

Ti

debeat

hinc contingit

ut prima nota diviforis fszpius in

prima dividendi contineatur, quam totus divifor in eo, cui fub-

fcriptus eft numero, & quotus major ponatur, 'quam ut facum

ilius in diviforem fubtrahi pofit, quo cafu diviüo repetenda &

quotus cum tzedio minuendus eft

Confulitur huic, fi prius di-

viforis multipla. fiant ($. 37.) qu& oftendunt, quodnam fa&um

Qquot1i

AMeizb. Idath. P.1

C

MRH u ts

m

——

34 CAP.H. DE SPECIEB. ARITHMETIC A.

oti im diviforem a dividendo fubtrahi poffht, & quis verus

P

qu

quotus accipi debeat.

SCï*iOLION IV.

|

49. Si divifor zeros in fine adjun&os habeat, hi ultimis

ad dextram dividendi notis fubfcribi poffunt, abfcindendo zeros

a divifore & totidem motas a dividendo, cum reliquis autem

V

Pera&a divifione abíciffe prius dividendi no-

operatio inftitul,

te refiduo, & quod fuerit, adjunguntur, & fupra lineolam , ut

prius di&um eft; fubfcripto divifore toto poft quotum ponuntur,

—

L:

$i nullum fuerit refiduum , ipfe abíciffe notze fubícripto divifore

pof quotum ponuntur: ut in Exempl, V. ubi dividendum eft

563874 per 23c0.

SCHOLION V,

53. Si vex'c; tam in dividendo quam divifore zeri fuerint,

equalis zerorum numerus ex utroque aufertur, & cum refiduis

notis operatio inftituitur.

Hinc in divifione 849000 per 3000

diviüo fit 849 per 3 & quotus 283 eft verus quotus: fupponi-

tur enim tam dividendus quam divifor per eundem numerum

C1 fcilicet adje&is illis zequalibus zeris multiplicatus, hinc ubi-

que omitti pote& ( $.

3-

SCHOLION. VI

f

$4. Si divifor fit unitas adjun&is zeris v. £. IO, IOO;

|

fOOO &c. abícindantur in dividendo ad dextram tot note, quot

inferius fuünt zeri, notze remanentes funt quotus, cum unitas nie

hil dividat, ipfe autem not» abfcifle fubfcripto divifore poft

quotum ponuntur, vHinc 684375 divifum per IOCO dat quo-

tun 604 T$$20

m — p MH

SCHOLION S VIIL.

z d Bd

$5. Examen diviüomis eft mulà

n

pl

T

li

catio; quotus inventus

áucatur in diviforem , fa&üm dabit dividendum , cum enim di-

vifio tefolvat, quod multiplicatio componit, fi refoluto dividen-

do per diviforem in quotum rurfus quotus per diviforem multi-

f

Ia

lin CO1

nponatur. Hoc zquale dividendo effe de-

plicatione in fa

bebit.

Conferatur Exempl. VI. cum Exempl. in Scholio V.

multiplicationis jam ($. 372 Pf vofito

*)

Exempl.

u$

CAP. Hï DENONNUL. AFFECT. N UMER&,' 35

Exempl, III,

241672 (30209

8

3

Exempl. IV.

246656 (3008

nif

82

5638

E

7

0f

Exempl, :V'

44 (248 22

Q

$

In

23

4 00

&xempl. VI.

7427789728 ( 75896

W

97898

u

-

)re

Á

ef

:C AT UI M

A

De nonnullis afïe&if)nïbus numerorum.

u

l

00

DEPFPINITIO L

nl

À umerur primus dicitur, qui ex nulla multïplica—

)

56. UZR

tione per alterum numerum preter unitatem

hàberi poteft, adeoque etiam per nullum alterum quam per

fe & unitatem exa&e dividi poteft: tales funt 1. 2.3. 5.

0;

7- 1 1. 13. 17. 19. 23. 29. 31 &c.

ANumerus. compofitus

t

eft, qui exi multiplicatione duorum numerorum oritur,

m

adeoque etiam diviforem vel divifores alios przter fe

ol

& unitatem admittit: ut. habet diviforem 2: 6 habet

divifores 2 & 3: 8 habet divifores $ & 4: 99 habet

divifores ? & I14, 4 & 7. Fa&a horum diviforum di-

cuntur multipla.

j

DEFINITIO II

j

57. Pars. aliquota e&,x qua aliquoties fumtä toti eft

equalis: ut 3 eít pars aliquota numeri 12, quia quater

E

V

fumta eidem zqualis et. — Pars aliquamia eft, qus ali-

quoties fumta toto vel major vel minor eít: ut 5 eft

pars aliquanta numeri 12,.

C 2

DE-

CAP. HL DE NONNULLIS .

36

DEFINITIO 1.

$9. Commenfurabilia dicuntur, qus partem aliquo-

tam communem habent vel quorum unum eft pars ali-

Incommenfurabilia funt, quorum nulla

quota alterius,

datur pars aliquota communis.

DEFINITIO IV.

59. Numerus par eft, qui per 2 dividi poteft: ut

8.4. 9. &c.

lmpar qui per 2 dividi non poteft, & a

pari unitate differt: ut 3. 5. 7.

VCOROLLARIUM DE

La d - DEU MO E . EMi M RE rE

60. Hinc fi numeros ordine naturali fcribamus Y. 9. 3. 4-

$. 6, 7. 8. 9 &c. numeri alterni funt pares, & fi ad imparem

addatur unitas, fit par.

COROLLARIUM IL

61. Si igitur fit numerus compofitus, qui in fine habet

numerum páàrem aut Zerum, poterit per

a

2

feu bifariam dividi;

10 enim, 20, 3O aut 1OO, 200 &c, funt numeri pares ex

precedenti Corollario.

Si imparem, per 2 dividi non poterit 5

femper enim major erit unitate quam multiplum bi?arïi.

COROLLARIUM Il.

62. Omnis numerus, cujus poftrema nota eft 5 aut O, di-

vidi poteft per 5 : nam nul!us numerus habet in fine 5 aut O,

qui non fimul unum ex fa&oribus, ex quibus Oritur, habeat

quinarium, «ut in tabula pythagorica in fa&is quinarii videri

poteft, fed fi unus fa&or eft 5, per hunc numerus datus feu fa-

&um dividi poteft, ergo omnis numerus talis per 5 dividi

pf)teü.

COROLLARIUM

1V.

63. Si note numeri compofiti ut mere unitates confider:-

sB & in unam fummám colle&» novem íemel aut aliquoties

(umtum efficiant, numerus datus accurate per 9 dividi poterit.

ia 6894 in unam fummam collecz faciunt 27. quia 6 & 8

íunt

AFFECTIONIBUS NUMERORUM

37

unt 14 & 9 funt 23 & 4 funt 27 ; fed 27 accurate ter 9 con-

tinet

ergo etiam numerus datüs 6894 accurate per 9 dividi po-

ferxu

Si vero. note ita colledz fummam. faciant per 3 divifibi-

lem , etiam totus numerus per 3 dividi poterit.

l1ta 2886 dat

fummam 24 per 3 divifibilem , ergo etiam totus numerus per

3 dividi poterit.

Videri hoc iterum poteft in tabula pythago-

rica, ubi omnia multipla de 9 ut unitates fpecate & in unam

fummam colle&v 9 unitates faciunt.

1ta 54 fa&um ex 6 & 9

& 2

facit 9 unitates, quia 5 & 4 funt 9

ita 72 fijaddam

dat 9 &c.

Cum 15 det fummam 6 aut 27 fummam 9 per 3

Fundamen-

divifipbilem, etiam I5 & 27 per 3 dividi poterit

tum.autem latet in eo, quod valor nullius note , quemcunque

locum occupet, 9 unitates excedere pofüt, feu unitates fint fim-

plices, feu centenariorum feu millenariorum , feu millionum &c,

devenitur ,

& fi ad plures unitates

jam alius locus novus iterum

fatuendus eft

ita quidem

ut fi quiscunque numeruüs per 9

dividatur, femper maneat refiduum, quod tot habet unitates,

quot unitates note in numero addite effciunt.

ita I5 divifum

*

cum refiduo 6

per 9 dat quotum i

quod eft equale I & 5 ad-

ditis: 34 divifum per 9 dat quotum 3 cum refiduo 7 , idem

quod 3 & 4 additi faciunt; ergo ita hzc refidua crefcunt,

quo

magis ab uno novenario recedo & ad alterum accedo, agque it

nulum fit refiduum , numerus quoque datus inter 9 & 9 conti-

Aeri non poteít, fed accurate novenarios explere debet, ergo

per illos quoque divifibilis eft

DEFINIÍTIO V.

64. JMevfira numeri funt divifores, qui illud ac-

curate dividunt,

AMenfura. maxima eft maximus illorum

diviforum, qui, fl numerus datus folus fine comparatio-

ne ad alium fpe&etur, femper eftipfe numerus datus

quilibet enim numerus fe ipfum femel continet.

Men-

fura communis duorum aut plurium numerorum eft com-

munis divifor utriusque; maxima eft maximus utriusque

divifor

Ita 12 habet menfüram 2. 3. 4. 6, e quibus

poft ipfum numerum 12, menfura maxima Ó eft:

12

vero & 24 habent communem menfuram 4, maximam

vere ipfum 12.

C

PRO-

3

38 CAP.' HI.DE NONNUL. AFFECT. NUMER.

PROBLEMA I

h

65 Invenire omnes divifores feu factores a

kA"

cujus numeri.

RESOLUTIO,

Si humerus datus eft par, per 92 dividatur, fi im-

T

par, tehtetur divifio per 3. 5. 7 &c.* Si cum nullo

Si au-

füccedat, numerus datus eft numerus primus,

s

tem quotus accuratws inveniatur, quotus & divifor fe-

—

paratim fcribantur.

Quotüs rurfus hac ratione divida-

tur, & divifor rurfus annotetur, atque hoc tamdiu re-

petatur, donec quotus fit unitas, & habentur omnes

divifores fimplices numeri dati.

Divifores fimplices

bini & bini, terni & terni inter fe multiplicentur &

hibeptur omnes compofiti divifores,

Exempl.

Quxrantur divifores numeri

420

210 (105

3

5

É

C1

420 (21Q

125 ( 35

a

P

o

;ï

Divifores fimplices 2, 2, 35 5, 7*

Divifores compoüu

e binis 2

in

dat

ternis

in.

dat

12

in

dat

in

dat

20

in

dat

[e)

in

dat

28

in

dat

in

dat

14

30

in

dat

15

in

dat

42

in

dat

21

in

dat

g

€£AU) UJ9 M B o2

in

ä

dat

3

$

$) r t9 d9 gO :dO )

in

CQv tAa 49 ) 19 f0 jQ

$g»gef mf

^]7^343 ^3 JUt^4 1029

dat

Hor]

e quatern]s 2 in 9 &

at

9

:

a

9.in 92.&

84

P

at

140

ä

:

21Q

ä»

o

-

&

e quinque 2 in

ä

äï;ä

& 7 dat 420

ergo diviiores ordine fcripti funt fequentes 24: tY. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 1O. 12. 14. 15. 20, 21. 28. 30. 25. 49. 60. 70* 84-

105. 14Q. 2IO. 420

LI

v

CAE.IV. DE OPERATIONIB. ARITHM. 49 -

DEMONSTRATIO.

Quotus du&us in diviforem reftituit fa&um feu di-

videndum, ergo tàm quoti quam divifores debent eífe

communes faC&ores dati numeri; fed quoti partiales e

qualibet divifione emergentes funt iterum fac&tum fuo-

rum diviforum & quotorum ; ergo divifores omnes inter

fe multiplicati dabunt fa&ta, qua totidem erunt divifo-

feS numeri totius dati.

SCHOLION.

. 66. Hs & alie proprietates ex Algebre principiis facilli-

me demonftrantuür,

que generales demonítrationes cum fint,

omnibus cafibus particularibus applicantur.

CUA DDT dv

De operatidhibus arithmeticis in quantitatibus

feu numeris heterogeneis.

DEFINITIO I

67.

uantitates heterogenex , de quibus hic agitur,

funt, quz res diverfe fpeciei aut denomi-

nationis Continent, ita tamen, .ut fpecies minor in ma-

jori contineatur: ut fpecies monetx, ponderum, tem-

poris, menfurarum &c.

SCHOLIGON

68. Ut operatio cum his quantitatibus fieri pofüt, meecffe

eft, perfpe&um priushabere; quot partes feu unitates fpeciei

minoris conftituant unitatem fpeciei majoris, pro quo íequens

tabella ferviat,

€ 4

In

At t o

f 53

4o

CAP. IV. DE OPERATIONIBUS

In moueta ufuali

LE2

Impenalls contmet, ...2 flrenos: 40 groffos

I2O cruciferos

Florenus enso t o sss 20 groffos: 60 .cruciferos

240 nummos

Grbíus 1.5l ie s. 3. Ctüciferos ;; nummos

Crucifer. . .......... 4 nimmos:. 8 obolos

Nummus,......... .. 8 obolos

lu pondere.

Centenarius (&entner) continet 1 oo libras vel 1600 un-

cias vel 3200 femiuncias.

Libra(SPfurb),, ..,. .. 16 uncias vel32 femiuncias

vel 128 drachm.

Uncia (1np).... .. .. 2 femiuncias vel 8 drachmas

vel 24 fcrupulos

Semiuncia (£0tb) .. .. .. 4 drachmas vel 12 fcrupu-

los vel 240 gràna

Drachma (Oradjmo,, .. 3 ferupulos vel 60 grana

Scrupulus (Ccrupef) .. ,, 20 grana

In menfura longitudinis.

Hexapeda ($(after) continet 6 pedes vel 72 digitos

Pes (C"Cf)ub) 6 9999 99 12 dïgerS Vel l44 llneaS

Digitus (300) «; ..... .. 12 lineas vel 144 pun&a

Linea-(£inie) ,. .. .. 12 pan&a(punfm

lu menfura: geogvraphica.

Milliare (9Dteife) continet 4c00 paffus vel 20000 pe-

des

Paffus (Cdritt) ,. .... 5 pedes vel 20 palmos

Pes ( €fub) ,. .. .. 4 palmos vel 16 digitos

Palamus (-Danbbrcite) ,. .. 4 digitos vel 16 gran. hordei

Djältus (890) ,... .. .. 4 grana bordei fecundum la-

titudiuem accepta.

In

AMTHMEHQS

4X

Iu tempore.

05

Annus (a5r) continet,, 365 2 dies vel 8766 horasä

Dies (Zag).. ,. ,. .... 24 horas vel 1440 minuta

061

Hora (GCtunb) ,,,.. .... 60 minuta vel 3600 fecunda

Minutum (9Rinute) continet: 6o fecunda.

10$

PROBLEMA L

69. Quantitatäs heterogeneasj"ad,dere.

dt

RESOLUTIO.

l. Species homogeneas infra homc;geneas fcribe,

us

cruciferos v. g. fub crueiferis, groffos fub groffis; flo-

renos fub florenis &c. pun&a fub punctis, lineas fub

125

lineis &c.

1I. Unitates, decades &o, &nxjtlsuïs fpeciei homo-

u

genes colligantur in unam fummam , & quotier 12. f/umma

Anferioris fpeciei contiuetur fpecies fequens fuperior , toties ab

ila fumma hac fpecies auferatur , & féqueuti fpeciei fuperiori

addaiur, refiduum vero infra lineam fcribatur, ut fi

fumma fit 7 cruciferorum, cum 3 cruciferi 1 groffum

adzquent, groffusin 7 cruciferis bis continetur, hinc

ï)äh

2 groffi auferuntur & fequenti fummz grofforum addun-

tur, cum refiduo 1 crucifero &c.

n.

grofs,

c€ruc,

Exempl. L.

20

15

18

E

I7:

Bob À

63

11

2

In fumma cruciferorum 5, cum groffusfemel contineatur, I ad

féquentem fpeciem transfertur, & refiduum 92 in fumma crucife-

1

forum fcribitut,

In fumma grofforum 51: continetur florenus

ll

bis, cum 20 unum eficiant, refiduum 11 ad locum groíforum

ponitur, & 2 fequenti fummz florenorum 61 annumeratur & ha-

c 5

bebi-

42

CAP. IV. DE OPERATIONIBUS

bebitur fumma 62.

Hac methodo fequentia Exempla refoluta

danf

funt.

Tas

unc,

femiunc,

drachm. fctup.

Exempl. IL I6

6

12

ä

24

lO

ï;)

3

;ï

lin

pun&.

hexap.

ped.

dig

Exempl. qIII. 1

Il

ro

4

w

tuari

6

3

$

6

mino

prec

PROBLEMA IL

70. Quantitates heterogeneas fwbtrayhere.

RESOLUTIO.

I. Species homogeneas fub homogeneis fcribe ut

prius.

. L. Unitates, decades &c. cujusvis fpeciei homo-

aliqu

genee ab unitatibus fuperioribus ejusdem fpeciei fub-

trahe, refiduum infra lineam fcribe.

Si fpecies quz-

piam fubtrahenda major fit quam füuperior, a proxima

fpecie unitas mutuatur, qua in hac tot valebit unita-

at

tes, quod unitates fpeciei minoris in ea corntinentur:

ut fi a $ groílis fubtr«hendi fint 17 , a florenis unitas

fiot

transfertur, que in loco grofforum 20 valet, additis

5 groffis habentur 25, a quibus 17 fubtra&i relinquunt

tem

$ groffos.

ennt

&

e £fe

Cruc.

Exempl I 103

4

Y

16

18

2

i

um

86

8

2

ia

Cum 2 cruciferi fubtrahendi fintab I transfestur groffus, Iqui

dànt

3 valet crutiferos & habentur 4, a quibus 2 fubtraci relinquunt

Üner

2 crucifetos: ad 3 gtoffos I forenus feu 20 grofü translati

dant

Is

ARITHMETICIS,

43

lütz

dant 93 groffo, a quibus r5 fubtra&di dant feüduum 8 grofs.

Tandem a IO2 florenis r 6 fubtracti relinquunt 86 florenos,

p.

1

Exempl, II. 1g?

5

2

E.

sP

6

II

1o

8

6

II

10

$SCHOLIOSN.

7I. Ad evitandum errandi periculum bonum eft, dum fpe-

eies fubtrahenda major eít fuperiore, & ex fequenti unitas mu-

tuari debet, ftatim hanc unitatem refpe&u fui valoris fpeciei

minori addere, & dein fubtra&ionem juxta regulas facere,

ita

precedens exemplum in hoc mutatur.

17?

xöd

14

20

Il

6

IO

iI

5

6

10

ut

PROBLEMA IIl

72. Quantitates heterogeneag multiplicare fe&

aliquoties fumerei

E

RESOLUTIO.

ld

I. Multiplicator fubfcribatur infimz fpeciei, & du-

eatur in omnes confequenter fpecies.

Ü

II. Quoties in qualibet fpecie fequens fpecies fupe-

rior continetur, toties ab ea auferatur, & ad fequen-

tem tot unitates addantur, ut in additione di&tum eft.

ó

Exempl. I,

erunt:*

Multiplicentur 30 fl, 15 gr. 9 crug." per 69

2

30

15

60

1800

900

120

translatis etoffis

& eruc'feris quoties in iis continentur, Íícilicet 4O üne refiduo

dant fummam groiforum 940 inde translatis florenis quoties con-

tinentur, fcilicet 47 fine refiduo dant fummam 1847.in flo-

zenis,

Exempl

CAP. IV. DE OPERATIONIBUS

44

Exempl, 1.

42 ped. 7 dig, 8 lin. multiplicentur pcr 40

d

Mm.

erunt :

fun

42

8

40

1680

280

320

hoc eft

£ranslatis quoties fieri poteft I2 lineis ex fumma 320, vises

fen

fies fexies fcilicet, manent in loco linearum 8 & 26 ad locum

eepti

digitorum transfertur, unde habetur fumma digitorum. 306.

Iti-

pr !

dem ex loco digitorum translatis r2 vigeífies quinquies manet

port

refiduum 6, & habetur fumma pedum 1705 & totum factum erit

tion

1705 ped, 6 dig. $ lin.

prio

pa

SCHOLION I.

debi

ts

723. Per multiplicationem fpecies major ad inferiorem te-

N

ducitur, per tot fcilicet unitates fpecies major multiplicanda eft,

quot in inferiore fpecie unitates continentur, ita florenus redu-

ul

citur ad cruciferos, íi multiplicetur per GO: pes ad digitos i

*

*

Tat

ducstur in I2

2 floreni valent 180 cruciferos; 7 pedes dant

$4 digitos; $4 digiti dant ICOS lineas.

ACÀ

l

SCHOLION Ii.

üt

giü

74. Bene tamen advertendum eft, hac ratione minime

lat

fieri multiplicationem per fpeciem minorem fed tantum per nu-

qi

merum quatenus eít colle&io unitatum, toties fcilicet alter nu-

erus fumitur, quoties unitas in multiplicatore continetur,

Hinc in ifo cafu numerus fpeciei minoris multiplicans non

quoad fuam denominationem & valorem intrinfecum fed tantum

quoad valorem mnumericum confiderari debet.

Proprie enim fi

ioquamur, harum quantitatum multiplicatio in fe invicem nec

:

fieri nec enunciari poteft. Quid enim fibi vellet multiplicare

$ fiorenos per I5 cruciferos? nec flerenorum inde fa&um nec

cruciferorum oriri poteft. Idem erit fi 7 pedes ducere velis in

5 digitos, fa&um 35 nec pedum nec digitorum effe poteft. Ab-

fra&e igitur femper multiplicator fumendus eit, & ut eX natu-

Ya multiplicationis patet, omnis alia preter numericam fig

nif-

€atio excludenda, Hinc facile folvetur, quare 2 foreni fi du-

€erentur in 3 florenos dent fac&um 6 florenorum : jidem vero re«

foluti in cruciferos, feu 120 cruciferi du&i in 18O cruciferos

dent 9160O .cruciferos feu 360 florenos in faco. Ratio in

promptu eft: in priori enim fa&o g floreni ter accipiuntur, in

alteto

ARITHMETICIS.

45

t 40

altero iidem 9 floreni centies o&uagefies fumuntur, quod diver-

fam certo fummam daáàre debet.

SCHOLIOSN II

t eft

75. Contingit tamen nonnunquam, ut multiplicatio per nu-

g

Cum

merum etiam quoad fuam fignificationem & denominationem ac-

ceptum. v, g, pecunie per pecunias: mercedis per pretia : laboris

Iti

t

per homines: fieri videatur, uti accidit in regula aurea & pro-

portionum, de qua in algebra agemus, aut dum quantitas- fpa-

n

tiorum in menfuris queritur, de qua in geometria; verum in

priore cafu apparenter tantum multiplicatio inftituitur ita, rei-

pfa etiam numeri a rebus abftracti in operatione fumuntur, ut

debita numerorum proportio eruatur, qu: dein ad res fignifica-

tas applicatur: ut fi quzeram » dum unus ftudiofus folvit 3 flore-

It«

ef,

5»os, quantum foluturi (int 6 ftudiofi? multiplico quidem 3 per

6 fed accipio tria fexies abítrahendo interea a ftudiofis & flore-

du

:f

nis confiderando in 6 & 3 fimplices unitates tantum, atque ope-

ratione abfoluta & proportione vera inventa rurfus debitam figni-

int

ficationem tribuo.

In altero cafu numerus ex multiplicatione

menfure per menfuram ortus eft quadratus & fuperioris ordinis,

ut in geometria explicabimus, ità disitus vel pes du&us in di-

gitun vel pedem quadratum feu duplicis jam menfure long» &

I4

late fimul; quod autem monetis aut aliis rebus convenire ne-

].

quito

If,

PROBLEMA

I V-.

0f

476. Quantitates heferogeneas dividere feu in

partes diftribuere.

É

t

RESOLUTIO.

Y. Divifor fubfcribatur fpeciei maximz & queeratur

quotus hujus fpeciei.

II. Refiduum ex fpecie precedente redu&um ad

unitates fpeciei fequentis addatur fpeciei fequentis &

hec rurfus ita dividatur, ultimum refiduum erit iufimz

fpeciei pars: ut in divifione di&um eft.

ä

Xxempl.

46 CAP.IV. DE OPERATION. ARITHM

-

I

Exempl

4O floreni 54 cruciferi fint in 9 partes divi-

dendi

nt

XEK1,

40

54

xri. (431. * xri,

$

240

— À

36

294

9

97*

/5

t À —

24

2

lo

rg

bil

n RUA

6

iul

à

9 in 4O continetur 4 cum tefiduo 4: hi 4 floreni ad cruciferos

redu&i dant 240 additis 54 habentur 294 cruciferi diviü per 9

)

dant 32 cruciferos cum re&üduo 6

Exempl

AlI.

19 pedes 8 digiti 6 linez in 6 partes divi-

d

dende

19

: ( : ped. : dlg.s lin,

i2

24

18

20

30

iH

30

"v€9o o^ — o q B

SCHOLION

77. Eadem hic notanda funt, que fuperius in Schol. ad

multiplicationem annotavimus.

Divifor iterum vt unitates nu-

merice tantum fpe&ari debet abftrahendo ab omni denominatio-

ne & fignificatione ob ibi allatas raflO'l(*S, quas hic repetere fu-

pervacaneum effe arbitror,

C A-

?

Y

4?

"n

diyi

CAPUT- Y

| De Fra&ionibus notiones generales..

DEFINITIO I

ra&io eft pars integri inftar unitatis confidera-

7 8. F

ti feu eft pars unitatis, adeoque wnitate mi-

nor.

Cum enim quxlibet unitas feu integrum ut divifi-

bile in plures partes confiderari poffit, fi aliquz tan-

tum partes hujus totius feu unitatis fumantur, id fra-

'etos

€&tio dicitur: ut fi totum fit divifum in 6 partes & 5

Cru-

et

tantum accipiantur, erunt quinque fextz totius.

cifer eft fexagefima pars floreni, igitur totum divifum

eft in 60, fi jam 45 partes fumantur, habebuntur qua-

Ifri-

draginta quinque fexagefimz.

COROLLARIUM,

79. Duos igitur terminos omnis fra&io habere debet, unum,

«ul exhibeat feu determinet partes, in quas totum feu unita$

divifa effe fupponituür, & alterum, qui contineat numerum par-

tium, Qquae fumuntur;

ut in priore cafu 6O denominat parteg

totius & 45 numerat partes accipiendas; cum utraque fimul fem»

per fcribi debeat, illa inferiorem hzc fuperiorem locum inter-

A $.

je&& lineola occupet :out

r

Ex hoc Corollario fequens defi-

nitio fluit,

DEFINITIO II

ad

!u

8o. JVumerator et fuperior numerus indicans nume-

rum partium accipiendarum, inferior partes totius feu

ünitatis explicans vocatur demomimator: utriusque nomen

ex natura iei & fignificatione fuperius expofita fum*

tum eft.

$CH O-

P

CAP. V. DE FRACTIONIBUS

49

SCHOLION.

$r. Verum fra&ionis conceptum fuppeditabit illud quoque,

quod de divifione in Scholio L. ($. 49.) monuimus; dum fci-

licet in divifione ad finem aliquid remanet; illud fupra lineo-

(e,

jam fubfcripto divifore ponitur, quod oftendit, totum feu uni

tatem plures partes per diviforem exhibitas continere, quamin

prefente ;cafu fumantur, uünde divifio amplius fieri nequit fed

tantum indicatur; fed idem fit in fra&ione, ubi pauclores par-

tes fumuntur, quam totum contineat, ergo in divifüone refi

&

duum fubfcripto divifore conüderatur ut fradio, & omnis fra&io

pat

confiderari poteít ut divifio, in qua mnumerator eft dividendus,

& denominator divifor; unde fequens habetur definitio.

LUPT

Tatoi

DEFINITIO Ill

feu |

Wt

$2, Fra&io propria vel vera eft, cujus numerator

ii

minor eít quam denominator; ut $: zmpropria feu [puria,

cujus numerator major eft quam denominator aut eidem

equalis; ut 47 aut $.

Si enim plures partes accipian-

tur, quam fint ee, in quas integrum dividitur, habe-

&qui

tur plus quam integrum contra definitionem fractionis.

Reducitur impropria ad integrum per divifionem nume-

534 :

»

n [u

ratoris per denominatorem , cum enim ompis fri&io in-

:

Jus e

ftar divifionis ex pracedenti Scholio confiderari poftit,

um

ubi denominator efít divifor & numerator dividendus,

N

ind

fequitur, düm divifor minor eft dividendo, divifionem

ceff;

fieri potfe, & quotum inveniri, adeoque fra&ionem tolli

fünt

& reduci.

Ideo prima ;equalis eft 3 integris, alþera

d fi

unitati.

&t

üd

DEFINITIO iIV.

do C

do (

$3. Fractio /mplex eft, que unum numeratorem &

ftajn

Yerti

denominatorem hàbet; ut 2, $$-

compofita , qus & fvas

fimplicibus componi-

i fi

&io frattiomtr dicitur, ex pluribus

Sonti

tur; ut £ de £ v. g. de una media urna vini fint rurfus

Wt

du tertiz accipiendz.

THEO-

?

NOTIONES GENERALES

äl

49

THEOREMAI

e,

f

84. Fractio toties continetur in toto feu unita-

i

n

fe, quoties numerator in denominatore

U"ln

In

DEMONSTRATIO

ed

aT

ia

Denominator tot continet unitates , quot partes

equales totum, numerator vero aliquas tantum ex illis

d.u,

partes habet 5 fra&io tota vero eft ipfe partium ex to-

to acceptarum numerus

partes igitur accepte eft nume-

rator & fractio; paortes ipfe eft denominator & totum

feu unitas, ergo fractio toties continetur in toto

feu

if

unitate, quoties numerator in denominatore.

Hoc eft

rl J,

fractio eft ad totum ficut numerator ad denommatmem.!

[2

C-OR'OLILZAIEIUM TI—;I

Pl

85. Fra&iones igitur equales funt,

quorum

numeratores

—

r

-

4

æqua.ltex in fuis denominatoribus continentur; ut

^

et

, itém

I$

W 4

& 22

Minor eit,

cujus numerator fepius contmetur

'24

270*

ie

in fuo denommatore, quam alterius numerator in fuo; ut 2 ma-

n

jus eft quam —34 , item $ majus quam 3. Ratio horum eft, quia,

cum denominator exhibeat partes totius, numerator vero partes

1xl.t,

& fi idem totum

acceptas, utriusque femper ratio haberi debet

m

in diverfas partes v. g. jam ia I2 Jam I8 jam 24 dividatur

pno-

em

ceffatium eít, has partes tanto minores eífe debere

quo plures

lli

funt, ergo etiam eadem quantitate partes in numeratore augen-

ra

de funt, quo plures in denominatore accipiantur; ita fi prius

1

accepte funt -'

& jam accipi debent ;?, aut

as

24

fi &equalitas habe-

rxi debeat,

Sl 1g1tur equali quantltate utraque pars multiplican-

do crefcat, fractio squalis eft; fi majori quantitate multiplican-

do creífcat numerator quam denominator, fra&io major erit

fi

1naj0ri denommator, quam numerator

frac&io minor erit

Ad-

&

vertitur hoc ex eo, íi attendatur, quoties numerator contineatur

"

in fuo denominatore.

Hinc

z

majus eft quam —

; quia 2 in 6

€

Til

continetur 3: 3 in 24 continetur 8; prior enim quotus minor

eft fecundo

fih

C O-

AMetzi. Math. P. L.

Ls

50

CAP. V. DE FRACTIONIBUS

CORO.LEARIUM H.

V1

lé

ib

li

$6. Hinc facile determinatur diverfitas aut zequalitas fra-

&ionum, qus ftatim ab initio non apparet; nUmerator enim unius

per denominatorem alterius multiplicatur, fi dent zqualia facta,

vifo

fra&iones quoque zquales funt ; cujus autem numeratoris in de-

TOi

nominàtorem alterius majus erit facum , illa fractio quoque ma-

jor erit.

Ideo -3. &

A

I equales funt, quia fa&ta numeratorum

[u

24

3

di &

in alterius denominatores equalia funt: $ majuseft quam $ quia

5 du&um in 7 dat 35, 4 autem du&um in 8 dat tantum 32.

deni

Si denominatores fint zquales, ea erit major, qua majorem nu-

quo

meratorem habet; ut 2 major eft quam 2.

Si numeratores fnt

Ottu

*quales, ea erit major, que minorem denominatorem habet;

4 majus eft quam 2, femper enim fra&io eft ad totum ut nume-

fen

rator ad denominatorem (5 84- ).

Qu

&i

DEFINITIO V.

$7. Numerus mixtus eft, dum prater fa&um inte:

49

$j

ger adeft ; ut 8 .

i

ld«

THEOREMA II

tul

88. Si uterque fractionis terminus numerator

fcilicet & denominator per eandem quantitatem mul-

tiplicetur aut dividatur, fra&tionis. valor non muta-

tur.

liee

&a

DEMONSTRATIO.

Quic

€xa

Cum numerator femper fit dividendus & denomina-

Quot

tor divifor ($- $1.) fequitur fi tam dividendus quam

D

divifor eadem quantitate multiplicando augeatur, quo.

tum eundem qui prius, prodire debere, cum dividen-

dus rurfus per eandem quantitatem dividatur, per quam

multiplicatus efts ut fi tam. dividendum g quam divifo-

rem 2 multiplicem per a habetur 24 divifum per 6 &

ft

quotus ex utraque divifione erit 4; 8 ením & multi-

plicatur & dividitur per 3 adeoc;ue mutationem in quo-

to,

u

N GTïON ES GENERALES.

S1

to, qui ex 8 divifum per 2 oritur, inducere non po-

de

teft.

un

Idem dicendum eft, dum tam dividendus quam di-

i,

Hic enim com-

vifor per eundem numerum dividitur.

2

munis numerus dividens poterit confiderari ut fa&or

[

conimunis, qui cum altero termino fa&um & dividen-

r

di & diviforis conftituit, fed fi idem factor tam in divi-

dendo quam divifore eft, ob rationes fuperius datas is

ll^.

D

quotum non imutat, ergo etiam fi idem ubique fa&or

z

omittatur , quotus non mutabitur, atqui dividendus

femper eít numerator & divifor denominator , ergo

quod de dividendo & divifore dictum eft, idem de fra-

ékione dici debebit.

ita 2 ductum in 5 id eft :

7 ductum in 5

el

14 eít equale 7 5 f'ä

&or 5 enim taàm fuperius quam in-

ferius non mutato valore omitti ,

feu deleri poteft.

RT

2

Ideo etiam 10 div. per s eft zquale

79

quia iterum

-

35 div. per 5

)

$ ubique deletur.

l

COROLLARIU M.

| 89. Patet inde, qua raticne diverfe fra&iones maximis

Ticet numeris expreíte equivaleant fra&ioni in minimis terminis,

& ad hanc reduci pofünt, fi enim inveniatur factor communis &

quidem maximus, qui tam numeratorem quam denominatorem

exa&e dividat , divifio per eum fieri & priorum quantitatum loco

quoti inventi fcribi poterunt xquivalentes priori fra&ioni: com-

munis facor communis men[ura maxima dicitur ($. 46.).

PROBLEMAL

9o. Invenire communem menfuram maximam

fractionis.

D &

R E-

52

CAP. V. DE FRACTïONiBUS

RESOLUTIO.

T. Denominator per numeratorem dividatur, fi nuf-

Í

]um fuerit reiduum , numerator eft communis menfura.

Ü]

Ità 44, cum 56 divifum per 7 nullum det refiduum, 7

€&

eft communis menfura.

It

IL Si poft primam divifionem aliquod refiduum

it

fuerit, divifio ita continuetur, ut femper prior divifor

fiat dividendus , refiduum autem fiat divifor, & hoc

tamdiu, donec nullum fit refiduum , quo obtento ulti-

C

Si autem

mus divifor femper eft communis menfüura.

in fine deveniatur ad unitatem, fignum eft, cominunem

menfuram maximam przter unitatem fra&ionem non

habere.

Exempl, I. Jnveniatur communis menfura fra&ionis 214

ä

Dividatur 315 per 252 juxta

315 (

motas

divifionis regulas ,

habetur

232

peraca divifione reiduum 62, quod

232

p!

in fequenti

operatione fit divifor

— —

H

prior autem divifor 252 fit dividen-

63

ü

üuS.. 9e2 $*5

* *$6^5999 *9 .0

e*9*60606.9.2e6*0o0^*60 569

Igitur 252 divifum per 63 dat

252 (4

quotum 4, & fa&à multiplicatione &

63

fubtra&ione nullum cit reüduum,

252

—— ——

igitur ultimus divifor 63 et commu-

nis menfura.

o

DEMONSTR.ATI.O.

Facor communis tam dividendum quam diviforem

exa&e divicens eft communis menfura, fed hac ratione

invenitur factor coinmunis; divifio enim refolvit, quod

multiplicatio componit, adeoque cum ultimus divifor

fit fimul divifor prioris diviforis, hic rurfus prioris , &

fic ufque ad primum feu ipfum numeratorem, qui fi-

mul divifor eít denominatoris , progrediendo patet,

ulimum divibrem eífe unum ex fa&oribus, qui tam

Dus

NOTIONES GENERALES.

53

numeratorem quam denominatorem exacte dividit; ut

in allato exemplo 63 accurate metitur numerum 252

| tf

feu numeratorem fed is metitur denominatorem 315

üra,

cum refiduo 63, cujus refidui idem 63 menfura eft,

lT

ergo 63 eít fa&or, qui aliquoties acceptus tam nume-

Uf

ratorem quam denominatorem confituit , ergo etiam

fa&um refolvit. Eftenim ex ultima divifione 252 aquale

rifot

hoc

63 du&um in 4, & 315 «quale 63 X 4 plus 63 hoc eft

ul

du

63 du&um in s ergo 65 femel in 4 femelin 5 du&um

Ufer

Xconftituït fra&ctionem datam.

ünenm

Ex. IÉ Inveniatur communis menfura fra&ionis æ»g.

Dividatur 513 pex 189 & habetur

$13 (2

Doü

refiduum 135.

Dividendus fequens efít

189

prior divifor 189, divifor autem eft re-

378

—

xuose n

fiduum r35.

Pera&a divifione habetur

j

H

refiduum 54, quod fit divifor fequens &

135

ft

e*»'2629

prior divifor 135

pruo

dividendus.

Pott

hanc divifionem obtinetur refiduum 27,

189 (x

135

per quod fi dividatur 54 prior divifor,

nullum habetur refiduum ; communis igi-

n

[

€uür ef menfura ultimus divifor

P

"E

54.

&eevo 5

«*52

155 (2

54

——

108

27

€e€ eees80092^2»0

54 (2

27

orerm

—

$

o

jonie

;uod

SCHOLION.

rifot

9I. Refle&ere hic oportet ad ea, qux» in divifione de inve-

niendis diviforibus di&a funt,

unde notum erit, fi tàm in nu-

j

meratore quam denominatore in fine fit zerus, IO dabit commu-

»atet j

nem menfuram,

fi ubique duo zeri,

IOO & (ic ulterius; fi in

fine fit 5 aut O, communis menfura

et

[

55; fiin fine fit numerus

j t

i

E

kj

€

pat,

n

54

CAF. V. DE FRACTIONIBUS

par, communis menfura eft 2:

etiam illa applicari poterunt,

que ibidem de ternario & novenario dicta funt.

PROBL

MA II

92, Reducere fractionem datam ad minimos

terminos, quin fractionis valor mutetur.

[a

RESOLUTIO

1. Inveniatur communis menfura maxima,

n

IL: Dividatur per banc tam numerator quam de-

nominator, quoti novi erunt fmät]o in minimis termi«

fef

&

nis.

PAT

ä

$4

'3

*5

2

$

P

$ reducitur per d1v1forem 63 ad&

per diviforem 27 ad

Wa Me n*

J

exÁ

481

ad &

3

a?

$

9;'

$

$À oje la

^j "fn

764

a;

4

i—.

Item

ad-ö

] 1 ojo -

rj8 ad j$ &

t

$

$$

TT

[ä

Ex

z

?

ä;

unt hzc dxmldla if.

l]

o.]:— "Go Ro

E DUO ^

(3

ï

$» $» 1. um enim. qwehbet harum fra-

&ionum

in fine

E

nume

ä

rum parem .habeat, divifio per 2 femper

continuari poteft

h

DEMONSTRATIO

bat

Ti

Si tam numerator quam denominator per eandem

6Q

quantitatem dividatur, fra&ionis valor non mutatur, ex

precedenti theoremate, fed per communem menfuram

maximam tanquam per eandem quantitatem dividitur

tumerator & denominator

ergo valor non mutatur,

etn

& cum fit communis menfira maxima, minimos fimul

(ed

dat quotos, ergo hac ratione fra&tio ad minimos termi-

dem

pos reducta eft.

flofy

PRO-

5

NOTIONES GRNERALES.

Unty

PROBLEM A III.

93. Reducere numerum integrum ad'fra&um.

RESOLUTIO

110

I

Integro fubfcribatur unitas tanquam denominator.

Ita ex 8 fit $: ex 32 fit 3

DEMONSTRATIO

Omnis numerus non mutato valore per unitatem

d«

dividi poteft, ergo integro unitas tanquam divifor fub-

fcribi poterit, fed hac ratione exprimitur numerus fra-

Hs

&us, ergo quivis numerus hac ratione ad fractum re*

&ucitur.

PROBLEM.A IV.

94. Reducere integrum ad fractionem denomi-

natoris dati.

RESOLUTIO.

fti

o .

Multiplicetur integrum per denominatorem datum ,

jpet

fa&um erit numerator, cui datus denominator fubícri-

batur.

Ita 8 ad fra&ionem denominatoris 6 reducitur,

multiplicando 8 per 6 & fubfcribendo denominatorem

ao RR

6 & habetur 53

lem

eï

DEMONSTRATIO.

ii

uf

Si numerator & denominator per eandem quantità-

tem multiplicetur & dividatur, valor non mutatur,

Ly

ul

fed per predi&am regulam integrum datum per ean-

ni

dem quantitatem multiplicatur & dividitur, ergo valot

non mutatur, reéte igitur hac ratioqe reducitur.

C Q-

D 4

M

56

CAP. V, DE FRACTIONIBUS

COROLLARIUM.

95. Clarius id patebit fi per denominatorem iterum mnu-

d

merator dividatur, prius enim integrum prodibit; debet enim

H

divifio refolvere, quod multiplicatio compofuit.

ü

SCHOLIO S!?,.

hiC

96, Redä&io fra&ionis feu mutatio in' aliam denominatoris

d

dati explangbitur in algebra in regulis proportionum.

ïï

Ti

PROBLEMA V.

dt

k

97. Reducere fractiones diverfi denominatoris

ad fractiones ejusdem denominatoris.

RESOLUTIO.

I. Ducatur numerator cujusvis fractionis in omnes

denominatores excepto proprio, ita ut factum ex nu-

(

meratore primze fra&ionis & denominatore fecundz mul-

tiplicetur per denominatorem tertie, hoc rurfus per

ü

denominatorem quattzx fractionis & ita porro; numera-

i

i

tor fecunde fra&ionis per denominatorem primze, ter*

f

]

tie, quarte &c. factum quodvis ex numeratore & de-

nominatoribus aliarum fra&ionum erit numerator ejus

;

fracionis, cujus numerator multiplicatus eft.

