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 Erste Gründe der gesamten Mathematik Darjes, Joachim Georg — — — — — — — — . f f f —U— — — . 52 — . — = — . 021 1 1 Niece. II IIII·E·RII Erſte Gruͤnde der geſamten Darinnen die Haupt⸗Theile ſowohl der Theoretiſchen = als auch . Praktiſchen Mathematikeen in ihrer natuͤrlichen Verknuͤpfung 6 auf Verlangen und zum Gebrauch ſeiner Zuhoͤrers entworfen Joachim G eorg Darjes Sr. Koͤn. Maj. in Preuſſen hochbetrauten Geheimenrathe, der Weltweisheit und der Rechte Doctor wie auch ordentlichen oͤffentlichen Lehrer zu Frankfurt an der Oder „der Churfuͤrſtl. Mainziſchen Academie der nuͤtzlichen Wiſſenſchaften ordentlichen Beiſitzer, der Jenaiſchen teutſchen Geſellſchaft . hochverdienten Ehren⸗Mitgliede. Neue und verbeſſerte Auflage òð Jena, . bey Chriſtian Henrich Cuno, 1764. Vorrede. Ze groͤſſer bishero die Begierde, und eRe je allgemeiner der Beyfaͤll geweſen, wonmit meine academiſche Unterwei⸗ ——ſungen in mathematiſchen Wiſſen⸗ ſchaften, von meinen Zuhoͤrern, in ſo anſehn⸗ licher Zahl, ſind aufgenommen worden; deſto mehr iſt in mir die Bemuͤhung gewachſen, Ih⸗ nen dieſe Wiſſenſchaften gruͤndlich, und auf eine brauchbare Art, mit aller moͤglichen Deut⸗ lichkeit, beyzubringen. Dieſe Abſicht wird mein Unternehmen zum wenigſten in etwas rechtfertigen, daß ich zu meiner Zuhoͤrer be⸗ guemen Unterweiſung eine eigene Anleitung zur Mathematik, und zwar in einer ſolchen Ord⸗ nung auzgeſertiger habe, in welcher die mir vor⸗ geſetzte Abſicht am beſten zu erhalten gedenke. Durch einige, in dieſem Zuſammenhange der Dinge, gewoͤhnliche Urtheile, werde ich genoͤthiget, mich, ehe und bevor ich dieſes NK 2 weüer Vorrede. weiter ausfuͤhre, wider ſolche zu verwahren. Ich gedenke, nach dieſer meiner Anleitung zur Mathematik, meinen Zuhoͤrern dieſe Wiſſenſchafft am bequemſten, gruͤndlich und brauchbar vorzutragen. Will nun der G. L. hieraus den Schluß ziehen, daß ich die Lehr⸗ Gebaͤude, welche von beruͤhmten Lehrern ſind verfertiget worden, verachte, ſo wird er einen Satz aus meinem Unternehmen folgern, deſſen Richtigkeit unmoͤglich zu erweiſen. Ich verehre dieſe als meine Lehrer, ich goͤnne Ihren Schriften gerne einen Vorzug, und bin verſichert, daß dieſes unmoͤglich dadurch koͤn⸗ ne aufgehoben werden, wenn ich behaupte, daß ich meinen Zuhoͤrern am bequemſten eine Wiſſenſchafft, nach einer ſolchen Anleitung, vortragen koͤnne, welche in derjenigen Ord⸗ nung, nach welcher ich zu denken gewohnet bin, entworfen iſt. Ich habe ferner dieſe er⸗ ſten Gruͤnde der Mathematik, zum Gebrauch meiner Zuhoͤrer, verfertiget. Will nun je⸗ mand hieraus einen Bewegungs⸗Grund neh⸗ men, in die Fußſtapfen des Richters meines Natur⸗ und Voͤlker⸗Rechts, von welchem noch bis auf dieſe Stunde eine Beantwortung meiner Vertheidigung ſehnlich erwarte, zu treten, und mit dieſem zu folgern, daß die⸗ ſes mein Buch einzig und allein von meinen Zuhoͤrern koͤnne genuͤtzet werden; ſo werde ich Ihm dieſe ſeine Staͤrke im ſchlieſſen nicht . mMmMiß⸗ hren. ttung dieſe ͤund 6.L. Lehr⸗ hrern ieder gern, 39 oͤnne d bin kon⸗ vpte, eine, ung, Ord⸗ hnet der⸗ auch n ſe⸗ ne⸗ eines chenn tung Vorrede. mißgoͤnnen, mir aber doch dabey die Freyheit behalten, daß ich den Grund einer ſolchen Folge, entweder in der Einfalt, oder in ge⸗ wiſſen Neben Abſichten ſuche, weil ich denſelben in den Regeln einer vernuͤnftigen Logik un⸗ moͤglich finden kan. ””” Die Begierde den Verſtand im Denken B zu beſſern, und das Verlangen im gemeinen eben brauchbar zu werden, ſind diejenigen Bewegungs⸗Gruͤnde, wodurch ich meine Zu⸗ hoͤrer, die mathematiſchen Wiſſenſchafften zu lernen, aufmuntere, und kein Kenner dieſer Wiſſenſchafften wird dieſe meine Gruͤnde ver⸗ werffen. Zumahl die Erlangung des erſten eine nothwendige Folge der Lehr⸗Art, in welcher die mathematiſchen Wahrheiten vor⸗ zutragen, und die Erlangung der zweyten Abſicht in der Beſchaffenheit der Wahrheiten, womit die Mathematik umgehet, nothwendig gegruͤndet iſt. Weil es nun die Vernunft er⸗ fodert, daß wir die Ausfuͤhrung einer Schrift nach ihrer Abſicht beurtheilen; ſo will ich bey⸗ de etwas umſtaͤndlicher beſchreiben, und als⸗ denn dir, G. L., die Beurtheilung dieſes Bu⸗ ches uͤberlaſſen. Es iſt eine allgemeine Rede, daß die Ma⸗ thematik den Verſtand ſchaͤrffe; aber wie viele ſind, welche den wahren Grund dieſer Wahrheit einſehen? Will man denſelben in der Lehr⸗Art ſuchen D wird man es mir er⸗ Vorrede. lauben, daß ich frage: was iſt die mathemati⸗ ſche Lehr⸗Art? und warum ſoll die Mathe⸗ matik insbeſondere den Verſtand ſchaͤrfen, da doch auch andere Wiſſenſchafften in dieſer Lehr⸗ Art mit gleicher Staͤrke abgehandelt werden? Soll die mathematiſche Lehr⸗Art darin beſtehen, daß man zuerſt eine Reihe von Er⸗ klaͤrungen, alsdenn eine Reihe von Grund⸗ Saͤtzen, und hierauf eine Reihe von Lehr⸗ Saͤtzen und Aufgaben anfuͤhret, ſo geſtehe ich es, daß die Einbildungs⸗Kraft hiedurch koͤnne verſtaͤrket, zweifele aber, ob der Verſtand dadurch koͤnne geſchaͤrfet werden. Denn wie kan der Verſtand durch eine ſolche Lehr⸗ Art geſchaͤrfet werden, in welcher er unmoͤg⸗ lich denken kan? Der Verſtand denket die Wahrheiten in einer beſtaͤndigen Verknuͤ⸗ pfung, er macht zuerſt von dem Haupt⸗Ge⸗ genſtande einer Wiſſenſchafft einen deutlichen egriff, er ſuchet aus dieſem durch aneinan⸗ der hangende Beſtimmungen die Begriffe von beſondern Dingen, und ziehet aus dieſer Ver⸗ knuͤpfung die Lehr⸗Saͤtze und Aufgaben, und dieſe geben Ihm Gelegenheit, jene Begriffe noch weiter zu beſtimmen, und ſo ferner. Wie kan nun eine Lehr⸗Art, in welcher dieſe Ordnung nicht beobachtet wird, den Ver⸗ ſtand ſchaͤrfen? Vielleicht ſuchen andere die mathemaͤtiſche Lehr⸗Art darin, daß man die leichteſten Wahrheiten auf eine ſo ſchwere Art vor⸗ Vorrede. vortragen muͤſſe, daß ſie kaum auch von den Verſtaͤndigſten koͤnnen ngeſelen werden. Aber auch dieſes wird den Verſtand nicht ſchaͤr⸗ fen. Der Verſtand ſoll natuͤrlich denken, die Natur aber bemuͤhet ſich nicht das Leichte ſchwer, ſondern das Schwere leicht zu machen. Doch ich will keinen widerlegen, ſondern nur mit einigen Worten eigen, wie es nach / meiner Einſicht moͤglich iſt, daß man der Ma⸗ thematik mit Wahrheit den Ruhm beylegen koͤnne, daß ſie beſonders vermoͤgend ſey den Ver⸗ ſtand zu ſchaͤrfen. Es iſt eine ausgemachte Wahr heit, daß die Schaͤrfe des Verſtandes durch die Uebung nach den Regeln, welche die Logir vorſchreibet, Wahrheiten zu erfinden un nd zu beurtheilen, erhalten werde. Es iſt nicht zu laͤugnen, daß die Uebung, wodurch eine Fertigkeit vollkommen und leicht entſtehen ſoll, von dem leichteſten muͤſſe angefangen werden. Da es nun wahr iſt, daß keine Wiſ⸗ ſenſchafft mit ſo leichten Wahrheiten umgehet, als die Mathematik, und da es ohne Zweifel, daß dieſe Wahrheiten durch eine vollſtaͤndige Anwendung der Logicaliſchen Regeln koͤnnen erfunden und abgehandelt werden, ſo wuͤr⸗ de es unbillig ſeyn, wenn wir die Moͤglich⸗ keit deſſen, daß die Mathematik fuͤr andern Wiſſenſchafften dieſen Vorzug habe, daß ſie den Verſtand ſchaͤrfen koͤnne, in Zweifel zie⸗ K4 Die hen wollten. Vorrede. Die Griechen haben zwar insbeſondere der Geometrie dieſen Vorzug beygeleget. Ich werde aber nicht zu viel reden, wenn ich be⸗ haupte, daß die Geometrie ohne Rechen⸗ Kunſt und Dynamik zu dieſer Abſicht unvoll⸗ ſtaͤndig ſey; Denn wie kan eine vollſtaͤndige ertigkeit ohne einer vollſtaͤndigen Uebung er⸗ halten werden? Wir haben zwey ege, Wahrheiten zu erfinden, durch den Gebrauch der Zeichen, und durch die Betrachtung der Dinge ſelbſt. Der erſte Weg muß den andern erleichtern, und wegen der Endlichkeit unſers Verſtandes vollkommen machen; und dieſer muß uns Gelegenheit geben, den erſten mit Nutzen zu gebrauchen. Wollen wir durch die Betrach⸗ tung der Dinge ſelbſt die Wahrheiten erfin⸗ den, ſo werden ſie uns entweder durch die Sinne und Einbildungs⸗Kraft, oder durch den Verſtand dargeſtellet. Es iſt demnach unmoͤglich, daß jemand eine vollſtaͤndige Scharffinnigkeit ſeiner Seelen erhalten koͤn. ne, der ſich nicht geuͤbet, Wahrheiten zu er⸗ „ finden, durch den Gebrauch der Zeichen, durch die Betrachtung der Dinge, welche uns die Sinne und Einbildungs⸗Kraft darſtellen, und durch die Betrachtung ſolcher Dinge, welche nur mit dem Verſtande zu faſſen ſind. Iſt es nun gegruͤndet, daß man bey einer Uebung von dem leichteſten anfangen muͤſſe: iſt es wahr, .— — — – — — — wie — — — — —22— — — – ,⸗ – = = =S= — = =–= — — — — — — — X — —., Vorrede. wie es denn nicht zu laͤugnen, daß die Mathe⸗ matik mit den leichteſten Wahrheiten umge⸗ het; ſo wird mir ein jeder zugeben muͤſſen, daß eine gruͤndliche Ausfuͤhrung der Rechen⸗ Kunſt, bey der Uebung des Verſtandes duch Zeichen zu erfinden: eine vernuͤnftige Ausfuͤh⸗ rung der Geometrie, bey der Uebung des Verſtandes durch Betrachtung der Dinge, welche uns die Sinne und Einbildungs⸗Kraft vorſtellen, die Wahrheit zu unterſuchen: und eine ordentliche Abhandlung der Dynamik bey der Uebung des Verſtandes durch Betrachtung der Dinge, welche nur mit dem Verſtande zu erkennen, die Wahrheiten feſt zu ſetzen, die ſchoͤnſte Gelegenheit giebt einen fruchtbaren Anfang zu machen, und daß eine von dieſen Wiſſenſchafften ohne der andern zu der geſetzten Abſicht unvollſtaͤndig iſt. Die Art Wahrheiten, durch den Gebrauch der Beichen „und die Art Wahrheiten, durch die Betrachtung der Dinge, zu erfinden, ſind beſondre Arten, welche in ihren Begriffen et⸗ was gemeinſchafftliches haben muͤſſen. Und keiner wird dieſe beſondere Regeln mit Vortheil anwenden koͤnnen, der ſich nicht in der An⸗ wendung der allgemeinen Regeln geuͤbet. Die⸗ ſes hat mir Bewegungs⸗Gruͤnde gegeben, eine allgemeine Mathematik den uͤbrigen beſondern Theilen dieſer Wiſſenſchafft vorzuſetzen. 5 Durch Vorrede. Durch die Betrachtung dieſer Abſichten koͤnn⸗ te ich die Eintheilung der lehrenden Mathema⸗ tik in die allgemeine Mathematik, Rechen⸗ Kunſt, Geometrie und Dynamik, rechtfertigen, wenn ich ſolche nicht bereits in dem Vorberichte, aus dem Begriffe der lehrenden Mathematik, gefolgert haͤtte. . . Ein jeder, der ſich im Denken geuͤbet, wird ohne ferneren Beweis geſtehen, daß in der See⸗ le keine vollſtaͤndige Scharfſinnigkeit zu erhal⸗ ten ſey, wenn nicht durch die Uebung eine Fer⸗ tigkeit, das allgemeine auf beſondere Faͤlle an⸗ zuwenden, iſt erlanget worden. Und hieraus erhellet, unter welchen Beſtimmungen dem praktiſchen Theile der Mathematik der Ruhm gebuͤhret, daß er die in dem lehrenden Theile erhaltene Scharfſinnigkeit verbeſſern, und voll⸗ kommener machen koͤnne. Durch eine bloſſe Beſchreibung verſchiedener Aufgaben wird dieſer Vortheil nicht entſtehen, ſondern das all⸗ gemeine muß durch dasjenige, was bey einem vorkommenden Dinge beſonders zu finden, in einem beſtaͤndigem Zuſammenhange genauer beſtimmt werden, wovon in dem Vorbericht mehrere Nachricht. Dieß iſt die Ordnung, in welcher die Mathe⸗ matit abzuhandeln, wenn von ihr ſoll behauptet werden, daß ſie den Verſtand ſchaͤrfe. Vergleiche nun G. L. die Ordnung,in welcher ich mein Buch geſchrieben habe, mit dieſen Regeln. Findeſt u, N, doßd mir umd gus ſchie dieſefne aber das ſolches ni legerheit arine Ih n Nander ſcebe, numie, 0 Unei nu den dehre ben word ier Vſencn⸗ he arheren ir aſtn ſe geogen lk derſhee mnienſt netnen n eſen rad in enerden ſhhenng bis Menmiſe nen ſolchen Stand zu ſetzen, daß ſie von Vorrede du, daß dieſe Regeln beobachtet ſind, ſo wird es mir um deſto angenehmer ſeyn, weil ich dar⸗ aus ſchlieſſen kan, daß meine Bemuͤhung auch dieſesmahl nicht vergeblich iſt. Sollteſt du aber das Gegentheil finden, ſo wird mir auch ſolches nicht unangenehm ſeyn, weil es mir Ge⸗ legenheit geben kan meine Abſichten vollſtaͤn⸗ diger zu erhalten. . . Ich muß noch etwas hinzu ſetzen, ehe ich die andere Abſicht meines Buchs genauer be⸗ ſchreibe, nemlich dieſes. Daß ich in der Aſtro⸗ nomie, Geographie, Chronologie und Gno⸗ monik nur dasjenige, was unter dem, ſo von den Lehrern dieſer Wiſſenſchafften iſt beſchrie⸗ ben worden, fuͤrnehmlich zu merken, in einer kurzen Ordnung vorgetragen. Haͤtte ich dieſe Wiſſenſchafften in einer ſolchen Lehr⸗Art, wie die anderen, entwerfen wollen, ſo haͤtte ich in der Aſtronomie eine ganz andere Ordnung, als gewoͤhnlich, annehmen muͤſſen, welches aus verſchiedenen Lehr⸗Saͤtzen, ſo in derſelben erwieſen ſind, zu begreiffen. Haͤtte ich aber dieſe annehmen wollen, ſo wuͤrde mein Buch zu meinen academiſchen Fuͤrleſungen zu weitlaͤuf⸗ tig geworden ſeyn. Daher habe ich ſolche Aus⸗ fuͤhrung bis zu einer andern Gelegenheit ver⸗ ſparen muͤſſen. Die zweyte Abſicht meines Buches iſt, den Leſer und insbeſondere meine Zuhoͤrer in ei⸗ vor⸗ Vorrede. vorkommenden mathematiſchen Wahrheiten urtheilen, und anderer Schriften mit Nutzen leſen koͤnnen. Zu dieſem Ende habe ich in ei⸗ nem jeden Theil das weſentliche von den zu⸗ faͤlligen Umſtaͤnden abgeſondert, und jenes alſo erklaͤret, daß es bey vorkommenden Um⸗ ſtaͤnden mit leichter Muͤhe wird koͤnnen an⸗ gewendet werden. Eine ſolche Abhandlung wird bey der Erklaͤrung der erſten Gruͤnde der Mathematik nothwendig erfordert, weil dieſes nicht nur der kuͤrzte Weg zu einer voll⸗ ſtaͤndigen Erkenntniß der Mathematik zu gelan⸗ gen, ſondern auch derjenige iſt, welchen man nicht verfehlen darf, woferne die Mathema⸗ tik mit Recht eine Wiſſenſchafft ſoll genennet werden. Verſtehet man z. E. das weſentliche der Rechen⸗Kunſt, ſo ſind einem alle Ar⸗ ten zu rechnen begreiflich, welches unmoͤglich, wenn man nur die Rechen⸗Kunſt in einer beſon⸗ deren Art gelernet hat. Verſtehet man das weſentliche der Geometrie, ſo wird man ſich bey Ausmeſſung der Ausdehnungen in vor⸗ kommenden Umſtaͤnden weit leichter finden koͤnnen, als wenn man nur in der Ausmeſſung der Ausdehnungen unter gewiſſe Umſtaͤnde iſt unterwieſen worden. Verſtehet man das we⸗ ſentliche der Mechanik, ſo wird man weit leich⸗ ter und vollkommener die Beſchaffenheit ei⸗ ner Machine nach ihrer Abſicht beurtheilen und angeben koͤnnen, als wenn man einem i Dieſe ll en ſten ſen ne⸗ zi⸗ enes Un⸗ on⸗ lung inde wel vol⸗ lan⸗ man etug⸗ enhet iche daas ſich vor⸗ nden ſung eiſt we⸗ eich it⸗ 2 . , eſean r Neſe Ar⸗ ich, on⸗ Vorrede. dieſe oder jene Art der Machinen erklaͤret hat. Und ſo weiter in den uͤbrigen Theilen der Mathematik. Denn wer kan behaupten, daß der z. E. die Kriegs⸗Bau⸗Kunſt verſtehe, welcher eine Feſtung nach Vaubans oder eines andern Erfindung angeben und zeichnen kan. Wie will man demjenigen die Erkenntniß der Bau⸗Kunſt beylegen, der z. E. nach Sturms Erfindung ein Gebaͤude zu zeichnen vermoͤgend iſt, und ſo weiter. J Hieraus kanſt du nun G. L. urtheilen, was du nach meiner Abſicht in meinem Buche zu erwarten haſt, zu deſſen bequemen Gebrauch ein vollſtaͤndiges Regiſter beygefuͤget worden iſt. Findeſt du es, daß die weſentliche Ausfuͤhrung dieſes Buchs der mir vorgeſetzten Abſicht ge⸗ maͤß ſey, ſo werde meine Muͤhe, die an deſſel⸗ ben Ausarbeitung gewand habe, fuͤr voll⸗ kommen vergolten achten. Vor⸗ S H Vorrede zur neuen Auflage. OR „jenige kuͤrzlich beſchreibe, worinn matiſchen Lehr⸗Buches, von dem erſten Abdrucke unterſcheidet. In der Ordnung und in dem Vortrage habe ich wenig veraͤndert. Ich glaube noch, daß beyde natuͤrlich und meiner Abſicht gemaͤß ſind. In der erſten Auflage ſind verſchiedene Lehr⸗Saͤtze nicht beſtimmt genug ausgedrucket worden. Ein Fehler, den man ſehr leicht alsdenn bege⸗ hen kann, wenn man gewohnt iſt die Wahr⸗ heiten in einem ſolchem Zuſammenhange zu denken, in welchem ſie aus einander entſtehen, und von einander unterſtuͤtzet werden. Weiſe Leſer bemuͤhen ſich einer Schrift in derjentgen * Es ſcheinet noͤthig zu ſeyn, daß ich das⸗ ſich dieſe Auflage meines Mathe⸗ Vorrede Ordnung nachzudenken, in welcher ſie von dem Verfaſſer iſt abgehandelt worden. Daher wird es dieſen unmoͤglich fallen, ſich durch ſol⸗ che ſcheinbare Fehler auf Abwege fuͤhren zu laſſen. Viele leſen die Buͤcher auſſer dem Zu⸗ ſammenhange. Sie hengen ihre Gedanken an den abgeriſſenen Ansdruͤckungen, und als⸗ denn freuen ſie ſich, wenn ſie einen Fehler er⸗ ſchnappet, den ſie dem Verfaſſer zur Laſt legen koͤnnen, ohne zu unterſuchen, ob auch dieſer eher mit einem zureichenden Grunde ein Feh⸗ er koͤnne cherennet werden. Aus dieſer Urſa⸗ che, hab ich verſchiedene Lehren genauer beſtim⸗ met, daß ſie auch alsdenn Wahrheiten koͤnnen Anennet werden, wenn man es unterlaͤſt ihren Verſtand aus dem Zuſammenhange zu ergaͤn⸗ zen. Dieß iſt die erſte Veraͤnderung. In der erſten Auflage beſchreibet der Anhang zur Geo⸗ metrie einige Kegel⸗Schnitte, und ſie entwickelt die Aufloͤſungen von verſchiedenen Aufgaben, welche hieher gehoͤren. Dieſe habe ich, um Anfaͤn⸗ gern deutlicher zu werden, abgekuͤrzet, und das wichtigſte von ihnen faßlicher vorgetragen. Dieß iſt die andere Veraͤnderung. Mein geliebteſter Hr. Schwager der Hr. Prof. Succow giebt mei⸗ nem Buche die Ehre, daß er ſolche zum Grund ſeiner academiſchen Fuͤrleſungen leget. Er iſt ein Verehrer der Aſtronomie, und hat daher ge⸗ wuͤnſchet auch in dieſem Buche eine kurze Abbil⸗ dung von dem Welt⸗Gebaͤude zu finden, theiis ie Vorrede. die aſtronomiſchen Aufloͤſungen faßlicher zu ma⸗ chen, theils hiedurch mehrere Gruͤnde zu ſei⸗ nen Fuͤrleſungen der Natur eeveſtzuſetzen. Er hat dieſe Abbildung gruͤndlich und ange⸗ nehm entworfen. Daher iſt ſie ein Theil die⸗ ſes Lehr⸗Buches geworden, und hieraus iſt die Veraͤnderung in der Aſtronomie entſtanden. In dem erſten Abdrucke ſind die Kupfer nicht alle genau genug abgefaſſet. Auch dieß iſt ver⸗ beſſert. Das uübrige, was von einer Vorrede erfodert wird, das faſſet die Vorrede der erſten Auflage. Ich empfehle mich und mein Buch dem G. L. zur ferneren Wohlgewogenheit. Jena 1757. den 4. October. Marhoſe Dor . Erſte — = — — — —.0-——ʒ — NN £☛ ma⸗ ſei ſezen. nge⸗ eil de⸗ iſdie nden. nicht ſ ver⸗ rrede erſten Buch eit. n 8 Innhalt uͤberhaupt. Matheſir pura oder lehrende Mathematik. Vorbericht von den maͤthematiſchen Wiſſenſchafften uͤberhaupt. p. 1. Erſte Gruͤnde der allgemeinen Miathematik p. I7. R27 der Rechen⸗Kunſt p. 7I. ,⸗ ⸗„ der Geometrie p. 183. ⸗ der Trigonometrie p. 5344. 2 der Dynamik p. 351. Matheſhtis adolicata oder practiſche Mathematik. Erſte Gruͤnde der Mechanik p. 436. 2 der Aerometrie p. 5§12. ⸗2 der Muſic, oder der Wuͤr⸗ ckung des Schalls p. 539. Ü]2 der Hydroſtati k pr. 554. 2 der Hydraulik p. 572. der Gptik, Catoptrik und Dioptrik p. 604. Ü]2 der Perſpectiv p. 660. 2 der Feuer⸗AKunſt p. 676. „ der Archit. ciuilts p. 69 2. 2 der Artillerie⸗Wiſſen⸗ ſcchhafft p. 75. 2 der Arch. militaris p. 762. 2 der Aſtronomie p. 806. „ 2 der Chronologie und Gnomonik p. 883. ⸗7 der Geographie. p. 927. Ber⸗ Verzeichniß der Kupffer⸗ Geometriae Tab. I. II. III. IV. V. VI. Mechanic. Tab. I. II. III. Aerometr. TLab. I. Hydroſtatik Tab. I. Hydraulie. Lab. I. II. Optic. Tab. I. II. Perſpectiv. Tab. I. et II. 1 Architect. ciuil. Tab. I. II. et III. Pyrotechn. Tab. l. Architect. militaris Tab. I. et II. Aſtronomiae Tab. I. Gnomonic. Tab. I. II. et III. Geographiae TLab. I⸗ FEELEMENT A MATIT HESE OS r P V R A E *Oder Anfangs⸗Gruͤnde Mathematiſcher Wiſſenſchafften. Theoretiſcher Theil. — E E No, 2 Von den Mathematiſchen Wiſſenſchaften und deren Eintheilung überhaupt. Das I. Capitel. Von der Groͤſſe und den verſchiedenen Arten der Groͤſſe uͤberhaupt. Erklaͤrung. 2 E Verſchiedene Dinge werden Dinge von Res eius- 9 einerley Art genennet, in ſo weit dem ſpeci⸗= man mit ihnen einen gemeinſchafftli⸗E quid. chen Begriff verknuͤpffet. Zuſatz. §. 2. Wir koͤnnen demnach gewiſſe Dinge bald als Dinge von einerley, bald als Dinge von verſchiede⸗ ner Art anſehen, nachdem wir ſolche unter verſchiede⸗ nen Beſtimmungen betrachten. A 2 Er⸗ Vnitas quid. Cap. Von der Groͤſſe und den Erklaärung. §. 3. Wenn viele Dinge von einerley Art zu⸗ ſammen gefaſſet werden, ſo wird geſaget, es ſey ne Anzahl von ſolchen Dingen vorhanden. Benn wir in einem Dinge eine ſol che Anzahl wahr⸗ nehmen, ſo verurſachet dieſes, daß wir ihm eine e beylegen. Woraus folget, daß wir in iner hroͤſſe, als Groͤſſe betr ehtet, nichts deutlich gedencken koͤnnen, als die Vielheit der Dinge von einerley Art, welche auch Theile in der Groͤſſe ge⸗ nennet werden. Anmerckung. §. 4. Es iſt zu mercken, daß ich hieſelbſt das Wort Ding in einem mathematiſch gen oder allgemeinem Verſtande nehme, und alſo dadurch alles dasſenig e, was ſich geden⸗ cken laͤſſet, verſtehe. Ferner, daß ich das Wort Theil nicht in einem koͤrperlichem, ſondern in einem anigemmeien Verſtande nehme Ein ſolcher Gebrauch dieſer Worte iſt in der Mat hematik nicht nur gewoͤhnlich, ſondern auch nuͤtz⸗ lich, wenn man ſich be emühet, die mathematiſchen Lehr⸗ Saͤtze allgemeiner zu machen. . Er kiarung §. 5. Denſjenigen Theil, welcher in einer Groͤſſe zuerſt angenommen wird, nennet man eine Ein⸗ heit. . 1. Juſs;. F. 6. Hieraus folget, I1. daß eine Einheit, wenn man! ſolche na ich ihrem? Begriff betrachtet, keine Groͤſſe, 2. daß derjenige Theil, welcher in einer Groͤſſe als eine Einheit angenommen wird, in einer andern Be⸗ ſtimmung eine Groͤſſe haben koͤnne (§. 5. 3.). 2. Zuſa 13. 7. Woraus ferner klar, daß eine gedoppelte Art von Einheiten koͤnne geſetzet werden, die erſte faſſet ſolche Einl heiten, welche an und vor ſich betrach⸗ tet keine Groͤſſe haben, die andere aber ſolche, wel⸗ chen chen legen §. Hun loig Uune Uen w idl Groͤſ en Abe Uhege heyhl 9 60. 9⸗ ſie, beſtimn dieſ⸗ K⸗ ſhan be⸗ =☛ t ſt ane e N e l jen kin Veſ I dieſ⸗ if lich, eingand „K I Alunter ler ee t der. lohe⸗ ele e Deulic getun ſe⸗ hen koͤnne, als auf diejenige, welche aus der Lrt und verſchiedenen Arten der Groͤſſe uͤberhaupk. 5 chen man an und vor ſich betrachtet eine Groͤſſe bey⸗ legen muß. BErklaͤrung. §. 8. Wenn wir eine gewiſſe Groͤſſe ſetzen, ſo Quanti:a; koͤnnen wir die Anzahl der Einheiten, welche in der⸗ eſt ſelbigen zu finden, entweder beſtimmen, oder Wir nin koͤnnen ſolche nicht beſtummen. Im erſten Fall nen⸗ nen wir die Groͤſſe im mathematiſchen Verſtande ein endliche, und im andern Fall, eine unendlicl Groͤſſe. Woraus die Bedeutung ſolgender Redens Arten, welche in der Mathematik gewoͤhnlich, leich zu begreiffen, dieſes iſt unendlich groß, dieſes iſt unendlich klein. Ä. — 6⁶ E 5. 1 Zuſatz. §. 9. Wenn wir in der Mathemakik etwas unend⸗ lich groß nennen, ſo geſchiehet dieß nicht aus der Ur⸗ ſache, weil in demſelben die Anzahl der Einheiten nicht beſtimmet, ſondern weil es uns auch unmoͤglich iſt, dieſe zu beſtimmen. “ Erklaͤrung. §. 10. Die Groͤſſen koͤnnen ferner durch die Quanti Beſchaffenheit ihrer Theile von einander unterſchie⸗Porro eſt den werden. Indem aber dieſe Theile, in ſo welt vel ümun ſie eine Groͤſſe machen, nur als Dinge von einer⸗e en ley Art zu gedencken (§. 3.); ſo folget, daß man hier auf keine andere Beſchaffenheit der Theile ſe⸗ Weiſe, wie ſie mit einander verknüpffet, zu begreiffen. In dieſer Betrachtung ſind die Theile, welche in einer Groͤſſe zu unterſcheiden, entweder zugleich wuͤrck⸗ lich, oder ſie folgen in ihrer Wuͤrcklichkeit auf einander. Erklaͤrung. §. II. Sind die Theile, weiche in einer Gröoſſe IIia eſt zu unterſcheiden, zugleich wuͤrcklich, ſo iſt entweder e der eine Theil auſſer dem andern, oder man kan inte A 3 den 6⁶ Das 2. Cap. Von der Mathemathik und den den einen Theil nicht auſſer dem andern ſetzen. Iſt das erſte, ſo nennet man die Groͤſſe eine ausgedehnte Groͤſſe, und iſt das andere, eine nicht ausgedehnte Groͤſſe. . Erklaͤrung. IIia eſt vel §. 12. In der ausgedehnten Groͤſſe oder in der vol inter- Ausdehnung ſind die Theile entweder alſo mit ein⸗ ander verknuͤpffet, daß zwiſchen ihnen keine andere rupta. quantita- koͤnnen geſetzet werden, oder man kan zwiſchen die⸗ ſelben noch andere ſtellen. Im erſten Fall wird geſagt, die ausgedehnte Groͤſſe ſey aus einem Stuͤcke, der ſie gehe in einem fort, und im andern Fall, die Aus⸗ dehnung ſey eine unerbrochene Ausdehnung. Zuſatz. S. 13. Die verſchiedenen Arten der Groͤſſe ſind erklaͤret worden, folglich wird man aus der Zuſammen⸗ ſetzung dieſer Begriſſe leicht verſtehen koͤnnen, was es zu bedeuten habe, wenn man in der Mathematik eine Groͤſſe, in welcher die Theile in ihrer Wuͤrcklichkeit auf einander folgen, oder zugleich bey einander ſind, eine ausgedehnte oder nicht ausgedehnte Groͤſſe: eine unterbrochene Ausdehnung, oder eine Ausdehnung, welche in einem fortgehet, endlich oder unendlich groß; endlich oder unendlich klein nennet (§. 9. 10. XI. 12.). Das 2. Capitel. Von der Beſchaffenheit der Mathematik und den verſchiedenen Theilen dieſer Wiſſenſchafft. Erklaͤrung. . C. . 14. Inuenire Ge haben die Beſchaffenheit einer Sache er⸗ em quic in derſelbigen enthalten, und die Verknuͤpfung dieſer funden, wenn wir die Merckmahle, welche Merck⸗ — – = — = –=ęꝰ, —,,— — — —— — — — — — verſchiedenen Theilen dieſer Wiſſenſchafft. 7 gides Merckmahle beſtimmet. In einer Groͤſſe, als Groͤſſe, el kan nichts gedacht werden, als die Anzahl der Einhei⸗ ſden ten (§. 3.5.). Folglich haben wir die Groͤſſe einer Sa⸗ dehni che, oder wie groß eine Sache erfunden, wenn wir die Anzahl der Einheiten, welche in dieſer Groͤſſe ent⸗ “ halten ſind, beſtimmet. rnN Erklaͤrung. §. 15. Dieſe Anzahl der Einheiten, welche von lnuenire e andee uns beſtimmet worden, macht entweder die gantze quanrita- hne Grͤſſe, welche wir haben erfinden wollen, oder nurtere ze per fſ einen Theil derſelben. Und wenn dieſes, ſo iſt der approdin ckeode Unterſcheid der wahren Groͤſſe von der erfundenen mationem die A⸗ entweder unendlich klein, oder nicht. Iſt das letzte, guid. ng. ſo haben wir bey Erfindung der Groͤſſe einen ſolchen . Fehler begangen, welchen wir haͤtten vermeiden koͤn⸗ Ge nen (§. 8. 9.), daher wird nicht noͤthig ſeyn, daß wir ſamm dieſe Art, die Groͤſſen der Dinge zu finden, beſonders ,ns anmercken. Wenn wir demnach eine Groͤſſe er⸗ militn funden, ſo macht die Anzahl der Einheiten, welche lclicke wir beſtimmet, entweder die gantze Groͤſſe, oder nur dr in keinen ſolchen Theil derſelben, deren Unterſchied von ſe en der wahren Groͤſſe unendlich klein iſt. Iſt das erſte, ſo dehnung. wird geſaget, daß wir die Groſſe genau, und iſt das unerdit andere, daß wir die Groͤſſe hey nahe gefunden. (5.9,le 1. J uſatz. §. 16. Wollen wir demnach eine Groͤſſe erfinden, und wir koͤnnen die Anzahl der Einheiten in derſelben nicht genau beſtimmen, ſo muͤſſen wir uns bemuͤhen, P oi ſolche bey nahe zu beſtimmen. B 2. 3 Uſatz. F. 17. Woraus folget, daß wir eine Groͤſſe, welche unendlich groß, nicht anders als bey nahe erſinden koͤnnen (§. 8.). den Brklaärung. ziche t §. 18. Die Vernunft⸗Lehre erklaͤret es uns, wie wir Quannita , wi die Eigenſchafften der Dinge erfinden koͤnnen, ein⸗ ek 6, 21 4 mahl Ungnie Mec calculum & ſine cal- culo inue- nire quid? Mathelſis quid? 38 Das 2. Capitel, Von der Mathematik und den mahl, durch Huͤlfe der Zeichen, indem wir gleich⸗ geltende Zeichen in gehoͤriger Ordnung vor einander ſetzen, welches calculiren genennet wird, fuͤrs an⸗ dere durch Betrachtung der Dinge ſelbſt, indem wir ſolche mit einander vergleichen, und das, was in ihnen unterſchieden iſt, unterſcheiden. Wir haben demnach keine Urſache zu zweifeln, daß nicht auch die Groͤſſen der Dinge auf dieſe gedoppelte Art, nemlich durch das calculiren, und durch die Be⸗ traͤchtung der Groͤſſe ſelbſt koͤnnen erfunden werden. BErklaͤrung. §. 19. Diejenige Wiſſenſchafft, welche erklaͤret, wie die Groͤſſen der Dinge zu erſinden, wird die Miathematik genennet. Daher iſt die Mathematik eine Wiſſenſchafft von Erfindung der Groͤſſen. Zuſatz. §. 20. Wenn wir mit dieſer Erklaͤrung dasſenige verknuͤpffen, was in der Vernunft⸗Lehre von der Beſchaffenheit einer Wiſſenſchafft ausgefuͤhret worden, ſo erkennen wir, daß ein Lehrer der Mathematik aus den Begriffen der Dinge in unverruͤckter Ordnung diejenigen Geſetze folgern muͤſſe, nach welchen bey ei⸗ ner vorkommenden Groͤſſe die Anzahl der Einheiten entweder genau oder bey nahe zu beſtimmen (5§. 15. 16.). , Anmerckung. §. 21. Bey vielen iſt die Mathematik eine Wiſſenſchafft von der Groͤſſe. Ich habe in dieſem Begriff etwas geaͤndert, doch hoffe ich, daß jene ſolches geneigt vermercken werden, wenn ſie bedencken, daß wir von der Groͤſſe auf eine gedop⸗ elte Ar Groͤſſe und diejenige Eigenſchafften, welche daher folgen, unterſuchen: fuͤrs andere, wenn wir uns bemühen, die An⸗ zahl der eiten in der Groͤſſe zu beſtimmen. Und daß die erſte Ab lung von der Groͤſſe nicht zur Mathematik ſon⸗ dern zur Metaphyſik gehöret. Er⸗ handeln koͤnnen. Einmahl, wenn wir das Weſen 6 Potl lieſe ſonde Gru lehten furs⸗/ konne Begr Gruns Giſ .. en nicht nn Theilen quch Nie cher bern 2 ches⸗ inige Vanen berwj dente Efin e n QN. D en gleich⸗ handet 1s ann denn woi vs 1r hoben Pt orch te A, die Be funden klaͤte, d N ematt o. Gſenige en ber dotden, ffk ons jdnung behei⸗ en itef ndent . verſchiedenen Theilen dieſer Wiſſenſchafft. 9 Erklaͤrung. §. 22. Dieſe Erklaͤrung, welche wir von der Partes Ma- Mathematik gebildet haben, lehret es uns, daß theſeos ge. dieſe Wiſſenſchafft aus verſchiedenem Grunde in be⸗ enbligan. ſondere Theile koͤnne vertheilet werden. Der erſte Grund iſt die Art der Erfindung, da wir einmahl ciatim quid lehren, wie die Groͤſſen durch das calculiren, und arithmeti- fuͤrs andere, wie ſie durch Betrachtung der Sache *a? koͤnnen gefunden werden. Das erſte giebt uns den Begriff von der Rechen⸗Kunſt. Der andere Grund zur Eintheilung iſt die Beſchaffenheit der Groͤſſe, mit der wir uns beſchaͤfftigen. Anmerckung. §. 23. Soll die Rechen⸗Kunſt eine Wiſſenſchafft ſeyn, die er⸗ klaͤret, wie unterbrochene Groͤſſen zu erfinden, ſo wird es nicht nur unmoͤglich fallen, die Rechen⸗Kunſt von andern Theilen der Mathematik zu unterſcheiden, ſondern es wird auch die Rechen⸗Kunſt denjenigen Werth verliehren, wel⸗ cher vermoͤge ihres Weſens derſelben beyzulegen. BErklaͤrung. §. 24. Daß beyde Theile der Mathematik, wel⸗ Qibns che §. 22 aus dem erſten Grunde erklaͤret worden, . niuerſalis einige Lehren gemein haben, die ein jeder Theil ge⸗ praemit- nauer beſtimmet, dieß wird man uns ohne Beweiß tenda. verwilligen. Wir muͤſſen demnach, wenn wir or⸗ dentlich denckenwollen, zuvor eine Wiſſenſchafft von Erfindung der Groͤſſen uͤberhaupt bilden, dieſe wird die allgemeine Mathematik genennet. BErklaͤrung. §. 25. Die verſchiedene Arten der Groͤſ⸗Geometria. ſen, welche nach dem andern Grunde beſondere Dynamica Theile der Mathematik geben (§. 22.), ſind be⸗ & Chrono- A logia quid. 5 reits 10 Das 2. Capitel, Von der Mathematik und den reits §. 10 bis 12 erklaͤret worden. Wor⸗ aus es klar, daß aus dieſem Grunde folgende Theile der Mathematik zu ſetzen. 1. Die Wiſſenſchafft von Erfindung der Groͤſſe in der Ausdehnung. 2. Die Wiſſenſchafft von Erfindung nicht ausgedehnter Groͤſſen. 3. Die Wiſſenſchafft von Erfindung ſol⸗ cher Groͤſſen, deren Theile in ihrer Wuͤrcklichkeit auf einander folgen. Die erſte Wiſſenſchafft kann wiederum in zwey beſondere Theile getheilet werden, zumal ausgedehnte Groͤſſen entweder unterbroche⸗ ne, oder ſolche ſind, deren Theile in einem fortge⸗ hen (§. 12.). Weil aber die Groͤſſen einer unter⸗ brochenen Ausdehnung ohne vieles Nachdencken zu beſtimmen, ſo wuͤrde es uͤberfluͤßig ſeyn, wenn wir dieſen Theil der Mathematik beſonders abhandeln wollten. Daher werde ich in folgenden durch eine Ausdehnung nur diejenige verſtehen, deren Theile in einem ſortgehen. Die erſte Wiſſenſchafft wird die Geometrie genennet. Die zweyte Wiſſenſchafft heiſt die Dynamik. Und die dritte ſoll in einem all⸗ gemeinen Verſtand die Chronologie genenne werden. 1. Anmerckung. §. 26. Es wird nicht ohne Nutzen ſeyn, wenn wir die Dynamik als einen beſondern Theil der Mathematik betrach⸗ ten. Der Vortheil iſt, daß wir in den praktiſchen Theilen der Mathematik viele Dinge leichter und auch allgemeiner erklaͤren koͤnnen. Ich hoffe dieſes nicht ohne Urſache. Denn in der Mechanik, Hydroſtatik, Hydraulik, Aerometrie, Op⸗ tik, Catoptrik, Dioptrik und andern Theilen ſoll die Groͤſſe, mit welcher beſondere Kraͤffte unter beſonderen Umſtaͤnden betrachtet wuͤrcken, erklaͤret werden. Nun wird man es uns geſtehen muͤſſen, daß wir die beſonderen Eigenſchafften der Dinge viel deutlicher begreiffen k—oͤnnen, wenn wir zuvor das allgemeine unterſuchet haben, als wenn wir das allgemeine beſtaͤndig mit dem beſondern verwickeln. 2. An⸗ — — — (—— den “ðMMs E verſchiedenen Theilen dieſer Wiſſenſchafft. 11 Wan⸗ Theie 2. Anmerckung. fvon §. 27. Die Chronologie wird von den Lehrern der Ma⸗ .A thematik eine Wiſſenſchafft die Groſſe der Zeit zu erfinden defier genennet. Weil nun die Gröſſe der Zeit eine ſolche Groͤſſe, lgſeh in welcher die Theile in ihrer Wuͤrcklichkeit auf einander fol⸗ ich, gen, ſo habe ich dieſe allgemeine Wiſſenſchafft, weil keinen kihtit bequemern Namen gehabt, die Chronologie nennen wollen. im Sie könnte auch der theoretiſche Theil in der Chronologie berden, genennet werden. broche⸗ fottge⸗ untel ken §. 28. Die Mathematik iſt eine Wiſſenſchafft Mathefis n d von Erfindung der Groͤſſen. Die Groͤſſen koͤn⸗ kon et ad- unden nen wir auf eine gedoppelte Art betrachten, ein⸗ Big Neie mahl vor ſich, und alsdenn, in ſo weit ſolche in geen gewiſſen Arten der Dinge zu finden, und in den⸗ rd de⸗ ſelben verſchiedene Wuͤrckungen verurſachen. Es ſchoft werden demnach nicht ohne Urſache zwey Haupt⸗ inol: Theile in der Mathematik geſetzet, nemlich der ege theoretiſche und praktiſche. Jener erklaͤret, wie die Groͤſſen vor ſich betrachtet, zu erfinden, und dieſer, wie wir die Groͤſſen in vorkommenden Din⸗ gen, und in vorkommenden Wuͤrckungen der Dinge beſtimmen koͤnnen. Erklaͤrung. ir de ; Cehe — neer I. ϑ ſa 6. Dn 1,6 §. 29. Es iſt demnach aus dem, was von den Ei⸗ verſchiedenen Arten der Groͤſſen zuvor ausgefuͤhret hnn worden, leicht zu begreiffen, daß wir in dem theo⸗ er retiſchen Theil der Mathematik erklaͤren muͤſſen rdt 1) die allgemeine Mathematik 2) die Rechen⸗Kunſt, nin 3) die Geometrie, 4) die Chronologie und 5§5) die Dynamik. G 1, 1. An⸗ ₰ 12 Das 2. Capitel, Von der Mathematik und den I1. Anmerckung §. 30. Man kann uns bey dieſer gemachten Eintheilung des theoretiſchen Theils der Mathematik einige Einwuͤrffe machen. Einmahl, daß ich in dem theoretiſchen Theil der Mathematik mehrere Wiſſenſchafften geſetzet, als insgemein in demſelben geſetzet werden, z. E. die Chronolo⸗ gie und Dynamik Fuͤrs andere, daß ich aus dieſem Theil der Mathematik einige Wiſſenſchafften weggelaſſen, welche von den Lehrern der Mathematik in derſelbigen geſetzet wor⸗ den, 5 E. die Trigonometrie und Algebram. Ich will, weil . die Abſicht gegenwaͤrtiger Schrifft erfodert, antwor⸗ en. 2. Anmerckung. § 21. In Anſehung des erſten Einwurffes geſtehe ich es, daß einige Lehrer der Mathematik in dem theoretiſchen Theil nur zwey Haupt⸗Wiſſenſchafften geſetzet, nemlich die Rechen⸗ Kunſt und Geometrie. Man wird mir aber die Erlaubnis geben, daß ich in gegenwaͤrtiger Schrifft mathematiſch oder us den Begriffen dencke. Ich habe keinen andern Begriff von dem thesretiſchen Theil der Mathematik angenommen, als welcher gewohnlich, und aus dieſem Begriff habe ich es gefolgert, daß in dieſem Theile der Mathematik die §. 29. geſetzte Wiſſenſchafften muͤſten erklaͤret werden. Dieſes wird hinreichend ſeyn, die gemachte Eintheilung zu rechtfer⸗ tigen. 3. Anmerckung. 8. 32. In Anſehung des zweyten Einwurffs geſtehe ich es gleichfals, daß die Lehrer der Mathematik in dem theoreti⸗ ſchen Theile die Trigonometrie und Algebre erklaͤret haben. Ich finde aber noch keine Urſache zu behaupten, daß dieſe in der Mathematik beſondere Wiſſenſchafften ſind. Denn die Obfecte dieſer Wiſſenſchafften gehoͤren bald zur allgemei⸗ nen Mathematik, bald zur Geometrie, bald zur Chronologie, bald zur Oynamik, bald zu einem beſondern Theil in der praktiſchen Mathematik; und die Art und Weiſe, nach wel⸗ cher in dieſen Wiſſenſchafften die Groͤſſen gefunden werden, iſt dieſenige, welche in der Rechen⸗Kunſt gebraucht wird. Wenn ich demnach behaupte, daß die Trigonometrie nichts anders als eine Wiſſenſchafft, in welcher erklaͤret wird, wie durch den Gebrauch der Rechen⸗Kunſt die Groͤſſen der Theile in de en Triangeln zu finden: und daß die Algebre nichts an⸗ ders, als eine weitlaͤuftigere Ausfuͤhrung der Rechen⸗ Kunſt Kun ben w G ei en . verſchiedenen Theilen dieſer Wiſſenſchafft. 13 ellnn Kunſt, indem in derſelbigen der Gebrauch der Rechen⸗Kunſt *“ bey Erfindung verſchiedener Arten der Groſſen ausgefuͤhret IS wird; ſo hoffe ich, daß meine Gedancken mit der Wahrheit vollkommen uͤbereinſtimmen. Die Trigonometrie will am Ende der Geometrie erklaͤren, und von der Algebre werde ich einen kurtzen aber doch zuſammenhangenden Entwurff lieffern. pelcze “ V 2. Juſatz. ,l §. 33. Es folget ferner aus dem §. 28., daß wir nte⸗ in der praktiſchen Mathematik verſchiedene Theile ſe⸗ tzen koͤnnen, wovon jetzo nur uͤberhaupt etwas anfuͤh⸗ ren werde. icht⸗ Erklarung. .Y Dh 34. Die praktiſche Mathematik erklaͤret, Partes in n wie durch Huͤlffe der theoretiſchen Mathematik in Matheſiad- de vorkommenden Dingen die Groͤſſen zu beſtimmen blicara ex- Begtf (§. 28.). Weil nun nicht nur die Dinge, in wel⸗ Lemeratian nn chen wir die Groͤſſen beſtimmen wollen, ſondern indicantur. o uch die Groͤſſen, welche wir beſtimmen wollen, von 8 verſchiedener Art ſind, ſo muͤſſen auch die Theile in B efte der praktiſchen Mathematik aus verſchiedenen Gruͤn⸗ den entſpringen. In dem erſten Haupt⸗Theile der praktiſchen Mathematik werde ich erklaͤren den 66 Gebrauch der theoretiſchen Mathematik bey Aus⸗ Di meſſung der Groͤſſe in den Wuͤrckungen der koͤrper⸗ e lichen Kraͤffte. (Von den moraliſchen Kraͤfften, und den Kraͤfften der Seele werde bey einer andern Gelegenheit ſchreiben. Indeſſen bitte ich dasſenige nachzuleſen, was hiervon in der Mathematik iſt aus⸗ gefuͤhret worden.) Die Koͤrper ſind entweder feſte oder fluͤßige Koͤrper, und dieſe koͤnnen auch durch die Beſchaffenheit ihrer Kraͤffte unterſchieden werden. Daher kommen verſchiedene beſondere Wiſſenſchaff⸗ ten, die zu dem erſten Haupt⸗Theil der praktiſchen Mathematik gehoͤren. Es entſpringet nemlich aus dem erſten die Mechanik, und aus dem andern die Aerometrie, Hydroſtatik, ydraulik, Doroko⸗ It, 14 Das 2 Capitel, Von der Mathematik und den ꝛc. lik, Optik, Catoprik, Dioptrik, Perſpectiv und Muſik. In dem zweyten Haupt⸗ Theile der prak⸗ tiſchen Mathematik werde ich, ſo weit es nach mei⸗ ner gegenwaͤrtigen Abſicht geſchehen kann, begreif⸗ lich machen den Gebrauch der theoretiſchen Mathe⸗ matik bey Ausmeſſung der Veraͤnderungen, welche wir in der Zeit wahrnehmen, woraus die Gnomo⸗ nik und praktiſche Chronologie entſtehet. In dem dritten Haupt⸗Theil der praktiſchen Ma⸗ thematik werde ich nach Abſicht gegenwaͤrtiger Schrifft erklaͤren den Gebrauch der theoretiſchen Mathematik bey Ausmeſſung der verſchiedenen Welt⸗ Koͤrper, ihrer Entfernungen von einander, und an⸗ derer Dinge, welche ſich in dieſen Welt⸗Koͤrpern befinden. Welches der Innhalt von der Aſtrono⸗ mie und Geographie. In dem vierten Haupt⸗ Theile der praktiſchen Mathemstik werde ich end⸗ lich beſchreiben, wie die theoretiſche Mathematik zu gebrauchen bey den verſchiedenen Gebaͤuden, welche die Menſchen vermoͤge ihrer Umſtaͤnde von noͤthen haben. Folglich faſſet dieſer Theil eine kurtze, aber doch hinreichende Theorie, nach welcher Waſſer⸗ Gebaͤude, Wohnungen, Feſtungen und allerhand Machinen anzugeben und aufzubauen. Anmerckung. §. 35. Ich geſtehe es ohne Wiederrede, daß noch mehrere Wiſſenſchafften in der praktiſchen Mathematik koͤnnen abge⸗ handelt werden. Es erfodert aber eine Einleitung zur Ma⸗ thematik nur eine Erklaͤrung derjenigen Theile, von welchen die uͤbrigen abhangen, und nach welchen dieſe koͤnnen ver⸗ ſtanden und beurtheilet werden. ELE M E N T A M A I H E SE 08 VNIVERSALIS Oder Erſte Gruͤnde der allgemeinen Mathematik. der allgemeinen Mathematik. Das 1. Capitel. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, welche bey der Erfindung derſelben zu Unterſcheiden. Erklaͤrung. §. I.⸗ Die Dinge werden einerley genennet, Eadem et J von welchen eins vor das andere diuerſa R kan ſubſtituiret, oder in die Stelle auid. A des andern kan geſetzet werden, oh⸗ ne daß eine Veraͤnderung wahr⸗ genommen wird. Kan man aber das eine vor das andere nicht ſubſtituiren, ſo ſind dieſe Dinge in ſo weit verſchieden. Juſatz. §. 2. Hieraus iſt es leicht zu begreiſſen, daß zwey Dinge unter einigen Beſtimmungen einerley ſeyn koͤn⸗ nen, die unter anderen Beſtimmungen verſchieden ſind. . B Exr⸗ Chara Re- rcS. Similitudo tas. Erklaͤrung. §. 3. Alle Eigenſchafften der Dinge, wodurch man ſolche erkennen und von einander unterſcheiden kan, werden ihre Merckmahle genennet. Zuſatz. . §. 4. Hieraus folget 1) daß man in einer Groͤſſe, als Groͤſſe, keine anderen Merckmahle ſetzen koͤnne, als die Theile, welche von einerley Art, und deren Vielheit (§. 3. Vor. 2.), daß man in einem vorkom⸗ menden Dinge die Merckmahle des Dinges von der Groͤſſe des Dinges unkerſcheiden muͤſſe. AErklaͤrung. §. 5§5. Wenn Dinge einerley, ſo koͤnnen ſie ent⸗ 7 et aequali- weder in Anſehung ihrer Merckmahle oder in Anſe⸗ hung ihrer Groͤſſe vor einander ſubſtituiret werden (§. 1. 4.). In dem erſten Falle wird dieſen Dingen eine Aehnlichkeit, und im andern eine Gleichheit bey⸗ geleget. Woraus leicht zu begreiffen, in wie weit zwey Dinge unaͤhnlich oder ungleich. Anmerckung. G. 6. Das Zeichen, wodurch die Lehrer der Mathema⸗ tik die Aehnlichkeit ausdruͤcken, iſt „, und das Zeichen der Gleichheit —. z. E. A B bedeutet ſo viel, als A und ſind H aͤhnlich, und A — B, A und B ind gleiche Dinge. “S 1. Grund⸗Satz. §. 7. Ein jedes Ding iſt ihm ſelber gleich und aͤhnlich. 2. Grund⸗Satz. §. 8. Die Theile in der Groͤſſe zuſammen ge⸗ nommen ſind der gantzen Groͤſſe gleich. 3. Grund⸗Satz. §. 9. Bin oder etliche Theile der Groͤſſe und die gantze Groͤſſe ſind ungleiche Dinge. Lehr⸗ 18 Das I1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, elcheben 6, 10. ſen beteg Wer ahnlich, Vielheit Grbſe! cholichel einondee l ſ ſ ll. Dhek No enomm inetn ſo Nu⸗ Nir glos / Giſen, enerae ſen, t lie nd nn ſhenef Neen, n ner⸗ als 61 4 ncgl ge ſegpckm Niſen oduth heiden ze n fnne, 1d daen volktr⸗ vonde ſit e Anſe derdel denenn rit be ſe Natßeme⸗ ecſen Bel, d 4 und gleih en d⸗ ch⸗ welche bey der Erſindung derſelben zu unterſcheiden. 19 Lehr⸗Satz. S§. 10. Aehnliche Groͤſſen, wenn ſie als Groͤſe A quanti- ſen betrachtet werden, ſind auch gleiche Groͤſſen. fatum ſimi- B eWei 6. litudine ad Wenn Groͤſſen, als Groͤſſen betrachtet, einander um nequ aͤhnlich, ſo koͤnnen die Theile in der einen und die Titatem va- Vielheit dieſer Theile, vor die Theile in der andern let conclu- Groͤſſe und deren Vielheit ſubſtituiret werden (§. 4. ſio. 7.). Folglich koͤnnen, unter geſetzter Bedingung, aͤhnliche Groͤſen auch in Anſehung der Groͤſſe vor einander ſubſtituiret werden (§. 3. Vor.). Und alſo ſind aͤhnliche Groͤſſen auch gleiche Groͤſſen (§. 5.). W. Z. E. K. Erklaͤrung. §. 1I. Wenn Aund B ungleiche Groͤſſen, ſo iſt ein Maius et Theil der einen Groͤſſe gleich der andern Groͤſſe gantz minus genommen. Wenn ein Theil eines Dinges gleich uid. einem andern Dinge gantz genommen, ſo wird ge⸗ ſagt, daß jenes groͤſſer als dieſes, dieſes aber klei⸗ ner als jenes. Wenn demnach A und B ungleiche Groͤſſen, ſo iſt eine groͤſſer als die andere, und dieſe kleiner als jene. Anmerckung. F. 12. Das Zeichen, wodurch man in der Mathema⸗ tik die Ungleichheit der Dinge ausdruͤcket, iſt dieſes ια und zwar wird es alſo geſchrieben, daß ſich die Oeffnung, iederzeit auf das groͤßte beziehet. Z. E. A & B wird geleſen, A iſt groͤſſer als B, und B = A, B iſt kleiner als A. Grund⸗Satz. §. 13. Das Gantze iſt groͤſſer als ein jeder von ſeinen Theilen, und ein jeder Theil iſt klei⸗ ner als das Gantze. Erklaͤrung. §. 14. Wenn em Theil von einer Groͤſſe etliche Pars ali- mahl genommen der gantzen Groͤſſe gleich wird, ſo guore e⸗ nennet man dieſen Theil einen aliquoten Theil D ahqtamd B 2 ey 20 Das 1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, der Groͤſſe. Wird aber der Theil, etliche mahl ge⸗ nommen, niemals der gantzen Groͤſſe gleich, ſo heiſt Quantita- tes inter ſe comparare. er ein aliquanter Theil von der Groͤſſe. 1. Juſatz. §. 15. Wenn demnach ein aliquanter Theil etli⸗ che mahl genommen wird, ſo iſt die Groͤſſe, welche daher entſtehet, allemahl kleiner oder groͤſſer als die gantze Groͤſſe, wovon jenes ein Theil (§H. 11.). 2. J ſatz. §H. 16. Der aliquote Theit etliche mahl genom⸗ men, macht die gantze Groͤſſe (§. 14.). Und dieſes verurſachet, daß das Gantze von dem aliquoten Theil das vielfache oder muleiplum genennet wird, und zwar das duplum, wenn der aliquote Theil zwey⸗ mahl zu nehmen, das tiplum, wenn jener dreymahl zu nehmen, und ſo ferner das quadruplum, das quintuplum, lertaplum und ſo weiter. Anmerckung. §. 127. Ich habe fremde Worte in der deutſchen Spra⸗ che gebraucht, weil deren Ueberſetzung meinen Vortrag undeutlich machen wuͤrde, dieſes muß auch bey dem, was folget, gemercket werden . Erklaͤrung. §. 18. Wir vergleichen die Groͤſſen mit ein⸗ ander, wenn wir unterſuchen, wie viel die eine Oroͤſſe groͤſſer oder kleiner als die andere. Lehr⸗Satz. §. 19. Ps konnen keine Groͤſſen mit einan⸗ der verglichen werden, als deren Theile von einerley Art. Gder, Groͤſſen, welche mit ein⸗ ander ſollen verglichen werden, muͤſſen Groͤſſen von einerley Art ſe n. on Beweiß. Wir vergleichen die Groͤſſen A und B mit einan⸗ der, wenn wir unterſuchen, um wie viel eine z. E. 4 groͤſſer als B (§. 18.). Iſt A groͤſſer als 8 0 4 l Grdſer, mnahl oe⸗ heit Theit lll. ſe elte groſerts En l genn Ind dies bten D ird, eil ziot⸗ dreyim umn, N ſen pr Vortetn deng, N Gitein Ne t eihen ⸗ ie eitan e d. . 1 4 4 welche bey der Erfindung derſelben zu unkerſcheiden. 21 ſo kan ein Theil von A vor B ſubſtituiret werden (S. II.) foͤlglich i als ein Theil von der Groͤſ⸗ ſe A anzuſehen (§. 1.). Da nun die Theile einer Groͤſſe Dinge von einerley Art ſeyn muͤſſen (§. 3 Vor.), ſo iſt es klar, daß wir keine Gr röͤſen mit ein ander vergleichen koͤnnen, als deren Theile von ei⸗ nerley Art ſind. M. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 20. Wenn zwey Groͤſſen einer dritten gleich ſind, ſo ſind ſie einander ſelber gleich. Beweiß. Wenn A= B, und B = C, ſo kan C vor B in An⸗ ſehung der Groͤſſe ſubſtituiret werden (§. 5.), fol⸗ glich iſt auch A= Lehr F. .). Lehr⸗Satz. §. 21. Was groſſer iſt, als eine von zwey gleichen Groͤſſen, das iſt auch groͤſſer als die andere von denſelben. Und was kleiner iſt als eine von zwey gleichen Groͤſſen, das iſt auch kleiner als die andere. Beweiß. Es ſey A & B, ſo iſt ein Dhen von A=B C. r1.. S ſey ferner BC, ſo iſt auch ein Theil von A=C (§. 20.), folglich iſt A . C(§. 11.). W. Z. E. W. Zuſatz. .22. Hieraus folget die Warheit! von folgen⸗ dens Saͤtzen. 1) Wenn zwey Groͤſſe en von einer dritten dupla, oder mipla, oder wadruple, und ſo wei⸗ ter, ſo ſind ſie einander ſelber gleich. 2) Was das duplum, H quadru- plum, und ſo weiter, einer von zwey gleichen Gro! ſſen, das iſt auch das Teplan, eriplum, quagruplum, und ſo weiter, von der andern Groſſe (§. 16.) B 3 309 Wenn 22 Das 1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, 3) Wenn zwey Groͤſſen die Helfften, der dritte, vierte und fuͤnffte Cheil, und ſo wei⸗ ter, von einer dritten, ſo ſind ſie einander ſel⸗ ber gleich. 4) Was ein aliquoter Theil einer von zwey gleichen Groͤſſen, das iſt auch ein ali⸗ quoter Theil von der andern; und was ein aliquanter Theil von der einen, das iſt auch ein aliquanter Theil von der andern Groͤſſe, welche jener gleich (S. 14.). “ Erklaͤrung. Nexus §. 23. Aus den bishieher erklaͤrten Lehr⸗Saͤtzen quanto- iſt ohne Umſchweiffe zu folgern, daß die Groͤſſen rum dua der Dinge auf eine gedoppelte Art koͤnnen betrach⸗ talium eſt i⸗ D . „ . ratio ma- ket werden, einmal vor ſich, und alsdenn, in wie weit thematica. ſie mit andern Groͤſſen in einer Verknuͤpffung ſte⸗ hen. Es wird aber geſagt, daß Groͤſſen mit ein⸗ ander in einer Verknuͤpffung, in wie weit in der einen eine Eigenſchafft, welche ohne die andere nicht zu gedeneken iſt. Dieſe Verknuͤpffung der Groͤſ⸗ ſen, als Groͤſſen, wird eine Verhaͤltniß genennet. Erklaͤrung. Qaid ter. §. 24. Die Groͤſſen, welche als Groͤſſen in ei⸗ minus ra- ner Verknuͤpffung oder in einer Verhaͤltniß ſtehen, rionis, & werden Glieder der Verhaͤltniß genennet, und rationsan. von dieſen heiſt diejenige Groͤſſe, welche ſich auf recedens bdie andere beziehet, das erſte Glied, diejenige atque con- über, auf welche ſich jene beziehet, das andere ſequens. Glied. Erklaͤrung. Nomen ra- . 2ſ. Diejenige Eigenſchafft, welche in einer tionis quid. Verhaͤltniß der Groͤſſen der einen Groͤſſe in Anſe⸗ hung der andern beygeleget wird, heiſt der Nah⸗ me der Verhaͤltniß. Lehr⸗ nech nich oder XH hun r e Gen ſoſ N Un — — =PT — derGriſn, welche bey der Erfindung derſelben zu unterſcheiden, 23 lſten, der gehr⸗Satz. . ind ſo wei⸗ d. 26. Der Nahme in einer Verhaͤltniß kan inanderſ. nichts anders ausdruͤcken, als die Gleichheit oder Ungleichheit der Glieder. eiſter don Beweiß. ich ein d⸗ Die Eigenſchafft, welche einer Groͤſſe, als Groͤſ⸗ nd woin ſe, in Anſehung einer andern beygeleget wird, iſt s iſtahh nichts als eine Beſtimmung in der Vielheit der een Geſ, Theile, welche ohne einer andern Vielheit der Thei⸗ le nicht zu gedencken iſt (§. 3. Vor.). Von einer Vielheit kan in Anſehung einer andern nichts be⸗ der Ee hau tet werden, als, daß jene mit dieſer einerley nen doder nicht (welches der Begriff von der Vielheit die Niſt ohne Umſchweiffe lehret). Da nun das erſte eine nen Gleichheit, und das andere eine Ungleichheit iſt . 5.), n inem ſo folget, daß der Nahme in einer Verhaͤltniß nichts Uüpffugh anders ausdruͤcken koͤnne, als die Gleichheit oder u, mie Ungleichheit der Glieder (§. 24. 25.). W. Z. E. W. weit in ndere ni §. 27. Hieraus Fua⸗ Glieder in einer C. . H. 27. Hieraus get, daß die Glieder in einer der Ei Verhaͤltniß diejenige Eigenſchafft haben muͤſſen, genint welche Groͤſſen, die mit einander zu vergleichen, koͤnne beygeleget werden (§. 18.). Woher es klar, lſer n⸗ daß die Glieder in einer Verhaͤltniß Groͤſſen von tiß ſin einerley Art ſeyn muͤſſen (§. 19.) ennet Frklaͤrung. ſch §. 28. In einer jeden Verhaͤltniß ſind die Glie⸗ Ratio eft , iciie der entweder eingander gleich, oder ſie ſind unglei⸗ el negue 0s and che Groͤſſen (§. 26.). Folglich koͤnnen alle Ver⸗ aequali⸗ haͤltniſſe in gleiche und ungleiche Verhaͤltniſſe tatis & eingetheilet werden. In einer ungleichen Berkhaͤlt⸗ haec eſt ere niß iſt das erſte Glied entweder groͤſſer oder kleiner vel maio- hen 4 als das andere (§. 11.). Dieſes iſt der Grund, 15 e e. ſen 8 warum ungleiche Verhaͤltniſſe in Verhaltniſſe der Aualitatis. da gröſſern und kleinern Ungleichheit eingetheilet werden. B 4 Er⸗ 24 Das 1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, Erklaͤrung. Ratio eſt S. 29. Es kan ferner in einer Verbaͤltniß die vel finita Gleichheit oder Ungleichheit der Glieder entweder vel infi- genau beſtimmet werden, oder eine ſolche genaue mta. Beſtimmung iſt uns unmoͤglich, iſt das erſte, ſo wird die Verhaͤltniß eine endliche, und iſt das an⸗ dere, eine unendliche Verhaͤltniß genennet. Juſatz. §. 30. In einer unendlichen Verhaͤltniß kan der Nahme nur bey nahe angegeben werden (§. 16. Vor.). Erklaͤrung. Species ra- d. 31. Die unglelche Verhaͤltniſſe bekommen, tionis tam hachdem die Ungleichheit unterſchieden, verſchiedene maioris Benennungen, welche, damit meine Zuhoͤrer auch quam mi- die Schrifften unſerer Vorfahren in der Mathe⸗ noris inae- iß „(, “ . I qualitatis, Matik leſen und verſtehen koͤnnen, hier kuͤrtzlich er⸗ ſi cerminus klaͤren will. Das kleineſte Glied in der ungleichen minor eſt Verhaͤltniß iſt von dem groͤſten entweder ein ali⸗ pars ali⸗ quoter Theil, oder nicht. Iſt das erſte, ſo iheiſt i. die Verhaͤltniß in der groͤſſeren Ungleichheit ratio miltiplex, und in der kleinern ario ſuhbmultiplex. Woraus leicht zu begreiffen, was ratio dupla und ratio ſubdupla, ratio tripla und ſubdripla, ratio quadrupla und ſubquadrup'a (§. 16.). Erklaͤrung. Si termi- §. 32. Iſt das andere, ſo iſt das kleine Glied nus maior entweder nur ein eintziges mahl, oder etliche mahl minorem in dem groͤſten enthalten. Iſt jenes, ſo iſt in dem Anchuotam groͤſtem Gliede entweder das kleine Glied und ein minoris Aliquoter Theil von dem kleinen Gliede, oder das continet. kleine Glied und etliche aliquote Theile von dem kleinen Gliede enthalten. Wenn jenes, ſo heiſt die Verhaͤltniß in der groͤſſern Ungleichheit ratio ſuper- barticularis, und in der kleinern, ratio ſubſuperbar- ticulariv. Es iſt das kleine Glied von dieſem ali⸗ quoten Theil entweder das duplum oder triplum, und velche ben und ſo te ſe von di das klein plucn, gleichhel guoten der grf der klef Glchy mahl ent ten hogt len ratie Ged⸗ Plum o her die Wane lleyt teri in ſihen dortieng ſſen, iß de beder aane te, ar. fan der ) Vo) nmnet jedene (uh lathe h lichn, 1 % Reſt ti 1 UN rto GO o . d0 10 1de Her. Nor. l⸗ lum 6d welche bey der Erfindung derſelben zu unterſcheiden. 25 und ſo weiter, und alſo bekommen die WVerhaͤltniſ⸗ ſe von dieſem ihre verſchiedene Benennungen. Iſt das kleine Glied von dem aliquoten Theile das du- plum, ſo heiſt die Verhaͤltniß in der groͤſſern Un⸗ gleichheit, ratio ſeſquialtera, und in der kleinern ra- tio ſubſeſquialtera; iſt das kleine Glied von dem ali⸗ quoten Theile das triplum, ſo heiſt die Verhaͤltniß in der groͤſſeren Ungleichheit, ratio ſeſqitertia, und in der kleineren ratio ſüubleldauitertia, und ſo weiter. Erklaͤrung. S§. 33. Wenn in dem groſſen Gliede das kleine Si termi- Glied, und ein aliquoter Theil von dieſem etliche nus maior mahl enthalten, ſo heiſt die Verhaͤltniß in der groͤſſe⸗ inorem, . . . . et aliquot ren Ungleichheit rario ſuperpartiens, und in der klei⸗ minoris nen vatio ſubſuperpartiens. Da nun das kleine partes ali- Glied von dieſem aliquoten Theil entweder das du- quotas plum oder triplum, und ſo weiter, ſo bekommt da⸗ontinet. her die Verhaͤltniß ihre verſchiedene Benennung. Woraus leicht zu begreiffen, was ratio ſuperhipar- tiens tertias, und ſuhſiperbipartiens tertiag, ra- tio upertripartiens quartas, und ratio ſubſupertri- partiens quartas, und weiter. Erklaͤrung. §. 34. Wenn das kleine Güed etliche mahl in Si termi- dem groſſen enthalten (§. 32.), ſo iſt dasjenige, nus maior was in dem groſſen Gliede noch mehr zu finden, minorem entweder ein aliquoter Theil von dem kleinem Glie⸗ Aiquoties continet, de, oder ein aliquoter Theil von dieſem Gliede et⸗ er Partem liche mahl genommen. Iſt das erſte, ſo heiſt die minoris Verhaͤltniß in der groͤſſeren Ungleichheit, natio mul- aliquotam. tiplex ſuperparticularis, und in der kleinern Un⸗ gleichheit, atio ſubmultiplex ſuhſuperparticularis. Woraus wiederum leicht zu begreiſſen, was ratio dupla ſeſquialtera, und ratio ſuldupla ſihbſoſquial- tera, vatio tripta ſeſquiquarta, und ratio ſubtripla ſubſeſquiquorta, und ſo weiter (§. 31. 32.). B F Er⸗ Si tert ni- nus m aior minor em aliquo ties contimet, et aliqjuot minot is partes ali= quotas. 26 Das 1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, Erklaͤrung. §. 35. Iſt das andere, was wir §. 34. geſetzet haben, ſo heiſt die Verhaͤltniß in der groͤſſern Un⸗ gleichheit, ratio multipte ſuperpartiens, und in der kleinern Ungleichheit ratio ſubmultiplex ſubſaperpar- ions. Und hieraus iſt wiederum leicht zu verſtehen, Wwas ratio dupla ſuperbipartiens tertias, und ratio ſubdupla ſubſuperbipartiens tertias, und ſo weiter (§. 31. 33.). . Zuſatz. §. 36. Alle Verhaͤltniſſe, welche §. 31⸗35. be⸗ ſchrieben worden, ſind endliche Verhaͤltniſſe (§. 29.). Anmerckung. §. 37. Man wird es uns leicht verwilligen, daß noch verſchiedene Arten der Verkhaͤltniß koͤnnen geſetzet werden, wenn wir ſolche nach den Geſetzen der Vernunfft⸗Lehre be⸗ ſtimmen wollen. Weil aber das, was wir hievon ange⸗ mercket haben, hinreichend iſt, dasjenige zu verſtehen, was wir haben erklaͤren wollen, ſo wollen wir das uͤbri⸗ ge einer anderen Gelegenheit uͤberlaſſen. Lehr⸗Satz. §. 39. Zwo Verhaͤltniſſe, welche einerley Nah⸗ men haben, ſind aͤhnliche und auch gleiche Verhaͤltniſſe. Beweiß. Dasjenige, wodurch eine Verhaͤltniß der Groͤſſen kan erkannt und von andern unterſchieden werden, iſt der Nahme der Verhaͤltniß (§. 25.). Woraus ſolget, daß Verhaͤltniſſe, deren Nahmen einerley, ähnlche Berhältniſſe ſind (§. 5.). Weil nun von der Aehnlichkeit der Groͤſſen, als Groͤſſen, auf ihre Gleichheit kan geſchloſſen werden (§ 10.), ſo muͤſſen auch Verhaͤltniſſe, deren Nahmen einerley, gleiche Berhältniſſe ſeyn (§. 23.). W. Z. E. W. Zu⸗ töſen, welche bey der Erfindung derſelben zu unterſcheiden. 27 Nete §. 39. Hieraus ſind folgende Saͤtze zu begreif⸗ n hhr fen. 1) Die Groͤſſe einer Verhaͤltniß iſt aus ih⸗ die N rem Nahmen zu beurthe len. Wenn demnach zwo prhn. Verhaͤltniſſe verſchiedene Nahmen haben, ſo ſind ſce ſolche ungleiche Verhaͤltniſſe C. F.). Woraus leicht do zu erkennen, wenn ene Verhaͤltniß groͤſſer oder Nee kleiner als eine andere (§. 11.). 2. JUuſatz. B §. 40. 2) Zwo Verhaͤltniſſe, welche einer dritten gleich, ſind einander ſelber gleich (§. 17.). Wenn in demnach eine Verhaͤltniß groͤſſer oder kleiner als 8 2)1 eine von zwey gleichen Verhaͤltniſſen, ſo iſt ſolche auch groͤſſer oder kleiner als die andere von denſel⸗ e n ben (§. 21.). Welcher Satz durch den §. 22. ge⸗ hthiitn nauer kan beſtimmet werden. iid Erklaͤrung. giige §. 41. Die Aehnlichkeit oder Gleichheit der Ver⸗Proportio Sülte haͤltniſſe heiſt eine Proportion. quid. H Zuſatz. §. 42. Folglich ſind in einer jeden Proportion Pi zwo Verhaͤltniſſe (§. 41.), und vier Glieder (§. 24.). geit Was demnach von dem Unterſchiede der Verhaͤlt⸗ ei niſſe §. 28⸗ 37. erklaͤret worden, das kan die Lehre von der Proportion genauer beſtimmen. . E giſt Erklaͤrung. f §. 43. Wenn m einer Proportion das andere Quae vel n Glied der erſten Verhaͤltniß, und das erſte Glied en r. en der zweyten Verhaͤltniß einerley, ſo heiſt die Pro⸗ U portion proportio continua, ſind aber die beſtimmten ſe Glieder unterſchieden, ſo wird die Proportion pro- ſe Lortio diſereta genennet. . geck Erklaͤrung. §. 44. Woraus zu begreiffen, warum in einer Media et Proportione continua das andere Glied der Juart⸗ broportio- Progreſſio quid. 28 Das 1. Cap. Von den Eigenſchafften der Groͤſſen, erſten Verhaͤltniß, und das erſte Glied der zwey⸗ ten Verhaͤltniß, die mittlere Proportional⸗Groͤſ⸗ ſe: und warum in einer jeden Proportion das letz⸗ te Glied die vierte Proportional⸗Groͤſſe genen⸗ net wird. Zuſatz. §. 45. In einer proportione continua wird die mittlere Proportional⸗Groͤſſe zweymal genommen (§. 43.), folglich ſind in derſelben nur drey ver ſchiedene Glieder (§. 42.). . g . εα S Erklaͤrung. §. 46. Eine Reihe von verſchiedenen Groͤſſen, welche in einerley Verhaͤltniß fortgehen, heiſt eine mathematiſche Progreßisn. Juſatz. §. 47. Folglich ſind alle Glieder in einer mathe⸗ matiſchen Progreßion Groͤſſen von einerley Art (§. 27.):. Lehr⸗Satz. §. 48. Drey Glieder, welche in einer mathe⸗ matiſchen Progreßion neben einander ſtehen, ma⸗ chen eine Proportionem continuaum, und vier ſol⸗ che Glieder eine Proportionem diſeretam. Beweiß. Die Glieder, welche in einer Progreßion neben einander ſtehen, gehen in einer Verhaͤltniß fort (§. 46.), folglich verhaͤlt ſich das erſte Glied zu dem andern, wie das andere Glied zu dem dritten, und das erſte Glied zu dem andern, wie das dritte zu dem vierten. Wenn man demnach drey Glie⸗ der, welche in einer ſolchen Progreßion neben ein⸗ ander ſtehen, beſonders betrachtet, ſo machen dieſe eine Proportionem continuam, nimmt man aber vier ſolche Glieder, ſo entſtehet eine Proportio diicreta (§. 43. 46.). w. z. e. w. Zu⸗ . hſſen, zveh. Groͤ⸗ lih⸗ gehel⸗ itd Ni onnnen ) ber⸗ iſtn at leche , nd r ſ⸗ welche bey der Erfindung derſelben zu unterſcheiden. 29 Juſatz. F. 49. Es kan eine Progreßion in verſchiedene Proportionen verwandelt werden (§. 40.). Lehr⸗Satz. §. 50. Wenn man weiß, wie ſich eine Groͤſſe zu einer andern verhalten ſoll, ſo kan man durch Guͤlfe der erſten die andere finden. Beweiß. Wenn wir das Verhalten der einen Groͤſſe zu der andern wiſſen, ſo iſt uns bekannt, ob dieſe Groͤſſe mit der erſten gleich oder ungleich, und wenn dieſes, um wie viel dieſe groͤſſer oder kleiner als die erſte(§. 26.) Daher werden wir dadurch, daß wir das Ver⸗ halten der einen Groͤſſe zu der andern wiſſen, in dem Stande geſetzet, daß wir die Anzahl der Ein⸗ heiten in dieſer Groͤſſe beſtimmen (§. F. 11.), das iſt, durch Huͤlffe der erſten Groͤſſe die andern erfin⸗ den koͤnnen (§H. 14. Vor.). w. z. e. w. I1. Juſatz. §. 51. Wenn man es weiß, wie ſich eine Groͤſſe zu einer andern bey nahe verhalten ſoll, ſo kan man auch durch Huͤlffe der erſten die andere bey nahe finden. Hieraus erhellet der Nutzen, den die Lehre von der Verhaͤltniß, von der Proportion und Pro⸗ greßion der Groͤſſen bey Erfindung der unendlichen Groͤſſen leiſtet (§. 30.). 2. Juſatz. . . §. 5§2. Die vierte Proportional⸗Groͤſſe kan ge⸗ funden werden, wenn das erſte, andere und dritte Glied iſt bekannt gemacht (§. 50. 41. 44.). 3. Juſatz. d. 73. Die mittlere Proportional⸗Groͤſſe kan gefunden werden, wenn das erſte und dritte Glied, wie auch der Nähme der Verhaͤltniß iſt gegeben worden (§. 5§0. 44. 39,). 4. Z U⸗ 30 Das 2. Cap. Von Erſindung der Groͤſſen, §. 54. Die folgende Glieder in einer Progreſ⸗ ſion koͤnnen durch Huͤlſſe des erſten Gliedes, und des Nahmens der Verhaͤltniß gefunden werden (§. 50. 46. 39.). 5§. Juſatz. §. 5§§. Das zweyte Glied in einer Verhaͤltniß kan gefunden werden, wenn das erſte Glied und der Nahme der Verhaͤltniß iſt gegeben worden (S. 50. 39. 24. 25.). 6. Zuſatz. §. 56. Hieraus iſt zu begreiffen, daß die Geſetze, welche erklaͤren ſollen, wie die Groͤſſen der Dinge zu erfſinden, von einer gedoppelten Art. Indem ſelbige ſo wohl aus der Beſchafſfenheit der Groͤſſe vor ſich betrachtet, als auch aus der Verhaͤltniß der Groͤſſen zu folgern. Beyde Arten ſollen in de folgenden Capiteln erklaͤret werden. Das 2. Capitel. Von Erfindung der Groͤſſen, wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. AErklaͤrung. . n . d. 17— . K aanr Geiner Groͤſſe, als Groͤſſe, vor ſich betrachtet, Tbeata in WD koͤnnen wir nichts als das Gantze und deſſen uenienda, Theile gedencken (§. 3. Vor.). Wenn wir dem⸗ aut partes nach eine Groͤſſe vor ſich betrachtet erfinden ſollen, dantur etſo werden uns entweder Theile gegeben, und wir dorum imn ſollen dadurch das Gantze finden; oder es wird uns uenien- qum eſt, das Gantze gegeben, und wir ſollen deſſen Dhei⸗ n⸗ The odel gong Ge Nen mon De ſen, Add . e d 1 wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 31 ſinden. Iſt das erſte, ſo werden uns entweder alle primc, her Theile, vor ſich betrachtet, gegeben, oder nur etliche, nem. ⸗ rogt oder nur ein eintziger Theil, und wir ſollen daraus die dds gantze Groͤſſe fſinden. Werden uns von einer Groͤſſe (ia alle Theile, vor ſich betrachtet, gegeben, und wir ſollen daraus die gantze Groͤſſe finden, ſo nennet man dieſes Erfinden der Groͤſſe das Addiren. ig Die gegebene Theile werden die ſummirende Groͤſ⸗ ie gantze Gro che wir durch das unie ſen, und die gantze Groͤſſe, welch 8 Addiren finden ſollen, wird die Summe oder das Aggregat genennet. 1. Juſatz. Beſch §. §8. Die Theile zuſammen genommen ſind dem Ding Gantzen gleich (§S. 8.), folglich muͤſſen auch die eden ſummirende Groͤſſen zuſammen genommen der Sum⸗ Grif me gleich ſeyn (§S. 57.). gißder 24½ Z u ſa . in de §. §9. Aus dieſem folget die gewoͤnliche Er⸗ klaͤrung von dem Addiren, daß es ſo viel ſey, als aus einigen gegebenen Groͤſſen eine andere fin⸗ den, welche den gegebenen zuſammen genom⸗ men gleich iſt (§. 57. 59.). 53. Juſatz. ce §. 60. Kan die Vielheit der Theile in der Sum⸗ me, vor die Vielheit der Theile in den ſummiren⸗ den Groͤſſen nicht ſubſtituiret werden, ſo iſt auch nicht genau addiret worden (5§. 5.). Anmerckung. §. 61. Das Zeichen, wodurch die Lehrer der Mathe⸗ chtin matik das Addiren ausdruͤcken, iſt +. Sollen demnach deſen die Groͤſſen A. B. C. D. addiret werden, ſo wird geſchrie⸗ Nn ben: A + B † C †+ D. . Lehr⸗Satz. it §. 62. Groͤſſen, die man addiren ſoll, muͤſſen Is von einerley Art ſeyn. heie⸗ Be⸗ Beweiß. Groͤſſen, welche zu addiren, ſollen zuſammen ge⸗ nommen eine andere Groͤſſe machen (§. 59.). Nun aber koͤnnen Theile zuſammen genommen keine ande⸗ re Groͤſſe machen, als in wie weit ſie Dinge von einerley Art (§. 3. Vor.). Folglich muͤſſen auch diejenigen Groͤſſen, welche wir addiren ſollen, Groͤſſen von einerley Art ſeyn. w. z. e. w. Lehr⸗Satz. §. 63. Wenn gleiche Groͤſſen zu gleichen Groͤſſen addiret werden, ſo kommen gleiche Summen heraus. Wenn aber gleiche Groͤſſen zu ungleichen Groͤſſen addiret werden, ſo ſind guch die Summen ungleich. Beweiß. Es koͤnnten dieſe Lehr⸗Satze unmittelbahr aus dem Begriff der Gleichheit und Ungleichheit, und aus dem Begriff von der Addition bewieſen werden (§. 5. 8. 59.). Damit ſich aber die Anfaͤnger in der Mathematik in dem Gebrauch der mathemati⸗ ſchen Zeichen uͤben koͤnnen, ſo will dieſe leichte Wahr⸗ heiten auf folgende Art beweiſen. Es ſey A = B, man addire zu A die Groͤſſe C, ſo entſtehet A+ C (§. 61.). Nun iſt AT C= ATC (S§. 7.), und B kan vor A in Anſehung der Groͤſſe ſubſtituiret wer⸗ den⸗ (§. 5§.), folglich iſt auch A †+ C=B† C. w. d. e. Es ſey ferner A— B, ſo iſt in A die Groͤſſe Bund noch ein Theil mehr (S. II. 12.), welchen wir M. nennen wollen, folglich iſt A= M + B (§. 8. 61.). Man addire zu beyden Groͤſſen C, ſo iſt A + C= M + B + C (§S. 61. und n. 1.). Da nun MTBF† CE B C (§. 13.), ſo iſt auch A C= BTC (§. 21.). w. d. a. Zu⸗ 60 nn wol 4.0e. jroͦſen, ſemmmen g⸗ 9.). Nun keineonde⸗ Dunge ben nuͤſſen ech en, Griſen u gleichn hen glit e Graen 1, ſo ſid Gchr n cGhet, ℳ en verden Aner mnathenan ichte Wii⸗ ſey 4= / t4t , 7) und! — — ͤſehn hen wi Al Mt) C,U V wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 33 Juſatz. §. 64. Wenn demnach die erſte, von den unglei⸗ chen Groͤſſen, zu welchen gleiche addiret worden, groͤſſer als die andere, ſo iſt auch die erſte Summe groͤſſer als die andere. Dð Lehr⸗Satz. K. 65. Wenn zu ungleichen Groͤſſen gleiche addiret worden, ſo haben die Summen und die ungleichen Groͤſſen, zu welchen gleiche addiret worden, einerley Verhaͤltniß. Beweiß. Wenn man gleiche Groͤſſen zu gleichen addiret, ſo ſind die Summen auch gleich (§. 63.). Wenn man aber gleiche Groͤſſen zu ungleichen addiret, ſo werden die Summen ungleich (§H. 63.). Aus dieſem iſt es klar, daß die groͤſte Summe in Anſehung der kleinen, ſo viele Einheiten mehr faſſet, als die groͤſte von den gegebenen Groͤſſen in Anſehung der klei en hat. Folglich haben dieſe ungleiche Summen und die gegebenen ungleichen Groͤſſen einerley Verhaͤltniß (S. 23,2 5.38.) W. Z. E. W. Suſatz. §.66. Es machen demnach die ungleichen Groͤſſen und die ungleichen Summen, welche daher entſtanden, daß man zu jenen gleiches addiret, eine Proportion (§. 41. 43.·). Woraus es klar, daß auch hier noch mehrere Saͤtze aus dem, was §. 50⸗56. iſt bewieſen worden, zu ſchluͤſſen, wovon in dem folgendem Capitel. Aufgabe. §. 67. Verſchiedene Groͤſſen zu addiren. Aufloͤſung. 1) Nehmet aus den gegebenen Groͤſſen diejenigen, welche von einerley Art ſind, beſonders. 2) Dieſe verknuͤpffet alſo mit einander, daß ſie eine Groͤſſe machen. 3) Mit dieſen verfnüpffer die uͤbrigen durch Huͤlffe des Deinde per multiplica-welchen man die gantze Sroͤſſe finden ſoll, ſiehe S. 57. ſo ſind ſolche entweder aliquore Theile von der gantzen Groͤſſe, oder nicht. Iſt das erſte, ſo wird ein Theil hinreichend ſeyn die gantze Groͤſſe zu beſtimmen (§. 14.). Iſt das andere, ſo folget un mittelbar aus dem Begriff der aliquanten Theile, daß die gantze Groͤſſe durch das gegebene tionem. 34 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, des Zeichens der Addition, ſo iſt die Addition, ſo weit als es moͤglich geweſen, verrichtet. Beweiß. Addiren iſt nichts anders, ais aus einigen gegebenen Groͤſſen eine andere fſinden, welche den gegebenen zu⸗ ſammen genommen gleich ſt (H. 59.). Folglich haben wir gegebene Groͤſſen addiret, wenn wir ſolche ſo mit einander verknuͤpffet, daß ſie eine Groͤſſe machen (§ 5. und 3. Vor.). Weil aber keine Geoͤſſen koͤnnen addiret werden, als welche von einerley Art (§. 62.), ſo haben wir die Addition, ſo weit als es moͤglich geweſen, ver⸗ richtet, wenn wir von den gegebenen Groͤſſen alle Groͤſ⸗ ſen von einerley Art alſs mit einander verknuͤpffet, daß ſie eine Groͤſſe machen, und mit die ſen die uͤbrigen durch das Zeichen der Addition verbunden. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 68. Dieſe Aufloͤſung iſt allgemein, und der Grund von einer jeden Addition, welche mit Zahlen und ohne Zahlen verrichtet wird. Daß eine ſolche allgemeine Unterſuchung noͤthig ſey, wenn man den wahren Grund von dem be⸗ ſondern einſehen und leicht faſſen will, ſolches werden fol⸗ gende Theile ohne Umſchweiffe beweiſen. Zur Deutlichkeit will die Aufloͤſung mit einem Exempel erlaͤutern. Geſetzt, es ſollten drey Linien und ein Quadrat addiret werden, ſo verknuͤpffet erſtlich die drey Linien, weil dieſe Dinge von einerley Art ſind, alſo mit einander, daß daraus eine Linie entſtehe, welche den gegebenen zuſammen genommen gleich, mit dieſer Linie verknuͤpffet durch Huͤlffe dieſes Zeichens † das gegebene Quadrat, ſo habt ihr die gegebenen Groͤſſen ſo weit, als es in eurer Gewalt geſtanden, addiret. Prklaͤrung. §. 69. Werden nur eiliche Lheile gegeben, aus A gegebene Ditßiſt Odernure banwerde ſidenſo hiuteichen wir die die gant von deg dder ſ wee ichttre Fllgihin danhif ie el chenahl Ne Giſgee eſe frde n heſtrhe 4 einer G gonte . Mhen 69,5 . fan he denmnt nun u Nraus Pbt⸗ Giſt ſen, ,ſo deit gegeberen benen ⸗ ichhaben cheſomt hen 1. naddiet ſo hoben ſen,ber le en diulh Grundtun Hne An kerſichung den bn tden eltcfit vetden ſ⸗ Mnge tn eine in⸗ en gec⸗ ichenst n Gniſen ret. , § ſi Del agef ch d Geben wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 35 gegebene nicht koͤnne beſtimmet werden (§. 14. 15.). Dieß iſt genug zu beweiſen, daß entweder alle Theile, oder nur ein eintziger Theil von der Groͤſſe muͤſſe gege⸗ ben werden, wenn man dieſe durch Huͤlffe der Theile finden ſoll (§. 57.). Weil nun von dem erſten §. 58⸗68. hinreichend iſt gehandelt worden, ſo iſt nur noͤthig, daß wir die Beſchaffenheit des zweyten Punkts noch unter⸗ ſuchen. Wired ein Theil, durch deſſen Huͤlffe man die gantze Groͤſſe ſinden ſoll, gegeben, ſo iſt dieſer von der zu findenden Groͤſſe entweder ein aliquoter oder ein aliquanter Theil (§. 14.). Iſt dieſes, ſo iſt wie zuvor leicht zu begreiffen, daß das gegebene nicht hinreichend ſey, die verlangte Groͤſſe zu beſtimmen. Folglich muß der gegebene Theil von der zu finden⸗ den Groͤſſe ein aliquoter Theil ſeyn. Ein aliquo⸗ ter Theil von einer beſtimmten Groͤſſe macht etli⸗ chemahl genommen die gantze Groͤſſe (§. 14.). Eine Groͤſſe etlichemahl nehmen heiſt multipliciren. Wenn demnach ein Theil von einer beſtimmten Groͤſſe gegeben wird, und man ſoll dadurch die gantze Groͤſſe finden, ſo muß dieſes durch das Multiplici⸗ ren geſchehen. Zuſatz. §. 70. Hieraus folget, daß, wenn die Theile von einer Groͤſſe gegeben worden, und man dadurch die gantze Groͤſſe finden ſoll, ſolche entweder durch das Addiren, oder durch das Multipliciren zu ſuchen ſey (§. 69. 57.). . Erklaͤrung. §K. 7r. Man muitipliciret eine Groͤſſe, wenn man ſolche etlichemahl nimmt (§. 69.). Soll demnach eine Groͤſſe multipliciret werden, ſo muß man zuvor anzeigen, wie vielmahl ſolche zu nehmen. Hieraus folget, daß bey einer Multiplication drey Haupt⸗Theile zu unterſcheiden ſind, nemlich die Groͤſſe welche ſoll multipliciret werden, die Groͤſſe, mer 2 36 Das 2. Cap,. von Erfindung der Groͤſſen, che anzeiget, wie vielmahl jene zu nehmen, dieſer wird der Multiplicaton genennet, und endlich die Groͤſſe, welche zu finden, die heiſt das Lactum oder das Pro⸗ duct. Die Groͤſſe, welche ſoll multiplieiret werden, und der Multiplicator werden auch die Fadores genen⸗ net. 1. Zuſatz. §. 72. Wenn demnach eine Groͤſſe multipliciret worden, ſo iſt das Multiplicandum ſo vielmahl in dem Facto, wie vielmahl die Einheit in dem Multiplicatore enthalten (H. 71. und 5. Vor.). 2. Juſatz. §. 73. Hieraus folget unmittelbar, daß multi⸗ plieiren nichts anders ſey, als eine Groͤſſe fin⸗ den, in welcher die gegebene ſo vielmahl enthal⸗ ten, als eine andere beſtimmte Groͤſſe Einheiten in ſich begreifft. . . Z Jitſatz. §. 74. Das Multiplicandum muß ein aliquoter Theil von dem Facke ſeyn (§. 71.), und die Ein⸗ heit iſt allein der aliquote Theil von dem Multiplica- tore, als Multiplicatore (§. 71. 14.). Anmerckung. §. 7v5. Das Zeichen, wodurch die Lehrer der Mathema⸗ il das Multipliciren ausdruͤcken iſt (9). Wenn demnach A durch B ſoll multipliciret werden, ſchreibet A, B. Andere ſetzen die Factores auch ohne Zeichen neben einander, wenn ſie es wollen zu erkennen geben, daß eine Groͤſſe durch die andere zu multipliciren. Lehr⸗Satz. §. 76. In einer jeden Multiplicgtion ſtehen Eins und der Muliiplicator; das Mualtiplicandum und laltum in einerley Verhaͤltniß. Beweiß. Mulciplicator; das Muhkiplicandum und Factum in In einerjeden Multiplication ſtehet Eins und der n eine Nahren ſtanch M Mol welh den 6. catie cane liſen. ntſh iren Eb ſen lih ein 6 eEI. 17 In ul P) 2 den, 8., e dhſen, dieſertic die Groͤſe er das Pro⸗ Aret werden Aorergenel⸗ multiplient lmahlinden lultiplicnen In aliguott Mulupler. der Mathen Venn denmne . nander,t 8 lon ſtenn iplten snd de od wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 37 in einer Verhaͤltniß (§. 74. 14. 23.). Weil nun die Nahmen dieſer Verhaͤltniß einerley (72. 25. 1.), ſo iſt auch die Verhaͤltniß, in welcher die Einheit und der Multiplicator ſtehet, einerley mit der Verh atuiß, in welcher das Multiplicandum und das Facturn zu finden (§. 38.). W. Z. E. W. ZJuſatz. §. 77. Folglich machen in einer jeden Multipli⸗ cation die Einheit, der Multiplicator, das Multipli- candum und das Factum eine Proportion (H. 41.). Lehr⸗Satz. §. 78. Wenn gleiche Groͤſſen durch gleiche Groͤſſen multipliciret werden, ſo kommen gleiche ITabta heraus. Werden aber ungleiche Groͤſſen durch gleiche multipliciret, ſo ſind die Fadta un⸗ gleich. Beweiß. Dasjenige, was in dem Anfange des Beweiſes bey dem §. 63. angefuͤhret, giebt mir Bewegungs⸗ Gruͤnde dieſe Lehr⸗Säaͤtze auf folgende Art zu be⸗ weiſen. Es ſey A= B. Man multiplicire A durch C, ſo entſtehet A, C (§. 75.). Da nun A, C = A, C (§. 7.), und B vor A in Anſehung der Groͤſſe zu ſub⸗ mg ſtiluiren (§. 5.), ſo iſt auch A, C= B, C. W. D. E. Es ſey ferner Ar= B, ſo iſt in A die Groͤſſe B und noch ein anderer Theil, welchen wir M nennen wollen (§. II. 12.), ſolglich iſt A = M - B (§. 8.6 r.). Man multiplicire beyde Groͤſſen durch C., ſo iſt A/C— MT B), C(§. 75. und n. 1.). Da nun (M B), CW B, C(§. 13.), ſo iſt auch A, C= B, C(5. 21.). W. D. A. Zuſatz. §. 79. Wenn demnach die erſte von den unglei⸗ chen Groͤſſen, welche durch gleiche multipliciret wor⸗ den, groͤſſer als die andere, ſo iſt auch das erſte Factum gröſſer als das andere. E 3 Lehr⸗ 39 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, te Lehr⸗ Satz. §. 80. Wenn ungleiche Groͤſſen durch gleiche ſct. multipliciret worden, ſo ſtehen die Multiplicanda znultin und die Facta in einerley Verhaͤltniß. 1. Beweiß. icate, Dieſer Lehr⸗Satz kan auf die Art bewieſen wer⸗ 2. T den, wie der Satz im §. 65. beſtaͤtiget worden, min wenn nur die Gruͤnde alſo geandert werden, wie mail es der Begriff von der Multiplication (§. 73.) er⸗ (ſt fodert. 1D ſe §. 81. Wenn demnach ungleiche Groͤſſen durch Mtnd gleiche multipliciret worden, ſo machen die Multi- N plicanda und die Facta eine Proportion (§. 44. dad 33.). ltn Lehr⸗ Satz. . in 8. 82. Wenn ungleiche Groͤſſen durch gleiche multipliciret worden, ſo ſtehet das erſte Multi- Deg plicandum mit dem erſten Fadto, und das andere f Mualtiplicandum mit dem andern Fado in einerley daud Verhaͤltniß. enn Man nmultiplicire A durch C, ſo verhuͤlt ſich Eins agein zu C, wie A zu A, C (§. 76. 71.). Man multi⸗ tet iel plicire ferner B durch C, ſo verhaͤlt ſich Eins zu g n wie B Ju B, C (§. 76. 71.). Folglich verhaͤlt ſich Utnn auch Azu A, C, wie ſich verhaͤlt B zu B, C (S. 40.). 6ℳ1 J Zuſatz. uh §. 83. Der §. 81. und 82. geben es uns zu er⸗ ene kennen, daß hier vieles aus dem, was §. 50⸗ 56. iſt uen bewieſen worden, koͤnne gefolgert werden. Hiervon aen in dem folgendem Capitel. . Auf⸗ Weil Broͤſen, irch gleicht Vltiplcond⸗ elvieſentve⸗ get wirden, herden, de . 73 rͤſſen du die M. on (5.4 ch glet elſte M des de in eitel hieſiet M ſul En, pethelt 6 1 ſ/ſ Hi⸗ 4 wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 39 Aufgabe. §. 84. Eine Groſſe durch eine andere Groͤſſe zu multipliciren. . Aufloͤſung. 1. Unterſuchet, wieviele Einheiten in dem Multi- plicatore enthalten. 2. Wenn dieſe Anzahl der Einheiten kan beſtim⸗ met werden, ſo nehmet das Multiplicandum ſo viel⸗ mahl, als der Multiplicator Einheiten in ſich be⸗ greiffet. 3. Die ſe Theile verknuͤpffet alſo mit einander, daß ſie eine Groͤſſe machen. 4. Koͤnnet ihr die Anzahl der Einheiten in dem Multiplicatore nicht beſtimmen, ſo verbindet den Multiplicatorem mit dem Multiplicando durch Huͤlffe des Zeichens der Multiplication, ſo habt ihr die Multiplication ſo weit, als es in eurer Gewalt ge⸗ ſtanden, bewerckſtelliget. Beweiß. Die Wahrheit dieſer Aufloͤſung iſt aus dem Be⸗ griff, welchen wir §. 73. von der Multiplication gegeben haben, unmittelbar zu folger. Erklaͤrung. §. 85. Bis hieher iſt das erſte erklaͤret worden, Aur totum welches bey Erfindung der Groͤſſen, vor ſich betrach⸗ datur & tet, zu unterſcheiden, wie nemlich durch Huͤlffe der bares un⸗ gegebenen Theile das Gantze zu erfinden. Siehe ſunt primo §. 57. Imn folgenden werde ich das zweyte unterſu⸗ per ſubtra- chen, wie nemlich, wenn das Gantze iſt gegeben wor⸗Stionem. den, die Theile der gantzen Groͤſſe zu beſtimmen. Daß auch in dieſem Falle beſondere Arten zu unterſcheiden, dieß beweiſet folgendes. Wenn wir die Theile der gantzen Groͤſſe, welche ſind gegeben worden, erfin⸗ den ſollen, ſo ſollen wir entweder nur einen gewiſ⸗ ſen Theil von der gantzen Groͤſſe, oder wir ſollen C 4 die 40 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, die Vielheit der Theile ‚ welche die gantze Groͤſſe machen, beſtimmen. Iſt da § erſte, ſo wird geſagt, wir ſollen die Groͤſſe durch das Abziehen oder Subtrahi⸗ ren finden. Woraus unmittelbar zu begreiffen, daß eine Groͤſſe durch fubtrahiren finden nichts anders heiſſen koͤnne, als aus einer gegebenen Groͤſſe einen ge⸗ wiſſen Theil dadurch ſinden, daß man einen andern Theil von der gantzen Groͤſſe abſondert. EPerklaͤrung. §. 86. Es ſind demnach in einer jeden Subtrac⸗ tion drey Gröoſſen von einander zu unterſcheiden, die gegebene Groͤſſe, der Theil, welcher von ſener ſoll abgeſondert werden, oder die ſubtrahirende Groͤſſe, und die zu findende Groͤſſe, welche auch die Differentz oder der Unterſcheid genennet wird. S. 87. Woraus es ferner klar, 1) daß in einer jeden Subtraction die Differentz und die ſubtrahiren⸗ de Groͤſſe zuſammen genommen der gegebenen Groͤſſe gleich ſeyn muͤſſen (§. 8.). . 2. Zuſatz. §. 88. 2) Daß die Subtraction dasfenige aufloͤ⸗ ſet, was die Addition zuſammengeſetzet; und daß die Addition dasjenige zuſammenſetzet, was die Subtrac⸗ tion aufgeloͤſet (S. 5 9.). 3. Zuſatz. §. 89. 3) Daß durch die Subtraction eine Groͤſſe gefunden wird, welche mit einer andern Groͤſſe einer gegebenen Groͤſſe gleich iſt §. 87.). Anmerckung. §. 90. Das Zeichen, wodurch es in der Mathematik aus⸗ gedruͤcket wird, daß eine Groͤſſe von der andern zu ſubtrahi⸗ ren, iſt dieſes ( —). Wenn man demnach ſchreibet A — B, ſrend geſprochen, man ſoll die Groͤſſe B von A ſubtra⸗ Lehr⸗ we 1. Piren m Erdſeſ Da uun machen, ſo müͤſe der ſolt ſehn. D ende A tahee (§. 90 Und tiren S Und olen Wn A — uch n, Groͤſe gt, wit btrahi⸗ fn, daß andets nen ge⸗ andert lbtteo⸗ her ſal roͤſe ereng eine jiren⸗ Urdſe ſe⸗ de w wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 41 Lehr⸗Satz. d. 91. Groſſen, welche von einander zu ſubtra⸗ hiren, muͤſſen Groͤſſen von einerley Art ſeyn. Beweiß. Die ubtrahirende Eroͤſſe ſoll ein Theil von der Groͤſſe ſyn, von welcher jene zu ſuͤbirahiren (§. 86.). Da nun die Theile, welche eine Groͤſſe, als Groͤſſe, machen, Dinge von einerley Art ſind (§. z. Vor.), ſo muͤſſen auch die Groͤſſen, welche wir von einan⸗ der ſubtrahiren wollen, Groͤſſen von einerley Art Lehr⸗Satz. §. 92. Wenn gleiche Groͤſſen von gleichen ſubtrahiret werden, ſo kommen gleiche Diffe⸗ rentzen heraus. Werden aber gleiche Groͤſſen von ungleichen ſubtrahiret, ſo entſtehen unglei⸗ che Differentzen. Beweiß. Aus der Urſache, welche in dem Beweiſe des §. 63. angefuͤhret, will dieſe Lehr⸗Saͤtze auf ſol⸗ gende Art beweiſen. Es ſey A= B. Man ſub⸗ trahire von A die Groͤſſe C, ſo entſtehet A — C (§. 90.). Da nun A — C = A — C (§. 7.), und B vor A in Anſehung der Groͤſſe zu ſubſti⸗ tuiren (§. F.), ſo iſt auch A — C = B —– C. Es ſey ferner A = B; ſo iſt in A die Groͤſſe B, und noch ein anderer Theil, welchen wir Mnennen wollen (§. 11.). Folglich iſt A=— M T+ B (§. 3.). Man ſubtrahire von beyden die Groͤſſe C, ſo iſt A — C = M + B – C (S. 90. und n. 1). Da nun M + B — C £ B —– C (§. 13.), ſo iſt auch A — C = B — C (§. 21.). W. D. A. Juſatz. §H. 93. Wenn demnach die erſte von den unglei⸗ chen Groͤſſen, von welchen gleiche ſind ſubtrahiret C 5 wor⸗ 42 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, worden, groͤſſer als die andere iſt, ſo muß auch die erſte Differentz groͤſſer ſeyn als die andere. Lehr⸗Satz. §. 94. Wenn gleiche Groͤſſen von ungleichen ſubtrahiret worden, ſo haben die Differentzen, und die gegebenen Groͤſſen, von welchen iſt ſub⸗ trahiret worden, einerley Verhaͤltniſſe. Beweiß. Wenn gleiche Groͤſſen von gleichen Groͤſſen ſub⸗ trahiret werden, ſo entſtehen gleiche Differentzen (§. 92.). Alſo iſt die Urſache, warum ungleiche Differentzen entſtehen, wenn gleiche Groͤſſen von ungleichen ſubtrahiret worden, in dem zu finden, weil die Groͤſſen, von welchen iſt ſubtrahiret worden, ungleiche Groͤſſen ſind. Folglich iſt es klar, daß die groͤſte von den gegebenen Groͤſſen in Anſe⸗ hung der kleinen ſo viele Einheiten mehr faſſet, als die groͤſte Differentz in Anſehung der kleinen hat, Es haben demnach die gegebene Groͤſſen, von wel⸗ chen gleiche ſind ſubtrahiret worden, und die Diffe⸗ rentzen einerley Verhaͤltniß (§. 2 5. 38.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 95. Es machen daher die Differentzen und die Groͤſſen, von welchen gleiche ſind ſubtrahiret wor⸗ den, eine Proportion (§. 43.). J Aufgabe. §. 96. Eine gegebene Groͤſſe von einer an⸗ dern zu ſubtrahiren. Aufloͤſung. 1. Nehmet in der Groͤſſe, von welcher die an⸗ dere ſoll ſubtrahiret werden, diejenigen Theile be⸗ ſonders, welche von der Art, von welcher die Theile in der ſubtrahirenden Groͤſſe. 2. Von dieſen abgeſonderten Theilen nehmet ſo viele Theile weg, als in der ſubtrahirenden Groͤſſe enthalten ſind. 3. Sollte riſen wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 43 ß auchi 3. Sollte eine von dieſen Regeln nicht koͤnnen 3 beobachtet werden, ſo verbindet die gegebenen Groͤſſen mit dem Zeichen der Subtraction (§. 90.), inglichn ſo iſt die verlangte Differentz ſo weit, als es in eurer fereſun Gewalt geſtanden, gefunden. en iſe ſi Beweiß. J Die Wahrheit dieſer Aufloͤſung iſt durch den §. 85. und 86. unmittelbar zu beſtaͤtigen. ſen ſin Anmerckung. fferengen 6. 97. Z. E. Wenn von der Groͤſſe M, in welcher A ungleige und B die Theile, eine andere Groͤſſe N, in welcher A ſen hn umd C die Theile, zu ſubtrahiren, ſo iſt M — N =– B — C. vörden, §. 98. Sollen wir endlich, wenn die gantze Groͤſe Et deinde ,dafg ſe iſt gegeben worden, die Vielheit der Theile, ber an⸗ D welche die gantze Groͤſſe machen, beſtimmen, ſiehe ſe, §. 85. ſo ſollen wir entweder finden, wie viele Thei⸗ , ge, le von einer beſtimmten Art in der gantzen Groͤſ⸗ bel⸗ ſe enthalten ſind, oder wir ſollen nur üͤberhaupt Ofu die Vielheit der Theile in der gantzen Groͤſſe be⸗ Nſtimmen. Das letzte iſt dem Begriffe von der Groͤſſe zuwider (§. 3. Vor.). Daher nur noch, wie das erſte geſchehen koͤnne, zu unterſuchen. Wenn i⸗ wir unterſuchen, wie vielmahl eine beſtimmte Groͤſſe in einer andern Groͤſſe enthalten, ſo wird geſaget, daß wir dieſe Groͤſſe durch jene meſſen oder divi⸗ diren. Folglich iſt nur noch zu unterſuchen, wie eine Groͤſſe durch eine andere Groͤſſe koͤnne gemeſſen oder dividiret werden. Zuſatz. ecp §. 99. Wenn demnach eine Groͤſſe gegeben wor⸗ lin den, und wir ſollen deſſen Theile finden, ſo muͤſſen e wir entweder von der gegebenen Groͤſſe einen be⸗ . ſtimmten Theil ſubtrahiren, oder wir muͤſſen die 16 gegebene Groͤſſe durch eine andere beſtimmte Groͤſſe ſe meſſen (§. 85. 98.). Er⸗ 44 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, g Erkläaͤrung. §. 100. Aus dem gegebenem Begriffe von meſſen und dinidiren ſolget unmittelbar, daß auch hier drey Groͤſſen Groͤſſe, welel gemeſſen oder dividiret werden; die beſtimmte Groͤſſe, durch welche jene ſoll gemeſ⸗ ſen werden, dieſe heiſt das gaß oder der Diui- Jor; und endlich die Groͤſſe, welche ausdruͤckt, wie vielmahl das Maaß in der zu meſſenden Groͤſſe enthalten ſey, welche der Qnotient genennet wird. 1. Juſatz. §. 101. Der Quotient muß demnach ſo vielmahl Eins in ſich enthalten, als die gemeſſene Groͤſſe das Maaß in ſich begreifft. 2. Zuſatz. §. 102. Daher eine Groſſe durch die andere meſſen oder dividiren nichts anders, als aus zweyen gegebenen Groͤſſen eine andere finden, welche an⸗ deutet, wie vielmahl die eine gegebene Groͤſſe in der andern enthalten ſey (§F. 100. 101.). Anmerckung. 6. 103. Das Zeichen, wodurch man in der Mathematik, daß eine Groͤſſe durch die andere zu dividiren, andeutet, iſt dieſes (:). Z. E. A: B heiſt, die Groͤſſe A ſoll durch B dividiret werden. Andere ſchreiben auch alſo A Maaß und die Theile der Groͤſ⸗ – * II 1 einander zu unterſcheiden, die N1 = — — S. 104. D ſe, welche ſe weit dieſe durel nerley Art ſeyn gemeſſen werden, muͤſſen, in ſo 9 jenes zu meſſen, Dinge von ei⸗ 4 . Bew eiß. lichemahl genommen macht die zu meſſende Groͤſſe, in ſo weit dieſe durch jenes zu meſſen (§. 96.). Da nmun keine Theile eine Groͤſſe Wenn Gruſſe noc vong einetten die Dheile und dos ſen ſol D flgiche Duluun gehtknet ſen e Otkinen lee H. 1 Muß eneſen de N nſſe,t .o ten mult ſintſen denn hebe tion das nheſin ndere veyen an ſe/ att llte,/ durch rdͦ, n 1 1 wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 45 Groͤſſe machen koͤnnen, als in wie weit ſie Dinge von einerley Art ſind (§. 3. Vor.): ſo muͤſſen auch die Theile der Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden, und das Maaß, in wie weit dieſes jene Groͤſſe meſ⸗ ſen ſoll, Dinge von einerley Art ſeyn. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 105. Es erhellet aus dieſem Beweiß, daß das Maaß ein Theil von der zu meſſenden Groͤſſe, folglich entweder ein aliquoter oder ein aliquanter Theil von derſelben (§. 14.). Iſt jenes, ſo kan die gegebene Groͤſſe durch das geſetzte Maaß genau ge⸗ meſſen werden: iſt aber dieſes, ſo bleibt in der ge⸗ gebenen Groͤſſe, nachdem dieſelbe gemeſſen worden, ein Ueberſchuß (§. 15. Vor.). 2. JUſatz. §. 106. Es kan demnach durch das geſetzte Maaß der Ueberſchuß in der Diviſion nicht weiter gemeſſen werden. Woraus folget, daß man ein an⸗ der Maaß, als zuvor iſt gegeben worden, annehmen muͤſſe, wenn man auch dieſen Ueberſchuß meſſen will. Lehr⸗Satz. §. 107. Wenn das Maaß durch den Ouotien⸗ ten multipliciret wird, ſo muß diejenige Groͤſ⸗ ſe entſtehen, welche gemeſſen worden, weniger den Ueberſchuß. Und wenn in der Multiplica⸗ tion das Factum durch das Multiplicandum ge⸗ meſſen wird, ſo entſtehet der Multiplicator. Beweiß. Wodurch wir diejenige Groͤſſe finden, in welcher das Maaß ſo vielmahl enthalten iſt, als der Quo⸗ tient Eins in ſich faſſet, dadurch finden wir die ge⸗ meſſene Groͤſſe weniger den Ueberſchuß (§. 1r e Venn 46 Das 2. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, Wenn wie das Maaß durch den Quotienten mul⸗ tipliciren, ſo finden wir diejenige Groͤſſe, in welcher daos Maaß ſo vielmahl entholten iſt, als der Quo⸗ lient Eins in ſich faſſet (§. 75.). Folglich muß man es geſtehen, daß wir hiedurch die gemeſſene Groͤſ⸗ ſe weniger den Ueberſchuß gefunden. W. D. E. Wenn wir in der Multiplieation das Factum durch das Multiplicandum dividiren, ſo muͤſſen wir diejenige Groͤſſe ſinden, welche ſo vielmahl Eins in ſich begreifft, als das Multiplicandum in dem Fa- cto enthalten iſt (§. 101.). Da nun dieſe Groͤſſe der Multiplicator (§. 72.): ſo muß, wenn das Factum durch das Multiplicandum gemeſſen wird, der Multiplicator entſtehen. W. D. A. 1. Juſatz. §. 108. Hieraus iſt die Wahrheit von folgen⸗ den Saͤtzen ohne Umſchweiffe zu begreiffen: 1) Was die Multiplication zuſammenſetzet, das wird durch die Diviſion wieder aufgeloͤſet; und was die Divi⸗ ſion aufgeloͤſet, das wird durch die Multiplication wiederum zuſammen geſetzet. §. 109. 2) Wenn man das Maaß durch den Quotienten multipliciret, und zu dieſem Facto den Ueberſchuß addiret, ſo muß die gantze Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden, entſtehen (§. 107. 8. und §. 59.). 3. Zuſatz. §. 1I10. Eins und der Quotient, das Maaß und die zu meſſende Groͤſſe, in ſo weit dieſe durch jenes zu meſſen, haben einerley Verhaͤltniſſe, und alſo machen dieſe vier Groͤſſen eine Proportion (§.76.77.). Lehr⸗Satz. §. 11I. Wenn gleiche Groͤſſen durch gleiche gemeſſen werden, ſo muͤſſen gleiche Guotienten ent⸗ entſt dure tient 2 6. 63 gende ſeA gun ſhun 4.0 und te h A= ſen d und 13.) 1 deid Mori eiſe 1 ge he che delche riſn, wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 47 Ketnug entſtehen. Werden aber ungleiche Groͤſſen ,inwele durch gleiche gemeſſen, ſo ſind auch die Quo⸗ egn tienten ungleich. olglich n .V B ew ei ß. eſene i⸗ Aus der Urſache, welche in dem Beweiß des De §. 63. angefuͤhret, will dieſe Lehr⸗Saͤtze auf fol⸗ as Iun gende Art beweiſen. Es ſey A = B. Man meſ⸗ miſunm ſe A durch C, ſo entſtehet A: C (§. 103. . Da ahl Eo hun A: C A: C (5§. 7.), und C vor B in An⸗ in denl. ſehung der Groͤſſe zu ubſtituiren (§. 5.): ſo iſt auch Graſkk A: C = B: C. W. D. E. . o Fim Es ſey ferner A k, ſo iſt in die vrde 8 vud, Und noch ein anderer Theil, welchen wir der Kuͤr⸗ und, d tze haiber M nennen wollen (H. 11.). Folglich iſt A = M T+ B (S. 8.). Man didvidire beyde Groͤſ⸗ ſen durch C, ſo iſt A: C = (M -r- B) : C (§. 103. W ſile und n. 1.). Da nun (MT B): C = B: C (§. en. 13.): ſo iſt auch A: C = B :C (S. 21.). d W. D. A⸗ 1e de Don Ju ſa 6. ltthichen §. 112. Wenn demnach die erſte von den un⸗ gleichen Groͤſſen, welche durch gleiche ſind gemeſſen worden, groͤſſer als die andere, ſo muß auch der durh n erſte Quotient groͤſſer ſeyn als der zweyte. eſin ka Lehr⸗Satz. he S. 113. Wenn ungleiche Groͤſſen durch glei⸗ Nlk che gemeſſen worden, ſo haben die Groͤſſen, welche gemeſſen worden, und die Quotienten, welche daher entſtanden einerley Verhaͤltniſſe. Nnft Beweiß. duch t Wenn gleiche Groͤſſen durch gleiche gemeſſen m⸗ worden, ſo ſind die Quotienten einander gleich G (S. 1II.). Folglich iſt die Urſache, warum un⸗ gleiche Quotienten entſtanden, wenn ungleiche Groͤſ⸗ leiß ſen durch gleiche gemeſſen worden, allein in dem zu hotienne finden, N finden, weil die gemeſſenen ſen geweſen. Und alſo iſt es nen Groͤſſen und die Quott V haͤltniß ſtehen (5§. 38. 25:). W. Z. E. W. Zuſatz. S. 114. Wenn demnach ungleiche Groͤſſen durch gleiche gemeſſen worden, ſo machen die Groͤſſen, welche gemeſſen worden, und die daher entſtandenen Quotienten eine Proportion (§. 43.). Lehr⸗Satz. §. 115. Wenn ungleiche Groͤſſen durch gleiche ſind gemeſſen worden, ſo hat die erſte Groͤſſe, wel⸗ che gemeſſen worden, zu ihren Guotienten dieje⸗ nige Verhaͤltniß, welche die andere von den ge⸗ meſſenen Groͤſſen zu ihren Quotienten hat. Beweiß. Wenn A durch B gemeſſen worden, ſo iſt in B ſo vielmahl Eins enthalten, als A den Quotienken in ſich begreifft. Und wenn eine andere Groͤſſe CQdurch B gemeſſen worden, ſo iſt Eins ſo vielmahl in B ent⸗ halten, als die Groͤſſe C den Quotienten in ſich be⸗ greiffet (§. 108. 72.). Es hat demnach die Groͤſſe A zu ihren Quotienten diejenige Ver haͤltniß, welche B Gdſe H ihren Quotienten hat (§. 40.). „„. O⸗ W. 6 §. 116. Wenn man mit dein d. 113. I14. L15. dasjenige ver bas §. 49 5 F. iſt ausgefuͤh⸗ ret worden, ſo koͤnnen viele Saͤtze ehne Muͤhe ge⸗ folgert werden, welche in dem folgenden Capitel zu gebrauchen. Aufgabe. §. 117. Zine gegebene Groͤſſe durch einen be⸗ ſtimmten Theil derſelben zu meſſen. 2 uf⸗ no hbeſt ſon ent elt derem Ml wenn ſolche vor ſich betrachtet werden. 49 Au floͤſung. 1. Die gegebene Groͤſſe zerguedert, in ſo weit es moͤglich iſt, in Theile, welche fuͤr ſich betrachtet, dem beſtimmten Maaſſe gleich. 2. Die Anzahl dieſer Theile druͤcket durch eine be⸗ Griſe ſondere Groͤſſe aus, welche ſo vielmahl Eins in ſich tſhnddnt enthaͤlt, als in jener Anzahl Theile enthalten ſind, ſo habt ihr den Quotienten ſo weit gefunden, als es in eurer Gewalt geſtanden. S 3. Bleibt ein Ueberſchuß, ſo verknuͤpffet dieſen mit dem beſtimmtem Maaſſe durch Huͤlffe des Zeichens der Diviſion (§. 103.„ſo iſt die gegebene Groͤſſe, ſo ten in weit als moͤglich geweſen, gemeſſen worden. n deng . b. . Beweiß. Wenn mit dem §. 101. der S. 105. und 106. ver⸗ knuͤpffet worden, ſo iſt zugleich die Wahrheit dieſer DiE Aufloͤſung beſtaͤtiget. Orienten! ide Das 3. Capitel. NI M D des Erfindung der Groͤſſen, wenn ſolche in ß, einer Verknuͤpffung oder in einer Ver⸗ ( haͤltniß betrachtet werden. Aufgabe. ,II4. 1 §. 118. 413 E⸗ werden die Glieder einer gleichen oder un⸗ Ex data ra- 3bef⸗ “ gleichen Verhaͤltniß gegeben, man ſoll durch tione ae⸗ deren Huͤlffe andere Glieder einer gleichen oder Jualitatis ungleichen Verhaͤltniß finden. qualitatis in Auflosſung. Vaadae. 1) Werden Glieder einer gleichen Verhaͤltniß ge⸗ ientis aus N geben, und ihr ſollt andere Glieder einer gleichen jnaequali- D Ver⸗ tatis inue- nire- 50 Das 3. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, Verhaͤltniß finden, ſo addiret zu den gegebenen Glie⸗ dern gleiche Groͤſſen (§. 67.); oder multipliciret die gegebenen Glieder durch gleiche Groͤſſen (§. 84.); oder ſubtrahiret von den gegebenen Gliedern gleiche Groͤſſen (§. 96.); oder meſſet die gegebenen Glieder durch gleiche Groͤſſen (§. 117.), ſo werden allezeit Glieder einer gleichen Verhaͤltniß entſtehen (§. 63. 78.92. II I. 28.). 2) Werden Glieder einer gleichen Verhaͤltniß ge⸗ geben, und ihr ſollt Glieder einer ungleichen Ver⸗ haͤltniß finden, ſo addiret zu den gegebenen Gliedern ungleiche Groͤſſen (§. 67.); oder multipliciret die gegebenen Glieder durch ungleiche Groͤſſen (§. 84.); oder ſubtrahiret von den gegebenen Gliedern unglei⸗ che Groͤſſen (§. 96.); oder meſſet die gegebenen Glieder durch ungleiche Groͤſſen (§. 1127.), ſo muͤſ⸗ ſen allezeit Glieder einer ungleichen Verhaͤltniß entſtehen (§. 63. 78. 92. 111. 28.). 3) Werden Glieder einer ungleichen Verhaͤltniß gegeben, und ihr ſollt Glieder einer gleichen Verhaͤlt⸗ niß finden, ſo addiret das groͤſte Glied zu dem kleinen, und das kleine Glied zu dem groſſen (§. 67.); oder nehmet das Factum aus dem groſſen Gliede in das kleine zweymahl (§. 94.); ober nehmet die Differentz des groſſen und kleinen Gliedes zweymahl (§. 96.); oder nehmet den Quotienten, der entſtehet, wenn das groſſe Glied mit dem kleinen gemeſſen worden, zwey⸗ mahl (§. 117.), ſo muͤſſen allezeit die Groͤſſen, wel⸗ che heraus kommen, in einer gleichen Verhaͤltniß ſtehen (SH. 63. 78. 92. III. 28.). 4) Werden endlich Glieder einer ungleichen Ver⸗ haͤltniß gegeben, und ihr ſollt andexe Glieder einer ungleichen Verhaͤltniß finden, ſo addiret zu den ge⸗ gebenen Gliedern gleiche Groͤſſen (§. 67.); oder multipliciret jene durch gleiche Groͤſſen (§. 84.); oder ſubtrahiret von den gegebenen Gliedern gleiche Groͤf⸗ ſen Griſenn . in ihrer Verhaͤltniß bekrachtet. 51 gebenen C⸗ ſen (§. 96.); oder meſſet die gegebenen Glieder durch hltibſtireti gleiche Groͤſſen (§. 117.), ſo werden allezeit Glieder ſenl h eieiner ungleichen Verhaͤltniß gefunden (§. 63. 78. 92 liederngec⸗ III. 28.). enen Grdt Anmerckun g. erden alegt §. 119. Alle Verhaͤltniſſe ſind entweder gleiche oder un⸗. ehen (S, gleiche Verhaͤltniſſe (§. 28.). Dieſes wird hinreichend ſeyn zu behaupten, daß die vorhergeſetzte Aufloͤſung nicht ohne Nu⸗ erhaͤlkti tzen ſey. Will man ſolche als eine Kleinigkeit anſehen, ſo wird erha 6 man bald geſtehen muͤſſen, daß die wichtigſten Aufloͤſungen, Meichen NM welche in der Mathematik zu finden, in Kleinigkeiten ihren nen Glienn Grund haben. . lilientt —Erklarung. ſen (S, §K. 120. Es erhellet unmittelbar aus der in dem S. Ratio com- edern uf 1I1S8. geſetzten Aufloͤſung, daß Pacta in einer gewiſſen Hac ſpcci. ie gegebe. Verhaͤltniß ſtehen, welche entſtanden, indem man aus es quid. 1), ſor verſchiedenen Verhaͤltniſſen ſo wohl die erſten Glieder, 1 Vehi als auch die andern Glieder durch einander multiplici⸗ „ ret., Wenn dieſes, ſo wird geſagt, daß die daher ent⸗ Verhm ſtandenen Facéta in einer zuſammengeſetzten Verhaͤlt⸗ en Vee niß der auf beſtimmte Art durch einander multiplicirten den läng Werhaͤltniſſe. Z. E. A, B und C, D ſind in einer zuſam⸗ ty mengeſetzten Verhaͤltniß wie A zu C und B zu D. Weil Sebem nun zwey, drey und noch mehrere Berhaͤltniſſe auf be⸗ ie Difn ſchriebene Art durch einander koͤnnen multipliciret wer⸗ gle den, ſo bekommen auch daher die zuſammengeſetzten et, enn Berhaͤltniſſe verſchiedene Benennungen. Wenn die etdern Glieder einer Berhaͤltniß einmal durch einander Griͤſin multipliciret worden, ſo ſtehen die Facta in ratione du- Varhil plicata, wenn ſie dreymal in einander multipliciret worden, in ratione triplicata, und ſo weiter in ra- leicheni tione quadruplicata, multiplicata. Und da ferner Gledrun die Verhaͤltniſſe entweder Verhaͤltniſſe der groͤſſeren reß oder kleineren Ungleichheit (§. 28.), ſo iſt leicht zu 61 A begreiffen, was eine ratio ſubauplicata, ſubtripli- SNR cata, ſubquadruplicata, Jubmultiplicata, und ſo teee ferner. Siehe §. 31. eng c D 2 Lehr⸗ 52 Das 3. Cap. Von Erfindung der Groͤſen, Lehr⸗Satz. damen- S. 121. Der Nahme in einer Verhaͤltniß muß ſpe- entweder 8 durch die Subtraction oder durch die ebus rati-Diviſion gefunden werden. Der Nahme einer Verhaͤltniß muß dadurch ge⸗ funden werden, wodurch man es erkennen kan, um wieviel das eine Glied in der Verhoͤltniß groͤſſer oder kleiner ſey is das and dere (§. 26.). Folglich muß der Nahme einer Verhaͤltniß dadurch gefunden wer⸗ den, wodurch ma n, wenn das Gantze iſt gegeben wor⸗ den, die Theile, welche in dem G antzen ſinden, be⸗ ſtimmen kan (§. 111.). Da mnun dieſes auf keine andere Art geſchehen kan, als durch di Subtraetlon und Diviſion 99.): ſo muß der Nahme in einer Verhaͤltniß entweder durch die Subtraction oder urch die Diviſion geſuchet werden. W. Z. E. W. Erklaͤrung. Quae vel §. 122. Wenn der Nahme in einer Verhaͤltniß arithmeti- durch die Subtraction zu ſuchen, ſo wird die Ver⸗ cae vel ge- hältniß eine arithmetiſche Berhaͤtniß genennet. ometricae. Muß aber der Nah me durch die Diviſion geſuchet merden, ſo heiſt die Verhaͤltniß eine geometriſche. In jener Verhäaͤltniß wird der Nahme der Denomi- din tor, und in dieſer der LZx vponens rationis, genen⸗ net. Da nun einerley Verhaͤltniſſe eine Proportion machen (s. 41.), ſo iſt leicht zu begreiffen, was eine arithmetiſche und geometriſche Proportion. Es iſt hieraus ferner klar, was eine grithmetiſche und geometriſche Progreßion. Zuſatz. §. 123. Es ſind demnach alle Verhaͤltniſſe ent⸗ weder arithinetif ſche oder geomektriſche, alle Pro⸗ greßid onen entweder arithmetiſche oder geometriſche, alle P Prop ortionen entweder arithmeriſche oder geome⸗ triſche Proportionen (§. 121.). An⸗ ſ. 114. ſolche in ent wenn die Gubtractien durch das werden (5 macht eine Proporit Verhelm der verbiſden von eſerrt Uund dn ein werdageſe bedeutin de llenr ED, PD UrD nde it enthelte inſche. ſ.n. ſhin hßel Moler e . Gße 1)El Kſeren V erſen Gie ſo iſt der 2) Verl Ungliche hei Nahnnen e das Und gs in ihrer Verhaͤltt ekt . r Gröͤſen, in 19 haͤltniß bekrachtet 53 Anmerckung. §. 124. Will man von Groͤſſen ſchreiben, in ſo weit rhaͤltnigmn ſolche in einer gewiſſen Verhaͤltni ſtehen, ſo koͤnnen ſie, der durch die wenn die Verhaͤltniß arithmetiſeh, durch das Zeichen der Subtraction, und wenn die Verhaͤltniß geometriſch. durch das Zeichen der Diviſion mit einander verknuͤpffet werden (H. 122.). Die Gleichheit zwoer Verhaltn niſſe macht eine Proportion (H 4.). Soll demnach eine dedug 6 . Proportion ausgedruͤcket werden, ſo kan man die beyden g iten Verhaͤltniſſe durch das Zeichen der Gleichheit mit einan⸗ der verbinden (§. 6.). Hieraus entſtehet der Ausdruck Folit or von einer arithmetiſchen Proportion: à — A — C — D, geſindaln 8 und von einer Seomeriſegan A: B— C: D. Beyde gegebent werden geleſen: A verhaͤlt ſich zul B, wie C zu D. Dieſes bedeutet in dem erſten Falle: um viebi iel A groͤſſer oder u inden kleiner als B, um ſo viel iſt auch C groͤſſe er oder kleiner als ſes auf kt D; und in dem andern Falle, wie vielmahl A in B oder B Ern in A Euhalten, eben ſo vielmahl haͤlt C in ſich D, oder D V ez . 12 5⁵. Das zweyte Saen in einer arithmeti⸗ Inuenire terminos ſchen Verl! haͤltniß zu finden, wenn das erſte Glied in ratione 6ſter und d der lahme der Verhaͤltniß iſt gegeben wor⸗ rithmeti- ck den. Siehe F. . a, iß Nineni Aufloͤ ſung. iſon gtfti 1¹) Soll die Verhaͤltniß eine Verhaͤlt niß der eoe groͤſſeren Ungleichheit ſeyn, ſo ſubtrahiret von dem erſten Gliede den Nahmen der Verhaͤltniß (§. 67.), e der len ſo iſt der Ainterſchel⸗ das andere Glied. M, 2) Verlanget ihr eine Verhaͤltniß der kleinern . vottch rna⸗ Ungleichheit, ſo addiret zu dem erſten Gliede den n/ de Nahmen der Verhaͤltniß (§. 67.), ſo iſt die Sum⸗ drrcg me das andere Glied. mmetiſche⸗ Beweiß. In der arithmetiſchen Verhaͤltniß wird der Nah⸗ me der Verhaͤltniß gefunden, wenn man das kleine Glied von dem groͤſſeren ſubtrahiret (H. 122.). Folglich iſt das kleine Glied der Unterſcheid des groͤſſern Gliedes und des Rahmens der Verhaͤltniß, 3 und 54 Das 3. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, und das groſſe Glied die Summe von dem kleinem Gliede und dem Nahmen der Verkhaͤltniß (5§. 88. 86.57.). Da nun in der Verhaͤltniß der groͤſſeren Ungleichheit die kleinere Groͤſſe, und in der Verkhaͤlt⸗ niß der kleinern Ungleichheit, die groͤſte Groͤſſe das andere Glied (§. 28.), ſo entſtehet in jener Ver⸗ haͤltniß das andere Glied, wenn man von dem er⸗ ſtem den Nahmen der Verhaͤltniß ſubtrahiret, und in dieſer, wenn man den Nahmen der Verhaͤltniß zu dem erſten Gliede addiret (§. 59. 89.). W. Z. E. W. Juſatz. §. 126. Wird das erſte Glied in einer arithme⸗ tiſchen Progreßt ion, und der Nahme der Verhaͤlt⸗ iß ben⸗, 6 koͤnt nen n die deetenh leder. wenn Verhaͤ iſſe von der tleinern H durch die Addition des Nahmens der Verhaͤltniß zu dem nechſt vorhergehenden Gliede gefunden werden (S. I125. 122. 46 .. Aufgabe. Inuenire F. 127. Das andere Glied in einer geometri⸗ terminos ſchen Ver haͤltmiß zu finden, wenn das erſte Glied in ratione . geometri- und der Nahme der Verhaltniß iſt gegeben Ca. worden. Au floͤſung. 1) Soll die Verhaͤltniß eine Verhaͤltniß der groͤſ⸗ ſeren Ungleichheit ſeyn, ſo dividiret das erſte Glied durch den Nahmen der Verhaͤltniß (§. 1127.). Der Quotient iſt das andere Glied. 2) Wolt ihr aber eine Verhaͤltniß der kleinern Ungleichheit haben, ſo multipliciret das erſte Glied durch den Nahmen der Verhaͤltniß (S. 84.), wenn das andere Glied entſtehen ſoll. 1 e⸗ NN e da D dunch dos glich iſde das Mar ſol gemne lach des denn di und die Niben Dam heit Reg tiß il aldneG Olt dod nn das ſ fhtip Magt En gende gehen Ceome kleine lay 122. et, 0 htt rrithtn derhh , wer t,du enn dl ben gerder GN ehi in ihrer Verhaͤltniß betrachtet. 55 Beweiß. In der geometriſchen Verhaͤl ltniß wird der Nah⸗ me der Verhaͤltniß, wenn man das groſſe Glied durch das kleine dividiret, gefunden (§. 123.). Fol⸗ glich iſt der Nahme der Quotient, das kleine Glied das Maaß, und das groſſe Glied die Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden (§. 100.). Es entſtehet dem⸗ nach das groſſe Glied, wenn das kleine Glied mit dem Nahmen der Verkhaͤltniß multipliciret (5. 109.), und das kleine Glied, wenn das groſ ſſe durch den Kahmen der Verkhaͤlt niß dividiret worden (S. 107.). Da nun in der Verhaͤltniß der groͤſſeren Ungleich⸗ heit, die groͤſte Groͤſſe das erſte, und in der Verhaͤlt⸗ niß der kleinern Ungleichheit die groͤſte Groͤſſe das andere Glied (§ 28.); ſo entſtehet in dem erſten Falle das andere Glied, wenn das erſte durch den Nahmen dividiret, und in dem andern Falle, wenn das erſte Glied durch den Nahmen der Verhaͤltniß multipliciret worden. W. Z 3. E. W. 1. Juſatz. §. 128. Iſt demnach aus einer geometriſchen Progreßion das erſte Glied, und der Exponent (§. 122.) gegeben worden, und ihr ſollt die fol⸗ genden Glieder finden, ſo dividiret das nechſt vorher⸗ gehende Glied durch den Exponenten, wenn die Verhaͤltniſſe von der groͤſſeren Ungleichheit. Wenn hingegen die Verhaͤltniſſe der Glieder, welche die geometriſche Progreßion machen, Verhaͤltniſſe der kleinern Ungleichheit, ſo multipliciret das nechſt vor⸗ hergehende Glied durch den Exponenten (§. 127. 122. 46.). 2. ſatz. §. 129. Aus ven §. 127. 128. 1255. iſt unmittelbar zu begreiffen, daß in der ar D 4 Natura membro- rum in pro- Portione a- rithmetica & geome- trica. 56 Das 3. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, ſchen Verhaͤltniß und Progreßion dasjenige durch die Addition zu ſuchen, was in einer geometriſchen Ver⸗ haͤltniß und Progreßion durch die Multiplication zu finden; und daß in jener durch die Subtraction zu finden, was in dieſer durch die Diviſion zu ſuchen. Lehr⸗Satz. §. 130. Wenn in einer arithmetiſchen Propor⸗ tion das erſte und vierte Glied, das zweyte und dritte Glied addiret worden ſo ſind die Zummen; und wenn in einer geomerriſchen Proportion das erſte Glied durch das vierte, und das zweyte durch das dritte multipliciret worden, ſo ſind die Fadla, welche daher entſtanden, einander gleich. Beweiß. Die Verhaͤltniſſe in der arithmetiſchen Proportion fuͤr ſich betrachtet, ſind entweder gleiche oder unglei⸗ che Verhaͤltniſſe, und in dieſem Falle entweder Ver⸗ haͤltniſſe der kleinern oder groͤſſern Ungleichheit (§. 28.). Sollte das erſte ſeyn, ſo wird die Wahrheit des er⸗ ſten Lehr⸗Satzes durch den §. 63. beſtaͤtiget. Iſt das zweyte, ſo iſt das andere Glied in der Propor⸗ tion eine Summe von dem erſtem Gliede und dem Naͤhmen der Verhaͤltniß, und das vierte Glied eine Sum me von dem drittem Gliede und dem Nahmen der Verhältniß (§. 12 5.). Da nun dieſe Nahmen der Verhaͤltniſſe gleiche Groͤſſen (§. 4 .), ſo werden gleiche Groͤſſen zu gleichen Groͤſſen addiret, wenn man in dieſer arithmetiſchen Proportion das erſte Glied und das vierte, das zweyte Glied und das dritte zu einander addiret. Folglich muͤſſen auch die Summen, welche daher entſtanden, gleiche Groͤſſen ſeyn (§. 63.). Iſt endlich der letzte Fall, ſo iſt das zweyte Glied in der Proportion die Dif⸗ ferentz des erſten Gliedes und des Nahmens der Ver⸗ haͤlt⸗ Gli Jod glen Gen das Fol beſ gle P ſin in ſe, rch ⸗ en Vr⸗ licatie traction ſocrr Nop pte nd mne ionde⸗ edir luht porti e Den 129) le d W. ede jend enN hatli n 4 dN . in ihrer Verhaͤltniß betrachtet. 57 haͤltniß, und das vierte Glied die Differentz des dritten Gliedes und des Nahmens der Verhaͤltniß (§. 125.). Indem nun auch hier die Nahmen der⸗ Berhaͤltniſſe gleiche Groͤſſen (§. 41.), ſo ſind gleiche Groͤſſen zu glei⸗ chen Groͤſſen addiret, wenn das erſte und vierte Glied, das zweyte und dritte Glied addiret worden (§. 92.). Folglich muͤſſen auch in dieſem letzten Falle die durch beſtimmte Addition entſtandene Summen einander gleich ſeyn (S. 63.). W. D. E. . Die Verhaͤltniſſe in einer geometeiſchen Pro⸗ portion, wenn ſolche fuͤr ſich betrachtet werden, ſind entweder gleiche oder ungleiche Verhaͤltniſſe, und in dieſem Falle entweder Verhaͤltniſſe der groͤſſeren oder kleineren Ungleichheit (§. 28.). Aſt das erſte, ſo wird die Wahrheit des angegebenen Lehr⸗Satzes durch den §. 63. befeſtiget. Iſt das zweyte, ſo iſt das andere Glied in der Proportion der Quotient, welcher entſtanden, indem man das erſte Glied durch den Exponenten dividiret, und das vierte Glied iſt der Quotient, welcher durch die Diviſion des dritten Gliedes durch den Exponenten entſtan⸗ den (§. 127.). Die Exponenten in der geometri⸗ ſchen Proportion ſind gleiche Groͤſſen (§. 122. 41.). Und alſo iſt in dieſem Falle klar, daß gleiche Groͤſ⸗ ſen durch gleiche Groͤſſen multipliciret worden, wenn man das erſte Glied durch das vierte, und das zweyte Glied durch das dritte multipliciret (§. 111.). Welches der Grund zu behaupten, daß die Facta, welche daher entſtanden, einander gleich (§. 78.). Iſt der letzte Fall, ſo iſt das andere Glied in der Proporlion das Factum aus dem erſtem Gliede in den Exponenten, und das vierte Glied das Factum aus dem drittem Gliede in den Exponenten (§. 127.). un auch dieſe Exponenten einander gleich (§. 41.), ſo ſind ebenfals gleiche Groͤſſen durch gleiche Groͤſſen multiplieiret worden, wenn man in einer ſol⸗ Eorumque transpoſi- tio expli- catur. 58 Das 3. Capitel, Von Erfindung der Groͤſſen, chen Verhaͤltniß das erſte Glied durch das vierte, und das zweyte durch das dritte multipliciret. Und alſo ſind auch in dieſem Falle die beſtimmten Facta einauder gleich (§. 78.). W. D. A. Lehr⸗Satz. d. 131. So wohl in einer arithmetiſchen als geometriſchen Proportion verhaͤlt ſich wechſels⸗ weiſe das erſte Glied zu dem dritten, wie das andere zu dem vierten. Beweiß. Aus dem Beweiße des vorhergehenden Lehr⸗Sa⸗ tzes iſt es klar, daß bey dieſen Lehr⸗Saͤtzen nur auf diejenige Verhaͤltniſſe, welche an und fuͤr ſich be⸗ trachtet ungleiche, zu ſehen. Nachdem dieſes zum Grunde geſetzet, ſo wollen wir annehmen, daß die arithmetiſche Proportion aus Verhaͤltniſſen einer groͤſſern Ungleichheit zuſammengeſetzet. Wenn die⸗ ſes, ſo ſind das zweyte und vierte Glied Differentzen, welche entſtanden, indem man von dem erſtem und drittem Gliede gleiche Groͤſſen ſubtrahiret (§. 41. 125.), folglich verhaͤlt ſich auch das erſte Glied zu dem dritten, wie das andere zu dem vierten (§. 94.). Man nehme ferner an, daß die arithmeti⸗ ſche Proportion aus Verhaͤltniſſen einer kleinern Ungleichheit zuſammengeſetzet, ſo ſind das andere und das vierte Glied Summen, welche dadurch entſtanden, daß man zu dem erſtem und drittem Glie⸗ de gleiche Groͤſſen addiret (§. 41. 125.). Und al⸗ ſo iſt es auch in dieſem Falle klar, daß ſich das erſte Glied zu dem dritten verhalte, wie das andere Glied Es ſey die Proportion eine geometriſche, deren ſe unter die Verhaͤltniſſe der groͤſſeren Un⸗ zu zehlen, ſo ſind das andere und vierte Dustienten, welche enſtanden, indem man te und dritte Glied durch gleiche Groͤſſen ge⸗ J meſſen neſſe ſe Viert Nup Ge G ſte Plei ſen holt tenn — — — –we — — ———,ͤs dſen in ihrer Verhaͤltniß betrachtet. 59 4, 1n ſte Glied zu dem drittem, wie das under zu dem n im viertem (§. 113.). Iſt endlich die geometriſche Proportion aus Verhaͤltniſſen der kleinern Ungleich⸗ heit zuſammengeſetzet, ſo ſind das andere und vier⸗ ſhenſs te Glied Facta, welche entſtanden, indem man das wehſe erſte und dritte Glied durch gleiche Groͤſſen multi⸗ wide plieiret (§. 41. 127.). Und alſo iſt es auch in die⸗ ſem letztem Falle klar, daß ſich das erſte Glied ver⸗ halte zu dem drittem, wie das andere zu dem vier⸗ ele tem (§. 80.). W. D. A. nui Aufgabe. ſhn §. 132. Zu drey gegebenen Groͤſſen die vierte Inuenire ſe Proportional⸗Groͤſſe in einer arithmetiſchen Pro⸗ quartam dahn portion zu finden Balcm iin in meſſen (§. 41. 127.)⸗ Fo glich verhaͤlt ſich das er⸗ Dr ea e nalem in Rend 1. Aufl ſung. proportio- 3 1. Unterſuchet die Natur der Aufgabe, damit ne arith- 4 ihr beſtimmen koͤnnet, ob die Verhaͤltniſſe in dieſer meitca. 6 I c Proportion Verhaͤltniſſe der groͤſſern oder kleinern (l Ungleichheit (§. 28.). utu 2. In der erſten Verhaͤltniß ſubtrahiret das klei⸗ ne Glied von dem groͤſtem (§. 96.), ſo bekommet nſnn ihr den Nahmen der Verhaͤltniß (§. 122.). lun 3. Dieſen Nahmen ſubtrahiret (§. 289.) von dem enne drittem Gliede, ſo entſtehet die vierte Proportional⸗ Groͤſſe, wenn die Proportion aus Verhaͤltniſſen der nde groͤſſeren Ungleichheit zuſammengeſetzet. Sind aber ine in der Proportion Verhaͤltniſſe der kleinern Ungleich⸗ Neln heit enthalten, ſo addiret (§. 67.) den gefundenen e Nahmen zu dem drittem Gliede, ſo iſt die Summe die geſuchte vierte Proportional⸗Groͤſſe. dnioimn Den Beweiß von der Waͤhrheit dieſer Aufloͤſung, NI Liedt der §. 125., nachdem er mit dem S. 41. und ½122. iſt verknuͤpffet worden. L 2. Auf⸗ 60 Das 3. Capitel, Von Erſfindung der Groͤſſen, 2. Aufloͤ ſung. 1) Das anbdere Glied in der Proportion addiret zu dem drittem Gliede (H. 67.). 2) Von dieſer Summe ſubtrahiret das erſte Glied (§. 96.), ſo entſtehet die vierte Proportional⸗ Groͤſſe. Beweiß. Wenn das andere Glied zu dem drittem addiret worden, ſo iſt die Summe eine Groͤſſe, welche aus dem erſten und vierten Gliede zuſammengeſetzet (§. 130.). Es entſtehet demnach das vierte Glied, wenn man von dieſer Summe das erſte Glied ſub⸗ trahlret (§. 87. 88.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 133. Wenn in der arithmetiſchen Proportion das andere, dritte und vierte Glied gegeben worden, und ihr ſollt das erſte Glied finden, ſo kehret die Glieder um, und ſprecht: Das vierte Glied ver⸗ haͤlt ſich zu dem drittem Gliede, wie das an⸗ dere zu dem erſtem (§. 28. 41.). Wird das er⸗ ſte, dritte und vierte Glied gegeben, und ihr ſollt das andere finden, ſo verſetzet die Glieder, und ſprecht: Das dritte Glied verhaͤlt ſich zu dem viertem wie das erſte zu dem anderm (§. 28. 41.). Iſt endlich das erſte, andere und vierte Glied gege⸗ ben worden, und ihr ſollt das dritte finden, ſo ſchluͤſſet wechſelsweiſe: Das andere Glied verhaͤlt ſich zu dem erſtem, wie das vierte zu dem drittem (§. 131.), ſo werden die in dem §. 132. vorge⸗ ſchriebene Regeln hinreichen in jedem Falle die vier⸗ te Proportional⸗Groͤſſe zu beſtimmen. Aufgabe. Et in pro. §. 134. Zu, drey gegebenen Groͤſſen die vierte portione 1ονοtο Groſſe in einer geomerriſchen gcometri roPortlon zU ſinden. Ca. 1. Auf⸗ — — — ——, Griſen en odde das aſe Cportie ein Ait elches nengikt rte Gliedſe ropoel! Worke kehret ſed ve des d do dihr ſ⸗ ſdect. nieten 4 4) iedee vſhi lt ſi drite 2. o dien⸗ tint⸗ iſſ „ in ihrer Verhaͤltniß betrachtet. 61 1. Aufloͤſung. 1) Macht euch einen deutlichen Begriff von der Beſchaffenheit der gegebenen Aufgabe, um dadurch zu beſtimmen, ob die Verhaͤltniſſe in der Propor⸗ tion Verhaͤltniſſe von der groͤſſeren oder kleinern Un⸗ gleichheit (§. 28.). . 2) In der erſten Verhaͤltniß dividiret das groͤſſe⸗ re Glied durch das kleine (§. 117.), ſo entſtehet der Exponent (S§. 127.). 3) Iſt die Proportion aus Verhaͤltniſſen der groͤſ⸗ ſeren Ungleichheit zuſammengeſetzet, ſo dividiret das dritte Glied durch den gefundenen Exponenten (§. 117.), ſo iſt der Quotient die vierte Proportional⸗ Groͤſſe. Beſtehet aber die Proportion aus Ver⸗ haͤltniſſen der kleinern Ungleichheit, ſo muͤſſet ihr das dritte Glied durch den gefundenen Exponenten mul⸗ tipliciren (§. 84.), wenn die vierte Proportional⸗ Groͤſſe entſtehen ſoll. Beweiß. Die Verknuͤpffung des L. 127. mit dem §. 41. und 122. wird die Wahrheit dieſer Aufloͤſung hin⸗ reichend beſtaͤtigen. 8 2. Aufloͤſung. 1) Das andere Glied in der Proportion multi⸗ pliciret mit dem dritten (§. 84.). 2) Dieſes Factum meſſet durch das erſte Glied (§. 117.), ſo iſt der Quotient die vierte Proportio⸗ nl⸗Groͤſſe. — Beweiß. . In der geometriſchen Proportion entſtehet durch die Multiplication des andern Gliedes mit dem drit⸗ tem das Factum aus dem viertem Gliede in das ſte (§. 130.). Wenn demnach dieſes Factum duch das erſte Glied gemeſſen worden, ſo muß der Quotient das vierte Glied, oder die vierte Propor⸗ tional⸗Groͤſſe ſeyn (§. 107. 108.). W. Z. E. W. 1. Zu⸗ J 62 Das 3. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, 1. Zuſatz. §. 135. Was von der arith metiſchen Propor⸗ tion in dem §. 133. iſt erinnert worden, ſolches kan auch von der geometriſchen Proportion, weil einer⸗ ley Grund vorhanden, geſaget werden, nachdem darin geaͤndert worden. 2. Zuſatz. §. 136. Es muß deinnach in der geometriſchen Proportion dasjenige Glied durch die Diviſion ge⸗ ſuchet werden, was in der arithmetiſchen durch die Subtraction geſuchet worden. Und was in jener Proportion durch die Multiplication zu finden, das muß in dieſer durch die Addition gefunden werden (§. 132. 134.). Lehr⸗Satz. Vſus pro- §. 137. So wohl in einer arithmetiſchen als portionum auch geometriſchen Proportion kan die vierte ſi daram Proportional⸗Groͤſſe gefunden werden, wenn barduana gleich die Gleder in der erſten Verhaͤltniß von quaedam einer andern Art ſind, als von welcher die Glie⸗ quaedam . 11100, her die e heteroge- der in der andern Verhaͤltniß. nea inue- nienda. . Beweiß. Die vierte Proportional⸗Groͤſſe wird ſo wohl in der arithmetiſchen, als auch in der geometriſchen Proportion durch Huͤlffe des Nahmens der Ver⸗ haͤltniß gefunden (§. 132. 134.). Da ſich nun die⸗ ſer Nahme der Verhaͤltniß nicht auf die Art bezie⸗ het, von welcher die Glieder der Verhaͤltniß (§. 41. 25⁵⁄:. und §1. Vor.), ſo kan ſo wohl in jener als auch in dieſer Proportion die vierte Proportional⸗ Groͤſſe geſunden werden, wenn gleich die Glieder in der erſten Verhaͤltniß von einer andern Art ſind, als von welcher die Glieder in der andern Verhaͤlt⸗ niß. W. Z. E. W. I. Zu⸗ dasjenige, was die Natur der Proportion erfodert, heitt gen dere teac Zu dur der ſen in ihrer Verhaͤltniß betrachtet. 6 .V 1. Juſatz. n Proe §. 138. Wenn demnach eine Groͤſſe, deren Viel⸗ ſucheskt heit der Theile wir an und fuͤr ſich betrachtet nicht ,weil tir genau erfinden koͤnnen, durch eine Verhaͤltniß an⸗ 1, nucn derer Groͤſſen, deren Theile wir an und fuͤr ſich be⸗ on n trachtet genau beſtimmen koͤnnen, in ihrer Ab⸗ und Zunahme ſollte beſtimmet werden, ſo koͤnnen wir durch die Verhaͤltniß dieſer Groͤſſen die Vielheit otnetiiet der Theile in jener Groͤſſe beſtimmen. Divſſen 2. Zuſatß. n dunctt §. 139. Sollt ihr demnach eine Groͤſſe meſſen, 18 in in welcher ihr an und fuͤr ſich betrachtet, die Viel⸗ nben heit der Theile nicht genau beſtimmen koͤnnet, ſo ſu⸗ en wen chet andere Groͤſſen, von welcher ihr, fuͤr ſich be⸗ trachtet, die Vielheit der Theile genau beſtimmen koͤnnet, und welche in ihrer Verhaͤltniß das Ab/ und chnt Zunehmen jener Groͤſſe beſtimmen. Die Erkennt⸗ niß dieſer Verhaͤltniß wird euch im Stande ſetzen, “ jene Groͤſſen zu meſſen (§. 138.). Dieſes iſt der nihn Grund von der Analyſi ſinitorum. die Das 4. Capitel. WVon— e Erfindung der Groͤſſen, in ſo weit nerd ſolche unendlich groß oder un⸗ ud endlich klein. F Lehr⸗Satz. ſenett S. 140. “ oder unendlich klein, erſinden, ſo muß die⸗ tes infini⸗ ſes durch Huͤlffe einer Verhaͤltniß endlicher tae non ni- Nee Groͤſſen geſchehen. ſi per fini- Be⸗ tarum ra- B'uen wir Groͤſſen, welche unendlich groß Ouantita⸗ ed Us 1. 1, tiones in- ueniri poſ- kan 1 beſtemnet n wer⸗ ſunt. den, wetchen 4 Gnenelie 15. Da r) Aus den gte n iſt es klar, des rſ ich der unendlich klein, we⸗ ſche 11 er un ſie htet, noch wenn ſie in ei⸗ ner ge wi biſſer n Berhaltnitz betrat chtet werden, zu erfin⸗ den (§. 70. 3 e ane Lein a nd zu behaupten, daß n dere Art Erſtn den koͤn E haͤltniß endlicher & ſſen n konnen wir nicht an⸗ ders als 8 bey ahe e erfinden K. 17. Vor.). Wenn wir demnach Groͤ oͤſſen erfinden wollen, welche unend⸗ lich groß oder unendlich klein, ſo muͤſſen wir Ver⸗ haͤltniſſe endlicher Groͤſſen ſuchen, welche jene bey na⸗ he beſtimmen (§. 14 40.). Im folgenden werde einige allgemeine Gruͤnde erklaͤren, woraus die Moͤglichkeit dieſer Unterſuchung uͤberhaupt zu folgern, und wel⸗ che der Grund S der Analpii infinitorum. Lehr⸗ Satz. Quantum 9. 142. Bine Groͤſſe, Gz imendlich klein, infnite kan in Anſehung einer endichen Sr fuͤr paruum nichts gehalten werden. ua ratio- ne pro ni- Beweiß. hilo ba- Aienn wir die Vielheit der Theile in einer Groͤſ⸗ bendum. ſe alſo beſtimmet, daß der Unterſcheid dieer An⸗ zahl von der wahren Groͤſſe unendlich klein, ſo kan der be egangene Fehler von keinem beſtimmet werden (§. 8. Vor.). Folglich haben wir Urſach zu be⸗ haupten, daß wir bey Erfindung der gegebenen Groͤſſe nicht gefehlet (§. 85. 96.). Und alſo koͤn⸗ nen wir in Anſehung einer endlichen Groͤſſe dieje⸗ nige, G Uoten cher El eſplh 1. ae Gr⸗ durch tenn ino inn l yl leelqe Rehe velch ſene in ſo weit ſolche unendlich groß oder unendlich klein. 65 nige, welche unendlich klein, fuͤr nichts halten. W. Z. E. A ZJuſatz. §. 143. Wir koͤnnen demnach behaupten, daß eine Groͤſſe, welche unendlich klein, zu einer endlichen nc Groͤſſe keine Verhaͤltniß habe (§. 25. 26.). at, daß Ul . venn ſene „ §. 144. Groͤſſen, deren Unterſcheid unendlich m klein, ſind als gleiche Geoſſen anzuſehen. 1 ex. r Grbſen J§. 1 erden, Man auf kein? Gleiche Groͤſſen ſind, welche in ihrer Groͤſſe keinen nei Unterſcheid haben (§. 5.). Der Unterſcheid, wel⸗ ... L cher unendlich klein, iſt fuͤr nichts zu halten (§. 142.). . Es koͤnnen demnach Groͤſſen, deren Unterſcheid un⸗ a wirnich endlich klein, als gleiche Groͤſſen angeſehen werden. 1, velche aO 1, Zu ſa 6. ſen mir §. 145. Wenn demnach zu einer gegebenen Groͤſſe cheſene ben eine unendlich kleine addiret: von einer gegebenen en wede n Groͤſſe eine unendlich kleine ſubtrahiret: die gegebene die Moglich Groͤſſe mit einer unendlich kleinen multipliciret, oder gern, ud durch eine unendlich kleine dividiret worden, ſo koͤn⸗ itorum. nen wir annehmen, daß im erſten Fall die Summe, iimandern die Differentz, im dritten das Factum, und jendlihtie im letzten der Quotient der gegebenen Groͤſſe gleich Gſeſey (dS. 144. 7.). Es iſt zu mercken, daß wir die Groͤſſen von den Zeichen unterſcheiden muͤſſen, durch welche jene ausgedruͤcket werden. Hiervon in der einet 8 Rechen⸗Kunſt. klein, , §. 146. Es folget hieraus ferner, da eine Groͤſſe, inmeten wDeelche unendlich groß, anzuſehen als eine Groͤſſe, lſeh woelche gleich einer endlichen, deren Unterſcheid von der e jener unendlich klein. S E Auf⸗ Ex quo ſe= Jquitur, quantitates quarum differentia infinite parua, eſſe aequales. Iuuenire tem fini- tam, cuius a quantita- te infinite magna infi- Rite parua. 66 Das 4. Cap. Von Erfindung der Groͤſſen, Aufgabe. §. 147. Aus einer gegebenen Groͤſſe, welche quantia- unendlich groß, eine endliche zu finden, deren Unterſcheid von jener unendlich klein. Aufloͤſung. 1. Von der gegebenen Gröſſe nehmet nach Ge⸗ fallen einen gewiſſen, aber doch kleinen und endli⸗ chen Theil, und durch dieſen meſſet jene (§. 117.). 2. Weil die gegebene Groͤſſe unendlich groß, ſo muß nothwendig ein Ueberſchuß bleiben (§. 10. und §. 8. Vor.). Von dieſem nehmet wiederum nach Ge⸗ fallen einen kleinen und endlichen Theil, und meſſet dadurch den gefundenen Ueberſchuß (S. 117. 106.). 3. Durch die Fortſetzung dieſer Arbeit wird end⸗ lich ein Ueberſchuß entſtehen, welcher unendlich klein⸗ (§. 8. Vor.). 4. Werſſet dieſen Ueberſchuß weg. Die gefundene Quotienten multipliciret mit denjenigen Groͤſſen, welche als Maaſſe angenommen worden (§. 84.). Endlich addiret dieſe Facta zu einander (§. 67.): ſo muß die Summe eine ſolche Groͤſſe ſeyn, deren Un⸗ terſcheid von der gegebenen unendlich klein. Beweiß. Wenn die gefundenen Quotienten durch diejenigen Groͤſſen, welche als Maaſſe angenommen, multi⸗ pliciret, und ſolche Facta zu einander addiret wor⸗ den, ſo iſt die Summe die gegebene Groͤſſe, welche gemeſſen worden, weniger den weggeworffenen Ue⸗ berſchuß (§. 107. 59.). Da nun dieſer Ueber⸗ ſchuß vermoͤge der Aufloͤſung unendlich klein: ſo iſt auch die gefundene Summe eine Groͤſſe, deren Unterſcheid von der gegebenen unendlich klein. W. 3 itſo veitſolhe g. 149. e oAls eine ongeſehen n . 149. E verlangtnh ju finden e ije Des ſe du iſer ande Uehe beſtimn N Gcher btern en, ſa Rioſen ben ne d⸗ lr dun undih ien r Gerine 1e e gefinden ber aſt,D in ſo weit ſolche unendlich groß oder unendlich klein. 67 elh Zuſa 6. u S. 148. Es kan demnach dieſe gefundene Sum⸗ d den me als eine Groͤſſe, welche der gegebenen gleich iſt, angeſehen werden (§. 144.). et nuch ⸗ Anmerckun g. n und endt §. 149. Es iſt zu mercken, daß die in dem §. 147. SS verlangten Quotienten auch durch Huͤlffe einer Proportion e (Ki zei de ( N zu finden (§. 137.). lich grh ioſn Aufgabe. gumn natſe⸗ §. 150. Das Verhalten einer endlichen Groͤſ; Determi- lyundmi ſe zu einer andern, welche unendlich groß, bey nare ratio- 117.16 nahe zu beſtimmen. utanis finie eit wirdi⸗ g tae ad gendlicht Au fl S ſu ng. quantita- . 1. Suchet eine endliche Groſſe, deren Unterſcheid tem infini⸗ Diegfnn von der gegebenen, welche unendlich groß, unend⸗de ma⸗ igen Nin lich klein (§. 147.). Fldche den ( 2. Dieſe gefundene Groͤſſe ſetzet in der Ver⸗ (9G.) haͤltniß an die Stelle der gegebenen unendlich groſ⸗ Vyt,demni ſen, ſo werdet ihr das Verhalten der endlichen llein. Groͤſſe, welche iſt gegeben worden, zu der unendlich groſſen bey nahe beſtimmen koͤnnen (§. 125. 127.). tcean ee Beweiß. nen , Daß ihr durch Huͤffe dieſer Regeln eine Ver⸗ Ddieene haͤltniß findet, deren Unterſcheid von der wahren Eunendlich klein, ſolches wird durch die Aufloͤſung nifnn zur Genuͤge beſtaͤtiget. Da nun eine Groͤſſe bey deſf “ nahe gefunden wird, wenn die gefundene von der 1 en gegebenen auf beſtimmte Art unterſchieden (§. h n 15. Vor.): ſo habe ich auch hinreichenden Grund Ne zu behaupten, daß durch Huͤlffe vorgeſchriebener ich ” Regeln das Verhalten der gegebenen Groͤſſen bey nahe zu beſtimmen. E 2 1. Ius 68 Das 4. C. Von Erfindung der Groͤſſen, in ſo weit c. 1. Juſatz. S. 151. Hieraus folget, daß die auf vorgeſchrie⸗ bene Art gefundene Verhaͤltniß als eine ſolche an⸗ zuſehen, welche der Verhaͤltniß der gegebenen end⸗ lichen Groͤſſe zu der unendlich groſſen gleich (§H. 184.). §. 152. Es iſt ferner aus dieſer Aufloͤſung leicht zu begreiffen, wie die Verhaͤltniß ſolcher Groͤſſen, welche unendlich groß ſind, bey nahe zu beſtimmen. Folglich, wie unendliche Groͤſſen durch Huͤlſſe einer XA Verhaͤltniß endlicher Groͤſſen zu erfinden. Anmerckung. S§. 153. Ich koͤnnte hieraus die Natur der Differential⸗ und Integral⸗Groͤſſen erklaͤren, weil ich aber befuͤrchte, daß ſolches Anfaͤngern zu ſchwer ſey, ſo will dieſe Unterſuchung bis zur Algebra verſparen. ſſetec geſcen eſcee⸗ bemm, g E L E M E N T A ei⸗ ARITHMETICAE Oder Erſte Grüͤnde der Rechen⸗K unſt. Erſte Gruͤnde der Rechen⸗Kun ſt. Der I. Abſchnit. Von Erfindung der Groͤſſen durch das calculixen uͤberhaupt. Das I. Capitel. Von der . Art ſeine Gedancken durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken in Abſehen auf die Mathematik. Erklaͤrung. N olche ſinnliche Dinge, deren Anblick Signum „ER vermoͤgend von andern Dingen Ge⸗ eiusque mn* dancken zu erregen, werden von die⸗ aareriale ſen Dingen Zeichen genennet. Da⸗ale expli⸗ HEHTTTII her wir nicht ohne Urſache bey einem catur. jeden Zeichen das ſinnliche, und die Gedancken, welche durch das ſinnliche zu erregen, unterſcheiden. Jenes heiſt das Materisl, und dieſes das Sormal der Zeichen. . E 4 Zu⸗ A 72 Das 1. Cap. Von der Art ſeine Gedancken JZuſatz. §. 2. Wenn demnach von einem Zeichen, als Zei⸗ chen, die Rede iſt, ſo muß mit dem Material des Zeichens das Formal verkn ipffet werden. Erklaͤrung. Signa deri- §. 3. Zeichen, welche aus andern Zeichen, als uatiua & Zeichen, zuſammengeſetzet, werden zuſammengeſetzte primitius Zeichen genennet, und welche nicht aus Zeichen, als duid, Zeichen, zuſammengeſetzet, heiſſen einfache Zeichen. Juſatz. §. 4. Dieſe Begriffe geben es uns zu erkennen, daß einfache Zeichen aus verſchiedenen andern Zei⸗ chen koͤnnen zuſammengeſetzet werden, wenn nur dieſe in der Verknuͤpffung nicht als Zeichen anzuſe⸗ hen, oder das Formal, welches mit ihnen iſt ver⸗ knuͤpfft geweſen, verliehren Lehr⸗Saͤtze. Lemmata, §. §. Wer ſeine Gedancren burch geſchickte Zei⸗ quae de ſi-chen ausdruͤcken will, der muß. Znorum conſtitutio. I. Mit den erſten Merckmahlen einer Sache ne ex Logi- einfache Zeichen verknuͤpffen, und zwar alſo, daß ca ſumun- Merckmahle, welche in ſich unterſchieden, durch ur. verſchiedene Zeichen ausgedruͤcket werden. 2. Dieſe durch Huͤlffe anderer Zeichen alſo mit einander verbinden, daß wir dadurch die Art und Weiſe, wie Merckmahle in der gegebenen Sache verknuͤpffet ſind, erkennen koͤnnen. 3. Sollten dieſe zuſammengeſetzte Zeichen zu weitlaͤuftig werden, ſo muß man ſolche wiederum durch einfache ausdruͤcken. Und alsdann 4. Dieſe einfache Zeichen durch Huͤlffe anderer in einer ſolchen Ordnung verbinden, in welcher die Merckmahle der Sachen, welche dadurch be⸗ zeichnet worden, verknuͤpffet ſind. An⸗ dur 6, Ei Feniendi. 8 7. der Ding zahl der ſcheiden nun die wir in ein ſo folget Deichen ſe deſſ n Nenliche cher dieſer Einheit: Cinheite 5. 8. T ner Groſſ len oder weng un genannt len Alt. . 9. welchen delden, Onch de 6 I Eepiſe an len 4 Cen durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. 73 Anmerckung. 9,olgr §. 6. Siehe hieven meine Introdu ionem in Artem in- 0 veniendi. Part. 1. Sect. I. Cap. t. Iit. I. . 10. fl. gtertal de J U ſa 8. §. 7. Bey einer jeden Groͤſſe koͤnnen wir die Art der Dinge, in welcher ſie zu ſinden, und die An⸗ hen, 6 zahl der Einheiten, woraus ſie beſtehet, unter⸗ ennee ſcheiden (§. 3. 5§. Vor. und §. 19. A. M.). Da ichen nun die Einheiten diejenigen Merckmahle ſind, welche eichte wir in einer Groͤſſe zuerſt annehmen (§H. 5. Vor.); ſo folget ohne Umſchweiffe, daß wir drey Arten von Zeichen ſetzen muͤſſen, wenn wir eine vorkommende kente, e — . . 8 ikrr Groͤſſe geſchickt durch Zeichen ausdruͤcken wollen. enur Nemlich ein Zeichen von der Art der Deinge, wel⸗ n aNÿ6 cher dieſer Groͤſſe beygeleget wird: ein Zeichen der Einheit: ein Zeichen, welches die Verbindung der Einheiten, oder ihre Vielheit anzeiget. Erklaͤrung. §. 8. Die Zeichen, wodurch die Einheiten in ei⸗ Numerus, jinge ner Groͤſſe ausgedruͤcket werden, nennet man Zah⸗numera- keen oder auch die Zehler, und zwar ungenannte, a nume⸗ „G w.enn nur uͤberhaupt von Groͤſſen geredet wird; rang, & nu- genannte, wenn die Rede von Groͤſſen einer beſtimm⸗ merus nu- iſtn ten Art. . meratus n EPFrklaͤrung. quich. alon §. 9. Die Zeichen, wodurch die Arten der Dinge, Denomi⸗- den welchen man die Groͤſſen beyleget, ansgedruͤcket nator quid. ge werden, heiſſen die Nahmen der Groͤſſen, oder auch die Nenner. hen 1. Zuſatz. edin §. 10. Wenn man demnach eine Groͤſſe von einer gewiſſen Art durch Zeichen ausdruͤcken will, ſo muß ſane⸗ man ſo wohl den Zehler als auch den Nenner ſe⸗ uul, tzen (§. 7⸗9.). 491 2. Juſatz. §. 11. Bs folget ferner hieraus, daß man E 5 keine 74 Das I. Cap. Von der Art ſeine Gedancken keine Groͤſſen, deren Nenner unterſchieden, mit einander vergleichen koͤnne, wenn ſolche nicht zuvor unter einerley Benennung ſind ge⸗ bracht worden (§. 19. A. M. und §. 9.). 1. Willkuͤhrlicher Satz. Signa §. 12. Das Zeichen der Einheit iſt dieſes 1. duantita. Das Zeichen, wodurch die Einheiten verbun⸗ nmn arer⸗ den werden, um ihre Vielheit auszudruͤcken, ſey das Zeichen der Addition . Man kan auch dieſe Verbindung der Einheiten dadurch ausdruͤcken, daß man die zZeichen der Einheiten neben einander ſetzet. Wenn wir die Groͤſſen be⸗ nennen wollen, ſo erfordert entweder die Abſicht, daß wir die Arten, von welchen die Groͤſſen ſind, genau beſtimmen, oder es iſt genug, wenn wir uberhaupt anzeigen, welches Groͤſſen von einerley Art. Iſt das erſte, ſo gebrauche man die gewoͤhn⸗ lichen Nahmen der Dinge; iſt das andere, ſo be⸗ nenne man die Groͤſſen, wenn ſie von einer bekand⸗ ten Art, mit den erſten Buchſtaben des Alphabets/ 2, b, , d, und ſo weiter, und wenn ſie von einer unbekandten Art, mit den letzten, , „, 2. 2. Willkuͤhrlicher Satz. §. 13. Wenn viele Zeichen zuſammengenom⸗ men eine Groͤſſe andeuten ſollen, ſo werden die Zeichen in eine Parentheſin () eingeſchloſſen. Juſatz. §. 14. Aus dieſer Theorie folget 1) Daß ungenannte Groͤſſen auf folgende Art zu bezeichnen 1 . . . Eins . . . 1 1 „½4 .’. . Zwey . . 1 r ITITI . . Drey 1 1I 1 I PI TIPI . . Vier . I I II ITI-TIPII-I . Fünf . I1IIIII ITITITITII. Sechs. 1 I 1I 1I I. u. ſ. w. 2) Daß hcke durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. „5 ſchid. 2) Daß genannte Groͤſſen, wenn ihre Art genau hn ſolhe zu beſtimmen, z. E. drey Thaler und zwey Gro⸗ ſog ſchen weniger vier Pfennig, durch folgende Zeichen auszudrucken: U (I+ I †+ 1) Thaler †+ (1 + 1) Groſchen —— Nies ,· (ITITITI) Pfennig (§. 61. 97. A. M.). vetbienu. 3) Daß die angegebenen Regeln voͤllig beobachtet jdriken, worden, wenn man dieſe Groͤſſen, woferne die Ab⸗ ganin ſicht nicht erfodert, ihre Arten genau zu beſtimmen, dadhh auf folgende Art ausgedruͤcket. inbein reg . †+ (1 ¼1) b — (I1 †I TI †+1) c öſ (S. 5. reg. 1.): iſe Lehr⸗Satz. en ig §S. I15. Sollen die Zeichen, womit wir die Et qua ra- enud m Groͤſſen, als Groͤſſen, ausgedruͤket, voll⸗tione per- ine⸗ kommener werden, ſo muͤſſen wir entweder fectzore wiy dDem GOrt, in welchem die Zahl ſteht, eine Be⸗ Poſlinn, „ſyu deutung von einer gewiſſen Anzahl der Einhei⸗ docetur. bends ten geben; oder wir muͤſſen eine gewiſſe An⸗ ebeke zahl der Einheiten durch einfache Zeichen aus⸗ amn dDruͤcken; oder wir muͤſſen beydes zugleich be⸗ 4 obachten. . Beweiß. non Sollte eine Groͤſſe aus ſehr vielen Einheiten zu⸗ deae ſammengeſetzet ſeyn, und wir wollten ſolche auf zu⸗ ſen vorbeſchriebene Art ausdruͤcken, ſo wuͤrden die Ausdruͤcke aus der Urſache unvollkommen ſeyn, weil ſie zu weitlaͤuftig (§. 13. Part. 1. Log.). Es muͤſſen demnach dieſe Zeichen der Groͤſſen kuͤrtzer gemacht werden, wenn ſie ihre gehoͤrige Vollkom⸗ menheit erhalten ſollen. Und alſo wird noͤthig ſeyn, daß wir entweder mit dem Zeichen der Verbin⸗ dung, oder mit dem Zeichen der Einheit, oder auch mit benden zugleich ein Aenderung vornehmen. Will man das ete bewerckſtelligen, ſo ſetzet man e eutweder andere Zeichen der Verbindung, oder nnit tel 76 Das 1. Cap. Von der Art ſeine Gedancken giebt dem Ort, in welchem die Zahl geſchrieben wird, eine Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Ein⸗ heiten (§. §.). Es iſt klar, daß das erſte ohne Nu⸗ tzen; Es iſt demnach noͤthig, daß wir hier den an⸗ dern Weg erwehlen. Wil man das zweyte ge⸗ brauchen, um dieſe Zeichen der Groͤſſen kuͤrtzer zu machen, ſo wird man gleichfals ohne Nutzen ein an⸗ der Zeichen der Einheit ſetzen. Folglich bleibt auch in dieſem Fall kein ander Mittel die Zeichen zu ver⸗ kuͤrtzen uͤbrig, als daß man eine gewiſſe Anzahl der Einheiten durch einfache Zeichen ausdruͤcket (§. F.). Erwehlet man demnach den letzten Weg, die Zei⸗ chen der Groͤſſen zu verkuͤrtzen; ſo muß man einmahl dem Ort, in welchem das Zeichen geſetzet, von ei⸗ ner gewiſſen Anzahl der Einheiten eine Bedeu⸗ tung geben, und alsdenn eine gewiſſe Anzahl der dinceiten durch einfache Zeichen ausdruͤcken. W. Z. E 1. Zuſ a tz §. 16. Will man dadurch 8. Zeichen der Groͤf⸗ ſen verkuͤrtzen, daß man dem Ort, in welchem die Zahl geſetzet, eine Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten giebet, ſo kan die Bedeu⸗ tung der Zeichen in folgender Ordnung hegriſſen werden. 1 im erſten Ort bedeutet eins 1 im andern Ort bedeutet zwey folglich bedeutet im erſten und im andern Ort drey im dritten Ort vier im dritten und im erſten Ort fuͤnf im dritten und im andern Ort ſechs im dritten, andern und erſten Ort ſieben. u. ſ. w⸗ Willkuͤhrlicher Satz. §. 17. Aus dieſer Art die Groͤſſen zu bezeich⸗ nen folget unmittelbar, daß man ein deichen etze — ie ie ſen einer dieſ Wo cken en te der h e denn ete kitten 1N bt, n⸗ ſtoe eiunt bont Bede Aoy; N 1ℳ en d etſe Vo ahift durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. 77 ſetzen muͤſſe, woraus es zu erkennen, daß man einem Orte eine Bedentung beylegen ſoll. Zu dieſer Abſicht iſt folgendes Zeichen (0) geſetzet worden. 2. Zuſatz. §. 18. Will man dieſe Regeln beobachten, ſo koͤnnen die Groͤſſen in folgender Ordnung bezeich⸗ net werden. 1 = Eins 10 = Zwey 1I =– Drey 100 = Vier 101 = Fuͤnf 110 = Sechs III = Sieben 1000 = Acht. und ſo weiter. Anmerckung. §. 19. Ich bin durch eine narürliche Art zu dencken, auf den Calcuſum Dyadicum gefallen, deſſen ſich die Sineſer ſchon vor langer Zeit bedienet, und welcher durch den Herrn von Leibniz wieder auf die Bahn gebracht worden. Wovon mit mehrern zu leſen in der Hiſtorie de l' Acad. Royale des Sciences 1703. p. "6. und in den Miſcell. Berol. 1710. p. 336. Siehe auch unſers beruͤhmten Herrn Kirchen⸗Rath Wiede⸗ burg Diſſertation, welche 17.˙ 8. von dieſem Calculo hier in Jena iſt gehalten worden. 5. Zuſatz. . §. 20. Will man ferner die Zeichen der Groͤſ⸗ ſen dadurch verkuͤrtzen, daß man eine gewiſſe An⸗ zahl der Einheiten durch einfache Zeichen ausdruͤ⸗ cket; ſo wird man das weſentliche von der Art be⸗ obachten, deren ſich die Roͤmer bedienet, zumahl dieſe, wenn ſie im Zehlen bis auf fuͤnff gekommen, einfache Zeichen geſetzet, und auf dieſe Art die Groͤſ⸗ ſen bezeichnet: I[=Eins IIII = Vier II = Zwey V= Fuͤnf III= Drey VI= Sechs VII 78 Das 1. Cap. Von der Art ſeine Gedancken VII = Sieben C= Zehen Zehen od. VIII = Acht . Hundert. VIIII = Neun CC= Zwey hundert X=Zehen CCC= Drey hundert, XI= Eilfe, u. f. w. und ſo weiter. XV= Funfzehn D= Fuͤnf hundert XX= Zwey Zehen od. DC= Sechs hundert Zwanzig. DCC= Sieben hundert L= Fuͤnf Zehen od. DCCC Acht hundert Funfzig. M = Zehen hundert LX= Sechs zehen od. od. Tauſend, und Sechzig u f. w. ſo weiter. 4. Juſatz. §. 21. Will man endlich den letzten Weg, wo⸗ von §. 15, erwaͤhlen, die Zeichen der Groͤſſen kuͤr⸗ tzer, und alſo vollkommener zu machen; ſo werden auch hieraus verſchiedene Arten, die Groͤſſen zu be⸗ zeichnen, entſtehen koͤnnen, nachdem nemlich der Ort, in welchem die Zahl geſetzet, viele oder wenige Ein⸗ heiten ausdruͤcken ſoll, welches durch die Anzahl der einfachen Zeichen, mit welchen die Bedeutun von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten verknuͤpffet, zu beſtimmen. Willkuͤhrlicher Satz. §. 22. Man neyme Indiani che Buchſtaben als einfache Zeichen von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten, in folgender Ordnung. 1=— I1. 2 — I + I. 3 — 2 †+ I = I +£ I + I. 4 — 2 †+ 2 = I + 1 + 1 †+† I. 5 = 4 † I = 3 + 2 = 1 + I1 †+ 1 †+ 1 + 1. 6 = 3 † 3 = 4 + 2== 5 + 1 = I †+ 1 + 1 + 1 + 1 + I. 7 = 6 P† I = 5 †+ 2 = 4 + 3 = 1 †+ 1 + 1 + 1 + 1 †+1 + 1. 8= 7 ken ehen . undert nder, bette. undert under Hundet indett undet ende 19, W en kir werder en u⸗ Dderhi⸗ ge Er ahl de in da ſfet/ ſeben nh durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. 79 8 = 7 † I = 6 -. 2 = 5 †+ 3 = 4 + z4— 1 + 1 +T+ I T†I TTTIL T -1. 9 = 8 † I = 7 † 2 = 6 † 3 = 7 + 4= 1 + I I1ITI – I P I+T+ I + I. Anmerckun g. §. 23. Ich bin durch das Anſehen Walliſti bewogen wor⸗ den, dieſe einfachen Zeichen Indianiſche Buchſtaben zu nennen, ſiehe deſſen Treatiſe of Algebra, of numeral Fi- Lures. I. J Uſatz. §. 24. Erwaͤhlet man aus dieſen Zeichen die drey erſten, ſo koͤnnen die Groͤſſen in folgender Ordnung bezeichet werden. I = Ein 2 = Zwey = Drey 10 = Vier 11 = Vier und Eins oder Fuͤnff 12 = Vier und Zwey oder Sechs 13 = Vier und drey oder Sieben 20 = Zwey Vier oder Acht 21 = Acht und ein oder Neun 22 = Acht und zwey oder Zehen 23 = Acht und drey oder Eilff 30 = Drey vier oder Zwoͤlff 31 = Zwoͤlff und ein oder Dreyzehen 32 = Zwoͤlff und zwey oder Vierzehen 33 = Zwoͤlff und drey oder Funfzehen 100 = Sechszehen, und ſo weiter. Anmerckung. F 25. Und alſo bin ich gleichfals in einer natuͤrlichen Ordnung zu dencken auf den Computum quaternarium ge⸗ fallen, welchen Weigelius in ſeinem Tetractys Tetracty Pythagoreae reſpondens angegeben und beſchrieben. 2. Zuſatz. §. 26. Will man endlich alle neun Indianiſche Buchſtaben als einfache Zeichen von einer gewiſſen Anzahl 80 Das 1. Cap. Von der Art ſeine Gedancken — O O.— + ¾ = Anzahl der Einheiten beybehalten, ſo kan man die Groͤſſen, in ſo weit ſie als Groͤſſen betrachtet werden, in folgender Ordnung ausdruͤcken. II 21131141 I 6I 7I I 91r 12 22 32 42 72 62 72 82 92 13 23 33 43 53 63 73 83 93 14 124 34144154164174 84194 15 25 35 45 55 65 75 85 5 16 26 36 46 *65 66 76 86 96 27 137 47 57 ,67 77 87 97 198 128 238 48 538,68 78 l88 l98 19 29 39 9 9 69 79 89 99 020! 30 40! 50 60 70 80 90 100 u. ſ. w. Anmerckung. §. 27. Dieſer zehnfache Wachsthum der Zahlen, wel⸗ cher der Computus decadicus genennet wird, iſt nunmehro durch allgemeinen Gebrauch in den meiſten Orten der Welt faſt zu einer Nothwendigkeit geworden, und daher wuͤrde es nicht nur viele Verwirrung verurſachen, ſondern auch ohne NRutzen ſeyn, wenn wir ſolchen verwerffen und einen andern erwehlen wollten. Siehe Walliſium in Op. Math. Vol. I. de Math. Vniu. c. 4. Ja ich begreiffe nicht, wie man darin eine Staͤrcke des Verſtandes finden koͤnne, wenn dieſer oder jener eine neue Art zu zehlen erfunden. Verſtehet man die Geſetze, nach welchen die Zeichen der Groͤſſen geordnet werden, ſo wird man ohne vieles Nach⸗ ſinnen begreiffen, wie es moͤglich ſey, daß man bis zwolffe, oder auch, wie Harsdoͤrffer angegeben, mit unſern Buch⸗ ſtaben bis 24. zehlen koͤnne. Doch will ich im folgenden, um zu beweiſen, daß die Regeln zu rechnen allgemein, ſolche mit verſchiedenen Arten die Groͤſſen zu bezeichnen erlaͤutern. Willkuͤhrlicher Satz. §. 28. Damit ma in dem zehnfachen Wachs⸗ thum der Zahlen deſto leichter begreiffen koͤnne, wie viele Einheiten durch einen jeden Ort aus⸗ zudruͤcken, ſo gebe man einem jeden Orte ſeine beſondere Benennung. Damit aber auch dieſe Be⸗ Bener Vuwd dreß mein jeder einen wird ſel edancken kan mande durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. 81 chtetum, Benennungen nicht zu weitlaͤuftig, und alſo unvolkommen (§. 5.), ſo gebe man wiederum dreyen Oertern zuſammengenommen einen ge⸗ meinſchafftlichen Nahmen, und alsdenn koͤnnen in jeder Claſſe die erſten, an eren und dritten Gerter 91 92 93 94 9 5 96 97 93 r 100 ,6 Zahlet, dKnung nPriendenn⸗ nd dahenint ſfen, inr bererfin. WWAünmn ichbeſeifrch des findeniin⸗ ehlen eft⸗ die Zichen einerley Nahmen behalten. wird dieſe Benennungen am deutlichſten dar⸗ Folgende Tafel ſtellen. MV Perſte Claſſe. Oerter Nahmen Bemieinſchafftlicher der Oerter Nahme 1 Einer— 2 ]Zehner Einfache 3 Hunderte Zweyte Claſſe. Oerter Nahmen Genmeinſchafftlicher der Oerter Nahme 1 Einer 2 Zehner Tauſend 3 Hunderte Dritte Claſſe. Oerter! Nahmen Gemeinſchafftlicher der Oerter Nahme 1 Zeine 2 ehner Millionen 3 Hunderte Vierte Claſſe. Oerter Nahmen ! Genmeinſchafftlicher der Oerter Nahme 1 Einer 2 Zehner Tauſend Millionen 3 Hunderte F Fuͤnf⸗ 82 Das 1. Cap. Von der Art ſeine Gedancken Fuͤnffte Claſſe. Oerter Nahmen Gemeinſchafftlicher der Oerter Nahme 1 Einer 2 Zehner Billionen 3 Hunderte Sechſte Claſſe. . Oerter! Nahmen Gemeinf chafftlicher der Lerter Nahme 1 Einer 2 Zehner Tauſend Billio⸗ 3 Hunderte nen und ſo weiter Trillion, tauſend Trillion, Cuadril⸗ lion, tauſend Quadrillion, und ſo weiter. Aufgabe. §. 29. Eine in dem Vehnfarhen Wachsthum geſchriebene Zahl auszuſprechen, oder von einem jedem einfachen Zeichen diejenige Bedeutung zu beſtimmen, welche ihm vermoͤge des Orts, in welchem es iſt geſetzet worden, beyzulegen. Aufloͤſung. 1) Theilet die geſchriebene Zahl von der Rechten gegen die Lincke in Claſſen, alſo daß in einer jeden Claſſe drey Oerter zu unterſcheiden. 2) Eine jede Claſſe ſondert von der andern ab, durch ein Strichlein, welches unten vor dem erſten Ort der folgenden Claſſe zu ſetzen. 3) Ueber den erſten Ort in der dritten Claſſe ſchreibet ein Strichlein, uͤber den erſten Ort der fuͤnfften Claſſe zwey Strichlein, uͤber den erſten Ort der ſiebenden Claſſe drey Strichlein, und ſo weiter. 4) Ein Strichlein, welches oben ſtehet, zeiget an, daß in der Claſſe Millionen, zwey ſolche S ein duh ge lein Npinde Tlonen, u 3) Venn lin iſt ſo ge ſ werdet ih ſchriebene P eu ſchon woc tifn 1 49 ſeſin nch ſr ird acht nſirtuſend ind zwane Nleneiren Uungder 9½0 Hen del. len Dumnnd Udn ein ſudauh Nich Rder nut Uülig. edanchn ſcafilen Nahe ilionen — bſcheflefe Nahne end Me nen n, Gucd iter. Wechtin . von ,it edeucung! es Orid zulegen. n einer / r onind hr den e⸗ hriten eſen N 8 er iln ſein/ t i ce Enn S durch geſchickte Zeichen auszudruͤcken. 983 lein, daß in der Claſſe Billionen, drey, daß daſelbſt Trillionen, und ſo weiter. 5*) Wenn in der Claſſe unten allein ein Strich⸗ lein iſt, ſo gebet dieſem die Bedeutung von Tauſend, ſo werdet ihr die in dem zehnfachen Wachsthum ge⸗ ſchriebene Zahl voͤllig ausſprechen koͤnnen (§. 27.). Anmerckung. §. 30. Sollt ihr z. E. folgende Zahl ausſprechen, welche ſchon nach obigen Regeln iſt eingetheilet worden. 117 11 7 . 2, 453, 078, 350, 007, 321, 852 ſo ſagt: zwey Trillionen, vierhundert und drey und funf⸗ zig tauſend acht und ſiebenzig Billionen, dreyhundert und funffzig tauſend und ſieben Millionen, dreyhundert und ein und zwanzig tauſend achthundert und zwey und funffzig. Das 2. Capitel. . Von den allgemeinen Eigenſchafften der Erfin⸗ dung der Groͤſſen durch das Calculiren. Erklaͤrung. d. 31. Geeicpgalig⸗ Zeichen werden genennet, mit wel⸗Signa ae- chen einertey Gedancken ſind verknuͤpffet wor⸗ qupollen- den. Da nun dieſe Gedancken entweder vollkommen, tia eaque der „ — D inarſon . (. Vel ſimpli- oder nur in einer gewiſſen Beſtimmung einerley; ſo citer vel ſind auch gleichguͤltige Zeichen, entweder vollkommen, ſecundum oder nur in einer gewiſſen Beſtimmung gleich⸗ quid mlia. guͤltig. 1. Zuſatz. §. 32. Es koͤnnen vemnach gleichguͤltige Zeichen in Abſehn auf ihr Material unterſchieden ſeyn (§. 31. und §. 1.). F 2 2. Zu⸗ Ratione jtati quanti tatis nominatae et innomi- nataé. 84 Das 2. Cap. Von den allgemeinen Eigenſchafften 2. Zuſatz. §. 33. Gleichguͤltige Zeichen koͤnnen in Betrach⸗ tung ihres Formals fuͤr einander ſubſtituiret wer⸗ den, und zwar voͤllig, wenn ſie vollkommen gleich⸗ guͤltig: nicht voͤllig, wenn ſie nur in einer gewiſſen Beſtimmung gleichguͤltige Zeichen ſind (§. I. 31. und S. I. A. M.). Juſatz. §. 34. Das F ormal des Zeichens einer ungenann⸗ ten Groͤſſe iſt die Einheit oder die Vielheit der Ein⸗ heiten: at das Formal des Zeichens einer genann⸗ ten Groͤſſe iſt ſo wohl die Einheit oder die Vielheit der Einheiten, als auch die Art der Dinge, wel⸗ chen die gegebene Groͤſſe beyzulegen (§S. 7. 8. 9. 1.). Alſo ſind die Zeichen der ungenannten Groͤſſen gleich⸗ guͤltig, in ſo weit ſie einerley Vielheit der Einhei⸗ ten ausdruͤcken: und die Zeichen der genannten Groͤſſen ſind gleichguͤltige Zeichen, in ſo weit mit ih⸗ nen einerley Vielheit der Einheiten von Dingen einer⸗ ley Art ſind verknuͤpffer worden (§. 31. 32.). Anmerckung. §. 35. Z. E. 3 — 2 und 5 ſind vollkommen gleichguͤltige Zeichen ungenannter Groſſen. 5 und 3 ſind in einer gewiſ⸗ ſen Beſtimmung gleichgutige Zeichen ungenannter Groͤſ⸗ ſen. Ferner 3 a — 2a und § a ſind vollkommen gleich⸗ guͤltige Zeichen genannter Groͤſſen. 5a und Zza ſind in ei⸗ ner gewiſſen Beſtimmung gleichguͤltige Zeichen genannter Groͤſſen. 4. Zuſatz. §. 26. Hieraus ſolget, daß gleichguͤltige Zeichen ungenannter Groͤſſen in Anſehung der Vielheit der Einheiten, und gleichguͤltige Zeichen genannter Groͤſſen ſo wohl in Anſehung der Vielheit der Ein⸗ heiten, als auch in Anſehung der Art der Dinge, wel⸗ cher dieſe Einheiten beygeleget werden, in ſo weit, als ſie gleichguͤltig, fuͤr einander zu ſubſtituiren (§. 33. 34.). 4 Lehr⸗ cheh Ulg. igleie hung. chen. We ſen ar der C durch Eket in ten in ten tn Folgt Gei⸗ eines 1 geg ungſe erſ Ee⸗ 8. I dolg g7 nſchefen Betret⸗ tet wey n gech⸗ gerſin l.lelid lngevnn⸗ tderde⸗ r genon Vet ge, i 9.9. en gle⸗ ennin ituti n iſcn . bfllie inrtent eci⸗ en N⸗ ſindn genate itn het ennnc du , 4 it, l ( der Erfindung der Groͤſſen durch das Calculiren. 85 Lehr⸗Satz. §. 37. Zwey verſchiedene Zeichen, welche glei⸗ che Groͤſſen ausdruͤcken, ſind vollkommen gleich⸗ guͤltig. Und zwey verſchiedene Zeichen, welche ungleiche Groͤſſen ausdruͤcken, ſind in Anſe⸗ zung eines gewiſſen Theils gleichguͤltige Zei⸗ en. D Deweiß. Werden durch verſchiedene Zeichen gleiche Groͤſ⸗ ſen ausgedruͤcket, ſo iſt mit ihnen einerley Anzahl der Einheiten verknuͤpffet (§. 5. 4. A. M.), und wenn durch verſchiedene Zeichen ungleiche Groͤſſen ausgedruͤ⸗ cket werden, ſo iſt ein Theil in der Anzahl der Einhei⸗ ten in der groͤſten einerley mit der Anzahl der Einhei⸗ ten, welche die kleinſte Groͤſſe machen (§. 4. 11. A. M.). Folglich ſind im erſten Falle verſchiedene Zeichen der Geoͤſſen iönewen und im andern Falle in Anſehung eines gewiſſen Theils gleichguͤltige Zeichen (§. 34.). Zuſatßz. §. 38. Und alſoroͤnnen en Zeichen, wel⸗ che gleiche Groͤſſen ausdruͤcken, voͤllig, und welche ungleiche Groͤſſen ausdruͤcken, in Anſehung eines boiſſen Theils fuͤr einander ſubſtituiret werden „36.) Anmerckung. §. 39. Folgende Schluͤſſe koͤnnen dieſe Saͤtze erlaͤutern: 3 †+ 2 † 5 = 2 † 5 2 + 5 =— 7 Folglich 3 †+2 P† 7 oder 3 †2-r 4 2 5 7 Folglich 3 7 4 3 t 7= 10 Folglich 10.4 F 3 Er⸗ 986 Das 2. Cap. Von den allgemeinen Eigenſchafften Erklaͤrung. H Quantitas §. 40. Wenn wir in einem vo kommendem Falle abſoluta, von einer gewiſſen Groſſe reden, ſo betrachten wir ſol⸗ Podrin et che entweder als eine Groͤſſe, welche wuͤrcklich vorhan⸗ quid. den iſt, oder als ene ſolche, welche fehlet, oder wir betrachten die Groͤſſe fuͤr ſich, ohne auf dieſe Beſtim⸗ mungen zu ſehen. Iſt das erſte, ſo wird die Groͤſſe eine poſitive Groͤſſe, iſt das andere, eine negative Groͤſſe, und iſt das letzte, eine abſolute Groͤſſe ge⸗ nennet. Zuſatz. §. 41. Alſo iſt a eine poſitive Groͤſſe, — a eine negative Groͤſſe, und a eine abſolute Groͤſſe (§. 61. 90. A. M.). Lehr⸗Satz. Quantitas §. 42. Werden Zeichen von einer poſitiven und negatiua negativen Groͤſſe, welche, fuͤr ſich betrachtet, Fpnucqua- einander gleich ſind, mit einander verknuͤpffet,ſo iſt lem deſtru- die Bedeutung von dieſen zuſammengeſetzten Zei⸗ it. chen nichts. Beweiß. Der Satz des Wieder ſpruͤchs beſtaͤtiget vollkom⸗ men, daß nichts uͤbrig bleibet, wenn man dasjenige wegnimmt, was zuvor iſt geſetzet worden. Nun aber wird dasjenige wieder weggenommen, was zuvor iſt geſetzet worden, wenn man Zeichen einer poſitiven und negativen Groͤſſe, welche fuͤr ſich betrachtet einander gleich, zuſammen ſetzet (H. 40.). Folglich muß die Bedeutung eines ſolchen zuſammengeſetzten Zeichens (5§. 3.) nichts ſeyn. W. Z. E. W. Juſatz. §. 43. Wenn demnach die poſitive Groͤſſe, fuͤr ſich betrachtet, groͤſſer als die negative, deren Zei⸗ chen zuſammengeſetzet worden, ſo muß das gleich⸗ guͤltige Zeichen von dieſem zuſammengeſetzten eine poſi⸗ nſchoffen nn Fal lwitſo hbothann oder i Beſi⸗ Eröſ egetirt roſſe 14 Griſe en vchtt 1ſo nSer Ukon ence abe riſ Nnd GN i e⸗ der Erfindung der Groͤſſen durch das Calculiren. 87 poſitive Groͤſſe ausdruͤcken. Und wenn die poſitive Groͤſſe kleiner als die negative, deren Zeichen zuſam⸗ mengeſetzet worden, ſo iſt das gleichguͤltige Zeichen von dieſem zuſammengeſetztem ein Zeichen einer negativen Groͤſſe (§. 42. 37. und §. I1. A. M.). Anmerckung. §. 44. Z. E. a — a — o. 2 a — a — a. a — 2a — — a. §. 4̈°. Wenn wir durch die Subſtitution Lemmata, gleich guͤltiger Zeichen etwas erfinden wollen, ſo quae inue- ſuchen wir entweder Zeichen, welche gewiſſe ſigatio⸗ Merckmahle einer Sache ausdruͤcken: oder wir aeam ber ſuchen einfache Zeichen, welche dasjenige zuſam⸗ ſignorum mengenommen ausdruͤcken, deſſen Merckmahle ſubſtitutio- und deren Verknuͤpffung durch ein zuſammen⸗ nem expli- geſetztes Zeichen iſt ausgedruͤcket worden: oder Lant. wir ſuchen ein zuſammengeſeztes Zeichen, deſſen Theile die Merckmahle und deren Verknuͤpffung in derjenigen Sache ausdruͤcken, welche durch ein einfaches geichen ausgedruͤcket worden; oder wir ſuchen durch uͤlffe der Verbindung, verſchie⸗ dener Zeichen andere Verbindungen, um dadurch die Eigenſchafften der Dinge zu beſtimmen. Anmerckung. §. 46. Das erſte beſtaͤtiget die Lehre von der Abſtrac⸗ tion der Begriffe durch Huͤlffe der Zeichen, und von der willkuͤhrlichen Beſtimmung. Siehe Artem meam inueni- endi P. I. H. 119. ſſ. Das zweyte, die Lehre von Erfindung des Definiti, wenn die Definition gegeben. Siehe i. c. P. 1. §. 127. Das dritte, die Lehre von Erfindung der Defini⸗ tion, wenn das Definitum, gegeben. Siehe l. c. P. I. &. 92. fl. Das vierte, die Lehre von den unmittelbaren Folgen und ordentlichen Schluͤſſen. Siehe I. c. P. I. §. 189. fl. 1. Juſatz. 7. Wenn wir dieſes durch die Beſchaffenheit ichen der Groͤſſen (§. 34. 35.) genauen F 4 be⸗ der Ze 88 Das 2. Cap. Von den allgemeinen Eigenſchafften ꝛc. nem quan- beſtimmen, ſo wird es die Wahrheit von folgenden iaeumad. Saͤtzen hinreichend beſtaͤtigen. Eucantur. 1.) Soll man durch Zeichen ausgedruͤckte Groͤſſen addiren, ſo muß man ein ander Zeichen ſuchen, wel⸗ ches die gegebenen Groͤſſen zuſammengenommen aus⸗ druͤcket (§. 59. A. M.). 2. Juſatz. §. 48. 2.) Soll man durch Zeichen ausgedruͤckte Groͤſſen in einander multipliciren, ſo muß man ein ander Zeichen ſuchen, welches das Multiplicandum ſo vielmahl ausdruͤcket, als der Multiplicator eins in ſich faſſet (§. 73. A M.). 3. Zuſatz. §. 49. 3.) Soll man durch Zeichen ausgedruͤckte Groͤſſen von einander ſubtrahiren, ſo muß man ein Zeichen ſuchen, welches denjenigen Theil in der ge⸗ gebenen Groͤſſe ausdruͤcket, der entſtehet, wenn man die ſubtrahirende Groͤſſe von jener weggenommen (§8. 85. A. M.). 4. Juſatz. §. Ho. 4.) Soll man endlich durch Zeichen aus⸗ gedruͤckte Groͤſſen durch einander meſſen oder divi⸗ diren, ſo muß man ein Zeichen ſuchen, welches ſo viel⸗ mahl eins ausdruͤcket, wie vielmahl das Maaß in der Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden, enthalten iſt ('§. 102. A. M. ). 4 Anmerckung. 4. FI. Es wuͤrde zu weitlaͤufftig, und alſo der Abſicht dieſer Schrifft zuwieder ſeyn, wenn ich die Geſetze, welche der Zeichen erklaͤret, durch die Eigenſchafften der Groͤſſen weiter beſtimmen wollte. Indeſſen werde ich doch bey ei⸗ anmercken. genh einig eſondere Eigenſchafft die Vernunfft-Lehre von Erfindung der Dinge durch Huͤlffe E ftent. genden Brdſen ,vel en gls⸗ edrſte mmanen candum tor eiſs hruͤckt ant dere⸗ enntnet OAen Das I. Cap. Von den vier Rechnungs⸗Arten. 89 Der 2. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſen fuͤr ſich betrach⸗ tet, durch das Calculiren. Das 1. Capitel. Von den vier Rechnungs⸗Arten. Aufgabe. §. 52. genannte Groͤſſen durch Huͤlffe der Zei⸗ Additio chen zu addiren. ” numero- Aufloͤſung. maerantin merantium Erſter Fall. Wenn die Zeichen der Groͤſſen nur per calcu- dadurch ſind verkuͤrtzet worden, daß man eine gewiſſe lum. Anzahl der Einheiten durch einfache Zeichen aus⸗ gedruͤcket, ohne dem Ort eine Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten zu geben (§. 20.). 1) Zehlet die Einheiten der gegebenen Groͤſſen ſo lange zuſammen, bis ihr eine ſolche Anzahl be⸗ kommet, welche ihr durch ein geſetztes einfaches Zei⸗ chen ausdruͤcken koͤnnet. 2) Dieſe einfache Zeichen ſetzet in einer ſolchen Ordnung von der Rechten an gegen die Lincke bey einander, daß diejenigen Zeichen, welche die wenig⸗ ſten Einheiten ausdruͤcken, zu erſt zu ſtehen kommen; ſo habt ihr die verlangte Summe durch Zeichen ausgedruͤcket. (Dieſe Aufloͤſung lehret der §. 20. und 47. wenn dieſe mit dem §. 67. A. M. ſind verknuͤpffet worden.). F 5 An⸗ Das 1I. Cap. Von den Anmerckung. 3. E. Wenn ihr folgende Zahlen addiren ſollet, XVILII VII LIII ſo iſt die Summe LXXVIII Zweyter Fall. Wenn man die Zeichen der Groͤſ⸗ ſen dadurch verkuͤrtzet, daß man dem Ort, in wel⸗ chem das Zeichen ſtehet, eine Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten gegeben (§. 16. 21.). 1) Schreibet die gegebenen Zeichen der Groͤſſen alſo unter einander, daß die Oerter, welche einerley Bedeutung haben, unter einander zu ſtehen kom⸗ men. ⸗R 2) Unter dieſe geſchriebene Zeichen ziehet eine ge⸗ rade Linie, um die Verwirrung zu vermeiden. 3) Zehlet von der Rechten gegen die Lincke die Einheiten, welche in einem Orte ſtehen, zuſammen, und wenn ihr eine Anzahl findet, welche nicht durch ein einfaches Zeichen, ſondern durch folgenden Ort auszudrucken, ſo vermehret die Zahlen in folgen⸗ dem Orte um eins, welches mit einem Punct anzu⸗ mercken. 4) Findet ihr abermal in dem erſten Orte eine ſolche Anzahl der Einheiten, ſo vermehret den fol⸗ genden Ort wiederum um eins, und ſo weiter. 5) Bleibet endlich in dem erſten Orte eine An⸗ zahl von Einheiten uͤbrig, welche ihr durch ein ge⸗ gebenes einfaches Zeichen ausdruͤcken koͤnnet, ſo ſetzet dieſes Zeichen in dieſem Orte unter der Linie. Blei⸗ bet aber nichts uͤbrig, ſo ſetzet unter der Linie in dieſem Orte das Zeichen, welches dem Ort eine Be⸗ deutung giebt (§. 17.). . 6) Wenn ihr dieſe Arbeit durch alle Oerter fort⸗ ſetzet, ſo werdet ihr das Zeichen der verlangten Summe finden. (Die Wahrheit dieſer Aufloͤſung fol⸗ folge ſe n ſohhen ſchrei ſoiſt der vier Rechnungs⸗Arten. 91 D folget aus dem S. 16. 17. 18. 22. ſl. nachdem die⸗ ſe mit dem §. 67. A. M. ſind verknuͤpffet worden. 1. Anmerckung. c. 5§33. Ihr ſollt z. E. in dem Calculo Dyadico (§. 19.) folgende Groͤſſen addiren: 1. 10. 101. 11II. ſo 8. ſchreibet: ⸗ 1 ,inc⸗ . 1 0 on ene 1 0°1 21 — 1. 1 Gn ſo iſt das Zeichen 1 1 1I 1 (§. 18.) einertt der Summe en te 2. Anmerckung. . . 54. Sollt ihr in dem Computo quaternario folgende D Groͤſſen addiren: 300. 32. 1033. ſo ſchreibet: „ 2 n. 3 ° ½ ce d 1. b. 3. 3 Pne So iſt das Zeichen 2 0 3 r (§. 24.) ijt n der Summe . ſlgen⸗ „ §. 58 Sollt ihr endlich in dem Computo decadico fol⸗ ſſa 2£. . 7 . ootn gende Gröſſen addiren, 43250. 67325. 6352. ſo ſchreibet: Nr ein 4 3 2 5 Nete 6 7 3 2 5 Nenſ . . 6 3. 5 2 tet, . . — el So iſt das Zeichen 1 1 6 9 2 7 (§. 26.) 68 der Summe— Aufgabe. §. 56. Genannte Groſſen durch Buͤlffe der Additio Zeichen zu add ren. numero- Au floͤſung. n nr⸗ 1) Schreibet die Groffen, welche einerley Nah⸗ rum per fet men haben, unter einander, und verrichtet alsdenn caleuium. nge mit einer jeden Art die Addition wie zuvor. fiſe 2) Findet ihr in der kleinſten Art einige Groͤſſen 6 von der groͤſten Art, ſo addiret jene zu dieſer, und was 92 Das 1. Cap. Von den was uͤbrig bleibet, ſetzet in den Ort der kleinſten Art, ſo werdet ihr die verlangte Summe finden (§. 11. und 67. A. M.). 1. Anmerckung. S §. 57. Ich will dieſe Aufloͤſung nur mit dem zehnfa⸗ chen Wachs thum der Zahlen erlaͤutern, weil ich die uͤbrigen in der Mathematik nicht gebrauchen werde (§. 27.). Ihr ſollt demnach zu 16 Thaler 15 gr. und 9 pf. addiren 27 Thaler 16 gr. und 10 pf. ſo ſchreibet: 16. Th. 15. gr. 9 pf. 2.7. Th. 16. gr. 10 pf. So iſt das Zeichen der 44 Th. 8 gr. 7 pf. verlangten Summe. Von den Eintheilungen der Dinge, welche im gemeinen Leben gebraͤuchlich, kan geleſen werden Bernard de men- ſuris et ponderibus. Eiſenſchmid in diſquiſitione noua de ponderibus et menſuris. Joh. Georg Schoabs Europaͤ⸗ ſche Gewichts⸗Vergleichungen. J 2. Anmerckung. 6.,58. Wenn ihr ferner zu 15 Thl. und 6 gr. weniger 4 pf. addiren ſollt 14 Thl. weniger 18 gr. und 3. pf. ſo ſchreibet: . . 15 Thl. †+ 6 gl. — 4 pf. . 14 Thl. 18 gl. + 3 pf. E. 14.) So wird das Zei⸗ 29 Thl. — 12 gl. — 1I pf. (JH. 43.) chen der Summe z3. Anmerckung. 9. 59. Hieraus iſt voͤllig zu begreiffen, wie genannte Groͤſſen, deren Nahmen allgemein, durch Huͤlffe der Zei⸗ chen zu addiren. Z. E. 3 a †+ 4 b — 6c †+ 3 m — 4y7„ 2 a — 2 b + ac — 7 m — 3 y 5 à †+ 2 b — 2c — 4 m — 7 V Aufgabe. Subtractio §. 60. Ungenannte Groͤſſen durch HGuͤlffe der numere- Zeichen von einander zu ſubtrahiren. eran⸗ Aufloſung. tium per Erſter Fall. Wenn die Zeichen der Groͤſſen nur calculum. dadurch ſind verkuͤrtzet worden, daß man eine gemiſſ n⸗ Naoh drncke einer N oder RW Aner vier Rechnungs⸗Arten. 93 i Anzahl der Einheiten durch einfache Zeichen ausge⸗ druücket, ohne dem Ort eine gewiſſe Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Einheite n zu geben. 1) So viele Einheiten, als in der Groͤſſe, wel⸗ che ihr von der andern ſubtrahiren ſollt, enthalten, „ nehmet von dieſer Groͤſſe weg. Cie 2) Die Einheiten, welche uͤbrig bleiben, zehlet zu⸗ ſammen, bis ihr eine ſolche Anzahl bekommet, wel⸗ che durch ein geſetztes einfaches Zeichen auszudruͤcken. 3) Dieſe einfache Zeichen ſetzet in einer ſolchen Ord⸗ nung von der Rechten an gegen die Lincke bey einander, daß diejenige Zeichen, welche die wenigſten Einheiten Rõ ausdruͤcken, zu erſt zu ſtehen kommen, ſo habt ihr die Font verlangte Differentz durch Zeichen ausgedruͤcket. Eurce⸗ (Wenn der §. 20. mit dem §. 96. A. M. iſt verknuͤpf⸗ fet worden, ſo wird die Wahrheit dieſer Aufloͤſung unmittelbar folgen). d Anmerckung. 3. E. Wenn ihr XVII von XXIII Netrahiren ſollt, ſo iſt das Zeichen der Differentz VI. 69 Zweyter Fall. Wenn die Zeichen der Groͤſſen . dadurch ſind verluͤrtzet worden, daß man dem Ort, in welchem das Zeichen ſtehet, eine Bedeutung von einer gewiſſen Anzahl der Einheiten gegeben. 1) Schreibet die Zeichen der Groͤſſe, welche ihr ſubtrahiren ſollt, alſo unter die Zeichen der Groͤſſe, von welcher ihr ſubtrah iren wollt, daß die Oerter, welche einerley Bedeutung haben, unter einander zu ſtehen kommen. 2) Unter dieſe geſchriebene Zeichen ziehet eine gerade Linie, um die Verwirrung zu vermeiden. Und von der Rechten gegen die Lincke ſubtrahiret N nach und nach diejenigen Zahlen von einander, wel⸗ che in einem Orte ſtehen. 3) Wenn das Zeichen in der untern Reihe nicht 1 mehrere Einheiten ausdruͤcket, als durch das daruͤber ſtehen⸗ tante derg 94 Das 1. Capitel, Von den ſtehende Zeichen in der obern Reihe ausgedruͤcket werden: ſo nehmet von dieſer Anzahl der Einheiten ſo viele Einheiten hinweg, als das Zeichen in der un⸗ tern Reihe ausdruͤcket, und das Zeichen von dem, was uͤbrig bleibet, ſetzet in dem Orte unter die Linie. 4) Wenn aber durch das Zeichen in der untern Reihe mehrere Einheiten ausgedruͤcket werden, als das daruͤber ſtehende Zeichen in der obern Reihe ausdruͤcket: ſo nehmet aus dem nechſtfolgenden Orte in der obern Reihe eins weg, und addiret ſol⸗ ches zu der Zahl, von welcher die Subtraction ge⸗ ſchehen ſollte. Weil nun hierdurch verurſachet wird, *DR daß die Zahl in dem nechſtfolgenden Ort um eins kleiner (welches mit einem Punct anzumercken), die gegebene Zahl aber, wovon die Subtraction ge⸗ ſchehen ſollte, um ſo viel groͤſſer geworden, als eins 4 im folgenden Ort bedeutet, ſo koͤnnt ihr die Sub⸗ traction wie Reg. 3. verrichten. 5) Wenn endlich in dem nechſtfolgenden Orte der obern Reihe ſtehet, ſo gehet ſo weit fort gegen die Ancke, bis ihr eine Zahl antreffet. Von dieſer nehmet eins weg, welches mit einem Punckte anzu⸗ mercken. Von der Anzahl der Einheiten, welche eins in dem Ort ausdruͤcket, ſetzet ſo viel in einem 6 jeden Ort, wo o ſtehet, als der Ort vermoͤge ſei⸗ ner Bedeutung faſſen kan, ſo werdet ihr aus dem nechſtfolgenden Orte eins uͤbrig behalten. Dieſe Groͤſſe addiret zu der Zahl, wovon die Sub⸗ traction geſchehen ſollte, ſo koͤnnt ihr, wie Reg. 3. gewieſen worden, ſubtrahiren. 6) Wenn ihr mit dieſer Arbeit durch alle Oerter fortfahret, ſo werdet ihr das Zeichen der verlang⸗ ten Differentz finden (§. 18. 22. 24. 26. 49. und . §. 96. A. M.). 1. Anmerckung. 9. 6¼. Wenn ihr z. E. in dem Calcano dyadico 11 von 1er ſubtrahiren ſollt, ſo ſchreibet: —liR— — – — — 4ã 1.01 Eirlen indernn denn we inie. er unen rden, d 1n We⸗ ſelgnnn dirnſ⸗ tieng Het on Um end erchil ction als ℳi e E Ortehe rgelt dieſer ondl⸗ nt n eintt ſoge s Ne O 1 helug N I 1 101 vier Rechnungs⸗Arten. 95 I. — ◻ 1 1 —..ñßꝛ.OO So iſt das Zeichen 10 (S. 18.). der Differentz 2. Anmerckung. §. 62. Sollt ihr in dem Computo quaternano 30122 von 132003 ſubtrahiren, ſo ſchreibet: . 3 1 3 I 3 2. 0 1 So iſt das Zeichen 1 „ 1 2 2 1 (9. 24.). der Differentz 3. Anmerckung. §. 63. Sollt ihr endlich in dem Computo decadico 403256 von 8300202 ſubtrahiren, ſo ſchreibet: 10 9 9 10 9% 10 8. 3. o „o 2. 0o 2 4 o 3 2 5 6 So iſt das Zeichen 7 $ 9 6 9⁹ 4 6 (§. 26.). der Differentz. 4. Anmerckung. g. 64. Man muß es uns verwilligen, daß es in dem Computo decadico einerley, ob wir 6 von 3, oder 7 von 9 ſubtrahiren. Dieſes iſt der Grund von folgendem Vor⸗ theile in der Subtraction. Wenn nemilich die obere Zahl kleiner als die untere, ſo vermehret die folgende Zahl in der untern Reihe um eins, welches mit einem Punct zu mercken, ſo wird dadurch die Zahl, von welcher die Sub⸗ traction geſchehen ſollte, um 10 vermehret, welches gleich⸗ fals bey der Zahl mit einem Punct zu mercken. Und al⸗ ſo iſt nicht noͤthig, daß ihr mit den Zahlen in der obern Reihe verſchiedene Veraͤnderungen vornehmet, wenn die untere Reihe von der obern voͤllig ſoll ſubtrahiret wer⸗ den. Z. E. 4 3 ° o 5 -o 6 7 2. 7. O. 2. 6. O0. 9 4 1 5 9 7 8⁸ 9 7 3 Subtractio numero- xum nu- merato- rum per galculum. Subtractio quantitatis negatiuae a poſitiua & v. v. 96 Das 1. Cap. Von den Aufgabe. §. 65. Genannte Groͤſſen durch Huͤlffe der Zeichen von einander zu ſubtrahiren. Auflſung. 1) Schreibet die Zeichen der Groͤſſen, welche von einerley Art, wie zuvor unter einander (§. 91.). 2) Subtrahiret, wie zuvos gewieſen worden, die Groͤſſe in der unteren Reihe von der in der obern Reihe, welche mit ihr von einerley Art. 3) Sollte die Groͤſſe in der obern Reihe kleiner ſeyn, als die, welche von der Art in der untern Reihe, ſo nehmet in der obern Reihe von der nechſt groͤſſeren Art eins weg, (welches mit einem Punet bey der Groͤſſe zu mercken), und verwandelt ſolches in eine Groͤſſe von der Art, von welcher die Subtraction geſchehen ſollte (§. 11. 57.). 4) Wenn ihr nun die von der groͤſſeren Art ge⸗ borgte Groͤſſe zu der, von welcher die Subtraction geſchehen ſollte, addiret, ſo werdet ihr die Subtrac⸗ tion, wie zuvor, verrichten koͤnnen (§. 60.). Anmerckung. §. 66. Ich will auch dieſe Aufloͤſung nur aus dem Calculo decadico erlaͤutern. Ihr ſollt z. E. von 15. Th. 14 gr. 9 pf. ſubtrahiren 12 Th. 16 gr. 8 pf, ſo ſchreibet; 24 15 Th. 14 gr. 9 pf. 12. Th. 16 gr. 8⁸ pf. So iſt die 2 Th. 22 gr. I pf. Differentz . oder 16 a †+ 14 b † 9 c 12 a †+ 6 b †+ 4 Cc 4 a + $ b †+ 5 c Aufgabe. §. 67. Von einer poſiciwwen Groͤſſe eine nega⸗ tive, und von einer negativen Groͤſſe eine poſi⸗ tive zu ſubtrahiren. Auf⸗ Gilſe d ſen, nite der r worden in der den teihe lin der unen je von mit ein verwand welcher⸗ . eren Nit⸗ Gubtralt Eubin .) ut ans N bon 15, 0 ſeſtſeien iſe nng ne por vier Rechnungs⸗Arten. 97 Aufloͤſung. 1) Das Zeichen der Groͤſſe, welche ihr ſubtrahi⸗ ren ſollt, verwandelt in das entgegengeſetzte Zeichen, nemlich in —, und — in +. 2) Wenn dieſes geſchehen, ſo addiret die gegebe⸗ nen Groͤſſen (§. 56.). ”M Beweiß. Wenn von a + b die Oroͤſſe c † dzu ſubtrahiren, ſo wird die Differentz a b — c — d ( §. 96. A. M.). Wenn von a † b die Groͤſſe c — d zu ſubtrahiren, und man nimmt c von a †b, ſo iſt d zu viel wegge⸗ nommen, weil nicht c, ſondern c wentger d iſt gege⸗ ben worden, woraus es klar, daß keine voͤllige Dif⸗ ferentz entſtehen koͤnne, wenn nicht dasjenige, was zu viel iſt weggenommen, nemlich d wieder addiret wird (§. 88. A. M.), und alſo iſt die verlangte Differentza † b- c † d (. 96. 67. A. M.). Wenn demnach das Zeichen der Groͤſſe, welche zu ſubtra⸗ hiren, in das entgegengeſetzte Zeichen verwandelt, und alsdenn die Groͤſſen addiret worden (58, 57. A. Re⸗ iſt die verlangte Differentz gefunden. W. * Anmerckung. §. 68. Z. E. Wenn ihr in dem Computo decadico von 12 Thl. weniger 16 gr. und 8 pf ſubtra Ere und 4 gr. weniger 2 pf. ſo ſchrelbe . bi n ſoll 6 hl. =ðð 12 Thl. — 16 gl † 8 pf. 6 Thl. + 4 gl. — 2 pf. (§F. 66.) So iſt die Differentz 6 Thl. — 20 gl. + 10 pf. oder wenn die Nahmen allgemein 12 à — 16 b †+ 8c — 4 6àa †+ 4 b — 20c— 6 — — a — 20 b †+ 10 c †+ 2½ G Auusf⸗ 98 Das I. Cap. Von den Aufgabe. §. 69. Binfache Zeichen der Groͤſſen in ein⸗ ander zu multipliciren, oder das Ein mahl Eins zu finden. . 1 Aufloſung. 1) Zehlet die Einheiten, weiche der Multiplicator ausdruͤcket. 2) Das Multiplicandum addiret ſo vielmahl, als der Multiplicator Einheiten in ſich begreiffet. 3) Mit dieſer Summe verknuͤpfſet das gewoͤhn⸗ liche Zeichen, ſo habt ihr das verlangte Factum durch Zeichen ausgedruͤcket (§. 84. A. M.) 8. 70. Wenn man demnach keine gewiſſe An⸗ zahl der Einheiten durch einfache Zeichen ausdruͤ⸗ cket, ſo iſt kein Ein mahl Eins moͤglich. Und daher iſt es klar, daß in dem Calculo dyadico die Multipli⸗ cation nur durch eine Addition zu verrichten (§. 16⸗ 19.). 1. Anmerckung. §. 71. Damit die Reg. 2. §. 69. verlangte Addition deſto leichter zu verrichten, ſo mercket folgende Begrifſe von den Multiplis derſenigen Groͤſſen, welche durch einfache Zei⸗ chen ausgedruͤcket werden, von welchen die drey erſten in dem Computo quaternario, und alle in dem Computo deca=- gico zu gebrauchen. Simplun- . Duplum = Simplum + Simplum. Triplum = Duplum + Simplum = Simplum D + Simplum †+ Simplum. Quadruplum = Duplum † Duplum = Triplum + Simplum &c. Quintuplum = Duplum + Triplum = Quadru- plum †+ Simplum. &c. Sextuplum = Triplum + Triplum = Quadru- plum + Duplum = Quintuplum †+ Simplum. &c. Septu- Kepnol Oann Nonen 10 gluter e e N — 7 ☛ — MIEIPIGatores — 7 ☛ ſen inei mnahlleſ⸗ Aultiplcane elnahl, ℳ ifet das getiß⸗ Packumndn gewiſe ſea aus⸗ . Vunttr die Mlli/ iſten dſfeeet grifeladt einfathe⸗ rey etſten olud 7 1 Sln u. = Tn CM L Cioruß . vier Rechnungs⸗Arten, 99 Septuplum = Slerrulum Sinplum — Quintu- plum + Duplum = Quadr + Triplum. &c. Q Ublum Octuplum = Quadruplum †+ Quadruplum = Sep- tuplum †+ Simplum = Sextuplum + Duplum = Quintuplum †+ Tri- plum &c. Noncuplum = Octuplum + Simplum = Septu- plum + Duplum = Sextuplum †+ Triplum = Quintuplum + Qua- druplum. &c. Siehe §. 22. 2. Anmerckung. §. 72. Durch Huͤlffe dieſer Begriffe kan in dem Compu⸗ to quaternatio das Ei . apr zzet werden. 8 Ein mahl Eins auf folgende Art aufseſe⸗ „Multiplicanda 3 1 ſ2 [3 2 OIO Facéta 8 —— 3 1221 Facta . 53. Anmerckung. §. 73. Und in dem Computo decadico: Multiplicande 112 N H s e 2 4 6 8 T1o 12 141 16] 18 Facta 3 16 9 [12 ]1SISTZII 24]27 Facta 4 [8 I216[20 ſ24]28]32 36 Facta IGIS 20 2 ] 30] 3540 4 Facta ° 12 I8 24130] 36 42 48 54 Facta 7 I412128]35 42 491 56 63 Facta 8 6 [24]32 40 4 8 56]64 72 Facta 292 18271 36]47 54] 63 72 8 Facta Multiplicatores 100 Das 1. Cap. Von den Aufgabe. . Multiplica- 6. 74. Ungenannte Groͤſſen durch Buͤlffe der a tio numeé-Zeichen in einander zu multipliciren. Uhli rorum nu- ne merantium „ . per caleu- Au fl 6 ſu n g. lunn. Erſter Fall. Wenn der Multiplicator ein einfa⸗ H ches Zeichen. 1) Nehmet eine jede Groͤſſe in ihrem Orte ſo viel⸗ mahl, als der Multiplicator Einheiten in ſich begreif⸗ 4 fet. Oder multipliciret die einfachen Zeichen der uch gegebenen Groͤſſe durch den Multiplicatorem, und das ſetzet die Facta in dem Ort, in welchem jene Zeichen und geſtanden (§. 69.). . lita 2) Dieſe Multipla, nachdem ſie durch gehoͤrige Zeichen ausgedruͤcket worden, addiret (§. 52.), ſo iſt die Summe das verlangte Factum (§. 84. 57. A. M.). agun Zweyter Fall. Wenn der Multiplicator ein zu⸗ ſammengeſetztes Zeichen. 140) Weil ein zuſammengeſetztes Zeichen der Groͤſſe ,Z aus einfachen Zeichen beſtehet, welche durch die Be⸗ Unge deutung der Oerter mit einander ſind verknuͤpfet Oiſe worden (5§. 16. fl.), ſo multipliciret wie zuvor die en gegebene Groͤſſe nach und nach durch die einfachen in Zeichen, welche in dem Multiplicatore enthalten. . Pnunt 2) Dieſe Facta ruͤcket um eine Stelle weiter hin⸗ ude ein, wenn das Zeichen des Multiplicatoris in dem ſeſtch andern Orte um zwey Stellen, wenn das Zeichen dn des Multiplicatoris in dem dritten Orte ſtehet, und ſo ſh ſo weiter. 3) Nachdem die gefundenen Facta durch gehoͤrige Zeichen ſind ausgedruͤcket worden, ſo addiret ſolche (§. 52.). Die Summe, welche daher entſtehet, iſt das verlangte Factum (S. 84. 57. A. M.). 1. An⸗ Oilſe du r er enſe Otteſtii ſich begee⸗ Zeichen . orenn, ene Nen gehe⸗ 52.)ℳ* tor 1, daic nchdid verkniip⸗ Wont de oftt Ithein. 4 weltrtie oris In ab 9 ſte 9 et/ rchotee ddire ſit ſehiin 1. vier Rechnungs⸗Arten. 101 1. Anmerckung. §. 75. Wenn z. E in dem Calculo dyadico I1or durch 101 zu multipliciren, ſo ſollt ihr die gegebene Groͤſſe ein⸗ mahl in dem erſten Ort, und einmahl in dem dritten Ort nehmen. Alſo ſchreibet: 101I1 I0O II Dieſe Groͤſſen addiret, ſo iſt das Factum 1I I O III (§. 53.) 2. Anmerckung. §. 76. Sollt ihr in dem Computo quaternario 3201. durch 321 multipliciren, ſo ſollt ihr von der gegebenen Groͤſſe⸗ das Simplum in dem erſten, das Duplum in dem zweyten, und das Triplum in dem dritten Ort nehmen, und ſolche Pacta addiren. Folglich ſchreibet: 3 2 0°1, 321 3 2 .°I 1 3 00 2 Dieſe Facta addiret, ſo 9 2.2. 2. O0. 3 iſt das verlangte *Factum 3 °2° 1 2 1 (§ 72. 54) z3. Anmerckung. §. 77. Sollt ihr endlich in dem Computo decadico 46325 durch 426 multipliciren, ſo ſollt ihr von der gegebenen Groͤſſe das Sextuplum in dem erſten, das Duplum in dem zweyten, und das Quadruplum in dem dritten Ort nehmen, und alsdenn ſolche Pacta addiren. Da nun die gegebene Groſſe das Simplum, das Duplum von derſelben das Sim- plum † Simplum, das Quadruplum das Duplum + Duplum. und das Sextuplum das Quadruplum †+ Duplum (§. 71.): ſo ſuchet von der gegebenen Groͤſſe erſtlich das Duplum, alsdenn das Quadruplum, und endlich das Sextuplum, und alſo ſchreibet: 4 6 3 2 5, 426 3 9 2 6 5 Duplum 1 8 5 3 00 Quadruplum ð 2. 7. 7. 9 5 0 Sextuplum, 19 7 3 4 4 5 0 Factum totius. G 35 4. An⸗ 102 Das 1. Cap. Von den 4. Anmerckung. §. 78. Hieraus kan die Lrleichterung der Multiplication, . Di welche Ludalph in ſemer Tetragonometrie p. 4 . angegeben, und der Gebra ich von den Lam llis Neperianis völlig verſtanden und begriffen werden. §. Anmerckung. ”” 5. 79. Wenn wir diejenigen Zahlen ſuchen, welche, wenn ſie in einander ſind multiplicirer worden, eine gegebene Zahl machen, ſo wird geſaget, daß wir dieſe Zahl zerſtreuen. 3. E. 12 – 3, 4 =– 6, 2 3, 2, 2. Hieraus iſt es klar, daß auch durch die Zerſtreuung der Zahlen die Multiplication koͤnne erleichtert werden. Denn, wenn man die gegebene Groͤſſe durch die Factores des Multiplicatoris nach und nach multipliciret, ſo hat man nicht noͤthig, die beſondern Pacta zu addiren. Soll z. E. 324. durch 12 multipliciret werden, der: ſo darf man nur das Quadruplum von 324 dreymahl, oder das Sevtuplum von der gegebenen Zahl zweymahl nehmen. Wie die Zahlen zu zerſtreuen, ſolches ſoll zu einer andern 9) Zeit gewieſen werden. ur Aufgabe. . nen AMukiplica⸗ §. 80. Genannte Groͤſſen mit einer andern mume⸗ Groͤſſe durch Huͤlffe der Zeichen zu multiplici⸗ meraterum Yen. —⸗ 3 ber aleua. Aufloſung. H m 1) Multipliciret eine jede Art von den genannten e Groͤſſen mit dem gegebenen Multiplicatore beſonders gen (§. 24.). 2) Wenn in dem Facto von der kleinern Art eine Groͤſſe enthalten, welche zu der groͤſſern Art gehoͤret, ſo addiret dieſe zu jener (5.57.). Was herauskommt, iſt das verlangte Factum (§. 8. A. M.). Anmerckung. irr §. §81. Ihr ſollt z. E. in dem Computo decadico 6 Thl. H 12 gr. 8 pf. durch 3 multipliciren. Daher ſprecht: Das ſegat Ariplum von 8 iſt 24. 24. pf. machen 2 gr, alſo muͤſſen dieſe inſch zu dem Pacto von der folgenden Art addiret werden. Fer⸗ Gn ner das Triplum von 12 iſt 36. addiret vorige 2gr, ſo ent⸗ en ſtehet 38. 38 gr. haben in ſich 1 Thl. und 14 gr. alſo blei⸗ bet in dieſem Pacto 14 gr. Endlich das Triplum von 6 egai iſt 18. dier Rechnungs⸗Arten. 103 iſt 18. den vorigen Thaler addiret, macht 19 Thaler. Es iſt demnach das gantze Factum 19. Thl. und 14 gr. ke Dieſe Art zu multipliciren kan alſo geſchrieben werden: ng tiig 6 Thl. 12. gr. 8. pf. 3 19 Thl. 14 gr. oder wenn die Nahmen der Dinge allgemein elche itent 12 a †+ 13 b †+ 45½ †+ 3 7 e gegeben 4 le 48r + 52 b † 16x †+ 12 tiplicann henit Aufg abe. hin §. 82. Poſitive und negative Groͤſſen in ein⸗ Multipli- t veme under zu multipliciren. Gtatumn po- nahl, Au fl ſ ung. ſitiuarum Nlnehtne S 1s Multiplican- & negati- er andet 1) Wenn der Multiplicator und das Multiplican- um⸗ dum von einerley Art, nemlich beyde poſitive oder atum. negative Groͤſſen, ſo multipliciret, wie §. 74. und anden 5§. 80. gewieſen worden, und macht aus dem Factô eine lipl poſitive Groͤſſe. Z. E. +† 3, +r = †+ 12.— 3, — 4 = +†+ 12. . 2) Wenn der Multiplicator und das Multiplican- dum von verſchiedener Art, nehmlich die eine Groͤſſe onnntt. eine poſitive und die andere eine negative, ſo multi⸗ eſorden pliciret wiederum wie zuvor, und machet aus dem Facto eine negative Groͤſſe. Z. E. †+ 3;, — 4 = Nt en — 12. — 4, + 3 = – 12. ehdrt 8 u Beweiß. skolnnt⸗ Wenn il —„ 4 B Wenn ihr + 3 mit + 2 multipliciren ſollt, ſo iſt es ohne Beweiß klar, daß das Factum †+ 6. Sollt 4 ihr — 2 durch . 3 multipliciren, ſo muͤßt ihr die ſcnbin negative Groͤſſe ſo vielmahl nehmen, als 3 Einheiten en in ſich faſſet (§. 73. A. M.), folglich wird das Fa- iſ Cctuam eine negative Groͤſſe, nemlich — 6. Sollt ihhr eüdlich — 2 mit 4 — 3 multipliciren, ſo ſollt ihr die o t⸗ negative Groͤſſe — 2 ſo vielmahl nehmen, als 4— 3 . 4 Ein⸗ 104 Das 1. Cap. Von den Einheiten hat (§. 73. A. M.). Wenn ihr nun die drenmahl zu viel genommen. Woraus esklar, daß kein voͤlliges Factum entſtehen koͤnne, wenn nicht dasjenige, was zu viel iſt genommen, wieder weg⸗ genommen wird. Da nun negative Groͤſſen dadurch aufgehoben werden, wenn man gleiche poſitive Groͤſ⸗ ſen addiret (§. 42.); ſo muß man drey mahl zwey addiren, venn das verlangte Factum entſtehen ſoll. Eslich iſt — 2, (4 — 3) = — ⁸ + 6. W. Z. E. Anmerckung. §. 83. Z. E. Wenn ihr 12 Thl. weniger 4 gr. und 3 pf. durch 2. multipliciren ſollt, ſo ſchreibet: 12 Thl. — 4 gr. + 3 pf. 2 ſo iſt das 24 Thl. — 8 gr. + 6pf. Factum Oder wenn die Nahmen allgemein: 3 à †+ 4 b — 6c †+ 3 y Multiplicandum 3 a — 2b †+ 30 Multiplicator 9ac † I2bc — I8cc † 9 7Vc Facta partium — 6ab — 8bb † I2 bc — 6 b ſiehe §. 