BRILL

.

a

73

8

F

E

S

LE

e

o

D

-

z

w

‚E

®

-

C

A

e

va

r

S

M

j

X

}

7

Y

s

v

7

‘£

A

;

®

a

RA

ß

f

A

©

UE

Cr

A

Y

S

}

30

A

E

3

A

d

A

M

S

S

5

Üa

©

‚IM

43

A

d

E

&N

Sa

f

4

7n

Ü

%,

Ka

Z

BA

F

Y

Ü

e

%

G

6

S

}

Zir

;

?"}

S

RS

%e

$

S

MLEn

Y

8

NS

5

%

8

N

S

A

B

8

5

A

N

D

8

E

a

C

IW

X

S€

a

X

S

3R

}

{#

3

5

i

5

SEr

C

A

S

G7

i

30

X

S

%i

i R

1

vr

A

da

®

X

E

SE

A

S

5

.(‚};;

X

Or

n

s

i

VB

$

3E

&.

E

DE

X

3

Ya

E

e

‚}%’

h:

8

S

n

e

v

M7

E

AA

S

i}

S

Z

E

Ü

%

S

A

SR

S

%i

;

4

%

D

v

An

IM

S

4S

N

e

{A

A

1

S

%

N

D

AXES

®

<\:

e

Ü

27

K

E

WL

7R

Ka

A

S

$

OS

n

SE

S

E

s

e

©

=

S

8

E

Ln

K

S

S

b

S

_

>

e

.

8

M

S

-

M

‘t.

x

A

D

}

x

kn

HS

X

5

\ 5a

x

NO

®

N

R

®

Y

a

S

7

€

E

E

Z

@

*

Bn

f

X

Ü

*

K

q

7

&®

SEA

H

>

ex

7

4

K

®

S

E

MCa

X

D

S

3ä_%”

n

E

*

m

-

S

&

%

S

E

E R

“#

w

X

E

C

%>:

f*"i

\

r

*

A

%i

K

®

E

s

5

$

®

N

&-

%®

X

x

a

P

\

€

a

R

K

V

Cr

©

Tr

2

SEr

A

&Ä

D

O

WEn

V n

2

ban

B

®

®

e

&.

P

D

A

b

W3

*

s

Ön

n

A

WE

w

e

K

e

n

DW

R

%

B

F

©

Fei

\

-

O

S

Sr

yn

&r

WE

j

Z

r

®

A Q

%

vr

S

”

n

S

®

A

P

A

*

r

©

®

E

w

®

n

A

%

vn

&

&.

A

A

U

®

5

An

S

X

n

D

a

+

>

3

e

SOn

CN

%3

A

C

E

n

S

M

&*

M

Vn

Sr

C

©

R

N

S

x

%a

2

A

i

6

n

D

GE

i&

bn

“an

c

VE D E

K

x

D

b

ELE FENZENAGZE

/ (((((((\f\(

SEA B

\

d

'((((. Ä

LÜ

( \K\r(|\\

E

‚>:

Y

A

SN a

E

r\r\f\(f\f\r\r\((

NN

z

/ N

“

S

MM

MM

N CC(

CS

u

VV

CN

<

S

V

AA

C C(( ‚..‚/

v

V

A

e

;.\((/:\/(\/\f\(„

w‚

w“

(((

((((?C((<

NT

N

N

WE

((((

Y

/.\( y

(f.\f

YY

NN

Y

=

Y“

CC(C((

N

V

vo“

w

Y

NN

\AA

/

NN

(„«@.

QC

Universität Tübingen

\

G

3

Y

S

„QG

S

y

u“

NS ND

W

Yeus

v“

a

Y

Cr\

U

<

U

“

VV

(<(\<( @((< Y

/ Y

g

/

<

N

\((xr\rl SS

<

YY 7

y

Y

\A

e

V

Vyy

w

SC

C&

@

w

M

v

v

y“

/d\(.l„\ \/KC/K\

A

M

YYIE IS

‚G„

O

ö

G

VV

Y

S

<

/

SS

CS

SV

M

Y

<

U

Y

NN

G

3

A

/(\‚

<

w/M

N12<601720644 918

<

S

S

@

b

SS

(zl\f.\/.\/..\/\/l <

\A

<

eg

e

AAA

LLL

w

e“

r\(((

wvv wrmv v

<

S<

GE Ie”

A

W

\

/\/\

<

‚&(xr.\ DE CS

v

Y

v

/

S

<

SO

(c<((

ANS

M

NS

S

Y

( a

A

}

Yyuus

Y

\ S

A

MM

©

\ _(\(\((

“

Y

IS

—

AI

DNZEN

/\‚J\/«\

WÄN

/N

4

VV

ZAN

—/

/

<

S

S<

/„„

/A

AA

/

—s

7 \

\AA

w

VV

>

x

<

A

4

\a

\

Z

N<

/

C

\

d

\wr

/ M

INADT\

*

‚\«

W n e

E

CC

ON

E

€<

«

ET

(Q(

CC<

E

«<

<

C

CC

(((((‘

&C

W

e

C<

CC<

a

C

(k

C

\£<‘(@ ‘(’ (

«C

( <

C

C

z(C( <C &C

C

7‘

C

/(7(’

%

<

C©

C

C CC

EL CCl GE

(&

<

X

C

CC

C

g

« <

CC

lä(

%

<

« «

C

GE

\\

C

i.i

G

<

%

A

C

C

C«

('(

CC

X

C

-

CEC

E

C

C

€

@ C

%

<

%

;

C

C

©

ä

E;i

©

C

{\

izgi

&“

C

«<

.

(QELLN

<

CO<

(

(

CCC

<

L «

f(((

€

C

€

C

C

C

C

CCC

C

CC

E

f

Cä

C

C

<

<

®&

S

C

E

«C

(<„4

C

<

(\<

%

C

C

i€

CCC

äl

c

i;\

C

C

C

«

CC

<

<

C

XL<

\k

(\ﬂ

(\

AZ

CS<

ä

€

C KCLCL

Cé

“C( ‘K( E ((C

;

1:

CCC

<

<

C

C

CCC C

G

CC

C

CCC

C CCC

i( <;

C

<<

C

C

CC XC

f‚(f

CC

CCC

CX

CC

%

\(( <

CC

£

CCC C

;%%ä(

(

<

?

CC

<

äi<

OC

K \

Z

(\Q ’((

©

C

CC

CCC

C<

g(

CCC

©

&d

©

CC

CC

CC

CCC

©

&N

%%

E

CC

C

c(2

E <c(w( C

CCC

( Ca

C

C

CC

/<f%l

C

<

CC

C<

EC

.((\

<(<

CCC

LA

CC

© CC

CC

C

c

€

CCC

CC

C

e

CC

(( <

IN

«

i

Ca

CC

G: (C(\(C (( C&

CCC

(i(((

CC

CC

CC

<((

::

Zi

C CC

CC

('((

<

CC

CC

S

<( Cu( e

kﬂ\

-

EE

E CCC

CCC

< (

C

<

C

(g

gä

« CC

DU

C

K“

HCC

CCC

((((

Z

KG

£ ((’(C

Ca

ß WE LE

CO

RC

%C(:

EG

CCC ‘

C

C

(((‘((

B C

<

CCC

©C

C &C C CCC

C CTE (n<&(t

%;

€

S

;

(< Q

«C

E<CE

C

<

C“

C

QC

HCT

CCC

C

C

CCC

CCC

CENECEL

/((

«

&‘

GKL

G («\(C(

“

<

C

CLE

AAC

k£ C“

C

IR

€

<

Q

GK

CL

C

CCC

CC

AA

HET

ä

(g

C

CCC

CCC

C

((

CCS

€

S

N

20

<

WL

EL

SE

<

7G

©&

e

CC“

CCC (‘C(((

C& l&(f.‘ €

C

SE

/g

CC

\/\

%

ä<

<

((/((

AGEN

C

«

S

C

C

<

KL

CCC

CCC

KG

CC

;

AL BAr

LCCH

HICI

ME L M

I

AL KOECT

Q< <

CT

Jerie

Verzerchnis der-Abha nd/unj( n

Sulez

IM

//.J7ac/dfa(Ä e Aolatinıs Haeh« der [raclrıx

ä

W, SA le‘ermacher S€ reurfläehe 64065 /lra Ä/g;‚{7‚;/?„‚ $

&S

78

/ ß5‚ K BK eulsafladhe Aes 'n $chaligen /7/:5r60/0/(/3

7V /@éﬂ 4$ (j (L‘é/(t’/r.j'(ß(’n .é/ aun aul da /fßf4 f/f///_)_jg/(/ —57 \

f f£/'ßü „

8

n

durchdtie NabelaunfZe au 7 Xem

® axryc„ /—///:t sI/d.

b

ß7 ühn Dzı /‘////c//c An Mimer )“('/ en Adehe

N

Ih

A

|

25 ßd('ßä/“‘“'6 /ÜCÄ(.3 C/ }74(/47'([/(„ //n(J'(Ä'(;-‚ /17072—'„‘

x,*

/ nÄTer nebs] /7(7((/:f/‘/‘2? z?e;/ Trn COTVENI--

33

V

IM _Brßop;ym(/ß/v(ygaü&/a/nm„ dr KTF hamsT ‚„/7‚4f,fg‚j‚ 374

AB ßd(ßärach Rolaf R yon NonsE n.74

BUE 1975 ma

{

|

y*'”‘f/J

43

J£oa;(%(

——

{

A

/’f .ÖZ(

/7’//1&réaé‚ / ({f7/0

Y

T4/((/(71 £Z Äwrf/2// dcrz//„ S, am(a»?}ßrcbc«„«ﬁ” IR \

TIE. Kuen deber d cd«/"d e h "/‘/ aburchtlb. Schrachen , Amalrchaf: 67

J?z

X Yogel _‚@/y‚«—g„é:n/%!tßc vn Khınst ;my.zf /Ü;/nfan7;nfaß jﬁ

Ä Al ‚Braonmihl Ä«d Äwa/t'pac:»; ch/ßl‘ dinien aufdem Kolal. /7//asa/r/ Z

W,

/ A @p e de SÄrten a(cr RA0omELr VEn 3. c‚«;{

/

/

E A

Yı

ÄX

Kuen Fache vn ConsT:ne aﬁmfmun(;ymz]; Bianh ] SI

8

7" /7érf141 .//tﬂ//’hd//‘éhbg g Lr£'(j Calteno id, Jcörauäc»ﬁd‘ E ß f

71/(” /' u Slerwalder %cß< IR ıra

T

7‚r IV Kven Überd e KTem ONg r/m/c/z Ader Kobreu JZ/]/'d{(}(}1 e /Ü.f

;va

Y Bu«Sslerwalder Jı c/azzraéa/«_r(éc /z)/71r('y/”’// d&

/09

XA'[7// ﬁ»;tj'/ä/—/„/a/dcf—/—/jﬁ(’n Von [;/Y/{?/{h' z d f/’/4f 7}?f//ßzr(/‚ //5

(%

z

ßfzß (arlanmadelle vmı .%cßm Z Crln

/T%

A

&.

79“

ß{ CS(( k”0ﬂ4.//hj.f// (L uu/dén fäc'é&« Aac /z{ﬁ(//1

Zl

737 M

z Seorce WE 4 ßo//m e gpfarischen 5 lı /5ß/1 (arven der Welles, Rathe

Zuf%<77_

Maodelle von Fälcn ID -Ortnon

j7l

Darstelle Sg m Mini n alflächer Lf«/2n/a.run4}

?af/czf S +g

783

Ia

/€fi—£'

Kuommer ßade//( m /Z’(ß(!«; ZV . Ordnc 177

207

da

Wiener Koarıcorven v.Xeren 2"/‘“fd*ff«"

S

“

Z

|

z

D al

X

581fe 17

= 204

E

WWW

3f

e Mf2ß£(fa„

Z14 dnr M4M‘»L(/‘(-«Q/’Ll S

a CWR

- AU

Ar

/7

Z

7

DB Z „; 29a44„4{“%441

A /)fl/f—;} LL M/Lij 3 M .

R

1077 1686

;;.p*

\

S&

-

ji;

S20 -

a

@))yp„{„ S E{

Z

Calalo g

[cC/

r

Aurrziıllıc. l/wlz„ß;„ Pa 4‚/„_;

f

D

3 Auftnge

(

\

‚/‘

.">

f Vgn A üa AB m„„/ß4

W S ﬁou‚.‘ E [/

en IM 15 %%%NÄ«,L

M

VT

n©#bL(; PLC(‘ I"ﬂ—-;‚c( i”'ww4ß‘(”l„

M}

M"//‘ißv\7/ HA „L‚W{-„„ E

/I/

MN

LA 71( (Ä®%W VE

(‚%L Agı /?M;{c /'J'//(/dle Va HET \/ä„'14—4_/(/74 } 4((_}’

41

f

Mmalh. Sepir'nars VrPandenc. /%ä/(/(‚'h/i'/»r/(/Ü die Votner

n

Aecs /ﬁfa/0j_j'ﬂ cvnyye{;w3eh }

N] X Sfauke Füdewe m gliaht on des EMgps0idg aus se'nen Foäälearven 178° |

e LEn

man ma n An b A R S

I "'f—"

IIl X

VIIL

VLı

vV'xu

w‘

Vır

IT v1+

VIiI.

| VIL 24

VILL

VIL2:.

Hi ern Aiflenn edunkem

(9

L1

C

Fi ZJL €I Al‚$(’ A

„« \i&f f(’‚ﬁ CA/\ »

u 4

f/,4

E Sn

Mathematisel

Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München.

Abtheilung II.

Unter

TLieitung von Prof: Dr

Brill

Die Rotationsfläche der Tractrix mit geodätischen und Haupt-

tangenten-Curven.

Modellirt von stud. math. J. Bacharach

f

actrix in der Form an

Nimmt man die Gleichung der

)

{/r„

A

fO)=C luo

Y

(siehe Salmon-Fiedler, höhere Curven, Art. 318), so entsteht durch Rotation

um die

-Axe die Fläche

f(r

WO

Y

z

DE

a

s

Y

Die Fläche besitzt constantes negatives

Krümmun

mass

Die

erkennt man am besten aus einer Kigenschaft der

otations-

flächen, wonach die Hauptkrümmungsradien in einem Punkte einer solchen

oleich sind dem Krümmungsradius des Meridians in jenem Punkte und

demjenigen Stück der Normale des Meridians, welches zwischen dem Punkte

und der Rotationsaxe lieet

Der Krümmungsradius in einem Punkte eines

Meridians ist

p B

S

e

E

S

—

fll

2

"')l

Je1

den Rechnungen ist

die Grösse

c gleich

25

Einheiten

angenommen

worden

LA

2

Um die Länge % der Normalen zu finden, beachte man die Eigenschaft

der Traetrix, dass der Abschnitt der Tangente in einem beliebigen Punkt

derselben, gerechnet vom Berührungspunkt bis zum Schnittpunkt mit der

Asymptote der Curve, die constante Länge c hat.

Hiernach erhält man:

C

e

.

n= —C (—

(2

Z

S /‚/3 R

wo das erste negative Vorzeichen davon herrührt, dass die Normale im

entgegengesetzten Sinne wie der

Krümmungshalbmesser zu rechnen ist

Nun ist

2

C

///„

y?

VE

folglich

TE

Ve—r?

W z L

2

also das Krümmungsmass

O

e

ONn

Die geodätischen Linien einer Rotationsfläche denke man sich

der

auf eine zur Axe senkrechte Ebene projieirt, dann ist die Gleichung

Projeefion in Polarcoordinaten 7, @& (vergl. Joachimsthal, Anwendung der

Differential-Rechnung

ete. p. 142):

dr

M

42

1

2

®

€

AA

wo v eine Constante

ist

Für unsere Fläche erhält man:

D= VC

. dr

l//

P

V

L

A

2

2

({) D I() 1/"[Ö._‚ A l2 — i l/(-"'. V

Es sei / der

Die Bedeutung der Constanten v ergibt sich folgendermassen:

Winkel, welchen die Projeetion der geodätischen Linie auf die x y-Ebene

mit dem Grundkreis bildet (für welchen 7 =

Cc), dann ist

dr

—V

fo]

'

cd P

VC

Ür G:

x

C era

l//

{£

fo)]

daraus folgt:

C: 6COSM

und

P=

H67/ COS

A —42 /

(S (()\ A

Dies ist die gesuchte Gleichung.

Für jeden Werth von 4 bekommt man

eine geodätische Linie; jede solche Curve erreicht ihren höchsten Punkt

für 7=Cc.cos/, für kleinere Werthe von ” wird @® imaginär.

Dagegen

erhält man für jeden grösseren Werth ein gewisses @& und aus der Curven-

9

©

„

G

‚ so dass es nicht schwer ist, die

gleichung den zugehörigen Werth von

Curven auch auf die Fläche zu übertragen.

Um eine symmetrische An-

ordnung zu erzielen, wurde jede Curve um einen bestimmten Winkel ge-

dreht, so dass die Maximalpunkte der einzelnen Curven auf demselben

Meridian liegen.*)

Um zu der Differentialgleichung der Haupttangentencurven

zu gelangen, hat man die Bedingung dafür aufzustellen, dass der Krümmungs-

halbmesser des durch ein beliebiges Curvenelement gelegten Normalschnitts

unendlich gross ist.

Unter Zuhilfenahme der Bezeichnungen von Gauss

(siehe Joachimsthal $. 53, Ende) lautet diese Bedingung:

r

{l r

>+_ DD

X

d

)2+ 2])’(

2A0

7

Aus den Gleichungen

Y

Fa

N

(r)

r cOS rp Z

Yy=r8in @®

erhält man nun

D=rf“;

D Z 0

]}I/ J }_2f/.

Setzt man diese Werthe ein und lässt den gemeinschaftlichen Factor r w

e&

75

sSo wird

dr

or

F=Z0

„

d

cdi

(]77 bn

”rVc

Z

C

p =log‘

Ö

Auf dem Modelle ist eine Haupttangentencurve

so aufgetragen, dass

sie mit einer geodätischen Linie eine Berührung

eingeht.

Wenn dies

überhaupt möglich ist, so kann es vermöge der Natur der Haupttangenten-

curven nur in einem Wendepunkte der geodätischen Linie geschehen, von

deren Existenz wir uns also zu überzeugen haben.

Projieirt man eine Raumeurve auf eine Ebene, so werden im Allge-

meinen aus den Wendepunkten der Raumecurve wieder Wendepunkte der

ebenen Curve, und wir können uns daher darauf beschränken, für die

Projeetionen der geodätischen Linien die Wendepunkte zu berechnen.

Einem Wendepunkt entspricht ein unendlich grosser Krümmungs-

halbmesser; für einen solchen muss also sein:

dr

d’r

y?

=0°

\

d rP

d

*) Die auf dem Modell angebrachten Linien entsprechen den Werthen:

r

amO.

2= 450; 60“;

6

OE

724° 75°; 7841°; 84$°;

für welche der Drehwinkel S beziehungsweise ist:

d=122%7; 80°%8

45°

0°; 326%,2; 259%,25; 2709

J

|

4

?

Berechnet man die hier auftretenden Differentialguoctienten aus der

Gleichung der geodätischen Linien und setzt dieselben ein, so erhält man

eine Gleichung für r, welche nach einiger Reduetion die Form annimmt:

r=cVeosi.

DE E

E

-

Auf dem

Modelle wurde

die

Curve

A

am

/

2°20’35” ‚benutzt, für ihren

Wendepunkt erhält man:

An

—Z

13,8.

|

R

é

!

E

S AA

HE

S

E E

I5;uck voﬁ H Brll\v iﬁ Vvylr)rarrmstadt.

Z

SA TE

\

.

E

e

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München.

Ahbhtheilung IT. Unter Leitung v«;ﬁ PrOf Dr. Brill.

II

Die Brennfläche eines Strahlensystems,

welche mit der

Fläche der Krümmungscentra des elliptischen Parahboloids

in collinearer Verwandtschaft steht.

Modellirt von stud. math. L. Schleiermacher.

Die Gleichung dieser Fläche wurde von Herrn Seidel*) aufgestellt,

als er die Brechung eines Strahlenbündels durch ein System von ecentrirten

sphärischen Flächen untersuchte: sie ist die von den ausfallenden Strahlen

umhüllte

S

annäherungsweise

Brennfläche.

Versteht

man

unter

2

’

Y,

rechtwinklige Coordinaten, unter v einen veränderlichen Parameter, unter

A und % reelle positive Constanten, so lautet ihre Gleichung:

y =ZW— A O2 AI

— kg = (v + 4)%. (30 — A — 24).

\) Z)

Mit der Centrafläche des elliptischen Paraboloids steht sie in folgender

Beziehung

schreibt man die Gleichung des Paraboloids in der Form:

72

yo

ON

IL

(47

*) Schuhmacher’s astron. Nachrichten Nr. 1027 ff., Monatsberichte der Berliner

Academie, December 1872,

_-

ﬁ

E

2

E

so ist die Gleichung der Centrafläche die folgende:

(27

Z

VD — —

a—b

3

2

üln —OX

2

2

?_ 23}

}

%

‚NR

a— b

ı— 0

E

v + — S

0

2

_2),

D DE (

worin unter v ebenfalls ein veränderlicher Parameter zu verstehen ist.

Durch die lineare Transformation:

7

A

X

ED

Z:.'

Ö

hnl

und wenn zugleich

E

a— b

’

ala—b)= k

Betı

2

der

gesetzt wird, gehen die Gleichungen II in die Gleichungen I, über.

dien

Da wir hauptsächlich gestaltliche Verhältnisse zu erläutern haben,

und bei geeigneter Wahl der Constanten, wie man sicht, die Gestalten

S0 (

beider Flächen sehr nahe übereinstimmen *), werden wir immer von bei-

den Flächen zugleich reden, bei analytischen Entwickelungen aber die

Gleichungen I. zu Grunde legen.

Bil

Die Fläche, welche sich, wie aus ihren Gleichungen hervorgeht, zur

XY- und XZ-Ebene symmetrisch verhält, besteht ihrer Natur als

Centrafläche gemäss aus zwei getrennt verlaufenden Mänteln; diese er-

strecken sich der Richtung der X- Axe nach in’s Unendliche und durch-

Ebene Schnitte der Fläche bestehen

setzen sich längs einer Doppelcurve.

demnach aus zwei getrennt verlaufenden Curvenzügen; unter Umständen

SO €

können diese durch zwei selbständige Curven vertreten sein, wie das Z. B.

ı-

in den Schnitten mit den beiden Symmetrieebenen geschieht: jede dieser

Ebenen schneidet die Fläche in einer gemeinen und einer Neil’schen

Parabel, denn setzt man:

y= 0,

ind

MS

so erhält man, den hieraus resultirenden Parameterwerthen :

der

d

Szum

2 A

ÜE

(

sind

I

f

entsprechend, in der XZ-EKbene die Curven:

16

AJ

16 4

2

z

2)

D

2

E A

IV.

V

@ —D

27

k

(

In der XY-Ebene

B

erhält man die den Parameterwerthen:

\'nü

E

die

*) Zur Construcetion wurde A4==1, k=— 24 gesetzt; das Modell stellt da-

her sehr nahe die Centrafläche des Paraboloids:

'I„l\j_“lj

Y?

Z2

O

a 2

dar, denn die vorzunehmende Transformation wäre:

AA

N Z—:-\‚

/10

XT

|

—_

3

')/

X

A

U

— 4A

WEn

entsprechenden Curven:

1

16 4

16.4°

=

SE

VE

D

y:‚

(TE

{)

2

Y

— A

]k

27.%

18l

Die gemeinen Parabeln

2

O

GE

l(j

— A)

/ —

H6 A

(x + A)

k

A

k

haben die Eigenschaft Rückkehrkanten der Fläche zu sein.

Betrachtet man nämlich die senkrecht zur X-Axe geführten ebenen Schnitte

der Fläche, welche zur Orientirung über deren Gestalt wohl am besten

dienen, indem man Setzt:

JEN,

BEZ C

= Const.,

so erhält man als Gleichung der Schnitteurve:

?hyn

DE

Ry G

A 80r 4A

C

6

VI.

—k = (

) A0

AD e

2c)

Bildet

Man

hierfür :

zur

I

v— A

dy

SO

c).dw

als

V

VA:

BA

ß

VIL

v A

rch-

dz

.24

— €).dv,

A A

(‘hl‘\l

i/_ I: .

30

— 2C

uden

so ergiebt sich für die bez. auf der Z-Axe und Y-Axe*) gelegenen Punkte

. ]

Ü A und v

= z

— A:

dy

E

d

eSET

(

und

OR

d

ö

(

;‚: Z

;Ig4']l

in diesen Punkten sind also diese Axen selbst Tangenten der Curve. Daher

müssen diese Punkte entweder Selbstberührungspunkte oder Rückkehrpunkte

E

S

Y

der Curve

sein, denn die Curve verläuft symmetrisch zn den Axen.

sind :L1301'

ersichtlich Rückkehrpunkte, denn z. B. dy ist für v= 4 + dv

Die Orte dieser Rückkehrpunkte

sind die Curven

mit d proportional.

v= A

und

= — A,

N

d. h. die gemeinen Parabeln, wie behauptet war.

ausserdem noch

In den übrigen Punkten, in welchen die Curve VIL.

von der Z-Axe und der Y-Axe durchschnitten wird, und welchen bez.

die Parameterwerthe

C —-

n DE

c+ A

v —

und

da

zugehören, wird bez.

dı

y

O

und

dz

12

0,

*) d. h. auf den Durchschnittslinien der Schnittebene bez. mit der XZ- und

X Y-Ebene,

7

4

diese sind also gewöhnliche Maximal- resp. Minimalpunkte. Ihre Orte sind

die beiden Neil’schen Parabeln, und nach Erstreckung dieser Curven ist

demnach physikalisch zu reden die Fläche abgerundet.

Von Interesse sind diejenigen Punkte, in welchen sich die beiden in

einer Symmetrieebene gelegenen Parabeln durchschneiden, resp. berühren,

Man findet folgendes:

die beiden Curven der XY-Ebene schneiden sich in:

o

Va

‘.?c:1A

‘‚'‚Q;: —

{

7

1

1G

4

I:

/2 und berühren sich i

-

1

/

SE Ö'AZ_ g/

v

V

'g/zti 4 A°

\

Z

die beiden Parabeln in der XZ-Ebene schneiden sich in:

S

s

B

Z

T

A

und berühren sich in:

4 A}

IX

S

E

JE

|<

i‘_ 8 112. l/

Z

Al

32

Jedem dieser Punkte gehören zwei Parameterwerthe v zu, für die

Berührungspunkte fallen diese zusammen.

Es zeigt sich, dass in diesen

das Differentialverhältniss für die der Z Y-Ebene parallele Schnitteurve

CN

dy

0

ur

dz

—0

Wir

wird und besonders bestimmt werden muss.

Beschränken wir uns auf die

CNl

SS

das

reellen in Betracht kommenden Punkte Ü= 21 40

S

AL l}

S0

und bilden jenes Verhältniss für den Parameterwerth v= A

oder, was

hier dasselbe ist, für v = —

‚, so erhalten wir:

En

v —

2

DA

X

0

m:

dy

.

die

d

„

V

Zl

Dn

„

e

30 + A —

‘::() 77a

3

Betrachten wir nun die erwähnte Schnitteurve im Abstande:

CIN,

24

oder:

{

3 (v — A)*

SIM

kı‚y

k g° = (0 + A)%. (30—54),

X

so hat diese für den Parameterwerth v= 4 auf der Z-Axe

a

symmetrisch

D

X

gelegene singuläre Punkte mit

4

Tangenten, denen die

<

angeführten

Werthe von

—— entsprechen.

Die weitere Untersuchung ergiebt, dass an

al

dieser Stelle zwei Spitzen zusammenstossen. Die folgenden Figuren, welche

Setz

die Curve z==2 4 und zwei benachbarte ebene Schnitte darstellen, sollen

Ö,

den Verlauf der Fläche in der Nähe dieser merkwürdigen Punkte ver-

anschaulichen.

S

5

Sind

18

=> Ül

4

EEZA

X 3A

D

ı M

TeN

// )‘

AA

FEA

ED BB

OS

ä

—

L

X

/

GE

\

\ 1

%

X

U

el

Die Schnitt- und Berührungspunkte de

Pa

ıbeln

gehören sowohl

V

dem einen wie dem andern Mantel an, es sind daher Punkte der Doppel-

Curve

in welcher beide Mäntel sich durchsetzen

und zw?

Z

wie sich zeigen

wird

singuläre Punkte derselben.

Die Gleichung dieser Doppel-

curve soll nun aufgestellt werden. Ihre Punkte sind dadurch charakterisirt

4

‘

dass ihnen zwei Parameterwerthe zugehören; nennt man diese v

und v

so müssen für die Punkte der Doppelcurve die Gleichungen gelten:

(v‘— A)

A)

30 + A-—2x)= k

was

30' + A—22)=

n

0‘ + A). (

30 — A — ).‚()—‘(l/“+ 11)’ (

e _1 C DA=

— R

‘

(

und führt

Entwickelt man diese nach

U

und v

dividirt durel

die Bezeichnung

Z

e 0/':/_{

4

und v

die Wurzeln der Gleichung

ein, so dass also w

v—q.0 FEDp=0

sind, so erhält man folgende Gleichungen:

l+„l‚

Oa "M——

(g’—) +24(x+ A)q-—

{

= 0

yiscl

hrtcH

q — 2p4+

d L

24Az-— A)q—24A°x=0

aus welchen folgt

s al

P=A(4 — 4%)

}'M“

etzt man diesen Werth in eine der

beiden vorhergehenden Gleichungen

nlh n

ein, so erhält man:

Wr AA

ver

C

—3 x q° }—— ———————— ‚q+2A’x=0

...1

(M

A

oder:

von

d

(4 — %) (4* — ; g 249 =0.

