Ba57-1

Ba57-1 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Cl. Georg. Ignat. De Metzburg, In Universitate Viennensi AA. LL. Et Philosophiae Doctoris, Matheseos Professoris Caes. Regii Publici, Et Ordinarii Institutiones Mathematicae In Usum Tironum Conscriptae Metzburg, Georg Ignaz von Em - d Á d a od rl us * at x —— IAMO : E n EuE s. s o d * LA n PA T UMA OMA 9 [] — L V a'.. oism s gt g x P — d - ,&Wuää — a. —€— — —— E a Iu r m - — al j B t m E s A * u ln m : m E 36 E d AE s. iÉ N- — ** TOevEE: i E NV — s " L a N Wi d E^ NEDORC r s STKAS N 2 "ER E N ii W d u — * — d —— J ^ ewiubeis 17 um M ( — z — — C Em Il [ i l p | CN N [ Í ] nta$X— | ss N — a | || I H i l 1 l ] l i r wO ,rb 1 NI u j p ww B Tübingen w 3 s T d Es — - TA [ * - Ts - . RCR TR z a hs Gd E . o VTa CL GDO IN UNIVEE TEILOSOPI RI5 C pv N j if« TII [ — . Trpig ] CA CL. GEORG. IGNAT. »z METZBURG IN UNIVERSITATE VIENNENSI AA. LL. ET PHILOSOPHLE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO- RIS CJES. RFGLI PUBLICI, ET ORDINARIIL vt Qtü'w 5.1-; o'th, 151f. 74 W(K-ü v,? rlnu-*, DNSILAT UTiIONIZI g,!- 44 f'!- Mä A HDM.ATI C & 1N USUM TIRONUM CONSCRIP T E TOMULUS-I U G X Z 2 S. j F A d- b d b -u ERE 4 u | ä a V—- i NI E EE &» & J £ " ) EO E N | T ; N NS N f / ï ï'lä—n ] 2 4l 7 j *ä x q—:j ;i | j s*ïä ( ä s 7 gl—*" j ( N EE A iU Jl ht mulþ'* mununu llllïllnll mlllll lm mnutit lllllmlll! LABOR.E E.T FAVOREJEET VIENN E Tvpis JOAN. THOMJE wos. pg TRATTNERN, CJES. RBG. AULJE TYPOGR. ET RIBLIOPOL . — MDCCLXXV --:"-.m'-—- & t TTE Fa 4 $*y s x OW:. t :'J' um ä).,'g.:. E d T s w n —— e— 9À -- BN 3^ . 21 * oW d £e E E 6 -JQ ) - & 59 [5] [el[a] f8)f8] Y5 p 3 des 5 1 äb Daïä'*l? l 3 ä » " l] : à 4 ] 2 u d fäïg tssj (s)u) Te) sj (sjrei [8) k fsiej(a] [a a (a . G»l [ jäïj eee4 z o &-»»" d- NMJH& 9g* at* gceo JR& ] z(-85--—H8m— -H -HB— —— --- E AD LECTOREM,: ^ oOo r a DT D t ( [ ï y athefeos fuudium, quam vneceü"arium 4^ i& J 4 e fit philofopho, nemo jam eít, qui s ignoret ; nexus inter hodiernam phyficam & principia mathematica tam arctus eft, ut his deftitutus progreffum fibi in illa fru- fira polliceatur; quin optandum effet, ut nema W ad N iï —/ad' philofophize pläcita excipienda accedat, nifi | clementis his mathematicis jam probe animum imbutum adferat, Studendi enim methodus, | demonftrandi rigor, occultas veritates eruen- di modus , atque quam plurima ex principiis ftabilitis derivandi artificium, hzc funt, quibus in hoc ftudio aíffuefcimus, & aliis dein facili ne- gotio appï'icämus. Unum id officere , ma- gna etiam alacritate ad hoc ftudium accedenti- bus, longa jam experientia didici, quod ab ob- via quacunque difficultate abíterreri fe finant, quo fit, ut vel animum penitus defpondeant, vel neglecta illa ad fequentia properent, ma- jorem ibi claritatem & expeditam magis diffi- ! cultatem expectantes. — Elegi igitur in confcri- bendis his elementis facilimam quam poteram methodum , addidi exempla quam plurima, quibus propofitio magis illuftraretur, & anne- xis g x W 4 W xis etiam copiofis Scholiis quidquid obfcurum , aut difficile effet , tollere conatus fum, ut omnino confidam, quemvis nullo etiam magi- firo difficultates omnes füperaturum, & veri- tates affecuturum. Si tamen alicubi adhzre- re eum contingeret, id univerfim monitum ve- lim, ne ad ulteriora gradum faciat, priusquam precedentia penetrarit. Catenz enim inftar connexa funt principia, qua continuo fefe & non interrupto ordine excipiunt, unum fi negli- gatur, obfícuriora magis & implicatiora red- dentur fingula, & viam ad ulteriora omnino intercludent. Ad hoc fi continua exercitatio in omni defideratur ftudio, in hoc certo primum fibi locum vendicat, nemo enim, ait Cicero, quamvis artis przcepta perceperit, quidquam magna laude dignum fine ufuü, & exercitatio- ne confequi poteft. — Ita igitur quivis addifcer;- dis A)CS dishis principis infudet, ut manum a tabula g:e non removeat, exempla occurrentia ipfe re- t folvere, & alia ad eam normam condere fa- tagat, fibi denique firmiter perfuadeat, pro- ä'ï greffum femper exeroitationi refpondere. Ü *lb k L . E W K.* x e 'Fäf;'f (4. fsj 95 ID [j : s« ] [u] " T ig x Y ss g g; CAI (9 * 3 [8) , & äm i N- C u d gsaö)wö)»ä? Vif a, Q6 m pO 9. $9 S m f&,&g ææwæcpææmmææ mæeææ ïäïä äï ä r INDEX CAPITUM. WMWWW IN ARITHMETICA p*g* Car. L JVotiones generales arithmetica.... 9 $*9.92*99 990 I Car. IL. Defpeciebus arithmetice Cap. III. De nonnullis affecdiionibus numero- ïtjjll -9 $4 999* 9-.9 99* *9 909* 99 * «6 33 Car. IV. De operationibus in guantztanöas :Z*ïeroo'enels.. r * . 99.99..«99? 92045 :)9 ?. V. De fraditonibus nottottes generales. 47 De operationibus arithmeticis in ""'752072;bu5 9599* 9** **-*5099.99 9599 58 li. De fradiionibus decimalibus,,,... 63 IN ALGEBR A INotiones generales algebre, .. . .. ... 72 IL. De operationibus algebraicis.. ..... 76 IiI. De fractionibus algebraicis,, ,.... 89 CAP. b .l INDEX CAPITUM. ^ page CAP. IV. De POtentZ.l.S..-... 999*996€ 999 $9 91 CAP. V. De æquafiünibus............... * 9 113 CAP. VI. De rationibuS. 9-99.99-.€9.99 «* $9? .0 I4I Car. VIL. De proportionibus, . .. .. ... . s. 146 160 Gar.- VHL . De-regula- aurea, .. .. .. Car. IX. De progre[ffonibus. .. .. .... .. 171 Car. X. De combinationibus. .. .. .. 187 CAP. X[. De lOgaïl.f?Zml-S,,....- e€e€9$99*9$999.*9 193 132 1 ee» k s ) 4 W 9.0b- 8 E ;5 «7d "Go-o CR i «t D): x N O- ". $. k g £5 VN fxrxïa ( WQWQQM E ete e äx *s 2 -R m E s ^^ gfü 8 & Vooi "X l : Aä'ïiþ g, Jotrt Uæw & &WW& $.. wv*cwf) $ i oD2 000 202 D «X2)^ Vee2 * NOTIONES GENERALES m.")o*(LJ s&. du l, athefis eft foientia quantitatis feu magnitudinis ; eu - "t id eft, omnis rei, que augeri addendo ali- ET :23 quid, minulve fubtrahendo poteít; de- *23o. e€ rivatur a greco ga9wo;g — difciplina ? qua vox per excellentiam ad hanc folum fcientiam indicandam translata eff. lT. Mapnitudo omnis plieiter confiderari poteft; vel eft quantitas diféreta, vel coutiaua: illa eft, ubi partes ut eXtra partes feu feparate a fe invicem exiitun exerCitus vel cumulus aren, granorum &c. hac vero ubi partes unite fimul exiftunt, ruri fus duplex eft vel AMMetab, Math. P. £. Á fie- NOTIONES 2 fucceffva, ubi partes partibus fuccedunt, ut in. tempo- re: vel permauens ubi partes fimul & femel exiftunt , ut in frufro ferri, & omni corpore Difcreta quantitas obje&tum eft aríthmetice, que numeris: hec ultima £eo- qu meirie , qua figuris res fuas declarat bu: ide I1I. ch Mathefis generaliter dividitur in paurom & mixtam. gin Jl quantitates confiderat ut quantitates taotum , abftra- tà fit hendo ab omni applicatione principiorum ad res fenfi- biles aut opiniones non omnino certas; ut fi lineam de- ltit cem orgyarum confiderem folum ut longitudinem ali- gt quam, Mixta eft fcientia quantitatis jam involute quantitatibus fenfibilibus & phyficis applicando princi- pia ad fententias phyficas, utíi priorlinea longa fimul ut difíantia duorum locorum confideretur. Prior in fuis f regulis certifima eft, hzec quoad principia arithm:tica certa eft, non item quoad materiam. Ád puram per- Qu ftr tinet Arithmetica & Geometria ad alt»rom Mechanica Ti Optica, Archite&ura &c. Prior etiam dicitur ab//racla, Coi altera applicata, li IV. fet lie Mathematici in proponendis veritàtibus certam uandam legem & methodum fequuntur, que, cum ii- t0 lis ab initjio tantum propria fuerit methodus mathe- €x matica audit; que nil aliud eft, quam ordo quidam lt ii certus, quo mathematica dogmata tradi debent atque debita & apta quzdam argumentorum feries, ut ex alio r alia accurate ne&antur; confiftit autem in hoc, ut a p definitionibus ad axiomata vel poftulata progrediar , inde co- his theoremata vel problemata fuperftruam, rollaria deducam & ubi res poícit, hypothefes quasdam & Ícholia annectam. W. V. A f r GENERALE S. y. Definitio eft diftin&a rei aut nominis explicatio , quz fit per notiones huic folum rei convenientes, qui- bus ab omni alia re di(tinguitur. '"Notiones autem funt ides rerum feu imagines in mente noftra reprefentate , que habentur per notas rerum feu proprietates ex ori- gine earundem aut eífentia dedu&as, atque hz idee tam clare & diflin&tw eí(le debent, ut quivis fine he- fitatione intelligat, quid per enuntiationem earundem intelligam. Idearum proprietates & diftin&tiones in Lo- gica traduntur. VI. Ex definitionibus fequuntur axiomata ( «E/oya di- gnum creditu) que funt propofitiones tam clare, ut a nullo fani judicii homine negari po!lint, atque demon- ftratione non indigeant; ut: dotwm eff majus fua parte. Theorema ( 95íewo fpeculatio) autem eft veritas, quae confideranda proponitur, & demon(tratur; duas igitur habet partes, propofitionem, que veritatem, d qua fermo eít, enunciat, & illius demonftrationem , qua nexum neceílarium cum axiomatis & principiis luculen- to raciocinio oftendit. Igitur demonítratio peti debet ex principiis vel per fecertis & evidentibus, ut funt defi- nitiones & axiomata, vel talibus, qua per priora jam ftabilita funt, atque h»c principia femper, ut memo- rie confulatur, & claritati, citari debent, ubinam ia precedentibus reperiantur. VII. Problema ( zre56Awjx propofitio ) eft enunciatio, qu2 aliquid facere precipit, & fa&um eífe docet. Tres igitur habet partes, 1mo- propofitionem quseltionis, qua ^ 2 qua- . ^NOTIONES z quäeftionem rei faciendz continet , 2do. refolutioner quaílionis, que modum rei faciendz oftendit, 3tiv. de- monítrationem hujus ipfius refolutionis. Ut erigere li meam perpendicularem, Hize fünt igitur demonftrationes veti- tatis pra&ice , dum priores veritatis fpeculativa funt. í VIIT. Poftulatum eft, dum interea aliquid concedi petimus, prefcindendo, an factum fit vel fieri poffit ;; ut dum po- ftulatur a pun&o mathematico al punttum. ducere liueam ve&ctams H lh tametfi pun&um mathematicum utpote partium omnium l & extenflonis expers exiftere nequeat, & linea mathe» t matica, qua latitudine omni caret, in praxi duci nom pofiit, IX. — Hypothefés. ( mró9:801e. fuppofitio) funt res & figna aut alie figurz rerum ad libitum affumpte, uti voca- bula rerum, note numerice, chara&eres ad res figni- W ficandas ufurpatz. In rebus phyficis hypothefis eíf i veritas quzdam probabilis, incerta, quz in defe&u prin- Pr cipiorum certorum affumitur. Confideratur hzc tan- n quam poftulatum (VIII.) & poffunt.inde veritates qui- dem certe mathematice deduci fed que majus robur non habent, quam fundamentum, cuiinnituntur. 'Ta- les funt in phyfica. figura fphzrica telluris? vis gravi* IT tatis intrinfece &c. In mathematicis nonnunquam qua- dlg dam hypothetice feu füb certis conditionibus affumimus, tüi & ex iis veritates his rebus aífumtis proprias dedu- cimus, quibus dein theorema tanquam thefis fuperftrui- üi tur, Ita affumimus lineas duas effe parallelas & ex hac hypothefi zqualitatem angulorum alternorum, fia tertia linea fecentur, deducimus; atque dein theorema flatuimus; fi anguli alterni funt zquales, lineae funt xv parallela. E? " GENERALES X. Lemma (sX acceptio ) vel Poriftaa ( mfeicguo preparatio ) eft propofitio, qua demonítratur aliquid,, quod tanquam principium alterius demonítrationis in- fervit, XIO Experieniia eft cognitio, quam per obfervationem ad tes in fenfus incurrentes nobis comparamus, ut lucere folem , corpora effe gravia, lunz eclipfin e telluris umbra proficifci. Rerum igítur fingularium demonftra- tiones inde deduci poffunt, quas ad veritates univerfa- les applicare licet, fi plures inter fe conveniant, eun- demque femper. modum fervent. XII. - . Cerollaria funt veritates, qui ex veritatibus de- monftratis ultro fluunt, & nova demonftratione non indigentj funt itaque cafus fpeciales, quz füub illis pro- pofitionibus generalibus jam contiuentur, aut facillime ad illas reducuntur. AIIT, Scholion eft annotatio quedam ad propofitionem jam fa&am, elucidatio major veritatis, refolutio dubiorum , digna aliqua reflexio ad hiftoriam, authorem, inven- tum, aut additamenta, qui nec inutilia nec inamoena di&u occurrunt. XIV. "Mathematicam ergo methodum adhibiturus hac le- 8e tam ftricte & inviclate progrediatur, ut in nullo omnino cafu ab ea recedat. Non ii igitur hac metho- A 3 do 6 NOTIONESQ do utuntur, qui hinc inde tantum , übi commodum iïä vifum fuerit, eam adhibent, aut voces folum hic ex- plicatas citationesque fuis immifcent libris, de re ipfa parum folliciti, qui definitionibus ad libitum affumptis veritates evidentiffimas, ut quidem arbitrantur, fuper- ftruunt, quz tamen ipfe cum infirmo fundamento col- labantur neceffe eft. Definitiones ez eligantur, quz yem tam clare & dilucide proponant, ut in dubium a nemine vocentur. Vocabula ufitata adhibeantur, aut fi novze fint, explicentur, ne diverfum fenfum prafe- feiant, qui alium conceptum rei, ideamque erroneam generare poífet, & in turpe vocilitigium veritas dete- genda defie&tat. XV. Ex talibus jam definitionibus principiisque ftabili- tis veritates aut confiderand» folum aut in praxim re- ducende derivari poffunt, in quarum demonftratione fummus rurfus rigor obfervandus eft. Conclufio non- nifi ex premiffis evidentibus, jam notis & prius de- monítratis, & per citationes adje&as in memoriam re- vocatis juxta leges fyllogificas inferatur, ut negatio impolflibilis fit; tum demum fecure fubjungatur: quod etàt demonftrandum aut faciendum 3 qua formula con- fueta theorema problemaque clauditur. r XV ls His pofitis fuis quoque corollatiis cönftabit veritas, que vel ex uno tali theoremate quamplurima non fine legentium ingenti commodo & voluptate derivantur , dum pauciffimis tantum, quz memorie imprimant , prin- ciplis fcientiam inniti, innumeris vero, quibus appli- centur, veritatibus fatisface*e, & fuffcere intelligent. Scholia annexa eruditionem comparant, & tzdium fub-. jn - Veeie GENERALES T I$ levant, quod ex nuda veritatum fpeculatione etiri pof- [e fet Hac qui methodo in quacunque feu tradenda, feu H IS difcenda difciplina ufus fuerit, fructum laboris fummum, habitumque inveniendi alia & dilucide proponendi ne- ceHamum fibi comparabit. XVII ïï Id unum adhuc fupereft, ut de analyfi quidpiam ( lg & fynthefi dicamus quae dus quafi viae funt, qua in methodo preícripta tam ad difcendum quam docendum progredimur, Analyfis eít methodus quedam, qua ad detegendam veritatem utimur. In hac a fingulari veri- tate ad aliam particularem vel ad principia univerfalia fit tranfitus, & ad ipíam etíam idearum noftrarum ori- ginem afcendimus Veritas propofita nempe in fuag partes & membra refolvitur, & ut ita dicam, enuclea- tur , ut ex ipfa etymologia vocis (owoAwcus vefolutio) clarum eft. Ita mathematici e comparatione, quam in cognitum ad cognita habet, ipíam quantitatem incogni- tam methodo analytica inveftigant. Principia vaga & suinus certa abhorret, & fümmam, que excogitari po- $eft, exaditudinem & przcifionem fe&atur. XVIIH Synthefis vero (æuv&ao*z; compofitio ) priori metho- do oppofita eft, & veritatibus generahbus ad fpecia- les defcendit, eas per principia Jam ftabilita, & pro- fitiones, qus tanquam certe & indubitatz alias proba- te funt, demonflrat, atque ita ad conclufionem per congericm ininterruptam veritatum tranfit; a primis fci- licet principiis, ab ipfius vocis genuino fenfu & expli- catione ad veritatem ipfam, quam firmis inveftiunt argumentis, &in tota luce proponunt, gradum faciunt, Wtraque permiagnilicet fit ufus, fynthefis tamen in tra. A 4 den- NOTIONES GENERALES, 8 [- xj dendis difciplinis analyfi prafertur, dum hs&c in eruen: da veritate & invenienda primum locum fibl vendicat XIX. Utraque hec vulgari exemplo a genealopis petito fuftrati folet. Ut ftirpis cujusdam v.g. Cesfaris feriem IDCOngt m inveniam ab ipfo Czefare initium fumo, indeque ad ejus paréntem, tum ad avum, proavum &c. piogredior ; donec ad caput familie , quod inquiritur, perveniam Hec fere via in analyfi fervatur, dum de veritate ipfa inquirenda agitur In fynthefi ab au« thore familie jam hoto & invento exordium duco, ab €o ad filium, ad nepotem &c. tamdiu progredior, do* nec ad Cefarem, de quo fermo eft, filum generationis adducam Qua via propofitam veritatem optime ex- plicari, quis eft ^ qui non intelligat XX. p Axiomata, quibus tanquam ptrincipiis fcientia hxc innititur; funt fequentia; I. Totum eft majus fua parte JI. Totum eft zquale partibus fifnul fumptis Q LI. Qua funt zqualia uni tértio, funt zqualia in- hi ter fe; aut quz zqualibus zqualia funt, funt aqualia inter fe te IV. Si &qualibus addantür equalia, fumme. funt ü &quales: aut fi ab zqualibus fübtrahantur &qualia, quse remanent , funt :qualia. V: ZEqtalibus aqualia fübfitui poffunt.. u s o i K W ELE ([5(:- r 2 *--— ELEM&QWP& to n ARäïHMETEC.&fo 9, —ÉÁÓ -.ï— m —— — C It, Jr7] CAPUT E iU« NOTIONES GENERALES ib ARITHMETIC E. 0 ls DEFINITIO I. eX rithmetica, in quantitate difcreta ( $. J1.) partes ï.ä componere & feparare docet, quod utrumque cum per numeros exequatur, 4vs mumerorum dicitur. C DEFINITIO II $. Numerus autem eít multitudo individuorum, que ad eandem fpeciem pertinent, & refpectu hujus n numeri hec individua feu partes , unitates appellantur. in Talis autem pars, fi iterum in fe individua contineat, refpe&u horum individuorum eít numetus, & indivi- t dua unitates. [ DEFINITIO IIL. 3. Unitas eft quzvis quaxftitas nude & fola fpe&a- Cum ta, & eít igitur elementum feu initium.numeri. enim unitas tanquam pars & numerus tanquam totum feu colle&io partium fpectetur, ficut pars totum effe non potefl, fed initium totius, ita etiam unitas non eft &umerus, fed ejus initium. Hic tamen conceptus non A 5 impe- T 1OÓ CAP.L ELEMENTA guor impedit, quo minus eadem unitas fub diverfo refpectu : fulip etiam numerus eífe' poffit. Sicut enim. pars refpe&uü fuarum partium minorum ei totum, ita etiam unitas re. fpe&u fuarum unitatum eít numerus; fic cohortes re- 1 [ Ípe&u legionis funt unitates, manipuli refpe&u' cohor- quot Y tis, miles refpe&u manipuli. Poteft igitur eadem minoi decim quantitas fimul unum & multum eífe, fed fub diverfo &ompi tefpec&u. COROLLARIUM I 4. Numerus ergo oritur, fi unitas ad unitatem v. g. globus ad elobum ponitur, fi rurfus elobus apponatur, numerus crefcit, & hoc tamdiu, quamdiu unitates & partes componuntur. Si ve- que ro a pluribus unitas dematur, mnumerus decrefcit, & tamdiu, Qu &onec pars a parte feparetur, quz utraque folum quantitatis mu- C fatio, obje&um arithmetice eft, ($, 1.5 . gul bent UDROLLARIUM lL $, Ut autem unitas ad unitatem poni & numeru;.' effci pof- fit, ejusdem fpeciei effe debeat: impoífibile enim eft, ut ex di- verfis unitatibus feu partibus colle&io aut integrum fiat; fic una domus, unus equus, unus miles, unus globus, unum pomum Aume coleca numerum feu totum efficere nequeunt. Tria poma & trium quatuor pyra nec faciunt feptem poma, nec feptem pyra: at Que confiderata ut fructus feptem fru&us efficiunt. Partes ejusdem Stac fpeciei dicuntur homogenes , diveríe heterogenez, m Uf | Yistio S»CHQLION. 6. Unitates, cum tanquam partes fpecenfur, etiam in «uantitate continua locum habent. lta linea meníuratur per unitatem linearem , fuperficies per unitatem fuperficialem, foli- Ave; da per unitates folidas. L COROLLARIUM Il 7. Dum unitates vel numeri componuntur , hec compofitie fieri poteft vel diverfos & plures earundem unitatum numeros in Quoti unum totum colligendo; ut fex, viginti, centum, mille; vel eundem numerum aliquoties ponendo: wt fex accipiendo fepties; tnt, ii prior Tl Es ARITHMETICE. d prior compofitionis modus additio, pofterior prioris compendium u multiplicatio dicitur. fe COROLI;ARIUM IV. Ie- 8. Dum numeri feparantur, id vel fleri poteft minorem a Of* majore femel; ut a centum feparando quadraginta ; vel eundem f minorem aliquoties a majore fubducendo, ut quatuor ter a duo- YO decim fubtrahendo, illud dicitur fubtradiio , hxc, prioris rurfus eompendium, divi/o, HYPOTHESIS I. | )bur cit, 9. Hi quatuor modi fpecies arithmeticz vocantur, que ad additionem folum & fubtra&ionem firi&e lo- V6« li, quendo reducuntur, cum reliqui duo priorum tantum m compendium fint; interim quia feparate etiam de his re- gule traduntur, quatuor vulgo fpecies arithmeticz ha- bentur 4ddiiio , Subtratiio, JMultiplicatio , Druifío, of- SCHOLION, lj- IO. Pro unitatibus & exinde per additionem exfurgentibus nà aumeris varia figna excogitata funt, quibus unius, duarum, NÀ trium , quatuor &c. unitatum fummz exprimantur: apud pleros- & que orientis populos erant & funt litere alphabeti; ut apud »u grecos «, , t , Ó &c. ordine nmaturali: apud Romanes quz- den dam ex alphabetoeligebantur, ut D, U L, M, V, X. In Europa in ufu funt note ille, quze Arabice dicuntur, & ab omnibus fere nationibus adhibentut, Sunt autem fequentes : I 2 3 A 5 6 1 8 unum duo tria quatuor quinque fex feptem o&o j . [4] ef novem Zerus , quod ultimum fignum abfentiam wnitatis, fet emnis numeri indicat, SCHOLION I Il. Eledionem horum characerum arbitrariam eíle ufw r] [ quotidiano mercatores docent, qui variis fienis merces fuas no- tant, quibus valerem iis competentem exprimant. Alii alphabe- el ii literig majoribus numerum florenorum , minoribus cruciferg« 24 fune P o ^ 5 L. d CAP.L ELEMENTA hi t r&sm denotant, alii variis literis novem fuperius expreffa fipna immutant, v. g. I 2 fSVO( 3 4 5 7 jam c m [o) 1 b h a ( d o que Apud hos vox home denotaret 63223. Quin Saunderífonius celeberrimus Anglie mathematicus palpabili- t-ates | bus etiam fignis numeros exprimere, &hac ratione cxcitati fus fimpl €onfulere addidicit, Cum enim duodecim menfes natus vaiiolis TLUS | oculos ipfos amififfet, mira tamen abfolutís humanioribus literis & auditis philofophicis difciplinis ftudii mathematici voluptate Cadu caperetur, tabellas excogitavit, quae vices fignorum fubirent, tribt omnemque numerum defienarent. Quo artificio eo progreffus tus 1 et, nt in Univerütate Cantabritanna per viginti o&o annos üt Mathematum Profefforem cum admiratione & laude fumma age- xet Tabellarum formam fig. L. exhibeti interfe&io trium li- dimpl mearum recarpm perforata eít, ut novem foramina hac ratione Yiow e2?ovn ebtin v od Ytur, atque cuivis foramini claviculi lignei diver(z ma- ten £gnitudinis inferi poffint. Major claviculus in medio pofitus ze- Ver| $um denotat, cui fi in foramine immediate fuperiore minor ad- mm datur, 25 fi hoc dempto ad dextram in fummitate alius minor tl ponatur, 2 deügnabit, & fic confequenter usque ad 9 circa ma- LJU jorem minores inferuntur, majore femper pro dire&ione reli&o : 0, unitatem vero nmlinor claviculus folus in medio pofitus exhibet. fpfe tabelle invicem conne&i poffunt, & unam quaíi tabulam pint efüciunt, ut fig. II. exhibet. adu chid HYPOTHESIS II teta 12. Ut autem predicta figna arabica licet novem Cad. £antum fint, pro omnibus numeris exprimendis quan- bill tumvis magnis adhiberi poffint, localem quoque valo- LR xem iis tribuere placuit, que loca in una numerorum exe ferie a dextra finiftram verfus computantur, ita quidem tant &t dum in primo loco feu fola ftant, unitates, dum in du fecundo loco verfus finiftram , decades, dum in tertio, centenarios defignent, v. g. fequentibus notis 536 de- fignabitur quingenta, triginta, fex, 5 fcilicet in tertio loco, qui centenariorum, 3 in fecundo , qui decadum, 9off & 6 in primo, qui unitatum eft, pofitis. Hac ratione jdhi X n quemvis numerum usque ad mille exprimimus , atque has KW t ARITHMETICAJE. j [ ca has tres notas ad unam numeroruüm üiäpiiciïxïn claffe: revocamus. Dum ad mille in numerando pervenimus, jam quarto. loco opus habemus & fecundim clafem, qua millenariorum eft, inchoamus; ia qua rurfus uni- ilt- tates, decades, centenarios, fed non jam numerorum iug oli$ fimplicium verum millenariorum conftituimus, ita pri- mus in hac claíffe numerus erit unitatum, fecundus dé- RTHf g&?« id cadum, tertius centenariorum millenariorum. Si ergo ent, tribus prioribus numeris preponantur hi tres 473, to- efu tus numerus 473536 defignábit quadringenta fept'agin- 1104 t« ta tria millia, quingenta triginta fex, Abfolutis his J fimplicium & millenariorum claffibus fequitur tertia mil- one lionum , in qua tres numeri unitates, decades & cen- Y tenarios millionum defignant; atque ita feptimus uni- j 26 verfim numerus locus eít millionum, octivus decadum ad fot millionum, nonus centenariorum millionum. & numerus Ia* 819473536 exprimet o&ingentos novemdecim m llio- d0; nes, quadringenta feptuaginta tria millia quingenta tri- ef. ginta fex. Quodfi eodem modo ulterius progrediamur; m adjungendo íemper prioribus movam triun motarum claffem, hahebimus in quarta unitates, decades & cen- tenarios millenariorum millionum: in quinta unitates de- cades & centenarios billionum: in fexta milleniriorum rem billionum: in feptima trillionum & fíi» in infinitum. i Ut adeo hec folum novem figna ad numerum quemvis i Ó1d bene . no- excogitabilem exprimendum fufficiant. jm tandum eít, ultimam claffem etiam unam tantum vel ell F j duas notas habere polfe, ] 0y SCHOLION. el I3. Ut autem femper' numerus debitum locum occupare lu poffüt, licet nullus adfit, qui precedentium loca impleat, zeri l, adhibentur, qui pro eo tantum ferviunt, ut loca vacua expleant, Ita . duo millia [4 & numerum ad locum debitum promoveant, feripturo ex precedenti hypethefi notum ef, 2 quartum locum i Qccu- í4 CAP. T. ELEMENTA Occupare debere, primus igitur, fecundus & tertlus zeris ex- Ita ad decadem exprimendam unitas ad fecundum 1o- plentur, Y c€um promovetur, zerus ergo primum explere debet; in quadrin- gentis & o&o, cum centenarii tantum & unitates ad(int, abfentia pendet. decadum Zzero exprimitur 408, & fic de reliquis, generaliter no- lot l« tando, ad quodvis fpatium vacuum zerumi ponendum effe, Lo- enuncia ealis numerorum valor fequenti tabella exhibetur. Exet Di [j o 3 lo a B a'&ï va o f5 H rA dv iel £5 EH [ ) Q f5 I gm eo — m EH XA 5 ie $ E [« E/) prefcri * * * gH * $ Q $optoop $23*3]URh Soptoop $939)IUDn $op?oop $930)1Un Sopt2op $939)1Un Sopt?2op $931UV)IUn soptoop Sapeoop $93231UU million frr1eito3u22 L BISCUCHIEN 1 L TI1euojuo2 [111euo3u25 4 [111euo23 u22 L IiJ$Uuo2U232 L. se»exiuu f'rmzusmaa el, m « L 1 Uwnuor aruorp 4 Whuor[Tur urmuorr]tur Urnuorp[Trurd wmoudwgï ell, I Uunioiivue[rrui iunioneue]rrur L WnIioHtus mwl tetdecie PROBLEM.4A I V tagin Il, 1i4. Numerum datum quemvis gnunciare. T RESOLUTIO. ) Divide numerum dàtum a dextra üniüfam verfus Bràta in claíffes, cuilibet claíffi affignando tres notas, que uni. tates, decades, centenarii erunt, divifio per commata ) fieri: poteft, Claffes millenariorum omnes punc&o (.) millionum una virgula () billionum duabus (,) trillionum tribus (j;) &c. fuperius nota, atque ita pro unitatibus, de- cadibus, & centenariis competentes expreffiones habe- bis. Ubi occurrit pun&um , dic mille, ubi virgula , Io milio, ubi due, billio, ubi tres, trillio &c. liönes L Til Ntüer DE ARITHMETICJE. 15 |ex- DEMONSTRATIO. | lo- drin» Valor numerorum a loco, quem occupant, de- enta pendet, (12.) per hzc figna in refolutione tradita va- t M. lor localis expreífus eít, ergo etiam hac ratione rite m enunciari poteft. Exemplum: fit enunciandus numerus $302480603, Dividatur juxta regulas in clafles & notetur fignis prafcriptis : l:.,'—'..q $. 302/^, 480* 5ga Quinquies mille, tercenti, (,)hic nulla decas, duo g hE. U Neutuo . s sopeoop seoj3v3tuiun milliones, quadringenta octuaginta (,) hic nulla unitas * eft, millia fegcenta nonaginta tria. SCHOLION)WI. I5. Juxta has regglas fequentes numeros enunclore facile 'uxnxa-nc'h.ugï etrit, i. Salomon in templi edificium impendit coronatorum 13695380050. terdecies mille, fexcentos nonaginta quinque milliones tercente 9ecuaginta millia. & quinquaginta. II Sardanapali divitis c(timantus 573200275757. III. Soliditas folis eft milliarium 3645252928246960. erfus Rex Shehram ludi fchacchorum inventori ex pa&o debebat grana tritici. ul 184467 4407 3709551615. at PROBLEMA IL fu. 16, Numerum enunciatum fcribere. bus RESOLUTIO, T de De- I. Vide, num numerus propofitus milliones, bil- [ä, liones &c. contineat, numque ab his immediate vela :nille incipiat, tot dein claffes commate difingue, quot numerus per pracedeus problema pofcit. II. 16 CAP.L ELEMENTA " IL. Inter hec commata numerum itafcribe, ut cen- tenarii, decades & unitates debitum locum occupent, vacua vero fpatia zeris. exple. DEMONSTRATIO. Valor a locis dependet, fed bac ratione numeri ad fua loca ponuntur, ergo etiam juxta valorem fcribuntur., Exemplum, Scribe : Quindecies mille ,. fexcentos 18, & o&o milliones, quadringenta viginti feptem millia , .f & octuaginta novem. quod i] Cum milliones adíünt, tribus jam claffibus opus d fe eft, & cum millia precedant, quarta adjungi debet. $ , e ? ? E ad quartam ponitur r$ ; ad tertiam fexcentai dein Zerus & o&o, 608.; ad fecundam 427., ad primam zerus & 89. hoc eft: 1 I : 15, 608/, 437', 089 Dtes Lu ] SCHOLIO.N Dariis Q ll i7. Hac methodo fcribentur fequentes numeri : L Ambitus terre habet viginti milliones, ducenta quinqua- Oriatur, sinta fex millia hexapedarum. I IL Si cuivis homini concederentur 4. pedes quadrati, in T unje (uperficie telluris ftarent mille quingenti viginti duo billiones, nongenta novemdecim millia, quadringenta qvinque milliones, . litesn ( $ucenta quinquaginta millia, Qu* ad- dum es| Cum b3] d j d u z S bUS, d fiitri tur&fl CA At ARITHMETICAZR. ii ii (, CAPUT R. De fpeciebus arithmeticze. d jte DEESINITIO.:: t0S 18, dditio eft augmentum quantitatis per alteram, i, . feu plurium numerorum in unum totum, quod illis zequale fit, colle&io: illi dicuntur addendi, l$ iftud feu novus numerus dicitur fumma. j/ ïï PROBLEMA I I9. Addere numeros datos, 2l lii RESOLUTIO. I. Numeri addendi ita inter fe fcribantur, ut uni- tates unitatibus, decades decadibus , centenarii cente- nariis &c. refpondeant. II. Sub his numeris ducatur linea , ne confufio oriatur. IIL Unitates annumerentur unitatibus, & fi fum- n ma unica nota exprimi poteft, ea fub unitatibus infra is, lineam feribatur; fi duabus , ea nota tantum feribatur, ns, qua ad dextram ílare deberet, finitima fequenti deca- dum columnz annumeretur, cum reipfa valorem decadi- cum habeat, decades rurfus in unam fummam colligan- tur, & Ífi hzec unica conftet nota, i(ta(cribitur, fi dua- bus, dextima tàantum ad locum decadum ponitur, & finiterior fequenti centenariorum columne annumera- tur & fic cum centenariis, millenarüis &c. per omnes &olumnas procedendo fumma quzfita obtinetur. B Exem- AMfetsb, AMhth. P H , 18 CAP. It DE SPECïEBUS Exemplum I. Sint addendi numeri 342, 425, 1214. 1. 342 2 & 3 & 4 tunt 9 unitates 51 Exit IT. 423 ^4 & 2 & 1 funt 7 decades IIl. Y9I4 jsvis colurme 3 & 4 & 2 funt 9 centenarii (ümmas COMHE 1979 I millenarius manet, enorem abelt Exemplum IL Sint addendi 3564, 4878, 7345, 8596. 3564 4. & B. funt 19. & 5. funt 17. & 6. fust 22. Nor 4878 23, unitates, 3. ergo ad locum unitatum emnibos um 7245 ponitur, & 2. decadibus annumerantur: tates fpedtatis 8596 9, & 6. & 7. & 4, & 9. faciunt 28. deca- selituum ybi des, 8. ergo ad locum decadum ponitur amen hat ( 24383 &2: centenariis annumeratutr: 2. € 5. fcribendo V funt 7. & 8. funt 15. & 3. funt I8. & 5. funt 23,, 3. ergo ad tius ii nor locum contenariorum ponitur, & O. gnillenariis annumeratur, quorum fumma 24. eificit, & tota fcribitur. $1 DEMONSTRATIO. m wnius « tunc dextr fummam Additio eft plurium numerorum in unam t& fequenti fummam 1. colle&io ($. 18.) fed hac ratione unitates, decades, centenarii &c. feu omnes numeri in unam fummam fequenti « quam cj colle&i funt, ergo addiþio fa&a eít. Tes brevio SCHOLION i, le&as. fumo exemplum 20. Ipfa finifterjoris note translàtio ad fequentem locum hac etiam methodo exhiberi poteft, Ííi partiales cujusvis colum- f fumma loco debito una infra aliam fcribantur, & dein in Precedens exemplum fic ftaret. unam colligantur. 3564 4878 7243 8596 n 23 . . Summa unitatum 96 * Sumima decadum DL . LÀ x . Summa centenarlotur 22 . * . . Simma millenariorum, 34382 $CHO- * ARITHMETIC.JE, 19 ,SS;.CHOLION —IL .41, Examen additionis rite fa&z eft, fi initio fummo» cu- jusvis columnz deorfum computando fiant, dein operatio furfum fummas collizendo repetatur, íi eadem fumma generalis prodeat, errorem abeífe fat certum eft. ; HI. sjc*H OLION fust 22. Nonnuili examen inítituunt abjiciendo toties 9 ei;: tUt omnibus numeris addendis fecundum valorem naturalem ut uni- lUH tates fpe&atis, quotiés fieri poteít: idem fit in fumma generali; iC refiduum ubique zxquale operationem probat, At cum. hoc exa« Jrilu anen fallatx(tranfpofito enim . per etrorem uno alterove numero 9t ad fcribendo v. g. 93. loco 32., refiduum tamen equale erit) din« Wt , tius -Villi non immorabimur, S;-CHOLI'ON IV. 93. Dum loneiores numerorum feries addend» funt, fum- ma unius columnz. etjam tribus notis conítare poterit, atque tunc dextima fcribatur, & finiftims duz valore decadico accep- te fequenti co'uimux annuwhnerentur v. g. fi unitates colledzx dent -- fummam 135. quinque fcribatur ad locum unitatum, & tredecim Ut autem tam hoc, R fequenti columnz decadum snnumeretur. quam conjun&um errandi periculum evitetur, has feries in plu- yes breviores per lineolas dividere expedit; & hac ratione col- de&as fummas partiales in. unam rurfus totalem colligere; Ut exemplum adje&um exhibet: 29 5 - 57 d 118 "39 EH 791252 $8 io9 58 s € 28 334 99 I9 $; 2 * 9 —— 205 792 s Bs E X E. M- Zo CAP. H. DESPECIEBUS EXEMPLA ADDITIONIS. L In exercitu nnmerantur 15453. granatarii: 25340. pe« &ites: 12835. equites: 220. pyrobolarii: 69, archite&i milia- Tes 145CO. auxiliares copiz 3110 levis armature milites : quot numerat totus exercitus ? II. Princeps ex fundo A habet reditnum annuorum 54048 ex B. 2976475; ex C. 29870: ex D. 70coO ex E. IO04Q00: ex F. 14925 Quales hàábet reditus annuos? &c. &c. DEFINITIO II p 24. Subtradio eft imminutio alicujüs - quantitatis date, feu ablatio numeri a toto , ut inveniatür tertiu$ , qui differentia feu refiduum nommatur. minor fubtra- hend us dlcltur, PROBLEMA lr 25. Subtrahere minorem numerum a ma;ore. RESOLUTIO. i. Subtrabendus ita majon feu minuendo. fübfcribae tur, ut unitates fub unitatibus decades fub decadibus &c. ponantur. 1I. Sub his ducatur lmea ad confufionem evitandam. IIl. Initio a dextris facto aufer unitates fubtrahen- di 3b unitatibus minuendi ; refiduum infra lineam ad 1o- cum unitatum fcribe Idem cum decadibus, idein cum centenariis fac, vide Exempl. 1. Si nota fubtrahendi fit xqualis fuperiori, refiduum eít squale nihilo; ze- rus igitur inferius ponendus efl. Si notam inferiorem majorem effe conGngeret nota füperiore, ex fequenti proxime fuperiore nota unitas mutuatur, & ita notze minuendze ultimz connumeratur, ut duas notas fepara- tim pofitas cum hac efficiat, hoc eft valorem fuum de- cadicum retineat, & ab hac ita aucta inferior fubtra- hitur. Nota, a qua unitas ablata eft fignatur pun&o, ut —— P ARITHMETIC E. PA1 at in fequentis notze fubtra&tione fciatur, hane notam )g4 unitate imminutam effe: vide Exempl. II. .Si denique ( " fuperius fit zerus, & inferius etiam, zerus in refiduo fcribitur: fi a fuperiore numero inferior zerus auferen- dus eft, superior numerus ponitur : fi a zero fuperiore inferior numerus fubtrahi debet, ad zerum ex fequen- ti nota unitas mutuatur, ut jam decem valeat; fi fe- quens etiam fit zerus, a proxime fequenti nota unitas ä mnutuatur, per quod hic zerus initio in 10. & transla- ] ta ad fubfequam notam unitate in 9. abit, quod de B, omnibus precedentibus zeris, donec ad numerum per- ( veniatur, intelligendum eít: ut in Exempl. III. Exempl. l. 6795 Dic 4 a 5 relinquunt x unitatem 1324. 2 à 9 relinquunt 7 decades 3 3 7 relinguunt 4 centenarios refiduum 547X I à 6 relinquit 5 millenarios. Exempl. II. 3-',420 Dic Oa O manet O 25760 6 à I2 manent G j —— 9660 7 à I3 manent 6 i 5 a 14 manent 9 ' 22 2 manet nihil, l, Exempl. Ill 90000 Dic O a o ütuoþ [l* PÓ 2240 4 & 10 funt 6 0- 33. 9 funt 6 $7660 u 22a 9 sunt f Jdi nihil ab 8 funt g e- DEMONSTRATIO. n n fubtradione inveniendus eff numerus tertius, ü qui differentiam inter datos exhibeat, fed per prece- dentes regulas differentia inter unitates, decades, cente- e narios &c. accepta eft, & infra lineam fcripta, erge fubtra&io hac ratione rite facta eft, 0, "2 $cERO- . L d " 22 CAP,*.II. DESPECIEBUS SOJGLOLION,.I 26. Examen fubtradionis fit per additionem, differentia aádita numero minori dat numerum majorem. Cum enim fola differentia exhibeat quantitatem , qua miner a majori deficit, f hic defe&us rurfus minori addatur deficere ab illo non poteft, fed equalis illi effe debet. In Exemplo L'minor & refiduum ad* diFum dat termidum majorem. | 1;324 numerus minor as o 5471 differentia numerus major. 6795 SCHOLION,II. 97. Poteft etiam per ipfam fubtracionem fubtra&tio exa« h P minari: refüduum enim a majori numero fubtradum de [5 effe l; Y ima- equale minori numero. Hic enim eft ipfaQ differentia in jorem & refiduum. 