84. reg. 9 aa † I2ab — ISac †ya 4. A. M. — 9 aa . 6ab — 9ac – 8bb †24be †+9ya — 18cc — 6 7 b Ayc. Dieſes iſt das Pactum, (§. 87. A. M. und §. 74. 59.). M Aufgabe. Diuiſio ſi- G. 84. Eine Groͤſſe welche entſtanden, indem Srinitim⸗. 3Wey Groͤſſen, welche durch einfache Zeichen aus⸗ Primitiuo- uͤck 4 . 8 . d Ie. li Ese . Tum gedruͤcket, in einander ſind multipliciret worden, mit einer von dieſen Groͤſſen zu meſſen. Aufloͤſung. 1) Suchet in dem Einmahl Eins (§. 72. 73.) die gegebene Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden. 2) Mer⸗ uegaͤtive Groͤſſe viermahl nehmet, ſo habt ihr ſolche 9 die M. werden ihene 3) beg, das 1 K8 2 zu f in den Quotit §. g. dern d Eher chen. 1)T Delle gen die det die tet al erfori 2 mit meſe 73)) ſerde 9 der tente vier Rechnungs⸗Arten. 105 gun 2) Mercket aus den beyden Reihen, in welchen ihr ce die Multiplicatores und Multiplicanda geſchrieben Nt, N, worden, die einfachen Zeichen, welche durch die Mul⸗ denn ſicr tiplication die gegebene Groͤſſe hervorgebracht. eder ttc⸗ 3) Von dieſen beyden Zeichen nehmet dasjenige ndodurd weg, welches den Diuiſorem ausdruͤcket, ſo bleibt beGri⸗ das Zeichen von dem Quotienten uͤbrig (§. 107. at zre A. M.). hen i Anmerckung. W H. 85. Wenn z. E. in dem Computo quaternario 12 mit 2 zu meſſen, ſo iſt der Quotient 3. (H. 72.). Und wenn in dem Computo decadico 72 mit 9 zu meſſen, ſo iſt der gadz Quotient 8. (H. 73.). Folglich iſt ab: a — b. . W Aufgabe. §. 86. Eine ungenannte Groͤſſe mit einer an⸗Diuiſio nu- dern durch Buͤlffe der Zeichen zu meſſen. merorum 1* numeran- 5§ tium per A fl ſu ng. calculum. ene Erſter Fall. Wenn der Diuiſor ein einfaches ee Zeichen. Gugmun 1) Mit dem Diuiſore meſſet nach und nach alle Theile in der gegebenen Groͤſſe von der Lincken ge⸗ “ gen die Rechte (§. 84. und §. 24. fl.), und verbin⸗ det dieſe Theile des Quotienten vermittelſt der Oer⸗ e ter alſo, wie es die Theile in der gegebenen Groͤſſe nn erfordern (5§. 24. fl.). 2) Wenn ein Theil in der zu meſſenden Groͤſſe “ mit dem gegebenen Diuiſore nicht voͤllig kan ge⸗ , ise meſſen werden, ſo ſuchet in dem Einmahl Eins (§. 72. henae 73.) die nechſt kleinere Groͤſſe, und mercket von die⸗ wor ſer den Quotienten (§. 84.). 3) Den liberſchuß ſetzet zu dem folgenden Theil der Groͤſſe, ſo werdet ihr endlich den voͤlligen Quo⸗ „DN tienten, ſo weit als es moͤglich iſt, fin den (§. 117. A. M.). — G §5 Zwey⸗ 106 Das 1. Cap. Von den Zweyter Fall. Wenn der Diuiſor ein zuſammen⸗ geſetztes Zeichen. 4 1) Meſſet wiederum, wie zuvoer, alle Theile in der gegebenen Groͤſſe nach und nach mit dem ge⸗ ſetzten Diuiſore, und zwar, weil ihr nur mit ein⸗ fachen Zeichen meſſen koͤnnet, zumahl das Einmahl⸗ Eins durch die Multiplication einfacher Zeichen iſt verfertiget worden, nehmet an, als wenn der er⸗ ſte Theil in dem Diuiſore ſo vielmahl in dem erſten Theile der zu meſſenden Groͤſſe enthal⸗ ten, als der gantze Diniſor in dem gantzen Thei⸗ le der gegebenen Groͤſſe, welche ſoll gemeſſen werden, zu finden. 2) Wollt ihr verſichert ſeyn, ob dieſe angenom⸗ mene Regel, im vorkommenden Falle, ohne einen Feh⸗ ler zu begehen, zu gebrauchen, ſo multipliciret den gefundenen Quotienten mit dem gegebenen Diuiſore (§. 74.), und dieſes Factum vergleichet mit dem Theile der gegebenen Groͤſſe, welche ihr gemeſſen (§. 18. A. M.). 3) Wenn dieſes Factum aus dem Quotienten in den Diuiſorem dem geſetzten Theile gleich, ſo habt ihr den wahren Quotienten gefunden (§. 107. A. M.). Iſt das Factum groͤſſer als der geſetzte Theil, ſo iſt der Quotient zu groß (§. 101. A. M.). Derowe⸗ gen macht den gefundenen Quotienten nach und nach kleiner, bis er durch die Multiplication in den Diuiſorem bas verlangte Factum hervorbringet. Iſt endlich jenes Fackam kleiner, als der geſetzte Theil, ſo ſubtrahiret jenes von dieſem (§. 60.). Die Dif⸗ ferentz iſt entweder dem Diuiſori gleich, oder nicht. Iſt das erſte, ſo vermehret den Quotienten um eins, iſt das andere, ſo iſt die Differentz entweder kleiner oder groͤſſer, als der Diuiſor. Iſt jenes, ſo habt ihr einen Ueberſchuß (§. 105. A. M.), welcher zu dem det hen chet ſor in (dd den ben G ten Mt niene ler Minn — Duns ſe⸗ Diuſor — Reidun len ſ. uir ſt⸗ deg vier Rechnungs⸗Arten. 107 unm deum folgenden Dheil der zu meſſenden Groͤſſe zu ſe⸗ tzen (§. 117. A. M.). Iſt endlich dieſes, ſo ſu⸗ Wlei chet wiederum, wie zuvor, wie vielmahl der Diui- Nlp ſor in dieſer Differentz enthalten; dieſe Einheiten addiret zu dem gefundenen Quotienten, und mit te dem Ueberſchuß verfahret wie zuvor (§. 107. A. M). “ 40) Wenn ihr dieſes durch alle Theile der gege⸗ un benen Gröoͤſſe fortfuͤhret, und die Theile in dem “ Quotienten vermittelſt der Oerter alſo, wie es die 6 Theile in der gegebenen Groͤſſe erfordern, verbindet (§. 24. fI.), ſo werdet ihr den verlangten Quotien⸗ ene ten voͤllig finden (§. 117. A. M.). enſt 1. Anmerckung. dle KF. 87. Wenn z. E. in dem Calculo dyadico I10111 Ddn mit 101 zu dividiren, ſo ſchreibet: nnit dn Pneſen Diuidendum 1 10IIITIOII Quotient Diuiſor 101 erti Reſiduum 1 ſo 8 Pars ſequens 1 11 Diuiſor 101 en Reſiduum 1 chn Pars ſequens 101 tfr Diuiſor 1 .1 get. 7 .0O% e eh 4 2. ' Anmerckung. i §. 88. Sollt ihr in dem Computo quaternarie 3020121 86 ir ze dividiren, ſo ſuchet den Quotienten auf folgen⸗ lche Diui⸗ 10⁸ Das 1. Cap. Von den 3 2 °1 Quotient d* 2„° 1 2 1 1I Diuidendum 3 Diuiſor 2 ◻ Fad. ex Quot. in Diu. 2. 2. 2. 3 Reſiduum .V 1 3 1 Pars ſequens 1 3 1 1 Diuiſor 3 2 I Tact. ex Quot. in Diu. 1 3 O. 2 Reſiduum 3 Pars ſequens 3 2 /1 Diuiſor 3 2 I1 .„% △⏑ O 53. Anmerckung. §. 89. Sollt ihr endlich in dem Computo Jecadico 19734453 mit 426 dividiren, ſo ſuchet den Quotienten wie folget: Diuidendum 19 7 3 4 4 5 % 4 6 3 2 5 Quo⸗ Diuiſor 4 2 6 tient Pact. ex Quot. in Diu. 1 7 O. 4 Reſiduum 2 6 9 . Pars ſequens 2 6 9 4 Diuiſor 4 2 6 Pact. ex Quot. in Diu. 2 5 5. 6 7 Reſiduum 1 3 8 Pars ſequens 1I 3 8 4 Diuiſor 4 2 6 1 Tat. ex Quot. in Diu. 1 2 7. 8 Reſiduum S 1 0 6 Pars ſequens 10 6 5 Diuiſor 4 2 6 Pact. ex Quot. in Diu. g 5 2 Reliduum 2 I 3 Pars ſequens 2 1 3 Diuiſor 4 2 Fact. ex Quot. in Diu. O —„ „0 AO—bb◻ ein tide w⸗ ſe vier Rechnungs⸗Arten. 109 Aufgabe. §. 90. Genannte Groſſen mit einer andern Diuiſio mu- Groͤſſe durch Huͤlffe der Zeichen zu dividiren. merorum Au fl 6 ſu g. numerato⸗ rum per 1) Dividiret eine jede Art von den genannten calculum. Groͤſſen mit dem gegebenen Diuiſore beſonders (§. 86.), und zwar macht den Anfang von der Groͤſſe, welche von der groͤſten Art. 2) Bleibt in dieſer Art der Groͤſſe ein Ueberſchuß, ſo verwandelt ſolchen in eine Groͤſſe von der nechſt kleinern Art (§. 57.), und addiret jene zu dieſer. 3) Mit dem gegebenen Diuiſore dividiret dieſe Groͤſſe von der nechſt kleinern Art. Und im uͤbri⸗ gen verfahret wie vorhin, ſo werdet ihr endlich den e verlangten Quotienten, ſo weit als es moͤglich iſt, finden (§. 106. 17. A. M.). i Anmerckung. §. 91. Ihr ſollt z. E. 19 Thl 14 gr. in dem Compu- to decadico mit 3 dividiren. Daher dididiret zu erſt die Thl. und alsdenn die gr. mit 3z. 19 Thl. mit 3. dividiret giebt 6 Thl. und ein Thl. bleibt uͤbrig, dieſen addiret zu folgenden 14 gr, ſo entſte en 38 gr. Dieſe mit 3 dividi⸗ ret machen 12 gr, und 2. groſchen bleiben uͤbrig. Die⸗ ſe verwandelt in pf, ſo habt ihr 24 pf, welche mit 3 di⸗ vidiret 8 pf. geben. Folglich der gantze OQuotient 6 Thl. 12 gr. 8 pf. Oder wenn die Nahmen der Dinge allge⸗ mein, (48 a † 52 b †+ 162 + 127): 4 – 12 a + 13 b + IX † 3y. Aufgabe. §. 92. Poſitive und negative Groͤſſen mit ein⸗Diuiſio ander zu dividiren. Auanrira: . tum poſiti A fl * ſu ng⸗ uarum & 1) Wenn der Duiſor und das Diuidendum von negatiua- einerley Art, nemlich beyde poſitive oder nega⸗rum. tive Groͤſſen, ſo dividiret wie §. 86. und 90. iſt ge⸗ wieſen worden, und macht aus dem Quotienten ei⸗ ne poſitive Groͤſſe. 2) Wenn 110 Das I. Cap. Von den 2) Wenn der Diuiſor und das Diuidendum von verſchiedener Art, nemlich die eine Groͤſſe eine po⸗ ſitive und die andere eine negative Groͤſſe, ſo divi⸗ diret wiederum wie zuvor, und machet aus dem Quotienten eine negative Groͤſſe. Beweiß. Wenn man das Factum in der Multiplication durch das Multiplicandum dividiret, ſo iſt der Quo⸗ tient der Multiplicator (§. 107. A. M.). Hieraus folget, daß + ab: + a = + b — ab: — a – + b + ab : — a = — b — ab: + a — b (8. 82.). Wenn demnach eine poſitive Groͤſſe mit einer poſi⸗ tiven, und eine negative mit einer negativen Groͤſſe gemeſſen wird, ſo muß der Quotient eine poſitive Groͤſſe ſeyn. Und wenn eine poſitive Groͤſſe mit einer negativen, und eine negative Groͤſſe mit einer poſitiven Groͤſſe zu meſſen, ſo iſt der Quotient eine negative Groͤſſe. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 93. Wenn ihr in dem Computo decadico 24 Thl. weniger 8 gr. und 6 pf. mit 2 didvidiren ſollt, ſo ſuchet den Quotienten auf folgende Art: ) 4il — ⅝ gr. + 6 pf. 12 Thl. — 4 gr. + 3 pf. 2 12 2 2 2 — 4 3 — 24 — 8 + 6 Oder wenn die Nahmen der Dinge allgemein, ö aa + 6 ab — 9 ac — 8⁸ bb 24 bc + 9 ya — 18 cc — 6 yb + 9 yc) : (3 ½— 2b †+ 3 4) 9 a endumn ſe einer t as N ſipliri derde Hien 2)) eint ſc⸗ n Ei epoſte e N tientin vier Rechnungs⸗Arten. 1II 9 aa + 6 ab — 9 ac 3 a †+ 4 b — 6c + 3 7 3 a 2 b + 3c 9 aa — 6 ab + 9 ac + 12 ab — i8 ac 12 ab — I18 ad — ⁸ bb 3 a –— 2 b †+£ 3 0 12 ab — ⁸ bb-†+ 12 bc — 18 ac – 12 bc — i18 ac †+ 12 bc + 9 ya 3 aà — 2b †+ 3C — 18 ac + 12 bc –— 18 cc + % và + 9 Và — 6 yb T+ 9 e 3 àa — 2b 3 C + ⁹ya — 6 yb -† 9 0 „ 5 0 2. Anmerckung. §. 94. Ich habe die vier Rechnungs⸗Arten mit dem Calculo dyadico, quaternario und decadico erlaͤutert, um zu beweiſen, daß die Regeln, wornach wir rechnen, allge⸗ mein ſind. Im folgenden werde ich den Calculum decadi- cum allein gebrauchen, weil dieſer faſt allenthalben ge⸗ woͤhnlich, und ein jeder, der das bis hieher erklaͤrte ver⸗ ſtanden hat, die erklaͤrten Regeln auf andere Rechnungs⸗ Arten leicht wird anwenden koͤnnen. Das Practio quid. 112 Das 2. Cap. Von den Das ꝛ. Capitel. Von den Brüchen überhaupt, und ins beſondere von den Decimal⸗ und Sexageſimal⸗Bruͤchen. Erklaͤrung. 9. 95. Gena man von einem Gantzen, welches in glei⸗ che Theile iſt eingetheilet worden, einen oder etliche Theile beſonders nimmt, ſo nennet man die⸗ ſe Groͤſſe einen Bruch. 1. Juſatz. §. 96. Es iſt demnach die Zahl, welche die Viel⸗ heit der Theile, ſo von einem Gantzen ſind genom⸗ men worden, anzeiget, der Zehler, und die Zahl, welche die Vielheit der Theile, in welche das Gan⸗ tze iſt getheilet worden, ausdruͤcket, der Wenner des Bruchs (§. 8: 9). §. 97. Und alſo koͤnnen keine Bruͤche mit ein⸗ ander verglichen werden, wenn nicht die Gantzen, woher ſie genommen, in gleichviele Theile ſind ge⸗ theilet, oder wenn ſie nicht unter einerle Benen⸗ nung ſind gebracht worden (§. 96. 11.). 5. Zuſatz. §. 98. Es iſt ferner hieraus klar, daß die Groͤſ⸗ ſe eines Bruchs durch die Verhaͤltniß des Zehlers zu den Nenner zu beſtimmen (§. 25. 26. A. M.). Folglich, daß verſchiedene Bruͤche einander gleich ſind, wenn die Zehler gleich vielmahl in ihren Ren⸗ nern enthalten (§. 38. M.). . An⸗ Bruͤchen. 113 Anmerckung. „99. J. E. Wenn man einen Thaler in vier gleiche Theile theilet, und drey Theile davon nimmt, ſo bekommt t, man einen Bruch, in welchem 3 der Zehler und 4 der Ren⸗ ner, und alſo iſt die Groͤſſe dieſes Bruchs aus der Verhaͤlt⸗ niß der Zahl 2 zu 4 zu beurtheilen. Willkuͤhrlicher Satz. . Brbee §. 100. sS erhellet aus dem,was von den Bruͤ⸗ Signa fra- chen iſt angefuͤhret worden, daß man dieſe, wie Ctionum. andere genannte Zahlen, ſchreiben koͤnnte, nem⸗ lich 34tel. 2tel und ſo weiter. Siehe Poetii An⸗ leeitung zu der Arithmetiſchen Wiſſenſchafft. Es chen wuͤrde aber ohne Nutzen ſeyn, wenn wir die ge⸗ ſen woͤhnliche Schreib⸗Art verlaſſen wolten, nach ma wDaelcher man den Zehler durch eine Linie von dem Nenner abſondert, und den Nenner unter der „Linie, den Zehler aber uͤber der Linie ſetzet. ce NWh Z. C. 3. 2 4* K* ſuone⸗ Lehr⸗Satz. e G. 101. Wenn man den Zehler und Nenner Similis fra- e as Gn eines Bruchs durch eine Zahl multipliciret oder Aionum dividiret, ſind die Bruͤche, welche heraus kom⸗ fundamen. men, dem gegebenem gleich. tum. . Beweiß. ee Wenn ungleiche Groͤſſen durch gleiche multipliei⸗ ie Gan kLet worden, ſo ſtehen die Multiplicanda und die Facta leſet in einerley Verkhaͤltniß (§. 80. A. M.). Wenn man lene den Zehler und den Nenner eines Bruchs durch eine ) Zahl multipliciret, ſo ſind ungleiche Groͤſſen durch eeilne Zahl multipliciret (§. 95.). Folglich muͤſſen auch Steh die Facta, welche daher entſtanden, und die Multi- Nα Prlicanda einerley Verhaͤltniß haben. Und alſo muß 6,1 der daher entſtandene Bruch dem gegebenem gleich grde ge⸗ ſeyn (§. 28.). W. D. E. . ſondl Der andere Satz kan auf gleiche Art durch Huͤlffe des §. 115. A. M. bewieſen werden. „ z⸗ 114 Das 2. Capitel, Zuſatz. S. 102. Wenn man demnach den Zehler und Nenner eines Bruchs durch eine Zahl multipliciret oder dividiret, ſo koͤnnen die Bruͤche, welche daher entſtehen, fuͤr dem gegebenem ſubſtituiret werden (§S. 1. A. M.). . Erklaͤrung. . Numeri §. 103. Dieſenigen Zahlen, welche durch nichts, primi & als durch eins koͤnnen gemeſſen werden, nennet man compoliti, die erſten Zahlen, und diejenigen Zahlen, welche noch mi inren ſe ein ander Maaß als eins haben, werden zuſammen⸗ & compoſi-geſetzte Zahlen genennet. Wenn demnach zwey ti inter ſe Zahlen auſſer eins kein gemeinſchafftliches Maaß ha⸗ quid. ben, ſo wird geſagt, daß ſie erſte Zahlen unter ſich. Haben ſie aber noch ein anderes gemeinſchafftliches Maaß, ſo ſind ſie unter ſich zuſammengeſetzte Zah⸗ len. Aufgabe. Methodus S. 104. Das gemeine groͤſte Maaß der Zahlen, inueſtigan- melche unter ſich zuſammen geſetzte, zu finden. H Aufloſung. munemnu- 1) Dividiret die groͤſſere durch die kleinere (§. 86), merorum waenn der QAQuotient eine gantze Zahl, ſo iſt die kleinere inter ſe das gemeine Maaß (§. 10 5. 106. A. M.). compote. 2) Bleibet in der erſten Diviſion ein Reſt, ſo di⸗ 5 vidiret den erſten Diuiſorem mit dieſem Reſt. Blei⸗ bet wiederum ein Reſt, ſo dividiret wiederum den andern Diniſorem mit dem andern Reſt, und ſo wei⸗ ter, bis alles aufgehet. Der letzte Diuiſor iſt das gemeine Maaß der gegebenen Groͤſſen (§. 105. 109. A. M.). . Anmerckung. §. 105 3. E. 36: 9 — 4. Folglich iſt 9 das gemeine groͤſte Maaß von 36 und von 9. Ferner 214: 12 – 17 12. 12: 10 I + Mf. 10: 2 — 5. Folglich iſt 2 das ge⸗ W 2. meine groͤſte Maaß von 214 und von 1 Auf⸗ § 1 nennu ſo de 9 Er ſch Nenne ndern heron hon e 11 lſch Nehle Nen Wtd Ner NM eſtſe Geich Uitde Uung 3) Wte klen die geg den jeni und Ne⸗ Ne⸗ entf Und 122, Von den Bruͤchen. 115 Zehlet tl An fgabe. multiglere §. 106. Zwey Bruͤche von unterſchiedener Be⸗ welhen nennung unter einerley Benennung zu bringen, ſopo daß dieſe jenen gleich. Aufloͤſung. 1) Wenn die Nenner der gegebenen Bruͤche un⸗ urch i ter ſich erſte Zahlen, ſo multiplieiret den Zehler und uiret we nennetti Nenner eines jeden Bruchs mit dem Nenner des welchen⸗ andern Bruchs (§. 74.), ſo Hnd die Bruͤche, welche uſanmmm herauskommen, den gegebenen gleich (§. 101.) und nnach von einerley Benennung (§. 107. A. M.). Maoffke 2) Wenn die Nenner der gegebenen Bruͤche un⸗ unterſ⸗ ter ſich zuſammengeſetzte Zahlen, ſo daß der kleinſte Gocit Zehler das gemeine groͤſte Maaß, alsdenn dividiret ſezni, den groͤſten Nenner durch den kleinern (§. 86.), und mit dieſem Quotienten multipliciret den Zehler und Nenner desjenigen Bruchs, in welchem der kleinſte drzele Nenner (§. 74.). Der Bruch, welcher hieraus cen⸗ entſtehet, iſt nicht nur dem multiplicirten Bruche 3 gleich (§. 101.), ſondern es hat auch dieſer Bruch rel mit dem andern von den gegebenen einerley Benen⸗ die klein nung (§S. 107. A. M.). . 3) Wenn endlich die Nenner der gegebenen Bruͤche 3. unter ſich zuſammengeſetzte Zahlen, von welchen die ehe⸗ kleinere nicht das gemeine groͤſte Maaß, ſo ſuchet Reſt dieſes Maaß (§. 104.),, und dividiret hiemit die dent gegebenen Nenner (§. 86.). Wenn ihr nun mit undſn dem kleinſten Quotienten den Zehler und Nenner des⸗ lor jenigen Bruchs, in welchem der groͤſte Nenner, 10 und mit dem groͤſten Quokienten den Zehler und tenner desjenigen Bruchs, in welchem der kleinere Nenner multipliciret (§. 74.), ſo muͤſſen Bruͤche i entſtehen, welche den gegebenen gleich (§H. 101.), zu und welche von einerley Benennung (§. 113. 134. 122. A. M. ). N H ⸗ 1. An⸗ Das 2. Capitel, 1. Anmerckung. §. 107. Ihr ſollt z. E. nach der erſten Regel 5 und unter einerley Benennung bringen, derowegen multiplici⸗ ret den Zehler und Nenner des erſten Bruchs mit 3 und des zweyten Bruchs mit 5, ſo ſind die verlangten Bruͤche 12 und . Sollt ihr 3 und unter einerley Benen⸗ nung bringen, ſo verfahret nach der zweyten Regel, ſo ſind die verlangten Bruͤche, (weil 36: 9 — 4) 13 und 36 Sollt ihr endlich und l unter einerley Benennung bringen, ſo gebrauchet die dritte Regel. Das gemeine groͤſte Maaß von 42 und 54. iſt 6, 42: 6 –— 7. 54: 6 – 9. Daher multipliciret den Zehler und Nenner des erſten Bruchs mit 9 und des andern Bruchs mit 7, ſo ſind die verlangten Bruͤche , und ⅓. 2. Anmerckung. §. 108. Wir konnen zwar den zweyten und dritten Fall auch nach der erſten Regel unter einerley Benennung brin⸗ gen. Es wuͤrden aber hierdurch die Nenner ohne Noth ſehr groß werden, und groſſe Nenner machen in der Rech⸗ nung viel Weitlaͤufftigkeit. . Zuſatz. S§. 109. Aus dieſem iſt es leicht zu begreifen, wie drey, vier und mehrere Bruͤche in gleichguͤltige von einerley Benennung zu verwandeln Nenmlich, wenn die Nenner unter ſich erſte Zahlen, ſo multi⸗ pliciret den Nenner und Zehler eines jeden Bruchs mit dem Facto aus den Nennern der uͤbrigen Bruͤ⸗ che. Z. E. 3⅜ 3 unter einerley Benennung ge⸗ bracht, machen 33 33 5. Sind aber die Nenner unter ſich zuſammengeſetzte Zahlen, ſo ſuchet das ge⸗ meine groͤſte Maaß (S. 104.), und dividiret hiemit die gegebenen Nenner (§. 86.). Wenn ihr nun die Zehler und Nenner eines jeden Bruchs, mit dem Facto aus den Quotienten der uͤbrigen Nen⸗ ner multipliciret (§. 74.), ſo ſind die gegebenen Bruͤche in gleichguͤltige von einerley Benennung gebracht (§. 106. Reg. 3.) Z. E. ihr ſollt unter einer⸗ Enurl neg tient den des ſen len 9. 1 verede Venn ken⸗ Von den Bruͤchen. 117 einerley Benennung bringen 5 &11. ſo iſt das gemei⸗ ne groͤſte Maaß der Nenner 4, folglich ſind die Quo⸗ Nel s tienten, welche zu ſuchen 2. 3. 4. Wenn ihr nun gen multoit den Zehler und Nenner des erſten Bruchs mit 12, Ps mt zun des andern mit 8L und des dritten mit 6 multipliciret, angten Dinte ſo entſtehen folgende Bruͤche, . ge. 3, welche den ge⸗ gebenen gleichguͤltig. Aufgabe. S. 110. Einen Bruch aufzuheben, das iſt, klei⸗ nere Zahlen zu finden, durch welche der Zehler und WMenner eines gegebenen Bruchs alſo auszudruͤ⸗ cken, daß ſeine Groͤſſe unveraͤndert bleibt. Aufloͤſung. ⸗ 1) Suchet das gemeine groͤſte Maaß von dem Zehler und von dem Nenner des gegebenen Bruchs (§. 104.). 2) Mit dieſem Maaſſe dividiret ſo wohl den ge⸗ gebenen Zehler als auch den gegebenen Nenner (§⸗ 86.), ſo geben die Quotienten den verlangten gleich⸗ guͤltigen Bruch (§H. 101.). . 17,— ter des en. 7, ſo ſct Anmerckung. tifen 4 §. 1III. Sollt ihr z. E. 15 aufheben, ſo dividiret ſo We wohl den Zehler, als auch den Nenner mit 19. Der ver⸗ Nng langte Bruch iſt 3. , ſe Aufgabe. den §. 112. Einen Bruch in einen andern gleich⸗ triic guͤltigen zu verwandeln, welcher eine gegebene nenn Benennung hat die Aufloͤſung. ſuchenn Weil der Nenner des Bruchs, in welchen ihr den ddirge⸗ gegebenen verwandeln ſollt, iſt gegeben worden, ſo iſt enn ſin nur noͤthig, daß ihr den Zehler ſucht. Dieſer entſte⸗ Znicht, het, wenn ihr den geſetzten Nenner mit des gegebenen in Bruchs Zehler multipliciret, und das Factum mit oele dem Nenner des gegebenen Bruchs dividiret. ennt Ri 7“ H 3 Be⸗ 118 Das 2. Capitel, Beweiß. Es ſoll der zu findende Bruch dem gegebenen gleichguͤltig ſeyn. Folglich muß der Nenner des ge⸗ gebenen Bruchs ſeinen Zehler ſo vielmahl in ſich ent⸗ halten, als der Nenner des zu findenden Bruchs ſei⸗ nen Zehler in ſich faſſet (§. 928.). Es iſt demnach dieſer Zehler die vierte Zahl in der geometriſchen Proportion zu den Nenner und Zehler des gegebenen Bruchs, und den Nenner des zufindenden Bruchs (S. 101. 122. A. M.). Die vierte Zahl in einer geo⸗ metriſchen Proportion wird gefunden, wenn man das andere Glied in das dritte multipliciret, und dieſes Factum mit dem erſtem Gliede dividiret (§. 134. A. M.), folglich wird auch der verlangte Zehler gefunden, wenn man das Factum aus dem Nenner dieſes Bruchs in den Zehler des gegebenen mit dem Nenner des gegebe⸗ nen Bruchs dividiret. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 113. Dieſe Aufgabe zeiget ihren Rutzen, wenn man den Werth eines Bruches, deſſen Nenner eine ungewoͤhn⸗ liche Eintheilung der Dinge, durch eine gewoͤhnliche Ein⸗ theilung beſtimmen will. Z. E. Ich will wiſſen, wie viel gr. 2½ Thl. ſo will ich den Werth von 2½ wiſſen, wenn das Gantze in 24 gleiche Theile getheilet worden, daher ſuche zu 3.2. und 24. die vierte Zahl in der geometriſchen Proportion, dieſe iſt 16, alſo iſt = 4. Lehr⸗Satz. §. 114. Bruͤche, welche einerley Benennung haben, verhalten ſich zu einander, wie ihre Zehler. Und wenn Bruͤche einerley Zehler haben ſo ver⸗ haͤlt ſich der erſte Bruch zu dem andern, wie des andern Nenner zu des erſten Nenner, das iſt, dieſe Bruͤche ſind in einer umgekehrten Ver⸗ haͤltniß ihrer Nenner. Be⸗ Gerd Nrmmeß man (5.69. zu beha her dan ( 10. Brdche zeina M hoben, lcher en iw ilmnea 4 N Von den Bruͤchen. 119 Beweiß. Negnn Wer den Urſprung der Bruͤche betrachtet (§. 95.), ler desg der muß es uns verwilligen, daß dieſe entſtehen, indem linſhen man eine kleinere Zahl mit einer groͤſſern dividire Ble6 (§. 68. A. M.), und alſo hat man voͤlligen Grund denmg zu behaupten, daß der Bruch ein Qustient, der Nen⸗ metten ner das Maaß und der Zehler die zu meſſende Groͤſſe gegen. (§. 100. 117. Reg. z. A. M.). Wenn demnach die o Bruͤche von einerley Benennung, ſo muͤſſen ſich ſolche einee zu einander verhalten, wie ihre Zehler (§. 113. A. M.). enn a 24. D. E. nd dics Man nehme zwey Bruͤche, welche einerley Zehler h haben, und, damit die Veraͤnderung deſto deut⸗ en, en licher einzuſehen, ſo ſetze man in der Stelle der zkucfs i 3 st⸗ Zahlen gewoͤhnliche Buchſtaben. — und — (§. 100.). 8 . Fuͤr welche, nachdem ſie unter einerley Benennung ſind ac ab gebracht worden, zu ſubſtituiren — und — (§. 106.). ennen be be re Da nun cen a a ac ab ebſtt —: — = — : — (S. IOI. U. d. 38. 41. A. M.). 6G b Hc be beo In ac ab nce —: — = ac: ab (M. 1.). be be ac: ab = c: b (§. 113. A. M.); ſo iſt auch a a Ioeg ð-B (§. 40. A. M.); W. D. A. U . . 6 ſ V Zu ſatz. d. 115. Man kan demnach durch Huͤlffe dieſer Lehr⸗ ,R Saͤtze fuͤr Bruͤche, welche in einer Verhaͤltniß ſtehen, Vr gantze Zahlen ſubſtituiren. Z. E. 3: = 3: 2 — 8: 9. ferner 3:5— 7: f. H 4 Auf⸗ Additio & §S. 116. Verſchiedene Bruͤche zu addiren, und von einander zu ſubtraͤhiren. ſubtratio fractionum Fractio ſpuria quid. Das 2. Capikel, Aufgabe. Aufloſung. 1) Wenn die gegebenen Bruͤche von einerley Be⸗ nennung, ſo addiret in dem erſten Falle ihre Zehler (§F. 52.), und in dem andern Falle ſubtrahiret ihre Zehler von einander (§. 60.). Unter der Zahl, welche heraus koͤmmt, ſetzet den gemeinen Nenner (§. 56. 65. 100.). 2) Sind die gegebenen Bruͤche von verſchiedner Benennung, ſo bringet ſolche unter einerley Be⸗ nennung (§. 97. 106.), und alsdenn verfahret wie zuvor. . Anmerckung. §. 117. Z. E. 2 + 2 = 12 1. = 2. Ferner . § 3 — à = 6 — * = U. 1, Zu ſa 8. §. 118. Es erhellet hieraus, daß durch die Addi⸗ tion der Bruͤche ſolche Bruͤche entſtehen koͤnnen, in welchen die Zehler groͤſſer als ihre Nenner. Dieſes iſt wieder die Natur der Bruͤche (per dem. m. I. §. ¹14.), und daher werden ſie uneigentliche Bruͤche genennet. 24 Juſa 8. §. 119. Der Zehler eines Bruchs iſt die Zahl, welche ſoll gemeſſen werden, und der Nenner iſt das Maaß (per. fem. m. I. §. 14.). Indem nun in den uneigentlichen Bruͤchen der Zehler nicht kleiner als der Nenner (H. 11.); ſo kan der Zehler mit dem Nenner wuͤrcklich gemeſſen werden (§. 117. A. M.). Folglich iſt in einem folchem Zehler das Gantze, weiches in gleiche Theile iſt getheilet worden, ein oder etliche mahl enthalten. 3. Ju⸗ m Von den Bruͤchen. 121 3. Juſatz. in §. 120. Wenn man in einein uneigentlichem Numerus Bruche den Zehler mit dem Nenner dividiret, ſo mixtus. iſt der Quotient entweder eine gantze Zahl, oder es bleibt ein Reſt (§. 105. A. M.). Iſt das letzte, ⸗ ſo bekommen wir eine Zahl, welche aus einer gan⸗ en und einem Bruche zuſammengeſetzet iſt, dieſe wird ian eine vermiſchte Zahl genennet. Z. E. = 32. 4. Zuſatz. Nu §. 121. Wollt ihr demnach eine vermiſchte Zahl d. (z. E. 3 ½².) in einen uneigentlichen Bruch verwan⸗ i deln, ſo multipliciret die gantze Zahl in den Nenner des gegebenen Bruchs (3. 3 = 9.), zu dieſem Facio addiret den Zehler (z. E. 9 †+ 2 = 11), und unter dieſer Summe ſetzet den ge⸗ gebenen Nenner (§. 100. und §. 109. A. M.). Fen Z. E. . retitl . 5§. Juſatz. §. 122. Hieraus iſt es leicht zu begreiffen, wie die ſehn Bruͤche zu gantzen Zahlen zu addiren, und von gan⸗ nn tzen Zahlen zu ſubtrahiren. Multiplieiret nem⸗ Nu lich die gantze Zahl in den Nenner des ge⸗ DI gebenen Bruchs. Addiret zu dieſem Fadto t den gegebenen Zehler, und ſetzet unter dieſe Summe den beſtimmten Nenner, ſo habt ihr die verlangte Summe. Z. E. 3 + = II. . Wollt ihr den Bruch von der gantzen Zahl ſubtra⸗ hiren, ſo multipliciret wie zuvor die gantze Zahl in den Nenner des gegebenen Bruchs, von dieſem vacto ſubtrahiret den Zehler, und n ſetzet unter dieſe Differentz den gegebenen N Nenner, ſo habt ihr die verlangte Differentz (§. I. 116. 121.). Z. E. 3 — 2 — — 2 Aufgabe. . §. 123. Einen Bruch durch einen andern zu Multipli- SS catio fra- multipliciren. Das 2. Capitel, Aufloͤſung. 1) Kan der Zehler des Multiplicandi durch den Nenner des Multiplicatoris dividiret werden, ſo dividiret ſolchen. Den Quotienten multipliciret in den Zehler des Multiplicatoris, und unter die⸗ ſes Factum ſetzet den Nenner des Multiplicandi. Z. E. 13, à = u. 2) Kan der Zehler des Multiplicandi durch den Nenner des Maltiplicatoris nicht dividiret werden, ſo multipliciret die Zehler in einander, das Fa- ctum iſt der neue Zehler. Ferner multipliciret die Nenner in einander, das Factum iſt der Nenner des Bruchs, welchen ihr verlanget. Z. E. ,„ = 1 . Beweiß. Sollt ihr den Bruch in multipliciren, ſo ſollt ihr Sin zween gleiche Theile theilen, und einen Theil davon nehmen (§. 73. A. M. und § 95.), folg⸗ lich den Zehler des Multiplicandi (§. 90.) mit dem Nen⸗ ner des Multiplicatoris dividiren, und den Quotienten mit demZehler des Multiplicatoris multipliciren (§. 98. und 73. A. M.). Kan nun der Zehler des Multiplicandi mit dem Nenner des Multiplicatoris dividiret werden, ſo werdet ihr nach der erſten Regel das verlangte Fa- Etum ohne Weitlaͤufftigkeit finden. Sollte aber der Zehler des Multiplicandi mit dem Nenner des Multi- Plicatoris nicht koͤnnen dividiret werden, ſo iſt es noͤthig, daß ihr das Multiplicandum in einen gleichguͤltigen Bruch verwandelt, deſſen Zehler durch den Nenner des Multiplicatoris zu dividiren. Dieſer Bruch wird gefunden, wenn ihr den Zehler und Nenner des Multiplicandi mit dem Nenner des Multiplica- toris multipliciret (§K. 107. A. M. und §. 106.). E C am C 3 b m bm m geſchehen, ſo werdet ihr wie zuvor das verlangte Factum — Padorn Meuor. gan Fole des Cltorl tnitde Aet. det, bege Vd di du t berde lliplen unter N tolcnt dich ede M . tiplene . —— 4 ten⸗ deict ſ er ente 6 ICAN ee N Von den Bruͤchen. 123 (am: m), c ac Factum finden koͤnnen. Z. E. — — = — bm bm. Wenn ihr die Beſchaffenheit dieſer Rechnung ge⸗ nau unterſuchet, ſo findet ihr, daß es in dem letztem Falle eine vergebliche Arbeit, wenn ihr den Zehler des Multiplicandi mit dem Nenner des Multipli- catoris zuvor multipliciret, und alsdenn dieſes Factum mit dem Nenner des Multiplicatoris wiederum divi⸗ diret. Daher folget, daß ihr das verlangte Factum fin⸗ det, wenn ihr die Zehler und Nenner der gege⸗ benen Bruͤche in einander multipliciret. W. Z. E. W. Juſatz. §. 124. Es iſt hieraus ferner klar, wie ein Bruch durch gantze Zahlen zu multipliciren. Mul⸗ tipliciret demnach den Zehler des gegebenen Bruchs mit der gantzen Zahl, und unter dieſes Factum ſetzet den gegebenen Nenner. Z. E. 3, 4 = ³ 22. (H. 119. 120.). Aufgabe. §. 125. Einen Bruch mit einem andern Bruch Diuiſio zu dividiren. . fractio- Aufloͤſung. nuin. 1) Wenn die gegebenen Bruͤche von einerley Benennung, ſo dividiret den Zehler des Diuidendi mit dem Zehler des Diuiſoris, ſo entſtehet der ver⸗ langte Quotient. Z. E. 32: 5 = 2. 2) Wenn der Zehler einerley, ſo dividiret den Nenner des Diuiſoris mit dem Nenner des Diui⸗ dendi. Z. C. §: 5 = 6: 8 = 6 = z. 3) Wenn die gegebenen Bruͤche nicht von einer⸗ ley Benennung, ſo multipliciret den Nenner des Di⸗ uiſoris in den Zehler des Diuidendi, und den Zeh⸗ ler des Diuiſoris in den Nenner des Diuidendi, ſo giebt das erſte Factum den Zehler, und das andere den NRenner des Quotienten. Z. E. 3: 2 E⸗ 124 Das 2. Capitel. Beweiß. Wenn ihr einen Bruch miteinem andern Bruch dividiren ſollt, ſo muͤſt ihr ſuchen, wie vielmahl der eine Bruch in dem andern enthalten (§. 98. A. M.). Sind nun die Bruͤche von einerley Benennung, ſo iſt der eine in dem andern ſo vielmahl enthalten, wie vielmahl der Zehler des einen in dem Nenner des an⸗ dern zu finden (§. 114.). Sind demnach die Bruͤche, welche durch einander zu dividiren, von einerley Be⸗ nennung, ſo wird der verlangte Quotient durch die Diviſion der Zehler gefunden. Die andere Regel folget gleichfals aus dem angefuͤhrten S. 114. Sind ferner die gegebenen Bruͤche nicht von einerley Be⸗ nennung, ſo müßt ihr ſolche unter einerley Benen⸗ nung bringen, und alsdenn wie zuvor den verlang⸗ C am E ten Quotienten ſuchen. Z. E. —: — = * b m be am : – = —. Unterſuchet die Beſchaffenheit dieſer bm be Rechnung, ſo werdet ihr finden, daß auch hier eine vergebliche Arbeit ſey vorgenommen worden, welche zu vermeiden, wenn ihr ſogleich den Zehler des Di- videndi in den Nenner des Diuiſoris, und den Zeh⸗ ler des Diuiſoris in den Nenner des Diuidendi mul⸗ tipliciret. Folglich ſind die in der Aufgabe vorge⸗ ſchriebene Regeln hinreichend, wenn man einen Bruch mit einem andern dividiren will. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 126. Dieſes wird zugleich beſtaͤtigen, wie man eine gantze Zahl mit einem Bruche dividiren ſoll⸗ Multipliciret nemlich die gantze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs, und dieſes Factum dividiret mit dem geſetzten Zehler, ſo entſtehet der verlangte Quotient (§. 122.). Z. E. 4: 3 = 12 = 6. oder à: — 3₰ 2 * 4 = 52 Er⸗ s d e! Deci ſind win te le — — 2— dern D. Pelnekc enmmun haltenr ner dess die Bri⸗ nenleg tduch d dere el 4. erſand Ben berlan C — — D n. ,M ſer e e des en di boh⸗ 6 1 en N kun et e 32 3 6* Von den Bruͤchen. 12 5 Erklaͤrung. §. 127. Ein Bruch, deſſen Nenner eine Zahl Pragio de- aus einer geometriſchen Progreßion, in welcher das cimalis. erſte Glied Eins, und der Exponens 10, wird eine Decimal⸗Zahl genennet. Z. E. 3 F 105 1005 ſind Decimal⸗Zahlen. Zuſatz. §. 128. Es folget aus dieſem Begriſſe daß wir den Nenner einer Decimal⸗Zahl aus dem Or⸗ te des Zehlers erkennen koͤnnen, wenn nur angezeiget worden, wie weit die gantzen Zahlen, oder die Zah⸗ len, deren Nenner Eins, gehen ſollen, denn der Zehler in dem erſten Orte, welcher auf die gantzen Zahlen folget, erkennet 10, der Zehler in dem zwey⸗ ten Ort 100, und ſo weiter, fuͤr ſeinen Nenner. Willkuͤhrlicher Satz. §. 129. Wenn ihr die Decimal⸗Zahlen als gantze Zahlen ſchreiben wollet, ſo ſetzet entwe⸗ der zwiſchen den Zahlen, deren Nenner Eins, und den uͤbrigen Zehlern einen Punct, oder uͤber den letzten Zehler ſchreibet eine Ziffer, welche den Ort, in welchem der letzte Zehler ſoll gedacht werden, beſtimmet. Es wird daher dieſe Ziffer Apex. die Renn⸗Ziffer genennet Anmerckung. oder 3 2 506. Es iſt demnach die Decimal⸗ Zahl 23“ =— O. O023. . Zuſatz. §. 131. Hieraus iſt es klar, daß man eine jede Zahl in eine verlangte Decimal⸗Zahl verwandeln koͤnne, wenn man ſo viele Nullen hinanſetzet, als es die Anzahl der Einheiten, welche die Kenn⸗Zif⸗ fer ausdruͤcket, erfodert. Z. E. 5§ Theil in 1000 Theile verwandelt iſt 5, 000. Schneidet die angeſetz⸗ ten Nullen wieder ab, ſo habt ihr die Decimal⸗Zahl in eine gantze verwand. Auf⸗ 126 Das 2. Capitel, Aufgabe. Additio & §. 132. Decimal⸗Zahlen zu addiren, und von ſubrracdtio einander zu ſubtrahiren. fractionum decima- lium. Multipli- catio fra- tionum decima- lium. Aufloͤſung. 1) Schreibet die Decimal⸗Zahlen, welche einer⸗ ley Nenner haben, unter einander. 2) Alsdenn addiret und ſubtrahiret die Zahlen, wie §. 52. und §. 60. iſt gewieſen worden. Beweiß. Die Decimal⸗Zahlen ſino Bruͤche, deren Nen⸗ ner aus dem Orte, in welchem ſie geſetzet worden, zu erkennen (§. 127. 128.). Da nun keine Bruͤ⸗ che zu addiren, und von einander zu ſubtrahiren, als welche von einerley Benennung (S§S. 97.), ſo iſt es klar, daß man in Decimal⸗Zahlen nur dieje⸗ nigen Zahlen addiren und von einander ſubtrahiren kan, welche in einem Ort ſtehen. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 133. Sollt ihr z. E. 4.3025 und 3.214 addiren, ſo ſchreibet: 4 . 3 O0 2 5 3 . 2 1 4 Die Summe iſt. 7. 5 I 6 5 Sollt ihr ferner von 4.3025 ſubtrahiren 3.214 ſo ſchreibet: 4 3 0 2 5 * 3 ‧ 2. 1. 4 Die Differentz iſt. 1. 0 8 8 5 Aufgabe. §. 134. Decimal⸗Zahlen mit einander zu mul⸗ tipliciren. Alufloͤſung. 1) Die gegebenen Pactores multipliciret, wie §. 74. iſt gewieſen worden. 2) Addi⸗ 9) und Factl Gole ſ muß Nahner Cinal⸗ mnan d tipkier guch Neunn Nulle holtern von d des . Von den Bruͤchen. 127 2) Addiret die Kenn⸗Ziffern der Factoren, und ſchreibet dieſe Summe hinter das gefundene und Factum. . Beweiß. Sollen Bruͤche in einander multipliciret werden, lheit ſo muß man ſo wohl ihre Zehler als auch ihre „ Nenner in einander multtpliciren (§. 123.). De⸗ die Nr cimal⸗Zahlen ſind Bruoͤche (§S§. 127.). Wenn don man demnach Decimal⸗Zahlen in einander mul⸗ tipliciren ſol, ſo muß man ſo wohl ihre Zehler als etege“ auch ihre Nenner in einander multipliciren. Die n Nenner in den Decimal⸗Bruͤchen haben ſo vielt ine g Nullen, als in den Kenn⸗Ziffern Einheiten ent⸗ trahim halten (§. 128. 129.). Folglich iſt die Summe 97.) von den Kenn⸗Ziffern der Factoren die Kenn⸗Ziffer Eiunte Anmerckun g. Y F. 135. Ihr ſollt z. E. 3.425 multipliciren mit 3. 2. Derowegen multipliciret 3 4 2 5 mit Pdenſ 3 2 6 8 5 1 2. 7. 5 ro9 «e/ n Die Kenn⸗Ziffer von dem Multiplicando iſt 3, und von dem Multiplicatore 1. Alſo iſt die Kenn⸗Ziffer von dem Facto 3 + 1 — 1. Folglich das Factum. 109600“ — 10. 9600 — 10. 96 (§. 128. 129.). Aufgabe. §. 136. Eine Deeimal⸗Zahl mit einer andern Diuiſio fra- Zu dividiren. . Gionum Aufloͤſung. decima- 1) Dividiret die gegebenen Zahlen; wie §. 86. iſt ,1 gezeiget worden. — 2) Die 128 Das 2. Capitel, 2) Die Kenn⸗Ziſſer des Diuiſoris ſubtrahiret von der Kenn⸗Ziffer des Diuidendi, ſo iſt die Dif⸗ fexentz die Kenn⸗Ziffer des Quotienten. Beweiß. Wenn das Factum mit dem Multiplicatore divi⸗ diret wird, ſo iſt das Maltiplicandum der Quotient (§. 107. A. M.). Folglich ſt 10960009: 32— 342 5 (§. 135.). Wenn man demach von der Kenn⸗ Ziffer des Diuidendi die Kena⸗Ziffer des Diuiſoris ſubtrahiret, ſo iſt die Differentz die Kenn⸗Ziffer des Quotienten. W. Z. E. W. Erklaͤrung. Practio §. 137. Ein Bruch, deſſen Renner eine Zahl ſexageſi- dqus einer geometriſchen Progreßion, in welcher das malid led erſte Glied Eins, und der Epponent 60, heiſt eine Phylicales. Sexageſimal⸗Zahl. Z. E. 3 % 3, 216, ſind Sexageſimal⸗Zahlen. Die Zaht, deren Nenner 60, heiſt eine Minute, deren Nenner 60, 60 eine Secunde, deren Nenner 60, 60, 60 eine Tertie, und ſo weiter. 1. Juſatz. §. 138. Was wir zuvor von den Decimal⸗Zahlen abgehandelt haben, dieß muß auch, weil einerley Grund vorhanden iſt, von den Sexageſimal⸗Zahlen geſaget werden (§. 127.), wenn nur dasſenige, was bey Decimal⸗Zahlen aus der Beſchaffenheit der Nenner iſt geſchloſſen worden, alſo geaͤndert wird, wie es die Beſchaffenheit der Benennung dieſer Zahlen erfodert. §. 139. Vermoͤge dieſer Beſchaffenheit der Be⸗ nennung muß der Zehler des erſten Bruchs 60 ſeyn, wenn dieſer ein Gantzes machen ſoll. Der Zehler des zweyten Bruchs muß 60 ſeyn, wenn wir wir men einer kane die Ort chen Ter 131 geſim das der werde ben. 724 nun ten llar Re⸗ in liſoris ſubtucht di, ſo iſt de enten. ltiplicnoren 64: 32,— 3 P von der n er des Duuln Kennufft nner eine in welcht! K 60 heſe 1 4 4 , beren M ſner 00, 6 6 ene Lett ,B * Decimnln weil ein ☚ lr dasſenige⸗ eſchaffen,ell enennung ſenſe⸗n⸗ ſe Uute⸗ tn ſ Gli , . Von den Bruͤchen. 129 wir aus dieſem einen Bruch von der erſten Art neh⸗ men wollen, und ſo weiter. 3. Zuſatz. §. 140. Aus dieſem folget es, daß wir den Nenner einer Sexageſimal⸗Zahlaus ihrem Orte erkennen koͤnnen, wenn nur iſt angemerckel worden 1) wie weit die Gantzen gehen ſollen, 2) welche Zahlen in einem Ort zu gedencken, 3) in welchem Orte der gegebene Zehler ſoll gedacht werden. Oder wenn nur Zei⸗ chen der gentzen Zahlen, der Minuten, Secunden, Tertien, und ſo weiter, ſind geſetzet worden. (S. 137. 138. 139.). Willkuͤhrlicher Satz. K. 141. Das Zeichen, wodurch bey den Sexa⸗ geſimal⸗-⸗Zahlen de Gantzen zu erkennen, iſt o, das Zeichen der Minuten⸗, der Secunden“, der Tertien“ und ſo weiter. Dieſe eichen mn den uͤber die Zehler dieſer Bruͤche geſchrie⸗ en. 4 1. Anmerckung. I4. 10 K chreibet: 12. 142, F. 30 2006 2. 866 ſchreibet: 14°16/5“ 2. Anmerckung. §. 143. Es wuͤrde uͤberfluͤßig ſeyn, wenn ich die Rech⸗ nungen mit den Sexageſimal⸗Bruͤchen beſonders erklaͤ⸗ ren wollte. Denn aus der Natur dieſer Bruͤche iſt es klar, daß hier dasjenige zu gebrauchen, was von der Rechnung der genannten Groͤſſen und Decimal⸗Bruͤchen in Eden vorhergehenden iſt beſchrieben worden. J Additio 130 Das 2. Capitel, Additio fractionum ſexageſimalium. 40⁰ 12 16“ 5474 50 14“ 120 4 0 % 12.“ (§. 132. 56.) 4 ⁵ 2 43“ 6“4 Subtractio fractionum ſexageſimalium. 40° 12“ 166“ 54“¹ . I.2. T8/ 134 (§. 65. 132.) 270⁰0 54 3“ 54 4 Multiplicatio fractionum ſexageſimalium. 2⁰ 14* 37 129 386“ 30676 (§. 80.134.) 58 59“ 403“ 8.2 25 * 48.64 9⁰ 24 52“ 18“ 3004 (§. 56.) Diuiſio fractionum ſexageſimalium. Diuiſor Diuidendum Quotient 8./. 64 12“4 28˙ 40 55 180“ 26./48.“ 367”4 1² 5 I7 4² 662 oder we⸗ . 1 mit Deei ſo wetdet rchen foltgeſen eine Por genennet. die gegel wenn die gnitaͤt, worden, auch das Legebene ſcnalium. 132. 56) geſimmlin aageſimt 4 4 — 65. “ — 1 (5 4 Ouolt 6 1, Von den Bruͤchen. 13 1 ₰ oder weil 1 mit 2 nicht kan dividiret werden. I 1 1“ 4256 . 11 1“ 42 566 30838 11 1“ 42²99 305381 .% o 0 (§. 86. 136. 134.). 3. Anmerckung. §. 144. Ueberleget die Art, nach welcher ihr ſo wohl mit Decimal als auch mit Sexageſimal⸗Zahlen gerechnet, ſo werdet ihr vollſtaͤndig begreiffen, wie uͤberhaupt mit Bruͤchen, deren Nenner in einer geometriſchen Progreßion fortgehen, zu rechnen ſey. Das 3. Capitel. Von den Potentzen uͤberhaupt, und ins beſondere von den Quadrat und Cubic⸗Zahlen. Erklaͤrung. K. 145. Gan man eine Zahl ein oder etliche mabl durch potentiae ſich ſelbſt multipliciret, ſo wird das Factum earumque eine Potentz oder Dignitaͤt von der gegebenen Zahl geneſis ſeu genennet. Und zwar die andere Dignitaͤt, wenn euolutio. die gegebene Zahl einmahl: die dritte Dignitaͤt, wenn die gegebene Zahl zweymahl: die vierte Di⸗ gnitaͤt, wenn ſie dreymahl in ſich ſelbſt multipliciret worden, und ſo weiter. Die andere Dignitaͤt heiſt auch das Quadrat, und die dritte der Cubus von der gegebenen Zahl. J 2 Er⸗ 132 Das 3. Capitel, Erklaͤrung. Radix qua- §. 146. Die gegebene Zahl, welche zu einer ge⸗ dratica & wiſſen Dignitaͤt erhoben, oder die erſte Dignitaͤt, heiſt den auch die Wurtzel von der geſetzten Dignitaͤt. Und mia, trino- 3war in Anſehung der zweyten Dignitaͤt die Qua⸗ mia, poly- drat⸗Wurtzel, in Anſehung der dritten Diognitat, die nomia. Cubic⸗Wurzel, und ſo weiter. Wenn eine Wur⸗ tzel aus zwey Theilen beſtehet, wird ſie eine bino⸗ miſche, wenn ſie aus drey Theilen beſtehet, eine trinomiſche, und ſo weiter eine polynomiſche Wur⸗ tzel genennet. Zuſatz. §. 147. Ein Gantzes, welches in drey Theile ge⸗ theilet worden, kan auch in zwey Theile getheilet wer⸗ den. Und alſo kan man eine jede polynomiſche Wur⸗ tzel in eine binomiſche verwandeln. Willkuͤhrlicher Satz. Exponen- §. 148. Wenn ihr eine gegebene Zahl zu einer tes dignita- gewiſſen Digniraͤt erheben ſollt, und ihr wollt tum ea- . iche pürekfich maleiplicir rumque f. ſolche nicht wuͤrcklich multipliciren, ſo ſetzet gna. oben zur Rechten an der gegebenen Zahl ein Zeichen, welches den Grad der verlangten Di⸗ gnitaͤt ausdruͤcket, und zwar ein dererminirtes, wenn der Grap der verlangten Dignitaͤt deter⸗ miniret, ein undeterminirtes, wenn der Grad der verlangten Dignitaͤt undeterminiret iſt. Die⸗ ſes Zeichen wird der Exponent der Dignitaͤt genennet. Z. £. das Cuadrat von 4 = 4 *² Der Cubus von 4 = 43. So auch ar a3 a“, wenn die Dignitaͤt determiniret. a'n an, wenn die Di⸗ gnitat undeterminiret. Zuſatz. §. 149. Wenn ihr demnach zwo Dignitaͤten, welche einerley Wurtzel haben, durch einander mal⸗ . tipli⸗ tißlieten 4 4³⁸ — 4 Vndw helhal ret ihr —☛,–: — Din Atſthor Dlhnder nbie ſcen. e Cbie . bene finden jenige plicir 14. R tateine Von den Potentzen. 133 tipliciren ſollet, ſo abdiret ihre Exponenten. Z. E. ee 42 à 3½ X 32 XI Dountcl 4 a x Y1 rltit. 1 ſt del 4 ½ a? x4 X † Dilkdoẽ=e Und wenn ihr zwo Dignitaͤten, welche einerley Wur⸗ nne zel haben, durch einander dividiren ſollet, ſo ſubtrahi⸗ e eitelle ret ihre Exponenten. Z. E. . eſtht e 4 ½ a X5 X' iſchell⸗ 41 az x X 4 2 xz X (S. I48. 14 5.). Theit . ⸗ rheilet Erklaͤrung. niſche §K. 170. Die Wurtzel aus einer gegebenen Extrahere Dignitaͤt ziehen iſt von der gegebenen Dignitaͤt die radicem erſte Dignitaͤt ſfinden. Soll man demnach von einer Mid. . Zahl in der zweyten Dignitaͤt die erſte Dignitaͤt fin⸗ zuß den, ſo wird geſagt, man foll die Cuadrat⸗Wurtzel ihr w ſuchen. Woraus es leicht zu begreiffen, was dieſe ſoß Redens⸗Art bedeutet, aus einer gegebenen Zahl die Cubie⸗Wurtzel ziehen. Und ſo weiter. gin . Zu ſa tz. tvite, ——— . tn §. 151. Wir finden demnach von einer gegebenen r6 Zahl die Quadrat⸗Wurtzel, wenn wir diejenige 5 Zahl ſuchen, die in ſich ſelbſt multiplieiret, die gege⸗ bene Zahl hervorbringet. Und die Cubie⸗Wurtzel ,, finden wir von einer gegebenen Zahl, wenn wir die⸗ ,or jenige Zahl ſuchen, welche in ihr Quadrat multi⸗ n pliciret, die verlangte Zahl hervorbringet (§. 150. r 145.). Willkuͤhrlicher Satz. 6 „§. 152. Wenn ihr aus einer gegebenen Digni⸗ Signa ex⸗ r taͤt eine Wurzzel ziehen ſollet, und ihr wollet oder a nis J3 koͤnner 134 Das 3. Capitel, koͤnnet ſolches nicht wuͤrcklich verrichten, ſo ſenet vor derſelben die es Zeichen /, und uͤber daſſelbe den Exponenten der verlangten Wurtzel. Bey der Quadrat⸗Wurtzel koͤnnet ihr den Exponen⸗ ten weglaſſen. Z. E. ſollt ihr aus 4 oder aus a“ die Quadrat⸗Wurtzel iehen, ſo ſchreibet / 4, / am. Sollt ihr aug 8 oder X“ die Cubic⸗Wurtzel ziehen, 3 3 . . ſo ſchreibet ½ 8 X. So auch, wenn die zu m m ſuchende Wurtzel undeterminiret / X* V a. Erklaͤrung. Quadra- §. 153. Kan aus einer gegebenen Zahl die Qua⸗ tumverum drat⸗Wurtzel genau gezogen werden, ſo heiſt ſie ein S&affectum. Cubs e kommenes Quadrat. Kan aus einer gegebenen affe- . 2 1 Kus. Quan-Zahl die Cubic⸗Wurtzel genau gezogen werden, ſo citas ratio- heiſt ſie eine vollkommene Cubic⸗Zahl, wo nicht, nalis & ir-eine unvollkommene Cubic⸗Zahl. Ueberhaupt ritionali heiſſen die Groͤſſen, aus welchen eine ver angte Aund. Wurtzel genau kan gezogen werden, Rational⸗Groͤſ⸗ ſen. Hingegen ſind Irrational⸗Groͤſſen, aus wel⸗ chen eine verlangte Wurtzel nicht genau kan gezogen werden. §. 154. Dannenhero koͤnnen wir aus einer ge⸗ gebenen Irrational⸗Groͤſſe die verlangte Wurtzel nicht anders als bey nahe finden (§. 16. Vor.). §. 17/5. Woraus es klar, daß wir in dem Calculo decimali die gegebene Irrational⸗Zahl in eine De⸗ cimal-⸗Zahl verwandeln muͤſſen, wenn wir die verlangte Wurtzel bey nahe ſuchen wollen (§. 26. fl. §. 127. Siehe §. 106. A. M.). Da nun das Quadrat von 10 = 100, und der Cubus von 10 = vollkommenes Quadrat, wo nicht, ein unvoll⸗ Von den Potentzen. 135 richte, of . 10 = 1090 (§. 145.); ſo kan eine gegebene 15 uber deſe Quadrat⸗Zahl, wenn man 0, und eine gegebene Wurrl Cubic⸗Zahl, wenn man 000 hinzuſetzet, in eine dr den Eipen Decimal⸗Zahl verwandelt werden (§. 129. 131.). ibureit Willkuͤhrlicher Satz. ,Wutg Ke . §. 156. Die Quadrot und Cubic/ Zahlen von Den §. 26. angenommenen Zeichen zeiget folgende ch, wen e Tafel. . Wurtzen 1ſ2ſ3 4 SL Duadrat 14 réa 1[36 [49 64 81 f N Cub.⸗Zahl 18 [27 l6 4 12 5 ]2 16 13431512 l7291 ſo heiſt , 1 ein Nn diger gegle Zuſatz. ger nldn §. 157. Hieraus iſt es klar, 1) daß in dem Cal- Sahl, nont culo decimali alle vollkommene Quadrat⸗Zahlen gſe in O. I. 4. F. 6. und 9. ausgehen. 2) Daß alle ejne Nerong Zahlen, welche in 2. 3. 7. oder 8. ausgehen, keine gtiongl vollkommene Quadrat⸗Zahlen ſind. ͦſen, aut kol J Lehr⸗Satz. §. 158. Eine vollkommene Quadrat⸗Zahl aus Natura . einer binomiſchen Wurtzel haͤlt in ſich von der quadrati aut in Rechten gegen die Lincke, 1¹) das Quadrat des Perfecti. ſngte 6 kleinen Theils. 2) Das laltum aus beyden Thei⸗ .16. . len zweymahl genommen. 3) Das Quadrat des groſſen Theils. in dentle hlinisd⸗ Beweiß. N Es ſey der groͤſſere Theil a, der kleinere b, ſo iſt die ln 5, binomiſche Wurtzel S ſiſ Cbu . . J 4 dieſe N⸗ 136 Das 3. Capitel, dieſe mit ſich a + b multipliciret, a + b (§. 80.) giebt das ab + bz †+ ab Quadrat aà +† 2ab + b' (S. 14. 148.). 1. Anmerckung. §. 159. Es ſey a = 20 b = 3, ſo iſt die Wurtzel dieſe mit ſich 23 = a † b multipliciret 23 giebt das 9 =— b⸗ 60 =— ab 60 =— ab 400 =— 42² Quadrat 529 = a² + 2ab = bz 2. Anmerckung. §. 160. Eine fede polynomiſche Wurtzel kan in eine binomiſche Wurtzel verwandelt werden (§. 147.), folglich iſt dieſer Lehr⸗Satz von einer jeden Quadrat⸗Zahl zu be⸗ haupten. Es ſey z. E. a — 230 b = 5, ſo iſt 2 3 O † 5 — 2 + D = 2 3 F 2 3 °+ § 5 =— b ° = ab O = ab O = 22 ☛ 8 O — O — — dO 5 5 2 2 5 = a⸗ + 2ab P† bz Lehr⸗Satz. Natura cu- §. 161. Eine vollkommene Cubie⸗Zahl von bi perfecti. einer binomiſchen Wurtzel haͤlt in ſich von der ech⸗ Vechten 8 kleinern T. dem QOusd ren Theil Quadrat Theil. 4 Es ſode die binont dieſes ite tel mulſpie giebt den Clburn 148. . 162. Rſin Dun Deſes we Awo Dcht de Cobum ne Wr a l⸗ 3, ſe ſt 1 — 24 ee ken in enr rit,Ptg ſo ſ 2199 — 1 gohl pon N Von den Potentzen. 137 Rechten gegen die Zincke 1) den Cubum des kleinern Theils. 2) Das dreyfache Factum aus dem Quadrat des kleinern Theils in den groͤſſe⸗ ren Theil. 3) Das dreyfache Factum aus dem Quadrat des groͤſſern Theils in den kleinern Theil. 4) Den Cubum des groͤſſern Theils. Beweiß. Es ſey der groͤſſere Theil a, der kleinere b, ſo iſt die binomiſche Wurtzel a + b deſſen Quadrat dieſes mit der Wur⸗ a2 †+ 2ab + b (H§. 15.). tzel multipliciret a † b (L. 80.). giebt den aab + 2 abz + bs a3 + 2 a2b + abz Cubum a ³ + 3 a b †+ 3 ab? + bs (S. 145. 148.) 1. Anmerckung. §. 162. Es ſey a — 20 b =— 3, ſo iſt die Wurtzel 23, deſſen Quadrat dieſes mit der Wur⸗ 5 2 9 (S. 159.) tzel multiplicixret, 2 3 giebt den 2 7 = bz I1 5 6 = 2abTarb I 8 o = ab⸗ I O 4. O½ O = 2 a2b †+as Cubum I 2 I 6 7 = a3³+ 3 aab-† 3 ab? † b 2. Anmerckung. §. 163. Weil wir eine jede polynomiſche Wurtzel in eine binomiſche verwandeln konnen (§. 147.), ſo koͤnnen wir auch durch dieſen Lehr⸗Satz die Natur einer jeden vollkommenen Cubic⸗Zahl erklären. Es ſey 3. E. J 5 a — 230 138 Das 3. Capitel, a — 230, b — 5, ſo iſt die Wurtzel 230 + 5 — 235, 2) OB deſſen Quadrat dieſes mit der Wur⸗ 5 5 2 2 5§5 (§. 160.) tzel multipliciret, 2 3 F ded . KK. macht den Cubum 12 9 77877 Deſſen Innhalt folgende Zergliederung deutlich darſtellet. 2 3 + † =— a + ib Solt 2 3 ° †+ 5 11 wehn 1 I 5 O ab . 1I § O = ab ldſuog d 5 2 9 △⏑ O△ — ar 5 2 9 O 0⏑ †+ 2 3O⏑ + 2 ſ = a2-†2 ab-† bͦ 6 2 3 O + 5 Di I1 2 — bz ſonn — 2 kat d 1 I1 5 0O — 2a 2 66 4 0⏑0°¾ — ab ſh⸗ 5 7 5 O⏑ ab: ge ih 5 2 9O⏑ ⏑ %⏑% — 2a²b 1 2 I. 6. 7. O O△ O =— azs S6 1 2 9 7 7 8 7 5 = ; + za b † 3 ab †+ bs Aufgabe. HM §. 164. Eine gegebene Dignitaͤt einer Groͤſſe zu eine andere Dignitaͤt zu erheben. Z. E⸗ . den Cubum von a zu finden. gn 5 . un⸗ Aufloͤſung. 1) Multipliciret den gegebenen Exponenten de durch den Exponenten derjenigen Dignitaͤt, in wel⸗ 1 che die gegebene ſoll erhoben werden. 2) Die⸗ Von den Potentzen. 139 S 2) Dieſes Factum ſetzet oben zur Rechten an der gegebenen Groͤſſe, ſo habt ihr dieſe zur ver⸗ 7 langten Dignitaͤt erhoben. Z. E. der Cubus von a iſt as. Die Dignitaͤt n von a'n iſt an. uifc Beweiß. 1 Sollt ihr den Cubum von a finden, ſo ſollt ihr a?; zweymall in ſich ſelbſt multipliciren (§. 145.). Nun aber iſt a⸗ „ az = as, und a, „ a⸗ = as (§. 149.). Alſo iſt es klar, daß durch die gegebene Auf⸗ loͤſung das verlangte koͤnne gefunden werden. — Zuſatz. ab⸗ S. 165: Sollt ihr demnach aus einer gegebenen Dignitaͤt der Groͤſſe eine beſtimmte Wurtzel ziehen, — ſo dividiret den Exponenten der gegebenen Digni⸗ taͤt durch den Exponenten der beſtimmten Wurtzel, ſo habt ihr den Exponenten von der Wurtzel, wel⸗ che ihr geſuchet (§H. 107. A. M.). Z. E. as . mn mn: n m = a6 3 = a², V a = a =— a . Aufgabe. §. 166. Aus einer gegebenen Zahl die Qua⸗ Eytradio drat⸗Wurtzel zu ziehen. radicis A flo 5 ſu ng quadrati. Erſter Fall. Wenn die gegebene Zahl eine voll⸗ kommene Quadrat⸗Zahl. 1) Theilet die gegebene Zahl von der Rechten gegen die Lincke in Claſſen, und gebet jeder Claͤſſe zwey Glieder. 2) Nehmet aus der Quadrat⸗ Tafel (§. 156.) dasjenige Quadrat, welches der Zahl in der erſten . Claſſe am naͤchſten kommt. Die Wurtzel von die⸗ ſem 140 Das 3. Cnpitel, ſem Quadrate iſt das erſte Glied in der verlangten Wurtzel. 3) Das Quadrat von dieſer Wurtzel ſubtrahiret von der Zahl in der erſten Claſſe, und die Diſſe⸗ rentz rechnet zur erſten Zahl in der folgenden Claſſe. 4) Mit dem Duplo der gefundenen Wurtzel di⸗ vidiret die erſte Zahl in der zweyten Claſſe. Der Quotient iſt das andere Glied in der verlangten Wurtzel, welches ihr mit dem erſten alſo verbinden muͤſſet, wie es die Bedeutung der Oerter erfodert. *) Unter das andere Glied der zweyten Claſſe ſchreibet das Quadrat von dieſem neuem Gliede der Wurtzel. Addiret ſolches in der geſchriebenen Ord⸗ nung zu der Zahl, mit welcher ihr vorher dividiret, nachdem ſolche zuvor mit dem andern Gliede der Wurtzel iſt multipliciret worden, und ſubtrahiret die⸗ ſe Summe von der Zahl, welche in der zweyten Claſſe ſtehet. 6) Bleibt eine Difſerentz, ſo nehmet ſolche wie⸗ derum zu der erſten Zahl in der folgenden Claſſe. Wenn ihr nun die gefundene Wurtzel als das erſte Glied von der Wurtzel, welche zu ſuchen, anneh⸗ met, und alsdenn durch alle Claſſen, wie Reg. 4. und 5. iſt vorgeſchrieben worden, verfahret, ſo werdet ihr endlich die verlangte Wurtzel finden. Den Be⸗ weiß giebt der §. 158. und 160. (a) Zweyter Fall. Wenn die gegebene Zahl eine unvollkommene Quadrat⸗Zahl. 1) Suchet die Wurtzel, ſo weit als es moͤglich iſt; wie vorhin iſt gewieſen worden. 2) Die Zahl, welche uͤbrig bleibt, verwandelt in eine Decimal⸗Zahl (§. 155.). Und alsdenn verfahret wie zuvor, ſo werdet ihr endlich die ver⸗ langte Wurtzel alſo finden, daß der Unterſcheid der gefundenen Wurtzel von der wahren unendlich klein ſey. (b) 1. (a) An⸗ Von den Potentzen. 141 er berlane: . itee §. 167. Damit ihr die vorgeſchriebenen Regeln deſto nd de Di leichter begreiffen koͤnnet, ſo will ich ſolche ſo wohl mit ei⸗ eden nem allgemeinem als auch beſonderm Exempel erlaͤutern. 1Angk Reg. 1. a gab + bz (a + b Chſe. o Reg. 2. a2 * — kbeliun Reg. 3. Zab 1 b beltn Reg. 4. . “ er etftit Reg. 5. bz eyten G — Glak Reg. 5. Zab + ba benenc r dioidn Gliedet Reg. 1. 2 2 § ( tohireth Reg. 2. 1 2 5 (2 3 5 zwege — el ie Reg. z. 2 lhe t⸗ Reg. 4. 4 C Reg. ſ. 1 2. 9 de ſte —.⸗H— ee Reg. 6. 2 3 2 5 ,de. Reg. 4. 4 6 Den! 2 3 0 il 2 3 2 5 0οωο%ũ gtcc 2. A nme r ck ung. 168. Wollt ihr wiſſen, ob ihr die wahre Wurtzel ge⸗ u funden, ſo multipliciret die gefundene in ſich ſelbſt. Iſt d, ſie die wahre Wurtzel, ſo muß das gegebene Quadrat ee herauskommen (H. 145.). N 3. (b) An⸗ Das 3. Capitel, 5. (b) Anmerckung. §. I69. Reg. 1. 2 1[2 3 (1 4. 9 3 1 1 2 3 2 1 6 8 9. 6 Reg. 2. 2 7. O&½ 2 8 8 1 2 2 Reg. 2. 9 9. 0 2 9 8 8. 9. 4. 9 . 9 5 I und ſo weiter. Aufgabe. §. 170. Ein unvollkommen Quadrat zu er⸗ gaͤntzen, oder das naͤchſt groͤſte vollkommene Quadrat von dem gegebenem unvollkommenem Quadrat zu finden. Aufloͤſung. 1) Nehmet das Duplum von der gefundenen Wurtzel, und addiret Eins. 2) Von dieſer Summe ſubtrahiret dasjenige, was bey der Ausziehung der Wurtzel in der gege⸗ benen Zahl uͤbrig geblieben. 3) Die⸗ dosr Gor De 2* das W che — ſotte lkomn- omnen derg 59 Von den Potentzen. 143 3) Dieſe Differentz addiret zu der gegebenen un⸗ vollkommenen Quadrat⸗Zahl. Solche Summe iſt das verlangte Quadrat. Beweiß. Es ſey das unvollkommene Quadrat a⸗ † b. So iſt die Wurtzel a, und b bleibt uͤbrig (§. 166.). Dieſe Groͤſſe ſubtrahiret von 2a +1, ſo entſtehet 2a + I — b (§. 67.). Addiret zu dieſer Differentz das gegebene undollkommene Quadrat, ſo entſtehet a?à †+ 2a †+ I (§. 59.). Da nun die Quadrat⸗ Wurtzel von dieſer Summe a + 1 (§. 158.), ſo iſt die Wahrheit der gegebenen Aufloͤſung hinrei⸗ chend bewieſen. 1. Anmerckung. §. 171. Ihr ſollt z. E. das Quadrat 123 ergaͤn⸗ tzen, alſo nehmet die Wurtzel 14 (§. 168.) zwey⸗ mahl + I. 28 + I = 29 Hiervon ſubtrahiret 27 den Reſt 2 dieſes addiret zu der gegebenen Quadrat⸗Zahl 223 225 dieſes iſt das verlang⸗ te Quadrat, deſſen Quadrat⸗Wurtzel 15. 2. Anmerckung. §. 172. Man kan auch unter gewiſſen Umſtaͤn⸗ den durch Huͤlffe des K. 158. aus einer gegebenen Zahl ein vollkommenes Quadrat machen. Z. E. Es ſey die gegebene Zahl 22 . ſo zeiget die Formul von dem Quadrat a? + 2ab †+ b, daß 2 das Duplum von dem zweytem Gliede der Wur⸗ Extra tio radicis cubi. 144 Das 3. Capitel, Wurtzel ſey, wenn die gegebene Zahl in ein voͤlliges Quadrat ſollte verwandelt werden. Daher iſt das vollkommene Quadrat a2 † 2a †+ 1, deſſen Wur⸗ tzel a † I. Aufgabe. §. 173. Aus einer gegebenen Zahl die Cubic⸗ Wurtzel zu ziehen. Aufloͤſung. Erſter Fall. Wenn die gegebene Zahl eine vol⸗ kommene Cubic⸗Zahl. 1) Theilet die gegebene Zahl von der Rechten gegen die Lincke in Claſſen, und gebet jeder Claſſe drey Glieder. 2) Nehmet aus der Cubic⸗Tafel (§. 156.) denjenigen Cubum, welcher der Zahl in der erſten Claſſe am naͤchſten kommt. Die Cubic⸗ Wurtzel von dieſer Zahl iſt das erſte Glied in der verlang⸗ ten Wurtzel. 3) Den Cubum von dieſer Wurtzel ſubkrahiret von der Zahl in der erſten Claſſe. Bleibet eine Differentz, ſo rechnet ſolche zur erſten Zahl in der folgenden Claſſe. 4) Mit dem Triplo von dem Quadrate der ge⸗ fundenen Wurtzel dividiret die erſte Zahl in der zweyten Claſſe. Der Quotient iſt das andere Glied in der verlangten Wurtzel, welches ihr mit dem erſten alſo verbinden muͤſſet, wie es die Bedeu⸗ tung der Oerter erfodert. *) Unter das erſte Glied der zweyten CLlaſſe ſchreibet das Factum aus dem Triplo des Quadrats des erſten Gliedes in das zweyte Glied der gefun⸗ denen Wurtzel. Unter das andere Glied dieſer Claſſe ſchreibet das Factum aus dem Triplo des er⸗ ſten Gliedes in das Quadrat des zweyten Gliedes der gefundenen Wurtzel. Und unter das letzte Glied bl in ein bien Doher iil 1, deſen Wr ahl die hn Zahl eine t in der N⸗ et jeder N der d in der M Pirtelſlinßn et en ſe. Ahe J, N rſen 3lN orate di e Zahl i⸗ 6 dos in elches iet zweyten ſied deri⸗ Gient⸗ Ii⸗ e dyel tet 6 Von den Potentzen. 145 Glied dieſer Claſſe ſchreibet den Cubum von dem zweytem Gliede der gefundenen Wurtzel. 6) Addiret dieſe Facta, und alsdenn ſubtrahiret die gefundene Summe von der Zahl, welche in der zweyten Claſſe ſtehet. 7) Bleibt eine Differentz, ſo rechnet ſolche wie⸗ derum zu der erſten Zahl in der folgenden Claſſe. Wenn ihr nun die gefundene Wurtzel als den erſten Theil von der Wurtzel, welche zu ſuchen, annehmet, und alsdenn durch alle Claſſen nach der 4. 5. und 6ten Regel verfahret; ſo werdet ihr endlich die verlangte Wurtzel finden. Die Wahrheit dieſer Aufloͤſung beſtaͤtiget der §. 161. und 163. (a) Zweyter Fall. Wenn die gegebene Zahl eine un⸗ vollkommene Cubic⸗Zahl iſt. 1) Suchet aus der gegebenen Zahl die Cubic⸗Wur⸗ tzel, ſo weit als es moͤglich iſt, wie vorhin iſt gewieſen worden. 2) Die Zahl, welche uͤbrig bleibet, verwandelt in eine Decimal⸗Zahl (S. 155.). Und alsdenn verfahret wie zuvor, ſo werdet ihr endlich die verlangte Wurtzel alſo finden, daß der Unterſcheid der gefun⸗ denen Wurtzel von der wahren unendlich klein, fol⸗ glich fuͤr nichts zu halten (§. 142. A. M.). (b) I1. (a) Anmerckung. §. 174. Ich will auch dieſe Aufloͤſung, um den Ge⸗ brauch der vorgeſchriebenen Regeln deutlich zu machen, ſo wohl mit einem allgemeinem, als auch mit einem beſon⸗ derm Exempel erlaͤutern. Reg. 1. az + 3ab †+ 3a b;z + bs (a †+ b Reg. 3. O 3 b + 3 a b; †+ bs Reg. 4. 3 a2 Reg. F. zaab + 3 abz + BG⸗ K Reg. Te⸗ 146 Das 3. Capitel, Reg. 1. 12129 77118 7 5 (2 3 F Reg. 2. 8 6 Reg. 3. 4 9 7 7 Reg. 4. (I1 2) Reg. 5. 3 6 5 4 2 7 Reg. 6. 4 1 6 7 „7. 8 10°8 7 § Reg (1 5 8 7) „ K. 7 9 3 F I 2 F Reg. 6. 8 1 0 87 OO△OO△ O△O△¾O ck nmerckung. §. v5. Se Ann 3. die Cubic⸗Jahl zu ziehem Reg. 1. 3 (I. 4 4 I Reg 32. 2. Oοσι.. (3) 1 2 4 8 6 4 — 1. 7. 4. 4 2 5 60%⏑⏑% (§ 2 3 △ 0° o0. 2 6 4 D 1.9. 8. 4 14016 und ſo weiter. Auf⸗ d. 16. E genngen, ode (ubum von CM zu find 1) Negh ols auch t plum, id 2) W ben de his wpenſerins Dieſe lapnen ns. n e RAnee Elen N 3 . rchiretwon wenn di RPbaddie 1½1 (8 berlangte r, Nfn 3 uadr nen gt h Von den Potentzen. 147 31 Aufgabe. §. 176. Einen unvollkommenen Culum zu er⸗ gaͤntzen, oder den nechſt⸗groͤſten vollkommenen Cubum von dem gegebenem unvollkommenem Cubo zu finden. Aufloͤſung. 1) Nehmet ſo wohl von der gefundenen Wuttzel, als auch von dem Quadrat dieſer Wurtzel das Tri- plum, und addiret ſolche Summen 2) Von dieſer Summe ſubtrahiret dasjenige, was bey der Ausziehung der Wurtzel uͤbrig geblieben weniger Eins. 3) Dieſe Differentz und den gegebenen unvoll⸗ kommenen Cubum addiret, ſo entſtehet der verlangte Cubus. 8 Beweiß. Es ſey der unvollkommene Cubus as + b, ſo iſt die Wurtzel a, und b bleibt uͤbrig (§. 173.). Das Triplum von der Wurtzel und deſſen Quadrat iſt 3 ’¾+ 3a. Wenn von dieſer Summe b —– ſub⸗ trahiret worden, ſo entſtehet 3 a+ za — b + I (§. 67.), u. wenn zu dieſer Differentz der unvollkommene Cubus a3 † baddiret wird, ſo entſtehet ein volkommener Cubus a ³†+ 3” + 3a + 1 (§. 59. 161.), deſſen Wurtzel a †+ 1 (§. 174.). Folglich iſt dieſer Cubus der verlangte. 4 6, ſhe * 1. Anmerckung. §. 177. Ihr ſollt z. E. den Cubum 3 ergaͤntzen, alſo nehmet die Wurtzel 1 (§. 175.) dreymahl, und das Quadrat von dieſer Wurtzel auch dreymahl, alſo zuſam⸗ ſtet. Men ð 5 K 2 5 Hiere 148 Das 3. Capitel, Hiervon ſubtrahiret den Reſt 2 — 1. 6 1 5 Hierzu addiret den gegebenen Cubum 3 . 8 Dieſes iſt der verlangte Cubus, deſſen Wurtzel 2. 2. Anmerckung. §. 178. Wenn ihr es genau uͤberleget, wie ich diefe⸗ nigen Regeln gefunden, nach welchen die Quadrat⸗ und Cubic⸗Wurtzeln auszuziehen, und nach welchen unvoll⸗ kommene Quadrat⸗ und Cubic⸗Zahlen zu ergaͤntzen; ſo werdet ihr leicht begreiffen, wie auch diejenigen Regeln zu finden, nach welchen die Wurtzeln aus den hoͤhern Po⸗ tentzen zu ziehen, und nach welchen dieſe, wenn ſie un⸗ vollkommen, zu ergaͤntzen. Ich koͤnnte hier auch auf glei⸗ che Art die uͤbrigen figuͤrlichen Zahlen beſchreiben, wenn ich es nicht befuͤrchten muͤſte, daß dieſes fuͤr Anfaͤnger zu ſchwer, und wenn ich es nicht glaubte, daß mathematiſche Anfangs⸗Gruͤnde ohne deren Erklaͤrung vollſtaͤndig koͤnten begriffen werden. Von den Irrational⸗Groſſen, wenn ſolche nach dem §. 152. ſind bezeichnet worden, muß ich noch einige Eigenſchafften beſchreiben. . Arithmeti- §. 179. Aus einer Irrational-⸗Groͤſſe die voll⸗ ca irratio- kommene Wurtzel zu finden, welche in einem nalium. Theile derſelben enthalten. Aufloͤ ſung. Erſter Fall. Wenn die Irrational⸗Groͤſſe in gantzen Zahlen iſt gegeben worden. Z. E. V. 16. V 18. 1) Zorſtreuet die Irrational⸗Zahl, welche unter dem Wyrtzel⸗Zeichen ſtehet, in ihre Factores. 2) Wenn unter dieſen eine vollkommene Zahl in der beſtimmten Dignitaͤt, ſo ziehet daraus die ver⸗ are Wurtzel, und ſchreibet ſolche vor dem Wurtzel⸗ eichen. 3) Den Nde al⸗Zeic t der der Nr Ferner Zwwept lgetnei geltät d 0 X II 1)1 her noh 1Cesn )de⸗ ſel: Je Nmerh N den Reſt 2 egebenen Caben ingte Cubis N J⸗ get, we ifſ die Quadtt h welchenn ergaͤn ejenigen ke us den 0n ele, en in hier auch auf beſchreiben, daß nattentt olſtirdis l⸗Gſet, hen, muteh roͤſeditn che in i⸗ V 16 6 welte ctoe⸗ nme nns e uhe 9 Von den Potentzen. 149 3) Den andern Factorem laſſet unter das Wur⸗ tzel-⸗Zeichen wie zuvor ſtehen, und verbindet ſolche mit der gefundenen Wurtzel durch das Zeichen der Multiplication. Z. E. 16 8,22 6 2. Ferner / 18 – /9, 2 — 3 7 2. Zweyter Fall. Wenn die Irrational⸗Groͤſſe in allgemeinen Zeichen iſt gegeben worden, deren Di⸗ gnitaͤt durch unbeſtimmte Exponemen angezeiget. 5 XV1 (§. 14 8.,. ). — 1) Aus den Theilen der gegebenen Dignitaͤt zie⸗ het nach dem §. 16 5. die verlangte Wurtzel, ſo weit als es moͤglich iſt. OJ”MB 2) die gefundene Wurtzel ſchreibet vor dem Wur⸗ tzel-⸗Zeichen, und mit dem uͤbrigen verfahret wie in dem erſtem Falle iſt gewieſen worden. Zum Exempel. Folglich / X yn — y /X. Suſaßd. §S. I80. 8= V 4, 2 = 2 2. W. 18 = V 9,2=3V 2. Folglich iſt 2 2: 3 /2 = 2: 3 (§. 80. A. M.). Hieraus iſt es zu begreiſſen, wie Irrational⸗Groͤſſen mit Rational⸗Groͤſſen in eine Verhaͤltniß zu bringen, woferne unter ihnen eine ſolche Verhaͤltniß moͤglich. Erklaͤrung. d. 181. Wenn die Exponenten der Wurtzel, wel⸗ che aus gegebenen Irrational⸗Groͤſſen zu ziehen, einerley, ſo wird geſaget, daß die gegebenen Irrational-⸗Groͤſſen von einerley Benennung. Z. E. VX, Vy. V Xn ym =S y(S. 163. . :fn — y. K ẽ5 Auf⸗ 150 Das 3. Capitel, Aufgabe. §. 182. Verſchievene Irrational⸗Groͤſſen un⸗ ter einerley Benennungen zu bringen. Aufloͤſung. Wenn ihr aus einer Irrational⸗Groͤſſe eine ver⸗ langte Wurtzel ziehen ſollt, ſo wird der Exponent der Dignitaͤt ein Bruch, deſſen Nenner der Expo⸗ nent der verlangten Wurtzel iſt (§. 165.). Ihr wer⸗ det demnach verſchiedene Irrational⸗Groͤſſen unter einerley Benennung bringen, wenn ihr die Bruͤche, welche ihre Exponenten machen, unter einerley Be⸗ nennung bringet (§. 112.). Z. E. / N. y. ſollen unter einerley Benennung gebracht werden, alſo ſchreibet X nyr: z bringet dieſe Exponenten I zn m „ſo ſind unter einerley Benennung m 3m 3zm die verlangten Irrational⸗Groͤſſen, X3 zm ym: zm 3 m 3m VX. Vynm. Aufgabe. §. 183. Irrationa:⸗Groͤſſen, die einerley Be⸗ nennung haben, zu addiren, und von einander zu ſubtrahiren. Aufloͤſung. 1) Wenn ihr aus einem Theile der Irrational⸗ Groͤſſen die Wurtzeln gezogen, und unter dem Wur⸗ tzel⸗Zeichen einerley Groͤſſe behalten (§. 179. 182.), ſo addiret oder ſubtrahiret die Groͤſſen, welche vor dem Wurtzel⸗Zeichen ſtehen, und ſetzet bey dieſen Groͤſſen, welche herauskommen, das Wurtzel⸗Zeichen mit der Groͤſſe, welche darunter ſtehet (§. 56. 65.). Z. E. 4 V 2 † 2 V 2 =6 7 2. 6 V 2 — 4 V 2 = 2 V 2. 2) Sollten aber die Groͤſſen unter dem Wurtzel⸗ Zeichen nicht einerley ſeyn, ſo koͤnnet ihr weder die Addi⸗ Pdition richten, 4 jenigen kennen, ge ſlt4/31 . V ſchel N. . daß ich di Gubtetn ten I 1e (§. ſa;j 3 /2 GSmmne6 St aherd Von den Potentzen. 15 Addition noch Subtraction auf eine andere Art ver⸗ al⸗Gröſenn richten, als daß ihr ſolche durch den Gebrauch der⸗ en. jenigen Zeichen, welche dazu verordnet, zu er⸗ kennen gebet (§H. 62. 91. A. M.). Z. E. ihr ⸗Gröͤſe inete „ 3 „ . d der Eiin ſollt 4/ 3 und 52 addiren, zalſo ſchreibet 4 3 H d) Nin 5V2. Ihr ſellt ferner von .9 2 ſabtrahren 2 72, ). rr.. l⸗Grſelm glſo ſchreibet 42 — 2 2. ter einerleb Anmerckung. §. 184. Es erfodert die Abſicht gegenwaͤrtiger Scheifft, daß ich die erſte Regel ſo wohl bey der Addition als auch „1 , ue Subtraction mit einem zuſammengeſetztem Cempel erlaͤu⸗ ſe Erpone kkete. Ihr ſollt ; z. E. uaddiren 5al/2 + 4V. 3 +† H X zn —, ,½ — 63 und V3 + y . x +P 4 7/3, derowegen ſchrei⸗ un bel (§. 56.) Gn zuen N. Fal/2 aVů a — 6ν* 3 al/2 + yV X + 43 ſo iſt die inetf? Summe 6a/2 +† 4 /3 +† C Ty) Vx — 2 3 (. On eiun 4 3 VyVX— 2V 3 (§.59.) B Sollt ihr ferner von dieſer Summe die letzte Groͤſſe ſab⸗ trahiren, ſchreibee (§. 65. ). N Garι7ν †. (aty) 1 ð 3 den = . 1 aV2 1t „ al 3 ſo iſt die weltt ig⸗ Differ. 5an/ 2 † . 3 † a X — 6S3 (S. 67.). rhelahe 6 Aufgabe. K⸗ F. 187. Irrational⸗Groͤſſen in einander zu “ multipliciren, und durch einander zu dividiren. Utte tn K 4 Auf⸗ . 152 Das 3. Capitel, Von den Potentzen. Aufloͤ ſung. 1) Wenn die Irrational⸗Groͤſſen von einerley Benennung, ſo dividiret und multipliciret ſolche durch einander, wie oben bey der Diviſion und Erfid Multiplication iſt gewieſen worden. Z. & V 3 V2 einen = V6. a/X, biy/ y = ab/ Xy. W2, V 2 = V 4 — 2. V 8: V2 = /4 — 2 2) Wenn die Irrational⸗ Groͤſſe en von verſchiede⸗ ner Benennung, ſo bringet ſolche unter einerley Be⸗ nennung E. 1 582.), und alsdenn verſahrert wie zuvor. Nuten 3Z. E. V2, 4= /2:, 4= V (2 4½4. dere An merckung. §. 186. Zur Deutlichkeit will ich auch dieſes mit einem zuſammengeſetzten Zeichen erlaͤutern. Exempel aus der Multiplication. N W3 † vO2 V 3 — V2 : Geiel 3 + V6 (§S. 82. 179.). 3= =—— 2= 4 er Exempel aus der Didiſion. V 15 — V 6 v I2 (5 — UV 2 † 2 en V 3) 15 °— V6 + V 12 beſi — 0+ WV'IZ 4 2 3 = W- 3, 4 = V 12 R us 8 der Der ten. Po eſeſe⸗ licite Dipiſn l⸗ Ezr verſci nerlend⸗ t wieſn 4 9 itint 711/ — „W ) O ( 153 Der 3. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſen, wenn folche in einer Verhaͤltniß betrachtet werden, durch das Calculiren. Das 1. Capitel. Von dem Nutzen des Calculiren bey Erfindung der Groͤſſen, welche mit andern in einer gleichen Verhaͤltniß ſtehen. Erklaͤrung. §. 187. Gn gleiche Groͤſſen durch verſchiedene Zei⸗ Aequatib. chen ausgedrucket, und mit dem Zeichen der Gleichheit verbunden worden, ſo nennet man dieſen Satz eine Gleichung. Z. E. 4 + 3 — 2 = 3 †+ 2. a †+ b — X= = m †+ n. àa †+ b = x. Aufgabe. §. 188. In einer gegebenen Gleichung den Werth einer Groͤſſe durch Guͤlffe der uͤbrigen, welche in der Gleichung zu finden, auszudruͤ⸗ cken. Z. E. in der Gleichung a † b – x = — m n den Werth von % durch a bͤ m und n zu beſtimmen. Aufloͤſung. Weil ihr den Werth der einen Groͤſſe, durch die uͤbrigen, welche in der Gleichung enthalten, ausdruͤcken ſollt, ſo muͤßt ihr dieſe alſo mit einan⸗ der verbinden, daß ſie eine Groͤſſe machen, welche jener gleich (§. 45.). Daher wird es noͤthig ſeyn, K F daß 154 Das I. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren daß ihr mit der gegebenen Gleichung eine ſolche Veraͤnderung vornehmet, wodurch das Zeichen der Groͤſſe, deren Werth zu beſtimmen, auf einer Sei⸗ ke allein bleibet, und die uͤbrigen Zeichen auf der andern Seite in einer ſolchen Ordnung mit einan⸗ der verbunden werden, in welcher ſie eine Groͤſſe ausdruͤcken, welche jener gleich. Dieſes zu be⸗ werckſtelligen mercket folgende Regeln. I. Wenn die Groͤſſe, deren Werth ihr beſtim⸗ men ſollt, in der gegebenen Gleichung in der erſten Dignitaͤt ſtehet, ſo ſuchet, ob auf dieſer Seite die uͤbrigen Groͤſſen mit jener durch die Addition, oder durch die Subtraction, oder durch die Multi⸗ plication, oder durch die Diviſion verbunden. Sind ſie mit der Groͤſſe, deren Werth ihr beſtimmen ſollt, verbunden a2) Durch die Addition, ſo ſubtrahiret ſolche von beyden Seiten, die Differentz giebt den verlang⸗ ten Werth (§. 92. A. M.). Z. E. a + Xx + b = m + n ſubtr. a + b xX = m + n — a — b. b) Durch die Subtraction, ſo addiret ſolche zu beyden Seiten, die Summe giebt den geſuchten Werth der beſtimmten Groͤſſe (§H. 63. A. M. und §. 42.). Z. E⸗ Xx — a — b = m + n add. al †+ b X m + n + àa + b. 2) Durch die Multiplication, ſo dividiret mit dieſen die Groͤſſen auf beyden Seiten, ſo giebt der QAuukien .N.). N. 4 ſen verlan 7. u Quo⸗ G s Colelin 9 eine 8 Zeicek. uf erer chen al 9 Mnit e ieſes , ihr i⸗ in der ei dieſer ⸗ je Mo die M den. Cl beſtiren t ſit derlen tſcte ) bey gleichen Verhaͤltniſſe. 1 55 Quotient den verlangten Werth (§. III. 107. A. M.). Z. E. xa = ab + ac + m div. à X = b + c + m: a d) Durch die Diviſion, ſo multipliciret mit die⸗ ſen Groͤſſen auf beyden Seiten, das Factum giebt den verlangten Werth der beſtimmten Groͤſſe (H. 107. 78. A. M.). Z. E. 1 X: (a † b) = b †+ c mult. a †+ b x=(b-†e) (ab = ab †ac-† b' † be= ac- (a †+ b †+ c) b II. Wenn die Groͤſſe, deren Werth ihr beſtim⸗ men ſollt, in der gegebenen Gleichung in einer er⸗ habenen Dignitaͤt ſtehet, ſo bringet entwedert die gantze Gleichung auf einen geringern Grad, welches geſchehen kan theils durch die Diviſion, z. E. ihr ſollt in der Gleichung + 2 ay = byn den Werth von y finden div. y⸗ . . y + 2a = b ſubtr. 22 y = b — 20. theils durch die Ausziehung der Wurtzel. Z. E. ihr ſollt in der Gleichung „ N DT 2 y; = bayn den Werth von y finden divo. y⸗ R . y + 2ay = ba V* + 2 ay †+ aà = ba † a⸗ Extr. 156 Das 1. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren he Exkr. die Quadrat⸗Wurtzel. y + aàa = V (b' †+ a“) (§. 159. 107.) ſubtr. a F Wen y —– (bz + az) – a der er Oder bringet die Dignitaͤt, deren Wurtzel ihr be⸗ ſtimmen ſollt, wie bey der erſten Regel iſt gewieſen worden, auf der einen Seite, und alsdenn ziehet aus derſelben die verlangte Wurtzel. Z. E. ihr ſollt in der Gleichung 69 X3 a †+ b = 2 ab den Werth von finden. G fubtr. a + b de = 2ab — a — b * von d Extr. die Cubic-⸗Wurtzel. D 3 X = V (2 ab — àa – b) eih 1. Anmerckung. evrkn §. 189. Wer die wahre Beſchaffenheit dieſer Regeln et genau uͤberleget, der wird ſolche im vorkommenden Fall Uien leicht genauer beſtimmen koͤnnen. Wenn z. E. in der kie ich itelt Gleichung W ax = C †+ d Uich d der Werth von X zu finden, ſo werden obige Regeln un⸗ gech mittelbar lehren, daß man die gegebene Gleichung von denn dem Irrational⸗Ausdruck zuvor befreyen, (welches in die⸗ W.“ ſem Fall, weil die Quadrat⸗Wurtzel auszuziehen, geſchehen kan, wenn man beyde Seiten gnadratiſch multipliciret), ax = C2 + 20d + dz und alsdenn beyde Seiten durch a dividiren muͤſſe. X = (2² + 20d + d;): a 2. Anmerckung. g. 190. Von den reinen und unreinen, vollſtaͤndigen und unvollſtaͤndigen und andern Gleichungen werde ich jetzo nichts ausfuͤhren, weil ich ſo ſchreiben muß, daß mein Vor⸗ trag von Anfaͤngern koͤnne verſtanden und begriffen werden. —- — — — Das Colculiren N 19. 10, urhe ihr l iſt grieſen ldenn iie hvonyffi Hiſr N nenden 1E in de Neglt⸗ ichun⸗ lches ed iblereh⸗ nuͤſſe lire eeidſe Sninde i bey der arithmetiſchen Verhaͤltniß. 157 Das 2. Capitel. Von dem Nutzen des Calculiren bey Exfindung der Groͤſſen, welche in einer arithme⸗ tiſchen Verhaͤltniß ſtehen. Lehr⸗Satz. . 191. G* einer arithmetiſchen Progreßion iſt die Summe von dem letzten und erſten Glie⸗ de gleich der Summe zweyer Glieder, welche von den aͤuſſerſten gleichweit abſtehen. Bew eiß. Weil die mittelſten Glieder von den aͤuſſerſten gleichweit abſtehen, ſo ſind dieſe Glieder in einer arithmetiſchen Proportion, in welcher das erſte und letzte Glied das erſte und letzte Glied aus der Pro⸗ greßion, das zweyte und dritte Glied die gegebenen mittelſten Glieder (§. 48. 122. A. M.). Folglich muß auch die Summe von dem erſten und letzten Gliede gleich ſeyn der Summe zweyer Glieder, welche von dem aͤuſſerſten gleichweit abſtehen (§. 130. A. M.). Z. E. . * 1. Juſatz. L §. 192. Wenn die Anzahl der Glieder in der arithmetiſchen Progreßion ungerade, ſo iſt die Sum⸗ me der aͤuſſerſten Glieder gleich den doppelten mit⸗ telſten (§. 19 1.).. Anmerckung. g. 193. Es ſey das erſte Glied in der arithmetiſchen Progreßion — a und der Denominator — b (§S. 122. A. M.), ſo iſt die arithmetiſche Progreßion, wenn die Verhaͤltniß von der kleinern Ungleichheit (§. 125. A. M.), 2 . a + d, a †+ 2d. a + 3d. a + 4d., a † 5d. u. ſ. w. Die Inuenire ſummam termino- rum. Summam termini primi & vltimi. Termi- num vlti- mum. 158 Das 2. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren Die Summe von dem 1 und 6 Gliede — 20 + Fd. ⸗ ⸗ ⸗ von dem 2 und 5 Gliede — ꝛa + 5d. ⸗ ⸗ ⸗ von dem 3 und 4 Gliede — 2a + ˖d. Sind die Verhaͤltniſſe von der groͤſſern Ungleichheit, ſo iſt die Progreßion a a — d a— ꝛd a —–— 3d a —– 4d u. ſ. w. Die Summe von dem 1 und 5 Gliede — 2a — 44d. „ ⸗ von dem 2 und 4 Gliede — ꝛa — qd. Das doppelte mittelſte Glied = 2 — 40. 2. Juſatz. §. 194. Wenn demnach die Summe von dem erſten und letzten Gliede in einer arithmetiſchen Progreßion durch die halbe Anzahl der Glieder multipliciret wird, ſo muß die Summe aller Glie⸗ der entſtehen. Z. E. 22 + 5d, 3 = 60 + 1 5d die Summe von allen Gliedern. 8. Jlſatz. §. 195. Und hieraus folget, daß die Summe des erſten und letzten Gliedes in der arithmetiſchen Progreßion entſtehen muͤſſe, wenn man die Sum⸗ me aller Glieder durch die halbe Anzahl der Glie⸗ der dividiret (§H. 107. A. M.). Aufgabe. §. 196. Aus dem erſten Gliede, Denomina- tore und der Anzahl der Glieder; oder aus dem erſten Gliede, Denominatore und Summe der Glieder das letzte Glied in der arithmetiſchen Progreßion zu finden. Aufloͤſung. Erſter Fall. 1) Multipliciret die Anzahl der Glieder weniger Eins mit dem gegebenen Denominatore. 2) Hierzu addiret das erſte Glied, ſo iſt dieſe Summe das letzte Glied (§. 193.). Z. E. das erſte ete G der G nde den. 193 Re 8Coleulten RN n dern † de n Uuglechet, 4d n de — A-l e — Aeè — 2- ime ben d rithmmitſte der Gcd e aller e deen tithtnaſſtt⸗ n MC, Elder Gd⸗ der Denom: raus N mm N metſtt bey der arithmetiſchen Verhaͤltniß. 1 59 erſte Glied ſey a, der Denominator d, die Anzahl der Glieder 6, ſo iſt das letzte Glied a + d. Anderer Fall. 1) Nehmet das erſte Glied zweymahl, und ſub⸗ trahiret von dieſer Summe den Denominatorem. 2) Von dieſer Differentz macht das Quadrat (§. 145.). 3) Mit dem Ocuplo von dem Denominatore multipliciret die gegebene Summe der Glieder, und addiret zu dieſem Facto das zuvor gefundene Qua⸗ drat. . 4) Ziehet aus dieſer Summe di at⸗ Antgien. 166) ſer Summe die Quadrat⸗ 5) Von dieſer Wurtzel ſubtrahiret den Deno- minatorem. Dieſe Differentz dividiret mit 2, ſo iſt der Quetient das verlangte letzte Glied in der agrithmetiſchen Progreßion. Beweiß. Die Aufloͤſung des erſten Falls beſtaͤtiget der §. 193. und die Wahrheit von der Aufloͤſung des andern Falls kan auf folgende Art eingeſehen den. Es ſey das erſte Glied a, der Plehen wer⸗ d, und die Summe der Glieder 6a + 15d. Zir N. Nun verfahret nach den vorgeſchriebenen Reg. I. 2a — d Reg. 2. 4 a² — 4Aad + d- Reg. 3. 6a + 1 54 8d 48ad †+ 1204d2 4² — 4 àad † da 4 ² + 44ad † 12 1dd 160 Das 2. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren Reg. 4. W (Aa? + 44ad †+ 12 1d* 2a †+ 1Id Reg. §. 2a + I1Id –— d = 2a + 10 (2a †+ lod): 2 = a + 5d Dieſes iſt das verlangte letzte Glied (§. 193.) Aufgabe. Numerum §S. 197. Aus dem eiſten Gliede, dem Deno- rum. arithmetiſchen Progreßion die Anzahl der Glie⸗ der zu finden. . Aufloͤſung. 1) Suchet durch Huͤlffe der gegebenen Merck⸗ mahle das letzte Glied in der arithmetiſchen Pro⸗ greßion (§. 196.). 2) Zu dieſem addiret das erſte Glied, und neh⸗ met von dieſer Summe die Helffte. 3) Mit dieſer Helffte dividiret die gegebene Summe der Glieder in der arithmetiſchen Pro⸗ greßion (§. 90.). Der Quotient iſt die verlangte * Anzahl der Glieder. Beeweiß. Es ſey das erſte Gled a, der Denominator d, und die Summe der Glieder 6 + 15d, ſo iſt das letzte Glied a + §5d (H. 196. 193.), folglich die Summe von dem erſten und letzten Gliede 22a †+ 54, 5d deſſen Helffte a †+ —. Wenn nmun die gegebene Summe 6a + 1Sd mit dieſer Groͤſſe dividiret wor⸗ den, ſo iſt der Quotient 6, welches die verlangte Anzahl der Glieder (§. 193.). W. Z. E. W. Anmerckung. Et deno- §. 198. Wie in einer arithmetiſchen Progreßion der De- minato- nominator zu finden, ſolches lehret die Aufloͤſung in dem rem in §. 132. A. M. Und alſo ſind die wichtigſten Aufgaben in progreſſio- einer arithmetiſchen Progreßion aufgeloſet worden. Deren ne arith: Nutzen in den Vorleſungen erklaͤren werde. metica. Auf⸗ termino- minatore und der Summe der Glieder in der Mittere finden. ¹) 2) iſ die WV worden Prope lich ſt dieſe mitie V. 8 nden M i ige en des Clelin bey der arithmetiſchen Verhaͤltniß. 161 ich)utt Aufgabe. † 1ot §. 199. Zwiſchen zwo gegebenen Zahlen die Inuenire St mittlere arithmetiſche Proportional⸗ Sahl ʒu mediam. Gled eh finden. Aufloͤſung. . 1) Addiret de beyden egebenen Glieder. iede, donn 2) Die Summe dividiret durch 2. Der Quotient Glieder in iſt die verlangte mittlere Proportional⸗Groͤſſe. zaſicͤ Beweiß. Wienn das erſte Glied zu dem dritten addiret worden, ſo iſt die Summe die gedoppelte mittlere egebenen iu Proportional⸗Zahl (§. 130. 44. A. M.). Folg⸗ thmetiſchen lich iſt der Quotient, welcher entſtehet, wenn man dieſe Summe durch zwey dividiret, die verlangte ſed, und mittlere Proportional⸗Groͤſſe (§. 107. A. M.). daet de ſi⸗ Anmerckung. lithontſcfen §. 200. Wie in einer arithmeriſchen Proportion das erſte, Primam, ti een andere, dritte und vierte Glied zu finden, ſolches iſt § 132. ſecundam, und 133. A. W. erklaͤret worden. Folglich habe ich auch ertiam et die wichtigſten Aufgaben in der arithmetiſchen Proportion Jquartam aufgeloͤſet, und alſo meiner Abſicht Genuͤge gethan. Proportio- Denoniatot nalem in ſoſtn . roportio- ni D as 5. Ca P it el. he 1 arith- äve⸗ Von dem mhetica. Nutzen des Catcutiren bey Erfindung un d deer Groͤſſen, welche in einer geome⸗ dvidit triſchen Verhaltniß ſtehen. die ſee §. 201. 3. C. Lehr⸗ Satz. eusreh IEn einer geomerriſchen Progreßion iſt das hrogtfia , Gli Nufina E Luackum aus dem erſten Gliede in das letzte gſc iſfhe gleich dem LHago der beyden Gleder, welche von nohn den aͤuſſerſten gleichweit abſtehen. 162 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Caleculiren J Beweiß. Es machen dieſe vier Glieder in der geſetzten Ord⸗ nung eine geometriſche Proportion (§. 48. 122. A. M.). Da nun in einer geometriſchen Proportion das Fa- Etum aus dem erſten Gliede in das vierte gleich dem Facto aus dem andern Gliede in das dritte (§. 130. A. M.), ſo muͤſſen auch die beſtimmten Facta einan⸗ der gleich ſeyn. W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 202. Es iſt demnach in einer geometriſchen Progreßion das Factum aus dem erſten Gliede in das letzte gleich dem Quadrat des mittelſten Gliedes, wenn die Anzahl der Glieder ungrade (§. 145.). Anmerckung. §. 203. Es ſey das erſte Glied in der geometriſchen Progreßtion a und der Exponent mo ſo iſt die Progreßion, wenn die Verhaͤltniſſe von der kleinern Ungleichheit a am ains amns amnae arns (§. 128. A. M.) Das Factum aus dem 1 Gliede in das 6 = an ms ⸗ 2= ⸗ 2 Gliede in das 5= a’ 5 ⸗ 3 Gliede in das 4 =— a m' N NV Summe aller Glieder = za; ms Wenn die Verhaͤltniß von der groͤſſern Ungleichheit 2 am a In- a: ms a: m“ (128. A. M.) Das. Fact. qaus dem 1 Gliede in das letzte = au: ma 2 2 = 2 Gliede in das 4 = 2; mé (§. 149.) Das Quadrat von dem mittelſten Gliede = :ma Summe aller Glieder 3: ma (S§. 110.). 2. Zu⸗ bey . 204. Glied in ei das Padun itat ols der Glede in der ah Quotient, Glied mit vidiret, d niger eine nof der bepden aͤuſerſten. weiſe inein Mneran Ms Excinn 4 Pluolerete ) 1o. 12. ll 4 bey der gesmetriſchen Verhaͤltniß. 163 2. Juſatz. 6n0 §. 204. Hieraus erhellet ferner, daß das letzte Inuenize Gllied in einer wachſenden geometriſchen Progreßion en aum das bactum aus dem erſten Gliede in diejenige Dig⸗ Nimnutn. hn nitaͤt als Exponenten, deren Exponent die Anzahl der Glieder weniger eins. Und daß das letzte Glied l in der abnehmenden geometriſchen Progreßion der Quotient, welcher entſtehet, wenn man das erſte Glied mit derjenigen Dignitaͤt des Exponenten di⸗ vidiret, deren Exponent die Anzahl d der Glieder we⸗ cd niger eins. el Lehr⸗Satz. eo §. 206. Wenn von vier Groſſen das Fadtum Der beyden mirtelſten gleich dem Facto der beyden aͤuſſerſten: ſo ſtehen dieſe vier Groͤſſen wechſels⸗ weiſe in einer geometriſchen Proportion. “Nehmet an, daß aus dieſen vier Groͤſſen a bed, Udas Factum aus a in d gleich dem Facto aus bin c. 6 Multipliciret c und d durch a, ſo iſt ac: ad = c: d 6 (§. 80. 122. A. M.). Da nun ad = bo, ſo iſt auch “E ac: bC = C: d (§. 5. A. W. )0. Indem ferner ac: be — — à: a1 G. ä ilt aucha: b=cC: 4 Juſatz. §. 206. Hieraus folget ¹) daß ſich in einer je⸗ den geometriſchen Progreßion die Summe aller lieder weniger das letzte zu der Summe aller t Glieder weniger das erſte verhalte, wie ſich ver⸗ haͤlt das erſte Glied in der Progreßion zu das zweyte „(8. 203.). Z. E. a + am + am? † ams †+ am-; am-† am †+ àms †+ ame + amꝰ = a: am. = 164 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren 2. Zuſatz. §. 207. 2) Daß ſich in einer jeden geometriſchen Progreßion der Exponent weniger Eins zu dem letz⸗ tem Gliede weniger das erſte verhalte, wie ſich ver⸗ haͤlt Eins zu der Summe aller Glieder weniger das letzte (§. 203.). Z. E. m I: am — a = I: a † am †+ am? † ams + amè, Aufgabe. Summam §. 208. Aus dem erſtem, anderm und letztem ermino⸗ Gliede einer geometriſchen Progreßion die Sum⸗ me aller Glieder zu finden. Aufloͤſung. 1) Multipliciret das letzte Glied in das andere. 2) Von dieſem Facto ſubtrahiret das Quadrat des erſten Gliedes. 3) Dieſe Differentz dividiret mit der Differentz des erſten und andern Gliedes. So iſt der Quoti⸗ ent die verlangte Summe aller Glieder. Beweiß. Es ſey die geſuchte Summe = x. Das erſte Glied = a, das andere = d, das letzte = c (§. 12.). So iſt X — C:X–— a =a: b (§. 206.) folglich Dx cd— (§. 130. A. M.) X= (Ccb — 1a2): b — a (§. 90.). W. Z. E. W. Aufgabe. 209. Aus dem erſtem und letztem Gliede wie “ dem ypponenten in einer geometriſchen Progreßion die Summe aller Glieder zu finden. Auf⸗ Clleultee bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 165 Aufloͤſung. geonetſe 1) Dividiret die Differentz des letzten und erſten nsudeono n Gliedes mit dem Exponenten der Progreßion we⸗ , wieſch niger Eins. r weſiget 2) Zu dieſen Quotienten addiret das letzte Glied. — I Dieſe Summe iſt die verlangte Summe der gegebe⸗ nen Progreßion. . Beweiß. Es iſt m — 1: ams — àa = I : a †+ am †+ amz + ame †+ ams (S. 207.). Woraus ſolget, daß am — à (a †+ am † am? †+ ams † ams), m — 1 (§. 130. A. M.). Und alſo iſt (am? — a): m –— r sanden. = † am †+ am⸗ + ams + ama (§. 107. A. M.). 8 Das iſt die Summe aller Glieder weniger das letzte. e . (Wenn man demnach das letzte Glied weniger das errſte durch den Exponenten weniger Eins dividiret, n im und zu dieſen Quotienten das letzte Glied addiret, ſo ſure iſt die Groͤſſe, welche daher entſtehet, die Summe L Glieder in der gegebenen Progreßion. W. Z. und legn n dieo eſe Anmerckung. (E §. 210. Aus dieſem und dem vorhergehenden §. koͤnnte A leicht erklaͤret werden, wie eine unendliche Reihe ſolcher Groͤſſen, welche in einer geometriſchen Progreßion fortge⸗ hen⸗ zu ſummiren, wenn nicht dasjenige, was hiervon iſt erklaͤret worden, hinreichend, die Anfangs⸗Gruͤnde der H) Mathematik zu erlaͤutern. 6 Aufgabe. §. 211. Aus dem erſtem und letztem Gliede, Numerum wie auch dem Exponenten in einer geometri⸗ termino- güns ſhen Progreßion ſdie Anzahl allen Glieder zu rum. inden. — Aufls ſung. f 1) Dividiret das letzte Glied durch das erſte. 63 2) Die⸗ primum. Terminos medios. 166 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren 2) Dieſen Quotienten dividiret mit dem Expo⸗ nenten. Dieſen Quotienten dividiret abermahl mit dem Exponenten, und ſo weiter, bis der Quotient Eins wird. 3) Addiret zu der Zahl, welche andeutet, wie vielmahl iſt dividiret worden, Eins, ſo iſt dieſe Summe die verlangte Anzahl der Glieder. Beweiß. — Wenn man das ietzte Gliet in der geometriſchen Progreßion mit dem erſten Gliede dividiret, ſo iſt der Quotient diejenige Dignitaͤt des Exponenten der Progreßion, deren Exponent die Anzahl der Glieder weniger Eins (§. 204.). Wenn demnach dieſer Ouo⸗ tient auf vorgeſchriebene Art iſt dividiret worden, ſo iſt die Zahl, welche andeutet, wie vielmahl iſt diwidi⸗ ret worden, die Anzahl der Glieder weniger Eins (§. 145.). Und alſo entſtehet die Anzahl der Glieder, wenn man zu jener Eins addiret. W. Z. E. W. Aufgabe. Terminum §. 212. Aus dem lesztem Gliede, dem Expo⸗ nenten und der Anzahl der Glieder einer geo⸗ metriſchen Hrogreßion das erſte Glied zu finden. Aufloͤſung. 1) Erhebet den Exponenten der Progreßion zu derſenigen Dignitaͤt, deren Exponent die Anzahl der Glieder weniger Eins (§. 145.). 2) Hiermit dividiret das letzte Glied, ſo iſt der Quotient das erſte Glid (S. 204.). Aufgabe. §. 213. Aus dem erſtem und letztem Gliede in einer geometriſchen Progre ion ſo viele mittlere Proportional⸗Glieder zu finden, als man ver⸗ langet. Auf⸗ 1)D entſthe Preogre der in Drror 9 hel der Ge Coren he berla d chieng lchhe Perde ſ ftlthee fiden. ) durc 3 Grif VI Culeuliten k dem En⸗ abernahlnt der Quotie⸗ deutet, ii ſ iſ di eder. eofmetricke ret ſoe onitten N ſder dicde Oſeſerde⸗ wordend liſt ein, eniger der Cen Ed enner ge zufind⸗ ſan g. tſr 4 It N eſ⸗ litlet Dnin bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 167 Aufloſung. 1) Dividiret das letzte Glieo mit dem erſtem, ſo entſtehet diejenige Dignitaͤti des Exponenten der Progreßion, deren Exponent die Anzahl der Glie⸗ der in der Progreßion weniger Eins (§. 204.). Derowegen. 2) Ziehet aus dieſem Quotienten diejenige Wur⸗ tzel, deren Exponent die Anzahl der verlangten mittle⸗ ren Glieder + Eins (§. 178.). Dieſe Wurtzel iſt der Exponent in der Progreßion. Und alſo koͤnnt ihr die verlangten Glieder finden (§. 128.). Anmerckung. §. 214 Wie der Exponent in einer geometriſchen Pro⸗ Et expo⸗ greßion zu finden, ſolches lehret der §. 122. A. M. Folg⸗nentem in lich habe ich alle Aufgaben, welche bey der geometriſchen progreſſio- Progreßion vorkommen koͤnnen, aufgeloͤſet. ne geome- trica. Aufgabe. §. 215. Zwiſchen zwo gegebenen Groͤſſen die Inuenire mittlere geometriſche Proportional-⸗Groͤſſe zu mediam finden. Prgorrio. Aufloͤſung. 1) Multipliciret die beyden gegebenen Groͤſſen durch einander. R 2) Aus dieſem Facto ziehet die Quadrat⸗Wurtzel (5§. 166.), ſo habt ihr die mittlere Proportional⸗ Groͤſſe. Beweiß. Weil ihr die mittlere Proportional⸗Groͤſſe ver⸗ langet, ſo iſt die gegebene geometriſche Proportion eine Proportio continua (§S. 44. A. M.). Folg⸗ lich das Factum aus dem erſten Gliede in das letzte, gleich dem Facto, welches entſtehet, wenn man das mittelſte Glied in ſich ſelbſt multipliciret (S. 130. A. M.), das iſt, dem Quadrat der mittleren L8 4 Pro⸗ 168 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren Proportional⸗Groͤſſe (§. 145.). Und alſo iſt dieſe mitt⸗ lere Proportional⸗Groͤſſe die Quadrat⸗ Wurtzel aus dem beſtimmten Facto (S§. 146.). W. Z. E. W. Anmerckung. kr tertnt⸗ §. 216. Wie in einer geometriſchen Provportion das erſte, zmur e zweyte, dritte und vierte Glied zu finden, ſolches lehret der cundu. § 135. A. M. Und alſo ſind auch alle Aufgaben, welche bey tertium & einer geometriſchen Proportion vorkommen konnen, aufge⸗ ertiuin E loſer worden. Deren Gebrauch in den Vorleſungen erklaͤ⸗ Juartum in ren werde. proportio- ne geome- 2£ tric Erklaͤrung. Regulae §. 2 7. Proportional⸗Regeln werden diejeni⸗ broportion gen Saͤtze genenget, aus weichen zu erkennen, wie nales quid. di. Glieder in einer geometriſchen Proportion alſo koͤnnen veraͤndert werden, daß ſie proportional blei⸗ ben. Aufgabe. Inuenire S. 218. Alle moͤgliche Proportional⸗Regeln rationum zu finden. tri- g£ Saad Aufloͤſung. ſympto. WDenn von vier Groͤſſen das Factum der beyden mata. aͤuſſerſten gleich dem Focto der beyden mittelſten, ſo ſtehen dieſe vier Groͤſſen wechſelsweiſe in einer geo⸗ metriſchen Proportion (S. 206.). Wenn demnach die vier Glieder in einer geometriſchen Proportion alſo veraͤndert worden, daß nach geſchehener Ver⸗ aͤnderung das Factum aus dem erſtem Gliede in das letzte gleich dem Facto aus dem zweytem Gliede in das dritte, ſo giebt dieſe Veraͤnderung eine Pro⸗ portional⸗Regel (§S. 217.). Auf eine ſolche Art koͤnnen die Glieder in der gegebenen Proportion veraͤndert werden. I. Allein durch die Verwechſelung der Gerter, und zwar . A) alſo, ben (cablii ng e NNS der⸗ Nden Ctlenlin bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 169 ſſem A) alſo, daß die Glieder in der Verhaͤltniß ſte⸗ Vugu hen bleiben, in welcher ſie vor der Verwechſe⸗ EV. lung geſtanden. Z. E. a: am = b: bm Regula in- am: a = bm: b verſa. tinne B) daß ein Glied aus der erſten Verhaͤltniß in Relgn der zweyten Verhaͤltniß, und ein Glied aus der un zweyten Verhaͤltniß in der erſten Verhaͤltniß eſungen h . zu ſtehen komme. Z. E. S “ at am = b: bi Regula af. a b= am: bm ternans. en dieſet Zuſatz. nmnen, 1 Folglich iſt auch b: 21 = bm: am (A). tion 4 II. Durch Veraͤnderung der Groͤſſen, welche onal die beſtimmten Glieder machen. Dieſe Groͤſ⸗ ſen zu veraͤndern nimmt man H A) nur diejenigen Groͤſſen, welche in der gege⸗ ,gl benen Proportion enthalten, und zwar D) wird das eine Glied in der Proportion durch ein anders veraͤndert a) durch die Addition. Regula beſdet 1) des erſten Gliedes zu dem andern compoſita. teſten,4 Gliede. Z. E. ſet a: am † a = b: bm † b Nrtach ⸗ enhatin Zu ſatz. ener M Hieraus folget: a:b = am + a: bm + b (I. B) eenit am † a: a = bm † b: b (I. A) Gler 2) des zweyten Gliedes zu dem erſten nr N Gliede. Z. E. te à †+ am: am = b †+ bm: bm Regula ponnin “ conuerla. . Juſatz. Oern Foolglich iſt auch a† am: b † bm = am: bm (I. B). am; a-am=bm; b--bm (I. A.). 9 2 5 b) durch 170 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren b) durch die Subtraction. 1) Des erſten Gliedes von dem zweyten Gliede. a: am — àa = b: bm — b Juſatz. Und alſo iſt auch a: D = am — a: bmn — b (I. am — a: a = bm — b: b (I. ferner am † a: bm †+ b= am — a: bin — b (Zuſ. II N. a. I. und §. 40. A. M.) am — a: bm — b= am: bm (Suſi. II. N. a. 2.) 2) Des zweyten Gliedes von dem er⸗ ſten Gliede. à – am: am = b — bm: bm Zuſatz. Woraus klar, daß a — am: b — bm=am: bmc(I. B.) . am: a — am= bm: b — bm (l. A.) ferner a — am: b — bm = am — a: bm — b (Zuſ. a — am: b — bm = am + a: bm †+ b (.. c.) Und ſo weiter. Die Multiplication und Diviſion geben in dieſem Fall keine beſondere Proportional⸗Regeln. „oder man veraͤndert die Glieder in der Pro⸗ portion durch ſich ſelbſt. Will man in der gegebenen Proportion nur ein eintziges Glied durch ſich ſelbſt veraͤndern, ſo werden die Groͤſſen in keiner Proportion bleiben. Folg⸗ lich muͤſſen mehrere Glieder auf beſtimmte Art veraͤndert werden. Und zwar a) alle vier, welche die gegebene Proportion machen 1) durch die Addition a-ba: am-pam = b-b: ben thm. Izn⸗ Eiſ N dieſe ft 6Colaulter demn zo ammebin hundIA b 4 0 enin ſ⸗ aeli degr⸗ mhi Ne gies, werdel timmil Nunin Ntho Es iſt demnach auch bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 171 Juſatz. am † am: a † a = bm bm: b† b (I. A.) und àa † a: b- b = am + am: bm †+ bm (I. B.) 2) durch die Subtraction a —– a: am — am = b= b: bm — bm 3) durch die Multiplication a2: a m2 — bz: bzmz 4) durch die Diviſion a am b bm —N— — — — — a am b bin. b) Dieſenigen Groͤſſen, welche in den bey⸗ den Verhaͤltniſſen der beſtimmten Pro⸗ portion einerley Oerter einnehmen 1) durch die Addition. à † a: am = b † b: bm a: am † am = b: bm + bm 2) durch die Subtraction. a — a: am = b — b: bm a: am — am = b: bm — bm. Aus der Multiplication und Diviſion koͤnnen in dieſem Fall keine beſondere Proportional⸗Regeln gefolgert werden. B. Andere Groͤſſen, welche nicht in der gegebe⸗ nen Proportion enthalten. Auf dieſe Art koͤnnen veraͤndert werden 8 Alle Groͤſſen, welche in der gegebenen Proportion enthalten, und zwar 2) mit einerley Groͤſſe, — 1) Weil 172 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Calculiren 1) Weil die Addition und Subtraction in dieſem Fall kein Grund von einer beſon⸗ dern Proportional⸗Regel durch die Multiplieation ac: amc = be: bme 2) durch die Diviſion a am b bm C C C C b) mit verſchiedenen Groͤſſen, und zwar 4) alle mit verſchiedenenen Groͤſſen, von welchen nemlich dieſe Eigenſchafft be⸗ kannt, daß ſie in einer geometriſchen Proportion ſtehen. 1) Weil auch in dieſem Fall keine Proportional⸗Regeln aus der Addi⸗ tion und Subtraction folgen durch die Multiplication. Z. E. am: am = b: bm c: cn = p: pn Folglich ac: amen = bp: bmpn Siehe§. 120. A. M. 2) durch die Diviſion. Z. E. a: am = b': bn Cc: ch = P Pn Folglich a am b bm c . cn p pn 3) Diejenigen Glieder, welche in den Berhaͤltniſſen der gegebenen Propor⸗ tion in einerley Oerter ſtehen, mit einerley Groͤſſen: und diejenigen Glie⸗ der, welche in den beſtimmten Verhaͤlt⸗ niſſen in verſchiedenen Oertern ſtehen, mit verſchiedenen Groͤſſen. 1) Weil Celeuleen ubtrartient einer te⸗ d zwar roͤſſen,t enſchoft eommettſt Fall ii der 1ℳ. 10,.N bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 173 1) Weil auch in dieſem Falle aus der Addition und Subtraction keine Proportional⸗Regeln folgen, durch die Multiplication. Z. E. a: am = b: hbm . c P c P ac: amp = be: bin 2) Durch die Didviſion. a: am =— b: bin c p C b a am b bm 2. Etliche Glieder aus der gegebenen Pro⸗ portion, (zumal die Veraͤnderung eines ein⸗ zigen Gliedes, die Proportion der Glieder aufhebet) welche a) in den Verhaͤltniſſen der gegebenen Proportion in einerley Oerter ſtehen. (Sollten die Glieder, welche zu veraͤndern, in verſchiedenen Oertern der beſtimmten Ver⸗ haͤltniſſen ſtehen, ſo wird eine jede Veraͤnde⸗ rung die Proportion der Glieder zernichten), mit einerley Groͤſſe (denn ſollten dieſe Groͤſſen verſchieden ſeyn, ſo wird folgen, was zuvor iſt erinnert worden). 1) Weil auch hier die Veraͤnderung der Glieder durch die Addition und Sub⸗ traction der Proportion der Groͤſſen zu⸗ wieder, durch die Multiplication. Z. E. a: am = b: bm C C „ ac: am be: bm Fer⸗ 174 Das 3. Cap. Von dem Nutzen des Caleuliren Ferner a : am = bB : bm C C a : amc =– b: bmeo 2) Durch die Diviſion a: am = b: bm Cc Cc a b — : am = — : bm C c Ferner a : am — b: bm c Cc am bm a: — = b: — c b b) in einer von denen Verhaͤltniſſen, wel⸗ che die gegebene Proportion machen, enthalten. Will man dieſe Glieder der beſtimmten Verhaͤltniß durch verſchiedene Groͤſſen aͤndern, ſo wird die Proporrion der Groͤſſen zernichtet werden. Folglich kan dieſe Veraͤnderung nur mit einer Groͤſſe geſchehen, und zwar, weil auch in dieſem Fall durch die Addirion und Subtraction keine Proportion entſtehet 1) durch die Multiplication. Z. E. a: am = b: bm c c ac: amc = b: bm 2) durch 4— Vennnft⸗ ſhnt und feng des ⸗ Uit lichterg nen tuel 4 4 —:— 4 Cglenlten e, Wet machen lieder d erſchiehe Propent inerit ubtrack bey der geometriſchen Verhaͤltniß. 175 2) durch die Diviſion. Z. E. bm * a: am = b c c a ain —: — = b: bm c ec Anmerckung. §. 219. Wollt ihr hier dasjenige anwenden, was in der Vernunfft⸗Lehre von der Verbindung der Begriffe ausge⸗ fuͤhret, und mit dieſem den Lehr⸗Satz, welchen in dem An⸗ fang des §. 40. A. M. bewieſen, verknuͤpffen; ſo werdet ihr mit leichter Muͤhe noch einige Proportional⸗Regeln entdecken koͤnnen, welche in den zuvor erklaͤrten enthalten. am —: — =— b: bm (lI. B. —. b. 2.) c c ð a; am = b: bm (I. Folglich §. 40. A. M. d am 2: am = —: — c c Folglich aàanm a: — = àam: — (I. B.) c Ferner a : b = amc: bme (II. B. ₰. a. 1. und n. I. B.) a: b = am + am: bm + bm (II. A. 2. b. . 1. Und n. I. B.) Folglich am †+ am: bm †+ bm = amc: bmc (§. 40. A. M.) am †+ am: ame = bm + bm bme (I. B.) und ſo weiter, 2. An⸗ 176 Das 3. Cap. Von dem Nutz. des Calcul. bey der ꝛc. 2. Anmerckung. §. 220. Aus dem, was bishieher von der geometri⸗ ſchen Proportion iſt abgehandelt worden, kan dasjenige leicht verſtanden werden, was in der gemeinen Rechen⸗ kunſt gelehret wird. 1) Von der Regula de Tri directa, nach welcher die vier⸗ te Proportional⸗Groͤſſe zu ſuchen. a: c — b: x 2) Von der Regula de Tri indirecta, nach welcher die an⸗ dere und dritte Proportional⸗Groͤſſe zu ſuchen a : c — X b Dieſe iſt leicht in jene zu verwandeln. .☛O: a — : X . 3) Von der Regula compoſita, die zur Aufloͤſung der Auf⸗ gabe der Regula de Tri directa mehr als einmahl an⸗ zuwenden. Z. E. 300 Thlr. tragen in 2 Jahren 36 Thlr. Intereſſe. Es wird gefraget, wieviel tragen 20000 Thlr. in 12 Jahren. Suchet zuerſt, wieviel Intereſſe tragen 20000 Thlr in 2 Jahren. Und als⸗ dann koͤnnt ihr durch die Verhaͤltniß der Zeiten das verlangte finden. . ) Von der Regula ſocietatis, wo der Gewinn oder der Verluſt nach Proportion der Einlage zu berechnen. Die gantze Einlage: den Theil der Einlage — der gantze Gewinn: den Theil des Gewinns, der auf jenen Theil der Einlage faͤllt 5) Von der KRegula mixtiomis, wo die Proportion der Theile in Beziehung auf ein beſtimmtes Gantze 6 zu be⸗ rechnen. . . 100 5 vermiſchte Dinge: 6 H5 eines beſtimmten Theils — 40 von der erſten Vermiſchung: X TII. Dieſe faßt in dem vorkommenden Falle a) quaeſtionem proportionis, wo man vieles mit vie⸗ lem vergleichet. 3 12 — 5 XxX Hier ſuchet den Exponenten, in dem ihr entweder das an⸗ dere oder das dritte Glied durch das erſte dividiret Mit dieſem multipliciret in dem erſten Fall das dritte, in dem andern das andere Glied. Das factum iſt und ſo weiter. 6) Von den Vielheiten in der Anwendung der Regel de b) quae- elſch tichen lennet ☛ — — „= „22 — = £ ell eyden Von den Logarithmis. 177 b) quaeſtionem multiplicationis, wo man eins mit 4 vielem vergleichet n der geontf D 6 — 7 : X* Hier ſind die Vortheile der Multiplication zu gebrauchen. c) quaeſtionem diuiſionis, wo man vieles mit einem vergleichet velche de in 5: 1 — 12: x Hier ſind die Vortheile der Diviſion anzuwenden. H Das 4. Capitel. Von den . unt Erklaͤrung. cn §. 221. ebjel n erſt, nne We⸗ dem bis hieher erklaͤrten ſolget, daß es leich⸗Logaritk- ter groſſe Zahlen zu addiren, als durch einan⸗mi. de zu multipliciren; groſſe Zahlen von einander zu ſubtrahiren, als mit einander zu dividiren. In einer mn arithmetiſchen Progreßion wird dasjenige Glied durch „— h die Addittion und Subtraction gefunden, was in der der a geometriſchen durch die Multiplication und Diviſion er Zeiten ene zu ſuchen (§. 136. A. M.). Dieſes hat verurſachet, Mdrtion . — . . 1 tebte daß man eine arithmetiſche Progreßion geſuchet, deren Gill¹ieder ſich auf die Glieder einer geometriſchen Pro⸗ m greßion alſo beziehen, daß dieſe durch jene koͤnnen ge⸗ nſtes funden werden. Die Glieder aus einer ſolchen arith⸗ metlſchen Progreßion werden von denen in der geome⸗ triſchen, auf welche ſie ſich beziehen, Logaritbmi ge⸗ nennet. è Anmerckung. §. 222. Es ſey z. E. die geometriſche Progreßion D 1 . 2 . 4 . §8 16 32. 64. 128256 512 dr die arithmetiſche Sma A I . 2 . 3 . 4 5 6 7 383 9 ntie So iſt der Logarithmus von 1. r der Logarithmus von ſt 2. 2 der Logarithmus von 4. Und ſo weiter. Lehr⸗ 6 178 Das 4. Capitel Lehr⸗Satz. §. 223. Wenn der Logaritbmus von Eins o: ſo iſt der Logaritbmus Todti die Summe von den Logarithmis der beyden Groͤſſen, welche in ein⸗ ander multipliciret, und der Logarubmus des Quotienten der Unterſcheid zwiſchen den Loga- ritbhmis der beyden Zahlen, die man durch einan⸗ der dividiret. Beweiß. Wenn zwo Groͤſſen in einander multipliciret wer⸗ den, ſo verhaͤlt ſich in einer geometriſchen Propor⸗ tion Eins zu dem Multiplicatori, wie das Multi- ſicandum zu dem Facto (§. 76. 122. A. M.). Folg⸗ lich verhaͤlt ſich in einer arithmetiſchen Proportion der Logarithmus von Eins zu dem Logarithmo von dem Multiplicatore, wie der Logarithmus von dem Multiplicando zu dem Logarithmo vom Facto (§. 221.). Und alſo iſt der Legarithinus von dem Fa- Eto die Summe von den Logarithmis der beyden Groͤſſen, welche in einander multipliciret worden, wenn man den Logarichmum von Eins ſubtrahi⸗ ret (§. 132. A. M.). Da nun der Logarithmus von Eins o, ſo iſt unter dieſer Bedingung der Lo- garichmus Facti die Summe von den Logarithmis der beyden Groͤſſen, welche in einander ſind multi⸗ pliciret worden. W. D. CE. Wenn man das Factum mit dem Multiplicando dividiret, ſo iſt der Multiplicator der verlangte Quo⸗ tient (§. 107. A. M.). Und alſo iſt aus dem Be⸗ weiß des vorhergehenden Satzes klar, daß unter dieſer Bedingung, daß der Logarithmus von Einso, der Logarithmus von dem Quotient entſtehet, wenn man von dem Logarithmo des Diuidendi den . . garith- Uüthm D 6 Alte Uund d Kll. Brue ners 52 8. J wen hel s oͤur⸗ ud Ade der l⸗ Wert rühn N De wir hen duß 1 Von den Logarithmis, 179 garithmum des Diuiſoris ſubtrahiret (§. 88. A. M.). on ies W. D. A. elcht ni⸗ 1. Zuſatz. ihnu N §. 224. Ein jeder Bruch iſt anzuſehen als ein n den Quotient, von welchem der Nenner das Maaß cheinc⸗ und der Zehler die zumeſſende Groͤſſe (per. dem. §. 114.). Folglich entſtehet der Logarithmus eines Bruchs, wenn man den Logarithmum des Nen⸗ ners von dem Logarithmo des Zehlers ſubtrahiret Plicketre (S. 223.). en Peen as N 2. Juſatz. 1). 6 §. 225. Das Quadrat entſtehet, wenn man die dan 8 Wuttzel in ſich ſelbſt multipliciret, und der Cubus, dn wenn man das Quadrat mit der Quadrat⸗Wur⸗ i tzel multipliciret, und ſo weiter (§. 145.). Wor⸗ aus es klar, daß der Logarithmus von der Qua⸗ de drat⸗Wurtzel die Helffte von dem Logarithmo des ane Quadrats, der Logarithmus von der Cubic⸗Wur⸗ trc⸗ tzel der dritte Theil von dem Logarithmo des Cubi, tbat⸗ der Logæithmus von der Wurtzel der Groͤſſe in der lde vierten Dignitaͤt der vierte Theil von dem Loga- den rithmmo der beſtimmten Groͤſſe. Und ſo weiter Ct (§. 223.). L d m 3. Zuſatz. led §. 226. Dieſes beſtaͤtiget, daß wir den Loga- ec⸗ rithmum einer Groͤſſe, welcher zu einer gewiſſen Nen Digrnitaͤt erhoben worden, finden koͤnnen, wenn oo wir den Logarithmum der Wurtzel durch den Expo⸗ 1E nenten der beſtimmten Dignitaͤt multipliciren. Und etet daß wir den Logarithmum der Wurtzel von einer ele gegebenen Dignitaͤt finden koͤnnen, wenn wir den MN 2 Lo⸗ 180 Das 4. Capitel Logarithmum der gegebenen Groͤſſe mit dem Expo⸗ nenten der Dignitaͤt dividiren. Z. E. Logarith- mus von 9 = Logarithmus von 3. 4¾ Logarithmus von 256 = Log. von 16. 4 Logarithmus von 16 = Log. von 2. Ferner Logarithmus 1, 3 = l.og. von 8. u. ſ. w. Willkuͤhrlicher Satz. §. 227. Nehmet mit Nepern und Briggen eine geometriſche Progre ion, in welcher das erſte Glied Eins, und der Exponent 10. Und auf dieſe Glieder beziehet die Zahlen aus einer arith⸗ metiſchen Progreßion, deren erſtes Gliedo, und Denominator I. Damit ihr nun aus dieſer Pro⸗ greßion die Logaritbmos von den mittlern Zahlen zwiſchen den Gliedern der geometriſchen Pro⸗ greßion finden koͤnnet, ſo verwandelt die Glie⸗ der in der agrithmetiſchen Progreßion in Deci⸗ mal⸗Zahlen (S. 130.). 3. E. Geom. Prog. 1 10 100 Log. O. OOOOOOOO 1I.00000000 2.00000000 1000 3.00000000 Aufgabe.“ §. 228. Den Logaritbmum von einer mittlern Zahl zwiſchen den Gliedern der beſtimmten geo⸗ metriſchen Progreßion zu finden. 3. Z. den Logarithinum von 8. Aufloͤſung. Der Begriff von der geometriſchen Progreßion lehret es uns, daß es unmoͤglich ſey die Logarith- mOsS mos bond finden. ſen, wenn ſummn,d Lon Nergeſ Deſes e 1) Di ſiſchen logaritl len (S thicet J die (Ne, lerar lugr in ) Mrn erck ſen Von den Logarithmis. 181 atön Gn mos von den beſtimmten mittleren Zahlen genau zu Ela⸗ ſinden. Daher müſſen wir es dabey bewenden laſ⸗ lognäman ſen, wenn wir ſolche bey nahe, das iſt, alſo be⸗ ur igene ſtimmen, daß der Unterſcheid des wahren Logarithmi =m von dem gefundenen unendlich klein (§. 15. Vor.). Dieſes zu erhalten, ſo verwandelt 5. . 1) Die Glieder in der geometriſchen Progreßion, Hriggentt zwiſchen welchen diejenigen Zahl ſtehet, deren her dase Logarithmum ihr ſuchen wollt, in Decimal⸗Zah⸗ 5. Unde len (§. 130.). Als in dem gegebenen Fall ſubſti⸗ einer d tuiret fuͤr 1 und 10. I. 0000000 und 10.0000000. Gliedo dieſer 1 2) Suchet zwiſchen 1. 0000000 und 10.0000000 ellern e⸗ die mittlere geometriſche Proportional⸗Zahl rriſchen in (§. 215.). Von dieſer iſt der Logarithmus die mitt⸗ delt die lere arithmetiſche Proportional⸗Zahl zwiſchen den o, DeH Logarithmum von 1. und von 10 (§. 225. und 100 3) Wenn die gefundene mittlere geometriſche 20000W PFroportional⸗Zahl von der gegebenen 8. um ein merckliches unterſchieden, ſo ſuchet wie zuvor zwi⸗ ſchen dieſer und 10.0000000 die mittlere geome⸗ triſche Proportional⸗Zahl, und von dieſer den Logarithmum. her niti 4) Verfahret ferner wie zuvor, bis ihr in der innnt⸗ geometriſchen Progreßion eine Zahl findet, deren ,: d Unterſcheid von der gegebenen 8 unendlich klein. So iſt der Logarithmus von dieſer Zahl der verlangte Logarithinus von 8. Arocteden Progt 4 unc⸗ M 3 Zu⸗ 182 Das 4. Capitel. Von den Logarithmis. Ju ſatz. §. 229. Der dritte Theil von dem gefundenen Logarithmo von 8 iſt der Logarithmus von 2 (§. 225.). Das Duplum von dieſem Logarithmo iſt der Logarithmus von 4. (§H. 226.). Das Quadru- plum des Logarithmi von 2, oder das Duplum des Logarithmi von 4 iſt der Logarithmus von 16. und ſo weiter. Anmerckung. § 230. Den Gebrauch der Logarithmorum lehret die Abſicht, warum ſie ſind erfunden worden (§. 221.), wo⸗ von zu ſeiner Zeit mehr. i. eflrbere in 2 6 Uuhmd i uin Plun n I E LE MENT A GEOMETRIAE Oder Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchea fft Die Groͤſſe in der Ausdehnung der Dinge zu finden. Erſte Gruͤnde der CGEOMETRIE. = Der Abichnitt. WVerſchiedenen Arten und Eigenſchafften der Ausdehnung, welche bey Erfindung ihrer Groͤſſe zu unterſcheiden ſind. Erklaͤrung. Species ex- ( . Jn einer Ausdehnung ſind die Theile al⸗tenf.. R El, ſo neben einander, daß man den einen auſſer dem andern gedencken kan (§. § IrI. Vor.). Geſchiehet dieſes nur auf eine einfache Art, ſo heiſt die Ausdehnung eine Laͤnge, geſchiehet es auf eine zwiefache Art, eine Breite, auf eine dreyfache Art, ein. Dicke. Erklaͤrung. §. 2. Eine Laͤnge ohne Breite und Dicke heiſt eine Linea & Linie, Und das erſte was ſich in der Linie gedencken Bunſtum laͤſt, wird ein Punct genennet. S 1. Juſatz. §. 3. In einer Ausdehnung koͤnnen Theile von einander unterſchieden werden (§. 1.). Folglich M 5§ iſt 186 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten iſt der Punct keine Ausdehnung und alſo auch keine 24 J U ſa 8;. Sig §. 4. In einer jeden Ausdehnung, welche wir HD 1 empfinden, koͤnnen wir die Laͤnge, Breite und Dicke umt unterſcheiden. Woraus klar, daß wir weder eine Linie Thein noch einen Punct anders als mit dem Verſtande ge? Ihn dencken koͤnnen (§. 2, 3.). Lehr⸗Satz. tern Defnitio §S. F. Wir haben hinreichenden Grund, die genetica li. Iinie als eine Ausdehnung zu gedencken, welche ſ neae. durch die Bewegung eines Punctes entſtanden. mr Beweiß. eund, Wollen wir unſere Aufmerckſamkeit auf ſolche wan Dinge richten, welche nicht anders als durch den Verſtand zu gedencken, ſo erfodern die Geſetze der ic⸗ Vernunft⸗Lehre, daß wir von denſelben Zeichen ſetzen, welche mit ihnen eine Aehnlichkeit haben. Siehe artem meam inueniendi P. I. §. 10. fl. Folg⸗ lich muͤſſen wir auch in der Geometrie etwas ſinn⸗ liches ſetzen, deſſen Anblick uns Gelegenheit geben He kan eine Linie, das iſt, eine Laͤnge ohne Breite zu Aun gedencken (§. 2. 4.). Bewegen wir eine Feder von einem Ort nach dem andern, ſo beſchreiben wir mit derſelben eine Laͤnge (§. 1.), in welcher i wir ſinnlich keine Breite wahrnehmen, wenn wir die Feder ſo ſcharf als moͤglich geſpitzet. Und alſo iſt klar, daß wir durch dieſe Bewegung ein voll⸗ kommenes Zeichen der Linie beſchrieben. Dieſes giebt einen hinreichenden Grund zu behaupten, das wir eine Linie gedencken koͤnnen als eine Ausdeh⸗ i nung, welche durch die Bewegung eines Punctes m eütſtanden (2. 3.). W. Z. E. W. dure die An⸗ X nerc und Eigenſchafften der Ausdehnung. 187 Anmerckung. §. 6, Es kan demnach durch eine jede wohlgeſchaͤrffte Spitze eine Linie beſchrieben werden. Dieſes iſt der tilhe t Grund von verſchiedenen Inſtrumenten, welche eine Li⸗ „ nie zu beſchreiben, verfertiget worden. Das wichtigſte end unter allen iſt die Reiß-Feder, welche Leupold in ſeinem er eine 4 Theatro Arithm. Geom. p. 154. ſl. umſtaͤndlich beſchrieben. eltiney In den Fuͤrleſungen werde zeigen: 1) Wie Linien auf dem Felde abzuſtechen. 2) Wie Linien auf Materialien zu beſchreiben, aus wel⸗ chen man etwas nach Linien verarbeiten will. kuthN Juſatz. en, t §. 7. In einer Bewegrng, fuͤr ſich betrachtet, koͤn⸗ tſtamm nen wir nichts als die Geſchwindigkeit, und die Ge⸗ gend, wornach ſich Dinge bewegen, das iſt, die Di⸗ 1 rection unterſcheiden. Die Geſchwindigkeit macht bey der Beſchreibung der Linien keinen Unterſcheid. Folg⸗ litch iſt der Unterſcheid der Linien, fuͤr ſich betrachtet, Gſe durch den Unterſcheid der Direction, in welcher ſich ai die Puncte bewegen, zu beſtimmen (§. 5.). W Erklaͤrung. . Hos ſhe §. §. Wenn durch die Bewegung des Puncts Diuerſitas e eine Linie beſchrieben wird, ſo behaͤlt entweder der eſhe⸗ Mt Munct in dieſer Bewegung einerley Direction, oder Pararbm Gn wird deſſen Direction veraͤndert. Iſt das erſte, determina- ſcteke ſo wird die Linie eine gerade, und iſt das zweyte, wr. e eine krumme Linie genennet. W auch le en! 1. Juſatz. U §. 9. Alle gerade Linien, fuͤr ſich betrachtet, ſind von einerley Art. Krumme Linien ſind von verſchiede⸗ 6 ner Art, wenn die Veraͤnderungen in der Direction en der Bewegungen, wodurch ſie beſchrieben worden, C. nnnterſchieden (§. I. Vor.). M 2, Juſatz. §. 10. Zwiſchen zween Puncten kan nur eine gera⸗ de Linie ſeyn (5§. 8. 3.P 188 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten S. 1I. Alle Dinge, welche aus aͤhnlichen Stuͤcken auf einerley Art gezeuget werden, ſind aͤhnliche Dinge. Beweiß. In einem Dinge, fuͤr ſich vetrachtet, kan nichts unterſchieden werden als dasjenige, woraus es ge⸗ macht, und die Art und Weiſe, wie es daraus ge⸗ macht. Hieraus iſt klar, daß zwey Dinge einer⸗ ley Merckmahle haben, wenn ſie aus aͤhnlichen Stuͤcken auf einerley Art gezeuget worden (§. 3. 5. A. M. Und hieraus folget, daß ſie aͤhnliche Dinge (§S. 5. A. M.). W. Z. E. W. §. 12. Alle Puncte ſind einander aͤhnlich (§ 2. 3. und §. F. A. M.). Alle gerade Linien werden aus Puncten auf einerley Art gezeuget (§. 8.). Folglich ſind alle gerade Linien einander aͤhnlich (§S. 11.). §. 13. Ein jeder ausgedehnter Theil in der geraden Linie, iſt eine gerade Linie (§. 2. 8.). Und alſo iſt auch in einer geraden Linie ein jeder ausgedehnter Theil der gantzen aͤhnlich (§. 12.). Erklaͤrung. §. 14. Wenn zwey Dinge aiſo neben einander, daß zwiſchen ihnen noch andere koͤnnen geſetzet wer⸗ den, ſo wird geſaget, daß ſie in einer gewiſſen Ent⸗ fernung neben einander. Und dieſe Entfernung wird durch die kuͤrtzte Linie, welche von dem einen Dinge nach das andere zu ziehen, beſtimmet. Zuſatz. §. 15§. Wenn man demnach von dem einen Dinge nach das andere eine gerade Linie ziehet, ſo beſtim⸗ I leſtinnn Jolgcc Wenad V 9. 1 beſchre enttoc algen Eutfen die C bn Pl ¹) Wan wak Leun ſien und Ettv kade ber De⸗ und Eigenſchafften der Ausdehnung. 189 beſtimmet dieſe die Entfernung der Dinge (§. 8.). zeet⸗ Folglich iſt A von B ſo weit entfernet, als A von C, Rric wenn die gerade Linie von A nach B gleich der gera⸗ 1. en ſ den Linie von A nach C (§. 5. A. M.). I. Erklaͤrung. n nih §. 16. Wenn der Punct, indem er eine Linie Piuerfitas ie9 beſchreibet, ſeine Direction veraͤndert, ſo bleibet er curuarum as” entweder beſtaͤndig in einerley Entfernung von einem determina- en angenommenem Punct, oder er aͤndert auch dieſe tur. a Entfernung. Aſt das erſte, ſo wird die krumme Linie ſ die Circul⸗Linie genennet. P png⸗ 1. Juſatz. §. 17. Dannenhero wir eine Circul⸗Linie beſchrei⸗ 1. (ben, wenn wir eine gerade Linie A C um einen feſten 2. et Punct C bewegen (§. 15. 16.). en Nee 61 Anmerckung. g. 18. In den Fuͤrleſungen werde erklaͤren: 1) Die verſchiedenen Arten von Inſtrumenten, welche man bhey Beſchreibung der Circul⸗Linien gebrauchet, und gun welche uͤberhaupt Zirckel genennet werden Welche von Leupold im Theatro Arithmetico-Geometrico c. 19. um⸗ ſ ſtaͤndlich ſind beſchrieben worden. Hrer 2) Wie Circul⸗Linien auf dem Papier, auf dem Felde, und auf Materialien, aus welchen nach einer Circul⸗Linie etwas zu verfertigen, zu beſchreiben. ud 2. Zuſatz. M n §. 19. Alle Circul⸗Linien ſind einander aͤhn⸗ lich (§. 12. 16. 11.). 1 D N §. 20. Der Punct C, um woelchen ſich die ge⸗circulo di- rade Linie, wenn ein Circul ſoll beſchrieben werden, ſtinguen. V beweget, heiſſet der Mittel⸗ Punct (Centrum). dae expli- im Die gergde Linie C A, welche ſich um den Mittel⸗ 1. 6 Punet 2. i⸗ 190 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten Punct beweget, oder die Weite desjenigen Puncts, welcher die Circul⸗Linie beſchreibet, von dem un⸗ beweglichen Punct, um weſchen ſich jener beweget (§. 16. 17.), wird der Halbmeſſer, (Semidiame- ter oder Radius) genennet. Wenn von einem Punct in der Circul⸗Linie nach einen andern eine gerade Linie gezogen wird, ſo heiſt dieſe die Sehne (Chorda, Subtenſa). Und zwar der Durchmeſſer (Diameter), wenn dieſe Linie durch den Mittel⸗ Punct des Lirculs gehet B D. Gehet aber dieſe gerade Linie nicht durch den Mittel⸗Punct des Cir⸗ culs, z. E. von E nach F, ſo wird ſie ſchlechthin die Sehne genennet. Zuſatz. . §. 21. Aus dieſen Begriffen folget unmittel⸗ ar: 1) Daß alle Radii des Circuls einander gleich und aͤhnlich (§ 16. und §. 7. A. M.). 2) Daß der Diameter des Circuls das Duplum von dem Radio (§ 21. A. M.). Erklaͤrung. . iuerſtas d. 22. Wenn man eine einie in Anſehung einer quae inde andern betrachtet, ſo unterſuchet man entweder, oritur, fial- wie ſich dieſe Linien zu einander verhalten, oder tera ad al-man unterſuchet dasjenige, was in der Lage, in eram re⸗ welcher ſie mit einander verknuͤpffet, zu unterſchei⸗ einde den. Was von dem erſten uͤberhaupt zu ſagen, ſol⸗ ſunt velpa-ches kan aus dem, was in den vorigen Theilen rallelae vel von der Verhaͤltniß ausgefuͤhret, vollſtaͤndig be⸗ inclinan- griffen werden; und was hievon insbeſondere zu Ter. mercken, das muß ich in dem folgenden, wenn es die Gruͤnde erlauben, beſtimmen. Sehen wir auf das zweyte, ſo haben die Linien entweder eine ſol⸗ che Lage gegen einander, in welcher ſie beſtaͤndig einerley Weite behalten, oder ſie veraͤndern in der⸗ ſelben ihre Entfernung. Iſt das erſte, ſo werdenl ie ie G audete, der ar 4 Hhoun fit ei nend ſe ten Arte en Pe Nn n nter kepel (Kencene bon eun 1Rerr rchneſt den Wi N e der ſechthent vu ergſcun 5 l og e enbree 1,, Utecpe ſoge ige DM, Nen rk Eeſ und Eigenſchafften der Ausdehnung. 191 die Linien Parallel⸗Linien genennet: und iſt das andere, ſo wird geſagt, daß ſich die eine Linie zu der andern neige. 1, Zuſatz. §. 23. Wodurch demnach zwo Linien alſo zu be⸗ ſchreiben, daß ſie in einerley Entfernung fortgehen, dadurch koͤnnen Parallel⸗Linien beſchrieben werden. §. 24. Hieraus folget 1) daß zwo Linien, welche mit einer dritten parallel, Parallel⸗Linien (§. 63. A. M.). 2) Daß Parallel⸗Linien, wenn ſie auch unendlich fortgezogen werden, niemals zuſammen ſtoſſen koͤnnen. Anmerckung. J. 25. Das Zeichen, womit ausgedruͤcket wird, daß I. zwo Linien Parallel⸗Linien, iſt ¼. Z. E. wenn die Linie 3. A B und CD parallel, ſchreibet A B CD. So auch MN 4. . L O. In den Fuͤrleſungen werde zeiger:. 19)) Die Beſchaffenheit des Inſtruments, womit Pa⸗ rallel⸗Linien beſchrieben werden, welches man das Pa⸗ rallel-Linial nennet, wovon umſtaͤndlich zu leſen, Leupold im Theatro Arithmetico- Geometrico. G. 308. fl. 2) Wie Parallel⸗Linien ſo wohl auf dem Papier zu be⸗ ſchreiben, als auch auf dem Felde abzuſtechen, und in den Waldern auszuhauen. Erklaͤrung. Inclinario §. 26. Wenn ſich eine Linie g. der andern nei⸗ linearum get, ſo ſind die Neigungen auf beyden Seiten ent⸗eſt vel ob⸗ weder gleich oder ungleich. Iſt jenes, ſo wird die liqua vel perpendi- Meigung perpendicular oder ſenckrecht, iſt dieſes, cularis eine ſchieffe Neigung genennet. D Erklaͤrung. eun §. 27. Wenn die eine Linie A B, welche ſich lnde oriun⸗ nach der andern CD neiget, ſo weit verlaͤngert wird, . bis ſie dieſe Linie in einem Punct beruͤhret, ſo wird 5. dieſe Neigung der Linie ein Winckel genennet. Der Punct A, in welchem ſich dieſe Linien beruͤh⸗ ren 192. Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten ren, heiſt die Spitze (VWertex) des Winckels. Die beyden Linien AB und CD, oder AB und AD, welche ſich in einem Punct beruͤhren, werden die Schenckel (Crura) des Winckels genennet. Zuſatz. §. 28. Je groͤſſer demnach die Oefnung in der Reigung, in welcher ſich zwo Linien beruͤhren, deſto groͤſſer iſt der Winckel (§. 3. Vor.. Anmerckung. §. 29. Einen Winckel benennet man entweder mit dem Buchſtaben, welcher bey der Spitze des Winckels geſetzet. 5. 3. E. der Winckel A. Oder, um Verwirrung zu vermei⸗ den, mit den drey Buchſtaben, welche bey den Spitzen der Schenckel und der Spitze des Winckels ſtehen, ſo, daß dieſer in der Mitten ſtehet. Z. E der Winckel C A B und der Winckel BA D. Oder weil auch dieſe Benennung oſſt⸗ mahls unbequem, mit einem kleinen Buchſtaben, welcher ir der Oefnung des Winckels geſchrieben wird. 3. E. der Winckel x und der Winckel y. c . Erklaͤrung. Quivelre- §. 30. Die Neigung, in welcher eine Linie die an⸗ Mivelobli- dere beruͤhret, iſt entweder perpendicular oder ſchief terum el (O. 26:.). Iſt das erſte, ſo macht ſie einen rechten acuti vel Winckel, wenn nemlich beyde Linien, welche auf obtuſi. beſtimmte Art einander beruͤhren gerade Linien. Alle Winckel, welche nicht rechte Winckel, ſind ſchiefe Winckel. Und zwar iſt ein ſpitziger Wincke, wel⸗ TI. cher kleiner ais ein rechter y: ein ſtumpffer Winckel, welcher groͤſſer als ein rechter (§H. 11. A. M.). Z. E. m und n ſind rechte Winckel. X und y ſind ſchiefe 1 6⁶ Winckel, und zwar iſt X ein ſtumpffer, und y ein ſpi⸗ 5 tziger Winckel. Juſatz. 1 §. 31. Wenn deimnach eine gerade Linie CD auf 6 einer andern Ab perpendicular ſtehet, ſo machet jene auf beyden Seiten m und n rechte Winckel. An⸗ 3 lches F⸗N Pechre ſen g Deitice teden, lor⸗ ohiuc. Heſſeſe Hein hab 1dy, Woccke lid der cl:⸗ N Wuck 4 6 e een z. ſſget, ſlcher Figor. . einſch nache 83 N w N nen Atn und Eigenſchafften der Ausdehnung. 193 nckels Anmerckung. AD,ſ §. 32. Hierans folgetidie Natur de ſenigen Inſtruments ieSiheſfe welches der Winckel⸗Hacken, das Winckel⸗Eiſen, Win⸗ 24 ckel⸗Maaß (Norma) genennet wird, welches man bey Beſchreibung der rechten Winckel, und Perpendicular Li⸗ nien gebrauchet. Siehe Leupold im Theatro Arithm. Geo- ftung in metrico & 345. Wovon in den Fuͤrleſungen umſtaͤndlich igten di reden, und dabey zugleich zeigen werde, wie Perpendieu⸗ NRNNS lar⸗Linien auf dem Papier zu zeichnen, und auf dem Felde abzuſtechen. . Erklaͤrung. tbedettir H§. 33. Winckel, welche in einer Spitze zuſam⸗ Anguli inckse menſtoſſen, und einen Schenckel mit einander ge⸗ contigui & en mein haben, werden Angali contigui genennet. Z. E. verticales ſchen , X und y, m und n, a und b ſind Anguli contigui. aid. lelC Winckel, welche in einer Spitze zuſammen ſtoſſen, enenm und deren Schenckel in einem fortgehen, ſind Verti⸗ . ben cal⸗Winckel. Z. E. Xund o,n und y ſind Vertical⸗ „ nd . SWinckel. 7. Zuſatz. ilebiren §. 34. Anguli céneigut, welche auf einer geraden eg Linie ſtehen, ſind zuſammengenommen ſo groß als zween rechte Winckel 1(5§. 33. 31. und §. 5. A. M.). nade Erklaͤrung. e, . 35., Wenn Linien alſo zuſammenſtofſen, daß igura , alle ihre aͤuſſerſte Puncze beruͤhret werden, ſo wird 1is. e „geſaget, daß ſie einen Raum einſchlieſſen. Und ein en ſolcher von Linien eingeſchloſſener Raum heiſt eine . ack df⸗ §. 36. Zwo gerade Linien, koͤnnen keinen Raum einſchlieſſen (§H. 8.), folglich auch keine Figur machen. 2. Juſatz. Etreld §. 37. In einer jeden Figur koͤnnen wir die Laͤn⸗ Oumhtſ⸗ ge und Breile von einander unterſcheiden (§. 1.). Da nun aber in derſelben keine Dicke (§. 35. 2. 1.); N ſo - 194 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten ſo iſt eine mathematiſche Figur eine Ausdehnung in der Laͤnge und Breite ohne Dicke. Eine ſolche Aus⸗ dehnung wird eine Sléche genennet. Was dem⸗ nach von mathematiſchen Figuren bewieſen wird, ſol⸗ ches iſt auch von den eingeſchloſſenen Flaͤchen zu be⸗ haupten; weil ſolche Flaͤchen und mathematiſche Fi⸗ güren einerley. 3. 3 uſatz. . §. 38. Aus dem Bezriffe von einer mathemati⸗ ſchen Figur folget ferner, daß der Unterſcheid der Figuren aus den Linien, welche den Raum einſchlieſſen, und aus der Beſchaffenheit der Winckel, welche ſie da⸗ durch beſtimmen, zu folgern (§. 3 5. 27.). Erklaͤrung. Quae ratio- §. 39. Bey den Linien, weliche einen Raum ein⸗ ne linea- ſchlieſſen, koͤnnen wir die Beſchaffenheit, die Groͤſſe, n nene Anzahl, und ihre Lage unterſcheiden. In Anſehun e e aurui⸗der Beſchaffenheit, ſind dieſe Linien entweder gerade lineac. oder krumme Linien (S. 8.). Iſt das erſte, ſo werden die Figuren geradlinigte, und iſt das an⸗ dere⸗ krumlinigte Figuren oder Flaͤchens genennet. ieſe bekommen ihre Benennung von den krummen Rnien, welche den Raum einſchlieſſen. Daher der Raum, welchen eine Circul⸗Linie einſchlieſſet (§. 16.), ein Cir ul genennet wird. Erklaͤrung. 2) vel ge- §. 40. In Anſehung der Groͤſſe ſind die Linien, duilacerae welche den Raum ein ſch lieſſen, ent weder geiche vel inae-pder ungleiche Linien, das erſte macht gleichſeitige, ererze u und das zweyte ungleichſeitige Figuren. Theile 6. ſmul bon einerley Art, welche in verſchiedenen Figuren explicatur, einerley Lage haben, werden in denſelben gleich⸗ ull barter nth enchte Theile genennet. Alſo ſind in den nomologae Fig, 9. 10, Tab. 1, AB und ab. AC und ac. CB und Ind Und eb hei AIINr B Wondmon Pon hrer B. ,Geiten ich oder ſch gleich geichſiti⸗ K kbenenf Unter ſt gleihe ihin 6ſ4 4. L ſi in r 0. (63. Be ſze arens wenn dad Trinnt, Linte bletei einheſchee Et, Gi ag l Geſtere 1 ſe ngte he de 16 80 Saten ad n dne denſe en n ein Ut und Eigenſchafften der Ausdehnung. 195 und ob gleichnahmigte Seiten, und die MWinckel in figuris, & A und a. B und b. C und c gleichnahmigte Winckel, gurae ae- Wenn man eine Figur in Anſehung einer andern del mae von ihrer Art betrachtet, ſo ſind die gleichnahmig, quilaterae ten Seiten in dieſen Figuren entweder einander inter ſe. gleich oder nicht. Iſt jenes, ſo werden ſie unter ſich gleichſeirige, und iſt dieſes, unter ſich un⸗ gleichſeltige Figuren genennet. 1. Zuſatz. F§. 41. Figuren, welche unter ſich gleichſeitige, koͤnnen fuͤr ſich betrachtet ungleichſeitige, und welche unter ſich ungleichſeitige, koͤnnen fuͤr ſich betrachtet gleichſeitige Figuren ſeyn. 2. Iuſatz. §. 42. Wenn alle Seiten einer Figur Radii von einem Circul, ſo iſt dieſe Figur eine gleichſeitige (§. 21. 40.). Erklaͤrung. §. 43. Betrachten wir die Anzahl der Linien, 3) vel tri⸗ welche einen Raum einſchlieſſen, ſo wird die Figur, laterae, vel wenn der Raum von drey Linien eingeſchloſſen, ein duatriate- Triangel, wenn er von vier Linien eingeſchloſſen1ygonae. eine vierſeitige, und wenn er von mehreren Linien“ eingeſchloſſen worden, eine vielſeitige Figur genen⸗ net. Woraus leicht zu begreiffen iſt, was ein Fuͤnff⸗ Eck, Sechs⸗Sck, und ſo weiter. Erklaͤrung. §. 44. Aſt der Friangel eine gleichſeitige Figur, Triangu- ſo heiſt er ein gleichſeitiger Triangel, iſt er aber lum eit vel eine ungleichſeiige Figur, ein ungleichſeitiger Tri⸗dequilare⸗ angel (§. 40.). In dieſem ſind entweder noch Ww aequicru- Seiten einander gleich, oder alle Seiten ſind in rum, vel demſelben ungleiche Linien. Iſt jenes, ſo heiſt er ſcalenum. ein gleichſchenckliger Trianvel, iſt dieſes, ſo witd 2 * 196 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten er ins beſondere ein ungleichſeitiger Triangel ge⸗ nennet. . Anmerckung. §. 45. In den Fuͤrleſungen werde durch Huͤlffe des §. 42. 36 und 17 erklaͤren, wie ans drey gegebenen Linien ein Triangel, aus zwey gegebenen Linien ein gleichſchenckliger Triangel, und aus einer gegebenen Linie ein gleichſeitiger Triangel, ſo wohl auf dem Papier zu zeichnen, als auch auf dem Felde abzuſtechen. ð Lehr⸗Satz. 1 d. 46. In jedem Triangel ſind zwo Seiten zu⸗ 9 ſammengenommen groͤſſer als die dritte Z. C. AB + ACE BC. Ferner AB † BC AC ACTCB = AB. Beweiß. Zwo Geiten in einem Triangel ſind entwederzu⸗ ſammengenommen der dritten gleich, oder ſie ſind kle mer, oder auch groͤſſer als die dritte (§. 5F. I1. A. M.) Iſt AB † AC = BC, ſo kan BC fuͤr AB 4. ACin Anſehung der Groͤſſe ſubſtitutret werden (§. 5. A. M.). Will man demnach den aͤuſſerſten Punct von ACin C, und von AB in B legen, ſo koͤnnen dieſe beyde Linien in A nicht wieder zuſammen ſtoſſen, und alſo auch keinen Raum einſchlieſſen (§. 35.). Kan dieſes nicht geſche⸗ hen, ſo iſt es vielweniger moͤglich, d aß drey Linien einen Raum einſch ieſſen, wenn AB AC =— BC. Folglich muͤſſen in einem jeden Lriangel zwo Seiten zuſam⸗ mengenommen groͤſſer als die dritte ſeyn (§. 43.). Erklaͤrung. 4) vel pa- §. 47. Wollen wir den Uterſcheid der Figuren rallelo⸗ in Anſehung der Lage, in welcher die Linen den PE traper Raum einſchlieſſen, beſtimmen: ſo entſtehet hieraus Zia. beſondere Arten der vierſeingen JFiguren. In dieſen ſind ſ die Pk falle Peall. . ken terſc Wi ger Unte Pun glei die unn zute W gles Nrten Nngel g ſfedes geicſete ,alönfe GSien: ACt ttece Netſee ,II., Gn 9140 gy NW dolchkn Sſtto⸗ lnenthe . eſtaß⸗ O 4 — Lnen k tiſel d 6 fund Eigenſchafften der Ausdehnung. 197 ſind die entgegengeſetzten Linien entweder Parallel⸗ Linien oder nicht. Iſt jenes, ſo werden ſie LPa- rallelogramma genennet, und wenn dieſes, Tra- Erklaͤrung. §. 84. Bis hieher von dem Unterſcheid der Figu⸗Figuraera- ren in Anſehung der Linien. Wollen wir den Un⸗ s terſcheid der Figuren durch die Eigenſchafften der Bint t) ve Winckel beſtimmen (§. 38.), ſo werden wir genoͤthi⸗ aequiangu- get die Groͤſſe der Winckel von der Art derſelben zu lae, vel in- Unterſcheiden (§. 28. 30.). In Anſehung des erſten aequiangu- Punkts ſind die Winckel in einer Figur entweder ⸗ gleiche oder ungleiche Winckel. Iſt jenes, ſo wird die Figur eine gleichwincklichte, und iſt dieſes, eine ungleichwincklichte Figur genennet. Weraus leicht zu begreiffen iſt, was Figuren, welche unter ſich gleich⸗ wincklicht, oder ungleichwincklicht (§. 40. . d. 49. Figuren, welche gleichitige (§. 40.) und gleichwincklichte (§. 48.), werden regulaͤre Figuren genennet. Die uͤbrigen, welche nicht beode Eigen⸗ ſchafften haben, heiſſen irregulaͤre Siguren. Dieſes dird zugleich den Begriff von einem regulaͤren und rregniaren Vier⸗Eck, Fuͤnf⸗Sck, Sechs⸗Eck, und ſo weiter beſtimmen (§. 43.). . Erklârung. §. 50. Soll die Art der Winckel in einer Figur 2) vel resa- beſtimmet werden, ſo ſind ſolche entweder rechte angulæ vel Winckel oder ſchieffe (§. 30.). Das erſte verurſa⸗obliquan⸗ chet, daß wir die Figuren rechtwincklichte, und das Sla. zweyte, daß wir ſolche ſchieffwincklichte Figuren nennen. N 3 Er⸗ 199 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten Erklaͤrung. Species §K. 51. Ein Triangel wird in Anſehung der Win⸗ T riangulo. cpe⸗ rechtwincklicht (Triangulum rectangulum) ge⸗ rum ratio- S . . — ne angulo- Meunet, wenn in ihm ein rechter Winckel: Z. E. Pig. rum. 1I. Tab. I. ſtumpfwincklicht (Triangulum obtuſ- angulum), wenn in ihm ein ſtumpffer Winckel: Z. E. Fig. 12. Tab. I. ſpitzwincklicht (Triangulum acutangulum), wenn in ihm alle drey Winckel ſpitzig: z. E. Fig. 10. I ab. I. (§. 30.). Erklaͤrung. Partes Tri- §. 72. In einem rechtwinckuchten Triangel wer⸗ anguli re den die Linien, welche den rechten Winckel ſchlieſſen anguli. A C. A B. die Catheti, und die Linie CB. welche dem rechten Winckel entgegen geſetzet, wird die Mypothe- niſa genennet. Anmerckung. K. 53. In den Faͤrleſungen will durch den Gebrauch des H. 28. 32. 21. und 35. erklaͤren, wie dieſe Triangel ſo wohl auf dem Papier zu beſchreiben, als auch auf dem Felde ab⸗ zuſtechen. Erklaͤrung. E . §. 54. Verbindet die Eigenſchafften der Figuren, Ex cornbi welche ich bis hieher erklaͤret, nach den Geſetzen, welche fectionum ich in meiner via ad veritatem §. 336. und folgenden Fsata un vorgeſchrieben habe, ſo werdet ihr noch verſchiedene e icatg. Arten von Figuren gedencken koͤnnen, von welchen fol⸗ rum oriun- gende beſonders zu mercken. Ein Viereck, welches tur: Qua-gleichſeitigt und rechtwincklicht (§. 40. 50.), heiſt ein dratum, Quadrat. Fig. 13. Tab. I. Ein Viereck, welches gleich⸗ 2blonzam ſeitigt und ſchiefwincklicht, eine Raute Rbombut. gulum, Pig. 4. Tab. I. Ein Viereck, welches rechtwinck⸗ Rhombus licht und alſo ungleichſeitig, daß nur die entgegen⸗ 8 Rhom-geſetzten Seiten einander gleich, ein Redangulum. boides., Pig. 15. Tab. I. Und ein Viereck, welches ſchiel⸗ winck⸗ „* Ind tickicht und igtſetten S rgehennet 65. In de Cteſo wohl auf libſtchen. (der Foat an ibe der Fi leduns, ſa WNBs ſen W de Une, nelhe Wlklis nn Wune ik Ainegenennt . N.. D t, 1 deh Ghir det E R Ect, und ſ 1 Trinnge ſg. ) enen Aten ung der W nghlunſe 1: h gelumonne fir Winc (Trungoln Plcceie riangelte ckel ſchi⸗ ,welche die MM 7Glentik inmzelta dent ehet derer⸗ letenre Uldſeote Mtin itt⸗ eteck, N und Eigenſchafften der Ausdehnung. 199 wincklicht und alſs ung eichſeitig, daß nur die entge⸗ gengeſetzten Seiten einander gleich, wird ein Rhom- boides genennet. Fig. 16. Tab. I. Anmerckung. §. 55. In den Furleſungen will ich zeigen, wie dieſe Vier⸗ ecke ſo wohl auf dem Papier zu zeichnen, als auf dem Felde abzuſtechen. . Erklaͤrung. §. 56. Der unterſte Theil einer Figur wird ihre Nonnullae Baßs genennet. Der Winckel, welcher der Baſi Partes in ſi- entgegen geſetzet, heiſt die Spitze (Vertex) der Fi⸗ ne r . 6 — ; SueR gur. Die Perpendicul⸗Linie, welche aus der Spi⸗ explican- te der Figur auf die Baſin gezogen wird, heiſt die rur. Hoͤhe der Figur. Z. E. In Fig. II. Tab. I. ſey AB die Baſis, ſo iſt CA die Hoͤhe. Lig. 9. Lab. l. ſey AC die Baſis, ſo iſt BD die Hoͤhe. Pig. 12. I ab. I. ſey AB die Baſis, ſo iſt CE die Hoͤhe. Die gerade Linie, welche in einer Figur aus der Spitze eines Winckels nach der Spittze eines entgegengeſetzten Winckels iſt gezogen worden, wird die Diagonal⸗ Kiaie genennet. Z. E. AD in Fig. 13. und A C in FIg. 14. . 1. Juſatz. §. 57. Weil die Lage einer Figur nicht nothwen⸗ dig iſt, ſo kan man eine jede Seite in der Figur als die Baſin annehmen. Woraus es klar, daß eine Figur verſchiedene Hoͤhen haben koͤnne. — 2. Zuſatz. „. 58. Eie jedes Vier⸗Eck, Fuͤnff⸗Eck, Sechs⸗ Eck, und ſo weiter, kan durch die Diagonal-Linie in Triangel getheilet werden, ſo, daß die Anzahl der Triangel um zwey weniger, als die Anzahl der Seiten, welche die Figur eingeſchloſſen (§. N 4 3. ZU⸗ 200 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten z. Zuſatz. §. 5§59. Dieſes verurſachet, daß wir geſtehen muͤſ⸗ — ſen, eine jede geradlinigte Figur koͤnne durch Huͤlffe der Triangel gezeichnet werden. . . Anmerckung. De geneſi §. 60. Von verſechiedenen Lehrern der Mathematik wird figurarum behauptet, daß man eingeſchloſſene Flaͤchen gedencken haétenus koͤnne, als wenn ſie aus der Bewegung einer Linie ent⸗ che ex licata- ſtanden. Ich geſtehe, daß dieſes bey verſchiedenen Figuren rum. moͤglich. Z. E. ein Eircul entſtehet, indem ſich eine gerade Uen Linie um einen veſten Punct beweget (§. 16. 39.). Ein lin Quadrat entſtehet, indem ſich eine gerade Linie an einer alſ andern, welche ihr gleich, perpendicular beweget (§. 5ß4. un 26.). Ein Rhombus entſtehet, indem ſich eine gerade Li⸗ 1 nie an einer andern, welche ihr gleich, ſchieff beweget (§. §. cit. eit.). Ein Reckangulum entſtehet, indem ſich eine gerade Linie an einer andern, welche gröſſer oder kleiner als jene, perpendicular beweget (GC. F. cit. cit.). Ein Rhomboides entſtehet, indem ſich eine gerade Linie an einer andern, welche groͤſſer oder kleiner als jene, ſchieff . beweget (§. §. cit. cit.). Wollte ich aber befahen, daß alle Figuren durch bie Bewegung einer Linie entſtehen, ſo ma muͤſte nicht ohne Grund befuͤrchten, daß man mir alle N Triangel, und alle regulaͤre und irregulaͤre Viel⸗Ecke ent⸗ gegen ſetzte. Daher werde ich genoͤthiget, die Frage: Wie kan der Urſprung von den eingeſchloſſenen Flaͤchen ge⸗ Aut dacht werden? alſo zu beantworten, daß man diejenigen, crl welche durch die Bewegung einer Linie entſtehen koͤnnen, n von denen unterſcheiden muͤſſe, welche nur dadurch entſte⸗ N hen, indem man andere Flaͤchen nach gewiſſen Linien, und nach gewiſſen Winckeln ſchneidet. . 5 wl Erklaͤrung. Corpus §. 6r. Bis hieher habe ich den Unterſcheid einge⸗ cam ſchloſſener Flaͤchen erklaͤret. Wenn eingeſchloſſene quid. Flaͤchen einen Raum einſchlieſſen (§. 35.), ſo bekommen wir einen Begriff von der Ausdehnung i in die Lange, Breite und Dicke (§. 1.). Und dieſes iſt die Erklaͤrung eines mathematiſchen Koͤr⸗ pers. Zu⸗ nten ſchennt⸗ rchhhie hemkatktit einege! 5 nie ani get ie te gelih⸗ bevent em 6 LAut . ſene,ſni Phen, en, fir al Eckeer lschen? dieſent⸗ n Kn rchen⸗ ininn 1 Hnr . 4 und Eigenſchafften der Ausdehnung. 201 Zuſatz. §. 62. Der Unterſcheid der Koͤrper muß aus der Beſchaffenheit der Flaͤchen, welche den Raum ein⸗ ſchlieſſen, und aus der Art und Weiſe, wie ſie den Raum einſchlieſſen, gefolgert werden. g Erklaͤrung. §. 63. Sehen wir auf die Beſchaffenheit der Flaͤ⸗ Quod ra- chen, welche durch die Einſchlieſſung des Raums ei⸗ tianen ſgu⸗ nen Koͤrper machen, ſo ſind ſolche entweder gerad⸗ ſhatium linichte oder krumlinichte Flaͤchen (§. 39.). Und terminant alſo koͤnnen auch die Koͤrper vermoͤge dieſer Einthei⸗ )vel recti- lung der Flaͤchen in geradlinichte und krumlinichte Bneun vel Koͤrper eingetheilet werden. BrRhe⸗ um. Erklaͤrung. §. 64. Wenn ferner die Flaͤchen, welche einen ²) vel re. Koͤrper einſchlieſſen, gleiche und regulaͤre Figuren Zulare vel (§. 49.) von einerley Art, ſo heiſt der Koͤrper re⸗ Sa uare. gulaͤr. Die uͤbrigen Koͤrper werden uͤberhaupt irre⸗ gulaͤre Roͤrper genennet. Der regulaͤre Koͤrper heiſt das Tetraedrum, wenn der Raum von vier gleichſeitigen Triangeln eingeſchloſſen. Das Ocae- drum, wenn der Raum von acht gleichſeitigen Tri⸗ angeln eingeſchloſſen. Das Tosaedrum, wenn der Raum von zwantzig gleichſeitigen Triangeln einge⸗ ſchioſſen. Das Dodecaedrum, wenn der Raum von zwoͤlff regulaͤren Fuͤnff⸗Ecken eingeſchloſſen. Anmerckung. §. 65. Ueberelle dich nicht, geneigter Leſer, urtheile nicht, als wenn ich hier wider dies Geſetze der Lehr⸗Art gehandelt, indem ich den gleichſeitigen Triangel als eine regulaͤre Figur angenommen, da doch noch nicht iſt bewieſen worden, daß alle Winckel in einem ſolchen Triangel einander gleich, welches ein nothwendiges Stuͤck einer regulaͤren Figur (§. 49.). Ich glaube nicht, daß es von groſſer Wichtigkeit, wenn wir dieſe vier Arten von regulaͤren N FS Koͤr⸗ 202 Der r1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten 4 Koͤrpern genau unterſuchen. Daher habe ich nur bey dieſer (L21. Gelegenheit die Begriffe von dieſen anzeigen wollen. e Ari Erklaͤrung. Ratione §. 66. Wollen wir den Unterſcheid der Koͤrper 17 mon. 49 durch die Artund Weiſe, wie die Flaͤchen den Raum aK num ter⸗ einſchlieſſen, unterſuchen: ſo werden wie finden, daß ſien minant. dieſe entweder in einem fortgehen, oder daß ſie in 1) vel gewiſſe Winckel zuſammenſtoſſen. Iſt das erſte, ſo ſphaera vel ſind entweder alle Puncte in der aͤuſſerſten Flaͤche in non⸗ des Koͤrpers von deſſen Mittel⸗Punct gleichweit ſſchen entfernet, oder dieſe Entfernungen ſind unterſchieden. (aſet Wenn jenes, ſo heiſt der Koͤrper eine Kugel. Wenn Ep dieſes, ſo entſtehen verſchiedene Arten von Koͤrpern, wkli von welchen ich einige, deren Erkenntnis Anfaͤngeen W noͤthig iſt erklaͤren werde. 1. Juſatz. §. 67. Hieraus iſt es klar, 1) daß eine Kugel einen⸗ beſchrieben wird, wenn ſich ein halber Circul um lſchea ſeinen Diameter herum beweget (§S. 39. 20.). nde 2. Zuſatz. §. 69. 2) Daß alle Kugeln einander aͤhnlich Ge (§. 11. 19.). di 3. Zuſatz. l §. 69. 3) Daß alle gerade Linien, welche aus en dem Mittel-⸗Bunct der Kugel nach ihrer aͤuſſerſten ſi Flaͤche oder beripherie gezogen werden, einander gleich n (§. 21.). Dieſe Linien werden die Radii der KRus gel genennet. 8 4. Zuſatz. ”ßVM 6. 70. 4) Daß alle gerade einien, welche von ei⸗ nem Punet in der Peripherie der Kugel nach eien— andern Punct in der Peripherie durch den Mittel⸗ Punct der Kugel gezogen werden, einander gleich (§. 21⸗ eten Ate kurbenbi wolte. el N 1Klo lnfal , 5,— Ne Ni iri . ähelt he ſerke eg rh i⸗ ⸗ 3 g 4 und Eigenſchafften der Ausdehnung. 203 (§. 2 1. und §. 22. A. M.). Eine ſolche Linie wird die Axis der Kugel genennet. 5. JZuſatz. §. 71. †) Daß alle Ourchſchnitte, welche in ei⸗ ner Kugel mit der Axi parallel geſchehen, Circul⸗ Flaͤchen (S. 16. 39. 22.). Erklaͤrung. §. 72. Stoſſen die Fiachen, welche den Raum ²) vel re einſchlieſſen, in gewiſſen Winckeln zuſammen, ſo ma⸗ cium vel chen ſie entweder lauter rechte oder ſchieffe Winckel blicuum. (§S. 30.). Iſt jenes, ſo werden die Koͤrper recht⸗ wincklichte, und wenn dieſes, ſchieffwincklichte Koͤrper genennet. J Erklaͤrung. §. 73. Aus der Art und Weiſe, wie die vel ae- einen Raum einſchlieſſen, kan noch ein die Flachen on. terſcheid der Koͤrper gefolgert werden. Der Raum dum, vel wird entweder alſo eingeſchloſſen, daß alle Durch⸗nneailo⸗ ſchnitte, welche mit der Baſi parallel geſchehen, ein⸗ acutam. ander gleich. Einen Koͤrper von dieſer Art werde ich einen gleichdicken Koͤrper nennen. Oder der Raum wird alſo eingeſchloſſen daß dieſe Durchſchnitte nicht alle einander gleich. Ein Koͤrper von dieſer Art ſoll ein ungleichdicker Koͤrper heiſſen. Und zwar ein ſpitzer Körper, wenn die Durchſchnitte, welche mit der Baſi parallel geſchehen, immer kleiner werden, alſo, daß die gerade Linie, welche von der Spitze des Koͤrpers nach einen Punct in der Peripherie der Grund⸗Flaͤche gezogen wird, alle Peripherien der Durchſchnitte in einem Puncte beruͤhret. Zuſatz. §. 74. Wir haben demnach Grund zu gedencken, daß ein gleichdicker Koͤrper entſtehe,, wenn ſich eine ebene 204 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten ebene. Flaͤche an einer geraden Linie parallel beweget (5§. 73. und §. 7. A. M.). Geſchiehet dieſe Bewe⸗ gung perpendiculaͤr, ſo entſtehet ein rechtwincklichter gleichdicker Koͤrper (§. 72. 30.). Solte aber dieſe Bewegung eine ſchieffe Bewegung ſeyn, ſo wird auch dadurch ein ſchieffwincklichter gleichdicker Koͤrper entſtehen (S. §. cit. cit.). Erklaͤrung. Ex combi⸗ §. 75. Verbindet die Eigenſchafften der Loͤrper, natione af welche ich bis hieher erklaͤret habe, nach den Geſetzen fetionum der Vernunfft⸗Lehre: Siehe vi . eſene corporum Bernunft⸗Lehre: Sie De viam ad veritatem §. hacdtenus 336. Und fölg. ſo werdet ihr noch verſchiedene explicato- Arten von Koͤrpern beſtimmen koͤnnen, von welchen ſol⸗ rum oriun- gende beſonders zu mercken. Gleichdicke Koͤrper, 1). Prisma⸗welche von geradlinichten Figuren eingeſchloſſen, wer⸗ ta⸗ ecta & den Prismata genennet, und zwar rechtwincklichte, obliqua. wenn die Korper rechtwincklicht; ſchieffwincklichte, wenn die Koͤrper ſchieffwincklicht (§H. 71.). Juſatz. §. 76. Es entſtetet demnach ein Prisma, wenn ſich eine geradlinichte Flaͤche an einer geraden Linie parallel beweget (§. 74.). Von dem Unterſchiede dieſer geradlinichten Flaͤche, welche die Grund⸗Flaͤche des Koͤrpers machet, bekommen die Prismata ihre Benennung. Woraus es leicht zu begreiffen, was ein dreyeckichtes, viereckichtes, fuͤnfeckichtes u. ſ. w. Prisma. . Erklaͤrung. Inter illa §. 77. Ein viereckichtes rechtwincklichtes Prisma, reterni ge⸗ welches von gleichen Quadraten (§. 54.) eingeſehloſ⸗ rnite⸗ ſen, heiſt ein Wuͤrffel Und ein viereckichtes recht⸗ lepipedum Wincklichtes Prisma, welches von Rectangulis einge⸗ ſchloſſen, wird ein Parallelevipedum genennet. 1. Zu⸗ nen te lel bennee winckliche e aberdii ticder i Kone er e, Gin Fitaten tſchiche elchen ſen 1e Ucklicn Naklih und Eigenſchafften der Ausdehnung. 205 1. Zuſatz. §. 78. Ein Wuͤrßſel iſt ein regulaͤrer Koͤrper (§. 64.). 2. Zuſatz. §. 79. Den Ueſprung vom rechtwincklichten Pris- mate (§. 76. 75.) beſtimmet genauer durch die Be⸗ griffe des Wuͤrffels und des Parallelepipedi (§. 77.); ſo werdet ihr auch dieſer Koͤrper Urſprung begreif⸗ fen. Erklaͤrung. §. 80. Ein gleichdicker Korper, deſſen Grund⸗ 2) Cylindri Flache ein Citcul, heiſt ein Clmnder oder eine Wal⸗recti & ob⸗ tze. Und zwar ein rechtwincklichter Qylinder, wenn Rani en der Koͤrper rechtwincklicht; ein ſchieffwincklichter Cylinner, wenn der Koͤrper ſchieffwincklicht (§S. 71.). ZJuſatz. §. 81. Es entſtehet demnach ein Cylinder, wenn ſich ein Circul an einer geraden Linie parallel beweget (§. 74.). . Erklaͤrung. §. 82. Wenn die Grundſtache eines ſpitzen Koͤr⸗3) Coni re- pers (§. 73) ein Circul, ſo wird der Koͤrper ein di e l⸗ Regel genennet. Z. E. ABC iſt ein Kegel. Die Aui ſeu ſea⸗ gerade Linie, welche aus der Spitze des Kegels auf II. den Mittel⸗Punct der Grundfläche gezogen wird, 17. heiſt die Axig des Kegels. Und die gerade Linie CA, welche aus der Spitze des Kegels auf einen Punct in der Peripherie der Grundflaͤche gezogen (§. 33.), wird Latus Coni genennet. Wenn die Axis auf den Mittel⸗Panct der Grund⸗Flaͤche per⸗ pendicutiir faͤllet, ſo heiſt der Kegel ein rechtwinck⸗ lichter Regel. Faͤllet aber die Axis nicht perpendi⸗ culi, ſo heiſt der Kegel ein ſchieffwincklichter Begel. 1. Zu⸗ 206 Der 1. Abſchnitt. Von den verſchiedenen Arten 1. ZJuſatz. II §. 983. Wenn demnach ein rechtwin klichter Tri⸗ 17 angel CBD um die Seite CD herum beweget wird, ſo beſchreibet dieſe Bewegung einen rechtwincklichten Kegel (§. 44. 17.). B 2. J uſatz. §. 84. Es iſt hieraus ferner klar, daß alle Durch⸗ ſchnitte, welche in einem rechtwincklichten Kegel mit der Baſi parallel geſchehen, Circul (§. 17.). Erklaͤrung. Conus §. 85. Wenn ein Kegel mit der Grundflaͤche pa⸗ truncatus rallel durchſchnitten wird, ſo heiſt der untere II Theil des Kegels ein abgekuͤrtzter Kegel. Z. E. 1 8 ABCD. . Erklaͤrung. B 4) Pyrami- §. 86. Wenn die Grundflaͤche eines ſpitzen Koͤr⸗ des rectae pers (H. 73.) eine geradlinichte Figur, ſo heiſt dieſer Koblidee Koͤrper eine Pyramide, und zwar eine dreyeckigte, nae. wenn die Grundflaͤche ein Drey⸗Eck, eine viereckig⸗ II te, wenn die Grundflaͤche ein Bier⸗Eck, und ſo wei⸗ 19 ter. Z. E. ACBDA iſt eine dreyeckichte Pyramide. Wenn die Perpendicul⸗Linie, welche aus der Spitze der Pyramide D auf die Grundflaͤche ABC“ gezo⸗ gen wird, auf den Mutel⸗Punct der BGrundflaͤche faͤllt, ſo heiſt der Koͤrper eine rechtwincklichte Py⸗ ramide. Die uͤbrigen werden ſchieffwincklichte Pyramiden genennet. Was eine abgekuͤrtzte Py⸗ ramide, ſolches iſt aus dem §. 85. zu erkennen. Zuſatz. §. 87. Alle Korper, deren Grund⸗Flaͤche eine geradlinichte Figur, und welche um und um in ſo viele Triangel, als die Grund⸗Flaͤche Seiten hat, eingeſchloſſen, da denn dieſe oben in einem Punct mit ihren Spitzen zuſammenſtoſſen, ſind Pyramiden (§. 86. 73. 43.). 1. An⸗ RS 6. ſolche undn ichd klare Ben hier verl Kor men reg nen die len. der wir then deee Renn herben Ef S ſeri und Eigenſchafften der Ausdehnung. 207 1. Anmerckung. lced⸗ §. 88. Wie die bin hieher erklaͤrten Koͤrper zu zeichnen, S ſolches will ich in den Juͤrleſungen bey deren Erklaͤrung nach het n und nach zeigen. vitcit 2. Anmerckung. §. 89. Auch hier konnte mir vorgewe rffen werden, daß ich die Zeugung der mathematiſchen Koͤrper unvollſtan dig er⸗ klaͤret, indem ich nur von einigen gewieſen habe, wie ſie durch ſeNo Bewegung der Flaͤchen entſtehen koͤnnen Es wird aber auch Kegele hier eine Fuͤrſicht von noͤthen ſeyn, daß man nicht dasſenige .) verlanget, was unmoͤglich iſt. Sollten alle mathematiſchen Koörper durch die Bewegung der Flaͤchen entſtehen, wie kom⸗ men daher die Pyramiden? wie kommen daher die meiſten ir⸗ ſichet⸗ regulaͤren und regulaͤren Koͤrper? Wer will es demnach leug⸗ er M nen, daß ich einen vollſtaͤndigen Grund habe zu behaupten, daß 15 die Koͤrper in Anſehung ihrer Zeugung in zwo Arten zu thei⸗ len. Einige entſtehen durch die Bewegung der Flaͤchen; an⸗ dere indem jene auf verſchiedene Art geſchnitten werden Doch wir leben in ſolchen Zeiten, da wir hoͤhere und nuͤzlichere ma⸗ ſnk thematiſche Wahrheiten unterſuchen koͤnnen. Und alſo wuͤr⸗ N de es eine gerechte Straffe verdienen, wenn wir unſere Stun⸗ den mit ſolchen Dingen, welche von geringen Nutzen ſind, Nkige verderben wollten. Lecki⸗ . . ſar Der 2. Abſchnitt. „ Erfindung der Groͤſſe gerader Linien i⸗ urnd Winckel. . . . Das 1. Capitel. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien und Winckel fuͤr ſich betrachtet. Hn Grund⸗Satz. Vn Be Maaß, womet eine gerade Linie zu meſ⸗ W ſen, muß eine gerade Linie ſeyn (S. 104. A. 20 Das 1. Cap. Von Erfindung der Groͤſſe 1. Juſatz. S. 91. Ein jeder ausgedehnter Theil einer geraden Linie iſt eine gerade Linie (§. 13.). Und alſo kan man einen jeden ausgedehnten Theil einer geraden Linie als das Maaß von der gantzen annehmen. 2. Juſatz. §. 92. Suchet demnach, wievielmahl dieſer Theil in der gantzen Linie enthalten iſt, ſo habt ihr die geraͤde Linie gemeſſen (117. A. M.). Willkuͤhrlicher Satz. S. 93. Wehmet eine gerade Linie zum allge⸗ meinen Maaß aller Laͤngen an. Theilet dieſe in etliche, und zwar, mit dem Stevino in ſeiner Geo- metria practica, um die Rechnungen zu erleich⸗ tern, in zehen gleiche Theile. Einen jeden Theil von dieſen theilet wiederum in zehen gleiche Thei⸗ le, und ſo ferner, bis ein ſolcher Theil entſtehet, der unendlich klein iſt. . Erklaͤrung. Menſura §8. 94. Eine ſolche nach Gefallen zum allgemeinen linearrum. Maaß aller Laͤngen angenommene Linie heiſt eine Pedes, Di-Kuthe, und zwar eine geometriſche oder Decimal⸗ giti, Lineæ, . en . Theil Scrupuli Rurthe, wenn ſie durchgehends in zehen gleiche Theile quid. getheilet. Der zehende Theil von der Ruthe heiſt ein Schuh. Der zehende Theil von einem Schuh ein Zoll. Der zehende Theil vom Zoll eine Linie. Der zehende Theil von der Linie ein Scrupel, und ſo weiter. 1. Zuſatz. §. 95. Wenn eine Lange mit einer geometriſchen Ruthe gemeſſen, und dieſe Groͤſſe mit Zahlen aus⸗ gedruͤcket wird, ſo ſind dieſe Zahlen Deeimal⸗Zah⸗ len (§. 127. Rech.). Dieſes zeiget den Nuͤßen der eci⸗ Leinet gernm nnehnen. gahldieſrdel obtihrdeede tz. ie zun i heilet if in ſeinell vn zu el⸗ nnſedenl giheli Hpeiſenfiti cNgere . e Ne NeDerw tee geice Ne De Ne 1 einin e Pl ein N rupe/ N ergantſt uhlents mit “ H Oetinlak . hngerd⸗ den Ng⸗ gerade Linien und Winckel fuͤr fich betrachtet. 209 Decimal⸗Rechnung bey Ausmeſſung der Linien: und daß die Decimal⸗Eintheilung der Ruthe vor andern einen Vorzug habe. 2. Zuſatz. §. 96. Eine Ruthe wird nach Gefallen ange⸗ nommen, und ingleiche Theile eingetheilet (§. 94.). Warum wollen wir uns denn verwundern, wenn ſie nicht an allen Orten von gleicher Groͤſſe und Eintheilung iſt. Macht dieſes bey Meſſung der Laͤn⸗ gen keine Verwirrung? mit nichten. Alle gerade Linien haben zu einander eine gewiſſe Verhaͤltniß (5§. 9. Geom. §. 27. 24. A. M.). Wenn demnach eine Groͤſſe mit dem geometriſchen Maaſſe gemeſſen worden, ſo kan ſolche vermittelſt der Regel de Tri in eine Groͤſſe, welche mit einem andern Maaſe ge⸗ meſſen, verwandelt werden (§. 38. 41. 122. 134. A. M.). Dieſes zu erhalten ſprecht: wie ſich verhaͤlt das geometriſche Maaß zu dem Maaſe, womit in gegenwaͤrtigem Falle ſollte gemeſſen werden; ſo ver⸗ haͤlt ſich die Groͤſſe, welche mit dem geometriſchen Maaſe gefunden, zu der vierten Proportional⸗Zahl. Dieſe beſtimmet die gemeſſene Groͤſſe nach dem gege⸗ benen Maaß. Siehe Schwenters Geometriam Ppradticam p. 367. ſl. und Eiſenſchmid in diſcj., noua de ponderibus & menſuris Seldt. III. c. I. Willkuͤhrlicher Satz. §. 97. Wollt ihr die gemeſſene Groͤſſe einer Laͤnge mit Zahlen ausdruͤcken, ſo ſchreibet uͤler dieſe Zahlen folgende Zeichen nn, welche die Benennung von den Theilen des Maaſes aus⸗ druͤcken. 3. E. 4 RKuthen 3 Schuh 6 Zoll 5Li⸗ nien ſchreibet: 4° 3 69 5“ oder 4 3 6 55 (§S. 129. 130. Rech.). * O Ane ci quid. 1 20 20 Circuli ec- §. 99. 210 Das 1. Cap. Von Erfi dung der Groͤſſen Anmerckung. §. 98. In den Fuͤrleſungen werde ich zeigen: 1) Wie man mit dem Zirckel die Theile eines ange⸗ nommenen Maaſes faſſen muͤſſe, wenn man auf dem Papier eine gerade Linie meſſen will. 2 Wie man einen Maaß⸗Stab von Holtz, Eiſen, wo⸗ her die Meß⸗Hetten, und von Hanff, woher die Weß⸗ Schnuren, verfertigen muͤſſe, wenn mit demſelben auf dem Felde eine gerade Linie ſoll gemeſſe werden. 3) Wie man vermittelſt eines ſolchen Maaß⸗Stabes eine gerade Linie auf dem Felde meſſen koͤnne. Siehe Leu⸗ polds Theatr. Aritchmetico-Geometricum 9. 330. fl. Erklaͤrung. cul, welche einerley Mittel⸗Punet concentri- concentriſche Cir haben. Z. E. ABDA und abda ſind concentriſche Circul. Juſatz. §. 100. Die Peripherien concentriſcher Circul ſind einander parallel (§. 21.22. Geom. S. 92. A. M.). Lehr⸗Satz. §. 101. Die Bogen AB und ab, welche in concentriſchen Circuln von den Radiis beſtimmet worden, haben zu den Peripherien der Circul, von welchen ſie genommen, einerley Verhaͤltniß. Beweiß. Beweget um den Punct Cden Radium CAnach B, ſo beſchreibet der Punct in A den, Bogen AB, und der Punct in a den Bogen ab (H. 17.). Folg⸗ lich werden dieſe Bogen auf einerley Art gezeuget. Da ſie nun auch aus aͤhnlichen Stuͤcken gezeuget worden (§. 12.), ſo ſind dieſe Bogen aͤhnliche Stuͤcke von den Peripherten ihrer Encul (§. 1I. 17.). Hieraus folget es, daß die Verhaͤltniſſe die, Sccentriſche Circul werden genennet, cenerici welche nicht einerley Mittel⸗Punct haben. Und geroder eini Deer Bren ſe 3. 5 102.7 in gleche d ſeinen Cren bbon ſeine n C ſr Duote W eit eine en Senn gerader Linien und Winckel fuͤr ſich betrachtet. 211 dieſer Boͤgen zu den Peri ley ſey (d. 23. 4 1. A. M.) Zuſatz. §. 102. Wenn inan deinnach conecentriſche Circul in gleiche Theile theilet, ſo muß der Bogen AB von ſeinem Circul ſo viele Theile haben, als der Bogen ab von ſeinem Circul hat. . Willkuͤhrlicher Satz. §. 103. Theilet die Deripherie eines jeden Cir⸗ n genmd culs in 360 gleiche Theile, welil ſich dieſe Zahl ben. durch viele Zahlen genau divi iren laſt, als Ruterke durch 2. 3. 4. §. 6. 8. 9. 10. 12. 15. und ſo weiter. cOucenef Einen jeden Theil theilet wiederum in 60 gleiche Theile, und ſo weiter, bis ihr endlich Thelle her⸗ ausbringet, welche in Anſehung der gantzen Pe⸗ ripherie unendlich klein ſind. Gag Erklaͤrung. §. 104. Der 360te Theil eines Kirculs heiſt ein Gradus; Brad. Der 60te Theil eines Grades eine Minute . manes. wlcheiher vote Theil einer Minute eine Secund pherlen ihrer Circul einer⸗ e Veint . e; der 6010 da; tertia beſtimn Theil einer Secunde ein Tertie, und ſo weiter. quid. Ctrenln 1. Zuſatz. ſtiß. §. 107. Wenn die Peripherie eines Circuls in 360 Theile, und ſo weiter, iſt eingetheilet worden, und (AlA dieſe Theile alsdenn mit Zahlen ausgedruͤcket werden, Bogen ſo ſind ſolche Sexageſimal⸗Zahlen (§S. 137. Rech. ). „7). W Hieraus folget 1) der NRutzen der Sexageſimal⸗Rech⸗ Geenke nung bey Beſtimmung der Theile in den Peripherien en ſell der Circul. 2) Daß man die Theile in den Periphe⸗ ken roh rien der Tireul alſo bezeichnen koͤnne, wie die Sexage⸗ ll ſinal⸗Zahlen §. 141. Rech. ſind bezeichnet worden. ten Nng 8. E. 14 Grad 12 Minuten 30 Secunden 15 Tertien, De) ſchreibet 14* 12“300 15U. O 2 2. Zu⸗ ger 212 Das 1. Cap. Von Erfindung der Groͤſſe Deb . tadbinig 2. Juſatz. (br II §. 106. Die Bogen Abl und ab, welche in den glh 2*% concentriſchen Circuln von den Kadiis beſtimmet knench worden, haben gleichviele Grade ( §. 102. fl.). Hier⸗ Hidene aus folget, daß aus der Gleichheit der Cireul⸗Bo⸗ Site gen in Anſehung der Grade, die Gleichheit der Cir⸗ ceden, cul⸗Bogen in Anſehung der Ausdehnung nicht koͤnne me e geſchloſſen werden. = V6 Lehr⸗Satz. I 8. 107. Die Circul⸗Bogen ab und AB, welche o 2 aus der Spitze Odes geradlinichten Winckels in⸗ Vintkelſ nerhalb den Schenckein mit verſchiedenen Oeff⸗ pherne nungen des Zirckels beſchrieben worden, haben thlten gleichviele Grade. leu ne Beweiß. ned neV. Weil dieſe Circul⸗Bogen aus der Spite C des rl Wickels beſchrieben worden, ſo ſind es Bogen von emnte concentriſchen Circuln (§H. 99.). Weil fernet die ehen Schenckel des Winckels gerade Linien, ſo ſind 4C0 en und CB die Radii des groͤſten Circuls (§. 40.). Und ian alſo wird man geſtehen muͤſſen, daß die Bogen ſie ab und A B gleichviele Grase haben (§. 106.) ſircc Lehr⸗Satz. em §. 108. Die Anzahl der Grade des Circul Winckel Bogens, welcher aus der Spitze eines geradli nigten Winckels zwiſchen deſſen Schenckel be y⸗ ſchrieben worden, beſtimmet die Groͤſſe dei imdſt Winckels. Beweiß. dEn Wodurch die Groͤſſe der Neigung beſtimmet wir⸗ neſſe in welcher ſich zwo Linien beruͤhren, dadurch win D 8 auch die Groͤſſe des Winckels beſtimmet (5. her ſe ſcheir beſinnt rcub eit u nickt⸗ w inc enen en, 1c O ſed ſn 0, 8 6 nee it Gie de e⸗ gerader Linien und Winckel füͤr ſich betrachtet. 213 Der Circul⸗Bogen, welcher aus der Spitze des ge⸗ radlinigten Winckels zwiſchen den Schenckeln be⸗ ſchrieben wird, beſtimmet die Groͤſſe in der Neigung, in welcher ſich zwo Linien beruͤhren (§. 101.). Folglich kan auch hiedurch die Groͤſſe des Winckels beſtimmet werden. Da nun alle Circul⸗Bogen, welche aus der Spitze des Winckels auf beſtimmte Art beſchrieben worden, gleichviele Grade haben (§. 107.), ſo beſtim⸗ met die Anzahl dieſer Grade die Groͤſſe des Winckels. W. Z. E. W. Juſatz. §. 109. Das Maaß eines Winckels ſolltel ein Winckel ſeyn, den man auf den gegenwaͤrtigen legen, und hiernach ſehen koͤnne, wie vielmal jener in dieſem enthalten ſey (§. 104. A. M.). Dieſe Art die Win⸗ ckel zu meſſen iſt unmoͤglich, das lehret die Beſchaffen⸗ heit der Winckel; folglich muͤſſen die Winckel durch eine Verhaͤltniß anderer Groͤſſen gemeſſen werden (§. 138. ſ. A. M.). Geradlinigte Winckel verhalten ſich zu einander, wie die Grade derjenigen Bogen, welche aus ihren Spitzen zwiſchen den Schenckeln beſchrieben worden (S. 108.). Folglich erkennet man die Groͤſſe eines Winckels, wenn man weiß, wie viele Grade der⸗ jenige Bogen hat, welcher auf beſtimmte Art iſt be⸗ ſchrieben worden. §. 110. Einen vorgegebenen geradlinigten Winckel zu meſſen. . = Aufloͤſung. 1) Theilet einen Circul in ſeine Grade, Minuten, und ſo weiter (§. 1e3. ſ.). 2) Den Mittel⸗Punet dieſes Circuls leget auf die Spitze des geradlinigten Winckels, welchen ihr meſſen ſoll. 3) Zehlet, wie viele Theile derjenige Bogen hat, welcher von den Schenckeln dieſes Winckels abgeſchnit⸗ O 3 ten II 22 214 Das 1. Cap. Von Erſindung der Groͤſſen ten mird. Die Anzahl dieſer Theile iſt die Groͤſſe des vorgegebenen Winckels (§. 109.). Anmerckung. H. III. In den Zurleſungen werde zeigen: 1) Wie der Tragsporteur (Inſtrumentum transportatori- um) und das Aftrolabium zu verfertigen Siehe Leupolds Theatrum Arith. Geom G. 348. fl. 2) Wie mit dem Transporteur die Winckel auf dem Papiere, und mit dem Aſtrolabio die Winckel auf dem Felde zu meſſen. Lehr⸗Satz. §K. 112. Der Diameter theulet den Circul in zwey gleiche Theile. Beweiß. Es ſey BD der Diameter und Cder Mittel⸗Punct des Eireuls. Es ſey der Bogen DAB —– DFEB, ſo muß BCD ein Winckel ſeyn (§. 109. und 27.). Folglich iſt BD keine gerade Linie (§. 8. 27.). Auch dieſes folget, wenn DAB = DFEB. Indem nun dieſes wider die Natur des Diameters (§. 20.), ſo iſt es klar, daß der Diameter den Circul in e aleiche Theile theilet (§. 5. 11. A. M.). Zuſatz. §. 113. Wenn demnach auf einer geraden Linie aus einem angenommenem Puncte ein Circul⸗Bogen beſchrieben wird, ſo iſt dieſer ein halber Circul. §. 114. Anguli contigui x und y, welche auf ei⸗ ner geraden Linie AB ſtehen, machen zuſam⸗ men 180⁰. Beweiß. „Beſchreibet aus CQauf AB einen Circul⸗Bogen, ſo iſt dieſes ein halber Cireul (§H. 113.). Solglin ke li 6 3 1Griſen ſtdie Griſt eigen: um transpom Sieheend . Winckel alſe. ckelaufden i den Cul in Mittel⸗ N &M 109. Md /7 ſte (K & 1, EE he ſttets (20), denn Gteu II. 4. N et gertdenit Circul , Gircll. welchen chen ℳ tel,d 3) N gerader Linien und Winckel fuͤr ſich betrachtet. 21 5 iſt das Maaß der Winckel X undy zuſammen ein halber Circul (§. 129.), oder 1809 (§. 103. 104.). S 1. Juſatz. §. 1I15. Dannenhero entſtehet der Winckel X, wenn man y von 18 — ſubtrahiret, und der Win⸗ ckel y wenn man von 180 ſubtrahiret (§. 88.A. M.). 2. Juſatz. §. 116. Es iſt hieraus ferner klar, daß alle Winckel, welche um einen Punct herum gezogen, 360° machen. P J Lehr⸗Satz. S. 117. Alle Vertical⸗Winckel ſind einander 1 Beweiß. XN= I80⁰. n +◻= 180) (§. 114.). Folglich iſt X †n =n†0 (S. 20. A. M.). Da nun n=n (§. 7. A. M.), ſo iſt auch X = 0 (§. 92. A. M.). Lehr⸗Satz. S. 118. Daß Maaß eines rechten Winckels iſt 1 ein Quadrante, das iſt 90⁰. Beweiß. m +Cn = 1800 (§. 114.). Weil nun m und n rechte Winckel, ſo iſt m é n (§. 26. 30.). Folg⸗ lich iſt m= 180⁰°: 2 = 90⁰⁰°, und n = 180⁰°: 2= 90⁰ (§. 22. A. M.). Das iſt, das Maaß eines rechten Winckels iſt ein Quadrante (§. 103.), oder 909. W. §. 119. Alle Winckel, welche weniger als 9900 ha⸗ ben, ſind ſpitze Winckel Und alle Winckel, welche mehr als 906 haben, ſind ſtumpffe (§. 30.). O 4 Lehr⸗ Cchr⸗ Sat. §. 120. Gleiche geradlinigte Winckel ſind auch aͤhnliche: und aͤhnliche geradlinigte Winckel ſind auch gleiche. Beweiß. Wenn wir uns dasjenige, was in dem §. 108. und 109. ausgefuͤhret, deutlich vorſtellen, ſo finden wir hinreichenden Grund zu behaupten, daß ein jeder geradlinigter Winckel anzuſehen ſey, als wenn er durch die Beſchreibung eines Circul⸗Bogens ent⸗ ſtanden. Wenn zwey geradlinigte Winckel einan⸗ der gleich, ſo haben dieſe Circul⸗Bogen gleichviele Grade (180.). Folglich ſind dieſe Winckel aus aͤhn⸗ lichen Seiten auf einerley Art gezeuget (§. 12. und dem. §. 101.), ſind alſo aͤhnliche Winckel (§. 11.). W. D. A Sind zwey Winckel einander aͤhnlich, ſo haben ſie einerley Merckmahle (S§H. 5. A. M.), folglich auch ei⸗ nerley Oefnung (§. 27. Geom. und §. 3. A. M.). Hieraus folget, daß die Circul⸗Bogen, welche aus ihren Spitzen zwiſchen den Schenckeln beſchrieben wer⸗ den, gleichviele Grade haben (§. 101. 107.). Indem nun dieſe Anzahl der Grade die Groͤſſe des Winckels beſtimmet (§. 108.), ſo ſind aͤhnliche geradlinigte Winckel auch gleiche Winckel (§. 5. A. M.) W. D. A. Das 2. Capitel. VB . on Erfindung der Groͤſſe gerader Linien und Winckel durch die Gleichheit der geradlinigten Triangel. Erklaͤrung. „ K. 121. G wird geſaget, daß zwo Ausdehnungen ein⸗ ander decken, wenn ſolche, indem ſie auf ein⸗ ander 216 Das 1. C. V. Erfindung der Groͤſſe gerader Linien ꝛc. Desn CV ander gelegea ſchrncvng 6 1229 S enande uVn nllche Phehnune yinihre aſegeedet ſltectdehn Gamaſoe elnche dan en A. Ghtpt un NAle gen dihen ſt ſerſng uglih, Euhnndn Sberch Uch W henee . n r Lu Ander gerade muͤſe der de P Nen Das 2. C. V. Erfindung der Groͤſſe geraderinien ꝛc. 217 ander geleget worden einerley Puncte in ihren Ein⸗ ſchraͤnckungen bekommen. Lehr⸗Satz. §. 122. Ausdehnungen, die einander decken, ſind einander gleich u. ahnlich: und Ausdehnun⸗ gen, welche gleich und aͤhnlich, decken einander. eweiß. Ausdehnungen, die einander decken, haben einerley Puncte in ihren Einſchraͤnckungen, wenn ſie auf einan⸗ der ſind geleget worden (§. 121.). Folglich koͤnnen ſolche Ausdehnungen fuͤr ſich betrachtet in allen Stuͤ⸗ cken, und alſo auch in Anſehung der Groͤſſe und in An⸗ ſehung der Merckmahle fuͤr einander ſubſtituiret wer⸗ den (§. 1. A. M.). Da nun aus dem erſten die Gleichheit, und aus dem andern die Aehnlichkeit fol⸗ gel (§. 5. A. M.), ſo iſt es klar, daß Ausdehnun⸗ gen, welche einander decken, einander gleich und aͤhn⸗ lich ſind. W. D. E. In Dingen, fuͤr ſich betrachtet, koͤnnen wir nichts als die Merckmahle und die Groͤſſe unterſcheiden. Folg⸗ lich muͤſſen Ausdehnungen, welche einander gleich und aͤhnlich, fuͤr ſich betrachtet, in allen Stuͤcken und alſo auch in Anſehung ihrer Einſchraͤnckungen mit ein⸗ ander übereinkommen (§. 5. A. M.). Will man demnach ſolche Ausdehnungen auf einander legen, ſo wird eine nothwendige Folge ſeyn, daß ſie einander de⸗ 1. Zuſatz. §. 123. Alle gerade Linien, und alle Circul ſind ein⸗ ander aͤhnlich (§. 12. 19.). Wenn demnach zwo gerade Linien und zwey Circul einander gleich, ſo muͤſſen ſo wohl die Linien als auch die Circul einan⸗ der decken (§. 122.). 2. U G, ₰ §. 124. Es iſt Zu ſa tz. klar, daß in de⸗ nen Figuren, welche einander decken, ſo wohl die O 5 gleich⸗ II 23 II 24 25 218 Das 2 C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien gleichnahmigten Seiten, als auch die gleichnahmigten Winckel einander gleich ſind, S. 121. 40. 122.) Lehr⸗Satz. S. 125. Zwey halbe Circul, welche aus ver⸗ ſchiedenen DHuncten auf einer geraden Linie be⸗ ſchrieben werden, koͤnnen ſich nur in einem Puncte ſchneiden. Beſchreibet auf der geraden Linie Ab aus den Puncten C und D zwey halbe Circul. Sollten ſich dieſe noch in einem andern Puncte als in M ſchneiden, ſo muͤſte dieſer Punct entweder uͤber oder unter dem Punct M liegen. Von dieſen beyden Faͤllen nehmet einen nach euren Gefallen, ſo wer⸗ det ihr geſtehen muͤſſen, es ſey moͤglich, daß in ei⸗ nem Circul zwey Radii ungleiche Linien ſind (§. 20. 122.) . Weil nugaber dieſes unmoͤglich iſt (§. 21.), ſo iſt es eine nothwendige Folge, daß ſich dieſe beyde halbe Circul nur in einem Puncte ſchneiden koͤnnen. Lechr⸗Satz. . 126. Wenn in geradlinigten Triangeln, die in Anſehung der Winckel von einerley Art S. 51.), drey gleichnahmigte Stuͤcke, unter welchen zum wenigſten eine Linie, einander gleich, ſo ſind die gantzen Triangel einander gleich und aͤhn⸗ lich. Beweiß. Erſter Fall. Wenn in den beyden Triangeln alle gleichnahmigte Seiten einander gleich. Z. E. AB= DE. AC=DF. CB=TFE. Nehmet den Triangel D FE und leget denſelben in Gedancken alſo auf den Triangel ACB, daß der Punct D auf A und die Linie D E quf A B Wer . G nign 12 e (le/ n 0 , und Winckel durch die Gleichheit geradlin. Triangel. 217 Weil nun DE=AB, ſo muß der Punct E auf B fallen (§F. 123.). Beſchreibet ferner mit den Ra- diis AC und BC aus dem Punct A und B Circul⸗ Bogen x und y, ſo muß, weil AC=DF und CB =FE, die Spitze der Linie DF in den Bogen y, und die Spitze der Linien EF in den Bogen x fal⸗ len (§. 5. A. M. und §. 20. Geom.). Woraus es klar, daß der Punct F in den Punect faͤllt, in welchem die beyden Bogen X und y einander ſchneiden, das iſt, in den Punct C (§. 125.). Da alſo dieſe Triangel einander decken (§. 121.), ſo ſind ſie auch einander gleich und aͤhnlich (§. 122.). Zweyter Fall. Wenn in den beyden Triangeln zwo gleichnahmigte Seiten, und die Winckel, welche von dieſen Seiten eingeſchloſſen, ein⸗ ander gleich. Z. C. AB=DE. AC= D F. Leget wie zuvor den Triangel DFE auf den Triangel ACB ſo, daß der Punct D auf A, und die Linie DE auf AB faͤllet. Weil nun DE= AB. D= A und DF=A C: ſo faͤllt der Punct E auf B, und die Linie DF auf AC, und alſo der Punct F auf C (S. 12 3.). Weil nun ferner der Punct E auf B und F auf C lieget, ſo muß auch die Linie FE auf CD fallen (§. 8. 10.). Folglich decken dieſe Trian⸗ gel einander (§. 2.), und ſind alſo gleiche und aͤhnliche Triangel (§. 122.). W. Z. . W. Dritter Fall. Wenn in den beyden Triangeln zwey gleichnahmigte Seiren und ein gleich⸗ nahmigter Winckel, welcher von den beyden Seiten niche eingeſchloſſen, einander gleich. GH- RL; GI- MK; H TI Leget wiederum den * geſtalt, daß der P H, ſo fallet der Punct L. aegel MKL auf IGH der⸗ K auf G, und die Linie un KL= GFI und L= guf H, und die Linie LM auf II 26 27 220 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe geraderLinien auf HI (§H. 122. 123. 121.). Beſchreibet ferner mit der Linie GI aus dem Punct G einen halben Circul. Weil nun der Punct K auf G lieget, und MK = Gl, ſo muß der Punct M entweder zwiſchen 0 und 1, oder auf 1, oder zwiſchen I und b, oder auf P fallen (§. 20.). Das erſte und dritte iſt unmoͤglich, weil der Winckel H=L (§. 29.). Gollte der Punct M auf b fallen, ſo wuͤrden die Winckel G und K nicht Winckel von einerley Art bleiben (§. 30.). Und wenn dieſes iſt, ſo koͤnnen die Winckel H und L keine gleichnahmigte Winckel in Triangeln, welche in Auſehung der Winckel von einerley Art ſind, genennet werden (§. 40. 51.). Da nun aber dieſes dem, welches iſt angenommen wor⸗ den, zuwider, ſo muß der Punct M auf I fallen. Und alſo iſt es klar, daß auch dieſe Triangel einan⸗ der decken (S. 121.), und folglich einander gleich und aͤhnlich (§. 122.). W. Z. E. W. = Vierter Fall. Wenn in den beyden Triangeln 24 eine gleichnahmigte Seite, und zween gleich⸗ a25 nahmigte Winckel, welche auf der gegebenen Seite ſtehen, einander gleich. Z. E. Ab = DE. A= D. B= E. “ Leget wiederum, wie zuvor den Triangel DFE dergeſtalt auf den Triangel ACB, daß der Punet D auf A, und die Linie DE auf AB fällt. Weil nun DE=AB. D=A und E= B, ſo faͤllt der Punct E auf B, die Linie EF auf BC, und die Linie DF auf AC (S. 122. 123. 121.). Folglich auch der Punct F auf C. Woraus es abermahl klar, das dieſe TFriangel einander decken (§. 121.), und olglich einander gleich und aͤhnlich (§. 122.). Eel Eein. er gleich und abnlich (F. 122.1 Letzter Fall. Wenn in den beyden Triangeln eine gleichnahmigte Seite, und zwey gleich⸗ nahmigte Winckel, welche nicht beyde auf der gege⸗ u 9 — — — — und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 221 gegebenen Seite ſtehen, einander gleich. Z. E. AB= DE. A= D CSEKE. Leget auch dieſe Triangel, wie zuvor, dergeſtalt auf einander, daß der Punct D auf A, und die Linie DE auf Aß fͤlt. Weil nur D= A, und DE. = A, ſo faͤllet der Punct E auf B, und die Linie DF auf AC (§. 123. 122. 121.). Weil ferner der Winckel F=C, ſo muß auch der Punct F auf COfallen (§. 122.). Und alſo decken auch dieſe Triangel einander (§. 121.), woraus es ſolget, daß ſie einander gleich und aͤhnlich ſind (§. 122.). W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 127. Ueberleget die Beweiſe, mit welchen ich die Glieder des vorhergehenden Satzes beſtaͤttiget: ſo werdet ihr geſtehen müͤſſen, daß in keinem Falle dar⸗ auf zu ſehen, daß die gegebenen Triangel in Anſe⸗ hung ihrer Winckel von einerley Art ſind, als in dem dritten Falle. Und daher iſt es klar, daß wir den be⸗ wieſenen Lehr⸗Satz alſo ausdruͤcken koͤnnen: Wenn in zweyen geradlinigten Triangeln drey gleichnahmigte Stuͤcke, unter welchen zum wenigſten eine Linie, einander gleich, ſo ſind die gantzen Triangel einander gleich und aͤhn⸗ lich. Nur in dem einen Jalle, da nemlich zwo Linien gegeben und ein Winckel, welcher von den gegebenen Linien nicht eingeſchloſſen, muß zuvor bewieſen ſeyn, daß die gegebenen Triangel in Anſehung der Winckel von einer⸗ ley Art ſind. * 3 U ſa 8. §. 128. Es folget ferner aus dem Beweiſſe, mit welchem die Glieder des §. 126. geſetzten Lehr⸗Satzes ſind beſtaͤttiget worden, daß alle gleichnahmigte Win⸗ ckel und alle gleichnahmigte Seiten der gegebenen Tri⸗ angel einander gleich und aͤhnlich, wenn zuvor von D Ei⸗ II 28 A BC, in zwey gleiche T!⸗ 222 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe ger Triangeln das iſt bewieſen! decken (§. 124.). 53. Juſatz. §F. 129. Und da aͤhnliche Ausdehnungen aus aͤhnlichen Stucken auf einerley Art gezeuget werden (§. 11.), ſo wird man es zugleich geſtehen muͤſſen, daß aus drey gegebenen Stuͤcken, unter welchen zum we⸗ nigſten eine Linie, ein geradlinigter Triangel nur auf einerley Art zu zeugen ſey (S. 127. 128.). Anmerckung. g. 130. Durch Huͤlffe dieſes Lehr⸗Satzes will ich in den Fuͤrleſungen zeigen: 1) Wie aus drey gegebenen Stuͤcken, unter wel⸗ cheu zum weuigſten eine Linie, ein geradlinigter Tri⸗ angel auf dem Papier zu zeichnen, und auf dem Felde abzuſtechen. 2) Wie mit einer bloſſen Schnure oder Kette ein Win⸗ ckel auf dem Felde von einem Ort auf den andern zu tra⸗ gen. 3) Wie die Weite zweyer Oerter zu meſſen, zu deren je⸗ den man aus einem angens mmenen Stande kommen kan. 4) Wie die Weite zweyer Oer ter zu meſſen, zu deren ei⸗ nen man nur kommen kan. 5) Wie die Weite zweyer Oerter zu meſſen, zu deren kei⸗ nen man kommen kan. 6⁶) Wie die Hoͤhe eines Orts zu meſſen, zu dem man kommen kan. 7) Wie die Hoͤhe eines Orts zu meſſen, zu dem man nicht kommen kan. “ Aufgabe. §. 131. Einen gerabunigten Winckel 3. E. 3 eile zu theilen. . Aufl oͤſun g. 1) Schneider von den Schenckeln des gegebenen Winckels aus deſſen Spitze nach Gefallen gleiche Theile in D und E. 2) Aus dieſen beyden Puncten D und E beſchrei⸗ bet aderkinien worden, daß ſie einander — —,, — 4 ☛ und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 223 bet mit einerley Oeffnung des Zirckels Circul⸗Bogen, welche ſich in F ſchneiden. 3) Ziehet von F nach A eine gerabe Linie, dieſe ſchneidet den gegebenen Winckel in zwey gleiche Theile. Beweiß. . Weil AD=AE. DF= FE und AF= AF, ſo iſt auch der Winckel DAF = dem Winckel FAE Aufgabe. §. 132. Bine gerade Linie in zwey gleiche Thei⸗ le perpendiculaͤr zu theilen. Au floͤſung. 1) Machet aus den aͤufſerſten Puncten der Linie A B nach Belieben Durchſchnitte in F und E. 2) Ziehet von F nach E eine gerade Linie, dieſe theilet die gegebene Linie in C perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile. . Beweiß. In dem Triangel AFE und FEB iſt AF= FB. AE=EB (§. 21.) und FE= FE. Folglich iſt der Winckel m=n (§. 126. 128.). Es iſt ferner in dem Triangel ACF und FCB die Seite AF= FB (§. 21.), FC= FC, und m= n. Woraus es klar, daß AC= CB und x=0 (S. 126. 128.). Und alſo wird die Linie AB von FE perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile getheilet (§. 26.). W. Z. E. W. Aufgabe. §. 133. Aus einem gegebenen Punet auf ei⸗ I ner Linie eine Perpendicul⸗CLinie auſzurichten. 3. T. aus C auf A B eine Perpendicul⸗CLinie zu richten. Auf⸗ II 29 3° 5 224 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien 1 Aufloſung. 1) Schneidet mit beliebter Eroͤffnung des Zir⸗ Es aus Cnach A und B gleiche Theile CM und O. 2) So wohl aus M als auch aus O machet mit einerley Oeffnung des Zirckels einen Durch⸗ ſchnitt in F. 3) Ziehet durch F nach C eine gerade Linie⸗ 9 Dieſe ſtehet auf AB in C perpendiculaͤt. 1 Beweiß. CM=CO. MF=FO (S§. 21.), FC = FC. Folglich iſt X =y (§. 126. 128.) und alſo ſehet FC auf AB perpendiculaͤr (S. 26.) W. Z. E. W Aufgabe. ſ n §. 134. Von einem gegebenem Puncte auf ei⸗ 4 1 ne Linie eine Perpendieul⸗Linie zu ziehen. 4 Aufloͤſung. 1) Aus dem gegebenen Puncte C, von welchem die Perpendicul⸗Linie auf die gerade Linie AB zu ziehen, durchſchneidet mit einerley Oeffnung des Zir⸗ ckels in zwey Puncten M und N die gerade Linie AB. 2) Aus M und N macht mit einerley Oeffnung des Zirckels einen Durchſchnitt in F. 3) Ziehet durch C und Feine gerade Linie auf AB, dieſe ſtehet auf AB perpendiecnlaͤr in L. . Beweiß. 1 MC=CN. MF=FN (S. 21.), FC= = FTC, ge elsich 0=X (5§ 126. 128.). Ferner MC=CN. de “ CL.= CL. o=x Folglich iſt mn (§. 126. N 128. ). Und a leger CL auf AB perpendicular · An⸗ re M ) mne Dnt de he :. t teee . velchen 45 Ned e gec⸗ Deff und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 22 5 Anmerckung. §. 135. Wie dieſe Aufgaben auf dem Felde aufzuloͤſen, ſolches will ich in den Fuͤrleſungen zeigen. Lehr⸗Satz. §. 136. In einem gierchſe encklichtem Trian⸗ gel ſind 1) die Winckel an der Grund⸗Linie einander gleich. 2) Die Linie, welche die pi⸗ Be des Winckels in zwey gleicheThelle theilet, thei⸗ let auch die Grund⸗Linie und den Triangel in zwey gleiche Theile, und ſtehet auf der Grund⸗ Linie perpendiculaͤr. Beeweiß. Theilet in dem gieichſchen t ichten Triangel ACB den Winckel C in zwey gieiche Theile (J. 13 1.),„ ſo iſt in den Triangeln ACD und CDB, AC.= CB (§. 44.), CD= CD und o=m. Folglich — y, AD= DB. Der FTriangel ADC= dem Triangel CDB, und u=n (§. 126. 128.). W. Z. E. W. uſatz. §. 137. Alſo ſind in einein gleichſeitigen Trian⸗ gel alle Winckel einander gleich (§. 44.). Woraus es klar, daß ein gleichſeitiger Triangel eine regulaͤre Figur iſt (§. 49.). . . Lehr⸗Satz. §. 138. Wenn in einem Criangel die Winckel an der Grund⸗Linie einander gleich, ſo iſt es ein gleichſchencklichter Triangel: und die Perpen⸗ dicul Linie, welche aus der Spitze des Trian⸗ ge s auf die Grund Linie gezogen wird theiler die Spitze, die Grund⸗Linie und den Triangel in zwey gleiche Theile. Bepweiß. Ziehet aus der Spitze C 6 Triangels ACB auf die Linie AB eine Peiper eul Lihie CD(§. 1 34 II 32² II 3² II 226 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader inien ſo iſt u=n (§. 30.), folglich ſind die Triangel ACD und CDB rechtwincklichte Triangel (§. §1.). Da nun in dieſen Triangeln CD= CD u=n und X =y, ſo iſt auch A= CB (S. 126. 128.). Folglich ACB ein gleichſchencklichter Triangel (§. 44.), O = m, AD = DB und der Triangel ACD= dem Triangel CDB (§. 126. 128.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 139. Wenn aiſo die drey Winckel in einem Tri⸗ angel einander gleich, ſo iſt der Triangel ein gleichſeiti⸗ ger Triangel (§. 44.). Lehr⸗Satz. §. 140. Wenn in einem Ctiangel der eine Schen⸗ ckel iſt verlaͤngert worden, ſo iſt der Winckel, welcher hierdurch auſſer dem Triangel entſtehet, groͤſſer als einer von den gegen uͤberſtehenden Winckeln in dem Triangel. . Beweiß. Verlaͤngert z. E. in dem Triangel AB C die Seite AC. Aus dem Puncte A ziehet eine gerade Linie, welche BCin Gin zwey gleiche Theile ſchnei⸗ det (§. 132.). Machet GF=AG, und ziehet aus F eine gerade Linie nach C, ſo iſt in den Triangeln ABG und FGC. AG=GF. BG= GC, und X=y (§. 33. 117.), ſolglich der Winckel n= m (126. 128.). Da nun m+ o m (§. 13. A. M.), ſo iſt auch m + o— u (§. 21. A. M.). Auf glei⸗ che Art kan bewieſen werden, daß m oπ A. Es iſt alſo der aͤuſſere Winckel allezeit groͤſſer als einer von den gegen uͤberſtehenden Winckeln in dem Triangel. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. S. 141. In einem jeden Triangel iſt die groͤſte Linie dem groͤſten Winckel, und die klein⸗ te Und nſe⸗ he, ig d ſchnien und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 227 Wl ſte Linie dem kleinſten Winckel entgegen geſetzet Und wenn die Winckel in den Triangel ungleich/ inerm Winckh che dem groͤſten Wincel ent⸗ ſer als die Linie, welche dem 1 geſetzet. Beweiß. Es ſey in dem Triangel ABC die Seite AC= II neind AB, ſo iſt A B = einem heil von A C(§. 11. A. M. ), 34 ingetf = A D. Ziehet von B nach D eine gerade Linie, ſo iſt ABD ein gleichſchencklchter Triangel (§. 44.), folglich o = X (§. 136.). Nun aber iſt o C „tS„ (§. 140.), folglich iſt auch XE C(S. 21. A. M.). ee Xiſt ein Theil von B, alſo iſt auch B— C (§. 13. 21. er e A. M.). W. D. E. l e⸗ Nehmet ferner an, daß in dem Triangel ABC n der Winckel B— C, ſo iſt entweder ACAB, oder AC —AB, oder AC& AB. Iſt AC= Aß, ſo iſt ABCein gleichſcheneklichter Triangel (§. 44.), 46 folglich B= C (S. 136.). Dieſes widerſpricht ine gelcde dem, was⸗ iſt angenommen worden. Iſt eſde AC. —AB, ſo iſt B = C (m. I.), welches aber⸗ dchan mahl dem, was iſt angenommen worden, widen ſpricht. Tran Und alſo iſt es klar, daß ACα AB. W. D. A. hnclnr §. 142. Dieſer Lehr⸗Satz fuͤhret uns auf dieſe Gedancken, daß unter den Linien in einem Triangel und den ihnen entgegen geſetzten Winckeln eine ge⸗ % wiſſe Verhaͤltniß ſeyn muͤſſe. Der Erfolg wird es lehren, ob wir dieſe werden beſtimmen koͤnnen. Lehr⸗Satz. §. 143. Wenn zwey Parallel⸗Linien (AB II ſund CD) von einer geraden Ainie (EF) durch⸗ 35 odeh ſchnitten werden, ſo folget 1) daß die Wech⸗ acn P 2 ſels 228 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe geraderkinien ſels⸗Winckel (x und y) einander gleich, 2) daß zih der aͤuſſere Winckel (o) dem innern (y) gleich. ,8 3) daß die beyden innern Winckel (u) und (y) )N 4 zuſammen ſo groß als zwey rechte Winckel, das we ult lWinckel Beweiß. „ Ziehet von G auf CD, und von H auf AB Per⸗ Dmg nuge pPendicul⸗Linien (§. 134.), ſo iſt HI = CK (§. 22.)/ (. m und der Winckel I= K (§. 26.) Da nun fer⸗ aßhii ner die Linie GH beyden Triangeln gemein, ſo iſt auch der Winckel X = y (F. 126. 12,8.). W. D. E. Es iſt ferner o — X (§. 117. 33.). Da nun X=V (M. 1.), ſo iſt auch o = y (§. 20. A. M.). it dieſ W. D. A. Wv. Und 0 † u= 180⁰° (§. 114. 33.). Nun iſt o= eun ſoſ (m. 2.), folglich u + y = 180⁰° (§. F. A. M.). debdeninn Lehr⸗Satz. Mn gend IS. 144. Wenn zwey gerade Linien (AB und 35 ◻D) von einer dritten (EF) alſo durchſchnitten Bochtet werden, daß die Wechſels⸗Winckel (X und y), W iit) oder der aͤuſſere Winckel (o) und der innere (y) ld ſ einander gleich, oder die beyden innern Win⸗ mn ckel (uund y) zuſammen 180° machen; ſo ſind die VInd0 gegebenen Linien (AB und CD) parallel. ln Laſſet aus G eine Perpendicul⸗Linie auf K fal⸗ in len (H. 134.). Machet OI = HK, und ziehet von 6. 4 I nach H eine gerade Linie. So iſt in den Trian⸗ 2 geln ICGH und HKG die Seite IG= HK. CGH= G, und der Winckel X—. Folglich iſt bey I ſet ein rechter Winckel, und Hl = K G (§S. 126. 128.). nigtend Daher ſind AB und CD parallel (S. 14.,23.). ſehnkinn W. D. E linig Es eredetlnie eich,2)N ) et U) und inckel,N Nuf A Da nun nein, Ot n ii⸗ , und, innere gern W. neſoſcci rolet euiſ n iten Pin, M.G. nf N ( und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 229 Es ſey ferner o= y. Da nun o = X (§. 117. 33), ſo iſt auch X = y (§. 20. A. M.). Folglich iſt wie zuvor klar, daß AB und CD parallel. W. D. A. Es ſey ferner u + y = 180⁰. Da nun o †+ u = 180⁰° (§. 114. 33.), ſo iſt u1 + Vr = 0o + u (§. 20. A. M.), folglich y = 0 (§ 92. A. M.). In⸗ dem nun o=X (§. 117. 33.), ſo iſt auch y = x (§. 20. A. M.). Woraus abermahl wie zuvor klar, daß AB und CD parallel. W. D. D. Lehr⸗Satz. §. 145. In einem jeden geradlinigtem Trian⸗ gel iſt die Groͤſſe aller drey Winckel zuſammen 180⁰. Und wenn man die eine Seite verlaͤn⸗ gert, ſo iſt der aͤuſſere Winckel ſo groß, wie die beyden innern, die ihm gegen uͤberſtehen, zuſam⸗ Beweiß. Beſchreibet durch die Spitze des Triangels men genommen. AEB mit der Grund⸗Linie AB eine Parallel⸗Li⸗ 2 nie CD, ſo iſt X = y. und n = 0 (§. 143.). Da nun xX T† m + n = 180°⁰ (§. 114. 34.), ſo iſt auch y + m †+ o = 180°⁰ (§. 5. A. M.). W. D. E. Verlaͤngert in dem Triangel A BC die Linie AC., ſo iſt X †+ O = 180⁰ (§. 114. 34.). Da nun y †+ m †+ 0o = 180⁰ (m. 1.), ſo iſt auch X †+ 0 =VTm + (§. 20, A. M.). Folglich X =y+ m (§. 