AO

H

II. Dein omues denominatores fimul multiplicen-

tur, fa&um erit denominator communis,

5

2

ita

2

& $£ reducuntur ad eundem denominatorem

dicendo 2 per 4 dat 8, qui eft numerator primz, & a

t

per 3 dat 9, qui eft numerator alterius fractionis. De-

nique 3 per 4 dat 12 communem utriusque denomina-

9

LT

torem; habentur itaque fra&tiones redu&w ,*,, &

T^*

8

feu

àZz

[L]

—

$o &

$

reducuntur ad eundem denomina-

torem dicendo 3 per 3 dat 9, & 9 per 5 dat 45 qui

!

eft numerator prime fra&ionis: dein 9 per 7 dat 14

&

-

p

NOTION ES GENERALES.

57

& 14 per 5 dat 70, numeratorem fecuridz fra&ionis ;

1 fil»

denique 4 per 7 dat 29, & 28 per 3 dat 84 nume-

enim

ratorem tertiz fractionis; numeratot nempe prime fra-

&ionis du&us in denominatorem fecundz & tertie dat

numeratorem primzs; numerator fecunde duc&us in de-

atorif

nominatorem primze & tertie dat numeratorem fecun-

dz, & numerator tertie ductus in denominatorem pri-

me & fecunde dat numeratorem tertia.

Conmmunem

denominatorem dat facum ex 7 per3, quod eft 21, &

hoc rurfus ductum in 5, quod eft equale 105.. Hinc fra-

itors

s2

-.........1

9 84

&iones redu&e habentur ;*55-, ;'9, ;5 feu

IoS

L À

DEMONSTRAT1IO,

Fra&ionis valor non mutatur, fi tam numerator

omnes

quam denominator per eandem quantitatem multipli-

X nl

centur, fed per predi&as regulas & numerator & deno-

| mül

minator cujusvis fraCionis per eandem quantitatem mul-

j PSI

tiplicatur; uterque enim per denominpatores reliquorum

toeta

multiplicatur, ergo valor non imutatur, & cum iidem

,

factores debeant dare idem factum , denominator cujus-

( de

vis per aliarum. denominatores multiplicatus idem dat

ejus

fadum, ergo zqualem denominatorem.

Yicen-

$CHOLIOSN,.

/

98. Poffet etiam operatio hac ratione inftitui: Multiplicen-

Vtorent

tur denominatores inter fe, & habebitur communis denominator.

IT

Numerator quivis ducatur in communem denominatorem & fa-

De

ctum dividatur per proprium denominatorem, quotus erit nume-

nina*

Tator novus,

Ratio eft ex eodem quo prior principio.

Deno-

minator multiplicatur per denominatores alienos, & cum nume-

Y

rator du&us in totum facum denominatorum etiam hac ratione

cum proprio multiplicetur, per hunc rurfus dividi debet, ut

mina

*quales factores in utroque tam numeratore quam denominatore

Lhabeantur.

I'S qu

"m

A

ita

Ds

58

CAP. VI. DE OPERATIONIBUS

oo

Ragw T"ï'dæ" IOS.II2

280

I$ ?

JDLULHES Y

dant 648 420 600

i

ul

720

1

-

(C'APUT Vi

n

n

De operationibus arithmeticis in fractionibus

ä

PROBLEMAI

99. Fractiones adcere.

RESOLUTIO

I. Reducantur ad communem denominatorem, nif:

ID

jam prius eum habeant.

"ll Addantur numeratores,

3

Jta £ & $

dant 4 $

*

a* —g- dant $ t

Item

& dant 4

& $. hoc eft

Item

z dant

3; 42 ?0

439 70 Yoó

DEMONSTRATIO

Si fra&iones habeant diverfos denominatores, funt

quantitates heterogenez, aliud enim funt quarte, aliud

f

quinte, aliud fexagefime , qus addi non poffunt, nifi

fiant homogenee, quod fit reducendo ad communem

Dein cum numeratores oftendant nu-

denominationem,

merum partium

additio autem fit colledio partium ,

foli numeratores addi debent, ut fumma partium habea-

tut

*

SCHO-

ARITHMETICIS IN FRACTIONIBUS. 59

SCHOLION L

1c0, Dum numerus mixtus feu integra cum fra&is dantur,

reducatur integrum ad fracionem denominatoris dati , & addan-

tur numeratores. [ta.g & I fit —f &i hoceft —. Hac me-

thodo omnis mixtus ad unam fra&dionem reducitur,

SCHOLION

)U

i

IoI. Si fumma eft fra&io fpuria feu impropria, refolvatur

jn integra, divifo numeritore per denominatorem, aut fi majo-

ribus terminis divifibilibus fit expreffa, reducatur ad minimos.

Y

Y

um

s

"

Ybus,

lta fuperiores fumme $ dant I

T

2

$

$ dant I5 il dant 1

Y295

dant

$3

z.

PROBLEM A II

IO2. Fra&ïones fubtrahere.:

RESOLUTIO.

j

i, Reducantur ad communem denominatorem

nift

v

jam habeant.

II. Minor numerator a majori fubtrahatur.

Ita

a

relinquit $

vxjo d*

a

—ä-

relinquit ;x

DEMONSTRATIO.

Qvuantitates heterogenesm , quales funt fra&iones

diverfe denominationis a fe invicem fubtrahi non pof.

funt

funt, reducendze ergo funt ad commuuem denomina-

aliu

]i

Á

tlonem , & cum diíferentia partium quaratur, numerus

partium minor a majore feu numerator minor a majo-

at

nu

Ye fubtrauhatur.

JU

SCHOLIÉEOSYN.

De

7s

IO3 Dum adfunt integra aut mixti numeri, reducantuf ad

^

E1

fra&dienes & eadem operatio inftituatwr,

Sit

AC

3

fubtrahendum a

p

*

2

2 i, fiatex hoe $ (($. 94.) erit

L

fubtrahendum a £ reductis

ad communem denominatorem habetur $ & —L., denique $ a

15. dat differentiam -

Iy

£,

5

- fr

a&ionem impropriam, quz refoluta

Q«

pat t

'go

P R O-

6o

CAP. V. DE OPERATIONIBUS

PROBLEM A Hl

muti

plie

104. FEractiones multiplicare.

a

LI

RESOLUTIO.

dit,

I Multiplicentur numeratores inter fe, factum erit

exh

ties

numerator novus.

mul

IL Multiplicentur denominatores intet fe, fa&un:

erit denominator novus.

EuC

Ei

1ta

-

Á

du&um in Z dant 2X

8

I$

$.du&um in £ dvant

4$

DEMONSTRATiIO.

Velfractus ducitur in integrum, vel integer in fra-

&um, vel frac&us in fra&ums Pro omni cafu fervit il-

lud generale: multiplicare eft numerum toties accipere,

B

quod in fa&ore altero funt unitates , fi & bis accipien-

T$

de, feu bis addendz funt fit & & $ hoc eft $ denomi-

natores enim in additione manent.

Si $ quinquies ac-

Is

f

cipiende fint fit $ 3 $ 2 $ fe

U*Z'

addendo fcilicet nu-

meratores toties, quoties fractio accipi debet, fed ite-

ratze additionis loco fit multiplicatio, ergo numerator

ducitur in fa&orem alterum, dum integer eít, ita 4 du-

€&um in 2 eft $; & $ du&um in $ dant *5. Jam 6i in-

tegrum inftar fra&i exprimatur, erit $ du&um in £ zqua-

le —*, hoc eft, numeratores inter fe, & denominato-

res inter fe multiplicantur.

Si 3 fit multiplicandum

per £ nec femel accipi, nec addi poteft, fi enim mul.

p

I

tiplicaretur per unitatem , femel acciperetur, fi igitur

75

H

l

multiplicetur per

*

nec femel fed tantum dimidium po-

ni poteft, hoc eít dividitur per 2 quod fcribitur 3. Si

NI

Yi

3 fit multiplicandum per £, 3 una tantum quinta par-

f

te ponitur, hoc eft, dividitur per 5, quod fcribitur 2.;

x

2

&f

fi igitur 5 exprimatur inftar fra&i, erit & du&um in

L

zquale $, & $ du&um in & equale 4 hoc eft iterum ,

nume»

m

À

ARITHMETICIS IN FR ACTIONIBUS. 61

numeratores inter fe, & denominatores inter fe multi-

plicentur, ergo etiam fi 4 ducende fint in £, erit 4

accipiendum quidem fepties, quod numerator 7 often-

dit, fed fimul dividendum o&ies, quod denominator g

) ent

exhibet, ergo juxta prius demonftrata accipiendo fep-

ties multiplicatur numerator per 7,. & dividendo per 8,

ï(;n

multiplicatur denominator per 8 ergo generaliter numera-

sores inter fe, & denominatores inter fe multiplicantur.

PROBLEM .A IV.

IOS. Fractiones dividere.

fra

RESOLUTIO,

it1

Reg. I. Invertantur diviforis termini ita, ut nu-

peréy

merator locum denominatoris, & hic locum numerato-

pl

ris Occupet.

j

Reg. IL. Fiat multiplicatio ficut in. multiplicatione

| C

fractionum,

fu

3

T

A.

per $ divifum dat $ du&um in $

Ite*

zquale

6

.

E

p«

ato

per

divifum dat $ du&umin &

QU

zequale

ï

80

4«-

n

DEI*J-ONS"TRATIO.

quà

ato-

; 'Vel fra&us dividitur per integrum vel integrum

um

per fra&um, velfractum per fractum 3. divifor femper

ml

oflendit in quot ' partes totum dividi debet, fed id in

IT

fra&ionibus oftendit denominator, ergo divifor refpi-

cit denominatorem & non numeratorem; Si a effet di-

PO

videndum in tres partes, 3 fieret. denomínator, ereo

at

fi £ fit dividendum in 3 partes, 3 quoque denominator

H

effe debet, fed cum totum jam prius in 2 partes divifum

j

;

eíle fuppo

'—pq-pw

r um

r, & módo hzc dimidia rurfus in 5, hj

m

ambo

,

62

CAP. VH. DE FRACTIONIBUS

18

ambo divifores inter fe multiplicandi funt, & habebi-

tur 4 divifum per 3 zquale £. Si enim integrum inftar

fra&ionis exprimatur, erit X divifum per $ ut multipli-

:j

catio fieri poilit, invertatur divifor, & erit

——

2

duc&um

in 4 quotus erit £* hoc eít: inverfo divifore /üt multi-

plicatio.

Si integrum per fra&um fit dividendum, 3 per Z

dum integrum dividitur per 1 quotus eft zqualis inte:

et

gro, dum ergo integrum dividitur per fradum, quotus

GC

major debet effe integro, aut partes illius eo plures effe

tefi

debent, quo minores accipiuntur; fiaccipio dimidias

partes, duplo plures, fi tertias partes triplo plures,

& fic de reliquis, ergo 3 cum per £ dividatur feu par-

tes dimidie accipiantur, mutatur in partes duplo plu-

de

res, hoc eít multiplicatur per £, ergo denorginator

Ti

fraci ducendus in integrum.

Si integrum inflar fracti

X

türt

exprimatur

i debebit

I

——

A

inverti , ut. multiplicetur ,

Dum

hoc eftiterum inverfo divifore fit multiplicatio.

hon

€um

Si jam fra&io per fra&ionem dividenda fit v. g.

3

£.

€nt

$ per $, cum

&

mutandum fit in quintas, partes -plu-

et

res, & minores fiunt quod obtinetur multiplicatione

3l

vt

numeratoris 3 per 5, & cum dividendum fit in 2 tales

&i

partes, denominator 4 bis accipitur, feu per 2 multi-

[

plicatur ergo etiam inverfo divifore fit multiplicatio.

ita

€'od4u00tLARIUM

lg

ter

106. Patet ex his, multiplicatione fra&dionum valorem

lt

imminui, divifione augeri, ibi enim reipf£ fit divifio, hic mul-

t

tiplicatio , fi enim dimidia quantitas fumatur, quod fit in mul-

p

H

E

tiplicatione per

——

*

X

aut aliud fractum, reipfa in duas, aut alas

2

partes juxta denominatorem fra&ionis dividitur; fi autem totum

d

in partes dimidias, tertias, quartas dividendum fit, quod fit in

ett

divifione fra&iónum , neceffaiio plures, feu major quantitas pro-

loc

dire debet, ita 4 multiplicatum per 4 feu dimidium de 4 eft 2,

Y

Y

4 autem in partes dimidias divifum feu 4 divifum per

*

^

-

eft 8.

Q

l

v

CA

DECIMALIBUS

63

ebl«

IE3T

CX rUuUr u

)

nph.

um

nultj

De fractionibus decimalibus

DEFINITIOIXt!

e

nte

ov. Fracio decimalis eft

cujus denominator

10tu

3

eft 10

aut mult:plum de 10, hoc eft 100, 1000,

h

S EA,C

&C., ita4&5,-15, r55 &C. tres decima, feptem cen-

125

tefime , quinque millefima.

"

COROLLARIUM L

pr

108. Cum ieitur omaines hz fractiones folo numero zerorum

p

denominatoris differant

denominatores omitti poffunc, fi in nu-

k

1

of

£neratoribus indicetur, quot praeter unitatem zerl in denomina-

ï

adti

tore effe debent, atqui poterit id per folum locum fieri, quem

tut

numeratores a finifra dextram verfus occupant, ergo poffunt de-

nominatores funpliciter neglizi; (fcilicet fi primum occupat lo-

cum numerator, ejus denominator uünum habebit zerum, feu

$

P

erit IO, & fecundum, ejus denominator duos habebit zeros, feu

erit IOO, fi tertium , ejus denominator tres habebit zeros, feu

plu

jone

erit IOCO ,. &c, quemadmodum rationem decadum in numeris

tale$

&aturalibus ordine inverfo determinavimus

Ita 375 erunt 3

decims, 7 centefimz

5 milleümze &c, idem valor eít, qui eft

nu[( s

TS» Tó9» Topg. Ut autem intelligatur, notas propofitas effe

)'

fractiones decimales,

interpofita virgula ab integris feparentur,

5 adünt, 6 non adünt

atque in-

zZerus eorum locum occupat,

ter eum & decimalem primum virgula interjicitur, ut 2 , 37 duOo

integra, tres decimz, feptem centefime, velO, 37 5: 3 deci-

orem

mue

m2, 7 centefim2, 5 mlllefime; fcribi autem has fra&iones fic

poife ex ordinaria fra&ionum additione apparebit

fint enim 3.

f

]ia$

Tét: Tors, ln unam fummam colligende, omnes reducantur

90

9

um

ad eundem denominatorem IOOO, erunt

Yooo?

T0090?

Toos hOC

eít additis numeratoribus 43

iooo

...—...

, ergo tot femper fuperius erunt

t u

locaà, quotinferius zeri, omiífo jgitur/ denominatore Ihanet 375,

pro-

1')

& vicifüm quzelibet fractiones decimales in feparatas fra&iones

-

€um fuis denominatoribus refolvuntur wafPNDtO primo iOo, fe-

t€ündo IOQ, tertio IOOQ &c.

Cco

64

CAP. VH. DE FRACTIONIBUS

-

COROLLARIUM./"I

IOO. Patet ex hoc jam conceptu, & relatione , quam ha-

bent ad integra, quomodo quzlibet fractio independenter ab alia

n

fcribatur,

Quemadmodum enim in integris fpatia illa zeris ex-

A

plentur,

ubi nulla adeft rnota, ut fequens ad locum valore deca-

dum au&um transferatur, ita etiam in decimalibus fpatia prz-

cedentia zeris explentur,

donec veniatur ad illum locum , qui

[

æquahs eft numero zerorum denominatoris , ita 3 millefimz,

Qu

Di

feu x

OOO,

fcribantur O, OO3 nullum integrum ,

nulla decima ,

fed. tres millefimz.

1

pnulla centefima ,

Duo mtegra, 3 decima,

Ti

& 4 decies millefima fcribantur 2, 3004.

t

C.OROLU*UA BIUM Il

i

IIO. Cum fra&iones fecundum denominatores fpectate a

finifrra dextram verfus crefcant, additi in fine zeri valorem nec

augent, nec imminuunt,

ita O, 3 nullum integrum , & tres de-

cimas idem eft

ac O, 3000000 &c. eft enim nullum integrum ,

& tres decime , nulla centefima, hnulla millefima, nulla decies

&

millefima &c.

Eft enim & numerator & denominator multiplica-

Qu

tus per IO ,

quod valorem' non auget

adfcriptis zeris nil

di

additur, poífunt enim quotquot libent in fine zeri fine mutatio-

ne adjungi

quz additio nonnunquam magnum commodum prz-

P]I

fiat, ut due, tres fraciones hac ratione ad zqualem numerum

en

notarum reducantur, quod fubtra&ionem przcipue faciliorem ,

u

& divifionem accuratiorem feddit.

de

li

COR OLLARIUM./IV.

p

III. Inde ergo fequitur notas has tantum valorem decas

[

dicum habere poffe,

decem enim decimz id eft :2 uni integro

lo

equivalent ,

102

unam valent decimam, deleto enim fuperius,

& inferius zero manet

——

I0?

Tooo

B- IRM

valent unam centeümam, de-

leto enim fuperius, & inferius zgxo manet

IOO

; ita etiam

IOOOO

feu . L. ieitur v

ye

valent unam millefimam,

1000

alor in decuplum cref-

Oi

ficut in numeris Jntegris,

cit,

& quotiefcunque nota quepiam

li

usque ad IO excreícit, unita$ ad precedentem locum a dextra

il

finifram verfüs ut in integris transferenda eft.

Unde evidens

yt

eft, additionem, & fubtracionem in decimalibus ita peragi poí-

fe, & iisdem regulis abfolvi ficut in integris.

P

C Q«

"

DECIMALIBUS

65

COROLLARIUM V

la*

n

II2. Unde facile eruitur, qüz fracio altera major fit

dum

X*

in utraque zqualis eft notarum numerus, ea major eft

cujus

v

note valore ordinario fumte majorem fummam denotant , ita 45

æ-

72 major eft, quam 4, 69,

uia 72 feu feptuaginta duo plus

u

eft quam 69 feu fexaginta novem, item 4, 7211 major eft

'y

quam 4, 6999 quia feptem millia plus eft, quam fex millia.

hy

Dum non funt squales note, adje&is in fine zeris, (qul valo-

&

rem non mutanvt) fiant equales, & qnse majorem fummam facit,

major eft, ita i detur 4, 7 & 4, 69999 addantur ad 7 qua-

tuor zeri, & fit 70OOO: fed feptuaginta millia plus funt, quam

fexaginta novem millia &c. Subfcriptis enim zqualibus denomi-

natoribus major eít illa, cujus numerator imajor eft

d

iec

COROLLARIUM 9 VI

le-

f,

II3. Perfpicuum etiam eft, quo plures adduntur note de.

n

103

cimales, eo magis femper fra&ionem accedere ad integrum ,

a*

munquam tamen fore equalem integro.

Iltà 4, 999 masis acce-

il

dit ad integrum, quam 4, 99 quia huic deeft una centeüima quo

[0

minus fiant 5 integra, illi vero una tantum milleüima,

Quo

æ-

plures ivitur novenarii adjunegantur

eo minus femper a toto ab-

erunt

nunquam tamen habebitur totum, quia fem

r minor:s$

1y

tantum denominatoris partes adjuncun*ur, & nifi una ejusdem

denominatoris pars ultimz note addatur,

erum

feu

totum.

habere impoffi»ile eft.

1ta.fi fra&ioni 4, 999 una milleüma

pars addatur, que eft denominatio ultum novenarii, habebuns

$ur 5 integra.

(à5

TO

COROLLARIUM VII

5

114. Cum igitur adjungendo notam decimalem masis fem-

:e,,

per accedatur àd inteerum , & quotus accuratior obtinestur,

f

omnis divifio, qua aliquid reüiduum penes inventum quotum re-

m

linquit, continuari poteft, quousque libuerit, adjungendo fcilicet

rà

ad refiduum zerum, & dividendo hunc novum dividendum p

.ns

priorem diviforem, quotus ex hac divifione refultans erunt deci-

-

m adjun&o rurfus ad retiduum zero, quotus ex divifione obten-

tus erunt centefíme, & (üc ulterius, ita fit 26 dividendum per

9

8 habetur quotus 3 cum re(iduo

E

adjiun&o zero & 20 divifo

per 8 quotus erunt 2 decime, & refiduum A4. Huic rurfus ad«

J an&o

"

AMeisb, Maik, P. ].

b

1

"1

m

"

"

)

Ó

CAP. VII. DE FRACTIONIBUS

jun&o zero erunt 4O, & divifo per 8 erit quotus 5 centefimse

fine refiduo,

Quotus igitur verus ex hác divifione obtentus eft

25405,

Hac etiam ratione omnis fra&io ordinaria in decima-

lem mutari poteft ad numeratorem enim fen dividendum adjun-

gitur zetus, & hzc quantitas per denominatorem dividitur, quo-

ti erunt fra&iones decimales,

Ità

—

"

X

reducitur ad O, 5.

lItem

H

5

^

r

ad O, 25, Item

3

A.

ad O, 75. Item $ ad O, 875. Item

$

ad

N

Q

, 5555 &c, que ultima fradio nunquam dabit accuratum quo.

1um, femper enim ex divifione aliqnod manecbit refidnum,

PROBLEMA I.

I

IS. Fractones decimales addere, & fubtra-

here.

RESOLUTIO.

LV Quantitates homogenee, íeu ejusdem denomi-

nationis fcribantur fub fe invicem, id eft decime fub

decimis, centefimx fub centefimis, &c. $i in una plu-

res fünt decimales, quam in altera, szqualis numerus

notarum adje&tis in fine zeris fiat.

1J. Colligantur ficut integra in unam fummam, aut

[o.]

minor a majori fübtrahatur E. g. fint addenda,

325

0506,

& 4, 789, & 6, 62, & 4, 753647.

Cum ultima fractio habeat 6 no-

3. 050600

4. 789000

tas, in omnibus 6 note faciendz

6, 6200co

funt ,

ideo in. prima adjiciantur

4» 753647

duo zeri, in fecunda tres, in ter-

tia quatuor, deinde millies mil-

19, 213247

lefimz habentur tantum 7, cen-

ties millefime tantum 4, decies millefimse 12 fcribitur

2, & unitas ad fequentem columnam additur, & ha-

o

bentur 15 millefimzse fcribitur 3,

Q

unitas transfertur,

?

centefime igitur funt 21, fcribitur 1, &

t

trausfertur

ad decimas, quarum fumma eít 22 fcribantur 2 & g ad

äntegfos translatis funt 19 integra.

D E-

DECIMALIBUS

67

DEMONSTRATIO

Iu fra&ionibus qu» eundem habent denominato-

numeratores adduntur ,. vel fubtrahuntur,

fed

rem ,

per regulam primiam fra&iones reducuntur ad commu-

nem denominatorem, tot enim inferius funt zeri, quot

[]

fuperius note, ergo tantum numeratores , .qui funt ipfe

fractiones date

in decimalibus adduntur, vel fubtra-

huntur, & cum crefcant ficut integra, ita-ut 10 partes

femper unitatem prox;m» antecedentis claílis efficiant

additio fit,

ut in mte

Sint fubtrahenda.3,: 79468 2053

Scribatur

4»

230000

Superius dd];mantur qua«

$. 79468

tuor Zeri, ut idem fit de-

"

nominator ,

qui inferius ,

E P SCJV

& fubtractio fit ut in in-

fegris, 8 a TO

üanet 2, 6 & 9 manet 4 &c.

H

PROBLEMA lT.

x

116. Fracones decimale

es mulüp licare.

,

RESOLDTIO

»

l Seribantur ut integra: fwe diftin&ione decims-.

?

lium, & multiplicator in muïtlphcandum ducatur.

II. Tot in fa&o a dextra ümftram verífus refcin-

fe

dantur note pro decimalibus, quot in utroque factore

l-

no(e dec

1males funt.

Sit 4, 36 ducendum in 3, 62

Scribatur

426 Cumfuperius, & inferius fint uni-

d«

362

verfim 4 notz decimales, in fac&to

— ' À

r

4 note refcindendze funt, & ía-

85

2556

Gum erit 15, 4212.

)

;

* 20

A d-

C————

1£4212

2

gqie

as

6(

CAP, VIH. DE FRACTIONIBUS

8

DEMONSTRATIO

In multiplicatione fra&ilonum numeratores inter íe

& denominatores inter fe multiplicantur, fed date fra-

€tiones decimales cum, vel fine integris, fünt numerato-

res, ergo inter fe juxta regulas ordinarias multiplican-

dz funt, factum veroó dénominatorum tot habebit zeros

I

quot in utroque factore denominatore fimul fuerint,

ergo factuin numeratórum eum habebit denominatorem,

qui tot continet zeros, quot in utroque fa&ore funt de-

cimales, tot ergo note pro decimalibus in fa&o re:

i

Ícindende funt.

-Prius exemplum cum fuis denomina-

toribus fic exprimeretut:

426

1oo

ductum in

.55

1060

facit 4

—

xX 54

10

ïï

2

x2

$5 feu I5, 4212.

ltà 3, 503 du&üm in I, 2 dat fa(tum 4, 2036

SCHOLION I

I17. Si in facto tot accurate occurrant notz , quot im utto-

«que fa&ore fimul fumto fünt decimales, omnes note faci erunt

decimales, Ita 4, 134 ductum in O, 9 dat fadtum 8268 & cum

in utroqve fa&o fint 4 note decimales, ommnes ha quatuor erunt

decimales, & fcribantur O, 8268

Ratio ex priori demonfítra-

tione ha'*ctur, cxpnmuntur fnim fub denominatoribus hac ra-

tione - d

10

2$ et.4 quein fe invicem du&a dant

X3'ooo00

S268.

cum de-

nominator major fit numerhtcre

fracdio vera, & propria eft,

qua mtegrum non adm:tm

SCHOLION lT.

I18. Si in fa&o pauciores fünt nete, quam in utroque fa-

&ore fimu!, verfus finiftram tot zeri adjici debent

qui nume-

llo

ryum notarum decimalium exzquent

& pro integris itidem Zerus

ponendus eft

Si in fa&o. fint tres notze

in utroque autem fa-

U

Q

&ore fimul fumto fex, tres zeri ante facu

ponendiíunt, & unus

pro inteeris

Vk

0

Ita O, O2 du&dum in O, Co83 id eft 83 du&i in

"

dant 166 quod eyprlmerdum erit O, OCOI66 eft enim 4 2z du

f(n |

5.,9.

& fa&um

,.-,,...,....-..—K,-N

ífeu Q, CCOIÓG.

w in r

q60v9?

x,e5o09oo

let

tOï«

"

PRO-

DECIMALIBUS

69

PROBLEM .A IIl

iI9. Fractiones decimales dividere.

RESOLUTIO

T. Scribantur ut integra fine diftin&ione decima-

lium, & fiat divifio ficut in integris.

IL. Tot in quoto abícindantur note pro decimali-

bus,

quot notis dividendus fuperat diviforem.

S1t dividendum 5, 7936 per 4, 7 fcribatur ut

m mtegrls :

37936 | 788

Divifione juxta regulas faá-

7

&a obtinetur quotus 788,

329

& cum tribus notis decima

libus dividendus fuperet di-

viforem

47

tres note in quo-

to pro decimalibus adjici-

dl

376

endz funt, erit ergo quo-

376

tus O, 788

376

DEMONSTRATIO

n divifione frac&ionum numerator diviforis fit de-

nominator, & dein fradiones multiplicantur, ergo in

decimalibus zeri denominatoris dividendi adjunguntur

divifori

& Zeri denominatoris diviforis adjunguntur di-

rj

videndo.

Ita ex

xooïo

3.15.3.6

ifit inverfo divi-

n

351936

divifum per 4

fore

To000

duétum in 19 & habetur ff.:&um.

470000

a r h

790369

de-

letis zqualibus ubique zeu: tot remanent in denomina-

tore zeri

quo plures funt in dividendo note decima-

les, quam divifore, fed quantitas

erorum in denomi.

nato-

B53

M

79

CAP. VIL. DE FRACTIONIBUS

-

natore oftendit , quales , & quot fint note decima-

les in quoto , ergo tot in quoto refcindendz funf

d

note decimales ,

quo plures funt in dividendo note

decimales, quam in divifore.

Paucis, quotus multi-

plicatus per diviforem, reftituit dividendum: fed non

reflitueret dividendum , nifi in quoto tot ponerentur

decimales, quot decimalibus dividendus fuperat divifo-

rem, ergo tot debent poni in quoto decimales, quot

notis dividendus fuperat diviforem.

SCHOLION

l.

i90. Si equalis eft notarum" decimalium numerus, :n quó-

funt in dividendo ,

£o nulle funt decimales ,

fi pauciores not

quam in

divifore,

tot adjungantur in dividendo zeri donec nu-

inerus notarum æquahs eufht, & tunc primus quotus erit inte-

grum, fi plures adjunegantur zeri, juxta numerum zerorum ad-

jun&orum numerus notarum decimalium in quoto crefcit, utrum»

Que ex præcedenn demonftratione patet.

Ità fit dividendum 181, 23 per 25, 89.

1

erit I8123

7 integra &c.

2589

$i fit dividendum 43, 5 per 5,

erit 4350

8 integra &c,

526

Si adjungantur hic rurfus zeri, incipient fraciones decimia-

^pDpu

ül»f

1€s,

& continuantur donec libuerit adjungere zeros íu

cec

p

9r0 diviüione continuanda.

SCHOELION I

I121. Dum dividendus minor ef leJfOTC, divifio fieri non

poteft, eft enim in hoc cafu fra&io vera , feu propria, ut fi O,

O45 foret dividendum ptr 9 mtegra.

Expreffs his fxa&mnlbus

CIS, 22 R

2 & gi-

cum fuis derommazuubus habetur

rooo

ividendum per 2

51 aütem

viüone fa&a ef 454 que divifionem non admittit.

hzec fra&io juxta Coroll. zmum.reducenda effet ad expreífionem

decimalem

numeratori confequentes adjungendi funt zeri, &

cum divifio nonnifi pofl tres amw&ob zeros inchoari poífit, fi-

gnum eft, quotum quoque tres Zeros ha

iturüum , & nonnifi g 18Y-

ue

$

A

c ipfo fore inille-

am notam in quoto fore numerum , €à

Aiam.

Divif&o fi

procederet :

A2

DECIMALIBUS.

7I

le

OS

451]0,0

&

9000

:

E

a

450

9000

j*

4500

i

90cO

45000

9000

K

45000

$

SCHOLION il

n

122. Contingit nonnunquam, ut ex inventis notis decima-

libus, nonnif&ü primza tres, aut quatuos adhibeantur reje&is. fub-

[-

fequentibus omnibus, prout fcilicet accuratior calculus id exi-

1]

£at, & ex fubje&a materia determinari debet, an partes mille-

le

aut adhuc mino-

fimas adhibere fufficiat, an decies millefimze,

res requirantur.

In hoc cafu notandum eft, quod fi prima ex

reje&is notis fit major quinario, ultima remanens unitate ausea-

tur, ut compenfatia rejecarum, notarum fiat.

Ita ex fra&ione

decimali 4, 56487, fitantum miilefimas adhibere fuíficiat 97

fejiciuntur, at remanens nota 4 unitate augenda eft,

& habe-

tur fra&io 4, 565, & fic de reliquis, & reje&is notis prima fit

minor, aut zqualis quinario, fine compenfatione rejiciuntur,

n

2

ueecay r pis Db

C t I CR

m

L-

x*

t

,

X

.

ls

a

*

2

E 4

E

"

»

*

U

5

7s — CAP.I. NOTIONES GENERALES

IÀ dlg5MIZNTEA

AL 6EIBIRE E.

ï

OMNCEIUT ATRCUDNNSG

mj

&æww

f

'OCWPUT .L

NOTIONES GENERALES

Ü

t

AL)GEBR]E.

DERBEINITIO

Il

H

AW lgebra eft Arithmetica. univerfalis' feu fcientia

h.

quantitatis abftracte, & indeterminate feu in

genere fumtz, quam per literas, quarum fignificatio et iam

u

indeterminata eft , exprimit.

Inde Algebra communi

(

vocabulo caiculus literalis dicitur, nonnulli eam .4r/-

f

meticam fpeciofam vocant,

al

SCHOLION.

9. Ad tria icitur in Algebra adverti debet, ad quantitates

ipfas, ad operationes cum his quantitatibus inftituendas , & ad

velationes ,

quas ad fe invicem habent.

Pro fingulis propria

2

fiegna vel chara&eres adhibentur, ut mox fequitur.

M

K

HYPOTUIESIS 1

4. Quantitas qualibet literis alphabeti exprimitur

b

a,b

?

t

6

,2,&c. bheigitur funt figna & chara&eres quanti-

tatum, qua fi cognite fint, primis literis 2, 5, c, fi

incognite, ulümis x, y, 2, defignantur, hinc fe-

quitur.,

Q

1;

D E-

ALGEBR/R.

n

DEPFINITIO II;

Expreffio feu quantitas algebraica, eft una vel

plures magnitudines

— $

una vel pluribus literis defigna-

t$: illa dicitur /Hmplex, ut unus numerus, una linea,

&, b, c: hxc dicitur compofita, qu: quantitates plures

fumtas exbibet, ut ab, Lbcdd.

Utraque dum folitarie

ponitur, zscomplexa dicitur, ut a, abe, de, xx, qua

etiam iermiuus vocari folet,

Per figna autem operatio-

nis ($. 6. ), dum una cum pluribus conjungitur, quan-

LES

titas com»lexa exiflit, ut ab -t- ed vela — l.

Quan-

titas uno conftans termino, momomia: duobus bimomia:

tribus trínomia &c. in genere pluribus terminis conftang

polymmia dicitur, ita abe vela vel cd funt quantitateg

mopnomie, ab -t- cd eft binomia, « — cd -t- f eft tri-

(eientia

nomià &c-

Heomogenee feu fimiles quantitates funt,

e feu it

dum literz & ecedem, & eodem numero fine figno in-

jo etjati

teije&o conjun&e in utraque funt, ut ab & ab: ccd &

pmmuni

f

1

ccd,

Heterogeuee di

À

Iimiles funt, ubi vellitere diver(z

Ál*

funt, vel diverfo numero pofitz,

ut: ab & cd: item

aab & ab, item 4au & aa.

&

SC'HOrnLroNsN.

5. Neminem hic indeterminatus valor literarum offendet,

J Tatts

,&

«ui fe ad quantitates numericas refle&et, qus pariter nullam

determinatam fienificationem habent.

Ita 20 poteft vel defigna-

pr op!ïæ

re homines, vel equos, vel domos, vel florenos &c. atque id

folum a mea dependet voluntate, ita etiam generalius adhuc

« vel b fervit ad fiznificandum velIO homines, 1CO equos, vel

230 arbores &c. atque a^ hoc

nantur,

4ve1 illud a meg voluntate determi-

rinitut

HYPOTHESIS. I

quantiv

cfi

6. Signa, quibus operationes, quz cum his quan-

ac fe

titatibus literalibus peraguntur, defignari folent, funt

fequentia: Additio indicatur figno -- plu$: ita a adden-

dum

E5

p E

"4 CAP.I. NOTIONES GENERALES

dum ad P, fcribitur a -i-k b hoc eft a plus b: cd -- ef

b

?.

eft cd plus ef.

Subtra&io habet fignum —— minur: ita

fi ab 4 fubtrahi debeat b, fcribitur a — 5 id eft a minus 5b.

quam fec

4- ütit

Itao x b

Multiplicatio indicatur figno X vel pun&o.

— labl

velc. d fignificat a multiplicatum per 5: vel c multi-

& u

plicatum per, d.

Dum quantitas complexa multiplican-

eftendit :

10 feren

da eft, fignis parenthefi & claudatur includitur, ut

bet, qui

(a — b) c & tunc fignum aliud multiplicationis omit-

Tanet Q

titur, quod etiam ita fcribi poteft a — 5 X « — Divi-

tübet, :

fio tandem habet figna, vel pun&a duo: vel lineam li-

"- EXDrI

t'um deb

teris interje&am inftar fra&ionis.

]ta a: b vel z p

Yent fübt

h

-

divifum per b.

Item (a — 5): (e — f) a minus b,

Qul i

divifum per e minus f: vel a-—— b: e —f, vel

& —b

—

e"'*'""fo

9)

bet

Mb

t

COROLLARIUM,.

neceffari

Quantitas

7. Sequitur ex his, figna tantum operationem, nullatenus

R, ügnu:

áutem quantitatem afücere.

Ita -j- a fignificat, quantitatem «

eife addendam , & — a fignificat eandem quantitatem a elfe fub-

d ïïenis 2u

trahendam , hinc per figna quantita$ nullatenus mutatur fed

tantum operatio, ques oftendit, quid cum illa quantitate facien»

-

It

dum , feu qua ratióne fpe&a/nda fit.

Rübties f

Rytotugeéré

XCE Qï?ri

tüt 4

*

Híyj

8. Refpe&us denique, feu relatio quantitatis ad

quantitatem notatur ita (:)majus exprimitur hoc figno

-; minus vero hoc «7 cuspide femper quantitatem

12,

minorem . refpiciente: 4 z- b fignificat a majus quam

äxus, ,

b: a -7 b; a minus quam P.

Duz liuez — qualita-

Ita

Dre $

tem, hoc vero fignum w) fimilitudinem denotat.

luflus C

ab z cd eft &b quale ed; & x, và yeftt x fïm.ilc-

J*

*

5.C H

Q*

ALGEBRJE.

J

H

*

$COLION

* l

$9. Ufus tamen invaluit, quantitates etiam ipías nonnun-

itl

Jj d

quam fecundum adje&da figna fpe&andi: itaea, qua habet fignum

D

xb

-- dicitur quantitas po/itiva realis, exiftens, que vero fignum

multi-

— habet, quántitas dicitur megafiva, id eft abfens, fubtrahen-

da.

Tta dum Petrus habet 10 forenos, fcribo fignum -- , quod

lial

eftendit eum poffidere hos IO florenos: -- tO,

$i jam Patlo

-, Ut

1O flerenos debeat, reipfa nihil habet proprii, quia tantum de-

bet, quantum habet & a 10 fubtrahendo 10 hoc eft IO — I1O

Q

ut

manet O.

$i vero 20 florenos debeat, non folum modo nihi!

Dir

habet, fed minus adhuc habet quam nihilum, quod jam figno

-—- exprimitur.

8ie ftatus Petri effet — YIO, quod oftendit Pe-

m [i«

trum debere alteri TO florenos.

Íita a 1o fubtrahendo 20 ma-

ef4

nént fubtra&is IO adhnc fubtrahendi IO hoc eft IO. — 20 quod

facdit — 10 feu debitum 10O florenorum.

Benelüs prenotatis

us b

nulla in ipfis operationibus occurret difücultas.

V6

$CHOLION

ii

[

E

1O. Quzlibet quantitas ante fe ífignum aliquod habere de-

bet, ut ífciatur, an addenda, an fubtrahenda fit.

Non autem

fed dum

üeceffatium eft, ut firnum -I- femper exprimatur,

quantitas monomia eít, avt prima ponitur in quantitate.comple-

yvtenus

Xa, fignum primum -J- omitti poteft & fubintelligitur.

Subtras

tem &

«ionis autem fipnum femper exprimi debct.

fe [ub*

SCHOLION

i.

t de

fciet

IT. Cum nonnunquam contingat, ut quantitates ipfe ali-

quoties fumi debeant, id per numeros eisdem immediate przfi-

XOs exprimitur, ut dum quantitas a ter accipienda eft, fcribi-

tur 2e, qui numeri hac ratione nullo

interje&o (ügno literis

v

prefixi, coeffcientes, apellantu

i oe

igitur

j u

DEFINITIO IIL,

fgno

ttem

12. Coefficiens eft numerus literis immediate præ-

qu&m

fixus, qui oftendit, quoties illa quantitas literis 'ex-

preffa fumeuda, íeu per quid multiplicata fit.

um

jlit-

Iu

nullus coefficiens expreffus eít, unitas fubintelligitur,

Ita ac eft 1 ac; 2dd funt duo

)1

qua nunquam fcribitur.

dÀ feu dd multiplicatum per a.

C

L

r

[ 0*

76

CAY. II. DE OPERATIONIBUS

-

SCHOLION

13 Diverfitas coefficientium duorum fterminorum fimilitu-

dinem non mutat

ita Gaa & 3332 termini homogenei funt

fed

6a&6b

item 5 aaa & 5 aa funt heterogenei

——

C'APUT.H

De operationibus algebraicis.

PROBLEMA I

& f

lfs

ebitam & fimpliciffimam terminorum alge-

lum (

i4D

braicorum- expreffionem facere.

quot;

tIahe

RESOLUTIO

tralei

Reg. I

Termini & fingule literz ejusdem ter-

demql

mini feu in quantitate complexa feu incomplexa ordi-

deng .

nem alphabeti fequantur: videatur fi fieri poteít, ut

Tne D.

primus terminus femperfit pofitivus. Ita b — c 4- a d- /4

fcribe a-t-5 — c -- df.

Item 8/? — 10bac -- 6 a fcri-

be 62 — 10 abc -- 5 bf.

II. Termini fimiles feu homogenei juxta ügna fua

& coeíficientes ad unicum reducantur, quod fit

"Addendo coefficientes, fi habent idem fignum, & fum-

m: idem rurfus fignum prafigendo: vel

fgn

Subtrahendo minorem a majore coefficiente, & dif

at

ferentix fignum majoris prefigendo, fi habent figna di-

verfa: vel

Delendo utrumque terminum, fi diverfum fit fignum;

ffe] e

coefficiens autem idem in utroque

Qd

Sic

fgi

ALGEBRAICIS,

[44

Sic I, ab -- ab -- cd fit 2ab -- cd,

militu

2a—234d--5a—64d fitza—84.

t, fed

aa *-t- 2 46 - 3 ac fit aa -- 5 ac,

1l,

3 4b 4- 2 abb. — ab fit 2 4b -- 2 abb,

22--d— 72 fit 4— $a.

I11I.

d4 -- 2 abb -- 3 a4 —2 alb fit 4 aa.

hd s bdf-4- 2 bd - 2 Mf — 3bd fit bdf.

DEMONSTRATIO.

Litere exhibent, quz quantitas: coefficiens, quotzer :

& figna, qua ratione : fumenda fit.

Dum ergo eadem quan-

titas aliquoties eft addenda vel fubtrahenda, fufficit il-

lam femel cum eo coefficiente ponere, qui id expri-

E

Imat, quod fit in cafu I.

Si vero eadem quantitas ali-

quoties addenda, & e contrario fimul aliquoties fub-

trahenda e(t, refiduum quantitatis vel addendz vel fub-

trabende hac ratione exprimitur, ut in cafu IL. -Si

denique idem addendum & fimul fübtrahendum fit, evi-

n (et-

. od

dens eít, nihil remanere, ut in cafu III.

Simplici(fi-

me igitur termini per has operationes exprimuntur.

5&, u

if

PROBLEMA IL

4 fcti

-X5. Quantitates algebraicas addere.

s [üi

RESOLUTI1O.

&f

Reg. Omnes termih? dati ordine feribantur cum

fignis propriis & dein debita redu&io juxta

& di*

fiat

prqblema I.

j d

Ex. L

Addantur ab & bc fcribe ab -- bc,

Ex. Hl. Addantur 4a & 7a fcribe 4a-1-74a redu&ione

iguumi

fa&üa erit 11 a. Summa ex 3a & —5a & Qb et 3a—54a -9- 2b

tedu&ione fa&a 9 b-— 9 a,

Ex. IH

Addantur ab*e c & & —c fcribe ab -I- b --c

Tedu&ione fa&a erit «P -J- b.

v'**C

a

Hx

79

CAP. i. DE OPERATIONIBUS

Rx..1V. | Summa ex 9 bc — 4 bcd -f- 6bf & "- Gbcd — 5 bc

"]^ 3 bf. redu&ione facta eft 2 bcd — 2 bc -- 9 bf-

DEMONSTRATIO.

j

Addere eft fummas. & quantitates partiales in unam

fummam . totalem colligere,

tetür

Sed ha? regula quantitates date in unam quantita-

ädäiü

tem complexam colliguntur, ergo&

Additio algebraica rite facta eft.