6795 . numerus major 5471 differentia 1324 numerus minot. ZA E RRE . o p EXEMPLA'SUBTRACMONW, Y. Mercator e'xpendït in merces 34060. florenos, vendi- dit autem illas &1985. florenis. Quot habet refiduos? EM a. RE IL Annus prefens eft 1775. Petrus natus eft 1741. Quot habet annos? IH. Exercitus hoftilis erat ante pugnam þ510942. occiü funt 30043., quot remanferunt? DEFINITIO. III. P^ 4g. Multiplicatio eft ejusdem numeti iterata addi- tio toties, quoties unitas continetur in altero, feu mul- üplicare eft querere numerum , qui toties contineat eC. AE o MK . nEDE unum ex datis, quoties alter unitatem continet. Nu- ueij ambo, qui multiplicantur, dicuntur fa&ores: nu- merus ex multiplicatione ortus faEum vel productum di- r dl eitur: dta 6. & T. funt fa&ores, 432. e(t fadum. C " P ARITHMETIC.E. 35 COROLLARIUM. '1 uii 11 " g() ii ibet ergo ex his factoribus multiplieandus, & qui- jl ibet mu tiplicator effe poteft. Idem enim eft, feu tria quater , feu quatuor te f addam. Ín fa&o enim unus eorum tofies conti- lt, metur, quoties unitas in altero. $i unus factor eft unitas, alter z (je tantum femel ponitur, hoc eft, ícribitur, qualis e& ; hinc dici- fur : unrtas ndul multtplicat. $SCHOLION I ä( 39. Multiplicatio primarum novem notarum feu fafta ha- ram inter fe nullas habent regulas, fed exercitio aut| computa- tione in digitis faéta addifcitur, & memoris mandatur. Confu- litur huic vel per regulam pigri, vel per tabulam pythagoricam. Per ilam produ&a fa&orum a 6. incipiendo in digitis manuum 1* reperiuntur (infra 6. enim qui funt numeri, facile multiplican- ie tur) Dextra facorem unum finiftra alterum continet; fac&o- " " rem ipfum digiti ereci exprimunt ? ut dum 6. eft fa&or, unus erigitur, dum 7. duo*.. dum &8. tres, &c. ftantes per IO., enun- eiantur jacentes per unitates, hac tamen lege, ut fantes fim- pliciter addantur, jacentes vero unius manus per jacentes alte- rlus multiplicentur. $i 6. per 6. multiplicandum (it, unus di- gitus in quavis mamu erigitur, quatuor in utraque jacent: duo fantes additi funt 20., quatuor & quatuor multiplicati dant 16 ergo ftantes fumul & jacentes faciunt 36. fa&um ex 6. in 6. Si d Z.per 8. fit multxphcandum, in una duo ftant, in altera tres- duo vero in una , & tres in áàltera jacent, quinque ftantes additi faciunt 50.; yt duo vero & tres jacentes ; multiplicati dant $,, ergo facum totum eft 56. SCHOLION IL. 3I. Tabula pythagorica fac&a omnium numerorum fimpli- eium continet Confiruitur hac ratione: fuperius & inferius in tabella fiunt novem divifiones, & ex parte finidira & dextima to- fs tidem; hw & ille lineis re&is conjunguntur. Inm prima fuprema ferie fcribuntur numeri novem fimplices; in fecunda binarii l ejusque faca in omnes fimplices ad priorem fcllicet numerum f femper addendo duo; in tertia ternarius, ejusque fa&a, ad 1- priorem femper addendo tria & fic usque ad novenarium , & ta- . bula omnia fa&a continebit numerorum fimplicium : ut fig. 3- ] exhibet. Ufus tabul» feguens eft: Quzratur unus fa&or in ferie fuprema, alter in ferie finiftima: communis areolarum. concur- fus a fuprema deorfum & a finitra dextram verfus progrediende B 4 ho- ais CAP.I. DESPECIEBUS 24 thorum facorum producum continet. Exempl Sit 6. per 7. multiplicandum a 6. e fummitate deorfum progrediendo linea xe&a, donec veniatur ad feriem, in qua e finiftris 7. ftat, habe- tur fadum 42. PROBLEM.A. IIT 42, Multiplicare numeros datos. RESOLUTIO I. Fa&or minor majori fübícribatur , ita ut unita- tes fub unitatibus , decades íub decadibus &c. po- [ nantur. II Ducatur mfra fac&ores linea. III. Ducantur unitates multiplicatoris in omnes no- tas multiplicandi a dextra finiftram verfus, & fa&a par- tialia fi una nota exprimanfur, ita a dextra finiftram verfus fcribantur, ut fa&a unitatum, decadum &c. fub notis unitatum, decadum multiplicandi ponantur, ut in 1 Exempl. I. Si fa&um duabus notis exprimi deberet ea Ícribitur, quae ad dextram poneretur, altera mente retinetur facto fequentis notz addendas; utin Exempl eadem omnie 1I. Abfoluta multiplicatione per unitates no methodo cum decadibus fit, ducendo fcilicet hanc notim in omnes notas multiplicandi & fa&um ftatim fub fecunda multiplicatoris feu ad locum decadum ponatur; cum omnia hec fa&a reipfa decadica fint. Id univer- u fim notandum, fa&um debere im eo loco incipere, iu quo eff l woia multiplicans. .Abfoluta per decades multiplicatione [ fit per centenarios feu per tertiam notam dein per quar* tam, é& fic ulterius quotquot funt: ut in Exempl. III. IV. Hxc partialia fa&a in unam generalem addan- für, qua erit fa&tum quafitum, Exemp!. I 1342 Dic 2 per 2 dat 4 unitates 4 per 2 dat 8 decades d RUE t 26 P [* 3 per 2 dat 6 centenarios X per 2 manent 2 millenarii Exeme ia ARITHMETIC.R&E. 79 jf í* Exempl,IL $96 Dicó per 3 dat IQ remianet I inea 3 9 per 5 dat 27 &unamquod remanfit 28 rh 2688 8 per 3 dat 24 .& duo funt 26 Exempl IIl. 53684 Dic 4 per 5 dat 20 325 8 per 5 dat 40 & 2 funt 42 268420 6 per $ dat 3O & 4 funt 34 2 per 5 dat I5 & 3 funt 18 I07568 161052 $ per 5 dat 25 & 1 funt 26 Dein incipit multiplicatio per 2. fed ia 17447300 fcribendo primum facum 8. ad locum p decadum 4. per. 2. dant 98., 8. per 2. dant 16., remanet I. &c, &c. DEMONSTRATIO, ; no Numerus fuperior feu multiplicahdüs toties pofitus que eft, quot inferior feu multiplicator unitates in fe con- (.ram fub tinet; ter enim in Exempl. II. pofite funt unitates 9 ter decades, ter centenarii; fed hoc ex definitione eft t in LY multiplicare, ergo dati numeri multiplicati funt. ret, SCHOLION r onte IUPL 33. Translatio notz finifterioris ad fequens fattum demon- ymnie firari poteft, ut in additione di&um eft, fi quodlibet fa&um lo- fonc co debito feparatim fcribatur: ut inferius Exempl. IV. exhibet. ; lub SCHOLION IIL JP 34. Examen multiplicationis eft divifio fequenti problema- [2 te tradenda, quod enim & qua ratione multiplicatio componit , hoc divifio rurfus eadem ratione in fuas partes refolvit, Si igi- d ione neceffe eít. tur facum per unum e facoribus dividatur, alter fa&or prodeat , !UHI' * Ill $CHOLION II. i 45. Dum unus aut ambo factores in fine annexos habent Zeros, abfciffüis interea zeris multiplicatio per notas alias fecun- dum regulas fit, & fa&o totali feu fumm omnium produ&orum tot z2eri apponuntur , quot in utroque fa&ore erant : ut i& Exem gl. N h 55 $CH Os D 26 CARILDESPECIEBUS S.CHOLION,IV. ! $iny! u 36. Si in loco intermedio occurrant zeri in multiplic Guv ata- ze, etiam ii omitti poffunt, hoc folum notato , quod fuperius Triph de pofitione fa&i partialis di&um eft: fcilicet, fa&um per figu- aür Qd ( ram Zzeros immediate fequentem in eo inferius loco incipere Qu Sex debere, in quo nota multiplicans ítat : ut in Exempl. VI. $ep Exempl. IV, 896 Exempl. V. 2:000 300 Qdor —— Nox 18 24|o0co3 27 L 3 2 4. ïmt 72|oocoe TW 2688 iee Exempl. Vl. 450864 vidl i 4002 L A 901728 pn Y803456 & in 1804357728 t : B^UHOLtE-0N.-V i 37. Si majotes vel longiores numeri per majores multipli- eandi funt, magno erit fubfidio,fi prius omnia multiplicandi mul- te& itont tipla (hoc eft omn!a fa&a ipfius multiplicandi in numeros novem fimplices ceu duplum triplum quadruplum &c.) fiaut & feparattm Q EM L fcribantur; facile erit deinde ex his factis ea, qu& note muki* plicatoris exigunt, excerpere & loco & ordine debito [cribere. H Dell: Si muitiplicandus 97868. per 75896. p Duplum multiplicandi habetur vel addendo eum fíibi ipf Qu vel per 2, muitiplicando. 'friplum addendo duplio fimplum vel m hnm multiplicando per 3. Quadruplum addendo triplo fimplum vel duplum multiplicando per 2. Quintuplum addendo iterum prio- j ri fmplum vel addendo duplum & triplum & fic de reliquis. Qrdine multipla fic ftarent. tet Lf Qm 10 eime 3 ARITHMETICJR. 27 97868 Sin;p]um 97868 i at [ - Duplum 1957236 75895 Derius 'Triplum 293604 Sextuplum 587208 figus — — 880812 j Quadruplum 391472 Noncuplum cipere Quintuplum Octoplum - 782944 489340 Sextuplum 587208 Quintupl. — 489240 Septuplum 685076 Septupl, z 685075 Octoplum 782944 Noncuplum $80812 74277779728 JYpfa autem hxc multipla facillime habentur per tabellas auí lamelias Neperianas, qus parantur ex abaco pythagorico fupe- rius explicato, feparando quaslibet notas per lineas tranfverfa- les, ut fig. S. exhibet, excepta fuprema ferie, que non ita di- viditur, atque omnia quadrata hac ratione in duas partes diftin- In dextima cujufvis areole parte funt unitates, in fini- guuntur. ftima decades. Preter has due tabelie feparate eífe debent, pro zeris una, cujus areole etiam per tranfverfales divife funt, & in dextima parte zeri ponuntur: altera areolas integras habet & numeros novem fimplices ordine continet, ut fig. 5. Paran- tur autem ex ligno vel alia materia craffore, & plures ad ma- nus effe debent, cum eadem nota fzpius occurrere poíht. 38. Ufus fequens eft: Lamelle ita difponuntur, ut in fron- ipli- te exhibeant multiplicandum , ez fcilicet accipiuntur, qus im mule fronte notas multiplicardi gerunt & ordine, quo in multipliotn- yrem do flant, fibi invicem adjunguntur. Ante hos ad finittram po- um nitur columna numerorum fimplicium, qus multiplicatoris mu- I nere fungitur: utin fig. 7. precedens exemplum explicatur. Ta- bert. belle 97868. multiplicandum exhibent, multiplicatoris note in prima tabella queruntur. . Multipla hac methodo excerpuntur, Quzritur in columna numerorum fimplicium nota multiplicatoris p f in noftro cafu 6. feries tota à 6. verfus dextram multipla hujus Y numeri continet. Prima ad dextrám nota exhibet 8. unitates, ï j v€ in facto ad locum unitatum ponendas; altera ad finiftram nota Jrit 4. additur illi, quz ad dextram in fequenti columna ftat fcili- Q cet 6,, fumma eíft 1O., zerus ad locum decadum fa&o fcribitur, I. fequenti note 3. annumeratur, qus» jam abibit in 4., hzc cum fequentis columnz nota 9. facit I2.: 9. fcribitür igitur ad locum centenariorum, I annumeraturfequenti note 4, qus cum contigua 3 jam 7, facere debet pro millenariis: fequitur 4 & 4 funt 8 & tandem folus numerus 5; ut adeo totum multiplum fe idem cum feguenti nota 9 ia ultima fi fextupvlum fit 587308- xie adue 28 CAP.II. DESPECIEBUS rie prefiatur addendo femper notam finiftimam prioris columsse note dextimz fequentis columne; fumme ordine fcripte facta P omnia exhibent, qux. in unam fummam colle&a dant fa&um to- qnla certa tum multiplicatoris in multiplicandum ; ut prius exemplum often- fus per di dit. Veritas operationis inde patet; quzlibet areola continet rica at 3 fa&dum mnote fupreme in notam lateralem finiftimam, quod fa- viftima, ( &um ita juxta leges prius datas in- produ&o fcribitur, ut dexti- titur um ma folum nota ponatur, finifima autem feu decas fequenti fa&o vedens: 3 annumeretur; fed id preftatur per has tabellas, quz fa&a ordine quotus n debito continent, ergo operatio recte juxta has leges abfolvitur. 6 contie EXEMPLA MULTIPLICATIONIS. mitate fi extety ac L. Infula quepiam continet 36. difiri&us: quilibet diftri- « divif &us 4O paroecias, quzxlibet paroecia 98 familias, quzlibet fa- Vb fto amilia 9 perfonas. Quot erunt perfone ? 1270080. (Íet qu II. Campus quidam longus eft 102004 pedes: latus 02002 pedes. Yilione : Quot habettotus pedes quadratos multiplicata longitudine per latitudinem ? 104047140I2. / I1l. 1775 anni, quot habent dies ? pqu uno computatis 2365 diebus* quot horas? ï24 diei attributis? quot minuta? 69 4 in qualibet hora. l Rüterum tomponit DEFiNITIOIW Vifim pe 39. Divifio eft iterata cujusdam numeri ab altere fubtradio toties, quot unitates tertius quarendus ha- ) bet; feu dividere eft qua&rere numerum, in quo toties Major Vilione ; continetur unitas, quoties minor in majore. maximm vocatur dividendus , minor divifor, tertius quotus. 9&91 P:imus oftendit, totum in partes diftribuendum; alter in quot partes totum diftribui debeat, tertius, quot partes cuilibet ex toto obveniant: ut 20 florenis in 10 A Wam ; pauperes diftributis cuilibet 2 dandi funt. 101 pote COROLLARIUM Qum Qu 6 putts 4O. Si divifor fit unitas, quotus debet effe zqualis divi- dendo ; cum enim quotus toties continere debeat unitatem, brond oft quoties divifor continetur in dividendo, divifor autem toties contineatur, quot dividendus habet unitates; hoc eftin cafu propofito, qualis eft ipfe numerus datus, etiam alius quotus N quam ipfe numerus datus effe non poteft: hinc dicitur: unitas Jmü zil dividid Ysa i T in 6 continetur fexies, quotus ergo etcam t *!ä'itiä c£& ó. SCHO- j 29 ARITHMETICA:X | SCHOLION I. luttisg ! fada 4t. Ut íciatur, quoties minor in majore contineatur, re- Wt tü« | often £ula certa tradi non poteft, fed exercitio aut computatione rur- fus per digitos addifcitur. Adjumentum tamen tabula pythago- Ontinet od - rica aut Neperiana adfert. Queritur nempe divifor ex parte (i- nifima, & dire&e verfus dextram progrediendo in areolis que- dexti- ritur numerus major datus, feu numerus ad datum proxime ac- fado cedens: ab hac areola dire&e furfum progrediendo invenitur yrtne quotus in fuprema ferie; ut fi fcire vellem , quoties in 42 nota dieuta 6 contineatur: a 6 verfus dextram venitur ad 42, cui in füm- mitate refpondet 7 quotus qusfitus. $i fa&um quzíitum non diftti« extet, accipitur fa&um proxime minus, Ratio in promptu eft, cum. divifio refolvat, quod multiplicatio componit, dato faco & jet f« uno fa&ore (feu dividendo & divifore) habetur alter fa&or (feu quotus) multiplicatis fa&oribus coalefcit fa&um, quod di- 02003 vifione refolvitu& in factores. ituding COROLLARI.UM I. outatis ! 8 42. Hinc quantitas divifa & multiplicata fimul per eunderm numerum non mutatur, quia in eas partes refolvitur , in quas componitur. Tta 42. multiplicatum per G & fa&um iterum di- vifum per 6 manet 42. |tete COROLLA:RIUM T. i ha 43. Deducitur quoque ex eodem principio, quotum ex di- totie$ vifione partiali majorem quam 9 effe non poffe; fa&um enim Mojot maximum duorum numerorum 81 majores fa&ores fimplices quam QLUS. 9 &9 habgre non poteft, SCHOLION Ií. jltet quot 44. Si contingeret dividendum nümerum minorem effe «uam diviforem , divilio fecundum regulas preícriptas a&u fier$ n 10 non poteft, fed tantum indicatur hac ratione, ut infra dividen- dum ducatur linea & divifor infra lineam fcribatur: ut fi 5 in 6 partes diftribui debent, fcribe fupra 5 & G infra lineam * 5 divi* quod oftendit, 5 per 6 dividi feu in 6 partes diftribui debere. 'em , SCHOLION IH. oties caf 45. Hwc operatio fola a finitra dextram verfus peragitur, j0tus dum .omnes alie a dextra finiftrorfum fiunt, cum in di- fributione feu divifüone rerum majorum partium initio ra3tio ha- nita$ tiam benda Q« & n 30 CAP. II DE SPECIEBUS benda fit, ut reüidua ex partibus majoribus in debitas minores 0 rurfus partes diftribul pofünt PROBLEMA IV dum divifor 46. Numerum datüm dividere anica nota conftat. RESOLUTIO I. Poft dividendum fiat lunula, poft quam quoti 3ad evitandam confufzonem fcribuntur. II. Divifor primz notze finiftime diwidendi aut fi hec minor fit quam divifor, fecund» fubfcribatur. dii III. Quzre, quoties divifor in prima, aut fi major quod Qüi à fuerit, in duabus primis notis eontineatur, & quotum Wn a hunc inventum poftlunulam fcribe. IV. Per hunc quotum multiplica diviforem , & fa- &um fub divifore ita pone, ut accurate notz vel no- que divife funt, correfpondeat: infra fa&um due tine; lineam tar V: Hoc factum.a notis immediate fuperioribus di- les ; videndi fubtraàhe, refiduum infra lineam pone. dit VI. Huic refiduo adjunge notam fequentem divi. 1n dendi, quz fimul figno aliquo notetur, quod oftendat, 0j hanc notam jam translatam effe, & easdem operationes Cent, Tar a fecunda incipiendo repete. 3 n&ï 4 Q ad;h' Vaut Exemp! w ARITHMETICJA. 3t 0t Exempl. Y, Sit dividendum 7638 per 3. Ponatur 3 fub 7 r VE poí dividendum fiat. (Dic 3 in 7 continetur 2 qui quotusg 7638 (2546 pof lunulam ponitur, & per eum di- 3 vifor 3 multiplicatur, fa&um 6 infra » diviforem. ita fcribitur, ut dividendo 16 7 reífpondeat , & fubtrahatur; ad refi- fot duum I adjungitur nota fequens 6 & 3 $ub G fcribe divifo- 15 punc&o notetur. — rem 2 239 & quere, quoties 3 in 16, 13 & invenietur 5, qui ad locum quoti 3 poft 2 fcribitur, & per diviforem 3 12 — multiplieatur, factum I5 a I6 fubtra- hitur, & ad refiduum I adjungitur fe- uoti 18 Subfcripto divifore À2 n 3 quens nota 3. [3 quere, quoties in I3 contineatur & n *s quotus 4 poft 5 quotis adjungitur, perg X ü. o hune quotum multiplicatus divifor 3 dat factum 12 quod fubtra&um a I2 relinquit refiduum I, ad quod adjungitür nota ultima 8, & quere 3 in I9 continetur 6, jot qui ad. quotos pofitus & du&us in 3 dat fa&um 18, quod abla- Curtt tum ab 18 relinquit O, & habetur quotus 2446. j h- DEMONSTRATIQ | 10* Dividere eít querere numerum, dui totics con- | duc tineat unitatem, quoties minor in majori, feu in mille- nariis, centenariis &c. contineatur, fed per prxceden- di tes regulas id quiefitum erat, & numerus, qui id often- dit, inventus, ergo divifio rite pera&a eít. Scilicet 7 millenarii in 3 partes divifi dant quotum 2 millena- QlVie tios & reftat adhuc 1. mille, ad quod adjunguntur 6 !däf D centenarii, qui in 3 partes divifi cuivis dant 5 cente- (nes narios, & reítat iterum I centenarius, ad quem ad- juncte 3 decades dant r3 decades, divife per 3 dant 4 decades in quoto, cum refidua 1 decade, ad quam adjunécte $ unitates faciunt 18 unitates, äiyjfæ per 3 dant quotum 6 unitates. C Q- pl CAP. IL. DE SPE IEBUS $2 COROLLARIU M. 47. Patet inde, tot notas in quoto futuras , quot divifio- mes partiales fa&w funt, hoc eít, tot fore notas in quoto, quot mote in dividendo fubfcripto divifore reftant, quibus nil íub- fcriptum eft plus una nota, qua ex prima divifione habetur. PROBLEMA V 48. Numerum datum dividere dum divifor ex pluribus notis conftat. RESOLUTIO fotem tus to Q 1. Fa&a lunula ut prius. II. Prima diviforis nota primz finiftimz dividendi 4 (nifi minor fit) relique reliquis 'notis fubícribantur. & IM. Quzre quoties prima diviforis in prima (aut 1Vii0) m 4 duabus primis) dividendi contineatur, & quotum hunc tür 4 jnventum poft lunujam fcribe. IV. Quotus inventus in totum diviforem ducatur, & fa&um íüb correfpondentibus notis diviforis fcriba- Tne tur. Duus Vi ( V. Du&a linea hoc fa&um ab iis notis dividendi, qulbus fubfcriptum eft, fubtrahatur. CSi autem fac&um majus fit, quam ut fubtrahi poffit, quotus unitate mi- nor accipiendus eft ). utus teipi: U de VI. Ad refiduum adjungatur nota fequens, 3 qua fubtra&io nondum facta eft, & divifor totus fubfcriba- Drima feriy tur, atque operatio a tertia incipiendo repetatur. ï,hls QUOtU "MOrIs Exempi — - ARITHMETICZE 33 Exempl. II. Sit dividendam 36448 per 68. j« 36448 (536 Dic 6 in 36 quoties contineretur 4 nt 68 quidem 6, at facum hujus quoti in di- 340 lb« —— viforem foret 408 majus quam ut fub- 244 trihi pofit, hinc quotus a-cipitur 5, qui duc&tus in diviforem 68 dat fa- 68 204 &um 340, fubtra&um relinquit 24 , adjunca nota fequens 4 dat dividen- AOS8 dum, 244, quod per 68 divifum dat 68 0 quotum 3, qui ductus in diviforem 408 — À dat 204 quod fubtra&um relinquit 40 cum ultima nota 408 & divifura per 68 dat quotum 6 , qui du&us in divi- forem dat fa&um 408 quo ífubtrado refiduum eft — O & quo- tus.totus —2 5236. Ita omnia exempla, ubi dwxfor trxum, qua- tuor aut plurium notarum eft, folvuntur, SCHOLION L 4 49. Si peraca diviüone fuerit ex ultima fubtra&ione reft- $uum, illud ad dextram quoti pomtur, eique interpofita lineo!a 29 Ed divifor fubfcribatur. (g, 44.)5 divifum per 5 dat quo- t tum 4 & refiduum 25; quod poft quotum fubfcnpto dlvxiorc poni« tur 42. [ S.COLOLION k 50, Si fub ipfa divifione nota adjun&a refiduo minorem j numerum efficiat quam fit divifor, in quoto zerus ponitur & ad prius refiduum quuens rurfus dividendi nota adjungitur, & di- viüo continuatur: ut in Exempl. lII SCHOLION II 51. Dum divifor pluribus notis conítat, f»pius accidit, ut quotug ex prima nota diviforis in primam dividendi jufto major acciplatur, cum reliquarum etiam notarum diviforis ratio habe- Ti debeat hinc contingit ut prima nota diviforis fszpius in prima dividendi contineatur, quam totus divifor in eo, cui fub- fcriptus eft numero, & quotus major ponatur, 'quam ut facum ilius in diviforem fubtrahi pofit, quo cafu diviüo repetenda & quotus cum tzedio minuendus eft Confulitur huic, fi prius di- viforis multipla. fiant ($. 37.) qu& oftendunt, quodnam fa&um Qquot1i AMeizb. Idath. P.1 C MRH u ts m —— 34 CAP.H. DE SPECIEB. ARITHMETIC A. oti im diviforem a dividendo fubtrahi poffht, & quis verus P qu quotus accipi debeat. SCï*iOLION IV. | 49. Si divifor zeros in fine adjun&os habeat, hi ultimis ad dextram dividendi notis fubfcribi poffunt, abfcindendo zeros a divifore & totidem motas a dividendo, cum reliquis autem V Pera&a divifione abíciffe prius dividendi no- operatio inftitul, te refiduo, & quod fuerit, adjunguntur, & fupra lineolam , ut prius di&um eft; fubfcripto divifore toto poft quotum ponuntur, — L: $i nullum fuerit refiduum , ipfe abíciffe notze fubícripto divifore pof quotum ponuntur: ut in Exempl, V. ubi dividendum eft 563874 per 23c0. SCHOLION V, 53. Si vex'c; tam in dividendo quam divifore zeri fuerint, equalis zerorum numerus ex utroque aufertur, & cum refiduis notis operatio inftituitur. Hinc in divifione 849000 per 3000 diviüo fit 849 per 3 & quotus 283 eft verus quotus: fupponi- tur enim tam dividendus quam divifor per eundem numerum C1 fcilicet adje&is illis zequalibus zeris multiplicatus, hinc ubi- que omitti pote& ( $. 3- SCHOLION. VI f $4. Si divifor fit unitas adjun&is zeris v. £. IO, IOO; | fOOO &c. abícindantur in dividendo ad dextram tot note, quot inferius fuünt zeri, notze remanentes funt quotus, cum unitas nie hil dividat, ipfe autem not» abfcifle fubfcripto divifore poft quotum ponuntur, vHinc 684375 divifum per IOCO dat quo- tun 604 T$$20 m — p MH SCHOLION S VIIL. z d Bd $5. Examen diviüomis eft mulà n pl T li catio; quotus inventus áucatur in diviforem , fa&üm dabit dividendum , cum enim di- vifio tefolvat, quod multiplicatio componit, fi refoluto dividen- do per diviforem in quotum rurfus quotus per diviforem multi- f Ia lin CO1 nponatur. Hoc zquale dividendo effe de- plicatione in fa bebit. Conferatur Exempl. VI. cum Exempl. in Scholio V. multiplicationis jam ($. 372 Pf vofito *) Exempl. u$ CAP. Hï DENONNUL. AFFECT. N UMER&,' 35 Exempl, III, 241672 (30209 8 3 Exempl. IV. 246656 (3008 nif 82 5638 E 7 0f Exempl, :V' 44 (248 22 Q $ In 23 4 00 &xempl. VI. 7427789728 ( 75896 W 97898 u - )re Á ef :C AT UI M A De nonnullis afïe&if)nïbus numerorum. u l 00 DEPFPINITIO L nl À umerur primus dicitur, qui ex nulla multïplica— ) 56. UZR tione per alterum numerum preter unitatem hàberi poteft, adeoque etiam per nullum alterum quam per fe & unitatem exa&e dividi poteft: tales funt 1. 2.3. 5. 0; 7- 1 1. 13. 17. 19. 23. 29. 31 &c. ANumerus. compofitus t eft, qui exi multiplicatione duorum numerorum oritur, m adeoque etiam diviforem vel divifores alios przter fe ol & unitatem admittit: ut. habet diviforem 2: 6 habet divifores 2 & 3: 8 habet divifores $ & 4: 99 habet divifores ? & I14, 4 & 7. Fa&a horum diviforum di- cuntur multipla. j DEFINITIO II j 57. Pars. aliquota e&,x qua aliquoties fumtä toti eft equalis: ut 3 eít pars aliquota numeri 12, quia quater E V fumta eidem zqualis et. — Pars aliquamia eft, qus ali- quoties fumta toto vel major vel minor eít: ut 5 eft pars aliquanta numeri 12,. C 2 DE- CAP. HL DE NONNULLIS . 36 DEFINITIO 1. $9. Commenfurabilia dicuntur, qus partem aliquo- tam communem habent vel quorum unum eft pars ali- Incommenfurabilia funt, quorum nulla quota alterius, datur pars aliquota communis. DEFINITIO IV. 59. Numerus par eft, qui per 2 dividi poteft: ut 8.4. 9. &c. lmpar qui per 2 dividi non poteft, & a pari unitate differt: ut 3. 5. 7. VCOROLLARIUM DE La d - DEU MO E . EMi M RE rE 60. Hinc fi numeros ordine naturali fcribamus Y. 9. 3. 4- $. 6, 7. 8. 9 &c. numeri alterni funt pares, & fi ad imparem addatur unitas, fit par. COROLLARIUM IL 61. Si igitur fit numerus compofitus, qui in fine habet numerum páàrem aut Zerum, poterit per a 2 feu bifariam dividi; 10 enim, 20, 3O aut 1OO, 200 &c, funt numeri pares ex precedenti Corollario. Si imparem, per 2 dividi non poterit 5 femper enim major erit unitate quam multiplum bi?arïi. COROLLARIUM Il. 62. Omnis numerus, cujus poftrema nota eft 5 aut O, di- vidi poteft per 5 : nam nul!us numerus habet in fine 5 aut O, qui non fimul unum ex fa&oribus, ex quibus Oritur, habeat quinarium, «ut in tabula pythagorica in fa&is quinarii videri poteft, fed fi unus fa&or eft 5, per hunc numerus datus feu fa- &um dividi poteft, ergo omnis numerus talis per 5 dividi pf)teü. COROLLARIUM 1V. 63. Si note numeri compofiti ut mere unitates confider:- sB & in unam fummám colle&» novem íemel aut aliquoties (umtum efficiant, numerus datus accurate per 9 dividi poterit. ia 6894 in unam fummam collecz faciunt 27. quia 6 & 8 íunt AFFECTIONIBUS NUMERORUM 37 unt 14 & 9 funt 23 & 4 funt 27 ; fed 27 accurate ter 9 con- tinet ergo etiam numerus datüs 6894 accurate per 9 dividi po- ferxu Si vero. note ita colledz fummam. faciant per 3 divifibi- lem , etiam totus numerus per 3 dividi poterit. l1ta 2886 dat fummam 24 per 3 divifibilem , ergo etiam totus numerus per 3 dividi poterit. Videri hoc iterum poteft in tabula pythago- rica, ubi omnia multipla de 9 ut unitates fpecate & in unam fummam colle&v 9 unitates faciunt. 1ta 54 fa&um ex 6 & 9 & 2 facit 9 unitates, quia 5 & 4 funt 9 ita 72 fijaddam dat 9 &c. Cum 15 det fummam 6 aut 27 fummam 9 per 3 Fundamen- divifipbilem, etiam I5 & 27 per 3 dividi poterit tum.autem latet in eo, quod valor nullius note , quemcunque locum occupet, 9 unitates excedere pofüt, feu unitates fint fim- plices, feu centenariorum feu millenariorum , feu millionum &c, devenitur , & fi ad plures unitates jam alius locus novus iterum fatuendus eft ita quidem ut fi quiscunque numeruüs per 9 dividatur, femper maneat refiduum, quod tot habet unitates, quot unitates note in numero addite effciunt. ita I5 divifum * cum refiduo 6 per 9 dat quotum i quod eft equale I & 5 ad- ditis: 34 divifum per 9 dat quotum 3 cum refiduo 7 , idem quod 3 & 4 additi faciunt; ergo ita hzc refidua crefcunt, quo magis ab uno novenario recedo & ad alterum accedo, agque it nulum fit refiduum , numerus quoque datus inter 9 & 9 conti- Aeri non poteít, fed accurate novenarios explere debet, ergo per illos quoque divifibilis eft DEFINIÍTIO V. 64. JMevfira numeri funt divifores, qui illud ac- curate dividunt, AMenfura. maxima eft maximus illorum diviforum, qui, fl numerus datus folus fine comparatio- ne ad alium fpe&etur, femper eftipfe numerus datus quilibet enim numerus fe ipfum femel continet. Men- fura communis duorum aut plurium numerorum eft com- munis divifor utriusque; maxima eft maximus utriusque divifor Ita 12 habet menfüram 2. 3. 4. 6, e quibus poft ipfum numerum 12, menfura maxima Ó eft: 12 vero & 24 habent communem menfuram 4, maximam vere ipfum 12. C PRO- 3 38 CAP.' HI.DE NONNUL. AFFECT. NUMER. PROBLEMA I h 65 Invenire omnes divifores feu factores a kA" cujus numeri. RESOLUTIO, Si humerus datus eft par, per 92 dividatur, fi im- T par, tehtetur divifio per 3. 5. 7 &c.* Si cum nullo Si au- füccedat, numerus datus eft numerus primus, s tem quotus accuratws inveniatur, quotus & divifor fe- — paratim fcribantur. Quotüs rurfus hac ratione divida- tur, & divifor rurfus annotetur, atque hoc tamdiu re- petatur, donec quotus fit unitas, & habentur omnes divifores fimplices numeri dati. Divifores fimplices bini & bini, terni & terni inter fe multiplicentur & hibeptur omnes compofiti divifores, Exempl. Quxrantur divifores numeri 420 210 (105 3 5 É C1 420 (21Q 125 ( 35 a P o ;ï Divifores fimplices 2, 2, 35 5, 7* Divifores compoüu e binis 2 in dat ternis in. dat 12 in dat in dat 20 in dat [e) in dat 28 in dat in dat 14 30 in dat 15 in dat 42 in dat 21 in dat g €£AU) UJ9 M B o2 in ä dat 3 $ $) r t9 d9 gO :dO ) in CQv tAa 49 ) 19 f0 jQ $g»gef mf ^]7^343 ^3 JUt^4 1029 dat Hor] e quatern]s 2 in 9 & at 9 : a 9.in 92.& 84 P at 140 ä : 21Q ä» o - & e quinque 2 in ä äï;ä & 7 dat 420 ergo diviiores ordine fcripti funt fequentes 24: tY. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1O. 12. 14. 15. 20, 21. 28. 30. 25. 49. 60. 70* 84- 105. 14Q. 2IO. 420 LI v CAE.IV. DE OPERATIONIB. ARITHM. 49 - DEMONSTRATIO. Quotus du&us in diviforem reftituit fa&um feu di- videndum, ergo tàm quoti quam divifores debent eífe communes faC&ores dati numeri; fed quoti partiales e qualibet divifione emergentes funt iterum fac&tum fuo- rum diviforum & quotorum ; ergo divifores omnes inter fe multiplicati dabunt fa&ta, qua totidem erunt divifo- feS numeri totius dati. SCHOLION. . 66. Hs & alie proprietates ex Algebre principiis facilli- me demonftrantuür, que generales demonítrationes cum fint, omnibus cafibus particularibus applicantur. CUA DDT dv De operatidhibus arithmeticis in quantitatibus feu numeris heterogeneis. DEFINITIO I 67. uantitates heterogenex , de quibus hic agitur, funt, quz res diverfe fpeciei aut denomi- nationis Continent, ita tamen, .ut fpecies minor in ma- jori contineatur: ut fpecies monetx, ponderum, tem- poris, menfurarum &c. SCHOLIGON 68. Ut operatio cum his quantitatibus fieri pofüt, meecffe eft, perfpe&um priushabere; quot partes feu unitates fpeciei minoris conftituant unitatem fpeciei majoris, pro quo íequens tabella ferviat, € 4 In At t o f 53 4o CAP. IV. DE OPERATIONIBUS In moueta ufuali LE2 Impenalls contmet, ...2 flrenos: 40 groffos I2O cruciferos Florenus enso t o sss 20 groffos: 60 .cruciferos 240 nummos Grbíus 1.5l ie s. 3. Ctüciferos ;; nummos Crucifer. . .......... 4 nimmos:. 8 obolos Nummus,......... .. 8 obolos lu pondere. Centenarius (&entner) continet 1 oo libras vel 1600 un- cias vel 3200 femiuncias. Libra(SPfurb),, ..,. .. 16 uncias vel32 femiuncias vel 128 drachm. Uncia (1np).... .. .. 2 femiuncias vel 8 drachmas vel 24 fcrupulos Semiuncia (£0tb) .. .. .. 4 drachmas vel 12 fcrupu- los vel 240 gràna Drachma (Oradjmo,, .. 3 ferupulos vel 60 grana Scrupulus (Ccrupef) .. ,, 20 grana In menfura longitudinis. Hexapeda ($(after) continet 6 pedes vel 72 digitos Pes (C"Cf)ub) 6 9999 99 12 dïgerS Vel l44 llneaS Digitus (300) «; ..... .. 12 lineas vel 144 pun&a Linea-(£inie) ,. .. .. 12 pan&a(punfm lu menfura: geogvraphica. Milliare (9Dteife) continet 4c00 paffus vel 20000 pe- des Paffus (Cdritt) ,. .... 5 pedes vel 20 palmos Pes ( €fub) ,. .. .. 4 palmos vel 16 digitos Palamus (-Danbbrcite) ,. .. 4 digitos vel 16 gran. hordei Djältus (890) ,... .. .. 4 grana bordei fecundum la- titudiuem accepta. In AMTHMEHQS 4X Iu tempore. 05 Annus (a5r) continet,, 365 2 dies vel 8766 horasä Dies (Zag).. ,. ,. .... 24 horas vel 1440 minuta 061 Hora (GCtunb) ,,,.. .... 60 minuta vel 3600 fecunda Minutum (9Rinute) continet: 6o fecunda. 10$ PROBLEMA L 69. Quantitatäs heterogeneasj"ad,dere. dt RESOLUTIO. l. Species homogeneas infra homc;geneas fcribe, us cruciferos v. g. fub crueiferis, groffos fub groffis; flo- renos fub florenis &c. pun&a fub punctis, lineas fub 125 lineis &c. 1I. Unitates, decades &o, &nxjtlsuïs fpeciei homo- u genes colligantur in unam fummam , & quotier 12. f/umma Anferioris fpeciei contiuetur fpecies fequens fuperior , toties ab ila fumma hac fpecies auferatur , & féqueuti fpeciei fuperiori addaiur, refiduum vero infra lineam fcribatur, ut fi fumma fit 7 cruciferorum, cum 3 cruciferi 1 groffum adzquent, groffusin 7 cruciferis bis continetur, hinc ï)äh 2 groffi auferuntur & fequenti fummz grofforum addun- tur, cum refiduo 1 crucifero &c. n. grofs, c€ruc, Exempl. L. 20 15 18 E I7: Bob À 63 11 2 In fumma cruciferorum 5, cum groffusfemel contineatur, I ad féquentem fpeciem transfertur, & refiduum 92 in fumma crucife- 1 forum fcribitut, In fumma grofforum 51: continetur florenus ll bis, cum 20 unum eficiant, refiduum 11 ad locum groíforum ponitur, & 2 fequenti fummz florenorum 61 annumeratur & ha- c 5 bebi- 42 CAP. IV. DE OPERATIONIBUS bebitur fumma 62. Hac methodo fequentia Exempla refoluta danf funt. Tas unc, femiunc, drachm. fctup. Exempl. IL I6 6 12 ä 24 lO ï;) 3 ;ï lin pun&. hexap. ped. dig Exempl. qIII. 1 Il ro 4 w tuari 6 3 $ 6 mino prec PROBLEMA IL 70. Quantitates heterogeneas fwbtrayhere. RESOLUTIO. I. Species homogeneas fub homogeneis fcribe ut prius. . L. Unitates, decades &c. cujusvis fpeciei homo- aliqu genee ab unitatibus fuperioribus ejusdem fpeciei fub- trahe, refiduum infra lineam fcribe. Si fpecies quz- piam fubtrahenda major fit quam füuperior, a proxima fpecie unitas mutuatur, qua in hac tot valebit unita- at tes, quod unitates fpeciei minoris in ea corntinentur: ut fi a $ groílis fubtr«hendi fint 17 , a florenis unitas fiot transfertur, que in loco grofforum 20 valet, additis 5 groffis habentur 25, a quibus 17 fubtra&i relinquunt tem $ groffos. ennt & e £fe Cruc. Exempl I 103 4 Y 16 18 2 i um 86 8 2 ia Cum 2 cruciferi fubtrahendi fintab I transfestur groffus, Iqui dànt 3 valet crutiferos & habentur 4, a quibus 2 fubtraci relinquunt Üner 2 crucifetos: ad 3 gtoffos I forenus feu 20 grofü translati dant Is ARITHMETICIS, 43 lütz dant 93 groffo, a quibus r5 fubtra&di dant feüduum 8 grofs. Tandem a IO2 florenis r 6 fubtracti relinquunt 86 florenos, p. 1 Exempl, II. 1g? 5 2 E. sP 6 II 1o 8 6 II 10 $SCHOLIOSN. 7I. Ad evitandum errandi periculum bonum eft, dum fpe- eies fubtrahenda major eít fuperiore, & ex fequenti unitas mu- tuari debet, ftatim hanc unitatem refpe&u fui valoris fpeciei minori addere, & dein fubtra&ionem juxta regulas facere, ita precedens exemplum in hoc mutatur. 17? xöd 14 20 Il 6 IO iI 5 6 10 ut PROBLEMA IIl 72. Quantitates heterogeneag multiplicare fe& aliquoties fumerei E RESOLUTIO. ld I. Multiplicator fubfcribatur infimz fpeciei, & du- eatur in omnes confequenter fpecies. Ü II. Quoties in qualibet fpecie fequens fpecies fupe- rior continetur, toties ab ea auferatur, & ad fequen- tem tot unitates addantur, ut in additione di&tum eft. ó Exempl. I, erunt:* Multiplicentur 30 fl, 15 gr. 9 crug." per 69 2 30 15 60 1800 900 120 translatis etoffis & eruc'feris quoties in iis continentur, Íícilicet 4O üne refiduo dant fummam groiforum 940 inde translatis florenis quoties con- tinentur, fcilicet 47 fine refiduo dant fummam 1847.in flo- zenis, Exempl CAP. IV. DE OPERATIONIBUS 44 Exempl, 1. 42 ped. 7 dig, 8 lin. multiplicentur pcr 40 d Mm. erunt : fun 42 8 40 1680 280 320 hoc eft £ranslatis quoties fieri poteft I2 lineis ex fumma 320, vises fen fies fexies fcilicet, manent in loco linearum 8 & 26 ad locum eepti digitorum transfertur, unde habetur fumma digitorum. 306. Iti- pr ! dem ex loco digitorum translatis r2 vigeífies quinquies manet port refiduum 6, & habetur fumma pedum 1705 & totum factum erit tion 1705 ped, 6 dig. $ lin. prio pa SCHOLION I. debi ts 723. Per multiplicationem fpecies major ad inferiorem te- N ducitur, per tot fcilicet unitates fpecies major multiplicanda eft, quot in inferiore fpecie unitates continentur, ita florenus redu- ul citur ad cruciferos, íi multiplicetur per GO: pes ad digitos i * * Tat ducstur in I2 2 floreni valent 180 cruciferos; 7 pedes dant $4 digitos; $4 digiti dant ICOS lineas. ACÀ l SCHOLION Ii. üt giü 74. Bene tamen advertendum eft, hac ratione minime lat fieri multiplicationem per fpeciem minorem fed tantum per nu- qi merum quatenus eít colle&io unitatum, toties fcilicet alter nu- erus fumitur, quoties unitas in multiplicatore continetur, Hinc in ifo cafu numerus fpeciei minoris multiplicans non quoad fuam denominationem & valorem intrinfecum fed tantum quoad valorem mnumericum confiderari debet. Proprie enim fi ioquamur, harum quantitatum multiplicatio in fe invicem nec : fieri nec enunciari poteft. Quid enim fibi vellet multiplicare $ fiorenos per I5 cruciferos? nec flerenorum inde fa&um nec cruciferorum oriri poteft. Idem erit fi 7 pedes ducere velis in 5 digitos, fa&um 35 nec pedum nec digitorum effe poteft. Ab- fra&e igitur femper multiplicator fumendus eit, & ut eX natu- Ya multiplicationis patet, omnis alia preter numericam fig nif- €atio excludenda, Hinc facile folvetur, quare 2 foreni fi du- €erentur in 3 florenos dent fac&um 6 florenorum : jidem vero re« foluti in cruciferos, feu 120 cruciferi du&i in 18O cruciferos dent 9160O .cruciferos feu 360 florenos in faco. Ratio in promptu eft: in priori enim fa&o g floreni ter accipiuntur, in alteto ARITHMETICIS. 45 t 40 altero iidem 9 floreni centies o&uagefies fumuntur, quod diver- fam certo fummam daáàre debet. SCHOLIOSN II t eft 75. Contingit tamen nonnunquam, ut multiplicatio per nu- g Cum merum etiam quoad fuam fignificationem & denominationem ac- ceptum. v, g, pecunie per pecunias: mercedis per pretia : laboris Iti t per homines: fieri videatur, uti accidit in regula aurea & pro- portionum, de qua in algebra agemus, aut dum quantitas- fpa- n tiorum in menfuris queritur, de qua in geometria; verum in priore cafu apparenter tantum multiplicatio inftituitur ita, rei- pfa etiam numeri a rebus abftracti in operatione fumuntur, ut debita numerorum proportio eruatur, qu: dein ad res fignifica- tas applicatur: ut fi quzeram » dum unus ftudiofus folvit 3 flore- It« ef, 5»os, quantum foluturi (int 6 ftudiofi? multiplico quidem 3 per 6 fed accipio tria fexies abítrahendo interea a ftudiofis & flore- du :f nis confiderando in 6 & 3 fimplices unitates tantum, atque ope- ratione abfoluta & proportione vera inventa rurfus debitam figni- int ficationem tribuo. In altero cafu numerus ex multiplicatione menfure per menfuram ortus eft quadratus & fuperioris ordinis, ut in geometria explicabimus, ità disitus vel pes du&us in di- gitun vel pedem quadratum feu duplicis jam menfure long» & I4 late fimul; quod autem monetis aut aliis rebus convenire ne- ]. quito If, PROBLEMA I V-. 0f 476. Quantitates heferogeneas dividere feu in partes diftribuere. É t RESOLUTIO. Y. Divifor fubfcribatur fpeciei maximz & queeratur quotus hujus fpeciei. II. Refiduum ex fpecie precedente redu&um ad unitates fpeciei fequentis addatur fpeciei fequentis & hec rurfus ita dividatur, ultimum refiduum erit iufimz fpeciei pars: ut in divifione di&um eft. ä Xxempl. 46 CAP.IV. DE OPERATION. ARITHM - I Exempl 4O floreni 54 cruciferi fint in 9 partes divi- dendi nt XEK1, 40 54 xri. (431. * xri, $ 240 — À 36 294 9 97* /5 t À — 24 2 lo rg bil n RUA 6 iul à 9 in 4O continetur 4 cum tefiduo 4: hi 4 floreni ad cruciferos redu&i dant 240 additis 54 habentur 294 cruciferi diviü per 9 ) dant 32 cruciferos cum re&üduo 6 Exempl AlI. 19 pedes 8 digiti 6 linez in 6 partes divi- d dende 19 : ( : ped. : dlg.s lin, i2 24 18 20 30 iH 30 "v€9o o^ — o q B SCHOLION 77. Eadem hic notanda funt, que fuperius in Schol. ad multiplicationem annotavimus. Divifor iterum vt unitates nu- merice tantum fpe&ari debet abftrahendo ab omni denominatio- ne & fignificatione ob ibi allatas raflO'l(*S, quas hic repetere fu- pervacaneum effe arbitror, C A- ? Y 4? "n diyi CAPUT- Y | De Fra&ionibus notiones generales.. DEFINITIO I ra&io eft pars integri inftar unitatis confidera- 7 8. F ti feu eft pars unitatis, adeoque wnitate mi- nor. Cum enim quxlibet unitas feu integrum ut divifi- bile in plures partes confiderari poffit, fi aliquz tan- tum partes hujus totius feu unitatis fumantur, id fra- 'etos €&tio dicitur: ut fi totum fit divifum in 6 partes & 5 Cru- et tantum accipiantur, erunt quinque fextz totius. cifer eft fexagefima pars floreni, igitur totum divifum eft in 60, fi jam 45 partes fumantur, habebuntur qua- Ifri- draginta quinque fexagefimz. COROLLARIUM, 79. Duos igitur terminos omnis fra&io habere debet, unum, «ul exhibeat feu determinet partes, in quas totum feu unita$ divifa effe fupponituür, & alterum, qui contineat numerum par- tium, Qquae fumuntur; ut in priore cafu 6O denominat parteg totius & 45 numerat partes accipiendas; cum utraque fimul fem» per fcribi debeat, illa inferiorem hzc fuperiorem locum inter- A $. je&& lineola occupet :out r Ex hoc Corollario fequens defi- nitio fluit, DEFINITIO II ad !u 8o. JVumerator et fuperior numerus indicans nume- rum partium accipiendarum, inferior partes totius feu ünitatis explicans vocatur demomimator: utriusque nomen ex natura iei & fignificatione fuperius expofita fum* tum eft. $CH O- P CAP. V. DE FRACTIONIBUS 49 SCHOLION. $r. Verum fra&ionis conceptum fuppeditabit illud quoque, quod de divifione in Scholio L. ($. 