92. A. M.) W. D. A. §. 146. Hieraus folget, daß in einem geradli⸗ nigtem Triangel nicht mehr als ein rechter Winckel ſeyn koͤnne (§. 118.), und daß, wenn in einem gerad⸗ linigtem Triangel ein Winckel ein rechter Win⸗ ckel, die andern beyden ſpitze Winckel ſind (§. 119.). . P 3 2.: 3u⸗ 230 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gera derLinien dWincke 2. Juſatz. und die i d. 147. In einein geradlinigtem Triangel kan wiin ſ nicht mehr als ein ſtumpffer Winckel ſeyn (§. 119,). hin Und wenn in einem geradlinigten Triangel ein ſtumpffer Winckel, ſo ſind die andern benden ſpitze iſet Winckel (§. cit.). Linie fove 3. Juſatz. bakee §. 148. Werans es klar, daß in einem rechtwincke W ligtem Triangel die Hypothenuſa, und in einem nec, ſtumpffwinckligten Triangel diejenige Linie, welche etf dem ſtumpffen Winckel entgegen geſetzet, die groͤſte Unc bl Linie ſey (§. 52. 141. ſnetals ſey (§. 52. 141.). RUid 4. Zuſatz. (Cuig) §. 149. Wenn man in einem geradlinigten Tri⸗ angel einen Winckel von 80° abziehet, ſo bleibet die Summe der beyden uͤbrigen uͤbrig, und wen man die Summe zweyer Winckel von 1800 weg⸗ 4 1 nimmet, ſo bleibet der dritte . (§. 89. A. M.). der g §. 150. Wenn zwey S eines geradlinigten Triangels ſo groß ſind, als zwey Winckel eines annnzk⸗ ⸗ dern geradlinigten Triangels, ſo muß auch der drite— in dem einem dem dritten in dem andern gleich ſeyn (§. 20.). . ſche L 6. Juſatz. §. 15 1. In einem gleichſeitigen geradlinigtem ſ Triangel hat ein jeder Winckel 60⁰. Und ein Tri⸗ angel, in welchem jeder Winckel 60 hat, iſt ein gleichſeitiger Triangel (§F. 137. 139.). Lehr⸗Satz. S. 152. Wenn von einem Puncte auf eine ge⸗ rade Linie gerade Linien gezogen werden, ſo iſt eW unter dieſen die Perpendicul,Linie die kuürtzte, i und üdelitie ljangel kn jangel in enden ſie Frechtnra nie, N diegi iigtent ,ſo Un M G. N Uürigter nes derdet gocen dltiee d end⸗ , eine 1, 9 kunn, N und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 23 t und die uͤbrigen Linien werden immer groͤſſer, ie weiter ſolche von der Herpendieul⸗Linie wegge⸗ hen. Beweiß. Laſſet von dem Punct Qauf AB eine Perpendicul⸗ Linie fallen (§. 134.). Ziehet von C auf AB eine andere gerade Linie z. E. die Linie CN; ſo iſt CDN ein rechtwincklichter Triangel (§. 5r.), folglich iſt die Linie CN= CD (S. 148.). W. D. E. Ziehet ferner von dem Punct Cauf AB eine gerade Linie, welche von der Perpendicul⸗Linie weiter ent⸗ fernet als CN. z. E. die Linie CM. Da nun der Winckel MNC= NMC (S. 145. und N MCE NDC (§. 140.), ſo iſt auch CM CN (S. 141.). W. D. A. 1. Juſat. . d. 153. Wenn demnach von dem Puncte C auf AB zwey gerade Linien gezogen worden, welche einan⸗ der gleich, ſo koͤnnen dieſe keine Perpendicul⸗Linien ſeyn. Und wenn dieſe beyden Linien ungleiche Linien, ſo iſt zum wenigſten eine von dieſen keine Perpendicul⸗ Linie (§. 10.). §K. 154. Wenn von einer geraden Linie aus ver⸗ ſchiedenen Puncten auf eine andere Perpendicul⸗Lini⸗ en gejzogen worden, welche beſtaͤndig einander gleich, ſo ſind jene Linien parallel (§S. 153. 14. 22.). Anmerckung. §F. 155. Wie durch Huͤlffe dieſes Satzes Parallel⸗Linien zu beſchreiben, ſolches will ich in den Fuͤrleſungen zeigen. Lehr⸗Satz. §. 156. In einem jeden Circul iſt der geradlinig⸗ te Winckel, deſſen Spitze der Mittel⸗Punet des Circuls iſt, zweymahl ſo groß wie der geradlinig⸗ P 4 te III 38 III 39 III 40⁰0 III 41 232 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien te Winckel, deſſen Spitze in der Peripherie des Circuls, wenn die Schenckel dieſer Winckel auf gleichen Boͤgen ſtehen. Beweiß. Erſter Fall. Wenn ein Schenckel von dem Win⸗ ckel an dem Mittel⸗Punct ein Stuͤck von einem Schenckel des Winckels an der Peripherie. Es iſt der Winckel C=XPy (§. 145.). X—y (§. 136. 20. 21.). Folglich C = 2 X (§. 4. A. M.), Zweyter Fall. Wenn ein Schenckel von dem Winckel an dem Mittel⸗Punct von einem Schenckel des Winckels an der Peripherie geſchnitten wird. Zie⸗ het von dem Puncte in der Peripherie, welcher die Spi⸗ tze des Winckels A, durch den Mittel⸗Punct des Cir⸗ culs eine gerade Linie AB, ſo iſt o + m ein Winckel an dem Mittel⸗Punct, und r + ein Winckel an der Peripherie nach dem erſten Fall, folglich iſt o ¶me 2r + 2X. Es iſt auch aus dieſer Urſache o= 2r, folglich m = 2X (§. 92. A. M.). . Dritter Fall. Wenn ein Schenckel des Winckels an dem Mittel⸗Puncte weder ein Stuͤck von dem Schenckel des Winckels an der Peripherie, noch von dieſem geſchnitten wird. Ziehet von dem Puncte der Peripherie, welcher die Spitze des Winckels D, durch den Mittel⸗Punct des Circuls Ceine gerade Linie DE, ſo habt ihr den erſten Fall zweymahl, und alſo iſt x=zm und y=20. Folglich X +†£ y= 2 m + 20 (§.63. A. M.). Weil nun keine anderen Faͤlle moͤglich ſind, ſo iſt der gegebene Lehrſatz uͤberhaupt bewieſen worden. 1. Zuſatz. §. 157. Das Maaß des geradlinigten Win⸗ ckels, deſſen Spitze der Mittel⸗Punet des Circuls, iſt der Circul⸗Bogen, welcher von den Schenckeln dieſes Winckels abgeſchnitten wird (§. 108.). Folg⸗ lich iſt der halbe Circul⸗Bogen, welcher von den Schen⸗ tim und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 233 rie N Schenckeln des geradlinigten Winckels, deſſen Spitze elſer in der Peripherie, abgeſchnitten, das Maaß von die⸗ ſem Winckel. 4r §8. 1598. Woraus folget, daß der geradlinigte ein Winckel an der Peripherie ein rechter Winckel, wenn Ei deſſen Schenckel einen halben Circul; ein ſpitzer Win⸗ is ckel, wenn deſſen Schenckel weniger als einen halben Circul; und ein ſtumpfer Winckel, wenn deſſen K”“ Schenckel mehr als einen halben Circul abſchneiden be (§. 118. 30.). e⸗ Anmerckung. §. 159. In den Fuͤrleſungen will ich zeigen, wie durch NR 8 Huͤlffe dieſes Satzes ein Winckelhacken zu probiren, ob er lin richtig oder nicht. Es iſt dieß zugleich der Grund von der Vnch Abſtechung eines Circuls, wenn man nicht zu dem Mittel⸗ lonke Pnunct kommen kann. §. 160. Es iſt hieraus ferner klar, daß alle ge⸗ radlinigte Winckel, deren Spitzen in einem Circul an dDie Peripherie ſtoſſen, einander gleich, wenn ihre den Schenckel gleiche Bogen von dem Circul abſchneiden h (§S. 157. und §. §. A. M.). — Aufgabe. d §. 161. Auf das Ende einer geraden Linie eine I Perpendicul⸗Linie aufzurichten. 81 Aufloͤſung. 1. Rehmet uͤber der Linie Eb nach Gefallen einen ſ, Punct in C. 2) Mit der Circkel⸗Oeffnung CD mercket auf ED den Punct A. 3) Durch A und C ziehet eine gerade Linie, ſo lange d bis CA— CB = CD. 4) Wenn ihr nun aus D durch B eine gerade Linie ziehet, ſo ſtehet dieſe auf ED in D perpendi⸗ Neter. culaͤr. P § Be⸗ = ☛☚ IIL 42 III 43 234 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien . Beweiß. Ciſt der Mittel⸗Punci des Circuls, in deſſen Peripherie die Puncte ADB (§. 14 16. 20.). Folg⸗ lich iſt AB der Diameter (§. 20.), und der Winckel ADB ein Winckel an der Peripherie, deſſen Schen⸗ ckel einen halben Circul abſchneiden (§. 112.). Wor⸗ aus klar, daß ADB ein rechter Winckel (§. 158.), und alſo DB auf ED eine Perpendicul⸗Linie (5. 30.). Lehr⸗Satz. .V §. 162. Die Sehnen, welche in einem Circul gleiche Bogen abſchneiden, ſind einander gleich: und wenn die Sehnen gleich, ſo ſind auch die Bogen, welche von den Sehnen abgeſchnitten werden, gleiche Bogen. Beweiß. Ziehet von den auſſerſten Puneten der gegebenen Sehnen &B und ED nach dem Mittel⸗Punct des Circuls Cgerade Linien, ſo entſtehen die Triangel ACB und CED. Da nun der Bogen ANB = EMD, CB= CD (§S. 20. 21.). Folglich die Linie AB =ED (S. 126. 128.). W. D. E. Es ſey die Sehne AB = ED. Ziehet wie zuvor die Triangel ACB, und CED. Da nunin dieſen die Linie AC= CE und CB = CD (F. 20. 21.), ſo iſt auch der Winckel X = l (§. 126. 128.). Folglich der Bogen ANB = EMD (S§. 157.). W. D. A. Lehr⸗Satz. §S. 163. Wenn die Sehne eines Circuls durch eine Perpendieul⸗-⸗Linie in zwey gleiche Theile ge⸗ theilet wird, ſo gehet die Perpendicul⸗Linie durch den Mittel⸗Punct des Circuls, und theilet auch den Bogen von der Sehne perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile. ſo iſt x= V (§S. 157.). Es iſt ferner AC = CE, und Be⸗ und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 235 Beweiß. Theilet die Sehne AB durch die Perpendieul⸗Linie ED in zwey gleiche Theile (§. 132.), und ziehet die Linien AD und DB, ſo iſt in den Triangeln AGD und GDB, AG=GB. X= y und GD= GD, folg⸗ lich m = n und AD = DB (S. 126. 128.). Aus dem erſten iſt klar, daß der Bogen APE=EOB (§. 157.), und aus dem zweyten, daß der Bogen AMD = BND (S. 162.). Folglich ſchneidet die Perpendicul⸗Linie den Bogen AEB perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile (S§S. 26.). Und weil EPA + AMD = EQB † BND (S. 63. A. M.), ſo gehet die Linie ED durch den Mittel⸗Punct des Circuls (§. 16.20.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 164. Wenn demnach in einem Circul zwo Sehnen perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile getheilet werden, ſo iſt der Punct, in welchem dieſe Perpen⸗ dicul⸗Linien einander ſchneiden, der Mittel⸗Punect des Circuls. Lehr⸗Satz. §. 165. Wenn von dem Mittel⸗Punct des Circuls eine Perpendieul⸗Linie auf die Sehne gezogen wird, ſo theilet dieſe die Sehne und deſſen Bogen perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile. Beweiß. Ziehet von dem Mittel⸗Punct des Circuls C eine Perpendicul⸗Linie auf die Sehne AB (S§. 134.). Siehet von Anach Cund von Bnach C eine gerade Linie, ſo iſt in den Triangeln ACD nnd CDB, AC = C, (§. 20. 21.) und X = y CD = CD. Falglich D = III 44 III 236 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien AD = DB, m=n (§. 126. 128.), und der Bogen AF = EB (§. 157.). Und alſo iſt es klar, daß dieſe Perpendicul⸗Linie ſo wohl die Sehne als auch den Bogen perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile theilet (S. 26.). W. Z. E. W. . Aufgabe. §. 166. Einen Circul⸗Bogen in zwey gleiche Theile perpendiculaͤr zu theilen. Aufloͤſung. 1) Machet aus den aͤuſſerſten Puncten des Cir⸗ ecul⸗Bogens, A, welchen ihr theilen ſollt, nach Belieben mit einer Oeffnung des Circuls Durch⸗ ſchnitte in Fund BE. 2) Ziehet von F nach E eine gerade Linie, dieſe theilet den gegebenen Eircul⸗Bogen in G perpen⸗ diculaͤr in zwey gleiche Theile. . Beweiß. Ziehet von A nach B, von A nach G und von G nach B die Sehnen (§. 20.), ſo iſt in den Triangeln AGC und GCSB, die Linie AC= CB. Der Win⸗ ckel X = m (§S. 132.), und GC= GC (§. 7. A. M.), folglich AG = GB, und y = O (§. 126. 128.). Aus dem erſten iſt es klar, daß der Bogen AG GB (§. 162.), und aus dem andern, daß der Bogen A GB perpendiculaͤr getheilet (§. 26.). W. Z. §. 167. Aus dieſem Beweiſe folget zugleich, daß die Sehne eines Circuls von derjenigen Linie perpen⸗ diculaͤr in zwey gleiche Theile getheilet wird, welche den Bogen dieſer Sehne perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile theilet. §. 168. Da nun die Perpendicul⸗ Linie, welche eine —— —. — — = ige el ng De hlch ſn niti N und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 232 eine Sehne des Eirculs perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile theilet, durch den Mittel⸗Punct des Cireuls gehet (§. 163¾.), ſo folget unmittelbar, daß alle ge⸗ rade Linien, welche auf einen Circul⸗Bogen perpendi⸗ culaͤr fallen, durch den Mittel⸗Punct des Circuls ge⸗ hen (§. 167.). . 3. Zuſatz. §. 169. Alle gerade Linien, welche aus dem Mit⸗ tel⸗Punct des Circuls gezogen werden, fallen auf die Peripherie des Circuls perpendiculaͤr (§. 165.). Erklaͤrung. §K. 170. Eine gerade Lmie, weiche eine krumme von auſſen in einem gewiſſen Punct beruͤhret, heiſt von der krummen Linie der Tangent. Lehr⸗Satz. §. 171. Der Radius des Cireuls macht mit dem Tangenten des Circuls in dem Beruͤhrungs⸗Punet einen rechten Winckel. Und wenn man aus dem Mittel⸗Punct des Circuls auf den Tangenten ei⸗ ne Perpendicul⸗Linie ziehet, ſo faͤllet dieſe auf den Beruͤhrungs⸗Punet. Beweiß. Ziehet an dem Circul, deſſen Mittel⸗ Punct C, den Tangenten Ab, ſo iſt der Beruͤhrungs⸗Punct P. Ziehet aus dem Mittel⸗Punct C nach P eine gerade Linie, ſo iſt OCP der Radius des Circuls (§. 170.20.). Nehmet an, daß die Linie CP auf PA nicht perpendiculaͤr, ſo muß von C auf PA eine andere Perpendicul, Linie koͤnnen gezogen werden (G. 134.), dieſe ſey CA, ſo iſt CAP ein rechtwincklichter Trian⸗ gel, in welchem A ein rechter Winckel (§. 51. 30.). Folglich iſt CP= CA (§. 148.). Nun aber iſt CPECE(§. 21.), folglich CE= CA (§. 21. A. M.) Indem III 47 III 48 Indem nun dieſes unm oͤglich (§. 13. A. M.), ſo iſt es klar, daß der Radius auf dem Beruͤhr ung ne perpendiculaͤr ſtehet, und alſo mit dem Tangentenin dem Beruͤhrungs⸗ Kuncte einen rechten Winckel machet (§. 30.). W. D. E. Ziehet ferner aus dem Mittel⸗Puncte des Circuls Cauf den Tangenten Ab eine Pe erpendienl⸗Linie (§. 134.). Nehmet an, daß dieſe Perpendicul⸗ Linie nicht auf den Beruͤhrungs⸗Punct P, ſondern auf einen andern, z. E. auf den Punct A falle, ſo wird wie zuvor folgen, daß CE= CA. Und alſo erfodert deſe Unmoͤglichkeit (§. 13. A. M.), daß die Linie, welche aus dem Mittel⸗Puncte des Circuls perpendiculaͤr auf den Tangenten gezo⸗ gen, in den Beruͤhrungs⸗ Punct fallen, muͤſſe. W. D. A. Aufgabe. §. 172. Durch einen gegebenen Punct den Tangenten eines Circuls zu ziehen. Au floͤſung. Erſter Fall. Wenn der gegebene Punct auſſer der Peripherie des Circuls. Es ſey Cder Mittel⸗ Punct des Circuls, und A der Punct, durch welchen der Tangent zu ziehen. 1) Ziehet von Cnach A eine gerade Linie CA. 2) Linie CA theilet in zwey g leiche Theile in 3 (§. 132 39 3 B beſchreibet mit AB einen halben Circul, welcher den gegebenen Circul in D ſchneider. 4) Ziehet von A nach D eine gerade Linie, dieſe iſt der verlangte Tangent. Beweiß. CD iſt der Radius des gegebenen Circuls (§S. 20.). CDA iſt ein rechter Winckel (§. 158. 113.), id 238 Das 2. C. Von Erfindung der Sr ſeenader Linien Ug eoͤ⸗ une muß werd . eine eu und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 239 lich iſt AD der Tangent (§. 171.). W. Z. E. Zweyter Fall. Wenn der gegebene Punet in der Peripherie des Cireuls. Es ſey Cder Mittel⸗Punct des Circuls, und D der gegebene Punct in der Perſpherie. 5 1) Ziehet von C nach D den Radium des Circuls CD. H 2) Auf dieſer Linie richtet aus D eine Perpendi⸗ cul⸗Linie (§. 161.) DE. Dieſes iſt der verlangte Tangent (§. 171.). N Erklaͤrung. Uet §. 173. Wenn man aus der Spitze eines gerad⸗ n linigten Winckels FCD das Maaß des Winckels e oder einen Circul⸗Bogen beſchreibet (§. 108.), und auf den aͤuſſeren Punct dieſes Bogens D., in welchem der Bogen den einen Schenckel ſchneidet, eine Per⸗ n. pendicul⸗Linie richtet, bis dieſe den audern Schen⸗ ckel in P beruͤhret, ſo wird dieſe Perpendicul⸗Linie Dp der Tangent von dem Bogen, oder von dem Winckel, wovon dieſer Bogen das Maaß iſt, ge⸗ iſer nennet. RAr enſa n. wad §. 174. Es ſey der Winckel FCh ein rechter Win⸗ “r ckel, ſo gehet der Tangent Dp mit der Linie CF parallel 6§. 30. 154. 171.). Folglich kan der Tangent DF die Linie C niemahls beruͤhren (§. 24.). Woraus eiC es klar, daß der Tangent von einem rechtem Winckel unendlich groß (§. 8. Vor.). d 2. Zuſatz. §. 175. Wird der ſpitze Winckel DCF groͤſſer, ſo muß auch der Tangent DF des Winckels groͤſſer ,cn werden (§. 142.). Je groͤſſer demnach der Tangent ( eines ſpitzen Winckels, deſto groͤſſer iſt der Winckel: 6 D und III 49 III 49 240 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien und ie groͤſſer der ſpitze Winckel, deſto groͤſſer iſt deſſen Tangent. 3. Zuſatz. §S. 176. Und alſo wird mit Grund behauptet, daß die Erkenntniß von der Groͤſſe des Tangenten eines ſpitzen Winckels ein Mittel ſey, die Groͤſſe des Winckels zu beſtimmen. 4. Zuſatz. §. 177. Wenn man einen ſpitzen Winckel von 1800 ſubtrahiret, ſo entſtehet ein ſtumpffer Winckel (§ 19.), welcher mit jenem ein Angulus contiguus auf einer ge⸗ raden Linie (§. 114.). Und alſo kan man auch durch Huͤlffe der Tangenten die Groͤſſe der ſtumpffen Win⸗ el erſinden (§. 176.). 5. Zuſatz. §. 178. Der Tangent von einem rechtem Winckel iſt unendlich groß §. 174. . Hieraus kan man ver⸗ ſtehen, warum der rechte Winckel ein gantzer Winckel, und deſſen Tangent ein gantzer Tangent genennet worden. . Erklaͤrung. d. 179. Dasſenige, was man zu einem gegebenen Theil addiren muß, wenn man das Gantze haben will, heiſt das Complementum von dem gegebenen Theile. Zuſatz. §. 180. Alſo iſt das Complementum eines ſpi⸗ tzen Winckes derjenige Winckel, welchen man zu dem gegebenen addiren muß, wenn ein rechter Winckel entſtehen ſoll (§. 178.). Woraus es leicht zu begreiffen, was der Tangens complementi, oder Cotangens eines gegebenen Winckels ſey Er⸗ (§. 173.). liotg Rer bon ſen den Petr E0, vont ſegerdertin groſeriſi⸗ behaupttt,) Tangenten ,n oſe des onen Vinckelten⸗ Winckel h lus quftit man auchn ſtumpffer tecßtin Vn usan hnt nger Wnt geut genent und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 241 Erklaͤrung. MWD §H. 181. Wenn man aus der Spitze eines gerad⸗ linigten Winckels ACB das Maaß des Winckels, oder einen Circul⸗Bogen beſchreibet (§. 108.), und von dem Punct E, wo der Circul „Bogen den ober⸗ ſten Schenckel ſchneidet, eine Perpendicul⸗Linie auf den unterſten Schenckel faͤllet (§. 134.), ſo heiſt die Perpendicul⸗Linie EF der Snus von dem Bogen ED, und folglich der Sinus von dem Winckel ACB, von welchem der gegebene Bogen das Maaß iſt. Zuſatz. H. 192. Es ſey der Winckel EC ein rechter Win⸗ ckel, ſo iſt der Sinus = dem Radio des Circuls (§. 146. 20.). Wird der ſpitze Winckel ECD groͤſſer, ſo muß auch der Sinus des Winckels groͤſſer werden (§. 142.). Woraus es klar 1¹) warum der Sinus eines rech⸗ ten Winckels der Sinus totus genennet wird (§. 178). 2) Was der Sinus complementi, oder der Coſinus ei⸗ nes ſpitzen Winckels (§H. 180.). 3) Daß die Erkennt⸗ niß von der Groͤſſe des Sinus eines ſpitzen Winckels, ein Mittel die Groͤſſe des Winckels zu beſtimmen. 4) Daß man durch Huͤlffe des Sinus eines ſpitzen Win⸗ ckels die Groͤſſe der ſtumpffen Winckel beſtimmen koͤn⸗ ne (§. 177.). 5) Daß der inus und Tangent eines Winckels Parallel⸗Linien (§. 154. 26. 173. 181.) Lehr⸗Satz. ð §. 193. Der dinus eines Winckels, deſſen Spitze in der Peripherie des Circuls, iſt die halbe Sehne von dem Bogen, welcher von den Schenckeln des Winckels abgeſchnitten wird. Dhbeilet die Sehne AB perpen diculaͤr in zwey gleiche Theile in G (§. 132.), ſo wird zugleich durch die OQ Per⸗ III 30 III 51 242 Das 2. C. Von Erſindung der Groͤſſe gerader Linien Perpendicul⸗Linie ED der Bogen A EB in zwey gleiche Theile getheilet (§. 165.). Folglich iſt die halbe Sehne AG der Sinus von dem halben Bogen AE (§. 181.). Indem nun dieſer halbe Bogen das Maaß von dem Winckel an der Peripherie ADB, deſſen Schenckel den Bogen AEB abſchneiden (§S. 157.), ſo iſt die beſtimmte halbe Sehne auch der Sinus von dem gegebenen Winckel (§. 181.). W. 3. Aufgabe. §. 184. Einen Circul zu beſchreiben, deſſen Peripherie durch drey gegebene Puncte, welche „ nicht in einer geraden Tinie ſtehen, gehet. Auuufloͤſung. 1) Ziehet in Gedancken von dem Punct A nach B, und von B nach D gerade Linien, und dieſe theilet per⸗ pendiculaͤr in zwey gleiche Theile (§. 132.). 2) Aus dem Punct C, wo dieſe Linien einander ſcheiden, beſchreibet einen Circul mit der Oeffnung C. Dieſes iſt der verlangte Circul. ð Beweiß. Es ſollen die gegebenen Puncte ABD in der Peri⸗ pherie des zu beſchreibenden Circuls ſeyn. Folglich ſind die geraden Linien AB und BD Sehnen des Circuls (§. 20.). Wenn verſchiedene Sehnen ei⸗ nes Circuls perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile getheilet werden, ſo iſt der Punct, in welchem dieſe Perpendicul⸗Linien einander ſchneiden, der Mittel⸗Punct des Circuls (§. 164.). Folglich iſt C der Mittel⸗Punct, und C der Radius des Circuls, welcher ſoll beſchrieben werden (§. 20.). Wenn ihr demnach aus dieſem Mittel⸗ Punct Cmit dem Radio C einen Circul beſchreibſ/ 0 1Mirckeldur ſe deeſsz de . W. Jde ſerciebenrſ . 196. 7 get unnittel die Winklel inderchenphe Geſttte Ceten von den Chh werhen. Aunglie ſhendan c 1 I Ve⸗ O dinnd nniger Etffhng Und Bn Keſn G wep nnſol Nerein und Winckel durch die Gleichh. der geradl. Triangel. 243 wenge ſo iſt dieſes der verlangte Circul (§. 21.). W. ſ dee Z. E. W. 1 Bagn Annmerckung. Gendae § 185. In den Fürleſungen will ich von dem Nutzen die⸗ MD ſer Aufgabe umſtaͤndlich reden. dan (Km. ⸗ . 1 r. Zu ſa 3. . 1.) 21 §. 186. Aus dem Beweiſſe dieſer Aufloͤſung fol⸗ get unmittelbar, daß man bey einem jeden Triangel die Winckel als ſolche anſehen koͤnne, deren Spitzen in der Peripherie eines Circuls, und deren entgegen⸗ veiben, N geſetzte Seiten die Sehnen von den Boͤgen, welche uncte, von den Scheuckeln dieſer Winckel abgeſchnitten geher werden. 47 2. Zuſatz. §. 1987. Und alſo iſt es klar, daß in einem jeden Dungin Triangel die halbe Seite der Sinus von dem gegenuͤber⸗ le holtt ſtehendem Winckel (§S. 183.). Aivont 3. Zuſa 6. Oene §. 188. Woraus ferner folget, daß ſich in einem jeden Triangel die Seiten verhalten wie die Sinus der ihnen entgegenſtehenden Winckel (§. 38. A. M.). oe Das z. Capitel. Snet Von ee Erfindung der Groͤſſe gerader Linien ante und MWinckel durch die Aehnlichrteit der ſcnn geradlinigten Triangel. 1.) N Erklaͤrung. A . 189 . wekd N . . . . .„ 2 . een 9 eeun zwey Liguren einander aͤhnlich, ſo ha⸗ lthte⸗ ben ſolche einerley Anzahl der Winckel und eleſ & 2 Linien 244 Das 3. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien Meintid Linien. Der gleichnahmigten Winckel und Li⸗ mhele nien ſind einander aͤhnlich, und die gleichnahmig⸗ erwe ten Seiten haben einerley Verhaͤltniß zu einan⸗ indum der. . . ſamirdd Bew eiß. V Aehnliche Figuren haben einerley Merckmahle lten (§. 5. M. M.), folglich iſt in ihnen dasjenige, wodurch un ſf ſie, fuͤr ſich betrachtet, zu erkennen und von andern zu ſemnſt unterſcheiden, einerley (§. 3. A. M.). Nun kan in Glanderg einer Figur, fuͤr ſich betrachtet, nichts als die B⸗⸗ )D. ſchaffenheit der Linien und Minckel, die Anzahl der achagk Linien und Winckel, und das Verhalten der Linien un⸗ Mdde terſchieden werden (§. 38.). Und alſo folget, daß n Slen aͤhnlichen Figuren einerley Anzahl der Winckel, die ſudde⸗ gleichnahmigten Winckel einander aͤhnlich, einerley heninn Anzahl der Linien, die gleichnahmigten Linien einander het aͤhnlich, und einerley Verhaͤltniß zu einander haben. Me 1. Juſatz. Nſfn §8S. 190. Alle gerade Linien ſind einander aͤhnlich iht (§. 12.), und alle geradlinigte Winckel, welche aͤhn⸗ Flnde lich, ſind auch gleiche Winckel (§. 120.). Wenn ri demnach zwey geradlinigte Figuren, in welchen einer⸗ ſic ley Anzahl der Winckel und Linien, einander aͤhnlich, deri ſo haben ihre gleichnahmigte Seiten einerley Verhaͤlt⸗ i niß zu einander, und ihre gleichnahmigte Winckel ſind WD einander gleich (§. 189.). ” drͤe 2. Zuſatz. §. 191. Es haben demnach in aͤhnlichen geradli⸗ geich, nigten Triangeln die gleichnahmigten Seiten einerley inieſe Verhaͤltniß zu einander. Und ihre gleichnahmigte hnlihe Winckel ſind einander gleich. doß “ 3* 3 U ſa 6. leinan) §. 192. Indem nun geradlinigte Triangel, welche omnef aus aͤhnlichen Stuͤcken auf einerley Art gezeuget wer⸗ ſhe den, gerderlhin und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 245 nckelune den, aͤhnliche Triangel (§. 11.), und aus drey Stuͤcken, lichnhhn unter welchen zum wenigſten eine Linie, ein geradlinig⸗ nis zu eins ter Triangel nur auf einerley Art zu zeugen (§. 129.), ſo wird der §. 126. und 127. folgende Saͤtze beſtaͤtigen. 1) Wenn in geradlinigten Triangein die gleich⸗ .eeng nahmigten Seiten einerley Verhaͤltniß zu einander “ nde haben, ſo ſind die Triangel aͤhnliche Triangel. Und duchen hieraus fgige⸗ daß ihre gleichnahmigten Winckel eeinander gleich. 2) Wenn in geradlinigten Triangeln zwey 3 ( Aleichnahmigte Geiten in einerley Verhaͤltniß ſtehen und die gleichnahmigten Winckel, welche von dieſen nderden Seiten eingeſchloſſen werden, einander gleich, ſo rd ſind die Triangeln aͤhnliche Triangeln. Folglich ſte⸗ Vn hen in dieſen Triangeln alle gleichnahmigten Seiten niche in einerley Verhaͤltniß, und alle uͤbrige gleichnah⸗ len migte Winckel ſind einander gleich. nanedA 3) Wenn in geradlinigten Triangeln, die in Anſehung der Winckel von einerley Art ſind, zwey gleichnahmigte Seiten einerley Verhaͤltniß zu ein⸗ ntr ander haben, und in dem einem Triangel ein Win⸗ ,belce ch ckel, welcher von den gegebenen Geiten nicht einge⸗ „) W ſchloſſen wird, gleich dem gleichnahmigten Winckel Ncaccenee in dem andern Triangel, ſo ſind die Triangel einan⸗ mderihe der aͤhnlich. Folglich ſtehen alle gleichnahmigte eretde⸗ Seiten in dieſen Triangeln in einerley Verhaͤlniß, GeAs d und alle uͤbrige gleichnahmigte Winckel ſind einan⸗ . der gleich. . 4) Wenn in geradlinigten Triangeln die beyden ch gleichnahmigten Winckel, welche auf der Grund⸗ te Linie ſtehen, einander gleich ſind, ſo ſind die Triangel S aͤhnliche Triangel. Woraus es wiederum klar, gei daß ihre gleichnahmigte Seiten einerley Verhaͤltniß zu einander haben, und daß auch der dritte Winckel in em einen gleich dem dritten Winckel in dem an⸗ Ri d c Triangel. ugt, OQ 5 Lehr⸗ 246 Das 3 C Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien Lehr⸗Satz. §. 193. Wenn in einem geradlinigten Triangel eine gerade Linie mit der Grund⸗Linie parallel gezogen wird, ſo verhalten ſich die oberſten Theile der Schen vel zu einander, wie ſich die unterſten Theile der Schenckel zu einander ver⸗ hatren. Beweiß. III Ziehet in dem Triangel ACB mit der Grund⸗ Linie „² Al eine Par auel⸗Lnie DE, iſt der Winckel X=y und m — 0 (S. 143.). Folglich AC: CB = CD: CE (§. 192. pr. 4.). AC: CD-= CB: CE (S. 131. A. M.). AC=–CD: CD = CB — CE: CE (S. 218. II. A. N. b. 2. Rech.). AD: CD= EB: CE (§. 87. A. M.). AD: EB= CD: CE (§S. 13 1. A. M.). W 3. E. W L 1. Au f gabe. §. 194. Eine gerade Linie in ſo viele gleiche Theile zu theilen, als man verlanget. Aufloͤ ſung. n hetto. ſollt die Lunie AB z. E. in fuͤnff gleiche Theile theilen 1) Traget auf eine andere Linie CD, welche ihr nach Gefallen annehmen koͤnnet, ſo viele gleiche Theile, als Aß haben ſoll, nemlich fuͤnffe. 2) Mit Chbeſchreibet auf CD einen gleichſeitigen Triangel CED. 3) Traget aus der Spitze des Triangels E die gegebene Linie AB, auf die Schenckel EC und ED, und ziehet die Linie AB welche der gegebenen Linie glei 1 ch. 4) Aus der Spitze des Triangels E ziehet nach den Und Win Nend tellen Wei huden! Ein =M ES (d. 19 ECnN E BB E. R= Pron ſſten 19 Uenov ſegedeli und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 247 den Theilungs⸗Puncten mnop gerade Linien. Dieſe R— theilen die gegebene Linie in fuͤnff gleiche Theile. igten Crin Linie pord Beweiß. die em Weil EB = EA, EC= CD und der Winckel bey E „ wiſhn beyden Triangeln gemein, ſo iſt EB: BA = EC: CD einendo n (S. 192. Pr. 2.). Da nun CE = CD, ſo iſt auch EB = AB W. D. E. Es iſt hieraus ferner klar, daß der Winckel —0 der Grnret⸗ (§. 191.). Folglich iſt in den Triangeln Eßr und e Nn ECm EB: Br = EC: Cm (S. 192. pr. 4.). Da nun da Eg = BA, und EC = Cb, ſo iſt auch BA: Br = CD: Cm 9 (§. 5. A. M.). Indem nun Cm= 1 CD, ſo iſt auch CE (§! Anmerckung. §. 195. Auf gleiche Art kan eine gerade Linie nach der W). Proportion eingetheilet werden, nach welcher eine andere iſt eingetheilet worden. 2. Aufgabe. §. 196. Einen verjuͤngten Maaß⸗Stab mit Conſtru⸗ ile lihh Transverſal⸗Ainien zu verfertigen. no ernt⸗ Aufloſung. cae. 1) Ziehet eine gerade Linie AD, und theilet dieſe III ge⸗ D in ſo viele gleiche Theile, als es gefaͤllig iſt (§. 194.). 34 en 2) Den erſten Theil von dieſer Linie Ab theilet in C lit zehn gleiche Theile (§. 194.). alteidatg 3) Aus den erſten Theilungs⸗Puncten ABCD egecd richtet auf Ab gleiche Perpendicul⸗Linien (§. 133.). leitſer AF BlII CIund DE. n gleigſe 4) Theilet auch dieſe Perpendicul⸗Kinie in zehn uneir gleiche Theile, und ziehet durch dieſe Theilungs⸗Punc⸗ riang te mit AD Parallel⸗Linien (§. 155.). 50 . 5) Weil nun AB=PII (§. 154.)/ ſo traget die zehn * egeteni Thheile der Linie à von FH nach II. E nehee à 4 6) End⸗ 248 Das 2. C. Von Erfindung der Groͤſſe geraderLinien 6) Endlich ziehet von F nach 9, von 9 nach und ſo weiter, die Transverſal⸗Linien, ſo iſt der verjuͤngte Maaß⸗Stab verfertiget. Beweiß. Es iſt nur noͤthig, daß wir beweiſen, daß die Linie 1I1 = von A9. Die Linie 22 = von A, und ſo weiter (§. 93). Dieſes kan auf folgende Art be⸗ ſtaͤtiget werden. FA iſt ein geradlinigter Trian⸗ gel, mit deſſen Grund⸗Linie die Linie 1, wie auch 22, und ſo weiter, parallel gezogen. Folglich Kr: II = FA: A9 (S. 192. Pr. 4. 6. 143.). —FI: FA= II: A9 (S. 131, A. M). Nun aber iſt Fr = 1 von FA. Folglich iſt 1I = F don2. Auf gleiche Art kan es bewieſen werden, 46 22 — von A9. 33 = 5 von A9, und ſo weiter. 10 I . W. Z. E. . §. 197. Es ſey AB eine Ruthe, ſo iſt A9 — 15 von einer Ruthe, das iſt, ein Schuh. Die Linie 11 iſt von einem Schuh, oder ein Zoll (§. 94.). Folg⸗ lich Bi ein Schuh. Bz zwey Schuh, und ſo weiter, 22 zwey Zoll. 3 3. drey Zoll, und ſo weiter. Folglich rx= 2⁰77 4“. . 2. Juſatz. §. 198. Es ſey AB ein Schuh, ſo iſt 49 = von einem Schuh, loder ein Zoll, die Linie 11 iſt 1 von ei⸗ nem Zoll, oder eine Linie (§. 94.). Folglich Bi ein Schuh, Bz2 zwey Schuh, und ſo weiter. 22 zwey Linien, 33 drey Linien, und ſo weiter. Woraus klar, daß r= 257946“6“. Anmerckung. §. 199. Von dem Nutzen dieſes verjuͤngten Maaß⸗Stabs und von dem Gebrauche der Transverſal⸗Linien bey dea == Trans⸗ und Winckeldut Trungportent 6 0 Mh Theile getbei eun Parallel⸗l dicſ arahe Linie durch che Theile. Dheilt ei Theile in ſehet de e Nun l den de Teeie Deees Nt qus L Olf ſo ſnd NN (Nhei reo in anmieſn 3e. 8 201. J el iri dieſe ſene ten. Dhecd ls M Linenf Triangel dieſen und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 249 Transvorteur und Aſtrolabio will ich in den Fuͤrleſungen re⸗ den. Siehe Leupold Theatr. Arithmetico-Geometr. H. 336. ſl. Lehr⸗Satz. §. 200. Wenn eine gerave Linie in gleiche Theile getheiler, und aus den Cyellungs Dum⸗ ten DHarallel⸗Linien gezogen worden, o ſchneiden dieſe Harallel⸗Linien von einer andern geraden Linie, durch welche ſie ſind gezogen worden, giei⸗ che Theile. Beweisßz. Theilet eine gerade mne AB in etliche gleiche Theile in CDE, aus dieſen Theilungs⸗Puncten ziehet die Parallel⸗Linien AM, CL, DK, El und BH. Nun ſoll bewieſen werden, daß in der Linie FG die Theile Ml., LK, Kl und IH einander gleich. Die es zu beweiſen, ziehet aus M auf CL., u d aus L auf DK Perpendieul⸗Linien (§. 134), ſo ſind M NIL und LPK rechtwincklichte riangel (§. § 1.), in welchen MN = LP (S. 22. 14. 152.), m= 0O (S. II8.) und X =y (§. 143.). Folulich iſt ML = LK (§. 126. 128.). Auf gleiche Art kan erwieſen werden, daß LK= KI. Kl= IH. §. 201. Wenn durch zwey gerade Linien Pa⸗ rallel⸗Linien gezogen werden, ſo werden durch dieſe jene in proportionirliche Theile geſchnit⸗ en. Beweiß. Ziehet durch die Anten AB und G Parallel⸗Linien A M, CL'und ſo weiter, ſo iſt x=y (§. 143.). Laſſet aus M nach CL und aus L nach DK Perpendicul⸗ Linien ſtellen, ſo iſt m= 0 (§. 26.). Folglich iſt der Triangel NML dem Triangel L-PK (§. 192.). Aus dieſem folget: O § LK: III d1 „.1 III 55 IV 56 250 Das 3. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien LK: LP= ML: MN (S. 191.) LK: ML= LP: MN (§. 218. Rech.). Da nun MN=AC und LP= CD (§. 200.) ſo iſt. LK: ML= CD: AC Aufgabe. =èð §. 202. Zu zwey gegebenen geraden Linien die dritte, und zu drey gegebenen geraden Linien die vierte Proportional-⸗CLinie zu finden. Aufloͤſung. Ihr ſollt zu AB und AC die dritte, und zu Aß, AG und BD die vierte Proportional⸗Linie finden. 1) Machet nach Gefallen einen Winckel MAN, und traget aus A auf AM die Linie AB, und aus A nach N die Linie AC, und ziehet in Gedancken von Cnach B eine gerade Linie, 2) Wollt ihr die dritte Proportional⸗Linie haben, ſo traget auf BM aus B die Linie AC. Wollt ihr aber die vierte Proportional⸗Kinie finden, ſo traget auf BM aus B die Linie BD. 3) Durch den aͤuſſerſten Punct dieſer aufgetrage⸗ nen Linie z. E. D ziehet mit der Linie CB eine Parallel⸗ Linie, ſo iſt CE im erſtem Falle die dritte, und im an⸗ derm Falle die vierte Proportional⸗Linie. Beweiß. EAD iſt ein geradlinigter Triangel, mit deſſen Grund⸗Linie DE eine Parallel⸗Linie CB gezo⸗ gen. Folglich iſt AB: AC = BD: CE (§. 193.). Wenn demnach AC = BD, ſo iſt CE zu AB und AC die dritte, und wenn AC und B ungleiche uren⸗ ſo iſt CE zu AB, AC und 30 ie vierte Proportional⸗Linie (§. 44. A. M.). W. 3. E. W. 4 1. Ju⸗ — — —— nlin und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 25 1 1. Juſatz. o S. 203. Es ſey APB = I. AC der Multiplicator, und BD das Multiplicandum, ſo iſt CE das Factum (§. 76. A. M.). Es ſey AB das Maaß, AC die zu meſſende Groͤſſe, BD = I1, ſo iſt CE der Quotient (§. 110. A. M.). Alſo iſt es klar, wie man durch Huͤlffe der Linien ſo wohl multipliciren als auch dividiren koͤnne. gind 2. Juſatz. §. 204. Es ſey ferner AB = 1, AC = BD die Quadrat⸗Wurtzel, ſo iſt CE das Quadrat (§. 145. Rech.). Es ſey AB =— I, AC eine Qua⸗ drat⸗Wurtzel, BD das Quadrat von jener Wur⸗ tzel, ſo iſt CE der Cubus (S. cit.). Undialſo iſt es zu begreiffen, wie durch Huͤlffe der Linien Quadrat⸗ und N Cubic⸗Groͤſſen zu finden. ſa Aufgabe. dAS§S. 205. Zwiſchen zwey gegebenen geraden M Linien eine mittlere Proportional⸗Linie zu finden. np Aufloͤſung. , ie Ihr ſollt zwiſchen AB und BE die mittlere Propor⸗ 4 tional⸗Linie finden. . 1) Uddiret die beyden Linien AB und BE (§. 67. A. M. und §. 8.). ſ 2) Die Linie AE theilet in zwey gleiche Theile in C (5. 132.) 4 (5) Auns C beſchreibet mit CA einen halben Circul . 4) Ziehet von dem Punct B, in welchem die ge⸗ 8 gebenen Lnien zuſammen geſetzet, eine Perpendicul⸗ 8 Linie bis an die Peripheri des beſchriebenen Circuls BD (§. 133.). Dieſe iſt die verlangte mittlere Proportional⸗Linie. J Be⸗ — IV 57 252 Ds 3. C. Von Erfindung der Groͤſſe geraderkinien Beweiß. Nehmet an, daß in dem Triangel A BD die Linie BD, und in dem Triangel BDE die Linie BE die Grund⸗Linie, ſo ſind, weil m und o rechte Winckel (§. 30.), AB und BD gleichnahmigte Seiten (§. 40.). Da nun m= 0 (§. 118.), und y = X, zumahl in den Triangeln ADB und ADE der Winckel n beyden Triangeln gemein, und D= m (§. 158. 30. 118.)] (§. 150.), ſo iſt AB: BD = BD: BE (§. 192. pr. 4.). Folglich BD die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen AB und BE (S. 44. A. M.). W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 206. Wenn ihr demnach in einem rechtwinck⸗ lichten Triangel aus dem rechten Winckel eine Per⸗ pendicul⸗Linie auf die entgegengeſetzte Seite ziehet, ſo iſt dieſe die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen den Theilen, welche durch die Perpendieul⸗Linie ab⸗ geſchnitten worden. 2. Zuſatz. §. 207. Weil ferner aus dem Bewieſenen erhel⸗ let, daß der Triangel ADE dem Triangel ADB, und dieſer „ dem Triangel BDE (§. 192. pr. 4.); ſo folget, daß in einem rechtwincklichten Triangel, wenn aus dem rechten Winckel auf die entgegengeſetzte Seite eine Perpendicul⸗Linie gezogen worden, AB: AD= AD: AE, und BD: AD = BE: DE (§. cit.). Anmerckung. BF. 208. In der Algebra heiſt BE die Abſciſſe = x,'AE die Axe = 2, und BD die Semiordinate — y. Folglich iſt AB – à — xX. Woraus klar, daß in einem Circul A — x 2 raderte und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 253 — X: Yy = V: X det Folglich 0 t V = ax — X* (§H. 130. A. M.) en Folglich HMM ſ Wu Vy= V (ax — X*) nge Ferner uneir X²2 — X — V In ed X*— aX + a2 — 12² — yz (§. 172. Rech.) x =V (1a — y2) † 1a ie uſer Ferner . VN X2 — X (V² + X*) :X= a (Siehe Cap. 1. Sect. III. Arith.) Woraus ferner klar, daß in einem Circul kaſett 1: a = X: (V + X*). (S. 110. A. M.). ſoiehe Ich fuͤhre dieſes an, um meinen Zuhoͤrern einen Vor⸗ 3 ſchmack in algebraiſchen Rechnungen zu machen, und ſolche iriiß in der Anwendung desjenigen, was in dem erſten Capitel lſten des dritten Abſchnittes der Rechen⸗Kunſt ausgefuͤhret, zu ie eh⸗ uͤben. Damit wenn ich in dem folgenden ſollte genoͤthiget werden, etwas davon zu gebrauchen, ſolches nicht unge⸗ woͤhnlich ſey. Aufgabe. §. 209. Aus der gegebenen Hoͤhe eines Circul⸗ Bogens, und der halben Sehne des Bogens, den Diameter des Cir uls zu finden, von welchem der 8 gegebene Bogen iſt geſchnitten worden. el we g . Aufléſung. en, 8 s5 ſey die gegebene Hoͤhe BE, die halbe Sehne etchſe 1) Suchet zu der gegebenen Hoͤhe und der halben Sehne die dritte Proportional⸗Linie (§. 202.). 4 2) Dieſe addiret zu der gegebenen Hoͤhe (§. 67. 5 A. M.), ſo iſt die Summe der verlangte Diameter ict (5§. 205.). 7 An⸗ IV 58 Ferner 254 Das 3. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien Anmerckung. §. 210. Will man algebraiſche Redens⸗Arten gebrau⸗ chen, ſo kan dieſe Aufgabe alſo ausgedrucket werden aus der gegebenen Abſciſſe und Semiordinate eines Circul⸗Bo⸗ gens den Diameter des Circuls zu finden. Lehr⸗Satz. §. 211. In aͤhnlichen geradlinigten Triangeln ſtehen die Hoͤhen mit den gleichnah migten Seiten in einerley Verhaͤltniß. Und ihre Grund⸗Linien werden durch die Hoͤhen in proportiosnirliche Theile getheilet. Beweiß. Ziehet in den aͤhntichen Triangeln ADB und MPN die Hoͤhen DC und PO., ſo iſt = mm = r 5(S. 56. 30. 118.). Und weil der Triangel ADB dem DTriangel MPN, ſo iſt X =— 0 und n — 2Z (§. 191.). Folglich iſt ALD: DC – MbP: PO (192. Pr. 4.). AD: MP= DC: PO (§. 131. A. M.). Da nun AD: AB= MP: MN (§. 191.). AD: MP = AB: MN (§. 131. A. M.) ſo iſt auch AB: MN = DC: PO (§. 40. A. M.) W. D. E. Es folget ferner, weil der Triangel ADC dem Triangel MPO, und der Triangel DCB dem Triangel PON (S. 192. Pr. 4.), daß AC: DC= = Mc): 10 b x. rin) DC: CB = PO: ON DC: PO = CB: ON (5§, 13 1. A. M.). Folglich .— AC: M0=C; ON (§. 40. A. M.), W. D. A. Lehr⸗ deha und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 25 5 Lehr⸗Satz. §. 212. Die dinus wie auch die Tangenten aͤhnli⸗ cher Bogen haben gegen die Kadios der Cireul, von welchen die Bogen ſind genommen worden, einer⸗ ley Verhaͤltniß. iehh B ewWei ß. engin Es ſey der Bogen DB dem Bogen HI, ſo Iw e hahen dieſe Bogen gleich viele Grade (per dem. 59 odſn S. 101. und 107.). Folglich iſt der Winckel X = y (§. 109. 157.). Ziehet die Sinus dieſer Bogen BA und IM (§. 181.), ſo iſt der Winckel A = M (§⸗ I18.). Folglich iſt BA: BC = IM: IC (§. 192. pr. 4.). Da nun B0 und ClI Radii von den gegebenen Circuln (§. 20.), ſo haben in Den Circuin die Zinus aͤhnlicher Bogen einerley Veryzaͤltniß gegen die Radios der Circul, von welchen die Bogen ſind genommen worden W. D. E. „ ZLiiehet ferner von den gegebenen aͤhnlichen Bogen AßB und Hl die Tangenten FD und KH (§. 172. 173.), ſo iſt der Winckel DC = KHC (S. 171. 20.9. Da nun auch y= X (wie zuvor erwieſen,), ſo ) folget, daß D: DC = KH: HC (§. 192. pr. 4.). W. D. A. Zuſatz. §. 213. BC iſt der Sinus totus (§. 182.). FD der MN — L Du les Tangent von y. Und alſo iſt es klar, daß ſich in ei⸗ nem jeden rechtwincklichten Triangel die eine Seite, welche den rechten Winckel einſchlieſſet, zu der an⸗ dern verhalte, wie der Sinus totus zu dem Tangenten N) des entgegengeſetzten Winckels, oder DC: DF =— Si- nus totus: Tangent von y. Lehr⸗Satz. §S. 214. In einem jeden Triangel verhaͤlt ſich 1 die Summe zweyer Linien zu ihrer Differentz, IV 60 wie der Tangent der halben Summe der Winckel, welche von den gegebenen inien nicht eingeſchloſ⸗ ſen, zu den Tangenten der halben Differentz dieſer Winckel. Beweiß. Verlaͤngert in dem gegebenem Triangel ABC die Linie CA bis CD== C5, ſo iſt AD =— CA-L CB. Ma⸗ chet CE= CB, ſo iſt EA die Differentz der gegebenen Linien (§H. 96. A. M.). Da nun CD= CB= CE, ſo iſt DE der Diameter eines Circuls, und DBE ein Wrinckel an der Peripherie, deſſen Schenckel einen halben Circul abſchneiden (§. 20. 21. 112.), fölglich ein rechter Winckel (§. 158.). Ziehet durch A mit EB eine Parallel⸗Linie ſo iſt bey G auch ein rechter Winckel (§. 143.). Folglich BG der Tangent des Winckels y, und D der Tangent des Winckes y (§. 173.). Nun aber ſſt « †—y die halbe Summe der Winckel, welche von den gegebenen Linien C und CA⁴“ nicht eingeſchloſſen, zumahl o A“u ⁸P CBA (§. 145.) = u + m (§. cit.). = 2 m (§. 136.) = 2½ +zy (§. 143.); Und y die halbe Differentz dieſer Winckel (§. 96. 22. A. M.). Folglich iſt B6 der Tangent von der halben Differentz, und D der Tangent von der halben Summe der geſetzten Win⸗ ckel. Da nun in dem Triangel DAG die Linie BE mit der Grund⸗Linie AG parallel gezogen, ſo iſt DA: DE = DE: DB DE: DB = EA: GB (§. 192. 193.). Folglich DA: DG = EA: BG (§. 40. A. M.) und alſo iſt auch DA: EA = DG: BG (§. 131. A. M.). Lehr⸗ 256 Das 3. C. Von Erfindung der Groͤſſe gerader Linien Pur ſind wie A1 3 kade Cit — —. N—.— kaderiit r Wind eingeſt rens IAe 410. . (- o eocllak ein onon Pben Ci NMinn C Ne N KN d N gtencl Ci Gen, und Winckel durch die Aehnlichk. der geradl. Triangel. 257 Lehr⸗Satz. §. 215. Wenn man aus einem Puncte, welcher uͤber einen Cireul angenommen, durch den Cir⸗ cul gerade Linien ziehet, bis deren aͤuſſerſte Puncte die Peripherie des Circuls beruͤhren, ſo ſind dieſe Linien in einer verkehrten Verhaͤltniß, wie ihre Theile, welche auſſer dem Circul ſtehen. Beweiß. Ziehet aus dem Puncte B durch den Cireul M ge⸗ rade Linien AB und BC, bis an die Peripherie des Circuls AC, ſo iſt der Winckel C †+ AED= 1800° (§. 157. 103.). Nun iſt auch der Winckel BED †* DEA= I800 (§. 114.). Folglich C † AEDE BED + DEA (S. 20. A. M.), und alſo C= BED (§. 92. A. M.). Da nun ferner der Winckel B beyden Triangeln EBD und ABCG gemein, ſo iſt der Triangel EBD α dem Triangel ABC(§. 192. Pr. 4.). Folglich AB: BC=BD.BE (S. 192. Pr. 4. und §. 40. ). W. 3. E. W. 2 1. Zuſatz. §. 216. Wenn ihr den Winckel bey B immer groͤſſer macht, ſo werden endlich die Puncte Eund A in Qfallen, und alsdenn iſt BQ der Tangent (§. 170.). Da nun BC: BQ= BQ: BD (§. 215.), ſo iſt der Tangent die mittlere Proportional⸗Linie zwi⸗ ſchen BC und BD. 2. Juſatz. §. 217. Hieraus erhellet, daß man zwiſchen zweyen Linien die mittlere Proportional⸗Linie noch auf eine andere Art finden koͤnne, als §. 205. iſt gewieſen worden. L R An⸗ IV 61 25⅝ Das 2. Cap. Von der Art und Weiſe, Anmerckung. §. 218. Nachdem die Lehre von der Aehnlichkeit der Triangel umſtaͤndlich iſt angefuͤhret worden, ſo werde ich in den Fuͤrleſungen den Gebrauch derſelben bey Aufloͤſung fol⸗ gender Aufgaben vollſtaͤndig zeigen. . 1) Die Weite zweyer Oerter zu meſſen, zu deren jeden man aus einem angenommenem Stande kommen kan. 2) Die Weite zweyer Oerter zu meſſen, zu deren einen man nur kommen kan. 3) Die Weite zweyer Oerter zu meſſen, zu deren keinen man kommen kan. 4) Die Hoͤhe eines Orts zu meſſen, zu dem man kommen an. 5) Die Hoͤhe eines Orts zu meſſen, zu dem man nicht kommen kan. Ich werde hiebey ferner die Beſchaffenheit der menſulae Praetoriange oder des Meß⸗Tiſchleins, und deſſen Ge⸗ brauch bey der Aufloſung vorhin beſtimmter Aufgaben er⸗ klaͤren. Siehe hievon mit mehrern Leupold in Theatro Arith. Geom. 9. 392. fl. und Schwenter in Geom. practica I ract. III. P. 637. fl. Der 3. Abſchnitt. Von den Eigenſchafften der Flaͤchen und deren Ausmeſſung. Das 1. Capitel. Von der Art und Weiſe, wie die Groͤſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. d. 219. Reradlinigte Flaͤchen koͤnnen nicht bequem ge⸗ meſſen werden, als durch die Beſtimmung der Verhaͤltniß aller geradlinigten Flaͤchen, zu einer gewiſſen Art derſelben. Be⸗ ttiete as fefen, 9). teſchiede leder ſn Maaße hockon gewiſſe ein ſed chen b lich ſe weng . 6 le⸗ 6 6 Qun denn nge hal D und n z entge Und Linie Fe lie Nehnifiie , ſowarree en Auſlcſinel , in dern inen kan⸗ 1, zu denn „3u derenie emt mantor dem me⸗ heit dett und deſtt ſter Auffe⸗ din hem Prigkialuil d Wr 1. de G finde htbegun Beſtlpnmt. Flechen 6 4 wie die Groͤſſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. 259 Beweiß. Das Maaß, womit eine geradlinigte Floͤche zu meſſen, muß eine geradlinigte Flaͤche ſeyn (§. 104. A. M.). Da nun die geradlinigten Flaͤchen von verſchiedener Art ſind (§ 38. l!), ſo muß man ent⸗ weder fuͤr einer jeden Art der Flaͤchen ein beſonder Maaß annehmen, oder man muß die Groͤſſe einer vorkommenden Flaͤche durch ihre Verhaͤltniß zu einer gewiſſen Aet der Flaͤchen beſtimmen (§. (3 8. A. M.). Das erſte iſt nicht nur zu weitlaͤuftig, ſondern auch ein jeder, der die verſchiedenen Arten der Flaͤ⸗ chen betrachtet, wird geſtehen, daß es faſt unmoͤg⸗ lich ſey. Folglich muß man das letzte beſtimmen, wenn man geradlinigte Flaͤchen meſſen will. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 220. Eine jede geradlinigte Flaͤche kan durch die Diagonal⸗Linien in Triangel getheiler werden (§. 58.). Wer demnach verſtehet, wie geradlinigte Triangel zu meſſen, der kan alle geradlinigte Flaͤ⸗ chen meſſen. Und alſo muß derjenige, der geradli⸗ nigte Flaͤchen meſſen will, unkerſuchen, wie das Ver⸗ halten der vorkommenden Flaͤche zu geradlinigten Triangel zu beſtimmen ſey. (§. 219.). §. 221. Ein Quadrat, Redangulum, Rhomhus und kbombeides wird von der Diagonal⸗Linie in zwey gleiche Triangel getheillet. Die beyden entgegen geſetzten Win el ſind einander gleich. Und die entgegen geſetzten Seiten ſind Parallel⸗ Linien. B Beweiß. Ziehet in dem Rhomboide ABCD die Diagonal⸗ Lime BD, ſo entſtehen zwey Triangel ABD und R 2 BDC, IV 63 260 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, BDC, in welchen AB = DC, AD = BC (§. 54.), und DB= DB (S. 7. A. M.). Folglich iſt der Tri⸗ angel ABD= dem Triangel DBC(S. 126.). Wor⸗ aus es ſerner klar, daß X=y, oO und u =n (§. 128.). Und daher X + = y m (§. 63. A. M.). Welches hinreichend beſtaͤtiget, daß die Linie AB der Linie DC, und die Linie BC. der Linie AD paraltel (§. 144.). Da nun dieſes auf gleiche Art von den uͤbrigen Flaͤchen, welche beſtimmet worden, zu beweiſen, ſo iſt der gegebene Lehr⸗Satz vollkommen beſtaͤtiget. 1. Zuſatz. G. 222. Es ſind demnach alle dieſe Vier⸗Ecke Parallelogramma (§S. 47.). 2. J uſattz. §. 223. Und da alle Parallelogramma entweder Quadrate, oder Rectangula, oder Rhombi oder Rhom- boides (§. 47. 144. 54.), ſo kan der erſte Theil des bewieſenen Lehr⸗Satzes auch alſo ausgedruͤcket wer⸗ den: Alle Parallelogramma werden durch die Diagonal⸗Linien in zwey gleiche Triangel ge⸗ theilet. Lehr⸗Satz. §. 224. Bin jeder Triangel iſt die Helfte von einem Parallzlogrammo, mit welchem jener gleiche Grund⸗Linie und gleiche Soͤhe hat. Der gegebene Triangel iſt ent weder ein rechtwinck⸗ lichter oder ein ſchiefwincklichter Triangel (§. 51.), und in beyden Faͤllen ein gleichſchencklichter oder un⸗ gleichſchencklichter Triangel (§. 44.). Iſt der ge⸗ gebene Triangel ACBein rechtwincklichter und gleich⸗ ſchencklichter Triangel, ſo daß A ein rechter Win⸗ ckel, ſo iſt AB = AC (S§. 44. 146. 148.), m=n (§. 136.), iedie 8 136. 149.) einen Ghenck Trongel Tongel Eel D, I 119-). ten eiad⸗ lad aſ nen O Awie v bewieſ glche Reckat lichter ſchef Nehe lckeni d Ece Pure rdhlelo lordog Pramdd Ae 8 Gru bleic ZDie glamn ſoiſtin . d Weie, 0 (8. 66 lichiſt derd⸗ 126.). O. Ild= .63, elinie W D porolt, n den Prir eeiſen, eſcie. ☛ ſe Vierde ctna eitt wbioderlt Mlönil tiange G frn ſbnerpe⸗ 4 wie die Groͤſſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. 26 (§. 136.), folglich ſo wohl m als auch n= 4 ½ (§. 149.). Richtet auf der Hypothenuſe CB aus Cund B einen gleichſchencklichten Triangel nach D, deſſen Schenckel ſo groß, als die Schenckel des gegebenen Triangels ACB, ſo iſt der Triangel ACB= dem Triangel CBD (S. 127.). Folglich ſind die Win⸗ ckel D, m + o und n X rechte Winckel (§. 128. 119.). Da nun auch in dieſem Vierecke alle Sei⸗ ten einander gleich, ſo iſt es ein Quadrat (§. 54.).⸗ Und alſo iſt der gegebene Triangel die Helfte von ei⸗ nem Quadrate, welches mit jenem gleiche Grund⸗ Linie und Hoͤhe hat (§. 56.). Auf gleiche Art kan bewieſen werden, daß ein rechtwincklichter und un⸗ gleichſchencklichter Triangel, die Helfte von einem Rectangulo. Ein ſchiefwincklichter und gleichſchenck⸗ lichter Triangel die Helfte von einem Rhombo. Ein ſchiefwincklichter und ungleichſchencklichter Triangel die Helfte von einem Rhomboide, wenn dieſe Vier⸗ ecke mit den beſtimmten Triangeln gleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe haben (§S. 54.). Da nun alle dieſe Vier⸗ ecke Parallelogramma (S. 222.), und keine andere Parallelogramma moͤglich ſind (§. 223.), ſo iſt es klar, daß alle Triangel die Helfte von einem Parallelo- grammo, welches mit dem Triangel gleiche Grund⸗ Linie und Hoͤhe hat. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 225. Zwey Parallelogramma, welche gleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe haben, ſind einander gleich. Beweiß. Ziehet auf der Grund⸗Linie AD zwey Parallelo- gramma ABCDund A DFh mit gleicher Hoͤhe (§. 56), ſo iſt in den Triangeln BEA und CDp die Linie BA= DCEA= FD (§. 223. 54.), und BE = CF (§. 223· R 3 45. und 262 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, 54. und §. 63. A. M.). Folglich das Trapezium BCGA=EFDG (§. 92. A. M.). Addiret zu hey⸗ den den Triangel AGD, ſo iſt das Parallelogram- mum BCDA= EFDA (S. 63. A. M.). W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 226. Hieraus folget unmittelbar, 1) daß alle Triangel, ſo gleiche Grund⸗Linien und Hoͤhen haben, einander gleich (S. 224.). §. 227. 2) Daß ein jedes Parallelogrammum ſo groß als ein Quadrat oder rectangulum welches mit je⸗ nem gleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe hat (§S. 222.). 3. Zuſatz. §. 228. 3) Daß ein jeder Triangel ein halbes Quadrat odex rectangulum, wenn er mit dieſem gleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe hat (S. 224. 225. 227.). 4. Zuſatz. 8.229. Und alſo hat man hinreichenden Grund ein Quadrat oder rectangulum zum allgemeinen Maaß Stab aller Flaͤchen anzunehmen (§. 220.). Willkuͤhrlicher Satz. §. 230. Damit der Maaß⸗Stab von den Laͤngen, ſiehe S. 93, auch bey Ausmeſſung der Flaͤchen koͤnne gebrauchet werden, ſo iſt ein Qua⸗ drat, welches eine Kuthe lang und eine Ruthe breit, eine Quadrat⸗Kuthe; ein Quadrat, wel⸗ ches einen Schuh lang und einen Schuh breit, ein Ouadrat⸗Schuh; ein Guadrat, welches einen Zoll lang und einen Zoll breit, ein Quadrat⸗Zzoll genennet worden. Und ſo weiter. Zu⸗ tiede 12 geneſe uthen belter,i 102. 6. 23: neſſen. 1 des 1 lid Ol ſhen Schlhe Rro Men fder wied henin dieſe Del 4 ble we Nehen len, ü Relin ſch f Weng An Weiſe, Tmpenin ddirete releloore. „1) M öhenſen tammun lches ni⸗ 5 222. el ein engei 22 9), Grun nen De ) voN ſſunt keinh⸗ ne N drann brekn Hes i Netih wie die Groͤſſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. 263 Zuſatz. §. 231. Und alſo wird eine vorgegebene Flaͤche gemeſſen, wenn wir unterſuchen, wie viele Quadrat⸗ Ruthen, Quadrat-⸗Schuh, Quadrat⸗Zoll, und ſo weiter, in dieſelbe koͤnnen geleget werden. (§. 229. und §. 102. A. M.). Aufgabe. 8§. 232. Ein vorgegebenes Quadrat auszu⸗ meſſen. L Aufloͤſung. 1) Meſſet mit dem Laͤngen⸗Maaß⸗Stabe die Seite des Quadrats. 2) Multipliciret dieſe durch ſich ſelbſt. Dieſes Factum iſt der Innhalt von der gegebenen Flaͤche. Beweiß. . Sollt ihr das Quadrat ABCD meſſen, ſo ſollt ihr ſuchen, wie viele Quadrat⸗Ruthen oder Quadrat⸗ Schuhe in dieſer Flaͤche liegen koͤnnen (§. 231.). Da nun AB= CD (S. 54.), ſo koͤnnen in der einen Reihe micht mehr liegen als in der andern, folglich findet ihr den Innhalt dieſer Flaͤche, wenn ihr ſuchet, wie viele OQuadrate in einer Reihe, und wie viele Rei⸗ Hen in der gantzen Flaͤche liegen koͤnnen, und alsdenn dieſe Reihen zu einander addiret (§. 59. A. M.). Die Vielheit der Quadrat⸗Ruthen, welche in der Reihe ABliegen koͤnnen, wird durch die Vielheit der Ruthen, in welche AB zu theilen, und die Vielheit ſolcher Reihen, welche in dem gantzen Quadrat liegen koͤn⸗ nen, wird durch die Vielheit der Ruthen, inwelche die Linie AC. zu theilen, beſtimmet (§S. 230.). Folg⸗ lich findet ihr den Innhalt der gantzen Flaͤche, wenn ihr mit dem Laͤngen⸗Maaß⸗Stabe die Linie AB und AC meſſet, und dier Vielheit der Theile in A B 4 o IV. 65 264 Das I1. Cap. Von der Art und Weiſe, ſo vielmahl nehmet, als AC. Eins in ſich hat, das iſt, durch A C multipliciret (S. 73. A. M.). Da nun A B= A Cq(S. 54.), ſo findet ihr den Innhalt der gan⸗ tzen Flaͤche, wenn ihr AB durch ſich ſelbſt multipliciret. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 233. Es ſeh AB = 10. Ruthen, ſo hat das Quadrat 100. Quadrat⸗Ruthen. Es ſey AB=10. Schuh, ſo hat das Quadrat 100. Quadrat⸗Schuh. Hieraus iſt es klar, daß im Flaͤchen⸗Maaſe eine Quadrat⸗Ruthe 100. Quadrat⸗Schuhe, ein Quadrat⸗Schuh 100. Quadrat⸗Zoll, und ſo weiter, habe. 4 2. JUſatz. §. 234. Wenn demnach das Flaͤchen⸗Maaß durch Zahlen ausgedruͤcket wird, ſo muß man alle⸗ zeit nach den Ruthen zwey Zahlen fuͤr die Schuhe, zwey Zahlen fuͤr die Zolle, und ſo weiter, abſchneiden. Z. E. 1345678“ ſind 134. Quadrat⸗Ruthen, 56. Quadrat⸗Schuh, und 78. Quadrat⸗Zoll (§. 97.). 3. Zuſatz. d. 235. ABFE iſt ein Rectangulum (§. 54.), und dieſes zeiget deutlich, daß der Beweiß des §. 232. zugleich beſtaͤtiget, daß wir den Innhalt eines Rectanguli finden, wenn wir die Grund⸗ Linie mit der Hoͤhe multipliciren. 4. Zuſatz. §. 236. Alle Parallelogramma, welche gleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe haben, ſind einander gleich (S. 22 5.). Wir finden demnach den Innhalt eines Rhombi und Rhomboidis, wenn wir ihre Grund⸗inie mit der Hoͤhe multipliciren (§. 222.). 5. Zu⸗ ſi ene Smandh neide gen t ⸗Z deſß 1 holtti ſentt⸗ i ds wie die Groͤſſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. 26 5 §. Zuſatz. §. 237. Ein jeder Triangel iſt die Helfte von einem Parallelogrammo, welches mit jenem gleiche Grund⸗ Linie und Hoͤhe hat (§. 224.). Folglich findet man den Innhalt eines Triangels, wenn man das Factum aus deſſen Grund⸗Linie in die Hoͤhe mit zwey dividiret; oder wenn man die Grund⸗Linie eines Triangels durch die halbe Hoͤhe, oder auch die Hoͤhe durch die halbe Grund⸗Linie multipliciret. 6. Juſatz. . §. 238. Es ſey die Hoͤhe des Triangels a, die Grund⸗Linie b, ſo iſt der Innhalt a b, oder Hab oder * Folglich die Grund⸗Linie das Duplum von a b: a = 1H ab: « a. Die Hoͤhe das Duplum von a b: b = a b: b. Wenn ihr demnach den Innhalt eines Triangels in ſeine Factores zerſtreuet (§. 79. Rech.), ſo iſt der eine die Grund⸗Linie, und der andere die halbe Hoͤhe, oder der eine die Hoͤhe, und der andere die halbe Grund-⸗Linie. Dieſes lehret uns, wie wir, wenn uns der Innhalt von einem Triangel iſt gege⸗ ben worden, einen Triangel zeichnen koͤnnen, der dem gegebenen gleich iſt. “ Lehr 7 Satz. §. 239. Parallelogramma verhalten ſich gegen einander wie ihre Hoͤhen, wenn ſie gleiche Grund⸗ Linien, und wie ihre Grund⸗Linien, wenn ſie glei⸗ che Hoͤhen haben. . Beweiß. Der Innhalt eines Parallelogrammi iſt das Fa- Etum aus der Grund⸗Linie in die Hoͤhe (§. 236.). Facta, welche entſtehen, indem ungleiche Groͤſſen durch gleiche multipliciret worden, verhalten ſich gegen ein⸗ ander wie die Multiplicanda (S. 80. A. M.). Alſo verhalten ſich auch Parallelogramma gegen ein⸗ R F ander⸗ 266 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, ander, wie die Hoͤhen, wenn ihre Grund⸗Linien gleich, und wie die Grund⸗Linien, wenn ſie einerley Hoͤhen haben. W. Z. E. W. 1. Juſatz. d. 240. Folglich verhalten ſich auch Triangel, wie ihre Hoͤhen, wenn ſie gleiche Grund⸗Linien, und wie ihre Grund⸗Linien, wenn ſie gleiche Hoͤhen haben (S. 224. und §. 22. A. M.). §. 241. Wenn demnach drey Parallelogramma A. B. C. gleiche Grund⸗Linien haben, und die Hoͤhe von B iſt die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen der Hoͤhe von A und C, ſo iſt auch das Parallelo- grammum B die mittlere Proportional⸗Groͤſſe zwi⸗ ſchen A und C. Wenn ferner vier Parallelogram- ma ABCD gleiche Grund⸗Linien haben, und die Hoͤhe von D die vierte Proportional⸗Linie zu den Hoͤhen von A B und C, ſo iſt auch das Parallelo- grammum D die vierte Proportional⸗Groͤſſe zu den Parallelogrammis A. B und C. Auf gleiche Art kan man die Verhaͤltniß von verſchiedenen Parallelo- grammis beſtimmen, wenn ſie gleiche Hoͤhen, und ungleiche Grund⸗Linien haben. 3. 3 U ſa tz. §. 242. Es iſt hieraus ferner klar, wie die Ver⸗ haͤltniſſe verſchiedener Triangel zu beſtimmen. (§. 240.) 4. Juſatz. §. 243. Wie zwiſchen zwey geraden Linien die mittlere, und zu drey geraden Linien die vierte Pro⸗ portional⸗Linie zu finden, ſolches iſt §. 20 5. und 202. erklaͤret worden. Folglich iſt es klar, wie zwiſchen zwey Parallelogrammis das mittlere und zu wedet drent wie deen ſid drey niengec len kinghr e, und en h ogte d deeh e ſoſte Dunlehe Nriſepd elogr⸗ N ez nale uben N WHelo⸗ N, iebr mntne fint N nſe n; wie die Groͤſſe einer geradlinigten Flaͤche zu finden. 267 drey das vierte Proportional-Parallelogrammum: wie zwiſchen zwey Triangeln der mittlere, und zu drey Triangeln der vierte Proportional⸗Triangel zu finden. (§. 241. 242.) Aufgabe. §. 244. Den Innhalt einer jeden geradlinigten Flache zu finden. Aufloͤſung. 1) Theilet die gegebene Flaͤche durch die Diago⸗ nal⸗Linien in Triangel. (§. 58.). 20) Suchet den Innhalt eines jeden Triangels. (§. 2327.). P 3) Dieſe addiret, ſo iſt die Summe der Innhalt der gegebenen Flaͤche. (§. 59. A. M.) Anmerckung. §. 245. Die Vortheile, welche bey Ausmeſſung der Flaͤ⸗ chen zu gebrauchen, will ich in den Fuͤrleſungen zeigen. Wovon mit mehrern zu leſen des Herrn Rath Penthers zwey⸗ te Edition von der Praxi Geometriae. Das 2. Capitel. Voͤn der Art und Weiſe, wie geradlinigte Flaͤchen zu zeichnen, in Grund zu legen, zu theilen und in einander zu verwandeln, Grund⸗Satz. §. 246. Bn men eine geradlinigte Flaͤche zeichnen, ſo muͤſſen ſo viele Theile von derſelben gegeben oder gemeſſen werden, als erforderlich ſind, wenn die Groͤſſe der uͤbrigen zu beſtimmen. 3 1. Zu⸗ 26 w 66 T 8 Das 2. C. Von der Art und Weiſe, wie geradl. S. 247. Soll man demnach eine regulaͤre Flaͤche zeichnen, ſo muß die Groͤſſe einer Seite, die Groͤſſe eines Winckels, welcher der Polygon⸗Winckel ge⸗ nennet wird, und die Vielheit der Seiten gegeben werden (§K. 49.). 2. Zuſatz. . §. 248. Und weil eine jede geradlinigte Flaͤche durch die Diagonal⸗Linien in Triangel zu theilen (§. 58.), welche zuſammen genommen der Flaͤche gleich (§. 244.), ſo iſt es klar, daß man durch Huͤlffe der Triangel eine jede geradlinigte Flaͤche zeichnen koͤnne, wenn man nemlich ſolche Flaͤche in Triangel theilet, und von einem jedem Triangel ſo viele Stuͤcke miſſet, als erforderlich ſind, die Triangel zu zeichnen (§. 129.). Lehr⸗Satz. §. 249. Wenn man die Peripherie eines Circuls in gleiche Theile theilet, und die Seh⸗ nen dieſer Bogen ziehet/ ſo entſtehet eine regulaͤre Figur. 7. Beweiß. Theilet die Peripherie des Circuls Cin gleiche heile in ABDEFG, ſo iſt die Sehne AB = BD = DE = EF = FG = GA. (§. 162.). Und die Bogen BAGF, AGFE, CGFED ſind einander gleich. Folglich der Bogen AF = GFE = FED und ſo weiter (§. 92. A. M.). Woraus klar, daß der Winckel bey A = dem Winckel bey B = dem Winckel be 9 D, und ſo weiter (§. 20. 160.). Folglich iſt die Figur ABDEFCA eine regulaͤre Figur (§. 49.). 2.3. E. W. dr (5 — 3U⸗ ſegen Flaͤchen zu zeichnen, in Grund zu legen, zu theilen ꝛc. 269 Zuſatz. lirf⸗ §. 250. Theilet demnach die Peripherie des Cir⸗ , r culs in vier gleiche Theile, und ziehet die Sehnen, i ſo entſteht ein Quadrat (§. 54. 158.). Theilet Dũür die Peripherie des Circuls in fuͤnf gleiche Theile, und ziehet die Sehnen, ſo entſtehet ein regulaͤres Fuͤnf⸗Eck, und ſo weiter. Erklaͤrung. ſiee . 251. Bine geradlinigte Flaͤche wird in einem pigura cir- in Circul beſchrieben, wenn die Peripherie des Circuls culo inſcri- de durch alle Spitzen der geradlinigten Figur gehet. Und Ppta & cir- dußf eine geradlinigte Flaͤche wird um einem Circul be⸗ cuinſcridts hen ſchrieben, wenn alle Seiten der Flaͤche die Peripherie des Eirculs beruͤhren. u Lehr⸗Satz. S. 252. Wenn eine regulaͤre geradlinigte Figur in einem Circul iſt beſchrieben worden, und man ziehet mit den Seiten um den Circul Pa⸗ rallel⸗Linien, ſo beſtimmen auch dieſe eine regulaͤre e6 Jigur. agele Beweiß. Ziehet mit den Seiten der regulaͤren Figur ABDEFCA um den Circul C Parallel⸗Linien abdefga, ſo ſind die Winckel bey a = den Win⸗ Celn bey A, die Winckel bey b = den Winckeln 1 bey B, und ſo weiter (§. 143.). Folglich ſind in der Figur abdefga alle Winckel einander gleich rt (§. 49.). Ziehet ferner aus dem Punct Ceine 5½ Perpendicul⸗Linie auf ac (§. 134.), ſo ſind bey h Dwp rechte Winckel (§. 27.). Da nun auch N a = b, und die Linie h C beyden Triangeln gemein, ſo iſt auch ah = hb (S. 126. 128.). Da nun auf 6 gleiche Art kan bewieſen werden, daß hb = bm = md, und ſo weiter, ſo iſt auch ab = bd (§. 22. 270 Das 2. C. Von der Art und Weiſe, wie geradl. A. M.). Folglich ſind auch in dieſer Figur alle Sei⸗ ten einander gleich, und alſo iſt es eine regulaͤte Fi⸗ gur (§. 49.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 2 3. Bine jede regulaͤre geradlinigte Flaͤche kan angeſehen werden, als wenn ſie entſtanden, in⸗ dem man die Peripherie eines Circuls in gleiche Theile getheilet, und die Sehnen dieſer Bogen zu⸗ ſammen gezogen. Beweiß. zWV Dobeilet alle Winckel in der gegebenen regulaͤren 67 Flaͤche ABDEFA in zwey gleiche Theile (§. 131.), und ziehet durch dieſe Theilungs⸗Puncte gerade Li⸗ nien, ſo entſtehen lauter gleichſchencklichte Triangel (§. 49. §. 22. A. M. und §. 138.). Weil nun X=n, und m =y, FE= AF (S. 49.), ſo ſind auch alle Schenckel in dieſen Triangeln einander gleich (§. 126. 128.), und dieſe Triangeln haben gleiche Hoͤhen (§. 126. 49. 240.). Folglich iſt die Spitze des Triangels FCE ſo weit von dem Mittel⸗Punct der Grund⸗Linie PE als die Spitze des Triangels FCA von dem Mittel⸗Punct der Grund⸗Linie AF entfernet (§. 56. 138.). Weil nun alle dieſe Triangel einerley Beſtimmungen ha⸗ ben, ſo iſt es klar, daß ihre Spitzen in einem Punct Czuſammen ſtoſſen. Und alſo wird man geſtehen muͤſſen, daß C der Mittel⸗Punct eines Circuls, deſſen Radius CF, und in deſſen Peripherie die Pnuncte A. B. D. E. F. (§H. 20. 21.). Folglich ſind die Seiten einer regulaͤren Flaͤche gleiche Sehnen von einem Circul (§. 49. 20.). Jadem nun glei⸗ che Sehnen in einem Circul gleiche Bogen, und gleiche Bogen gleiche Sehnen beſtimmen (§. 162.), ſo folget, daß man eine jede regulaͤre geradlinigte Flaͤche anſehen koͤnne, als wenn ſie entſtanden, indem Flache indem Fheie ſommne erin dend henle einzn ger die che der clls / ſene 1 300 Pe⸗ Wer ein ef der V Pe iſt 5. ſege Flaͤchen zu zeichnen, in Grund zu legen, zu theilen ꝛc. 271 che indem man die Peripherie eines Circuls in gleiche lleg Theile getheilet, und die Sehnen dieſer Bogen zu⸗ ſammen gezogen. W. Z. E. W. . 1. Juſatz. igr ſi §. 254. Vermoͤge dieſes Beweiſes wird man fer⸗ ſandu ner zugeben, daß eine regulaͤre geradlinigte Flaͤche aus r N dem Mittel⸗Punct des Circuls, darein ſie ſich beſchrei⸗ Goget; ben laͤſſet, in ſo viele gleiche Triangel, als Seiten ſind, einzutheilen. 2. Zuſatz. n tege §. 255. Und hieraus folget, daß eine jede regulaͤre ( geradlinigte Flaͤche ſo groß ſey als ein Triangel, deſſen gen Grund⸗Linie die Summe von allen Seiten der Flaͤche, ted die Hoͤhe aber ſo groß als die Hoͤhe eines von den glei⸗ Gie chen Triangeln, in welche ſie aus dem Mittel⸗Puncte „des Circuls iſt getheilet worden. 1t Aufgabe. ,9 §. 256. Die Peripherte eines gegebenen Cir⸗ l culs in ſo viele gleiche Theile zu theilen, als man n u verlanget. S Aufloͤſung. ut 1) Dividiret die Peripherie des Circuls oder 2560 durch die Anzahl der Theile, in welche die ndn Peripherie des gegebenen Circuls ſoll geſchnitten en woerden. n 2) Ziehet aus dem Mittel⸗Punct des Circuls eie⸗ einen geradlinigten Winckel, deſſen Groͤſſe der zuvor e gefundene QAuotient. onel 3) Die Schenckel dieſes Winckels beſtimmen den verlangten Theil in der Peripherie des Circuls. Wenn ihr demnach dieſen ſo oft als moͤglich in der , Peripherie des gegebenen Circuls herum traget, ſo iſt dieſelbe nach Verlangen eingetheilet worden n. (5. 157.). Nfont Zzu⸗ 272 Das 2. C. Von der Art und Weiſe, wie geradl. Zuſatz. §. 257. Hieraus iſt es vollſtaͤndig zu begreiffen, wie ſo wohl in als auch um einem Circul eine re⸗ gulaͤre geradlinigte Flaͤche zu beſchreiben ſey (§. 253. 249. 252.). Aufgabee. §. 258. Den Polygon⸗Winckel in einer regulaͤ⸗ ren geradlinigten Sigur zu finden. Aufloͤſung. 1) Dividiret 360. durch die Anzahl'der Seiten der gegebenen Flaͤche. 2) Dieſen Quotienten ſubtrahiret von 180, ſo iſt die Differentz der verlangte Polygon⸗Winckel. Beweiß. IWV Beſchreibet um die gegebene Flaͤche Z. E. um 6s das gegebene regulaͤre Sechs⸗Eck ABDEFGA einen Eircul (per dem. §. 2553.), ſo iſt das Maaß des Polygon⸗Winckels GAB ein halber Circul — den Bogen GF (per dem. §. 249.). Nun aber iſt GF à von dem Circul (S. 162.). Folglich iſt . 3 500⁰ der Polygon⸗Winckel = 1809 — (S. 103.). W. Z. E. W. Aufgabe. W 8S. 259. Auf eine gegebene Linie FE ein be⸗ ss gehrtes regulaͤres und geradlinigtes Viel⸗Eck zu beſchreiben. Au floͤ ſung. Ihr ſollt Z. E. auf PE ein regulaͤres geradlinigtes Sechs⸗Eck beſchreiben. 1) Traget in F und E die halben Polygon⸗Win⸗ ckel, und verlaͤngert die Schenckel, bis ſie einander ſchneiden in C. 2) Aus Flichen; 45 tihet lelnat N Cehnen Ee bi ſen E CFd te teg 3) deſe lle the anng ſglläre⸗ 1 26. it Oee geich. De ken ger ſlolich ingande (K 13. Und Fr i in V. 3 . einten , wiegenc 9 zu begeff Cireul efen ben ſen n neiſetegi⸗ ahl derie von I Winckel ſdche 5l ler Oiul. Nun obe Sacah 60 — ( 6 nie N t gres getle n Polge, s ſe ſ bis AA 2 Flaͤchen zu zeichnen/ in Grund zu legen/zu theilen. ꝛc. 273 2) Aus C beſchreibet mit CF einen Circul, und traget in deſſen Peripherie die gegebene Linie FE ſo vielmahl herum als es moͤglich iſt. 3) Durch dieſe Theilungs⸗Puncte ziehet die Sehnen, ſo beſtimmen dieſe das verlangte Viel⸗ Beweiß. FCE iſt ein gleichſchencklichter Triangel (§. 138.), deſſen Spitze der Mittel⸗Punct, und deſſen Schen⸗ ckel CF der Radius des Circuls, in welchem das ver⸗ langte regulaͤre Viel⸗Eck zu beſchreiben (per. dem. §. 253.). Wenn ihr demnach dieſen Circul beſchreibet, und deſſen Peripherie mit der Sehne FE in ſo viele Theile theilet als es moͤglich iſt, ſo muͤſſen die durch die Theilungs⸗Puncte gezogene Sehnen das verlangte regulaͤre Viel⸗Eck nothwendig beſtimmen (§. 257.). Lehr⸗Satz. J §. 260. Die Seite des regulaͤren geradlinig⸗ ten Sechs⸗SEckes iſt dem kadio des Circuls gleich. Beweiß. Der halbe Polygen⸗Winckel in einem regulaͤ⸗ ren geradlinigten Sechs⸗Eck iſt 600 (§ 258.), folglich ſind in dem Triangel CFE alle Winckel einander gleich (§. 145.), und alſo iſt CF= FE (§S. 139.). Da nun CF der Radius des Circuls, und PE die Seite des regulaͤren Sechs⸗Eckes, ſo iſt in dieſer Flaͤche die Seite dem Radio des Cir⸗ culs gleich, in welchem jene zu beſchreiben. W. Z. E. W Zuſatz. §. 261. Wollt ihr demnach auf eine gegebene Linie ein regulaͤres Sechs⸗Eck machen, ſo beſchreibet mit . S der IV 68 274 Das 2. C. Von der Art und Weiſe, wie geradl. der gegebenen Linie einen Circul, und traget in deſſen Peripherie die gegebene Linie ſechsmahl herum, ſo wer⸗ den die Sehnen das verlangte Sechs⸗Eck beſtimmen ES. 259 . Erklaͤrung. §. 262. Wenn man nach einen verjuͤngten Maaß⸗ Siab eine Figur zeichnet, welche einer gegebenen Flaͤche aͤhnlich iſt, ſo wird geſaget, daß dieſe in Grund geleget worden. Aufgabe. §. 263. Lin gegebenes Feld oder einen gegebe⸗ nen Platz in Grund zu legen. Aufloſung. 1) Meſſet ſo viele Theile von dem gegebenem Fel⸗ de, als erforderlich ſind, wenn deſſen Innhalt ſoll aus⸗ gerechnet werden. (§. 236. 137. 244.). 2) Durch Huͤlfe dieſer Theile zeichnet die Figur nach dem verjuͤngten Maaß⸗Stab (§. 169. 248.), ſo iſt das gegebene Feld, oder der gegebene Platz i Grund geleget worden (per. dem. §. 189.). Anmerckung. §. 264. Bey der Anwendung dieſer Aufloͤſung ſind ver⸗ ſchiedene Vortheile zu gebrauchen, nachdem die Plaͤtze, welche in den Grund zu legen, unterſchieden. Aus dieſer Urſache werde ich in den Fuͤrleſungen zeigen 1) Wie ein Platz, in welchem man allenthalben gehen kan, in Grund zu legen 2) Wie ein Platz in Grund zu legen, welchen man nur aus zweyen Oertern gantz uͤberſehen kan 3) Wie ein Platz in Grund zu legen, in welchem man zwar nicht gehen, den man aber doch gantz umgehen kan. 4) Wie ein gantzes Land in Grund zu legen . 5) Wie ein Holtz in Grund zu legen, und ſo weiter. Siehe des Herrn Rath Penthers, zweyte Edition von der Praxi Geometriae. Auf⸗ Flichenznzei 6. gegeberenn theſlon. e de Si Kder⸗ XSO d 221. ), D Follcchiſtd 166. 6. hiche Oderr lmanver 1) de inſobieke nnon herſen 2) Qun Geite des ſeien ds ele W en⸗ . wiegeraht tragetinde hlherun ſe ,Eckbeſine üngenge gebenenglt Grundee riiſter ht⸗ Egebent Yunhalſi Sr tN 100, 24 , bene ho W.). Flaͤchen zu zeichnen, in Grund zu legen, zu theilen ꝛc. 27 5 Aufgabe. §. 265. Ein Parallelognammum aus einem gegebenem Duncte in zwey gleiche Theile zu theilen. . Aufloͤſung. Ihr ſollt das Parallelogrammum ABCD aus Ein zwey gleiche Theile theilen. 1) Traget die Laͤnge BE aus C nach F. 2) Ziehet die gerade Linie FE, ſo iſt ACFE = FEBD. Beweiß. Es iſt der Triangel ACD = ADB (§. 223.). Es iſt ferner, weil der Winckel y=m (§S. 222.), X= O (§. 117.), und A= FL (§. 92. A. M. und §. 221.), der Driangel AGE = GDF (S. 126.). Folglich iſt das Trapezium AGFC=GEBD (S. 92. A. M.), und alſo auch AEFC=EBDE (§. 63. A. M.). W.;: E. . . W. Z. E. W Aufgabe. §. 266. Bin Parallelogrammum in ſo viele gleiche, oder proportionirliche Theile zu theilen, als man verlanget. Aufloſung. 1) Theilet die Grund⸗Linie des Parallelogrammi in ſo viele gleiche, oder proportionirliche Theile, als man verlanget (§. 194. 195.). 2) Durch dieſe Theilungs⸗Puncte ziehet mit der Seite des Parallelogrammi Parallel⸗Linien. Dieſe theilen das Parallelogrammum in die verlangten Theile. P Beweiß. Weil ABCD ein Parallelogrammum, und die Li⸗ nien mn, po und qr mit AB parallel gezogen, ſo S 2 ſind IV 65 IV 70⁰ 276 Das 2. C. Von der Ark und Weiſe, wie geradl. ſind auch alle dieſe Theile ABmn⸗- mopn, oqrp und q CDr Parallelogramma (S. 47.), welche, weil ſie einerley Hoͤhe haben (56, 152.), ſich gegen einander verhalten wie ihre Grund⸗Linien (§. 239.). Iſt demnach die Grund⸗Linie AD in gleiche Theile ge⸗ theilet, ſo ſind auch die geſetzten Theile von dem Paral- lelogrammo ABCD gleiche Theile, und wenn die Grund⸗Linie ADin proportionirliche Theile getheilet, ſo haben auch die beſtimmten Theile des Parallelo- grammi gleiche Verhaͤltniß zu einander. Juſatz. L §. 267. Da ſich nun auch die Triangel zu einander verhalten wie ihre Grund⸗Linien, wenn ſie einerley Hoͤhe haben (§. 240.), ſo wird ein Triangel in gleiche oder proportionirliche Theile getheilet, wenn man die Grund⸗Linie des Triangels in gleiche oder propor⸗ tionirliche Theile theilet, und aus der Spitze des Triangels nach dieſen Theilungs⸗Puncten gerade Li⸗ nien ziehet. Aufgabe. §. 268. Bin iedes geradlinigtes Feld in ſo viele gleiche Theile zu theilen, als man be⸗ gehret. G 4 E Aufloéſung. 1) Leget das gegebene Feld in Grund (§. 263.), und alsdenn ſuchet deſſen Innhalt (§. 244.). 2) Dieſen Innhalt theilet durch die Rechnung in die verlangten Theile (§. 86. Rech.). 3) Da nun eine iede Flaͤche durch Huͤlffe der Tri⸗ angel kan gezeichnet werden (§S. 248.), ſo nehmet an, als wenn der gefundene Theil ein Innhalt von zwey Triangeln, welche, wenn ſie neben einander ſind ge⸗ ſetzet worden, einen von den verlangten Theilen des gegebenen Felbes machen. 4) Da⸗ Flaͤchengn 91 Gthck n Zeichnet Hhe in 246.). Y len,ſor langten 6) belche mit den Fel, e Netheilet. 8. 20. Fadera ar,o. Uroß alsee⸗ gebenes 1)0 0r 6 9 196. R Ornteun (ein. en groß n genommn ,wieged laͤchentzu zeichnen, in Grund zu legen, zu theilen ꝛc. 277 mOpPh/00 4) Daher nehmet von dem gefundenem Theile ein ,welche o Stuͤck als den Innhalt des einen Triangels, und gegenenm zeichnet dieſen durch Huͤlffe der Grund⸗Kinie und (6,239) Hoͤhe in der in Grund gelegten Flaͤche (§. 238. leiche Thele 226.). ſe bondendn 5) Auf gleiche Art verfahret mit den uͤbrigen Thei⸗ ,und wo len, ſo wird die in Grund gelegte Flaͤche in die ver⸗ Thele langten Theile getheilet werden. e des Nule 6) Die Entfernungen der Theilungs⸗Puncte, der⸗ welche in dieſer gezeichneten Flaͤche zu finden, traget mit dem groſſen Maaß⸗Stabe auf das gegebene Feld, ſo wird auch dieſes in die begehrten Theile ngelem getheilet. wenn ſie ei⸗ tiangelin Anmerckung. Eet, wenmun §. 269. Die Hand⸗Griffe, welche bey Theilung der iche oder e Felder anzuwenden, will ich in den Fuͤrleſungen zeigen. 5 der Cig lt nſe 2 Aufgabe. §. 270. Ein Quadrat zu machen, welches ſo groß als ein gegebener Triangel, oder als ein ge⸗ gebenes geradlinigtes Viel⸗Sck. 6 Jld in 3 Aufloͤſung. 1) Suchet den Innhalt des gegebenen Triangels oder geradlinigten Viel⸗Eckes (§S. 243. 237.). rund (S 2) Aus dieſem ziehet die Quadrat⸗Wurtzel (§. 244 166. Rech.), ſo habt ihr die eine Seite von dem Qua⸗ die Nelf drate und ihr koͤnnet das Quadrat verfertigen (per. dem. §. 232.). Hiſfinn eſen . A U fg abe. hnheltuu 8. 271. Winen Triangel zu machen, der ſo gandefnn Sroß wie zwey gegebene Triangel zuſammen agelee genommen. en Tel 5 S 3 Auf⸗ Theorema Pythagori- iſt das Quadrat von der HMypothenuſe gleich der cum. 278 Das 2. C. Von der Art und Weiſe, wie geradl. Aufloͤſung. 1) Wenn die zwey gegebene Triangel einerley Hoͤhe haben, ſo addiret ihre Grund⸗Linien, und beſchreibet auf dieſer Summe einen Triangel mit der gegebenen Hoͤhe, ſo iſt dieſer die verlangte Summe (§. 240.). 2) Wenn die gegebenen Triangel ungleiche Hoͤhen und ungleiche Grund⸗Linien haben, ſo ſuchet von beyden den Innhalt (§. 237.) und addiret dieſe. 3) Dieſe Summe zerſtreuet in ihre Fackores (§. 79. Rech.), und nehmet den einen zur Grund⸗ Linie und den andern zur halben Hoͤhe des zu ſu⸗ chenden Triangels, ſo koͤnnet ihr dieſen verfertigen (8. 237. 23 8.). Anm erckung. H. 272. Ueberleget dasjenige, was §. 226. 227. 239. 240. 241. 242. 243. iſt ausgefuͤhret worden, ſo werdet ihr mit leichter Muͤhe eine iede Figur in eine andere verwan⸗ deln, verſchiedene Figuren zu einander addiren, von einan⸗ der ſubtrahiren, zwiſchen zwey Figuren die mittlere Pro⸗ portional⸗Groͤſſe, und zu drey Figuren die vierte Proportio⸗ nal⸗Groͤſfe finden koͤnnen. Lehr⸗Satz. §. 273. In einem rechtwincklichtem Triangel Summe von den Cuadraten der beyden uͤbrigen Seiten. = Beweiß. . Es ſey ABC ein rechtwincklichter Triangel, AFGB das Quadrat von der Hypothenuſe, CBHI das Quadratum von der Grund⸗Linie, und CAED das Quadratum von dem Catheto. Ziehet von Gnach C, und von A nach EH gerade Linien, ſo iſt, weil =X und m =y (§. 54. 118.), X+ m = X + y (§. 63. A. M.). Es iſt ferner CB =BH, und AB= BG (5. 54.), liheririei ( .) 4 (126.) Othendse gelCBCg ſoiſtder Tur Da bun an Linie und 6 aulch der Folglcht alſo NNG At kan be NWA = AMCD= E. V. nt id iheſ den gege die Wur ten Win ſoſtdie⸗ dnntenb ſe, wie ercl eleinettgt n, undbete nit der enie nine (§. 1 ungleihent n, ſo ſetn daddintd⸗ 1 ihre lin nen zutn höhe deiß eſen beiſt d. 226. n; den, ſo ſ, AIdere N n, Ni Ar netutum, n C ſ gliht den ſen CDI 6 Flaͤchen zu zeichnen, in Grund zu legen zu theilen ꝛc. 279 (§. 54.), ſolglich iſt der Triangel CGB= ABH (S§. 126.). Ziehet ferner in dem Quadrat der Hy- pothenus eim Rectangulum, welches mit dem Trian⸗ gel CBGgleiche Grund⸗Linie und Hoͤhe hat NMGB, ſo iſt der Triangel CBG= NMGB (S. 224. 222.). Da nun auch der Triangel ABH gleiche Grund⸗ Linie und Hoͤhe hat mit dem Quadrat CBHI, ſo iſt auch der Triangel ABH=I CBHI (S. 224. 222.). Folglich 4 NMGB = 1 CBHI (S§. 20. A. M.); und alſo NMGB= CBHI (§. 22. A. M.). Aufgleiche Art kan bewieſen werden, daß das Reétangulum NMFA = dem Quadrat FACD. Folglich iſt ES= CBHI † CAED (§. 8. A. M.). W. Z. §. 274. Wenn demnach zwey Quadrate gegeben, und ihr ſollt ein anderes Quadrat machen, welches den gegebenen zuſammen genommen gleich, ſo ſetzet die Wurtzeln der gegebenen Quadraten in einem rech⸗ ten Winckel zuſammen, und ziehet die Hypothenuſe, ſo iſt dieſe die Seite, auf welcher das verlangte Qua⸗ drat zu beſchreiben. §d. 275. Und daher kan man auch durch Huͤlffe des Pythagoreiſchen Lehr⸗Satzes verſchie dene Qua⸗ drate addiren. 3.’˖?. Zuſatz. d. 276. Es ſey die Hypothenuſe = y, die Grund⸗Linie = a, und der Cathetus = b, ſo iſt in einem rechtwincklichten Triangel y2 = a2 bz (5. 273.), folglich y= / (a + ba) (§. 188. Rech.). S 4 Das — V 7² 280 Das 3 Capitel, Das 3. Capitel. Von Ausmeſſung der Circul⸗ Flache. Lehr⸗Satz. . K. 277. Gir Circul iſt gleich einem Triangel, deſſen W Grund⸗Linie ſo groß als die Peripherie des Circuls, und deſſen Hoͤhe dem Radio des Circuls gleichet. Theilet die Peripherie des Circuls in unendlich kleine aber doch gleiche Theile, und ziehet die Seknen dieſer Bogen, ſo entſtehet ein regulaͤres Viel⸗Eck, deſſen Seiten unendlich klein (§. 249.). Folglich iſt der Unterſchied einer ſolchen Seite von ihrem Bogen unendlich klein, und alſo iſt iene anzuſehen als eine Groͤſſe, welche dem geſetztem Bogen gleich iſt (§. 144. A. M.). Folglich iſt die Peripherie eines ſolchen Viel⸗ Eckes gleich der Peripherie des Circuls. Es ſey einer von dieſen unendlich kleinen Theilen des Circuls der Bogen ab. Ziehet von den aͤuſſerſten Puncten dieſer Sehne gerade Linien nach den Mittel⸗Punct des Cir⸗ culs C, ſo iſt der Unterſchied der Hoͤhe dieſes Triangels Cm von dem Radio des Circuls ca unendlich klein, folg⸗ lich = dem Radio des Circuls (S. 144. A. M.). Und alſo iſt es klar, daß der Circul gleich einem Triangel, deſſen Grund⸗Linie = der Peripherie des Circuls, und deſſen Hoͤhe = dem Radio des Circuls (§. 255.). W. Z. E. W. . 1. Zuſatz. §. 278. Hieraus iſt es ferner klar, daß der Aus⸗ ſchnitt eines Circuls CM N = einem Triangel, deſſen Grund⸗ Grund⸗ demn Re 6 71 Circuls tes Cit aogen⸗ rie, unn ſtimme multip eine ge leichth wir unt Cirene 290. ihreire NC lich wecden ndc etki nan ben, d einerle Kl. culs beſti Von Ausmeſſung der Circul⸗Flaͤche. 281 Grund⸗Linie = dem Bogen MN,und deſſen Hoͤhe = dem Radio des Circuls. 7 2. Zuſatz. §. 279. Wenn wir demnach den Innhalt eines Circuls oder den Innhalt von dem Ausſchnitte ei⸗ nes Circuls ſuchen wollen, ſo muͤſſen wir durch das Laͤngen⸗Maaß im erſten Falle die Groͤſſe der Periphe⸗ dſn rie, und im andern Falle die Groͤſſe des Bogens be⸗ ſtimmen, und ſolche mit dem halben Radio des Circuls ig multipliciren (§. 237.). Der Radius des Circuls iſt eine gerade Linie, und alſo koͤnnen wir deſſen Laͤnge leicht beſtimmen. Folglich iſt nur noch noͤthig, daß wir unterſuchen, wie die Groͤſſe der Peripherie eines Circuls durch das Laͤngen⸗Maaß zu beſtimmen ſey. Lehr⸗Satz. §. 280. Alle Diametri haben zu den Peripherien ihrer Circul einerley Verhaͤltniß. . Beweiß. Alle Circul ſind einander aͤhnlich (§. 19. 39.). 4 Folglich iſt in ihnen nichts zu finden, wodurch ſie, fuͤr ſich betrachtet, von einander koͤnnen unterſchieden werden (5. 3. und 5. A. M.). Es iſt demnach un⸗ moͤglich, daß Circul durch die Verhaͤltniß des Dia- metri zur Pertpherie zu unterſcheiden. Geſtehet man dieſes, ſo muß man auch nothwendig zuge⸗ ben, daß in verſchiedenen Circuln die Diametri tilerley Verhaͤltniß zu ihren Peripherien haben Aufgabe. §. 281. Ts wird gegeben der Radius eines Cir⸗ culs und eine Sehne aus dieſem Circul von einem . beſtimmtem Bogen, man ſoll durch die Rechnung S S5 ſin⸗ 282 Das 3. Capitel, finden, wie groß die Sehne von der Helfte des ge⸗ gebenen Bogens ſey. Aufloͤſung. Es ſey der gegebene Radius CA, die gegebene Sehne AB. 1) Ziehet auf dieſe Sehne AB aus dem Mittel⸗ Punct des Circuls C eine Perpendicul⸗ Linie (§. 134.), ſo theilet dieſe ſo wohl die gegebene Seh⸗ ne als auch den Bogen in zwey gleiche Theile (§. 165.). 2) Beſtimmet die Groͤſſe der Seite CS5, welche, weil ACE ein rechtwincklichter Triangel, = V (AC2 — Abe) (9. 276.). 3) Subltrahiret dieſe Linie von dem gegebenen Radio CA = CD, ſo findet ihr die Seite DE. 4) Addiret zu dem Quadrat DE das Quadrat von AE, und ziehet aus dieſer Summe die Qua⸗ drat⸗Wurtzel, ſo entſtehet, weil ADFE ein rechtwinck⸗ lichter Triangel, die Seite AD (§. 276.), welche die Sehne von der Helfe⸗ des gegebenen Bogens. Aufgabe. §. 282. Es wird gegeben die Seite von einem regnlären Viel⸗SEcke, welches in dem Circul be⸗ ſchrieben, man ſoll die Groͤſſe der Seite von dem regulaͤren Viel⸗Ecke, welches um den Circul be⸗ ſchrieben, durch die Rechnung beſtimmen. Aufloͤſung. Es ſey die Seite von dem regulaͤrem Viel⸗Ecke, welches in dem Circul beſchrieben, AB, und die Seite des regulaͤren Viel⸗Ecks, welches um dem Circul beſchrieben, EF, folglich iſt EF mit der Linie AB parallel (S§H. 257.). Ziehet auf die Sehne AB aus dem Mittel⸗Punct C eine Perpendicul⸗Linie CCG (§. 134.), ſo iſt CD:;: DB = CG : GrF, und n Von Ausmeſſung der Circul⸗Flaͤche. 283 ed N und CD: DA = CG: GE (S§. 192. 193). Da nun AD = DB (§. 165.), ſo iſt CG: GF = CG: GE (S. 40. A. M.), folglich CG: CG = Don GF: CGE. (§. 131. A. M.). Und alſo GF = GE (§S. 41. A. M.). Hieraus erhellet, daß die Linie ec Eh durch Huͤlffe der Linie CD, DB und CG zuer⸗ ieE finden. Die Linie DS iſt die halbe Seite des regu⸗ ee laͤren Biel⸗Ecks, welche iſt gegeben worden. Die ſeleſ Linie CGiſt der Kadius des Circuls, in welchem ic das Viel⸗Eck zu beſchreiben, und alſo durch Huͤlf⸗ fe des §. 259. zu erfinden, die Groͤſſe der Linie CDO kan auf gleiche Weiſe, wie §. 281. iſt gezeiget wor⸗ den, erfunden werden, und alſo iſt es klar, wie die Groͤſ⸗ heu ſe der Lmie EßF zu beſtimmen. . =— 4 Aufgabe. e §. 283. Die Verhaͤltniß des Diametri zur Pe⸗ ripherie des Circuls zu erfinden. 1) Beſchreibet in einem Circul ein regulaͤres Viel⸗Eck, und ſuchet durch Huͤlffe der einen Seite Liſ die Sehne von dem halben Bogen jener Seite. ul⸗ Durch Huͤlffe dieſer ſuchet wiederum die Sehne von ihrem halben Bogen, und mit dieſer Arbeit fahret 45 ſo lange fort, bis ihr eine Sehne findet, deren Unter⸗ ſcheid von ihrem Bogen unendlich klein (§. 281.). 2) Durch Huͤlffe dieſer gefundenen Sehne, ſu⸗ chet die Seite des regulaͤren Viel⸗Ecks, welches um den Circul iſt beſchrieben worden (§S. 282.) 3) Beyde Seiten multipliciret durch die Anzahl der Linien, welche in der Peripherie ſolcher Viel⸗ Ecke enthalten, ſo bekommt ihr ſo wohl die Peri⸗ 4 pherie des regulaͤren Viel⸗Eckes, welches in dem 1 Cireul, als auch des Viel⸗Eckes, welches um dem 8 Circul iſt beſchrieben worden. 4) Da 284 Das 3. Capitel. 4) Da nun die Peripherie des aͤuſſeren Viel⸗ Eckes etwas groͤſſer und die Peripherie des innern Viel⸗Eckes etwas kleiner als die Peripherie des Circuls, ſo werdet ihr durch dieſen Unterſcheid die Groͤſſe der Peripherie, und alſo die Verhaͤltniß des iametri zur Peripherie alſo beſtimmen koͤnnen, daß der begangene Fehler unendlich klein, und alſo fuͤr nichts zu halten (§. 142. A. M.). Anmerckung. §. 284. Ich habe dieſe Aufgaben aus den Elementis Geometriae des Herrn Baroͤn von Wolffens §. 423⸗425. nicht in der Abſicht angefuͤhret, daß ich die Verhaͤltniß des Diametri zur Peripherie aufs neue ausrechnen wollte, dieſe Arbeit wuͤrde mir zu muͤhſam ſeyn, ſondern damit man auch in dieſem Compendio einſehen koͤnne, wie es moͤglich geweſen, daß andere dieſe Verhaͤltniß haben aus⸗ rechnen koͤnnen. Es iſt mir jederzeit verdrießlich gewe⸗ ſen, etwas zu hoͤren, wovon ich keinen Grund eingeſehen, und ich vermuthe bey andern gleiche Eigenſchafften. Lu⸗ dolph von Coͤln hat im ſeinem Bucke de cireulo et inſeri- ptis mit vieler Muͤhe durch den Gebrauch der Decimal⸗ Bruͤche ausgerechnet, daß die Peripherie des Circuls 314 159 264 358 979 323 846 254338 387 wenn der Dia⸗ meter 100 οο οο 0οϑ° 0οομ 0πιομοnοο⁰ οοο 0½0.. Weil aber dieſe Zahlen im Rechnen viel zu weitlaͤuftig, ſo nimmt man nur von beyden die drey erſten Zieffern, ſol⸗ ten aber die Circul zu groß und alſo der Fehler zu merck⸗ lich werden, ſo ſetzet man noch einige Zieffern hinzu. Und alſo iſt die Verhaͤltniß des Diametri zur Peripherie wie 100: 314, oder in groſſen Circuln wie 1000: 3141, und ſo weiter. I. Z u ſa 3. §. 285. Iſt demnach der Diameter eines Cir⸗ culs 1000, ſo hat die Peripherie bey nahe 314⁰. Iſt der Diameter 100/,, ſo hat die Peripherie bey na⸗ he 314% und ſo weiter. 2. Ju⸗ + ₰= — 31 Von Ausmeſſung der CircukFlaͤche. 28 5 Da. 2. Juſatz. uch §. 286. Wird euch der Diameter eines Circuls gegeben, und ihr ſollt die Groͤſſe der Peripherie N durch das Laͤngen⸗Maaß beſtimmen, ſo ſprechet: gt 100:314 = der gegebene Diameter: Peripherie. len Wird euch durch das Laͤngen⸗Maaß die Groͤſſe der ſ⸗ Peripherie eines Circuls gegeben, und ihr ſollt deſſen Diameter ſuchen, ſo ſorechet: 314: 100 = die gegebene Peripherie: Diameter (§S. 280. 284.). 6 5. Zuſatz. Fft §. 287. Und alſo iſt es vollkommen zu begreiffen, d wie die Groͤſſe einer Circul⸗Flaͤche durch das Flaͤ⸗ es chen⸗Maaß zu beſtimmen (§. 279. 286.). 3 Aufgabe. §. 288. Den Innhalt des Ausſchnittes MCN V zu finden. . 72 j Aufloͤſung. 1) Meſſet den Radium des Circuls CN, und . den Winckel NCM (S§. 110.). 2) Durch Huͤlffe des erſten beſtimmet die Gooͤſſe 6 der halben Peripherie des gegebenen Circuls durch das Laͤngen⸗Maaß, dieſes zu bewerckſtelligen ſprechet: „100: 314 = der Radius des gegebenen Circuls: der halben Peripherie des Circuls (§. 286.). 3) Durch Huͤlffe des zweyten beſtimmet die Groͤſſe des Bogens MN durch das Laͤngen⸗Maaß, dieſes zu erhalten ſprechet: 180%: dem Winckel MCN = die gefundene Gröſſe dieſes halben Circuls: dem Bogen 4) Multipliciret die gefundene Groͤſſe des Bo⸗ gens MN durch den halben Radium NC, ſo iſt dieſes Das 3. Capitel, dieſes Factum die Groͤſſe von der Flaͤche des gege⸗ benen Ausſchnittes (§. 279.). Aufgabe. §. 289. Den Innhalt des Abſchnittes eines 75 Circuls ABDA zu ſinden. Aufloͤſung. 1) Meſſet die Sehne Al und die Hoͤhe BF des gegebenen Abſchnittes. 2) Durch Huͤlffe der gefundenen Hoͤhe BF und der halben Sehne FD ſuchet den Diameter des Circuls, aus welchem das gegebene Stuͤck iſt ge⸗ ſchnitten worden (§. 209.). 3) Suchet den Innhalt des Ausſchnittes ABDEA (§. 288.), und des Triangels ADE (S. 237.) 4) Den Innhalt dieſes Triangels ſubtrahiret von dem Innhalte des Ausſchnittes ABDEA, die Dif⸗ ferenz iſt der Innhalt des gegebenen Abſchnittes ABDA (S. 88 und 89. A. M.). Lehr⸗Satz. §. 290. Die Flaͤchen der Circul verhaͤlten ſich gegen einander wie die Quadrate ihrer Diume- II or—ι. 1 Beweiß. Es ſey die Peripherie des einen Circuls = P, und der Diameter dieſes Cireuls = D, ſo iſt der Innhalt des Circuls = P, — —, D (§. 287.), und das Quadratum Diametri = D, D (S. 232.). Folglich: P . P —.D LD, D = —: D (§. 80. A. M.). Es es gege e Nii retoe⸗ D s Von Ausmeſſung der Circul⸗Flaͤche. 297 Es ſey ferner die Peripherie des andern Circuls = p, und der Diameter = g, ſo iſt der Innhalt P dieſes Circuls = —, d (5. 287.) und das Quadra- tum Diametri = 4, d (§. 232.), folglich P P Da nun P P . —: D = — : d (S. 280. Geom. und §. 218. 4 4 . II. B. . 4. 2. Rech.); ſo iſt auch PD p . —, D: D, D = —, d: d, d (H. 40. A. M.). 4 4 Folglich P b —, D: —, d = D, D: d, d (§. 131. A. M.), 4 4 1. Ju ſa 3. §. 291. Nehmet die Seiten eines rechtwincklich⸗ ten Triangels als Diametros von verſchiedenen Cir⸗ culn, und beſchreibet dieſe Cireul, ſo iſt der Circul, deſſen Diameter die Hypothenuſe, ſo groß als die uͤ⸗ brigen beyden Circuln zuſammen genommen (§. 271.). §. 292. Und alſo iſt es leicht zu begreiffen, wie verſchiedene Circul zu addiren, und von einander zu ſubtrahiren (§. 274 275.). Lehr⸗Satz. §. 293. Der Innhalt eines Circuls verhaͤlt ſich zum Gugadrat ſeines Diametri, wie bey nahe 785 zu 1000. Beweiß. 288 Das z. Cap. Von der Ausmeſſung der ꝛc. Beweiß. Wenn der Diameter 100. Theile hat, ſo hat die Peripherie 314. (§. 284.), alſo iſt der Inn⸗ halt des Circuls 7850. (§. 287.), und das Qua⸗ drat des Diametri 10000. (§. 232.). Folglich verhaͤlt ſich der Innhalt des Circuls zu dem Qua⸗ drat ſeines Diametri wie 78 50 zu 10000 = 783 100 0 9 785: 1000 (§S. 113. A. M. und §. — * — *% 1 2590. Geom.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 294. Wird euch demnach der Innhalt des Cir⸗ culs gegeben, und ihr ſollt das Quadratum Diame- tri ſuchen, ſo ſprechet: 785: 1000 = der gegebene Innhalt des Cir⸗ culs: Quadrat des Diametri. Wird euch das Quadratum Diametri eines Circuls gegeben, und ihr ſollt den Innhalt des Circuls ſu⸗ chen, ſo ſprechet: . 1000: 785 = das gegebene Quadrat: dem Inn⸗ halt des Circuls. Aufgabe. §. 29 5⁵. Es wird der Innhalt eines Circuls gegeben, man ſoll den Diaumetrum und die Pe⸗ ripherie ſuchen. . E Aufloͤſung. 1) Suchet das Quadrat von dem verlangtem Dia- metro (§H. 294.). 2) Aus dieſem ziehet die Quadrat⸗Wurtzel (§. 166. Rech.), ſo habt ihr den verlangten Diame⸗ ter (S. 232.). 3) Suchet zu 100, 314. und den gefundenen Dia⸗ meter die vierte Proportional⸗Groͤſſe (§. 2 16. Rech.), dieſe iſt die verlangte Peripherie (§. 286.). Das dern, ſt det n d das , . Faolge den O 10000 — P. vcd⸗ thaldad⸗ 1tumn Dane⸗ alt ded⸗ . eines Cinl ,Cirauls ; den Ne⸗ nes Cnn and de leumed⸗ Oie ngten “ fundentd 2 60, Das 4. C. Von den Eigenſchafften der Flaͤchen. ꝛc. 289 Das 4. Capitel. Von den Eigenſchafften der Flaͤchen, welche durch ihre Lage zu beſtimmen. Lehr⸗Satz. Ge haben hinreichenden Grund eine Elaͤche We als eine Ausdehnung ohne Dicke zu geden⸗ cken, welche aus vielen Linien iſt zuſammengeſetzet worden. Eilne Flaͤche iſt eine Ausdehnung in die Laͤnge und Breite ohne Dicke (§. 37.). Einer Ausdehnung wird eine Breite beygeleget. wenn man in derſelben auf eine zweyfache Axrt eine Ansdehnung gedencken kan (§. 1.). Wenn wir verſchiedene Laͤngen oder Linien alſo neben einander legen, daß zwiſchen ihnen keine an⸗ dere koͤnne geſetzet werden, ſo bekommen wir einen Be⸗ griff von einer Ausdehnung, in welcher die Ausdehnung auf eine zweyfache Art zu gedencken (§. 11. Vor.), und alſo haben wir hinreichenden Grund zu behaupten, daß eine Flaͤche eſne Ausdehnung ohne Dicke, welche aus vielen Linien iſt zuſammen geſetzet worden. W. Z. WB. d. 297. Folglich muͤſſen wir die Lage, in welcher eine Linie mit einer Flaͤche verknuͤpfet, von der Lage, in welcher eine Linie mit einer Linie in der Flaͤche verknuͤ⸗ pfet, unterſcheiden. 2. ZU ſa3. B §. 298. Es kan demnach eine Linie auf einer Linie in der Flaͤche perpendiculaͤr ſtehen, welche in Anſehung der gantzen Flaͤche nicht perpendiculaͤr ſtehet. Und eine Linie kan mit einer Linie in der Flaͤche parallel ge⸗ T hen, 290 Das 4. Cap. Von den Eigenſchafften der Flaͤchen hen, welche in Anſehung der gantzen Flaͤche keine Pa⸗ rallel⸗Linie (S. 22. 2 6.). 3. Juſatz. §. 299. Es iſt hieraus ferner klar, daß wir die Lage aller Linien einer Flaͤche zu allen Linien einer andern Flaͤche unterſuchen muͤſſen, wenn wir die Eigenſchaff⸗ ten aus der Lage der Flaͤchen beſtimmen wollen. §. 300. Und alſo erhellet, daß eine Flaͤche auf der andern perpendicular ſtehet, wenn alle Linien der einen Flaͤche, auf allen Linien der andern Flaͤche, auf welcher jene ruhen, perpendieulaͤr ſtehen, und daß eine Flaͤche mit einer andern parallel gehet, wenn alle Perpendicul⸗ Linien, welche von der einen Flaͤche auf die andere ge⸗ zogen werden, einander gleich (§. 26.22. 152.). Anmerckung. §. 301. Wer dieſes, was §. 296⸗300. geſetzet worden, genau uͤberleget, der wird ohne Furcht zu irren geſtehen, daß aus dem/was von der Lage der Linien behauptet worden, das⸗ jenige, was aus der Lage der Plachen folget, leicht zu begreif⸗ fen. Daher es faſ berfluͤßig, daß noch weitlaͤuftiger hievon handele. Doch zur Deutlichkeit will noch davon einige Haupt⸗ Saͤtze, welche im folgenden gebrauche, erklaͤren und beweiſen. Lehr⸗Sactz. §. 302. Wenn auf einer Slache ein Circul be⸗ ſchrieben, und auf deſſen Mirtel⸗Vuner eine gera⸗ de Linie alſo geſetzet wird, daß ſie von allen Punc⸗ ten der Peripherie des Circuls gleichweit entfernet ſo ſtehet dieſe Linie auf der gegebenen Flaͤche per⸗ pendiculaͤr. Beweiß. Beſchreibet auf der Flache ABDE einen Citcul FICK, und richtet auf deſſen Mittel⸗Punct Calſo eine gerade Lime, daß ſie von allen Puncten der Peri⸗ ⸗ auien et ſoltd Pleg aus Nn S.r Fhepe che nach Durchſit eſde Mußſcn he s Uheſckenft andere ſt donderg zi dec. Fi welche durch ihre Lage zu beſtimmen. 291 helin Geripherie des gezeichneten Circuls gleich weit eutfer⸗ net, ſo iſt die Neigung dieſer Linie HC nach allen Li⸗ nien, aus welchen die Flaͤche zuſammengeſetzet, gleich Frirte groß (§. 16.), folglich ſtehet ſie auf der gegebenen bera⸗ Flaͤche perpendieulaͤr (S. 297.26.). W. Z. E. W. Eicee . az. ur Lehr⸗Satz. §. 303. Wenn eine Flaͤche eine andere Flaͤ⸗ chhe nach der Schaͤrffe ſchneivet, ſo iſt der gitem Durchſchnitt eine inie. inieſfi Beweiß. c,eſt Es ſoll die Flaͤche HCDG von der Flaͤche ADEII W durchſchnitten werden, ſo muß der Durchſchnitt Bhei⸗ Reacn ne ſolche Ausdehnung ſeyn, welche in einer Flaͤche zu Dlal gedencken, folglich entweder eine Laͤnge, oder eine Brei⸗ 1h te (S. 37.),. Iſt der Durchſchnitt eine Breite, ſo muß di S 4„ſ, * — * .. f= —,— uß die Schaͤrffe der Flaͤche ADEH eine Dicke haben (§. Giter ti 1.). Da nun aber dieſes dem Begriff derſelben zuwider gelten (F. 37.3,ſo iſt der Durchſchnitt BF eine Laͤnge oder Li⸗ tondenag nie. W. Z. E. W. rntch I. Ju ſa 45. initße §. 304. Wenn demnach die Flaͤchen, welche ein⸗ egvrcdhie⸗ ander nach der Schaͤrſſe ſchneiden, ebene Flaͤchen, ſo iſt der Durchſchnitt BFeine gerade Linie. in Caßt 2. Zuſatz. ereint⸗ 5. 305. Die Neigung, in welcher eine Flaͤche die l andere ſchneidet, iſt durch die Winckel zu beſtimmen, RK welche die Linien auf der Flaͤche HGFB mit den Linien 5 von der Flaͤche HABF machen (§. 299. 27.). Lünente 5. 306. Wenn eine Flaͤch e von einer geraden Li⸗ nnI ie vrchſed ieren wird,ſo iſt dieſe Linie in der Flaͤ⸗ che, welche durchſchnitten worden. TDT 2 Be⸗ V 78 V 79 V 5 292 Das 4. Cap. Von den Eigenſchafften der Flaͤchen Beweiß. Durchſchneidet die Flaͤche CDFE mit der Linie Ab, ſo iſt die Linie AB entweder in der Flaͤche oder nicht. Iſt dieſes/ ſo hat entweder die Linie A B eine Breite, oder die Flaͤche CDFE hat eine Dicke (§. 1.); da nun bey⸗ des unmoͤglich (§. 2. 37.), ſo muß das erſte ſeyn. W. Z. E. W. . Lehr⸗Satz. d. 307. Wenn zwo Flaͤchen, welche parallel lie⸗ gen, von einer dritten durchſchnitten werden, ſo ſind auch die Durchſchnitte parallel. Beweiß. Durchſchneidet die Parallel⸗Flaͤchen ABCD und EFH mit einer dritten K MI-L,ſo ſind die Durchchnit⸗ te K M und II. Linien in den gegebenen Flaͤchen (§. 303. 306.). Da nun die gegebenen Flaͤchen parallel, ſo muͤſſen auch dieſe Durchſchnitte Parallel⸗Linien ſeyn (§: 300. 22.) W. Z. E. W. Zuſatz. §. 308. Ueberlegt dasjenige, was §. 143. ſl. und §. 299. bewieſen, ſo werdet ihr auch hier viele beſonde⸗ re Schluͤſſe folgern koͤnnen. Lehr⸗ Satz. §. 309. Zwo Linien NP uno 8Q werden von 30 Parallel⸗-⸗Slachen ABCD, EFGII, IMLK propor⸗ rionirlich geſchnitten, ſo, daß PO: ON= GR: RS. Beweiß. Weil die Flaͤchen AB CD, EFGHund IMLK pa⸗ rallet, ſo ſind auch die Durchſchnitte NS, Ok und PQ Parallel⸗Linien (§. 307. 303.). Ziehet die Linie SP, ſo iſt in dem Triangel NPS mit der Grund⸗LAnie NS die Linie OT, und in dem Triangel PSQmit der Grund⸗ velch GrundeBrie! ſcil. 50:0 DI. 6 310.1 s vonder ſihret wort angeführet hinreicſen, . heyihe derglit⸗ welche durch ihre Lage zu⸗ beſtimmen. 293 Grund⸗Linie PQdie Linie TR parallel gezogen. Folg⸗ D lich iſt. PO: ON = PT : TS e Nelinn PT: ITS= M: RS (§. 193.). Rreid und alſo Nunn PO: NE RS (§. 40. A. M.). teſno W. Z. E. W Zuſ atz. 6 §. 310. Und alſo iſt es klar, daß auch hier aus dem, N was von der Aehnlichkeit der Triangel oben iſt ausge⸗ n wen fuͤhret worden, vieles koͤnne gefolgert werden. Was angefuͤhret, ſolches wird, meine Abſ ſicht zu erhalten, hinreichen. n Der 4. Abſchnitt. ſl Von den vum. Eigenſchafften der matheatiſchent Koͤr⸗ ,Enie per und deren Ausmeſſung. Das 1. Capitel. 4g..1 Von der edeſe Art und Weiſe, wie die Groͤſſe eines koͤrperlichen Raums zu finden. erdent Lehr⸗Satz. 1 E d. 311. ONN Wie ie Anodehnun. der Koͤrper kan nicht gemeſ⸗ ſen werden, als durch die Beſtimmung der Verhaͤltniß aller mathematiſchen Koͤrper zu einer „gewiſſen Art derſelben. 50n Beweiß. Ne wigdenen, Satz kan auf gleiche Art bewieſen werden, undele, wie der Satz im §. 219. iſt erwieſen worden. RA, T 3 z u⸗ 294 Das 1I. Cap. Von der Art und Weiſe, ZJuſatz. §K. 312. Da nun der regulaͤreſte Koͤrper unter al⸗ len der Cubus (§ 64. 77.), ſo hat man hinreichenden Grund den Cubum zum allgemeinen Maaß⸗Stab al⸗ ler koͤrperlichen Ausdehnungen anzunehmen. Willkuͤhrlicher Satz. §. 313. Damit der Maaß⸗Stahb von den Laͤn⸗ gen, ſiehe §. 93., auch bey Ausmeſſung der koͤr⸗ Perlichen Ausdehnungen koͤnne gebraucht wer⸗ den, ſo iſt ein Cubus, welcher eine Ruthe lang, eine Ruthe breit, und eine Kuthe dick, eine Cu⸗ bic⸗Ruthe; ein Cubus, welcher einen Schuh lang, einen Schuh breit, und einen Schuh dick, ein Cubic⸗Schuh; ein Cubus welcher einen Joll lang, einen Zoll breit, und einen Zoll dick, ein Cubic⸗Zoll genennet worden. Und ſo weiter. Zu ſatz. §. 314. Und alſo wird ein koͤrperlicher Raum ge⸗ meſſen, wenn wir unterſuchen, wie viele Cubic⸗Ru⸗ then, Lubic⸗Schuh, Cubic⸗Zoll, und ſo weiter, in demſelben koͤnnen geleget werden (§. 312. und §. 102. A. M.). Aufgabe. d. 315. Die Ausdehnung eines gegebenen Cubi auszumeſſen. Aufloͤſung. 1) Meſſet mit dem Maaß⸗Stab die Laͤnge der Seite des gegebenen Cubi. 2) Maltipliciret dieſe durch ſich ſelbſt. 3) Dieſes Factum multipliciret wiederum durch die gefundene Seite des gegebenen Cubi; dieſes Fa- Kum iſt der Innhalt von dem gegebenen Cubo. Be⸗ wiel Solt it ch Shoh, ſo künn der an ſenſob der Ne demne Neihe4 etchehe ander nkhelt Dlleit liegen d welche. welche/ ld die e Do Uiſenn N AD, lare. Uſet,de Ultii untt N. er, de ed n tel dlet wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 29 5 Beweiß. Sollt ihr den Cubum ABGFEDA meſſen, ſo ſollt ihr ſuchen, wie viele Cubic⸗Ruthen, oder Cubic⸗ Schuh, und ſo weiter, in dieſem koͤrperlichen Raume liegen koͤnnen (§. 3 14.). Da nun AD = DE (§. 77), ſo koͤnnen in der einen Reihe nicht mehr liegen als in der andern. Da ferner AD = DC (S. 77.), ſo muͤſ⸗ ſen ſo viele Cubie⸗Ruthen uͤber einander liegen, als in der Reihe AD koͤnnen geleget werden. Wenn ihr demnach unterſuchet, wie viele Cubic⸗Ruthen in der Reihe AD, wie viele in der Reihe DE, und wie viele in der Reihe DCliegen koͤnnen, und ſolche Groͤſſen in einander multipliciret, ſo findet ihr den koͤrperlichen Innhalt des gegebenen Cubi (S. 73. A. M.). Die Vielheit der Cubie⸗Ruthen, welche in der Reihe AD liegen koͤnnen, wird durch die Vielheit der Ruthen, in welche A D zu theilen, die Vielheit der Cubie⸗Ruthen, welche in der Reihe DE liegen koͤnnen, wird durch die Vielheit der Ruthen, in welche DE zu theilen, und die Bielheit der Cubic⸗Ruthen, welche in der Reihe DC liegen koͤnnen, wird durch die Vielheit der Ruthen, in welche DCzu theilen, beſtimmet (§. 313.). Folglich findet ihr den Innhalt dieſes Cubi, wenn ihr AD, DE, und DC mit dem Maaß⸗Stab der Laͤngen meſſet, und dieſe Groͤſſen in einander multi⸗ pliciret. Da nun AD= DE=DC (§. 77.), ſo fin⸗ det ihr den Innhalt des gegebenen Cubi, wenn ihr die eine Seite des Cubi mit dem Maaß⸗Stab der Laͤngen meſſet, dieſe Groͤſſe durch ſich ſelbſt multipliciret, und endlich dieſes Factum wiederum mit der erſten Groͤſſe multipliciret. W. Z. E. W. 12 Ju ſatz. §. 316. Wenn ihr die Seite AD durch ſich ſelbſt multipliciret, ſo findet ihr die Grund⸗Flaͤche des Cubi (§. 232, 77.). Folglich ſindet ihr den Innhalt bdes 24 geger 296 Das I. Cap. Von der Art und Weiſe, gegebenen Cubi, wenn ihr die Grund⸗Flaͤche des Cubi durch die Hoͤhe multipliciret. 2. Zuſatz. §. 317. Ziehet aus dem gefundenen Innhalt des Cubi die Cubic⸗Wurtzel (§. 173. Rech.), ſo habt ihr die Hoͤhe oder die Breite des Cubi (§S. 150. Rech.). 5. Zuſatz. §. 318. Es ſey AD = 10 Ruthen, ſo hat der Cu⸗ bus 1000 Cubic⸗Ruthen. Es ſey AD = 10 Schuh, ſo hat der Cubus 1000 Cubic⸗Schuh. Und ſo weiter. Hieraus iſt klar, daß in einer Cubic⸗Ruthe 1000 Cubic⸗ Schuh, in einem Cubie⸗Schuh 1000 Cubic⸗ Zoll, und ſo weiter. 4. Zu ſatz. . §. 319. Wenn demnach das Maaß eines koͤrper⸗ lichen Raums mit Zahlen ausgedruͤcket, ſo muß man allezeit nach den Ruthen drey Zahlen fuͤr die Schuhe, drey Zahlen fuͤr die Zolle, und ſo weiter, abſchneiden. Z. E. 345678324“ ſind 324 Cubic⸗Zoll, 678 Cubic⸗ Schuh, und 345 Cubic⸗Ruthen (§. 97.). Lehr⸗Satz. . de 320. Wir haben hinreichenden Grund,einen mathemathiſchen Koͤrper als eine Ausdehnung zu gedencken, welche aus vielen Flaͤchen zuſammen⸗ geſetzet iſt. . Beweiß. wie der Satz im §. 296. erwieſen worden. Lehr⸗Satz. d. 32 1. Alle gleichdicke Koͤrper (§. 73.), wel⸗ che gleiche Grund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haker 10 ſn⸗ Dieſer Satz kan auf gleiche Art bewieſen werden, un lol der 14 gle⸗ Fol der 6 emm die t Den. bie P N wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 297 ſind einander gleich, oder haben gleiche Ausdeh⸗ nungen in ihrem koͤrperlichen Raum. Beweiß. Wenn man zween gleichdicke Koͤrper in lauter Scheib oder Flaͤchen mit der Grund⸗Flaͤche pa⸗ rallel zerſchneidet, ſo ſind alle dieſe Scheiben einan⸗ der gleich, wenn die gegebenen Koͤrper gleiche Grund⸗ Flaͤchen haben (§. 73. 320.). Haben ſie nun auch gleiche Hoͤhen, ſo koͤnnen aus einem nicht mehrere Scheiben als aus dem andern geſchnitten werden. Folglich faſſet ein Koͤrper ſo viel Raum in ſich als der andere. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 322. Der Cubus iſt ein gleichdicker Koͤrper (§. 77.). Folglich iſt ein ieder gleichdicker Koͤrper ſo groß als ein Cubus, mit welchem jener gleiche Grund⸗Flaͤche und Hoͤhe hat. §. 323. Man findet demnach den Innhalt von ei⸗ nem ieden Prismate (§. 75.), von dem Parallelepipedo (§. 77.), und von einem Cylinder (§. §0.), wenn man die Grund⸗Flaͤchen dieſer Koͤrper durch ihre Hoͤhen multipliciret. Anmerckung. §. 324. Wie die Flaͤchen zu meſſen, von welchen gleich⸗ dicke Koͤrper eingeſchloſſen werden, ſolches wwirn ein icn aus dem zten Abſchnitte ohne Muͤhe folgern konnen. 3. Zuſa tz. §. 325. Hieraus folget ferner, daß ſich gleichdicke Koͤrper zu einander verhalten wie ihre Hoͤhen, wenn ſie gleiche Grund⸗Slaͤchen, und wie ihre Grund⸗Flaͤ⸗ chen, wenn ſie gleiche Hoͤhen haben (§. 80. A. M.). T F§ 4. Zu⸗ 298 Das 1. Cap. von der Art und Weiſe, 4. ZJuſatz. §. 326. Und alſo iſt leicht zu begreiffen, wie zwi⸗ ſchen zwenen gleichdicken Koͤrpern der mittlere Pro⸗ portional-Koͤrper, und zu drey gleichdicken Koͤrpern der vierte Proportional⸗Koͤrper zu finden. Siehe G. 2419/243. Und ſo weiter. 4 Lehr⸗Satz. §. 327. Alle ſoitze Koͤrper (S. 73.), welche glei⸗ che Grund⸗Fl laͤchen und Soͤhen haben, ſind glei⸗ che Horper. Beweiß. Nehmet von zweren Pyramiden (§. 86.), welche einerley und gleiche Grund⸗Flaͤchen und H ha⸗ ben, die eine Seite, ſo habt ihr zween Triangel ACB und A DB, welche gleiche Grund ,Liin ien und gleiche Hoͤhen haben (§S. 87.). Machet in dieſen Tri iangein in einerley Hoͤhe von der Grund⸗Linie mit dieſer Parallel⸗Durch ſchnitte EF und CH, ſo iſt leicht zu beweiſen, daß EF = CH. Dem CK DM. IK = LM, folglich CI = Dl. (S. 22. A. M.). Es iſt ferner, weil die Durchſchnitte mit der Grund⸗ Linie paralel, der Triangel CEF CAB, und der Triange DSIHIO DAEB (§. 193. ).Fol güch iſt EF: CI = AB: CK (= DM) GHI: DL = AB: DM (S§. 211.) und alſo = E. CI = GH: Dl. §. 40. A. M.) folglich EF: GII = CI: DI. (§. r37. A. M.). Da nun AN⸗ — DL, ſo iſt auch Er. = GlII (§. 38. 41, 2 M.). Bey den uüͤbrigen Durchſchnit⸗ ten, welche in einerley Hoͤhe n nit der Grund⸗Linie Parolel geſchehen, iſt einerley Grund (§. 86.), und alſo ſind alle Durchſchnitte, welche in dieſen Py⸗ ramiden in einerley Hoͤhe von der Grund⸗Linie mit der⸗ ſe, fen,ie gittletee ten Korzen deg. Cicn Hoͤhen⸗ n Trinit Oigieunl het in Ni tund,lel 40 6R, . CA= 19. M). r Gronde 6WI,WN Folsi⸗ wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 299 derſelben parallel geſchehen einander gleich (§. 296.). Indem nun dieſe Pyramiden gleiche Hoͤhen haben, ſo koͤnnen aus der einen nicht mehrere Scheiben als aus der anderen geſchnitten werden. Folglich faſſet die eine ſo viel Raum in ſich, als die andere. Weil nun dieſes auf gleiche Art von allen ſpitzen Koͤr⸗ pern zu erweiſen (§. 73.), wenn man nur bey den Kegeln mercket, daß ſich die Cireul zu einander verhalten, wie die Quadrate von ihren Diametris (§. 290.), ſo iſt es klar, daß alle ſpitze Koͤrper einauder gleich, wenn ſie gleiche Grund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haben. Zuſatz. §. 328. Folglich verhalten ſich auch die ſpitzen Koͤrper zu einander wie ihre Grund⸗Flaͤchen, wenn ihre Hoͤhen gleich, und wie ihre Hoͤhen, wenn ſie gleiche Grund⸗Flaͤchen haben, was demnach §. 326. gezeiget, ſolches iſt auch hier zu mercken. Lehr⸗Satz. §S. 329. LZin dreyeckichtes Prisma kan in drey gleiche Pyramiden geſchnitten werden. Beweiß. Es ſey A CBLFDA ein dreyeckichtes Prisma, ſo ſind ABCF, DFEA und BEFA Phyramiden, in welche das gegebene Prisma zerſchnitten (§. 87.). Weil nun die Flaͤchen DEF und ACB parallel und gleiche Flaͤchen (§. 78.), ſo folget aus dem erſten, daß die Hoͤhen der Pyramiden ABCF und DFEA einander gleich (§. 300. 76.), und aus dem zwey⸗ „ ten, daß dieſe Pyramiden gleiche Grund⸗Flaͤchen haben (§. 56.), und allo iſt klar, daß die Pyrami⸗ de ABCF = DFEA (S. 327.). Es ſey ferner die Grund⸗ Flaͤche von der Pyramide ABCF der Triangel CBF, und die Grund⸗Flaͤche von der Py⸗ ranm⸗ 300 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, ramide BEFA der Triangel BFE, ſo haben auch dieſe Pyramiden, weil CBup ein Parallelogrammum (§. 76.47.), gleiche Grund⸗Flaͤchen (§. 223.), und auch, weil A ihre gemeinſchafftiche Spitze, gleiche Hoͤhen (§. 172. 296. 56.). Welches hinreichend zu behaupten, daß auch dieſe Pyramiden ABCF und BEFA einander gleich (§. 327.). Und alſo iſt klar, daß ein dreyeckichtes Prisma in drey Keich⸗ „Pyramiden koͤnne geſchnitten werden. W. Z. E 1. Juſatz. §. 330. Da nun alle ſpitze Koͤrper, welche glei⸗ che Grund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haben (§. 327.), und alle gleichdicke Koͤrper, welche gleiche Grund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haben, einander gleich (§H. 32 1.), ſo wird man geſtehen, daß ein ſpitzer Koͤrper von einem gleich⸗ dicken Koͤrper, welcher mit jenem gleiche Grund⸗ Flaͤche und gleiche Hoͤhe hat (§. 33 1. 75. 86.). 2. Juſatz. §. 331¹. Wollt ihr demnach den koͤrperlichen Inn⸗ halt von einem ſpitzen Koͤrper ſuchen, ſo multiplici⸗ ret die Grund⸗Flaͤche mit der Hoͤhe, und dieſes Fa- tum dividiret mit 3, ſo iſt der Quotient der koͤrper⸗ liche Innhalt des gegebenen ſpitzen Koͤrpers, oder mul⸗ tipliciret die Grund⸗Flaͤche mit von der Hoͤhe, ſo iſt das Factum der koͤrperliche Innhalt des gegebenen ſpitzen Koͤrpers (§. 330. 323.). 3. Zuſatz. §.332. Woraus ferner klar, daß die Grund⸗Flaͤche eines ſpitzen Koͤrpers entſtehet, wenn man deſſen koͤr⸗ perlichen Innhalt mit? von der Hoͤhe dividiret (§. 107. 2 . M.). Aufgabe. §. 333. Den Innhalt eines abgekuͤrtzten ſpitzen Koͤrpers zu finden. Auf⸗ pied F gels . ethol Hihe gebe⸗ ab Dir fun hon Per derg Puc ſen; deſſe wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 301 l Aufloͤſung. ,in Ihr ſollt Z. E. den Innhalt des abgekuͤrtzten Ke⸗ v leit gels FACH ſuchen. 84 Dg 1) Suchet den Innhalt des gantzen Koͤrpers, Pd als wenn er nicht abgekuͤrtzet worden. Dieſes zu gede erhalten muß man des Koͤrpers Grund⸗Flaͤche und den Hoͤhe wiſſen (§. 33 1.). Die Grund⸗Flaͤche iſt ge⸗ geben. Die Hoͤhe kan durch Huͤlffe der Hoͤhe des abgekuͤrtzten Koͤrpers FG, und der beyden Theile des Diameters von der Grund⸗Flaͤche AG und AD ge⸗ funden werden. Denn indem G und BD zwo Hoͤ⸗ r hen, welche auf einer Anie Ab ſtehen, ſo ſind ſie lit⸗ Parallel⸗Linien (§. 56. 152. 154.). Und da ferner ni der Koͤrper ein ſpitzer Koͤrper, ſo muͤſſen die drey Ge⸗ Puncte A, F, B in einer geraden Linie fallen (§. 73.), n, folglich iſt AbD ein geradlinigter Triangel, mit deſ⸗ ſen Grund⸗Linie BD die Linie FG parallel gezogen, und alſo kan man ſprechen: AG: GF = AD: DSB (§. 192. 193.). c, 2) Suchet den Innhalt der abgeſchnittenen r. Spitze des gegebenen Koͤrpers FBHEF, dieſe zu fin⸗ e den multipliciret die Flaͤche FEH mit von EB (§. 131.), die Flaͤche PEH iſt gegeben, und die Hoͤhe EB iſt = DB. — GF = DB — ED. 3) Dieſe Spitze ſubtrahiret von dem gantzen Koͤrper, ſo iſt die Differenz der Innhalt des gege⸗ benen abgekuͤrtzten Koͤrpers (§. 89. A. M.). 6 Lehr⸗Satz. 1 K. 334. Die Kugel iſt 2 von einem Cylinder, ⸗ deſſen Grund⸗Flaͤche ſo groß, als der Cireul, deſ⸗ ſen Diameter die Axis der Kugel (§. 70.), und deſſen Hoͤhe gleich der geſetzten Axi der Kutzel. h 6 Be⸗ 9 302 Das 1. Cap. Von der Art und V Beweiß. Beſchreibet ein Quadrat ACDB, und in demſel⸗ ben aus C mit CA einen Quadranten CAD, und durch Huͤlffe der Diagonal⸗Linie CB den recht⸗ wincklichten Triangel CAB. Unter dieſen Beſtim⸗ mungen beweget das Quadrat ABDCum die Seite QA, ſo beſchreibet das Quadrat einen Cylinder, der Quadrant eine halbe Kugel, und der rechtwincklichte Triangel einen Kegel (§. 17. 80 67 83·). Machet mit der Grund⸗Linie einen Parallel⸗Durchſchnitt MN, ſo iſt MP der halbe Diameter von dem DWurchſchnut in dem Kegel, MO der halbe Diameter von dem Burch⸗ ſchnitt in der Kugel, und MN der halbe Diameter von dem Durchſchnitt im Cylinder. MNiſte— CO(§. 21.),und da MP mit AB paralel gezogen, ſo ſt CM: MP = CA: AB (§. 192. 193.). JIndem nun CA = AB (§. 54.),ſo iſt auch CM =MP (§. 38. 41⸗A. M.). Folglich iſt in dem rechtwincklichten Triangel CMO (S. 5.. 143.) CM der halbe Diameter von dem Durchſchmitt des Kegels, MO der halbe Diameter von dem Durch⸗ ſchnitt in der K ugel,u. CO der halbe Diameter von dem Durchſchnitt in dem Cylinder. Wenn man demnach in einem Cylinder, in einer Kug ei und in einem Kegel, welche gleiche Grund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haben, in einerley Hohe Parallel⸗Durchſchnitte macht, und den Durchſchnitt des Kegels von dem Durchſchnitt des Cylinders ſubtrahiret, ſo bleibt der Durchſchnitt Weiſe, von der Kugel uͤbrig (§. 29 1.). Da nun dieſer Ke⸗ gel ½ von dem Cylinder (§. 330.), ſo muß die Kugel von demſelben 3 ſeyn (§. 320.). W. Z. E. W. Juſatz. §. 335. Wollt ihr demnach den Innhalt einer Kugel meſſen, ſo ſuchet 1) den Circul, deſſen Diameter die Axis der Kugel (§. 297.), 2) dieſen mul⸗ , ℳ1 Re; liche⸗ den ch wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 303 multipliciret durch die Axe der Kugel (§. 323.), 3) von dieſem Facto nehmet *½, ſo habt ihr den Innhalt des koͤrperlichen Raums, welchen die Ku⸗ gel faſſet (§. 334.). Welche Art die Kugeln zu meſſen Archimedes erfunden. Lehr⸗Satz. §. 336. Der Cubus Diametri verhaͤlt ſich zu der Augel bey nahe wie 300 zu 157. Beweiß. WBenn der Diameter der Kugel 100, ſo haͤlt der Cubus deſſelben 1 000 000° (§. 315.), und der Cy⸗ linder, deſſen Hoͤhe gleich der Hoͤhe der Kugel, und deſſen Grund⸗Flaͤche gleich dem groͤſten Circul in der Kugel, hat 785000. (§. 323.). Und demnach iſt der Innhalt der Kugel 523333 ¾ (§. 335.). Folg⸗ lich verhaͤlt ſich der Cubus zur Kugel wie 1000000 zu 523333 , das iſt, wenn man beyde Zahlen mit 3 multipliciret, wie 3000000 zu 1570000 (§.80. A. M.), und wenn man dieſe Zahlen wiederum mit 10000 dividiret, wie 300 zu 157. (§. 113. A. M.). In⸗ dem ſich nun dieſe Rechnung auf die Verhaͤltniß des TMametri zur Peripherie, nehmlich 100 zu 314 gruͤndet, dieſe aber nur bey nahe zutrifft (§. 284.), ſo kan man auch nur behaupten, daß ſich der Cu- bus Diametri zur Kugel bey nahe verhalte wie 300 zu 157. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 337. Hieraus folget unmittelbar, daß ſich alle Kugeln gegen einander verhalten wie die Cubi ihrer Diametrorum (H. 280.). §. 338. Und alſo koͤnnet ihr den Innhalt ei⸗ ner Kugel noch auf eine andere Art, als §. 335. ge⸗ 304 Das I. Cap. Von der Art und Weiſe, gewieſen worden, finden. Meſſet nehmlich den Diameter der Kugel, und ſuchet von dieſem den Cubum (§. 145. Rech.), und alsdenn ſprechet: 300: 157 = der gefundene Cubus: Kugel. Dieſe Art, den Innhalt der Kugel zu finden, iſt von dem Euclide gebrauchet worden. . Aufgabe. §. 339. Es wird der Innhalt einer Kugel ge⸗ geben, man ſoll den Diameter der Kugel ſinden ; Aufloͤ ſung. 1) Suchet den Cubum von dem Diameter, deſ⸗ ſen Groͤſſe ihr beſtimmen ſollt (§. 336.). 2) Aus dieſem Cubo ziehet d die Cubie ⸗Wurtzel (§. 173.), dieſe iſt der verlangte Diameter. Lehr⸗ Satz. §. 340. Der Innhalt einer AKugel iſt gleich dem Innhaͤlt einer P⸗ ramide, deſſen Gruno⸗ Flaͤche ſo groß als die aͤuſſere Flaͤche der Kugel, und deſſen Hoͤhe gleich dem Rucdio der Augel. Bew eiß. Gedencket, als wenn die aͤuſſere Flaͤche der Ku⸗ gel in unendlich kleine Figuren, ais Vierecke Dreyz⸗ ecke und ſo weiter, eingetheilet, ſo fönnen dieſe Figuren als ebene Flaͤchen angeſehen werden (per dem. §. 277.). Gedencket ferner, als wenn aus dem Mittel⸗Punct der Kugel nach den Winckeln jener Figuren gerade Linten gezogen, ſo iſt die Ku⸗ gel in unendlich viele Poramiden geſchnitten (§. 86. )/, deren Hoͤhe gleich dem Radio der r Kugel (per dein. S. 277.). Da nun die Grund⸗Flaͤchen di ieſer Py⸗ ramiden zuſammen genommen, der aͤngern d Flaͤche der Kugel gleich, ſo iſt die Kugel g leich einer Py⸗ rami⸗ i der! N / lch ſſen luchet Kut inden, Bonele elſp Getet ne el⸗ 1, N wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 30 5 ramide, deſſen Grund⸗Flaͤche ſo groß als die aͤuſſere Flaͤche der Kugel, und deſſen Hoͤhe gleich dem Radio „ Zuſatz. §. 341. Wenn ihr demnach die aͤuſſere Flaͤche einer Kugel mit von dem Radio, oder mit bvon dem Dia⸗ meter multipliciret, ſo iſt dieſes Factum der Innhalt der Kugel (§. 331.). Und wenn ihr den Innhalt der Kugel mit von dem Diameter dividiret, ſo iſt der Quotient die Peripherie. Lehr⸗Satz. §. 342. Die aͤuſſere Flaͤche der Kugel verhaͤlt ſich zu dem groͤſten Circul wie 4zu 1. Beweiß. Wenn ihr den Inuhalt einer Kugel mit ½ vom Diameter dividiret, ſo iſt der Quotient die aͤuſſere Flaͤche der Kugel (§. 341. Geom. und §. 107. A. M.). Folglich entſtehet die aͤuſſere Flaͤche der Kugel, wenn ihr das Factum aus? des groͤſten Cireuls in den Dia⸗ meter durch vom Diameter dividiret (§. 33.). 2: = % (§. 12 ½. Rech.). = ¾ (H. 110. Rech.) = 4 (§. 119. Rech.). Folglich iſt die aͤuſſere Flaͤche der Kugel za Waſteſeh n nden Circulo maximo, oder ene verhaͤlt ſich zu dieſem wie 4: 1. (§. 76. A. M.). Juſatz. §. 343. Alſo kommt die Kugel⸗Flaͤche heraus, wenn man die Peripherie des groͤſten Circuls durch ihren Diameter multipliciret (§. 2987.). Aufgabe. §. 344. Den Innhalt eines ieden irregulaͤre Boͤrpers zu finden. U Auf⸗ VI 306 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, Aufloſung. 1) Hoͤlet einen Koͤrper dergeſtalt aus, daß die⸗ ſer hohler Raum ein ſolcher koͤrperlicher Raum, deſſen Innhalt ihr meſſen, und in welchem ihr den gegebenen Koͤrper legen koͤnnt. 2) In dieſem ausgehoͤhlten Raum leget den ge⸗ gebenen Koͤrper, und gieſſet uͤber demſelben eine ſol⸗ che Materie, welche die Figur desjenigen Raums, in welchem ſie gegoſſen wird, annimmt, bis der ausgehoͤhlte Raum gantz gefuͤllet. 3) Meſſet den Innhalt des ausgehoͤhlten Raums. 4) Nehmet den eingelegten Koͤrper wieder her⸗ aus, und meſſet den Innhalt desjenigen Raums, welchen die eingegoſſene Materie fuͤr ſich betrachtet, einnimmt. . 5) Dieſen ſubtrahiret von dem, welchen ihr nach der dritten Regel gefunden, ſo iſt die Differenz der verlangte Innhalt des gegebenen Koͤrpers (§. 89. A. M.). Aufgabe. §. 345. inen Viſir⸗Stab zu verfertigen, das iſt, einen Stab zu verfertigen, durch den man finden kan, wie viel Kannen von einer fluͤßigen Marerie in einem cylindriſchen Gefaͤſſe Raum haben. . Aufloͤſung. 1) Ziehet nach Gefallen eine gerade Linie AC, meſſet den Diameter von der Grund⸗Flaͤche eines cylindriſchen Gefaͤſſes, dergleichen man zu einem Kannen⸗Maaß brauchet, und traget dieſen aus A nach C=AI, und aus A perpendiculaͤr nach B. 2) Die Hypothenus dieſes rechtwincklichten Tri⸗ angels BI traget aus A nach 2, die Hypothenuſe B2 aus A nach 3, die Hypothenus B3 qus A nach 4, und ſo weiter. 3) Dieſe S la⸗ lr⸗ ls lef We⸗ ſichten ler do don ei ſo we meter ſer E wie Geſcf Mr lden Ugegnl belchen ncer V3 zur ſen mmel grof deſe leyn geh nſt ſenden Cfif deſſ, gus, daß licher Ron, elchenied lege deng ſelbentueſt igen Rn nmt, N hlten Iel er wiede nigen Ne ſch bent⸗ euiges, 8 tc denn, iner ſiſf ſſt e mmon ,N. ſeſen el⸗ uchb. hinclte Ppelin, 65 Anch 97 0 3 wie die Groͤſſe eines koͤrperl. Raums zu finden. 307 3) Dieſe Eintheilungen traget auf der einen Seite eines Stabes, welcher ſich nicht leicht biegen laͤſt, und auf der andern Seite dieſes Stabes traget die Hoͤhe des Kannen⸗Maaſes ſo vielmahl als es angehet. So iſt der verlangte Viſir⸗Stab verfertiget. Beweiß. Weil A1=AB der Diameter von einem einkan⸗ nichten eylindriſchen Gefaͤſſe, ſo iſt A2 der Diame⸗ ter von einem zweykannichten, Az3 der Diameter von einem dreykannichten cylindriſchen Gefaͤſſe, und ſo weiter (§. 291.). Wenn ihr demnach den Dia⸗ meter von einem hohlen cylindriſchen Gefaͤſſe mit die⸗ ſer Seite des Viſir⸗Stabes meſſet, ſo wiſſet ihr, wie viele Kannen auf dem Boden eines cylindriſchen Gefaͤſſes ſtehen koͤnnen. Meſſet ihr die Laͤnge des cylindriſchen Gefaͤſſes mit der andern Geite des Vi⸗ ſir⸗Stabes, ſo wiſſet ihr auch, wie viele Kannen in dem Gefaͤſſe uͤbereinander ſtehen koͤnnen. Dero⸗ wegen bekommt ihr die Anzahl der Kannen heraus, welche Ras eefaſſe faſſen kan, wenn ihr den Dia⸗ meter mit der Laͤnge multipliciret (per dem. §. 31.). W. Z. E. W. . 314 Erfahrung. §. 346. Die Gefaͤſſe z. E. ABFE welche wir zur Verwahrung fluͤßiger Makerien gebrauchen, ſind keine vollkommene Cylinder, zumahl der Dia⸗ meter des Bauches durch das Spund-Loch CD groͤſſer iſt als der Diameter des Bodens AB. In⸗ deſſen beſtaͤtiget die Crfahrung, daß ein ſolches Faß beynahe gleich ſey einem Cylinder, deſſen Grund⸗Flaͤ⸗ che der mittlere arithmetiſche Proportional⸗Cicul zwiſchen den kleinen Circul des Bodens und den groſ⸗ ſen des Bauches, und deſſen Hoͤhe gleich der Hoͤhe des Gefaͤſſes. U 2 Auf⸗ VI 87 309 Das 1. Cap. Von der Art und Weiſe, wie die ꝛc. Aufgabe. §. 347. Bin gegebenes Faß zu viſiren, das iſt, zu finden, wie viel Kannen in demſelben Raum haben. Au floͤ ſung. 1) Meſſet mit der gehoͤrigen Seite des Viſir⸗ Stabes den Diameter des Boden AE, und den Dia⸗ meter des Bauchs CD. 2) Addiret dieſe Groͤſſen, und nehmet von der Summe die Helffte. 3) Mit der andern Seite des Viſir⸗Stabes meſſet die Laͤnge des Faſſes AE, und mit dieſer mul⸗ tipliciret jene halbe Summe. Dieſes Factum iſt der Innhalt des gegebenen Faſſes (§. 346. und dem. §. 345.). Anmerckung. §. 248. Wie Faͤſſer, die nicht voll ſind, zu viſiren, ſolches will ich in den Fuͤrleſungen zeigen. Wie die Körper zu zeichnen, ſolches ſoll in der Perſpectiv erklaͤret werden. Wie die Koͤrper zu theilen, und in einander zu verwan⸗ deln, ſolches wird ein jeder ohne beſondere Erklaͤrung be⸗ greiffen, der dasjenige, was von der Theilung und Ver⸗ wandelung der Flaͤchen und von dem Innhalt des koͤrper⸗ lichen Raums iſt ausgefuͤhret worden, verſtanden hat⸗ erd , lggenen ſc der Dr liien ver e von! tolel⸗ine Muffen d1.D Kichnſ ktummnen welches frden §. 4 en Ne N nrt i heſhtie he gog wie dien⸗ en, dos , elben Rar te des N und dend⸗ hmet tat nitdicker ſis lir ,nd ſtenn ſlche e Körper; ſingt nt e Nu dar lirt, ungn , gilt dist piatdenk⸗ ) „ ee 3209 Anhang z u r . Geometrie Von Den Haupt⸗Eigenſchafften der ge⸗ woͤhnlichen Kegel⸗Schnitte. Erklaͤrung. §. I. B gerade Linie AX, welche alle gerade Linien MMl, ſo innerhalb einer krummen Linie paral⸗ lel gezogen werden, in zwey gleiche Theile theilet, wird der Diameter und inſonderheit, wenn ſie dieſe Linien perpendiculaͤr in zwey gleiche Theile theilet, die Axe von der krummen Linie genennet. Die Pa⸗ rallel⸗Linien MM heiſſen die Ordinaten, und ihre Helfften die Semiordinaten. Erklaͤrung. §. 2. Der Punct in einer krummen Linie A, in welchem ſich die Axe endet, heiſt der Scheitel der krummen Linie. Und das Stuͤck von der Axe AP, welches zwiſchen den Scheitel und der Ordinat zu finden iſt, heiſt die Abſciſſe von der Ordinate. . Erklaͤrung. §. 3. Die gerade Linie, durch deren Huͤlffe eine krumme Linie in einer beſtimmten Weite von der Axe zu beſchreiben, heiſt der Parameter. Und der Punct in der Axe, aus welchem die krumme Linie beſchrieben wird, oder wo der Parameter die Ordi⸗ nate abgiebet, heiſt der Brenn⸗Punct (Focus). U 5 Er⸗ VI 82 310 Anhang zur Geometrie Erklaͤrung. P vI §. 4. Wenn man eine Kegel alſo durchſchneidet, de 90 daß die Axe des Durchſchnittes mit der Seite des Kegels CA parallel, ſo heiſt die krumme Linie LDN Dar eine Parabel. Schneidet man einen Kegel derge⸗ ud. ſtalt, daß die Axe des Durchſchittes DE den Dia⸗ e meter der Grund⸗Flaͤche AB durchſchneidet, wein tde ſie beyde verlaͤngert werden, ſo heiſt die krumme Li⸗ 92 nie DMEQeine Ellipſis. Wenn man endlich ei⸗ nen Kegel alſo ſchneidet, daß die Axe des Durchſchnit⸗ 5 tes DQdie Seite des Kegels ACſchneidet, wenn bey⸗ de verlangert werden, ſo heiſt die krumme Linie LDN nc eine Syperbel. miiel Lehr⸗Satz. Natura pa- §. F5. In einer jeden Parabel verhalten ſich die N rabolge. Quadrate der Semiordinaten zu einander, wie Nnn ihre Abſeiſſen. 8 VI Machet in dem Kegel ACB einen Durchſchnitt, eg 9° welcher mit der Grund⸗Flaͤche parallel, ſo iſt HMI c). ein halber Circul (§. 84.), und die Linie Pl iſt mit mnmn EB parallel (§. 299. ſ.). Aus dem erſten folget, daß PMz = HP, Pl, und daß EN; = AE, EB (S§. 205.), woraus klar, daß . PMzZ: ENa = Hb, PI: AE, EB W Aus dem zweyten folget, daß HP= AE (S. 200. ſ.). und DP: DE= PlI: EB (§. 192. et dem. §. 193.). und alſo iſt :B = DE, PI (SH. 134. A. M.). 8 DP Wenn man demnach dieſe Groͤſſe fuͤr EB ſubſtituiret (§. 5. A. M.), ſo iſt PM: EN;= AE, PI: DE, PlI, AE B . Do 4 19 Folglich PNA chſchnene Seie CinieLo egel ⸗ den De Det, kronnneh n eit Oulißin t,ele Liſen ltenſ Gner,n fli ItN I lgerd (1 ) Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 311 PMz: EN = AE, Pl, DP: DE, PI, AE (S. 80. 40. A. M.). Und alſo iſt PM=: EN= DP: DE (§. 113. 40. A. M.). Da nun PM und EN Semiordinaten (§S. 364.), DP und DE die Abſciſſen (§. 2.), ſo iſt klar, daß ſich in einer Parabel die Quadrate der Semiordinaten zu nauder verhalten, wie ihre Abſeiſſen. W. Z. E. Lehr⸗Satz. §. 6. Wenn in einer krummen Linie das TFa- btum aus dem Parameter in die Abſciſſe gleich dem Quadrat der Semiordinat, ſo iſt ſie eine Pa⸗ rabel. Beweiß. PM iſt eine Semiordinat, deren Abſciſſe DP, und EN eine Semiordinat, deren Abſciſſe DH. Daher iſt DP, Parameter = PM und DE, Parameter = ENa. Folglich DP, Parameter: DE, Parameter = PM=: EN, folglich DP: DE = PMa: ENa (§. 218. Rech.). Dieß iſt genug zu beweiſen, daß die ange⸗ nommene Linie eine Parabel ſey (§. F.). 1. Juſatz. §. 7. Es ſey der Parameter =Sa, die Semiordi⸗ nat = y, und die Abſciſſe = x. So iſt die Parabel eine krumme Linie, in welcher y1 = ax. Woraus zu⸗ gleich erhellet, 1) daß in einer Parabel die Se⸗ miordinat die mittlere Proportional-Linie zwiſchen dem Parameter und der Abſeiſſe (§. 215. Rech.). §. 8. 2) Daß in einer Parabel a = y?: X (§. 188. Rech.), das iſt, in der Parabel iſt der Pa⸗ u 4 rame⸗ 312 Anhang zur Geometrie rameter die dritte Proportional⸗-⸗Linie zu einer uſt Abſciſſe und der ihr zugehoͤrigen Semiordinat⸗ ſte X 5. Zuſatz. e §. 9. 3) Daß in einer Parabel xXx= ya: a (§. 188. Rech.), das iſt, in der PHarabel iſt die Ab⸗ bene ſciſſe die dritte Proportional⸗Qinie zu den Po⸗ T. rameter und der, der gegebenen Abſeiſſe zuge⸗ hoͤrigen Semiordinate (§S. 134. A. M.). 5 Anmerckung. ine F. 10. Ueberleget, was §. 202⸗205. iſt ausgefuͤhret worden, ſo werdet ihr aus einigen gegebenen Theilen der Parabel die uͤbrigen geometrice finden koͤnnen (§. 370⸗ 9 372. ). Pat Aufgabe. SGZ §. II. Eine Parabel geometrice zu beſchreiben, 1 wenn der Parameter gegeben worden. 1 Aufloͤſung. VI 1) Ziehet nach Gefallen eine gerade Linie AX und 93 addiret zu derſelben den Parameter AB. . 2) Auf der Linie BX nehmet nach Gefallen einie Puncte, und beſchreibet aus denſelben Cireul, welche einander beruͤhren in B. 3) Ziehet durch A eine gerade Linie, welche BhE perpendiculaͤr ſchneidet. 4) Mit dieſer Linie ziehet durch die Puncte P, in welchen die Cireul die Linie BX ſchneiden, Parallel⸗ Linien. 5) Auf dieſe laſſet aus den Puncten 1. 2. 3. u. ſ. w. in welchen die Circul die Linie C ſchneiden, Perpen⸗ . dicul⸗Linien fallen, damit P = AI, PII = A2, PIII 1 = A3, u. ſ. w. (S. 134.), ſo ſind die Punete lu. U. w. leiſen. din 6* Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 313 u. ſ. w. in der Parabel, und ihr koͤnnet dieſe be⸗ ſchreiben. 6 Beweiß. 370.), AP= X (5§. 2. 7.). Folglich iſt y2= ax (§. 205.), woraus es klar, daß die beſchrie⸗ bene krumme Linie eine Parabel ſey (§. 7.). Aufgabe. §. 12. Zu erfahren, ob eine gegebene krumme Linie eine Parabel ſey. * Aufloͤ ſung. Ihr wollt z. E. wiſſen, ob die Linie ACeine Parabel ſey. 1) Nehmet in der Linie AQ nach Gefallen ei⸗ nen Punct M, und laſſet von demſelben auf AX ei⸗ ne Perpendicul⸗Linie fallen (§. 134.), ſo iſt PM die Semiordinate (§. 1.), und Ab ihre Abſciſſe (S. 2.). 2) Suchet zu AP und PM die dritte Propor⸗ vkal⸗ Anie (S. 202.), dieſe iſt der Parameter (§. 8.) 3) Addiret den Parameter = PB zu Ab in P, und beſchreibet auf der Linie Aß durch A und B einen halben Eircul. Faͤllt der Punct M in den beſchrie⸗ benen Circul, ſo iſt er ein Punet in der Parabel, und ſo weiter. Beweiß. Denn wenn der Punct M in den beſchriebenen Circul faͤllt, ſo iſt PM die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen AbPund PB (§. 205.), folglich M ein Punct in der Parabel (§. 7.) u 5 Lehr⸗ VI 94 VII 95 314 Anhang zur Geometrie Lehr⸗Satz. §. 13. In einer Parabel iſt die Weite des Brenn⸗Puncts von der Scheitel dem vierten Theile des Parameters gleich. . Beweiß. Wenn die Abſciſſe in der Parabel gleich der Weite des Brenn⸗Puncts von dem Scheitel (§. 2.3.), ſo iſt die Semiordinat ſo groß als der halbe Para⸗ meter (§. 3.), folglich kan jene fuͤr dieſer ſubſtituiret werden (§. F. A. M.). Da nun in der Parabel y⸗ = ax (§. 6.), ſo iſt unter zuvor geſetzten Beſtim⸗ n ger Ias = ax. Folglich la = X (§. 188. Rech.)⸗ Lehr⸗Satz. §. 14. Die gerade Linie, welche in einer Pa⸗ rabel aus dem Brenn-⸗Punct F an das Ende ei⸗ ner Ordinate gezogen wird, iſt gleich der Sum⸗ me aus der Abſciſſe der geſetzten Ordinate (AP) und der Weite des Brenn⸗Puncts von der Scheitel (AF). Beweiß. Weil FPM ein rechtwincklichter, Triangel (§. 1.), ſo iſt FM? = PM= + PFa (§. 273.), folglich FM = (PM-= †+ PF?). Wenn wir demnach dieſe Linie PM, PF und FM alſo ausdruͤcken, daß wir ihre Relation zu denjenigen Linien, wodurch die Parabel zu erklaͤren, erkennen koͤnnen, ſo werden wir leicht begreiffen, ob der geſetzte Lehr⸗Satz gegruͤndet oder nicht. Es ſey daher der Parameter wie zuvor = a, AP= x, ſo iſt AF= fa (§. 13.), und FP=X — 1 a. Folglich PF = X — Hax †+ 6 aa (§. 158. Rech.). Da nun ferner Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 315 FM = X + Hax †+ysa“. Woraus klar, daß Peite N FPM =X + fa (§. 167. Rech.). W. Z. E. W. n vſernr Aufgabe. §. 5. Eine Parabel durch die Bewegung ei⸗ nes Puncts zu beſchreiben. g Ki Aufloͤſung. ltehe 1) Ziehet eine gerade Linie Ax, welche die Axis, VII ſifnne und traget auf dieſer aus A nach F von dem Para⸗ 96 arek meter, mit welchem die Parabel zu beſchreiben, ſo iſt N F der Brenn⸗Punct (§. 13.). 8. N 2) Verlaͤngert Ax nach f ſo, daß Af = AfF, und le⸗ “ get an den Punct f ein Lineal CD dergeſtalt, daß Dfx ein rechter Winckel. 3) Nehmet ein Winckel⸗Maaß IGIH und befe⸗ eiurhe ſtiget an ſeinen einem Ende H einen Faden, wel⸗ Es cher der Laͤnge des Winckel⸗Maaſes gleich. Das 10 andere Ende des Fadens beveſtiget in dem Brenn⸗ 90 Punct F. N 4) Haltet unter dieſen Faden an das Winckel⸗ Maaß einen Stifft, und verſchiebet das Winckel⸗ Maaß an dem Lineal CD, ſo wird der Stifft eine G, Parabel beſchreiben. Gekt, ⸗ Aus denen Regeln, welche in der Aufloͤſung ſind vorgeſchrieben worden, erhellet, daß beſtaͤndig die * Linie FEM = fA + Ab, da nun ferner fA = FA, ſo iſt f⸗ beſtaͤndig HM = der Summe aus der Abſciſſe und der S Weite des Brenn⸗Puncts, folglich iſt A M eine Pa⸗ rabel (§. 14.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 16. In der Ellipſ verhalten ſich die Qua⸗ Natura El- drate der halben Ordinaten wie die Rectangula lipſis N aus VI 91 316 Anhang zur Geometrie aus den Theilen der Axe, welche durch die halben Ordinaten ſind beſtimmet worden. Beweiß. Schneidet in dem Kegel A CB die Ellipſin (§. 4.), und ziehet in derſelben die Semiordinaten PM und ◻ (1.). Machet ferner in dem Kegel durch die Puncte P und Q Durchſchnitte, welche mit der Grund⸗Flaͤche parallel, ſo ſind HMI und K NI- halbe Circul (§. 71.), und die Linien Hlund K ſind Parallel⸗Linien (§. 300.). Aus dem erſten ſolget, da PM;= Hb, PlI, und W=Q, Kä (§. 205.) und aus dem andern, daß Db: PH = DQ: QK und EQ: QL = EP: Pl (S. 192. 193.). Damit wir nun die Relation dieſer Groͤſſen deutli⸗ cher beſtimmen koͤnnen, ſo ſey DE= a, DP = , DQ= u, PH =t, QQL= ſ, ſo iſt PE = a — x, und ES= a — u, folglich iſt vermoͤge deſſen, was zuvor erinnert worden, X: C= u: tu — X und alſo QK = tu: x. Es iſt ſerner a é u: ſ= a — X: ſa — ſx und alſo PI = (ſa — ſK): a — u, folglich PMz = (tſa — th): a — u und QN⸗= ſtu: x. Folglich PM: QN=tſa — tſx: ſtu a — u X Ey tſa — tſxæ: tſu = tſa — tſx: tſua — tſu⸗ 2 u X X N —1 0 f Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 317 tſa — tſæ: tſua — tſin = tſax — tſx: tſautſu⸗ X (§. 80. 40. A. M.). tſax — tſæ: tſau — tſu = axX — X: au — u⸗ (§. 113.40. A. M.), Und alſo PM: QN= ux —– Xπ1: au — ur (§. 40. A. M.). Lehr ⸗ Satz. S. 17. Wenn ſich in einer krummen Linie das Quadrat der halben Ordinat zu dem Rectangulo aus den Theilen der Axe, die von ihr beſtimmet werden, verhaͤlt wie der Parameter zur Axe, ſo iſt die krumme Linie eine Elliphs. Beweiß. Es ſey die eine Semiordinat y, und ihre Abſciſſe x. Die andere Semiordinat 2z und ihre Abſeiſſe v. Es ſey die Axe a, ſo iſt in dem erſten Falle der eine Theil von der Axe X und der andere a — x, und in dem an⸗ dern Falle der eine Theil von der Axe v und der an⸗ dere Theil a — v. Es ſey ferner der Parameter b, ſo iſt : axKj — X²— b: a. Ferner 22: VvX — X = b: Folglich y2: ax — π☚2: vX — X. Folglich y2: 2“ = ax — X*: vx — X. Es iſt demnach die angenom⸗ * mene Linie eine Ellipſis (S. 16.). Zuſatz. §. 18. Da nun in einer Ellipſi y?: ax — X*= b: a ſo iſt ay“ = bax — by eine Gleichung, welche die Natur von der Ellipfſi beſchreibet. §. 19. In einer Ellip iſt die Weite des Brenn⸗ Puncts von dem Mittel⸗Punct der Axe die mir⸗ Z ere VII 100 Axis con- jugatus. VII 100 318⁸ Anhang zur Geometrie lere Proportional⸗Linie zwiſchen der halben Axe und der halben Differenz des Parameters von der Axe. Beweiß. Weil AF der Brenn⸗Punct, ſo iſt, wenn, wie zuvor, b der Parameter und y die Semiordinat, FR=y= 4 b (H. 3.). Folglich Jaba = abx — bx (§. 18.). Hab = ax — X (§. 1I11. A. M.), und alſo vermoͤge des §. 188. Rech. — ax †+ *ι – Hab Iaa — ax +† X = Ia? — kab (§S. 172. Rech.) Ja — X = V (Ja? — Hab) a — V (Ja — lab) = X = AF Wenn nun la — V (Han — jab) von der halben Axe ſubtrahiret wird, ſo iſt AC — AF= Ia -— ka + V (Ha? — lab) = V (NHas — ab) (§. 67. Rech.). Nun aber iſt (Haa — kab) die mittlere Proportio⸗ nal⸗Linie zwiſchen la und ka — 4 b (§. 215. Rech.). Folglich iſt es klar, daß in der Ellipſi die Entfernung des Brenn⸗Puncts von dem Mittel⸗Punct der Axe die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen der halben Axe und der halben Differenz des Parameters von der Axe. W. Z. E. W. Erklaͤrung. §. 20. Die Ordinat in der Ellipſi, welche die Axe in zwey gleiche Theile theilet, heiſt von der Ellipſi de ane Axe. Und alſo. iſt CD die halbe kleine Axe §. 20. In einer Ellipſi iſt die kleine Axe die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen der gro ſen und dem Parameter. Be⸗ Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 319 r hele Beweiß. adn Es ſey wie zuvor der Parameter = b, die groſſe Axe AB=a und die kleine Axe = 2, ſo iſt CD = 1 die Semiordinate, und AC die Abſceiſſe = ka (§. 1 Venn Iar: 172 — a: b (§. 7.). nunc lazb = 122 a (§. 130. A. M.). Und alſo vermoͤge des (§. 188. Rech.) wenn man beyde Glieder erſt durch 4. multipliciret und alsdenn durch a dividiret, ab = 22² folglich ) V ab = 2. . Woraus erhellet, daß 2 oder die kleine Axe die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen a oder der „o Arxe und b oder den Parameter (§. 215. Rech.). h- B⸗ L. W. h- N Zuſatz. Ml §. 21. Und alſo koͤnnet ihr den Parameter fin⸗ ſ)) den, wenn ihr zu der groſſen und der kleinen Are die Koun dritte Proportional⸗Linie ſuchet (§. 202.), dieſe iſt der Parameter (S. 135. A. M.). tho n Lehr⸗Satz. §S. 22. Die gerade Linie fD, welche in der El. VII liph aus dem Brenn⸗Punct f an das Ende der 100 „ kleinen Axe D gezogen wird, iſt gleich der halben e groſſen Axe CB. lnd Beweiß. DCf iſt ein rechtwincklichter Triangel (§. 1. 20. §1.). Folglich iſt Df = V (DC- + Cf-“) y (JS. 13.). Wenn demnach die Linien DC und It alſo ausgedruͤcket worden, daß ihre Ver⸗ haͤltniſſe zu den uͤbrigen Linien in der Einipi⸗ zu elken⸗ 320 Anhang zur Geometrie erkennen, ſo kan auch die Groͤſſe der Linie DF be⸗ ſtimmet werden. Es ſey derowegen wie zuvor der Parameter = b, die Axe AB = a, ſo iſt Cf-= 422 — fab (§. 19.), und CD-= Tab (§. 21.), und alſo DF = ar — Hab † lab (§. 273.) = Ha12 (§. §9. Rech.). Woraus es klar, daß Df oder die verlangte Linie = la (S§H. 150. Rech.). W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 23. Wenn euch demnach die kleine und groſſe Axe von der Ellipſi gegeben worden, ſo koͤnnet ihr den Brenn⸗-⸗Punct beſtimmen. Theilet nemlich die groſſe Axe Aß in zwey gleiche Theile in C (§. 132.), auf O richtet die halbe kleine Axe perpen⸗ diculaͤr (§. 134.) sendlich machet mit der halben groſſen Axe CB aus dem Ende der kleinen Are D einen Durchſchnitt auf der groſſen Axe, ſo iſt der Punct f, wo die groſſe Axe durchſchnitten worden, der Brenn⸗Punect (§. 22.). 2. Juſatz. §. 24. Verbindet mit dieſem Lehr⸗Satze den §. 16. ſo folget: In einer Ellipſ, verhaͤlt ſich das Quadrat der halben kleinen Axe zu dem Gua⸗ drat der halben groſſen Axe, wie das Oua⸗ drat der halben Ordinat zu dem Rectangulo aus den Theilen der Axe. . 3⸗ Juſatz. §. 25. Weil bey Cein rechter Winckel (§. 20. 1.), ſo iſt ferner klar, daß in einer Ellipſi das Qua⸗ drat der kleinen Axe gleich dem Quadrat der halben groſſen Axe weniger dem Quadrat der Entfernung des Mittel⸗Puncts der groſſen Axe von dem Brenn⸗ Punct (§. 273. und §. 92. A. M.). Lehr⸗ in Pu wel ge Ave W durc che ſ PD n / ſie fen Bon einigen Kegel⸗Schnitten, 2c. 321 Lehr⸗Satz. §. 26. In einer Ellipſ ſind die beyden geraden Linien M und fM, welche aus den Brenn⸗ Puncten in einem Punct der Peripherie gezogen werden, zuſammen genommen der groſſen Ae gleich. Beweiß. Ziehet aus M auf A B die Semiordinat, ſo iſt ſo wohl FMP als auch PMf ein rechtwinckichter Rri⸗ angel (§. 1. 5 1.), folglich iſt FM = WV (PF † PM), und [fM = / (Pfz †+ PM=) (§. 276.). Wenn demnach der Werth von PF, PM und Pf durch diejenigen Linien ausgedruͤcket worden, wel⸗ che die Eigenſchafften von der Ellipſi beſtimmen, ſo wird man leicht erkennen koͤnnen, wie groß FMTfM. Aus dieſer Abſicht ſey die Entfernung des Brenn⸗Puncts von dem Mittel⸗Punct in der eſen Axe FC= Cf = c AP= x und AB=a, d i PC = Ia — xX Pf = C † a — X PF=C-— IHa †+x (§. 67. Rech.). Folglich Pf- = Cca2 † ac — 2cCX + ka⸗ — ax †+ X2 PFa=C; — ac †+ 2CX + fae — dX-Xa, (H. 145. Rech.). Der Werth von PM=- kan aus dem §. 24. genom⸗ men werden. BCπ Quadrat der halben kleinen Are = AC, CB: PM folglich Nat: a? — C' = a X — Xa: PMz (§. 25.) 1: 1 — AC2 = dX — X: PM? (S. 80. 113. 40. 3² *£ und 322 Anhang zur Geometrie und alſo iſt PMz = ax -— X — 4CX: à † 4C 2Xi: a (§. 130. Weil nun FM = PF= †+ PM, PF-== C — ac †+ 2CX †+ la – ax †+ X PMz = ax – X – 4 CX: à † 4C Xα: a; ſo iſt. . PM C =— ac † 2CX †+ a —– 4 C'X: à † 4C1: a. (§. 59. Rech.). oder, damit man die Quadrat⸗Wurtzel ausziehen kan, FM = Im — ac †+ cC' — 4AC'X: a † 2cX P 40Xτ 2² (§. 160. Rech.). Fölglich FM = ta — Cc †2cx;: à (§. 166. Rech.). Weil ferner (M= = PE † PM', und Pf= CG† ac-= 2CX + a – aXx †+ X PMz = ax —– X* – ACX: aà † 40 Xα* a-⸗ a2 (§. 59. Rech.) ader damit man auch hier die OQuadrat⸗Wurzel aus⸗ ziehen koͤnne, EM== C † ac † ia — 4cX: a — 2CX † 40 X: a2 (S. 160. Rech.):. Folglich FM= Ha † c=— 2cX: à (§. 166. Rech.) Und alſo iſt klar, daß Auf⸗ 1 fM= C † ac -— 2cX †+a* — 4C X: à †. 4C X: Aen weg die N V Pa tal Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 223 Aufgabe. 2 V r /6 1 . . . ic §. 27. Es wird der Parameter und die groſſe Axe gegeben, ihr ſollt eine EWiphn durch die Be⸗ wegung eines DHuncts beſchreiben. +† * . v:n Aufloͤſung. . 1) Suchet auf der gegebenen groſſen Axe die VII :1 1 Brenn⸗Puncte F und f (§. 23.) 101 2) Nehmet einen Faden, welcher ſo lang iſt als tel alten die groſſe Axe AB, und beveſtiget die aͤuſſerſten “ Puncte von demſelben in den gefundenen Brenn⸗ xcx1 Puncten. . en e 3) Dehnet den Faden mit einem Stiffte aus, und fuͤhret den Stifft an dem Faden herum, ſo Gec wird die Ellipſis beſchrieben (§. 26.). 4 79 Erklaͤrung. §. 28. In der Hyperbel wird die Linie ED, wel⸗ Natura Hy- 4 che entſtehet, wenn man die Axe verlaͤngert, bis ſie Perbolae. die verlaͤngerte Seite von dem Kegel A beruͤhret, die 92 tA adt Zwerch⸗Axe (Axis transuerſus) genennet. * Wuorzce Lehr⸗Satz. §. 29. In der Syperbel verhalten ſich die Lbusdrate der halben Ordinaten wie die Rectan- euda aus den Abſciſſen und der Swerch⸗Are in die Abſciſſen. „Machet in dem Kegel AC;, aus welchem ihr die vr „ Dyperbel geſchnitten, mit der Grund⸗Flaͤche einen 2⸗ Parallel⸗Durchſchnitt HMI, ſo iſt Hl mit AB pa- E. . rallel (§. 300.), ſolglich D. 2P: 224 Anhang zur Geometrie EbP: PH= EQ: QA DbP: Pl= DQ: OB (§. 192. 193.). und HMI wie auch A NB ſind halbe Circul (§. 205. 5.) folglich iſt PM; = Hb, PI QW= AQ, G. (§. 130. A. M.). Damit wir nun das Verhalten dieſer Groͤſſen deut⸗ lich einſehen koͤnnen, ſo ſey ED= a, DP= X, ſo iſt EP=a+ X, es ſey ferner PH = t, D= u, ſo iſi E àa †u, folglich a †+ X: t= àa † u: QA. und alſo iſt AEta †tu (S§S. 134. A. M.). a †X — Es ſey ferner PlI = ſ, ſo iſt x: (= u: G. folglich QB =ſu: X (§. 134. A. M.), und alſo i PMz = tſ. und QW= ta † tu, ſu = ſuta +† ſtu⸗ a †+ X X aX + X* Solchergeſtalt verhalten ſich in der Hyperbel die Quadrate der Semiordinaten wie tſ: ſuta + ſtu = —— „ aX †+ X= tſax-† tſa: ſuta †+ ſtu“ (S. 80. A. M.). = ax †2; ua †+ us (§. 113. A. M.). 3. leget, ſ Pyverte der Hyrn Opdrord is entſt Aſeiſe u Uliciret. § 3 Ares⸗: bra⸗ Flglich (22 pelbel . N chesinde ſet G 32. rhin Pnunnin den lan giſud Db=N D E 6 Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛe. 32 5 1. Juſatz. §. 30. Wenn ihr den Beweiß des §. 17. uͤber⸗ leget, ſo wird es leicht ſeyn zu beweiſen, daß die Hyperbel eine krumme Linie ſey, in welcher ſich der Parameter zur Zwerch⸗Axe verhaͤlt, wie das Quadrat der Semiordinat zu dem Kectangulo, wel⸗ ches entſtehet, wenn manl die Summe aus der Abſciſſe und der Zwerch⸗Axe in die Abſciſſe multi⸗ pliciret. 2. Juſatz. §. 31. Es ſey der Parameter =b, die Zwerch⸗ Axe =a, ſo iſt in der Hyperbel b: a = y*: ax + X* Folglich iſt in der Hyperbel ay² = bax †+ bx; (§. 130. A. M.). 3⸗ Juſatz. §. 32. Aus dieſer Gleichung erhellet, daß die Hyperbel von der Ellipſi nur darin unterſchieden ſey, daß in der Ellipſi bæ mit dem Zeichen —, wel⸗ ches in der Hyperbel mit dem Zeichen + verknuͤpf⸗ fet (§. 18.). Erklaͤrung. . §. 33. Dieſe Uebereinſtimmung der Hyperbel mit der Ellipſi hat es verurſachet, daß man die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen der Zwerch⸗Axe und dem Parameter die kleine Axe genennet (§S. 20.). Wenn man bey dem Scheitel der Hyperbel zur Axe die Zwerch⸗Axe addiret, und dieſe in zwey gleiche Theile theilet, ſo heiſt der Theilungs⸗Punct der Mit⸗ tel⸗Punct von der yperbel. X 5 Lehr⸗ VII 102 Anhang zur Geometrie Lehr⸗Satz. §. 34. In der Hyperbel iſt die Weite des Brenn⸗Puncts von dem Scheitel die Groͤſſe, welche entſtehet, wenn man von der Quadrat⸗ Wurtzel aus der Summe des Quadrats der hal⸗ ben zwerch⸗Axe und des Tacti aus der halben Zwerch⸗Axe in den halben Parameter die halbe Zwerch⸗Axe ſubtrahiret. Beweiß. Es ſey wie zuvor der Parameter = b und die Zwerch⸗Axe = a, ſo iſt die halbe Ordinat = b b: à = f bz: a2X + X (§. 31.) laba = bax † bx (§. 130. A. M.) IHab = aX †+ X2 (S. III. A. M.) — Iaa lab = aa † ax †X; (§. 172. Rech.) V (In † lab) = Ia † X (§. 166. Rech.) V Se)K (§. 92. A. M.). W. S x. Zuſatz⸗ §. 35. Wollt ihr demnach in der Hyperbel den Brenn⸗Punct geometrice beſtimmen ſo 1) Addiret zu der Zwerch⸗Axe AB. den halben Parameter Eß, ſo iſt EC = ga †+ 4b. 12) Beſchreibet auf EA durch E und A einen hal⸗ ben Circul, und ziehet auf C die Perpendicul⸗Linie CG, ſo iſt Aa † % Brenn 11 † Pun (N 4 ber 1 45. ſe — Gusd der kl Daran G tatneter S6, ie Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 327 die Wiin t Folglich el die Gf CE =WV (Ja † ab) (§. 215. Rech.). der Ouc “ adrats Nl 3) Traget CEG aus Cnach F, ſo iſt AF = / us dir (Haz †+ jab) — za folglich die Entfernung bdes meter die ke Brenn⸗Puncts von dem Scheitel (§. 34.); 2. Juſatz. 36. Es iſt demnach die Weite des Brenn⸗ 3 = b i Puncts von dem Mittel⸗Punct der Hyperbel = / Oann (E c ab). 3. Zuſatz. §. 37. Aus dem Beweiß des §. 34. erhellet, daß N) ax †+* = fab. Nun aber iſt kab = dem Quadrat der halben kleinen Axe (§. 33.), und ax + = FB, A F. Folglich iſt das Quadrat der halben kleinen ℳ) Axre = FB, AF (§. 20. A. M.). 13 Lehr⸗ Satz. 8S. 38. In einer Hyperbel verhaͤlt! ſich das Qugdrat der zZwerch⸗Axe zu dem Quadrat der kleinen Axe, wie die Zwerch⸗Axe zu dem Parameter. adstb , Bie weiß⸗ A8 de Es ſey die Zwerch⸗Axe wie zuvor = a, der Pa⸗ rameter = b, ſo iſt das Quadrat der Zwerch⸗Axe unde a, und das Quadrat det kleinen Axre = ab depeiti⸗ W 3. V Folglich ab = a; b (5§. 80. A. M.). X 4 Zu⸗ VII 103 VII 102 328 Anhang zur Geometrie Zuſatz. S. 39. Da nun PMZ: Ab, PB = b: a (§. 30.), ſo iſt auch in der Hyperbel das Quadrat der klei⸗ nern Axe zu dem Quadrat der Zwerch⸗Axe wie das Quadrat der Semiordinate zu dem Rectangu- lo aus der Abſciſſe in die Summe aus der Abſeiſſe und der Zwerch⸗Axe (§S. 37.). S. 40. Wenn zwo gleiche Hyperbeln in der Weite ihrer Zöwerch⸗Axen AB einander entge⸗ gen geſetzet, ſo iſt die Linie ſM, welche aus dem Brenn⸗-⸗Punct der einen Syperbel bis an einen Punct der entgegengeſetzten Hyperbel gezogen wird, weniger der Linie FM, welche aus dem Brenn⸗Punect der letzten Hyperbel bis an den zuvor beſtimmten Punct M gezogen, gleich der Zwerch⸗-⸗Axe. . Beweiß. Weil FM — (PM' = PF), und fM = V (PM- †+ fP;) (5§. 276. 1.), ſo kan dieſer Lehr⸗Satz auf gleiche Art beſtaͤtiget werden, wie der Lehr⸗Satz im §. 26. iſt erwieſen worden. Aufgabe. §. 41. Eine Syperbel geometriſch zu be⸗ ſchreiben. Aufloͤſung. 1¹) Addiret zu einer geraden Linie Ax in A die Zwerch⸗Axe AB . 2) Tra⸗ Pe 1) T Da d (8. 3 99 ſyl,n le fl 99 des C. weiter. LII * bel ſles Pn Von einigen Kegel⸗Schnitten, ꝛc. 329 2) Traget aus B nach f und aus A nach F die „ 1 Weite der Brenn⸗Puncte F und f von der Scheitel 1 7. t dat (5. 35.). meen 3) Ziehet aus f nach Gefallen eine gerade Linie 1 fVII, und traget auf derſelben jaus f die Zwerch⸗ “ . Ax e fL. 4) Beſchreibet aus f mit beliebiger Erfoͤnung des Circuls die Bogen 11. 22. 33. 44. und ſo delni weiter. ndert 5*) Dieſe Bogen durchſchneidet aus F mit welch LI. LII. LIII. und ſo weiter, ſo ſind die Puncte rbel I. 2. 3. 4. und ſo weiter, Puncte in der Hy⸗ N perbel (§. 40.). M,M Nge Aufgabe. 1 §. 42. Eine Hyperbel durch die Bewegung eines Puncts zu beſchreiben. e Aufloͤſung. kan 1 1¹) Traget auf einer geraden Linie ZX die Zwerch⸗ VII vetden, Axe AB, und aus A nach F ingleichen aus B nach 104 vorde f die Weite des Brenn⸗Puncts von der Scheitel (§. 409.). 5 Eif In F und † beveſtiget Naͤgel oder iffte. 3) Bindet an den Stifft F einen Faden, und deſſen anderes Ende beveſtiget an das Ende eines Lineals fC, welches um die Zwerch⸗Axe Aß laͤnger 4 als der Faden. X* 5 4) Das —- 330 Anh.zur Geomet. Von einigen Kegel⸗Schnitten,t. 4) Das Lineal haͤnget mit dem andern Ende an dem Stifft f. 5) Den Faden druͤcket mit einem Stifft an das Lineal, und ſchiebet das Lineal fort, ſo beſchreibet der Stifft eine Hyperbel (§H. 40.). ₰ Schritten Andern Ee Stft nd ſo ſhan . EI E M E N T A TRIGONOMETRIAE. Erſte Gruͤnde der Trigonometrie. Erklaͤrung. K. 1. E urch die Trigonometrie verſtehet man A eine Wiſſenſchafft, in welcher erklaͤ⸗ ret wird, wie aus drey gegebenen Theilen eines Triangels, unter wel⸗ umm chen zum wenigſten eine Linie, die uͤbrigen drey durch das Calculiren zu fin⸗ den. Willkuͤhrlicher Satz. §. 2. In der Geometrie iſt bewieſen worden, daß man in einem Triangel ſo wohl die Winckel als auch die Seiten durch Huͤlffe der Sinuum und Tangen⸗ ten finden koͤnne, darum hat man 1) den Sinum totum oder den Radium eines Cireuls 10000000 Theile eingetheilet, und als⸗ den ausgerechnet, wie viel von dieſen Theilen der Sinus fuͤr jedem Grade „und fuͤr jeder Mi⸗ nute eines jeden Grades habe. Woraus die Ta- bulae binuum entſtanden. 2) Weil Srar nüanNEEE Tab. I. Geom. PFig. 9. 334 Erſte Gruͤnde 2) Weil der Snus und Tangent eines Win⸗ ckels Parallel⸗Linien, ſo hat man durch HBuͤlffe der gefundenen bnuum ausgerechnet, wie groß der Tangent fuͤr jedem Grade und fuͤr jeder Mi⸗ nute eines Grades. Woraus die Tabulae Tan- gentiumw entſtanden. . Anmerckung. §. 3. Wie die Tabulae Sinuum und Tangentium zu fin⸗ den, ſolches iſt in Wolfii Elem. Trigon. g. 16., und von BVenjamin Vrſino Lib. II. Trigon. c. V. p. 164. fl deutlich beſchrieben worden. Die Gruͤnde, woraus ſolches zu be⸗ greiffen, habe ich in der Geometrie erklaͤret. Wollte ich weitlaͤufftiger davon handeln, ſo wuͤrde es meiner gegen⸗ waͤrtigen Abſicht zuwider ſeyn, und daher werde nur einige Aufgaben, welche in der Trigonometrie vorkommen, aufloͤſen. 1. Aufgabe. §. 4. Es werden von einem geradlinigtem Triangel zwey Winckel und eine Seite gegeben, ihr ſollt nach der Trigonometrie die Groͤſſe einer andern Seite finden. 3. E. Es wird die Seite AB, der Winckel A und der Winckel Cgegeben, ihr ſollt die Seite BC finden. Aufloͤſung. 1) Sprecht: Wie der Sinus des Winckels C zu der ihm entgegen geſetzten Seite AB; So der Sinus des Winckels A zu der ihm entgegen ſtehenden Seite BC (§. 188. Geom.). 2) Es ſey der Winckel C= 480 3 5, A = 570297¹0. Die Linie AB = 74% ſo verfahret mit den Logarith- mis, welche ihr in den Tabulis Logarichmorum auf⸗ ſuchen muͤſſet, folgender Geſtalt— . Log. lo lo⸗ lo⸗ 1 D (S jeni leh Ur fin na Trien⸗ Uer v genede 4 der Trigonomekrie. ines ſ⸗ Log. Sin. C = 9. 9750142 Urch gfi Log. AB — I 8692317) „ wie g Log. Sin. A = 9. 92 59487 r ſedri — — Alule I Summe 11. 7951804 Log. Sin. C., ſubtr. bleibt die Diff. 1. 9201662 Dieſes iſt der Logarithmus der zu ſuchenden Seite BC entiungi (J. 223. Rech.). d e 3) Suchet in den Tabulis Logarichmorfum den⸗ „A jenigen, welcher dem gefundenen am naͤchſten kommt, ſr ſo zeiget die Zahl, von welcher dieſer Logarithmus, „U bey nahe die Groͤſſe von der Linie BC, das iſt BC iſt en bey nahe 83/. vort 4) Weil der gefundene Logarithmus von 83 dem gegebenen nicht voͤllig gleich, ſo iſt leicht zu vermu⸗ then, daß die Linie BC uͤber 83 Schuhe noch einige . Zolle habe, wollet ihr auch dieſe beſtimmen, ſo ſa⸗ ie chhet euren Logarithmum unter der Characteriſticà 2 n hinter 830 auf, alsdenn werdet ihr finden, daß der . W. one Logarithmus von 932 ihm am naͤchſten kommt, folg⸗ 4 lich hat die Linie uͤber 83 noch 2“ gegcden 5) Es iſt ferner klar, daß die Linie BC uͤber 83 2“ noch einige Linien haben muͤſſe, wollt ihr auch dieſe beſtimmen, ſo ſuchet euxren Logarithmum unter der Characteriſtica 3 hinter 8320 auf, ſo findet ihr, daß der Logarithmus von 832 1 ihm am naͤchſten kommet, und alſo hat die Linie BC 82 . 29 2“ 198, ₰ 6AN 2. Aufgabe. . — §. H. Es werden von einem geradlinigten Tab. I. Triangel zwey Seiten und ein Winckel, der ei⸗ Geom. n ner von den beſtimmten Seiten entgegen ſtehet, Pig. 9. mm gegeben, ihr ſollt die uͤbrigen Winckel finden. . 336 Erſte Gruͤnde Z. E. Es wird die Seite AB, die Seite BCund der Winckel bey C gegeben, ihr ſollt den Win⸗ ckel A finden. Aufloͤſung. 1) Sprechet: Wie die Seite AP = 825 zu dem Sinu des entgegenſtehenden Winckels C= 64° 335; So die Seite BC = 75. zu dem Sinu des entgegenſtehenden Winckels A (188. Geom.). 2) Verfahret mit den Logarithmis, wie in der vorhergehenden Aufgabe gewieſen worden. Addiret nemlich. Log. Sin. C = 9, 9 5 6 6 6 88 und . Log. BC = 1. 8 7 5 °6 1I 3 1 1 83 07 301 Hiervon ſubtrahi⸗ ret Log. AB = I. 9 I. 3. 8 I. 3. 8 9‧9 1 6 9 1 6 3 Welches der Logarithmus Sinus des Winckels à 3) Suchet in den Tabulis Logarithmorum Si- nuum den Logarithmum, welcher dem gefundenen am naͤchſten kommt, ſo zeiget die Zahl, von welcher dieſer Logarithmus, bey nahe die Groͤſſe des Win⸗ ckels A, das iſt, der Winckel A iſt bey nahe 3 55* 407. . 4) Weil der Geometrie⸗ 337 citee 4) Weil der gefundene Logarithmus des Sinus deng von 55 40;: dem gegebenen nicht voͤllig gleich, ſo iſt leicht zu vermuthen, daß der Winckel A uͤber 559 40, noch einigen Secunden habe. Wollet ihr auch dieſe ſuchen, ſo ziehet von eurem Logarithmo 9.9 I 6 9 I 63 den naͤchſt kleinern 9. 9 1 6 8 5 9 3 ab, ſo iſt die “DW Differentz 570, welche zu mer⸗ cken. Subtrahiret ferner von dem naͤchſt groͤſſeren Loga- rithmo 9.9 1 69 455 den naͤchſt klei⸗ celell neren 9.9 16 §. 5. 9 3 ſo iſt die Differentz 8 6 2 welche abermahl tbießt zu mercken. Hieraus iſt klar, daß 962 der Un⸗ . D terſcheid der Logarithmorum zweyer Groͤſſen, deren Unterſcheid eine ganze Minute, und alſo muß 570 8 ein Unterſcheid von Logarithmis zweyer Groͤſſen 166 ſeyn, deren Unterſcheid einige Secunden, folglich koͤnnet ihr ſprechen: 06 1 362: 570 = 600: , — ſo werdet ihr finden, daß X= 39“, und alſo iſt der 31 Winckel A= 55 °40 39“. 3.81 Fuſatz. —. E§. 6. Da nun in dem gegebenen Triangel der 69 . Winckel C = 6 450 33 % der Winckel A = F50 40⁰ Wudi 39“, ſo iſt der Winckel B= 59⁰ 46 21“ (F§. 149⸗ Geom.). . e . 7. In einem rechtwincklichten Triangel e aus den zweyen Seiten, welche den rechten ſeu. Winckel einſchlieſſen, die uͤbrigen Winckel zu e finden. Tab. I. Geom. Fig. II. Tab. IV. Geom. Fig. 60. Erſte Gruͤnde Aufloͤſung. 1) Nehmet AB fuͤr den Sinum totum an, ſo iſt AC der Tangent des Winckels B (S. 213. Geom.), Daher ſprecht: Wie die Seite AB zu der Seite AC; So verhaͤlt ſich der Sinus totus zu dem Tangent des Winckels B. 2) Suchet den Winckel B durch die Logarithmos, wie zuvor beſchrieben. 3) Den Winckel C koͤnnet ihr alsdenn, wie §.6. erinnert, finden. . 4. Aufgabe. S§. 8. Aus zwey gegebenen Seiten eines Tri⸗ angels nebſt dem Winckel, den ſie einſchlieſſen, die uͤbrigen Winckel zu finden. 3. E. In dem Triangel ABC aus der Seite AC, CB und dem Winckel! C die uͤbrigen Winckel A und B zu finden. . Aufloͤſung. 1) Sprecht: Wie die Summe der beyden Seiten AC und CB zu ihrer Differentz; 1 So der Tangent der halben Summe der beyden Winckel A und B zu dem Tangent der halben Differentz derſelben E. 214. Geom.). 2) Suchet durch die Logarithmos wie zuvor die halbe Differentz der zu ſuchenden Winckel. Es ſey z. E. AC = 75J. BC = 583, ſo iſt AC + BC = 133 9 und AC —– BC = 17⁰. Es ſey ferner C = 108² 24/ ſo iſt A †+ B = 71° 36 (§. 149. Geom.). Folglich Log. ſind boſin wenn dos Grun von Sche reng dipid der Trigonometrie. 339 Log. AC — BC 1. 2 3044889 ,ſ⸗ Log. Tang. 2 (AT B) 9. 8§ 5 80694 Gr, Summe 1 I.0 885183 Hiervon ſubtrahiret Log. AC +£— CB 2.1 2 3. 8. § I. 6 Log. Tang. 4 (A — B) 8.9 6 4 6 6 6 7 Suchet dieſen Logarithmum in den Tafeln der Lo- iln garithinorum Tangentium, ſo werdet ihr finden, daß ihm der Logarithmus von 5o 17 am naͤchſten kommet. 3) Dieſe gefundene halbe Differentz der Win⸗ ckel A und B addiret zu ihre halbe Summe, ſo habt ihr den groͤſten Winckel B; und ſubtrahiret ſolche es von der halben Summe, ſo habt ihr den kleinern Pliet Winckel A. Z. E. un IQATB) †+ 1(A — B) = 3 50 48/ + F0 17= 10 410 S= D. 35 4(A + B) — 1(A — B) = 35 48 — 50171= 30° 316 = A. Lehr⸗Satz. id §. 9. Wenn in einem geradlinigten Triangel Tab. 1. ABCeine Perpendicul⸗Linie BD aus der Spitʒze Geom. ee B auf die Grund⸗Linie AC gezogen wird, ſo Fig. 9. ſind die Stuͤcke der Grund⸗Linie, die hiedurch beſtimmet worden, die Groͤſſen, welche entſtehen wenn man zu dem Quadrat der Grund-Linie das Quadrat des an dem verlangten Stuͤcke der Grund⸗Linie graͤnzenden Schenckels addiret, von dieſer Summe das Guadrat des andern Schenckels ſubtrahiret, und alsdenn dieſe Diffe⸗ rentz mit der Grund⸗Linie zweymal genommen dividiret. 1 Y 2 Be⸗ Tab. I. Geom- Fig. 9. Erſte Gruͤnde Beweiß. Stehet BD auf ACrechtwincklicht, ſo iſt AB; — AD-= = BD- . BC2 — DC = BDz (S. 272. Geom.) Es iſt demnach AB — AD = BC2 — DC (§. 20. A. M.) Es ſey AD= x, ſo iſt OC= AC—, folglich ABz — = BC= – AC†ACX— X* Addiret zu dieſer Gleichung , ſo iſt ABa = BCa — ACA †+2ACX (§. 63. A. M.). Wenn ihr ferner ACaddiret, alsdenn BC ſubtra⸗ hiret, und endlich die Gleichung mit 2 A C dividiret, ſo iſt AB + AC; — BC = X= AD (§. 188. Rech.) 2 AC Es ſey ferner DC= X, ſo iſt AD= AC-— xund al⸗ ſo iſt wie zuvor klar, daß x = DC= BC' † AC — AB W. D. A. 2 AC 5. Aufgabe. §. 10. Aus drey gegebenen Seiten eines ge⸗ radlinigten Triangels die Winckel zu ſinden⸗ Aufloͤſung. 1) Nehmet eine von den gegebenen Linien z. E. AC zur Grund⸗Linie, und ſuchet das Stuͤck Ab (§. 9.). 2) Der es ſin der Geometrie. 341 2) Durch Huͤlffe der Linie AD und Ab ſuchet den Winckel ABD, in dem ihr ſprechet Die Seite Ab verhlaͤt ſich zu dem Sinu des Win⸗ ckels ADB, das iſt, ad Sinum totum Wie die Seite AD zu dem Sinn des Winckels 4BD (§. 5.). 23) Addiret den gefundenen Winckel zu dem rech⸗ een Winckel A Dß, ſo koͤnnet ihr den Winckel bey 4 finden (§. 149. Geom.). 4) Die zuvor gefundene Linie AD ſubtrahiret von AC, ſo habt ihr das Stuͤck DC. Nio . 5§) Durch Huͤlſſe dieſer Linie DC und der gege⸗ G benen BC fuchet wie zuvor den Winckel DBC, ſo koͤnnet ihr auch wie zuvor den Winckel bey C fin⸗ den. 8 6) Da euch nun die Winckel A und C bekannt, ſo koͤnnet ihr auch den Winckel AB finden (§. 149. Geom.). . Anmerckung. H. 11. Wie dieſe Aufgaben zu gebrauchen, wenn Hoͤ⸗ hen und Weiten ſollen gemeſſen werden ‚ſolches iſt aus dem §. 218. Geom. zu begreiffen. s 6. Aufgabe. §. 12. Die Verhaͤltnis des Diamotri ei⸗ nes Circuls zu ſeiner Peripherie zu be⸗ ſtimmen. Tab. IV. Geom. Fig. 59. 342 Erſtr Gruͤnde der Trigenometrie. Aufloͤſung. Wenn der Radius eines Circuls oder der Sinus totus = 10 000 0000, ſo iſt ſo wohl der Sinus BA als auch der Tangent FD des Bogens DB, welcher eine Minute — 2909. Und alſo hat gleichfals der Bogen Dß, welcher etwas groͤſſer als A und et⸗ was kleiner als DF, bey nahe 2909. (§S. 15. Vor.). Multipliciret 2909. durch die Anzahl der Minu⸗ ten in der gantzen Peripherie 21600; ſo iſt die Peripherie 62834400. Derowegen verhaͤlt ſich der Diameter zu der Peripherie bey nahe, wie 20 000 oο zu 62834400, oder, wenn man beyde Zah⸗ len mit 200000 dividiret, wie 100: 314 (§. 113. A. M.). ELEMEN ITA CHRONOLOGIAE THEORETICAE AT QVE DYNAMICES Oder Erſte Gruͤnde Von Erfindung der Groöoͤſſe Der Geſchwindigkeit und der Kraͤffte der Dinge. 4 Erſte Gruͤnde Von Erfindung der Groͤſſe in der Geſchwindigkeit. — Erklaͤrung. §. 1. ( I der Zeit koͤnnen wir nichts unterſchei⸗ M. den, als verſchiedene Begebenheiten, OO dwelche in ihrer Wuͤrcklichkeit nach und à nach auf einander ſolgen. Und alſo haben wir vollkommenen Grund eine ſolche nicht unterbrochene Folge verſchiedener Bege⸗ benheiten eine Zeit zu nennen. §. 2. Hieraus folget unmittelbar, daß die Groͤſſe der Zeit aus der Vielheit der Begebenheiten, welche in ihrer Wuͤrcklichkeit nach und nach auf einander folgen, zu beurtheilen (§S. 3. Vor.). §. 3. Woraus demnach die Anzahl der Begeben. heiten, welche in ihrer Wuͤrcklichkeit nach und nach P 5 auf 346 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe auf einander gefolget, zu erkennen, dadurch kan auch die Groͤſſe der Zeit beſtimmet werden. Erklaͤrung. §. 4. Wuͤrcken zwey Dinge einerley in Zeiten, welche in Anſehung der Groͤſſe unterſchieden, z. E. A wuͤrcket B in 4 Stunden, und C wuͤrcket B in 6 Stunden, ſo wird geſagt, es ſey von A die Wuͤr⸗ ckung B geſchwinder als von O hervorgebracht wor⸗ den. Und alſo iſt die Geſchwindigkeit die Eigen⸗ ſchafft einer Handlung, welche derſelben vermoͤge der Kuͤrtze der Zeit, in welcher ſie wuͤrcklich geworden, beygeleget wird. 1. Zuſatz. §. §. Je kleiner demnach die Zeit, in welcher ein Ding eine gewiſſe That ausfuͤhret, deſto groͤſſer iſt die Geſchwindigkeit, mit welcher dieſes Ding ge⸗ wuͤrcket. Siehe §. 2, 3. 2. Zuſatz. §. 6. Wenn alſo zwey Dinge in ungleichen Zei⸗ ten einerley gewuͤrcket, ſo verhalten ſich ihre Ge⸗ ſchwindigkeiten umgekehrt wie die Zeiten, in wel⸗ chen ſie gewuͤrcket. Und wenn zwey Dinge in gleichen Zeiten einerley gewuͤrcket, ſo ſtehen ihre Geſchwindigkeiten in einer gleichen Verhaͤltniß (5. 26. 28. A. M.). Anmerckung. §. 7. Hieraus erhellet, daß die Ausmeſſung der Ge⸗ ſchwindigkeit ſo allgemein koͤnne erklaͤret werden, daß man dadurch die Geſchwindigkeit einer jeden Handlung, ſo wohl der Bewegung als auch der Gedancken und Begierden be⸗ ſtimmen koͤnne. Weil ich aber fuͤr Anfaͤnger ſchreibe, und alſo Bedencken trage ſo allgemein zu reden; ſo werde nur einige Mittel angeben, die Gröͤſſe in der Geſchwindigkeit einer Bewegung zu beſtimmen. Doch will ich dieſe Rhee alſe aus ner gen gung g. haupt hen tön von mni wſegne lbeſelche N un. EN OScche R 1o Oits 4 A gerwl get, Vol nen leine ſes ſo det i belche ieg der Grſe dadurchtnn alſo ausdruͤcken, daß ſie von einem jeden koͤnnen allgemei⸗ den. ner gemachet werden, der fuͤr das, was aus der Bewe⸗ gung geſchloſſen, die Eigenſchafften einer Handlung uͤber⸗ haupt ſetzet. Und dieſes wird mit geringer Muͤhe geſche⸗ erle in hen koͤnnen, wenn man das verſtehet, was Sect. II. Ontol. voon mir iſt ausgefuͤhret worden. in der Geſchwindigkeit. 347 erſchieden, nürfil Erklaͤrung. Rocee §. 8. Ein jedes Ding, was wuͤrcklich iſt, muß keit kig ſeyn; und dieſes nennet man ſeinen Ort. Eine Gbermi Reihe ſolcher Oerter, welche in einem fortgehen, heiſt RZ der Raum. Zuſatz. §. 9. Alſo iſt der Raum eine Ausdehnung, deſſen innin Groͤſſe nach den Regeln der Geometrie zu meſſen t, in Maat §. 25. Vor.). deſt gtiet d e3 diſe Otf Erklaͤrung. §. 10. Die Bewegung iſt eine Veraͤnderung des Orts, welche in einem fortgehet. glechene 1. Juſatz. inn §. 11. Hieraus folget ¹) daß eine jede Bewe⸗ Niten gung in einer gewiſſen Zeit, und folglich mit einer ne d gewiſſen Geſchwindigkeit geſchiehet (§. 1.4.). ſo ſihn Verhilef 2. Ju ſa z. . §. 12. 2) Daß ein Ding, indem es ſich bewe⸗ get, einen gewiſſen Raum beſchreibet (§. 8.). Wollet ihr euch demnach das bewegte Ding als ei⸗ nen Punct vorſtellen, welches geſchehen kan, wenn keine Urſache vorhanden iſt, die Beſchaffenheit ei⸗ nes ſolchen Dinges beſonders zu gedencken, ſo wer⸗ det ihr auch behaupten muͤſſen, daß der Raum, welcher durch die Bewegung beſchrieben worden, eine Linie ſey (§. 5. Geom.). 3. Ju⸗ Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe 3. Juſatz. §. 13. 3) Daß durch die Anzahl der Oerter oder der Theile, welche in dem Raum, ſo durch die Bewegung beſchrieben worden, zu unterſcheiden, die Groͤſſe der Zeit, und folglich auch der Geſchwin⸗ digkeit zu beſtimmen ſey, mit welcher die Bewegung geſchehen (§S. 3. 4.). ⸗ Erklaͤrung. Motus ae⸗- S. 14. Wenn ſich ein Ding beſtaͤndig mit einerley quabili et Geſchwindigkeit beweget, ſo wird die Bewegung inacquabi- gleichfoͤrmig genennet. Sollte aber in der Bewe⸗ li. gung die Geſchwindigkeit veraͤndert werden, ſo heiſt ſie eine ungleichfoͤrmige Bewegung. 1. Juſatz. Conſea §. 15. Wenn ſich zwey Dinge in gleicher ria ex mo. Zeit mit gleicher Geſchwindigkeit gleichfoͤrmig plunium bewegen, ſo muͤſſen ſolche gleiche Raͤume be⸗ entium. ſchreiben (§. 13. 14.). 1) Si cele- ritates et 2. JU ſ atz. tempora . leichfoͤrmi⸗ aequalia. . 16. Wenn zwey Dinge in gleichfoͤr 2) Si cele- ger Bewegung mit gleicher Geſchwindigkeit ritateser gleiche Raͤume beſchreiben, ſo ſind auch die Ti. Zeiten, in welchen ſie ſich beweget, gleich (5. 13. I4.). G 3. Zuſatz. 3) Si tem- §. 17. Wenn zwey Dinge mit einer gleich voraet ſpa- formigen Bewegung in gleiche Zeiten gleiche tia aequa⸗ Raͤume beſchreiben, ſo ſind auch die Geſchwin⸗ digkeiten, womit ſie ſich beweget, gleich (9. 5. 14.) lia. 4. Zu⸗ 1 Zeittn dir Nen buchneb it wel ,R.) K 1 mig, verhe bewen Bam d ſormit ben, Verha re Ge⸗ n Rſ⸗ 6 2 beweg dioſe S Menge (uind E inc ilders a den er Griſ⸗ in der Geſchwindigkeit. 349 4. Zu ſatz. hl der §. 18. Wenn ſich z Wwey Dinge in gleichen 4) Si tem=- aun, Zeiten gleichſoͤrmig bewegen, ſo verhalten ſich bora ae- uune die Raͤume, weiche mit dieſen Bewegungen AMalia. bere beſchrieben werden, wie die Geſchwindigkeiten, die ug mit welchen ſie ſich beweget (§. 23. 25. 38. A. M.). 5. Juſatz. §. 19. Bewegen ſich zwey Dinge gleichfoͤr⸗) Si cele- gta mig, und mit gleicher Geſchwindigkeit, ſo eitates ae⸗ ſe verhalten ſich die Zeiten, in welchen ſie ſich Auales. in deh beweget, wie die Raͤume, welche durch ihre den, Bewegung beſchrieben werden (§. 23. 25. 3 8. 6. Zuſatz. gihr §. 20. Wenn zwey Dinge mit einer gleich⸗ ) Si ſpa⸗ ie foͤrmigen Bewegung gleiche Raͤume beſchrei⸗tia aequæ: lime ben, ſo ſind die Zeiten in einer verkehrten lia⸗ Verhaͤltniß ihrer Geſchwindigkeiten, und ih⸗ re Geſchwindigkeiten in einer verkehrten Ver⸗ haͤltniß der Zeiten, in welchen ſie ſich bewe⸗ Jen (5. 6.). hicfi⸗ Lehr 25 S atʒz . Dwidf aug §. 21. Wenn ſich zwey Dinge gleichfoͤrmig in motu gigl bewegen, ſo ſind die Raͤume, welche ſie durch aequabili dieſe Bewegungen beſehreiben, in einer zuſam determina-= mengeſetzten Verhaͤltniß der Zeiten und der Ge⸗ Tur elati ſchwindigkeiten. i ierhrz ne . et celerita- e Beweiß. er⸗ Es beſchreibe in einer gleichfoͤrmigen Bewegung ℳ ein Ding A mit der Geſchwindigkeit c den Raum t ,in der Zeit t. Ein Ding B mit der Geſchwindigkeit C den Raum S in der Zeit T. Und damit ihr in die⸗ , . en 35 Errſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe ſen Veraͤnderungen die Verhaͤltniſſe beſtimmen koͤn⸗ net, ſo nehmet ferner an, daß auch B mit der Ge⸗ B ſchwindigkeit c den Raum g in der Zeit T beſchreibe. Wenn ſich nun A und B mit einerley Geſchwindig⸗ keit c bewegen, ſo iſt q: ſ= T:t (S. 19.). bern und wenn B in gleichen Zeiten die Raͤume q und 8 bean beſchreibet, ſo iſt glo d S: q= C: Cc (S. 18.) Verh Folglich iſt . Sd: ſq = IL C: tc (S§. 218. Pag. 172. b. o. I. und alſo S: ſ= TC: tc (S. 218. P. 17. 2. Rech.) ſlce das iſt, die Raͤume ſind in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Zeiten und Geſchwindigkeiten. W. „L⸗ . Anmerckung. 9. 22. Es ſey 8 = 1, ſo iſt IC — rc (§. 41. 39. A. M.), Gſ folglich iſt C: c =— t: T (G. 205. Rech.), welches der Satz, iien ſo 9. 20. erwieſen. Es ſey ferner t – T, ſo iſt C — c (§. 41. 38. A. M.), welchen Satz 9. 17. bewieſen. Lehr⸗Satzz. Relatio ce- S. 23. Wenn ſich zwey Dinge gleichfoͤrmig leritatum bewegen, ſo ſind ihre Geſchwindigkeiten in ei⸗ d rembo. ner zuſammengeſetzten Verhaͤltniß aus der Ver⸗ batia: haͤltniß der Raͤume, und verkehrten Verhaͤltniß der Zeiten. Beweiß. Wenn die Geſchwindigkeiten Cund c, die Raͤmme §S und 1, und die Zeiten Tundet, ſo iſt S:1= IC: tC (S. 21.). Folglich Stc = ſTC (S. 130. A. M.) 2— und Grhſe ſtimmmenk mit ders Tbeſtv Geſchrne nneg 172 b mmmettſe lokeen 2 1,40 4, hes der St — c leicfr keiten i/ s derlt Porſin Nin in der Geſchwindigkeit. 351 und alſo iſt C: c= St: fT (§S. 205. Rech.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 24. Wenn ſich zwey Dinge gleichfoͤrmig Relatio bewegen, ſo ſind die Zeiten, in welchen ſie ſich temporum bewegen, in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß ad ſpatia et aus der Derhaͤltniß der Raͤume und verkehrten eleritates. Verhaͤltniß der Geſchwindigkeiten. Beweiß. Aus dem Beweiß des 5. 23. erhellet, daß folglich iſt auch T: t= SC: ſC (§S. 205. Rech.). W. Z. E. W. Aufgabe. §. 25. In einer gleichfoͤrmigen Bewegung die Geſchwindigkeit zu finden, mit welcher ein Ding einen gewiſſen Raum beſchrieben. Aufloſung. 1) Meſſet den Raum, welcher durch die Bewe⸗ gung beſchrieben worden (S. 9.). 2) Meſſet die Zeit, in welcher der Raum beſchrie⸗ ben (§. 13.). 3) Den Raum dividiret durch die Zeit, ſo iſt der Quotient die Geſchwindigkeit. Beweiß. Es iſt vermoͤge des §. 23. C: c = St: 1T tIIT . St 1 1I 352 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe — — — — 1TPIT Tt Folglich C: C=S: (§. 40. A. M.). T tE Wenn ſich demnach ein Ding gleichfoͤrmig beweget, ſo iſt die Geſchwindigkeit der Quotient, welcher ent⸗ ſtehet, wenn man den Raum durch die Zeit dividiret⸗ Zuſatz. §. 26. Da nun C=8, ſo iſt r S: T = C: I (S. II0. A. M.). Folglich gleichfoͤrmigen Bewegung iſt der Raum gleich dem Pacto aus der Zeit in die Geſchwindigkeit. §. 27. Wenn ſich in einer gleichfoͤrmigen Be⸗ wegung die Raͤume wie die Geſchwindigkeiten verhalten, ſo ſind die Zeiten, in welchen ſich die Dinge beweget, gleich. Beweiß. Weil S: ſ= C: e. und S: ſ= CT: ct (§. 21.), ſo iſt C: c = CT: ct (§. 40. A. M.). Da nun C: cC = CiI C, ſo iſt 1: 1 = 1 :t (S§. 218. Pag. 173 2. Rech.). Indem nun 1.= 1, ſo iſt auch = t W. 3. E. W. . Er⸗ 8. die G Mem keit gun Dii ge dogke Mütar Ber Griſe Ptig bene t, welgen Zeit Me , , ⸗ Srmmigien? Achen it an ) r 21 ebeg 1 1ch⸗ 4 ☛ gleich del in der Geſchwindigkeit. 353 Erklaͤrung. §. 28. In einer ungleichfoͤrmigen Bewegung wird Motus vni- die Geſchwindigkeit veraͤndert (§S. 14.), und alſo formiter nimmt in einer ſolchen Bewegung die Geſchwindig⸗ accelera- keit entweder ab oder zu. Wenn in einer Bewe⸗us er ni⸗ gung die Geſchwindigkeit nach und nach in gleichen retardatus Zeiten gleich zunimmt, ſo heiſt die Bewegung eine quid. gleichfoͤrmig zunehmende, und wenn die Geſchwin⸗ digkeit nach und nach in gleichen Zeiten gleich ab⸗ nimmt, ſo heiſt ſie eine gleichfoͤrmig abnehmende Bewegung. Zuſatz. §. 29. In einer gleichfoͤrmig zunehmenden Be⸗ wegung verhalten ſich die zunehmenden Geſchwin⸗ digkeiten wie die Zeiten, in welchen ſie zunehmen. Und in einer gleichfoͤrmig abnehmenden Bewegung verhalten ſich die abnehmenden Geſchwindigkeiten wie die Zeiten, in welchen ſie abnehmen (§. 38.41. A. M.). §. 30. Wenn ein Ding aus ſeiner Ruhe in die Relatio Bewegung geſetzet wird, und in derſelben nach ſpatiorum und nach gleichfoͤrmig zunimmt, ſo ſind die dtempora 8 . . . . , in motu Raͤume in ratione duplicata der Zeiten. vniforini- . ter accele- Beweiß. rato. Bezeichnet ſo wohl die Zeiten, in welchen die Be⸗ Ir wegung gleich foͤrmig zugenommen, als auch die Pig. 1. gleich foͤrmig zunehmenden Geſchwindigkeiten mit ge⸗ raden Linien (§. 12. 13.). In dieſer Abſicht ſey AB die gantze Zeit, in welcher die Bewegung gleich⸗ foͤrmig zugenommen, AbP ein Theil dieſer Zeit. BC die in der gantzen Zeit angewachſene Geſchwindig⸗ keit, und PM die in dem Theil der Zeit APangewach⸗ 3Z bis Dd ene 354 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe ſene Geſchwindigkeit. Da nun das Ding aus ſei⸗ ner Ruhe in die Bewegung geſetzet, ſo iſt AbP: AB= PM: BC (S. 29.). . Setzet die Linien der Geſchwindigkeit rechtwincklicht an die Linien der Zeit in P und B, ſo iſt PM mit BC parallel (§. 146. 22. Geom.), und ABC ein recht⸗ wincklichter Triangel (§. 51. Geom.). Ziehet eine andere Linie der Geſchwindigkeit pm mit PM paralel in einer unendlich kleinen Entfernung von PM. So iſt der Unterſcheid der Linie PM von pm unendlich klein, folglich PM = pm (S. 144. A. M.). Folg⸗ lich wird das Ding in der Zeit Pp gleichfoͤrmig be⸗ wegt (S. 14.), und alſo iſt der Raum, welcher in der Zeit Pp beſchrieben worden, gleich dem Facte aus Pp in PM (§. 26.), gleich dem Rectangulo PpRM (S. 54. 235. Geom.). Theilet die Zeit Ab in kleine Theile, welche fuͤr ſich gleich Pp, ſo werdet ihr vermoͤge deſſen, was zuvor bewieſen, geſtehen muͤſſen, daß der Raum, welcher in der Zeit Ab beſchrieben worden, gleich der Summe von den Rectangulis, welche wie PpRM in dem Tri⸗ angel APM gezeichnet, und deſſen Unterſcheid von gez dem Triangel APM unendlich klein, folglich daß der Raum, welcher in der Zeit Ab beſchrieben worden gleich dem Triangel APM (S. 144. A. M.). Aus einerley Grund muß einerley folgen. Und alſo iſt klar, daß der Raum, welchen das Ding in der Zeit A beſchrieben, gleich dem Triangel ABC. Es verhalten ſich demnach die Raͤume, welche in der Zeit AbP und AB beſchrieben worden, wie die Triangel APM und ABC. Nun aber iſt Der ₰ APM: ₰ BAC = AbP, PM; AB, BC (§. 237. Geom.). A△ APMO △ BAC (S. 192. 193. Geom.). folglich AP: AB = PM: BC (S§S. 211. Geom.) d un Dosi ten. gu an 1 Dyn Ne nſgers zudrͤck Del ſirnig elche ſchtee Dheie genes Mun, SIs, 1 Noumg Uuche S 9— Dele ter. Ugerg Briſe Ding or⸗ kechtriche 1 Montt B0 ente . Niren it Mpnc pim Ultek ichfbni n, wl h den! 1 Redr ilet Ne geih / ſer h1 Glnnne den Th⸗ en tun 4 N lcheite die in der Geſchwindigkeit. 355 und AP= PM Al= BC (S. 28.) Folglich A APM: A BAC=AbP, AP; AB, Aß; (5. 5. Das iſt, die Raͤume ſind in ratione duplicata der Zei⸗ ten. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 3 1. In einer gleichfoͤrmig zunehmenden Vewe⸗ gung ſind die beſchriebenen Raͤume in ratione duplica- ta der zunehmenden Geſchwindigkeiten (§S. 29. 30.). Lehr⸗Satz. §. 32. Der Anwachs der Raͤume, welche ein Ding in gleichen Zeiten in einer gleichfoͤrmig zu⸗ nehmenden Bewegung beſchreibet, iſt durch die ungeraden Zahlen 1. 3. 5. 7. 9. und ſo weiter aus⸗ zudruͤcken. Beweiß. Theilet die Zeit, in welcher eine Bewegung gleich⸗ foͤrmig zunimmt, in gleiche Theile, ſo iſt der Raum, welchen das Ding in dem erſten Theil der Zeit be⸗ ſchrieben, = 1, der Raum, welchen das Ding in zwey Theilen der Zeit beſchrieben, = 4, der Raum, wel⸗ chen es in drey Theilen der Zeit beſchrieben, = 9, der Raum, welchen es in vier Theilen der Zeit beſchrieben, = 16, und ſo weiter (§. 30.). Es iſt demnach der Raum, welchen es in dem erſten Theil der Zeit beſchrie⸗ ben, = 1. Der Raum, welchen es in dem zweyten Theil der Zeit beſchrieben, = 4 — 1— 3. Der Raum, welchen es in dem dritten Theil der Zeit beſchrieben, — 9 — 4= F. Der Raum, welchen es in dem vierten Theil der Zeit beſchrieben, 16 — 9 = 7, und ſo wei⸗ ter. Folglich iſt der Anwachs dieſer Raͤume durch die ungeraden Zahlen 1. 3.5.7. und ſo weiter auszudruͤcken. 356 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Erſte Gruͤnde Von -: 4 e. Erfindung der Groͤſſe in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. Erklaͤrung. d. 33. Auch eine Krafft verſtehen wir dasjenige, was ☛ den Grund von der Wuͤrcklichkeit der Be⸗ gebenheiten in ſich haben kann. Aſt der Grund von der Wuͤrcklichkeit einer Begebenheit in der Krafft wuͤrcklich enthalten, ſo heiſt ſie eine wuͤr⸗ ckende, wo aber nicht, eine nicht⸗wuͤrckende Krafft. Dieſes iſt auch die Urſache, warum man dasjenige, was durch eine Krafft würcklich wird, eine Wuͤrckung nennet. Lehn⸗Satz. §. 34. Die wuͤrckende Krafft iſt allezeit der Wuͤrckung gleich (§. 49 Ont.). Juſatz. §. 35. Je groͤſſer demnach die Wuͤrckung, deſto groͤſſer iſt auch die wuͤrckende Krafft, woher ſie ent⸗ ſprungen. Dieſes beſtaͤtiget vollkommen, daß man durch die Groſſe der Wuͤrckung die Groͤſſe der wuͤr⸗ ckenden Krafft beſtimmen koͤnne. Lehr⸗Satz. §. 36. Wenn ein Ding in verſchiedenen Zeiten mit ungleicher Geſchwindigkeit gleiches gewuͤr⸗ cket, ſo muß ſeine wuͤrckende Krafft groͤſſer gewe⸗ ſen ſeyn, da es mit der groͤſſeren, als da es mit der kleineren Geſchwindigkeit gewuͤrcket. Be⸗ Geſe Eung Eunn Des Ner d Men D olgach erſe Da ſe lhteag Krafft ten, 0 wuͤrcͤk K⸗ ula Deſ iele N 4 Du dem dai sfelſtt hkeit det⸗ N n. J. egebentet ſie eiſenn ckende nan doset Wde lenen N zirckung N veherſet nen, Me iſes denetin iches gut moͤſeran, da tönid . 1 in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. 3 57 Beweiß. Geſetzt, daß ein Ding A in der Zeit 4 eine Wuͤr⸗ ckung 10, und in einer andern Zeits auch dieſe Wuͤr⸗ ckung 10 hervorgebracht, ſo iſt die Wuͤrckung dieſes Dinges, welche es in einem Theil der letzten Zeit 4,wel⸗ che gleich der gantzen erſten Zeit, hervorgebracht, klei⸗ ner als die Würckung, welche in der erſten Zeit 4 von dieſem Dinge hervorgebracht worden (§. 13. A. M.). Folglich iſt die wuͤrckende Krafft dieſes Dinges in der erſten Zeit groͤſſer geweſen, als in der letzten (§. 35.). Da ſie nun in der erſten Zeit geſchwinder als in der letzten gewuͤrcket (§. F.), ſo iſt klar, daß die wuͤrckende Krafft eines Dinges groͤſſer, wenn es mit einer groͤſſe⸗ ren, als wenn es mit einer kleineren Geſchwindigkeit Zuſatz. §. 37. Es verhalten ſich demnach die wuͤrckenden Kraͤffte eines Dinges wie die Geſchwindigkeiten, mit welchen es wuͤrcket. Daher aus dem, was von der Beſtimmung der Geſchwindigkeit zuvor ausgefuͤhret, vieles zu folgern, wodurch die Groͤſſe in den wuͤrcken⸗ den Kraͤfften der Dinge zu beſtimmen. L Anmerckung. §. 38. Die Urſache, welche in dem §. 7. angefuͤhret, giebt mir Bewegungs⸗Grunde, daß in dem folgenden nur ins be⸗ ſondere von den wuͤrckenden Kraͤfften der Koͤrper reden werde. Doch bitte auch hier zu mercken, was in dem d. 7. iſt erinnert worden. . * Erklaͤrung. §. 39. In einem jeden Koͤrper ſind verſchiedene Dinge mit einander verknuͤpffet. Und dieſe geben dem Koͤrper dasjenige, was wir in demſelben fort⸗ daurend nennen, oder die Maſſe. 3 5 Zu⸗ 358 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Zuſatz. §. 40. Es iſt demnach die Maſſe eines Koͤrpers um deſto groͤſſer, je groͤſſer die Anzahl der Dinge, wel⸗ che in ihrer Verknuͤpffung den Koͤrper machen. Lehn⸗Satz. §S. 41. Dasjenige, was in einem Dinge fortdau⸗ rend, iſt die Krafft des Dinges (§. 19. Ont.), welche aber, in ſo weit ſie nur als fortdaurend betrachtet wird, nicht wuͤrcket (§. 64. fl. Ont.). Zuſatz. §. 42. Cs iſt demnach die nicht⸗wuͤrckende Krafft eines Koͤrpers ſeiner Maſſe gleich (§. 39. Siehe §. 7. A. M.). Lehr⸗Satz. Ratio vini- §. 43. Wenn zwey KRoͤrper von ungleicher um agentiMaſſe mit gleicher Geſchwindigkeit wuͤrcken, uin li wal. ſo verhalten ſich ihre wuͤrckende Kraͤffte wie die aeë Inae- . quales et Maſſen. , celeritates Bewe iß. aequales. Es ſey die Maſſe des Koͤrpers A=6, und des Koͤr⸗ pers B = 4, ſo iſt ein Theil von der wuͤrckenden Krafft des Koͤrpers A gleich der gantzen wuͤrckenden Krafft des Koͤrpers B (§. 37. und §. 7. A. M.). Folglich iſt die wuͤrckende Krafft des Koͤrpers A groͤſſer als die wuͤrckende Krafft des Koͤrpers B (F. 11. A. M.). Weil nun dieſe Koͤrper mit gleicher Geſchwindigkeit wuͤrcken, ſo iſt die Urſache, warum ſolche ungleich wuͤrcken, in der Ungleichheit der Maſſen zu finden. Folglich verhalten ſich die wuͤrckenden Kraͤffte dieſer Koͤrper wie ihre Maſ⸗ ſen (§. 25. 38. A. M.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 44. Es erhellet zugleich aus dem Beweiß, wo⸗ mit der §. 43. beſtaͤtiget, daß die wuͤrckende Krafft des ind des not Muſed . dieſe pl in einer K Mit unnei⸗ heleen ſch⸗ ſhnitdigt⸗ D NN 6 46, Meſem ſddien ſegten Ve kenen. G Gſe — M ſch de Aenden vol M 4.) Mon, Dbiſin Weiſoe ſhen g RGed Elbgee in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. 3ſ9 des Koͤrpers B ſo vielmahl in der wuͤrckenden Krafft Ke des Koͤrpers A, als die Maſſe des Koͤrpers B in der nger Maſſe des Koͤrpers 4 enthalten iſt. Folglich ſtehen , dieſe wuͤrckende Kraͤffte mit den Maſſen der Koͤrper in einer geometriſchen Verhaͤltniß (§. 102. 122. A. M.). Ortdep Lehr⸗Satz. uſfn §. 45. Wenn zwey Koͤrper von gleicher Maſſe Si maſſe n mit ungleicher Geſchwindigkeit wuͤrcken, ſo ver⸗ cedhnaleser halten ſich ihre wuͤrckende Kraͤffte wie die Ge⸗ e ee ales 6 . inaequales. ſchwindigkeiten. . Beweiß. Dieſer Satz kan auf gleiche Art, wie der Satzim §. 43. erwieſen, beſtaͤtiget werden. dei⸗ ieſet⸗ Lehr⸗Satz. gi⸗ §. 46. Wenn zwey Koͤrper von ungleicher g; m m Maſſe mit ungleicher Geſchwindigkeit wuͤrcken, ſo maſſae lNſind die wuͤrckenden Kraͤffte in einer zuſammenge⸗ quam cele- ſetzten Verhaͤltniß der Maſſen und Geſchwindig⸗ ritates in- keiten. aequales- r Beweiß. duf Es ſey die Maſſe des Koͤrpers A = M, und ſeine 1G Geſchwindigkeit = C. Die Maſſe des Koͤrpers B = m, und ſeine Geſchwindigkeit = c. So verhaͤlt N ſich die wuͤrckende Krafft des Koͤrpers A zur wuͤr⸗ ckenden Krafft des Koͤrpers B, wie die Verknuͤpffung von M mit C zur Verknuͤpffung von m mit c (§. 43. 45.). Dieſe Groͤſſen werden entweder durch die Ad⸗ dition, oder Subtraction, oder Multiplication, oder Diviſion mit einander verknuͤpffet (§. 70. 99. A. M.). Weil aber die wuͤrckenden Kraͤffte in einer geometri⸗ ſchen Verhaͤltniß ſtehen (§. 44. 31. 36.), ſo koͤnnen ſ⸗ dieſe Groͤſſen weder durch die Addition noch durch die „ Subtroclion verknuͤpffet ſeyn (pag. 173. n. 1. Rech.), 3 4 folglich 360 Erſte Erunde von Erfindung der Groͤſſe folglich muß man entweder die Multiplication oder die Diviſion erwehlen. Das letzte iſt unmoͤglich, weil die wuͤrckende Krafft allezeit groͤſſer als die Maſſe (§. 42. 34. Siehe §. 63. fl. Ont.), die Diviſion aber die Groͤſſen nicht veroroͤſſert, ſondern verkleinert (§. 98. A. M.). Und alſo iſt klar, daß man die Multipli⸗ cation erwehlen muͤſſe. Es verhaͤlt ſich demnach die wuͤrckende Krafft des Korpers A zur wuͤrckenden Krafft des Koͤrpers B wie M, C zu m, c das iſt, dieſe wuͤrckende Kraͤffte ſind in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Maſſen und Geſchwindigkeiten 1. Juſatz. §. 47. Es ſey die wuͤrckende Krafft von A = der wuͤrckenden Krafft von B, ſo iſt auch M, C= m, c. Wenn demnach zwey Koͤrper von ungleicher Maſſe mit ungleicher Geſchwindigkeit gleich wuͤrcken, ſo ſind ihre Maſſen in einer verkehrten Verhaͤltniß der Geſchwindigkeiten, und ihre Geſchwindigkeiten in einer verkehrten Verhaͤltniß der Maſſen (§. 20 5. Rech.). 2. Juſatz. §. 48. Es erhellet hieraus ferner, daß die wuͤrcken⸗ de Krafft eines Koͤrpers gleich dem Facto aus der Maſſe des Koͤrpers in die Geſchwindigkeit, mit wel⸗ cher er wuͤrcket. 3. Juſatz. §. 