S$:0HH O LTON

19

I6. In quahtitatibus fimilibus coefficientes tantum addi evi-

Va-

denter patebit, fi ad certam fignificationem determinentur.

leat .a lineam, aut florenum, quis negabit 34 & 5a id eft

2 flrenos & 5 florenos,.íeu 3 lineas & 5 lineas facere 8a feu

Tutaf

8.florenos aut.8 lineas.

Ita etiam inquantitatibus heterogeneis

arum eft easíimpliciter tantum fcribendas eífe: ita fumma ex

fá - q

3

b &2ceft 35-I-2c.

Valeat enim ) florenum & c cruci'erum,

fumma aliter exprimi non poterit quam 3 floreni plus 2 cruci-

feris: vel 65 & — 4c exit Gb — A« feu 6 floreni minus 4 cru-

ciferis,

5l

SCHOLIFON 1I.

[! eTrpi

titati

17. Ut redu&io poft additionem facilius fleri poffit, adlen-

li

di termini homogenei fibi invicem in eadem ferie verticali fub-

fubtr;

fcribantur, hac ratio

Alv

ne

coeffcientes juxta figna facilius in uvum

terminum fíecundum regulas combinantur, ut in duobus fubfe-

N

fGCUnä

quentibus exemplis :

15 ab -—6cd-i-.4fg

9 x—3a-I-4b—5c-F-6d —7e

atnm

ma lg d

ghh IOX4-931—85——-7c—-6d —5 £

düm (

—6 ab

u

— dEe£- 3zhh ——-

I2 x-HI-6a—4b—12c—7e— 85f

9 ab—:13 cd-&-öfg—!-Zghhk

9f

SCOHOLION NE

demos!

Plam q

18. Operationes algebraicz a finiíflra verfus dextram pera«

debere

$untur, quamvis idem omnino fit, eas etiam a dextra finiftram

d!ül 1

verfus peragete;. q

7172

14.L

ntàtates enim literales valorem localem non

i&biian

habent,

U g

PRO-

ALGEBRAICIS.

IÀ

1— $k

PROBLEMA

T.

19. Quantitates aïgebraicas fubtrahere.

RESOLUTIO.

"

T Unant

Reg. 1n quantitate üxbtrahenda'flgnurd quodvis mu-

tetur in contrarium, - in — & — in -I-, dein fiaf

untide

additio & reductio.

Ex.

i

Ab afuübtrahi debet a fcribe a-—a hoc eft O.

1L Ab ab fubtrahi debet cd fcribe ab — ed.

o

ML A3cdrg fubtrahi debet

d

Cdg ícribe 2 ..('g l9 cdg

addi exie

hoc eft cdg,

IV. Ab abc fuübtrahi debet — abe (cribe alc -- abc hoc

i

Va

eft 2 abc.

[TRUU

V. Ab aa "- 2 bc -I- 5bd fubtrahi debet aa -- A bc —— bbd,

? Qd f

mutatis

fiz

HU

nis habetur-—— aa — 4 bc - bbd: additione

Tat

»

&a' erit

erogeleis

44 — aà "o 2 bc — 4 bo -9 bbd -- bbd hog ett 2 bbd — 2 bc.

ywnma ex

ucienum,

DEIMONST*RATIO,

; 2 t

jj 4

Subtra&io. quantitatis exprimitur figno — Cg 6.)

íi ergo quantitas ^ fubtrahi debeat a quantitàte 2, quan-

V

"

X

ionis ,

hoc eft

titati ? preponi debet fignum fubtra

d

At vero fi quantitas, quoe

"M

ignum -- mutatur in —.

$

fubtrahenda eft, jam habeat fignum — .. adeoque jam fif

j ] füw

jn voum

quantitas fubtrahenda, & ut talis fuübtrahi debeat, cum

us Qubf

fecundum axioma generale duz negationes faciant unam

1

affirmationem , fi

L

gnum negativum in pofitivum mutan-

i 1e

dum efít.

Ji-5i

SCHOTLIAN-EL

-

—

—

,-;e-*ï:f

2O0, Ex conceptu quoque quantitatis negativs ($c.9. ) id

demonftrari

E

jole!

teft;

Cum hzc fit.defe&us, feu ut debitum quod-

piam confiderari poffit, qus ab alia quapiam quantitate fubtrahi

deberet, fequitur, quod defectum feu. debitum fubtrahere nii

aliud fit, quam facere, ut alter non habeat iítum defectum feu

fam p

1 ünif[f?-m

debitum, quod fieri aliter non poteft quam negativam quantita-

tem. mutando in po(tivam: ficut e contrario defectum addere

alen 1

eft

jjÜ

8o

CAP. HI. DE OPERATIONIBUS

eft facere, ut alter Fabeatk iftum defedum. Ideo addendo ad

& minu$ b fctibitur a — b, & fubtrahendo ab a minus b fcribitur

0 d- b.

Aüddendo ad :2 defe&um 4 e& :2—-4 hoc ef g.

Subtrahendo ab 8 defc&um 4 eft 8 -F-4 hoc g& 12.

SCHOLION IHf

21. Cum repugnet, ut quantitas nevativa qua talis exiftat,

Yi

femper ut quantitas vera fubtrahenda fpec&ari debet, adeoque

2liam femper quantitatem pofitivam fupponit, a qua fubtra&io

fieri debeat.

Hinc dlia rurfus demonítratio a tali quantitate

complexa petitur. Sit ab a fubtrahenda quantitas b — c, fub-

traco b ab a hoc eft fcribendo a—— b quilibet advertit, jufto

plus fubtracum eíle, cum non tota quantitas b, fed imminuta

quantitate € fubtrahi debuiffet, ut ergo debita compenfatio fiat,

tantum iterum addendum eft, quantum jufto plus fubtractum fuit.

Sed hoc erat quantitas c, ergo c iterum addendum eft, & fit

$— b-I-c, hoceft figna mutantur in contrarium,

Si a r2 de-

beret fubtrahi $ —3, fubtra&is 8 a 12 tribus unitatibus plus

jufto fubtrahitur, cum non tota quantitas $ fed imminuta quan-

24

fitate 3 fubtrahi debuiffet, fcribendo ergo :2 — 8 non habetur

qa f

vera differentia, fed eft jufto minor, ergo pro debita compen-

? du»

fatione rurfus 3 unitates addend» funt, & habetur 12 — 8 -- 2

i

MM

hoc eft 7.

Idem ac fi a 19 fubtraherem 8 — 3 hoc eft 5.

$CHOLION Yf

r«

22. Quo minus ab aliquo numero v. g. 7 fubtrahitur, eo

:

plus remanet, fi nihil feu O fubtrahatur, totus numerus rema-

mnet, ergo fi minor quam nihilum feu quantitas nezativa fubtra-

hatur, plus quam 7 remanere debet.

d4tà. 4 a 7 telinquit. 3.

.

2 a—'—7 relinquit 5. O a 7 relinquit 7, ergo —2 7 relinquit 9.

(S*"'ïa

SCHOLION IV.W

fà

&o f

93. Subtrahendi termini, ut in additione, fubfcribi poffunt

R

fomogeneis quanttatis majoris, ut redu&io facilior (it,

Muta-

ter

]

t£is enim in contrarium fignis hec operatio ab additione non dif-

Vcie

1.'3

fert, ut fequentia exempla oftendunt:

l

NU

E XEM-

N

|

j

ALGEBRAICIS.

91

do ad

EXEMI?PIL A.

ibitur

I. 9ab — 12 cd H- 6 fz -- 2 ghh, major

f g

—— 6 ab — 7 cd -- 3fg -- 3ghh fubtrahendus

d-

-

p

——

mutatio fiznorum.

15ab— 6cde-3fz —

ghh refiduum.

cifat,

L i2x--62—4b— 12c— 7 e— 5f major

]

IOx--9a—8b-—— 7c— 6d — 5f minor

eoque

—

, NI

tiio

:

2 N .

mutatio fignmum

ntitate

j

2x-——3a—-!44b— 5c-- 6d—7e xeíiduum.

, fib

X 20aab-p6abbc — 19 ecd -4- 5 dzg. major

, o

fiuta

2 qabæ—- 3 abc -T-

7ccd -- 5 dzg minor

j0 fiaf,

—

À

H

—

a

mutatio fienorum

n füit,

18 aab -- 6 abbc --

3 abe — 25ccd. zefiduum,

ii

19 de«

"C HOLIO N Y

j; plus

qU&H-

24. In tertio exemplo cum abbc & abc heterogenei fint,

apetur

quia fuperius b bis pofitum eft, inferius autem tantum femel,

ympet-

he du» quantitates in unum terminum cgalefcere non poifunt,

fed quilibet feparatim fcribendus eft,

.H'S

PROBLEMA IV.

25. Quantitates algebraicas multiplicare.

j, &5

tenu.

RESOLUILIO,

u bttae

Reg. pro $ignis.

Siena eadem in utroque fa&ore

quit .

'Uit f

-- & --: vel—- & — dant in fa&o femper fignum -4-.

Signa diuerfa -- & — vel — & -- femper dant in

fa&o fienum —

Reg. pro coeffcientibus.

Coefficientes fafctorum in-

offuat

Mta*

ter fe inultiplicantur, fa&um hoc numericum eft coef-

m dlf'

ficiens fa&ti algebraici,

.

Reg. pro literis,

eónjun

-

guntur,

L?tcræ nullo interpofito figao

axt

[

p

Bïe?xb. [

[

zh, P.

L

*

P

—

d-

E

d2

P

H, DE

PERATIONIBUS

f

AX b -dat factum ab

J'

AX — b dat factum — ab

t'l ;Cät

— aXb dat factum — ab

(et

aX -—b dat facum ab

at

(

2aXx 6b dat factum 134b

.1$2t w

Üi

|

]n quantitate complexa quilibet terminus multipli-

totis f

catoris duci debet in omnes terminos multiplicandi

ut

8 LlPli«

in

numeri

jta (3ac— 4?d ) X24b dat factum

dete (

6 aabc — 8 abbd

( 2a4-b —

)X(ga—-«d—i-öf*

t

dat fa&um 644 -- 34b — 154ac — 24d — bd-- 5 cd

titity

—i—- 12 gf -- 6bf —- 40 cf, multiplicato fcilicet toto mul-

q[ ofja

iplicando per 34

dein per — d

tandem per 6f.

H

Sx termini quidam reperiantur homogenei juxta Proble-

ü

1

81

mà I

reducantur ad unum terminum, quod facilius

itfe qi

vurfus fiet, fi fub ipfa operatione homogenei 1

homoge

PH,

neis fubfcribantur : ut in Ex. L. inferius pofito.

€l comï

Ml'oi æ i]

DEMONSTRATIO

C'n

M nná

swu

Pro fignis.

Multiplicare eft toties ponere quanti-

r

[i

atem multiplicandam, quoties unitas eít in multipli-

Va c

catore.

Si ergo quantitas additiva feu pofitiva feu

ädy,üm

fignum -- per talem quantitatem feu fignum -t- multi-

plicatur,

feu aliquoties additur,

quantitas fuperior to-

ties pomtur, quot inferius funt unitates: ut-- 3X-1- a

?f

l

dat 6, quia 3 bis poni debet, ergo in fa&to fignum-t-

(J PP

ton exi

efle debet

*, hn

Si per pofitivam *f-, fubtrahenda — multiplica-

mkul'aüe

Y

&

iantitas fubtra-

4

tur, multiplicatio exhibet

q'LX(JïiS"; G

In tto pe

henda poni feu fcribi debeat, manet igitur quantitas

i0t Qu

fubtrahenda, & per Signum — exprimitur: eíft enim

Atum

1 g

ETU

A 1

juantitas fubtrahenda toties pofita, quot inferius funt

dl

'ntatcs ; ita—-23X23

lignificat, negationem quantita-

"-

Vm

tis 3-bis ponendam efle, quod eft —6

A

Si

H

3 at

ALGEBR AICIS. |

83

Si -- per — feu addenda per fubtrahendam mul-

tiplicatur, quautitas pofitiva toties fubtrahi feu negari

debet, quot inferius funt unitates.

]ta 3X — 2 figni-

ficat

"y

quantitatem

Ó

bis fubtrahendam effe ,

quod

dat — 6.

Si — per — multiplicatur,. fubtrahenda quantitas

PI.-.;"

»m at

toties fubtrahitur, feu n

&

hd

ur, quoties unitas eft in

J

multiplicatore, fed negare negativam eft ponere feu ad-

um

dere quantitatem negatam, ergo in facto fignum pofi-

6f)

tivum effs debet

Toties enim negatur abíentia quan-

5:/&

titatis, feu quod idem eít ponitur predida quantitas,

mul.

quoties inferius eft unitas

6f

Pro roeffcientibus demonütratio patet ex multiplica-

jble«

tione numerica, coefficientes enim funt fa&ores, qui

"ilius

in fe ducti dant factum quafitum.

oge

Pro literif.

Muitiplicare eft ex quantitate fimpli-

€i compofitam facere, fed quantitas compofita eft, dum

litere fine

figno interjefto. conjunguntur ($. 4.5 ergo

€onjunétis

bac ratione literis quantitates mu

]ti

pE

plican-

Yatti

tur: «4 & bíunt quàntitates fimplices feu factores : ab

vero compofita feu fa&tum ; ac & bd funt fa&tores, abed

jli*

fet

fa&um.,

lt

$SCHOLION L

r [0*

96, Eadem demonftratio ,

quam in fubtra&ione dedimus

4

($. 23)) etiam hic applicari poteft.

Cum quantitas negativa

]^

non exiftat, impoflübile eft per eam necativam aliam multiplica-

re, hinc conjun&a cum alia quantitate fsecari debet, a qua

fubtrahenda eft.

((cd*

Sit erro a—c multiplicandum, per b— d.

Initio per b fado: a per b multiplicatum daát ab ; vernm cug non

(trd

toti quantitas a fed imminuta quantitate c. multiplicari debeat,

titas

fatum ab et jufto majus, & quidem toties, quoties b du&um

eniim

in c in illo continetur, hinc Jc fabtrahendum eft,ezgo — e xX -I- 5

funt

dat — bc, feu (iena contraria dant fienum —

E

Doein a per

— d multiplic:

a *11

A LA

m per priora, vel quia toties fubtrahi debst,

Yi

quot unitates funt in d, dat — g.f?;

verum cum non tota quane

debeéat,

titas a fed irfnminuta quantitate c multiplicari & fubtrahi

$i

3

2

ao

E5

p

— v' -

-

CAFP. IL DE OPERATIONIBUS

84

juflo plus fubtrahitur, & quidem toties quoties c per d multi-

plicatum in illo continetur, hinc hac quantitas cd rurfus adden-

-

da feu cum figno -- fcribenda eft, hoc eft — per m dàt -F-.

$i fubftituamus literis numeros, veritatem clariffime per-

;:j

Ea-

fpiciemus. Sit 8— 3 ducendum in 6 — 4. 8 in 6 dat 48.

étum jufto majus, quia non totum 8, fed 8 minus 3 unititibus

per G multiplicandum eft, hinc factum ex

[»]

M

ii 6 feà IS8 fub-

trahi

debet: primum igitur fa&um verum eft 48 — 18.

Deéin

8.in — 4 dat — 32 rurfus fa&um juífto majus fubtrahendum feu

*

P

negativum toties fcilicet,

quoties 35X 4 in illo continetur

t10

hinc ut debita compenfíatio fiat, fa&um ex 3 in 4 addi debet,

n

Ambo

facta

&: habetur verum fa&um fíecundum —— 32 -- 12-

D

Idem,

funt fimul 48 —— 18 — 22 -[- 12 hoc eft 60 — 50 — IO.

o

0

du&is in 9 feu 6 — 4.

T

quod obtix;ctur ex 5 feu 8—

2

5i

S CïH ÓLION 1

4l

27. Si fa&ores-vi'int' quantitates complexe, multiplicando

At

((Q,

mulüplicator fubferibatur, & du&a linea fa&a ut in numerica

multiplicatione in diverfis feriebus feu lineis fcribuntur, hoc

Ádd

bene notato, homogeneas quantitates homogeneis fubfcribendo,

dein hec íada , fi fieri poteft, reducantur, ($.14) & totum

qua]

titat

factüm in una ferie proponatur, ut in fubfequis exemplis.

DT

Ex:

I.

ts

qei-b

a—b

[bf

aQ v--dqo

— ab —— bb

ad — bb.

Ex. IL 32b 6 cd - 5/fe

4 ab — 3 f&

F

»

12 aabb — 24 abcd -p- 20 abf

"—

9 abfg -- 18 cdfe — 15 fifag

ï

Wi

p

12 atlb 24 abcd -4- 20 abffz — 9 (;,29;; -- 18 cdfg — 15 fffeg.

At

NI

M

Ex,

ff

zto-

f a maoe Ll f

ALGEBRAICIS.

9

Ut

ulti-

Ex. lll

'G xx—7ax-d18aa

den-

9 xx-—32ax-L-24ae

12 xxxx-—— 14axxx--16aaxx

— 18 axxx -- 21 aaxx —— 94aaax,

yt

-F.24aaxx--282aax--322aa«

R

I9 xxxx — 9 axxx -65 aaxx-—— 52 aaax «-39aaaa

abus

fub-

)

SCHOLION

III.

n i

]tï

28. Bene hic attendendum eft ad differentiam inter addi-

etut

tionem & multiplicationem , ne expreffones he inter fe utpote

ebet,

multum differentes contundantur.

Additio fpectat tantum coeffi-

fatta

AA

eientes, multiplicatlo coefficientes fimul & literas.,

Jüem,

imo.,

a

additum ad a dat 2 a:

axa dat, aa

9do.

a

additum

ad' o da£ -s

&X0O dat O

stio.

[/4

additum

ad —-a dat O:

aX —a dat — aa

additum

ad —a dat —2a:

ACO. —

— 0X -a dat-ä—-aa

5to.

[(4

additum

ad Y dat a-I:

axXI data

icande

nerica

6t0. 2a

additum ,

ad —3b dat2a— 35: 2axX — 3b dat — 6 ab.

hoc

Addere fcilicet eft quantitates cuimn anïs propriis conju

iiv

noe

re ,

&

hendo,

"

uanes

quantitatem complexam facere,

Multiplicare vero eft ex q

oeum.

titate fimplici compofitam fa

cer

ML-EN

e, quod fit fine fignis interme-

diis conjunsendo literas,

Subftituto literis valore numerico ve-

ritas patebit.

Sit acc4 erit 2a feu 4-- 4 feu 2X 4—58:

aXafeu 4X 4216: a-d4-0—4: aX 0O feu 4X O — O &c,

PROBLEMA V.

ere

iv5

29. Quandtates algebraicas divid

RESOLUT'EO.

Reg. Pro fizir. Signa eadem dant quotum pofiti-

vum feu --: diverfa negativum feu ——.

Reg. Pro cae/jïcientibuf,

Coefficientes juxta leges

j

ii

á

Arithmetice dividuntur.

Reg. Pro literis.

Sub quantitate dividendi duci-

tur linea, & fübfcribitur divifor: fi qua litere in utra-

o

F

3

que

"

96

CAP. IL.. DE OPERATIONIBUS

que quantitate ezdem occurruht, zqualis eorum nurme»

rus in utrgque deleri poteft.

&

Exempl,

&:a dat

—

dat

;1*: coeþfäciens X -divïi'us per x

)

aa

e &

^"

4uotum Y, a &a deletur: —— ergo quotu$ eft unitas r.

dat

[

H

T

ab

ab

—

:

quotum ï-ï- feu

—.

ab d

&

äd

a&

u

vifum pera dat pus feu

l6 Q:LQFJC

15 saábe

aac

16aaabc: 8 abbec da

:

—

— à-—.

ï

gb&ec

bc

8 -;I&I)(iïl C.

[2a5

724b:— 9 ab dat —

— — £m -—£É.

$ ab

Jn quantitate complexa procedi poteft ut in numeris: fubfcripte

divifore quantitati dividend*, quzritur quotus per przcedentes

regulas, atqué ad locum quotorum fcribitur, per quem idivifor

multiplicatus dat fa&um fubtrabendum , in quo méótantur f

€

g

»

fra,

& redu&io cum dividendo inftituitur, ut in exemplo fequente

aa-i- 2 ab -lb (aQ-b

quotus

ex àa:ad eft

P

i d

multipli-

& -- b

cato quotoa per diviforem a--5

dà - ab

haàbetur fa&um aa-Lab ,

quad

—

infra diviforem fcribitur, & pro

fubtra

&ione

N

figna mutantur :

re-

—

ab ,..gc.q bb

u

-2aa &

— BRT

a

O:

a-- b

(:[C..

:'u]

&

AX —— bi:' H.d a'-z' $

quod. refi-

ab -- Lb

d

u

uum

deotfum ponitur,

&

E

-

-

1

C 3

s quantitas bb adjungitur

H

o

[o]

i'i:'»'*fcripm divifore a --5 , qu

&

l

u-

)

tus ex ab

D

eft 5, qui ad ló-

on

eum quoti

Uiiill

H

ur, multiplicatur per

o

^

divifor a-1-b , factun

£

dU -*;- E?!)

fubtrahitur mutando

1

iena:

reduct

one fada, -- ab &

AAE

1

— ab Mem bb & ——lb fe deftrunnt, n

i

remanet, & ope-

u.l

ratio dbfo'hta eít.

Hac

methoda exemn

L

ft«

I1C14

us pofita foluta.

» C2l "1

DE-

1

p

ii

4

ALGEBRAÍCIS

"

Ine

DEMONSTRATIO.

Cum divifio refolvat, quod multiplicatio compo-

nit, ex divifione fa&ores prodire debent, qui fa&ura

ü

per multiplicationem componebant.

Hinc quia — per

dai

— multiplicatum femper dat -i-, evidens eft, nullum

fa&um poffe habere fignum — , nifi fa&ores habeant

l

figpna contraria; ergo —-a4b (factum ex 44 in —

velex —a in 4-^) divifum per -t- a dat fa&orem al-

terum —2b, & divifum per —^2 debet dare fa&orem

alterum "- b,

Verum --4) (fa&um ex --4 in -b

vel — a in — ) divifum per --a dat fa&orem alte-

rum --5, & divifüm per — fa&orem alterum —- ?.

10tg

Eadem ratio pro coefficientibus & literis eft, qusrun-

n

e

10f

tur fcilicet fa&ores, qui hoc multiplum feu dividen-

13,

dum componunt, quod diviíione obtinetur.

Ex.I. 48222 — 76 aab — 64 abb -- 165 bbb (123a4—4ab —2 1hb

divifor

li

42

48 a2a — 60 aab

multip!.

uÀ

--

Q

mutat. fign.

pro

^^ — i6abb-—-64aaàb reüd. ad prox. xquant.

ie

4a

divifor

— I6 aab --20abb

d-

——

f

W " B4 dnh ob ios bbb

44

——

5b

uU*

i

— $4abb -- 105 bbb

*

5

$4

.bx. H,

**

[4

h—

C

À

38 CAP.H. DE OPERARAT. ALGEBRAIC.

Ex.IL. 18 xxxx — 45 xxx -l- 82 xx — 67 X -- 40 (óxx — 7x-1-8

]ut

L2

3xx —4x--5

18 xxxx — 24 xxX -- 30 XX

at

À

-

ao

—

M. —?2Ixxx—i—52xx-67x

r

3xx — 4x 4- 5

— 21 xxx-I- 28 xx —55x

—

--

--

UO E-2A4xx-— 32x-- 49

VWent

ab (

Dxx— Axvepe s

24 xx — 32 X -- 40

T

——

4

—

ad -

. Y af

29

«d

ia

Xx. III. 16222a * 72 aabb *l- 81 bbbb (8 232 -1- 12 24b e— rS abb

24

.....3b

—27 bbh

—

16a2aa4-—— 242aab

[

4

——

24 aaab — 72 aabb

22

—

24aaab — 36 aabb

-

A o g6aabb-t- 81 bbbb

22

"'"'3b

"g aabb -- 54 abbb

3

4-

——

f .

— 54 abbb -4- $1 bbbb

—

2a

gb

!

— 54 abbb

ï 81 bbbb

4-

Tr

t

P t

Tat

SCHOLION.

lis

1'01

536. Dum quantitates heterogenee complexe dividende funt

id)

fer alias heterogeneas complexas, & eadem in qualibet quanti-

tate litera femel aut fepius occurrit, in qualibet zquali numero

deleri poteft.

$i coefficientes quoque communem diviforem

au

ad-

mittunt, ad minores terminos quali in qualibet divifione re-

ducun-

*

LUC

CAP.HI. DE FRAC'HON!E.ALGEBRA[C.' 89

IH

lucuntur5ita ex

— —

8 abe — 4 Bcd

ubique delendo Zc & coefü-

40 alc -l« 8-;1—0'55-

"

,

e

iente quolibet per 4 divifo fit:

a -—d

rP —— — — ——

2 ac — 3 -- Aaad

n4aac—- 6a--8 aaaä

—

"

10 8 7-2

10 a-— 6ab

3

SCHOLLIOSYN.

31. Divifio feu refolutio quantitatis in fuos factores f.ch

quentem in algebra ufum habet, hinc probe notanda eft.

Ita.

eb componitur ex & & D; bcc ex D &cc velex bc & c 5 4ax

-l22x ex 2xx-]-x & 25 velex 9x-I- 1 du&um in 2x : item

ad — d ex a — 1 & d, f enim &—1 ducatur in d, habetur

ed-—d

Ita dmn --dn— d habetur ex mzn-En-—t & d.

1ta de reliquis,

16b

d

0

»

Q A PAU.T.. Ht

De Frac&ionibus. Algebraicis.

PROBLEMA L

ractiones. algebraicas ad mifxeres tertninos

32E$

reducere

RESOLUTIO.

Fit, ut in divifione di&um eft ($..29.) Sitam in

numeratore quam in denominatore eadem litera occur-

rat, xquali numero deletur, & coefíficientes per regu-

las in arithmetica traditas reducuntur , atque ita fradtio

non mutato valore minoribus terminis exprimitur: ita

unt

2abcd

bc

—— rfeducitur ad —

ati"

4. d

E

:eflö

aC

r

DE-

F5

J R

ERCUAN

9 CAP.Itl. DEFRACTIONIB. ALGE U.Am

DEMONSTRATIO.

Si quantitas per sxqualem quantitatem multiplice-

H

tur & dividatur, valor ejus non mutatur, quia quot

bte$

13

inveff

partibus augetur totum , totjdem iterum immi

iá

uitur; fed

Àveri

litere ia numeratore funt multiplicatores, & in deno-

minatore divifores, ergo ablato squali multiplicatore

-—X-

& divifore, valore non mutato fractio minoribus termi:

ed

nis exgrimitur.

^h

PRO BLEMA I

&10

3

à

. Fractiones addere & fubtrahere.

E

RESOLUTIO.

ftis,

Reducantur. juxta regulas arithmetice ad commur

nem denominatorem, & dein numeratores addantur vel

Z

3odit

a

fubtrahantur.

405

d

t

]tàin exemplo — & — reducuntur ad

ad

bc

ad — bc

&d ri- bc

—MÀ

Á de

& —, adduntur

, fubtrahuntur

*

cd

C

C

[*

Bs

Dermonftratio eaden: eft cum ea, qua in arithme-

tica data eft

SC'HOLION.

$34. Cum operationes tantum per figna fiant (( $. 7.) fine

»edu&iose ad communem denominatorem przfgendo fignum -

b

SEMNUM

vel — additio & fubtraé&ie peragi poteft * ita ut addalagæzrf—&

d

b

— À

"

!cxi;ci poteft äf-i-æï—, ut fubtrahantur — —

d

huj

PROBLEMA

II.

(lg

f

9

s

. Fractiones mukäpiica*e & dividere.

d

&

od

$4

C

CAPF. IV,

DE POTENTIIS

91

RESOLUTIO,

]

plice

In multiplic

[3

tione numeratores inter fe &' denomina-

| quot

tores inter fe multiplicantur: quod idem in divifione

t fed

inverfo prius divifore fieri debet, utrumque hoc nil

deno-

dive

&il

rf

1ta

T

a repulis in arithmetica traditis habet.

atore

&

[

rero)

É

&

d

P

— X — hoc eft

»—«-;*X-*-,-f.iat-—j;

€

&

cá

:. vero divifum per -«— fit

[*

e

etmj

ed

eb

Demonítatio congruit cum ea in arithmetica tra-

&103.

SCHOLION.

56. Omnia illa, quae dé fra&ionibus in arithmetica dixi-

imus, applicari poffunt calculo literali.

Ita integrum reducitur

hfs

ad fractum,

fcribendo . unitatem pro. denominatore :

intecrum

t vel

additur fra&o , fi illud multiplicatur per denominatorem, & fa-

a(iuäwæb

' d

&o prior denominator fqbfcrïbitur: ut a« ï—hOC efï*""f —,&

fic de aliis, qux» ex aïithmeticaï jam nota funt.

B

lne

CAPUI

IV.

DE POQTENS!ILS

n

DEFïNITIpI.

'n

;

i quantitas aliqua feu numerus per fe ipfum

aT. S

multiplicetur, fa&um dicitur potentia fecunds

nti

hujus qua

íítl

tatis feu numeri, qui refpe&tu hujus poten-

ti2, ejus radix feu potentia prima appellatur.

Ita a4

eft potentia fecunda radicis &5 16 eít potentia fecun-

£

da radicis 4, quia 4 x 4 — 16.

Pot

i

ntia prima erge

eft ipfa quantitas quevis a vel b &c

$5CH9O-

92

CAPUTIWT

SCHOLI()N'L

A

J

.$8. Hmc potentia, que prima flatin ex multiplicatione

oritur, communi vocabulo quadratum dicitur, eo quod partes

i

talis radicis per fe ipfas multiplicate & in ordinem difpofite

t5 ter

s a

femper

figuram . quadratam conftituant, figuram fcilicet eque

longam ac latam.

jta IG in omni columna verticali & horizon-

habet:

lentig,

tali

quatuor

partes

36 in omni columna 6,

——

quia

——

144.

hanc t

6X62—365; 144 in omni columna I2, quia I2 ?(Iz

ter eti

(S Q H OL ION

H,

et Vi

59. Potentia fecunda feu quadratum rurfus per radicem

WU

multiplicatum dat potentiam tertiam, que cubus dicitur, eo quod.

ts

partes rite difpofite corpus feu prifma confüituant zque lon-

gum, latum, & profundum, quale corpus cubus vocatur.

lJtaecaXa

iïïdï(

dat aaa, tertiam potentiàm:

16X4 dat 64 cubum radicis 4:

Á

49X7 dat 343 cubum radicis 7.

v

j

SQHOLIO-'N

IH.

40, Potentià tertia rurfus per radicem multiplicata dat

potentiam quartam, hzc. per radicem multiplicata dat poten-

ad

per f

iiam quintam. & ita porro indefinite qusmlibet quantitas

[

omnem poffibilem potentiam per folam multiplicationem poten-

tentia

tiz prioris per radicem elevari poteft.

huic

COR OLrLISASRSIUM,

?O

í

Quan

Ar. Ex di&is patet, nullum quadratum poffe effe negati-

Votà

vum, feu enim radix fit - afeu — a femper fa&um erit -- aa.

tumi

Cubus vero poteft eíle negativus, fi radix eft negativa, quia

-FBeax-—a4 dat ——aaa,

Quarta potentia rurfus erit pofitiva,

quia — aae X — a — -j-aaaa & íc de reliquis.

DEFINITIO

H.

p

H

i

43. Sicut potentie iti etiam radices fuas proprias

denominationes habent, ita radix comparate ad qua-

TEII

(je

dratum dicitur radix quadrata: comparate ad cubum

hn

cubica: comparate ad quartam potentiam radix quarta,

Ut exhibeatur radix cujusvis potentiz

Ah

ér ita porro.

S

indi:

adhibetur fipgnum V, cui fuperfc;ibitz:r. numeru

Cans

"

DE P:OTEN'TIIS

9

r

cujus radix defignatur.

Ita V eft

catione

eans potentiam,

Darteg

fpofite

fignum radicis fecundz potentim feu quadrati: M radi-

EC

cis tertie potentie feu cubic»: :/ radicis quartze po-

jriLon-

quia

tentiz. C/ 4 eft radix quadrata quantitatis a.

Nota

4

hanc radicem quadratam feu fecunda potentie fimplici-

ter etiam fine numero fuperícripto exhiberi poffe fcili-

cet V/a.

Quotiescunque ergo occurrit hoc fignum fine

ditem.

numero, eít radix quadrata.

Dum adhibetur ad quan-

quid

; IOII'K

titatem complexam, hzec parenthefi includitur ,

uod

u Xd

indicat totius quantitatis radicem accipiendam effe: ita

TA

J(aa«g-b) vel j/a-i- 1.

$ CHOLIO !NYN.

r

ex

v

48. Cum potentie oriantur

multiplicatione quantitatis

ten-

ad

per feipfam, toties quantitas ponenda erit, quota potentia da-

tuf

ita potentia fecunda de a eftaa fcu a bis pofitum: po-

n

'(Tediofe

tentia feptima de a eft aa:aaaa feu a fepties potitum.

huic fcriptioni

OccUrritur per

numeros literis a parte dextra

'2nnexos, & nonnihil altius fcriptos, qui exhibent, quoties illa

qQuantitas per radicem multiplicata, feu ad quam potentiam cle-

,1"

yata fit, ita priorum a fepties pofitorum loco ponitur a? , qui

4d

numerus exponens potentie dicitur, unde fequitur.

ia

u

DEFINITILO 9HI

44 4Exponens eft numerus indicans, 'ad quam

i od

potentiam feu dignitatem quantitas fit elevata.

ri-

n potentis exponens igitur eft 1 quz non exprimie

u

tur fed intelligitur, omnis enim quintitas ut coefi-

1

cientem ita etiam exponentem habere debet: 4 eft

Á

prima potentia; 4* fecunda feu qvadratum: a? tertia

feu cubus &c.

ll

SCNmO-

*

:

AWU T 7IV

5CHOLION

Cum etiam dienitas indetermin:

1

p

tà eff& poffit ,

12?2:

a

quantitas indeterminata. eft, etiam exponens nonnunquam

em ab elevatam effe ad

exprimitur :

ita ab fignificat quantit

nO

otentiam. ".

"b eft quantitas a elevata ad potentjam n, du&a

!u

M.

]

í

C OE

LARIUM

1.

tent

46. Qvantitates, quzs habent diverfos exponente

nete

il

ata

Vivo

gene

fuïl ke

Cum enim exponen

ns

2

indicet,

qnotic:. Nca litera

ponatur, fi diverfi fint exponentes, numerus quoque literarum

liverfus eft. & hoc ipfo quantitas heterogenea.

Hinc due quan-

t1

ítes, quac

verfum habent exponentem

in unam quantitaten

pu

in Oï*ïp

CA

am feu unum terminum coalefcere non pouunt.

nc

pis,

e€x Qa? - 4a

quantitas incomplexa fieri nequit, fe! 2a? -l

rx

*

Aa? faciunt 6a?

$i isi

us

r QU.ZLHTWALCQ diveríórum exponentium

Ut

of

ddendi vel

ubtrahendi funt, ordir

ne

-

ne reduc&tione fcribi . de-

lo

C

bent

f

)

€

c

R OLLARIUM. i

.

£N

47. 1

n mu]tï

*z

licatione

opus eft expo-

quantitatum tantum

]

nentes aader

a? Xa* data? * * feu a* ;

a* b3 c?Xa* D* c*

Üe

data$ b

j5c

Fxr

nensenim uterque indicát, quoties litera ea

de

aem

tam in uno quam altero fafctore ponatur,

in fa&o autem hz lite-

Ín ;

r con .un

1, feu toties poni débent, quot in utroque fa&ore

tim

funt unitates, adeoque fumma unitatum ofendit fumniam litera-

aä

rum,

ergo addendo exponentes habetur exponens fa&i;

ita a$

q$3

* æ.'*' fita5 3 feu a?, quia a5

—

——À

aaaaaa & a? — aadaque mul-

XOBDI

;:.

iplicata dant aegaeaaadta feu a? : aXa eít a

feu a? ; g" xX

i

aï

t

a ^w

a" X g et am . *:;

a* *X a" ef a

W ha

few

at

d9* q w Dbyeft g" Bx

L

SCHOLION

5

8&, In divifione, qua contraria eft multiplicationi, expo-

m

u

entes fubtrahi debent;

cum enim zqi ualis niü imerus earunaGeim

idenm

iterarum tam in dividendo quam divifore deleri poffit

(

t2

ET X

[

eit, ac fi a fuperiore exponen

nitates fubtrahantur, quot

;.'Td.

29 : a? fit a?73 — a$5, eft

W

unitates

habet inferior exponens.

aaaaaagaa

N

*

"

enim

deletis fuperius & inferius tribus a feu aca ma-

aaa

*

——

ii

nent aacada Íei

4

"

a: a f

a 77^! feu a?

* quia coefficiens

A an

DE

POTENTIIS

95

n

Á

1

C

0

ntin

netur I, — deletur; ergÓ an:.afeu a? c— I5 q":

an

$; Wt

A 8

gnovee

a?

a)fta?-'5zgacci:

6*41. 5 —— öli—l

Tite.

iil

f

efe ad

PROBL MA 1

du&a

qu

itum ,

49. Qum Gitatem ad

Á

vel thm pos

tentiam

gQi

T.

At*

detem&nacïm

dætevnu iafam eve-

ra]

&tero

h

i?

i

st

eranum

RESOLUTIO.

quam

tem

Qusntitas data per fe ipfam femel, fi quadratum:

Win

bis, fi cubus petatur, &c. multiplicanda eft. Ing

enere ex-

"n

3.,!.,

ponens quantitatis date multiplicetut per exponentem

3

[!

n

0£

potentim, que petitur ; feu multiplicetur toties per fe

hoc eft per rad licem

quot unitates funt in exponente

potenti» quazrende dempta una.

Quadratum de 4 eft

a&X Aaíeu aa id eft 4*** —

Cubus dez2eftax aXa

expo

feu aa X a id eft a^*

—— aaa vel a?

Sit q

1*1((&2

Jj'à

r

4

Y

it a

"x

adenm.

elevanda ad potentiam s, ducatur m in & e

hite

feu 4"" potentia quafita: a elevatum ad nonam poten-

tiam eft a!^9 z5 4* vel a*,

Ài

N

if

aore

bis per fe mu

tiplicatum

literae

4? X a? z 4953 z a5 hoc item du&um in 2? feéu

444

a5*5 z5 4?. Sit «* elevandum ad fextam potentiam,

mul

o" X

fiL 4**5 — a'*; a& enim fexies per aa multiplicatum

(1 gt 23

fei

DEMONSTRATIO

Potentia fecunda ex definitione ( $. 37. ) eft fa&um

100*

0

ititatis per feipfam femel tertia bis, qugïfa ter &c.

cceptum

ergo fi numerus toties per fe multiplicetur ,

dent

quot in exponente potentie qQuszrende

int unitates

quat

5 eft

una minus$, obtinetur potentia quaienda.

—

Qa«

1£ns

H O.

"l

GCATUT

IV.

96

SCHOLIONN.

5O. Dum monotmia quantitas ad potentiam elevanda eft,

omnibus literis exponens illius potentie adícribi debet. In fra-

h

ins

&ionibus tam in numeratore quam denominatore id preítandum

eft.

Sic quinta potentia de a&c eft a5 b5 c* : potentia m quan-

am bn

8 a3 b3

titatis — €

*

cubus ex

,—;—

Quod ali-

d

cimm m "

5

f nsfug

quando folum indicare fuffücit hac ratione, ut quantitas paren-

$

thefi claudatur,

vel linea eidem fuperfcribatur & ad dextram

p

Óurfum exponens potentie ponatur , ita prima expreffio foret

—

Vis

(abc)5 vel abc5 : item potentia m de aa — bc fcribitur (aa — Bc)"

vel aaà — &c'*,

SUCHOLION

n

iiv

u

$1. Dum binomium ad quadratum elevandum eft: regule

ordinarie multiplicationis adhibentur; ita quadratum ex a -- h

fiil

u

*el — a — b eft aa -- 2 ab -4- bb: quadratum ex —— a -- L

u

eft aa — 2 ab -- D5,

unde deducitur fequens

u

h6

THEOREMA I

A

/:

Vs

&

l

to

52. Quadratum binomii conftat ex qu

i

^"

di,

& ex

termini primi, ex quàdrato termini fecun

duplo facto terminorum inter fe.

DEMONSTRATIO.

fur

Qu

Multiplicatione enim fa&a habetur «« & )b qua-

dratum utriusque termini, & przeterea, 2a», quod eft

fa&um duplum,unius termini in alterum. . Quod fa&um

fi fuerit pofitivum , termini habent zqualia figna, fi ne-

gativum figna contraria.

DEFINITIO IV.

$3. Quadratum completur dicitur, dum pradi&e

tres quantitates adfunt; fi una ex ijs, v. g. quadratum

termini fecundi defit, quadratum dicitur zecompletum.

$CH O-

u

--

DI

A

—

POTEN-.TIIS

97

SCHOLION,

2 eft,

54* Dum binomium ad cubum elevatur, quadratum aa -

1 fr2-

2ah -p. bb rurfus per radicem « - D multiplicandum eft, &

andum

obtinetur a? -J- 3a^b -- 3ah* -- 53 : hinc deducitur

qua-

d ali

THEOREMA II

ITf«

55. Cubus binomii conftat ex cubo fermini

MUA

foret

primi & fecundi, & ex fa&is tripli quadrati cujus-

vis termini in alterum terminum.

5&.) 7

DEMONSTRATIO.

Habetur enim ex multiplicatione. 4* & 5* cubi

terminorum a & ; haàbetur preterea a^ x ) & P* x a,

e

*

x

utrumque multiplicatum per

29.3

ergo habetur triplum

J

quadratum primi ductum in terminum alterum, & tri-

1

plun quadratum fecundi du&um in terminum primum

Q. E. D.

SCHOLION I

[

rdi]

56. Hac methodo pro aliis quibusvis potentiis formula

ceonftrui, & theoremata inde erui polfunt.

&

SCHOLION

AT.

57. Qus hac&enus di&a funt, etiam in numeris exhiberi pof-

funt. Refolvatur I2 in duos numeros IO & 2, & fiat more algebraico

quadratum, habebitur IO -f- 2

1o -2

m n r m L m T

at

ioo -- 20

(l

4 2094 4

.

IOO -- 40 d- 4

id eft quadratum de I1O — : 100, duplum fa&um ex IOin 2 40,

o —

& quadratum d

e 94

feu 100

[

40

4

»

f

144

iU

totum quadratum fimul, 144 quod etiam obtinetur fi I2 dueatur

in 12,

2h

1

AMVfet

4* .

G

SCHO-

M'atlz, P.»»L

[

ais

)

CATPUT V.

98

Ht.