49.) monuimus; dum fci- licet in divifione ad finem aliquid remanet; illud fupra lineo- (e, jam fubfcripto divifore ponitur, quod oftendit, totum feu uni tatem plures partes per diviforem exhibitas continere, quamin prefente ;cafu fumantur, uünde divifio amplius fieri nequit fed tantum indicatur; fed idem fit in fra&ione, ubi pauclores par- tes fumuntur, quam totum contineat, ergo in divifüone refi & duum fubfcripto divifore conüderatur ut fradio, & omnis fra&io pat confiderari poteít ut divifio, in qua mnumerator eft dividendus, & denominator divifor; unde fequens habetur definitio. LUPT Tatoi DEFINITIO Ill feu | Wt $2, Fra&io propria vel vera eft, cujus numerator ii minor eít quam denominator; ut $: zmpropria feu [puria, cujus numerator major eft quam denominator aut eidem equalis; ut 47 aut $. Si enim plures partes accipian- tur, quam fint ee, in quas integrum dividitur, habe- &qui tur plus quam integrum contra definitionem fractionis. Reducitur impropria ad integrum per divifionem nume- 534 : » n [u ratoris per denominatorem , cum enim ompis fri&io in- : Jus e ftar divifionis ex pracedenti Scholio confiderari poftit, um ubi denominator efít divifor & numerator dividendus, N ind fequitur, düm divifor minor eft dividendo, divifionem ceff; fieri potfe, & quotum inveniri, adeoque fra&ionem tolli fünt & reduci. Ideo prima ;equalis eft 3 integris, alþera d fi unitati. &t üd DEFINITIO iIV. do C do ( $3. Fractio /mplex eft, que unum numeratorem & ftajn Yerti denominatorem hàbet; ut 2, $$- compofita , qus & fvas fimplicibus componi- i fi &io frattiomtr dicitur, ex pluribus Sonti tur; ut £ de £ v. g. de una media urna vini fint rurfus Wt du tertiz accipiendz. THEO- ? NOTIONES GENERALES äl 49 THEOREMAI e, f 84. Fractio toties continetur in toto feu unita- i n fe, quoties numerator in denominatore U"ln In DEMONSTRATIO ed aT ia Denominator tot continet unitates , quot partes equales totum, numerator vero aliquas tantum ex illis d.u, partes habet 5 fra&io tota vero eft ipfe partium ex to- to acceptarum numerus partes igitur accepte eft nume- rator & fractio; paortes ipfe eft denominator & totum feu unitas, ergo fractio toties continetur in toto feu if unitate, quoties numerator in denominatore. Hoc eft rl J, fractio eft ad totum ficut numerator ad denommatmem.! [2 C-OR'OLILZAIEIUM TI—;I Pl 85. Fra&iones igitur equales funt, quorum numeratores — r - 4 æqua.ltex in fuis denominatoribus continentur; ut ^ et , itém I$ W 4 & 22 Minor eit, cujus numerator fepius contmetur '24 270* ie in fuo denommatore, quam alterius numerator in fuo; ut 2 ma- n jus eft quam —34 , item $ majus quam 3. Ratio horum eft, quia, cum denominator exhibeat partes totius, numerator vero partes 1xl.t, & fi idem totum acceptas, utriusque femper ratio haberi debet m in diverfas partes v. g. jam ia I2 Jam I8 jam 24 dividatur pno- em ceffatium eít, has partes tanto minores eífe debere quo plures lli funt, ergo etiam eadem quantitate partes in numeratore augen- ra de funt, quo plures in denominatore accipiantur; ita fi prius 1 accepte funt -' & jam accipi debent ;?, aut as 24 fi &equalitas habe- rxi debeat, Sl 1g1tur equali quantltate utraque pars multiplican- do crefcat, fractio squalis eft; fi majori quantitate multiplican- do creífcat numerator quam denominator, fra&io major erit fi 1naj0ri denommator, quam numerator frac&io minor erit Ad- & vertitur hoc ex eo, íi attendatur, quoties numerator contineatur " in fuo denominatore. Hinc z majus eft quam — ; quia 2 in 6 € Til continetur 3: 3 in 24 continetur 8; prior enim quotus minor eft fecundo fih C O- AMetzi. Math. P. L. Ls 50 CAP. V. DE FRACTIONIBUS CORO.LEARIUM H. V1 lé ib li $6. Hinc facile determinatur diverfitas aut zequalitas fra- &ionum, qus ftatim ab initio non apparet; nUmerator enim unius per denominatorem alterius multiplicatur, fi dent zqualia facta, vifo fra&iones quoque zquales funt ; cujus autem numeratoris in de- TOi nominàtorem alterius majus erit facum , illa fractio quoque ma- jor erit. Ideo -3. & A I equales funt, quia fa&ta numeratorum [u 24 3 di & in alterius denominatores equalia funt: $ majuseft quam $ quia 5 du&um in 7 dat 35, 4 autem du&um in 8 dat tantum 32. deni Si denominatores fint zquales, ea erit major, qua majorem nu- quo meratorem habet; ut 2 major eft quam 2. Si numeratores fnt Ottu *quales, ea erit major, que minorem denominatorem habet; 4 majus eft quam 2, femper enim fra&io eft ad totum ut nume- fen rator ad denominatorem (5 84- ). Qu &i DEFINITIO V. $7. Numerus mixtus eft, dum prater fa&um inte: 49 $j ger adeft ; ut 8 . i ld« THEOREMA II tul 88. Si uterque fractionis terminus numerator fcilicet & denominator per eandem quantitatem mul- tiplicetur aut dividatur, fra&tionis. valor non muta- tur. liee &a DEMONSTRATIO. Quic €xa Cum numerator femper fit dividendus & denomina- Quot tor divifor ($- $1.) fequitur fi tam dividendus quam D divifor eadem quantitate multiplicando augeatur, quo. tum eundem qui prius, prodire debere, cum dividen- dus rurfus per eandem quantitatem dividatur, per quam multiplicatus efts ut fi tam. dividendum g quam divifo- rem 2 multiplicem per a habetur 24 divifum per 6 & ft quotus ex utraque divifione erit 4; 8 ením & multi- plicatur & dividitur per 3 adeoc;ue mutationem in quo- to, u N GTïON ES GENERALES. S1 to, qui ex 8 divifum per 2 oritur, inducere non po- de teft. un Idem dicendum eft, dum tam dividendus quam di- i, Hic enim com- vifor per eundem numerum dividitur. 2 munis numerus dividens poterit confiderari ut fa&or [ conimunis, qui cum altero termino fa&um & dividen- r di & diviforis conftituit, fed fi idem factor tam in divi- dendo quam divifore eft, ob rationes fuperius datas is ll^. D quotum non imutat, ergo etiam fi idem ubique fa&or z omittatur , quotus non mutabitur, atqui dividendus femper eít numerator & divifor denominator , ergo quod de dividendo & divifore dictum eft, idem de fra- ékione dici debebit. ita 2 ductum in 5 id eft : 7 ductum in 5 el 14 eít equale 7 5 f'ä &or 5 enim taàm fuperius quam in- ferius non mutato valore omitti , feu deleri poteft. RT 2 Ideo etiam 10 div. per s eft zquale 79 quia iterum - 35 div. per 5 ) $ ubique deletur. l COROLLARIU M. | 89. Patet inde, qua raticne diverfe fra&iones maximis Ticet numeris expreíte equivaleant fra&ioni in minimis terminis, & ad hanc reduci pofünt, fi enim inveniatur factor communis & quidem maximus, qui tam numeratorem quam denominatorem exa&e dividat , divifio per eum fieri & priorum quantitatum loco quoti inventi fcribi poterunt xquivalentes priori fra&ioni: com- munis facor communis men[ura maxima dicitur ($. 46.). PROBLEMAL 9o. Invenire communem menfuram maximam fractionis. D & R E- 52 CAP. V. DE FRACTïONiBUS RESOLUTIO. T. Denominator per numeratorem dividatur, fi nuf- Í ]um fuerit reiduum , numerator eft communis menfura. Ü] Ità 44, cum 56 divifum per 7 nullum det refiduum, 7 €& eft communis menfura. It IL Si poft primam divifionem aliquod refiduum it fuerit, divifio ita continuetur, ut femper prior divifor fiat dividendus , refiduum autem fiat divifor, & hoc tamdiu, donec nullum fit refiduum , quo obtento ulti- C Si autem mus divifor femper eft communis menfüura. in fine deveniatur ad unitatem, fignum eft, cominunem menfuram maximam przter unitatem fra&ionem non habere. Exempl, I. Jnveniatur communis menfura fra&ionis 214 ä Dividatur 315 per 252 juxta 315 ( motas divifionis regulas , habetur 232 peraca divifione reiduum 62, quod 232 p! in fequenti operatione fit divifor — — H prior autem divifor 252 fit dividen- 63 ü üuS.. 9e2 $*5 * *$6^5999 *9 .0 e*9*60606.9.2e6*0o0^*60 569 Igitur 252 divifum per 63 dat 252 (4 quotum 4, & fa&à multiplicatione & 63 fubtra&ione nullum cit reüduum, 252 —— —— igitur ultimus divifor 63 et commu- nis menfura. o DEMONSTR.ATI.O. Facor communis tam dividendum quam diviforem exa&e divicens eft communis menfura, fed hac ratione invenitur factor coinmunis; divifio enim refolvit, quod multiplicatio componit, adeoque cum ultimus divifor fit fimul divifor prioris diviforis, hic rurfus prioris , & fic ufque ad primum feu ipfum numeratorem, qui fi- mul divifor eít denominatoris , progrediendo patet, ulimum divibrem eífe unum ex fa&oribus, qui tam Dus NOTIONES GENERALES. 53 numeratorem quam denominatorem exacte dividit; ut in allato exemplo 63 accurate metitur numerum 252 | tf feu numeratorem fed is metitur denominatorem 315 üra, cum refiduo 63, cujus refidui idem 63 menfura eft, lT ergo 63 eít fa&or, qui aliquoties acceptus tam nume- Uf ratorem quam denominatorem confituit , ergo etiam fa&um refolvit. Eftenim ex ultima divifione 252 aquale rifot hoc 63 du&um in 4, & 315 «quale 63 X 4 plus 63 hoc eft ul du 63 du&um in s ergo 65 femel in 4 femelin 5 du&um Ufer Xconftituït fra&ctionem datam. ünenm Ex. IÉ Inveniatur communis menfura fra&ionis æ»g. Dividatur 513 pex 189 & habetur $13 (2 Doü refiduum 135. Dividendus fequens efít 189 prior divifor 189, divifor autem eft re- 378 — xuose n fiduum r35. Pera&a divifione habetur j H refiduum 54, quod fit divifor fequens & 135 ft e*»'2629 prior divifor 135 pruo dividendus. Pott hanc divifionem obtinetur refiduum 27, 189 (x 135 per quod fi dividatur 54 prior divifor, nullum habetur refiduum ; communis igi- n [ €uür ef menfura ultimus divifor P "E 54. &eevo 5 «*52 155 (2 54 —— 108 27 €e€ eees80092^2»0 54 (2 27 orerm — $ o jonie ;uod SCHOLION. rifot 9I. Refle&ere hic oportet ad ea, qux» in divifione de inve- niendis diviforibus di&a funt, unde notum erit, fi tàm in nu- j meratore quam denominatore in fine fit zerus, IO dabit commu- »atet j nem menfuram, fi ubique duo zeri, IOO & (ic ulterius; fi in fine fit 5 aut O, communis menfura et [ 55; fiin fine fit numerus j t i E kj € pat, n 54 CAF. V. DE FRACTIONIBUS par, communis menfura eft 2: etiam illa applicari poterunt, que ibidem de ternario & novenario dicta funt. PROBL MA II 92, Reducere fractionem datam ad minimos terminos, quin fractionis valor mutetur. [a RESOLUTIO 1. Inveniatur communis menfura maxima, n IL: Dividatur per banc tam numerator quam de- nominator, quoti novi erunt fmät]o in minimis termi« fef & nis. PAT ä $4 '3 *5 2 $ P $ reducitur per d1v1forem 63 ad& per diviforem 27 ad Wa Me n* J exÁ 481 ad & 3 a? $ 9;' $ $À oje la ^j "fn 764 a; 4 i—. Item ad-ö ] 1 ojo - rj8 ad j$ & t $ $$ TT [ä Ex z ? ä; unt hzc dxmldla if. l] o.]:— "Go Ro E DUO ^ (3 ï $» $» 1. um enim. qwehbet harum fra- &ionum in fine E nume ä rum parem .habeat, divifio per 2 femper continuari poteft h DEMONSTRATIO bat Ti Si tam numerator quam denominator per eandem 6Q quantitatem dividatur, fra&ionis valor non mutatur, ex precedenti theoremate, fed per communem menfuram maximam tanquam per eandem quantitatem dividitur tumerator & denominator ergo valor non mutatur, etn & cum fit communis menfira maxima, minimos fimul (ed dat quotos, ergo hac ratione fra&tio ad minimos termi- dem pos reducta eft. flofy PRO- 5 NOTIONES GRNERALES. Unty PROBLEM A III. 93. Reducere numerum integrum ad'fra&um. RESOLUTIO 110 I Integro fubfcribatur unitas tanquam denominator. Ita ex 8 fit $: ex 32 fit 3 DEMONSTRATIO Omnis numerus non mutato valore per unitatem d« dividi poteft, ergo integro unitas tanquam divifor fub- fcribi poterit, fed hac ratione exprimitur numerus fra- Hs &us, ergo quivis numerus hac ratione ad fractum re* &ucitur. PROBLEM.A IV. 94. Reducere integrum ad fractionem denomi- natoris dati. RESOLUTIO. fti o . Multiplicetur integrum per denominatorem datum , jpet fa&um erit numerator, cui datus denominator fubícri- batur. Ita 8 ad fra&ionem denominatoris 6 reducitur, multiplicando 8 per 6 & fubfcribendo denominatorem ao RR 6 & habetur 53 lem eï DEMONSTRATIO. ii uf Si numerator & denominator per eandem quantità- tem multiplicetur & dividatur, valor non mutatur, Ly ul fed per predi&am regulam integrum datum per ean- ni dem quantitatem multiplicatur & dividitur, ergo valot non mutatur, reéte igitur hac ratioqe reducitur. C Q- D 4 M 56 CAP. V, DE FRACTIONIBUS COROLLARIUM. 95. Clarius id patebit fi per denominatorem iterum mnu- d merator dividatur, prius enim integrum prodibit; debet enim H divifio refolvere, quod multiplicatio compofuit. ü SCHOLIO S!?,. hiC 96, Redä&io fra&ionis feu mutatio in' aliam denominatoris d dati explangbitur in algebra in regulis proportionum. ïï Ti PROBLEMA V. dt k 97. Reducere fractiones diverfi denominatoris ad fractiones ejusdem denominatoris. RESOLUTIO. I. Ducatur numerator cujusvis fractionis in omnes denominatores excepto proprio, ita ut factum ex nu- ( meratore primze fra&ionis & denominatore fecundz mul- tiplicetur per denominatorem tertie, hoc rurfus per ü denominatorem quattzx fractionis & ita porro; numera- i i tor fecunde fra&ionis per denominatorem primze, ter* f ] tie, quarte &c. factum quodvis ex numeratore & de- nominatoribus aliarum fra&ionum erit numerator ejus ; fracionis, cujus numerator multiplicatus eft. AO H II. Dein omues denominatores fimul multiplicen- tur, fa&um erit denominator communis, 5 2 ita 2 & $£ reducuntur ad eundem denominatorem dicendo 2 per 4 dat 8, qui eft numerator primz, & a t per 3 dat 9, qui eft numerator alterius fractionis. De- nique 3 per 4 dat 12 communem utriusque denomina- 9 LT torem; habentur itaque fra&tiones redu&w ,*,, & T^* 8 feu àZz [L] — $o & $ reducuntur ad eundem denomina- torem dicendo 3 per 3 dat 9, & 9 per 5 dat 45 qui ! eft numerator prime fra&ionis: dein 9 per 7 dat 14 & - p NOTION ES GENERALES. 57 & 14 per 5 dat 70, numeratorem fecuridz fra&ionis ; 1 fil» denique 4 per 7 dat 29, & 28 per 3 dat 84 nume- enim ratorem tertiz fractionis; numeratot nempe prime fra- &ionis du&us in denominatorem fecundz & tertie dat numeratorem primzs; numerator fecunde duc&us in de- atorif nominatorem primze & tertie dat numeratorem fecun- dz, & numerator tertie ductus in denominatorem pri- me & fecunde dat numeratorem tertia. Conmmunem denominatorem dat facum ex 7 per3, quod eft 21, & hoc rurfus ductum in 5, quod eft equale 105.. Hinc fra- itors s2 -.........1 9 84 &iones redu&e habentur ;*55-, ;'9, ;5 feu IoS L À DEMONSTRAT1IO, Fra&ionis valor non mutatur, fi tam numerator omnes quam denominator per eandem quantitatem multipli- X nl centur, fed per predi&as regulas & numerator & deno- | mül minator cujusvis fraCionis per eandem quantitatem mul- j PSI tiplicatur; uterque enim per denominpatores reliquorum toeta multiplicatur, ergo valor non imutatur, & cum iidem , factores debeant dare idem factum , denominator cujus- ( de vis per aliarum. denominatores multiplicatus idem dat ejus fadum, ergo zqualem denominatorem. Yicen- $CHOLIOSN,. / 98. Poffet etiam operatio hac ratione inftitui: Multiplicen- Vtorent tur denominatores inter fe, & habebitur communis denominator. IT Numerator quivis ducatur in communem denominatorem & fa- De ctum dividatur per proprium denominatorem, quotus erit nume- nina* Tator novus, Ratio eft ex eodem quo prior principio. Deno- minator multiplicatur per denominatores alienos, & cum nume- Y rator du&us in totum facum denominatorum etiam hac ratione cum proprio multiplicetur, per hunc rurfus dividi debet, ut mina *quales factores in utroque tam numeratore quam denominatore Lhabeantur. I'S qu "m A ita Ds 58 CAP. VI. DE OPERATIONIBUS oo Ragw T"ï'dæ" IOS.II2 280 I$ ? JDLULHES Y dant 648 420 600 i ul 720 1 - (C'APUT Vi n n De operationibus arithmeticis in fractionibus ä PROBLEMAI 99. Fractiones adcere. RESOLUTIO I. Reducantur ad communem denominatorem, nif: ID jam prius eum habeant. "ll Addantur numeratores, 3 Jta £ & $ dant 4 $ * a* —g- dant $ t Item & dant 4 & $. hoc eft Item z dant 3; 42 ?0 439 70 Yoó DEMONSTRATIO Si fra&iones habeant diverfos denominatores, funt quantitates heterogenez, aliud enim funt quarte, aliud f quinte, aliud fexagefime , qus addi non poffunt, nifi fiant homogenee, quod fit reducendo ad communem Dein cum numeratores oftendant nu- denominationem, merum partium additio autem fit colledio partium , foli numeratores addi debent, ut fumma partium habea- tut * SCHO- ARITHMETICIS IN FRACTIONIBUS. 59 SCHOLION L 1c0, Dum numerus mixtus feu integra cum fra&is dantur, reducatur integrum ad fracionem denominatoris dati , & addan- tur numeratores. [ta.g & I fit —f &i hoceft —. Hac me- thodo omnis mixtus ad unam fra&dionem reducitur, SCHOLION )U i IoI. Si fumma eft fra&io fpuria feu impropria, refolvatur jn integra, divifo numeritore per denominatorem, aut fi majo- ribus terminis divifibilibus fit expreffa, reducatur ad minimos. Y Y um s " Ybus, lta fuperiores fumme $ dant I T 2 $ $ dant I5 il dant 1 Y295 dant $3 z. PROBLEM A II IO2. Fra&ïones fubtrahere.: RESOLUTIO. j i, Reducantur ad communem denominatorem nift v jam habeant. II. Minor numerator a majori fubtrahatur. Ita a relinquit $ vxjo d* a —ä- relinquit ;x DEMONSTRATIO. Qvuantitates heterogenesm , quales funt fra&iones diverfe denominationis a fe invicem fubtrahi non pof. funt funt, reducendze ergo funt ad commuuem denomina- aliu ]i Á tlonem , & cum diíferentia partium quaratur, numerus partium minor a majore feu numerator minor a majo- at nu Ye fubtrauhatur. JU SCHOLIÉEOSYN. De 7s IO3 Dum adfunt integra aut mixti numeri, reducantuf ad ^ E1 fra&dienes & eadem operatio inftituatwr, Sit AC 3 fubtrahendum a p * 2 2 i, fiatex hoe $ (($. 94.) erit L fubtrahendum a £ reductis ad communem denominatorem habetur $ & —L., denique $ a 15. dat differentiam - Iy £, 5 - fr a&ionem impropriam, quz refoluta Q« pat t 'go P R O- 6o CAP. V. DE OPERATIONIBUS PROBLEM A Hl muti plie 104. FEractiones multiplicare. a LI RESOLUTIO. dit, I Multiplicentur numeratores inter fe, factum erit exh ties numerator novus. mul IL Multiplicentur denominatores intet fe, fa&un: erit denominator novus. EuC Ei 1ta - Á du&um in Z dant 2X 8 I$ $.du&um in £ dvant 4$ DEMONSTRATiIO. Velfractus ducitur in integrum, vel integer in fra- &um, vel frac&us in fra&ums Pro omni cafu fervit il- lud generale: multiplicare eft numerum toties accipere, B quod in fa&ore altero funt unitates , fi & bis accipien- T$ de, feu bis addendz funt fit & & $ hoc eft $ denomi- natores enim in additione manent. Si $ quinquies ac- Is f cipiende fint fit $ 3 $ 2 $ fe U*Z' addendo fcilicet nu- meratores toties, quoties fractio accipi debet, fed ite- ratze additionis loco fit multiplicatio, ergo numerator ducitur in fa&orem alterum, dum integer eít, ita 4 du- €&um in 2 eft $; & $ du&um in $ dant *5. Jam 6i in- tegrum inftar fra&i exprimatur, erit $ du&um in £ zqua- le —*, hoc eft, numeratores inter fe, & denominato- res inter fe multiplicantur. Si 3 fit multiplicandum per £ nec femel accipi, nec addi poteft, fi enim mul. p I tiplicaretur per unitatem , femel acciperetur, fi igitur 75 H l multiplicetur per * nec femel fed tantum dimidium po- ni poteft, hoc eít dividitur per 2 quod fcribitur 3. Si NI Yi 3 fit multiplicandum per £, 3 una tantum quinta par- f te ponitur, hoc eft, dividitur per 5, quod fcribitur 2.; x 2 &f fi igitur 5 exprimatur inftar fra&i, erit & du&um in L zquale $, & $ du&um in & equale 4 hoc eft iterum , nume» m À ARITHMETICIS IN FR ACTIONIBUS. 61 numeratores inter fe, & denominatores inter fe multi- plicentur, ergo etiam fi 4 ducende fint in £, erit 4 accipiendum quidem fepties, quod numerator 7 often- dit, fed fimul dividendum o&ies, quod denominator g ) ent exhibet, ergo juxta prius demonftrata accipiendo fep- ties multiplicatur numerator per 7,. & dividendo per 8, ï(;n multiplicatur denominator per 8 ergo generaliter numera- sores inter fe, & denominatores inter fe multiplicantur. PROBLEM .A IV. IOS. Fractiones dividere. fra RESOLUTIO, it1 Reg. I. Invertantur diviforis termini ita, ut nu- peréy merator locum denominatoris, & hic locum numerato- pl ris Occupet. j Reg. IL. Fiat multiplicatio ficut in. multiplicatione | C fractionum, fu 3 T A. per $ divifum dat $ du&um in $ Ite* zquale 6 . E p« ato per divifum dat $ du&umin & QU zequale ï 80 4«- n DEI*J-ONS"TRATIO. quà ato- ; 'Vel fra&us dividitur per integrum vel integrum um per fra&um, velfractum per fractum 3. divifor femper ml oflendit in quot ' partes totum dividi debet, fed id in IT fra&ionibus oftendit denominator, ergo divifor refpi- cit denominatorem & non numeratorem; Si a effet di- PO videndum in tres partes, 3 fieret. denomínator, ereo at fi £ fit dividendum in 3 partes, 3 quoque denominator H effe debet, fed cum totum jam prius in 2 partes divifum j ; eíle fuppo '—pq-pw r um r, & módo hzc dimidia rurfus in 5, hj m ambo , 62 CAP. VH. DE FRACTIONIBUS 18 ambo divifores inter fe multiplicandi funt, & habebi- tur 4 divifum per 3 zquale £. Si enim integrum inftar fra&ionis exprimatur, erit X divifum per $ ut multipli- :j catio fieri poilit, invertatur divifor, & erit —— 2 duc&um in 4 quotus erit £* hoc eít: inverfo divifore /üt multi- plicatio. Si integrum per fra&um fit dividendum, 3 per Z dum integrum dividitur per 1 quotus eft zqualis inte: et gro, dum ergo integrum dividitur per fradum, quotus GC major debet effe integro, aut partes illius eo plures effe tefi debent, quo minores accipiuntur; fiaccipio dimidias partes, duplo plures, fi tertias partes triplo plures, & fic de reliquis, ergo 3 cum per £ dividatur feu par- tes dimidie accipiantur, mutatur in partes duplo plu- de res, hoc eít multiplicatur per £, ergo denorginator Ti fraci ducendus in integrum. Si integrum inflar fracti X türt exprimatur i debebit I —— A inverti , ut. multiplicetur , Dum hoc eftiterum inverfo divifore fit multiplicatio. hon €um Si jam fra&io per fra&ionem dividenda fit v. g. 3 £. €nt $ per $, cum & mutandum fit in quintas, partes -plu- et res, & minores fiunt quod obtinetur multiplicatione 3l vt numeratoris 3 per 5, & cum dividendum fit in 2 tales &i partes, denominator 4 bis accipitur, feu per 2 multi- [ plicatur ergo etiam inverfo divifore fit multiplicatio. ita €'od4u00tLARIUM lg ter 106. Patet ex his, multiplicatione fra&dionum valorem lt imminui, divifione augeri, ibi enim reipf£ fit divifio, hic mul- t tiplicatio , fi enim dimidia quantitas fumatur, quod fit in mul- p H E tiplicatione per —— * X aut aliud fractum, reipfa in duas, aut alas 2 partes juxta denominatorem fra&ionis dividitur; fi autem totum d in partes dimidias, tertias, quartas dividendum fit, quod fit in ett divifione fra&iónum , neceffaiio plures, feu major quantitas pro- loc dire debet, ita 4 multiplicatum per 4 feu dimidium de 4 eft 2, Y Y 4 autem in partes dimidias divifum feu 4 divifum per * ^ - eft 8. Q l v CA DECIMALIBUS 63 ebl« IE3T CX rUuUr u ) nph. um nultj De fractionibus decimalibus DEFINITIOIXt! e nte ov. Fracio decimalis eft cujus denominator 10tu 3 eft 10 aut mult:plum de 10, hoc eft 100, 1000, h S EA,C &C., ita4&5,-15, r55 &C. tres decima, feptem cen- 125 tefime , quinque millefima. " COROLLARIUM L pr 108. Cum ieitur omaines hz fractiones folo numero zerorum p denominatoris differant denominatores omitti poffunc, fi in nu- k 1 of £neratoribus indicetur, quot praeter unitatem zerl in denomina- ï adti tore effe debent, atqui poterit id per folum locum fieri, quem tut numeratores a finifra dextram verfus occupant, ergo poffunt de- nominatores funpliciter neglizi; (fcilicet fi primum occupat lo- cum numerator, ejus denominator uünum habebit zerum, feu $ P erit IO, & fecundum, ejus denominator duos habebit zeros, feu erit IOO, fi tertium , ejus denominator tres habebit zeros, feu plu jone erit IOCO ,. &c, quemadmodum rationem decadum in numeris tale$ &aturalibus ordine inverfo determinavimus Ita 375 erunt 3 decims, 7 centefimz 5 milleümze &c, idem valor eít, qui eft nu[( s TS» Tó9» Topg. Ut autem intelligatur, notas propofitas effe )' fractiones decimales, interpofita virgula ab integris feparentur, 5 adünt, 6 non adünt atque in- zZerus eorum locum occupat, ter eum & decimalem primum virgula interjicitur, ut 2 , 37 duOo integra, tres decimz, feptem centefime, velO, 37 5: 3 deci- orem mue m2, 7 centefim2, 5 mlllefime; fcribi autem has fra&iones fic poife ex ordinaria fra&ionum additione apparebit fint enim 3. f ]ia$ Tét: Tors, ln unam fummam colligende, omnes reducantur 90 9 um ad eundem denominatorem IOOO, erunt Yooo? T0090? Toos hOC eít additis numeratoribus 43 iooo ...—... , ergo tot femper fuperius erunt t u locaà, quotinferius zeri, omiífo jgitur/ denominatore Ihanet 375, pro- 1') & vicifüm quzelibet fractiones decimales in feparatas fra&iones - €um fuis denominatoribus refolvuntur wafPNDtO primo iOo, fe- t€ündo IOQ, tertio IOOQ &c. Cco 64 CAP. VH. DE FRACTIONIBUS - COROLLARIUM./"I IOO. Patet ex hoc jam conceptu, & relatione , quam ha- bent ad integra, quomodo quzlibet fractio independenter ab alia n fcribatur, Quemadmodum enim in integris fpatia illa zeris ex- A plentur, ubi nulla adeft rnota, ut fequens ad locum valore deca- dum au&um transferatur, ita etiam in decimalibus fpatia prz- cedentia zeris explentur, donec veniatur ad illum locum , qui [ æquahs eft numero zerorum denominatoris , ita 3 millefimz, Qu Di feu x OOO, fcribantur O, OO3 nullum integrum , nulla decima , fed. tres millefimz. 1 pnulla centefima , Duo mtegra, 3 decima, Ti & 4 decies millefima fcribantur 2, 3004. t C.OROLU*UA BIUM Il i IIO. Cum fra&iones fecundum denominatores fpectate a finifrra dextram verfus crefcant, additi in fine zeri valorem nec augent, nec imminuunt, ita O, 3 nullum integrum , & tres de- cimas idem eft ac O, 3000000 &c. eft enim nullum integrum , & tres decime , nulla centefima, hnulla millefima, nulla decies & millefima &c. Eft enim & numerator & denominator multiplica- Qu tus per IO , quod valorem' non auget adfcriptis zeris nil di additur, poífunt enim quotquot libent in fine zeri fine mutatio- ne adjungi quz additio nonnunquam magnum commodum prz- P]I fiat, ut due, tres fraciones hac ratione ad zqualem numerum en notarum reducantur, quod fubtra&ionem przcipue faciliorem , u & divifionem accuratiorem feddit. de li COR OLLARIUM./IV. p III. Inde ergo fequitur notas has tantum valorem decas [ dicum habere poffe, decem enim decimz id eft :2 uni integro lo equivalent , 102 unam valent decimam, deleto enim fuperius, & inferius zero manet —— I0? Tooo B- IRM valent unam centeümam, de- leto enim fuperius, & inferius zgxo manet IOO ; ita etiam IOOOO feu . L. ieitur v ye valent unam millefimam, 1000 alor in decuplum cref- Oi ficut in numeris Jntegris, cit, & quotiefcunque nota quepiam li usque ad IO excreícit, unita$ ad precedentem locum a dextra il finifram verfüs ut in integris transferenda eft. Unde evidens yt eft, additionem, & fubtracionem in decimalibus ita peragi poí- fe, & iisdem regulis abfolvi ficut in integris. P C Q« " DECIMALIBUS 65 COROLLARIUM V la* n II2. Unde facile eruitur, qüz fracio altera major fit dum X* in utraque zqualis eft notarum numerus, ea major eft cujus v note valore ordinario fumte majorem fummam denotant , ita 45 æ- 72 major eft, quam 4, 69, uia 72 feu feptuaginta duo plus u eft quam 69 feu fexaginta novem, item 4, 7211 major eft 'y quam 4, 6999 quia feptem millia plus eft, quam fex millia. hy Dum non funt squales note, adje&is in fine zeris, (qul valo- & rem non mutanvt) fiant equales, & qnse majorem fummam facit, major eft, ita i detur 4, 7 & 4, 69999 addantur ad 7 qua- tuor zeri, & fit 70OOO: fed feptuaginta millia plus funt, quam fexaginta novem millia &c. Subfcriptis enim zqualibus denomi- natoribus major eít illa, cujus numerator imajor eft d iec COROLLARIUM 9 VI le- f, II3. Perfpicuum etiam eft, quo plures adduntur note de. n 103 cimales, eo magis femper fra&ionem accedere ad integrum , a* munquam tamen fore equalem integro. Iltà 4, 999 masis acce- il dit ad integrum, quam 4, 99 quia huic deeft una centeüima quo [0 minus fiant 5 integra, illi vero una tantum milleüima, Quo æ- plures ivitur novenarii adjunegantur eo minus femper a toto ab- erunt nunquam tamen habebitur totum, quia fem r minor:s$ 1y tantum denominatoris partes adjuncun*ur, & nifi una ejusdem denominatoris pars ultimz note addatur, erum feu totum. habere impoffi»ile eft. 1ta.fi fra&ioni 4, 999 una milleüma pars addatur, que eft denominatio ultum novenarii, habebuns $ur 5 integra. (à5 TO COROLLARIUM VII 5 114. Cum igitur adjungendo notam decimalem masis fem- :e,, per accedatur àd inteerum , & quotus accuratior obtinestur, f omnis divifio, qua aliquid reüiduum penes inventum quotum re- m linquit, continuari poteft, quousque libuerit, adjungendo fcilicet rà ad refiduum zerum, & dividendo hunc novum dividendum p .ns priorem diviforem, quotus ex hac divifione refultans erunt deci- - m adjun&o rurfus ad retiduum zero, quotus ex divifione obten- tus erunt centefíme, & (üc ulterius, ita fit 26 dividendum per 9 8 habetur quotus 3 cum re(iduo E adjiun&o zero & 20 divifo per 8 quotus erunt 2 decime, & refiduum A4. Huic rurfus ad« J an&o " AMeisb, Maik, P. ]. b 1 "1 m " " ) Ó CAP. VII. DE FRACTIONIBUS jun&o zero erunt 4O, & divifo per 8 erit quotus 5 centefimse fine refiduo, Quotus igitur verus ex hác divifione obtentus eft 25405, Hac etiam ratione omnis fra&io ordinaria in decima- lem mutari poteft ad numeratorem enim fen dividendum adjun- gitur zetus, & hzc quantitas per denominatorem dividitur, quo- ti erunt fra&iones decimales, Ità — " X reducitur ad O, 5. lItem H 5 ^ r ad O, 25, Item 3 A. ad O, 75. Item $ ad O, 875. Item $ ad N Q , 5555 &c, que ultima fradio nunquam dabit accuratum quo. 1um, femper enim ex divifione aliqnod manecbit refidnum, PROBLEMA I. I IS. Fractones decimales addere, & fubtra- here. RESOLUTIO. LV Quantitates homogenee, íeu ejusdem denomi- nationis fcribantur fub fe invicem, id eft decime fub decimis, centefimx fub centefimis, &c. $i in una plu- res fünt decimales, quam in altera, szqualis numerus notarum adje&tis in fine zeris fiat. 1J. Colligantur ficut integra in unam fummam, aut [o.] minor a majori fübtrahatur E. g. fint addenda, 325 0506, & 4, 789, & 6, 62, & 4, 753647. Cum ultima fractio habeat 6 no- 3. 050600 4. 789000 tas, in omnibus 6 note faciendz 6, 6200co funt , ideo in. prima adjiciantur 4» 753647 duo zeri, in fecunda tres, in ter- tia quatuor, deinde millies mil- 19, 213247 lefimz habentur tantum 7, cen- ties millefime tantum 4, decies millefimse 12 fcribitur 2, & unitas ad fequentem columnam additur, & ha- o bentur 15 millefimzse fcribitur 3, Q unitas transfertur, ? centefime igitur funt 21, fcribitur 1, & t trausfertur ad decimas, quarum fumma eít 22 fcribantur 2 & g ad äntegfos translatis funt 19 integra. D E- DECIMALIBUS 67 DEMONSTRATIO Iu fra&ionibus qu» eundem habent denominato- numeratores adduntur ,. vel fubtrahuntur, fed rem , per regulam primiam fra&iones reducuntur ad commu- nem denominatorem, tot enim inferius funt zeri, quot [] fuperius note, ergo tantum numeratores , .qui funt ipfe fractiones date in decimalibus adduntur, vel fubtra- huntur, & cum crefcant ficut integra, ita-ut 10 partes femper unitatem prox;m» antecedentis claílis efficiant additio fit, ut in mte Sint fubtrahenda.3,: 79468 2053 Scribatur 4» 230000 Superius dd];mantur qua« $. 79468 tuor Zeri, ut idem fit de- " nominator , qui inferius , E P SCJV & fubtractio fit ut in in- fegris, 8 a TO üanet 2, 6 & 9 manet 4 &c. H PROBLEMA lT. x 116. Fracones decimale es mulüp licare. , RESOLDTIO » l Seribantur ut integra: fwe diftin&ione decims-. ? lium, & multiplicator in muïtlphcandum ducatur. II. Tot in fa&o a dextra ümftram verífus refcin- fe dantur note pro decimalibus, quot in utroque factore l- no(e dec 1males funt. Sit 4, 36 ducendum in 3, 62 Scribatur 426 Cumfuperius, & inferius fint uni- d« 362 verfim 4 notz decimales, in fac&to — ' À r 4 note refcindendze funt, & ía- 85 2556 Gum erit 15, 4212. ) ; * 20 A d- C———— 1£4212 2 gqie as 6( CAP, VIH. DE FRACTIONIBUS 8 DEMONSTRATIO In multiplicatione fra&ilonum numeratores inter íe & denominatores inter fe multiplicantur, fed date fra- €tiones decimales cum, vel fine integris, fünt numerato- res, ergo inter fe juxta regulas ordinarias multiplican- dz funt, factum veroó dénominatorum tot habebit zeros I quot in utroque factore denominatore fimul fuerint, ergo factuin numeratórum eum habebit denominatorem, qui tot continet zeros, quot in utroque fa&ore funt de- cimales, tot ergo note pro decimalibus in fa&o re: i Ícindende funt. -Prius exemplum cum fuis denomina- toribus fic exprimeretut: 426 1oo ductum in .55 1060 facit 4 — xX 54 10 ïï 2 x2 $5 feu I5, 4212. ltà 3, 503 du&üm in I, 2 dat fa(tum 4, 2036 SCHOLION I I17. Si in facto tot accurate occurrant notz , quot im utto- «que fa&ore fimul fumto fünt decimales, omnes note faci erunt decimales, Ita 4, 134 ductum in O, 9 dat fadtum 8268 & cum in utroqve fa&o fint 4 note decimales, ommnes ha quatuor erunt decimales, & fcribantur O, 8268 Ratio ex priori demonfítra- tione ha'*ctur, cxpnmuntur fnim fub denominatoribus hac ra- tione - d 10 2$ et.4 quein fe invicem du&a dant X3'ooo00 S268. cum de- nominator major fit numerhtcre fracdio vera, & propria eft, qua mtegrum non adm:tm SCHOLION lT. I18. Si in fa&o pauciores fünt nete, quam in utroque fa- &ore fimu!, verfus finiftram tot zeri adjici debent qui nume- llo ryum notarum decimalium exzquent & pro integris itidem Zerus ponendus eft Si in fa&o. fint tres notze in utroque autem fa- U Q &ore fimul fumto fex, tres zeri ante facu ponendiíunt, & unus pro inteeris Vk 0 Ita O, O2 du&dum in O, Co83 id eft 83 du&i in " dant 166 quod eyprlmerdum erit O, OCOI66 eft enim 4 2z du f(n | 5.,9. & fa&um ,.-,,...,....-..—K,-N ífeu Q, CCOIÓG. w in r q60v9? x,e5o09oo let tOï« " PRO- DECIMALIBUS 69 PROBLEM .A IIl iI9. Fractiones decimales dividere. RESOLUTIO T. Scribantur ut integra fine diftin&ione decima- lium, & fiat divifio ficut in integris. IL. Tot in quoto abícindantur note pro decimali- bus, quot notis dividendus fuperat diviforem. S1t dividendum 5, 7936 per 4, 7 fcribatur ut m mtegrls : 37936 | 788 Divifione juxta regulas faá- 7 &a obtinetur quotus 788, 329 & cum tribus notis decima libus dividendus fuperet di- viforem 47 tres note in quo- to pro decimalibus adjici- dl 376 endz funt, erit ergo quo- 376 tus O, 788 376 DEMONSTRATIO n divifione frac&ionum numerator diviforis fit de- nominator, & dein fradiones multiplicantur, ergo in decimalibus zeri denominatoris dividendi adjunguntur divifori & Zeri denominatoris diviforis adjunguntur di- rj videndo. Ita ex xooïo 3.15.3.6 ifit inverfo divi- n 351936 divifum per 4 fore To000 duétum in 19 & habetur ff.:&um. 470000 a r h 790369 de- letis zqualibus ubique zeu: tot remanent in denomina- tore zeri quo plures funt in dividendo note decima- les, quam divifore, fed quantitas erorum in denomi. nato- B53 M 79 CAP. VIL. DE FRACTIONIBUS - natore oftendit , quales , & quot fint note decima- les in quoto , ergo tot in quoto refcindendz funf d note decimales , quo plures funt in dividendo note decimales, quam in divifore. Paucis, quotus multi- plicatus per diviforem, reftituit dividendum: fed non reflitueret dividendum , nifi in quoto tot ponerentur decimales, quot decimalibus dividendus fuperat divifo- rem, ergo tot debent poni in quoto decimales, quot notis dividendus fuperat diviforem. SCHOLION l. i90. Si equalis eft notarum" decimalium numerus, :n quó- funt in dividendo , £o nulle funt decimales , fi pauciores not quam in divifore, tot adjungantur in dividendo zeri donec nu- inerus notarum æquahs eufht, & tunc primus quotus erit inte- grum, fi plures adjunegantur zeri, juxta numerum zerorum ad- jun&orum numerus notarum decimalium in quoto crefcit, utrum» Que ex præcedenn demonftratione patet. Ità fit dividendum 181, 23 per 25, 89. 1 erit I8123 7 integra &c. 2589 $i fit dividendum 43, 5 per 5, erit 4350 8 integra &c, 526 Si adjungantur hic rurfus zeri, incipient fraciones decimia- ^pDpu ül»f 1€s, & continuantur donec libuerit adjungere zeros íu cec p 9r0 diviüione continuanda. SCHOELION I I121. Dum dividendus minor ef leJfOTC, divifio fieri non poteft, eft enim in hoc cafu fra&io vera , feu propria, ut fi O, O45 foret dividendum ptr 9 mtegra. Expreffs his fxa&mnlbus CIS, 22 R 2 & gi- cum fuis derommazuubus habetur rooo ividendum per 2 51 aütem viüone fa&a ef 454 que divifionem non admittit. hzec fra&io juxta Coroll. zmum.reducenda effet ad expreífionem decimalem numeratori confequentes adjungendi funt zeri, & cum divifio nonnifi pofl tres amw&ob zeros inchoari poífit, fi- gnum eft, quotum quoque tres Zeros ha iturüum , & nonnifi g 18Y- ue $ A c ipfo fore inille- am notam in quoto fore numerum , €à Aiam. Divif&o fi procederet : A2 DECIMALIBUS. 7I le OS 451]0,0 & 9000 : E a 450 9000 j* 4500 i 90cO 45000 9000 K 45000 $ SCHOLION il n 122. Contingit nonnunquam, ut ex inventis notis decima- libus, nonnif&ü primza tres, aut quatuos adhibeantur reje&is. fub- [- fequentibus omnibus, prout fcilicet accuratior calculus id exi- 1] £at, & ex fubje&a materia determinari debet, an partes mille- le aut adhuc mino- fimas adhibere fufficiat, an decies millefimze, res requirantur. In hoc cafu notandum eft, quod fi prima ex reje&is notis fit major quinario, ultima remanens unitate ausea- tur, ut compenfatia rejecarum, notarum fiat. Ita ex fra&ione decimali 4, 56487, fitantum miilefimas adhibere fuíficiat 97 fejiciuntur, at remanens nota 4 unitate augenda eft, & habe- tur fra&io 4, 565, & fic de reliquis, & reje&is notis prima fit minor, aut zqualis quinario, fine compenfatione rejiciuntur, n 2 ueecay r pis Db C t I CR m L- x* t , X . ls a * 2 E 4 E " » * U 5 7s — CAP.I. NOTIONES GENERALES IÀ dlg5MIZNTEA AL 6EIBIRE E. ï OMNCEIUT ATRCUDNNSG mj &æww f 'OCWPUT .L NOTIONES GENERALES Ü t AL)GEBR]E. DERBEINITIO Il H AW lgebra eft Arithmetica. univerfalis' feu fcientia h. quantitatis abftracte, & indeterminate feu in genere fumtz, quam per literas, quarum fignificatio et iam u indeterminata eft , exprimit. Inde Algebra communi ( vocabulo caiculus literalis dicitur, nonnulli eam .4r/- f meticam fpeciofam vocant, al SCHOLION. 9. Ad tria icitur in Algebra adverti debet, ad quantitates ipfas, ad operationes cum his quantitatibus inftituendas , & ad velationes , quas ad fe invicem habent. Pro fingulis propria 2 fiegna vel chara&eres adhibentur, ut mox fequitur. M K HYPOTUIESIS 1 4. Quantitas qualibet literis alphabeti exprimitur b a,b ? t 6 ,2,&c. bheigitur funt figna & chara&eres quanti- tatum, qua fi cognite fint, primis literis 2, 5, c, fi incognite, ulümis x, y, 2, defignantur, hinc fe- quitur., Q 1; D E- ALGEBR/R. n DEPFINITIO II; Expreffio feu quantitas algebraica, eft una vel plures magnitudines — $ una vel pluribus literis defigna- t$: illa dicitur /Hmplex, ut unus numerus, una linea, &, b, c: hxc dicitur compofita, qu: quantitates plures fumtas exbibet, ut ab, Lbcdd. Utraque dum folitarie ponitur, zscomplexa dicitur, ut a, abe, de, xx, qua etiam iermiuus vocari folet, Per figna autem operatio- nis ($. 6. ), dum una cum pluribus conjungitur, quan- LES titas com»lexa exiflit, ut ab -t- ed vela — l. Quan- titas uno conftans termino, momomia: duobus bimomia: tribus trínomia &c. in genere pluribus terminis conftang polymmia dicitur, ita abe vela vel cd funt quantitateg mopnomie, ab -t- cd eft binomia, « — cd -t- f eft tri- (eientia nomià &c- Heomogenee feu fimiles quantitates funt, e feu it dum literz & ecedem, & eodem numero fine figno in- jo etjati teije&o conjun&e in utraque funt, ut ab & ab: ccd & pmmuni f 1 ccd, Heterogeuee di À Iimiles funt, ubi vellitere diver(z Ál* funt, vel diverfo numero pofitz, ut: ab & cd: item aab & ab, item 4au & aa. & SC'HOrnLroNsN. 5. Neminem hic indeterminatus valor literarum offendet, J Tatts ,& «ui fe ad quantitates numericas refle&et, qus pariter nullam determinatam fienificationem habent. Ita 20 poteft vel defigna- pr op!