(lei

Jedem der beiden Factoren entspricht eine besondere Doppeleurve.

g de

Führt man erstens den Werth

X — Q

dure

und den sich daraus ergebenden Werth

Sym

——

d

é‚

A0

in die Gleichungen der Fläche I. ein, so erhält man die folgenden:

Z

DE

ky*

9

x

a

hom

q

dl‘l'

k

A

):

CUIV

Nimmt man hierzu noch die Gleichung:

Jede

==

S

der

X

I[)

ein

so repräsentiren diese 3 Gleichungen eine Doppelcurve, die aber, wie man

vor|

Daher muss der andere

Wactor

sieht, nur imaginäre Punkte hat.

Pn

€

ü

Sq—24°=0

hins

Z

ZN

die von uns bereits oben an einzelnen Punkten als reell erkannte Doppel-

Man hat hierfür:

eurve ergeben.

f)

®

J

2A4

#)

67

—q

E a S

»

U — —

AUS,

q

Gle

Ia

VED _a#V37

—4A

©

9

D

Z

well

Silzt

Führt man diese Werthe

von x und v in die Gleichungen der Fläche ein,

so lassen diese sich auf folgende Formen redueiren:

hez,

9

O 2 A)' (q + 4 4)®

$a

a

)

k

Ents

4 q

Cur

}

9)

k!

—

E AAA

}|[7

44

1), 2) und 3) repräsentiren dann die gesuchte

Doppelcurve.

Xl

Die Doppelcurve ist von der zw

ölften Ordnung

), denn

schneidet man sie mit einer beliebigen Ebene

'.‘\ )E]

ARERULET

00

S

Z

2

in diese Gleichung die

Werthe

d. h. setzt man an die Stelle von %, Y,

‘;]2\.\‘\‘

S

Je z

der

*) Herr Caspary (Journal Crcllwßoréhardf, Bd. 81) hat die Flächen 3, und 4,

I‘h'h

Ordnung angegeben, als deren Schnittcurve dieselbe dargestellt werden kann.

LO

z

von

%

X

y, z in q, wie sie für die Curve bestehen, so erhält man eine

Gleichung, welche, auf die rationale Form gebracht, für 9 vom 12. Grade ist.

ILVE,

Aus solchen Gleichungen bestimmen sich auch die Parameterwerthe

q derjenigen 12 Punkte, in welchen die Coordinatenebenen die Doppelcurve

durchschneiden.

Curve

mit

den

Suchen wir z. B. die Schnittpunkte der

Symmetrieebenen, zuerst mit der XZ-KEbene

Y=0

nachdem wir sie durch die Substitution:

‘

B

q

’

d

. y‘

homogen gemacht, so erhalten wir 12 Werthe von q, und es erhellt aus

der Forderung, dass auch die X Y-Ebene Symmetrieebene der Doppel-

curve, also auch ihrer Schnittpunkte mit der X/Z-Ebene, sein soll, dass

jeder von diesen Werthen doppelt vorkommen muss.

Denn jedem Punkt

der Curve entspricht ausser einem bestimmten Werth des Parameters noch

ein bestimmtes Vorzeichen der beiden in den Ausdrücken von y und z

mal

vorkommenden Wurzelgrössen: zwei symmetrisch zur X Y-Ebene gelegene

Punkte unterscheiden sich also bei gleichem Werth des Parameters nur

hinsichtlich des Vorzeichens der Wurzelgrösse in dem Ausdruck für ihre

Z-Coordinate.

ppl

Führt man nun die angedeutete Berechnung der Schnittpunkte mit

//:

aus, so ergeben sich die Parameterwerthe derselben als die Wurzeln der

Gleichung :

(g‘'— 2 Ar9)‘ @ +44AryYır"=0

’

welche, der gemachten Bemerkung entsprechend, nur Doppelwurzeln be-

sitzt.

Dass die Wurzeln

eil,

,1;—_‚-_)‘/1

Q 4A

bez. vierfach und sechsfach auftreten, sagt aus, dass in den diesen Wurzeln

entsprechenden Punkten die Ebene bez. doppelt und dreifach von der

Curve geschnitten wird. Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Punkte

bez. Doppel- und Rückkehrpunkte der Doppelecurve sind.

die

ın

der

Durch eine analoge Rechnung findet man dann, dass

XY-Ebene gelegenen Punkte

ebra

(

==

DA

GQ=WA

lenn

ebenfalls bez. Doppel- und Rückkehrpunkte sind.

Diese Resultate zeigen die Wahrheit der oben aufgestellten Behauptung,

dass die unter VIIL. und IX. verzeichneten Schnitt- und Berührungspunkte

fl

je zweier in einer Symmetrieebene verlaufenden Parabeln singuläre Punkte

der Doppelcurve sind, denn diese Punkte sind mit den hier betrachteten

d 4

identisch.

m

CN

1st

(

M z

Sche

DU

Defi

Sege

dere

£ﬂl\n

Man

M

<

A

Ul

Anch

Druck von H, Brill Xin Darmstadt,

( A

Z2

AA S

Z3

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München.

Abtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

[98

Die Centrafläche des einschaligen Hyperboloids.

Modellirt von stud. math. W. Dycek.

Die auf einer Fläche in benachbarten Punkten einer Krümmungs-

curve errichteten Normalen schneiden sich.

Der Ort ihrer Schnittpunkte

ist die Centrafläche der gegebenen. Da die Krümmungscurven eine Fläche

in zwei sich rechtwinklig schneidenden Systemen überdecken, so unter-

scheidet man auch immer zwei Mäntel der Centrafläche, deren jeder. je

einer der beiden Schaaren von Krümmungseurven entspricht. In der obigen

Definition der Centrafläche ist auch der Weg zur Aufstellung ihrer Gleichung

gegeben.

Handelt es sich um die Centrafläche einer Fläche zweiten Grades,

deren Gleichung die Form hat:

2

2

2

X

E

S

A

BEK E Ea

1

>

+

D

A

F

»

C

(also einer Fläche mit im Endlichen gelegenen Mittelpunkt) so gelangt

man unter Einführung von elliptischen Coordinaten zu folgender Flächen-

gleichung : #)

e SE SE

*) Die Ableitung derselben, sowie ihre ausführliche Diseussion bezüglich des

Ellipsoids hat Herr Cayley in seiner Abhandlung: »On the Centro-Surface of an

Ellipsoid.» (>»Cambridge Philos. Transactions» vol. XII. pag. 319 ff.) gegeben. Vergl.

auch Salmon-Fiedler’s analyt. Geom. d. Raumes, Bd. 1, Art. 207 und Bad. 2., Art. 244,

(2; Aufl.):

2

z

N

—_ ByAy=A+H'A+Y=#C,

che

Ehbe

__7CKB',Ü2_-—_(B_[_E)3(B_I_‚])=;{(Ej

4

— aßOZ=(C+ _‘_}:)‘°’(C + =WE,

NN

Örd

in welcher der Kürze wegen gesetzt wurde:

vo

B—U0=4&,

C——A:p’,

A—B

:7_

Die Parameter £& und » sind hierbei die erwähnten elliptischen Coor-

hes

dinaten.

;onstans erhält man also auf der Fläche zweiten Grades

We

Fürs -

hes

eine bestimmte Krümmungscurve des einen Systems und dieser entsprechend

eine Curve auf dem einen Mantel der Centrafläche, welche von den Nor-

dl'>

S_

constans eine Krtimmungs-

IN

malen zu jener berührt wird. Analog liefert 7

g

le

curve des zweiten Systems auf der Fläche zweiten Grades und ihr ent-

sprechend. eine Curve auf dem anderen Mantel der Centrafläche.

Im vorliegenden Falle, wo es sich um die Fläche der Centra des

Au

einschaligen Hyperboloids handelt, wird man setzen:

MN

CY:::——(/12

A Z (l2,

B 7)2,

und folglich:

Y}

N

a= b + e*;

BED Ö

y= d —0

E

lı

Bei anderer Wahl von 4, B und C gelten dann die sämmtlichen hier

D0]

angegebenen Resultate für die Centraflächen aller durch die erste Gleichung

dargestellten Flächen.

Betrachtet man zunächst die Schnitte der Fläche mit den Coordinaten-

ebenen, so lässt sich leicht zeigen, dass jeder derselben aus einem Kegel-

schnitt und aus der Evolute eines solchen besteht.

Die letztere ist Evolute

des zugehörigen Hauptschnittes des gegebenen Hyperboloids (der ja auch

Der erstere entsteht

N

gleichzeitig eine Krümmungslinie derselben bildet).

A

als Schnitt derjenigen Normalen, die längs dem vorerwähnten Hauptschnitt,

aber auf den zu ihm senkrechten Krümmungscurven errichtet sind.

Diese

IM

/

Normalen schneiden sich aber, weil das Hyperboloid zu jeder seiner Haupt-

20

Der geometrische

ebenen symmetrisch ist, zu je dreien in einem Punkt.

Ort dieser Punkte ist ersichtlich eine Rückkehreurve der Fläche,

Und

weil in jedem ihrer Punkte durch das anstossende Curvenelement und

eine jener drei Tangenten (Normalen des Hyperboloids) eine Tangential-

ebene an die Centrafläche bestimmt ist, so dass in jedem Curvenelement

(Wwo

sich drei unendlich benachbarte Tangentialebenen schneiden. Dies ist aber

eben die Eigenschaft eines Elements einer Rückkehreurve. Die in den drei

kon

Hauptschnitten gelegenen Kegelschnitte bilden also Rückkehreurven der

\

Fläche.

I’L}

Der Schnitt der Fläche mit der unendlich fernen Ebene, der durch

PL)\*

Homogenmachen der Flächengleichung leicht erhalten wird, wird gleichfalls

von einer Evolute und einem Kegelschnitt (der auch, wie in den Haupt-

F“

74

yildet

Die unendlich entfernte

ebenen, Rückkehreurve der Fläche ist) g

Ebene verhält sich in dieser Hinsicht wie eine Hauptebene der Fläche.

Jeder Hauptschnitt besteht nun aus einer Curve der sechsten Ord-

nung (die einfach gezählte Evolute) und einer dreifach gezählten der zweiten

Ordnung (die Rückkehreurve). — Dies zeigt, dass die Centrafläche

von der zwölften Ordnung ist

Im folgenden soll gezeigt werden, dass die Fläche eine Doppelcurve

besitzt

welcher die beiden Mäntel der Centrafläche sich durchdringen.

ades

Wenn die

der Fall ist, so muss ein Punkt des einen Mantels, de

1nem

hend

bestimmten Werthepaar (£r7) entspricht, zusammenfallen mit einem Punkt

yegeben

Nor-

de

anderen Mantels, der durch ein anderes Werthepaar (

&, Mı)

ung

ist

Dadurch ist die

edingung für

die

Existenz de

Doppelcurve und

ent

gleichzeitig ihre Gleichung gegeben durch

KAE,Y) = X E1 N4),

W &, )= W (Ey Nı)

PE D = &, A,

, des

Aus diesem System von Gleichungen lässt siel

durch Elimination von

S

e

und

eıne

Beziehung

zwischen

©

1

(

und %7 herstellen, welche dann der

<

ä

Doppelcurve entspricht

s empfiehlt sich jedoch statt

S

N, Sır Yı

ZU-

nächst vier andere Parameter einzuführen

die es dann durch ein geeignetes

liminations- und Substitutionsverfahren ermöglichen

die Coordinaten der

hier

Doppeleurv

als nur von einem einzigen Parameter abhängig darzustellen.

hung

Setzt man nämlich

(DA

&

LE BD

afen:

@

P (©

D)®

(

E

®)

a=®

P (©

olute

/

Z

I)

(©

q

}

auch

so folgt durch Substitution dieser Werthe in die erste der obigen Gleichungen

teht

und Ausrechnung die folgende

jedingungsgleichung füı

die

Existenz

le

nif

Doppeleurve:

Diese

2.@P(a* + &) [P*(360?+ D?+ 3(0° — 0?*) —

pf

Nh

P(a* + P O0.1+0

@*) + (a*

@)*(3 @* +@?-+3)]=0

2

\C he,

und aus den beiden andern anal

» Gleichungen in O

und

C

und

Substituirt man hier:

Cn

al

@* — @’=X,

56

SEA SS

ment

(woher dann:

O© =—

X

aber

43VX

o=—34V2

drei

o gehen die obigen

Gleichungen

über in:

kommt)

. der

BV Y=3X

v + D)|[P*3X

3 PVX+ YX+

(

—+ 4]))>

(Y+3)(a? + @P)?]

B

2

2

}

8

ı

e

(Y+3)6*+

arch

PVY—3X @+ @P)[P(3X*+ Y)

1>([/‚\+ TG

+

‘l'}j

q = 0

I

P.YVY—8X(—c?+ P)[PH3 X?+ Yı —

3 PVX+ XX

1)(—e?+ y))

(Y+3)(— 0 + P -

.

lll’

FD

C

SEA

Diese Gleichungen werden unter anderem befriedigt, indem wir setzen:

W= C

und die

beiden ersten eckigen ]\141111\19114("[01m)»

0

2

Unter Berücksichtigung, dass dann 4

SE

AB

?,

b° + B=— @« wird

folgen unmittelbar die Beziehungen:

BUE

&— B

+3

P

\+Y

248

3

Y {

Diese Gleichungen zeigen, dass sich P

X und Y (und damit auch

z

@ und @) durch einen

einzigen Parameter

O

ausdrücken

lassen.

Dies

geschieht

indem man

setzt

}/Pj‘

3=6(X+1).

Diese Substitution liefert dann

auf die endgültigen Gleichungen

?

u S, W.

—ßBya x = @E,

angewendet, die folgenden Ausdrücke für die Coordinaten der Doppel-

curve abhängig vom Parameter 0

f)

(()((xäp’)Aa) (0(x« — ß) +28)' (0(8 — 7) —9°

—-ß:/(t

D

(20+«Xxß)( @a D

OC o’\—!—p) o Z @)® ((;(,f——(()»‚— m

&« b?

<

(Q20+

&« B)(

l

j—92)*

(0— 1) 0°

(o(

Ür

)' —+

304ß

+&ä«ßcC

-

Qı

Q

O0 rrra

@ß

2

wobei der Kürze wegen gesetzt wurde

GEZZ0

7

S

mi

Die Untersuchung des Verlaufs der Doppelcurve zeigt, dass dieselbe

in jeder der vier Hauptebenen (die unendlich ferne Ebene mitgerechnet)

Ihr

4 einfache Schnittpunkte

4 Doppelpunkte

und 4 Spitzen besitzt

Ordnung bestimmt sich daher zu

4.1 +

2+4

.

I

—

v

4

In Bezu

auf die Hauptschnitte der Fläche

nehmen diese Punkte folgende

besondere Stellung ein:

Die vier einfachen Punkte der Doppelcurve sind

imaginäre Doppelpunkte der in dem betreffenden Hauptschnitt liegenden

1

Evolute.

In den Doppelpunkten der Doppelcurve berühren sich der Kegel-

schnitt und die Evolute des Hauptschnitts; diese Punkte bilden die Krüm-

mungscentra der (imaginären) Nabelpunkte des Hyperboloids.

Die Spitzen

der Doppelcurve sind Schnittpunkte der beiden Curven des Hauptschnitts.

Für alle vier Ebenen sind die einfachen und die Doppelpunkte der Curve

i

imaginär, die Spitzen

sind reell oder imaginär, je nachdem 7 — « ist

/

Z

ä

5

Tabelle der

in den Hauptebenen gelegenen Punkte

der Doppelcurve, geordnet nach der Aufeinanderfolge der zugehörigen

Werthe von 9.

Fall:

V

-

Ö

U

|

(Z

___'Ö2„2

A ehe?

ÜE

6)

0

Reelle Spitze.**)

7i(( (_0‘—7)3

R

28

Az

0

7

ßß

(!—r

[84

Imag. Doppelpunkt.

n

s

AB NS

7

2

7

Imag

Heirnfa‘cher Punﬂkt.

_/}

0

BF

p)z

/3f)

Imag

. einfacher Punkt.

U

xB

XN

0

Imag [)oppglpunkt}.„

E EL

Y} (a—f)’3'T B (y— «)?

0

Reelle Spitze.

B7

« (B—))*

a (B8—y7)®

i’) EB

a (B—7))*

0

Reelle Spitze.

(«—8)*

y («— ß)®

7(afß)3

Z

7

n

Imag. Doppelpunkt.

B

ß

E,

—Llß

jzj’

[24

2

Imag. einfacher Punkt.

KB

ß.’

AT

7

Z

0

&«

2

1

CO Rag

Imag. einfacher Punkt.

Cn

Kn

&s

Z

6

)

0

0

7

1 | Imag. Do})1>0}ä#lfkf-.

H4

y° («—8)*

CD

}

Reelle Spitze.

Wl

BD

E

Von der Doppelcurve ist also reell der verbindende Zug zwischen

18

N

der Spitze in zx=0 und der in z=0 und dann die Verbindung der

Spitze in y=0 mit der in der unendlich

fernen Ebene gelegenen.

Wegen der Symmetrie der Curve zu den Hauptebenen stellen obige Werth-

systeme je acht Züge der Fläche zugleich dar.,

n

*) Der im Modell dargestellte Fall.

**) x bedeutet hier wie im Folgenden einen Proportionalitätsfactor, w=0 die

Gleichung der unendlich fernen Ebene,

0—7

/[/

n

In dem

Für den Fall 7y < « wird die Doppeleurve ganz imaginär.

speciellen Fall 7 = « fallen je zwei Spitzen und zwar die in der Ebene

w=0 mit der in der Ebene y=0, ebenso die in zx= 0 mit der in

z — () zusammen.

Diese drei Fälle lassen sich

mit Hülfe der Modelle leicht übersehen:

y >« ist der dargestellte Fall.

Je mehr sich 7 dem &x nähert, um so

näher rücken die Spitzen in ?= 0 und &

’

ebenso nähert die in y= 0

E

sich der in der unendlich fernen Ebene gelegenen.

Für

PE

& fallen sie

ZUSsSamMMe€N.

Die beiden Flächenmäntel hängen reell nur mehr in diesen

beiden, in der xy-Ebene und in der unendlich fernen Ebene gelegenen

Punkten, von denen also, wegen der Symmetrie, je zwei existiren, zusammen.

Wird nun y<«@, 80 hört auch dieser letzte reelle Zusammenhang auf und

der eine Mantel (welcher dem System der elliptischen Krümmungscurven

des Hyperboloids entspricht) steht frei innerhalb des andern. Die Doppel-

curve ist ganz imaginär geworden.

Die oben aufgestellte Bedingungsgleichung für die Existenz der

Doppelcurve wird noch befriedigt durch die Bestimmung:

EZ0

Dies

ergibt aber sofort £ = 1 und damit folgt eine weitere besondere Curve

der Fläche, gegeben durch die Gleichung:

— Bya z = (a* +

yab'y” =0*+

o

2

2

:;(—(}2 S

/

|

&)%.

+ a«B602

Diese Gleichung stellt acht imaginäre Kegelschnitte dar, welche zu je

zweien auf einem durch den Coordinatenurspruug gehenden Kegel liegen.

Diese Kegelschnitte sind Rückkehreurven unserer Fläche, so dass diese im

Ganzen (mit den in den Hauptschnitten liegenden reellen) 1

D

d

Rückkehr-

curven (und zwar Kegelschnitte) besitzt.

Bezüglich der Anfertigung der Modelle mag bemerkt sein, dass hiebei

das Axenverhältniss des Hyperboloids a:b:c==5:2:1 zu Grunde gelegt

worden ist.

Numerisch berechnet und construirt wurden von der Fläche

die Hauptschnitte und noch je zwei Parallelschnitte z= 1 und z=2 (die

Höhe des ganzen Modells = 4 genommen).

Von der Doppelcurve ergaben

sich die Spitzen durch Construetion (oder Berechnung) sofort; ausserdem

wurde von ihr noch je ein weiterer Punkt berechnet.

{/

A

m

U

N

l

0

U

IC

N

N

),

d

2

CF

_

C

u|'m‘kl v-nn 1, Brall dn Darwstadt,

P

Z4

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen institufdes k. Polytechnikums in München.

Abtheilung IL

Unter Leitung von Prof. Dr. Brüill.

IV

Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid.

Modellirt von stud. math. K. Rohn.

-

Die geodätischen Linien können durch die Bewegung eines äusseren

Einwirkungen entzogenen materiellen Punktes auf der Fläche beschrieben

werden. Im vorliegenden Falle, wo es sich um die Bewegung auf einer

Rotationsfläche handelt, lassen sich die Lagrange’schen Differentialgleichun-

gen durch das Integral der lebendigen Kraft und das Integral der Flächen-

räume in Bezug auf die Rotationsaxe ersetzen. Das erste Integral liefert:

Z

wo v die Geschwindigkeit und A die Integrationsconstante ist.

5

V

Das

zweite Integral

ergibt

die Gleichung

r p= Const.,

wenn

und

@ die Polareoordinaten in der Aequatorialebene sind.

Nun treffen

wir

folgende Bestimmungen für die Anfangslage des Punktes: für @— 0

und

r=r, sei v=vw und zwar parallel der Aequatorialebene gerichtet.

Hieraus bestimmt sich unmittelbar:

2

h= Z

4

Const. = 7, . %

und man erhält:

).2 ({-); E

l):

‘2

(

2

i

Z

S

v

0

A

wo noch die Gleichung der Fläche: @— F(r) = 0 hinzu kommt.

7

2

Die Integration

ergibt:

dr

(

VEn

—

=

=

V

PE OLA

AA

7

—V

2

Vr

o

Ist die Rotationsfläche ein Ellipsoid, also:

F'(r)

‘-_E%V/f 185

so sind £ und @& gegeben durch die Gleichungen :

e

1 (de Va Z

=

EK WE E

de.Varze

(P

27

b

@ 2 V.

2

07

wobei

02__ S

2

die numerische Excentriecität ist.

Die weitere Behandlung dieser Integrale besteht

zunächst

ın

der

Zurückführung auf die Normalform und dann in der KEinführung ı der

A

@©- Funktionen, durch welche @ und ;

O

schliesslich dargestellt erscheinen.

Den ersten Zweck erreichen wir durch die Substitution:

Z

e

2

—==%

9

a

2

== ]\'2,

70

wobei &?<1 und positiv, ferner:

S n

—— —

z an

sin’am (i&« + K,kh).

€

4°am(«, k‘*)

Die Gleichung für & ist für unseren Zweck nicht weiter von Interesse,

die Gleichung für @& wird:

E

n

(

k?x*dasinam(inx+ K)cosam(iax+K) /am(ix-+K)

®

z

2

1 —w

r

C

[1—*?sin’am ia +K)z]V1— .1 —k®

Bezeichnet man das Integral erster Gattung mit %, das Integral

dritter Gattung in der Jacobi’'schen Normalform mit I7 (w, &), so kommt:

S

Vra

®

(

jl(lllu A ijd (IT (u,i« + K)).

Für @ =0 nimmt % den Werth K, also z den Werth z an, d. h.

der Winkel @ wird vom höchsten Punkte der geodätischen Linie aus ge-

rechnet.

Ist ferner @6 = 0 für u=0 oder 2.=0,80 ist:

P—%

u+4Iu,i«-+K),

&S

DE

oder:

‚ H’ (i«)

O, (u— ia)

4

AT

O.u+ia) }

Po

H (C«)

U S '/'7

wenn man @- Funktionen einführt, welche durch die Gleichungen definirt

sind :

U

@6 (u) = 1—29 c0o8s

VL Z

{-

i

2q*co

S —— —

K

K

T

DÜR

2

Z2mu

(-)Au):1—{—'2_qcos’

K

K

TU

S

d° sin —

.

H(u) = 2g% (

K

/

205

.3„” u

Z

RA H

H, ( = 9q* (cos 7% S

q

K

Um von der zuletzt abgeleiteten Formel Gebrauch machen zu können,

müssen noch die imaginären Argumente durch reelle ersetzt werden. Man

erreicht diess dadurch, dass man tg w bildet, wodurch die Gleichung

übergeht in:

1 ©, (u + i&«) — O, u — ia)

E

A

E

Z

.

AA An

&)

Die rechte Seite kann nach Jakobi (Sur la rotation d’un corps solide) durch

einen reellen Ausdruck ersetzt werden, so dass:

qa —d sin 20 + q“ 21 (1 — g* sin4v) +

tg le/ = —

1 E DE TEg OLE

hierbei ist:

VL

K}

2K

Ka

—]

Nun ist aber:

. H' (ic)

{

K

)

TU&

w % 7’ RR

f

([)

0

S

+

‘ H(i«) E

Ka

3Ka

Also

vu

I(/ ’

)

Ka

m

a

]’{l %X

)

7&

E

+

N

tg'(@ E U

LLn

Ka

/

)_

TE en

n

E

]n ’

)

2KK‘‚

nm

Für 2=% ist u= K und #=0; es ergiebt sich demnach der

Werth von %,, wenn man in die letzte Gleichung für u den Werth X

einführt.

Wir erhalten so als Schlussgleichungen unserer Aufgabe:

Z

—

o: Sin am u =

Dn

Z H (123) .

—

A

k

© (u)”

und:

22

—

A

(

FEB DE

](/ 21

)

IU&

EB E

$+|—

Ka

+

-

H

KK

(I’—M))

LE O

u

(

’](4 }

)

—

Diese Gleichungen stellen

D

Z

und ®© als Funktionen- der einen Variabeln

u“ dar.

D

®

4

Numerische Berechnung der Werthe der Coordinaten

e1NeEI

geodätischen Linie.

d — 9

b

also

A

Z

J

]

Die Achsen des Ellipsoids seien

Fa

dann kommt

ferner _ sei 2%,= 2

496

LO

rm

S6758

K 1684

K'= 2,162;

Q = 0,0177;

Z 00695

f

1

a V/„

.

H S

e

d

C

1—2gqgcos24

S

Diese Anzahl Gliede

genügt

um

G

auf

4 Deecimalen

genau

zu erhalten.

|

I

IT

TU

IT

7U

7U

u“

K

|

|

0

|

2

2

]}

6

10

1)\

P 2,000 ‘

19

g

JO | 1,698

1390

)‘\‘)1

16

1 0,347 | 0,000

ä

q

(1 — r/“) sin 20

to

RE

(P

1,2950 (K — wu)) =

B

€

20°

l(} —r j)[) CcOS

'

7U

7U

IU

7U

K

Ö

a

3

4

6

10

K

f

y

0| 9°

49°

J

3

41

}

1208 ‘)()°/18“ 1OPAT

E

113° 4

5° 9 = 124°57

Z}

Die

Schlussgleichungen

sind

ın

solcher

Form

&eo (>])(\„

dass”

„ die

Maxima der

geodätischen

Linien

aut

gleichem

Meridian

MEn

0 honcn.

P=

Die

In

Grenzlage derselben bildet der dazu senkrechte

Teridian

Lassen

WIr

das Maximum immer

tiefer

sinken

bis es mit

z =— ( zusammenfällt

so geht die geodätische Linie in den \equ*tmmllugp d. h. in ihre andere

[M

(;1011/l&g@ über.

Welches

Stück de

s Krei

sSes

nun

als

Periode

aufzufassen ist, erkennen wir <*hvnﬁd s aus den obigen Gleichungen

wenn wir nur zur Grenze übergehen und dann den Werth von 2@ bestimmen.

Es wird

K=—O

A

j

Z )

?

L

GE

41

v1

A

dx

a —

ama

a+ b

*

5

a — b)?

1—%

U

H'‘(0«)

T

cos (£«)

Arg

o

S

da sich die Reihen von

H

i@x) und

H(i«)

2

sin (4 &) }

O ist

H(i«x) auf das erste Glied reduciren, indem q=

e“

(‚”“ [64

T

(27

7U

_.__(PO::_„___

&%

[84

2

€

e

Da der Radius des Aequatorial-Kreises ==b ist, so ist dasjenige Stück

desselben

das als Periode aufzufassen ist =4.7.

Es ist dies die grösste

Bogenlänge des Aequators, die noch die Eigenschaft besitzt, kürzeste Linie

zu sein (Jacobi Dynamik, p. 46.)

I.)1;’\(k von II Bxill in I)axu.\stadt

N

Mathematische -Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytech'nikums zu München.

Ahbtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. BrilL

V

€

a

Die

s

.

zeodätischen Linien durch

die Nabelpunkte

auf dem dre

}

1-

°

ıXI

S

O

€

D

>

n Ellipsoid.

Modellirt von stud. math. K. Rohn.

Jakobi hat in seinen Vorlesungen über Dynamik die Gleichung der

geodätischen Linien des dreiaxigen Ellipsoids in elliptischen Coordinaten

abgeleitet und ist zu der Gleichung ;_l‘<*l;\1);_ä‘f

/

Z

/

2

Ag

Const.

A

2

J%d

[‚/

(a +A,) (a 4, )]„„+ ANBE2)

+

V

2

( 4] (a AAA

wenn die Gleichung des Ellipsoids:

Z

(47

ist.