SCHOLION

$8, Dum numeri ,ürrïipïices ab 1 usque ad 9 elevantur ad

quadratum , hoc duas tantum notas habere poteft, & patet ex

—

W

fnultiplicatione horum numerorum per feipfos; a 1O usque ad

IOO quadrata habent tres aut quatuor notas; a ICO ad IOOQO

habent quinque aut fex notas & fic de reliquis.

In cubo dum

P

qvadratum de 9 ducitur in 9 tantum tres note fiunt, dum cubus

fitex IO jam cubus habet quatuor notas,

dum ex IOO. habet

Teet

feptem notas; dum eXx IOCO habet decem notas & fic indefinite,

que omnia ex multiplicatione feu elevatione. ad potentias pa-

tent.

Primarum notirum quadrata, & cubos fequens tabellà ex-

hibet.

Radix.

$519 7]89.] 9

Quadtat,

ï

6

:

5|36|49|64]| 81.

j

Cubus.

ï

2 ï*

27

E

2

4 |

I

2$j2l6!343 512|729

Dato itaque numero illico apparet, quot notarum radix effe

dcbeat.

Due notze quadratice unam habent radicalem: tres vel

quatuor quadratice duas radicales &c,

'Yres note cubice unam

fadicalem , quatuor quinque aut fex duas, feptem o&o aut no-

vem tres & fic deinceps.

4

DEFINITIO V

$9. Quadratum perfetlum eft, ex quo radix extrahi

poteft, zmperfe&ium quod non habet radicem veram. ita

16 efít quadratum perfe&um, radix vera eft 4: 12 eft

imperfe&um, quod babet radicem./urdam feu non voram.

Quadrata imperfe&ta vocantur etiam quantitates zrratzoua-

les.

»

PROBLEM.A IL

60. E data quantitate monomia radicem v. g.

quadraticam , cubicam &c. petitam extrahere.

R E

us

DE POTIEN'TiïSE

99

RESOLUTIO.

tf ad

niuwmerum

fet ey

VExponens quantitatis datz dividatur per

Ita fi fit ex 4* extra-

QU& ad

indicantem quota radix petatur.

| 100

exponens

0 du

henda radix fecunda feu quadratica, dividatur

cubus

4 per 9 & habetur r m m 4 Si fit ex a ex-

labet

ttahenda radix fecunda fiat 4

*

. Si fit ex a*

extrahen-

M.

145 phe

B

um

[ ex-

da radix quarte potentie fiat a

d

4,

Si ex eadem

"

i

—

x

a*,

quantitate fit extrahenda radix fecunda fiat a

9H

Si fit generaliter ex 4" extrahenda radix « fiat a*.

DEMONSTRATIO.

t effe

Ad potentiam elevatur quantitas multiplicando

: vel

um

quantitatem per exponentem potentie petit» ($. 49.)

lid

ergo ex potentia extrahitur radix dividendo exponen-

tem potentie date per numerum indicantem , quota ra-

dix petatur.

Divifio enim refolvit, quod multiplica-

tio componit; fed potentia fit per multiplicationem ,

nhi

ergo potentia refolvitur in radicem per divifionem.

]ü

SCHOLION,

.e

af

61. Quadrati numerici unius$ vel duarum notarum radix in

Jl

fuperiore tabella ( $. 58. ) invenitur.

PROBLEM A Il

62. Ex quantitate binomia radicem quacïæfam

extrahere,

C

-

RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO,

Cum omne quadratum binomium conflet quadrato

termini primi, duplo fa&o terminorum, & quadrato tet-

mini fecundi, habebitur radix binormia , fi quadrati pri

P

-

G 3

inà

|

æ-gy

ioo

ÜCAXTUT 1V.

äp&

io €

Q*

mi a? accipiatur radix, qu» erit prima pars radic

ne

|^r

tius, & factor fimul unus dupli facti, habetur igit

divifione per duplum hunc fa&orem alter fa&or, qui

nif

fimul erit a

AV

lte

«

ra pars radicis totius, utriusque radicis

Thc

quadratum

dá

tota quantitate , in quaà continetur cum

duplo facto radicum, fübtrahi debet. Ita ex.aa -- gab

;

-- bb extrahitur radix accipiendo radicem quadrati a2

(

fcilicet 4, qu: ad locum quoti penitur, ex hac forma-

tur quadtatum & a quantitate aa.fübtrahitur: 44 —- aa

:

t

4 -1- 24b -- bb Ca-*i*-&

—— o, reftat adhuc 24l -- bb,

X

Wieer- (] (

Inventi quoti a accipitur du-

l

plum feu 2a.& terminus 2ab

-.5:-:;.(2

[6/

b

per illud dividitur,

quod

24

dat quotum P alteram radi-

—— 9üb

l

d

cem, que duc&a in diviforem

N H- Db

dat fa&um $ a4t, quod fub-

-- bb

tradum a 24b relinquit ni-

hil.

'andem fiat ex P in-

ovb r Va s a at

t

vento quadratum & (fubtra-

hatur.

5CHOTLIO.N.

;

63. Siduplum fa&um. fuerit negativum, fienum eft, alter-

utram radicem habere fignum ——, ut patet ex multiplicatione

a—bper — Bb vel — a —p: B per — a -4- 5 femper factum

erit 4* — 2 ab — b*,

r

SCHOLION,

6.

A

Esdem r

ao

Coantu

4

-"":J u

$ appli

vudlitu

f extra&ioni radicum ex nu-

g

meris.

Cum enim per multiplicationem in easdem quantitates

Cceinponantur,4 eadem quoque methodo in radices refolvuntur.

x

PROBLEM A IV.

65. Extrahere ex numeris radicem quadratam.

R E-

"

a

DE POTENTIIS

AO

(v

RESOLUTIO.

Itüt

ne

I. Numerus datus dividatur in claffes a dextra fi-

qui

Vi

el

niftram verfus cuilibet clafli affignando duas notas ( pri-

2Ufll

ma claífis ad finifiram etiam unicam notam habere po-

T

teít) quot fuerint claffes , tot erunt notz radicales

ü

($. 58

I. Vide

atur in tabella fuperior'e,"an prima cl

a

51

l1

(

$

1.

£

(

7s

[

fit quadratum perfe&um, vel non.

Si eft , fubí

.

riba-

[j,

tur prims claffi, fi non eft, accipiatur quadratum pro-

il

xime minus & fcribatur, radix vero hujus quadrati ad

Ti

locum quoti ponatur.

IlI. Quadratum a prima claffe fubtrahatur, & ad

od

refiduum, fi quod fuerit, adjungatur claífis fequens,

d

l

IV. Quotus inventus duplicetur, & tànquam divi-

al

for ita prioribus notis fubfcribatur, ut fpatium infra ul-

timam ad dextram notam vacuum maneat.

1]

f:n

V. Quzre, quoties divifor in fuperioribus no

I2 Iv]

contineatur, & quotum ad priorem radicem in locum

quotorum , & fimul penes diviforem ad fpatium vacuum

)s

pone.

t

h

VI. Totum hunc numerum per radicem ultimo in-

ventam multiplica, fa&umque a fuperioribus notis fub-

trahe ut in fequenti exemplo.

[

Sit extrahenda radix ex $29.

Reg. I.

5,29 divifio in claffes ( 23 Radices

IH. 4

quadratum proxime minus, radix g.

III.129 refiduum cum claffe fequente

n ii ii s

IV.& V. 43 duplum quoti 2 — 4 divifor, quotus

3 pofitus infra novem feu g ad fpa-

tium vacuum,

VI. 199 multiplicatio per 5 & fubtra&io.

o

G

D E.

"

102

CAPUT .

o d

DEMONSTRATIO.

Veritas operationis ex applicatione formule alge-

áne t

braice patet.

Radix fecunda ideo in fpatio vacuo di-

jmer

vifori adjungitur, ut fimul fiat quadratum hujus radicis

üone

qons

numerum per fe ipfum multiplicando: debet enim tam

hoc quadratum quam duplum factum radicum ex tota

quantitate fubtrahi, quod utrumque hac ratione obtine-

tur.

SCHOLION.

66, Si poít fecundum clàffem tertia fequatut, radix«ergo

trium notarum fit; operatio a regula quarta inchoando continua-

tfur

Ad reüiduum prioris fubtra&ionisadjungitur claffis fequens ,

cuod totum jam erit novus numerus refolvendus.

TPriorum dua-

rum radicum accipitur duplum, quod refolvendo ita rurfus fub-

Quotus

fcribitur, ut fpatium fub ultima nota vacuum maneat.

ex hac nova divifione erutus, eft tertia radix, que ad locum

quoti & fimul ad fpatiun vacuum pofita, & cum divifore per quo-

dat factum fubtrahendum.

Si adhuc

tum novum multiplicáta ,

nova claffüs fuperfit, hec ad refiduum jdeorfum ponitur & triun

priorum radicum duplum accipitur, ut habeatur divifor, & ope-

tatio ut prius continuatur, donec omnes claífes refolutz fint.

$i

ttul

1

A

fen

inter operandum fubtrahendus major fiat, quam ut f

19

tracio fie-

rl pofüt, quotüs minor accipiendus et, ut in divifione Ordigna-

ria; quemadmodum in fequenti exemplo in utraque divifzo.n?

continzit,

Ex,. 6,15,04 (248 radices

quadratpm proxime minus, radix ejus 2

2

refiduum cum claffe fequente

dupla radix cum novo quoto 4

;g

fa&um fubtrahendum

904

reéfiduum cum nova claíffe

"

^

438

dupla radix 24 X 2 cum novo quoto

]

A

fa&um fubtrahendum

ia m ts p

C

CH O«

x

E!

DE POTENTIIS

103

SCHOLION

67. Etiam O ad locum i-adicum venire poteft, ut in divi-

lpe-

fione ordinaria ; dum fcilicet duplum fac&um priorum. radicum in

d

n»umero refolvendo non continetur, atque tune fne alia opera-

(icis

tione claffis feguens priori adjungitur; & operatio duplicando

n

mnovas radices continuatur utin fequenti exemplo

03

Ex. 16,45,92,49 (4057

[l*

16

x

quadratum fubtrahendum , tadix ejus 4

—— ——

AS

claffis fequens

8

dupla radix, quotus habetur O -

4592

adjun&a ad priorem nova claffis

6120

805

dupla radix 40 X 2 cum nova radiee $

1ua

us

AO

[231

7M

fa&um quoti in diviforem fubtrahendum

ens

refiduum cum nova claffe

dü-

56749

100

81

»,

dupla radix 405 X 2 cum nova radice 7

factum fubtrahendum

otus

56749

CUl

Juo-

n

SCHOLION.

I

aT

68. Examen extractionis rite factz eít, fi radix inventa du-

Yv

eatur in fe ipfam feu elevetur ad quadratum , & videatur, an nu-

M

pilo

qmerus datus quad-rat?cus proadeat, ut in fequenti exemplo

l!li

Ex. 9,57,90,25 (3095

Ex. 346921 (589

0ne

E

Examen

25

x

57

3095

969

3098

[5]

108

15475

864

5799

27855

106521

609

548t

92850

I169 .

30925

9579085

10521

ÁÁ

6185

—30()2 5,

E*

9

9 4

;SSCHO«

CAP

UT IV

104

,xO

$

o

j

Ex. 16,00,c0 (4c0

Ex. 36;09,50.64 (

&

qrmeccecicw

16

36

[*

eoQ

énomi

O09

oO

12

p9

üt $

—X

eoooQ

0960

& ad

oon

120

puten,

—

cans ab r t RR

o

9$6064

qua t

qu

12008

W

eum,

-

96064h

fer

nne!

:

o

190,

"

[v

&

CHOLIO SYN.

AW

69. Siin fine aliquod refiduum fuperfit, fignum ef, nu

metus

jis

merum datum nonh effe quadratum perfedum , veram igitur ra-

n

9t W

dicem haberi non poífe, fed furdam ($. 59.) quod exprimitur

üm i

ext

per figpum V/ profixum , -ut V/5: *ï/ 20: V. I28 &c. poterit ta-

ex 7

men per extracionem quam proxime vera radix inveniri conti-

uando radicem per fradiones decimales, hinc extiacio conti-

KY

nuari poteft adjun&a nova claffe duorum zerorum oo, que in-

o

4

ftar fra&ionum decimalium confiderantur,

G

radix inde eruta

erit decimalis: adjunéta ad refiduum nova zerorum duorum . claf-

3

fe eruitur fra&io' centefimalis & ita indefinite,

quousque libue-

4

rit,

ut in divifione. ordinaria zerus dividendo in infinitum ads

jungi poteft, & quotus continuari.

Ita extrahitur radix ex 129

& ex 540 ut in fequenti exemplo

Ex. 1,29 (1I1. 35. &c.

Ex. 5,4o (23. 23. &c.

P

um

140

43

2r

129

RRE

Ov

$oo

I

I

(2"5'"4

4&

69

2

4

——

—

k 4

100

Y 760n

2

Ó

4543

i

EN

:

$2

H

b

929

.UMBOLOPESISSISRE TBSRUNSA

—— ——ÀM1

——

2671

Y

SS

|

E

DE POT ENJIIS.

105

n

coe-

SCHOLIOYN.

« ui

a :*,-'f

aticis, tàm ex num

erat

viat

ore .quam

"oc. EX fra&ionibus qu

P

denominatore eft extrahenda radix. Ita 4*- dat radicem —ä, if

dat $. In decimalibus operatio proceditutin integris; at hic be-

ne advertendum eft, numerum terminorum femper debere eífle

parem , adeoque fi fuerit impar, in fine adjungendus eft zerus,

qua tatione fine mutatione valoris ($. I 1O.) par fit.

Ratio ef,

"^onr

quia fra&io decimalis fem

B^

fupponit denominatorem decadi-

cum, & quidem in hoc cafu quadraticum , ubi numerüs zerorum

femper par effe debet, wt patet ex quadratis numerorum IO ,

I900, IOOO &c.que funt I00 , I000O0, IOO0c00, fed tot funt

in numeratore note, quot in denominatore zeri, ergo etiam mnue

p

h

fiü-

m

er

notarum debet effe par.

Si. autem

Ait

numerus mixtus,

.....

ubi

;

Sp

i

te

E

g

ri cum decimalibus dantur, divisio in claffes fit fepara-

i

rimitt

im in integris, & in fra&is, & dein per regulas fuperiores fit

xtract

i

: utrumque declaratur exemplis.

Sit extrahenda radix

'tit t

x 7

4

Es

e

!

-

6,ex O. 56644, ex 2487. A4T.

M

conä)k

P

3

contl»

[

x

/

424:57:60(2.69 1Ex, .56,64,40 (.7 52 Ex.

H

*

64

-';4.87. 4410 (86.

4v

? if

49

——

x seetpsn

—— u

eruta

76

4

1087

C,

39

4

166

|bue»

9

Eä

195

996

p ade

—

, 129

4

ar

4

14

äï

u

3

p

:

5

:

8

6

:

5

AT

——

3004

—

9660

9

OT

5381

5238f

iä

f

(;)

ää

rupustnceni o ii

4279

PROBLEMA

V.

71. Extrahere radicem binomiam ex €Hþö»

RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO.

Cum omnis cubus conílet cubo termini primi, tri-

plo quadrato cujusvis termini du&o in alterum termi-

nuin

G $

—

106

CAPUT IV.

num & Cubo termini fecundi, ut patet ex formula: a*

eubu.;

"F 3 4b -5 ab -- D habebitur radix, fi inde « &

b eruatur, & ex iis quatuor bhe quantitates formentur

tur a

& fübtrahantur, quia in id refolvitur, ex quo compo-

jlius

nitur.

Si igitur quantifatis primz a* accipiatur radix cu-

ad r

bica, habebitur « prima pars radicis: ex fecunda quan-

titate 34^b eruitur », fi dividatur per 34* feu triplum

ï.'pht

quadratum prime radicis.

Cognito jam P fiant hz tres

tuq

quantitates 34'?, 34b, & b? & fubtrahantur ,fucceffive

um

a tota quantitate data, & omnes termini evaqefcent.

2* - 32* b2 3 a^ -B* (a -

?

te

-—— — (

cubus'fubtrahendus & ejus radix

—— ——

a ad quotum ponenda

qu

24^b— — — —— fecunda quantitas

34^ — — — — triplum quadratum primz radicis

divi

— 3a^.b— — — — multiplicatum per radicem novam

& fübtractum.

*

efi

o

?aöz

tertia quantitas: triplum quadra-

— 23 ab*

tum fecunde radicis

du&um. in

——

primam & fubtra&um,

&i

[9

B3

—

it

b3 Cubus fubtra&us

[

t

PROBLEMA VI.

]i

Cup

72. Extrahere ex numeris raaiïicem cubicam.,

t

?

RESOLUTI1O,.

I. Numerus datus dividatur in claffes a dextra fi-

niftram verfüs, cuilibet claffi affigpando tres notas, ( pri-

ma ad finiftram unam aut duas etiam h3bere poteft.) Scie-

tur inde numetus radi?um ($. 59-)

T.

'DE POTENTIIS.

107

la: o

TL Videsturin tabella C$. 58.) an. prima clafüis fit

ET

cubus vel non.

Si eft, fubfícribatur. Si non, accipia-

jentur

tur cubus proxime minor, & fubícribatur primw claífi,

Qpg»

illius radix ad locum quotorum ponitur.

III. Cubus fubfcriptus a prima claffe 'fubtrahitur,

X Cl

ad refiduum additur claffis fequens,

quan-

IV. Ex quoto invento (4) fiat quadratum, hoc mul-

iplum

tiplicetur per 3 ( — 34 ) & fubícribatur refolvendo

? ttei

tanquam divifor, ita, ut fub.duabus ultimis notis fpa-

celive

tium vacuum maneat.

ent,

V. Quezratur, quotþlies divifor in dividendo conti-

neatur, & quotus erit radix altera , que ad locum

. tadix

quoti ponitur.

VI. Per hanc radicem inventam (7) muitiplicetur

tadicif

n0van

divifor & fa&um (34) a refolvendo fubtrahatur, ad

refiduum accipiatur penultima nota fuperius yreli&a.

jdtt-

m ia

VII. Ex radice hac altera (P) fiat quadratum (À

& ducatur in 3 & in radicem primam, ut habeatur fa-

€&um (545*), quod rurfüs fubtrahitur: ad refiduum pona-

tur nota ultima fuperius reli&a.

VIII. Ex eadem radice (P) fiat cubus (7*) & fub-

trahatur.

Si nullum fuerit refiduum numerus datus eft

cubus perfe&us, & radix extra&a.

In exemplo fit ex-

fih

trahenda ràdix ex 1382 4.

A

(pri

de

L

[

-

108

CAPUT. IV.

I.

I3,824 diviio in claffes (24 radices

1.

8

cubus proxime minor fubtrahendus

Ex. 17

III.

c

)

refiduum cum claffe fequente

(z 19

s

o

f^

IV. 3a*

triplum quadratum termini primi

-

X2-—4xXx3

99

VI. 2a"5 48

X in terminum alterum — I2 X 4 z 48

I5 —

I

ipü3-

V[«

102

refiduum cum nota reiica prima

—

—

4

8 X 9 radicem

VIL.3ab* 96

radix altera 4X 4 — 16 X 3«

— d.

?^

Ià

— —

( primam z 96

D

n

IÓ

64

refiduum cum ultima not& relicta

vun 2

039

gqemm st

64

cubus radicis alterius 4 —— 64

Ó

h]O

—

o

4^

DEBIONSTRATIO.

3

ï

::

1

E

j

I

Veritas hujus operationis applicationi formule alge-

braicze innititur.

Partes ille fucceffive invento 5 fub-

FU

;

trahuntur, ex quibus quantitas cubica coaluit.

"E

SCHOLIYIOI!?Z.

73. Dum plures quam dus claífes habentur, radix ergo

; 5 .inze

onti-

Vaile

plurium notarum eft, a regula quarra incipiendo operatio c

[Ca

nuatur, hoc iterum notato, quod priores radic

es1

veo 4

nvente jam

0

m

valeant a, ex quibus

triplum quádratum pro divifio:

c

fieri

Mul

MW

debet, ut B inveniatur, cujus dein quadratum triplum per to-

tum g feu omnes priores radices multiplieatur & fubtrshitur, &

Ex,

28

fic €emnes rádices cujuscunque numeri inveniuntur.

"T

AX

DE

POTENTIIS.

109

I

«

Ex. I18,399,744 (26

zi

a?/.8 —— —— cubus proxime

: minor

m 9À—

c4X]

10399 —

—

refiduum cum claffe fequente

d

"

302 12—-——

2X2-—24X 3 — 12, divifor. Quotus 6 zb

34* b 72 — —

À

— I2X6fífeu 3a? X 5

fádicem

—- refiduum cum nota reli&a

96

3»35?216 d

qrocet

6 X6——36X 3—108 X222216 zz5* X3Xa

1039 —

— refiduum cum nota ultifna

—

ó* 216. —

——

Ccubus radicis G

L

AR

1

823744(26 4 re&duum. cum claffe fequente

302 2028 — — 96 x26 — 676X3 —5 2028 divifor. Quo:

34?*b 8112 — — 2028 X 4 — 2a^ X b

(tus A —

ls ilee-

um

1254 — refiduum cum not4 relica

TAU

3«5* 1248 — 4X4-2216X3-— 58X25 z 1248 —

64 — refiduum cüm nota ultima

(5* X3 Xa

b3

64 —- cubus radicis 4. Et totà radix 264,

Si inter operandum quepiam quantitas fubtrahi non poffit,

x n

radix juífto major accepta eft, minor ergo poni debet.

Abíolu-

9 tont-

ta operátione examen fit multiplicando radicem per fe, ut ha-

m

beatur qnadratum, hoc rurfus per radicem, & facum, debet eife

» Tefi

*quale cubo dato,

yer t0

Exz';me fls

tU

[4,

Ex. 28,934,443 (307 Ex. 428,976 (76-

76

ao

27

2343

o

76

,1934

xkr)«ïö

2-«

D s

E

450

*».

?

*

4

;

222

i9;

;'4-'.

:

L

ä

9

oo

5776

(2

18

ä:

oO

"0

76

Losssncc . J

44

2

i

246

40422

AAIO

216

—— Á

4

o

438975

[»]

SCHO-

i

v

2

1IO

CAPUT

IV.

Ixtt!

SCHOLION,

74. Si quodpiam tefiduum fit abfoluta operatione, cubus

$&on erit perfe&us, & radix furda, quse rurfus per fractiones

decimales quam proxime vera extrahi poterit continuando extra-

&ionem, adjüngendo ad refiduum novam claffem feu tzes zeros ut

di&um eít ( $. 9.).

Ita extrahitur radix cubica ex $4,

1-:- la CA5 '*'ULJ.J

Ex, 84 (3. 77

Examen 277

27

rl

d

27000

2639

07

2639

.E.Pg

Í131

142129 Quadratum

44Y

E——^M—-—S

377

690

994903

3

Á

ï

004903

426387

«Onfidera

3247000

EEE TM

tes crefo

4107

53582632 cubus

quam le:

28749

417367 relíiduum

—

catione 1

47210

544000000

COe(ficent

5439 ,

tentie qu

d

417710

b

343

H

417267 reífiduum

l'lk

N

SCHOLIOYN.

J

75. In decimalibus proceditur ut in integris, hoc iterum

Potenti:

M0tato, numerum notarum debere effe vel tria, vel fex, vel

tàtis ) ;

awovem uti iterum patet ex multiplicatione quadratorum decima-

Wnentt

lium per radices: ita quadratum 1OO X per radicem IO dat cu-

fatum e

bum IOCOO tres zetos: quadratum IOOOO X per radicem 1OO dat

cubum IOOOOOO fex zeros ?

quadratum IOOQOCO X per radicem

Vizrlim l

fOCO dat cuabum IOOOO00000 novem zeros. Zeri igitur decimali-

Wimys

bus datis in fine addendi funt, utnotarum numerus fit vel trium,

Qntita

*

velíex vel novem &c. In numero mixto divifio in claffes fepara-

et &5bf

tàm fit in integris & in decimalibus notato priore monito.

Tütes

?5&

"n

I

'

Extrz-

ed,

1l1EI

DE POTENTIIS.

Extrahatur radix ex O, 3758 & ex I146. 37

Mé, cubut

375,8o0 (. 72

146., 370 (5.2

t ftactiones

343

125

i

r

Q extta»

Hl

32800

1370

'e$ 16108

L

t

147

29

M.

294

150

340

637

-

84

60

2560

5770

pE

2552 &c

762 &c,

a dratit

SCHOLION.

76. Dum formulam potentiarum radicis binomiz attentius

eonfideramus, & in legem, qua tam coefficientes quam exponen-

tes crefcunt & decrefcunt, invefligamus, videmus

$*

gor

i

ncralem ali-

quam legem inde formari poffe, juxta quam íine nova multipli-

fidumm

catione potentiarum precedentium per radices termini cum fuis

coefücentibus & exponentibus fcribi poffunt.

Ita habentur po-

tentie quantitatis a -- b,

I a --b

M.

a* -- 23b -- b*

H a?-[ 3a?b -- 3 ab? -- b?

IV. a* -- 4à?b -- Ga^ b? -- 42b* -- b* &c,

Numerus terminorum femper unitate major. eft exponente

potentisz,

Exponentes quantitatis a ordine decrefcunt, quanti-

toc 1éerum.

tatis b yero crefcunt.

1

1à.i

1

ls

Secundi termini coefüciens eft equ

9l fes, al

ponenti primi termini: reliquorum terminorum cocfficientes

unt

Jun droma-

fa&um ex exponente prioris terminl in fuum coefücientem,

i

——

j [p dit ei

m 100 dat

vifum per numerum terminorum precedentium. [tain a - *

et

radicem

primus terminus eíft a*, fecundi erzo coefficiens eft 4, exponens

"

-

; decimali*

quantitatis a eft 2 quantitatis D unitas. Coeíficiens terti

termint

ve] trit

eft exponens fecundi 2 X in coefficientem 4: fa&o I9 divifo per

fles fepi

numerum precedentium terminorum

^

3

hoc eft G6* exponensa eít

nito:

2: b etiam 2.

Quarti £ermini coeffüciens eít 6 X 2 coefficiens

pr'orin exponentem : fa&o I2 divifo per

E

numerum terminorunm

Prscedentium 3 hoc eft 4. exponentem a habet unitatem , 5 ve-

YQ

UL

"

T

ï**'

gc; äP "E'J j

iV

e

füeiens eft 4 X 1 z 4 divifo per na-

go 2 Quinti teriminti coe

t

^

merum .terminorum priecedentium 4 hoc eft 4

——

,

à haberet

[

exponentem C aieoquæ a9 —— I, uBb u*rumque non exprimitur

& van

ereo folus terminus b^manet.

Sit o&ava potentia de a -- D 1

aæ

patebit

eienda feu a »4- 5$,

Scribe ab initio quan

itatém. a cum expo

"

;

z

nentibu

I€

V.

decrefcentibus: a$ a* &6 a? a4 a

a

a ad-un"»f*

einm

elle aq

formula

I

a

fecundo termino: inciplendo quantitatem 5 cum es po en

DH*»

crefcentibus usque

d nonum terminu:

. cum 8;potent!

pe f

nent

tate , !

&9 a'b a5D?

5p3

455 a3b5 a?^59 ab" Db?

Coefficiens fecunde quantitatis eft. 8 vqualis exponenti pr

»l« 3av

ï.

radici

Coefficiens tertie coeffüciens prior 8 X 7 exponente

ï;

tate &

umerum términorum precedentium"2 — 28 Lo :ffi-

divifum per

ciens quarte ——c

8x 6 —

8: 3 nume

um terminorum pra

cedentium — 56

Qu nte

—

'56)(*?"*28

1 m

z 2D.

Sg C as

P m

lá

-

X

Septime 56 X 3 z rT08:

o

——

te 70 X.4 —2 280: ä g 56.

98. O&ave 28 X2-—56:

7 -8. None 8 X I —

8:8—

ergo tota formula potentis o&dave fine alia mult iplicatione inte-

sra habebitur.

a9 g

47 b -- 98a6 b* -- 5

56 a5 b3 -- 75 a* D5 -4- 56 a? b5

du 298 .a*

bS -- 8 ab? -- D5.

?

ubi exponentes duatüm quantitatum a & D vquales fun

nc

guod

femper eft in termino medio, fi nunterus renn'mrnm eft impar,

"1

coefficiens eft maximus atque inde eadem ratione'coefficiente

5

Cw

7

t

crefcunt ,

qua prius creverunt.

Dum

nume

rus

terminorum

tum Qj

par, duo medii equalem. coefficientem maximum ha bent,, & in-

Pa Y

de ad finem pari proportione decrefcunt , neceffarium igitur tau-

-—,u

tum eft, usque ad maximum. coefficientem operationem inftitue-

r

lofis:

rze, & eosdem coefficientes , qui prius

Lona

ant.,

fed ordine inver-

fo terminis ultimis prefigere,

]ta in priore exemplo primi tres

Totat

funt 8, 28. 56, dein maximus 70, ultimi tres. 56. 28. 8

& ii

CHOLIO.:.N.

IH.

f

77. Sijam potentià acciplatur generahter & indetermina-

& erit primus ferininus

L—

p»ü.

e, dicetur m exponens potentiz

fecundus a'! — 1 B tertius mX m — I a — ? b? quartusm X m — 1X

8

R ———

]

?

Aül t .

n s B qum*ucm)(m-—-i*(n-—»-o)/mw

æqu 1

b* &c.

Evanefcet autem terminus « & cefa!

pro

greit

2

fi

1d-

nn

hu

antitati "z

t

I2

c enim

merus fubtrahendus ab z» fuerit æxiuahs

*

Rnb

erit a"

i WEvertom « o

I que un

itas eft co eüiccn& itimi termi-

ni P

C

Q«

M

TAR

D

I

POTENT*IIS..

115

SCHOLION HL

) pet h-

! haberet

78. Heexpreffiones generales plurimum ferviunt ad invenien-

rimitur,

da varia theoremata & proprietates quod mag'!s in fequenti capite

2 D f

patebit,

Ita ex generali expreffone quadrati binomii aa-]- 2ab

-- b2, fi b fit — Y deducitur: quadratum radicis unitate auce,

1

effe »quale quadrato radicis prioris, -]- dupla radice -F- I. quia

)AEIMZE»HS

formula prior àbit in hanc ag -F- 9a -]- E.

Hinc quadratum de

123erit — quadrato de 12 — 144 -I- duplo de 12 — 24 -i-uni-

petatur,

tate , hoc eft — 1I169.

Ex generali expreffione cubi a? -- 32* b

-- 3ab* --b? & bz:1 erit cubus radicis unitate auct» —— cubo

eht pre

n z 56.

radicis prioris -j» triplo quadrato prioris -- triplo radicis 4 uni-

tate &c. & üic de reliquis.

,. Coeff-

um pr?-

-Q "aX

(9: 0—

"t

CX TDTMY

one 1

te

5049/3

DE ZEQUATIONIBUS.

*

i, qui

DEFINITIO I.

t impt:

enes d

79. /Equatio eft ratio zequalitatis duarum quantita-

tum quoad valorem * exprimitur per fignum zqualitatis

&i

z,ut dum defignare volumus quantitatem a ejusdem va-

i'"

ab

A 1

de-

loris eífe ac quantitatem P fcribimus « z/; x z

c

jne 1ver

notat, quantitatem x tantum valere, ac 4 du&um in P,

yimi t

& divifum per c.

Ita 2. floreni — 40 groifis: 6 grof-

fi zz 19 cruciferis.

COROLLARIU !M.

jef

e!mf'jf*'

d

80. Sequitur inde duplicem partem feu membrum in omni

—5b

equatione fpe&andum eífe, unum ante fignum , alterum poft fi-

[

gnum zqualitatis, illud dicitur membrum feu pars prima, hoc

1

fin

membrum feu pars fecunda equationis.

ync

enil!

yi n

H

SCHO-

AMeitab, Matlrl R

( 10

E

M

-

bis

m

114

COAJTEUT.V.

SCHOLION 1.

Wt

Jil

81. Bene hic advertendum eft, ne voces idem , equale, &

il

51

&

o

Jimile femper confundantur. Jdem . ftri&o fenfu

jin abftrado pro

Cf

uno fumitur, quod omnem diflin&ionem & diverfitatem feu plu-

ralitatem excludit, .ut idem ,. qui eft Petrus, non poteft effe

Paulus, & tunc idem, pro identico fumitur. . «Equale:. dicimus ,

quod.à

b

n

omnibus fuis propriletatibus & determinationibus cum

1

altero convenit, adeoque in locum alterius fine mutatione fub-

quanti

ftitui poteft ;

ut triangulum .4 eft xquale triangulo B, fi omnia

que n

tria latera cum omnibus tribus angulis unius, & in longitudine

Hs cc

& maghitudine conveniant lateribus & angulis alterius, atque

tunc unum

alteri

fubftituil

poteíft &

idem feu

unuin

rÉ$

tens e

duo autem numero dicuntur.

Similia funt, qux in quibusdam

f

tantum proprietatibus & determinationibus conveniunt; ut trian-

quot

gulum .4 eft fimile triangulo B, fi anguliuniustam magni fuerint

ac alterius, latera vero diverfa. , In communi fermone idem &

alfeq

zquale non diftinguuntur.

Ín mquationibu$, cum de valore tam-

fuut

tum fermo fit, duze quantitates dicuntur equales, dum eundem

jm

id eft equalem valorem habent.

confic

debet

SCHOLION

1l.

::IS

D

929. Objecum equationum eít, valorem unius aut plurium

quantitatum incognitarum invenire, quze inventio impoffibilis eft,

Itiner)

fi folx incognite fine cognitis dantur, ut x — y: fed femper admixtee

Soiutg

effe debent quantitates cognite, ad quas cognitz relationem habent ;

ut 5x — I8: hoc eft quantitas incognita i per 3 multiplicetur ,

teris -

habet rationem squalitatis ad I8: -3*. —— 6 fignificat, quanti-

Tüm (

tatem incognitam x fi multiplicetur per 2 , & fa&um per 5 di-

vidatur, habere rationem zqualitatis ad. 6.

inde fluunt fequen-

tes. definitiones.

DEFINITIO I1I.

Qeter

Il

$3. Problema zquationis eft quxtio valoris inve-

Pnorn

niendi cujusdam quantitatis, qux ad valores cognitos

lo

Re:«

alterius quantitatis relationem :equalitatis habet.

Qu ,

folutió illius eft ipfa expreffio quantitatis incognite in

una &

valore cognito ; ut Problema eít: Invenire numerum,

Qu

qui fi addatur ad 56, faciat fummam zqualem triplo

l

c

de

Íe

«

P

nuineri guæüti. Refolutio illius eft x — 28. hoc efít

&l

nuü-

——

—«X

9.

DE ZQUATIONIBU

115

numerüs petituseft 28, qui additus ad $6, facit triplum

^

ipfius numeri 28, feu 28 -- 56 2 28 X 3 utrumque

pro

ettz- 94.

pu-

. elfa

DEFINITIO III.

Is ,

Cunm

84. Conditiones problematis dicuntur relatic;nes

fu)

quantitatum

incognitarum ad quantitates cognitas ;

nnia

ye

qua neceífario ad folutionem problematis requiruntur.

itque

Hz conditiones aut numeris, aut primis alphabethi li-

f

teris exprimuntur.

In exemplo: Petrus quofidie con-

d.

tjane

ficit 1O milliaria, & jam itineratur per $ dies: Paulus

quotidie conficit iter

As

milliarium ,

quando illum

erint

m &

alfequetur.

Quaritur tempus concurfus x, conditiones

»taf-

funt dies & milliaria Petri cum milliaribus Pauli.

Iter

ndem

jam confe&tum a Petro eff 10 xX 5 — 50 milliaria,

conficiendum adhuc ro X x: quod utrumque fimul effe

debet —c itineri Pauli 15 X x hoc eft 50 -t- 1io x

um a

p

I5 x.

Poffunt etiam milliria P.tri vocari

4 dies

rj

itineris c milliaria Pauli ? & erit equatio ac -- ax z bx.

Seüx

r

Soiuto in numeris problemate habetur z

i1O: in li-

ixte

ac

59

yen ,

teris

d

Mertm,

XÍeu —— z IO.

Idem valor die-

—2

&tl

15—1io

jnt-

rum concurfus,

| di-

:üeïï'

DEFINITIö IV.

£5. Problema determiuatum eft , dum una tantum &

determinata quzílionis prepofite folutio datur uti in

Ve

priore cafu numerus petitus folus & determinatus eft

iO.

itoS

Talia problemata funt, dum tot funt zquationes,

Dum una eít incognita;

Re«

quot quantitates incognitz.

una equatio adíit, dum dux incognite , dus quoque

o ]j

equationes, dum tres, tres szquationes adeffe debent.

Uft,

ludeterminatum ett, dum quxítio propofita plures folutio-

1910

nes admittit, & pluribus humeris esdem fatisfit, ut fi

h

H 2

It

:.e(ï

qua-

2

116

"UC ONTTUU- T 7 V.

p

querantur düo numeri, quorum fumma fit $, hi duo

p

numeri erunt vel 7 & 1 vel 6 & 2 vel 5 & 3 vel 4

pE

& 4. Contingit hoc femper quoties pauciores zquatio-

Qu

nes dantur, quam quantitates incognitae:

una in pra-

14

31)

di&o exemplo datur xquatio, & due incognitz x -- y

*

—— 8

e

»

fi altera addatur squatio

.

factum horum

lib

ür

numercrum eíffe 12, Problema determinatur & tantum

g

folvitur per duos numeros 6 & 2.

Piusquam. determina-

j

ium eft, dum plures adfunt conditiones quam quantita-

1

&

!

tes incognitz, quze vel redundant, & emanere poffunt,

N

vel repugnantiam involvunt, & folutionem impoflibi-

q

lem reddunt.

In priore cafu fi adjiceretur tertia con-

ditio, quorum differentia effet 4, ut fit x — y — 4*

h

iidem numeri fatisfaciunt.

Si effet hzc tertia conditio ,

ut differentia fit £, folutio effet impoffibilis: tales enim

numeri, qui has tres conditiones haberent, non dantur,

pe

DEFINITIO V.

um

üt

$6. /Equatio primi gradus eft, dum quantitas in-

cognita eft prima potentía: x -- L x —a.

Altioris

gradus eft, dum incognita eft elevata ad aliquam poten-

tiam: in fpecie quidem fecundi gradus, qdum incognita

q

eft quadratum, qua etiam quadratica dicitur; tertii gradus,

dum cubus &c. ut x3?^ — x z a,

Si plures fint inco-

gnite denominatio fit a maxima fumma , quam facere

poffunt exponentes incognitarum. in eodem termino.

Ji$

[ta xy — y z b eít fecundi gradus, quia fumma ex-

il

ponentium in x' y' eft z:qualis 2.

tu

SCHOLION,

l

S

87. Dum igitur queftio aliqua proponitur, ea in linguam

i

algebraicam quafi convertenda eft, quantitates incognitze a cogni-

tis bene diftinguantur, ille ultimis alphabethi literis x, y,

7

A

hz primis a, 5, c,

vel convenientibns numeris exprimantur.

Curandum eft fedulo, ne incognitarum nuwmerus Íne necefütate

|

augea-

&

r

]

DE EQUATIONIBUS

117

hi duo

augeatut,

Ita dum petitur numerus & fit ejus duplum, triplum

vel 4

aut dimidium faciendum , numerus incognitus fit x , duplum erit

|uat0»

2x, triplum 3x, dimidium zx vel &

$i petantur duo numeri,

quorum differentia fit 20 vel fumma 30, non opus eft hos dicere

| pra-

x&vy

Sed pofito minore z x erit major! 30 — x vel pofito

PL E

majore

—

—

a erit minor 2O — x, quod aliquando etiam loeum

habet

horum

dum problema tres quantitates incognitas prafeferre vide-

tur

ut inífra in exemplo I

Conditiones dein debite & per fua

antup

fiena adjungantut

dum de lucro, augmento, fumma quzítio eft,

HU

fiznum fit -J-*

dum de damno, differentia, iminutione

'JG'

5

tut,

Janti

fienum —- adhibetur,

Dum inultipla petuntur, coefficiens quan

offun

titati incognitz adjungendus ; dum partes dantur, inftar fra&io-

nis infra x aut y partium numerus fcribitur

'randem illud

poITbl-

4 Con

quod rationem zqualitatis ad aliud habet, per fienum zqualitatis

z— ab eo diftnguatur, & squatio in fuas debitas duas partes per

hoc fignum feparetur,

—

ndit

DEFINITIO VI

5 enirl

Qantut,

89. Conditiones quantitati incognitee ad/zærenf vel

per additionem, dum fipgnum -- habent, ut x -- 20

— 30, vel per fubtraötlonem, dum fignum — habent

ut x — 10 —20; velper multiplicationem dum quan-

s iil

titati incoguitze tanquam coefficiens conjunguntur, ut ax

|tiotis

z— 30, velper divifionem, dum inflar fractionis tan-

?Oteü

quam denommator infra

X

incognitam ponuntur; ut

E

gmta

z 30 veli

x-—-— 300

"fàdUS,

10C0

Principium | fundamentale

facete

89. Duw quantitates equales manent zquales, fi

)II mo.

iis addantur, aut ab iis fubtrahantur quantitates zquales;

j

fi per zquales quantitates multiplicentar, aut dividan-

tur; fi ad potentias xquales eleventur, aut radix zequa-

lis extrah:tur; aut fi figna utriusque zqualiter muten-

tur.

nrïg;' an

DEMONSTRATIO

l Lügm-

3ora

Nota funt hzé ex axiomatibus premiífis ($. 20.)

xm&ï*

ultimum etiam per fe patet,

Sxemm-*-ä-—-—-—*-b

Scefiitate

.,J*;i'

H g

etiam

a

D

E

D a,

118

CAP UTV

etiam —3zz—b

Si 9—53-—12-—-7 erit —8

E

- 32—12-T7.

Signa enim nullatenus quantita-

-4

tem fed tantum operationem afficiunt: hinc etiam nulla

ele

fit in zqualitate mutatio, fed zqualis quantitas ex ad-

denda iu fübtrahendam abit vel vicifim: unde fequi-

paxtf

tur

THEOREMA

lab

2Qu

o. Quantitates nofze quacunque ratione quam-

titati 1ncovmtæ adhaereant,

ab illa per contrariam

üm

operationem feparari,

& ad aliam æquqhonm par-

lo

tem transponi poffant, ut eX—-—-—-—!— 20 — 30-z100

fieri poteft. x :( a ) :

3t

QUi

DEMONSTRATIO

et

us

equalitatem quan-

Ex principio fundamentali pat

titatum non mutari, fi in utraque quantitate eadem mu-

tatio fiat,

per quamcunque operationem id accidat,

]ud

Jam fubtmhendo per fignum — in utraque parte quam-

titatem datam pofitivam, & per additionem cum figno

-I- ponendo negativam, in ea parte, ubi quantitas jam

;h]

ft

deletur

cum eadem quar

s cum fignis contra-

riis OCCUrTaBf ,

in altera autem ponitur 5

dividendo

utramque quantitatem per coefficientem incognite, aut

multiplicando utramque per denominatorem incognite,

i

ex hac parte idem multiplicator & divifor delentur,

te

alteri autem exprimi debent; ergo idem eft, fi fine

Op

eratione quantitas in alteram partem per contrariam

P

yx

je

E

E"

rationem traü

Sfera

ur

In Exemp

iU.