ïæ re homines, vel equos, vel domos, vel florenos &c. atque id folum a mea dependet voluntate, ita etiam generalius adhuc « vel b fervit ad fiznificandum velIO homines, 1CO equos, vel 230 arbores &c. atque a^ hoc nantur, 4ve1 illud a meg voluntate determi- rinitut HYPOTHESIS. I quantiv cfi 6. Signa, quibus operationes, quz cum his quan- ac fe titatibus literalibus peraguntur, defignari folent, funt fequentia: Additio indicatur figno -- plu$: ita a adden- dum E5 p E "4 CAP.I. NOTIONES GENERALES dum ad P, fcribitur a -i-k b hoc eft a plus b: cd -- ef b ?. eft cd plus ef. Subtra&io habet fignum —— minur: ita fi ab 4 fubtrahi debeat b, fcribitur a — 5 id eft a minus 5b. quam fec 4- ütit Itao x b Multiplicatio indicatur figno X vel pun&o. — labl velc. d fignificat a multiplicatum per 5: vel c multi- & u plicatum per, d. Dum quantitas complexa multiplican- eftendit : 10 feren da eft, fignis parenthefi & claudatur includitur, ut bet, qui (a — b) c & tunc fignum aliud multiplicationis omit- Tanet Q titur, quod etiam ita fcribi poteft a — 5 X « — Divi- tübet, : fio tandem habet figna, vel pun&a duo: vel lineam li- "- EXDrI t'um deb teris interje&am inftar fra&ionis. ]ta a: b vel z p Yent fübt h - divifum per b. Item (a — 5): (e — f) a minus b, Qul i divifum per e minus f: vel a-—— b: e —f, vel & —b — e"'*'""fo 9) bet Mb t COROLLARIUM,. neceffari Quantitas 7. Sequitur ex his, figna tantum operationem, nullatenus R, ügnu: áutem quantitatem afücere. Ita -j- a fignificat, quantitatem « eife addendam , & — a fignificat eandem quantitatem a elfe fub- d ïïenis 2u trahendam , hinc per figna quantita$ nullatenus mutatur fed tantum operatio, ques oftendit, quid cum illa quantitate facien» - It dum , feu qua ratióne fpe&a/nda fit. Rübties f Rytotugeéré XCE Qï?ri tüt 4 * Híyj 8. Refpe&us denique, feu relatio quantitatis ad quantitatem notatur ita (:)majus exprimitur hoc figno -; minus vero hoc «7 cuspide femper quantitatem 12, minorem . refpiciente: 4 z- b fignificat a majus quam äxus, , b: a -7 b; a minus quam P. Duz liuez — qualita- Ita Dre $ tem, hoc vero fignum w) fimilitudinem denotat. luflus C ab z cd eft &b quale ed; & x, và yeftt x fïm.ilc- J* * 5.C H Q* ALGEBRJE. J H * $COLION * l $9. Ufus tamen invaluit, quantitates etiam ipías nonnun- itl Jj d quam fecundum adje&da figna fpe&andi: itaea, qua habet fignum D xb -- dicitur quantitas po/itiva realis, exiftens, que vero fignum multi- — habet, quántitas dicitur megafiva, id eft abfens, fubtrahen- da. Tta dum Petrus habet 10 forenos, fcribo fignum -- , quod lial eftendit eum poffidere hos IO florenos: -- tO, $i jam Patlo -, Ut 1O flerenos debeat, reipfa nihil habet proprii, quia tantum de- bet, quantum habet & a 10 fubtrahendo 10 hoc eft IO — I1O Q ut manet O. $i vero 20 florenos debeat, non folum modo nihi! Dir habet, fed minus adhuc habet quam nihilum, quod jam figno -—- exprimitur. 8ie ftatus Petri effet — YIO, quod oftendit Pe- m [i« trum debere alteri TO florenos. Íita a 1o fubtrahendo 20 ma- ef4 nént fubtra&is IO adhnc fubtrahendi IO hoc eft IO. — 20 quod facdit — 10 feu debitum 10O florenorum. Benelüs prenotatis us b nulla in ipfis operationibus occurret difücultas. V6 $CHOLION ii [ E 1O. Quzlibet quantitas ante fe ífignum aliquod habere de- bet, ut ífciatur, an addenda, an fubtrahenda fit. Non autem fed dum üeceffatium eft, ut firnum -I- femper exprimatur, quantitas monomia eít, avt prima ponitur in quantitate.comple- yvtenus Xa, fignum primum -J- omitti poteft & fubintelligitur. Subtras tem & «ionis autem fipnum femper exprimi debct. fe [ub* SCHOLION i. t de fciet IT. Cum nonnunquam contingat, ut quantitates ipfe ali- quoties fumi debeant, id per numeros eisdem immediate przfi- XOs exprimitur, ut dum quantitas a ter accipienda eft, fcribi- tur 2e, qui numeri hac ratione nullo interje&o (ügno literis v prefixi, coeffcientes, apellantu i oe igitur j u DEFINITIO IIL, fgno ttem 12. Coefficiens eft numerus literis immediate præ- qu&m fixus, qui oftendit, quoties illa quantitas literis 'ex- preffa fumeuda, íeu per quid multiplicata fit. um jlit- Iu nullus coefficiens expreffus eít, unitas fubintelligitur, Ita ac eft 1 ac; 2dd funt duo )1 qua nunquam fcribitur. dÀ feu dd multiplicatum per a. C L r [ 0* 76 CAY. II. DE OPERATIONIBUS - SCHOLION 13 Diverfitas coefficientium duorum fterminorum fimilitu- dinem non mutat ita Gaa & 3332 termini homogenei funt fed 6a&6b item 5 aaa & 5 aa funt heterogenei —— C'APUT.H De operationibus algebraicis. PROBLEMA I & f lfs ebitam & fimpliciffimam terminorum alge- lum ( i4D braicorum- expreffionem facere. quot; tIahe RESOLUTIO tralei Reg. I Termini & fingule literz ejusdem ter- demql mini feu in quantitate complexa feu incomplexa ordi- deng . nem alphabeti fequantur: videatur fi fieri poteít, ut Tne D. primus terminus femperfit pofitivus. Ita b — c 4- a d- /4 fcribe a-t-5 — c -- df. Item 8/? — 10bac -- 6 a fcri- be 62 — 10 abc -- 5 bf. II. Termini fimiles feu homogenei juxta ügna fua & coeíficientes ad unicum reducantur, quod fit "Addendo coefficientes, fi habent idem fignum, & fum- m: idem rurfus fignum prafigendo: vel fgn Subtrahendo minorem a majore coefficiente, & dif at ferentix fignum majoris prefigendo, fi habent figna di- verfa: vel Delendo utrumque terminum, fi diverfum fit fignum; ffe] e coefficiens autem idem in utroque Qd Sic fgi ALGEBRAICIS, [44 Sic I, ab -- ab -- cd fit 2ab -- cd, militu 2a—234d--5a—64d fitza—84. t, fed aa *-t- 2 46 - 3 ac fit aa -- 5 ac, 1l, 3 4b 4- 2 abb. — ab fit 2 4b -- 2 abb, 22--d— 72 fit 4— $a. I11I. d4 -- 2 abb -- 3 a4 —2 alb fit 4 aa. hd s bdf-4- 2 bd - 2 Mf — 3bd fit bdf. DEMONSTRATIO. Litere exhibent, quz quantitas: coefficiens, quotzer : & figna, qua ratione : fumenda fit. Dum ergo eadem quan- titas aliquoties eft addenda vel fubtrahenda, fufficit il- lam femel cum eo coefficiente ponere, qui id expri- E Imat, quod fit in cafu I. Si vero eadem quantitas ali- quoties addenda, & e contrario fimul aliquoties fub- trahenda e(t, refiduum quantitatis vel addendz vel fub- trabende hac ratione exprimitur, ut in cafu IL. -Si denique idem addendum & fimul fübtrahendum fit, evi- n (et- . od dens eít, nihil remanere, ut in cafu III. Simplici(fi- me igitur termini per has operationes exprimuntur. 5&, u if PROBLEMA IL 4 fcti -X5. Quantitates algebraicas addere. s [üi RESOLUTI1O. &f Reg. Omnes termih? dati ordine feribantur cum fignis propriis & dein debita redu&io juxta & di* fiat prqblema I. j d Ex. L Addantur ab & bc fcribe ab -- bc, Ex. Hl. Addantur 4a & 7a fcribe 4a-1-74a redu&ione iguumi fa&üa erit 11 a. Summa ex 3a & —5a & Qb et 3a—54a -9- 2b tedu&ione fa&a 9 b-— 9 a, Ex. IH Addantur ab*e c & & —c fcribe ab -I- b --c Tedu&ione fa&a erit «P -J- b. v'**C a Hx 79 CAP. i. DE OPERATIONIBUS Rx..1V. | Summa ex 9 bc — 4 bcd -f- 6bf & "- Gbcd — 5 bc "]^ 3 bf. redu&ione facta eft 2 bcd — 2 bc -- 9 bf- DEMONSTRATIO. j Addere eft fummas. & quantitates partiales in unam fummam . totalem colligere, tetür Sed ha? regula quantitates date in unam quantita- ädäiü tem complexam colliguntur, ergo& Additio algebraica rite facta eft. S$:0HH O LTON 19 I6. In quahtitatibus fimilibus coefficientes tantum addi evi- Va- denter patebit, fi ad certam fignificationem determinentur. leat .a lineam, aut florenum, quis negabit 34 & 5a id eft 2 flrenos & 5 florenos,.íeu 3 lineas & 5 lineas facere 8a feu Tutaf 8.florenos aut.8 lineas. Ita etiam inquantitatibus heterogeneis arum eft easíimpliciter tantum fcribendas eífe: ita fumma ex fá - q 3 b &2ceft 35-I-2c. Valeat enim ) florenum & c cruci'erum, fumma aliter exprimi non poterit quam 3 floreni plus 2 cruci- feris: vel 65 & — 4c exit Gb — A« feu 6 floreni minus 4 cru- ciferis, 5l SCHOLIFON 1I. [! eTrpi titati 17. Ut redu&io poft additionem facilius fleri poffit, adlen- li di termini homogenei fibi invicem in eadem ferie verticali fub- fubtr; fcribantur, hac ratio Alv ne coeffcientes juxta figna facilius in uvum terminum fíecundum regulas combinantur, ut in duobus fubfe- N fGCUnä quentibus exemplis : 15 ab -—6cd-i-.4fg 9 x—3a-I-4b—5c-F-6d —7e atnm ma lg d ghh IOX4-931—85——-7c—-6d —5 £ düm ( —6 ab u — dEe£- 3zhh ——- I2 x-HI-6a—4b—12c—7e— 85f 9 ab—:13 cd-&-öfg—!-Zghhk 9f SCOHOLION NE demos! Plam q 18. Operationes algebraicz a finiíflra verfus dextram pera« debere $untur, quamvis idem omnino fit, eas etiam a dextra finiftram d!ül 1 verfus peragete;. q 7172 14.L ntàtates enim literales valorem localem non i&biian habent, U g PRO- ALGEBRAICIS. IÀ 1— $k PROBLEMA T. 19. Quantitates aïgebraicas fubtrahere. RESOLUTIO. " T Unant Reg. 1n quantitate üxbtrahenda'flgnurd quodvis mu- tetur in contrarium, - in — & — in -I-, dein fiaf untide additio & reductio. Ex. i Ab afuübtrahi debet a fcribe a-—a hoc eft O. 1L Ab ab fubtrahi debet cd fcribe ab — ed. o ML A3cdrg fubtrahi debet d Cdg ícribe 2 ..('g l9 cdg addi exie hoc eft cdg, IV. Ab abc fuübtrahi debet — abe (cribe alc -- abc hoc i Va eft 2 abc. [TRUU V. Ab aa "- 2 bc -I- 5bd fubtrahi debet aa -- A bc —— bbd, ? Qd f mutatis fiz HU nis habetur-—— aa — 4 bc - bbd: additione Tat » &a' erit erogeleis 44 — aà "o 2 bc — 4 bo -9 bbd -- bbd hog ett 2 bbd — 2 bc. ywnma ex ucienum, DEIMONST*RATIO, ; 2 t jj 4 Subtra&io. quantitatis exprimitur figno — Cg 6.) íi ergo quantitas ^ fubtrahi debeat a quantitàte 2, quan- V " X ionis , hoc eft titati ? preponi debet fignum fubtra d At vero fi quantitas, quoe "M ignum -- mutatur in —. $ fubtrahenda eft, jam habeat fignum — .. adeoque jam fif j ] füw jn voum quantitas fubtrahenda, & ut talis fuübtrahi debeat, cum us Qubf fecundum axioma generale duz negationes faciant unam 1 affirmationem , fi L gnum negativum in pofitivum mutan- i 1e dum efít. Ji-5i SCHOTLIAN-EL - — — ,-;e-*ï:f 2O0, Ex conceptu quoque quantitatis negativs ($c.9. ) id demonftrari E jole! teft; Cum hzc fit.defe&us, feu ut debitum quod- piam confiderari poffit, qus ab alia quapiam quantitate fubtrahi deberet, fequitur, quod defectum feu. debitum fubtrahere nii aliud fit, quam facere, ut alter non habeat iítum defectum feu fam p 1 ünif[f?-m debitum, quod fieri aliter non poteft quam negativam quantita- tem. mutando in po(tivam: ficut e contrario defectum addere alen 1 eft jjÜ 8o CAP. HI. DE OPERATIONIBUS eft facere, ut alter Fabeatk iftum defedum. Ideo addendo ad & minu$ b fctibitur a — b, & fubtrahendo ab a minus b fcribitur 0 d- b. Aüddendo ad :2 defe&um 4 e& :2—-4 hoc ef g. Subtrahendo ab 8 defc&um 4 eft 8 -F-4 hoc g& 12. SCHOLION IHf 21. Cum repugnet, ut quantitas nevativa qua talis exiftat, Yi femper ut quantitas vera fubtrahenda fpec&ari debet, adeoque 2liam femper quantitatem pofitivam fupponit, a qua fubtra&io fieri debeat. Hinc dlia rurfus demonítratio a tali quantitate complexa petitur. Sit ab a fubtrahenda quantitas b — c, fub- traco b ab a hoc eft fcribendo a—— b quilibet advertit, jufto plus fubtracum eíle, cum non tota quantitas b, fed imminuta quantitate € fubtrahi debuiffet, ut ergo debita compenfatio fiat, tantum iterum addendum eft, quantum jufto plus fubtractum fuit. Sed hoc erat quantitas c, ergo c iterum addendum eft, & fit $— b-I-c, hoceft figna mutantur in contrarium, Si a r2 de- beret fubtrahi $ —3, fubtra&is 8 a 12 tribus unitatibus plus jufto fubtrahitur, cum non tota quantitas $ fed imminuta quan- 24 fitate 3 fubtrahi debuiffet, fcribendo ergo :2 — 8 non habetur qa f vera differentia, fed eft jufto minor, ergo pro debita compen- ? du» fatione rurfus 3 unitates addend» funt, & habetur 12 — 8 -- 2 i MM hoc eft 7. Idem ac fi a 19 fubtraherem 8 — 3 hoc eft 5. $CHOLION Yf r« 22. Quo minus ab aliquo numero v. g. 7 fubtrahitur, eo : plus remanet, fi nihil feu O fubtrahatur, totus numerus rema- mnet, ergo fi minor quam nihilum feu quantitas nezativa fubtra- hatur, plus quam 7 remanere debet. d4tà. 4 a 7 telinquit. 3. . 2 a—'—7 relinquit 5. O a 7 relinquit 7, ergo —2 7 relinquit 9. (S*"'ïa SCHOLION IV.W fà &o f 93. Subtrahendi termini, ut in additione, fubfcribi poffunt R fomogeneis quanttatis majoris, ut redu&io facilior (it, Muta- ter ] t£is enim in contrarium fignis hec operatio ab additione non dif- Vcie 1.'3 fert, ut fequentia exempla oftendunt: l NU E XEM- N | j ALGEBRAICIS. 91 do ad EXEMI?PIL A. ibitur I. 9ab — 12 cd H- 6 fz -- 2 ghh, major f g —— 6 ab — 7 cd -- 3fg -- 3ghh fubtrahendus d- - p —— mutatio fiznorum. 15ab— 6cde-3fz — ghh refiduum. cifat, L i2x--62—4b— 12c— 7 e— 5f major ] IOx--9a—8b-—— 7c— 6d — 5f minor eoque — , NI tiio : 2 N . mutatio fignmum ntitate j 2x-——3a—-!44b— 5c-- 6d—7e xeíiduum. , fib X 20aab-p6abbc — 19 ecd -4- 5 dzg. major , o fiuta 2 qabæ—- 3 abc -T- 7ccd -- 5 dzg minor j0 fiaf, — À H — a mutatio fienorum n füit, 18 aab -- 6 abbc -- 3 abe — 25ccd. zefiduum, ii 19 de« "C HOLIO N Y j; plus qU&H- 24. In tertio exemplo cum abbc & abc heterogenei fint, apetur quia fuperius b bis pofitum eft, inferius autem tantum femel, ympet- he du» quantitates in unum terminum cgalefcere non poifunt, fed quilibet feparatim fcribendus eft, .H'S PROBLEMA IV. 25. Quantitates algebraicas multiplicare. j, &5 tenu. RESOLUILIO, u bttae Reg. pro $ignis. Siena eadem in utroque fa&ore quit . 'Uit f -- & --: vel—- & — dant in fa&o femper fignum -4-. Signa diuerfa -- & — vel — & -- femper dant in fa&o fienum — Reg. pro coeffcientibus. Coefficientes fafctorum in- offuat Mta* ter fe inultiplicantur, fa&um hoc numericum eft coef- m dlf' ficiens fa&ti algebraici, . Reg. pro literis, eónjun - guntur, L?tcræ nullo interpofito figao axt [ p Bïe?xb. [ [ zh, P. L * P — d- E d2 P H, DE PERATIONIBUS f AX b -dat factum ab J' AX — b dat factum — ab t'l ;Cät — aXb dat factum — ab (et aX -—b dat facum ab at ( 2aXx 6b dat factum 134b .1$2t w Üi | ]n quantitate complexa quilibet terminus multipli- totis f catoris duci debet in omnes terminos multiplicandi ut 8 LlPli« in numeri jta (3ac— 4?d ) X24b dat factum dete ( 6 aabc — 8 abbd ( 2a4-b — )X(ga—-«d—i-öf* t dat fa&um 644 -- 34b — 154ac — 24d — bd-- 5 cd titity —i—- 12 gf -- 6bf —- 40 cf, multiplicato fcilicet toto mul- q[ ofja iplicando per 34 dein per — d tandem per 6f. H Sx termini quidam reperiantur homogenei juxta Proble- ü 1 81 mà I reducantur ad unum terminum, quod facilius itfe qi vurfus fiet, fi fub ipfa operatione homogenei 1 homoge PH, neis fubfcribantur : ut in Ex. L. inferius pofito. €l comï Ml'oi æ i] DEMONSTRATIO C'n M nná swu Pro fignis. Multiplicare eft toties ponere quanti- r [i atem multiplicandam, quoties unitas eít in multipli- Va c catore. Si ergo quantitas additiva feu pofitiva feu ädy,üm fignum -- per talem quantitatem feu fignum -t- multi- plicatur, feu aliquoties additur, quantitas fuperior to- ties pomtur, quot inferius funt unitates: ut-- 3X-1- a ?f l dat 6, quia 3 bis poni debet, ergo in fa&to fignum-t- (J PP ton exi efle debet *, hn Si per pofitivam *f-, fubtrahenda — multiplica- mkul'aüe Y & iantitas fubtra- 4 tur, multiplicatio exhibet q'LX(JïiS"; G In tto pe henda poni feu fcribi debeat, manet igitur quantitas i0t Qu fubtrahenda, & per Signum — exprimitur: eíft enim Atum 1 g ETU A 1 juantitas fubtrahenda toties pofita, quot inferius funt dl 'ntatcs ; ita—-23X23 lignificat, negationem quantita- "- Vm tis 3-bis ponendam efle, quod eft —6 A Si H 3 at ALGEBR AICIS. | 83 Si -- per — feu addenda per fubtrahendam mul- tiplicatur, quautitas pofitiva toties fubtrahi feu negari debet, quot inferius funt unitates. ]ta 3X — 2 figni- ficat "y quantitatem Ó bis fubtrahendam effe , quod dat — 6. Si — per — multiplicatur,. fubtrahenda quantitas PI.-.;" »m at toties fubtrahitur, feu n & hd ur, quoties unitas eft in J multiplicatore, fed negare negativam eft ponere feu ad- um dere quantitatem negatam, ergo in facto fignum pofi- 6f) tivum effs debet Toties enim negatur abíentia quan- 5:/& titatis, feu quod idem eít ponitur predida quantitas, mul. quoties inferius eft unitas 6f Pro roeffcientibus demonütratio patet ex multiplica- jble« tione numerica, coefficientes enim funt fa&ores, qui "ilius in fe ducti dant factum quafitum. oge Pro literif. Muitiplicare eft ex quantitate fimpli- €i compofitam facere, fed quantitas compofita eft, dum litere fine figno interjefto. conjunguntur ($. 4.5 ergo €onjunétis bac ratione literis quantitates mu ]ti pE plican- Yatti tur: «4 & bíunt quàntitates fimplices feu factores : ab vero compofita feu fa&tum ; ac & bd funt fa&tores, abed jli* fet fa&um., lt $SCHOLION L r [0* 96, Eadem demonftratio , quam in fubtra&ione dedimus 4 ($. 23)) etiam hic applicari poteft. Cum quantitas negativa ]^ non exiftat, impoflübile eft per eam necativam aliam multiplica- re, hinc conjun&a cum alia quantitate fsecari debet, a qua fubtrahenda eft. ((cd* Sit erro a—c multiplicandum, per b— d. Initio per b fado: a per b multiplicatum daát ab ; vernm cug non (trd toti quantitas a fed imminuta quantitate c. multiplicari debeat, titas fatum ab et jufto majus, & quidem toties, quoties b du&um eniim in c in illo continetur, hinc Jc fabtrahendum eft,ezgo — e xX -I- 5 funt dat — bc, feu (iena contraria dant fienum — E Doein a per — d multiplic: a *11 A LA m per priora, vel quia toties fubtrahi debst, Yi quot unitates funt in d, dat — g.f?; verum cum non tota quane debeéat, titas a fed irfnminuta quantitate c multiplicari & fubtrahi $i 3 2 ao E5 p — v' - - CAFP. IL DE OPERATIONIBUS 84 juflo plus fubtrahitur, & quidem toties quoties c per d multi- plicatum in illo continetur, hinc hac quantitas cd rurfus adden- - da feu cum figno -- fcribenda eft, hoc eft — per m dàt -F-. $i fubftituamus literis numeros, veritatem clariffime per- ;:j Ea- fpiciemus. Sit 8— 3 ducendum in 6 — 4. 8 in 6 dat 48. étum jufto majus, quia non totum 8, fed 8 minus 3 unititibus per G multiplicandum eft, hinc factum ex [»] M ii 6 feà IS8 fub- trahi debet: primum igitur fa&um verum eft 48 — 18. Deéin 8.in — 4 dat — 32 rurfus fa&um juífto majus fubtrahendum feu * P negativum toties fcilicet, quoties 35X 4 in illo continetur t10 hinc ut debita compenfíatio fiat, fa&um ex 3 in 4 addi debet, n Ambo facta &: habetur verum fa&um fíecundum —— 32 -- 12- D Idem, funt fimul 48 —— 18 — 22 -[- 12 hoc eft 60 — 50 — IO. o 0 du&is in 9 feu 6 — 4. T quod obtix;ctur ex 5 feu 8— 2 5i S CïH ÓLION 1 4l 27. Si fa&ores-vi'int' quantitates complexe, multiplicando At ((Q, mulüplicator fubferibatur, & du&a linea fa&a ut in numerica multiplicatione in diverfis feriebus feu lineis fcribuntur, hoc Ádd bene notato, homogeneas quantitates homogeneis fubfcribendo, dein hec íada , fi fieri poteft, reducantur, ($.14) & totum qua] titat factüm in una ferie proponatur, ut in fubfequis exemplis. DT Ex: I. ts qei-b a—b [bf aQ v--dqo — ab —— bb ad — bb. Ex. IL 32b 6 cd - 5/fe 4 ab — 3 f& F » 12 aabb — 24 abcd -p- 20 abf "— 9 abfg -- 18 cdfe — 15 fifag ï Wi p 12 atlb 24 abcd -4- 20 abffz — 9 (;,29;; -- 18 cdfg — 15 fffeg. At NI M Ex, ff zto- f a maoe Ll f ALGEBRAICIS. 9 Ut ulti- Ex. lll 'G xx—7ax-d18aa den- 9 xx-—32ax-L-24ae 12 xxxx-—— 14axxx--16aaxx — 18 axxx -- 21 aaxx —— 94aaax, yt -F.24aaxx--282aax--322aa« R I9 xxxx — 9 axxx -65 aaxx-—— 52 aaax «-39aaaa abus fub- ) SCHOLION III. n i ]tï 28. Bene hic attendendum eft ad differentiam inter addi- etut tionem & multiplicationem , ne expreffones he inter fe utpote ebet, multum differentes contundantur. Additio fpectat tantum coeffi- fatta AA eientes, multiplicatlo coefficientes fimul & literas., Jüem, imo., a additum ad a dat 2 a: axa dat, aa 9do. a additum ad' o da£ -s &X0O dat O stio. [/4 additum ad —-a dat O: aX —a dat — aa additum ad —a dat —2a: ACO. — — 0X -a dat-ä—-aa 5to. [(4 additum ad Y dat a-I: axXI data icande nerica 6t0. 2a additum , ad —3b dat2a— 35: 2axX — 3b dat — 6 ab. hoc Addere fcilicet eft quantitates cuimn anïs propriis conju iiv noe re , & hendo, " uanes quantitatem complexam facere, Multiplicare vero eft ex q oeum. titate fimplici compofitam fa cer ML-EN e, quod fit fine fignis interme- diis conjunsendo literas, Subftituto literis valore numerico ve- ritas patebit. Sit acc4 erit 2a feu 4-- 4 feu 2X 4—58: aXafeu 4X 4216: a-d4-0—4: aX 0O feu 4X O — O &c, PROBLEMA V. ere iv5 29. Quandtates algebraicas divid RESOLUT'EO. Reg. Pro fizir. Signa eadem dant quotum pofiti- vum feu --: diverfa negativum feu ——. Reg. Pro cae/jïcientibuf, Coefficientes juxta leges j ii á Arithmetice dividuntur. Reg. Pro literis. Sub quantitate dividendi duci- tur linea, & fübfcribitur divifor: fi qua litere in utra- o F 3 que " 96 CAP. IL.. DE OPERATIONIBUS que quantitate ezdem occurruht, zqualis eorum nurme» rus in utrgque deleri poteft. & Exempl, &:a dat — dat ;1*: coeþfäciens X -divïi'us per x ) aa e & ^" 4uotum Y, a &a deletur: —— ergo quotu$ eft unitas r. dat [ H T ab ab — : quotum ï-ï- feu —. ab d & äd a& u vifum pera dat pus feu l6 Q:LQFJC 15 saábe aac 16aaabc: 8 abbec da : — — à-—. ï gb&ec bc 8 -;I&I)(iïl C. [2a5 724b:— 9 ab dat — — — £m -—£É. $ ab Jn quantitate complexa procedi poteft ut in numeris: fubfcripte divifore quantitati dividend*, quzritur quotus per przcedentes regulas, atqué ad locum quotorum fcribitur, per quem idivifor multiplicatus dat fa&um fubtrabendum , in quo méótantur f € g » fra, & redu&io cum dividendo inftituitur, ut in exemplo fequente aa-i- 2 ab -lb (aQ-b quotus ex àa:ad eft P i d multipli- & -- b cato quotoa per diviforem a--5 dà - ab haàbetur fa&um aa-Lab , quad — infra diviforem fcribitur, & pro fubtra &ione N figna mutantur : re- — ab ,..gc.q bb u -2aa & — BRT a O: a-- b (:[C.. :'u] & AX —— bi:' H.d a'-z' $ quod. refi- ab -- Lb d u uum deotfum ponitur, & E - - 1 C 3 s quantitas bb adjungitur H o [o] i'i:'»'*fcripm divifore a --5 , qu & l u- ) tus ex ab D eft 5, qui ad ló- on eum quoti Uiiill H ur, multiplicatur per o ^ divifor a-1-b , factun £ dU -*;- E?!) fubtrahitur mutando 1 iena: reduct one fada, -- ab & AAE 1 — ab Mem bb & ——lb fe deftrunnt, n i remanet, & ope- u.l ratio dbfo'hta eít. Hac methoda exemn L ft« I1C14 us pofita foluta. » C2l "1 DE- 1 p ii 4 ALGEBRAÍCIS " Ine DEMONSTRATIO. Cum divifio refolvat, quod multiplicatio compo- nit, ex divifione fa&ores prodire debent, qui fa&ura ü per multiplicationem componebant. Hinc quia — per dai — multiplicatum femper dat -i-, evidens eft, nullum fa&um poffe habere fignum — , nifi fa&ores habeant l figpna contraria; ergo —-a4b (factum ex 44 in — velex —a in 4-^) divifum per -t- a dat fa&orem al- terum —2b, & divifum per —^2 debet dare fa&orem alterum "- b, Verum --4) (fa&um ex --4 in -b vel — a in — ) divifum per --a dat fa&orem alte- rum --5, & divifüm per — fa&orem alterum —- ?. 10tg Eadem ratio pro coefficientibus & literis eft, qusrun- n e 10f tur fcilicet fa&ores, qui hoc multiplum feu dividen- 13, dum componunt, quod diviíione obtinetur. Ex.I. 48222 — 76 aab — 64 abb -- 165 bbb (123a4—4ab —2 1hb divifor li 42 48 a2a — 60 aab multip!. uÀ -- Q mutat. fign. pro ^^ — i6abb-—-64aaàb reüd. ad prox. xquant. ie 4a divifor — I6 aab --20abb d- —— f W " B4 dnh ob ios bbb 44 —— 5b uU* i — $4abb -- 105 bbb * 5 $4 .bx. H, ** [4 h— C À 38 CAP.H. DE OPERARAT. ALGEBRAIC. Ex.IL. 18 xxxx — 45 xxx -l- 82 xx — 67 X -- 40 (óxx — 7x-1-8 ]ut L2 3xx —4x--5 18 xxxx — 24 xxX -- 30 XX at À - ao — M. —?2Ixxx—i—52xx-67x r 3xx — 4x 4- 5 — 21 xxx-I- 28 xx —55x — -- -- UO E-2A4xx-— 32x-- 49 VWent ab ( Dxx— Axvepe s 24 xx — 32 X -- 40 T —— 4 — ad - . Y af 29 «d ia Xx. III. 16222a * 72 aabb *l- 81 bbbb (8 232 -1- 12 24b e— rS abb 24 .....3b —27 bbh — 16a2aa4-—— 242aab [ 4 —— 24 aaab — 72 aabb 22 — 24aaab — 36 aabb - A o g6aabb-t- 81 bbbb 22 "'"'3b "g aabb -- 54 abbb 3 4- —— f . — 54 abbb -4- $1 bbbb — 2a gb ! — 54 abbb ï 81 bbbb 4- Tr t P t Tat SCHOLION. lis 1'01 536. Dum quantitates heterogenee complexe dividende funt id) fer alias heterogeneas complexas, & eadem in qualibet quanti- tate litera femel aut fepius occurrit, in qualibet zquali numero deleri poteft. $i coefficientes quoque communem diviforem au ad- mittunt, ad minores terminos quali in qualibet divifione re- ducun- * LUC CAP.HI. DE FRAC'HON!E.ALGEBRA[C.' 89 IH lucuntur5ita ex — — 8 abe — 4 Bcd ubique delendo Zc & coefü- 40 alc -l« 8-;1—0'55- " , e iente quolibet per 4 divifo fit: a -—d rP —— — — —— 2 ac — 3 -- Aaad n4aac—- 6a--8 aaaä — " 10 8 7-2 10 a-— 6ab 3 SCHOLLIOSYN. 31. Divifio feu refolutio quantitatis in fuos factores f.ch quentem in algebra ufum habet, hinc probe notanda eft. Ita. eb componitur ex & & D; bcc ex D &cc velex bc & c 5 4ax -l22x ex 2xx-]-x & 25 velex 9x-I- 1 du&um in 2x : item ad — d ex a — 1 & d, f enim &—1 ducatur in d, habetur ed-—d Ita dmn --dn— d habetur ex mzn-En-—t & d. 1ta de reliquis, 16b d 0 » Q A PAU.T.. Ht De Frac&ionibus. Algebraicis. PROBLEMA L ractiones. algebraicas ad mifxeres tertninos 32E$ reducere RESOLUTIO. Fit, ut in divifione di&um eft ($..29.) Sitam in numeratore quam in denominatore eadem litera occur- rat, xquali numero deletur, & coefíficientes per regu- las in arithmetica traditas reducuntur , atque ita fradtio non mutato valore minoribus terminis exprimitur: ita unt 2abcd bc —— rfeducitur ad — ati" 4. d E :eflö aC r DE- F5 J R ERCUAN 9 CAP.Itl. DEFRACTIONIB. ALGE U.Am DEMONSTRATIO. Si quantitas per sxqualem quantitatem multiplice- H tur & dividatur, valor ejus non mutatur, quia quot bte$ 13 inveff partibus augetur totum , totjdem iterum immi iá uitur; fed Àveri litere ia numeratore funt multiplicatores, & in deno- minatore divifores, ergo ablato squali multiplicatore -—X- & divifore, valore non mutato fractio minoribus termi: ed nis exgrimitur. ^h PRO BLEMA I &10 3 à . Fractiones addere & fubtrahere. E RESOLUTIO. ftis, Reducantur. juxta regulas arithmetice ad commur nem denominatorem, & dein numeratores addantur vel Z 3odit a fubtrahantur. 405 d t ]tàin exemplo — & — reducuntur ad ad bc ad — bc &d ri- bc —MÀ Á de & —, adduntur , fubtrahuntur * cd C C [* Bs Dermonftratio eaden: eft cum ea, qua in arithme- tica data eft SC'HOLION. $34. Cum operationes tantum per figna fiant (( $. 7.) fine »edu&iose ad communem denominatorem przfgendo fignum - b SEMNUM vel — additio & fubtraé&ie peragi poteft * ita ut addalagæzrf—& d b — À " !cxi;ci poteft äf-i-æï—, ut fubtrahantur — — d huj PROBLEMA II. (lg f 9 s . Fractiones mukäpiica*e & dividere. d & od $4 C CAPF. IV, DE POTENTIIS 91 RESOLUTIO, ] plice In multiplic [3 tione numeratores inter fe &' denomina- | quot tores inter fe multiplicantur: quod idem in divifione t fed inverfo prius divifore fieri debet, utrumque hoc nil deno- dive &il rf 1ta T a repulis in arithmetica traditis habet. atore & [ rero) É & d P — X — hoc eft »—«-;*X-*-,-f.iat-—j; € & cá :. vero divifum per -«— fit [* e etmj ed eb Demonítatio congruit cum ea in arithmetica tra- &103. SCHOLION. 56. Omnia illa, quae dé fra&ionibus in arithmetica dixi- imus, applicari poffunt calculo literali. Ita integrum reducitur hfs ad fractum, fcribendo . unitatem pro. denominatore : intecrum t vel additur fra&o , fi illud multiplicatur per denominatorem, & fa- a(iuäwæb ' d &o prior denominator fqbfcrïbitur: ut a« ï—hOC efï*""f —,& fic de aliis, qux» ex aïithmeticaï jam nota funt. B lne CAPUI IV. DE POQTENS!ILS n DEFïNITIpI. 'n ; i quantitas aliqua feu numerus per fe ipfum aT. S multiplicetur, fa&um dicitur potentia fecunds nti hujus qua íítl tatis feu numeri, qui refpe&tu hujus poten- ti2, ejus radix feu potentia prima appellatur. Ita a4 eft potentia fecunda radicis &5 16 eít potentia fecun- £ da radicis 4, quia 4 x 4 — 16. Pot i ntia prima erge eft ipfa quantitas quevis a vel b &c $5CH9O- 92 CAPUTIWT SCHOLI()N'L A J .$8. Hmc potentia, que prima flatin ex multiplicatione oritur, communi vocabulo quadratum dicitur, eo quod partes i talis radicis per fe ipfas multiplicate & in ordinem difpofite t5 ter s a femper figuram . quadratam conftituant, figuram fcilicet eque longam ac latam. jta IG in omni columna verticali & horizon- habet: lentig, tali quatuor partes 36 in omni columna 6, —— quia —— 144. hanc t 6X62—365; 144 in omni columna I2, quia I2 ?(Iz ter eti (S Q H OL ION H, et Vi 59. Potentia fecunda feu quadratum rurfus per radicem WU multiplicatum dat potentiam tertiam, que cubus dicitur, eo quod. ts partes rite difpofite corpus feu prifma confüituant zque lon- gum, latum, & profundum, quale corpus cubus vocatur. lJtaecaXa iïïdï( dat aaa, tertiam potentiàm: 16X4 dat 64 cubum radicis 4: Á 49X7 dat 343 cubum radicis 7. v j SQHOLIO-'N IH. 40, Potentià tertia rurfus per radicem multiplicata dat potentiam quartam, hzc. per radicem multiplicata dat poten- ad per f iiam quintam. & ita porro indefinite qusmlibet quantitas [ omnem poffibilem potentiam per folam multiplicationem poten- tentia tiz prioris per radicem elevari poteft. huic COR OLrLISASRSIUM, ?O í Quan Ar. Ex di&is patet, nullum quadratum poffe effe negati- Votà vum, feu enim radix fit - afeu — a femper fa&um erit -- aa. tumi Cubus vero poteft eíle negativus, fi radix eft negativa, quia -FBeax-—a4 dat ——aaa, Quarta potentia rurfus erit pofitiva, quia — aae X — a — -j-aaaa & íc de reliquis. DEFINITIO H. p H i 43. Sicut potentie iti etiam radices fuas proprias denominationes habent, ita radix comparate ad qua- TEII (je dratum dicitur radix quadrata: comparate ad cubum hn cubica: comparate ad quartam potentiam radix quarta, Ut exhibeatur radix cujusvis potentiz Ah ér ita porro. S indi: adhibetur fipgnum V, cui fuperfc;ibitz:r. numeru Cans " DE P:OTEN'TIIS 9 r cujus radix defignatur. Ita V eft catione eans potentiam, Darteg fpofite fignum radicis fecundz potentim feu quadrati: M radi- EC cis tertie potentie feu cubic»: :/ radicis quartze po- jriLon- quia tentiz. C/ 4 eft radix quadrata quantitatis a. Nota 4 hanc radicem quadratam feu fecunda potentie fimplici- ter etiam fine numero fuperícripto exhiberi poffe fcili- cet V/a. Quotiescunque ergo occurrit hoc fignum fine ditem. numero, eít radix quadrata. Dum adhibetur ad quan- quid ; IOII'K titatem complexam, hzec parenthefi includitur , uod u Xd indicat totius quantitatis radicem accipiendam effe: ita TA J(aa«g-b) vel j/a-i- 1. $ CHOLIO !NYN. r ex v 48. Cum potentie oriantur multiplicatione quantitatis ten- ad per feipfam, toties quantitas ponenda erit, quota potentia da- tuf ita potentia fecunda de a eftaa fcu a bis pofitum: po- n '(Tediofe tentia feptima de a eft aa:aaaa feu a fepties potitum. huic fcriptioni OccUrritur per numeros literis a parte dextra '2nnexos, & nonnihil altius fcriptos, qui exhibent, quoties illa qQuantitas per radicem multiplicata, feu ad quam potentiam cle- ,1" yata fit, ita priorum a fepties pofitorum loco ponitur a? , qui 4d numerus exponens potentie dicitur, unde fequitur. ia u DEFINITILO 9HI 44 4Exponens eft numerus indicans, 'ad quam i od potentiam feu dignitatem quantitas fit elevata. ri- n potentis exponens igitur eft 1 quz non exprimie u tur fed intelligitur, omnis enim quintitas ut coefi- 1 cientem ita etiam exponentem habere debet: 4 eft Á prima potentia; 4* fecunda feu qvadratum: a? tertia feu cubus &c. ll SCNmO- * : AWU T 7IV 5CHOLION Cum etiam dienitas indetermin: 1 p tà eff& poffit , 12?2: a quantitas indeterminata. eft, etiam exponens nonnunquam em ab elevatam effe ad exprimitur : ita ab fignificat quantit nO otentiam. ". "b eft quantitas a elevata ad potentjam n, du&a !u M. ] í C OE LARIUM 1. tent 46. Qvantitates, quzs habent diverfos exponente nete il ata Vivo gene fuïl ke Cum enim exponen ns 2 indicet, qnotic:. Nca litera ponatur, fi diverfi fint exponentes, numerus quoque literarum liverfus eft. & hoc ipfo quantitas heterogenea. Hinc due quan- t1 ítes, quac verfum habent exponentem in unam quantitaten pu in Oï*ïp CA am feu unum terminum coalefcere non pouunt. nc pis, e€x Qa? - 4a quantitas incomplexa fieri nequit, fe! 2a? -l rx * Aa? faciunt 6a? $i isi us r QU.ZLHTWALCQ diveríórum exponentium Ut of ddendi vel ubtrahendi funt, ordir ne - ne reduc&tione fcribi . de- lo C bent f ) € c R OLLARIUM. i . £N 47. 1 n mu]tï *z licatione opus eft expo- quantitatum tantum ] nentes aader a? Xa* data? * * feu a* ; a* b3 c?Xa* D* c* Üe data$ b j5c Fxr nensenim uterque indicát, quoties litera ea de aem tam in uno quam altero fafctore ponatur, in fa&o autem hz lite- Ín ; r con .un 1, feu toties poni débent, quot in utroque fa&ore tim funt unitates, adeoque fumma unitatum ofendit fumniam litera- aä rum, ergo addendo exponentes habetur exponens fa&i; ita a$ q$3 * æ.'*' fita5 3 feu a?, quia a5 — ——À aaaaaa & a? — aadaque mul- XOBDI ;:. iplicata dant aegaeaaadta feu a? : aXa eít a feu a? ; g" xX i aï t a ^w a" X g et am . *:; a* *X a" ef a W ha few at d9* q w Dbyeft g" Bx L SCHOLION 5 8&, In divifione, qua contraria eft multiplicationi, expo- m u entes fubtrahi debent; cum enim zqi ualis niü imerus earunaGeim idenm iterarum tam in dividendo quam divifore deleri poffit ( t2 ET X [ eit, ac fi a fuperiore exponen nitates fubtrahantur, quot ;.'Td. 29 : a? fit a?73 — a$5, eft W unitates habet inferior exponens. aaaaaagaa N * " enim deletis fuperius & inferius tribus a feu aca ma- aaa * —— ii nent aacada Íei 4 " a: a f a 77^! feu a? * quia coefficiens A an DE POTENTIIS 95 n Á 1 C 0 ntin netur I, — deletur; ergÓ an:.afeu a? c— I5 q": an $; Wt A 8 gnovee a? a)fta?-'5zgacci: 6*41. 5 —— öli—l Tite. iil f efe ad PROBL MA 1 du&a qu itum , 49. Qum Gitatem ad Á vel thm pos tentiam gQi T. At* detem&nacïm dætevnu iafam eve- ra] &tero h i? i st eranum RESOLUTIO. quam tem Qusntitas data per fe ipfam femel, fi quadratum: Win bis, fi cubus petatur, &c. multiplicanda eft. Ing enere ex- "n 3.,!., ponens quantitatis date multiplicetut per exponentem 3 [! n 0£ potentim, que petitur ; feu multiplicetur toties per fe hoc eft per rad licem quot unitates funt in exponente potenti» quazrende dempta una. Quadratum de 4 eft a&X Aaíeu aa id eft 4*** — Cubus dez2eftax aXa expo feu aa X a id eft a^* —— aaa vel a? Sit q 1*1((&2 Jj'à r 4 Y it a "x adenm. elevanda ad potentiam s, ducatur m in & e hite feu 4"" potentia quafita: a elevatum ad nonam poten- tiam eft a!^9 z5 4* vel a*, Ài N if aore bis per fe mu tiplicatum literae 4? X a? z 4953 z a5 hoc item du&um in 2? feéu 444 a5*5 z5 4?. Sit «* elevandum ad fextam potentiam, mul o" X fiL 4**5 — a'*; a& enim fexies per aa multiplicatum (1 gt 23 fei DEMONSTRATIO Potentia fecunda ex definitione ( $. 37. ) eft fa&um 100* 0 ititatis per feipfam femel tertia bis, qugïfa ter &c. cceptum ergo fi numerus toties per fe multiplicetur , dent quot in exponente potentie qQuszrende int unitates quat 5 eft una minus$, obtinetur potentia quaienda. — Qa« 1£ns H O. "l GCATUT IV. 96 SCHOLIONN. 5O. Dum monotmia quantitas ad potentiam elevanda eft, omnibus literis exponens illius potentie adícribi debet. In fra- h ins &ionibus tam in numeratore quam denominatore id preítandum eft. Sic quinta potentia de a&c eft a5 b5 c* : potentia m quan- am bn 8 a3 b3 titatis — € * cubus ex ,—;— Quod ali- d cimm m " 5 f nsfug quando folum indicare fuffücit hac ratione, ut quantitas paren- $ thefi claudatur, vel linea eidem fuperfcribatur & ad dextram p Óurfum exponens potentie ponatur , ita prima expreffio foret — Vis (abc)5 vel abc5 : item potentia m de aa — bc fcribitur (aa — Bc)" vel aaà — &c'*, SUCHOLION n iiv u $1. Dum binomium ad quadratum elevandum eft: regule ordinarie multiplicationis adhibentur; ita quadratum ex a -- h fiil u *el — a — b eft aa -- 2 ab -4- bb: quadratum ex —— a -- L u eft aa — 2 ab -- D5, unde deducitur fequens u h6 THEOREMA I A /: Vs & l to 52. Quadratum binomii conftat ex qu i ^" di, & ex termini primi, ex quàdrato termini fecun duplo facto terminorum inter fe. DEMONSTRATIO. fur Qu Multiplicatione enim fa&a habetur «« & )b qua- dratum utriusque termini, & przeterea, 2a», quod eft fa&um duplum,unius termini in alterum. . Quod fa&um fi fuerit pofitivum , termini habent zqualia figna, fi ne- gativum figna contraria. DEFINITIO IV. $3. Quadratum completur dicitur, dum pradi&e tres quantitates adfunt; fi una ex ijs, v. g. quadratum termini fecundi defit, quadratum dicitur zecompletum. $CH O- u -- DI A — POTEN-.TIIS 97 SCHOLION, 2 eft, 54* Dum binomium ad cubum elevatur, quadratum aa - 1 fr2- 2ah -p. bb rurfus per radicem « - D multiplicandum eft, & andum obtinetur a? -J- 3a^b -- 3ah* -- 53 : hinc deducitur qua- d ali THEOREMA II ITf« 55. Cubus binomii conftat ex cubo fermini MUA foret primi & fecundi, & ex fa&is tripli quadrati cujus- vis termini in alterum terminum. 5&.) 7 DEMONSTRATIO. Habetur enim ex multiplicatione. 4* & 5* cubi terminorum a & ; haàbetur preterea a^ x ) & P* x a, e * x utrumque multiplicatum per 29.3 ergo habetur triplum J quadratum primi ductum in terminum alterum, & tri- 1 plun quadratum fecundi du&um in terminum primum Q. E. D. SCHOLION I [ rdi] 56. Hac methodo pro aliis quibusvis potentiis formula ceonftrui, & theoremata inde erui polfunt. & SCHOLION AT. 57. Qus hac&enus di&a funt, etiam in numeris exhiberi pof- funt. Refolvatur I2 in duos numeros IO & 2, & fiat more algebraico quadratum, habebitur IO -f- 2 1o -2 m n r m L m T at ioo -- 20 (l 4 2094 4 . IOO -- 40 d- 4 id eft quadratum de I1O — : 100, duplum fa&um ex IOin 2 40, o — & quadratum d e 94 feu 100 [ 40 4 » f 144 iU totum quadratum fimul, 144 quod etiam obtinetur fi I2 dueatur in 12, 2h 1 AMVfet 4* . G SCHO- M'atlz, P.»»L [ ais ) CATPUT V. 98 Ht. SCHOLION $8, Dum numeri ,ürrïipïices ab 1 usque ad 9 elevantur ad quadratum , hoc duas tantum notas habere poteft, & patet ex — W fnultiplicatione horum numerorum per feipfos; a 1O usque ad IOO quadrata habent tres aut quatuor notas; a ICO ad IOOQO habent quinque aut fex notas & fic de reliquis. In cubo dum P qvadratum de 9 ducitur in 9 tantum tres note fiunt, dum cubus fitex IO jam cubus habet quatuor notas, dum ex IOO. habet Teet feptem notas; dum eXx IOCO habet decem notas & fic indefinite, que omnia ex multiplicatione feu elevatione. ad potentias pa- tent. Primarum notirum quadrata, & cubos fequens tabellà ex- hibet. Radix. $519 7]89.] 9 Quadtat, ï 6 : 5|36|49|64]| 81. j Cubus. ï 2 ï* 27 E 2 4 | I 2$j2l6!343 512|729 Dato itaque numero illico apparet, quot notarum radix effe dcbeat. Due notze quadratice unam habent radicalem: tres vel quatuor quadratice duas radicales &c, 'Yres note cubice unam fadicalem , quatuor quinque aut fex duas, feptem o&o aut no- vem tres & fic deinceps. 4 DEFINITIO V $9. Quadratum perfetlum eft, ex quo radix extrahi poteft, zmperfe&ium quod non habet radicem veram. ita 16 efít quadratum perfe&um, radix vera eft 4: 12 eft imperfe&um, quod babet radicem./urdam feu non voram. Quadrata imperfe&ta vocantur etiam quantitates zrratzoua- les. » PROBLEM.A IL 60. E data quantitate monomia radicem v. g. quadraticam , cubicam &c. petitam extrahere. R E us DE POTIEN'TiïSE 99 RESOLUTIO. tf ad niuwmerum fet ey VExponens quantitatis datz dividatur per Ita fi fit ex 4* extra- QU& ad indicantem quota radix petatur. | 100 exponens 0 du henda radix fecunda feu quadratica, dividatur cubus 4 per 9 & habetur r m m 4 Si fit ex a ex- labet ttahenda radix fecunda fiat 4 * . Si fit ex a* extrahen- M. 145 phe B um [ ex- da radix quarte potentie fiat a d 4, Si ex eadem " i — x a*, quantitate fit extrahenda radix fecunda fiat a 9H Si fit generaliter ex 4" extrahenda radix « fiat a*. DEMONSTRATIO. t effe Ad potentiam elevatur quantitas multiplicando : vel um quantitatem per exponentem potentie petit» ($. 49.) lid ergo ex potentia extrahitur radix dividendo exponen- tem potentie date per numerum indicantem , quota ra- dix petatur. Divifio enim refolvit, quod multiplica- tio componit; fed potentia fit per multiplicationem , nhi ergo potentia refolvitur in radicem per divifionem. ]ü SCHOLION, .e af 61. Quadrati numerici unius$ vel duarum notarum radix in Jl fuperiore tabella ( $. 