49. Indem nun ein Koͤrper in einer gleichfoͤr⸗ migen Bewegung beſtaͤndig einerley Geſchwindigkeit behaͤlt (§S. 14.), ſo bleibet auch die wuͤrckende Krafft eines ſolchen Koͤrpers beſtaͤndig gleich dem Facto aus der Maſſe in die erſte Geſchwindigkeit, in welcher er angefangen ſich zu be wegen. 4 Zu- der n eg ird Pͤre ten Bew Kran vieln tipli gunt Ve nd ((.n drn c! K N ten G 1 Dir demnn Wendn eſten ſcen vet A= ⸗ hngecce hret hlen itnin 2067 arcke⸗ ols N nit cf waffe de Pfl Hatk elher 4 43 in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. 361 4. Zuſatz. §. 70. Weil aber in einer gleichfoͤrmig zunehmen⸗ den Bewegung die Geſchwindigkeit beſtaͤndig ver⸗ mehret, und in einer gleichfoͤrmig abnehmenden Be⸗ wegung die Geſchwindigkeit beſtaͤndig vermindert wird (§. 28.), ſo muß auch in dem erſten Fall die wuͤrckende Krafft beſtaͤndig groͤſſer, und in dem letz⸗ ten Fall beſtaͤndig kleiner werden. Lehr⸗Satz. §. 5§ 1. In einer gleichſoͤrmig zunehmenden Bewegung entſtehet die Groͤſſe der wuͤrckenden Krafft des Koͤrpers, wenn man ſeine Maͤſſe ſo vielmahl mit ſeiner erſten Geſchwindigkeit mul⸗ tipliciret, als in der Zeit, in welcher die Bewe⸗ gung gedauret hat, Eins enthaͤlten iſt. Beweiß. Weil in einer gleichfoͤrmig zunehmenden Bewe⸗ gung die Geſchwindigkeiten zunehmen wie die Zeiten (§. 29.), ſo folget, daß, wenn in dem erſten Theil der Zeit die Geſchwindigkeit = 1, dieſe in dem zwey⸗ ten Theil der Zeit =2, in dem dritten Theil = 3, in dem vierten Theil =4, und ſo weiter. Folglich iſt in dem erſten Theil der Bewegung die wuͤrckende Krafft = MC, in dem zweyten = Mz2C, in dem drit⸗ ten = M3C, in dem vierten = M4 C „und ſo weiter (§S. 47.). W. Z. E. W. 1. Anmerckung. §. 52. a) Dieſer Lehr⸗Satz kan auch durch die Ueberein⸗ ſtimmung mit den vorhergehenden voll tiget werden. Es ſey hergehe kommen beſtaͤtig 3 5„ Der 362 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Der beſchriebene Die Theile der Geſchwindig⸗ Raum. Zeit. keiten. I ⸗ 2 1 „ ⸗ „ 1I 4 ⸗ - 2- 2 ⸗2 2 (§. 22.) 15, = . 4 = 4 Suchet nach dem §. 25. in dem vierten Theil der Zeit die Geſchwindigkeit, dieſe iſt 16: 4 — 4. Suchet nach dem §. 26. den Raum in dem vierten Theil der Zeit, dieſer iſt 4, 4 – 16. Welches voͤllig mit dieſem uͤberein⸗ ſtimmet. Nehmet ferner in der gleichfoͤrmig zunehmenden Bewe⸗ gung eines Koͤrpers A Den beſchriebe⸗ Die Theile Geſchwindigkeiten in Anſe⸗ nen Raum der Zeit hung der folgenden. 1 - - =- - 1 „—- — - - 4 4 -— -= - 2 -— - - - - I 9 — -- 3 — - - - 1 ½ 16 -- 4 — - - - 2 und eines Koͤrpers B “ Den beſchriebe⸗ Die Theile der Zeit in Geſchwindig⸗ nen Raum Betracht der Theile der keiten. Zeit in der vorherge⸗ henden Bewegung. T 1 - - - - 1 .- - - - I 4 - -— 1 2 — - 2 9 - - - - II - - - —- - 3 16 - - - - 2 ⸗-— - -— 4 Nun ſetzet ) daß A und B gleiche Raͤume, z. E. 4. beſchrieben, ſo verhalten ſich die Zeiten umgekehrt wie die Geſchwindigkei⸗ ten, zumahl 2: 1 — 2: I welches der §. 20. 2) daß die Zeiten, in welchen ſich A und B beweget, gleich z. E. 2. ſo verhalten ſich die Raͤume, wie die Ge⸗ ſchwindigkeiten, zumahl welches der §. 18. he daß die Geſchwindigkeiten, mit welchen ſich A und B beweget, gleich z. E. 2, ſo verhalten ſich die Raͤume wie die Zeiten, denn 4: 16 — 1:4 welches der §. 19. und ſo weiter. 2. An⸗ thel gleie Geſ Gr mend Duak Erfal ner eg. ſe ſchwitdie keite. 1 2 2 5 4 Heil der , Suchet nn l der Ne tſen übenn jenden De eiten aN ſolgende —— — — Gehrahd ten. tthe rimte , dBlen iele Sun- 1 5 in den wuͤrckenden Kraͤſften der Dinge. 363 2. Anmerckung. §. 52. b) Weil es unmoͤglich iſt, daß wir eine ſolche Ein⸗ . . § theilung der Zeit liefern konnen. Weil ferner bey der gleichfoͤrmig zunehmenden Bewegung unmoͤglich die wahre Geſchwindigkeit ſeyn koͤnne. So ſagt Leibnitz: wenn du die Groͤſſe der wuͤrckenden Krafft in der gleichfoͤrmig zuneh⸗ § menden Bewegung beſtimmen willſt, ſo mache von das Quadrat, und mit dieſem multiplicire die Maſſam. Die Erfahrung wird dieſem nicht leicht widerſprechen. 4 Erklaͤrung. 5. 53. Wenn eine Krafft hinreichend etwas zu wuͤrcken, und ein anderes Ding macht, daß jene ihre Wuͤrckungen nicht aͤuſſern koͤnne, ſo wird geſagt, daß das Ding der Krafft widerſtehe. Zuſatz. §. 54. Folglich kan kein Koͤrper eher wuͤrcken, bis der Widerſtand voͤllig iſt gehoben worden. Erklaͤrung. §. 55. Wenn ein Ding mit ſeiner Krafft wuͤrcken kan, ſo bald der Widerſtand iſt gehoben worden, ſo wird geſagt, daß die Krafft dieſes Dinges eine Be⸗ muͤhung (Conatus) ſey. Lehn⸗Satz. §. 56. Die Krafft eines Roͤrpers kan weder groͤſſer noch kleiner werden, woferne dieſes nicht von andern Dingen verurſacher wird (§. 27. Som.). Lehr⸗Satz. §. 57. Iſt die Urſache, warum ſich ein Roͤrper beweget, allein die Wegnehmung des aͤuſſerlichen Widerſtandes, ſo iſt ſeine bewegende Krafft ſei⸗ ner Bemuͤhung gleich. Be⸗ 364 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. Durch die Wegnehmung des aͤuſſerlichen Wider⸗ ſtandes wird nur verurſachet, daß die Krafſt hinrei⸗ chend bleibet, dasjenige zu wuͤrcken, wozu ſie an und vor ſich betrachtet hinreichend geweſen (§. 52.). Soll nun die Urſache, warum ein Koͤrper in Bewegung geſetzet wird, allein in der Wegnehmung des Wider⸗ ſtandes zu finden ſeyn, ſo kan ſeine Krafft nicht groͤſſer und auch nicht kleiner werden, als ſie vor der Bewe⸗ gung geweſen iſt (§. 56.). Folglich muß die bewe⸗ gende Krafft der Bemuͤhung des Koͤrpers gleich ſeyn Zuſatz. §. 5 8. Es iſt demnach unter dieſen Beſtimmun⸗ gen die Bewegung eine gleichſoͤrmige (§. 48.28. 14.). Folglich iſt die Bemuͤhung eines Koͤrpers gleich dem Facto aus der Maſſe in die Geſchwindigkeit, mit welcher die Bewegung des Koͤrpers anfaͤnget (H. 48.). Lehn⸗Satz. §. 59. Die Maſſe eines Koͤrpers iſt ſchon hin⸗ reichend der Bewegung eines andern zu widerſte⸗ hen (S. 18. Som.). Zuſatz. §. 60. Folglich kan nicht uͤberhaupt geſaget wer⸗ den, daß die widerſtehende Krafft eines Koͤrpers ſeiner Bemuͤhung gleich. Erklaͤrung. §. 61. Wenn ein Koͤrper in den andern nur mit ſeiner Bemuͤhung wuͤrcket, ſo wird dieſe Wuͤrckung der Druck genennet. Wuͤrcket aber ein Koͤrper mit ſeiner Bewegung in einen andern, ſo heiſt dieſe Aur⸗ ung Eiun eigt cibe ſ en kaftſen Bepegn ſchee ſder e⸗ glehſt Veſtinn nmnnge fit Hon i⸗ wident dn 74 ei es M etn N Cöroct in ſdiſe, 6 in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. 365 ckung ein Stoß. Wenn die Krafft eines Koͤrpers in Bewegung, ſo heiſt ſie eine lebendige, wo aber nicht, eine todte Krafft. B 1. Juſatz. §. 62. Hieraus iſt klar: 1) Daß die rodte Krafft eines Koͤrpers entweder eine Bemühung, oder nur eine widerſtehende Krafft ſey (§. 53. 55. 59.). 2. Juſatz. §. 63. 2) Daß der Druck gleich dem Pacto aus der Maſſe in die Geſchwindigkeit, mit welcher der Koͤrper anfangen wird ſich zu bewegen, ſo bald der Widerſtand gehoben worden (§. 58.). 3. Juſatz. §. 64. 3) Daß der Stoß gleich dem Facto aus der Maſſe in die Geſchwindigkeit, mit welcher ſich der Koͤrper zuletzt beweget (§. 46. 48. 49.). 4. Juſatz. §. 65. 4) Wie die Groͤſſe der lebendigen Krafft ſo wohl in der gleichfoͤrmigen als auch in der gleichfoͤr⸗ mig ab⸗ und'zunehmenden Bewegung zu beſtimmen (§. 46. 49. und folg.) Lehn⸗Satz. §. 66 Wird ein Koͤrper A von einem andern in Bewegung geſetzet, ſo beweget er ſich mit ei⸗ nerley Geſchwindigkeit nach der Richtung, nach welcher er von B geſtoſſen worden, bis eine aͤuſſerliche Urſache dieſe Bewegung veraͤndert (§. 27 Som.). 3 66 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe 1. Juſatz. §. 67. Wenn ein Koͤrper A, deſſen Krafft fuͤr ſich betrachtet, nur eine widerſtehende Krafft, durch den Stoß eines andern Koͤrpers B in Bewegung geſetzet wird, ſo iſt die wuͤrckende Krafft des Koͤrpers B ſo lan⸗ ge dem Stoß des Koͤrpers A gleich, bis ſie von einer aͤuſſerlichen Urſache entweder vermehret oder ver⸗ mindert worden (§. 34. 56.). 2. Iuſatz. §. 68. Wenn ein Koͤrper A, deſſen Krafft fuͤr ſich bekrachtet eine Bemuͤhung, durch den Stoß eines an⸗ dern Koͤrpers Bin Bewegung geſetzet, ſo kan die wuͤr⸗ ckende Krafft des Koͤrpers A, wenn gleich keine andere Urſachen hinzugekommen, groͤſſer ſeyn als der Stoß des Koͤrpers B geweſen (§. 5§5. ſl. Siehe §. 105. Mon.). 3. Juſatz. §. 69. Wird ein Koͤrper A, welcher in der Bewe⸗ gung, oder deſſen Krafft lebendig (§. 61.), von ei⸗ nem andern Koͤrper nach derjenigen Direction, nach welcher ſich A zuvor beweget, geſtoſſen, ſo wird die wuͤr⸗ ckende Krafft des Koͤrpers durch den Stoß vergroͤſſert (5§.48. 34. 56.). 4. Zuſatz. §. 70. Hieraus iſt es zu erklaͤren, wie eine gleich⸗ foͤrmig zunehmende Bewegung moͤglich ſey (§. 28. 50. 34.). Lehn⸗Satz. §. 71. Stoͤßt ein Koͤrper A an einen andern Koͤrper B, ſo iſt dieſer Roͤrper Bentweder vermoͤ⸗ gad jenem hinreichend zu widerſtehen oder nicht. ſt dieſes, ſo wird der Roͤrper B von A nach der Direction in Bewegung geſetzet, wohin jener von dieſem ſren ig ſoeln 15 Wae⸗ Inu r⸗ Del l den w K 66, ſe in den wuͤrckenden Kraͤfften der Dinge. 367 dieſem geſtoſſen worden, und zwar mit einer groͤſ⸗ ſeren Geſchwindigkeit, als in welcher A ſeine Be⸗ kafftfiit wegung fortzuſetzen vermoͤgend iſt. Iſt jenes, ſo dun ſpringt der Koͤrper A nach derjenigen Direction g mit einer verminderten Geſchwindigkeit zuruͤck, nroſtl⸗ nach welcher ihm iſt widerſtanden worden (§. 47. e von ein ſſ. Som. ). dor de D der Zuſatz. §. 72. Hieraus iſt zu erklaͤren, wie eine gleichfoͤrmig abnehmende Bewegung moͤglich ſey (§. 28. 34.). ruffi Lehr⸗Satz. koß ener ——— . in §. 73. Wenn ein Koͤrper A, nachdem er an ei⸗ kandien 1 Greiiye⸗ D nen andern Boͤrper B geſtoſſen, zuruͤck ſpringet, ſo deg muß er in dem Winckel zuruͤckſpringen, in welchem RZ er angeſtoſſen. NN. Beweiß. Wenn ein Koͤrper A, nachdem er an einen andern win Koͤrper Bgeſtoſſen, zuruͤck ſpringet, ſo iſt die Urſache des ,von e⸗ Zuruͤckſpringens, weil ihm der Koͤrper B widerſtanden ibau hat (§. 66. 53.). Folglich ſpringt A in der Direction M zuruͤck, nach welcher ihm von B iſt widerſtanden wor⸗ den den (§. 71.). Da nun der Koͤrper B dem Koͤrper A vergiͤſe widerſtehet, weil dieſer an jenen ſtoͤßt, ſo muß auch der Wiherei un kenigen Neguns oder in demjenigen ngen, in welchem er angeſtoſſen (§. D 66,71.). W. Z. E. W. hein er angeſtoſſe D §. 74. Wenn demnach ein Korper von einem andern zuruͤck ſpringet, welchen er perpendiculaͤr angeſtoſſen, , d ſo muß er auch perpendiculaͤr zuruͤckſpringen. Und en ſpringet der Koͤrper zuruͤck von einem andern, wel⸗ drig chen er ſchief angeſtoſſen, ſo muß er auch ſchief zu⸗ odr i⸗ ruͤckſpringen. 1. ſ ß h ſchief z 2. Zu⸗ 368 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe in den ec. 2. Juſatz. §. 75. Hieraus iſt es zugleich zu erklaͤren, in wel⸗ cher Direction ein Koͤrper den andern durch den Stoß bewegen koͤnne (§. 71.). Erklaͤrung. S§. 76. Der Winckel, in welchem ein Koͤrper an den andern ſtoͤſſet, heiſt der Einfalls⸗Winckel (Angu- lus incidentiae). Und der Winckel, in welchem der Koͤrper zurückprallet, heiſt der Reflexions⸗Winckel (Angulus refiexionis). 1. Zuſatz. §. 77. Wenn demnach ein Koͤrper an einen an⸗ dern, der von ſeinem Stoſſe nicht beweget wird, an⸗ ſtoͤſſet; ſo muß er dergeſtalt zuruͤckprallen, daß der Einfalls⸗Winckel dem Reflexions⸗Winckel gleich (§. 71. 73.). 2. ϑ ſatz⸗ §. 78. Und wenn ein Koͤrper einen andern durch den Stoß in Bewegung ſetzet, ſo muß ſich dieſer in dem Winckel bewegen, welcher dem Einfalls⸗Winckel gleich (§. 73. 7 1¹.). Anmerckung. §. 79. Wollte ich mit den bis hieher erklaͤrten Lehr⸗ Saͤtzen dasjenige, was in der Metaphyſic von der Bewe⸗ gung iſt ausgefuͤhret worden, noch weiter verbinden, ſo wuͤrde ich noch vieles in der Bewegung aus den Begriffen erklaͤren k—oennen. Weil aber ſolches meine gegenwaͤrtige Abſicht nicht erfordert, ſo wird, was ich erklaͤret habe, hin⸗ reichen, die Lehren in dem ausuͤbenden Theil der Mathema⸗ tik zu beweiſen. ℛ W O öſeindent klaren, intl durch den ein Gleren Dinckelcne n weltent vons⸗W er an citat eget t wind, talen ⸗Wirc N nnent doaa dieſerink s: W eklittuß⸗ von , 4 verbet, us da ne ia erih lderhi ELEMENTA MATHESEOS ADPLICATAE IN SPECGIE B MECHANICAE Oder Erſte Gründe Mathematiſcher Wiſſenſchafften Praktiſcher Theil ins beſondere aber der Mechanik. Ee Erſte Gruͤnde der Mech ani k. Der 1I. Abſchnitt. Von den Haupt⸗Geſetzen der Mechanik uͤberhaupt. « Erklaͤrung. N 5§. 1. Wer mit geringen Koſten dasjenige ausfuͤhret, was von einem andern mit groͤſſern iſt aus⸗ “ gefuͤhret worden, von dem wird behauptet, daß er mit Vortheil gehandelt. Die Wiſſenſchafft, welche die Gruͤnde erklaͤret, wornach mit Vortheil eine verlangte Bewegung her⸗ vorzubringen, heiſt uͤberhaupt die Mechanik. Zuſatz. K 2. Eine Bewegung wird nach den Geſetzen der Bewegung hervorgebracht. Soll dieſes mit Vor⸗ theil geſchehen, ſo muß entweder die Anzahl der Din⸗ ge, wodurch ſie hervorzubringen, vermindert werden, oder man muß in die Stelle ſolcher Dinge, welche von einem groͤſſerem Werthe, andere, welche von einem geringern, ſetzen. Woraus es klar, daß drey Gruͤnde muͤſſen angenommen werden, aus welchen die Regeln der Mechanik zu folgern. Ee 2 An⸗ 436 Der I. Abſchnitt Von den Anmerckung. §. 3. Das erſte habe ich nach meiner Abſicht bey der Er⸗ findung der Groͤſſe in der Geſchwindigkeit und in den Kraͤfften der Dinge hinreichend ausgefuͤhret. Folglich iſt nur noch noͤ⸗ thig, daß ich, wie das zweyte und dritte zu bewerckſtelligen, erklaͤre. Lehr⸗Satz. §. 4. Soll durch eine geringere Anzahl der Dinge eine ſo ſtarcke Bewegung erhaͤlten werden, als ſonſt durch eine groͤſſere erhaͤlten worden, ſo iſt noͤthig, daß man die Geſchwindigkeit der Dinge vermehre. Beweiß. Soll durch eine geringere Anzahl der Dinge eine ſo ſtarcke Bewegung erhalten werden, als ſonſt durch eine groͤſſere Anzahl erhalten worden, ſo muß die Krafft, mit welcher jene wuͤrcken, gleich ſeyn der Krafft, mit welcher dieſe gewuͤrcket (§. 34. Dyn.). Da nun aber die Maſſe des Koͤrpers vermindert wird (§. 39. Dyn.); ſo kan dieſe Gleichheit nicht erhalten werden, wenn nicht die Geſchwindigkeit des zu bewegenden Koͤrpers ſollte vermehret werden (§. 43. ſl. Dyn.) Lehr⸗Satz. z. 5. Durch die Circul⸗Bewegung kan die Ge⸗ ſchwindigkeit in der Bewegung der Koͤrper ver⸗ mehret werden. Beweiß. Se groͤſſer der Raum, welchen ein Koͤrper in einer beſtimmten Zeit durch die Bewegung beſchreibet, deſto groͤſſer iſt die Geſchwindigkeit des Koͤrpers (§S. 18. Dyn.). Wenn ſich zwey Koͤrper an einem Radio in einem Circul bewegen, ſo beſchreibet der oͤberſte Koͤrper einen groͤſſern Raum in der Zeit, in inwelch ſchkan per dur 6 6 ein Mi 9 7. einem C ſchwind hen von Wenn Orenl Cio des l lolbheee Uid Eden Gſhoin Doſ enſcch Ndan nngſehe Haupt⸗Geſetzen der Mechanik uͤberhaupt. 437 in welcher der unterſte einen kleineren beſchreibet. Folg⸗ lich kan die Geſchwindigkeit in der Bewegung der Koͤr⸗ per durch die Circul⸗Bewegung vermehret werden. Zuſatz. §. 6. Woraus es klar, daß die Circul⸗Bewegung ein Mittel ſey, mechaniſche Abſichten zu erhalten (§. 4). Lehr⸗Satz. §. 7. Wenn ſich zwey Roͤrper in gleicher Zeit in einem Circul bewegen, ſo verhalten ſich ihre Ge⸗ ſchwindigkeiten zu einander, wie ihre Entfernun⸗ gen von dem Mittel⸗Punet des Circuls. Beweiß. Wenn ſich zwey Koͤrper in gleicher Zeit in einem Lab. I. Circul bewegen, ſo liegen ſolche entweder in einem Ra-Fig. 2. dio des Circuls oder nicht. Im erſten Fall nehmet an, daß ſich der Koͤrper A von B nach A, und der Koͤrper E. von Dnach Ebeweget, ſo beſchreibet A den Raum AxB, und Eden Raum EyD. Folglich verhaͤlten ſich ihre Geſchwindigkeiten wie dieſe Raͤume (§. 19. Dyn.). Da ſich nun dieſe Bogen zu einander verhalten wie ihre Sehnen (S. 192. 280. Geom.); ſo verhaͤlt ſich auch die Geſchwindigkeit des Koͤrpers A zu der Geſchwindig⸗ keit des Koͤrpers E, wie die Sehne AB zu der Sehne ED (S. 40. A. M.). Weil nun ferner AB: ED = AC: EC(G. 192. 19 3. Geom.); ſo verhaͤlt ſich auch die Geſchwihdigkeit des Koͤrpers A zu der Geſchwin⸗ digkeit des Koͤrpers E, wie ACzu EC(§. 40. A. M.). Das iſt, die Geſchwindigkeiten dieſer Koͤrper verhal⸗ ten ſich zu einander, wie ihre Entfernungen von dem Mittel⸗Punct des Circuls (§. 20. Geom.). W. D. E. Iſt das zweyte, daß nemlich die Koͤrper, welche ſich Tab. 1. in gleicher Zeit in einem Circul bewegen, nicht in ei⸗ Fig. 5. Ce 3 nem 43 8 Der 1. Abſchnitt. Von den nem Radio des Circuls liegen, ſo nehmet an, daß benyde in dem Diameter des Circuls liegen, und daß ſich der Koͤrper A von A nach B und der Koͤrper E von E nach D in gleichen Zeiten bewege. Wenn dieſes, ſo beſchreibet A den Raum AxB, und E den Raum EyD. Und alſo verhalten ſich ihre Geſchwindigkeiten wie dieſe Raͤume (§. 19. Dvn.). Es verhalten ſich aber dieſe Raͤume wie AC.: CE (S. 280. 10 1. Geom.). Und alſo iſt es klar, daß ſich die Geſchwindigkeiten dieſer Koͤrper zu einander verhalten, wie ihre Entfernungen von dem Mittel⸗Punct des Circuls (§. 20. Geom. §. 40. A. M.). W. D. A. Zuſatz. §. 8. Ueberleget, was in der Rechen⸗Kunſt von der Erfindung der Glieder in einer geometriſchen Verhaͤltniß iſt ausgefuͤhret worden, ſo werdet ihr leicht beurtheilen koͤnnen, wie durch die Rechnung die Ge⸗ ſchwindigkeit in einer Circul⸗Bewegung zu beſtim⸗ men. Erfahrung. §. 9. Die Brfahrung beſtaͤtiget, daß die Roͤr⸗ per mit ihrer Maͤſſe rechtwincklicht gegen die Er⸗ de drucken, und zwar, daß der Druck um deſto groͤſ⸗ ſer, je groͤſſer die Maſſe des Koͤrpers iſt. Erklaͤrung. §. 10. Dieſer rechtwincklichte Druck des Koͤrpers gegen die Erde, wird die Schwere des Koͤrpers genen⸗ net. Das Druͤcken iſt eine Wuͤrckung der Krafft. Dieſes iſt die Urſache, warum man behauptet, daß die Schwere eine Krafft, wodurch die Koͤrper rechtwinck⸗ licht gegen die Erde druͤcken. I. Z U ſa 8. §. I1. Was demnach die Verhaͤltniß in dem recht⸗ wincklichten Druck der Koͤrper gegen die Enpe beſtim⸗ met, den nehinet an i liegen, und 1Köͤtperbent Wenn dieſss,, den Ranundbe digkeſtentiede n ſch Cde eotn.). lindi tendieſernnt nungen onde .5. 10,3M chen⸗Kulen r geommenſtn dwerdetiſll echnung deb⸗ gung r hſe deß die Bor⸗ vnduk, ndeo S. ck desin Korpeife⸗ oupre ke herntt e, Haupt⸗GGeſetzen der Mechanik uͤberhaupt. 439 met, das beſtimmet auch ihre Verhaͤltniß in Anſehung der Schwere (§. 9.). 2 Zuſatz. §. 12. Die Groͤſſe der Krafft, womit ein Koͤrper druͤcket, iſt gleich dem Facto aus der Maſſe des Koͤrpers in die Geſchwindigkeit, womit ein Koͤrper wuͤrcken wird, ſo bald der Widerſtand iſt gehoben worden (§. 48. Dyn.). Es iſt demnach leicht zu begreifen, unter welcher Beſtimmung aus der Verhaͤltniß der Schwe⸗ re verſchiedener Koͤrper die Groͤſſe der Maſſe eines Koͤrpers, oder die Vielheit der Dinge, welche den Koͤr⸗ per machen, zu erkennen (§. 11.). Anmerckung. §. 13. Hieraus erhellet, daß bey den Streitigkeiten von der Urſache der Schwere, das weſentliche der Schwere von der Wuͤrckung, wodurch wir die Schwere erkennen, zu unter⸗ ſcheiden. Jenes iſt die Maſſe der Koͤrper, ſiehe §. 13. Somatol.: Und dieſes iſt der rechtwincklichte Oruck der Koͤrper gegen die Erde. In dieſer Bedeutung werde ich in der Mathematik von der Schwere reden, weil es gewoͤhnlich iſt. Daß die Urſache von dieſer Wuͤrckung der Schwere in der Bewegung der Lufft zu finden, ſolches wird aus dem, was ich von der Schwere ausfuͤhren werde, leicht koͤnnen gefolgert werden. Wer dieſe Gedancken darum fuͤr ungegruͤndet haͤlt, weil ſelbſt die Lufft eine Schwere hat, der hat noch nicht Faͤhigkeit ge⸗ nug, Dinge in ihrem gantzen Zuſammenhange zu dencken. 5. Zuſatz. §. 14. Der Koͤrper druͤcket mit ſeiner Schwere rechtwincklicht gegen die Erde (§. 10.). Wenn dem⸗ nach die Erde eine Kugel, ſo kan man ſich die Schwere als eine Krafft gedencken, wodurch der Koͤrper gegen den Mittel⸗Punct der Erde druͤcket (§. 168. Geom.), Erklaͤrung. §. 15. Ein jeder Koͤrper nimmt einen gewiſſen Raum ein. Aus der Groͤſſe des Raums kan man die Ee 4 Groͤſſe 440 Der 1. Abſchnitt. Von den Groͤſſe der Schwere des Koͤrpers nicht beurtheilen. Man hat demnach die Urſache eine gedoppelte Groͤſſe bey den Koͤrpern zu unterſcheiden. Die Groͤſſe des Raums und die Groͤſſe der Schwere. Der Punct, durch welchen der Koͤrper in Anſehung des Raums Centrum in zwey gleich groſſe Theile getheilet wird, heiſt der magnitudi. Mittel⸗HPunct der Groͤſſe; und der Punct, durch trinn ta⸗ welchen ein Koͤrper in zwey gleichſchwere Theile ge⸗ uitatis. theilet wird, heiſt der Mittel⸗Punct der Schwere. Lehr⸗Sactz. Inuenire §. 16. Wenn ein Koͤrper durchaus gleich dichte crauiratis aus einerley Materie beſtehet, und einerley Breite eomertri- und Dicke behaͤlt: ſo kommt der Mittel⸗Punct der ge. Schwere mit dem Mittel⸗Punct der Groͤſſe uͤber⸗ ein. Beweiß. Unter dieſen Beſtimmungen wird man ohne Beweiß geſtehen, daß ein Koͤrper, wenn man deſſen Mittel⸗ Punct der Groͤſſe beſtimmet, auf beyden Seiten gleich⸗ viele Maſſe habe. Folglich kan der Koͤrper mit ſeiner eigenen Schwere auf der einen Seite nicht mehr als auf der andern Seite druͤcken. Und alſo iſt er auf bey⸗ den Seiten gleichſchwer (§. 10.), das iſt, der Mittel⸗ Punct der Groͤſſe kommt unter dieſen Beſtimmungen mit dem Mittel⸗Punct der Schwere uͤberein (§. 15.). Erklaͤrung. Linea dire- G. 17. Die Linie, nach welcher ſich ein Koͤrper bewe⸗ Kionis. gen wird, wenn der Widerſtand, ſo der Bewegung iſt geſetzet, iſt gehoben worden, heiſt die Directions⸗Linie. 1. Juſatz. §. 18. Die Directions⸗Linie von der Schwere der Koͤrper faͤllt auf die Flaͤche der Erd⸗Kugel perpendi⸗ culaͤr, und gehet durch deſſen Mittel⸗Punct (§. 14.). S Phutder 2. Su⸗ 2 Houpt . 19. Schvenet Vnoch nman die D per aus Obdeßg der Schen der, das wohnt ſt ſtande i 9. 20. cher einſed (leichveitn tizontalhin dieſcheinb⸗ 9.21. gnie eret der rdel deenche 100, 62 r uſe 11 berſcie ſnin) 1 kein 1 bennd ſubſt Haupt⸗Geſetzen der Mechanik uͤberhaupt. 441 beee 2. Juſatz. zti §. 19. Wenn man in einem Koͤrper den Mittel⸗ 4 Punct der Schwere beſtimmet, ſo iſt die Wuͤrckung der u Schwere auf beyden Seiten gleich (§F. 15.). Es wird ac denmnach mit hinreichendem Grund gehandelt, wenn man die Directions⸗Linie von der Schwere der Koͤr⸗ A . per aus dem Mittel⸗Punct der Schwere zienet. ſen Ob dieß genug ſey zu behaupten, in dem Mittel⸗Punct hmm der Schwere ſey die Schwere des Koͤrpers bey einan⸗ . “ der, das moͤgen diejenigen beurtheilen, die nicht ge⸗ 8 wohnt ſind allein ſinnlich, ſondernauch mit dem Ver⸗ 4— ſtande zu dencken. Ucr N Erklaͤrung. b 8. 20. Die Horizontal⸗Linie ſſt diejenige, in wel⸗ cher ein jeder Punci von dem Mittel⸗Punct der Erde Oleichweit weg iſt. Und die gerade Linie, welche die Ho⸗ i rizontal⸗Linie in einem gegebenen Punct beruͤhret, wird die ſcheinbare Horizontal⸗-⸗Ainie genennet. , 1. Juſatz. lger §. 21. Es erhellet demnach, daß die Horizontal⸗ 1 Linie eine Circul⸗Linie, welche aus dem Mittel⸗Punct e deer Erde beſchrieben wird (§. 16. Geom.). Folglich iſt nH die wahre Horizontal⸗Linie entweder in der Flaͤche der Erd⸗Kugel, oder ſie gehet mit derſelben parallel (§. 100. Geom.). §. 22. Die Sehne von einem kleinen Bogen eines groſſen Circuls iſt von dem Bogen unendlich klein un⸗ 4 terſchieden (§. 277. Geom.). Und alſo kan jene fuͤr die⸗ ſen in Anſehung der Groͤſſe ſubſtituiret werden (S. 146 A. M.). Woraus es klar, daß der Fehler unendlich klein, und alſo fuͤr nichts zu halten ſey §. 142. A. M.), “ wenn die ſcheinbare Horizontal⸗Linie fuͤr die wahre iſt ſubſtituiret worden. Ee § Lehr⸗ 442 Der 1. Abſchnitt. Von den Lehr⸗Satz. §. 23. Die Directions⸗-Kinie von der Schwere der Koͤrper ſtehet auf der ſcheinbaren Horizon⸗ tal⸗Linie perpendiculaͤr. Beweiß. Die Directions⸗Linie von der Schwere der Koͤr⸗ per gehet durch den Mittel⸗Punct der Erde (§. 18.), folglich iſt ein Theil von der Directions⸗Linie der Radius von der Erde, oder von der wahren Horizontal⸗ Linie (§. 21. Mech. und §. 20. Geom.). Die ſcheinbahre Horizontal⸗Linie iſt von der wahren Horizontal⸗Linie der Tangent (§. 20. Mech. 170. Geom.). Folglich macht die Directions⸗Linie von der Schwere der Koͤr⸗ per mit der ſcheinbaren Horizontal⸗Linie in dem Punct, wo ſie die wahre Horizontal⸗Linie beruͤhren, einen rechten Winckel (§. 171. Geom.). Indem nun dieſe Directions⸗Linie die wahre Horizontal⸗Linie beſtaͤndig beruͤhret (§. 18. 21.), und die ſcheinbare Horizontal⸗Linie fuͤr die wahre zu ſubſtituiren (§. 22.),/ ſo iſt es allgemein zu behaupten, daß ſie auf der ſchein⸗ baren Horizontal⸗Linie perpendiculaͤr ſtehet. W. Zuſatz. d. 24. Wer demnach die Direetions⸗Linie von der Schwere der Koͤrper ziehen will, der muß von dem Mittel⸗Punct der Schwere auf die! ſcheinbare Horizontal⸗Linie eine Perpendicul⸗Linie fallen laſſen (§. 19.234). -⸗ Erklaͤrung. §. 25. Der Ruhe⸗Punct heiſt in der Mechanik oti len derſenige Ort, auf welchem der Koͤrper lieget. Und die n gerade Linie, welche durch den Ruhe⸗Punct gehet, und auf die Horizontal⸗Linie perpendicular faͤllet, wird die Linie der Kuhe genennet. Zu⸗ 10 GSan ſiler, cber mß Cii⸗ Haupt⸗Geſetzen der Mechanik uͤberhaupt. 443 Zuſatz. 8. 26. Folglich gehet die Linie der Ruhe mit der Directions⸗Linie von der Schwere der Koͤrper pa⸗ rallel (§. 23. Mech. §. 146. Geom.). Lehr⸗Satz. §. 27. Wenn die Directions-Linie von der Schwere der KRoͤrper auf den Grund des Koͤrpers faͤllet, ſo kan der Koͤrper nicht fallen: ſo bald ſie aber auſſerhalb dieſen Grund verruͤckt wird, ſo muß er gegen die Seite fallen, wo die Directions⸗ Linie von dem Grunde ausweichet. Beweiß. Ein Koͤrper faͤllt nach der Directions⸗Linie ſeiner Schwere (§. 17.). Wenn demnach dieſe auf den Grund des Koͤrpers faͤllt, ſo iſt nicht moͤglich, daß der Koͤrper ſolte fallen koͤnnen. Faͤllt hingegen die Di⸗ rections⸗Linie auſſerhalb den Grund des Koͤrpers, ſo iſt nichts vorhanden, welches dem Druck des Koͤrpers nach den Mittel⸗Punct der Erden widerſtehen koͤnne, folglich muß der Koͤrper gegen die Seite, wo die Directions⸗Linie von dem Grund aus weichet, fallen. ... J uſatßz. §. 28. Laſſet demnach aus dem Mittel⸗Punct der Schwere eines Koͤrpers auf den ſcheinbaren Hori⸗ zont eine Perpendieul⸗Linie fallen. Faͤllet dieſe auf den Grund des Koͤrpers, ſo muß der Koͤrper feſte ſtehen/ wo nicht, ſo muß er fallen (§. 27. 24.). 2. Zuſa 87 §. 29. Je groͤſſer der Raum, wodurch ein Ding zu bewegen, deſto mehrere Muͤhe muß angewendet werden, dieſe Bewegung hervor zu bringen (§. 35*) 4 „ ge S S 44 Der 1. Abſchnitt. Von den 35. Dyn.). Je groͤſſer der Grund des Koͤrpers, deſto groͤſſer iſt der Raum, wodurch die Directions⸗Linie zu bewegen, ehe ſie auſſerhalb den Grund verruͤcket wird (§ 24.). Wenn demnach der Grund eines Koͤr⸗ pers groß iſt, ſo wird mehrere Muͤhe erfordert denſelben umzuwerffen, als wenn er auf einem kleinern Grund ſtehet. Anmerckung. K. 30. In den Fuͤrleſungen werde ich hieraus verſchiedene Stellungen des menſchlichen Leibes erklaͤren, und zeigen, wie ein Koͤrper, der fuͤr den Fall ſicher ſeyn ſoll, zu zeichnen. Erfahrung. F. 31. Die ſichrbaren Koͤrper fallen mit ihrer Schwere in einer zunehmenden Bewegung herunter. . Zu ſatz. §. 32. Kein Koͤrper, der in Bewegung geſetzet, kan ſeine Bewegung vermehren, als wenn er ven einem an⸗ dern Koͤrper nach der Direction, wohin er ſich beweget, iſt geſtoſſen worden (§. 56. 69. Dyn.). Ich habe dem⸗ nach Urſache zu behaupten, daß der Grund, warum die Bewegung eines Koͤrpers, der mit ſeiner Schwere her⸗ unter faͤllt, vermehret wird, in dem zu finden ſey, weil die umſtehende Lufft die ſichtbaren Koͤrper nach der Erde herunter ſtoͤßt. Das Wort Lufft wird hier in dem allgemeinen Verſtande genommen, daß es zugleich von dem ther kan gebraucht werden. Lehr⸗Satz. §. 33. Wird ein Koͤrper dergeſtalt aufgehaͤn⸗ t, daß die Linie, nach welcher er aufgehaͤnget, durch den Mittel⸗ Punct ſeiner Schwere gehet, oder wenn ein Koͤrper in dem Mittel⸗Punct ſeiner chwere unterſtuͤtzet wird; ſo kan er mit ſeiner chwere nicht herunter fallen. 2 , e⸗ Haupt⸗Geſetzen der Mechanik uͤberhaupt. 445 Beweiß. Es werde der Koͤrper BD dergeſtalt an der Linie AC aufgehaͤnget, daß dieſe durch den Mittel⸗Punct der Schwere C gehet. Soll nun dieſer Koͤrper mit ſeiner Schwere herunter fallen, ſo faͤllt er entweder nach der Linie F oder nach der Linie K oder nach der Linie H. Daß er nach F und K nicht fallen koͤnne, iſt leicht zu beweiſen. Denn da C der Mittel⸗Punet der Schhwere, ſo ſtoͤßt die umſtehende Lufft dieſen Koͤrper ſo ſtarck nach F als nach K (§S. 32. 15.). Und alſo iſt es nicht moͤglich, daß einer von dieſen Theilen ſol⸗ te koͤnnen gehoben werden (§. 56. Dyn.). Daß er nach H nicht fallen koͤnne, iſt daraus klar, weil ihm in dieſer Direction ein Widerſtand geſetzet worden (§. 54. Dyn.). Folglich iſt unter dieſen Umſtaͤnden auf kei⸗ ne Art moͤglich, daß ein Koͤrper mit ſeiner Schwere ſollte herunter fallen. W. Z. E. W. Anmerckung. F. 34. Aus dieſem Lehr⸗Satze iſt leicht zu begreiffen, wie der Mittel⸗Punct der Schwere bey einem Koͤrper mecha⸗ niſch zu beſtimmen. Siehe Leupold Part. I. Theatri ſtatiei vyniuerſalis p. 3. ſſ. Lehr⸗Satz. §. 35. Wenn die Linie der Ruhe durch den Mittel Punet der Schwere gehet, ſo kan ſich der KRoͤrper mit ſeiner Schwere nicht bewegen. Beweiß. Denn gehet die Linie der Ruhe durch den Mittel⸗ Punct der Schwere eines Koͤrpers, ſo iſt der Koͤrper in dem Mittel⸗Punct der Schwere entweder aufge⸗ haͤnget, oder unterſtuͤtzet worden (§. 25.), und alſo iſt es nicht moͤglich, daß er ſich unter dieſen Umſtaͤn⸗ den mit ſeiner Schwere bewegen ſollte (§. 33. 10.). Lehr⸗ Fab. 1. Fig. 4. 446 Der 1. Abſchnitt. Von den Haupt⸗Geſetzen 2c. §. 36. Wenn der Ruhe⸗Hunct und der Mittel⸗ Punet der Schwere eines Hoͤrpers in einer Linie/ ſo iſt der geringſte Stoß vermoͤgend den Koͤrper her⸗ unter zu werffen. Beweiß. Wenn der Ruhe⸗Punct und der Mittel⸗Punct der Schwere eines Koͤrpers in einer Linie, ſo kan der gering⸗ ſte Stoß verurſachen, daß die Directions⸗Linie des Koͤr⸗ pers auſſerhalb den Grund verruͤcket werde (§. 29.),. Wird die Directions⸗Linie des Koͤrpers auſſerhalb den Grund verruͤcket, ſo faͤllet der Koͤrper um (§. 27.). Und alſo iſt es klar, daß der geringſte Stoß vermoͤgend ſey den Koͤrper herunter zu werffen, wenn deſſen Ruhe⸗ Punet und Mittel⸗Punct der Schwere in einer Linie⸗ Zuſatz. §. 37. Soll demnach ein Koͤrper nicht durch den ge⸗ ringſten Stoß umgeworffen werden, ſo muß man ma⸗ chen, daß deſſen Ruhe⸗Punct eine Flaͤche werde. Anmerckung. F. 38. Verbindet dieſe Lehr⸗Saͤtze, ſo werdet ihr das Ba⸗ lanciren der Koͤrper erklaͤren koͤnnen. Der 2. Abſchnitt. Von den Mechaniſchen Inſtrumenten. Das 1. Capitel. BVon den Mechaniſchen Inſtrumenten uͤberhaupt. Erklaͤrung. J. 39. lle Dinge, bey welchen ſolche Eigenſchafften zu S finden, daß wir unſere Abſichten dadurch zu er⸗ —— — ʒ— Das 1. Cap. Von den Mechaniſchen c. 447 erhalten vermoͤgend, werden Inſtrumente genennet. Und dieſes beſtaͤtiget, daß mechaniſche Inſtrumente in ſolche Dinge, durch deren Gebrauch wir mit Vortheil eine Bewegung hervorbringen koͤnnen. Erklaͤrung. §. 40. Die erſte Art von mechaniſchen Inſtru⸗ectis gui in menten hat zur Abſicht, daß durch eine Circul⸗Be⸗ del hetera: woegung die Geſchwindigkeit in der Bewegung der homodro- Krafft ſoll vermehret werden (§. 4. fl.). Ein ſol⸗mus. ches Inſtrument iſt entweder um ſeinen Ruhe⸗ in Punct beweglich oder nicht. Iſt das letzte, ſo wird das I Inſtrument ein Hebel genennet, und zwar von der in erſten Art, wenn der Ruhe⸗ Punct zwiſchen der Laſt und Krafft, von der andern Art, wenn der Ruhe⸗Punct an dem einen Ende des Hebels. 3. E. in Tab. I. Fig. 5. iſt DE ein Hebel von der er⸗ ſen Art, denn A iſt die Laſt, B die Krafft und Cder uhe⸗Punct. Und Fig. 6. iſt DC ein Hebel von der mw andern Art, denn A iſt die Laſt, B die Krafft und Cder Ruhe⸗Punct. 8 Zuſatz. §. 41. Koͤnnen wir demnach in einem Inſtrumen⸗ te eine gerade Linie gedencken, in welcher drey Puncte zu unterſcheiden, in deren einem die Laſt, in dem zweyten die Krafft, und dem dritten der Ruhe⸗Punct, ſo haben wir in demſelben einen Hebel. 1 4 — Erklaͤrung. §. 42. Die Entfernung derLaſt oder Krafft von dem Ruhe⸗Punet des Inſtruments wird in der Mechanik ſchlechthin die Entfernung der Laſt oder die Entfer⸗ nung der Ktafft der Abſtand genennet. . Lehr⸗ Tab. I. Fig. 5. 448 Das 1. Capitel, Lehr⸗Satz. §. 43. Die Entfernung der Laſt oder der Kraft iſt eine gerade Linie, welche aus dem Ruhe⸗Hunct des Inſtruments auf die Directions-Linie der Laſt oder der Krafft perpendiculaͤr gezogen wird. Beweiß. Man wird ohne Beweiß geſtehen, daß die Entfer⸗ nung der Laſt durch die kuͤrtzeſte Linie zu beſtimmen, welche von dem Ruhe⸗Punct auf diejenige Linie ge⸗ zogen wird, wornach die Laſt wuͤrcket. Da nun die Laſt nach ihrer Directions⸗Linie wuͤrcket (§. 17.), und die kuͤrtzeſte Linie, welche von einem Punct nach einer geraden Linie gezogen wird, eine Perpendicul⸗ALnie, (§. 152. Geom.); ſo iſt klar, daß die Entfernung der Laſt eine gerade Lnie, welche aus dem Ruhe⸗Punct des Inſtruments auf die Directions⸗Linie der Laſt gezogen wird. W. D. E. Setzet fuͤr die Laſt die Krafft, ſo kan dieſer Lehr⸗ Satz in Anſehung der Krafft auf gleiche Art beſtaͤtiget werden. §. 44. Es ſey die Directions⸗Linie der Laſt DH, ſo iſt ihre Entfernung Cl. Da nun Cl kleiner als C0 (§S. 148. Geom.); ſo iſt es klar, daß ſo wohl die Laſt als auch die Krafft die groͤſte Entfernung habe, wenn ſie unter einem rechten Winckel an das Inſtrument appliciret werden. Erklaͤrung. §. 45. Wenn in einem Hebel von der erſten Art die Entfernung der Laſt gleich der Entfernung der Krafft, ſo heiſt er ein gleich⸗armiger Hebel, ſind aber dieſe Entfernungen ungleich, ein ungleichaemige⸗ ebel. Von den Mechaniſchen Inſtrumenten uͤberhaupt. 449 Zebel. Und in dieſem wird der groͤſte Theil der derhe Kopf, und der kuͤrtzeſte die Zunge genennet. Ein hehe. Hebel von der andern Art heiſt gleicharmig, wenn nen die Laſt oder die Krafft in der Mitte appliciret worden, n und ungleich⸗armig, wenn dieſe nicht in der Mitte appliciret. Erklaͤrung. di §. 46. Iſt das mechaniſche Inſtrument von der Aris in pe- beſan erſten Art um ſeinen Ruhe⸗Punct beweglich (§. 40.), rco igen, ſo heiſt es ein Rad. Dieſes iſt entweder an einer *t trochlea Da! Welle befeſtiget, mit welcher es herum beweget wird, oder es beweget ſich nur um ſeinen Mittel⸗Punct. ehs. Iſt das erſte, ſo heiſt es ein Rad an einer Axe, diel weil die Welle die Axe genennet wird, und iſt das ſnm zweyte, eine Kolle. Z. E. in Fig. 7. Tab. I. ſey OMNI- Puct eine Welle, ſo iſt SBKR ein Rad an der Axe. Und Ntgm in Fig. 8. ſey C der Mittel⸗Punct des Circuls, ſo iſt EFH eine Scheibe oder eine Rolle. Ger A eſtitigt 1. Zuſatz. §. 47. In dem Rade an einer Arxe iſt der Ruhe⸗Tab. I. Punct der Mittel⸗Punct von der Welle C(§. 25.). Fig. 7· CN Und wenn A die Laſt, ſo iſt CL. die Entfernung der nere Laſt. Wenn in B die Krafft, ſo iſt BCdie Entfernung an der Krafft, wenn in F die Krafft, ſo iſt ?C die Ent⸗ leten fernung der Krafft, und ſo weiter (§. 43. 24.). Es Gim hat demnach in dem Rade an einer Axe die Krafft die groͤſte Entfernung, wenn ihre Directions⸗Linie mit een Radio des Circuls einen rechten Winckel macht. 4 Aint 2. Juſa tz. fernnit 1 8S. 48. Es ſey in der Rolle, der Mittel⸗Punct, Tab. T. vel, ſMNn . um welchen ſich die Scheibe beweget, der Ruhe⸗Fig. 8. ihen Punct (§. 25˙,.). Wenn demnech A die Krafft undr 9 ie 4 50 Das 1. Capitel. die Laſt, ſo iſt CE die Entfernung der Krafft, und CG die Entfernung der Laſt (§. 43. 24.). Wird demnach bey der Rolle die Laſt und Krafft an der Peripherie alſo appliciret, daß ihre Directions⸗ Linie mit dem Radio des Circuls einen rechten Winckel machen, ſo ſind ihre Entfernungen gleich (§. 21. Geom.). Erklaͤrung. §. 49. Wenn ein Rad, welches beweget wird, in ein anders greiffet, um ſolches mit herum zu treiben, ſo heiſt dieſes, welches mit herumgetrieben wird, das Getrieb, und die Theile dieſes Rades, in welchen das andere eingreifft, werden die Trieb⸗Stecken ge⸗ nennet. Die Theile, womit ein Rad in das Getrieb greiffet, werden Zaͤhne genennet, wenn ſie auf der Peripherie des Rades perpendiculaͤr ſtehen, und Kaͤm⸗ me, wenn ſie auf der Seite der Peripherie des Rades eingeſetzet, und alſo mit der Welle des Rades parallel gehen. Wenn in einem Getrieb die Trieb⸗Stecken zwiſchen zwo Scheiben eingeſetzet, ſo heiſt man das Getrieb einen Trilling, ingleichen eine Laterne: ſind aber die Trieb⸗Stecken in der Well angemacht, ſo nennet man dergleichen Getrieb einen Kumpf. Ein Rad, welches mit Kaͤmmen verſehen, heiſt ein KRamm⸗ Rad, und wenn es Zaͤhne hat, ein Stern⸗Rad. Z. E. Tab. I. Fig. 9. iſt CDFE ein Trilling, Pig. 11. ein Kumpff, Fig. 9. Hlein Kamm⸗Rad, und Fig. 10. ein Stern⸗Rad. 1. Zuſatz. §. F0. In einem Getriebe muͤſſen die Trieb⸗Ste⸗ cken alſo eingeſetzet werden, daß ſie zwiſchen die Zaͤhne oder Kaͤmme des Rades, ſo darin greiffet, wohl paſſen. Siehe Leupold in Iheactro Machinarum generali Cap. V. K. 36. fl. 2. Zu⸗ . enttd Odere Raltiu hale mung mere . Vedopr Mit ein pherie ſchen, Undm mider et. D nn Unddeg ſeynen. Von den mechaniſchen Inſtrumenten uͤberhaupt. 4 51 det Huft 2. Juſatz. 8. 43 u) §. § 1. In einem Stern⸗Rade werden die Zaͤhne e entweder in der Peripherie des Rades eingeſchnitten, Gten Vrt oder auf derſelben geſetzet. Im erſten Falle wird der ee ARadius des Rades verkleinert, und in dem zweyten ſechen Falle vergroͤſſert. Dieſes iſt deinnach bey der Beſtim⸗ mung der Entfernung der Laſt und der Krafft wohl zu mercken (§. 47.). eege wi E . unfetutte RZ £ X klaͤ ru ng⸗ en hinis §. 52. Eine Laſt kan vermitterſt einer Rolle auf eine „ ne gedoppelte Art beweget werden. Sie wird enweder Strind mit einem um die Rolle gezogenen Seile an der Peri⸗ ſdas En pherie der Rolle hmauf gezosen, wie Fig. 8. Tab. L. zu nſe a ſehen, oder ſie wird in der Mute der Rolle befeſtiget, 8 Undzt und mit einem um die Rolle gezogenen Stricke zugleich 1t Neg mit der Rolle hinauf gezogen, Wwie Fig. 12. Tab. II. zei⸗ Puazmn get. Damit dieſe beyde Arten der Rohen zu unterſchei⸗ tus den, ſo werde ich die Rollen von der erſten Art die obern, nn ⸗ und die Rolln von der andern Art die untern Rollen erſe: ſe nennen. Goboch 1. Ju ſatz. 1 ate §. 53. In den Rollen von der erſten Art iſt die Ent⸗ ne fernung der Laſt gleich der Entfernung der Krafft in 2. Zu ſatz. §. 5§4. In den Rollen von der andern Art iſt die Tab. II. Entfernung der Laſt die Helffte von der Entfernung Fig. 12. der Krafft. Denn da der Ruhe⸗Punct H (§. 25.), die die 90 Laſt Pund die Krafft V ſo iſt die Entfernung der Laſt hetih⸗ = AC, und die Entfernung der Krafft = AB (§. 42.). ſe,Neſit Da nun AC=1 AB (S. 21. Geom.), ſo iſt die Ent⸗ ſ ret0l fernung der Laſt die Helffte von der Entfernung der 5 Krafft. . 2,5 Ff 2 Er⸗ Polyſpa- ſtus. 452 Das 1. Capitel. Erklaͤrung. §. 55. Das Gehaͤuſe, in welchem eine Rolle mit ihrem Poltzen, um welchen ſie ſich beweget, eingeſe⸗ tzet, wird eine Flaſche oder Kloben genennet. Das Inſtrument, welches aus oberen und unteren Rollen, welche in ihren Flaſchen befeſtiget zuſammengeſetzet, heiſt ein Flaſchen Zug. Z. E. Tab. II. Fig. 12. iſt H eine Flaſche, und Fig. 13. ein Flaſchen⸗ ug. Zuſatz. §. 56. Will man demnach in einem Flaſchen⸗Zug die Entfernung der Laſt und Krafft beſtimmen, ſo muß man die obern und untern Rollen mit einander ver⸗ gleichen. Erklaͤrung. d. 57. Die andere Art von mechaniſchen Inſtru⸗ menten, ſiehe §. 40. hat zur Abſicht, daß eine verlangte Bewegung durch Dinge von einem geringern Wer⸗ the koͤnne bewerckſtelliget werden, wozu ordentlich Dinge von einem groͤſſeren Werth erſorderlich (§.2.). planum in-Unter dieſe Art von mechaniſchen Inſirumenten iſt dinatum. fuͤrnemlich die ſchiefliegende Slaͤche zu betrachten. Tab. II. Fig. 14 Es iſt aber eine ſchiefliegende Flaͤche, eine Flaͤche, welche mit der Horizontal⸗Linie einen ſchiefen Win⸗ ckel macht. Siehe Tab. II. Fig. 14. Es koͤnnen dem⸗ nach bey einer ſchiefliegenden Flache drey Linien unter⸗ ſchieden werden, als AC, welche die Grund/Linie, BC, welche die Laͤnge der Flaͤche und An, welche die Soͤhe der Flaͤche, ſo auch ſchlechthin die Perpendicul⸗ Linie genennet wird. Zuſatz. §. §58. Es ſeyl die Krafft und D die Laſt, ſo iſt KD die Directions⸗Linie der Krafft, und DH die Directi⸗ ons⸗ nden tn N KLoie Punctl undrd .6. Chünderh Wann die befundlich Schtalbe in der oe Dennefſron e ſfuten Punneftte Ging. ſ co. Gaͤnge haunngen itele . 61. tenden eil. .6n. us de Uffole ne Rolti get, einnt⸗ eunct O rer Peng megſee Figu ſr ſoſchen men/ /* inqndern , Gllli Wor Wertle che nentnf benr ne efenc DAnlhe gicnnn 6dCN ltedi ed W ſeD 6 n den mechaniſchen Inſtrumenten uͤberhaupt. 4 53 ons⸗Linie der Laſt (§. 17.). Da nun E der Ruhe⸗ Punct (§. 25.), ſo iſt DE die Entfernung der Kraft, und Eß die Entfernung der Laſt (§. 43.). . Erklaͤrung. d. 59. Wenn die ſchiefliegende Flaͤche um einen Cochlea! Cylinder herumgewunden, ſo heiſt ſie eine Schraube. Mas et fae- Wenn dieſe Gewinde an der Peripherie des Cylinders na. befindlich, ſo heiſt man ſelbige ſchlechterdins eine Schraube, und den Cylinder die Spindel, ſind ſie aber in der hohlen Flaͤche eines ausgehoͤhlten Cylinders, ſo nennet man ſie die Schrauben⸗Mutter. Wenn die ſchiefliegende Flaͤche einmahl um den Cylinder herumgefuͤhret, ſo nennet man es den Schrauben⸗ Gang. Zuſatz. §. 60. Es hat demnach eine Schraube ſo viele Gaͤnge, wie vielmahl die Flaͤche um den Cylinder herumgewunden. Und die Hoͤhe der ſchiefliegenden dliche Eeſtimmtet die Weite der Schrauben, Gaͤnge Erklaͤrung. . 61. Ein ſpitzer Koͤrper, der aus zwo ſchief⸗ Cuneus. lenenden Flaͤchen zuſammen geſetzet, heiſt ein eil. Zuſatz. d. 62. Und alſo kan die Beſchaffenheit eines Keils, aus der Beſchaffenheit der ſchiefliegenden Flaͤche gefolgert werden. Ff 5 Das 45˙4 Das 2. Capitel. Das 2. Capitel. Von dem Hebe l. Lehr⸗Satz. K. 63. Lex funda- Bann an einem Sebel, der ohne Schwere mentall Wgedacht wird, zwey Koͤrper angehaͤnget ces werden, welche ſich in Anſehung der Schwere umgekehrt verhalten, wie ihre Entfernungen von dem Ruhe⸗Hunct, ſo halten dieſe Koͤrper einander die Waage. Beweiß. Tab. J. Nehmet in dem Hebel von der erſten Art den Ruhe⸗ Fig. . Punct in C, ſo daß DC: CE=I: 2. Haͤnget in D und E zwey Koͤrper A und B, ſo daß die Schwere oder die Maſſe des Koͤrpers B, zur Maſſe des Koͤr⸗ pers A wie 1:2, ſo verhalten ſich dieſe Koͤrper Bund A in Anſehung ihrer Schwere oder Maſſe umgekehrt wie ihre Entfernungen von dem Ruhe⸗Punct (§S. 40. A. M.). Da ſich nun die Geſchwindigkeit des Koͤr⸗ pers B zur Geſchwindigkeit des Koͤrpers A verhaͤlt, wie CE zu CD (§S. 7.); ſo verhaͤlt ſich die Maſſe des Koͤrpers B zur Maſſe des Koͤrpers A wie die Geſchwin⸗ digkeit von A zur Geſchwindigkeit von B (§. 40. A. M.), und alſo iſt das Factum aus der Maſſe des Koͤrpers B in ſeine Geſchwindigkeit gleich dem Facto aus der Maſſe des Koͤrpers A in ſeine Geſchwindigkeit (§. 130. A. M.). Hieraus iſt klar, daß dieſe Koͤrper gleich ſtarck drucken (§. 63. Dyn.), und folglich einander die Waage halten (§S. 34. Dyn.). W. D. E. Tab. J. Dieſer Lehr⸗Satz kan in Anſehung des He⸗ Fig. 6. bels von der andern Art auf gleiche Art erwieſen werden. . . 1. An⸗ 14 Usrecht lid als Verms Schwe den en Von dem Hebel. 4 55 1. Anmerckung. §. 64. Wenn man das Vermoͤgen eines Hebels . ausrechnen will, ſo muß man den Hebel erſt ohne, und alsdenn mit ſeiner Schwere betrachten. Wie das Vermoͤgen des Hebels, wenn man zugleich auf ſeine Schwere ſiehet, zu beſtimmen, ſolches will ich im folgen⸗ chn den erklaͤren. . 2DW— e 2. Anmerckung. Unte §. 65. Dieſes mechaniſche Fundamental⸗Geſetze Tab. II. fere kan auf folgende Art durch die Erfahrung beſtaͤtiget Fig. 15. werden. 1) Laſſet euch von dem Tiſcher einen viereckichten prismati⸗ ſchen Stab abſtoſſen, welcher durchaus gleichdichte, und 6 aus einerley Materie beſtehet, dieſen theilet in zween gleiche N Theile Ab, und leget ihn in der Mitte Cauf die Schaͤrffe n eines dreyeckichten Priſmatis, ſo werdet ihr finden, daß er darauf waagerecht liegen bleibet. 2) Laſſet euch einen andern prismatiſchen Stab von Mc gleicher Art abſtoſſen, und theilet denſelben in drey gleiche 9 Theile. DE. Ingleichen drey andere Staͤbe von gleicher 6 Art, von welchen ein jeder gleich einem Theil des Stabes DE. 140 Leget dieſen Stab DE in dem zweyten Theil F auf die N Sſchaͤrffe eines dreyeckichten Prismatis, und auf den Theil PE e leget die andern drey Staͤbe, ſozwerden auch dieſe mit den beyden Theilen DF die Waage halen. te⸗ 3) Nehmet ferner einen Stab von der vorigen Art, ſe und theilet denſelben in vier gleiche Theile OHI, und acht kleine Staͤbe von gleicher Art, von welchen ein jeder gleich NO einem Theil von CH. Leget den Stab OHin dem Ende des 4 dritten Theils auf die Schaͤrffe eines dreyeckichten Prismatis, und die acht kleinen Stabe auf den vierten Theil IH, ſo wer⸗ 4 den auch dieſe mit den drey Theilen GI des Stabes CH die Waage halten. Und ſo weiter. N Da nun in dieſer Erfahrung die Koͤrper, welche einander die Waage halten, in Anſehung der Schwere in einer umge⸗ kehrten Verhaͤltniß der Entfernungen von dem Ruhe⸗Hunck; 6 ſo beſtaͤtiget auch die Erfahrung, welche Jungnickel in ſeinem⸗ Schluͤſſel zur Mechanik angegeben, das zuvor bewieſene mecha⸗ niſche Geſetze. R „476 Das 2. Capitel. z3. Anmerckung. §. 66. Leupold hat eine allgemeine Waage angege⸗ ben, die Eigenſchafften der Hebel durch die Erfahrung zu beſtimmen. Wovon ſein Theatrum machinarum gene- rale p. rII. ſl. umſtaͤndlich zu leſen. 1. Zuſatz. N Tab. I. §. 67. Es ſey das Gewicht B, welches mit A die Pig. 5. Waage haͤlt, gleich A, ſo iſt auch die Entfernung DC= CE (§. P. ), folglich iſt DE ein gleicharmiger Hebel (§. 45.). 2 Juſatz. §. 68. Wenn das Gewicht 4, welches mit B die Waage halt, groͤſſer iſt als B, ſo iſt die Entfernung CE groͤſſer als DC (§S. 63.), folglich iſt DE ein ungleichar⸗ miger Hebel (§. 45.). 3. Juſatz. §. 69. Und alſo iſt leicht zu begreiffen, wie ſo wohl durch den ungleicharmigen als auch durch den gleichar⸗ migen Hebel von der erſten Art, die Schwere der Koͤr⸗ per zu finden (§. 11.). Anmerckung. §. 70. Die Hebel, welche wir gebrauchen, ſie moͤgen aus Eiſen, Stahl, Meßing, Holtz, oder einer andern Materie, welche ſich nach Proportion der Laſt nicht bieget, oder bricht, beſtehen, haben ihre eigene Schwere. Es muß alſo diejenige Krafft, welche durch einen ſolchen Hebel eine Laſt im waage⸗ rechten Stand erhalten ſoll, zugleich den Hebel halten. Will man demnach das Vermoͤgen eines gegebenen Hebels aus⸗ rechnen, ſo muß man ſuchen: 1) Die Krafft, welche den gegebenen Hebel unter ge⸗ ſetzten Umſtaͤnden die Waage halten kan. 2) Die Krafft, welche unter geſetzten Bedingungen die gegebene Laſt waagerecht zu halten vermoͤgend. S. — — — — — 3) Wenn Von dem Hebel. 457 3) Wenn man dieſe beyden Kraͤffte addiret, ſo iſt die Summe diejenige Krafft, welche durch den gegebenen He⸗ ein⸗ bel die gegebene Laſt unter geſetzten Umſtaͤnden waagerecht Effthen zu halten vermoͤgend (F. 34. Dyn.). urunge Aufgabe. §. 71. Es wird der Hebel von der erſten Art und die Laſt gegeben, man ſoll die Krafft finden, welche Ivermoͤgend durch den gegebenen Hebel die Laſt ni waagerecht zu halten, das ĩſt, die todte Krafft. jungN⸗ . . . Aufloͤ ſun g.· Tab. I. 1) Den Ruhe⸗Punct des Hebels nehmt nach Pig. 5. Gefallen an. Z. E. in C. 2) Suchet die Schwere des Hebels (§. 69.), und tmitt den Mittel⸗Punct ſeiner Schwere (§. 34. 16.). WWZM 3) Weil, wenn der Mittel⸗Punct der Schwere be⸗ nglechn ſtimmet, der Koͤrper auf allen Seiten mit ſeiner Schwe⸗ . re gleich wuͤrcket, ſo nehmet an, als wenn in dem Mittel⸗ Punct der Schwere des Hebels eine Krafft zu finden, welche der Schwere des Hebels gleich, und alsdenn ſu⸗ tußt chet die Laſt, welche dieſen Hebel im waagerechten eichat⸗ Stande erhalten kan (§. 63.). Kon 4) Dieſe Laſt ſubtrahiret von der gegebenen, und ſuchet alsdenn die Krafft, welche durch dieſen Hebel un⸗ ter geſetzten Beſtimmungen die Differentz der Laſt waagerecht zu halten vermoͤgend (§. 63.) z ſo habt „ir die Krafft, welche iſt verlanget worden, gefunden (§.87. A. M.). Ndrki⸗ Au fg abe. ſodiene §F. 72. Es wird ein Hebel von der erſten Art und imtede 5 ii die Arafft gegeben, ihr ſollt die Laſt finden, welche um die gegebene Krafft durch den Hebel waagerecht halten fan. . u Aufloͤſung. rgene 1) Nehmet wie zuvor nach Gefallen den Ruhe⸗ Tab. I. Punct an, z. E. in C. lig. 5. „ Ff 5 2) Als⸗ 458 Das 2. Capitel. 2) Alsdenn ſuchet wie zuvor die Laſt, welche der ge⸗ gebene Hebel mit ſeiner Schwere waagerecht zu halten vermoͤgend. 3) Suchet die aſt, welche die gegebene Krafft durch den beſtimmten Hebel, wenn er keine Schwere haͤtte, waagerecht zu halten vermoͤgend (§. 6 3.). . ) Dieſelaſt addiret zu derLaſt, welche ihr nach der zweyten Regel gefunden, ſo iſt die Summe die verlang⸗ te Laſt (§. 8. A. M. ). Aufgabe. 3. Es wird gegeben die Laſt, die Krafft und der Hebel von der erſten Art, ihr ſollt den Kuhe⸗ Punct finden, auf welchem der Hebel zu legen, wenn die gegebene Krafft die beſtimmte Laſt waa⸗ gerecht erhalten oll. Aufloſung. Tab. II. Aus dem vorhergehenden erhellet, daß ihr anfaͤng⸗ Pig. 16. lich den Ruhe⸗Punct,in welchem die Krafft den gegebe⸗ nen Hebel, und alsdenn den Ruhe⸗Punct, in welchem die Krafft, die Laſt durch den gegebenen Hebel waage⸗ recht zu erhalten vermoͤgend, ſuchen muͤſſet. Dieſes zu i bewerckſtelligen, ſo ſuchet 1) Die Schwere des gegebenen Hebels (§. 69.), und deſſen Mittel⸗Punct der Schwere V. (§. 34. 16.). 2) Aus zuvor angefuͤhrten Urſachen nehmet an, als x. wenn in dem Mittel⸗Punct der Schwere des Hebels V. eine Laſt gehaͤnget, welche der Schwere des Hebels gleich,und ſuchet den Ruhe⸗Punct, auf welchem die ge⸗ gebene Krafft dieſen Hebel waagerecht zu halten vermoͤ⸗ gend, welcher durch folgende Regel zu finden: Wie ſich die Summe der Krafft und der Schwere des Hebels, zu der Schwere des Hebels verhaͤlt, ſo verhaͤlt ſich die Summe der Entfernungen der Krafft und der Schwere des Hebels VB, zur Eutfer⸗ nung der gegebenen Krafft (§. 63. Mech., und pag. 169. II. 2. Rech.). 3) Dieſe ſelchedeu chtirton egreſſtlr chonehet 9 eihrnacht eete . eNraft den N el zule te Cſe Ermntt ſengaen in welher Hel wonh Diocs 1t Gen⸗ chnin enaf⸗ e e elchent halten d te sud rnft i lit⸗ „ Von dem Hebel. 4⁵9 3) Dieſe vierte Proportional⸗Zahl ſubtrahiret von dem gegebenen Hebel AE, ſo findet ihr AZ, und iſt alſo Z der Ruhe⸗Punct, auf welchem die gegebene Krafft den Hebel waagerecht erhalten kan (§. 63.). 4) Weil nun dieſes, ſo nehmet ferner an, als wenn in Z eine Laſt gehaͤnget, welche gleich der gegebenen Krafft und der Schwere des Hebels, ſo koͤnnet ihr wie vorhin die Linie Cz und folglich den verlangten Punct Cfinden, wenn ihr ſprechet: Wie die Summe der Krafft der Schwere des He⸗ bels und der gegebenen ſt, zu der gegebenen Laſt; ſo verhaͤlt ſich die Summe der Entfernungen dieſer Groͤſſen ZA, zur Entfernung der Summe der Krafft und der Schwere des Hebels ZC. 1. Anmerckung. §. 74. Der Grund, wodurch die Aufgaben von dem Hebel der erſten Art aufgeloͤſet worden, iſt auch von dem Hebel der andern Art erwieſen (H. 63.). Hieraus folget, daß die Aufga⸗ ben von dem Hebel der andern Art auf gleiche Weiſe, wie bey dem Hebel von der erſten Art aufzuloͤſen. 2. Anmerckung. §H. 75. Damit die Berechnung der Hebel Anfaͤngern deutlicher werde, ſo will ſolche bey einigen zuſammengeſetzten Hebeln erklaͤren. Es iſt Fig. 17. Tab. II. ein zuſammengeſetzter Hebel, und zwar CE ein Hebel von der andern, und PHein Hebel von der erſten Art. Haͤnget in D, nemlich in der Mitten des Hebels EC, eine Laſt von 12. Pfund; da nun in Cder Ru⸗ heunct. brauche ihr in E eine Krafft don 6. Pfund die Laft agagerecht zu halten, wenn nicht noͤthig auf die ere des Hebels zu ſehen. Di igſte Geher Hebel durchaus gleichdichte aus einerley Materie beſtehet, und alſo:geleget wird, daß er ſich ſelbſt die Waage zu halten vermoͤgend (§. 74. 71.). Es iſt alſo in H eine Laſt von 6. Pfun⸗ den; da nun F& — CIH, und Gder Ru he⸗Punct, ſo muß auch in H eine Krafft von 6 Pfunden gehaͤnget werden, wenn ſie die Laſt A in D waagerecht erhalten ſoll. Tab- II. Fig. 17. eſes aber iſt nicht noͤthig, wenn der 3. An⸗ Tab. II. Fig. 18. Tab. II. Fig. 19. Tab. II. Fig. 20. 460 Das 2. Capitel. z. Anmerckung. §. 76. In Fig. I18. Tab. II. ſind vier Hebel zuſammenge⸗ ſetzet, unter welchen Ab und MK Hebel von der erſten Art, D uud 16 gleicharmige Hebel von der andern Art. Haͤnget demnach in b eine Laſt von 12. Pfunden, ſo wer⸗ det ihr wie zuvor durch die Rechnung finden koͤnnen, daß in M eine Krafft von 3. Pfunden zzu haͤngen, wenn ſie die gege⸗ bene Laſt in E waagerecht erhalten ſoll. . Lehr⸗Satz. §. 77. Wenn die Krafft durch Huͤlffe des Ge⸗ bels die Laſt in die oͤhe hebet, ſo verhaͤlt ſich der Raum, den die Krafft durchlaͤufft, zu dem Raum, durch welchen die Laſt beweget worden, wie die Laſt zur tod ten Krafft, das iſt, zur Krafft, welche die Laſt durch den Gebel waagerecht zu halten ver⸗ moͤgend iſt. Beweiß. Es hebe die Krafft in L die Laſt in H durch den Raum HN, ſo beſchreibet die Krafft den Raum LM. Folglich verhaͤlt ſich der Raum, welchen die Laſt beſchreibet, zu dem Raum, welchen die Krafft heſchreibet, wie der Bogen HN zu LM. Indem nun der Bogen HN ſo viele Grade hat als der Bogen LM (§. 108. 117. Geom.), ſo verhaͤtt ſich HN zu LM = NO: MR (S§. 181. 183. Geom.), und NO verhaͤlt ſich zu M = HI zu LI (S. 212. Geom.). Da ſich nun HI zu Ll verhaͤlt, wie die todte Krafft zur Laſt (§. 63.), ſo muß ſich auch der Raum, welchen die Laſt beſchreibet, zu dem Raum, welchen die Krafft beſchreibet, wie die todte Krafft zur Laſt verhalten. W. D. E. Auf gleiche Art kan dieſer Lehr⸗Satz von dem Hebel der andern Art erwieſen werden, wenn in H dieLaſt, und in Ldie Krafft, welche durch die Bewegung die Raͤume NH und ML. beſchrieben. W. D. A. . . 1. 5U⸗ uſunnte I don N 1 derenen nden or nnentei lſeligg ſe dest⸗ ltſch n Ban „wil t, ltnn N NMu. en de Kaf Jode Nee f Ge t iR h rl N 19 Von dem Hebel. 461 1. Juſatz. §. 78. Wird eineLaſt durch Huͤlffe eines Hebels von der Krafft beweget, ſo beſtaͤtiget zugleich der Beweiß, womit der vorige Lehr⸗Satz iſt befeſtiget worden, daß ſich die Hoͤhe NO/wodurch ſich die Laſt beweget, zu der Hoͤhe MkR, in welcher die RKrafft herunter ſteiget, verhalte, wie die todte Krafft zur Laſt. 2. Fuſatz. §. 79. Und hieraus erheller, daß ſo viel Krafft er⸗ fordert wird, 3. Pfund durch 1. Schuh, als 1. Pfund durch 3. Schuh in gleicher Zeit zu bewegen. Anmerckung §. 80. Dieſer Satz kan auch auf folgende Art erwieſen werden. Wenn ſich ein Koͤrper gleichfoͤrmig beweget, ſo iſt die Gröſſe ſeiner bewegenden Krafft gleich dem Pacto aus der Schwere des Koͤrpers in die Geſchwindigkeit, womit ſich der Koörper beweget (F. 48. Dyn. und §. 13.). Die Krafft, welche einen Koͤrper in Bewegung ſetzen ſoll, muß der Wuͤrckung gleich ſeyn (9. 34. Dyn.), folglich muß auch die Krafft, welche einen Koͤrper in Bewegung ſetzen ſoll, gleich ſeyn dem Facto aus der Schwere des zubewegenden Koͤrpers in die Geſchwin⸗ digkeit der zu erfolgenden Bewegung. Wenn ſich zwey Dinge in gleicher Zeit bewegen, ſo verhalten ſich ihre Geſchwindigkei⸗ ten zu einander, wie die Raͤume, welche ſie durch ihre Bewe⸗ gung beſchreiben (§. 18. Dyn.). Folglich kan man die Ver⸗ haͤltniß der bewegenden Kraͤffte zweyer Koͤrper, welche ſich in gleicher Zeit beweget, durch die Verhaͤltniß ihrer Schwere zu den beſchriebenen Raͤumen beſtimmen. Wenn ſich demnach ein Koͤrper, der 3. Pfund ſchwer, in der Zeit durch einen Raum, der 1. Schuh groß, in welcher ſich ein Koͤrper, der 1. Pfund ſchwer, durch einen Raum von 3. Schuh beweget, ſo muͤſſen die bewegenden Kraͤffte dieſer Koͤrper gleich ſeyn. 3. Zuſatz. §. 81. Wenn ſich zwey Koͤrper in gleicher Zeit gleichfoͤrmig bewegen, ſo verhalten ſich ihre Ge⸗ . ſchwin⸗ 462 Das 2. Capitel. ſchwindigkeiten, wie die Raͤume, welche die Koͤrper durch ihre Bewegung beſchreiben (§. 18. Dyn.). Wird eineLaſt durch Huͤlffe eines Hebels von einer Krafft ge⸗ hoben, ſo verhaͤlt ſich der Raum, den die Krafft durch⸗ laͤufft, zu dem Raum, durch welchen die Laſt beweget worden, wie die Laſt zur todten Krafft (§ 77.). Folg⸗ lich verhaͤlt ſich auch die Geſchwindigkeit, mit welcher ſich die Krafft beweget, zu der Geſchwindigkeit, mit wel⸗ cher die Laſt beweget wird, wie die Laſt zu der todten Krafft. Anmerckung. H. 82. Wenn ihr dieſes uͤberleget, ſo werdet ihr leicht be⸗ greiffen koͤnnen, wie durch ungleicharmige Hebel die Ge⸗ ſchwindigkeit in der Bewegung zu vermehren und zu ver⸗ mindern. Erklaͤrung. §. 83. In ſo weit ſtehet ein Koͤrper horizontal, in wieweit er mit der Horizontal⸗Linie parallel iſt. Ein Inſtrument, wodurch man es erſehen kan, ob ein Koͤrper horizontal ſtehet, heiſt eine Waage. Erklaͤrung. §. 84. Den Unterſcheid in den Entfernungen ver⸗ ſchiedener Oerter von der wahren Horizontal⸗Linie ſuchen, heiſt nivelliren oder Waſſerwaͤgen. Zuſatz. §. 85. Wir finden den Unterſcheid in den Entfer⸗ nungen verſchiedener Oerter von einer angenommenen Linie, wenn wir den Unterſcheid dieſer Entfernungen von einer andern Linie, welche mit jener parallel laͤufft, ſuchen (§. 94. A. M. §. 22. Geom.,). Wollet ihr dem⸗ nach eine Gegend abwaͤgen, ſo ſuchet H 1) eine Linie, welche mit der unſichtbaren Horizon⸗ tal⸗Linie parallel gehet. 2) ſuchet den Unterſcheid in den Entfernungen der gegebenen Oerter von der gezogenen Parallel⸗Linie Er⸗ ſie Kpe 1) Wn Kueftn hftdunte heonet .) r t ni tmitte er e or ſ Ntytt Von dem Hebel. 463 Erklaͤrung. §. 86. Das Inſtrument, durch deſſen Huͤlffe eine Parallel⸗Lmie mit der unſichtbahren Horizontal⸗Linie zu finden, wird eine Waſſer Wage genennet. Andere nennen es eine Horizontal⸗Waage, eine Setz⸗MWas⸗ ge, eine Bley⸗Waage. . Aufgabe. §. 87. Tine Waſſer Waage zu verfertigen. Aufloͤſung. 1) Laſſet einen Stab Aß auf beyden Seiten gerade - bſtoſſen. 2) An dieſem Stabe befeſtiget rechtwincklicht eine Flaͤche z. E. ECF, und theilet dieſe durch eine Linie CG in zwey gleiche Theile. 3) In C befeſtiget einen Faden, an welchem in D eine Bley⸗Kugel gehaͤnget, welche mit ihrer Schwere den Faden gerade ziehet. Wenn dieſes Inſtrument alſo geſetzet wird, daß der Faden C auf die Linie CG faͤllt, ſo gehet 5B mit der Horizontal-Linie parallel. Folglich iſt das Inſtrument ACB eine Waſſer⸗Waage (§. 86.). Beweiß. Die Kugel D druͤcket mit ihrer Schwere, und alſo ſtehet die Linie Ch auf der ſcheinbaren Horizontal⸗ Linie perpendiculaͤr (§. 23.). Faͤllt die kinie C auf CG, ſo iſt auch in O ein rechter Winckel. Da nun AB eine geradeinie; ſo hat unter dieſen Beſtimmungen AB eine ſolche Lage zu der ſcheinbaren Horizontal⸗Linie, daß alle gerade Linien, welche auf der ſcheinbahren Horizon⸗ tal⸗Linie rechte Winckel machen, auch auf AB perpen⸗ diculaͤr ſtehen. Folglich gehet die Linie AB mit der ſchein⸗ baren Horizontal⸗Linie parallel (§. 144. Geom.). Die ſcheinbare Horizontal⸗Linie kan fuͤr die wahre ſubſtituret werden (§. 22.). Und alſo muß man es ge⸗ Tab. II. Fig. 21. 464 Das 2. Capitel. geſtehen, daß die Linie AB auch mit der wahren Horizon⸗ tal⸗Linie parallel gehet. Welches hinreichend beſtaͤtiget, daß das angegebene Inſtrument eine Waſſer⸗Wagge (§. 86.). W. Z. E. W. 1. Anmerckung. F. 88. Uberleget das weſentliche de peſchriebenen In⸗ ſtruments, ſo werdet ihr leicht beurtheilen koͤnnen, daß dieſes in Anſehung der Figur auf verſchiedene Art zu veraͤndern. Siehe Sturms Anweiſung zu dem ”Nivellixen und Leupolds Tractat von neuen Waſſer und Horizontal⸗Waagen. 2. Anmerckung. §. 89. Wie durch Huͤlffe eines ſolchen Juſtruments gantze Gegenden abzuwaͤgen, ſolches iſt aus dem §. 85. unmittelbar zu begreiffen. In den Fuͤrleſungen will ich alle Hand⸗Griffe zeigen. Mit mehrerem iſt hievon zu leſen Sturm in der ange⸗ fuͤhrten Anweiſung zu dem Nivelliren, und Leupold im Theatro Statico Pert. IV. §. F5. ſj. Erk laͤrung. §. 90. Wenn zwey Koͤrper einen Hebel waagerecht erhalten ſo ſind ihre Schweren in einer verkehrten Ver⸗ haͤltniß der Entfernungen von dem Ruhe⸗Punct, wenn nemlich die Wurckung von der Schwere des Hebels be⸗ ſonders iſt beſtimmet worden (§. 64. 69.). Es kan dem⸗ nach durch Huͤlffe der Hebel eine Waage verfertiget werden, durch welche das Verhalten der Schwere ver⸗ ſchiedener Koͤrper zu beſtimmen (§. 83.). Dieſe wollen wir, um ſolche von andern Waagen zuunterſcheiden, eine mechaniſche Waage nennen. Er klaͤr ung. §. 91. Mechaniſche Waagen werden entweder aus einem Hebel von der erſten, oder aus einem Hebel von der andern Art verfeytiget (§. 63. 90.). Die erſten ſind die gewoͤhnlichſten. Hebel von der erſten Art ſind entweder gleicharmige oder ungleich⸗ armige Hebel (§. 45.). Hieraus entſtehen z⸗ P r⸗ 7 Aa d Woove terh Wep S Spnel 1 Voc NE man⸗ Bole gehe — — — hren chheie endbeſtin oſſet⸗V ſchriebentc⸗ nen, doies kin berennn hundlenpen l⸗Wecye NoCN ten Ber⸗ d Wer Ochale⸗ tandn e betbet nurſte Von dem Hebel. 46 5 Arten von mechaniſchen Waagen. Wird eine Waage aus einem gleicharmigen Hebel von der erſten Art verfertiget, ſo heiſt ſie eine Kramer⸗ Waage, und wenn ſie aus einem ungleicharmigen Hebel von der erſten Art verfertiget worden, eine Schnell⸗Waage. Erklaͤrung. §. 92. Der Hebel, aus welchem die mechaniſche Waage verfertiget, heiſt der Waage⸗Balcken. Die Stange, welche auf dem Waage⸗Balcken in dem Ruhe⸗Punet perpendiculaͤr geſetzet wird, damit man aus deſſen Neigung erkennen koͤnne, ob der Balcken horizontal oder nicht, wird die Zunge genennet. I. J uſatz. §. 93. Aus den Erklaͤrungen von mechaniſchen Waagen, ſind folgende Saͤtze, aus welchen die Voll⸗ kommenheit einer ſolchen Waage zu beurtheilen, un⸗ mittelbahr zu begreiffen. 1) Die Staͤrcke des Waage⸗Balckens iſt nach Pro⸗ portion derLaſt, deſſen Schwere durch die Waage ſoll er⸗ funden werden, zu beſtimmen. 2. Zuſatz. §. 94. 2). Der Waage⸗Balcken muß ſich nach Pro⸗ portion der Schwere, die daran gehaͤnget, neigen (§. 90.). Es iſt demnach eine mechaniſche Waage unvoll⸗ kommen, wenn der Ruhe⸗Punet und der Mittel⸗Punct der Schwere in einer Linie (§. 36.). Dieß iſt der Grund von dem Gegengewichte der Zunge. 3. JIu ſa tz. §. 95. 3) Der Waage⸗Balcken muß ſich ſogleich neigen, ſo bald an deſſen einem Ende eine Laſt angehaͤn⸗ get worden (§. 90.). Wenn die Waage dieſe Eigen⸗ ſchafft hat, ſo wird geſaget, daß ſie ſchnell; fehlet aber dieſe Eigenſchafft, ſo heiſt ſie eine faule Waage. Hier⸗ 466 Das 2. Capitel. Von dem Hebel. aus erhellet, daß eine mechaniſche Waage unvollkom⸗ men, wenn der Ruhe⸗Punct oder die Unterlage zu groß (§. 29.). 4. Juſatz. §. 96. 4) Die Zunge muß den Ausſchlag des Waage⸗Balckens auf das genaueſte zeigen (§. 92.) Woraus erhellet, daß lange Zungen eine mechaniſche Waage vollkommener machen als kurtze (§. 19. Dyn.). 5„ Zuſatz. §. 97. 5) Die Zunge muß unter dem Waage⸗Bal⸗ cken ein Gegen⸗Gewicht haben (§. 94. 27.). Damit nun durch die Schwere dieſes Gegen⸗Gewichts die Waage nicht belaͤſtiget werde, ſo muß die Zunge nicht zu ſtarck ſeyn. 6. Juſatz. §. 98. 6) Der Waage⸗Balcken muß ſich ſelbſt ho⸗ rizontal halten, oder man muß zuvor, ehe man die Waage brauchet, die Verhaͤltniß von der Schwere bey⸗ der Theile des Balckens beſtimmen (§. 90.). 7. Zuſatz. 9. 99. 7) Wenn die mechaniſche Waage eine Kramer Waage, ſo muͤſſen zwey gleichſchwere Gewichte den Balcken horizontal halten (§. 90. 91.). Anmerckung. F. 100. Nach dieſen Regeln koͤnnen wir alles, was bey Verfertigung einer mechaniſchen Waage zu beobachten, beur⸗ theilen, welches umſtaͤndlich beſchrieben worden von Leupold im TheatroMachinarum generali cap. 2 und im Theatro Sta- tico Part I. cap. 2-4. Was ich bisher von dieſen Waagen are gefihrer, das iſt zu meiner gegenwaͤrtigen Abſicht hinrei⸗ Hend. Das W ) 0°( 467 unttlte ug Das 3. Capitel. Von den Raͤd ern. eſcſeg Lehr⸗Satz. en (59. 8. 101. echnſt Gann bey einem Rade an einer Axe ein Roͤr⸗ 1,⸗ dh per an der Welle und der andere an der Peripherie des Rades angehaͤnget wird, welche ſich in Anſehung ihrer Schwere umgekehrt ver⸗ an halten, wie ihre Entfernungen von dem Mittel⸗ „dN DPruncte des Rades, ſo halten dieſe Koörper einan⸗ enit der die Waage. Jungen Beweiß. Es ſey C der Mittel⸗Punct des Rades. In LTab. I. lfe haͤnget den Koͤr per A, ſo iſt ſeine Entfernung CL., und Mech. nnd in H haͤnget den Koͤrper H, ſo iſt deſſen Eutfernung CP Fig 7·. ke (S§. 47.). Es ſey CL: CP = 1:3, und die Schwere . des Koͤrpers H zur Schwere des Koͤrpers A= 1:3. So ſtehen die Schweren oder Maſſen dieſer Koͤrper in einer verkehrten Verhaͤltniß der Entſernungen von neKnn dem Mittel⸗Puncte des Rades (§. 40. A. M.). Da niger ſich nun ferner die Geſchwindigkeit des Koͤrpers F zur Geſchwindigkeit des Koͤrpers A verhaͤlt, wie CP zu CI. (§. 7.)z ſo verhaͤlt ſich auch die Maſſe des Koͤrpers A zur Maſſe des Koͤrpers H wie die Geſchwindigkeit von Hzur Geſchwindigkeit von A ( §. 40. A. M.), und ſ alſo iſt das Factum aus der Maſſe des Koͤrpers A in ene ſeine Geſchwin digkeit gleich dem Facto aus der Maſſe c des Koͤrpers Hin ſeine Geſchwindigkeit (§. 30. A. M.). n Dieſes beſtaͤtiget, daß dieſe Koͤrper gleichſtarck druͤcken han (S§.6 3. Dyn.),folglich einander die Waage halten (34. Dyn.). W. Z. E. W. D Gg 2 1. Zu⸗ 468 Das 3. Capitel, 1. Zuſatz. §. 102. Je groͤſſer demnach die Entfernung des Koͤrpers Hvon dem Mittel⸗Puncte des Rades, deſto groͤſſer iſt ſen VWermoͤgen. Und alſo iſt es klar, daß dieſer Koͤrper bey dem Rade alsdenn das groͤſte Ver⸗ moͤgen hat, wenn er in B angehaͤnget worden, das iſt, wenn ſeine Directions-Linie mit dem Radio des Ra⸗ des einen rechten Winckel macht (§. 47.). 2. Zuſatz. §. 103. Wollt ihr das Vermoͤgen der Kraffft in der Peripherie des Rades beſtimmen, ſo ſuchet ihre Ent⸗ fernung von dem Mittel⸗Punct des Rades. Wolle ihr dieſe beſtimmen, ſo ſuchet⸗ 1) Den Radium des Rades CF. 2) Den Winckel Hin welchem die Krafft appliciret. 3) Weil bey P ein rechter Winckel (§. 23.), ſo ſchlieſſet nach den Regeln der Trigonometrie (§S. 4. Trigon.), der Sinus des Winckels P verhaͤlt ſich zur Linie CF, wie der Sinus des Winckels F zur Linie CP, das iſt, zu der Entfernung der Krafft. Anmerckung. §. 104. Ueberleget den Beweiß, womit der Lehr⸗Satz im G. 101. befeſtiget, ſo werdet ihr geſtehen, daß der Grund von dieſem mit dem Grund von dem mechaniſchen Fundamental⸗ Geſetze, ſo von dem Hebel §. 63. erwieſen, einerley. Es koͤn⸗ nen demnach alle Aufgaben von dem Hebel auf die Lehre von den Raͤdern adpliciret werden. Welches dem Nachdencken meiner Zuhoͤrer zur Uebung uͤberlaſſe. Lehr⸗Satz. §H. 105. Wenn durch Huͤlffe eines Rades an der Axe eine Krafft, welche an der Peripherie des Ra⸗ des appliciret, die Laſt, ſo an die Welle gehaͤnget worden, beweget, ſo verhaͤlt ſich der Raum der Brafft, zu dem KRaum der Laſt, wie die Laſt zu der todten wen? Res Von den Raͤdern. 469 todten Krafft, welche die Laſt durch Guͤlffe des Ertfemmt Rades waagerecht zu halten vermoͤgend iſt. des Rodes N Bewei ß. teife Wenn das Rad, ſo an der Welee befeſtiget, ein⸗Tab. I. dsgiſem mahl herum gedrehet wird, ſo gehet auch die Welle ech. vaden i einmahl herum (§. 46.). Folglich iſt der Raum, wel⸗is 7: ho eh chen die Laſt beſchreibet, die Peripherie von der Welle, 7)). und der Raum, welchen die Krafft beſchreibet, die Peripherie von dem Rade. Und alſo verhaͤlt ſich der RNaum von der Laſt zu dem Raum von der Krafft wie er Krftn die Peripherie der Welle zu der Peripherie des Rades. tchet inn Nun aber verhaͤltſſich die Peripherie von der Welle zu ades A der Peripherie vom Rade wie CL zu CB (§. 280. Geom.), und CI. verhaͤlt ſich zu CB wie die todte Kraft „zur Laſt (§. 101.). Folglich verhaͤlt ſich der Raum der taftenn Laſt zu dem Raum der Krafft wie die todte Krafft zur etrle (d lilſt Aufgabe. reeS H§. 106. Es wird ein Raͤder⸗Werck, das iſt eine Verknuͤpfung vieler Raͤder gegeben, ihr ſollt fin⸗ den, wie offt das kleine Rad herum lauffen koͤnne, ehe das groſſe einmahl herum gehet. ehr⸗Eigt 2 rGrnndan. Au fI ſu ng. unnce,, Suchet, wie vielmahl die Peripherie des kleinen ſegten Rades in der Peripherie des groſſen Rades enthal⸗ 1Ncper ten, das iſt, dividiret die Anzahl der Kaͤmme oder Zaͤhne in der Peripherie des groſſen Rades durch die Anzahl der Kaͤmme oder Zaͤhne in der Peripherie des kleinen Rades, der Quotient iſt die verlangte desende Zahl. .Z iedis Beweiß. gehimnt Es verhaͤlt ſich bey dem Raͤder⸗Werck die Laſt Nuung zur Krafft, wie der Raum der Krafft zu dem Raum gli Gg 3 der 0 470 Das 3. Capitel. der Laſt (S§. 105.). Die Laſt verhaͤlt ſich zur Krafft, wie die Geſchwindigkeit der Krafft zu der Geſchwin⸗ digkeit der Laſt (§. 81. 104.). Folglich verhaͤlt ſich die Geſchwindigkeit der Krafft zur Geſchwindigkeit der Laſt, wie der Raum der Krafft zu dem Raum der Laſt (§. 40. A. M.). Nun koͤnnet ihr annehmen, als wenn das kleine Rad, ſo getrieben wird, die Laſt, und das groſſe Rad, welches das kleine treibet, die Krafft. Folglich verhaͤlt ſich die Geſchwindigkeit des kleinen Rades zu der Geſchwindigkeit des groſſen, wie der Raum, durch welchen das kleine Rad beweget wird, zu dem Raum, durch welchen das groſſe Rad beweget wird. Indem nun der Nahme dieſer Verhaͤltniß ent⸗ ſtehet, wenn man die Peripherie des groſſen Rades durch die Peripherie des kleinen Rades dividiret, ſo iſt es klar, daß dieſer Quotient beſtimme, wie vielmahl das kleine Rad herum lauffen muͤſſe, wenn das groſſe Rad einmahl herumgehet. W. Z. E. W. Aufgabe. §. 107. Es wird beſtimmet, wie vielmahl das eine Rad herum lauffen ſoll, ehe das andere einmahl herumgehet, ihr ſollt die Zahl der Raͤ⸗ der, welche mit einander zu verknuͤpffen, die Zahl der Kaͤmme, welche in der Peripherie eines je⸗ den Kades zu ſatzen, und die Zahl der Trillingo⸗ Stoͤcke, welche in einem jedem Gerriebe zu ſetzen, finden. . Aufloſung. B B 1) Zerfaͤllet die Zahl von der verlangten Ge ſchwindigkeit z. & 64. in ihre Factores z. E. 8. und 8. oder 16. und 4. Dieſe zeigen an, wie viele Raͤder mit einander zu verbinden, und wie viele Getriebe vonnoͤthen. Z. E. zu gegenwaͤrtiger Abſicht werden zwey Raͤder mit Kaͤmmen und zwey Getriebe mit Trillings⸗Stoͤcken erfodert. 2) Su⸗ „6 idet! 9EC.in denn ande RR Sthe Kammen a den tne,u Do⸗ Ee Kunn ſripe N ebe dosge 1 eiten N! 1 ben Von den Raͤdern. 471 heur goft 2) Suchet die beyden Zahlen, die durch einander Geſn, dividiret die gefundenen Quotienten hervorbringen. ehlin Z. E. im erſten Fall 46:6 = 8. 32:4 = 8, und in ndtaeg dem andern Fall 48: 3 = 16, 24:6 = 4. Uimn der hl 3) Der Diuiſor iſt die Anzahl von den Trillings⸗ elt, aloteen Stoͤcken, und der Diuidendus die Anzahl von den ſt, und Kaͤmmen, welche einem jedem Rade zu geben. Z. E. die Ki in dem erſten Fall bekommt das eine Rad 48. Kaͤm⸗ deſ mDe, und das Getriebe 6. Trillings⸗Stoͤcke; das zweyte ie Rad 32. Kaͤmme, und das Getriebe 4. Trillings⸗Stoͤ⸗ Anege cke. In dem andern Fall bekommt das eine Rad 4⁸. tad beon Kaͤmme und das Getriebe 3. Trillings⸗Stoͤcke; das Hilenmo zweyte Rad 24. Kaͤmme, und das Getriebe 6. Tril⸗ ſen Ni lings⸗Stoͤcke (§. 106.). diret Y eintl Aufgabe. oſeN K. 108. Es wird eine Laſt und ein Raͤder⸗Werck r gegeben, ihr ſollt die Krafft ſuchen, welche durch das gegebene Raͤder⸗Werck die Laſt halten koͤnne. Au floͤſung. ielmah 1) Zaͤhlet die Anzahl der Raͤder, und meſſet von Sand einem jedem Rade den Radium von der Welle und der den Radium von dem Rade. diezt 2) Suchet, wie viele Krafft erfodert wird, die gege⸗ titts , bene Laſt mit dem einem Rade zu halten (§. 101.). Triling 3) Dieſe Krafft nehmet an als eine Laſt, welche zui g das naͤchſtfolgende Rad tragen ſoll, und ſuchet zu dieſer Laſt die Krafft (§. 101.) 4) Wenn ihr dieſe Arbeit durch alle Raͤder fortſe⸗ er tzet, ſo werdet ihr endlich die verlangte Krafft finden Ah. 1. Anmerckung. Mnit §. 109. Tab. II. Fig. 22. Iſt ein Raͤder⸗Werck, in welchem Tab. II. perden drey Raͤder mit einander verknuͤpffet, ihr ſolt ſuchen, wie viele Mech. bt hO Krafft in Lzu appliciren, welche die Laſt von 100. Pfunden, ſo Fig. 22. in M gehaͤnget, zu halten vermoͤgend. 2 6 Gg 4 1) Ver⸗ Das 3. Capitel. 1) Vermoͤge der erſten Regel ſuchet in einem jedem Rade die Verhaͤltniß von dem Radio der Welle zu dem Radie des Rades. In dem Rade C iſt CD: CE— I: 4 in dem Rade H iſt . FG: FH— 1: 3 in dem Rade I iſt IK: IL —. 1: 2. 2) Nachdem dieſe Verhaͤltniß gefunden, ſo ſuchet, ver⸗ moͤge der zweyten Regel, wie viele Krafft in dem Rade C erfodert wird, die Laſt in M zu halten, daher ſprechet vermoͤge des §. 101. — CE: CD —– die Laſt in M: Krafft in PE das iſt 4 : 1 –— 100: 25. 2) Dieſe 25 Pfund nehmet an als eine Laſt, welche an die Welle des Rades F gehaͤnget, und ſuchet, wie viel Krafft in H zu appliciren, wenn dieſe die Laſt erhalten ſoll, daher ſprechet vermoͤge des §. 101. HF: CF die Laſt in E: Krafft in H das iſt 3:1— 25: 835. 4) Dieſe 8 ½ Pfund nehmet wiederum an als eine Laſt, wDelche an der Welle des Rades gehaͤnget, und ſuchet, wie viele Krafft in Lzu appliciren, wenn dieſe die beſtimmte Laſt in Herhalten ſoll. Daher ſprechet wiederum: LI: KI — die Laſt in H: Krafft in L das iſt 2: 1 = 8 : 4 ½. Dieſe 42 Pfund iſt die Groͤſſe von der verlangten Krafft. 2. Anmerckung. §. 110. Iſt die Krafft in L gegeben, und ihr ſollt die Laſt ſuchen, welche dieſe Krafft in M u halten vermoͤgend, ſo iſt aus der vorhergehenden Aufgabe leicht zu begreiffen daß dieſe zu finden, wenn ihr in begreiffen, 1) die Laſt ſuchet, welche die gegebene Krafft mit dem Rade [ zu halten vermogend. Dieſe D als ine Krafft unchmet⸗ welche in H appli⸗ eiret worden, und alsdenn die Laſt ſuchet, welche dieſe Krafft mit dem Rade F zu halten vermoͤgend. welche dieſe Kraſf 3) Dieſe N E ſene ue Kre ind Abe e d , iche⸗ nt 6 Von den Raͤdern. 473 3) Dieſe Laſt wiederum als eine Krafft annehmet, wel⸗ che in b appliciret, und alsdenn die Laſt, welche dieſe Krafft in Mhalten kan, nach dem §. 101. ſuchet. Aufgabe. J. 111. Es wird eine Laſt und die Brafft gege⸗ ben, welche jene durch ein Raͤder⸗Werck waage⸗ recht halten ſoll, ihr ſollt ſo wohl die Anzahl der Raͤder, als auch die Verhaͤltniß ihrer Radiorum ge⸗ gen die Radios ihrer Axen finden. Aufloͤſung. 1) Suchet wie vielmahl die Krafft in der Laſt enthalten, z. E. wenn wir zuvor die Laſt 100. Pfund und die Krafft 4 Pfund, ſo iſt die Krafft in der Laſt 24. mahl enthalten. 2) Dieſen QAQuotienten zerfaͤllet in ſeine Factores. Z. C. 24 = 4. 3. 2. ſo wiſſet ihr, wie viele Raͤder in dem verlangten Raͤder⸗Werck mit einander zu verknuͤpffen. Und die Radii von den Aren dieſer Raͤder muͤſſen ſich gegen ihre Radios verhalten, wie 1 gegen die beſtimm⸗ ten Factores. Z. E. in dem einem Rade verhaͤlt ſich der Radius von der Axe zu dem Radio des Rades, wie 1:4, in dem andern, wie 1:3, und in dem dritten, wie 1:2. Beweiß. L Den Beweiß von der Richtigkeit dieſer Aufloͤſung Tab. II. koͤnnen wir aus dem §. 108. ohne Umſchweiffe folgern. Fig 22. Es waren die Verhaͤllniſſe, durch deren Huͤlffe wir jene Aufgabe aufgeloͤſet, CE: DC= Laſt M: Krafft E HF: F= Laſt E: Krafft H LI: KI= Laſt H: Krafft L und alſo haben wir in der erſten Verhaͤltniß die Krafft zur gegebenen Laſt: in der zweyten Verhaͤltniß die Krafft, welche die erſte Krafft zu halten vermoͤgend: und in der dritten Verhaͤltmiß die Krafft, welche die zuvor gefundene Krafft zu halten vermoͤgend, gefunden. Gg 5 Es Tab. I. Mech. Fig. 8. 474 Das 3. Capitel. Es werden demnach dieſe Theile der gegebenen Krafft unbeſtimmet geſunden, wenn man die gegebene Laſt durch die gegebene Krafft dividiret. Hieraus erhellet ferner, daß man dieſen gefundenen Quotienten anſe⸗ hen koͤnne als ein Factum, welches entſtanden, in⸗ dem man die Quotienten, durch welche die Wuͤr⸗ ckungen in dem Raͤder⸗Werck ausgedruͤcket werden, in einander multipliciret (§. 106.). Wann ihr demnach dieſes Factum in ſeine Factores zerſtreuet, ſo zeigen dieſe Factores die Vielheit der Raͤder, welche in dem verlangten Raͤder⸗Werck mit einander zu verknuͤpffen (§. 107.). Dieſe Factores ſind Quoti⸗ enten, welche entſtanden, indem man die Peripherie der Raͤder durch die Peripherie der Wellen oder die Radios der Raͤder durch die Radios der Wellen di⸗ vidiret (§. 107.), wenn ihr demnach die Zahlen ſu⸗ chet, welche durch einander dividiret jene Quotien⸗ ten hervorbringen, ſo ſind die Diviſores Radii von den Wellen, und die Diuidendi Radii von den Raͤdern, welche an den Wellen befeſtiget. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 112. Die Krafft, welche durch Buͤlffe einer Rolle die Laſt waagerecht erhaͤlt, iſt, wenn ſo wohl ihre als auch die Directions⸗Linie der Laſt mit dem kadio der Kolle einen rechten Winckel macht, der Laſt gleich, wenn es eine obere RKolle, und die Helffte von der Laſt, wenn es eine untere RKolle. Beweiß. Haͤnget an der obern Rolle C (§S. 52.) zwey Koͤr⸗ per A und B, welche in Anſehung ibrer Schwere einander gleich, alſo, daß ihre Directions⸗Linien EA und GB mit dem Diameter der Rolle EG rechte Winckel machen. So verhalten ſich ihre Geſchwim dig⸗ Wt nun! ſchwi auder Uer g ſch ei V. E und zupo⸗ daß keitt (5. Sch Geſ Pac ſchtp Pers. ſo Nel 63. . D) 8 wie geb On ſor der 16. dri enen gfi gebene bit ausethelt gegtenan⸗ lander, t⸗ die W ket fen Wamnt erſtene der einanden ſid C eNohen Henddud Welad Ahen ge Ooſe dacivgtee . Nd . aͤlffetir nſerſl rn Clnat, iole, me ℳ. rakte Ehon 1s⸗Pt font ,ſAG Geſchn N Von den Raͤdern. 475 digkeiten wie EC zu CG (S§S. 7. 43.). Da nun EC = CG (5. §3.), ſo ſind die Ge⸗ ſchwindigkeiten der beyden Koͤrper A und B ein- ander gleich. Es iſt alſo klar, daß dieſe Koͤr⸗ per gleich ſtarck druͤcken (§. 63. Dyn.), und folg⸗ lich einander die Waage halten (§H. 34. Dyn.). W. D. E. Es werden bey der untern Rolle C (§. 52.) die Laſt P Tab. II. und eine Krafft V, welche die Helffte von der Laſt, wie Mech. zuvpor, rechtwincklicht appliciret: ſo iſt wie zuvor klar, Pig. 12. daß ſich die Geſchwindigkeit von V zur Geſchwindig⸗ keit von P verhalte, wie AB: CB. Da nun CB = IAB (§. 54.) ſo verhaͤlt ſich die Schwere der Krafft V zur Schwere der Laſt P, wie die Geſchwindigkeit von Pzur Geſchwindigkeit von V(§. 41. A. M.). Und alſo iſt das Factum aus der Maſſe des Koͤrpers V in ſeine Ge⸗ ſchwindigkeit, gleich dem Pacto aus der Maſſe des Koͤr⸗ pers Pin ſeine Geſchwindigkeit (§. 130. A. M.). Und alſo iſt es klar, daß dieſe Koͤrper gleich ſtarck druͤcken (§. 63. Dyn.) folglich einander die Waage halten (§. 34. Lyn.). W. DA. . Lehr⸗Satz. h. 113. Die Krafft, welche durch Huͤlffe eines Tab. II. Flaſchenzuges, wenn dieſer alſo betrachtet wird, Mech. wie er nach ſeinem Begriff zubetrachten, eine ge⸗ Fig. 13. gebene Laſt halten ſoll, muß ſo groß ſeyn, als der OQusotient iſt, der entſtehet, wenn man die Laſt ſo vielmal durch zwey dividiret, als die Anzahl der untern Kollen eins faßet. Beweiß. Die Krafft, welche die Laſt halten ſoll, muß der Laſt gleich ſeyn (§. 34.). Iſt demnach die Laſt P gleich 16. Pfund, ſo muß die Krafft in V mit 16. Pfund druͤcken. Da nun die untern, nicht aber die bcken ollen 476 Das 3. Capitel. Rollen die Krafft vermehren (§H. 112.), ſo muß man, wenn man die Schwere der in V zu applicirenden Krafft beſtimmen will, unterſuchen, wie viel die Krafft durch die untern Rollen koͤnne vermehret werden. Da nmun eine, jeder von den untern Rollen nur die Huͤlffe von der Laſt, die ſie tragen ſoll, zur todten Krafft erfodert (§. 1I12.), ſo iſt es klar, daß die Krafft, welche eine Laſt durch Huͤlffe eines Flaſchen⸗Zuges halten ſoll, der Quotient ſey. welcher entſtehet, wenn man die Laſt ſo vielmal durch zwey dividiret, als die Anzahl der unteren Rollen eins faſſet. Anmerckung. §. 114. Es ſey die Laſt P — 16. Pfund. Die Anzahl der untern Rollen — 2, ſo findet man durch folgende Rech⸗ nung 16:2 –— 8. 8:2 — 4 daß die Krafft — 4. Es ſey die Laſt ? 16. Pfund, die Anzahl der untern Rollen — 3. ſo findet man die Krafft durch folgende Rechnung 16:2—8 8:2 — 4 4:2 — 2 Und ſo ferner. 7 Erfahrung. §. 115. Der Bau des Flaſchen⸗Zuges macht es, daß die Anwendung dieſer Regel, die vollſtaͤndig bewieſen iſt in verſchiedenen Faͤllen nicht diejenige Krafft darſtellet, die der Erfahrung gemaͤß iſt. Bald hat man mehrere obere als untere Rollen. Dieß ver⸗ laͤſt den einfachen Begriff von einem Flaſchen⸗Zuge die uͤberfluͤßige Rolle vermehret die Entfernung, und dieſe Vermehrung laͤſt ſich aus dem einfachen Begriff von einem Flaſchen⸗Zuge nicht ſchlieſſen. Baldlauffen die Seile nicht voͤllig parallel, da doch dieß ein Haupt⸗ Grund in der veſtgeſetzten Theorie iſ (§. 112.). Dieß giebt Bewegungs⸗Gruͤnde durch Verſuche eine Regel veſtzuſetzen, wornach im vorkommendem Falle die Rechnung zu bilden. Sie iſt dieſe: In einem Flaſchen⸗Zuge verhaͤlt ſich die todte Krafft zu der Laſt, wie zu der Zahle der Seilen die von der Laſt gezogen werden. An⸗ Von den QRaͤdern, 477 otnlßin Pplierde Anmerckun g. eldie ui §. 116. Viele wollen dieſen Satz aus Gruͤnden beweiſen. Der Haupt⸗Grund iſt die Vertheilung der Krafft durch die tet widde Stricke. Wenn dieß, ſo muͤſte die Anzahl der Stricke die len nur Vermehrung der Krafft allein wuͤrcken, und daher waͤren Odtensif die Rollen nur neben Dinge. Dieß iſt nicht moͤglich. Dar⸗ die Klſc um habe ich dieſen Satz nur als einen ſolchen angenommen, 1e den. die Erfahrung unterſtuͤtzet. Gen⸗SI a 1. Zu ſatz. Dlgaen §K. 117. Die todte Krafft: Laſt = 1: Zahl der Seilen die von der Laſt gezogen werden (§. 115.). Folglich wird die Laſt gefunden, wenn man die Krafft Ot durch die Zahl der Seilen multipliciret (109. A. M.), folgencſt die in dem Falle wenn die Anzahl der obern Rollen , G gleich der Anzahl der⸗ untern Rollen, ſo groß iſt als ate⸗ die Anzahl der untern Rollen zweymal genommen. ng W⸗ §. 119. Dividiret die Laſt durch die kodte Krafft uct ſo habt ihr die Anzahl der Seilen, die von der Laſt lfaod gezogen werden (§H. 117.). Die Helffte von dieſer N. iſt die Anzahl der untern Rollen (§. 55.). Dn Lehr⸗Satz. end⸗ §. 119. Wird eine Laſt durch einen Flaſchen⸗ . n Zug beweget, ſo verhaͤlt ſich der Raum, den ng die Brafft beſchreibet, zu dem Raum, welchen alee die Laſt beſchreibet, wie die Laſt zur todten unie⸗ Krafft. (0h B eweiß. gun Es werde die Laſt Pum einen Schuh erhöohet, ſo Tab. II. nd muͤſſen alle Stricke, die von ihr gedehnet werden, Mech. Jie unm einen Schuh verkuͤrtzet werden. Alſo muß die Pig. 13. — ſfinn Krafft ſo viele Schuhe herausziehen, als Seile von ndel der Laſt ausgedehnet werden. Die Anzahl dieſer Seilen verhaͤlt ſich zu eins, wie die Laſt zur todten 1 Krafft 478 Das 4. Capitel. Krafft (§. 115.). Und alſo verhaͤlt ſich auch der Naum der Laſt zu dem Raum der Krafft, wie die lodie Kraßt zur Laſt. W. Z. E. W. 1. Juſatz. . §. 120. Hieraus erhellet ferner, daß ſich die Ge⸗ ſchwindigkeit, mit welcher ſich die Laſt bey einem Fla⸗ ſchen⸗Zuge beweget, zu der Geſchwindigkeit, mit welcher die Krafft beweget wird, verhalte, wie die todte Krafft zur Laſt (§. 19. Dyn.). 2. Juſatz. §. 121. Will man demnach vermittels eines Fla⸗ ſchen⸗Zuges eine Bewegung hervorbringen, ſo muß man denjenigen Koͤrper, der ſich am geſchwindeſten bewegen ſoll, zur Krafft, und den, der ſich am lang⸗ ſamſten bewegen ſoll, zur Laſt machen. Anmerckung. §. 122. Was von den Flaſchen⸗Zuͤgen ausgefuͤhret, ſolches wird zugleich hinreichen, das Vermoͤgen von zuſam⸗ mengeſetzten Flaſchen⸗Zuͤgen zu berechnen. Wovon zu le⸗ ſen Leupold in Theatr. Mach. gen. Cap. III. Das 4. Capitel. Von den Schiefliegenden Flaͤchen. Lehr⸗Satz. J. 123. Geber die Directions⸗Linie einer Krafft, welche auf einer ſchiefliegenden Flaͤche eine Laſt erhalten ſoll, mit der Laͤnge, oder mit der Grund⸗Linie der Flaͤche parallel, ſo verhal⸗ ten ſich ihre Geſchwindigkeiten, wie ihre Ent⸗ fernungen. Be⸗ ſor tan b. ſo mn Diect Flaͤche der K Von den ſchiefliegenden Flaͤchen. 479 uch derde . Beweiß. ielcdeee . Verlaͤngert die Entfernung der Laſt EF nach L., Tab. II. dbis El = ED= der Entfernung der Krafft (§. 58.). Mech. Nehmet an, als wenn in L die Krafft und in F die 'ig. 14. Laſt, ſo verhaͤlt ſich die Geſchwindigkeit der Krafft daßſtne zur Geſchwindigkeit der Laſt, wie LE zu EF (S. 7.). beh em Die Laſt druͤcket nach DH (S. 17. 19.). Folg⸗ dindiint lich kan man mit Grund annehmen, daß die Laſt ehin nd in F. Die Krafft vermag in D ſo viel als in L. (§. 7.). Da mun die Krafft in D wuͤrcket (§. 1(7.), ſo muß man unter dieſer Beſtimmung, daß die „Directions⸗Linie der Krafft mit der Laͤnge der ttels im Flaͤche parallel, geſtehen, daß die Geſchwindigkeit rinzenſe der Krafft zur Geſchwindigkeit der Laſt, wie die geſchnm Entfernung der Krafft zur Entfernung der Laſt. er ſhngn W. D. E. Es gehe die Directions⸗Linie der Krafft ED mit Tab. III. der Grund⸗Linie der Flaͤche AC parallel, ſo iſt die Mech. ,uintin Entfernung der Krafft MR und die Entfernung der Laſt big. 23. r ae RQ. (§. 17. 25. 43.). Wenn ihr dieſes uͤberleget, ſo⸗ nn zl werdetihr wie zuvor beweiſen koͤnnen, daß die Ge⸗ ſchwindigkeit der Krafft zur Geſchwindigkeit der Laſt, wie die Entfernung der Krafft MR zur Entfernung der Lehr⸗Satz. glit §. 124. Soll auf einer ſchiefliegenden Flaͤche eine Krafft eine Laſt erhalten, ſo muß ſich die Schwere der Krafft zu der Schwere der Laſt verhalten, wie die Hoͤhe zu der Laͤnge der Flaͤ⸗ ſche, wenn die Directions⸗-Qinie der Krafft mit enden el der Laͤnge der Flaͤche parallel: und wie die Hoͤhe nge, nt zu der Grund⸗Linie der Flaͤche, wenn die Direc⸗ /ſ tions⸗Linie der Krafft mit der Grund⸗Linie der vie ihen Flaͤche parallel. einer Tab. II. Mech. PFig. 14. Tab. III. Mech. PFig. 23. Tab. III. Mech. Fig. 24. 4³⁰ Das 4. Capitel. Beweiß. Die Schwere der Krafft ſoll ſich zu der Schwere der Laſt verhalten, wie ABzu BC. Da nun AB: BC = GH: GC (S. 19 3. 146. Geom. S. 23. Mech.). GH: GC= GF: GE (S. 192. 117. Geom.). GF: GE= EF: ED (S. 170. 192. Geom.); ſo iſt auch die Schwere der Krafft zur Schwere der Laſt wie EF: ED (S. 40. A. M.). Es verhaͤtt ſich ferner EF zu ED, wie die Geſchwindigkeit der Laſtzur Geſchwindigkeit der Krafft (§. 123.). Folglich ver⸗ haͤlt ſich die Schwere der Krafft zur Schwere der Laſt, wie die Geſchwindigkeit von der Laſt zu der Ge⸗ ſchwindigkeit von der Krafft (§. 40. A. M.). Hieraus erhellet, daß die Laſt und Krafft gleich ſtarck druͤcken (§. 130. A. M. 63. Dyn.) und alſo die Krafft die Laſt auf der ſchiefliegenden Flaͤche erhalten muͤſſe (§. 34. Dyn.) W. D. E. Die Schwere der Krafft ſoll ſich zu der Schwere der Laſt verhalten, wie BA zu AC. Danun BA: AC= ST: IC (§. 193. 146. Geom. §. 23. Mech.). ST: TC= SQ: R (S. 192. 117. Geom.). SQ: QR= QR: Q (S. 150. 192. Geom.). und QD= MR (d. 22.); ſo erhellet, wie zuvor, daß die Krafft die Laſt auf der ſchiefliegenden Flaͤche erhalten muͤſſe. W. D. A. d8. 125. Ein Keil iſt aus zwo ſchiefliegenden Flaͤ⸗ chen zuſammengeſetzet (§. 61.). Die Krafſt wird alſo appliciret, daß ihre Directions⸗Linie mit der Grund⸗Linie der einen Flaͤche DC einerley. Folg⸗ lich verhaͤlt ſich bey einem Keile die ſpaltende Krafft zu der Laſt oder dem Widerſtande, den die Sache giebet, On Mpi Ptrele Enrh Von den ſchiefliegenden Flaͤchen. 481 giebet, ſo zerſpaltet werden ſoll, wie die hal⸗ derSchoie be Breite des Keils DB zu der Laͤnge DC (§. er Sehbn 1 124.). 33. 146, CN 2. Juſatz. . ,n, §H. 126. Je oͤffter demnach die halbe Breite n a des Keils in deſſen Länge DC enthalten, deſto 192 Gn ſtaͤrcker iſt das Vermoͤgen von dem Keil. Wor⸗ erni aus erhellet, daß die langen Keile mehr Ver⸗ e moͤgen haben als die kurtzen, wenn ſie von glei⸗ Akeit delte⸗ cher Breite. Folſnn. . Schin⸗ 3. Zuſatz. aſt NN . ete §. 127. Eine Schraube iſt eine ſchiefliegende Flaͤ⸗ ſe ete che, welche um einem Cylinder herumgewunden (§. 59). fini Da nun bey einer Schraube die Krafft alſo applici⸗ Krnffie ret wird, daß ſie ſich mit der Grund Linie der Flaͤche en nlſi parallel beweget, ſo iſt klar, daß ſich bey einer Schrau⸗ be die todte Krafft zu der Laſt oder dem Widerſtande, r 6 den ſie uͤberwinden ſoll, verhalten muͤſſe, wie die Weite 6 der Schrauben⸗Gaͤnge zu der Peripherie der Schraube 46. Ced (§. 124. 60.). 17.Ceon * * 1g. „128. Jeoͤffter demnach die Weite der Schrau⸗ ,Raäur ben⸗Gaͤnge in der Peripherie der Schraube enthalten, deſto groͤſſer iſt das Vermoͤgen der Schraube. Wor⸗ „. aus erhellet, daß eine Schraube mit engen Gaͤngen mehr Vermoͤgen hat, als eine Schraube mit weiten, wenn ſie von gleicher Dicke ſind. ffieren i de Kſt Aufgabe. ,l ue §. 129. Aus der gegebenen Krafft und Laſt die tieli 1 Eintheilung der Schraube zu finden. heltende . den ee, W Hh Au f⸗ Tab. II. Mech. Pig. 14. Tab. III. Mech. Fig. 23. 482 Das 4. Capitel. “ Aufloͤſung. 1) Dividiret die Laſt durch die Krafft, ſo iſt die Weite der Schrauben⸗Gaͤnge und der Quotient die Peripherie der Schraube (§. 127. Mech. S§. 110. 2) Die Weite der Schrauben⸗Gaͤnge nehmt nach Erfoderung der Umſtaͤnde in Zollen oder Linien an, und multipliciret damit die Peripherie der Schraube, ſo habt ihr auch dieſe in Zollen oder Linien. 3) Zu dieſer Peripherie ſuchet den Diameler (§. 284. Geom.), ſo habt ihr den Diameter von der Dicke der Schraube, und alſo die Eintheilung der Schraube gefunden. Lehr⸗Sactz. §. 130. Wenn auf einer ſchiefliegenden Flaͤche eine Krafft, deren Directions⸗-⸗Linie entweder mit der Laͤnge, oder mit der Grund⸗Linie der Flaͤche pParallel gehet, eine Laſt beweget, ſo verhaͤlt ſich die SHoͤhe, in welche die Laſt erhoben worden, zu dem Kaum, welchen die Krafft beſchrieben, wie die todte RKrafft zu der Laſt. Beweiß. Es erhebe die Krafftl die Laſt D bis in G, ſo iſt die Hoͤhe, in welcher die Laſt erhoben worden, GH, und der Raum, welchen die Krafft beſchrieben, CC. Folg⸗ lich verhaͤlt ſich die Hoͤhe, in welcher die Laſt erhoben worden, zu dem Raum, welchen die Krafft beſchrieben, wie GH zu C, das iſt, wie die todte Krafft zu der Laſt Es erhebe die Krafft die Laſt bis in S, ſo iſt die Hoͤhe, in welcher die Laſt erhoben worden, STund der Raum, beſchen de ſchdehhn beichendi ſi, wiedi den e 127) n eflcen,, Mhete K. Ehrel ſmuc Rde ſen herun Rade Poec derin Er lenn Von den ſchiefliegenden Flaͤchen. 483 welchen die Krafft beſchrieben, IC. Folglich verhaͤlt ruft, ſg ſich die Hoͤhe, in welcher die Laſt erhoͤhet zu dem Raum, er Ductieng welchen die Krafft beſchrieben, wie S zu TC. Das Mech. Kln ‚ wie die todte Krafft zu der Laſt (§. 124.). W. * nge nehntef Juſatz. er Kniennn S r Schrate §. 131. Der letzte Theil dieſes Lehr⸗Satzes iſt auf den Keil und auf die Schraube zu appliciren (§. 125. 127.). Diamen . von dal Erklaͤrung. der Ea “ §. 132. Wird eine Schraube durch ein Stern⸗Rad Tab. III. getrieben, ſo wird ſie eine Schraube ohne Ende ge⸗Mech. nennet. lig. 25. enden ſit “ Vtwelt, 1. Juſatz. 8d. 133. Will man das Vermoͤgen von einer en zude Schraube ohne Ende durch die Rechnung beſtimmen, R, is ſo muß man ſo wohl das Vermoͤgen von dem Stern⸗ ed, Rade, als auch das Vermoͤgen von der Schraube A ſu⸗ chen (§. 101. fl. 127.). nbit 2. Juſatz. en, ln §. 134. Wenn die Schraube ohne Ende einmahl , herumgedrehet wird; ſo windet ſich in dem Stern⸗ elle Rade ein Kamm aus. Folglich iſt die Bewegung des fftcere Rades ſehr langſam, und es iſt nur noͤthig, daß das Gewinde um eine Welle dreymal lauffe, wenn eine Schraube ohne Ende ſoll verfertiget werden. Siehe Leupold in Theat. mach, gen. Cap. VIII. ℳ Hh⸗ Der 484 Der 3. Abſchnitt. Von der Der 3. Abſchnitt. Von der Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumenten, Oder Von der Verfertigung der Machinen. Erklaͤrung. §. I 3 §F. Beo eine Machine verſtehen wir eine ſolche Zu⸗ W☛ ſammenſetzung mechaniſcher Inſtrumenten, in welcher das eine die Bewegung der uͤbrigen zu beſtim⸗ men vermoͤgend. Lehr⸗Satz. §. 136. Eine jede Machine muß ihre Abſicht ha⸗ ben, und aus dieſer iſt die Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumenten zu beurtheilen (§. 12. ſſi. Mechanolog.). 1. 3 U ſa 6. §. 137. Der Unterſcheid der Machinen iſt aus ei⸗ nem gedoppelten Grunde zu beurtheilen. Einmahl aus der Abſicht in der Bewegung, warum die mechani⸗ ſchen Inſtrumenten mit einander verknuͤpffet. Zwey⸗ tens aus der Art und Weiſe, wie in dieſer Verknuͤpf⸗ fung das eine Inſtrument die Bewegung der uͤbri⸗ gen beſtimmen koͤnne, um die gemeinſchafftliche Abſicht zu erhalten (§. 134. 135.). . Zu⸗ Zuftonene ce itl nlfet. lwgſor firmigſe Guogan dutch 121) und ſo de den Gele auf de undſ⸗ Unge . M ſe oder werd beld durch N Gs it Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumenten ꝛc. 48 5 2. Juſatz. §. 138. Die Bewegung wird entweder fuͤr ſich, ſhen oder in Anſehung deſſen, was ſelbige wuͤrcken ſoll, be⸗ trachtet. Iſt das erſte, ſo ſoll die Bewegung entweder langſam oder geſchwinde, gleichfoͤrmig oder ungleich⸗ foͤrmig ſeyn (§. 14. Dyn.). Eine langſame Bewe⸗ gung kan durch eine Schraube ohne Ende (S§. 134.), durch die unteren Rollen in einem Flaſchen⸗Zug (5. 121.), durch den kurtzen Theil eines Hebels (§. 82.), ſin und ſo weiter erhalten werden. 3. Juſatz. §. 139. Eine geſchwinde Bewegung wird durch das Raͤder⸗Werck (§S. 106.), durch die oberen Rollen e⸗ in dem Flaſchen⸗Zug (S. 121.), durch den laͤngſten er Theil eines Hebels (§. 82.), durch die Bewegung ſe auf der Laͤnge einer ſchiefliegenden Flaͤche (§. 130.), und ſo weiter hervorgebracht. B 4. Zuſatz. Grt⸗ §. 140. Die Raͤder wuͤrcken in der Peripherie eine ungleichfoͤrmige Bewegung (§S. 102.). Und ſo wei⸗ 5. Juſatz. d. 141. Betrachtet man die Bewegung in einer ℳ Machine in Anſehung deſſen, was ſelbige wuͤrcken ſoll, el ſiehe §. 138, ſo ſoll dadurch entweder etwas gehoben, gn oder niedergelaſſen, oder getrennet, oder fortgeſtoſſen werden. Das erſte und zweyte kan durch einen He⸗ bel, durch eine Rolle, durch eine Welle an der Axe, durch einen Flaſchen⸗Zug, durch eine ſchiefliegende Flaͤche und durch eine Schraube erhalten werden, wel⸗ ches aus dem Begriff von dieſen Inſtrumenten un⸗ mittelbahr zu folgern. Das dritte iſt eine Wuͤrckung 7 Hh 3 von 486 Der 3. Abſchnitt. Von der von dem Keil, und von der ſchnellen Bewegung eines Raͤder⸗Wercks. Daß das vierte durch die Circul⸗ Bewegung und durch das ſchnelle Herunterfallen ei⸗ §. 7. und 31. Erklaͤrung. §. 142. Wollen wir bey einer machine die Art und Weiſe unterſuchen, wie in der Verknuͤpffung der In⸗ ſtrumenten das eine die Bewegung der uͤbrigen beſtim⸗ men koͤnne, ſo werden wir bald einſehen, daß dieſe Verknuͤpffung auf eine gedoppelte Art moͤglich. Es ſind nemlich die Inſtrumenten entweder alſo mit einan⸗ der verbunden, daß ſie ohne aͤuſſerliche Urſachen ihre Bewegung unterhalten koͤnnen, oder es werden zu die⸗ ſer Unterhaltung aͤuſſerliche Urſachen erfodert. Iſt das erſte, ſo will, um meine Gedancken kurtz auszudruͤ⸗ cken, die Machine eine lebendige, und iſt das andere, eine todte nennen. Zuſatz. §. 143. In einer lebendigen Machine ſind die In⸗ ſtrumenten alſo mit einander zu verknuͤpffen, daß das eine die andern entweder durch den Stoß oder durch den Druck in der Bewegung unterhalten koͤnne. Und in einer todten Machine ſind die Inſtrumenten alſo zu verknuͤpffen, daß aͤuſſerliche Kraͤffte entweder durch den Druck oder durch einen Stoß die Bewegung der Machine zu unterhalten vermoͤgend. Doch hievon will ich in dem folgenden, wenn die Kraͤffte, wodurch die Machinen in Bewegung zu bringen, beſchreibe, um⸗ ſtaͤndlicher reden. §. 144. In einer Machine muͤſſen die mechani⸗ ſche Inſtrumenten alſo verknuͤpffet werden, daß Doee — nes Klotzes zu bewerckſtelligen, ſolches erhellet aus dem Oaſannen diehuſft bewegeng widaſe, Des R! Gedſe Eer ſe erſte et Bewegung in Urch die Cat erunterftlent⸗ erheletnodt jine die Atte tpftugdeh übrigenk n hen, alſo ntehnm⸗ Urſachtigte. werdennh erfoden.5 kurtoueri iosnden ſddi ea, daß o cdertn 9 künneln Amentni twederu⸗ edegun Doch /inn ſte nin ſchtichin enneche⸗ den, dI Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumentenee. 487 die Krafft, mit welcher ſich die mechaniſche Krafft beweget, groͤſſer als die Araffenmir welcher die Laſt widerſtehet. Baeweiß. Die Krafft, welche in der Machine appliciret wird, ſoll die Laſt in Bewegung ſetzen. Folglich muß die Groͤſſe der Krafft, mit welcher ſie ſich beweget, ſtaͤr⸗ cker ſeyn als die Krafft, mit welcher die Laſt zu wi⸗ derſtehen vermoͤgend (§. 34. Dyn.). W. Z. E. W. zZuſatz. §. 145. Hieraus iſt unmittelbahr zu folgern, daß in einer Machine die mechaniſchen Inſtrumenten alſo zu verknuͤpffen, daß die Verhaͤltniß der Bewegung der Krafft zur Bewegung der Laſt groͤſſer, als die Ver⸗ haͤltniß der widerſtehenden Krafft der Laſt zurt todten Rrafft. Erklaͤrung. §. 146. Durch die Friction verſtehet man in der Mechanik den Widerſtand, welcher von der Flaͤ⸗ che, an der ſich ein Koͤrper beweget, hgemacht wird. . Anmerckung. §. 147. Wenn ein Koͤrper an der Flaͤche eines andern Koͤrpers beweget wird, ſo reibet ſich jener an dieſer, oder ihre Flaͤchen ſchleiffen auf einander, oder die erhabenen Theile des einen Koͤrpers ſt ſtemmen ſich an den Theilen des andern, indem ſie in deſſen Vertieffung fallen, und ſo weiter. Woraus klar, daß die Flaͤche des Koͤrpers, worauf ſich ein anderer beweget, der Bewegung dieſes Koͤrpers widerſte⸗ hen muͤſſe. Und dieſes beweiſet die Wuͤrcklichkeit von der Friction. Hh 4 I. Zu⸗ Der 3. Abſchnitt. Von der §. 148. Soll eine Krafft eine Laſt in Bewegung ſe⸗ tzen, ſo muß die Krafft ſo groß ſeyn, daß ſie zugleich die Friction heben koͤnne (§. 34. 54. Dyn.). 2. Zuſatz. §. 149. Je ſtaͤrcker der Koͤrper, der ſich beweget, an der Flaͤche des Koͤrpers, woran er ſich beweget, druͤ⸗ cket, und je mehr die Theile von dieſer Flaͤche in die Theile von jenem Koͤrper greiffen koͤnnen, deſto groͤſſer iſt die Friction (§. 146.). Hieraus iſt unmittelbahr folgender Satz, welchen Leupold in Theatr. mach. gen. Cap. XVI. von der PFriction angegeben, zu begreif⸗ fen: Je rauher und ungleicher die Flaͤchen, je groͤſſer iſt die Friction; je groͤſſer die Laſt, je ſtaͤr⸗ cker die Friction. Und alſo auch im Gegentheil, je leichter die Laſt und je glaͤrter die Flaͤchen, je kleiner iſt die Kriction. 3. Juſatz. §. 150. Hieraus erhellet 1¹) daß kein allgemeiner Satz, die Groͤſſe der Friction zu beſtimmen, moͤglich. Anmerckung. §. 15I. Amonton will in denen Memoires de l'Academie Royale des Sciences An. 1699. p. 260. ſl. behaupten, daß ſich in jedem Fall die Groͤſſe der Frition zur Laſt verhalte, wie 1. zu 3. Das iſt, wenn man mit einer Machine 300. Pfund heben ſoll, ſo muͤſſe man ſolche Laſt, wegen der PFriction an⸗ ſehen, als wenn ſie 400 Pfund. Wodurch er dieſen Satz beſtaͤtiget, und warum ſolcher nicht allgemein, ſolches will in den Fuͤrlefungen zeigen. Indeſſen kan mit Nutzen geleſen werden, Zufrunentt beskn risl geflhie . in. von dee En Fchen, gurderde die Dien Fachege ſeiſz. ichter kg Nrfe Giler Nan e Giinen ſſti ln, ie en ichen gepoli ſatne 8 Vereume ſenngleice ſich bene bewwegeh di Flatfe int deſtogriſt unmittelee heatt mact n,ubegrefe Flachen / Laſt,jeſt⸗ centhil lachen, lervin ehinnn * Aelet ten a erſtit i oo nd Pickion ien Ulches en geet Werhen Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumentenrc. 4 werden, was Leupold in dem angefuͤhrten Ort hievon aus⸗ gefuͤhet. 4. Zuſatz. §. 152. 2) Daß man bey Beſtimmung der Groͤſſe von der Friction zu ſehen habe auf die Materie der Flaͤchen, auf die Rauhigkeit der Flaͤchen, auf die Fi⸗ gur der Theile, welche die Friction verurſachen, und auf die Directions⸗Linie, wie ſolche gegen die zu bewegende Flaͤche gefuͤhret wird. = Lehr⸗Satz. J. 153. Je haͤrter die Materie der Flaͤchen, je leichter kan die Friction verkleinert werden. Beweiß. Die Erfahrung beſtaͤtiget, daß eine Materie viel glaͤtter zu arbeiten, je haͤrter ſolche. Weil nun durch die Glaͤtte die Friction verkleinert wird (§. 149.), ſo iſt klar, daß die Friction deſto leichter zu verklei⸗ derd⸗ je haͤrter die Materie der Flaͤchen. W. Z. * §. 154. Will man die Fridtion, welche rauhe Flaͤchen verurſachen, verkleinern, ſo muß man ſol⸗ che poliren (§. 149.). Anmerckung. §. 155. Arbeitet die Flaͤchen ſo glatt, als immer moͤglich, ſo werden ſie dennoch die Rauhigkeit, die in der Materie iſt, Hh 5 behal⸗ 490 Der 3. Abſchnitt. Von der Aammen behalten. Die Friſtion, welche daher entſtehet, kan verklei⸗ nert werden, wenn man dieſe rauhe Theile mit Baum⸗Oel oder Fett wohl einſchmieret. Doch iſt zu mercken, daß nicht Caſen bey einer jeden Materie einerley Schmiere zu gebrauchen. DE,und Denn Holtz auf Holtz, Meßing auf Meßing reibet ſich viel deeßrnf ſtaͤrcker, wenn es mit Baum⸗Oel eingeſchmieret. Dieſes muß die Erfahrung lehren. u 1 Kroſſtos Lehr⸗Satz. Rneſ h.) §. 156. Runde Flaͤchen machen keine ſo ſtarcke TVriction, als ebene. Bewei ß⸗ beben Sind die Flaͤchen rund, ſo koͤnnen ihre Theile nicht d in ſo vielen Puncten widerſtehen, als wenn ſie eben. Folglich koͤnnen auch runde Flaͤchen keine ſo ſtarcke Friction verurſachen, als ebene (§S. 146.). Anmerckung. y §. 157. Dieſes iſt die Urſache, warum man unter die Flaͤche, welche ſich auf einer anderen bewegen ſoll, bewegli⸗ che Rollen oder Waltzen machet: warum man dem Zapffen, und dem Lager, worin ſich jene beweget, eine runde Figur u giebt: warum man den Raum zwiſchen den Zaͤhnen, in wel⸗ une che andere greiffen ſollen, nicht eben, ſondern rund machet, len und ſo weiter. d. 158. Wenn die Directions⸗Linie der Krafft mit der Flaͤche, worauf die Laſt zu bewegen, einen ſpitzen Winckel machet, ſo iſt die Friction ſtaͤrcker, als wenn dieſe Directions-Linie mit der beſtimmn⸗ 1 ten Flaͤche parallel gehet. d Be⸗ Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumentenc. 49 1 t, kan bett 2 . bann Beweiß. tne Es ſeyh die Linie, an welcher das Rad Qzu bewegen, Tab. III. gene. DE, und die Directions⸗Linie der Krafft CB, ſo wird Mech. ie ſi die Krafft das Rad Qzugleich nach der Linie DE druͤ⸗ Fig. 26. e ken. Es ſey die Directions⸗Linie CA, ſo drüͤcket die Krafft das Rad Cnicht nach der Linie DE. Folglich iſt in dem erſten Fall mehr Friction als in dem andern (§. 149.). W. Z. E. W. ſofe Zuſatz. §. 159. Es ſey die Linie, an welcher das Rad Czu Tab. III. bewegen, DE, ſo wird die Krafft in der Directions⸗Li⸗Mech. Delel nie CA nicht ſo viele Friction zu heben haben, als in der Vig. 27. d „ Diirections⸗Linie CB (§. 158.). ſ 1. Anmerckung. §. 160. Hieraus kan vieles, was bey dem Bau eines Wagens zu beobachten, erklaͤret werden. ned 2. Anmerckung. W . g.. F. 161. Was von der Priction ausgefuͤhret, ſolches iſt tundefie zu meiner gegenwaͤrtigen Abſicht hinreichend, wer beſondere fuentn Anmerckungen von der Priion zu wiſſen, verlanget, der leſe ) n Leupold in Theatr. mach. gen. Cap. XVI. Aufgabe. P §. 162. Eine Machine zu verfertigen. e e NInDA&ιI- . Aufloͤſung. N . . V line. 1) Zergliedert die Abſicht der verlangten Machine, und erwehlet nach den Geſetzen der Mechanik die Inſtrumenten, durch welche eine ſolche Abſicht zu er⸗ halten. 1 . 2) Be⸗ 492 Der 3. Abſchnitt. Von der 2) Beſtimmet die Groͤſſe der Laſt, die durch die Machine ſoll beweget werden. 3) Beſtimmet die Groͤſſe der Krafft, die auſſer der Machine vorhanden, und unterſuchet, um wie viel die Krafft durch die Machine zu vermehren. 4) Dieſe Verhaͤltniß ſey die Regel, wornach die erwehlten Inſtrumenten zu verfertigen, und mit ein⸗ ander zu verknuͤpffen. 5) Suchet, wo in dieſer Verknuͤpffung der Inſtru⸗ menten eine Friction, und bemuͤhet euch ſolche zu ver⸗ kleinern (§. 146. fl.). 6) Alsdenn vermehret die Krafft um ſo viel, daß ſich auch vermoͤgend, den Ueberreſt der Friction zu he⸗ ben. Welches geſchehen kan, indem man entweder neue aͤuſſerliche Kraͤffte hinzubringet, oder noch an⸗ dere Inſtrumenten mit der verfertigten Maͤchine verknuͤpffet. Anmerckung. §. 163. Zur Deutlichkeit will dieſe Aufloͤſung, deren Wahrheit die vorhin erklaͤrte Theorie unmittelbahr beſtaͤti⸗ get, mit einem Exempel erlaͤutern. Ihr ſollt Z. E. eine Machine bauen, durch deſſen Huͤlffe vier Maͤnner eine Laſt von 10. Centner, das iſt 1100 Pfund heben koͤnnen. Reg. I1. Erwehlet zu dieſer Abſicht Raͤder an einer Axe (§. 141.), unter welche auch die Wellen zu zaͤhlen, welche mit einer Stange herumgedrehet werden (§. 46.). Reg. 2. Die Groͤſſe der Laſt iſt 1100. Pfund, da nun vier Maͤnner dieſe Laſt heben ſollen ſo kommt auf jedem Mann 275. Pfund. Reg⸗ 3. lſonte . eben Drd h di Hel u tel no⸗ heben. N et bewe wels ſede wie ortteeß⸗ ſdnſe ln eewhe nuchnn Picpe Zuſammenſetzung der mechaniſchen Inſtrumenten ꝛc. 493 1 Reg. 3. Nehmet an, daß ein jeder Mann 30. Pfund heben koͤnne, ſo habt ihr auſſer der Machine 120. Pfund. Dividiret mit dieſer Krafft die gegebene Laſt 1100: 120 — 928 ſo wiſſet ihr, wie vielmahl die gegebene Krafft durch die Machine zu vermehren. Nehmet fuͤr 9 28 Theil 10. gantze, theils den Bruch zu vermeiden, theils weil noch einige Krafft noͤthig ſeyn wird, die Friction zu heben. Reg. 4. Weil 4. Maͤnner dieſe Laſt heben ſollen, ſo neh⸗ met zwo Waltzen, wovon eine jede mit zwey Stangen zu bewegen, und gebet einer jeden Stange ihre gehoͤrige Laͤnge, welche bey der 3. Reg. beſtimmet iſt. Nemlich, die Laͤnge einer jeden Stange ſoll ſich zur halben Dicke der Welle verhalten, wie 10. zu 1. (§. 101.). Reg. 5. Wo die Priction, diß iſt aus der Figur leicht zu ſehen, nemlich, wo die Zapffen liegen. Reg. 6. Wenn ihr die Lager und die Zapffen rund machet (§. 156.), beyde wohl poliret (§. 154.) und als⸗ denn auf gehöoͤrige Art einſchmieret (§. 155.), ſo wird die Priction durch wenige Krafft koͤnnen gehoben werden. Da nun aus der 3. Reg. leicht zu begreiffen iſt, daß noch einige Krafft uͤbrig ſeyn muͤſſe, ſo ſuchet dieſen Uberſchuß, ſo wird ſich bald zeigen, ob noch mehrere Krafft von noͤthen⸗ Daher ſprechet: 10:1 = 275:27 (§. 101.). ſo iſt es klar, daß die todte Krafft fuͤr einem jedem Manu 27 Pfund. Folglich behaͤlt ein jeder noch 2 ½ Pfund (Reg. 3.); und alſo alle vier zuſammen 10. Pfund. Su⸗ chet, wie vieleLaſt ſie mit dieſer Kraft durch Huͤlffe der gemach⸗ ten Machine halten koͤnnen. I: 10 = 10 : I00. So findet ihr, daß 100. Pfund fuͤr die Friction zu rechnen. Ob nun dieſes hinreichend, ſolches muß durch Verſuche ausge⸗ macht werden. . Mehrere Exempel will ich in den Fuͤrleſungen bey⸗ bringen. Der Tab. III. Mech. Fig. 28. 494 Der 4. Abſchnitt. Von den Der 4. Abſchnitt. BVon den Kraͤfften, wodurch die Machinen zu bewegen, und wie ſolche zu appliciren Erklaͤrung. §H. 164. Be Dinge, welche bey Bewegung der Machinen zu gebrauchen, ſollen entweder die Machinen in Bewegung ſetzen, oder ſie ſollen verurſachen, daß die Bewegung einer Machine gleichfoͤrmig bleibe. Dieſe will ich an dem Ende dieſes Abſchnittes, jene aber ſetzo beſchreiben. Die Dinge, welche eine Machine in Bewe⸗ gung ſetzen, koͤnnen die Wuͤrckung ihrer Krafft entweder ſelbſt befoͤrdern, oder ihre Kraͤffte muͤſſen durch andere Dinge wuͤrckend gemacht werden. Iſt jenes, ſo werden ſie lebendige, und wenn dieſes, lebloſe Dinge genennet. Lebendige Dinge ſind Menſchen und Thiere. Lebloſe Kraͤffte ſind das Gewicht oder die Schwere der Koͤrper; die ausdehnenden Kraͤffte oder die Federn; der Wind, das Feuer und das Waſſer. Anmerckung. §. 165. Die Wuͤrckung des Windes wird die Aerome⸗ trie, die Wuͤrckung des Feuers die Pyrobolik, und die Wuͤrckung des Waſſers die Hydroſtatik und Hydraulik beſchreiben. Erfahrung. §. 166. 1) Die lebendigen Dinge, das iſt, die Menſchen und Thiere koͤnnen mit einer gedop⸗ pel⸗ — — —,,— — —. — =— — — hiten he der Ne Mari chen dat leibe N jereebie leſthen entd lhonmden ſenes 1 3, leble oſchenre den Ki et u N 5 Ne Me dol n de nſnt dosſt r gnn 9 Kraͤfften, wodurch die Machinen zu bewegen, und ꝛc. 49 5 pelten Krafft des Leibes wuͤrcken, nemlich mit der Schwere des Leibes, und mir der Krafft, welche dem Leibe vermoͤge der Zuſammenſetzung der Theile beyzulegen. 2) Weder ein Menſch noch ein Thier kann eine ſolche Stellung des Leibes, wel⸗ che der gewoͤhnlichen und natuͤrlichen zuwider iſt, lange erhalten. Zuſatz. §. 167. Wenn man dieſe Erfahrung mit der Abſicht der Mechanik verbindet, ſiehe §. 1. ſl. ſo folget aus der erſten Erfahrung, daß die Ma⸗ chinen, welche durch lebendige Dinge zu be⸗ wegen, alſo zu ordnen, daß die lebendigen Dinge ſo wohl mit ihrer Schwere, als auch mit der uͤbrigen Krafft des Leibes wüͤrcken koͤnnen. Und aus der zweyten Erfahrung, daß ange⸗ fuͤhrte Machinen alſo zu bauen, daß die lebendi⸗ gen Dinge, wenn ſie die Machinen in Bewegung ſetzen ſollen, nicht noͤthig haben, die gewoͤhnli⸗ chen und natuͤrlichen Stellungen des Leibes zu veraͤndern. Erfahrung. §. 168. Die Groͤſſe der Krafft eines Men⸗ ſchen oder Thieres, kann durch allgemeine Saͤ⸗ tze nicht beſtimmet werden. Doch wird es nicht ohne Nutzen ſeyn, wenn wir das in zweiffelhafften Faͤllen annehmen, was ins gemein zutrifft, daß nemlich bey Menſchen und Thieren die Krafft, welche aus der Zuſammenſetzung der Theile entſtehet, ſo groß ſey, als die Schwere des Leibes. Zuſatz. §. 169. Wenn demnach der Menſch 1 Centner ſchwer iſt, ſo kann auch ſeine uͤbrige Krafft als ein Centner angenommen werden. Und wenn ein Pferd 496 Der 4. Abſchnitt. Von den Pferd 10. Centner ſchwer iſt, ſo kann man auch die uͤbrige Krafft des Pferdes fuͤr 10. Centner annehmen. Und ſo weiter. Siehe Leupold in Theatr. mach. gen. Cap. XVII. Erklaͤrung. §. 170. Thiere und Menſchen koͤnnen durchziehen, Treten, Stoſſen, Aufheben, Drucken, Drehen und ſo weiter die Machinen bewegen. In jedem Falle muß ihre Krafft durch beſondere Inſtrumente bey der Machine appliciret werden. Unter dieſen Inſtrumenten iſt fuͤr⸗ nemlich die Kurbel zu betrachten. Daher ich die Eigen⸗ ſchafft einer Kurbel kuͤrtzlich beſchreiben will. Man verſtehet durch eine Kurbel eine Stange, welche indem ſie herumgedrehet wird, eine Waltze zu bewegen ver⸗ moͤgend iſt. 1. Juſatz. §. 171. Aus der Abſicht der Kurbel erhellet, daß ihre Figur ſo wohl gerade, als auch krumm ſeyn koͤnne. Z. E. Tab. III. Mech. Fig. 29. iſt eine gerade, und Fig. 30. eine krumme Kurbel. §. 172. Eine Kurbel iſt ein Rad (§. 46.), und alſo iſt es klar, 1) daß durch eine Kurbel die Krafft koͤnne vermehret werden, welche Vermehrung durch Huͤlffe des §H. 101. zu beſtimmen. 2) Daß das Vermoͤgen der Krafft, indem ſie die Kurbel herumdrehet, bald ab⸗bald zunimmt, welches durch Huͤlffe des §. 102. ſ. zu berechnen. 3. Zuſatz. §. 173. Es iſt demnach die Bewegung durch eine Kurbel eine ungleichfoͤrmige Bewegung (§. 14. Dyn.). Erklaͤrung. §. 174. Weil ſich die Koͤrper rechtwincklicht gegen die Erde bewegen, wenn kein hinreichend, 9 Kiften W M)) geſetet Khrye aloder nhgent led 6 weget lder dasſe die eine e Kraͤfften, wodurch die Machinen zu bewegen, und ꝛc. 497 en nane Widerſtand geſetzet worden, (§. 10. Mech. §. 5§. ntnernnufne Dyn.); ſo kan auch dadurch eine Machine in Bewegung en ma geſetzet werden, daß man an derſelben einen ſchweren Koͤrper haͤnget, deſſen Druck gegen die Erde ſtaͤrcker, alls der Widerſtand, welchen die Machine zu ſetzen ver⸗ ſenduce moͤgend iſt. Wenn dieſes, ſo wird geſaget, daß die Ma⸗ ehnn chine durch ein Gewichte beweget werde. n Folena bl,deriti 1I. Zuſatz. umenin it §. 175. Soll eine Machine durch ein Gewicht be⸗ her ichdich⸗ weget werden, ſo muß man das Gewicht mit einer Kette ben del oder einem Seile alſo an die Machine befeſtigen, daß e,welee dasſelbige herunter ſteigen, und durch die ſe Bewegung u beſogee die Machine treiben koͤnne. Dieſes Steigen kann durch eine unter Rolle langſam gemacht werden (§ 54.) Anmerckung. belerſchil C. 176. Dieſes iſt die Urſache, warum man das Seil um Ummmnſeynttn eine Waltze windet, welche alſo befeſtiget, daß ſie, indem ſie ſich emo, herumdrehet, die gantze Machiue bewegen koͤnne 3 E das Gewicht E wird mit dem Seile an der Waltze CH befeſtiget, wenn nun das Gewicht E mit ſeiner Schwere herunter ſteiget, ſo ziehet es die Waltze C! herum, an dieſer iſt ein Stern⸗Rad 46 ), Wi B34 befeſtiget, wenn nun dieſes in ein Getriebe greiffet, ſo kan Krafftt dadurch eine gantze Machine beweget werden. Mehrere Arten a durci⸗ das Gewicht an der Machine zu befeſtigen ſind von Leupold in Theat. mach gen. Cap. XXI. umſtaͤndlich beſchrieben worden. imene 2. Juſatz. in . c& e nimnne §. 177. Wenn das Seil auf der Welle doppelt uͤber hnen. einander gewunden, ſo iſt die Peripherie der Welle in r dem erſten Gange groͤſſer, als in dem zweyten. Folglich Bentn iſt auch das Vermoͤgen der Krafft in dem erſten Gange ige op groͤſſer, als in dem zweyten (§. 102.), und alſo wird die Bewegung ungleichfoͤrmig. Soll demnach eine Machi⸗ ne durch ein Gewicht gleichfoͤrmig beweget werden, ſo tectnmt muß die Welle ſo groß ſeyn, daß das Seil nicht doppelt uͤber einander zu liegen komme. (Ji Er⸗ 498 Der 4. Abſchnitt. Von den Erklaͤrung. §. 178. Die Bemuͤhung der Koͤrper ſich wieder aus⸗ zudehnen, nachdem ſie ſind zuſammengedꝛuͤcket worden, heiſt die ausdehnende Krafft. 1. Zuſatz. §. 179. Je ſtaͤrcker die Krafft, welche einen Koͤrper, der ſich wieder ausdehnen kan, zuſammen druͤcket, und je ſchneller ſich ein ſolcher Koͤrper wieder ausdehnet, de⸗ ſto groͤſſer iſt deſſen ausdehnende Krafft. 2. Juſatz. §. 180. Wenn ein ſolcher Koͤrper dick oder breit, ſo wird mehr Krafft erfodert, denſelben zuſammenzudruͤ⸗ cken, als wenn er duͤnn oder ſchmal (§. 54. Dyn.). Folg⸗ lich hat ein Koͤrper von dieſer Art mehr ausdehnende Krafft, wenn er dick oder breit, als wenn er duͤnn oder ſchmal (§. 179.). Dicke Koͤrper, welche mit ihrer aus⸗ dehnenden Krafft wuͤrcken ſollen, ſind nicht wohl zu ver⸗ 2 arbeiten. Will man demnach eine ſtarcke ausdehnende Krafft haben, ſo muß man dieſe Koͤrper deſto breiter machen. . Erfahrung. §. 181. Ob zwar verſchiedene harte B.oͤrper, nachdem ſie ſind zuſammen gedruͤcket worden, eine ausdehnende Krafft haben, ſo behaͤlt doch Fiſch⸗ bein und Stahl, wenn beydes wohl iſt verarbeitet worden, den Vorzug. Erklaͤrung. §. 192. Ein Juſtrument, welches durch ſeine aus⸗ dehnende Krafft vermoͤgend iſt, einer Machine die Be⸗ wegung zu geben, heiſt in der Mechanik eine Feder. §. 183. Die beſte Materie, woraus Federn zu ver⸗ fertigen, iſt Fiſchbein und Stahl (§. 181.). ſtänden Leupo ſ. den 16 l. ſnſon lhen dns Utntund- niſſrſcker ſnſle ibnde le⸗ . Kraͤfften, wodurch die Machinen zu bewegen, und ꝛc. 499 2 ₰u ſatz. wiedetent §. 184. Das weſentliche, was bey Verfertigung fettrorde der Federn zu mercken, iſt, 1) Daß ſie dick, aber doch breiter als dick ſeyn muͤſ⸗ ſen (§. 180.). . 2) Daß ſie alſo zuſammengedruͤcket werden, daß ſie ne mit ihrer ausdehnenden Krafft ſtoſſen, aber doch ſolche B nicht verliehren koͤnnen (§. 178.). 8 6 3) Daß die zuſammendruͤckende Krafft allezeit gleich ſtarck bleibe, wenn die Feder unter einerley Um⸗ ſtaͤnden gleichfoͤrmig wuͤrcken ſoll (§. 179.). Siehe ddermen Leupold in Theatr. mach, gen. Cap. XXII. hmenn Anmerckung. n) §. 185. Die Federn, welche bey denühren gebraucht wer⸗ dehne den, koͤnnen dieſes voͤllig erlautern. C 1dim Brklaͤrung. Kelt „dSd.196. Die zweyte bſicht von den Kraͤfften, welche e G. 164. iſt angegeben worden, iſt die Bewegung gleich⸗ eut foͤrmig zu unterhalten. Denn, da in den Circul⸗Bewe⸗ le gungen das Vermoͤgen der Krafft bald ab⸗bald zu⸗ nimmt, und das Vermoͤgen der Federn, wenn die zuſam⸗ mendruͤckende Krafft abnimt, geringer wird; ſo muͤſ⸗ bin ſen bey ſolchen Bewegungen noch andere Kraͤffte appli⸗ ordef ciret werden, woferne dieſelben gleichfoͤrmig bleiben docſh ſollen. Zu der erſten Abſicht werden insgemein die beime Schwung⸗Raͤder, Perpendiculn und zuſammengeſetzte Kurbel gebrauchet. Daher wird es noͤthig ſeyn, daß ich deren Eigenſchafften kuͤrtzlich beſchreibe. Durch ein „Schwung⸗Kad wird em ſolches Inſtrument verſtan⸗ nen, welches, nachdem es einmahl in einem Cireul iſt be⸗ lde weget worden, dieſe Bewegung in einer gewiſſen Zeit etch. fortſetzen kann. uſatz. cdent §. 187. Alles, was die empfangene Circul⸗Be⸗ ) wegung durch ſich ſelbſt fortzuſetzen vermoͤgend iſt, „ kann als ein Schwung⸗Rad gebraucht werden i Ji §. 186. Ji 2 (§. 186.). 500 Der 4. Abſchnitt. Von den (§. 186.). Wenn man mit dieſem Satze die Erfahrung verbindet, ſo muß man behaupten, daß runde Scheiben, weilche duͤnn und ſchwer, und an bewegliche Cylinder befeſtigte Armen, an welchen proportionirliche Gewich⸗ te gehaͤnget worden, geſchickte Schwung ⸗Raͤder ſind. Erfahrung. §. 188. Kein Koͤrper iſt vermoͤgend, die empfan⸗ gene Lircul⸗Bewegung fortzuſetzen, wenn er nicht ſchnell iſt beweget worden. Zuſatz. §K. 199. Je ſchneller demnach ein Schwung⸗Rad kan beweget werden, deſto groͤſſer iſt deſſen Vollkom⸗ menheit (§. 186.). Lehr⸗Satz. d. 190. Durch die Schwung Raͤder kann die Cir⸗ cul⸗Bewegung einer Machine, wenn das Vermoͤ⸗ gen der applicirten Hrafft darum, weil ihre Entfer⸗ nung iſt verkleineet worden, abnimmt, gleich foͤr⸗ mig unterhalren werden. a I. Es werde das Schwunge Kad, wenn die Krafft in der Pig. 7. groͤſten Entfernung Z. E. in B. in Bewesung geſetzet, ſo 28. 7. pird es dieſe Bewegung, wenn die Krafft in F und alſo in einem geringern Vermoͤgen, ſortſetzen; ſolglich wird wegung der Machine zu unterhalten (§. 34. Dyn.). Wenn demnach die Krafft in der Bewegung des Schwung⸗Rades der Abnahme der Krafft, welche an der chine appliciret, propertionirlich iſt, ſo kann dieſes die Bewegung gleichſoͤrmig unterhalten⸗ Zu⸗ Hiſten⸗ Gehend heurth eiterc e. eſſtchettn Clche ſtl ſchri ehſan Aann dulgen lebern Roryer Giheſen dr ſe ſaene A Ene fil den es vermoͤgend ſeyn, durch ſeine Bewegung die Be⸗ ſenere Foden ſacht ſcheibe weder tehen g (8 6. Houpen Kraͤfften, wodurch die Machinen zu bewegen, und ꝛc. 509 en gedieEfthe Juſatz. Hrllde Schie §H. 191. Ueberleget den Beweiß, womit der vorher⸗ veglihein gehende Satz iſt beſtaͤtiget worden, ſo werdet ihr leicht loniſcebn beurtheilen koͤnnen, wie die Schwung⸗Raͤder bey Schngh einer Machine zu appliciren. Erklaͤrung. nd dien . 192. Durch die Perpendicul oder Dendul mahe verſtehet man in der Mechanik einen ſchweren Koͤrper, welcher ſolchergeſtalt iſt aufgehangen worden, daß er ſich mit ſeiner Schwere um einen Punct bewegen und wechſelsweiſe auf⸗und niederſteigen kann. Dieſes Schum Auf⸗und Niederſteigen wird die Oſcillation der Pen⸗ deſrh dul genennet. Lehr 7 Satz. §. 193. Wenn ihr eine Hendul AB in die Hoͤhe Tab. III. hebet nach Cund wiederfallen laſſet, ſo muß der Mech. uen Poͤrper B auf der andern Seite wiederum in die Eig. 32. liinkti Hoͤhe ſteigen bis in D, von dar wiederum hernie⸗ der ſteigen und in die Hoͤhe fahren bis in C, und n geichf ſo weiter. Beweiß. A iſt der Ruhe⸗Punct, und EF ſey die Horizontal⸗ richeftt Linie. Hebet den Pendul Aß in die Hoͤhe bis in C, heulg ſe ſo faͤllt die Directions⸗Linie des Koͤrpers CE auſſer ſftun dem Grund (§. 24.), ſolglich muß der Koͤrper mit En f ſeiner Schwere fallen (§. 27.). Weil er nun mit dem eſegentl Faden CA iſt aufgehaͤnget worden, ſo kann er nicht (5 ˙ 1 nach E fallen, ſondern muß den Circul⸗Bogen CB be⸗ agte ſchreiben. Wenn dieſer Koͤrper in B, ſo bleibt er ent⸗ er Kſem weder in Ruhe, oder er faͤhret fort, ſich mit der erhal⸗ rvnite tenen Krafft zu bewegen. Das erſte iſt unmoͤglich te (S. 66. Dyn.). Und alſo muͤſſen wir das zweyte be⸗ haupten. Da es nun aber der Faden AB verhindert, Ji 3 daß C Ner anni N. 510 Der 4. Abſchnitt. Von den Kraͤfften, wodurch ꝛe. daß der Koͤrper keine andere Linie beſchreiben koͤnne, als den Circul⸗Bogen BD, ſo muß er durch dieſen Bogen und zwar bis in D gehen (§S. 34. 36. 1 5. Dyn.). Iſt nun der Koͤrper in D, ſo kan es, wie zuvor, be⸗ wieſen werden, daß er wiederum nach B fallen, und von dar nach C ſteigen muͤſſe, und ſo weiter. W. Zuſatz. §K. 194. Hieraus erhellet, daß ein Pendul ver⸗ moͤgend ſey, nachdem er in Bewegung iſt geſetzet worden, mit ſeiner eigenen Krafft die Bewegung fortzuſetzen. Was demnach von den Schwung⸗Raͤ⸗⸗ dern §. 188⸗190. erwieſen, ſolches kan auch von den Penduln geſaget werden. Siehe mit mehrern Wolffi Elem. Math. Tom. II. Elem. Mech. Cap. IX. 1. Anmerckung. §. 195. Ueberleget die Gruͤnde, wodurch wir es beſtaͤ⸗ tiget haben, daß ſo wohl durch Penduln, als auch durch Schwung⸗Raͤder die Bewegung in der Circul⸗Bewegung der Machinen gleichfoͤrmig zu erhalten; ſo werdet ihr un⸗ mittelbar begreiffen koͤnnen, wie durch doppelte, drey⸗ und mehrfache Kurbel, ſiehe Fig. 33. Tab. III. gleiche Wurckungen hervorzubringen. 1 2. Anmerckung. §. 196. Sollte die Bewegung in einer Machine dadurch ungleichförmig werden, weil die Krafft, welche die Federn zuſammen druͤcket, nach und nach geringer wird; ſo lehret der §. 102. daß die Gleichfoͤrmigkeit in der Bewegung da⸗ durch zu erhalten ſey, wenn man die Entfernung der Krafft in der Proportion anwachſen laͤſt in welcher das Vermoͤgen zu druͤcken abnimmt. Welches auch bey den Taſch en⸗Uhren beobachtet wird. chbey ſ ELE- /vodirh elben fre durch dee 615 Dyo e gorte ſoleg nn e. N AEROMETRIAE ſ Oder en. N Erſte Gruͤnde Von der es heſ en Beſtimmung der Groͤſſe in den 68 Wurckungen der Lufft. Wudn: ,☛; en Er ſte Gruͤnde der AEROMETRIE Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤr⸗ Ekungen der Lufft uͤberhaupt. Lehr⸗Satz. ie LQufft hat eine widerſtehende Krafft. Vis iner⸗ . . DZ tiae aeris. Beweiß. Nehmet eine Flaſche, und ſetzet deren Oeffnung perpendiculaͤr auf ein Faß mit Waſſer. Drucket dieſe Flaſche mit voller Krafft in das Waſſer; ſo werdet ihr finden, daß oben in derſelben ein Raum leer bleibet, in welchen kein Waſſer hineindringet. Es muß alſo in der Flaſche etwas ſeyn, welches der Bewegung des Waſſers widerſtehet (§. 53. Dyn.). Da nun in der Flaſche nichts als Lufft; ſo muß die Lufft, wenn ſie iſt eingeſchloſſen worden, eine wider⸗ ſtehende Krafft haben. Stecket eine enge Roͤhre, welche unten und oben offen, in ein Faß mit Waſſer, nehmet die Roͤhre heraus, ſo faͤllt das Waſſer mit Ji § ſeiner Grauitas aeris. 514 Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe ſeiner Schwere wieder herunter. Stecket die Roͤhre wiederum in das Waſſer, druͤcket auf die obere Oeff⸗ nung den Daum, und ziehet alsdenn die Roͤhre her⸗ aus, ſo bleibt das Waſſer in der Roͤhre haͤngen. Folglich muß etwas bey der untern Oeffnung der Roͤhre dem Fall des Waſſers widerſtehen (§.5z. Dyn). Da nun auch hier nichts als Lufft iſt, ſo iſt es uͤberhaupt erwieſen worden, daß die Lufft eine widerſtehende Krafft habe. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 2. Aus der erſten Erfahrung will ich in den Fuͤrleſungen die Campanam vrinatoriam erflaͤren, wovon Sturm im Col- legio experimentali umſtaͤndlich gehandelt. 1. Zuſatz. §. 3. Aus der zweyten Erfahrung erhellet, daß die obere Lufft auf die untere druͤcke, und dieſes beſtaͤtiget, daß wir der Lufft eine Schwere beylegen muͤſſen (§. IO. Mech.). §. 4. Indem alſo die Lufft eine widerſtehende Krafft (§. 1.), und eine Schwere hat (§. 3.), ſo wird nicht ohne Grund behauptet, daß ſie etwas koͤrperliches ſey, das iſt, daß ſie eine Krafft habe. Vis elaſtica d. F5. Die Aufft laͤſt ſich zu ammen druͤcken un aeris. hat eine ausdehnende Krafft. “ Beweiß. Nehmet eine Lammes⸗Blaſe, und blaſet dieſelbe mit dem Munde auf; bindet ſie alsdenn feſt mit einem Bindfaden, daß keine Lufft heraus kan. Druͤcket als⸗ denn die Blaſe mit der Hand, ſo werdet ihr geſtehen, es laſſe ſich die darin verſchloſſeneLufft zuſammen druͤcken. Nehmet die Hand wieder weg, ſo wird ſich die zuſam⸗ mengedrüͤckte Lufft wiederum ausdehnen. W. Z. E. W. Lehr⸗ 4 ſcne⸗ D5 O icſe ober N. dcketdiedte ge obert die Riet Roͤhre ice Oeßfele) en(Ke kes ibt Nidetſite⸗ en Fitlſer Sturnini⸗ helet it ſeheſic, nſſen’, ,deKrof dird it drlichest⸗ ſcken he teen kr oſe iget Vdbft ſe e N. in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 515 Lehr⸗Satz. §. 6. Die obere Lufft druͤcket die untere zu⸗ ſammen. . Beweiß. Die obere Lufft druͤcket auf die untere (§. 3.). Die Lufft laͤſt ſich zuſammen druͤcken (§. 5.), folglich muͤſſen wir es geſtehen, daß die untere Lufft von der oberen zuſammen gedruͤcket werde (§. 71. Dyn.). Zuuſatz. §. 7. Wird demnach die obere Lufft von der unte⸗ ren weggenommen, ſo dehnet ſich die untere Lufft aus (§. 178. Mech. S. 55§. Mech.). Folglich wird dieſe duͤnner. 1. Anmerckung. §. 8. Dieſer Satz iſt der Grund von dem Bau der Lufft⸗ Pumpe. Zeit und Koſten zu erſparen will ich hievon nicht umſtandlicher ſchreiben, ſondern in meinen Fuͤrleſungen wer⸗ de ich meine Lufft⸗Pumpe, (welche der ehemalige Mecha- nicus in Leipzig Leupold verfertiget, und ein geſchickter Schuͤ⸗ ler von dieſem, nemlich unſer Mechanicus in Jena Ulich in vie⸗ len Stucken verbeſſert) ſtuͤckweiſe zergliedern, den Bau dieſer Machine nach mathematiſchen Regeln beſchreiben, und aus dieſen folgern, wie eine ſolche Machine zu verbeſ⸗ ſern ſey. 2. Anmerckung. §. 9. Wer ein Liebhaber allgemeiner Saͤtze, der mercke folgende Gedancken. Die Lufft⸗Pumpe iſt eine Machine, wo⸗ durch man einen Ort von Lufft leer machen will. Das Genus von Lufft iſt, ein fluͤßiger Koͤrper. Wer demnach eine Lufft⸗ Pumpe erfinden will, der muß eine Machine erfinden, durch deſſen Huͤlffe ein Ort von einem fluͤßigen Koͤrper leer zu ma⸗ chen. Waſſer iſt auch ein fluͤßiger Koͤrper. Wir haben ver⸗ ſchiedene Machinen, durch deren Huͤlffe ein Ort von Waſſer leer zu machen. Wer demnach die Logik, die Mechanik und die Natur der Lufft verſtehet, der wird ohne vieles Nach⸗ ſinnen Lufft⸗Pumpen erfinden, und erfundene verbeſſern koͤnnen. Lehr⸗ 516 Der 1. Abſchnitt. Von Erſindung der Groͤſſe Lehr⸗Satz. §. 10. Die ausdehnende Krafft der unteren Lufft iſt gleich dem Drucke der obern. Beweiß. Die ausdehnende Krafft eines Koͤrpers iſt eine Wuͤrckang von der Staͤrcke, mit welcher der Koͤrper iſt zuſammen gedruͤcket worden (§. 178.). Folglich iſt die ausdehnende Krafft allezeit dem beſtimmtem Drucke gleich (§. 34. Dyn.). Da nun die ausdeh⸗ nende Krafft der untern Lufft eine Wuͤrck ing von dem Drucke der obern (§. 6.); ſo iſt auch die ausdehnen⸗ de Krafft der untern Lufft gleich dem Drucke der oberen. 1. Zuſatz. §S.1I1. Wird demnach die untere Lufft duͤnner, ſo muß die obere weniger druͤcken, und alſo verliehret ſie etwas von ihrer Schwere (§. 10. Mech.). §. 12. Wie viel die obere Lufft druͤcket, ſo viel wi⸗ derſtehet die untere (§. 10.). Folglich kann in frey⸗ er Lufft die Groͤſſe von dem Drucke der oberen Lufft nicht wahrgenommen werden. Will man alſo dieſe be⸗ ſtimmen, ſo muß man entweder die untere Lufft weg⸗ nehmen, oder auf der einen Seite einen leeren Raum machen, in welchen das von der Lufft gedruͤckte weichen koͤnne. Anmerckung. Vielleicht ſcheinet es einigen, als wenn das unſerer Lehre widerſpreche, daß die Schwere der ſichtbaren Koͤrper von dem Stoſſe der Lufft abhange. Wem das ſcheinet, der unterſcheide die Bewegung von dem Drucke, ſo wird der Schein bald verſchwinden. Lehr⸗ n tole. oet Wſn W mace tnerch ſowe tet, in d (5. der der Ulte er Griſe er untan ers Ei der ſ eſtiintnt bond usdeher Nucket hn/ hreſ⸗ AW aft en de tnn D in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 517 Lehr⸗Satz. §. 13. Die obere Lufft iſt duͤnner als die un⸗ tere. . Bewei ß. Leget in der untern Lufft eine Kugel, welche voller Lufft iſt, und die ihr mit einem Hahn verſchlieſſen koͤnnt, daß keine Lufft heraus kann, auf die Waage, und mercket ihre Schwere. Traget dieſe Kugel auf eine merckliche Hoͤhe, und ſuchet wiederum ihre Schwere, ſo werdet ihr finden, daß ſie in der oberen Lufft ſchwe⸗ rer, als in der unteren. Folglich muß die Lufft in der Hoͤhe weniger widerſtehen, als in der Tieffe (§. 32. Dyn.). Woraus erhellet, daß die Lufft in der Hoͤhe weniger zuſammen gedruͤcket wird, als in der Tieffe. Es iſt alſo die Lufft oben dünner, als unten. Anmerckung. Auch dieß beſtaͤtiget meine Gedancken von der Urſache der Schwere der Koͤrper. 1. Zuſatz. H. 14. Die Lufft iſt nicht allenthalben von gleicher Schwere (§. 11.). Folglich iſt es nicht moͤglich, genau zu beſtimmen, wie ſchwer die Lufft ſey⸗ §. 15. Wer demnach die Schwere der Lufft beſtim⸗ met, der kan nur behaupten: Jetzt wieget die Lufft, in dieſer Hoͤhe, ſo viel. Hieraus erhellet es, daß, bey Unterſuchung der Schwere der Lufft, nur folgende Aufgaben aufzuloͤſen. . 1) Wie ſchwer iſt die Lufft in einer beſtimmten Hoͤ⸗ he zu einer beſtimmten Zeit. 2) Wie verhaͤlt ſich die Schwere der Lufft in einer beſtimmten Zeit in verſchiedenen Hoͤhen. 3) Wie verhaͤlt ſich die Schwere der Lufft in einer beſtimmten Hoͤhe in verſchiedenen Zeiten⸗ Auf⸗ 518. Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe Aufgabe. §. 16. Zu erfahren, wie viel die umſtehende Lufft, auf eine Flaͤche, in einer beſtimmten Zeit, druͤckt. D Aufloͤſung. 1) Laſſet zwo halbe hohle Kugeln aus Meßinge Dicke des Meßinges 22. Scr. Und alſo der gantze Diameter 658. Ser. Das iſt, bey nahe 6. Zoll und 6. Linien. Rings um dieſe Kugeln herum macht einen Rand von 37. Ser. welcher von der Seite, wo die Ku⸗ geln zuſammen gefuͤget werden, gantz platt iſt. (Die Raͤnder müuͤſſen alſo ausgearbeitet werden, daß in der einen Kugel⸗Helffte die Kugel uͤber die platte Seite des Randes ein paar Linien hoch vorgehet, in der an⸗ deren hingegen um ſo viel vertieffet iſt, damit ein Theil auf den andern paſſet und keiner von dem andern ab⸗ gleiten kan). Da nun die Lufft perpendieulaͤr gegen die Erde druͤcket, ſo iſt es eben ſo viel, als wenn an ſtatt der halben Kugeln, nur zwo Platten waͤren, die im Dia⸗ meter ſo breit, als der groͤſte Circul dieſer Kugel mit dem breiten Rande, daran ſie einander beruͤhren, folg⸗ lich 695⁵. Ser. 2) An der einen Kugel befeſtiget einen Hahn. Mit dieſem ſchraubet die Kugel auf die Lufft⸗Pumpe, nach⸗ dem die beyden halben Kugeln wohl zuſammen geſetzet, daß keine Lufft hineindringen kan. Alsdenn pumpet die Lufft heraus. 4 3) Schluͤſſet den Hahn zu, und nehmet die Kugel von der Lufft⸗Pumpe, ſo habt ihr in derſelben einen Raum, welcher leer von Lufft iſt. Folglich iſt die Ur⸗ ſache, warum dieſe halbe Kugeln ſo feſt zuſam men hal⸗ ten, in dem Drucke der umſtehenden Lufft enthalten. Folglich muß dieſe mit ſoviel Krafft drucken „als erfo⸗ dert wird, die beyden halben Kugeln von einander zu bringen (§. 34. Dyn.). 4) Dieſe gieſſen, ſo daß der Diameter im Lichten 636. Scr. Die 4 n wel gen lün nit Ge Pundn Pdng N. dne tel ⸗ ctn .* er Gie in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 519 4) Dieſe zu erfahren, ſo laſſet ein Geſtelle machen, umnſthg in welchem ihr die Kugel mit dem einem Ende haͤn⸗ mmn3. gen koͤnnet. An der andern Seite haͤnget eine Waage mit Gewichten. So werdet ihr finden, daß uͤber 776. Pfund noͤthig, die beyden halben Kugeln von einander . beingen. 16 M, zu eck Anmerckung. derße §. 17. In den Fuͤrleſungen will ich bey dieſem Experiment Z 1 alles umſtaͤndlich zeigen, was bey dieſen halben Kugeln, de⸗ Aln ren Zuſammenſetzung, bey dem Hahn und bey dem Geſtelle zu Wocfteen mercken iſt. ,wod Zuſatz. tiſ §. 18. Es iſt alſo klar, daß die umſtehende Lufft dnft auf einer Circul⸗Flaͤche, deren Diameter 695. Ser. latte mit 776. Pfund druͤcken koͤnne (S. 16.). Will man I⸗ ſagen, drucket, ſo behauptet man etwas, das man nicht hitarche allgemein beweiſen kann. nden i⸗ . rolende Au fgabe. . 19. Ohne den Gebrauch fluͤßiger Koͤrper, zu „His erfahren, wie viel in einer beſtimmten Hoͤhe von Amdt der Erde, die obere Lufft auf eine gewiſſe Flaͤche ſh druͤcket. . Au floͤſung. ahn N 1) Nehmet eine von den zuvor zubereiteten hal⸗ e nt ben Kugeln, ſetzet ſolche wohl verwahrt auf den eugtſet⸗ Teller der Lufft ⸗Pumpe, und alsdenn evacuiret pun dieſelbige. 4 2) Wenn dieſes geſchehen, ſo haͤnget den Haacken, dieg der an der Kugel befeſtiget, an den Arm eines Waa⸗ ge⸗Balckens, und auf die andere Schaale leget ſo 4 lange Gegen⸗Gewichte, bis die halbe Kugel von dem nnrth Teller losgeriſſen wird. hir. 3) Rechnet nach den Regeln der Mechanik aus, al⸗ wie ſtarck der Gegen⸗Druck von der Kugel gewe⸗ onert ſen (§. 91. ſſ. Mech.). Wenn ihr nun von dieſer . Summa 520 Der 1. Abſchnit. Von Erfindung der Groͤſſe ihr gefunden, wie ſtarck die obere Lufft in der beſtimm⸗ ten Hoͤhe von der Erde, zu der geſetzten Zeit, auf einen Cireul, deſſen Diameter 69 5†. Ser⸗, gedrucket (§. 89. A. M.). Z. E. wie ich in meinem Auditorio dieſes Experiment gemacht, ſo habe ich gefunden, daß die halbe Kugel mit 586. Pfund gedruͤcket. Da nun die halbe Kugel fuͤr ſich 13. Pfund ſchwer, ſo muß die o⸗ bere Lufft auf die beſtimmte Flaͤche mit 573. Pfund gedruͤcket haben. Erfahrung. §.20. Fuͤͤllet eine Roͤhre, die uͤber 32. Khein⸗ laͤndiſche Schuh lang iſt, mit Waͤſſer. Verſtopf⸗ fet ſie oben, daß keine kufft hinein kan, und un⸗ ten verſchlieſſet ſie mit einem Gahne. Kichtet die Roͤhre gerade auf, und ſetzet den Hahn ins Waſſer. Wenn ihr den Hahn aufmachet, ſo wer⸗ det ihr, wie des Groß⸗Hertzogs zu Florentz Gaͤrtner zu erſt wahrgenommen, erfahren, daß das Waſſer anfange heraus zu lauffen, hingegen bald aufhoͤre zu fallen, wenn es 3 1. bis 32. Rhein⸗ laͤndiſche Schuhe hoch ſtehet. Erfahrung. §. 21. Weil dieſe Roͤhren bey dem Experimen⸗ tiren wegen ihrer Laͤnge ſehr unbequem, ſo hat Torricellius ſolches mit einer fiͤͤßigen Materie, welche ſchwerer als Waſſer, nemlich mit Cueck⸗ ſilber verſuchet, als welches 14. mahl ſo ſchwer als das Waſſer, und gefunden, daß ſolches bey nahe 28. Zoll hoch in einer glaͤſernen Roͤhre, wel⸗ che oben bermetice ſigilliret, ſtehen geblieben. Es wird dieſe Roͤhre von ihrem Erfinder die Torri⸗ cellianiſche Roͤhre genennet. Lehr⸗ Summa die Schwere der Kugel ſubtrahiret, ſo habt ſlber, cellinn dos bleibe Ne⸗ Nen. Planp uß Ous den en⸗ bise lo ſben Glſſt y 0 ee H DH. — — ung der Crſe bbtrahiret ſe lfftin derteiſt ten Jeit infen „gedrucke G 1 Auditorie N gefunden duf icket. Dam wer, ſomnuhin nlt 73, ber 32. ſer. Vi Ikon, m zhne. N den o ſnncher ſn , zu NRon Nahter, N in hingege 632. Wer Etoere qnen, gen ihn c nlin Iſrr * in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 521 Lehr⸗Satz. §. 22. Der Druck der obern Lufft auf das Bueck⸗ ſilber, welches in der Schasle, in welcher die Corri⸗ cellianiſche Roͤhre geſetzet, iſt der Grund, warum das Queckſiber in dieſer Roͤhre 28 Zoll hoch ſtehen Beweiß. Nehmet eine glaͤſerne Glocke mit einer weiten glaͤſer⸗ nen Roͤhre, und ſetzet unter dieſe auf den Teller der ufft⸗ Pumpe, die Torricellianiſche Roͤhre. Wenn ihr nun die Lufft wegpumpet, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß das Queckſilber nach und nach herunter faͤllet. Laſſet durch den Hahn wieder Lufft hinein, ſo werdet ihr wahrneh⸗ men, daß das Queckſilber wieder nach und nach ſteiget, bis es bey nahe 28. Zoll hoch. Wer will es demnach laͤugnen, daß der Druck der obern Lufft auf das Queck⸗ ſilber, welches in der Schaale, in welcher die Torricelli⸗ aniſche Roͤhre geſetzet worden, der Grund iſt, warum daniber ceſeiber in der Roͤhre 28. Zoll hoch ſtehen eibet. 5 bleibet. Anmerckung. §. 23. Dieſes noch weiter zu beſtaͤtigen, ſo gieſſet auf das Queckſilber, welches in der Schaale iſt, Waſſer, ſo wird das Queckſilber ſo gleich etwas hoͤher ſteigen. In den Fuͤrleſungen will ich zcigen 1) Wie ſolche Roͤhren zu fuͤllen. 2) Wie ſie hermetice zu ſigilliren. 1. Zuſatz. §. 24. Je mehr demnach die obere Lufft auf die beſtimmte Schaale druͤcket, das iſt, je ſchwerer die obere ufft iſt (§. 3.), deſto hoͤher muß das Queckſilber in der Torricellianiſchen Roͤhre ſteigen; wird ſie aber leichter, ſo muß das Queckſilber niederfallen (§. 34. Dyn.). Kk 2ð 522, Der 1. Abſchnitt. Von Erſindung der Groͤſſe 2. Zuſatz. §. 25. Hieraus erhellet, daß das Queckſilber in der Torricellianiſchen Roͤhre in einer Tieffe hoͤher ſtehen muͤſſe, als auf einem erhabenem Berge (§. 13.). 3. Zuſatz. §. 26. Wenn wir es beſtimmen koͤnnen, wie viel Krafft erfodert wird, das Queckſilber in der Torricellia⸗ niſchen Roͤhre 28. Zoll hoch zu halten, ſo wiſſen wir auch, wie ſtarck die obere Lufft, in der beſtimmten Hoͤhe, auf die geſetzte Schaale druͤcket. Lehr⸗Satz. §. 27. Die Lufft iſt in einer beſtimmten Hoͤhe nicht allezeit gleichſchwer. Beweiß. Fuͤllet eine Torricellianiſche Roͤhre, und ſetzet ſol⸗ che an einen gewiſſen Ort, ſo werdet ihr wahr⸗ nehmen, daß die Hoͤhe des Queckſilbers offt veraͤn⸗ dert wird. Da nun dieſe Veraͤnderung unmoͤg⸗ dich iſt, wenn die Schwere der oberen Lufft unveraͤn⸗ derlich e⸗ 24.); ſo iſt es klar, daß die Lufft in einer beſtimmten Hoͤhe nicht allezeit gleich ſchwer. W. Z. E . W. Zuſatz. 28. Je leichter die obere Lufft, deſto kleiner iſt Ddie usdehnende Krafft der unteren Lufft (§. 10.). Wir muͤſſen es demnach geſtehen, daß auch die ausdehnende Krafft der unteren Lufft vielen Veraͤnderungen unter⸗ worffen ſey (§. 27.). Erklaͤrung. §. 29. Ein Inſtrument, wodurch die Veraͤnderung in der Schwere der Lufft abzumeſſen, wird ein Barome- rum oder auch Baroſeopium genennet. 1. Ju⸗ in den W .. ein Boror K.zi erkennene Lufftinden Indern N Weg tnſhen Uhele Line 1) Nehn Warkennch ler werden Auckflerfi ſene . l Aßtunkz ſchten. 2) Ren tice, und ſ ne luft i 9)Dene elche nie 9 Ver ig in den N ch D 9). ling intr g N chen er Gr⸗ dckſiberi G , nen, nenl erTorrian O biſenn intenh Inten nd ſec r ti⸗ Uffnrn Al Neui r klenri . NE . 10 ehni⸗ hgernin ſCctonc Nunm- 1. 5 in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 523 1. ₰ u ſa tz. §. 30. Folglich kan aus der Torricellianiſchen Roͤhre ein Barometer gemacht werden (§. 22. fl.). 2. Zuſatz. S. 3 I. Durch Huͤlffe des Barometers iſt es nicht zu erkennen, wie ſchwer die Lufft, ſondern 1) Wie ſich in einer gewiſſen Hoͤhe die Schwere der Lufft in der einen Zeit, zu der Schwere der Lufft in einer andern Zeit zerhalte. 2) Wie ſich die Schwere der Lufft in einer beſtimm⸗ ten Hoͤhe, zu der Schwere derLufft in einer andern Hoͤhe verhalte. Aufgabe. §. 32. Einen Barometer zu verfertigen. Aufloͤſung. 1) Nehmet eine glaͤſerne Roͤhre, deren Laͤnge und Weite nach der Schwere der Materie, womit ſie ſoll ge⸗ fuͤllet werden, einzurichten. Z. E. wollt ihr ſolche mit Queck ſilber fuͤllen, ſo nehmet eine Roͤhre, welche wenig⸗ ſtens 33. Zoll lang, weil das Queckſilber bey ſchwerer Lufft auf 32. Zoll ſteiget, und 1. 2. bis 3. Linien weit im Lichten. 2) Den oberſten Theil dieſer Roͤhre ſigilliret herme⸗ tice, und fuͤllet ſolche alſo mit Queckſilber, daß oben kei⸗ ne Lufft uͤbrig bleibet. 3) Den offenen Theil der Roͤhre ſetzet in eine Capſel, welche mit Queckſilber gefuͤllet. 4) Vermoͤge der Erfahrunge,iſt die groͤſte Veraͤnde⸗ rung in dem Steigen und Fallen des Queckſilbers 2 Zoll, auch wohl, wie Leupold im Theatro Aéroſtatico Cap. II. angemercket, 4 Zoll. Daher theilet den oͤber⸗ ſten Theil der Roͤhre, in der beſtimmten daͤnge,in ſo viele gleiche Theile, als es gefaͤllig iſt: (ein ſolcher Theil wird auch ein Zoll genennet) ſo koͤnnet ihr durch dieſe Ein⸗ K k 2 thei⸗ 524 Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe theilung das Steigen und Fallen des Queckſilbers, und alſo auch die Ab⸗ und Zunahme in der Schwere derLufft beſtimmen (§. 31.). Anmerckung SF. 33. Aus den Gruͤnden, woraus die Rerſertigins von dem Barometer gefolgert wird, iſt es leicht zu begreiffen, daß bey Verbeſſerung dieſer Inſtrumenten zu ſehen, 1) Auf die Capſel, in welcher das Queckſilber, worin die Roͤhre,ſo mit Oueckſilber gefuͤllet, geſetzet. Muß ein Deckel kommen. Bleibt dieſe offen, ſo kan man den Barometer nicht bequem von einem Ort nach dem andern tragen. Der Staub kan auch das Queckſilber verderben, und ſo weiter 2) Auf den oberen Theil in der Rohre. Bleibet in dieſem Lufft, ſo druͤcket auch ſolche auf bas Queckſilber, folglich kan es nicht in gehoͤriger Proportion ſteigen. Es befoͤrdert demnach die Vollkommenheit des Barometers, wenn man dieſen Theil etwas groß oder weit machet. Denn ſolte noch etwas Lufft darin bleiben, ſo behaͤlt dieſe Raum ſich auszudehnen, und kan alſo keine groſſe Veraͤnderung machen. 3) Auf den Raum, in welchem das Queckſilber ſteigt und faͤllt. Denn kan dieſer groͤſſer gemacht werden, ſo wird das Steigen und Fallen empfindlicher. Folglich iſt das Ab⸗ und Zuehmen in der Schwere der Lufft genauer zu beſtim⸗ men. Woraus die Verbeſſerung der Barometer zu er⸗ klaͤren, welche dem Guerick, Ramazzino, Bernulli und an⸗ dern zuzuſchreiben. Siehe Leupold in Theatro Acëroſtatico Cap. II Erfahrung. §. 34. Nehmet einen hohlen Cylinder von Blech etwa 3. Ellen lang, dieſen haͤnger an den Arm einer Waage. Fuͤllet den ſelben mit Waſſer, und in das Waͤſſer haͤnget einen Stein, welcher ſo viele Schwere hat, daß er in das Waſſer niederſincken kan. Dieſen Stein haͤnget mit einem ſubtilen Faden an dem Armen des Waage⸗Balckens. An den an⸗ dern Arm haͤnget ein Gegengewicht, bis der Waa⸗ ge⸗Balcken horizontal ſtehet. Zerſchneidet den Fa⸗ den den, wird welch Hoͤhe leichen rer ſi er⸗ er N. 1 bleit bold F un G Feug kunen deit A. wyed er Griſe Eſtlbersni wetedereff in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 525 den, womit der Stein an der Waage haͤnget, ſo wird dieſer Arm des Waage⸗Balckens, an welchem der Cylinder haͤnget, ſo lange in die Hoͤhe fahren, bis der Stein den Boden er⸗ reichet. ſertinme . Zu ſatz. egreſftc §. 35. Haͤnget in einer fluͤßigen Materie ein ande⸗ . rer Koͤrper, ſo vermehret ein ſolcher die Schwere der i fluͤßigen Materie, ſo lange er haͤngen bleibet. So bald nonir er aber in der fluͤßigen Materie herunterſteiget, ſo hoͤret 1 Deel er auf, die Schwere dieſer Materie zu vermehren (§. ter 3 90. ſl. Mech.). ibetitct alaltir Erfahrung. Nrn §. 36. In der Qufft ſind feuchte Particuln. en §. 37. Wenn die Feuchtigkeit in der Lufft haͤngen bleibet, ſo vermehret ſolche die Schwere der Lufft. So ec bald aber ſolche herunter faͤllt, wird die Lufft leichter 6Aeun (F. 35.). . . d §. 38. Folglich kan man aus dem Steigen und Audls Fallen des Queckſilbers in dem Barometer das Her⸗ unterfallen der Feuchtigkeit in der Lufft beſtimmen (§. 3 1. 22.). .— Erklaͤrung. NreNH §. 39. Wenn es regnet oder ſchneiet, ſo faͤllt die adom Feuchtigkeit in der Lufft herunter. Von dem Winde mn koͤnnen wir keine andere Merckmahle wahrnehmen, ei als eine ſchnelle Bewegung in der Feuchtigkeit der lndn Anmerckung. ,dene §. 40. Dieſe Eigenſchafft des Windes kan auf folgende Art Tab. Aer. w erwieſen werden. Laſſet euch eine hohle Buͤchſe von Kupffer ma⸗ Pig. I. derl, chen, mit einer engen Roͤhre CD. Dieſe verwahret wohl, daß N Ei⸗ rden weder Lufft hinein noch herans kan, als durch die Oeffnung C. 526 Der x. Abſchuiit. Von Erfindung der Groͤſſe Einen Theil dieſer Buͤchſe fuͤllet mit Waſſer, und alsdenn ſetzet ſolche ins Feuer. So bald ſie heiß wird, werdet ihr wahrneh⸗ men, daß aus der Oeffnung C ſo lange ein heftiger Wind faͤh⸗ ret, als in der Buͤchſe Waſſer iſt. Zuſatz. §. 41. Es iſt demnach das Fallen des Queckſilbers in dem Barometer ein Zeichen von Regen, Schnee oder Wind, und das Steigen ein Zeichen vom ſtillen und trockenen Wetter (§ 38. 39.). Erklaͤrung. §. 42. Ein Inſtrument, durch deſſen Hüulffe die Ver⸗ haͤltniß in der Staͤrcke des Windes zu meſſen, wird Anemometron oder eine Wind⸗Waage genennet. Aufgabe. §. 43. Ein Anemometron zu verfertigen. Aufloſung. 1) Setzet in freyer Lufft eine Flaͤche, welche durch den Stoß des Windes leicht kan beweget werden. . 2) Befeſtiget dieſe Flaͤche an einer Welle, welche mit der Flaͤche beweglich, und folglich, indem der Wind die Flaͤche beweget, mit beweget wird. 3) An dieſer Welle befeſtiget alſo eine Laſt, daß deſſen Entfernung vermehret wird, wenn ſie von der Welle iſt gehoben worden, damit ſie nicht durch den Stoß, der ſolche in eine gewiſſe Hoͤhe gebracht, in eine andere Hoͤhe koͤnne geſetzet werden (§. 102. Mech.). 4) An der Machine befeſtiget einen Quadranken, der in ſeine 900 getheilet, und an der Welle befeſtiget einen Zeiger, welcher, indem die Welle herumgetrieben wird, denjenigen Grad zeiget, in welchen die Laſt von dem Winde iſt gehoben worden. Da nun die wuͤrckende Krafft der Wuͤrckung gleich iſt (§. 34. Dyn.), ſo koͤn⸗ 3 net Et ſin ene. ſhie deh Uen B 4 ng der Griſe „und alsdennſe erdet ihr pehnn heftiger Wnnf⸗ des OQlefſl gen, Schnitk 1 von ſtilint Huͤlffedien u Mmeſen t e gelenter. tigen⸗ che, tel. faß Nntt e KGer der Wien Me N wenn ſie icht durcftl he Cehrni eden Qunrhonn elekiiſtht tungeierr 1dieltte eirkten ,n)/ ſole 1 in den Wuͤrckungen der Lufft uberhaupt. 527 net ihr durch dieſe Machine die Verhaͤltniß in der Staͤr⸗ cke des Windes, zu verſchiedenen Zeiten, beſtimmen. Folglich iſt eine Machine, welche nach dieſen Regeln ge⸗ bauet worden, ein Anemometron (H. 42.). 1. Anmerckung. 6. 44. Aus dieſen Regeln koͤnnet ihr alle Structuren von Anemometris, welche Leupold Cap. X. Theatr. Aeroſtat. um⸗ ſtaͤndlich beſchrieben, beurtheilen, und nach Befinden derum⸗ ſtaͤnde verbeſſern. Zur Deutlichkeit will nach dieſen Regeln eine Structur zu einer Wind⸗Waage angeben. 1) Machet Wind⸗Fluͤgel A. B. und ſetzet dieſe hori⸗ zontal⸗ damit der Wind aus allen Gegenden ſolche ſtoſſen oͤnne. 2) An der Welle dieſer Fluͤgel CD befeſtiget ein horizontal Stirn⸗Rad FE, welches mit ſeinen Stirnen das Perpendicul⸗ Rad F treibet. 3) Auf der Welle dieſes Rades G machet eine Schranbe ohne Ende, welche mit ihren Gaͤngen das Perpendicular⸗ Stirn⸗Rad H treibet. 4) An der Welle dieſes Rades H befeſtiget perpendiculaͤr einen Arm Ul, welcher ausgehoͤhlet, damit ihr auf denſelben eine Laſt Llegen, und, nach dem es diellmſtaͤnde erfodern, ver⸗ ſchieben koͤnner. 3) An dieſem Arm befeſtiget aus dem Mittel⸗Punet der Welle rechtwincklicht einen Zeiger K. Und auf dem aufferen Gehaͤuſe der Machine beſchreibet aus dieſem Mittel⸗Punct ei⸗ nen Quadranteu, ſo habt ihr nach obigen Regeln eine Wind⸗ Waage gebauet. 2. Anmerckung. J. 45. Denn wenn der Wind mit der Staͤrcke ſeiner Krafft an die Fluͤgel ſtoͤſſet, ſo treibet er die Welle CH herum. Dieſe beweget durch Huͤlffe des Rades E das Rad F. Dieſes drehet die Schraube FC, und dieſe beweget das Stirn⸗Rad HI. Durch die Bewegung dieſes Rades wird der Arm HI, und folglich die Laſt Lgehoben. Hierdurch wird die Entfernung derLaſt kleiner (F. 102. Mech.). Folglich wird immer mehrere Krafſt erfodert, dieſe Laſt zu heben. Es iſt demnach nicht moͤglich, daß diejenige Staͤrcke des Windes, welche dieſe Laſt bis in den 300 erhoben, ſolche noch hoͤher heben ſollte. Und alſo iſt es klar, daß wir durch dieſe Machine die Verhaͤltniß in der Staͤrcke des Win⸗ des beſtimmen koͤnnen. Klk 4 Lehr⸗ Tab. Aerom. Pig. 2. 528 Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe Lehr⸗Satz. §. 46. Die Lufft wird durch die Waͤrme ausge⸗ dehnet. . Beweiß. Nehmet eine Blaſe, darinnen gantz wenig Lufft iſt, und bindet ſie zu. Haltet ſie uͤber ein Kohl⸗Feuer, doch nicht zu nahe, daß ſie nicht verbrennet; ſo werdet ihr ſe⸗ hen, daß ſich die Blaſe ausdehnet. Nehmet die verſchloſ⸗ ſene Blaſe von dem Feuer wieder weg, ſo faͤllt ſie nach und nach wieder zuſammen. Folglich muß in der Waͤr⸗ me der Grund enthalten ſeyn, warum ſich die verſchloſſe⸗ ne Blaſe ausdehnet. Da nun in der Blaſe nichts, als ein wenig Lufft, ſo iſt es vollkommen erwieſen, daß die Lufft von der Waͤrme ausgedehnet werde. W. Z. E. W. 1. Zuſatz. S§. 47. Es erhellet hieraus ferner, daß durch die Waͤrme die ausdehnende Krafft der Lufft koͤnne ver⸗ mehret werden. 2. Zuſatz. §. 4,8. Juͤllet eine glaͤſerne Roͤhre AB mit Waſſer. Die Kugel b laſſet voll Lufft, und den offenen Theil der Roͤhre ſetzet in ein Gefaͤß mit Waſſer C. Wird die Lufft in der Kugal B warm, ſo muß ſie ſich ausdehnen (§. 46.), folglich das Waſſer in der Roͤhre herunter druͤcken. Wird die Lufft in der Kugel kalt, ſo muß ſie ſich zuſam⸗ men ziehen, und das Waſſer muß in der Roͤhre ſteigen (§. 22.). Hieraus erhellet, daß durch das Steigen und Fallen des Waſſers in der geſetzten Roͤhre das Ab⸗ und Zunehmen in der Waͤrme und Kaͤlte der Lufft zu boſtimmen. 3. Zu⸗ in den B 9 Orlcket ſe n eraus eth wie Veraͤn des Weſſes Wer dennn me und Ka uß fürneh auſeten n Waſersirde khnne. ſo e Verhaiird Und Een be geſennm. And Undyeſchenden ih deſen h eder uft WE holen. Unterwe chrn di⸗ ninlyſtni Grcſ e geg⸗ iglun eilet, N derihr⸗ herſches ltſenat der W etſchii ſe ſſtt etbet t padt in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 529 3. JZuſatz. §. 49. Je ſchwerer die aͤuſſere Lufft, deſto mehr druͤcket ſie auf das Waſſer in dem Gefaͤß C (§. 24.). Hieraus erhellet, daß die Schwere der aͤuſſeren Lufft viele Veraͤnderungen bey dem Steigen und Fallen des Waſſers in der geſetzten Roͤhre verurſachen koͤnne. Wer demnach das Ab⸗ und Zunehmen in der Waͤr⸗ me und Kaͤlte der Lufft genau beſtimmen will, der muß fuͤrnehmlich dahin ſehen, daß die Schwere der aͤuſſeren Lufft, in dem Steigen und Fallen des Waſſers in der Roͤhre, keine Veraͤnderungen machen koͤnne. Erklaͤrung. §. L0. Ein Inſtrument, durch deſſen Huͤlffe die Verhaͤltniß in der Ab⸗ und Zunahme der Waͤrme und Kaͤlte zu beſtimmen, wird ein Thermometrum genennet. Andere nennen es ein Thermoſcèopium, und verſtehen durch den Thermometer ein Inſtrument, durch deſſen Huͤlffe der Grad in der Waͤrme und Kaͤlte der Lufft genau zu beſtimmen. Doch ich wer⸗ de die erſte Bedeutung, weil ſie gewoͤhnlich iſt, bey⸗ behalten. Zuſatz. §. §1. Es kan demnach die §. 48. beſchriebene Roͤhre als ein Thermometer gebraucht werden. Wel⸗ ches der Grund von den Drebbeliſchen Wetter⸗Glaͤ⸗ ſern. Daß aber dieſe vielen Unvollkommenheiten unterworffen, ſolches lehret der S. 4. Aufgabe. §. 5§52. Ein Thermometrum zu machen, in wel⸗ chem die Veraͤnderung in der Schwere der aͤuſſe⸗ ren Lufft nicht wuͤrcken koͤnne. — Kk 5 Au Tab. Aerom. Fig. 4. 530 Der 1. Abſchnitt. Von Erſfindung der Groͤſſe Aufloͤſung. 1) Fuͤllet eine glaͤſerne Roͤhre, in welcher unten eine Kugel B mit einer fiußigen Materie, die ſich in der Hitze ausbreitet und in der Kaͤlte zuſammenzie⸗ het. Da nun dieſe Eigenſchafft am meiſten dem Spiritui vini zukommt, und zwar je reiner und hoͤher ſolcher rectifietret iſt, ſo fuͤllet dieſe Roͤhre mit dem Spi- ritu vini, nachdem ihr ſolchen vollkommen gereiniget, und aufs hoͤchſte rectificiret. 2) Damit ihr das Steigen und Fallen des Spiritus vini in der Roͤhre beſſer wahrnehmen koͤnnet, ſo faͤrbet denſelben zuvor, und zwar mit einer Materie, die der Spiritus nicht leicht wieder fallen laͤſt, auf daß ſich dieſe nicht im Glaſe anhaͤnget. 3) Daß in der Roͤhre nicht zu viel und auch nicht zu wenig Spiritus komme,n, ſo ſetzet die Kugel in eine ſehr kalte Materie ſo lange, bis der Spiritus in der Roͤhre nicht weiter herunter faͤllet. 4) Stehet noch Spiritus uͤber der Kugel, ſo gieſſet ſolchen ab, und ſetzet die Kugel nach und nach in die Waͤrme, dann wird der Spiritus in der Roͤhre in die Hoͤhe ſteigen und die Lufft heraus jagen. 5) Alsdenn ſigilliret die Roͤhre oben bey A herme- tice, und an dem Geſtelle machet neben die Roͤhre eine Eintheilung in ſo kleine Theile, als ihr nur koͤnnet, ſo iſt das verlangte Thermometrum fertig. 1. Anmerckung. §. 53. Dieſes iſt das weſentliche des Florentiniſchen Thermometri. In den Fuͤrleſungen will zeigen 1) Wie der Spiritus vini roth, gelb und blau zufaͤrben. 2) Wie der Spiritus zu reinigen. 3) Die Cautelen, welche ben i⸗ . ar mercken iſt. welche bey dent Duͤllen. der Roͤhre zu 2. An⸗ Ne Fen dief Wey N hrge kiitl krp Deen den dor und ro . N nd ſin wir wer der Giiſ delcher ne lie, Neſt zuſanneni Mneſte N er undie mit deng⸗ Rgereint n descenn net ſctn terie, Rer anch Hin der Nn r r eſil ſch in d e 8 eNAnr rſsntt eteiit nſik Rhe⸗ in den Wuͤrckungen der Lufft uͤberhaupt. 531 2. Anmerckung. §. 54. Aus der Aufloͤſung erhellet ohne Umſchweiffe, daß die Vollkommenheit eines Florentiniſchen Thermometri zu beurtheilen, 1) Aus der Vollkommenheit des gefaͤrbten Spiritus vini 2) Aus der Beſchaffenheit der Roͤhre, ob man nemlich in erſelben das Steigen und Fallen des Spiritus vini leicht wahr⸗ nehmen koͤnne. Dieſes iſt der Grund, warum man ſehr enge Rohren nimmt, oder auch die Roͤhren bieget. Hieraus werdet ihr alles beurtheilen koͤnnen, was Leupold im Theatro Aéroſtatico Cap. VI. von den Thermometris umſtaͤndlich ausgefuͤhret. EVEVFrfahrung. §. 5§ 5. Ob gleich in der Lufft allezeit einige Feuchtigkeit, ſo werdet ihr doch wahrnehmen, daß dieſe ſehr veraͤnderlich, indem ſie bald ſehr, bald wenig zu empfinden. Erfahrung. §. 5§6. Daͤrme die nicht gedrehet ſind, Leder, Pergament, Papier, Tannen⸗Holtz, Schwaͤmme, Wolle und ſo weiter, werden von der Feuchtig⸗ keit laͤnger und groͤſſer, von der Trockne aber kuͤrtzer und kleiner. Zwirn, Stricke, Seile, Darm⸗Seiten und ſo weiter, wenn ſolche gewun⸗ den und gedrehet aber nicht wiederſinns, werden von der Feuchtigkeit mercklich kuͤrtzer und kleiner, und von der Trockene mercklich laͤnger und groͤſſer. Erklaͤrung. d. 57. Hygrometrum heiſt ein Inſtrument, durch deſſen Huͤlffe die Verhaͤllniß in der Ab⸗ und Zunah⸗ me der Feuchtigkeit und Trockene in der Lufft zu be⸗ ſtimmen. Andere nennen es ein Mgroſcopium. Was wirdber F. §1. exinnert, ſolches kan auch hier gemercket den. 5 u⸗ 532 Der 1. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den ꝛc. §. 58. Es koͤnnen demnach aus ſolchen Materien, wovon wir §. 56. geredet, Hygrometra verfertiget wer⸗ den (§. 57.). Aufgabe. §. 59. Eir HMygrometrum ʒu verfertigen. Aufloͤſung. 1) Erwehlet eine von den §. 56. angefuͤhrten Materien. 2) Wird dieſe durch die Feuchtigkeit zufammen⸗ gezogen, ſo befeſtiget an derſelben feſte Koͤrper, die leicht koͤnnen gehoben werden. Wird aber die er⸗ wehlte Materie durch die Feuchtigkeit ausgedehnet, ſo befeſtiget an derſelben einen Koͤrper, der von der Ausdehnung jener Materie leicht koͤnne herunter be⸗ weget werden. 3) Theilet einen angenommenen Raum in ſo viele gleiche Theile, als es gefaͤllig, und an dem feſten Koͤrper, der ſich beweget, befeſtiget einen Zeiger, welcher anzeiget, in welchem Grad der feſte Koͤrper erhoben oder herunter beweget worden, ſo iſt das Hygrometron fertig (§. 57.). Anmerckung. . 9. 60. Es ſind verſchiedene Arten von Materie moͤglich, woraus Hygrometra zu verfertigen (§. 58.). Erwehlet eine Materie, die euch gefaͤllig, ſo werdet ihr ohne Umſchweiffe ge⸗ ſtehen, daß das weſentliche von einem Hygrometro in ver⸗ ſchiedenen Figuren koͤnne verſtecket werden. Dieſes ſind die Gruͤnde, woraus die verſchiedenen Arten von Hygrometris zu beurtheilen, welche Leupold in Theat. mach. aerof. Cap. VII. umſtaͤndlich beſchrieben hat. Der —=M . ſe inde e ℳD ) °ο( . 533 Der 2. Abſchnitt. Mutee Von der ertietre . . * Art und Weiſe, wie durch die Lufft Machinen zu bewegen. hgen. Aufgabe. B 5. 61. gefiher urch Buͤlffe der Lufft eine Laſt zu heben. urp Aufloſung. iyn, 8 1) Nehmet einen Koͤrper, in welchem ihr die Lufft Tab ehec zuſammen druͤcken koͤnnet, und der ſich, wenn die Lufft Aerom. ezne darin iſt zuſammen gedruͤcket worden, in die Hoͤhe zie⸗Fig. 5. ruundt het. Z. E. eine groſſe ſtarcke Rinds⸗Blaſe. Untele 2) An dem Geſtelle, worin dieſe Blaſe ſoll gehaͤnget uck werden, machet oben zwey Leiſten DF, welche ihr mit ſſtn Schrauben D und F zuſammen ſetzen koͤnnet, und die . in der Mitte A, wo die Blaſe ſoll feſt gebunden wer⸗ den, einen Circul formiren. Sen 3) In dieſem Circul befeſtiget einen holen Cylin⸗ der oder abgekuͤrtzten Kegel von Meßing AC mit einer Klappe, welche ihr in A mit der Zunge aufſtoſſen koͤnnet. 4) An dieſer Klappe befeſtiget in der Blaſe einen eht elaſtiſchen Koͤrper, der ſolche mit Gewalt wieder zu⸗ Ee druͤcket, damit keine Lufft wieder heraus kan. ſfege⸗ ade 5) Unten an der Blaſe bey B befeſtiget eine propor⸗ ſn tionirliche Laſt, z. E. von 60. Pfund, ſo wer⸗ en det ihr durch Huͤlffe der Lufft dieſe Laſt heben koͤnnen. Be⸗ 9 534 Der 2. Abſchnitt. Von der Art und Weiſe, Beweiß. Denn, wenn ihr oben in A hinein blaſet, ſo treibet die zuſammengedruͤckte Lufft die Blaſe auseinander, und wird dieſe dadurch kuürtzer. Da nun die zuſammengedrüͤckte Lufft nicht wie⸗ der heraus kan, ſo muß ſie die Laſt, wenn ſie nicht zu ſchwer, heben. Nun beſtaͤtiget die Er⸗ fahrung, daß ein Mann, der mit dem Munde die Blaſe aufblaͤſet, 60. bis 100. Pfund heben kan, folglich koͤnnet ihr hieraus die Proportion der Laſt beurtheilen. Zu ſatz. §. 62. Weil die zuſammengedruͤckte Lufft aus der Blaſe, wenn ſie nach vorgeſchriebenen Regeln ver⸗ fertiget, nicht wieder heraus kan, ſo koͤnnet ihr, wenn die Laſt durch eine Blaſe nicht zu heben, viele nach vorgeſchriebenen Regeln an dem Geſtelle befe⸗ ſtigen, und ſolche nach und nach aufblaſen. Siehe Leupold in Theatr. mach. gen. Cap. XVIII. §. 292. ſl. Anmerckung. §. 63. Ueberleget dasjenige, was von dem Druck der Lufft in dem erſten Abſchnitt ausgefuͤhret worden, ſo werdet ihr ohne ferneres Erinnern begreiffen koͤnnen, wie eine Lufft⸗ Preſſe zu verfertigen. Daher will nur noch etwas, von rer Bewegung der Machinen durch den Stoß der Lufft, erklaͤren. Lehr⸗Satz. h. 64. Soll der Wind einen Roͤrper herum⸗ drehen, ſo muß deſſen Flaͤche ſchreg gegen den Gf d ſtoſſe bewe ſiſe eiſe, blaſet, 4 e B fiten icht ie wen / diebe 1 W 1 hebe tion de t alsN gelthe⸗ net ihe⸗ , bilt loſe- Biehe l. §. Mtuc N lrene erun gegen den wie durch die Lufft Machinen zu bewegen. 535 den Wind ſtehen. Sollte aber der Wind auf die Flaͤche eines Koͤrpers perpendiculaͤr ſtoſſen, ſo kan er den Koͤrper nicht anders bewegen, als daß er denſelben vor ſich her ſtoͤſſet. Beweiß. Der Koͤrper, welcher von dem Stoß der Lufft in Bewegung geſetzet wird, muß ſich nach derjeni⸗ gen Direction bewegen, wohin er von der Lufft ge⸗ ſtoſſen worden (§. 71. Dyn.); wird er alſo von der Lufft perpendiculaͤr geſtoſſen, ſo kan er durch dieſen Stoß in keine andere Bewegung geſetzet werden, als daß er vor der Lufft, und folglich vor dem Wind (§. 39.) vorhergehet. Und alſo iſt unter dieſen Umſtaͤnden unmoͤglich, daß der Koͤrper von dem Winde ſollte umgedrehet werden. Nehmet an, daß CDFE ein Koͤrper, welcher Tab. bey B in eine Welle geſtecket, in welcher er beweg⸗ Aerom. lich. Nehmet ſerner an, daß der Wind an einem big. 6. Theile der Flaͤche dieſes Koͤrpers CAGE ſchreg ſioſſe. Sollte nun dieſer Koͤrper dem Stoß des Windes nicht hinreichend widerſtehen koͤnnen, ſo muß er denſelben in Bewegung ſetzen (H. 71. Dyn.), und alſo die Seite CAGE nach der Gegend ſtoſ⸗ ſen, in welcher er ſeinem Stoß nicht weiter wider⸗ ſtehen kan. Wenn dieſes geſchehen, ſo kommt die andere Seite von dem Theil ADFG alſoj zu ſtehen, daß ſie von dem Winde ſchreg geſtoſſen wird, und alſo muß dieſenige Wuͤrckung wiederum erfolgen, welche zuvor beſtimmet. Woraus erhel⸗ let, daß der Wind den Koͤrper herum drehet. W. Ju⸗ 536 Der 2. Abſchnitt. Von der Art und Weiſe, ꝛc. §. 65. Es kan demnach aus dieſem Lehr⸗Satz der Bau von den Fluͤgeln einer Wind⸗Muͤhle be⸗ urtheilet werden. Siehe Leupold in Theatr. Mach. gen. Cap. XVIII. §. 300. ſſ. Anmerckung. §. 66. Wer die Lehre vom Raͤder⸗Werck, vom ſtaͤndlich bis hieher erklaͤret worden, eingeſehen, der wird ohne ferneres Erinnern das Vermoͤgen einer Wind⸗ Muͤhle berechnen koͤnnen. Hebel, und von der Krafft des Windes, welche um⸗ Weiſe,n, m leht⸗Er d⸗Mihlet Theat Madt ⸗Verck, 1t , elhe u ſhnd nn einer B. E L E MENT A N V § I C E S Oder Erſte Gruͤnde Der Viſſenſchafft Die Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles zu erfinden. Ll —— Erfn ze Ste Nece Glogt glaſer derens wegen, wet ele, r g ſclet Clchder As i wiede gͤſan REN W Erſte Gruüͤnde der Wi ſſenſchafft Von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤrckun⸗ gen des Schalles. Lehr⸗Satz. H. I. Be Schall wird durch die Lufft fortgepflan⸗ tzet. . Beweiß. Setzet auf den Teller der Lufft⸗Pumpe unter die glaͤſerne Glocke ein Geſtelle, an welchem eine andere Glocke, ſo von Metall gegoſſen, gehaͤnget, und an die glaͤſerne Glocke machet oben eine Schraube, durch deren Bewegung der Hammer an jene Glocke zu be⸗ wegen. Schlaget mit dem Hammer an dieſe Glocke, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß der Schall nicht mehr ſo helle, als er in freyer Lufft eweſen. Pumpet aus der glaͤſernen Glocke nach und nach die Lufft, und ſchlaget den Hammer an jene Glocke, ſo wird ſich auch der Klang nach und nach verliehren, und nichts als ein bloſſes Geraͤuſche uͤbrig bleiben, wenn die Lufft voͤllig ausgepumpet. Eroͤffnet den Hahn, und laſſet wiederum nach und nach in den Raum unter der glaͤſernen Glocke Lufft, ſo Vir auch der Klang nach 2 un 540 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung und nach wieder zunehmen. Und alſo beſtaͤtiget die Erfahrung, daß der Schal durch die Lufft fortgepflan⸗ tzet werde. W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 2. Es erhellet ferner aus dieſer Erfahrung, daß der Schall, welcher durch die dichte Lufft fortgepflan⸗ tzet worden, weit ſtaͤrcker, als welcher durch die duͤnne Lufft fortgepflantzet. Dieſes kan auch beſtaͤtiget wer⸗ den, wenn man die zuvor gebrauchte Glocke in einer zuſammengedrüuckten Lufft ſetzet. 2. Zuſatz. §. 3. Folglich koͤnnen die Inſtrumenten, durch deren Huͤlffe wir die Schwere und Dicke der Lufſft beſtimmen, auch unter gewiſſen Umſtaͤnden, die Staͤr⸗ cke in dem Schall zu beſtimmen, gebraucht werden. Lehr⸗Satz. §. 4. Der Schall wird durch eine zitternde Bewegung der Lufft fortgepflantzet. Beweiß. Setzet die Glocke auf einen hoͤltzernen Tiſch, der gantz frey ſtehet, und neben derſelben ein Dhee⸗Schaͤl⸗ gen Queckſilder. Schlaget mit dem Hammer an die Glocke, ſo werdet ihr auf der oberen Flaͤche des Queckſilbers eine Bewegung, wie einen Wirbel ſehen. Daß der Grund von dieſer Bewegung, in der Be⸗ wegung der Lufft, welche den Klang verurſachet, ſolches lehren die Umſtaͤnde. Folglich muß man auch geſtehen, daß der Schall, durch eine zitternde Bewegung der Lufft, fortgepflantzet werde. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 5. Weil der Schall durch eine zitternde Bewegung der Lufft fortgepflantzet wird, und in einer Bewegung nichts zu unterſcheiden, als die Sache, welche beweget Wird Ri e⸗ der G⸗ Geſchwdin daßausd der Grb men wer 61 t ſoſtd unige Au worden. I üe einer Dun Schal n in enet eſner dn Schal ſ et wenie Ve belinein Eeen. er chetſoi kiit in d dieſeke Eie ſiten D ſiſt. ndace beregt ine gti welche 7 n Erfindumn o beſtälget h ufft ſener Erfahrunget ufft fortgatt durch diihn beſtätigenn Gock o umentet u Dick ul anden deb⸗ gulchterde. ie zirmmnn n Dſc Hanagt ren gliede Clteſte g,N 9 it ſich an nn . Aeſtten vetk. W be Vete ebegungt. gregetne der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 541 Geſchwindigkeit und die Direction; ſo muß man behaupten, daß aus dieſen alle Veraͤnderungen zu erklaͤren ſind /welche bey der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles wahrgenom⸗ men werden. . Lehr⸗Satz. §. 6. Wenn ein Koͤrper einen Schall verurſa⸗ chet, ſo iſt derſelbige ſtaͤrcker, wenn viele, als wenn wenige Lufft in eine zitternde Bewegung geſetzet worden. Beweiß. In einer dichten Lufft iſt der Schall ſtaͤrcker, als in einer duͤnnen (§. 2.). Verurſachet ein Koͤrper einen Schall in einer dichten Lufft, ſo ſetzet er mehrere Lufft in eine zitternde Bewegung, als wenn er den Schal in einer duͤnnen Lufft verurſachet (§. 4.). Folglich muß der Schall ſtaͤrcker ſeyn, wenn der Koͤrper viele, als wenn er wenige Lufft in eine zitternde Bewegung geſetzet. Anmerckung. §F. 7. Auch dieſes beſtaͤtiget unmittelbar die Erfahrung, weil in einem Sprach⸗Rohr der Schall unten weit ſtaͤrcker, als oben. Lehr⸗Satz. §. 8. Wenn ein Koͤrper einen Schall verurſa⸗ chet, ſo iſt der Schall feiner, wenn die Geſchwindig⸗ keit in der zitternden Bewegung groß, als wenn dieſe klein. Beweiß. Eine Saite, welche ſcharff geſpannet, giebt einen feinern Thon, als wenn ſolche nicht ſo ſcharff geſpan⸗ net iſt. Da nun hier keine Veraͤnderung vorgehet, als in der Geſchwindigkeit, in welcher die Saite die Lufft beweget, und eine Saite, welche ſcharff angeſpannet, eine groͤſſere Geſchwindigkeit verurſachen muß, als welche nicht ſo ſcharff angeſpannet: ſo iſt klar, daß Li 3 der 542 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung der Schall, welchen ein Koͤrper verurſachet, feiner, wenn die Geſchwindigkeit in der zitternden Bewe⸗ Eeng der Lufft groß, als wenn dieſe klein. W. 3. Juſatz. §. 9. Ueberleget dasſenige, was in der Dynamic von der Erfindung der Gröoͤſſe in der Geſchwindigkeit ausgefuͤhret worden, ſo werdet ihr begreiffen, wie die Grade in dem, was wir feine und grobe Toͤne nennen, zu beſtimmen. Lehr⸗Satz. §. 10. Ein feiner Schall wird ſo geſchwinde, als ein grober, und ein ſchwacher ſo geſchwinde, als ein ſtarcker fortgepflantzet. Beweiß. Stellet an einen Ort zwo Glocken, von welchen die eine grob und die andere fein klinget. Theilet den Raum, in welchem ihr den Klang von dieſen Glocken wohl vernehmen koͤnnet, in gleiche Theile. Bemercket, durch Huͤlffe einer accuraten Uhr, die Zeit, in welcher ihr den Schall bey einem jedem Theil des Raums wahrnehmen koͤnnet. Wenn dieſes, ſo werdet ihr fin⸗ den, daß von beyden Glocken der Schall, er mag ſtarck oder ſchwach ſeyn, in doppelter Zeit, das Ende des zwiefachen, in dreyfacher, das Ende des dreyfa⸗ chen Raums, und ſo weiter, erreichet. Folglich wird 38 jeder Schall gleich geſchwinde fortgepflantzet. 1. Juſatz. §. 11. Hieraus erhellet 1) daß die Geſchwindig⸗ keit, in welcher der Schall durch die Lufft fortgepflan⸗ tzet wird, gleichfoͤrmig (§. 14. Dyn.). Siehe des Herrn Baron von Wolffs nuͤtzliche Verſuche dritten Theils Cap. II. §. 11. fi. 2. Zu⸗ — der G ſ.1 digkeitt ſchrindi pſſen A 19. rt. Enen hdrent Murda Schen Ceomn. 14 die den Wuckel geſtof De delft Shali lß⸗ dae mnde ſo mnl⸗ ſinge V demn Spr Unte nicht tfinding chet, ihe, nden Benn der Dunen hwintfet fen, wiet Snenenne ſchwiße, eſchwiſ ,lolfa glatde Rot letcket, delcher Roun tir etI Mee got ig der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 543 D 2 J U 1 R tz. §. 12. 2) Daß wir bey dem Schall die Geſchwin⸗ digkeit in der Fortpflantzung deſſelben, von der Ge⸗ ſchwindigkeit in dem Zittern der Lufft, unterſcheiden muͤſſen (§. 8. 10.). §. 13. Der Schall gehet nach geraden Linien fort. Beweiß. Einen Redner koͤnnen wir am allervernehmlichſten hoͤren, wenn wir ihm gegen uͤber ſtehen, und auf ſeinen Mund acht geben. Alſo muͤſſen wir behaupten, daß der Schall nach geraden Linien fortgepflantzet werde (§. 8. Geom.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. 4 §. 14. Wenn der Schall an eine Flaͤche ſtoͤſſet, die denſelben nicht durchlaͤßt, ſo muß er in dem Winckel wieder zuruͤck ſpringen, in welchem er angeſtoſſen. Beweiß. Der Schall wird durch eine zitternde Bewegung der Lufft fortgepflantzet (§. 4.). Wenn demnach der Schall an eine Flaͤche ſtoͤſſet, die denſelben nicht durch⸗ laͤßt, ſo muß die zitternde Bewegung der Lufft, das iſt der Schall, wieder zuruͤck ſpringen (§. 71. Dyn.). Da nun der Schall nach geraden Linien fort gehet (§. 13.), ſo muß auch der Schall in dem Winckel wieder zuruͤck⸗ Riager⸗ in welchem er angeſtoſſen (§. 73. Dyn.). „Te⸗ * . Anmerckung. §. 15. Hieraus kan die Wuͤrckung von der Reſonantz von dem Echo, von den gebogenen Sprach⸗Roͤhren, von den Sprach⸗Gewoͤlbern, und ſo weiter erklaͤret werden. Doch die Unterſuchung, von den Urſachen dieſer Wuͤrckungen, gehoͤret nicht zu meiner gegenwaͤrtigen Abſicht. Ll 4 . Lehs⸗ 544 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung Lehr⸗Satz. J§. 16. Die Fortoflantzung des Schalles durch das Zitt rn der Lufft iſt unmoͤglich, wenn unmoͤg⸗ lich, daß dieſes Zittern in verſchiedenen Winckeln geſchehen koͤnne. Beweiß. Soll der Schall ourch das Zittern der Lufft fort⸗ gepflantzet werden, ſo muß, durch dieſes Zittern, ſo wohl ein hoher, als ein tieffer Schall koͤnnen fortgepflantzet werden. Soll dieſes ſeyn, ſo muß die Lufft im erſten Fall geſchwinder zittern, als im letzten (§. 8.). Dieſe Geſchwindigkeit in dem Zittern geſchiehet entweder in einer geraden Linie, die in einem fortgehet, oder in einer geraden Linie, welche hin und wieder gebogen (§. 13.). Iſt das erſte, ſo muͤſſen hohe und tieffe Schaͤlle in gleicher Zeit gleiche Raͤume beſchreiben (§. 10.), und folglich muß die Geſchwindigkeit in dem Zittern der Lufft, wodurch dieſe Schaͤlle fortgepflantzet werden, gleich ſeyn (§. 17. Dyn. S. 11I. Muſ.). Da nun aber dieſes falſch (§. S.): ſo iſt noͤthig, daß wir das letzte behaupten, das iſt, wir muͤſſen geſtehen, daß dieſes Zit⸗ tern in verſchiedenen Winckeln geſchehen koͤnne (§. 27. Geom.). W. Z. E. W. Juſatz. §. 17. Ueberleget dieſen Beweiß, und verknuͤpffet damit, was §. §. feſtgeſetzet worden, ſo werdet ihr geſte⸗ hen, daß je hoͤher der Schall, deſto kleinr der Winckel, in welchem die Lufft zittert. Erklaͤrung. d. 18. Die Erfahrung lehret, daß in dem Scha verſchiedene Abwechſelungen, welche weder zu der Staͤrcke, noch zu der Schwaͤche des Schalles gehoͤren, und welche nichts als beſtimmte Grade, in dem, was wir hoch und tieff bey einem Schalle nennen. Dieſe beſtimmte deree beſtunmn laswerd Ueſene in ren len inditg es Ntch Uunindr Dingeid. fftſen ,ſote epſinee imct ltocken , On ettt of 6 6Nr Hfnet , ſetzte At⸗ 627 36I. der n D N t der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 545 beſtimmte Grade in der Hoͤhe und Tieffe eines Schal⸗ les werden Toͤne genennet. §. 19. Es iſt demnach die Urſache von den verſchie⸗ denen Toͤnen in dem Unterſcheid der Winckel zu finden, in welchen die Lufft zittert, um den Schall fortzupflan⸗ tzen (§. 17.). Anmerckung. b. 20. Vielleicht verwundert man ſich uͤber dieſe Theorie von den Toͤnen. Vielleicht verlanget man von mir, daß ich dieſe Winckel in der Erfahrung zeigen ſoll. Allein uͤberleget den Beweiß, womit ich dieſe Theorie beſtaͤtiget. Habe ich nicht aus richtigen Gruͤnden richtig geſchloſſen? Will man nun der Vernunfft nicht ſo viel trauen, als der Erfahrung? Vielleicht giebt dieſer Lehr⸗Satz Gelegenheit auf Mittel zu gedencken, wodurch dieſe Winckel in der Erfahrung zu zei⸗ gen. Koͤnnen verſchiedene Farben dadurch entſtehen, daß das Licht in verſchiedenen Winckeln gebrochen wird; warum ſoll denn dieſer Urſprung der verſchiedenen Toͤne unmoͤglich ſeyn. Vergleichet die uͤbrigen Wuͤrckungen des Lichts mit den Wuͤrckungen des Schalles; ihr werdet bey allen eine vollkommene Aehnlichkeit finden. Warum ſoll man denn bey dieſer Wuͤrckung eine Ausnahme machen. Doch hievon bey einer andern Gelegenheit. Jetzo will ich nur einige Gruͤnde ſuchen, durch deren Huͤlffe dieſe Winckel zu beſtimmen. Lehr⸗Satz. J. 21. Die Verhaͤltniß der Winckel in dem Zit⸗ tern der Lufft, wodurch die Toͤne fortgepflantzet werden, muß durch die Verhaͤltniß der Geſchwin⸗ digkeiten in dem Zittern der Lufft beſtimmet werden. Beweiß. Der Grund von dem Unterſcheid der Winckel, in welchen die zitternde Lufft die Toͤne fortpflantzet, iſt in dem Unterſcheid der Geſchwindigkeit, womit die Lufft zittert, zu ſinden (§. 16. 19.). Folglich muß die Ver⸗ haͤltniß dieſer Geſchwindigkeiten die Verhaͤltniß der . Ll 5 geſetzten 1[46 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung geſetzten Winckel beſtimmen (§. 23. 25. 38. A. M.). Lehr⸗Satz. §. 22. Wenn zwo Saiten, ſo gleich dick, und gleich ſtarck gedehnet worden, Toͤne verurſachen, ſo verhalten ſich die Winckel in dem Zittern der Lufft, und alſo auch die Toͤne umgekehrt wie die Laͤngen der Saiten. Beweiß. Man hat angemercket, daß eine Saite, welche 96. Schuh lang, und durch ein Gewicht gedehnet worden, ſich in einer Secunde einmahl auf und nieder bewe⸗ get. Hat man in die Mitte einen Steg geſteckt, daß die Saite nur halb ſo lang geweſen, ſo hat ſie zwey mahl in einer Secunde gezittert. Sie hat dieſe Bewegung viermahl verrichtet, wenn ſie viermahl kuͤrtzer geweſen, und ſo weiter. Wenn demnach zwo Saiten, ſo gleich dick, und gleich ſtarck gedehnet worden, Toͤne verurſa⸗ chen, ſo verhalten ſich die Geſchwindigkeiten in dem Zittern der Lufft umgekehrt wie die Laͤngen der Saiten (5§.4. Dyn.). Da nun die Verhaͤltniß dieſer Ge⸗ ſchwindigkeiten die Verhaͤltniß der Winckel in dem Zittern der Lufft, und alſo auch die Verhaͤltniß der Toͤne beſtimmet (§. 21. 19.); ſo muͤſſen ſich auch dieſe um⸗ gekehrt verhalten, wie die Laͤngen der Saiten. W. Zuſatz. §. 23. Wo einerley Grund, da muß einerley fol⸗ gen. Folglich kan uͤberhaupt geſaget werden: wenn zwey elaſtiſche Koͤrper, ſo gleich dicke, und gleich ſtarck gedehnet, Toͤne verurſachen, ſo verhalten ſich die Toͤne umgekehrt wie die Laͤngen der Koͤrper. Lehr⸗Satzz. §. 24. Wenn zwo Saiten, ſo gleich lang, von ungleicher Dicke, und gleich ſtarck gedehnet wor⸗ den, —, 6 tc 0 der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 547 den, Toͤne verurſachen, ſo verhalten ſich die Win⸗ ckel in dem Zittern der Lufft, und alſo auch die Toͤ⸗ ne umgekehrt wie die Diameter von der Dicke der Saiten. .V Beweiß. Wenn zwo Saiten, ſo gleich lang, und gleich ſtarck gedehnet, aber von ungleicher Dicke, in eine zitternde Bewegung geſetzet werden, ſo widerſtehet der dicken Saite mehr Lufft als der duͤnnen (§. 1. Aero.). Folg⸗ lich muß die Geſchwindigkeit in dem Zittern bey je⸗ ner kleiner ſeyn als bey dieſer (§. 34. Dyn.). Deh⸗ net zwo Saiten von dieſer Art gleich ſtarck, ſo wer⸗ det ihr wahrnehmen, daß, wenn die eine Saite noch⸗ mahl ſo dick, als die andere, die dicke Saite einmahl auf und nieder faͤhret, wenn ſich die duͤnne zweymahl auf und nieder beweget: wenn die eine Saite drey⸗ mahl ſo dick, als die andere, die dicke Saite einmahl auf und nieder faͤhrt, wenn ſich die duͤnne dreymahl auf und nieder beweget, und ſo weiter. Folglich ver⸗ halten ſich dieſe Geſchwindigkeiten in dem Zittern der Lufft umgekehrt wie die Dicken der Saiten (§. 4. Dyn.), oder umgekehrt, wie die Diameter von der Dicke der Saiten (§. 325. 280. Geom.). Und alſo verhalten ſich auch die Winckel in dem Zittern der Lufft, und folglich die Toͤne umgekehrt wie die beſtimmten Diameter (§. 21. 19.). W. Z. E. W. J Zuſatz. §. 25. Wenn zwey elaſtiſche Koͤrper, welche gleich lang, von ungleicher Dicke, und gleich ſtarck gedehnet worden, Toͤne verurſachen; ſo verhalten ſich die Toͤne umgekehrt wie die Diameter von der Dicke der Koͤrper ( §. 23 .. Lehr⸗Satz. d. 26. Wenn zwo Saiten, ſo gleich lang, gleich dicke, und ungleich ſtarck ausgedehnet Worden, . ne 549 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung Toͤne verurſachen, ſo verhallen ſich die Winckel, in dem Zittern der Lufft, und alſo auch die Toͤne, wie die Staͤrcke, mit welcher die Saiten ausgedehnet worden. Beweiß. Die Saiten ſind elaſtiſche Koͤrper, welche durch die Ausdehnung die Staͤrcke der aus ehnenden Kraffter⸗ halten. Folglich muß die Staͤrcke der ausdehnenden Krafft der Saiten gleich ſeyn der Staͤrcke, womit ſie ausgedehnet worden (S. 179. Mech.). Weil nun dieſe Saiten gleich lang und gleich dicke, und die Geſchwin⸗ digkeit in dem Zittern gleichfoͤrmig (§S. 11.), ſo muͤſſen ſich die Geſchwindigkeiten in dem Zittern dieſer Saiten zu einander verhalten wie ihre ausdehnende Kraͤffte (S. 48. Dyn. und §. 80. A. M.), und folglich, wie die Staͤrcke ihrer Ausdehnung. Woraus klar, daß ſich unter dieſen Beſtimmungen die Winckel in dem Zit⸗ tern der Lufft, und alſo auch die Toͤne zu einander ver⸗ halten, wie die Staͤrcken, womit die Saiten ausgedeh⸗ net worden (5S. 21. 19.). W. Z. E. W. Zuſatz. d. 27. Wenn zwey elaſtiſche Koͤrper, welche gleich dicke, gleich lang, und ungleich ſtarck ausgedehnet wor⸗ den, Toͤne verurſachen, ſo verhalten ſich die Toͤne, wie die Staͤrcke in den Ausdehnungen dieſer Koͤrper (S. 23.). Lehr⸗Satz. d. 28. Wenn zwo Saiten, welche gleich lang, aber ungleich dick, und ungleich ſtarck ausdehnet, Tone verurſachen, ſo ſind dieſe Toͤne in einer zu⸗ ſammengeſetzten Verhaͤltnis, aus der Verhaͤltniß in der Staͤrcke der Ausdehnung, und verkehrten Verhaͤltniß der Diameter von der Dicke der Saiten. Be⸗ l D n iin ten dung ne we dehne lrchde Uaff⸗ eret nit ſ ndie⸗ ſhri⸗ nlſe wor⸗ der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 549 Beweiß. Es errege die Saite A deren Dicke c, den Don t mit der Ausdehnung e. Eine andere Saite B, deren Dicke C, den Ton T. mit der Ausdehnung E. Und da⸗ mit ihr in dieſen Veraͤnderungen die Verhaͤltniſſe be⸗ ſtimmen koͤnnet, ſo nehmet ferner an, daß auch B, de⸗ ren Dicke C, den Tons, mit der Ausdehnunge verur⸗ ſache. Wenn nun A und B gleich lang, ſo iſt S§S: t = Diam. C: Diam. C (S. 24.). und weil B gleich dick T:S = E: c (§. 26.). Folglich iſt ST: St = Diam. c, E: Diam. C, e (§. 218. pag. 172. b. . I. Rech.). und alſo T: t = Diam. c, E: Diam. C, e (S§. 218. Pag. 175. 2. Rech.). Das iſt, die Toͤne ſind in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß, aus der Verhaͤltniß in der Staͤrcke der Ausdehnung, und verkehrten Verhaͤltniß der Diame⸗ ter von der Dicke der Saiten. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 29. Wenn zwo Saiten, welche gleich dicke, aber ungleich lang, und ungleich ſtarck ausgedeh⸗ net, Toͤne verurſachen, ſo ſind dieſe Toͤne in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß, aus der Verhaͤlt⸗ niß in der Staͤrcke der Ausdehnung, und verkehr⸗ ten Verhaͤltniß der Laͤnge der Saiten. Beweiß. Es errege die Saite A, deren Laͤnge l, den Tont, mſt der Ausdehnung e. Eine andere Saite B, deren Laͤnge Lden Ton T, mit der Aus dehnung E. Und da⸗ mit ihr auch in dieſen Veraͤnderungen die Verhaͤlt⸗ niſſe beſtimmen koͤnnet, ſo nehmet ferner an, daß auch die 550 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung die Saite B, deren Laͤnge L, den Ton s, mit der Aus⸗ Pln ee verurſache. Wenn nun A und B gleich dick, o iſ s: t = I: L.. (S. 22.). und weil B gleich dick T: s = E: e (S. 26.). Folglich iſt ST': St = IE: Le (§. 218. Pag. 172. b. o. I. Rech.). und alſo T: t= I E: Le (S. 218. pag. 175. 2. Rech.). Das iſt, die Toͤne ſind in einer zuſammengeſetzten Ver⸗ haͤltniß, aus der Verhaͤltniß der Staͤrcke in der Aus⸗ dehnung und verkehrten Verhaͤltniß der Laͤnge der Saiten. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. =ð §. 30. Wenn zwo Saiten, welche gleich ſtarck ausgedehnet, aber ungleich dick und ungleich lang⸗ Toͤne erregen, ſo ſind dieſe Toͤne in einer zuſammen geſetzten Verhaͤltniß, aus der verkehrten Verhaͤlt⸗ niß der Diameter von der Dicke und verkehrten Verhaͤltniß der Laͤngen dieſer Saiten. Beweiß. Es errege die Saite A, deren Dicke c, den Ton t, in der Laͤnge 1. Eine andere Saite B, deren Dicke C, den Ton T, in der Laͤnge L. Damit ihr auch in dieſen Ver⸗ aͤnderungen die Verhaͤltniſſe beſtimmen koͤnnet, ſo neh⸗ met ferner an, daß die Saite B, deren Dicke C, den Tons in der Ausdehnung!errege. Wenn nun A und B gleich ſtarck ausgedehnet, ſo iſt S: t = Diam. GQ: Diam. C (S. 24.). und weil B gleich dick, TL: S =1: L (S. 22.). Folglich iſt Di ST': st = Diam. c, I: Diam. C., L. (S. 218. P. 172. d. a. 1. Rech.). C, L. (F. 218. P. 17 und alſo T: t de N hüir N le⸗ d˖ WV ll ll 1 e indung t der M⸗ Geichite nnnn thald ruen dond 10,d nD ſoe, 4C,N 4 ,171 der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Schalles. 55 1 T: t = Diam. c, I: Diam. C, L (S. 218. P. 175. 2. Rech.). . Das iſt, die Toͤne ſind in einer zuſammengeſetzten Ver⸗ haͤltniß, aus der verkehrten Verhaͤltniß der Diameter von der Dicke, und verkehrten Verhaͤltniß der Laͤngen dieſer Saiten. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 31. Weil aus einerley Grund einerley folget, ſo iſt klar, daß dieſe Lehr⸗Saͤtze unter den angegebenen Beſtimmungen von einem jeden elaſtiſchen Koͤrper zu be haupten. Anmerckung. §. 