E

—^ 20

ag

Q

Qi

/

119

DE JZEQUATIONIBUS

-

— 50 z 100 fübtrahendo 20 & ^addendo 30 fit

tv

2x

— -- 20 — $0 &— 40 4- 50 2 100 —— 20 -I- 30 hoc eft

tulla

Y Md«

deletis 4- 20-& —— zo item —— 30 & -- 30 in prima

xX

2X

fequi

parte habetur —— 100 -- 30 — 20. Item ex — — 100

R

-- 50 — 20 multiplicando per.3 utrumque membrum

D

p

3

fed

—— À

eft

habetur —— -—( I00-F 30 — 20)3;

3

Tuan

æquale 2x; ergo erit Q.x'::.(l oo-i- 30 — 20) 3. Tan-

30 — 20.

at

6

dem omnia dividendo per 2 th —— ( vl

t

ja

) pïf

boc eft x ---'-(mcuho—-zoNN z

100

Ideíh ergo obtinetur, fi ftatim fine operatione. alia

-l-20 cum ücrno — & — 50 cum íigno -t- cnoefficiens

s tanquam divifor, & denominator feu divifor 3 tan-

quam multiplicator ad aliam partem transfera

COROLLARIUM

q!lan

nu

9I. Inde methodus patet , quamvis quantitatem negativanm

idat.

utandi in pofitivam , aut viciffm

'Tantum enim requiritur,

ut ad alteram partem transíezatur

& hoc ipfo fignum contra-

qUJH

Ita. ex 20x—100-zIo--32x fit

rium ill prefigi debet

fipmo

20X -3xzz100-4FIO.

Ex 4—cum—bx—y*

fit y? — bx

in

m—C uo.d

ntta

)näO

PROBLEM A. I

3ut

92. JÉquationem unius quantitatis 1ncognitae

1.

ii

efolvere.

-

fie

L]

RESOLUTIO

n

Reg. Liberetur quantitas incognita ab omnibus

IQG

quantitatibus cognitis per transpofitionem ($,99.) &

H 4

habe-

Q

120

CAPUT- V.

habebitur valor quantitatis incognitz.

Ita in priore

2x

W

problemate — -- 20 — 20 100 . valor quantitatis x

invenitur, fi omnes adhzrentes quantitates ad. alteram

partem per contrarias operationes transponantur: fcili-

--

odf 8.Boc eft. x & $65..

2

- x:( IOO-—]——

DEMONSTRATIO,

Refölutïd problematis eft expreffio quartitatis in-

cognite in valore cognito; fed per pradic&am regulam

m

incognita exprimitur in valore cognito? habetur enim

üe

2b

expreffio: x valet 165,, ergo problema refolutum eft.

SCH.OL,IONQV

3. Ne autem in ipfa transpofitione confufíio qux»dam oría-

tur, hic ordo fervari poteft.

l. Cognite cum figno -- aut —

tranfferantur ab initio, ut quantitas incognita femel aut fepius

pofita cum fuis coeffcientibus aut diviforibus fola ex una par-

te fit.

IL. Incognite in ünam quantitatem colligantür, quod. fit

]

addendo vel fubtrahendo coefficientes, íi fint integra: aut ( fint

fractiones, reducendo prius ad communem denominatorem, &

dein colligendo in unam quantitatem , prout üigna requirunt.

HL. Si incognite (íint ex utraque parte, in unam partem

transferantur, ita quidem, ut illa, que habet majorem coeffi-

cientem dein habeat fienum -4- ne valor fiat negativus.

lV. Denominator fra&ionis incognite feu. divifor transfera-

tur per multiplicationem , & tandem coefficiens per diviüonem ,

& fola habebitur incognita,

V. Si contingeret, incognitam effe denominatorem fra&io-

nis, per multiplicationem ad pártem contrariam ab initio fta-

d ov

P o A

3

tim transferenda eft: . ut —-f:.-:6 fiat

x &- vel -f-

*

»

lïl)gy

Exempl!. I.

Tres fimu! Iucrantur 180 forenos.

Secundus

Yen

$ plus Jucratur quam primus: tertius tantum , quantum priores

duo

-

p

!À

DE /EQUATIONIBU

i2i

Jf10tt

duo fimul

Ent tucrüm priumi —5 33

fecundi x-8

terti

xX-xeS

omnes fimul 180 , ergo habetur squatio :

(1$ X

xe--xH-MSMRXEAxA8-18o

tetarm

Ex L obferv. x -- x -- --xcI—180—8—8-—186 — 16

f«

—r164

Il dX sz—164

x IV. xzc——zAt.

Ergo primus lucratus eft 4t

fecundus

49

tertius

9o

Ii50

jS M

Exempl. il

Petrus expendit ex fua pecunia unam pat-

tem tertiam prima die, partem quartam fecunda, quintam tertia.

"u al

enim

die, & habebat refiduos adhuc 26 florenos

Ousritur quantunm

ab initio habuerit?

| ef

Summa prim2 x

x

expenfa —— ——

4

352

Ó

0t1à

refiduum 926

X

x

x

Jl

at

26

gpius

$quatio; x——— —— ——

5

4

i Qai

r

60x—20x-—I15x-—I2azz

:26

od 1t

60

j; 2int

Y

60x-—47xz26

n,

Reg

&

H

60

?

r

Ó

czo6

artem

coed

6

Q

nsiefd"

ssl

13

x:..—::65( 6021560

1560

u

Reg. 1V.

« z—————120—

fumms primse

jt

15

4 10*

.

^

hoc et 120 — 40 — 30 —

428 25

of'ï

—

z

*

Exempl. II.

Parens de sztate fex filiorum rogatus re&-

fpondit,

quemlibet effe quatuor annis feniorem priore, statem

vero maximi efle triplam ztatis minimi.

ncus

riore

Hs

Jtis

Qu

a

" m

I252

CATPUT — Vi

ZEtas minimi feu VL z—x

fs

H

T.

V.

zEx4-1

IV..—x--8

IIl —ox-i12

lufu

Xl

zx-6

L

ü

:;.

Qd

z—x-20

T

JEtas maximi, x-l-20 fimuldebeteffe tripla ætatïsvmïnïmi..

T

Habetur ergo equatio: x-20—3-x

Reg. III. 20—3x —— hoc eftt 20—2 x

Reg. IV. -2-::'.:30 id e&

IO —

Habetur ergo ztas

Y.

Es T

Il

m1:0--A4 —I4

XH.

z10-8 —iI8

-

iV.

z IO--I2L-2

V.

z-IOM-r6:26

VI.

z—10-4-20-c30

1

fed 39 eft triplum de 1o,

ergo stas natu maximi zqualis tri-

E. E.

foteno:

ple etati natu minimi.

Q.

eum. (

COROLLARIUM.

quaria

P

94. Patet inde metlhodus examinandi operatïoynem factam ?

0571

in prima ícilicet zquatione loco x fubítituitur valor ultimo in-

ventus.

Si prima pars zquationis

hac

tatione

tefoluta

fit

tur pt

zqualis fecunde parti, queftioni propofite fatisfatum eft, &

Tienfur

problema rite refolutum , uti ex his tribus exemplis manifeftum

fit.

Impoffüibile enim eít, ut hm dus partes poít refolutionem

exi

Vlyt

zquales maneant, fi valor quantitatis x , qui reipfa im squatio-

ne eft, ab invento valore diverfus effet,

Exempl IV, Parenti, qui jam, triplo fenior erat filio,

dicebat filius, poft 20 annos tantum duplum mez ztatis habe-

bis.

Quae ztas parentis & filii.

ZJEtas filii

L x

Parentis

—-——23x

Pot 20 annos.ætas filii

20

h

——

3x-L20

$

Or

parentis

Sed hoc debet eíffe duplum prioris, erge

Se

3x-2-20— (x--20)2

pmüm

4àx--2022x--40

8x-— 2xzÉz40-—20

U

xz20

vt 5

Itas

V q

DE JQUATIONIBUS.

123

Jtas fili ——920 perentis —2 60 tripliim prioris

Pot 20 annos filii —40 párentis — 80 duplum prioris.

Exempl. s.

Cum Petrus & Joannes tantundem pecunie ad

lufus attulifent, Petro amiíüs 12 üoreni; quadrupie pius reman-

fit quam Paulo amiffs 57.

Petri fumma

—

L

Petri damnum

b u f?.

joannis

u db

joannis damnum x —— 57

&

juxta

conditiones

—

XX

—Á

(x—57)4

X— 1I2:-4x-——229

2298--—12—-4x-—ax

216

——X

72

Petri fumma 2—72

Petri refiduum

L-—60

Joannis 272

Joannis refiduum —— I5.

Sed 60 eít quadruplum de r$, ergo vera eiïlreäfoiutio.

Exempl. VI.

Herus promittit famulo pro £2 menfíibus 8o

[ tti«

florenos cum veíte, cujus pretium fimul figunt.

Poft 7 menfes

eum

dimittit

exfolutis

3C florenis relica eidem fimul vefte,

quaritur pretium veftis.

Pretum vefti$ x.

Merces famuli ixite,gra x-L-80.

Mer-

du t

ces 7 meníium invenitur dividendo x-[-98O per i2, ut habea-

10 i

tur pro uno menfe, quod per 7 multiplicatur pro mercede 7

o K

72 560

efï, &

menfium, hoceft

[*

quod zquale eífe dgbet merc;di

jfefturm

exfolute. 30 -- x.

tonem

m w

qu&ïiO'

a r at a

go-d-x

7x4-560-—:360--12x

1 i'liü!

:

$60 — 360zc12x—7ax.

$ t

200-——52x

zO z

Pretium anni r20 floreni, z menüs IO floreni, 7 menüum

79 floreni.

Sed 30 fl. exíoluti plus 40 fl.in vefe funt 7o £. ergo

problema refolutum,

Exempl. VII. Curfor primus quotidie 1O milliaria fa&it;

PU

poft 5 dies aMer fequitur & quotidie r5 milliaria fa

CiV,

quari-

tur, quando convenient ?

Dies

gt

124

CAPUT.V.

Dies concuMAis — x

Milliaria fa&tà a primo funt 50, facienda adhuc funt FYOXx feu

IO toties fumta, per quot dies adhuc peregrinatur.

Milliatia

facienda ab aitero funt t5 X»x feu r5 ducendo in dies motus,

que fumma ex uttaque parte zqualis effe debet.

unde r

$o-d-IOx-—15x

50mI5x—Iox

tempus

quefitu

505X

IOS—-X

T

pof JO dies convenient,

Primus enim poft :O dies faciet r00, & jam fecit 50, ergo 159.

UBETS

«

Alter inter fO dies etiam facit I50. ergo &c.

Exempl. VIII.

Curfor primus quotidie facit $8 milliaria,

pof 5 dies fequitur alter, ut intra 6 dies eum aífequatur , quot

xilljiaria quotidie facere debet?

ergo

Milliaria querenda x

temp

Milliaria fa&a a primo intra 5 dies 49

dat

facienda adhuc intra 6 dies 48.

]

facienda ab altero 6 x

fecudi

ergo 40 -- 48 —6 x

89502

I42-x millaria diurna alterius,

3i enim quotidie 1423 facit, intra 6 dies faciet 88 ficut

Wde r

alter,

fumma

Exempl. IX. Diftent duo loca r20 milliaribus:

primus

veniens ex priore loco facit quotidie 6 milliaria: alter veniens

&X loco oppolito facit quotidie 4 $ quxritur tempus concurfüs ?

Numerus dierum z—x

»

Milliaria primi & fecundi debent effe 120,

tarm-/z

Milliaria primi funt 6 x, fecundi 42x, ergo

6x-F-4x-—3120

10xz—I20

D

XxzI2 poft E2 dies convenient.

tjuyje

SCHOLIO!N,.

95. Sitria hec exempla ad res mobiles pertinentie alge-

braice & per literas refolvantur, totidem. fuppeditant formulas

Cögni£

generales, qu» omnibus cafibus particularibus applicari poffunt.

QU&T

EX primo exemplo fi milliaria fa&a a primo dicantur a; a fe-

cundo dicantur b: tempus dgtum fit c: querendum x erit

r

&

LT

DE JEQUATIONIBUS.

125

aC -- ax — bx

feu

ac z bx-—— ax

hn

acx(b-—a)

ac

—— — JG.

b—a

unde reguia pro primo cafu eft :

Ler diurnum primi du&um in

tempus datum & divifum per diíferentiam itinerum dat tempus

quefitum.

Ex fecundo exemplo milliarja facta fint a: tempus elapfum

*

b: tempus datum motus c: querendum iter x: eft

ab -- ac zzcx

ab

r

quot

ergo regula pro fecundo cafu eft:

Fa&um ex itinere primi in

tempus elapfum, divifum per tempus datum plus itinere primi

dat iter fecundl,

Ex tertio exemplo fit intervallum datum e: iter primi b:

fecundi c: tempus querendum ax: habebitur

bx -ox—ad

(5--c)x—a

x I—————

[

jj

Ü

b-I-c

|cut

unde regula pro tertio cafu:

Intervallum datum dividatur per

fummam. itineris utriufque , quotus erit tempus concurfus,

jmus

PROBLEM . A. Il

1iens

;

)

96. /Equationem duarum quantitatum inc

iOg.'(lïw

tarum refolvere.

RESOLUTIO.

I, Quzratur in utraque zquatione valor unius

ejusdemque quantitatis incognite, per transpofitionem.

II. Hi duo valores inter fe comparentur, & in-

cognitze alterius remanentis valor juxta priores regulas

at

nulas

quaratur.

ffunt,

Exempl. I,

Data fumma duorum numerorum ioOo & eo-

1 fe*

rum differentia 20 invenire ipfos duos numeros.

Nume-

25

126

COAPUT.X

Numeri quzrendi x & y

$i quer

Ex prima conditione

X--yc:IOoOo

Ex fecunda conditione x —yz— 39

Fiat ex L

xccI00-—y

X -—40--y

Ex 1.

IoO0-—9*-30--y

100z—50-7---y

Tetut :

I00--—302-2y

-

ihtie, T

TAH

4

:

—

—

y

(ferent!

2

»

Lit. d ïf

ergo

£545 & cum x

Viemntin

pupaepd

100 — y erit xzó5; & Ó65--25

Íequenti

z 100 & 65— 35 —— 3C.

DEMONSTRAT IO.

$n

Cum problema fupponatur effe determinatum , du

etiam zquationes feu conditiones diverfe eíle debent

tem T

( fg; 2$.) quafito in utraque zquatione valore quantita-

Tünore

tis x habentur duo valorés diverfimode expreífi fed

equales eidem quantitati x

quiécungue autem funt

zqualia uni tertio, funt-zqualia inter fe; ergo illi duo

90

valores diverfimode expreífi funt zquales inter fe;

1 valor

tquatiore

poteft igitur cum illis eequatio inflitui eliminata hac ra-

eiminer

tione altera quantitate incognita.

Inventus valot

de

TxüQ-

batut v

yfubfütuatur in primà &qguatione, & habebitur valor

quantitatis x.

100 —

COROLLARIU M.

Exe

bl.S tlöi u

97. Si hoc problema per literas refolvatur , habebimus

Tefpondit

áterum generalem formulam inveniendi numeros duos data fum-

labuife,.

maà & differentia eorundem,

Sit enim fumma z—j/ diíferentia

Gloh

d ernt x--ycf

D p

X —yzed

Ex (;

x-f-—y

EX Pl

Ex ;j

Joymcdoy

f.w--d:—.-.:zy

J/'"""

—

y

vel

ää———y

am Á

fi quz-

H

DE JEQUA TIONIBUS.

1257

Siqueratur x, fiat ab initio ycf -—2ax

x-—-—d..——:y

f—x

x-—d

f 7- d

2 x

7- d

g

——-xvelRgu-idex

Habetur erzo numerus major, fi femifumma addatur femidiffe«

rentie, numerus minor vero, fi a femifumma fubtrahatur femi-

differentia.

In priore exemplo femifumma z-z: 50, femidifferen-

Veritas hxwc

tia — r5,fed go-l-15—65 & 50--15-35

*

T

fequenti theoremate enunciatur

*

THEORE«M A.

!

du

»Semz'fimzma plus kkmidgfferenti)a dat quantita-

ebenit

tem majorem : Jeémifumma minus femidifferentia

intita*

minorem.

j fed

SCHOLrLTON,

y fünt

98. Poffunt etiam hac problemata ita refolvi, ut inven-

jj duo

tus valor quantitatis x ex prima zquatione ftatim in fecunda

: fo*

equatiome loco x fubftituatur, & hac ratione etiam quantitas x

eliminetur: ut in priore exemplo 'ex prima zquatione habetur

cnme

x --I100-——y ergo in altera eqduatione x — y —:30, locOo x fcri-

or de

1 alOr

batur valor IcO -- & erit zquatio IO00 — y —y-—30 íeu

100—30-—2y ut prius.

Exempl. Il.

Pyrobolarius dicit focio, fi ego ex mels glo7

bis tibi unum tradidiffem, zqualem uterque numerum habuiffet 5

refpondit alter, f, e meis tibi unum dediffem , tu duplo plus

ebimus

habuiffes.

) fu.

Globi primi —x fecundi — y

oj

Ex prima conditione x — i —y-i

Ex fecunda

x—-i-—i:;:(y-—-xjg

Ex prima gquat.

xz—y--i--i

Ex altera

y--2zm2y—5

—

2

A ——

2 —y

5

—

—

y fed xzy--2 ergo x-5--2—]/

Nam Ífi primus alteri dat r uterque habet G & fecundus primo

dat 1 hic habet 4 & alter g.

Exempl.

qr

CAPUT

V.

125

Exempl. II,

Floreni,

quos habet Petrus,

cum

imedia

Fioreni

Paul

cum tertia

13 Y

parte florenorum Pauli funt — 20.

Jxti

parte florenorum Petri funt etiam z 20

"

üttoq

—

AJ

Utm

Petrix.

'(Fertia pars

—

—;" xífeu-

3

Pre

m

M

àC

Pauliyi

Dimidium -I-y

NGl TET

]

Xx-Ly

o

— —— 20

2X ey — 40

Conditio prima x -I- —'; —2

a

3y 7-X

—— -—20

Conditïo' altera y -J-

T—-— .20

2y -X éo

e

Q g

Ex fecunda xz—-60—3y

Kx prima xz——

40 —

z

29 000 2

4O0i—y z 120 — 6y

6y —y — I20-—-40

$y e80

y 16

qxz60-—4

[2

)

XO-—I2

Petri 12—1—-3;6-:20 Pauli 16-*-;3:20

L

etto d

P'retïu:

Exempl. IV.

Si tribus plures in cona fuiffent, quilibet

S& a

uno floreno minus folviffet, ífi autem duo defuiffent, quilibet

vno plus folvere debuiffet,

Quot perfonz ?

quot üor?ni ?

—

:

Perfone x

Sumima foluta

L

xy

df

"

Filoreni

m—y

pars cujusvis

—

QUanti

xX

tum y

Xy

Jix prima —— —y — I

Ex fecunda

Lz—y-t

-

xyzcxy—x--3y-—3

xyccxy-d-x.—2y--2

2y--2 —xy—xy--a

14

xy — xy--x-—2y—3

x:—..-.gy—-g

2y-d-2-—x

3y—8327-2y --2

AQUe .

x2i$—3212

y-5

Perfone —-12

Floreni $ Summa — 60

Si ro perfone, floreni 6 pro quovis veniilent ;

$i X5 perfone foreni 4 pro quovis efent.

xempl,

W

g

/

DE £QUATIONIBUS,

'329

thedia

Exempl V.

Caupo mifcet roo urnas accipiendo duo.ege-

tertia

fef2 vinorum, primi urna venditur 42 groffis, alterius 27 groffis,

mixti trna vendi debet 3o groffis.

Quaeritur, quot urna ex

ütroque accipiende fint ?

Urna melioris —cx deterioris —— y fumma mixti — roo

Pretium . primi z—42 alterius z—27 totius mixti —— 30 X 1C9

m 3000

Mifcenda x --yz-1oo

40

Pretium 49 x -- 27 y —— 3000

Ex prima x — /100-—y

—

ó

Ex alteta x —— 3ooo — 27 y

42

100 — y — 3200 — 927 y

42

4200 —42y z—30o00—27y

4200 — 3000 zcz34 . —27J

I200z—I5Jy

i200

,,—-,-—..y

*

8o

:y

ergo deteriorit acciplendw funt 80, melior!s ergo 20.

Prétium deterioris 80X 27 — 2160: melioris 20X 42 — 840

q;(xïxbea

& habetur 2160 -- 840 z 3090.

qunïbEï

11

Exempl. VI.

Caupo menfuram vini,

quam vendit 16

cruciferis, vellet vendere tfO cruciferis, adeoque convenientem

quantitatem aque cuilibet menfure admifcere, quzritur, quan-

tum vini & aquze pro qualibet menfura accipere debeat,

Quantitas vini ——x

aque zy

m

debet

effe

menfure hoc ef&

Utrumque

$quale uni

X-ycI

i

Pretiam novum del t effe 10 äucifg.rï, & cum vini fit 16,

aque vero nullum, erit 16 x -I- y Xo zz 1O

Ex prima xzctf-—y

10 —yXO

Peedam us

o

Ex fecunda x—

—— ——ÓÀS— foc eft

a

*

6

Iq-——,

AMietsb, IMaih. P. T.

1

n

130

CAPMTP-UT V

I6 — I16y

LA

I6

É

ergo aqus quantitas £—.f. feu 3

fty

vihl ergo accipienda fünt $ ut habeantur ä féu una menfüra,

SCHOLION L

99. Veritas hujus refolutionis etiam ex lege proportionum

inferius demonítrabitur,

tl5

5UCHOLIOD/N.Ib

quan

i

gri

100. Hesc problemata ajlisatiomis feu mixtionis vocantur;

& ab arithmeticis etia3ài propria ad hac adhibita regula refole

vuntur

Sunt ingent)s utilitatis in omni oconomia , phyfica ,

medicina &c

&

ubi quzfio inftituitur de faciendo compofito pro-

portionato ex partibus fingulis.

Hinc iterum egeneralis formula

Cun

conftrui poteft ad sefolvenda hec problemata, qualecunque mix

tum

petatur ;

& cujuscunque valoris partes commifcend* ínt,

ib

Is

Ponantur quantitates mifcende x & y, totum compofitum d,

pretium de x fit ^, pretium de y fit c, pretium partiam core

Detut

$nixtarum fit d, totius ergo mixti cd erit

x oyca

bx - cy —— ad

þetl()

XI—ay

Vrtla

« z

RUPR

ad — cy

Teitqut

i

— ——

dd-——cy

g

ab — by ad — cy

ab & ad z—by — cy

ab — ad

hoc eft quarititas facienda multi«

b-——c

plicetur per pretium majus & ab

iac fubtmhatur fa&tüm ex eadem quantitate in pretium partitini

commixtarum , refiduum dividatur per differentiam pretiorum,

Redie

älOP [5

quotus eft equalis quantitati minori mifcendz

SCHOLION

III.

10i, Problemata mixtioris,

in quibüs plikes occurrunt

partes commifcende ad indeterminata pertinent, de quibus in«

feriw; agemus.

PRO:

DE /EQUATIONIBUS.

131

P ROBLIEMA I

169. /Équationem trium quantitatum incogni:

tarum tefolvere,

RESOLUTIOÓ

I. Eliminetur juxta priores régulas àb initio quat

titas x e duabus dati$ »quationibus, & qusxratur valor

x

quantitatis. y:

habebitur hic .valot cum fola inco-

gnita z.

W

J

II. Eliminetur juxta priorés regulas quantitas y,

i,

& quxratur valor quantitatis x : habebitur hic rurfus

la

cum fol:».'incognita £.

II. Ambo valores inventi in un4 e kdatis dquatio:

nibus fubftituantur, é& una tantum incognita z obtis

13

netur.

ts

Exeipl, Venduntur tres equi: pretium pilini eüm dimidig

Pretium fecundi cum parte

pretio reliquorum funt 25 aurei.

tertia reliquorum funt 26.

Pretium- tertii cun parte dimidià

reliquorum funt 29;

Quxritur pretium fingulorum ?

tertil zca

Pretium primi —X fecundi —y

E4

p

—

Prima conditio x-i-—ï——g—

23

2

Seïcunda eonditio y -þ-——-]—-

3

Tertia coüditio - 2 -!-g- —-l--ï— 229

Reducendo ad commufem denominatorem ; & tollendo dein fígs

&iones hàbebitur:

L L L EE

oX

E4

—

—i25 feüu 2x-j-y--i— 50

jy- i

——26 feü 3y -l-x4-2—78

j

9z--xHYy

— À —M —

29 feu 2z--x--yz—58

Il

Ex

p

VM

g

ÜCAPUT

V.

Ex 1, Reg

Ex fecunda equatione

Ex tertia

:

xäSS«gï—y

78 — 3-«7 *"ä""SS"'*"Qïä'—'y

&

77 — 589 33 —X— 237l

fi

P

A

20

Mpb

Habetur valor de y zz ——

.—.—5

2

.........y

2

&

Ex prima zquatione

yme—50—21xXx—zz

Eg 1L Reg.

Ex tertia

n

y-58—2&-—*x

e

SO—Qx-'—ïWSS—"Z;;Nx

9z--x—22x—Zz2z58—-50

du

A —— A o "8

— S8zzx Habetur valor ;ie xl g

Ex IIL Reg. in prima æquatiope loco 22 fcribendo va-

20 --

— ÁX

lorem (4-——8 )2 hoceft 2z— 16, &loco y ic:*ibcrfdo

9x prima equatione 2x-l-y—i-gxx5o

A o

20

Dd

À

fit e

164-

4 m

53

Ui

2

£G

s d ii LU . 1 $ p sl a E

509

2

2--20-P-z-blF2x12z-100

7X-——12-— Io00

ZX4—IIZ

R

16

jj *Hn -

56

guj xmæ'—ag ergo x.....-—--g & y

p

28 -a

p

cmeenís

2

r8. ärge

pretium primi z— 8, fecundi —— 18, tertii —— r6.

juxta conditionem primam | 8-1-9-1-8 — 25

fecundam I8 4- 2 1 -1- 5 2—:26

tertiam

16 --4-1-9—29

l:

i

DED/IQ NSTRATIO.

Habetur ex his axiomatibus: qv«s funt zqualia uni

n

& equalibus fubftituen-

€etio, funt æquaku:æ inter fe,

alt

do

DE JEQUATIONIBUS.

133

do zqualia, manent zqualia,

Hac ratione enim elimi-

natis incognitis, & valore fubftituto reducitur wquatio

ad unam incognitam, cujus refolutio

per demonftratas

fuperius regulas habetur.

COROLLARIUM.

103. Si 'non omnes termini quamlibet squationem ingre-

diantur, non opus erit eliminationem bis facere, fed íubfituto

valore incogniti unius valor alterius habebitur , ut in fequenti

exemplo:

Mercator id folum memoria retinet, quod Petrus & Pau-

ius fimul illi debeant IO000.

Petrus & Joannes fimul t1000.

Paulus & Joannes fimul 9$000,

Queritur debitum fingulorum ?

x - y— 10000 X--z2—11000 y-[zic90o9

e€x prima

x cIo000—y

"

€x fecunda x — IIOOO --

10000 — yzIIOO0---

X——y-II000— I00090

ZzI000--y

p

$i hie valor qu:

untitatis x in tertia squatione .sb&ïtïxara;r, loco

q erit

y- 1000 --y-—9000

$yzz9000— 1000

y-—

— —— R

4000

Sed prius habebatur x 2—10000 —* hoc ef loCO00 — 4009

z 6000 & 1zx I000 -- y hoc eft ICOO -- 4000 erzo 1 — 5000;

& hac ratione inventum eít debitum Petri — 6006 ;. Pauli

-4000; Joannis z 5000,

H

PROBLEM A.

IO4. ZEquationem problematis indeterminati

refolvere.

RESOLUTIO,

Reducatur zquatio, ut ex una parte fit tantum

j

una incognita zqualis quantitati alteri , qu: incognitam

I

alteram cum cognitis continet, dein valor incognite

X

*

3

o

in

AJCUU'T YV

4

in fecundo menibro ad libitum afïvma*'m

.&

^

quaratut

valor primze

videatur

num fatis

fiat problemati dato.

$i fatistit, prima habetur folutio

1

Affumatur dein. alter numerus, & queratur, num

etiam per i(tum quzítioni date fatisfiat, fi ita habetur

etiam fecunda folutio.

Contmuetur hoc tamdi u donec folutio evadat im-

pomblhs, affumto fcilicet numero vel nimis magno,

vel nimis parvo.

B " odg . 3 ^ t a MK a

In exemplo? Sin

inveniendi duo. numeri, quo-

rum fumma fit x2

Habetur zquatio x-1- j — I2 , er-

£0 xzz12—);

affümta pro y unitate habebitur

Xc pI

Si valor de y aífumatur 2, erit xz— 10; fi

3559.6]t 69 (6.

Habentur ergo 11 folutiones

fubititutis totidem valoribus in numeris integris pro y,

que omnes problemati fatisfaciunt

Quin etiam nume-

fi

a& fubttitui poffunt, & problema folvi: fi y z

X s

erit

u1

* 5

ü y-—

r

—

erit xz119-5; Ífiy

o

as

2

Grt x

at

i & fic indefinite folutio continuari

chï

fi tandem y popatur —— 12, erit xzO &

fp utio

i

(;:

ofübilis, cum fecundus numerus hac ratione

&

Dneic

af

20 erit

euUu

BDlOy——

a erit x z— —— 1

fiy

xz-— 8 é&c. & ita etiam per negativas quantitates in

inftinitum folutio rurfus continuatur.

Exempl

I

»int inter 20 pauperes ita diftribuendi 1oo

flareni, ut virl

acquirant 8 f8i. focomine 5 1l

& proles I fl, que-

ritur, quot fint

viri, fominge & prok

[4

wb J n

20

numefrus perfonarum

zx u- 5Yy -— I2l f0O0

foreni diftribuendi

Si

X prima

X«zu2307—*-—-43

IO0o — Rx—-—g

100 — &y —

flæl'

ex fecunda. x zz-—————-——

jOm)l——-—äw M

RAOU K L

Wt

&

Q

$9

i

40

DE JZQUATIONIBU

135

t

Ut

Ia

240 — 8y — 81 — 100 — 5y —

Itg.

240 — 100 — 8y — 5y -- 84 —«

1402 3y -- 74

140 — 3y — 7à

140— 2y

IUIt

—— Ó —

(ut

Cum z & y denotent homines, valor fractus ploblemati fatisfa-

cere nequit; adeoque nullus valor pro y aifumi poteft, qui fub-

tra&us a I14O & divifus per 7 dat quotum fra&um, hinc numerí

i

I. 2. 3, 4. 5. 6. pro y fubfitui non poffunt, cum pro x dent

m,

valorem fra&um.

Si

fiat yz7 erit æ—-—

——

7

9

moI7 , ehfo

€«—:30—-7-—17 hoc eft —6 & 8x--5y--4 hoc eft 48

UA

-- 35-) 17 —

IOO prima folutio.

Reliqui numeri usque ad

...—-99

Quo

I4 iterum dant quotum fra&um,

$ifat $- r4 érit

L—IA4:

hinc x2 & $x--5y-x hoc e& 16—1--70—i-14

je

f IOO fecunda folutio.

Si fiat y—c2r,

bl

ht

i

x fiet negativum , X

enim haberetur —— I:; hinc alia folutio jam non erit poffi-

;l

bilis.

iones

Exempl, IH

Caupo vinum,

ex quo menfüra 4 cruci*,

0 J

eum.vino ex quo menfura 8 crucif, & cum vino, ex quo men-

ie

fura 2O cruciferis venit, permifcere cogitans, uf ex mixto 20

1

menfurarum quamlibet IO cruciferis vendere pofüt, quatit, quot

"x

menfuras ex quohbct accipere debeat?

à

u

x-4-y-M-iz20

4x --8y -- 20:— 200

o&

xz—20—y—1

(joll

200 — 8y — 20x

erit

áaÁà

4

|

es 10

10—5—1

200 — 8y — 20x

4

$0 — 4y — 412 200 — 8y — 201

4 100

8y -F- O — 4y — 442 200 — 80

que

4y -- 163 — I20

4y —: 120 — 16z

y m 9044

T

Si * fiat —— T, y erit 26 quod repugnat, cuüm tantum 90 mene

fure eíle debeant, idem eft,

f fat z

aut —:35 verum f

*

-TA

fat —4 erit y-z—

ETE x

Adeoque pretium 4 x-r-8y

-l-20y hoc eft 0-4—112-5-80-——-00

$; g—-ä erit y — IO

& x—5 & pretiun. 20-- 80 -f i00-

2:230,

Si x — G erit

——S"———— a À IÀ

14

346

$ 40

t

p

-

136

CAPUT-W

N

P nl

y—56 & wzzB, pretium 32--48 -- 20 — 200.

Si

4v

f

erit yzc-2 & x-—zII pretium vero 44--16-1- 140 — 200.

lii

$i z22—8, y & x . fiunt negativa, adeoque íolutio impoffibilis.

il

Dantur ergo tantum ha quatuor folutiones, .qus problemati fa-

tisfaciunt,

ple

h4

Exempl IV.

30 pecora empta funt 75 thaleris: vervex

Queritur numerus cu-

5 thal. ovis 3, & agnus 2 thaleris veniit.

jusvis fpeciei,

x--ydui- 30

XÉ—30—Z4-—X

FA u- £Lv f

d

Q

5x--3y-- 21275

:?' —

5

150—5—— 5437——78 — 3y — 21

I50—782255y—3y--5x—2&1

75-—-92y--53z

75-—-—3;;:::2)/

63

n t

y—-

2

Vc

Si ab I usque ad r6 fubítituamtur valores pro z femper erit va4

Si

lor de y vel fra&us vel major, quam ut problemati fatisfiat.

x——17 eritycl-t-z-I12&sax-clI.

Siz--18 dat fracum.

pn

4q—-40 & 421

& x223 datífequentes valores & quatuor

e[fe

folutiones problematis :.

ycz13

p

int

19

21

23

ä

ä

SCHOLION.

105. Nov&£ opus hic non eft demonítratione , per fuperius

enim demonftratas

regulas

valor

unius incognite qusritur,

b

alterius vero ad libitum aífumitur, & tentando problema fol-

vitur,

!

DEEINITIO VIL

—

—

p

106. /Hquatio quadratica «completa eft, ubi inco-

-a

gnita fola ad.fecundam potentiam elevata ponitur,

-

adeoque quadratum perfe&um habetur, ut x^z—aa.

I

!

.»:f(/

NT

smples, dum e tribus, quae ad quadratum binomii

requi-

—

DE JEQUA TIONIBUS

157

d-

requiruntur, quantitatibus ,. ut di&tum eft de potentiis

— 900

offibilis

ultima feyu quadratum termini fecundi deeft, quod ante

folutionem addi debet,

& hac ratione quadratum com-

mati. f2

pleri dícitur: ut xx -- ax zib velxx--17 x — 60 ve!.

Xx x Iioco.

Vetvex

Tu$ cu

PROBLEMA

IV

107. /Equationem quadraticam perfectam feu

"L5

—

—

completam folvere.

HESOLUTIO

L. Quantitates incognitz ponantur ad unam, cogni-

tv ad alteram partem.

lI Si quadrato incognite adhsxreat vel coefficiens

vcl divifor, tollatur per contrariam operationem.

tit i«

III. Si quadratum eft negativum , fiat pofitivum

nu 9

fradult,

ponendo idud ad alteram partem, cum nullum poflit

u u

effe negativum, ( $, 41.)

IV. Extrahatur ex utroque membro radix qua-

drata

ioo

—

xX

Exempl, I.

20—-2 tollendo diviforem fiet

100 —32XX —— 40 — À cognitas ad unam partem

XOO — 40 - 4cxx extrahendo radicem quadra«

tam

[11?6&'1[15

IO --2 —cx

ffo x

ye:ttily

Exempl, IL $2 --2 xx — I80

2oxx —

— 180 — $2

(à fil

XX

lw

29

X

—

v 49

ergo x

d

—

7

PROBLEMA V

0c0

tlf

1O8. /Equationem quadraticam incompletam

z

folvere.

ynO'm!

I

RE

UM

Y38

DATUT Y

RESOLUTIO

. Quantitates incognite ad unam partem collo-

centur, ita ut quadratum incognite x^ pofitivum fit pri-

pi

adi

mus terminus, fecundus vero fit quantitas incognita x

cum fuo coefficiente.

Quantitates cognite omnes ex

toti

altera parte fint

hoc

II. Coeffüiciens fecundz quarntitatis x dividatur per

Qor

fit

2, & ex hae fra&ione fiat quadratum, quod utrique

parti addatur.

Cie

IIL Extrahatur ex primo membro radix, ponendo

l'wl

fcilicet quantitatem x

& przedi&um coefficientem cum

QUo

Idem fiat in al«

denominatore 2, omiílo duplo fa&o.

ticar

(à

tero membro.

t

IV. "Transferitur adharens radix altera incognitz

&

quantitati x ad alteram partem, & problema folutum

&l

el .lt.

11

Exempl, L IO x —— 600 — xx

ünic

x? -- IOx—O600 altera radix -L9

5

2

"- quadratum -0 £

le f

x? - Iox-- 192 —

600 -- i9$g

g - 625

xXxc-28)5— 5 z— 90

E

mpl Yf x*

-s

*

ergo altera rïdxx $:

-Px-

3

r

x

2ux $0s

H

xt4-ir-4-ici--

9

x—-i-g

V:

& ummi——i&smyzzli

-——-'ä*

i

& —5b

EXO IIIA xä——"

€

) o d* dlera didia

2c

a—b

— 2 ab --5*

a* — Qab -- 6*

X^ —

du

m PImUEACRCCD ]

2...'...,—...-

)x.;.

4c*

A

-

a-—b

* — ——

f d — 9 ab - b da

—

—

4c

€

V^

— Q abbb d* -Ba—6

u n AC

4 c*

2c

D E-

DE JIQUATIONIBU

139

—

DEMONSTRATIO

Ji

Q«

Cum quadratum incompletum contineat quadratum

W p

prime radicis

& duplum fa&um radicum in fe invicem,

iil

addi debet quadratum fecunde radicis, ut compleatur

65 &X

totum: Cum utraque radix contineatur in duplo facto,

hoc eít in x cum fuüo coefficiente, ergo cum unus fa-

€&or fit

, alter'erit illius coefficiens, fed cum factum

t per

WW

ft duplum, dimidius coefficiens accipitur, feu coeffi-

ciens'per 2 dividi debet, ut habeatur facum & fa&or

tendo

fimplex, ex hoc jam fi fiat quadratum, habetur illud ,

| Cum

quod deeft, & additum complebit zquationem quad1a-

it alv

ficam; ut autem maneat æquahtas, utrique parti hec

quantitas addenda 'eft.

Si jam quadrata duo fint inter

fe wqualia, etiam extracte radices debent inter fe effe

)gmtæ

]ut

UR

zquales; cum egim quadrata oriantur ex ejusdem nume»

1j multiplicatione per feipfum, & quodlibet quadratum

unicum tantum numerum raàdicalem contineat, impoflibi-

1**

le eft, ut radices fint diverfe , fi quad:ata funt zqualia.

Exempl. IV, Summa duorum numerorum ef 17; fa&um

autem eft 6O

Quaruntur duo numeri?

Summa x -- y — 17

xzI7—)

:i—

Fa&um xyzz60 x-——

h d

o]

17—yz—

17 y — y^ — 60

!

*

""60—-3' —

altera radix L*5 quadratum 2

A

-»...

89

——

2980

ï

3.29.

4

6

"Ws at df I7y-l- i

l

d

xmy* ***I/y"*"*'z

—l TR

3

—À

y——

]7

x

'7..

2

—.——Vhoceüy—-lg

€rgo x z—

)

C o-

CAPUT V

4o

COROLLARIUM

T

IO9. Cum duplum factum I7y fit negzativum, alteruter fa-

étor debet eife neoauvus vel ..—— vel y, factus eft in folutione

valor de y pofitivus & -L. nevatxvus.

Si y affumtum fuiffet ne-

gativum, & —

...-—.

7

——

T ——

I'f

pofitivum,

X

3

foret zquatio

—— x

tránfponendo y $-

—— —— —

——

X o

LL ;

h;ncy...,—s&æ,

N— 12.

Patet inde duphcem folutionem hu)us problematis & in

genere omnis equationis quadraticz effe. Si enim quadratum eft

sz10nomium, poteft habere vel radicem pofitivam vel negativam cum

ex utriusque multiplicatione oriatur quadratum pofitivum ; hinc

l

in $quati0neé x z—a, &-]-x &-— x funtradices, & utraque pro-

blemati fat!

acit

Ín binomia

um facum duplum eft po(iti-

vum

utraque radix vel eít pofitiva, vel utraque nesgativa; fi

—

autem factum eft negativum, alterutra eft negativa. Etuna & altera

folutio femper problema folvit, licet ex conditionibus certis an«

$exis nonnunquam una tantum ufui eífe poffit,

Exempl. V. Invenire numerum, cujus quadruplum ab ejus

H

«uadrato ablatum relinquit 9I.

et,

S

p

— 4 x z

2I

radix altera &

LÉ-2!

M—

— 4x --4z2I4-45; x* --4::-!-4-—23

"

x.......gm—s &'612-—-:17""'

R

X Ll—27

2—5zx&—3

ergo xz—7 &x z — 2,uterque valor fatisfacit

1 primus fubfti«

tuatur erif Quadratum 49 & quadruplum 928; hoc fuübtracum dat

49 — 28 — 2I.

Si alter fubftituatur erit quadratum de — 3

9 & quadruplum — 3 X 4 — — I2 quod fi fubtrahatur,

&eri debet -I- 12 fed 9 -- 1

2t.

lii

Exempl.

VI. Summa duorum numerorum fit - 10; diffe.

fentia quadratorum fit —

40.

Qui funt numeri?

Atem

« y

103

20y "l-3

WUs

X —y 40

x

— 40 -- y

5Qn

100 — 20y-d-y — 40 —i—-y

100 — 40:—

20y--y^ — y*

T á]te

60 z— 20y

Yif

On

w em

Q 7-

49—9zz40

')mpa

yu-3-—lIo

ia

H

|

RI

IQ(e

l'[,

Exempl

34

DE /KEQUATIONIBUS.

Exempl. VH Data f'umma duorum numerorum IO, & fume

fer fo.

12 quadratorum 58 invenire numeros.

ltione

&--y-109s

xI—IO-—y;x^-IOo-—20y--y*

It ne«

x^ - y^ 58

x*z58—9y^

-yk

100 — 20y d- y? — $8 — y*

5&t

s&n

2y* — 20y z 58 — 100

y^ — 20y z— 58 — 100; radix altera eít ---5

um ef

z

^

^

m cum

y? — 10y 4-25

—25— 91

/

N

y—5—l/ a

5 y —

A

Jue pro

MW AA

$2-2-4-»

pofíti-

y-e—7

E ii

dvas f

g

7-

o

x alterz

7-

s r

io

iÉ

9*1-92—58

rtis at

SCHOLTON:.

3b eju

IIO. Que jam ad squationes altiorum potentiàzum pertia

nent, Mathefi fubEimiori reífervantur.

m

la

u

CAPUT VI

tb

DE RATIONIBUS

un d

d—?