(47

Sr :;j + ((" = 1 und gleichzeitig @, <&a

Die Gleichung

der hierzu confocalen Flächen zweiten Grades lautet:

z

<

2

Y

Z

D

2

a

L/

a

v

O

FÜl

0 kommt das Ellipsoid selbst. Liegt 4 zwischen © und —4,,

so stellt die Gleichung die confocalen Ellipsoide dar, liegt es zwischen

A, und —da,, die confocalen einschaligen Hyperboloide, liegt es endlich

zwischen

und

die

confocalen

——fl__)

d

zweischaligen

Hyperboloide.

»

»

Durch jeden Punkt gehen

solcher Flächen, da die Gleichung vom dritten

Grade in Bezug auf Z ist, und zwar von jeder der 3 Arten eine.

Liegt

der Punkt %,, z auf dem gegebenen Ellipsoide, so wird eine Wurzel = 0,

©

und es gehen nur noch

4

Flächen des Systems hindurch, welche, wenn

man 4, und /, als ihre Parameter betrachtet, umgekehrt den Punkt zy2

festlegen.

2

A, = Const. und 4, = Const. bestimmen also auf dem Ellipsoid

z

A

2

Dn

zwei (sich rechtwinklig durchschneidende

Curvensysteme,

die Krümmungs-

linien

ichung

gibt den Parameter des-

Die Constante @ der Differentialglei

5 S

jenigen Hyperboloids resp. (lu1)(1uﬂ0u Krümmungslinie des KEllipsoids an,

welche von der

geodätischen,

„inie

berührt

wird

Aus

der

allgemeinen

Different 1«\1"1(“(‘111‘1)"

folgt

<iahc

als

Gleichung

der

geodätischen

Linie

durch die N

Nabelpunkte :

Ä (l/

Ad/

%

S

Const = J }

—

AVAC (a +/

+ /V

X

a +/ Vıa + A)(@, AA

2

odeı

Wenn Wır

die Constante durch das

bestimmte Integral

(

Ad/

ersetzen

|

)

9

/

(a, EA)VA(a, +

(A, +

S

Z

Ad/i

Äd/

0

Fa

OTA n OE

«S EREU E

Z

E

—

(

S‘/‘g

Vla

) (a

II

—G,

E

VÜl (« L/)m +/

Die Constante

— &% gibt dabei denjenigen Werth

les Parameters /

%

an, für welchen das zugehörige confocale einschalige Hyperboloid den Punkt

de

geodätischen

14

T

inie auf der Ellipse in der XY-Ebene ausschneide

Die Normirung der vorliegenden Integrale geschieht durch die Sub-

stitutionen :

A

a 4

A, + A

== >Hl

(t’))( Ün

D

== 51n AMU

E D *am C;

W

(}

A,

on (

KTr

a

EB

Z

a

[£7

= S1n‘AM E}

En

k

a

wodurch denn unsere Gleichung übergeht in:

Z

w

4°amu du

d’amudu

.

(1—/. sin’am(s+i K)sin’amu‘)

}

1—%?

Sın

am

+4iK‘)sin’amu)

oder in

‘

E

Cos aM (& +4K*)

D

Ka

C

.

\lll (l )ll

s+i K)4am(e

+LK’)I_(‘U(„IW +i7 +[«lﬂw c+LK')]

«

0

X

indem man mit Jakobi die Benennung

einführt

SINAM €

C ()\ (t7IL €

‚4dame.

\1)]

*am l(

AA

d

1

- k?

hlll am € Sin (“71 u

HÜ N= y i

o

Durch Integration folgt

<

cos‘am(£+iK

(s+i K

1

au-—-s-iK)O(u

€

K)OC+

+ A

LEA

Z [

cosam(s

+&K’

(s+iK”)

]

? SQUW+e+1 K)OuU+8+i K)OC-

—iK)

und durch weitere

eduetion ergibt sich daraus die Gleichung

()'(

l‚'(u ———:) H (u — €) H(£—[—«)

704

0

(w

Ya

+

9

0()

SHW+) Hu+s) Hec—s

%

D}

I

zu einem beliebi

NE-

Diese Gleichung ist jedoch nicht geeignet

wählten u das zugehörige w‘ zu finden; wir werden ihr desshalb eine Ge

stalt &€

en,

1

der sie nur noch w-+w‘ und u—w‘ enthält und zwar in

einer Verbindung die bei willkürlicher Wahl der einen Grösse die andere

leicht

bestimmen

lässt

Man

erreicht

diesen

Zweck durch

Anwendung

einer Formel

welche der von Jakobi in seinen

Fundamenta nova p. 155

ebildet ist

nämlich

gegebenen

analog

\

H( u——.c

H (u—

H (2v0—6)

)8 2(v‘) — s* 0 —&

)1.1s

15

;?(0) — 870

SEETEENT

)\

H (u-+ <)

7E u €)

HQv0+<) !s 2y)— s + e)t. 167 />«S(l—ﬂ)"

4

(Z e

wobei. v —

ar

SO

e

und

S —— OI

aAm

‘)

Die obige Gleichung verwandelt sich hierdurch

1(

2(2 v—c) C

H20

E

}} H((+.> S (u)-ﬁs (v+

E

s* (v') —

s*(v —+ ©)

C

9,() ,

FE

F

H(

H(c

&

c‘(b)

N

vH

SEl

/)_____S

M

VD —

)1

Ür

S

folglich

\Hl (( M (

}1v

(v)

\m a M ( an &)

Sın

aAM U

S

F@) 1

I

u-— w

_1

Wählt man in dieser Gleichung © = —

beliebig und berechnet v“ — —

Fa

_a

S

so erhält man

BT,

== 1°amu

nd

= 4°amu

r

Die rechtwinkligen Coordinaten %y

bestimmen

sich

alsdann

aus

den Gleichungen

Sın aAM u

SE

sSnam u

B

A

sın am

Va S

e

Y

V(sm am u — sin

2

c) (\111 ((m E xm am u)

R

Zn

y

77

SINAM €

0SAM

X

(‘0‚\ AMU ,

C0S am u“

NN

Va

cCos am

Kehren wir zu den Gleichungen für A, und /

zurück, so lässt sich

u+ w“

ELn

=+nK

daraus leicht nachweisen, dass für den X

dhelpunk‘r selbst v =

ist

Alsdann wird nämlich

wo % eine ganze Zahl bedeute

H20 — L) s v

v) —- S

(

= 1,

demnach mus

H()'o+ ) S

..L’

—$

S

Ü —

')

(2n K

(v)——

(: +n K)

K

Z °) O' (5

H(c—l—

Se1In,

e

cﬁnK

A}

HCI

s?w') -

Die linke Seite ist von der Einheit \(‚1.sdn(‘d(\n‚ also muss es auch

seın

woraus man

d

HE

e

rechte. Seite sein;, d. h. es muss s’@w)==s"(e+n K

%

2

2

A

E

erschliesst

4°am ( ) — 4’am also

4

Nimmt S

den Werth 0

+ K

+2K

an, so erhält man einen

()

4

1

u

von 2 gegenüberstehenden Nabelpunkten

jedem Werthsystem von

L

4

zwischen nX und (n+1)K entspricht

>ın

von

diesen

Punkten

eEINSE-

schlossenes Stück der Curve

eine Oseillation der Curve

Die geodätische

Linie besteht aus unendlich vielen solchen Oseillationen

wie man unmittel-

bar

aus

ihrer

Gleichung

schliesst

ın

da diese u-—+ u

2 verschiedenen

Verbindungen enthält

deren eine eine reelle Periode besitzt

nicht

abe

die andere

Numerische Berechnung einer geodätischen

Linie

D

Die Achsen des Ellipsoids seien @& —«Vl

(87 :V

a=V

)

Man

erhält dann

m7,

Iß

e

0,814

550

/

)Ho)

K

_12

878

A

2,0

Fn)(-)(,2‚

n

q

0,06822,

qg‘=0,02533,

TT

TW:E

<d@

0,84227;

E

S

@,/ (8)

SE

—0

z

/J({)

2K

6, (

Machen

WIr

noch

die Voraussetzung

dass

der

Anfangspunkt de

Linie

auf

de

mittleren

Achse

xeodätischen

lieee

so. wird c€= K und

demnach

B

K-+

HK

Für die einzelnen l’unl([o stellen wir das Schema

) auf

u-+u‘ 2(20—

—K)

O, ‘(e)

Z

l<>e Ig (+)

H20 —

Aö

|s?(D-Ee ) S UD— )

S-(@©)

F(v)

{

S (1;)

49

|

()‘(\

H(27 +

E

AAA

E

R 8

K

0 00( )00

10 99010 0 ()2913

—3,000

i

(-+) 0,00000

0,63385 — ‚58‘)1) 0(7.3385 —1 000

;

2K

0,11561

(-+) 0,58209

0,91087 | 0,02716

0,36163 —0,81866 | 0,51307 —1,167

—22,935

i

K

0,23121

(—) 0,13597

(6414 0,22210

0,10744 / —1,29787 | 0,45

-1,58

) —2,645

|

0,34682

(—) 0,00000

.02 2 0n

A

0

VDE

d

2,000

/

000

Die gleichen Werthe muss

man für /

und /

erhalten, wenn man

der Variablen u + w

die Werthe von K bis

ıK

beileg

W1e

man un-

mittelbar

daraus

ersieht,

dass

die

geodätische

Linie

durch

den

Punkt

/;

1, 4 = -

—3 nnd durch zwei sich gegenüberliegende }

Nabelpunkte

geht

A\uch aus der Gleichung zwischen v und 4

lässt

sich dieses Re

sultat ableiten

indem man für

24

einmal

K+2

das andere Mal

K

setzt

woraus sich denn gleichzeitig eine Controle jener Formel ergibt

) Dieses Schema wurde im Ganzen für 24 verschiedene Werthe von u

zwischen den Grenzen X und —3 K berechnet, was 5 Oscillationen der Curve ergab

e

W

I€

N

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechr_1ikums zu München,

Ahtheilung I.

Unter Leitung von Prof, Dr. Klein.

NI:

Drei Modelle der Kummer’schen Fläche.

Modellirt von stud. math. K. Rohn.

der

zweiter

Bei

Untersuchung

Strahlensysteme

Ordnung wurde

Ii.0

Kummer bekanntlich zu einer merkwürdigen Fläche vierter Ordnung

und vierter Classe geführt, . welche 16 Knotenpunkte und 16 singuläre

—d

90

O

Tangentialebenen besitzt.

Es sind specielle Fälle dieser Fläche, welche

in Plücker’s Untersuchung der Complexe zweiten Grades als Complex-

—9640

z

flächen bezeichnet sind und von denen Plücker eine grössere Reihe

2.000

von Modellen anfertigen liess. Es hat dann später Klein eine Serie von

vier Modellen erscheinen lassen (Cöln, Eigel-Sohn), welche den allgemeinen

Fall der Kummer’schen Fläche mit 16 reellen Knotenpunkten und ausser-

Das

dem die drei wichtigsten Arten der Complexflächen versinnlichen.

erste dieser Modelle ist jetzt mit Aufzeichnung der Berührungscurven neu

hergestellt worden und ausserdem wurden zwei andere Fälle der Kumme r’-

schen Fläche hinzugefügt, welche bloss 8 resp. 4 reelle Knotenpunkte

besitzen.

Nimmt man noch ein Modell der Fresnel’schen Wellenfläche

hinzu, so hat man alle Gestalten, welche überhaupt bei der allgemeinen

Kummer’schen Fläche auftreten.

Die 16 Knotenpunkte der Kummer’schen Fläche liegen zu je 6

auf den Berührungskegelschnitten der 16 Doppelebenen und dualistisch:

die Doppelebenen umhüllen zu je 6 die Berührungskegel der 16 Knoten-

T

D

©

D

2

punkte. Weiter sei bemerkt, dass die Doppelverhältnisse der 6 auf einem

:g

Kegelschnitt liegenden Knotenpunkte für alle 16 Doppelebenen und auch

die Doppelverhältnisse von 6 einen Kegel berührenden Doppelebenen für

alle 16 Knotenpunkte dieselben sind.

d

Sind alle 16 Knotenpunkte und folglich auch alle Doppelebenen

reell, so erhält man eine aus 8 tetraöderartigen Theilen bestehende Fläche,

wie es das erste Modell zeigt.

Lässt man 2 der 6 auf einem Kegelschnitte liegenden Knotenpunkte

zusammenrücken, so muss Gleiches auf allen Kegelschnitten geschehen

und auch von den 6 Doppelebenen, welche den Berührungskegel eines

Knotenpunktes tangiren, müssen 2 zusammenfallen.

Man erhält dann die

allgemeine Plücker’sche Complexfläche mit reellen Singularitäten; sie be-

steht nur noch aus 6 Theilen, von welchen zweimal je 2 längs eines Stücks

der Doppelgeraden an einander stossen; zwei der 8 Flächentheile der

Kummer’schen Fläche sind in isolirte Stücke der Doppelgeraden über-

gegangen.

Lässt man weiter die zusammengefallenen Knotenpunkte imaginär

werden, so erhält man eine Kummer’sche Fläche mit 8 reellen Knoten-

punkten und 8 reellen Doppelebenen; in jeder Doppelebene liegen 4 Knoten-

punkte, durch jeden Knotenpunkt gehen 4 Doppelebenen.

Die Fläche

besteht nur noch aus 4 Theilen, sie ist der Gegenstand des zweiten Modells.

Die Plücker’sche Complexfläche (mit durchaus reellen Singularitäten) bildet

den Uebergang von der zuerst erwähnten Fläche zu dieser.

Fallen von 4 in einer Doppelebene. liegenden Punkten wieder zwei

zusammen, so erhalten wir eine Complexfläche mit nur 4 reellen Doppel-

punkten und Doppelebenen.

Die Fläche besteht aus 3 Theilen, wovon

zwei längs eines Stücks der Doppelgeraden an einander stossen; das andere

isolirte Stück der Doppelgeraden ist aus dem einen nun verschwundenen

Flächentheil gebildet worden.

Werden jetzt die beiden zusammengefallenen Knotenpunkte wieder

imaginär, so besitzt die Fläche nur noch 4 reelle Knotenpunkte und 4

Doppelebenen.

Die Knotenpunkte und Doppelebenen lassen sich auf eine

einzige Weise in Paare theilen, so dass das Punktepaar auf der Schnitt-

linie des zugehörigen Paares von Doppelebenen liegt. Die Fläche besteht

nur noch aus 2 Theilen und wird durch das dritte Modell dargestellt.

Noch sei eines speciellen Falles der Kummer’schen Fläche gedacht,

welcher geeignet ist, ‚ein richtiges Licht auf die dargestellten Flächen zu

werfen.

Im allgemeinen Falle liegen 12 Knotenpunkte auf einer Fläche

Nn

zweiten

Grade

&9

rückt noch einer der 4 weiteren Knotenpunkte auf diese

9

Fläche,

so thun diess auch die

I

anderen und eben diese Fläche bildet

doppelt

zählend die Kummer’sche Fläche; die Knotenpunkte werden durch

die Durchschnitte von 4 Erzeugenden der ersten und 4 der zweiten Art

3

M

gebildet, während die Kegelschnitte in diese Erzeugenden übergegangen

sind.

Die 8 Theile der mit reellen Singularitäten gedachten ursprünglichen

ı

Fläche werden vollständig flach und überdecken 8 der 16 Theile, in welche

ı

das Hyperboloid durch die Erzeugenden zerfällt, doppelt, während die

anderen 8& Theile frei bleiben.

Fallen 2 Erzeugende zusammen, so hat

I

man die allgemeine Plücker’sche Complexfläche, werden sie imaginär, die

y

Kummer’sche Fläche mit 8 reellen Knotenpunkten; fallen jetzt 2 Erzeugende

der andern Art zusammen, so kommt die Complexfläche mit 4 Knotenpunkten

ß

und werden endlich auch diese imaginär, die Kummer’sche Fläche mit 4

reellen Knotenpunkten.

Nimmt man ein Ellipsoid und 4 Paar conjugirt

imaginäre Erzeugenden und damit also 4 Punkte auf dem Ellipsoide an,

welche Knotenpunkte sind, denkt sich dasselbe doppelt überdeckt, so hat

man die Fresnel’sche Fläche.

Zuletzt sei noch KEiniges über die Construktion der Fläche erwähnt.

Man wähle 4 Doppelebenen, welche ein Tetraöder bilden, beliebig aus

und in der einen den Berührungskegelschnitt, seine Schnittpunkte mit

dreien der 3 Kanten sind 6 Knotenpunkte; auf einer der 3 übrigen Kanten

darf man noch einen Knotenpunkt beliebig annehmen und erhält die

weiteren 5 Knotenpunkte auf den Kanten dadurch, dass sich die Ver-

bindungslinien zweier Punkte einer Doppelebene und der entsprechenden

Punkte einer anderen Doppelebene schneiden müssen.

Damit

sind dann

alle 16 Doppelebenen und folglich auch die letzten 4 Knotenpunkte, sowie

die Berührungskegelschnitte bestimmt.

Sind die Knotenpunkte zum Theil

imaginär, so nimmt man die zugehörige Involution zu Hilfe und construirt

so die Berührungskegelschnitte.

Die einzelnen Flächentheile sind in

12

resp. 8 oder 4 Doppelebenen eingeschlossen und da in diesen Ebenen

Stücke von Berührungskegelschnitten liegen,

so kann man

aus diesen

eckigen Körpern leicht die Flächentheile selbst ausschälen.

München, im Juni 1877

—_>

y

)

////

j

2

Pa

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München.

Abtheilung I.

Unter Leitung von Prof. Dr. Klein.

E ESESETESE T E

VIL

Fläche 3. Ordnung mit 4 reellen, konischen Knotenpunkten

nebst Haupttangentencurven.

Modellirt von stud, math. J. Bacharach.

Diese Fläche, welche Herr Professor Klein seinen gestaltlichen

Untersuchungen im VI. Bande der mathematischen Annalen zu Grunde

legte, wurde von mir nach dem von Herrn Weiler verfertigten Modelle

in etwas anderen Dimensionen reproducirt.

Sie besteht

aus 2 in den

Knotenpunkten zusammenhängenden Theilen; der eine ist elliptisch, der

andere hyperbolisch gekrümmt.

Ausser den 6 Kanten des Tetraeders der

Knotenpunkte besitzt die Fläche noch 3 einfach zählende in derselben

Ebene liegende Gerade, die je 2 Gegenkanten des "Tetraöders verbinden.

Als Seitenflächen des letzteren wurden gleichschenklige Dreiecke, als Basis

ein gleichseitiges Dreieck gewählt und die Basisebene der dreifachen

Tangentialebene parallel angenommen.

Die Fläche wurde mittels ebener

Schnitte construirt und durch einen geraden Cylinder begrenzt.

Die Haupttangentencurven der Fläche sind, wie dies Clebsch zeigte,

Raumcurven 6. Ordnung und 4. Classe, welche in jedem Knotenpunkte

einen Rückkehrpunkt besitzen; sie lassen sich durch die Centralprojektion

ebener Curven 4. Ordnung mit 3 Spitzen auf die Fläche gewinnen, (die

ihrerseits wieder aus Kegelschnitten durch quadratische "T’ransformation

erhalten werden.)

L

/3

&.‚(/;7

%

Als T’1'()_jcctionscentrum

wurde die Spitze des Tetra@ders der Knoten-

punkte, als Projectionsebene dessen Basis gewählt.

Dann projieirt sich

der elliptische Theil der Fläche in das Innere des Kreises, der dem

gleichseitigen Dreieck der 3 in der Projeetionsebene liegenden Knoten-

Die ebenen Curven 4. Ordnung, welche die

punkte umschrieben ist.

Jentralprojectionen der Haupttangentencurven bilden, berühren diesen

Kreis und können daher durch quadratische "Transformation aus Parabeln

erhalten werden, welche die Seiten jenes Dreiecks berühren. Diese Parabeln

und in Folge dessen auch die daraus abgeleiteten Curven 4. Ordnung

9

vertheilen sich gleichmässig auf die

I

Dreiecksräume , entsprechend dem

Umstande, dass bei unserer Wahl der Bestimmungsstücke die Fläche aus

3 congruenten Theilen besteht, welche in gleicher Weise von den Haupt-

tangentencurven doppelt überdeckt werden.*)

Auf dem Modelle ist eine Haupttangentencurve aufgetragen; die

zugehörige Parabel und Curve 4. Ordnung sind in der Figur dargestellt.

R

BA

.

VE

SN

ern

E

e ME

——

EeseS

RS

SEA

A

__—

L

Um die Curve 4. Ordnung auf die Fläche zurückzuprojieiren, wurden

Hilfsebenen angewandt, die durch eine, das Projectionscentrum enthaltende

Gerade der Fläche hindurchgehen.

Sehr interessant ist es, zu sehen, wie die Haupttangentencurven in

die Geraden der Flächen übergehen; den Grenzfall bilden immer zwei

Gegenkanten des Tetraeders und die sie verbindende einfache Gerade,

München, im Juni 1877.

*) Im allgemeinen Falle werden diese Theile nur zu einander collinear sein;

die Fläche geht übrigens durch 24 Collineationen (zu denen die identische gehört)

in sich selbst über.

e

/

Il

ol

N

I

N

16

N

n

M

5

Mathematische Modelle

M

N

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München.

Y

Abtheilung II

Unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

VE

Die geodätischen Linien der Rotationsflächen constanter

mittlerer Krümmung.

Construirt von stud. math. A. v. Braunmühl.

Die

Zotationsflächen constanter mittlerer Krümmung sind definirt

&.

dass die Summe der reciproken Werthe der beiden

durch die Bedingun

©)

Hauptkrümmungsradien in allen Punkten derselben eine Constante sei.

Bezieht man die Meridianeurven dieser Flächen auf ein rechtwinkliges

Coordinatensystem und nimmt die y-Axe zur Rotationsaxe, so ist die

C

Differentialgleichung in der zuerst von A. Beer 1857

S

zegebenen Form:

A

WE

L

d A

x?) x}

Z

woraus man die Integralgleichung gewinnt:

S

Ir

S

(

[24

a

o

4

[ ’

1

D

Yy= @, :E (’"> 7;> — E(k, ®)

/

(&

) — e

1'7

A

S

und

E

und

In

die

Le-

wo %= I//L;9i}£‚ sin ® = l/

&“

2

Z

1

gendre’schen Normalformen der elliptischen Integrale zweiter und erster

Gattung sind, während &«, und «, bezw. der grösste und kleinste reelle Werth

€

P

Q

ist, den X annimmt. Führt man 7

Vz? + * an Stelle von z ein, so ergibt sich

die Gleichung der Flächen selbst. In diesem Ausdruck sind nun drei wesent-

lich verschiedene Flächen enthalten; benützt man das obere Zeichen, so er-

gibt sich eine Fläche, die von der wellenförmigen Gestalt ihrer Meridianeurve

den Namen Unduloid erhalten; dem negativen Zeichen entspricht das

Nodoid, dessen Meridiancurve einen Doppelpunkt besitzt, und für &, = ©

ergibt sich das Catenoid, dessen Meridiancurve die Kettenlinie ist.*) Die

Namen stammen von Plateau, der in seinem Werke:

„Statiqgue experi-

mentale et th6orique des liquides ete.“ nachwies, dass diese Flächen sämmt-

lich Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten sind, die der Einwirkung der

Schwere entzogen worden.

Es sei noch bemerkt, dass die Meridianeurven

der Rotationsflächen, nach einem von Delaunay 1841 gegebenen Prineip

durch den Brennpunkt eines einer Geraden entlang rollenden Kegelschnittes

beschrieben werden.

Im Folgenden werden wir uns mit den geodätischen Linien

der Flächen beschäftigen.

Die ällgemeine Gleichung derselben auf einer Rotationsfläche ist:

dy

"dr

/ +(

y

y

n

«öy

wo v eine Constante und @& den Winkel bedeutet, den ein beliebiger

Meridian mit dem nullten bildet.

Führen wir hier den Werth für —

ein,

1

so ergibt sich für unsern Fall folgende Gleichung:

(& &E @)) dr

.

C —&

@:„£}m;_q

Das Integral ist ein elliptisches erster Gattung, die Constante v aber hat,

wie sich leicht zeigen lässt, den Werth »=rcos4, wenn man unter 4

den Winkel versteht, unter welchem die Linie den Parallelkreis mit dem

Radius 7 schneidet. Wir ertheilen im Folgenden dem 7 in dieser Gleichung

den Werth &,, So dass v = &, cos 4 wird, da diese Annahme alle wich-

tigen Fälle in sich schliesst.

Das Integral wird reell, so lange es sich

zwischen den Grenzen » und «, bewegt; wir werden daher zweckmässig

folgende Fälle unterscheiden: 1) » >« ; 2) %»< ; 3)P= a Y2=a,.

Im Falle 1) erhalten wir eine

geodätische Linie, welche den grössten

Parallelkreis unter dem Winkel

— ar6 008 —- schneidet (beim Catenoid

2

ür

die Modelle wurde im

Falle des Unduloids und Nodoids x, = 10mm

o

mm

im Falle des Catenoids

&ı — 200 gesetzt.

&/

6

“

T

l

Z

>

wird

J

ä

>‚ dann nach beiden Seiten desselben sich entfernt, um die

—

beiden Kreise 7

v zu berühren, hierauf zum Kreise &x, zurückkehrt und

ihren Lauf periodisch wiederholt.

Im

Falle

2) kann 7 alle Werthe von

&, bis «, annehmen, daher schlingt sich die Linie über die ganze Fläche

hin.

Im dritten Falle reducirt sich das Integral auf ein logarithmisches,

welches für den Werth 7 = «, unendlich wird; man sieht also, dass sich

d

die geodätische Linie dem kleinsten Kreise asymptotisch nähert, und dieser

daher in sofern als geodätische Linie aufzufassen ist, als ihn jene Linie

nach unendlich vielen Windungen erreicht.

Der grösste Kreis dagegen

(Fall 4) gehört den Linien der ersten Art an und ist nur theilweise kürzeste

Linie.

Um das Integral für unsere vier Fälle zu normiren, setzen wir im

2

V

&X

D

&X

el

220

/ll

2

2

Falle 1}): r®

v? + ( *— °)

[04

2

ıd

V

dann erhalten wir:

AA E

d

&, +&

2 —

—

VrZAUCE

@, F &,

Im zweiten Falle hat man nur » mit «x, und umgekehrt zu vertauschen,

V

OE ,

—«

dann wird

7

Z

ya A0

Die <n!‘ßspreclmnü_m Formeln für das

Catenoid erhält man wieder, indem man in den vorstehenden x, = ©& setzt.

Um die Ausdrücke für den dritten Fall zu bekommen, haben wir » = &,

U

zu setzen, dann wird k&

’

und unser Integral reducirt sich auf:

2

«

&X

10

für

e=

z)?

(,)————

Q

Z

X;

2

worin man die Bestätigung der oben gemachten Bemerkung über den

Verlauf der Linie erkennt.

Um endlich den vierten Fall zu erledigen,

€

setzen

wir

ın

den

Formeln

für

Fall

1

V = Y COS x

),

dann

kommt

&, 2 'I‘2

D

D

Z 08 I

2

da

nun

J=—0

sein

muss für

DE

So

A p co8* I

wird 2= 1, k* nimmt aber den Werth Null an, und es ergibt sich also:

d2

JE

N

Z

2

folglich ist der grösste Kreis in einer Länge 2 , ==w. 7 kürzeste Linie.

Man erkennt leicht aus dem Werthe von %, dass, je mehr sich die Grenz-

kreise » vom grössten Kreis entfernen, desto mehr die Periode des Inte-

grales zunimmt und somit , =7.

7)T ihr Minimum ist. Bei dem Catenoid

nimmt die Formel für den dritten Fall die einfache Gestalt an;:

;

S3

® = 410g

Ka 7

)

die des vierten Falles wird natürlich hier illusorisch, da ja &, = © ist

Es ist von Interesse, die Wendepunkte der Curven aufzusuchen.

Dieselben entsprechen den Wendepunkten ihrer Vertikalprojection auf eine

Für

zur Axe senkrechte Ebene, es genügt daher diese zu untersuchen.

einen Wendepunkt muss der Krümmungshalbmesser verschwinden, also:

;

dir

dr

7‘2+2(

d fp

z

Z z (PZ

-

sein.

Führt man hier die Werthe aus der Gleichung

5

5

unserer Curve ein,

so erhält man:

2

V (a UF LE

1

S

0

Z

eine Gleichung vom dritten Grade in r*. Die Diseriminante derselben ist:

({1 8 ((2 3

(

4

\

\

7 &, 0V —( &, F 2»9°)

j

97

und lässt sich auf die Gestalt bringen:

&X

2

V

2

C

J

|

27

CT

-

\(‚(1 ((2

8

Diese Form bestätigt den an sich verständlichen Satz, dass reelle Wende-

punkte nur auf dem hyperbolisch gekrümmten 'Theile der Fläche vor-

kommen können, da 7=V/«, «, der Radius des Parallelkreises ist

’

der

die beiden verschieden gekrümmten Theile von einander trennt.

Dabei

ist aber noch zu bemerken, dass beim Unduloid (oberes Vorzeichen)- doch

2

2

e

Z P(1 ‚(f‘2

®

<&

ist.