58. ) invenitur. PROBLEM A Il 62. Ex quantitate binomia radicem quacïæfam extrahere, C - RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO, Cum omne quadratum binomium conflet quadrato termini primi, duplo fa&o terminorum, & quadrato tet- mini fecundi, habebitur radix binormia , fi quadrati pri P - G 3 inà | æ-gy ioo ÜCAXTUT 1V. äp& io € Q* mi a? accipiatur radix, qu» erit prima pars radic ne |^r tius, & factor fimul unus dupli facti, habetur igit divifione per duplum hunc fa&orem alter fa&or, qui nif fimul erit a AV lte « ra pars radicis totius, utriusque radicis Thc quadratum dá tota quantitate , in quaà continetur cum duplo facto radicum, fübtrahi debet. Ita ex.aa -- gab ; -- bb extrahitur radix accipiendo radicem quadrati a2 ( fcilicet 4, qu: ad locum quoti penitur, ex hac forma- tur quadtatum & a quantitate aa.fübtrahitur: 44 —- aa : t 4 -1- 24b -- bb Ca-*i*-& —— o, reftat adhuc 24l -- bb, X Wieer- (] ( Inventi quoti a accipitur du- l plum feu 2a.& terminus 2ab -.5:-:;.(2 [6/ b per illud dividitur, quod 24 dat quotum P alteram radi- —— 9üb l d cem, que duc&a in diviforem N H- Db dat fa&um $ a4t, quod fub- -- bb tradum a 24b relinquit ni- hil. 'andem fiat ex P in- ovb r Va s a at t vento quadratum & (fubtra- hatur. 5CHOTLIO.N. ; 63. Siduplum fa&um. fuerit negativum, fienum eft, alter- utram radicem habere fignum ——, ut patet ex multiplicatione a—bper — Bb vel — a —p: B per — a -4- 5 femper factum erit 4* — 2 ab — b*, r SCHOLION, 6. A Esdem r ao Coantu 4 -"":J u $ appli vudlitu f extra&ioni radicum ex nu- g meris. Cum enim per multiplicationem in easdem quantitates Cceinponantur,4 eadem quoque methodo in radices refolvuntur. x PROBLEM A IV. 65. Extrahere ex numeris radicem quadratam. R E- " a DE POTENTIIS AO (v RESOLUTIO. Itüt ne I. Numerus datus dividatur in claffes a dextra fi- qui Vi el niftram verfus cuilibet clafli affignando duas notas ( pri- 2Ufll ma claífis ad finifiram etiam unicam notam habere po- T teít) quot fuerint claffes , tot erunt notz radicales ü ($. 58 I. Vide atur in tabella fuperior'e,"an prima cl a 51 l1 ( $ 1. £ ( 7s [ fit quadratum perfe&um, vel non. Si eft , fubí . riba- [j, tur prims claffi, fi non eft, accipiatur quadratum pro- il xime minus & fcribatur, radix vero hujus quadrati ad Ti locum quoti ponatur. IlI. Quadratum a prima claffe fubtrahatur, & ad od refiduum, fi quod fuerit, adjungatur claífis fequens, d l IV. Quotus inventus duplicetur, & tànquam divi- al for ita prioribus notis fubfcribatur, ut fpatium infra ul- timam ad dextram notam vacuum maneat. 1] f:n V. Quzre, quoties divifor in fuperioribus no I2 Iv] contineatur, & quotum ad priorem radicem in locum quotorum , & fimul penes diviforem ad fpatium vacuum )s pone. t h VI. Totum hunc numerum per radicem ultimo in- ventam multiplica, fa&umque a fuperioribus notis fub- trahe ut in fequenti exemplo. [ Sit extrahenda radix ex $29. Reg. I. 5,29 divifio in claffes ( 23 Radices IH. 4 quadratum proxime minus, radix g. III.129 refiduum cum claffe fequente n ii ii s IV.& V. 43 duplum quoti 2 — 4 divifor, quotus 3 pofitus infra novem feu g ad fpa- tium vacuum, VI. 199 multiplicatio per 5 & fubtra&io. o G D E. " 102 CAPUT . o d DEMONSTRATIO. Veritas operationis ex applicatione formule alge- áne t braice patet. Radix fecunda ideo in fpatio vacuo di- jmer vifori adjungitur, ut fimul fiat quadratum hujus radicis üone qons numerum per fe ipfum multiplicando: debet enim tam hoc quadratum quam duplum factum radicum ex tota quantitate fubtrahi, quod utrumque hac ratione obtine- tur. SCHOLION. 66, Si poít fecundum clàffem tertia fequatut, radix«ergo trium notarum fit; operatio a regula quarta inchoando continua- tfur Ad reüiduum prioris fubtra&ionisadjungitur claffis fequens , cuod totum jam erit novus numerus refolvendus. TPriorum dua- rum radicum accipitur duplum, quod refolvendo ita rurfus fub- Quotus fcribitur, ut fpatium fub ultima nota vacuum maneat. ex hac nova divifione erutus, eft tertia radix, que ad locum quoti & fimul ad fpatiun vacuum pofita, & cum divifore per quo- dat factum fubtrahendum. Si adhuc tum novum multiplicáta , nova claffüs fuperfit, hec ad refiduum jdeorfum ponitur & triun priorum radicum duplum accipitur, ut habeatur divifor, & ope- tatio ut prius continuatur, donec omnes claífes refolutz fint. $i ttul 1 A fen inter operandum fubtrahendus major fiat, quam ut f 19 tracio fie- rl pofüt, quotüs minor accipiendus et, ut in divifione Ordigna- ria; quemadmodum in fequenti exemplo in utraque divifzo.n? continzit, Ex,. 6,15,04 (248 radices quadratpm proxime minus, radix ejus 2 2 refiduum cum claffe fequente dupla radix cum novo quoto 4 ;g fa&um fubtrahendum 904 reéfiduum cum nova claíffe " ^ 438 dupla radix 24 X 2 cum novo quoto ] A fa&um fubtrahendum ia m ts p C CH O« x E! DE POTENTIIS 103 SCHOLION 67. Etiam O ad locum i-adicum venire poteft, ut in divi- lpe- fione ordinaria ; dum fcilicet duplum fac&um priorum. radicum in d n»umero refolvendo non continetur, atque tune fne alia opera- (icis tione claffis feguens priori adjungitur; & operatio duplicando n mnovas radices continuatur utin fequenti exemplo 03 Ex. 16,45,92,49 (4057 [l* 16 x quadratum fubtrahendum , tadix ejus 4 —— —— AS claffis fequens 8 dupla radix, quotus habetur O - 4592 adjun&a ad priorem nova claffis 6120 805 dupla radix 40 X 2 cum nova radiee $ 1ua us AO [231 7M fa&um quoti in diviforem fubtrahendum ens refiduum cum nova claffe dü- 56749 100 81 », dupla radix 405 X 2 cum nova radice 7 factum fubtrahendum otus 56749 CUl Juo- n SCHOLION. I aT 68. Examen extractionis rite factz eít, fi radix inventa du- Yv eatur in fe ipfam feu elevetur ad quadratum , & videatur, an nu- M pilo qmerus datus quad-rat?cus proadeat, ut in fequenti exemplo l!li Ex. 9,57,90,25 (3095 Ex. 346921 (589 0ne E Examen 25 x 57 3095 969 3098 [5] 108 15475 864 5799 27855 106521 609 548t 92850 I169 . 30925 9579085 10521 ÁÁ 6185 —30()2 5, E* 9 9 4 ;SSCHO« CAP UT IV 104 ,xO $ o j Ex. 16,00,c0 (4c0 Ex. 36;09,50.64 ( & qrmeccecicw 16 36 [* eoQ énomi O09 oO 12 p9 üt $ —X eoooQ 0960 & ad oon 120 puten, — cans ab r t RR o 9$6064 qua t qu 12008 W eum, - 96064h fer nne! : o 190, " [v & CHOLIO SYN. AW 69. Siin fine aliquod refiduum fuperfit, fignum ef, nu metus jis merum datum nonh effe quadratum perfedum , veram igitur ra- n 9t W dicem haberi non poífe, fed furdam ($. 59.) quod exprimitur üm i ext per figpum V/ profixum , -ut V/5: *ï/ 20: V. I28 &c. poterit ta- ex 7 men per extracionem quam proxime vera radix inveniri conti- uando radicem per fradiones decimales, hinc extiacio conti- KY nuari poteft adjun&a nova claffe duorum zerorum oo, que in- o 4 ftar fra&ionum decimalium confiderantur, G radix inde eruta erit decimalis: adjunéta ad refiduum nova zerorum duorum . claf- 3 fe eruitur fra&io' centefimalis & ita indefinite, quousque libue- 4 rit, ut in divifione. ordinaria zerus dividendo in infinitum ads jungi poteft, & quotus continuari. Ita extrahitur radix ex 129 & ex 540 ut in fequenti exemplo Ex. 1,29 (1I1. 35. &c. Ex. 5,4o (23. 23. &c. P um 140 43 2r 129 RRE Ov $oo I I (2"5'"4 4& 69 2 4 —— — k 4 100 Y 760n 2 Ó 4543 i EN : $2 H b 929 .UMBOLOPESISSISRE TBSRUNSA —— ——ÀM1 —— 2671 Y SS | E DE POT ENJIIS. 105 n coe- SCHOLIOYN. « ui a :*,-'f aticis, tàm ex num erat viat ore .quam "oc. EX fra&ionibus qu P denominatore eft extrahenda radix. Ita 4*- dat radicem —ä, if dat $. In decimalibus operatio proceditutin integris; at hic be- ne advertendum eft, numerum terminorum femper debere eífle parem , adeoque fi fuerit impar, in fine adjungendus eft zerus, qua tatione fine mutatione valoris ($. I 1O.) par fit. Ratio ef, "^onr quia fra&io decimalis fem B^ fupponit denominatorem decadi- cum, & quidem in hoc cafu quadraticum , ubi numerüs zerorum femper par effe debet, wt patet ex quadratis numerorum IO , I900, IOOO &c.que funt I00 , I000O0, IOO0c00, fed tot funt in numeratore note, quot in denominatore zeri, ergo etiam mnue p h fiü- m er notarum debet effe par. Si. autem Ait numerus mixtus, ..... ubi ; Sp i te E g ri cum decimalibus dantur, divisio in claffes fit fepara- i rimitt im in integris, & in fra&is, & dein per regulas fuperiores fit xtract i : utrumque declaratur exemplis. Sit extrahenda radix 'tit t x 7 4 Es e ! - 6,ex O. 56644, ex 2487. A4T. M conä)k P 3 contl» [ x / 424:57:60(2.69 1Ex, .56,64,40 (.7 52 Ex. H * 64 -';4.87. 4410 (86. 4v ? if 49 —— x seetpsn —— u eruta 76 4 1087 C, 39 4 166 |bue» 9 Eä 195 996 p ade — , 129 4 ar 4 14 äï u 3 p : 5 : 8 6 : 5 AT —— 3004 — 9660 9 OT 5381 5238f iä f (;) ää rupustnceni o ii 4279 PROBLEMA V. 71. Extrahere radicem binomiam ex €Hþö» RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO. Cum omnis cubus conílet cubo termini primi, tri- plo quadrato cujusvis termini du&o in alterum termi- nuin G $ — 106 CAPUT IV. num & Cubo termini fecundi, ut patet ex formula: a* eubu.; "F 3 4b -5 ab -- D habebitur radix, fi inde « & b eruatur, & ex iis quatuor bhe quantitates formentur tur a & fübtrahantur, quia in id refolvitur, ex quo compo- jlius nitur. Si igitur quantifatis primz a* accipiatur radix cu- ad r bica, habebitur « prima pars radicis: ex fecunda quan- titate 34^b eruitur », fi dividatur per 34* feu triplum ï.'pht quadratum prime radicis. Cognito jam P fiant hz tres tuq quantitates 34'?, 34b, & b? & fubtrahantur ,fucceffive um a tota quantitate data, & omnes termini evaqefcent. 2* - 32* b2 3 a^ -B* (a - ? te -—— — ( cubus'fubtrahendus & ejus radix —— —— a ad quotum ponenda qu 24^b— — — —— fecunda quantitas 34^ — — — — triplum quadratum primz radicis divi — 3a^.b— — — — multiplicatum per radicem novam & fübtractum. * efi o ?aöz tertia quantitas: triplum quadra- — 23 ab* tum fecunde radicis du&um. in —— primam & fubtra&um, &i [9 B3 — it b3 Cubus fubtra&us [ t PROBLEMA VI. ]i Cup 72. Extrahere ex numeris raaiïicem cubicam., t ? RESOLUTI1O,. I. Numerus datus dividatur in claffes a dextra fi- niftram verfüs, cuilibet claffi affigpando tres notas, ( pri- ma ad finiftram unam aut duas etiam h3bere poteft.) Scie- tur inde numetus radi?um ($. 59-) T. 'DE POTENTIIS. 107 la: o TL Videsturin tabella C$. 58.) an. prima clafüis fit ET cubus vel non. Si eft, fubfícribatur. Si non, accipia- jentur tur cubus proxime minor, & fubícribatur primw claífi, Qpg» illius radix ad locum quotorum ponitur. III. Cubus fubfcriptus a prima claffe 'fubtrahitur, X Cl ad refiduum additur claffis fequens, quan- IV. Ex quoto invento (4) fiat quadratum, hoc mul- iplum tiplicetur per 3 ( — 34 ) & fubícribatur refolvendo ? ttei tanquam divifor, ita, ut fub.duabus ultimis notis fpa- celive tium vacuum maneat. ent, V. Quezratur, quotþlies divifor in dividendo conti- neatur, & quotus erit radix altera , que ad locum . tadix quoti ponitur. VI. Per hanc radicem inventam (7) muitiplicetur tadicif n0van divifor & fa&um (34) a refolvendo fubtrahatur, ad refiduum accipiatur penultima nota fuperius yreli&a. jdtt- m ia VII. Ex radice hac altera (P) fiat quadratum (À & ducatur in 3 & in radicem primam, ut habeatur fa- €&um (545*), quod rurfüs fubtrahitur: ad refiduum pona- tur nota ultima fuperius reli&a. VIII. Ex eadem radice (P) fiat cubus (7*) & fub- trahatur. Si nullum fuerit refiduum numerus datus eft cubus perfe&us, & radix extra&a. In exemplo fit ex- fih trahenda ràdix ex 1382 4. A (pri de L [ - 108 CAPUT. IV. I. I3,824 diviio in claffes (24 radices 1. 8 cubus proxime minor fubtrahendus Ex. 17 III. c ) refiduum cum claffe fequente (z 19 s o f^ IV. 3a* triplum quadratum termini primi - X2-—4xXx3 99 VI. 2a"5 48 X in terminum alterum — I2 X 4 z 48 I5 — I ipü3- V[« 102 refiduum cum nota reiica prima — — 4 8 X 9 radicem VIL.3ab* 96 radix altera 4X 4 — 16 X 3« — d. ?^ Ià — — ( primam z 96 D n IÓ 64 refiduum cum ultima not& relicta vun 2 039 gqemm st 64 cubus radicis alterius 4 —— 64 Ó h]O — o 4^ DEBIONSTRATIO. 3 ï :: 1 E j I Veritas hujus operationis applicationi formule alge- braicze innititur. Partes ille fucceffive invento 5 fub- FU ; trahuntur, ex quibus quantitas cubica coaluit. "E SCHOLIYIOI!?Z. 73. Dum plures quam dus claífes habentur, radix ergo ; 5 .inze onti- Vaile plurium notarum eft, a regula quarra incipiendo operatio c [Ca nuatur, hoc iterum notato, quod priores radic es1 veo 4 nvente jam 0 m valeant a, ex quibus triplum quádratum pro divifio: c fieri Mul MW debet, ut B inveniatur, cujus dein quadratum triplum per to- tum g feu omnes priores radices multiplieatur & fubtrshitur, & Ex, 28 fic €emnes rádices cujuscunque numeri inveniuntur. "T AX DE POTENTIIS. 109 I « Ex. I18,399,744 (26 zi a?/.8 —— —— cubus proxime : minor m 9À— c4X] 10399 — — refiduum cum claffe fequente d " 302 12—-—— 2X2-—24X 3 — 12, divifor. Quotus 6 zb 34* b 72 — — À — I2X6fífeu 3a? X 5 fádicem —- refiduum cum nota reli&a 96 3»35?216 d qrocet 6 X6——36X 3—108 X222216 zz5* X3Xa 1039 — — refiduum cum nota ultifna — ó* 216. — —— Ccubus radicis G L AR 1 823744(26 4 re&duum. cum claffe fequente 302 2028 — — 96 x26 — 676X3 —5 2028 divifor. Quo: 34?*b 8112 — — 2028 X 4 — 2a^ X b (tus A — ls ilee- um 1254 — refiduum cum not4 relica TAU 3«5* 1248 — 4X4-2216X3-— 58X25 z 1248 — 64 — refiduum cüm nota ultima (5* X3 Xa b3 64 —- cubus radicis 4. Et totà radix 264, Si inter operandum quepiam quantitas fubtrahi non poffit, x n radix juífto major accepta eft, minor ergo poni debet. Abíolu- 9 tont- ta operátione examen fit multiplicando radicem per fe, ut ha- m beatur qnadratum, hoc rurfus per radicem, & facum, debet eife » Tefi *quale cubo dato, yer t0 Exz';me fls tU [4, Ex. 28,934,443 (307 Ex. 428,976 (76- 76 ao 27 2343 o 76 ,1934 xkr)«ïö 2-« D s E 450 *». ? * 4 ; 222 i9; ;'4-'. : L ä 9 oo 5776 (2 18 ä: oO "0 76 Losssncc . J 44 2 i 246 40422 AAIO 216 —— Á 4 o 438975 [»] SCHO- i v 2 1IO CAPUT IV. Ixtt! SCHOLION, 74. Si quodpiam tefiduum fit abfoluta operatione, cubus $&on erit perfe&us, & radix furda, quse rurfus per fractiones decimales quam proxime vera extrahi poterit continuando extra- &ionem, adjüngendo ad refiduum novam claffem feu tzes zeros ut di&um eít ( $. 9.). Ita extrahitur radix cubica ex $4, 1-:- la CA5 '*'ULJ.J Ex, 84 (3. 77 Examen 277 27 rl d 27000 2639 07 2639 .E.Pg Í131 142129 Quadratum 44Y E——^M—-—S 377 690 994903 3 Á ï 004903 426387 «Onfidera 3247000 EEE TM tes crefo 4107 53582632 cubus quam le: 28749 417367 relíiduum — catione 1 47210 544000000 COe(ficent 5439 , tentie qu d 417710 b 343 H 417267 reífiduum l'lk N SCHOLIOYN. J 75. In decimalibus proceditur ut in integris, hoc iterum Potenti: M0tato, numerum notarum debere effe vel tria, vel fex, vel tàtis ) ; awovem uti iterum patet ex multiplicatione quadratorum decima- Wnentt lium per radices: ita quadratum 1OO X per radicem IO dat cu- fatum e bum IOCOO tres zetos: quadratum IOOOO X per radicem 1OO dat cubum IOOOOOO fex zeros ? quadratum IOOQOCO X per radicem Vizrlim l fOCO dat cuabum IOOOO00000 novem zeros. Zeri igitur decimali- Wimys bus datis in fine addendi funt, utnotarum numerus fit vel trium, Qntita * velíex vel novem &c. In numero mixto divifio in claffes fepara- et &5bf tàm fit in integris & in decimalibus notato priore monito. Tütes ?5& "n I ' Extrz- ed, 1l1EI DE POTENTIIS. Extrahatur radix ex O, 3758 & ex I146. 37 Mé, cubut 375,8o0 (. 72 146., 370 (5.2 t ftactiones 343 125 i r Q extta» Hl 32800 1370 'e$ 16108 L t 147 29 M. 294 150 340 637 - 84 60 2560 5770 pE 2552 &c 762 &c, a dratit SCHOLION. 76. Dum formulam potentiarum radicis binomiz attentius eonfideramus, & in legem, qua tam coefficientes quam exponen- tes crefcunt & decrefcunt, invefligamus, videmus $* gor i ncralem ali- quam legem inde formari poffe, juxta quam íine nova multipli- fidumm catione potentiarum precedentium per radices termini cum fuis coefücentibus & exponentibus fcribi poffunt. Ita habentur po- tentie quantitatis a -- b, I a --b M. a* -- 23b -- b* H a?-[ 3a?b -- 3 ab? -- b? IV. a* -- 4à?b -- Ga^ b? -- 42b* -- b* &c, Numerus terminorum femper unitate major. eft exponente potentisz, Exponentes quantitatis a ordine decrefcunt, quanti- toc 1éerum. tatis b yero crefcunt. 1 1à.i 1 ls Secundi termini coefüciens eft equ 9l fes, al ponenti primi termini: reliquorum terminorum cocfficientes unt Jun droma- fa&um ex exponente prioris terminl in fuum coefücientem, i —— j [p dit ei m 100 dat vifum per numerum terminorum precedentium. [tain a - * et radicem primus terminus eíft a*, fecundi erzo coefficiens eft 4, exponens " - ; decimali* quantitatis a eft 2 quantitatis D unitas. Coeíficiens terti termint ve] trit eft exponens fecundi 2 X in coefficientem 4: fa&o I9 divifo per fles fepi numerum precedentium terminorum ^ 3 hoc eft G6* exponensa eít nito: 2: b etiam 2. Quarti £ermini coeffüciens eít 6 X 2 coefficiens pr'orin exponentem : fa&o I2 divifo per E numerum terminorunm Prscedentium 3 hoc eft 4. exponentem a habet unitatem , 5 ve- YQ UL " T ï**' gc; äP "E'J j iV e füeiens eft 4 X 1 z 4 divifo per na- go 2 Quinti teriminti coe t ^ merum .terminorum priecedentium 4 hoc eft 4 —— , à haberet [ exponentem C aieoquæ a9 —— I, uBb u*rumque non exprimitur & van ereo folus terminus b^manet. Sit o&ava potentia de a -- D 1 aæ patebit eienda feu a »4- 5$, Scribe ab initio quan itatém. a cum expo " ; z nentibu I€ V. decrefcentibus: a$ a* &6 a? a4 a a a ad-un"»f* einm elle aq formula I a fecundo termino: inciplendo quantitatem 5 cum es po en DH*» crefcentibus usque d nonum terminu: . cum 8;potent! pe f nent tate , ! &9 a'b a5D? 5p3 455 a3b5 a?^59 ab" Db? Coefficiens fecunde quantitatis eft. 8 vqualis exponenti pr »l« 3av ï. radici Coefficiens tertie coeffüciens prior 8 X 7 exponente ï; tate & umerum términorum precedentium"2 — 28 Lo :ffi- divifum per ciens quarte ——c 8x 6 — 8: 3 nume um terminorum pra cedentium — 56 Qu nte — '56)(*?"*28 1 m z 2D. Sg C as P m lá - X Septime 56 X 3 z rT08: o —— te 70 X.4 —2 280: ä g 56. 98. O&ave 28 X2-—56: 7 -8. None 8 X I — 8:8— ergo tota formula potentis o&dave fine alia mult iplicatione inte- sra habebitur. a9 g 47 b -- 98a6 b* -- 5 56 a5 b3 -- 75 a* D5 -4- 56 a? b5 du 298 .a* bS -- 8 ab? -- D5. ? ubi exponentes duatüm quantitatum a & D vquales fun nc guod femper eft in termino medio, fi nunterus renn'mrnm eft impar, "1 coefficiens eft maximus atque inde eadem ratione'coefficiente 5 Cw 7 t crefcunt , qua prius creverunt. Dum nume rus terminorum tum Qj par, duo medii equalem. coefficientem maximum ha bent,, & in- Pa Y de ad finem pari proportione decrefcunt , neceffarium igitur tau- -—,u tum eft, usque ad maximum. coefficientem operationem inftitue- r lofis: rze, & eosdem coefficientes , qui prius Lona ant., fed ordine inver- fo terminis ultimis prefigere, ]ta in priore exemplo primi tres Totat funt 8, 28. 56, dein maximus 70, ultimi tres. 56. 28. 8 & ii CHOLIO.:.N. IH. f 77. Sijam potentià acciplatur generahter & indetermina- & erit primus ferininus L— p»ü. e, dicetur m exponens potentiz fecundus a'! — 1 B tertius mX m — I a — ? b? quartusm X m — 1X 8 R ——— ] ? Aül t . n s B qum*ucm)(m-—-i*(n-—»-o)/mw æqu 1 b* &c. Evanefcet autem terminus « & cefa! pro greit 2 fi 1d- nn hu antitati "z t I2 c enim merus fubtrahendus ab z» fuerit æxiuahs * Rnb erit a" i WEvertom « o I que un itas eft co eüiccn& itimi termi- ni P C Q« M TAR D I POTENT*IIS.. 115 SCHOLION HL ) pet h- ! haberet 78. Heexpreffiones generales plurimum ferviunt ad invenien- rimitur, da varia theoremata & proprietates quod mag'!s in fequenti capite 2 D f patebit, Ita ex generali expreffone quadrati binomii aa-]- 2ab -- b2, fi b fit — Y deducitur: quadratum radicis unitate auce, 1 effe »quale quadrato radicis prioris, -]- dupla radice -F- I. quia )AEIMZE»HS formula prior àbit in hanc ag -F- 9a -]- E. Hinc quadratum de 123erit — quadrato de 12 — 144 -I- duplo de 12 — 24 -i-uni- petatur, tate , hoc eft — 1I169. Ex generali expreffione cubi a? -- 32* b -- 3ab* --b? & bz:1 erit cubus radicis unitate auct» —— cubo eht pre n z 56. radicis prioris -j» triplo quadrato prioris -- triplo radicis 4 uni- tate &c. & üic de reliquis. ,. Coeff- um pr?- -Q "aX (9: 0— "t CX TDTMY one 1 te 5049/3 DE ZEQUATIONIBUS. * i, qui DEFINITIO I. t impt: enes d 79. /Equatio eft ratio zequalitatis duarum quantita- tum quoad valorem * exprimitur per fignum zqualitatis &i z,ut dum defignare volumus quantitatem a ejusdem va- i'" ab A 1 de- loris eífe ac quantitatem P fcribimus « z/; x z c jne 1ver notat, quantitatem x tantum valere, ac 4 du&um in P, yimi t & divifum per c. Ita 2. floreni — 40 groifis: 6 grof- fi zz 19 cruciferis. COROLLARIU !M. jef e!mf'jf*' d 80. Sequitur inde duplicem partem feu membrum in omni —5b equatione fpe&andum eífe, unum ante fignum , alterum poft fi- [ gnum zqualitatis, illud dicitur membrum feu pars prima, hoc 1 fin membrum feu pars fecunda equationis. ync enil! yi n H SCHO- AMeitab, Matlrl R ( 10 E M - bis m 114 COAJTEUT.V. SCHOLION 1. Wt Jil 81. Bene hic advertendum eft, ne voces idem , equale, & il 51 & o Jimile femper confundantur. Jdem . ftri&o fenfu jin abftrado pro Cf uno fumitur, quod omnem diflin&ionem & diverfitatem feu plu- ralitatem excludit, .ut idem ,. qui eft Petrus, non poteft effe Paulus, & tunc idem, pro identico fumitur. . «Equale:. dicimus , quod.à b n omnibus fuis propriletatibus & determinationibus cum 1 altero convenit, adeoque in locum alterius fine mutatione fub- quanti ftitui poteft ; ut triangulum .4 eft xquale triangulo B, fi omnia que n tria latera cum omnibus tribus angulis unius, & in longitudine Hs cc & maghitudine conveniant lateribus & angulis alterius, atque tunc unum alteri fubftituil poteíft & idem feu unuin rÉ$ tens e duo autem numero dicuntur. Similia funt, qux in quibusdam f tantum proprietatibus & determinationibus conveniunt; ut trian- quot gulum .4 eft fimile triangulo B, fi anguliuniustam magni fuerint ac alterius, latera vero diverfa. , In communi fermone idem & alfeq zquale non diftinguuntur. Ín mquationibu$, cum de valore tam- fuut tum fermo fit, duze quantitates dicuntur equales, dum eundem jm id eft equalem valorem habent. confic debet SCHOLION 1l. ::IS D 929. Objecum equationum eít, valorem unius aut plurium quantitatum incognitarum invenire, quze inventio impoffibilis eft, Itiner) fi folx incognite fine cognitis dantur, ut x — y: fed femper admixtee Soiutg effe debent quantitates cognite, ad quas cognitz relationem habent ; ut 5x — I8: hoc eft quantitas incognita i per 3 multiplicetur , teris - habet rationem squalitatis ad I8: -3*. —— 6 fignificat, quanti- Tüm ( tatem incognitam x fi multiplicetur per 2 , & fa&um per 5 di- vidatur, habere rationem zqualitatis ad. 6. inde fluunt fequen- tes. definitiones. DEFINITIO I1I. Qeter Il $3. Problema zquationis eft quxtio valoris inve- Pnorn niendi cujusdam quantitatis, qux ad valores cognitos lo Re:« alterius quantitatis relationem :equalitatis habet. Qu , folutió illius eft ipfa expreffio quantitatis incognite in una & valore cognito ; ut Problema eít: Invenire numerum, Qu qui fi addatur ad 56, faciat fummam zqualem triplo l c de Íe « P nuineri guæüti. Refolutio illius eft x — 28. hoc efít &l nuü- —— —«X 9. DE ZQUATIONIBU 115 numerüs petituseft 28, qui additus ad $6, facit triplum ^ ipfius numeri 28, feu 28 -- 56 2 28 X 3 utrumque pro ettz- 94. pu- . elfa DEFINITIO III. Is , Cunm 84. Conditiones problematis dicuntur relatic;nes fu) quantitatum incognitarum ad quantitates cognitas ; nnia ye qua neceífario ad folutionem problematis requiruntur. itque Hz conditiones aut numeris, aut primis alphabethi li- f teris exprimuntur. In exemplo: Petrus quofidie con- d. tjane ficit 1O milliaria, & jam itineratur per $ dies: Paulus quotidie conficit iter As milliarium , quando illum erint m & alfequetur. Quaritur tempus concurfus x, conditiones »taf- funt dies & milliaria Petri cum milliaribus Pauli. Iter ndem jam confe&tum a Petro eff 10 xX 5 — 50 milliaria, conficiendum adhuc ro X x: quod utrumque fimul effe debet —c itineri Pauli 15 X x hoc eft 50 -t- 1io x um a p I5 x. Poffunt etiam milliria P.tri vocari 4 dies rj itineris c milliaria Pauli ? & erit equatio ac -- ax z bx. Seüx r Soiuto in numeris problemate habetur z i1O: in li- ixte ac 59 yen , teris d Mertm, XÍeu —— z IO. Idem valor die- —2 &tl 15—1io jnt- rum concurfus, | di- :üeïï' DEFINITIö IV. £5. Problema determiuatum eft , dum una tantum & determinata quzílionis prepofite folutio datur uti in Ve priore cafu numerus petitus folus & determinatus eft iO. itoS Talia problemata funt, dum tot funt zquationes, Dum una eít incognita; Re« quot quantitates incognitz. una equatio adíit, dum dux incognite , dus quoque o ]j equationes, dum tres, tres szquationes adeffe debent. Uft, ludeterminatum ett, dum quxítio propofita plures folutio- 1910 nes admittit, & pluribus humeris esdem fatisfit, ut fi h H 2 It :.e(ï qua- 2 116 "UC ONTTUU- T 7 V. p querantur düo numeri, quorum fumma fit $, hi duo p numeri erunt vel 7 & 1 vel 6 & 2 vel 5 & 3 vel 4 pE & 4. Contingit hoc femper quoties pauciores zquatio- Qu nes dantur, quam quantitates incognitae: una in pra- 14 31) di&o exemplo datur xquatio, & due incognitz x -- y * —— 8 e » fi altera addatur squatio . factum horum lib ür numercrum eíffe 12, Problema determinatur & tantum g folvitur per duos numeros 6 & 2. Piusquam. determina- j ium eft, dum plures adfunt conditiones quam quantita- 1 & ! tes incognitz, quze vel redundant, & emanere poffunt, N vel repugnantiam involvunt, & folutionem impoflibi- q lem reddunt. In priore cafu fi adjiceretur tertia con- ditio, quorum differentia effet 4, ut fit x — y — 4* h iidem numeri fatisfaciunt. Si effet hzc tertia conditio , ut differentia fit £, folutio effet impoffibilis: tales enim numeri, qui has tres conditiones haberent, non dantur, pe DEFINITIO V. um üt $6. /Equatio primi gradus eft, dum quantitas in- cognita eft prima potentía: x -- L x —a. Altioris gradus eft, dum incognita eft elevata ad aliquam poten- tiam: in fpecie quidem fecundi gradus, qdum incognita q eft quadratum, qua etiam quadratica dicitur; tertii gradus, dum cubus &c. ut x3?^ — x z a, Si plures fint inco- gnite denominatio fit a maxima fumma , quam facere poffunt exponentes incognitarum. in eodem termino. Ji$ [ta xy — y z b eít fecundi gradus, quia fumma ex- il ponentium in x' y' eft z:qualis 2. tu SCHOLION, l S 87. Dum igitur queftio aliqua proponitur, ea in linguam i algebraicam quafi convertenda eft, quantitates incognitze a cogni- tis bene diftinguantur, ille ultimis alphabethi literis x, y, 7 A hz primis a, 5, c, vel convenientibns numeris exprimantur. Curandum eft fedulo, ne incognitarum nuwmerus Íne necefütate | augea- & r ] DE EQUATIONIBUS 117 hi duo augeatut, Ita dum petitur numerus & fit ejus duplum, triplum vel 4 aut dimidium faciendum , numerus incognitus fit x , duplum erit |uat0» 2x, triplum 3x, dimidium zx vel & $i petantur duo numeri, quorum differentia fit 20 vel fumma 30, non opus eft hos dicere | pra- x&vy Sed pofito minore z x erit major! 30 — x vel pofito PL E majore — — a erit minor 2O — x, quod aliquando etiam loeum habet horum dum problema tres quantitates incognitas prafeferre vide- tur ut inífra in exemplo I Conditiones dein debite & per fua antup fiena adjungantut dum de lucro, augmento, fumma quzítio eft, HU fiznum fit -J-* dum de damno, differentia, iminutione 'JG' 5 tut, Janti fienum —- adhibetur, Dum inultipla petuntur, coefficiens quan offun titati incognitz adjungendus ; dum partes dantur, inftar fra&io- nis infra x aut y partium numerus fcribitur 'randem illud poITbl- 4 Con quod rationem zqualitatis ad aliud habet, per fienum zqualitatis z— ab eo diftnguatur, & squatio in fuas debitas duas partes per hoc fignum feparetur, — ndit DEFINITIO VI 5 enirl Qantut, 89. Conditiones quantitati incognitee ad/zærenf vel per additionem, dum fipgnum -- habent, ut x -- 20 — 30, vel per fubtraötlonem, dum fignum — habent ut x — 10 —20; velper multiplicationem dum quan- s iil titati incoguitze tanquam coefficiens conjunguntur, ut ax |tiotis z— 30, velper divifionem, dum inflar fractionis tan- ?Oteü quam denommator infra X incognitam ponuntur; ut E gmta z 30 veli x-—-— 300 "fàdUS, 10C0 Principium | fundamentale facete 89. Duw quantitates equales manent zquales, fi )II mo. iis addantur, aut ab iis fubtrahantur quantitates zquales; j fi per zquales quantitates multiplicentar, aut dividan- tur; fi ad potentias xquales eleventur, aut radix zequa- lis extrah:tur; aut fi figna utriusque zqualiter muten- tur. nrïg;' an DEMONSTRATIO l Lügm- 3ora Nota funt hzé ex axiomatibus premiífis ($. 20.) xm&ï* ultimum etiam per fe patet, Sxemm-*-ä-—-—-—*-b Scefiitate .,J*;i' H g etiam a D E D a, 118 CAP UTV etiam —3zz—b Si 9—53-—12-—-7 erit —8 E - 32—12-T7. Signa enim nullatenus quantita- -4 tem fed tantum operationem afficiunt: hinc etiam nulla ele fit in zqualitate mutatio, fed zqualis quantitas ex ad- denda iu fübtrahendam abit vel vicifim: unde fequi- paxtf tur THEOREMA lab 2Qu o. Quantitates nofze quacunque ratione quam- titati 1ncovmtæ adhaereant, ab illa per contrariam üm operationem feparari, & ad aliam æquqhonm par- lo tem transponi poffant, ut eX—-—-—-—!— 20 — 30-z100 fieri poteft. x :( a ) : 3t QUi DEMONSTRATIO et us equalitatem quan- Ex principio fundamentali pat titatum non mutari, fi in utraque quantitate eadem mu- tatio fiat, per quamcunque operationem id accidat, ]ud Jam fubtmhendo per fignum — in utraque parte quam- titatem datam pofitivam, & per additionem cum figno -I- ponendo negativam, in ea parte, ubi quantitas jam ;h] ft deletur cum eadem quar s cum fignis contra- riis OCCUrTaBf , in altera autem ponitur 5 dividendo utramque quantitatem per coefficientem incognite, aut multiplicando utramque per denominatorem incognite, i ex hac parte idem multiplicator & divifor delentur, te alteri autem exprimi debent; ergo idem eft, fi fine Op eratione quantitas in alteram partem per contrariam P yx je E E" rationem traü Sfera ur In Exemp iU. E —^ 20 ag Q Qi / 119 DE JZEQUATIONIBUS - — 50 z 100 fübtrahendo 20 & ^addendo 30 fit tv 2x — -- 20 — $0 &— 40 4- 50 2 100 —— 20 -I- 30 hoc eft tulla Y Md« deletis 4- 20-& —— zo item —— 30 & -- 30 in prima xX 2X fequi parte habetur —— 100 -- 30 — 20. Item ex — — 100 R -- 50 — 20 multiplicando per.3 utrumque membrum D p 3 fed —— À eft habetur —— -—( I00-F 30 — 20)3; 3 Tuan æquale 2x; ergo erit Q.x'::.(l oo-i- 30 — 20) 3. Tan- 30 — 20. at 6 dem omnia dividendo per 2 th —— ( vl t ja ) pïf boc eft x ---'-(mcuho—-zoNN z 100 Ideíh ergo obtinetur, fi ftatim fine operatione. alia -l-20 cum ücrno — & — 50 cum íigno -t- cnoefficiens s tanquam divifor, & denominator feu divifor 3 tan- quam multiplicator ad aliam partem transfera COROLLARIUM q!lan nu 9I. Inde methodus patet , quamvis quantitatem negativanm idat. utandi in pofitivam , aut viciffm 'Tantum enim requiritur, ut ad alteram partem transíezatur & hoc ipfo fignum contra- qUJH Ita. ex 20x—100-zIo--32x fit rium ill prefigi debet fipmo 20X -3xzz100-4FIO. Ex 4—cum—bx—y* fit y? — bx in m—C uo.d ntta )näO PROBLEM A. I 3ut 92. JÉquationem unius quantitatis 1ncognitae 1. ii efolvere. - fie L] RESOLUTIO n Reg. Liberetur quantitas incognita ab omnibus IQG quantitatibus cognitis per transpofitionem ($,99.) & H 4 habe- Q 120 CAPUT- V. habebitur valor quantitatis incognitz. Ita in priore 2x W problemate — -- 20 — 20 100 . valor quantitatis x invenitur, fi omnes adhzrentes quantitates ad. alteram partem per contrarias operationes transponantur: fcili- -- odf 8.Boc eft. x & $65.. 2 - x:( IOO-—]—— DEMONSTRATIO, Refölutïd problematis eft expreffio quartitatis in- cognite in valore cognito; fed per pradic&am regulam m incognita exprimitur in valore cognito? habetur enim üe 2b expreffio: x valet 165,, ergo problema refolutum eft. SCH.OL,IONQV 3. Ne autem in ipfa transpofitione confufíio qux»dam oría- tur, hic ordo fervari poteft. l. Cognite cum figno -- aut — tranfferantur ab initio, ut quantitas incognita femel aut fepius pofita cum fuis coeffcientibus aut diviforibus fola ex una par- te fit. IL. Incognite in ünam quantitatem colligantür, quod. fit ] addendo vel fubtrahendo coefficientes, íi fint integra: aut ( fint fractiones, reducendo prius ad communem denominatorem, & dein colligendo in unam quantitatem , prout üigna requirunt. HL. Si incognite (íint ex utraque parte, in unam partem transferantur, ita quidem, ut illa, que habet majorem coeffi- cientem dein habeat fienum -4- ne valor fiat negativus. lV. Denominator fra&ionis incognite feu. divifor transfera- tur per multiplicationem , & tandem coefficiens per diviüonem , & fola habebitur incognita, V. Si contingeret, incognitam effe denominatorem fra&io- nis, per multiplicationem ad pártem contrariam ab initio fta- d ov P o A 3 tim transferenda eft: . ut —-f:.-:6 fiat x &- vel -f- * » lïl)gy Exempl!. I. Tres fimu! Iucrantur 180 forenos. Secundus Yen $ plus Jucratur quam primus: tertius tantum , quantum priores duo - p !À DE /EQUATIONIBU i2i Jf10tt duo fimul Ent tucrüm priumi —5 33 fecundi x-8 terti xX-xeS omnes fimul 180 , ergo habetur squatio : (1$ X xe--xH-MSMRXEAxA8-18o tetarm Ex L obferv. x -- x -- --xcI—180—8—8-—186 — 16 f« —r164 Il dX sz—164 x IV. xzc——zAt. Ergo primus lucratus eft 4t fecundus 49 tertius 9o Ii50 jS M Exempl. il Petrus expendit ex fua pecunia unam pat- tem tertiam prima die, partem quartam fecunda, quintam tertia. "u al enim die, & habebat refiduos adhuc 26 florenos Ousritur quantunm ab initio habuerit? | ef Summa prim2 x x expenfa —— —— 4 352 Ó 0t1à refiduum 926 X x x Jl at 26 gpius $quatio; x——— —— —— 5 4 i Qai r 60x—20x-—I15x-—I2azz :26 od 1t 60 j; 2int Y 60x-—47xz26 n, Reg & H 60 ? r Ó czo6 artem coed 6 Q nsiefd" ssl 13 x:..—::65( 6021560 1560 u Reg. 1V. « z—————120— fumms primse jt 15 4 10* . ^ hoc et 120 — 40 — 30 — 428 25 of'ï — z * Exempl. II. Parens de sztate fex filiorum rogatus re&- fpondit, quemlibet effe quatuor annis feniorem priore, statem vero maximi efle triplam ztatis minimi. ncus riore Hs Jtis Qu a " m I252 CATPUT — Vi ZEtas minimi feu VL z—x fs H T. V. zEx4-1 IV..—x--8 IIl —ox-i12 lufu Xl zx-6 L ü :;. Qd z—x-20 T JEtas maximi, x-l-20 fimuldebeteffe tripla ætatïsvmïnïmi.. T Habetur ergo equatio: x-20—3-x Reg. III. 20—3x —— hoc eftt 20—2 x Reg. IV. -2-::'.:30 id e& IO — Habetur ergo ztas Y. Es T Il m1:0--A4 —I4 XH. z10-8 —iI8 - iV. z IO--I2L-2 V. z-IOM-r6:26 VI. z—10-4-20-c30 1 fed 39 eft triplum de 1o, ergo stas natu maximi zqualis tri- E. E. foteno: ple etati natu minimi. Q. eum. ( COROLLARIUM. quaria P 94. Patet inde metlhodus examinandi operatïoynem factam ? 0571 in prima ícilicet zquatione loco x fubítituitur valor ultimo in- ventus. Si prima pars zquationis hac tatione tefoluta fit tur pt zqualis fecunde parti, queftioni propofite fatisfatum eft, & Tienfur problema rite refolutum , uti ex his tribus exemplis manifeftum fit. Impoffüibile enim eít, ut hm dus partes poít refolutionem exi Vlyt zquales maneant, fi valor quantitatis x , qui reipfa im squatio- ne eft, ab invento valore diverfus effet, Exempl IV, Parenti, qui jam, triplo fenior erat filio, dicebat filius, poft 20 annos tantum duplum mez ztatis habe- bis. Quae ztas parentis & filii. ZJEtas filii L x Parentis —-——23x Pot 20 annos.ætas filii 20 h —— 3x-L20 $ Or parentis Sed hoc debet eíffe duplum prioris, erge Se 3x-2-20— (x--20)2 pmüm 4àx--2022x--40 8x-— 2xzÉz40-—20 U xz20 vt 5 Itas V q DE JQUATIONIBUS. 123 Jtas fili ——920 perentis —2 60 tripliim prioris Pot 20 annos filii —40 párentis — 80 duplum prioris. Exempl. s. Cum Petrus & Joannes tantundem pecunie ad lufus attulifent, Petro amiíüs 12 üoreni; quadrupie pius reman- fit quam Paulo amiffs 57. Petri fumma — L Petri damnum b u f?. joannis u db joannis damnum x —— 57 & juxta conditiones — XX —Á (x—57)4 X— 1I2:-4x-——229 2298--—12—-4x-—ax 216 ——X 72 Petri fumma 2—72 Petri refiduum L-—60 Joannis 272 Joannis refiduum —— I5. Sed 60 eít quadruplum de r$, ergo vera eiïlreäfoiutio. Exempl. VI. Herus promittit famulo pro £2 menfíibus 8o [ tti« florenos cum veíte, cujus pretium fimul figunt. Poft 7 menfes eum dimittit exfolutis 3C florenis relica eidem fimul vefte, quaritur pretium veftis. Pretum vefti$ x. Merces famuli ixite,gra x-L-80. Mer- du t ces 7 meníium invenitur dividendo x-[-98O per i2, ut habea- 10 i tur pro uno menfe, quod per 7 multiplicatur pro mercede 7 o K 72 560 efï, & menfium, hoceft [* quod zquale eífe dgbet merc;di jfefturm exfolute. 30 -- x. tonem m w qu&ïiO' a r at a go-d-x 7x4-560-—:360--12x 1 i'liü! : $60 — 360zc12x—7ax. $ t 200-——52x zO z Pretium anni r20 floreni, z menüs IO floreni, 7 menüum 79 floreni. Sed 30 fl. exíoluti plus 40 fl.in vefe funt 7o £. ergo problema refolutum, Exempl. VII. Curfor primus quotidie 1O milliaria fa⁢ PU poft 5 dies aMer fequitur & quotidie r5 milliaria fa CiV, quari- tur, quando convenient ? Dies gt 124 CAPUT.V. Dies concuMAis — x Milliaria fa&tà a primo funt 50, facienda adhuc funt FYOXx feu IO toties fumta, per quot dies adhuc peregrinatur. Milliatia facienda ab aitero funt t5 X»x feu r5 ducendo in dies motus, que fumma ex uttaque parte zqualis effe debet. unde r $o-d-IOx-—15x 50mI5x—Iox tempus quefitu 505X IOS—-X T pof JO dies convenient, Primus enim poft :O dies faciet r00, & jam fecit 50, ergo 159. UBETS « Alter inter fO dies etiam facit I50. ergo &c. Exempl. VIII. Curfor primus quotidie facit $8 milliaria, pof 5 dies fequitur alter, ut intra 6 dies eum aífequatur , quot xilljiaria quotidie facere debet? ergo Milliaria querenda x temp Milliaria fa&a a primo intra 5 dies 49 dat facienda adhuc intra 6 dies 48. ] facienda ab altero 6 x fecudi ergo 40 -- 48 —6 x 89502 I42-x millaria diurna alterius, 3i enim quotidie 1423 facit, intra 6 dies faciet 88 ficut Wde r alter, fumma Exempl. IX. Diftent duo loca r20 milliaribus: primus veniens ex priore loco facit quotidie 6 milliaria: alter veniens &X loco oppolito facit quotidie 4 $ quxritur tempus concurfüs ? Numerus dierum z—x » Milliaria primi & fecundi debent effe 120, tarm-/z Milliaria primi funt 6 x, fecundi 42x, ergo 6x-F-4x-—3120 10xz—I20 D XxzI2 poft E2 dies convenient. tjuyje SCHOLIO!N,. 95. Sitria hec exempla ad res mobiles pertinentie alge- braice & per literas refolvantur, totidem. fuppeditant formulas Cögni£ generales, qu» omnibus cafibus particularibus applicari poffunt. QU&T EX primo exemplo fi milliaria fa&a a primo dicantur a; a fe- cundo dicantur b: tempus dgtum fit c: querendum x erit r & LT DE JEQUATIONIBUS. 125 aC -- ax — bx feu ac z bx-—— ax hn acx(b-—a) ac —— — JG. b—a unde reguia pro primo cafu eft : Ler diurnum primi du&um in tempus datum & divifum per diíferentiam itinerum dat tempus quefitum. Ex fecundo exemplo milliarja facta fint a: tempus elapfum * b: tempus datum motus c: querendum iter x: eft ab -- ac zzcx ab r quot ergo regula pro fecundo cafu eft: Fa&um ex itinere primi in tempus elapfum, divifum per tempus datum plus itinere primi dat iter fecundl, Ex tertio exemplo fit intervallum datum e: iter primi b: fecundi c: tempus querendum ax: habebitur bx -ox—ad (5--c)x—a x I————— [ jj Ü b-I-c |cut unde regula pro tertio cafu: Intervallum datum dividatur per fummam. itineris utriufque , quotus erit tempus concurfus, jmus PROBLEM . A. Il 1iens ; ) 96. /Equationem duarum quantitatum inc iOg.'