DETINITIO.

jhatut s

irI1.

tjo eft duarum quantitatum comparatio, feu

R

dü

fte

i

refpe&us, quem una ad alteram habet. Hzc

autem comparatio inflituitur vel refpiciendo differentiam

unius ab altera, quz per fubtractionem obtinetur: ut 6 &

yT)

2, quarum differentia eft 4 ; vel inveftigando, quoties una

in altera contineatur, ut habeatur quotus, qui per di-

vifionem obtinetur: ut 6 & 2,' quotus eft 3. . Prior

comparatio vocatur ratio arithmetica , altera vatio geome-

irica; ita eomparando columnam 3 orgyarum cum co-

lumna g orgyarum , fi confiderem hanc 6 unitatibus ma-

jorem, habebunt ad fe invicem rationem arithmeticam :

9

fi

i

DAT UT YVI

142

etil?

fi hanc cónfiderem triplo majoremn, habebunt georiiettia

:

cam

Illam exprimemü$ fempet interi&&a inter quai:

Tilca

titates linea, ut 3 — 9; hanc interjedis duobus pun-

iACCEC

&is

.

*

Q.

Ia enim' habetur per fubtra&ionem cujus

fienum eft lineola; hec per divifionem , Cujus fignun

funt duo pun&a, utraque enunciatur pet vocem a4 v.

I

arititme

g 3 d.

In Algebraicis expreffionibus lineolz loco

Ts d

fubftituemus pun&um, ita a. 5 erit ratio afitlimetica.

tedens

Wett1c:

COROLLARIUM

Qj 8

fIO, Triaà eteo in omhni ratione

confidéránda veniunt $

fonua

k

quantitas, qus comparatur, altera quantitas, cum qua prima

6 OR

Wtet

coinpafatur, & differentia in arithmetica vel quotus in geome-

trica, quo modus comparationis exhibetur.

Poteft autem hec

"x

comparatio ita inftitui, ut vel primus fit major quam fecundus,

vel minor; & differentia habeatur fubtra&o primo a fecundo, vel

fecundo a primo:

ut 2 — 6 vel 6 — 25

differentia in utro-

que cafu eft 9.

Ita in geometrica vel fecundüs dividitur per

I]

primum vel primus per fecundum ut 3: 12 vel I2; 3 quotus

3j iUK

ubique eft 4.

DEFINITIO

II.

u

114. Quantitates Comparate :zerm:m vocantur. Pri:

Tino

ma quidem eft antecedeus, altera confequeuns terminus. .:Mo-

d

quo comparantur in arithmetica dicitur d'ffereutia :

i geométrlca quotur; hic fimul expomen: rationis dicitur

dey

lÜ

COR OLLARIUM I8!7I

jii4. Cum omnis ratio geometrica labeatur per divifionem,

I

ff[l*w 1

omhnis autem ffac&io fit divifio, fequitur omnem fracionem tan

Ald

quam rationem geometricam confiderari polfe.

4 n

[ui

COROLLARIÍIUM 9L

ml

Ü

IÍ5:. Sequitur item ex praecedentibus, in arithmetica ter-

minos fela differentia inter fe differre, in geometmca autem fo-

1o quoto; hine differentia addita minori termino in arithmetica ;

aut ininor multlphcatus per quotum in geometrica ratione dat

i

ib

terminum majorem,;

$i entecedens €f& à & quotu; 3 confequens

ID

erit

DE RATIONIBUSs.

143

Jrilettlà

erit 9 X 2 6; Si antecédens eR 2 V&. differentia 3 cónfequens

etit.2. -- 3«5«

quati

Generaliter igitur omnis confequens in arithe

metica eft ipfe antecedens plus differentia : in geometrica ipfe

s put

à

ntetedens du&us in quotum.

1 Qujus

COROLLARIUM. iL

fium

"FA

I16, Hinc fi generalem expreffionem aleebraicam rationis

le loco

arithmetice habere velimus, dicatur primus terminus a & diffe-

rentia d erit fecundus terminus feu confequens a -- d; fi ante«

A.

cedens eft b' erit confequens 5 -& d.

Sic érit c -- d.

In geo-

metrica vero fi antecedems votatur d & qnotus g erit confequens

4].

Si antecedens b erit confequens bq. Si c erit. cq.

Hinc

formula generalis arithmetice eft a. a -- d vel , b p d vel

sentunt $

€. c "- d; geometrice vero a: ag vel b: bq velc: cg; & gene-

ur primà

raliter pro confequente femper fcribi poteft ipfe antecedens -- d

i geome-

Li

uem bac

vel x g, quod fequeütibus duobus theorematibus énüficiatur

$

fecundus ,

THEOREMA I

ii d

jn utro*

Irv. In ratione arithmetica fumma ex termiro

ditw. pe

3 quotus

minore & differentia eft :equalis termino majori.

THEOREMA

L.

QoOue

VAl XX

Oo

II8. In rati

ómetrica factum ex fermino

vur, Pri

minore in quotum eft zequale termino majori.

]U5 MO'

Demonftatio utriusque ex Corollariis. praece«

'5,'7'?;*5,!!111 :

dentibus habetur.

', dicitute

SCHOLION

II9. Si primum terminum majorem efle contingat, erit-

diyifiotem

fecundus, antecedens — d & ratio erit a. a — d, In geometri-

j &

ca erit confequens, ipfe antecedens divifus per quotum & for-

mulaa:

—

LÀ

netïc

4 0f

DEFiINITIO liL

, at il

jtu

16[5(:8'5

120. Rationer equales funt, que eandem differen-

rj[idne i /

tiam vel eundem quotum habent; ita 7 — 3 item 9 — g

. Odequens

furt

etií

n

T5

144

CAPUT VI

funt ratione$ zquales, quia in utraque eadem eft diffe.

i

rentia 4, adeoque 7 ad 3 eam habent rationem, quam

5 ad $; a. a -- d & b. b -- d zquales rationes funt.

ilité

n*

Similiter

2*

15 & 2: 1o funt rationes zquales

quia

)

eundem habent quotum $, & 3 eam habet rationem ad

ante

rs quam 2 ad 10; 4: ag & b: bg zquales rationes funt.

que

Juequales funt, dum quoti vel differentie funt inequa.

Se]qz

les.

DEFINITIO IV

121. Si in duabus rationibus zqualibus anteceden-

del

fes majores vel minores funt confequentibus, hoc eft

fid

fi in prima ratione ita fit primus ad fecundum ut in al-

Cupi

tera itidem primus ad fecundum erunt ratiomes direte.

&

Ita 7.— 5 eft in ratione directa cum 9 — 5. Item 3:

[

ic dirette cum 2

1O.

Si vero antecedens prime fit

jäL?U

major fuo confequente, & antecedens fecund: minor

ltir

fuo confequente, vel primus minor, & fecundus ma-

Tiens

jor, hoc eft fi fit primus ad fecundum in prima, ut fe-

tI0ge

N

cundus ad primum in altera erunt rafioges vectproce , feu

Gurd

"uverfa

ao LA sU

& $ — 9 funt in ratione zmver/a ;

t d

:oa38 eff reciproce ut 10: 25 4. a "- d & b -- d. *

CUJU'

ltem &; aQ & Dq: b funt rationes recrproce.

büg.

K

sCI—IOLIOlN.

dup

I22. Omnis reciproca in dire&am mvtatur, fi nempe al-

pónc

terutrius rationis termini permutentur, ut eundem cum altera

Cum

ordinem habeant

i a

DEFINITIO'V.

ipftim

tuadi

123. Ratio «qualitatis eft, dum antecedens & con-

Tuner

fequens zquales feu ezdem quantitates funt j ut 6 —— 6

Ratio geometrica dupla eft, dum antecedens bis conti-

eïsm

tatig

net confequentem feu dum quotus vel exponens eft

US'

t6:3&10: 5 & 8: 4 & 20: 10

Jvipla, dum

ter

t& *m

hi

z.

d

DERATIONIBUS

145

dife.

ter ut 6: $ & i12: 4.

Ouadrupla dum quater ut 20:

quiam

3 &c.

funt

$&8:

Ratio fübdupla , Jübiripa &c. eft, dum

antecedens bis, ter &c. continetur.in fuo confequente ut

, quia

3:60 $ 45

i2 &c.

Sef2ui . altera.| dicitur ,

dum

en d

antecedens íemel plus dimidia parte continet confe-

s foti

quentem ; ut 6: 4. Sefgui téitia fi quotus eft i i.

tUà

L&c, &C.

Sefqui quinta fi x

DEFINITIO VI

ceden

124. Si in pluribus rationibus geomettrici$ antece-

dentes$ inter fe & confequentes inter fe multiplicentur ,

oc eft

factum dicitur vatio compofita, & rationes fimplices di«

jn al

cuntur rationes componentes ; ità ex rationibus $: 9

4.185»3

& 4: 7 fit ràtio compofita 8: 68; ex 4: 6 & 4: 16

en 3-

üt 13: 06.

lia fi

Exponens rationis compofite femper eít

fa&um exponentium rationum componentium.

]ta in

q1ino:

ultima ratione exponentes fimplices funt 2 & 4, expoe

5

nens compofite eft 8 facum ex 2 in À.

Sint due ra-

ut fe

tiones 4: b & c: d exponens feu quotus prime fit 4 fe-

. (ed

cunda 5,

mutabitur prima tatio ex cor. IIL. in 4: àfé

nuijis

& alterà in c

[ 7

Si fiat compofita erit aé

T1

cujus exponehs eft m factum ex m in $.

Si ex rationi-

bus duabus «qualibus fiat ratio compofità, dicitür ratio

duplicata & tunc exponens compofite eft quadratum ex-

ponentis fimplicis,

Nam exponens compofite eft fa-

t *

]2

(età

&um exponentium utriusque rationi$ componentis, fed

in rationibus equalibus exponens eft idem, ergó per fe«

ipfum multiplicatur, fed ex hae multiplicatione oritur

quadratum ergo exponens compo[ite eít quadratum ex-

y

ponentis fimplicis; ex 2: 4 & 3: 6 fit 6: $4, cujus

)-7

'6.

exponens 4 eft quadràtum exponentis. 2«

Si fint dus

j/

rationes zquales$ à:

aj & b: bjerit compofita ab: abgg

coni*

&

A)

Cujus exponens eít 4i fed hoc efít quadratumi exponene

dum

tis fimplici$ q-ergó.

Si tres mültiplicentur, dicitur z/i»

gl

AMetab. IMath. P. T.

Is

P

146

CATUT 'VH

plicata, & exponens compofite in hoc cafu eft cubus

dut

exponentis fimplicis; ex 2: 4 & 3: 6 & 4

8 fit 24

He

192

cujus exponens eft $ cubus exponentis fimplicis

tion

g.

Si fint tres rationes «

aq & b: tq &c

€q erit com-

tur i

pofita abe: abeggq.cujus exponens 4* eft cubus exponen-

Alte

tis fimplicis 4: & ita porro fit ratio quadruplicata &c.

hac

&C.

pt

THEOREMA

por

125. Si termini rationis geometricze per ean-

dem quantitatem vel multiplicentur vel mvmantur,

beni

aüo non mutatuz.

YOci)

DEMONSTRATIO

Ratio geometrica eft fra&tio ( $.. 114. ) fed fra&tio-

Phipo

nis valor non mutetur , fi tam numerator, quam deno-

&quil

minator per eandem quantltatem multiplicetur aut divi-

port«

ratio

datur, ($. 88.) ergo etiam rationis geometticz valor

immutari nequaquam poteft

eüt q

Tracto

'HO ;

Hï

m yr

C ANPUT

per g

Tisi

DE PROPORTIONIBUS

DERINITIO.IL

Qu

b

roportio eft duarum rationum zqualium compa-

COT*M

IzGP

ratio. . Arithmetica quidem, dum rationes arith-

tica d

meticz : geometrica, dum geometricze comparantur. Hinc

( vl

omnes rationes zqualis differentie aut quoti poffunt mu-

(gg

tati & componi in proportionem, fa&o inter eas figno

sequalitatis z Due ranones zquales 3 — 7 & 5 —9

dant

DE PROPORTIONIBUS.

lAT

cubus

dant proportionem atithmeticam $— —5 -—949.

i 24

H due rationes equales 3:. 9 & 3

12 dant propor-

nplicis

^

*

I2.

Prima enuncia-

tionem gzeotnetricam 3: 9 — 4

It CotII*

tur tria ad feptem arithmetice ficut quinque ad novem.

ponoae

Altera trià ad novem ficut quatuor ad duodecim. n

2 &c.

hac non àdditur geometrice; omnis enim enuntistio pro-

portionis fine addito fupponit femper geometricam pro-

portionem.

COROTZTLLARITIUM k

T G

127. Quatuor ereo termini in qüalïb&:t proportione eífe de-

GAntar,

bent: duo antecedentes & duo confequentes: primus & ultimus

vocantur extremi: fecundus & tertius medii.

COROLLARIUM S 6ZIZZHÀ

128. Qus dica fünt de rationibus, applicari poffünt etiam

fractioe

próportionibus.

Ita proportio diredía erit, i uterque antecedeng

deno:

zqualiter fe habeat ad füum cónfequentem , ut in fuperiore pro-

yt d-

portione:. reciproca feu ímverfa erit, fi Contrario modo fecunda

» Valot

ratio fe habeat, id eft fi ita fe habuerit primus ad fecundum fi-

cut quartus ad tertium , feu & eadém differentia habeatur íub-

traco primo a fecundo, & quarto a tertio; vel idem quotus di-

vifo fecundo a primo & tertio a quarto? ut 3 — 7 — 9 — $

vel 3: 9 — 12: 4 inverfa operatione obtinetur .differentia 4

—

inprima , & quotus 3 in altera proportione;

Mutatur ergo fem-

per in diredam & veram proportionem, fi termini fecunde ratio-

nis invertantur,

COROLLARIUM Ilh

)

129. *Hiim-:'etiam generalis expr.effïo proportiónum deduci«

turj cum enim Oomnis ratio arithmetica per a. a« d wel b.

b -- d defiznetur, fi due tales rationes per fignum zqualitatis

conjungantur, habebitur formula generalis proportionis arithme-

corpa

tice a. a -- d — b. b -- d; & cum geometricz rationes ánt 4*

;; arit

ag vel b: bg erit comparatio harum duarum ratiobum sequalium

4: aq m b: bq,

[unt m*

æs ügno

E

25'9

daxt

K 8

D £E-

148

CAPUT VIL :

li at

DEFINITIO II

i

130 pum confequens prim:e rationis fimul eft än-

Qata

tecedens fecundz rationis, feu fisduo medii termini funt

zquales, dicitur proportio com/mua, dum ea, de qua

Cor

hac p

prius egimus, diftreia dicitut; ut 3 — $ — 5 — 7

ia

ln hac fecun-

vel2: 6 —— 6: 12 velo/ b z : 6

propc

dus & tertius terminus tantum femel feribitur & pro-

fum

portio arithmetica fic defignari folet — 3 — 5 — 7. geo-

erit

metrica vero —— 3: 6: 12 Item —— a: b: c. & termi-

St )

nus fecundus vocatur medius proportionalis.

Ya

fn

l

COROLLARIUM.

4: (

131. Si inhac proportione continua adhibeatur formula ra-

ttjo

tionis in cor. III, propofita a. a "-- d erit fecunda ratio a "- d.

f&l in

« -- 2d; cum enim antecedens fecunde debeat eíffe equalis con-

Tiedic

fequenti primz , erit hic antecedens a ^]- d, & cum confequens

&un

augeri debeat differentia, erit hic confequens a *4- d -- d feu

6z

a -]- 2d & formula proportionis —- a. 4 -- d. a -4- 2d. In geo-

metrica dum prima ratio eft e: ag altera debet effe ag : agg cum

n ;

enim confequens fecundze rationis fit antecedens X in quotum ,

erit hujus confequens aq X q —— dq^ &'fotmula proportionis

geometricæ--—:—:— a: aQ: aq-.

i bl.

"Theorema fundamentale,

Ttenp:

** di

I32. In omni proportione arithmetica fumma

Vilor

extremorum eft zequalis fummze mediorum: in geo-

etrica vero factum extremorum eft eequale facto

mediorum.

Bol

DEMONSTRATIO.

tinj &

2b

EU

Sit proportio arithmetica a, e z b. e erit a -- e

por litn

*3

zb --.c. Nam loco confequentis utriusque poteft f.cri-

& g

1

;!

58

DE PROPORTIONIBUS.

149

bi antecedens plus differentia, qu» , cum rationes fint

all

zquales, in utraque eadem eífe debet, ergo'proportio

data exprimetur his terminis a. a «t- d z P. b 4- d; in

funt

hac proportione, qu:z fimul eft expreilio generalis pro

qui

Cor. III. fumma extremorum eft a -- ? -- d, mediorum

Ti

Ut

4 "- -- b; fed he duse funt squales, ergo in omni

proportione arithmetica fumma. extremorum eft zequalis

I

fummz mediorum. 1ta in proportione 3 — 5 257 — 9

ge

—

erit 12 fumma mediorum

r

12 fummse extremorum.

Ti

Sit proportio geometrica «: c z : d erit ad —— ,

Nam per Cor. IIT. hxc proportio mutatur in hanc, quze

fimul eft generalis expreffio proportionis geometricz ;

a: dQ & b: bg.

Cum enim fit vera proportio, du

la fie

rationes, confequenter etiam quoti debent eífe zquales ,

fed in hac proportione fac&tum extremorum abq 2 facto

n

; cone

mediorum 4)4 ergo in omni proportione geometrica fa.

quens

€&um extremorum eft xquale fa&o mediorum.

1ta ..5*

d t

6 — 4: 9 erit fa&um extremorum 24 ame fa&o medio-

9e0

rum 24.

eum

X s

ttioné

CoäOLLARIUM I.

133. $i in xquatione prima d& «J- e — b -- c valor de e

£eu b -- d in primo membro, valor de c feu a -- d in fecundo

membro fübftituatur, habentur etiam a - b - d — b -a

"i- d fummz cquales: in altera ad — bc: valor de d eft bg &

ia

Mwalor de c eft ag , Xqui fubftituti dant abg — bag equalia fa&a,

u

C-'OROLLARIUM II

ido

134. In proportione continua cum fecundus terminus bis

pofitus effe fupponatur, erit in arithmetica fumma extremorum

'primi & tertii — duplo termini medii feu —— a. b. c. erita-d- C

— 2b, & in geometrica factum extremorum — quadrato termi-

ni medii feu — a. b. «. erit ac z— bb.

Nam foluta utraque pro-

portione in difcretam fit ex prima a. b —— D. c ergo a -- c

Ti

pu

zm— 9b. ex alteraa: b zb:

e

ergo ac z—bb,

n numeris eít

t feri

m ;3 (. 11 fumma extremorum 14 z— duplo medii 7 X 2 z— I4;

&

bi

* 3

i

Á«

"

VIL.

150

QAIP DT

& — 3: 6:

I2 fa&um extremorum 36 - quadrato meds

6 X 6 — 36.

COROLLARIUM lIl

135. Dednueitur inde methodus omnem proportionem in

zquationem . & omnem equationem in proportionem transmutan-

di.

Semper. enim poteft fieri vel fumma vel facum extremo-

rum.& mediorum, & hac ratione equatio haberi. Et vice ver-

fa datis duobus terminis vel memtbtis equationis utrumque poteft

refolvi in duos terminos facientes eandem fummam ; vel in fa-

&ores, unde oriebantur hec faca wqualia.

Ita ex proportione

4 --b —c-ed poteft fieri a.

C:d.

b; & ex abz—cd poteft

fieri a:cz d: P.

lta ex 12

-—7ÁÀá

—

9 potef fieri 3 -- 92— 5 -- 7

I

Que

& inde 3 . 5—-7 . 9 arithmetice, vel geometrice in factores

Q

$X62—3X4& inde 2:4 z—3:6. Deducitur inde fequeis

B

I

1.

THEOREMA

136.. Ex Fadribus duorum productorum

prim

teci

s&equalium octoó poffunt fieri proportiones geometri-

font

prm

cz, inquiDüs femper eft proportio djre&aq-

tUt

DEMONSTRATIO.

Duo yprodu&a zqualia faciunt equationem, qua

per precedens theorema in proportionem refolvi poteft,

confiderando alterutrum fa&um tanquam extremum. vel

tanquam medium, & fa&ores vel tanduam terminos ex-

tremos vel medios; fed etism quilibet ex factoribus

hac ratione vel primus vel ultimus, dum confiderantur

ut extremi, fecundus vel tertius , dum' confiderantur

ut medii, effe poteft, & hoc quidem ut ex fchemate

h t

terti

patebit, o&ies, ergo ftante femper proportione dire&ta

€xtte

duo producta zqualia in o&o proportiones mutari pof-

Ttre

fout,

Totum patet in adjeQo íchemate.

ad

DE PROPORTIONIBUS.

15l

) füedN

ad — þc

3xX98z2z4X6

a:bc:d

N rAnS0:B

a:cæb:d

alteznando

J

3:6:4:8

d:

p

yem ia

8:4:6:5

nsmutate

diczmb:ia

8:6254:3

Xttemo-

b:iazmd:c

invertendo

s 246

"a.

& Vef»

b:d:a:c

4:8

n

d

[L]

L]

6

t poteft

alternzïndo

.

(:ammdi

6:3

Guxsrem

Imesastme

8

L

df

L]

:

portione

e:sdzzma:

6:8-2-3

L

4

4 potéft

zi

In quibus omnibus eft zdzjc & 3X8zm4X6 adeo-

que femper fa&um extremorum. z fac&o mediorum,

| fadorei

equeiis

confequenter proportio directa ex equatione data.

COROLLARIUM L

I37. Si ita fa&ores difponantur in proportione, ut üt

primus ad fecundum, ficut quartus ad tertium , erit proportio

(torum

rfeciproca, in qua iterum termini uti prius o&ies mutari pof-

omeb

funt, ut femper maneat eadem proportio reciproca, & faíum

primi & tertii fit equale fa&o fecundi & quarti, ut patet ex fe-

quenti (chemate,

ad

Bc

2X8 —— 4X6

P ESEA.

3:4758

n, QU2

4:czd

2:6-—8

b:acc

j poteh

4:3:6

b:dcc

42-926

d:ö

6:3254

ino$ e*-

c:d—b

;ï

6:824

frorious

d:bzzza:c

$:4-—:3

d:cza:b

803

4« 9 o) oo O

ga'eæumr

n his enim ubique eft primus ad fecundum, ficut quartus ad

tertium: habebitur autem inde vera proportio dire&a, & fa&um

; hemate

d

extremorum 2quale fa&o mediorum , fi fecunde rationis termini

invertantur,

gi p

COROLLARIUM

Ir.

138. Poffunt denique ita fa&ores difponi, ut nullam omni-

no nec dire&am nec reciprocam proportionem confituant, fi

fcili-

n

K 4

E

152

CAPUT- VII:

fcilicet inter ipfos fa&ores utriusque fa&i inftituatur ratio, &

yid

fapet

he inter fe 2quentur, qu- dabunt o&o permutationes diverfas,

min

fed nullius pxogoxtionis; ut patet ex feq/uenti;-

quanti

ad zb

3X8 z 4X6

multil

a:dzzb:c

3:8224:6

bet Á

a.dz—c:b

3:82-6:4

5s

-- 4

b:eza:d

4:6.—;:.:3:8

V |

Db:cxd:a

4.:6,..-:.:8':3

otrit

cibzca:d

6:428388

c:bzcd:a

i ad

6:4-—8:3

ropoi

d:azg-b:c

$:22z4:6

Qutes

diazzc:b

8:37—6:4

"H

M -

Yn loc enim cafu nullo miodo fa&a erunt equalia, nifi rationis

ceujusque termini inter fe multiplicentur , quod eft contra defini-

Xionem proportionis.

ltem ratio prima nunquam erit fecundae

vqualis, quocunque modo fecunde rationis termini ponantur,

quod itidem defipitioni proportionis repugnat, quz rationum

les i

vqualiumr comparatio eft.

20myj;

COROLLARIU M II.

Timet:

Tatot |

139. Cum rationes zquales per eandem quantitatem aucte

tor ad

& imminute tamen maneant rationes zquales ($. I25.) poffunt

Difatt

plures adhuc fieri permutationes, quin proportio mutetur, au-

Vel 3

gendo antecedentes per confequentes, aut minuendo; vel au-

':18

gendo confequentes per antecedentes , aut minuendo: verbo tot

ver[o;

poffunt fieri mutationes, quot multiplicationes extremorum &

hoce

P d

mediorum dant fa&a equalia,

Yatort

]

g-—kö tb-cHd-.d

d

37-4

6-l-8

L.

—

&-T-a: bcH-c

;

d

3"P3

ï

4 -6--6

-9 99

*

*

f, componendo J

a ; aC b—c

3:3*--4256 : 64-8

um

c-il-d.

$

lioc el

& :b-—a-cid—c

43 f4——326:78-—-6

d-—-b K 5.....——-c-—a *

98—4:42256—3:3

fiümer

-]ï; dividendo

d- b:d—bzzccebatc—a

8-F4:8—42264-3:6—3

&c. &c.

E

SCHOLION.

EU

x40, Bene notanda funt, que de transmutatione sxquatio-

M E

ert

w À

in propoxienem autvice v

4 dic&a funt, cum per totam.

Mathe-«

m 25

DE PROPORTIONIBUS

153

tio, &

Mathefin ingentis fit utilitatis,

ideo bene diftinguendum eft

retfag,

femper, quos fa&ores quodlibet fa&um habere pofht, ut inde

termini prOpOl,'th!llS efformentur.

Dum una tantum videtur effe

quantitas, femper alter fa&or unitas effe poteít, quz cum nil

multiplicet

femper pro altero fa&ore haberi poteít, ita x ha-

bet fa&ores x & I adeoque equatio xc—cd habet fadtores x XI

emOXd 4

& proportio inde fit x:;cz—d:1, vel I:c6—d:x.

& in utraque eáàdem oc-

Dum factum efi quantitas complexa,

currit litera, haec litera & quantitas complexa funt factores;

ita zd——4

ag — br dat fa&ores (n—I)d.—..(a--b)g &

jtem 1——2axxz-a dat fa-

proportionem n— I:a-——b ezg:d

&ores I——xX1--x-—aX1 & proportionem I —x:4— I:1

-x

Item xx— yy-—IEI dat x— y:IzI1:x»]-y vel conti-

ttonis

aAue — x—y:ilixnbey.

defiti«

COROLLARIUM

écunda

nantut,

I4r. Cum fra&iones fint rationes, omnes fra&iones equa-

A

ies in proportionem refolvi poffunt vel direc&e dicendo:; ut de-

nominator ad fuum numeratorem, ita denominator alter ad fuum

numeratorem , vel ut numerator ad denominatorem

ita numes-

rator àád denominatorem, vel dicendo.reciproce

ut denomina-

dUARg

tor ad fuum numeératorem, ita numerator alter ad fuum deno-

minatorem & vicifüm

exo&

iy fit vel dire&e 9:3-——18:6

offunt

aü

Vel 3

9z2562:18 aut rec1proce ut 9:326:18 vel 3:9

& di-

la

zexm18:6.

$i fra&iones habent eundem numeratorem,

verfós denominatores; funt in ratione invería denominatorum;

bo 0

hoc ef prima ad fecundam ut denominator fecundae ed denomi-

Ui &

natorem primz.

Sic —— : —

;

pIX

z5:4. Patet, quia fa-

4 5

)

3X5

éC&um extremorum

-

ais

u 37

—c fa&o mediorum —

5

iT5

hoc eft a—a & 3 — 3.

Si vero denominatores funt equales, &

a

c

ità —:—-

anumeratores diveríüi, fra&iones funt ut numeratores

d

d

H

;

3

e—nrn-cgm

——

.-——-—-3 2,

Nam facum mediorum

ubique eíft

673

5

ac

— — À À—

«quale faécto extremoru

À

5

4

E

jato«

roti

K $

E O.

1e*

154

DCAPUT YR

THEOREM A.

H

1492. Si mültiplicentur auf dividantur termini

Mmet

unius proportionis per terminos. correfpondentes

jee p

qut 1.

alterius proportionis; hoc eft primus per primum,

in prim

fecündus per fecundum &c, producta vel quotientes

etiam erunt proportionales,

-—?..

"u

DEMONSTRATIO.

Sit

c: d

n

&

f

g:lz

tit, f

i. !

erit etiam ae ! bf g. 28 in prima pro-

EW

portione quotus z 4, inaltera quotp's —p, per cor. I1I.

per|

prima proportio abit in hanc

L

ü

2:4

3

6

tencmcunep

& altera e

;.

ep ez p $ gp

97* 9

o

6 :36z15: 90

compofita ae: aegpzceg:cggp. Sed ha duz rationes

$ y

funt zquales, quia in utraque eft quotus 4p; rationes

Tunt

autem zquales conflituunt proportionem, ergo propor-

les, .

üjones inter fe multiplicate faciunt iterum proportio-

Yote

nem. JQuod de duabus demonftratur, de Pluribus eo-

dem modo demonf(tratur,

cO'RorQLARiUM 1.

142. Si igitur omnes termini proportionis per eandem

m

«uantitatem multiplicentur aut dividantur; vel fi duo anteceden-

tes per unam ; & duo confequentes per alteram quantitatem mul-

u

tiplicentur aut dividantur, termini ita au&i vel imminuti fem-

Por

per manent proportionales.

Semper enim refolutis terminis ut

prius fa&um extremorum eft equale fado meqdiorum,; ac proin-

4e vera proportio,

C o-

DE PROPORTIONIBUS.

155

COROLLARIUM

H.

144. Cum in arithmeticis fiat per.additionem, quod in

il

seometricis per multiplicationem , fi du» proportiones arithme-

Dntes

tice& proportionaliter addantur, fumme manent proportionales,

if

eut fi fubtrahantur, diferentim funt proportionales: differentia

in prima fit — d in

J

h

MI

'fecu,nda —

&.aa-d

b .b d. d

39

T 4

9

—

€. c70-x

e,.€---x

2

3

Ó| ll

4

5

er-c . anrbzoi-d-i-x—bu-cC.b-POHRdMEX 051 8

——

E 4

COROLLARIUM Il.

145. Si igitur proportiones zquales inter fe multipbcen-

tur, faca, per prius demonftrata ,. etiam manent

sproportiona-

iia,

"s

$i jam tres aut quotcunque fint tales proportiones multi-

plicantes, faca (ífiue cubus aut potentia quzcunque erunt) fem-

Ill,

per funt proportionalia, ergo proportio a:b—e«:d per fe ipfam

multiplicata dat mnililwsz progorzionem,- compofitam

L5l

-—.—ï'

)2

:b

z

penu

dZ

&

Sed proportio, qus» multiplicatur, funt radices, & producum

(

funt quadrata harum radicum, ergo fi radices funt proportiona-

)

les, etiam. quadrata funt proportionalia, quod fequenti theorc-

mate enunciatur:

r

Q

Potentie- radicum proþor!ionalium Jfunt pfr'oportionales.

THEOREMI.A Á IIIL

I46. $i fint duze proportiones, in quibus fibi

invicem fubfícriptis lineze ad inzquales quantitates

]s

ductz funf parallelze, quantitates h& dicuntur pro-

l-

portionales ex equo

"

a:b

d

N

Ó i:im

../Il

156

CAEXPUT'VI

& erita:mzzcc:n.

Namex prima poteft fieri alter-

nando a:c—b:d ex altera b:d e m:n ergocum

a:c &m:nfintzstertiz b: d zequales, erunt zequales

&ced

inter fe a:czzm:n vela:imc:n.

Q. EO D.

rint,

THEOREM. V,

147. Si in eadem hypothefi linez ad inzequa-

les quantitates ductee funt convergentes, quantita-

tes hz dicuntur Proportionales ex «quo pertur-

Nu

bato,

&:b

i

c:d

p

N

^A

ass

n

b:m

. C

erit a:m—n:d; fed in prima ad — bc & in alte-

ramnz-zzbc, ergo ad--mns; refoluta hac sequa-

Wa

tione in proportionem eft o:mzzn:d. Q.E.D.

fiaje

i

THEOREMA' V.

aQ |

148. Si in duabus proportionibus primi ante-

cedentes & ultimi confequentes vel viciffim zequa-

pv

les fuerint, reliqui termini funt proportionales re-

ciproce.

Sdl

Su

Sjia:b

q:nm

q

l

ec **

lo

erit

b:m

ll d n

7;:2

0&49»

DN

Nam adz-bc & etiam mnzzad, ergo bc — mn.

T

Refoluta hac zequatione eft proportio reciproca

Se

b:mz-n:c.

W

THEO-

N

DE PROPORTIONIBUS.

157

|lter

THEOREMA VI

C

Jales

149. Si in duabus proportionibus utrique an-

tecedentes vel utriqüe confequentes zequales fue-

rint, reliqui termini funt directe proportionales.

Sia.:b

d

u

a .Th

::

n

1

erit

b:m

l H

d:n

TU

Nam alternando eft a:czb:d & a:czmm:n et-

go etiam erit direte b:d — m:n.

THEOREM.A.'VYIL

jlte

150. Si fint plures rationes zequales, quarum

qua-

una alteram fequitür, feu plures termini proportio-

nales, erit fumma omnium antecedentium ad fum-

mam omnium confequentium , ut quivis antecedens

ad fuum, confequens.

Sit a:b o cidzzeifomg:h&c, poterunt mu-

ii

:

qüä

tari in hos

a:dgz-Cciegmmeieq-—g:8g

lia

Summa antecedentium eft a -- c -- e -- g

Summa confequentium 44 -- cg -t- eg -- 9g

erit G --c--e- -p:aq - cq - g -- gg — a ag

hoc eft a --c2-e--g:(a-2-c-2-6-2-g)9 —a:aq

multiplicatis mediis habetur (a-4- c -- e -- ) aq

ttt

multiplicatis extremis ( 4-t- c -- e -9 ) aq

Sed liec facta funt 2equalia, & ubi factum extre-

Xa

morum zequale faco mediorum, eft vera propor-

tio, ergo eft fumma antecedentium ad fummam

con-

158

IUATPD'T'UVIL

confequentium , uf quivis antecedens ad fuum con-

fequens.

tont

PROBLE—MAII.'

I51. Datis tribus terminis proportionis inve-

tire quartum quocunque loco ponendum.

RESOLUTIO.

tàtu

Terminus incogüitus vocetur x & ponatur ad lo-

valo

cum termini quisrendi;

ex proportione fiat zquatio,

vel addendo extremos in arithmetica, vel multipiicin-

do in geometrica, & quaratur x per regulas zqua-

tionisk.

A. bzmc.x

erit a--ximbebo xibj-c—a

a.blImx.c

erit

a—i*-c:b—!—vx & xzca--ce—b

Den

AsXxuRb.c

erit

a-i-c:..—x——i-b & xzzad-ce—b

x.azmb.c

erit

x-c6m—a-b & xma-*-*ï-—-—-c

bc

a:bummc:ix

erit

axzmbc & xm—

a

Qatt

ac

eft gt

a:bmmxcc

etit

acmiÓx & oxI——

apyli

ac

Y —

b:c

erit

d m E CRES

ab

x:üzmb

erit

xémmab & xIÍI——

[4

DEMONSTRATIO,

Omnis . proportio

in squationem .mutati poteft

($. 135.) in qua per transpofitionem valor de x in-

venitur ( $. 9o. .

PRO-

DE PROPORTIONIBUS.

159

CQf

PROBLEMA II

1s$2. Datis duobus ferminis in proportione

continua invenire medium vel tertium.

IDve

RESOLUTIO.

Terminus incognitus, ut prius, vocetur x & po-

natur ad locum qusxrendi, fa&a zquatione inveniatur

lo

valor quantitatis x,

intio

——

a.b.x erit a-l-xz2b & x--""zl'—-/a

4 --b

i

—

4.x,b erit a4--bz2x & xzz-———

A

hQUi

bb

fhcob a:lfgx erit ax

——ihb& xz—

—

a:x:b erit ab z—xx & x.-.—.:[a/c;g

Demonftratio eadem eft cum przcedenti.

SCHOLION.é.

153. Methodus hec ad tres datoärinvenïendi terminun

quattum dicitur Regula trium, qus in communi vita ingentis

eít utilitatis, ideoque regula aurea vocatur, de cujus prádica

applicatione fequenti paragrapho agemus.

Z

Fïä?

ot'eïï

r li

C A-

)i

160

CAPUT VHI.

dem (uX.

boe: wt

CAPUT VII

partinent

tem, du

p

DE REGULA AUREA,

DEFINITIO í.

If

&i ejusdt

154. egula aurea feu vegula proportionis eft metho-

Yi qu

À. dus àd tres terminos datos inveniendi ter-

in tert

minum quartum.: feu.ad datum antecedeutem invehien*

abtoluty.

di confequentem talem, ut hac ratio fecunda, curt

priore squalis, proportionem efhciat.

Proportio au-

tem & ratio femper intelligitur geometrica.

COROLLARIUM.

lem à

155. Qus ergo di&a funt de ratione & propoftione geo-

Ea vel e£ fimplex ;

metrica, etiaum regule aures applicantur.

dum ad tres terminos quaritur quartus, & du tántum rationes

I

dantur, vel compofita, dum ad quinque fextus, vel ad feptem

Dire&a

minati

OC&avus qusritür, & tres aut quatuor rationes dantur,

erit, fi primus terminus fuerit ad fecundum , ut tertius ad quzx-

ejusder

rendum: inverfa ( primus ad fecundum , uüt reciproce quattus

Cjs te

querendus ad tértium datum.

Débitus tezminorum ofdo fem-

l

per dire&am dabit;

quirty

SCHOLION

eäüem

prim,

156. In omni problemate regule aure» duz femper hypos

hefes funt, una rem facam aut datam fupponit, & altera pro-

I

portionaliter ad illam rem faciendam aut inquirendam proponit,

[er p

ut, dum datur, quod 4 fudiofi per. ménfem expendant 19 fio»

tenos$, & queritur, quot :2 ftudiofi expendant.

Datur, 3 ulnas

páànni emptas eífe 7 florenis & queritur, quot ulid$ 21 florenis

emantur.

Supponitur, 12 foffores 24 orgyas uno die abfolviffe,

queritur, quot abfolvant 50 foffores,

funt;

COROLLAÁARIU:M.

poi (

l0s Q

257, Patet inde ex quatuor terminis düos femper ejusdem

fpacif.-i feu denomination»is inter fe e(fe, & xeliquos du

Os ean-

,

derni

U

DE REGULA AUREA

161

dem quoque inter fe, fed diverfam a priori denominationem ha-

bere

vt in prioribus tribus exemplis.

In primo duo termini

Pertinent ad ftudiofos, duo ad florenos

in altero duo ad mer-

cem, duo ad pretium: in tertio duo ad íoiores, duo ad or-

gyas

l

$SCS&OLION

158. Si regula eft compo(íita, duo alii adfünt adhuc termi-

ni ejusdem inter fe, fed diverfz a prioribus denominationis, qui

1850

ilud quoque,

quod defienant, facüm aut datum fupponunt:

ut

(i i&

in tertio exemplo adderetur, intra 8 dies quot hi 50 foffores

een

abfoluturi fint.

, Cuii

PROBLEMA I

[) i

159. Invenire terminum quartum prcportlona-

lem ad tres datos in regula aurea fimplici.

& £0

RESOLUTIO

mplex;

4tones

I. Terminus ejusdem cum quarto qu:rendo deno-

epterm

minationis ponitur ad locum tertium , reliquis duobus

jiteda

N

ejusdem inter fe denominationis pro pmmh duobus lo-

cis refervatis.

qu.artuf

j fen

I1.

Videatur

pnum ex conditione problematis

quartus debeat major eífe quam tertius an minor; & in

eadem ratione primi duo numeri ponantur, ut femper

primus fe habeat ad fecundum, ficut tertiusad quartum.

Irypo

IIL. Multiplicetur fecundus & tertius & dividatur

) p

q)uu 'llf,

per primum, quotus erit quartus.

j f0*

DEMONSTRATIO

]na5

)renis

Res per hos terminos fignificate proportionales

tife,

funt; ita merces pretio, perfone labori, fumtus tem-

pori &c. proportionalia eife, quotidiana experientia

nos docet, aucto igitur vel imminuto uno in certa qva-

qsiem

dam

g eM

JMeizb, Matih. P. 3

L

[2n

Gs

1]

VHI.

163

CAPUT

*2

dam ratione, al;ua quoque in eadem ratione augesfur

& m

EH

jim

vel iminuatur neceffe eft; hinc pofita augmenti vel de-

crementi ratione in merce vg. pro primis duobus ter*

bx

dent. C

minis, ejusdem: augmenti vel decrementi ratio in pretio

hG

pro aliis duobus termiris efle debet. ^ Sed multiplicato

$ qum

1

fecundo & tertio, & faco diviio per primum, obtinetur

eadem ratio & proportio in his quatuor terminis, ergo

ï

per prxdi&as regulis quartus proportionalis inve-

nitur.

Quatiüs

Exemp!. I.

A Studiofi expendunt per menfem 19 flore-

Ex

nos, quot expendent I2 ftudiofi?

1 des,

Res, Quantitas forenorum ad- tertium locum yponitur,

cum foreni querantur.

Et quia 129 plus expendunt quam 4,

W

florenorum numerus querendus major eíffe debet quam datus I9»

toeffor:

Sicut

Hinc etiam fecundus major eife debet quam primus.

hine et

/!

cnim fe habent pauciores ftudiofi 4, ad plures I2, ita fe ha-

bent I9 floreni a primis folvendi ad plures ab aliis folvendos.

R.

f.

fl

n-

4* I2 — IO : X

Quirus

müïtïplïcatäs mediis 12X I9 & fa&o 428 divifo per primum 4

Ex

habentur 57 floreni a 12 ftudiofis per menfem folvendi.

äïehus )

1.

fufidet

'SCHOLI»ON

K

160. Cuüm n omni proportione rite inüitufa fatum extremg-

plutibus

sum debeat effe equale fa&o mediorum, fi terminus quartus in-

ptim

ventus eft proportionalis ad reliquos terminos, facum quoque

Erit er-

extremorum hic debebit effe zqvale fa&o mediorum.

ld 0

go examen problematis rite refoluti, fi terminus primus cum quar-

t0 invento multiplicatus dederit equale fa&um multiplicato fe-

Ex

cundo cum tertio.

bl

itpler ;

Vuplebi

Exempl. IL. Tres ulne panni emuntur 7 Horenïs,x 21 flo-

R

yenis quot ementur?

»

Res, Cum pro 21 f plus

acquiram 'quam þrc»

(-3

1najo£

hinc íecundus quoque major

mnumerus ulnsrum quartus erit,

prime

f.

ul.

ul«

g.

K&a 0j

b

[

;21?.:3:3;

&

—

DE REGULA, AURE A.

163

fa&a multiplicatione

21 X 3

63.& divifis. pet 7 , z 9

alnis,

Exempl

H

3O foffores effodiunt 24 orgyas, quot effo-

ient 5O foffores ?

Res.

Cum plüus effodiant 50 quam 30, majot ent quar-

tuüs quam 24; hinc fecundus n.a;or primo

f'

f,

Or.

Or.

30

50

24

4 X 50

Quartus invenitur

4O0.

Exemp!

IV

8 mefores abfolvunt lahorem in aero intra

12 dies

fi accipiam 24, intra quot dies abfolvent ?

Res.

diebus

habeant

Cum paucioribus

opus

plures

meffores, quam pauciores

iartus debet eíffe minor quam I2,

hinc etiam ífecundus minor quam primus

m.

In.

d.

dO

24

ig

——

CT2

Quartus. erit

24

H

Exempl.. V.

Pro 24 militibus füfficit. annona im atce 30

diebus, fi augeatur numerus militum, & fint 40O, quot diebus

fufficlet ?

Res.

Cum paucioribus

diebus

eadem. annona . fufficiat

militibusg ,

quartus minor erit tertio,

& fecundus

pluribus

primo

!