Für das

dann erst Wendepunkte eintreten können, wenn ı

8

Catenoid reducirt sich die Wendepunktsgleichung auf die einfache Form:

2

2

Y

7

— 2 und ©

S

ergibt sich für diese Fläche ein (mit der Aehnlichkeit

*) Für die Modelle des Unduloids und Nordoids wurde in der Formel: » = &, sin 4

G

gesetzt, dann ergab sich für erstere Fläche die Periode 7, X = 108°4‘, für

letztere 7, X — 76°9%. Für das Catenoid ist » = 34 und 7 X = 99° 47‘ angenom-

men. Im zweiten Falle ist 4 = 81° 11‘ und daher für das Unduloid Z AT

für das Nodoid z‘, X = 105° 8‘.

Für das Catenoid wurde » = 17mm, 97 gesetzt, daher

7K=117°11‘. Im dritten Falle endlich ist 9==80°1‘ für Unduloid und Nodoid,

V = 4, = 20"m für das Catenoid.

Die Perioden sind für die zwei ersten Flächen auf

dem grössten, für die dritte auf dem kleinsten Kreise gemessen.

Die den verschie-

denen Fällen entsprechenden geodätischen Linien wurden auf den drei Modellen mit

übereinstimmenden Farben aufgetragen und ebenso auf den Ring, der durch Um-

drehung der Schleife der Meridiancurve des Nodoids entstanden ist, fortgesetzt. Diesen

Ring kann man nach Plateau mittelst Oel an einem Drahtring in Weingeist realisiren.

SA

\ä\

9

aller Kettenlinien zusammenhängender) Satz, welcher sich auf die speeielle

Stellt

man

nämlich

die Be-

geodätische Linie der dritten Art bezieht.

dingungsgleichung für die Existenz der Wendepunkte dieser Linie in @

auf, so resultirt eine Gleichung, welche. unabhängig von der die Fläche

Y

X

bestimmenden Constanten «x, ist; hieraus schliessen wir, da

SS

für

eine

(

zotationsaxe

haben

und sich nur

Schaar von Catenoiden, welche gleiche

durch den Werth ihrer Parameter unterscheiden, die Wendepunkte ent-

sprechender geodätischer Linien auf ein und derselben Meridianebene liegen.

Wir fügen noch Einiges über die Asymptotencurven unserer

Flächen bei.

Bei dem Unduloid und Nodoid führt die Aufstellung der

Gleichung auf ein hyperelliptisches Integral, das sich jedoch im Falle des

Catenoids auf ein logarithmisches redueirt.

Das

Catenoid

ist

nämlich

überall hyperbolisch gekrümmt, und daher sind bei ihm die Haupttangenten-

curven nicht an die Grenze 7”= «, x, gebunden, wie bei den andern

beiden Flächen. Die Gleichung der Asymptotenlinie für diese Fläche wird:

S

dy

Vr?— a,

log £—

}

[24

&ı

V

oder durch Umkehrung ” —

O

3

(

”) — % CS 3yn P-

Hiernach wurde für das Modell des Catenoids eine Asymptotencurve

berechnet und construirt.

München, m Juli 1877

72

?

E —BEE——— E

e mA en

E E LE ET

Y

NN

Di

V

Fl

di

hi

M

X

R

W

R

di

4l

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München.

Abtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

ED EB

IX.

R0tationsﬂäclge yvon constantem negativem Krümmungsmass.

Kegel-Typus.

Modellirt von stud. math. J. Bacharach.

Die Rotationsflächen

aus

einer

constanter Krümmung können

Differentialgleichung *) abgeleitet werden, welche aus der Bemerkung her-

vorgeht, dass die Hauptkrümmungsradien in einem beliebigen Punkte der

Fläche dargestellt sind durch den Krümmungsradius des Meridians in

diesem Punkte einerseits und die Normale, gerechnet von jenem Punkte

bis zu ihrem Durchschnitt mit der Rotationsaxe andererseits.

Bezeichnet

man mit 0 jenen Krümmungsradius und mit % das fragliche Stück der

Normale, so ist die Gleichung einer Curve, aus welcher man durch

Rotation eine Fläche constanter Krümmung erhält:

dy

Ian

ı|

dz

ı

LÜ

d*y

d

wenn Z die Rotationsaxe ist.

Nach einmaliger Integration erhält man:

t2

%:

ZÜF

(D

dy

E

d

(

}

Für Flächen constanter negativer Krümmung ist daher:

M

dy

N

d2 I/y2

+c +

*) Dem Verfasser stand eine Notiz des Herrn Rodenberg zur Verfügung, worin

diese Differentialgleichung in der obigen Weise aufgestellt und integrirt wird.

43

2

E a Ta

Man sieht, dass diese Gleichung nur für negative c reelle Werthe liefert;

wir setzen daher c= —” und erhalten:

SE

Z

ÜE

(

()

a

)

V

Y

%

# ‚dy.

Die Gleichung (1) kann dazu benutzt werden, die Bedeutung von y sowie

Bezeichnet man

den ungefähren Verlauf der Curven näher zu erforschen.

nämlich mit « den Winkel, welchen die Tangente in einem beliebigen

Punkt der Curve mit der 2-Axe bildet, so nimmt jene Gleichung, wenn wir

uns auf Flächen negativer Krümmung beschränken, die einfache Form an:

V

c08* x& =

t2

Man erkennt zunächst, dass, je nachdem man 7 kleiner oder grösser als

$ annimmt, sich verschiedene Formen ergeben. Wir unterscheiden hiernach

einen „Kegel-“” und einen „Hyperboloid-Typus“ der Fläche. Im ersten Falle

erhält man reelle Schnitte der Meridianeurven mit der Rotationsaxe; im

letzteren werden dieselben imaginär, die Ordinate des Minimums ist Vy? —*

Dabei ist 7 immer derjenige Werth von y, über welchen hinaus kein reeller

Punkt der Curve mehr liegt.

(Man vgl. die weiter unten folgende Figur.)

Es soll nun-der Fall y< (für welchen die Fläche modellirt ist)

Y

D

behandelt werden. Wenn wir {

Z=0

‘115 zusammengehöriges Werthepaar

annehmen, so wird:

E AA

VE

3

V

y2___ 72+

tz.dy.

Durch die Substitution:

== X

y= —7008 @;

Z

erhalten wir:

2 d

=,;j

. 4(,x)

—t.[(df{‘l.d((p‚x)’—_—'t[F(({'),X)-—_E(@,}!)]

o

oder:

Z

Aa A

wo F und £ die Legendre’schen Normalintegrale bedeuten.

Mit Hilfe der Legendre’schen Tabellen kann man nun die Coordinaten-

werthe der Curve leicht finden, indem man zu jedem @ von Grad zu Grad

das zugehörige F und E und hieraus z erhält; der entsprechende Werth

von y ergibt sich aus der Gleichung:

ÜE RS

Durch KEinführung der Thetafunction in das Jacobi’sche Integral

2. Gattung F’-- E erhält man:

@* (u)

D

zn

-

ju

D

K

/

)

X

6 (u)

%4

3

er

wobei:

1

1

7

*n dn

dn

)

E

.

|

))

OO

©

Y —= 8in am = SIn

/

;

Yy= — 7cosamu.

Wie

Die Masseinheit wurde in der Weise angenommen, dass das Krüm-

Nal

mungsmass der Fläche mit demjenigen der schon modellirten Rotations-

gen

fläche der Tractrix (Math. Modelle I.) übereinstimmte, Es wurden folgende

wir

Werthe der Constanten angenommen:

anl

t= 115

WE Zn 70 0945

n K'

dann ergibt sich:

K 2950469 =e0 Z 03311

al

Z

ıch

WwOo

%0

2

denjenigen Werth von z bezeichnet, welcher dem Werthe y=— 0

ılle

entspricht.

N

Der Fall 7 > € führt zu den folgenden Gleichungen:

Z

F

E

e

b

ler

22 0 0

’

==

%

7

1,}

y=V7— Fsin’p=7.46.

sf)

Die Figur enthält je 2 Curven der beiden Typen und die Traetrix

al

als Grenzfall.

Der Uebergang der einzelnen Curven ineinander ist er-

{X

}’:1725

y=1,10

y =1,00

y= 0,94

y=0,76

\\\‘y.\r—/

HOr

\:i

E

—

EB LO E NO RN DA

B Z

ELEn

VE ET

BA

sichtlich; für die beistehenden Werthe von 7 rückt (bei constantem %) der

d

anfangs reelle Schnitt mit der Rotationsaxe immer weiter hinaus bis er

lı

für y =t unendlich weit liegt und dann für 7 >% imaginär wird.

Wenn man die geodätischen Linien dem früheren Falle (€==7)

analog behandelt, so erhält man als Gleichung der Projection dieser Curven

al

auf eine zur Rotationsaxe senkrechte Ebene in Polarecoordinaten 7, :

G

N

"dr

b

f= 7 C084

Z

«

]

/ ; V(;';;%« C

? 0087 ))

Y

SS

4

wo 4 den Winkel bezeichnet

welchen die Projeetion der geodätischen

Linie mit dem Grundkreis (für welchen 7

7) bildet

Man erhält

SA

7

— 26° cos* 4

P

2

S*** — are sın

(‘I.I’C Sın

3S

)

Hierbei sind folgende Abkürzungen eingeführt

2

t2

7

2

20y C0S M

(

—

2

’

2

Y

D-—a 2COSiL

= a° + cos? /

Jede geodätische Linie erreicht ihren höchsten Punkt für 7= 7 cos ;

für diesen Punkt ist

bE

aysin 4

P

—

WOo

SINn €& —

Y

Der Verlauf der geodätischen Linien auf der allgemeinen Fläche “ist

nicht wesentlich verschieden von demjenigen auf der speciellen; es treten

wiederum Wendepunkte auf, und man erhält für den Ra(hux des einem

Wendepunkt entsprechenden Parallelkreises:

r=7 Veos 2

Als Gleichung der Projection der Haupttangentencurven auf

eine zur Rotationsaxe senkrechte Ebene erhält man ähnlich wie bei de

Rotationsfläche des "Tractrix:

E SN

fll („)

V

E (T)

wenn die Gleichung der Flaehe in der Form

SEL

g=f(r) jl/ 77+t2 dr, r’=4+y

vorausgesetzt wird,

und f‘(r),

f“ (r) die bezüglichen Ableitungen von f

nach 7 bedeuten

Berechnet man f“ und f“ und setzt ihre Werthe ein, so kommt

tdr

S .fV(7’—r

C D

Man setze

r=-—7C0s @;

7

==X%

dann wird

P d®

X)

0

4, %)

_F(qo>

Zu jedem @& ergeben die Tabellen das zugehörige wW; 7 erhält man

aus der Gleichung

r=-—7C08@

München, im Juli 1877

ÜE P

%

c

N

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München.

Ahbtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

s

X

Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass.

Hyperboloid-Typus.

Modellirt von stud. math. W. Dyck.

Die Untersuchungen über Flächen constanter Krümmung und ins-

besondere das Studium der Geometrie auf diesen Flächen

lassen

sich an

die Betrachtung einer ebenen Abbildung derselben anschliessen, die da-

durch definirt ist, dass geodätische Linien der Fläche in Gerade der Ebene

übergehen.

Diese Abbildung, von der Beltrami!) zeigt, dass sie nur für

Flächen constanter Krümmung möglich ist, legt zugleich den Zusammen-

hang zwischen der Geometrie auf diesen Flächen und der Nicht-Euklidischen

Geometrie klar.?)

I

Wir wollen zunächst die Art der Abbildung im Anschluss an die

unten erwähnten Abhandlungen kurz entwickeln.

E

B: 1757<751t1‘mni. Risoluzione del problema: Riportare i punti di una superficie

sopra un piano in modo, che le linee geodetiche vengano rappresentate da

lineec rette.

Annali di Matematica,

'Tomo VII.

1866.

?) £. Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea,

Giornale di Matematiche.

1868.

F, Klein. Ueber die sog. Nicht-Euklidische Geometrie.

Mathem. Annalen. Bd, IV. 1871,

}

©

2

Denkt man sich jeden Punkt

unserer Flächen bestimmt als Schnitt

zweier Curven u = const. und v = const., die je einem Büschel von geo-

dätischen Linien, die durch einen Punkt gehen

angehören, so lässt sich

das Linienelement der Fläche darstellen in der Form:

ds=

, w + a”)du?

— 2uvdudv + w a°) (Ir

(1)

v + v° + a°)*

wobei R und @ Constante (und zwar

5: das Krümmungsmass der Fläche,

v

@ die Masseinheit für unser Coordinatensystem %,

) bedeuten.

Je nach-

dem die Grössen R und a reell oder imaginär

sind

hat

man

Flächen

constanter positiver oder negativer Krümmung

Unter Zugrundelegung

diese

Ausdrucks geht die allgemeine Diffe

rentialgleichung einer geodätischen Linie!) für unsere Flächen einfach in

folgende über:

dud’v—dvd’u=0

woraus unmittelbar kommt

Au+Bv+C0=0

eodätischen Coordinaten u

V

d. h. jede lineare Gleichung in den

stellt

eine geodätische Linie der Fläche dar

Bilden wir jetzt zwei unserer Flächen derart auf einander ab, dass

wir, durch Annahme je eines geodätischen Coordinatensystems auf jeder

Fläche, jedem Punkt der einen Fläche einen Punkt der andern zuordnen,

so gehen die geodätischen Linien der einen Fläche in die geoda’mchen

Tinien der andern über

und wenn wir speciell eine Fläche constanter

Krümmung auf die Fläche von constanter Krümmung Null

d. h. auf eine

Ebene abbilden, so gehen die geodätischen Linien der Fläche in Gerade

der Ebene über; dem geodätischen Coordinatensystem der Fläche ent-

spricht ein geradliniges der Ebene.

Um die metrischen Beziehungen der Abbildung zu ermitteln, unter-

suchen wir zunächst die Abbildung einer geodätischen Strecke.

Der Ein-

fachheit halber verlegen wir den einen Endpunkt derselben in den Ur-

sprung unseres Coordinatensystems, dessen willkürliche Wahl uns ja frei-

steht

Bezeichnet dann 4, v, den andern Endpunkt der Strecke

so _ ist

die Gleichung der (durch diese beiden Punkte vollständig bestimmten)

geodätischen Linie

WUZ0

vu

und das Linienelement d& derselben hat, wie unmittelbar aus Gleichung (1)

folgt, di

Form

Va + v

e W:

;du

(

+ ) +a

') Cf, Gauss. Disquisitiones generales circa superficies curvas cap. XVIII

g

—

2

I

der gesuchte Bogen

S

£ ist also

_|

V

SO n

(2)

L

Betrachten wir hier 4, v, als variabel (= W, v),

den Bogen £& als con-

stant, so beschreibt der Punkt w, v eine Curve, deren geodätische Ent-

fernung vom Punkte u= 0, v==0 überall dieselbe =£ist, d. h. einen

yeodätischen Kreis. Dieser ist also dargestellt durch die unmittelbar aus

<

2

2

(2) folgende Gleichung:

JI

=0.

u“ + 0“ — (

U

)

v

In unserer Bildebene, wo das Coordinatensystem w, v durch zwei Geraden-

büschel gebildet wird, stellt diese Gleichung aber im Allgemeinen einen

Kegelschnitt dar. Also: Jeder geodätische Kreis der Fläche bildet sich

als Kegelschnitt in der Ebene ab.

Wird speciell der Bogen £& == ©, 8so

Z

€

E

S

f(r

S

E

—— ersichtlich):

kommt (wie aus

©:

R

27

)

‚(

e 1

u + v? + a=.0

als Kegelschnitt, der den vom Punkte w = v= 0 unendlich entfernten

Punkten der Fläche entspricht; wir wollen ihn nach Beltrami kurz den

„Grenzkegelschnitt“ nennen.

Das in dieser Gleichung ausgesprochene Resultat können wir in fol-

gendem zusammenfassen :

Jede Fläche constanter Krümmung wird durch die oben definirte

Abbildung derart in eine Ebene abgebildet, dass die reellen Flächentheile

innerhalb des Kegelschnitts

Z

die unendlich fernen auf dem Kegelschnitt selbst, die imaginären ausser-

halb desselben dargestellt werden; wir bezeichnen dabei als „innerhalb“

des Kegelschnitts gelegene Punkte diejenigen, von welchen aus man keine

reellen Tangenten an den Kegelschnitt legen kann.')

Der Grenzkegel-

schnitt ist imaginär oder reell, je nachdem a reell oder imaginär ist, also

je nachdem die Fläche von constanter positiver oder negativer Krüm-

mung ist.

Aus der Gleichung (3) schliessen wir weiter:

Jedes

Büschel con-

C

E

centrischer geodätischer Kreise der Fläche (für welches also der Bogen

successive andere Werthe annimmt) bildet sich in der Ebene als ein in

} i)ics„c 'l‘a;;gcnte1\ würden nämlich auf der Fläche einen geodätischen Kreis mit

reellem Mittelpunkt und gleichzeitig auch geodätische Linien durch eben diesen

Punkt darstellen, was reell unmöglich ist,

F

projeetivischem Sinn concentrisches, d. i. doppeltberührendes Kegelschnitt-

büschel ab. Jedem solchen Büschel gehört nun ein in eine doppeltzählende

Gerade zerfallender Kegelschnitt an; daher gi®t es unter den conecentrischen

geodätischen Kreisen eine geodätische Linie.

Geodätische Kreise können

also auch als Aequidistante einer geodätischen Linie aufgefasst werden

und umgekehrt, geodätische Linien als specielle geodätische Kreise.

Wir vervollständigen die Darlegung der metrischen Beziehungen

zwischen der Fläche und ihrer Abbildung noch, indem wir die Länge

1

Z

9

eines durch die Punkte u,, v, und w,

begrenzten geodätischen Kreis-

Sei zu dem

bogens in Fläche und Bild entwickeln.

ünde

atg-

0

Ö])

}

unser geodätischer Kreis vom Radius

Ü

S

0

So

S

und Mittelpunkt u = w

folgt aus Gleichung (1) 11111111?@1b;t1‘ für das Linienelement dn desselben:

2

2»l——{

du

@

Z

.

y =

Va

+ 14

+& a} V(uo” +7;„ Y

Die Länge des zwischen den‘ Punkten w,, %, und u, v des geodätischen

Kreises eingeschlossenen Bogens ist also:

B

u

7

/

0&

©

z .

(4)

u

—40

= 7_. V‘7’(‚2+ 7702'1'}_’ dz

o

©

2

Setzen wir hier zur Abkiirry‘.uvjl

s

C

Va

+

2

SIn

V.

D %

a A

R

so folgen aus (4) für u und v die Formeln:

7

4

/

WE („ ;

[84

D

R

[04

(5)

4

7

Ö

v= % Sin (

7 2&

}

)

R

):

\

Die Formeln in (2), (3), (4) u. (5) geben nun den Zusammenhang zwischen

«

den geodätischen Polarcoordinaten

s

E

n eines Punktes der Fläche und den

Punktcoordinaten

U,

V

der

Bildebene:

wir

haben

durch

dieselben

die

Massbestimmung auf den Flächen constanter Krümmung vollständig

festgelegt. Der Ausdruck (2) für die geodätische Entfernung zweier Punkte,

der ja unmittelbar in die Gestalt:

E

2

(

A -

iVvu

_1_

©

a—iV

UEL

gebracht werden kann, zeigt gleichzeitig die unmittelbare Uebereinstim-

mung der hier geltenden Massbestimmung mit der durch die Definitionen

der Nicht-Euklidischen Geometrie getroffenen.

/

/“((„/

9}

H:}

ß

Wir wenden uns nun speciell den Flächen constanter negativer Krüm-

l

mung zu, für welche also d= ia,, R=iR/, ist, wo dann a, und R,

l

reelle Grössen bedeuten.

Die Rotationsflächen constanter negativer Krüm-

1

mung können, indem wir die 2z-Axe als Rotationsaxe nehmen, in der

Form!) dargestellt werden:

E

l

—V

d

E=—

„dr

7‚2 AA 7.! +_

Z

(6)

Y==U

z+y-_

Als das zur Abbildung geeignetste Coordinatensystem ergibt sich

natürlich das auf der Fläche durch das Meridianbüschel und die zu ihm

senkrechten geodätischen Kreise, also die Parallelkreise, auf der Fläche

festgelegte.

Bei dieser Abbildung haben wir die beiden Haupttypen der Fläche

zu unterscheiden ?) :

I. y< BR,; (Kegel-Typus).

Das Centrum des Coordinatensystems ist

reell und im Endlichen gelegen.

Die zum System der Parallelkreise ge-

hörige geodätische Linie ist imaginär.

Das Bild des Centrums liegt also

innerhalb des Grenzkegelschnitts und das concentrische Kegelschnittbüschel

hat imaginäre Berührung

Il. 7 > R, (Hyperboloid-Typus).

Der Coordinatenursprung ist ima-

ginär; der Parallelkreis, der zugleich. geodätische Linie der Fläche ist,

also reell (der sog. Kehlkreis der Fläche).

In der Abbildung liegt dem-

nach das Centrumbild ausserhalb des Grenzkegelschnitts. Die zugehörige

Polare ist Bild jenes Kehlkreises und ihre reellen Schnittpunkte mit dem

Grenzkegelschnitt sind die Berührpunkte des Büschels.

Das

Der Fall 7 = R, bildet die Uebergangsform beider Typen.

Coordinatencentrum ist unendlich fern; der Kehlkreis (vom Radius Null)

fällt mit ihm zusammen.

Die Abbildung des Coordinatensystems ist ein im

Centrumbild (das natürlich auf dem Grenzkegelschnitt liegt) vierpunktig

berührendes Büschel.

Die Polare streift im Berührungspunkt das Bild der

reellen Flächentheile, stellt also in diesem Punkt den unendlich kleinen

und unendlich fernen Kehlkreis der Fläche dar.

Wir betrachten die Abbildung der beiden Haupttypen etwas näher

und beginnen mit dem im Modell dargestellten Typus II. der Fläche:

Am einfachsten nehmen wir hier als Coordinatenbüschel w, v zwei

sich orthogonal schneidende Büschel‘ von Parallelstrahlen, d. h. als Grenz-

1

kegelschnitt

Ü

AB

Üa =0

einen Kreis, weiter wählen wir als Bild des Kehlkreises einen Durch-

SE

1‘) Vergl. V;>Nath. Modelle« IX.

?) Bezüglich der Form dieser Flächen verweisen wir auf das vorst. Citat,

7

6

E

MeESSeCT,

Dann bildet sich innerhalb des einen Halbkreises der eine ober-

Z

halb des Kehlkreises sich erstreckende reelle Flächentheil, innerhalb des

d

andern der zweite symmetrisch gestaltete Theil der Fläche ab.

Die geo-

dätischen Kreise unseres Polarcoordinatensystems haben nun in unserem

fl

Fall einen imaginären Abstand vom (imaginären) Centrum.

Wir werden

sie desshalb durch ihre geodätische Entfernung £& von einem gewissen dieser

Kreise bestimmen und wählen hierfür den Kehlkreis der Fläche selbst,

(

indem wir so die Massbestimmung auf einem geodätischen Kreise ersetzen

durch die auf einer geodätischen Linie. Bezeichnet dann £ die Meridian-

U

länge vom Kehlkreis aus (welcher die v Coordinate der Abbildung ent-

sprechen möge) und ist weiter n (u-Axe in der Abbildung) die zugehörige

Länge des Kehlkreises (gemessen von irgend einem Anfangspunkt), so

Q

haben wir, um für unsere Parallelkreise direct die Formel (3) in Anwendung

zu bringen, zunächst eine Verschiebung des Coordinatensystems (dessen

UÜU=U=Z0

Mittelpunkt

im gegenwärtigen

Fall ja nicht Centrum der

Parallelkreise ist) vorzunehmen, und zwar eine Verschiebung längs der

einen Axe (des Meridians) um die (imaginäre) Entfernung des Kehlkreises

yom Mittelpunkt der Parallelkreise.

Statt dessen leiten wir aber einfacher

C

-

die Formeln für den Bildpunkt w, v eines Punktes

S}

n der Fläche aus

der Bemerkung her, dass die eine Coordinate (nach unserer Annahme die

u-Coordinate) wegen der Verschiebung längs der einen (v-)Axe in Formel (3)

ungeändert bleibt. Die andere Coordinate können wir dann aber unmittelbar

E

v für ein variables ı

und constantes

S

S

sich

angeben, da ja der Punkt w

auf einer zu dem erwähnten Durchmesser symmetrisch

gelegenen Ellipse

D

<

bewegen muss, deren Halbaxen a, und

a, 1g

sind. So

erhalten wir dann

F

«V

leicht für w und v die Formeln:

—

u= ag

7

a,t

hyp

E

€

a fg

a, ig

hyp

(7)

5R

n

Ü

=

(

cCo5S

CcoS

hy

Y

]I

/1) @

Z

dabei ist zur Abkürzung:

2n

I

Bı

]

(

= 1g h„\'pl {;)1 U, S, W.

(

eBı

il

gesetzt, wie dies auch sonst üblich.

(

Unsere Fläche ist durch

zwei

äusserste

Parallelkreise

endlich

be-

d

grenzt, deren Bild eine Ellipse der

obigen Art ist.

Einem

durch

zwei

Meridiane begrenzten Stück der Fläche entspricht ein durch zwei Parallele

]

<

PE

zur kleinen Axe begrenzter Streifen dieser KEllipse.

Der Ellipse in ihrer

5

ganzen Ausdehnung entspricht die Rotationsfläche jedoch nur dann ein-

deutig, wenn man sich dieselbe unendlich oft gewunden (als Schrauben-

M

fläche von der Ganghöhe Null) vorstellt.

u

Um nun für eine specielle, also durch bestimmtes y und R, gege-

z

S

bene, Fläche die Abbildung zu finden, haben wir zunächst die Länge

des ganzen Meridiaubogens und den Umfang %, des Kehlkreises zu be-

2

stimmen.

w

=Z==

s

S

Y

Für den letzteren, dessen Radius

VZ

t, hat man

unmittelbar

T

/

Z V7 ——V]{1 ®

Der erstere ist, wie durch Rectification der durch die Gleichung (6) dar-

)

gestellten Meridianeurve folgt, einfach

l

Can

il( o

A

RET

Z

S

2

©

y—F

%i

der Fläche

Aus (7) folgt dann, dass

die Al.'>bihh}ng einer ersten Windung

begrenzt ist von einer Ellipse, deren Halbaxen

<

R,

@, und a, tg . hyp

Sı

::alf

i

sind, und dann von den Meridianbildern

A R

UZ

und

Ü =

aV E

EFLE ME

]

y cos hyp

R

(Man ersieht hieraus zugleich, dass diese Abbildung für alle Flächen die-

s

®

selbe ist, für welche der Quotient 3

derselbe ist.)

Die Wiederholung der Abbildung,

also die Darstellung weiterer

Windungen der Fläche wird dann durch die unmittelbar aus der bei-

stehenden Figur ersichtliche Construction geleistet, die ihren Beweis durch

congruenten Verlauf einer geodätischen Linie der Fläche zu beiden Seiten

des Kehlkreises findet. Dieselbe Construetion lässt auch die einem halben,

S

viertels

.

allgemein

maligen Umlauf entsprechenden Abbildungen

D

finden. So können wir uns also durch fortgesetzte Theilung auf der Geraden

(die den Kehlkreis darstellt) einen Masstab construiren, dem Punkt für Punkt

der durch fortgesetzte Halbirung des Kehlkreises der Fläche construirte

Masstab entspricht. Ein ganz analoger Masstab gilt natürlich für den Meri-

dianbogen und seine Abbildung. Die Uebertragung von Punkten der Fläche

auf die Abbildung und die umgekehrte sind also, nachdem einmal die den

Bögen &, und 7, entsprechenden Bilder (durch Rechnung) bestimmt sind, auf

rein construcetivem Wege möglich. Unsere Construetion lässt sich natür-

2

8

V

I

Z

IS

E

AD

n

/

«

d

PE

\\\ ,\

S

A

DE

A

E

\

‘}

{

\K\

S

\

u

E

Za

M

ET

b

%/

U

:

E

;i

B

/;

//

<

V

C

/

IN

Z

Z

’[ S

7

LA} /

“

A

D

i

)

NIZ

z

M

e

Z

%

X

DE

Z

al

j

zD

_“\

/:

j

AL

e

__

\\_L/

A

ır

lich sofort für eine

S

0s

anz beliebige Abbildung übertragen, bei der also der

Grenzkegelschnitt und das Kehlkreisbild .ganz allgemein gewählt sind.')

In der beistehenden Figur ist abcd das Bild der Hälfte unserer

im Modell dargestellten Fläche.?)

Auf dem Modell wurden nun geodätische Linien und geodätische

Kreise in der Weise aufgetragen, dass man in der Bildebene Gerade und

Kreise in passender Weise einzeichnete, dann für Fläche und Bild das

oben geschilderte Netz construirte und so eine punktweise Uebertragung

der Abbildung ermöglichte.

Die aufgetragenen geodätischen Linien sind

parallele, d. h. sich im Unendlichen schneidende, denn ihre Bilder (die in

der Figur strich-punktirten Geraden) schneiden sich auf dem Grenzkreis.

E LA

') Wir bemerken, dass durch diese Construetion allgemein eine graphische Dar-

stellung der hyperbolischen Tangenten möglich ist, wenn eine derselben be-

kannt ist, weiterhin also die Darstellung der natürlichen Logarithmen (von

einem bestimmten ausgehend) und andere damit zusammenhängende Aufgaben

mit beliebiger Annäherung graphisch ausgeführt werden können.

*) Die Constanten derselben sind R, = 0,874 und y (== dem Radius der beiden

Begrenzungskreise) = 0,93.