(lïw tarum refolvere. RESOLUTIO. I, Quzratur in utraque zquatione valor unius ejusdemque quantitatis incognite, per transpofitionem. II. Hi duo valores inter fe comparentur, & in- cognitze alterius remanentis valor juxta priores regulas at nulas quaratur. ffunt, Exempl. I, Data fumma duorum numerorum ioOo & eo- 1 fe* rum differentia 20 invenire ipfos duos numeros. Nume- 25 126 COAPUT.X Numeri quzrendi x & y $i quer Ex prima conditione X--yc:IOoOo Ex fecunda conditione x —yz— 39 Fiat ex L xccI00-—y X -—40--y Ex 1. IoO0-—9*-30--y 100z—50-7---y Tetut : I00--—302-2y - ihtie, T TAH 4 : — — y (ferent! 2 » Lit. d ïf ergo £545 & cum x Viemntin pupaepd 100 — y erit xzó5; & Ó65--25 Íequenti z 100 & 65— 35 —— 3C. DEMONSTRAT IO. $n Cum problema fupponatur effe determinatum , du etiam zquationes feu conditiones diverfe eíle debent tem T ( fg; 2$.) quafito in utraque zquatione valore quantita- Tünore tis x habentur duo valorés diverfimode expreífi fed equales eidem quantitati x quiécungue autem funt zqualia uni tertio, funt-zqualia inter fe; ergo illi duo 90 valores diverfimode expreífi funt zquales inter fe; 1 valor tquatiore poteft igitur cum illis eequatio inflitui eliminata hac ra- eiminer tione altera quantitate incognita. Inventus valot de TxüQ- batut v yfubfütuatur in primà &qguatione, & habebitur valor quantitatis x. 100 — COROLLARIU M. Exe bl.S tlöi u 97. Si hoc problema per literas refolvatur , habebimus Tefpondit áterum generalem formulam inveniendi numeros duos data fum- labuife,. maà & differentia eorundem, Sit enim fumma z—j/ diíferentia Gloh d ernt x--ycf D p X —yzed Ex (; x-f-—y EX Pl Ex ;j Joymcdoy f.w--d:—.-.:zy J/'""" — y vel ää———y am Á fi quz- H DE JEQUA TIONIBUS. 1257 Siqueratur x, fiat ab initio ycf -—2ax x-—-—d..——:y f—x x-—d f 7- d 2 x 7- d g ——-xvelRgu-idex Habetur erzo numerus major, fi femifumma addatur femidiffe« rentie, numerus minor vero, fi a femifumma fubtrahatur femi- differentia. In priore exemplo femifumma z-z: 50, femidifferen- Veritas hxwc tia — r5,fed go-l-15—65 & 50--15-35 * T fequenti theoremate enunciatur * THEORE«M A. ! du »Semz'fimzma plus kkmidgfferenti)a dat quantita- ebenit tem majorem : Jeémifumma minus femidifferentia intita* minorem. j fed SCHOLrLTON, y fünt 98. Poffunt etiam hac problemata ita refolvi, ut inven- jj duo tus valor quantitatis x ex prima zquatione ftatim in fecunda : fo* equatiome loco x fubftituatur, & hac ratione etiam quantitas x eliminetur: ut in priore exemplo 'ex prima zquatione habetur cnme x --I100-——y ergo in altera eqduatione x — y —:30, locOo x fcri- or de 1 alOr batur valor IcO -- & erit zquatio IO00 — y —y-—30 íeu 100—30-—2y ut prius. Exempl. Il. Pyrobolarius dicit focio, fi ego ex mels glo7 bis tibi unum tradidiffem, zqualem uterque numerum habuiffet 5 refpondit alter, f, e meis tibi unum dediffem , tu duplo plus ebimus habuiffes. ) fu. Globi primi —x fecundi — y oj Ex prima conditione x — i —y-i Ex fecunda x—-i-—i:;:(y-—-xjg Ex prima gquat. xz—y--i--i Ex altera y--2zm2y—5 — 2 A —— 2 —y 5 — — y fed xzy--2 ergo x-5--2—]/ Nam Ífi primus alteri dat r uterque habet G & fecundus primo dat 1 hic habet 4 & alter g. Exempl. qr CAPUT V. 125 Exempl. II, Floreni, quos habet Petrus, cum imedia Fioreni Paul cum tertia 13 Y parte florenorum Pauli funt — 20. Jxti parte florenorum Petri funt etiam z 20 " üttoq — AJ Utm Petrix. '(Fertia pars — —;" xífeu- 3 Pre m M àC Pauliyi Dimidium -I-y NGl TET ] Xx-Ly o — —— 20 2X ey — 40 Conditio prima x -I- —'; —2 a 3y 7-X —— -—20 Conditïo' altera y -J- T—-— .20 2y -X éo e Q g Ex fecunda xz—-60—3y Kx prima xz—— 40 — z 29 000 2 4O0i—y z 120 — 6y 6y —y — I20-—-40 $y e80 y 16 qxz60-—4 [2 ) XO-—I2 Petri 12—1—-3;6-:20 Pauli 16-*-;3:20 L etto d P'retïu: Exempl. IV. Si tribus plures in cona fuiffent, quilibet S& a uno floreno minus folviffet, ífi autem duo defuiffent, quilibet vno plus folvere debuiffet, Quot perfonz ? quot üor?ni ? — : Perfone x Sumima foluta L xy df " Filoreni m—y pars cujusvis — QUanti xX tum y Xy Jix prima —— —y — I Ex fecunda Lz—y-t - xyzcxy—x--3y-—3 xyccxy-d-x.—2y--2 2y--2 —xy—xy--a 14 xy — xy--x-—2y—3 x:—..-.gy—-g 2y-d-2-—x 3y—8327-2y --2 AQUe . x2i$—3212 y-5 Perfone —-12 Floreni $ Summa — 60 Si ro perfone, floreni 6 pro quovis veniilent ; $i X5 perfone foreni 4 pro quovis efent. xempl, W g / DE £QUATIONIBUS, '329 thedia Exempl V. Caupo mifcet roo urnas accipiendo duo.ege- tertia fef2 vinorum, primi urna venditur 42 groffis, alterius 27 groffis, mixti trna vendi debet 3o groffis. Quaeritur, quot urna ex ütroque accipiende fint ? Urna melioris —cx deterioris —— y fumma mixti — roo Pretium . primi z—42 alterius z—27 totius mixti —— 30 X 1C9 m 3000 Mifcenda x --yz-1oo 40 Pretium 49 x -- 27 y —— 3000 Ex prima x — /100-—y — ó Ex alteta x —— 3ooo — 27 y 42 100 — y — 3200 — 927 y 42 4200 —42y z—30o00—27y 4200 — 3000 zcz34 . —27J I200z—I5Jy i200 ,,—-,-—..y * 8o :y ergo deteriorit acciplendw funt 80, melior!s ergo 20. Prétium deterioris 80X 27 — 2160: melioris 20X 42 — 840 q;(xïxbea & habetur 2160 -- 840 z 3090. qunïbEï 11 Exempl. VI. Caupo menfuram vini, quam vendit 16 cruciferis, vellet vendere tfO cruciferis, adeoque convenientem quantitatem aque cuilibet menfure admifcere, quzritur, quan- tum vini & aquze pro qualibet menfura accipere debeat, Quantitas vini ——x aque zy m debet effe menfure hoc ef& Utrumque $quale uni X-ycI i Pretiam novum del t effe 10 äucifg.rï, & cum vini fit 16, aque vero nullum, erit 16 x -I- y Xo zz 1O Ex prima xzctf-—y 10 —yXO Peedam us o Ex fecunda x— —— ——ÓÀS— foc eft a * 6 Iq-——, AMietsb, IMaih. P. T. 1 n 130 CAPMTP-UT V I6 — I16y LA I6 É ergo aqus quantitas £—.f. feu 3 fty vihl ergo accipienda fünt $ ut habeantur ä féu una menfüra, SCHOLION L 99. Veritas hujus refolutionis etiam ex lege proportionum inferius demonítrabitur, tl5 5UCHOLIOD/N.Ib quan i gri 100. Hesc problemata ajlisatiomis feu mixtionis vocantur; & ab arithmeticis etia3ài propria ad hac adhibita regula refole vuntur Sunt ingent)s utilitatis in omni oconomia , phyfica , medicina &c & ubi quzfio inftituitur de faciendo compofito pro- portionato ex partibus fingulis. Hinc iterum egeneralis formula Cun conftrui poteft ad sefolvenda hec problemata, qualecunque mix tum petatur ; & cujuscunque valoris partes commifcend* ínt, ib Is Ponantur quantitates mifcende x & y, totum compofitum d, pretium de x fit ^, pretium de y fit c, pretium partiam core Detut $nixtarum fit d, totius ergo mixti cd erit x oyca bx - cy —— ad þetl() XI—ay Vrtla « z RUPR ad — cy Teitqut i — —— dd-——cy g ab — by ad — cy ab & ad z—by — cy ab — ad hoc eft quarititas facienda multi« b-——c plicetur per pretium majus & ab iac fubtmhatur fa&tüm ex eadem quantitate in pretium partitini commixtarum , refiduum dividatur per differentiam pretiorum, Redie älOP [5 quotus eft equalis quantitati minori mifcendz SCHOLION III. 10i, Problemata mixtioris, in quibüs plikes occurrunt partes commifcende ad indeterminata pertinent, de quibus in« feriw; agemus. PRO: DE /EQUATIONIBUS. 131 P ROBLIEMA I 169. /Équationem trium quantitatum incogni: tarum tefolvere, RESOLUTIOÓ I. Eliminetur juxta priores régulas àb initio quat titas x e duabus dati$ »quationibus, & qusxratur valor x quantitatis. y: habebitur hic .valot cum fola inco- gnita z. W J II. Eliminetur juxta priorés regulas quantitas y, i, & quxratur valor quantitatis x : habebitur hic rurfus la cum fol:».'incognita £. II. Ambo valores inventi in un4 e kdatis dquatio: nibus fubftituantur, é& una tantum incognita z obtis 13 netur. ts Exeipl, Venduntur tres equi: pretium pilini eüm dimidig Pretium fecundi cum parte pretio reliquorum funt 25 aurei. tertia reliquorum funt 26. Pretium- tertii cun parte dimidià reliquorum funt 29; Quxritur pretium fingulorum ? tertil zca Pretium primi —X fecundi —y E4 p — Prima conditio x-i-—ï——g— 23 2 Seïcunda eonditio y -þ-——-]—- 3 Tertia coüditio - 2 -!-g- —-l--ï— 229 Reducendo ad commufem denominatorem ; & tollendo dein fígs &iones hàbebitur: L L L EE oX E4 — —i25 feüu 2x-j-y--i— 50 jy- i ——26 feü 3y -l-x4-2—78 j 9z--xHYy — À —M — 29 feu 2z--x--yz—58 Il Ex p VM g ÜCAPUT V. Ex 1, Reg Ex fecunda equatione Ex tertia : xäSS«gï—y 78 — 3-«7 *"ä""SS"'*"Qïä'—'y & 77 — 589 33 —X— 237l fi P A 20 Mpb Habetur valor de y zz —— .—.—5 2 .........y 2 & Ex prima zquatione yme—50—21xXx—zz Eg 1L Reg. Ex tertia n y-58—2&-—*x e SO—Qx-'—ïWSS—"Z;;Nx 9z--x—22x—Zz2z58—-50 du A —— A o "8 — S8zzx Habetur valor ;ie xl g Ex IIL Reg. in prima æquatiope loco 22 fcribendo va- 20 -- — ÁX lorem (4-——8 )2 hoceft 2z— 16, &loco y ic:*ibcrfdo 9x prima equatione 2x-l-y—i-gxx5o A o 20 Dd À fit e 164- 4 m 53 Ui 2 £G s d ii LU . 1 $ p sl a E 509 2 2--20-P-z-blF2x12z-100 7X-——12-— Io00 ZX4—IIZ R 16 jj *Hn - 56 guj xmæ'—ag ergo x.....-—--g & y p 28 -a p cmeenís 2 r8. ärge pretium primi z— 8, fecundi —— 18, tertii —— r6. juxta conditionem primam | 8-1-9-1-8 — 25 fecundam I8 4- 2 1 -1- 5 2—:26 tertiam 16 --4-1-9—29 l: i DED/IQ NSTRATIO. Habetur ex his axiomatibus: qv«s funt zqualia uni n & equalibus fubftituen- €etio, funt æquaku:æ inter fe, alt do DE JEQUATIONIBUS. 133 do zqualia, manent zqualia, Hac ratione enim elimi- natis incognitis, & valore fubftituto reducitur wquatio ad unam incognitam, cujus refolutio per demonftratas fuperius regulas habetur. COROLLARIUM. 103. Si 'non omnes termini quamlibet squationem ingre- diantur, non opus erit eliminationem bis facere, fed íubfituto valore incogniti unius valor alterius habebitur , ut in fequenti exemplo: Mercator id folum memoria retinet, quod Petrus & Pau- ius fimul illi debeant IO000. Petrus & Joannes fimul t1000. Paulus & Joannes fimul 9$000, Queritur debitum fingulorum ? x - y— 10000 X--z2—11000 y-[zic90o9 e€x prima x cIo000—y " €x fecunda x — IIOOO -- 10000 — yzIIOO0--- X——y-II000— I00090 ZzI000--y p $i hie valor qu: untitatis x in tertia squatione .sb&ïtïxara;r, loco q erit y- 1000 --y-—9000 $yzz9000— 1000 y-— — —— R 4000 Sed prius habebatur x 2—10000 —* hoc ef loCO00 — 4009 z 6000 & 1zx I000 -- y hoc eft ICOO -- 4000 erzo 1 — 5000; & hac ratione inventum eít debitum Petri — 6006 ;. Pauli -4000; Joannis z 5000, H PROBLEM A. IO4. ZEquationem problematis indeterminati refolvere. RESOLUTIO, Reducatur zquatio, ut ex una parte fit tantum j una incognita zqualis quantitati alteri , qu: incognitam I alteram cum cognitis continet, dein valor incognite X * 3 o in AJCUU'T YV 4 in fecundo menibro ad libitum afïvma*'m .& ^ quaratut valor primze videatur num fatis fiat problemati dato. $i fatistit, prima habetur folutio 1 Affumatur dein. alter numerus, & queratur, num etiam per i(tum quzítioni date fatisfiat, fi ita habetur etiam fecunda folutio. Contmuetur hoc tamdi u donec folutio evadat im- pomblhs, affumto fcilicet numero vel nimis magno, vel nimis parvo. B " odg . 3 ^ t a MK a In exemplo? Sin inveniendi duo. numeri, quo- rum fumma fit x2 Habetur zquatio x-1- j — I2 , er- £0 xzz12—); affümta pro y unitate habebitur Xc pI Si valor de y aífumatur 2, erit xz— 10; fi 3559.6]t 69 (6. Habentur ergo 11 folutiones fubititutis totidem valoribus in numeris integris pro y, que omnes problemati fatisfaciunt Quin etiam nume- fi a& fubttitui poffunt, & problema folvi: fi y z X s erit u1 * 5 ü y-— r — erit xz119-5; Ífiy o as 2 Grt x at i & fic indefinite folutio continuari chï fi tandem y popatur —— 12, erit xzO & fp utio i (;: ofübilis, cum fecundus numerus hac ratione & Dneic af 20 erit euUu BDlOy—— a erit x z— —— 1 fiy xz-— 8 é&c. & ita etiam per negativas quantitates in inftinitum folutio rurfus continuatur. Exempl I »int inter 20 pauperes ita diftribuendi 1oo flareni, ut virl acquirant 8 f8i. focomine 5 1l & proles I fl, que- ritur, quot fint viri, fominge & prok [4 wb J n 20 numefrus perfonarum zx u- 5Yy -— I2l f0O0 foreni diftribuendi Si X prima X«zu2307—*-—-43 IO0o — Rx—-—g 100 — &y — flæl' ex fecunda. x zz-—————-—— jOm)l——-—äw M RAOU K L Wt & Q $9 i 40 DE JZQUATIONIBU 135 t Ut Ia 240 — 8y — 81 — 100 — 5y — Itg. 240 — 100 — 8y — 5y -- 84 —« 1402 3y -- 74 140 — 3y — 7à 140— 2y IUIt —— Ó — (ut Cum z & y denotent homines, valor fractus ploblemati fatisfa- cere nequit; adeoque nullus valor pro y aifumi poteft, qui fub- tra&us a I14O & divifus per 7 dat quotum fra&um, hinc numerí i I. 2. 3, 4. 5. 6. pro y fubfitui non poffunt, cum pro x dent m, valorem fra&um. Si fiat yz7 erit æ—-— —— 7 9 moI7 , ehfo €«—:30—-7-—17 hoc eft —6 & 8x--5y--4 hoc eft 48 UA -- 35-) 17 — IOO prima folutio. Reliqui numeri usque ad ...—-99 Quo I4 iterum dant quotum fra&um, $ifat $- r4 érit L—IA4: hinc x2 & $x--5y-x hoc e& 16—1--70—i-14 je f IOO fecunda folutio. Si fiat y—c2r, bl ht i x fiet negativum , X enim haberetur —— I:; hinc alia folutio jam non erit poffi- ;l bilis. iones Exempl, IH Caupo vinum, ex quo menfüra 4 cruci*, 0 J eum.vino ex quo menfura 8 crucif, & cum vino, ex quo men- ie fura 2O cruciferis venit, permifcere cogitans, uf ex mixto 20 1 menfurarum quamlibet IO cruciferis vendere pofüt, quatit, quot "x menfuras ex quohbct accipere debeat? à u x-4-y-M-iz20 4x --8y -- 20:— 200 o& xz—20—y—1 (joll 200 — 8y — 20x erit áaÁà 4 | es 10 10—5—1 200 — 8y — 20x 4 $0 — 4y — 412 200 — 8y — 201 4 100 8y -F- O — 4y — 442 200 — 80 que 4y -- 163 — I20 4y —: 120 — 16z y m 9044 T Si * fiat —— T, y erit 26 quod repugnat, cuüm tantum 90 mene fure eíle debeant, idem eft, f fat z aut —:35 verum f * -TA fat —4 erit y-z— ETE x Adeoque pretium 4 x-r-8y -l-20y hoc eft 0-4—112-5-80-——-00 $; g—-ä erit y — IO & x—5 & pretiun. 20-- 80 -f i00- 2:230, Si x — G erit ——S"———— a À IÀ 14 346 $ 40 t p - 136 CAPUT-W N P nl y—56 & wzzB, pretium 32--48 -- 20 — 200. Si 4v f erit yzc-2 & x-—zII pretium vero 44--16-1- 140 — 200. lii $i z22—8, y & x . fiunt negativa, adeoque íolutio impoffibilis. il Dantur ergo tantum ha quatuor folutiones, .qus problemati fa- tisfaciunt, ple h4 Exempl IV. 30 pecora empta funt 75 thaleris: vervex Queritur numerus cu- 5 thal. ovis 3, & agnus 2 thaleris veniit. jusvis fpeciei, x--ydui- 30 XÉ—30—Z4-—X FA u- £Lv f d Q 5x--3y-- 21275 :?' — 5 150—5—— 5437——78 — 3y — 21 I50—782255y—3y--5x—2&1 75-—-92y--53z 75-—-—3;;:::2)/ 63 n t y—- 2 Vc Si ab I usque ad r6 fubítituamtur valores pro z femper erit va4 Si lor de y vel fra&us vel major, quam ut problemati fatisfiat. x——17 eritycl-t-z-I12&sax-clI. Siz--18 dat fracum. pn 4q—-40 & 421 & x223 datífequentes valores & quatuor e[fe folutiones problematis :. ycz13 p int 19 21 23 ä ä SCHOLION. 105. Nov&£ opus hic non eft demonítratione , per fuperius enim demonftratas regulas valor unius incognite qusritur, b alterius vero ad libitum aífumitur, & tentando problema fol- vitur, ! DEEINITIO VIL — — p 106. /Hquatio quadratica «completa eft, ubi inco- -a gnita fola ad.fecundam potentiam elevata ponitur, - adeoque quadratum perfe&um habetur, ut x^z—aa. I ! .»:f(/ NT smples, dum e tribus, quae ad quadratum binomii requi- — DE JEQUA TIONIBUS 157 d- requiruntur, quantitatibus ,. ut di&tum eft de potentiis — 900 offibilis ultima feyu quadratum termini fecundi deeft, quod ante folutionem addi debet, & hac ratione quadratum com- mati. f2 pleri dícitur: ut xx -- ax zib velxx--17 x — 60 ve!. Xx x Iioco. Vetvex Tu$ cu PROBLEMA IV 107. /Equationem quadraticam perfectam feu "L5 — — completam folvere. HESOLUTIO L. Quantitates incognitz ponantur ad unam, cogni- tv ad alteram partem. lI Si quadrato incognite adhsxreat vel coefficiens vcl divifor, tollatur per contrariam operationem. tit i« III. Si quadratum eft negativum , fiat pofitivum nu 9 fradult, ponendo idud ad alteram partem, cum nullum poflit u u effe negativum, ( $, 41.) IV. Extrahatur ex utroque membro radix qua- drata ioo — xX Exempl, I. 20—-2 tollendo diviforem fiet 100 —32XX —— 40 — À cognitas ad unam partem XOO — 40 - 4cxx extrahendo radicem quadra« tam [11?6&'1[15 IO --2 —cx ffo x ye:ttily Exempl, IL $2 --2 xx — I80 2oxx — — 180 — $2 (à fil XX lw 29 X — v 49 ergo x d — 7 PROBLEMA V 0c0 tlf 1O8. /Equationem quadraticam incompletam z folvere. ynO'm! I RE UM Y38 DATUT Y RESOLUTIO . Quantitates incognite ad unam partem collo- centur, ita ut quadratum incognite x^ pofitivum fit pri- pi adi mus terminus, fecundus vero fit quantitas incognita x cum fuo coefficiente. Quantitates cognite omnes ex toti altera parte fint hoc II. Coeffüiciens fecundz quarntitatis x dividatur per Qor fit 2, & ex hae fra&ione fiat quadratum, quod utrique parti addatur. Cie IIL Extrahatur ex primo membro radix, ponendo l'wl fcilicet quantitatem x & przedi&um coefficientem cum QUo Idem fiat in al« denominatore 2, omiílo duplo fa&o. ticar (à tero membro. t IV. "Transferitur adharens radix altera incognitz & quantitati x ad alteram partem, & problema folutum &l el .lt. 11 Exempl, L IO x —— 600 — xx ünic x? -- IOx—O600 altera radix -L9 5 2 "- quadratum -0 £ le f x? - Iox-- 192 — 600 -- i9$g g - 625 xXxc-28)5— 5 z— 90 E mpl Yf x* -s * ergo altera rïdxx $: -Px- 3 r x 2ux $0s H xt4-ir-4-ici-- 9 x—-i-g V: & ummi——i&smyzzli -——-'ä* i & —5b EXO IIIA xä——" € ) o d* dlera didia 2c a—b — 2 ab --5* a* — Qab -- 6* X^ — du m PImUEACRCCD ] 2...'...,—...- )x.;. 4c* A - a-—b * — —— f d — 9 ab - b da — — 4c € V^ — Q abbb d* -Ba—6 u n AC 4 c* 2c D E- DE JIQUATIONIBU 139 — DEMONSTRATIO Ji Q« Cum quadratum incompletum contineat quadratum W p prime radicis & duplum fa&um radicum in fe invicem, iil addi debet quadratum fecunde radicis, ut compleatur 65 &X totum: Cum utraque radix contineatur in duplo facto, hoc eít in x cum fuüo coefficiente, ergo cum unus fa- €&or fit , alter'erit illius coefficiens, fed cum factum t per WW ft duplum, dimidius coefficiens accipitur, feu coeffi- ciens'per 2 dividi debet, ut habeatur facum & fa&or tendo fimplex, ex hoc jam fi fiat quadratum, habetur illud , | Cum quod deeft, & additum complebit zquationem quad1a- it alv ficam; ut autem maneat æquahtas, utrique parti hec quantitas addenda 'eft. Si jam quadrata duo fint inter fe wqualia, etiam extracte radices debent inter fe effe )gmtæ ]ut UR zquales; cum egim quadrata oriantur ex ejusdem nume» 1j multiplicatione per feipfum, & quodlibet quadratum unicum tantum numerum raàdicalem contineat, impoflibi- 1** le eft, ut radices fint diverfe , fi quad:ata funt zqualia. Exempl. IV, Summa duorum numerorum ef 17; fa&um autem eft 6O Quaruntur duo numeri? Summa x -- y — 17 xzI7—) :i— Fa&um xyzz60 x-—— h d o] 17—yz— 17 y — y^ — 60 ! * ""60—-3' — altera radix L*5 quadratum 2 A -»... 89 —— 2980 ï 3.29. 4 6 "Ws at df I7y-l- i l d xmy* ***I/y"*"*'z —l TR 3 —À y—— ]7 x '7.. 2 —.——Vhoceüy—-lg €rgo x z— ) C o- CAPUT V 4o COROLLARIUM T IO9. Cum duplum factum I7y fit negzativum, alteruter fa- étor debet eife neoauvus vel ..—— vel y, factus eft in folutione valor de y pofitivus & -L. nevatxvus. Si y affumtum fuiffet ne- gativum, & — ...-—. 7 —— T —— I'f pofitivum, X 3 foret zquatio —— x tránfponendo y $- —— —— — —— X o LL ; h;ncy...,—s&æ, N— 12. Patet inde duphcem folutionem hu)us problematis & in genere omnis equationis quadraticz effe. Si enim quadratum eft sz10nomium, poteft habere vel radicem pofitivam vel negativam cum ex utriusque multiplicatione oriatur quadratum pofitivum ; hinc l in $quati0neé x z—a, &-]-x &-— x funtradices, & utraque pro- blemati fat! acit Ín binomia um facum duplum eft po(iti- vum utraque radix vel eít pofitiva, vel utraque nesgativa; fi — autem factum eft negativum, alterutra eft negativa. Etuna & altera folutio femper problema folvit, licet ex conditionibus certis an« $exis nonnunquam una tantum ufui eífe poffit, Exempl. V. Invenire numerum, cujus quadruplum ab ejus H «uadrato ablatum relinquit 9I. et, S p — 4 x z 2I radix altera & LÉ-2! M— — 4x --4z2I4-45; x* --4::-!-4-—23 " x.......gm—s &'612-—-:17""' R X Ll—27 2—5zx&—3 ergo xz—7 &x z — 2,uterque valor fatisfacit 1 primus fubfti« tuatur erif Quadratum 49 & quadruplum 928; hoc fuübtracum dat 49 — 28 — 2I. Si alter fubftituatur erit quadratum de — 3 9 & quadruplum — 3 X 4 — — I2 quod fi fubtrahatur, &eri debet -I- 12 fed 9 -- 1 2t. lii Exempl. VI. Summa duorum numerorum fit - 10; diffe. fentia quadratorum fit — 40. Qui funt numeri? Atem « y 103 20y "l-3 WUs X —y 40 x — 40 -- y 5Qn 100 — 20y-d-y — 40 —i—-y 100 — 40:— 20y--y^ — y* T á]te 60 z— 20y Yif On w em Q 7- 49—9zz40 ')mpa yu-3-—lIo ia H | RI IQ(e l'[, Exempl 34 DE /KEQUATIONIBUS. Exempl. VH Data f'umma duorum numerorum IO, & fume fer fo. 12 quadratorum 58 invenire numeros. ltione &--y-109s xI—IO-—y;x^-IOo-—20y--y* It ne« x^ - y^ 58 x*z58—9y^ -yk 100 — 20y d- y? — $8 — y* 5&t s&n 2y* — 20y z 58 — 100 y^ — 20y z— 58 — 100; radix altera eít ---5 um ef z ^ ^ m cum y? — 10y 4-25 —25— 91 / N y—5—l/ a 5 y — A Jue pro MW AA $2-2-4-» pofíti- y-e—7 E ii dvas f g 7- o x alterz 7- s r io iÉ 9*1-92—58 rtis at SCHOLTON:. 3b eju IIO. Que jam ad squationes altiorum potentiàzum pertia nent, Mathefi fubEimiori reífervantur. m la u CAPUT VI tb DE RATIONIBUS un d d—? DETINITIO. jhatut s irI1. tjo eft duarum quantitatum comparatio, feu R dü fte i refpe&us, quem una ad alteram habet. Hzc autem comparatio inflituitur vel refpiciendo differentiam unius ab altera, quz per fubtractionem obtinetur: ut 6 & yT) 2, quarum differentia eft 4 ; vel inveftigando, quoties una in altera contineatur, ut habeatur quotus, qui per di- vifionem obtinetur: ut 6 & 2,' quotus eft 3. . Prior comparatio vocatur ratio arithmetica , altera vatio geome- irica; ita eomparando columnam 3 orgyarum cum co- lumna g orgyarum , fi confiderem hanc 6 unitatibus ma- jorem, habebunt ad fe invicem rationem arithmeticam : 9 fi i DAT UT YVI 142 etil? fi hanc cónfiderem triplo majoremn, habebunt georiiettia : cam Illam exprimemü$ fempet interi&&a inter quai: Tilca titates linea, ut 3 — 9; hanc interjedis duobus pun- iACCEC &is . * Q. Ia enim' habetur per fubtra&ionem cujus fienum eft lineola; hec per divifionem , Cujus fignun funt duo pun&a, utraque enunciatur pet vocem a4 v. I arititme g 3 d. In Algebraicis expreffionibus lineolz loco Ts d fubftituemus pun&um, ita a. 5 erit ratio afitlimetica. tedens Wett1c: COROLLARIUM Qj 8 fIO, Triaà eteo in omhni ratione confidéránda veniunt $ fonua k quantitas, qus comparatur, altera quantitas, cum qua prima 6 OR Wtet coinpafatur, & differentia in arithmetica vel quotus in geome- trica, quo modus comparationis exhibetur. Poteft autem hec "x comparatio ita inftitui, ut vel primus fit major quam fecundus, vel minor; & differentia habeatur fubtra&o primo a fecundo, vel fecundo a primo: ut 2 — 6 vel 6 — 25 differentia in utro- que cafu eft 9. Ita in geometrica vel fecundüs dividitur per I] primum vel primus per fecundum ut 3: 12 vel I2; 3 quotus 3j iUK ubique eft 4. DEFINITIO II. u 114. Quantitates Comparate :zerm:m vocantur. Pri: Tino ma quidem eft antecedeus, altera confequeuns terminus. .:Mo- d quo comparantur in arithmetica dicitur d'ffereutia : i geométrlca quotur; hic fimul expomen: rationis dicitur dey lÜ COR OLLARIUM I8!7I jii4. Cum omnis ratio geometrica labeatur per divifionem, I ff[l*w 1 omhnis autem ffac&io fit divifio, fequitur omnem fracionem tan Ald quam rationem geometricam confiderari polfe. 4 n [ui COROLLARIÍIUM 9L ml Ü IÍ5:. Sequitur item ex praecedentibus, in arithmetica ter- minos fela differentia inter fe differre, in geometmca autem fo- 1o quoto; hine differentia addita minori termino in arithmetica ; aut ininor multlphcatus per quotum in geometrica ratione dat i ib terminum majorem,; $i entecedens €f& à & quotu; 3 confequens ID erit DE RATIONIBUSs. 143 Jrilettlà erit 9 X 2 6; Si antecédens eR 2 V&. differentia 3 cónfequens etit.2. -- 3«5« quati Generaliter igitur omnis confequens in arithe metica eft ipfe antecedens plus differentia : in geometrica ipfe s put à ntetedens du&us in quotum. 1 Qujus COROLLARIUM. iL fium "FA I16, Hinc fi generalem expreffionem aleebraicam rationis le loco arithmetice habere velimus, dicatur primus terminus a & diffe- rentia d erit fecundus terminus feu confequens a -- d; fi ante« A. cedens eft b' erit confequens 5 -& d. Sic érit c -- d. In geo- metrica vero fi antecedems votatur d & qnotus g erit confequens 4]. Si antecedens b erit confequens bq. Si c erit. cq. Hinc formula generalis arithmetice eft a. a -- d vel , b p d vel sentunt $ €. c "- d; geometrice vero a: ag vel b: bq velc: cg; & gene- ur primà raliter pro confequente femper fcribi poteft ipfe antecedens -- d i geome- Li uem bac vel x g, quod fequeütibus duobus theorematibus énüficiatur $ fecundus , THEOREMA I ii d jn utro* Irv. In ratione arithmetica fumma ex termiro ditw. pe 3 quotus minore & differentia eft :equalis termino majori. THEOREMA L. QoOue VAl XX Oo II8. In rati ómetrica factum ex fermino vur, Pri minore in quotum eft zequale termino majori. ]U5 MO' Demonftatio utriusque ex Corollariis. praece« '5,'7'?;*5,!!111 : dentibus habetur. ', dicitute SCHOLION II9. Si primum terminum majorem efle contingat, erit- diyifiotem fecundus, antecedens — d & ratio erit a. a — d, In geometri- j & ca erit confequens, ipfe antecedens divifus per quotum & for- mulaa: — LÀ netïc 4 0f DEFiINITIO liL , at il jtu 16[5(:8'5 120. Rationer equales funt, que eandem differen- rj[idne i / tiam vel eundem quotum habent; ita 7 — 3 item 9 — g . Odequens furt etií n T5 144 CAPUT VI funt ratione$ zquales, quia in utraque eadem eft diffe. i rentia 4, adeoque 7 ad 3 eam habent rationem, quam 5 ad $; a. a -- d & b. b -- d zquales rationes funt. ilité n* Similiter 2* 15 & 2: 1o funt rationes zquales quia ) eundem habent quotum $, & 3 eam habet rationem ad ante rs quam 2 ad 10; 4: ag & b: bg zquales rationes funt. que Juequales funt, dum quoti vel differentie funt inequa. Se]qz les. DEFINITIO IV 121. Si in duabus rationibus zqualibus anteceden- del fes majores vel minores funt confequentibus, hoc eft fid fi in prima ratione ita fit primus ad fecundum ut in al- Cupi tera itidem primus ad fecundum erunt ratiomes direte. & Ita 7.— 5 eft in ratione directa cum 9 — 5. Item 3: [ ic dirette cum 2 1O. Si vero antecedens prime fit jäL?U major fuo confequente, & antecedens fecund: minor ltir fuo confequente, vel primus minor, & fecundus ma- Tiens jor, hoc eft fi fit primus ad fecundum in prima, ut fe- tI0ge N cundus ad primum in altera erunt rafioges vectproce , feu Gurd "uverfa ao LA sU & $ — 9 funt in ratione zmver/a ; t d :oa38 eff reciproce ut 10: 25 4. a "- d & b -- d. * CUJU' ltem &; aQ & Dq: b funt rationes recrproce. büg. K sCI—IOLIOlN. dup I22. Omnis reciproca in dire&am mvtatur, fi nempe al- pónc terutrius rationis termini permutentur, ut eundem cum altera Cum ordinem habeant i a DEFINITIO'V. ipftim tuadi 123. Ratio «qualitatis eft, dum antecedens & con- Tuner fequens zquales feu ezdem quantitates funt j ut 6 —— 6 Ratio geometrica dupla eft, dum antecedens bis conti- eïsm tatig net confequentem feu dum quotus vel exponens eft US' t6:3&10: 5 & 8: 4 & 20: 10 Jvipla, dum ter t& *m hi z. d DERATIONIBUS 145 dife. ter ut 6: $ & i12: 4. Ouadrupla dum quater ut 20: quiam 3 &c. funt $&8: Ratio fübdupla , Jübiripa &c. eft, dum antecedens bis, ter &c. continetur.in fuo confequente ut , quia 3:60 $ 45 i2 &c. Sef2ui . altera.| dicitur , dum en d antecedens íemel plus dimidia parte continet confe- s foti quentem ; ut 6: 4. Sefgui téitia fi quotus eft i i. tUà L&c, &C. Sefqui quinta fi x DEFINITIO VI ceden 124. Si in pluribus rationibus geomettrici$ antece- dentes$ inter fe & confequentes inter fe multiplicentur , oc eft factum dicitur vatio compofita, & rationes fimplices di« jn al cuntur rationes componentes ; ità ex rationibus $: 9 4.185»3 & 4: 7 fit ràtio compofita 8: 68; ex 4: 6 & 4: 16 en 3- üt 13: 06. lia fi Exponens rationis compofite femper eít fa&um exponentium rationum componentium. ]ta in q1ino: ultima ratione exponentes fimplices funt 2 & 4, expoe 5 nens compofite eft 8 facum ex 2 in À. Sint due ra- ut fe tiones 4: b & c: d exponens feu quotus prime fit 4 fe- . (ed cunda 5, mutabitur prima tatio ex cor. IIL. in 4: àfé nuijis & alterà in c [ 7 Si fiat compofita erit aé T1 cujus exponehs eft m factum ex m in $. Si ex rationi- bus duabus «qualibus fiat ratio compofità, dicitür ratio duplicata & tunc exponens compofite eft quadratum ex- ponentis fimplicis, Nam exponens compofite eft fa- t * ]2 (età &um exponentium utriusque rationi$ componentis, fed in rationibus equalibus exponens eft idem, ergó per fe« ipfum multiplicatur, fed ex hae multiplicatione oritur quadratum ergo exponens compo[ite eít quadratum ex- y ponentis fimplicis; ex 2: 4 & 3: 6 fit 6: $4, cujus )-7 '6. exponens 4 eft quadràtum exponentis. 2« Si fint dus j/ rationes zquales$ à: aj & b: bjerit compofita ab: abgg coni* & A) Cujus exponens eít 4i fed hoc efít quadratumi exponene dum tis fimplici$ q-ergó. Si tres mültiplicentur, dicitur z/i» gl AMetab. IMath. P. T. Is P 146 CATUT 'VH plicata, & exponens compofite in hoc cafu eft cubus dut exponentis fimplicis; ex 2: 4 & 3: 6 & 4 8 fit 24 He 192 cujus exponens eft $ cubus exponentis fimplicis tion g. Si fint tres rationes « aq & b: tq &c €q erit com- tur i pofita abe: abeggq.cujus exponens 4* eft cubus exponen- Alte tis fimplicis 4: & ita porro fit ratio quadruplicata &c. hac &C. pt THEOREMA por 125. Si termini rationis geometricze per ean- dem quantitatem vel multiplicentur vel mvmantur, beni aüo non mutatuz. YOci) DEMONSTRATIO Ratio geometrica eft fra&tio ( $.. 114. ) fed fra&tio- Phipo nis valor non mutetur , fi tam numerator, quam deno- &quil minator per eandem quantltatem multiplicetur aut divi- port« ratio datur, ($. 88.) ergo etiam rationis geometticz valor immutari nequaquam poteft eüt q Tracto 'HO ; Hï m yr C ANPUT per g Tisi DE PROPORTIONIBUS DERINITIO.IL Qu b roportio eft duarum rationum zqualium compa- COT*M IzGP ratio. . Arithmetica quidem, dum rationes arith- tica d meticz : geometrica, dum geometricze comparantur. Hinc ( vl omnes rationes zqualis differentie aut quoti poffunt mu- (gg tati & componi in proportionem, fa&o inter eas figno sequalitatis z Due ranones zquales 3 — 7 & 5 —9 dant DE PROPORTIONIBUS. lAT cubus dant proportionem atithmeticam $— —5 -—949. i 24 H due rationes equales 3:. 9 & 3 12 dant propor- nplicis ^ * I2. Prima enuncia- tionem gzeotnetricam 3: 9 — 4 It CotII* tur tria ad feptem arithmetice ficut quinque ad novem. ponoae Altera trià ad novem ficut quatuor ad duodecim. n 2 &c. hac non àdditur geometrice; omnis enim enuntistio pro- portionis fine addito fupponit femper geometricam pro- portionem. COROTZTLLARITIUM k T G 127. Quatuor ereo termini in qüalïb&:t proportione eífe de- GAntar, bent: duo antecedentes & duo confequentes: primus & ultimus vocantur extremi: fecundus & tertius medii. COROLLARIUM S 6ZIZZHÀ 128. Qus dica fünt de rationibus, applicari poffünt etiam fractioe próportionibus. Ita proportio diredía erit, i uterque antecedeng deno: zqualiter fe habeat ad füum cónfequentem , ut in fuperiore pro- yt d- portione:. reciproca feu ímverfa erit, fi Contrario modo fecunda » Valot ratio fe habeat, id eft fi ita fe habuerit primus ad fecundum fi- cut quartus ad tertium , feu & eadém differentia habeatur íub- traco primo a fecundo, & quarto a tertio; vel idem quotus di- vifo fecundo a primo & tertio a quarto? ut 3 — 7 — 9 — $ vel 3: 9 — 12: 4 inverfa operatione obtinetur .differentia 4 — inprima , & quotus 3 in altera proportione; Mutatur ergo fem- per in diredam & veram proportionem, fi termini fecunde ratio- nis invertantur, COROLLARIUM Ilh ) 129. *Hiim-:'etiam generalis expr.effïo proportiónum deduci« turj cum enim Oomnis ratio arithmetica per a. a« d wel b. b -- d defiznetur, fi due tales rationes per fignum zqualitatis conjungantur, habebitur formula generalis proportionis arithme- corpa tice a. a -- d — b. b -- d; & cum geometricz rationes ánt 4* ;; arit ag vel b: bg erit comparatio harum duarum ratiobum sequalium 4: aq m b: bq, [unt m* æs ügno E 25'9 daxt K 8 D £E- 148 CAPUT VIL : li at DEFINITIO II i 130 pum confequens prim:e rationis fimul eft än- Qata tecedens fecundz rationis, feu fisduo medii termini funt zquales, dicitur proportio com/mua, dum ea, de qua Cor hac p prius egimus, diftreia dicitut; ut 3 — $ — 5 — 7 ia ln hac fecun- vel2: 6 —— 6: 12 velo/ b z : 6 propc dus & tertius terminus tantum femel feribitur & pro- fum portio arithmetica fic defignari folet — 3 — 5 — 7. geo- erit metrica vero —— 3: 6: 12 Item —— a: b: c. & termi- St ) nus fecundus vocatur medius proportionalis. Ya fn l COROLLARIUM. 4: ( 131. Si inhac proportione continua adhibeatur formula ra- ttjo tionis in cor. III, propofita a. a "-- d erit fecunda ratio a "- d. f&l in « -- 2d; cum enim antecedens fecunde debeat eíffe equalis con- Tiedic fequenti primz , erit hic antecedens a ^]- d, & cum confequens &un augeri debeat differentia, erit hic confequens a *4- d -- d feu 6z a -]- 2d & formula proportionis —- a. 4 -- d. a -4- 2d. In geo- metrica dum prima ratio eft e: ag altera debet effe ag : agg cum n ; enim confequens fecundze rationis fit antecedens X in quotum , erit hujus confequens aq X q —— dq^ &'fotmula proportionis geometricæ--—:—:— a: aQ: aq-. i bl. "Theorema fundamentale, Ttenp: ** di I32. In omni proportione arithmetica fumma Vilor extremorum eft zequalis fummze mediorum: in geo- etrica vero factum extremorum eft eequale facto mediorum. Bol DEMONSTRATIO. tinj & 2b EU Sit proportio arithmetica a, e z b. e erit a -- e por litn *3 zb --.c. Nam loco confequentis utriusque poteft f.cri- & g 1 ;! 58 DE PROPORTIONIBUS. 149 bi antecedens plus differentia, qu» , cum rationes fint all zquales, in utraque eadem eífe debet, ergo'proportio data exprimetur his terminis a. a «t- d z P. b 4- d; in funt hac proportione, qu:z fimul eft expreilio generalis pro qui Cor. III. fumma extremorum eft a -- ? -- d, mediorum Ti Ut 4 "- -- b; fed he duse funt squales, ergo in omni proportione arithmetica fumma. extremorum eft zequalis I fummz mediorum. 1ta in proportione 3 — 5 257 — 9 ge — erit 12 fumma mediorum r 12 fummse extremorum. Ti Sit proportio geometrica «: c z : d erit ad —— , Nam per Cor. IIT. hxc proportio mutatur in hanc, quze fimul eft generalis expreffio proportionis geometricz ; a: dQ & b: bg. Cum enim fit vera proportio, du la fie rationes, confequenter etiam quoti debent eífe zquales , fed in hac proportione fac&tum extremorum abq 2 facto n ; cone mediorum 4)4 ergo in omni proportione geometrica fa. quens €&um extremorum eft xquale fa&o mediorum. 1ta ..5* d t 6 — 4: 9 erit fa&um extremorum 24 ame fa&o medio- 9e0 rum 24. eum X s ttioné CoäOLLARIUM I. 133. $i in xquatione prima d& «J- e — b -- c valor de e £eu b -- d in primo membro, valor de c feu a -- d in fecundo membro fübftituatur, habentur etiam a - b - d — b -a "i- d fummz cquales: in altera ad — bc: valor de d eft bg & ia Mwalor de c eft ag , Xqui fubftituti dant abg — bag equalia fa&a, u C-'OROLLARIUM II ido 134. In proportione continua cum fecundus terminus bis pofitus effe fupponatur, erit in arithmetica fumma extremorum 'primi & tertii — duplo termini medii feu —— a. b. c. erita-d- C — 2b, & in geometrica factum extremorum — quadrato termi- ni medii feu — a. b. «. erit ac z— bb. Nam foluta utraque pro- portione in difcretam fit ex prima a. b —— D. c ergo a -- c Ti pu zm— 9b. ex alteraa: b zb: e ergo ac z—bb, n numeris eít t feri m ;3 (. 11 fumma extremorum 14 z— duplo medii 7 X 2 z— I4; & bi * 3 i Á« " VIL. 150 QAIP DT & — 3: 6: I2 fa&um extremorum 36 - quadrato meds 6 X 6 — 36. COROLLARIUM lIl 135. Dednueitur inde methodus omnem proportionem in zquationem . & omnem equationem in proportionem transmutan- di. Semper. enim poteft fieri vel fumma vel facum extremo- rum.& mediorum, & hac ratione equatio haberi. Et vice ver- fa datis duobus terminis vel memtbtis equationis utrumque poteft refolvi in duos terminos facientes eandem fummam ; vel in fa- &ores, unde oriebantur hec faca wqualia. Ita ex proportione 4 --b —c-ed poteft fieri a. C:d. b; & ex abz—cd poteft fieri a:cz d: P. lta ex 12 -—7ÁÀá — 9 potef fieri 3 -- 92— 5 -- 7 I Que & inde 3 . 5—-7 . 9 arithmetice, vel geometrice in factores Q $X62—3X4& inde 2:4 z—3:6. Deducitur inde fequeis B I 1. THEOREMA 136.. Ex Fadribus duorum productorum prim teci s&equalium octoó poffunt fieri proportiones geometri- font prm cz, inquiDüs femper eft proportio djre&aq- tUt DEMONSTRATIO. Duo yprodu&a zqualia faciunt equationem, qua per precedens theorema in proportionem refolvi poteft, confiderando alterutrum fa&um tanquam extremum. vel tanquam medium, & fa&ores vel tanduam terminos ex- tremos vel medios; fed etism quilibet ex factoribus hac ratione vel primus vel ultimus, dum confiderantur ut extremi, fecundus vel tertius , dum' confiderantur ut medii, effe poteft, & hoc quidem ut ex fchemate h t terti patebit, o&ies, ergo ftante femper proportione dire&ta €xtte duo producta zqualia in o&o proportiones mutari pof- Ttre fout, Totum patet in adjeQo íchemate. ad DE PROPORTIONIBUS. 15l ) füedN ad — þc 3xX98z2z4X6 a:bc:d N rAnS0:B a:cæb:d alteznando J 3:6:4:8 d: p yem ia 8:4:6:5 nsmutate diczmb:ia 8:6254:3 Xttemo- b:iazmd:c invertendo s 246 "a. & Vef» b:d:a:c 4:8 n d [L] L] 6 t poteft alternzïndo . (:ammdi 6:3 Guxsrem Imesastme 8 L df L] : portione e:sdzzma: 6:8-2-3 L 4 4 potéft zi In quibus omnibus eft zdzjc & 3X8zm4X6 adeo- que femper fa&um extremorum. z fac&o mediorum, | fadorei equeiis confequenter proportio directa ex equatione data. COROLLARIUM L I37. Si ita fa&ores difponantur in proportione, ut üt primus ad fecundum, ficut quartus ad tertium , erit proportio (torum rfeciproca, in qua iterum termini uti prius o&ies mutari pof- omeb funt, ut femper maneat eadem proportio reciproca, & faíum primi & tertii fit equale fa&o fecundi & quarti, ut patet ex fe- quenti (chemate, ad Bc 2X8 —— 4X6 P ESEA. 3:4758 n, QU2 4:czd 2:6-—8 b:acc j poteh 4:3:6 b:dcc 42-926 d:ö 6:3254 ino$ e*- c:d—b ;ï 6:824 frorious d:bzzza:c $:4-—:3 d:cza:b 803 4« 9 o) oo O ga'eæumr n his enim ubique eft primus ad fecundum, ficut quartus ad tertium: habebitur autem inde vera proportio dire&a, & fa&um ; hemate d extremorum 2quale fa&o mediorum , fi fecunde rationis termini invertantur, gi p COROLLARIUM Ir. 138. Poffunt denique ita fa&ores difponi, ut nullam omni- no nec dire&am nec reciprocam proportionem confituant, fi fcili- n K 4 E 152 CAPUT- VII: fcilicet inter ipfos fa&ores utriusque fa&i inftituatur ratio, & yid fapet he inter fe 2quentur, qu- dabunt o&o permutationes diverfas, min fed nullius pxogoxtionis; ut patet ex feq/uenti;- quanti ad zb 3X8 z 4X6 multil a:dzzb:c 3:8224:6 bet Á a.dz—c:b 3:82-6:4 5s -- 4 b:eza:d 4:6.—;:.:3:8 V | Db:cxd:a 4.:6,..-:.:8':3 otrit cibzca:d 6:428388 c:bzcd:a i ad 6:4-—8:3 ropoi d:azg-b:c $:22z4:6 Qutes diazzc:b 8:37—6:4 "H M - Yn loc enim cafu nullo miodo fa&a erunt equalia, nifi rationis ceujusque termini inter fe multiplicentur , quod eft contra defini- Xionem proportionis. ltem ratio prima nunquam erit fecundae vqualis, quocunque modo fecunde rationis termini ponantur, quod itidem defipitioni proportionis repugnat, quz rationum les i vqualiumr comparatio eft. 20myj; COROLLARIU M II. Timet: Tatot | 139. Cum rationes zquales per eandem quantitatem aucte tor ad & imminute tamen maneant rationes zquales ($. I25.) poffunt Difatt plures adhuc fieri permutationes, quin proportio mutetur, au- Vel 3 gendo antecedentes per confequentes, aut minuendo; vel au- ':18 gendo confequentes per antecedentes , aut minuendo: verbo tot ver[o; poffunt fieri mutationes, quot multiplicationes extremorum & hoce P d mediorum dant fa&a equalia, Yatort ] g-—kö tb-cHd-.d d 37-4 6-l-8 L. — &-T-a: bcH-c ; d 3"P3 ï 4 -6--6 -9 99 * * f, componendo J a ; aC b—c 3:3*--4256 : 64-8 um c-il-d. $ lioc el & :b-—a-cid—c 43 f4——326:78-—-6 d-—-b K 5.....