32. Vergleichet mit dieſen Lehr⸗Saͤtzen, was §. 15. fl. Dyn. ausgefuͤhret, ſo werdet ihr bald geſtehen, daß nach den Gruͤnden der Mathematik noch vieles in der Verhaͤltniß der Toͤne koͤnne beſtimmet werden. Welches ich aber, weil jetzo nur die erſten Gruͤnde der Mathematik unterſuche einer an⸗ deren Gelegenheit uberlaſſe. Erklaͤrung. d. 33. Wenn verſchiedene Dinge mit einander uͤbereinſtimmen, ſo entſtehet eine Vollkommenheit. Koͤnnen wir dieſe Vollkommenheit durch die Sinne wahrnehmen, ſo wird ſie eine Schoͤnheit genennet. Die Schoͤnheit in der Verbindung der Doͤne heiſt der Wohlklang. Toͤne, welche in der Verbindung wohl⸗ klingen, heiſſen Conſonantien, und welche nicht wohl⸗ klingen, Diſſonantien. Lehr⸗Satz. §. 34. Sollen verſchiedene Dinge in einer ſchoͤ⸗ nen Verhaͤltniß ſtehen, ſo muß man durch die Sin⸗ ne erkennen koͤnnen, wievielmahl die Groͤſſe des einen, in der Groͤſſe des andern enthalten. Beweiß. In der Verhaͤltniß verſchiedener Dinge iſt keine an⸗ dere Vollkommenheit moͤglich, als daß die Groͤſſe der einen 5 5 2 Erſte Gruͤnde der Wiſſenſchafft von Erfindung ꝛc. einen, ein oder etliche mahl in der Groͤſſe des andern ent⸗ halten (S§. 25. fl. A. M. und §. 33. Muſ.). Folglich iſt eine Verhaͤltniß ſchoͤn, wenn wir durch die Sinne er⸗ kennen koͤnnen, wie vielmahl die Groͤſſe des einen, in der Wroͤſt des andern enthalten (§. 33.). W. 3. E. WB.. . 1. Juſatz. §. 35. Je leichter demnach durch die Sinne zu erkennen, wie vielmahl die Groͤſſe des einen, in der Groͤſſe des andern enthalten, deſto groͤſſer iſt die Schoͤnheit in der Verhaͤltniß dieſer Dinge. §. 36. Woraus zugleich erhellet, daß der Wohl⸗ klang um deſto groͤſſer, je leichter man durch das Gehoͤr wahrnehmen kan, wie vielmahl der eine Ton in dem andern, welcher mit jenem verknuͤpffet, enthalten iſt (§. 33. 34.). 3. Juſatz. d. 37. Und dieſes beſtaͤtiget, daß die Conſonantien ſolche Toͤne, deren Verhaͤltniß durch die kleinſten Zah⸗ len auszudruͤcken, z. C. 1: 2. 1: 3. und ſo weiter. Anmerckung. §. 38. Doch ich will den Muſicverſtaͤndigen keine Geſetze vorſchreiben. Es erfodert dieſes nicht meine ge⸗ genwaͤrtige Abſicht. Es iſt genug, daß ich aus mathema⸗ tiſchen Gruͤnden dasjenige gefolgert, woraus ſo wohl die Groͤſſe in dem Schall, als auch in der Veraͤnderung des Schalles zu beurtheilen. Sollten es meine Geſchaͤffte er⸗ lauben, ſo werde bey einer andern Gelegenheit mit dem, was bishieher ausgefuͤhret, die Regeln von der Empfin⸗ dung, von der Einbildung, und von den Affecten verknuͤ⸗ pfen, und daraus die Geſetze folgern, wornach die Toͤne zu verknuͤpffen, und in der Verknuͤpffung zu veraͤndern, wenn der Wohlklang vollſtaͤndig ſoll erhalten, und die Affecten durch die Muſic ſollen erreget werden. Rungr ddemnee lolc nne pen, Sinn n, i r ie! 4 nnn nitl ac N er 1 ſeint Kine 8 zathent wold N ung 1 6 enn den, Enpfrr. atre Tnen n Wen fen E LE MENTA HYDROSTATICES Oder Erſte Gruͤnde Von Erſindung der Groſſe in den 4 insbeſondere aber des Wafſers Erſte Gruͤnde Erfindung der Groͤſſe in den Würckungen der Schwere fluͤßi⸗ ger Koͤrper insbeſondere aber Tehr⸗Satz. ley Art z3. mt Waſſer gefuͤllet wer⸗ A den; ſo muß daſſelbe in der einen Roͤhre ſo hoch, als in der andern ſtehen. Beweiß. Dieſe Roͤhren ſind entweder gleich weit, oder nicht. In beyden Faͤllen ſtehen entweder die Roͤhren perpendiculaͤr, oder eine ſtehet perpendiculaͤr und die andere ſchieff, oder beyde Roͤhren ſind ſchieff geſetzet. Folglich ſind ſechs Faͤlle moͤglich, von welchen dieſer Satz zu beweiſen, wenn er ſoll allgemein ſeyn. Da⸗ her ſchlieſſe: Wenn zwey Koͤrper mit gleich ſtarcker Krafft, nach entgegen geſetzter Richtung aneinander Mm 2 druͤcken, Wenn zwo Roͤhren, da ein fluͦßiger Roͤr⸗ Canales vper aus einer in die andere kommen kan, communi- mit einer fluͤßigen Materie von einer⸗antes. I. 556 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe druͤcken, ſo bleiben ſie in Ruhe (§S. 34. Dyn). Stehet das Waſſer in der einen Roͤhre ſo hoch, als in der andern, ſo druͤckt es in der einen Roͤhre ſo ſtarck, als in der andern. Folglich muß das Waſſer in einem waaggerechten Stande bleiben. Den Unterſatz zu beweiſen, zergliedert alle Faͤle. Tab. Ily- Erſter Fall. Wenn die Roͤhren beyde gleich weit Aroſt. und perpendiculaͤr ſtehen. Nehmet an, daß in der Roͤhre AB das Waſſer einen Schuh falle, ſo muß in der Roͤhre DC, weil dieſe mit ſener gleich wen, eben ſo viel Waſſer, einen Schuh ſteigen. Nehmet ferner an, daß in der Roͤhre AB ein Schuh Waſſer 1. Pfund ſchwer. Folglich ſteigt in der Roͤhre DC 1. Pfund Waſſer einen Schuh, wenn in der Roͤhre AB 1. Pfund Waſſer einen Schuh faͤllt. Und alſo iſt die ſteigende und fallende Krafft gleich (H. 17.48. Dyn.). Woraus erhellet, daß das Waſſer, wenn es in dieſen beyden Roͤhren gleich hoch ſteiget, nach en gegenheſetzer Richtung gleich ſtarck druͤcket (§. 63. VN.). Zweyter Fall. Wenn die Roͤhren beyde gleich weit, und die eine perpendiculaͤr, die andere aber ſchief ſtehet. Sollte das Waſſer in der Roͤhre AB fallen, ſo muß es in der ſchieffen Roͤhre CD ſtei⸗ gen. Fölglich beweget das Waſſer in der Roͤhre AB, das Waſſer in der Roͤhre CD auf einer ſchiefliegenden Flaͤche (§. 57. Mech.), ſo daß die Directions⸗Linie mit der Laͤnge der Flaͤche CD parallel gehet. Folglich verhaͤlt ſich die fallende Krafft des Waſſers in der Roͤhre A B, zu der ſteigen⸗ den Krafft des Waſſers in der Roͤhre CD, wie ſich verhaͤlt die Laͤnge der Flaͤche CD zu der Hoͤhe CH (§. 124. Mech.). Und alſo iſt die Krafft des Waſßers in der Roͤhre OD ſo groß, als die Krafft des Waſſers in der Roͤhre CH, wenn es in beyden gleich hoch ſtehet. Wenn demnach das Waſſer tder Wa , e Ro 1,4 glei hegeſetie Fol.). Dritter leit, vod Fb erhe ſtorck, g der Noͤhe Eect. D das e Enderd ſteheilu Wern Re. ſueg Uierte nd beyd uͤhe N Suld tnnerng Chhhfe CD eb Pſnnde ſchnd Da mn duch tman in tedege iſſen nd in diͤcke ſehet in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 557 on in der Roͤhre CD, und das Waſſer in der Roͤh⸗ e, re Ab gleich hoch ſtehet, ſo muͤſſen ſie nach ent⸗ e engeſe SNi WS dNrE Ree gegengeſetzter Richtung gleich ſtarck drücken. (er⸗ uß ſter Fall.). n. A Dritter Fall. Wenn die Roͤhren beyde gleich Fig. 3. . weit, und beyde ſchief ſtehen. Aus dem zweyten leee Fall erhellet, daß das Waſſer in der Roͤhre AB ſo as r ſtarck, als in der Roͤhre BH., und das Waſſer in vder Roͤhre CD ſo ſtarck, als in der Roͤhre Ql druͤ⸗ chae Ccket. Da nun das Waſſer in der Roͤhre BH und ree das Waſſer in der Roͤhre Cl gleich ſtarck gegenein⸗ Wm. under druͤcket, wenn es in beyden Roͤhren gleich hoch GNrel ſtehet (vermoͤge des erſten Falls); ſo muß auch das 1 Fet Waſſer in der Roͤhre AB, und das Waſſer in der Ueden Roͤhre CD, wenn es in beyden gleich hoch ſtehet, gleich n ſtarck gegeneinander druͤcken. o Vierter Fall. Wenn die Roͤhren ungleich weit, Fig. 4. nh und beyde perpendiculaͤr ſtehen. Es ſey die Grond⸗ (56) Flaͤche der Roͤhre BA viermahl ſo groß, als die Grund⸗Flaͤche der Roͤhre DC. Unter dieſer Be⸗ h ſtitmmung nehmet an, daß in der groſſen Roͤhre Kch AB das Waſſer von E nach O, nemilich einen ec Schuh ſalle, ſo muß dieſes Waſſer in der Roͤhre D auf 4. Schuh ſteigen (§S. 323. Geom. S. 205. N Rech.). Wenn demnach in der groſſen Roͤhre 4. Pfund durch 1. Schuh beweget werden, ſo beweget ß di ſich in der kleinen Roͤhre 1. Pfund durch 4. Schuh. 0 Da nun ſo viele Krafft erfodert wird, 4. Pfund Mon durch 1. Schuh zu bewegen, als erfodert wird, wenn ſleſ⸗ man in gleicher Zeit 1. Pfund durch 4. Schuh ſeſch bewegen will (§. 79. Mech.), ſo erhellet auch in 01l dieſem Fall, daß das Waſſer in der Roͤhre AB d und in der Roͤhre DC gleich ſtarck gegeneinander uft druͤcket, wenn es in beyden Roͤhren gleich hoch ehden ſtehet. „. eſe Mmm 3 Ver⸗ 558 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Verbindet mit dieſem Fall dasjenige, was in dem zweyten und dritten Fall erwieſen worden, ſo werdet ihr ſo gleich geſtehen, daß ein gleiches zu behaupten, wenn beyde Roͤhren ungieich weit, und entweder die eine perpendiculäͤr und die andere ſchieff, oder beyde ſchieff ſtehen. Es iſt demnach allgemein, daß in der ei⸗ nen Roͤhre das Waſſer ſo hoch, als in der andern ſtehen muͤſſe. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 2. Vielleicht wird man einwenden, daß noch andere Faͤlle von ſolchen Roͤhren moͤglich, von welchen dieſer Lehr⸗Satz noch nicht erwieſen. Z. E. wenn beyde Rohren zwar ſchieff, aber in verſchiedenen Winckeln ſtehen; wenn die Roͤhren gebogen, und ſo weiter. Wer aber den Beweiß genau uͤberleget, der wird leicht geſtehen, daß er auch hinreichend, den Lehr⸗Satz bey dieſen Roͤhren zu beſtaͤtigen. 1. Juſatz. §. 3. Hieraus erhellet *½) daß die Flaͤche einer fluͤßigen Materie, in ihren natuͤrlichem Zuſtand, allezeit waagerecht. §. 4. 2) Daß aus ſolchen Roͤhren eine Waſſer⸗ Waage zu verfertigen, mit welcher eine Gegend abzu⸗ waͤgen (§. 85. 86. M. ch.). 3. Juſatz. §. §. 3) Daß man bey dem Druck einer fluͤßigen Materie nicht allein auf ihre Schwere, ſondern auch auf ihre Hoͤhe und auf die Grundflaͤche, welche ihrem Druck widerſtehet, zu ſehen habe. . Anmerckung. Tab. Hy- §. 6. Es kan auch dieſes noch auf folgende Art durch die droſt. PFig. 5. Erfahrung beſtaͤtiget werden. Laſſet einen Kaſten von Holtz machen ABCD, welcher inwendig wohl ausgepichet, damit kein Waſſer hindurch dringen kan. Setzet in der einen Seite eine lange Roͤhre von Blech DE feſt verpichet, daß wederemt noe 2 der D UrchcWof e Rehre Vaſtrin heheb cden. Kepe fi Schn dieſen ihrer ſtehe e Uhne Gint Diſer N dieee R daß lor De ſhe Eht R 8— aͤſe in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 559 as in den noch Waſſer hindurch kan. Fuͤllet ſo wohl das Faß, als auch 6 weit die Roͤhre mit Waſſer, ſo werdet ihr finden, daß, wenn das Keidd Waſſer in der Roͤhre DE hoͤher ſtehet, als in dem Kaſten, das Nhcupren Waſſer in der Roͤhre Db den Boden des Kaſtens DClil in die tbeder Hoͤhe hebet, wenn er gleich mit einer groſſen Laſt beſchweret oderla worden. ie Lehr/ Satt. dernften §. 7. Wenn zwo Roͤhren, daraus der fluͤßige Koͤrper aus einer in die andere kommen kan, mit fluͤßigen Materien von verſchiedener ſpecifiſchen Schwere gefuͤllet werden; ſo ſind die Hoͤhen von dieſen Materien in einer verkehrten Verhaͤltniß ihrer ſpecifiſchen Schwere, wenn ſie in RKuhe ſtehen. Beweiß. B Es iſt bekannt, daß Queckſilder 14. mahl ſo ſchwer, Tab. Hy- Nahn als gleich viel gemeines Waſſer. Fuͤllet in die eine Nroſt. Roͤhre AB Queckſilber, und in die andere Roͤhre DC 18. 1. gemeines Waſſer. Nehmet an, daß in der Roͤhre e im AB; ein Schuh Queckſilber 14. Pfund, ſo iſt ein Schuh al Waſſer in der Roͤhre DCI. Pfund. Sollen nun in der Roͤhre AB 14. Pfund Queckſilber 1. Schuh fal⸗ len, ſo muß in der Roͤhre CD 1. Pfund Waſſer 14. Woſen Schuh ſteigen, woferne die Kraͤffte dieſer fluͤßigen Koͤrper gleich ſeyn ſollen (§. 18.48. Dyn.). Weil nun dieſe Kraͤffte gleich ſeyn muͤſſen, woferne die Koͤrper in Ruhe ſtehen ſollen, und aus dem §. I1. erhellet, daß von allen Roͤhren gleiches zu behaupten, ſo iſt eflin klar, daß ſich die Hoͤhe des Waſſers zur Hoͤhe des deras Oueckſilbers verhalten muͤſſe, wie ſich die ſpecifi⸗ ei ſche Schwere des Queckſilbers zur ſpecifiſchen Schwere des Waſſers verhaͤlt, wenn nemlich dieſe Koͤrper in den Roͤhren in Ruhe ſtehen ſollen. W. enda⸗ tntd Z. E. W. L terſa Zu ſatz. ſet due §. 8. Es kan demnach, durch Hülffe ſolcher enn Roͤhren, die ſpeciſiſche Schwere einer fluͤßigen pedertt nd 4 Mm 4 Mate⸗ 5690 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Materie in Anſehung einer andern geſfunden werden. Lehr⸗Satz. d. 9. Eine Lufft⸗Saͤule, deren Diameter 1⁄ kan unter gewiſſen Umſtaͤnden 1557¼ Pfund ſchwer ſeyn. Beweiß. S Die Lufft kan unter gewiſſen Umſtaͤnden das Waſſer in einer Roͤhre bey nahe 32. Rheinlaͤndi⸗ ſche Schuhe hoch halten (§. 20. Aerom.). Wenn ihr demnach die Grund⸗Flaͤche der Lufft⸗Saͤule durch die Hoͤhe des Waſſers, ſo ihr die Waage haͤlt, das iſt, durch 32. Rheinlaͤndiſche Schuhe multiplieiret, ſo iſt das Factum der koͤrperliche Inn⸗ halt einer Waſſer-Saͤule, die mit der Lufft⸗Saͤule einerley Schwere hat (S. 1. Hydr. S. 323. Geom. §. 10. Mech.). Da ihr nun leicht erfahren koͤnnet, wie ſchwer ein Cubie⸗Schuh Waſſer, ſo nehmet an, daß der Diameter der Lufft⸗Säaͤule 19 ſo werdet ihr durch die Regel Detri finden, daß die Schwere dieſer Lufft⸗Saͤule, unter geſetzten Umſtaͤnden, 1557 Pfund. Anmerckung. §. 10. Die Rechnung iſt folgende: Es ſey der Diameter von der Grund⸗Flaͤche der Lufft⸗ Zaͤule — E— 100 7,,ſo iſt die Grund ⸗Flaͤche — 7850f:. Die Hoͤhe der Waſſer⸗Saͤule iſt bey nahe 32½ folglich nehmet dieſe, um die Bruͤche zu vermeiden — 31— 310086. Wenn ihr nun die Grund⸗Flaͤche — 7850” mit der Hoͤ⸗ — 3100/, multipliciret, ſo iſt der Innhalt der Waſſer⸗ Saͤule — 243350005ä8. (§K. 323. Geom.). Nun iſt die Schwere von einem Cubic⸗Schuh 1000“ Waſſer — 64. Pfund; folglich ſprechet: 10006: 64. Pfund — 24335: I 1 Pfund, welches die Schwere der Lufft⸗Saͤule. 15574 P Lehr⸗ inden ſ herunt zierit dſelt Luſet ld ſne liſetne Piſe C Bſem Nhren ſchen, efabt Nſetbt ins W Untand Wllckn Gfuhrn ndeng Uechden lohennen terie ſiner ſiinen diee ſe in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 561 Geſree Lehr⸗Satz. §K. 11. Die fluͤßige Koͤrper druͤcken nicht nur herunter, ſondern auch nach allen Gegenden, und ir zwar immer mehr, je groͤſſer die Tieffe, welche in dſm denſelbigen angenommen wird. Beweiß. ndns Laſſet einen holen Cylinder von Glaß machen AB, Tab. Hy- n und ſuͤllet denſelben mit Waſſer. Nehmet eine hole droſt. heilin glaͤſerne Roͤhre Db, und bindet an dieſelbe unten eine ig. 6 „WBlaſe C, ſo daß keine Lufft hinein kan. Fuͤllet dieſe ft⸗Si Blaſe mit einem gefaͤrbten Waſſer. Wird nun dieſe Win Roͤhre ED ins Waſſer geſencket, ſo werdet ihr ſogleich Sih ſehen, wie das Waſſer dieſe Blaſe druͤcket, und das ſhen gefaͤrbte Waſſer hinauf treibet, und zwar ſo, daß das frEi gefaͤrbte Waſſer immer hoͤher ſteiget, je tieffer die Blaſe „ ins Waſſer geſencket wird. Verſuchet dieſes auch enkiu mit andern fluͤßigen Koͤrpern, ſo werdet ihr gleiche dn Würckungen wahrnehmen. Folglich beſtaͤtiget die eH Erfahrung, daß die fluͤßigen Koͤrper nicht nur herunter, ſondern auch nach allen Gegenden druͤcken, und zwar Mund. nach dem Grad der Tieffe, welche in denſelbigen ange⸗ nommen wird. W. Z. E. W. . Zuſatz. §. 12. Hierdurch wird abermahl beſtaͤtiget, das wir dudß bey beſtimmung der Groͤſſe, mit welcher fluͤßige Kör⸗ “ per druͤcken, ſo wohl auf ihre Hoͤhe, als auch auf die . Grund⸗Flaͤche, welche dem Druck widerſtehet, ſehen 1f⸗ muͤſſen. pkuß Lehr⸗Satz. W⸗ §K. 13. Wenn ein Koͤrper in eine fluͤßige Ma⸗ terie eingetauchet wird, ſo verlieret er ſo viel von ſeiner Krafft herunter zu druͤcken, das iſt, von „ſeiner Schwere, als die fluͤßige Materie wieget, h die er aus gejaget. Mm 5§ Be⸗ 6m 562 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. Ein Koͤrper verlieret ſo viel von ſeiner Krafft her⸗ unter zu druͤcken, als ihm in dieſem Druck widerſtan⸗ den wird (§. 54. Dyn.). Die fluͤßige Materie, in welche ein Koͤrper getauchet wird, widerſtehet dieſem Druck des Koͤrpers (§. 11.). Folglich muß der ein⸗ getauchte Koͤrper ſo viel von dieſem Druck verlieren, als die fluͤßige Materie widerſtehen kan, die er aus⸗ gejaget. Nun hat die flüßige Materie der Schwere derjenigen widerſtanden, welche von dem eingetauch⸗ ten Koͤrper ausgejaget worden (§. 10. Mech. §. 54. Dyn.). Folglich muß der eingetauchte Koͤrper ſo viel von ſeiner Krafft herunter zu druͤcken, das iſt, von ſeiner Schwere verlieren, als die flüßige Materie wieget, die er ausgejaget. W. Z. E. 1. Juſatz. §. 14. Der eingetauchte Koͤrper hat mit der fluͤßigen Materie entweder einerley ſpeciſiſche Schwe⸗ re, oder er iſt ſpecifice ſchwerer, oder ſ[pecifice leich⸗ ter, als die fluͤßige Materie. Iſt das erſte, ſo muß der Koͤrper in der fluͤßigen Materie haͤngen bleiben, wenn er gantz eingetauchet. Iſt der eingetauchte Koͤrper ſpecifice ſchwerer, als die fiuͤßige Materie, ſo muß er in der fluͤßigen Materie mit ſo viel Krafft niederſincken, als uͤbrig bleibet, wenn dasjenige von ſeiner Schwere ſubtrahiret worden, was er in der fluͤßigen Materie verlohren. Wenn endlich der eingetauchte Koͤrper ſpecifice leichter, als die fluͤßige Materie, ſo kan er nicht tieffer in dieſe ſincken, als bis er ſo viel von der fluͤßigen Materie ausgejaget, welche mit ihm gleich ſchwer iſt (§. 10. Mech. §. 54. Dyn.). 2. Juſatz. §. 15. Hieraus erhellet: 1) Ein tainel . ſhwer gusde ſen der ein Cr Bley verlie ſpe⸗ W. ten ge ſhne Ken in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 563 1) Ein Rorper von einer leichrern Art verlie⸗ ret in einer fluͤßigen Materie einen groͤſſern Theil von ſeiner Schwere, als ein Koͤrper von einer ſchwerern Art, wenn beyde in Anſehung ihrer Ausdehnung gleich. Z. E. ein Cubic⸗Schuh Ei⸗ ſen verlieret im Waſſer ſo viel von ſeiner Schwere, als ein Cubic⸗Schuh Bley. Nun aber iſt ein Cubic⸗Schuh Bley ſchwerer, als ein Cubic⸗Schuh Eiſen. Folglich verlieret dieſer mehr von ſeiner Schwere, als jener. §. 16. 2) Wenn zwey Koͤrper von ungleicher ſpecifiſchen Schwere in der Lufft einander die Waage halten, ſo verlieren ſie dieſen waagerech⸗ ten Stand, ſo bald ſie in eine fluͤßige Materie gehaͤnget, weil der Koͤrper von der ſchwereren Art einen Ausſchlag geben muß. 4. Juſatz. §K. 17. 3) Ein Koͤrper mus mehr von ſeiner Schwere in einer fluͤßigen Materie von einer ſchwereren, als von einer leichteren Art verlieren. Z. E. Bley muß mehr im Waſſer als im Weine ver⸗ lieren. M §. Juſatz. §. 18. 4) Zwey HKoͤrper von einerley Art und Groͤſſe bleiben nicht im waagerechten Stand, wenn ſie in fluͤßige Materien von verſchiede⸗ ner ſpeciſiſchen Schwere gehangen werden. Und der Hoͤrper muß ſich in der fluͤſſenden Maͤte⸗ rie von der leichtern Art tieffer eintauchen, als in der von einer ſchwereren Art. Oder je naͤher die Schwere des Boͤrpers zu der Schwe⸗ re der fluͤßigen Materie, je tieffer tauchet ſich derſelbige ein. Dieſes iſt der Grund von den Waſſer⸗Wein⸗und Bier⸗Proben, wovon imfol⸗ genden. 6. Zu⸗ 564 Erſte Gruͤnde, von Erſindung der Groͤſſe n 6. Juſatz. §. 19. 5) Die ſpecifiſche Schwere einer fluͤſ⸗ ſigen Marerie verhaͤlt ſich zu der ſpecifiſchen 8 Schwere eines andern Roͤrpers, wie der Theil der Schwere, welchen dieſer in der fluͤßigen „ Materie verlohren, zu der gantzen Schwere dieſes Aèrpers. Z. E. die ſpecifiſche Schwere des Waſſers verhaͤlt ſich zur ſpecifiſchen Schwere des Bleyes, wie der Theil der Schwere, welchen ein Cubice⸗Schuh Bley im Waſſer verlieret, zu der gantzen Schwere von einem Cubic⸗Schuh Bley. 7. Zuſatz. §. 20. 6) Wenn ſich ein Koͤrper z. E. um den vierten Theil in eine flieſſende Materie eintauchet, ſo wieget der vierte Theil von der flieſſenden Ma⸗ terie ſo viel, als der gantze Koͤrper, welcher einge⸗ tauchet worden (§. 13.). Wenn ihr demnach vier Theile von der flieſſenden Materie nehmet, das iſt, ſo viel als der gantze Raum des eingetauchten Koͤr⸗ pers faſſen kan, ſo muß dieſe flieſſende Materie vier⸗ mahl ſo viel, als der gantze Koͤrper wiegen. Wor⸗ aus klar, daß ſich die Schwere eines Koͤr⸗ pers zu gleichviel fluͤßiger Materie verhaͤlt, wie der eingetauchte Theil zu ſeiner gantzen Groͤſſe. 8. Juſatz. §. 21. 7) Soll eine flieſſende Materie einen Koͤrper, der ſpecifice leichter iſt, von dem BHo⸗ den eines Faſſes heben, ſo muß von der flieſ⸗ ſenden Materie ſo viel in das Faß gegoſſen werden, daß ſie uͤber den Theil des Koͤrpers gehet, welcher ſich in ihr eintauchet, wennn das Gefaͤſſe voll iſt. Auf⸗½e in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 56 Aufgabe. 8. 22. Aus der gegebenen Schwere eines Cubic⸗ Schuhes von einer flieſſenden Materie; E. Waſ⸗ fers und der Groͤſſe des eingetauchten Theils ei⸗ emn nes feſten Hoͤrpers, die Schwere des gantzen Roͤr⸗ pers zu finden. Aufloͤſung. Der eingetauchte Koͤrper wieget ſo viel, als das Waſſer, welches dem eingetauchten Theile in Anſe⸗ hung des Raums gleich iſt (§. 13.). Wenn ihr demnach ſprechet: Ein Cubic⸗Schuh Waſſer: zur Schwere von ei⸗ Eini nem Cubic⸗Schuh Waſſer = der eingetauchte eimutt Theil des Koͤrpers: zu der Schwere des gan⸗ nn tzen Koͤrpers; H lin ſo werdet ihr finden, was verlanget worden. ch . E. ein Cubic⸗Schuh Waͤſſer wieget 72. Pfund, ℳ der eingetauchte Theil ſey 740⁰. Daher ſprechet: l 10:72. Pfund = 7407: 53280/ Pfund. e D Aufgabe. % 5. 23. Die Schwere einer jeden fluͤßigen Mate⸗ verhe rie bydroſtatice zu finden. Aufloͤſung. Ihr ſollt z. E die Schwere des Waſſers in einem . Teich hydroſtatice finden. inun 1) Haͤnget in das Waſſer z. E. einen Cubie⸗Schuh n Ne Bley, und mercket, wieviel er von ſeiner Schwere fie verlieret, z. E. 72 Pfund, ſo wiſſet ihr, wieviel e ein Cul: Schud von dem gegebenen Waſſer wieget Nacn. (S. 13.:9. , 2) Suchet durch Huͤlffe der Geometrie den koͤrper⸗ lichen Innhalt von dem Teich, dieſer ſey 684. N 3) So 566 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe 3) So koͤnnet ihr durch die Regel Detri finden, daß die Schwere des Waſſers in dem Teich 49248. Pfund. . Juſatz. §. 24. Iſt euch die Sch were des Waſſers in dem Teich gegeben, ſo koͤnnet ihr auf gleiche Art den koͤrperlichen Innhalt des Teiches ſinden, indem ihr ſprechet: 72. Pfund: 1= 49248. Pfund: 684. „Aufgabe. d. 24. Die Verhaͤltniß der ſpecifiſchen Schwe⸗ re von verſchiedenen fluͤßigen Materien zu finden. . Aufloͤſung. Haͤnget in die fluͤßigen Maͤterien einen feſten Koͤrper von gleicher Groͤſſe und Schwere, und ſu⸗ chet, wieviel er in einer jeden flüͦßigen Materie von ſeiner Schwere verlieret. Die Verhaͤltniß von dieſem Verluſt iſt die Verhaͤltniß von den ſpecifi⸗ ſchen Schweren der gegebenen, fluͤßigen Materien (§. 13. 17.). “ . Z. E Ein Cubic⸗Schuh von einer gewiſſen Art Steine hat im gemeinen Waſſer verlohren 72. Pfund, und im Oel 66. Pfund. Folglich verhaͤlt ſich die ſpe⸗ eiſiſche Schwere des Waſſers zur ſpecifiſchen Schwere des Oels 72: 60 — 12: I1. Anmerckung. §. 25. Daß dieſe Aufgabe auch durch gebogene Roͤhren, . welche unken eine Communication mit einander haben, auf⸗ zuloͤſen, ſolches erhellet aus dem §. 8. Aufgabe. §. 26. Ts ſoll ein Koͤrper in eine fluͤßige Materie geleger werden, und ihr ſollt die Groͤſſe . des . id desl ſere tau che die Nr i⸗ mi i iſe in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 567 miſin des Theils ſuchen, um welchen er ſich in dem Waſ⸗ α ſer eintauchen wird. Aufloͤſung. Weil ſich die Schwere eines Cubic⸗Schuhes von der gegebenen fluͤßigen Materie zu der Groͤſſe eines Cubic⸗Schuhes verhaͤlt, wie die Schwere des einzu⸗ tauchenden Koͤrpers zu der Groͤſſe des Theils, um wel⸗ chen er ſich eintauchet (H. 13. 14); ſo iſt klar, daß ihr, dieſe Aufgabe aufzuloͤſen, ſuchen muͤſſet ¹) Die Schwere von einem Cubic⸗Schuh der ge⸗ gebenen fluͤßigen Materie (§. 22.). D 2) Die Schwere von dem einzutauchenden Koͤrper (§. 90. Mech.). “MD tan: 3) Und hieraus koͤnnet ihr durch die Regel Detri die verlangte Groͤſſe des einzutauchenden Theiles finden. ,AE Aufgabe. inde 8. 27. BEs wird ein KRoͤrper in eine fluͤßige Ma⸗ rn terie, welche ſpecifece leichter, geſchencket; ihr ſollt die Krafft ſuchen,/ mit welcher der Koͤrper unter der ſa flüßigen Materie zu halten, oder welches gleichviel dae mit Welcher er in die fluͤßige Materie niederſteigen „mwird. R Aufloͤſung. ſdus Indem der Koͤrper ſo viel von ſeiner Schwere ver⸗ ete lieret, als die fluͤßige Materie wieget, ſo er ausgejaget E. (§. 13.), ſo erhellet, daß dieſe Aufgabe auf folgende Art aufzuloͤſen. 1) Suchet die Groͤſſe und Schwere des einzuſen⸗ ckenden Koͤrpers. . hntle 2) Suchet wie ſchwer die gegebene fluͤßige Materie, wenn ſie mit dem Koͤrper in Anſehung des Raums gleich ( §. 22.). „„ 3) Dieſe Schwere ſubtrahiret von jener; ſo habt flufe ihr die verlangte Groͤſſe der Krafft gefunden (§. 14.). 661, I. Zu⸗ droſt. Fig. 7. — 568 Erſte Gruͤnde, von Erſindun) der Groͤſſe 1. Juſatz. §. 28. Hieraus erhellet ferner, wie die Groͤſſe der Krafft zu finden, die erfodert wird, einen Koͤrper unter einer fluͤßigen Materie, der ſpecifice leichter iſt, auf⸗ zuheben. 2. Juſatz. §. 29. Veraͤndert die Geſetze in dieſer Aufloͤſung alſo, wie es der S. 14. erfoderk, ſo wer det ihr auf gleiche Art finden koͤnnen, mit wieviel Krafft ein Koͤrper, der ſpecifice leichter als eine fluͤßige Materie, unter derſel⸗ bigen zu halten. Lehr⸗Satz. . §. 30. Wenn ein Gefaſſe A B, das voll Waſſer iſt, bis an die Linie AC ſich eintauchet, ſo iſt die Krafft, welche das leere Gefaͤſſe bis an die Linie A Qeingerauchet erhalten kan, derjenigen gleich, womit das volle in der Lufft koͤnne gehalten werden. Beweis. Die Krafft, welche das leete Gefaͤſſe bis an die Linie AC eingetauchet erhalten ſoll, muß derſenigen gleich ſeyn, womit ſich das volle Gefaͤſſe bis an die Linie AC eintauchet (§. 34. Dyn.). Die Krafft, womit ſich das volle Gefaͤſſe bis an die Linie ACeintauchet, iſt der Schwere des vollen Gefaͤſſes gleich (§. 13.). Die Krafft, welche das volle Gefaͤß in freyer Lufft erhalten ſoll, muß – der Schwere des vollen Gefaͤſſes gleich ſeyn (§. 34. Dyn. §. 10. Mech.). Folglich muß die Krafft, welche das leere Gefaͤſſe bis an die Linie ACin dem Waſſer eingetaucht erhalten ſoll, derjenigen gleich ſeyn, womit das volle Gefaͤſſe in der Lufft koͤnne gehalten werden (§. 20. A. M). 28. 3Z. E. W. e Erklaͤrung. d. 31. Ein Inſtrument, durch deſſen Huͤlffe die ſpe⸗ cifiſche Schwere einer fluͤßigen Materie zu beſtimmen, heiſt eine hydroſtgtiſche Waage. 1. Zu⸗ tdens lei i el ſerf Gro ſſch den. def den l ve⸗ nd den lone Griſe in den Wuͤrckungen der Schwere fluͤßiger Koͤrper. 569 eGrle Zuſatz. Crpernn §. 32. Wird ein feſter Koͤrper, welcher ſpecĩfiee gur ſt,6 leichter, als eine gegebene fluͤßige Materie, in dieſel⸗ N bige geſencket, ſo taucht er ſich mehr ein, wenn die fluͤßi⸗ ge Materie von einer leichteren, als wenn dieſe von ei⸗ “ ner ſchwereren Art iſt (§. 14.). Folglich kan durch den er Aſin Grad des Eintauchens eines feſten Koͤrpers die ſpeci⸗ hr afe ſiſche Schwere einer fluͤßigen Materie beſtimmet wer⸗ Kllg den. Wir koͤnnen demnach durch dieſen Satz auf Wege Uuntertiſ⸗ gefuͤhret werden, hydroſtatiſche Waagen zu verferti⸗ gen. , 2. Juſatz. ol We V. §. 33. Sollen hydroſtatiſche Waagen nach dieſem t/ſofi Lehr⸗Satz verfertiget werden, ſo iſt leicht zu begreiffen, n dln 1) Daß ſie aus einer ſolchen Materie zu machen, igen gen welche durch die Feuchtigkeit ihre Schwere nicht ver⸗ e gehenn aͤndert. 2) Daß ſie um deſto vollkommener, je leichter wir mte der Grad, in welchem ſie ſich eingetauchet, beſtimmen s 0 oͤnnen. eI Anmerckung. NDe §. 34. Nach dieſen Lehr⸗Säaͤtzen koͤnnen alle hydroſtatiſche 7 Waagen beurtheilet werden „von deren Verfertigung Leu- Pold im Theatro hydroſt. Cap. VI. umſtaͤndlich geredet. Aufgabe. §. 35. Es wird ein Koͤrper gegeben, welcher aus der Vermiſchung verſchiedener Materien verfer⸗ tiget, ihr ſollt durch Huͤlffe der hydroſtatiſchen Grund⸗Geſetze finden, wieviel von einer jeden nit nu Materie in dem Rorper vorhanden. Endi Aufloͤſung. Ihr ſollt z. E. ſuchen, wieviel Zinn und Bley in ene⸗ einem Klumpen von 120. Pfund, welcher aus Zinn iſf und Bley zuſammen vermiſchet. .„ beſtnne 1) Suchet durch die Erfahrung, wieviel z. E. ein 570 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe ꝛc. Pfund von den beyden Materien, ohne der Vermi⸗ ſchung, in der gegebenen fluͤßig. Materie, z. E. im Waſ⸗ ſeer, von ſeiner Schwere verlieret. Und alsdenn ſuchet duꝛch die Regel Detꝛi, wieviel der gegebene Klumpen im Waſſer verlieren wuͤrde, wenn er allein Zinn oder Bley. Z. E. 37. Pfund Zinn verlieret im Waſſer 5 Pfund, folglich wuͤrde dieſer Klumpen, wenn er von Zinn, ν Pfund verlieren. Ferner 23. Pfund Bleny verlie⸗ ret im Waſſer 2. Pfund. Sollte demnach dieſer Klum⸗ pen von Bley ſeyn, ſo wuͤrde er 2% Pfund verliehren. 2) Subtrahiret das kleinere verlohrene Gewicht von dem groͤſſern, ſo zeiget der Unterſcheid, wieviel die Materie von der leichteren Art mehr von ihrer Schwe⸗ re verlieret, als die Materie von der ſchwereren Arr. — 240 — 13809 — 2890 — 4220 37 232 — S5ST 851 — 551 ⸗ 3) Suchet wieviel der gegebene Klumpen im Waſ⸗ ſer verlieret, und ſubtrahiret von dieſem das Gewichte, welches die Materie von der ſchwereren Art verlieren wuͤrde. Dieſer Unterſcheid zeiget, wieviel der Koͤrper mehr, als die ſchwere Materie verlieret. 3Z. E. der Klumpen verlieret 14. Pfund, alſo 1 8890 — 11914 — 880 — 3034 — FFI — 8551 REI — SFI: 4) Suchet zu dem erſten Unterſcheide, der Schwere des gegebenen Koͤrpers, und dem andern Unterſcheide die vierte Proportional-Zahl, ſo iſt dieſe das Gewicht der Materie von der leichteren Art. Z. E. 4920: 305) — 120: 74 Pfund. 5y) Subtrahiret dieſes von dem gantzen Gewichte des gegebenen Klumpens, ſo iſt der Unterſcheid das Gewichte der Materie von der ſchwereren Art. Z. E. 120 — 74=— 46 Pfund. Anmerckung. §. 36. Wie dieſe Aufgabe durch Inſtrumenten und Geo⸗ metrice aufzuloſen, ſolches hat Leupold im Theatro hydroſt: Cap. VII. p. 224. fl. vollſtaͤndig beſchrieben. EI- E- rſe. ne der Ven⸗ alsdean ſt ieKlunpen inn cher Bie ſſergirg hdieſerkt n E LEMENTA Das iſt ntpenind duni Erſte Gruͤnde Stuulut Ko D rfi Dere Wiſſenſchafft von Erfindung der Groͤſſe in der Bewequng flieſſender Koͤrper. deder Cte rn hnteſte eſedni .E. nebet luttinde enrundl ſbeno 1 EAd Uhſte Stchete Undet demnac glng ſe dern, 236 2 Erſte Gruͤnde VBon— Erfindung der Groͤſſe in der Bewegung des Waſſers. Lehr 7. Satz. §. 1. oll das Waſſer einen andern Koͤrper in S Bewegung ſetzen, ſo muß es entweder ſteigen oder fallen. Beweiß. Soll das Waſſer einen andern Koͤrper in Bewe⸗ gung ſetzen, ſo ſtehet es entweder horizontal oder nicht. Stehet es horizontal, ſo iſt es in Ruhe (§. 3. Hydroſt.), und hat alſo eine todte Krafft (§. 61. Dyn.). Soll demnach das Waſſer einen andern Koͤrper in Bewe⸗ gung ſetzen, ſo muß es ſeinen horizontal Stand veraͤn⸗ U N di . ſſe 8 ,ITIISI R 17 ſ “ 6 . SS dern, folglich entweder in die Hoͤhe ſteigen oder fallen. 1. Zuſatz. §. 2. Faͤllt das Waſſer, ſo faͤllt es entweder per⸗ pendiculaͤr oder ſchieff. Steigt das Waſſer, ſo ſteigt es entweder perpendieculaͤr oder ſchieff. Folglich iſt in der Hydraulic zu unterſuchen, wie die Groͤſſe der wuͤrckenden Krafft des Waſſers zu finden, wenn es perpendiculaͤr oder ſchieff ſteiget oder faͤllt, und wo⸗ Nu 3 durch 574 Erſte Gruͤnde, von Crfindung der Groͤſſe durch das Steigen und Fallen des Waſſers zu be⸗ foͤrdern. §. 2. Das Waſſer fallt mit ſeiner Schwere, ſo bald der W tand genommen (§. 5 4. Dyn. S. 10. Mech.). Folglich muß das Waſſer in derjenigen Neigung fal⸗ len, in welcher ſeiner Schwere der Widerſtand genom⸗ men worden. 5. Zuſatz. §. 4. Wer die Groͤſſe der fallenden Krafft des Waſſers beſtimmen will, der muß auf die Hoͤhe des fallenden Waſſers, auf die Groͤſſe der Grundflaͤche deſſelben, und auf die Geſchwindigkeit, womit es faͤllt, ſehen (§. 36. Dyn. und S. 5. Hydroſt.). Lehr⸗Satz. d. 5. Die Krafft des fallenden Waſſers iſt in einer gleichfoͤrmigen Bewegung, gleich dem Fadto aus der Schwere des fallenden Waſſers in die Geſchwindigkeit, womit es faͤllt (§. 48. Dyn.), nund in einer gleichfoͤrmig zunehmenden Bewe⸗ gung, gleich dem Fado aus der Schwere des fallenden Waſſers in ſeiner erſten Geſchwindig⸗ keit ſo vielmahl genommen, als in der Zeit, in welcher die Bewegung gedauret, Eins enthalten (§. 51. Dyn.). Zuſatz. § 6. Wollt ihr demnach im gegenwaͤrtigen Fall die Groͤſſe in der Krafft des fallenden Waſſers be⸗ ſtimmen, ſo ſuchet . S 1) Die Schwere desjenigen Waſſers, welches auf einmahl faͤllt, welche nach den Geſetzen der Mechanic und Hydroſtatic leicht zu beſtimmen. . 2 Die Geſchwindigkeit, mit welcher das Waſſer faͤllt, welche nach den Geſetzen der Dynamic zu be urtheilen, 3) Jene nddi⸗ D Race Noſ Dn des⸗ (§ Nſo 1 We dien Groͤſe Vaſſers lte chwere, ſob l0. Meci Reigung ſ erſtandgenn 1n Krafft die Heec Grundſi⸗ eit, wonnttt drolt)) ,ſens ii hoemill is n d . Dym , Bed were de ſchwind⸗ der Zeitt ns euln vörinſ⸗ Vinb , icka. der Yehni d W nie zul 3) in der Bewegung des Waſſers. 57 5 3) Jene multipliciret mit dieſer; ſo habt ihr die Groͤſſe der Krafft des fallenden Waſſers (§. 5.). Anmerckung. §. 7. Wollte meine gegenwaͤrtige Abſicht erlauben, daß die Grund⸗Regeln der Hydraulic umſtaͤndlich abhandeln koͤn⸗ te, ſo wuͤrde von den beyden erſten Regeln noch vieles genau⸗ er beſtimmen, und ſolches auf vorkommende Falle appliciren. Jetzo aber muß es dabey bewenden laſſen, daß nur das allgemeine anzeige, woraus beſondere Faͤlle zu beurtheilen. Indeſſen werde doch in den Fuͤrleſungen verſchiedene Hand⸗ Griffe zeigen, welche bey der Anwendung dieſer Regeln zu gebrauchen. Und in dem folgenden werde noch einige all⸗ gemeine Saͤtze beweiſen, wornach die Geſchwindigkeit in dem Fall des Waſſers zu beurtheilen. Mit Nutzen kan hier geleſen werden Belidor in Architectura Hydraulica P. I. Cap. III. und Leupold in Theatr. Mach. gener. Cap. XX. Lehr 2Satz. d. 8. Je hoͤher das Waſſer faͤllt, deſto groͤſſer wird die Krafft des fallenden Waſſers. Beweiß. Das Waſſer faͤllt mit ſeiner Schwere (§. 3.), und alſo faͤllt das Waſſer in einer zunehmenden Bewegung (§. 31. Mech.). Jeſhoͤher es demnach faͤllt, deſto groͤſſer wird ſeine Geſchwindigkeit in dem Fall (§. 28. Dyn.). Je groͤſſer die Geſchwindigkeit in dem Fall des Waſſers, deſto groͤſſer iſt deſſen fallende Krafft (§. 5§.). Je hoͤher demnach das Waſſer faͤllt, deſto groͤſſer wird die Krafft des fallenden Waſſers. Lehr⸗Saͤtz. §. 9. Die Geſchwindigkeit in dem Lall des Waſſers iſt groͤſſer, wenn das Waſſer perpen⸗ diculaͤr, als wenn es ſchieff faͤllt. Nun 4 Be⸗ 4 Tab. I. Hydeauul. Pig. 1⸗ 576 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. Nehmet an, daß ſo viel aeſſer auf die Linie AB, als auf die Linie BC falle, ſo hat das fallende Waſ⸗ ſer auf der Lune CB mehr Krafft, als auf der Linie BA (§. 124. Mech.) Folglich iſt die Geſchwindigkeit in dem Fall des Waſſers auf der Linie CB groͤſſer, als auf der Linfe BA (§. 5. Hydr. und §. 79. A. M.). Zuſatz. §. 10. Hieraus erhellet die Wahrheit dieſes Sa⸗ tzes: Je ſchreger und je laͤnger die Flaͤche, wor⸗ aufdas Waſſer faͤllt, je mehr Geſchwindigkeit bekommt das Waſſer. Lehr⸗Satz. §. 11. Wenn das Waſſer aus der Geffnung eines Gefaͤſſes herauslaufft, ſo iſt die fallende Kraft des Waſſers um deſto groͤſſer, je groͤſſer die Hoͤhe des Waſſers uͤber der Geffnung. Beweiß. Wenn zwey Cylinder von gleicher Grundflaͤche und verſchiedener Hoͤhe mit Waſſer gefuͤllet, ſo iſt der Druck des Waſſers in dem langen Cylinder groͤſſer, als in dem kurtzen (§. 1. Hydroſt.). Wenn demnach aus der Oeffnung eines Gefaͤſſes das Waſſer faͤllt, ſo drückt das in dem Gefaͤß befindliche Waſſer mehr auf das fallende, wenn es hoch, als wenn es nie⸗ drig uͤber der Oeffnung ſtehet (§. 10. Mech.). Daß die erſte Staͤrcke in der fallenden Krafft dieſes Waſ⸗ ſers in dem beſtimmten Druck ſeinen Grund habe, ſolches erhellet aus dem §. 68. Dyn. und §. 10. Mech. Folglich muß die fallende Krafft dieſes Waſſers um deſto groͤſſer ſeyn, je groͤſſer die Hoͤhe des Waſſers über der Oeffnung iſt (§. 34. Dyn. S. 31. Mech.). Ju⸗ ⸗ n a nicj Ns Utnlslin l de tlen, ung u ſies e⸗ digkere Pun,n des l⸗ Vycen = .: S roͤſe lende We, er Linie bdigker rbſer,e 9. J. N dieſes 6, ſche, won indigtet effuen dehht eN Nevod Kde goſt einneg r GN W ten ſech. n Nſee ch.) 3 e liniec in der Bewegung des Waſſers. 577 Zuſatz. §K. 12. Aus einerley Oeffnung⸗ eines Gefaͤſſes muß allezeit gleich viel Waſſer fallen. Wenn dem⸗ nach das Waſſer aus der Oeffnung eines Gefaͤſſes herauslaͤufft, ſo muß die Geſchwindigkeit in dem Fall des Waſſers immer mehr und mehr abneh⸗ men, je mehr die Hoͤhe des Waſſers uͤber der Oeff⸗ nung abnimmt (§. 11. 5. Hydraul. und §. 79. A. M.). V Lehr⸗Satz. §K. 13. Wenn das Waſſer aus der Geffnung ei⸗ nes Gefaͤſſes herauslaufft, ſo ſtehen die Geſchwin⸗ digkeiten in dem Fall des Waſſers aus der Oeff⸗ nung, mit den Quadrat⸗Wurtzeln der Hoͤhen des Waſſers uͤber der Geffnung, in einerley Verhaͤltniß. Beweiß. Weil der Fall des Waſſers aus der Oeffnung des Gefaͤſſes als eine gleichfoͤrmige Bewegung anzuneh⸗ men (per dem. §. 30. Dyn.), und das Waſſer bey dem erſten Ausfall aus der Oeffnung geſchwinder, als bey dem zweyten faͤllt (§. 12.), ſo muß, mit einer ge⸗ doppelten Geſchwindigkeit, in eben der Zeit, eine ge⸗ doppelte groͤſſere Menge Woſſer aus der Oeffnung flieſſen (§. 18. Dyn.). Das iſt, die Maſſen des Waſſers, welche in gleichen Zeiten durch einerley Oeffnung herdurch dringen, verhalten ſich gegen ein⸗ ander, wie die Geſchwindigkeiten, mit welcher ſie aus der Oeffnung fallen. Es ſey, um die Verhaͤltniß zu beſtimmen, Die groͤſte Geſchwindigkeit = C Die Maſſe des Waſſers, welche in die er Geſchwin⸗ digkeit heraus faͤllt = M weich ſch Die geringere Geſchwindigkeit = c Nen § Die Tab. I. Fig. 2. und alſo 578 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Die Maſſe des Waſſers, welche mit dieſer Ge⸗ ſchwindigkeit heraus faͤllt = m. Folglich iſt C: C= M: m und alſo m = Cc M (S. 130. A. M.). “ S2 Es ſey ferner die Schwere der Waſſer⸗Saͤule IH = G, die Schwere der Waſſer⸗Saͤule KH=g, und die Grund⸗Flaͤche dieſer Waſſer⸗Saͤulen, wel⸗ che beſtaͤndig gleich = E, Folglich iſt . G: g = IH, E: KH, E (S. 325.⸗ Geom.). Da nun ferner die Wuͤrckung von Ogleich G, und die Wuͤrckung von g gleich g (§. 34. Dyn.), die Wuͤrckung aber von G gleich CM, und die Wuͤr⸗ ckung von g gleich cm = c, c M (§S. 48. Dyn.), ſo iſt auch 0 Gig= CM: c, CM, folglich 5 gCMS=GCCM (S. 130. A. M.). C Das iſt g0= GcC . C folglich 6 20CC= Gcc (§. 188. Rech.) und alſo . G:g= CC: cc (§. 205. Rech.) Hieraus erhellet, daß CC: cc =IH, E: KH, E=IH: KH (p. 175. 2. Rech.). C:c= IIH: ANH (§. 189. Rech.). * * 9 Lehr⸗ “ ſo mu wwe D˖ Deoh demn derh iſet 1 ft ng ſernt auſe i roͤſe dieſer ⸗ it Wulen, r om.) 50, u 1.), N e W ), in der Bewegung des Waſſers. 579 Lehr⸗Satz. §. 14. Soll ſich das Waſſer hinauf bewegen, ſo muß eine aͤuſſerliche Urſache vorhanden ſeyn, in welcher der Grund von dieſer Wuͤrckung iſt. Bew eiß. Das Waſſer druͤckt mit ſeiner Schwere perpen⸗ diculaͤr gegen die Erde (S. 10. Mech.). Soll es ſich demnach hinauf bewegen, ſo muß die Direction von der Krafft des Waſſers geaͤndert werden. Da nun dieſes ohne den Zufluß einer aͤuſſerlichen Urſache un⸗ moͤglich (§. 66. Dyn.), ſo erhellet, daß ſich das Waſ⸗ ſer nicht hinauf bewegen koͤnne, woferne nicht in einer aͤuſſerlichen Urſache der Grund von dieſer Wuͤrckung. I. Zuſatz. §. 15. Soll ſich das Waſſer hinauf bewegen, ſo wird es entweder gehoben; oder durch den Druck der Lufft in die Hoͤhe getrieben; oder es ſteiget nach den Geſetzen der Reflexion in die Hoͤhe. 2. Zuſatz. §. 16. Soll das Waſſer gehoben werden, ſo wird entweder nur das Zuruͤckfallen des Waſſers gehindert, oder es wird durch gewiſſe Gefaͤſſe ge⸗ hoben. . 3. Juſatz. §. 17. Soll das Waſſer durch den Druck der Lufft in die Hoͤhe getrieben werden, ſo wird entweder die Lufft zuſammengedruͤcket, oder ausgedehnet, oder der natuͤrliche Druck der Lufft verurſachet das Steigen des WWaſſers. . Anmerckung. H. 18. Hieraus ſind alle hydrauliſche Machinen, wodurch das Waſſer in die Hoͤhe getrieben wird, zu erkliren. deine 580 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Neine Abſicht erfodert, daß von einer jeden Art dieſenigen erklaͤre, woraus alle andere zuſammengeſetzet, und dieſes ſoll in den folgenden Abhandlungen von der Hydraulic ge⸗ ſchehen. Erklaͤrung. §. 19. Das Paternoſter⸗Werck oder die Taſchen⸗ Kunſt, die Plumpen, des Archimedis Waſſer⸗ Schraube oder Waſſer⸗-⸗Schnecke und der Stech⸗ Heber ſind ſolche hydrauliſche Machinen, durch welche das Waſſer in die Hoͤhe zu heben, weil das Zuruͤck⸗ fallen des Waſſers gehindert wird. Ich halte fuͤr noͤthig, jede beſonders zu erklaͤren. Durch das Pa⸗ ternoſter⸗Werck verſtehet man eine Machine, da ver⸗ mittelſt einer eiſernen Kette oder Seil und etlichen daran gebundenen Puͤſcheln oder ledernen mit Haa⸗ ren ausgefuͤllten Kugeln, welche durch eine Roͤhre ge⸗ hen, das Waſſer aus der Tieffe heraus gehoben wird. Zuſatz. §. 20. Weil die Puͤſchel GHMund ſo weiter, das Waſſer in der Roͤhre L heben und alſo verhindern ſollen, daß es nicht wieder zuruͤckfalle, ſo folget, daß ſie alſo zu verfertigen, daß ihre Peripherie an die innere Peripherie der Roͤhre L ſchlieſſet. Folg⸗ lich iſt bey dieſer Machine viele Friction (§. 146. Mech.). Weil nun dieſe verurſachet, daß viele Krafft erfodert wird, die Machine zu bewegen, ſo erhellet, 1) Daß man bey einem Paternoſter⸗Werck ſo wenige Puͤſchel machen muͤſſe als moͤglich. Daher erten ſie insgemein ſechs Ellen von einander ge⸗ etzet. 2) Daß man die Puͤſchel nicht zu hoch machen muͤſſe, aber doch ſo, daß ſie dem Druck des Waſſers widerſtehen koͤnnen. 3) Daß 9 ſter⸗ derd Mck 2 der ſe domt und das Mtde leyte i n 8. brant heſ get, mit dies nes, len zuſen den khnn Sa lhe cſe J in der Bewegung des Waſſers. 581 . Nröſente 3) Daß man Waſſer zu heben nicht eher Paterno⸗: ean⸗ ſter⸗Wercke erwehlen muͤſſe, als wenn es die Tieffe Dbrelſep der Brunnen erfodern. Siehe Leupold in Theatro Machinarum Hydraulicarum Tom. I. Cap. IX. S. 13 8. ſeqq. . * et §. 21. Ventil heiſt ein Deckelüͤber eine Oeffnung, Valuulz. unch der ſich von dem Druck des Waſſers auffſtoſſen laͤſt, sn damit das Waſſer in die Oeffnung hinein dringen kan, ) folei und alsdenn die Oeffnung wieder verſchlieſſet, damit dun das Zuruͤckfallen des Waſſers koͤnne verhindert nednnn werden. 0 t Zuſatz. nſth §. 22. Woraus leicht zu begreiffen, daß ſo wohl Roreg⸗ Klappen als auch Kugeln Ventile abgeben koͤnnen, und eſeke daß beyde ſo wohl von Holtz, als auch von Holtz und Le⸗ der, von Meßing, und von Meßing und Leder zu ver⸗ fertigen. Siehe Leupold in Theatr. Mach. Hydr. P. I. 1,dos Cap. X. F. 72. ſſ. undern⸗ . i Erklaͤrung. geen §. 23. Eine Machine, mit welcher durch den Ge⸗ Antlia hy- Nbrauch der Ventile das Waſſer gehoben wird, Araulica. En heiſt eine PHlumpe. Dieſe werden alſo verferti⸗ get, daß entweder das Drucken der Lufft zugleich mit wuͤrcken koͤnne, oder nicht. Iſt dieſes, ſo wird die Machine ein Pump⸗Werck genennet. Iſt je⸗ nes, ſo wuͤrcket entweder nur der Druck der aͤuſſe⸗ r ren Lufft, oder es wird in der Machine die Lufft y zuſammengedruͤcket, damit ſie mit ihrer ausdehnen⸗ den Krafft die Bewegung des Waſſers befoͤrdern n koͤnne. Iſt das erſte, ſo wird die Machine ein Saugwerck, und iſt das andere, ein Druckwerck genennet. Auf⸗ Tab. I. Hydraul. Fig. 4. 582 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Aufgabe. 5§. 24. Ein Pump⸗Werck zu machen. Au floͤſung. 1) Setzet eine hoͤltzerne Roͤhre EE ins Waſſer. 2) Unten im Boden dieſer Roͤhre machet eine Horizontal⸗Roͤhre, und leget vor die Oeffnung dieſer Roͤhre ein Blech mit engen Loͤchern I, damit das Waſſer ohne Unreinigkeit in das Rohr EE dringen koͤnne. 3) Ueber die innere Oeffnung der Roͤhre l, machet ein Ventil G (§. 2 1. ſ.). 4) An einer Stange K befeſtiget den Plump⸗ Stock oder einen Kolben AbF, in welchem abermahl ein Ventil b befeſtiget. 5) Oben an der Roͤhre EE befeſtiget eine andere R, durch welche das Waſſer, wenn es in die Hoͤhe gehoben worden, heraus laͤufft. So iſt das Pump⸗Werck ver⸗ fertiget. Beweiß. Wenn die Stange K in die Hoͤhe gezogen wor⸗ den, ſo muß das aͤuſſere Waſſer durch die Oeffnung I in die Roͤhre EE hineindringen, und das Ventil G oͤffnen (§. 1. Hydroſt.). Stoſſet ihr die Stan⸗ ge K wiederum zuruͤcke, ſo ſchlieſſet ſich das Ventil G. zu, und der Druck des Waſſers oͤffnet das Ventil in dem Kolben F. Hebet ihr die Stange K wiede⸗ rum in die Hoͤhe, ſo wird das Ventil Fverſchloſſen, und das Waſſer mit dem Kolben in die Hoͤhe ge⸗ hoben, bis es endlich an die Roͤhre R kommet, aus welcher es vermoͤge ſeiner Schwere herauslaͤufft. Folglich iſt dieſe Machine ein Pump⸗Werck (§S. 23.). W. 3. E. W. Pamp Auf⸗ diſſe in der Vewegung des Waſſers. 583 Aufgabe. el §. 25. Ein Saug⸗Werck zu verfertigen. Aufloſung. Die Structur von dieſer Machine iſt mit der Tab. II. Wſe vorigen faſt einerley, zumahl die gantze Veraͤnderung, Hydraul. Unncht ii welche vorzunehmen, folgende. Pig. 3. frungdi 1) Ueber das unterſte Ventil R ſetzet, nach Beſchaf⸗ damiti fenheit der Umſtaͤnde, eine lange aber nicht gar zu wei⸗ EP diint te Roͤhre RF. 2) Dieſe Roͤhre ſtecket in eine Capſel defg, hrehtite welche an der Haupt⸗Roͤhre LM mit Schrauben befeſtiget. en M 3) Ueber dieſe Capſel macht ein Ventil, und als⸗ ntenne denn verfahret, wie bey dem Pump⸗Werck. Landerh Beweiß. ſehek Wenn die Stange K mit dem Kolben Aiin die Hoͤhe Bucknn gehoben wird, ſo entſtehet zwiſchen dem Ventil E ein Raum, welcher leer von Lufft. Folglich druͤckt die aͤuſ⸗ ſere Lufft auf das Waſſer Dund B ſtaͤrcker, als die in⸗ nere Lufft in der Roͤhre, wodurch das Waſſer durch gen te die Oeffnungen PROQin die Roͤhre FG getrieben Oefum wird (§. 22. Aerom.). Stoſſet ihr die Stange K s A wiederum zuruͤck,ſo erhellet, wie bey dem Pump⸗Werck, dee daß das Waſſer endlich ſo hoch muͤſſe getrieben werden, de daß es oben mit ſeiner Schwere heraus fallen koͤnne, K. folglich iſt die Machine ein Saug⸗Werck (§. 23.). I. W. Z. E. W. tſe Aufgabe. e §. 26. Ein Druck⸗Werck zu verfertigen. und, N ihn e Gii Aufloͤſung. 1) Machet zwo Röhren ABCD, welche Stieffeln Tab. II. genennet werden, aus einer Materie, welche keine Luft Hydraul. „. durch, is 584 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe durchlaͤſt, z. F. aus Meßing, und unten in dem Boden DC ein Ventil (§. 21.). 2) Loͤthet an jeden eine Roͤhre an, die in L und I gleichfalls mit Ventilen verſehen, ſo ſich gegen N auf⸗ thun laſſen. 3) Stoſſet einen Kolben hinein, der ſich genau in den Stieffel ſchicket, damit das Waſſer und die Lufft zwiſchen ihm und der Roͤhre nicht herauf kommen kan, ſo iſt das Druck⸗Werck fertig. Beweiß. Ziehet den Kolben K in die Hoͤhe, ſo wird zwiſchen dem Kolben und dem Ventil ein Raum, der von Lufft leer. Folglich treibet die aͤuſſere Lufft durch ihren Druck das Waſſer in den Stieffel A BD C, und alſo in die Roͤhre CL (S§S. 22. Aerom.). Stoſſet den Kolben wiederum zuruͤck, ſo wird die Lufft zuſammengedruͤcket, und dieſe treibet das Waſſer durch N (§. 24. Aerom.). Folglich iſt die Machine ein Druck⸗Werck (§. 23.). Anmerckung. §. 27. Ihr werdet aus dieſem Beweiß begreiffen, daß auch ein Druck⸗Werck mit einem Stieffel zu verfertigen. W mehreren kan geleſen werden Leupold I. c. Cap. X. XI. Erklaͤrung. §. 28. Durch die Waſſer⸗Schraube oder Waſ⸗ ſer⸗Schnecke des Archimedis verſtehet man eine Ma⸗ chine in Geſtalt einer gleichdicken Saͤule, die entweder innerhalb oder auf ihrer aͤuſſeren Peripherie einen hoh⸗ len Schrauben⸗Gang hat, vermittelſt deſſen, wenn der Cylinder herumgedrehet wird, das Waſſer in die Hoͤhe gewunden werden kan. Auf⸗ y zu uufe 1) ſch h zudi Erſcey Dione ſter, ſrin Ern Nane Md P dur ſti Nerde ⸗ un 5 mit don den derf De Ddt ſſee tni itn G Grdſe in der Bewegung des Waſſers. 585 in den Dan Aufgabe. §. 29. Eine Waſſer⸗Schnecke des Archimedis dieinbun zu verfertigen. h gegetnn Aufloͤſung. 1) Nehmet einen Cylinder, und zwar, damit er Tab. II. ſichan ſich bequem umtreiben laſſe, machet denſelben nicht Hydr. fnm zu dick im Diameter und auch nicht zu lang. Die Lig. 7. olnnentt Erfahrung beſtaͤtiget, daß er am beſten, wenn der Diameter nicht unter 18. Zoll, und die Laͤnge nicht uͤber 9. Ellen. 2) Füuhret entweder innerhalb oder auf der aͤuſ⸗ did te ſeren Peripherie dieſes Cylinders einen hohlen demn Schrauben⸗Gang nach der Art, wie die Gaͤnge ihren di in einer Schraube (§. 129. Mech.) gemacht werden, dalonu entweder von einer bleyernen Roͤhre oder von Holtz. den Kote 3) An den Cylinder A B befeſtiget unten einen zepordride Dapffen, mit welchem der Cylinder im Waſſer be⸗ Aaonh, feſtiget, aber doch ſo, daß er koͤnne herumgedrehet (5 23) werden. . 4) Oben an dem Cylinder A befeſtiget eine Kurbe oder ein Rad, womit der Cylinder her⸗ umzudrehen. greifen 5) Endlich leget die Schraube dergeſtalt, daß ſie dderſen mit der Horizontal⸗Linie hoͤchſtens einen Winckel .C5 von 4 6 machet, und die untere Eroͤffnung unter dem Waſſer ſtehet. So iſt die Waſſer⸗Schraube verfertiget. e „ w e ß. n ee. Das Waſſer ſteiget bis in F (§. 1. Hydroſt.). Wendet ihr nun die Schraube um, ſo faͤllt das Waſſer eiunthr mit ſeiner Schwere bis in G. Drehet ihr die Schraube nochmahl herum, ſo faͤllt es mit ſeiner Schwere von G n nach II, und ſo weiter, bis es endlich oben bey A her⸗ ausfaͤllt. W. Z. E. W. Hydrak Tig. 3. Tab. II. 596 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Zuſatz. 8. 30. Aus dieſem Beweiß, welcher die Wuͤr⸗ ckung von der Waſſer⸗Schnecke erklaͤret, erhellet, daß die Schnecke deſto mehr perpendiculaͤr ſtehen koͤnne, je ſpitzer der Winckel von den Gaͤngen der Schraube. H Anmerckung. 8.31. Laſſet das Waſſer aus der Oeffnung bey A in ein Behaͤltniß fallen, und ſetzet in dieſes eine andere Schnecke, ſo koͤnnet ihr mit dieſer das Waſſer noch hoͤher heben, als mit der erſten. Woraus die Zuſammenſetzung der Waſſer⸗Schne⸗ icken leicht zu beurtheilen. Siehe Leupold in Theatr. Mach. Hydr. Tom. I. Cap. IV. Erklaͤrung. 8. 32. Durch einen Stech⸗Heber verſtehet man ein Inſtrument, womit man einen fluͤßigen Koͤrper aus einem Gefaͤſſe, durch Huͤlffe des Drucks der Lufft, heben kan. 2 Juſatz. . 33. Nehmet einen hohlen Koͤrper, durch deſ⸗ ſen Seiten keine Lufft dringen kan, der unten und oben ſpitz, und in der Mitten einen Bauch hat. Stecket dieſen in das Faß, ſo laͤufft die fluͤßige Materie hinein (§. 1. Flydroſt.). Stopffet mit dem Finger die obere Oeffnung zu, daß von oben keine Luſſt hinein kan, und hebet das Inſtrument aus dem Faß, ſo muß der Druck der unteren Lufft verhin⸗ dern, daß nichts heraus lauffen kan (§. 16. Aerom.), 3 (S 3 iſt dieſes Inſtrument ein Stech⸗Heber (S. 32.) n H Anm erckung. §. 34. Aus dieſen Gruͤnden kan auch die Verfertigung eines Gieß⸗Faſſes beurtheilet werden. ““ Hohege Pheoren Gul⸗B Aetſtewe Und wit der Begn zweytenen mer⸗ B ſrun mſtfe en. E Vennumnſt mngt d W. 7 0 ld eie Mhen he chſnen diſenif ilted und, Griſe in der Bewegung des Waſſers. 587 FErklaͤrung. her de h d. 37. Wird das Waſſer durch Gefaͤſſe in die nt ehee Hoͤhe gehoben, ſo werden dieſe entweder an der Peri⸗ dielit ſef pherie eines Rades befeſtiget, und alſo durch die Genk Circul⸗Bewegung des Rades in die Hoͤhe gehoben, oder ſie werden nur an Stangen oder Seile befeſtiget, und mit dieſen in die Hoͤhe gezogen. Das erſte iſt ng b der Begriff von Schoͤpff⸗Raͤdern, und aus dem ndere ee zweyten emſtehen die Schoͤpff⸗Wercke und alle Ey⸗ rheben“ mer⸗Kuͤnſte. Waſſer⸗ Themm! Anmerckung. . §. 36. Wer die Gruͤnde der Mechanik und Hydraulik verſtanden, wird aus dieſen Begriffen ohne ferneres Erin⸗ nern erſehen, was bey Verfertigung ſolcher Wercke zu beob⸗ detſtehen achten. Es wuͤrde alſo nach meiner Abſicht uͦberfluͤßig ſeyn, i Eöine wenn umſtaͤndlicher davon handeln wollte. Indeſſen iſt mit Nutzen zu leſen Leupold in Theatr. Mach. Hydr. P. I. Cap. II. Cks ul und III. Erklaͤrung. 5. 37. Eine gekruͤmmte Roͤhre, welche einen kur⸗Sipho. dorcht tzen und einen langen Schenckel hat, heiſt im ge⸗ unten meinen Leben ein Heber; weil man uͤberhaupt Bauh durch einen Heber ein Inſtrument verſtehet, durch t die deſſen Huͤlffe aus einem mit fluͤßiger Materie ge⸗ Etoſfin fuͤllten Gefaͤſſe ſo viel heraus zu ziehen, als verlanget vonthelt⸗ wird. ”MB . ie, wit Lehr⸗Satz. tna, . 38. Wird der kuͤrtzte Theil eines gemeinen Tab. II. ⸗h Hebers Aß in das Waſſer geſtecket, und aus Hydr. dem laͤngſten Theil BC das Waſſer geſogen; ſo Fig. 9. muß das Waͤſſer in dem kleinen Theil herauf⸗ ſteigen, und durch den langen ſo lange heraus⸗ flieſſen, bis A im Waſſer bleibet, und Oniedriger e Nek als A ſtehet. 4 Oo⸗ꝛ2 Be⸗ — 58 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. Sauget die Lufft aus dem Heber, ſo muß die aͤuſſere Lufft, die auf das Waſſer druͤcket, durch dieſen Druck das Waſſer in die Roͤhre AB in die Hoͤhe treiben (§. 22. Aerom.), welches alsdenn durch den langen Theil, vermoͤge ſeiner eigenen Schwere, herunter faͤllt. Die Lufft druͤckt ſo ſtarck gegen A als gegen C (F. 10. Aerom.). Das Waſſer aber druͤckt ſtaͤrcker nach OQals nach A (§ ſ. Hydroſt.). Folglich muß das Waſſer ſo lange durch Clauffen, bis die Lufft durch A in den Heber fah⸗ ren, und den ungleichen Druck aufheben kan (§. 34 Dyn. ). W. 3Z. E. W. Anmerckung. §. 39. Daß dieſes Lauffen des Waſſers durch den Heber dem Druck der Lufft ſeinen Grund habe, wird auf folgende Art durch die Erfahrung beſtaͤtiget. Setzet den Heber unter die Glocke der Lufft⸗Pumpe, pumpet die Lufft heraus, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß das Waſſer, wenn die Lufft vol⸗ lig heraus, ſtehet, hingegen wieder anfaͤnget zu lauffen ,ſo bald ihr die Lufft wieder hineingelaſſen. Zuſatz. §. 40. Veraͤndert die Figur des gemeinen He⸗ bers nach eurem Gefallen. Wenn ihr dabey dieſe Regul beobachtet, daß die Oeffnung C tieffer zu ſte⸗ hen komme, als die Oeffnung A unter dem Waſſer ſtehet, und daß der kuͤrtzere Schenckel unter 31 Fuß laͤnger betrage (§. 20. 27.); ſo erhellet aus dem Beweiß, womit der Lehr⸗Satz F. 38. beſtaͤtiget, daß die beſchriebene Wuͤrckung unveraͤndert bleiben muͤſſe. Folglich habt ihr einen Grund, alle Veraͤnderungen, welche mit dem Heber vorgenommen werden, zu erklaͤren. gedllrteu eutedeece Murin ol Guyobonde nentſchenn ſitddorchbe worden. N e Vn. Uißterreg Ueder auf 6efalig. M Wesine , de den des / R ee lhete tſhret. 9G ten Ge⸗ den De⸗ eine han runn Griſe in der Bewegung des Waſſers. 589 Erklaͤrung. ws §. 41. Soll das Waſſer durch die zuſammen⸗ Ogedruͤckte Lufft in die Hoͤhe getrieben werden, ſo wird fe, 4 entweder die Lufft durch Waſſer oder durch andere A Machinen zuſammengedruͤcket. Das erſte iſt der chen ee Grund von dem Herons⸗Brunnen, aus dem zwey⸗ ſna d⸗ ten entſtehen verſchiedene Machinen, welche aber diciſin nicht durch beſondere Nahmen von einander unterſchie⸗ on,. den worden. nachA ſolanget! Aufgabe. de . 42. Einen Herons⸗Brunnen zu verferti⸗Tab. II. en tn gen. HIydr. e Fig. 10. Aufloͤſung. 1) Nehmet zwey Gefaͤſſe von Materie, welche . keine Lufft durchlaͤſt z. E. von Kupffer oder Blech unfinn Pk und HQC., verwahret bieſe auf allen Seiten, daß keine Lufft durchdringen kan, und ſetzet ſie ent⸗ Fe weder auf einander, oder uͤber einander, nachdem rde Eiſt es gefaͤllig. . Waft 2) An dem Deckel des oberen Gefaͤſſes PD, der wie eine Schaale vertieffet worden, loͤthet eine Roͤhre Ol, die oben und unten offen, und bey nahe den Bo⸗ den des unteren Gefaͤſſes beruͤhret. B genein 3) An den Deckel des unteren Gefaͤſſes HI loͤ⸗ r Dotn thet gleichfalls eine Roͤhre von der vorigen Art MN, Ctifte⸗ tathe bey nahe den Deckel des oberen Gefaͤſſes be⸗ er ruͤhret. Ue, 4) Endlich loͤthet mitten an dem Deckel des obe⸗ n n ren Gefaͤſſes eine andere Roͤhre AC, ſo bey nahe an ingecd, den Boden des oberen Gefaͤſſes gehet, und oben bey A libernin eine gantz ſubtile Eroͤffnung hat. Soiſt der Herons⸗ inderunc Brunnen verfertiget. 2 perdent,! . Oo 3 Be⸗ Tab. II. Hydraul. kig. 11. 590 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. HW Gieſſet das obere Gefaͤſſe durch die Roͤhre AC voll Waſſer. Ferner gieſſet die obere Schaale PD voll Waſſer, ſo muß dieſes mit ſeiner Schwere durch die Roͤhre Ol. in das untere Gefaͤſſe fallen, und in dieſem Gefaͤſſe die Lufft zuſammen drücken. Da demnach die innere Lufft mehr als die aͤuſſere Lufft auf A druͤcket, ſo dehnet ſich jene aus, woefer⸗ ne kein hinreichender Widerſtand. Folglich drin⸗ get ſie durch die Roͤhre M N in das obere Gefſaͤſſe, und druͤcket auf das Waſſer, welches in dieſem Ge⸗ faͤſſe PR enthalten. Da nun alſo die Lufft in dieſem Gefaͤß mehr auf das Waſſer drücket, als die aͤuſſere Lufft durch die Oeffnung A auf daſſelbige druͤcken kan, ſo muß ſich das Waͤſſer dahin bewegen, wo es eine Oeffnung findet (§. 22.), folglich durch die Roͤhre CA. herauslauffen. Die Erfahrung beſtaͤtiget, daß das Waſſer nicht ſpringet, wenn die Oeffnung zu groß. Soll es demnach ſpringen, ſo muß die Oeffnung bey A ſubtil ſeyn. Es iſt alſo bewieſen, daß dieſe Acine ein Herons⸗Brunn (§S. 40.). W. Z. E. Anmerckung. §. 43. Das Waſſer nimmt die Figur des Canals an, wodurch es gefuͤhret wird. Alſo iſt leicht zu begreiffen, wie dem ſpringenden Waſſer allerhand Figuren zu geben. Aufgabe. §. 44. Eine Machine zu verfertigen, aus wel⸗ cher das Waſſer, nachdem in derſelben die Lufft durch andere Machinen zuſammengedruͤcket, ſpringet. Aufloͤſung. 1) Machet ein rundes Gefaͤſſe aus ſtarcken Kupf⸗ fer AD und verwahret alles wohl, damit keine Lufft durchdringet. 2) In in der N den u ter Schre flen bu uden obe leltehnt Enhrden Unfeit dan ſtruch an ſcut derden Uerihe mun 6tamndarn Dlcest i bed d en Pih octek Ne Whur hgenet t, ſokne fiſno ben E cher es N Wernne ſpringer. 1)G hen he 2) eine ch Gefiſes Ni deNhre inn Gefi tde in der Bewegung des Waſſers. 591 2) In dem untern Boden Ch machet ein Loch, iohe mit einer Schraube, dadurch ihr das Gefaͤſſe mit HoaleN Waſſer fuͤllen koͤnnet. Schi 3) An den oberen Boden Al loͤthet eine Roͤhre ſele FE, welche bey nahe den unteren Boden beruͤhret, und Mc oben auſſer dem Gefaͤſſe AP mit Schrauben⸗Gaͤngen le iſee verſehen iſt, damit ſie nicht allein an die Lufft⸗Pumpe, Ni ſondern auch auf die bontaine die Aufſaͤtze ange⸗ ſich in ſchraubet werden koͤnnen. Geſtt Wenn ihr nun durch die Lufft⸗Pumpe oder mit ſenh einem anderen Inſtrument die Lufft in dem Gefaͤſſe dicſt AD, welches mit Waͤſſer gefuͤllet, zuſammendruͤcket, ig . oben bey F einen Aufſatz aufſchraubet, und den in Hahn aufmachet, ſo muß die Lufft das Waſſer durch litne die Roͤhre FC mit Gewalt jagen. re o Beweiß. Ueberleget den Beweiß, womit der §. 42. beſtaͤti⸗ fun gelt, ſo koͤnnet ihr auf gleiche Art die Wahrheit dieſer ℳ Auſloͤſung befeſtigen. E. Aufgabe. à. 45. Eine Machine zu verfertigen, aus wel⸗ r cher das Waſſer, nachdem die Lufft durch die Waͤrme in derſelbigen aus gedehnet worden, ſoringer. Aufloͤſung. 1 1) Setzet zwey Gefaͤſſe AD und DE ſo, wie bey . R II. ſ. dem Herons⸗Brunnen, auf einander. 3 2) An dem Deckel des unteren Gefaͤſſes CF loͤthet 17 eine Roͤhre Kl, die bey nahe den Deckel des oberen Gefaͤſſes AB beruͤhret. 4 3) Mitten an dem Deckel dieſes Gefaͤſſes AßB lothet . die Roͤhre ML, welche bey nahe den Boden dieſes obe⸗ ren Gefaͤſſes beruͤhret. Oo 4 4) End⸗ ꝝ̃ ꝝ 592 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe 4) Endlich machet oben eine Schuͤſſel GB, darin⸗ nen das herausſpringende Waſſer geſammlet werden 5) Wenn ihr nun dieſe Gefaͤſſe mit Waſſer fuͤllet, und unter das Gefaͤſſe CF ein Feuer machet; ſo muß die durch die Waͤrme ausgedehnte Lufft das Waſſer aus der Roͤhre LM mit Gewalt jagen. Beweiß. Dieſer kan wie die vorigen gemacht werden. Lehr⸗Satz. §. 46. Wenn das Waſſer von einer gewiſſen SHoͤhe auf eine Flaͤche faͤllt, wodurch es nicht drin⸗ gen kan, ſo muß es mit ſeiner eigenen Krafft ſo hoch wieder hinauf ſpringen, als es herunter gefallen, woferne es nicht gehindert wird. Beweiß. Daß das Waſſer wieder zuruͤck ſpringen muͤſſe, woferne es nicht gehindert wird, ſolches beſtaͤtiget der §. 71. Dyn. Daß es wieder ſo hoch ſpringen muͤſſe, als es gefallen, iſt auf folgende Art zu beſtaͤtigen. Faͤllt das Waſſer von einer gewiſſen Hoͤhe herunter, ſo wird die lebendige Krafft des Waſſers nach und nach groͤſſer (§. 31. Mech.). Folglich muß es in dem Zuruͤckſpringen wieder ſo hoch ſteigen, bis es die erhaltene lebendige Krafft voͤllig wiederum verlohren (§. 66. Dyn.). Da nun dieſes Waſſer die erhal⸗ tene lebendige Krafft in dem Zuruͤckſpringen nicht eher voͤllig verlieren kan, bis es ſo hoch gekommen, als es gefallen, woferne kein anderer Widerſtand vorhan⸗ den (§. 72 und 32. Dyn. S. 32. Mech.); ſo iſt klar, daß es, unter geſetzten Beſtimmungen, mit ſeiner ei⸗ genen Krafft, wiederum ſo hoch ſpringen muͤſſe, als es gefallen. 1. Ju⸗ e 3 ,Mite ſet urden er fuli t, ſone 0s Me tden. gewt hr drn tſohoh gefelen get det niͤcſe⸗ dgen runten och huß E bien erge⸗ Dt N ,ie 1 4 hhnn tſhan ſ 16s 1,5 in der Bewegung des Waſſers. 593 I. Juſatz. §. 47. Hieraus iſt zu begreiffen, wie auch durch das Herunterfallen des Waſſers, das in die Hoͤhe ſteigen des Waſſers zu befoͤrdern. 2. Juſatz. K. 48. Aus dem bis hieher erklaͤrten erhellet, daß das Waſſer auf verſchiedene Art zum Sprin⸗ gen koͤnne gebracht werden, nemlich durch den Fall (§. 45.); durch die zuſammengedrückte Lufft (§. 41. 43.); durch die erwaͤrmte Lufft (§. 44.), und ſo weiter. Siehe Boͤckler in Architectura curioſa. Erfahrung. d. 49. Vermoͤge der Erfahrung iſt bey dem Fall des Waſſers, wenn es wieder ſpringen ſoll, zu mercken, 1) Daß es ſeine Krafft zu ſpringen verliehret, wenn es in freyer Lufft faͤllt; 2) Daß es weit hoͤher ſpringet, wenn das nach⸗ algende Waͤſſer das vorherlauffende zugleich ruͤcket. Juſatz. §. §0. Soll demnach das fallende Waſſer wieder ſpringen, ſo wird erfodert, 1) Daß es in Roͤhren falle, und durch dieſe nach denjenigen Ort, wo es ſpringen ſoll, geleitet werde; 2) Daß der Diameter von den Roͤhren immer kleiner werde, je naͤher ſie an den Ort kommen, wo das Waſſer ſpringen ſoll; Oo 5 3) Daß 594 Erſte Gruͤnde, von Erfindung der Groͤſſe in der ꝛc. 3) Daß der Diameter von der Roͤhre, wodurch das Waſſer ſpringen ſoll, viel kleiner ſey, als der Diame⸗ ter von den Roͤhren, wodurch das Waſſer geleitet worden (§S. 1. Hydroſt.). Erklaͤrung. §. 51. Durch eine Waſſer⸗Kunſt verſtehet man eine Machine, wodurch das Waſſer, durch ſeine Bewegung, nach einen beſtimmten Ort koͤnne ge⸗ bracht werden. Zuſatz. §. 52. Wer demnach eine Waſſer⸗Kunſt bauen will, der muß 1) Unterſuchen die Art der Bewegung, wodurch das Waſſer nach den beſtimmten Ort koͤnne gebracht werden; 2) Aus der Eigenſchafft dieſer Bewegung die Inſtrumenten beſtimmen, durch deren Huͤlffe dieſe Bewegung zu befoͤrdern; 3) Nach den Geſetzen der Mechanik beurtheilen, wie dieſe Inſtrumente zu verknuͤpffen. Anmerckung. 8S. 53. Die Gruͤnde, wornach dieſe Regeln zur Ausuͤbung zu bringen, habe theils in der Mechanik, theils in der Hydroſtatik, theils in dieſer Wiſſenſchafft um⸗ ſtaͤndlich beſchrieben. Und alſo wird meine Abſicht nicht erfodern, daß umſtaͤndlicher von den Waſſer⸗Kuͤnſten handele. Wer mehr hievon zu wiſſen verlanget, der wird mit groſſem Nutzen nachleſen koͤnnen, was Leupold ſowohl Tom. I. als auch Tom. II. Theatr. Mach. Hydr. ausgefuͤhret. . Anhang (HA s N laic Kf ten N thinde Wſe bane ſoſe en ge e l Aerd ſeindet. ) °( 595 dodurcds A I h a n 9 der Dan⸗ zur Von den „Waſſer⸗Raͤdern und deren Bewe⸗ gung durch das Waſſer. Lehr⸗Satz. 5 §. 54. Knitr Ge Machine, welche das Waſſer herum Klnſter B ſche N tti S=,= = = E = treiben ſoll, muß alſo gebauet werden, Ddaß das Waſſer an dieſelbe ſchreg ſtoſſen e erl koͤnne. ge Beweiß. 3 Sollte das Waſſer in einem rechten Winckel humn an das Rad ſtoſſen, ſo wird es auch in einem rech⸗ ſſedeſe ten Winckel wieder zurck ſpringen (§. 73. Dyn.). Folglich wird das zuruͤckſpringende Waſſer die 6 Krafft des zuflieſſenden nach einer entgegen geſetz⸗ Corthele ten Richtung ſtoſſen, und alſo dieſe Krafft ver⸗ mindern (§. 71. Dyn.). Da nun dieſes wider die Abſicht, ſo erhellet, daß die Machine alſo muͤſſe ge⸗ bauet werden, daß das Waſſer ſchreg an die ſelbe ſtoſſen koͤnne. W. Z. E. W. Erklaͤrung. §. 55. Ein Rad, welches von dem Waſſer ſoll beweget werden, heiſt ein Waſſer⸗Rad. Soll das Waſſer das Rad horizontal bewegen, ſo wird es ein horizontal Waſſer⸗Rad genennet. Soll aber das Waſſer die Raͤder mit dem Horizont per⸗ pendiculaͤr bewegen, ſo ſind es perpendiculaͤr WWaſſer. 596 Anhang zur Hydroſt. und Hydraul. von den Waſſer⸗ Waſſer⸗Raͤder. Dieſe ſind oberſchlaͤchtige Waſſer⸗Raͤder, wenn das Waſſer, wodurch ſie ſollen beweget werden, oben auf dieſelben faͤllt; und unterſchlaͤchtige Waſſer⸗Raͤder, wenn ſie uͤber dem Waſſer haͤngen, und durch deſſen ſchnellen Schuß beweget werden. Lehr⸗Satz. §. 5§56. Je mehr der Trieb des Waſſers mit der Horizontal-⸗Linie uͤbereinkommet, deſto mehr vermag das Waͤſſer bey den Horizontal⸗ Raͤdern. . Beweiß. . Soll das Waſſer ein Rad horizontal treiben, ſo muß eine Horizontal⸗Bewegung wuͤrcken. Da nun das Waſſer in ſeiner Directions⸗Linie am meiſten vermag (S. 5§5I. Somatol.), ſo wüͤrde das Vermoͤgen des Waſſers bey den Horizontal⸗Raͤ⸗ dern am groͤſten ſeyn, wenn es moͤglich, daß man demſelben einen Horizontal⸗Trieb geben koͤnte. Da nun aber dieſes nicht moͤglich (§. 3. Hydr.), ſo muß man behaupten, daß das Waſſer bey den Ho⸗ rizontal⸗Raͤdern um deſto mehr vermag, je mehr dieſer Trieb mit der Horizontal⸗Linie uͤbereinkommt. Lehr⸗Satz. d. 57. Wenn die Schauffeln auf den Sorizon⸗ tal⸗Raͤdern perpendiculaͤr ſtehen, und gegen den Stoß des Waͤſſers eine hohle Figur haben, ſo ver⸗ mag das Waſſer bey dieſen Raͤdern mehr, als wo das Gegentheil. Beweiß. Sind die Schauffeln gegen den Stoß des Waſſers hohl, ſo kan das Waſſer nicht ſo geſchwin⸗ Rert Ron de . 3 len er die ſegen 6, ol folge ſoche l ogen 6 ſoch ir Wenne Wom Oe Uiſe n Caft Er ober n Raͤdern und deren Bewegung durch das Waſſer. 597 gin de von den Schauffeln abfallen, als wenn ſie nicht t hohl. Folglich vermag das anſtoſſende Waſſer eſt in dem erſten Fall mehr als in dem letzten. Ste⸗ inſet hen die Schauffeln auf dem Rade perpendiculaͤr, eh ſo liegen ſie ſo viel in der Directions⸗Linie des Waſ⸗ ſers, als moͤglich, wenn eine Circul⸗Bewegung erfolgen ſoll (§. 53. 55.). Folglich wird auch eine „ſſoooſche Lage der Schauffeln erfodert, wenn das Ver⸗ n moͤgen des Waſſers ſtarck ſeyn ſoll (§. 51. Somat.). izont Lehr⸗S atz. §. 58. Stoͤßt das Waſſer an die Schauffeln, the. nach ihrer DVeripherie, ſo vermag es mehr, als ANwenn es an die Schauffeln nach den Zapffen ſtoͤßt, re womit ſie an dem Rade befeſtiget. gnn Die Entfernung der Krafft wird in dem erſten Fall groͤſſer, als in dem zweyten (§. 47. Mech.). Folg⸗ , lich muß auch in dem erſten Fall das Vermoͤgen der 9 Krafft des Waſſers groͤſſer ſeyn, als in dem zweyten NA (S. 101. Mech.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 59. Wenn die Laͤnge der Schauffeln eines Rotae di- „„berſchlaͤchtigen Waſſer⸗ Rades groͤſſer ſind, rectae. als die Breite von der Rinne, wodurch das Waaſſer auf das Rad herabflieſſet, ſo vermag bey dieſen Raͤdern das Waſſer mehr, als wo das Gegentheil. Beweiß. Vermoͤge der Erfahrung breitet ſich das Waſſer aus, ſo bald es aus der Rinne flieſſet. Sollte nun die Laͤnge der Schauffeln micht groͤſſer ſeyn, als die Breite 598 Anhang zur Hysroſt. und Hydraul. von den Waſſer⸗ Breite der Rinne, ſo wuͤrde bey dem Herausflieſſen vieles Waſſer nicht auf das Rad fallen. Da nun bey dieſem Fall des Waſſers viel Waſſer mehr ver⸗ mag, als weniges (§. 64. Dyn.), ſo iſt klar, daß das Waſſer bey den oberſchlaͤchtigen Raͤdern mehr ver⸗ mag, wenn die Laͤnge der Schauffeln groͤſſer, als die Breite der Rinne, woraus das Waſſer auf das Rad herab flieſſet, als wenn das Gegentheil. Zuſatz. §. 60. Aus dieſer Urſache werden die Schauffeln insgemein um ein Drittheil laͤnger gemacht, als die Rinne breit iſt. Lehr⸗Satz. §. 61. Bey einem oberſchlaͤchtigen Waſſer⸗ Rade vermag das Waſſer mehr, wenn die Schauffeln eine mit dem Waſſer proportionir⸗ liche Weite haben, als wenn die Schauffeln zu enge. Beweiß. Dieſer Satz kan auf gleiche Art, wie der Satz §. 59. erwieſen werden. Lehr⸗Satz. d. 62. Bey einem oberſchlaͤchtigen Waß— ſer⸗Rade vermag das Waſſer mehr, wenn die Schauffeln hinten zugemacht, als wenn ſie offen. Beweiß. Wenn das fallende Waͤſſer zugleich mit ſeiner Schwere wuͤrcken kan, ſo vermag es mehr, als wenn es nur mit derjenigen Krafft wuͤrcken muß, welche es durch den Fall erhalten (§. 34. Dyn. Sind Wiſn dusfieſn OQaln Gehr b⸗ dogde tneht d el, Clitt egente hucn hnrasde Doſſe⸗ in Ne ioni⸗ G 3u Er N uf, Raͤdern und deren Bewegung durch das Waſſer. 599 Sind die Schauffeln bey den oberſchlaͤchtigen Waſ⸗ ſer⸗Raͤdern hinten zugemacht, ſo kan das Waſſer laͤnger auf den Schauffeln liegen bleiben, als wenn ſie offen, und alſo zugleich mit ſeiner Schwere die Bewegung des Rades befoͤrdern (5. 174. und 10. Mech.), folglich vermag bey dieſen Raͤdern das Waſſer mehr, wenn die Schauffeln hinten zuge⸗ macht, als wenn ſie offen ſind. W. Z. E. W. Lehr⸗Satt. §. 63. Bey einem oberſchlaͤchtigen Waſſer⸗ Rad vermag das Woaſſer mehr, wenn die Schauffeln nicht zu tieff gemacht, als wenn ſie ſehr tieff. Beweiß. Je tieffer die Schauffeln, deſto geringer iſt die Entfernung der Krafft (§. 4az. Mech.), und alſo auch deſto geringer das Vermoͤgen des Waſſers (§. 101. Mech.). W. Z. E. W. 5 EVErklärung. §. 64. Unterſchlaͤchtige Waſſer⸗Raͤder werden in Staber⸗Zeug, Panſter⸗Zeug und Straub⸗ Zeug eingetheilet. Ein unterſchlaͤchtiges Waſſer⸗ Rad heiſt ein Staber⸗Zeug oder Staber⸗Rad, wenn die Schauffeln nach der Linie des Radii von dem Rade zwiſchen die Wangen oder Felgen ein⸗ geſetzet ſind, und nur einen Gang treibet. Pan⸗ ſter⸗Zeug oder Panſter⸗Rad iſt von dem Sta⸗ ber⸗Rad nur in Anſehung der Groͤſſe unterſchieden, und treibet gemeiniglich zwey Gaͤnge. Insgemein macht man ein Staber⸗Rad 12. Fuß hoch und 12. bis 13. Zoll weit, ein Panſter⸗Rad aber 16. Fuß hoch und 16. bis 19. Zoll weit. Laͤufft das Panſter⸗ Rad auf einem feſten Lager, ſo heiſt es ein Srock⸗ Panſter, 600 Anhang zur Hydroſt. und Hydraul. von den ꝛc. Panſter, kan es aber nach jeder Hoͤhe des Waſſers gerichtet werden, ſo heiſt es ein Zieh⸗Panſter. Endlich wird das unterſchlaͤchtige Waſſer⸗Rad ein Straub⸗Zeug oder Straub⸗Rad genennet, wenn die Schauffeln auf der Stirne eingeſetzet, und am Ende mit Stecken und Staͤben wider die Gewalt des Waſſers verwahret werden. . Anmerckung. §. 65. Ueberleget, was von der Verfertigung der Ho⸗ rizontal⸗ und oberſchlaͤchtigen Waſſer⸗Raͤdern, wie auch von der Entfernung der Krafft bey den Raͤdern ausgefuͤh⸗ ret, ſo werdet ihr ohne ferneres Erinnern den Bau der un⸗ terſchlaͤchtigen Waſſer⸗Raͤder beurtheilen koͤnnen. Lehr⸗Satz. §. 66. Der Grund, wornach bey dem Bau der Muͤhlen die Art der Waſſer⸗Raͤder zu er⸗ richten, und deren Groͤſſe zu beſtimmen, iſt die Art der Bewegung des Waſſers und die Groͤſſe der Krafft, mit welcher es ein Rad treiben kan. Beweiß. Das erſte ſolget aus dem §. 66. Dyn. und das zweyte aus dem §. 34. Dyn. Anmerckung. §. 67. Ich koͤnte nun unterſuchen, wie viel Waſſer zur Bewegung eines jeden Rades erfodert wird. Und daß zur Bewegung der Hoörizontal⸗Raͤder das wenigſte Waſſer noͤ⸗ thig. Weil aber dieſes aus dem Erklaͤrten leicht zu beur⸗ theilen, ſo habe zu meiner gegenwaͤrtigen Abſicht, vermoͤge welcher nur die Haupt⸗ Geſetze der Mathematiſchen Wiſſen⸗ ſchafften zu erklaͤren, genug ausgefuͤhret. E L. E M E N T A OPTICES CATOPTRICLES FErT DIOPTRICES Das iſt Erſte Gruͤnde Der Wiſſenſchaft von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Lichts und Schattens, inſoweit es durch gerade, zuruüͤck⸗ geworffene und gebrochene Linien fort⸗ gepflantzet wird. Pp Von Erfindung der Groͤſſe in den Würckungen des Lichts. Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤrckun⸗ gen des Lichts, inſoweit es durch gerade Linien fortgepflantzet wird. Erklaͤrung. 2E Was wir durch das Wort Licht verſtehen, Vee⸗ das iſt einem jeden bekannt. Worin aber das Licht beſtehet, dies iſt eine Frage, welche ſo leicht nicht zu beant⸗ worten. Es gehoͤret dieſe Unterſuchung fuͤr die Erforſcher der Natur. Ich werde daher nur diejenigen Merckmahle beſchreiben welche ich zu mei⸗ ner gegenwaͤrtigen Abſicht gebrauche. Durch einen Strahl verſtehet man den Weg, durch welchen das Licht von einem Punet nach dem andern fortgepflantzet wird. Lehr⸗Satz. §. 2. Der Strahl iſt eine gerade Linie. Beweiß. Laſſet durch ein kleines Loͤchlein, in der Groͤſſe 604 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe einer Linſe, das Licht der Sonnen in einen verfinſter⸗ ten Ort hineinfallen, ſo werdet ihr deutlich wahr⸗ nehmen, daß das Licht in einer geraden Linie fort⸗ gehet. Folglich muß der Strahl eine gerade Linie ſeyn (§. I.). W. Z. E. W. . Juſatz. §. 3. Ohne Licht kan nichts geſehen werden. Folglich koͤnnen wir keine Sache ſehen, wenn nicht von derſelben das Licht nach unſerm Auge in einer geraden Linie kan gefuͤhret werden. Lehr⸗Satz. 8. 4. Licht kan ohne Lufft ſeyn. Pumpet die Lufft aus der Glocke, welche auf den Teller der Lufft⸗Pumpe geſetzet iſt, ſo habt ihr einen Raum, welcher leer von Lufft. Da ihr nun den⸗ noch alles, was unter der Glocke lieget, ſehen koͤn⸗ net, ſo iſt nicht zu laͤugnen, daß, ohne Lufft, Licht ſeyn koͤnne (§. 3.). W. Z. E. W. . Lehr⸗Satz. §. 5. Licht kan aus der Bewegung der ſubtile⸗ ſten Materie, welche in der Lufft iſt, entſtehen. Beweiß. Nehmet eine hohle glaͤſerne Kugel, welche an der einen Seite eine Oeffnung hat, und befeſtiget an dieſer einen Hahn, damit ihr die Kugel verſchlieſſen koͤnnet, daß weder Lufft hinein noch heraus dringen kan. Pumpet mit der Lufft⸗Pumpe aus dieſer Kuget die Lufft, ſo genau als es moͤglich iſt, und verſchlieſſet den Hahn, daß keine Lufft wieder hinein dringen kan. Setzet dieſe Kugel durch Huͤlffe einer Machi⸗ ne, in einem verfinſtertem Orte, in eine ſehr ſchnelle Bewegung, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß in er Ku⸗ dent e ſ⸗ elches D nſ Clgl ne Ufiag Utom Nrſch heNe⸗ acht der Graſ en befff utlich N. den Anieſe gerode i ſehen meie n, Wern ni Auge innn lche an. abt ihr Nun ſihen liſt en er ſubtt entſtehe⸗ elche enke befſea befiſt olenin Rn dicſtece iane Grethe ſete Af 1 in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 605 Kugel, ſo lange dieſe Bewegung ſehr ſchnell iſt, Licht, welches aber, ſo bald dieſe Bewegung langſam wird, oder aufhoͤret, wiederum vergehet. Nun iſt in der Kugel nichts als die ſubtileſte Materie, welche die Lufft in ſich faſſet. Dannenhero haben wir einen vollkommenen Grund zu behaupten, daß aus einer ſehr ſchnellen Bewegung der ſubtileſten Materie, wel⸗ che die Lufft in ſich faſſet, Licht entſtehen koͤnne. Anmerckung. §. 6. Was bey Hervorbringung dieſer Erfahrung zu beob⸗ achten /das will ich in den Fuͤrleſungen umſtaͤndlich zeigen. Juſatz. §. 7. Wollt ihr die ſubtileſte Materie, welche die Lufft in ſich faſſet, Aether nennen, ſo koͤnnt ihr behaupten, daß aus einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers, Licht entſtehen koͤnne. Anmerckung. 6. 8. Schlieſſet nicht, wo dieſes wahr, ſo folget, wo eine ſehr ſchnelle Bewegung des Aethers, da iſt Licht. Es folget nur, da kan Licht ſeyn. Eine ſchnelle Bewegung des Aethers kan unter verſchiedenen Umſtaͤnden unterſchie⸗ dene Merckmahle haben; wollt ihr alſo aus den Begriffen beſtimmen, wann und wo dicht ſehn muͤſſe, ſo muͤſſet ihr zuvor die Merckmahle beſtimmen, welche in der Bewegung des Aethers, wenn hieraus ein Licht entſtehen ſoll,zu finden. Lehr⸗Satz. §. 9. Das Licht kan nicht eine ſolche Sache ſeyn, welche fuͤr ſich beſtehet. Beweiß. Wenn in ein Zimmer die Sonne vollkommen hell ſcheinet, ſo nehmet Fenſter⸗Laden, welche kein Licht durchlaſſen, und verſchlieſſet mit dieſen die Fenſter. So bald die Fenſter verſchloſſen, wird nicht das geringſte Licht im Zimmer zuruͤck bleiben. Wie iſt dieſes moͤglich, wenn das Licht eine Sache Pp 3 ſeyn 606 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe ſeyn ſoll, die fuͤr ſich beſtehen kan? Sollte dieſes ſeyyn, ſo muͤſte doch zum wenigſten in einem Augenbli das Licht in dem verſchloſſenen Zimmer zuruͤck blei⸗ ben. Es folget alſo aus der Erfahrung, daß das Licht nicht eine ſolche Sache ſey, welche fuͤr ſich be⸗ Anmerckung. 6. 10. Wollt ihr einwenden, wenn dieſes, wiel iſt es moͤglich, daß man Licht in feſte Koͤrper, und feſte Koͤrper in Licht verwandeln koͤnne: Siehe Newton Optic. Lib. III. Qu. 30. p. 302; ſo bitte, ihr wollet das, was ſcheinet, von dem, was iſt, abſondern, ſo wird kein Widerſpruch uͤbrig bleiben. Lehr⸗Satz. §. 1I. Das Licht iſt nichts anders, als eine gewiſſe Art in einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aechers. Beweiß. Aus einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers kan Licht entſtehen (§. 5. 7.). Da nun aber nicht eine jede ſchnelle Bewegung des Aethers Licht her⸗ vorbringet (§. 8.), ſo muß in der ſchnellen Bewe⸗ gung des Aethers eine gewiſſe Art ſeyn, wenn dar⸗ aus das Licht entſtehen ſoll. Es iſt ferner das Licht keine Sache, welche fuͤr ſich beſtehen kan (§. 9.), und alſo haben wir vollkommenen Grund zu behaupten, daß das Licht nichts anders als eine gewiſſe Art in der ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers ſey. Anmerckung. F. 12. Ich könnte dieſes auch mit den electriſchen Ver⸗ ſuchen beweiſen, ich befuͤrchte aber, daß hiedurch die Gren⸗ tzen der Mathematik verletzen moͤgte. Dieſes iſt auch die Urſache, warum ich jetzo die Natur des Lichts nicht weiter unterſuche. Lehr⸗Satz. §S. 13. In einem Strahl iſt das Bild von der⸗ itden Neſenid beſtimhnn von der lſe nelen Blvo ſeſet. Soche Rbmd geden, ſt tn ſ. nuſch Gerade ſſe nenn der! ch N eine tet deſt muß iſe lte ie ugernſc rick he⸗ daß de ſcht⸗ ſeſii⸗ e Ne Iid I. ſheine. hrſerg in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 6077 derjenigen Sache, welche den Weg des Lichts beſtimmer. Oder in einem Strahl iſt das Bild von der Sache, woraus der Straͤhl faͤhrt. Beweiß. Laſſet den Strahl auf eine Flaͤche fallen, welche denſelben nicht durchlaͤſt, ſo werdet ihr allezeit das Bilde von der Sache finden, woraus der Strahl flieſſet. Da nun nichts vorhanden, welches dieſe Sache abbilden kan, als das Licht; ſo muͤſſen wir, vermoͤge der Erfahrung, dem Strahl die Eigenſchafft geben, daß er das Bild der Sache, woraus er flieſ⸗ ſet, mit ſich fuͤhret. W. Z. E. W. D 111. Zuſatz. §. 14. Und dieſes beſtaͤtiget, daß aus einem Punct nach verſchiedenen Gegenden Strahlen flieſſen muͤſſen. 2. Juſatz. §S. 15. Weil nun dieſe Strahlen, welche nach verſchiedenen Gegenden aus einem Puncte flieſſen, gerade Linien ſind, welche in einem Punct zuſammen ſtoſſen, ſo folget, daß dieſelben, wenn ſie nicht in ei⸗ nem fortgehen, einen Winckel machen, deſſen Spitze der Punct iſt, woraus ſie flieſſen (§. 27. Geom.). Folg⸗ lich gehen ſolche Strahlen immer weiter auseinan⸗ der, je weiter ſie kommen (§. 10I. Geom.). 3. I Uſatz. §. 16. Und hieraus erhellet, daß das Licht von einer Sache immer ſchwaͤcher werden muͤſſe, je wei⸗ ter die Strahlen, ſo aus derſelben flieſſen, kommen. Lehr⸗Satz. §. 17. Wird dem Lichte nach einer entgegen geſetzten Richtung ein Widerſtand geſetzet, ſo muß es ſchwaͤcher werden. 4 Pp 4 Be⸗ Tab. I. Opric. Pig. 1. 608 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe, Beweiß. Wird der Bewegung einer Sache, nach einer entgegengeſetzten Richtung, ein Widerſtand geſetzet, ſo wird die Bewegung ſchwaͤcher (§. 71. Dyn.). Das Licht iſt eine beſtimmte Bewegung des Aethers (§. 1I.). Folglich muß es ſchwaͤcher werden, wenn ihm nach entgegen eſetzter Richtung ein Widerſtand geſetzet wird. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 18. Dannenhero kan hieraus erklaͤret wer⸗ den, was die Erfahrung lehret, warum nemlich das Licht in der Lufft abnimmt. Lehr⸗ Satz. §. 19. Wenn aus verſchiedenen Dingen Strahlen flieſſen, welche in einem Punct zu⸗ ſammen ſtoſſen, ſo wird die Fortflpantzung des ei⸗ nen durch den andern Strahl nicht gehindert. Beweiß. Laſſet die Strahlen, welche aus verſchiedenen Dingen ABCG flieſſen, durch eine kleine Oeffnung D in ein verfinſtertes Zimmer auf die Flaͤche HIKI. fallen; ſo wird ein jeder Strahl, nachdem er wieder von den andern abgeſondert, die Sache auf der ge⸗ ſetzten Flaͤche abbilden in abc. Da nun dieſes unmoͤg⸗ lich iſt, wenn die Fortpflantzung des einen Strahls von dem andern ſollte gehindert werden (§. 54. Dyn.): ſo erhellet daß der eine Strahl die Fortpflantzung des andern nicht hindert. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 20. Wenn verſchiedene Strahlen, welchen kein Widerſtand geſetzet wird, parallel gehen, ſo muß das Licht, wenn es fuͤr ſich betrachtet wird, allezeit gleich ſtarck bleiben. Gehen die Strahlen parauel, ſo kan der eine ar l n wel tn ſn ſen o iſe in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 609 Licht des andern weder vermindern, noch vermehren e (§. 22. Geom.). Wird dieſen Strahlen kein Wi⸗ lſen derſtand geſetzet, ſo iſt auch auſſer dieſen Strahlen o kein Grund von der Veraͤnderung in der Groͤſſe Nege des Lichts (§. 56. Dyn. und §. 11. Oprt.). Und alſo en haben wir voͤlligen Grund zu behaupten, daß die cne Grbͤſſe dieſes Lichts in einem unveraͤndertem Zuſtan⸗ de bleiben muͤſſe. W. Z. E. W. HH Lehr⸗Satz. tI H. 21. Wenn gleich ſtarcke Strahlen, welche Radii di- chd aus einem Duncte flieſſen, aus einander gehen, uergentes. und keine aͤuſſerliche Urſachen vorhanden ſind, welche in der Groͤſſe des Lichts eine Veraͤnde⸗ Den rung machen koͤnnen, ſo wird das Licht immer ap ſchwaͤcher, und zwar in einer verkehrten zu⸗ lammengeſetzten Verhaͤltniß der Entfernungen de von dem Puncte, woraus die Strahlen flieſſen. Beweiß. N‚n . Das erſte erhellet aus dem §. 15. Das zweyte Tab. I. ml kan auf folgende Art erwieſen werden. Weil die orie⸗ l Strahlen, welche aus dem Puncte A flieſſen, gleich S. wia ſtarck, und keine aͤuſſerliche Urſache vorhanden iſt, dere welche in der Staͤrcke des Lichts eine Veraͤnderung um hervorbringen koͤnne, ſo kan die Abnahme des Lichts nur von der Weite beſtimmet werden, in welcher die Strahlen auseinander gehen. Die Strahlen ſind gerade Linien (§. 2.). Folglich muͤſſen diejenigen, welche in einer kleinen Entfernung gleichweit aus⸗ einander gehen, auch in einer groͤſſeren Entfernung einerley Weite behalten (S. 101. Geom.). Neh⸗ in met an, daß FCG und DBE innere Peripherien von n der Helffte hohler Kugeln, auf welche die Licht⸗ Pche Strahlen fallen, und daß die Strahlen alle gleich ſtarck ſind; ſo werdet ihr vermoͤge des vorhergehenden beh qupten muͤſſen, daß ſich die Staͤrcke des Lichts e auf der halben Kugel⸗Flaͤche HCGzur Staͤrcke des . Pp F Lichts 610 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe, Lichts auf der halben Kugel⸗Flaͤche DBE umgekehrt wie die halben Kugel⸗Flaͤchen verhalten. Da ſich nun dieſe halbe Kugel⸗Flaͤchen zu einander verhal⸗ ten, wie die halben Circul, durch deren Bewegung ſie entſtanden (§. 342. Geom.), und die halben Eircul trorum (S. 290. Geom.); ſo iſt auch die Staͤrcke des Lichts auf der halben Kugel⸗Flaͤche FCG, und die Staͤrcke des Lichts auf der halben Kugel⸗Flaͤche DBE umgekehrt in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Entfernungen von dem Punct, woraus die Strah⸗ len flieſſen (S. 14. und 20. Geom.) W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 22. Hieraus erhellet, 1) daß das Licht um deſto ſtaͤrcker ſey, je mehrere Strahlen bey einander ſind. 2. Zuſatz. §. 23. 2) Daß die Abnahme des Lichts von gleich⸗ ſtarcken Strahlen, welche aus einander fahren, durch folgende Progreßion auszudruͤcken I. f. F. F. 2.. und ſo weiter. Lehr⸗Satz. Radii con- §. 24. Wenn gleich ſtarcke Strahlen, welche uergentes. aus verſchiedenen Puncten flieſſen, zuſammen lauffen, und keine aͤuſſerlichen Urſachen verhan⸗ den ſind, wodurch die Groͤſſe des Lichts koͤnne veraͤndert werden, ſo wird das Licht immer ſtaͤrcker, und zwar in einer verkehrten und zu⸗ ſammengeſetzten Verhaͤltniß der Entfernungen von dem Puncte, in welchem die Strahlen zu⸗ ſammen ſtoſſen. Beweiß. Staͤrcke des Lichts auf der Circul⸗Flaͤche ECah zur Fig. 3. Stärcke in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß ihrer Diame- Nurt 2 (hen ie (f de Tab. I. Es erhellet aus dem Beweiß des §. 2r, daß die S⸗ V 1920 t Aus li debe 0:. 9 3 t Griſe, E ungettet n. Deſch nder vethn 1 Bregun albendi hrer Dum. Siintn 8, WN N gel⸗ig⸗ Verhilng die c⸗ W ſe nehen rgleich en,durch ne ſenmn 1 N ts in gt iin nnen GN ds Ne 1l Glan in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 611 Staͤrcke des Lichts auf der Circul⸗Flaͤche ACB, wie CBizu GFa. Da nun CB: GF=DC: DG (§. 193. 192. Geom.), folglich CB-: GF= DCa=: DG: (p. 172. b. 1. Rechn.); ſo verhaͤlt ſich auch die Staͤrcke des Lichts auf der Circul⸗Flaͤche EGEF, zur Staͤrcke des Lichts auf der Circul⸗Flaͤs ihe 4CB, wie DC' zu DG. W. Z. E. W. §. 2 5. Machet aus der §. 23. 3:. geſegken Progreßion eine anwachſende, ſo habt ihr eine Progreßion, durch welche ihr den Anwachs des Lichts unter geſetzten A Be⸗ ſtimmungen ausdruͤcken koͤnnet. Erklaͤrung. §. 26. Einen Koͤrper, welcher keine Licht⸗Strahlen durchlaͤſt, wollen wir, um uunſere Gedancken kurtz aus⸗ zudruͤcken, einen dunckelen Koͤrper nennen. Ein Koͤrper, durch welchen die auffallende Strahlen fah⸗ ren koͤnnen, heiſt ein durchſichtiger Koͤrper. Und ein Koͤrper, welcher die Licht⸗Strahlen hervorbringet, wird ein leuchtender Koͤrper genennet. Zuſatz. §. 27. Wenn das Licht auf einen dunckelen Koͤrper faͤllt, ſo muß dieſer den Zufluß des Lichts in dem Raum, welcher dem Licht entgegen geſetzet, verhindern (§. 26. 2.). Frklaͤrung. §. 28. Ein ſolcher Mangel von dem Zufluß des Lichts heiſt der Schatten. Die voͤllige Abweſenheit des Lichts wird die Finſterniß genennet. 1. Juſatz. §. 29. Hieraus erhellet, 1) Daß verſchiedene Grade des Schattens moͤglich; 2) Daß ein dunckeler Koͤrper mit der einem Seite einen 612 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe, ſtdet Wuͤrc einen Schatten wirfft, wenn er auf der andern Seite Gtgrſfrer von einem leuchtendem Koͤrper erleuchtet wird; Pl neri 30) Daß der Schatten, welchen ein dichter Koͤrper liſtpifte hinter ſich wirfft, deſto ſtaͤrcker ſey, je ſtaͤrcker das Licht, gter ece womit er auf der andern Seite erleuchtet wird. . „2. Zuſa 63. 8. 3. . §. 30. Weil der Strahl eine gerade Linie iſt (§.2.), acetr, der ſo koͤnnet ihr, wie weit ein dunckeler Koͤrper von einem het cnfe leuchtendem Koͤrper erleuchtet wird, und die Figur tr eigterad des Schattens, welchen der dunckele Koͤrper wirfft, onetenn beſtimmen, wenn ihr von der Peripherie des leuchten⸗ gliche e den Koͤrpers, uͤber die Peripherie des dunckelen gera⸗ ſcheehc de Linien ziehet. Deſtunre Anmerckung. F. 31. Hieraus ſind unendlich viele Wahrheiten von der Beſchaffenheit der Erleuchtung eines dunckelen Koͤrpers, und ſ. de des Schattens zu folgern. Ich will einige, welche am mei⸗ line dest ſten zu gebrauchen ſind, beſtimmen, von welchen beygeſetzte . Figuren unmittelbar den Beweiß geben. Nur iſt zu mer⸗ indird cken, daß A der leuchtende und B der dunckele Koͤrper ſey. nden 9 3. Juſatz. Tab. I. §. 32. Die Helffte einer leuchtenden Kugel, wel⸗ Gihhin Opt. che gleich einer dunckelen, erleuchtet die Helffte von eſ Fig. 4. der dunckelen Kugel, und dieſe wirfft einen Schat⸗ W ten, deſſen Figur ein Cylinder (§. 112. und 90. Phe Geom.). dunckd 4. Juſatz. Fonalgee Tab. Ie §. 33. Wenn die leuchtende Kugel, welche eine 36,30) Opt. dunckele erleuchtet, groͤſſer iſt als dieſe; ſo erleuchtet (enn) Fig. 5.⸗ ein kleinerer Theil, als die Helffte von der leuchtenden eMesönn Kugel, mehr als die Helffte von der dunckeln, und ſeeeu dieſer wirff? einen Schatten, deſſen Figur ein Kegel Ve (§. 112. und 82. Geom.). 5§. Zuſatz. 8 Tab. l. 8. 34. Wenn die leuchtende Kugel, welche eine dndn Obe⸗ 6 dunckele erleuchtet, kleiner als dieſe; ſo erleuchtet ein ſe, in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 61 3 e eiin groͤſſerer Theil, ale die Helffte von der leuchtenden d⸗ Kugel, weniger als die Helffte von der dunckelen, und KNg drieſer wirfft einen Schatten, deſſen Figur ein abge⸗ 1 kuͤrtzter Kegel (§. 112. und 8 5⁵. Geom.). 8 Erklaͤrung. §. 35. Wird der Schatten von einem dunckelem Vmbra te- Koͤrper, der perpendiculaͤr auf der Horizontal⸗-Linie a et vm- nem ſtehet, auf eine Horizontal⸗ Fläche geworffen, ſo heiſt bra veria in er ein gerader Schatten. Wird aber der Schatten i von einem dunckelem Koͤrper der perpendiculaͤr, an eine Nm Flaͤche, welche perpendiculaͤr auf der Horizontal⸗Linie nn ſtehet, befeſtiget, auf eine Vertical⸗Flaͤche geworffen, ſo heiſt er ein verkehrter Schatten. Lehr⸗Satz. dnn §. 36. Der gerade Schatren verhaͤlt ſich zur Tab. L. Laͤnge des dunckelen Roͤrpers, wovon er geworf⸗ Opt. eN fen wird, wie der Coſenus von der Hoͤhe des leuch⸗ Fig. 7. d tenden Roͤrpers, zu dem Sinu von dieſer Hoͤhe. Es ſey in D der leuchtende Koͤrper, ſo iſt der Win⸗ e ckel DBCſeine Hoͤhe, und DE der Sinus. Folglich BE 3 — HD (§. 154. 18 1. Geom.) der Coſinus von dieſer 4 DHoͤhe (F. 181. 182. Gcom.). Es ſey ferner GF ein dunckeler Koͤrper, welcher perpendiculaͤr auf der Hori⸗ zeontal⸗Linie ſtehet, ſo iſt BF der gerade Schatten (§. „ 3 fſ. 30.). Da nun BF: GF= BE: DE (H. 192. 193. “ Beom.); ſo verhaͤlt ſich der gerade Schatten zur Lan⸗ „Age' des dunckelen Koͤrpers, wie der Coſinus von der Hoͤ⸗ hee des leuchtenden Koͤrpers zu dem Sinu von dieſer Hoͤ⸗ rd dul 1. Juſatz. §. 37. Wird der Winckel DBE groͤſſer, ſo muß i der Sinus DE groͤſſer, folglich der Coſinus DH klei⸗ at ner werden (§. 181. 192. Geom,). Woraus er⸗ hellet, Tab. I. Opt. Fig. 8. 6⁶14 Erſter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe, hellet, daß der gerade Schatten, welcher von einem dunckelem Koͤrper geworffen wird, in ſeiner Laͤnge abnimmt, wenn die Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers zunimmt, und daß die Laͤnge des Schattens zunimmt, wenn die Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers abnimmt. (§. 36.). 2. Juſatz. §. 3 8. Es erhellet ferner, daß ſich die Hoͤhen zwey⸗ er dunckeler Koͤrper zu einander verhalten, wie die ge⸗ raden Schatten, welche ſie zu gleicher Zeit nach einer⸗ ley Gegend werffen, wenn ſie von einem leuchtenden Koͤrper auf der einen Seite erleuchtet werden (§. 40. A. M.). Lehr⸗Satz. §. 39. Wenn ein leuchtender Koͤrper in einerlei Hoͤhe verurſachet, daß ein dunckeler Koͤrper einen verkehrten, und ein anderer einen geraden Schat⸗ ten wirfft, ſo verhalten ſich die Laͤngen dieſer Schaͤtten wechſelsweiſe, wie die Laͤngen der dun⸗ ckelen Koͤrper. Beweiß. Es ſey ACder dunckele Koͤrper, welcher den verkehr⸗ ten, und DSB der dunckele Koͤrper, welcher den geraden Schatten wirfft, ſo iſt DOA der verkehrte, und BE der ge⸗ rade Schatten (§. 35. 2.). Da nun A= B (H.⸗ 3 5.)/ und die Winckel bey D einander gleich (§. 112. Geom.), ſo iſt AQ: DA = BE: DB (S. 192. Geom.). W. Aufgabe. §. 40. Aus der Hoͤhe eines dunckelen Koͤrpers und deſſen geraden Scharten, die oͤhe des leuch⸗ tenden Koͤrpers,5 E. die Hoͤhe der Sonne uͤber den Horizont zu finden. E Aufloͤſung. S Wenn Gp die Hoͤhe des dunckeln Koͤrpers, und Bb der gerade Schatten (§. 29.), ſo iſt der Winkel DB iaden C, deren ihrir Nnf S4r. nicher tſerley n Be Mmn der Repe E Khype r Epte RN erhde der C. der das Mod 9 den ſtie dennn Coln Olad L Grhſe, in den Wuͤrckungen des geradlinigten Lichts, ꝛc. 61 5 n DEC, die Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers. Ihr findet ſinten demnach die Hoͤhe dieſes leuchtenden Koͤrpers, wenn en ſing ihr in dem rechtwincklichten Triangel BGF den Win⸗ smme ckel B ſuchet. Dieſen koͤnnet ihr nach dem §. 7. Trigo- 8 ohrirnt nom. ſinden. Lehr⸗Satz. §. 41. Der gerade und verkehrte Schatten, Shenge welche von dunckelen PBorpern . ſo vollkommen ſiede einerley, vermittelſt einerley Hoͤhe des leuchten⸗ chiy den Korpers geworffen werden, ſind in einer kuen zuſammengeſetzten Verhaͤltniß, wie der Coſenus n(zt Zu dem Senu von der Hoͤhe des leuchtenden Roͤrpers. Beweiß. eime Es ſey der gerade Schatten = a. Der dunckele periinn Koͤrper = b, ſo iſt der verkehrte Schatten (§. 39. ter . i Opt. und §. 130. A. M.). Da nun a: 22 a: ba r, (5§. 218. pag. 173. n. I. Rech.), ſo iſt der gerade Schatten zu den verkehrten, wie di Quadrat von dem geraden Schatten, zu dem Quadrat von der Laͤn⸗ deit de des dunckelen Koͤrpers. Der gerade Schatten gelch verhaͤlt ſich zu der Laͤnge des dunckelen Koͤrpers, wie r der Coſinus von der Hoͤhe des leuchtenden Köͤrpers, zu dem Zinu von dieſer Hoͤhe (§. 36.). Folglich iſt ,C, das Quadrat von dem geraden Schatten, zu dem 8 Quadrat von der Laͤnge des dunckelen Koͤrpers, wie 1/ das Quadrat von dem Coſinu der Hoͤhe des leuch⸗ tenden Koͤrpers, zu dem Quadrat von dem Sinu die⸗ ess ſer Hoͤhe (§. 218. Pag. 172. b. I. Rech.), und alſo Hicd iſt klar, daß ſich der beſtimmte gerade Schatten zu 6 d dem verkehrten verhalte, wie das Quadrat von dem nn Qoſinu der Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers, zu dem Readr 5 dem Sinu dieſer Hoͤhe. (5. 40. A. M.). t, Lehr⸗ n 6 Win⸗ Tab. I. Obpt. PFig. 9. Punctum dentiae- Incidentiæ et Linea ſeu Axis inci- fallt, der Einfalls⸗Punct genennet. Und die Per⸗ 616 Der 2. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den §S. 42. Die geraden Scharten, welche von einem dunckelem Koͤrper vermittelſt veraͤnderter Hoͤhe des leuchtenden geworffen werden, verhalten ſich zu einander, wie die Cotangenten von dieſen ver⸗ aͤnderten Hoͤhen. Beweiß. Es ſey IS der dunckele Koͤrper, I3Z der eine, und TV der andere gerade Schatten, welche er vermittelſt der veroͤnderten Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers wirfft (§. 29.), ſo iſt die eine Hoͤhe des leuchtenden Koͤrpers der Winckel TZS, und die andere Hoͤhe TVS. Nehmet an, daß I8S der Sinus totus, ſo iſt IZ. der Tangent von dem Winckel TSZ,und TV der Tangent von dem Winckel ITSV (S. 173. 18 1. Geom.). Da nun T8SZ. das Complementum von TZS, und TSV das Com- lementum von TVS (S§S. 180. 145. 146. Geom.). Folglich ſind 1Z, und TV die Cotangenten von den veraͤnderten Hoͤhen (S. 180. Geom.). Woraus er⸗ hellet, daß ſich dieſe gerade Schatten zu einander ver⸗ halten, wie die Cotangenten von den veraͤnderten Hoͤ⸗ hen des leuchtenden Koͤrpers. W. Z. E. W. Der 2. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤr⸗ ckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. EFrklaͤrung. 9. 43. Gann der Strahl auf einen Koͤrper faͤllt, ſo wird der Punct, auf welchen der Strahl pen⸗ Wrcue ſacdieul fle 54 dichten eitter wird Und zuo hie, w inie. Fun let es l, 1 ſiſ hre, C Nell. ſit ine ftſin necher, M. N ſchlefe let der mate: Fahgie yE. uſgnti n ee den 1 Ni 1 d, Griſeitt⸗ e vontiſer dotter 97 Lhelen 6 dieſne enuh hittrd wſt ürnet 6. M der Nig elnfene Dannnh NsCN 6,eod ,, hon Grults el ndet N . Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 6 19 pendicul⸗Linie, welche auf den Koͤrper durch den Ein⸗ falls⸗Punct gezogen wird, heiſt die Einfalls⸗Linie. Lehr⸗Satz. §. 44. Wenn der Strahl des Lichts aus einer dichteren Materie in eine duͤnnere; oder aus einer duͤnneren Maͤterie in eine dichtere faͤhret, ſo wird er von der vorigen Linie abweichen . und zwar im erſtem Falle von der Einfalls⸗Li⸗ nie, und im anderm Falle gegen die Einſalls⸗ Linie. „ * Beweiß. Fuͤllet ein conſſches Glaß mit Waſſer, und hal⸗ Tab. I. tet es dergeſtalt an C, daß der Strahl des Lichts Obrtic. Eb, welches durch die kleine Oeffnung in das ver⸗ finſterte Gemach hineinfaͤllt, in F das Waſſer be⸗ ruͤhret, ſo werdet ihr augenſcheinlich wahrnehmen, daß der Strahl im Waſſer aus der geraden Linie EG weichet, und gegen die Einſalls⸗Linie in der Li⸗ nie Fl fortgehet. Ihr werdet ſerner wahrnehmen, daß der Strahl, wenn er aus dem Waſſer in die Lufft faͤhret, aus der geraden Linie FM an LN weichet, und alſo von der Einfalls⸗Linie LO wegge⸗ het. Wiederhohlet dieſen Verſuch mit einem ge⸗ ſchlieffenen Kegel, der gantz maßiv iſt; wiederhoh⸗ let denſelben mit einem dreyeckigten glaͤſernen Pris- mate: ihr werdet allezeit einerley Wuͤrckung finden. Folglich beſtaͤtiget die Erfahrung den angegebenen Lehr⸗Satttz.“ Erklaͤrung. Fig. 10. §. 45. Dieſes Abweichen der Strahlen von der Tab. I. chen der Strahlen oder die Refraction genennet. Der Strahl AB heiſt bis an den Einfalls⸗Punct B der einfallende Strahl (Radius incidens); weun dieſer aus dem Punct B herausfaͤhrt und gebrochen wird, ſo wird er nemlich R. der gebrochene Stne £ ◻ . vorigen Linie, in welcher ſie waren, wird das Bre⸗Pbcic. ig 11. 618 Der 2. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den (Radius refractus) genennet. Und in. Anſehung deſſen heiſt der Einfalls⸗Punct, der Brechungs⸗ Punct (Pundum refractionis). Erklaͤrung. §. 46. Wenn die Einfalls⸗Linie oder Axe DB durch den Einfalls⸗Punct B verlaͤngert wird, ſo heiſt ſie, nemlich BE, die Brechungs Linie oder Axe (Axis zefractionis). Erklaͤrung. §. 47. Der Winckel, welcher von dem einfallen⸗ den Strahl BA mit der Flaͤche Bl, worauf er faͤllt, gemacht wird, ABl, heiſt der Einfalls⸗Winckel (Angulus incidentiage). Der Winckel, welcher von dem einfallenden Strahl AB, und der Einfalls⸗Axe BD gemacht wird, nemlich DBA, wird der Nei⸗ gungs⸗Winckel (Angulus inclinationis) genennet. Erxrklaͤrung. 6. 48. Der Wirckel, welchen der verlaͤngerte ein⸗ fallende Strahl MB mit dem gebrochenen Strahl 3C macht, nemlich der Winckel MBC, heiſt der Refractions Winckel (Angulus refractionis). Und der Winckel CBE, welchen der gebrochene Strahl BC mit der Brechungs⸗Axe BE macht, wird der ge⸗ brochene oder refringirte Winckel (Angulus re- fradtus) genennet. 1. Juſatz. §. 49. Wenn der Strahl des Lichts aus einer dichteren Materie in eine duͤnnere, und aus einer duͤnneren in eine dichtere faͤhret, ſo wird er gebro⸗ chen, und zwar im erſten Fall von der Einfalls⸗Li⸗ nie, und in dem andern gegen die Einfalls⸗Linie (§. 44. 45.). §. 50. Die untere euft iſt dichter als die obere (§. 13. Aérom.). Wenn demnach der Strahl . des Puͤrcure Ulrochene Dlzgini⸗ DRec üEu ruͤg R aufel 9 Ud N. ſe dor Dutte 9Ecs N N 1 en N un 4 ſc UE, 4 bende En le⸗) HN N liſhei he hi⸗ Gröͤſeinc in. Alſt Brechmn oder NeD twird, N inie e denn vorenie ſ alls Winil l, btan Cifier vird derli⸗ 60) gehhnt Mityenten en Elen N “ wond 1 cere En win k 1* cſts der unden wintn⸗ derlieli be 1 615 dech, der CN. der 4 Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 6 19 des Lichts aus der oberen Lufft in die untere, oder aus der unteren Lufft in die obere faͤhrt, ſo wird er gebrochen, und zwar im erſtem Falle gegen die Ein⸗ falls⸗Linie, im andern Falle aber von der Einfalls⸗ Linie (§. 49.). Lehr⸗Satz. §. 5 1. Die Siszs von dem Inclinations⸗ und Tab. II. gebrochenem Winckel haben beſtaͤndig einerley Obtic. Verhaͤltniß gegen einander. 1G. ke Beweiß. Die Wahrheit dieſes Lehr⸗Satzes kan nach Kep⸗ lers Exempel (Diopt. L. I1. prop. 3.) durch die Er⸗ fahrung auf folgende Art beſtaͤtiget werden. 1) Nehmet einen glaͤſernen Wuͤrffel B, welcher auf allen Seiten recht eben geſchlieffen und poliret. 2) Setzet zwey wohlgehobelte Bretter NIPO und NIBA rechtwincklicht zuſammen, ſo daß die Hoͤ⸗ he von NIBA gleich der Hoͤhe des Wuͤrffels, die Breite aber groͤſſer als die Breite des Wuͤrffels. 3) Setzet den Wuͤrffel an das aufgerichtete Bret NIBA, und kehret es gegen die Sonne, und mercket mit einem Bley⸗Stiſfte auf dem Bretlein INOP den Punct L., wo der Schatten von dem Bretlein NNIBAO auſſerhalb dem Wuͤrffel aufhoͤret, ingleichen den Punct K, wo er innerhalb dem Wuͤrffel ſich endiget. 4) Traget den Triangel CHL. auf das Papier, Tab. II. ſchneidet von der Linie LH aus I. nach H die Linie Optic. Tk, und ziehet die Linie CK: ſo iſt ClL. der einfal⸗Fig. 13. lende oder ungebrochene, und CK der gebrochene Strahl. C der Einfalls⸗Punct. CH die Ein⸗ falls⸗Axe, folglich HCl. der Inclinations⸗Winckel, HCK der gebrochene Winckel (§. 43. fl.). 5) Weil die Linie CH unveraͤnderlich bleibet, ſo beſchreibet mit dieſer aus C einen Bogen, welcher die Linie CK in M und Cl in I ſchneidet, ſo iſt der Q q 2 Per⸗ 620 Der 2. Abſch. Von Erfinduug der Groͤſſe in den Bürcmmn de⸗ Perpendicul GM der Sinus von dem gebrochenen, nku heles IN aber der Sinus von dem Inclinations⸗Winckel mz ihfln, (§. 181. Geom.). uririft 6) Meſſet dieſe Sinus auf einem verjuͤngtem Maaß⸗Stabe. Wenn ihr nun dieſen Verſuch auf verſchiedene Art anſtellet, ſo werdet ihr finden, daß dieſe Sinus beſtaͤndig einerley Verhaͤltniß zu einan⸗ der haben. 7) Nehmet an ſtatt des vorigen Wuͤrffels einen hohlen glaͤſernen Wuͤrffel. Fuͤllet dieſen nach und 855. 34 Hi Gtrochen wi 1s ſcht ſoſ nach mit verſchiedenen fluͤßigen Materien, und unter⸗ Uelherute ſuchet alsdenn, wie zuvor, die Brechung der Strah⸗ d len, ſo werdet ihr gleichfalls finden, daß ben einerley filt tn Materie die Sinus von dem Inelinations⸗und von dem Un gebrochenen Winckel einerley Verhaͤltniß behalten. naif 1. Zuſatz. “ fen s §. 52. Wie groß iſt dieſe Verhaͤltniß? Huge- hllnnt nius in Dioptr. und Newton in Optic. haben be⸗ 9) Venn kraͤftiget, daß bey der Strahlen⸗Brechung aus der t der Ge Lufft in das Glaß IN: MG = 3: 2. Das iſt; iß ef. der Sinus des gebrochenen Winckels iſt 5 von dem Ur dite dee Sinu des Inclinations⸗Winckels, Hingegen bey der Bu Strahlen⸗Brechung aus dem Glaſe in die Lufft iſft nw IN: GM=2: 3. Das iſt; der Sinus des Incli⸗ Gin nations⸗Winckels iſt 3 von dem Sinu des gebroche⸗ Ilſnie nen Winckels. . len Do- Anmerckung. G. 53. Ich werde nur das Brechen des Lichts in ge⸗ ig geſchlieffenen Glaͤſern beſchreiben; weil das uͤbrige von 56. Gl meiner gegenwaͤrtigen Abſicht nicht erfodert wird. Doch des glaſes zur Erlaͤuterung will ich einige Verhaͤltniſſe anfuͤhren. Lar- das Gaß 4 teſius in Tr. de Meteor. hat angemercket, daß M: IN = Gh⸗ . 3: 4 wenn das Licht aus der Lufft in das Waſſer gebro⸗ holir chen wird. Newton beweiſet in der Optic, daß MG: NI — 3200: 3201 wenn das Licht in der Lufft gebrochen wird, 8 und ſo weiter. Wollt ihr hiebey uͤberlegen, was in der ſ7 Aërometrie von der Schwere der Lufft, und in der Hy⸗ Adroſtatie von der Schwere des Waſſers ausgefuͤhret, ſo 1) f . wer⸗ Griſenm. Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 621 n gebrobenn werdet ihr ohne ferneres Erinnern geſtehen, daß dieſe ations Wra Verhaͤltniß nicht allgemein, und daß es unmoͤglich, allge⸗ S meine Verhaltniſſe von dem Brechen des Lichts im Waſſer und in der Lufft feſtzuſetzen. 2. Zuſatz. n Drſingt dng §. 54. Hieraus erhellet, daß das Licht ſtaͤrcker ſtniß en gebrochen wird, wenn es ſehr ſchief einfaͤllt, als wenn . es nicht ſo ſchief einfaͤllet. Wütffist4 5‧ Z uſa tz. dieſen nacht §. 55. Doch iſt hiebey vermoͤge der Erfahrung, rienund u welche nach dem S. 51. kan erhalten werden, zu mercken, ung derent 1) Daß der Strahl, welcher perpendiculaͤr ein⸗ daß beten faͤllt, ungebrochen durchgehet. s⸗ndom 2) Wenn der Inclinations⸗Winckel kleiner als altne hoh 20. Grad, ſo iſt der gebrochene Winckel aus der Lufft in das Glaß bey nahe der dritte Theil von nßg? dem Inclinations⸗Winckel. ne hilent 3) Wenn der Inclinations⸗Winckel 20. Grad, ugaus ſo iſt der gebrochene Winckel aus der Lufft in das Deas (: Glaß 60 48 25“ folglich um 8 25“ groͤſſer als 1 ade der dritte Theil von dem Inclinations⸗Winckel. geen dett 4) Wenn der Inclinations⸗Winckel 30. Grad, de ſo iſt der gebrochene Winckel aus der Lufft in das us des ſe Glaß 30 31“ groͤſſer als der dritte Theil von dem des et Inclinations⸗Winckel, und ſo weiter. Siehe Wolfii Elem. Diopt. §. 32. ſſ. Erklaͤrung. n den §. 56. Glaß ſchleiffen iſt ſo viel als der Flaͤche ß des Glaſes eine gewiſſe Figur geben. Arhen daß de das Glaß einen hellen Glantz bekomme, heiſt das nſſereN Glaß poliren. ic dai antt K. 57. Hieraus erhellet, daß bey dem Gla iu nitt ſchleiffen auf drey Stuͤcke zu ſehen ee 1) Auf die Beſchaffenheit des Glaſes. 6 uihſie, QNà 2) Auf 622 Der 2. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den Mingen 2) Auf die Beſchaffenheit der Machine, womit 2 T das Glaß zu ſchleiffen. 4 62. 3) Auf die Hand⸗Arbeit. ł kre Werd⸗ 2. Zuſatz. 1ſſfind §. 58. Die Beſchaffenheit des Glaſes iſt aus ſenes, ſo der Abſicht zu beurtheilen. Weil nun dieſe, daß ſs, hohle durch daſſelbe die Strahlen auf eine gleichfoͤrmige Art ſollen gebrochen werden, ſo folget, daß ein 86 ſolches Glaß vollkommen durchſichtig, helle und entiwede durchaus gleich dichte ſeyn muß. Geiten Anmerckung. kenne F. 59. In den Fuͤrleſungen werde zeigen, wie dieſe Ei⸗ D genſchafften des Glaſes zu unterſuchen. Ae ſlltren §. 60. Bey der Machine ſind die Flaͤchen, wor⸗ ſſin nach das Glaß zu ſchleiffen, oder die Schaalen, von der Machine fuͤr ſich betrachtet, das iſt, von der Schleif⸗Muͤhle zu unterſcheiden. Was zu beyden z 64. erfodert wird, ſolches iſt wiederum aus der Abſicht ſurirg zu beſtimmen. Und alſo erhellet in Anſehung der Denen Schaale, daß ihre innere Flaͤche diejenige Figur ha⸗ dch ben muͤſſe, welche die aͤuſſere Flaͤche des Glaſes be. Mrden kommen ſoll; und in Anſehung der Muͤhle, daß ſie alſo zu verfertigen, daß durch deren Huͤlffe die 36 Schaale in eine gleichfoͤrmige Bewegung koͤnne ge⸗ aus ſch ſetzet werden. und and werden Anmerckung. ntilh 61. In den Fuͤrleſungen werde ſinnlich zeigen: nur ſoh. 5 1) Wie ſolche Schaalen zu verfertigen.“ 4 en, 2) Wie die Muͤhle zu verfertigen. ſolg 2) Die Hand⸗Griffe, welche bey dem Schleiffen zu anden. beobachten. 4) Wie die Glaͤſer zu poliren. Indeſſen kan mit Nutzen geleſen werden „was Hertel, Hb in der Kunſt Glaß zu ſchleiffen, beſchrieben. E lihen r⸗ iſeinde Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 623 ine, hentt Erkl. aäͤr u ng. §. 62. Die Flaͤchen eines geſchlieffenen Glaſer Lens plans- ſind entweder ebene oder krumme. Iſt das erſte, ſo en Tens werden ſie glatte Glaͤſer genennet. Iſt das zwey⸗ oncaua. tee, ſo ſind ſie entweder erhaben, oder hohl. Wenn ſs ſin jenes, ſo ſind es erhabene Glaͤſer, und wenn die⸗ e, ſes, hohle Glaͤſer. t, . 63. Es ſind demnach alle geſchlieffene Glaͤſer , M 1 entweder auf beyden Geiten platt, oder auf beyden Seiten erhaben (Lens conuexo-conuexa); oder auf beyden Seiten hohl (Lens concauo-concaua); oder auf der einen Seite platt und auf der andern erha⸗ wi ben (Lens plano-conuexa); oder auf der einen Seite platt, und auf der andern hohl (Lens plano-concaua) oder auf der einen Seite hohl und auf der andern lilſen,5 erhaben (Meniſeus). ſonenn , mlet Erklaͤrung. Ben L 64. Die Axe eines geſchlieffenen Glaſes Ute iſt diejenige gerade Linie, welche in die Axe von dem . 4 Koͤrper, woraus das Glaß geſchnitten worden, faͤllt. nad Oder die Axe des Köoͤrpers, woraus das Glaß geſchnit⸗ e ten worden iſt die Axe von dem geſchlieffenen Glaſe. lere Anmerckung. §. 65. Es koͤnnen ſo wohl hohle als auch erhabene Glaͤſer fin aus ſphaͤriſchen, elliptiſchen, hyperboliſchen, paraboliſchen ig fin und andern Koͤrpern geſchnitten werden, und die Glaͤſer werden daher ſphaeriſche, elliptiſche, hyperboliſche und pa⸗ raboliſche Glaͤſer genennet. Doch iſt zu mercki, daß man nur ſphaͤriſche Glaͤſer verſtehet, wenn von geſchlieffenen e Glaͤſern, ohne eine beſondere Art zu beſtimmen, bie Rede. Pu pfeid euden will ich nur von den ſohaͤriſchen Glaͤſern hi Zu ſatz. §. 66. Die Axe der Kugel, von deren Flaͤche die ruh Flaͤche des geſchlieffenen Glaſes ein Theil iſt, beſtimmet „ OQ q 4 die 624 Der 2. Abſch. Von Eunfindung der Groͤſſe in den die Groͤſſe in der Kruͤmme der Flaͤche des Glaſes (§. 280. Geom.). Daher wird geſaget, es iſt ein Glaß von drey Ruthen, wenn die Axe drey Ruthen hat: es iſt ein Glaß von drey Schuhen, wenn die Axe drey Schuh. Und ſo weiter. E r klaͤrung. §. 67. Iſt ein Glaß auf beyden Seiten erhaben, ſo wird geſaget, daß es gleichfoͤrmig erhaben, wenn von beyden Seiten die Apen gleich. Woraus un⸗ mittelbar zu begreiffen, was gleichfoͤrmig hohle Glaͤſer . ſind. Aufgabe. . §. 58. Durch Zeichnung zu finden, wie ein einfallender Strahl in einem gegebenen Glaſe gebrochen wird . Aufloſung. 1) Beſchreibet mit den gegebenen Radiis die Boͤgen der hohlen, oder der erhabenen Flaͤchen; oder ziehet gerade Linien, wenn die Glaͤſer platt ſind, damit ihr den Durchſchnitt des Glaſes bekommet. 2) Ziehet den Strahl auf das Glaß nach der Art, wie er einfallen ſoll. 3) Auf den Einfalls⸗Punct ziehet eine gerade Linie, die auf dem Glaſe perpendiculaͤr ſtehet. So bekommt ihr den Inclinations⸗Winckel (§. 47.). 4) Dieſen theilet in drey gleiche Theile, ſo koͤn⸗ net ihr den Strahl ziehen, wie er im Eingange ge⸗ brochen wird (§. 52.). 3) Suchet auf gleiche Art den Inclinations⸗ Winckel im Asgainge, J 6) Theilet ihn in zween Theile, ſo koͤnnet ihr den Strahl finden, wie er im Ausgange gebrochen wird. 1. Zuſatz. §. 69. Wenn ihr in dem Zeichnen genau ver⸗ fahret, ermn Und nung Et⸗ R ein de es Ciſt es ſti ,Rue wennk G bene oralin 4 n cis lifun ſnd, inmnet. ch N e gen het 6 leſ ept agere, t Jrn gantze Kugel. Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 62 5 fahret, ſo werdet ihr folgende Saͤtze, welche auch aus dem §. 11. zu erweiſen, durch die Erfahrung beſtim⸗ men koͤnnen. 1) Wenn das Glaß auf beyden Seiten platt iſt, ſo werden die Strahlen hinter dem Glaſe mit den einfal⸗ lenden parallel gebrochen. §. 70. 2) Iſt das geſchlieffene Glaß erhaben, ſo werden die Strahlen, welche mit der Axe parallel einfal⸗ len, nach geſchehener Brechung mit der Axe wiederum zuſammen ſtoſſen, und zwar in der Weite des Diametri von dem Glaſe, wenn es auf einer Seiten platt und auf der andern erhaben: in der Weite des halben Dia- metri, wenn es auf beyden Seiten erhaben: und in der Weite des vierten Theils, wenn das Glaß eine z. Juſatz. §. 71. Hieraus erhellet, a) daß die erhabenen Glaͤſer durch das Brechen der Strahlen, das Lcht vermehren (§. 16.), und zwar in einer verkehrten und zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Entfer⸗ nung des Glaſes von dem Punct, in welchem die Strahlen zuſammen lauffen, welcher Punct der Brenn⸗Punct (Focus) genennet wird (§. 24.); b) daß die erhabenen Glaͤſer die Strahlen, welche aus einem Punct flieſſen, wiederum zuſammen bringen. 4. Zuſatz. §. 72. 3) Iſt das geſchlieſſene Glaß auf der Sei⸗ te, wo die Strahlen ausfahren, hohl, ſo werden die Strahlen von der Axe weg gebrochen, und weichen nach der Refraction immer mehr und mehr von ihr ab, je weiter ſie fortgehen. §. Juſatz. §. 73. Hieraus erhellet a) daß die hohlen Glaͤſer OQq 5 durch 626 Der 2. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den durch das Brechen der Strahlen das Licht immer ſchwaͤcher machen, und zwar in einer zuſammengeſetz⸗ ten und verkehrten Verhaͤltniß der Entfernungen der Flaͤchen, womit die gebrochenen Strahlen aufgefangen werden, von dem Glaſe (S. 21.) ; b) daß die hohlen Glaͤſer die Strahlen, welche aus einem Punct flieſſen, zerſtreuen. Anmerckung. §. 74. Waͤre es nicht meine Abſicht Anfaͤngern die ma⸗ thematiſchen Lehr⸗Saͤtze zu erklaͤren, ſo haͤtte dieſe Zuſaͤtze aus den inneren Gruͤnden der Mathematik gefolgert. Wer verſtehet, wie nach den Regeln der Logik durch die Verbin⸗ dung der Zeichen Wahrheiten zu erfinden, der wird auch die⸗ ſen Weg, welchen zur Unterſuchung der Dioptriſchen Lehr⸗ Saͤtze gebrauchet, nicht verachten. Erfahrung. §. 75. Fanger den hellen Strahl des Lichts, der durch ein kleines Loͤchlein in ein verfinſtertes Gemach hinein faͤllt, mit einem dreyeckigtem pris⸗ matiſchem Glaſe auf, ſo werdet ihr, wenn ihr das Glaß recht haltet, die ſchoͤnſten Regenbogen⸗Far⸗ ben ſehen. Fanget die Strahlen hinter dem Glaſe auf, wo ihr wollet, ſo werdet ihr beſtaͤndig dieſe Farben wahrnehmen. Fanget den einen Strahl 3. E. den rothen wiederum mit einem dreyeckig⸗ tem prismatiſchem Glaſe auf, ſo werdet ihr wahr⸗ nehmen, daß deſſen Sarbe niemahls veraͤndert wird. Laſſet das geſaͤrbte Licht durch ein erha⸗ benes Glaß allen, ſo werden die Strahlen hinter dem Gaſe, wo ſie noch weit von einander ſind, auch nach der Refraction ihre Farben behalten. Hingegen in dem Brenn⸗Punet werdet ihr keine Farden, ſondern Licht ſehen, wenn ihr das Licht in dem Brenn⸗Punct mit dem Papier auffanget. Hinter dem Brenn⸗Punct fahren die Strahlen wieder weit auseinander, und machen abermahl Farben. Pürck rbe dernh Obera ſte koce inden Wuͤrckungen des Lichts bey gebrochenen Strahlen. 627 htim Farben. Die gefaͤrbten Strahlen haben einen an⸗ nengſy dern Weg als das eingefallene Licht, und ſtehen ſer uͤber einander. ſefange. rti Anmerckung. etſcſer §. 76. Laſſet das Licht in ein mit Waſſer gefuͤlltes coni⸗ ſches Glaß fallen, ſo werdet ihr gleiche Empfindungen be⸗ kommen. etn den I. Zuſatz. ee §. 77. Aus dieſer Erfahrung erhellet e 1) Daß ſich das icht in Farben veraͤndert, wenn “ die Strahlen durch das Brechen von einander geſon⸗ ſchenke dert werden (§. 45.). 2. Juſatz. ts §. 78. 2) Daß ſich die Farben in Licht verwan⸗ ie deln, wenn ſie mit einander vermenget werden. Nyi⸗ (§. 71.). s z. Z1 ſatz. Fer⸗ §. 79. 3) Daß die Farben, in welche das Licht Goſ verwandelt, unterſchieden, wenn ſie durch das Bre⸗ d chen in verſchiedenen Winckeln von einander ge⸗ Sn ſondert. Nt . rpp⸗ 4. Zuſatz. un §. 80. 4) Daß die Farbe eines Strahls, welcher in einem beſtimmten Winckel von dem Licht abgeſon⸗ le dert, unveraͤnderlich. , 4 5§. Zuſatz. . §. 81. 5 ) Daß das Licht in einem gefaͤrbten . Strahl ſchwaͤcher, als wenn alle gefaͤrbte Strahlen mit einander vermenget, und ein weiſſes Licht machen 628 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung Der 3. Abſchnitt. Von dem Geſichte und Beurtheilung der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. Erklaͤrung. d., 82. Bas Auge beſtehet aus verſchiedenen Haͤuten und E Feuchtigkeiten. Die erſte Haut iſt wie ein durchſichtiges Horn, und wird daher die Horn⸗Haut (Cornea) genennet. Mit ihr iſt an dem hinteren Theil des Auges eine andere zaͤhe Haut (Sclerotica) ver⸗ knuͤpffet, welche die harte Haut genennet wird. Un⸗ ter der Horn⸗Haut iſt eine faͤrbige Haut (Vuea), dieſe hat in der Mitten ein Cireul⸗rundtes Loch (Pupilla), wel⸗ ches man den Stern nennet. Mit der farbigen Haut iſt eine ſchwartze (Choroides) verknuͤpffet, welche an der harten anlieget. Endlich uͤber die ſchwartze iſt hinten an dem Auge einzartes netzfoͤrmiges Haͤutlein (Retina), welches wie ein Netz zuſammen faͤllet, wenn man es abſondert, hingegen ſich wie ein leinenes Tuch ausſpannet, wenn es innerhalb dem Waſſer beweget wird. Den hinterſten und groͤſten Theil des Auges fuͤl⸗ let die glaͤſerne Feuchtigkeit (Humor vitreus) aus. Mitten in dem Auge unter dem Stern lieget die cryſtal⸗ line Feuchtigkeit (Humor criſtallinus), die einem er⸗ habenen geſchlieffenen Glaſe aͤhnlich. Endlich den Raum zwiſchen der eryſtallinen Feuchtigkeit und der Horn⸗Haut erfuͤllet eine waͤſſerige Feuchtigkeit (Hu- moraqueus), die bald herausflieſſet, wenn die Horn⸗ Haut verletzet wird. Juſatz. §. 83. Durch die cryſtalline Feuchtigkeit werden die Strahlen, welche aus einem Punet flieſſen, und in das Auge fahren, zuſammengebracht (§. 71.). Gce Doter ſtindn Mr Nr H uſerſvi Upeteh Ulraur eß ug leinn h nl nof uft 8 finn fn Di Rcd 8 wie⸗ obine dttheieg der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 629 Erfahrung. S§. 94. Haltet die cryſtalline euchtigkeit fuͤr ein Groͤſe angezuͤndetes Licht, oder gegen ein Senſter, und „darhinter ein Papier. Ruͤcket mit dem Papiere te. nach und nach gegen jene zu, ſo werdet ihr das Licht mit der Bewegung der zlamme, ingleichen das Fenſter mit ſeinen Glaß⸗Scheiben, ſehr ſubtil aber iſtau umgekehrt darauf abgebilder ſehen. Gleiche de Wanckungen entſtehen durch ein erhabenes ne Zu ſatz. tetend ⸗R =è §. 85. Die Koͤrper, von welchen Strahlen in das ticN — n. Auge fallen, mahlen ſich alſo auf das netzfoͤrmige Haͤut⸗ vent lein durch Huͤlffe der cryſtallinen Feuchtigkeit ab, wie hpliht ſich die Koͤrper auf ein weiſſes Tuch oder Papier ab⸗ enhu mahlen, wenn von ihnen durch Huͤlffe eines erhabenen ,ti Glaſes die Strahlen auf das Tuch oder Papier ge⸗ gutzrf worffen werden. Folglich kan von dieſer Begebenheit itee auf jene geſchloſſen werden. . tem Arnmmerckung. Dech E§. 86. Hieraus iſt unmittelbar zu begreiffen, 1) wie ein detden kuͤnſtliches Auge zu verfertigen; 2) wärum das Auge eine kuͤnſtliche verfinſterte Kammer zu nennen. Siehe meine ueif Diſſertation de oculo, quod ſit camera obſcura maxime arti= ) 6 ficioſa. ec Lehn⸗Satz. eikin⸗ §. 87. BEine Sache wird §. 87. Zine Sache wird alſo von uns geſehen ſ, wie das Bild beſchaffen, welches ſie in dem Auge abmaͤhlet. Zuſatz. §. d Een Kürpet hentn denne Saͤtze: L 1) Ein Koͤrper wird deutlich geſehen; rrr Ddi Auge deutlich. ich geſehen; wenn das 2) Zween Koͤrper ſehen gleich groß aus; wenn i ſ,1. Bilder im Auge gleich groß ſeyn. oß aue; hre RA. 3) Wir 630 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung 3) Wir ſehen eine Sache in der Bewegung; wenn deren Bild im Auge beweget wird. 4) Wenn von einer Sache kein Bild im Auge ab⸗ gemahlet wird, ſo kan ſie auch von uns nicht geſehen werden. Sð 90) Je mehr Licht von einem Koͤrper in das Auge faͤllt, deſto heller ſiehet der Koͤrper aus. Lehr⸗Satz. F. 89. Soll eine Sache, welche in der Ferne iſt, deue ich geſehen werden, ſo muß die eryſtalline Leucht gheit dem netzfoͤrmigen Saͤutlein naͤher ſe n, als wenn eine Sache, welche in der Naͤhe, deutlich ſoll geſehen werden. Beweiß. Machet in das Fenſter einer verfinſterten Kammer eine kleine Oeffnung, und ſetzet in dieſelbe ein erhabenes Glaß, hinter dieſes haltet eine weiſſe Flaͤche, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß in der Entfernung der weis⸗ ſen Flaͤche von dem Glaſe, in welcher ſich auf derſelben nahe Dinge deutlich abbilden, keine Dinge, welche in der Ferne ſtehen, deutlich abgebildet werden; wollt ihr hingegen von dieſen eine deutliche Abbildung haben, ſo muͤßt ihr die weiſſe Flaͤche dem Glaſe naͤher bringen. Dieſe Erfahrung kan auch durch den Gebrauch eines kuͤnſtlichen Auges erhalten werden. Was bey der ver⸗ finſterten Kammer das erhabene Glaß, ſolches iſt in dem Auge die cryſtalline Feuchtigkeit: und was bey der verfinſterten Kammer die weiſſe Flaͤche, das iſt in dem Auge das netzfoͤrmige Haͤutlein (§. 85.). Folglich muß das netzfoͤrmige Haͤutlein der cryſtallinen Feuch⸗ tigkeit naͤher ſeyn, wenn Dinge in der Ferne, als wenn Dinge in der Naͤhe deutlich ſollen geſehen werden (§. 88.). W. Z. E. W. Zyuyuſatz. „ §. 90. Soll demnach ein Auge ſowohl in der Ferne als auch in der Naͤhe deutlich ſehen, ſob muß in der in e ſern finn 9 rlet ſigtbe 6 9 0. Clche ſaoline 9 vond guſſer des 6 imnmn ſer. Dea WS eurtiin der Groͤſſen der Dinge durch das Geſicht. 631 gungetn in demſelben die ceryſtalline Feuchtigkeit ihre Ent⸗ fernung von dem netzfoͤrmigen Haͤutlein veraͤndern n Mies koͤnnen. n Auget⸗ ſiht geſe Anmerckun 8. §. 91. Ein Preshyta kan Dinge in der Ferne, nicht aber in in ele der Naͤhe deutlich ſehen. Ein Myops kan Oinge in der Naͤhe, nicht aber in der Ferne deutlich ſehen. Folglich kan aus dem §. 90. begriffen werden, vie ein Presbyta und ein Myops moͤ⸗ glich. Der Grund von dieſem kan auch in der Geſtalt der ery⸗ r gern! ſtallinen Feuchtigkeit enthalten ſeyn. 3 £ aſſili Erklaͤrung. n S. 92. Durch den optiſchen Winckel verſtehet Angulus dage man denjerigen, welcher entſtehet, wenn man von den opeicus ſeu aͤuſſerſten Puncten einer Sache nach den Mittel⸗Punct“ orius. des Sterns im Auge gerade Linien ziehet. Gn Lehr⸗Satz. ſehiee §. 93. Die Groͤſſe des optiſchen Winckels be⸗ ſ ſtimmet die Groͤſſe, in welcher wir eine Sache der éh ſehen. bel . Beweiß. d Dieſes kan auf gleiche Art bewieſen werden, wie daf der Satz §. 89. erwieſen worden. brine Zuſſatz. . uche §. 94. Es ſehen demnach zwo Sachen gleich groß dedetr aus, wenn ihre optiſchen Winckel gleich. Und wenn chesſt der optiſche Winckel von A groͤſſer, als der optiſche Ne Winckel von B, ſo ſieher auch A groͤſſer aus als B. e Lehr⸗Satz. gſt⸗ §. 95. Ein Boͤrper ſiehet in der Naͤhe groͤſſer in aus, als in der Ferne. Es ſey der Koͤrper, welcher ſoll geſehen werden, Tab II. AC, das Auge in der Naͤhe D, und das Auge in Opcic. l kk. . der Fig. I 1, 4 632 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung der Ferne B. Wenn nun der Winckel ADC= ABC, ſo muß auch die Sache in der Naͤhe groͤſſer ausſehen, als in der Ferne (§. 92. 94.). Daß der Winckel ADC ABC, ſolches iſt bewieſen, wenn erwieſen wor⸗ den, daß o= x. Dieſes aber erhellet auf folgende Art. Ziehet durch B und Deine gerade Linie nach AC, ſo iſt ADB ein Triangel, in welchem die eine Linie BDnach G verlaͤngert worden, folglich iſt o — X + y (§. 145. Geom). Weil nun dieſes, ſo iſt o = X (§. 13. A. M.). W. Z. E. W. Anmerckung. §. 96. Ihr werdet einwenden, daß dieſes ſehr offt wider die Erfahrung, zumahl eine brennende Fackel in der Weite oͤffters groͤſſer ausſiehet als in der Naͤhe. Ich geſtehe dieſe Erfahrung. Es widerſpricht aber ſolche dem erwieſenen Lehr⸗Satz in keinem Stuͤcke, zumahl dieſe Begebenheit nicht von der Sache, ſondern von einigen Neben⸗Umſtaͤnden kom⸗ met. Welches auf folgende Art zu begreiffen. Laſſet einen Sonnen⸗Strahl durch ein kleines Loch in einen verfinſterten Ort fallen, ſo werdet ihr wahrnehmen, daß die Lufft⸗Staͤub⸗ lein von dem Lichte einen Glantz bekommen. Derowegen iſt nicht zu zweiffeln, daß die Lufft um das Licht einen ſtarcken Glantz bekommet. In der Naͤhe konnen wir dieſen von der Flamme unterſcheiden. Weil aber die Flamme in der Ferne ſchwaͤcher ausſiehet (§. 88.), ſo halten wir den Glantz der Lufft mit fuͤr einen Theil der Flamme: und dieſes verurſachet, daß uns die Fackel in der Weite groͤſſer ſcheinet als in der Naͤhe. Erklaͤrung. §. 97. Durch die ſcheinbare Groͤſſe eines Koͤrpers verſtehen wir diejenige, welche durch den optiſchen Winckel beſtimmet wird. Lehr⸗Satz. §. 98. Die Cotangenten von den halben ſcheinbaren Groͤſſen einer Sache, das iſt, von dem halben optiſchen Winckel, welche aus ver⸗ ſchiedenen Puncten geſehen wird, verhalten ſich zu einander, wie die Entfernungen der Sache von don geſt L e 192. vechte der 5 er T gent t gun GCeo ſcheil don §. 1 Ent toa ner den ihue nyero Vennhein der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 633 WCeü von den angenommenen Puncten, aus welchen ſie Oſer anſten geſeh en wird. der Wedt. Beweiß. ratigt Theilet die optiſchen Winckel Bund Din zwey glei Tab, II. hff, “W che Theile durch BC, ſo iſt m ein rechter Winckel (§. Obt c e 132. Geom.), und o= 14 De und x= 1 B. Weilm ein S. 14. nieb rechter Winckel, ſo koͤnnet ihr annehmen, daß AG Er der Sinus totus (§. 182. Geom.). Folglich iſt DG Elder Tangent von dem Winckel n, und BG der Tan⸗ gent von dem Winckel n +y (§. 173. Geom.). Da nuno † n= 90° und X †y+ n = 90° (§F. 194. ſesſtefe CGeom.), ſo iſt DC der Cotangent von der halben nckene ſcheinbaren Groͤſſe in o, und BG der Cotangent von der halben ſcheinbaren Groͤſſe in x (§. 97. und §. 180. Geom.). Und alſo erhellet, daß ſich die Entfernungen zu einander verhalten, wie die Co⸗ ſen ſn tangenten von den halben ſcheinbaren Groͤſſen. Gun te,f (W. Z. E. W, ſnen ſnan §. 99. Hieraus erhellet, dieſen bonde 1) Wie aus der halben ſcheinbaren Groͤſſe, und endarchn der Entfernung des Koͤrpers von dem Auge, die halbe Dngderde wahre Groͤſſe des Koͤrpers; eurſachtt e . 7 dde 2) Wie aus der halben wahren Groͤſſe, und der üünt Entfernung des Koͤrpers von dem Auge, die halbe . ſcheinbare Groͤſſe des Koͤrpers; zeineiki 3) Wie aus dem Winckel, unter welchem ein Koͤr⸗ den titr per geſehen wird, und der Helffte von deſſen wahren Groͤſſe, die Entfernung des Koͤrpers von dem Auge zu finden. 1 de §. 100. Wenn zwey KRoͤrper von verſchiede⸗ „Neſten ner Groͤſſe unter einem Winckel geſehen wer⸗ e den, ſo verhalten ſie ſich gegen einander, wie nrnlen ihre Weiten von dem Auge, womit ſie geſehen der 6 werden. Rir Be⸗ Tab. II. Opt. Fig. 15, Tab. II. Opt. Fig. 16. 634 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung Beweiß. Es werde der Koͤrper BCund DE unter dem Win⸗ ckel BACgeſehen, ſo koͤnnet ihr annehmen, daß BCmit Db parallel. Folglich iſt der Winckel o — (§. 143. Geom.), und alſo der Triangel BACα dem Trian⸗ gel EAD (S. 162. Geom.). Ziehet aus A nach BC eine perpendicul Linie AG, ſo iſt AF die Hoͤhe des Triangels AED, und AGdie Hoͤhe des Triangels ABC (§.56. Geom.). Folglich iſt BC: DE= AG: AF (§. 211. Geom.). W. Z. E. W. Juſatz. §. 101. Es iſt ED: BC= AF: AG (§. 100.). Sollt ihr demnach ſuchen, wie weit ein gegebener Koͤr⸗ per von dem Auge wegzuſetzen, wenn er ſo groß ſcheinen ſoll, als ein anderer Koͤrper, welcher groͤſſer oder kleiner als jener, in einer beſtimmten Weeite ſcheinet, ſo werdet ihr dieſes durch vorherge⸗ henden Lehr⸗Satz leicht bewerckſtelligen koͤnnen. Die⸗ ſer Satz beweiſet ſeinen Nutzen in der Perſpectiv. Lehr⸗Satz. H. 102. Wenn das Auge zwiſchen einem erha⸗ benen Glaſe und dem Brenn⸗Punct, oder auch in dem Brenn⸗Punct iſt, ſo ſiehet es dadurch die Sa⸗ chen, aber groͤſſer als ſie ſind. Beweiß. Es ſey die Sache, welche geſehen wird, CD, das er⸗ habene Glaß AB, und das Auge in dem Brenn⸗Punct F. Da nun der Punct Cden Strahl perpendiculaͤr auf das Glaß fallen laͤſt, und alſo ungebrochen durch⸗ gehet (§. 55.), ſo werdet ihr den Punct Qin der Linie CPF ſehen (§. 3.). Da ferner der Punct D ſeinen Strahl ſchief auf das Glaß wirfft, ſo wird er in der Li⸗ nie FE gebrochen (§. 70. 71.), folglich ſehet ihr den Punct Din der Linie Fd (§. 3.). Und alſo wird verme te terche⸗ Gdazabar Gnie Untedn Wins Umßfede dee ſchein Cbie⸗ onderes, . ſegrdſ ſcheine Dame dergtij ſehen ſ10 dn Ven an Gi erden, Rerper gebroche Glaſesn lͤſt, an dus Gi⸗ . unen ſiſan ſednh Neennh — rerder eutthe der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 6 35 telſt des erhabenen Glaſes der Koͤrper CD unter dem demhe Winckel Cbd geſehen, welchen ihr ohne dem Glaſe daßl unter dem Winckel CFDſehen wuͤrdet. Da nun dieſer S1Ge Winckelkleiner als jener, ſo iſt es klar, daß unter dieſen den du Umſtaͤnden die wahre Groͤſſe des Koͤrpers kleiner, als Aull die ſcheinbare (§. 97. 94.). W. Z. E. W. deſen Anmerckung. i Es iſt zu mercken, daß es ein anderes, die Sache ſehen, ein E=A anderes, das Bild der Sache ſehen. 8S.103. Je naͤher der Punct F hinter dem Glaſe, 10 je groͤſſer wird der optiſche Winckel CFd, und folglich benh ſcheinet die Sache Cgroͤſſer. Je mehr demnach der Diameter der erhabenen Flaͤche abnimmt, deſto mehr er,d vergroͤſſern die Glaͤſer die Sachen, welche dadurch ge⸗ beſtvnn ſehen werden. rch afy . 2. Zuſa tz. unde §. 104. Hieraus iſt es zu begreiffen, warum zu zun den Vergroͤſſerungs⸗Glaͤſern die kleineſten ſphaͤri⸗ chen Glaͤſer, ja die allerkleineſten Kuͤgelein gebraucht werden,. uul Lehr⸗Satz. raed §. 105. Wenn ihr die Straylen, ſo aus einem s Koͤrper flieſſen, und durch ein erhabenes Glaß gebrochen werden, hinter dem Brenn⸗Punet des Glaſes mit einer Flaͤche, die das Licht nicht durch⸗ M laͤſt, auffanget, ſo werdet ihr auf dieſer Flaͤche e Dazs Bild von dem Roͤrper, aber umgekehrt, ſe⸗ hen. ” nO. Bew eiß. ud Fanget die Strahlen, welche aus dem Koͤrper AB Tab. II. )ſe flieſſen, mit dem erhabenem Glaſe CDauf, ſo werden Oe. 17 ennh ſie durch das Glaß gebrochen (§. 44.), und in dem * 7. lehk Brenn⸗Punct F verſammlet (§. 70. 71.). Aus dieſem nun ſaͤhret der Strahlp nach b, und der Strahl AF nach a Rr 2 (§. 19.). Tab. II. Opt. 636 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung (§. 19.). Folglich iſt das Bild von dem Punct B inb, und das Bild von dem Punct A in a (§. 13.). Wenn ihr demnach hinter dem Brenn⸗Punct die Strahlen mit einer Flaͤche, die das Licht nicht durchlaͤſt, auf⸗ fanget, ſo muͤßt ihr auf dieſer Flaͤche das Bild von dem Koͤrper, aber umgekehrt, ſehen (§. 87.). W. Z. E. W. §. 106. Aus dieſem Beweiß erhellet ferner, daß das Bild von dem Koͤrper immer groͤſſer werde, je wei⸗ ter die Flaͤche, womit die Strahlen aufgefangen wer⸗ den, von dem Brenn⸗Puncte entfernet. Lehr⸗Satz. §. 107. Durch ein hohles Glaß erſe cheinen die Sachen nicht verkehret, aber kleiner als ſie ſind. Beweiß. Es ſey AB der Koͤrper, welcher geſehen wird, und C das hohle Glaß. Der Punct A werffe ſeinen Strahl perpendiculaͤr auf das Glaß CD, ſo gehet er ungebro⸗ chen durch das Glaß nach F (§. 55.). Der Punct B werffe ſeinen Strahl ſchief auf das Glaß, ſo wird er von der Axe gebrochen (§. 72. 73.). Folglich ſtoͤſſet dieſer mit der Linie AF nicht in dem Punct G zuſam⸗ men, in welchem ſie zuſammen kommen wuͤrden, wenn der Koͤrper AB ohne Glaß ſollte geſehen werden, ſon⸗ dern in dem Punct F (§. 2.). Und alſo ſehen wir den Koͤrper AB durch das Glaß in dem Winckel AFb,wel⸗ chen wir ohne Glaß in dem Winckel AGB ſehen wuͤr⸗ den. Da nun der Winckel AGB groͤſſer als AFb (§. 145. Geom.), ſo erhellet, daß durch ein hohles Glaß die Koͤrper nicht verkehrt, aber kleiner als ſie ſind, erſcheinen (§. 93.). W. Z. E. W. Zuſa tz. g. 109. Auch hieraus erhellet, daß die Hoglli⸗ er Ner lie ſ Kher Ment der legeo,den echesin Uid,pen bet, wel lſr. N wohli der ferti ekſten cher Enond hur nn euch in ben lle⸗ Altt an ſe 4 ſ len tun ½ der ne. der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 637 mee ſer die Koͤrper um deſto mehr verkleinern, je kleiner die . Kugel, von welcher ſie genommen. Str Erklaͤrung. tn S. 109. Ein Fern⸗Glaß iſt ein optiſches Inſtru⸗Tubus. Bar ment, durch deſſen Huülffe Koͤrper, ſo in der Ferne ge⸗ 7) legen, deutlich koͤunen geſehen werden. Das Glaß, welches in den Fern⸗Glaͤſern gegen die Sache gekehret wird, nennet man das Objectiv⸗Glaß; die andern aber, welche gegen das Auge ſtehen, die Augen⸗ t. Glaͤſer. 4sä erdee .„ faee 1I. Juſatz. “M §. 110. Hieraus erhellet, daß die Fern⸗Glaͤſer ſo wohl in Anſehung ihrer Abſicht, als auch in Anſehung der Glaͤſer, aus deren Zuſammenſetzung ſelbige ver⸗ gem fertiget ſind, zu unterſcheiden. In Anſehung des R erſten, ſollen ſie die Sachen entweder nur dadurch deut⸗ licher vorſtellen, weil die Glaͤſer das Licht, welches in D einander verwickelt, von einander abſondern; oder 6n dadurch, weil die Glaͤſer den optiſchen Winckel zugleich aedr vergroͤſſern. 2. Juſatz. d K. 1III. Wie beydes durch ge dene Glaͤſer, und hauch zum Theil durch hohle Glaͤſer zu erhalten, ſolches kan aus dem §. 71. 73.102. 106. 107. unmittelbar de begriffen werden. k 3. 3Zuſatz. U §. 112. In Anſehung der Glaͤſer, ſind ſie entweder alle von einerley Art oder nicht. Wenn dieſes, ſo iſt vm entweder das Objectiv⸗Glaß ein erhabenes, und das Oeular⸗Glaß ein hohles, oder jenes iſt hohl und dieſes Gaß erhaben. Aus dem erſten entſtehen die Gallilaͤi⸗ hene ſchen oder Hollaͤndiſchen Fern⸗Glaͤſer, deren Wuͤrckung aus dem §. 71. 102. 106.107. zu beurthei⸗ len. Aus dem zweyten entſtehen vermoͤge der Erfah⸗ Om rung Fern⸗Glaͤſer, deren Wuͤrckung der Abſicht der (Eern⸗ Glaͤſer zuwider. Rr. 3 4. Zu⸗ 638 Der 3 Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung 4. Zuſatz. 8. 113. Wenn das Objectiv⸗ und Ocular⸗Glaß “ von einerley Art iſt, ſo ſind entweder beyde Glaͤſer er⸗ ſdr haben, oder beyde Glaͤſer hohl. Wenn dieſes, ſo wird das Fern⸗Glaß wiederum unvollkommen. Iſt jenes, ſo entſtehen aſtronomiſche Fern⸗Glaͤ⸗ ſer. Die Wuͤrckung von dieſen Fern⸗Glaͤſern iſt g wiederum aus dem §. 71. 72. 102. 106. zu beur⸗ ms theilen. . ſrunn Anmerckung. §. 114. Vermoge der Erfahrung ſind folgende Verhaͤlt⸗ niſſe des Objectiv⸗ und Ocular⸗Glaſes bey den Fern⸗Glaͤſern 1 am beſten. zo 1) Wenn es ein hollaͤndiſches Fern⸗Glaß. Objectiv⸗Glaß Ocular⸗Glaß ſo auf beyden Seiten erhaben. ſo auf beyden Seiten hohl. 5. 5S7..q 1 8. SJX. 1 . 10. T. 12. 54. 2) Wenn es ein aſtronomiſches Fern⸗Glaß. ( Objectiv⸗Glaß. Ocular⸗Glaß. N 2 ¾ Schuhe. 1 4. Zoll. 10. 4 ½. 12. 3 30. 3 S⸗ Aufgabe. W §. LI1 5. Zu erforſchen, wieviel ein Fern⸗Glaß die Sachen vergroͤſſere. D Aufloͤſung. 1 Richtet das Fern⸗Glaß nach einer Reihe Ziegel auf dem Dache, und ſehet zu, wieviel Ziegel durch das Fern⸗Glaß ſo groß, als die gantze Reihe, ausſe⸗ hen, ſo wiſſet ihr, wie viel das Fern⸗Glaß im Dine ber er eurthet der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 639 ter vergroͤſſert. Weil ſich nun die Circul verhalten alr. wie die Quadrate, und die Kugeln wie die Cubi ihrer i Diametrorum (§. 293. 3 36. Geom.), ſo koͤnnt ihr leicht ““ ſinden, wie vielmahl die Flaͤche, und wie vielmahl der ulie Koͤrper ſelbſt vergroͤſſert werde. Pen⸗G. Aufgabe. §. 116. Zu erforſchen, wie vielmahl ein erhabe⸗ nn nes Glaß fuͤr ſich betrachtet, das iſt, ein Vergroͤ⸗ ſerungs⸗Glaß die Sachen vergroͤſſere, Aufloͤſung. Fndi 4) Beſchreibet auf einem weiſſen Papiere eine ſehr zarte Linie, welche ihr durch das Vergroͤſſerungs⸗Glaß gantz uͤberſehen koͤnnet. ,6 2) Mit dem einen Auge ſehet durch das Vergroͤſſe⸗ hingl rungs⸗Glaß und das andere behalket offen, ſo werdet ihr das Bild in der Lufft unweit dem Auge ſchweben ehen. . . . de Nehmet einen Zirckel und faſſet die Laͤnge der erſcheinenden Linie, und traget ſelbige auf das Papier. (Die Hand⸗Griffe, ſo hiezu erfodert werden, will in den Fuͤrleſungen zeigen.). 4) Nehmet mit dem Zirckel die Groͤſſe der ge⸗ zeichneten Linie und ſehet zu, wie vielmahl ihr ſie auf die gefundene Linie tragen koͤnnet. Hiedurch findet ihr, wie offt der Diameter der Sache durch euer Glaß vergroͤſſert wird. Indem ſich nun die Diametri wie ihre Circul⸗Flaͤchen, und die Quadrata Diametrorum wie die Kugeln zu einander verhalten (H. 293. 336. Geom.); ſo koͤnnet ihr hiedurch leicht finden, wieviel euer Glaß die Flaͤche von dem Koͤrper, und den Koͤrper — ſelbſt vergroͤſſert. Lehr⸗Satz. , §. 117. Wenn die Entfernung zweyer Roͤr⸗ 0r per unter einem unendlich kleinen Winckel ge⸗ „ Lr Rra ſehen 640 Der 3. Abſch. Von dem Geſichte und Beurtheilung ſehen wird, ſo muͤſſen uns die Koͤrper naͤhe bey ein⸗ ander zu ſtehen ſcheinen. 8 Beweiß. in Wird die Entfernung zweyer Koͤrper unter einen— unendlich kleinem Winckel geſehen, ſo iſt die Entfer⸗ nung der Bilder dieſer Koͤrper in dem Auge unendlich klein (§H. 93.), folglich fuͤr nichts zu halten (§S. 142. A. RK. M.). Es iſi demnach eine nothwendige Folge, daß uns dieſe Koͤrper nabe bey einander zu ſtehen ſcheinen (S. „ 87.). W. Z. E. W. . Anmerckung. ſ §. 118. Es erhellet aus dieſem Beweiß, daß aus dem §.98. ſſ. vieles zu folgern, woraus koͤnne erklaͤret werden, warum wir verſchiedene Koͤrper in einer ſolchen und nicht in einer ande⸗ ren Lage ſehen. §K. 119. Durch dieſen Lehr⸗Satz koͤnnen folgende i Saͤtze unmittelbar beſtaͤtiget werden. . “ 1) Wenneine gerade Linie gerade auf den Mittel⸗ Punct des Sterns im Auge ſtoͤßt, ſo erſcheinet die Linie als ein Punct. 2) Wenn eine ganz duͤnne Flaͤche mit der Schaͤrffe gerade gegen das Auge lieget, ſo erſcheinet die Flaͤche als eine Linie. 3) Wenn die eine Seite des Koͤrpers gerade gegen das Auge gerichtet, ſo erſcheinet der Koͤrper als eine Flaͤche. 4) Eine Kugel, welche weit von dem Auge entfer⸗ net, ſiehet aus wie ein Circul. 5) Eckigte Koͤrper, welche weit von dem Auge ent⸗ fernet, erſcheinen als runde Koͤrper, und ſo weiter. Lehr⸗Satz. §. 120. Iſt die ſcheinbare Groͤſſe des Raums, dadurch ſich ein Horper beweget, unendlich klein, ſo ſcheint der AKoͤrper ſtille zu ſtehen. e⸗ hrtheing der Groͤſſen der Dinge durch das Geſichte. 641 hebepin Beweiß. Iſt die ſcheinbare Groͤſſe des Raums, dadurch ſich ein Koͤrper beweget, unendlich klein, ſo iſt die Veraͤnde⸗ rung des Orts von dem Bilde im Auge fuͤr nichts zu egee halten (§. 142. A. M.). Und alſo koͤnnen wir durch unet das Geſicht keine Bewegung verſpuͤren (§. 88.). W. t,doſe Zu ſatz. . tener §. 121. Hieraus koͤnnet ihr erklaͤren, warum uns die Sachen, welche ſich in der Raͤhe ſehr langſam oder in einer groſſen Weite ſehr geſchwinde bewegen, ſtille zu enſcr ſtehen ſcheinen. anrone §. 122. Wenn ſich zwey Koͤrper, welche un⸗ gleich weit von dem Auge entfernet, mit gleicher Geſchwindigkeit bewegen, ſo wird der weitere ſich 1ſm Laͤngſamer zu bewegen ſcheinen, als der naͤhere. Beweiß. 1Gil Es ſey das Auge in O, der eine Koͤrper in V und der Tab. II. enghhe andere in T. Beyde Koͤrper ſollen ſich gleich geſchwin⸗ Optic. de bewegen, ſo wird der Koͤrper V nach u kommen, in⸗ Fig. 19. Shiif dem ſich der Koͤrper Lnacht beweget (§. 18. Dyn.). dedés Folglich ſehet ihr den Raum, welchen der Koͤrper Tbe⸗ ſchrieben, unter dem Winckel SOM, und den Raum, eaden wmelchen der Koͤrper V beſchrieben, unter dem Winckel Nr6 S8ON. Weil nun jener Winckel kleiner als dieſer, ſo muß auch der Raum, welchen der Koͤrper Tbeſchrie⸗ lunef ben, kleiner ſcheinen, als der Raum, welchen der Koͤr⸗ per Vbeſchrieben (§. 94.). Und alſo erhellet, daß der ℳ. weitere Koͤrper ſich laͤngſamer zu bewegen ſcheinet, als c. der naͤhere (§. 19. Dyn.). W. Z. E. W. Zuſatz. Ne §H. 123. Und alſo gewinnet es unter dieſen Umſtaͤn⸗ ſihtin den das Anſehen, als wenn der weite Koͤrper Tin der Bewegung zuruͤck bliebe. Tab II. Optic. Pig. 19. 642 Der 4. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den Anmerckung. §. 124. Mercket, daß ihr durch eine ſolche Zeichnung, alle Veraͤnderungen in der ſcheinbaren Bewegung der Koͤrper be⸗ ſtimmen koͤnnet. Einige, welche in der Aſtronomie zu gebrau⸗ chen, will noch beſonders anfuͤhren. Lehr⸗Satz. §. 125. Wenn ſich das Auge O mit einem Koͤr⸗ per Vnach einer Gegend beweget, aber geſchwin⸗ der als er; ſo kan er ihm zuruͤcke zu gehen ſcheinen. Beweiß. Wenn das Auge in Ound der Koͤrper in V, ſo ſehet ihr den Koͤrper in S8. Gehet das Auge nach Pin der Zeit, in welcher ſich der Koͤrper nach u beweget, ſo werdet ihr den Koͤrper in Q ſehen, und alſo hat es das Anſehen, als wenn der Koͤrper zuruck gegangen. W. Z. E. W. §. 126. Wenn das Auge in Anſehung unſersLei⸗ bes, und der Leib in Anſehung eines andern Koͤr⸗ pers unbeweglich iſt, beyde aber mit dieſem ſchnell fort beweget werden, ſo ſcheinen ſich die zu beyden Seiten unbewegliche Koͤrper uns entgegen zu be⸗ wegen. . Beweiß. Ueberleget, wie die vorhergehende Lehr⸗Saͤtze erwie⸗ ſen worden, ſo werdet ihr auch dieſen aus dem §. 88. pr. 3. unmittelbar folgern koͤnnen. Der 4. Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Lichts bey zuruͤckgeworffenen Strahlen. Lehr⸗Satz. §. 127. KBenn das Licht an eine Flaͤche ſtoͤſſet, welche ſelbiges nicht durchlaͤſt, ſo muß es i den in⸗ „ – = —— den unpe Urpert eher N Hrir eyn ſ 1N C , Nel 1 es Wuͤrckungen desLichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 643 Winckel wieder zuruͤck prallen, in welchem es eingefallen. Beweiß. Das kLicht iſt eine gewiſſe Art in einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers (§. 11.). Stoͤßt alſo das Licht an eine Flaͤche, welche ſelbiges nicht durchlaͤſt, ſo oͤst der in Bewegung geſetzte Aether an dieſe Flaͤche. Folglich maß das Licht in dem Winckel zuruͤck prallen, in welchem es eingefallen (§. 73. Dyn.). Erfahrung. §. 128. Die Erfahrung beſtatiget, daß Flaͤchen, welche oben platt oder poliret, hinten aber einen ſchwartzen oder undurchſichtigen Grund haben, die Strahlen des Lichts nicht durchlaſſen, ſondern zuruͤck werffen. . (Erklaͤrung. §. 129. Alle Flachen, welche oben platt oder poliret und einen undurchſichtigen Grund haben, werden Spiegel genennet. 1. Z U ſa z. §. 130. Fanget demnach den Strahl des Lichts mit einem Spiegel auf, ſo wird er in dem Winckel wieder zuruͤck prallen, in welchem er auf den Spiegel gefallen (§. 127. 128.). 2. Zuſatz. F. 131. Faͤllt der Strahl auf den Spiegel per⸗ pendiculaͤr, ſo prallet er in ſich ſelbſt zuruͤck. Folg⸗ lich “ hiedurch die Staͤrcke des Lichts vermehret (. 22.). Erklaͤrung. §. 132. Die Spiegel bekommen von der Be⸗ ſchaffenheit ihrer Flaͤchen ihre Benennung. Iſt dieſe eben, ſo heiſt es ein platter Spiegel; iſt die Flaͤche 644 Der 4. Abſch. Von Erſindung der Groͤſſe in den erhaben, ein erhabener Spiegel; iſt die Flaͤche hohl, ein Hohl⸗Spiegel. Woraus zugleich zu begreiffen, was ein ſphaͤriſcher, ein cylindriſcher, ein coniſcher, ein parabo iſcher, hyperboliſcher, elliptiſcher Spie⸗ gel, und ſo weiter. Erklaͤrung. §. 133. Wirfft der Punct A (Punctum radians) einen Strahl auf den Spiegel DE in B, ſo heiſt BA der einfallende Strahl, (Radius incidentiae). Der Punct B der Einfalls⸗Dunct (Punctum incidentiae). Der Strahl BCder reflectirte Strahl (Radius refle- vus). Der Winckel ABD der Einfalls⸗Winckel (Angulus incidentiae), der Winckel CBE der Refle⸗ ctions⸗Winckel (Angulus reflectionis). Die Linie AbF, welche aus dem ſtrahlenden Punct auf den Spie⸗ gel perpendiculaͤr gezogen wird, heiſt der Einfalls⸗Ca- thetus (Cathetus incidentiae). Die Linie CG, wel⸗ che von dem reflectirten Strahl auf den Spiegel per⸗ pendiculaͤr gezogen wird, heiſt der Reflexions⸗Cathetus (Cathetus reflexionis ſeu Cathetus oculi). Die Li⸗ nie BHI, welche auf den Einfalls⸗Punct perpendiculaͤr ſtehet, wird der Obliquations⸗Cathetus genennet (Cathetus obliquationis). Der Winckel ABH heiſt die Neigung des einfallenden Strahls, und der Winckel HBC die Meigung des reflectirten 4 Straͤhls. Zuſatz. §. 134. Der Einfalls⸗Winckel iſt dem Reſfle⸗ rions⸗Winckel gleich (§. 131.). Der Einfalls⸗ Winckel macht mit der Neigung des einfallenden Strahls 900. Und der Reflexions⸗Winckel macht mit der Reigung des reflectirten Strahls auch 900. Folglich iſt die Neigung des einfallenden Strahls gleich der Neigung des reflectirten Strahls (§. 92. A. M. .. . Lehr⸗ nden che lo⸗ egkeiffe niſche er⸗ ncdi) tBan . entir, Gsrete⸗ Vinct 1Rſe Nel 1 G 1NH M ⸗ NE aget Neſt dNe tutn 6 Punct ſehen. Wuͤrckungen des Lichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 64 5 Lehr⸗Satz. d. 135. Wenn der reflectirte Strahl in das Au⸗ ge faͤhrt, ſo muß man die Sache, welche den Strahl wirfft, in einer geraden Linie nach dem Einfalls⸗ Beweiß. In dem reflectirten Strahl iſt das Bild von dem ſtrahlenden Punct (S. 13.). Faͤhrt alſo dieſer Strahl in unſer Auge, ſo muß die Sache, woraus er flieſſet, von uns geſehen werden (§. 87.). Wir koͤnnen nichts ſehen, als durch geradlinigte Strahlen, welche in unſere Au⸗ gen fahren (§. 3.), und alſo erhellet, daß wir dieſe Sa⸗ che durch den reflectirten Strahl in einer geraden Linie nach dem Einfalls⸗Punct ſehen muͤſſen. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 136. Dieſer Beweiß beſtaͤtiget zugleich, daß wir durch Huͤlffe der Spiegel ſolche Koͤrper ſehen koͤnnen, welche vermoͤge ihrer Lage keine Strahlen auf unſere Augen werffen. Anmerckung. §. 137. Durch Huͤlffe dieſes Lehr⸗Satzes werde in den Fuͤr⸗ leſungen die Structur verſchiedener catoptriſcher Maſchinen erklaͤren. Lehr⸗Satz. §. 138. In einem Spiegel ſiehet man den ſtrah⸗ lenden Punct, indem der durch den Enen ſtrel⸗ laͤngerte reflectirte Strahl den verlaͤngerten Ein⸗ falls⸗Cathetum ſchneidet. Beweiß. Haltet einen Stab perpendiculaͤr an einen Spie⸗ gel, er mag platt, erhaben oder hohl ſeyn, ſo wird das Bild des Stabes mit ihm eine gerade Linie machen. Und alſo erhellet, daß wir das Bild einer Sache in einem Spiegel in dem Catheto incidentiae ſehen 646 Der 4. Abſch. Von Enfindung der Groͤſſe in den ſehen (§. 133.). Da wir nun das Bild auch durch den reflectirten Strahl ſehen (§. 135.), ſo iſt klar, daß wir in einem Epiegel den ſtrahlenden Punct da ſehen, wo der verlaͤngerte Cathetus incidentiae von dem verlaͤngerten reflectirten Strahl geſchnitten wird. Lehr⸗Satz. S. 139. Wenn man eine Sache in einem platten Spiegel ſiehet, ſo ſcheinet jeder Punct ſo weit hinter dem Spiegel, als er von dem Spiegel wegſtehet. Beweiß. Tab. I. Nehmet an, das aus dem Pauct A auf den platten Optic. Spiegel H der Strahl in Dfalle, ſo iſt DCder reflec⸗ Fig. 21. tirte Strahl (S. 133.), folglich B der Punct, in wel⸗ chem der ſtrahlende Punct Ain dem Spiegel geſehen wird (§. 133. 138.). Weil nun bey F rechte Win⸗ ckel (§. 133.), der Winckel ADE= CDHI(S. 134.) = EDB (S. I17. Geom.), und die Linie DE beyden Triangeln ADE und DEB gemein, ſo iſt auch AEK = EB (§. 128. Geom.). Folglich ſcheinet unter dieſen Umſtaͤnden der Punct A ſo weit hinter den Spiegel als er von dem Spiegel wegſtehet. Nehmet ferner an, daß der Punct A ſeinen Strahl auf den Spiegel in Iwerffe, ſo werdet ihr, wie zuvor, erweiſen koͤnnen, daß der re⸗ flectirende Strahl FI den Einfalls⸗Cathetum in B ſchneiden muͤſſe. Uad alſo erhellet, daß der geſetzte Lehr⸗ Satz allgemein. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 140. Hinter einem platten Spiegel erſcheinen die Koͤrper in ihrer wahren Geſtalt und Groͤſſe. 2. Juſatz. §. 141. Wenn der platte Spiegel horizontal lie⸗ get, ſo muͤſſen in ihm die Koͤrper, welche ihre Strahlen auf denſelben werffen, umgekehrt ſtehen. 3. Zu⸗ 1 . ſerl hni undd Dune inen Wuͤrckungen desLichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 47 uchdu 3. ZJuſatz. diſtin §. 142. Wenn der platte Spiegel alſo geſtellet, daß Punetd er mit der Horizontal⸗Linie 45½ machet, ſo muͤſſen die ntinel Vertical Koͤrper in ihm horizontal, und die Horizontal⸗ Uenunn Koͤrper vertical erſcheinen. 4. Juſatz. §. 143. Wenn der Koͤrper mit dem platten Spie⸗ nphinm gel parallel ſtehet, ſo muß auch in demſelben das Bild i mit dem Koͤrper parallel ſtehen. nn Anmerckung. 5. 144. Aus dieſen Lehr⸗Säaͤtzen werde in den Fuͤrleſun⸗ gen den Bau der Spiegel⸗Zimmer erklaͤren. ploten detteſkan Lehr⸗Satz. NNOLD . 145. In einem ſphaeriſchen Spiegel gehet geſhn der Einfalls⸗Cathetus, der Obliquations⸗Ca- e V thetus und der Reflexions⸗Cuthetus durch den 13 Mittel⸗Punet der Kugel, woraus die Spiegel beyden geſchnitten. 4= Beweiß. Nkk. Allle dieſe Catheti fallen auf die Flaͤche des Spie⸗ Ra gels perpendiculaͤr (§. 133.). Alle gerade Linien, h 8 welche auf der Flaͤche einer Kugel perpendiculaͤr ge⸗ nwen zogen worden, gehen durch den Mittel⸗Punct der N Kugel (§. 168. Geom.). Folglich muͤſſen auch dieſe . unn Catheti durch den Mittel⸗Punct der Kugel gehen, ſetl aus welcher der ſphaͤriſche Spiegel geſchnitten. n Lehr⸗Satz. ſhin §. 146. In einem erhabenen ſphaͤriſchen Spie⸗ gel wird der Einfalls⸗Cathetus von dem reflectir⸗ ten Strahl zwiſchen den Mittel⸗Punct der Kugel ſertiſ⸗ und den Tangenen, welcher durch den Einfalls⸗ Enn Punct gezogen worden, geſchnitten. 5 Be⸗ 648 Der 4. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den Tab. II. So wohl der Obliquations⸗Cathetus Cals auch Opt. oder Einfalls⸗Cathetus Ck faͤllt auf die Fläaͤche des Eig. 22. Spiegels (§. 133.), und alſo auf die Flaͤche, welche den Einfalls⸗Punct D beruͤhret. Da nun der Tangent AB mit dem Obliquations⸗Catheto GC einen rechten Winckel machet (§. 171. Geom. §. 133. Optic.), und folglich der Winckel, welcher von dem reflectirten Strahl FD und dem Tangenten AD beſtimmt wird, ein ſpitzer Winckel iſt (§. 146. Geom.), ſo erhellet, daß der reflectirte Strahl FD den Einfalls⸗Cathetum ECzwiſchen dem Mittel⸗Punct der Kugel Cund den Tangenten DBſchneiden muͤſſe (§. 119. Geom.). W. 1. Juſatz. §. 147. In einem erhabenen ſphaͤriſchen Spiegel erſcheinet ein jeder ſtrahlender Punct zwiſchen den Mittel⸗Punct des Spiegels und den Tangenten, welcher durch den Einfalls⸗Punct gezogen worden. (§. 138.). 2. Zuſatz. §. 148. Es kann demnach in einem erhabenen ſphaͤriſchen Spiegel die Linie KE, ſie mag ſo groß ſeyn, wie ſie will, nicht groͤſſer als die Linie K! aus⸗ ſehen. Folglich iſt in einem erhabenen ſphaͤriſchen Spiegel das Bild viel kleiner als die Sache, und auch viel kleiner als der Radius von dem Spiegel (§. 94. 88.). 3. Juſatz. d. 149. Dieſes beſtaͤtiget ferner, daß die Koͤrper einer kleineren Kugel geſchnitten, kleiner ſcheinen, als in einem erhabenen ſphaͤriſchen Spiegel, welcher aus einer groͤſſeren Kugel geſchuitten. Beweiß. in einem erhabenen ſphaͤriſchen Spiegel, welcher aus 4. Ju⸗ Ee⸗ lute ntt ſi der pl ſ⸗ ſol eine der, ſer des nen töſeinde GCCCRe e licen he,weſche Tonent einen tit Opir)ii n reſcen ſtimmt „ſocch ls⸗Cithe el Cunt Geocn): ſienen zbſcnin Sthenn n olben a erhoder Lnie Nun enſchitſ⸗ Gce gel Ann kleine ſen SGinn⸗ ſ⸗ 8. 40 Wuͤrckungen des Lichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 649 4. Zuſatz. J. 150. Wenn ihr dieſe Lehr⸗ Saͤtze uͤberleget, ſo werdet ihr vermoͤgend ſeyn, folgende Gedancken zu rechtfertigen. In dem erhabenen ſphaͤriſchen Spie⸗ gel iſt der Winckel bey dem Mittel⸗Puncr der Ku⸗ gel, welcher von dem Catheto incidentiae et obli- quationis beſtimmet wird, entweder ſo groß als der gedoppelte Einfalls⸗Winckel, oder nicht. Iſt das erſte, ſo erſcheinet das Bild in der Flaͤche von dem ſphaͤriſchen Spiegel. Iſt das zweyte, ſo iſt der Win⸗ ckel bey dem Mittel⸗Punct entweder groͤſſer, als der gedoppelte Einfalls⸗Winckel oder kleiner. Iſt jenes, ſo ſcheinet das Bild auſſer der Flaͤche des Spiegels, und iſt dieſes, ſo muß bas Bild hinter der Flaͤche des Spiegels geſehen werden. 5.. Juſatz. K. 151. Nehmet einen erhabenen eylindriſchen Spiegel, ſo koͤnnet ihr auf deſſen Flaͤche nach der Laͤnge lauter gerade Linien ziehen (§. 80. 8. Geom.), und nach der Breite ſind auf dieſer Flaͤche lauter Circul⸗ Peripherien (§. 80. 320. Geom.). Alſo ſtellet ein ſolcher Spiegel nach der Laͤnge einen platten, und nach der Breite einen ſphaͤriſchen erhabenen Spiegel vor (S§. 132.). Verbindet demnach die Wuͤrckung des platten Spiegels mit den Wuͤrckungen des erhabenen ſphaͤriſchen Spiegels, ſo werdet ihr die Wahrheit von folgenden Saͤtzen geſtehen muͤſſen. Gehet die Axe eines erhabenen cyl indriſchen Spiegels mit der Laͤnge eines Aoͤrpers parallel, ſo muß die⸗ ſer in jenem lang und ſchmal erſcheinen; ge⸗ het aber die Axe des Spiegels mit der Breite des Koͤrpers parallel, ſo erſcheinet dieſer in je⸗ nem kurtz und breit (§. 140. 148.). SBS 6 Zu⸗ Opt. Fig. 23. 650 Der 4. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den 6. Zuſatz. §. 152. Wenn der §. 82. mit in Erwegung gezo⸗ gen wird, ſo erhellet, wie zuvor, daß in einem er⸗ habenen coniſchen Spiegel ein RKoͤrper lang, unten breit und oben ſchmal erſcheinet, wenn die Axe des Spiegels mit'der Laͤnge des Koͤr⸗ pers parallel gehet; und daß in dieſem Spie⸗ gel ein Roͤrper kurz, nach der Grund⸗Flaͤche des Spiegels breit, und nach der Spitze ſpitz erſcheinet, wenn mit der Breite des Roé pers die Axe des Spiegels parallel geſtellet wird. Lehr 2 Satz. S. 153. Wenn ein Strahl mit der Axe eines ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegels parallel einfaͤllt, und unter 60° von der Axe weg iſt, ſo wird er nach der Reflexion mit der Axe vereiniget, in einer ge⸗ ringeren Weite von dem Spiegel, als der vierte Theil des Diameters. Beweiß. Es ſey C der Mittel⸗Punct des Spiegels, DB der einfallende, und Bb der reflectirte Strahl, ſo iſt CB der Obliquations⸗Cathetus (S. 133. und §. 169. Geom.), folglich iſt y + m = X + n (§. 134.). Da nun m=n (§. 131.), ſo iſt auch X = y (§. 92. A. M.). Weil ferner DB mit Ax parallel, ſo iſt auch X = 0 (§. 143. Geom.), folglich y=% (§. 20. A. M.) BF = FC (S. 138. Geom.). Nun iſt CKz=⸗ CB (§. 21. Geom.) und BF †+ FC groͤſſer, als BC (§S. 46. Geom.), ſolglich iſt auch B †+ FC groͤſſer, als CX (§. 2 1. A. M.), und alſo CF groͤſſer, als FX (§. 22. A. M.). Folglich wird der refleetirte Strahl mit derxe des Spiegels vereiniget, in einer geringern Weite von dem Spiegel, als der vierte Theil des Diameters. 1. Zu⸗ einde Wuͤrckungen des chts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 651 1. Juſatz. gurgen §. 154. Aus dem Beweiß dieſes Lehr⸗Satzes ex⸗ einene hellet, daß ? = u, wenn demnach der Bogen XE= per li 600, ſo iſt u E 6ο (S. 157. Geom.), folglich iſt der rnm zuruͤckgeworffene Strahl ExK = EC = CX (S. 151. de ⸗ Geom.). Wenn demnach der Strahl mit der en Are des ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegels parallel dAoE einfaͤllt, und 60°von der Axe des Spiegels weg bigeſt iſt, ſo faͤllt der reflectirte Strahl wieder auf den pers Spiegel. 6 .V 2. Juſatz. §. 155. Die Sonnen⸗Strahlen ſind dem Au⸗ genſchein nach parallel. Wenn ihr demnach die Son⸗ nen⸗Strahlen mit einem ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegel, deſſen Ruͤndung unter 1200, auffanget, ſo muͤſſen ſich ſer i llti ſel nee dieſe Strahlen in einem engen Raum vor den Spiegel erin vereinigen, in einer geringeren Weite von dem Spie⸗ gel, als der vierte Theil des Diameters. . ,0 L 3. Juſatz. Ki §. 156. Hieraus iſt ferner zu begreiffen: 1) Wie durch die ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegel das GSy Licht zu verſtaͤrcken (§. 24.). . i 2) Daß durch einen ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegel mehr Licht von der Sonne koͤnne zuſammen gebracht i 7 werden, wenn er von einer groͤſſeren, als wenn er von 4 6 einer kleineren Kugel geſchnitten. n 3) Daß die Entfernung des Brenn⸗Puncks von hinin einem ſphaͤriſchen Hohl⸗Spiegel durch die Groͤſſe des U Diameters der Kugel, wovon er geſchnitten, beſtime⸗ Mna met werde,. p 9„ Ss Lehr⸗ Tab. II. Opt. 652 Der 4. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den Lehr⸗Satz. 6. 157. Wird das Licht in dem Brenn⸗Punct des ſphaͤriſchen Hohl-⸗Spiegels geſetzet, ſo reflec⸗ tirxen alle Strahlen mit der Axe des Spiegels und unter einander ſelbſt parallel. Beweiß. Setzet das Licht in F, ſo iſt der einfallende Strahl FB und der reflectirte BD (§. 153. und §. 133.). Da nun BD mit X parallel (§. 153.), ſo iſt klar, daß alle Strahlen mit der Axe des Spiegels, und folglich unter einander ſelbſt parallel reflectiren (§.24. Geom.). W. Z. E. W. 1. Zuſatz. §. 158. Derowegen bleibet das Licht, welches von dieſem reflectirten Strahl verurſachet wird, allezeit gleich ſtarck, woferne kein Widerſtand geſetzet worden (§. 20.). 2. Zuſatz. §. 159. Wollet ihr demnach einen weit entlege⸗ nen Ort helle erleuchten, ſo ſetzet ein Licht oder eine Lampe in den Brenn⸗Punct eines ſphaͤriſchen Hohl⸗ Spiegels, alſo, daß die einfallende Strahlen nach den beſtimmten Ort reflectiren koͤnnen. Doch iſt zu mercken, daß die Lufft durch ihren Widerſtand das Licht nach und nach ſchwaͤchet. Anmerckung. §. 160. Verknuͤpffet mit dieſem Lehr⸗Satz dasſenige, was zuvor von den erhabenen Glaͤſern bewieſen worden, ſo werdet ihr den Bau der Zauber⸗Laterne beurthei⸗ len koͤnnen. . ſch⸗ kel E Shi eſe ehe des S ter de al 6 ed p Pu ⸗ ſr in Wuͤrckungen desLichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 653 Lehr⸗SBSatz. Pone §. 161. Der Borper, welcher vor dem ſphaͤri⸗ hreſt ſchen Hohl⸗Spiegel in dem Brenn⸗Punct ſtehet, u kaan in dieſem Spiegel nicht geſehen werden. Beweiß. Wenn der Einfalls: Cathetus von dem reflectirten Errahl nicht geſchnitten wird, ſo kan auch in dem Ee Spiegel der Punct, woraus der Strahl faͤhret, nicht geſehen werden, (§. 138.). Der Einfalls⸗Cathetus ini gehet unter den angenommenen Umſtaͤnden mit der Axe if des Spiegels parallel (§. 133.), wenn demnach die Strahlen mit der Axe des Spiegels parallel reflecti⸗ ren, ſo koͤnnen ſie den Einfalls⸗CQathetum nicht ſchnei⸗ den (§. 22. und 24. Geom.). Folglich koͤnnen auch die ſtrahlenden Puncte in dem Spiegel nicht ge⸗ o ſehen werden. Hieraus erhellet, daß in einem ſphaͤ⸗ ie riſchen Hohl⸗Spiegel der Koͤrper nicht kan geſehen ue werden, welchen man in den Brenn⸗Punct des Spie⸗ gels geſetzet (§. 157.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. 8. 162. Der Koͤrper, welcher zwiſchen dem 9 „2 ſphaͤr iſchen Sohl⸗Spiegel und deſen Brenn⸗ . Punct ſtehet, erſcheinet hinter dem Spiegel ver⸗ groͤſſert und aufgerichtet, und zwar um deſto groͤ⸗ ſer, je naͤher er dem Brenn⸗Puncte iſt. Bew eiß. Es ſey AX die Axe von dem Spiegel, Cder Mit⸗Tab. II. tel⸗Punct, FH der Brenn⸗Punct, und mn der Koͤrper, Obt. welcher in dem Spiegel ſoll geſehen werden, ſo ſind is. 24. zat m D und n H die einfallende, DE und HI die reflec⸗ e tirten Strahlen (§. 157.), CM und CN ſind die du Einfalls⸗Catheti (§. 133. und §. 169. Geom.). ℳ Ss 3 Folg⸗ Opr. EPig. 25. 654 Der 4. Abſch. Von Erfindung der Groͤſſe in den Tab. II. Folglich muß der Punct m in M, und der Punct n in Nerſcheinen (5§. 138.). Da nun M N groͤſſer als nm, ſo iſt klar, daß der Koͤrper hinter dem Spie⸗ gel vergroͤſſert, und aufgerichtet erſcheinen muͤſſe. * . . Das zweyte kan auf gleiche Art, wenn der Koͤr⸗ per mu naͤher an dem Spiegel geruͤcket, erwieſen werden. Lehr⸗Satz. §. 163. Wenn ein Koͤrper weiter als der Brenn⸗Punct von dem Spiegel weg iſt, ſo muß er in freyer Lufft erſcheinen, aber verkehret, und naͤ⸗ her bey dem Spiegel auch kleiner, je weiter er von dem Brenn⸗Punct ſtehet. Beweiß. Es ſey wiederum AX die Axe von dem Spiegel, Cder Mittel⸗Punct, F der Brenn⸗Punct, und mu der Koͤrper, welcher erſcheinen ſoll, ſo ſind miI und nD die einfallende, DE und Hl die reflectirte Strah⸗ len (§. 157.). CK und CL ſind die Einfalls⸗Ca- theti (§. 133. und §. 169. Geom.). Folglich muß der Punct m in M und nin N erſcheinen (§. 138.). Das zweyte kan wiederum, wie zuvor, erwieſen werden, wenn der Koͤrper weiter von dem Brenn⸗ Punct geruͤcket worden. Lehr⸗Satz. §. 164. Alle Strahlen, welche auf einen para⸗ boliſchen Spiegel mit der Axe der Parabel parallel fallen, kommen durch die Reflexion in dem Brenn⸗ Punet der Parabel zuſammen. Be⸗ nie Wuͤrckungen des Lichts bey zuruͤckgeworff. Strahlen. 65 5 Pr Beweiß. he Verlaͤngert die Axe von der Parabel AX bis ATTab. II. ey gleich derjenigen Abſciſſe, welche aus einem ange⸗Opt. nommenen Punct in der Parabel M kan gezogen wer⸗Fig. 26. den. Ziehet durch Tund M, als welches der Einfalls⸗ Punct, den Tangenten IG, ſo iſt in dem Triangel OE TCM die Seite TF=XTIa (S§S. 13. im Anh. zur an Geom.). Da nun auch FM = X-ka (S. 14. im Anh. zur Geom.), ſo iſt IFE=FM (S§S. 20. A. M.), folglich iſt der Winckel MIF = TMF (S. 136. Geom.). Weil ferner der einfallende Strahl LM mit der Axe der Parabel parallel, folglich der Win⸗ e ckel LMG = MIF (§. 143. Geom.), ſo iſt auch W% TMF = LMG (S. 20. A. M.). Indem nun LMG n der Einfalls⸗Winckel, ſo folget, daß FMF der Re⸗ flexions⸗Winckel (§. 133.), und alſo muß dieſer Strahl in dem Brenn⸗Punct der Parabel reflecti⸗ ren. Auf gleiche Art kan dieſes von allen uͤbrigen Strahlen erwieſen werden, und alſo erhellet, daß alle Strahlen, welche mit der Axe parallel auf den Paraboliſchen Spiegel fallen, durch die Reflexion in⸗ dem Brenn⸗Punct der Parabel zuſammen kommen. W. Z. E. W. ſhn Lehr ⸗ Satz. §. 165. Wenn der Strahl auf einen elliptiſchen Tab. II. Spiegel aus einem Brenn⸗Punct F faͤhret, ſo Opt. muß der reflectirte Strahl in den andern Brenn⸗ Fig. 27. MPunct Gfahren. den Beweiß. Verlaͤngert den einfallenden Strahl PM nach I, bis MlI = MG, theilet ferner den Winckel I1M G . in durch eine gerade Linie CD in zwey gleiche Theile o.. (S. 131. Geom.), und ziehet auf einen in dieſer Li⸗ nie angenommenen Punct, z. E. H gerade Linien SB 4 aus 656 Der 4. Abſch. Von Erſindung der Groͤſſe in den ꝛc. aus I. G. und F. Weil o = X, MI = MG, und die Linie MH beyden Triangeln MIH und MHG ge- mein, ſo iſt H= HG (S. 126. 128. Geom.). Da nun HI + HF FlI (S. 46. Geom.), ſo iſt auch HF HGE FI= FMYPMGZ AB (§. 397. Geom.). Folglich fallen alle Puncte, welche in der Linie CD ohne M uber der Peripherie von der Ellipſi (5. 397. Geom), und alſo beruͤhret die Linie CD die Ellipſin in dem Punct M. Woraus erhellet, daß der Win⸗ ckel CMF= IMD (S§. 33. und 117. Geom.). Weil nun IMD= DMG (per conſtr.), ſo iſt auch CMF = DMG (S§S. 20. A. M.). Wenn demnach CMF der Einfalls⸗Winckel, ſo iſt DMG der Reflexions⸗ Winckel (§. 133.), und alſo iſt MG der reflectirte Strahl, wenn MF der einfallende Strahl (5§. cit.). W. Z. E. W. . Zuſatz. §. 166. Der Schall reflectiret wie das Licht (S. 14. Muſ.). Es muß demnach der Schall, welcher aus einem Brenn⸗Punct an die Periphe⸗ rie von der Ellipſi faͤhret, nach den andern Brenn⸗ Punct reflectiren. ſindete 6, M MHC .) D. ſten 7,Ceon e pl diediee nach . E IL E ME N T A PERSPECTIVAEF. s Schel/ Perihe⸗ Brenn wuͤrden. Erſte Gruͤnde— der Perſpectiv. Erklaͤrung. r §. 1. Die Perſpectiv iſt eine Wiſſenſchafft, (τ Dinge auſ einer Flaͤche alſo abzubilden, » daß ſie von derſelben alſo koͤnnen geſe⸗ hen werden, wie ſie in einer gewiſſen Weite und Hoͤhe des Auges erſcheinen 1. J U ſa 8. §. 2. Bey einer jeden Sache, inſoweit ſolche ge⸗ ſehen wird, koͤnnen zwey Stuͤcke unterſchieden wer⸗ den; einmahl die Farben und deren Licht, zweytens die Bildung. Dieſes beſtaͤtiget, daß in einer voll⸗ ſtaͤndigen Abhandlung der Perſpectiv zwey Stuͤcke zu erklaͤren. 1) Wie die Farben und das licht auf einer Flaͤche zu modificiren, wenn es von derſelben auf eine ſolche Art ins Auge fallen ſoll, als wenn es von der Sache ſelbſt in das Auge geworffen worden. 2) Wie die Figur der Dinge auf einer Flaͤche abzu⸗ bilden, wenn ſie von dieſer alſo erſcheinen ſoll, als wenn die Sache ſelbſt ſollte geſehen werden. 2. Juſatz. §. 3. Ueberleget, was in der Optic Cap. I. II. und IV. von der Fortpflantzung des Lichts und Schattens, und Tab. I. Perſp. Lig. I. Tab. I. Perſp. Pig. I. 660 Errſte Gruͤnde der Perſpectiv. und Cap. III. von Beurtheilung der Groͤſſen der Din⸗ ge durch das Geſicht ausgefuͤhret worden, dieſes wird euch geſchickt machen, die Aufgaben in der Perſpectiv vollſtaͤndig aufzuloͤſen. . Anmerckung. §. 4. Ich werde demnach meine Gedancken beweiſen kön⸗ nen, wenn ich behaupte, daß die Perſpectiv nichts anders iſt, als eine Anwendung der optiſchen, catoptriſchen und dioptri⸗ ſchen Lehr⸗Saͤtze. Eine Fertigkeit Lehr⸗Saͤtze in vorkommen⸗ den Fall geſchieckt anzuwenden, erfodert eine Uebung. Und hieraus koͤnnet ihr die Ordnung begreiffen, in welcher die Per⸗ ſpectiv erklaͤren werde. Willkuͤhrlicher Satz. §. 5§. Es ſey das Auge in O, die Sache, welche ſoll geſehen werden ACB, ſo muſſen aus den Punc⸗ ten dieſer Sache die Strahlen AO, CO, BO in das Auge fahren (§S. 2 und 3. Optic.). Gedencket, als wenn dieſe Strahlen mit einer Tafel IH aufgefan⸗ gen wuͤrden, ſo muß von dieſer Tafel das Bild abc alſo erſcheinen, als wenn die Sache ACB ſelbſt ge⸗ ſehen wuͤrde (§. 13. 87. Optic.). Aus dieſem Grun⸗ de haben die Lehrer der Perſpectiv angenommen, daß/ein Koͤrper nach der Peꝛſpectiv zeichnen/ loviel heiſſe, als denſelben auf einer Tafel dergeſtalt ent⸗ werffen, wie er in einer gewiſſen Weite und Hoͤhe des Auges auf einer durchſichtigen Tafel erſchei⸗ net, die zwiſchen ihm und derſelben perpendiculaͤr aufgerichtet worden: und aus dieſem Grunde ſind in der Perſpectiv die verſchiedene Eintheilungen der Flaͤchen und Linien entſtanden, welche in dem folgenden erklaͤren werde. Erklaͤrung. §. 6. Die Strahlen, welche von der abzumahlenden Sache in das Auge geworffen werden, z. E. AO, B0, CO, werden die optiſchen Strahlen genennet. Durch eine Tafel verſtehet man in der Perſpectiv, wenn wenr R De bi weſ. obge ſich S WeG ten, Lin ſel ey⸗ Pue dall 8 une Morch Und Pun anea Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 661 Kdd wenn nemlich dieſes Wort ohne Zuſatz gebraucht wird, „ die durchſichtige Flaͤche Hl, welche wir uns zwiſchen er eſe dem Auge O, und der Sache ABC, welche ſoll abge⸗ bildet werden, gedencken koͤnnen. hts g. „7. Die Flaͤche L. M, welche horizontal, und auf , welcher wir uns die Lage der Sache APC, welche ſoll lemg abgemahlet werden, gedencken, heiſt die geometriſche lcherdek⸗ Flaͤche. =D 2=èð M Erkläͤrun. . §. 8. Die Linie NI, welche entſtehet, indem die ge⸗Tab. I. che, m dmetriſche Flaͤche LM von der Tafel HI durchſch nit⸗ Perſp. denhe ken, wird die kundamental⸗Ainie oder die Gund⸗ Lig. 2. O Linie genennet. Der Punct F, welcher auf die Ta⸗ dent,n ſel durch die Linie, ſo auf derſelben aus dem Auge per⸗ ontein⸗ pendiculaͤr gezogen, beſtimmet wird, heiſt der Augen⸗ edee. Punct oder der Haupt⸗Punct (Punctum vilſus ſeu e Oculi). s genonn (. 9. Die Entfernung des Auges von der Tafel, hnen,g heiſt die Entfernungs⸗Linie (Linea diſtantiae). geſtaltt⸗ OS n W §. 10. Es entſtehet demnach die Entfernungs⸗ perde⸗ Linie, wenn man von dem Auge O auf den Augen⸗ ceun Punct FHeine gerade Linie ziehet. inthelun e nin Erklaͤrung. §. 11. Die Linie PQ, welche durch den Augen⸗Tab. I. Punet mit der Fundamental⸗Linie NIl auf der Tafel 1 erſp. u parallel gezogen wird, heiſt die Horizontal⸗Linie. is. 2. ee Und der Punct Poder Q, welcher von dem Augen⸗ 6. Puncte F ſo weit entfernet, als das Auge O von eben ere . 1 ſe⸗ demſelben, wird der Diſtantz Punct genennet, ℳ 8 Er⸗ Tab. I. Perſp. 662 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. §. 12. Die Perpendieul⸗Linie 08, welche von dem Auge O auf die geometriſche Flaͤche gezogen worden, heiſt die Augen⸗SHoͤhe. APBrklaͤrung. §. 13. Die Perſpectiv einer Zigur heiſt diejenige Figur, welche entſtehet, indem die optiſchen Strahlen von der Tafel geſchnitten werden. Z. E. abc iſt die Perſpectiv von ABC. Woraus leicht zu begreiffen, was die Perſpectiv einer Linie, eines Koͤrpers, eines Punets, und ſo weiter. 1.. Anmerckung. §. 14. Wolle ich im folgenden die perſpectiviſche Zeich⸗ nungen beweiſen, ſo wuͤrde ich etwas unternehmen, deſſen Beurtheilung nicht fuͤr Anfaͤnger. Wollte ich die perſpecti⸗ viſche Zeichnungen nur ſchlechthin erklaͤren, ſo befuͤrchte, da eine ſolche Beſchreibung denen, die eine Begierde haben, die Gruͤnde der Dinge einzuſehen, verdrießlich. Und alſo wird es nicht undienlich ſeyn, wenn, ehe und bevor die Art per⸗ ſpectiviſche Zeichnungen zu verfertigen beſchreibe, von dem Gebrauch der bisher erklaͤrten Linien bey perſpectiviſchen Zeichnungen einige Anmerckungen herſetze. 2. Anmerckung. §. 15. Es erfodert die Vernunfft, daß wir die Verferti⸗ gung einer jeden Sache aus ihrer Abſicht beurtheilen. Die Abſicht von perſpectiviſchen Zeichnungen iſt, daß Dinge auf einer Flaͤche alſo vorgeſtellet werden, wie ſie in einer gewiſſen Weite und Hohe des Auges erſcheinen koͤnnen (§. 1.), und alſo erhellet, daß bey einer jeden perſpectiviſchen Zeichnung anzunehmen ſey . 22 ) Eine Linie, wo die Fuͤſſe des Menſchen ſtehen, der die Sache ſehen ſoll. Dieſes iſt die Grund⸗Linie (§. 8.). 2) Die Hoͤhe des Auges von der Grund⸗Linie, das iſt die Augen⸗Hoͤhe (§. 12.). 3) Die Linie, welche durch das Auge mit der Grund⸗Linie parallel gehet, das iſt die Horizontal⸗Linie (§. 11.). Alſo kan die Horizontal⸗Linie nicht weiter von der Grund⸗ Linie, als ein Menſch hoch iſt, abſtehen, 4) Ein E Cu ſider uge 3)Rer Dicſes iſt Munct ongea 6 10 lel ſeth erfet Uith Hlfe Drchſchntte Enen gegehe ngſnd orſtchonc⸗ ſowidech Ng. g Perſpeceivn 9 Uleſrer ge De⸗ Lnarde 9 len den artte, ib hie ftocht e Af derde den Fin eri Pend Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 663 Ein Punct, wohin das Auge gerichtet wird. Dieſes iſt der Augen⸗Punct (§. 8.). ) Die Entfernung des Auges von dem Augen⸗Punct. Dieſes iſt die Entfernungs⸗Linie, in welcher der Diſtantz⸗ Punct angenommen wird (§. 9. 11.). 3. Anmerckung. §. 16. Ueberleget, wie §. 5. die Beſchaffenheit der Per⸗ ſectiv erklaͤret worden, ſo werdet ihr leicht begreiffen, wie durch Huͤlffe dieſer angenommenen Linien und Puncte die Duurchſchnitte zu finden, welche eine gegebene Flaͤche, oder Eeinen gegebenen Körper perſpectiviſch darſtellen In die⸗ ſem Zuſtand der Gedancken betrachtet dasjenige, was von perſpectiviſchen Zeichnungen im folgenden beſchreiben werde, ſo wird euch alles leicht, und nichts unbegreiflich ſeyn. Siehe §. 119. Optic. . Aufgabe. §. 17. Eine jede geradlinigte Sorizontal⸗ Flaͤche perſpectiviſch zu zeichnen. Aufloͤſung. 1) Beſchreibet die Flaͤche, wie in der Geometrie gelehret worden. ð 2) Ziehet zwo Parallel⸗Linien, die in einer ſolchen Hoͤhe, als man den Augen⸗ Punct geben will, von einander abſtehen. Die untere wird die Fundamen⸗ tal⸗Flaͤche, und die obere die Horizontal⸗Linie. 3) Auf der Horizontal⸗Linie nehmet nach Gefal⸗ len den Augen⸗ und Diſtantz⸗Punct. Nur iſt zu qmercken, daß die Diſtantz: Linie nicht küͤrtzer ſeyn muß, Dals die Groͤſſe der Sache iſt, ſo ins Perſpeetiv ſoll ge⸗ (Vbracht werden. 4) Auf die Fundamental⸗kinie traget neben einan⸗ n der die Breite und die Laͤnge der gegebenen Flaͤche, venn ſie ein Parallelogrammum, iſt es aber eine an⸗ dere Flaͤche, ſo ziehet aus allen Ecken dieſer Flaͤche Perpendicul Linien auf die Fundamental⸗Linie, und D traget 664 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. traget dieſe aus den Durchſchnitts⸗Puncten auf die Fundamental-Linie. 1 5) Im erſten Fall ziehet aus den Puncten, welche Wn die Breite der Flaͤche beſtimmen, gerade Linien nach dem Augen⸗Punct; und aus den Puncten, welche die Laͤnge der Flaͤche beſtimmen, gerade Linien nach den Diſtantz⸗Punct. Und im zweyten Fall, ziehet aus den Puncten der Fundamental⸗Linie, auf welche die 7 Perpendicul⸗Linien fallen, gerade Linien nach den Augen⸗Punct; und aus den Puncten der Fundamen⸗ tal⸗Linie, welche durch die aufgetragene Perpendicul⸗ Linien beſtimmet worden, gerade Linien nach den Diſtantz⸗Punect. 6) Die Puncte, in welchen die letzte Linien die er⸗ 4 ſten durchſchneiden, ziehet zuſammen, ſo wird das Perſpectiv von der gegebenen Flaͤche beſtmmet. 1. Anmerckung. 1 Tab. I. §. 18. Zur Deutlichkeit will dieſe Aufloſung mit einigen 1e Perſp. Exempeln erlaͤutern. 6 Fig. 3. 1) Ihr ſollt den Triangel ABC perſpectiviſch zeichnen. a) Beſchreibet den Triangel nach den Geſetzen der Geoo⸗ metrie. b) Ziehet nach Gefallen die Fundamental⸗Linie DE, und in gehoöriger Weite die Horizontal⸗Linie HR. . c) Auf dieſer nehmet den Augen⸗Punct in V, und den Diſtantz⸗Punct in K. d) Aus den Spitzen des Triaugels A. B C. ziehet auf die 4 Kuns anerral⸗ Linie die Linien Ar. C2. und B 3. perpen⸗ diculaͤr e) Dieſe Perpendicul⸗ ⸗Linien traget auf die Fundamen⸗ tal⸗Linie aus 1 in A, aus 2 in C, und aus 3 in B. Ziehet aus 1. 2 und 3. die Linien nach den Augen⸗Punet. IV. 2 V. 4 3 V. und aus A. B. C. ziehet nach den Diſtantz⸗Punct die Linien CK, AK und BK. †) Die Puncte a. b. c, in welchen dieſe Linien einander durchſchneiden, ziehet zuſammen, ſo⸗ iſt abe die perſpectivi⸗ ſche Zeichnung von dem gegebenen Triangel. 2. An⸗ 6 . . Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 66 5 tenaf 2. Anmercku ng. §. 19. 2) Ihr ſollt das Quadrat ABCD perſpectibiſch Tab. I. Eriene a) Zeichnet das Quadrat ABCh) nach den Geſetzen der Eig⸗ † und n Geometrie, wie Pig. 4. H 5. Nr N b) Ziehet die FTundamental⸗Linie CE und die Horizontal⸗ liimn Linie VK Pig. 5. hee ) Nehmet auf dieſer den Augen⸗Punct nach Gefallen in ie Vund den Diſtantz⸗Punct in K. nes 4d) Traget auf die Fundamental⸗Linie CE aus A nach B ͤnſec die Breite, und aus A nach C die Laͤnge von dem gegebenen SuIn Duadrat. tpende e) Aus A und B ziehet nach den Augen⸗Punct V, und aus h A und nach den Diſtantz⸗Punct K gerade Linien. f) Ziehet die Puncte, in welchen dieſe Linien einander ſchneiden, zuſammen, ſo iſt Abcd die perſpectiviſche Zeichnung ienſt von dem gegebenen Quadrat. ſpin) net⸗ 3. Anmerckung. §. 20. 3) Sollt ihr das Viereck ABCD, in welchem ande⸗Tab. I. re FEHG,und NI. Ml beſchrieben worden, perſpectiviſch zeich⸗ Perſp. ie nen, ſo werdet ihr aus der Pig. 7 ohne ferneres Erinnern Fig. 6. und ſchlieſſen koͤnnen, daß bey dieſem auf gleiche Art, wie zuvor iſt beſchrieben worden, zu verfahren, wenn alle Breiten PE, EH, . 1 HI, IM, MR und alle Langen AP,“Q, CB, auf die Fundamen de tal⸗Linie BD getragen worden. . „ —ꝗ Aunnnfgabe. §. 21. Eine jede krummlinigte Horizontal. Flaͤ⸗ che ins Perſpectiv zu bringen. 1 Au floͤſung. 1 1) Laſſet von der Fundamental⸗ginie Perpendicul⸗ 4 znuen auf die Peripherie der krummlinigten Flaͤche allen. 5 2) Von den Puncken, welche dieſe Perpendicul⸗ ne Linien auf die Fundamental⸗Linie beſtimmen, ziehet u gerade Linien nach den Augen⸗Punct. . Tt 3) Dieſe Tab- II. Perſp. Fig. 9. und 10. 666 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 3) Dieſe ſchneidet durch gerade Linien, welche von den beyden aͤuſſerſten Puneten, welche zuvor auf der FJundamental⸗Linie ſind beſtimmet worden, nach den Diſtantz⸗Puncten gezogen worden. 4) Durch die Puncte, in welchen dieſe Linien jene ſchneiden, ziehet gerade Linien, ſo werden dieſe die Geſichts⸗Linien in denen Puncten ſchneiden, durch welche die Peripherie der gegebenen Flaͤche zu ziehen. Anmerckung. §. 22. Fig. 8. Lab. I. in welcher Circul⸗ Flaͤchen perſpecti⸗ viſch gezeichnet, wird ohne ferneres Erinnern dieſe Aufloͤſung erklaͤren. Aufgabe. §. 23. Ein jedes Vertical⸗Parallelogrammu perſpectiviſch zu zeichnen. »* Aufloͤſung. 1) Das Vertical⸗Parallelogrammum ABCD be⸗ ſchreibet nach den Regeln der Geometrie. 2) Ziehet nach Gefallen die Fundamental⸗Linie PD, und die Horizontal⸗Linie RH. Auf dieſer beſtim⸗ met den Augen⸗Punct Vund den Diſtantz⸗Punct K⸗ 3) Traget auf die Fundamental⸗Linie die Breite des Parallelogrammi AD. 4) Auf Arichtet eine Linie, welche gleich der Hoͤhe des Parallelogrammi AB, in dem Winckel, welcher gleich dem Winckel des Parallelogrammi. ) Durch Bund A ziehet gerade Linien nach den Augen⸗Punct, AV und BV. 6) Aus O ziehet eine gerade Linie nach den Diſtantz⸗ Punct K. 7) Wo die Linie AV die Linie DK ſchneidet, da wird die perſpectiviſche Breite Ad beſtimmet. Beſchreibet aus 9. aus die lic ſe eine l yi id. . Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 667 ien, welhetel e zuvotin aus dieſem Punct d mit Al eine Parallel⸗ Linie bis an orden, nege die Linie BV, ſo iſt de die perſpectiviſche Hoͤhe. Folg⸗ lich iſt Abed die perſpectiviſche Zeichnung des gegebe⸗ dieſe m nen Parallelogrammi. verden deſsſ 4 hneide x 1. Anmerckung. laͤche ure §. 24. Verbindet mit dieſer Aufgabe diejenige, welche §. 17. iſt aufgeloͤſet worden, ſo werdet ihr begreiffen, wie Flaͤ⸗ chen, welche in einem Winckel zuſammengeſetzet, perſpecti⸗ ls viſch zu zeichnen. Sollt ihr z. E. zwey Breter, welche in ei⸗ Michennet⸗ nem rechten Winckel zuſammengeſetzet ſind, ins Perſpectiv n dieſeiſea bringen, ſo nehmet das eine Bret als eine Horizontal⸗ und das andere als eine Vertical⸗Flaͤche, ſo werdet ihr nach vor⸗ hin beſchriebenen Regeln die Zeichnung verfertigen koͤnnen. Es ſey z. E. in Fig. II. Tab. II. ABC das eine Bret, lgtent und (DhF das andere, ſo iſt Fig. 12. die perſpectiviſche Zeichnung. 2. Anmerckung. . §. 25. Verbindet ferner mit dieſer Aufgabe, was ſ. 17⸗20. 4NC erklaͤret worden, ſo werdet ihr ohne ferneres Erinnern verſte⸗ . hen, wie Thuͤren, Fenſter, und gantze Seiten von einem Ge⸗ 6 baͤude, inſoweit ſolche als Flaͤchen zu betrachten, ins Perſpec⸗ alebinield. tiv zu bringen. ſer ft Aufgabe. NW „ §. 26. Es wird auf einer Cafel ein Punct ge⸗ de die Ve⸗ geben, ihr ſollt auf demſelben die Perſpectiv von einer gegebenen Hoͤhe richten. rcl Ihr ſollt A ufaſung. „Ihr ſollt z. E. auf dem Punct C die perſpeckiviſche Tab. II. luun Hoͤhe von Dß richten. nerſpeetibiſi Terſp. 1 1) Zi . Fig. 13. Ziehet die Fundamental⸗ und Horizontal⸗Linie vrdie DEund RH. 2) Auf der Fundamental⸗ Linie zeichnet perpendi⸗ dud culaͤr die gegebene Hoͤhe BD, und ziehet von Bund D hnede auf einen angenommenen Punct in der Horizontal⸗ teege. K . t. Min Linie, z. E. in Pgerade Linien Bl und DT. Tt 2 3) Von 668 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 3) Von dem gegebenen Punct C ziehet parallel mit der Fundamental, Linie eine gerade Linie CK nach DT. 4) Auf K richtet eine Perpendicul⸗ Linie K! bis an die Linie 6I. Dieſe iſt die verlangte Hoͤhe, welche in Cperpendiculaͤr aufzurichten. . Aufgabe. §. 27. BEin Prisma oder einen ſpitzen Boͤrper nach der Perſpectiv zu zeichnen. Au floͤſung. 1) Bringet die Grund⸗Flaͤche des Koͤrpers ins Perſpectiv (§. 17.). 2) Auf jede Ecke dieſer Grund⸗Flaͤche richtet die perſpectiviſche Hoͤhe (§. 2.), ſo ſind die Graͤntzen des perſpecetiviſchen Koͤrpers beſtimmet. 1. Anmerckung. Tab. II §. 28. Auch dieſe Auflöͤſung will ich mit einigen Exem⸗ Perſp. peln erlaͤutern. Ihr ſollt z. E. einen Wuͤrffel perſpectiviſch S Pig. 14. zeichnen. 1) Ziehet die Grund⸗Linie DH und die Horizontal⸗Linie IR 2) Zeichnet auf jener das Perſpectiv von der Grund⸗Flaͤ⸗ che des gegebenen Cubi (§. 17.) abdc. 3) Suchet durch Huͤlffe des Triangels IVE, in welchem UIl die Hoͤhe des gegebenen Wuͤrffels, die perſpectiviſche Hoͤhen von den Seiten des Wuͤrffels M. 2. L. I. HI 4) Dieſe traget perpendiculaͤr auf die Spitzen der gezeich⸗ neten Grund⸗Flaͤche, ſo iſt ghefdcab der perſpectiviſche Wurffel. . 2. Anmerckung. §. 29. Sollt ihr eine Phramide perſpectiviſch zeichnen, 1) Wie Perſp. *1* 15. ſo ziehet, 1) We und trine abcd⸗ ,u Me mretnvi ſectioberſage 1 N 50 N fühten trin ell ich ele ſammneen len. Dun tſſterhre .Oniel Etlzrii in nſce llehe Sche iheelofun intenthei d. Wr inſerpzeni ahlen, d e; Ebe tergeſchihe ¹) As) teidtl Von Pintn Pendicnt, lile lr ade in ginieklte he, nit en N Khrpet he ticht e Gi EH ecetfe etu Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 669 1) Wie zuvor, die Fundamental⸗ und Horizontal⸗Linie und bringet die Grund⸗Flaͤche ins Perſpectiv (§H. 17.) abcd. . 2) Durch Huͤlffe des Triangels VIB ſuchet, wie zuvor, die verſpectiviſchen Laͤngen der gegebenen Pyramide Bl und ib (§ 26.), ſo koͤnnet ihr die gegebene Pyramide ins Per⸗ ſpectiv bringen. 1. Anmerckung. §. 30. Mehrers von perſpectiviſchen Zeichnungen anzu⸗ fuͤhren, wuͤrde aus der Urſache meiner Abſicht zuwider ſeyn, weil ich alle Grund⸗Regeln erklaͤret habe, aus deren Zu⸗ ſammenſetzung alle perſpectiviſche Zeichnungen zu beurthei⸗ len. Daher will nur noch einige Aufgaben von der perſpec⸗ tiviſchen Vorſtellung des Schattens aufloͤſen. Der G. 29. ſl. Optic lehret, daß bey Beſtimmung des Schattens auf drey Stuͤcke zu ſehen, auf die Hoͤhe des Lichts, auf die Lage des Koͤrpers, welcher den Schatten wirfft, und auf die Flaͤche, worauf der Schatten geworffen wird Hieraus koͤnnet ihr die Verknuͤpfſung und die Beſchaffenheit von folgenden Auf⸗ gaben beurtheilen. Aufgabe. §. 31. Den geraden Schatten eines Roͤrpers im Perſpectiv zu zeichnen, wenn ſich das Licht mit Strahlen, die auseinander fahren, ausbreitet. Wie ʒ. E. bey einer Lampe, einer Fackel und ſo wei⸗ ter geſchiehet. Aufloͤſung. ¹) Aus dem Mittel⸗Punct des Lichts ziehet eine Perpendicul, Linie auf die geometriſche Flaͤche. 2) Von allen oberſten Ecken des ins Perſpectiv ge⸗ zeichneten Koͤrpers laſt gleichfalls auf dieſe Flaͤche Per⸗ pendicul⸗Linien fallen. 3) Aus dem Punct, auf welchen die erſte Perpen⸗ dicul⸗Linie faͤllt, ziehet durch die unterſte Puncte der Tt 3 Per⸗ 670 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. Tab. II. Perſp. Tab. II. Perſp. Pig. 17. Tab. II. Perſp. Fig. 18. Perpendicul⸗Linien, ſo von dem Koͤrperzauf die ges⸗ metriſche Flaͤche gezogen worden, gerade Linien. 4) Aus dem Mittel⸗Punct des Lichts ziehet durch die oberen Spitzen des Koͤrpers gerade Linien. Wo. dieſe jene ſchneiden, da ſind die Grentzen des Schat⸗ tens beſtimmet (§. 30. Optic.). 1. Anmerckung. 68. 32. Ihr ſollt z. E. den Schatten nach der Perſpectis beſtimmen, welcher von dem Prismate CABEFD durch Huͤlffe des Lichts Lgeworffen wird. 1) Ziehet aus dem Mittel⸗Punct L. die Perpendicul⸗ Linie LM. 2) Die Perpendicul⸗Linien CF, BE und AD, beſtimmen das in Perſpectiv gezeichnete Prisma. 3) Ziehet die Linien MG und MH. 4) Ziehet die Linien L und I. H, ſo iſt DCHE die per⸗ ſpectiviſche Zeichnung des Schattens. 2. Anmerckung. §. 33. Auf gleiche Art koͤnnet ihr die Zeichnung des Schattens von der umgekehrten Pyramide ABCD beur⸗ theilen. H iſt das Licht. Hl die Linie, ſo nach der erſten Regel gezogen. AE, CD und Bb, ſind die Linien, welche die zweyte Regel erfodert. IK, IL und IM ſind nach der drlien Regel, und HL, HM, HkK nach der vierten Regel ezogen. Aufgabe. §. 34. Den Schatten eines Koͤrpers zu zeich⸗ nen, der an eine Wand oder an einen andern Koͤrper faͤllt. Aufloͤſung. 1) Suchet den Schatten BCM, welchen die Pyra, mide ABCD werffen wird, wenn keine Wand entgegen gezogen. 2) Auf nie bis 909 lift 38 inter ihrer⸗ ſehet li Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. 