Z

9

In jedem Büschel geodätischer Linien befinden sich, wie unmittelbar

die Figur ergibt, zwei, die sich dem Kehlkreis asymptotisch nähern und

ihn unendlich oft umschlingen (die eine der zu unserem Büschel gehörigen

ist auf dem Modell aufgetragen).

Ihre Schnittpunkte mit demselben sind

eben jene einzigen unendlich fernen Punkte unserer Fläche, zu denen man

auf reellem Weg gelangen kann.

r

Betrachten wir noch in Kürze die Abbildung für den

Typus I. un-

serer Fläche.

Indem wir wieder der Einfachheit wegen als Bild der unendlich

fernen Punkte einen Kreis annehmen und als (jetzt reellen) Coordinaten-

ursprung den Mittelpunkt desselben, erhalten wir als Büschelbild einfach

ein System concentrischer Kreise.

Auf einem derselben, und auf einem

beliebigen Durchmesser treffen wir wieder die durch die Formeln in (5)

und (3) gekennzeichnete Massbestimmung.

Unsere Fläche ist jetzt begrenzt durch eine (uneigentliche) Spitze

(das Centrum der Parallelkreise) und einen äussersten Parallelkreis, dem

ein bestimmter innerhalb des Grenzkreises gelegener Kreis in der Ab-

bildung entspricht.

Für ein bestimmt gewähltes 7 und R, können wir

uns dann wieder jenen Kreis und den einem einmaligen Umlauf der Fläche

entsprechenden Seetor berechnen. Weitere Umdrehungen der Fläche stellen

sich dann bei unserer speciell gewählten Abbildung einfach als Verviel-

fältigung dieses Seetors, der den einmaligen Umlauf abbildet, dar.

(Für

den Fall eines allgemeinen Grenzkegelschnittes lassen sich diese weiteren

Abbildungen wieder durch eine Construction finden, die der bei Typus II.

angewendeten ganz analog ist.)

Die weiteren Sectoren würden nun unsere Bildebene im allgemeinen

unendlich oft überdecken. Wir müssen uns daher, wieder um wechselseitig

‚indeutigkeit der Abbildung zu erreichen, die Fläche nur aus einer sol-

chen Anzahl von Windungen bestehend denken, als in eine erste Kreis-

C

bedeckung Sectoren fallen.

s habe die Fläche so ” Windungen, (wo %,

1

.

n

S

wie sich leicht aus unsern Formeln ergibt,

I

’

Z

S0

(

Rı

)——'lsinz

wenn wir mit x den Winkel bezeichnen, welchen die Tangente an die

Spitze mit der Rotationsaxe bildet); denken wir uns dann die Fläche auf-

gewickelt und den Anfangs- und Endmeridian, den wir durch die oben

bestimmte Windungszahl erhalten, aneinandergesetzt, so zeigt sich, wie

dies unmittelbar aus der Aehnlichkeit der Abbildung des Centrums (u= 0,

v=0) folgt oder auch durch eine leichte Rechnung gezeigt wird, dass

jetzt die Spitze der Fläche in einen gewöhnlichen d. h. nicht singulären

Punkt der aufgewickelten Fläche übergegangen ist.

Die Herstellung eines

eindeutigen Entsprechens zwischen Fläche und Bild kommt hier also einer

SA

Z

Auflösung eines Unstetigkeitspunktes derselben gleich.

Weiter folgt un-

mittelbar aus der Abbildung, dass die geodätische Linie der Fläche, die

sich am Ööftesten windet, (2 — s) Windungen besitzt, wo & gegen 0 con-

vergirt, wenn die geodätische Linie gegen die Spitze rückt.

Ferner entnehmen wir der Abbildung sofort, dass wir auf reellem

Weg zu keinem unendlich fernen Punkt der Fläche gelangen können.

Der Zwischenfall 7y = R, unserer Flächen bildet auch hier wieder

Wir können

den Uebergang zu dem vorher besprochenen Flächentypus.

(längs den Meridianen oder Parallelkreisen fortschreitend) zu einem un-

Die Fläche

endlich fernen Punkt der Fläche auf reelle Weise gelangen.

ist als aus unendlich vielen Windungen bestehend zu denken, die jedoch

im Unendlichen zusammenhängen.

Der Unstetigkeitspunkt der Fläche (die

im Unendlichen liegende Spitze derselben) wird erst durch die Entwicklung

unendlich vieler Windungen zu einem nicht singulären Flächenpunkt, wie

ET

sich dies auch aus WE

S

ergibt, denn für unsern Fall ist « =0.

_

München, im August 187

(

AAA

d

li

€

u

N

(

u

M

u

—/

vA

S

V,

I

16

N

M

Mathematische Modelle

ol

N

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

6

unter Lieeitung von Prof. Dr. Brill.

h

6

XII

Darstellung der elliptischen Funktion @

n

am (u, k£)

durch eine Fläche.

Von den studd, math., Th. Kuen und Chr. Wolff.

Betrachtet man in dem elliptischen Integral erster Gattung:

TEEF SE TE S

d

”=f

Vi Pante

die Grössen u, @, k als Coordinaten eines Punktes, bezogen auf ein räum-

liches rechtwinkeliges Coordinatensystem, so bestimmt diese Gleichung

eine Fläche. Man construirt dieselbe aus den Curven, die den verschiedenen

Werthen von % zugehören. Hierbei sind die Fälle % z 1 zu unterscheiden.

Wenn k<1 ist, kann man den Verlauf der Curve #= am (u, &)

unmittelbar aus den Legendre’schen Tabellen entnehmen.

Die Curve ist

periodisch, und zwar folgt aus den Gleichungen:

am (u + 2n K)= @ + nmn und

am 2nK—u=n1T —6,

dass

sich

die Periode

von

Ö= NT,

Ü= 241 his

p=n-+1)x,

u=20n0-+1)K erstreckt.

Die Gerade, um welche sich die Curve, ähnlich wie die Sinuslinie

um ihre Axe, herumschlingt, hat die Gleichung:

IU

u“

P

7R

S

und ist unter einem Winkel &, der sich aus tg x —

2K

ergibt,

gegen

die U-Axe geneigt.

Für k&

D

0 wird d = u.

Dieser Schnitt ist also eine

P d

S

in

ELE

2

Gerade, welche den Winkél der Coordinatenaxen halbirt. Gleichzeitig mit

z

E

k wächst K und also die Periode, bis für /=1 XK= © wird. @®

am (w, &)

geht alsdann über in:

@ = 2are tg e +

2

ar

welche Gleichung eine Curve darstellt, die eine Parallele zur U-Axe im

%

Abstand % zur Asymptote hat.

K=0

A

D

{

7

/”"”

K=008

x

ST

K=4/8

ll

E EEEENEEON. RET TEEF

wr_———

Der Verlauf der Funktion @ = am (u, k) für k >1 ist folgender:

Für #=0 wird u = 0, von Vielfachen der Perioden abgesehen. Die

Grösse ı, die mit wachsendem w zunimmt, erreicht einen Maximalwerth

= @,, der sich aus k sin , = 1 bestimmt, weil nur bis zu diesem Werthe

reelle %“ sich ergeben.

® wird von da ab wieder abnehmen, während «

fort und fort wächst.

Mit d@ ändert nämlich für @ = @, zugleich

V1ı —k sin* @ sein Vorzeichen; w ist somit eine Summe von positiven

Grössen, die mit zunehmender Gliederzahl beständig wächst. Hat die Grösse

——

® denWerth'0 erreicht, so wird sie negativ, erreicht, aus demselben Grunde

wie oben, mit — %, ein Minimum, und muss von hier ab wieder wachsen.

Vollends klar wird der Verlauf der Curve durch den der Tangente,

welche sich bestimmt aus:

d®

=+V1—k*sin? @.

|

du

Für 4 = 0 i8t

E

@

ünl

+ 1.

GEa

Die Curve steigt also unter 45° an. Mit

wachsendem ® nimmt der Neigungswinkel der Tangente gegen die U-Axe

zu Null

ab und wird für ® =

0

d

wird hierauf negativ und erreicht

im Punkte

=0

u“ —

den kleinsten Werth —1

,

Die Gerade, um welche sich unsere Curve schlingt, hat also für &>1

beständig eine zur U-Axe parallele Lage, während für &<1 ihre Neigung

Es liegt hierin

eine Discon-

gegen die U-Axe von 45° bis 0° abnimmt

tinuität, die im reellen Werthgebiete der Grösse @, als Funktion von &

A

SS

betrachtet, zukommt

-

Um die Curve g= am(u, k) für k >1 zu construiren, transformire

RDa

an das Integral

n

Z

u-j V1——/»%111 G

in ein Integral

chp

17_j Vı = 7in

A? sin w

wo A/<I1

Als einfachste der

vielen

möglichen

Transformationen

wird

man diejenige wählen, welche % in seinen reciproken Werth A überführ

Die zugehörigen

n

ransformationsformeln

ind

1

sin W = ksin @,

v= . u=hku

A

vermöge deren sich in einfacher Weise zu einer Curve w = am (u, 4),

A<1

die zugehörige Curve 6 = am (u, k) construiren lässt

Zu bemerken ist noch, dass die Fläche in der Richtung der wachsenden

k nach einem anderen Massstab zu messen. ist, wie in der der wachsenden

® und «

Um nämlich den Uebergang von den Curven p = am (u, k) für k<1

zu solchen für &>1 besser zur Anschauung bringen zu können, wurden

Axe im Verhältniss 3

2 vergrössert

die Längen der

München, im März 1880

ä

4

8

SC

d

AL

Druck von H Hnll in l)axmﬂ;ladt

S, ST N E E

S

©

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

SE

DE

XIV.

Ueber die auf die Kugel abwickelbaren Schrauben- und

Umdrehungs-Flächen.

Von stud. math. Th. Kuen.

Das Quadrat des Linienelements der Kugel kann wie das jeder

Rotationsfläche auf die Form gebracht werden:

ds?= du?* + g*dv®,

wo g eine Funktion von « allein ist, v == const. einem Meridian, u = 00{1st.

einem Parallelkreis der Rotationsfläche zugehört.

Da alle Flächen, deren Linienelemente gleiche Form besitzen, auf

einander abwickelbar sind, so kommt unsere Aufgabe darauf hinaus, auf

die oben angegebene Form das Linienelement einer Schraubenfläche zu

bringen, deren rechtwinkelige Coordinaten sich auf folgende Weise durch

Cylindercoordinaten darstellen lassen:

W

s

r CcoS @

Y

rsin @

T

a + R,

wo R eine noch zu bestimmende Funktion von r bedeutet.

Aus den letzten

Gleichungen ergibt sich aber:

Z

Y

dRE

SA

dR

K

ds?= dr2<

a?+r? dr

) + + (de +

2+2

Y

Man erhält dann die obige Form des Liniegelcnwntes, wenn man setzt:

2

Y

Z

Z

Ldr

«

(ll2(l+

a + r?

)

+ 17

= 4

C

adR

dv

RE N

AB

(46+

l+‚1

'

C

&S

2

Ist nun die Rotationsfläche gegeben, auf welche sich die gesuchte Schrauben-

Für

fläche abwickeln lassen soll, so ist g als Funktion von % bestimmt, und

ziel

damit, weil sich dR aus den letzten zwei Gleichungen als Funktion von

Yinie

g und w darstellen lässt, auch £ als Funktion von 7, welch Letzteres eine

Yinie

Funktion von w ist

weil

a FE=giC

]/_

z= R ist nun die Gleichung der Meridiancurve der gesuchten Schrauben-

fläche

Durch diese und die Ganghöhe ist sie aber vollständig bestimmt

alse

Wir betrachten daher zunächst nur

den Ausdruck für d und erhalten

R daraus durch Integration.

Es ist:

die

dg

Vrr E

d

A

gen

ÜE

du

yı

%e — @®

der

Dabei ist 2a die angenommene Ganghohe c eine Constante, deren Be-

hes!

deutung später erörtert werden wird

Pa

ES sSöll aun

die Schraubenfläche bestimmt. werden

auf welche die Kugel abwickelbar ist

Für die Kugel ist bekanntlich

Dar

g = bsin

We

also

b

ß7

besin —

5

V

b*e*sin —

b

(

1—6*0c0s* —

b

D

R

du

b°c*sin‘ —— a

In

Dies Integral ist ein elliptisches

Setzt man

Sen

Cur

so wird

v=d0s (5)

i}

Ma

R_

dy

V 0 (1— sz) :

XN

5

C

© 2 09) - 44

+

C u el VC (bz*f)(l—sz) .

Sind «&

* die Wurzeln des Ausdrucks unter dem Wurzelzeichen, so wird

[22

2

Mi

(1)

ßZ

} n [1+c CN +4b2]

Beide Wurzeln sind reell und positiv

weil a?— d?c*<0 angenommen

erh

werden muss

Man erkennt dies aus der Gleichung

VE

u

g

Ö

U‘r\\

tUTI

©

s

n

ben

und

Für u= const. muss auch r ==const. sein, wie sich sofort aus der Be-

von

ziehung zwischen w und r ergibt; r = const. stellt nun aber eine Schrauben-

€Ine

linie der gesuchten Fläche dar

die Coordinaten « sind also Schrauben-

Für

linien derselben und entsprechen den Parallelkreisen auf der Kugel

Yı =— C

B8* wird

d R

ıben

O

nm

also auch

dR

alten

’

dr

die Meridianeurve 2= R besitzt also in den Punkten y'= &

ß? Tan-

genten senkrecht zur Z-Axe

ird eine reelle Fläche verlangt, so kann

y“ nie grösser werden als ß

da sonst R imaginär werden würde wegen

Die Meridiancurve

der in jenem Ausdruck vorkommenden Quadratwurzel

ı Be

besitzt also nur in den den beiden Werthen y= + ß entsprechenden

\Iun ist

Punkten Tangenten senkrecht zur Z-Axe.,

Jen

IA

O

Z

Vb% z

Z ED

°

yYy=bcos—

C

Daraus geht hervor, dass y ein Maximum wird, wenn r seinen kleinsten

Werth erhält und umgekehrt

Der grösste Werth von y“= Y'max. 1St aber

B° und der kleinste Y min. —0 daher

mm _ (b2

B°) c —@

2

(2)

7' max.

b22

In den den Werthen y= + entsprechenden Punkten, wo die Tangenten

senkrecht zur Z-Axe sind und r ein Minimum ist, besitzt also die Meridian-

curve Spitzen, deren Tangenten senkrecht zur Z-Axe verlaufen

Setzt man in R: y=@z, so bewegt sich # zwischen 0 und 1, und

man erhält, wenn noch

m

=(1— z’) (1-- x?x”)

E A

2

b* —

gesetzt wird

dx

d

RE

OTA

UC

+j’

VX

VX

dx

SN

/)’0A„L

S Z

UC

1— m x ®

VX

gird

Mit Rücksicht auf

b£

(

a2 ß2

2

D

( ö

erhält man die Ungleichungen

me

\

1 <m“<

Das Integral dritter Gattung in % nimmt daher die Jacobi’sche Normal-

form an, wenn gesetzt wird

E

22

37

D

m = sinam (iy + K) ——V

K und X

sind

810

wo das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen ist

die vollständigen Integrale erster Gattung für den Modul x = —— und den

zu ihm gehörigen complementären Modul x

da

Führt man nun noch die Jacobi’sche Bezeichnung ein

%XX

d

’

u-j‘l/..‚ HU)= -

VE

m* V1ı—x m! x?x? da

Da

VE AA

H(“ Y E 195

J V1—

—mM K

VX

So wird

R= —- —4 + ac[u— E(u)| + aill(u,iy + K)

S0

Cun

y berechnet sich aus der Gleichung

der

}

/a Z0 E

S

(3)

sin am (7, x‘) = \

[82

2

ß2

= 810 ®

e

In

Das Vorzeichen von II in R stimmt mit dem des Ausdruckes

deri

V1ı—-mYV1

dies

der

überein

das letztere ist aber positiv oder negativ, je nachdem y oder

Tnl

sin am (7, x‘) positiv oder negativ gewählt wird

Wer

Nun ist weiter

4C2)

(') (u

W)

IT(u,iy + K)=

U

+1

der

O, G7)

8 O, (u+iy)

wo 6&

den Differentialquotienten von &, nach 4y bedeutet

Ferner ist

dabei

zyn

myn

O,‚ Cy)=1+

(

—+ e

B

zyNn

yN

Die

K+GK

Rad

@(u+w)—'l+2@'“ 7TZ——(@

(4)

NÜ

+

z gn2

e

na (

aby ]

AB

Nun ist

AB

%logA+ BT

Z arc ig A

E“e

also endlich

amn @O, (i7)

R—u{

VM PE SEA SR

}———acE(u )+a. alctgA (3)

‚C

D

S

a

Der Gang der numerischen Rechnung ist folgender

Man nimmt für

@ irgend einen zwischen 0 und — 5 gelegenen Werth an, dann bestimmt

sich aus der Formel:

ind

den

qu)_l/b O

(7)

das zugehörige r der gesuchten \Ierxdmncurve, ferner ist

Ü

ÜE

d

(8)

) V1 in @

Da nun 7 sich berechnet aus

(9)

A

V1—/ sin” q>

so erhält man aus Formel (5) z = R, die Z-Coordinate der gesuchten

Curve

Man

Die Bedeutung der Constanten c ergibt sich in folgender Weise

denke sich aus der Kugel eine von zwei gleich grossen Parallelkreisen

begrenzte Zone herausgeschnitten

Diese Zone kann man (s. unt. Fall IT.)

in eine Rotationsfläche umwandeln, die auf die Kugel abwickelbar ist, und

deren grösster Parallelkreis einen Radius bc besitzt

Denkt man sich

diese Rotationsfläche längs eines Meridians aufgeschnitten, so entsteht aus

derselben die gesuchte Schraubenfläche in der Weise, dass die zwei Schnitt-

der

ränder parallel der Axe um die Ganghöhe gegeneinander verschoben

werden

Die Länge s der gesuchten Meridiancurve und die Breite z — 24%

der zugehörigen Kugelzone kann unmittelbar angegeben werden

Ihl

W, = are sın

Z+Tmln

s=(7—2%).

Die auf dem Modell dargestellte Schraubenfläche ist auf eine Kugel vom

Radius

b

2

=="4,33°

!)

abwickelbar und entspricht den Annahmen

Z

a.:l/3.

Es ergibt sich dann

7mft)(

54967

= 3,464°

rmnn

))

—

BA

W

90° (im Bogenmass)

Z

6

A E

Um zu den Rotationsflächen zu gelangen, die auf die Kugel:

g —0 in

b

abwickelbar sind, braucht man nur in den für die Schraubenflächen er-

haltenen Ausdrücken @a = 0 zu setzen.

Es ergibt sich dabei, dass zwei Fälle zu unterscheiden sind; nämlich

je nachdem c kleiner oder grösser als 1 wird:

2

I

CZU

MIR

b2

an g

27

2

7 2min- - O}

F

max.

:b‘zcz

X=C,

R=—b.K(u),

Für das beifolgende (spindelförmige) Modell wurde c== 0,8 angenommen,

während 6 denselben Werth wie bei der Schraubenfläche besitzt.

b2

IL c< E

a‘l} ß2= l)27 (?

Y 2min- z b2 (02—— 1>

12 =b202'

MmaxX.

R u 1).%— be.KE(w, x=>-

Für das diesem Fall entsprechende Modell wurde c= 1,4, b wie oben

angenommen.

In Folge der Uebereinstimmung von & für die drei Modelle sind alle

auf die beigegebene Kugel abwickelbar, wovon man sich etwa durch Auf-

biegung eines passend geformten Staniolstreifens leicht überzeugt.

München, im Januar 1880.

KD

66

C

D‘ruok von H. Brill in Darmstadt,

(3

lich

\6H

DEn

alle

Auf-

l

und

mu

Ä\\

dar

Hö

Lin

W

Setz

def

6S

I<]

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill

XV

Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass.

Von Dr d Vogel

Diese Schraubenfläche vervollständigt die Reihe der in der ersten

und zweiten Serie veröffentlichten Flächen von constantem negativen Krüm-

Sie wird dadurch erzeugt, dass man eine Tractrix um ihre

mungsmass

Asymptote als Axe schraubt

ihre Coordinaten sind also durch

+ Ve? —r

X%=YC0OSG@,

y=rsin®,

Ü —

Z

—

m@ + c log

Cr

2

2

darstellbar, wo c die Länge der Tangenten der Tractrix, m eine mit der

Höhe des Schraubengangs proportionale Grösse ist

Das Quadrat des

Linienelementes auf der Fläche bringt man leicht auf die Form

Bn

C: {—m

m Ve

Sı

+

;dr* + (m* + r?) (d(p

r (m* + r”) }

y

wodurch, wenn man

c* + m?

SE

Vm? +

I;

ch — r?

=dq;

b

ME

dr

r(m* + r* )

setzt, sofort ein System von geodätischen Polarcoordinaten auf der Fläche

definirt ist

Aus

u

Vec2 +m2

Ve?+m?

r=%(m%

und

u

u

g=e}(m e

Ve2+m? + Ve2+m?2

S

7

2

ergibt sich als Ausdruck für das Krümmungsmass:

ET

1 d’g

E

g du

*+ m*

welcher, wie behauptet, constant ist.

Bei der vorliegenden Fläche sind die Dimensionen so gewählt, dass

sie auf die in Serie 2 _ Nr. X veröffentlichte Rotationsfläche von constantem

negativen Krümmungsmass (Hyperboloid-Typus) abwickelbar ist. Die Gang-

höhe der Schraube ist dieselbe wie die der Schraubenfläche constanter

positiver Krümmung in Nr. XIV. dieser Serie.

München, im April 1880.

//7«/

[t, dass

stantem

; Gang-

stanter

/43

G

f

ge

(

3l

ki

Eı

fä

M

äl

di

S0

N

(l

f

&

E

I

+

\‚?\

L7

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

S ML

XVIL

Die Enveloppen geodätischer Linien auf dem verlängerten

und abgeplatteten Rotationsellipsoid.

Von Dr. A, v. Braunmühl.

Lässt man von irgend einem Punkte einer Fläche unendlich viele

geodätische Linien ausgehen, so schneiden sich im Allgemeinen zwei un-

endlich benachbarte derselben wieder in einem Punkte, bis zu welchem

sie, von ihrem Ausgangspunkte an gerechnet, die Eigenschaft besitzen,

kürzeste Linie zu sein.

Die Gesammtheit

dieser Linien hat somit eine

Die Gestalten dieser Curve auf den Rotations-

Enveloppe auf der Fläche.

flächen zweiten Grades habe ich in einem früher erschienenen Aufsatze*)

näher untersucht und die Art und Weise, wie dieselben zu Stande kommen,

angegeben.

Im Folgenden werde ich nun die allgemeinen Gleichungen

dieser Curven für das verlängerte und abgeplattete Ellipsoid in eine zur

sofortigen Berechnung taugliche Form bringen und die so für die vor-

liegenden Modelle gewonnenen Zahlenwerthe anführen.

Die Gleichung der beiden Flächen, bezogen auf ein rechtwinkliges

y

2

zg

dreiaxiges Coordinatensystem, sei

S0 AI

+

= 1 dann eb @1

(@6)*

a2

für das verlängerte, c*<1 für das abgeplattete Ellipsoid. Setzt man

%* + 2’=r*, so ist die Gleichung der geodätischen Linien:

dr (a? + [c*? — 11 r”)

D

© £T V(a*—

r?) (r?— »”) (a* + [c*?— 1] r”).

Hier bedeutet @ den Drehungswinkel der Ebene des Meridians, 7, den

Radius eines Parallelkreises der Fläche, auf welchem die geodätische Linie

En

Z

®

) L;;thematischo Annalen, Bd. 14, S. 557,

Z

beginnt, und » den Radius jener beiden Parallelkreise , zwischen denen

die Linie ihre Osecillationen vollbringt und die sie bei Erreichung ihres

höchsten bezw. tiefsten Punktes berührt

Da nun jede der von dem-

selben Punkte ausgehenden geodätischen Linien zwischen zwei andern

solchen Grenzkreisen v sich bewegt, so ist » der Parameter, welcher die

Linien des Büschels individualisirt, und wir erhalten somit die Bedingungs-

gleichung für die Enveloppe derselben, wenn wir das Differential der

Gleichung (1) nach diesem Parameter mit Null vergleichen

Dies gibt

E

d(r”) (a* +

]

)

2

(2)

Vlr

2) (a

*) (a

1r

Jeder Werth von r, welcher diese Gleichung befriedigt, liefert, wenn v ge-

geben ist, einen zugehörigen Werth von ® und mit diesem verbunden

jenen Punkt der Einhüllenden, in welchem die zu » gehörige geodätische

Linie die Enveloppe berührt

Um die Gleichungen (1) und (2) zur Be-

rechnung tauglich zu machen

müssen wir dieselben für das verlängerte

und das abgeplattete Ellipsoid gesondert behandeln

Verlängertes Ellipsoid

Zur Reduktion auf die Normalform setzen wir r°= a*— (a?— v?)

und erhalten

C”VZ

dz

(1—%&?2?)d

DE

md 0{

AAAn VU—

—

22)

z

ü—272 V1

2

wo k?

e— 1 d*— v

und. n ==

k22

ä

C

2

2

*— 1

Wenn man jetzt noch £==sin am “ und

0

G

n

n cv r

o

(1+n?2?) V(l -

Ja

DEn 25

setzt,

so folgt:

E

—®

[ucnem]

——#u+e]’[(u i@x+K) und u+ tgam u .d am u— E (u) —

=0,

wo U, = W + tg'am u

49amM U —

E(w), während w den Werthen r =r,

und z= %, entspricht und ausserdem

2

= sin’ am (i@ + K) und IT

die Jacobi'sche Normalform des Integrales dritter Gattung ist

Durch Einführung der @-Funktionen, resp. der Reihen für die ellip-

tischen Funktionen gehen dann schliesslich diese beiden Gleichungen über in

Ka

z d

|

(

)

N

D

1741 — g?) sin20+g* ?H(1—g*sin4v)+

Ka

+

(3)

14g 11+q?Yec0os2v0+q* ! (1+gq* cos4v)+

E

‚K„ Q

)

2 KK’I ]

4

0

— A) -

Roı+3

— 81n 20

— — 81in 40 +

6

(4)

2

tgv+2rr{

1—

1

sin6v —. }

T4

3

N

8

Wwo

l._..

v

und

K

2K

l

2

R = U (K— E)+—tgv +275{

SE

—— sin4% + ( ist

127

Liegt nun der Ausgangspunkt der die Enveloppe bildenden geodätischen

Linien auf dem Parallelkreise r,, berechnet man aus 7, die Werthe von

O

Z

und %, und gibt dem Parameter » irgend einen bestimmten Werth, so

Löst man

findet man hieraus die Constanten der beiden Gleichungen

sodann (4) nach w auf und substituirt den gefundenen Werth in Gleichung (3),

so ergibt sich der Werth von @, welcher dem Berührungspunkte der an-

genommenen geodätischen Linie mit der Einhüllenden entspricht

Für das Modell wurde die Lage der Spitzen von zwei Enveloppen

berechnet

Einmal wurde der Ausgangspunkt 4 der geodätischen Linien

auf dem Aequator angenommen; dann liegen zwei Spitzen auf dem Aequator

und werden dadurch gefunden, dass man in Gleichung (3) 7,==«@ setzt

Hiedurch

und zur Grenze übergeht, indem man v==@ werden lässt

findet man 26 = CT

und da für das Modell c=

ewählt wurde, so ist

‘)@——-37[

Die beiden andern Spitzen liegen auf dem Meridiane, der durch den Punkt

A geht, und man hat somit z,=a, v

0 zu setzen und erhält dann aus

Gleichung (4) den Werth u = 2,838 und hiermit

K 1.596

Für die zweite Enveloppe war der Ausgangspunkt 4, der Linien auf dem

Kreise r,= 1,490 angenommen

Zwei der Spitzen liegen in diesem Falle

auf dem zweiten Parallelkreise mit dem nämlichen Radius und man findet

den zugehörigen Drehungswinkel 2, indem man in Gleichung (4) v=7r,

setzt

Hierdurch ergibt sich

26 =— 249° 54‘

Die beiden andern Spitzen liegen nicht mehr symmetrisch zum Aequator;

Diese

es müssen sich somit zwei verschiedene Werthe von w“ ergeben

sind: W==3,484

u = — 2,480

wozu die Werthe von 7 sind

r=1,895

T 0768

Abgeplattetes

llipsoid

Hier setzen wir zur Reduction auf die Normalform

2

a — y"(1

3 — (a?— w7) 2

F

e A

T

und erhalten hierdurch

E

v c?

dz

—

E

c&

dz

Ü=

0

Va*—»"(1—e*)

l

1+223V1—231—k?2?) *

jZ(l—z)

3

(a? — »

30

A

2

| @

wo kı=

AA

*_1 — c

A

VE

4

Setzt man jetzt wieder z = sinam &,

vec?

dz

P

© Va

%lk+ﬁz

»Vd— 2 1— kte?

n

D

und -

1

2

sin’am (i@x + K), so folgt wieder:

vc*

UE

u+iIM(u, ia + K),

$& a

jäm

welche Gleichung genau dieselbe Gestalt annimmt, wie Gleichung (3).