——-c-—a * 98—4:42256—3:3 fiümer -]ï; dividendo d- b:d—bzzccebatc—a 8-F4:8—42264-3:6—3 &c. &c. E SCHOLION. EU x40, Bene notanda funt, que de transmutatione sxquatio- M E ert w À in propoxienem autvice v 4 dic&a funt, cum per totam. Mathe-« m 25 DE PROPORTIONIBUS 153 tio, & Mathefin ingentis fit utilitatis, ideo bene diftinguendum eft retfag, femper, quos fa&ores quodlibet fa&um habere pofht, ut inde termini prOpOl,'th!llS efformentur. Dum una tantum videtur effe quantitas, femper alter fa&or unitas effe poteít, quz cum nil multiplicet femper pro altero fa&ore haberi poteít, ita x ha- bet fa&ores x & I adeoque equatio xc—cd habet fadtores x XI emOXd 4 & proportio inde fit x:;cz—d:1, vel I:c6—d:x. & in utraque eáàdem oc- Dum factum efi quantitas complexa, currit litera, haec litera & quantitas complexa funt factores; ita zd——4 ag — br dat fa&ores (n—I)d.—..(a--b)g & jtem 1——2axxz-a dat fa- proportionem n— I:a-——b ezg:d &ores I——xX1--x-—aX1 & proportionem I —x:4— I:1 -x Item xx— yy-—IEI dat x— y:IzI1:x»]-y vel conti- ttonis aAue — x—y:ilixnbey. defiti« COROLLARIUM écunda nantut, I4r. Cum fra&iones fint rationes, omnes fra&iones equa- A ies in proportionem refolvi poffunt vel direc&e dicendo:; ut de- nominator ad fuum numeratorem, ita denominator alter ad fuum numeratorem , vel ut numerator ad denominatorem ita numes- rator àád denominatorem, vel dicendo.reciproce ut denomina- dUARg tor ad fuum numeératorem, ita numerator alter ad fuum deno- minatorem & vicifüm exo& iy fit vel dire&e 9:3-——18:6 offunt aü Vel 3 9z2562:18 aut rec1proce ut 9:326:18 vel 3:9 & di- la zexm18:6. $i fra&iones habent eundem numeratorem, verfós denominatores; funt in ratione invería denominatorum; bo 0 hoc ef prima ad fecundam ut denominator fecundae ed denomi- Ui & natorem primz. Sic —— : — ; pIX z5:4. Patet, quia fa- 4 5 ) 3X5 éC&um extremorum - ais u 37 —c fa&o mediorum — 5 iT5 hoc eft a—a & 3 — 3. Si vero denominatores funt equales, & a c ità —:—- anumeratores diveríüi, fra&iones funt ut numeratores d d H ; 3 e—nrn-cgm —— .-——-—-3 2, Nam facum mediorum ubique eíft 673 5 ac — — À À— «quale faécto extremoru À 5 4 E jato« roti K $ E O. 1e* 154 DCAPUT YR THEOREM A. H 1492. Si mültiplicentur auf dividantur termini Mmet unius proportionis per terminos. correfpondentes jee p qut 1. alterius proportionis; hoc eft primus per primum, in prim fecündus per fecundum &c, producta vel quotientes etiam erunt proportionales, -—?.. "u DEMONSTRATIO. Sit c: d n & f g:lz tit, f i. ! erit etiam ae ! bf g. 28 in prima pro- EW portione quotus z 4, inaltera quotp's —p, per cor. I1I. per| prima proportio abit in hanc L ü 2:4 3 6 tencmcunep & altera e ;. ep ez p $ gp 97* 9 o 6 :36z15: 90 compofita ae: aegpzceg:cggp. Sed ha duz rationes $ y funt zquales, quia in utraque eft quotus 4p; rationes Tunt autem zquales conflituunt proportionem, ergo propor- les, . üjones inter fe multiplicate faciunt iterum proportio- Yote nem. JQuod de duabus demonftratur, de Pluribus eo- dem modo demonf(tratur, cO'RorQLARiUM 1. 142. Si igitur omnes termini proportionis per eandem m «uantitatem multiplicentur aut dividantur; vel fi duo anteceden- tes per unam ; & duo confequentes per alteram quantitatem mul- u tiplicentur aut dividantur, termini ita au&i vel imminuti fem- Por per manent proportionales. Semper enim refolutis terminis ut prius fa&um extremorum eft equale fado meqdiorum,; ac proin- 4e vera proportio, C o- DE PROPORTIONIBUS. 155 COROLLARIUM H. 144. Cum in arithmeticis fiat per.additionem, quod in il seometricis per multiplicationem , fi du» proportiones arithme- Dntes tice& proportionaliter addantur, fumme manent proportionales, if eut fi fubtrahantur, diferentim funt proportionales: differentia in prima fit — d in J h MI 'fecu,nda — &.aa-d b .b d. d 39 T 4 9 — €. c70-x e,.€---x 2 3 Ó| ll 4 5 er-c . anrbzoi-d-i-x—bu-cC.b-POHRdMEX 051 8 —— E 4 COROLLARIUM Il. 145. Si igitur proportiones zquales inter fe multipbcen- tur, faca, per prius demonftrata ,. etiam manent sproportiona- iia, "s $i jam tres aut quotcunque fint tales proportiones multi- plicantes, faca (ífiue cubus aut potentia quzcunque erunt) fem- Ill, per funt proportionalia, ergo proportio a:b—e«:d per fe ipfam multiplicata dat mnililwsz progorzionem,- compofitam L5l -—.—ï' )2 :b z penu dZ & Sed proportio, qus» multiplicatur, funt radices, & producum ( funt quadrata harum radicum, ergo fi radices funt proportiona- ) les, etiam. quadrata funt proportionalia, quod fequenti theorc- mate enunciatur: r Q Potentie- radicum proþor!ionalium Jfunt pfr'oportionales. THEOREMI.A Á IIIL I46. $i fint duze proportiones, in quibus fibi invicem fubfícriptis lineze ad inzquales quantitates ]s ductz funf parallelze, quantitates h& dicuntur pro- l- portionales ex equo " a:b d N Ó i:im ../Il 156 CAEXPUT'VI & erita:mzzcc:n. Namex prima poteft fieri alter- nando a:c—b:d ex altera b:d e m:n ergocum a:c &m:nfintzstertiz b: d zequales, erunt zequales &ced inter fe a:czzm:n vela:imc:n. Q. EO D. rint, THEOREM. V, 147. Si in eadem hypothefi linez ad inzequa- les quantitates ductee funt convergentes, quantita- tes hz dicuntur Proportionales ex «quo pertur- Nu bato, &:b i c:d p N ^A ass n b:m . C erit a:m—n:d; fed in prima ad — bc & in alte- ramnz-zzbc, ergo ad--mns; refoluta hac sequa- Wa tione in proportionem eft o:mzzn:d. Q.E.D. fiaje i THEOREMA' V. aQ | 148. Si in duabus proportionibus primi ante- cedentes & ultimi confequentes vel viciffim zequa- pv les fuerint, reliqui termini funt proportionales re- ciproce. Sdl Su Sjia:b q:nm q l ec ** lo erit b:m ll d n 7;:2 0&49» DN Nam adz-bc & etiam mnzzad, ergo bc — mn. T Refoluta hac zequatione eft proportio reciproca Se b:mz-n:c. W THEO- N DE PROPORTIONIBUS. 157 |lter THEOREMA VI C Jales 149. Si in duabus proportionibus utrique an- tecedentes vel utriqüe confequentes zequales fue- rint, reliqui termini funt directe proportionales. Sia.:b d u a .Th :: n 1 erit b:m l H d:n TU Nam alternando eft a:czb:d & a:czmm:n et- go etiam erit direte b:d — m:n. THEOREM.A.'VYIL jlte 150. Si fint plures rationes zequales, quarum qua- una alteram fequitür, feu plures termini proportio- nales, erit fumma omnium antecedentium ad fum- mam omnium confequentium , ut quivis antecedens ad fuum, confequens. Sit a:b o cidzzeifomg:h&c, poterunt mu- ii : qüä tari in hos a:dgz-Cciegmmeieq-—g:8g lia Summa antecedentium eft a -- c -- e -- g Summa confequentium 44 -- cg -t- eg -- 9g erit G --c--e- -p:aq - cq - g -- gg — a ag hoc eft a --c2-e--g:(a-2-c-2-6-2-g)9 —a:aq multiplicatis mediis habetur (a-4- c -- e -- ) aq ttt multiplicatis extremis ( 4-t- c -- e -9 ) aq Sed liec facta funt 2equalia, & ubi factum extre- Xa morum zequale faco mediorum, eft vera propor- tio, ergo eft fumma antecedentium ad fummam con- 158 IUATPD'T'UVIL confequentium , uf quivis antecedens ad fuum con- fequens. tont PROBLE—MAII.' I51. Datis tribus terminis proportionis inve- tire quartum quocunque loco ponendum. RESOLUTIO. tàtu Terminus incogüitus vocetur x & ponatur ad lo- valo cum termini quisrendi; ex proportione fiat zquatio, vel addendo extremos in arithmetica, vel multipiicin- do in geometrica, & quaratur x per regulas zqua- tionisk. A. bzmc.x erit a--ximbebo xibj-c—a a.blImx.c erit a—i*-c:b—!—vx & xzca--ce—b Den AsXxuRb.c erit a-i-c:..—x——i-b & xzzad-ce—b x.azmb.c erit x-c6m—a-b & xma-*-*ï-—-—-c bc a:bummc:ix erit axzmbc & xm— a Qatt ac eft gt a:bmmxcc etit acmiÓx & oxI—— apyli ac Y — b:c erit d m E CRES ab x:üzmb erit xémmab & xIÍI—— [4 DEMONSTRATIO, Omnis . proportio in squationem .mutati poteft ($. 135.) in qua per transpofitionem valor de x in- venitur ( $. 9o. . PRO- DE PROPORTIONIBUS. 159 CQf PROBLEMA II 1s$2. Datis duobus ferminis in proportione continua invenire medium vel tertium. IDve RESOLUTIO. Terminus incognitus, ut prius, vocetur x & po- natur ad locum qusxrendi, fa&a zquatione inveniatur lo valor quantitatis x, intio —— a.b.x erit a-l-xz2b & x--""zl'—-/a 4 --b i — 4.x,b erit a4--bz2x & xzz-——— A hQUi bb fhcob a:lfgx erit ax ——ihb& xz— — a:x:b erit ab z—xx & x.-.—.:[a/c;g Demonftratio eadem eft cum przcedenti. SCHOLION.é. 153. Methodus hec ad tres datoärinvenïendi terminun quattum dicitur Regula trium, qus in communi vita ingentis eít utilitatis, ideoque regula aurea vocatur, de cujus prádica applicatione fequenti paragrapho agemus. Z Fïä? ot'eïï r li C A- )i 160 CAPUT VHI. dem (uX. boe: wt CAPUT VII partinent tem, du p DE REGULA AUREA, DEFINITIO í. If &i ejusdt 154. egula aurea feu vegula proportionis eft metho- Yi qu À. dus àd tres terminos datos inveniendi ter- in tert minum quartum.: feu.ad datum antecedeutem invehien* abtoluty. di confequentem talem, ut hac ratio fecunda, curt priore squalis, proportionem efhciat. Proportio au- tem & ratio femper intelligitur geometrica. COROLLARIUM. lem à 155. Qus ergo di&a funt de ratione & propoftione geo- Ea vel e£ fimplex ; metrica, etiaum regule aures applicantur. dum ad tres terminos quaritur quartus, & du tántum rationes I dantur, vel compofita, dum ad quinque fextus, vel ad feptem Dire&a minati OC&avus qusritür, & tres aut quatuor rationes dantur, erit, fi primus terminus fuerit ad fecundum , ut tertius ad quzx- ejusder rendum: inverfa ( primus ad fecundum , uüt reciproce quattus Cjs te querendus ad tértium datum. Débitus tezminorum ofdo fem- l per dire&am dabit; quirty SCHOLION eäüem prim, 156. In omni problemate regule aure» duz femper hypos hefes funt, una rem facam aut datam fupponit, & altera pro- I portionaliter ad illam rem faciendam aut inquirendam proponit, [er p ut, dum datur, quod 4 fudiofi per. ménfem expendant 19 fio» tenos$, & queritur, quot :2 ftudiofi expendant. Datur, 3 ulnas páànni emptas eífe 7 florenis & queritur, quot ulid$ 21 florenis emantur. Supponitur, 12 foffores 24 orgyas uno die abfolviffe, queritur, quot abfolvant 50 foffores, funt; COROLLAÁARIU:M. poi ( l0s Q 257, Patet inde ex quatuor terminis düos femper ejusdem fpacif.-i feu denomination»is inter fe e(fe, & xeliquos du Os ean- , derni U DE REGULA AUREA 161 dem quoque inter fe, fed diverfam a priori denominationem ha- bere vt in prioribus tribus exemplis. In primo duo termini Pertinent ad ftudiofos, duo ad florenos in altero duo ad mer- cem, duo ad pretium: in tertio duo ad íoiores, duo ad or- gyas l $SCS&OLION 158. Si regula eft compo(íita, duo alii adfünt adhuc termi- ni ejusdem inter fe, fed diverfz a prioribus denominationis, qui 1850 ilud quoque, quod defienant, facüm aut datum fupponunt: ut (i i& in tertio exemplo adderetur, intra 8 dies quot hi 50 foffores een abfoluturi fint. , Cuii PROBLEMA I [) i 159. Invenire terminum quartum prcportlona- lem ad tres datos in regula aurea fimplici. & £0 RESOLUTIO mplex; 4tones I. Terminus ejusdem cum quarto qu:rendo deno- epterm minationis ponitur ad locum tertium , reliquis duobus jiteda N ejusdem inter fe denominationis pro pmmh duobus lo- cis refervatis. qu.artuf j fen I1. Videatur pnum ex conditione problematis quartus debeat major eífe quam tertius an minor; & in eadem ratione primi duo numeri ponantur, ut femper primus fe habeat ad fecundum, ficut tertiusad quartum. Irypo IIL. Multiplicetur fecundus & tertius & dividatur ) p q)uu 'llf, per primum, quotus erit quartus. j f0* DEMONSTRATIO ]na5 )renis Res per hos terminos fignificate proportionales tife, funt; ita merces pretio, perfone labori, fumtus tem- pori &c. proportionalia eife, quotidiana experientia nos docet, aucto igitur vel imminuto uno in certa qva- qsiem dam g eM JMeizb, Matih. P. 3 L [2n Gs 1] VHI. 163 CAPUT *2 dam ratione, al;ua quoque in eadem ratione augesfur & m EH jim vel iminuatur neceffe eft; hinc pofita augmenti vel de- crementi ratione in merce vg. pro primis duobus ter* bx dent. C minis, ejusdem: augmenti vel decrementi ratio in pretio hG pro aliis duobus termiris efle debet. ^ Sed multiplicato $ qum 1 fecundo & tertio, & faco diviio per primum, obtinetur eadem ratio & proportio in his quatuor terminis, ergo ï per prxdi&as regulis quartus proportionalis inve- nitur. Quatiüs Exemp!. I. A Studiofi expendunt per menfem 19 flore- Ex nos, quot expendent I2 ftudiofi? 1 des, Res, Quantitas forenorum ad- tertium locum yponitur, cum foreni querantur. Et quia 129 plus expendunt quam 4, W florenorum numerus querendus major eíffe debet quam datus I9» toeffor: Sicut Hinc etiam fecundus major eife debet quam primus. hine et /! cnim fe habent pauciores ftudiofi 4, ad plures I2, ita fe ha- bent I9 floreni a primis folvendi ad plures ab aliis folvendos. R. f. fl n- 4* I2 — IO : X Quirus müïtïplïcatäs mediis 12X I9 & fa&o 428 divifo per primum 4 Ex habentur 57 floreni a 12 ftudiofis per menfem folvendi. äïehus ) 1. fufidet 'SCHOLI»ON K 160. Cuüm n omni proportione rite inüitufa fatum extremg- plutibus sum debeat effe equale fa&o mediorum, fi terminus quartus in- ptim ventus eft proportionalis ad reliquos terminos, facum quoque Erit er- extremorum hic debebit effe zqvale fa&o mediorum. ld 0 go examen problematis rite refoluti, fi terminus primus cum quar- t0 invento multiplicatus dederit equale fa&um multiplicato fe- Ex cundo cum tertio. bl itpler ; Vuplebi Exempl. IL. Tres ulne panni emuntur 7 Horenïs,x 21 flo- R yenis quot ementur? » Res, Cum pro 21 f plus acquiram 'quam þrc» (-3 1najo£ hinc íecundus quoque major mnumerus ulnsrum quartus erit, prime f. ul. ul« g. K&a 0j b [ ;21?.:3:3; & — DE REGULA, AURE A. 163 fa&a multiplicatione 21 X 3 63.& divifis. pet 7 , z 9 alnis, Exempl H 3O foffores effodiunt 24 orgyas, quot effo- ient 5O foffores ? Res. Cum plüus effodiant 50 quam 30, majot ent quar- tuüs quam 24; hinc fecundus n.a;or primo f' f, Or. Or. 30 50 24 4 X 50 Quartus invenitur 4O0. Exemp! IV 8 mefores abfolvunt lahorem in aero intra 12 dies fi accipiam 24, intra quot dies abfolvent ? Res. diebus habeant Cum paucioribus opus plures meffores, quam pauciores iartus debet eíffe minor quam I2, hinc etiam ífecundus minor quam primus m. In. d. dO 24 ig —— CT2 Quartus. erit 24 H Exempl.. V. Pro 24 militibus füfficit. annona im atce 30 diebus, fi augeatur numerus militum, & fint 40O, quot diebus fufficlet ? Res. Cum paucioribus diebus eadem. annona . fufficiat militibusg , quartus minor erit tertio, & fecundus pluribus primo ! L] 4O 5 facta operation erunt dies inventi 18 Exempl. VI. "cfyposraphus 24 lineas 1n fpagina collocans implet 7O paginas, fi 30 lineas cuilibet folio dat, quot paginas implebit ? Res. Pauciores utique paginas implebit quam 70 hinc 30 : $4 e-'vo 5X iib . r X 7O fa&a operatione efit z 56 paginis L2 $ C€H O- fe ÁÁ E . CAPUT.VII 164 SCHOTION 9Il 161 Dum partes heterogenez aut numeri m'xti adíunt, il re:luceþdæ funt ad fpecjem minimam, hi ad fra&iones fim- p]ïcvs ut 22 . ulnz empte funt 19 noxems 30 cfuciferis, Quan^ & erit I ulna? ul. XI. 1170 ! * 4 ä Fiat : X quartus xeperitur 312 xt feu 5 fi. 12 Xr. SCHOLION Il 169. Huc etilam pertinet methodus frac&ionem quamvis in aliàm dáti denominatoris mutandi non mutato valore, feu inve- niendi valorem cujusvis fra&ionis in partibus fingulis integri feu monete feu menfure, feu alterius denominationis Cum enim omrnis fra&io fit ratio ( $. 114) due fracdiones equales in pro- ita ut fint ficut denominator unius ad portionem refolvi poffunt , fuum nuümeratorem, ita denominator alterius ad fuum numera- torem ; detus izsitur denominator novus erit tertius terminus, ad quem queritur numerator; denominator.vero & numerator datus erunt primi termini, Si quis fcire velit, quot 4 $ uvunius foreni faciant crüciferos feu 607* ád denominatorem 6O quaret nume- fatorem dicendo 4:32—60:45 & $$ erit equale 4. Ita 2 E pedis fi in digitis feu Ioms partibus habere velit, fac1et u;g 3 £c12:8 & 8 digiti erunt $ pedis. PROBLEMA II 1623. Invenire ferminum proportionalem ad quique aut feptem datos in regula aurea come s L) poüta 93 RESOLUTIO Reg. I. Terminus ejusdem Cum quafito denomina- tionis ponitur tertius. 1l Ad primum & fecundum locum ponuntur duo termini ejusdem inter fe denominationis negle&w aliis & interea, qui tanquam non prefentes confiderantur a CUuIn *; DE REGULA AUREA 165 eum iis juxta regulas & animadverfionem fuperms pra- fcri ptam quaritur quartus. adtmt tes (im IIL Inventus quartus in nova regula ad tertium Quan« locum ponitur, & duo numeri ejusdem inter fe deno- minationis prius negle&i ad primum & fecundum juxta animadverfionem prius datam ponuntur multiplicatis mediis & facto divifo per primum habetur quartus quafitus. VET IV. Qui rurfus ad locum tertium ponitur, & duo negle&i adhuc termini ejusdem inter fe fed diverfz a p prioribus denominationis juxta animadverfionem datam mvis in ponuntur, & quartus per regulas quszritur. 'ü inve egri Íeu DEMONSTRATIO. m enm in pro Solutio tota fit per regulam auream ter applicatam, ergo eadem demon(tratio , que de una data eí(t, eidem niüs ad umera ter repetitz fine difficultate applicatur. nus, ad * datuf Exempl. I 8 equi aluntur 9 faccis avens per I2 dies; & 16 equi ünt & parentur 24 facci, quot diebus fuüfficient ? lotent Res I9 dies locum tertium occupare debent. Pro primo qune ]u & fecundo loco accipiantur equi, faccis interea omiffis. Ques- ratur, an eadem portio pluribus diebus fuffectura fit majori nume- u32 ro equorum, & invenietur, breviori utique tempore plures equog ali offe quam pauciores, igitur quartus minor tertio & fecun- dus primo. eq. eq. d d. 6 m Y6:8 CU* Inventus 6 ad tertium locum ponatur & equis negle&ig accipian- j tur facci pro primo & fecyndo Quzerituf num major numerus faccorum pluribus diebus equis iisdem fíuíliciat quam pauciori- bus & id absque dubio verum invenietur, * Proinde quartus ma- jot tertio & fecundus primo mio» fac. fac. d. d. 9;24-26. 16 duo *t:go I6 diebus, 16 equis, 9 facei fufficiunt. aliié & L3 EXEMs: um s R 166 CAPU-r VIIL Qu Exempl. YI. 4 operarii 3 diebus exftruunt $ h&xapedas, f $ operarii laborent 7 diebus, quot facient hexapedas? y p 0, 0- hex, hex. &ione 5 x um d. d. ditos ; P P OP o u " 3 $i và primus x invenitur $X5-— — — rl 25 — 6 dein in fecunda regu- n 25 Q —— X7:3-—5I4,45. ergo 5 operarii 7 diebus finient 14 & $5 hexapedas, &tior Exempl, IIH. Capitale 3550 fl. dat cenfum 1420 per : in di annos, queritur, quantum cenfum per 20 annos det Capitale t eimecii a N 50OO00 for. pet Cap. | Cap. cenf. du e 50000 Mi 1420 . X pii 3550 an aTle 1o 20 [ x Ím Inventus primus terminus x — 20(500, qui ad tertium locum 1in fecunda proportione pofitus dàát quartum ex fequenti proportione 10: 20 z 2QQOO : 40O0O0 ergo cenfus per 20 annos eri* 40000. £m p SCHOLION. hi 164. Qu hic de Capätali dictintur & cenfu annuo íi algee Vüt 4 bralce exprimantur, poterit inde formula generalis pro quolibet V cenfu cujusvis Capitalis etiam fingulis anni diebus competente deduci, Cum cujuslibet Capitalis cenfus relate ad cenfum, quem & centum florenis percipimus, calculetur, prima proportio infti- €«0 tui debet ut ICO ad fuum cenfum , ita Capitale datum ad fuum cenfum: dein fecunda ut annus integer feu 360 dies, ad dies, Pro quibus cenfus quzritur, ita cénfus prius inventus ad quafi- & tum diebus datis competentem. Sit cenfus a xOO f-—1: E. Capitale datum :C.: Dies dati —D erit prima ?mporïio ^ iC T Iico * * tf ——— dein :C iCD $ 5 p o D sl ico * 360c0 C yst I DE REGULA AAUREA. 167 | g Cum vero jam üamtum fit, ut pro IOO cenfus fit 4, loco i p^* YXopediy, H ni poteít 4, &(for-muïa generális erit —— feu redu&a fra- » &ione ad minores termïnoS z -——- ,Lhoc eft, Capifale ducatur in dies datoa, & fachunm dividatur . per 9000, quotus erit cenfus petitus. Si valot haberi deþeat in cruciferis, numerator per.6o muïtiplï-* ! feft« D — , tedu- , lp & cari debet ($. 162) & formula -—-—- mutatur in — 9) &ione ad minores terminos erit —— hoc eft: Capitale ducatur et 1$ in duplum dierum & factum dividatar per 300 quotus erit cenfus in pl ub eruciferis (anno dantur 360, & menáü cuivis 30 dies) Ita ü 6000 X 6 — petatur cenfus a. GOCO fl. ad 6 dies fiat —— — 4 $. ex prima formula. IL r500 $ quam cenfüm dantintra 9 dies ? Fiat ex fecunda formula 1500XI8 t 27000 —— z 90 xris — I f 3O xris. 300 200 n 1 ytione 350X16 3 5600 — —— XIL 350 f. in 8 diebus? fiat 8 eti oO cruciferis., Si pro cenfu annuo 1OO florenorum fint y, 2, 3 &c. aut rL, 0Í, 3I &c, foreni, hec quantitas in formula pro z £ fubfituatur, & ad omnes cafus poíübiles applicatio erit. Exempl. IV. 3 homines quotidie 7 horis laborantes ab:fol- altes vunt 2 diebus 94 hexapedas, quot facient 5 homines 3 diebus olibet «uotidie 4 horis laborantes ? tente Res. Prima Xproportïql accipiendo homines neglectis aliis quem ii« eonditionibus, plures plus faciunt; ergo hom, hom, hex, hex, fyum L . 3 * 5 - 84 . x z IA4O je$, li« Secunda proportio accipiendo dies, tribus plus fit quam duobus d. d, hex, hex. :ii . at E ergo " » 3 — 140 . x LÉ 9yO. Tertia proportio accipiendo horas, cum 4 horis minus fiat quam Ortio : 7. erit prop hot hor. hex. hex. s pem 3 *X - ? 4 210 130 LA $CHQ-* st a 168 CAPUT VII. SCHOLION, I65. Quevis regula compofita etiam per unicam regulam auream folvi poteft , fi primz rationes feu conditiones, rite ta- men pr!us «:/Ii*fpoütæ, inter fe multiplicentur, atque ita ex illis vel ] unica ratip*efüciatur, pof quam tertius datus ejusdcm cum qua« colli xendo dénominationis ponitur, & quartus ut prius queritur. (?ïftiü Cum enim fecundam rationem omnes etiam conditiones, quz in Qem primis duabus aut tribus rationibus continentur, ingrediantur, eviden$ eft, exponentem inter tertium datum & quártum quafi- potü tum eündem eífe debere, qui in primis duabus aut tribus ratioe nibus fimul fumtis eft. Prius ergo problema multiplicatione pri- ded ajrum terminorum faé&a (íüc ftaret: quai 42 : 60 & $4 : £ z 120 Ef erzo quartus — 120 hexapedis; idem numerus, qui priug per triplicem operationem inventus eít. val DEF;INITIO 1. te 166. Reguia focietatis eft methodus inveniendi quantitates fingulis proportionaliter competentes, qui prius focietste inita fummam quamdam contulerunt, ea- RE que vel quidp ^ iam lucrati æ(e; damnum commune patli funt. PROBLE*MA U. LO Invenire terminos proportionales in regula fqe cietatis. e 2] RESOLUTIO. [ L. Collatz fumm:z partiales in unam fummam tofa- lem colligantur. II. Fiat, ut fumma tota ad partiälem füummam pri- mi, ita lucrum feu damnum totum ad lucrum feu da- mnum partiale primi, & hoc toties repetatur, quot funt partes contribuentes. D - E Ej g DE REGULA AUREA. 169 DEMONSTRATIO. terülam üte tàs Evidens eft, fi fuerit eadem ratio inter damnum x illis vel lucrum totum & partiale, qua eít inter. fummam um quae collatam totam & partialem, partes proportionaliter U2titur, que i diftributas efle, fed per precedentem methodum fit ea- . dem ratio inter predictos terminos, ergo partes pro- lantür, E* . quefi« portionaliter diftributæ funt. p Tv Exempl. f. 'Tres cives negotiantur in Americam, primus ne pri- dedit 5000 alter 300c tertius 2000, lucrati funt X15000, quantum cuivis dandum ? Iocooo 5oo0Oo 150OO 7500 primo Iioooo 3000 — 15000 4500 fecundo :: r t [ ptiul, IiCcOCcO 20O0O 15000 :: 3000 tertio Exempl. II. Tres me;'catores focietate inita emunt 4009 vafa , 5O0O aureis. Primus vult 130O vafa, alter 1460, tertius 1240 vaífa, quantum quisque dare debet? v. N. a. 2. j ent . . 40CO . : 1300 — 500 . 1691 primus; , Qui V. V. z. g. * , 6* 4OOO : I460 z 5CO e 182 — fecundus ; v V. & pad 4000 : 1240 z— 500 : 155 tertius5 SCHOLION. 167. Si alis annexm fint conditiones, ut prius di&um eft de regula compoíita, ii, exempli gratia, prwter collata diverfa, de etiam tempora fint diverfa, pro quibus finguli contulerunt; tunc antequam proportio ordinetur, collata fingula per fua tempora multiphicentur, & hec nova collata in unam fummam colligan- Aur, & proportio cum his novis terminis au&is fiat. 0fae Exempl.I, Mercator primus contulit IOO ad 19 menfes fecundus 13O0.ad IO menfes 6 menfes tertius 300 ad pri- & lucraii funt rTOOOCO, qu vritur lucrum cujusvis? e erit collatnm primi 1900 fecundi 1300 guot tertii 1800 Summa 5000 L5 5 OC* W 370 CAP. ViIl. DE REGULA AUREA, * primi " "$009 * 1900 s l0000 : 3800 * | $000 1300 — Ioooo *. 2600 fecundi * * tertii« $9000 ;800 M IOOO0 : 3600 SCI*fOLïON IL, 168. Q hic addi folent ab arithmeticis de regula alli: gationis vel mixtionis, in æquat'ïonibus ($. 160.) tradidimus, DEFINITIO III. W 169. Reguïa faltfe pofitionis confitit in eo, ut Pj incognitorum terminorum loco affumatur valor arbitra- tUnn rius, qui tamen quantitatibus incoguitis . proportionalis [ fiat, ut per regulám trium valor verus eruatur. lN Exempl. I. Sint dividendi r309 8. inter tres perfonas; primus quintuplo plus habeat quam fecundus, fecundus duplo plus quam tertius. Si hic acquirit I, fecundus acquirit 2 & primus IO, fumma horum eft I3. Fiant jam tres proportio- nes: $i 12 funt diftribuendi, primus acquirit IO, fi 130O £. funt, quantum acquiret ? IO ICOO pars pfimi | 13 1300 13 Z 1300 200 fecundi :: r t d d S 100 tertii Bu 13 1300 T .SCHOLION, n I70, Quisque advert-it, h»c & ümilii ptoblémat4 per equationes íimplices, & regulas ibidem traditas folvi, hinc de hac methodo plura non dicemus, algebre enim elementig ig» fitutus, falfe poütionis adjumentis opus non habet, K Y : r 7 * U :— 7 NIN M 1 C À- Mb GN $"7I priethemnteesioroiiia ii x mmm — —— C A P.U. T. IX FE DE PROGRESSIONIBUS. li, DEPINITEIOS I rogreffio eft feries quaniitatum continueé pro- Iyr.P reid portionalium : arithmetica, fi quantitates fint arithmetice proportionales, hinc etiam feries numero- Dittd« rum zquidifferentium dicitur; geometrica, fi quantita- nl tes fint geometrice proportionales, hinc dicitur feries numerorum, qui femper eundem habent quotum. Utra- 0257 fgue in numeris ita exprimitur: duplo 2131 I-4 * 10 13 I6 19 22 GC. Qrtio« 124 8 1932 64 128 &c. 0 1 DEFINIILO . 172. Prorgrefiio crefcens eft , dum confequentes majores funt antecedentibus: decrefcens, dum minores, In creícente ultimus terminus eft maximus & primus minimus: in decrefcente primus efü maximus & ultimus miniinus, p c de CORC»LLAAR.IUM.' lm. 1'73. Orivo igitur progreffionis eft proportiö continua, (iuæ fcilicet fi continuetur , quaerendo per regulas fequentem termi- »um, in progreíffionem abit, Si fit proportio continua — I. 4- 7. & iterum fiat 4 ad 7 ficut 7 ad Io habetur quartus terminus; & rurfus 7 ad IO ficut 10 ad 13 habetur quintus & fic ulterius in infinitum. ldem fit in geometrica 1: 2 — 2: 4 & 2: 4z4: $8&4: 8 —— poseu 8 4 A ió &c; I6, quae contünue expreffe dant I: 2 $ S CX O- — é6ApPUT x 172 SCHOLION. L d Vplesta v 174. Ad evitaádam confufionem femper de crefcente age- eencum mus, facile erit cuivis mutatis fignis aut contraria operatione & um ter inverfo ordine eam in decrefcentem mutaré, eaque, qus» de al- *2 t tera dicuntur, huic applicare Et cum proprietates progreflionis UE arithmetice , & Corollaria inde deducta multum differant a pro- teemnus a iv prietatibus progreíffonis geometrice, de iis primo feparatim, us eft, Q tum de aliis loquemur «mmune Ti tet Theorema fundamentale. I75. Quzvis progreffio arithmetica crefcens r poteft reduci ad hanc formulam: & ultim ..—a.a—i-da-[—zda-l—-g,d a -- 4d. a -- $d us orum V oeseni i &c. in mümtum. primun ;*'r Al DEMONSTRATIO Téntia 1 Progreffio arithmetica eft feries quantitatum c«equi« ftrentia differentium , ergo quilibet terminus a precedente dif- fert vel major eít eadeim determinata & squali differen- tia v 5i ergo terminus primus vocetur a fecundus erit behitur idem primus plus differentia hoc eft a -- 4 tertius item fi idem antecedens plus differentia eadem, hoc eft « -- d Wi e -- d feu a -- 2d $ & quartus idem tertius plus differen- tia, hoc eft a -i- 24 -i- d íeu a -t- 3d & fic de reliquis qunti M ww ergo bene progreífio arithmetica creícens precedenti fumm formula exprimitut Q. E. D. In numeris idem obti- fum f netur: Wotym €0, 2. 2*l-3. 2-1-6. 2 H- 9. 2 - 12. 2 -- 15. 2 -- 18 fumm 29 fione 3. 5 À 8 . YrI e 14 L "T e tetea in decrefcente ponitur à. a — . 4 — ad. a — 34 eXtte &c &c. Ptor COROLLARIUM I u mmy 176. Qui quemlibet hujus formule terminum conf(iderat , w advertet, eum conítare ex termino primo a, & differentia mul $1* — DE PROGR ESSIONIBUS. 123 üplieata per numerum , qui fit 2equalis nu»z;iero* terminorum prz« !(e aget eedentium, feu qui fit unitate minor, quam terminus petitus. done & Ita in termino quarto d ducitur in 3 feu quartus terminus eft a | de aj -- 2d; terminus fextus eft a -p» 54; terminus vigefimus eft à telionis -- t3 d. Siprimus terminus fit 2 , differentia 3, erit vizefimus à t« terminus 2 -- 3 X I9 — 2 -- 57, — 59 Fundamentum hus fati, jus eft, quod omnis terminus przter primum habeat differentiam communem fibi additam, ergo toties fumitur differentia, quot funt tesmini preter primum feu unum. COROLLARIUM II./ x(Cens 177. Si determinari debeat differentia inter term!Inum primum & ultimum , feu eum, in quo progreffio ceffat, fubtrahatur termi» 451 nusprimus a ab ultimo vg. feptimo a-I- 6d, erit re(iduum (cum & — a fe deftruant ) ze 6d, hoc eft: differentia inter terminum primum & ultimum .eft. equalis differentie communi d. multiplicate Ita diífe- per numerum terminorum progréfffonis unitate multatum, rentia inter terminum primum & duodecimum eft — II d: dif- ferentia intet primum & vigeümum eft —3 19 d. Í &t e (if- COROLLAHRIUM II ofell« 179. Si accipiatur fumma ex termino primo & ultimo, ha» erit behitur ea »qualis fumme ex termino fecundo & penultimo: item fumme ex termino tertio & antepenultimo, fi ünt fex ter- us mini erit progreffio a. a -I- d. a -- 2d, a -4- 3d. a --- 4d. a - n Sd. & fumma primi & ultimi feu fexti 9d -- 5d: fecundi & efet quinti 22 -- 5d: tertii & quarti 2a J« 5d: hoc eft. generalitet qui, in omni prosreífione arithmetica fumma extremorum -qualis ef fumme terminorum ab extremis zquidiftantium, hzc rurfus alios jenti rum fummz ab extremis eque diftantium, vel f( numerus termie« obti« »orum eft impar,. duplo termini medii. Fundamentum eft ex eo, quod in omni proportione fumma extremorum íit vquali$ fumm:e mediorum aut duplo medii in continua , fed in progref- 18 fione quilibet termini poffunt eíffe extremi aut medii ablatis ine terea reliquis, ergo fumma extremorum eft equalis fummz ab -31! extremis eque diftantium, qui ut medii confiderari poffunt. in progzrefhone 9. 5. 8. rt£. I4. I7. 20. 23 fumma extremorum & zquidifantium eít 25. Si feptem effent termini & ultimus 20; fumme eífent 22 & znedius foret A1, ewjus duplum etiam w 22. tàl; 2 J l^ € Q- m ia CAPUT IX 174 COROLLARISUM, IV. abehirt: m & 179. Cum omnes if fumm:e (nt eqvales; fi' accipiantur witate ho toties, quoties in progreffüione continentur, habebitur fummá Ex. órinium terminorum totius progre(fionis, fed continentur toties , pume - quoties termini bis fumti adduntur, hoc ef, quoties unitas in minorum - dimidio terminorum numero continetur, ergo fuümma totius pro- -4( l greffionis habetur, fi fumma primi & ultimi multiplicetur per Ex( dimidium terminorum numerum, feuquod idem eft, fi dimidiüm & frmma- primi & ultimi multiplicetur per terminorum mumerum , vel etiam fi fumma termini primi & ultimi ducatur in numerum ter- forum ny minorum, & fa&um dividatur per 2. Si igitur fint fex termini , erit fumma. ( 2a - 5d)) 3 — 6a -- 15 d. $i progreffio fit 2. expreftto . 5. 8. 1I. I4. I7. 20. 23. erit funma (2 -- 23) $ — 1c0. COROLLARIUM. V. Qu 180. Dedücitur inde ad quinque re$ diverfas in omni pro- £reífüione attendi debere, a quibus.propriétates & note cujusvis if progreffonis dependent: ad terminum primum feu minimum, in quo incipit prozreffio: ad maximum feu ultimum, in quo defi- proeref nit: ad differentiam. communem progrefhonis feu terminorum Ut inter fe: ad numerum terminorum: & tandem ad fummam om- nium terminorum, que omnia ita inter fe connexa funt, ut de- Dtogrefi terminatis femel tribus ex his proprietatibus relique dus deter- minentur: ita fixo femel termino primo & ultimo, & determi- 14 nata'differentia impoffibilis eft alius quam determinatus termino- rüm numerus:& fumma omnium determinata. Si progreffio. in- cipiat a 9 & definat in 22; differentia vero communis fit 3, In impoffibile eft, ut vplures fint quam 10 termini & fumma .alia eXoteffi «uam IOO, &Quatiy WSC*HOL*I O-N.- a]iäm D 18I. Si tam ha propnrietates, quam illa, qus per hæä Co- bentur q folaria di&a funt, algebraice exprimantur, generales hac ra- ft1à pto tione obtinebuntur expreífiones , cuivis cafui particulari fervitu- re, ita utdatis tribus ex predi&is quinque, femper reliqua duo QUatta f inveniantur. IO [ E Sitï terminue primus feu minimus * (9:] terminus ultimus feu maximus differentia terminorum . n W du humerus terminorum fumma terminorum Ed $x 58.g n«nx hab e- *s — À DE PROGRESSIONBUS 175 habebimus ex Coroll. T. Quemvis terminum wqualem termino pri- moa, & differentiv communi d X in terminorum numerum minus$ Antta unitate hoc eft in n — 15 ergo quivis terminus z—a -I- nd — d nmnà Ex. Corol! Il Differentia inter terminum primum & ulti- u sum & — a eít equalis differentie communi d in numerum ter- minorum — 1 feu ud — d & tota hec proprietas exprimitur « pro- Wt Ex Coroll, IV Cum fumma totius progreílionis f' habeatur , ä dium & fnmma primi & vltimi feu a *f- € ducatur in dimidium termi- vel j2 norum numerum,íeu in 2 n aut —— habebitur hujus proprietatié nini, an - n - expreffio alvcbralca f—-———— 0s 2 Que exprefhones folutioni fequentis Problermatis inferviuht. PROBLEMAI fto Usvi$ 182. Conftruere formulas n quibus, datis tribus delie progreífDonis proprietatibus, reliquae inveniuntur. tum Ut exemplo illuftretur refolutio , proponatur 0n de» progreffio fequens: tere Ym 1.4710 I5. 16. 192 25. 28. 31. 34. 1no- RESOLUTIO | 1 In przcedenti fcholio ex Coroll II. deduc&ta eft 3 PUA expreffio algebraica & — 4 —— d — d Si in- hae zquatione quantitas quzerenda ad unam & datz tres ad ha* m aliam partem per regulas xquationis transferantur bentur quatuor formule, una pro termino primo a, al- ( t tera pro termino ultimo « tertia pro differentia 2, & jtu «uarta pro numero terminorum 7Z QW ID & —nd-J-d L, Term. prim. z— 34 — 36 "-2 hoceft 1 1l «k—nd— d-- a lL. Term. ultim, — 26 — 3 *4- I hoceft 34 — NI d ———. n 1H, Differentia z ——-— z sredd d — a*j d 24— 1--3 ! E£v, n..... — IV. Num,term.zm —— ÓQ Á — —— zi2 3 E Q b d To "g. 176 CAPUT IX Pro tertia formula, in fecunda factum nd — d xefolvitur in fa&tores n — I X d feu (n-—1) d*ä—-a&n-—-ï trans- [£ ] fertur.per divifionem. In eodem fcholio habetur ex Corol. IV. expxeffwo pro fum-. ID an d- cn £a J —— Si jam in hac equatione quzeratur ut prius 2 f Xl expreffio f, a, €& , & m, habentur fequentes quatuor formula : 'an -- on IXI2*-324X12 'ær — —À—— ——— W. Summa —— 210 2 Pun 42 9. Vi a-——-€ XI. Term. prim T2 """"""34-—-—-1. V — — —— d VIL Term.ult, —z-$ 259 — I I e r 34 f 420 N VIH,. 2 — À—— VIII. Num. term. — À À uÀ I2 [:4 s me 34 — f Pro fexta formula qumta mutatur in hanc 2f z anm « " feu an -- wn z 2f, translato wm fit am z— 2f — wn divifo per tum [ nerita — — — — feuazz — — $, idem fit in feptima, —— m n n Pro o&ava refoivitur quinta in fa&ores 2f z (a "- 9) r r Ut & translato a *l« « per divifionem habetur o&ava, id Si jam duo valores quantitatis a, duo quantitatis m pnue inventi inter fe compatentur, pro terminis quzrendis aqua- tenor tiones fiant, habebuntur duodecim alie formulz. Ita combinae 2./' ta prima & fexta & —5. nd - d —— — $ habetur H ii tas Zf-l-d'z -'--(fn XX, € À Qu 20n — [a d * o l —— RUE Tadic mun , QU ( 2Gn-——-du -b dz ienm XL f-— — — —— MM & Ó tüt fo J À E E D 2 — wde — a lia n deno XKIL n igy ! feu M In li M m ^ DE PROGRESSIONIBUS JYéd Vituf 1 in numeris: | tfanj 420 d- 432 — 36 .. IX. Terminus ultumus — 34 24 to fu. 816 — 420 X. Differentia — —— —— 144 —— 1 ER ieni as üut us Xh 3Summaz — 816——4 -F 36 —— ÓQ s 210 lg 210 II56 34 420 XILEL Num,- 34 — ^—4-i1—-—) - -—-3—-3 zb 9 3 - x 4 Nona, decima, & undecima per folam transgoütmmm fiunt; duodecima transpofitione mutatur in hanc n^d — 9«m .. dn — —— I2 29 — d of .-..-.QJ; feu nz..—.. LURSMSM sE MMÀ LL GmxES - ; hoc cum. fit quadra- n—þ(tm 4 vifo pe tum incompletum (S Io06 ) & unus factor —— ", erit alter fa&or 2 — MMM—À —— — feptuma 2d 140.) exquofifiat quadratum , habetur —— h) ocd Wu- quod reduci poteft (delendo in numeratore, & 2d" d 1 th*: i 2 denominatore zquales quanutates) ad -!- -—t- à» qua quan- ynbiné 20 -——d titas utrique membro additur, & erit 2quation? — ( —— n 2 9 ? X "!'.-- pu — — extra&a dein —'— dz -*- —*—4 d^ 94 — d radice ex prima parte manet Hnh— —— feup-— — — que duz quantitates negativz cum fizno -[- transponuntur ad al- teram partem , ubi prior quantitas figno radicali fubftat & habe- tur fola quantitas . Refolutlo in numeris ita fit V ( ....,-....,-- XIse« — 34 R e R ImjIee 5 tedu&is prxorxbus ad commumm denommatorem erit v ( xi' R— XSI———Q) .—i" , hnc eft feu — 1 r M '26 , extra&a radice habetur g quod additum ad - dat o "» feu I12. Combinando fecundam & fextam eliminato w* habetu H "d — d -- z — —— aqinde AMetzb. IMath. P. E. M XIII Er À h x i CA PUT IK 178 Dt a 2f n AXIILOos — ,-!........ »la . a ,—.W.*.) — ( membri — d "'meerus Vi o -- 9 nun 420 26 XIV, & —— —— — — - —. Yerminus primus z —— — — ii 2n [s.] -t 2 Y NT RUT PMer ERE L M z4 3 Ti 110 nui l-- 21 9f — 2an —— 420 — 24 — ä'-d XV. .Diferentiazz ———-——— — . H — 144 — 12 j ] ?d — nd.-4-. 2na 32 — 36 H- 24 XVL f -- $umma —— ThS [ // 2 2 $, d 210 tes for Decima tertia eadem methodo qua prior duodecima refol* vitur complendo quadratum & extrahendo radlcem' 1efoluf10 in La numeris fit, redu&is fra&ionibus 190 -- 2 307* — -J— . àd com- 041 Vl munem denominatorem 15 $* &ad mmores termxnos d r-x-—..(— ex- tra&a dein radice ex hac qu?nutate, habetur ,.M 7-E cu1 adduntur i 7 vitime duz fra&iones — 4 -- z fcu»-—-*-—i— —— XN, — I2. Decima quarta , qumta. & fexta per folam transpofitionem habentur XIX, — a -- d Combinando quartam & o&avam eliminato z habetur — d 2 II, 9 m-——-—— inde fit a VL . z ..—..a 1156—1I XVIL. f— -——-a EO 4-iq-34c-21e 6 IX. 4 0 — Q I156 — I XYVIUI. d — leferentm AA D ii ia ii -—-—43 ÀX u n 420 —1 — 34 XIX. a — V ( &* -- ed — 2/1- - 1d*) -- L d Primus — x/(ugöq—- 109 .— 1260-4« 9) d- i XX. e — v (a^ —ad-- . 4* -- of1) — lr i Ultuinus — x/(möo-æ-r———-s)-m,:—»— 3. z 24 xld De- E. W E H DE PROGRESSIONIBUS 1"9 Decima feptima & o&ava pertranspofitionem habentur; de- eima nona ab initio per tranfpofitionem &^ -- «ed — 2fd — a : — ad quod fecundum membrum quadratum ef incompletum & — ad duplum fa&um radicum proin 2 d alter factor, mutatis z membris & addito ex utraque parte quadrato i g* habctux a r ad -l- I d* c— -^ --.9d — 2fd 42 dSZ extra&a radice I g. a— id & transpofito 2 d habetur valor quantltam a. Refolu- tio numcmca dat V/ (--— 9 -- 4) 2 —— ) b s feu V (—f-F42-3 4. o 3 --—-u...