671 vtialftien 2) Auf den Punct T, wo die Wand RSOb die Li⸗ delinen. nie NM ſchneidet, richtet eine Perpendicul⸗Linie T10 bis an die Linie LM. htszehetde in⸗ 3) Ziehet aus c und b gerade Linien nach O, ſo iſt enee Oc der Schatten, welchen der Koͤrper an die Wand wirfft. . .V Aufgabe. ichderhect⸗ . s 5§. 35. Aus der gegebenen Weite der Sonne Tab. I. hinter der Tafel von der Vertical⸗Flaͤche, und Perſp. e ng ihrer Hoͤhe uͤber dem Boden, darauf der Koͤrper 'ig. 19. ſtehet, den Schatten deſſelben zu finden. Aufloͤſung. Dolb den 1¹) Ziehet die Horizontal⸗Linie NR, und aus dem Augen⸗Punct V ziehet die Linie VA perpen⸗ deular, und machet ſie der Weite des Auges VL 1 h⸗ ichnung d R der Machet in A einen Winckel VAB, welcher Unin,1 rr Weite der Sonnen von der Vertical⸗Flaͤche ſind nit gleich iſt. . utet O 3) In Brichtet die Linie BD perpendieulaͤr auf, und machet BC= BA, und den Winckel DCB = der ge⸗ 6 gebenen Sonnen⸗Hoͤhe. mann 4) Wollt ihr nun den Schatten von IH finden, ſo ziehet durch I und B die Linie BK, und durch H und D die Linie HK; ſo iſt IK die Laͤnge des ver⸗ langten Schattens. Die Breite dieſes Schat⸗ ſerdeh⸗ kens kan nach der zuvor gezeigten Lehre gefunden lete werden. gezeig hre geft N Tt 4 Auf⸗ 7 672 Erſte Gruͤnde der Perſpectiv. Aufgabe. §. 36. Aus der gegebenen Weite der Sonne vor der Tafel von der Vertical Flaͤche und ihrer Hoͤhe uͤber dem Boden, doarauf der Koͤrper ſtehet, den Schatten deſſelben zu finden. Au floͤſung. Tab. II. 1) Ziehet die Horizontal Linie NR, und in dem Per Augen⸗Punct V ziehet die Perpendicul⸗ Linie VAS&w der Weite des Auges. 2) Machet in A einen Winckel VAB = der Weite der Sonnen von der Vertical⸗Flaͤche. 3) In B ziehet die Perpendicul⸗Linie DB, und machet BC= BA, und den Winckel BCD = der ge⸗ gebenen Sonnen⸗Hoͤhe; ſo koͤnnet ihr, wie in der vorigen Aufgabe, durch Huͤlffe der Puncte B und D die Laͤnge des Schattens, und alſo auch deſſen Breite finden. tf⸗ ,4 deg de Und) rett ELE ME N T A PYROBOLICES Oder Er ſt e Gruͤnde Von Erſindung der Groͤſſe in den Wuͤr⸗ ckungen des Feuers. Erſte Gruͤnde Von Erfindung der Groͤſſe in den Wüurckungen des Feuers. Erklaͤrung. = §. I. Man unterſcheidet die Waͤrme von dem Feu⸗ er, indem jene als eine Wuͤrckung von die⸗ ſag ſem angeſehen wird. Wenn wir alle Um⸗ ſtaͤnde genau uͤberlegen, ſo muͤſſen wir ge⸗ Dſtehen, daß die Waͤrme nichts anders iſt, als das Gefuͤhl von Feuer, und alſo liegt der natuͤr⸗ liche Grund von der Groͤſſe der Waͤrme in der Groͤſſe des Feuers. Ich werde alſo meiner gegenwaͤrtigen Abſicht Genuͤge thun, wenn ich die Gruͤnde unterſuche, wodurch die Groͤſſe des Feuers zu beſtimmen. Lehr⸗Satz. §. 2. Feuor kan ohne Lufft ſeyn. Beweiß. Leget unter der Glocken auf der Lufft⸗Pumpe Buͤch⸗ ſen⸗Pulver. Wenn ihr die Lufft ſo genau, als es moͤg⸗ lich iſt, ausgepumpet, ſo laſſet die Sonnen⸗ Strahlen vermittelſt eines Brenn⸗Glaſes alſo durch die Glocke auf das Pulver fallen, daß dieſes von dem Vyenet un 676 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Punct beruͤhret wird, ſo wird das Pulver verbrennen, und einen Rauch geben. Waͤtre dieſes moͤglich, wenn nicht in dem von Lufft leeren Raum Feuer ſeyn ſollte? Es lehret demnach die Erfahrung, daß das Feuer ohne Lufft ſeyn koͤnne. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 3. Das Feuer iſt in der Aufft weit ſtaͤrcker, als in einem Raum, der leer von Lufft. Beweiß. Werffet in freyer Lufft mit einem Brenn⸗Glaſe die Sonnen⸗Strahlen auf das Buͤch ſen⸗Pulver alſo, daß dieſes von dem Brenn⸗Punct beruͤhret wird, ſo wird nicht nur das Pulver verbrennen und einen Rauch ge⸗ ben, ſondern es wird auch knallen, und eine Flamme von ſich geben, es iſt demnach die Wuͤrckung des Feuers in der Lufft groͤſſer, als ohne Lufft; und alſo muß auch das Feuer in der Lufft weit ſtaͤrcker ſeyn, als in einem Raum, der leer von Lufft (§. 34. Dyn.). Juſatz. §. 4. Wer demnach die Wuͤrckung des Feuers ſtarck machen will, der muß faſt mehr auf die Beſchaffenheit der Lufft, als auf das Feuer ſehen. Lehr⸗Satz. §. 5. Ohne ſchnelle Bewegung iſt kein Feuer. B eweiß. Dieſes kan auf verſchiedene Art erwieſen werden. Einmahl ſchlieſſe ich alſo: Was nicht da iſt, wo keine ſchnelle Bewegung, aber doch durch eine ſchnelle Bewegung entſtehet, das kan ohne einer ſchnellen Bewegung nicht ſeyn. Nehmet zwey Stuͤcke Eiſen, reibet dieſe ſchnell an einander, ſo wird Feuer ent⸗ ſtehen, da zuvor kein Feuer geweſen. Und n erhel⸗ ahe i geb n . ſce deeh i hb Fue — — — — —— — rſe⸗ ebreee ſchne ehn ſolll Feuerche ſtire Glaſke alodi ſonch nalchhe DA 6Feune ſ n , n) ſort erhet 1 llen Se 4 in den Wuͤrckungen des Feuers. 677 erhellet, daß ohne einer ſchnellen Bewegung kein Feuer ſeyn koͤnne. Ferner: Was allenthalben, wo es hin⸗ gebracht wird, ſchnelle Bewegungen verurſachet, das muß ohne einer ſchnellen Bewegung nicht ſeyn koͤnnen. Wo Feuer, da wird eine hefftige Bewegung verur⸗ achet; iſt es in freyer Lufft, ſo dehnet es mit Gewalt die Lufft aus; iſt es in anderen Koͤrpern, ſo zerreiſſet es mit Gewaͤlt die T hrile, welche zuſammen haͤngen. Folg⸗ lich beſtaͤtiget die Erfahrung, daß ohne Bewegung kein Feuer ſeyn koͤnne. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 6. Das Feuer entſtehet aus einer ſehr ſchnel⸗ len Bewegung des Aethers, wenn dieſer in der Be⸗ wegung an andere Koͤrper gerieben wird. Beweiß. Ohne einer ſchnellen Bewegung kan kein Feuer ſeyn (§. 51.). In einem Raum, welcher leer von Lufft iſt, kan Feuer ſeyn (§. 2.). Folglich iſt entweder das Feuer eine beſondere Subſtantz, welche duͤnner als Lufft, oder es entſtehet aus einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers (§. 7. Opt.). Das erſte wuͤrden wir ohne Grund behaupten, weil ohne Be⸗ wegund kein Feuer wahrgenommen wird. Und alſo werden wir genoͤthiget, das letzte zu bejahen. OE S 3 bejapen Unterſuchen wir dasjenige, was in der Bewegung, wodurch Feuer entſtehet, beſonders zu finden, ſertden wir genoͤthiget, zu behaupten, daß ohne das Reiben der Koͤrper an einander kein Feuer moͤglich. Danun das Feuer aus einer ſehr ſchnelen Bewegung des Aethers entſtehet; ſo habe ich vollſtaͤndigen Grund zu behaupten, daß das Feuer aus einer ſehr ſchnel⸗ len Bewegung des Aethers enkſtehet, wenn dieſer in der Bewegung an andere Koͤrper gerieben wird. An⸗ 678 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Anmerckung. 4 9. 7. Unterſi ichet genau alle Umſtaͤnde bey den electriſchen de Verſuchen,ſo werden auch dieſe i im Stande ſeyn, meinen Lehr⸗ Sactz zu beſtaͤtigen. §. 8. Je mehr demnach der in ſehr ſchnelle Bewe⸗ ſen gung geſetzte Aether an andere Koͤrper gerieben wird, Neth deſto ſtaͤrcker D das Feuer ſeyn. u . Zuſatz. te §. 9. Je dichter der Koͤrper, in welchem das Feuer, Den deſtomehr kan der in eine ſchnelle Bewegung geſetzte ihe Aether an andere Koͤrper gerieben t werden. Folglich aif muß auch in dichten Koͤrpern das Feuer ſtaͤrcker ſeyn, den als in andern Koͤrpern, welche nicht ſo dichte ſind (§. 7.). Z 5. Zuſatz. Na §. 10. Die untere Lufft iſt dichter, als die obere (§S. 13. Aerom.). Folglich kan die obere Lufft der Be⸗ wegung des Aethers ſo viel nicht widerſtehen, als die le untere, und in der unteren Lufft kan der in Bewegung ſbe geſetzte Aether mehr, als in der oberen Lufft gerieben unfr werden. Wir koͤnnen demnach hieraus begreiffen dade 1¹) Warum das Feuer in ſeinem natuͤrlichen Stanes Flan de in die Hoͤhe ſteiget, und auch dahin die meiſte Hitze ſſeſo fuͤhret. e- 2) Warum das Feuer in der unteren Lufft ſtaͤrcker; u als in der oberen. vonen 4. Juſatz. nee §. 11. Wer demnach die Wuͤrckung des Feuers, ſo n d viel als moͤglich iſt, genieſſen will, der muß entweder ſeſen die Sache, welche ſolle erwaͤrmet werden, alſo in die Hoͤhe ſetzen, daß das Feuer unten anſchlagen koͤnne (§. 51. Som.), oder er muß das Feuer entweder ſeit⸗ waͤrts oder auch unter ſich treiben (§. 10.). 1. An⸗ — = = — — lttſte einend⸗ le Ne ben ei dasgen g e Ncker ſcn dictetn eun ber R 0ls die begang Netcht teffen en Ein ſrhhe ftfin Ppe fnce Knrde gen e in den Wuͤrckungen des Feuers. 679 1. Anmerckung. §. 12. Hieraus kan vieles bey dem Bau der Kuͤchen⸗Her⸗ de, und der Oefen erklaͤret werden. 2. Anmerckung. §. 13. Feuer und Licht entſtehen aus der Bewegung des Aethers. Feuer und Licht ſind der Grund von den wichtig⸗ ſten Begebenheiten in der Natur. Es iſt alſo die Frage, was iſt Aether? eine ſolche, deren Beantwortung den Grund von den wichtigſten Begebenheiten der Natur in ſich faſſet. Wuͤr⸗ de ich eine Natur⸗Lehre ſchreiben, ſo wuͤrde es meine Schul⸗ digkeit ſeyn, dieſe Frage nach allen Kraͤfften zu beantworten. Jetzo aber will nur denen, die eine Begierde haben, meine Gedancken vom Aether zu erfahren, mit kurtzen berichten, daß ich glaube, der Aether ſey nichts anders, als ein vollkommen aufgeloͤſtes Saltz. Bey einer bequemen Gelegenheit werde den Grund dieſes Gedanckens vollſtaͤndig aus einander legen. Lehr 2 Satz. §. 14. Das Feuer wird durch die Lufft in gera⸗ den Linien fotgepflantzet. Beweiß. Leget an einem beſtimmten Orte Feuer, ſo werdet ihr uͤber demſelben in einer geraden Linie die Waͤrme empfinden. Nehmet eine Feuer⸗Flamme, ſo werdet ihr da die Waͤrme empfinden, wo der Schein von der Flamme. Folglich muß das Feuer in einer geraden Li⸗ nie fortgepflantzet werden (§. 2. Opt.). Leget das Feu⸗ er, und die brennende Flamme ſetzet unter die Glocke der Lufft⸗Pumpe, ſo wird ſo wohl von dieſer, als auch von jenem der Schein verſchwinden, ſo led die Lufft zeggehurper Fondeti clli beſtaͤtiget die Erfah⸗ ung, daß das Feuer durch die Lufft in ej Li⸗ nie fortgepflantzet werde, ſt neiner geraden di Erklaͤrung. §. 15. Den Weg, wodurch das Feuer fortgepflan⸗ niͤrſe tzet wird, wollen wir einen Feuer⸗Strahl nennen. 1,J Zu⸗ 680 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Zuſatz. d. 16. Es iſt demnach der Feuer⸗Strahl eine ge⸗ rade Linie (§. 14.), wenn nicht das Feuer von einer aͤuſſerlichen Gewalt durch eine krumme Linie getrieben wird. Lehr⸗Satz. §. 17. Wer die Groͤſſe des Feuers genau beſtim⸗ men will, der muß auf drey Stuͤcke ſehen, einmahl auf die Geſchwindigkeit in der Bewegung des Aethers, zweytens auf die Vielheit der Feuer⸗ Strahlen, welche bey einander, drittens auf die Dichtigkeit des Koͤrpers, in welchem dieſe Bewe⸗ gung des Aethers. Beweiß. Das erſte lehret der §. 6. Das zweyte erhellet aus dem Begriff der Groͤſſe. Das dritte beſtaͤtiget der §. 9. Und daß dieſe drey Stuͤcke hinreichen, die Groͤſſe des Feuers genau zu beſtimmen, ſolches iſt aus dem §. 6. unmittelbar zu erweiſen. W. Z. E. W. Anmerckung. §. 18. In den Furleſungen will ich dieſe Eigenſchafften von der Groͤſſe des Feuers auch durch die Erfahrung be⸗ ſtaͤtigen. Lehr⸗Satz. S. 19. Das Feuer wird, wie das Licht, fortge⸗ pPflantzet. Beweiß. Das Feuer iſt eine Bewegung des Aethers, welche durch die Lufft in einer geraden Linie fortgepflantzet wird (§. 14. und 6.). Das Licht iſt auch eine Be⸗ wegung des Aethers, welche durch die Lufft fortge⸗ pflantzet wird (§. 14. fl. Opt.). Folglich haben wir vollkommenen Grund zu behaupten, daß das Feuer in der Ordnung, wie das Licht, fortgepflantzet werde. W. Z. E. W. zu⸗ r Griſt in den Wuͤrckungen des Feuers. 681 1. Zuſatz. trahl in §. 20. Wo einerley Grund iſt, da muß auch einerley euer hltet folgen. Was demnach von der Erfindung der Groͤſſe Liniegenin in den Wuͤrckungen des fortgepflantzten Lichts in der Optic iſt erwieſen worden, dieß muß auch die Groͤſſe in den Wuͤrckungen des fortgepflantzten Feuers beſtim⸗ men koͤnnen, wenn nur jene Lehr⸗Saͤtze durch die Na⸗ enanbi tur des Feuers, und folglich durch den §. 17. genauer han ſind beſtimmet worden. nc 1 27 Zuſatz. is i §. 21. Dieß giebt uns einen Grund folgende Lehr⸗ tens Saͤtze zu behaupten. dieſe 1) Wenn verſchiedene Feuer⸗Strahlen, welchen kein Widerſtand geſetzet wird, in gleichdichter Marerie parallel gehen, ſo muß das Feuer allezeit gleich ſtarck ethele bleiben (§. 20. Optic.). ſtaͤte 3. Juſatz. Gſen 22. 2) * ichſtarcke Feuer⸗ deGne §. 22. 2) Wenn gleichſtarcke Feuer⸗Strahlen, 6 dn woelche aus einem Punct durchgehens in gleichdichte Materie flieſſen, aus einander gehen, und keine aͤuſſer⸗ lliche Urſachen vorhanden ſind, welche in der Groͤſſe des geſchif Feuers Veraͤnderungen machen koͤnnen, ſo wird das achrun Feuer immer ſchwaͤcher, und zwar in einer verkehrten und zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Entfernungen von dem Puncte, woraus die Strahlen flieſſen (§. 21. icht, Optic.). 4. Juſatz. 4 §. 23. Wenn gleichſtarcke Feuer⸗Strahlen, welche Niiag aus verſchiedenen Puncten in gleichdichte Materie b flieſſen, zuſammen lauffen, und keine aͤuſſerliche Urſa⸗ ſge chen vorhanden ſind, wodurch die Groͤſſe des Lichts 1 ſve koͤnne geaͤndert werden, ſo wird das Feuer immer ſtaͤr⸗ cker, und zwar in einer verkehrten und zuſammengeſetz⸗ 6 ten Verhaͤltniß der Entfernungen von dem Puncte, Ronet in welchem die Feuer⸗Strahlen zuſammen ſtoſſen (§. Un Lehr⸗ 682 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Croͤſſe Lehr⸗Satz. §. 24. Wenn die Feuer⸗Strahlen aus einer dich⸗ teren Materie in eine duͤnnere, oder aus einer duͤn⸗ neren Materie in eine dichtere fahren, ſo werden ſie gebrochen, und zwar in dem erſten Falle von der PBinfalls⸗Linie, und in dem andern Falle gegen die Einfalls⸗-Linie. Beweiß. Das Feuer wird durch die Lufft, wie das Licht, fort⸗ gepflantzet (§. 19.). Da nun das Licht auf die beſtimm⸗ te Art gebroͤchen wird (F. 44. 49. Optic.), ſo muß man auch ein gleiches von den Feuer⸗Strahlen behaupten. 1, Ju ſatz. §. 25. Hieraus erhellen folgende Saͤtze. 1) Wenn die Feuer⸗Strahlen durch ein Glaß fah⸗ ren, welches auf beyden Seiten platt, ſo werden ſie hin⸗ ter dem Glaſe mit dem einfallendem parallel gebrochen (§. 69. Opt.). Und daher kan die fortgepflantzte Waͤr⸗ me gleichſtarck bleiben (§. 21.). 2. Z U ſa . §. 26. 2) Wenn die Feuer⸗Strahlen durch ein ge⸗ ſchlieffenes Glaß fahren, welches erhaben iſt, ſo werden diejenigen, welche mit der Axe parallel einfallen, nach geſchehener Brechung mit der Axe wiederum zuſammen ſtoſſen, und zwar in der Weite des Diametri von dem Glaſe, wenn es auf einer Seiten platt und auf der an⸗ dern erhaben; in der Weite des halben Diametri, wenn es auf beyden Seiten erhaben; und in der Weite des vierten Theils, wenn das Glaß eine gantze Kugel iſt (§. 70. Optic.). Hieraus folget, daß durch Huͤlffe er⸗ habener Glaͤſer die Hitze koͤnne vermehret werden (5§. 23.). 5. Juſatz. §. 27. Die Staͤrcke des Feuers kan durch die Vielheit der Feuer⸗Strahlen, welche bey einander n⸗ eſtim⸗ beſ Fl du 6. Gli⸗ Grin ſeaakd D inden Syi⸗ len G 19 hon Mlen, ea. leht geſs erſche ner d⸗ drdenſ voNN egend hife leſien Cufer fPupr Gle erſi⸗ ehree 8 ein 9 rd An, 4 fir⸗ ent N ſee⸗ ecden in den Wuͤrckungen des Feuers, 683 beſtimmet werden (§. 17.). Je groͤſſer demnach die Flaͤche von den erhabenen Glaͤſern, deſto mehr kan durch dieſe die Hitze vermehret werden (5. 26.), Anmerckung. §. 28. Hieraus erhell t,warum die erhabene Glaͤſer Brenn⸗ Glaͤſer genennet werden. 4. Juſatz. d. 29. 3) Iſt das geſchlieffene Glaß auf der Seite, wo die Feuer⸗Strahlen ausfahren, hohl, ſo werden die Strahlen von der Axe weggebrochen, und weichen nach der Refraction immer mehr und mehr von ihr ab, je weiter ſie fortgehen (§. 72. Optic.). Folglich kan das Feuer durch hohle Glaͤſer geſchwaͤchet werden (§,22.) Anmerckung. §. 30. Dieſes beſtaͤtiget, daß aus Hohl⸗Glaͤſern keine Brenn⸗ Glaͤſer zu verfertigen. Lehr⸗Satz. §. 31. Die Feuer⸗Strahlen prallen von einem Spiegel in dem Winckel wieder zuruͤck/ in welchem ſie auf den Spiegel gefallen. Beweiß. Die Strahlen des Lichts prallen von einem Spiegel in dem Winckel wieder zuruͤck, in welchem ſie auf den Spiegel gefallen (§. 130. Opt.). Die Feuer⸗Strah⸗ len werden, wie die Strahlen des Lichts, fortgepflantzet (§. 19.). Folglich muͤſſen auch die Feuer⸗Strahlen von einem Spiegel in dem Winckel wieder zuruͤck prallen, in welchem ſie auf den Spiegel gefallen. W⸗ 1. Zuſatz. §. 32. Dieſes beſtaͤtiget 1) daß die Feuer⸗Strah⸗ len, welche mit der Axe eines ſphaͤriſchen Hohl⸗Spie⸗ gels parallel einfallen, und unter 60° von der. Axe Uun 2 weg ,8* 684 Erſte Grunde von Erfindung der Groͤſſe weg ſind, nach der Reflexion mit der Axe vereiniget wetden, in einer geringeren Weite von dem Spiegel, als der vierte Theil des Diameters (H. 153. Optic.). Und alſo koͤnnen auch die ſphaͤriſchen Hohl⸗ Spiegel die Staͤrcke des Feuers vermehren (§. 23.). 2. Zuſatz. §. 33. Je groͤſſer demnach die Flaͤche des ſphaͤri⸗ ſchen Hohl⸗Spiegels, auf welchen die Feuer⸗Strah⸗ len unter 6α° von der Axe mit der Axe parallel koͤnnen geworffen werden, deſto mehr ſind ſie geſchickt, die Krafft des Feuers zu vermehren (§. 17.). §. 34. Die Sonnen⸗Strahlen ſind Feuer⸗Strah⸗ len. Da nun jene dem Augenſchein nach parallel, ſo muͤſſen alle, welche auf einen ſolchen ſphaͤriſchen Hohl⸗ Spiegel mit der Axe parallel fallen, in einem engen Raum zuſammen gebracht werden. Weil nun hie⸗ durch die Krafft des Feuers vermehret wird, ſo iſt es kein Wunder, daß, ob gleich die Strahlen vorhin nur warm machten, ſie jetzo gar anzuͤnden, ja, wenn die Flaͤche des Spiegels groß iſt, harte Koͤrper ſchmeltzen. 1. Anmerckung. §. 25. Dieſes iſt die Urſache, warum ſolche Hohl⸗Spie⸗ gel Brenn⸗Spiegel genennet werden. Und alſo koͤnnet ihr aus dem vorhergehenden die Vollkommenheit der Brenn⸗ Spiegel beurtheilen. Ferner, weil das Brennen der Son⸗ nen⸗Strahlen durch dies⸗ Spiegel bloß daher ruͤhret, weil ſie durch die Reflexion in einem engen Raum zuſammen gebracht werden (§. 33.), ſo kan man Brenn⸗Spiegel aus feſtem Holtze oder Pappen machen, ſo verguͤldet oder poliret oder auch mit Stroh beleget wird. 2. Anmerckung. §. 36. Mercket die Lehre von d enn⸗Spiegeln bey dem Bau der Schmeltz⸗Oefen. en Brenn⸗Spieg 4. 3 U⸗ ereitte Si Ote Gyg . e tten Hci D ru en ſ 6 aN W Wr G ſee rbr⸗ 64 ſſin in den Wuͤrckungen des Feuers. 68 ⁵ 4. Juſatz. §. 37. 2) Werden die Feuer⸗Strahlen aus dem Brenn⸗Puncte auf die Flaͤche des ſphaͤriſchen Hohl⸗ Spiegels unter 6σ° von der Axe geworffen, ſo reflecti⸗ ren alle mit der Axe des Spiegels, und unter einander ſelbſt parallel (S. 157. Optic.). Und alſo kan durch Huͤlffe dieſer Brenn⸗Spiegel das Feuer in gleicher Staͤrcke durch einen Ort fortgepflantzet werden (§. 21). Auufmerckung. §. 38. Mercket dieſes bey dem Bau der Camine und Oefen, womit Zimmer zu erwaͤrmen. §5. Juſatz. §. 39. 3) Alle Feuer⸗Strahlen, welche auf einen paraboliſchen Spiegel mit der Axe der Parabel paral⸗ lel fallen, kommen durch die Reflexion in dem Brenn⸗ Punct der Parabel zuſammen (§. 164. Optic.). Und alſo erhellet, daß durch paraboliſche Spiegel das Feuer noch ſtaͤrcker koͤnne vermehret werden, als durch ſphaͤ⸗ riſche Hohl⸗Spiegel (§. 17.). Anmerckung. §. 40. Folglich ſind auch paraboliſche Oefen, wenn man feſte Korper durch das Feuer ſchmeltzen will, vollkomme⸗ ner, als diejenigen, welche als ſphaͤriſche Hohl⸗Spiegel ge⸗ bauet. H 6. Juſatz. §. 41. 4) Wenn die Feuer⸗Strahlen auf einen el⸗ liptiſchen Spiegel aus einem Brenn⸗Puncte fahren, ſo muͤſſen ſie in dem andern Brenn⸗Punct wieder zu⸗ ruͤck fahren (§. 16 5. Optic.). Anmerckung. §. 42. Folglich ſind elliptiſche Spiegel mit Nutzen zu ge⸗ brauchen, wenn man das Feuer von einem Ort nach dem an⸗ dern fortpflantzen will. §. 43. Die Staͤrcke des Jeuers wird in gleich dichter Lufft und bey gleichvielen Feuer⸗Strahlen durch das Blaſen des Windes vermehret. Unu 3 Be⸗ 685 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. MWas in gleichdichter Lufft und bey gleichvielen Feu⸗ er⸗Gtrahlen die Geſchwindigkeit in der Bewegung des Aethers vermehret, das vermehret auch in der ſelben die Staͤrcke des Feuers (H. 17.). Durch das Blaſen des Windes wird die Geſchwindigkeit in der Bewegung des Aethers vermehret (§. 39. Aërom. §. 69. Dyn.). Folglich wird in gleichdichter Lufft und bey gleichvielen Blaſen des Windes vermehret. W. Z. E. W. 1. Juſatz. 58.’ 44. Indem die Wuͤrckung allezeit der wuͤrcken⸗ den Krafft gleich (§. 34. Dyn.), ſo erhellet aus dieſem Lehr⸗Satze, daß ſich die Verſtaͤrckungen des Feuers, welche in gleichdichter Lufft und bey gleichvielen Feuer⸗ Strahlen durch das Blaſen des Windes verurſachet des Windes. . 2. Juſatzz. §. 45. Wer demnach verlanget, daß in gleichdich⸗ ter Lufft bey gleichvielen Feuer⸗Strahlen das Feuer nach und nach in einer Progreßion ſoll verſtaͤrcket werden, der muß den Wind, wodurch das Feuer ge⸗ 3. Zuſatz. 5. 46. Durch das Feuer wird die Lufft ausgedeh⸗ net (§. 46. Aérom.), und folglich verduͤnnet. Das Feuer treibet ferner in ſeinem natuͤrlichem Zuſtande die Lufft in die Hoͤhe (§. 10.). Und alſo erhellet, daß wenn es nicht gehindert wird, die ausdehnende Lufft in die Hoͤhe zu treiben. Hieraus iſt volſtaͤndig zu begreif⸗ fen, wie man den Wind, der das Feuer blaͤſet, in einer Progreßion verſtaͤrcken koͤnne (§. 39. Aèrom.). e Feuer⸗Strahlen die Staͤrcke des Feuers durch das werden, zu einander verhalten, wie die Verſtaͤrckungen blaſen wird, in einer ſolchen Progreßion verſtaͤrcken. die untere Lufft mit gewalt in das Feuer dringen muͤſſe, en e⸗ d en wme! das gede gen ſti Mn lſen Ma d Pri riſe Pltentn wegug etſebere Blſre Betene D. Rechree du V er ⸗ aus esl. elerge⸗ etuttt irtng =S— c detſtm. Se, ſe 1 Zine tce blſt Utn t 3, in den Wuͤrckungen des Feuers. s37 Anmerckung. 8. 47. Mercket dieſen Lehr⸗Satz, wenn ihr bey chymiſchen Oefen das Feuer durch Grade vermehren, und wenn ihr den. Gebrauch der Lufft⸗Roͤhre, ſo warme Lufft in die Stube brin⸗ get, bey den Stuben⸗Oefen beurtheilen wollet. Erklaͤrung. §. 48. Wenn das eingeſchloſſene Feuer aus der ei⸗ nen Oeffnung die ausgedehnte Lufft treibet, und die un⸗ tere Lufft durch eine andere Oeffnung mit Gewalt in das Feuer dringet, ſo wird die Linie, in welcher die aus⸗ gedehnte Lufft getrieben wird, der Zug des Feuers genennet. Lehr⸗Satz. 5§. 49. Das Feuer hat nach der Gegend die ſtaͤrckeſte Hitze, wohin deſſen Zug gehet. . Beweiß. Wo gleichviel Feuer⸗Strahlen in gleichdichterLufft, da muß das Feuer ſeine groͤßte Hitze nach der Gegend aͤuſſern, wohin die ſtaͤrckeſte Bewegung gehet (§. 17.). Nun aber gehet die ſtaͤrckeſte Bewegung dahin, wohin der Zug des Feuers gehet (§. 48. und §. 5I. Somatol). olglich muß auch das Feuer nach dieſer Gegend die aͤrckeſte Hitze aͤuſſern. W. Z. E. W. „ Zuſatz. 5§. 5§0, Je laͤnger demnach der Zug des Feuers in einem Zimmer, deſto mehr kan das Feuer in demſelben wuͤrcken. Wenn ſich der Zug wieder unter ſich drechen muß, ſo kan er laͤnger werden, als wenn er gerade fort⸗ gehet. Es kan alſo das Feuer mehr in einem Zimmer wuͤrcken, wenn ſich der Zug wieder unter ſich bricht, als wenn er gerade fortgehet. —UWDW Anmerckung. §. 51. Auch dieſes iſt eine Regel, woraus die Vollkom⸗ mmenheit von den Stuben⸗Oefen zu beurtheilen. Erfahrung. §. 52. Iſt das Feuer in einem feſten RKoͤrper, ſo Uu 4 wur⸗ 688 Erſte Gruͤnde von Erfindung der Groͤſſe in den ꝛc. wuͤrcket es leichter und viel ſtaͤrcker in andere feſte Koͤrper, welche mit jenen unmittelbar verknuͤpffet ſind, als in die umſtehende Lufft. Faͤhret hinge⸗ gen das Feuer aus dem feſten Koͤrper in die freye Lufft, ſo breitet ſich die Gitze leichter in derſelbigen aus, als ſie in andere feſte Koͤrper wiederum hin⸗ ein dringet. . . Anmerckung. §. 53. Was ich hier aus der Erfahrung angenommen, ſolches koͤnnte auch aus der Reflexion und Refraction der Feuer⸗Strahlen beweiſen, wenn es meine gegenwaͤrtige Ab⸗ ſicht erfoderte. Juſatz. §. 54. Soll ſich demnach das in einem Ofen einge⸗ ſchloſſene Feuer leicht in ein Zimmer ausbreiten, ſo muß man den Ofen ſo viel als es moͤglich iſt alſo bauen, daß von den Waͤnden des Zimmers keine feſte Koͤrper den Ofen beruͤhren. “ 1. Anmerckung. §. 55. Dieſes iſt die lrſache warum man das Feuer in dem Ofen gerne auf einen Roſt leget, und warum man den Ofen in einem Zimmer nicht gerne auf einem Herd, ſondern auf eine zlind Platte ſetzet, welche durch Fuͤſſe von dem Boden ab⸗ geſondert. . 2. Anmerckung. §. 56. Verſtehet ihr dasjenige, was ich von der Gooͤſſe in den Wuͤrckungen des Feuers ausgefuͤhret, ſo werdet ihr ohne ferneres Erinnern den Bau von allerley Art Oefen und Ca⸗ minen beurtheilen koͤnnen. Daher trage Bedencken weit⸗ laͤufftiger zu ſeyn, und verweiſe euch zu Leutmanns Vulcanum Jamulantem. z3. Anmerckung. . 5. 5y. Verbindet mit dieſem,was ich von der Groͤſſe in den Wuͤrckungen des Feuers enrieſen pabe dasenige waß ich von der Art und Weiſe, wie durch die Lufft Machinen zu bewegen §. 61. fl. Arom. erklaͤret, ſo werdet ihr die Bewegung der Ma⸗ chinen durch das Feuer ohne weiteres Erinnern beſtimmen koͤnnen. Indeſſen kan mit Nutzen geleſen werden, was Leu- pold in Theatro Mach. gener. Cap. XX. von der Krafft des Feuers angemercket. ELE- ein dente ndere fc verkrie hret hing in dief derſalie derume.·. Heftotente ARCHITECTVRAE N CIVILIS baucn Kpr Das iſt Erſte Gruͤnde Von Wrim nOrit aufene n der buͤrgerlichen Bau⸗Kunſt. erriſt detſßrtr fen un . eockent⸗ . relie Erſte Gruͤnde der buͤrgerlichen Bau⸗Kun Erſter Abſchnitt. . Von der buͤrgerlichen Bau⸗Kunſt. uͤberhaupt. Erklaͤrung. d. I. En jeder Raum, der durch die Kunſt zu einer ge⸗ 5 wiſſen Abſicht eingeſchloſſen worden iſt, heiſt ein Gebaͤude. 1. Juſatz. §. 2. Es iſt demnach die Abſicht eines Gebaͤudes der Grund, wornach deſſen Verfertigung zu beur⸗ theilen. 2. Fuſatz. §. 3. Ferner erhellet, daß man den Gebaͤuden nach dem Unterſchiede ihrer Abſichten verſchiedene Benen⸗ nungen geben koͤnne. H Erklaͤrung. 5. 4. Die Vollkommenheit des Gebaͤudes be⸗ ſtehet in einer Uebereinſtimmung der Stuͤcke, welche ſich in demſelben beſinden, mit deſſen Haupe⸗Arhent, . Diete 692 Erſter Abſchnitt. Von der Dieſe Uebereinſtimmung der Stuͤcke in einem Gebaͤu⸗ de iſt entweder alſo beſchaffen, daß ohne derſelben die Haupt⸗Abſicht des Gebaͤudes nicht beſtehen kan, oder dieſe kan ohne jener beſtehen. Das erſte macht die we⸗ ſentliche, und das andere die zufaͤllige Vollkommen⸗ heit des Gebaͤudes. J §. 5. In einem vollkommenen Gebaͤude muͤſſen alle zufaͤllige Vollkommenheiten mit der weſentli⸗ chen uͤbereinſtimmen. In einem vollkommenen Gebaͤude muͤſſen alle Stuͤcke mit deſſen Haupt⸗Abſicht uͤbereinſtimmen (§. 2.4.). Weil nun dieſe Uebereinſtimmung die weſent⸗ liche Vollkommenheit eines Gebaͤudes beſtimmet (§. 4.), ſo iſt klar, daß alle zufaͤllige Vollkommenheiten mit der weſentlichen uͤbereinſtimmen muͤſſen, wenn das Gebaͤude ein vollkommenes Gebaͤude zu nennen. W. Zuſatz. kommenheiten eines Gebaͤudes nach deſſen Haupt⸗ Abſicht zu beſtimmen. . Erklaͤrung. 5§. 7. Ein Gebaͤude iſt bequem, wenn man in dem⸗ ſelben alle Verrichtungen, welche deſſen Abſicht erfo⸗ dert, ohne Hinderniſſe vornehmen kan. §. 8. Es iſt demnach die Bequemlichkeit die weſent⸗ liche Vollkommenheit eines Gebaͤudes (§. 4.). §. 9. Je beſſer und je leichter die Abſicht eines Ge⸗ baͤudes in demſelben kan ausgefuͤhret werden, deſto groͤſſer iſt die Bequemlichkeit, und alſo auch die weſent⸗ liche Vollkommenheit des Gebaͤudes. Er⸗ P P P † ſ S g. 10 mmenhete gelnder ſondes ſodeine ſegten btaucht daßden Im Beobe deBe ſne nle o §. 6. Hieraus eryellet, daß auch alle zufaͤllige Voll⸗ in ſdid etſeh üiinest Wen des guch desz Dde ZumB derſe Meyern inemn derſelte enkon, nachtder olkonn udenii der wtet miſet ſtimmn 6 diente genpehnr ,er 9 erntd. liel en Her ncnrr c/ Gneß l ,Ne, ſede 8 tene buͤrgerlichen Bau⸗Kunſt uͤberhaupt. 693 Erklaͤrung. §. 10. Der Grund von den zufaͤlligen Vollkom⸗ menheiten eines Gebaͤudes wird entweder aus den Re⸗ geln der Sparſamkeit, oder aus den Regeln des Wohl⸗ ſtandes genommen. Die Geſetze der Sparſamkeit er⸗ fodern ein Gebaͤude alſo aufzufuͤhren, daß es zu der ge⸗ ſetzten Abſicht ſo lange, als es moͤglich iſt, (a) koͤnne ge⸗ braucht werden; und die Geſetze des Wohlſtandes, daß durch die Empfindung eine Uebereinſtimmung in der Zuſammenſetzung koͤnne wahrgenommen werden. Die Beobachtung des erſten macht ein Gebaͤude feſt, und die Beobachtung des zweyten, ſchoͤne. 1. Zuſatz. J. 11. Die Dauer iſt ein Zeichen von der Feſtigkeit eines Gebaͤudes. Je laͤnger demnach die Zeit, durch welche man in dem Gebaͤude die Verrichtungen, wel⸗ che die Abſicht erfodert, vornehmen kan, deſto feſter iſt das Gebaͤude. 2. Zuſatz. §. 12. Je weniger aͤuſſerliche Umſtaͤnde vermoͤgend ſind, die Theile eines Gebaͤudes und deren Zuſam⸗ menſetzung zu zerſtoͤren, deſto groͤſſer iſt die Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 5. Zuſatz. . 13. Je leichter ein Gebaͤude wider die Gewalt aͤuſſerlicher Umſtaͤnde kan vertheidiget werden, deſto weniger ſind dieſe vermoͤgend, die Theile eines Gebaͤu⸗ des und deren Zuſammenſetzung zu zerſtoͤren; alſo giebt auch dieſes einen Grund, die Feſtigkeit eines Gebaͤu⸗ des zu beurtheilen. . (à) Anmerckung. Dieſe Moͤglichkeit muß mit nach den Koſten, welche man zum Bauen verwendet abgemeſſen werden. Die Erſparung der Koſten kann ein Gebaͤude von geringer Dauer vollkom⸗ mener machen als ein anderes iſt, das lange dau ret. L= 69 4 Das 1I. Capitel. Von der Erklaͤrung. §. 14. Was wir bey einem Gebaͤude empfinden, iſt entweder in dem Gebaͤude, oder auſſer demſelben, und alſo haben wir vollſtaͤndigen Grund die Schoͤnheit ei⸗ nes Gebaͤudes in eine innerliche und aͤuſſerliche einzu⸗ theilen (§H. 10.). . Zuſatz. §. 15. Soll ein Gebaͤude vollkommen ſeyn, ſo muß die aͤuſſerliche Schoͤnheit mit der innerlichen, und bey⸗ de zuſammen mit der Feſtigkeit und Bequemlichkeit des Gebaͤudes uͤbereinſtimmen (S. 5. Z. 10.). Anmerckung. §. 16. Aus dieſer allgemeinen Betrachtuns der Bau⸗Kunſt erhellet, daß bey einer vollſtaͤndigen Ausfuͤhrung dieſer Wiſ⸗ ſenſchafft auf drey Stuͤcke zu ſehen, erſtlich auf die Bequem⸗ lichkeit, zweytens auf die Feſtigkeit, und drittens auf die Schoͤnheit des Gebaͤudes. Von jedem Punct werde die er⸗ ſten Gruͤnde in einem beſtaͤndigen Zuſammenhang erlaͤutern. gen 5 9 Der 2. Abſchnitt. Von der buͤrgerlichen Bau⸗Kunſt insbeſondere. Das 1. Capitel. Von der Bequemlichkeit eines Gebaͤudes. Lehr⸗Satz §8. 17. Der Be⸗ Be Bequemlichkeit eines Gebaͤudes erfodert, quemlich⸗ daß deſſen Theile in derjenigen Ordnung Rlreinoes geleget werden, in welcher ſie die Ausfuͤhrung der erſte Regel. Abſicht des Bau⸗Gerrn erleichtern koͤnnen. Be⸗ Eole n Vert ehiden diſ Ricden ſede euAntd ten ie 1 Bequemlichkeit eines Gebaͤudes. 69 5 B e Wei ß. Soll ein Gebaͤnde bequem ſeyn, ſo muß man diejeni⸗ empſtcre gen Verrichtungen, welche deſſen Abſicht erfodert, oh⸗ nſitnt ne Hinderniß darinnen vornehmen koͤnnen (§. .). Wuͤr⸗ Stü de dieſes geſchehen koͤnnen, wenn die Theile des Ge⸗ erlihn baͤudes nicht in derjenigen Ordnung geleget, in welcher ſie die Ausfuͤhrung der Abſicht des Bau⸗Herrn erleich⸗ tern koͤnnen? Und alſo erhellet, daß die Bequemlich⸗ enn n keit eines Gebaͤudes eine ſolche Ordnung der Theile, als enumm beſtimmet worden, erfodere. W. Z. E. W. R 1 eglerie Zuſatz. 10) §. 18. Soll demnach in einem Gebaͤude ein Theil dem andern dienen, ſo muͤſſen dieſe alſo geordnet wer⸗ deruut den, daß man aus dem einem leicht in den andern untii kommen koͤnne. . ſNeden Erklaͤrung. tene S. 19. Sind in einem Gebaͤube verſchiedene Ge⸗ innd ſchoſſe, ſo erfodert die Bequemlichkeit, daß man in dem n Gebaͤude gewiſſe Stuͤcke anlege, vermittelſt welcher man aus dem einem leicht in das andere gelangen kan. Dieſe Stuͤcke eines Gebaͤudes werden Treppen ge⸗ nennet. . ANH Lehr⸗Satz. §. 20. Die Bequemlichkeit eines Geboͤudes er⸗Zweyte fodert bey den Treppen 1) daß ſie genugſam Licht Regel. haben; 2) daß man mit gewoͤhnlichen Schritten herunter und hinauf gehen koͤnne; 3) daß ihr Raum demjenigen proportionirlich, was auf den⸗ ℳ ſelben herunter und hinauf ſoll getragen werden. Bew eiß. Fehlet das erſte bey den Treppen, ſo verurſachet die Finſterniß, daß man nicht leicht aus einem Geſchoß in ſch das andere kommen kan. Fehlet das zweyte, ſo muß n man, wenn man aus einem Geſchoß in das andere ge⸗ ſhunm hen will, auf eine ungewoͤhnliche Art die Fuͤſſe iten welche . 696 Das 1. Capitel. Von der welches nicht nur der Geſchwindigkeit im Gehen zuwi⸗ der, ſondern auch ein Umſtand, welcher ſehr leicht das Fallen verurſachen kan (§. 27. Mech.). Fehlet endlich das dritte, ſo folget unmittelbar, daß die Abſicht, wa⸗ rum die Treppe gebauet, ohne viele und Unnoͤthige Muͤhe nicht koͤnne erhalten werden. Sollte demnach eine von den angegebenen Vollkommenheiten bey dem Treppen⸗Bau fehlen, ſo wird man in dem Gebaͤude verhindert werden, diejenige Verrichtungen, welche deſſen Abſicht erfodert, zu unternehmen. Und alſo erfo⸗ dert die Bequemlichkeit eines Gebaͤudes die angegebene „Vollkkommenheiten der Treppen (§. 7.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 21. Wenn man mit der zweyten Vollkommen⸗ heit einer Treppe die Erfahrung verbindet, ſo folget, daß die Stuffen von einerley Hoͤhe und Breite, und ſ hoͤchſtens 5 Zoll hoch, und 12 bis 14 Zoll breit ſeyn muͤſſen. 1 Anmerckung. §. 22. In Anſehung der dritten Vollkommenheit werden die Treppen in Haupt⸗ und Neben⸗Treppen eingetheilet. In Anſehung der Figur, ſind die Treppen entweder gerade oder Wendel⸗Treppen, und jene werden entweder von zwey⸗, drey und mehr Armen gemacht, ſo durch Ruhe⸗ Plaͤtze unter⸗ ſchieden ſind, daher ſie auch gehrochene Treppen genennet werden, oder die Verbindung der Stuffen gehet in einem fort. Die gebrochene Treppen haben entweder verſchiedene Auf⸗ tritte, welche in dem Ruhe⸗Platz wiederum zuſammen kom⸗ men, und werden daher doppelte oder vielfache Treppen ge⸗ nennet, oder es iſt nur ein Auftritt vorhanden, dadurch einfa⸗ che Treppen entſpringen. Von jeder Art werde umſtaͤndli in den Fuͤrleſungen reden. Indeſſen kan mit Nutzen geleſen werden, was Sturm in ſeiner vollſtaͤndigen Anweiſung zu Stadt⸗Thoren und Bruͤcken ꝛc. und Vignola in der Civil⸗Bau⸗ Kunſt p. m. 177. . und 184. von dem Treppen⸗Bau ausgefuͤhret Lehr⸗Satz. Dritte Re⸗ §. 23. Soll ein Gebaͤude bequem ſeyn, ſo wird ferner erfodert, daß alle Oeffnungen ſo wohl in dem ehenet Neleizt ehtenet Abſchen duce liedu itenber en ngen,N olſe e ae We Volten det ſi Bimn ul Urit⸗ eſt were neei deder N NN W en etigentn. delſtiee . er n nigih eſ Bequemlichkeit eines Gebaͤudes. 697 dem Gebaͤude ſelbſt, als auch in den Abtheilun⸗ gen des Gebaͤudes, ſo wohl in der Breite, als auch in der Hoͤhe alſo einzurichten, daß dadurch alles, wozu ſie gemacht worden, ohne Hinderniſſe gehen koͤnne. .. Beweiß. Dieſes ſolget unmittelbar aus dem Begriff von der Bequemlichkeit (§.7.). §. 24. Hieraus kan das Weſentliche bey dem Bau der Thuͤren und Fenſter beurtheilet werden. 2. Juſat. K. 25. Und alſo folget, daß die Weite der Haupt⸗ Thuͤre, das iſt derjenigen, wodurch man in das Gebaͤu⸗ de kommet, nicht kleiner ſeyn muͤſſe, als die Weite der Haupt⸗Treppe. – H 3 Juſatz,. §. 26. Die mittelmaͤßigen Thuͤren, das ſind dieje⸗ nigen, wodurch man in die Haupt⸗Zimmer des Gebaͤu⸗ des kommt, muͤſſen nicht unter 4. Schuh breit, und nicht unter 8. Schuh hoch ſeyn. . 4. FJuſatz. §. 27. Die Bey⸗Thuͤren, das ſind diejenigen, wo⸗ durch man aus dem einem Zimmer in das andere kommt, muͤſſen den mittelmaͤßigen Thuͤren gleich ſeyn. 28. Die geheimen Thuͤren koͤnnen ſchmaͤler ſeyn 6. ZJuſatz. §. 29. Die Abſicht der Fenſter iſt entweder einfach oder gedoppelt, es iſt nehmlich die Abſicht der Fenſter entweder nur dieſe, daß dadurch in den eingeſchloſſe⸗ nen Raum Licht ſoll gefuͤhret werden, oder man will Xx zugleich 698 Das 1. Capitel. Von der zugleich durch dieſelben bequem hinaus ſeher. Je hoͤ⸗ her die Fenſter, jemehr Licht wird dadurch in das Zim⸗ mer gebracht; will man bequem hinaus ſehen, ſo muͤſ⸗ ſen ſich auf der Bruſt⸗Lehne zwo Perſoͤnen bequem ne⸗ ben einander lehnen koͤnnen. Und alſo erfodert die erſte Abſicht, daß ſich die GHoͤhe der Fenſter nach der Groͤſſe des eingeſchloſſenen Raums, wel⸗ cher ſoll erleuchtet werden, richten muͤſſe. Und die zweyte Abſicht, daß die Bruſt⸗SHoͤhe der Fenſter nicht unter 3, und die Breite der Fenſter nicht un⸗ ter q Schuh. Anmerckung. §. 30. Mehrers ſuche bey dem Vignola in der Civil⸗Bau⸗ Kunſt p. m. 140. fl., und in des Goldmanns Bau⸗Kunſt. Lehr⸗Satz. Pierte Re⸗ §. 31. Die HBequemlichkeit eines Gebaͤudes er⸗ gel. fodert ferner, daß man die Verrichtungen, welche deſſen Abſicht erfodert, ohne Verletzung der Ge⸗ ſundheit darinnen vornehmen koͤnne. Beweiß. Denn ſollte dieſes nicht ſeyn, ſo wuͤrde man in den 8 1 Di ben 2) daß! Nim 4. biͤd deptlin entre eroce ren nüre Ginctn ſſheninde Urchtiee iſicligen RNN den Wan wndſen noͤthigen Verrichtungen gehindert werden. Dieſes aber iſt der Grund, wodurch man bewogen wird, ein Gebaͤude unbequem zu nennen (§. 7.). 1. Juſatz. J §. 32. Stinckende Lufft ſchadet der Geſundheil, folglich erfodert die Bequemlichkeit eines Gebaͤudes, daß diejenigen Theile, in welchen man ſeine Geſchaͤffte ausfuͤhren will, alſo angeleget werden, daß nicht nur ſtinckende Lufft darinnen vermieden, ſondern auch zu gewiſſen Zeiten friſche Lufft koͤnne hinein gebracht werben (§. 31.). . werte des de den gi irme 36 mine ſeher tch inde ſeerſei nen legen. ſo afo Gſtorr. Roune, mniſe ederſe nſiritn n delhi Bo D0N , wel der 6 Wn eln b ennde in ndit ſtf Bequemlichkeit eines Gebaͤudes. 699 2. Zuſatz. §. 33. Hieraus folget, die weſentliche Abſicht eines Gebaͤudes erfodere 1) Daß die Oeffnungen in einem Zimmer, nemlich Thuͤren und Fenſter alſo gegen einander zu ſetzen, daß bey deren Eroͤffnung die Lufft durchwehen koͤnne. 2) Daß die Thuͤren und Fenſter ſo groß zu machen, daß bey deren Eroͤffnung hinreichende Lufft in das Zimmer dringen koͤnne. Anmerckung. §. 34. Aus dieſer Regel von der Bequemlichkeit eines Ge⸗ baͤudes, kan auch die Anlage der geheimen Gemaͤcher in or⸗ dentlichen Wohn⸗Haͤuſern beſtimmet werden. Dieſe werden entweder von den ordentlichen Wohn⸗Zimmern weit abgele⸗ get, oder nicht. Das erſte iſt wider das allgemeine Geſetze von der Bequemlichkeit (§. 18.). Das zweyte wuͤrde dem §. 31. widerſprechen, wenn keine Mittel zu beſtimmen, wodurch der Geſtanck aus dem Gebaͤude zu fuͤhren. Die ſtinckende Duͤnſte ſteigen in der Lufft in die Hoͤhe. Dieſes iſt der Grund, wo⸗ durch die Lufft⸗Roͤhren, welche bey den geheimen Gemaͤchern mit Nutzen zu gebrauchen, erfunden worden, und durch deren Anwendung die geheimen Gemaͤcher nahe bey den ordentli⸗ chen Wohn⸗Zimmern koͤnnen gebauet werden. Mehreres von dieſem in den Fuͤrleſungen. 2.’. Ju ſatz. §. 35. Die Geſundheit erfodert eine proportionir⸗ liche Waͤrme in der Lufft. Alſo folget auch aus dieſer vierten Regel von der Bequemlichkeit eines Gebaͤu⸗ des, daß bey deſſen Auffuͤhrung dahin zu ſehen, daß in den Zimmern eine ihren Abſichten proportionirliche Waͤrme koͤnne erreget werden. Anmerckung. J§. 36. Beydes wird durch wohl angelegte Oefen und Ca⸗ mine erhalten, deren Bau nachdem zu beurtheilen, was in der Porobolic von der Groͤſſe in den Würckungen des Feuers iſt erklaͤret worden. . Xx 2 4 Zu⸗ 2 700 Das 1. Cap. Von der Bequemlichk. eines Gebaͤudes. 4. Juſatz. §8. 37. Alles Feuer, wodurch Zimmer in einem Ge⸗ baͤude erwaͤrmet werden, wuͤrcket gewiſſe Ausduͤnſtun⸗ gen, welche, wenn ſie nicht aus dem Zimmer gefuͤhret werden, der Geſundheit des wohnenden zuwider ſind. Es folget alſo aus dem Begriff von der Bequemlich⸗ keit, daß man ſowohl in dem Gebaͤude, als auch in deſ⸗ ſen Abtheilungen verſchiedene Oefnungen machen muͤſſe, durch welche dieſe Ausduͤnſtungen aus dem Ge⸗ baͤude koͤnnen gefuͤhret werden (§S. 35.). 1. Anmerckung. §. 38. Dieſes iſt der Grund von den Zug⸗Loͤchern, und von den Feuer⸗Mauern oder Schorſteinen; von deren Bau, wenn ſolcher weſentlich betrachtet wird, keine allgemeine Regeln zu geben, als welche aus dem Zuge der Dunſte zu folgern. Woll⸗ te ich z. E. als eine weſentliche und allgemeine Regel von dem Bau der Schorſteine angeben,daß er uͤber den Forſt muͤſſe hin⸗ aus gefuͤhret werden, ſo wuͤrde die Erfahrung bald die All⸗ gemeinheit meiner Regel umſtoſſen, vermoͤge welcher man die Feuer⸗Mauern mit weit groͤſſerem Vortheile in einen Kel⸗ ler gefuͤhret. Ueberleget demnach, was §. 48. ſl. Pyrob. von dem Zuge des Feuers, §. 39. und 64. Aéërom. von den Wuͤr⸗ ckungen des Windes, und §. 66. fl. Dyn. von der Bewegung der Körper durch andere ausgefuͤhret, ſo werdet ihr das We⸗ ſentliche von dem Bau der Zug⸗Loͤcher und Schorſteine ohne ferneres Erinnern beurtheilen koͤnnen. 2. Anmerckung. §. 39. In den Fuͤrleſungen will ich erklaͤren 1) Warum und wie die Feuer⸗Mauern zu ſchleiffen. 2) Wie viele Feuer⸗Mauern in eins zu ringen. 3) Wie die Zungen, wenn viele Feuer⸗Mauern zuſam⸗ mengebracht werden, zu bauen. 4) Wie die Feuer⸗Mauern zu bedecken. 5) Was bey dem Bau des Rauchfanges zu beobachten. Erklaͤrung. §. 40. Durch den Grund⸗Riß eines Gebaͤudes verſtehet man einen ſolchen Riß, in welchem die Lage der Theile eines Gebaͤudes, und der Raum, den ein je⸗ der auf dem Erdboden einnimmt, angezeiget worden⸗ Auf⸗ Netes ſnend⸗ Dlnſi fie dſt gng lc 6dat Ntlt iſ . er mi en . N. ſ 4 Das 2. Cap. Von der Dauerhaftigk. und Feſtigk. ꝛc. 701 Aufgabe. §. 41. Den Grund⸗Kiß von einem aufzufuͤh⸗ rendem Gebaͤude zu verfertigen. Aufloͤſung. ¹) Zeichnet den Platz, worauf das Gebaͤude zu fuͤhren, nach den Regeln der Geometrie. 2) Zergliedert die Abſicht des Bau⸗Herrn. 3) Die Regeln von der Bequemlichkeit eines Ge⸗ baͤudes beſtimmet durch dieſe Abſicht; ſo werdet ihr ſowohl die Lage, als auch die Groͤſſe der Theile, nach ihrer Laͤnge und Breite, auf den gezeichneten Platz an⸗ zeigen koͤnnen. Anmerckung. 8.42. Soll der Grund⸗Riß vollkommen ſeyn, ſo muͤſſen zugleich die Regeln von der Feſtigkeit und von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes mit angewendet werden. Hiervon in dem folgenden. Das 2. Capitel. Von der Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. Erklaͤrung. §. 43.⸗ De Feſtigkeit eines Gebaͤudes kan aus einem ge⸗ doppelten Grund beurtheilet werden, indem man das Gebaͤude ſowohl fuͤr ſich, als auch in Anſe⸗ hung aͤuſſerlicher Umſtaͤnde betrachten kan. Die Fe⸗ ſtigkeit eines Gebaͤudes fuͤr ſich betrachtet, wollen wir deſſen innerliche, und die Feſtigkeit des Gebaͤudes in Xr 3 Anſe⸗ 702 Das 2. Capitel. Von der Anſehung aͤuſſerlicher Umſtaͤnde deſſen aͤuſſerliche Se⸗ ſtigkeit nennen. 1. Zuſatz. §. 44. Verbindet mit dieſem den Begriff von einem Gebaͤude (§. 1.), ſo werdet ihr ſo gleich geſtehen, daß die Beurtheilung von der innerlichen Feſtigkeit ei⸗ nes Gebaͤudes aus der Beſchaffenheit des Grundes, worauf das Gebaͤude gefuͤhret, aus der Beſchaffenheit der Materialien, woraus es gebauet, und endlich aus der Art und Weiſe, wie die Materialien zuſammenge⸗ ſetzet, zu folgern. §. 45. Ferner werdet ihr geſtehen, daß die aͤuſſer⸗ liche Feſtigkeit eines Gebaͤudes daraus zu beurtheilen, ob es wider die Anfaͤlle des Regens, wider die Anfaͤlle des Feuers, und endlich wider die Anfaͤlle des Windes leicht koͤnne vertheidiget werden (§. 13.). Lehr⸗Satz. §. 46. Die Feſtigkeit eines Gebaͤudes erfodert, innerlichen daß der Grund, worauf es iſt gebauet worden, nicht nur breiter, als das Gebaͤude, ſondern auch alſo beſchaffen ſey, daß es dem Drucke des Gebaͤu⸗ ſie Regel. des ſattſam widerſtehen koͤnne. Beweiß. Das erſte erhellet aus dem §. 29. Mech. Das zweyte kan auf folgende Art erwieſen werden. Das Gebaͤude druͤcket mit ſeiner Schwere rechtwincklicht gegen die Erde (§. 10. Mech.); ſollte nun der Grund dieſem Drucke nicht ſattſam widerſtehen koͤnnen, ſo wuͤrde das Gebaͤude niederſincken. Weil nun dieſes verurſachet, daß ſich die Verbindung der Theile aus⸗ einander giebet, ſo iſt es klar, daß ein ſolcher Grund der Feſtigkeit des Gebaͤudes zuwider ſey (§. 10.). 3 Zu⸗ Da l Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 703 liheß Zuſatz. z. 47. Ein Gebaͤude wird auf die Flaͤche des Erd⸗ bodens aufgefuͤhet. Iſt dieſe weich, ſo kan ſie dem Drucke des Gebaͤudes nicht ſattſam widerſtehen. min Folglich erfodert die erſte Regel von der inneren Fe⸗ Re ſtigkeit eines Gebaͤudes die Beobachtung folgender Saͤtze. S 1) Grabet die Flaͤche des Erdbodens, worauf ein huffi Gebaͤude ſoll gefuͤhret werden, ſo tief, bis ſie vollkom⸗ n men hart. bfnenp 2) Dieſe Hoͤhlungen fuͤllet mit feſt verbundenen Koͤrpern, welche von keiner Feuchtigkeit koͤnnen ver⸗ zehret werden. inf Anmerckung. thelt §. 48. Von den Merckmahlen, aus welchen die Feſtigkeit des I Erdbodens zu beurtheilen, und von der Verbindung ſolcher Vire Koͤrper, die keine Feuchtigkeit verzehret, will ich in den Fuͤrle⸗ ſungen reden Siehe Vitruuium Lib. I. Cap. V. Lib. III. Cap. III. und Leupold im Theatro Hydrotech. G. 190. ſfl. Lehr⸗Satz. dert, §. 49. Wenn der Grund eines Gebaͤudes nicht Zweyte den, auf allen Seiten gleich ſtarck iſt, ſo erfodert die Fe⸗ Regel. eu ſſtigkeit, daß das Bebaͤude alſo aufgerichtet werde, daß es nach der feſten Seite mehr, als nach der an⸗ dern druͤcke. V Beweiß. Geſchiehet das Gegentheil, ſo kan der ſchwaͤchſte 1 4 4 . 1 Theil des Grundes dem Drucke des Gebaͤudes ſ 6 hinreichend widerſtehen (§. 34. Dyn.); folglich wird ſich das Gebaͤude nach der ſchwaͤchſten Seite des Grundes niederſencken. Da nun auch dieſes verur⸗ ſachet, daß die Verbindung der Theile auseinander gehet; ſo folget die Wahrheit von dieſer Regel un⸗ r mittelbar aus dem Begriffe von der Feſtigkeit des Gebaͤudes. Dritte Regel⸗ Das 2. Capitel. Von der Zuſatz. §. §0. Machet demnach unter dieſen Umſtaͤnden, daß das Gebaͤude den ſchwaͤchſten Theil des Grundes weniger als den ſtaͤrckſten Theil beruͤhre, welches theils durch die Unterlagen, theils durch die Gewoͤlbe, theils durch das Haͤnge⸗Werck kan erhalten werden. Von jenem Stuͤcke will ich, ſo weit es meine Abſicht erfo⸗ dert, in den Fuͤrleſungen reden. Lehr⸗Satz. §. 51. Die innere Feſtigkeit eines Gebaͤudes er⸗ fodert ferner, daß man bey dem Gebrauche der Ma⸗ terialien nicht nur ihre innere Beſchaffenheit, ſon⸗ dern auch die Umſtaͤnde, wohin ſie geleget werden, Unterſuche, damit ein jedes im ſolchem Orte koͤnne geſetzet werden, wo es am wenigſten durch das Feuer, Waſſer, durch die Witteruͤng der Lufft, durch ſeine eigene Laſt, und durch deſſen Ge⸗ brauch koͤnne verſchlimmert und verheeret wer⸗ den. Beweiß. Daß eine Sache, fuͤr ſich betrachtet, oder auch unter gewiſſen Umſtaͤnden dauerhafft ſeyn koͤnne, welche unter anderen Umſtaͤnden leicht kan verſchlimmert und ver⸗ heeret werden,ſolches wird ein jeder geſtehen, der zugiebt daß etwas fuͤr ſich betrachtet moͤglich ſeyn koͤnne, was Unter gewiſſen Umſtaͤnden unmoͤglich iſt. Weil nun dieſes, ſo wird keiner laͤugnen koͤnnen, daß beydes, was in dem Lehr⸗Satze iſt angegeben worden, zu beobach⸗ ten, wenn ein aufzufuͤhrendes Gebaͤude vollkommene Feſtigkeit haben ſoll (§. 10.). 1. Anmerckung. §. 52 Die Materialien zum Bau ſind Holtz,Steine Kalck, Sand, Eiſen, Rohr, Haar. Es erfodert alſo eine vollſtaͤndige Ausfuͤhrung der Bau⸗Kunſt, daß alle Arten von Holtz, Stei⸗ ne, Kalck, Sand, Eiſen ꝛc. umſtaͤndlich beſchrieben, die Veraͤn⸗ . . derun⸗ — — — de G —2 e Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 705 derungen, welchen ſie vermoͤge ihrer inneren Beſchaffenheit ide untexworffen, angemercket, und alsdenn deren Zubereitun⸗ ihe gen zu einem vorhabenden Bau vollſtaͤndig angezeiget wer⸗ Nune den. Ich entwerffe jetzo nur die erſten Gruͤnde der Bau⸗Kunſt, tel und folglich wird dieſe Abſicht eine ſolche Unterſuchung nicht G erlauben. Doch will ich in den Fuͤrleſungen das wichtigſte von dieſen Stuͤcken beybringen. §. 53. Die Regeln von der Feſtigkeit eines Gebaͤudes ſo wohl in Anſehung des Grundes, als auch in Anſehung der Materialien ſind feſtgeſetzet, und alſo habe ich noch diejenigen e zu unterſuchen, welche bey der Auffuͤhrung des Gebaͤudes zu 6 beobachten ſind. Das Gebaͤude wird aufgefuͤhret, indem die lſt Theile und Materialien mit einander verbunden werden. Ich finde alſo fuͦrnoͤthig, daß auch die Feſtigkeit bey der Auffuͤh⸗ etde rung des Gebaͤudes aus einem gedoppelten Grunde zu beur⸗ G. theilen, nemlich aus dem Grunde der Theile, und aus der Ver⸗ e bindung derſelben. li⸗ Lehr⸗Saͤtz. 160 §. 54. Alle Theile und alle Materialien, woraus Vierte „ das Gebaͤude aufgefuͤhret, muͤſſen einen feſten Regel. Grund haben. Beweiß. Utet Dieſe Regel kan auf gleiche Art bewieſen werden, n wDie die Regel im §. 46. erwieſen worden. eH Zuſatz. §. §5. Ueberleget dieſen Beweiß, ſo werdet ihr die , Waahrheit von folgenden Saͤtzen einraͤumen. ) Der Grund eines jeden Theils muß breiter ſeyn, aallks der Theil, welcher ſich darauf gruͤndet. 2 Alle Laſt muß ſenckrecht geſetzet werden. 3) Wird in einem Gebaͤude etwas angebracht, wel⸗ Bes keinen Grund hat, ſo muß ſolches unterſtuͤtzet werden. Erklaͤrung. §. 5§6. Eine Stuͤtze wird uͤberhaupt alles dasjenige genennet, was eine Laſt aufhaͤlt, die ſonſt fallen wuͤrde. Fuͤnffte Regel. 706 Das 2. Capitel. Von der Dieſe Stuͤtzen ſind entweder rund oder eckicht. Iſt jenes, ſo werden ſie Saͤulen, und wenn dieſes, Pfeiler genennet. Wenn die eine Seite von den Stuͤtzen einge⸗ mauret, ſo heiſſen die runden Wand⸗Saͤulen, und die eckichten Wand⸗Pfeiler. 1. Zuſatz. d. 57. Eine jede Stuͤtze muß einen feſten Grund haben (§S. 54.), und alſo unten dick und oben duͤnner ſeyn (H. 55.). 2. Zuſatz. §. 58. Eine jede Sruͤtze muß dem Druck der Laſt, welche fie tragen ſoll, hinreichend widerſtehen koͤn/nen— (§. 46) —d- 3. Zuſatz. 8g. 79. Hieraus folget 1) Die Materie, woraus die Stuͤtze verfertiget, muß zum wenigſten ſo feſte ſeyn, als die Materie iſt, woraus die Laſt beſtehet. 2) Die Stuͤtze muß in ihren Abmeſſungen der Laſt proportionirlich ſeyn. Weil nun eine kurtze und dicke Stuͤtze mehr tragen kan, als eine hohe und duͤnne; ſo muß die Dicke in die Hoͤhe wenigmahl enthalten ſeyn, wo eine groſſe Laſt zu tragen iſt, hingegen vielmahl, wo eine kleine zu unterſtuͤtzen. Anmerckung. 6b. 60. Alle Schwellen, als Grund⸗Schwellen, Platt⸗ Stuͤcken, Saum⸗Schwellen, Mauer⸗Latten/ Dach⸗Schwellen, und ſo weiter, wie auch die Traͤger und Balcken werden an⸗ gewendet, eine daruͤber aufgeſetzte Laſt zu tragen. Alles, was die Zimmer⸗Leute Saͤulen nennen, wird gebraucht eine Laſt zu unterſtuͤtzen. Was demnach von der Beſchaffenheit des Grun⸗ des und der Stuͤtzen erklaͤret worden, daraus koͤnnen die Ei⸗ genſchafften von allen Schwellen, Traͤgern, Balcken und Saͤu⸗ len gefolgert werden. Lehr⸗Satzz.. §. 61. Die Oeffnungen in einer Wand des Ge⸗ baͤudes muͤſſen nicht zu nahe bey einander liegen 8, ermn — ⁶ Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 707 4 Beweiß. Nſ Durch die Oeffnungen in einer Wand wird deſſen in Staͤrcke geſchwaͤchet. Sollten nun jene zu nahe bey un einander liegen, ſo wuͤrde die Wand nicht Staͤrcke ge⸗ nug behalten, der Laſt, die ſie tragen ſoll, zu widerſtehen. Dieſes aber iſt der inneren Feſtigkeit des Gebaͤudes zu⸗ en wDider (5§. 10.43.). W. Z. E. W. ir Zuſatz. §H. 62. Die Oeffnungen in einer Wand ſind die Thuͤren und Fenſter. Werden demnach in einer Wand viele Thuͤren oder viele Fenſter gemachet, ſo muͤſſen ihre Zwiſchen⸗Raͤume nicht zu klein ſenn. Lehr 2 Satz. §. 63. Alle Theile in den Waͤnden eines Gebaͤu⸗Sechſte i des muͤſſen alſo mit einander verbunden werden, Fegel. „dafß der eine den andern auszuweichen verhindert Nlle e . wird. . Beweiß. dicke Wenn ein Theil dem andern das Ausweichen ver⸗ „ hindert, ſo wird mehrere Krafft erfodert, die Theile aus ſon ihrer Verknuͤpffung zu bringen, als wo das Gegentheil (S. 54. Dyn.). Und alſo erfodert die Feſtigkeit eines Gebaͤudes eine ſolche Verbindung der Theile (§. 10.). derit Gn Anmerckung. 4 9. 64. Hieraus kan die Verbindung der Steine durch den ab Kalck, und die Verbindung des Holtzes in den Waͤnden eines , Gebaͤudes, durch die Riegel, welche Bruſt⸗ und Spann⸗Rie⸗ gel, durch die hoͤltzernen Baͤnde, durch die Klammern und 3 durch die Naͤgel beurtheilet werden. E E Erklaͤrung. §. 65. Durch das Dach verſtehet man denjenigen Theil eines Gebaͤudes, der die uͤbrigen fuͤr Schnee, b% Regen und anderer uͤbelen Witterung trocken und „ unbeſchaͤdiget erhalten muß. Soll dieſer Theil des 1 gantze 5 708 Das 2. Capitel. Von der gantze Gebaͤude bedecken, ſo heiſt er das Haupt⸗Dach, ſoll er aber nur gewiſſe Theile bedecken, ſo wird er ein Werter⸗Dach genennet. Lehr⸗Satz. Von der §. 66. Das Haupt⸗Dach muß nicht nur uͤber das an ſſeren gantze Gebaͤude gehen, ſondern auch uͤber die aͤuſ⸗ Feſtigkeit ſeren Waͤnde des Gebaͤndes hervorragen. eines G⸗. . baͤudes. . Bewei ß. e Ban Das Haupt⸗Dach ſoll nicht nur das gantze Gebaͤu⸗ des Dachs de, ſondern auch die aͤuſſerſten Waͤnde des Gebaͤudes erſte Re⸗ fuͤr Regen, Schnee, und anderer uͤbelen Witterung tro⸗ gel. cken und unbeſchaͤdiget erhalten (§. 6.). Wie iſt die⸗ ſes moͤglich, wenn es nicht das gantze Gebaͤnde bede⸗ cken, und uͤber die aͤuſſerſten Waͤnde hervorragen ſoll⸗ te? Folglich ſind dieſes zwo Haupt⸗Eigenſchafften von dem Haupt⸗Dache. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. Zweyte §S. 67. Das Dach muß alſo gebauet werden, daß Regel. der Regen und Schnee nicht durcharingen und keiten nicht leicht koͤnne verſchlimmert und ver⸗ heeret werden. 8 Beweiß. Das erſte erfodert die Feſtigkeit des Gebaͤudes, wel⸗ che durch das Dach ſoll erhalten werden (§. 65.), und das zweyte erfodert die Feſtigkeit der Theile, worauf bey einem je dem Gebaͤude zu ſehen iſt (S. 5J1.). §. 68. Aus dem erſten folget, daß die Materialien, woraus das Dach zu verfertigen, fuͤr ſich betrachtet, ſo beſchaffen ſeyn muͤſſen, daß ſie weder Waſſer noch Schnee durchlaſſen; und daß dieſe ſo genau mit ein⸗ ander zu verbinden, daß auch durch die Fugen keines von beyden durchdringen koͤnne. 2 Zu⸗ daß die Materie des Daches von dieſen Feuchtig⸗ = — — =ę⁊ͦ =ẽ — , ☛ — — — — —☛ * Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 709 2. ₰uſatz. §. 69. Und aus dem zweyten folget, daß das Dach ſo abhaͤngig muͤſſe gebauet werden, daß dieſe Feuchtig⸗ keiten nicht ſolange darauf liegen koͤnnen, bis ſie deſſen Materialien angreiffen. 3. Zuſatz. §. 70. Je mehr das Dach abhaͤngig, deſto leichter koͤnnen die Feuchtigkeiten von demſelben abrollen (§. 29. Mech.). Je leichter demnach die Materialien des Daches von den Feuchtigkeiten koͤnnen ange⸗ griffen werden, deſtomehr muß das Dach abhaͤngig ſeyn. Anmerckung. §. 71. Hieraus erhellet, daß keine allgemeine Regeln von der Hoͤhe der Daͤcher koͤnnen gegeben werden, ſondern daß die⸗ ſes nach der Feſtigkeit der Materialien, womit es ſoll gedecket werden, zu beſtimmen. Erklaͤrung. §. 72. Die Daͤcher bekommen ihre Benennung theils von ihrer Figur,theils von der Linie, nach welcher ſie abhaͤngig, theils von der Hoͤhe, in welcher ſie abhaͤn⸗ gen. In Anſehung des erſten, heiſſen ſie Pult⸗Daͤcher (Deliciata), wenn ſie nur von einer Seite abhaͤngen. Zweyhaͤngige oder Sattel⸗Daͤcher (Pectinata), wenn ſie von beyden Seiten abhaͤngig. Zelt⸗Daͤcher (Te- ſtutinata), wenn ſie von vier Seiten abhaͤngig ſind. In Anſehung des zweytens ſind ſie entweder nach einer ge⸗ raden oder nach einer krummen Linie abhaͤngig gemacht wenn jenes, ſo ſind es gerade, und wenn dieſes Kuppel⸗ Daͤcher und Welſche⸗Gauben. Beyde gehen entwe⸗ der in einem fort, oder ſie ſind in der ſchiefliegenden Flaͤche gebrochen. Wenn dieſes, ſo werden ſie Man⸗ ſardiſche Daͤcher und wenn jenes ‚ungebrochene Daͤ⸗ cher genennet. Endlich in Anſehung des letzten, ſind ſie entweder ſehr niedrig, daß man bequem darauf ge⸗ hen 710 Das. 2. Cupitel. Von der hen kan, oder ſie ſind ſo hoch, daß man nicht bequum darauf gehen kan. Wenn jenes, ſo werden ſie Al⸗ tanen⸗Daͤcher, und wenn dieſes, hohe Daͤcher ge⸗ nennet. 1. Zuſatz. ” §. 73. Es muͤſſen keine Altanen⸗Daͤcher gebauet werden, woferne ſolche nicht mit einer ſolchen Materie koͤnnen gedecket werden, welche nicht leicht von der Feuchtigkeit angegriffen wird (§. 70.). Anmerckung. d. 74. Wie Altanen⸗Daͤcher zu decken, das kann in den Fuͤrleſungen gezeiget werden. §. 75. Der obere Theil in einem Manſardiſchen Dache muß nicht allzuflach ſeyn, und folglich der unte⸗ re Theil nicht allzu jaͤhe aufſteigen (§. 70. 72.). 1. Anmerckung. §. 76. Aus dem, was § 71. angemercket, wird unmittel⸗ bar folgen, daß auch von dieſer Uroaortion keine allgemeine Regeln zu ſetzen, ſondern daß alles nach der Beſchaffenheit 3 . der Materie, womit das Dach ſoll gedecket werden, zu beur⸗ theilen. Indeſſen haben die Fuͤrzuͤge der Manſardiſch en Daͤ⸗ 1 cher zur vielfaͤltigen Unterſuchung einer vollkommenen Pro⸗ portion bey gewoͤhnlichem Bau⸗Zeuge Gelegenheit gegeben. Wovon Scheibler in ſeiner Zimmermanns⸗Kunſt cap. 7. und Heimburger in dem neueroͤfneten Bau⸗ und Zimmer⸗ Platʒ mit vielem Nutzen ʒu leſen. Nach meinem Urtheil ver⸗ dienen des Heimburgers Gedancken einen Fuͤrzug. Und aus dieſer Urſache will ſolche mit kurtzen anfuͤhren. 2. Anmerckung. §. 77. 1) Theilet die Breite des Dachs AB in vier gleiche Tab. I. Theile, und mit drey Theilen beſchreibet den gleichſchencklich⸗ Arch. civ. ten Triangel ABC. Fig. I. 2) Einen Schenckel AC theilet in ſechs gleiche Theile, und durch deſſen zweyten Theil von Can gerechnet, ziehet mit der 4 . unteren Breite AB eine Parallel.⸗Linie. . 3) Dieſe Parallel⸗Linie verlaͤngert auf beyden Seiten um ein ſechstheil von ACnach Gund F., ſo koͤnnet ihr den aͤuſſe⸗ “ ren 4 Dauerhafftigkeit und Feſtigkeit eines Gebaͤudes. 711 t heen ren Umriß des Daches von Qnach Gund F, und alsdenn von 1 Gund F nach A und B in einer geſchickten Proportion beſchrei⸗ 6 ben. s. Anmerckung. 8. 78. Der Bau des Dach⸗Stuhls kan aus dem beurtheilet werden, was von der Feſtigkeit des Grundes oben iſt ausge⸗ gelt fuͤhret worden. Frklaͤrung. *ꝰR §. 79. Ein Gebaͤude wird Jeuerfeſt genennet, wenn es alſo gebauet, daß man vollkommene Zeit und Sicherheit behalten kan, das in demſelben angegange⸗ ne Feuer zu daͤmpfen. G muk. Lehr . Satz. §. 80. Ein Feuerfeſtes Gebaͤude muß alſo aufge⸗ Regeln fuͤhret werden, daß ein anchegan ine Feuer koͤnne von der ne gehindert werden, leicht um ſich zu greiffen, und Feſtigkeit daß man in dem Zimmer, wo es brennet, gehen znes je⸗ ) koͤnne, ohne zu befuͤrchten, daß es von oben oder der die Ge⸗ von unten einfallen werden. walt des hitte⸗ Beweiß. V Feuers. anee Sollte das erſte fehlen, wie will man vollkommene ſaht Zeit gewinnen, das Feuer zu daͤmpffen? Iſt das zweyte nicht beobachtet worden, wie kan man mit volkomme⸗ n ner Sicherheit in das Gebaͤude, wenn es brennet, ge⸗ 6ge hen? Folglich erfodert ein Feuerfeſtes Gebaͤude die ſg Beobachtung beyder Regeln (5. 79.). dien lfeee 1. 3 11 ſa tz. s §. 81. Aus der erſten Regel folget, daß lange Seiten, welche von Materialien, die das Feuer leicht angreiffet, aufgebauet, durch Feuerfeſte Mauren, in gewiſſe Abtheilungen muͤſſen gebracht werden. e. „ 2. Zuſatz. §. 82. Die zweyte Regel erfodert, daß alle Decken en entweder von Feuerfeſten Steinen, oder von Balcken, welche dicht neben einander geleget, muͤſſen verferti⸗ gien get werden. N . N 1 Er⸗ 712 Das 2. Capitel. Von der Erklaͤrung. . §.383. Eine Decke gerade bon Steinen alſo zu machen, daß man ſicher darauf gehen kan, iſt unmoͤg⸗ lich; folglich muͤſſen ſolche Decken in einem Bogen gefuͤhret werden. Solche Decken werden Gewoͤlbe genennet. Dieſe werden, nachdem die Bogen un⸗ terſchieden, in verſchiedene Arten getheilet. Hat der Bogen die Rundung von einem Circul, ſo wird es ein Tonnen⸗Gewoͤlbe genennet. Wenn zwey TDen⸗ nen⸗Gewoͤlbe uͤbers Creutz einander ſchneiden, ſo heiſt es ein Creutz⸗Gewoͤlbe. Iſt das Gewoͤlbe wie ein Stuͤck von einer Kugel aufgefuͤhret, ſo wird es ein Beſſel⸗Gewoͤlbe genennet. Wird ein Gewoͤlbe in der Mitte platt gemacht, ſo heiſt es ein Spiegel⸗ Gewoͤlbe. J Lehr⸗Satz. §. 84. Die Gewoͤlber muͤſſen auf ſtarcken Dſei⸗ lern ruhen. Beweiß. Alle Ausſchnitte aus Flaͤchen, welche von Bogen eingeſchloſſen werden, ſind oben weiter, als unten. Folglich muͤſſen auch die Steine, woraus Gewoͤlbe verfertiget, oben dicker als unten ſeyn (§. 83.). Wor⸗ aus erhellet, daß ſie mit groſer Gewalt herunter druͤ⸗ cken (H. 10. Mech.), aber doch nicht niederfallen koͤnnen, wenn nicht die Seiten von dem Gewoͤlbe nie⸗ derſincken. Folglich erfodert die Feſtigkeit eines Ge⸗ woͤlbes, daß es auf ſtarcken Pfeilern ruhe (§. 58.). 1. Anmerckung. §. 85. Die Erfahrung beſtaͤtiget, daß die Gewoͤlber um ſo viel gewaltiger herunter druͤcken, je mehr ihre Boͤgen alſo gebauet, als wenn ſie von einer Laſt eingedruͤcket worden. Daher man auch ſolche Boͤgen gedruͤckte Boͤgen nennet. Je mehr demnach das Gewoͤlbe gedruͤcket, deſto ſtaͤrcker muſſen die Unterlagen oder die Pfeiler ſeyn, ef au ſe ſtig nl Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 713 er auf es ruhet. Insgemein ſchreibet man, die Staͤrcke ſolcher Pfeiler zu finden, folgende Regeln vor. z. 1) Den Bogen des Gewoͤlbes ACDB theilet in drey glei⸗Tab. 1 Stchen n che Theile. : —- . . . Arch. civ. Pan, ſſtuno 2) Verlaͤngert die Sehne des dritten Theils DB bis in EPig. 2. einein n und machet BB derſelben giich. e 3) Richtet auf Ab eine perpendicul BG, und den Genit P Laſſet von E auf BGeine perpendicul Eh fallen. So iſt die Bogene. np die Dicke der Widerlage oder des Pfeilers, worauf der ge⸗ eiet. Hat) woͤlbte Bogen ruhen ſoll. ſa rcheen 2. Anmerckung. nn e dn. . 36. Bauberſtandige ſind bemuͤhet eine allgemeine Re⸗ nelden H .gel veſtzuſetzen, nach welcher in einem jedem vorkommendem ewoͤlbe ti⸗ Falle die Unterlage eines Gewoͤbes genau zu erfinden. Eine nuͤtzliche Bemuͤhung. Je mehr ich aber dieſer Sache nachden⸗ rN S 8 ſo wird el cke/je mehr werde ich genothiget zu glauben, daß die Erfindung n Genlh dieſer Regel unmoͤglich ſey. Die Unterlage muß dem Drucke ein Soig des Gewolbes genugſam widerſtehen. Die Staͤrcke dieſes Druckes muß beſtimmet werden einmahl von der beſonderen Schweere der Materialien, mit welchen das Gebaͤude iſt gebil⸗ dDdet worden, fuͤrs andere von der Figur, nach welcher ſie ſind no verbunden worden, als welche diejenige Linie zuerkennen giebt nach welcher die Materiglien ſeitwaͤrts drucken. Koͤnnen beyde Stuͤcke nicht allgemein angegeben mwerden, ſo wird auch wohl die Erfindung jener Regel unmoͤglich werden. Es iſt das beſte, eeeman mache dielnterlagen lieber zu ſtarck als zu ſchwach. Soll⸗ Ne te jene Erfindung moͤglich ſeyn, ſo muͤſte wohl die Lehre von 1 den Tangenten hiebey das beſte thun. B Das 3. Capitel. hade Von der e Schoͤnheit eines Gebaͤudes. lkel chne, Erklaͤrung. e — tu d. 87. Be innere Schoͤnheit eines Gebaͤudes wird aus der WW Uebereinſtimmung in der Zuſammenſetzung der⸗ 1 alte jenigen Stuͤcke, welche zu dem Gebaͤude gehoͤren, be⸗ grrt, urtheilet (§. 14.). Alles, was in einem Sebaͤude fur i g ſhbetrachtetöiunterſcheiden ſind die TCheile, die Los⸗ irſon 4 „714 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. der Theile, und die Materie, woraus die Theile ver⸗ Das. Cor. 3 4 nen fertiget. Folglich haben wir vollſtaͤndigen Grund die wiſetmind innere Schoͤnheit eines Gebaͤudes in drey Arten zu zertheilen, nemlich in die Schoͤnheit der Theile, in die Schoͤnheit in der Lage dieſer Theile, und in die Schoͤnheit der Materie, woraus dieſe Theile ver⸗ fertiget. Lehr⸗ Sa.. Von der §. 88. Die Schoͤnheit der Theile, unter einander innern betrachtet, erfodert, daß man durch die Sinne er⸗ Schoͤnheit ꝑennen koͤnne, wie ein Theil der Maaß⸗Stab von nedmn dem andern geweſen. H Anſehung Beweiß. der Theile. Die Schoͤnheit der Theile, unter einander betrach⸗ Erſte Re⸗ tet, erfodert, daß man bey ihnen eine Uebereinſtimmung gel. durch die Sinne erkennen koͤnne (§. 10.). Wenn die Thelle unter einander betrachtet werden, ſo dencket man ſolche nur als Dinge, welche in einem fort ge⸗ hen, und alſo wird bey ihnen nichts als die Groͤſſe, ſehen. Cog Wegungs⸗Gr ken,welchen 6 91. N chickever )We tfit ihten. künner er⸗ eitentetten ceerde 9 Wnn Eunſnurne Mangſn hel ver li,ſowerde welche ein Theil in Anſehung des andern hat, das iſt, dranchzut ihre Verhaͤltinß gegen einander unterſchieden (§. 26. feehittegn A. M.). Es erfodert demnach hier die Schoͤnheit, Pldent daß man durch die Sinne erkennen koͤnne, wie groß ein Theil in Anſehung des andern, das iſt, wie NNN ren ein Theil der Maaß⸗Stab von dem andern geweſen. r Nite Zuſatz. 5 89. Je leichter durch die Sinne die Verhaͤltni mw it der einen Groͤſſe in Anſehung der andern zu erken⸗ ieet nnih nen, deſto ſchoͤner iſt die Verhaͤltniß in der Bau⸗ ſcirfamne⸗ Künſt. Folglich ſind keine Verhaͤltniſſe vollkommen, adegte e⸗ welche nicht durch kleine Zahlen auszudruͤcken. Alſo hu ſind die beſten Verhaͤltniſſe, 1: 1, 1: 2, 1:3, 1 4A und ſo weiter. Anmerckung. h. 90. Es wollen zwar einige auch dieſe Verhaltniſſ 2: , 47 esGetiag Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 715 De Tr 3:4, 4: 5, und ſo weiter. Ferner 3:5, 5§ 7, 7:9 und ſo ndar weiter unter die vollkommenen Verhaͤltniſſe in der Bau⸗Kunſt N ſetzen. Es giebt mir aber der Begriff von der Schoͤnheit Be⸗ 1denſn wegungs⸗Grüuͤnde, ſolche Verhaͤltniſſe unter diejenigen zu ſe⸗ er Theieit tzen, welche nur aus Noth zu erwehlen. eſle, Aan Aufgabe. deſe §. 91. In jedem vortommenden Fall eine ge⸗ lch ickte Verhaͤltniß zu erwehlen. bdin 1) Weil die Groͤſſe der Theile in einem Gebaͤude mit ihren Abſichten uͤbereinſtimmen muß (§. 4.), ſo 665,8i koͤnnet ihr aus Erwegung derſelben urtheilen, ob bey einem vorkommenden Theil die Breite groͤſſer, als die Hoͤhe, oder die Hoͤhe groͤſſer ſeyn muͤſſe, als die Breite. nordeſe 2) Wenn dieſes feſtgeſetzet, ſo nehmet die kleinere berie⸗ Abmeſſung nach der Abſicht des vorkommenden Theils 0) N zum Maaßſtab, und meſſet damit die Hoͤhe, welche den, lu der Theil vermoͤge ſeiner weſentlichen Abſicht haben nH; muß, ſo werdet ihr leicht von beyden etwas abnehmen, N. doder auch zu beyden etwas hinzuſetzen koͤnnen, bis ei⸗ ha dan negeſchickte Verhaͤltniß der Breite zur Hoͤhe erfunden n worden. Nedr Amnmerckung. thrne,e §. 92. Z. E. Die Abſicht der Fenſter erfodert, daß ihre , dos l. Hoͤhe groͤſſer, als die Breite (§. 29.). Nehmet demnach andetege zur Breite 4 Schuh, und zur Hoͤhe 8. Schuh, und ur⸗ 4 theilet nach Beſchaffenheit des Zimmers, ob dieſe Hoͤhe hin⸗ reichend. Wo nicht, ſo nehmet zur Höhe 12. Schuh. V Wird dieſes zu hoch, ſo iſt noͤthig, daß die Breite des Fen⸗ gedene ſters vermehret werde. Daher nehmet zur Breite 5. Schuh mr und zur Hohe 10. Schuh, und ſo weiter; ſo werdet ihr end⸗ k ond 45 lich in jedem vorkommenden Fall eine geſchickte Verhaͤltniß nft ie ger ele zur ſaobe der⸗ nnter beſtimmen koͤnnen. Auf ltſn Zleiche Art verfahret bey den Thuͤren, und uͤbrigen Thei⸗ i Aken eines Gebäudes. 9 5 s, 1,1 ”s Lehr⸗Satz. §. 93. In einem Gebaͤude muͤſſen alle Theile Zweyte von einerley Art, welche auf einmahl koͤnnen uͤber⸗Regel. ee bo 2 ſehen 716 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. ſehen werden, und welche in einem Geſchoß liegen, und die einerlei beſondere Abſichthaben gleich groß ſeyn. . Beweiß. en So bald wir ein Gebaͤude anſehen, ſo vergleichen twir mit einander alle Theile, welche von einerley Art, wwelche wir auf einmahl uͤberſehen koͤnnen, und welche 2 Oritte Regel⸗ in einem Geſchoß liegen. Und alſo erſodert die Schoͤn⸗ heit, daß wir ſo gleich durch die Sinne erkennen koͤnnen, wie ein Theil von dieſen der Maaß⸗Stab von den uͤbrigen geweſen (§. 88.). Da nun dieſes unmoͤs⸗ lich, wenn nicht alle dieſe Theile gleich groß; ſo erfodert die Schoͤnheit eines Gebaͤudes die Gleichheit dieſer Theile. W. Z. E. W. M Zuſatz. . d. 94. Eine Wand kan von auſſen auf einmahl uͤberſehen werden. Alle Thuͤren, welche in einem Zim⸗ mer ſich befinden, koͤnnen wir in dem Zimmer auf ein⸗ mahl uͤberſehen, und ſo weiter. Alſo erhellet, daß ver⸗ moͤge der Schoͤnheit eines Gebaͤudes eine Gleichheit zu beobachten unter den Fenſtern, welche in einem Ge⸗ ſchoß, in einer Wand ſind; daß eine Gleichheit zu be⸗ obachten bey den Thuͤren, welche in ein Zimmer gehen, und ſo weiter. §. 95. Die Breite, Laͤnge und Hoͤhe eines Zim⸗ mers muͤſſen in einer Proportion ſtehen, wenn un⸗ ter dieſen Theilen eine vollkommene Schoͤnheit Die Schoͤnheit eines Zimmers erfodert, daß man ſo gleich durch die Sinne erkennen koͤnne, ob die Breite der Maaß⸗Stab von der Laͤnge und Hoͤhe, oder ob die Laͤnge der Maaß⸗Stab von der Breite und Hoͤhe, oder ob die Hoͤhe der Maaß⸗Stab von der Laͤnge und Breite (5. 88.). Sol demnach ein Zimmer eine vol · Ul kom⸗ mnmeEh eree Prrypor V E. V. ſſche cderge dertdieSch teund hoͤhe einergenmet De geomet Dilezugr⸗ teiſen Faͤ Retde. g Es merausſclge DeBeet ehofen Doeßſtoue orben. ae clsdſen Mhhnd Zidee t Atronmmnnnr⸗ miedderde K gh. Die dynner C, N Ner raſtteh debikeree bekſciedeta nes Gclits Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 717 eſhofin kommene Schoͤnheit haben, ſo muͤſſen dieſe drey Theile dheben i in einer Proportion ſtehen (§. 42. 46. 48 A. M.). , ſo bentet d. 96. Eine Proportion iſt entweder eine arithme⸗ on einege ktiſche oder geometriſche. (§. 122. A. M.). Alſo erfo⸗ gen, un dert die Schoͤnheit eines Zimmers, daß die Laͤnge, Brei⸗ dert desd te und Hoͤhe entweder in einer arithmetiſchen, oder in tkennene einer geometriſchen Proportion geſetzet werde (§. 95). Staben Die geometriſche wird in den meiſten Faͤllen die dieſes u Theile zu groß machen; folglich iſt noͤthig, daß in den oß; d mDeiſten Faͤllen eine arithmetiſche Proportion erwehlet leſchhen wDerde. V = = Anmerckung. 9. 97. Es kan demnach ein vollkommener Bau der Zim⸗ mer aus folgenden Regeln beurtheilet werden. e ufte Die Breite verhaͤlt ſich zur Hoͤhe, wie die Hoͤhe zur Laͤnge. Geineie . Die Hoͤhe verhaͤlt ſich zur Breite/ wie die Breite zur Laͤnge. Siuma, Doch iſt auch hier zu mercken, was §. ꝗ1. und 92. erinnert let, daß worden. . Gein Erklaͤrung. inenet 5. 98. Durch die Ordnung verſtehen wir nichts Von der leichenn anders, als die Aehnlichkeit in dem Grunde, wodurch Echoͤnheit Zumk verſchiedene Dinge mit einander verknuͤpffet worden. emes Ge⸗ Kandieſe Aehnlichkeit ſo gleich durch die Sinne wahr⸗haͤudes in genommen werden, ſo wird die Ordnung die Eurith⸗Anſehung heenn mie oder die Symmetrie genennet. der hege. enemmn Lehr⸗Satz. Hů e 6 S. 99. Die Schonheit in der Lage der Theile iſt Erſte Re⸗ die Symmerrie. gel. . Beweiß. deheum En der Lage der Theile iſt eine Schoͤnheit, wenn aud man ſo gleich durch die Sinne eine Uebereinſtimmung et in derſelben erkennen kan (§. 10.). Soll in der Lage etendt verſchiedener Dinge eine Uebereinſtimmung ſeyn, ſo . ndalne muß in dem Grunde, wodurch ſie mit einander ver⸗ ntenoean . . Vy 3 unuͤpſ⸗ Zweyte Regel. 718 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. knuͤpffet ſind, eine Aehnlichkeit liegen. Und alſo iſt in der Lage der Theile eine Schoͤnheit, wenn ſo gleich durch die Sinne eine Aehnlichkeit in dem Grunde, wor⸗ nach die verſchiedenen Theile verknuͤpffet, wahrzu⸗ nehmen. Das iſt, die Schoͤnheit in der Lage der Theile beſtehet in der Symmetrie (§. 98.). W. * „ „ O„ I. Iu ſaß, §. 100. Die Lage der Theile wird entweder in die Breite, oder in die Hoͤhe beurtheilet. Iſt das letzte, ſo iſt der beſondere Grund von ihrer Verknuͤpffung in den Regeln der Feſtigkeit zu ſuchen. Iſt das erſte, ſo iſt in der Lage nichts zu unterſcheiden, als die Stellung der Theile neben einander. Und alſo erfodert die Schoͤnheit in der Lage der Theile oder die Symme⸗ trie die Beobachtung folgender Regeln. 1) Wenn verſchiedene Theile uͤbereinander ge⸗ ſetzet werden, ſo muß der ſtaͤrckſte Theil unten ſtehen (§S. 46. 98.). 2) Alle Theile von verſchiedener Art muͤſ⸗ ſen in einer aͤhnlichen Abwechſelung mit den Theilen von einerley Art verknuͤpffet werden (§. 98.). d. 101. Aus dem letzten folget, daß die Fenſter in einer Wand wenn ſie von einerlei beſonderen Art ſind, alſo abwechſeln muͤſſen, daß ihre Zwiſchen⸗Raͤume ein⸗ ander gleich. Daß die Haupt⸗Thuͤren in einem Ge⸗ baͤude, und die Thuͤren in einem Zimmer alſo ſtehen muͤſſen, daß ſie gleiche. Abſchnitte von der Wand ma⸗ chen, und ſo weliter. Lehr 25 Satz. §. 102, Die Schoͤnheit in der Lage der Theile erfodert, daß diejenigen Theile, welche uͤberein⸗ ander hervorragen, durch kleine Zwiſchen⸗Theile in Dis, C irerter y⸗ tdenndeß ipr. DieS Theilen ſcickenn Deile, we ſber deng Gedancke E gemen worden. der Thel ſen Aoe le ous en ieine! icrſie lchenktn ſdabged Perdel lnegenn Utigdiner eeache Sue thonſch Nin. ſ lo3 a. 4 Dele ſunſe⸗ Rnce D ſnn ſes Gebindes dalſoſc nſogleihdr Grude, ten pffet, whrp⸗ n der ie (5. 98) entſtder in It dosle derknüpfhr I das etſi lsdie Gtet ſ erftder die Gin ln. ereieer Opll A Art wi Fſſet weß uß deete nderetce berlie⸗ tenuiug nurchiin Nrd 0 beder CNN lche i⸗ 4 ben⸗C ſhend Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 719 in einer Symmetrie alſo mit einander verbunden erden, daß man den Winckel nicht wahrnehmen koͤnne. Beweiß. Die Schoͤnheit in der Lage der Theile erfodert, daß die Theile, ſo uͤber einander liegen, nach den Regeln der Feſtigkeit mit einander verknuͤpffet werden (§. 100.). Theile, welche alſo uͤber einander liegen, daß der eine uͤber den andern hervorraget, erregen viel leichter einen Gedancken von der Feſtigkeit, wenn ſie aus einem Stuͤ⸗ cke gemacht, als wenn ſie aus vielen zuſammengefuͤget worden. Folglich erfodert die Schoͤnheit in der Lage der Theile uͤber einander eine ſolche Verbindung, deſ⸗ ſen Anblick die Gedancken erreget, als wenn dieſe Thei⸗ le aus einem Stuͤcke verfertiget waͤren. Kan durch die Sinne der Winckel wahrgenommen werden, ſo wird der ſinnliche Anblick dieſe Gedancken niemahls erregen koͤnnen. Es erſodert demnach die Schoͤnheit in der Lage der Theile, daß dieſe Winckel durch Zwi⸗ ſchen⸗Theile bedecket werden. Dieſe gehen entwe⸗ der in einem fort, oder es ſind verſchiedene kleine Theile, die in einer Ordnung, ſo durch die Sinne wahrzuneh⸗ men, zuſammengefuͤget. Das letzte giebt eine groͤſſere Schoͤnheit, als das erſte (5. 09. 98.). Demnach muß man ſich einer ſolchen Verknuͤpffung der Theile bedie⸗ Erklärung. §. 103. Dieſes iſt der Grund von den Gliedern in der Bau⸗Kunſt, als welche kleine Theile, wodurch groſ⸗ ſe Theile alſo mit einander verknuͤpffet werden, daß der ſinnliche Anblick die Gedancken erregen koͤnne, als wenn ſie aus einem Stuͤcke gemacht. “ Zuſatz. L §. 104. Wenn demnach verſchiedene Theile zu⸗ ſammengefuͤget werden, ſo erfodert die Schoͤnheit in Py 4 der Tab. I. 720 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤndes. 4 der Lage der Theile, daß wir dieſe in dem Ort der Zu⸗ ſammenfügung durch kleine Glieder nach den Regeln der Symmetrie mit einander verknuͤpſſen (§. 102. 103.). . Frklaͤrung. §. 105. Damit die Glieder bequem koͤnnen gezeich⸗ Arch. civ. net werden, ſo hat man nur ſolche angenommen, wel⸗ che ſich durch Zirckel und Lineal zeichnen laſſen. Da⸗ her giebt es nur zwo Arten von Gliedern, nemlich plat⸗ te und krumme; und dieſe ſind wiederum erhaben oder hohl, oder halb erhaben und halb hohl. Ich will dieſe kuͤrtzlich beſchreiben, die Art aber, wie ſolche zu zeichnen, wird ein jeder aus der Beobachtung der Figuren, ohne ferneres Erinnern erkennen koͤnnen. Die platten Glieder werden, wenn ſie groß ſind, Kiemen, Uund wenn ſie klein, Riem⸗Leiſten genennet Fig. 3. Erhabene Glieder, wenn die aͤuſſere Peripherie ein hal⸗ ber Circul, werden Staͤbe genennet, wenn ſie klein; und Pfuͤhle, wenn ſie groß Fig. 4. 5. Iſt die aͤuſſere Peripherie von den erhabenen Gliedern weniger, als ein halber Circul, ſo heiſſen ſie Wuͤlſte Fig. 6. Wenn die aͤuſſere Peripherie von einem hohlen Gliede ein hal⸗ ber Circul, ſo heiſt es eine Hohl⸗Kehle, Fig. 7. Iſt ſie weniger, als ein halber Circul, ſo ſtehet entweder die Ausladung oben, oder unten Iſt dieſes, ſo heiſt das Glied eine Einziehung, einige nennen auch die⸗ ſes eine Hohl⸗Kehle Fig. 8; ſtehet aber die Ausladung oben, ſo wird es ein Hohl Leiſten genennet Fig. 9. Die Einziehung, wird auch ein Anlauff, und der Hohl⸗Lei⸗ ſten ein Ablauff genennet. Wird die Peripherie des Gliedes alſo beſtimmet, daß der oberſte Theil ein Hohl⸗ Leiſten, und der untere ein Wultſt, ſo heiſt des Glied ein groſſer Karnieß oder ein Rinn⸗Leiſten Fig. 10. Iſt aber der obere Theil ein Wulſt, und der untere ein Hohl⸗Leiſten, ſo heiſt das Glied ein verkehrter Asr⸗ —.H nieß, De;, Cir. Vo ſies Der N Pocloſo geei eiosengedunc gedructer 6. 105, E einander ſege Die Scen⸗ Reygeln de n folglich, Mnen denm Gunr kotne eg) 1 die glinneſſhn ERNS 1e Veſſtdie PAtunmiteld ! Etiſ den Madertdde Put lire mach deruechrn Unteſche Kl05,D Biwung i eden, de chwche er N thelttinn Hebe Uetidn ter N 1(K nenge hUtnen Grlcchl 1 erhet ohl wi chtungt Nnen- Mlne r Re r 7in uſe NN ene lfi 6ui hon d e h 1 gteltet rhe 7 ſch⸗ Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 72 t nieß oder ein Rehl⸗Leiſten Fig. 11. Wenn ein Pfuhl alſo gezeichnet wird, als wenn er von einer Laſt etwas eingedrucket worden, wie Fig. 12, ſo heiſt er ein gedruckter Pfuhl. Lehr⸗Satz. §. 106. Binerley Glieder unmittelbar uͤber einander ſetzen, iſt wider die Schoͤnheit. Beweiß. Die Schoͤnheit erfodert, daß die Glieder nach den Regeln der Symmetrie verbunden werden (§. 104.), folglich, daß man durch die Sinne die Aehnlichkeit in dem Grund der Verbindung dieſer Glieder erkennen koͤnne (§. 98.). Und alſo erfodert die Schoͤnheit, daß die Glieder alſo mit einander verknuͤpffet werden, daß man durch die Sinne ihren Unterſchied erkennen koͤn⸗ ne. Wie iſt dieſes moͤglich, wenn Glieder von einer⸗ ley Art unmittelbar uͤbereinander ſollten geſetzet wer⸗ den? Es aſt demnach eine ſolche Verknuͤpffung der Glieder wider die Schoͤnheit. W. Z. E. W. Zuſatz. §. 107. Hieraus erhellet, daß groſſe Glieder durch kleine, welche von einer andern Art,folglich platte Glie⸗ der durch runde, und runde Glieder durch Plaͤttlein zu unterſcheiden. Lehr⸗Saoat. §. 108. Die Schoͤnheit erfodert, daß zu der Ver⸗ bindung groſſer Theile ſolche Glieder erwehlet werden, deren Anblick keine Gedancken von einer Schwaͤche erregen kan. Beweiß. . Daß das Gegentheil wider die Schoͤnheit, ſolches erhellet unmittelbar aus dem §. 100. Yy 5 Zu⸗ 722 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. Zuſatz. §. 109. Folglich muͤſſen die Glieder, welche einen Grund abgeben, oder etwas tragen ſollen, groſſe Plat⸗ ten ſeyn (§. 103.). Lehr 2 Satz. Regel von §. 110. Die Schoͤnheit in der Materie, woraus de nnen etwas verfertiget, erfodert, daß deren Anblick in eit der uns die Gedancken von ihrer Feſtigkeit erregen Materie. koͤnne. H Beweiß. = Die Vollkommenheit einer Materie fuͤr ſich betrach⸗ tet, beſtehet in der Dauerhafftigkeit. Kan demnach durch die Empfindung der Gedancken von der Feſtigkeit der Materie erreget werden, ſo haben wir vollkom⸗ menen Grund die Materie ſchoͤn zu nennen (S. 10.). Juſatz. H. 11I. Je feſter eine Materie, deſto beſſer kan ſol⸗ che poliret werden. Folglich gehoͤret der Glantz zur Schoͤnheit der Materie (S. 110.). 1 Lehr⸗Satz. Regel von §. 112. Alle aͤuſſerliche Schoͤnheiten oder alle der aͤuſſer⸗Zierathen, welche bey einem Theil eines Gebaͤu⸗ chen heit des angewendet werden, muͤſſen ein Zeichen von eines Ge⸗ deſſen innerlichen Schoͤnheit ſeyn. Alle aͤuſſerliche Schoͤnheiten muͤſſen mit den inner⸗ lichen uͤbereinſtimmen (S§. 15.). Folglich muß der Aablick von den aͤuſſerlichen Schoͤnheiten einen Be⸗ griff von den innerlichen erregen koͤnnen. Das iſt, ſie muͤſſen Zeichen ſeyn von den innerlichen Schoͤnhei⸗ ten desjenigen Theils, mit welchen jene verknuͤpffet. 1. Ju⸗ n hilde ſheen ſepo⸗ wün ble ertih Plitce deee Fepen Voltne Gn kanſh Nnch, Nerd Gben gun. ſen N N e fini ife 13 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 723 1. Juſatz. §. 113. Je groͤſſer demnach die innerliche Schoͤn⸗ heit eines Theils in einem Gebaͤude, deſto groͤſſer koͤn⸗ nen auch deſſen aͤuſſerliche Schoͤnheiten feyn. J. 114. Es erhellet ferner, daß es ungereimt, wenn Zierathen, welche Zeichen von einer Zaͤrtlichkeit, bey ſolchen Theilen gebrauchet werden, welche recht ſtarck ſeyn muͤſſen; und wenn mit ſolchen Theilen, welche vermoͤge ihrer Abſicht zaͤrtlich ſeyn muͤſſen, Zierathen verknuͤpffet werden, welche ein Zeichen von einer voll⸗ kommenen Staͤrcke. Frklaͤrung. §. 115§. Wenn verſchiedene Gheder uͤber einander mit einander verknuͤpffet worden, ſo nennet man dieſe Verknuͤpffung ein Geſimſe. Durch die Ordnung ver⸗ ſtehet man in der Bau⸗Kunſt eine Saͤule, welche nach einer gewiſſen Proportion verfertiget, und ſo wohl un⸗ ten, als oben, nach einer beſtimmten Proportion mit Geſimſen geziehret iſt. . Anmerckung. §9. 116. Daher wird geſaget, daß ein Gebaͤude nach dieſer oder ſener Ordnung angegeben ſey, wenn deſſen Hoͤhe und die daran befindliche Simſe, nach dem Maaß einer erwehlten Ordnung, geſchickt proportioniret worden. 1. Juſatz. §H. 117. Der Unterſchied aller Ordnungen iſt aus der Verhaͤltniß der Dicke der Saͤule zu deren Hoͤhe, aus der Beſchaffenheit der Geſimſe, und aus der Pro⸗ portion der Glieder in den Geſimſen zu beurtheilen. 2. Juſatz. §. 119g. In einer ſtarcken Ordnung muß die Dicke nicht ſo vielmahl in der Hoͤhe enthalten ſeyn, als in ei⸗ ner zaͤrtlichen Ordnung (S. 58.). 3. Zu⸗ 724 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 5. Zuſatz. §. 119. Die Glieder in den Geſimſen der Ordnung und deren Verhaͤltniß muͤſſen mit der Staͤrcke der Ordnung uͤbereinſtimmen (§. 114.). Erklaͤrung. 5§. 120. Der Maaß⸗Stab, wornach die Propor⸗ tion in den Ordnungen zu beſtimmen, wird der Model genennet, und dieſer iſt der halbe Diameter der Saͤule. . „ EFrklaͤrung. §. 121. Es iſt ungereimt, eine Saule zu gebrauchen, auf welcher keine Laſt ruhet (§. 56.). Und die Schoͤn⸗ heit eines Gebaͤudes erfoͤdert, daß die Staͤrcke der Saͤule der Laſt, welche ſie tragen ſoll, proportionirlich (§. 59. 10.). Dieſes iſt der Grund, warum die Saͤu⸗ len in ſtarcke, mittelmaͤßige und zarte getheilet wer⸗ den. Unter den ſtarcken iſt die ſtaͤrckſte die Coſcani⸗ ſche, in welcher der Schafft 14 Model; und die ſchwaͤchſte die Doriſche, bey welcher der Schafft 16. Model. Unter den mittelmaͤßigen iſt die ſtaͤrckſte die Joniſche, deren Schafft 18 Model; und die ſchwaͤch⸗ ſte die Deutſche, welche Sturm erfunden „und von ihm in der vollſtaͤndigen Anweiſung alle Arten von regulaͤren Pracht⸗Gebaͤuden, nach gewiſſen Be⸗ geln zu erfinden, umſtaͤndlich beſchrieben worden. Unter den zarten iſt die erſte die Roͤmiſche, deren Schafft 20 Model; und die zaͤrteſte die Corinthiſche Ordnung, deren Schafft gleichfals 20 Model. Anmerckung. §. 122. Die Toſcaniſche, Doriſche, Joniſche, Corinthi⸗ ſche und Romiſche Ordnung ſind mit allen Theilen Tab. II. Arch. civ. alſo gezeichnet worden, daß man daraus die Art, ſolche zu zeichnen, ohne ferneres Erinnern wird begreiffen konnen, wenn nur alle Theile umſtaͤndlich erklaͤret worden. Aus dieſer Abſicht muß die folgende Abhandlung beurtheilet werden. Des; verde leſn! 4 San dase Gebile derhe Stäcek. dieen dertc ſteter d gebtan dieb Stiſfl tfoni ndee eleto Colan de oft Eſten ſcr⸗ N Annns niſrd Hi, N ziniſt = = ne l sdel orſ e nine heun, N. 2 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 725 werden. Von der deutſchen Ordnung kan Sturm nachge⸗ leſen werden. Erklaͤrung. §. 123. Das untere Geſimſe, in dem Schafft der Saͤule, heiſt das Schafft⸗Geſimſe; und das obere das Capital. 14 Ju ſa 6. §. 124. Das unterſte Glied in dem Schafft⸗Ge⸗ ſimſe, und das oberſte in dem Capital muß eine TPlatte ſeyn (§. 109.), deren Groͤſſe nach der Staͤrcke der Ordnung zu proportioniren (§. 119.). Erklaͤrung. §. 125. Dieſe fünff Ordnungen, wenn wir allein den Schafft betrachten, werden unterſchieden )durch die Verhaͤltniß der Dicke zur Hoͤhe. Siehe §. 121. 2) Durch die Ordnung der Glieder in dem Schafft⸗ Geſimſe, welche ſich nach der Abſicht der Saͤule rich⸗ ten muß (§. 119.). Dieſe kan aus der Tab. II. Arch. civ. ohne fernere Erklaͤrung verſtanden werden. 3) Durch die Verziehrung der Capitale. In der Toſcaniſchen und Doriſchen Ordnung, hat das Capital nur eine Verknuͤpffung verſchiedener Glieder, welche aus der Figur zu erkennen. In der Joniſchen wird das Ca⸗ pital mit 8 Schnecken gezieret. Das Capital in der Corinthiſchen Ordnung hat drey Reihen Blaͤtter und 65 Schnerken Eudlich das Netal in der Roͤmi⸗ urdnung, hat zwey Reihen Blaͤ d 8. Schnecken. 9 hen B atter und 8 Anmerckung. §. 126. Wie die Schnecken und Blaͤtter in den Capita⸗ len zu zeichnen, ſolches will in den Fuͤrleſungen zeigen. Man wird ferner aus dieſer Erklaͤrung leicht begreiffen koͤnnen, wie Sturm auf die deutſche Ordnung gefallen, indem er das Capital mit einer Rei er und ⸗ en gezieret⸗ he Blaͤtter und 8 Schne r⸗ 726 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. Erklaͤrung. §. 127. Die Laſt, welche von einer Ordnung oder Saͤule ſoll getragen werden, wird das Gebaͤlcke genen⸗ net. Dieſes wird in drey Theile getheilet, i in den Archi⸗ trab oder Unter⸗Balcken, welcher einen Balcken vor⸗ ſtellet, welcher nach der Breite des Hauſes geleget; in den Frieß oder den Borten, welcher der mittlere Theil des Gebaͤlckes, in welchen die Balcken⸗Koͤpffe geleget werden; und in den Karnieß oder Krantz, welcher der obere Theil des Gebaͤlckes, und eine Bedeckung des Gebaͤudes vorſtellet. Zuſatz. §. 128. Aus dem, was dieſe Theile des Gebälckes vorſtellen ſollen, wenn es mit dem, was von der Staͤr⸗ cke der Ordnung §. 118. f. ausgefuͤhret, verknuͤpffet wird, kan das Weſentliche in der Einrichtung ſolcher L Theile leicht beurtheilet werden. Z. E 1¹) Das unterſte Glied in dem Architrab muß keine Ausladung uͤber den Schafft bekommen (§. 58.). 2) Der Architrab muß bey den beyden erſten Ord⸗ nungen ſtaͤrcker ſeyn, als bey den uͤbrigen (§. 119.). 3) In dem Frieß muͤſſen die Balcken⸗Koͤpffe zu ſe⸗ hen ſeyn, welche ſich in ihrer Staͤrcke nach der Staͤr⸗ cke der Ordnung richten ſollen. 4) Der Karnieß muß eine Ausladung uͤber den Schafft bekommen (§. 66.), und ſo weiter. „ Anunpmerckung. §. 129. Die Verhaͤltniß dieſer Theile in feder Ordnund zeiget Lab. II. Arch. cixv. Erklaͤrung. §. 130. In dem Frieß werden die Balcken⸗ ⸗Koͤpffe geleget. Die Glieder, welche die Balcken⸗Koͤpffe vorſtellen, werden offtmahls mit drey Schlitzen, nem⸗ lich mit zwey gantzen und zwey halben gezieret, nie hier Des erin . we neg hei . N 1 n Gehinee⸗ Ptdnnugc Walcegen in dencet Bolfnne 5 gelagtnl hnittletthe Chpfſege elten Nechung des Oll von e t, herfrifl ſhtung e 6 D Ee, Kcche Eng Afe ſder hng ilen ter. tron de ſinki lten 4 eer 4 6 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 72 hier in der Doriſchen Ordnung, und alsdenn werden ſie Triglyphen oder Drey⸗Schlitze genennet. Von weichen Sturm, in ſeiner Anweiſung alle Arten von regulaͤren Pracht⸗Gebaͤuden anzugeben, Tub. I. umſtaͤndlich gehandelt. Zuſatz. §. 131. Indem nun die Triglyphen Balcken⸗Koͤpf⸗ fe vorſtellen, welche auf der Saͤule ruhen, ſo folget, 1) Daß ihre Mitte, durch die Mitte der Saͤule gehen muͤſſe. 2) Daß an keinem Ort eine Triglyphe anzubrin⸗ gen, wo kein Balcken⸗Kopff kan angebracht werden. 3) Daß in einer Triglyphe die Breite zur Hoͤhe, diejenige Verhaͤltniß haben muͤſſe, welche in einem Balcken⸗Kopff zu ſinden, z. E. 2:3 oder 3: 4 und ſo wpweiter. Erklaͤrung. §. 132. Der Karnieß ſoll die Bedeckung des Ge⸗ baͤudes oder das Dach vorſtellen. Unten in dem Da⸗ che koͤnnen die Koͤpffe der Dach⸗Sparren geſehen wer⸗ den. Folglich koͤnnen auch in dem Karnieß Glieder gebraucht werden, welche die Koͤpffe der Dach⸗Spar⸗ ren vorſtellen. Dieſes ſind die Krag⸗Steine. Siehe den Karnieß in der Corinthiſchen Ordnung, und Sturm in der angefuͤhrten vollſtaͤndigen Anweiſung. Zunſatz. §. 133. Wo demnach keine Koͤpffe von Dach⸗ Sparren moͤglich, da muͤſſen auch keine Kragſteine ge⸗ braucht werden. Erklaͤrung. 5 §. 134. Endlich pflegte man auch zur Auszierung in dem unterſten Gliede des Karnieſſes wechſelsweiſe Ker⸗ ben einzuſchneiden, ſo, daß die darzwiſchen ſtehenden EStuͤcke 72 Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. Stuͤcke wie Zaͤhne aus ſehen; dieſe werden Raͤlber⸗ Zaͤhne oder Zahn⸗Schnitte genennet. E* Erklaͤrung. §. 13 . Soll die Saͤule erhoͤher werden, und es iſt kein ander Mittel vorhanden, ſo wird ſie auf einen Wuͤrffel, der unten und oben ein Geſimſe hat, geſetzet, wie hier AD, und die ſer heiſt das Poſtement. Dieſes hat demnach drey Theile, das unterſte Geſimſe, wel⸗ ches den Grund⸗Stein vorſtellet, auf welchem der Wuͤrffel ſtehet, und das Fuß⸗Geſimſe genennet wird; das oberſte Geſimſe, welches den Deckel vorſtellet, der auf den Wuͤrffel geleget wird, um die Saͤule zu tragen, welches das Poſtement⸗Geſimſe; und endlich den Wuürffel ſelbſt. Es kan auch nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde ein Poſtement oder Saͤulen⸗Stuhl uͤber das Gebaͤlcke geſetzet werden. Siehe Goldmann in der Anweiſung zur Bau⸗Kunſt. Juſatz. §. 136. Dieſe Abſicht der Theile beſtimmet unmit⸗ telbar die Beſchaffenheit ihrer Glieder. Z. E. das Fuß⸗und Poſtement⸗Geſimſe muͤſſen eine Ausladung uͤber den Wuͤrffel haben (§. 66.). Das unterſte Glied in dem Fuß⸗Geſimſe muß eine Platte ſeyn (§. 109.) und ſo weiter. . 3 „4 Erkläͤrung. §. 137. Soll ein Koͤrper feſte ſtehen, ſo muß er eine breite Grund⸗Flaͤche haben (§. 29 Mech.). Dieſes verurſachet, daß man den Schafft oben ſchwaͤcher ma⸗ chet, als unten. Dieſe Abnehmung der Staͤrcke des Schaffts wird die Verjuͤngung der Saͤule oder die Einziehung genennet. zuſatz. §. 138. Je geringer die Laſt, welche von der Saͤule & tragen, deſto mehr kan der Schafft verjuͤnget weri, (§. 59.1. le inesGeliam Das 3. Cap. Von der Schoͤnheit eines Gebaͤudes. 729 werden Re (§.59.). Folglick. kan die Joniſche, Corinthiſche und et⸗ Roͤmiſche Ordnung mehr verjuͤnget werden, als die Toſcaniſche und Doriſche (§. 21.). Die Verjuͤn⸗ vetden d gung ben der ſtaͤrckeſten Saͤule iſt z von der Dicke der ird ſe gfe Saͤule. ird ſie afi inſehatni Aufgabe. enent S. 139. Den Schafft einer Saͤule geſchickt zu eGeſnen verjüngen. . Ouf nehtr V Aufloͤſung. Vegillnnetc 19, Iſt die Saͤule von den ſtarcken, ſo theilet ihren Tab. III. eckel doe Schafft in drey gleiche Theile, und den unterſten Fig. 1. n die e Dritten Theil laßt von gleicher Dicke. Arch. cinil. ſe; unbt 2) Auf dieſen dritten Theil der Saͤule beſchreibet Beſcheft aus dem Mittel⸗Punct C mit dem Diameter der len⸗En Saͤule AB einen halben Circul. Golnn 3) Die oberſten zwey Theile der Saͤule DC theilet in ſo viel gleiche Theile, als gefaͤllig, und ziehet aus dem obbberen Ende des verjuͤngten Schafftes E mit der Axe murumnt DC eine Parallel⸗Linie bis auf den halben Circul. E 4) Theilet dieſen halben Circul in ſo viel gleiche . asen Theile, als in welche die der Saͤule getheilet wor⸗ 8 , den. Auf jedem Punct richtet Perpendicul⸗Linien, bter 1 und ziehet bis an dieſe aus den Theilungs⸗Puneten 0. 4 DoCgerade Linien, welche mit AB parallel. 5) Wenn ihr nun durch dieſe Puncte AFGE eine krumme Linie ziehet, ſo iſt dadurch die Saͤule geſchickt eruet verjuͤnget worden. . Ach). D 6) Wollt ihr eine von den oͤberſten Saͤulen verjuͤn⸗ 1ſcholen, gen, ſo wird ſich dieſes durch des Nicomedis Muſchel⸗ er Linie am bequemſten ausfuͤhren laſſen. Ich halte GAN aber dafuͤr, daß es fuͤr Anfaͤnger zu weitlaͤufftig, wenn auch dieſes umſtaͤndlich beſchreiben wollte. Daher will diejenigen, welche ſich in dieſem Zeichnen uͤben wollen, zu Sturms deutſcher Ueberſetzung des Daviler ponder pag. I13. verweiſen. rgetne. l, Z Aunun⸗ 730 Das 4. Capitel. Bon dem Anmerckung. §. 140. Wie zineſee Ordnung zu zeichnen, ſolches will, um unnoͤthige Weit aͤufftigkeiten zu vermeiden, in den Fuͤrle⸗ ſungen zeigen. . Aufgabe. 2ð §. 141. Es wird die Hoͤhe gegeben, wohin eine Ordnung kommen ſoll, man ſoll in dieſe Hoͤhe die Ordnung proportionirlich bringen. Aufloͤſung. 1) Soll die Saͤule ein Poſtement haben, ſo theilet die Hoͤhe in 19 gleiche Theile; nehmet hievon 4 Theile vor das Poſtement, 3 Theile vor das Gebaͤlcke, und 12 Theile vor den Schafft: ſo koͤnnet ihr den Model und alſo auch die Proportion der uͤbrigen Glieder be⸗ ſtimmen (§S. 120. f.). 2) Soll die Saͤule kein Poſtement haben, ſo theilet die Hoͤhe in 5 gleiche Theile, und nehmet einen Theil vor das Gebaͤlcke, und 4 Theile vor den Schafft, und alsdenn verfahret wie zuvor. Das 4. Capitel. Von dem Grund⸗Riß und Auf⸗Riß eines Gebaͤudes. . Erklaͤrung. Ger in einem Grund⸗Riß die Lage und Proportion aller Theile, welche in einem Geſchoß eines Gebaͤudes zu finden, alſo beſchrieben werden, wie ſie auf der Flaͤche des Bodens, worauf das Gebaͤude ge⸗ fuͤhret, die Raͤume beſtimmen; ſo iſt noͤthig, daß ver⸗ ſchiedene Kenn⸗Zeichen geſetzet werden, wodurch die Theile zu erkennen, und von Theilen einer andern Art zu unterſcheiden. Zu dieſem Ende will die Kenn⸗Zeichen O/ Grund⸗Ji (d wie ſie ge Grund⸗Ri Wnde⸗wen demercket die nen WManden uß⸗Hoden leſſen, dedert den Waͤnde Wirtdinder⸗ let deſt eub Cikenloderd Schalttrvnn ſtehende gin geichenanden inſezeheren Sinenn te r ah Shorſeiherin ucke gicene lnlccen Gein Urcdlbn Boen Eleantender ſicſkgen aed⸗ N dche . den Mher⸗ llen weteckin fnden ſchtl Gelender deppen ben belchen iten hefin Sct ſid. ereckes hal ſide et durchinten Eferclſin em 4 hnen ſecheenl den, ſtdene en, woll:. dieſe 1. hoben ſete hietongt Gebelck ihr denn gen Gln thebenſec⸗ Pneteinenl 1Cißft,! Grund⸗Riß und Auf⸗Riß eines Gebaͤudes. 731 ſo, wie ſie gewoͤhnlich, anmercken. Was in einem Grund⸗Riß ſchattiret, bedeutet Mauer⸗Werck und Waͤnde; was darzwiſchen noch ſchwaͤrtzer ſchattiret iſt, bemercket die Fenſter oder andere Geffnungen in de⸗ nen Waͤnden, die nicht, wie die Thuͤren bis an den Fuß⸗Boden gehen. Was gantz weiß oder offen ge⸗ laſſen, bedeutet Thuͤren oder andere Geffnungen in den Waͤnden, die bis an den Suß⸗Boden gehen. Wird in der Wand eine Vertieſfung gelaſſen, ſo bedeu⸗ tet dieſe ein blindes Fenſter oder eine blinde Thuͤre. Circul oder⸗Vierecke, welche mit den Waͤnden gleiche Schäaͤttirung haben und beſonders ſtehen, zeigen frey⸗ ſtehende Saͤulen oder Pfeiler an; wo aber eben der⸗ gleichen an den Waͤnden befindlich, und mit einem Theil in ſelbige hineingeruͤcket ſind, ſo bedeuten ſolche Wand⸗ Saͤulen und Wand⸗Pfeiler. Gantz ſchwartze Vier⸗ ecke oder auch ovale Flaͤchen ſind Kenn⸗Zeichen von Schorſteinen und Feuer⸗Mauern. Haben ſolche dunckele Flaͤchen einen Zapffen, ſo ſind ſie Zeichen von heimlichen Gemaͤchern. Punctirte Linien bedeuten gewoͤlbte Bogen. Die Treppen werden durch Pa⸗ rallel⸗Linien vorgeſtelet, weiche ſo weit von einander entfernet, als die Breite der Stuffen iſt, welche durch die Hoͤhe beſtimmet wird. Wenn zwiſchen zwo Trep⸗ pen ein Ruhe⸗Platz beſindlich, ſo wird ſelbiger durch einen viereckigt leer gelaſſenen Raum angezeiget. Be⸗ finden ſich zur Seiten der Treppen Gelander mit Gelaͤnder⸗Docken, ſo werden ſelbige mit zweyen laͤngs der Treppen parallel gezogenen Linien bemercket, zwi⸗ ſchen welchen kleine viereckigte oder runde ausgefüllte Plaͤtzgen befindlich, nachdem die Docken rund oder ek⸗ kicht ſind. Wenn an den ſchmalen Seiten emes Viereckes halbe Circul beſchrieben ſind, ſo bedeuten ſolche Oefen oder Feuer⸗Herde. Camine werden durch kurtze aus der Wand hervorragende ſchwache Pfeiler angemercke. 3 2 Auf⸗ 732 Das 4. Capitel. Von dem Aufgabe. L. 143. Einen Grund⸗Riß von einem Gebaͤude, welches auf einem beſtimmten Platz aufzufuͤhren, zu zeichnen. . Aufloͤſung. 1) Den Platz, worauf das Gebaͤude zu fuͤhren, leget nach den Regeln der Geometrie in Grund. 2) Aus der Abſicht des Gebaͤudes beſtimmet die Vielheit der Geſchoͤſſe, welche das Gebaͤude haben ſoll. 3) Aus einer deutlichen Vorſtellung der Abſicht folgert die Anzahl und Beſchaffenheit derjenigen Zim⸗ mer, welche in einem jeden Geſchoß zu bauen. 4) Nach den Geſetzen der Bequemlichkeit eines Gebaͤudes beſtimmet ihre Lage, und nach den Geſetzen der Schoͤnheit die Proportion und Lage aller Theile. 5) Den Raum, welchen ein jeder Theil auf der Flaͤ⸗ che einnehmen wird, zeichnet durch Huͤlffe des Maaß⸗ Stabes, wornach der Platz in Grund geleget, auf die gezeichnete Figur, mit den zuvor beſchriebenen Kenn⸗ Zeichen; ſo iſt der Grund⸗Riß von dem verlangten Gebaͤude verfertiget. 1. Anmerckung. §, 144. Damit ich meine Zuhoͤrer im Stande ſetzen kan, dieſe Aufloͤſung im vorkommenden Fall zur Ausuͤbung zu bringen, ſo habe Tab. III. und IV. die Grund⸗Riſſe zu einem Gebaͤude gezeichnet, welches von dem Zerrn Rath Penther in dem Bau⸗Anſchlag Tab. I. angegeben worden. Ich habe Bedencken getragen, ein Fuͤrſtliches Gebaͤude zu erwehlen, weil man in der Uebung von dem leichtern anſengen muß. Indeſſen hoffe nicht zu viel zu ſchreiben, wenn behaupte, daß derjenige, der meine Lehr⸗Saͤtze von der Bau⸗Kunſt verſtan⸗ den, in Stande ſeyn muß, alle Gebaͤude, welche Sturm in ſoi⸗ nen Wercken angegeben, zu beurtheilen. Wer aber im Stan⸗ de iſt, dieſe zu beurtheilen, der wird auch nach ſeinen Gefallen Gebaͤude von allerley Art angeben koͤnnen. 2. Anmerckung. §. 145. Fig. 2. Lab. III iſt der Grund⸗Riß in dem erſten, und Tab. IV. der Grund⸗Riß in dem andern Geſchoße⸗ : uch⸗ Grund⸗R Buchſtabente che geſegkhn ches Cetude ttfinin 166. D ſfen Riei⸗ Ulleſteletw Pi Zohlunde Dhurende Hiherde Feueen ſendes 14 rGruno) 1¹) Vihn ig tſgetnac Geſceſe häldes, den Grund⸗Riß und Auf⸗Riß eines Gebaͤudes. 733 Buchſtaben habe in den Theilen des Gebaͤudes aus der Urſa⸗ einemGen chegeſetzet damit in den Fuͤrleſungen zeigen koͤnne, wie ein ſol⸗ inenn Gcka ches Gebaͤude, nach den Regeln, welche §. 143. angegeben, zu 38 guſen erfinden. . Erklaͤrung. L . §. 146. Durch den Auf⸗Riß verſtehet man einen Orthogra- händenſn ſolchen Riß eines Gebaͤudes, darin die eine Seite alſo phia. iein e vorgeſtellet wird, wie ſie ſich dem Auge darſtellet. des beſtnnt , zZu ſ. atz iatet d. 147. Man ſiehet demnach in einem Auf⸗Riß die eeN Zahl und Hoͤhe der Geſchoſſe, die Breite und Hoͤhe der i derſnn Thuͤren, die Bruſt⸗Hoͤhen der Fenſter, die Breiten und zu baun Hoͤhen der Fenſter, das Dach mit ſeinem Geſimſe, die enliii Feuer⸗Mauern uͤber dem Dach, die aͤuſſerlichen Zie⸗ nantecn rathen des Gebaͤudes, und ſo weiter. age alieNH Tileci „Aufgabe. Hüff⸗den §. 148. Einen Auf⸗Riß von einem Gebaͤude, deſ⸗ dnlr,4 ſen Grund Riß verfertiget worden, zu zeichnen. ftikmnh.an Au fl 5 ſu g. denn verlangt 1) Nehmet aus dem Grund⸗Riß des unterſten Geſchoſſes diejenige Seite, welche ihr dem Auge dar⸗ 8 ſtellen wollet, als in unſerm Fall die Seite l. Etree 2) Auf den beyden aäͤuſſerſten Theilen dieſer Seite l r kraget nach dem gegebenen Maaß⸗Stab die Hoͤhe des bn i Geſchoſſes, welche ſo wohl durch die Abſicht des Ge⸗ gerrn Ne 4 baͤudes, als auch durch die Geſetze von der Schoͤnheit tern nicn⸗ 3) Dieſe Hoͤhe richtet ferner auf allen aͤuſſerſten wen e, Puncten der Thuͤren und Fenſter. . da inͤ 4) Auf dieſe ſchneidet ab die Hoͤhen der Thuͤre, die nitager Bruſt⸗Hoͤhen der Fenſter, und aus dieſen Puncten die Ve nſſe Hoͤhen der Fenſter, welche nach den Geſetzen der Schoͤnheit zu beſtimmen. *) Ziehet durch dieſe Puncte Parallel⸗Linien mit litere der Grund⸗Linie des Gebaͤudes. d ,660 benbſß , 3 ½ 3 6) Ge⸗ 734 Das 4. C. Von dem Grund⸗Riß und Auf⸗Riß ꝛe. 6) Gebet allen Saͤulen, Balcken, Riegeln, Baͤn⸗ dern und Schnallen diejenige Staͤrcke, welche die Ge⸗ ſetze der Feſtigkeit erfodern. So habt ihr den Auf⸗ Riß von dem erſten Geſchoſſe. . 7) Traget auf dieſen Auf⸗Riß des erſten Geſchoſſes die Seite aus dem andern Geſchoſſe, und verfahrt wie zuvor, ſo koͤnnet ihr den gantzen Auf⸗Riß verfertigen. 8) Wollet ihr die Geſimſe und andere aͤnſſerliche Zierathen in dieſer Seite des Gebaͤudes zeichnen, ſo vergleichet die Abſicht des Gebaͤudes mit den Abſich⸗ PV ten der Ordnungen. Dieſe Vergleichung wird dieje⸗ nige Ordnung darſtellen, welche ſich bey dem gegen⸗ waͤrtigen Gebaͤude ſchicket, und alſo auch die Regeln zeigen, wornach die Geſimſe und andere Zierathen zu verfertigen. 24 1. Anmerckung. §. 149. Tab. V. ſtellet den Auf⸗Riß von demjenigen Ge⸗ baͤude dar, deſſen Grund⸗Riß zuvor verfertiget worden. In ,. den Fuͤrleſungen werde zeigen, wie dieſer Auf⸗Riß nach mei⸗ Eſen nen Regeln zu verfertigen. Mit Nutzen kan von den Auf⸗Riſ⸗ ſen geleſen werden, was Sturm in dem verneuerten Golo⸗ alce mann abgehandelt. 2. Anmerckung. 8. 150. Dieß iſt der kurtze Entwurf der buͤrgerlichen Bau⸗ Kunſt. Habt ihr dieſe Regeln begriffen, ſo beurtheilet nach den⸗ ſelben die Gebaͤude, welche Sturm, Vignola und viele andere beruͤhmte Bau⸗Meiſter ſo wohl in ihren Schrifften beſchrieben, als auch in verſchiedenen einzelnen Kupffer⸗Stichen, die in groſſer Menge bey den Bilder⸗Haͤndlern vorhanden, dem Au⸗ ge dargeſtellet haben; ſo werdet ihr nicht nur geſtehen, daß meine Regeln vollſtaͤndig und allgemein, ſondern ihr werdet auch erfahren, daß ihr durch dieſen Weg mit leichter Muͤhe eine groͤfſere Fertigkeit in der Bau⸗Kunſt erhalten, als durch Leſung groſſer Wercke haͤtte geſchehen koͤnnen. Wer den Ge⸗ brauch der Zeichen bey Erfindung der Warheiten verſtehet, der wird an der Richtigkeit meiner Gedancken nicht zweiffeln. Ich haͤtte zwar einige Umſtaͤnde weitlaͤufftiger beſchreiben ſol⸗ len, wenn es erlaubt geweſen, die Grentzen der erſten Gruͤnde einer Wiſſenſchafft zu uͤberſchreiten. 3d NufcNs Reegeln R⸗ e, beſchedich⸗ bt ih den erſten Geſe und verftls E L E M E N T A es ic, riel PYROTECHNIAE ey deneg ch die Das iſt re Jnnie Erſte Gr uͤnde Der mi Wiſſenſchafft von den Feuer⸗Wercken, aun E welche bald zum Vergnuͤgen, bald zum Schaden zu gebrauchen. ggütel iin⸗ Oder SUJ Erſte Gruͤnde DODer Artillerie⸗Wiſſenſchafft. gede 8 de 2 Erſte Gründe der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. Erklaͤrung. §. I. Darch das Geſchuͤtze, wenn dieſes Wort in einem allgemeinen Verſtand genommen wird, verſtehet man ſolche Inſtrumente, Rdurch deren Huͤlffe, eine ſchnelle Bewe⸗ gung eines Koͤrpers in freyer Lufft kan her⸗ vorgebracht werden. Zuſatz. §. 2. Soll demnach das Geſchuͤtze unterſchieden ſeyn, ſo iſt der Grund von dieſem Unterſcheid entweder in dem, was die Bewegung hervorbringen ſoll; oder in dem, was ſoll beweget werden; oder in der Art der Beyegung. Lehr⸗Satz. §. 3. Was den Schuß verurſachen ſoll, das muß eine ſtarcke ausdehnende Krafft haben. Beweiß. „ Was eine hefftige Bewegung eines Koͤrpers verur⸗ ſachen ſoll, das muß einen ſtarcken Stoß wuͤrcken koͤnnen. Was einen ſtarcken Stoß würcken ſoll, 3 5 das 738 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. das muß eine ſtarcke Krafft haben (§. 34. Dyn.); folglich entweder in einer ſtarcken Bewegung ſeyn, oder eine ſtarcke ausdehnende Krafft haben. Das erſte iſt zwar eine Urſache von einer ſtarcken Bewe⸗ gung, welche aber vermoͤge des Gebrauchs zu reden nicht von dem Schieſſen hergeleitet wird. Folglich wird man geſtehen muͤſſen, daß eine ſtarcke ausdeh⸗ nende Krafft ein nothwendiges Stuͤck derjenigen Sa⸗ d eo⸗ welche einen Schuß verurſachen ſoll. W. “ Zuſatz. S §. 4. Was eine ſtarcke ausdehnende Krafft aͤuſſern ſoll, das muß nicht nur die Faͤhigkeit haben, ſich auszu⸗ dehnen, ſondern auch zuſammen gedruͤcket werden (5. 178. Mech.). Folglich muß ein Geſchuͤtze ein In⸗ ſtrument ſeyn, durch deſſen Huͤlffe Dinge, die eine ſtarcke ausdehnende Krafft haben, alſo koͤnnen zuſam⸗ mengedruckt werden, daß ſie ihre ausdehnende Krafft wiederum aͤuſſern koͤnnen, um einen Koͤrper mit Ge⸗ walt fortzuſtoſſen. Anmerckung. §. F5. Aus dieſem Grund werdet ihr das Weſentliche von allen Arten der Geſchuͤtze, welche von unſern Vorfahren und zu neueren Zeiten gebrauchet worden, beurtheilen koͤnnen. Meine gegenwaͤrtige Abſicht werde erhalten, wenn dieſen allgemeinen Satz durch die Eigenſchafften derjenigen In⸗ ſtrumente, welche heutiges Tages gebraͤuchlich, genauer beſtimme. . Erklâtrung. §. 6. Man hat dreyerley Art Pulver erdacht, wel⸗ che bey den Feuer⸗Wercken zu gebrauchen, Lauf⸗HPul⸗ ver, Rnall Pulver und Schieß⸗Hulver. Lauf⸗Pul⸗ ver ſoll brennen, aber weder einen Knall von ſich geben, noch eine ausdehnende Krafft aͤuſſern. Die ſes zu ver⸗ fertigen, nehmet 2. Theile Salpeter, F. Theile Mehl⸗ Pulver, und 1. Theil Schwefel; zerſtoſſet ein Eder ein, Er lein,u ver ſo daß es ſesul hefoht Gange uſen ſorhze GSatp geſtof den. eiead Dend hein , Nn etir e A 0 tlit⸗ Erſie Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 73 klein, und miſchet es wohl unter einander. Knall⸗Pul⸗ ver ſoll keine andere Wuͤrckung von ſich geben, als daß es, wenn es angezuͤndet worden, knallet. Die⸗ ſes zu verfertigen nehmet 3. Theil Salpeter, 2. Theil Salis Tartari und einen Theil Schwefel; und alsdenn verfahret wie zuvor. Das Schieß⸗Hulver ſoll, wenn es angezuͤndet worden, eine ſtarcke ausdehnende Krafft aͤuſſern, und dadurch vermoͤgend ſeyn ſtarcke Koͤrper fortzuſtoſſen. Dieſes wird aus Schweſel, Kohlen und Salpeter verfertiget; nachdem alles vollkommen klar geſtoſſen, und unter einander wohl gemiſchet wor⸗ den. 1. Anmerckung. §. 7. Von den Eigenſchafften der Kohlen, des Schwefels und des Salpeters, woraus das Schieß⸗Pulver zu verferti⸗ gen, und wie es aus dieſen zu verfertigen, will in den Fuͤrleſun⸗ gen reden. Von den Pulver⸗Muͤhlen ſiehe Sturms Muͤhlen⸗ Bau⸗Kunſt. 2. Anmerckung. §. 8. Damit das folgende deſts beſſer koͤnne verſtanden werden, ſe halte fuͤr noͤthig, daß die Wuͤrckung des Schieß⸗ Pulvers erklaͤre. Wenn nemlich ein Funcken in das Pulver faͤllet, wird ein Theilgen Kohle gluͤend, (folglich muß man ſol⸗ che Kohlen nehmen, welche das Feuer leicht fangen und auch leicht erhalten) und weil alle Materien wohl unter einander gemiſchet ſind, ſchmeltzet das anliegende Theilgen des Schwefels (daher nimmt man gerne Schwefel, welcher ſehr hochgelb), hierdurch ſchmeltzet das anliegende Theilgen des Salpeters. Da nun dieſer eine ſtarcke ausdehnende Krafft hat, ſo ſteiget die angezuͤndete Materie in einer hellen, raſſeln⸗ den und ſich ausbreitenden Flamme m die Hoͤhe und machet zugleich das anliegende Kohlen Theilgen gluͤend. Wenn dem⸗ nach ein Koͤrnlein angezuͤndet wird ſtecket es ſo gleich die uͤbri⸗ gen an, und daher kan die ausdehnende Krafft des Salpeters mit Gewaͤlt wuͤrcken. Erklaͤrung. 5. 9. Dieſenigen Gefaͤſſe, in welche Pulver alſo kan geleget werden, daß es, nachdem es angezündet worden 740 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. worden, einen Koͤrper mit Gewalt nach einer beſtimm⸗ ten Gegend zu ſtoſſen vermoͤgend, werden Pulver⸗Ge⸗ ſchuͤtze genennet. 1. Zuſatz. §. 10. Es wird demnach zu einem Pul ver⸗Geſchuͤ⸗ tze erfodert, 1) Daß in demſelben das Pulver koͤnne zuſammen gedruͤcket werden. 2) Daß in demſelben das Pulver nach Verlangen koͤnne angezuͤndet werden, damit es ſeine ausdehnende Krafft zu aͤuſſern vermoͤgend. 3) Daß es mit dieſer ausdehnenden Krafft nicht nach verſchiedenen, ſondern nur nach einer beſtimmten Gegend mit Gewalt ſtoſſen koͤnne. 2. Juſatz. §K. 11. Iſt kein Wiederſtand vorhanden, ſo aͤuſſert das angezuͤndete Pulver ſeine ausdehnende Krafft nach allen Gegenden. Folglich muß in dem Pulver⸗ Geſchuͤtze das Pulver nach der Gegend, wohin es den vorgelegten Koͤrper mit Gewalt ſtoſſen ſoll, einen ge⸗ ringern Wiederſtand finden, als nach den uͤbrigen Ge⸗ genden (§. 10. pr. 3.). 5. Juſatz. §. 12. Hieraus erhellet, daß ferner zu einem Pulver⸗Geſchuͤtze erfodert wird, 1) Daß ſelbiges aus einer ſolchen Materie verfer⸗ tiget, welche der ausdehnenden Krafft des Pulvers hinreichend wiederſtehen kan. (Insgemein wird die⸗ ſes Merall aus Kupfer, Zinn und Meßing verfertiget, alſo daß unter 100. Pfund Kupffer 10. Pfund Zinn, und 8. Pfund Meßing ge miſchet.). 2) Daß Pulver⸗Geſchuͤtze muͤſſen hohl ſeyn. 3) Daß dieſe Geſchuͤtze in der Gegend, wohin der beſtimmte Stoß des Pulvers gehen ſoll, eine h 5 ſenſchf, einer beſte en Pulpag Pulberd⸗ onne len jach Vuir e altedet n Khel ner heſin ſnſccuſit ihe Kuft in Pulber⸗ dhin esder 1egeng brigen’⸗ er g unint 1ae nniti gfhe ſn. .D drc ineNN 4 4 Erſte Gruͤnde der Artillerte⸗Wiſſenſchafft. 741 Oeffnung haben muͤſſen, durch welche der fortzuſtoſſen⸗ de Koͤrper bequem koͤnne beweget werden. V Lehr⸗Satz. 5§. 13. Die Staͤrcke des Geſchuͤtzes muß man durch die Staͤrcke des Koͤrpers, welcher daraus foll geſchoſſen werden, beſtimmen. Beweiß. Es iſt feſt geſetzet, daß das Pulver⸗Geſchuͤtze mit ſeiner Maſſe der ausdehnenden Krafft des Pulvers mehr wiederſtehen muͤſſe, als der Koͤrper, welcher ſoll fortgeſtoſſen werden, dieſer Krafft zu wiederſte⸗ hen vermoͤgend (§. 11. 12.). Je ſtaͤrcker demnach die Laſt, welche ſoll fortgeſtoſſen werden, deſto ſtaͤrcker muß S Geſchuͤtze ſeyn (§. 53. 35. Dyn.). Erklaͤr ung. §. 14. Der Diameter des Koͤrpers, welcher aus einem Pulver⸗Geſchuͤtze ſoll geſchoſſen werden, wird der Caliber genennet. Und der Maaß⸗Stab, darauf die Groͤſſe der Diametrorum von den Kugeln, wie ſie mit ihrem Gewichte zu nehmen, verzeichnet, heiſt de Caliber⸗Stab. Gnet, 9 u dee F Zuſatz. K. 15. Es iſt alſo hoͤchſtvernuͤnfftig, daß man die Proportion bey Verfertigung der Pulver⸗ Geſchuͤtze durch den Caliber beſtimme. Aufgabe. §. 16. Den Diameter einer pfuͤndigen Kugel zu ſinden. Aufloͤſung. 1) Wieget ein Pfund Eiſen, Bley, Stein, und ſo weiter auf einer richtigen Waage ab, und ſuchet den koͤrperlichen Innhalt in Cubic⸗Linien (§. 344. Geom.), 2) Se⸗ 742 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 20 Sehet ihn als den Innhalt einer Kugel an, und ſuchet daraus ihren Diameter (§. 336. Geom.). Aufgabe. §. 17. Einen Caliber⸗Stab zu verfertigen. Aufloͤſung. 1) Bildet euch ein, es ſey der Diameter einer pfuͤn⸗ digen Kugel in 100. gleiche Theile getheilet, ſo iſt der Cubus 1000000. . 2) Dupliret denſelben, und ziehet aus 2000000. die Cubic⸗Wurtzel (§. 173. Rech.). Dieſe iſt der Diameter einer zweypfuͤndigen Kugel in eben ſolchen Theilgen. 2) Auf eben ſolche Weiſe koͤnnet ihr den Diameter von einer drey⸗vier⸗fuͤnffpfuͤndigen Kugel und ſo wei⸗ ter finden. 4) Nehmet den Diameter einer pfuͤndigen Kugel z. E. von Bley, und theilet ihn in 100. gleiche Theile, wie in der Geometrie die Ruthe auf dem verjuͤngten Maaß⸗Stabe. 5) Traget von dieſem Maaß⸗Stabe auf den Cali⸗ ber⸗Stab die gehoͤrigen hundert Theilgen, nach Anlei⸗ tung der ausgerechneten Tafel, fuͤr die ein⸗zwey⸗drey⸗ pfuͤndigen Kugeln, und ſo weiter. So iſt der Caliber⸗ Stab fertig. Beweiß. Es ſoll erwieſen werden, daß, wenn der Diameter einer einpfuͤndigen Kugel 100. Theile hat, die vielpfuͤn⸗ digen ſo viel derſelben haben muͤſſen, als durch die an⸗ gegebene Rechnung gefunden wird. Dieſes iſt auf folgende Art zu beſtaͤtigen. Wenn die Kugeln von einerley Materie ſind, ſo verhalten ſich ihre Schweren wie ihre Groͤſſen, das iſt, eine bleyerne Kugel von2. Pfund iſt zweymahl ſo groß als eine von 1. Pfund; eine von Uonz. undſon ten ſch Ceom) ſerben unc3. ſtet. erni mdi Aon 86 . hes WiN uge gelon e ton.) rtſen. efnerſft⸗ ſolte eſe benſe Dnee 1dſrnen il ſangen en wehne d Nnct N Men. a Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 743 von 3 Pfund dreymahl ſo groß, als eine von 1. Pfund, und ſo weiter. Die Groͤſſen aber der Kugeln verhal⸗ ten ſich, wie die Cubi ihrer Diametrorum (§. 337. Geom.). Derowegen iſt der Cubus des Diametri ei⸗- ner zweypfuͤndigen Kugel 2. mahl, einer dreypfuͤndigen Kugel 3. mahl ſo groß, als einer einpfuͤndigen, und ſo weiter. Wenn man ſolchergeſtalt den Cubum des Dia- metri einer einpfuͤndigen Kugel mit 2. 3. 4. und ſo weiter multipliciret, und aus den Producten die Cubie⸗Wur⸗ tzel ausziehet; ſo kommen die Diametri der zwey⸗drey⸗ vier⸗pfuͤndigen Kugeln, und ſo weiter, heraus. W. Erklaͤrung. §. 18. Die vordere Beffnung eines Pulver⸗Geſchuͤ⸗ tzes, wo die Kugel, welche pon dem Pulver geſtoſſen wird, heraus faͤhret, wird der Mund oder die Muͤn⸗ dung genennet. Erklaͤrung. §. 19. Durch die Muͤndung muß die Kugel bequem koͤnnen beweget werden (§. 12.). Daher iſt noͤthig, daß dieſe etwas groͤſſer, als die Kugel. Dieſer Unter⸗ ſcheid zwiſchen der Muͤndung und dem groͤſten Circul ei⸗ ner Kugel, die dar aus geſchoſſen wird, heiſt der Spiel⸗ Raum oder das Wind⸗Spiel. Erklaͤrung. §. 20. Die innere Hoͤhlung der Pulver⸗Geſchuͤtze heiſt der Lauf, und dieſer wird bey den u⸗ tzen die Seele genennet. d groſſen Geſchu Erklaͤrung. §S. 21. Die Pulver⸗Geſchuͤtze koͤnnen entweder mit der Hand gehalten werden, oder man muß ſolche, ver⸗ moͤge ihrer Schwere, auf beſondere Geruͤſte legen. Aus dem erſten entſtehen die Musqueten, Piſtolen und ſo weiter; und aus dem zweyten entſtehet das gro⸗ . be 744 Erſte Gruͤnde der Artilleries Wiſſenſchafft. be Geſchuͤtze. Das Geruͤſte, worauſdieſes geleget wird, nennet man die Laffeten. Von dieſen ſiehe Brauns Artillerie Ppag. 90. fl. “ Zuſatz. d. 22. Dieſes iſt der Grund, warum das Schieß⸗ Pulver in Musqueten⸗Pulver, Pirſch⸗Pulver, und grobes Pulver, welches bey dem groben Geſchuͤtze zu gebrauchen, eingetheilet wird. 1. Anmerckung. §. 23. Von Braun werden zur Verfertigung dieſer Pul⸗ ver folgende Saͤtze angegeben. . Zu dem groͤbſten Geſchuͤtze. Salpeter Schwefel Kohlen 100 Pfund 20 Pfund 24 Pfund 1 Pfund 3 Loth 3 Loth 6 Pfund 2 Pfund 3 Pfund u. ſ. w. Zu dem mittelmaͤßigen groben Geſchuͤtze. Salpeter Schwefel Kohlen 7 Pfund 1 Pfund 1 Pfund 6 Pfund 1 Pfund 1 Pfund, 4 Loth und ſo weiter, Zu den Musqueten. Salpeter Schwefel Kohlen 100 Pfund 18 Pfund 19 Pfund 100 Pfund 15 Pfund 18 Pfund u. ſ. w. Zu dem Pirſch⸗Pulver. Salpeter Schwefel Kohlen 100 Pfund 14 Pfund 18 Pfund 7 Pfund 1 Pf. 2 Loth 1 Pfund 8 Loth 1 Pfund 3 Loth 7 Loth u. ſ. weiter. 2. Anmerckung. §. 24. Hiebey iſt noch zu mercken, daß das gekoͤrnte Pul⸗ ver mehr Staͤrcke hat, als das zerriebene : ingleichen daß das kleinkoͤrnichte ſtaͤrcker und ſich ſchneller entzundet, als das großkörnichte. Er⸗ 8. ſehen ſchaf gebti luett Schn durch net K A wl inn Unte dene 4 ſenſceft. alſdieſctte Von dient rum dibt ſch⸗Pln ben Geſtet , dtigungdiee R. Pfun “ Tnbuſt ſlte S Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 745 Erklaͤrung. §. 25. Der Unterſchied des groben Geſchuͤtzes ent⸗ ſtehet hauptſaͤchlich aus ſeiner Groͤſſe, und aus der Be⸗ ſchaffenheit der Bewegung, welche dadurch ſoll hervor⸗ gebracht werden. Gehet die Bewegung mit der Hori⸗ zontal⸗Linie parallel, ſo nennet man ſolche einen Kern⸗ Schuß; wo aber nicht, einen Bogen⸗Schuß. Iſt durch das grobe Geſchuͤtze ein Kern⸗Schuß moͤglich, ſo nennet man es ein Stuͤck. Iſt aber durch daſſelbige kein Kern⸗Schuß moͤglich, ſo heiſt es ein Mroͤrſer. §. 26. Der Lauf eines Stuͤckes muß alſo verfer⸗ tiget werden, daß die beſtimmte Bewegung der Kugel in demſelben einezeitlang fortfahren koͤnne, welches aber bey den Moͤrſern nicht noͤthig. Die Erfahrung beſtaͤtiget, daß die Kugeln, wenn fie ſo gleich in freye Lufft kommen, ſo bald ſie von dem Pul⸗ ver fortgeſtoſſen worden, ihre Richtung aͤndern, u. in die Hoͤhe fahren; hingegen in einerley Richtung bleiben, wenn ſie ihre Bewegung in dem Lauf eine Zeitlang fort⸗ ſetzen koͤnnen. Dieſes beſtaͤtiget, daß durch die erſte Art von dem groben Geſchuͤte kein Kern⸗Schuß moͤge lich (§. 25.). Und alſo erhellet, daß die beſtimmten Ei⸗ genſchafften bey den Stuͤcken und Moͤrſern noͤthig (5. Erklaͤrung. §. 27. Es koͤnnen demnach die Stuͤcke von den Moͤr⸗ ſern durch die Laͤnge unterſchieden werden. Und weil auch die Stuͤcke von verſchiedener Laͤnge moͤglich, ſo nimmt man dieſes als einen Grund an, wodurch ein Unterſchied der Stuͤcke zu beſtimmen. Die kurtzen wer⸗ den Carthaunen, und die langen, Schlangen genenet. 1. Anmerckung. §. 18. Damit wir den Unterſchied der Stuͤcke, und was bey denſelben fuͤrnehmlich zu mercken iſt, leicht beurtheilen koͤn⸗ nen, ſo habe folgende Tabel herſetzennwollen. Aaa NRNah⸗ j afft. rſte 46 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft N 74 were Zahl der e eert de eiſtnnen dee nceer Conſenier. Nahmen der 2 ers. der Kugel der eiſernen der Celcee; end Stuͤcke. des von Eiſen. E es ge⸗ zu 100. Pf. s lte bohret. 5s Fenin. — , Päsare 1. C. Pfund. 22 Pfund. * 77— Ptod 1. Gantze Carkt 20 ⸗ 36 „ 40 ⸗ ⸗ . — Pil enider 2. Drey viertel “ bis o nen boſfe e e — Ki ma er 7 — ſutt 7. Achtel Carth. . 4 bis “ 66 bi H 30 C ee er oder 14. 16 bis 1 3 bis 4 — . Kinnie Biert⸗ t. Feld⸗St. —. ⸗ ⸗ WI ⸗ ⸗ ſzmo ⸗ ⸗ — ulierrt, 7. Gante Fell. bie 30 L 5 eyhitc H s ſ — uhnd z. Lungen⸗ — . —— 27 o bis nz 1 eicigen 8. Bin 35 bis 36 2 bis z 1 bis 31 5 . rer der 1r. Falckonet. 35 2 — (chden ge Salbes Fch s 1 Prc — oner 4 z nel. . e, wel⸗ Zahl der Pferde, damit nneni ean le⸗ leden W N r. man ſie wegfuͤhret⸗ SBen thun W ſane Zahl der Handlanger. Stuͤat hun 5. ſn is 16 29 dis 26 do bis . nee 2. 12 16 3. e dis 12. bis 10. 390. hen int 4. § bis . 190. ſlee de „ . 30. io dPenn 7. 9 bis 30. 4 3 dis 1. 1o0. den. D 8. . . bis . sooo. . . Sickab ged 13. 4. 3 bis 4 ſo diel man will. ain 13. 1 2. An⸗ dibnden ſirſce, Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft 747 chwee Nn wo. 8. 29. Bey den Carthaunen iſt insgemein die Ladung das halbe Gewicht von der Kugel. Nemlich wenn die Kugei, lnme. welche die Carthaune ſchieſſet, 48. Pfund, ſo iſt die Ladung 24. — — Pfund Pulver; und bey den Schlangen iſt insgemein die La⸗ dung von der Kugel, welche die Schlange ſchieſſet. Wie⸗ FS5 . viel ein jeder Schuß aus einem Stuͤcke koſtet, das wird leicht koͤnnen beſtimmet werden, wenn ihr den Werth von einer je⸗ e doen Sache nach Beſchaffenheit des Orts und der Zeit er⸗ — forſchet. e Frklaͤrung. „ . 30. Ein Stuͤck wird in drey Haupt⸗Theile ge⸗Tap. Arcill. – tbeilet, nemlich in das Boden⸗Stuͤck C,wo die Ladung Fig. 1. zu liegen kommt,in das Zapffen⸗Stuͤck B, wo der Zapf⸗ , fen zu finden, womit es auf die Laffeten geleget wird, und — in das Mund⸗Stuͤck A. 1 . Zuſatz. HS.T 31. Das Boden⸗Stuͤck muß ſtaͤrcker ſeyn, als diie übrigen (§. 11.), und das Mund⸗Stuͤck muß for⸗ — ne bey der Muͤndung ſtaͤrcker gemacht werden, als nach dem Zapffen⸗Stuͤck (per dem. S. 26.). LEErklaäͤrung. . 8§. 32. Dieſes giebt einen Grund, woraus das 4 “ Weſentliche bey den Zierathen eines Stuͤckes zu beur⸗ theilen, welche eingetheilet werden in die Traube, Frie⸗ * ſen, Verſtaͤbung und Guͤrtel. Die Traube D iſt der *allleraͤuſſerſte Theil an dem Boden eines Stuͤckes, wel⸗ cher hilfft das Gleich⸗Gewichte zu erhalten, und alſo ein Mittel iſt, das Stuͤck leicht zu regieren. Die Frieſen ſind Plarten, welche auſſen an den Stuͤcken abgedrehet worden. Diejenigen, welche hinten an dem Boden⸗ Stuͤck abgedrehet E, heiſſen Hinter⸗Frieſen. Dieſeni⸗ ſen gen, welche ſich an dem Ende des Zapffen⸗Stuͤckes und un zu Anfang des Boden⸗Stuͤcks befinden F, heiſſen die —,— . 4 Frieſen des erſten Bruchs. Diejenigen/ welche am S Aaa 2 Ende 748 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. Ende des Mund⸗Stuͤckes und zu Anfang des Zaßffen⸗ Stuͤckes bey G abgedrehet, werden die Frieſen des andern Bruchs, und welche forn an der Muͤndung bey H zu finden, die Kopf⸗Frieſen genennet. Die Thele IKL. werden Guͤrtel genennet, und zwar der Sinter⸗ Guͤrtel, K der Mirtel⸗Guͤrtel, und L. der Vorder⸗ Guͤrtel oder das Hals⸗Band. Die Verknuͤpffung eines halbrunden Stabes und einigen Riemlein heiſt die Verſtaͤbung, und dieſe bekommet die Benennung von den Guͤrteln, wobey ſie ſich befſindet. Woraus zu verſtehen, daß m die Verſtaͤbung des hinteren Guͤr⸗ tels, n die Verſtaͤbung des mittleren Guͤrtels, und o die Verſtaͤbung des Mund⸗Stuͤckes. Prklaͤrun g. §. 33. Soll ein Stuͤck geladen werden, ſo muß man verſchiedene Inſtrumente haben, nemlich ein Inſtrument, wodurch das zum Schieſſen noͤthige Pul⸗ der, bis auf den Boden des Lauffs, oder wie bey den Stuͤcken geredet wird, bis auf den Boden der Seele in das Stuͤck gebracht wird; dieſes heiſt die Lade⸗Schauffel. Siehe Fig. 2. Ein Inſtru⸗ ment, damit die Ladung, das iſt, das Pulver auf ein⸗ ander geſtoſſen wird; dieſes heiſt der Setz⸗Kolben. Siehe Fig. 3. Ein Inſtrument, damit das Stuͤck ausgewiſchet wird, nachdem es loßgezuͤndet worden; dieſes heiſt der Wiſch⸗Kolben oder Wiſcher. Siehe Fig. 4. — 1. Anmerckung. §. 34. Der Setz⸗Kolben hat zwey Theile 1) den Cylin⸗ der AD, deſſen Diameter — 1 Caliber, und deſſen Laͤnge = I auch wohl 2 Caliber. Dieſer wird aus ſtarckem Holtz gemacht, und hinten und forne mit Kupfer uͤber fappet. 2) Die Stange EC, woran der Cylinder befe⸗ ſtiget. 6 Eiſtel F ben A, Dite nirt Felen über ſictt, D Neſugefuͤg ongehefte . 36. ſtelettvin gehenken ſeſeit dem Kern. hie eſendl Dee albtiten S ing we zen glder; enundet ) falen liſtin 91 Vette Memnlic di 1 ſinſhit Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 749 ugeeH 2. Anmerckung. de die §. 35. Der Wiſcher hat auch zwey Theilen1) den Kol⸗ erng ben Aß, welcher breit འCaliber, und lang 2 Caliber. net. Dieſe wird von hartem Holtz gedrehet, und mit Schaaf⸗ urldaen Fellen uͤberzogen, bis er ſich genau in die Seite des Stuͤckes Lder e ſchicket. Damit durch das Abwiſchen dem Stuͤcke kein Scha⸗ Verttic⸗ de zugefuͤget wird, ſo werden die Felle mit kupfernen Naͤgeln Niennen, andeheiſtit. 2) Die Ltange c. DieNen. Erklaͤrung. . Wͤn 68. 36. Ein Stuͤck wird gerichtet, wenn es alſo ge⸗ zinanh ſtellet wird, daß der Schuß auf einen beſtimmten Punct ten on gehen koͤnne. Ein Stuͤck wird erhoͤhet, wenn es al⸗ tcke ſo geſtellet wird, daß die Perpendicul⸗Linie, welche auf dem Kern des Stuͤckes gezogen, mit der Horizontal⸗Li⸗ nie einen Winckel macht. enn . 37. Die Erfahrung beſtaͤtiget, daß der Schuß iſfeh aus einem Stuͤck mit einerley Ladung in einer Er⸗ t ben hoͤhung, welche nicht uͤber 45 2 gllezeit weiter ge⸗ Bn het, als der Rern⸗Schuß. Pore, 5§. 38. Ein Stuͤck alſo zu richten, daß damit auf Sig N einen beſtimmten Punct koͤnne geſchoſſen werden. nte⸗ AAuuflôſungg. eng 1) Erhoͤhet das Stuͤck in einem Winckel nach Ge⸗ cyn fallen, und gebet acht, wie weit ihr alsdenn mit einer beſtimmten Ladung ſchieſſen koͤnnet. 2) Durch Huͤlffe dieſer Erfahrung koͤnnet ihr die Weite eines Schuſſes in einer jeden Erhoͤhung, wenn AD nemlich einerley Stuͤck und einerley Ladung behalten dft wird, finden, wenn ihr ſchlieſſet: gan Der Sinus des doppelten Winckels der erſten Er⸗ er hoͤhung, verhaͤlt ſich zu dem Sinu des gedoppelten Winckels der vorgegebenen Erhoͤhung, wie ſich ſ Aaa 3 ver⸗ 750 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. verhaͤlt die Weite des erſten Schuſſes, zu einer anderen Entfernung. Wollte ich dieſen Satz beweiſen, ſo muͤſte ich die Natut der Parabel, als welche durch einen ſolchen Schuß beſchrieben wird, genauer unterſuchen. Da nun aber dieſes nicht fuͤr Anfaͤnger, ſo wird mir erlaubt ſeyn, dieſen Satz, welchen man aus der Erfahrung feſtgeſe⸗ tzet, ohne Beweiß anzunehmen. . 3) Richtet den Kern⸗Schuß des Stuͤckes in einer geraden Linie nach den Ort, wohin ſoll geſchoſſen wer⸗ den. (Wie dieſes zu bewerckſtelligen, ſolches wird oh⸗ ne ferneres Erinnern koͤnnen begriffen werden.) 4) Meſſet die Weite dieſes Orts von der Ladung. ) Erhoͤhet alsdenn, vermittelſt eines Quadranten, das Stuͤck in dem Winckel, welcher nach vorhergehen⸗ der Regel gefunden; ſo iſt das Stuͤck auf verlangte Art gerichtet worden. . S. 39. Die Stuͤcke werden an ſtat der Kugeln offt mit Kartetſchen geladen, welche auf zweyerley Art zu verfertigen. Einmahl nehmet eine blecherne Buͤchſe, fuͤllet dieſe nit allerhand ſchaͤdlichen Dingen z. E. mit Muſqueten⸗Kugeln, Naͤgeln, Ketten, Steinen und dergleichen, und verwahret alsdenn die Buͤchſe mit ei⸗ nem Deckel; dieſe Kartetſchen werden bey ſolchen Stuͤ⸗ cken gbraucht, die keine gar zu groſſe Muͤndung haben. Zweytens. Laſſet eine runde Scheibe drehen, dieſe wird der Spiegel genennt; in dem Mittel⸗Punct die⸗ ſes Spiegels befeſtiget einen duͤnnen aber doch langen Cylinder perpendiculaͤr, und leget um denſelben auf dem Spiegel allerhand ſchaͤdliche Dinge, als z. F. Muſ⸗ queten⸗Kugeln, Steine, Ketten und dergleichen. Ueberziehet.dieſen Satz mit einem Sack von Zrigin 6 Erf bindetd uad vm bekommn es alch chenker 4 lbe Mate gen ſow nah wic te, gelhen ſeſſet lna Del — — -— biſenſchff. Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 7 51 chuſſs, n bindet dieſen oben feſte zu, und bewindet denſelben um und um mit einer Schnure. Dieſe Art von Kartetſchen bekommt die Geſtalt einer Traube; daher nennet man kane es auch einen Trauben⸗Regen, wenn mit einer ſol⸗ . Diun chen Kartetſche geſchoſſen wird. nit erlui⸗ Juſatz. ſthrunget⸗ §. 40. Wird eine Kartetſche durch die Gewalt des Pulvers herausgetrieben, ſo breitet ſich die eingefuͤllte Stictn⸗ Materie mit Gewalt aus. Soll ſie demnach denjeni⸗ l geſtiin gen Schaden, wozu ſie verfertiget worden, wuͤrcken; ſolchttn ſo muß der Ort, wo ſie hingeſchoſſen wird, nicht gar zu R werde nahe ſeyn, damit ſie ſich recht ausbreiten koͤnne; doch . nicht gar zu weit, damit ſie ſich nicht allzu ſehr ausbrei⸗ n derie⸗ te, und ihre Krafft verliere. edu Erklaͤrung. thtufe⸗ §. 41. Der Moͤrſer wird wiederum in drey Theile T. b. Artill. taful getheilet, der obere gleichweite Theil des Laufs ACFig. 5. heiſſet der Slug. Der Theil CD, wo das Pulver zur Ladung gelegei wird, heiſt die Kammer, und der untere Toeil DB das Lager. Kuen H erend Zuſatz. ette §. 42. Die Kugeln, welche aus den Moͤrſern ge⸗ tuerte worffen werden, find ſehr groß. Zur Kammer wird ‚Gtto- nicht mehr Raum erfedert, als man Pulver zur Ladung Biſenn noͤthig hat. Folglich muß der Flug weiter ſeyn, als ſhee- die Kammer. unte Erklaͤr ung. §. 43. In Anſehung der Figur werden die Moͤrſer iun in Fuß⸗Mioͤrſer und Laffeten⸗Moͤrſer eingetheilet. ne Fuß⸗Moͤrſer werden genennet, welche ohne Laffeten n⸗ koͤnnen gebraucht werden, und Laffeten⸗Mioͤrſer, wel⸗ e chee auf Laffeten liegen muͤſſen, damit ſie koͤnnen gexich⸗ tet werden. Dieſe haben ihre Schild⸗Zapffen — we 4 mde, J Aaa 4 752 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. weder in der Mitten, oder an dem Boden; wenn jenes, ſo werden ſie hangende Moͤrſer, und wenn dieſes, ſte⸗ hende Moͤrſer genennet. “ Zuſatz. §. 44. Fuß⸗Moͤrſer koͤnnen nicht nach einer be⸗ ſtimmten Gegend gerichtet werden, folglich haben unter dieſer Beſtimmung die Laffeten⸗Moͤrſer fuͤr den Fuß⸗Moͤrſern einen Vorzug. Anmerckung. §. 45. Laffeten⸗Moöoͤrſer koͤnnen auf gleiche Art gerichtet werden, wie das Richten der Stuͤcke §. 38. beſchrieben worden. Erklaͤrung. . §. 46. Hohle Kugeln, welche mit Pulver ange geſchlagen wird, (dieſe heiſt die Bratzd⸗ Roͤhre) die mit einem beſondern Brand zu fuͤllen, welcher aus 1 Theil Schwefel, 3. Theil Mehl⸗Pulver, 2 Theile Salpeter mit Brand⸗ Wein vermiſchet zu verfertigen, werden Granaten genennet. Groſſe eiſerne Grana⸗ ten heiſſen Bomben, und kleine, welche mit der Hand koͤnnen geworffen werden, Hand⸗Granaten. Aufgabe. §. 47. Einen Moͤrſer zu laden. Aufloͤſung. 1) Wenn die Kammer rein gemacht, und die Reuͤ⸗ me⸗Nadel in das Zuͤndloch geſtecket worden, ſo ſchuͤt⸗ tet die gehoͤrige Ladung in die Kammer. Nehmet nemlich zu weiten Wuͤrffen 21 oder 3 Loth Pirſch⸗Pul⸗ ver auf 1 Pfund Eiſen; woller ihr nicht weit werffen, ſo muͤſſet ihr das Pulver nach Beſchaffenheit der Um⸗ ſtaͤnde abbrechen. 2) Fuͤllet let werden, und in deren Mund⸗Loch eine hohle Roͤhre Erſte Gril 2) Klet Heu tder undſtuupfe ) Heere letundhieri Gand. K ſchuͤttet nen △ Here quf alen & laden. diejenigen, ve koͤnnen. D zut Luſtebran 1¹) Mn wiſe Hererir. 2) Mluu Ulff, der non 3) De Dem ft,ſachene 1 d . Dend P 1 Mac celonnen De dunten D llanden Miben. 50. S. 2 u F lnd n ſchef⸗ bennel deſ⸗ Gent ſgleten Mtee lrtgene⸗ D t ant NeNRe ,) ls! Theite en wirfft, ſolchen zu verfinſtern. tane r Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 753 2) Fuͤllet auf das Pulver die Kammer mit Werck, Heu oder Stroh, auf dieſen Vorſchlag ſchuͤttet Sand, und ſtampfet alles feſte, bis die Kammer voll iſt. 3) Hierauf ſetzet eine runde Raſe, ſo den Keſſel fuͤl⸗ let, und hierauf ſtampffet wiederum 1 bis 2 Finger hoch Sand. Koͤnnt ihr aber keinen Raſen bekommen, ſo ſchuͤttet mehr Sand hinein, und ſtampfet alles feſte. 4) Hierauf ſetzet die Bombe, und verſtopffet dieſe auf allen Seiten feſt mit Sand; ſo iſtider Moͤrſer ge⸗ laden. MGMU P R Erklaͤrung. §. 48. Durch die Feuer⸗Kugeln verſtehet man diejenigen, welche angezuͤndet werden, und brennen foͤnnen. Dieſe werden entweder zum Ernſt oder zur Luſt gebrauchet. Zur erſten Abſicht braucht man 1¹) Die Brand⸗Bugeln, durch deren Huͤlffe ge⸗ wiſſe Oerter in der Ferne angeſtecket werden. 2) Die Leucht⸗AKugeln, die man an einen Ort wirfft, den man erleuchten wil. 3) Die Dampff⸗Kugeln, die man an einen Ort 1. Anmerckung. §. 49. Brand⸗Kugeln werden alſo verfertiget. 1) Machet in einer eiſernen Kugel lauter Loͤcher, in dieſe ſtecket Lunten, die in Salpeter gekochet. 2) Die Kugel fuͤllet mit einem Brand, ſo, daß an dieſen die Lunten zu liegen kommen. 3) An die Kugel koͤnnet ihr Hacken machen, damit die Ku⸗ gel an dem Gebaͤude, welches ſie anzuͤnden ſoll, koͤnne haͤngen bleiben. = 2. Anmerckung. §. 50. Satz zu Leucht⸗Kugeln. 2 Pfund vom zerſchmoltzenen Antimom . 4 Pfund Salpeter. mo ⁶5 Pfund Schwefel. 4 Pfund Kohlen; dieſes miſchet mit zer nittenen Werck und mit Brand⸗Wein unter einandex. ſe⸗ D Aaa §5 3 An⸗ „7 ½4 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. . 3. Anmerckung. L. 51. Satz zu Dampff⸗Kugeln. Hartz, ungelaͤuterter Salpeter und Schwefel, von jedem gleichviel, von der gantzen Maſſe den 4ten Theil Kohlen; vermiſchet alles mit zerſchnittenen Werck. Erklaͤrung. . 6. 52. Dieſe Ernſt⸗Kugeln koͤnnen ent weder mit der Hand geworffen werden und heiſſen Hand⸗Ru⸗ geln, oder ſie muͤſſen durch Geſchuͤtze geworffen wer⸗ den; da nun dieſe Geſchuͤtze keine andere Abſicht ha⸗ ben, als daß ſie die Kugeln nach einen gewiſſen Ort werffen ſollen, und alle Schuͤſſe durch einen Bogen⸗ Schuß weiter gehen, als durch einen Kern⸗Schuß: ſo hat man ſolche Kugeln zu werffen gantz kurtze Ge⸗ ſchuͤtze erwehlet. Haben nun dieſe einen laͤngern Flug als die Moͤrſer, ſo werden ſie Saubitzen genennet. 2 . Erklaͤrung. §. 3. Unter die Feuer⸗Kugeln, welche zum Ver⸗ gnuͤgen gebraucht werden, ſind vornemlich die Ka⸗ cketen und Schwaͤrmer zu zehlen, als welches ein Luſt⸗Feuer⸗Werck, in Geſtalt eines Cylinders, welches, wenn es angezuͤndet wird, in die Hoͤhe ſtei⸗ get, bis es mit einem Knall verloͤſchet. Und ſind die Schwaͤrmer und Racketen nur in Anſehung des Satzes unterſchieden, welcher das Steigen be⸗ ſtimmet. Anmerckung. 5. 54. Braun giebt in ſeiner Artillerie folgende Saͤtze zu Schwaͤrmern und Racketen an. Schwaͤrmer⸗Satz Ein Schwaͤrmer⸗Satz der Mehl⸗Pulver⸗ 1 Pfund. auf dem Waſſer laͤufft. Kohlen ⸗„ „ 2 Loth. Salpeter ⸗ koth. Schwefel ⸗ Loth. Kohlen .⸗ 3 Loth. EAl N ſht. 6e vore Del ge htfoekt Hondd⸗ Norſen etpſſrt ene enn kund eu⸗ Geub W W dece⸗ eO 69 ſen to Een. 6n ſirt 1 1 16 l Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 755 Saͤtze zu ſchwartzen Racketen. . Von 8⁸ Lothen. Von halben Pfunden. Einpfuͤndige. Mehl⸗Pulver 6 Loth. Mehl⸗Pulver 3 Pf. Mehl⸗Pulver 48 Loth. Salpeter ⸗ 1 Loth. Salpeter ⸗ 2 Pf. Salpeter ⸗ 4 Loth. Schwefel ⸗ 1Loth. Schwefel ⸗ 1 Loth. Schwefel⸗ 2 Loth. Kohlen⸗⸗ r Loth. Kohlen⸗⸗ 1 Pf. Kohlen ⸗ Loth. Zwey pfuͤndige Dreypfuͤndige. Mehl⸗Pulver 2 Pfund. Mehl⸗Pulver ⸗ 64 Loth. Salpeter⸗ 1 Pf. 8 Loth. Salpeter ⸗⸗ 10 Loth. Schwefel⸗ 2 Loth. Schwefel ⸗⸗ 7 Loth. Kohlen ⸗ 17 Loth. Kohlen ⸗ ⸗ 21 Loth. Viier bis fünfpfuͤndige. Mehl⸗Pulver ⸗ 1 Pfund. Salpeter ⸗ ⸗ 16 Loth. Schwefel⸗ ⸗ ALoth. Kohlen ⸗ ⸗ 66 Loth. Weiſſe Racketen⸗ESaͤtze. Salpeter 2 Pfund 8 Loth. Salpeter ⸗ 18 Loth. Schwefel 16 Loth. Schwefel ⸗ 2 Loth. Kohlen 28 Loth. Kohlen ⸗ ⸗ 6 Loth. Antimonium 8 Loth. Meßing Feil⸗Spaͤne 1 Loth. Ein blutrother Racketen⸗Satz. Mehl⸗Pulver 1 Pfund 8 Loth. Geſchmoltzen Zeug 10 Loth. Salpeter 8 Loth. Bernſtein ⸗ ⸗ ALoth. Linden⸗Kohlen 18 Loth. Blutſtei ⸗ ⸗ 7 Loth. Zunder 20 Loth. Hiebey iſt zu mercken, daß der Blutſtein muͤſſe gluͤend gemacht, und im Waſſer abgekuͤhlet werden. Ferner daß der Salpeter muͤſſe geſchmoltzen, und alsdenn der Blutſtein darin klein zer⸗ ſtoſſen werden. . Erklaͤrung. §. 55. Zur Verfertigung der Schwaͤrmer und Ra⸗ cketen wird erfodert 1) die Buͤlſe, welche ein hohle Cylinder von Papier, ſo mit Pulver gefuͤllet wird. 2 Der Racketen⸗Stock, welches die Form, worinnen die Huͤlſen zu denen Racketen geſchlagen werden. 3) Der Winder, welches der Cylinder, um welchen die Huͤlſe gewunden wird. 4) Der Setzer, wodurch die Ladung in der Huͤlſe zuſammengeſtoſſen wird. Auß uf⸗ 756 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. Aufgabe. §. 56. Einen Racketen⸗Stock mit dem Zugehoͤr zu verfertigen. . Aufloͤſung. 1) Laſſet von harten Holtz einen ausgehoͤhlten Cylinder, Tob. Araäl. der unten zu iſt, wovon Pie 6. das Profil, in folgender Pro⸗ 8. 0. portion drehen. 1) Aà der Stock 7 oder 9 Mund lang. 2) BB der Fuß 2 Mund lang. 3) Cdie Wartze 1 Mund lang. 4) D das Zaͤpffelein 3 Mund hoch und breit. Fig. 7. 2) Laſſet einen cylindriſchen Stab drehen, wie Pig. 7. 5 zeiget, deſſen Dicke 4 bis von der Muͤndung, und deſſen Laͤnge bis an den Abſatz, wenn der Stock? Mund, 8 Mund lang, und wenn der Stock9 Mund, 10 bis 11 Mund lang, ſo habt ihr den Winder. Fig. 8. 3) Den Saͤtzer machet einen Mund kuͤrtzer, und etwas duͤnner als den Winder. Aufgabe. §. 57. Eine Rackete zu verfertigen. Aufloͤſung. 1) Verfertiget die Huͤlſe auf folgende Art. Leimet gu⸗ tes Papier zwiefach auf einander, wenn es trocken, ſo ſchnei⸗ det es zur Rackete ſo groß, als es darzu noͤthig, windet ſol⸗ ches auf dem Winder, und wenn das Papier im Stock zurecht gemacht, ſo ziehet den Halß zu, doch ſo, daß ein kleines Loch darin bleibet, alsdenn verleimet den Bind⸗Faden um den Halß. Tuncket den Halß oben in Leim, damit ſich das Papier in Schlagen der Rackete nicht niedergiebet. 2) Fuͤllet, oder nach gewoͤhnlicher Art zu reden, ſchlaget die Rackete auf folgende Art. Die Huͤlſe ohne den Halß thei⸗ let in 3 gleiche Theile, ½ ſchlaget voll Saltz. Hierauf ſetzet eine kleine Scheibe, die in der Mitten ein Loch hat, und ſich vollkommen in die Huͤlſe paſſet. Ueber dieſe Scheibe fuͤllet die gantze Huͤlſe mit Pirſch⸗Pulver, welches der Schlag genennet Nid, alsdenn! bindet die Huͤlſe zu, und verleimet ſolche oben. 3) Wollet ihr die Rackete gebrauchen . Bob. e danzuge Hölten er ſolgenten. breit. en, wle 19, h Nund Ne. 11 Muits 1, Anl Leint⸗ n ſeſt n wirdet⸗ Siten feneH ſettig 1 Ns N Gon ft⸗ tufſet rn tgnnn ſne ſ Ne Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 757 22) Bohret den Satz, von unten auf nach dem Schlag, zwey Mund lang. ) Den oberſten Mund des Satzes, welcher nicht ge⸗ bohret, theilet in 3 gleiche Theile. L In dem zweyten Theil von unten auf bohret um die Leſe drey Loͤcher, mit einem kleinen Bohrer bis an dem atz. 4) Unter dieſe Locher macht um die Huͤlſe einen Krantz, der mit dicken Papier rund umleimet. e) Fuͤllet dieſen Krantz mit Schwaͤrmern, umſchuͤttet ſolche mit Mehl⸗Pulver, und ſtopffet alles mit geklopfften Kah haaren feſte zuſammen. f) Nachdem dieſes zugebunden, ſo bindet die Rachete an einen Stab, ſo von leichtem und trockenem Holtze gema⸗ chet, oben 3 und unten von dem Mund der Racketen ſtarck, und 7 mahl der RNackete lang, ſo iſt alles bis zum Anzuͤnden Anmerckung. . 58. Nach der erſten und zweyten Regel werden auck die Schwaͤrmer verfertiget; nur iſt dabey ſolgende Brorde⸗ Die Muͤndung iſt ſo groß als ein halbes zu 1. 1 i halbes zu 2. 3 Loch Bley⸗ 5 zn 1. und ein Die Plle⸗ Mundlang. Der Keſſel ein Mund. Der Satz drey Mund. Der Schlag mit dem Kopff drey Mund. Aufgabe. §K. 59. Einen brennenden Nahmen, oder eine andere brennende Figur zu machen. Aufl ſung. 1) Bieget den Nahmen oder die Figur von ſtarcken eiſer⸗ nen Drath⸗ Fig on ſtarcken eiſer⸗ 2) Schmeltzet 1 Pfund Schwefel, und vermiſchet mit die⸗ ſem 12 Loth klein geſtoſſenen Salpeter und 4Loth klein geſtofſe⸗ nen Antimonium. 3) In dieſe Maſſe leget eine Klaffter von lucker geſponne⸗ ner Lunten, und laſſet dieſe ſo lange darin liegen, bis ſie alles an ſich gezogen. 4) Nehmet dieſe Lunte heraus leget ſie auf glatte Breter und uͤberſtreuet ſolche mit geſtoſſenen ete ⸗Pulver. 3) Iſt 758 Erſte Gruͤnde der Artillerie⸗Wiſſenſchafft. 5⁵) Iſt ſie trocken geworden, ſo umwindet damit den aus Eiſen verfertigen Nahmen, oder die verfertigte Fi ur und alsdenn befeſtiget ſolche an ein Bret, ſo daß ſie6 Zoll von dem⸗ ſelben abſtehet. Dieſes umwindet mit duͤnnen Drath, damit alles gleich lange brennen koͤnne. . 66) Ueberziehet den Nahmen mit einem Teig von Mehl⸗ . Pulver und Brand⸗Wein verfertiget. Und damit der Regen nicht ſchaden koͤnne, ſo umwindet alles mit ſchoͤnen reinen Pa⸗ ” pier, welches vorher in Lein⸗Oel getraͤncket. 7) Damit das Bret nicht anfange zu brennen, ſouͤberzie⸗ het ſolches mit einem Brey, welcher aus Ziegel⸗Mehl, Aſche . und Feil⸗Spaͤnen mit Leim⸗Waſſer gekochet worden. Anmerckung. §. 60. Wer mehr von den Feuer⸗Wercken zu wiſſen verlan⸗ get, der kan Brauns und Buͤchners Artillerie mit Nutzen leſen. Erklaͤrung. d. S. 61. Die Mienen ſind unter der Erde gegrabene Keller, die man mit etlichen Tonnen oder Saͤcken Pul⸗ der fuͤllet, um die auf dem Keller liegende Laſt in die Lufft zu ſprengen, wenn das Pulver angezuͤndet worden. Anmerckung. §. 62. Die Hand⸗Griffe, welche bey deren Verfertigung zu gebrauchen, will in den Fuͤrleſungen zeigen. Erfahrung. z. 63. Iſt die Miene zu ſcharff geladen, ſo ma⸗ chet ſie nur eine enge Grube, deren Diameter nicht roͤſſer als die Weite der Kammer. Iſt ſie zu chwach geladen, ſo machet ſie nur eine kleine Er⸗ ſchuͤtterung auf der ſchwaͤchſten Seite. Hat ſie aber rechte Ladung, ſo ſprenget ſie alles, was um die KRammer gelegen, mit in die Hoͤhe. Anmerckung. §z. 66. water eet n de Erfahrung emer gei⸗ daß in einer Miene fuͤr jede Cubic⸗Ruthe, franzoͤſiſch, das iſt 21. * Cubic⸗Schuh, erfodert werden. hee kranisſiſch. Lockere Erde 9 bis 10 Sandichte Erbe 12 bis 14 Thon 15 bis 16 f Pulver. Neues Mauer⸗Werck 15 bis 20 . Aund g Altes Manet⸗Weyck 25 bis 30 ELE- enſchafte dannit dan rtigte Fent es ltente 1 en Nothter Teig bitce damt dene Snentein⸗ nnen, ſlbe⸗ gel⸗ Nh wporden. ſtie⸗ utite⸗ rde gette Sic Nendebi, norhen. Getferhcnn jame I e in b⸗ . 6 es/N 4 ELE M E NT A ARCHITECTVRAE MILITARIS Oder Erſte Gruͤnde Der Kriegs⸗Bau⸗Kunſt. acif net. 1 len he 1. wie n den Muu lente Erſte Gründe Kriegs⸗Bau⸗Kunſt. Erſter Abſchnitt. . Von den J Grund⸗Regeln der Fortification. Erklaͤrung. Ewir vertheidigen uns, indem wir Mittel gebrauchen vorſtehende Uebel von uns *abzulehnen. Wenn jemand eine Be⸗ gierde blicken laͤſt, uns einen Schaden NHI zuzufuͤgen, ſo wird geſaget, daß er uns angegriffen, und wird daher unſer Feind genen⸗ net. Juſatz. §. 2. Wir vertheidigen uns wider den, der uns angegriffen, wenn wir den Schaden, welchen er uns zufuͤgen wollen, von uns ablehnen. Erklaͤrung. 5§. 3. Wir geben unſerm Feinde eine Bloͤſſe, wenn wir ihm Gelegenheit geben, uns alſo einen Scha⸗ den zuzufuͤgen, daß wir ſolchen nicht von uns ab⸗ lehnen koͤnnen. Bbb Lehr⸗ aasnusbag 762 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln §. 4. Wer ſich vertheidigen will, der muß ſei⸗ nem Feinde keine Bloͤſſe geben. Beweiß. Dieſes Haupt⸗Geſetze der Vertheidigung iſt eine unmittelbare Folge aus dem §. a. und 3. §. F. Sollen ſich wenige gegen viele vertheidigen, ſo erfodert das Haupt⸗Geſetze von der Vertheidi⸗ gung, daß ſie ſich alſo ſtellen muͤſſen, daß der Feind, ihnen Schaden zuzufuͤgen, keinen Ort finde, von wel⸗ chem ſie nicht den bevorſtehenden Schaden bequem ab⸗ lehnen koͤnnen (§. 3. 4.). 2. Juſatz. §. 6. Geher die Vertheidigung langſam, ſo giebt man in der That dem Feinde eine Bloͤſſe (§. 3.). Sol⸗ len ſich demnach wenige wider viele vertheidigen, ſo muͤſſen ſich dieſe wenige alſo ſtellen, daß ſie ſich wider einen jeden Angriff ſo ſchnell, als es moͤglich iſt, verthei⸗ digen, und alſo diejenigen Mittel zur Vertheidigung gebrauchen koͤnnen, deren Gebrauch die geringſte Muͤ⸗ he verurſachet. J. 7. Die wenige, welche ſich wider viele verthei⸗ digen ſollen, koͤnnen entweder ihre Perſon durch aͤu⸗ ſere Mittel bedecken, oder nicht. Sollte das letzte ſeyn, ſo wird unmittelbar aus dem §. F. erhellen, daß der groͤſte Vortheil bey der Vertheidigung in der Lage der Perſonen zu ſuchen. Sollte das erſte ſeyn, ſo wird man nicht nur ohne Beweiß geſtehen, daß dieſes viel dortheilhaffter ſey als jenes; ſondern man wird auch durch den 4. 5. und 6. bewogen werden, folgende aͤtze zubehaupten: . Sac 3 Hauhten 1) Die 4 1)De 1) Dede Uer Bedetung er tunnen. 9 DeH ſn. d Die mſſen nicht mananzegr Nhnetde ſeinen Fein Gberſe ſtide 66) 69 der lehemitde 1 ufae 13) De ßſede käune, 9 D nanvonh eebert 3) Die lunen der nd⸗ Nye der Fortification. 763 1¹) Die Bedeckung muß ſo ſtarck ſeyn, daß ſie dem il, der ni. Angriff des Feindes widerſtehen kan. 2) Die Vertheidiger muͤſſen einen jeden Punct ih⸗ rer Bedeckung mit den geringſten Mitteln vertheidi⸗ heidigmnee gen koͤnnen. undz, 3) Die Bedeckung muß an allen Orten gleich ſtarck ſeyn. Lehr⸗Satz. victeteig 5. 3. Die Mittel, womit man ſich vertheidiget, e muͤſſen nicht ſchwaͤcher ſeyn, als die Mittel, womit n, Nie man angegriffen wird. dn Beeweiß. hdee Nehmet das Gegentheil, ſo wird der Vertheidiger ſeinem Feinde eine Bloͤſſe geben (§. 3.). Dieſes aber iſt wider die Haupt⸗ Geſetze der Vertheidigungs ſnhbn, ſ (§. 4.). Erfahrung. elteſigin. S. 9. Der Angriff im Kriege geſchiehet heutiges sſeſchr Tages mit dem Pulver⸗Geſchuͤtze. Zuſatz. ie 58. 10. Und alſo koͤnnen wir in der Kriegs⸗Bau⸗ ee Kunſt folgende Regeln feſt ſetzen: 15) Die beſtimmte Bedeckung muß ſo ſtarck ſeyn, daß ſie der Gewalt des groͤbſten Geſchutzes widerſtehen Uitrnie koͤnne. Peſen D 2) Dieſe Bedeckung muß alſo gebauet werden, daß 6 e ℳ man von derſelben einen jeden Punct mit einer Mus⸗ gi quete vertheidigen koͤnne. guitl 3) Dieſe Bedeckung muß an allen Orten gleich ſtarck cfre koͤnnen vertheidiget werden. ſoniuit 4) Die Koſten, womit dieſe Bedeckung aufgefuͤhret 4 te und vertheidiget wird, muͤſſen nicht groͤſſer ſeyn, als der mn/CSchaden iſt, welcher aus der Uncerlaſtuns der Verthei⸗ digung entſtehet. DRDWZ Bbb 2 Ar⸗ 764 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Vrklaͤrung. §. 11. Eine Bedeckung, welche von Erde aufgeſuͤh⸗ ret wird, heiſt der Wall. Dieſer ſoll entweder nur die Vertheidiger, oder auch einen gewiſſen Ort z. E. eine Stadt bedecken. Iſt das erſte, ſo wird er die Bruſt⸗ Wehre (Parapet) genennet. Iſt das zweyte, ſo wird der Wall in zwey Theile getheilet. Der medrige Theil des Walles gegen die Stadt, ſo zur Bedeckung der Stadt dienet, heiſt der Wallgang (Terreplein), und der hohe Theil, dadurch die Beſatzung wider das Schieſſen des Feindes bedecket wird, hat die Abſicht der Bruſtwehre, und wird auch daher die Bruſtwehr genennte. . Lehr⸗Satz. §. 12. Die heutige Attaque erfodert, daß ein Wall aufgeworffen werde, wenn man einen Ort oder die Vertheidiger bedecken will. Beweiß. Unterſuchet alle Arten, wie eine Stadt oder eine Mannſchafft koͤnne bedecket werden, ſo werdet ihr uͤber⸗ all finden, daß keine bequemer als dieſjenige, welche von Erde aufgefuͤhret worden, zumahl die uͤbrigen entwe⸗ der nicht vermoͤgend der Gewalt des groben Geſchuͤtzes zu widerſtehen, oder auch zu koſtbar. Da nun beydes der Vollkommenheit der verlangten Bedeckung wider⸗ ſpricht (§. 10.), und diejenige, welche von Erde aufge⸗ fuͤhret worden, wenn ſie ihre gehoͤrige Staͤrcke bekom⸗ men, ſo wohl der erſten Abſicht gemaͤß, als auch die wenigſten Koſten verurſachet, ſo wird man durch die heutige Attaque genoͤthiget, den Wall allen uͤbrigen Be⸗ deckungen von beſtimmter Art vorzuziehen (§. 11 ). Lehr⸗Satz. 5. 13. Die Bruſtwehr muß 6 bis 7 Schuh hoch, und 20 bis 24 Schuh dicke ſenyy. Be⸗ Dasa⸗ Wuhrl der tege gungri enennet Des dengenn eſemnl berſche ſohl, Mnp Gcite . Br he dektre kel Hohen I mideig Wal Not der Fortification. 76 wbeug Das erſte wird von der Haupt⸗Abſicht der Bruſt⸗ Nun Wehr (§. 11.), und das zweyte von der Beſchaffenheit ſunig der Altaaue (S. 10.) erſodert. Nen ewene S§. 14. Die Bruſt⸗Wehr muß gegen die Beſa⸗ unedig Bung einige Stuffen haben, welche die Banquets Betn Benennet werden. Terkde Beweiß. gun momm Die Beſatzung ſol ſich von der Bruſt⸗Wehr wider hatſege den Feind mit Schieſſen vertheidigen koͤnnen. Wo iſt die u dieſes moͤglich, wenn ſie nicht uͤber die Bruſt⸗Wehr hin⸗ uͤber ſehen kan? Da nun aber die Bruſt⸗Wehr Mann hoch (§. 13.); ſo iſt noͤthig, daß an derſelben gegen die det, Ba i einige Stuffen gemacht werden. W. Z. §. 15. Ein Banquet muß 3 Schuh breit und 1 mnde Negen dcder Schuh hoch ſyy. dchel Erklaru ng. dte §. 16. Es wird geſaget, daß der Feind unter die ſeeee Stuͤcke geruͤcket, wenn aus denſelben keine Schuͤſſe geſchehen koͤnnen, welche nicht uͤber den Kopf des Fei de . ZBZBufakz. K. 17. Wenn ſich demnach die Vertheidi er alſo i geſtellet, daß der Feind unter ihre Stückeruͤcken kan, ſo haben ſe dem denne en Vuſ. gegeben (. 3.). edh Lehr⸗Satz. End §. 18. Die Bruſt⸗Wehr muß gegen den Feind niedriger ſeyn, als gegen die Beſatzung, und der Wall muß nicht hoͤher ge⸗ , ſtihe Noth erfodert. he gemacht werden, als es die 766 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Beweiß. Machet die Bruſt⸗Wehr in ihrer Breite gleich hoch oder auch gegen den Feind hoͤher, als gegen die Beſa⸗ tzung; ſo werdet ihr dem Feinde Gelegenheit geben, daß er leicht unter die Stuͤcke ruͤcken koͤnne (§. 16.). Da nun dieſes der Vollkommenheit der Bruſt⸗Wehr widerſpricht (§H. 17. 4.): ſo wird von dieſer Vollkommenheit erfodert, daß die Bruſt⸗Mehr ge⸗ gen den Feind niedriger ſey, als gegen die Beſatzung. Iſt der Wal ſehr hoch, ſo wird man wiederum dem Feinde Gelegenheit geben, daß er leicht unter die Stuͤ⸗ cke ruͤcken koͤnne (§. 16.); folglich wird auch dieſes von der Vollkommenheit des Walles erfodert, daß er ucht ohne Noth iu hoch gemacht werde (§. 17. 4.). . Zuſatz. 8.19. Die Bruſt⸗Wehr muß gegen den Feind 2 bis 3 Schuh niedriger ſeyn, als gegen die Be⸗ 5. 20. Erfodern die Umſtaͤnde, daß der Wall hoch gemacht werde, ſo erfodert auch die Vollkom⸗ menheit des Walles, daß vor der Haupt⸗Bruſt⸗ Wehr eine andere geleget werde, welche niedriger iſt, als jene, und von welcher man den Feind hori⸗ zontal beſchieſſen kan. Tehr⸗Satz. “ §. 21. An der Bruſt⸗Wehr, wo die Beſatzung ſtehet, muß eine ebene Flaͤche ſeyn, welche ſo breit iſt, daß das Geſchuͤtze darauf ſtehen, und von der Beſatzung zur Vertheidigung koͤnne ge⸗ braucht werden. Be⸗ 4 D Weld Weft witdeut unhos rigſe 9. hoͤher vone Y ſud Torn at Ggrn rche 8 1. 4 ſick unt ſach Kd c⸗ tund⸗ Regen Breitegeec⸗ als gegen ded Gelegethers n konne le der Buuſe wild vor Bkuſ⸗Ne⸗ en die e 1r wiedenn t unter dauch tfodett/ lde (K aen ben den egen die 4. uß de die W aupti che e n N devr gen,, tonn, 6 der Fortification. 767 Beweiß. Weil die Bruſt⸗Wehr zu dem Ende aufgeworffen wird, daß ſich die Beſatzung hinter dieſelbe wider den Angriff des Feindes vertheidigen koͤnne (S. 11.); ſo wird auch dieſer Lehr⸗Satz als eine unmittelbare Folge durch die Abſicht der Bruſt⸗Wehr beſtaͤtiget. Zuſatz. d. 22. Hieraus folget, daß der Wallgang zum we⸗ nigſten 20 bis 30 Schuh breit ſeyn muͤſſe (§. 11.). Lehr⸗Satz.: §. 23. Niedrigere Bruſt⸗Wehren, welche vor hoͤhere geleget werden, muͤſſen durch einen Graben von einander abgeſondert werden. Beweiß. Waenn der Feind die obere Bruſt⸗Wehre beſchieſſet, ſo faͤllt die Erde herunter. Sollte nun die untere Bruſt⸗ Wehr von der oberen nicht durch einen Graben abge⸗ ſondert ſeyn, ſo wuͤrde die herunterfallende Erde den Gang um die untere Bruſt⸗Wehr fuͤllen, und alſo dieſe er Bertheidigung ungeſchickt machen (H. 21.). W. Lehr⸗Satzt. L §. 24. Die auſſere Slaͤche eines Walles mu nicht perpendiculaͤr ſtehen, ſondern der Wall muß unten breiter ſeyn, als oben. Beweiß. Der Feind kan den Wall leichter einſchieſſen, wenn deſſen aͤuffere Flaͤche perpendiculaͤr ſtehet, als wenn der Wal unten breiter, wie oben iſt (§. 29. Mech). Je leichter der Feind den Walleinſchieſſen kan, deſto groͤſſer iſt die Unvollkommenheit des Walles (§. 11.). Folg⸗ lich erfodert die Vollkommenheit des Walles, daß es unten breiter ſey, als oben. W. Z. E. WMWM. Bhbb 4 Er⸗ 768 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗ Negeln Erklaͤrung. §. 25. Dieſe Schrage, welche der Wall amſeiner. aͤnſſeren Flaͤche bekommet, heiſt die Boͤſchung, Abda⸗ chung oder Droßirung (Talud.). Und der Unter⸗ ſcheid der oberen Breite des Walles von der untern heiſt die Anlage. Die Boͤſchung des Walles gegen den Feind heiſt die aͤuſſere Boͤſchung; und die Boͤſchung des Wallgangs nach dem Ort, welcher befeſtigert wor⸗ den, heiſt die innere Boͤſchung. ee el e der Anmerckung. Js. 26. Fuͤr. gutes Erdreich iſt die Anlage der aͤuſſeren Boͤ⸗ ſchung der halben; fuͤr mittelmaͤßiges „ und fuͤr ſchlimmes der gantzen Hoͤhe des Walles gleich. Die Anlage der innern Boͤſchung wird auch bey gutem Erdreich der Hoͤhe des Walles gleich gemacht, bey mittelmaͤßiger und ſchlimmer Erde mmuß Ke groſſer ſeny. S 2. Anmerckung. §. 27. Sollte es der Raum nicht erlauben, eine ſo groſſe Anlage des Walles zu machen, ſo muß man die Boͤſchung des Walles mit einer Mauer befeſtigen, und dieſe wird die Futter⸗ Mauer genennet. Wird dieſe gebraucht, ſo nimmt man bey guten Erdreich auf 67, bey mittelmaͤßigen auf 5', und bey . ſchlimmen auf 4, der Hoͤhe einen Schuh für die Anlage der Böͤſchung, und das Mauerwerck bekommt 3 oder auch wohl, wenn es nicht das beſte iſt, 2 2 der Hoͤhe zu ſeiner Bäſchung.n 4 Exk laͤrun g. S. 28. Die Vollt mmenheit der Bruſt Wehr enranert daß man dem Feinde den Angriſſ derſel⸗ ben iſs beſchwerlich mache als es immer m Eglicht is Beweiß. Die Beſatzung ſoll ſich hinter der Bruſt⸗ Wehr wi⸗ der den Angriff des Feindes vertheidigen (§. 11.). Je Aeichter demnach dieſe Vertheidigung geſchehen i J₰ Il deſtogehe Rbeſchoe Wehrgen hirter der Jolkonmn deden An mer moͤgt 2 aim mel wird d ſchwerl tmenhe, liſeden iſ onen 1)W ter geſtn des G Draſt derd v S enn A (d ds dert Ren Rege⸗ Vollote hungt 1d derle er uoten s gerl dieNr ſeoer infens für ſchie ſagedete bede ſer Ee ſo gten ſhung. Wedur Gtne 5,umt e t et en 6 6 der Fortification. 769 deſto groͤſſer iſt die Vollkommenheit der Bruſt⸗Wehr. Je beſchwerlicher dem Feinde der Angriff der Bruſt⸗ Wehr gemacht wird, deſto leichter kan ſich die Beſatzung hinter derſelben vertheidigen. Folglich erfodert die Vollkommenheit der Bruſt⸗Wehr, daß man dem Fein⸗ de den Angriff derſelben ſo beſchwerlich mache, als im⸗ mer moͤglich iſt. 1. Juſatz. 8S. G29. Durch Palliſaden, Spaniſche⸗Reuter und anm meiſten durch einen wohl ausgeworffenen Graben wird der Angriff der Bruſt;Wehr dem Feinde be⸗ ſchwerlich gemacht. Folglich erfodert die Vollkom⸗ menheit der Bruſt⸗Wehr, daß man an deſſen Fuß Pal⸗ liſaden, oder Spaniſche⸗Reuter, oder, wo es moͤglich iſt, einen Graben mache. 5. 320. Hieraus erhellet, S 1) Wie weit der Graben ein Haupt⸗Stuͤck bey ei⸗ ner Feſtung ſey. 2) Daß eine ſtarcke Feſtung eine ſtarcke Defenſion des Grabens erfodere. “ Lehr⸗Satz. §. 31. Der Graben muß von dem Fuſſe der Bruſt⸗Wehr durch einen ebenen Gang abgeſon⸗ dert werden. äl Beweiß. Sollte der Graben unmittelbar an dem Fuſſe der Bruſt⸗Wehr ſtoſſen; ſo wuͤrde nicht nur der Wall, wenn er ſich ſetzet, einfallen, und den Graben fuͤllen, ſon⸗ dern auch der Feind wuͤrde durch das Einſchieſſen der Bruſt⸗Wehr den Graben mit leichter Muͤhe fuͤllen,und alſo durchgehen koͤrnen. Da nun beydes der Abſicht des Grabens zuwider iſt (§. 29. 30.): ſo iſt es klar, daß der Graben von dem Fuſſe der Bruſt⸗Wehr durch ei⸗ nen ebenen Gang abzuſodern. W. Z. E. W. BbbS Er⸗ 770 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Erklaͤrung. §. 32. Dieſer Gang um dem Fuß des Walles unten an dem Graben wird die Berme (Berme) genennet. Zuſatz. §. 33. Aus der Abſicht der Berme folget, 1) Daß ſolche nicht unter 6 Schuh breit ſeyn muͤſſe. 2) Daß ſolche an dem Graben entweder mit le⸗ bendigen Dornen⸗Hecken zu beſetzen, oder zu ver⸗ palliſadiren. Zehr⸗Satz. §. 34. Die Breite des Grabens um der Bruſt⸗ Wehr muß ſo groß ſeyn, daß der Feind uͤber denſel⸗ ben keine Baͤume legen koͤnne; und die LTieffe des Grabens muß nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde alſo eingerichtet werden, daß der Feind denſelben nicht fuͤllen koͤnne. “ bens (§. 28. 29. 30.). Zuſatz. §. 35. Hieraus erhellet, warum die Breite des Grabens, welcher zur Vertheidigung einer Bruſtwehr dienen ſoll, nicht untrr 6 wohl aber bis 120 breit ſeyn Erkläͤrung. 5. 36. Die Urſache, warum die Bruſt⸗Wehr eine Boͤſchung haben ſoll (§. 24.), iſt auch bey dem Gra⸗ ben zu finden. Daher auch dieſer mit einer Boͤſchung zu verſehen. Die innere Boͤſchung des Grabens nach der Bruſt⸗Wehr des Walles heiſt la ſcarpe, und die aͤuſſerliche Boͤſchung des Grabens nach der Gegend, wo der Feind ſtehet, wird la contre ſcarpe genennet. Zu⸗ 4. ſtar vor 8 ſod der kon ſn Nerg Beydes folget unmittelbar aus der Abſicht des Gra⸗ e ODtb rie uad W v velche auch der Unter⸗Wall genennet wird. Denn der Fortification. 771 §. 37. Die Contreſcarpe muß von der Bruſtwehr, unm welche der Graben gefuͤhret worden, vollkommen koͤnnen vertheidiget werden (§. 30. 28.). Anmerckung. §. 38. Es iſt zwar ein allgemeines Sprich⸗Wort, Contre⸗ ſcarpe verlohren alles verlohren es erhellet aber aus dem vorhergehenden, daß dieſes falſch ſey. Lechr⸗Satz. 8. 39. Die Vollkommenheit einer Feſtung er⸗ fodert, daß man die Graben aufs hoͤchſte in der Hoͤhe eines Mannes horizontal beſchieſſen ge ſbeſſer der Anmarſch des Feindes zur Contre⸗ ſcarpe zu verhindern, deſto groͤſſer iſt die Vollkom⸗ menheit der Feſtung (§. 37.). Daß das beſte Mittel dieſen Anmarſch zu verhindern, wenn der Graben aufs hoͤchſte in der Hoͤhe eines Mannes horizontal koͤnne beſchoſſen werden, ſolches beſtaͤti⸗ get der Beweiß des §. 18. Folglich wird auch es V Vollkommendeit einer Feſtung erfodert. Zuruſatz. 5. 40. Sollte demnach die Bruſt⸗Wehr des Haupt⸗Walles zu hoch ſeyn, ſo erfodert die Voll⸗ kommenheit der Feſtung, daß vor dieſer eine niedrigere Bruſt⸗Wehr aufgefuͤhret werde, von welcher der Gra⸗ len auf die beſtimmte Art koͤnne beſchoſſen werden —Frklaͤrung. koͤnne. §. 41. Die ſes iſt der Grund von der Fauiſe braye, mon 772 Erſter Abſchnit, von den Grund ⸗Regeln man verſtehet dadurch eine niedrige Bruſt⸗Wehr, wel⸗ che vor einer erhabenen gelegt wird, um den Graben ho⸗ rizont al zu beſchieſſen. 1. Juſatz. m. 42. Die Fauſſe braye muß alle Eigenſchafften haben, welche von einer Bruſt⸗ Wehrſ ſin nd. nermieſen worden. J 2. zuſatz. ”Mä §. 43. Die Fauſſe braye muß von der hoͤhern . Deuſt⸗ Dehr durch e einen n Graben abgeſenger verden . 44. Die Fauſe braye wird von den Franzoſent in Fauſſe braye attachée und Fauſſe braye detachée eingetheilet. Von dieſem Unterſchiede kann in den Fuͤrleſungen nmmlkndcher de. redet werden. Lehr⸗Satz. . s. 4⁵. Alle Bruſt⸗Wehren muͤſſen an einem ſolchen Ort geleget werden, in deſſen Gegend keine Hoͤhen „von welchen ſi ie der Feind beſchieſſen kan. Beweiß. Sollten in der Gegend, wo Bruſt⸗ Wehren ufe fuͤhret werden, ſolche Hoͤhen ſeyn, von welchen derFeind die Bruſt⸗Wehren beſchieſſen kan, ſo wuͤrde ſich die Beſatzung mit der Bruſt⸗Wehr nicht bedecken koͤnnen. Dieſes aber iſt der Abſichtt der Bruſt⸗ Wehr zuwdder (8. 11.). §. 46. Die Bruſt⸗ Wwehren koͤnnen nichtin in einer Linie, oder auch wie ein Viel⸗Ecke nach den Seiten des Platzes fortgefuͤhret werden: ſondern man muß hin und wieder einige Wercke uͤber dem Wen weiter hinaus legen. 4 2 Negt ,Gene genſie⸗ ſnden 1 nlte ſſerits theiet ſterdlte , aſten Gegenn enat fe ue H teiee 6Gein untin gnln der Fortification. 773 Beweiß. Eine jede Linie an der Feſtung ſoll von einer andern mit einer Musqueten koͤnnen vertheidiget, oder wie man redet, beſtrichen werden (§. 10.). Wollte man nun die Bruſt⸗Wehre in einer Circul⸗Linie, oder in einer andern krummen in ſich ſelbſt lauffende Linie, oder auch nach den Seiten des Platzes in Geſtalt eines Viel⸗ Eckes herum fuͤhren, ſo wuͤrde dieſe Abſicht unmoͤglich koͤnnen erhalten werden. Erklaͤrung. §. 47. Die Wercke, welche uͤber den Wall weiter hinaus geleget werden, heiſſen Bollwercke oder Ba⸗ ſteyen (Baſtions.) Lehr⸗Satz. §. 48. Die Bollwercke muͤſſen ſpitzig zulauffen. Beweiiß. Nehmet das Gegentheil, ſo werdet ihr allezeit todt Winckel bekommen, das iſt, ihr werdet dem Feinde ei⸗ ne Bloͤſſe geben. Dieſes aber iſt der Vollkommenheit der Feſtungs⸗Wercke zuwider (§. 4..) Erklärung. “ §. 49. Die beyden aͤuſſerſten Linien, welche die Boll⸗ wercks Puncte oder Spitze formiren, werden die Ge⸗ ſichts⸗Linien (Façes) genenet. §. 50. Wenn der Feind die Spitze des Bollwercks weggeſchoſſen, ſo hat er einen todten Winckel dey dem Walle (§. per dem. §. 48.), folglich wird er die Faſen zu erſt mit ſeinem Geſchuͤtze angreiffen. Und alſo er⸗ fodert die Vollkommenheit einer Feſtung, daß man vornemlich auf die Vertheidigung der Faſen bedacht ſey. In ſolcher Abſicht iſt deren Groͤſſe aufs hoͤchſte 30 rheinlaͤndiſche Ruthen. 774 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln 2. Juſatz. 8. 51. Die Bollwercke werden uͤber den Wallwei⸗ ter herausgeleget (§. 47.) folglich kan man von den Fa⸗ ſen den Feind in der Weite am beſten beſchieſſen, und alſo muͤſſen ſie nicht gar zu klein ſeyn. In ſolcher Ab⸗ ſicht werden ſie nicht kleiner, als 24 rheinlaͤndiſche Ru⸗ then gemacht. Erklaͤrung. §. 52. Der Dheil des Walles, der zwiſchen zweyen Bollwercken lieget, wird die Cortine (l Counine) genennet. Zuſatz. §. 13. Die Cortine muß nicht laͤnger ſeyn, ale daß ſie von einem anſtoſſendem Bollwercke mit einem Musqueten Schuſſe kan beſtrichen werden (§. 10. 52.47.). Anmerckung. 54. In der hollaͤndiſchen Fortification wird ſie 36 rhelnchdiſ Ruthen lang gemacht. Ich finde aber keine Urſache dieſes Maaß bey den Cortinen als allgemein feſt zu ſetzen. Denn uͤberleget ihre Abſicht; dieſe wird erlauben, daß man ſelbige nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde kuͤrtzer machtn koͤnne. Lehr⸗Satz. §. 55. Die Bollwercke koͤnnen nicht aus bloſſn Faſen beſtehen. den Bew eiß. Wollet ihr die Bollwercke aus bloſſen Faſen machen, ſo werdet ihr beſtaͤndig todte Winckel bekommen, die⸗ ſes aber iſt dem Haupt⸗Grunde der Vertheidigung zu⸗ wider (F. 4). . Erklaͤrung. z. 56. Daher iſt es noͤthig, daß die Faſen in der Mitten gebrochen werden, woher die Bobwerckeze⸗ werck⸗ werde Focr. Mc; 6 egen auete 2☚1 daß S W e ele Peſc ſeden derth ert e u Wpe tir n nie ſte 4 die⸗ 6 ⸗Negen erden We⸗ man vonk beſchieſtt Inſee⸗ einländth der Fortification. 277 Theile bekommen. Die Theile, welche den Boll⸗ wercks⸗Punct formiren, behalten ihren Nahmen, das iſt, werden Faſen genennet. Und die Theile, welche dieſe Faſen an die Cortine anhaͤngen, werden Flanquen (les §. 57. Von der Flanque muß man die Kaſe des gegen uͤber ſtehenden Bollwercks mit einem Mus⸗ Flancs) genennet. queten Schuſſe vertheidigen koͤnnen. wwiſchene. (aa Cor lingerſin werkeni,i perden /5 en wird rde cber⸗ olgemeini rdetlelhee detürern hriuſ⸗ . e ſend Beweiß. Die Bollwercke werden zu dem Ende heraus geleget daß von dem einem das andere mit einem Musqueten Schuſſe zu vertheidigen (per dem. §. 46.). Dieſe Vertheidigung geſchiehet entweder von der Faſe, oder von der Flanque. Daß das erſte unmoͤglich, ſolches erhellet unmittelbar aus der Lage, vermoͤge welcher die Beſatzung ihre eigene Wercke einſchieſſen wuͤrde, wenn ſie von den Faſen die gegen uͤber ſtehende Bollwercke vertheidigen wollte. Folglich wird das andere erfo⸗ dert. Und alſo erhellet, daß die Flanquen alſo anzule⸗ gen, daß von denſelben die Faſen der gegen uͤber ſtehen⸗ den Bollwercke mit einem Musqueten Schuſſe koͤnne vertheidiget werden. W. Z. E. W. Zuſatz. d. 58. Der Musqueten⸗Schuß reicher ni 1 ter als 60 bis 70 rheinlaͤndiſche Rreichet ſce nrr⸗ muͤſſen die Flanquen alſo angeleget werden, daß die Li⸗ nie, welche von denſelben mit den Faſen der gegen uͤber ſtehenden Bollwercke parallel gezogen worden, nichte uüͤber 60 bis 70 rheinlaͤndiſche Ruthen ſind. Dð Erklaͤrung. §. 79. Die Defens⸗Linie oder Streich⸗Linie iſt diejenige Linie an einer Feſtung, welche der Musqueten⸗ Schuß gegen die Faſe parallel beſchreibet. Zu⸗ Tab. I. Pig. I. 776 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Zuſatz. §. 60. Folglich muß keine Defens⸗Kinie uͤber 60 bies 70 rheinlaͤndiſche Ruthen lang ſeyn (§. 58.). Lehr⸗ Sats. 5§. 61. Die Flanquen ſind vollkommener, wenn ſie perpendiculaͤr auf der Defens⸗LAinie, als wenn ſie perpendiculaͤr auf der Cortine ſtehen. Stehen die Flanquen perpendiculaͤr auf der Defens⸗ Linie; ſo koͤnnen alle Geſchuͤtze, welche die gegen uͤber ſtehende Faſe vertheidigen ſollen, von derſelben perpen⸗ diculaͤr ſchieſſen, dieſes aber iſt nicht moͤglich, wenn die Flanquen auf der Cortine perpendieulaͤr ſtehen (§. 59. 52.). Folglich koͤnnen in dem erſten Falle mehrere Schuͤſſe von der Flanque geſchehen, und die Stuͤcke koͤn⸗ nen auf derſelben leichter gerichtet werden, als in dem anderm Falle (§. 38. Art.). Welches vollkommen be⸗ ſtaͤtiget, daß die Flanquen weit vollkommener, wenn ſie perpendieulär auf der Defens⸗Linie, als wenn ſie perpendiculaͤr auf der Cortine ſtehen (§. 57.). W. 3 Erklaͤrung. §. 62. Anfangs ſetzte man die Flanquen perpendi⸗ culaͤr auf die Cortinen. Wenn nun die Faſe des uͤber⸗ ſtehenden Bollwercks Ab bis an die Cortine Hb ver⸗ laͤngert wurde bis in G, ſo wurde die Linie A Gdie ſtrei⸗ chende Defens⸗Linie (la ligne de defenſe ſtanquan- te), die Linie AH die beſtaͤndige Defens⸗Linie (la ligne de defenſe fiſchante), und das Stuͤck von der Cortine HG die Second ⸗Flanc genennet. §. 63. Es werden demnach von der Vollkommen⸗ heit der Befeſtigung alle Second⸗Flanquen uncen⸗ ſteichend E Wahin Darc 64 ſeetwae Liniefo Aus! doß die wercks, bens de komnhen werder kinnn ſiſh,de lrd N 6.6e Wn WNN wchere tetfr he K6 Diillon undzun Bbnde uchh Unbzun rund⸗Negen efens⸗Litie ſe ſehn 668). * lkommenernm Linie, dbn ſtehen⸗ aͤr aunde che degch derſelben noͤglich ular ſehen ten ſilen eGn Nip, Al lolfunnen enet ena 1s W GN . Ponun, hiete, Ctiii inten der Fortification. 777 ſtreichende Defens⸗Linien verworffen, in wieferne dieſe es verhindern, die Flanquen perpendiculaͤr auf die Defens⸗Linie zu ziehen (§. 61.); Lehr 2 S atz. §. 64. Die Flanquen ſind vollkommener, wenn ſie etwas eingezo gen, als wenn ſie in einer geraden Linie fortgehen. Beweiß. Aus dem Urſprung der Flanquen ſolget unmittelbar, daß dieſe nicht nur zur ſtarcken Defenſion des Boll⸗ wercks, ſondern auch zur ſtarcken Defenſion des Gra⸗ bens dienen muͤſſen (§. 56. fl.). Alſo erfodert die Voll⸗ kommenheit einer Feſtung, daß die Flanquen bedecket werden, damit ſolche nicht ſo gleich von dem Feinde koͤnnen beſchoſſen werden (§. 7.). Derowegen iſt es noͤthig, daß ſie unten eingezogen werden, damit der oberſte Theil den unterſten zu bedecken vermoͤgend. W. Erklaͤrung. §. 65. Dieſer obere Theil der Flanque, welcher zur Bedeckung des unteren und eingezogenen Theils dienet, wird das Orillon genennet. Und der untere Theil, welcher eingezogen, heiſt die retirirte Flanque. Zuſatz. 8. 66. Die Flanque muß nicht ohne Noth verkuͤr⸗ tzet werden (per dem. S. 61.). Man muß demnach das Orillon ſo klein machen, als ſich thun laͤſt. Anmerckung. §. 67. Vauban hat in ſeiner erſten Art zu befeſtigen das Orillon rund und die retirirte Flanque eingebogen gemacht, und zum Orillon den dritten Theil der Flanque genommen. Blondel hingegen und andere haben ſo wohl das Orillon, als auch die retirirte Flanque nach einer geraden Linie angeleget, und zum Orillon 5 genommen. Cec Lehr⸗ 778 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Lehr⸗Satz. §. 69. Die Flanquen ſind vollkommener, wenn das Orillon rund und die retirirte Flanque ein ge⸗ bogen gemacht, als wenn beyde nach einer geraden Linie angeleget. Beweiß. Der Feind wird alle Muͤhe anwenden, die Flanguen einzuſchieſſen (per dem. §. 64.). Folglich muͤſſen ſie alſo angeleget werden, daß ſie von dem Feinde nicht ſo leicht koͤnnen eingeſchoſſen werden. Die Schuͤſſe, ſo ge⸗ rade zu gehen, ſind ſtaͤrcker, als die andern. Folglich muͤſſen die Flanquen alſo angeleget werden, daß der Feind ſolche nicht in vielen Puneten gerade beſtreichen kan. Sind ſie eingebogen gemacht, ſo kan nicht mehr als ein Schuß die Flanque gerade zu treffen, ſind ſie a⸗ ber nach einer geraden Linie angeleget, ſo kan der Feind alle Puncte der Flanquen gerade beſtreichen. Folglid. ſind die Flanquen vollkommener, wenn ihr Orillon rund. und die retrirte Flanque eingebogen gemacht, als wenn beyde nach einer geraden Linie angeleget. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. 1 8. 69. Jemehr Flanquen hinter einander gele⸗ ger werden, deſto ſtaͤrcker wird die Feſtung. Beweiß. Wohlangelegte Flanguen geben einer Feſtung die ſtaͤrckſte Vertheidigung (§. 55. fl.). Wer will demnach zweiffeln, daß die Staͤrcke einer Feſtung dadurch zu⸗ nehme, wenn viele Flanquen hinter einander geleget werden. Es erhellet auch die Richtigkeit dieſes Satzes aus dem Beweiſe, womit der H. 61. iſt beſtaͤtiget wor⸗ den. Anmerckung. §. 70. Dieſes iſt der Grund von den niedergeſenckten Flanquen, bey deren Bau dasjenige zu mercken, was 5. 23.1I erinnert worven. Er⸗ 4 8. 71. Oegen Bobbenka⸗Pone wid beſtdieaͤng ihler Poiygon 72. De ReFeſtanging⸗ en. Groſſey. lon die guſere⸗ Ruchenlonefe die uſtehece bis6 Ilcent heiſcndsenigen thendeionee ( Halt Uulhenlong, 74. Da Rehie Eo NRN NCOfn 7. Dlggoret letſchnach den ſol 6 nguene d. N der Fortification. 779 Erklaͤrung. mmmeneo m G. 71. Die gerade Linie A B, weiche von dem einem T.b. I. Flmneen Bollwercks⸗Puncte A, bis zu den indern B gezogen Arch. Mil. heimnn wird, heiſt die aͤuſſere Polygon, und die Linie CD die Pig. 1. innere Polygon. . e Erklaͤrung. den ehn s. „2. Die Groͤſſe dieſer aͤuſſeren Polngon theilet llchm die Feſtung in groß⸗klein⸗und mittel Royal⸗Feſtun⸗ nennd gen. Groſſe Royal⸗Feſtungen werden genennet, wo⸗ eSi ran die aͤuſſere Polpaon 100 die innere aber 60 bis 70 dern e Ruthen lang iſt. Mittel Royal⸗Feſtungen, woran elden die aͤuſſere Polygon 70 bis 80, hingegen die innere 50 Nde let bis 60 Ruthen lang iſt. Kleine Roval⸗Feſtungen kannſen heiſſen diejenigen, deren aͤuſſere Polugon 60 bis 70 Ru⸗ ſen ſin then, die innere hingen 40 bis 50 Ruthen lang iſt. Mylontli §. 73. Bauban macht die aͤuſſere Polygon beſtaͤndig 90 (GWe Ruthen lang. , Erklaͤrung. §. 74. Der Eingang in das Bolwerck ECO wird Tab. I. die Rehle (Gorge) genennet. Und die Linien, welche Arch. Mil. ineme den Eingang in das Bollwerck formiren, nemlich CE Fig- 1. ſiu und CO, ſin die Kehl⸗Linien (Demi-Gorges). exhe 1. Juſatz. §. 75. Die Kehl⸗Linien werden von der inneren In 1 IR Pige⸗ Polygon abgeſchnitten (S. 71.), und ihre Groͤſſe rich⸗ rtie tet ſich nach dem/ ob das Bollwerck weit, oder enge wer⸗ ſiin⸗ 2. JI U ſa 6. §. 76. Iſt das Bollwerck weit, ſo koͤnnen mehrere Flanquen hinter einander geleget werden, als wenn es jaeter enge. Und aus dieſer Urſache ſind groſſe Kehlen beſſer, ,6. als enge (H. 69... . . 780 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Erklaͤrung. §. 77. Der Radius, damit der Circul beſchrieben wird, darein man die innere Polygon traͤget, nemlich ICheiſt der kleine Kadius. Und der Radius Al, damit der Circul beſchrieben wird, der durch die Bollwercks⸗ Puncte gehet, wird der groſſe Radius genennet. Der Unterſcheid des groſſen Kadi von dem kleinen Radio, nemlich die Linie AC heiſt die Capital⸗ oder Haupt⸗ Linie (la Capitale). . Anmerckung. §. 78. Wenn man einen Ort fortificiren will, ſo fortificiret man denſelben entweder von auſſen hineinwerts, oder von innen heraus. Zu der erſten Art braucht man den groſſen Radium, und zu der andern Art den kleinen Radium, und alſo die Capital⸗Linie zu wiſſen. Erklaärung. §. 79. Nachdem ich den Unterſcheid der Linien er⸗ klaͤret, ſo will ich auch die Benennungen der Winckel beſtimmen. Der Winckel, welcher von der Polygon beſtimmet wird, ECO oder BAK, heiſt der Polygon⸗ Winckel. Wie dieſer in einem regulaͤren Vieleck zu finden, ſolches lehret der §. 258. Geom. Es wird auch dieſer Winckel bey der innern Polygon der Kehl⸗Win⸗ ckel genennet. Der Winckel FAN, welchen die Faſen beſtimmen, heiſt der Bollwercks⸗Winckel ( Angle du Baſtion). Der Winckel AFE, welchen die Faſe mit der Flanque machet, wird der Schulter⸗Winckel (Angle de l'Eſpaule) genennet. Der Winckel, wel⸗ chen die beyden Radi, ſo aus den Enden der inneren Potson gezogen werden, bey dem Mittel⸗Punct der olygon machen, nemlich BIA heiſt der Centri⸗Win⸗ ckel (Angle du Centre). Wie dieſer in einer regu⸗ laͤren Polygon zu finden, ſolches lehret der §. 256. Geom. Der Winckel, welcher die keſtandige De⸗ en ſens⸗dirie AR her Wincel der Deen wpelhend pondl Gdaiove) y Vinc werde eine wer⸗ biele wercks Gerunn und0 M tene nc Defa ſihr d⸗Regte ell beſchiee räget, nen Gins Al dee le Bollvnct enenntt O leinen iun, oder e, ll, ſoſtint rts, A an derit dium, M) Linien t „Winck ole Pole Dicken önite Vehel⸗ eri A Meg uc c⸗ r noten Mrct n ſer * id der Fortification. 781 fens⸗Linie AH mit der Courtine HE machet, nemlich A HE heiſt der Streich⸗Winckel. Der ſtreichende Winckel (Angle flanquant) iſt, den die Flanque mit der Defens⸗Linie machet. Endlich der Winckel GAB, welchen die kleine Deſens⸗Linie AG mit der aͤuſſeren Polyngon AB machet, wird der kleine Winckel (Angle diminue) genennet. 1. Juſatz. §. 80. Der §. 63. lehret es, wie weit der kleine Winckel von einer vollkommenen Feſtung verworfen werde. 2. Juſatz. §. 81. Iſt der Bollwercks⸗Winckel gar zu ſpitzig, ſo wird das Bollwerck ſehr enge. Dieſes aber iſt eine Unvollkommenheit (§. 76.). Iſt der Boll⸗ wercks⸗Winckel gar zu groß, ſo wuͤrde der Feind ſehr viele Bloͤſſen gewinnen, wenn er die Spitze des Boll⸗ wercks eingeſchoſſen (§. 50.). Dieſes iſt der Grund, warum man die Groͤſſe dieſes Winckels zwiſchen 60 und 100 Grad ſetzet. Anmerckung. „ §. a. Die Hollaͤder nehmen zu dieſem Winckel 3 von dem Polygon⸗Winckel. hmen zu dieſ⸗ 3 3. Juſatz. 5.83. In einer vollkommenen Feſtung iſt der ſtreichende Winckel ein rechter Winckel (§. 61.). Erklaͤrung. §. 84. Eine Feſtung heiſt regalaire, wo die fortifi⸗ cirten Winckel und Linien, ſo einerley Nahmen fuͤhren, auch gleiche Groͤſſe haben. Hingegen irregulaire, wo die fortificirten Winckel und Linien, ſo einerley Nahmen fuͤhren, einander an der Groͤſſe nicht gleichen. Cec 3 Auf⸗ 782 Erſter Abſchnitt, von den Grund⸗Regeln Aufgabe. 85. Den Grund einer retzulaͤren Feſtung 1 h. Mil. nach zuvor erwieſenen Lehr⸗Saͤtzen zu zeichnen. Aufl ſung. “ 1) Beſchreibet das regulaͤre Viel⸗Eck, aber doch ſo, daß die Polygon nicht uͤber (00ο Ruthen bekom⸗ met (§. 72. ſiehe §. 259. ſl. Geom.). Als in dieſem Fall ein regulaͤres 5 Eck. S 2) Ziehet die Radios EF, DF und ſo weiter. 3) Auf dieſe traget aus den Spitzen der Polygon den Bollwercks⸗Winckel (§. 8 1.), ſo daß dieſer von den Radiis in zwey gleiche Theile getheilet wird. 4) Aus den Spitzen der Polygen traget auf die Linien, welche den Bollwercks⸗Winckel beſtimmen, die Defens⸗Linie (§. 59.) DH, El und ſo weiter. *) Auf dieſen richtet Perpendicul⸗Linien nach den Faſen, ſo habt ihr die Flanquen (§. 56. 68.) II. MH und ſo weiter. 6) Ziehet die Puncte EI zuſammen, ſo bekommet ihr die Courtine. 7) Wollt ihr retirirte Flanquen mit einem Orillon haben, ſo theilet die Flanque in zwey Theile nach dem 8) Richtet auf die Helffte des oberſten Theils eine Perpendicul-Linie in das Bollwerck, und aus dem Schulter⸗Winckel ziehet gleichfals eine Perpendicul⸗ Linie in das Bollwerck, wo ſich dieſe beyde Linien ſchei⸗ den, da iſt der Mittel⸗Punct von dem Orillon, und koͤnnt ihr alſo dieſes mit einem Circul beſchreiben. 9) Nehmet die gantze Flanque, und ſuchet mit de⸗ ren Weite einen gewiſſen Punct auſſer dem Bollwerck, ſo koͤn net ihr aus dieſem Puncte mit einem Eircul den unterſten Theil der Flanque beſchreiben. Auf gleiche Art koͤnnen niedergeſenckte Flanquen gezeichnet wer⸗ den (§. 70.). O 10) Zie⸗ 3 iuh 11) lſert Kehrdi 9) gee, nr KNAN owent Wſ ſegen Wlle Dutf ah⸗ wide N WN 1d⸗Reyte “ der Fortification. 783 10) Ziehet mit dieſer Bruſt⸗Wehr in der Polygon in iee ſoe oralelien, in der Weite der Banquets deſu „15S.). ð 4 S . znseihen 115 Mit der Courtine und den Flanquen ziehet auſſer der Polygon die Fauſſe braye in ihrer gehoͤri⸗ Et een gen Weite parallel §. 42.), und an dieſer Bruſt⸗ Ditſelite wehr die gehoͤrige Banquets. . Anms . 12) Endlich beſchreibet um die Fauſſe braye und den gezeichneten Wall den Graben (§ 35.), ſo habt ihr dponi. den Grund⸗Riß verfertiget. 7 dieſetunt * HS “D §. 86. Durch das Profil einer Feſtung verſtehet man einen Riß, der die Flaͤche vorſtellet, welche heraus ane kommt, wenn man den Waͤll mitten durchſchnitte, nen. uUnd folglich die Breiten und Hoͤhen der Wercke an⸗ iunh deigen wil. “MB ),A Anmerckung. 8. dy. Z. E. Pig. 3. Lab. I. ſtellet das Profil eines Haupt⸗ bekoran Walles mit einer Fauſſe braye und den Graben vor. Die Buchſtaben habe ich dabey geſetzet, um in den Fuͤrleſungen das Profil zu erklaͤren. Wie ein Profil zu zeichnen, ſolches nen wird ein jeder ohne fernere Erlaͤuterung verſtehen, weil zuvor ellem die Breiten, Hoͤhen, und Tieffen aller Theile ſind beſtimmet worden. . mut Zweyter Abſchnitt. nne Von den ANRN „pPozr i . „ Auſſen⸗Wercken, irregulaͤren Feſtungen, “ Citadellen und Feld⸗Schantzen. ar §. 38. Auſſen⸗Wercke (les Dehors) ſind alle Wer⸗ ftr cke bey einer Feſtung, welche uͤber den Graben des an Haupt⸗Walles hinausgeleget werden. Cec 4 Lechr⸗ 190 784 Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, §. 89. Eine Feſtung mic Auſſen⸗Wercken iſt vollkommener, als eine Feſtung ohne Auſſen⸗ Wercke. Beweiß. =òG Die Vollkommenheit einer Feſtung erfodert, daß man dem Feind den Angriff des Haupt⸗Grabens und alſo auch des Haupt⸗Walles ſo beſchwerlich mache, als es immer moͤglich iſt (§. 28.). Hat eine Feſtung Auſſen⸗Wercke, ſo wird dieſer Angriff beſch werlicher, als wenn keine Auſſen⸗Wercke vorhaͤnden. Folglich werden dieſe vermoͤge der Vollkommenheit zu einer Fe⸗ ſtung erfodert. W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §S. 90. Die Vollkommenheit der Auſſen⸗Wercke erfodert 1) daß ſie von den Flanquen des Haupt⸗ Walls koͤnnen vertheidiget; 2) daß ſie von dem Haupt⸗Waͤlle koͤnnen eingeſchoſſen werden; 3) daß ſie niedriger als der Haupt⸗Wall gebauet; 4) daß ſie genen dem Haupt⸗/Wall offen; und 5) un⸗ terminiret worden Beweiß. Die Auſſen⸗Wercke ſollen dem Feind den Angriff des Haupt⸗ Grabens und alſo auchdes Haupt⸗Walles beſchwerlich machen (per dem. G. 89.). Folglich muß man machen, daß der Feind die Auſſen⸗Wercke, wenn er ſolche mit Sturm erobert, nicht zum Nachtheil des Haupt⸗Walles gebrauchen koͤnne. Derowegen muß man ſolche von dem Haupt⸗Walle vertheidigen, und nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde zerſtoͤren koͤn⸗ nen (§. 45.*). Aus dem erſten erhellet die Nothwen⸗ digkeit der erſten, dritten, und vierten; und aus dem andern die Nothwendigkeit der zweyten und fünfften Eigenſchafft, welche vollkommenen Auſſen⸗Wercken beygeleget werden. 3 1. egllirenhii 9. A ie liſen⸗ ltett, zum mniteine luft, zuun ſes auchle ter als 6bi . 92. Werckenn welcheint det ihron 1) We 9) DH ſtelungh indern. 69. Woa Uitdande hun Vr W ſewec- Peſoech Courtine Vakſin enu Chenten licht. Vunkd Counin Penenne ln) ode Rdeſe E Vercke, Werca e Noſe erfodet 4 Grabeirh erlichne eine gen eſchwwer⸗ en. Nee itzu einc ſenchr desgenn , vo, N Mr, , uet, 4) 9 un⸗ endu UoD Nh otehe ſedſgen drenſttn Nolhre auske 0 ſpia ANWun 1 d iRegulaͤren Feſtungen, Citadel. und Felb⸗Schantzen. 78 5 1. Juſatz. §. 91. Aus dieſem Beweiſſe erhellet ferner, daß ue Auſſen⸗Wercke, welche der Feind, nachdem er ſie erobert, zum Nachtheil der: Haupt⸗Wercke gebrauchen kan, mit einem Graben, welcher in den Haupt⸗Graben laͤufft, zu umziehen. Aus dieſer Abſicht des Grabens iſt es auch leicht zu begreiffen, warum ſolche nicht brei⸗ ter als 6 bis 8 Ruthen gemacht werden. 2. Juſatz. §. 92. Ueberleget dieſe Eigenſchafften der Auſſen⸗ Wercke, und verknuͤpfft ſolche mit ihrer Haupt⸗Abſicht, welche in dem Beweiſſe des §. 89. beſtimmet; ſo wer⸗ det ihr ohne ferneres Erinnern begreiffen, 1) Wie und wo dergleichen anzulegen, 2) Daß ſie nicht zu groß ſeyn muͤſſen, um die Zer⸗ ſtreuung der Beſatzung zur Zeit des Angriffes zu ver⸗ hindern. Erklaͤrung. §. 93. Wenn ihr dasjenige, was in dem erſten Ab⸗ ſchnitt von der Beſchaffenheit der Bruſt⸗Wehr des Haupt⸗Walles iſt beſchrieben worden, genau uͤberle⸗ get; ſo werdet ihr geſtehen, daß alle Linien bey einem Feſtungs⸗Bau entweder Faſen, oder Flanquen, oder Courtinen. Aus dem Gebrauche dieſer Linien, deren Verknuͤpffung und Lage entſtehet der Unterſcheid von allen Auſſen⸗Wercken. Beſtehen die Auſſen⸗Wercke allein aus Faſen, ſo ſind dieſe entweder gleich lang, oder nicht. Iſt jenes, ſo machen ſie entweder eingebogene Winckel, oder nicht. Dieſe werden entweder vor die Courtine, oder vor das Bollwerch geleget. Iſt jenes, ſo nennet man das Auſſen⸗Werck ein Ravelin (Rave- lin), oder mit den alten zu reden, das Wall⸗Schild. Iſt dieſes, ſo lieget das Auſſen⸗Werck entweder vor der Spitze des Boll⸗Wercks, und alsdenn iſt es ein al⸗ Cec 5 ter Tab. I. Fig. 2. 786 Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, ter halber Mond (Demilune), oder die Faſen dieſes Auſſen⸗Wercks lauffen mit den Faſen des Bollwercks parallel, und alsdenn heiſt es eine Lontre⸗Guardeoͤder Conferve. Zuſatz. d. 94. Die Faſen des Ravelin muͤſſen von den an⸗ liegenden Flanquen koͤnnen vertheidiget werden (5§. 90.). Aus dieſer Urſache wird die Capital von dem Ravelin insgemein 20 bis 30 Ruthen lang. Aufgabe. §8. 95. Ein Kavelin vor die Courtine zuzeich⸗ nen. . Aufloͤſung. 1) Ziehet die Bruſt⸗Wehr von dem Ravelin, welche auf verſchiedene Art zu zeichnen. a) Nehmet mit einem Circul die Courtine und eine Kehl⸗Linie zuſammen, und beſchreibet mit dieſer Laͤnge, aus den aͤuſſerſten Puncten der Kehl⸗Winckel uͤber dem Graben, Circul⸗Bogen Der Durchſchnitt iſt die Spitze an dem Rave⸗ lin. Ziehet aus dem Kehl⸗und Schulter⸗Win⸗ ckel uͤber dem Graben nach dieſen Punct gerade Linien, ſo habt ihr die Faſen. b) Theilet die Kehl⸗Linien in zwey gleiche Theile. Durch dieſe Puncte und Schulter⸗ Winckel ziehet uͤber den Graben gerade Linien; ſo habt ihr das Ravelin. C) Ziehet aus der Mitte der Courtine uͤber den Graben eine Perpendicul⸗Linie. Dieſe macht uͤber den Graben 20 bis 30 Ruthen lang. An dieſem aͤuſſerſten Punct ſetzet auf jeder Sei⸗ te einen Winckel von 4 ½%, ſo koͤnnt ihr die Faſen bis an den Graben ziehen. 2) Zie⸗ = = 2 E S= — —. — — ſen⸗erte ui 2) Ziehet die Banquets und den Wallgang, wie „S. 85. Reg. 10. gedeiget. Nun 3) Mit den Faſen des Ravelin ziehet Parallel⸗Li⸗ nien in der Weite des Grabens (§. 91.) bis an den Haupt⸗Graben, ſo daß jene in dieſen laufft; ſo habt irregulaͤren Feſtungen, Citadel. und Feld⸗Schantzen. 797 ſſen du ihr das Ravelin mit allem Zugehoͤr beſchrieben. herner Arn1nmerckung. opſealn §. 96. Wie eine Contre⸗Guarde zu zeichnen, ſolches wird nlang ein jeder aus dem Begriff beurtheilen koͤnnen, der die vorher⸗ gehende Aufloͤſung zur Ausuͤbung gebracht. Es ſind die Contre⸗Guarden aus den alten halben Monden entſtanden, weil dieſe ſehr ſchlechte Defenſion gegeben. Pagan und der Baron don Rufenſtein verlaͤngern die Contre⸗Guarden bis an das Rabelin, und wenn dieſes, ſo ſind die Faſen von dem Ravelin, Flanquen von der Contre⸗Guarde (JS. 56.), wo⸗ em Mn Terchedieſes ein Auſſen⸗Werck von ſtarcker Defenſion wird . 