Dagegen geht durch obige Substitution die Bedingungsgleichung für die

Existenz der Enveloppen über in:

k” u + tgamu.d am u — E (u) — U, =0,

wo U, = k” w + tg am 4 am u — E(w) ist. Diese Gleichung lässt sich

dann noch durch Einführung der Reihen in folgende umsetzen:

2

2

4

6

B

\

(K/»"sz)u——Ro+gtgv—}—2n'll

d

3in 20 ———4si114z’+ri7;sill 60

I5

2

2

I

(_4

woselbst Rı= (Kk“”— E)u+ Ztgq‚+2 m

9

WE

sin20, —

s

4

sin4v%+. .}ist.

Die beiden Gleichungen (3) und (5) lösen somit hier die Aufgabe.

Für das Modell wurden wieder die Spitzen zweier Enveloppen be-

rechnet.

Einmal für 7,= @; die beiden ‚auf dem Aequator liegenden

l

Spitzen sind dann gegeben durch:

26 =3W,

während für die auf dem Meridiane liegenden w == 4,995, und somit

r= 1005

gefunden wird.

Für die zweite Enveloppe, bei welcher r

mua

508

2,240 gesetzt wurde, er-

geben sich die Spitzen auf dem zweiten Parallelkreise ”,, wenn man

[\

26= 122° 26‘

setzt, während für die beiden Spitzen auf dem Meridiane u= 5,169 und

u = — 4,702

r=1,513 und r = 2,409

folgen.

München, im März 1880.

S

;)Vrurckrvrornwll.r i}rill in Darm‘sadt. 3

Mathematische Modelle

}}

angefertigt

16

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof, Dr. Klein.

XIX

Die vier Arten der Raumcurven dritter Ordmmg.

Von stud. math. E. Lange.

Eine Ebene kann gegen eine Raumcurve dritter Ordnung vier wesent-

lich von einander verschiedene Lagen annehmen; sie kann dieselbe:

1) nur in einem reellen Punkt schneiden,

2) in drei reellen Punkten schneiden,

3) in einem Punkt berühren und in einem Punkt schneiden,

4) in einem Punkt osculiren.

Je nachdem nun die unendlich ferne Ebene eine der genannten vier Lagen

einer Raumecurve dritter Ordnung gegenüber besitzt, bezeichnet man die

letztere bezüglich als:

1) ecubische Elllipse,

2) cubische Hyperbel,

3) cubisch-hyperbolische Parabel,

4) cubische Parabel.

Wie sich diese Namen rechtfertigen, wird sich sofort ergeben, wenn die

Cylinder bestimmt werden, die sich durch die Curven legen lassen.

Eine Raumcurve dritter Ordnung kann bekanntlich nie den voll-

ständigen Schnitt zweier Flächen bilden.

Man kann sie aber erzeugen

als Schnitt zweier geradliniger Flächen zweiter Ordnung, die ausserdem

eine Erzeugende gemein haben.

Handelt es sich um wirkliche Darstellung

dieser Curven, so wird man wegen der leichteren Construction lieber Kegel,

resp. Cylinder als einschalige Hyperboloide benutzen.

Der Satz, dass die

Gesammtheit der Verbindungslinien eines Punktes einer solchen Curve

P

2

KT

mit allen übrigen einen Kegel zweiter Ordnung bildet, zeigt, dass man ver-

WE

mittelst Durchdringung zweier passender Kegel in der That alle in Betracht

Die modellirten Curven

sind

auf

mi

kommenden Curven erzeugen kann.

fe

Cylinder aufgezeichnet, und es müssen daher zur Erklärung der Modelle

WE

zunächst die Cylinder bestimmt werden, welche sich durch die einzelnen

Curven legen lassen.

(

un

1) Verbindet man den einzigen Punkt, den die cubische Ellipse mit

der unendlich fernen Ebene gemein hat, mit allen übrigen Punkten der

S0

fe

Curve, so erhält man statt des Kegels einen Cylinder zweiter Ordnung,

und zwar nothwendig einen elliptischen Cylinder, weil sich unter allen

G

diesen Verbindungslinien nicht eine einzige unendlich ferne Gerade be-

findet. Durch jede eubische Ellipse lässt sich also ein einziger elliptischer

Z

d

Cylinder legen, und die Durchdringung eines elliptischen Cylinders und

eines Kegels, der mit dem ersteren eine Gerade gemein hat, wird stets

(‘

eine cubische Ellipse ergeben. So ist auch die vorliegende Curve erzeugt.

[v

2) Die Verbindungslinien eines der drei unendlich fernen Punkte einer

cubischen Hyperbel mit allen übrigen erfüllen offenbar einen hyperbolischen

Cylinder, da sich unter diesen Verbindungslinien zwei unendlich ferne

Gerade befinden.

Durch jede cubische Hyperbel lassen sich also drei

hyperbolische Cylinder legen, von denen je zwei eine unendlich ferne Gerade

gemein haben.

Man kann zwei solche Cylinder, aber auch einen hyper-

bolischen Cylinder und einen Kegel, der mit jenem eine Gerade gemein

und übrigens allgemeine Lage hat, zur Erzeugung wählen.

3) Verbindet man denjenigen Punkt, in welchem die cubisch-hyper-

bolische Parabel die unendlich ferne Ebene berührt, mit allen übrigen

Punkten, so erhält man einen hyperbolischen Cylinder, denn derselbe hat

als unendiich ferne Erzeugende die Verbindungslinie jenes unendlich fernen

Berührungspunktes mit seinem ebenfalls unendlich fernen Nachbarpunkte

und ausserdem die Verbindungslinie des Berührungspunktes und des Schnitt-

punktes der Curve und der unendlich fernen Ebene.

Verbindet man da-

gegen diesen letzteren Schnittpunkt mit allen übrigen Curvenpunkten, so

erhält man einen parabolischen Cylinder, denn derselbe enthält die beiden

benachbarten Verbindungslinien des Schnittpunktes mit dem unendlich

fernen Berührungspunkte. Man kann also die eubisch-hyperbolische Parabel

erzeugen als Schnitt eines parabolischen und eines hyperbolischen Cylinders,

welche eine unendlich ferne Gerade gemein haben.

Man kann die Curve

auch darstellen als Schnitt eines Kegels und eines parabolischen Cylinders,

die eine Gerade. gemein haben, oder auch als Schnitt eines Kegels und

eines hyperbolischen Cylinders, die eine Gerade gemein haben und so

gegen einander liegen, dass die durch die Kegelspitze und eine unendlich

Die

ferne Erzeugende des Cylinders gelegte Ebene den Kegel berührt.

vorliegende Curve ist als Schnitt eines Kegels und eings parabolischen

Cylinders modellirt.

\\

I

Vel-

4) Verbindet man den einen

der drei aufeinander folgenden Punkte,

acht

welche eine cubische Parabel mit der unendlich fernen Ebene gemein hat,

A

mit allen übrigen Curvenpunkten, also auch mit seinen beiden unendlich

lelle

fernen Nachbarpunkten, so erhält man offenbar den einzigen Cylinder,

Inen

welcher sich durch die Curve legen lässt, und zwar einen parabolischen

Cylinder.

Die Curve wird erzeugt als Schnitt eines solchen Cylinders

ml

und eines Kegels, welche eine Erzeugende gemein haben und ausserdem

der

so zu einander liegen, dass die durch die Kegelspitze und die unendlich

INg

ferne Cylindererzeugcndé gelegte Ebene den Kegel berührt.

llen

Die Curven sind in der angegebenen Weise mit Hülfe darstellender

he:

Geometrie construirt.

Man findet oft Raumcurven dritter Ordnung ge-

her

zeichnet, deren höchster und tiefster endlicher Punkt in Beziehung auf

ınd

den horizontalen Grundriss des Cylinders wenig hervortreten, so dass die

fs

Curve fast einfach schraubenförmig in die Höhe steigt.

Die vorliegenden

igl

Curven sind so construirt, dass sie auf den Cylindern sich möglichst viel

ner

heben und senken und nicht zu rasch asymptotisch verlaufen, weil sicher

hen

der Theil der Curve der weniger interessante ist, in welchem sie an der

Asymptote hinläuft.

FH€‘

rel

Ausserdem ist den Curven der Uebersichtlichkeit wegen auf den

de

Cylindern eine möglichst symmetrische Lage gegeben worden. — Beides

el

wurde durch eine zweckmässige Anwendung des Continuitätsprincips er-

A

reicht.

Man construirte statt der eigentlichen Curve dritter Ordnung zu-

nächst eine solche, welche in eine gerade Linie und einen schief gestellten

er-

ebenen Schnitt des Cylinders zerfallen war. Dieselbe wird aus dem Cylinder

en

nicht mehr durch einen eigentlichen Kegel zweiter Ordnung, sondern, auf

mannigfache Weise, durch ein Ebenenpaar ausgeschnitten, das noch eine

fremde Erzeugende mit dem Cylinder gemein hat. Das so gewonnene Ebenen-

en

paar verwandelte man nunmehr in einen sehr wenig von ihm verschiedenen

te

Kegel, indem man nämlich das Paar gerader Linien, in welchem dasselbe

ff

die Grundfläche des Cylinders durchdringt, durch geringe Modificationen

f

in eine Hyberbel übergehen liess und übrigens die Kegelspitze zweckmäsig

0

wählte.

Man erhielt alsdann als Schnitt des Cylinders und des so ge-

A

wonnenen Kegels eine Curve dritter Ordnung, die sich an die ursprünglich

ol

angenommene zerfallene Curve ihrem Gesammtverlaufe nach enge anschloss.

el

Leicht und instruetiv ist es, sich an den vorliegenden Modellen

den Uebergang der Curven in einander vorzustellen.

Man denke sich

6

zunächst den elliptischen Cylinder dadurch zum parabolischen werdend,

y}

dass die Scheitelerzeugende des elliptischen Cylinders, welche der Curven-

d

0

asymptote diametral gegenüberliegt, sich immer mehr entfernt und schliess-

Das Curvenstück,

h

lich in die unendlich ferne Ebene zu liegen kommt.

©

welches auf dem elliptischen Cylinder in der Nähe des mit der Asymptote

versehenen Scheitels liegt, hat bereits Aehnlichkeit mit dem modellirten

Theil der cubisch-hyperbolischen Parabel und man kann sich denken, wie

ME

4

bei dieser Deformation des elliptischen Cylinders, die durch Collineation

geschehen kann, die cubische Ellipse in die eubisch-hyperbolische Parabel

übergeht.

Denkt man sich dann die Umwandlung noch andauernd, so

rückt die ins Unendliche gefallene Scheitelerzeugende auf der anderen

Seite wieder herein, und der parabolische Cylinder wird zum hyperbolischen.

Das modellirte Stück der cubisch-hyperbolischen Parabel wird dabei zu

einem (ihm am Modell bereits ähnlichen) Theil der cubischen Hyperbel,

welcher auf demjenigen Ast des hyperbolischen Cylinders verläuft, der die

Asymptote als Scheitelerzeugende besitzt.

Ein ähnlicher Uebergang führt von der cubischen Ellipse zur cubischen

Hyberbel durch die cubische Parabel hindurch.

Man hat nur diejenige

Scheitelerzeugende des elliptischen Cylinders, welche Asymptote der eu-

bischen Ellipse ist, durch geeignete Collineation zunächst unendlich weit

und dann durch das Unendliche durchrücken zu lassen.

Im Mai 1880.

Au RA

W

(

I

st

d

C

€l

u

(

(

FO

L

tion

ibel

80

TEn

el

A

bel

die

Mathematische Modelle

en

angefertigt

g

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

l

U

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

XX

Fläche von constantem negativen Krümmungsmaass nach

L. Bianchi.

Von Th. Kuen,

Assistent an der technischen Hochschule in München.

Die Fläche von Bianchi hat durch ihre eigenthümliche Entstehungs-

weise und die daran anknüpfenden Untersuchungen von Herrn Sophus Lie

(Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 1878, 79, 80) allgemeineres

Interesse erregt.

Sie wurde desswegen im hiesigen mathematischen In-

stitute von Herrn stud. math. J

Mack modellirt.

Verschiedene Schnitte

dieser Fläche zeigten nun eine Aehnlichkeit mit denjenigen, welche Herr

E. Lenz in seiner Inauguraldissertation: „Ueber die Enneper’schen Flächen

constanter negativer Krümmung“, Göttingen 1879, von einer der letzteren

entwarf, so dass der Gedanke nahe gelegt wurde, die Bianchi’sche

Fläche besitze ebene Krümmungslinien und ihre Gleich-

ung sei also nur ein specieller Fall der von Herrn A. En-

neper in den Göttinger Nachrichten 1868 aufgestellten

Gleichungsform. Diese Vermuthung bestätigte sich in der That.

Als Parameter w und v, durch welche man sich die Fläche gegeben

denkt, sollen solche gewählt werden, welchen die 2 Schaaren der Krüm-

mungslinien auf den Flächen entsprechen; w= const. soll das System

der ebenen Krümmungslinien ergeben.

Herr Enneper gibt unter dieser

Vorraussetzung in den Göttinger Nachrichten 1868 pag. 275 die Gleich-

ungen der Flächen constanten negativen Krümmungsmasses an. Man kann

sie auf folgende Form bringen:

P}

J!/

2

T =0C08 @

Y —

Q sin @

(

tgz u +0) *

Z_V021 A2J(gdvl)ﬂd T Ve=R V

(

Dabei ist

1

1

cosi(u, + v,) sin g

VAET

d VE

A2

1

du

sın O

=C + 4Acos2iu,

Sın 20

dv

IG

=VC— Acos2iv

=cotg O

IG

und o bedeutet den Winkel, unter dem die Fläche von der Ebene einer

planen Krümmungslinie geschnitten wird; die Constante — — ist gleich

dem Produect der beiden Hauptkrümmungsradien

Im Allgemeinen erhält man @, @ und

als elliptische Funetionen

von % und w; im speciellen Falle können sich indess die elliptischen auf

Kreisintegrale reduciren

Herr Enneper behandelt einen dieser Fälle auf

pag. 276 seiner vorhin citirten Arbeit; er setzt 4 =0 und erhält dadurch

Schraubenflächen constanten negaliven Krümmungsmaasses mit einem System

ebener Krümmungslinien

Eine zweite Gruppe von Flächen, welche unter

A=0 inbegriffen ist, scheint aber sowohl ihm, als auch Herrn Lenz ent-

gangen zu sein

Es kann nämlich der Fall eintreten, dass 0 nicht con-

stant ist, trotzdem dass A4= 0 gesetzt wurde; man erhält w«, durch Inte-

gration einer Differentialgleichung und braucht nur die auftretende Integra-

tionsconstante unendlich gross zu wählen

Es ist dies gerade diejenige

Lösung, die durch Nullsetzen von B in der pag. 274 erhaltenen Formel

1

= A'’cos2iu — Bisin2iw + C

}

Sın

verloren geht, nämlich A’

Für diesen -speciellen Fall sollen nun die Gleichungen aufgestellt

werden

bekommt man aus der

Unter Annahme jenes Ausdruckes für

2

allgemein gültigen Bedingungsgleichung (pag. 274)

EL

d’ w

d

1

co8% (U, +v)[

dv?

I

du

(

Sın

M

i

dv

i sint (u, + v [g

S

dv

)]

die folgende

d or

dv

LO

amn [(e

l7;

)min (

(A/AV

X

dv

inl

—+ B) sint v, + (

(

dv

A

Da nun %, von v, unabhängig ist, zerfällt die vorstehende Gleichung

in die zwei

d %

ILG

SE

2

En

A

MG (

1

1> lz'rgw

fl A

)

dv

EB M

l@c()’[om;

BAg

zl

(

dv

) 20 Al

\

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich durch Subtraction

Er

dv

II

(

d

) = 0 — A'’cos2iv, — Bisin2iwv

ich

Werden mit diesen allgemeineren Ausdrücken für

2

und — die

J6n

Rechnungen durchgeführt

welche Herr Enneper in seiner Arbeit vor-

n

auf

nimmt

um zu den Ausdrücken für 0

P und

G

zu gelangen

so findet

l

man

dass sich in denselben nichts ändert, als die Constante 0*— 4°

ch

Natürlich hat man

für

und

welche in C*— A’””+ B* übergeht.

2

n

Für

ier

Z

“ gabei ihre Werthe den Gleichungen I. und II. zu entnehmen.

ist

pf

den speciellen Fall 4‘= B

welcher nachher allein behandelt wird

D

die Durchführung dieser etwas mühsamen Rechnung nicht nöthig; man

9

1

6

überzeugt sich leicht

dass hier die Ausdrücke für

2

und g

7U

d

den von Herrn Enneper hierfür benützten dadurch hervorgehah, dass man

6

l

A = 0 setzt

U,

%

um eine unendlich grosse Constante c vermMehrt und v

um sie vermindert

wobei —>

O AI

sein soll

In den Formeln für

@, @ und £& hat man dann nur 4=0 zu setzen, um die für diesen Fall

gültigen zu haben

Setzt. man in I. und II. A‘’= B, 8o ergibt; sich

I

al

du

sın O

-=0+H ALes

(g

du

.

er

dv.

e A —2yı

d%

f

E

<

4

AA

Führt man zur Abkürzung die Bezeichnung ein:

f

EEEZZOS

SN e

61

VL

d

VZ

E

so erhält man durch Integration aus I® und II®

(

gl

U

CC

el]l ——

‚[/*

Al

(

A—U®

Ib

Ck

A/

6—V1 —

Ir

k+V?*

k und 4 sind dabei Integrationsconstante.

Unter Benützung von I” ergibt sich:

f

ED

0A0

du

2—C

= — 4in‘0,

g 'Ä2+U4

—221-

U2

(

und daraus durch Integration unter Berücksichtigung der Realitätsbe-

dingung: CZ 1:

2

U A

7

E

(p=———arctg5

22

a 056

(

E

wo %, die Integrationsconstante bedeutet, die‘der Allgemeinheit unbe-

schadet Null gesetzt werden darf.

Diese Gleichung lässt sich auch in der Form schreiben:

CD

20

IN

u(—d)-

En VE

Mit Hülfe der Gleichungen I” und II” erhält man für @ den Ausdruck:

2

(&

KFE

03Ar Sı

IV

KOM Z DG

Mit Benutzung von II” wird:

Hs

I

g

dv,

g VAR%

C

(

dv

)2dv=v+‘u+

C kEr

& bedeutet die Integrationsconstante.

Für z erhält man also:

g Vr

Z2=0+

Ö'k+V2+A”+

V

I

Ok A — 0U V'— A0 — 1)(k+V9?0* Vk+ 79 —_ AKV®

V Oka —UYV' A0 VYD*

K

84

5

Durch die Gleichungen IH., IV. und V. sind diejenigen

Flächen

constanten

negativen Krümmungsmaasses mit

einem System ebener Krümmungslinien bestimmt, welche

durch Gleichsetzen von 4’‘ und B entstehen.*)

Aus der durch die Gleichungen IlI., IV. und V. definirten Flächen-

gruppe erhält man nun die von Herrn L. Bianchi angegebene Fläche

constanten negativen Krümmungsmaasses durch Annahme folgender spe-

ciellen Werthe für die daselbst auftretenden Constanten:

OI

A

k

VI

A

= —

Wenn man C= 1 setzt, so nehmen die Gleichungen III., IV. und

V. die Form unbestimmter Ausdrücke an; welche jedoch leicht durch

Entwicklung der Exponentialfunetion in eine Reihe ausgewerthet werden

können.

Die Gleichung III. geht über in:

e

tg(%—— )— , oder

SIn Z

u

S —

tg —

H.

OS

n —

e

Für 0 bekommt man folgenden Ausdruck:

2v

S

SE (1 + e“

Q

49g

2v

N

Vır

IA

LEa

Ara

Eine Schwierigkeit bei der Bestimmung dieses Werthes von Q aus

der in unbestimmter Form auftretenden Gleichung IV. macht nur der

Ausdruck unter dem Wurzelzeichen, da sich hier die zwei ersten Glieder

der Entwicklung zerstören.

Man schreibe:

2

(

1—

C

V wa 297

U= V + U*— 4A

(j

— U*— 2AU?

und entwickle nun erst U* und U* in eine Reihe, von der die ersten drei

Glieder zu nehmen sind.

SEL

Eine analoge Flächengattung von positivem Krümmungsmaass existirt nicht

wegen der für diese bestehenden Realitätsbedingung (Bockwoldt, Inauguraldissertation,

Göttingen 1878):

LA]Z[0]+1.

ED

6

S0

Für z endlich erhält man den Ausdruck:

W

2g

A0

2v+

1+e

a

4u?

2v

1+e ®

Z

1—e

y

T

2v

4u?

2v

D

1+e

q(1+c

)+

4v

2g(1—e

=1}+

2v

4u

2r

Va

ä

(1+e

Die Gleichungen III*, IV* und V* sind aber identisch mit denjenigen

Gleichungen, welche Herr Bianchi in seiner Inauguraldissertation: „Ri-

%c

cerche sulle superficie a curvatura costante e sulle Elicoidi“, Pisa 1879

(Auszug davon im XVI. Band der Mathem. Annalen) pag. 21 angibt; man

hat nur zu setzen:

u= W,g

w

v= glog tg

_2_.

vVII

Die Gleichungen III*, IV* und V” nehmen dann die Gestalt an:

En

sin W — W COoS W

E

Ir

tg

COSW + W 8in W

2g sin W

0

M D

1x?

1 + w*sin’wW

D

2g cos W

Vb

z=:glogtg%—}—

1 + w?sin?

Will man die vonr Herrn Enneper in seiner Arbeit abgeleiteten For-

meln an dieser Fläche prüfen, so muss man von der Form (<) der Glei-

chungen für @, @ und z ausgehen, d. h. man muss statt der Parameter

w und @, wegen der auf pag. 260 der Enneper’schen Abhandlung ge-

machten Voraussetzung die Funectionen w und v dieser Parameter ein-

führen.

Das zweite nicht ebene System von Krümmungslinien wird wie bei

allen Flächen constanter Krümmung mit einem System ebener Krümmungs-

linien durch Kugeln ausgeschnitten, deren Mittelpunkte in einer Geraden

liegen.

Die Kugeln haben hier die Gleichung:

2

8& — —

w

I

g

22

a + y —+ <z—glogt

cos ıb

y

77 08° W

Was die Gestalt der Fläche anlangt, so folgt aus der Gleichung der-

selben unmittelbar, dass sie sowohl symmetrisch zur XY- als auch XZ-

Ebene ist; denn setzt man statt W, — W beziehungsweise statt w, —W,

0l

E

7

so ändert nur z beziehungsweise y sein Vorzeichen. Die Krümmungslinie

w=0, die in der XZ-Ebene liegt, ist zugleich eine Rückkehrkante der

Fläche; denn mit Hülfe von I” ergibt sich:

du

9

n ’

cotg 0 = — =

du

es nähert sich also mit w auch 0 der Null, d. h. die XZ-Ebene ist Tangen-

tialebene der Fläche; wegen der Symmetrie derselben in Bezug auf die

letztgenannte Coordinatenebene muss daher die Krümmungslinie w = 0

Rückkehrkante sein (eine Selbstberührungscurve kann es nicht sein, wie

Von dieser Rückkehrkante ausgehend, umwindet

leicht zu zeigen ist).

die Fläche unendlich oft die Z-Axe in beiden Richtungen; zuerst entfernt

sie sich von ihr, dann aber nähert sie sich ihr wieder und erreicht die

Axe erst nach unendlich vielen Windungen.

Dabei findet nach jeder

en

halben Umwindung ein Selbstdurchsetzen der Fläche in der XZ-Ebene

d

statt.

Ausser den dadurch entstehenden ebenen Doppelcurven besitzt sie

19

eine solche auch in der XY-Ebene.

Für die Schnitteurve der letztern

al

Coordinatenebene mit der Fläche hat man z?=0 zu setzen, also:

2 cos

0=910gtg5+

1 + w*sin? W

Wird diese Gleichung für das Werthepaar w,, , erfüllt, so geschieht

dıes auch für , m — %.

Diesen zwei Werthepaaren entsprechen

nun dieselben Coordinaten 4, es fallen also die jenen Parametern zu-

gehörigen Punkte zusammen, d. h. obige Schnitteurve ist eine Doppelcurve.

Eine Ausnahme macht nur das Werthsystem W, =

e

w, beliebig, welches

die vorstehende Gleichung ebenfalls erfüllt; hier fallen die 2 vorher ver-

schiedenen Parameterpaare zusammen, d. h. diesem Werthsystem entspricht

T:

eine einfache Schnitteurve.

Ausser den ebenen Doppelcurven besitzt sie

auch noch eine räumliche Doppelcurve, wie aus der Betrachtung der

Die Fläche besitzt ferner eine räumliche

r

Horizontalschnitte sofort folgt.

Rückkehreurve. Es zeigt sich nämlich, dass die ebenen Krümmungslinien

sobald w >1 genommen wird, 2 Spitzen besitzen, weil zugleich die beiden

Gleichungen :

00

R

l

C

0 und

> ‘_

0g

bestehen, wenn:

1— w*sin’ wW=0

gewählt wird. Diese letzte Gleichung in Verbindung mit der Flächen-

gleichung stellt also eine Rückkehreurve dar; sie besitzt in den 2 Punkten

w= *1, in welchen sie die ebene Doppelcurve der XY-Ebene trifft, eine

_

R

#

A

8

Spitze, denn die Tangente ist daselbst horizontal, und die Fläche Sym-

metrisch in Bezug auf die XY-Ebene.

Von diesen Punkten ab verläuft

die Doppelcurve isolirt. -— Bei der Construction des Modelles wurde

g= 5” gewählt.

München, im December 1881.

E

M

S

A

uft

ıe

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

EW

XXI

Minimalfläche neunter Ordnung. Catenoid und Schraubenfläche.

Modellirt von cand. math. G. Herting.

Herr Weierstrass hat in den Monatsberichten der Berliner Academie

vom Jahre 1866 für die rechtwinkeligen Coordinaten einer Minimalfläche

folgende Gleichungen aufgestellt :

z= [1—s) f ds +S1—s,7fls,) ds,

l

y=ifl+s)f® ds—ifd-+sDfG)de,

g=2fsf()ds+2 fs,f(s,)ds, ,

s und s, sind conjugirt complexe Argumente von der Form p+igq und

D—Cigq, f(s) eine beliebige Funetion, f(s,) dieselbe Function mit den con-

jugirt imaginären Constanten.

Die Krümmungslinien und Asymptoteneurven sind dabei durch fol-

gende Gleichungen definirt:

2)

f(s) ds? — f(s,) ds,*=0

3)

f(s) ds* + f(s,) ds,*?=0.

Jeder Function f(s) entspricht eine Minimalfläche.

Substituirt man

in das Gleichungssystem (1):

ME

so erhält man eine von Enneper gefundene algebraische Minimalfläche

neunter Ordnung (Göttinger Nachrichten 1871), deren Gleichungen in den

Parametern , q geschrieben die Form erhalten:

f

E

2

2

—-

4)

w=ß@—%f—

3

)

S

2

y=—a@+ß—

3

)

Z =_p2—— q’.

S

E

Die Gleichung (2) der Krümmungslinien geht für den vorliegenden

Fall über in:

ds?— ds,*=0

oder

dp.dgqg=0.

1

Somit sind die beiden Schaaren der Krümmungslinien durch die

Gleichungen:

5)

D CONST.

d = Consli.

gegeben.

Die Gleichung (3) der Asymptotencurven ergibt:

ds* + ds,*=0

oder

dp* — dq%= 0.

Die Integration dieser Gleichung liefert zur Bestimmung der beiden

Schaaren von Asymptotencurven die Beziehung:

6)

=*g+c.

Dass die durch die Gleichungen (4) dargestellte Fläche von der neunten

Ordnung ist, erkennt man, wenn man zu jenen Gleichungen noch die einer

Geraden hinzufügt:

z=at+b

2=dgy +V.

Die Elimination von , y und z aus den fünf Gleichungen liefert

zwei Gleichungen dritten Grades in den Parametern » und qg. Den neun

Werthepaaren , q entsprechen somit neun Schnittpunkte der Geraden

mit der Fläche.

Da die rechtwinkeligen Coordinaten %, y, z# rational in den Para-

metern » und q dargestellt sind, so entspricht jedem Werthepaar p, q

eindeutig ein Punkt der Fläche. Betrachtet man also , q als Coordinaten

eines rechtwinkeligen Coordinatensystems P, Q in der Ebene, so wird durch

die Coordinaten v, qg eine conforme Abbildung der Fläche in die Ebene ge-

leistet. Nach den Gleichungen (5) und (6) bilden sich bei. dieser Abbildungs-

weise Krümmungslinien und Asymptotencurven als Gerade ab; erstere als

®

parallele Gerade zur P- bezw. Q-Axe, letztere als gegen die Q-Axe unter

+45° geneigte Gerade.

Man bestätigt so den Satz, dass Asymptoten-

curven und Krümmungslinien die Minimalfläche allenthalben in unendlich

kleine Quadrate theilen.

GO

/

3

Wenn man also auf der Fläche zwei Systeme von Krümmungslinien

so wählt, dass ihnen dieselben Werthe von » und g mit gleichen Inter-

vallen entsprechen, so liegen die aufeinanderfolgenden Gegenecken der

rechtwinkeligen Vierecke stets auf einer Asymptotencurve, denn diese in

diagonaler Richtung aufeinanderfolgenden Schnittpunkte der Krümmungs-

jen

linien erfüllen stets die Gleichung (6).