— — — 2 —R " — Rs 2 I Refolu- -35 V1gefxma eodem ordine quo præcedcns formatur. tio v4- -l:- — 2 TI numerica dat V/(1258 -- 2) — i-v us « l- L 34 COROLLARIU M. 182. Datis ergo ex his quinque: termino minimo: maxi- 4 mos differentia: numero terminorum . & fumma: id'etexe, $, d,n, & f datis tribus inveniuntur reliqua duo per fequen- tes formulas : P. Pro termino primo, ; tefol* i. 4 dn -- d lutio 27 1 corte ...—,—...m VL a a 2f — dn - dn Kiuut 12 XIV q — — — — — - on lLlOF em XIX, a 2 V/(&^ -- ed — 2fd -- 2 d^) 4- Pro termino ultimo t Il & —5 a - odn — d VII. 9 — — —— a 2f -4- dn^ — dn IX. w L— — 2n f ; XX. « z w (a^ — ad -- odf 4- ») Pro differentia, — Qd 3! Hr-d —— ———. m E 2«n — 2f XI d [POERORBEUNU IDf n.—-——n M g LXT Y pe 180 CATUTX. ? - .f —- 2an — — XV. d z — E — (l XVIHI 4 — liab r i f——a—.æ Pro fumina. an l- en v. f m-— — ex fec nl oc«n — dn? -4- dn VI. f o w—- nzd--;d -r2na 4 XVl. fmz-————— n 2 ï —— Á ÓÀ2—————— &^ — a? - ad J« ced, XVIL f od Fro numero terminorum. um : IV Q —-a--d VIIL, y m —— 2f a -- 0 z 2f 15 p NWIH. n ——.—i-—.—. — — d? r d ht 4 Quan of — quot XIIL n ———- ä— —*--——- dz SCHOLION, 194. Ut videatur, qua ratione in praxi ufus harum formu- farum fieri poffit, fequentia problesmata-id declarabunt. PROBLEMS4A I e'ZP 185. Petrus bibliothecam 1400 librorum ven- diturus pro primo libro petit 2 cruciferos, pro fe- eX lr cundo tribus plures, pro tertio itidem tribus plures &c. Quiritur quantum pro ultimo, & pro ommni- bus fimul acquirat? R E- DE PROGRESSIONTBUS. 181 ^RESOLUTIO, 1400 3 *o&R u B 2 () quaritur f qusritur ex fecunda formula: « z a -- ds-— d 60 — 2 -- 1400 X 3 — 3 hoc eft 2 M- 4200 — 5 z 4199 xris pretium ultimi libri ex quinta formula : an -- o 6 fz Z Y z 2 X 1400 -]- 4199 X 1400 h ft 2800 -- 5878600 2 2 588r400 EE —— - d r 2 6700 xris feu 4901I fl 30 xr. PROBLEM A. IL I86. Dux primis 12 militibus valium fuperatu- ris praemia promittens ftatuit, ut primus acqui- -7 rat 49 aureos, reliqui femper 4 minus. Quaeritur, quantum ultimus, qui minimum pretium accepit, & quot omnes fimul? *[ RESOLUTIO. T sR ( —— 49 forrti d 3A & & f queritur ex prima : 4 z 60 — du 4- d & —49 —48--4-7-5 j ven ex undecima: f z 208 — dsi^ -- d:)z JUES fa g Pï x,r T ucruum d 1176 — 576 "- 48 648 ieso du p 2 | — 24 omni M 3 I:*RO- 189 CAPUT IX PROBLEMA II I 187. Petrus 222 groffos diftribuere cogitans perdf I2 pauperibus, primo dat 2 groffos, Quaeritur quantum ultimus, & qua differentia finguli acqui- rant ? m r Vosmmico I F 222 n—19 a——2 Q & d queetitur. a pottio exfeptima: 9 z— —— —— 4 5 Dccrseean 4 [ CR OaED ] I termi) i in—- 2an - ex decima quinfa g e ferent 2'21—*'* LA Confe 4 —.48 396 d - z——-£Im3 144 — 12 132 ALOR PROBLEMA IV. Ptorred I88. Operarius primo die acquirit pro labore fuo 3 groffos, fecundo $ plures & ita porro, ho- die acquirit 38 groffos. Quæïitur quotus fit labo- ris dies? & quot jam gïoiïb'ä acceperit ? tsffio a 3 d habe Q l- d 38 &&f qustitur miai e — a --d Jtifat ex quatta : B25 predi 5 — — 8 9 (* — a?. -- ad -- d / ex decima feptima: f —— od potel Summa z l444 —-9 - 15-- Igo— Tihperetin 64 110) ü SCHO- DE PROGRESSIONIBUS 185 SCHOLIO:N 189. Hac methodo infinita quoque alia problemata ad has (ns progrefhones pertinentia folvi poífunt. vg. hoc quod fequitur & r Q l lc PROBLEMA V. 190. Iüvenire terminos quotcunque medios pro- pmuonales datls prlmo & ultimo. RESOLUTIO Differentia primi & ultimi dividatur per numerum terminorum omnium unitate multatum , quotus erit dif- ferentia communis, qu: addita Pïæccdpntl termino dat confequentem. Ex. Inter 7 & 13 fint inveniendi terminl 4 erunt ergo pro- 7 gt ais termini l—6 & habetur ———— — z -g— — äcrüo erit —— M À P rogreffio: - - 2 Dore 8 5 9 5 IO II t:-r3 ho DEM)ONSTRATIO " [abo« Inventa differentia progreífionis determinatur. pro- grefho, dato termino primo & ultimo, fed differentia habetur ex formula 4 z hoc eft differentia ter n — mini primi & ultimi divifa per numerum terminorun unifate multatum dat differentiam conmunem , elga predi&a refolutione determinantur termini petiti. Theorema fundamentale, X9I. Quzvis progreffio geometrica creícens poteft reduci ad hanc formul m., S' as ag. 41 3. aq L aq 4q' &c. in infinitum. M. 4 D E- «2 194 C A-P-U T X DEMONSTRATIO ]ö un t1 10. Ptogteffio geometrlca eft (eries numerorum eodem itg termt femper quoto differentium, ergo quilibet terminus con- tremo fequens debet effe zequalis antecedenti aucto per multi- duo 3 plicationem quoti; & cum quivis fit antecedens refpe- quis , &u confequentis; femper confequens habetur, fi ante- (ii fe Si ergo 14 1 cedens ducatur in quotum femper eundem. primus antecedens fit ; & quotus 4. confequens erit a f"tf tem X4feu g, hujus confequens rurfus a4.X 4 feu a7^, hu- tatut jus rurfus ag^ X 4 feu aj? & fic de reliquis indefinite fumptis, ergo quivis progreífio geometrica præcedenu formula bene expr1m1tur. 3m COROLLARIUM I tum i inve- primi I92. Qui rürfus hanc formulam attente confiderat, niet, quemlibet terminum conítare ex termino primo a multi- k q tüm i plicato. per quotum g elevatum ad eam potentiam, quam indi- cat terminorum numerus precedens, feu quam indicat totus ter- "n minorum mnumerus unitate multatus. Fundamentum eft quia omnes termini confequentes funt multiplicati per quotum, pri- mus autem nec'eft confequens, adeoque mec multiplicatus pet quotum, ergo multiplicatio fit per quotum toties, quot funt ter- Ttus minl preter primum feu unum,; lta fextus terminus ef ag', UI duodecimus terminus ag'' &c m taty SC.HOLION. Y93. Si hac, qus di&a funt eneraliter exprimantur, & Te $ terminorum numervs accipiatur indefinitus feu — z erit termi- nus ultimus, in quo ceífat progrefho — aq" d u x q ele- vatum ad eam potentiam, quam indicat terminorum numerus unitate imminutus, feu numerus terminorum precedentium. 1ta Btor duodecimus terminug eft — aq Rl f,OROILZLARIUM.H P Oer fátior I94. Si accipiatur fa&um primi & ultimi, invenitur illud Ti er equale-effe fa&o fecundi & penultimi, hoc rurfus zquale fa&o Quiv] tertii & antepenultimi, & in genere facum extremorum fempet Patet m effe equale faco terminorum ab extremis zquidiftantium. id Vi DE PRQGRESSïON IBUS. $ i d in fuperiori formula, ubi fa&um termini primi & o&avi eft a^g7. fecundi & feptimi a^g7. tertii & fextia^g^. quarti & quinti eodem a?g?, Fundamentum eft, quia cum ommn'is progreífio fit feries US COI- terminorum proportionalium , & in omni proportione fa&um ex- - multi- tremorum fit »quale fa&o mediorum, in ferie autem quibbet ablatis relie duo squidiftantes poffint effe extremi vel medii j telpe- quis, & rurfus ablatis iftis alii duo zquidiftantes extremi & me- j ante- dii fequitur, fa&um omnium zquidifantium zquale eífe debere. Y etpo lta in ferie —- 9: 4: 8: 16: 32: 64 fa&a zquidittantium Si $ ert t funt 64 X 2 — 128, 32 X 4 — 128. & 8 X I6 — 128; terminorum numerus eft impar, medius per fe ipfum multiplie j, hu- catur, & quadratum medii et zquale fa&o zquidiftantium. definite iCedenti COR OLLARIUM Ill 195. Ex ipía hac gene.rali exprefhone deducitut, termi- num primum effe ad tertium, ut quadratum primi ad . quadra- tum fecundi; hoc eft primus a ad tertium ag^ ficut quadratum primi a^ ad quadratum fecundi a^g^, In utraque enim ratione E, llm"e' ei quotus q^, ergo vera eft proportio. Jtem primus ad quar- / mïlkï- 3 tum ut cubus primi ad cubum fecundi: eft enim a: ag? ÉZ . m ini- Xtus tet- 8795 ; rurfus enim quotus eft g? &c. ; quia - COROLLARIU'" Iv. u Qï:-." yus pet 19!6. $i in eadem expreífione generali a feu terminus pri- od i mus fit — I, prosgreffüo a: ag! : ag ag? &c. abibit in hanc (ünt tef' X el 49)9 I-1g : 19 dQ WNoC E Is 9 1q^: q? &c.; & cum omnis — terminus, cujus exponens eft — 0O, fit —ÀáÀ I ($. 48.)loco uni- tatis poterit fubftitui g^ hinc tota progreffio exprimetur Q? : g* : g*: Q &c. unde patet potentias quantitatum eífe in progreffio- ne geometrica, exponentes vero in arithmetica, tlf s & t terimi- SC HOLION L x ( qor numefus I97. Ex his jam, que de progrefüonibus & fuperius de 7 T2 proportionibus geometricis di&a funt, erui rurfus poterunt for- mulz rolvendis problematis geometricis infervientes, quz circa progreffiones proponi poffunt. Cum enim omnis progreífüo fit rationum equalium continuarum feries, etiam in tali progreffio- fud ne erit fumma antecedentium ad fummam. confequentium , . ut y i quivis feu primus antecedens ad fuum feu fecundum confequen- 316 faöo tem. jam in progreífiüone quivis terminus eíl antecedens preter [emper utimum, cum non habeat confequentem, & quivis eít confe- ! fatet M S quens j 126 CAPUT IX quens pretet primum, qui non habet antecedentem. $i ergo fumma terminorum fit — f, erit fumma antecedentium fumma Et eut omnium terminorum ininus ultimo —— — &) & fumma confe- 4 quentium fumma omnium terminorum minus primo — f a, üoum — ergo proportio prior exprimetur f — «: f — a —— a: ag, fa- 4ta ex hac prorzreíhone zquatione multiplicatis mediis & extre- xj -- jozm mis habetur füg — €ag —— ja — aa, omnia dividendo per.a erit fj — «g —j — a. Ex hac zquatione &a & w &g & f Ut illufretur fimul tins a prima per regulas zquationis invenirl poffunt. exemplo fit proportio : Y o 39 27 81 243 729 2187 I, a — 9Q — fj -- f. Primus — 6561 — 9837 -- 3279 — 3 tents fuce A. [2 ultimus —— 9937 — 3229 VF z 187 fa. potet ......-—..—- * Ej * K—a 3279 — p PUf G at I E UL PUR RMROSNCRR 3 t HI. g2 ) . Quotus —— 3 f 3279 —2187 . L — 6561 — 3 Y IV, L] Summa —— ——————* zx 3279 Q-.—— g TUf 5X!)4 Prima & fecunda per tranfpofidionem invenitur; pro ter- Jotto, qu tia & quarta refolvitur. fg — g in fa&ores (f — e)g& z — d'in fadores ( q — I ) J. fummm | Eit SCHOLION H. eX feptim; 198. In Scholion ($. 193.) habebatur expreffio pro ultimo tetmino ag" — ! hoc eft & — ag" — ', ergo in quarta formula * loco € fubítitui poteft ag"^ — " fed w eít du&um in q ergo etiam r LE * duci debet in g: in multiplicatione quantitatum expao- nentes adduntur, ergo ag — ' X q —— aq' — ! "F ! z2 ag" & n - ———— q——-—*(l abibit formula quarta in hanc: f — unde per tranfpofie 1 g tionem fequentes due formule habent ur : — AX 9g 73 BI ET MEMETUEE Summa 561— 3 2 i 3279 g-—— fa — — —— VI Primus z 9837 — 3279 .— Q-—-——- 2187 — 1 & &b exprefone & — ag*—- ' habetur per tranfpofitionem & extra&ionem radicis: Vil. 9 z ag HeL *o Ultimus 23 13 X 729 — 2187 218 —— MÓ— . — [ VE Q €— ä//(—-z- Quotus z— 9 [5 LIT Et DE PROGRESSFON IBUS. 187 l en f'umma Et cum Q" — ! equalis üit gg ($. r98.) fit per tranfpofi- COnfe« 4 ...12, tonem — — q" & erit formula: , fü extte- IX. g^ —. Numerus p —— numero elevationis quoti ad poten- pta (&f fmul tiäs a prima incipiendo, donccïaliqua. fit equalis quantitati —. In noftro cafu eft E:— e— 0r87 &Aquotus 3 elevatus ad po- tentias fucceffivas 29::9: 97: 81: 242: 729: 2187 dat fepti- AC $mam.potentiam, numerus ergo terminorum. eít feptem. PROBLEMA IV. 1'99.-Petïus fpe.lucri prima vice unum flore- num expendit, fecunda duos, tertia quatuor & ita [^] ( Gt« porro, quzeritur, quantum duodecima vice & quam j & J fummam expendat ? [4) Ertaz143- d n--190&&./fquxritur X at d eX feptinia formula o —— ag" — ultimus Ix 2* Mu Qg —2 —— —— jrmula —— 2048. ex quarta formula f —— Sumima etiatt g——— expoe 4096 — 1 5 ? q7! & Tuuea: MMM À — ; — 4095. &c. &c. yfpol CAPUT X DE COMBINATIONIBUS. &m('i DEFINITIO. ombinatio eít methodus inveniendi omnes aoo.C conjun&iones poffibiles , diverfas fimul plu- rium rerum, qus binz aut þinæ, terne aut terna, qua- 188 CA TUT?OX Si quatuor & quatuor &c. fimul accipiuntur, fine aut cum refpectu ad diverfitatem etiam loci, quem res combi- bus adi binstioi nate occupare poflunt, quod a problemate dato de- pendet. eg o S:C-H O L1O0- N Hi binatio 2OI. Ád hoc obtinendum mneceffarium eft, wut ab initio tionum operatio cum parvo numero quantitatum inftituatur, ut lex de- tegatur, quam combinationes in quantitatibus juxta numerum fie$ Con datum combinatis fequuntur; inventa hac lege in folutione pro- termin blematum nulla erit difficultas. N qutuol trium: PROBLEMAL lete d 2092. Invenire numerum combinationum, quz R— fieri poffunt cum 24 alphabeti literis 2 & 2, 3 & lis (f Ompit 45 — — — — 24 & 24 fimul accipiendo. ia a. RESOLUTIO ET DEMONSTRATIO. L [ 1 Y A combinatum fecum ipfo dat 2z, combinatum cum 5 dat ab, cum c dat ac &c. ergo erunt a4 combinationes literz 1 9':"1 a. Eadem methodo ? combinatum cum 5 dat )b, cum « dat 4b &c. & rurfus erunt 4 combinationes litere 5, 2Q 31('&0 ita operando cum c cum Z & reliquis adverto, quod li- tera quxlibetprimo loco pofita 24 diverfis vicibus cum MT reliquis combinari poffit,ergo omnes 24 fimul dabunt binarum combinationes diverfas 24 X 24 feu 576. X Ofr Si jam trium combinationes accipiantur, hoc eft ad quamlibet priorem adjungatur a, erit.prima aaa, fe- 3 V, cef cunda a4b, tertia aac &c ergo folum a dabit 576 novas trium literarum combinationes; quod de 4 demonfítra- 165 indi Utue ag tur, de omnibus 924 literis ^, c, d &c. dici debet , üt termjl quxlibet enim $76 novas trium literarum combinatio- combinationes nes dabit, hinc facile conucluditur , /A omnes feu voces trium ;iterarum effe $76 X 24 hoc efi 1 3824. Wt s Si 189 DE CONIBINJ&TäON IBUS. f um Si quatuor literz conjungantur, fit ut þriujs : 0 priori- Ombi- bus adiun&um dat novas 13824 quatuor literarum com- 0 de binationes ; idem cum omnibus 24 literis contingit, ergo combinationes quatuor literarum funt 13824 X 24. His jam premiffis advertitur, quod ulteriores com- binationes femper obtineantur, precedentium combina- initi X de- tionum fummam multiplicando per 24. Hinc combinatio- menum nes conftituunt progreffionem geometricam, in qua primus e p terminus eft 576 combinatio duarum, trium fecundus , quatuor tertius, & ultimus denique combinatio viginti trium? quotus vero 24, & numerus terminorum uni- tate debet eífe minor quam numerus literarum , hoc eit n a 25,. , que Facile jam erit ex precedentibus formu- lis ($. 183. ) invenire terminum ultimum & fummam 48 ) omnium. Nempe ultimus — 44* — z a^ & fumma "T d gt * ]oco « fubftituendo ejus valorem aq" ^^ ' erit f i " | 576x24?? — 8 4 6 um ) 2 e ï?...:——lï (S. 198.) feu/ z - 3 liter? u ! COROLLARIUM L at b; 203. Si etiam literz fingulz accipiantur, (ine aliis, feu a, uoi l b, c &c folitarie gtïam ponantur, erit terminus primus a — 24 & ag feu 24 X 24 fecundus & fumma tota — 24 X 24** a. [ cutn 23 dabunt z omnibus vocibus pofübilibus 24 literarum, $. COROLLARIU M. II « & 204. Siquis numerum pauciorum combinationum defidera- Lm) fe' tet, ceffabit in progreffione in eo termino, qui eas combinatio- fj0Va$ nes indicat, Ilta numerus combinationum 9 & 2 ,3&3———- onta ufque ad 6 & G fimul accipiendo, cum hzc combinatio quintus jebt!» fit term.inus , ent'ar. pinatio PROBLEMA 1. tionet 205. Invenire numerum combinationum, dum woc dl certus tantum numerus quantitatum fumitur, & qua&e- vis i 190 UAPUT.-X vis toties ad primum locum ponitur, quot quanti- tates fumuntur. P deferm RESOLUTIO sr DEMONSTRATIO A & b binos & binos combinando dat aa bb ab ba 4 combinationes feu fecundam potentiam W D c bina DA ( numeri quantitatum combinandarum aa bb cc ation & bine fumpte dant 9 fecundam rurtus Qf POtPütlalïl numerl quantltatum combinan- ab ba ca ac bec cb ho aarum. 4 b [^ d dant 16 &c admit! ergo combinatio petita oftendit potentiam ad quam nu- Tloyas merus quantitatum combinandarum elevatur. que v; ü b c terni comparati dant 27 combinationes , tem mt hoc eft tertiam potenüam numeri quantitatum combi- 6G nandarum a. . d terüi comparati dant. ter- qu-is hc tian potentiam numeri 4 &c. ergo fi numerus quanti- üür pro tatum z w, combinatio petita —— , erit numerus com- (hodo f binationum quæütub "]" Si quantitatum 6 quaternarii petuntur, erunt hi z— 6* z I296: fi quantitates 9 , - erunt quaternarij — 9* —6561 Si quantitates 100 combinatio ternarlorum erit numierus combinationum 10 T05* IOo0QOoQOQ. 36255 In eXe SCHOLION H'*I*ïf Doitum $06. Si in logica propofitio univerfalis (ad quam referri petfon; poteft fingularis ), affürmativa vocetur a, negativa e, particularis afürmativa i, & negativa o, cum femper tres in fyllogismo de- beant combinari, erunt ex his 4 propofitionibus ternariorum LO' combinationes 64, que figure fyllogismorum appellantur. xici tamen ex his nonnili IO feligunt, Ita eea rejicitur: ex d duabus enim negativis univerfalibus concluüo univerfalis affir- ülmþr snativa fequi non potef. ht PRO- DE COMBINATIONIBUS 19I Wintle PROBLEMA IIl localium 20"7. Invenire numerum variationum determinatarum quantitatum. RESOLUTIO zy DEMONSTRATIO A & b duas admittit ab ba b c fex admittit abc acb b bca cab cba, hoc eft priores va- - ) (t jationes 2 cum numero novo quantitatum 5 multipli- ates; a b [^ 40 d admittit 24 vallamones, hoc eft T priores 6 multiplicate per novas 4. .b [^ d e am nu admittjt 120 variationes hoc eft 24 prwres duce in novas 5. Sequitur jam ex his, ut habeantur fubfe- qua variationes, priores femper per numerum fequen- L10n€5 , tem multiplicandas eífe. combie Generatim igitur ut habeatur numerus vamaüenum, t t quas habere poteít quiscunque numerus datus c ícriba- guant tur progre(io arithmetica , u infra illam produ&a, me- $Q9 thodo fuperius expofita: v. g érmatil ——2 93 u 5 6 z. $ 8. 9 $ 9 1. 2. 6. 24. 120. 720. 5046. 40320. 362880 « 100, IO tionum 36285800 In exemplo Quzritur, quoties 6 perfons tabulz af- fidentes mutari pofünt? Accipiatur produ&um infra 6 pofitum & habebuntur 720 mutationes Si fuerint 19 [f etti perfone, variationes erunt 3628800 G&c. jculan go d PROBLEMA IV MLM" QH 208. Invenire numerum combinationum , reipfa p js s differentium , & dum nulla fecum ipfa comparatur: g. 6 numerorum 1. 2. 3. 4 S. 6- r R E- g 19; CAP. X. DE COMBINATIONIBUS. RESOLUTIO zr DEMONSTRATIO. ut comparäta cum reliquis dat 5 combinationes bi- e nariorum L] ícilicet 3:2, £:35 1:4,.1:5, 1:65 & [ comparatus cum reliquis dat 4, cum r enim jaàm com- bl paratus eft & fiunt 2:3, 2:4, 2:5, 2:6;'5 com- qu paratus cum reliquis dat 3, cum 1 & 2 enim jam com- paratus eft & fiunt 3:4, 3:5, 3:65 4 dat 25 4:5, Tat 4:6; 5 dat unam 5:6 ergo combinationes binario- NX €it fum conftituunt progreffionem arithmeticam 5 4 3 2 1, ubi maximus terminus eft 5 & minimus 1, numerus & terminorum 5» cujus fumma habetur ex formula an -t on 1651 5.X5 5 55 " eu —— —— fed 2 2 ES 5508b —— —— eít zquale —— , ho vc eft ultimi duo termini da. k z ti inter fe multiplicati & per primos duos multiplica- tos divifi: ergo fumma binariorum habetur, fi quo- C0c rumcunque numerorum datorum ultimi duo multipli- centur, & per fa&um primorum duorum dividantur- p Ergo terni feu combinatio trium habebitur, fi tres ul- timi, inter fe multiplicentur, & per fa&um primorum trium dividantur. Combinatio quatuor numerorum ha- bebitur, fi quatuor ultimi multiplicentur & per fa&um quatuor primorum dividantur &c. C'OROLLARIUM I. 209. 90 igitur numerorum combinationes binariorum (qua 90 X 89 41 vulgo ambi vocantur) funt ——- —— X m 4005 ; combinatione$ pri trium. funt — TR 30X 89X 88 — 117480; combinationes quatuor nu- ix2 3 tu merorum 90 X 89 X 88 x 87 — 2555190; combinationes quina- IX2X3X4 90X89X88X87X86 - 43949208. rïorum; IX2X3X4X$ C O- JS "GN J 2/94 *93 ) COROLLARIUM il, jones bi- $10. Si quantitatum combinandarum mumerus accipiatur 1:6; 0 generaliter & dicatur m, erust ex pracedenti corollario combi- mxm —Yt m*x m-——ix m-—-29 Wü COIL natlones binariorum ———————-: termriorum -- 1X2X3 ) Cor] mxm-—ixm-—-oxm-—-3 aT Cote «quaternariorum x DNSSIEREA Y &c. Si hoc confe- Lj 1X2X3X4 34 59 ratur cum iis, qu* dica funt de elevatione ad potent!as ($, 33.) D videbimus, i0d hasc produ&a eadem omnino fint cum coeffi« 4122 'eentibus potcntxalum incipiendo a tertio termino. Ieitur com- binationes numesorum m equantur. coefficientibus potentie a-4- b" i dIunterus eipiendo a tertio termino, fotmul 4"5X5 * CHOLION. z fl 1 21I. Exemplum fit, quoties 7 planete combinari poffint ? -- 72X6X5 ni die Erit m z—7, ergo bini accepti —— 2I,terni —— — )XO tip quatuor &mül —— 35, quinque ——2I, fex zx-7. & tandem feptem z—I, hinc omnes combinationes funt zc I2C. lidem erunt fj qD coefücientes binomii q.p. b qultipue vidantur. uo ü ) otuim CNPUTXI 01[1.1 H?. et fa&uï'ï DE LOGARITHMTIS DEFINITIO I. o (0! 212 i progreffioni arithmeticz ao incipienti fubfcri- ,lgnes batur progreffio geometrica ab 31 incipiens, nb prioris termini erunt hujus terminorum correfponden- ^ m'lï &Xot aT tium Logarithmi, utin his duabus progreffionibus: * 6 otti quiM. Z ; 128 38 COROL- N (v Jlleth .ZEïäük.P I NS ii LAPUT .AL 194 COROLLARIUM L E 9153. Cum omnis proereffio geometrica ubi a feu termimus füus Qrimus — I poffit exprimi per q? g* q^ 9? q^ q5 q* q*, fequi- tur exponentes progreffüonis geometrice poífe confiderari ut Lo- pete ceff garithmos terminorum dic&e progreffüionis: hoc eft exponentes r coní funt Logarithmi fuarum potentiarum. 10 C OROLIARIUM.:'I prs 108 21r4. Cum omnis muftiplicatio potentiarum fiat per additio- exp nem exponentium, & fumma exponentium fit equalis exponenti $15 fa&ti, exponentes autem fint logarithmis fequitur, quod, f Jogarithmz Ita in fu- duorum facdtorum addantur , obtineatur loparithmus fadti, periori progreéfüone logarithmi de 4 & 32 funt 2 & 5, quorum fumma 7 eft logarithmus fa&i I28. Et cum divifio. potentia- fb rum habeatur per fubtra&ionem exponentium , ubi dijferentia dio eft &equalis exponenti quoti, fequitur etiam, quod, fi Jozarithmus di- Q viforis fuhtrahatur a logarithmo dividendi, obtineatur logarithmus dbe quoti. lta in eadem þrogremone 128 divifum per 4.feu diife- Ym rentia logarithmofum 7— 2 dat logarithmum 5, cui refpondet ^ vitu quotus 22. exi ted COROLLAlRIUM 1II. [ $ v 0 215. Exponens quantitatis multiþlicatus per exponentem et potentie quxfite dat exponentem potentie ( $. 49) ergo etiam 16) logarithmus numeri dati du&us in exponentem potentim dat lo- garithmum potentiz, '(Yertia potentia de 4 habetur , fi ejus lo- teba £arithmus 2 ducatur in 3 fa&um 6 eft logarithmus tertiw po- o ( tentie 64. Et (i exponens potentie cujusvis dividatur per ex- len. ponentem radicis datum, habetur radix quzfita ($. 60) ergo etiam logarithmus potentie divifus per exponentem radicis, dat qua] Dlale logarithmum radicis quefitz. Ex 64 extrahitur radix tertim po- 1e d tentie, fi ejus logarithmus 6 dividatur pe r . Óo? quotus 2 eft lo- Qf garithmus radicls 4, lgitur in logarithmis omnis multiplicátio in additionem , omnis diviüo in fubtra&ionem, omnis elevatio a&d potentias in multiplicationem , omnis extra&io vero radicis al in diviionem mutatur. Unde inzens logarithmorum & utilitag & commoditas. SCHOLION; Pto 216G. 1 tex LUA lt nïiï primus d it Neperus in Scotia 1614 ; lus N 4 ) enim in 3, : ï) oprietate 61':1?5 N - e3 itra&ionis radicum c nr MÁ iofius indagaret, ia Vl4 7 DE LOGARITHMIS. 195 ? in cognitionem nature logarithmorum dedu&us eft. Brigsio dum c 'rfRiRUS fuas cogitationes manifeftaret , communi ftudio in jis pefficien- Tequi- dis adlaborarunt; precipue conabantur, ut cuivis numero com- üut Lo« petentem logarithmum feu exponentem invenirent, ad quod ne- yehtes ceffarium erat numeros naturales inítar progreffüionis geometricae confiderate, atque correfpondentes exponentes, feu logarith« mos in progrefione arithmetica determinare. Aifumebant initio progrefhonem geometricam quotientis IO & ejus terminis nume- Mitige ros natutales in progreffione arithmetica juxta regulas tanquam exponentes tribuebant, unde unitatis logarithmus erat O, deca- poneni disI,centenarii 2, millenarii 3 &c, hac v, g. ratione: arill jinfü O t -- 5 * 4 5 quorum X YO I1OO 1OOO IOOOO I1OOOCO &c. tentiae etenti Fixis jam his logarithmis neceffartium erat numerorum interme- diorum progrefüonis geometrice invenire intermedios arithmeti- yis d* ce proportionales, qui ex fta&ionibus decimalibus .conüftere rithrus debebant, cum inter O & I, item inter I . & 9 &c. nullus exiftat j dife" pO et numerus integer. Inter 1 & IO geometrice proportionalis inve- nitur-— w IO, cum fit I: x — x:IOergo 10 — x^ ergo V. IOz-x, extra&a tradice per approximationem habetur 3.162277, cui — X qmedius arithmetice proportionalis refpondet 7 obO'xzsx:t - — X er2o Ic-O2 r X 1 z. fed dat in decimalibus O. 5000000 entem [A] ergo hec fracio eít logarithmus de P eut 162277. adjun&is dec"imalïbus dat lo* Porro inter numerum hune inventum 3. 162277 & IO que- jus 10* rebant geometrice proportionalem atque pro ejus rurfus logarith- j? po mo quarebant inter O. 5000000 & I aárithmetice proportiona- er ex lem. Hoc tamdiu continuabant, donec pott vigefimam. quartam. extracionem. radicis invenerint geometrice proportio- ) etgo * dat nalem 9.0000000 ejusque lozarithmmum O. 954242. Hac ratios g p ne determinatus erat numeri 9 logarithmus, atque (imili ratione j 10* quefiti funt numerorum 2, 5 & 7 inventique fequentes : icitio 2 * .501030 5(]21&0 5 L 698970 ydicis Z g L 845098 t o L 3 954242 Pro reliquis unius note numeris ex precedentibus corollariis formantür logarithmi. Ità cum 3 fit radix de 9, fi logarith- mmus de 9 dividatur per 9 habetur losgarithmus radicis 3 C$. 62) 1614* ! H Q.477121. Cum 4 fit quadratum de 2, f& hujus logartih:-nv.s ga,& i* N2 bi$ A ia T. UAPUT XL 196 bis fumatur feu fibi addatur ($.49) habetur logarithmus de Tf 4220.602060, Cum 2X 3 det 6, habebitur hujus logarithmus clat Et jnm: fi logarithmi de 2 & 3 addantur (g 47) &0.778I5I. fed; pro 8 datlogarithmum fumma logarithmorum 9 & 42903098. Numerorum II, X53 &c. rurfus querendi funt, I9 vero, LA &c. ftus per additionem obtinentur. Omnes jam hos losarithmos. in ta- Qua "- bulas coliectos primustypis vulgavit Briggius, auxit dein Vlacquus 6 U atque pafüm extant fub nomine canonis logarithmorum, t6, COROLLARIUM I n 217. Ex ha&enus di&is fequitur, omnem logarithmum conftare fra&ionibus decimalibus, & quidem ab r usque ad ro n fine pracedente integro, a fo ad IOO unitas prxcedit fra&io- ?n nes, à IOO ad 1OCO düs unitates & in genere femper numerus lm notaruminnumero dato major eft unitate quam integrum in loga- dif rithmis. Si numerus datus eft trium notarum v. g. 528,integra in u H logarithmo funt - ^ Si numerus notarum eft quinque v, g. 34467, hi f integra in logarithmo debenteffe — 4. Hoc propterea integra de- CJ?( cimalibus prefixa Characferiftice vocantur, cum oftendant, quot end notarum numerus correfpondens fit. Patet ex progrefüone in 7 7 Scholio precedenti exhibita. pro Df CORDLLAZRIUM IL bent 218. Cum logarithmus de 10 fit 1,000c00, multiplicatio autem duorum numerorum fiat, fi lo 5 ga rithmi addaiftur, patet, dum unus fa&or eít IO, logarithmum fa&i effe equalem logarith- mo alterius facoris hac fola differentia, quod characteriftica unitate augeatur. Sic idem eíft logarithmus numeri 2 & 20 & Q i 200 & 2000 excepta fola characteriftica, que in primo cafu eft — O, in altero z r, in tertio — 2, in quarto —— 3: deci- males autem ubique funt es»dem 30103o. Ita etiam idem eft logarithmus numerorum 34 & 340 vel numerorum 346 & 3460, vel numerorum 347 & 3470 ; item 346 & 34605 vel 346000 fola femper characteriftica divería, quse unitate minor eft quam li numerus notarum, quarum logarithmus quzritur. Diun el COROLLARIUM IlH. 219. Sequitur inde methodus invei;iendi quemvis fogarith- 99 mum majoris quantitatis, quam in tabulis extet, aut dato loga- QUs rithmo majoris eharacteriftice, quam in tabulis extet, inveniendi nume- - Ea DE. LOGARITHMIS. 197 thunur de numerum il correfpohdentem. Cum enim logarithmus excepta 'atithmus chara&erifüca non mutetur, fi numerus vel zero augeatur vel 5l. li imminuatur, per folam proportionum regulam logarithmi inter- 303098. medii aut numeri correfpondentes invehiri poterunt, Suppona- , I4&tc, inus tabulam continere logarithmos ab I ufque ad Iooo; fit y n t querendus logarithmus numeri 6771 aut 6775. Cum numeri Vlacquis 6770 & 6780 idem fit ac numeri 677 & 678, patet, ficut ihter L 6770 & 6785 intermedii funt numeri 7E, 72, $3* T45, 73» (6, /7» 78, 79, ita etiam inter duos logarithmos . numero- Yum 6770 & 6780 logarithmos eorum numérorum intermedio- 1rum ene eífe debere. Accipienda igitur eft differentia logarithmo- vitmum rum numeri 677 & 678, & hzc differentia in ro partes diftri- ye aà 10 buenda, qua fcilicet parte quilibet logarithmus precedentem fu- t fradio- perat., & hac ratione intermediorum numerorum logarithmi habebuntur: -mumerus Erit enim JO ad differentiam totam, ficut x ad in lote- diferentiam unius partis, ficut 2 ad differentiam duarum par- jnterrain tium &c, Ita logarithmus de 677 feu 6770 eít omitffa chara&e- ?. 9446 riftica $39588. Log. de 678 feu 6780 eft 831229, differentia vem de- eft 64I, divifa per IO dat 64 cuivis precedenti logarithmo ad- int, quot dendum, ergo logarithmus numeri 6771 eft 32.830652 &c, & [5] ftone i2 6775 eft Ó . 830909. Huic fundamento refolutio fequentium problematum & demonfiratio innititur. Suppono autem ad ma- num eíle tabulos logarithmorum ab I ad IoO0O que paffim ha- bentur. wpliatie i, P&teti PROBLEMA l. Jogiritt* gderifct H 220. Invenire numerum dati logarithmi , düm j & 00 & chara&gri&ica* eft o. 1.2.vel 3. , cato df : deci- RESOLUTIO, jlen d T Dum characteriftica eft o vel r. j 6000 Qusre logarithmum datum in tabulis ab : usque g9, numerus in 3* proxima columna eidem refpondens eít numerus quaefitus, : Dum chara&eriftica eft 2, vel 3, quere a 100 ad foraritl" 9999, in fecunda columna numerus refpondens eft ito 1091* guæütus, n,'.eniET'.üf N 3 It g" &X -X 198 U'A HDT'XL tun 1 1tà Log . 716003 refpondet $2. ndet 424882 refpondet 266 log (umati log . 725585 refpondet 5316. Éd i log Q32 Q9 b F4 859958 tefpondet 7227. lopati ( Si non extet in tàbula logarithmus quafitus, accipia- Tumer tur proxime minor , j dato- 1tà log, o . 759668 refpondet $ ] o * 991669 9 o60698 1z t | j 294466 19 tem 739540 3424 t x k b 255996 159 gatit | TIetus I PROBLEMA Il 1 fubtra ll oor. Invenire numerum logarithmo characteri- ! fticze majoris, quam in fabulis extet, correfpon- dentem; tem : RESOLUTIO. ïïïhm( L. Quizratur logaritirmus proxime minor in tabulis, atque hic a logarithmo dàto fubtrahatur, differentia notetur. ff'eïþ()n, II. Quazratür dif*fmentia; inter eundem logarithmum * proxime minorem & majorem. III. Inferatur ut hxc differentià logarithmorum ta- D bularium , ad meam differentiam priorem; ita 10 , Ico, bulis 1000 ad quartum , tot ponendo zeros, quot unitatibus Wüthr chara&eriftica logarithmi dati fuperat numerum nota- rzum DE LOGARITHMIS 199 n rum logarithmo minori correfpondentium : id eft fj cha- j0 racteriflica 4, fumatur Io, fi 5, fumatar 100, fi $, fumatur 1000 &c. 6 » IV. Quartus inventus iis notis adjungatur quæ logarithmo proxime minori refpondent Quzratur logarithmo, $30632 refpondens aCCIpii numerus ? I. Proxime minor tabularis eft 530584, qui a dato fubtra&us dat differentiam. 48 II. Differentia in tabulis eft 128 JII. Fiat 128:48210:3 IV. Ad numerum logarithmo minori correfponden- tem 3295 adjungatur inventus 3, & erit numerus lo- garithmo dato refpondens 32933 Qusratur logarithmo 6 753473 refpondens nu- merus ? I Proxime minor in tabulis eft 753429 , a dato fubtra&us dat differentiam 44. II. Differentia tabularis eft atactett lII. 77:442-1000: 571 ytreloor IV. Ad numerum logarithmo minori refponden tem 5668 adjungatur inventus & erit numerus loga: rithmo dato refpondens 566857 1. PROBLEMA IIL n abus, fferentü 2, Invenire losarithmum numero dato cor refpondentem. tbmum RESOLUTIO Dum chara&eriflica eft o. X .8. habetut in ta- sorim bulis expreffus, ut in problemdtp Pums inverfe de 1o- garithmis di&um eft. umsatib ^U f0 [ lta N 4 n 200 CAPUT XI ]ta $ habet logarithmum o 6989 19 : ) 2787 527 $.. 729974 jicien Dum chara&eriftica eft 4 . 5 . 6. aut m:jor, refolu- Vans T tio fit accommodata ad Cor. LiI. & Prob. II. per fe- quentes regulas I. Quaratur logarithmus primis quatuor notis re- 5 fpondens refeC&tis interea fequentibus, & fubtrahatur à và t proxime majori tabulari; differentia notetur QUme H. Accipiantur note refec, & íimul accipiatur tefpor 1 cum tot Zeris quot note refeCte funt, fi una eft re- i Agrg fe&a, accipiatur 10, fi due, 100, fi tres, 1000 &c TICa ITI. Inferatur, ut 10, vel 100 , vel 1000 ad no- Qun tas refeQtis, ita differentia prius mventa àd differen- Tolir tiam novam. l lV. Hxc differentia nova addatur logarithmo mi- nori, fumma, adjun&a debita chara&terifica, eritloga- hmus quafitus Quzratur logarithmus- numeri 4$647 ch I. Logarithmus numeri 4564 eít 629346, diffe- Tot rentia a proxime majori eft 95. tradit: IL. Nota refe&a eít 7, accipiendus ergo eft pro ngm Proportlone numerus iO. nh 'mh( 'TII. 10:7 z—95:66. defide IV. Additi 66 ad minorem loganthmum 659 346 dant Logarithmum quzfitum 4 , .659412. ! Quaratur logaritmus numeri 78$53646. ( 1. Logamhmus numeri 7853 eft 805036, diffe- rentia a majori eft. 55. EW H. Not» refecte funt tres 646, ergo pro pzo- li portione accipi debet rooo. T III, 1000: 646 2 55.35 Tel IV. Additi 35 ad 895036 dant logarithmum quz- fitum 6. $95071. PRQ« l | DE LOGARITHMIS. £Ol PROBLEMA IV. 223. Invenire fractiones decimales numero ad- . jiciendas, cui datus logarithmus in tabulis non ex- t, tefo]t- £ans refpondet. - Qp RRSOLUTIIO WÁS fe« Si chara&eriftica et o, r5 vel 2, quieratur datus alb a vel proxime ininor fub characteriftica 3, hoe eft inter numeros quatuor notarum, & ex iis quatuor notis cor- Ceipidtut refpondentibus fi chará&eriítica dàta eft —— 0, prima eít 1 n ef re integra, & tres fequentes funt decimales; Ífi chara&e- 00 & riílica eft —— r, dusefunt integre & du decimales; fi 9 3d 0. characteriflica eft z— 2, tres funt integre & una deci« dif v s iv j malis. j Ita Log. ov. 871281 refpogdef: 75 435 | dimo mi 1.538448 345 55 eritlogo- 2:799507 617 4 j Si chara&teriftica eft 3, 4, aut quecunque major, que- , d runtur decimales juxta proportionem in problemate 1I, traditam , pro primis terminis accipiendo differentias logarithmorum, & pro tertio accipiendo unitatem ad- jungendo femper tot zeros, quot fra&iones decimales defiderantur. Unum exemplum rem declarabit. 6104 Datur logaräthnuus 3-5257935;Cuirefpondet 3355. Quzrantur duz decimales, i. Logarithmus proxime minor 525693, diiï'ereä« (, düffe tia a dato 90. II. Differentia tabularis eft 129. Pmï po HI. 129:90 zz 100:; 69. ï u refpondet ergo numerus 3355, 69. (pun qué N5 Pito- p&o "- MM M 20 ATUT:VXL PROBLEMA V ! lopa 224. Numero mixto (integro cum decimalibus ) iot invenire logarithmum competertem. habet RESOLUTIO Confideretur numerus tanquam integer, & quazra- tur illi correfpondens logarithmus juxta problema 1lI, $, Preponatur chara&eriftica integro competens. PROBLE A VI 225. Invenire logarithmum fractionis. tut « HESOLUTIO tur, li as Cum orünis fra&io fit divifio , ubi numerator eft in divitione tíad dividend lus ; & denominator divifor , autem logarithmi fubtrahantur ($. 214-) habebitur loga* 1] rithmus fractionis, fi a logarithmo numeratous fubtra- hatur logarithmus . denominatoris ; differentia eft loga- *L rithmus fra&tionis , qui neceffario fignum negativum ha- bet lf.c 1ta 1obar1thmus de j habebitur fubtra&o loga- ]Aï [ mo. de 8 225:8, goaogo a .logarithmo de 3 2 O, Il 1 ATTX differentia zz — 0, 5$74031, qui erit loga- rithmus quæütuq. -—L COROLLARIUM T. 5426, Dum numerator ef unitas , cujus logarithmus funt l meri'zeri, tantum logarithmo denominatoris: fignum — præü-n« tur Íta. losarithmus de 4l eft — Y, O79IRI. z. Hinc et E omnis losarithmi negativi numerus correfpondens exprnmtul ins fiar denominatoris , cujus numerator eft unitas. Ita logarithme E Y e [I, 875061 tcfponaet 7 C O- Ra at DAE LOGARITHMTIS. 205 Ó b COROLLATRTIOJÜUM.L 2907. : Dum numerus mixtus datur, reducatur ad fra&ionem s) & lorarithmus denominatotis fubtrahatur, a losarithmo n'umgra- $us €j n torils; differentia eft logarithmus fra&ionis datz. lta 8 CUT habet logarithmum (I , 724276 — 0, 778151) —0, 94612)5, PROBLEMA VIL 1 298. Ope logarithmorum multiplicare, divide- te, elevare ad potentiam, extrahere radicem. RESOLUTIO. KCum fint logarithmi exponentes, regule obferven- tur exponentium ($. 44.) In multiplicatione addun- tur, in divifione fubtrahuntur; in elevatione ad poten- elt tias multiplicantur per numerum potentiz petite: in ex- tracione per numerum radicis petite dividuntur. L Multiplicetur 344 per 26 Log. de324 2——2, 510545 -- Log. de?2 z—1,414973 3 H 3. 925518 refpondet 8424 fa&um 9 II. Dividatur 8424 per 26 Log. de8424 2 2, 925518 — Log. de26 —1, 414973 2, 510545 refpondet 523 quotus M III. Quzratur tertia potehtia de 12. Log. de 12 z 1, 079181 ducatur in 3 1 Ü 3; 2 37 543 refpondet 17228 cgbusg IV L. CAP. XI. DE LOGARITHMIS. 204 1V. Extrahatur radix tertia de 2744 Log. de27442-3, 438384 $ o dividatur per n 1, 146128 refpondet I 4 radix. ib SCHOLIO:N. 27 229. Que pertinent ad logaritlunos finuum & tangentium , $n trigonometria tracabuntur. 35 ) 4( LY ó a F aetear a ts L u 9 relpt H rl i, m AE ä 10 9j 3 126 142 V 176 ïn pa — "n — ERRA TVA. in Tomulo I : benevolus lector. fic cofrigef, d , 2 ; URETA CT ZUENAMSE CRRA a ;E;ï?::ï-—-—-—-— Pag. lin 15 cOrt., 5302480603 5302480693 H 5302480503 D 5302480693 18 28 7245 — 7343 27 £9893 —— —— 75896 (105t , 27 pg : Fig. 6 s 83 7427789728 — /427779728 97898 — 97868 42 fumma 62 63 46 2Y 1H 18 59 18 & P 63 Tóe 29 —— 1oo m ———À- TIOO0Ó0 66 2,25 : — — 3 25 20 — 16 87 abb i 64aab — 1 6aab pem 64aï:þ 104 I 36,09.506,64 — 36,09,60,64 1o9 I6 58X 25 r —— 48 X 26 126 6 IOO —2 100 — y 142 . 17 eft 2 eit 4 174 27 quam IO krr r EE E EE TA quam $8 — FILLH CERE ER ,E L . 376 : ult, | V(ä—ï -V 1?1 pagina p II2 fchol. II, $. 77. formula ita exprimï debet a^ , * & n Tb mxm- —I od RRE am—2kb2 &C. &C. IX2O2 : uti pagina 153 coef- fz.;:ientes, expreff. videri poffunt, in Coroll, II. D ET T E " a CL. GR J IIVER TILOSOPR $ CE IN MÀT n j - Á | f * m TïPIS h ; m U "" - BIÉ m - — x t —Ó —— —— — i ke $ E o r ov .x 2 A X A od " zi VE i e 025 s a ul d f 2 : d ^ ^ zi as -B a i uie. K u I EX E v A PL s N E .w [ " r . M 5 P z 4 at d UT À um X RT H P E 700 l É ? Ver 2 | 4 26 5 Yr as E D 2 Eu P £ 2j z m a m x 5 E Y i zi : ts s 2 A 4 E É s x [ B EM [ P |- n E t PV p PU — s ER -- T E — —— s. i P D CH RRR p ia z — Ü À 4 ï j E | z * 5] a 2 : ] * N i* 4 ^ w . EY N * 1 P d p^ E 51 x p 1 n R at ii - du 3 CL. GEORG IG NAT DE M&LTZBURG Euroskala Offset i IN UNIVBRDITATE VIENNENSI . AA. Lï ET r PHILOSOPHIZE DOCTORIS, MATHESEOS PROFESSO- ET ORDINARIL RIS CAES. RFGii PUBLICI, o w .Qq n.n)' 1517. ,74 W'(K- 5.3 Hw..l, 4 fï J'v " INSTITU JTiOJ/E Hs o VierFarbSelector Standard * r N .&THK& M.ACT' X C ZE ä IN USUM e ä E TIRONUM CONSCRIPT /E I-Iä: TOMULUS I 13 $ M » U ^ P Ed SQ» - ^g E. E QR 7272 12 N H u jovnseett.) m jE | *;V $ 3 il ] J | ] N E A e | SNSSS A N A ?:zga j !Eili E N ; | SSSS N ï s ] f P P. " | | - 10 J ï yi»üs nl IN vt | a | I(lz i j E É Es ET x a b u h W - ' x TE E TR* —1 LT u :,1 u unlmrm m nulmmmmmlm ,.-— RL LAB ORE ETFAVORESES * -* VIENN E TvP:S JOAN. THOMJE wos. pe TRATTNERN, CJES. RBG. AUL/E TYPOGR. ET EIBLIQPOL ; MDCCLXXV 2 — gj Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com 1 : -(/æ"- /4 *5