L]

4O

5

facta operation

erunt dies inventi 18

Exempl. VI.

"cfyposraphus 24 lineas 1n fpagina collocans

implet 7O paginas, fi 30 lineas cuilibet folio dat, quot paginas

implebit ?

Res.

Pauciores utique paginas implebit quam 70 hinc

30 : $4 e-'vo 5X

iib . r

X 7O

fa&a operatione efit

z 56 paginis

L2

$ C€H O-

fe

ÁÁ

E

.

CAPUT.VII

164

SCHOTION 9Il

161

Dum partes heterogenez aut numeri m'xti adíunt,

il re:luceþdæ funt ad fpecjem minimam, hi ad fra&iones fim-

p]ïcvs

ut 22

. ulnz empte funt 19 noxems 30 cfuciferis, Quan^

& erit I ulna?

ul.

XI.

1170

!

*

4

ä

Fiat

:

X quartus xeperitur 312 xt

feu 5 fi. 12 Xr.

SCHOLION Il

169. Huc etilam pertinet methodus frac&ionem quamvis in

aliàm dáti denominatoris mutandi non mutato valore, feu inve-

niendi valorem cujusvis fra&ionis in partibus fingulis integri feu

monete feu menfure, feu alterius denominationis

Cum enim

omrnis fra&io fit ratio ( $. 114) due fracdiones equales in pro-

ita ut fint ficut denominator unius ad

portionem refolvi poffunt ,

fuum nuümeratorem, ita denominator alterius ad fuum numera-

torem ; detus izsitur denominator novus erit tertius terminus, ad

quem queritur numerator; denominator.vero & numerator datus

erunt primi termini,

Si quis fcire velit, quot

4

$ uvunius foreni

faciant crüciferos feu 607* ád denominatorem 6O quaret nume-

fatorem dicendo 4:32—60:45

& $$ erit equale 4.

Ita 2 E

pedis fi in digitis feu Ioms partibus habere velit, fac1et u;g 3

£c12:8 & 8 digiti erunt $ pedis.

PROBLEMA II

1623. Invenire ferminum proportionalem ad

quique aut feptem datos in regula aurea come

s

L)

poüta

93

RESOLUTIO

Reg. I. Terminus ejusdem Cum quafito denomina-

tionis ponitur tertius.

1l Ad primum & fecundum locum ponuntur duo

termini ejusdem inter fe denominationis negle&w aliis

&

interea, qui tanquam non prefentes confiderantur

a

CUuIn

*;

DE REGULA AUREA

165

eum iis juxta regulas & animadverfionem fuperms pra-

fcri ptam quaritur quartus.

adtmt

tes (im

IIL Inventus quartus in nova regula ad tertium

Quan«

locum ponitur, & duo numeri ejusdem inter fe deno-

minationis prius negle&i ad primum & fecundum juxta

animadverfionem prius datam ponuntur

multiplicatis

mediis & facto divifo per primum habetur quartus quafitus.

VET

IV. Qui rurfus ad locum tertium ponitur, & duo

negle&i adhuc termini ejusdem inter fe fed diverfz a

p

prioribus denominationis juxta animadverfionem datam

mvis in

ponuntur, & quartus per regulas quszritur.

'ü inve

egri Íeu

DEMONSTRATIO.

m enm

in pro

Solutio tota fit per regulam auream ter applicatam,

ergo eadem demon(tratio , que de una data eí(t, eidem

niüs ad

umera

ter repetitz fine difficultate applicatur.

nus, ad

* datuf

Exempl. I

8 equi aluntur 9 faccis avens per I2 dies;

& 16 equi ünt & parentur 24 facci, quot diebus fuüfficient ?

lotent

Res

I9 dies locum tertium occupare debent.

Pro primo

qune

]u

& fecundo loco accipiantur equi, faccis interea omiffis.

Ques-

ratur, an eadem portio pluribus diebus fuffectura fit majori nume-

u32

ro equorum, & invenietur, breviori utique tempore plures equog

ali

offe quam pauciores, igitur quartus minor tertio & fecun-

dus primo.

eq. eq.

d

d.

6

m

Y6:8

CU*

Inventus 6 ad tertium locum ponatur & equis negle&ig accipian-

j

tur facci pro primo & fecyndo

Quzerituf num major numerus

faccorum pluribus diebus equis iisdem fíuíliciat quam pauciori-

bus & id absque dubio verum invenietur,

*

Proinde quartus ma-

jot tertio & fecundus primo

mio»

fac.

fac.

d.

d.

9;24-26. 16

duo

*t:go I6 diebus, 16 equis, 9 facei fufficiunt.

aliié

&

L3

EXEMs:

um

s

R

166

CAPU-r VIIL

Qu

Exempl. YI. 4 operarii 3 diebus exftruunt $ h&xapedas,

f $ operarii laborent 7 diebus, quot facient hexapedas?

y p

0,

0-

hex,

hex.

&ione

5

x

um

d.

d.

ditos ;

P

P

OP o

u

"

3

$i và

primus x invenitur $X5-—

— — rl

25 —

6 dein in fecunda regu-

n

25

Q

——

X7:3-—5I4,45. ergo 5 operarii 7 diebus finient 14 &

$5 hexapedas,

&tior

Exempl, IIH.

Capitale 3550 fl. dat cenfum 1420 per :

in di

annos, queritur, quantum cenfum per 20 annos det Capitale

t

eimecii a N

50OO00 for.

pet

Cap.

| Cap.

cenf.

du

e

50000

Mi

1420

.

X

pii

3550

an

aTle

1o

20

[

x

Ím

Inventus primus terminus x — 20(500, qui

ad tertium locum 1in

fecunda proportione pofitus dàát quartum ex fequenti proportione

10: 20 z 2QQOO : 40O0O0 ergo cenfus

per 20 annos eri*

40000.

£m

p

SCHOLION.

hi

164. Qu hic de Capätali dictintur & cenfu annuo íi algee

Vüt

4

bralce exprimantur, poterit inde formula generalis pro quolibet

V

cenfu cujusvis Capitalis etiam fingulis anni diebus competente

deduci,

Cum cujuslibet Capitalis cenfus relate ad cenfum, quem

& centum florenis percipimus, calculetur, prima proportio infti-

€«0

tui debet ut ICO ad fuum cenfum , ita Capitale datum ad fuum

cenfum: dein fecunda ut annus integer feu 360 dies, ad dies,

Pro quibus cenfus quzritur, ita cénfus prius inventus ad quafi-

&

tum diebus datis competentem.

Sit cenfus a xOO

f-—1:

E.

Capitale datum :C.: Dies dati —D erit prima ?mporïio

^

iC

T

Iico

*

*

tf

——— dein

:C

iCD

$

5

p

o

D sl

ico

* 360c0

C

yst

I

DE REGULA AAUREA.

167

|

g

Cum vero jam üamtum fit, ut pro IOO cenfus fit 4, loco i p^*

YXopediy,

H

ni poteít 4, &(for-muïa generális erit

—— feu redu&a fra-

»

&ione ad minores termïnoS z -——- ,Lhoc eft, Capifale ducatur in dies

datoa, & fachunm dividatur . per 9000, quotus erit cenfus petitus.

Si valot haberi deþeat in cruciferis, numerator per.6o muïtiplï-*

! feft«

D

— , tedu-

,

lp &

cari debet ($. 162) & formula -—-—- mutatur in —

9)

&ione ad minores terminos erit —— hoc eft: Capitale ducatur

et 1$

in duplum dierum & factum dividatar per 300 quotus erit cenfus in

pl

ub

eruciferis (anno dantur 360, & menáü cuivis 30 dies) Ita ü

6000 X 6

—

petatur cenfus a. GOCO fl. ad 6 dies fiat —— —

4 $. ex

prima formula.

IL r500 $ quam cenfüm dantintra 9 dies ? Fiat ex fecunda

formula

1500XI8 t 27000

——

z 90 xris — I f 3O xris.

300

200

n 1

ytione

350X16 3 5600

— ——

XIL 350 f. in 8 diebus? fiat

8

eti

oO

cruciferis.,

Si pro cenfu annuo 1OO florenorum fint y, 2, 3 &c.

aut rL, 0Í, 3I &c, foreni, hec quantitas in formula pro

z

£

fubfituatur, & ad omnes cafus poíübiles applicatio erit.

Exempl. IV. 3 homines quotidie 7 horis laborantes ab:fol-

altes

vunt 2 diebus 94 hexapedas, quot facient 5 homines 3 diebus

olibet

«uotidie 4 horis laborantes ?

tente

Res. Prima Xproportïql accipiendo homines neglectis aliis

quem

ii«

eonditionibus, plures plus faciunt; ergo

hom,

hom,

hex,

hex,

fyum

L

.

3

*

5 - 84

.

x z IA4O

je$,

li«

Secunda proportio accipiendo dies, tribus plus fit quam duobus

d.

d,

hex,

hex.

:ii

.

at

E

ergo

"

»

3

—

140

.

x

LÉ 9yO.

Tertia proportio accipiendo horas, cum 4 horis minus fiat quam

Ortio :

7. erit prop

hot

hor.

hex.

hex.

s

pem

3

*X -

?

4

210

130

LA

$CHQ-*

st

a

168

CAPUT VII.

SCHOLION,

I65. Quevis regula compofita etiam per unicam regulam

auream folvi poteft , fi primz rationes feu conditiones, rite ta-

men pr!us «:/Ii*fpoütæ, inter fe multiplicentur, atque ita ex illis

vel ]

unica ratip*efüciatur, pof quam tertius datus ejusdcm cum qua«

colli

xendo dénominationis ponitur, & quartus ut prius queritur.

(?ïftiü

Cum enim fecundam rationem omnes etiam conditiones, quz in

Qem

primis duabus aut tribus rationibus continentur, ingrediantur,

eviden$ eft, exponentem inter tertium datum & quártum quafi-

potü

tum eündem eífe debere, qui in primis duabus aut tribus ratioe

nibus fimul fumtis eft. Prius ergo problema multiplicatione pri-

ded

ajrum terminorum faé&a (íüc ftaret:

quai

42 : 60 & $4 : £ z 120

Ef erzo quartus

— 120 hexapedis; idem numerus, qui priug

per triplicem operationem inventus eít.

val

DEF;INITIO 1.

te

166. Reguia focietatis eft methodus inveniendi

quantitates fingulis proportionaliter competentes, qui

prius focietste inita fummam quamdam contulerunt, ea-

RE

que vel quidp

^

iam lucrati æ(e; damnum commune patli

funt.

PROBLE*MA U.

LO

Invenire terminos proportionales in regula fqe

cietatis.

e

2]

RESOLUTIO.

[

L. Collatz fumm:z partiales in unam fummam tofa-

lem colligantur.

II. Fiat, ut fumma tota ad partiälem füummam pri-

mi, ita lucrum feu damnum totum ad lucrum feu da-

mnum partiale primi, & hoc toties repetatur, quot

funt partes contribuentes.

D

-

E

Ej

g

DE REGULA AUREA.

169

DEMONSTRATIO.

terülam

üte tàs

Evidens eft, fi fuerit eadem ratio inter damnum

x illis

vel lucrum totum & partiale, qua eít inter. fummam

um quae

collatam totam & partialem, partes proportionaliter

U2titur,

que i

diftributas efle, fed per precedentem methodum fit ea-

.

dem ratio inter predictos terminos, ergo partes pro-

lantür,

E*

. quefi«

portionaliter diftributæ funt.

p Tv

Exempl. f.

'Tres cives negotiantur in Americam, primus

ne pri-

dedit 5000 alter 300c tertius 2000,

lucrati funt X15000,

quantum cuivis dandum ?

Iocooo

5oo0Oo

150OO

7500 primo

Iioooo

3000

—

15000

4500 fecundo

::

r

t

[ ptiul,

IiCcOCcO

20O0O

15000

::

3000 tertio

Exempl. II. Tres me;'catores focietate inita emunt 4009

vafa ,

5O0O aureis.

Primus vult 130O vafa, alter 1460,

tertius 1240 vaífa, quantum quisque dare debet?

v.

N.

a.

2.

j

ent

.

.

40CO

.

: 1300 — 500

.

1691

primus;

, Qui

V.

V.

z.

g.

*

, 6*

4OOO : I460 z 5CO

e

182

—

fecundus ;

v

V.

&

pad

4000 : 1240 z— 500 : 155

tertius5

SCHOLION.

167. Si alis annexm fint conditiones, ut prius di&um eft

de regula compoíita, ii, exempli gratia, prwter collata diverfa,

de

etiam tempora fint diverfa, pro quibus finguli contulerunt; tunc

antequam proportio ordinetur, collata fingula per fua tempora

multiphicentur, & hec nova collata in unam fummam colligan-

Aur, & proportio cum his novis terminis au&is fiat.

0fae

Exempl.I, Mercator primus contulit IOO ad 19 menfes

fecundus

13O0.ad IO menfes

6 menfes

tertius

300 ad

pri-

& lucraii funt rTOOOCO, qu

vritur lucrum cujusvis?

e

erit collatnm primi

1900

fecundi 1300

guot

tertii

1800

Summa 5000

L5

5 OC*

W

370 CAP. ViIl. DE REGULA AUREA,

*

primi

"

"$009

*

1900 s l0000 : 3800

*

| $000

1300

—

Ioooo

*.

2600

fecundi

*

*

tertii«

$9000

;800

M

IOOO0 : 3600

SCI*fOLïON

IL,

168. Q hic addi folent ab arithmeticis de regula alli:

gationis vel mixtionis, in æquat'ïonibus ($. 160.) tradidimus,

DEFINITIO III.

W

169. Reguïa faltfe pofitionis confitit in eo, ut

Pj

incognitorum terminorum loco affumatur valor arbitra-

tUnn

rius, qui tamen quantitatibus incoguitis . proportionalis

[

fiat, ut per regulám trium valor verus eruatur.

lN

Exempl. I. Sint dividendi r309 8. inter tres perfonas;

primus quintuplo plus habeat quam fecundus, fecundus duplo

plus quam tertius.

Si hic acquirit I, fecundus acquirit 2 &

primus IO, fumma horum eft I3. Fiant jam tres proportio-

nes: $i 12 funt diftribuendi, primus acquirit IO, fi 130O £.

funt, quantum acquiret ?

IO

ICOO pars pfimi

|

13

1300

13

Z

1300

200

fecundi

::

r

t d d

S

100

tertii

Bu

13

1300

T

.SCHOLION,

n

I70, Quisque advert-it, h»c & ümilii ptoblémat4 per

equationes íimplices, & regulas ibidem traditas folvi, hinc de

hac methodo plura non dicemus, algebre enim elementig ig»

fitutus, falfe poütionis adjumentis opus non habet,

K

Y

:

r

7

*

U

:—

7

NIN

M

1

C À-

Mb

GN

$"7I

priethemnteesioroiiia ii

x mmm

— ——

C A P.U. T. IX

FE

DE PROGRESSIONIBUS.

li,

DEPINITEIOS

I

rogreffio eft feries quaniitatum continueé pro-

Iyr.P

reid

portionalium : arithmetica, fi quantitates fint

arithmetice proportionales, hinc etiam feries numero-

Dittd«

rum zquidifferentium dicitur; geometrica, fi quantita-

nl

tes fint geometrice proportionales, hinc dicitur feries

numerorum, qui femper eundem habent quotum. Utra-

0257

fgue in numeris ita exprimitur:

duplo

2131

I-4 * 10 13 I6 19 22 GC.

Qrtio«

124 8 1932 64 128 &c.

0 1

DEFINIILO .

172. Prorgrefiio crefcens eft , dum confequentes

majores funt antecedentibus: decrefcens, dum minores,

In creícente ultimus terminus eft maximus & primus

minimus: in decrefcente primus efü maximus & ultimus

miniinus,

p

c de

CORC»LLAAR.IUM.'

lm.

1'73. Orivo igitur progreffionis eft proportiö continua, (iuæ

fcilicet fi continuetur , quaerendo per regulas fequentem termi-

»um, in progreíffionem abit,

Si fit proportio continua — I. 4-

7. & iterum fiat 4 ad 7 ficut 7 ad Io habetur quartus terminus;

& rurfus 7 ad IO ficut 10 ad 13 habetur quintus & fic ulterius in

infinitum. ldem fit in geometrica 1: 2 — 2: 4 & 2: 4z4:

$8&4:

8

——

poseu

8

4

A

ió &c;

I6, quae contünue expreffe dant I: 2

$

S CX O-

—

é6ApPUT x

172

SCHOLION.

L d

Vplesta v

174. Ad evitaádam confufionem femper de crefcente age-

eencum

mus, facile erit cuivis mutatis fignis aut contraria operatione &

um ter

inverfo ordine eam in decrefcentem mutaré, eaque, qus» de al-

*2 t

tera dicuntur, huic applicare

Et cum proprietates progreflionis

UE

arithmetice , & Corollaria inde deducta multum differant a pro-

teemnus a

iv

prietatibus progreíffonis geometrice, de iis primo feparatim,

us eft, Q

tum de aliis loquemur

«mmune

Ti tet

Theorema fundamentale.

I75. Quzvis progreffio arithmetica crefcens

r

poteft reduci ad hanc formulam:

& ultim

..—a.a—i-da-[—zda-l—-g,d a -- 4d. a -- $d

us orum

V oeseni i

&c. in mümtum.

primun

;*'r Al

DEMONSTRATIO

Téntia 1

Progreffio arithmetica eft feries quantitatum c«equi«

ftrentia

differentium , ergo quilibet terminus a precedente dif-

fert vel major eít eadeim determinata & squali differen-

tia

v

5i ergo terminus primus vocetur a fecundus erit

behitur

idem primus plus differentia hoc eft a -- 4

tertius

item fi

idem antecedens plus differentia eadem, hoc eft « -- d

Wi e

-- d feu a -- 2d

$ &

quartus idem tertius plus differen-

tia, hoc eft a -i- 24 -i- d íeu a -t- 3d & fic de reliquis

qunti

M ww

ergo bene progreífio arithmetica creícens precedenti

fumm

formula exprimitut

Q. E. D. In numeris idem obti-

fum f

netur:

Wotym

€0,

2. 2*l-3. 2-1-6. 2 H- 9. 2 - 12. 2 -- 15. 2 -- 18

fumm

29

fione

3.

5

À

8

.

YrI

e

14

L

"T

e

tetea

in decrefcente ponitur à. a — . 4 — ad. a — 34

eXtte

&c &c.

Ptor

COROLLARIUM I

u

mmy

176. Qui quemlibet hujus formule terminum conf(iderat ,

w

advertet, eum conítare ex termino primo a, & differentia mul

$1*

—

DE PROGR ESSIONIBUS.

123

üplieata per numerum , qui fit 2equalis nu»z;iero* terminorum prz«

!(e aget

eedentium, feu qui fit unitate minor, quam terminus petitus.

done &

Ita in termino quarto d ducitur in 3 feu quartus terminus eft a

| de aj

-- 2d; terminus fextus eft a -p» 54; terminus vigefimus eft à

telionis

-- t3 d.

Siprimus terminus fit 2 , differentia 3, erit vizefimus

à t«

terminus 2 -- 3 X I9 — 2 -- 57, — 59

Fundamentum hus

fati,

jus eft, quod omnis terminus przter primum habeat differentiam

communem fibi additam, ergo toties fumitur differentia, quot

funt tesmini preter primum feu unum.

COROLLARIUM II./

x(Cens

177. Si determinari debeat differentia inter term!Inum primum

& ultimum , feu eum, in quo progreffio ceffat, fubtrahatur termi»

451

nusprimus a ab ultimo vg. feptimo a-I- 6d, erit re(iduum (cum

& — a fe deftruant ) ze 6d, hoc eft: differentia inter terminum

primum & ultimum .eft. equalis differentie communi d. multiplicate

Ita diífe-

per numerum terminorum progréfffonis unitate multatum,

rentia inter terminum primum & duodecimum eft — II d: dif-

ferentia intet primum & vigeümum eft —3 19 d.

Í

&t

e (if-

COROLLAHRIUM II

ofell«

179. Si accipiatur fumma ex termino primo & ultimo, ha»

erit

behitur ea »qualis fumme ex termino fecundo & penultimo:

item fumme ex termino tertio & antepenultimo, fi ünt fex ter-

us

mini erit progreffio a. a -I- d. a -- 2d, a -4- 3d. a --- 4d. a -

n

Sd. & fumma primi & ultimi feu fexti 9d -- 5d: fecundi &

efet

quinti 22 -- 5d: tertii & quarti 2a J« 5d: hoc eft. generalitet

qui,

in omni prosreífione arithmetica fumma extremorum -qualis ef

fumme terminorum ab extremis zquidiftantium, hzc rurfus alios

jenti

rum fummz ab extremis eque diftantium, vel f( numerus termie«

obti«

»orum eft impar,. duplo termini medii.

Fundamentum eft ex

eo, quod in omni proportione fumma extremorum íit vquali$

fumm:e mediorum aut duplo medii in continua , fed in progref-

18

fione quilibet termini poffunt eíffe extremi aut medii ablatis ine

terea reliquis, ergo fumma extremorum eft equalis fummz ab

-31!

extremis eque diftantium, qui ut medii confiderari poffunt.

in

progzrefhone 9. 5. 8. rt£. I4. I7. 20. 23 fumma extremorum &

zquidifantium eít 25.

Si feptem effent termini & ultimus 20;

fumme eífent 22 & znedius foret A1,

ewjus duplum etiam

w 22.

tàl;

2 J

l^

€ Q-

m ia

CAPUT IX

174

COROLLARISUM, IV.

abehirt:

m &

179. Cum omnes if fumm:e (nt eqvales; fi' accipiantur

witate ho

toties, quoties in progreffüione continentur, habebitur fummá

Ex.

órinium terminorum totius progre(fionis, fed continentur toties ,

pume -

quoties termini bis fumti adduntur, hoc ef, quoties unitas in

minorum -

dimidio terminorum numero continetur, ergo fuümma totius pro-

-4( l

greffionis habetur, fi fumma primi & ultimi multiplicetur per

Ex(

dimidium terminorum numerum, feuquod idem eft, fi dimidiüm

& frmma-

primi & ultimi multiplicetur per terminorum mumerum , vel

etiam fi fumma termini primi & ultimi ducatur in numerum ter-

forum ny

minorum, & fa&um dividatur per 2.

Si igitur fint fex termini ,

erit fumma. ( 2a - 5d)) 3 — 6a -- 15 d.

$i progreffio fit 2.

expreftto .

5. 8. 1I. I4. I7. 20. 23. erit funma (2 -- 23) $ — 1c0.

COROLLARIUM. V.

Qu

180. Dedücitur inde ad quinque re$ diverfas in omni pro-

£reífüione attendi debere, a quibus.propriétates & note cujusvis

if

progreffonis dependent: ad terminum primum feu minimum, in

quo incipit prozreffio:

ad maximum feu ultimum, in quo defi-

proeref

nit: ad differentiam. communem progrefhonis feu terminorum

Ut

inter fe: ad numerum terminorum: & tandem ad fummam om-

nium terminorum, que omnia ita inter fe connexa funt, ut de-

Dtogrefi

terminatis femel tribus ex his proprietatibus relique dus deter-

minentur: ita fixo femel termino primo & ultimo, & determi-

14

nata'differentia impoffibilis eft alius quam determinatus termino-

rüm numerus:& fumma omnium determinata.

Si progreffio. in-

cipiat a 9 & definat in 22; differentia vero communis fit 3,

In

impoffibile eft, ut

vplures fint quam 10 termini & fumma .alia

eXoteffi

«uam IOO,

&Quatiy

WSC*HOL*I O-N.-

a]iäm D

18I. Si tam ha propnrietates, quam illa, qus per hæä Co-

bentur q

folaria di&a funt, algebraice exprimantur, generales hac ra-

ft1à pto

tione obtinebuntur expreífiones , cuivis cafui particulari fervitu-

re, ita utdatis tribus ex predi&is quinque, femper reliqua duo

QUatta f

inveniantur.

IO

[ E

Sitï terminue primus feu minimus

* (9:]

terminus ultimus feu maximus

differentia terminorum .

n

W du

humerus terminorum

fumma terminorum

Ed

$x 58.g

n«nx

hab e-

*s

— À

DE PROGRESSIONBUS

175

habebimus ex Coroll. T. Quemvis terminum wqualem termino pri-

moa, & differentiv communi d X in terminorum numerum minus$

Antta

unitate hoc eft in n — 15 ergo quivis terminus z—a -I- nd — d

nmnà

Ex. Corol!

Il Differentia inter terminum primum & ulti-

u

sum & — a eít equalis differentie communi d in numerum ter-

minorum — 1 feu ud — d & tota hec proprietas exprimitur «

pro-

Wt

Ex Coroll, IV Cum fumma totius progreílionis f' habeatur ,

ä

dium

& fnmma primi & vltimi feu a *f- € ducatur in dimidium termi-

vel

j2

norum numerum,íeu in 2 n aut ——

habebitur hujus proprietatié

nini,

an - n

-

expreffio alvcbralca f—-————

0s

2

Que exprefhones folutioni fequentis Problermatis inferviuht.

PROBLEMAI

fto

Usvi$

182. Conftruere formulas

n

quibus, datis tribus

delie

progreífDonis proprietatibus,

reliquae inveniuntur.

tum

Ut exemplo illuftretur refolutio , proponatur

0n

de»

progreffio fequens:

tere

Ym

1.4710 I5. 16. 192

25. 28. 31. 34.

1no-

RESOLUTIO

| 1

In przcedenti fcholio ex Coroll II. deduc&ta eft

3

PUA

expreffio algebraica & — 4 ——

d — d

Si in- hae

zquatione quantitas quzerenda ad unam & datz tres ad

ha*

m

aliam partem per regulas xquationis transferantur

bentur quatuor formule, una pro termino primo a, al-

(

t

tera pro termino ultimo «

tertia pro differentia 2, &

jtu

«uarta pro numero terminorum 7Z

QW

ID

& —nd-J-d L, Term. prim. z— 34 — 36 "-2 hoceft 1

1l

«k—nd— d-- a lL. Term. ultim, — 26 — 3 *4- I hoceft 34

—

NI d ———.

n

1H, Differentia z ——-— z

sredd d

— a*j d

24— 1--3

!

E£v, n.....

— IV. Num,term.zm

—— ÓQ Á — ——

zi2

3

E

Q

b d

To

"g.

176

CAPUT IX

Pro tertia formula, in fecunda factum nd — d xefolvitur in

fa&tores n — I X d feu

(n-—1) d*ä—-a&n-—-ï trans-

[£ ]

fertur.per divifionem.

In eodem fcholio habetur ex Corol. IV. expxeffwo pro fum-.

ID

an d- cn

£a J ——

Si jam in hac equatione quzeratur ut prius

2

f

Xl

expreffio f, a, €& , & m, habentur fequentes quatuor formula :

'an -- on

IXI2*-324X12

'ær

—

—À——

——— W. Summa ——

210

2

Pun

42

9.

Vi a-——-€

XI. Term. prim

T2

""""""34-—-—-1.

V

— — —— d

VIL Term.ult, —z-$ 259 — I

I e

r

34

f

420

N

VIH,. 2

— À——

VIII. Num. term.

— À À uÀ

I2

[:4

s me 34

— f

Pro fexta formula qumta mutatur in hanc 2f z anm « "

feu an -- wn z 2f, translato wm fit am z— 2f — wn divifo per

tum

[

nerita — — — — feuazz — — $, idem fit in feptima,

——

m

n

n

Pro o&ava refoivitur quinta in fa&ores 2f z (a "- 9) r

r

Ut

& translato a *l« « per divifionem habetur o&ava,

id

Si jam duo valores quantitatis a,

duo quantitatis m pnue

inventi inter fe compatentur,

pro terminis quzrendis aqua-

tenor

tiones fiant, habebuntur duodecim alie formulz.

Ita combinae

2./'

ta prima & fexta & —5. nd - d ——

— $ habetur

H

ii

tas

Zf-l-d'z -'--(fn

XX, €

À

Qu

20n —

[a d

*

o

l

—— RUE

Tadic

mun ,

QU (

2Gn-——-du

-b dz

ienm

XL f-—

— — —— MM & Ó

tüt fo

J

À

E

E

D

2

— wde — a lia n

deno

XKIL n

igy !

feu

M

In

li

M m

^

DE PROGRESSIONIBUS

JYéd

Vituf 1

in numeris:

| tfanj

420 d- 432 — 36 ..

IX. Terminus ultumus —

34

24

to fu.

816 — 420

X. Differentia —

—— ——

144 —— 1

ER ieni as

üut us

Xh 3Summaz —

816——4

-F 36

—— ÓQ s

210

lg

210

II56

34

420

XILEL Num,-

34

— ^—4-i1—-—) -

-—-3—-3

zb

9

3

- x

4

Nona, decima, & undecima per folam transgoütmmm fiunt;

duodecima transpofitione mutatur in hanc n^d — 9«m .. dn

—

——

I2

29 — d

of

.-..-.QJ; feu nz..—.. LURSMSM sE

MMÀ

LL GmxES -

; hoc cum. fit quadra-

n—þ(tm

4

vifo pe

tum incompletum (S Io06 ) & unus factor —— ", erit alter fa&or

2

— MMM—À —— —

feptuma

2d

140.) exquofifiat quadratum , habetur ——

h)

ocd

Wu-

quod reduci poteft (delendo in numeratore, &

2d"

d

1 th*:

i 2

denominatore zquales quanutates) ad

-!- -—t- à» qua quan-

ynbiné

20 -——d

titas utrique membro additur, & erit 2quation? — ( ——

n

2

9

?

X

"!'.--

pu

— —

extra&a dein

—'— dz -*- —*—4

d^

94 — d

radice ex prima parte manet

Hnh— —— feup-— — —

que duz quantitates negativz cum fizno -[- transponuntur ad al-

teram partem , ubi prior quantitas figno radicali fubftat & habe-

tur fola quantitas .

Refolutlo in numeris ita fit V (

....,-....,--

XIse«

—

34

R

e

R ImjIee

5

tedu&is prxorxbus ad commumm

denommatorem erit v ( xi' R—

XSI———Q) .—i"

, hnc eft

feu —

1

r

M

'26

, extra&a radice habetur g quod additum ad - dat

o

"»

feu I12.

Combinando fecundam & fextam eliminato w* habetu

H

"d — d --

z — —— aqinde

AMetzb. IMath. P. E.

M

XIII

Er

À

h

x

i

CA PUT IK

178

Dt

a

2f

n

AXIILOos —

,-!........

»la

.

a

,—.W.*.)

— (

membri

— d

"'meerus

Vi o

--

9 nun

420

26

XIV, & —— —— — — - —. Yerminus primus z —— — —

ii

2n

[s.]

-t

2

Y

NT RUT PMer ERE L M

z4

3

Ti

110 nui

l--

21

9f — 2an

——

420 — 24

—

ä'-d

XV.

.Diferentiazz ———-———

—

.

H —

144 — 12

j

]

?d — nd.-4-. 2na

32 — 36 H- 24

XVL f --

$umma ——

ThS

[

//

2

2

$, d

210

tes for

Decima tertia eadem methodo qua prior duodecima refol*

vitur complendo quadratum & extrahendo radlcem' 1efoluf10 in

La

numeris fit, redu&is fra&ionibus 190 -- 2 307* — -J— . àd com-

041

Vl

munem denominatorem 15 $* &ad mmores termxnos d

r-x-—..(—

ex-

tra&a dein radice ex hac qu?nutate, habetur

,.M

7-E

cu1 adduntur

i

7

vitime duz fra&iones — 4 -- z

fcu»-—-*-—i—

——

XN,

— I2. Decima quarta , qumta. & fexta per folam transpofitionem

habentur

XIX,

— a -- d

Combinando quartam & o&avam eliminato z habetur —

d

2

II, 9

m-——-—— inde fit

a

VL .

z

..—..a

1156—1I

XVIL. f—

-——-a

EO 4-iq-34c-21e

6

IX. 4

0 — Q

I156 — I

XYVIUI. d —

leferentm AA D ii ia ii -—-—43

ÀX

u

n

420 —1 — 34

XIX. a — V ( &* -- ed — 2/1- - 1d*) -- L d

Primus — x/(ugöq—- 109 .— 1260-4« 9) d- i

XX. e — v (a^ —ad-- . 4* -- of1) —

lr i

Ultuinus —

x/(möo-æ-r———-s)-m,:—»—

3.

z 24

xld

De-

E.

W

E

H

DE PROGRESSIONIBUS

1"9

Decima feptima & o&ava pertranspofitionem habentur; de-

eima nona ab initio per tranfpofitionem &^ -- «ed — 2fd — a

:

— ad quod fecundum membrum quadratum ef incompletum &

— ad duplum fa&um radicum proin 2 d alter factor,

mutatis

z

membris & addito ex utraque parte quadrato i g* habctux a

r ad -l- I d* c— -^ --.9d — 2fd 42 dSZ extra&a radice

I g.

a— id & transpofito 2

d habetur valor quantltam a.

Refolu-

tio

numcmca dat V/ (--— 9 -- 4)

2 ——

) b s

feu V (—f-F42-3

4.

o

3 --—-u...—

—

—

2

—R

"

—

Rs

2

I

Refolu-

-35

V1gefxma eodem ordine quo præcedcns formatur.

tio

v4-

-l:-

—

2 TI

numerica dat V/(1258 -- 2) —

i-v

us « l-

L

34

COROLLARIU M.

182. Datis ergo ex his quinque: termino minimo: maxi-

4

mos

differentia:

numero terminorum .

& fumma:

id'etexe,

$, d,n,

& f datis tribus inveniuntur reliqua duo per fequen-

tes formulas :

P.

Pro termino primo,

; tefol*

i. 4

dn -- d

lutio 27

1 corte

...—,—...m

VL a

a

2f — dn

- dn

Kiuut

12

XIV

q —

— —

—

— -

on

lLlOF em

XIX, a 2 V/(&^ -- ed — 2fd -- 2 d^) 4-

Pro termino ultimo

t

Il & —5 a - odn — d

VII. 9 — — —— a

2f -4- dn^ — dn

IX. w L— —

2n

f

;

XX. « z w (a^ — ad -- odf 4-

»)

Pro differentia,

— Qd

3!

Hr-d —— ———.

m E

2«n — 2f

XI d

[POERORBEUNU IDf

n.—-——n

M g

LXT

Y

pe

180

CATUTX.

?

-

.f —- 2an

— —

XV. d

z

— E

— (l

XVIHI 4 —

liab r i

f——a—.æ

Pro fumina.

an l- en

v. f

m-— —

ex fec

nl

oc«n — dn? -4- dn

VI. f

o

w—-

nzd--;d -r2na

4

XVl. fmz-————— n

2

ï

—— Á ÓÀ2——————

&^ — a? - ad J« ced,

XVIL f

od

Fro numero terminorum.

um

:

IV

Q —-a--d

VIIL, y m ——

2f

a -- 0

z

2f

15 p

NWIH. n

——.—i-—.—.

— —

d?

r d

ht 4

Quan

of

—

quot

XIIL n

———-

ä—

—*--——-

dz

SCHOLION,

194. Ut videatur, qua ratione in praxi ufus harum formu-

farum fieri poffit, fequentia problesmata-id declarabunt.

PROBLEMS4A I

e'ZP

185. Petrus bibliothecam 1400 librorum ven-

diturus pro primo libro petit 2 cruciferos, pro fe-

eX lr

cundo tribus plures, pro tertio itidem tribus plures

&c.

Quiritur quantum pro ultimo, & pro ommni-

bus fimul acquirat?

R E-

DE PROGRESSIONTBUS.

181

^RESOLUTIO,

1400

3

*o&R u

B

2

()

quaritur

f qusritur

ex fecunda formula: « z a -- ds-— d

60 — 2 -- 1400 X 3 — 3 hoc eft 2 M- 4200 — 5

z 4199 xris pretium ultimi libri ex quinta formula :

an -- o

6

fz

Z

Y z

2 X 1400 -]- 4199 X 1400

h

ft

2800 -- 5878600

2

2

588r400

EE —— - d r

2

6700 xris feu 4901I fl 30 xr.

PROBLEM A. IL

I86. Dux primis 12 militibus valium fuperatu-

ris praemia promittens ftatuit,

ut primus acqui-

-7

rat 49 aureos, reliqui femper 4 minus.

Quaeritur,

quantum ultimus, qui minimum pretium accepit, &

quot omnes fimul?

*[

RESOLUTIO.

T sR

( —— 49

forrti

d 3A

& & f queritur

ex prima :

4 z 60 — du 4- d

& —49 —48--4-7-5

j ven

ex undecima: f z

208 — dsi^ -- d:)z

JUES

fa

g

Pï

x,r

T

ucruum

d

1176 — 576 "- 48 648

ieso du

p

2

|

—

24

omni

M 3

I:*RO-

189

CAPUT IX

PROBLEMA II

I

187. Petrus 222 groffos diftribuere cogitans

perdf

I2 pauperibus, primo dat 2 groffos,

Quaeritur

quantum ultimus, & qua differentia finguli acqui-

rant ?

m r

Vosmmico

I

F

222 n—19 a——2 Q & d queetitur.

a

pottio

exfeptima: 9 z— —— —— 4

5

Dccrseean

4

[

CR OaED

]

I

termi)

i

in—- 2an

-

ex decima quinfa g e

ferent

2'21—*'* LA

Confe

4

—.48

396

d

-

z——-£Im3

144 — 12

132

ALOR

PROBLEMA IV.

Ptorred

I88. Operarius primo die acquirit pro labore

fuo 3 groffos, fecundo $ plures & ita porro, ho-

die acquirit 38 groffos.

Quæïitur quotus fit labo-

ris dies? & quot jam gïoiïb'ä acceperit ?

tsffio

a

3

d

habe

Q

l- d

38 &&f qustitur

miai

e — a --d

Jtifat

ex quatta :

B25

predi

5 —

— 8

9

(* — a?. -- ad -- d

/

ex decima

feptima: f ——

od

potel

Summa z

l444 —-9 - 15-- Igo—

Tihperetin

64

110)

ü

SCHO-

DE PROGRESSIONIBUS

185

SCHOLIO:N

189. Hac methodo infinita quoque alia problemata ad has

(ns

progrefhones pertinentia folvi poífunt. vg. hoc quod fequitur

&

r

Q

l

lc

PROBLEMA V.

190. Iüvenire terminos quotcunque medios pro-

pmuonales datls prlmo & ultimo.

RESOLUTIO

Differentia primi & ultimi dividatur per numerum

terminorum omnium unitate multatum , quotus erit dif-

ferentia communis, qu: addita Pïæccdpntl termino dat

confequentem.

Ex. Inter 7 & 13 fint inveniendi terminl 4 erunt ergo pro-

7

gt

ais termini l—6 & habetur ————

— z -g— — äcrüo erit

—— M À

P

rogreffio:

-

-

2

Dore

8

5

9

5

IO

II t:-r3

ho

DEM)ONSTRATIO

"

[abo«

Inventa differentia progreífionis determinatur. pro-

grefho, dato termino primo & ultimo, fed differentia

habetur ex formula 4 z

hoc eft differentia ter

n —

mini primi & ultimi divifa per numerum terminorun

unifate multatum dat differentiam conmunem ,

elga

predi&a refolutione determinantur termini petiti.

Theorema fundamentale,

X9I. Quzvis progreffio

geometrica creícens

poteft reduci ad hanc formul m.,

S'

as ag. 41

3. aq

L aq

4q' &c. in infinitum.

M. 4

D E-

«2

194

C A-P-U T X

DEMONSTRATIO

]ö un

t1

10.

Ptogteffio geometrlca eft (eries numerorum eodem

itg

termt

femper quoto differentium, ergo quilibet terminus con-

tremo

fequens debet effe zequalis antecedenti aucto per multi-

duo 3

plicationem quoti; & cum quivis fit antecedens refpe-

quis ,

&u confequentis; femper confequens habetur, fi ante-

(ii fe

Si ergo

14 1

cedens ducatur in quotum femper eundem.

primus antecedens fit ; & quotus 4. confequens erit a

f"tf

tem

X4feu g, hujus confequens rurfus a4.X 4 feu a7^, hu-

tatut

jus rurfus ag^ X 4 feu aj? & fic de reliquis indefinite

fumptis, ergo quivis progreífio geometrica præcedenu

formula bene expr1m1tur.

3m

COROLLARIUM I

tum i

inve-

primi

I92. Qui rürfus hanc formulam attente confiderat,

niet,

quemlibet terminum conítare ex termino primo a multi-

k q

tüm i

plicato. per quotum g elevatum ad eam potentiam, quam indi-

cat terminorum numerus precedens, feu quam indicat totus ter-

"n

minorum mnumerus unitate multatus.

Fundamentum eft

quia

omnes termini confequentes funt multiplicati per quotum, pri-

mus autem nec'eft confequens, adeoque mec multiplicatus pet

quotum, ergo multiplicatio fit per quotum toties, quot funt ter-

Ttus

minl preter primum feu unum,;

lta fextus terminus ef ag',

UI

duodecimus terminus ag'' &c

m

taty

SC.HOLION.

Y93. Si hac, qus di&a funt

eneraliter exprimantur, &

Te

$

terminorum numervs accipiatur indefinitus feu — z

erit termi-

nus ultimus, in quo ceífat progrefho — aq" d u x q ele-

vatum ad eam potentiam, quam

indicat terminorum numerus

unitate imminutus, feu numerus terminorum precedentium. 1ta

Btor

duodecimus terminug eft — aq

Rl

f,OROILZLARIUM.H

P Oer

fátior

I94. Si accipiatur fa&um primi & ultimi, invenitur illud

Ti er

equale-effe fa&o fecundi & penultimi, hoc rurfus zquale fa&o

Quiv]

tertii & antepenultimi, & in genere facum extremorum fempet

Patet

m

effe equale faco terminorum ab extremis zquidiftantium.

id

Vi

DE PRQGRESSïON IBUS.

$

i

d in fuperiori formula, ubi fa&um termini primi & o&avi eft

a^g7. fecundi & feptimi a^g7. tertii & fextia^g^. quarti & quinti

eodem

a?g?,

Fundamentum eft, quia cum ommn'is progreífio fit feries

US COI-

terminorum proportionalium , & in omni proportione fa&um ex-

- multi-

tremorum fit »quale fa&o mediorum, in ferie autem quibbet

ablatis

relie

duo squidiftantes poffint effe extremi vel medii

j telpe-

quis, & rurfus ablatis iftis alii duo zquidiftantes extremi & me-

j ante-

dii fequitur, fa&um omnium zquidifantium zquale eífe debere.

Y etpo

lta in ferie —- 9: 4: 8: 16: 32: 64 fa&a zquidittantium

Si

$ ert t

funt 64 X 2 — 128, 32 X 4 — 128. & 8 X I6 — 128;

terminorum numerus eft impar, medius per fe ipfum multiplie

j, hu-

catur, & quadratum medii et zquale fa&o zquidiftantium.

definite

iCedenti

COR OLLARIUM Ill

195. Ex ipía hac gene.rali exprefhone deducitut, termi-

num primum effe ad tertium, ut quadratum primi ad . quadra-

tum fecundi; hoc eft primus a ad tertium ag^ ficut quadratum

primi a^ ad quadratum fecundi a^g^,

In utraque enim ratione

E, llm"e'

ei quotus q^, ergo vera eft proportio.

Jtem primus ad quar-

/ mïlkï-

3

tum ut cubus primi ad cubum fecundi: eft enim a: ag?