Auf dem Modell sind folgende Krümmungslinien verzeichnet:

»=g=#*00,3 0,6 1,0 1,4 V3 2,0 2,3 2,6 2,9

und folgende Asymptotencurvenpaare :

e

C0 F1 E:

Aus den Gleichungen (4) folgen die weiteren Beziéhungen:

7)

d=D+50' —DE

y'=(p*—%) (1 +32 D' + %)2

8)

y=— a 40'—ag

a*= (g* 4 2) (1 +3 q”—%Y—

Diese Gleichungen sagen aus, dass die Krümmungslinien ebene Curven

dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt sind, dessen Coordinaten:

N

y=0, z= — 3—2g*

bezw.

Z=0 2=3427

sind.

Die Ebenen der Curvenschaar y == const. sind parallel zur Y-Axe

und hüllen einen Cylinder ein, dessen Gleichung:

z?= 2 (2—1)°

ist.

Die Ebenen der Curvenschaar q = const. sind parallell zur X-Axe

und der von ihnen eingehüllte Cylinder hat die Gleichung:

2

F

y

CD

Diese beiden Cylinder haben also congruente Neil’sche Parabeln als

Leitcurven.

Die Gleichungen (7) und (8) lassen ferner erkennen, dass die Coor-

dinatenebenen:

z=0 und y= 0

Symmetrieebenen der Fläche sind und dass immer je vier Krümmungs-

linien, die denselben absolut gleichen Werthen von » und q entsprechen,

congruent sind.

In Folgendem seien noch die Schnitte mit den Coordinatenebenen

betrachtet.

/mn

S

4

E

Schnitt mit der YZ-Ebene.

el

Aus

x%=0 folgt p= 0 und p*=3(1+4).

?=0 ist eine Krümmungslinie deren Gleichung:

2

ist

—(

S0

?— 83 (1+g”) repräsentirt offenbar eine Doppelcurve der Fläche;

ihre Gleichung in rechtwinkeligen Coordinaten wird:

el

yı=8(02—3)Z.

W

2

Man erkennt darin eine Curve dritter Ordnung mit isolirtem Doppel-

il

punkt y= 0, z=0 und zwei Wendepunkten, deren Coordinaten:

UE V2 und 2= 4 sind.

M

Der Schnitt mit der XZ-Ebene y= 0 ist zu diesem Schnitt congruent,

denn durch Vertauschung von o mit —g geht in den Gleichungen (4)

x in y und z in —2 über.

Die Fläche besitzt also zwei ebene Doppelcurven dritter Ordnung,

welche nichts anderes als die geometrischen Orte der Doppelpunkte der

Krümmungslinien sind. Dieselben bilden sich in die Ebene als Hyper-

beln ab.

Schnitt mit der XY-Ebene.

Man mache die rechte Seite des Gleichungssystems (4) homogen.

n

8

z=pr* +pg*—

3

UZ D %3

8=(0°—q7)r

WE

Aus z= 0 folgt r= 0 und hieraus w= 0, die Gleichung der unend-

lich fernen Ebene.

Die unendlich ferne Gerade der X Y-Ebene ist also

eine dreifache Gerade der Fläche. Die weitere Folgerung p= * g ergibt

die Beziehung:

Z'iy=0‚

Diese beiden Geraden in der XY-Ebene, welche die Asymptoten-

curyen c= 0 darstellen, sind ebenfalls dreifach zu zählen.

Jeder Punkt

derselben hat die Eigenschaft, dass in ihm drei Tangentialebenen an die

Fläche gelegt werden können, wovon jedoch zwei imaginär sind. In diesen

drei Geraden findet der Uebergang vom reellen Theil der Fläche in das

imaginäre Gebiet derselben statt und zwar durchdringen sich in jeder

dieser Geraden zwei imaginäre Mäntel der Fläche.

A

5

HEB

Nach der Anfangs eingeführten Bezeichnung stellt sicﬂ das Curven-

element auf der Minimalfläche in folgender Form dar:

9)

dS*= 4 f(s) f(s,) (L + ss,)? ds ds, .

Substituirt man hierin statt:

F© .. 2f6) und statt f(s,).... — if(s),

so erkennt man, dass das Curvenelement. keine Veränderung erleidet.

Diese Substitution mit dem Gleichungssystem (1) vorgenommen liefert also

eine Minimalfläche, welche auf die erstere ohne Dehnung aufgebogen

werden kann (Bonnet’sche Biegungsfläche).

Die Gleichungen (2) uud (3)

zeigen, dass bei dieser Operätion Krümmungslinien in Asymptotencurven

übergehen und umgekehrt.

Für den vorliegenden Fall ergibt sich für diese Biegungsfläche, wenn

man wieder nach der Integration der Gleichungen (l1) s=p, + iq,,

N

Sı = %, — ig setzt:

)

OE

OR

WE Q, (1_.p12+

3

)

10)

DE

LE

Va (1—912+

3

)

2 = —20,9,-

Die Krümmungslinien dieser Fläche sind definirt durch:

2=*gq+c,

die Asymptotencurven durch:

P, = const.

Qı = const.

Es ist nun leicht erkennbar, dass beide Flächen der Form nach

identisch sind. Die Substitution:

Z+a4=2V2

A -gq=aV2

führt unmittelbar die Gleichungen (10) in die Gleichungen (4) über, wobei

sich zwischen den rechtwinkeligen Coordinaten folgende Beziehungen

herausstellen :

E =

O

V2

VE

Yy= —

V

s

welche einer Drehung des Coordinatensystems um einen Winkel von 45°

um die Z-Axe entsprechen.

Die Minimalfläche neunter Ordnung kann also auf sich selbst aufge-

bogen werden.

Bei der Deformation muss der Punkt z=y=2=0

JS

6

LE

jedenfalls in sich selbst übergehen, denn in diesem Punkt besitzt, wie ein

mal

Blick auf das Modell zeigt, das Krümmungsmaass, welches ja bei der Ver-

biegung unverändert bleibt, einen sonst nirgends mehr auftretenden Maximal-

werth. Ferner entsprechen den Krümmungslinien p

q =0 die Asymp-

toteneurven v, =q,=0 und den Asymptotencurven p — +g die Krüm-

mungslinien , = * g,, die also gegenseitig ineinander übergehen

EInE

Man strecke also die Krümmungslinien in den Hauptschnitten dp= g =0

je in eine gerade Linie aus und lasse diese mit der Y- bezw. X-Axe

zusammenfallen, so dass ihr Schnittpunkt z=y=%z=0 fest liegen bleibt,

und drehe dann die Fläche um 45° um die Z-Axe, so wird die Fläche

in sich selbst übergehen. Die deformirten Krümmungslinien kommen dann

Flä

auf jene Geraden zu liegen, die oben als die Asymptotencurven c=0

bezeichnet wurden

Umgekehrt ‘ gehen jene Geraden der ursprünglichen

kre

Fläche in die Krümmungslinien in den Hauptschnitten der deformirten

Fläche über

m

Catenoid und Schraubenfläche

Substituirt man in das G1e1chungssystem (1)-die Funetion

f(S) =

bezw f(s,))=

4

27

so erhält man drei Glemhungen aus welchen sich durch Elimination von

s und s, die Gleichung derjenigen Fläche ergibt, welche durch Rotation

der Kettenlinie entsteht und die man Catenoid nennt

v= Va +g —-—(e°+e “)

Krümmungslinien sind hier Meridiane und Parallelkreise

Für die Projection der Asymptotencurven in die X Y-Ebene ergibt sich

folgende Gleichung :

- „/——df—fpo+log E

Da alle diese Curven congruent sind, so genügt die Kenntniss einer

einzigen

Die Gleichung der Curve #,= 0 nimmt die Form an

A

Die weitere Substitution f (9)-——

und AGT

z in (1) ergibt für

4 2

Ta

die zugeordnete Biegungsfläche drei Gleichungen, aus denen man durch

Elimination von s und s, die Gleichung der windschiefen Schraubenfläche

findet

— ı—

LEA

tg

y

Yl

DE

T

ein

Für die Projection der Krümmungslinien in die XY-Ebene erhält

er

man folgende Gleichung in Polarcoordinaten:

nal-

P= ı410g

D}

V+; + a

Un

Da auch alle diese Curven congruent sind, so kann man sich mit

einer derselben begnügen:

=0

Axe

—0

a

ibt

che

2

6

an

Die Asymptotencurven sind die Geraden und Schraubenlinien der

Fläche.

hen

Beim Aufbiegen des Catenoids auf die Schraubenfläche geht der Kehl-

ten

kreis in die Axe, die Parallelkreise in Schraubenlinien und die Meridiane

in Gerade der Schraubenfläche über.

München, im December 1881.

on

10n

ich

er

(

ch

he

7

l

S

Z

dl

N

S6

5

Q

M

N:

]\(

Z

M

N

W

D

f

p

O

Wl 3

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

XXIL

Fläche zwölfter Ordnung,

Brennfläche der von einer leuchtenden Linie ausgehenden Strahlen nach ihrer

Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die Linie trifft.

Von stud. math. S. Finsterwalder.

Diese Fläche entsteht durch Aufeinanderschichten der ebenen Brenn-

linien, welche durch Reflexion der von einem leuchtenden Punkt S aus-

gehenden Strahlen an einem Kreis entstehen, wenn man die Entfernung

zweier Schichten dem variabeln Abstand z des Kreismittelpunktes M von

dem Punkt S proportional macht, und die Mittelpunkte M, sowie die

Symmetrieaxen der Brennlinien übereinander zu liegen kommen.

In der

That bilden dann die spiegelnden Kreise in ihrer Aufeinanderfolge einen

senkrechten Cylinder und die Punkte S eine durch die Achse desselben

gehende leuchtende gerade Linie. Alle Strahlen, welche von dieser Linie

ausgehen und in einer Ebene senkrecht zur Cylinderachse liegen, umhüllen

nach ihrer Reflexion die Brennfläche.

Die übrigen Strahlen geben zu

keiner weiteren Einhüllenden Anlass.

Im Modelle ist der Cylinder durch seine Spur in der Deckfläche be-

zeichnet, die leuchtende Linie hat man sich durch den Mittelpunkt des

Modells gehend als Verbindungslinie derjenigen beiden Punkte zu denken,

in welchen zwei Rückkehrkanten sich normal durchschneiden.

Wir stellen im Folgenden die Gleichung dieser Brennfläche auf, indem

wir die in Salmon’s Analytischer Geometrie der höheren ebenen Kurven

enthaltenen Andeutungen über Klasse und Ordnung der Brennlinien aus-

führen und vervollständigen.

Sind T7=0, N=0 die Gleichungen von Tangente und Normale an

/

2

die spiegelnde Curve, 7“ u. N‘ die Ausdrücke 7 und N nach Einsetzung

der Coordinaten des leuchtenden Punktes, so ist T‘N—N’T=0 die

U

Gleichung des einfallenden Strahls, 7‘N+N’T=0 die Gleichung des

pu

hierzu in Bezug auf Tangente und Normale conjugirten, d. h. des reflec-

mä

tirten Strahls.

Für den Fall, dass die reflectirende Curve ein Kreis ist und man

S

das Coordinatensystem so wählt, dass die X-Achse durch den Mittelpunkt

desselben und den leuchtenden Punkt geht und die Y-Achse im ersten

A

fa

Punkte senkrecht zur X-Achse steht, wird die Gleichung von Tangente

S

und Normale:

% cos @ + ysin —r =0

C0

X sin P — Y cos @

=();

die Gleichung des reﬂeqtirten Strahles ist alsdann:

N

DY coqu>——pxsin2q)+r(w—l—p)singp—-—rycosq)=0.

dl

Setzt man:

B

Z

1

coscp=—ä—(t—{-%-)‚ sin =

20

(

b

);

wo i=V—1 ist, und bezeichnet man die Coefficienten von cos2@,

sin2 @, cos, sin durch &, B, y, 0, so nimmt die Gleichung des

refleetirten Strahls folgende Form an:

@— BUE 0yl O Eyüt e Bi=0.

X

Diese Gleichung gibt unmittelbar die Klasse der Curve, denn setzt

man in &, S, y, 0 die Coordinaten eines beliebigen Punktes ein, so gibt

die Gleichung vier Werthe von %, denen vier Tangenten an die Brennlinie

M

entsprechen.

Dieselbe ist also von der vierten Klasse.

Um die Gleichung der Brennlinie in Punktecoordinaten zu finden, hat

man aus obiger Gleichung und ihrer ersten Abgeleiteten den Parameter %

zu eliminiren oder, was dasselbe ist, die Diseriminante der Gleichung

aufzustellen.

Eine Gleichung vierten Grades von der Form:

f(

a *+ 4a6 + 6a,0°+ 40a4 =0

hat als Diseriminante :

(d, A, — 40, A, + 3a,7)* —27 (@, A, A, + 26, A, Az —& A,* — a A, — = 0,

Setzt man hierin: &=&4-—ßi;z a=10-—70); 4=0

a =4(0+7yÜ; a,=«-+ßi, so erhält man nach einigen Reduetionen:

[4 (@«? + ß?) — (d? + y7)] — 27 [a (d* — y?) + 28yd]'= 0.

Berücksichtigt man schliesslich die Bedeutung von «, ß, /, O, so ergibt

sich die Gleichung der Brennlinie in der Form:

42 — r?) @* + y — rn (2x +D — 27r p y? @* + y — D = 0

;

D

A

3

Z

A

Die Brennlinie ist daher eine Curve sechster Ordnung. Setzt man

/ die

in dieser Gleichung den Abstand p des leuchtenden Punktes vom Mittel-

des

punkt des spiegelnden Kreises gleich einer dritten Variablen %, SO erhält

flec-

man die Gleichung der oben definirten Fläche:

mal

4 2? — 7?) (z? + y — r? 2 (2% + 2)]) — 27 rt2?g? @* + y° — 2 = 0,

unkt

Sie ist von der zwölften Ordnung. Die Variable y kommt nur. im Quadrat

SEn

vor; die Fläche ist daher in Bezug auf die XZ-Ebene symmetrisch. Ver-

ente

tauscht man in der Gleichung x mit —x und z mit —, 80 bleibt die-

selbe ungeändert.

Die Fläche wird daher durch die XY-Ebene in zwei

congruente, aber nicht symmetrisch liegende Theile getrennt.

Die Gleichung ist von der Form:

P — Q=0.

Setzt man P=0 und Q=0, so muss die Schnittlinie der durch diese

beiden Gleichungen dargestellten Flächen eine Rückkehrkante der Brenn-

fläche sein.

Man erhält deren drei, die den. folgenden Gleichungen ent-

sprechen:

»

(42? — y7)(@? + y — r’2(2x + 2)=0

Y

Y

Hieraus folgt die Gleichung:

des

2x2+r(@ + 2)].[2xz — r (@ + 2)]= 0.

Dieselbe stellt in Verbindung mit der Bedingung y==0 ein System

etzt

von zwei gleichseitigen Hyperbeln in der XZ-Ebene dar, die sich im Punkte

%=0, z=0 berühren und deren Asymptoten Parallele zur Z und X-Achse

ibt

nie

in den Abständen +— sind.

Z

hat

2)

42 — r) @ + y — r?2(2x + 2)=0

ZE=.

ar

Ein imaginäres Geradenpaar, dessen einziger reeller Punkt der An-

ng

fangspunkt ist, welcher als sechsfacher Punkt der Fläche zählt.

3)

(42? — r @? + y — r?2(2% + 2)=0

z? + y?— 2’=0.

Die hierdurch definirte Raumecurve hat als Projectionen auf die XZ-

und YZ-Ebene Curven, deren Gleichungen sind:

22°— yr (@% + 2)=0

N

42*(g?— r) + r*gy?=0.

Erstere hat für 2=0, x= 0 einen Wendepunkt, dessen Tangente

unter einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt ist. Letztere berührt

ibt

im Punkte z2=0, y=0 sich selbst, was sich unmittelbar aus den Glei-

chungen ergibt. Vergleicht man dieses Resultat mit den oben erhaltenen,

so ergibt sich, dass in dem sechsfach zählenden Anfangspunkte einmal

D

9

7

L

;'

4

DEa

die beiden in der XZ-Ebene gelegenen Rückkehrkanten (Hyperbeln) sich

berühren, zweitens, dass in demselben Punkte die dritte Rückkehrkante

sich selbst berührt und drittens, dass allen drei Rückkehrkanten dieselbe

Tangente zukommt, nämlich eine in der XZ-Ebene, gelegene, zu beiden

Achsen unter einem Winkel von 45° geneigte Gerade.

Die horizontalen Schnitte der Fläche sind Brennlinien der an

einem Kreis reflectirten Strahlen.

Dieselben haben ausser imaginären

Singularitäten im Allgemeinen 4 reelle Spitzen, deren Construc-

tion sich auf die Eigenschaft der Kegelschnitte stützen lässt, dass alle

Strahlen, die von einem Brennpunkte ausgehen, an dem Kegelschnitt so

Be-

refleetirt werden, dass sie sich im anderen Brennpunkte sammeln.

trachtet man nämlich den leuchtenden Punkt als den einen Brennpunkt

eines Kegelschnittes, der mit dem reflectirenden Kreise

eine 4punktige Berührung eingeht, so wird der andere Brenn-

punkt offenbar eine Spitze der Brennlinie sein. Da ein Kreis einen Kegel-

schnitt nur in 4 Punkten vierpunktig tangiren kann, so sind nur folgende

Lagen möglich:

a) Der Kreis berührt den Kegelschnitt (Ellipse oder Hyperbel) am

Endpunkte der grossen resp. reellen Achse. Man erhält dadurch 2 Spitzen

auf der Verbindungslinie des leuchtenden Punktes mit dem Mittelpunkte

des Kreises, deren Construetion aus dem Satze folgt, dass der Krümmungs-

mittelpunkt am Endpunkte der grossen resp. reellen Achse eines Kegel-

schnittes der zum Scheitel in Bezug auf die Brennpunkte harmonisch con-

jugirte Punkt ist.

b) Der Kreis berührt den Kegelschnitt (Ellipse) am Endpunkt der

kleinen Achse. Die Construction der Spitze wird folgende:

Man errichte

im leuchtenden Punkte S eine Senkrechte, welche den Kreis in T und Z“

schneidet, verbinde 7 und 7“ mit dem Mittelpunkte M und suche die

Gegenpunkte zu S in Bezug auf MT und M7‘. Diese sind die verlangten

Spitzen.

Um die unendlich fernen Punkte oder etwa vorhandene Asym p-

toten zu finden, kann man folgenden Weg einschlagen.

Aus _umstehender Figur ergeben sich die Beziehungen:

2U=0@-+

D sin @ = 7 sin W

Differenzirt man die Gleichungen und berücksichtigt man, dass de für

den Fall, dass OT eine Asymptote sein soll, gleich Null sein muss, so

erhält man für cos@ die Bedingung :

Y

ul

cos* p =

30

Nach dem Gesagten ist es leicht, sich von der Gestalt der Curve

für die verschiedenen Werthe von o Rechenschaft zu geben. (Die Curven

1AN

/

/,/

v

U

ch

{e

e

n

M

AW\\ D

n

n

le

sind auf dem Modell eingeritzt; die dabeistehenden Zahlen bedeuten, um

wie viele Zwölftel des Radius sie über der Curve liegen, für die p= r ist.)

{

I. Geht man von dem Falle p= 0 aus, so ist die Curve zuerst auf

den Mittelpunkt des Reflexionskreises reducirt; für D D >0, besteht sie

aus einem geschlossenen vierspitzigen Zug mit zwei Spitzen o und 0, auf

e

der X-Achse und zwei solchen 0, und 0, symmetrisch zu derselben (Curven

R:

H Wiid D=

s

so rückt die Spitze 0, in’s Unendliche, und die

27

X-Achse kann als Doppelasymptote betrachtet werden (Curve 6).

II Wird r>p>%, 8o erscheint die Spitze 0, auf der entgegenge-

setzten Seite wieder, während zugleich 2 getrennte Asymptoten mit stets

wachsendem Neigungswinkel auftreten.

Die Spitzen 0, und 0, nähern

sich der Peripherie des spiegelnden Kreises (Curven 5—1).

IV. Für den Fall, dass d»== r ist, haben die Asymptoten ihren Maximal-

V

winkel 90° erreicht. Sie fallen in eine Gerade zusammen, was sich durch

Ausscheidung des Faktors (x — 7)* aus der Gleichung der Brennlinie für

diesen Fall zu erkennen gibt.

Die restirende Curve zeigt nur mehr die

eine Spitze o, auf der Y-Achse, während die anderen drei im leuchtenden

Punkte zusammengefallen sind. Sie ist eine Cardioide (Curve 0).

V. Wird v >r, so verschwinden die Asymptoten und die Spitzen 0, 0,

vollständig, dagegen erscheint die Spitze o, innerhalb des Kreises wieder.

Die Brennlinie bildet einen geschlossenen zweispitzigen Linienzug, der den

Kreis in den Schnittpunkten der Polare des leuchtenden Punktes berührt.

VI. Wächst die Entfernung des leuchtenden Punktes bis dp=©, SO

wird die Curve schliesslich symmetrisch zur Y-Achse und ist dann identisch

mit einer Epieykloide, die durch Rollen eines Kreises vom Radius }r auf

einem Kreis vom Radius 4r entsteht.

München, im December 1881.

E

ON

//J%

DA

//

s

‚//

e

S

—

7

E

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

XXIV.

Ueber die Krümmungslinien der Röhrenschraubenfläche.

Von Th. Kuen,

Assistent an der k. technischen Hochschule in München.

Die Röhrenschraubenfläche ist die Enveloppe der Kugeln von con-

stantem Radius, deren Mittelpunkte

auf einer Schraubenlinie liegen.

Die

Gleichung der letzteren sei:

EL

A coS O

;

@ sin @

1.)

Z

—z

b

Die Gleichung der die Röhrenschraubenfläche erzeugenden Kugel

wird dann:

F(p= @— acosgp)' + (y — asing)? + @ — bg) — r’=0.

10

Zwei benachbarte Kugeln schneiden sich nach einem Kreise, welcher

zugleich der Enveloppe angehört.

Dieser

Kreis wird bestimmt

durch

F(@g)=0 und die Gleichung:

=d sin @ (X — a cos @) — a cos @ (y — a sin O) — b (# — bgp)=0. ML.)

AT

Durch Elimination von ® aus den Gleichungen II. und III. würde

Einfacher

sich die Gleichung der Fläche in gewöhnlicher Form ergeben.

ist es jedoch, die Coordinaten der Punkte der Fläche durch zwei Para-

meter auszudrücken; als den einen wählen wir @, der andere werde mit

w bezeichnet.

auf der

Fläche sind nach dem

Die Curven @ = Const.

Vorhergehenden Kreise, deren Ebenen

senkrecht zur Schraubenlinie (I.)

$

stehen

Um ein möglichst bequemes Curvennetz auf der Fläche zu er-

Coett

halten, soll ein solcher Parameter u gewählt werden, welchem das System

scht

der auf der Fläche liegenden Schraubenlinien zugehört

Dies ist aber

der Fall, wenn für u = Const., z° + y*= Const. wird, d. h. wenn aus dem

Ausdrucke für 0°= x” + y“ nach Einführung von “ @ verschwüunden ist

Aus den Gleichungen II. und IIL. folgt nun

[0*? + a?— r* + (# — bg))* + 4 (e — bg)*= 4a*0°;

und

@ verschwindet aus diesem Ausdruck dann und nur dann, wenn 2 — b p = w

gesetzt wird

Dabei ist gleichgültig, welcher Funetion von &, & -— be

gleichgesetzt wird

indess hängt die Einfachheit der Flächengleichung

davon ab

Drückt man x und y als Funetion von z — b @ aus, so erhält

man

sind

leic

Sa

(1 —}—(2

ß/

Al

)c()>(‚0 + (@ — be) —sm P

chut

a* + b*

Schi

J—(a+l/

(z — b) )mnfp——( —00 — O

Am einfachsten werden diese Gleichungen

wenn man oben vorkom-

mende Wurzel gleich dem Parameter « setzt; man erhält dann die Glei-

chung der Röhrenschraubenfläche in der Form:

Schi

CONS

2+l)2

YOn

und

Sx=(a+u coscp—%-b>uqu

2 — w

y

Ist

(y= (a + u).sinp —d cosgp

+b2

z

PE

u“

Z

2+b2

und

Für diese Fläche sollen nun die Krümmungslinien aufgesucht werden

Aus dem bekannten Joachimsthal’schen Satze über ebene Krümmungs-

linien folgt, dass die Kreise @ = Const. die eine Schaar der Krümmungs-

(

schneiden die

linien der

Fläche bilden

denn die Ebenen der Kreise

Tini

Fläche unter einem constanten Winkel

nämlich einem Rechten

Das

IM

zweite System, welches das erste orthogonal durchschneidet

kann auf

folgende Weise gefunden werden

Der Ausdruck für das Linienelement wird

Und

2

br?*

ds*= du‘*—

X

2+ 2du.de. VT VAZ

8

u?+ a! +b?)

Sch

+ dg

E

V.)

a* + dD?

Da ein Glied dwu.dg vorkommt, so stehen die beiden Curvenschaaren

u= Const. @ = Const

nicht aufeinander senkrecht

Statt des Para-

meters u können wir aber leicht einen andern w

einführen , so dass der

bb

l 6I

Coefficient von du‘.d@ in dem Ausdruck für das Linienelement ver-

en

schwindet; man gebe diesem die Form:

aber

ds=

du

brda |*

dem

+

f

l/rzi_ u?

Va* + &*

d@®.

(a + w)* +

a° + b° — u*]_

a2+b2 (7

und setze:

- fl)

du‘

r

br

bg

m du.l/r2__‚u.z+ Vaz+ 6?

\48)

ng

hält

Die Curven w‘= Const. stehen dann senkrecht zu @ = Const. und

sind daher die zweite Schaar der Krümmungslinien; ihre Differential-

gleichung erhält man durch Nullsetzen der rechten Seite in der Glei-

chung (VL.).

Durch Integration ergibt sich als Gleichung für die zweite

Schaar von Krümmungslinen, wenn c die Integrationsconstante bezeichnet:

( + 0)

— u= r sin

VIE)

OM

Va

lei-

Diese Curven sind congruent ünd gehen ineinander über durch Ver-

schieben der Fläche in sich selbst;

es genügt also, diejenige Curve zu

construiren, für welche c=0 gesetzt wird. Die geometrische Bedeutung

von %, die man nothwendig kennen muss, um das Curvennetz der Kreise

und Schraubenlinien @ = Const., u = Const. auf der Fläche herzustellen,

ist nicht schwer zu ermitteln.

Aus den Gleichungen IV. ergibt sich:

2

O= a +

a2+b2

(r* — w’*)

und für @# = 0:

CN

2=

Vrz——u";

l/a2+ b2

g8:

A

Q bedeutet dabei den Radius der dem Parameter w zugehörigen Schrauben-

linie.

Nennt man den Winkel, den die Kreisebene #=0 mit der XY-

I

A

Ebene einschliesst, W, so ist:

(22

f

sin W =

;

Va

und wenn man in umstehender Figur MK=r7, M0 = 0, MZ= r sinwW,

S,S‘=— MR macht, so folgt, dass der. Parameter w die Strecke MS, ist,

d. h. die Differenz der Projection von Q, Radius der durch w“ bestimmten

Schraubenlinie, auf die zugehörige Gerade OM. Ferner ist:

—Ü

sin & = — =

also

Va

237

I

&« SR SE E

b

VIL.)

l/a2 + b2

LO

4

K R

A

/S/

i E E S

S

V

S

N

s

ea

$

A

Nimmt man also die Kreise so an, dass ihre Mittelpunkte constanten

Abstand haben, so hat man anch auf den Kreisen selbst gleiche "Theile

abzutragen, die Grösse eines einzelnen Theiles berechnet sich aus der

Gleichung VIIL

Für das Modell der Röhrenschraubenfläche wurden für @, r und b

die folgenden Werthe gewählt:

Z 63mm

mm

—25

[ d = 21,3°

München, im December 1881.

fläc

Bü

We

der

Au

he

68

lel

SC

I

fa

1!

fl

Je

IN

f

IM

N

Y

S

(

(

A

%

Mathematische Modelle

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochgchule in München

fanten

unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

Theile

E

s der

ınd D

(Nachtrag zu Nr. XVI).

Die parabolische Ringeyclide.

Von stud. math. Seb. Finsterwalder.

Die im Folgendeﬁ näher zu betrachtende Fläche wurde als Wellen-

fläche desjenigen Strahlsystems gefunden, welches durch Reflexion eines

Bündels paralleler Strahlen an einem hyperbolischen Paraboloid entsteht,

wenn man das Centrum des Bündels auf dem unendlich fernen Punkte

der Achse des Paraboloids annimmt.

Nach einem bekannten Satze von Malus wird ein Normalensystem

durch eine beliebige Anzahl von Reflexionen oder Brechungen am beliebig

begrenzten Medien immer wieder in ein Normalensystem verwandelt, und

es ist daher in unserm Falle die Existenz einer Schaar unter sich paral-

leler Wellenflächen

vorauszusehen.

Die Construection

derselben

ergibt

sich durch Uebertragung der von Quetelet und Cayley für ebene Brenn-

linien angegebenen Prineipien auf den Raum. Man denke sich die ein-

fallenden Strahlen von einer Wellenfläche W ausgehend. Eine Wellen-

fläche W, der reflectirten Strahlen wird dann gefunden, wenn man für

jeden von einem Punkte der Fläche W ausgehenden Strahl das Spiegel-

bild dieses Punktes in Bezug auf diejenige Tangentialebene der spiegelnden

Fläche nimmt, welche in dem Einfallspunkte des Strahls berührt.