56. f1.). SS S EFErklaͤrung. eue S. 97. Wenn das Auſſen⸗Werck aus gleich langen ſhele Faſen beſtehet, die einen eingebogenen Winckel ma⸗ uncnde chen, und durch lange Bruſt⸗Wehre an den Graben lu geleget werden, ſo wird ſolches eine Scheere (Tenaille) n e genennet, und zwar eine einfache Scheere (ſimple Te- oltten naille), wenn es nur zwo Faſen hat, eine doppelte uun Scheere (double Tenaille), wenn es mehr als zwo Fa⸗ ſen hat. Und dieſes heiſt ein Schwalben⸗Schwantz ͤretth (Queue d' hironde) oder Pfaffen⸗Muͤtze (Bonnet 69C à Préêtre), wenn die Bruſt⸗Wehren, womit ſie an dem . Graben gehaͤnget worden, unten naͤher bey einander ſind, als oben. rtine hrl Au fg abe. 6e. W §. 98. Eine Scheere vor die Courtine zu Tab. I. lt zeichnen. S . Fig. 4. era Aufloͤſung. Eu 1) Verlaͤngert die Flanquen 40 bis 60 Ruthen, und ziehet von B nach Ceine blinde Linie. 2) Dieſe , Tab. I. d. 6. 788 Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, 2) Dieſe theilet in 4 gleiche Theile, und aus deſſen Mittel⸗Punct laſſet eine Perpendicul-Linie DE gegen die Feſtung fallen, welche gleich 1C. 3) Ziehet von Bnach E, und von C nach E gerade Linien; ſo habt ihr die Bruſe⸗ Wehr von der einfachen Scheere. Zuſatz. §. 99. Alle Scheeren geben einen todten Winckel (§. 3.)) folglich ſchlechte Defenſion (§. 4.). Daher koͤnnen dieſe nicht gebraucht werden, wo eine ſtarcke Defenſion noͤthig. Anmerckung. §. 100. Um die Defenſion der Scheere zu verſtaͤrcken, ſo wird uͤber den Graben vor den eingebogenen Winckel ein Ra⸗ velin geleget, welches auf dieſe Art zu zeichnen: 1) Aus dem Winckel des Grabensziehet eine Perpendicul Linie in der Laͤnge von der halben Faſe der Scheere. 2) Ziehet aus dieſem Punct gerade Linien nach den Pune⸗ ken, in welchen die daſeni in zwey gleiche Theile getheilet, und Erklaͤrung. ſo weiter. §S. 101. Beſtehet das Auſſen⸗Werck nur aus Fa⸗ ſen, welche nicht gleich lang (§. 93.); ſo wird es vor die Seite eines Ravelins geleget, und eine Brille (Lunet- te) genennet. Aufgabe. 8. 102. Die Brillen M M vor das Ravelin O rig. 2. nach Vaubans Art zu zeichnen. Aufloͤſung. 1) Verlaͤngert die Faſen des Ravelins uͤber den Graben, ſo daß die Linien uͤber den Graben 13 bis 15 Ruthen. 2) An dem groſſen Graben ſchneidet von dem Gra⸗ ben das Ravelin 5 bis 6Ruthen ab. 3) Zie⸗ Tregrläret 93 ſamn 9 Utn l lenſhe ſ ged daßzo werde. nehe 13) den den e Vente irregulaͤren Feſtungen, Eitadel und Feld⸗Schantzen. 799 e, undaautte 3) Ziehet dieſen aͤuſſerſten Punct mit dem oberen uliniee⸗ zuſammen; ſo habt ihr die Bruſt⸗Wehr von der Brille. . 4) Die Banquers und der Graben koͤnnen, wie Cnnche zuvor, beſchrieben werden. on derefte . Zuſatz. §. 103. Der Andlick lehret ſchon, daß dieſe Bril⸗ len ſchlechte Defenſion haben (§. 90.). Sollen ſie todten d alſo gebraucht werden, ſo iſt zum wenigſten noͤthig, .4) daß zwiſchen ihnen in Qnoch ein Auſſen⸗Werck geleget wo eieſu werde. Hiezu hat Vauban ein kleines Ravelin er⸗ t I. wehlet, welches auf folgende Art zu zeichnen. iad ⸗ 1) Schneidet aus dem Punct f und h, wo die Gra⸗„ 2. „. ben der Brillen in die Graben des Ravelin lauffen, an den Graben der Brillen nach g und i Linien von7 bis 8 . eden 2) Machet aus gundi mit der Weite von 10 Ru⸗ e apendin then einen Durchſchnitt in K; ſo koͤnnet ihr die Faſen, ſunn und alsdenn die Banquets und den Graben, wie zu⸗ gele d vor, ziehen. Erklaͤrung. §. 104. Beſtehet ein Auſſen⸗Werck nicht allein aus rau⸗ Daſen, ſondern auch aus Flanquen (§. 93.); ſo werden destut dieſe entweder mit Cortinen verknuͤpffet oder nicht. Iſt lelm dieſes, ſo wird das Auſſen⸗Werck nach dem Vauban Ie ein halber Mond genennet. Zuſatz. Hnlr §. 105. Ein halber Mond nach Vaubans Manier hat ſtaͤrckere Defenſion, als ein alter halber Mond (§. 56. ſ.) . Aufgabe. len §. 106. Aus einem Ravelin z. E. O nach Vau⸗ Tab. I. m bans Maniereinen halben Mond zu machen. Fig. 2. Aufloͤſung. den 1) Traget auf die Faſen des Ravelins aus Anach C und aus H nach Deine Linie von 6 Ruthen. N 2) Aus Tab. I. PFig. §. 790 Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, 2) Aus Cund D laſſet auf AB bis an den Haupt⸗ Graben Perpendicul⸗Kinien fallen, ſo habt ihr die Bruſt⸗Wehr des halben Mondes, welchen ihr, wie zu⸗ vor, ausziehen koͤnnet. §. 107. Beſtehet endlich das Auſſen⸗Werck aus Faſen, Flanquen und Cortinen (§. 93.); ſo ſind ent⸗ weder zwey halbe Boll⸗Wercke mit einer Cortine, oder es ſind ein gantzes und zwey halbe Boll⸗Wercke mit Cortinen zuſammen gehenget. Iſt jenes, ſo heiſt es ein Horn⸗Werck (Ouvrage à Corne), und wenn dieſes, ein Kron⸗Werck (Ouvrage à Couronne). Die Bruſt⸗Wehre, womit die aͤuſſerſten Spitzen dieſer Wercke an das Haupt⸗Werckk gehaͤnget werden, heiſſen die Fluͤgel. Dieſe gehen entweder unmittelbar bis an den Haupt⸗Graben, oder ſie werden durch einen be⸗ ſonderen Graben an den Haupt⸗Graben gehangen. Wenn dieſes, ſo wird es ein detachirtes Horn⸗ und detachirtes Rronen⸗Werck genennet. 1. Juſatz. §. 108. Damit das Horn⸗ und Kronen⸗Werck von dem Haupt⸗Wall koͤnne beſtrichen werden, ſo muͤſſet ihr die Fluͤgel nicht uͤber 50 bis 60 Ruthen machen. 2. Juſatz. §. 109. Vor die Cortinen des Horn⸗ und Kron⸗ Wercks koͤnnen zur Bedeckung Ravelins geleget wer⸗ den (§. 93.). Aufgabe. §. 110. Ein Horn⸗Werck vor die Cortine zu zeichnen. Z Aufloͤſung. 1) Verlaͤngekt die Flanquen auf 50 bis 60 Ruthen (§. 108.), und ziehet von A nach B eine blinde Linie. 2) Dieſe ncrenge 2)De Herpend 3 S ſokoͤnne Bruſt⸗ E 8. 97 Uehet §. 1 1 rihte nie d Gark Citnl 1 Horn, ſichert . I Werck Hraber wirdn ſeloht Clacis, eWe Es n macht, enn (les en⸗Verke, irregulaͤren Feſtungen, Citadel. und Feld⸗Schantzen. 79 1 8 an den hr 2) Dieſe theilet in 2 gleiche Theile, und machet die „ſo halt Perpendicul 0 Ruthen lang. elchen in 3) Ziehet aus Cund Ddie Defens⸗Linien (§. 62.), ſo koͤnnet ihr die Flanquen, die Cortine und alſo die Bruſt⸗Wehr von dem gantzen Horn⸗Werck ziehen ſen⸗Din 4) Die Banquets den Graben und das Ravelis 3.): ſone ziehet wie zuvor. feinet in. ß”MUN ei §S. 11II. Ein Kron⸗Werck zu zeichnen. Tab. I. e), Ine pig. 6. Conn⸗ Aufloͤſun g. 1Epitent 1) Theilet die Cortine in zwey gleiche Theile, und berdelfil richtet auf die Mitte der Cortine eine Perpendicul⸗Li⸗ umiieen ie 60 dis 80 Ruthen lang. Wollt ihr das Kron⸗ nußee Werck vor das Voll⸗Werck legen, ſo verlaͤngert die algen Capital 60 bis 80 Ruthen. orn: W 8 2) Auf jeder Seite dieſer Linie beſchreibet ein Horn⸗Werck (§. 110.); ſo iſt das Kron⸗Werck ge⸗ l zeichnet. enſeriſa . Erklaͤr ung. nahen 8S. 112. Damit die Beſatzung um die Feſtungs⸗ Wercke ſicher liegen kan, ſo wird um den aͤuſſerſten mule Graben ein breiter Gang parallel gezogen, und dieſer sgton wird mit einer Bruſt⸗Wehr bedecket, die ſich in das Feld hinein verlaͤufft. Dieſe Bruſt⸗Wehr wird das Glacis, ingleichen Eſplanade, und der Weg der bedeck⸗ laun te Weg (Chemin couvert) genennet. Wo das Gla- cis in dem bedeckten Weg einen gezogenen Winckel machte da werden ebene Plaͤtze abgeſtochen, um die Be⸗ Bung zu exerciren. iſſen di sffen⸗Plaͤ “”JJðMd⸗ hereiren. jeſe heiſſen die Waffen⸗Plaͤtze iueili m6 Zu⸗ 792 Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, Juſatz. §. 113. Dem Feind muß der A igrif von dem Gle eis beſchwerlich gemacht werden (§. 28.). Aus dieſer Urſache legen einige vor das Glacis einen Graben, an⸗ dere verpalliſadiren ſolches, und ſo weiter. Erklaͤrung. §S. 114. Einen Weg enfiliren heiſt, denſelben nach derbänge miteiner Kugel durchſtreichen. Juſatz. z. 115. Wo der Feind die Wege, in welchen die* Beſatzung ſtehet und arbeitet, enfiliren kan, ſo hat die Feſtung eine ſehr groſſe Bloͤſe (§. 3.). Frklaͤrung. §. 116. Dieſe zu vermeiden, ſo leget man queruͤber ſolche Gaͤnge Bruſt⸗Wehren, welche Zwerg⸗ Wal e (Traverſes) genennet werden. Erklaͤrung. §. 117. Damit auch endlich die Beſatzung fuͤr dem feindlichen Bombardiren ſicher ſeyn koͤnne, ſo leget man in den Gaͤngen der Feſtungs⸗Wercke hin und wieder ſolche Gaͤnge an, welche entweder mit einer hoͤtzernen Decke oder mit einem ſteinernen & ewoͤlbe verſehen, und alsdenn mit ſo vieler Erde uͤberſchuͤttet werden, daß keine Bomben, Steine und dergleichen durchſchla⸗ gen koͤnnen; ſolche Wercke werden Caponiere, genen⸗ net. Sind dieſe auf beyden Seiten mit Bruſt⸗Weh⸗ ren und Palliſaden verwahret, ſo ſind es gantze, iſt a⸗ ber eine Seite offen, halbe Caponieres. Aufgabe. S. 118. Einen irregutaren Platz zu fortificiren. Aufloͤſung. 1) Leget den Platz nach den Regeln der Geometrie in Grund. 2) Meſ⸗ elͤnhef M⸗ iiner Voie ſeſtigetnat rgularen 3) G ſeldigenſ dert wir leibetn Cenede einonde ge in ihren utnel nn a Hehhune i zucin ttemte n. D Pnentein Uafnwen nſicen In eidige man die Eng ſtieſt lyr en⸗Werten irregulaͤren Feſtungen, Citadel. und Feld⸗Schantzen. 793 . 2) Meſſet alle Linien; diejenigen, welche gleich gtiftondeee. einer Linie in einer regulaͤiren Feſtung (§. 72.), be⸗ 29) M feſtiget nach den Regeln, welche zur Befeſtigung eines inenn regulaͤren Platzes vo geſchrieben. = veitet. 3) Sind einige Linien zu groß, ſo ſchneidet von der⸗ ſelbigen ſo viel ab, als zu einer requlaͤren Feſtung erfo⸗ Deert wird, und befeſtiger dieſe wie zuvor. Was uͤbrig , denſſan e bleibet, muß entweder von den anſtoſſenden Boll⸗Wer⸗ l. cken, oder durch eine Fauſſe braye, Contre. Guarde oder ein ander ſtarckes Auſſen⸗Werck vertheidiget werden. e, IIAD 4) Sind die Linien zu klein, ſo leget, wo moͤglich, Zob. A- n kan ſe⸗ in ihrer Mitte die Boll⸗Wercke, und alsdenn verfah⸗ . ret wie Reg. 3. gezeiget worden. tmonget §. 119 Wer glaubet, daß dieſe Regein zu kurg, der zeige 4 einen irregulaͤren Platz, welcher nicht nach denſelben vollkom⸗ we/A men ſtarck zu befeſtigen. Nur iſt zu mercken, daß bey der An⸗ wendung dieſer Regeln, dasjenige genau zu beobachten, was in dem erſten Abſchnitt von der Vollkommenheit der Jeſtungs⸗ aſr) Wercke erwieſen worden. F——= “ ſeune Erklärung. aunds . 5§. 120. Durch di Caſtelle oder Litadellen verſte⸗ akin het mankleine regulaͤre Feſtungen mit 4. 5 bis 6 Boll⸗ be ch wercken, welche vor eine groſſe Feſtung geleget werden, hbtette. um ſolche zu vertheidigen. ire . 121. Will man durch das Caſtell Gaſſen ver⸗ 5N. kheidigen, ſo muß ſolches alſo angeleget werden, daß eſ man die Gaſſen von ihren Wercken enfiliren koͤnne (§. 114.) . §. 122. Sollte vor einem Feſtungs⸗Werck ein er⸗ habener Ort liegen, von welchem der Feind ſolches be⸗ ſchieſſen koͤnne, ſo iſt noͤthig, daß auf denſelben ein Ca⸗ bè ſtell geleget wird (5. 45.. . ℳ Odd vrr ſriſic⸗ 794. Zweyter Abſchnitt, von den Auſſen⸗Wercken, zc. ie Erklaͤrung. 8 §. 123. Feld⸗ Schantzen (Fort de Campagne) werden alle Bruſt⸗Wehren genennet, welche auf dem Felde einen Plaß zur⸗ Vertheidigung einſchlieſſen. Zuſatz. . 124. Weil dieſe keine ſo gewaltige Atte ezu . befuͤrchten haben, als die Bruſt⸗Wehren, welches taͤd⸗ te bedecken ſollen; ſo iſt klar, daß ſelbige ſchwuͤcher ſeyn koͤnnen, als dieſe. Da ſie aber doch Bruſt⸗ Wehren, P muß alles beobachtet werden, was von der Vollkom⸗ menheit der Bruſt⸗Wehren erwieſen worden, Anmerckun g. §. 125. Die gewohnliche Staͤrcke der? Wercke in den Fen⸗ Schangzen iſt aus folgender Taffel zu erſehen. Nähmen. Breiten. H Wall⸗ „Gang 14 bis 18 Schuh 266Sehnt Bruſt⸗ Wehre 9 bis 10 6 bis?/ Banquet 323 ͦ 7.1 Graben. 24 Sis 30. 3 bis 10. Erklaͤrung. §. 126. Der Unterſcheid von den Figuren der Fed⸗ Schantzen iſt der Grund von ihrer verſchiedenen Be⸗ nennung. Woraus leicht zu begreiffen, was eine drey⸗ eckigte, viereckigte, fuͤnffeckigte Feld⸗Schantzeund ſo weiter. Wenn die viereckigte Feld⸗Schantze ein Pa- rallelogrammum, ſo heiſt ſie eine Redoute; ein hal⸗ bes Parallelogramtinum eine halbe Redoute. Iſt die Schantze aus lauter Scheeren zuſammengeſetzet, ſo wird ſie eine Stern⸗Schange genennet. Und ſo weiter. Anmerckung. F. 127. Es wuͤrde uͤberfluͤßig ſeyn, wenn ich umſtaͤndlich beſchreiben wollte, wie eine jede Feld⸗Schantze zu zeichnen. Wen meine bis hieher erklaͤrte Gruͤnde der Feſtungs⸗Bau⸗ Kunſt verſtanden, der wird das Zeichnen der Veld⸗Schantzen ohne ferneres Eeinnern beurtheilen koͤnnen. Deit⸗ Vehie u Gunden wr Weonſokre a wedtn⸗ enſt Ortnung, uuete Nen. Vyn Fuſſtnnine ſicenttn ſrenceken Ul nmte tin noch ſihinen n Nd “R ne r fiteng aen furt r den Beſchehi Unlchaften 1) De⸗ tfre I Dee 3Ne ikk Ueeice ⸗Wercent de Cn welcheone inſchſtſen ltige Aiee ren,weltee geſchvitn Bruſt,Geer on der glle worden erckeirdenge 1. Hihn. lis6h 610. ader e Genen Nerec cheng⸗ hortecn nte; i douee 9 ce o⸗ ſbhet o( n— 795 DPritter Abſchnitt. Von den Verſchiedenen Arten der Feſtungen. §. 128. Daß verſchiedene Arten von Feſtungen erfunden worden, iſt eine ausgemachte Sache. Wenn wiralle, ſo bekand, mit einander vergleichen; ſo werden wir geſtehen muͤſſen, daß aller Unterſchied in den verſchiedenen Verhaͤltniſſen der Linien, in der Ordnung, in welcher die Wercke mit einander ver⸗ bunden, und in dem Unterſchied der Wercke zu fin⸗ den. Wer meine Lehr⸗Saͤtze von der Feſtungs⸗Bau⸗ Kunſt verſtanden, und in der Ordnung, in welcher ſolche vorgetragen, genau uͤberleget, der wird nicht nur im Stande ſeyn, alle Arten der Feſtungen nach ihrer Vollkommenheit zu beurtheilen, ſondern auch neu⸗ ere Arten, nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde, beſtim⸗ men koͤnnen. Doch will, meinen Zuhoͤrern zu gefal⸗ len, die vornehmſten, welche erfunden worden, be⸗ ſchreiben. §. 129. Es iſt eine ausgemachte Sache, daß die erfundene Feſtungen vornemlich in hollaͤndiſche, fran⸗ zoͤſiſche und deutſche eingetheilet werden. Die hol⸗ laͤndiſche werden wiederum in alte und neue unterſchie⸗ den. Die alte hollaͤndiſche ſind nach des Freytags Beſchreibung zu beurtheilen, und haben ſolgende Ei⸗ 1¹) Die Flanquen ſtehen perpendiculaͤr auf der Cortine, und alſo ſind — 2) Die Second Flanquen unentbehrlich. 3) Vor die Wälle, merden rund herum Ravelin, alte halbe Monden, Horn⸗Wercke, Kron⸗Wercke und dergleichen Auſſen⸗Wercke geleget. Ddd 2 §. 130. 796 Dritter Abſchnitt, von den verſchiedenen §. 130. Die neue hollaͤndiſche Feſtungen entſprin⸗ gen von dem Coͤhorn, und haben folgende Eigenſchaff⸗ ten, wie aus TLab. II. Fig. 2. zu erſehen. 1) Die Flanquen ſtehen perpendiculaͤr anf der Defens⸗Linie. 2) Es werden zwo retirirte Flanquen gebraucht, welche von einem Orillon bedecket. 3) Vor der Cortine liegt eine Fauſſe braye, wel⸗ che nach der Defens⸗Linie gebogen. 4) Auſſer dem Graben liegt vor der Corrine ei Ravelin mit einem Fauſſe-Braye, und vor die Faſe des Bollwercks kommen Contre⸗Guarden. 5) In den eingehenden Winckel des bedeckten We⸗ ges liegen Traverſen, und hin und wieder ſind Capo⸗ niers angeleget. Fig. 3. zeiget das Profil an. S. 131. Unter den franzoͤſiſchen ſind vornemlich diejenigen zu mercken, welche wir dem Vauban zu ver dancken haben. Dieſer hat zwo Arten erfunden. Die Eigenſchafften der erſteren, welche Lab. I. Fig. 2. ge⸗ zeichnet, ſind ſolgende: 1) Die aͤuſſere Polygon iſt beſtaͤndig 9o%e rs 2) Die retixirte Flanque und das Orillon ſind rund, doch ſtehet die Flanque perpendiculaͤr auf der Defens⸗Linie. . =èð 3) Vor der Cortine liegt durch einen abgeſonder⸗ ten Graben die Fauſſe braye, welche wie ein Horn⸗ Werck ohne Fluͤgel gezogen. 4) Ueber dem Haupt⸗Graben liegt vor der Cor⸗ tine ein halber Mond, zu deſſen beyden Seiten zwo Brillen, und uͤber deren Oeffnung ein kleines Ra⸗ velin. 1 5) In den eingebogenen Winckeln des bedeckten Weges liegen Trsverſen, zwiſchen welchen die Waffen⸗ §. 132. . De Pig 1. eeichre g den ſlirin. ) De De ien Cortnen 9) Zwd drare, in hirte andettſeht ſen Ctrinen 3) W eniterche ticN WNN e gtetdon Vutt nſtten inhenechd ffnenab e n imn h beſſüign. 4 1g,S ungzfh en⸗ Bune in, Gyccl nen un i Mufunden Ndenid nehednden Nann Arten der Feſtungen. 797 §. 132. Die verſtaͤrckte Maniere, welche Tab. II. nleng Fig. 1. gezeichnet, hat folgende Eigenſchafften. 4 hedenen l 1)) In dem Maaß kommet ſie mit der erſteren ddieulikeit uͦberrin⸗ des Hea dgcrſ 2) Die Boll⸗Wercke des Haupt⸗Walles ſind von s den Cortinen durch Graben abgeſondert⸗ gnen h 33) Zwiſchen dieſen Boll⸗Wercken liegt eine Fauſſe bPrazye, in Geſtalt einer einfachen Scheere. auſſebint 4) Hinter den detachirten Boll⸗Wercken liegen andere ſehr kleine, deren Flanquen mit einer ſehr groſ⸗ der ii ſen Cortine zuſammen gehangen. ndverdiß⸗ 5) Vor der Cortine liegen zwey neue halbe Mon⸗ dDen uͤber einander. Und ſo weiter. ſederſlj §. 133. Unter den deutſchen Feſtungen verdienet uflon vornemlich des KRimplers Erfindung, wovon deſſen befeſtigte Feſtung zu leſen, beſchrieben zu werden. mmm Dieſe gehet von den andern darin ab, daß die Boll⸗ Nnle Wercke mitten auf die Polygonen, und zwiſchen en dieſen hernach die Cortinen geleget, wodurch ſo wohl lbig. 29 eine innere als aͤuſſere Defenſion erhalten wird. Mit Nutzen kan hievon geleſen werden Sturm in ſeiner Entdeckung der unſtreitig allerbeſten Manier zu . befeſti odng befeſtigen. HS ade 5. 134. Sturms freundlicher Wett⸗Streit der franzoͤſiſchen, hollaͤndiſchen und deutſchen Kriegs⸗ rcheen Bau⸗-⸗AKunſt; Sturms Architectunam militarem Drd“ Pothetico-ledicam; Sturms le veritable Fau- ban; Speckles Bau⸗Kunſt von Feſtungen will nuln denen zum Nachleſen vorſchlagen, welche ſich einen nEitn e Begriff von den uͤbrigen Feſtungen, welche erfunden jſn N worden, und von dem Nutzen derjenigen Lehr⸗Saͤtze, welche von dem Feſtungs⸗Bau in dieſen erſten Gruͤn⸗ ie den erwieſen, machen wollen. N . 7 ud Ddd 5 Vier⸗ K . 798 Vierter Abſchnitt, von den Attaquen Vierter Abſchnitt. Von den Attaquen und der Gegenwehre wider dieſelben. niasi AErklârung. §. 135. Die Sicherheit erfodert, daß der Feind um ſein Lager eine Bruſt⸗Wehr ziehet (S. 7. 11.). Dieſe wird, wenn ſie gegen das Feld aufgefuͤhret, die CLircum⸗ vallations⸗Linie; und wenn ſie gegen die Feſtung aufgeworffen, die Contravallations⸗Linie genennet. 6 Zuſatz. 4 §. 136. Der Feind kan in ſeinem Lager auf eine dreyfache Art in Unſicherheit geſetzet werden. Ein⸗ mahl durch ſeine eigene Voͤlcker, indem dieſe in dem Lager rebelliren, oder zum Theil aus dem Lager deſer⸗ tiren. Zweytens durch den Ausfall der Belagerten. Drittens durch einen Succurs, der die Feſtung zu entſetzen ſuchet. Dieſes beſtaͤtiget, daß die Eircum⸗ vallations⸗ und Contravallations⸗Linien nach folgen⸗ den Regeln aufzuwerfen. 1) Von dieſen Bruſt⸗Wehren, muͤſſen alle Straſſen im Lager koͤnnen enfiliret werden (§. 121.). 2) Den einen Theil dieſer Linien, muß man von andern Theilen vertheidigen koͤnnen. 3) Die Contravallations⸗Linie muß dem Aus⸗ fall der Belagerten, und die Circumvallations⸗ Einie dem Angriff des Succurs widerſtehen koͤnnen. Anmerckung. . 137. Das uͤbrige kan aus dem begriffen werden, was in dem erſten Abſchnitt von der Vollkommenheit der Bruſt⸗ Wehren erwieſen worden. Alle Wercke, die der Feind auf⸗ wirfft, theils ſein Lager zu verſchantzen, theils ſich ſicher zu der Feſtung zu nahen, werden Trencheen genennet. Lehr⸗ wo der 13 W ſ nng erſchn detebennihern W wan c dorſſecen Beotong, hen De demn Ingoffe derſehen. 9 Feſong che eln er nitt Wen i Er (ndere klonfGral ulden dond, flfan beree ſdeneh Pprochen i derdent ſ ſeen ſe leregt ethen d ſcn te den H tcen 1Attagven nitt. nwehte / ,,daß dergee hret delin gegen de 6⸗Liniegn enn Cngra 1t peren 6 ſdenn deſenn ten ren. gie Feſtung Pdie Eirel eanachie ſenalebn ) Pten,e konne enuft unt do 1 ittnts PetN 3 e detft, ſtſen⸗ , 4 7 N und der Gegenwehre wider dieſelben. „92 Lehr⸗Satz. 3.q 138. Will der Feind die Feſtung attaquiren, ſo muß er ſich unter einer geſchickten Bedeckung derſelben naͤhern koͤnnen. Will man einen Ort attaquiren, iſo muß man ſich demſelben naͤhern. Dieſes weiß entweder die Beſatzung, oder nicht. Das letzte iſt nicht zu ver⸗ muthen. Da alſo das erſte; ſo wird die Beſatzung dem Angriff von den Feſtungs⸗Wercken gewaltig wi⸗ derſtehen. Hieraus erhellet, daß ſich der Feind der Feſtung ohne groſſen Schaden nicht naͤhern koͤnne, wenn er nicht auf eine geſchickte Art bedecket iſt. S Erklaͤrung. §. 139. Solche Bedeckungen, unter welchen ſich der Feind der Feſtung naͤhern kan, werden Approchen, oder Lauf⸗Graben genennet. Dieſe koͤnnen entweder von dem Feind, indem er ſich der Feſtung naͤhert, mit fort beweget werden, oder nicht. Iſt jenes, ſo ſind ſie bewegliche, und wenn dieſes, unbewegliche Approchen. = 1. Zuſatz. .140. Die Approchen bedecken den Feind entwe⸗ der von oben, oder von der Seiten. Iſt jenes, ſo find ſie entweder beweglich, oder unbeweglich. Sind ſie beweglich, ſo koͤnnen ſie unmoͤglich ſo ſtarck gemacht werden, daß ſie der Gewalt der Bomben widerſtehen. Sind ſie unbeweglich, ſo werden ſie zu koſtbar. Folglich müſſen ſolche Approchen erwehler werden, welche den Feind, indem er ſich der Feſtung naͤhert, von der Seiten bedecken koͤnen. Ddd 4 2 Zu⸗ 800 Vierter Abſchnitt, von den Attaquen 2. Juſatz §. 141. Auch dieſe Art von Approchen iſt ent⸗ weder beweglich, oder unbeweglich. Die bewegli⸗ chen werden insgemein von Woll⸗Saͤcken gemacht, welche an einer Axe mit zwey Raͤdern befeſtiget. Sollen ſich durch dieſe viele bedecken, ſo werden ſie zu koſtbar. Daher wir auch bey dieſer Art der Approchen den unbeweglichen einen Vorzug geben muͤſſen. §. 142. Sollen Approchen von dieſer Art ge⸗ fuͤhret werden, ſo hat man entweder einen ſolchen Boden, bey welchem man weder in⸗noch unter die Erde kommen kan, z. E. moraſtigen, ſteinigen Bo⸗ den, und ſo weiter; oder man hat einen ſolchen Bo⸗ den, in welchem man einen Graben aufwerffen kan. Iſt jenes, ſo wird man leicht geſtehen, daß die Ap⸗ prochen von Schantz⸗Koͤrben, Sand⸗Saͤcken, und andern Blendungen zu verfertigen. Iſt dieſes, ſo bekoͤmmt man geſchickte Approchen, wenn man einen Graben fuͤhret, und die ausgegrabene Erde zu einer Bedeckung wider das feindliche Geſchuͤtze gegen die Feſtung auf wirfft. Anmerckung. 5 143. Damit man in ſolchem Graben etliche Mann hoch marſchiren koͤnne, ſo wird er 10 bis 12 Schuh weit emacht, und damit die Soldaten, ſo darinn gehen, voͤllig oͤnnen bedecket werden, ſo wird er 3 bis 6 Schuh tief gemacht. Denn iſt er 3 Schuh tief, ſo iſt die gantze Be⸗ deckung 6 Schuh. Iſt er 6 Schuh tief, ſo iſt die gantze Bedeckung 12 Schuh. Doch iſt zu mercken, daß dieſer Graben immer tieffer werden muͤſſe, je naͤher er zur Fe⸗ ſtung kommet. Iſt er 3 bis 4 Schuh tief, ſo wird geſa⸗ get, daß die Approche halb tief, iſt die Tieffe des Gra⸗ bens 6 Schuh, ſo wird geſaget, die Approche ſey gantz Lehr⸗ odd ſung ſchra ſt das Aprochen Abſcht 8 14. wenden, und noch GS e) 1l iten wil Geſchüge d dengeſung l. 3) g (habe lur an Schan lail e G dend werde Bettt ttaguen pprochen ie Die ler⸗ Saͤcken int ddern beſce , ſo bplen; dieſer Voriug k dieſer einen noch unte Leinigen vſolchenh⸗ ſwverffen ie cten, und ieſes, man eine de zuei e geger ite ,, nee⸗ Nne eſ rſe Pie lub 9 und der Gegenwehre wider dieſelben. 801 Lehr⸗Satz. g. 144. Die Approchen muͤſſen gegen die Fe⸗ ſiung ſchraͤg gefuͤhret werden. Beweiß. Oſt das Gegentheil, ſo koͤnnen die Belagerten die Approchen enfiliren (§ 114.). Dieſes aber iſt ihrer Abſicht zuwider (§. 139.). Lehr⸗Satz. §. 145. Die Belagerten muͤſſen alle Sorge an⸗ wenden, aufgeworffene Approchen zu zerſtoͤren; und noch nicht aufgeworffene zu verhindern. (§. 4. 139.). Lehr⸗Satz. §. 146. Wenn der Feind eine Feſtung atta⸗ quiren will, ſo muß ſeine erſte Sorge ſeyn, die Geſchuͤtze der Belagerten unbrauchbar, und an den Reunhns Wercken todte Winckel zu machen . 1. 3. Erklaͤrung. §. 147. Zu dieſem Ende werden von dem Fei erhabene Oerter mit Bruſt⸗Wehren, welche erd nur aus Sand⸗ und Woll⸗Saͤcken, oder aus Schantz⸗Koͤrben gemacht, befeſtiget, um Stuͤcke darauf zu pflantzen, damit durch das Bombardiren die Geſchuͤtze der Belagerten unbrauchbar, und an den Feſtungs⸗Wercken todte Winckel koͤnnen gemacht werden; und dieſe Oerter werden Batterie 5 1 Bettungen genennet. oper Ddd § 1. An⸗ 2 802 Vierter Abſchnitt, von den Attaquen und der ꝛ0. 1, Anmerckung. 5. 148. Aus dieſer Beſchreibung kan der Bau von den Batterien völlig beurtheilet werden. Ich trage daher Be⸗ dencken umſtaͤndlicher davon zu reden. 2. Anmerckung. . §. 149. Wollte ich noch die Contra⸗Mienen, das Sap⸗ piren und die Gallerien beſchreiben, und deren Beſchaf⸗ fenheit in einer natuͤrlichen Verknuͤpffung aus einander legen; ſo wuͤrde ich zugleich genoͤthiget werden, alles, was bey den Attaquen vorkoͤmmt, genauer zu beſchreiben. Wollte ich aber dieſes bewerckſtelligen, ſo würde die Gren⸗ ßen meiner gegenwaͤrtigen Arbeit verletzen. Daher will die Liebhaber dieſer Wiſſenſchafft itzo zu des Goulon Me- Boiet⸗ ſfur l' attaque et ſur la defenſe d' une Place ver- weiſen. Updde Bante age e⸗ EFLEMEN T A en, A ASTRONOMIAE oulere Hiu, Das iſt Erſte Gruͤnde Von Erfindung der Groͤſſe der Welt⸗Koöͤr⸗ per und deren Entfernungen von einander. == S Erſte Gründe Erſter Abſchnit. M ⸗ Von Erfindung der Groͤſſe der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen nach der ſinnli⸗ chen Vorſtellung des Welt⸗Gebaͤudes. Lehr⸗Satz.— E Der Simmel erſcheinet als eine hohle ☛ Augel, in deſſen Mittel⸗Punct wir ſtehen, und an deſſen Peripherie die . Sterne ſitzen, welche ſich mehren⸗ theils mit der Kugel um die Erde herum bewegen. ðð Betrachten wir des Nachts den geſtirnten Him⸗ mel; ſo ſcheinen alle Sterne von uns in gleicher Weite weg zu ſeyn. Folglich erſcheinet der Himmel als eine hohle Kugel, in deſſen Mittel⸗Punct wir ſtehen, und an deſſen Peripherie die Sterne ſitzen (§. 66. Geom.). Betrachten wir ſerner den geſtirnten Him⸗ mel; ſo nehmen wir wahr, daß zwar die meiſten ihre Weite von einander nicht verandern, Magegen doch ihren 806 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe es das Anſehen, als wenn ſich die Sterne mit der Kugel um die Erde herum bewegen. W. Z. E. W. EErkläͤrung. §. 2. Dieſe Erſcheinung giebt uns Beweaungs⸗ Gruͤnde die Sterne in zwo Arten zu theilen. Diejeni⸗ gen, welche beſtaͤndig einerley Lage und Weite von ein⸗ ander behalten, werden Fix⸗Sterne, und welche ihre Lage und Weite von einander veraͤndern, Planeten genennet. M: Anmerckung. 5§. 3. Unter die Planeten wird die Sonne O, der Rand C, Saturnug H. Jupiter A, Mars G Venus und Mercurius Y gezehlet. Die ſinnlichen Merckmahle, wo⸗ durch dieſe zu erkennen, und von einander zu unterſcheiden, will in den Fuͤrleſungen angeben. §. 4. Wir nehmen aus der angegebenen Erſchei⸗ nung ferner Bewegungs⸗Gruͤnde, in der Himmels⸗ Kugel zwey Puncte feſt zu ſetzen, um welche ſie ſich herum drehet, und dieſe werden die Welt⸗Pote genennet. Denjenigen, welcher in dem uns ſichtbaren Theil des Himmels iſt, nennet man Nord⸗Pol (Polu cum): und den ihm entgegen geſetzten, den Suͤder⸗ Pol (Polum amtracticum). Und alſo heiſt die Anie, welche von einem Pole bis zu dem andern gezogen wird, die Welt⸗Axe (Axis mundi). L eErkiärung. = §9. §. Alle aufgaben, welche nach dieſer Erſcheti ⸗ nung der Himmels⸗Kugel aufzuloͤſen, ſollen entwe⸗ der den Ort der Sterne in dieſer Himmels⸗Kugel, oder die Hoͤhe der Sterne, oder die Lage der Sterne gegen einander und ihre Weite von einander, oder endlich die Groͤſſe der Sterne beſtimmen. Dieſes Eiß der Welt⸗Körper und deren Entfernungen ze. 307 r ſ a bewerckſtelligen, wird die Himmels⸗Kugel in ver⸗ ernen ſchiedene Theile getheilet, und eine jede Linie, welche 15 e Tbelle heſtummt, auf eine beſondere Arthenennet. 364 Die Höͤheder Sterne zu beſtimmen, wird die Himm⸗ mmmels⸗Kugel auf folgende Art getheilet. 1) Iſt zu Benn mercken der Punct uͤber unſerem Scheitel in der un⸗ n. bewesglichen Flaͤche der Welt⸗Kugel; dieſer heiſſet Gint, das Zenith. 2) Der Pußck unter unſern Füͤſſen in oetee eben dieſer Fläche, welcher dem Zenith entgegen ge⸗ 1,Pen ſetzet; dieſer heiſt das Nadix, 3) Wird die unbe⸗ Wwegliche Flaͤche der Erd⸗Kugel durch einen Circul, welcher vom dem Zenith in allen Puncten 90 Grad weg ſtehet, in zwey gleiche Theile getheilet; dieſer Ord Circul heiſt der wahre Horizont. 4) Gedencket Nei ,i man ſich einen Cireul, welcher den Theil der Him⸗ ngen mels⸗Kugel abſchneidet, ſo von der Erd⸗Flaͤche kan miſe überſehen werden; dieſer wird der ſcheinbare Hori⸗ zont genennet. *½) Gedencket man ſich einen Circul, welcher durch das Zenith, Nadir, und durch den Eiſcee⸗ Mittel⸗Punct eines beſtimmten Puncts z. E. eines inni, Sterns um die Welt⸗Kugel beſchrieben wird; dieſer ſchnen heiſt der Vertical⸗Circul von dem beſtimmten Anum Punct. 6) Und alſo heiſt der Bogen von dem Ver⸗ Al nical⸗Cireul, welcher zwiſchen dem Punct, durch wel⸗ nant chen der Vertical⸗Circul gezogen, und dem Horizont enohn enthalten, die Hoͤhe des beſtimmten Puncts. Wor⸗ tint aus leicht zu begreiffen, was die wahre und ſcheinbare enh Soͤhe eines Sterns. 7) Ferner beſchreibet man einen Circul auf der unbeweglichen Flaͤche der Welt⸗ Kugel durch die Welt⸗Pole, durch das Zenith und Na⸗ dir; dieſer wird der Wittags⸗Circul (Meridianus) eſb genennet. 8) Endlich gedencket man eine gerade Li⸗ umm nie von einem Punct der Erde durch den Meridianum, al welche mit dem Diometer des Horizonts parallel ge⸗ Eil het; und dieſe wiro die Mittags⸗Linie (Linea meri- e dionalis) genennet. . 4 1. Ju⸗ eVe 80 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe K. 6. Ein jeder hat auf der Flaͤche der Erd⸗Kugel l ſeine Staͤtte aͤndert, ſo aͤndert ſich auch ſein Zenith und z. 7. Ein jeder n. c beſonderen Meridi. anum, und ein jeder Stern ſeinen beſonderen Vertical · r Eircul. . 2= 3 1 3. Zuſatz. hlet §. 8. Die Sterne kommen hoͤher uͤber den Hori⸗ t zont, wenn der Bogen von dem Vertical⸗Circul zwi⸗ ſchen dem Stern und dem Horizont groͤſſer wird. Und die Mittags⸗Hoͤhe eines Sterns iſt der Bogen des Meridiani zwiſchen dem Horizont und dem Stern. ELEerklaäarun. §. 9. Wenn ein Stern in dem Vorizont erſcheinet, da er vorher unter ihm verborgen war; ſo gehet er auf. Hingegen wenn er in dem Horizont verſchwindet, da er vorher uͤber ihm geſtanden; ſo gehet er unter. Drr Ort, wo die Sterne aufgehen, heiſſet der Morgen. D Insbeſondere fuͤhret dieſen Nahmen der Punct des Horizonts, welcher von dem Meridiano 900 weg iſt. in Der Punct in dem Theil des Horizonts, wo die Ster⸗ ln ne untergehen, und welcher dem Morgen entgegen ge⸗ d ſetzet, wird der Abend genennet. Wenn ihr den Mor⸗ gen zur rechten, und den Abend zur lincken habet; ſo zeiget die Mittags⸗Linie vor euch den Punct im Meridiano, e den man Mitternacht heiſt; hinter dem Ruͤcken aber h den Punet im Meridimo, den man Mittag nennet. § 10. In Anſehung der Fix⸗Sterne und der Sonne iſt die Entfernung des ſcheinbaren Gori⸗ zonts von dem wahren Horizont unendlich klein. der Griſ⸗ derEih .Unb nent chſeingeni eſonderenlit⸗ ſonderete r uͤher aß tical⸗Cinß⸗ goͤſerti der Byl d den E arcſſit gehettra rider untet. der ez O 90 4 e. o it⸗ ileee, voni e ing nbtand Umrgrt geneunr tphanti ndht⸗ 6 der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 809 Beweiß. Wenn ihr die Sonne recht im Worgen aufgehen ſehet, ſo beſtaͤtiget die Erfahrung, daß ſie 12 Stun⸗ den uͤber dem Horizont, und 12 Stunden unter dem Horizont. Ein gleiches nehmen wir bey den Fix⸗ Sternen wahr, welche in dem Weg ſitzen, welcher von der Sonnen beſchrieben wird. Sollte nun in Anſehung dieſer Sterne die Entfernung des wahren Horizonis von dem ſcheinbaren mercklich ſeyn, ſo waͤre dieſes unmoͤglich. Folglich iſt dieſe Entfernung unter geſetzter Beſtimmung unendlich klein (§. 8. Vor. I. Zuſatz. f. 11. Da nun dieſe Entfernung fuͤr nichts zu halten (§. 142. A. M.), ſo iſt auch der Diameter der Erde in Anſehung ihrer Entfernung von der Son⸗ nen und den Fix⸗Sternen als ein Punct anzuſehen (5§. §.). Ulnd hieraus erhellet 1) Warum einer gantzen, obgleich groſſen Stadt nur ein Zenith, und alſo auch nur ein Meridianus gegeben wird (§. 5.), und 2) Warum es gleich viel ſey, ob die Sonne und die Fix⸗Sterne aus dem Mittel⸗Punct der Erd⸗ Kugel, oder von der Flaͤche der Erden geſehen werden. 2. JZuſatz. §. 12. Das letzte zeiget unmittelbar, wie zu einer beſtimmten Stunde die Hoͤhe eines Sterns von dem Horizont zu meſſen (§. F.). 3. Juſatz. §. 13. Wenn ein Sternim Meridiano ſtehet, ſo . hat er die groͤſte Höhe (5 §. F. 9. )). Eee Auf⸗ 210 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Aufgabe. 5§. 14. Die Pol⸗Hoͤhe an einem Orte zu ſinden. Aufloͤſung. 1) Wenn des Winters die Nacht laͤnger als 12 Stunden iſt, und alſo der Polar⸗Stern zweymal in dem Meridiano kan geſehen werden (per dem. §. 10.); ſo meſſet ſo wohl die Hoͤhe des Polar⸗ Sterns uͤber dem Pol, als auch die Hoͤhe des Polar⸗ . Sterns unter dem Pol. 2) Subtrahiret die kleinere Hoͤhe von der groͤſſeren, und was uͤbrig bleibet dividiret durch 2, ſo habt ihr die Weite des Polar⸗Sterns von dem Pol. 3) Dieſe addiret zu der kleinen Hoͤhe des Polar⸗ Sierns, ſo habt ihr die Pol⸗Hoͤhe. Aufgabe. §. 15. Die Mittags⸗Linie zu finden. Aufloͤſung. 1) Beſchreibet auf einer Hortzontal⸗Flaͤche aus einem angenommenem Punete verſchiedene concentri⸗ ſche Eircul, und richtet auf dieſem Punct eine Per⸗ pendicul⸗Linie, in der Groͤſſe eines halben oder auch eines gantzen Schuhes. 2) Bemercket 2 bis 3 Stunden vor Mittag, und auch ſo viele Stunden nach Mietag, in welchen Punc⸗ ten eines jeden Circuls der Schatten des Stiffts des Vor⸗ und Nachmittags aufgehoͤret. 3) Theilt die Bogen, welche durch gedachte Puncte beſimmet! werden, in zwey gleiche Theile. 4) Wenn ihr nun durch dieſe Theilungs⸗Puncte eine gerade Linie ziehet, ſo iſt dieſelbe die verlangte Mittags⸗Linie (§. 5§. und dem. §. 10.)⸗ 1. Zuſatz. §. 16. Durchſchneidet die M ittags⸗ ⸗Linie mit ei⸗ ner Perpendicular⸗Linie, ſo zeigen die vier or⸗ der Wele Morper/ (9 , n 60 lensin ls und ſo die Ohti.). 1. D iber dem WMondezul Drge Ohe nft, imme heb⸗ ttcl, Tpe 637 0te. denan Ehengdeh N. D ſopiſene 1) Dees Mornen tün 2)D Derg von Nen der ten en; de⸗ ing ign Grlſ che N ncenti ine der i ttag Nrg, ſe Dnl Pnde ege fite S . M. der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 811 Morgen, Mittag, Abend und Mitternacht (§. 9. ). 2. Zuſatz. §. 17. So offt der Schatten des Stiffts auf die Mittags⸗Linie gegen Mitternacht faͤllt, ſo iſt Mit⸗ tag; und ſo offt der Schatten gegen Abend faͤllt; ſo gehet die Sonne recht im Morgen auf (§. 29. Ohptic.). — Lehr⸗Satz. §. 18. Die Sonne iſt nicht alle Tage gleich hoch uͤber dem Horizont. Welches auch von dem Monde zu behaupten. Beweiß. Der Schatten, welchen der Stifft auf die Mittags⸗ Linie wirfft, iſt nicht alle Tage gleich lang, ſondern nimmt bald ab, bald zu. Folglich kan die Sonne nicht alle Tage gleich hoch uͤber dem Horizont ſtehen (§. 37. Optic. und §. 13. 17.). W. D. E. Von dem Monde lehret der Augenſchein die Ver⸗ aͤnderung der Hoͤhe. Erfahrung. §. 19. Wollen wir das, was ſcheinet, feſt ſetzen, ſo muͤſſen wir folgende Saͤtze behaupten: 1) Die Sonne beweget ſich von Abend gegen Morgen innerhalb 365 Tage, 5 Stunden, y5y Minuten, und 12 Secunden um die Erde. 2) Der Mond beweget ſich, innerhalb 27Tagen, von Abend gegen Morgen, um die Erde. 3) Der Saturnus kommet beynahe in 30 Jah⸗ ren; der Jupiter nach Keplers Anmerckung bey⸗ nahe in 12 Jahren; der Mars beynahe in 686 Ta⸗ gen; die Venus in 225 Tagen, und der Mercurius in 88 Tagen um den Himmel herum. Eee 2 Er⸗ 812. Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Erklaͤrung. §. 20. Wenn alſo die Sonne ſich würcklich um die Erde bewegen ſollte, ſo bewegte ſie ſich um dieſelbe auf eine gedoppelte Art, einmahl von Morgen gegen Abend innerhalb 24 Stunden, und dieſe Bewegung wird die gemeine Bewegung (Motus primus); zweytens von Abend gegen Morgen innerhalb einem Jahre, dieſe Bewegung heiſt die eigene Bewegung (Motus ſecundus). 1. JuſaßB. §. 21. Die eigene und gemeine Vewegung kan⸗ unmoͤglich zu gleicher Zeit geſchehen. 2. J Uſatz. §. 22. Sollte ſich die Sonne wuͤrcklich um die Er⸗ de bewegen, ſo bewegte ſie ſich um dieſelbe in Schrau⸗ ben⸗Gaͤngen (§. 20. 18.). . Erklaͤrung. §. 23. Den Ort der Sterne in der Himmels⸗Kugel zu beſtimmen, ſo theilet man dieſelbe 1) durch den Me⸗ ridianum mit einem Circul alſo in zwey gleiche Theile, daß alle Puncte in dieſem Cireul von den Welt⸗Polen 90“entfernet ſind, und dieſer Circul wird der Acquator genennet. 2) Theilet man aus dieſer Abſicht die Himmels⸗Kugel mit einem Cireul, welcher durch einen beſtimmten Stern, vnd beyde Welt⸗Pole gehet; die⸗ ſer heiſt die Declinations⸗Linie oder der Abwei⸗ chungs⸗Circul. 7 E Erklaͤrung. §. 24. Der Bogen von der Declinations⸗Linie, welcher zwiſchen den Stern, wodurch er beſchrieben, und den Aequator enthalten, heiſt die Declination des Sterns oder die Abweichung des Sterns.⸗ Wird dieſe Abweichung von dem Aequatore gegen den Suͤder⸗Pol gerechnet, ſo heiſt ſie die ſuͤdiſche Ab⸗ wei⸗ der Gri⸗ der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 813 weichung (Declinatio auſtralis). Wird ſie aber whrcihun gegen den Nord⸗Pol beſtimmet, die nordiſche bwei⸗ Nutn ie chung (Declinatio ſeptentrionalis). gen gegende Zeweghn . r. 3 ſa 8. mus);e §. 25. Es hat demnach ein Stern die groͤſte De⸗ .D inein clination, wenn er am weiteſten von dem Aé quator egung 4P“ entfernet. . 2. Jlſatz. §. 26. Die Declination eines Sterns iſt der Un⸗ enktnn terſcheid zwiſchen der Hoͤhe des Aequatoris und der Mittags⸗Hoͤhe des Sterns (S. 8. 12.). Lehr⸗Satz. §. 27. Die Hoͤhe des Aeqguatoris macht mit der klich AIN Pol . Hoͤhe 60 Beweiß. e in 4 Es ſey HR der Horizont, P der Pol, und AD der Tab. I. san Kequator, ſo iſt Hb die Pol⸗Hoͤhe, und AR die Oatronom. Hinnſt N Hoͤhe des Aequatoris ( 9. 12.). Da nun HP-E ¹8. W nnga PA T AR= 1800 (§. 5.), und PA = 900 (§. 23.), ige ſo iſt auch HP + AR = 900 (§. 92. Rech.). W. der A Vſe 5. 28. Die Pai⸗ Juſaßz. hadn⸗ ne⸗ zdrnen ol⸗Hoͤhe eines ſe en Orts koͤnnet ihr Neee fin en nach dem §. 14.; ſubtrahiret dieſe von 900, ſo e habt ihr die Hoͤhe des Acquatoris (H. 27.). 6 . 24 Juſatz. . §. 29. Wie die Mittags⸗Hohe eines Sterns zu inetit finden, ſolches lehret der §. 13. und 12. Da ihr gicete nun auch die Hoͤhe des Aequatoris finden koͤnnet (§. ,Dedwein 28.), ſo ſeyd ihr im Stande die Declination eines je⸗ 1e Gn den Sterns (§. 26.), und alſo auch den Ort des Sterns roegt an der Flaͤche der Himmels⸗Kugel zu beſtimmen dlhe (§. 23.). „ Cee - An⸗ 814 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Anmerckung. §F. 30. Vergleichet die alten Obſervationen mit den neue⸗ ren, ſo werdet ihr finden, das die Declination der Fix⸗Sterne veranderlich, ſo daß ſie in einer Zeit von 72 Jahren beynahe um einen Grad veraͤndert wird. Erklaͤrung. §. 31. Die Lage der Sterne zu beſtimmen, theilet man die Himmels⸗Kugel durch den Weg, welchen die Sonne in einer Jahres⸗Friſt von Abend gegen Mor⸗ gen, oder durch ihre eigene Bewegung (S§S. 20.) zu be⸗ ſchreiben ſcheinet; und dieſer Weg wird die Sonnen⸗ Straſſe oder die Ecliptik genennet. Zuſatz. §. 32. Weil die Sonne des Jahres zweymahl in den Aequator kommet, die uͤbrige Zeit aber entweder uͤber den Aequator in die Hoͤhe, oder unter den Aequa- tor niederſteiget, und bey nahe eben ſo lange uͤber ihm, als unter ihm ſich aufhaͤlt; ſo hat man Grund die Ec⸗ liptik als einen Circul zu gedencken, welcher den Ae- quator in der unbeweglichen Flaͤche der Welt-⸗Kugel in zwey Puncten durchſchneidet, und in zwey halbe Circul theilet, und zwar in dem Winckel von 23 °30% oder nach den neueſten Wahrnehmungen in dem Win⸗ ckel von 23 °297. Willkuͤhrlicher Satz. §. 33. Theilet die Ecliptitk wie alle andere Cir⸗ cul in 3600, aber doch ſo, daß ihr die Grade nicht in einem fort zehlet, wie ſonſt gewoͤhnlich; ſon⸗ dern theilet die Ecliptik in 12 gleiche Theile, wel⸗ che 12 Theile die Himmels⸗Zeichen genennet wer⸗ den. Dieſe 12 Zeichen bekommen die Nahmen von dem Geſtirne, welches vor Zeiten ihm nahe war. Sie heiſſen nemlich der Widder V, Stier v/ Zwillinge I, Krebs &, Loͤwe , Jungfrau , Waage der Wee , Waeſ⸗ mmeniuſo belelun⸗ orn Lihnmee On denn hotd 34 8. . ocE WMeine undden been lel⸗Ciu Poenrt Eorer lhelten Nuh nr et reita u ſhene ſardde Palde Dreid dabe ſhe eſe En mg der Grie ng. ationenmnten nationderge n 72 hrene ⸗ beſtitntnen 1Weg, tege Abend grl n (Kn) Iid die rr tes zdennt eit ober Untererter liteltr, GunddleE ſcher den Velt⸗ in Pweyf l dont, eninſntn der Welt⸗Koͤrper und beren Entfernungen ꝛc. 81 Waage &α, Scorpion m, Schuͤtze , Steinbock V, Waſſerman e, Siſche .„U Welche Nahmen man in folgende Verſe gebracht, um ſie leichter zu behalten: Sunt Aries, Taurus, Gemini, Cancer, Leo, Virgo- Libraque, Scorpius, Arcitenens, Caper, Amphora Piſces. Von dem Urſprung dieſer Benennung ſiehe Caſp. Schottum in Organo Mathem. p. 654. „ Zuſatz,. d. 34 Ein jedes Himmels⸗Zeichen hat 300. (§. 33). Erklaͤrung. §. 35. Die Lage der Sterne genau zu beſtimmen, theilet man die bewegliche Flaͤche der Welt⸗Kugel mit einem Circul, welcher durch die Pole der Ecliptik und den Mittel⸗Punct des Sterns gehet, deſſen Lage ſoll beſtimmet werden. Dieſer Circul wird der Brei⸗ ten⸗Circul (Circulus latitudinis) genennet. Der Bogen von dem Breiten⸗Circul, welcher zwiſchen der Eeliptik und dem Mittel⸗Punct des beſtimten Sterns enthalten iſt, heiſt die Breite des Sterns; und zwar die wahre Breite, wenn dieſer Bogen von dem wah⸗ ren Orte des Sterns, wo er nemlich aus dem Mittel⸗ Punct der Erden geſehen wird, und die ſcheinbare Breite, wenn dieſer Bogen von dem ſcheinbaren Orte des Sterns, wo ernemlich auf der Flaͤche der Erde ge⸗ ſehen wird, gezogen worden. Rechnet man den Ab⸗ ſtand des Sterns von der Ecliptik gegen den Nord⸗ Pol der Ecliptik, ſo wird die Breite die Nordiſche Breite, und wenn man den Abſtand des Sterns von der Ecliptik gegen den Suͤder⸗Pol rechnet, die Suͤdi⸗ ſche Breite genennet. JH. 36. Die ſcheinbare Breite eines Fix⸗Sterns iſt deſſen wahrer Breite, in Anſehung unſerer Erde, gleich (§. 11.). Eee 4 Er⸗ 816 Erſter Abſchnitk, von Erfindung der Groͤſſe Erklaärung. §. 37. Der Bogen von der Ecliptik, welcher zwi⸗ ſchen den Anfang des Widders und den Circul der Breite eines Sterns enthalten, wird in der Aſtronomie die Laͤnge des Sterns genennet. Was die wahre und ſchein bare Laͤnge eines Sterns ſolches erhellet . Erfahrung. §. 38. Die Breite der Sterne iſt unveraͤnderlich, ihre Laͤnge aber veraͤnderlich. Albategnius de ſti- entia ſtellarum hat gefunden, daß die Laͤnge eines Sterns in 66 Jahren 1 veraͤndert werde. Tcho ſchaͤtzet dieſe Veraͤnderung in 100 Jahren, 1257. Copernicus I, 23⁄ 40“ 126, KRicciolus 1 2 3 ⁄ 200. Zuſatz. §. 39. Es ſcheinet, als wenn die Fix⸗Srerne ihre eigene Bewegung haben, und wird nicht ohne Grund fuͤr ein Jahr 50“, und alſo fuͤr 72 Jahr 1 zur Ver⸗ aͤnderung der Laͤnge eines Sterns gerechnet. Erklaͤrung. §. 40. Aſcenſion wird in der Aſtronomie ein Punct des Aequatoris genennet, der mit einem andern gege⸗ benem Puncte des Himmels zu gleicher Zeit entweder durch den Morgen⸗Horizont oder durch den Meridia- num gehet. Im letztem Falle heiſt ſie die gerade, und im erſtem Falle die ſchiefe Aſcenſion. 1. Zuſatz. §. 41. Die ſchieffe Aſcenſion eines Sterns wird ſo offt veraͤndert, als die Pol⸗Hoͤhe veraͤndert wird. 2. Juſatz. §. 42. Die gerade Aſcenſion eines Sterns kan durch den Bogen des Aequatoxis beſtimmet werden, welcher zwiſchen den Anfang des Widders und den Decli⸗ Fge, der Wale Declication G). 8. . Stetn odet ſet heiſtdie Aequmork ders, undde mitder Ete allehet, itd 8 44 ſen heſt letſchedie Deſetſine 6. Du onon om. 146. D N 2 Hendi end 3) dere her, deſe ſin i der Gr⸗ der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 917 Declinations⸗Circul des gegebenen Sterns enthalten den nn Er kla ru ng. derne s. 43. Der Punct des Acqumoris, womit der as dſem Stern oder ein anderer Punct des Himmels unterge⸗ ſlches A het, heiſt die ſchiefe Deſcenſion. Und der Bogen des Aequatoris, weicher zwiſchen den Anfang des Wid⸗ ders, und den Punct des Aequatoris enthalten iſt, wo⸗ vertat mit der Stern denen, ſo unter dem Aequator wohnen, GHhd. . R .„ . gini aufgehet, wird die gerade Deſcenſion genennet. Langetn Erklaͤrung. rde, „ . 44. Der Unterſcheid zwiſchen den beyden Aſeen⸗ hren ſionen heiſt die Aſcenſional⸗Differentz, und der Un⸗ 2;/ terſcheid zwiſchen der geraden Aſcenſion und ſchiefen Deſcenſion, die Deſcenſional⸗Differentz. Eume it Erklaͤrung. cn §. 452. Durch die Culmination verſtehet man in n en der Aſtronomie die Ankunfft des Sterns in Meridia- HMV Aufgabe. unch 8. 46. Die Culmination eines Sterns zu finden. Tab. I. Wern Aſtronom. it Aufloſung. Fig. 2. den NeͤN 1) Ziehet die Mirtags⸗Linie AB (§. 15.). egumt 2) Auf dieſer richtet einen duͤnnen Stifft DC per⸗ pendiculaͤr, und mit einem andern geraden und duͤn⸗ nen Stifft DE ſchlieſſet den rechtwincklichten Triangel. 3) Wenn ihr das Auge hinter DCalſo richtet, daß eti der Stifft DCden Stifft DEdecket; ſo muß der Koͤr⸗ atd per, welcher hinter DE ſtehet, in dem Meridiano ſeyn (5. 17.). Derowegen gebetacht, bis der Stern, Gint L deſſen Culmination ihr zu wiſſen verlanget, die be⸗ N. ſtimmte Lage erhalten, ſo habt ihr deſſen Culmina⸗ tnnn tion (§. 45.). 66 . . „ Eee 5 Er⸗ 818 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Erklaͤrung. §. 47. Die Weite zweyer Sterne iſt ein Bo⸗ gen eines groͤſten Circuls der Welt⸗Kugel, welcher zwiſchen ihren beyden Mittel⸗Puncten enthalten. Daher wird der Eircul, welcher durch zwey Puncte in der Welt⸗Kugel gehet und mit der Welt⸗ Kugel einerley Mittel⸗Punct hat, der Weiten⸗Circul genennet. §. 49. Hieraus iſt leicht zu begreiffen, wie man die Weite zweyer Sterne vermittelſt eines Quadranten auf der Flaͤche der Erden meſſen koͤnne. Erklaͤrung. §. 49. Man nimmt wahr, daß die Planeten ſich nicht in der Ecliptik bewegen, ſondern nur zuweilen einmahl hinein kommen, wie die Sonne in den Aequa- tor, ſonſt aber bald uͤber die Ecliptik weiter herauf gegen den Nord⸗Pol, bald unter die Ecliptik weiter hernieder gegen den Suͤder⸗Pol ſteigen; doch aber ſo, daß ſie ſich niemahls uͤber 10 Grad von der Ecliptik entfernen. Dieſes hat verurſachet, daß man zu bey⸗ den Seiten der Ecliptik in der Weite von 10 Graden Parallel⸗Circul beſchrieben, und den Streiffen um die Welt⸗Kugel, welcher von dieſen beyden Circuln eingeſchloſſen wird, den Thier⸗Kreiß (Zodiacum) genennet. V G Anmerckung. 8. §o. Dieſen Thier⸗Kreiß theilet man wie die Ecliptik in 12 gleiche Theile, oder ſo genannte Himmels⸗Zeichen, nemlich Widder, Stier und ſo weiter, weil ſich die Sterne, ſo dieſen Nahmen fuͤhren, darinnen befinden. Doch iſt auch hier zu mercken, daß ſich die Sterne nicht mehr in den Stellen befinden, welche mit ihnen einerley Nahmen fuͤhren, weil ſie von Hipparchi Zeiten um ein gantzes Zeichen fort⸗ geruͤcket ſind, ſo daß z. E. der Widder nunmehro in dem Zeichen des Stiers ſtehet. EBr⸗ 5 unn Af het nit ( Abe C = — — ———-ſr ððð erGee der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 819 Erklaͤrung. fah 5. Fr. Die Sonne gehet nicht weiter von dem Ae- quatore als bis in den Anfang des Krebs und den l Anfang des Stein⸗Bocks, das iſt, 23 ½ Grad. Da⸗ neh her beſchreibet man auch durch dieſe Parallel⸗Cireul Ve mit dem Aequatore, welche die Sonnen⸗Wenden mS (7ropici) genennet werden. Woraus unmittelbar nen zu begreiffen, was der Tropicus Caneri und Tropicus Cupricorni. ,tlan 1. Anmerckung. Ounte §. 52. Nunmehro ſollte ich erklaͤren, wie die Aſcenſion und Deſcenſion, die Laͤnge und Breite der Sterne durch Huͤlffe der ſphaͤriſchen Trigonometrie und alſo durch Rechnen zu fin⸗ den; damit die Oerter und die Lagen der Sterne an der Hinmmels⸗Kugel genau koͤnnen beſtimmet werden. Es iſt Nnn dieſes aber eine Arbeit, welche nicht fuͤr Anfaͤnger, ſondern r fuͤr ſolche, die ſich beſonders in der Aſtronomie hervor thun rde wollen. Ich werde alſo meiner gegenwaͤrtigen Abſicht Ge⸗ 4 Hera nuͤge thun, wenn ich die Verfertigung der Himmels⸗Kugel beſchreibe, und, wie durch deſſen Huͤlffe dieſe Aufgaben aufzu⸗ tn löoſen ſind, erklaͤr nd, erklaͤre. cahet ſen ind tekt in 2. Anmerckung. nn §. 53. Doch iſt zuvor zu mercken, daß die Ausrechnung der ſo Aſcenſion und Deſcenſion, der Laͤnge und Breite der Sterne, teſſtns die Mittel, wodurch die Catalogi fixarum verfertiget worden. Nle Man hat nemlich auſſer den 12 Himmels⸗Zeichen in dem re nordiſchen Theil der Welt⸗Kugel die Geſtirne durch folgende . Nahmen unterſchieden. Der kleine und groſſe Baͤr, der Prache, Bootes, die Jagd⸗Hunde, der Berg WMænalis, die Haare der Koͤnigin Berenices, der kleine Loͤwe, der Lux, ißt der Fuhrmann, der Kamelopard, Cepheus, Cæſtopen, Per- ſgi ſeus, Andromeda, der groſſe Triangel, der kleine Triangel, *M deie Fliege, Pegaſus, das kleine Pferd, die Eidexe, der Schwan, die Leyer, Hercules, die nordiſche Krone, der Schlangen⸗ RM Mann, die Schlange, der Adler, Antinous, das Sobieſcia⸗ en niſche Schild, der Delphin, der Fuchs mit der Gans, der ffinen Pfeil. Und in dem ſuͤdlichen Teil der Welt⸗Kugel: Der n Wallfiſich, das Wunderſtirn im Zalſe des Wallfiſches, an der Grion, der Fluß Eridanus, der Haaſe, der groſſe Hund, der 4 820 Erſter Abſchnikt, von Erfindung der Groͤſſe der kleine Hund, das Einhorn, die Waſſer⸗Schlange, der Rabe, der Becher, der Uraniſche Sextante, das Schiff Argo, der Centaurus, der Wolf, die ſudliche Krone, der Kranich, der Indianer mit dem Pfan/der Phaæniæ, bie Americaniſche Gans, die kleine Waſſer⸗Schlange, der Schwerd⸗Fiſch, die Taube, die Caroliniſche Eiche, der fliegende Jiſch, der Chamael, die ſuͤdliche Fliege, das Kreutz, der ſüuͤdliche Triangel, der Indigniſche Vogel, der Altar, die Wolcken. z. Anmerckung. §. 54. Einige Sterne fuͤhren beſondere Nahmen, als Arctiurus zwiſchen den Beinen Bootis; Gemma der mitt⸗ lere helle Stern in der Krone; Capella cum hæœdis auf der Schulter des FJuhrmanns; Palilitium; das Auge des Gchſen; Plejades oder das Sieben⸗Geſtirne auf dem Buͤ⸗ cken, und Hyadesi auf dem Geſicht des Gchſens; Caſtor und Pollux auf den Koͤpffen der Zwillinge; Præſepe und Aſini auf dem Rrebs; Regulus oder das Zertz des Eé⸗ wens; Spica Virginis in der Hand der Jungfrauen, und Vindémiatrivx auf ihrer Schulter; Autarer odet das Hertze des Scorpions; Regel in dem Juß des Grions, und Alcor das kleine Sternlein uͤber dem mittleren Schwantz des groſſen Baͤrens. 2 4. Anmerckung. §. 55. Man rechnet auch unter die Geſtirne die Milch⸗ Straſſe, welche um den gantzen Himmel herum durch die Calliopeam, den Perſeum, Fuhr⸗Mann, die Fuͤſſe der Zwillinge, die Keule des Orions, den Schwantz des groſ⸗ ſen Hundes, das Schiff Argus, die Fuͤſſe des Cencauri, den Altar, den Schwantz des Scorpions, den Fuß des Schlan⸗ gen⸗Manns, den Bogen des Schuͤtzens, und den Schwan, gehet, in der Geſtalt eines hellen Streiffens. Betrachtet die Milch⸗Straſſe durch ein Fern⸗Glaß, ſo werdet ihr fin⸗ den, daß ſie von dem Glantze unzehlicher kleinen Sternen entſtehe. §. Anmerckung. K. 56. Glaubet nicht, daß ihr alle Sterne mit den bloſ⸗ ſen Augen ſehen koͤnnet. Betrachtet die nebelichten Ster⸗ ne, welche einem hellen Flecken gleichen, durch die Fern⸗ Glaͤſer, ſo werdet ihr finden, daß ſie ein Schein von einem Hauffen kleiner Sterne. Galnieus hat z. E. in dem nebelich⸗ ten der⸗ ten Et deutlich Nuncin ſ Ptben di tfungein ſtonommd rogn ; rerſch dritte einger der er Eref wenn wentn . iſe ferzur ninpe ep⸗ nenſ verze e fenn Del in e ſto 6 Gal 1ltienn der Cife der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛe. 82 1 ſe⸗Scin ten Sterne des Krebſes 36 Sterne durch das Fern⸗Glas deutlich unterſcheiden konnen. Mit mehreren ſuche Hugenii Nuncium ſiderinm. 6. Anmerckung. §. 5y. Von dem Urſprung der Benennungen der Geſtirne haben die Poeten vieles erdichtet. Wer an dieſer Unterſu⸗ chung ein Vergnuͤgen findet, der kan des Hygini Poëticum A- ſtronomicum, und des Hrn. Prof. Wiedeburgs Einleitun) zur . Aſtrognoſie mit Nutzen leſen. 7. Anmerckung. §. 58 Endlich iſt noch zu mercken, daß die Sterne nach ih⸗ unes rer ſcheinbaren Groͤſſe in Sterne der erſten, der andern, der des . dritten, der vierten, der fuͤnfften, und der ſechſten Groͤſſe ene en eingetheilet werden. Nach Keplers Anmerckung ſind Sterne Gchſen der erſten Groͤſſe, welche, wenn die Sonne 12, der anderen nge; Groſſe, wenn ſie 13,, der dritten, wenn ſie 140, der vierten, 1 hetn wenn ſie 150, der fuͤnfften, wenn ſie 1629, und der ſechſten, ngfem wenn ſie 17 unter dem Horizont ſtehet, koͤnnen geſehen wer⸗ oderd den. g, nd/ Au fg abe. cwnn,! . §. 59. Eine Himmels⸗Rugel zu verfertigen, das iſt, eine Bugel aus Rupfer, Meßing oder Pa⸗ pier zu verfertigen, auf deren Flaͤche alle Fix⸗Ster⸗ eedet ne in proportionirter Weite, wie ſie an dem im⸗ erurie mel erſcheinen, mit den vornehmſten Circuln, die deß man ſich bey dem Welt⸗Gebaͤude vorſtellen muß, enn, verzeichnet ſind. ese he 1) Verfertiget einen Eircul von Meßing oder Hol⸗ Tab. I. ze, in welchem ihr die gegebene Kugel alſo haͤngen Aſtronom. eo koͤnnet, daß der Circul die Kugel in zwey gleiche Pig: 3. Theile theilet, und in demſelben beweglich iſt. In dieſem Circul befeſtiget die Kugel auf zuvor beſtimmte Art, in zwey gegen einander ſtehenden Puncten, ſo m⸗ nd dieſe Puncte die Welt⸗Pole (§. 4.) und der ne Circul, in welchem die Kugel gehaͤnget, iſt der Me- hirte⸗ ridianus (§, F.). nnon, 2) Den 22 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe 2) Den Meridianum AE CD theilet in ſeine Qua⸗ dranten, und jeden Quadranten in 900,welche von dem Punct E gegen die Pole muͤſſen gezehlet werden. 3) Verfertiget einen Kreiß von Holtze oder Meſ⸗ ſing und dergleichen, in welchem die Kugel mit dem Meridiano alſo kan gehaͤnget werden, daß ihr den Pol P nach Gefallen erhoͤhen koͤnnet. Dieſen Kreiß befeſtiget alſo horizontal auf ein Geſtelle, daß er die Kugel, wenn ſie in demſelben gehaͤnget worden, in zwey eiche Lheil⸗ theilet, ſo giebt er den Horizont (§. §.). 4) Haͤnget die Kugel mit ihrem Meridiano in den Horizont. Haltet an den Punct E einen Stifft und drehet die Kugel herum, ſo beſchreibet der Stifft den Aequator (§. 23.), dieſen theilet in 3600⁰. 5) Nehmet auf der Flaͤche dieſer Kugel 23 ¾ Grad von den Welt⸗Polen bund Qangerechnet zwey ent⸗ gegen geſetzte Puncte M und N; ſo habt ihr die Pole der Ecliptik. L 6) Fuͤhret dieſe Pole unter den Meridianum, hal⸗ tet einen Stifft daran, und drehet die Kugel herum, ſo werden zwey Circul beſchrieben, welche die Polar⸗ Circul genennet werden; und zwar heiſt der, welcher durch den Pol M gehet, der aretiſche Polar⸗Circul, und der durch den Pol N gehet, der antarctiſche Po⸗ lar⸗Cireul. 7) Auf beyden Seiten des Aequatoris nehmet ei⸗ nen Punct, welcher von dem Aequator 23 ¾ Grad ent⸗ fernet, nemlich HI, fuͤhret dieſe unter den Meridia- num, und beſchreibet wie zuvor aus denſelben Circul; ſo bekommet ihr die Tropicos, und zwar durch H den Tropicum cancri, und durch 1 den Tropicum Capricor- ni (§. 5 1.). . 8) Haͤnget die Kugel in den Meridianum mit den Polen der Ecliptik MN, haltet an dem Punct E einen Stifft, und drehet die Kugel herum, ſo wird die Ecliptik der Lalte Eeliptikbeſht geherehen 9) Cſer de firgen, und 1 nefuudinum Etetne 3⸗ Valt⸗on ls Dedmatin e Etetre Dlichedeed wleſteonde 10) D net, deln und ſem beſeſtuti Miclgn inet ſfenn linntt ind ſtenend Eiinde ſel Gichten dEd Pinnc Himmel 1) deſſten orfeo J 3 Polee, ukt 96 Plet Ne 3deriß der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 82 3 OderGn ieſe theilet i leririe Ecliptik beſchrieben (§. 31.). Dieſe theilet in ihre lltinuandh aehörige Theile (§ 33.). õ 2) Laſſet die Kugel in dieſen Polen der Ecliptik ehlendn haͤngen, und traget auf derſelben aus den Tabulis Holrht longitudinum & latitudinum fixarum den Ort der le Sterne (§. 35. fl.). Oder haͤnget die Kugel in den en, daß et Welt⸗Polen, und traget auf derſelben aus den Tabu- Dieei lis Declinationum & Aſcenſionum fixarum den Ort ſel der Sterne (§. 24.40. fl.), ſo ſind auf dieſer Kugel⸗ et nue Flaͤche die Sterne in derjenigen Ordnung gezeichnet, er den en wie ſie an der Flaͤche des Himmels ſtehen. 10) Damit ihr alſo dieſe Kugel gebrauchen koͤn⸗ eridimt net, die Lage der Sterne, ihren Auf⸗ und Untergang inen ein und ſo weiter, Anfaͤngern begreiflich zu machen; ſo der e befeſtiget auſſen an dem Meridiano einen Circul, deſſen 600, Mittel⸗Punct durch die Welt⸗Axe gehet RAs; theilet helab dieſen, wie eine Uhr, in zweymahl 12 gleiche Theile, uri ſo daß die 12te Stunde auf dem Meridiano zu ſtehen ijrde A kommet, in dem Mittel⸗Puncte dieſes Circuls befe⸗ ſtiget einen Zeiger, den ihr nach Gefallen auf eine jede larum Stunde ſtellen koͤnnet, und welcher mit der Kugel zu⸗ ugelhen gleich herumgedrehet wird. hedieß⸗ Aufgabe. dee §. 60. Durch den Gebrauch der verfertigten doen Himmels⸗Kugel die Sterne an der Slaͤche des areſn Simmels kennen zu lernen. Aufloͤſung. tseei⸗ 1) Erhoͤhet den Pol der Welt⸗Kugel ſo viel Gra⸗ de uͤber den hoͤltzernen Horizont, als er uͤber eurem . Horizont erhaben iſt. talnd⸗ 2) Stellet den Nord⸗ Pol nach Norden. umtki 3) Suchet den Tag, da ihr die Kugel gebrauchen icndi⸗ wollet, im Calender, und mercket den Ort in der Ec⸗ licptik, wo die Sonne ſtehet. ,imnt 4) Fuͤhret dieſen Grad unter den Meridianum, und 1bue ſtellet den Zeiger auf 12. nſ 5) Dre⸗ 824 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe NeV 5§) Drehet die Kugel, bis der Zeiger diejenige widen Stunde zeiget, in welcher ihr obſerviren wollet. enun 6⁶) Setzet auf den Stern, den ihr an dem Him⸗ (ſn. mel ſuchen wollet, perpendiculaͤr einen Stifft, ſo mußs ) dieſer den Ort zeigen, wo der Stern am Himmel mm ſitzet. Aufgabe. enu §. 61. Durch den Gebrauch der verfertigten hodt Himmels⸗Kugel alle aſtronomiſche Fargen, von 3 dem Orte, von der Hoͤhe eines Sterns zur be⸗. Ef ſtimmten Stunde, und ſo weiter, zu beantwor⸗ ſel ten. . J Au floͤſung. i 1) Erhoͤhet den Pol, wie zuvor iſt gezeiget worden. in 2) Fuͤhret den Stern, wovon die Rede, unter den Meridianuc, und zehlet daran die Grade von dem Ae⸗ 80 quatore, bis zu dem Stern; ſo habt ihr ſeine Decli⸗ nation (§. 24.). . Ai 3) Fuͤhret den Stern, wovon die Frage, unter den h Meridianum; ſo ſehet ihr den Grad des Aequateris, Emn mit dem er darunter koͤmmt, das iſt ſeine gerade Aſcen- Mmnt ſion (§. 40.). 4) Fuͤhret den Stern in den Morgen⸗ und Abend⸗ E Horizont, ſo ſehet ihr ſeine ſchieffe Aſcenſion und De- ſcenſion (S. 40. 43.). 5) Stellet die Himmels⸗Kugel auf 12 Uhr, wie 9 §. 60. iſt gewieſen worden, fuͤhret den Stern unter den 8 Meridianum; ſo zeiget der Zeiger ſeine Culmination (§. 45.), fuͤhret ihn ferner in den Morgen⸗und Abend⸗ Horizont; ſo weiſet der Zeiger die Zeit, wenn er auf de und untergehet (§. 9.). 6) Verfertiget einen Quadranten, deſſen Spitze ihr an den Pol der Ecliptik befeſtigen koͤnnet, die⸗ ſer wird der Hoͤhen⸗Quadrant genennet. Befe⸗ ſtiget dieſen an dem Pol der Ecliptik dergeſtalt, daß 4 er durch den Mittel⸗Punct des Sterns gehet; ſt np 0 wird ungderh der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 925 er geige wird er den Grad der Laͤnge in der Ecliptik abſchnei⸗ erdiren n den, und die Breite koͤnnet ihr an dem Quadranten ihr an den ſehen. einen Eiſt,ſt 7) Meſſet die Mittags⸗Hoͤhe der Sonne (§. 12. 13.), Sternmnig und mercket dieſen Grad in dem Meridiano. Wendet die Himmels⸗Kugel, bis ein Grad der Ecliptik in dem gefundenen Grad des Meridiani zu ſtehen kommt; ſo der ve habt ihr den Ort der Sonne in der Ecliptik. ſche Fargen 8) Wenn ihr den Ort der Sonne in der Ecliptik Sterlen gefunden, ſo fuͤhret dieſen unker den Meridianum unb r, zu bin ſtellet die Kugel auf 12. Uhr. Fuͤhret die Kugel in den Morgen⸗ und Abend⸗Horizont, ſo weiſet der Zei⸗ ger die Stunde, wenn die Sonne auf⸗und untergehet, 1geeigtn und folglich die Laͤnge des Tages und der Nacht. Rede, i 9) Wenn die Kugel, wie Reg. 8. gewieſen, ge⸗ iadenme ſtellet, ſo ſchraubet den hoͤhern Quadranten an das ißr ſne d Zenith, das iſt, den 90⁰° des Meridiani von dem . Horizont an gerechnet (§. 5.); wendet dieſen, bis er inenlttrd durch den Grad der Ecliptik gehet, darinnen ſich die es degm Sonne befindet; zehlet die Grade in dem Qua⸗ eentes dranten, zwiſchen dem Ort der Sonne und dem Ho⸗ rizont; ſo wiſſet ihr, wie hoch die Sonne ſtehet zu der Cen⸗ un Eetnuds „welche von dem Zeiger gewieſen wird 5 „ 12.). heunane. . 10) Wenn ihr den Ort der Sonne wiſſet, ſo ſtellet, ufuh⸗ wie zuvor, die Kugel auf 12. Uhr. Wird euch nun uf nen die Hoͤhe der Sonne gegeben, und ihr wollt die Stun⸗ en in de des Tages wiſſen, ſo befeſtiget an dem Zenith den ſeſele hoͤhern Quadranten; wendet ſo wohl die Kugel, als e den hoͤhern Quadranten, bis der Ort der Sonne durch N den beſtimmten Grad gehet; ſo weiſet der Zeiger die Nſe verlangte Zeit. Und ſo weiter. ten, “?JM . 7, , Crſt, e htte 6 Erklaͤru ng. n §. 62. Es wird micht baid finſter, wenn die Sonne untergehet, Und es wird helle, ehe die Sonne auf⸗ lerns ſ Fff gehet. 8. 260 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe eh et. Das Licht, welches nach dem Untergange der D onne uͤber unſerm Horizont helle macht, heiſt die Al end⸗Demmerung (Crepuſculum veſpertinum); un d das Licht, welches vor der Sonnen Aufgang uͤber un ſerm Horizont helle macht, heiſt des Lages An bruch (Crepuſculum matutinum). L 1. Juſatz. z. 63. Die Lufft muß die Sonnen⸗Strahlen bre⸗ chen, und ſolche dadurch auf unſern Erdboden bringen (. 3. 43. Opt.). . 2. Juſatz. 5z. 64. Die Sonne muß hoͤchſtens 19. bis 19. Grad unter dem Horizont ſeyn, wenn die Abend⸗ Demm erung aufhoͤren ſoll. Wenn demnach der Un⸗ rerſcheid wiſchen der Hoͤhe des Aequatoris und der noͤrdlichen De clination der Sonne nicht uͤber 17. bis 18. Grad; ſo wuß der Tag die gantze Nacht durch ſchimmern. ſe Anmerckung. Wie ähr durch Huͤlffe der verfertigen Himmels⸗ Kgel Wenn den Ort der Sterne und die Pol⸗Hoͤhe gege⸗ ben worden, die Laͤnge der Abend⸗Demmerung und die Zeit, da der Tag anbricht, beſtimmen koͤnnet, ſolches werdet ihr aus dem §. 64. und H. HI. beurtheilen koͤnnen. Erklaͤrung. W 8. 66. Das groſſe Licht verdunckelt das kleine; was iſt es Dreuranlder daß wir nicht ſo gleich alle Sterne ſehen koͤnnen, wenn die Sonne unterge⸗ gangen; und daß wir nicht alle Sterne ſo lange ſe⸗ hen koͤnnen, bis die Sonne aufgegangen. Die Tieffe der Sonne unter dem Horizont, welche erfo⸗ dert wird, wenn wir einen Stern, der uͤber dem Ho⸗ rizont ſtehet, ſehen ſollen, wird der Sehungs⸗Bo⸗ gen genennet (Arcus viſionis). Wenn de Sierg⸗ der Wats us den Edin net man es 0 Unter die Son leun. . 6. Die⸗ M Werden 8 68. d und dem P GStemeuft in welchemne Aufhengeſ 1) C l Mnfi 9) Vefe iith. Und⸗ ſ ſeliberde An erfde Uelggte. 1 c ieSonnf lndein, 1. 70. hre N n wer ſeſen pel uͤber n bey hahe en gori denſitn noder Grle in Untergen e macht, ſer mvehennm len Alſtann: Tegeerir en⸗ Etriit Erdbedge ſtens Il wenn die! demnnach Auatoris t iler Ij , Ycſt Ol igen Hin ge Aung undte ſolches e⸗ zunen. der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen c. 327 aus den Sonnen⸗Strahlen hervor ruͤckt, ſo nen⸗ net man es Ortum heliagum, und wenn ſich der Stern unter die Sonnen⸗Strahlen verbirget, Occaſum heliagum. Anmerckung. §. 67. Die Groͤſſe des Sehungs⸗Bogen iſt §. 58. beſtim⸗ met worden, §. 68. Aus dem gegebenen Sehungs⸗Bogen, und dem Punct der Ecliptik, mit welchem der Stern aufgehet, den Punct der Ecliptik zu finden, in welchem die Sonne iſt, wenn man ihn zu erſt im Aufgange ſiehet. Aufloͤſung. 10 Erhoͤhet wie zuvor den Pol der Himmels⸗Ku⸗ gel, und fuͤhret den Stern in den Morgen⸗Horizont⸗ 2) Befeſtiget den hohen Quadranten an das Ze⸗ nith, und ſuchet dadurch den Grad der Ecliptik, der ſo viel uͤber den Horizont erhaben, als der Sehungs⸗ Bogen erfodert; der entgegen geſetzte Grad iſt der verlangte. Anmerckung. . 69. Auf gleiche Art koͤnnet ihr finden, in welchem Ort die Sonne iſt, wenn ſich der Stern unter die Sonnen⸗Strah⸗ len verbirget. Erfahrung. §. 70. Der Schwantz des wens und die Aehre der Jungfrauen ſind ſtets von einander 35 2, wenn man ſie nahe bey dem Meridiano zu meſſen pfleget. Allein wenn der erſte nur 34 * uͤber dem Sorizont erhaben iſt, ſtehet der andere bey nahe in eben dem Vertical⸗Cireul ſchon in dem Horizont, da er doch bey nahe ½ Grad unter demſelben iſt. Sohaben die Hollaͤnder, als ſie den V Fff 2 Win⸗ Tab. I. Aſtronom. kig. 4. 328 Erſter Abſchnitt, von Erſfindung der Groͤſſe Winter uͤber hinter der Tartarey verblieben, nach einer Nacht von drey Monathen zu Mittage die Sonne ge ſehen, da ſie doch etliche Grad unter dem Horizont war. Keplerus Epil. Aſtronom. Lib. I. Part. 3. P. 60. 61. 1. Zuſatz. §. 71. Dieſes beſtaͤtiget aufs neue, was ſchon §. 63 erwieſen, daß nemlich die Strahlen der Sterne und der Sonne in der Lufft ſo mercklich gebrochen wer⸗ den, daß ſie nicht allein das Bild der Sterne, ſon⸗ dern auch der Sonne uͤber den Horizont erheben koͤnnen. 2. J uſatz. §. 72. Wenn ihr demnach die Hoͤhe der Sonne und der Sterne gemeſſen, und ihr wollt ihre wahre Hoͤhen wiſſen; ſo muͤſt ihr von der gefundenen die ge⸗ hoͤrige Refraction abziehen. Lehr⸗Satz. §. 73. Wenn ein Stern im Horizont geſehen wird, ſo hat ſein Strahl auf die Atmoſphaͤr die groͤſte Inclination. Beweiß. Es ſey HA der Horizont, AMH die Atmoſphaͤr, in T'der Stern, der im Horizont geſehen wird, und in S der uͤber den Horizont erhabene Stern; ſo ſind OS und O'T die einfallende Strahlen. Ziehet aus dem Mittel⸗Punet der Erde Cnach den Puncten in der Atmoſphaͤr HM, wo die Strahlen einfallen, gerade Linien CMund CE, ſo ſtehen dieſe auf der Atmoſphuͤr perpendiculaäͤr (§. 169. Geom.); und alſo ſind NMS und IH T die Neigungs⸗Winckel (§. 47. Opt.). Ver⸗ laͤngert die Linien 8O bis in R, und aus dem Mittel⸗ Punct Claſt auf SR eine Perpendicul⸗Linie CR fallen, ſo iſt MRC ein rechtwincklichter Triangel. Da nn au der Vit Guch HOC ſiſt aucht en dieſes u Ochloſſentv Anostotl inus totl ſolgich /e Sin. 00 N NoN rich N OSI odcſt HI n. ſineS When. ſin don dene der Uebro hingeten wenn er hihet, er Griſ blieben, nh Mittagen ed unterde DnonLobl vas ſchnech⸗ r Sternt brochenn Sterne⸗ zont erhe e der Ct t ihre vif enen bient nt geſhe oſphard noſchi ſo GetasN terirN l K Fltniget ſſod 0r) A⸗ Nench ſeCſche 4 O 19 der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 829 auch HOCein rechter Winckel (§. 170. 171. Geom.), ſo iſt auch HOCein rechtwincklichter Triangel. Nach⸗ dem dieſes zum Grunde geſetzet, ſo kan auf folgende Art geſchloſſen werden: Sinus totus: CH = Sin. OHC: OC Sinus totus: CM (= CHS. 21. Geom.) = Sin. RMC: RC (S. 188. Geom.) Folglich iſt Sin. OHC: Sin. RMC = OC: RC (S. 40, 13 1. Nun iſt OCEP RC (S. 148. Geom.). Folglich iſt OHCE RMC OHC-=IHT, und RMC= SMN (SH. 117. Geom.). Folglich iſt IHT & SMC (§. 21. A. M.). W. Z. E. W. Lehr⸗Satz. §. 74. Wenn ein Stern im Zenith ſtehet, ſo wer⸗ den ſeine Strahlen in der Atmoſphaͤr gar nicht gebrochen. Stehet er im Horizont, ſo werden ſie am ſtaͤrckſten gebrochen. Und gehet der Stern von dem Horizont nach dem Zenith, ſo nimmet der gebrochene Winckel immer mehr und mehr ab, hingegen nimmt er immer mehr und mehr zu, wenn er von dem Zenith nach dem Horizont gehet. . Beweiß. Stehet der Stern im Zenith, ſo gehet der einfal⸗ lende Strahl durch den Mittel⸗Punct der Erde, (§. 5§.), und faͤllt alſo perpendieulaͤr auf die Atmo⸗ ſohaͤr (§. 169. Geom.). Dieſes beſtaͤtiget, daß ein Re Sraht nicht gebrochen wird (S§. 55. Opr.). Fſf 3 Stehet 830 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Stehet der Stern im Horizont, ſo hat er auf der Atmoſphaͤr die groͤſte Inclination (§. 73.), ſolglich muß er auch am ſtaͤrckſten gebrochen werden (§. 51. Optic.). Das dritte und vierte kan auf agleiche Art erwieſen werden, wie der Satz S. 73. bewieſen, wenn mit dieſem der §. 5§1. Optic., verknuͤpffet worden. Zuſatz. . 75. Sollte demnach die Sonne und ein Fixr⸗ Stern gleich hoch ſtehen, ſo muͤſſen ihre Strahlen gleich ſtarck in der Atmoſphaͤr gebrochen werden. Aufgabe. §. 76. Die Groͤſſe von der Refraction eines Sterns in einer jeden Soͤhe zu beſtimmen. Aufloͤſung. 1) Erwehlet einen Stern, der in dem Meridiano an dem Zenith ſehr nahe ſtehet, und meſſet deſſen Mittags⸗Hoͤhe. e 2) Suchet von dieſem Stern die Declination (§. 26.), welche alſo kan gefunden werden, daß der Fehler fuͤr nichts zu halten, weil der gebrochene Win⸗ ckel unendlich klein (§. 74.). 3) Meſſet die Hoͤhe dieſes Sterns in einem jedem Grade (§. 12.), und mercket nach einer accuraten Uhr, die bey Tage nach der Mittags⸗Linie geſtellet worden, die Zeit, wenn dieſe Hoͤhe gefunden worden. 4) Suchet durch Huͤlffe der gefundenen Declina⸗ tion die wahre Hoͤhe, welche der Stern zu der beſtim⸗ ten Zeit haben muß (§. 61.). 5) Subtrahiret diegkleinere Hoͤhe von der groͤſſe⸗ ren. Das uͤbrige zeiget an, wie viel der Stern durch die Refraction gehoben worden. Anmerckung. §. 77. De la Hire hat in Tab. Aſtron p. 6. die Refraction der Sterne durch alle Grade der Hoͤhe genau beſtimmet. Er⸗ der Wa⸗ 871. Fereche wid,uin ſeſen 5) 93 we der Etein 9 Dhlen Girg Uſa eſeet Mukn, ecA Wdo WN WNN aor Ei ein Te der G den. lchte heder nolt Mohl ſ ine et in Biſe r Griͤſ⸗ der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛe. 831 N e at er affe Erklaͤrung. ſolglchon s. 78. Micrometrum iſt ein Inſtrument, ſo in einem 1,0, Fern⸗Rohre, da, no der Ort des Bildes iſt, angebracht wird, um die Kleinigkeit am Himmel damit abzu⸗ Art erts meſſen. n hnnitdi Aufgabe. §. 79. Ein Mierometrum zu verfertigen. Aufloſung. Ind eiſ, 1) In dem O t eines aſtronomiſchen Fern⸗Rohres, Ta 1. e Snin wo der Brenn⸗Punct des Objectiv⸗Glaſes iſt, befeſti⸗ i ‚nott. erden. get einen Ring von Meßinge AB. 2. s. 2) Durch dieſen ſchraubet zwo Schrauben Cund D gleichfals von Meßinge mit ſehr engen und gleichen tien Gaͤngen, die in dem Mittel⸗Punct des Fern⸗Rohres npr⸗ zuſammen ſtoſſen. Soiſt das Inſtrument fertig. Wenan Bewe iß. beſen Zehlet nach einer aceuraten Uhr die Stunden und eingtin Minuten, welche vorbey flieſſen, ehe ein Stern, dDer im Aequatore iſt, in dem unbeweglichen Fern⸗ aen Rohre von dem Ende der einen Schraube bis zu ae We⸗ dem andern kommet, und verwandelt ſie durch Huͤlffe der Regel⸗Detri in Minuten und Secunden des Ae- henſer uatoris; ſo wiſſet ihr, wie viel Gewinde von der tatele Schraube auf eine Minute gehen, und koͤnnet daher ſtnit ein Daͤffelein ausrechnen, darinnen einer jeden Zahl der Gewinde ihre zugehoͤrige Stunden zugeeignet wer⸗ en den. Wenn ihr nun das Fern⸗Rohr nach einen Ort n richtet, und die Schrauben dergeſtalt ſtellet, daß ſie beiderſeits die aͤuſſerſten Puncte deſſen, was ihr meſſen hſe wollt, beruͤhren; ſo duͤrffet ihr nur zehlen, wie viel⸗ dh mahl die Schrauben umgewendet werden muͤſſen, ehe ſie im Mittel⸗Punct zuſammen ſtoſſen. Dieſe Zahl zeiget in der verfertigten Taffel die Groͤſſe von der o= Breite deſſen, was ihr meſſen wollt. Folglich 3832 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe iſt das Inſtrument ein Micrometrum (§. 78.). * „ Aufgabe. §. 580. Den ſcheinbaren Diameter der Sterne zu meſſen. Aufloͤ ſung. Stellet das Micrometrum, wie aus dem Beweiß des §. 79. zu erſehen, und verfahret alsdenn, wie daſelbſt beſchrieben worden. Nur muͤſſet ihr mer⸗ cken, daß das Augen⸗Glaß uͤber dem Licht ſchwartz an⸗ lauffen muß, nicht allein, wenn ihr nach der Sonne ſe⸗ het, ſondern auch, wenn ihr den Fund die & obſervi⸗ ren wollet, damit der allzugroſſe Glantz benommen werde. 1. Juſatz. D §. 81. Ihr werdet finden, daß der ſcheinbare Dia⸗ meter der Sonne, des Mondes und der uͤbrigen Pla⸗ neten nicht immer von einer Groͤſſe ſey. Ihr werdet finden, daß der ſcheinbare Diameter des 5, Aund groͤſſer ausſiehet, wenn ſie von der Sonne weit weg ſind, als wenn ſie ihr nahe ſtehen, ſo gar, daß der Dia⸗ meter des & achtmahl ſo groß aus ſiehet, wenn er von der Sonne 90° weg ſtehet, als wenn er mit ihr in ei⸗ nem Ort des Himmels geſehen wird. Ihr werdet endlich wahrnehmen, daß der ſcheinbare Diameter der Fix⸗Sterne durch das Micrometrum kaum kan gemeſ⸗ ſen werden, 1. Anmerckung. §. 82 Hugenius hat herausgebracht, ſiehe Syſtem. Sa-⸗ curn. pag 7 ſt. daß in der kleineſten Weite von der Erde der ſcheinbare Diameter des Saturni 30“, des Jupiters 14“, des Martis 30“, der Veneris 15256“. In der mittleren Weite ſetzet er den ſcheinbaren Diameter der Sonne 3030“. Hugenius beſtimmet in Cosm. Lib. II. den Diameter des Hundes⸗ Stern 4““. 2. An⸗ der V 1 G. im Und. ginde Be Neken. 4 und Hu baten D angegeb S ten Dia Pinſtern lt, find Erfim Und d 1 „(J. N übrig als d er Stm en Dei enn, t ifrn ſchrenere Elnn lſn bennut Ure Dn 1, verdet und 4 eit ni et Ger er ſiten ed tttmA 1a der Well⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 933 2. Anmerckung. §. 83. Heuelius hat durch verſchiedene Obſervationen im Tract. de Mercurio in ſole viſo f. 101. erwieſen, daß fol⸗ gende Verhaͤltniß unter den ſcheinbaren Diametern der Pla⸗ neten. der Kleinſte Mittlere] Groͤſte h 14“ 13 16“ 2““ 19“ 40“7¹ 2 14“5 3669 1¹1 8“ 2 † 24“ 22“ S 2“ 46 5“ 2“ 20“ 50““ . 9 30 16“ 469 17 5“ 58““ 4¹ 4¹5 6“ 36“ 11 483“ und Hugenius hat im Syſtem. Saturnino den kleinſten ſchein⸗ baren Diameter des H 30“, A 1514“ & 30“ O 15256 angegeben. ”” 2. Juſatz. 8d. 84. Auf gleiche Art koͤnnet ihr den ſcheinba⸗ ren Diameter von den Flecken im Mond, von der Finſterniß im Mond, und in der Sonne, und ſo wei⸗ ter, finden. 2== Zweyter Abſchnitt. Von Erfindung der Groͤſſe der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen nach der Vorſtel⸗ lung des Welt⸗Gebaͤudes mit dem Verſtande. Lehr⸗Satz. §. 85. Die Sonne, der Mond, wie auch die uͤbrigen Planeten ſind der Erde einmahl naͤher, als das andere. Fffz Be⸗ 234 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Beweiß. Der ſcheinbare Diameter dieſer Geſtirne iſt nicht immet von einerley Geoͤſſe (§. 81.). Wie waͤre dieſes moͤglich, wenn ſie immer in einerley Entfernung von der Erde ſtehen ſollten (§. 98. fl. Optic.)?. Sieye §. 38. Frfahrung. S§. 86. Wann die Sonne in dem Morgen⸗Ho⸗ rizont erſcheinet, das iſt, ſo bald ſie aufgehet, ſo werden alle umſtehende Koͤrper helle, zu wel⸗ chen von der Sonne koͤnnen gerade Linien gezo⸗ gen werden, und ſie werden warm. Die Son⸗ ne kommt nach und nach hoͤher, bis ſie den Me⸗ ridian erreichet hat, in welchem Augenblick ſie ſich zum Abend⸗Horizonte zu ſencken anfaͤngt, und in demſelben endlich fuͤr unſere Augen ver⸗ ſchwindet. Alsdenn vergeht das Licht ſo wie die Waͤrme nach und nach. . Zuſatz. z. 87. Es iſt demnach die Sonne die Quelle des Lichtes und der Waͤrme, und mithin ein Feuer (§. 1. Opt. et Pyrob.). Erfahrung 4 §. 88. Man hat zu verſchiedenen zZeiten viele Flecken in der Sonne wahrtgenommen, davon einige ihre Graͤnzen ſehr leichte veraͤndern und auch gar balde verſchwinden, andere hingegen von einer mercklichen Dauer ſind, ſo daß ſie viel⸗ mahl bis auf 60 und mehrere Tage lang geſehen worden. Sie bewegen ſich vom Morgenrande gegen die Abendſeite, jedoch an den Raͤndern langſamer als in der Mitten; und dieſe, welche eine geraume Zeit dauren, gebrauchen 13 Lage, 6, ehe ders che ſiev und ebe dem M ſcheiſen (eßen ſelctent ſe kine n Ve wonde erte 1) Dg 1 ſer 9 ler ſi ſate fllnn 49 1 wen Thirn ſl. rr Wunn’ Mden fene der N er Gri⸗ ineſt ſeteh klungbtn Schet ſernent ſr uſgee le, A linienge⸗ Dien ſe denit genblſet enfint ugen t ſowidn der Welt⸗Koͤrper und deren En:fernungen ꝛc. 83 5 ehe ſie von einem Rande zu dem andern gelangen, und eben eine ſo groſſe Zeit, da ſie aufs neue an dem Morgen⸗Rande an ihrem vorigen Orte er⸗ ſcheinen. Zuſat. §. 89. Da die Zeit, in welcher die Flecken nicht geſehen werden, gleich iſt der Zeit, in welcher man ſolche wahrnimt; ſo koͤnnen wenigſtens dieſe Flecken, die eine ſo geraume Zeit dauren, daß ſie aufs neue am Morgen⸗Rande zum Vorſchein ſkommen, nicht von der Scheibe der Sonnen entfernt ſey. Hieraus erhelen folgende Saͤtze: ⸗ 4) Die Sonne drehet ſich in einer Zeit von 27 Tagen um ihre Axe. 2) Die Sonne iſt ein ſcheinbar kugelfoͤrmiger Koͤr⸗ per (§. 122. 119. Opt.). 3) Die Sonne beſtehet aus Theilen von verſchie⸗ dener Art. V =èð Anmerckung. §. 90. Wie die Sonnen⸗Flecken in Anſehung ihrer Ge⸗ ſtalt beſchaffen ſind, und die Mittel ſelbige zu beobachten ſollen in der Fürleſungen gezeiget werden. Erfahrung. §S. 91. Wenn die Sonne die Erde erleuchtet; ſo werden ſtets zu erſt die Spitzen der Berge und Thuͤrme helle, nach und nach aber der Fuß der⸗ ſelben erſt erleuchtet, und ſolches geſchicht auch eher bey den Einwohnern der Morgen⸗Seite unſerer Erde, ſpaͤter aber bey den Abend⸗Laͤndern. Wann im Gegentheil ſich die Sonne ſencket; ſo werden von ihren Strahlen die Fuͤſſe der Berge eher verlaſſen, als die Spitzen, und die Morgen⸗ gander haben eher Nacht als die Abend⸗Laͤn⸗ er. 1. Zu⸗ 136 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe de 1. Zuſatz. lule, 8. 92. Es iſt alſo unſere Erde ein dunckler Koͤ⸗ Ude per und erhaͤlt ſein Licht von der Sonne. N Anmerckung. eNui §. 923. Es erhellet aus dieſen Erfahrungen zugleich, daß ſeine unſere Erde rund ſeyn muͤſſe, da man ſonſt auf keine Art wird. dieſe Begebenheiten zu erklaͤren vermag. Die Zweiffel, wel⸗ Gonne che man gegen die Rundheit der Erde zu erregen vermogt, der 6 ſind unzulaͤnglich und ſollen in der Fuͤrleſungen angezeiget zu de werden. en, 2. Juſatz. Dien §H. 94. Da die Sonne ein leuchtender Koͤrper iſt delle (§. 87.) und die Erde ihr Licht vor derſelben erhaͤlt nünt (§. 92.), ſolmuß die Erde an der der Sonnen entge⸗ nache gengeſetzten Seite einen Schatten werffen (§. 29. nochn Opt.), und da unten ſoll erwieſen werden, daß die ſenen, Sonne groͤſſer iſt als die Erde; ſo muß der Erd⸗ icf Schatten eine kegelfoͤrmige Geſtalt haben (§. 33. euch Opt.). ſenid Anmerckung. nn Tab. II. §K. 95. Weil der Schatten in einem Mangel in dem Zu⸗ hſon Fig. I. fluſſe des Lichtes beſtehet, und daher verſchiedene Grade hat (§. 29. Opt.), ſo iſt leicht einzuſehen, daß ein jeder er⸗ Gd leuchteter Koͤrper einen gedoppelten Schatten haben muͤſſe. Denn die Strahlen abec und cde geben den wahren Schatten oder den groͤſten Mangel in dem Zufluſſe des Lichtes; hin⸗ gegen da der leuchtende Koͤrper allenthalben Strahlen hin⸗ ſ ſendet, und daher auch ſolche von der rechten zur lincken Seite hinfallen muͤſſen; ſo geben die Strahlen ebm und adn den halb Schatten, das iſt, ſie hemmen nur einen Theil des⸗ 2 Lichtes. Es erhellet alſo zur Genuͤge, daß die Erde auſſer den wahren Schatten bde auch einen halb Schatten hbman u von der Sonne erhalten muͤſſe. D ne⸗ 16 Erfahrung. 6 , 96, Wenn der Mond nahe bey der Sonnen geſehen wird, ſo iſt ein ſehr geringer Theil ſeiner Scheibe Grſe dunckſer⸗ ne, gen unſe olffat iegneſt Pregentan ngen Ag et Nirel kſelentil Sorrerter tfen (e n, Ml r C n (9.33 in den dene G Faͤnſte hhalte hrene bce Ene, der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ee. 837 Scheibe, in Geſtalt eines Sichels erleuchter: Je mehr er ſich aber von der Sonne gegen die Moͤr⸗ gen⸗Sterne bewegt, deſto mehr nimt ſein Licht zu, alſo daß er nach Verlauf von 7 Tagen, wenn er 90 von der Sonnen abſtehet, mir halben Lichte ſcheinet, welcher Zuſtand das erſte Virtel genennet wird. Der erleuchtete Theil deſſelben iſt ſters der Sonne zugekehrt. Je mehr er ſich annoch von der Sonne entfernt, deſto mehr nimt ſein Licht zu, dergeſtalt, daß er nach abermahligen 7 Ta⸗ gen, wenn er 180 von der Sonne entfernt iſt, mit vollem Lichte pranget, daher er alsdenn der volle Mond genenner wird. Von dieſer Zeit an, nimt ſein Licht an dem Abend⸗Rande nach und nach ab, ſo wie er ſich den Morgen⸗Sternen noch mehr naͤhert, und iſt, nach wiederum verflos⸗ ſenen 7 Tagen wie zuvor halb, daher er das jetzte Virtel machet. Der erleuchtete Theil deſſelben, der auch in dieſem Zuſtande der Eonne zugekehrt iſt, wird wiederum ſichelfoͤrmig, bis endlich nach Verlauf von 7 Tagen, oder nach 2 Tagen vom Anfange ſeines Scheines zu rechnen, er den 29 Tag nicht zu ſehen iſt, und alsdenn nennet man ihn das neue Licht. Juſatz. d. 97. Dieſe Erfahrungen berechtigen uns zu ſchlieſſen: 1) Der Mond ſey ein dunckler Koͤrper; 2) Er erhalte ſein Licht von der Sonne: 3) Er werffe der Sonnen gegen uͤber einen kegel⸗ foͤrmigen Schatten, da er ſeines nach krummen Li⸗ nien gegraͤnzten, und ſo haͤuffig abwechſelnden Lich⸗ tes wegen, ohnmoͤglich eine andere als kugelfoͤrmige Geſtalt haben kan (§. 29. ſeq. Opt.). 4) Er bewege ſich von Abend gegen Morgen. Lehr⸗ T'ab. II. Ti g- 2 838 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Lehr⸗Satz. §. 98 Der Mond beweget ſich um die Erde in einer Zeit von 29 Tagen. Beweiß. Es ſey S die Sonne, die Erde, und abed etc. der verſchiedene Stand des Mondes in der Bahn ABC. Wenn demnach der Mond ina iſt, ſo kehrt er uns ſeinen duncklen Theil zu, und man kan ihn demnach nicht ſehen: Komt er in b, ſo ſiehet man von ſeinem er⸗ leuchteten Theil xy, welcher, weil er weniger als ein Quadrante iſt, ihn Sichelfoͤrmig darſtellet: Gelanget der Mond in c, ſo iſt ſein ſcheinbar erleuchteter Theil 1s das iſt, ein Quadrante, und folglich iſt das erſte Vir⸗ tel. Wird er in verſetzt, ſo kehrt er uns ſeinen gaͤntz⸗ lich erleuchteten Theil zu, und er erſcheint mit vollem Lichte. Alsdenn aber ſtehet er von der Sonnen 1800 ab, da er im Stande c von ihr um 905 entfernt war. Da nun eben dergleichen erſolget, wiewohl umge⸗ kehrt, wenn der Mond aus e in f. g h. und a verſetzt wird; und man ſolchergeſtalt aufs deutlichſte den Grund von den zuvor angezeigten Erfahrungen geben kan; ſo iſt kein Zweiffel, daß ſich der Mond um un⸗ ſere Erde in einer Zeit von 29 Tagen bewege⸗ Erfahrung. §. 99. Wenn man den Mond durch ein Fern⸗ Rohr betrachtet, ſo erkennet man deutlicher als durch bloſſe Augen, daß er viele Flecken habe, davon einige ſehr helle, andere blaß, noch an⸗ dere ſchwaͤrtzlich ausſehen. Die hellen Flecken, wenn ſie die Graͤntzen des Lichtes beſtimmen, ſe⸗ hen ſtets hoͤckericht aus; ja vielmahl ſcheinen ſie von der uͤbrigen Scheibe abgeriſſen in freyer Lufft zu ſchweben. Hingegen wenn das Licht an ei⸗ nem der We henſchwe 1s doſcot wahr, di Mondes onehmmen ewieder lchverc ſornd o gen⸗B Abens im Y. nach ſchwi einig und degif der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 839 nem ſchwartzen Flecken ſich endiget, ſo erſcheinet „es daſelbſt geradlinigt. Man nimt auch Ztiecken umn de⸗ wahr, die bey dem zunehmenden Lichte des Mondes von der Morgen nach der Abend⸗Seite abnehmen, hingegen bey dem abnehmenden Mon⸗ de wieder zunehmen, und ſich ſolchergeſtalt taͤg⸗ dabee, lich veraͤndern, im vollem Monde aber gantz ver⸗ Ball ſchwinden. Auſſer dieſen Flecken entdeckt man lchln noch andere, welche in den: Abend⸗ und Mor⸗ in ihnun gen⸗Rande treten, doch alſo, daß wenn jene am bonſimm Abend⸗Rande nach 14 Tagen zuruͤcke gehen, dieſe wenga im Morgen⸗RKande eintreten, und abermahls let eu nach 14 Tagen an eben dem RKande wieder ver⸗ gtetet ſchwinden. Eine gleiche wech ſelhafte Bewegung seeh einiger Flecken, bemercket man an dem noͤrdlichen ſies und ſuͤdlichen Theile des Mondes. nrorte Slllicy/4 1. Zuſatz. feenoal à§,, 100. Da der Mond von der Sonnen auf ei⸗ vohl vang nerley Weiſe erleuchtet wird (§. 97.), dennoch aber dader! das Licht nicht auf einerley Art reflectirt; ſo muß achen der Mond aus Theilen von verſchiedener Art beſte⸗ rgene hen. Rondn a. Zuſatz. §. 101. Indem ferner die Graͤntzen des Lichtes bey den ſehr hellen Flecken, ſtets hoͤckericht, und vielmahl abgeriſſen erſcheinen, ſo muͤſſen dieſe Theile ntit⸗ mercklich fuͤr andere erhabene Theile des Mondes r ſeyn. Nun aber nennen wir auf unſerer Erde, merck⸗ he lich fuͤr andere erhabene Theile, Berge; demnach NN iſt es unlaͤugbar, daß der Mond bergigt ſey. n ſi⸗ u⸗ 3... J Uſa g. gig „§. 102. Da der Mond ein dunckler Koͤrper iſt tt 6 (§ ·97.) und Verge hat (§. 101.) ſo ſind entweder die ic ſchwar Tab. II. Fig. 3. 840 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe ſchwartzen Flecken, Schatten und Thaͤler derſelben, oder eine Materie, welche die Licht⸗Strahlen nicht reflectirt, ſondern durch ſich hinfahren laͤſſet. §. 103. Es ſind demnach die Flecken, die bey dem zunehmenden Monde abnehmen, hingegen bey dem abnehmenden Monde zunehmen, und welche bey dem vollen Lichte deſſelben gantz verſchwinden, wahre Schatten der Monds⸗Berge. 5. Zuſatz. §. 104. Weil die beſtaͤndigen ſchwartzen Flecken des Mondes ſtets einerley Faͤrbe aͤuſſern, wenn ſie gleich von der Sonnen beſchienen werden, und ihre Graͤntzen gradlinigt ſind; ſo geben ſie eine Vermu⸗ thung, daß ſie Meere und Gewaͤſſer des Mondes ſind, die das Licht der Sonnen hindurch fallen laſſen. Denn bey unſern Meeren und Gewaͤſſer nehmen wir wahr, daß ſie in der Ferne gradelinigt und dunckel erſcheinen, ohnerachtet ſie von der Sonne erleuchtet werden. Lehr⸗Satz. §. 105. Der Mond drehet ſich um ſeine Axe⸗ Beweiß. Wann ihr annehmet, daß der Mond in ſeiner Be⸗ wegung ſtets ſeinen Theilc nach dem unveraͤnderten Punct X hinkehret; ſo koͤnnet ihr dadurch einſehen, warum an dem Morgen⸗Rande Flecken in der Scheibe eintreten, die nach 14 Tagen an eben dem Rande ver⸗ ſchwinden, an deſſen Stat aber an dem Abend⸗Ran⸗ de andere Flecken zum Vorſchein kommen, und auf eine ſolche Weiſe abwechſeln (§. 99.). Denn wenn a der Morgen⸗Rand und b der Abend⸗Roud dea on⸗ der Ve⸗ Pordesſt hingzelet, der Mond Kolmnmntder lorien Fi tegen, ind Nekn, regenſen a walden eucen N E Rece Gchene cus D lichtien RKr dor der S an⸗ unn, Uege. n icen lihnſch Unef iſche k en o, ſſrere Irtte ſort ſtſene ene der Griſe hiler deſte Gtrahlentt ren laſe ken, dielhe ingegenintn dwelcheler winder, ü tvorterce lſſern, nin erden, ſteine Ven ms Mnd ſſllerleſen rnehmea 4 VNN DG d elſet⸗ um 7 ſerd due Rhnn tc S oet⸗ ncherhe ſren, Ollnte S a der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 941 Mondes iſt, X aber der Punct, zu welchen beſtaͤndig hinzielet, ſo ſehet ihr in L als auf der Erde, wenn der Mond in A iſt, Flecken an beyden Raͤndern. Kommt der Mond in B, ſo entdecket ihr nicht nur die vorigen Flecken in a, ſondern ſie ſcheinen dieſer Lage wegen, in die Scheibe zu treten, da im gegentheil die Flecken bey b hinter dem Monde ſind, und folg⸗ lich wegen ſeiner Dunckelheit von uns nicht koͤnnen ge⸗ ſehen werden. Kommt der Mond in C, ſo ſcheinen die Flecken a an dem Rande zuruücke zu gehen. Ge⸗ langet endlich der Mond in D, ſo ſehet ihr wie zuvor die Flecken an beyden Ruͤndern. Da nun eben der⸗ gleichen erſolget an dem Rande b, wenn der Mond aus D in E, und F bis in A verſetzet wird; dieſes aber nicht kan gedacht werden, woferne man nicht behaup⸗ tet, daß der Mond alle ſeine Theile nach und nach der Sonne in der Zeit zukehret, in welcher er ſeine Lauf⸗Bahn einmahl zuruͤcke leget; ſo muß man be⸗ haupten, daß ſich der Mond in dieſer Zeit um ſeine Axe bewege. Anmerckung. §. 106. Wenn man annimt, daß dieſe Bewegung d Mondes um ſeine Axe nicht nach de Wiretnlvetceſthiete, nach welcher der Mond ſeine Bahn durchwandert ſo kan man ebenfals den Grund angeben, warum ein wechſelhaf⸗ tes Erſcheinen der Flecken am nordiſchen und ſuͤdlichen Rande entſtehet (ſiehe § 99.). Lehr⸗Satz. §. 107. Der Mond iſt ein aͤhnlicher Koͤper mit Beweiß. In wie weit Dinge einerley Merckmahle haben, in ſo weit ſind ſie aͤhnlich (§. 5. Allg. M.). Der Mond iſt 1) ein dunckeler Koͤrper, 2) erhaͤlt ſein Licht von der Sonnen, 3) hat abwechſelndes Licht und Schat⸗ Ggg ten unſerer Erde. 242 Erſter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe ten, 4) iſt bergigt, 5*) hat Thaͤler und Gemaͤſſer (§. 97. 100. 103. 104.). Eben dieſe Eigenſchafften finden auch bey der Erde ſtat (§. 92. ſeq.). Dem⸗ nach iſt nicht zu leugnen, daß der Mond ein der Erde aͤhulicher Koͤrper ſey. Erfahrung. §. 108. Die Sonne verliert unterweilen bey hellem Himmel ihren Schein. Es gewinnet das Anſehen, als ob eine dunckle runde Scheibe in die Sonne kaͤme, jedoch alſo, daß der verdunckelte Theil der Sonnen nicht allen Erd⸗Einwohnern gleich groß, vorkomt ſondern denen, die weiter gegen Abend liegen, die Sonne eher ſcheint ihr Licht zu verlieren, als denen gegen Morgen. Eben alſo erblicken jene das Licht der Sonnen weit eher wieder als dieſe. J Juſatz. J §. 109. Da dieſe Begebenheit nur alsdenn er⸗ folgt, wenn der Mond und die Sonne in einem Orte der Ecliptik geſehen werden; und der Mond ein dunckler Koͤrper iſt (§. 97.), auch ſich vom Abend gegen Morgen beweget (§. cit.); ſo iſt kein Zweiffel, daß der Mond derjenige Koͤrper ſeyn ſolte, der uns, indem er vor die Scheibe der Sonne tritt, auf ei⸗ nige Zeit deſſen Licht beraubet. Erklaͤrung. 8S.110. Eine Bedeckung der Sonne von dem Mond, nennet man eine Sonnen⸗Finſterniß. Juſatz. K. 1I11. Hieraus iſt gnugſam abzunehmen: 1) Wie eine Sonnen⸗Finſterniß moͤglich iſt⸗ 2) Daß eVeeſk 1) Oeß tün e de nar zur 3) Daſc der Atenmu iyercheen Dr Ne Fren dern he ggen Dhuer wohne 5)Doßdie⸗ tilſtchen eine Schattenſcht ſhen, Welch on ſchden R. nn. D Uige, wo un ttſen hedeke es ANnges then Vene Uetfnſtem. ſeans den N u ten⸗ 1)F i men eſye let nsſel roch Afirgs genſceir einderb welne vinner helbetyt erdunci, inwchn dent ſchint N der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 843 2) Daß keine Sonnen⸗Finſterniß entſtehen koͤn⸗ ne als nur zur Zeit des neuen Lichtes. 3) Daß aller Anfang einer ſolchen Finſterniß an der Abend⸗Seite der Sonnen erfolgen muͤſſe, und daß der Morgen⸗Rand zuletzt verlaſſen werde. 4) Daß nicht alle Einwohner der Erde zu einerley Zeit die Finſterniß auf einerley Art erblicken, ſon⸗ dern die gegen Abend liegen eher, als welche gegen Morgen wohnen. 5) Daß diejenigen, welche in dem wahren Schat⸗ ten ſtehen. eine gaͤntzliche, hingegen die in dem halb Schatten ſich befinden, nur zum Theil eine Finſterniß ſehen, welcher Theil um deſto groͤſſer iſt, je naͤher man ſich bey dem wahren Schatten befindet. Anmerckung. §. 112. Die gantzen Finſterniſſe theilt man ein in ringfoͤr⸗ mige, wo um den Mond, indem er die Sonne zum meh⸗ reſten bedecket, annoch ein Theil der Sonnen in Geſtalt eines Ringes zu ſehen iſt, und in ſolche, die entweder mit einigem Verzug, oder ohne denſelben die Scheibe der Sonne verfinſtern. Wie dieſes moglich iſt, kan mit leichter Muͤ⸗ he aus dem §. 92. und 94. Opt. erklaͤret werden. Aufgabe. §. 113. Bine Sonnen⸗Finſterniß zu beobach⸗ ten. Aufloͤſung. 1) Fanget das Bild der Sonnen durch ein Fern⸗ Rohr, in einem duncklen Gemach, auf einen in Rah⸗ men geſpannten weiſſen Bogen Papier auf, und thei⸗ gr basſelbe in 12 gleiche Theile. Alsdenn koͤnnet ihr Sð . 2) nach einer richtigen Secunden⸗Uhr die Zeit des Anfangs und des Endes, nebſt der Zeit der zoͤlligen Verfinſterung beſtimmen. . Ggg ⸗ Er⸗ „ 844 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Erfahrung. S. 114. Der Mond verlieret zuweilen, wenn er mit vollem Lichte ſcheinet, ſein Licht entweder nur zum Theil oder gantz; und alsdenn ſcheint es, als ob eine dunckele runde Scheibe in die Scheibe des Mondes kommt. Dieſes geſchicht niemals, als nur alsdenn, wenn ſich der Mond entweder wuͤrcklich in oder doch nahe bey der Eeliptik be⸗ findet. Die Einwohner der Erde, die alsdenn Nacht haben, ſehen dieſen verdunckelten Theil des Mondes auf einerley Weiſe. Juſatz. §. 115. Da der Mond ſein Licht von der Sonne hat (§. 97.) und ſich zur Zeit dieſer Begebenheit an einem Orte befindet, wohin nothwendig der Erd⸗ Schatten fallen muß (§. 94.) z ſo iſt kein Zweiſſel, daß der Mond deswegen ſein Licht auf einige Zeit verlieret, weil er in den Erd⸗Schatten kommt. EFrklaͤrung. §. 116. Eine Mond⸗Finſterniß iſt eine Ver⸗ duncklung des Mondes durch den Schatten der Erde. Zuſatz. §. 117. Hieraus ſind leichte folgende Saͤtze abzu⸗ nehmen: 1) Eine jede Monden⸗Finſterniß erfolget nur zur Zeit des vollen Lichtes. 1. 2) Nur alsdenn, wenn der Mond entweder ſelbſt in der Ecliptik, oder ihr ſehr nahe iſt. 3) Alle Monden⸗Finſterniſſe muͤſſen bey dem Korgen⸗Rande des Mondes anfangen (§.97.). * de 4) Je a Vel 99 taocht, ſehe. 6.1 ſerniſſe NII Cchten. 1 Nch 2 /, geſer Nr Deg 9 kicer ſch Ud N Mu dis) tinan wenn der hiſee. der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 84 5 4) Je tieffer er ſich i in den Erd⸗Schatten ein⸗ weilen,wen kaucht, deſto groͤſer. muß ſein verdunckelter Theil Licht entw ſeyn. sdennſhein A n merckun g. 4 inde⸗ 68. 118. Von den verſchiedenen Arten der Monden⸗Fin⸗ ſhichtun ſterniſſen kan in den Fuͤrkeſungen geredet werden. Hond ernd ðJMU der Bii, Au fgabe. de, die ein . 119. Eine Monoden⸗ dinſterniß zu beob⸗ uncfctno achten. Au floͤſung. 1) Stellet bey Tage eine gerechte Secunden⸗Uhr . nach der Sonne. von tebr 2) Richtet ein Fernrohr mit einem Micrometro Begl gegen den Mond, und mercket die Zeit, wenn er an enog dal der Peripherie ſeine Rundung zu verlieren anfaͤngt. hi, u, Dieſe giebt den Anfang der Finſterniß. f eithe 3) Mercket ebenfals nach und nach die Zeit, in ten koimnt welcher die Flecken des Mondes, die in der Mond⸗ Beſchreibung beſondere Nahmen erhalten haben, verdunckelt werden, ingleichen, wann ſie abermahls K i e ihr Licht erhalten, und wannehn der Mond voͤllig wie⸗ 6 r der zu ſcheinen anfaͤngt. 4) Ziehet die Zeit des Anfanges von der Zeit des Endes ab, ſo wiſſ et ihr, wie lange die Finſterniß ge⸗ dauret. de Gate 5) Theilet dieſe Zeit in 2 gleiche Theile. ſo iſt auch das Mittel der Verfinſterung bekannt. gitunn 6) Die Groͤſſe der Verfinſterung koͤnt ihr durch das Micrometron meſſen. ſe . 8 Erfahrung. eN §. 120. Wenn ihr die Venus einige Zeit nach einander betrachtet, ſo werdet ihr finden, daß, wienn ſie bald nach dem Untergang der Sonnen Gg9 3 geſehen giſen gen 6 846 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe geſehen wird, ſie bey nahe mit vollem Lichte ſchei⸗ net, je weiter ſie aber von der Sonnen wegruͤ⸗ cket, immer mehr und mehr von ihrem Lichte verlieret, bis ſie endlich in ihrer groͤſten Entfer⸗ nung, welche nicht uͤber 47° betraͤgt, nur halb erleuchtet erſcheinet. Indem ſie nach dieſer Zeit ſich der Sonnen wieder naͤhert, nimt ihr Licht noch immer mehr und mehr ab, je naͤher ſie der Sonne komt, alſo daß ſie zuletzt ſichelfoͤrmig und ſehr gezackt erſcheinet. Wann man ſie wieder nach einiger Zeit kurtz vor der Sonnen Aufgang am Morgen⸗Horizonte erblicket, ſo erſcheinet ſie abermals ſichelfoͤrmig, nimt aber taͤglich in ih⸗ rem Lichte zu, je mehr ſie ſich von der Sonnen entfernt, alſo daß ſie in ihrem abermaligen groͤ⸗ ſten Abſtande halb erleuchtet iſt. Wenn ſie aber zu der Sonne zuruͤcke kehret, ſo nimt ihr Licht noch mehr zu, bis ſie endlich, da ſie bey na⸗ he mit vollem Lichte ſcheinet, fuͤr unſern Augen verſchwindet, und ſich unter die Straͤhlen der Mergen⸗Sonne verberget. Ihr Licht iſt ſtets der Sonnen zugekehrt, und wo ſie mit dem ſchwaͤ⸗ cheſten Lichte ſcheint, iſt ihr Diameter 6 mahl groͤſſer als wenn ſie zum mehrſten erleuchtet iſt. Man nimt erner auf der Scheibe der Veneris ei⸗ nige Flecken wahr, welche nach Verlauf von 23 Stunden und 20 zu ihrem vorigen Orte gelan⸗ gen. Auch hat leremias Horoccius 1639. d. 24. Nov. die Venus als einen runden Flecken geſehen, der ſich durch den Teller der Sonne zu bewegen geſchienen, und dieſe Begebenheit ſoll nach der Rechnung der Stern⸗Kundiger d. 25. May. 1761. wieder erfolgen. Erfahrung. §. 121. Was man bey der Venus wahrgenom⸗ men der Velec enhandihe kurit, N don der ſeinſcheinb⸗ uſcheinet, mi den daß erhe in Geſtalrel ſ. m tinger 1)Mn Olrce Eade l, De Slnden un 4De ruer E W Nchrtlͤi Eng p⸗ eir in ihr⸗ le um Ne G W,vnod ſigh lftene Hft, pver 9 hderiſt der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 947 men hat, diß erblicket man ebenfals bey dem Mer⸗ kuric, nur 1) daß dieſer Stern ſich nicht weiter von der Sonne entſernt als bis auf 28°% daß 2) raͤſenien ſein ſcheinbarer Durchmeſſer, wenn er ſichelfoͤrmig eerſcheinet, nur nochmahl ſo groß iſt, als wenn N, k er mit dem mehreſten Lichte geſehen wird, und ch ed 3) daß er haͤufiger durch die Scheibe der Sonne n LAichteſgs onnen wen ihren A RM in Geſtalt eines zleckens zu gehen gewohnt iſt. elfornie 3 u ſ atz. n ſen §. 122. Aus dieſen Beobachtungen kan mit ge⸗ men ringer Muͤhe gefolgert werden: derſha 1) Venus und Mercurius gehoͤren unter die taͤglii duncklen Koͤrper, und erhalten ihr Licht von der da Sonnen. e 2) Beyde muͤſſen runde Koͤrper ſeyn, ſiehe §. 97. 66rn 3) Die Venus welzet ſich in einer Zeit von 23. n Stunden und 20/ um ihre Are. 4) Die Venus gehoͤret unter die bergigten Welt⸗ ſehlan Koͤrger (§. 101.). d 4 55) Venus und Merrurius ſind uns zu einer Zeit “ naͤher als zu der andern. Lehr⸗Satz. §. 123. Venus und Mercurius bewegen ſich in einer in ihr ſelbſt zuruͤcklauffenden krummen Li⸗ nie um die Sonne. “ Beweiß. Es ſey O die Sonne, aeh die Laufbahn der Vene⸗Tab. II. ris, und I die Erde; ſo erhellet, daß da die Venus Lig. 4. ſtets ihren erleuchteten Theil der Sonne zukehrt, von ihr auf der Erde, wenn ſie in b iſt, mehr als die Helffte, in caber juſt die Helffte, und in dein ſichel⸗ foͤrmiger Theil ihres Lichtes muͤſſe geſehen werden. n Ggg 4 . Eben 848 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Eben dieſes erfolget in einer verkehrten Ordnung, wenn die Venus aus e in ig und h verſetzet wird. Da nun nicht allein hiedurch ein richtiger Grund von dem verſchiedenen Lichte dieſes Planetens kan angegeben werden; ſondern auch uͤberdieß zum deutlichſten er⸗ hellet, warum, wenn dieſer Stern in e iſt, er zuwei⸗ len fuͤr die Scheibe der Sonnen in Geſtalt eines ſchwartzen Fleckens vorbey gehen muͤſſe, ingleichen derſelbe, wenn er mit dem ſchwaͤchſten Lichte ſcheinet, zugleich zum groͤſten ausſiehet; ſo iſt nicht zu zweiffeln, daß ſich die Venus in einer in ihr ſelbſt zuruͤcklauf⸗ fenden krummen Linie um die Sonne beweget. Da nun die Erſcheinungen des Mercurii und Veneris einerley ſind; ſo iſt auch dieſer Satz volſtaͤndig auf den Mercurium anzuwenden. Erklaͤrung. §. 124. Die Lage eines Planetens gegen andere Sterne, ſo wie ſie von der Erde erſcheinet, nennet man den Adſpekt. Anmerckung. §. 125. Wenn der Stern mit der Sonne an einem Orte des Himmels geſehen wird, ſo ſagt man, er ſey in der Conjuntion, und ſein Zeichen iſt dieſes &. Stehet der Stern von der Sonnen ab 60 9% 9009, 1200, ſo werden dieſe Staͤnde der geſechste, gevierte, gedritte Schein genen⸗ net. Iſt er endlich von der Sonnen 1800 entfernt, ſo ſagt man, er ſey in der Oppoſition. Die Zeichen dieſer Adſpek⸗ ten, ſind in der geſetzten Ordnung folgende: X*, O, A,&:. 3. E. wenn Saturnus und Jupiter im gevirt Schein gegen einander ſtehen, ſo ſchreibt man ſolches A. Wird das Zeichen des Adſpekts nur zu einem Planeten geſetzet, ſo verſtehet man den Mond darunter. Z. E. . bedeutet den Geſechts⸗Schein der 2 mit dem Mond, das iſt, der Mond iſt von der 600 entfernt. Er⸗ der Vel nd. 5 te, uynmme let, und ere Cohfuntion Eſten Sol i r, gls wenn Wennman ſchein onſch der nach d zuin mehr gekehrt iſ Flecken an Verlauft gen Orte . 1 ihtvon 9) Er 14Etan NC N Nner 1s . zlick um dern c der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 949 Frfahrung. §. 126. Mars erſcheinet ſtets mit vollem Lich⸗ te, wenn man ihn durch das Fern⸗Rohr betrach⸗ tet, und er entweder in der Oppoſition oder der Conjuntion mit der Sonnen ſtehet; und in dem erſten Fall iſt ſein ſcheinbarer Diamer 8 mahl groͤ⸗ ſer, als wenn er ſich in der Conjunction befindet. Wenn man ihn aber in dem Gevirt⸗ und Gedrit⸗ ſchein anſchauet, ſo ſiehet er aus als der Mond, der nach dem vollem Lichte abnimt, wobey ſeyn zum mehrſten erleuchteter Theil der Sonnen zu⸗ gekehrt iſt. Man nimt auch ſehr veraͤnderliche Flecken auf ſeiner Scheibe wahr, welche ſich nach Verlauf von 24 Stunden 40 wieder an dem vori⸗ gen Orte befinden. “ Zuſa tz. §. 127. Auch hieraus iſt leichte zu ſchlieſſen: 1) Mars muͤſſe ein dunckler Koͤrper ſeyn, der ſein Licht von der Sonne empfaͤngt. 2) Er muͤſſe ſich um ſeine Axe in einer Zeit von 24 Stunden 40 bewegen. 3) Er muͤſſe alſo ein runder Koͤrper ſeyn. 4) Er beſtehe ſo wohl aus Theilen von verſchie⸗ dener Art, als ſey uns auch in der Oppoſition naͤher als in irgend einem andern Stande. §S. 128. Mars beweget ſich in einer in ihm ſelbſt zuruͤcklauffenden krummen Linie um die Sonne. Beweiß. Wenn ihr eine Laufbahn zeichnet, welche ſo wohl um die Sonne als um die Erde zugleich gehet, und denn Martem in verſchiedenen Punkten deſſelben ſetzet, alſo daß ſein erleuchteter Theil der Sonnen zugekehrt Gagg 5 iſt; 3 5⁵ Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe iſt; ſo koͤnnet ihr wie bey der Venus deutlich einſe⸗ hen, warum er in der Oppoſition und Conjunction mit vollem Lichte, hingegen im Gedritt⸗und⸗Geviertſchein, mit wenigern Lichte ſcheinet, und ihr ſeyt im Stande von den im §. 126. angegebenen Beobachtungen hin⸗ laͤnglichen Grund anzuzeigen. Anmerckung. 5§. 129. Ihr duͤrfftet fragen, warum die Laufbahn um die Erde zugleich ſolte gezogen werden. Bewegte ſich Mars nicht in einer Bahn, die groͤſſer waͤre als der Abſtand der Erde von der Sonne, ſondern bewegte er ſich wie Venus und Merkurius zuweilen alſo, daß er zwiſchen der Sonne und der Erde ſtuͤnde; ſo muͤſte auch Mars zuweilen ſichel⸗ formig erſcheinen; da aber ſolches niemahls wahrgenom⸗ men, ſo iſt es ohne Streit, daß ſich Mars in einer groͤſſeren Bahn bewegen muͤſſe, als der Abſtand der Erde von der Sonnen ausmachet, und demnach iſt die angenommene Hypotheſe ein vollſtaͤndiges Mittel ſeine Erſcheinungen zu erklaͤren. EFrfahrung. §. 130. Die Geſtalt des Jupiters iſt ſtets rund, und man unterſcheidet ihn durch ſeine Bindgens, die ſehr voraͤnderlich ſind, ſo daß zuweilen, 1.2. 3.4. 5. ja 6 dergleichen auf ſeiner Scheibe waͤhrge⸗ nommen werden. Wenn er in der Oppoſition der Sonnen iſt, ſo iſt ſein ſcheinbarer Durchmeſ⸗ ſer bey nahe nochmahl ſo groß, als wenn er in der Conjunktion deſſelben ſich befindet. Man er⸗ kennet auch zuweilen, daß ein Flecken an den Raͤn⸗ dern kleiner ausſiehet als in der Mitte der Schei⸗ be, auch ſich an denſelben langſamer beweget als in der Mitten, und nach Verlauf von 9 Stuͤn⸗ den und 56 wieder an dem vorigen Kande er⸗ ſcheinet. Zu ſatz. §K. 131. Jupiter muß ſich demnach um ſeine Axe in einer Zeit von Stunden und 56/ bewegen. Un⸗ a e . der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 851 n da er ſtets rund ausſiehet, ſo iſt dieſes bey ſeiner Be⸗ e wegung um die Axe unmoͤglich, woferne er nicht ſelbſt E ein runder Koͤrper ſeyn ſolte. eng Erfahrung. §. 132. Marius entdeckte zuerſt 1609. 4 kleine Sterne nun den Jupiter, die mit demſelben fort⸗ a ruͤckten, und zugleich in Anſehung des Jupiters in ihre Stellen veraͤnderten. Sie bewegen ſich alle geegen Abend bis zu einer gewiſſen Entfernung, 6 von welcher ſie zu der Scheibe des Jupiters zu⸗ ſß ruͤcke kehren, und weiter vorwaͤrts gegen Mor⸗ te gen ſich bewegen, bis ſie abermahlen nach einer huſe gewiſſen Entfernung ſich der Scheibe des Jupi⸗ ters naͤhern. Zuſaz. §. 133. Dieſe Erſcheinung iſt nicht zu erklaͤren, woferne man nicht behauptet, daß dieſe Sterne ſich u um den Jupiter bewegen. Da wir nun erkant ha⸗ s ben, daß der Mond hauptſaͤchlich ſich um die Erde 1 beweget (§. 98.), ſo hat man Grund genug, dieſe , 4 Sterne, die ſich um den Jupiter bewegen, die Ju⸗ lor pilters Moͤndgen zu nennen. . . Arnmerckung. 7 §. 134. Oer naͤchſte Jupiters Mond beweget ſich in 9 1Tage 18 Stunden 29 366. Der andere in 3 Tag. 13 St. 1I7 54“. Der 3 e in 7 Tag. 3 St. 59“39/ % und endlich der Ate in 16 Tag. 18. St. 5/7“ um den Jupiter. Eben ſo ent⸗ fernt ſich der erſtere von der Scheibe des Jupiters 25 der 2te, 41, der 3te, 7 ½, und der 4te, 12 des Diametri Jodvis. Erfahrung. §. 135. Man ſiehet die A Monde einige Zeit⸗ lang nicht, wenn ſie eine ſolche Lage haben, daß aus der Sonne zu ſie durch die Scheibe des eide gers 2 852 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe gerade Linie kan gezogen werden. Wenn ſie a⸗ ber vor der Scheibe des vorbey gehen, ſo nimt man offt wahr, daß ſich auf der Scheibe des 2 ein runder Flecken abbildet, der am Kande ſich e⸗ ben ſo geſchwinde beweget als in der Mitte, und welcher daſelbſt anzutreſſen iſt, wo die grade Li⸗ nie, die man von der Sonne durch den A Mond zu ziehen vermag, den 4 beruͤhret. . 1. Juſatz. §. 136. Aus der erſten Erfahrung erhellet, daß die 1¹) 2 Trabanten dunckle Koͤrper ſind, und ihr Licht von der Sonnen haben. 2) Daß ſie in dieſer Lage eine Verfinſterung erdulden, und 3) daß an dieſer Seite, welche von der Sonnen abgekehrt iſt, dunckel ſey. —Sðẽð . 2. JIUſatz. §. 137. Die 2te Erfahrung berechtiget uns zu glauben, daß dieſe Flecken, die Schatten der 24 Tra⸗ banten ſeyn muͤſſen. Und daraus iſt zugleich klar, daß 2 ſelbſt ein dunckeler Koͤrper ſeyn muͤſſe. Erfahrung. §. 138. Saturnus erſcheinet durch gute Fern⸗ Roͤhren bald rund mit einem ſchwartzen Streiffen in der Mitten; bald mit 2 Armen, die in einer gra⸗ den Linie ausgedehnt ſind, bald mit zweyen Hen⸗ ckeln, durch welehe man die Fix⸗Sterne erblicken kan. Wenn der 5 mit Henckeln erſcheinet, ſo iſt der ſchwartze Strieffen auf deſſen Scheibe unter⸗ waͤrts; wenn er aber mir Armen erſcheinet, ſo be⸗ findet ſich der Strieffen etwas uͤber dieſelben. Iſt der Saturnus in der Oppoſition mit der O, ſo iſt ſein ſcheinbarer Diameter etwas groͤſſer, als wenn er ſich in der Conjunktion befindert. An⸗ =☛:. = = Groſe der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 853 enſ Anmerckung. ſonn §. 139. Dieſe beſondere Geſtalt des 5 zu erklaͤren nimt ibe Hugenius und mit ihm die neuern Stern⸗Kundiger an, daß nde ſch um den H in einerley Weite eine Menge kleiner Sterne in Mituen Form eines Ringes ſich befuͤnden, welcher Ring gegen die grad Ecliptik geneiget ſey. Alsdenn iſt leicht einzuſehen, daß der Zae : ſchwartze Strieffen, ein Schatten dieſes Ringes ſey, und daher „nach dem verſchiedenen Stande des Planetens ge⸗ gen unſere Erde bald uͤber bald unter dem Ringe erſcheinen muͤſſe. l Erfahrung. elet, N §. 140. Es bewegen ſich um den 5 5 kleine „II Sterne in allen Stuͤcken wie die Trabanten des 2. ſenme Der vierte in der Ordnung iſt vom Hugenio 1655. un die uͤbrigen 4 aber ſind nach dieſen von Caſſini e entdecket worden. Anmerckung. J. 141. Der naͤchſte an dem H kommt um den H in . 63 1Tage 21 St. 18/27/„ der andere, in 2 Tag. 17 St. 41“ 27“, D der 3te in 4 Tag. 13 St. 47 16, der Ate in 15 Tag 22 St. ch ten 417 I167 und der Sie in 74 Tag. 7 St. 5357“. Der Ab⸗ ſ, ſtand von dem Mittel⸗Punct des H iſt bey dem erſten Ster⸗ ne bey nahe 1 Diameter des Ringes, des 2ten 1 des 3ten 12¾ des 4ten 4, und des Ften 113. 1 1. Zuſatz. “M ü §. 142. Weil die Bewegung der 5 Sterne um nn den n voͤllig eben alſo geſchicht, als wie bey dem 2 ien Moͤndgens (§. 140); ſo ſind ſie nicht nur ebenfals , Trabanten von H, ſo wie jene vom A; ſondern ſie ir muͤſſen auch dunckle Koͤrper ſeyn, die ihr Licht von b der Sonnen erhalten, und demnach auch zu gewiſſen ben. Zeiten eine Verfinſterung erdulden, wenn ſie nem⸗ 0 lich an einem ſolchen Orte ſich befinden, wohin von 16 der Sonne durch die Scheibe des h eine gerade Li⸗ nie kan gezogen werden. 2 3 U⸗ 854 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe 2. Juſatz. §. 143. Es muß demnach Saturnus ſein Licht nicht von ihm ſelbſt, ſondern von der Sonnen haben, mithin ein dunckler Koͤrper ſeyn. Lehr⸗Satz. §. 144. So wohl der Aals auch H bewegen ſich in einer in ihnen ſelbſt zuruͤcklaufenden krum⸗ men Linie um die Sonne. Beweiß. Wenn ihr in allem verfahret wie bey dem Marte dargethan worden, nur daß die Laufbahn des HHgroͤſſer wird als des 2, und dieſes ihre groͤſſer iſt als 7 ſeine; ſo werdet ihr nicht nur deutlich daraus erklaͤren koͤnnen, warum dieſe Welt⸗Koͤrper in der Oppoſition groͤſſer erſcheinen, als wenn ſie in der Conjunction ſind; ſon⸗ dern ihr ſehet auch ein, warum ſie ſtets mit vollem Lichte, nicht aber wie die vorhergehenden mit abwech⸗ ſelndem Lichte ſcheinen. Man hat demnach Grund zu glauben, daß ſich dieſe Welt⸗Koͤrper in einer krum⸗ men Linie um die Sonne bewegen. Lehr⸗Satz. §. 145. Merkurius, Venus, Mars, Jupi⸗ ter und Saturnus ſind aͤhnliche Welt⸗Koͤrper mit unſerer Erde. Beweiß. ðèð Sie ſind alle ſinnlich runde und dunckle Koͤrper, welche ihr Licht von der Oerhalten, haben Theile von verſchiedener Art, ſind rauhe in der Oberflaͤche, ha⸗ ben folglich Thaͤler und Berge; uͤberdies bewegen ſich um den A und Trabanten (§. 122. 127. 13 1. 133. 136. 137. 142. 143.). Da nun eben dieſes bey der Erde ſtat findet! (§. 91. ſeg.); ſo hat man Grund genug 9 Mug eie Ne nüde une nas eink Ni zn ſ der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen 2c. 855 genug zu behaupten, daß die erwehnten Welt⸗Koͤrper eine Aehnlichkeit mit unſerer Erde haben. §. 146. Da alſo die Erde in den Haupt⸗Stuͤcken mit dem Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Sa⸗ turnus uͤbereinſtimt; ſo iſt es der Vernunfft ſehr ge⸗ bin maͤß zu behaupten, daß ſie auch mit dieſen darin uͤber⸗ nin einkomme, daß ſie ſich wie jene um ihre Axe in einer Zeit von 24 Stunden weltze, und ſich um die Sonne innerhalb Jahres⸗Friſt bewege. nh 2. Juſatz. ig d. 147. Nimt man die Merckmahle dieſer Sterne iol⸗ zuſammen, ſo muͤſſen wir behaupten, ein Haupt⸗ ie Planet ſey ein dunckler Welt⸗Koͤrper, der ſein Licht ge von einer Sonne oder einem Fix⸗Stern erhaͤlt, und eh welcher ſich um dieſelbe in einer in ihm ſelbſt zu⸗ ne ruͤcklauffenden krummen Linie bewegt. Ein Neben innid Planete aber, oder ein Mond, oder ein Traban⸗ ld te, ſey derjenige dunckle Welt⸗Koͤrper, der ſein Licht Herr von einem Fix⸗Stern erhaͤlt, und ſich hauptſaͤchlich um den Haupt⸗Planeten, mit dieſem aber um den Fix⸗ Sltern beweget. . . 148. Es ſind demnach Merkur, Venus, die Erde, Mars, Jupiter und Saturnus Haupt⸗Plane⸗ ten (§. 146. 147.), Neben⸗Planeten aber der Mond e (§. 98.) Jupiter (§. 193) und Saturnus (§. 140.). 6 §. 149. Da nun alle dieſe Planeten ihr Licht von 4 der Sonnen als einen fuͤr ſichleuchtenden Koͤrper ha⸗ ben, ein Welt⸗Koͤrper aber, der ſein Licht von keinem Gr andern Koͤrper erborget, ein Fix⸗Stern genenner 85⁵6 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe wird; ſo iſt offenbar, daß die Sonne ein Fix⸗Stern, mithin kein Planete ſeyn koͤnne. 5. Juſatz. d. 150. Es beweget ſich derowegen die Sonne weder um die Erde von Abend bis Morgen in einer Jahres⸗Friſt, noch taͤglich von Morgen gegen Abend (ſiehe §. 19.), ſondern dieſer Schein muß eine Wuͤr⸗ cknng der Bewegung unſerer Erde ſeyn, deſſen Moͤglichkeit aus dem §. 126. Optic. erhellet. Erklaͤrung. §. 151. Ein Pianete iſt gradelaufig, wenn er in ſeiner Bewegung ſich von den Abend⸗Sternen den Morgen⸗Sternen naͤhert. Er iſt ruͤckgangig, wenn er ſich von den Morgen⸗Sternen mehr den Abend⸗ Sternen naͤhert. Er iſt ſtille ſtehend, wenn er durch einige Zeit an einerley Orte des Himmels geſehen wird. Zu ſa tz. g. 152. Da ſich die Planeten zugleich mit der Erde bewegen, ſo iſt es ſehr natuͤrlich, daß ſie balde geradelaͤufig, balde ruͤckgaͤngig, und zuweilen ſtille⸗ ſtehend erſcheinen muͤſſen (§. 120. 122. 124. Opt.). PVrfahrung. §. 153. Der Mond iſt ſtets gradelaͤufig, ob gleich ſeine Bewegung in verſchiedenen Zeiten nicht gleichfoͤrmig iſt. 3 J Erfahrung. §. 154. Der und ſind geradelaͤufig, und bewegen ſich auch geſchwinder, wenn ſie uͤber der Sonne ſind, als wenn ſie ſich unter derſelben befinden, erſterer durch 93 letztere aber beynahe bey der geſ ſten ſel gen 4der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 9 7 bey nahe durch 542. Tage. Wenn ſie ſich unter der Sonne befinden, und mit ihr an einem Erte geſehen werden, ſo werden ſie ruͤckgaͤngig, er⸗ ſterer durch 22, dieſe durch 42. Tage. Brſterer Er ſtehet ſtille durch einen halben, dieſe durch einen gantzen Tag. Erfahrung. §. 155. Mars, Jupiter und Saturnus bewe⸗ gen ſich geſchwinder, wenn ſie der Sonne naͤhe, langſamer aber, wenn ſie von ihr mehr entfernt ſind. Stehen ſie in der Oppoſition mit der Son⸗ ne, ſo werden ſie ruͤckgaͤngig, und ſtehen ſtille kurtz Ete e vor ihrem Ruckgang, und kurtz vorher ehe ſie auf⸗ hoͤren ruͤcklaͤufig zu ſeyn. Mars iſt gradelaͤufig 4 durch 205 Tage, ruckgaͤngig 75 Tage, und ſtille⸗ . ſtehend durch 2 TCage. Wiedrum Jupiter iſt 2984 N 4 Tage geradelaͤufig, 119 Tage rucklaufig, und 4 Tage ſtilleſtehend. Endlich Saturnus bewegt ſich gerade durch 244 Tage, iſt ruckgaͤngig durch 136, und ſtilleſtehend durch 8 Tage. Anmerckung. §. 156. Dieſe algemeine und beſondere Erſcheinungen der Planeten hat man zu erklaͤren ſich ſchon in den aͤlteſten Zei⸗ ten angelegen ſeyn laſſen, und zu dieſem Ende die Lage der⸗ ſelben und der Sonne alſo zu beſtimmen geſucht, daß man dadurch den Grund dieſer Begebenheiten zu erkennen ver⸗ moͤgte. Eine ſolche Lage der Paneten und der Sonne ge⸗ 4 gen einander, dadurch man einſehen konte, wie die eine den Grund von den Erſcheinungen des andern enthielte, nen⸗ nete man ein Syſtema Planetarum. Wir wuͤrden die Graͤn⸗ tzen der Anfangs⸗Gruͤnde uͤberſchreiten muͤſſen, wenn wir bey den erdachten und verſchiedenen Syſtemen uns aufhalten, ſelbige nicht alleine beſchreiben, ſondern auch entweder ver⸗ werffen, oder annehmen ſolten. Es iſt genug, daß ſie in . 2 Arken zu theilen ſind, in ſolche, bey welchen die Erde in dem Mittel⸗Punkt und unbeweglich angenommen, und . in dieſe, bey welcher die Sonne als unbeweglich, im gegen⸗ theil die Erde beweglich angenommen worden. Dieſes . . Hhh letztere 858 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe letztere behaupteten ſonderlich Ariſtarchus Samius und der Pythagoraͤer Philolaus, welches Copernicus durch neuere Beohachtungen beſtaͤtigte und wieder auf die Bahn brachte, daher man ſolches zur Zeit das Syſtema Copernicanum nen- net. Und da man bis hieher kein volſtaͤndigeres erhalten, als eben dieſes, ſo wollen wir uns bemuͤhen daſſelbe begreif⸗ lich zu machen, und zuſehen, in weit die Erſcheinungen mit demſelben uͤbereinſtimmen. Wer inzwiſchen Belieben findet die verſchiedenen Syſtemata naͤher zu kennen, kan mit Vor⸗ theil Bions Abhandlung von der Welt⸗Beſchreibung p. 15. ſeq- leſen. Lehr⸗Satz. §. 157. Wenn die Sonne entweder in dem Mittel⸗Punkt oder doch nahe bey demſelben in dem Planeten⸗Gebaͤude geſetzet, und angenom⸗ men wird, daß die Bahn des Planetens, folglich ſein Abſtand von der Sonne mit der Groͤſſe der Zeit ſeiner Bewegung waͤchſet; und daher 1) 6 ſich um die Sonne in der naͤchſten Bahn in 988 Tagen, 2) Lin der 2ten Bahn ſich in einer Zeit von 225 Tagen, 3) in der 3ten die Erde in einem Jahre ſich um die Sonne beweget, welche BHahn die Ecliptik heiſſet, uͤberdiß aber ſich innerhalb 24 Stunden um ihre Axe weltet, die gegen die E⸗ cliptik 23 ½ geneiger und von Abend gegen Mor⸗ gen gerichtet iſt; 4) Um die Erde ſich in 28 Tagen der Mond bewege, 5) in der 4ten Bahn, der Mars in 686 Tagen, 6) A aber in der Sten Bahn durch bey nahe 12 Jahre lauffet, um welchen ſei⸗ ne 4 Trabanten ſich in der gegebenen Ordnung bewegen (§. 134.). Endlich 5 in der bten Bahn beweget werde, in einer Zeit von bey nahe 30 Jah⸗ ren, und ſeine 5Trabanten in der §. 141. gege⸗ benen Ordnung lauffen; Wenn man ferner be⸗ hauptet, daß auſſer dem, daß dieſe Planeren ſich alle von Abend nach Morgen bewegen; in einer wei⸗ tern Entfernung uͤber den eine ungeheure Zahl von Fix⸗Srernen ſich befinden, und man dieſen Raum = Nt i eſnſebe a nioſſer her! 3 41 uro teinen hee gnec⸗ en d endl 0 10 r, 9 der Welt⸗Koͤrper und, deren Entfernungen ꝛe. 8 59 KRaum in die 12 himmliſche Zeichen eintheilet (§. 33.); ſo wird man hinlaͤnglichen Grund von den beſonderen und algemeinen BErſcheinungen der bisher erklaͤrten Welt⸗Boͤrper geben koͤn⸗ nen. Beweiß. 1) Denn wenn I die Erde, HK deſſen Horizont, und Tab. I. in S die Sonne oder die Sterne ſind, und es be⸗Fig. 12. weget ſich die Erde um ihre Axe, ſo muß wenn S J im Aufgange iſt, dieſer Sterne nach einiger Zeit uͤber den Horizont erſcheinen. Indem nemlich die Erde ſich von Abend nach Morgen um ihre Axe wel⸗ tzet, ſo erhaͤlt nach einiger Zeit der Horizont HR die Lage hr, und daher gewinnet es das Anſehen, als ob der Stern S den Bogen sm durchloffen haͤtte (§. 126. Opt.). Dieſerwegen iſt klar, daß alle Sterne ſich in Cirkuln ſchief uͤber unſern Horizont und zwar von Morgen gegen Abend in einer Zeit von 24. Stunden, bewegen muͤſſen (§. 1.9.). 2) Iſt die Erde in 1, ſo erſcheinet die Sonne in der big. 5. Ecliptik im , ruckt nach einem Monathe die Erde durch den 12ten Theil ihrer Bahn in 2, ſo ſiehet man die Sonne im L, koͤmt die Erde in 3, ſo er⸗ ſcheint die Sonne in den 1und ſo weiter; daher muß durch die Bewegung der Erde um die Sonne es ſcheinen, als ob die Sonne in einer Jahres⸗Friſt ſich durch die Ecliptik von Abend gegen Morgen bewegte (§. 19. 3 1. 33.). 3) Wenn S die Sonne, der Circul AB die Laufbahn Fig. 6, des 3; und CD die Bahn der Erde vorſtellet; ſo muß dieſe den 4ten Theil ihrer Bahn durchloffen haben, in der Zeit, in welcher ſich gantz um die Sonne beweget hat (§. 19.). In der Zeit alſo da V ſich beweget von 1 zu 2, muß die Erde ebenfals ſich aus 1 in 2 beweget haben, und man ſiehet da⸗ her dieſe Bewegung in der graden Linie auf der Hhh ⸗ Aus⸗ 860 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Eig. §. Ausdehnung EF bon in 2; koͤmt in 3, ſo gelan⸗ get auch die & in 3, und Serſcheinet in EF in 3, und ſo ferner. Hieraus erhellet, warum & baid ruck⸗ gaͤngig, bald ſtilleſtehend, bald gradelaͤufig erſchei⸗ nen muß (§. 154.), welches auf aͤhnliche Art bey den übrigen Planeten darzuthun iſt. 4) Eben ſo iſt es leicht einzuſehen, warum Anach 13 Monathen ſtets in der Oppoſition der Sonnen iſt. Denn wenn Jupiter da ſtehet, wo er gezeichnet iſt, und ſich die & in 10 befindet; ſo hat 2 in Jahres⸗ Friſt den 12ten Theil ſeiner Bahn zuruͤcke gele⸗ get (§. 19.) und iſt mithin inX, da im Gegentheil die Erde nach dem 13ten Monathe allererſt in 11 anlanget. Aus gleichem Grunde iſt es klar, wa⸗ rum &, Aund 5 in der Oppoſition mit der Son⸗ ne groͤſſer erſcheinen muͤſſen, als wenn ſie in der Con⸗ junction mit derſelben ſind. Denn wenn die Erde und A wie vorhin ſtehen, ſo iſt von der Erde ent⸗ fernt durch a 10. komt aber A in der Conjunction in b, ſo iſt ſein Abſtand von der Erde b 10. Da nunb 10 10 a; ſo muß auch 2 in bkleiner als in a erſcheinen (§. 95. Opt.). Dieſes iſt mit leichter Muͤhe auf alle andere Planeten anzuwenden. Da demnach dieſe Erſcheinungen ſo genau durch dieſe Lage der Planeten gegen die Sonne koͤnnen erklaͤret werden; ſo iſt das Copernicaniſche Welt⸗Ge⸗ baͤude allerdigns fuͤr gegruͤndet zu halten. 1. Ju ſatzẽs §. 158. Es iſt demnach falſch, daß der Himmel eine hohle Kugel, in deſſen Mittel⸗Punct die Erde, und an deſſen Peripherie die Sonne und die Plane⸗ ten befeſtiget; ſondern alle dieſe Welt⸗Koͤrper haͤn⸗ gen frey. . 2. Z1⸗ 1 lich iin Heu 6 19 Me⸗ eigent zweye den uch Ne Mie lore e der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 861 13,ſted⸗ 2 DPingn l Juſatz. — “ §. 159. Weil die Laͤnge der Fix-⸗Sterne veraͤnder⸗ iee lich (§. 358.); ſo iſt kein Zweiffel, daß nicht auch Ae ein gleiches in Anſehung der Fix⸗Sterne zu be⸗ haupten. D Erklaͤrung. s. 160. Sollten wir demnach die Sterne aus dem Eem Mittel⸗Punct der Erden ſehen, ſo wuͤrden wir ihnen d einen andern Ort, als jetzo, beylegen, da wir ſolche von ing der Erd⸗Flaͤche anſehen (§. 3. Optic.). Die Weite ulif zweyer Oerter,wo eine Sache aus verſchiedenen Stan⸗ Ee den geſehen wird, heiſt die Parallaxis. Folglich iſt let auch eine Parallaxig der Sterne moͤglich, als welche eilnn die Weite zweyer Oerter iſt, wo ein Stern aus dem um. Mittel⸗Punct der Erde und von der Erd⸗Flaͤche geſe⸗ 6,N hen wird. nen Lehr⸗ Satz. deen u §. 161. Der Winckel, deſſen Schenckel durch die n. beyden Oerter gehen, aus welchen wir eine Sache ſehen, und deſſen Spitze der Mittel⸗Punct der “ Sache, welche wir ſehen, iſt ſo groß als die Paral- de! exiy. Daher er auch der Angulus paralacticus ge⸗ nennet wird. Beweiß. WN Es ſey T der Mittel⸗Punct der Erde, W die obere Tab. I. Flaͤche, S der Stern; ſo iſt M der Ort, wo er aus Afſtronom. dem Mittel⸗Punct der Erde, Leder Ort, wo er von der big. 6. Erd Flaͤche geſehen wird, und alſo LM die Parallaxis Genn (5§. 89.). Folglich iſt die Parallaxis der Unterſcheid ey zwiſchen dem Bogen Z½Mund Zl. Der Bogen ZM ehen iſt das Maaß des Winckels MTZ. (S. 109. Geom.), e“ß und weil der Radius der Erd⸗Kugel in Anſehung der oberſten Flaͤche der Welt⸗Kugel, wo ihr euch den Bogen Z. H einbilden muͤſſet, als ein Punct an⸗ * Hhh 3 zuſehen, 3862 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe zuſehen, ſo koͤnnt ihr auch den Bogen Zl. als das Maaß von dem Winckel LVZ annehmen (§. cit. Geom.), folglich iſt der Unterſcheid dieſer Winckel der Parallaxi gleich. Da nun TSV der Unterſcheid die ſer Winckel MT'. und LVZ (§. 145. Geom.); ſo iſt der Winckel TSV der;: Parallaxi gleich. W. Lehr⸗Satz. §S. 162. Je weiter ein Stern von der Erde weg iſt, deſto kleiner muß ſeine Parallavis Beweiß. Tab. IJ. Es ſey ein Stern in und der andere in L., ſo iſt Aſtronom. die Parallaxis des naͤheren = TSV, des weiteren Fig. 6. aber = ILV (5§. 90.). Da nun TSVE TILV (§S. 145. Geom.), ſo iſt auch die Parallaxis des naͤ⸗ heren groͤſſer, als die Parallaxis des weiteren. W. Z. E. W. 1. Juſatz. §. 163. Der Mond, die Sonne und die uͤbrigen Planeten haben nicht immer einerley Weite von der Erde (§. 57.), folglich muß auch ihre Parallaxis aus dieſem Grunde bald ab, bald zunehmen. 2. Juſatz. §. 164. Sind die Sterne unendlich weit von der Erde, ſo iſt auch ihre Parallaxis unendlich klein. Willkuͤhrlicher Satz. Tab. I. S. 165. Köeplerus in Comment. de motibus ſtellk Aſtronom. Martis hat aus verſchiedenen Obſervationen ge⸗ Fig. 7. ſchloſſen, daß ſich die Erde, Saturnus, Jupiter, Mars, Venus und Mercurius, in einer Ellipſi um die Sonne bewegen, welche in ihrem einen Brenn⸗ Punct S lieget, und zwar dergeſtalt, daß ie — — i der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 863 e die Linie 8l, welche aus der Sonne in den Mittel⸗ r Punct des Vlaneren gezogen wird, in gleicher Zeit 1V gleiche Theile von der 1. Uiſe beſchreibet, ſo daß der ee Theil von der Elipk A 8l ſich zu der gantzen Ellipſi “ verhielt wie die Zeit, da der Planet den Bogen AI durchlaͤufft, zu der Zeit, da er die gantze Peripherie durchwandert. Erklaͤrung. Net §. 166. Der Punct P, wo der Planet der Sonne S Tab. I. i am gaͤchſten iſt, heiſt das Perihelium, und der Punct Aſtronom, A, in welchem er von der Sonne am weiteſten weg⸗ . 7 ſtehet, das Aphelium. Die Linie PA, welche aus dem 4 Perihelio in das Aphelium gezogen wird, das iſt, Dder groͤſte Diameter in der Ellipſi wird Linea Aphi- 1 dum genennet. 16 Erklaͤrung. 4 §. 167. Die Weite des Brenn⸗Punets S, wo die Sonne iſt, von dem Mittel⸗Punct C, wird die Eecentricitaͤt genennet; und die Linie 18, welche „ aus dem Mittel⸗Punct der Sonne S in die Peri⸗ „ pherie der Ellipſis oder die Bahn des Planeten ge⸗ W ogen wird, heiſt die Weite, im Lateiniſchen auch IL;- tervallum. Erklaͤrung. §. 168. Der Circul, welcher mit der halben groſſen Are von der Ellipſi CA durch das Perihelium und Abthelium beſchrieben wird, heiſt der eccentriſche Cirtul. . Erklaͤrung. §. 169. Durch die mittlere Bewegung verſte⸗ het man diejenige, vermoͤge welcher der Planet in 4 gleicher Zeit gleiche Stuͤcke von ſeiner Bahn be⸗ ſchreibet. Und durch die wahre Bewegung wird dieſenige verſtanden, welche wir dem Planeten zu⸗ Hhh 4 eignen, Tab. I. Aſtronom. 864 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe eignen, indem wir auf der Erde auf ihn Achtung geben. Erklaͤrung. §. 170. Die Ano malie iſt die Entfernung des Pla⸗ neten von dem Aphelio. Die mittlere Anomalie iſt die Zeit, welche der Planete zubringet, indem er von dem Aphelio A bis zu einem gewiſſen Punctl in ſeiner Bahn fortgehet. Zuſatz. §. 171. Es wird demnach nicht ohne Grund zum Maaß der mittleren Anomalie angenammen das Stuͤck von der elliptiſchen Flaͤche Asl, welches die Linie, ſo aus der Sonne S in den Planeten I ge⸗ zogen wird, waͤhrender Zeit beſchrieben (§. 18. Dyn.). Anmerckung. §. 172. Kepler, als Erfinder dieſer Theorie, theilet die El- lipin, wie den Circul, in 360 Grade, und jeden Grad in 60 Scrupel, damit durch dieſe Grade und Scrußel die Groͤſſe der mittleren Anomalie koͤnne beſtimmet werden. . Erklaͤrung. . §. 173. Die eccentriſche Anomalie iſt der Bo⸗ gen des eccentriſchen Circuls AK, welcher zwiſchen dem Aphelio des Planetens A und der Linie KL., welche durch den Planeten I auf die Lineam apſidum PAper⸗ pendiculaͤr gezogen worden. . Erklaͤrung. §. 174. Die wahre oder coäquirte Anomalie iſt der Winckel AsI, welchen die beyden Limen, ſo aus dem Mittel⸗Punct der Sonne Sin das Aphelium A und den Planeten I gezogen werden, machen, das iſt, der Winckel, unter welchen der Bogen zwiſchen dem Aphelio und dem Planeten aus der Sonne geſehen wird. 3 u⸗ eß er Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 86 5 Juſatz. §. 175. Es iſt demnach die coaͤquirte Anomalie die Entfernung des Planeten von dem Aphelio, wie odei ſie aus der So ne geſehen wird. hoſe Dun . Erklaͤrung. tli §. 176. Die Aequation oder Proſßtaphæreſis iſt der Unterſcheid der mittleren und coaquirten Ano⸗ Anmerckung. §. 177. Eine genaue Ueberlegung desjenigen, was wir bishieher abgehandelt haben, giebt es uns zu erkennen, daß alle mathematiſche Aufgaben, die wir in der Aſtrono⸗ mie aufzuloſen haben, dahin gehen, daß wir erkennen koͤn⸗ 6 nen, einmal, die Entfernung der Welt⸗Korper von einan⸗ der, fuͤrs andere die wahre und die ſcheinbare Groͤſſe der Welt⸗Koörper, fuͤrs dritte, die wahre und die ſcheinbare /, Groͤſſe derfenigen Stuͤcke, die wir in den Welt⸗Korpern B unterſcheiden k—oͤnnen. Wir wollen von dieſen diefenigen ſt aufloſen, die zu den Anfangs⸗Gruͤnden der Aſtronomie gehoͤren. Aufgabe. §. 178. Aus der gegebenen Parallaxi des Mon⸗ des LLV und ſeiner Hoͤhe Kl. ſeine Weite von der Erde zu ſinden. V . Aufloſung. Ihr ſollt in dem Triangel ILV die Linie TI. fin⸗Tab. I. den. Da euch nun in dieſem Triangel bekant iſt Aſtronom. 5 der Winckel L, und der Winckel LVT auf folgende ig. E. Art kan gefunden werden; der Bogen Lz oder die Enktfernung des Mondes von dem Zenith, welche leicht kan gemeſſen werden (§S. 12.), iſt das Maaß von dem Winckel LVZ (S. 109. Geom.), der Win⸗ ckel LVz macht mit dem Winckel LVT 1800 (§. I14. Geom.), folglich iſt LVIT = 1800— LVZ; da ihr ferner den halben Diameter der Erde IV als 1an⸗ HHh h §5 nehmen 22 366 Zweyter Abſchnitt, von Erſindung der Groͤſſe nehmen koͤnnet: ſo koͤnnet ihr die Entfernung des Mondes von der Erde finden, wenn ihr ſprechet: Sin. ILV: I = Sin. LVI: IL (S. I 88. Geom.). Anmerckung. 179. Wenn euch die Horizoutal⸗Parallaxis TKV ge⸗ geben id; ſo iſt der Winckel TVK ein rechter Winckel. Folglich koͤnnet ihr die Entfernung des Mondes von der Erde KV finden, wenn ihr ſprechet: Sin. TKV: I — Sin. tot.: KT. . 3. E⸗ die groͤſte Horizontal⸗Parallaxis des Mondes TkV iſt nach dem, de la Hire (Tab. Aſtr. XVIII. p. 27.) 101 25 und demnach Log. Sin. TKV 8. 2519888. Log. IV o. OOOOοοο. Log. Sin. tot. 10 0000000. Log. TK I1. 7480112. welchem in den Taffeln 55233 das iſt bey nahe 56 halbe Dia- metri der Erde zukommen. 1. 3 U ſa 14;. §. 180. Man nimt insgemein an, (in der Geo⸗ graphie werde ich es zeigen, wie dieſes zu beſtaͤtigen) daß der halbe Diameter der Erde 860 deutſche Mei⸗ len. Folglich iſt die Weite des Mondes von der Er⸗ de in der groͤſten Horizontal⸗Parallaxi, das iſt die klei⸗ neſte Weite (§. 93.) 48160 deutſche Meilen. §. 181. Iſt euch die Weite eines Sterns von der Erde IK oder TS gegeben, ſo koͤnnet ihr ſeine Hori⸗ zontal⸗-Parallaxin TKV, ingleichen ſeine Parallaxin TSV in einer gegebenen Hoͤhe finden, wenn ihr ſprechet: im erſten Fall TIK: Sin. tot. = TV: Sin. TKV und im andern Fall TIS: Sin. SVL= TV: Sin. TSV. Auf⸗ ſi l der Griß . . der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 867 ntfernun “ Aufgabe. 3eon) §. 192. Aus der gegebenen Weite des Mondes oder uͤberhaupt eines Sterns von der Erde und ſeinem nen Diameter, den wahren Diame⸗ lbss ter zu finden. . rechter AN Au fl 5 ſung. ondezt Der ſcheinbare halbe Diameter der Erde, ſo wie er aus dem Mond und der Sonnen geſehen wird, ondes n iſt gleich der Parallaxi der Sonne und des Mondes, 27.) , ſo wie ſie von der Erde erſcheinet (§ 89.). Da ſich nun die ſcheinbaren Diametri zweyer Koͤrper, die in einerley Weite geſehen werden, zu einander verhal⸗ ten, wie ihre wahren Diametri (§. 95. ſſ. Optic.); ſo muͤſſen wir auch folgende Saͤtze behaupten: fket Der halbe wahre Diameter der Erde: zu dem hal⸗ ben wahren Diameter des Mondes — Parallaxis des Mondes: halben ſcheinbaren Diameter des Mondes. der Ge⸗ Der halbe wahre Diameter der Erde: zu dem Kaͤtigel halben wahren Diameter der Sonne = Parallaxis ſchech⸗ der Sonne: halben ſcheinbaren Diameter der n del⸗ Sonne ſtnß Und ſo weiter. D 1. Anmerckung. §. 183. Die Parallaxis des Mondes in ſeiner kleinſten Entfernung von der Erde iſt 101/25“, und der halbe ſchein⸗ ugt bare Diameter deſſelben 16/21“. Folglich i ie⸗ 1 Folglich iſt der halbe en Diameter der Erde zu dem halben Diameter des Mondes — uh 3685: 981. Reduciret dieſen Bruch auf eine gewoͤhnliche Benennung nemlich auf 1000, ſo werdet ihr finden, daß der Unterſcheid dieſer Verhaͤltniß 1000: 266 von jener unend⸗ lich klein. Folglich iſt der halbe Diameter der Erde zu dem halben Diameter des Mondes — 1000: 266 — 500:133. 2. Anmerckung. §. 184. De la Hire in Tab. Aſtron. p. 6. ſetzet die Hori⸗ zontal⸗Parallaxin der Sonne in ihrer Mittleren Eutfernuuß au 868 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe der auf6“. Der ſcheinbare Diameter dieſer Entfernung iſt 157 . 150. Folglich verhaͤlt ſich der halbe Diameter der Erde, zu 68.1 dem halben wahren Diameter der Sonne — 6:915 — 2¾ des A o5 – I: 1521 das iſt bey nahe 1: 152. 305 52 das iſt bey nah 5 der er K. 195. Es verhaͤlt ſich die Flaͤche der Erde zur inde Flaͤche des Mondes = 2 0000: 17689 =— 14: I. Und die Flaͤche der Erde zur Flaͤche der Sonne = 1: 23104 (§. 342. Geom.). J§. 186. Die Erd⸗Kugel verhaͤlt ſich zu dem koͤrper⸗ lichen Innhalt des Mondes 125020000: 2352637 das iſt bey nahe wie 52: 1. Und die Erd⸗Kugel ver⸗ haͤlt ſich zu dem koͤrperlichen Innhalt der Sonne = 113611808 (§. 336. Geom.). 7 = = –☛ 3. Juſatzz. e §. 187. Weil der halbe Diameter der Erde, ſo wie (ie er aus dem Monde geſehen wird, gleich der Parallaxi 1 des Mondes, ſo wie ſie von der Erde erſcheinet; ſo iſt es klar, daß der Diameter der Erde bey nahe viermahl ſo groß im Monden ausſiehet, als der Diameter des Mondes auf der Erde (§. 183.). Folglich lan man Hr in dem Mond von der Erde nichts deutliches ſehen (.95. ſl. Optic.). Woraus leicht zu begreiffen, daß ſich die Seleniten oder die Innwohner des Mondes die Erde nicht anders, als einen runden hel euchten⸗ den Teller vorſtellen. Und ſo weiter. 4. Zuſatz. §. 189. Es folget ferner aus dieſem Grunde, daß der Diameter der Erde bey nahe 152 mahl kleiner in H der Sonne ausſiehet, als der Diameter der Sonne auf der Erde (§. 194). Folglich erſcheinet pie Erde in der Sonne wie ein kleiner helleuchtender Punct. Und ſo welter. Auf⸗ Gri der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 869 runi Aufgabe. S. 199. Aus dem halben Diameter des Mon⸗Tab. I. des A C und der Weite der Spitze eines Berges, Aſtronon der erleuchtet wird, von dem erleuchteten Theil kig. 8. des Mondes AB, die Hoͤhe deſſelben Berges zu Ee finden. en Aufl oͤſung. lie 1) Addiret die Quadrate von A und AC. 2) Aus der Summe ziehet die Quadrat⸗Wurtzel: ſo habt ihr BC (§. 276. Geom.). enii⸗ 3) Von Cziehet den halben Diameter des Mon⸗ u, des DC ab; ſo bleibet die Hoͤhe des Berges BD Klger uͤbrig. eur Aunmerckung. §. 190, Hebel, welcher in ſeiner Selenograph. cap. 8. den BVergenſim Mond ihre beſondere Benennungen gegeben, ne hat in einigen Bergen des Mondes gefunden, daß AB — * ſlhi AC; da nun AC 266 Theile von denen hat, von welchen der halbe Diameter der Erde 1000 hat (§. 183.); ſo iſt AB — eng AC: AB — 266:266 — 3458:266 — 1729: 133 ſe ACa = 2989441 AB2 — 17689 BC2 – 3007130 BC =— 17 DC= 1223 — BD = 5 Alſo iſt BD = & AC= I AC 17270 34G 4 Nehmet ihr nun ferner an, daß der halbe Diameter der 1 Erden 860 deutſche Meilen; ſo werdet ihr finden, daß AC = 2287 deutſche Meilen, das iſt bey nahe 257 4 driſen Meilen. Folglich iſt BD etwas mehr als 1 deutſche MU Er⸗ Tab. I. Aſtronom. Fig. 9. 870 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Erklaͤrung. §§. 191. Weil die uͤbrigen Planeten auſſer der Erde ſich nicht in der Ecliptik bewegen, ſondern in einer Bahn, welche gegen die Ecliptik unter einem gewiſſen Winckel incliniret iſt: ſo hat man in Anſehung ihrer nachfolgende Kunſt⸗Moͤrter gemacht, welche ich nur erklaͤren werde. Die beyden Puncte der Ecliptik, in welchen die erweiterte Bahn des Planetens ſie durch⸗ ſchneidet, werden die Knoten (Nodi) genennet. Von dem einem Knoten faͤnget der Planete an uͤber die Ecliptik herauf zu ſteigen in die nordiſchen Zeichen; und dieſer heiſt der aufſteigende Knoten (Nodus aſcendens ſeu borealis). Von dem andern aber ſteiget er herunter in die ſuͤdiſchen Zeichen; und dieſer heiſt der niederſteigende Knoten (Nodus deſcen- dens ſeu auſtralis). Jenen deutet man an durch &&; dieſen aber durch ?22. In dem Monde nennet man jenen den Drachen⸗Kopff, und dieſen den Drachen⸗ Schwantz. . Erklaͤrung. §. 192. Der Winckel, unter welchem die Ent⸗ fernung des Planetens von der Ecliptik aus der Sonne geſehen wird, das iſt der Winckel, deſſen Maaß der Bogen PR eines Circuls, der durch den Planeten P und die Ecliptik dergeſtalt aus der Sonne 8 beſchrieben wird, daß er mit ihr in R ei⸗ nen rechten Winckel macht, wird die Inclination genennet. . Erklaͤrung. L §. 193. Das Argument heiſt in der Aſtronomie ein Bogen, wodurch man zur Erkenntniß eines an⸗ deren gelangen kan. Und alſo heiſt das Argument der Inclination (ſeu argumentum latitudinis) der Bogen von der erweiterten Bahn des Planetens Np, welcher zwiſchen ſeinem aufſteigenden Knoten und em Griſi ſrdeh⸗ in n i n gerſe ehunuee lchetzen Eehgte ſel⸗ genee te l 1Zet (M etn N nd Geſee urchl It chen⸗ G 1 1 N 9 II . der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 871 dem Ort P, wo der Planete aus der Sonne geſehen wird, enthalten iſt. Erklaͤrung. §. 194. Der eccentriſche Ort des Planetens iſt der Punct Pin ſeiner erweiterten Bahn „in welchem er aus der Sonne 8 geſehen wird. Der heliocen⸗ triſche Ort des Planekens iſt der Punct der Eeliptik, wo der Planete aus der Sonne geſehen wird. Der geocentriſche aber, wo er von der Erde geſehen wird. M Erklaͤrung. §. 195. Der Bogen der Ecliptik NR, welcher zivpi⸗ ſchen den aufſteigenden Knoten und der Inclination des Planetens PR enthalten, wird die eccentriſche Laͤnge des Planetens genennet. Erklaͤrung. §. 196. Die Reduction der Ecliptik iſt der Un⸗ terſcheid zwiſchen der ercentriſchen Laͤnge und dem Ar⸗ gument der Inclination. Die curtirte oder verkuͤrtz⸗ te Weite des Planetens iſt die Linie SR, welche zwi⸗ ſchen dem Mittel⸗Punct der Sonne S und der per⸗ pendiculaͤr Linie Raus dem Planeten P auf der Flaͤ⸗ che der Ecliptik enthalten iſt. Der Unterſcheid zwi⸗ ſchen der curtirten Weite SR und wahren PS von der Sonne S heiſt die Curtirung oder Verkuͤrtzung. Erklaͤrung. §S. 1977. Der Commutations⸗Winckel (Angu⸗- lus ad ſolem, ſeu, ut alii dicunt, Anomalia Orbis) ESR iſt der Unterſcheid zwiſchen dem wahren Ort der Sonne E, wo ſie nemlich von der Erde T geſehen wird, und dem zur Ecliptik reducirten Ort des Pla⸗ netens R. . Er⸗ 972. Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Erklaͤrung. §. 198. Der Elongations⸗Winckel ETR (An- gulus ad terram) iſi der Unterſcheid zwiſchen dem wah⸗ ren Ort der Sonne E und dem wahren Ort des Pla⸗ netens, wo er von der Erde geſehen wird. Erklaͤrung. §. 199. Die Parallaxis der Erd⸗Bahn iſt der Winckel SRT oder der Unterſcheid zwiſchen dem Com⸗ mutations⸗ und Elongations⸗Winckel. Anmerckung. §. 200. Ich werde dieſe Redens⸗Arten nicht alle in dem folgendem gebrauchen, weil es meine Abſicht nicht erfodert, ſondern ich habe ſie nur, Anfaͤngern ſolche gelaͤuffig izu ma⸗ chen, anfuͤhren wollen. Lehr⸗Satz. §. 201. Wenn zwey ungleiche Groͤſſen ungleich weit von dem Auge entfernet, ſo ſind die Cotan⸗ genten ihrer halben ſcheinbaren Groͤſſe in einer zu⸗ ſammengeſetzten Verhaͤltniß aus der Verhaͤltniß ihrer Entfernungen von dem Auge und verkehr⸗ ten Verhaͤltniß ihrer wahren Groͤſſen. Beweiß. Es ſey von der Sache A die wahre Groͤſſe B, die ſcheinbare C, und die Entfernung D. Es ſey von einer anderen Sache M die wahre Groͤſſe N die ſchein⸗ bare O, und die Entfernung P. Damit die Ver⸗ haͤltniſſe unter dieſen koͤnnen beſtimmet werden, ſo nehmet ferner an, daß von der Sache M, die wahre Groͤſſe N, in der Entfernunug Ddie ſchein⸗ bare Groͤſſe L. Dieß vorausgeſetzet, ſo koͤnnen wir ſchlüͤſſen: Sin. Ferer Ner ſſue er Gri chendentt Ort diy 4 Behnf en dennd . ichtaleis D nicht igt elöuffioen unde eint, erhen nd on⸗ 1. „5 iſ en N nN Knn,9 lſte⸗ oon der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 873 Sin. totus: Cotangenten der ſcheinbaren Groͤſſe Sin. totus: Cotangenten der ſcheinbaren Groͤſſe C=IB: D (der Beweiß des §. 98. Optic.). Folglich iſtt— “ Sinus totus, D= Cotang. ſcheinbaren Groͤſſe Sinus totus, D= Cotang. ſcheinbaren Groͤſſe C, IB (§S. 130. A. M.). Hieraus folget, daß Cotang. ſcheinbaren Groͤſſe Q⸗ N= Cotang⸗ I ſcheinbaren Groͤſſe C, 1B (S. 20. A. Folglich. Cotang.! ſcheinbaren Groͤſſe Q: Cotang ſchein⸗ baren Groͤſſe C=IB: I N (p. 175. n. 2. Rechen.). Ferner Cotang.! ſcheinbaren Groͤſſe O: Cotang. ſchein⸗ baren Groͤſſe Q= P: D (S. 98. Optic.). Da es nun aus dem vorhergehenden klar, daß Cotang. ſcheinbaren Groͤſſe Q: Cotang. ſchein⸗ daͤreh⸗ Groͤſſe H and ſchein⸗ ſo ſolger⸗ daß Geinbaren G Cotang.; ſcheinbaren Groͤſſe O, Cotang. 1 ſchein⸗ dures ihteſſe OAnolaſſce ſcheinbaren Weir⸗ ſe Q, Cotang der ſcheinbaren Groͤſſe C= PB, DN (p. 172. b. a Rechenk.). Hieraus folget. Cotang. ſcheinbaren Groͤſſe O: Cotang. der ½ ſcheinbaren Groͤſſe C= PB: DN (p. 175. Jii Auf⸗ und Tab. I. Aſtronom. Fig. 10. 374 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe Aufgabe. §. 202. Die Weite der Sonne von der Erden zu finden. „— “ I. Aufléͤſung. Insgemein wird die Art die Weite der Sonne von der Erde zu finden alſo angegeber; 1) Ohngefehr 6 Stunden vor dem erſten Viertel, und 6 Stunden nach dem letzten obſerviret den Mond durch ein Fern⸗Rohr, dadurch ihr den Mond gantz auf einmahluͤberſehen koͤnnet, und welches mit einem Micrometro verſehen. 2) Mercket die Zeit, da der Mond halb erleuch⸗ tet iſt, nach einer guten Perpendicul⸗Uhr, und meſ⸗ ſet ohne Verzug ſeine Weite von zweyen Fix⸗Ster⸗ nen (§. 12.), deren Laͤnge und Breite bekant iſt (H. 35. fl.). 3) Suchet die Laͤnge des Mondes durch die ſphaͤri⸗ ſche Trigonometrie, und den wahren Ort der Sonne durch die aſtronomiſche Taffeln. 4) Ziehet die Laͤnge der Sonne von der Laͤnge des Mondes ab, ſo bleibet die Elongation des Mondes von der Sonne Ds uͤbrig (§. 130.). —= 5) Da nun in dem Triangel LIs der Winckel bey Lein rechter Winckel, Ds das Maaß von dem Win⸗ ckel DFS, und die Weite des Mondes von der Er⸗ den LT bekant iſt (§. 110.): ſo koͤnnet ihr die Linie LS oder die Weite der Sonne von dem Monde, und hieraus die Weite der Sonne von der Erden nach der Trigonometrie finden. 2. Aufloſung. Ich will folgende Aufloͤſung hinzuſetzen, welche ſich auf den §. 201. gruͤndet. 1) Meſſet die ſcheinbaren Diameter der Sonne und des Mondes (§. 80.). “ dDulrch Out En 6.2 clinan S der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. g75 2) Meſſet den wahren Diameter der Sonne und eke des Mondes (§. 1982.). 3) Meſſet die Encfernung des Mondes von der Erde . ). DZ rechet: w eeder ene von dem ſcheinbaren Diame⸗ rce ter des Mondes verhaͤlt ſi ſich zu dem Cotangen⸗ rdrc ten von dem ſcheinbaren Diameter der Son⸗ ne, wie das Factum aus der Entfernung des ai Moeondes in den wahren Diameter der Son ne, end zu der vierten Proportional⸗Groͤſſe. hale 5) Dieſe vierte Proportional⸗Groͤſſe dividiret en d⸗ durch den wahren Diameter des Mondes: ſo iſt der Quotient die Entfernung der Sonnen ven der Erde (5§. 107. A. M.). te e ri Anmerckung. §. 203. Wendelinus, wie aus dem Ricciolo in Almag. 7G Lb. III. Cap. VII. Tom. I. zu erſehen, hat durch aceurate Obſerbationen feſtgeſetzet, daß der Winckel TS= 890457 angee ⸗ und alſo der Winckel I8L — 15. Wenn nun die mittlere D Entfernung des Mondes von der Erden 60 halbe Diametri der Erde, ſo iſt Log. Sin. S = 7. 6398 160 Dide Log. TL =– I. 77815 12 in Log. Sin. tot. 10. 0000000 Nle „— „Leog. 18 4. 1383352 Valglich die Entfernung der Sonne von der Erde 13751 eaA halbe Diametri der. Erde. 8 e Aufga be. §. 204. Es wird das Imervallum PS, und die Ine Tab. I. clination PSR gegeben, ihr Pllr⸗ die curtirte Weite ſtronom. e SR finden. Fig. 9. Auflo ſ un g. 6 Gedencket, als wenn aus dem Ort des Planetens P . eine Perpendicul⸗Linie auf die Ecliptik PR gezogen „Jii -⸗ wor⸗ 876 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe worden, ſo iſt in dem Triangel PRS bekant der Win⸗ ckel bey R, weil es ein rechter Winckel, der Winckel bey 8, und die Linie Ps, folglich koͤnnet ihr die Linie Rs nach der Trigonometrie finden, indemihr ſprecht: Sinus totus: PS = Sin. PRS: RS. Aufgabe. §. 205. Es wird gegeben der Commutations⸗ Winckel Esk, die Entſernung der Sonne von der Erde TS, die curtirte Weite des Planeten SR; ihr ſollt finden den Elongations⸗Winckel RTS, die Parallaxin der Erde 8RT, und die Entfernung des Planeten von der Erde TR. Au floͤſung und Beweiß. 1) Ziehet den angulum Commutationis ab von 1 80°ſo bleibt der angulus ISR ubrig (§. 114. Geom.), 2) Da nun IS und IR gegeben ſind, ſo koͤnnet ihr den Winckel TRS und RTS (§. 8. Trigon.) „in⸗ gleichen die Seite IR finden (S. 4. Trigon.). Aufgabe. §. 206. Es wird gegeben der Inclinations⸗ Winckel RSb, der Elongations⸗Winckel STRund der Commutations⸗Winckel ESR, wie auch die Weite der Sonnen von der Erden, ihr ſollt die Breite des Planeten PTR finden. 1 Aufloͤ ſung. 1) Suchet die Weite des Plancten von der Erbde TR ⸗ §. 138.) und die curtirte Weite SR. (5§. 137. 2) Weil die optiſchen Winckel RSp und RIP ſehr klein, ſo koͤnnen 1 ie mit den Entfernungen in Bere er⸗ WV . ungdere der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 877 bieit Verhaͤltniß geſetzet werden (§. 97. ſl. Optic.). Folg⸗ inckſ ⸗ael lich koͤnnet ihr inferiren: aeen ITR: RS= RSP: PTR. / ſd 2. Aufloͤſung. Schlieſſet: wie der Sinus des Elongations⸗ Winckels SIR ſich verhaͤlt zu dem Sinu des Com⸗ mutations⸗Winckels RSE oder RST (§S. 114. Geom. Connledt et 182. n. 4.): ſo verhaͤlt ſich der Cotangens des er Soded Inelinations⸗Winckels KSb, zu den Cotangenten der Naneten Breite des Planetens. Dinckel Rl . die Kntfen B ewe iß. DaRbbeykeinen rechten Winckel machet (§. 192), ſo kan man ihn als den Sinum totum annehmen, und ewtiß denn wird RI der Tangens des Winckels RPT, und Periuß 4 RsS der Tangens des Winckels RPS (§. 173. Geom.). lGl6e Daraus iſt klar, daß RT' der Cotangens von RTP, 6le und RS der Cotangente von RSbP wird (§. 180. Geom). ſi ele Folglich iſt RLP: RS = Cotangente R P: Cotongent Iim) RSP. Nun aber iſt RI:⸗RS = der Sinus RS T: Sinu Iisn, RTS (§. 188. Geom.). Folglich erhellet, daß der Sinus RTS ſich zu dem Sinu RST verhalte, wie der Cotangente des Inclinations⸗Winckels RSP zum Main“ Cotangent der Breite des Planetens RTP. W. Z. d,ntn 1. Zuſatz. n,O. §H. 207. Wenn demnach der Winckel RST und . Elongations⸗Winckel gegeben, ſo iſt die Verhaͤltniß der Entfernung der Erde von der Sonne 1S, zu der 6 Entfernung des Planeten von der Sonne Rs bekant nmn (8. F. Trigon. ). Dieſes iſt der Grund, wodurch ge⸗ funden worden, daß wenn die Weite der Erde von der Sonne 10, die Weite des & von der O4, der 27, des INN Y.' 15, des 21 562, und des 5 95. n , Jii 5 2 Fu⸗ 978 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe §. 208. Hieraus kan leicht verſtanden werden, wie die Weite der Planeten von der Erde zu finden, wenn die Weite der Sonne von der Erde gegeben. Anmerckung. 8 5§ 209. Nach dem Caßini (wie Gzanam in ſeinem Cours de Mathematique Tom. V. feſtgeſetzet) ſind die Weiten der Planeten und der Sonne von der Erde in halben Diametern der Erde, den halben Diameter zu 860 teutſche Meilen ge⸗ rechnet, in folgender Groͤffe Groͤſte Weite Mittlere Weite Kleineſte Weite S. 210. Die Verhaͤltniß des wahren Diametri B 244000 210000 176009 4 143000 115000 870⁰⁰ + 59090 33 500 8000 O% 22374 22000 21626 38000 22000 6000 5 33000 22000 11000 .“ 61 57 53 Aufgabe. der Planeten zu dem wahren Diameter der Sonne zu ſinden. . “H“ Aufloͤſung. 1) Suchet die Weite des Planetens von der Erden (S§S. 41.), wie auch die Weite der Sonne von der Er⸗ den (S. 134.). . „ 2) Suchet den ſcheinbaren Diameter des Plane⸗ tens in der gefundenen Weite (§S. 143.). Alsdenn ſuchet die Groͤſſe ſeines ſcheinbaren Diameters, wenn der Planet ſo weit von der Erde, als die Sonne. Die⸗ ſer wird gefunden, wenn ihr inferiret: Die Weite des Planetens: Weite der Sonne = Cotangens der ſcheinbauen Groͤſſe des Plane⸗ ten der B⸗ tinin ſ En n Phngetn nehen Nateteed ean Maete en ſ Gonen in ( In et 8 E⸗ ngder Eige knnden werta. rde u fnden, gegeben. natnit ſemnke ſind die Ver n halben Din⸗ teutſche Hin Kleineſe 1 der Welt⸗Koͤrper und deren Entfernungen ꝛc. 879 tens in der gegebenen Weite: den Cotang. der ſcheinbaren Groͤſſe deſſelben in der Weite der Sonne (§. 98. II. Opcic.). 33) Sprechet: der ſcheinbare Diameter der Sonne zu dem gefundenen ſcheinbaren Diameter des Plane⸗ tens = der wahre Diameter der Sonne: dem wahren i⸗ Diameter des Planetens (§. cit. Optic.). §. 211. Wollt ihr den ſcheinbaren Diameter der Planeten nach den Obſervationen des Hugenii anneh⸗ men, ſo werdet ihr beygefuͤgtes Taͤffelein verfertigen koͤnnen. . Werhaͤltniß des Verhaͤltniß der Verhaͤltnis des Diameters der Flaͤchen der Pla⸗koͤrperlichen In⸗ Planeten gegen neten gegen die halts der Plane⸗ den Diameter Flaͤche der Son⸗ten gegen den der Sonne. ne. koͤrperlichen In⸗ ðJYMU halt der Sonne. 405 . 166 ** 37 1 xII 30 1 166 27556 1: 4574296 84 7056 1: 592704 R 2901 1: 84100] 1:243 8900S §. 212. Die Verhaͤltniß des Diameters der Erde zu dem Diameter der Sonne: Die Verhaͤltniß der Flaͤche der Erde zu der Flaͤche der Sonne, und des koͤrperlichen Innhalts der Erde zu dem koͤrperlichen Innhalt der Sonne lehret der §. 117. ſl. Alſo koͤn⸗ net ihr auch dieſe Verhaͤltniſſe der Planeten gegen unſere Erde finden. Lehr⸗Satz. §. 213. Die Fix⸗Sterne ſind weiter von unſerer Erde entfernet, als der Saturnus. 55 —.„ —— — — . -—8— . 880 Zweyter Abſchnitt, von Erfindung der Groͤſſe ꝛe, Beweiß. An den Miſcellan. Berolin. p. 20 5. ſſ. wird ange⸗ mercket, wie 1679. den 7. Jan. von dem Kirchio obſerviret worden, daß der Saturnus den Stern der ſechſten Groͤſſe in dem Horn des Widders be⸗ decket. Folglich muͤſſen die Fix⸗Sterne weiter von unſerer Erden entfernet ſeyn, als der Saturnus §. 214. Da das Licht der Fix⸗Sterne weit heller, als das Licht des Saturni, ſo iſt nicht moͤglich, daß ſie ihr Licht von der Sonne haben koͤnnen. Anmerckung. Dem Beding, daß die Entfernung der Gonne von der Er⸗ de 24377 halbe Erd⸗Diameter, ausgerechnet, daß die klein⸗ ſte Entfernung der Fix⸗Sterne von der Erbe 95100532 halbe Erd⸗Diameter. Siehe des Herrn Baron von Wolffs Elem. Aſtron. P. II. Cap. IX §. 1116. W Lehr⸗Satz. §. 216. Die Fix Sterne ſind groͤſſer, als unſe⸗ re Erde. Beweiß. Unſere Erde kan in der Sonne nicht viel groͤſſer ausſehen, als die Fix⸗Sterne auf unſerer Erde er⸗ ſcheinen (§. 120.). Da nun die Fix ⸗Sterne von Unſerer Erde viel weiter weg ſind, als die Erde von der Sonne (§. 213.); ſo iſt klar, daß die Fix⸗Ster⸗ ne weit groͤſſer ſeyn muͤſſen, als unſere Erde (§. 95. A. Optic.). W. Z. E. W. 1 ELE. C F. 215. Hugenius hat im Syſtem. Saturnino p. 9. unter der Giſee . . bede on denn Nin dnus denr 1 Witne- terne tiirn der Cler verne itti t noͤgi⸗ uunen, . urnino 5 1l nne bon e⸗ et, deß dii rhe gzlo⸗ vr rA r, 6 fbidt rer G NH 4 G Neto. ren el ELEMENT A CHRONOLOGIAE GNOMONICES Gnfin ſiſ Mrnet Erſte Grunde & der Chronologie. 6. . rklaͤrung. EUn der ausuͤbenden Mathematik verſte⸗ het man durch die Chronologie eine Wiſſenſchaft gewiſſe Theile der Zeit von einander zu unterſcheiden, und HT u beſtimmen, wieviel dergleichen Dheile, von einem gewiſſen Punct an gerechnet, verfloſſen ſind. “ Zuſa tz. §. 2. Folglich hat man in der Chronologie auf zwey Stuͤcke zu ſehen, nemlich auf die Eintheilung der Zeit, das iſt, der Reihe in der Folge der Din⸗ ge, und auf die Begebenheiten, von welchen man anfaͤngt die Theile der Zeit zu zehlen. Erklaͤrung. §. 3. Dieſenige Begebenheiten, von welchen man anfaͤngt die Theile der Zeit zu zehlen, werden chrono⸗ logiſche Zeichen (Characteres chronologici) ge⸗ nennet. è’” “” Zuſatz. §. 4. Es werden demnach die chronologiſche Zei⸗ chen nicht ohne Urſache in aſtrovomiſche, kuͤnſt⸗ liche und hiſtoriſche eingetheilet. Er 884 Erſte Gruͤnde der Chronologie. Erklaͤrung. §. 5F. Die gewoͤhnlichſte Einthellung der Zeit wird durch die Tage beſtimmet. Es iſt aber das Wort Tag zwendeutig. Wird der Tag der Nacht entge⸗ gen geſetzet, ſo heiſt der Tag die Zeit, welche die Sonne uͤber unſeren Horizont zubringet; und die Nacht, welche ſie ſich unter unſerem Horizont ver⸗ weilet. Wird der Tag nicht der Nacht entge⸗ gen geſetzet, ſo heiſt er eine Zeit, welche vorbei ſtrei⸗ chet, indem die Sonne einmahl um die Erde herum⸗ kommet. In dieſer Bedeutung heiſt es ein naruͤr⸗ licher, und in der erſten, ein buͤrgerlicher Tag. Zuſatz. . 6. Folglich iſt der natuͤrliche Tag eine Zeit, welche aus einem buͤrgerlichen Tag und aus einer Nacht zuſammen geſetzet. Erklaͤrung. §. 7. Der nataͤrliche Lag wiro in etliche aliquote Theile getheilet und zwar insgemein in 24, von den Babyloniern aber und von den Griechen in 12. Ein ſolcher aliquoter Theil eines natuͤrlichen Tages wird eine Stunde genennet, und zwar im erſten Fall eine einfache, und im letzten eine zuſammengeſetzte. Anmerckung. B. 8. Weil einfache Stunden die gewohnlichſten ſind, ſo werde ich auch nur von dieſen reden. AVerklaͤrung. §. 9. Eine Stunde wird in 65 gleiche Theile ge⸗ theilet, oder in 60 Minuten, und eine Minute in 60 gleiche Theile, oder in 60 Secunden, und ſo weiter. Ei H Erkläͤrung. FS. 10. Der Anfang, von weichem man die Di⸗ zehlet, Hennet Il. Uiden ſeie, d dorch d 19 Mu ſect; Gtand ſetzen d le⸗ dar Rer an Ar S/ O aller il in de Uninton ſens e lirſ Clne; . J MN wage hoſer 19 der Zeittc das Vu cht enn welcheN uN ſtobtte hht on teiſnn de ſeumn in nid Tag einec olls ee ic on den En w Son nre th N d Erſte Gruͤnde der Chronologie 885 zehlet, wird der Tags Termin (Epocha diei) ge⸗ nennet. . Zuſatz. S. II1. Es iſt demnach am natuͤrlichſten, wenn wir den Tags⸗Termin in demjenigen Theil der Zeit ſeltzen, da die Sonne durch den Horizont, oder durch den Meridionum gehet. Frklaͤrung. §. 12. Die Aſeronomen ſetzen den Dags⸗Dermin im Mittag, und zehlen 24 Stunden in einer Reihe fort; daher nennet man auf ſolche Art gezehlte Stunden aſtronomiſche Stunden. Die Juden ſetzen den Tags⸗Dermin in dem Untergang der Son⸗ ne⸗ Vor dieſen haben ſie jeten buͤrgerlichen Tag und auch jede Nacht in 12 Stunden getheilet. Da⸗ her auch ſolche ungleiche Stunden juͤdiſch Stun⸗ den genennet werden. Einige nennen dieſe juͤdi⸗ ſche Stunden auch Planeten⸗Stunden. Die Italiaͤner und Sineſer ſetzen auch den Tags⸗Der⸗ min in dem Untergong der Sonne, und ſind nur darin von den Juden unterſchieden, daß ſie den na⸗ tuͤrlichen Tag abezeit in gleiche Theile theilen, und dieſe Theile in einer Reihe fortzehlen. Die Baby⸗ lonier ſetzen den Tags⸗Termin in dem Aufgang der Sonne; im uͤbrigen zehlen ſie die Stunden, wie zu⸗ vor. Wir ſetzen den Tags⸗Termin in Mitternacht und zehlen 12 Stunden bis zu Mittage, von Mit⸗ tag aber bis Mitternacht wieder 12 Stunden, und heiſſen ſie europaͤiſche Stunden.“ . 1r3. Nachm Zuſags. 13. mittag kommen die a iſchen Stunden mit den europaͤiſchen Rierein Wrtte tage aber addiret man zu den europaͤiſchen 12 Stun⸗ den, ſo hat man die aſtronomiſchen des vorhergehen⸗ den Tages, oder ſubtrahiret von aſtronomiſchen 12 Stun⸗ 886 Errſte Gruͤnde der Chronologje. Stunden, ſo hat man die europaͤiſchen des folgen⸗ den Tages. Anmerckung. §. 14 Auf gleiche Art koͤnnet ihr begreifſen, wie baby⸗ loniſche Stunden in aſtronomiſche, italiaͤniſche, juͤdiſche Stunden in europaͤiſche und ſo weiter zu verwandeln. Sie⸗ he des Herrn Baron von Wolffs Elem. Chronol. g. 30. fl. Erklaͤrung. §. 15. Ein chaldaiſcher Scerupel iſt von ei⸗ ner Stunde, wenn der natuͤrliche Tag in gleichlan⸗ ge Stunden eingetheilet worden. Die Juden, Ara⸗ ber und andere morgenlaͤndiſche Voͤlcker bedienen ſich derſelben, und nennen ſolche Helatim. Z Juſatz. §. 16. 18. chaldaiſche Serupel machen eine Mi⸗ nute; folglich werden die Minuten in chaldaͤiſche Scrupel verwandelt, wenn ihr ſie durch 18 multi⸗ pliciret; hingegen die chaldaͤiſchen Scrupel in Mi⸗ nuten, wenn ihr ſie durch 18 dividiret. Alſo ſind 135 Minuten 270 chaldaͤiſche Scrupel. . Erklärung. §. 17. Eine Zeit von 7 Tagen heiſt eine Woche. Die Nahmen der Tage in der Woche ſind be⸗ kant. Erklaͤrung. . §. 18. Die Zeit, in welcher die Sonne ein himm⸗ liſches Zeichen durchlaͤufft, heiſt der Sonnen⸗Mo⸗ nat. Und die Zeit von einem Neu⸗Monden bis zu dem andern, wird ein Monden⸗Monat genennet; beyde heiſſen aſtronomiſche Monate. §. 19. Nach der mittleren Bewegung iſt ein Sonnen⸗Monat 30. Tage 10. St. 29 5“6. Die Groͤſſe eines Monden⸗Monats ſt 29. Tage 1. E⸗ ſad tn Aen lege ſhen des ſie greiſſen, Meich gliaͤniſcte, i⸗ vertpanden e⸗ Chronol ſel iſt 1 9 ag ir eice die den N lcker Mi iim. hchen eineh in chuſit gurch 19 1i tupel in M ae Woch che ſn nne e, lin SolnN Fonne , t enc 4 9 ſ R N, 6% , , , Erſte Gruͤnde der Chronologie. 887 St. 44“ 3“ 1104. Folglich koͤnnen beyde im buͤr⸗ gerlichen Leben nicht genau beobachtet werden. „ Erkläarung. §. 20. Ein buͤrgerlicher Monat iſt eine Reihe gantzer Tage, welche bey nahe gleich einem aſtro⸗ nomiſchen Sonnen⸗Monat, oder einem aſtronomi⸗ ſchen Monden⸗Monat. Woraus leicht zu begreif⸗ fen, was ein buͤrgerlicher Sonnen⸗ oder Monden⸗ z.21. Ein aſtronomiſcher Monden⸗Monat hat 29 Tage 12 St. 44“ 3 119 (§. 19.), folglich muß ein buͤrgerlicher Monden⸗Monat entweder 29 oder 30 Tage haben. 2. Zuſatz. 8S., 22. Wenn demnach die buͤrgerlichen Monden⸗ Monate wechſelsweiſe 29 und 36 Tage haben, ſo bleiben bey jedem Monat 44/ 3“ 11” uͤbrig. Wel⸗ cher Ueberſchuß, wenn 948 Monat verfloſſen, einen Monat von 29 Tagen; oder wenn 33 Monate ver⸗ floſſen, einen Tag und 13 39“ 33““ machet. 23. Zuſatz. 2. 23. Ein anoneanſer Vannen⸗Mnt hat 230 Tage 10 St. 29 5“ (§. 19.). Folglich hat ein buͤrgerlicher Sonnen Monat bald 30, bald 31 Ta⸗ ge (§. 20.). Und ſo weiter. S Erklaͤrung. §. 24. Eine Reihe von Monaten heiſt ein Jahr. Die Zeit, in welcher die Sonne die 12 himmliſche Zeichen durchlaͤuft, oder die Reihe von 12 aſtrono⸗ miſchen Sonnen⸗Monaten, heiſt das aſtronomiſche Sonnen⸗Jahr. Folglich iſt dasibuͤrgerliche Son⸗ Bn ſanen r eine Reihe von 12 buͤrgerlichen Sonnen⸗ 888 Erſte Gruͤnde der Ebronologie §. 25. Ein aſtronomiſches Sonnen⸗Jahe hat 365 Tage 5Stunden und 49˙. Folglich hat ein buͤrgerliches Sonnen⸗Jahr 365 Tage (§. 20.). Da nun 365: 12 – 30 + 5, ſo haben in einem buͤrger⸗ lichen Sonnen⸗Jahr 7 Monat, 30 Tage; und 5 Monal, 31 Tage. §. 26. Das aſtronomiſche e nen⸗Jahr iſt . Stunden und 49/ groͤſſer, als das buͤrgerliche Son⸗ nen⸗Jahr (§H. 25.). Dieſes macht in 4 Jahren 23 Stunden und 16 Minuten, und alſo in 100 Jah⸗ ren 24 Tage 5 Stunden und 40 Minuten. Soll demnach eine Reihe von buͤrgerlichen Sonnen⸗ Jahren gleich ſeyn der Zeit, welche von einer Rei⸗ he aſtronomiſcher Jahre beſtimmet wird, und doch der Anfang des Jahres nicht durch alle Jahres⸗ Zeiten durchwandern; ſo muͤſſen in einer Reihe von 100 buͤrgerlichen Sonnen⸗Jahren 34 Jahre 366 Tage haben. . Erklaͤrung. §. 27. Ein buͤrgerliches Sonnen⸗Jahr von 366 Tagen heiſt ein Schalt⸗Jahr (Annus ſolaris bis- ſextilis), und der Tag, ſo eingeſchaltet wird, ein Schalt⸗Tag (Dies intercalaris ſeu bigſextilisſ uſatz. §. 28. Es wird demnach die Abſicht, ſo . 26. angeſetzet, erhalten, wenn allezeit das vierse Jalr ein Schalt⸗Jahr. Erkläaͤrung. 5. 29. Ein Monden⸗Jahr iſt eine Reihe von 12 Monden⸗Monaten. Woraus leicht zu folgern, was ein aſtronomiſches und ein buͤrgerliches Monden · Jahr. 1. Zu⸗ Munx X We Ereutden e. ten i Und 6 Kn ten S 11 V Von bit N Aneih 96* Nd ſchen .D Ichia,d Jahren ſchen. Nohinen Mone Martin Malus lunins O Uinti Aurthen G . Vonge gogie. Erſte Gruͤnde der Chronologie. 889 1. Zuſatz. onren,eo k §. 30. Es hat! domnach ein aſtronsmiſches Mon⸗ Falgic hau den⸗Jahr 3 74 Tage 8 Stunden 48 Minuten 36 age 810) Secunden:; und ein bürgerliches Monden⸗Jahr 354 n einen i Tage. 354: 12. — 29 † 6. Folglich haben in ei⸗ 3 Din nem buͤrgerlichen Monden⸗Jahr, 6 6⁶ Monate 30; und 6 Monate, 29 Tage 2. Zuſatz. nen/ſr t⸗ birgelh S. 31. Der Unterſcheid eines aſtronomiſchen Son⸗ in 4 g nen. Jahres und buͤrgerlichen Monden⸗ Jahres, iſt ſo in woh . 1. Tage 5 St 49 Min.⸗ Soll demnach, eine Reihe Vinuten. von buͤrgerlichen Monden⸗ Jahren gleich ſeyn einer chen E⸗ Reige aſtronomiſcher S Sonnen⸗Jahre, und doch nicht r Anfang des Jahres durch alle Jabres. Zeiten . „ en eu darchwendern ſo muͤſſe ſen in 100 Monden Jahren 6 % 37 Monote von 30 Tagen, und 14 von 31 Ta⸗ in ein Ni gen eingeſchalt werden, und bleiben doch noch in Im 4 100 Jahren 5SSt Min. uͤbrig. Erklaͤrung. 8. 32. Die Roömer hatten aufaͤsglich Monden⸗ N dda Sahre, und theilten nac, Komuli Anorbnung ihre 8 Ghart⸗ Jahre in 10 Mesn zate, wie aus folgender Tafel zu ſtet wina ſehen. ſenij Nahmen der Züöhl der Naͤhmen der Zahl der Monate Dage! Monate Tage ſir il Martius. 31 . Sextils 30 4 s ℳ Aprilis 30 [September 1 30 Maius 3 1 October 3 1 Iunius 30 November 30 len Quintilis 1 31I December 30 n) t hen Alein Numa Pompilius ſuchte dieſe Eintheilung da⸗ ſinn durch zu verbeſſern, daß er in einem jeden Jahr 12 Monate ſetzte, wie ſolgende Tafel zeiget: 19 Kkk Nah⸗ 890 Erſte Gruͤnde der Chronologie. N ahmen der Zahl der Nahmen der Zahl der Monate Tage Monate Tage lanuarius 29 Quintilis 3 1 Februarius 28 Sextilis 29 Martius 31 September 29 Aprilis 29 October 31 Maius 31 November 29 Iunius 29 December 29 1. Zuſatz. Calendz räckwaͤrts gezehlet. z. E. Der andere Mertz d §. 33. Ein Jahr des Komuli iſt 61 Tage kleiner, als ein buͤrgerliches Sonnen⸗Jahr, und 50 Tage kleiner, als ein buͤrgerliches Monden⸗ Jahr (§. 25. 30.). 2. Juſatz. — §. 34. Ein Jahr von dem Numa Pompilio iſt 355 Tage (§. 32.). Folglich iſt es einen Tag groͤſ⸗ ſer, als ein buͤrgerliches Monden⸗Jahr (§. 30.), und 10 Tage kleiner, als ein buͤrgerliches Sonnen⸗ Jahr (8. 25.). 1. Anmerckung. F. 36. Hieraus iſt zu begreiffen, daß nach dieſer Art die Jahre zu zehlen, der Anfang der Jahre ſehr unbe⸗ ſtaͤndig ſey. . 2. Anmerckung. 6. 37. Die Roͤmer haben eine gantz beſondere Art ge⸗ habt die Tage zu zehlen. Den erſten Tag nenneten ſie Calendas; darauf folgeten im Mertz, May, Julio und October 6, in den uͤbrigen Monaten 4 Nonæ; auf dieſe 8 Idus, und die uͤbrigen Tage wurden Calendæ des folgen⸗ den Monats genennet. Wie aus den bekandten Verſiculn zu ſehen: Prima dies menſis cuiusque eſt dicta Calendae, Sex Maius Nonas, OSober, Iulius & Mars, Quatuor at reliqui: dabit Idus quilibet octo- Inde dies reliquos omnes dic eſſe Calendas. Es wurden aber ſo wohl die Nonæ und Idus, als auch die ſet deyt tos Cil 7. NNacn es Al Faniren S 9t 366 1 Moa Nohw⸗ Nor lanuarit ledr. Martin Aprlis Mais Uunins G N Woon GNS dem e ſars; tigtd egie. der 63 ber 1 ber der DN 8 31 29 9 1 4 9 61 len , udſo ,O Pomß einen T Iehr e ges Eind dicſer , ſhr . ſordeet, Uitnſil h, Me, ſone; N lde G,rien ſens⸗ 1n, olo 1 1 46 ni Erſte Gruͤnde der Chronologie. 891 ſet Sextus Nonarum Martij. Der 16. Mertz decimus quin- tus Calendarum Aprilis. Und ſo weiter. Erklaͤrung. 8. 37. Iulius Caelar hat, um die Verwirrung in der Rechnung der Jahre zu vermeiden, auf Anrathen ſeines Aſtronomi des Sofſigenis, eingefuͤhret, daß man einem jeden Jahr 36 5 Tage 6 Stunden, und einem Schalt⸗Jahr, als welches allezeit das vierte Jahr, 366 Tage, geben ſollte. Des Jahr hat er in 12 Monate getheilet, wie folgende Taffel zeiget: Nahmen der Zahl der Nahmen der Zahl der Monate Tage Monate. Tage Januarius Jenner 31 fIulius Heumon.; 31 Febr. Hornung 28 Aug. Auguſtm. 31 Martius Mertz 31 Sept. Herbſtm. 30 Aprilis Aprill 30 Octob. Weinm.] 3 1 Maius May 31 Nov. Winterm. 30 Iunius Brachm. 30 Dec. Chriſtm.! 3 1 Der Schalt⸗TDag wird nach dem 23 Februarii ein⸗ geſchoben, und bekommt daher in einem Schalt⸗ Jahr dieſer Monat 29 Tage. Das Jahr wiurd mit dem erſten Jenner augefangen, weil zu luli Cae- ſaris Zeiten der Anfang des Winters oder der Ein⸗ tritt der Sonne in den Steinbock ihm ſehr nahe war⸗ Zuſatz. §. 38. Ein gemeines julianiſches Jahr iſt 11 Minuten groͤſſer, als ein aſtronomiſches Sonnen⸗ Jahr (§. 25.). Da nun dieſes in 100 Jahren 18 St. 20 Min. austraͤgt; ſo iſt auch dieſe Einthei⸗ lung der Jahre nicht ohne alle Verwirrung. Erklaͤrung. § 39. Aus dieſer. Urſache hat der Pabſt Grego⸗ Kkk 2. rius 892 Erſte Gruͤnde der Chronologie. , rius XIII. den julianiſchen Calender zu verbeſſern geſucht. Er hat zwar wie lulius Ceæſar die Groͤſſe eines gemeinen Jahres in 365 und eines Schalt⸗ Jahres in 366 Tage geſetzet, und alle vier Jahr ein Schalt⸗Jahr beybehalten; weil aber in vier hundert Jahren noch 22 St. 40 Min. von den aſtronomi⸗ ſchen Sonnen⸗Jahren uͤbrig bleiben, ſo hat der Pabſt angeordnet, daß man in dem hunderten Jahr dreymahl hinter einander ein gemeines Jahr behal⸗ ten und nur das vierte hundert Jahr als ein Schalt⸗ Jahr anſetzen ſoll. Zu ſatz. §. 40. Nach der gregoriantſchen Eintheilung wird in 400 Jahren 1 St. 20 Min. von dem wahren Sonnen⸗Jahr abgewichen. Und in 400 Jahren faͤnget ſich allemahl das gregorianiſche Jahr um 3 Ta⸗ ge fruͤher an, als das julianiſche. Anmerckung. §. 41. Die Chriſten haben das julianiſche Jahr bis 1582. gebrauchet, da Gregorius den Calender geandert. Doch aber iſt dieſer von den Proteſtanten nicht eher, als 1700, weil dazumahl der Unkerſcheid des gregorianiſchen und julianiſchen Jahres bis auf 11 Tage angewachſen, und alſo im Handel und Wandel viele Unordnung entſtan⸗ den, angenommen worden. Doch iſt zu merken, daß die Proteſtanten zwar das gregorianiſche Jahr aber doch nicht völlig den gregorianiſchen Calender angenommen; und daß das julianiſche Jahr noch bis jetzo bey den Ruſſen gebraͤuchlich. Erklaͤrung. §. 42. Der Anfang, von weichem man eine Rei⸗ he der Jahre zehlet, wird der Jahr Termin (Aera) genennet. . Erfahrung. §. 43. Die Chriſten ſetzen jetzo den Jahres⸗ Termin in der Zeit der Geburt Chriſti; die Ju⸗ . . den Niader len Bon Bom d der ohon ſe heſchrei Herr und ber 4 8 ſches r D itei⸗ tr undent blogee. er u behſt Ceſer die d eines Se le bier Dette el in derke den oſinn ben, ſer n hundeten nes r alsnCe Eintheilun on dem n 400 6 hr Ini . . nite A 6tber geindert ℳ liht Mer,/ gregorianit R gorrte⸗ ſotrnng Rwetken, 16 aber hn enunſig 4 in us mnuh 1 Lani i ſ 7 Jahr. Erſte Gruͤnde der Chronologie. 993 den in der Zeit der Erſchaffung der Welt; die al⸗ ten Romer in der Zeit der Erbauung der Stadt Rom; die Griechen in der Zeit der Einſetzung der olympiſchen Spie e. Und ſo weiter. J Anmerckung. §. 44. Ich werde jetzo nur den Egalender der Chriſten beſchreiben. Von den uͤbrigen kan geleſen werden der Herr Baron von Wolff in Elem. Chronologiae Cap. V. und Petavius in Doctrina Temporum L. XI. Cap. 40. ſl. Aufgabe. ẽ K. 45. Zu finden, ob ein gegebenes juliani⸗ ſches oder gregorianiſches Jahr ein Schalt⸗ Auflsſung. Deoas gegebene Jahr dividiret durch 4. Bleibt nichts uͤbrig, ſo iſt es ein Schalt⸗Jahr. Bleibet was uͤbrig, ſo zeiget dieſer Reſt, wie viele Jahre von dem letzten Schalt⸗Jahre verfloſſen (§. 37. 39.). Z. E. Wir ſchreiben jetzo 1757. Dieſe Anzahl durch 4 dividiret bleibt 1 uͤbrig. Alſo iſt dieſes Jahr kein Schalt⸗Jahr, ſondern 1756: iſt ein Schalt⸗Jahr geweſen, und 1760 wird ein Schalt⸗ Erklaͤrung. H §. 46. Ein Circul oder Periodus heiſt in der Chronologie eine Reihe Jahre, nach deren Verlauf etwas zu Ende kommt, und ſich wieder vom neuen anfaͤngt. Erfahrung. „ §. 47. Nach der julianiſchen und gregoria⸗ niſchen Eintheilung der Zeit, welche unter den Chriſten gebraͤuchlich, iſt allezeit der erſte. Tag in der Woche der Sontag, und eine jede Woche behaͤlt 7 Cag. r. Kkkz3 Zu⸗ 994 Erſte Gruͤnde der Chronologie. Zuſatz. §. 48. Wenn ihr demnach von dem Anfang des Jahres an alle Tage durch die erſten 7 Buchſtaben des Alphabets ABCDEFG andeutet; ſo hat je⸗ der Tag in der Woche das gantze gemeine Jahr durch einerley Buchſtaben; in dem Schalt⸗ Jahr gehet nach dem Schalt⸗Tag eine Veraͤnderung der Buch⸗ ſtaben an. Erklaͤrung. 5§. 49. Derjenige Buchſtabe, welcher im Calender ale Sonntage das gante Jahr durch andeutet, heiſt der Sonntags⸗Buchſtabe. Zuſatz. L §. 50. Folglich hat ein Schalt⸗Jahr zween Sonn⸗ kags⸗Buchſtaben (§. 48.), nemlich den erſten von dem Anfang des Jahres bis zum 24 Febr. und den andern von dem 24 Febr. bis zu Ende des Jah⸗ res (§. 37. 39.). Erklaͤrung. §. 51. Der Sonnen⸗ Circul (Cyclus Solis) iſt eine Reihe der Ja hre, nach deren Verlauf die Son⸗ tage und uͤbrigen Tage der Woche wieder mit einer⸗ ley Buchſtaben bemercket werden, als vorhin in ei⸗ nem anderen Jahre geſchahe. Es wird auch dieje⸗ nige Zahl, welche das Jahr in dem Sonnen⸗Circul undeutet, der Sonnen⸗Circul genennet. §. 52. Das gecee dſe S aus 365 5 Ta⸗ gen (§. 37. 39., folglich aus 52 Wochen und 1 Tag (S 17.). Das Schalt⸗Jahr beſtehet aus 366 Ta⸗ gen (§. 37. 39.), folglich aus 52 Wochen 2 Tagen (§. 17.). Alſo ruͤcket, nach einem gemeinen Jahr, der Anfang des Jahres um einen Tag, und nach einem Schalt⸗Jahr, um 2 Tage in der Woche ge e⸗ . U⸗ . Pdette nes l Schal. Mungde hertferte E 5 3 4, e — . Geburt Sonnt 1))9 tg D N re Ei⸗ Ein gie, in Aufem 7 Blchti tet; ſ ne Jaleet. 1/Jale ung deir imn Cen hdente,he zwenin en erſen 4,n e s Solis) dieEr tt thint/ lgt ſen Erſte Gruͤnde der Chronologie. 89 5 2. Zu ſatz. §. 53. Es iſt demnach der Sonnen⸗Cireul eine Reihe von 28 Jahren (§. § I. 52.). Sonnen⸗Circul in julianiſchen Jahren. 1 G. F. 5 B. A. D. C. 13 F. E. 17 A. C. 121 C. B. /25 E. D. E. 6 ſtn B. 14 D. 1S ſa A. 26 C. 3 D. 7 F. ILr 15 C. 19 E., 23 G. 27 B 4 C. 8. E. ſ12 i B. 20 D. 24 F. 28 A. 5. Zuſatz. §. 54. In dem gregorianiſchen Calender iſt in dem hunderten Jahr dreymahl hinter einander ein gemei⸗ nes Jahr, und in dem vierten Jahrhundert iſt ein Schalt-Jahr (§. 39.), folglich muß nach dieſer Rech⸗ mnung der Zeit alle hundert Jahr ein neues Taͤffelein verfertiget werden. Sonnen⸗Circul in gregorianiſchen Jahren orn 0οOο 1800. 5c ſE. Sſiz.. 77ED- 21 G. B. 25B. A. B. 6 D. 10 14 A. C. 22 E. 26 G. 3 A. 7 C, II E G. 19 B. 23 D. 27 FP. 6 b n D. 16 F. 2% A l24 C. 28 Aufgabe. 5§. 5§5. Auf ein gegebenes Jahr nach Chriſti Geblth den Sonnen⸗Circul, und hierdurch den Sonntags⸗Buchſtaben zu finden. Au floͤſung. 1) Weil ſich der Sonnen⸗Circul nach der Einrich⸗ tung Dionylii, dem wir in der Feſt⸗Rechnung folgen, 9 Jahre vor Chriſti Geburth anfaͤngt; ſo addiret zu dem gegebenen Jahr Chriſti 9, und die Summe divi⸗ diret durch 28; was uͤbrig bleibt, iſt das Jahr in dem Sonnen⸗ Circul, und der Quotient iſt der Sonnen⸗ Eircul (§. 51.). Kkk 4 2) Su⸗ 396 Erſte Gruͤnde der Chronologie. 2) Suchet den Sonnen⸗Circul entweder in dem julianiſchen oder gregorianiſchen Taͤffe! ein auf; ſo findet ihr die Sonntags⸗Buchſtaben im julig niſhen oder gregorianiſchen Jahre daneben. z. E. Ihr verlangt den Sonntags⸗Duchſtalen fuͤr 1746 zu wiſſen. 1746 † %— 175 § . 177: 28 – 62 und 19 bleiben ſbrig. 3 Alſo iſt das Jahr in dem 562 Sonnen⸗ Circul 19, 4 feialis im julianiſchen Jahr der Sonnen. Buchſe⸗ be E (§. 53.) und im gregoriantſchen B 3 (8. 54.). Zuſatz. S. 56. Wiſſet ihr den Sonntags⸗ Buchſtaben, ſo wiſſet ihr zugleich den Buchſtaben eines jeden andern Tages (§. 48.), und alſo konnet ihr beſtimmen, auf welche Tage des Jahres alle M kentage, Dienſtage, und ſo weiter, fallen. Erklaͤr ung. §. 57. Mond⸗Circul (Cyclus Lunae) iſt die Zahl der Jahre, in welcher die Neu⸗ und Voll⸗Mon⸗ den wieder auf einen Tag des ullanlſſchen Jahres Hr kommen. Lehr⸗ Satz. §. 58. Der Mond⸗Cireul iſt eine Reihe von 19 Jahren, kan aber nicht langer ale 312 Jahre/ d die Tage richrig anzeigen. 1 Beweiß. . 19 Julianiſche Jahre machen 6939 Tage und 18 St. (§. 37. ; 235 Monden⸗Monate machen 6939 Tage 16 St. 32/ 286 55“ (H. 19.). Folglich muͤſ⸗ ſen nach Verflieſſung 9 julianiſcher Jahre die Voll⸗ und Neu⸗Monde wieder auf den Tag fallen, wor⸗ auf ſie vor 19 Jahren gefallen. Das , der Mon⸗ den⸗Circul hat 9 Jahr (§. 57.). W. D. E. Nach Verflieſſung 19 jmianiſcher Jahre, fallen zwar ſar di⸗ Gun ſ ſied ge Etuu Deno ſihen, M/Jei ſlen. der ſiian in el ulienik. Duten Giut 1 Bucfe ſtabe en imnents Dunſe de Mok⸗. Nee N N Jahr nach Chriſti Geburth zu finden. ð che Epsacten. Erſte Gruͤnde der Chronologie. 897 zwar die Voll⸗ und Neu⸗Monde auf den Tag, wor⸗ auf ſie vor 19 Jahren gefallen, aber nicht auf diejeni⸗ ge Stunde, ſondern 1 St. 27 z310 55” zurück. Menn ihr nun dieſes durchrechnet, ſo werdet ihr finden, daß nach Verflieſſung 312 Jahre, die Mon⸗ den⸗Veraͤnderungen auf einen gantzen Tag zuruͤck faͤllen. Folglich iſt der einmahl ausgerechnete Mon⸗ den⸗Circul nicht laͤnger als 312 Jahre zu debrauchen. W. D. E. Erklaͤrun g. 27 F. 59. Die Zahl, welche andeutet, das wievielſte daͤhe ein gegebenes im Mond⸗ Cneul iſt, heiſt die Zuͤldene Zahl. Aufg abe. §. 60. Die guͤldene Hahl in einem gegebenen Aufloͤſung. 1) Nach Dionyi Einrichtung faͤngt ſich der Monden⸗Circul ein Jahr vor Chriſti Geburth an; dersowegen addiret zu dem Heuebenen Jahr nach Chriſti Geburth 1. 2) Die Summe dividiret durch 19 was ubrig . bleibet, iſt die guͤldene Zahl. z . E. Ihr ſollt die galdene Zahl fir 74s. fiden. 1746 + I = 1747. 1747: 19 = 91 und 18 bleibt ubrig; folglich iſt 18 die guͤldene Zahl. Erklaͤrung. “ 8. 61. Epacten (Epactae) heiſſet man in der S bich. nolo gie den Ueberſchuß des buͤrgerlichen Sonnen⸗No⸗ nats uͤber den Monden⸗Monat; und des buͤrgerlichen Sonnen⸗Jahrs uͤber das Monden⸗ ⸗Jahr. Die erſten heiſſen monatliche Epacten, und die andern jaͤhrli⸗ Keks; r. Zu. 898 Erſte Gruͤnde der Ehronolegſe⸗ 58. 62. Ein Monden⸗Monat zat9 Tag 12 Et. 443“ (§. 19.). Hat nun der buͤrgerliche Sonnen⸗ Monat 3 Tage, ſo ſind die monatlichen Epacten 1 Tag II St. 157“. Hat aber der buͤ:rgerliche Son⸗ nen⸗Monat nur 30 Tage, ſo ſind die monatlichen E⸗ pacten 11St. 15 57“ (§. 61.). hat 365 Tage 6 St. (§. 37.). Ein Monden⸗Jahr⸗ 354 Tag § St, 48 36 4 (§. 30.) ½ folglich ſind die jaͤhrlichen Epacten 10 Tage 21 St. 1 115226 (§,61, „. . 2. S U ſa tz. §. 63. Ein buͤrgerliches iulianiſches Sonnen⸗Nahe das iſt beynahe 11 Tage. 6. 64. Alſo fallen die Neu⸗ und Voll⸗ Monden in dem folgenden Jahr 1 1 Tage im Monate fruͤher, als im vorhergehenden. [Jahr Epacten Jahr Epacten Jahr Epacten 4. Juſatz. §. 65. Folglich ſind die Epacten in 2 Jahren 22, in drey Jahren 33 oder weil 30 ein Monat, 3, in vier Jahren 4 und ſo weiter, wie aus folgender Taffel zu erſehen. XI. 7 XVII. 13 XxXlII. XXII. 8 XXxVIII. 14 IV. III. 9 IX. 15 XV. XIV. 1I0 XX. 16 XXVI. XXV. rII I. 17 VII. VI. 12 XII. 18 XVIII. 191 XXIX. N §. Juſatz. §. 66. Da nun die Epacten in 20 Jahren wiede⸗ rum 11; ſo iſt der Epacten⸗Cireul dem Monden⸗Cir⸗ eul gleich (§. 58.). 6. Zu⸗ agie Erſte Gruͤnde der Chronologie. 999 9Ne d. 67. Wenn ihr demnach vor die Tage, auf wel⸗ eliche 6a Ache innerhalb 19 Jahr der Neu⸗Mond faͤllt, die lchen in Epacten ſetzet, ſo muͤſſen einerley Epacten durch das bingeltes gantze Jahr den Tag des Neu⸗Mondes anzeigen e moratenl (§. 58.). Aufgabe. . §. 68. Aus der gegebenen guͤldenen Zahl eines 8 Jahres die ihm zugehoͤrige jaͤhrliche Epacte im nn julianiſchen Jahre zu finden. ſglcſſin Dinltiplici Aufloſung. . 2 0, Multipliciret die guͤldene Zahl durch 11, was her⸗ auskommt, iſt die verlangte Epacte, wenn ſie weniger als 30 iſt; ſonſt aber dividiret das Product durch 30, ſo bleibet die Epacte uͤbrig. Z. E. in dieſem Jahr iſt lMardert die guͤldene Zahl 18, alſo die Epacten XVIII. Hier⸗ teftlher4 aus koͤnnt ihr erkennen, wie die Taffel §. 65. mit leich⸗ ter Muͤhe zu finden. gend §. 69. Wie die Proteſtanten die gregorianiſche z inti Jahr⸗Rechnung angenommen, ſo iſt das gregoriani⸗ Tſe⸗ ſche 1 1 Tage zeitiger gekommen, als das julianiſche (F. 41.). Ihr werdet demnach die gregorianiſchen Epac⸗ eſGen niſch en Edaeten finden, wenn ihr von den julia⸗ 9 niſchen Epacten 11 ſubtrahiret (§. 54.), welches fol⸗ z gende Taffel zeiget. biret S. 14)) weichesf 1 N Jahr Epacten Jahr Epacten Jahr Epacten 2 XI. 8 XVII. 14 XXIII. ni. 3 xXXII 9 XXVII. 13 W. . 4 II. 0 IX. 16 ſ XvV. — 5 XIV. II XX. 17 XXVI. 6 xXxxV. 122 I. 18 VI. meb 19 xViiI. dend, 6e. Er⸗ 9⁰⁰ Erſte Gruͤnde der Chronologie. Erklaͤrung. §. 70. Die Feſte, weiche die Ehriſtenheit⸗ in der abendlaͤudiſchen Kirche ſeyret, werden in bewegliche und unbewegliche eingetheilet. Unbewegliche ſind, welche immer auf einen Tag fallene und bewegliche, welche nicht immer auf einen Tag des Jahres falen. Grund⸗ Satz. “ §. 71. Die beweglichen Feſte richten ſit a noch Oſtern. Anmer ckung. 18 72. Die⸗ unbeweglichen Feſte zeiget folgende Taffel. Ianuarius Februarius W der Beſchneidung“ 2 Mariaͤ Reinigung 6 Heil. 3 Koͤnige Epiphania *6 Dorothea Antonius 3 14 Valentin— 20 Fabian Sebaſtian 22 Petri⸗ tnlfeyer 25 Bauli Bekehrung ligtes im Schalt⸗“ WreSs =ðèð 4 [Ambroſius Gertraut— . 23 Georgius . 9 Joſeph 25 Marcus Epangiſ N Verküͤndigung Maius HS Iunius “ Jocobus 8 Medardus 3 Creutz⸗Erfindung 15 Vitus 25 Aebanus 24 Johannes der Taͤuffer . 29 Petrus und Vaulus 1 ſulius — Auguſtus 2 Mariaͤ Heimſuchung* 11I Petri Kettenfeyer 13 Margaretha 10 Laurentius 15 Apoſtel Theilung 15 Mariaͤ Oimmelfarth 22 22 Marla Magdalena 20 Bernhard Jacobus 24 Bartholomaͤus . 22] Auna 29]! Johannis Enthauptung Sep- E geyrenbe 1zdn 3 Vmien 14 Ces itß 11 Unnpens 21 Pfme Futß⸗ irnie 1A lchelcen Aler Srdlen 11 Mordn D 9 Chhodech Mori D 3 ſcatnn 30 dens D Dhſ en Heſte Vymneſen menighice 1 W WNac Sunnan Drchd NW 1)Ene Pahmmn ADer! gu Erſte Gruͤnde der Chronologie. 901 LSeptember ORober ſtelthefe N 1 Aegidius 41Franciſcus kide 8 Mariaͤ Geburth 16 Ganni wegſe 14 Creutz Erhoͤhung 18 Lucas Evangeliſt teglicheſt 21 Matthaͤns— 21 Urſulag dbewegh 24 Johannis Empfaͤngniß 28 Eimen Judas des e 22. Michaelis“ November December 1 Allerheiligen 4 Barbara ſ,e 2 Aller Seelen 6 Nicolaus ten ſt 11 Martin Biſchoff 8 Maria Empfaͤngniß 19 Eliſabeth I3 Lucia 21! Mariaͤ Opfer 21 Thomas „25 Catharina 25 Weynachten ne df 30 Andreas 26 Stephanus: H 27 Johannes Evangeliſta inigung . 28 Unſchuldige Kinder D Doch iſt zu merckendaß die Lutheraner ordentlich nur diejeni⸗ kulfeyet gen Feſte, welche mit gezeichnet, und die Reformirten nur Weynachten und das Feſt der Beſchneidung Chriſti von den unbeweglichen feyren. — 2. Anmerckungg. — 8. 73. Von den beweglichen Feſten, und welche ſich all nach Oſtern richten, ſind die meiſten Sonntage; die keine Sonntage, will in folgender Tabell mit * bezeichnen. dan Bewegliche Feſt⸗Tage VBewegliche Feſt⸗Tage — vor Oſtern. nach Oſtern. 1) Erſter Sonntag vor Oſtern 1) Erſter Sonntag nach Oſtern — Palmarmm. Quaſimodogeniti. 2) Der Donnerſtag nach *2) ZIweyter Sonntag nach O⸗ Palm⸗Sonntag ſtern , C Gruͤner⸗Donnerſtag Miſericordias Domini. 3) Der Freytag nach Palm⸗ 3) Dritter Sonntag, Sonntag lIubilate. — Char⸗Freytag. . 4) Der zweyte Sonntag vor 4) Vierter Sonntag, Oſtern Cantate. rt Iudica. JYMl 5) Der dritte 5) Fuͤnfter Sonntag. r Laetare. Rogate. . 6⁶) Der 902 Erſte Gruͤnde der Chronologie. 6) Der vierte 6) Der Donnerſtag nach Oculi. Rogate. Himmelfarth Chriſti 7) Der fuͤnfte 7) Sechſter Sonntag nach O⸗ Reminiſcere. ſtern Exaudi. Der ſechſte 8) Siebender Sonntag er ſein Pfingſten 9) Der ſiebende 9) Achter Sonntag Quinquageſima oder Trinitatis. Eſto mihi Der Dienſtag nach Eſto mihi iſt Faſt⸗Racht. 10) Der achte Sexageſima. 11) Der neunte Septuageſima. Hiebey iſt zu mercken, daß alle Sonntage zwiſchen Septuage- ſima und heil. drey Koͤnigen von Epiphania, und die Sonnta⸗ ge nach dem Feſt Trinitatis bis auf den vierten Sonntag vor Weynachten, als von welchem die Advents⸗Sonntage ange⸗ hen/von Trinitatis an gezehlet und benennet werden. Ferner, daß das Jahr in vier Quatember getheilet wird, der erſte faͤllt auf die Mittwoche nach Invocavit; der zweyte auf die Mitt⸗ woche nach Pfingſten; der dritte die Mittwoche nach Creutz⸗ Erhöhung, oder nach den 14 September; der vierte auf die Mittwoche nach Lucia, das iſt, nach den 13 December. Schluß des Concilii Nicaeni. §. 74. Das Bſter⸗Feſt ſoll ſtets den erſten Sonn⸗ tag gefeyert werden, welcher auf den Voll⸗Monden nach dem Fruͤhlings⸗Aequinoctio folget. Daher auch dieſer Voll⸗Mond der Oſter⸗Voll⸗Mond ge⸗ nennet wird. Faͤllt demnach der Oſter⸗Voll⸗Mond auf den Sonntag, ſo muß Oſtern 8 Tage hernach ge⸗ feyert werden. Anmerckung. §. 75. Durch Huͤlffe des Sonnen⸗und des Monden⸗Cir⸗ culs, wie auch der Epacten, hat man folgende Taffel ausge⸗ rechnet, ſo wohl nach der julianiſchen, als auch nach der gre⸗ Er Getſanihen deſommtn. onfſt — —,.— — Plidene I 1 2 3 4 6 7 3 9 10 II n 1 11 1 6n 1 1X 1A — burthnn Teg desl 1)En Aimmg C e Dn⸗ Nd dge. Erſte Gruͤnde der Chronologie. 90¾ nnrge agerianiſchen Jahr⸗Rechnung, die Oſter⸗Voll⸗Monde zu beſtimmen. Z farth ini Julianiſches Gregorianiſches onntag Oſter⸗ Taͤffelein. — Guͤldene Oſter⸗Vollmond Epact Hſter⸗Vollmond er Sot Zahl 1 5§ April D „ 13 April E onntag 2 25 Martii G XI. 2 April A 3 13 April E XXII. 22 Martii D 4 2 April A III. 10 April B 5 22 Martii D XIV 30 Martii E 6 10 April A XXV. 18 April C 7 30 Martii E. VI. 7 April F 8 18 April C XXVII. 27 Martii B 9 7 April E XXVIII. 15 April G 10 27 Martii B IX. 4 April C ſctenges II 165 April G XX. 24 Martit B e 12 4 April C I. 12 April D an 13 24 Martii E XlII. 1 April G 1 . 4 14 12 April D XXIII. 21 Martii C. Pu er 15 1 April G IV. 9 April K theſt 16 21 Martii C xVv. 29 Martii D uufdiechi 17 9 April A XXVI. 17 April B mch re 18 29 Martii D VII. 6 April E nach Re 19 17 April B XVIII. 26 Martii A vierte auf cemder. e. 4 Aufgabe. §. 76. Auf ein gegebenes Jahr nach Chriſti Ge⸗ uſee burth nach dem Schluß des Concilii Nicaeni den l⸗ Tag des Oſter⸗ Feſtes zu beſtimmen. e. O DN4 A ufloͤ ſung. C 1¹) Suchet die guͤldene Zahl (§. 60.), und den ſract Sonntags⸗Buchſtaben des gegebenen Jahres (§. 55). 2) Suchet in der julianiſchen Oſter⸗Taffel die ge⸗ fundene guͤldene Zahl, ſo ſtehet darneben a) der Tag, Piacde der Oſter⸗Voll⸗Mond fällt; b) der rdet⸗ 2 be, welchen uͤr ei i er, der Aoche. cher anzeiget, was es fuͤr ein Tag in n on ie 3) Ver⸗ . 