ÉZ .

m ini-

Xtus tet-

8795 ; rurfus enim quotus eft g? &c.

; quia

-

COROLLARIU'" Iv.

u Qï:-."

yus pet

19!6. $i in eadem expreífione generali a feu terminus pri-

od i

mus fit — I, prosgreffüo a: ag! : ag

ag? &c. abibit in hanc

(ünt tef'

X

el 49)9

I-1g : 19 dQ WNoC E Is 9

1q^: q? &c.; & cum omnis

—

terminus, cujus exponens eft — 0O, fit

—ÀáÀ

I ($. 48.)loco uni-

tatis poterit fubftitui g^ hinc tota progreffio exprimetur Q? : g* :

g*: Q &c. unde patet potentias quantitatum eífe in progreffio-

ne geometrica, exponentes vero in arithmetica,

tlf s &

t terimi-

SC HOLION L

x

( qor

numefus

I97. Ex his jam,

que de progrefüonibus & fuperius de

7 T2

proportionibus geometricis di&a funt, erui rurfus poterunt for-

mulz rolvendis problematis geometricis infervientes, quz circa

progreffiones proponi poffunt.

Cum enim omnis progreífüo fit

rationum equalium continuarum feries, etiam in tali progreffio-

fud

ne erit fumma antecedentium ad fummam. confequentium , . ut

y i

quivis feu primus antecedens ad fuum feu fecundum confequen-

316 faöo

tem.

jam in progreífiüone quivis terminus eíl antecedens preter

[emper

utimum, cum non habeat confequentem, & quivis eít confe-

! fatet

M S

quens

j

126

CAPUT IX

quens pretet primum, qui non habet antecedentem.

$i ergo

fumma terminorum fit — f, erit fumma antecedentium fumma

Et eut

omnium terminorum ininus ultimo ——

— &) & fumma confe-

4

quentium fumma omnium terminorum minus primo — f a,

üoum —

ergo proportio prior exprimetur f — «: f — a —— a: ag, fa-

4ta ex hac prorzreíhone zquatione multiplicatis mediis & extre-

xj

-- jozm

mis habetur füg — €ag —— ja — aa, omnia dividendo per.a

erit fj — «g —j — a.

Ex hac zquatione &a & w &g & f

Ut illufretur fimul

tins a prima

per regulas zquationis invenirl poffunt.

exemplo fit proportio :

Y o

39 27 81 243 729 2187

I, a — 9Q — fj -- f. Primus — 6561 — 9837 -- 3279 — 3

tents fuce

A.

[2

ultimus ——

9937 — 3229 VF

z 187

fa. potet

......-—..—- *

Ej

*

K—a

3279 —

p PUf G at I E UL PUR RMROSNCRR

3

t

HI. g2

)

. Quotus ——

3

f

3279 —2187 .

L —

6561 — 3

Y

IV,

L]

Summa ——

——————* zx 3279

Q-.——

g

TUf 5X!)4

Prima & fecunda per tranfpofidionem invenitur; pro ter-

Jotto, qu

tia & quarta refolvitur. fg — g in fa&ores (f — e)g& z

— d'in fadores ( q — I ) J.

fummm |

Eit

SCHOLION H.

eX feptim;

198. In Scholion ($. 193.) habebatur expreffio pro ultimo

tetmino ag" — ! hoc eft & — ag" — ', ergo in quarta formula

*

loco € fubítitui poteft ag"^ — " fed w eít du&um in q ergo etiam

r LE * duci debet in g: in multiplicatione quantitatum expao-

nentes adduntur, ergo ag — ' X q —— aq' — ! "F ! z2 ag" &

n

-

————

q——-—*(l

abibit formula quarta in hanc: f —

unde per tranfpofie

1

g

tionem fequentes due formule habent

ur :

—

AX

9g 73

BI ET MEMETUEE

Summa

561— 3

2

i

3279

g-——

fa

— —

——

VI

Primus z

9837 — 3279 .—

Q-—-——-

2187 — 1

& &b exprefone & — ag*—- ' habetur per tranfpofitionem &

extra&ionem radicis:

Vil. 9 z ag

HeL

*o Ultimus 23 13 X 729 — 2187

218

—— MÓ— . —

[

VE Q €— ä//(—-z-

Quotus z—

9

[5

LIT

Et

DE PROGRESSFON IBUS.

187

l en

f'umma

Et cum Q" — ! equalis üit gg ($. r98.) fit per tranfpofi-

COnfe«

4

...12,

tonem — — q" & erit formula:

, fü

extte-

IX. g^ —. Numerus

p

——

numero elevationis quoti ad poten-

pta

(&f

fmul

tiäs a prima incipiendo, donccïaliqua. fit equalis quantitati —.

In noftro cafu eft E:— e— 0r87 &Aquotus 3 elevatus ad po-

tentias fucceffivas 29::9: 97: 81: 242: 729: 2187 dat fepti-

AC

$mam.potentiam, numerus ergo terminorum. eít feptem.

PROBLEMA IV.

1'99.-Petïus fpe.lucri prima vice unum flore-

num expendit, fecunda duos, tertia quatuor & ita

[^]

( Gt«

porro, quzeritur, quantum duodecima vice

& quam

j & J

fummam expendat ?

[4)

Ertaz143-

d

n--190&&./fquxritur

X

at

d

eX feptinia formula o —— ag" —

ultimus

Ix 2*

Mu

Qg —2

—— ——

jrmula

—— 2048. ex quarta formula f ——

Sumima

etiatt

g———

expoe

4096 — 1

5

? q7! &

Tuuea: MMM À —

;

— 4095. &c. &c.

yfpol

CAPUT X

DE COMBINATIONIBUS.

&m('i

DEFINITIO.

ombinatio eít methodus

inveniendi

omnes

aoo.C

conjun&iones poffibiles , diverfas fimul plu-

rium rerum, qus binz aut þinæ, terne aut terna,

qua-

188

CA TUT?OX

Si

quatuor & quatuor &c. fimul accipiuntur, fine aut cum

refpectu ad diverfitatem etiam loci, quem res combi-

bus adi

binstioi

nate occupare poflunt, quod a problemate dato de-

pendet.

eg o

S:C-H O L1O0- N

Hi

binatio

2OI. Ád hoc obtinendum mneceffarium eft, wut ab initio

tionum

operatio cum parvo numero quantitatum inftituatur, ut lex de-

tegatur, quam combinationes in quantitatibus juxta numerum

fie$ Con

datum combinatis fequuntur; inventa hac lege in folutione pro-

termin

blematum nulla erit difficultas.

N

qutuol

trium:

PROBLEMAL

lete d

2092. Invenire numerum combinationum, quz

R—

fieri poffunt cum 24 alphabeti literis 2 & 2, 3 &

lis (f

Ompit

45 — — — — 24 & 24 fimul accipiendo.

ia

a.

RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO.

L

[

1

Y

A combinatum fecum ipfo dat 2z, combinatum cum 5

dat ab, cum c dat ac &c. ergo erunt a4 combinationes literz

1

9':"1

a. Eadem methodo ? combinatum cum 5 dat )b, cum «

dat 4b &c. & rurfus erunt 4 combinationes litere 5,

2Q

31('&0

ita operando cum c cum Z & reliquis adverto, quod li-

tera quxlibetprimo loco pofita 24 diverfis vicibus cum

MT

reliquis combinari poffit,ergo omnes 24 fimul dabunt

binarum combinationes diverfas 24 X 24 feu 576.

X Ofr

Si jam trium combinationes accipiantur, hoc eft

ad quamlibet priorem adjungatur a, erit.prima aaa, fe-

3

V, cef

cunda a4b, tertia aac &c ergo folum a dabit 576 novas

trium literarum combinationes; quod de 4 demonfítra-

165 indi

Utue ag

tur, de omnibus 924 literis ^, c, d &c. dici debet ,

üt termjl

quxlibet enim $76 novas trium literarum combinatio-

combinationes

nes dabit,

hinc facile conucluditur ,

/A

omnes feu voces trium ;iterarum effe $76 X 24 hoc efi

1 3824.

Wt s

Si

189

DE CONIBINJ&TäON IBUS.

f um

Si quatuor literz conjungantur, fit ut þriujs : 0 priori-

Ombi-

bus adiun&um dat novas 13824 quatuor literarum com-

0 de

binationes ; idem cum omnibus 24 literis contingit,

ergo combinationes quatuor literarum funt 13824 X 24.

His jam premiffis advertitur, quod ulteriores com-

binationes femper obtineantur, precedentium combina-

initi

X de-

tionum fummam multiplicando per 24. Hinc combinatio-

menum

nes conftituunt progreffionem geometricam, in qua primus

e p

terminus eft 576 combinatio duarum, trium fecundus ,

quatuor tertius, & ultimus denique combinatio viginti

trium? quotus vero 24, & numerus terminorum uni-

tate debet eífe minor quam numerus literarum , hoc

eit n a 25,.

, que

Facile jam erit ex precedentibus formu-

lis ($. 183. ) invenire terminum ultimum & fummam

48

)

omnium.

Nempe ultimus — 44* — z a^ & fumma

"T

d

gt

* ]oco « fubftituendo ejus valorem aq" ^^ ' erit f

i

"

|

576x24?? — 8

4

6

um )

2

e

ï?...:——lï (S. 198.) feu/ z

-

3

liter?

u !

COROLLARIUM L

at b;

203. Si etiam literz fingulz accipiantur, (ine aliis, feu a,

uoi l

b, c &c folitarie gtïam ponantur, erit terminus primus a — 24

& ag feu 24 X 24 fecundus & fumma tota —

24 X 24** a.

[ cutn

23

dabunt

z omnibus vocibus pofübilibus 24 literarum,

$.

COROLLARIU M.

II

« &

204. Siquis numerum pauciorum combinationum defidera-

Lm) fe'

tet, ceffabit in progreffione in eo termino, qui eas combinatio-

fj0Va$

nes indicat,

Ilta numerus combinationum 9 & 2 ,3&3———-

onta

ufque ad 6 & G fimul accipiendo, cum hzc combinatio quintus

jebt!»

fit term.inus , ent'ar.

pinatio

PROBLEMA

1.

tionet

205. Invenire numerum combinationum, dum

woc dl

certus tantum numerus quantitatum fumitur, & qua&e-

vis

i

190

UAPUT.-X

vis toties ad primum locum ponitur, quot quanti-

tates fumuntur.

P

deferm

RESOLUTIO sr DEMONSTRATIO

A & b binos & binos combinando dat

aa bb

ab ba

4 combinationes feu fecundam potentiam

W D

c bina

DA

(

numeri quantitatum combinandarum

aa bb cc

ation

& bine fumpte dant 9 fecundam rurtus

Qf

POtPütlalïl numerl quantltatum combinan-

ab ba ca

ac bec cb

ho

aarum.

4

b

[^

d dant 16 &c

admit!

ergo combinatio petita oftendit potentiam ad quam nu-

Tloyas

merus quantitatum combinandarum elevatur.

que v;

ü

b

c terni comparati dant 27 combinationes ,

tem mt

hoc eft tertiam potenüam numeri quantitatum combi-

6G

nandarum

a.

. d terüi comparati dant. ter-

qu-is hc

tian potentiam numeri 4 &c. ergo fi numerus quanti-

üür pro

tatum z w, combinatio petita —— , erit numerus com-

(hodo f

binationum quæütub "]"

Si quantitatum 6 quaternarii

petuntur, erunt hi z— 6* z I296: fi quantitates 9 ,

-

erunt quaternarij — 9* —6561

Si quantitates 100

combinatio ternarlorum erit numierus combinationum

10

T05*

IOo0QOoQOQ.

36255

In eXe

SCHOLION

H'*I*ïf

Doitum

$06. Si in logica propofitio univerfalis (ad quam referri

petfon;

poteft fingularis ), affürmativa vocetur a, negativa e, particularis

afürmativa i, & negativa o, cum femper tres in fyllogismo de-

beant combinari, erunt ex his 4 propofitionibus ternariorum

LO'

combinationes 64, que figure fyllogismorum appellantur.

xici tamen ex his nonnili

IO feligunt,

Ita eea rejicitur:

ex

d

duabus enim negativis univerfalibus concluüo univerfalis affir-

ülmþr

snativa fequi non potef.

ht

PRO-

DE COMBINATIONIBUS

19I

Wintle

PROBLEMA IIl

localium

20"7. Invenire numerum variationum

determinatarum quantitatum.

RESOLUTIO zy DEMONSTRATIO

A & b duas admittit ab ba

b

c fex admittit

abc

acb

b

bca

cab

cba, hoc eft priores va-

-

) (t

jationes 2 cum numero novo quantitatum 5 multipli-

ates; a

b

[^

40

d admittit 24 vallamones, hoc eft

T

priores 6 multiplicate per novas 4.

.b

[^

d

e

am nu

admittjt 120 variationes hoc eft 24 prwres duce in

novas 5.

Sequitur jam ex his, ut habeantur fubfe-

qua variationes, priores femper per numerum fequen-

L10n€5 ,

tem multiplicandas eífe.

combie

Generatim igitur ut habeatur numerus vamaüenum,

t t

quas habere poteít quiscunque numerus datus

c

ícriba-

guant

tur progre(io arithmetica ,

u

infra illam produ&a, me-

$Q9

thodo fuperius expofita: v. g

érmatil

——2 93 u 5

6

z.

$

8.

9

$ 9

1. 2. 6. 24. 120. 720. 5046. 40320. 362880

« 100,

IO

tionum

36285800

In exemplo

Quzritur, quoties 6 perfons tabulz af-

fidentes mutari pofünt? Accipiatur produ&um infra 6

pofitum & habebuntur 720 mutationes

Si fuerint 19

[f etti

perfone, variationes erunt 3628800 G&c.

jculan

go d

PROBLEMA IV

MLM"

QH

208. Invenire numerum combinationum , reipfa

p

js s

differentium , & dum nulla fecum ipfa comparatur:

g. 6 numerorum 1. 2. 3. 4 S. 6-

r

R E-

g

19; CAP. X. DE COMBINATIONIBUS.

RESOLUTIO zr DEMONSTRATIO.

ut comparäta cum reliquis dat 5 combinationes bi-

e

nariorum

L]

ícilicet 3:2, £:35 1:4,.1:5, 1:65 &

[

comparatus cum reliquis dat 4, cum r enim jaàm com-

bl

paratus eft & fiunt 2:3, 2:4, 2:5, 2:6;'5 com-

qu

paratus cum reliquis dat 3, cum 1 & 2 enim jam com-

paratus eft & fiunt 3:4, 3:5, 3:65 4 dat 25 4:5,

Tat

4:6; 5 dat unam 5:6 ergo combinationes binario-

NX

€it

fum conftituunt progreffionem arithmeticam 5 4 3 2 1,

ubi maximus terminus eft 5 & minimus 1, numerus

&

terminorum

5»

cujus

fumma habetur ex formula

an -t on

1651 5.X5

5 55

"

eu —— —— fed

2

2

ES

5508b

—— —— eít zquale —— , ho

vc eft ultimi duo termini da.

k

z

ti inter fe multiplicati & per primos duos multiplica-

tos divifi: ergo fumma binariorum habetur, fi quo-

C0c

rumcunque numerorum datorum ultimi duo multipli-

centur, & per fa&um primorum duorum dividantur-

p

Ergo terni feu combinatio trium habebitur, fi tres ul-

timi, inter fe multiplicentur, & per fa&um primorum

trium dividantur.

Combinatio quatuor numerorum ha-

bebitur, fi quatuor ultimi multiplicentur & per fa&um

quatuor primorum dividantur &c.

C'OROLLARIUM I.

209. 90 igitur numerorum combinationes binariorum (qua

90 X 89

41

vulgo ambi vocantur) funt ——-

——

X

m 4005 ; combinatione$

pri

trium. funt

— TR

30X 89X 88

— 117480; combinationes quatuor nu-

ix2

3

tu

merorum

90 X 89 X 88 x 87

— 2555190; combinationes quina-

IX2X3X4

90X89X88X87X86

- 43949208.

rïorum;

IX2X3X4X$

C O-

JS

"GN

J

2/94

*93

)

COROLLARIUM

il,

jones bi-

$10. Si quantitatum combinandarum mumerus accipiatur

1:6; 0

generaliter & dicatur m, erust ex pracedenti corollario combi-

mxm —Yt

m*x m-——ix m-—-29

Wü COIL

natlones binariorum ———————-: termriorum

--

1X2X3

) Cor]

mxm-—ixm-—-oxm-—-3

aT Cote

«quaternariorum

x DNSSIEREA Y &c.

Si hoc confe-

Lj

1X2X3X4

34 59

ratur cum iis, qu* dica funt de elevatione ad potent!as ($, 33.)

D

videbimus,

i0d hasc produ&a eadem omnino fint cum coeffi«

4122

'eentibus potcntxalum incipiendo a tertio termino.

Ieitur com-

binationes numesorum m equantur. coefficientibus potentie a-4- b" i

dIunterus

eipiendo a tertio termino,

fotmul

4"5X5

*

CHOLION.

z fl

1

21I. Exemplum fit, quoties 7 planete combinari poffint ?

--

72X6X5

ni die

Erit m z—7, ergo bini accepti ——

2I,terni

—— —

)XO

tip

quatuor &mül —— 35, quinque ——2I, fex zx-7. & tandem feptem

z—I,

hinc omnes

combinationes funt zc I2C.

lidem erunt

fj qD

coefücientes binomii q.p. b

qultipue

vidantur.

uo ü

) otuim

CNPUTXI

01[1.1 H?.

et fa&uï'ï

DE LOGARITHMTIS

DEFINITIO I.

o (0!

212

i progreffioni arithmeticz ao incipienti fubfcri-

,lgnes

batur progreffio geometrica ab 31 incipiens,

nb

prioris termini erunt hujus terminorum correfponden-

^

m'lï &Xot

aT

tium Logarithmi,

utin his duabus progreffionibus:

*

6

otti quiM.

Z

;

128

38

COROL-

N

(v

Jlleth .ZEïäük.P I

NS

ii

LAPUT .AL

194

COROLLARIUM L

E

9153. Cum omnis proereffio geometrica ubi a feu termimus

füus

Qrimus — I poffit exprimi per q? g* q^ 9? q^ q5 q* q*, fequi-

tur exponentes progreffüonis geometrice poífe confiderari ut Lo-

pete

ceff

garithmos terminorum dic&e progreffüionis: hoc eft exponentes

r

coní

funt Logarithmi fuarum potentiarum.

10

C OROLIARIUM.:'I

prs

108

21r4. Cum omnis muftiplicatio potentiarum fiat per additio-

exp

nem exponentium, & fumma exponentium fit equalis exponenti

$15

fa&ti, exponentes autem fint logarithmis fequitur, quod, f Jogarithmz

Ita in fu-

duorum facdtorum addantur , obtineatur loparithmus fadti,

periori progreéfüone logarithmi de 4 & 32 funt 2 & 5, quorum

fumma 7 eft logarithmus fa&i I28.

Et cum divifio. potentia-

fb

rum habeatur per fubtra&ionem exponentium , ubi dijferentia

dio

eft &equalis exponenti quoti, fequitur etiam, quod, fi Jozarithmus di-

Q

viforis fuhtrahatur a logarithmo dividendi, obtineatur logarithmus

dbe

quoti.

lta in eadem þrogremone 128 divifum per 4.feu diife-

Ym

rentia logarithmofum 7— 2 dat logarithmum 5, cui refpondet

^

vitu

quotus 22.

exi

ted

COROLLAlRIUM 1II.

[

$

v

0

215. Exponens quantitatis multiþlicatus per exponentem

et

potentie quxfite dat exponentem potentie ( $. 49) ergo etiam

16)

logarithmus numeri dati du&us in exponentem potentim dat lo-

garithmum potentiz,

'(Yertia potentia de 4 habetur , fi ejus lo-

teba

£arithmus 2 ducatur in 3 fa&um 6 eft logarithmus tertiw po-

o (

tentie 64.

Et (i exponens potentie cujusvis dividatur per ex-

len.

ponentem radicis datum, habetur radix quzfita ($. 60) ergo

etiam logarithmus potentie divifus per exponentem radicis, dat

qua]

Dlale

logarithmum radicis quefitz.

Ex 64 extrahitur radix tertim po-

1e d

tentie, fi ejus logarithmus 6 dividatur pe

r .

Óo?

quotus 2 eft lo-

Qf

garithmus radicls 4,

lgitur in logarithmis omnis multiplicátio

in additionem , omnis diviüo in fubtra&ionem, omnis elevatio

a&d potentias in multiplicationem , omnis extra&io vero radicis

al

in diviionem mutatur.

Unde inzens logarithmorum & utilitag

& commoditas.

SCHOLION;

Pto

216G.

1

tex

LUA

lt

nïiï

primus d

it Neperus in Scotia 1614 ;

lus

N

4

) enim in

3,

:

ï)

oprietate

61':1?5

N

-

e3

itra&ionis radicum c

nr

MÁ

iofius indagaret,

ia

Vl4

7

DE LOGARITHMIS.

195

?

in cognitionem nature logarithmorum dedu&us eft.

Brigsio dum

c

'rfRiRUS

fuas cogitationes manifeftaret , communi ftudio in jis pefficien-

Tequi-

dis adlaborarunt; precipue conabantur, ut cuivis numero com-

üut Lo«

petentem logarithmum feu exponentem invenirent, ad quod ne-

yehtes

ceffarium erat numeros naturales inítar progreffüionis geometricae

confiderate, atque correfpondentes exponentes, feu logarith«

mos in progrefione arithmetica determinare.

Aifumebant initio

progrefhonem geometricam quotientis IO & ejus terminis nume-

Mitige

ros natutales in progreffione arithmetica juxta regulas tanquam

exponentes tribuebant, unde unitatis logarithmus erat O, deca-

poneni

disI,centenarii 2, millenarii 3 &c, hac v, g. ratione:

arill

jinfü

O t

--

5

*

4

5

quorum

X YO I1OO 1OOO IOOOO I1OOOCO &c.

tentiae

etenti

Fixis jam his logarithmis neceffartium erat numerorum interme-

diorum progrefüonis geometrice invenire intermedios arithmeti-

yis d*

ce proportionales,

qui ex

fta&ionibus decimalibus .conüftere

rithrus

debebant, cum inter O & I, item inter I . & 9 &c. nullus exiftat

j dife"

pO

et

numerus integer.

Inter 1 & IO geometrice proportionalis inve-

nitur-— w IO, cum fit I: x — x:IOergo 10 — x^ ergo V. IOz-x,

extra&a tradice per approximationem habetur 3.162277, cui

—

X

qmedius arithmetice proportionalis refpondet

7

obO'xzsx:t

-

—

X

er2o Ic-O2 r X

1

z. fed

dat in decimalibus O. 5000000

entem

[A]

ergo hec fracio eít logarithmus de

P

eut

162277.

adjun&is dec"imalïbus

dat lo*

Porro inter numerum hune inventum 3. 162277 & IO que-

jus 10*

rebant geometrice proportionalem atque pro ejus rurfus logarith-

j? po

mo quarebant inter O. 5000000 & I aárithmetice proportiona-

er ex

lem.

Hoc

tamdiu

continuabant,

donec

pott

vigefimam.

quartam. extracionem. radicis invenerint geometrice proportio-

) etgo

* dat

nalem 9.0000000 ejusque lozarithmmum O. 954242.

Hac ratios

g p

ne determinatus erat numeri 9 logarithmus, atque (imili ratione

j 10*

quefiti funt numerorum 2, 5 & 7 inventique fequentes :

icitio

2

*

.501030

5(]21&0

5

L

698970

ydicis

Z

g

L

845098

t

o

L

3

954242

Pro reliquis unius note numeris ex precedentibus corollariis

formantür logarithmi.

Ità cum 3 fit radix de 9, fi logarith-

mmus de 9 dividatur per 9 habetur losgarithmus radicis 3 C$. 62)

1614*

!

H

Q.477121. Cum 4 fit quadratum de 2, f& hujus logartih:-nv.s

ga,& i*

N2

bi$

A

ia

T.

UAPUT XL

196

bis fumatur feu fibi addatur ($.49) habetur logarithmus de

Tf

4220.602060,

Cum 2X 3 det 6, habebitur hujus logarithmus

clat

Et

jnm:

fi logarithmi de 2 & 3 addantur (g 47) &0.778I5I.

fed;

pro 8 datlogarithmum fumma logarithmorum 9 & 42903098.

Numerorum II, X53 &c. rurfus querendi funt, I9 vero, LA &c.

ftus

per additionem obtinentur.

Omnes jam hos losarithmos. in ta-

Qua

"-

bulas coliectos primustypis vulgavit Briggius, auxit dein Vlacquus

6

U

atque pafüm extant fub nomine canonis logarithmorum,

t6,

COROLLARIUM I

n

217. Ex ha&enus di&is fequitur,

omnem logarithmum

conftare fra&ionibus decimalibus, & quidem ab r usque ad ro

n

fine pracedente integro, a fo ad IOO unitas prxcedit fra&io-

?n

nes, à IOO ad 1OCO düs unitates & in genere femper numerus

lm

notaruminnumero dato major eft unitate quam integrum in loga-

dif

rithmis.

Si numerus datus eft trium notarum v. g. 528,integra in

u

H

logarithmo funt

-

^

Si numerus notarum eft quinque v, g. 34467,

hi

f

integra in logarithmo debenteffe — 4. Hoc propterea integra de-

CJ?(

cimalibus prefixa Characferiftice vocantur, cum oftendant, quot

end

notarum

numerus correfpondens fit.

Patet ex progrefüone in

7

7

Scholio precedenti exhibita.

pro

Df

CORDLLAZRIUM IL

bent

218. Cum logarithmus de 10 fit 1,000c00, multiplicatio

autem duorum numerorum fiat, fi lo

5

ga

rithmi addaiftur, patet,

dum unus fa&or eít IO, logarithmum fa&i effe equalem logarith-

mo alterius facoris hac fola differentia, quod characteriftica

unitate augeatur.

Sic idem eíft logarithmus numeri 2 & 20 &

Q

i

200 & 2000 excepta fola characteriftica, que in primo cafu eft

— O, in altero z r, in tertio — 2, in quarto —— 3: deci-

males autem ubique funt es»dem 30103o.

Ita etiam idem eft

logarithmus numerorum 34 & 340 vel numerorum 346 & 3460,

vel numerorum 347 & 3470 ; item 346 & 34605 vel 346000

fola femper characteriftica divería, quse unitate minor eft quam

li

numerus notarum, quarum logarithmus quzritur.

Diun

el

COROLLARIUM

IlH.

219. Sequitur inde methodus invei;iendi quemvis fogarith-

99

mum majoris quantitatis, quam in tabulis extet, aut dato loga-

QUs

rithmo majoris eharacteriftice, quam in tabulis extet, inveniendi

nume-

- Ea

DE. LOGARITHMIS.

197

thunur de

numerum il correfpohdentem.

Cum enim logarithmus excepta

'atithmus

chara&erifüca non mutetur, fi numerus vel zero augeatur vel

5l.

li

imminuatur, per folam proportionum regulam logarithmi inter-

303098.

medii aut numeri correfpondentes invehiri poterunt,

Suppona-

, I4&tc,

inus tabulam continere logarithmos ab I ufque ad Iooo; fit

y n t

querendus logarithmus numeri 6771 aut 6775.

Cum numeri

Vlacquis

6770 & 6780 idem fit ac numeri 677 & 678, patet, ficut ihter

L

6770 & 6785 intermedii funt numeri 7E, 72, $3* T45, 73»

(6,

/7» 78, 79, ita etiam inter duos logarithmos . numero-

Yum

6770 & 6780 logarithmos eorum numérorum intermedio-

1rum

ene

eífe

debere.

Accipienda igitur eft differentia logarithmo-

vitmum

rum

numeri 677 & 678, & hzc differentia in ro partes diftri-

ye aà 10

buenda, qua fcilicet parte quilibet logarithmus precedentem fu-

t fradio-

perat.,

& hac ratione intermediorum numerorum logarithmi

habebuntur:

-mumerus

Erit enim JO ad differentiam totam, ficut x ad

in lote-

diferentiam unius partis, ficut 2 ad differentiam duarum par-

jnterrain

tium &c,

Ita logarithmus de 677 feu 6770 eít omitffa chara&e-

?. 9446

riftica $39588. Log. de 678 feu 6780 eft 831229, differentia

vem de-

eft 64I, divifa per IO dat 64 cuivis precedenti logarithmo ad-

int, quot

dendum, ergo logarithmus numeri 6771 eft 32.830652 &c, &

[5]

ftone i2

6775 eft

Ó

. 830909.

Huic fundamento refolutio fequentium

problematum & demonfiratio innititur.

Suppono autem ad ma-

num eíle tabulos logarithmorum ab I ad IoO0O que paffim ha-

bentur.

wpliatie

i, P&teti

PROBLEMA l.

Jogiritt*

gderifct

H

220. Invenire numerum dati logarithmi , düm

j & 00 &

chara&gri&ica* eft o. 1.2.vel 3.

, cato df

: deci-

RESOLUTIO,

jlen d

T

Dum characteriftica eft o vel r.

j 6000

Qusre logarithmum datum in tabulis ab : usque g9,

numerus

in

3*

proxima columna eidem

refpondens

eít numerus quaefitus, :

Dum chara&eriftica eft 2, vel 3, quere a 100 ad

foraritl"

9999, in fecunda columna numerus refpondens eft

ito 1091*

guæütus,

n,'.eniET'.üf

N 3

It

g"

&X

-X

198

U'A HDT'XL

tun 1

1tà Log

. 716003 refpondet $2.

ndet

424882 refpondet

266

log

(umati

log

. 725585 refpondet

5316.

Éd

i

log

Q32 Q9 b F4

859958 tefpondet

7227.

lopati

(

Si non extet in tàbula logarithmus quafitus, accipia-

Tumer

tur proxime minor ,

j

dato-

1tà log, o . 759668 refpondet $

]

o

*

991669

9

o60698

1z

t

|

j

294466

19

tem

739540

3424

t x k b

255996

159

gatit

|

TIetus I

PROBLEMA Il

1

fubtra

ll

oor. Invenire numerum logarithmo characteri-

!

fticze majoris, quam in fabulis extet, correfpon-

dentem;

tem :

RESOLUTIO.

ïïïhm(

L. Quizratur logaritirmus proxime minor in tabulis,

atque hic a logarithmo dàto fubtrahatur, differentia

notetur.

ff'eïþ()n,

II. Quazratür dif*fmentia; inter eundem logarithmum

*

proxime minorem & majorem.

III. Inferatur ut hxc differentià logarithmorum ta-

D

bularium , ad meam differentiam priorem; ita 10 , Ico,

bulis

1000 ad quartum , tot ponendo zeros, quot unitatibus

Wüthr

chara&eriftica logarithmi dati fuperat numerum nota-

rzum

DE LOGARITHMIS

199

n

rum logarithmo minori correfpondentium : id eft fj cha-

j0

racteriflica 4, fumatur Io, fi 5, fumatar 100, fi $,

fumatur 1000 &c.

6

»

IV. Quartus inventus iis notis adjungatur

quæ

logarithmo proxime minori refpondent

Quzratur logarithmo,

$30632

refpondens

aCCIpii

numerus ?

I. Proxime minor tabularis eft 530584, qui a

dato fubtra&us dat differentiam. 48

II. Differentia in tabulis eft 128

JII. Fiat

128:48210:3

IV. Ad numerum logarithmo minori correfponden-

tem 3295 adjungatur inventus 3, & erit numerus lo-

garithmo dato refpondens 32933

Qusratur logarithmo 6

753473 refpondens nu-

merus ?

I Proxime minor in tabulis eft 753429 , a dato

fubtra&us dat differentiam 44.

II. Differentia tabularis eft

atactett

lII. 77:442-1000: 571

ytreloor

IV. Ad numerum logarithmo minori refponden

tem 5668 adjungatur inventus

& erit numerus loga:

rithmo dato refpondens 566857 1.

PROBLEMA IIL

n abus,

fferentü

2, Invenire losarithmum numero dato cor

refpondentem.

tbmum

RESOLUTIO

Dum chara&eriflica eft o.

X

.8. habetut in ta-

sorim

bulis expreffus, ut in problemdtp Pums inverfe de 1o-

garithmis di&um eft.

umsatib

^U f0

[

lta

N 4

n

200

CAPUT XI

]ta

$ habet logarithmum o

6989

19

:

)

2787

527

$.. 729974

jicien

Dum chara&eriftica eft 4 . 5 . 6. aut m:jor, refolu-

Vans T

tio fit accommodata ad Cor. LiI. & Prob. II. per fe-

quentes regulas

I. Quaratur logarithmus primis quatuor notis re-

5

fpondens refeC&tis interea fequentibus, & fubtrahatur à

và t

proxime majori tabulari; differentia notetur

QUme

H. Accipiantur note refec, & íimul accipiatur

tefpor

1 cum tot Zeris

quot note refeCte funt, fi una eft re-

i Agrg

fe&a, accipiatur 10, fi due, 100, fi tres, 1000 &c

TICa

ITI. Inferatur, ut 10, vel 100 , vel 1000 ad no-

Qun

tas refeQtis, ita differentia prius mventa àd differen-

Tolir

tiam novam.

l

lV. Hxc differentia nova addatur logarithmo mi-

nori, fumma, adjun&a debita chara&terifica, eritloga-

hmus quafitus

Quzratur logarithmus- numeri 4$647

ch

I. Logarithmus numeri 4564 eít 629346, diffe-

Tot

rentia a proxime majori eft 95.

tradit:

IL. Nota refe&a eít 7, accipiendus ergo eft pro

ngm

Proportlone numerus iO.

nh 'mh(

'TII.

10:7 z—95:66.

defide

IV. Additi 66 ad minorem loganthmum 659 346

dant Logarithmum quzfitum 4 , .659412.

!

Quaratur logaritmus numeri 78$53646.

(

1. Logamhmus numeri

7853 eft 805036, diffe-

rentia a majori eft. 55.

EW

H. Not» refecte funt tres 646, ergo pro pzo-

li

portione accipi debet rooo.

T

III, 1000: 646 2 55.35

Tel

IV. Additi 35 ad 895036 dant logarithmum quz-

fitum 6. $95071.

PRQ«

l

|

DE LOGARITHMIS.

£Ol

PROBLEMA IV.

223. Invenire fractiones decimales numero ad-

. jiciendas, cui datus logarithmus in tabulis non ex-

t, tefo]t-

£ans refpondet. -

Qp

RRSOLUTIIO

WÁS fe«

Si chara&eriftica et o, r5 vel 2, quieratur datus

alb a

vel proxime ininor fub characteriftica 3, hoe eft inter

numeros quatuor notarum, & ex iis quatuor notis cor-

Ceipidtut

refpondentibus fi chará&eriítica dàta eft —— 0, prima eít

1

n ef re

integra, & tres fequentes funt decimales; Ífi chara&e-

00 &

riílica eft —— r, dusefunt integre & du decimales; fi

9 3d 0.

characteriflica eft z— 2, tres funt integre & una deci«

dif

v

s

iv

j

malis.

j

Ita Log. ov. 871281 refpogdef: 75 435 |

dimo mi

1.538448

345 55

eritlogo-

2:799507

617 4

j

Si chara&teriftica eft 3, 4, aut quecunque major, que-

, d

runtur decimales juxta proportionem in problemate 1I,

traditam , pro primis terminis accipiendo differentias

logarithmorum, & pro tertio accipiendo unitatem ad-

jungendo femper tot zeros, quot fra&iones decimales

defiderantur. Unum exemplum rem declarabit.

6104

Datur logaräthnuus 3-5257935;Cuirefpondet 3355.

Quzrantur duz decimales,

i. Logarithmus proxime minor 525693, diiï'ereä«

(, düffe

tia a dato 90.

II. Differentia tabularis eft 129.

Pmï po

HI. 129:90 zz 100:; 69.

ï

u

refpondet ergo numerus 3355, 69.

(pun qué

N5

Pito-

p&o

"-

MM

M

20

ATUT:VXL

PROBLEMA V

!

lopa

224. Numero mixto (integro cum decimalibus )

iot

invenire logarithmum competertem.

habet

RESOLUTIO

Confideretur numerus tanquam integer, & quazra-

tur illi correfpondens logarithmus juxta problema 1lI,

$,

Preponatur chara&eriftica integro competens.

PROBLE

A VI

225. Invenire logarithmum fractionis.

tut «

HESOLUTIO

tur,

li

as

Cum orünis fra&io fit divifio , ubi numerator eft

in divitione

tíad

dividend

lus ;

& denominator

divifor ,

autem logarithmi fubtrahantur ($. 214-) habebitur loga*

1]

rithmus fractionis, fi a logarithmo numeratous fubtra-

hatur logarithmus . denominatoris ; differentia eft loga-

*L

rithmus fra&tionis , qui neceffario fignum negativum ha-

bet

lf.c

1ta 1obar1thmus de j habebitur fubtra&o loga-

]Aï

[

mo. de 8 225:8, goaogo a .logarithmo de 3 2 O,

Il 1

ATTX

differentia zz — 0, 5$74031,

qui erit loga-

rithmus quæütuq.

-—L

COROLLARIUM T.

5426, Dum numerator ef unitas ,

cujus logarithmus funt

l

meri'zeri, tantum logarithmo denominatoris: fignum — præü-n«

tur

Íta. losarithmus

de 4l eft — Y, O79IRI.

z.

Hinc et

E

omnis losarithmi negativi numerus correfpondens exprnmtul ins

fiar denominatoris , cujus numerator eft unitas.

Ita logarithme

E

Y

e [I, 875061 tcfponaet

7

C O-

Ra at

DAE LOGARITHMTIS.

205

Ó

b

COROLLATRTIOJÜUM.L

2907. : Dum numerus mixtus datur, reducatur ad fra&ionem

s)

& lorarithmus denominatotis fubtrahatur, a losarithmo n'umgra-

$us €j

n

torils; differentia eft logarithmus fra&ionis datz. lta 8

CUT

habet logarithmum (I , 724276 — 0, 778151) —0, 94612)5,

PROBLEMA VIL

1

298. Ope logarithmorum multiplicare, divide-

te, elevare ad potentiam, extrahere radicem.

RESOLUTIO.

KCum fint logarithmi exponentes, regule obferven-

tur exponentium ($. 44.) In multiplicatione addun-

tur, in divifione fubtrahuntur; in elevatione ad poten-

elt

tias multiplicantur per numerum potentiz petite: in ex-

tracione per numerum radicis petite dividuntur.

L Multiplicetur 344 per 26

Log. de324 2——2, 510545

-- Log. de?2

z—1,414973

3

H

3. 925518 refpondet 8424 fa&um

9

II. Dividatur 8424 per 26

Log. de8424 2 2, 925518

— Log. de26

—1, 414973

2, 510545 refpondet 523 quotus

M

III. Quzratur tertia potehtia de 12.

Log. de 12 z 1, 079181

ducatur in

3

1

Ü

3; 2 37 543 refpondet 17228 cgbusg

IV

L.

CAP. XI. DE LOGARITHMIS.

204

1V. Extrahatur radix tertia de 2744

Log. de27442-3, 438384

$

o

dividatur per

n

1, 146128 refpondet I 4 radix.

ib

SCHOLIO:N.

27

229. Que pertinent ad logaritlunos finuum & tangentium ,

$n trigonometria tracabuntur.

35

)

4(

LY

ó

a F aetear a ts

L u 9 relpt H rl

i,

m AE

ä

10

9j

3

126

142

V

176

ïn pa

—

"n

—

ERRA TVA.

in Tomulo I : benevolus lector. fic cofrigef,

d

,

2 ; URETA CT ZUENAMSE CRRA a

;E;ï?::ï-—-—-—-—

Pag.

lin

15

cOrt.,

5302480603

5302480693

H

5302480503 D

5302480693

18

28

7245

—

7343

27

£9893 ——

——

75896

(105t ,

27

pg :

Fig. 6

s

83

7427789728 —

/427779728

97898 —

97868

42

fumma 62

63

46

2Y

1H

18

59

18

&

P

63

Tóe

29

——

1oo

m

———À-

TIOO0Ó0

66

2,25

:

—

—

3 25

20 — 16

87

abb i 64aab

— 1 6aab

pem 64aï:þ

104

I

36,09.506,64 —

36,09,60,64

1o9

I6

58X 25 r

——

48 X 26

126

6

IOO —2

100 — y

142 .

17

eft 2

eit 4

174

27

quam IO

krr r EE E EE TA

quam $8

—

FILLH CERE ER ,E L .

376 : ult, | V(ä—ï

-V

1?1 pagina

p

II2 fchol. II, $. 77. formula ita exprimï debet a^ ,

*

&

n

Tb

mxm- —I

od RRE am—2kb2 &C. &C.

IX2O2

:

uti pagina 153 coef-

fz.;:ientes, expreff. videri poffunt, in Coroll, II.

D

ET

T

E

"

a

CL. GR

J IIVER

TILOSOPR

$ CE

IN

MÀT

n

j

-

Á

|

f

*

m

TïPIS h

;

m

U

""

-

BIÉ

m

-

—

x

t

—Ó

——

——

—

i

ke

$

E

o

r

ov

.x

2

A

X

A

od

"

zi

VE

i

e

025

s

a

ul

d

f

2

:

d

^

^

zi

as

-B

a

i uie. K

u

I

EX

E

v

A

PL

s

N

E

.w

[

"

r

.

M

5

P

z

4

at

d

UT

À

um

X

RT

H

P

E

700

l

É

?

Ver

2

|

4

26

5

Yr

as

E

D

2

Eu

P

£

2j

z

m

a

m

x

5

E

Y

i

zi

:

ts

s

2

A

4

E

É

s

x

[

B

EM

[

P

|-

n

E

t

PV

p

PU

—

s

ER

--

T

E

—

——

s. i

P

D CH RRR

p ia z

—

Ü

À

4

ï

j

E

|

z

*

5]

a

2

: ]

*

N

i*

4

^

w

.

EY

N

*

1

P d

p^

E

51

x

p

1

n R at

ii

- du

3

CL. GEORG IG NAT DE M&LTZBURG

Euroskala Offset

i

IN UNIVBRDITATE VIENNENSI . AA. Lï

ET

r

PHILOSOPHIZE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO-

ET ORDINARIL

RIS CAES. RFGii PUBLICI,

o

w .Qq n.n)' 1517. ,74 W'(K- 5.3 Hw..l,

4 fï J'v

"

INSTITU

JTiOJ/E

Hs

o

VierFarbSelector Standard *

r

N .&THK& M.ACT' X C ZE

ä

IN USUM

e

ä

E

TIRONUM CONSCRIPT /E

I-Iä:

TOMULUS I

13

$

M

»

U

^

P

Ed

SQ»

-

^g

E.

E

QR

7272

12

N

H

u

jovnseett.)

m

jE

|

*;V

$

3

il

]

J

|

]

N

E

A

e

|

SNSSS

A

N

A

?:zga

j

!Eili

E

N

;

|

SSSS

N

ï

s

]

f

P

P.

"

|

|

-

10

J ï

yi»üs

nl

IN

vt

|

a

|

I(lz

i

j

E

É Es

ET

x

a

b

u

h

W - ' x

TE

E TR*

—1

LT

u

:,1

u

unlmrm m nulmmmmmlm

,.-—

RL LAB

ORE ETFAVORESES

*

-*

VIENN E

TvP:S JOAN. THOMJE wos. pe TRATTNERN,

CJES. RBG. AUL/E TYPOGR. ET EIBLIQPOL ;

MDCCLXXV

2

—

gj Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com

1

:

-(/æ"-

/4 *5