994 Erſte Gruͤnde der Thronologie. 39) Vergleichet dieſen Tag mit dem gefundenen Sonntags⸗Buchſtaben, ſo koͤnnet ihr den Tag des julianiſchen Oſter⸗Feſtes beſtimmen (§. 74.). 4) Wollt ihr die gregorianiſche Oſtern beſtimmen, ſo ſuchet durch Hülffe der guͤldenen Zaht die grege⸗ rianiſche Epacte (§. 69.). 5⁵§) Suchet dieſe Epacten in der gregsrianiſchen Oſer⸗ Taffel, ſo ſtehet abermahl der Tag darneben, auf welchen der Oſter⸗Vollmond faͤllt. Im übri⸗ gen verfahret wie zuvor. 6) Die julianiſche Rechnung trifft niemahls zu, als ſelten ohngefehr. Die gregorianiſche kan auch unterweilen fehlen. Dieſes hat verurſachet, daß die evangeliſchen Staͤnde auf dem Reichs⸗Tag beſchloſſen, daß in dem verbeſſerten Calender ſo wohl das Früͤh⸗ lings-Aequinoctium, als der Oſter⸗Voll⸗Mond durch untruͤgliche aſtronomiſche Rechnung und zwar nach den Rudolphiniſchen Taffeln geſuchet werden ſoll. Dieſes verurſachet, daß die Proteſtanten nicht alle r zu gleicher Zeit mit der roͤmiſchen Kirche Oſtern eyern. Z. E. Die guͤldene Zahl von 1746. iſt 18, der julianiſche Sonntags⸗Buchſtabe E. Folglich fallt der julianiſche Oſter⸗Voll⸗Mond auf einen Sonna⸗ bend, nemlich den 29 Martii. Und alſo iſt nach dem julianiſchen Calender den 30 Martii Oſtern. Die Aeaorianiſche Epacte iſt VII. und der Sonntags⸗ Buchſtabe B. Folglich faͤllt der Oſter Vol⸗ Mond auf den 6 April auf die Mittwoche. Und alſo iſt Oſtern den 10 April. Anmerckung. §. 77. Nunmehro werdet ihr verſtehen, wie ein Calender zu verfe tigen. Weil aber i in unſern Calendern auch die roͤ⸗ miſche Zin zahl ſtehet, ſo wird nicht undienlich ſeyn, wenn noch von deſer⸗ nen deutlichen Begriff beybringe. Er⸗ Eſſe 4 d. . Caſk mnan e Jchen Permi Dodrin Dieſes ſ da (Cjenuslodic zahl achten dorn driten) Gehbutth. Ven don die geendet. gorianichee k u de te Nen Porer Zuh⸗ ſſeng Rchrbet N= n Nid iunſe gie, emn gefreeo lhr den dar (874) ſernbefinmn Zh dege gregornſte fice “ ltee esze 1 nienſs liſche kuind lachet, N 60 nſe l⸗⸗ Men und zinge wyerden n nicht irche Oien iſt 18,1 cch 6 wmen ſoiſtoe , Oie de R Gata Erſte Gruͤnde der Chronologie. 905 Erklaͤrung. §. 78. Conftantinus M. har zu iſt eing eführet, daß man die Jahre nach Indictionen zehlen ſollte. Vide Petavi Doctrinam temporum Lib. XI. Cap. 40. II- Dieſes iſt der Grund von der Romer Zinß⸗ Zahl (Cyclus Indictionum). Es iſt aber der Roͤmer Zinß⸗ Zahl ein chrondlogiſcher Circul von 15 Jahren. In dem dritten Jahr des erſten Circuls ſetzet man Chriſti Geburth. Es wird auch ein beſtimmtes Jahr in ei⸗ nem von dieſen Circuln der Koͤmer Zinß⸗ Zahl genennet. “ Aufgabe. §5. 79. Auf ein gegebenes iulianiſches oder gre⸗ gorianiſches Jahr der Roͤmer Zinß⸗Zahl zu finden. Auflo ſung. Addiret zu dem gegebenen Jahr nach Chriſti Ge⸗ burtiz. Die Summe dividiret durch 15; ſo bleibet der Roͤmer Zinß⸗ Zahl uͤbrig. Gehet es aber auf, ſo iſt ſie 15. 3. E. Ihr verlanget die Roͤmer⸗ Zinß⸗ Zahl fůr 1246 1746 † 3 = 1749 8 1749: 15 = 116 und 9 ſind uͤbrig, welches der Roͤ⸗ mer Zinß⸗ Zahl. Das iſt, in der 117 Zinß⸗ Zahl der Roͤmer ſtleso⸗ das 9te Jahr. erſte Gruͤnde der Gnomonik. Erklaͤrung. G.n durch eine gleichförmige Bewegung ein Naum beſchrieben wird, wegunen wid durch die Grſe 906⁶ Erſte Gruͤnde der Gnomonik. des Raums, welcher beſchrieben worden, den Theil der Zeit, in welcher die Bewegung geſchehen, beſtim⸗ men (§. 13. Dyn.). Die Tage werden beſtimmet (wenn wir nemlich die Sache nach dem, wie ſie ſcheinet, beurtheilen), indem die Sonne ſich einmahl um den Erdboden herum drehet (§ 5. Chr.); und die Stunden ſind gleiche Theile der Tage (§. 7. Chron.). Wenn wir demnach eine Machine verfertigen, die ſich ſo lange gleichfoͤrmig beweget, bis die Sonne einmahl um den Erdboden herum iſt; wenn wir an dieſe Machine einen Zeiger befeſtigen, der durch die Bewegung dieſer Ma⸗ chine beſtimmet wird, einen gewiſſen Raum zu beſchrei⸗ ben, und wenn wir endlich dieſen Raum in gleiche Theile theilen: ſo koͤnnen wir durch ſolche Bewegung die Stunden, welche in einem Tag verfloſſen, anzeigen. Eine Machine, durch deren Huͤlffe wir anzeigen koͤn⸗ nen, wie viele Stunden in einem Tag verfloſſen, wird eine Uhr genennet. Erklaͤrung. §. 2. Wenn durch einen dunckelen Koͤrper die Fort⸗ pflantzung der Sonnen⸗Strahlen gehindert wird, ſo wirfft dieſer der Sonne gegen uͤber einen Schatten (§. 29. Optic.), und dieſer Schatten beweget ſich, wenn ſich die Sonne beweget. Folglich kan man auch durch die Bewegung des Schattens, welcher von der Sonne geworffen wird, die Stunden der Dage anzeigen. Dieſes iſt der Grund von den Sonnen⸗Uhren, als welche Flaͤchen, auf welchen die Bewegung des Schat⸗ tens, welcher von der Sonnen geworffen wird, anzeiget, wie viele Stunden in einem Tage verfloſſen. §. 3. Auf eine gegebene Fiache eine Sonnen⸗Uhr zu zeichnen. Auf⸗ „ ve nn gen eern Pbedurc Pitfen n⸗ del Schatten ufene lhe der . 6 derli 13 Ietrunen ſortar ſo Ullroldes er Banen Rle geneh Mine .6. ſſen 6 Wuc Uhren gulnoe Nobh vjeſeeſhen Umahlunt Odiemt n.) W. ſeſchſee gmmaklun cttenne Uoede m Alſr gleich h ewegg en, Ontepehn ſfoſohn tdiee 6 wird chalten ſchete noutee DoNO rtin ,Phrn,N 6btt denee renle Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 90⁰7 Aufloͤſung. 1) Auf die gegebene Flaͤche richtet alſo enen Stifft von einem dunckelen Koͤrper, welcher der Zeiger (Sno- mon) genennet wird, daß die Sonnen⸗Strahlen in ihrer Fortpflantzung dadurch koͤnnen gehindert, das iſt, daß dadurch ein Scharten von der Sonne koͤnne ge⸗ worffen werden. 2) Ziehet auf die Flaͤche Linien, welche von dem Schatten beſtimmet werden, wenn die Sonne in ihrem Lauf eine Stunde geendiget: ſo habt ihr eine Sonnen⸗ Uhr verfertiget. S Zuſatz. §. 4. Hieraus iſt leicht zu begreiffen, daß der we⸗ ſentliche Unterſcheid der Sonnen⸗Uhren in der Lage der Flaͤche zu finden, worauf dieſelbe beſchrieben. Erklaͤrung. 5§. 5§. Hieraus entſtehen auch die verſchiedenen Be⸗ nennungen der Sonnen⸗Uhren. Lieget die Flaͤche ho⸗ rizontal, ſo heiſt ſie eine Horizontal⸗Uhr. Stehet ſie vertical, das iſt, perpendiculaͤr auf der Horizontal⸗Flaͤ⸗ che, eine Vertical⸗Uhr. Und dieſe bekommen ihre Benennungen von den Gegenden, gegen welche die Flaͤchen ſtehen. Woraus leicht zu verſtehen, was Mor⸗ gen⸗Uhren; Abend⸗Uhren; Mittags⸗Uhren und Mitternacht⸗Uhren. P Erklaͤrung. §. 6. Macht endlich die Flaͤche, auf welche die Son⸗ nen⸗Uhr gezeichnet, mit der Horizontal⸗Flaͤche einen ſpitzen Winckel, ſo bekommt die Uhr nach der Groͤſſe die⸗ ſes Winckels verſchiedene Benennung. Iſt dieſer Winckel gleich der Hoͤhe des Aequatoris, ſo heiſt die Uhreine Aequinoctial⸗Uhr, und zwar eine untere Ae⸗ quinoctial⸗Uhr, wenn die Uhr auf die Flaͤche gegen das Nadir, und die obere Aequinoctial⸗Uhr, wenn die Uhr auf die Flaͤche gegen das Zenith gezeichnet. Lll 2 ” Tab. I. Gnomon. Fig. Te 908 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. §. 7. Es iſt demnach die untere Aequinoctial⸗Uhr zu gebrauchen, vom Anfang des Herbſtes, wenn die Sounne bey uns unter den Aequatorem ſteigt, bis in An⸗ fang des Fruͤhlings, da ſie ſich wieder uͤber denſelben erhebet. Und die obere Aequinoctial⸗Uhr iſt zu ge⸗ brauchen, von Anfang des Fruͤhlings bis zum Anfang Ddes Herbſts, das iſt, ſo lange ſich die Sonne uͤber dem Aequatore beſindet. 2 . 8 c „5 §. 8. Iſt der Winckel, welchen die beſtimmte Flaͤ⸗ che mit der Horizontal Flaͤche machet, gieich der Pel⸗ Hoͤhe, und die Flaͤche gegen Norden incliniret; ſo wird die Uhr eine Pelar⸗Uhr genennet, und zwar eine obere, wenn die Uhr gegen das Zenith, und eine untere, wenn ſie gegen das NRadir gezeichnet. zuſat. 5. 9. Es zeiget demnach die obere Polar⸗Uhr die Stunden von 6 Uhr fruͤh, bis 6 Uhr abends Hinge⸗ gen die untere zeiget nur die Stunden vor 6 fruͤh und nach 6 abends. . Erklaͤrung. “ §. 10. Iſt endlich der ſpitze Wickel, welcher die Flaͤche, worauf die Uhr gezeichnet, weder der Hoͤhe des Aequatoris, noch der Hoͤhe des Poles gleichſo heiſt die Uhr eine inclinirte Uhr; und wenn dieſe Faͤche zu⸗ gleich von Mittag oder Mitternacht abweichet, eine de⸗ Aufgabe. §S. 11. Eine Aequinectial⸗Uhr zu verfertigen. Woͤllt ihr eine obete AequinvericlUhr, . 1) Beſchreiber A! iht Aufl ſung. 2 ailting aus bem Punet Ceinen Cireil 6 D, W N Wſ Qudrant 1) En Reie un Ufder aoſ de nd eh Undſot 8 den 9 9 ſe,de gen n ͤte⸗ hee! ſti NMon Unſenun ct. Wn Rerece in Ge Citcl wel ihehe E Pune ſnde en Niſe den En und 6 onik. Mglinertick⸗ drbſtes, henn! enſteigtbind berfterdne eEinte ltenn ebeſitn glechdt; clinirete 1rar eiſen Reuntend Pandd⸗ hends hn. vor fih l, vat 1derh lech,eket et S N. Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 90⁰9⁹ Dp, und theilet dieſen durch die Diametros AD und BäE, die ſich rechtwincklicht ſchneiden, in ſeine vier Quadranten. S 2N) Einen jeden Quadranten theilet in 6 gleiche Theile, und ſchreibet bey dieſen Theilungs⸗Puncten auf der Abend⸗Seite die Vormittags⸗Stunden, und auf die Morgen⸗Seite die Nachmittags⸗Stunden, und ziehet aus C die Stunden⸗Linien, C4, C5, Cé6, und ſo weiter. 3) In den Mittel⸗Punct C richtet perpendiculaͤr den Zeiger. JsG 4) Richtet die gezeichnete Seite gegen das Zenith ſo, daß die Linie C12 auf die Mittags⸗Linie zu lie⸗ gen koͤmmt, und dieſe Flaͤche mit der Horizontal⸗ Flaͤche einen Winckel macht, welcher gleich der Hoͤ⸗ he des Aequatoris; ſo iſt die Sonnen⸗Uhr voͤllig verfertiget. Beweiß. Die Sonne beweget ſich alle Tage parallel mit dem Aequatore, und einmahl ſo geſchwinde, als das andere. Folglich muß der Schatten der Welt⸗ Axe, ſo von der Sonne auf die Aequinoctial⸗Flaͤche geworffen wird, in gleicher Zeit, gleiche Theile in einem Circul beſchreiben. Der angenommene Circul C iſt in der Flaͤche des Aequatoris. Und weil in Anſehung der Sonnen⸗We:ite von der Erde, ihr halber Diameter nur fuͤr einen Punct zu halten (S 120. Aſtron.), ſo koͤnnet ihr nicht nur den Mittel⸗ Punct des Circuls Cfuͤr den Mittel⸗Punct der Erde, ſondern auch den Zeiger fuͤr die Welt⸗Axe anneh⸗ men (§. 4. Aſtron.); folglich muß der Schatten von dieſem Zeiger in gleicher Zeit, gleiche Theile auf den angenommenen Circul beſchreiben. Da nun die Sonne in 24 Stunden herum kommt (§. 12. Chr.), und die Sonne, wenn ſie gegen Morgen ſtehet, den weiter Schatten gegen Abend wirfft (§. 29. Optic.) und ſo Lll 3 Tab. I. 910 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. weiter; ſo iſt klar, daß die gezeichnete Uhr eine obere Aequinoctial⸗Uhr (§. 6.). W. Z. E. W. Wollt ihr eine untere Aequinoctial⸗Uhr zeichnen, ſo verfahret wie zuvor; nur mercket, daß die Zeichnung gegen das Nadir geſchehen muͤſſe (§. 6.). Aufgabe. §. 12. Durch Guͤlffe einer Aequinoetial⸗Uhr Gnomem auf eine jede Flaͤche eine Sonnen⸗Uhr zu kig 2. zeichnen. Aufloͤſung. Ihr ſollt z. E. eine Sonnen«⸗ Uhrlauf eine Hori⸗ zontal⸗Fläche zeichnen. 1) Suchet auf der Flaͤche ABDC die Mittags⸗Li⸗ nie (§. 15.), welche ihr nach Gefallen auf derſelben, wenn ſie beweglich, annehmen koͤnnet. Dieſe ſey Gl. 2) Laſſet einen rechtwincklichten Triangel verfer⸗ tigen EK, und ſetzet denſelben alſo auf die gegebe⸗ ne Flaͤche, daß die Hypothenus EF die Mittags⸗Linie decket. 3) Stellet die Aequinoetial⸗Uhr HK alſo, daß der Zeiger Gl mit der Mittags⸗Linie GF einen Win⸗ ckel machet, welcher gleich der Pol⸗Hoͤhe, und alſo dieſer Zeiger mit der Welt⸗Axe parallel gehet, und daß die Linie der Mittags⸗Stunde die Grund⸗Linie des Triangels EF beruͤhret. 4) Setzet des Nachts hinter den Zeiger Gein brennendes Licht, beweget dieſes um den Zeiger, und wenn der Schatten auf eine Stunden Linielder Ae⸗ quinoctial⸗Uhr faͤllt, ſe mercket die Grentzen des Schattens auf der gegebenen Flaͤche; ſo koͤnnet ihr auf dieſe die Stunden⸗Kinien ziehen. — 5) Befeſtiget endlich auf dieſer Flaͤche einen Zei⸗ ger Gl in dem Winckel IGF; ſo iſt die Sonnen⸗Uhr verfertiget. Auf⸗ Erſe Kenar d 1 Kde⸗ le de Mitene⸗ ſch ſe rehnet ch Gefelen 2) Mne Ceund w (d. R ihedede⸗ eich einegered lſydaß De⸗ ſacb. Moke⸗ ſc d⸗ N ied 9. Punc Vien B 91 uel⸗ elln lin eben ſtec ucn dnf. Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 911 E Ne Aufgabe. e ſen §K. 13. Auf eine Horizontal⸗Flaͤche eine Son⸗ di u nen⸗Uhr zu zeichnen. Nc Aufléſung. 1590 Iſt die Flaͤche unbeweglich, ſo ziehet auf dieſel⸗Tab. I. eqtinptiih be die Mittags⸗Linie (§. 15. Aſtron.); iſt ſie beweg⸗Gnomon. nnen e, lich, ſo nehmet auf derſelben die Mittags⸗Linie AB Eig. 3. naach Gefallen an Wr 2) Nehmet auf dieſer nach Belieben einen Punct C, und richtet auf denſelben eine Perpendicul⸗Linie Hthaſem ; CD. Den Winckel CAD machet der gegebenen Pol⸗ Hoͤhe desjenigen Orts, wo die Sonnen⸗Uhr ſtehen ſoll, die gleich, en alfn 3) Aus der Spitze D des Triangels CAbD ziehet . Diee eine gerade Linie auf die gefundene Mittags⸗Linie nach Rinma “ E, ſo, daß der Winckel COE= CAD= der Pol⸗Hoͤhe. / 4) Die Linie ED traget auf die Mittags⸗Linie aus E nmgdl nach B. Und aus dieſem Punct B beſchreibet mit dem Radio EB einen Quadranten EfF, welchen ihr in ſechs ſſ dad gleiche Theile theilet. einen N ° Durch Eziehet eine gerade Linie G, welche die e, uI inie APBrechtwincklicht ſchneidet. el gehen 6) Aus dem Punct B ziehet durch die Theilungs⸗ Grunſi Puncte des Quadranten nach der Linie GH gerade Li⸗ nien Ba, Bb, Bc, Bd, Bl, BH. Zinr 7) Traget dieſe Theile aus Egegen Gin e, f, g, h, G. MN 8) Aus A beſchreibet mit beliebiger Eroͤffnung des AH Diirckels einen kleinen Circul. Leget an A und die etſerte⸗ Theilungs⸗Puncte in der Linie GH das Lineal, und zie⸗ tntl⸗ het von der Peripherie des Circuls bis an die nach Be⸗ lieben gemachte Einfaſſung der Uhr gerade Linien; tünß⸗ ſo bekommet ihr die Stunden⸗Linien, As, Aq, A3, A2, ℳ% al 4 9) Durch 912 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. Tab. J. Gnomon. Fig. 4. Tab. I. Gnomon. Fig, 3. 9) Durch A ziehet die 6te Stunden⸗Linie As, und Aé, ſo, daß dieſe Linie die 12te Stunden Linie perpen⸗ dienlaͤr ſchneidet. 10) Ferner verlaͤngert A bis in 7 uͤber den Circul, A& bis in 8, A5 bis in 5, AA bis in 4. 41) Endlich ſetzet in A den Zeiger alſo, daß er mit der Mittags⸗Linie CA einen Winckel macht, welcher der Pol⸗Hoͤhe des Orts, wo die Uhr zu gebrauchen, gleich. Oder in Crichtet eine Perpendicul⸗Stange = CD und ſo weiter: ſo iſt dieſe Sonnen⸗Uhr verfertiget. 1 Beweiß. Es iſt zu beweiſen, daß durch dieſe Aufloͤſung die Stunden⸗Linien in der Horizontal⸗Uhr richtig ge⸗ zeichnet worden. Dieſes zu begreifſen, ſo gedencket, als wenn der Triangel ADE uͤber die Mittags⸗ Linie AB alſo gerichtet, daß er auf der Horizontal⸗ Flaͤche perpendienlaͤr ſtehet; und daß in dem Plano, welches in den Winckel DEA incliniret, der Aequi⸗ noctial⸗Circul beſchrieben, welcher in 24 gleiche Theile getheilet: ſo iſt AD der Zeiger einer Aequi⸗ noctial⸗Uhr (S. 11.). Verlaͤngert die Stunden⸗ Linien dieſer Aequinoetial⸗Uhr bis an die Linie GH, welche da zu finden, wo die Aequinoctial⸗ Flaͤche die Horizontal⸗Flaͤche beruͤhret; ſo iſt klar, daß dieſe Beruͤhrungs⸗Puncte die Eintheilungen der Stunden⸗Linien in der Linie GH beſtimmen. Ge⸗ dencket ferner, als wenn die Aequinoctial⸗Uhr auf die Horizontal⸗Flaͤche dergeſtalt niedergeleget worden, daß die verlaͤngerten Stunden⸗Linien noch in den vorigen Puncten die Linie GH durchſchneiden; ſo wird DE auf EB, und der eine Quadrant der Ae⸗ quinoctial⸗Uhr auf EFB fallen. Es iſt demnach nicht zu leugnen, daß die Stunden⸗Linien in der Horizontal⸗Flaͤche richtig gefunden worden. W. 1. Zu⸗ du ſd e, Wirelt, slie UGl. Geen Undſetrer LD- Ingon- don. din ſ Mt M= 4 lin in d e Wo —1 fi I 04 ſ mit. netie le n deninitzimg Tlberden Ere 4 er alſe, ieen el macht ige hr gehrumn pendicllEn⸗ ſe Gonnal Nuct ,Rtichtyt n, dunt, die Nror det Hite Fiyden t, er ,14 einer Nent e Grunden Ne Velnenn e; oft felan Mut mne, falelle⸗ egtt eni g ir hune an der N ſedepn inn D 4 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 913 1. Zuſatz. §. 14. Nehmet an, daß E B der Sinus totus, ſo ſind Ea, Eb, Ec und ſo weiter, angenten von den Winckeln, welche die Stunden⸗Linien mit der Mit⸗ tagsLinie in der Horizontal⸗Uhr machen (§. 173. 191. Geoem.). Da nun der Winckel E B , E Bb und ſo weiter bekant ſind, zumahl EBa= „ = I1 50, EB D= 3 = 309, E B cC= 79 4 5* und ſo weiter (§. 13.), ſo koͤnnet ihr nach der Trigonometrie (§. 4. Trigon.) die Linien E a, Eb, Ec und ſo weiter fin⸗ den. Sprechet nemlich: Sin. B a E: Sin. EB a = Sin. totus: Tang. E à und ſo weiter. Anmer ckr un g. F. 15. Nehmet an, daß E B —– 1000, ſo werdet ihr fin⸗ den, daß Ea – 267 E b – 577, Ec = 1000, E d — 1722, E H =— 3372. Auf dieſe Art koͤnnet ihr die Stunden⸗ Li⸗ nien, in den groſſen Horizontal⸗ Uhren finden. §. 16. CD E. ift die Höoͤhe des Pols, und CED die Hoͤhe des Aequatoris, und bey C iſt ein rechter Winckel (§. 13.). Wenn ihr nun D E annehmet, = 1000; ſo koͤnnet ihr durch die Trigonometrie die Linien CE und D C ſinden, indem ihr ſprechet: Sin. totus: ED = Sin. 0D E: CE. Ferner: „ Sin. torus: ED = Sin- CED: D C (§. 4. Trig.). 5. Zuſatz. §. 17. In den Triangeln C A D und CD E iſt CAD= CD E, C= C (§. 13.), und C D=CD; folglich FC: CD=CD: C A G. 192. Csom. Lll 5 Wenn 9¹4 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. n Wenn demnach E C und CD bekannt (S. 1 5.), ſa ) gen koͤnnet ihr auch die Linie C A finden. aret Cncels anin 4. Juſatz. 1d §. 19. Wird der Zeiger C D gegeben, ſo koͤnnet ſech derh ihr die Linien C A, C E und E D finden. Denn da f der Winckel bey A = der Pol⸗Hoͤhe, bey Cein rech⸗ 3 ter Winckel, und alſo der Winckel bey D bekannt n (§. 149. (eom.); ſo koͤnnet ihr ſprechen: B ſin Sin. A: C D = Sin. CD A: A C. 6 S Da nun A C gefunden, ſo ſprechet ferner: iie ⸗ AC: CD = CD: CE (S. 16). 100-0 MNun iſt ferner der Winckel CDE= der Pol⸗Hoͤ⸗ 3)Me he (§. 13.) folglich koͤnnet ihr E D finden, inden ade lii ihr ſorecher: wincklcht Habt ihr dieſe Linien Grfunden, ſo koͤnnet ihr die Atrne gantze Horizontal⸗Uhr zeichnen (§. 13.). ol. §. 19. Eine Vertical Uhr zu zeichnen. Einde Aufloͤſung. I Tab. I. 1) Wollt ihr eine Mittags⸗Uhr zeichnen, Uun Gnomon.,. ſo verfahret wie bey der Horizontal⸗Uhr; nur die⸗ ig Pig. 5. ſen Unterſcheid beobachtet, daß der Winckel C A. D 9N3 = CDE= der Hoͤhe des Aequatori. Min B ß. ir die Dieſen koͤnnt ihr auf gleiche Art, wie bey den Ho⸗ rizontal⸗Uhren, verfertigen. Anmerckung. Ihr koͤnnet alſo auch hier, wenn nur die geſetzte Ver⸗ De änderung beobachtet wird, alle Zuſaͤtze gebrauchen, welche hie §. 14⸗18. zu finden. I) Wollt ihr eine Mitternachts⸗Uhr zeichnen. dehe 1) Zie⸗ onik. Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 915 unnt Gn ) Ziehet die Mittags⸗Linie AS (§. 15. Afkr.), Tab. II. . und aus A beſchreibet mit beliebiger Eroͤffnung des Snomon. Circkels einen kleinen Circul. Big. 6. geben, efg 2) Bey A macht einen Winckel C A D, welcher ae d gleich der Hoͤhe des Aequatoris. e, benenn 3) Auf der Mittags⸗Linie nehmet nach Gefallen l ben ie ein en Punct C, und richtet auf denſelben eine Per⸗ chen pendicul⸗Linie C D. C. 4) Ziehet aus dem Punct D nach der Mittags⸗ ferner: Linie A § eine gerade Linie D E, ſo, daß der Winckel EDC=CAD = der Hoͤhe des Aequatoris. = der ℳ 5⁵) Macht IB = ED, und durch ziehet eine ge⸗ finden in rade Linie H G, welche die Mittags⸗Linie S A recht⸗ wincklicht ſchneidet. .“ 6) Aus dem Punct 5 beſchreibet mit B einen Grner i Quadranten F I, und theilet dieſen in 6 gleiche 19 Theile. 70) Durch die zween letzten Theilungs⸗Puncte zie⸗ het aus A die Linien A d und A H, welche die 7te und en. 8te Stunden⸗Linie nach Mittage geben. 8) Machet Eh = E d, und EG = E H; ſo be⸗ ziten kanner ihr die 4te und 5te Stunden⸗Linie vor eH ittage. ) 9) Ziehet durch A eine gerade Linie, welche die rc Mittags⸗Linie A Srechtwincklicht ſchneidet; ſo habt ihr die ſechſte Stunden⸗Linie vor und nach Mittage. 10) Richtet den Zeiger entweder nach der Linie ,M A D oder CP: ſo habt ihr die Uhr verfertiget. Beweiß. Nitt⸗ Der Beweis wird, wie bey der Horizontal⸗Uhr⸗ cenes eingerichtet, und ſtellet man ſich vor, als wenn die Aequinoctial⸗Uhr nach dem Winckel D E A, welcher hn der Hoͤhe des Pols gleich (§. 27. Aſtron.), angele⸗ get, 916 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. get⸗z der Zeiger aber durch den Mittel⸗Punct der Ae⸗ Tab. II. Gnomon. Fig. 17. quinoctial⸗Uhr bis in A geſtoſſen wuͤrde. III. Wollt ihr eine Morgen Uhr beſchreiben; 1) Auf der Seite der Mittags⸗Flaͤche, die gegen Morgen ſtehet, ziehet eine gerade Linie AB mit dem Horizont parallel, und mit derſelben verknuͤpffet eine andere Linie A K, ſo, daß der Winckel K A B = der Hoͤhe des Aequatoris. S”M 2) Aus einem nach Belieben auf der Linie K A angenommenen Punct D beſchreibet mit beliebiger Weite D E einen Circul und ziehet durch D die Li⸗ nie E C, welche KA rechtwincklicht ſchneidet. 3) Einen jeden Quadranten theilet in 6 gleiche Theile, und durch die Theilungs⸗Puncte ziehet aus D bis an die Linien E G und CI gerade Linien. Dieſe beſtimmen die Stunden⸗Kinien, wie aus der Figur zu erſehen. . 4) In O ſetzet den Zeiger = D E auf die Flaͤche perpendiculaͤr, oder befeſtiget in der Hoͤhe der Li⸗ nie D E eine Stange, welche mit CE parallel gehet: ſo iſt die Uhr verfertiget. Tab. II. Gnomon. Big. 8. Beweiß. Stellet euch vor, als we n die Aequinoctial⸗Uhr auf die Linie F G dergeſtalt perpendiculaͤr aufgerich⸗ tet worden, daß FG von der ſechſten Stunden⸗Linie in E beruͤhret wird, und alſo der Zeiger mit E C parallel iſt; ſo laͤſſet ſich der Beweiß, wie bey der Horizontal⸗Uhr, verfertigen. IV) Wollt ihr endlich eine Abend⸗ Uhr zeich⸗ nen; Verfahret auf der Abend⸗Seite der Mittags⸗ Flaͤche, wie auf der Morgen⸗Seite bey der Mor⸗ gen⸗Uhr; nur werden die Stunden anders geſchrie⸗ ben, wie die Figur zeiget. An⸗ . 40. un de Ein W 3 ABYuI 2)0 Ddg cen Deie NMo MDyl lehpr W W D ie der 6t E monik, tel⸗Puntiir vurde. Ihr beſchn⸗ Fläche, dege Linie Ab ft n verknipfee nckel KAl- uf der niel. et mit i t durch ⸗ k ſchneidet eilet in 6 Düncte in l geradelun. ien, wie gu ouf dieſt , Hhe del vorolllgeht chuindeiti alr oufne Stundine eiget er n 46 ve e,NNN 4 der N nen Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 217 Anmerckung. §. 20. —— iſt zu mercken, daß bey groſſen uh⸗ ren die Eintheilungen zu finden, wie §. 14⸗18. gezeiget. Aufſgabe:⸗ 8. 21. Eine Polar⸗Uhr zu verfertigen. Aufloͤſun g. 1) Wollet ihr eine oͤbere P Dolar⸗Uhr verfertigen: 1) Ziehet mit dem Horizont eine Parallel⸗ Linie Tab. II. A B, ufRd auf derſelben die MitkagsLinie OQE. Gnomon- 2) Dieſe thetlet in zween gleiche Theile in B. und i. 9. durch Cziehet die Linie FG mit A B parallel. 3) Aus dem Mittel⸗Punct D beſchreibet mit DE en Quadranten, und theil let dieſen in 6 gleiche The ell.⸗ Durch dieſe Theilungs⸗ Puncke ziehet aus dem Mittel⸗Punct D gerade Linien nach A B, D 12, DI, P2, D 3, D 4, P §. 5) Aus dieſen Puncten ziehet mit der Mittags⸗ Lnie Parallel,Linien. 6) Machet BE (I= EI, E I0 = E 2, E 9 = 3, und ſo weiter, und verfahret wie zuvor. — 7) Endlich richtet den Zeiger in der Hohe D E. uͤber der Mittags⸗Linie in D perpendiculaͤr: ſo iſt die obere Polar⸗Uhr fertig. 11) Wollt ihr eine untere Polar/ Uhr verfert tigen; ſo verfahret wie bey der oberen; nur ſtreichet alle Stunden weg, bis auf 4 und 5, ingleichen 8. und 5 7. Reweiß. Dieſer kan auf gleiche Mt veefertiget werden, wie der Deweiß von der Morgen⸗Uhr,, zede; de 11084 11 12 Erklaͤrung. — 1 EI,, E. 22. Die Magner⸗ Madei: (Aceus iagnaricch lahe Nadel Welche aus dem veinſten Staͤhlegantz . dunne 918 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. duͤnne geſchmiedet, und nach dieſem an einen guten Magnet folgender Geſtalt geſtrichen worden, daß derſenige Theil, ſo ſich gegen Suͤden wenden ſoll, an den Nord⸗Pol; der andere hingegen, der ſich ge⸗ gen Norden kehren ſoll, an den Suͤder⸗Pol des Magnets geſtrichen. Erfahrung. 8. 23. Wird eine ſolche Magner⸗Nadel auf einen Stifft geſetzet, auf welchem ſie ſich unge⸗ hindert bewegen kan, ſo weiſet ſie nach Norden oder Mitternacht. Doch iſt hiebey zu mercken, daß dieſe Magnet⸗Nadel nicht an allen Orten und allezeit accurat nach Norden weiſet, ſondern offtmahls mit der Mittags⸗Linie entweder gegen Gſten oder gegen Weſten einen Winckel machet. Erklaͤrung. S. 24. Dieſer Winckel, welchen eine Magnet⸗Na⸗ del, welche ſich auf einem Stifft ungehindert bewe⸗ gen kan, mit der Mittags Linie machet, wird die Ab⸗ weichung der Magnet⸗Nadel (Declinatio acus magneticae) genennet. 5§. 25. Und alſo beſtaͤtiget die Erfahrung, daß die Abweichung der Magner⸗Nadel nicht an allen Or⸗ ren, auch nicht zu allen Zeiten an einem Ort gleich groß ſey (§. 23.). Erfahrung. B §. 26. Ziehet durch den Ruhe⸗Punct der Ma⸗ gnet⸗Nadel eine gerade Linie mit der Horizon⸗ tal⸗Linie parallel; ſo werder ihr finden, daß der nordliche Theil in dem groͤſten Theil der ehen E ſhen Helfte HOrizontal ſten Thei den uͤber den Hor §. n. Du Nadel mit de he⸗Pooetoee WMagrerNa Hehnet⸗ R. 29. Du ſteher nan di n der Wel⸗ Ei Eene Di Efſeoeg Eifbefie Gcege N nck. §. o D en einemn zuffnden. 1) 6. ſid n Rerd touſ Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 919 mn n ennm ſehen Helffte unſerer Erd⸗Kugel ſich unter die en nedeni orizontal⸗Linie ſencket: hingegen in dem groͤ⸗ den belni ſten Theil der ſuͤdlichen Helffte der Erd, Kugel igen deſhe uber dem Horizont erhaben wird. Sha At Erklärung. 8. 27. Dieſer Winckel, welchen die Magnet⸗ Nadel mit der Hortzontal⸗Linie, ſo durch ihren Ru⸗ nur be⸗Punct gezogen, machet, wird die Neigung der gnekckin Magnet⸗Nadel (Inclinatio acus magneticae) ge⸗ m Rie nennet. ſe nach drih Frklaͤrung. N O S. 28. Durch die Schiff⸗Roſe) Roſa nautica) ber-Tab. II. weiſ ê ſtehet man die Figur SWNOsS, welche die 32 Gegen⸗ Gnoman, entwen den der Welt vorſtellet. Pig. 10. DndA Erklaͤrung. §. 29. Ein Compas (Pyxis magnetica) iſt eine ,/Ounnde hoͤltzerne Buͤchſe, in deſſen innere Grund⸗Flaͤche eine fitariet Schiff⸗Roſe gezeichnet, in deſſen Mittel⸗ Punct ein ſid diedl Stifft befeſtiget, auf welchen eine Magnet⸗Nadel Aſe deleget, daß ſie ſich frey um denſelben bewegen clionnio A Aufgabe. eiin De bweicung der Magnet⸗Nadel, unN an egebenen Ort, zu einer ge Zei zu finden. geſetzten Zeit, inenO Aufl ſu ng. 6 Setet ben henpas an den beſtimmten Ort; . ird die nordliche Spitze der ,B gen Norden fahren⸗ pitze der Magnet⸗Nadel ge⸗ 2) Haltet an den Compas einen Faden mit ei orte den mit ei⸗ in nem Bley⸗Wurff, alſo, daß deſſen Schatten durch e den Mittel⸗Punct der Schiff⸗Roſe gehet. 3) Mer⸗ 5 Tab. III. Gnomon. Pig. II. 920 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. 3) Mercket genau diejenige Gegend, auf welche der Schatten des Fadens faͤllt, wenn er am kleine⸗ ſten. Denn ſo wiſſet ihr, wenn. Mittag (§. 37. Optic. 13. Aſtr.), wo die Mittags Linie (§. F. Aſtr.); und koͤnnet alſo die Abweichung der e Magnet Naͤel beſtimmen (§. 24.). Aufgabe. §. 31. Die Neigung der Magnet⸗Nadel, af an einem gegebenen Ort, zu einer geſetzten Zeit, 3u finden. Aufloͤſung. 1) Machet einen Ring A B CD von einer Mate⸗ rie, die weder den Magner von ſich ſtoͤſſet, noch an ſich ziehet z. E. von Meßing, und theilet dieſen Eir⸗ cul in ſeine 360 Grade. 2) Durch derl Mittel⸗Punct dieſes Ringes zie⸗ het ein duͤnnes Lineal von Meßing A C, und beſe⸗ ſiger. ſolches an der Peripherie des Ringes in 4 und C 3) An dem Mittel⸗Punct dieſes Lineals befeſi⸗ get einen ſubtilen Stifft von Meßing, woran die Magnet⸗Nadel alſo zu befeſtigen, daß ſie ſich un⸗ gehindert neigen koͤnne. 4) Das? Inſtkuͤment bedecket auf beyden Seiten mit hellen Glaſſe, damit ihr dadurch die Lage der Macgnet⸗Nadel ſehen, und die Bewegung der Lufft die Lage der Magnet⸗Nadel nicht veraͤndern koͤnne. 5) In dem Zenith von dem Ring 5B befeſtiget. einen andern Ring, woran ihr den Ring frey aufe häaͤngen koͤnnet. Wenn ihr nun dieſen Ring perpendiculaͤr auf⸗ haͤnget, ſo muß das Lineal A'C horzontal ſtehen, nd die Spitze der Magnet⸗Nadel wird auf dem Ning den Grad zeigen, welchetr das Maaß von der Neigung (S 27. An⸗ E⸗ . 8. 31 Von Nalfi An.1094 p ron bon finden. 9. 39. Man Deegoneit Oicy oder hor Mlnleflichr erf 1) Mäaned⸗ ſetgen, vrdd e d. 3 Del⸗ ſet tells ingo linretdenn Jrb ſſien teng S hnet. NPwerl Amrſch darmn ind du n ern gucht heochriete de⸗ tſcfge 5 30 z che horign Peden den Dehn monik. Erſte Gruͤnde der Guomonik. 921 egend, glfte Anmerckun ge wenn eran, §. 32. Von der Abweichung und Neigung der Magnet⸗ H 1 Mitag ( Nadel kan mit Nutzen geleſen werden,was in Actis Erud. Lipfſ. inie eAe An. 1694 pag 387. fl. 1715. p. 191. und in des Herrn Ba⸗ er Magiezt ron von Wolffs nuͤtzlichen Verſuchen P. III. Cap. IV. zu ſde. Aufgabe. §. 33. Ein Inſtrument zu machen, dadurch Inſtrumen. gnet/ man die Abweichung einer Vertical⸗-⸗Flaͤche von tum decli- eſetztli Suͤden oder Norden, ingleichen von der Hori⸗ natorium. zontal⸗Flaͤche erforſchen kan. Aufloͤſung. von einet 1) Laſt eine viereckigte Taffel ABCD von Holtz ver⸗ Tab. III. ſoſe u fertigen, und beſchreibet auf dieſe einen halben Cir⸗Gnomon. eitdeen cul AED. Pig. 12. S 2) Theilet die beyden Quadranten dieſes halben ieſs Ne Circuls in 90 Grad, ſo, daß ihr dieſe Grade zehlen 9ACμς koͤnnet von E nach D, und von Enach A. des Nintt 3) In F befeſtiget einen Nagel, damit ihr an den⸗ ſſelben einen Faden mit einem Bley⸗Wurff haͤngen neals koͤnnet. 19, worar 4) Ferner befeſtiget in dem Mittel⸗Punct F ein Fig. 13. das Re ſe Lineal HI, welches um den Punct F beweglich, und daran ein Compaß K befeſtiget. Es muß aber in behdenl⸗ dieſem Compaß nicht nur die Mittags⸗Linie, ſon⸗ ſ diee dern auch die Declinations⸗Linie der Magnet Nadel degung beſchrieben ſeyn. eraͤnden⸗ Dieſes Inſtrument werdet ihr zu der verlangten ng Abbſicht gebrauchen koͤnnen. Nn Aufgabe. griiglen §. 34. Zu unterſuchen, ob eine gegebene Flaͤ⸗ eme che horizontal oder vertical, oder ob ſich ſolche Puftu⸗ gegen den Horizont neiget, und wie groß dieſe R Lzeigung. 1 Mmm Auf⸗ Tab. III. Gnomon. Fig. 14. Tab. III. Gnomon. Fig. 15. 922 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. Auflo ſung. 1) Nehmet das Inſtrumentum declinatorium, und haltet es mit der Seite BO an die gegebene Flaͤche 11. 2) In PH hFaͤnget den Bley⸗-Wurff. Iſt die Flaͤche horizontal, ſo wird der Faden den halben Circul AED in E durchſchneiden; iſt die Flaͤche vertical, ſo faͤllt der Faden auf AD; wo aber der Faden weder in E, noch auf A Dfaͤllt, ſo neiget ſich die Flaͤche gegen den Hori⸗ zont, und der Faden beruͤhret auf den Quadranten denjenigen Grad, welcher das Maaß von der Neigung. Juſatz. §. 35. Vergleichet dieſe Neigung mit der Hoͤhe des Pols und des Acquatoris; ſo werdet ihr beurthei⸗ len koͤnnen, ob auf die Flaͤche eine inclinirte Sonnen⸗ Uhr zu beſchreiben (§. 10.). Aufgabe. §. 36. Zu unterſuchen, ob eine gegebene Flaͤche von dem Meridiano abweichet, und wie groß dieſe Abweichung. . Aufloͤſung. 1) Nehmet das Inſtrumentum declinatorium, und haͤnget an den Stifft in Hden Compaß (§. 33. Reg. 4)⸗ 2) Die Seite dieſes Inſtruments AD haltet an die gegebene Flaͤche MN, und beweget das Lineal um den Stifft ſo lange, bis die Magnet⸗Nadel uͤber der De⸗ clinations⸗Linie ruhet. 3) Faͤllt die Schaͤrffe des Lineals in E, ſo iſt die Flache in dem Meridiano. Faͤllt die Schaͤrffe des Li⸗ neals zwiſchen Dund Ez E. auf PQ, ſo weichet die ge⸗ gebene Flaͤche von dem Meridiano gegen Abend; und faͤllt die Schaͤrffe des Lineals zwiſchen Aund E, ſo wei⸗ chet die Flaͤche von dem Meridiano gegen Morgen⸗ Die Groͤſſe dieſer Abweichung beſtimmet der Grad, welcher von dem Lineal abgeſchnitten wird (5. 23. fl.). Auf⸗ 8 Ei von Mins⸗ gbweichen 19) G und Gl hediehe 9) Q Dulchſchne C eive wechure de Ein ie. RN e Nenlinint Ot ſ Nee Urlonder Wt WMN Pomet lnieg gebene lunne unm, Dck W honik, Erſte Gruͤnde der Gnomonik, 923 Aufgabe. ſeclintorinn S. 37. Eine Sonnen⸗Uhr zu verfertigen, die gebenegie von Mittage gegen Morgen, oder gegen Abend ſ. Idege abweichet. 8 B halben Eillit . Aufloͤſung. vertienl ſeſi⸗ 1) Beſchreibet eine Horizontal⸗Uhr AGH (§. 13.), Tab. I. n wedernu und OGI ſey die Linie, in welcher die Aequinoctial⸗Flaͤ⸗Gnomon. e gegen def. che die Horizontal⸗Flaͤche durchſchneidet. Fig. 16. den Qun 2) Durch E, wo die Mittags⸗Linie AE die Linie GH von deiceg durchſchneidet, ziehet eine gerade Linie IK, welche mit GH einen ſo groſſen Winckel macht, welcher der Ab⸗ rt weichung der gegebenen Flaͤche gleich; ſo geben ſich ung die Eintheilungen fuͤr die Stunden⸗Linien auf der Li⸗ rdetiſ nie IK. dinirte 3) Ziehet auf der gegebenen Flaͤche die Linie IK mit der Horizontal⸗Linie parallel, und traget die gefunde⸗ nen Linien E I, E2, E 33, und ſo weiter, auf dieſelbe. ncrkenſe 4) In Frichtet den Perpendicul EC in der Laͤnge it auf, als die Weite des Mittel⸗Puncts der Mittags⸗ Uhr von der Horizontal⸗Flaͤche (F. 19. Caſ. I.) betraͤ⸗ get; ſo habt ihr den Mittel⸗Punct C, daraus die Stunden⸗Linien CE, CI, C2, C3, und ſo weiter ge⸗ aaad zogen werden. 6 0) Laſſet auf dem Papiere aus A als dem Mittel⸗ duen Punet der Horizontal⸗Uhr auf IK die Perpendicul⸗ ierh Ainie ADfallen, und traget die Weite E auf die ge⸗ li gebene Flaͤche; ſo iſt OC die Linie, daruͤber der Zeiger kommet. ul ti 6) Setzet endlich AD und DC rechtwincklicht zu⸗ neh ſammen; ſo iſt AC der Zeiger, welcher unter dem n Wuckel DCA in Can der gegebenen Flaͤche befeſtiget rcbſene . ee §. 38. Eine Uhr zu verfertigen, die von Mitter⸗ 0) nacht gegen Morgen und Abend abweichet. 16 Mmim 2 Auf⸗ Tab. III. Gnonom. Lig. 17. 924 Erſte Gruͤnde der Gnomonik. Aufloͤſung. Die Mitternachts⸗Uhr iſt nichts anders als eine verkehrte Mittags⸗Uhr. Beſchreibet demnach eine Uhr, die von Mittage abweichet, und wendet ſie der⸗ geſtalt um, daß ihr Mittel⸗Punct C gegen den Hori⸗ zont, und der Punct E gegen das Zenith gekehret wird. . Aufgabe. §. 39. Eine Sonnen⸗Uhr zu verfertigen, die von dem Zenith gegen Morgen oder Abend ab⸗ weichet. Aufloͤſung. Es ſey MHR der Horizont, PR die Pol⸗Hoͤhe, 2 das Zenith, und N das Nadir; ſo iſt klar, daß unſere Ho⸗ rizontal⸗Flaͤche in einem Ort, der von uns 90° weg lie⸗ get, die Vertical⸗Flaͤche ſey, und demnach die Pol⸗Hoͤ⸗ he an demſelben Ort das Complement unſerer zu 90 PZ. Derowegen darf man nur eine abweichende Mit⸗ tags⸗Uhr auf das Complement der Pol⸗Hoͤhe verzeich⸗ nen (§. 37.); ſo iſt ſelbige die bey uns von dem Zenith abweichende Uhr. Gleicherſtalt erhellet hieraus, daß man vermittelſt der Mittags⸗Uhr unſeres Orts, als welche die Hori⸗ zontal⸗Uhr unter dem Complement unſerer Pol⸗Hoͤhe iſt, die von dem Zenith abweichende Uhr zeichnen kan, wie man die vom Mittage abweichende vermittelſt der Horizontal⸗Uhr verzeichnet (§. 37.). Anmerckung. §. 40. Ich trage Bedencken, mehrers von Verfertigung der Sonnen⸗Uhren zu ſchreiben. Wer das, was hiervon er⸗ klaͤret, verſtanden, der wird mit Nutzen leſen koͤnnen, was in der neu vermehrten Welperiſchen Gnomonik/in des Ozanam Cours de Mathem. T. V. Tr. de Gnomon. und in des Herrn Baron von Wolffs Elem. Gnom. von Verfertigung der Son⸗ nen⸗Uhren weitlaͤufftiger abgehandelt. ELE- nik, anders aldee ber demnnin d wendet ſehy gegen derhi t gekehneent er endet GEOGRAPHIAE daß nie⸗ Das iſt ns Nelle h ehit Erſte Gruͤnde nſerer ug on gendeht V Heuehel na Exfindung der Groͤſſe der Erd⸗Kugel aeee Und der Lage der Oerter gegen einander. die eichnente lnitiA gtiing ſervent ⸗ Gt N⸗ Wer inden kenns pnen, (icde N Rh R P Mrn Unte llnn ſen. e der Geo graphie. Lehr⸗Satz. 2 §. 1. B. Erde iſt bey nahe kugelrund. B Beweiß. Wenn der Mond verfinſtert wird, ſo tritt der Mond in den Schatten der Erde, und dieſer Schatten ſiehet wie ein Eircul aus, der Mond mag in denſelben hinein⸗ kommen, wo er will. Folglich erſcheinet der Durch⸗ ſchnitt der Erde wie ein Circul (§. 30. Opt.); folglich die Erde wie eine Kugel (§. 66. Geom.). Weil aber die hohen Berge einer vollkommenen Kugel⸗Flaͤche zu⸗ wider, und Hugenius in Diſcurſ. de cauſſa grauitatis P. 154. fl., wie auch Newton in Princip. Phil. Nat. Mathemm. Lib. III. Prop. 19. dargethan, daß die Erde unter dem Aequatore hoͤher, als gegen die Pole: ſo koͤnnen wir die Erde nicht vollkommen kugelrund nen⸗ nen. Daher iſt nur zu beweiſen, daß ſie bey nahe kugelrund. Lehr⸗Satz. §. 2. Die Hoͤhe der Berge auf der Erd⸗Flaͤche muͤſſen gegen den Diameter der Erde, in Anſehung der Entfernung des Mondes, keine merckliche Verhaͤltniß haben. Mmm 4 Be⸗ Erſte Gruͤnde der Geographie. B Beweiß. Dieſes erhellet, weil die Berge nicht verhindern koͤnnen, datz ch der Schatten der Erde in dem Mond wie ein Circul praſentiret. Juſatz. §. 3. Aus dieſer kugelrunden Figur der Erde 928 koͤnnen wir verſchiedene Begebenheiten erklaͤren, nemlich Barum die Sonne nicht an allen Orten auf dem Erdboden zu gleicher Zeit auf⸗und unter⸗gehet. 2 Warum wir nicht allein zu Lande, ſondern auch zu Waſſer die Spitzen der Thuͤrme, Maſt Baͤume der Schiffe, die Berge und Klippen allezeit eher ſehen, als was der Erde naͤher iſt. 3) Daß uns einige Leute die Fuͤſſe zukehren muͤſſen, welche Antipodes und Antichthones genennet werden. Und ſo weiter. Lehr⸗Satz. §. 4. Die Erde kan, ohne mercklich zu irren, als eine vollkommene Kugel angenommen wer⸗ den. Bew eiß. Die Urſache, warum die Erde keine vollkommene runde Kugel, iſt einmahl, weil auf ihrer Flaͤche hohe Berge zu finden; zweytens, weil ſie gegen die Pole eingedrücket (per dem. §. 1.). Da nun aber die Verhaͤlniß von den Hoͤhen der Berge gegen den Dia⸗ meter der Erde ſehr klein (§. 2.), und nach des Hugenii Rechnung ſich der groͤſte Diameter der Erde zu dem kleineren Diameter verhaͤlt, wie 578: 577, und alſo auch hier kein mercklicher Unterſcheid: ſo koͤnnen wir, ohne mercklich zu irren, die Erde als eine vollkom⸗ mele Kugel annehmen (§. 144. A. M.). W. Z. E. I. Zu⸗ Kugel⸗ A.) der gl nl uzz, der e derſebe 1)4 und 9 undde 4. Alt 9)7 zu rede 9 dH R chrin de M). ie⸗ Erſte Gruͤnde der Geographie. 929 ht Hekinen §. 5. Wir haben demnach Urſache uns auf der Tab. Geog. ein den Erd⸗Kugel alle Circul zu gedencken, welche wir auf Fig. I. der Welt⸗Kugel beſchreiben. Alſo nehmen wir auf derſelben an inr te 1) Die Welt⸗Peole, PQ, ſo daß Pder Nord Pol e. und Qder Suͤder⸗Hol (§S. 4. Aſtr.). eten 2) Die Welt⸗Axe PO, die durch die beyden Pole longenaf und den Mittel⸗Punct der Kugel gezogen wird (§⸗ . en Drrenan Aſtr ) untcttt 4. J1 3) Den Aequatorem oder, mit den Schiffs⸗ Leuten ſudang zu reden, die Linie DA, welches ein Circul um die Bn Kugel, welcher von jedem Pol 90 entfernet (§. 23. t eher / Aſtr.). ,, 4) Die Ecliptik EL, als welche ein Circul auf renn der Flaͤche der Kugel, welcher den Aequatorem der⸗ aun eſtalt durchſchneidet, daß er mit ihm einen Winckel von 230 29 machet (§. 31. Aſtr.). 5) Den Tropicum Cancri EM, und den Tropicum , et, Capricorni LM, als welche Circul mit dem Aequatore en wes in der Weite 23 29; parallel gezogen werden (§. 5. Alſtr.). ⁶) Die Polar⸗Circul FG und Rss, welche um die ionee Pole in der Weite 23929“ beſchrieben werden. get 7) Den Meridianum PAà WD, als welcher ein Cir⸗ Ne NNe eul, der durch die Pole und einen jeden Ort beſchrie⸗ Cber de ben wird (§. 7. Aſtr.). 8) Den Horizont, welcher, wie in der Aſtronomie, ! d ein wahrer und ſcheinbarer (§. §. Aſtr.). Aen . ii 2. Zuſatz. Hete §. 6. Der Acquator theilet die Erde in zwo halbe fe⸗ Kugel, ſo daß die eine Helffte der Norder⸗und die an⸗ 13 dere Helffte der Suͤder⸗Theil. ½ Mmm § 3. Fu⸗ 930 Erſte Gruͤnde der Geographie. 3. Juſatz. §. 7. Die Ecltptik, die Tropici, der Meridianus und ſo weiter, auf der Erd⸗Kugel ſind mit der Ecliptik, mit den Propicis und dem Meridiano der Himmels⸗ Kugel in einer Flaͤche (§. 5. 3 1. und §5 1. Aſtron.). 4. Juſatz. §. 8. Verſchiedene Oerter koͤnnen unter einem Me- ridiano liegen. Und weil wir Mittag haben, wenn der Miktel⸗Punct der Sonne in den Meridianum koͤm⸗ met; ſo haben alle Oerter, die in einer Helffte des Me⸗ ridiani liegen, zu gleicher Zeit Mittag. Und alſo gehet die Uhr bey ihnen auf einerley Art. £✕ Erklaͤrung. §. 9. Damit man einen gewiſſen Anfang auf der Erd⸗Kugel hat, ſo nimmt man einen von den Meri- dianis zum erſten an (Meridianus primus), und zehlet von ihm an die uͤbrigen von Abend gegen Morgen zu. Anmerckung. §. 10. Es nehmen nicht alle Geographi einerley Mittags⸗ Circul fuͤr den erſten an. Ptolomaeus ziehet ihn durch die In- ſulas fortunatas. Andere durch die Inſul des heiligen Nicolai. Hondius durch die Inſul St. Jacob. Die Franzoſen auf Be⸗ fehl des Koͤnigs durch die Inſul del Ferro. Siehe Riccioli Geographiam reformatam Lib. IN. Cap. 2. Oieſes iſt wohl zu mercken, wann man die Land⸗Charten und Schrifften ver⸗ ſchiedener Autorum gebrauchen will. Aufgabe. Tab. Geog. S. I1. Die Entfernung zweyer Gerter auf der Fig. 2. Flaͤche der Erden zu finden, wenn ſie ſehr groß. . Aufloſung. . 1) Nehmet nach Gefallen zwey Staͤnde an Cund D, aus welchen ihr die beyden Oerter uͤberſehen koͤnnet. Meſſet die Entfernung der angenommenen Staͤnde CD, und die Winckel ADC, CDB, ACD, DCB (§. 110. Geom.). 2) Su⸗ 6 Euhe Nurg deſe ReH Fne JGn din 96 durch 1 hngt , cn⸗ . A R” 1 len Eu W 4 aphie. Erſte Gruͤnde der Geographie. 931 2) Suchet in dem Triangel ACD die Linie AD, i, der in durch dieſe Verhaͤltniß: d mit der e⸗ Sin. A: CD = Sin. A CD: AD. no der Hinn 3) Suchet ferner in dem Triangel CDS die Linie I. A D, indem ihr ſprechet: ii0Iͤnnn. B; CD= Sin. DCB: DB. 4 Suchet in dem Triangel ADB den Winckel DAB untereim durch folgenden Schluß: ghaben,en DA DB: DA — DB= tang. ½ (DAB †+ ABD): Aeridianue, tang. I diff. (§. Z. Trigon.). r Helfte 5) Endlich ſuchet in dem Triangel ADB die ver⸗ „Undsn 2 langte Linie Aß durch dieſe Verhaͤltniß: Sin. DAB: DB = Sin. ADB: BA. fang a . Aufgabe. von dei „ §. 12. Die Groͤſſe des Erd⸗Diameters zu⸗ Nimis),N ſinden. . ad 1. Aufloͤſung. 1) Nehmet zwey hohe Berge an EG, die einige Tab. Geog. Meilen von einander liegen, und meſſet ihre Weite EG Fig. 3. denchttngs (§. 11.)., welche in die Stelle von LM, ohne mercklich ſdorchde⸗ zu fehlen, kan geſetzet werden (§. 2.). gigente 2) Weil die Hoͤhen der Berge durch den Mittel⸗ miace Punct der Erde gehen (§. 168. Geom.); ſo koͤnnet Sites ihr den Winckel bey b finden, wenn ihr nemlich den Srir⸗ Winckel bey E und bey G gemeſſen (§H. 110. 149. Geom.). ODYYVMVMUDW 3) Sprechet: rrN F: LM = 360: Per, des groͤſten Circuls der te⸗ „ Naneb ⸗Kugel. 3 . 4 Nun habt ihr die Peripherie in Meilen, folglich vencn koͤnnet ihr auch den Diameter der Erde in aen holim finden (§. 295. Geom. ). Dieſe Art den Diameter ,Eit der Erde zu meſſen hat Kepler in Epit. Aſtron. p. 28. ſ. , ebraucht TabeGeog. Fig., 4. 932 Erſte Gruͤnde der Geographie. 2. Aufloͤſung. 1) Nehmet zwey Oerter A und B, welche unter einem Meridiano HIDFGH liegen. 2) Suchet in beyden Oertern die Pol⸗Hoͤhen, nemlich in A den Bogen DF, und in B den Bogen 56 (§. 14. Aſtron.). Da nun FG in Anſehung der Gra⸗ de = fg (§. 107. Geom.); ſo iſt fg der Unterſcheid beyder Pol⸗Hoͤhen. 3) Af = Bg = 90⁰° (§. 5§. Aſtron.); folglich iſt AB = feg (§. 92. A. M.), und alſo iſt auch Ab der iterſchend nen beyden Pol⸗Hoͤhen DF und DG. Da ihr nun den Bogen AB in Graden habt, ſo ſu et auch deſſen Groͤſſe in Meilen (F. 11.). habte 9 4) Schlieſſet weiter: Die Grade des Bogens: zu der gefundenen Anzahl der Meilen = 3600⁰: der Groͤſſe der Peripherie der Erde in Meilen. 5) Aus dieſer vierten Proportional⸗Zahl ſuchet den Diameter der Erd⸗Kugel (§. 286. Geom.). 1. Anmerckung. §. 13. Vergleichet dieſe Arten den Diameter der Erd⸗ Kugel zu finden, mit dem, was in der Geometrie §. 280. ſſ. von Erfindung der Groͤſſe des Di meters eines Circuls, und §. 192. ſ. von den Triangeln ausgefuͤhret: ſo werdet ihr mit leichter Muͤhe noch mehrere Arten entdecken koͤnnen, den wah⸗ ren Diameter der Erde zu finden. Mit Nutzen kan hiervon geleſen werden, was Ricciolus in Geographia reformata L. V. Cap. III. ausgefuͤhret. . 2. Anmerckung. §. 14. Insgemein nimmet man an, daß der halbe Dia⸗ meter der Erde 860 deutſche Meilen, deren 15 auf einen Grad in dem groͤſten Circul der Erd⸗Kugel gehen. Erklaͤrung. §. 15. Es werden auf der Erd⸗Kugel verſchie⸗ dene — P P Eſ Nene Ctenone ten don⸗ den VNd Ne ude l6 Zu ſt Glad eines I ſehung von Es ſey Und ? tul,ſo i von demn fetnung meter de ſpleſt inne . QAum en Iu funn phie. B, wvelchete⸗ die Polihe den Bognt ſehung dere der Utet . n.)z folcit iſt quch t⸗ P und N! ſtſit⸗ der gefmnt der Cie n Slſget veoth. X eter der ei . 4 8Cral nen den en ien ns kimn KN fiinen N Erſte Gruͤnde der Geographie. 933 dene Circul angenommen, welche in allen ihren Punc⸗ ten von dem Aequatore gleichweit entfernet ſind, und dieſe werden Parallel⸗Cireul genennet. Aufgabe. §. 16. Zu finden, wie viele Meilen auf einen Grad eines Parallel⸗Circuls gehen, deſſen Ent⸗ fernung von dem Aecquatore gegeben. Aufloͤſung. Es ſey A Q der Diameter von dem Aequatore, Tab. Geo und EF der halbe Diameter von dem Parallel⸗Cir⸗ graph. Big. cul, ſo iſt F Q die Entfernung des Parallel⸗Cireuls 5. von dem Ae quatore, E F der Coſinus von dieſer Ent⸗ fernung (§. 182. Geom.), und C F der halbe Dia⸗ meter von der Erde oder der Sinus totus. Daher ſchlieſſet: Sinus totus: Coſinum der gegebenen Entfernung F Q= Groͤſſe eines Grades im Aequatore: der Groͤſſe eines Grades in dem Parallel⸗ Circul. 1. Anmerckung. F. 17. Es ſey H Q = 510. Daher ſchlieſſet: Log. Sinus totus 100000000 Coſin. 510 — 97988718 Log. 13 — 11760913 Log. 10 Paral. Circ. = 10974961. Da nun dieſes der Logarithmus bvon 90 267; ſo hat ein Grad in dem Parallel⸗Eircul 9 Meilen und 26 Minuten. Es gehen aber 60 Minuten auf eine Meile. 2. Anm erckung. §. 18. Durch dieſe Aufgabe kan folgende Taffel verfer⸗ biget werden, in welcher die erſte Reihe die Weite der d rallel⸗ 934 Erſte Gruͤnde der Geographie. Eiie rallel⸗Circuln vom Aequatore in Graden, die andere aber V die Groͤſſe eines Grades in deutſchen Meilen und ihren Murdie Minuten angegeben wird. um eE Nm b 01S O23 13 48 46 10 25 69 5 23 I Gaj 114 §9 2 4 ⸗ 42 472%14/70%. 8 Plgbelte⸗ 2%½ 59 255°C36 48122 2 72² 4 53 Veiitged 314½5 C58 126 „⸗ 29 49 9 50 72 ½ 38 Chnl⸗ 4 ,/Ä) 5727 ⸗ 22 50 38-732 23 ranic⸗ 5L⸗⸗ 56128 1°1I5 51122 261741 „ 8 Diahn 614 5529 13 71529 141753 53 UtnGnde 7 55 53 30 12 59 53 3 2 76 %„ 38 in fcde 8 ‧5 5131 ⸗ 51 54 18 49 ,775 23 (Phrder 9 45, 48 32 °43 55 e⸗ 36 78 2 8 alſnc rIol-⸗⸗46133 1 35]56ſ=⸗ 237912 521 undae 11 14 43 34 12 26 157 8 10 80]2 36 ſihuf 12 %% 40 3 5Ü5 17 587 571812 20 135137 3656½ 8 19 ⸗ 44182 %6 F X 1415 33 137111 59 601⸗⸗ 30183 1 50 gnnes⸗ IIS1⸗ 29 3816° 6 491612⸗ 16184 34 in ig 16114 2539 111 39 627 2 [851 18 ien 171 21 40 ⸗ 29 63 6 48 86%5%-J3 18 5⁄5 16 41 2 1964 2 34 187 0° 47 R 19 5½ II 42 ½s 9165 ⸗⸗ 20 188 231 2015 6143 10 58661⸗⸗ 6189625° 16 , 216½ 0%44 ⸗ ſorſs 52 90 0° e 22113 541451⸗ 366812 38 “S der Aufgabe. Tab. Geo- §. 19. Es wird die Hoͤhe des Auges von der graph. Fig. Flache des Erdbodens gegeben nemlich BA; ihr 3 ſollt beſtimmen, wie weit ihr von dieſer Hoͤhe ſ auf die Ilaͤche des Erdbodens ſehen koͤnnet. u Auf⸗ aphie Erſte Gruͤnde der Geographie. 939 r Onneris Au fl 6 ſun g. eilen undie 1) Addiret die Hoͤhe des Auges B A zu dem halben Diameter der Erde C B; ſo habt ihr die Linie CA. n 2) Da nun bey D ein rechter Winckel (§. 170. 69ſſ 171. Geom.) und die Linie CD als der halbe Dia⸗ 0,1 meter der Erde auch bekant iſt, ſo koͤnnet ihr den e Wirnckel bey C durch folgenden Schluß finden: 7 3 CA: Sin. D= CD: Sin. A. , 43 Nun aber iſt C = 180°— (D †+ A) (§. .49. Geom.). 3) Da euch nun der Bogen B D als das Maaß 1 von Cin Graden bekant, ſo koͤnnet ihr denſelben 76 9,41 in Meilen finden (§. 14.). 7 8, 4) Sollte der Bogen B D in einem Parallel⸗Cir⸗ , cul ſeyn, ſo ſuchet die Entfernung dieſes Circuls 79l2 wvon dem Aequatore; ſo koͤnnet ihr die Weite auf ſ S gleiche Art finden (§. 18.). 2 31 . .B i/ §. 20. Es ſey B A — 5/ nemlich die ordentliche Hoͤhe 0 des Auges eines Mannes von der Erde; ſo werdet ihr , , finden, daß B D in dem groſſen Circul der Erd⸗Flaͤch — nicht uͤber 11 Meile. 118 Juſatz. 43 §. 21. Hieraus iſt leicht zu begreiſſen, wie folgen⸗ de Aufgaben aufzuloͤſen: e431 1) Es wird die Weite gegeben, in welcher eine e Sache von der Erd⸗Flaͤche geſehen wird: ihr ſollt die Hoͤhe finden. R 2) Es wird die Hoͤhe einer Sache gegeben, und — der Punct auf der Erd⸗Flaͤche, aus Weichein ſie zu erſt geſehen wird; ihr ſollt die Entfernung dieſer Sache von dem gegebenen Punct finden. gent Erklaͤrung. 6 §. 22. Die Weite des Mutags⸗Circuls eines Orts, von dem erſten Mittags⸗Circul heiſt in der Geogra⸗ lo. phie die Laͤnge des Orts. und die Entfernung des 936 Erſte Gruͤnde der Geographie. des Orts von dem Aequarore gegen den Pol zu, heiſt die Breite des Orts. 2 Zuſatz. §. 23. Folglich iſt die Lange eines Orts der Bogen des Aequatoris zwiſchen dem erſten Mittags⸗Circul und dem Mittags⸗Circul eines gegebenen Orts. Und die Breite eines Orts iſt der Bogen des Mittags⸗Cir⸗ culs, der zwiſchen dem Aequatore und dem gegebenen Ort enthalten. §. 24. Die Breite eines Orts iſt der Pol⸗Hoͤhe gleich. Beweiß. Tab. Ceo- Es ſeh ZA die Breite des Orts Z, und P H die Pol⸗ graph. FPig. Doͤhe. Zumahl HI der Horizont. Da nun Z unter dem Zenith lieget, ſo iſt O H= 90 (§. 5. Aſtr.). Da ferner P der Pol, und DA der Aequator, ſo iſt auch PA = 90° (§. 27. Aſtr.), folglich iſt OH H= PA (S§. 2 A M.). Subtrahiret demnach von beyden PZ, ſo PH = ZA (S. 92. A. M.). W. Z. E. W. Zuſatz. §. 25⁵. Suchet demnach die Pol⸗Hoͤhe an dem ge⸗ gebenen Ort (§. 14. Aſtron.); ſo habt ihr auch deſſen Breite. Aufgabe. §. 26. Den Unterſchied der Mittags⸗Stunden an verſchiedenen Oertern zu finden. Aufloͤſung. Es wird voraus geſetzet, daß man an beyden Oertern den Anfang der Stunden zehlet von dem Termin, da der Mittel⸗Punct der Sonne in den Meridianum tritt. Da nun an allen Or⸗ ten, welche in einem Meridiano liegen, auf einer Helffte der Erd⸗Kugel die Finſterniß des Moni Eiſel u Cleche ſched e Min tern o ſoherde utetdie Sen Oertern de Drynenommen. 1) Suchet d Ptr ihe den d 4 . ſ.27. .E. Anfang Rer N in Berlin MWaſt Muſtags⸗Etn Miteg elsff a zu m t kejuane Mkdh det) Iſben wincklchef unehtnen, Bogen de Nutn. gegen ſteccen Aedarore lch G 1 n4nn ſrnuc phie. Erſte Gruͤnde der Geographie. 937 en den n zu gleicher Zeit anfaͤngt; ſo koͤnnt ihr den Unter⸗ ſcheid der Mittags⸗ Stunden an verſchiedenen Oer⸗ tern auf folgende Art finden: Orts deeg ¹) Mercket die Stunden, in welchen man an bey⸗ Mitoge⸗ov . den Oertern den Anfang der Mond Finſterniß enen Ote wahrgenommen. es Mitinel⸗ 2) Suchet den Unterſcheid dieſer Stunden, ſo ddengen habt ihr den verlangten Unterſcheid gefunden. Anmer cku ng. der aeon (. 27. 3. E. im Jahr 1701. den 22 Febr hat man den Anfan der Rond Zinſternig, wahrgenommen, in Berlin 10 St. 59 364 te .in Pariß. 10 15. 22 OPhri Alſo iſt 44 3 13 der Unterſchied der Uuul Mittags⸗ Stunden, das iſt, in Berlin iſt 4* 1¹ eher AſrA). Q e Mittag,e als in Pariß. , oe 540 Aufgabe. E, §. 28. Zu unrerſuchen, wie viele Grade von . dem Aequatore in einer in Stunden gegebenen Zeit durch den Merichianum gehen. e ddent hn Au flö (ung. Indem der Meridianus den Aequatorem recht⸗ wincklicht ſchneidet (§. 23. Aſtron.), ſo kouͤnnen wir 3gsGm annehmen, als wenn der Durchſchnites⸗Punct den . Bogen des Aequatoris, der durch den Mer: num gegangen, mit einerley Geſchwindigkeit be⸗ ,bn ſchrieben. Hieraus erhellet, daß die Bogen des nt N 4 Aequatoris die durch den Meridianum gehen, der enn Zeit, in welcher ſie beſchrieben worden, proportionir⸗ neem lich (§. 19. Dyn.). Da nun der gantze A quator An in 24 Stunden durch den Meridianum gehet, ſo koͤnnk , ihr durch folgenden Schluß das verlangte finden: 1 AINnn 24 St., 938 Erſte Gruͤnde der Geographie. ee 24 St.: 360 = die gegebene Zeit: den Graden des Bogens, welcher in der geſetzten Zeit dur den Meridianum gegangen. L d n ds d tlicher Oern Aufgabe. zwein N r §S. 29. Die Laͤnge eines Orts zu finden. lema Aufloͤſung. 1) Obſerviret die Laͤnge eines beſtimmten Orts )Beſcreke Unter dem erſten Meridiano (S. 22.). Gnct N XC 2) Suchet den Unterſchied zwiſchen den Mite alte (u tags⸗Stunden dieſes und des gegebenen Orts (J. (ie daſt 26.). NeN R de 3) Verwandelt dieſen Unterſcheid in Grade des munbalciig Aequatoris (§. 28.). de Grded ) Dieſe addiret zu der obſervirten Länge, wenn. e we s ihr die Laͤnge eines Orts gegen Abend, und ſubtra⸗ CDenm hiret ſolche von der obſervirten Laͤnge, wenn ihr die gt Laͤnge eines Orts gegen Morgen verlanger (§. 23.). ndiic . eu de De 4 1. Anmerckung. ins §. 30. Ich ſollte glauben, daß durch den Gebrauch der i⸗ Magnet⸗Nadel die Laͤngen der Oerter genau koͤnnten be⸗ ſtimmet werden; doch dieſe Unterſuchung will bis zu einer 9) U andern Gelegenheit ausſetzen. tet dern 2. Anmerckung. e . 31. Nunmehro ſollte ich auch beſchreiben, wie eine uenn kuͤnſtliche Erd⸗Kugel zu verfertigen, wie auf dieſelbe durch nd tni die Laͤnge und Breite die Oerter zu tragen, und wie durch s Reine deren Gebrauch die geographiſche Aufgaben aufzuloſen. ſegt; 4 Wer aber das verſtanden, was von Verfertigung der Him⸗ U mels⸗Kugel (§. 59. Aſtr.), deren Gebrauch (§. 66. f. Aſtr.) und der Eintheilung der Erd⸗Kugel bis hieher beſchrie⸗ ben; der wird alles ohne ferneres Erinnern beurtheuen Lonnen. Auf⸗ emnſte hie. t: den Kehe. Kten Netecck Aufgabe. §. 22. Aus der gegebenen Laͤnge und Breite etlicher Gerter und der Weite vieler andern von zweyen der vorhergehenden eine Particulaͤr⸗ inn. Aand⸗Charte zu verfertigen. Aufloͤſung. fſtinneh 1) Beſchreibet ein Rectangulum A B D C, und Tab. Geo- traget in A C und B D die Grade der Breite in graph. Fig. hen dah Meilen (§. 24. 18.) und auf AB und C D die?: enen O Grade der Laͤngen in Meilen (§. 29. 18.). Hie⸗ bey iſt zu mercken, daß ihr die Grade der Breiten eh von beliebiger Groͤſſe annehmen koͤnnet; hingegen die Grade der Laͤngen zu ihnen proportieniren muͤſ⸗ , Cnnn ſet, wie es die Breite der Parallel⸗Circul A B und , nbſe ½D erfordert (§. 18.), ,wenn iſt 2) Zehlet in AB und CD die Laͤnge eines Orts r6 ab, und ziehet die Linie H G; in A C und B D neh⸗ met die Breite und ziehet die Linie H E. Wo die⸗ ſe beyde Linien einander ſchneiden nemlich in I; da rarh iſt der gegebene Ort. B duue 39 Auf gleiche Art koͤnnet ihr die uͤbrigen Oer⸗ dniißf ter, deren Laͤnge und Breite gegeben, auf die Char⸗ te tragen. Z. E. den Ort R. 4) Mit der Weite des Orts L von I, machet aus ſen t I, und mit der Weite des Orts L von R, machet ſleng aus R einen Durchſchnitt gegen die Gegend, wo er gunn lieget; ſo wiſſet ihr auch ſeinen Ort nemlich L⸗ iſeo Und ſo, weiter. ng dul 4 1 4 Kxrklaͤrung. in §. 33. Eine jede Flaͤche auf der Erd⸗Kugel, wel⸗ che zwiſchen zween Parallel⸗Circuln lieget, beiſt ein Nnn 2 Strich Erſte Gruͤnde der Geographie. 939 949 Erſte Gruͤnde der Geographie. Strich Landes (Zona), und zwar ſind dieſe kalte Striche (Zonae frigidae), welche ſich zwiſchen den Polar⸗Circuln befinden; daher iſt ein kalter Nord⸗ Strich, und ein kalter Suͤder Strich: tem perir⸗ te (Zonae tempêratae), welche zwiſchen den Po⸗, lar⸗Circuln und einem Tropico liegen: hitzige Stri⸗ che (Zonae torridae), welche zwiſchen dem Tropi- co Cancri und Tropico Capricorni liegen. 1. Juſatz. S. 34. Iſt die Breite eines Orts unter 23⁰ 297, ſo liegt er in der hitzigen; iſt ſie uͤber dieſe Groͤſſe aber unter 66° 31“, ſo iſt der Ort in einer tempe⸗ rirten; endlich wenn ſie uͤber 66 3160, in einer kal⸗ ten Zona. è . 35. Die Sonne gehet nicht uͤber die Tropi- sos von dem Acquatore weg, und koͤmmt in jeden des Jahres einmahl (§. 51. Aſtr.). Woraus er⸗ hellet, daß die Sonne denen, die in der hitzigen Zona wohnen, des Jahres zweymahl; denen, die unter einem Tropico liegen, einmahl; und denen, die auſſerhalb den Tropicis liegen, in einer temperir⸗ ten oder kalten Zona niemahls uͤber die Schei⸗ kel komm.— Exrklärung. §. 63. Wenn die Sonne der Scheitel am nech⸗ ſten iſt, faͤngt ſich der Sommer an; wenn ſie am weiteſten davon iſt, der Winter; wenn ſie nach dem Winter in den Aequatorem tritt, der Fruͤh⸗ ling: 3 werdet myne 8 ner, nt en i 7 Ui, dr unſt Weges iſt an r phie t ſind diegken ſich hoſchene in kalter e trich: tn nur biſchen deß nt hi irs hen den in⸗ ni liegn unter 21 ber dieſet in eiſte . Z11, in nn mnmt in ſe Keri iant D ie i ber “ Erſte Gruͤnde der Geographie. 941 ling; wenn ſie nach dem Sommer hinein kommt, der Herbſt. H r. zuſatz. d. 37. Vergleichet mit dieſem den . 35.; ſo werdet ihr erkennen, in welcher Zona des Jahres zweymahl Sommer und einmahl Winter. §. 38. In den ded er Strichen iſt Som⸗ mer, wenn die Sonne in den Krebs; Winter, wenn ſie in den Steinbock; Fruͤhling/ wenn ſie in . den Widder; und Herbſt, wenn ſie in die Waage tritt. Hingegen i in den ſuͤdiſchen Strichen iſt Som⸗ mer, wenn die Sonne in den Steinbock; Winter, wenn ſie in den Krebs; Fruͤhling, wenn ſie in die Waage; und Herbſt, wenn ſie in den Widder koͤm⸗ met. Alſo ſind in dieſen Theilen der Erde allezeit W igegen, geſee Jahres Jeiten. Lehr⸗ Satz. §. 39. Wenn die Sonne im Aeguaiore iſt, „ſo iſt an allen Orten des Erdbodene Tag und Nacht gleich. Beweiß. Denn ſie iſt alsdenn 12 Stunden uͤber und 12 Siunden unter d den Hornont. “ſl Nun 3 1. Zu⸗ 94² Erſte Gruͤnde der Geographie.⸗ 1. Juſatz. §S. 40. Aus gleichem Grund erhellet, 1) daß un⸗ ker dem Acquatore das gantze Jahr Tag und Nacht einander gleich. §. 41. 2) Daß unter dem Nord⸗ und Suͤder⸗ Ruche⸗ halbes Jahr Tag, und ein halbes Jahr cacht.⸗ —⸗RK 5. Zuſa tz. 8. 12. 3) Daß mit der Groͤſſe der Pol⸗Hoͤhe, üurnrd folglich der Breite des Orts (§. 24.) der laͤng⸗ Ete Tag zu, und der kuͤrtzeſte abnimmt. Erklaͤrung. §. 43. Dieſes iſt die Urſache, warum man die Flaͤche des Erdbodens in Climata theilet. Es wird nemlich ein Clima genennet ein ſolcher Streiffen auf der Flaͤche der Erd⸗Kugel, wo der laͤngſte Tag im Jahr um ein merckliches zunimmt. Buſatz— 5§. 44. Folglich wird ein Clima von Parallel⸗Cir⸗ euln eingeſchloſſen (§. 33.). Anmerckung. §. 4 ½. Die heutigen Geographi rechnen 25 Climata bis unter die Breite von 660 41 wo der laͤngſte Tag 24 Sinn E 1a K Mnt den Clatsſl Sronkeingten Cimm. l. II. II. W. V. VI. VII. I. .. X. III. IIII. MWV. W. WI W/ü: UUI: UI I. W. W. W.D Se We 46, ilweden eſoget, ralel ſhnede winckl ſ ſage le Duh 6 S= ☛t ,de 1 heliete 4), Nl natd Er geſſen 11 ℳ “ Em Erſte Gruͤnde der Geographie. 943 den iſt. Und nach dieſer Rechnung iſt das Ende eines jeden Climatis geſetzet, wo der laͤngſte Tag um eine halbe Stunde zugenommen. Wie folgende Tabell zeiget. Climata. Laͤngſter Tag. Pol⸗Hoͤhe. I. 12 St. O/ co 02 II. 12 30 89 25 III. 133 0 15 25 IV. 13 30 23 50 V. 14 0 30 20 VI. 14 30 36 28 VII. 15 4 22 VlIII. 15 30 45 29 IzX. 16 60 49 1 X. 16 30⁰ 51 58 XI. 17 0 54 27 XII. 17 30 7556 37 XIII. 18 0 58 29 XIV. 18 30 59 58 XVv. 19 61 84 XVI. 19 30 62 25 XVII. 20 63 22 XVIII. 2 30 64 6 XIX. 21 0. 64 49 XX. 21 3 656 21 XXI. 22 .* 65 47 XXII. 22 30 66 6 AXXIII. 23 66 20 XXIV. 23 30 66 28 XXV. 24 0 66 41 Siehe Riccioli Geograph. teformat. Lib. VII. Cap. 9. K. Erklaͤrung. §. 46. Der Aequator gehet mit dem Horizont entweder parallel oder nicht; iſt das erſte, ſo wird geſaget, daß die Welt⸗Kugel mit der Erd⸗Kugel parallel (Sphaera parallela). Iſt das letzte, ſo ſchneidet der Aequator den Horizont entweder recht⸗ wincklicht, oder in einem ſchieffen Winckel; iſt jenes, ſo ſaget man, daß die Welt⸗Kugel gerade (Sphae- ra Nun4 94 4 Erſte Gruͤnde der Geographie. ra recta); und wenn dieſes, daß die Welt⸗Kugel ſchief (Sphaera obliqua). Zuſatzͤ. §. 47. Iſt die Erd⸗Kugel parallel, ſo bewegen ſich die Sterne und die Sonne mit dem Horizont parallel. Iſt die Kugel gerade, ſo ſteigen die Ster⸗ ne und die Sonne gerade von dem Horizont her⸗ auf. Iſt endlich die Kugel ſchief, ſo ſteigen die Sterne und die Sonne uͤber den Horizont ſchief herauf. . Anmerckung. 6. 48. Stellet die Erd. Kugel ſo, wie bey der Himmels⸗ Kugel 9. 60 Aſtr gezeiget worden; ſo werdet ihr alle die⸗ ſe Veraͤnderungen ſinnlich zeigen koͤnnen. 0 in di Verfen r WV A. . Geotre fonkk,⸗ reu rlbel NDN Oe he. hllel, ſo benee it demn Hen teigen deen 1 Horien⸗ , ſo ſein , Horiſone e) her hinmmit⸗ bet hr l —e A. WM. allgemeine Mathematik; Rech. Aehnlichkeit, wenn . Regiſter der vornehmſten Woͤrter und Redens⸗Arten welche in dieſen Anfangs⸗Gruͤnden mathematiſcher Wiliſſenſchafften . enthalten. . Verfertiget von Joh. Ernſt Heumann, aus Saalfeld in Thuͤ⸗ ringen, der Gottesgelahrheit und Weltweisheit Befl. NB. Vor. bedeutet ſo viel als Vorbericht von der Mathematik:; Rechenkunſt; Geom. Geometrie; Dyn Dynamik; Trig. Trigonometrie; Mech. Me⸗ chanik; Aer. Aerometrie; Muſ. Muſik; Hydroſt. Hydroſtatik; Hydraul. Hydraulik; Opt. Optik; Perſp. Perſpectiv; Pyt. Pyrobolik; B. AK. buürgerliche Bau⸗Kunſt; Art. Artillerie . Kr. RK. Kriegs⸗Bau⸗Kunſt; Aſtr. Aſtronomie Chron. Chro⸗ nologie; Gnom. Gnomonik; Geogr. Geographie. Die Zaͤhl zeiget den § in jeder Wiſſenſchafft an. bdachung, was ſie ſey . 2. 25. Kr. BK. Abend, wo er ſey dſep ⸗ 35 aſtr. — Abend⸗Demmerung, was ſie ſeh? . 62. 2 Ablauf, was er ſey? — ⸗ 105. B. BK. Abſciſſe, was ſie ſey? „ „ 3565 Geom. Abweichung der WMagnet⸗Nadel, was ſie ſey? 234. Gnom. ⸗ wie ſie an einem gegebenen Ort und zu einer geſetzten . Zeit zu finden— . 30 Gnom. Addiren, was es heiſſe? ⸗ ⸗ ⸗ 775.79. A. M. das Zeichen wornit es ausgedruͤckt wird. . 51. „ Adſpect, was er ſey? „ ⸗ 124. Aſtr. ſie Dingen beygeleget werdes . ». A. M. * e das zeichen womit ſie ausgedruckt wird. ⸗ 2 NunnS Aequa⸗ z Regiſter. Aequation, was ſie ſey? ⸗ ⸗ GB. 176. Aſtr. Aequator, was er ſey? „ . 23. Aſtr. 5 Geogr. ⸗ ⸗ daß deſſen Hoͤhe mit der Pol⸗Hoͤhe 900 mache 27. Aſtr. ⸗ ⸗ wie zu finden, wie viele Grade von demſelben in einer in Stunden gegebenen Zeit durch den Me- ridianum gehen? ⸗ ⸗= 28. Geogr. Aerometrie, was ſie ſey? 2 2. . „24. Vor. Aether, was er ſeh ⸗ . 4 7. Opt. Asgregat, was es ſey? ⸗ . . 57. A. M. Anemometrum, was es ſey? 2 2 42. Aer. ͤ wie eines zu verfertigen? . 43.44. ⸗ Angriff des Feindes, was er ſey? 2 . 3. Kr. BK. Anguli contigui, was ſie ſeyn? ⸗ ⸗ 33. Geom. 2 ⸗ ⸗ daß ſie 180. Grad machen, wenn ſie auf einer geraden Linie ſtehen. ⸗ 114. Geom. Angulus parallacticus, was er ſey? ⸗ ⸗ 161. Aſtr. Anomalie, was ſie ſey? ⸗ ⸗ . 170. ⸗ „ mtittlere, was ſie ſey? . . 170. ⸗ . ⸗ ⸗ihr Maas. ⸗ I71. ⸗ „ eccentriſche, was ſie ſey? - ⸗ 173. ⸗ ⸗ ⸗ wahre oder coaoͤquirte, was ſie ſeyh? 174. 175. ⸗ Antichthoner, was ſie ſeyn? ⸗ . 3. Geogr. Antipodes, was ſie ſehn? 2⸗ ⸗ . 3. Geogr. Anzahl, was ſie ſey? ⸗ . ⸗ 3. Vor. Aphelium, was es ſen?y ⸗ ⸗ ⸗ 166. Aſtr. Approchen, was ſie ſeyn? 7 139. Kr. BK⸗ . bevwegliche, was ſie ſeyn? 5 139. H . ⸗ ⸗ wie ſie gemacht werden? — 140. . . „ unbewegliche, was ſie ſeyn? 2 139. 2 ⸗ ⸗ fwie ſie zu machen und aufzuwerffen? 142. ⸗ 2. . ⸗ „ derſelben Maas . 143. . . . ⸗„ wenn ſie halb und gantz tief? 143. 2 Apfidum Linea, was ſie ſey? Architrab oder Unter⸗Balcken, was er ſey? 1327. B. BK. Argument, was es ſey? 2 ⸗ 193. Aſtr. „ :⸗ der Inclination, was es ſey? 2. 193. ⸗ Aſcenſion, was ſie ſey 2: ⸗ „ 40. 2 „ gerade, was ſie ſey “ 40, „ ⸗ ⸗ ⸗ wodurch ſie zu beſtimmen? „ 41. 2. ⸗ ſchiefe, was ſie ſey * . Ahrolahbium, Wie es zu gebrauchen? „ 1II. Geom. Aſtronomie, was ſie ſey? ⸗ . . 34. Vorb. fſymptoten, was ſie ſeyn? 2 ⸗ 4 17. Geom⸗ Alitagud 166. Aſrr. tegteſttenen Juftif ibtrſ , ps aus de , Pir einer dent lß berfe⸗ i deſen verſt ten wora deß durch d Rede von det worden ſwie ebe 4D wohl deutich P * wennes den eMMuct Wsdehrune, weun z ae Neich ſenwercke : ſpes deren Mniſtseſti dcn enerke ¹ fhaͤs n kechungs Walun⸗ Bergizt ¹ Reſin Betmen NN e ſ.nthi 29, Mr. er. nſelben in hden Me. Aber ““l 4 4,4 3,Kl 33,04 e auf IE 161 6f. Nyo. 170, II 3 V.. 1 Gg 3 Clugt. 9 Vor. 166. Aſtr. 139. Kr. B 13 140.. 13 42. 4½ Regiſter. Attaque/was zul einer geſchikten erfodert werde? F. 138. 446, 1- —— . Kr. K. Aufriß, was er ſey? 45⁵. B. BK. ⸗ was aus demſelben zu erkennen? 147. ⸗ wie einer von einem Gebaͤude, deſſen Grund⸗ riß verfertiget worden, zu zeichnen? 148. Auge, deſſen verſchiedene Haͤute und Feuchtigkei⸗ ten woraus es beſtehet 82. Opt. * daß durch daſſelbe eine Sache alſo geſehen werde, wie das Bild beſchaffen, welches von der Sache in demſelben abgedruckt worden 87. 88. 2 wie es beſthaffen ſeyn muͤſſe, wenn es, ſo wohl in der Naͤhe, als in der Ferne, deutlich ſehen ſoll? 99 wenn es zwiſchen einem erhabenen Glaſſe und dem Brennpunct oder auch im Brenn⸗ punct ſteht, was folgt? 102 Ausdehnung, oder ausgedehnte Groͤſſe. Siehe Groͤſſe. 1 2 wenn zwey derſelben ſich decken? 121. Geom⸗ ⸗ daß die, welche einander decken, einander gleich und aͤhnlich ſind, und v. v. 122. Auſenwercke, was ſie ſeyn? 88. Kr. BK.⸗ ⸗ was deren Vollkommenheit erfordert? 96.91. Are eines geſchliffenen Glaſſes; was ſie ſeh? 64. Hpt. Axe von einer krummen Linie; was ſie ſey? 364. Geom. kleine und halbe kleine; was ſie eines Kegels; was ſie ſeyy 887 einer Kugel; was ſie ſey? 70 Brechungs⸗Axe/ was ſie/ ſey 2 . Welt⸗Axe, was ſie ſe? 4. Aſkr. 5 Gevgr Zwerch⸗ Axe, was ſie ſey? 46. Opt⸗ Banguet, was es ſey? 14. Kr. BK. ⸗ deſſen Breite und Hhe 3. K In⸗ 1 Barometer oder Baroſcopium, was er ſeyy 2 . Aer. ⸗ deſſen Nutzen ſen 37. 38.41. wie iter zu verfertigen? 32. „, worauf bey deſſen Verbeſſerung zu ſehen? 33 Baßie, was ſie fey? W iu ſeh 56. Geom. Paſteyen, was ſie ſen H. Kr. BK. Batterien/ vder Bettungen, was ſie ſeyn? 147. Bede . . ede⸗ Regiſter. “ Bedeckung (im Kriege); was ſie fuͤr Eigenſchaff⸗ ten haben muͤſſe? §. 10. Kr. Bk. Bemuͤhung, was ſie ſey? D E5 Dyn. Bequemlichkeit eines Gebaͤudes, was zu derſelbe, erfordert werde? 20. 23. 31. V B. BK Berme, was ſie ſey? Kr. BK.⸗ ⸗ deren Groͤſſe 33. Bewegung, was ſie ſey? 1L0. Dyn. ⸗ wie eine eben ſo ſtarcke durch eine geringere Anzahl der Dinge zu erhalten, als ſonſt durch mehrere Dinge erhalten worden? 4. Mech. * gleichfoͤrmige, was ſie ſey? 3 14. Dyn. „2 was aus derſelben folgt, 1) wenn die Gce⸗ ſchwindigkeiten und Zeiten gleich: ² 15. ⸗ 2) wenn die Geſchwindigkeiten und Raͤu⸗ me gleich. 1dA6. a„ ⸗ ⸗ 3) wenn die Zeiten und Raͤume gleich: 17. ⸗ 4) wenn die Zeiten gleich? 18. „ ⸗ ) wenn die Geſchwindigkeiten gleiche 15. — . ⸗ 6) wenn die Raͤume gleich? =ð 20 „ daß in derſelben die Raͤume in einer zuſam⸗ mengeſetzten Verhaͤltniß der Zeiten und Geſchwindigkeiten 2r. 2 :⸗: daß in derſelben die Geſchwindigkeiten in einer zuſammengeſetzten Verhaͤltniß der Raͤume und verkehrten Verhaͤlt⸗ 2 d niß der Zeiten 23. ⸗ daß in derſelben die Zeiten in einer zuſam⸗ mengeſetzten Verhaͤltniß aus der Verhaͤltniß der Raͤume und verkehr⸗: . en Verhaͤltniß der Geſchwindigkei⸗⸗ „ wie in erſelben die Geſchwindigkeit zu 2ð finden, mit welcher ein Raum be⸗ ſchrieben? 25. „ wenn in derſelben die Raͤume ſich wie die Geſchwindigkeiten verhalten, daß alsdenn die Zeiten gleich . 2,. ⸗ ungleichfoͤrmige, was ſey 14 * ⸗ wodurch ſie in einer Machine glechffr⸗ mig zu machen— 136 6. Nech. gleichfoͤrmig zunehmende, was ſie ſey? 28. Doyn. 4 ⸗ ⸗ daß in derſelben die Raͤume in—= ratione duplicata der Zeiten 30. ⸗„ „ daß in derſelben der Anwachs der Raͤn 6* à S R a . , ifteni 1 ing nl , rene was D das , Ware, ns N geben, was Müfrung was „ zuſere vnd „Men A Nllwerce, we . e doß ſe ſ oß ſe n 1 Homnbe, ſhes Bruandtöft, P Mb Reeitg pirſt Di in NV üuies nnne fAm e dDW ”ð”ͦ́”ÿ”ƷRM Duenpne Brilen ief 4 pe h⸗ ie er ſeene . MWhrn e 1 haff noght 5 R tſelben ,31 l dc. 3 RlN ingere ſonſt n? 4.N 14 N ie Ge⸗ eich? . hi⸗ 1 10 „ 15 20 unn⸗ Regiſter. RKaͤume durch ungerade Zahlen auszudrucken g. 32. Dyn. gleichformig abnehmendes, was ſie ſey⸗ 28. ⸗ eigene, was ſie ſey? 20. Aſtr. ⸗= gemeine, was ſie ſey 20. ⸗ mittlere, was ſie ſey —— 169. ⸗ waͤhre, was ſie ſey? 169 Bloͤſſe geben, was es heiſſe? 2. Kr. BK. Boͤſchung, was ſie ſey? 25. ⸗ aͤuſſere und innere, was ſie ſey? 25. ⸗ ⸗ deren Anlage 26. Bollwercke, was ſie ſeyn? 47. =ihre Gr. oͤſſe 5I. ⸗ daß ſie ſpitzig zulauffen muͤſſen 4⁸. ⸗ daß ſie nicht aus bloſſen Daſen beſtehen kaͤn⸗⸗ nen 55. Bombe, was ſie ſeh? 46. Art. Brandroͤhre, was ſie ſey? 46. Brechen (der Erralem/ was es ſey 45 Opt. Breite, was ſie ſeyh? 1. Geom. Breite eines Grtes; was ſi ie ſey? 22. Geogr. ⸗ daß ſie der Pol⸗ Hoͤhe gleich 24. eines Planeten; wie ſie zu finden, wenn der In⸗ clinations⸗ Winckel, der Elongations⸗Win⸗ ckel undCommunieations⸗Wicckel gegeben worden? . 1. 206 Akr. eines Sterns; was ſie ſeny) 35. „ was die Erfahrung von derſelben lehre? 38. . :⸗ die nordiſche und ſuͤdiſche, was ſie ſey? 35. ⸗ ⸗ an Hre eege vare wad ie ſey? 35. Brennpunct, was er ſey? 3566. Geom. Brillen, was ſie ſeyn? TLol. Kr. BK, wie ſie vor ein Ravelin nach VanbansArt zu zeichnen? 102. ⸗ wie ihre Defenſion zu verſtͤrcken? 103. Bruch, was er ſey? 92295. Rech. wie er geſchrieben wird« 100. a wie einer in einen andern Neichauleigen uwer. wwandeln welcher eine gehebeneVenennung t Bruͤche, welche herauskommen, wenn man den 3 Zeh⸗ ler und Nenner eines Bruchs durch eine Hahl multipliciret oder dividiret; wie ſie beſchaffen? 107. 102. ache von unterſchiedener Benennung; wie. ſolch Regiſter. ſolche unter einerley Benennung zu brin⸗ geen, ſo, daß dieſe jenen gleich g. 106. Rech. ⸗ aulboben, was es heiſe und wie es geſche. he? 110. welche einerley Benennung oder Zehler ha⸗ ben, wie ſie ſich zu einander verhalten? 114 wie verſchiedene zu addiren und ſubtrahiren? 116. ⸗ ⸗ multipliciren! 12323. ⸗ ⸗ dividiren? 125. ⸗ wie ſie zu gantzen Zahlen zu addiren und ſub⸗ trahiren? 122. ⸗ ⸗ durch gantze Zahlen zu multipliciren? 124. ⸗ uneigentlicher, was er ſey? 118. ⸗ daß in ſeinem Zehler das gantze, wel⸗ ches in gleiche Theile getheilet worden, ein oder etlichemahl ent⸗ halten. rTIY9. Bruſtwehr, was ſie ſey? rII. Kr. BK.⸗ 2 deren Hoͤhe und Dicke 1I3-ñ ⸗ daß ſie mit Banquets zu verſehen ſey. ² daß ſie gegen den Feind niedriger ſeyn muͤſſe, 14. . als gegen die Beſatzung 18. daß ſie eine ebene Flaͤche Haben muͤſſe, wel⸗ che ſo breit, daß die Stuͤcke darauf ſtehen koͤnnen 21, „ daß ihr Angrif dem Feind ſo beſchwerlich zu machen, als immer moͤglich 28. ⸗= wohin ſie zu legen? 45 * daß ſie nicht in einer geraden Linie koͤnne fortgefuͤhret werden. 46. Daß niedrigere von hoͤhern durch einen Gra⸗ ben abzuſondern. 2. C. Calculixen, was es heiſſe? 189. Vor. Calculus dyvadicus, worinne er beſtehe? 13. 19 Rech. Calendae, was ſie ſeyn, und wie ſie zu zehlen? 36. Chron. Caliber, was er ſegyy 14. Art. ⸗ wozu er zu gebrauchen? 15. Caliberſtab, was er ſey 14. — ⸗ wie er zu verfertigen? 17. Canales communicantes, wie ſie ſeyn? 1. Hydroſt. 2 wenn ſie mit einer fluͤßigen Materie von einer⸗ ley Art gefuͤllet; was folgt? 1. wenng 1 woannſen denet ſel ſolgti Caopitel nan es Cjnineg ins ſt 1 gonge ub he irtheune nus ſe e gloß deren cellecder idel ie und wo ſe duht, ſeab ſeſen Linfalls⸗Cerk Obhignsdr Mlegans Gronglogieimn .„Mb Proctſche Ctcul oder be Mond 1 ß e 1 1 Gufnere ie .5 hr e te Cidd Wen * M Regiſter. wenn ſie mit fluͤßigen Materien von verſchie⸗ huir. dener ſpecifiſcher Schwere gefuͤllet, was ſe folgt;: 57. Hydroſt. ih. Capital, was es ſey 123. B. BK. llo⸗ Caponieres, was ſie ſeyn? 117. Kr. BK. ho⸗ ⸗ gantze und halbe, was ſie ſeyn? 117. . garthaune, was ſie ſey⸗ 27. Art. nen n⸗ wie groß deren Ladungg 29. 1, Casſtelle oder Citadelle, was ſie ſeyn? 120. Kr. BK. 11. ⸗ wie und wo ſie anzulegen? 121. 122. ſub⸗ Gatheti, was ſie ſeyn? 52. Geom. ⸗ Einfalls-Cathetus, was er ſey? 133. Opt. . ⸗ PObliquations-Cathetus, was er ſen? 133. i⸗ ⸗ Reflexions. Cathetus, was er ſey 133. hel. Chronologie im algemeinen Verſtande was ſie ſey⸗ 25. Vor. ſet ⸗ :⸗ die Urſach ihrer Benennung 27. eut⸗ ⸗ practiſche, was ſie ſey: I1. Chran. 119 Circul oder Periodus, was er ſey? 46. I, A ⸗ WMond⸗Circul, was er ſey? 57. 13 2 daß er eine Reihe von 19. Jahren, und deie Tage nicht laͤnger als 312. Jah⸗ ſet re richtig anzeigen koͤnne 58. 1, . Sonnen⸗Circul, was er ſey: FI. 1 in iulianiſchen Jahren 53. . ⸗ : in gregorianiſchen Jahren 54. 1. ⸗ wie er auf ein gegebenes Jahr nach . Chriſti Geburth zu finden? zʒ. 9. Circul, was er ſey? 39. Geom. . ⸗ wie er entſtehe: 60. 3. ⸗ wie er willkuͤhrlich eingetheilet werde? 103. . ⸗ daß er durch den Diameter in zween gleiche F Leeeile getheilet werde. 112. ⸗ daß in einem jeden der Center⸗Winckel zwey⸗ mal ſo groß, als der Peripherie⸗Winckel 156 2 wie einer, deſſen Peripherie durch drey gege⸗ bene Puncte, welche nicht in einer geraden 1 Linſe ſtehen, gehen ſoll, zu beſchreiben? 184. yh wDie ein gegebener in ſo viele gleiche Theile zu AE theilen als man will? 256. * daß ein jeder gleich einem Triangel, deſſen Grund⸗binie ſo groß, als die Peripherie des Eirculs, die Hoͤhe aber dem Radio des ir 2 1 culs gleichte 2%vo z * wie deſſen Innhalt, ingleichen der Innhalt“ . von einem Ausſchnitt eines Circuls zu ſuchen? 279. wie 1 Regiſter. wDie ſich deſſen Innhalt zum Quadrat ſeines Diametri verhalte? FS. 293. Geom. ⸗ concentriſche, was ſie ſeyn? 99. „ „ deren Eigenſchafften 1I01. 102. ⸗ eccentriſche, was ſie ſeyn? 99 „ der cccentriſche (in der Aſtronomie), was er⸗ ſey? 168 Aſtr. ⸗ balber, wie er entſtehe? 113. Geom. daß 2. derſelben,/ welche aus verſchiedenen Puncten auf einer geraden Linie be⸗ ſchrieben werden, ſich nur in einem Punct ſchneiden köͤnnen. 125. Abweichungs⸗Circul, was er ſey? 23. Aſtr. Breiten⸗Circul, was er ſey? 357. Mittags⸗Circul, was er ſey? 6. Parallel⸗Circul, was er ſey? 35. DwDie zu finden, wie viele Meilen auf einen Grad eines ſolchen gehen, deſſen Entfernung don. dem Aequatore gegebenn?“ . Weiten⸗Circul, was er ſey? * Aſtr. Circul⸗Boͤgen, wenn ſie gleich viele Grade haben? 107. ben ⸗ daß die Anzahl ihrer Grade die Groſſe eines geradlinigten Winckels beſtimme? 108. ⸗= wie ſie in zween gleiche Theile perpendieular zu theilen? 166. Clima, was es ſey? . „ 223. Geogr. und deren Zeichen? ðè Compaß, was er ſey; 29. Enom. Compl. mentum, was es ſey 152. Aſtr. eines ſpitzen Winckels was es ſey? 1580. Computus quaternarius, worinne er beſtehe? 24 Naß Aecadicus, worinne er beſtehe? 26. 2 Conjunction, was ſie ſey? und deren deichen. 125. Aſtr. Conſonantien, was ſie ſeyn? . 353: 37. Muſ. Contreguarde, oder Conſerve, wos ſie ſen⸗ 94.Kr. BK. ⸗ 5. woraus ſie entſtanden? 55. Contreſcarpe, was ſie ſey? —357. ⸗ wohher ſie vertheidigen? 638. Cortine, was ſie ſey? ð ⸗ ihre Groͤſſe. S3. 54. Cotangens, was er ſey? 180. Geom. Cubus, (einer Zahl), was er ſey? Siehe Zahl 145. ⸗ (in der Geometrie), was er ſey 7. ⸗ wie deſſen usdehnuug 3 zu meſſendaarz⸗ 317. c ur lnineien enes Gt⸗ 11 ſſe ſe ufn Crünng 6 Gne un ſl Kdſer ltWneedt , Whrmndieter N Dch tas ei ſhn Kas es fir dkaus es wie es hl erades, iilt hohes nd mnſardicte : ſiſets i unatbrocene * mhinns lunn Nih, nt enn lunr Deg in; Zupe⸗ ſdet e n 6 aled Dachſt Z dl ſiſe⸗. ²˙ enn ſed ſſeſe gf nordiſchen mungtn, 1 Regiſter. ſeins l.l e Culmination eines Sterns, was ſie ſey? §. 45. Aſttr. „ ⸗ ⸗ :⸗ wie ſie zu finden? 46. ol. m Curtirung, was ſie ſey? §8S. 196. Aſtr. Cylinder, was er ſen⸗ 80. Geom dass ⸗„ wie er entſtehe? 81. e. ⸗ wie deſſen Innhalt zu finden? 323. inin ⸗ rechtwincklichter und ſchiefwincklichter, was denen er ſeyy 80. ie be⸗ einen D. . Ir Dach, was es ſey? 6 3N. „was es ſey? B. B — was es fuͤr Eigenſchafften haben muͤſſe? g. L 6 * woraus es zu bauen? 68. F. ⸗= wDie es zu bauen? 69. 70. d ⸗ gerades, was es ſey? 72. “ ⸗hohes, was es ſeny 72. 1 ⸗ manſardiſches, was es ſey? . 72. ℳ ⸗ ⸗ wie es müſſe beſchaffen ſeyn? 75⸗77. aten, m9 ungebrochenes, was es ſey? 72. at 2 zweyhaͤngiges, was es ſey? 72. Altanen⸗Dach, was es ſeh)h· 72. uc * womit es zu decken? 73. ℳ. SBaupt-Dach, was es ſey? 72. 46 Kuppel⸗Dach, was es ſey? 72 Pult⸗Dach, was es ſey? 72. ) e Sgttel⸗Dach, was es ſey? 72. Zelt⸗Dach, was es ſey 72. . Dachſtuhl, woraus deſſen Bau zu folgern? VDeclination oder Abweichung eines Ster 5 l ſie eyde hung eines Sternes, was 41 ⸗ wenn ſie die groͤſte? 24 Mr. 8 ⸗wie le in finden? 2. nordiſche und ſuͤdiſche 4 Denominator, was eſeai was ſie ſen⸗ 124. A M. wie u in einer arithmetiſchen Progreßion zu V. N 7 e L Deſcenſion, gerade und ſchiefe; ſi 13. Nech⸗ Diameter eines Circuls, ſriefe⸗ ſene ke ſyr. 12. Sm. Ute ⸗ wie er ju finden, wenn uns die Hoͤhe eines 6 Circul⸗Bogens und die halbe Sehne des 16 dad efin geheben wird? 209 7 . 5 alle einerley Verhaͤltni iohe⸗ GN 5 rien ihrer Circul haben. iß den Veriphe⸗ Ooo wie Regiſter. „ wie deſſen Verhaͤltniß zur Peripherie des Cir⸗ culs zu finden? g9. 283 Geom. Nwie er nebſt der Peripherie zu ſuchen, wenn R dDder Innhalt de Circuls gegeben worden? 295. „ wie deſſen Verhaͤltniß zu ſeiner Peripherie zu finden? 12. Trig. einer krummen Linie, was er ſey 364. Geom. ⸗ einer Kugel, wie ſich deſſen Cubus zur Kugel verhalte? 336. ,⸗ 2 wie er zu finden, wenn der Innhalt der V Kugel gegeben worden? 339. Dicke, was ſie ſey? 1. Differentz, was ſie ſey? 86. A. M. „ wenn gleiche oder ungleiche entſtehen? 92. Aſcentional⸗Differentz, was ſie ſey 44. Aſtr. Deſcenſional⸗Differentz, was ſie ſey 44 Dignitaͤt oder Potentz, was ſie ſey 145. Rech. „wie eine gegebene zu einer andern zu erhe⸗ . ben? . 164. wie aus einer gegebenen eine beſtimmte Wur⸗ tzel zu ziehen? 165. ⸗ wDie zwo derſelben von einerley Wurtzel durch einander zu multipliciren und dividiren? 149. ⸗ erſte, andere, dritte, vierdte, was ſie ſey 154. Ding, was darunter in der Mathematik verſtanden werde? B 4 Vor. = daß ein jedes ihm ſelber gleich und aͤhnlich. 7. A. M. „ wenn eines groͤſſer oder kleiner als das andere? II. Dinge von einerley Art, was ſie ſeyn? 1. Vor. wenn ſie ein erley, und wenn ſie verſchieden zu nennen? 1. A. M. Nwenn ſie unaͤhnlich oder ungleich? 5. „ welche aus aͤhnlichen Stuͤcken auf einerley Art gezeuget, daß ſolche einander aͤhnlich 11. Geom. „lebendige (in der Mechanik), was ſie ſeyn 164 Mech⸗ wDaeas man von ihnen aus der Efahrung 166. 168. 169⸗ wiſſe? lebloſe (in der Mechanik), was ſie ſeyn 164. 33. Muſ. . Diſſonantien, was ſie ſeyn Dividiren, ober Meſſen, was es heiſſe? 98. 102. A.⸗M. ⸗ das Zeichen, womit es ausgedruckt wird. 103. wDie es vom Multipliciren unterſchieden? 108. Diujiſor, was er ſey (Siehe Masß). 100. leugrn as 1 Dechen Bopft ſpos e dgoendiwer ce Darfitng nes ſtſ Drnk, Nis ſ Druk Mard, Nns . tſe ines ume Dylin ns tͤſ⸗ Aumiitt mſeſ lpnk n ſeſh tſ ſe ingeheie tit tl ſeſh Knel ti : ⸗ . cn . Mnn fähnm Kinchung n ſ . einer Hille,n hi vos ſe 14 ßſininderei Oinann oe⸗ als endeien nn demten nce e Wh . itine Drunmet ude n rfiſ Uur Ar. teitderſiten . . . Urh . . . erih firderelbon; Kimmit Unnulin Nbefbenc Nörd a Ueng rtifn Regiſter. oecaedrum, was es ſey? H. 64. Geom. ⸗ Drachen⸗Kopff, was er ſey? und deſſen Zeichen. 191. Aſtr. Ab Drac en. Schwantz was er ſey? und deſſen Zei⸗ un chen. 191⸗ jDroßirung, was ſie ſey . 25. Kr. B. en Druck, was er ſey 61. Dyn. Druck Werck, was es ſey 23. Hhydraul. bn . wie eines zu machen? 26. Daplum, was es ſey 16. A. M. et E. . 1Lecentricitaͤt, was ſie ſey 167. Aſtr. b Ecliptik, was ſie ſey 22. 32. „ wie ſie eingetheilet werde? 33. 4N. Einheit, was ſie ſey 5. Vor. 4, Einmal eins, wie es zu finden? 69. Rech. 1, % ⸗ ⸗ ⸗ — im calculo quarernario? 72. e⸗ ⸗ - 2 - . . decadico? 73. 16 . wenn keines moͤglich? 7o. ⸗ Einziehung, was ſie ſey 105. B. BK. 165. einer Saͤule, was ſie ſey 137 Ellipſis, was ſie ſey 367. Geom. daß ſich in derſelben die Quadrate der halben / Ordinaten verhalten, wie die Rectangula aus den Theilen der Axe, welche durch die 4M. halben Ordinaten beſtimmet worden 379. N : daß in derſelben die Groͤſſe der Axe von der 8 Grroͤſſe des Parameters beſtimmet werde 382. I. = daß ſich in derſelben das Quadrat der halben 1 Ordinat zu dem Reangulo aus den Thei⸗ r len der Abſciſſe verhalte, wie der Parameter ADzur Axe. V . 3844 . * wie in derſelben die Semiordinate zu finden? 386. 6 - 2⸗:⸗ die Axe zu finden? 387. . = - -= :⸗ der Parameter zu finden? 388. 392. ⸗= - - :⸗ der Brennpunct zu finden? 2 ⸗ daß in derſelben die Weite des Brenn⸗Puncts von dem Mittel. Punct der Axe die mittlere . Proportional-Linie zwiſchen der halben Axe N und der halben Differentz des Parameters won der Ae. „ 2893. daß in derſelben die kleine Axe die mittlere . Proportional-Linie zwiſchen der groſſen und Ooo2 dem Regiſter. dem Parameter. §. 391. Geghm. daß in derſelben die gerade Linie, welche aus dem Brenn Punct an das Ende der kleinen Axe gezogen wird, der halben groſſen Axe gleich ſey. 393. = daß in derſelben zwo gerade Linien, welche auns den Brenn.⸗Puncten in einen Punct der Peripherie gezogen werden, zuſammen ge⸗ nommen, der groſſen Axe gleich 397. wie eine zu beſchreiben durch die Bewegung eines Puncts, wenn der Parameter und die 5 groſſe Axe gegeben? 398. Enfilliren einen Weg, was es heiſſe? IIA. Kr. BK. Entfernung, was ſie ſey und wie ſie beſtimmet . werde? 14. Geom. der Krafft, was ſie ſey? 42. Mech. :⸗ daß ſie eine gerade Linie, welche aus dem Ruhe-Punct des Inſtruments auf die Directions-Linie der Krafft perpendi⸗ culaͤr gezogen wird. 43. der Laſt, was ſie ſey? 42. = : daß ſie eine gerade Linie, welche aus dem Ruhe⸗Punct des Inſtruments auf die Directions⸗Linie der Laſt perpendicu⸗ laͤr gezogen wird. 43 Epacten, was ſie ſeyn? 61. Chron. = jaͤhrliche und monatliche was ſie ſeyn? 61. wie ſie im iulianiſchen Jahr zu finden, wenn die guͤldene Zahl gegeben? 68. Erde iſt ein dunckler Körper. 92. Aſtr. ihr Schatten iſt Kegelfoͤrmig 94. = hat einen halb Schatten 95. 4 in welcher Zeit ſie ſich um ihre Axe und um die Sonne bewege? 146. . =daß ſie bey nahe kugelrund 93. Aſtr. 1. Geogte⸗ daß man ſie, ohne mercklich zu irren, fuͤr eine vollkommue Kugel annehmen konne 4. Geogr. daß die Hoͤhe ihrer Berge gegen ihren Dia⸗ . mekter in Anſehung der Entfernung des Mon⸗ des keine merckliche Verhaͤltniß haben koͤn⸗ nen. 2. wie auf derſelben die Entfernung zweyer Oerker, wenn ſie groß iſt, zu finden: 11. wie die Groſſe ihres Diameters zu finden?? 12 ⸗ — Eponent, N . W Ki fuden einer D Lunthni, koret, Wae! oher Fudte, was Eodtoret, Zrben zeß, tei een e S8S luuſe len . ſen Deder ni llel Nraut Aſen ſend mte Wi ⸗Wn i deldſchen e denſer, ſpen wos ſe, un D ne 1 N iſt iſfe gfizgn in ſ t elcheeus er kleinen oſfenihe NN. 1, welche unct det menge⸗ N. wegung und die A immet IN 420 Sdem ſdie ndi⸗ 4. 42. den öte -. . Chron. 61. a, 689 92. M 94 g. um 1n . Regiſt er. Exponent, was er ſey? §8VS. II2. A. M. wie er in einer geometriſchen Progreßion zu finden? 214. Rech. yeiner Dignitzt, was er ſey? 149. Kurythmie, was ſie ſey? 9 9. B. BK. Faces, was ſie ſeyn? 49. 56. Kr. BK. = deren Groͤſſe, 5‚0. woher ſie zu vertheidigen? §5y. Facta, was ſie ſeyn? 71. A. M. Facktores, was ſie ſeyn? 71. Farben, was die Erfahrung von ihnen lehre? 75:.81. Opt. D Faß, was es ſey? 346. Geom. =ein gegebenes viſiren, was es heiſſe und wie es geſchehe? . 347. Fauſſe breye, was es ſey? 41. Kr. BK. „ deſſen Eintheilung in attachée und detachte 44. Feder, was ſie ſey? 182. Mech. =woraus ſie am beſten zu verfertigen? 183. worauf bey deren Verfertigung vornehmlich zu ſehen? —R 184. Feind, was einer ſey? 111. Kr. BRs Feld, wie ein gegebenes in Grund zu legen? 263. Geom. ⸗ wie ein jedes geradlinigtes in ſo viele glei⸗ che Theile zu theilen, als man begehret? 268. Feldſchantzen, was ſie ſeyny 123. Kr. BK. „ die gewoͤhnliche Staͤrcke ihrer Wercke? 125. Fenſter, deren Abſicht und Eigenſchafften? 29. B. BK. ⸗ wenn viele in einer Wand gemacht werden, was dabey zu beobachten? 2. Feſte, und zwar bewegliche, was ſie ſeyn? 700 Chron. „⸗ 2⸗ deren Nahmen und Anzahk 73. unbewegliche, was ſie ſeyn? 70. „ ⸗ deren Nahmen und Anzahl 72 GOſter⸗Feſt, wenn es nach dem Schluß des Nicae- niſchen Concilii gefeyert werde? 74. Chron. „ 2 wie es auszurechnen 76. Feſtigkeit eines Gebaͤudes, woraus ſie zu beur⸗ theilen? 11⸗13. B. BK. ⸗ innerliche, was ſie ſeyn 43. woaus ſie zu beurtheilen? 4. 9 o 3 was Regiſter. „ was zu derſelben erfodert werde? §. 46. „seſſerliche, was ſie ſey .⸗ woraus ſie zu beurtheilen? 45. „ 2 was zu derſelben erfordert werde? 66=67. Feſtung, daß eine mit Auſſenwercken vollkommner als ohne dieſelbe 89. Kr. B, ⸗deutſche, welche die beſten? 133. hollaͤndiſche alte, was ſie fuͤr Eigenſchaff⸗ ten haben? 129 ⸗ hollaͤndiſche neue, was ſie fuͤr Eigenſchaff⸗ 1 ten haben? 30. ⸗ frantzoͤſiſche, deren Eigenſchafften 131. 132. ⸗= regulare, was ſie ſey 84. „ ⸗ wie deren Grund zu zeichnen? 85. * irregulare, was ſie ſey 84. „ :⸗ wie eine an einen irregulaͤren Platz an⸗ zulegen? 1IS. Royal⸗Feſtung, groſſe, mittel und kleine, was ſie ſeyn? Feuchtigkeit (im Auge) eryſtalline, was ſie ſey 82. Opt⸗ „2 was aus der Erfahrung von ihr bekant? 84. ⸗ glaͤſerne und waͤſſerige, was ſie ſey 82. Feuer, daß es ohne Lufft ſeyn kone 2. Pyr. „ daß es in der Lufft weit ſtaͤrcker, als in ei⸗ nem Raum der leer von Lufft 3 ⸗ daß keines ohne ſchnelle Bewegung 5. daß es entſtehe aus einer ſchnellen Bewegung des Aethers, wenn dieſer in der Bewegung an andere Korper gerieben wird 6. daß es durch die Lufft in einer geraden Linie fortgepflantzt werde . 14. worauf man bey Beſtimmung ſeiner Groͤſſe zu ſehen? 17. ⸗ daß es ſo, wie das Licht, fortgepflantzt werde 19. ⸗ daß deſſen Staͤrcke in gleichdicker Lufft und bey gleichvielen Feuer⸗Strahlen durch das Blaſen des Windes vermehret werde 43. „daß es nach der Gegend die groͤſte Hitze ha⸗ be, wohin deſſen Zug gehet 1. 10 ⸗was die Erfahrung von demſelben lehre? 52 Figur, was ſie ſey . . 35. Geom. ⸗ woraus deren Unterſchied zu folgern? 38. 49. 51. 54. 61. 63. B. BK. 43. wenn . Netint . gradlt inn gleichf ſenn .unter 4 . gei vn n ifen ſite K RKegiſter. ⸗ wenn zwey derſelben einander aͤhnlich, was 2 (66 folat⸗ hderſ §. 189. Geom. F. 6l. Gi eine gegebene in Grund legen, was es⸗ 6 eifſe? . ⸗ heif wDSie ſolches geſchiehet? „26232 e? GG. wie eine brennende zu machen? 59. Art. enuom geradlinigte und krummlinigte, was ſie ſeyn 30. Geom. l gleichſeitige und ungleichſeitige, was ſie Uſhefſ⸗ ſeyn . d. l unter ſich gleichſeitige und unter ſich un⸗ nſchef⸗ gleichſeitige, was ſie ſeyn 40. 1 . . ihre Eigenſchafften 41. 42. 1z1. 6 gleichwincklichte uud ungleichwincklich⸗ 4 te, was ſie ſey 2428. unter ſich gleichwincklichte und unter ſich ungleichwincklichte, was ſie ſeyn 4⁸. gon irregulaͤre, was ſie ſen 44090. 1 rechtwincklichte und ſchiefwincklichte, ,NeKs was ſie ſeyn 50. . , 2 regulaͤre, was ſie ſey . 49.⸗ ſy ad ⸗ ⸗ daß eine entſtehe, wenn man die Pe⸗ r, ripherie eines Circuls in gleiche L. Theile theilet, und die Sehnen die⸗ 2t. ſſer Boͤgen ziehet 249449. . « daß eine beſtimmet werde, wenn eine 3. regulaͤre geradlinigte Figur in ei⸗ 5. nnem ũCircul beſtimmet worden, und man ziehet mit deren Seiten um den Circul Parallel⸗Linien. 252.3 “ 2 daß eine jede wenn ſie zugleich eine ſ geradlinigte kan angeſehen wer⸗ 1 . den, als wenn ſie entſtanden, indem . V man die Peripherie eines Circuls 4 in gleiche Theile getheilet, und die W Sehnen dieſer Bogen zuſammen geczogen 2353. 1 ⸗ vierſeitige und vielſeitige, was fie ſn 43. Finſterniß, was ſie ſey . 23. Opt. 6 Flaͤche, was ſie ſey 37. Geom. ⸗ daß eine eingeſchloſſene und eine mathe⸗ 1 matiſche Figur einerley 37 Rige daß ſie mit Grund als eine Ausdehnung oh⸗ S. ge Dicke zu gedencken, welche aus vie⸗ N en Linien zuſammen geſetzet 296. Ooo4 „ eine 4 A 4 Regiſter. eine meſſen, was es heiſſe? H. 231. Geom. daß deren Lage, durch die Lage der Linien be⸗ ſtimmet werde 297. 301. wenn aufſ einer ein Circul beſchrieben und auf deſſen Mittel⸗Punct eine gerade Linie alſo geſetzt wird, daß ſie von allen Puncten der Peripherie gleichweit ent⸗ fernet, was folgt? 302. daß, wenn eine eine andere ſchneidet, der Durchſchnitt eine gerade Linie ſey 303⸗ daß, wenn eine von einer geraden Linie durchſchnitten wird, dieſe Linie in der Flaͤche ſey, welche durchſchnitten wor⸗ den . 306. daß, wenn zwo derſelben, welche parallel liggen, von einer dritten durchſchnitten werden, auch die Durchſchnitte parallel 307. wie zu unterſuchen, ob eine gegebene hori⸗ zontal oder vertical, oder ob ſich ſolche ge⸗ gen den Horizont neiget und wie groß die⸗ V ſe Neigung? 34. Gnom. wie zu unterſuchen,ob eine gegebene von dem Meridiano abweiche, und wie groß dieſe Neigung? . . die in einem Cireul beſchrieben, was ſie ſey 251. Geom. die um einem Circul beſchrieben, was ſie ſey 257. geradlinigte, wodurch ſie koͤnne gemeſſen werden? 219. 220. wie der Inhalt einer jeden zu finden? 244. ⸗ was zu deren Zeichnung erfordert wer⸗ de S . 246. 247. * wruie ſie durch Huͤlffe der Triangel zu zeichnen? 248. die geometriſche, was ſie ſey 7. Perſp. die ſchiefliegende, was ſie ſey 57. Mech. ⸗ wenn mit ihrer Laͤnge oder Grund⸗Linie die Directions⸗Linie einer Krafft, wel⸗ che auf derſelben eine Laſt erhalten ſoll, parallel gehet, was daraus folge? 123. * wenn auf derſelben eine Laſt von einer Krafft erhalten werden foll, was dar⸗ zu erfordert werde? 124. * wenn auf einer eine Laſt beweget wird von einer Krafft, deren Direetions⸗ Raße . eiie tie ireule. Ginn „dalſe Ou Goriente herſt. ſ n I dlapgent ſiie „ M li ſe daß ſ⸗ daß di alc ſor W 8 * P 6 dlaf la ſzng rie⸗ es 297. pt. 1 und erade alen tent⸗ 302. der 309, binie der vor⸗ 306, llel ten el 307. ri⸗ ge⸗ ie⸗ 34, Cm n 8 Sͤ, Gult⸗ 57. 4 4 Regiſter. Linie entweder mit der Laͤnge, oder mit der Grund⸗Linie derſelben parallel geht, was daraus folge? H. 130 Mech. * die in einem Winckel zuſammengeſetzet, wie ſie perſpectiviſch zu zeichnen? 24. Perſp. Circul⸗Flaͤchen, daß deren Groͤſſe durch das Laͤngen⸗Maaß koͤnne beſtimmet werden 287. Gcom. daß ſie ſich gegen einander verhalten, wie die Quadrate ihrer Diametrorum 290. HGoriʒzontal⸗Flaͤche, wie eine jede geradlinigte . perſpectiviſch zu zeichnen? 17. Perſp. *wie eine jede krummlinigte perſpectiviſch zu zeichnen? 21. Flanquen, was ſie ſeyn 57. Kr. B K. Rqwuie ſie anzulegen? 58. „ daß ſie vollkommner, wenn fſie perpendicu⸗ laͤr auf der Defens⸗Linie, als wenn ſie per⸗ pendiculaͤr auf der Cortine ſtehen 61. daß ſie vollkommner, wenn ſie etwas einge⸗ zogen, als wenn ſie in einer geraden Linie fortgehen daß ſie vollkommner, wenn das Orillon und die retirirte Flanque eingebogen gemacht, als wenn beyde nach einer geraden Linie fortgehen daß, jemehr derſelben hinter einander ge⸗ legt, die Feſtung deſto ſtaͤrcker werde 69. niedergeſenckte, was bey deren Bau zu . mercken? 70. retirirte, was ſie ſey 65. deren verſchiedene Anlegung 67. Second⸗Flanque, was ſie ſey und was von derſelben zu mercken? 62.⸗63. Flaſche, was ſie ſey 55. Mech⸗ Flaſchen⸗Zug, was er ſey wenn durch Huͤlffe deſſelben die Krafft eine 15 gegebene Laſt halten ſoll, wie groß die Krafft ſeyn mus 11 ⸗ wenn durch denſelben eine Laſt beweget wird, was folget? 119. wenn man durch denſelben eine geſchwinde Bewegung hervorbringen will, was zu be⸗ obachten? 12. Ooo 5 Fluch 3. Fluch (eines Moͤrſers), was er ſey? und deſſen Eigenſchafften . §. 41. 42. Art. Fluͤgel, was ſie ſeyn 107. Kr. BK. deren Maas 108. Friction, was ſie ſey 146. Mech. .NwDie derſeiben MWuͤrcklichkeit zu erweiſen? 147. „worauf man bey Beſtimmung ihrer Groͤſſe zu ſehen? 152 ⸗daß ſie deſto leichter zu verkleinern ſey, je haͤrter die Materie der Flaͤchen 153. ſwDie ſie bey rauchen Flaͤchen zu verkleinern? 154. 155. daß ſolche bey runden Flaͤchen nicht ſo ſtarck, als bey ebenen 156. daß ſie ſtaͤrcker, wenn die Directions⸗Linie der Krafft mit der Flaͤche, worauf die Laſt zu bewegen, einen ſpitzen Winckel macht, als wenn dieſe mit der beſtimmten Flaͤche parallel gehet 158. Frieß oder Borten, was er ſey 127. B. BK. Frieſen, was ſie ſeyn 32. Art. = des erſten Bruchs, was ſie ſeyn 32. des andern Bruchs, was ſie ſeyn 32. Binter⸗Frieſen, was ſie ſeyn 32. Kopff⸗Frieſen, was ſie ſeyn 32. Fruͤhling, wenn er ſich anfange? 36. Geogr. Fuͤnfeck, was es ſeh —„ 4373. Geom. wie und wodurch es konne in Triangel ge⸗ theilet werden? 58. regulaͤres und irregulaͤres, was es ſey 49. Futter⸗Mauer, was ſie ſey und wie zu gebrau⸗ chen? J 27. Kr. BK. G. Gantzes, daß es groͤſſer ſey, als ein jeder von ſei⸗ nen Theilen 13. A. M. Gebaͤlcke, was es ſey . 127. B. BK. Gebaͤude, was es ſey 1. = was zu einem vollkommenen nothwendig erfordert werde? 1 F. 15. wenn es bequem zu nennen? J7. 9. 17. wenn es feſt und wenn es ſchoͤn zu nennen? 10. 11. Feuerfeſtes, was es ſey? 79. * was es fuͤr Eigenſchafften haben muͤſſe? 80.4 „ wor⸗ . oldt . ites Couſtiin Gentd ece ecn Gotuntt Oome Geſtin . d ge pulv Geſchw de Geſechſ Geſinſe Juße poſten Scheff eriebe Gt Erd ) deſſet l. e2 N lor NN f. t Nn rn izt urck, inie aſt ht, 151 12, . 32 z. 2 34. 4 Geogr. .Geon. . 2,lt Regiſter. ⸗„ woraus es zu verfertigen? §. 81. B. BK. wie es zu verfertigen? 82. Gedrittſch ein, was er ſey? und deſſen Zeichen 125. Aſtr. Gemach geheimes, was bey deſſen Anlage zu mercken? 34. BK. Geographie, was ſie ſey 34. Vor. Geometrie, was ſie ſey 25. Geſchuͤtze, was es ſey 1. Art. ⸗= deſſen Eigenſchafften 4 ⸗ daß deſſen Staͤrcke durch die Staͤrcke des Koͤrpers zu beſtimmen, welcher daraus ſoll geſchoſſen werden 13. grobes, was es ſey 24. Pulver⸗Geſchuͤtze, was es ſey 9. . ⸗ was dazu erfordert werde? 10⸗12. Geſchwindigkeit, was ſie ſey 4. Dyn. dafß ſie in der Bewegung der Koͤrper durch die Circul⸗Bewegung koͤnne erhalten werden 5. Mech. Geſechſtſchein, was er ſey? und deſſen Zeichen 125. Aſtr. Geſimſe, was es ſeh 1115. B. BK. Juß⸗Geſimſe, was es ſey 135. Poſtement Geſimſe, was es ſey 135. Schafft⸗Geſimſe, was es ſey 122. Getriebe, was es ſey 49. Mech. 125. Aſtr. Gevierdtſchein, was er ſey und deſſen Zeichen Gewoͤlbe, was es ſey S 3 ⸗ daß ein jedes auf ſtarcken Pfeilern ruhen muͤſſe. „ was durch die Erfahrung von demſelben be. kannt? Creutz⸗Gewoͤlbe, was es ſey Keſſel⸗Gewoͤlbe, was es ſey Spiegel Gewoͤlbe, was es ſey Tonnen⸗Gewoͤlbe, was es ſey Glacis, was es ſey ⸗ was bey demſelben zu mercken? Glaß, erhabnes, was es ſey ⸗ woenn es gleichfoöͤrmig erhaben ⸗ glattes, was es ſey ⸗ hohles, was es ſey 2 wenn es gleichſoͤrmig hohl? = ⸗ wie es die Sachen dorſtelle? Fern⸗ Gloaß, was es ſey Regiſter. , woraus deſſen Verſchiedenheit zu folgern? §. 110. Opt. ,⸗ wie man esforſchen koͤnne, wie viel eines die Sachen vergroͤſſern? 1I15. aſtronomiſches, was es ſey? . 113. ⸗ gallilaaniſches oder hollaͤndiſches, was es ſey? 112. Gbjectiv⸗Glaß, was es ſey 109. Geular⸗Glaß, was es ſey 109509. Vergroͤſſerungs⸗Glaß, was es ſey, und wie zu erfahren, wievielmahl eines die Sache ver⸗ groͤſſere? 116. Glaß poliren, was es heiſſe 5§6. Glaß ſchleiffen, was es heiſſe? 56. ⸗ was dabey zu beobachten, und was dazu erfodert werde? . 57⸗60. Gleichheit, wenn ſie Dingen beygelegt werde? F. A. M. ⸗ deren Zeichen 6. . Gleichung, was eine ſey 187. Rech. * wie in einer gegebenen der Werth einer Groͤſ⸗ ſe durch Huͤlffe der uͤbrigen Groͤſſen, welche in derſelben zu finden, auszudruͤcken? 188. Glieder einer Verhaͤltniß, was ſie ſeyn, 24. A. M. ⸗ daß ſie Groͤſſen von einerley Art 27. ⸗ ⸗ das erſite und andere, was es ſey 24. Glieder in der Baukunſt, was ſie ſeyn? „103. B. DK. ⸗ daß es wider die Schoͤnheit, wenn einer⸗ ley unmittelbar uͤber einander geſetzt wer⸗ den 106. .⸗ ⸗ ihre verſchiedene Arten 105. Groͤſſe, was ſie ſey 3.Vor ⸗endliche, was ſie ſey 8. „7 wDae eine deren Unterſchied von einer un⸗ endlichen Groͤſſe, welche unendlich groß, unendlich klein iſt, zu finden? 147. A. M⸗ „⸗ ⸗ wie das Verhalten einer ſolchen zu einer . andern, welche unendlich klein, zu be⸗ ſtimmen? A150. „ unendliche, was ſie ſey 8. Vor⸗ „ wie unendliche groſſe und unendliche klei⸗ ne zu finden? 140. 141. A. M⸗ „ daß eine unendliche kleine, in Anſehung ei⸗ ner endlichen Groͤſſe fuͤr nichts zu halten 142. ⸗ daß verſchiedene als gleiche Groͤſſen anzuſe⸗ —MUk hen, wenn ihr Unterſcheid unendlich klein 144. deren ———,,.— Regiſter. ne nN ⸗ deren Theile zugleich wuͤrcklich, was ſie ſesdie ſeyn §. 10. Vor. Il. deren Theile in der Wuͤrcklichkeit auf ein⸗ Ilz. ander folgen, was ſie ſeyn 10. dases ⸗ ausgedehnte, was ſie ſey II. IIn. 2 die aus einem Stuͤcke, was ſie ſey 12. 10). die unterbrochen, was ſie ſey 12. 109. * nicht gusgedehnte, was ſie ſey 11. wien aͤhnliche, daß ſie als Groͤſſen auch gleiche eber⸗ Groͤſſen ſeny 10. A. M. 1s ⸗ abſolute, poſitive und negative, was ſie 6 ⸗daß eine negative eine poſitive die ihr gleich “ aufhebe M S 42. yil ⸗ wie poſitive und negative von einander zu de in. ſubtrahiren? Z 7. 4 dwDie poſit ive und negative durch einander zu 197 multiplicirenz?zzz 82. Rwie poſitive und negative durch einander zu e dividiren 92. 10, ⸗ ſubtrahirende, was ſie ſey 86. A. M. 24 Groͤſſen ſummirende, was ſie ſeyn . 57. „,. ⸗ welche durch Buͤlffe der Zeichen ausge⸗ 4. druckt, wie ſie zu addiren? 47. Rech. 3 ⸗ welche durch Buͤlffe der Zeichen ausge⸗ Druckt, wie ſie zu multipliciren? 4⁸. * welche durch Huͤlffe der Zeichen ausge⸗ s. druckt, wie ſie zu ſubtrahiren? 49. . „ welche durch Huͤlffe der Zeichen ausge⸗ 3 D . druckt, wie ſie zu dividiren? V 50. * ungenante, wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu addiren? 52. *⸗ wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu ſub⸗ 44 trahiren? 60. 4,N, wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu multi⸗ pliciren? . 747 wie ſte durch Huͤlffe der Zeichen zu dividi⸗ R *. genannte, wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen 4 zu addiren? 56. wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu ſub⸗ trahiren? ”W”JM 65. 3 wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu mul⸗ tiplieiren? 20. V Aà K. .₰ =. „. Regiſter. ⸗ wie ſie durch Huͤlffe der Zeichen zu di⸗ vidiren? §. 90. Rech. wie ſie muͤſſen beſchaffen ſeyn beym Addiren? .A. M. wie verſchiedene zu addiren? wie eine durch die andere zu multipliciren? S. wie ſie beſchaffen ſeyn muͤſſen beym Sub⸗ trahiren? 91. wie eine gegebene von einer andern zu ſub⸗ trahiren? 96. wie ſie muͤſſen beſchaffen ſeyn beym Dividi⸗ ren? 104. wie eine gegebene durch einen beſtimmten Theil derſelben zu meſſen? 117. Groͤſſe einer Sache erfinden, was es heiſſe? 14. Vor. ⸗ genau und beynahe, was es heiſſe? 15. ⸗ durch das Calculiren, was es heiſſe? 18. . durch Betrachtung der Groͤſſe ſelbſt 18. eine mit einer andern vergleichen, was es heiſſe? 183. A. M. daß verſchiedene, welche ſollen verglichen werden, von einerley Art ſeyn muͤſſen 19. wenn zwey einer dritten gleich, was folget? 20. wenn eine groͤſſer oder kleiner, als eine von zwey gleichen Groͤſſen, was folget? 21. 22. wenn geſagt werde, daß verſchiedene in ei⸗ ner Verknuͤpffun 23. daß man durch fonff⸗ der einen eine andere finden koͤnne, wenn man weiß, wie ſich eine zur andern verhalten ſolle. 50. wenn zwey ungleiche ungleichweit von ei⸗ nem Auge entfernet, was folget? 201. Aſtr. Proportional⸗Groͤſſe, mittlere; was ſie ſey 44. A. M. ⸗ 2 wDie ſie zu finden? 53. ⸗⸗ wie ſie zu finden in einer arithmeti⸗ ſchen Proportion; 199. Rech. ⸗= 2 wie ſie zu finden in einer geometri⸗ ſchen Proportion? 215. vierdte, was ſie ſey 44. A. M. ⸗ ⸗ wie ſie zu finden? 52. 2 wie ſie zu finden in einer arithmeti⸗ chen Proportion? 132.133. = wDie ſie zu finden in einer geometri⸗ ſchen Proportion? 134. 135. ⸗ daß ſie koͤnne gefunden werden, wenn gleich leid 415 ergl Viniciſen1 In ton bſen ., Mnerenst dibeh . , fiftin ane usderſc lufnde etſelben⸗ 1 don enetc⸗ , W den nN „ Wſe! : Mſe deRe Gded Grden di durch 1 dſend Mß ein⸗ ſnt d Win W Grathd Nn Grunduf 73 ſ „ Guünt Vine Mi⸗ Ver d. o1. M. 4, 0. 33 , 1, 4 6 Regiſter. gleich die Glieder der einen Ver⸗ haͤltniß von einer andern Art, als von welcher die Glieder in der andern Verhaͤltniß §. 137 A. M. Rational⸗Groͤſſen, was ſie ſeyn 153. Rech, Irrational⸗Groͤſſen, was ſie ſeyy 153. ⸗„ daß man aus einer die Wurtzel nicht an⸗ ders als bey nahe finden koͤnne. 154. , 2 wie ſie im aalculo decimali zu finden? 155. , wie aus der ſelben die vollkommene Wur⸗ tzzel zu finden, welche in einem Theil Deerſelben enthalten? 179. „ von einerley Benennung, was ſie ſeyn 181. ⸗ „ wie verſchiedene unter einerley Benen⸗ nung zu bringen? 182. :⸗ wie ſie zu addiren und ſubtrahiren? 183. ⸗⸗ wie ſie zu multipliciren und dividiren? 185. Groͤſſe (eines Koͤrpers) ſcheinbare, was ſie ſey 97. Opt. Graben, daß einer von dem Fuß der Bruſtwehre durch einen ebenen Gang abzuſondern. 31. Kr. BK. ⸗ deſſen Breite und Tiefe 2324⸗35. „ daß einer aufs hoͤchſte in der Hoͤhe eines Mannes horizontal muͤſſe koͤnnen be⸗ ſchoſſen werden 39. Grad, was einer ſey 104. Geom. ⸗deſſen Zeichen 105 Granaten, was ſie ſeyn 46. Art. Hand.⸗Granaten, was ſie ſeyn 46. Grundriß, (eines Gebaͤudes), was er ſey 40. B. BK. ⸗ ⸗ wie er zu verfertigen? 41. ⸗ 2⸗ woraus deſſen Vollkommenheit zu be⸗ urtheilen? 42. 8s wie und wodurch in einem die verſchiede⸗ nen Theile zu erkennen? 142. wie einer von einem Gebaͤude, wel⸗ ches auf einen beſtimmten Platz . aufzufuͤhren, zu zeichnen? 143. Guͤrtel, was ſie ſeyn 3 c. 33. Art. SHinter⸗Guͤrtel, was er ſey 32. WMittel⸗Guͤrtel, was er ſey 32. Vorder⸗Guͤrtel oder Halsband, was er ſey 32. H. Regiſter. H. GHalbermond, was er ſeh g. 104. Kr. BK. wDie einer aus einem Ravelin zu verfertigen 106. = ein alter, was er ſey 93 Halbmeſſer, was er ſey. Siehe Diameter. 20 Geom. Haet (im Auge) die harte, was ſie ſey 82. Opt⸗ R- die ſchwartze, was ſie ſey 82. Hornhaut, was ſie ſey 82. vaͤntlein das netzfoͤrmige, was es ſey 82. - . deſſen Nutzen 25. Haubitzen, was ſie ſeyn 52. Art. Hebel, was er ſeyg 40. Mech⸗ = wenn durch Huͤlffe deſſelben die Krafft die . Laſt in die Hoͤhe hebet, was folget? 7y. *wenn einige zuſammengeſetzet, wie ſie zu be⸗ rechnen? 75. 76. von der erſten Art, was er ſey 40. - = waenn er ein gleicharmiger oder un⸗ gleicharmiger? 45. —2 wenn einer gegeben, und zugleich eine Laſt; wie die Krafft zu finden, wel⸗ che vermoͤgend die Laſt waagerecht zu erhalten? 21. ⸗ wenn einer nebſt der Krafft gegeben; wie die Laſt zu finden, welche die gegebene Krafft durch denſelben waagerecht halten koͤnne? 772. , nwenn einer und zugleich die Laſt und die Krafft gegeben; wie der Ruhe⸗ Punct zu finden, auf welchen der⸗ ſelbe zu legen, wenn die Krafft die Laſt waagerecht erhalten ſoll? 73 von der andern Art, was er ſey 40. Heber, was er ſey 37. Hydraul. „ wenn deſſen kuͤrtzeſter Theil ins Waſſer ge⸗ ſteckt, und aus dem laͤngſten das Waſſer geſogen wird, was folget? 38. ⸗= daß deſſen Figur verſchieden ſeyn konne 20. Stechheber, was er ſey 32. = wDie einer zu machen— 33. Zerbſt, wenn er angehe? 256. Geogr. Heronsbrunnen, was er ſey 41. Hydraul⸗ wDSie er zu verfertigen? 42. Himmel, wie er uns erſcheine? 4. Aſtr. . . Ppelskatcit ſe Zimmelszeic Vehe, Wiene von ſchen von word einer; . enͤb iindsd Augenn Pol⸗vd Rhen vohleſen orſo, erſhe a 1 Mrſreſe .* 8 4 Valſe da Mraul Pdroſt Hyprone perde * da n K ertigennos. 9. 10 Grn 1 N 1. 1 1 4 5 N P ft die . u be⸗ 75. 75. 40. un⸗ 4 . Heine wel⸗ elecht i, Cbe, ſe 6 Regiſter. Zim melskugel, was eine ſey, und wie eine zu ver⸗ fertigen? . §S. 59. Aſtr. SE Hie durch deren Gebrauch die Ster⸗ ne an der Flaͤche des Himmels ken⸗ nen zu lernen? 60. „ wie durch dieſelbe alle aſtronomiſche Fragen zu beantworten? 6SI. Him melszeichen, deren Anzahl und Nahmen. 33. Hoͤhe, wie man beſtimmen koͤnne, wie weit man von einer auf die Flaͤche des Erdbodens ſehen könne, wenn die Hoͤhe des Auges von der Flaͤche des Erdbodens gegeben worden? 19. Geogr. einer Figur, was ſie ſey 56. Geom. è daß ſie koͤnne verſchieden ſeyn 57. eines beſtimmten Duncts, was ſie ſey 6. Aſtr. eines Sterns; die wahre, was ſie ſey . - die ſchein bare, was ſie ſey 6. Augen⸗Boͤhe, was ſie ſey 12. Proſp. Pol⸗Hoͤhe, wie ſie an einem Orte zu finden? 14. Aſtr. Hoͤhen⸗Ouadrant, was er ſey 61. num. 6. Hohlleiſten, was er ſey 1095. B. BK. HGorizont, der wahre, was er ſey 5. Aſtr. der ſcheinbare, was er ſey ⸗. daß ſeine Entfernung von dem wah⸗ ren in Anſehung der Sonne und Fix⸗ ſterne unendlich klein 10. Hornwerck, was es ſey 107. Kr. BK. wie eines vor die Cortine zu zeichnen? 110. - ein detachirtes, was es ſey Io0. Buͤlſe, was ſie ſey H 55 Art. Sydraulik, was in derſelben unterſu t werde? 2. Hydraul⸗ YBydroſtatik, was ſie ſey . chi Vor. Hygrometrum oder Hygroſcopium, was es ſey 33. Aeroin. ⸗ woraus es zu verfertigen? 58⸗60. ⸗ wwaie es zu verfertigen? 59. Vyperbel, was ſie ſey 267. Geom. =daß in derſelben die halben Ordinaten ſich verhalten, wie die Recangula aus den Abſciſſen und der Zwerch⸗Axe in die Ab⸗ ſeiſſen 400. = daß in derſelben die Groͤſſe der Zwerch⸗Axe von der Groͤſſe des Parameters beſtimmet werde?. 403: Ppp woß Retzgiſter. worinne ſie von der Ellipſi unterſchieden §. 406. Geom. .à’ daß in derſelben die Weite des Brenn⸗ . Puncts von dem Scheitel ſey die Groͤſſe, „ Ocheled welche entſtehet, wenn man von der Qua⸗ .’ drat⸗Wurtzel aus der Summe des Qua⸗ drats der halben Zwerch⸗Axe, und des Fa- &i aus der halben Zwerch⸗Axe in den hal⸗ Dunene ben Parameter, die halbe Zwerch⸗ Axe ſub⸗ . trahiret 40⁰8. . = wie in derſelben der Brennpunct geometri- . (i ce zu finden? 409. . . ⸗ daß! in derſelben das Quadrat der Zwerch⸗ eTenmn Arye ſich zu dem Duadrat der kleinen Axe 14 cc verhalte, wie die Zwerch⸗Axe zum Para⸗ . “ r meter 412. 2 wenn zwo gleiche in der Weite ihrer Zwerch⸗ fahe N Axen einander entgegen geſetzet, was dar⸗ E e aus folge? 414. Alruſit RwDie ſie geometriſch zu beſchreiben? 415. N wie ſie durch die Bewegung eines Puncts ſtumene zu beſchreiben? 416. ner da daß, wenn man ihre Ordinaten verlaͤngert den in D beis an die Aſomptoten, die hinzugeſetzten erſofft Theile einander gleich 418. iſtunmn „ daß in derſelben der Unterſcheid des Qua⸗ Nhponen drats der halben Ordinat und des Qua⸗ drats der bis zur Aſymptote verlaͤngerten in halben Ordinate gleich ſey dem Quadrat Mitrtl der halben kleinen Axe 421¹. it . Hypothenuſa, was ſie ſey? 52. . . ben GX . S. ſe Jahr, was eines ſeg 24. Chron. ſa Monden⸗Jahr, was es ſey . 29. - ein aſtronomiſches, was es ſey 29. . nif - = ſeine Groͤſſe 30. ie . ein buͤrgerliches, was es ſey 29. - - = ſeine Gröoͤſſe 30⁰. ⸗ wie es von den Roͤmern ehedem ein⸗ getheilet worden? 32. V 4 „ wie es von dem Numa Pompilio ver⸗ mnk beſſert worden? 32, nnt ⸗ wDie es vom lulio Caeſare eingethei⸗ . ſet worden?. 37. deie ſemigt wi 4 E enn⸗ ua⸗ u⸗ 140 Retziſter. . wie es vom Pabſt Gregorio XIII. verbeſſert worden? §. 39. Chron. Schalt⸗Jahr, was es ſey 27. ⸗ = wie ein jedes ſo wohl in der fuliani⸗ ſchen als gregorianſchen Jahres⸗ Rechnung zu finden? 45. Sonnen⸗Jahr, was es ſey 24 - ein aſtronomiſches, was es ſey 24. - deſſen Groſſe 25. ein buͤrgerliches, was es ſey 24˖. —- deſſen Groͤſſe 25. Jahr⸗Termin, was er ſey 42. - = der Chriſten, was er ſegyg 42. ⸗ der alten Roͤmer, was er ſeh 42. 2 der Griechen, was er ſey 2. Tcoſaëdrum, was es ſey 64. Geom. IWdus, was ſie ſeyn, und deren Anzahl 36. Chron. Inclination, was ſie ſey 192. Aſtr. Inſtrument, dadurch man die Abweichung ei⸗ ner Vertical⸗Slgche von Suͤden oder Nor⸗ den, ingleichen von der orirontal⸗Slaͤche erforſchen kan, wie es zu machen? 33. Gnom. Inſtrumente mechaniſche, was ſie ſeyn 39. Mech. Iſchyometrie, was ſie ſeyg 25. Vor. - = warum ſie alſo genennet, und wes⸗ wegen ſie ausgefuͤhret worden? 26. Japiter, was er ſey, und deſſen Zeichen 3. Aſtr. = wie er uns erſcheinet? 1380. in welcherZeit er ſich um ſeine Axe bewege? 131. beweget ſich in einer in ihm ſelbſt zuruͤcklau⸗ fenden krummen Linie um die SGonne 144. iſt ein aͤhnlicher Koͤrper mit unſerer Erde 145. hat 4 Trabanten, ſo ſich um ihn ſelbſt bewe⸗ gen 132-134. = wie ſie uns erſcheinen? 132. 135. was hieraus zu ſchlieſſen? 136. 137. Kaͤlberzaͤhne, was ſie ſeyn 134. B. BK. Kaͤmme, was ſie ſeyn = 49. Mech. Kammer eines Moͤrſers, was ſie ſeh 41. Art. — deren Eigenſchafften 42. Karnieß oder Erantz. was er ſey 127. B. BK⸗ Ppp 2 ein Regiſter. ⸗ein groſer, was er ſey . g. 105. B. BK. ein verkehrter, was er ſeh 105. Kartetſchen, woraus ſie beſtehen, und wie ſie zu machen? 29. Artill. Kegel, was er ſeh 82. Geom⸗ abgekuͤrtzter, was er ſeh 35. rechtwincklichter, was er ſeh 82. - . wDie er beſchrieben werde? 83. ſchiefwincklichter, was er ſey 82. Kehle, was ſie ſey 74. Kr. BK. Kehlleiſten, was er ſey 105. B. BK⸗ Keil, was er ſey 61. Mech. deſſen Eigenſchaften 125. 126. Xloben, was er ſey 55. Knoten, was ſie ſeyn? . 191. Aſtr ⸗ der aufſteigende, was er ſey 191. der niederſteigende, was er ſey 191. Koͤrper, wie einer beſchaffen, wenn er von einem andern in Bewegung gebracht wird? 66. Dy⸗ ⸗ daß einer, wenn er zuruͤckſpringet, in dem Winckel zuruͤckſpringen muͤſſe, in welchem er von einem andern angeſtoſſen wor⸗ den. wenn ſich zwey derſelben in gleicher Zeit in einem Eircul bewegen, wie ſich ihre Geſchwindigkeiten zu einander verhal⸗ ten? 7. Mech: „ daß, wenn deſſen Grund groß, mehrere Muͤ⸗ he erfordert werde denſelben umzuwerf⸗ fen, als wenn ſein Grund klein 229. „ daß, wenn einer in dem Mittelpunct ſeiner Schwere unterſtuͤtzet wird, er mit ſeiner Schwere nicht herunterfallen koͤnne 33. „ wenn zwey derſelben einander die Waage halten an einem Hebel? . 63¹ ⸗wenn zwey derſelben einander die Waage halten an einem Rade an der Axe? 101. ⸗ wenn man ſaget daß einer horizontal ſtehe? 83. ⸗ wenn einer in eine fluͤßige Materie einge⸗ taucht wird, wieviel er von ſeiner Krafft verliere? 13. 14. Hydroſt „ wie eine Schwere zu finden, aus der gege⸗ benen Schwere eines Cubic⸗Schuhes von einer flieſſenden Materie und der gegebe⸗ 73. 1¹ Uerro ? wern einer foten, Seis 7 tenn uner eeifcr hi l ſichen n en Muterie ¹ eenn einerau Matetien une wiet dermſeenr e i A nd Wenn we ddr ene ſe ſh (enn we ter ene nt ß eie ſheftha ſahlen taunmpr nadenn⸗ cfeir Wen Wen . gt ſhenn un e 17 iit dun⸗ petn tſt ura tlaut 3 hennen he Regiſter. oe o nen Groͤſſe des eingetauchten Theils? §. 22. Hydroſt. 0, wenn einer in eine fluͤßige Materie gelegt ſeſien worden, wie die Groͤſſe des eingetauchten S bti Theils zu ſuchen? 28. n 2 wenn einer in eine fluͤßige Materie, welche 6. ſpecifice leichter, geſencket, wie die Krafft zu ſuchen, mit welcher er unter der fluͤßi⸗ e: gen Materie zu halten? . wenn einer aus Vermiſchung verſchiedener 1E Materien verfertiget, wie man finden l koͤnne, wieviel von einer ſeden Materie in 6 . demſelben vorhanden? — 35 U5. 1 daß ein ſeder in der Naͤhe groͤſſer ausſehe, 75 als in der Ferne. . 95. Opt. r „ wenn zwey von verſchiedener Groͤſſe un⸗ . ter einem Winckel geſehen werden, wie ſie ſich gegen einander verhalten? 100. einen n wenn zwey, die von einander entfernet / un⸗ 1d? ter einen unendlichen kleinen Winckel ge⸗ indem ſehen werden, was erfolgt? 117. lchen daß einer ſtille zu ſtehen ſcheine, wenn die wor⸗ ſcheinbare Groͤſſe des Raums, dadurch er „. ſich beweget, unendlich klein . 120. gii wenn zwey derſelben,welche ungleich weit hre von dem Auge entfernet, ſich mit gleicher thal⸗ Geſchwindigkeit bewegen, was folgt? 122. 79 * daß einer zuruͤck zu gehen ſcheine wenn ſich ⸗ das Auge mit ihm nach einer Gegend be⸗ enerf⸗ . weget, aber geſchwinder als er 125. 3 wenn uns unbewegliche entgegen zu kom⸗ tſent men ſcheinen? 126. int „ ein dunckler, was er ſey . 26. e g. ⸗ wenn das Licht auf ihn faͤllt, was er Vug „verurſache? 27. “ ein durchſichtiger, was er ſey 26. or ⸗ ein leuchtender, was er ſey 26.* Aac, : wenn einer in einerley Hoͤhe verurſachet, clcte 1 daß ein dunckler einen verkehrten und lſe EüEin anderer einen geraden Schatten int⸗ wirfft, was daraus folge? 39 eef “ 2 wie deſſen Hoͤhe aus derHoͤhe eines dun⸗ 1 ckelen Korpers und deſſen geraden Urnte Shchatten zu finden? 46 in 2 ein mathematiſcher, was er ſey 61. Gesm: “ Ppp Z3 wor⸗ . woraus deren! Unterheid zu folgern? §. 62 ⸗ „ eren usdehnung nicht! konne ge⸗ ſſen werh en, als durch die Beſtim⸗ Verhaltni⸗ aller math nemati⸗ „ dea ren allgemeiner Maasſtab der C. hs 312. ⸗ ⸗ daß er mit G rund a als eine Ausdehnung zu geden welche aus vielen Flaͤ⸗ chhen zuſammenge! „ ⸗ geradlinigte und krummlinigte, was ſie ſeyn 63. ⸗ = gleiche icker, was er ſey 73. daß alle, welche gleichelFrund⸗Flaͤchen und Hoͤhen haben, einander gleich ſeyn, oder gleiche Ausdehnungen in ihrem torverüchen Raume haben 321. 5 2 unglei hoigker, wa ſen 3 rechtwincklichter und ſchiefwincklich⸗ ter, was er ſey 72. regularer, was er ſey 64. ixregulaͤrer, was er ſey 64. wie de An halt eines jeden zu finden? 344. ſpitzer, was er ſey 73 . daß alle, welche gleiche Grundflaͤ⸗ chen und Hoͤhen haben, gleiche 320. . A * A aAaA „ 3 A NAN„ Koͤrper ſeyn 327. ⸗ 2£ wie ei nes ſeden koͤrperlicher Innhalt zu finden? 331I. wie deſſen Grundlinie entſtehe? 332. wenn er zug leich ein abgekuͤrtzter, wie ſein Innhalt zu finden? 333. ⸗ ⸗ wie er nach d der Perſpectio zu zeich⸗ nen 27. peb⸗ Proportional- Koͤrper, daß der mittlere zwi⸗ ſchen zween gleichdicken Koͤrpern, und der vierdte zu drey gleichvicken koͤnne gefunden 1 A N werden 236. Geom. Kopff im Zebel, was er ſey 45. Mech. Krafft, was ſie ſey . 33.⸗41. Dyn. ⸗ daß ſi e bey einem Koͤrper weder groͤſſer noch kleiner werden loͤnne, woferne ſolches nicht ct ben ant Ndr din N e , Mnan en , (ine lcendi d de , Wn Ret Reſen nn .: ſedenn apeh D Augſein ni⸗ ſt e Nht Nes Rats Augd R Weneb dß ene Ne, er E ue tini e derm Mfſpr Mant Rene ſeget ſchi Enin hnepe Regiſter. richt von andern Dingen verurſachet eniſe⸗ werde? 9. 56. Dyn. nege⸗ ⸗ daß ſie der Bewegung des Körpers gleich, ein⸗ wenn die Urſach von der Bewegung al⸗ anik lein die Wegnehmung des aͤufferlichen n A Widerſtandes 57. Nl ⸗ die ausdehnende, was ſie ſey 178. b der ⸗ ⸗ woraus deren Groͤſſe zu beurtheilen? 179. ⸗2 wie man eine ſtarcke erhalten koͤnne? 180⸗ 181. fung ⸗ eine lebendige und todte, was ſie ſey 61. N⸗ wuͤrckende, was ſie ſey 33. 9 2 daß ſie allezeit der Wuͤrckung gleich 34. weos ⸗ ⸗ wodurch ihre Groͤſſe koͤnne beſtimmet 6 werden? 35⸗ 37. deren Verhaͤltniß, wenn die Maſſen unr⸗ ſen gleich und die Geſchwindigkeiten gleich 43. ch ⸗ deren Verhaͤltniß, wenn die Maſſen gleich n unnd die Geſchwindigkeiten ungleich 45. n. A. ⸗ deren Verhaͤltniß, wenn ſo wohl die 3 Maſſen, als auch die Geſchwindigkei⸗ h⸗ ten ungleich “ 12 ⸗ :⸗ wie deren Groͤſſe in einer gleichfoͤrmig 64 unehmenden Bewegung entſtehe? Fr. 6t. ⸗ nicht wuͤrckende, was ſie ſen 33. . Fragſteine, was ſie ſeyn 132. B. BK. 73. ⸗ wo ſie zu gebrauchen? 133. — Kronwerck, was es ſeyg 107. Kr. BK. ⸗ wie eines zu zeichnen? XII. Pe 327. Kugel, was eine ſey 66. Geoom. * wie eine beſchrieben werde? 67 gr. ⸗ daß eine zwey drittheil von einem Cylin⸗ 1. der, deſſen Grundflaͤche ſo groß, als der Cirrul, deſſen Diameter die Axe der „ Kugel, und deſſen Hoͤhe gleich der geſetz⸗ ten Axe der Kugel 334. , ſaie deren Innhalt zu meſſen? 335. 338. 341. ⸗ daß ihr Innhalt gleich dem Innhalt einer Phramnde, deren Grundflaͤche ſo groß, als die aͤuſere Flaͤche der Kugel und deren Hoͤ⸗ he gleich dem Radis der Kugel 340. — daß ſich ihre aͤuſſere Flaͤche zu ihrem groͤßten Circul verhalte, wie 4. zu I. 342. * wie ihre Flache zu finden? 343. H Regiſter. „ wie von einer pfuͤndigen der Diameter zu finden? H. 17. Art. Brand⸗Kugeln, was ſie ſenn 4 8 = ⸗ ⸗ wie ſie zu verfertigen? 49. Dampff⸗Kugeln, was ſie ſeyn 48. ⸗ ⸗ der Satz, woraus ſie zu verfertigen? 51. Jeuer⸗Kugeln, was ſie ſeyn 48⁸. Hand⸗Kugeln, was ſie ſeyn 52. Leucht-Kugeln, was ſie ſeyn 48. der Gatz woraus ſie zu verfertigen? 50. Rumok, was er ſey 49. Mech⸗ Kurvel, was ſie ſeh 170. ⸗ deren Eigenſchafften? 1I71⸗173. L. Ladeſchauffel, was ſie ſey 33. Art. Laͤnge, was ſie ſey 1. Geom. wDie ein allgemeines Maaß derſelben zu machen? 93 * * eines Grts, was ſie ſey 122. Geogt. 2 wie ſie zu finden? 29 * eines Sterns, was ſie ſey 37. Aſtr. * 2 was von derſelben durch die Erfahrung bekannt? 38. * die wahre und ſcheinbare, was ſie ſey 37. *die eccentriſche eines Planeten, was ſie ſey 195. Laffeten, was ſie ſeyn 21. Art. Lager eines Moͤrſers, was es ſey 41. Landcharte, wie eine zu verfertigen? 32. Geogr⸗ Tauf eines Stuͤckes, was er ſey 20. Art. wDie er muͤſſe beſchaffen ſeyn 256. Kicht, daß es ohne Lufft ſeyn koͤnne 4. Opt. daß es aus der Bewegung der ſubtilſten Ma⸗ terie in der Lufft entſtehen koͤnne? 5. daß es keine Sache ſeyn koͤnne, welche fuͤr ſich beſtehet. daß es eine gewiſſe Art einer ſehr ſchnellen Bewegung des Aethers 11. a daß es ſchwaͤcher werden muͤſſe, wenn ihm nach einer entgegengeſetzten Richtung ein * Widerſtand geſetzt wird. 1y. — e daß es in dem Winckel wieder zuruͤck prallen muͤſſe, in welchen es eingefallen 127/. as — r nleicin! 14 , Ind . nden pie „ſie NN , fohn „eonnner nen en u MSmon udG gerede ,„W , „ de 1 4 H n Regiſter. tert Linie (in dem Maasſtabe), was ſie ſey §. 94. Geom⸗ .rn. ⸗ de ſelben Zeichen 97. 44. ⸗ (in der Geographie), was ſie ſey 5. Geogr. 4 ⸗in der Geometrie, was ſie ſey 2. Geom. 4. wie ſie entſtehe? a . ⸗wie und wodurch ſie koͤnne beſchrieben wer⸗ 4 den? . 6. Sr „ wodurch deren Unterſcheid zu beſtimmen? 7. 44. ⸗ wenn verſchiedene einen Raum einſchlieſſen? 35. . ⸗ daß man durch Huͤlffe derſelben multiplici⸗ 9½ ren und dividiren koͤnne. 203. 17, „ daß man durch Huͤlffe derſelben Quadrat⸗ gI⸗NI und Cubic⸗Groͤſſen finden loͤnne. 204 „ gerade, was ſie ſeyn 80 „ wodurch und wie ſie zu meſſen? 902. wie ſie in zween gleiche Theile perpen⸗ 3 . diculaͤr zu theilen? 132. „„ daß zwey derſelben unter gewiſſen Um⸗ zu ſtaͤnden Parallel-Linien ſeyn koͤnnen 14407 „ ⸗ wenn verſchiedene derſelben von einem 22, 0ℳ Punct auf eine andere gerade Linie ge⸗ 9 zogen werden, wie ſie alsdenn beſchaf⸗ 7“ ſena 8 wie eine in ſo viele gleiche Theile zu thei⸗ 3. len, als man verlanget? 19 7. „ wenn eine in gleiche Theile getheilet und 195. aus den Theilungs⸗Puncten Parallel⸗ S Linien gezogen worden, was folget? 2007 4. 5„ ⸗ wenn durch zwey derſelben einerley Pa⸗ 12 6 rallel⸗Linien gezogen werden, ſo wer⸗ den dieſe durch jene in Proportional⸗ 4 Theile geſchnitten . wenn ſie aus einem uͤber einem Circul angenommenen Punct durch den Cir⸗ eul bis auf die Peripherie deſſelben ge⸗ zogen werden; ſo ſind ſie in einer ver⸗ kehrten Verhaͤltniß, wie ihre Theile, 4 . welche auſſer dem Circul ſthen. 215. g . krumme, was eine ſey . 9. * wie man erſahren koͤnne, ob eine eine WMMMM, Linie der Ruhe, was ſie ſey 2 Mech, daß, wenn ſte duech den Mitrelpuncet der — P p 5 W aà *W A ½ △ A Schwe⸗ Regiſter. Schwere eines Koͤrpers gehet, ſich der Körper nicht bewegen koͤnne. 9 35. Mech. Brechungs Linie, was ſie ſey 45. Opt. Capital⸗Cinie oder aupt⸗Linie, was ſie ſeh 77, Kr. BK. Circul⸗Linie, was ſie ſey 1416. Gern. —⸗ wie ſie beſchrieben werde? 17 ⸗ ⸗ wodurch ſie beſchrieben werde? 18. Circumvallations⸗Linie, was ſie ſey 135. Kr. BK ⸗ ⸗ auf was Art ſie aufzuwerffen? 136. . Contravallations⸗Linie, was ſie ſey 135. ⸗ ⸗ auf was Art ſie aufzuwerffen? 136. Declinations⸗inie, was ſie ſey 23. Aſtr. Defens⸗oder Streich⸗Linie, was ſie ſey 59. Kr. BK. ⸗ ⸗ deren Maas 21. 60. . ⸗ beſtaͤndige und ſtreichende, was ſie ſeyn 62. . ⸗⸗ ⸗ was von denſelben zu mercken? 63. Dia gonal⸗Linie, was ſie ſey 56. Geom. Directions⸗Linie, was ſie ſey 17. Mech, ⸗ von der Schwere eines Koͤrpers, da ſie auf der Horizontal⸗Linie paral⸗ . lel ſtehe.. 23. ⸗2 wenn ſie auf den Grund des Korpers oder auſſerhalb deſſelben faͤllt, was Einfalls⸗Linie, was ſie ſey A43. Opt. Entfernungs⸗Linie, was ſie ſeg 9. Perſp. Fundamental⸗ oder Grund⸗Linie, was ſie ſey 8. . Geſichts⸗Linien, was ſie ſeyn. Siehe Faces 49. Kr. BK⸗ Horiʒzontal⸗ Cinie, die wahre, was ſie ſey 20. Mech, — ⸗ die ſcheinbare, was ſie ſey 20. ⸗ ⸗ ⸗ daß ſie fuͤr die wahre koͤnne ſubſti⸗ E tuiret werden. . 1. P. = : (in der Perſpeetiv), was ſie ſe 11. Perſte Kehl. Ainien was ſie n ſ ſen 173Kr. BK. Mittags⸗Linie, was ſie ſey , 6. Aſtr. wie ſie zu finden? . 15. Parallel⸗inien, was ſie ſeyn 22. Geoik⸗ ⸗ wie ſie koͤnnen beſchrieben werden? 23. 2 deren Zeichen 2 wenn zwey derſelben von einer gera⸗ den Linie durchſchnitten werden, was folget? 143. Perpendicul⸗Linie, wie eine auf einer Linie ans ald in neH . e 1 Raenge lecz ge ſiee yihuur, we eſen we „ ines Brn ner Gue eedi ner G Gd MN e ſh⸗ Nuf def . f . Mſ W dI . 8 . 6 ſo * d dar Wi ſufſpre für l Regiſter. der aus einem gegebenen Punct aufturich⸗ . ſy ten⸗ 9. 133. Geom. H. . wie eine von einem gegebenen Punct e ſch /7ſl auf eine Linie zu ziehen? 134. 16,G1 ’ wie eine auf das Ende einer geraden II. Linie aufzurichten 161. 18. Proportional⸗ Lin ie, wie eine dritte zu zwo ge⸗ 13) K gebenen geraden Linien, und die vierdte 136. zu drey gegebenen geraden Linien zu fin⸗ Iʒ3. den? 202 135, ·. wie eine mittlere zwiſchen zwo gege⸗ 29, N benen geraden Linien zu finden? 205. 59 Kl Logaritbmus, was er ſey 1 221. Rech. 60. deſſen wahre Beſchaffenheit. 223. in 62. eines Bruchs, wie er zu finden 224. 63. ⸗ einer Dugorat⸗Wüurtzel, wie er zu finden? 225. 56, 0. einer Cubic⸗Wurtzel, wie er zu finden? 225. 17, einer Groͤſſe/ wolche zu einer gewiſſen Di ⸗· aß gnitaͤt erhoben worden, wie er zu fin⸗ al⸗ den: . l1.14:: 226. 3. einer mittleren Zahl in einer geometri⸗ 3 ſchen Progreßion, wie er zu finden: 227 ⸗228. 6 Lufft, daß ſie eine widerſtehende Krafft habe. 1. Aex. ,, daß ſie eine Schwere habe? ” 49,9 daß ſie was koͤrperliches 4. ⸗ daß ſie eine ausdehnende Krafft habe 5. . ⸗ daß die obere die untere zuſammen druͤcke 6. KK. 2 daß die ausdehnende Krafft der untern 20. gleich dem DBruck der oͤbern 10. 20. = daß die obere dünner, als die untere 13. = wie man erfahren koͤnne, wieviel ſie auf eine 122. Flaͤche in einer beſtimmten Zeit druͤcke? 16.5 I1. ⸗ wie man finden konne, wieviel, in einer be⸗ 1. ſtinmten Hoͤhe von ver Erde, die obere auf e. ine gewiſſe Fl ache druͤcket?⸗ 19: daß ſie in einer beſtimmten Hoͤhe nicht alle⸗ 2, 0ℳ zeit gleich ſchwer . 3, daß ſie durch die Waͤrme aus 4 . = wie rerch Huͤlffe derſelben S Aufftpreſſe, wie ſie zu verfertigen⸗ 63. 1 Lufftpumpe, was ſie ſey, und wor rauf bey deren . Erfindun zu ſehen “ 9. 1 Eufftſaule, wie ſchwer eine ſeg, det n Dameter . Z 1. Schuh: 9. Hydroſt, M. MN 88S⸗ Retziſter. * Maas, was es ſey? §. 100. A. M. Maasſtab, wie er zu machen? 93. Geom. ⸗= verjuoͤngter, wie einer mit Transverſal⸗Li⸗ nien zu verfertigen? 1096. Machine, was ſie ſey 135. Mech! = woher derſelben Unterſcheid zu nehmen? 137. auf was Art in einer die mechaniſchen In⸗ ſtrumente zu verknuͤpffen? 142 145. * wie eine zu verfertigen? 162⸗163. = wie eine anzuordnen, welche durch leben⸗ dige Dinge zu bewegen? 167. „ wenn man ſage, daß eine durch ein Ge⸗ wicht beweget werde? 17447 = was zu beobachten, wenn man eine durch ein Gewicht bewegen will 175⸗I77. * wie eine zu verfertigen, aus welcher das Waſſer ſpringet, nachdem in derſelben die Lufft durch andere Machinen zuſam⸗ men gedruckt? =JM v wwie eine zu machen, aus welcher das Waſ⸗ ſer ſpringet, nachdem in der ſelben dieLuft durch die Waͤrme ausgedehnet worden? 45. 4 daß eine, welche das Waſſer treiben ſoll, alſo zu bauen, daß das Waſſer an dieſelbe ſchreg ſtoſſen koͤnne 54 Magnetnadel, was ſie ſey 22. Gnom: . was durch die Erfahrung von derſel⸗ ben bekannt 23⸗26. Mars, was er ſey, und deſſen Zeichen 3. Aſtr. wie er uns erſcheinet? 126. = was hieraus folge? 127. beweget ſich in einer in ihm ſelbſt zuruͤcklau⸗ fenden krummen Linie um die Sonne 12 82 iſt ein aͤhnlicher Welt⸗Koͤrper mit unſrer Erde 5 145. Maſſe eines Koͤrpers, was ſie ſeyyy 39. Oyn⸗ ⸗= daß ſie hinreichend ſey der Bewegung eines andern Koͤrpers zu widerſtehen 59. Materialien eines Gebaͤudes woraus ſie beſtehen 52. B. BK⸗ „ — auf was Art ſolche zu verbinden? 63. 64. Materie füßige daß ſie drucke und wie ſie drucke 11. Hydroſt⸗ 8 * wie deren Schwere hydroſtatiſch zu ſinden? 23. wie 44. HHbran . M der Mthenetk g . pellunſtt SSwe Aleniet hrtttunt „, Min u be Euprcetſche sſeſc od (lunik Kas⸗ derſelden ed räwahia, Mercorids Wr ſpashi er t 1 ſeer⸗ (dei 1 unen H Maſnde WMleſbee Wlestſch efſen Mlierone mmiche inenn ljed ſ⸗ hiut „ erene Ungn nmmne he e iſr .. 4 , Gen, ee n 6 135⸗M lIy, I⸗ 165. 92216. ben⸗ l Be⸗ 174. ch es en i⸗ 44 0. uft 157 % 4 122. Ger 126 16 Rezgiſter. ⸗ . wie in verſchiedenen die Verhaͤltniß —– der ſpecifiſchen Schwere zu fin den? §. 24. Hydroſt. Miathematik, was ſie ſey? 19. Vor. warum ſie anders beſchrieben worden, als es don andern geſchehen? 21. ihre Theile uͤberhaupt 22. = allgemeine, was ſie ſey? 24. ihr theoretiſcher Theil, was er ſey? 28. — was in demſelben zu erklaͤren? 29. . was bey demſelben zu mercken? 30⸗ 32. ihr practiſcher Theil, oder die practiſche, was ſie ſey 287 . 7 was darinne zu erklaͤren 34. Mechanik, was ſie ſey? 1. Mech. derſelben Hauptgeſetz, woraus es beſtehe? 63. „ wie es durch die Erfahrung zu beſtaͤtigen? 65. Merckmahle, was ſie ſeyn 3. A. M. WMercurius, was er ſey und deſſen Zeichen? 3. Aſtr. wie er uns erſcheinet 121. was hieraus zu folgern? . 122. dwDie er ſich in einer in ihm ſelbſt zuruͤcklauf⸗ fenden krummen Linie um die Sonne beweget? 1237 wie er ein aͤhnlicher Welt⸗Koͤrper mit unſrer Erde iſt? 145. Meridianus, was er ſey) S Aſtr. §. Geogr. *Primus, was er ſey 9. Meſſen, was es heiſſe? 98. A. M. Weßkette, deren Gebrauch 98. Geom. Meßtiſch, 218. Meßſchnure, 98. Micrometrum, was es ſey 78. Aſtr. . wie eines zu verfertigen? 79. Milchſtraſſe, was ſie ſey 55. Minen, was ſie ſeyn 61. Art. wie der en Wuͤrckung verſchieden, nach Ver⸗ ſchiedenheit der Ladung „63. 64. Minute, was eine ſey) 137. Rech. 104. Geom⸗ deren Zeichen 141. 1032 Mittag, wo er ſey 9. Aſtr. Mitternacht, wo ſie ſey 9. Nlodel, was er ſey 120. Kr. BK; Moͤrſer, wie er zu laden? 47. Art. haͤngender, was er ſey ⸗“ 43: * ſiehender, was er ſey 43‧ . Regiſter. Fuß⸗Moͤrſer, was ſie ſeyn 43. niielin⸗ iͤh Laffeten⸗Moͤrſer, was ſie ſeyn 5 . Dt. ſber daß ſie vor den Fuß⸗Mörſern einen 1, l ruir Vorzug haben 44. ſeiin u ⸗ wie ſie zu richten? 45. nranf, Monat, ein aſtronomiſcher, was er ſen 18. Chron. lfinauikfll - buͤrgerlicher, was er ſey 20. umhniſindate WMonden⸗Monat, aſtronemiſcher, was er ſey 18. mugken wifiſt — -= . deſſe en Gro 6 ſſe 19. . Gre WeCewr - - bargertiher, oa er ſey 20. 3 ⸗ Mer von deſſen Groͤſſe zu mercken? 21. 22. . onnen⸗Monat, aſtronon 2 Sonnen Mona e ilcher, was er ſey: 13. nt nikäͤfn ⸗ ⸗ buͤrgerlicher, was er ſey 20. Aararſ 2. ⸗was von ſeiner Groͤſſe zu mercken? 2 23. WcHmeanehe Mond, deſſen Zeichen 3. Aſtr. eͤ::. Waht 1 ⸗ afrone 96. — rn ⸗ was aus denſelben zu ſchlieſſen? waenn er ſich um er drte elene; 9o. Nmumm ⸗ hat Flecken 09. Berge 101. Thaͤler 102. aute 103. Meere und Gewaͤſſer 104. agahl ⸗ beſeehet alſo aus Theilen von verſchiedener ſ . r. 2 4 drehet ſich um ſeine Axe⸗ 105. . “ iung dch e ⸗ iſt ein aͤhnlicher K doͤrper mit unſerer Erde 107. öInſĩn daß er nicht alle Tage gleich hoch uͤber dem— Eehen Horizont 18. ſe „ wie deſſen Weite von der Erde zu finden, Ue Grz wenn ſeine Paral! Hlazxis und ſeine. oh e ge⸗ 2 And nk geben? 178. 179. . blmn ⸗ wie groß deſſen kleinſte Weite von der . n neſir „wie deſſen wohrer Diameter zu finden, wenh ſeine Weite von der Erde gegeben n: 82 hefen ⸗ deſſen Berge, wie jhre H . n Mond⸗Finſt terniß, was ſie aohe zumet ſen⸗ 129. D ⸗ wenn und wie ſie geſchehe? . . e wie ſolche evachen⸗ 114. 15. 19. er Morgen, wo er ſey 6 dunt Muͤhlenbau, worauf bey demſelben vornehmlich . zu ſehen? 66. Hydraul. Malegliearon, was er ſey 71. A. M. Gppofſt erenn wie er durch die Divifion zu fuden? FO7. ded Mul⸗ Regiſter. WMultipliciren, was es heiſſe? §. 69. 73. A. M. das Zeichen deſſelben 7575. Multipla derjenigen Groͤſſen, welche durch ein⸗ fache Zeichen ausgedruͤckt werden, nach ihren Begriffen 71 Rech. Malti lum, was es ſey 16. A. M. Mund oder Muͤndung eines Stucks, was er ſey 18. Art. WMusqueten, was ſie ſeyn 21. WMiyops, deſſen Eigenſchafften. 9. Opt. Nadir, was es ſey 5§. Aſtr. Nahme der Groͤſſen oder Nenner, was er ſey 9. Rech. Nahme einer Verhaͤltniß, was er ſey 25. A. M. ⸗ ⸗ daß er die Gleichheit und Ungleichheit der Glieder einer Verhaͤltniß ausdruͤcke 26. 2 wodurch er zu finden? 121. Neben⸗Planeten, was ſie ſeyn, und deren An⸗ zahl? 147. 148. Aſtr. Neigung einer Linie zu der andern, was ſie ſey 22. Geom. 2 *perpendicnlaͤre, was ſie ſey 26. ⸗ ⸗ ſchiefe, was ſie ſey 26. Neigung, des einfallenden und reflectirten Strahls, was ſie ſey 133. Opt. der Magnet Nadel, was ſie ſey 27. Gnom. 2 wie ſolche an einem gegebenen Orte zu einer geſetzten Zeit zu finden? 31. Menner eines Bruchs, was er ſey 96. Rech. Nivelliren, was es heiſſe? 84. Mech. = wie es geſchehe? 89835. Nonae, was ſie ſeyn und deren Anzahl? 26. Chron. O. Befen (in den Stuben), wie ſie beſchaffen, und was bey deren Bau zu mercken 38. 5I. 54. 55. Pyr. * paraboliſche, deren Eigenſchafften 40. Gefnungen (eines Gebaͤudes), wie ſie beſchaffen ſeyn muͤſſen? 23. B. BK. ⸗ daß, wenn verſchiedene in einer Wand, ſol⸗ ſe nicht zu nahe bey einander liegen muͤſ⸗ en 61. ppoſition, was ſie ſey? und deren Zeichen 125. Aſtr. . Grdingten, was ſie ſeyn en geſch 364. Geom. Grd⸗ Regiſter. Grdnung, was ſie ſey 8. 98. B. BK. Grdnung (in der Baukunſt), was eine ſey 115. ⸗ wDie eine proportionirliche in eine gewiſſe Hoͤhe zu bringen, nachdem uns die Hoͤhe, wohin ſie kommen ſoll, gegeben worden 141. ⸗ Corinthiſche, was ſie ſeyn 121. ⸗ Deutſche, was ſie ſeyn 121. ⸗„ Doriſche, was ſie ſeyn 121¹. ⸗ Joniſche, was ſie ſeyn 4 I21. ⸗ Roͤmiſche, was ſie ſeyn 121. ⸗= Toſcaniſche, was ſie ſeyn 121. ⸗ ⸗ worinnen ſie alle von einander unter⸗ ſchieden? 125. Grillon, was es ſey 65. Kr. BK. ⸗ deſſen verſchiedene Zeichnung. 6. Gſcillation der Pendul oder des Perpendicales, was ſie ſey? 192. Mech. Grt eines Dinges), was er ſey 8. Dyn. ⸗ der eccentriſche, (eines Planeten) was er ſey 194. Aſtr. ⸗ der geocentriſche, was er ſey 104. der heliocentriſche, was er ſey 194. P. Parabel, was ſie ſey 267. Geom. ⸗ daß ſich in einer jeden Quadrate der Semi⸗ ordinaten zu einander verhalten, wie ih⸗ re Abſciſſen. 368. daß in derſelben das Quadrat der Semior⸗ * dinate gleich dem VPaſto aus dem Parame⸗ ter in ihre Abſciſſe. . 33356”. a daß in einer die Semjordinate die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen dem Para⸗ meter und der Abſciſſe . 379. „ daß in derſelben der Parameter die dritte Proportional⸗Linie zu einer Abſciſſe und der ihr zugehoͤrigen Semiordinat 371, * daß in derſelben die Abſciſſe die dritte Pro⸗ portional⸗Linie zu dem Parameter und der, der gegebenen Abſciſſe zugehoͤrigen Semiordinate 372. 5 wie eine geometriſch zu beſchreiben, wenn der Parameter gegeben worden? 374. * daß in derſelben die Weite des Brenn⸗ vunets Punets Thel de „ Us ir en en B inate e Ne us er Scei eedurc in beſchre der dene 1, Nec ſed n orizonteleh die We⸗ egeben Prellebtine aleleſihet . died Perehilgnen Mar rj Mfime nin in fſeſtht ſe eice Eund len ¹ eines en W ane niͤh n M dſchn pumen Pternaſien : pandl, 8 enn Z n Il Unter⸗ I3; G. i gr ht⸗ Dn. ſe Nr o⸗ 191 ln i⸗ h⸗ 30. dr⸗ me⸗ tlere larc⸗ 366 ritte und 3 hro⸗ und igen ene N1 — Regiſter. punets von der Scheitel dem vierdten Theil des Parameters gleich H. 376. Geom, ⸗ daß in einer die gerade Linie, welche aus dem Brennpunct an das Ende einer Or⸗ dinate gezogen wird, gleich ſey der Sum⸗ me aus der Abſciſſe der geſetzten Ordina⸗ te und der Weite des Brennpuncts von der Scheitel 2327. wie eine durch die Bewegung eines Puncts zu beſchreiben? 378. Porallaxis, was ſie ſey 160. Aſtr. der Sterne, was ſie ſey 160. „ „ daß ſie deſto kleiner, je weiter ein Stern von der Erde weg iſt 162. Horiʒontal⸗Parallaxis, wie ſie zu ſinden, wenn die Weite eines Sterns von der Erde gegeben worden 181. Parallel⸗ineal, was von demſelben zu mercken? 25. Geom. Parallelepipedum, was es ſey vy. ⸗æ wie deſſen Innhalt zu finden? 223. Parallelogrammum, was es ſe . . . . . 7. daß ein jedes durch die Diagonal⸗Linien in 4 zwey gleiche Triangel getheiler werde. 223. daß zwey derſelben, welche gleiche Grund⸗ ſeinien und Hoͤhe haben, einander gleich eyn. 225. daß ſie ſich verhalten, wie ihre Hoͤhen, wenn ſie gleiche Grund⸗Linien; und wie ihre Grund⸗Linien, wenn ſie gleiche Hoͤhen ha⸗ ben 239. * wie eines aus einem gegebenen Punct in zwey gleiche Theile u theilen 265. « wie eines in ſo viele gleiche oder proportio⸗ nirliche Theile zu theilen, als man ver⸗ langet? “ Vertical-Parallelogrammum, v wie es per 66 ſch perſpecti⸗ iſch zu zeichnen? perſpecti⸗ Parameter, was er ſey 6, Pen Paternoſterwerck, was es ſe 19. Hydraul. „ was bey demſelben vornemlich zu mer⸗ Pendul, was ſie ſey 32 8 ſic ſey) 192. Mech⸗ 2 wenn man ſie in die Hoͤhe hebt und wied fallen laͤſſet, was erfolgt? wi der⸗ Q qaae Feri Regziſt er. Perihelium, was es ſey dS. 166. Aſtr. Perpendicul, was er ſey, und wie er ſonſt gee⸗ nennet werde 192. Mech⸗ Perſpectiv, was ſie ſey “ I. Perſp. „ nach derſelben einen Koͤrper zeichnen, was es heiſſe? ⸗ einer Figur, was ſie ſey 6. Pfaffenmuͤtze, was eine ſey 97. Kr. BK, Pfeiler, was ſie ſenn 56. B. BK. Wand⸗pPfeiler, was ſie ſeyn 56. Pfuͤhle, was ſie ſeny 165. ⸗ein gedruckter, was er ſey 105. Piſtolen, was ſie ſeyn 21. Art. Planeten/was ſie ſeyn und deren Anzahl 2. 3. 147. 148. Aſtr⸗ „ wenn ſie geradelaͤuffig, ruͤckgaͤngig und ſtil⸗ leſtehend 151⸗155. Rdaß ein jeder derſelben der Erde einmal naͤher ſey als das andere mal 85. wie bey denſelben die Verhaͤltniß des wah⸗ ren Diametri zu dem wahren Diameter der Sonne zu finden? 21'0. Plumpe, was ſie ſey V 23 Hydraul. Pole oder Welt⸗Pole, was ſie ſeyn 4. Aſtr. 5. Geogr. WordeHolt was er ſen 4. . Suͤder⸗Pol, was er ſey 4. . ⸗ Polygon/ auſſere und innere, was ſie ſey 71. Kr. BK⸗ Poſtement, was es. ſeyyy 135. B. BK⸗ Potentʒ/ was ſie ſey? (Siehe Dignitaͤt) 145. Rech⸗ ,„einer yperbel, was ſie ſey 417. Geom⸗ „„ daß ihre Wurtzel gleich ſey dem Theil der Aſymptote von dem Mittelpunct der Zwerch⸗Axe, bis an den Punct, wo die Wurtzel von der Potentz der Hyper⸗ . bel die Aſymptote beruͤhret 419. ð . „ daß ſie gleich dem vierdten Theil der Quadrate der halben Zwerch⸗Axe/und der halben klemen Axe. 420. Presbyta, deſſen Eigenſchafften 91. Opt. Prisma, was es ſey 75. Geonm.⸗ „ „wie es entſtehe? “ 76. . ⸗dwie deſſen Innhalt zu finden? 3232 4 „HNwie es nach der Perſpectiv zu zeichnen? 27. Perſp⸗ deſſen verſchiedene Arten 76. Geom. dreyeckigtes, was es ſey 76. daß ł ,„ daor Prodit, Profil ton Progreßto 1cgrith . be lt oſe 1 Wi Prtſoren rthtte . ſ NR (lytin d itc eon . e d⸗ deten Ctuſ. tolen hrin eg Pigen 8.,106 1 daß es könne in drey gleiche Theile ge⸗ ſt ge⸗ ſchnitten werden §. 329. Geom. e Product, was er ſey 71. A⸗ M. h Profil, was es ſey 86. 87. Kr. BK. chnen⸗ Progreßton, was ſie ſey 46. A. M.⸗ 4 ⸗ arithmetiſche, was ſie ſey 122. 6 ihre wahre Beſchaffenheit 191. 192. Rech⸗ 1 wie in einer die Summe ihrer Glieder ö zu finden? 194. 4 — wie in einer die Summe des erſten und 1 letzten Glieds zu finden? 195. 15 2 wie in einer das letzte Glied zu finden? 196. „ ² wie in einer die Anzahl aller Glieder zu 16 finden? 197. ſi⸗ „geometriſche, was ſie ſey 122 A. M. ijei ihre wahre Beſchaffenheit 20f. 202. Rech einnal wie in einer die Summe der Glieder zu 6 finden? 208. 209. —: wie in einer das letzte Glied zu finden? 204. wah⸗ . * wwie in einer die Anzahl aller Glieder zu ametet finden? 211. t⸗ 2 m in Liart ſo viele mittlere Glieder zu inden, als man verlanget? 213: H Proportde, was ſie ſey 3 41 A. M⸗ 1 arithmetiſche, was ſie ſey 122. . es 2 wie ſte bezeichnet und ausgedruckt wer⸗ 124. I. Se. e br lieder beſchaffen? 130. 131. continta, was ſie ſey 4³: R daß in derſelben nur drey verſchiedene 1W Glieder 45. tepunct 2discreta,; was ſie ſey 43. net, ts geometriſche, was ſie ſey 122. , „ ⸗ wie e gezeichnet und ausgedruckt wer⸗ Thel der wie ren Glieder beſchaffen? 130. 131. Ae,um deren Nutzen, wenn wir durch eine gegeben⸗ 6 Groͤſſe andere von einer andern Art finden “D wollen. 137. 138. 139 Pproportionalregeln, was ſie ſennn 217. 1 . . . wie alle moͤgliche zu finden? 218. “ H eſir, was ſie ſey 176. Aſtr⸗ it 1 ulver, deſſen verſchiedene Arten 6. Art. verſchiedene Satze woraus es zu machen 23. . , O q q 2 Knaͤll⸗ Regiſter. Anall⸗Pulver, wie es beſchaffen und woraus itine es zu verfertigen? 556. Art. 6he Lauf⸗Pulver, wie es beſchaffen und woraus ene es zu verfertigen? . ſe ag Musqueten⸗Pulver, deſſen Satz 23 lini 0 Pirſch⸗Pulver, deſſen Satz 23. Gech, Schieß⸗Pulver, wie es beſchaffen und woraus Oltplnn i es zu verfertigen? 6. Cingin pai : wie deſſen Wuͤrckung zu erklaͤren? 8. Qiniat tas⸗ = . deſſen verſchiedene Eintheilung 22. Ptnn glei Pumpwerck, was es ſey? 23. Hydraul,. Mnnenn — . wDie eines zu verfertigen? 24 Punct, was einer ſey 2. Geom. Augen⸗Punct oder Haupt⸗Punct, was er ſey S. Perſp. Brechungs⸗Punct, was er ſey 45. Opt. Ded, eee Diſtantz⸗Punct, was er ſey 11. Perſp. M had Einſalls⸗Punct, was er ſey 43. 133. Opt. e Mittel⸗Punct eines Circuls, was er ſey 20. Geom. . nan . der Groͤſſe, was er ſey 15. Mech. ⸗ von einer Syperbel, was er ſey 407. Geom. N = - der Schwere, was er ſey 15. Mech. ze 4 ⸗ . . wie er geometriſch zu finden? 16. ennſ Ruhebunct, was er ſey 25. ſmuch = . wenn er mit dem Mittel⸗Punct der eume Schwere einerley, was erfolgt? 36. Gtſmli Pyramide, was eine ſey 86. Geom, W wie ſie perſpectiviſch zu zeichnen? 29. Perſp. tmurh sbgekurtzte, was ſie ſeyn 86. Geom. n dreyeckigte und viereckigte, was ſie ſeyn 86. A rechtwincklichte und ſchiefwincklichte, „N was ſie ſeyn 86. Gniaz Pyrobolik, was ſie ſey 34. Vor. end . Glbi . . n 1 Qnadrat (in der Geometrie), was e Geom -= wie es entſtehe? lwas es ſey 6 Geon daß es von der Diagonal⸗Linie in zween gleiche Triangel getheilet werde, daß die “ beyden entgegengeſetzten Winckel einan⸗ der gleich und die entgegengeſetzte Seiten Parallel⸗Linien ſeyn. 221. „ wie ein gegebenes auszumeſſen? 23⁸. , i wie We vorgus horaus 6 3 voraus 6 2 1 1 ete 4 16e 60 IE 493, )11 e 155 : 1. 4 Regiſter. wie eines zu machen, welches ſo groß als eein gegebener Triangel oder als ein ge⸗ gebenes geradlinigtes Vieleck? §. 270. Geom. wie eines zu machen, welches zwey gege⸗ benen Quadraten zuſammengenommen gleich?; 274. . Oaadruplum, was es ſey 16. A. M. Quintuplum, was es ſey 16. Cuotient, was er ſey „D 100. —wenn gleiche oder ungleiche entſtehen? 1II. ⸗ wenn einer groͤſſer als der andere? 112. R. Rad, was es ſey 46. Mech⸗ an einer Axe, was es ſey 6. 4 wenn durch Huͤlffe deſſelben eine Krafft, welche an ſeiner Peripherie appliciret, die Laſt beweget, welche an der Welle haͤnget; was folget? 105. KRamm⸗Rad, was es ſey 49. Panſter⸗Rad, was es ſey 64. Hydraul. ⸗ wenn es ein Stockpanſter, und wenn es ein Ziehepanſter genennet werde? 64. Schoͤpff⸗Rad, was es ſey 25. Schwung⸗KRad, was es ſey 186. 187. Mech. woraus deſſen Vollkommenheit zu beur⸗ ehelle 189. . deſſen Nutzen bey einer Machine. 19.. Staber⸗Rad, was es ſey 64.Hydraul. Stern⸗Rad, was es fey 49. Mech. Straub⸗Rad, was es ſey draul. Waſſer⸗Rad, was es ſey 55. 2 ein horizontales, was es ſey „ daß bey demſelben das Waſſer deſto mehr vermag, ie mehr der Trieb des Waſſers mit der Horizontal⸗ Ainie uͤbereinkommet 56 ⸗ :⸗ woenn auf einem die Schauffeln per⸗ pendiculaͤr ſtehen und gegen das Waſſer eine hohle Figur machen, ein was ſalgr⸗ ein oberſal/lachtiges, was es ſey 5½⅞.: a 3 daß daß bey demſelben das Waſſer mehr veermag, wenn die Laͤnge ſeiner Schauffeln groͤſſer, als die Breite der Rinne, wodurch das Waſſer auf daſſelbe flieſſet, als wo das Gegentheil kd. 59.⸗Hydeaul. . dA *½ „ fr Uerumge 1 iines tie deb Ns l hilen ſe eie de⸗ daß bey einem das Waſſer mehr ver⸗ mag, wenn die Schauffeln eine Eer mit dem Waſſer proportionirliche Weite haben als wenn die Schauf⸗ os feln zu enge S6Sr. e „„² daß bey einem das Waſſer mehr ver⸗ te mag, wenn die Schauffeln hinten tio,taseref zu, als wenn ſie offen. 62. . mſie ddaß bey demſelben das Waſſer mehr . Aipind vermag, wenn die Schauffeln = fllnd * u tief gemacht, als wenn ſa guiei ein perpendiculaͤres, was es ſey Z 5. e —⸗ein unterſchlaͤchtiges, was es ſey 55. ſ . . . . wie vielerley es ſey 64. ſin Racheren, was ſie ſeyn 53. Art⸗ 6 ,N wDie eine zu verfertigen 7. m Nacheten⸗Satze, verſchiedene derſelben 54. . i Racheten⸗tock, was er ſey 55. mi .wie einer mit dem Zugehör zu verfer⸗ hut tigen? 56. SJ mn Radius der kleine und groſſe, was er ſeg 77. Kr. BK. en — eines Circuls, was er ſey 20. Geom. uſfl — daſ er mit dem Tangenten des Eirculs . in dem Beruͤhrungs Punct einen rech⸗ ſ ten Winckel mache. 171. ¹ einer Kugel, was ſie ſey 70. f Raͤderwerck, was es ſey, und wie zu finden, wie oft in einem gegebenen das kleine uß Rad herumlauffen koͤnne, ehe das groſſe einmal herum gehet? 106, Rech. Af . .. wie zu einem die Anzahl der Raͤder, die Zahl der Kaͤmme fuͤr ein jedes (h⸗ Rad und die Zahl der Trillings⸗ Stoͤcke fuͤr ein jedes Getriebe zu Nelin finden; wenn beſtimmet worden, wWie wievielmal das eine Rad herum⸗ uun hu . lauf⸗· ute e Regiſter. lauffen ſoll, ehe das andere einmal nht erumgehet? . 107. Mech. ſint „ wenn eines gegeben, nebſt einer Laſt; eit wie die Laſt zu ſuchen, welche durch hoſa das gegebene Raͤderwerck die Laſt dn halten koͤnne? 108. K ö ⸗= ⸗ wie zu einem ſo wohl die Anzahl der Hben Rader als auch die Verhaͤltnis ih⸗ ente irer Radiorum gegen die Radios ih= ſhe veer Axpen zu finden; wenn die Laſt unf⸗ gegeben worden und die Krafft, wel⸗ che die Laſt durch ein Raͤderwerck bet⸗ waagerecht halten ſoll? 1II. nten Ratio, was eine ſey? Siehe Verhaͤltniß. 23. A. M. „ multiplexæ und ſubmultiplex, was ſie ſeh 31. ehr dupla und ſubdupla, was ſie ſey 31. eln * tripla und ſubtripla, was ſie ſeh 31. ſe gquadrupla und ſubquadrupla, was ſie ſeh 31. 4, „* Iuperparticularis und ſubſuperparticularis, S was ſie ſey . 32 ſesquialtera und ſubſesquialtera, was ſie ſey 32. 64 Jesquitertia und ſubſesquitertia, was ſie ſey 32. KE ⸗ Fspechertiets und ſubſuperpartiens, was ſie 5/. * Iuperbipartiens tertias und ſubſuperlipar- S. tiens tertias, was ſie ſeg 33. * ſupertripartiens duartas und ſubſupertri- 56,. partiens quartas, was ſie ſey 33.* 7. * multiplex ſuperparticularis und ſubmulti- 20E plex ſubſuperparticularis, was ſie ſey 34. 8 dupla ſesqui altera und ſubdupla ſubſesqui ⸗ altera, was ſie ſey 34 Il trihpla ſesqui quarta und ſubtripla ſubſesqui- 7 quarta, was ſie ſey 4 multipleæ ſuperpartiens und ſubmaltiplex e ſubſupenpartiens, was ſie ſey 35.* . * dupla ſuperbipurtiens tertias und ſubdupla 1 ſubſuperbipartiens tertias, was ſie ſe) 35. * compohta und deren verſchiedene Arten, 4 was ſie ſey 120. RKavelin, was es ſey 92. Kr. B K. wie eines vor eine Cortine zu zeichnen? 95: Raum, was er ſey 8 zu zeich 3. 9. Dyn. Raute, was ſie ſeg 44 Geom. Q ag 4 Rechen⸗ „* Regiſter. Rechenkunſt, was ſie ſey §. 22. Vor. Bechentiſch des Pythagoras 73- Rech. Rectangelam, was es ſey 54. Geom. wDie eines entſtehe? 60. „daß ein jedes von der Diagonal⸗Linie in zwey gleiche Triangel getheilet werde; daß die beyden entgegengeſetzten Winckel in dem. ſelben einander gleich; und daß deſſen entgegengeſetzte Seiten Parallel⸗Linien ſeyn? 221. = wie deſſen Innhalt zu finden? 235. 236. Redoute, was ſie ſeyn 126. Kr. BK. eine halbe, was ſie ſey 126. Reduction der Ecliptik, was ſie ſey 196. Aſtr. Refraction der Strahlen, was ſie ſey 45. Opt⸗ Regeln, wornach der Bau eines Zimmers zu beurtheilen; worin ſie beſtehen: 97. B. BK. Rhombus und Khomboides, was ſie ſoyn 54. Geom. = wie ſie entſtehen? 60. ⸗ . daß ſie von der Diagonal⸗Linie in zwey gleiche Triangel getheilet werden; daß die beyden entgegen geſetzte Win⸗ ckel einander gleich; und daß die ent⸗ gegen geſetzte Seiten Parallel⸗Linien ſeyn 221. —· wie deren Innhalt zu finden? 235. 236. Riemen, was ſie ſeyn 105. B. BK. Riemleiſten, was ſie ſeyn 105. Kolle, was ſie ſey 46. Mech. ⸗ obere und untere, was ſie ſey 52. wenn durch Huͤlffe derſelben eine ge⸗ wiſſe Krafft eine Laſt waagerecht erhaͤlt; wie die Krafft beſchaffen: 112. Ruthe, was eine ſey 94. Geom ; Cubic⸗Ruthe, was ſie ſey 313. geometriſche oder Decimal⸗Ruthe, was ſie ſey 94. - deren Zeichen 97 Ouadrat⸗Ruthe, was ſie ſey 23⸗ Saͤulen, was fie ſeyn 56. B. BK. Wand⸗Saͤunlen, was ſie ſeyn 6 56. Saturnus, was er ſey? und deſſen Zeichen 3. 143. Aſtr. wie er uns erſcheinet? 138. wie . ſied „ Mee ſie . ſit⸗ pef beb Gelhuet e ti Gitl M erde erf Ne „ Wer f w Kegiſter. J 4 nl wie dieſe Erſcheinung zu erklaͤren? H. 139. Aſtr. 11 beweget ſich in einer in ihm felbſt zuruͤcklau⸗ 1 n fenden krummen Linie um die SLonne 144. nſre iſt ein aͤhnlicher Koͤrper mit unſerer Erde 145. cn hat F. Trabanten 140. ni⸗ wie ſie ſich um den Saturnum bewegen? 141. ſe was hieraus zu folgern? 142, 143. ng⸗ Saugwerck, was es ſey 23. Hydraul. 8 twDie eines zu machen? 25. Schall, daß er durch die Lufft fortgepflantzet “ werde . 1I. Muſ. n dafß er ſtaͤrcker bey dichter Lufft, als bey duͤn⸗ ner 2. daß er durch eine zitternde Bewegung der nens e Lufft fortgepflantzt werde 4. a * woraus deſſen Groͤſſe zu beurtheilen? 5§. ee daß er ftaͤrcker, wenn viele, als wenn weni⸗ ge Lufft von einem Koͤrper in eine zitternde erSNH Bebwegung geſetzt worden 6. 7. perden; „ daß er feiner, wenn die Geſchwindigkeit in enn der zitternden Bewegung groß, als wenn e kleine . 8. = daß ein feiner eben ſo geſchwinde als ein lini 4 grober; und ein ſchwacher ſo geſchwin⸗ a de als ein ſtarcker fortgepflantzt werde 10 35. 1 Bl daß er nach einer geraden Linie fortgehe 13. o. daß wenn er an eine Flaͤche ſtoͤſſet, die ihn 4, nicht durchlaͤßt, er in dem Winckel wieder 8 Kauc ſpringen muß, in welchem er ange⸗ 14* nege ⸗ daß deſſen Fortpflantzung durch dasZittern . ekech der Lufft unmoͤglich, wenn dies Zittern fen: 6 nicht in verſchiedenen Winckeln geſche⸗ hen koͤnte 16. “M daß je hoͤher er, deſto kleiner der Winckel, in ſſteſen welchem die Lufft zittert 17. . 6 Schatten, was er ſey 28. Qpk. wenn deſſen Fignr ein Cylinder? 382. wenn deſſen Figur ein Kegel? 33. wenn deſſen Figur ein abgekuͤrtzter Kegel? 34. wie deiner zu zeichnen, der an eine Wand oder an einen andern Koͤrper faͤllt? 34. Perſp. wie er zu finden, wenn die Weite der Sonne 34. . Q qiq 5 hin. „ . 1 hinter der Tafel von der Vertical⸗ Slaͤcheh 1orrſein, Ho und ihrer Hoͤhe uͤber dem en goe Knſin ⸗ „ wie er zu finden, wenn die Weite der Sonte 35 werſ Ganil vor der Tafel von der Vertical⸗Flaͤche ſee E nd ahrer Hoͤhe uͤber dem Boden gege⸗ 6Eſtund gerader, was er ſey 5 ⸗ wie er ſich zur Laͤnge des dunckeln Koͤrpers verhalte, von welchem er geworffen wird? 386 Ehtelbnnen wie ſich verſchiedene, welche von ei. Ecaltmimnt nem dunckeln Koͤrper vermittelſt Schug büfin veraͤnderter Hoͤhe des leuchtenden „ n Koͤrpers geworffen werden, ver⸗ Cobetn halten? 2422. ucdt 2 * wie er in Perſpectiv zu zeichnen wenn Schwerner das Eht. wit Strablen, die aus t einander fahren, ſich ausbreitet? 31. Per E = verkehrter, was er ſen eſich ausbreitet; 3. Pef Saucg ⸗ wie ſich gerade und verkehrte, welche vvon Schvere dunckeln Koͤrpern, die vollkommen einer⸗ . pe i ley, vermittelſt einerley Hoͤhe des leuch⸗ tenden Koͤrpers geworffen werden, zu Saupelehn einander verhalten? 41. – Scheere, was ſie ſey 97. Kr. B⸗ wcn Nwie eine vor eine Cortine zu zeichnen? 98 l NwDie ihre Defenſion zu verſtaͤrcken 100. ler Scheitel (von einer krummen Linie), was er ſey? 365. Geom. 1 Schiffroſe, was ſie ſey 238. Gnom. Schlangen, was ſie ſeyn 27. Art. = wie groß deren Ladung? 29. Schoͤnheit, was ſie ſey 33. Muſ. Giar eines Gebaͤudes, aͤuſſere, was ſie ſey 14. B. BK. „dN eetwas ſie erfordere 1I122114. Eale innere, was ſie ſey 14. Sehne, . . in Anſehung der Theile, was ſie er⸗ to fordere? 88. 93⸗ 96. ⸗ e in der Lage der Theile, woraus ſie beſtehe? 99. e —- . .⸗ was ſie erfordere? 100⸗102, in der Materie, was ſie erfordere? 110. 111. Schoͤpffwercke, was ſie ſeyn 35. Hydraul. dr Schorn⸗ 6 ge 9 — — Regiſter. Schorn ſtein, woraus deſſen weſentliche Stuͤcke zu beurtheilen? §. 38. B. BK. Schraube, was ſie ſey 59. Mech. ihre Eigenſchafften 127. 1298. . wie ihre Eintheilung zu finden, wenn die Krafft und die Laſt gegeben worden? 129. Schraube ohne Ende, was ſie ſey 132. — . worauf man zu ſehen, wenn man ihr . Vermoͤgen beſtimmen will? 133. Schraubengang, was er ſey 59. Schraubenmutter, was ſie ſey 59. Schuh, was einer ſey 94. Geom. deſſen Zeichen 97. Cubie⸗Schuh, was einer ſey 313. Ouadrat⸗Schuh, was einer ſey 230. Schwaͤrmer, was ſie ſeyn 53. Art. . derer Verfertigung 55. 58. Saͤtze, verſchiedene derſelben 54. Schwalben⸗Schwantz, was er ſey 97. Kr. BK. Schwere, was ſie ſey 82 10. Mech. . wie ihr weſentliches von ihrer Wuͤrckung in unterſcheiden? 13. Scrupel ein chaldaͤiſcher, was er ſey 15. Chron. Sechseck, was es ſey 43. Geom. ,wie es in Trjangel zu verwandeln? 58. irregulares, was es ſey 49. regulaͤres, was es ſey 49⁹. wie eines auf eine gegebene Linie zu beſchreiben? 261. ⸗ ⸗ daß eine Seite deſſelben dem Ra⸗ dio des Circuls gleich 260. Secunde, was eine ſey 137. Rech. 104. Geom, ⸗„ deren Zeichen 141. 105. Seele eines Geſchuͦtzes, was ſie ſey 20. Art. Sehne, was ſie ſey 22. Geom. ⸗ wenn eine durch eine Perpendicul⸗Linie in zwey gleiche Theile getheilet wirb; was „daraus folge? . 16 ⸗ wenn auf eine von dem Mittel⸗Punct des Circuls eine Perpendicul⸗Linie gezogen wird; was daraus folge? 165. daß verſchiedene, welche gleiche Bogen ab⸗ ſchneiben, einander gleich ſeyn; und wenn Regiſter. wenn ſie gleich ſind, daß auch die Boͤgen, welche von ihnen abgeſchnitten werden, gleiche Boͤgen §. 162. Geom. „von der Helffte eines gegebenen Bogens; wie derſelben Groͤſſe zu finden, wenn der Radius eines Circuls gegeben und eine Sehne aus dieſem Cireul von einem be⸗ ſtimmten Bogen? 281. Sehungsbogen, was er ſey 66. Aſtr. Semiordinaten, was ſie ſeyn 364. Geom. Sextuplum, was es ſey 16. A. M. Setzer, was er ſey 55. Art. Setzkolben, was er ſey 33. ⸗ deſſen Theile 34. Sinus eines Bogens, was er ſey 181. Geont ⸗ eines Winckels, was er ſey 181. . ⸗ deſſen Eigenſchafften 182. . ⸗deſſen Spitze in der Peripherie des Circuls, iſt die halbe Sehne von dem Bogen, welcher von den Schenckeln des Winckels abge⸗ ſcchhnitten wird 183. Sinus aͤhnlicher Boͤgen, haben gegen die Radios der Circul, von welchen die Bogen genom⸗ men, einerley Verhaͤltniß 212. Sommer, wenn er anfange? 36. 87. 149. Geogr. Sonne, was ſie ſey? und deren Zeichen 3. Aſtr. daß ſie nicht alle Tage gleich hoch uͤber dem Horizont 18. wie man finden koͤnne, in welchem Punct der Ecliptik ſie ſich beſindet, wenn man einen Stern aufgehen fiehet; nachdem uns der Sehungsbogen, und der Punct der Ecliptik gegeben, mit welchem der Stern aufgeht 6 hat Flecken 88⸗ was hieraus zu folgern? 89. iſt ein Fix Stern 149. 150. wie ihre Weite von der Erde zu finden? 202. daß ſie an allen Orten des Erdbodens Tag und Nacht gleich mache, wenn ſie im Aequarore iſt. 39. Geogr. „ 1 „ à „ Sonnenfinſterniß/ wenn und wie ſie entſtehe 109⸗111. Aſtr. wie . Eenn D lern Wm Stume Ppetel d Kegiſter. „ wie ſie eingetheilet werden §. 112. Aſtr. = wie ſie zu beobachten 113. enntagsbuchſtabe, was er ſey 49. Chron. e. wi. er auf ein gegebenes Jahr nach Chriſti Geburt zu finden? 55. = deſſen Nutzen 56. Sobaera obliqua, was ſie ſey 46. Geogr. Spbaera parallela, was ſie ſey 46. pbaera recta, was ſie ſey 46. Spiegel, was er ſey 129. Opt. ⸗ daß man in einem den ſtrahlenden Punct ſehe, indem der durch den Spiegel ver⸗ laͤngerte reflectirte Strahl den verlaͤn⸗ gerten Einfalls⸗Cathetum ſchneidet 138. ein coniſcher, was er ſey RW 132. — wenn er ein erhsbener, was er fuͤr Eigenſchafften habe? 152. ein eylindriſcher, was er ſey 132. wenn er ein erhabener, was er fuͤr Ei⸗ genſchafften habe? 151. ein elliptiſcher, was er ſey 132. * wenn auf denſelben ein Strahl aus einem Brenn⸗Punct faͤhret, ſo muß der reflectirte Strahl in den an⸗ dern Brenn⸗Punct fahren 165. „⸗ . wozu ſie zu gebrauchen? 42. Phr. ein erhabener, was er ſey 132. Opt. ein hyperboliſcher, was er ſey 132. ein paraboliſcher, was er ſey : daß alle Strahlen, welche auf denſel⸗ ben mit der Axe der Parabel paral⸗ lel fallen, durch die Reflexion in dem Brenn⸗Punct der Parabel zuſam⸗ men kommen 164. ein platter, was er ſey? 132¾ wenn man in einem eine Sache ſie⸗ het, ſo ſcheinet jeder Punct ſo weit hinter dem Spiegel, als er vor dem⸗ ſſelben wegſtehet 139. ein ſpaͤriſcher, was er ſey 132 daß in demſelben der Einfalls⸗Ca- thetus, der Obliquations-Cathe- zus und der Reflemons⸗-Cathetus 132. „ »„ durch Regiſter. durch den Mittelvunct der Kugel ſe gehe, woraus der Spiegel geſchnit⸗ EuernEenn ten §. 145. Opt. Eioß Nn wenn er ein erhabener, was er fuͤr Srspl N Eigenſchafften habe? 146⸗150. dage Brenn⸗Spiegel, was ſie ſeyn, und woraus ſie Nn wu verfertigen? 35. Pyr. . dein Hohl⸗Spiegel, was er ſey 132. Opt. H eol e ein ſphaͤriſcher, was er fuͤr Eigen⸗ ſchafften habe? 153⸗ 16327õ. — deſſen Nutzen 32. 34. Pyrob. nch Spiegel in einer Kartetſche, was er ſeh 39. Art. Spiel⸗Raum, was er ſeg 19. fl Spitze eines Winckels, was ſie ſey 27. Geom. n Spitze einer Figur, was ſie ſey 56. Staͤbe, was ſie ſen— 165. B. BK: ſ Sterne, wenn man ſage, daß ſie auf⸗oder unter⸗ pen gehen? 3 . 9. Aſtr⸗ ihre beſondere Arten und Benennungen 53⸗ 55. der erſten Groͤſſe was ſie ſeyn 58. der andern Groͤſſe, was ſie ſeyn 58. Hr der dritten Groͤſſe, was ſie ſeyn 58: 1 v .der vierdten Groͤſſe, was ſie ſeyn 58. = det ſuͤnfften Groͤſſe, was ſie ſeyn 58. KHr der ſechſten Groͤſſe, was ſie ſeyn 5§. lun nebelichte, wie ſie beſchaffen? 56. Wi⸗ daß, wenn einer im Horizont geſehen wird, deſſen Strahl auf die Athmoſphaͤre die N ſtaͤrckſte Inclination habe 73. . r wenn einer im Zenith ingleichen im Hori⸗ zont ſtehet und wenn er vom Zenith nach dem Horizont und von dem Hori⸗ zan nach dem Zenith gehet, was fol⸗ ““ wie die Groͤſſe der Refraction eines jeden in einer jeden Hoͤhe zu beſtimmen . e wDie deren ſcheinbarer Diameter zu meſſen? 30. denet wie deren waͤhrer Diameter zu finden, ð wenn ihre Weite von der Erde gegeben wörden? 114 Six⸗Sterne, was ſie ſyn? 2. ⸗ . daß ſie weiter von der Erde entfernet, als der Saturnus 213: Regiſter. . . daß ſie gröſſer als unſere Erde §. 216⸗Aſir. Stern⸗Schantze, was ſie ſey 126. Kr. BK. Stoß, was er ſe B 61. Dyn. Strabl, was er en 1. Opt. ⸗ daß er eine gerade Linie 3. ⸗daß in demſelben das Bild der Sache ſey, aus welcher er faͤhrt. 13 „ wenn verſchiedene derſelben in einem Punct zuſammen ſtoſſen, daß die Fört⸗ pflantzung des einen durch den andern nicht gehindert werde 19. * wenn verſchiedene, welchen kein Wider⸗ ſtand geſetzt wird, parallel gehen; was * wenn gleichſtarcke, die aus einem Punct flieſſen, auseinander gehen, was er⸗ folgt? 21. wenn gleichſtarcke, die aus einem Punct flieſſen, zuſammen lauffen; was erfolgt? 22. s wenn einer aus einer dichtern Materie in eine duͤnnere oder v. v. faͤhret, was folgt? 44. 49. s wenn man ſolche, die aus einem Koͤrper flieſſen und durch ein erhabenes Glaß gebrochen werden, hinter dem Brenn⸗ Punct des Glaſes mit einer Flaͤche, die das Licht nicht durchlaͤßt, auffaͤngt; was folgt? 165. der einfallende, was er ſey 45. 133; . ⸗ wie erck, der in einem gegebenen Glaſe gebrochen wird, dürch die Zeichnung u finden⸗ 8) die Zeichnunge gebroͤchener, was er ſey * *⁹ Optiſche, was ſie ſeyn . e. Perſp. . reflectirte, was er ſeh 133. Opt. * wenn er in das Auge faͤhrt; was olgt; 135. deuer⸗Strahl, was er ſey wenn einer aus einer dichtern Materie in eine duͤnnere oder v. v. faͤhret; was folge? 24 ⸗ daß u den Winckel wieder zuruͤck „in welchen e Plelen chen er auf den Spiegel z1 15. Phr. Regiſter. Strich⸗Landes, was einer ſey 33. Geogr. — . hitzige, was ſie ſeyn 33. - . kalte, was ſie ſeyn 33. — . temperirte, was ſie ſeyn 33. Nord⸗Strich, kalter was er ſey 33. Euͤder⸗Strich, kalter was er ſey 33. Stuͤcke, deren Eintheilung 30. Art. Boden⸗Stuͤck, was es ſey 20. Mund⸗Stuͤck, was es ſey 30. Zapffen⸗Stuͤck, was es ſey 30. erhoͤhen, was es heiſſe? 36. richten, was es heiſſe? 36. * wie eines zu richten, daß damit auf einen beſtimmten Ort koͤnne geſchoſſen wer⸗ den? 38. * unter dieſelben rucken, was es heiſſe? 36. Kr. RK Stuͤtze, was und wievielerley ſie ſey 56. B. B. =ihre Eigenſchafften . 57‧59. Stunde, was ſie ſey 7. Chron. eine einfache, was ſie ſeh 7. - daß ſie die gewoͤhnlichſte, 8. eine zuſammengeſetzte, was ſie ſey 7. aſtrono miſche, was ſie ſeh 12. europaͤiſche, was ſie ſey . 12. indiſche, was ſie ſey 12. Mittags⸗Stunden, wie der Unterſcheid derſel⸗ ben an verſchiedenen Orten zu finden? 26. Geogr. Planeten⸗Stunden, was ſie ſeyn 12. Chron. Subtrahiren, was es ſey 85. A. M. wie es vom Addiren differire? 88. das Zeichen, womit es ausgedruckt wird 90. Summe, was ſie ſey 47. wenn gleiche oder ungleiche herauskom⸗ 63. men? 3. Symmetrie, was ſie ſey 98 99. B. BK. Syſtema planetarum, was und wievielerley es ſey? 156. ⸗= wie durch das eopernicaniſche die beſon⸗ dern und allgemeinen Erſcheinungen der Welt⸗Korper zu erklaͤren? 157. Thierſuum⸗ iir! Cafel in derche . pſe auftin Reherſe Arc Teg deſeate bire ein natl Schalt Tages. Anbr Tages. Tern Tangenh . un ſhe Uun 5 wſe er ſehe iſie Lngenten , lis N euu in Mnde la Pel ede nen, Thale tief el eſt gligu gitn erunenn ² Wr⸗ Phietkt⸗ 82 N 33 39. 3). 3 31 Pl 50. 1,. 12 3 * 1 ⸗ D et 669 7,59. . Regiſter T. ubulae ſinuum et zangentium; wie ſie entſtan⸗ 2d 4 5 . ſe 2. Trig. Tafel (in der Perſpectiv), was ſie ſey v. Perſp⸗ wie auf einem gegebenen Punct derſelben, die Perſpectiv von einer gegebenen Hoͤhe zu richten? 26 Tag, deſſen verſchiedene Bedeutung 5. Chron⸗ ein buͤrgerlicher, was er ſey 5. ein natuͤrlicher, was er ſey⸗ 5F. Schalt⸗Tag, was er ſeh 27. Tages-⸗Anbruch, was er ſey 62. Aſtre Tages-Termin, was er ſey 10. Chron. „ wenn man auf denſelben aus dem Mittel⸗ Punct des Circuls eine Perpendicul⸗Linie ziehet, ſo faͤllt ſolche auf den Beruͤhrungs⸗ Tangent, was er ſey 176. Geom⸗ Punct 171. „ wie er durch einen gegebenen Punct zu— ziehen 772. 2 deſſelben Eigenſchafften 174⸗178. Tangenten aͤhnlicher Boͤgen, haben mit den Radiis der Circul, aus welchen die Boͤgen, ei⸗ nerley Verhaͤltniß 212. Tertie, was eine ſey 137. Rech. 104. * deren Zeichen 141. 105. Tetraedrum, was es ſey) 64. Theil, wie dis Wort in der Mathematik zu ne Theile, was ſie ſeen,.h 3. . ein aliquanter, was er ſey 14. A. M⸗ * ein aliquoter, was er ſey 4 gleichnahmigte, was ſie ſeyn 20, Geont⸗ Thermometrum oder Thermoſcopium, wasß es ſeyy 550 Ack. * wie eines zu machen, in welchem die Ver⸗ aͤnderung in der Schwere der aͤuſeren Lufft nicht wuͤrcken koͤnne? 52. * woraus die Vollkommenheit des Florenti⸗ niiſchen zu beurtheilen? 54 4 Thierkreiß, was er ſey 49. Aſtr. 2 e wie er eingetheilet werde? 50. RM Rr xXE This Regiſter. Thuͤren, wie ſie beſchaffen ſeyn muͤſſen? W ihre verſchiedene Arten 24⸗ 28. B. BK. „wDaenn viele in eine Wand kommen ſollen, worauf man zu ſehen«? 62. Toͤne, was ſie ſeyn 18. Muſ. “ wie die Verhaͤltniß der Winckel in dem Zit⸗ tern der Lufft, wodurch ſie fortgepflantzet werden, zu beſtimmen? 21. „ derſelben Verhaͤltniß, wenn ſie von zwey Saiten oder elaſtiſchen Korpern verurſa⸗ chet worden 1u) die gleich dick und gleich ſtarck ausgedehnet 22. 23. 2) die gleich lang, von ungleicher Dicke und gleich ſtarck aus⸗ gebehnet 24. 25. 3) die gleichlang, gleichdicke, und un⸗ gleich ſtarck ausgedehnet 26. 27. 4) die gleichlang aber ungleichdicke und ungleich ſtarck ausge⸗ dehnet 28.‧ 5) die gleichdicke aber ungleich⸗ lang und ungleich ſtarck aus⸗ gedehnet 29. 6) die gleich ſtarck ausgedehnet, aber ungleich dick und un⸗ 1 gleich lang 30. Torricellianiſche Roͤhre, was ſie ſey und von wem ſie alſo benennet werde 21. Aer. ⸗ :„ daß ihre Wurckung aus dem Druck 5 der obern Lufft zu beurtheilen. 22. ſeqq⸗ Transporteur, deſſen Gebrauch 111. Geom⸗ Trapezium, was es ſey? 47. Traube, was ſie ſen “ 22. Ark. Traubenregen, was er ſey 39. Trencheen, was ſie ſn S 137. Kr. BK. Treppen, was ſie ſeyn 1419. B. BK. . was ſie fuͤr Eigenſchafften haben muͤſ⸗ . ſen? 20. 21. . ⸗ ihre verſchiedene Arten 22. Triangel, was er ſey Geom. ⸗ deſſen wahre Beſchaffenheit 8. ⸗ wenn ,plnn ine gertn guſt ſd flrein i en D Rie ne eadl W 1 Zit⸗ ntet 21. zwey urſa⸗ ſtarck 22. 2. eicher aus⸗ 24 . dun t 26. 7. dicke loge⸗ 4 eich⸗ us⸗ 8 Regiſter. wenn in einem der eine Schenckel verlaͤn⸗ gert worden, wie der Winckel, welcher auſſer dem Triangel entſtehet, beſchaf⸗ . fen?⸗ 9. 140. Geom. daß in einem jeden die groͤſte Linie dem groͤ⸗ ſten Winckel, und die kleinſte Linie dem kleinſten Winckel entgegengeſetzet; und wenn die Winckel ungleich, daß die Li⸗ nie, welche dem groͤſten Winckel entge⸗ gengeſetzet, groͤſſer als die Linie, wel⸗ che einem kleinern Winckel entgegen⸗ geſetzet 141. 142. daß in einem jeden ſich die Summe zweyer Linien zu ihrer Differentz verhalte, wie der Tangent der halben Summe der Winckel, welche von den gegebenen Li⸗ nien nicht eingeſchloſſen zu den Tan⸗ genten der halben Differentz der Win⸗ ckel 214. daß ein jeder, welcher mit einem Parallelo- grammo gleiche Grund Linie und Hoͤ⸗ he hat, die Helffte von dem Parallelo- grammo ſey. 224. wie eines jeden Innhalt zu finden? 237. wie einer in gleiche und proportionirliche Theile zu theilen? 267. wie einer zu machen, welcher ſo groß als zween gegebene zuſammen genommen 271. wie von einem aus zwey gegebenen Seiten deſſelben nebſt dem Winckel, den ſie einſchlieſſen, die übrigen Winckel zu finden? geradlinigte, daß zʒwey derſelben unter ge⸗ wiſſen Umſtaͤnden einander gleich und aͤhnlich ſeyn 126. 127. Geom. daß in einem jeden alle drey Winckel zuſammen 180 Grad machen, und wenn man die eine Seite verlaͤn⸗ gert, der aͤuſſere Winckel ſo groß wie die beyden innern, die ihm ge⸗ 8. Trig gen uͤber ſtehen zuſammen 145: 2 daß in eiuem nicht mehr als ein rech⸗ ter Winckel ſeyn konne 146. R x 2 2 daß 2 . 14 d. * 5 à „ 7 Regiſter. daß in einem nicht mehr als ein ſtum⸗ pfer Winckel ſeyn k—o»ͤnne §. 146. Geonm. ⸗waenn ſie zugleich aͤhnliche; wie ſie be⸗ ſchaſen? 191. 192. ⸗ wenn in einem eine gerade Linie mit 6 * der Grund⸗Linie parallel gezogen wird; was daraus folget 193. daß, wenn ſie zugleich aͤhnliche, ihre Höhen mit den gleichnahmig⸗ ten Seiten in einerley Verhaͤlt⸗ niß ſtehen und ihre Grund⸗Linien durch die Hoͤhen in proportionir⸗ liche Theile getheilet werden 211. wenn verſchiedene derſelben, welche beſtimmet werden, indem man die Sehnen von den Schenckeln der ſphaͤriſchen Triangel zuſam⸗ men ziehet, einander gleich und aͤhnlich; was folget? 3523 2 wie in einem die Groͤſſe einer Seite trigonometriſch zu finden, wenn zwey Winckel und eine Seite ge⸗ geben worden? 4. Trig. wie in einem die uͤbrigen Winckel zu finden, wenn zwey Seiten und ein Winckel, welcher einer von den beſtimmten Seiten entgegen ſtehet, gegeben? 5. ⸗ wie aus drey gegebenen Seiten deſ⸗ ſelben die Winckel zu finden? 9. gleichſchencklichter, was er ſey 44 Geont, X V N„ ⸗ deſſen Eigenſchaften 136. 138. ungleichſchencklichter, was er ſey 44. gleichſeitiger, was er ſey 14. ungleichſeitiger, was er ſey 46. rechtwincklichter, was er ſey 51. „ daß in einem das Ouadrat von der Hypothenuſe gleich ſey der Summe von den Quadraten der beyden uͤbrigen Seiten 273, 2 wie in einem die uͤbrigen Winckel zu Emnnden, wenn die zwey Seiten, welche den rechten Winckel ein— ſurpiwi 1orſch . da „ d ½ , ,,Gͦ Trakſten, Crighpphen, hn Trigononen Uiling pa ihen was rzieun ter rahien Uleberrif uyti ſt or enu, vot ſeſ⸗ Regiſter. ha⸗ . ⸗ſtump'fwincklichte und ſpitzwincklichte, 1s bs was ſie ſenn S. 51. Geom. nee⸗ . ſpluriſcher, was er ſey 449. 1l . ⸗= daß deſſen Schenckel Bogen von glei⸗· ntt chen Circuln ſeyn 350. logen ⸗ ⸗ daß deſſen Schenckel ſich verhalten „I wie ihre Sehnen 351. ibre ⸗ * wenn einer ein gleichſchencklichter mig⸗ zu nennen: 385. helt⸗ —ZƷAaꝛ wenn einer ein gleichſeitiger zu nen⸗ inien . nen? 359. ſonir⸗ ⸗ „ daß in denſelben ſich die Sinus der n. Schenckel zu einander verhalten, velche wie die Sinus der gegen uͤber ſte⸗ n. ’” henden Winckel 361. Feln 2 4 wie von einem aus drey gegebenen fan⸗ — Stuͤcken, unter welchen zum we⸗ uud nigſten eine inie die uͤbrigen drey 351 Sltuͤcke nach der Trigonometrie . t zu finden? 11. Trig. ehn Triebſtecken, was ſie ſeyn 49. Mech⸗ Ne Triglyphen, was ſie ſeyn 130. B. BK. 4 ⸗ ihre Eigenſchafften Hð 131. 1u Trigonometrie, was ſie ſey 1. Trig. d Trilling, was er ſey 49. Mech. 4 Triplum, was es ſey 16. A. M. 1 Tropicus caucri, was er ſey 51. Aſtr. §. Geogr. 5. Tropicus capxicorui, 5I. §. 6 135 Ueberreſti in der Diiſton, was er ſes⸗ 105. A. M. 4 ⸗ wie er zu meſſen? 106 S 7 Vemtil, was es ſey 21¹. Hydrauk. 4 2. woraus es zu verfertigen? 22. Venue, was ſie ſey und deren Zeichen 3. Aſtr⸗ waie ſie uns erſcheinet 1720. 4 was hieraus zu folgern? I24. 4 z wie ſie ſich in einer in ihr ſelbſt zuruͤcklauffen⸗ , den krummen Linie um die Sonne bewege 123. 4 wie ſie ein aͤhnlicher Welt⸗Koͤrper iſt mit un⸗ ſerer Erde— 145. U Perhaͤltniß , was f⸗ ſen 2 ¾ A. M: 7 6 ſint Regiſter. ⸗ daß zwey derſelben, welche einerley Nah⸗ mmmen haben, aͤhnliche und auch gleiche ſeyn 9. 38. A. M. ⸗ wie ma vermittelſt einer gegebenen eine andere finden ſolle? 1I18. ⸗ grithmetiſche, was ſie ſey 122. „ „ wie ſie gezeichnet und ausgedruckt werde? 12 wie in einer das zweyte Glied zu fin⸗ den, wenn das erſte und der Nah⸗ me bekannt? 125. ⸗ geometriſche/ was ſie ſeey 122. ⸗ wie ſie bezeichnet und ausgebruckt werde? 124. 2 wie in einer das andere Glied zu finden, wenn mir das erſte Glied und der Nahme der Verhaͤltniß bekannt? 127. ⸗ endliche und unendliche, was ſie ſey 29. gleiche und ungleiche, was ſie ſen 28. ⸗ der groͤſſern Ungleichheit, was ſie ſey 28. der kleinern Ungleichheit, was ſie ſey 28. * eine ſchoͤne verſchiedener Dinge; worin ſie beſtehe? 34. Muſ. 4 2⸗ woraus deren Groͤſſe zu beurtheilen? 35. *zuſammengeſetzte, wie ſie entſtehe? und ihre verſchiedene Arten 120. A. M. Verjuͤngung einer Saͤule, was ſie ſey 137. B. BK. ⸗ ⸗= wie ſie geſchehe? 139. Verkuͤrtzung, was ſie ſey 196. Aſtr. Verſtaͤbung, was ſie ſey 32. Art. des hintern Guͤrtels, was ſie ſey 32. ⸗ des mittlern Guͤrtels, was ſie ſey 32. ⸗ des Mundſtuͤckes, was ſie ſey 32. Vertheidigung, was ſie ſeg 1. Kr. BK. ⸗ deren auntgeſetze 5 ⸗7⸗ ⸗ d.e Eigenſchafften der Mittel, wodurch ſie geſchiehet? 8.. Uhr, eine deelinirte, was ſie ſey 10. Gnom. ⸗eine inclinirte, was ſie ſey 10. Abend⸗Uhr, was ſie ſeey 5 ⸗2⸗ wie eine zu zeichnen? 19. IV.) Aequinoctial⸗Uhr, was eine ſey 5. ⸗ obere was ſie ſey MB 5. ⸗ ⸗ ⸗ wie ſie zu verfertigen? 11. 5 untere, Murn 12 ver⸗ 5 Prlrl 1 Ver ve⸗ Regiſter. lah⸗ 2 ⸗ untere, was ſie ſey §. §. Gnom. eiche ⸗ ⸗2: wie ſie zu verfertigen? II. 9 1 Horizontal⸗Uhr, was ſie ſey 5. eite . „wie eine zu beſchreiben?. . 13. I, Mittags⸗Uhr, was ſie ſey 7. 1n. ⸗„ wie eine zu zeichnen? 19. I.) tuckt Mitternachts⸗Uhr, was ſie ſey? . 12, „ ⸗ iseind z ichn „. II.) 1fin⸗ Morgen⸗Uhr, was ſie ſey . , . ⸗ wie eine zu beſchreiben? 19. III.) 14, Polar⸗Uhr, was ſie ſey 6S. 11 ⸗ ⸗obere, was ſie ſey . 8. htuckt ‚„ ⸗- wie eine zu verfertigen? 21. ⸗ ⸗ untere, was ſie ſey 8. nden, ⸗ ⸗ ⸗ wie eine zu verfertigen? 21. dder Sonnen⸗Uhr, vas eine ſey . 2. nnt! i. ⸗ wie eine auf eine gegebene Flaͤche zu 49 zeichnen? . 4 ſwDie eine auf eine jede Flaͤche durch Huͤlffe einer Aequinoctial⸗Uhr zu 4* zeichnen? .V .V 12. nſe . ⸗ wie eine zu verfertigen, die von Mit⸗ 4 N tage gegen Morgen oder gegen lent F. Abend abweichet? 237. nt ⸗ ⸗ wie eine zu verfertigen, die von Mit⸗ 120. )) ternacht gegen Morgen oder ge⸗ „. 81 gen Abend abweichet? 38. 137 ⸗ ⸗ wie eine zu verfertigen, die vom Ze⸗ ⸗ nith gegen Morgen oder gegen 5 Abend abweichet? 29. 1 Vertical⸗Uhr, was ſie ſey 5. 3 : wie eine jede zu zeichnen? 19. „ Vieleck, wie ein regulares und geradlinigtes auf 1Kl vi eine⸗ agebene Linie zu beſchreiben? 259. Geom⸗ ,, iereck, es ſey 43. z5. ⸗ wie es in Triangel zu theilen 58. i. irreguhires, was es ſey 49. 66 ⸗ regulaͤres, was es ey 49. ⸗ „ ⸗„ wenn eines um einen Circul be⸗ 15 ſchrieben, wie man die Groͤſ⸗ 0 ſe der Seite von demſelben beſtimmen ſoll, wenn die Seite von einem andern, 1 . . welches in dem Circul be⸗ . Rrr4 ſchrie⸗ 4 Regiſter. rieben, gegeben wor⸗ r es S. 282. Geom: viſtr⸗Stab, was er ſey, und wie er zu verferti⸗ gen? 345. Unendlich groß, was es heiſſe? 8. Vor. ⸗ „ warum etwas alſo genennet werde 12 Ungleichheit, deren Zeichen 2. A. M. Unterſcheid, (beym Subtrahiren) was er ſey? 16. Vollkommenheit, was ſie ſey 33. Muſ. ⸗ eines Gebaͤudes, was ſie ſey 4. B. BK. 2 . ⸗ weſentliche, was ſie ſey 4. ⸗ ⸗ ⸗„ zufaͤllige, was ſie ſey 4. W. Waage, wenn man ſage, daß ſie ſchnelltö 5. Mech. . eine faule, was ſie ſeg . hydroſtatiſche, was ſie ſey 31 Hydroſt ⸗ deren Eigenſchafften — mechaniſche, was ſie ſey 56 Mech. -= = iporaus derge Bolleominenher zu beurtheilen? 93* 99. Kramer⸗Waage, was ſie ſey 92. Schnell⸗Waage, was ſie ſey 92. Waſſer⸗ Waage, was ſie ſey, und wie ſie Pnſt genennet werde? wDiie ſie zu verfertigen? 37. Wind. waage⸗ was ſie ſe 42. Aex. - = wie eine zu verfertigen? 43. 44. Waagebalcken, negier ſey 9 92. Mech⸗ ⸗ was er fuͤr Eigenſchafften⸗ haben muͤſſe? 23. 94. 95. 98. waͤrme⸗ was ſie ſen I1. Phr. Waffenplatz, was er ſeh 112. Kr. BKa Wall, was? er ſey II. - daß er unten breiter ſeyn muͤſſe als oben 24. daß er zur Bedeckung diene 12.4 daß er nicht hoͤher zu machen, als es die Noth erfordert 18. 20. Unter⸗Wall, was er ſey 41. Zwerg⸗Waͤlle, was ſte ſeynt 116. Waligans, was er ſey 11. deſſen Breite 22. . Waltze, was eine ſey 80. Geom. Waͤſſer, Maſſer we in ei Uend⸗ Veyn hl we ⸗ n erte She nheit 95 gh. 92. 66. N. 42, Ne 44. 3 4, ſnſ haben 1 34 IIn N Regiſter. Waſſer, wenn es faͤllt, wie ſeine Krafft beſchaffen in einer gleichfoͤrmigen und ungleichfoͤrmi⸗ en Bewegung: g. F. Hydraul. . 9 2- wie die Groͤſſe ſeiner Krafft zu beſtimmen? 6. „ „ „ dafß ſeine Krafft deſto groͤſſer ſey je hoher es faͤllt 8. e .* daß ſeine Geſchwindigkeit groͤſ⸗ ſer, wenn es ſchief, als wenn es perpendicular faͤllet 9. „ „ wie ſeine Krafft beſchaffen, wenn es aus der Oefnung eines Gefaͤſſes herauslaͤufft? II. wie ſeine Geſchwindigkeit beſchaffen, we,enn es aus der Oefnung eines Gefaͤſſes herauslaͤufft? 13. was dazu erfordert werde, wenn es wieder ſpringen ſoll? 50. . wenn es von einer gewiſſen Hoͤhe auf eine Flaͤche faͤllet, was folget 46. Wenn es ſteiget, daß dieß von einer aͤuſſer⸗ lichen Urſache herruͤhre 14. . ⸗= * wodurch es in ſolchem Zuſtand koͤnne erhalten werden? 15⸗ 18. Waͤſſerkunſt, was eine ſey Fr. ⸗ ⸗ worauf bey deren Bau zu ſehen? 52. Waſſerſchnecke oder Schraube des Archimedis, was ſie ſey 28. ⸗ ⸗ wie ſie zu verfertigen? 29. ⸗ ⸗ „ deren Zuſammenſetzung, 31. Weg, der bedeckte, was er ſey 112. Kr. BK. Weite, was ſie ſey 167. Aſtr. Weite zweyer Sterne, was ſie ſey „ curtixte oder verkuͤrtzte eines Planeten, wags? 1096. ⸗ ⸗ wie ſie zu finden, wenn das Interual- lum und die Inclination gegeben worden? 204. Welſche Haube, was eine ſen 72. B. BK Widerſtand, was er ſey 53. Dyn. Winckel, was einer ſey 27. Geom. ⸗ deſſen Spitze und Schenckel, was ſie ſeyn 27. * wie deſſen Maas zu heſtimmen? 109. Regiſter. „ der gebrochene oder refringirte, was er ſey §. 48. Opt. „ ein geradlinigter, wie er zu meſſen 110. Geom. wie einer in zwey gleiche Theile zu thei⸗ len? 1311. ⸗deſſen Spitze der Mittelpunct eines Circuls iſt, was er fur ein Maas habe? 157. ⸗ „ deſſen Spitze an die Peripherie ei⸗ nes Circuls ſtoͤßt, wenn er ein rech⸗ ter oder ſtumpfer oder ſpitzer; 158. ⸗ ⸗„ ⸗ wenn dergleichen einander gleich? 160. daß gleiche und geradlinigte auch aͤhnliche, L und aͤhnliche geradlinigte auch gleiche der kleine, was er ſey 79. Kr. BK. ⸗= der optiſche, was er ſey 92. Opt. ⸗ ⸗ daß deſſen Gröoͤſſe die Groͤſſe, in welcher wir eine Sache ſehen, beſtimme 923 . = rechter, was einer ſey 30. Geom. ⸗ ⸗ wonmit einer koͤnne beſchrieben werden 32. ⸗ „ deſſen Maas 118. ⸗= ſchiefer, ſpitziger, ſtumpfer, was ſie ſeyn 30. B = der ſtreichende, was er ſey 79. Kr. BK. ⸗ ⸗ deſſen Maas 83. Bollwercks⸗Winckel, was er ſey 79. 5 ⸗ deſſen Maas 81. Centri⸗Winckel, was er ſey 79. Commutations⸗Winckel, was er ſey 197. Aſtr Einfalls⸗Winckel, was er ſey 76. Dyn. 47. 133. Opt. Elongations⸗Winckel, was er ſey 197. Aſtr. 2 ⸗ daß er, nebſt der Parallaxi der Erde und der Entfernung eines Plane⸗ ten von der Erde, zu finden, wenn der Commutations⸗Winckel die Entfernuns der Sonne und die curtirte Weite des Planeten ge⸗ geben 138. RKehl⸗Winckel, was er ſey 79. Kr. BK: Neigungs⸗Winckel, was er ſey 47. Opt. ⸗ ⸗ daß deſſen Sinus mit dem Sinu des ge⸗ brochenen Winckels ſtets einerley Verhaͤltniß habe 51. ⸗was Pehgener 5 , ſſe Pohrontnin Aaſerione⸗wi Aeſteltions Oculter win Streich Wine Vertical⸗wi⸗ „ daß bind waset was er ſtrg Winder trs Windſpiel ne Winter penn Wiſcher der e Woche ſpgbi wohlleng . od Urtmng nt enteſne ſhiede ſn Wo Dirfilnes ct was nndl e binomm D tripomn pohne “ Urneleng er „ i Aheh » bas e 6,4N llo. diu uthe⸗ i. teints Mans 1. erie ei⸗ n tech⸗ ; ch? Ne liche, ſeiche 11 velcher mme G R verden , 118. n .. g. N 83. 79. l. 7 4, 11 N Erde glane⸗ went Ade 6d e Regiſter. ⸗ ⸗ was aus der Erfahrung von denſel⸗ ben bekannt g. 55. Opt. Polygon⸗Winckel, was einer ſey 247. Geom. :⸗ wie er in einer regulaͤren geradlinig⸗ ten Figur zu finden? 258. Polygon⸗Winckel einer Seſtung, was er ſey 79. Kr. BK, „ „ ⸗ deſſen Maas 82 Reflexions⸗Winckel, was er ſey 76. Dyn. Refractions⸗Winckel, was er ſey 48. Opt. Schulter⸗Winckel, was er ſey 79. Kr. BK. Streich⸗Winckel, was er ſeh 79. Vertical⸗Winckel, was ſie ſeyn 33. Geom. : dafß ſie alle einander gleich 117. Wind, was er ſey? Aer. 39. * was er verurſache, wenn ihm eine Flaͤche ſchreg oder perpendiculaͤr entgegen ſtoͤßt? 64. Winder, was einer ſey 55. Art. Windſpiel, was es ſey 19. Winter, wenn er angehe? 36. Geogr Wiſcher oder Wiſchkolben, was er ſey 33. Art. . deſſen Theile 35. Woche, was eine ſeg 17. Chron. Wohlklang, was er ſey 33. Muſ. wPpodurch ſeine Groͤſſe beſtimmet werde? 36. Wuͤrckung, was ſie ſey 33. Dyn. wenn eine gleiche von einem Dinge in ver⸗ ſchiedenen Zeiten mit ungleicher Ge⸗ ſchwindigkeit hervorgebracht werde, was daraus erfolgt? 36. Wuͤrffel, was er ſeyg 77. Geom. Wulſt, was einer ſey 105. B. BK. Wurtzel, was eine ſey . 146. Rech. binomiſche, was ſie ſey 146. trinomiſche, was ſie ſey 146. polynomiſche, was eine ſey 146. daß eine jede in eine binomiſche koͤn⸗ ne verwandelt werden 147. Wurtzel ausʒiehen, was es heiſſe 150. Cubic⸗Wurtzel, was eine ſey 146. . ſuchen, was es heiſſe? 150. wie eine aus einer gegebenen Zahl zu ziehen? 173. OQuadrat⸗Wurtzel, was ſie ſey 146. „ ſuchen, was es heiſſe: 150. ⸗ wie Regiſter. . „ wie ſie aus einer gegebenen Zahll zu Rech. ziehen? §. 166 „ ⸗ wie man erfahren koͤnne, ob man die F = wahre gefunden? 168. Wurtzeltafel, wie ſie beſchaffen? 156. Wurtzelseichen, was es ſey, und wie es zu ge⸗ brauchen? 1527 3. Zahlen oder Zehler, was ſie ſeyn 8. = derſelben vehnfacher Wachsthum, wie er zu begreiffen? 26. daß deſſen Gebrauch faſt allgemein 27. . wie er deutlich zu machen? 2828. » = wDie ſolche auszuſprechen ? 29.⸗ wie eine ſede in eine verlangte Decimal⸗ , Zahl zu verwandeln? 13I. = zerſtreuen, was es heiſſe? 79. . erſte, was ſie ſey 103. = unter ſich erſte, was ſie ſey 103. = gantze, wie eine mit einem Bruche zu divi⸗ diren? . 126. genannte und angenannte, was ſie feyn 8. = die guͤldene, was ſie ſey F. Chron⸗ . wpie ſie in einem gegebenen Jahr nach Chriſti Geburt zu finden? 60. = vermiſchte, was ſie ſy 120. Rech. .⸗ wWie ſolche in einen eigentlichen Bruch zu verwandeln? 121l. zuſammengeſetzte, was ſie ſenn 103. = unter ſich zuſammengeſetzte, was ſie ſeyn 103. · wie das gemeine Maas zweyer ſol⸗ chen zu finden? 104. Cübic⸗Zahl oder Cubus, was ſie ſey 145. . wie ſie in eine Decimal⸗Zahl zu ver⸗ wandeln? 155. vollkommene, was ſie ſey 153.* * dery elben wahre Beſchaffen⸗ heit 161⸗163. = *unpollkommene, was ſie ſey 21353⸗ ⸗= wie ſie zu ergantzen? 176. Decimsl⸗Jahl, was fie ſeg 12 „ „ e Me de ſieſe Weſe eſe Gnadrerdohl ſ „ „ Ml 3 „i . . SPegtſimn ⸗M „ 4 nßzetld e ] hfine, tt Gler eng rr chen, Neſ derſiden Was dn dbac der Erif : ” woralz nen zu⸗ dernnſ het,/ . canil fec . . wie deren Nenner aus dem Ort des . 4 MM B Zehlers zu erkennen? H. 128. Rech. u wie ſie als gantze Zahlen zu ſchrei⸗ ben? 1293 . wie ſie in eine gantze Zahl zu verwan⸗ deln? 131. ne R⸗=- wie ſie zu addiren und ſubtrahiren? 134.5 —— ſwie ſie zu multiplieiren? 136. R— wie ſie zu dividiren? 137. Guadrat⸗Zahl oder Quadrat, was fie ſey 145. wie ſie in eine Decimal Zahl zu ver⸗ wandeln? . 155. twieſt ⸗2 vollkommene, was ſie ſey 1753. S ⸗ 2⸗2 ⸗ deren wahre Beſchaffenheit 158⸗ 160. nenn 7, ⸗ unvollkommene, was ſie ey 153. 14 ⸗ ⸗2 wie eine zu ergaͤntzen? 170. 9 Sexageſimal⸗Zahl, was ſie ſey 137. teſnmu . ⸗ unter was fuͤr Umſtaͤnden man den 7 . Nenner derſelben aus ihrem Ort erkennen koͤnne? 1 . die Zeichen, wodurch ſie zu erkennen? 141. . ⸗ deren Rechnung 143. n dibi⸗ Zinß⸗Zahl der Roͤmer, was ſie ſey 79. Chron. 14. wee ſie auf ein gegebenes Jahr zu Nr finden? 30. V Zahnſchnitte, was ſie ſenn 134. B. BK⸗ nch Zehler eines Oruchs, was er ſe 96. Rech⸗ 6. Seichen, was ſie ſeyn I. 120, derſelben Waterial und Sormal ruͤch ⸗ was bey deren Gebrauch fuͤr Regel zu be⸗ 1 dbachten ““ 5: 19 der Groͤſſen, daß ſie von dreierlei Art 7. ſht en wie ſie willkuͤhrlich zu beſtimmen 12. 13. eſe . * auf was Art ſie immer vollkommner 1 worqgus man erkennen kan, daß man ei⸗ nem Grt eine gewiſſé Bedeutung bey⸗ 1 8 Ssulegen, was es ſey . deren ſich die Roͤmer beym Jehlen bedie⸗ . net, woraus ſie beſtehen? 30. jofin 4 chronologiſche,/ was ſie ſehn? 3. Chron.: Lleic 2 deren Eintheilung 4. efent nnd Fiſammengeſetzts waß ſie Regiſter. „gleichguͤltige, was ſie ſeynnn S. 31. Rech. vollkommen, was fie ſeyn 31. :⸗ in einer gewiſſen Beſtimmung, was ſie ſeyn? 31. ⸗= ⸗in Anſehung genannter und unge⸗ nannter Groͤſſen, was ſie ſeyn 34. Zeit, was ſie ſey 1 Dyn. ⸗ woraus ihre Groͤſſe zu beſtimmen? 2 Zenith, was es ſey 3 Aſr. JFirckel, nas ſ ſie ſeyn, wer ſie am beſten beſchrie 18. Geom. Zoll, was er ſey 94. ⸗ deſſen Zeichen 97. Cubic⸗Zoll, was er ſey 313. Ouadrat⸗Zoll, was er ſey 223 Zug des Feuers, was er ſey 8. Pyr. Jugloͤcher, woraus deren weſentliches zu beur⸗: theilen? 38. B. BK. Zunge eines Hebels, was ſie ſey 45. Mech. Junge einer Waage, was ſie ſey 92 ⸗ ⸗ was ſie fuͤr Eigenſchafften haben muͤſfe: 96. 97. 3 5 Cſcc r. NOO ,S — 1/ O◻ 6 A S — S . 17 05. 5 —=— - 1 33 ☛ ℳ = Mech- eh MB. I. FITNINNN AClsedlg cunsucagtkelraee tadAds NNN Aeceeci 5 Muu Alluntduklldladuntttilltlkuulil TAB. Tu, 7AB. elerven Tmul, O Piſehelſe. 2 AAB. Optices. . . — =ð R C WB. I. Optices. B && N (W I. Arch Civ. ł2V, . pOGνας * 2060 a,enuiſſon 1. N 70 EEBEBE.☚ 60 — SSIS 18. . Arcſi.Ciu. — ( — „ Baekter, VW 2 *σ ac* Ccoune Haupt Graben Fiasſelrage Aner Gaben ——-̃-̃- — 7 BII. Aatwnom . E ETEE 5 E 35 f . NNNMNAAANNNIN — NAANIAWNNN. N „ 6 — 2 , — R — Erſte Gruͤnde der geſamten Nathematik Darinnen die Haupt⸗ Theile ſowohl der Theoretiſchen als auch Praktiſchen Mathematik in ihrer natuͤrlichen Verknuͤpfung auf Verlangen “ und zum Gebrauch ſeiner Zuhoͤrer e ⸗ entworfen von Joachim Georg Darjes Sr. Koͤn. Maj. in Preuſſen hochbetrauten Geheimenrathe, der Weltweisheit und der Rechte Doctor wie auch ordentlichen oͤffentlichen Lehrer zu Frankfurt an der Oder, der Churfuͤrſtl. Mainziſchen Academie der nuͤtzlichen Wiſſenſchaften ordentlichen Beiſitzer, der Jenaiſchen teutſchen Geſellſchaft . hochverdienten Ehren⸗Mitgliede. Neue und verbeſſerte Auflage = EE EFEEEEFEFEFEEEFEFEEEEEEE Jena, bey Chriſtian Henrich Cuno, 1764. TN ð R S T 0 V e OO Salance Focus 3 4 5 6 7 Copyright 4/71999 VXMaster Gmbh wwWW. yxymaster. com 2 1 VierfarbSelector Standard*-Euroskala Offset