Nimmt

man als spiegelnde Fläche ein hyperbolisches Paraboloid mit congruenten

Hauptschnitten und als Wellenfläche W der einfallenden Strahlen die Tan-

gentialebene S im Scheitel desselben an, so erhält man als Fläche W,

die im Modell dargestellte Fläche.

Ordnet man die Strahlen des Bündels nach ebenen Büscheln B, die

den Hauptschnitten H,, H, des Paraboloides parallel sind, und sucht mafl'1

D

N

chi

die Spiegelbilder O,, die den Fusspunkten 0 der Strahlen eines solchen

einh

Büschels B entsprechen, so liegen dieselben auf einem Kreise, dessen

nich

Ebene senkrecht zu den Erzeugenden desjenigen Cylinders steht, der das

and

Paraboloid längs der Schnitteurve mit der Ebene des Büschels berührt.

Die Ebenen der Kreise, welche Büscheln parallel zu einem der Haupt-

ON

schnitte entsprechen, schneiden sich in einer Geraden C, resp. U, der zu-

schn

gehörigen Hauptschnitte H,, H..

€InE

Die den Büscheln der Hauptschnitte entsprechenden Kreise K, und K,

(Sie

liegen in den Hauptebenen selbst und berühren die Hauptschnitte im

Scheitel.

Die Radien dieser Kreise haben einen kleinsten Werth y gleich

läng

der Focaldistanz der Hauptparabeln.

Ihre gegenseitige Lage, sowie die

el

der Geraden C, und C, lässt sich am Modelle leicht übersehen.

IN

Um alle Kreise zu erhalten, deren Ebenen durch C, gehen, hat man

dIst

nur eine solche Ebene beliebig anzunehmen und in derselben über der

SeN!

Strecke MN (welche von den Schnittpunkten des Kreises K, und der Ge-

raden C, mit der Ebene begrenzt ist), als Durchmesser einen Kreis zu

firte

1

beschreiben, welcher dann der Fläche angehört.

Analoges gilt von den

wel

Kreisen, welche in Ebenen des Büschels C liegen.

Die Ebene jedes der Büschel C,, C,, welche parallel zur Achse des

allg

andern gelegt werden kann, schneidet aus der Fläche einen Kreis aus,

Tel

welcher in die Gerade U, resp. C, und die unendlich ferne Gerade zerfällt.

fole

(

Es liegen daher die Geraden C, u. C,, sowie die unendlich ferne Gerade

der zu beiden parallelen Ebenen in der Fläche. Dieselbe geht auch durch

AUS

den imaginären Kugelkreis, weil jeder der doppelten Schaar der unter sich

ın

nicht parallelen Kreisschnitte zwei Punkte mit demselben gemeinsam hat.

Um

Ausser den Geraden C, und C, und der erwähnten unendlich fernen Ge-

SC

raden besitzt die Fläche noch zwei, durch den Schnittpunkt der beiden

Ra

Kreise K, und K, gehende zu einander senkrechte Gerade, in welchen

ö

sich die Fläche, das Paraboloid und dessen Scheitelebene gegenseitig

ZW

{

durchdringen.

——

du

Denkt man sich die Ebenen des Büschels U, um die Achse in eine ge-

I

meinsame Ebene gedreht, so bilden die Kreise ein Büschel mit imaginären

de

3rundpunkten , deren Entfernungen von der Hauptebene Y, +2o V

pu

sind. Diese Punkte Q, und Q, sowie die entsprechenden Q, und Q, der

vO

Geraden C, sind imaginäre Knotenpunkte der Fläche.

IC

Die Fläche ist dritter Ordnung, da jede Ebene nach einer Curve

fl

dritter Ordnung schneidet, die für die Ebenen der Büschel C, und C, in

be

eine Gerade und einen Kreis, für Ebenen parallel zu C, und C, in eine

Hyperbel und die unendlich ferne Gerade zerfällt.

Die Geraden C, u. C,

de

sind torsal und daher doppelt zu zählen.

Von den 27 Geraden der allge-

0

meinen Fläche dritter Ordnuug sind daher 7 reell, davon zwei Paare zu-

ho

sammenfallend.

be

Betrachtet man 2 aufeinanderfolgende Kreise MN, M’N‘ derselben

T

&

lchen

Schaar, so kann man durch beide eine Kugel legen, welche der Fläche

lessen

einbeschrieben ist.

Der Mittelpunkt P derselben liegt in der der Schaar

Y das

nicht angehörigen Hauptebene und zwar im Schnittpunkte der auf M M”

rührt,

und NN‘ errichteten Senkrechten.

lapt-

Die Kreise sind daher Krümmungslinien der Fläche, da sich alle

r ZU-

Normalen längs derselben im Mittelpunkte der einbeschriebenen Kugel

schneiden.

Unsere Fläche ist daher eine Dupin’sche Cyelide und zwar

X

eine parabolische Ausartung der allgemeinen Cyclide vierten Grades.

e m

(Siehe Maxwell’s Aufsatz: On the eyclide, Quarterly Journal Bd. 9.)

leich

Der Ort der Spitzen P der geraden Kegel, welche die Normalen

, die

längs einer Krümmungslinie bilden, besteht aus zwei congruenten Parabeln,

welche in den Hauptebenen des Paraboloides liegen.

Der Scheitel der

man

einen ist zugleich der Brennpunkt der andern und die gemeinsame Focal-

_ der

distanz gleich 2%. Diese Focalparabeln repräsentiren die in Linien de-

v -

generirten Mäntel der Krümmungscentrafläche.

Das System der reflec-

S U

tirten Strahlen kann als die Gesammtheit der Geraden betrachtet werden,

den

welche die Focalparabeln schneiden.

Maxwell hat an oben citirtem Orte auf die analoge Eigenschaft der

de

allgemeinen Cyclide eine mechanische Construction gegründet, deren directe

VUebertragung auf unsern Fall nicht möglich ist.

Als Ersatz dafür kann

aus,

ällf,

folgende auf ähnlichen Grundsätzen beruhende gelten.

yade

AB

Die beiden Hauptparabeln seien

/

urch

aus dünnem Drahte hergestellt und

sich

in ihrer gegenseitigen Lage befestigt.

\

i

hat,

Um die beiden Brennpunkte drehen

|

N

(6

sich in den Ebenen der Parabeln zwei

o

B'

den

Yadıen 4 B, AB

von

gleicher

n

‚en

Länge @, welche auf den Parabeln

E

N

flg

zwei Punkte P, P‘ bestimmen, die

durch eine Gerade von unbestimmter

N

gl

Länge verbunden werden, auf welcher

ren

der

Punkt 0

markirt

ist.

Der Punkt O ist nun mit jedem der End-

punkte B, B‘ durch einen Faden von der Länge a —p verbunden, welcher

der

von B resp.. B‘ nach P resp. P‘ und von dort nach O läuft, wo er. be-

festigt ist.

Wenn PP‘ alle möglichen Lagen annimmt, beschreibt O die

Fläche.

IC

Wenn P festgehalten wird, während P‘ die Parabel durchläuft,

In

beschreibt 0 eine Krümmungslinie.

Ine

Um die Klasse der Fläche zu bestimmen, geht man von der Gleichung

(

derselben in Punktcoordinaten aus, die sich ohne Schwierigkeit aus obiger

E

Construetion ableiten lässt.

Sie lautet, auf die Scheitelebene des Para-

boloides als XY-, und die Hauptebenen desselben als XZ- und Y Z-REbene

Al

bezogen:

en

g (@? + gy* + 2° — 4p°) — 2n (z?—y)=0.

SA

4

Die Diseriminante in Bezug auf z gibt die Gleichung des zur Z- Achse

parallelen Berühreylinders:

(ZÜ2+ ‚7/2_4272)8"‘_27292(%‘2_'y2)2=0-

Die Leiteurve desselben ist sechster Ordnung mit vier reellen Spitzen

im Durchschnitte des Geradenpaares %7 =+y mit dem Kreise:

a + y = 4p°

Da der unendlich ferne Punkt der Z-Achse der Fläche nicht angehört,

so ist die Ordnung des Berührceylinders der Klasse der Fläche gleich;

diese ist daher die sechste.

München, im Januar 1883.

fache

fach

Darhi

Type

Einen

Frag

Refle

Keda

Kreis

HIN

Die

Z |

Punk

Von -

Stral

Her

ETZ@

dere

dem

L

%ı

S

X&

-Achse

Spitzen

gehört,

Mathematische Modelle

gleich;

angefertigt

im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München

XXVUI.

3 Typen von Cycliden mit einem System sphärischer

Krümmungslinien.

Von Dr. S, Finsterwalder.

Die im Nachfolgenden zu besprechenden Flächen bieten in mehr-

facher Hinsicht Interesse: erstens als Wellenflächen gewisser optisch ein-

fach zu definirender Strahlensysteme; zweitens als Cyecliden in dem von

Darboux u. A. gebrauchten erweiterten Sinne; drittens als allgemeine

Typen von Flächen 4. Ordnung, deren einer Mantel der Centrafläche in

einen Kreis degenerirt.

Wir wurden auf diese Flächen aufmerksam bei Beantwortung der

Frage, die Wellenflächen eines Strahlensystemes zu finden, das durch

Reflexion eines Lichtbündels an einer, als unendlich dünne Kanalfläche

gedachten, spiegelnden Curve entsteht.

Wir nehmen als solche einen

Kreis A vom Radius r an und denken uns.den leuchtenden Punkt P

ausserhalb des Kreises in einer Enffernung n von der Ebene desselben.

Die Entfernung des Centrums von 4 von dem durch P gehenden Lote

zur Ebene des Kreises sei qg.

Jeder Strahl, der von P aus nach einem

Punkte der spiegelnden Curve geht, wird dort an einem ganzen Büschel

von Tangentialebenen reflectirt und daher in einen Rotationskegel von

Strahlen zertheilt, dessen Axe die Tangente an die spiegelnde Curve und

dessen eine Erzeugende der einfallende Strahl selbst ist.

Es lässt sich demnach das System der reflectirten Strahlen aus den

Erzeugenden der Rotationskegel zusammensetzen, deren Spitzen Punkte,

deren Axen Tangenten der spiegelnden Curve sind, und welche ausser-

Eine der Wellenflächen dieses

dem durch den leuchtenden Punkt gehen.

L

J

Z

welche durch

]

Strahlensystemes ist offenbar die Enveloppe von Kugeln

P gehen und ihren Mittelpunkt auf 4 haben

Die Gleichung dieser Wellen-

dar, 4

jugirt

fläche lautet

(a? + y° + &* —p — 2qz) —4r @ +y)=—0

Cons

dritten

Dabei hat der leuchtende Punkt die Coordinaten %= 0

YEN

&Z

yon d

der spiegelnde Kreis die Gleichung

Ourve

CO

Umris

zweiß

Die Fläche ist 4. Ordnung und enthält den unendlich fernen Kugelkreis

als Doppelcurve; sie ist daher eine Oyclide im Sinne von Darboux

An

welche

parabe

Singularitäten hat sie ausserdem noch 2 konische Knoten, den einen im

leuchtenden Punkte P, den andern im Gegenpunkte P“ desselben in Bezug

]

Fall p

auf die Ebene des Kreises 4. Die Klasse beträgt daher 36 — 4—2.2 — 28

Zwei consecutive erzeugende Kugeln schneiden sich in einem Kreise,

trennt

welch

der ganz auf der Fläche liegt und durch die beiden Knotenpunkte P und

3 scht:

Derselbe gehört einem System von Krümmungslinien an.

Um

Chung

das zweite System zu finden, fasst man die Fläche als Bestandtheil einer

dreifach orthogonalen Schaar auf und erhält dann die Krümmungslinien als

Zu diesem Zwecke trans-

Schnitte mit den einzelnen Flächen der Schaar

formirt man die Fläche durch Inversion vom leuchtenden Punkt als Pol

aus. Die Ordnung 8 der inversen Fläche wird durch den unendlich fernen

Die }

Kugelkreis um 4 und durch den Knotenpunkt P _ im Inversionscentrum

Da die transformirte Fläche wegen des zweiten Knoten-

Fläche

um 2 erniedrigt.

IM le)

punktes P‘ der Originalfläche selbst einen Knotenpunkt enthalten muss,

eine (

so_ ist sie nothwendig ein Kegel 2. Ordnung. Den Erzeugenden entsprechen

|

die Kreise auf der Cycelide.

Der Kegel bildet mit seinen Confocalen und

In rot

den concentrischen Kugeln eine dreifach orthogonale Schaar, aus der wir

Kugel

durch Inversion eine zweite erzeugen können, welcher unsere Cyclide an-

Die concentrischen Kugeln gehen dabei, wie man leicht über-

Mitte]

gehört.

sieht, in ein Kugelbüschel über, das die Punkte P und P‘ zu Nullkugeln

€n Sj

hat

STÖSS

Dieses Kugelbüschel schneidet aus unserer Fläche die zweite Schaar

von Krümmungslinien aus.

Bezeichnet c den Radius einer Kugel des

von }

Büschels, so kann man die Gleichung unserer Fläche in Polarcoordinaten

Unser

0, @ (Länge), W (Breite) und dem Parameter c folgendermassen schreiben

Darall

Curve

DA a 20

0 2

+

0

CONSE

DEr O

da

Q +_P

7

0, = 1 — 9gco8s @

Man |

ig @ =

h8 en

Den Werthen @ == const entspricht die erste aus Kreisen bestehende

d]e \l

Schaar von Krümmungslinien, den Werthen c = const eine Schaar sphä-

Selber

rischer Curven (Sphero-Quarties)

welche das zweite System der Krüm-

\md

er R

mungslinien bilden

///

I

D3

e durch

Zwei der Modelle, das ringförmige und das hornförmige, stellen Flächen

Wellen-

dar, für welche p rein imaginär ist, die beiden Doppelpunkte also con-

jugirt imaginär auftreten; bei letzterer besteht ausserdem zwischen den

Constanten die Beziehung p’-+ (r — g)'= 0, welche die Existenz eines

dritten (reellen) Doppelpunktes zur Folge hat.

Der Umriss der Flächen

l

von dem unendlich fernen Punkte der Z-Axe gesehen, ist eine bicireulare

Curve 4. Ordnung (Cartesisches Oval, resp. Paskal’sche Schnecke).

Der

Umriss, von dem unendlich fernen Punkte der Y-Axe gesehen, zerfällt in

velkreis

zwei Kreise und eine doppelt zu zählende Parabel *— 2gqx%x — p*—r?=0,

x An

welche beide Kreise doppelt berühren. Die Fläche ist dem entsprechenden

men iM

parabolischen Cylinder doppelt einbeschrieben.

ı Bezug

Das dritte, herzförmig gestaltete Modell stellt die Fläche für den

B

Ball » = 0 qgi= r dar.

Hier sind die bei dem hornförmigen Typus ge-

Kreise,

trennt auftretenden Knoten zu einem uniplanaren Knotenpunkt vereinigt,

P und

welcher die Klasse um 6 reducirt.

Dieselbe beträgt nun 26.

Die Glei-

, Um

chungen der Fläche in dem Parameter c lauten:

| einer

16r7*c?sin

2 r sin?

P

jen als

{rans-

() SE EL

0 = —

4r

Is Pol

zsm4q) A e?

fernen

frum

Die Kugeln, welche die zweite Schaar der Krümmungslinien auf der

Fläche ausschneiden, berühren sämmtlich die Ebene des spiegelnden Kreises

‘nofen-

im leuchtenden Punkte.

Der Umriss der Fläche in der XY-Ebene ist

MUSS,

eine Cardioide.

rechen

y und

Um die parabolische Curve der speciellen Fläche (auf dem Modell

in rother Farbe angegeben) zu finden, kann man diese dadurch auf eine

er wir

jde an

Kugelfläche abbilden, dass man Parallele zu ihren Normalen durch den

Mittelpunkt der Kugel zieht.

Der ersten Schaar von Krümmungslinien

t über-

entspricht dann ein System von Kreisen, deren Mittelpunkte auf einem

kugeln

grössten Kreise U der Kugel liegen.

Die Enveloppe Z dieses Systemes

Schaal

von Kreisen ist dann das sphärische Bild. der parabolischen Curve auf

el des

unserer Fläche, denn jedem Punkte von Z entsprechen zwei benachbarte

inaten

parallele Normalen der Fläche, deren Fusspunkt also der parabolischen

eiben;

Curve angehört. Es seien X und X‘ zwei benachbarte Kreise, die Bilder

consecutiver Krümmungslinien. Der Abstand ihrer Mittelpunkte auf C sei

d@&. Betrachtet man die zugehörigen Normalenkegel der Fläche, so findet

man leicht, dass die Differenz der sphärischen Radien von X und K‘ 1d«a

beträgt. Zieht man alsdann nach den Berührpunkten mit der Enveloppe X

die sphärischen Radien &, R‘ der Kreise K, K*, so zeigt sich, dass die-

hende

selben mit dem grössten Kreise C einen Winkel von 60° einschliessen.

sphü-

Sind nämlich c, c‘ die Mittelpunkte von X, K‘ und e, e‘ die Fusspunkte

Krül-

der Radien &, R‘ auf der Enveloppe, so kann man, indem man ce auf

FE

4

e’e‘ von e aus abträgt, zu einem Punkte d gelangen, der mit c verbunden

das infinitesimale Dreieck cc‘d liefert, das die Hypotenuse c c‘= da und

eine Kathete cd==4da, also den Winkel cc‘d = 60°, enthält.

Alle zur Enveloppe X normalen Radien R R‘ haben demnach gegen

den Kreis C eine Neigung von 60° und umhüllen daher einen Kreis L

vom sphärischen Radius = 30°, und dieser ist die sphärische Evolute von &.

Um die Punkte von X auf die Cyelide zu übertragen, bemerke

man, dass dieselben auf den entsprechenden Kreisen X einen Winkelab-

stand = 60° von dem einen Schnitte mit U, dem Bilde der Symmetrie-

ebene, haben, und dass dieser Winkelabstand bei der Uebertragung erhalten

bleibt. Die der Enveloppe X entsprechende parabolische Curve wird daher

dadurch erhalten, dass man jeden der durch P gehenden Krümmungskreise

in 6 Theile theilt, und die ersten Theilpunkte von P aus durch eine Linie

verbindet. Daraus folgt, dass sie auch von einem Kreiskegel von 60°

Oeffnungswinkel ausgeschnitten wird, der seine Spitze in P hat, und dessen

Axe senkrecht zur Ebene des Kreises 4 steht.

B

SE

des

au

M

Zel

näl

do

K

ZU

les

Al

hi

Aı

Qı

SC

ATE

bunden

Verlag von L. Brill in Darmstadt.

I« und

. gegen

(reis L

‚ von.E,

emerke

nkelab-

CARTON-MODELLE

mefrie-

yhalten

/ daher

skreise

von Flächen zweiter Ordnung,

o Linie

0 ÜÜ’

dessen

construirt nach Angabe

von

Dr. A, Brill,

ord. Professor an der kgl. techn. Hochschule zu München,

Wenn in neuerer Zeit die Geometrie sich mehr dem Studium

des Zusammenhangs und der Gestalt einzelner Gebilde zuneigt und

auf diese Weise die Anschauung des Forschenden und Studirenden

in erhöhtem Mass in Anspruch nimmt, so wird der Versuch, ein-

zelne geometrische Typen durch das Modell der Raumanschauung

näher zu bringen, sicher nicht unwillkommen erscheinen. Schöpft

doch selbst die Forschung aus dem Studium der graphischen und

körperlichen Repräsentation neue Anregung und Belehrung; hier-

zu kommt noch die Ersparniss an Zeit und Kraft, welche in Vor-

lesungen durch eine demonstratio ad oculos erzielt wird. Instructiv

sind in dieser Hinsicht besonders Flächenmodelle.

Aber es fehlte

bisher an handlichen und leicht zu beschaffenden Modellen dieser

Art; findet man doch selbst die wenigen Typen von Flächen zweiter

Ordnung in einer Modellsammlung selten vollzählig vertreten. Es

schien daher der Mühe nicht unwerth, eine noch wenig bekannte

$

TW

uns

und bisher nur in vereinzelten Fällen angewandte Construction *)

der genannten Flächen, vermöge deren das Modell sich aus Kreisen

W

zusammensetzt, in systematischer Weise auf alle Flächen

fül

zweiter Ordnung anzuwenden. Nach einigen auf zweckmässige

Anordnung und passende Grössenverhältnisse gerichteten Versuchen

erhielt der Obengenannte Modelle, die er in dem Wunsche, dem

fül

erwähnten Bedürfniss zu begegnen, dem Buchhandel zu übergeben

sich entschloss.

Diese Modelle unterscheiden sich von den sonst wohl ge-

bräuchlichen durch ihre Bewe

o

(o)

lichkeit, vermöge deren sie nicht

W

nur je ein einzelnes Ellipsoid, Hyperboloid u. s

w. darstellen,

C

sondern. eine Schaar von Flächen der einen oder anderen Art.

da

Wenn man nämlich den Neigungswinkel der Kreisschnitte durch

einen auf das Modell in leicht erkennbarer Richtung ausgeübten

IM

Druck oder Zug**) sich ändern lässt, so erhält man ein einfach

H

unendliches System, dessen Individuen durch körperliche Formen

Ist

von allmählich sich ändernden Verhältnissen hindurch aus einer

Di

(unendlich) platten Form in eine andere ebensolche (mit anderem

jer

Axenverhältniss) übergehen, ohne inzwischen ihre Eigenschaft zu

hy

verlieren,. Ellipsoide, bezw. Hyperboloide u. s. w. darzustellen.

el

Die Beweglichkeit der Modelle ist durch einfaches Ineinander-

de

stecken der Kreise mit den einander entsprechenden Einschnitten

u

erzielt. Die bedruckte Seite paralleler Kreise sieht nach derselben

Richtung hin.

Entsprechende Einschnitte zweier Kreise sind mit

Pa

gleichen Zifferpaaren behaftet; z. B. 75 oder 57 stehen je an dem

-

Einschnitt, in welchem die Kreise

D

und 7 sich durchsetzen. —

Fallen mehrere Kreise ab, so füge man dieselben einzeln, mit

Kreisen der beiden Schaaren abwechselnd, ein.

Der Vollständigkeit wegen mögen hier noch die Gleichungen

*) Schon seit längerer Zeit pflegt man in der erwähnten Weise den Kegel

darzustellen; in dem Besitz von Herrn Klein zu München befindet sich

ferner ein nach Art der beifolgenden Modelle construirtes Paraboloid

(auf der Mathematiker-Versammlung zu Göttingen 1873 ausgestellt), das

nach Angabe des Besitzers von Herrn Henrici in London angefertigt ist.

Z

**) Man wende nur geringen Druck an, da bei rascher Bewegung der Carton

sich leicht staut.

18

P

n

Dieselben sind in recht-

unserer Flächensysteme Platz finden

1SEN

winkligen Coordinaten

En

für M1ttelpunktsﬂachen

SM

2

l

An

Sn

1

Z

(

D

= 1 bezw. = 0 (Kegel

COS W \a

a

A

k sin® w

(l

dn

für das elliptische Paraboloid

2

22

2+

’

acos M

« k.sin w

1CH

wo w der halbe Neigungswinkel der Kreisschnitte, @ und % reelle

Jen

Constante sind

— Aus der ersten Gleichung geht u. A. hervor

Alt

dass in der Schaar der Ellipsoide sich immer eine Kugel befinde

CH

Bei dem hyperbolischen

araboloid sind die Kreise in gerade

fn

Linien degenerirt

Diese Fläche lässt sich nämlich als einschaliges

ach

Hyperboloid auffassen, dessen Mittelpunkt in’s Unendliche gerückt

en

ist, während der eine Scheitel der Kehlellipse im Endlichen bleibt

er

Die Kreisschnitte des Hyperboloids sind dann ersetzt durch die-

M

jenigen beiden Schaaren paralleler Ebenen, welche die auf dem

A

hyperbolischen Paraboloid gelegenen Geraden ausschneiden. Hieraus

ergiebt sich eine Construction der Fläche aus Parallelschnitten, die

el

derjenigen der übrigen Flächen zweiter Ordnung völlig analog ist

en

und zur Herstellung des beifolgenden Modells geführt hat

en

Die Gleichung des entsprechenden Systems von hyperbolischen

mıc

Paraboloiden ist, mit Beibehaltung der obigen Bezeichnungen

em

X

2

22

y

0

k

a cOoS” W

a sın l/}

HIMS

München

im März 1878

en

gel

ch

oid

1a8

ist

ton

L7

z

R

Die

die (

die H

Sind }

Mittel

focale

Worin

Pläch

||

elimiı

Krüm

El‘ilﬂi]

U

Pläc

P Tuje

//.( C

Die Krümmungslinien auf den Mittelpunktsflächen

zweiter OÖrdnung,

Von

R. Diesel,

Studirendem der technischen Hochschule in München,

Sei allgemein:

g

4

2

52

%ı

A

+

B

_{_

C

1

(D

die Gleichung einer Fläche zweiten Grades mit Mittelpunkt, in Bezug auf

die Hauptaxen als Coordinatenaxen.

Die Krümmungslinien dieser Fläche

sind bekanntlich die Schnitteurven derselben mit anderen zu ihr confocalen

Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung,

Die Gleichung eines Systems con-

focaler Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung lautet:

2

5

2

2

Y

+

+

Z

]

7

2

)

Al +7

B '+’).

0

worin 4 ein variabler Parameter ist, dessen verschiedene Werthe verschiedene

Flächen und somit auch verschiedene Krümmungslinien ergeben.

n

Wenn man aus den beiden Gleichungen (1) und (2) &

’

Y

oder

Z

Z

eliminirt, so erhält man je eine Gleichung, welche die Projeetionen der

Krümmungslinien auf die yz-, xz- oder xy-KEbene darstellt.

Durch

A

Elimination von

R

z. B. entsteht:

C— R

COA

7E

2

=

Z

Y

1

(@&)

AA

BB

Es ist dies die Gleichung einer Mittelpunktseurve zweiten Grades,

d. h. einer Ellipse oder Hyperbel, deren Hauptaxen mit den Axen der

Fläche in der zy-Ebene zusammenfallen; nennen wir die Halbaxen dieser

Projectionen m und %, so haben wir:

Z

2

|

A(A + i)

SA

M

n

>;

A

C

gf“ﬂl€

(8)

A

Axe d

N

_B(B-

T

S

).)_

C

Schaal

Der S

Durch Elimination von / aus diesen beiden Gleichungen ‚entsteht

Ün S

die folgende Bedingungsgleichung, welcher die Grössen m” und ” genügen

der 4

müssen :

Hypeı

M

”

s

5

&e

Z BT

ableit

i O

B 6

Brenr

Es können demnach die Halbaxen m” und % als Coordinaten einer

bheider

Mittelpunktscurve zweiten Grades angesehen werden, deren Axen aus den

Eines

gegebenen Grössen 4, B und C berechnet oder construirt werden.

.

Ganz ähnliche Beziehungen erhalten wir für die Prejectionen der

186 M

Krümmungslinien auf die beiden anderen Hauptebenen.

Gleicl

Aus der Gleichung (y7) ergibt sich für m’= A sogleich n’= B,

ähnlich für die übrigen Projeetionen, d, h. alle Hauptschnitte der Flächen

und (

sind zugleich Krümmungslinien. Setzen wir ferner in Gleichung (7) x# == 0,

mefri

dann redueirt sich offenbar die Projection der Krümmungslinie auf eine

in de

Strecke der x-Axe; die Endpunkte dieser Strecke sind die Projectionen

dieser

der Kreispunkte der Fläche; die x-Coordinaten dieser letzteren bestimmen

Bren

sich deshalb aus der folgenden Gleichung:

Kben

A(A -

X

Z

BET A

mit g

SEA

A—C

ZWein

demn

Ganz analog findet man aus der Projection der Krümmungscurven

auf die _‘U z-Ebene die Werthe der z-Coordinaten der Kreispunkte, nämlich:

Krün

Z

2

S

CB—0)

.

Vn

AZ0

aufzu

Nehmen wir statt der einzelnen Fläche (1) das ganze System confocaler

Gleie

Flächen (2), dann werden die Coordinaten der Kreispunkte:

Stelle

A

UU

und

linie

0

AFZIO

Jectie

(3)

(@) 7

9

CN O

A—C

mnng

Nit s

Eliminirt man aus den 2 letzten Gleichungen das A, so erhält man die

Änier

Gleichung des geometrischen Ortes aller Kreispunkte des confocalen

Schn

Systems; diese Gleichung lautet:

Sehr

O

Y

(£)

Verej

A-— B

B

Werd

Z

3

Für die Ellipsoide, für welche wir A> B>C annehmen, ist dieser

geometrische Ort eine Hyperbel in der Ebene der grössten und kleinsten

(ö)

Axe der Ellipsoide (x z - Ebene).

Die Kreispunkte eines Ellipsoides der

Schaar sind demnach die 4 Durchschnittpunkte derselben mit jener Hyperbel.

fsfeht

Der Scheitel dieser Hyperbel liegt im gemeinschaftlichen Brennpunkt der

x y -Schnittellipsen; der Brennpunkt derselben aber liegt im Brennpunkt

enügen

S

}

der

z-Schnittellipsen, also derjenigen Ellipsen, deren Schnitt mit der

Hyperbel eben die Kreispunkte liefert.

W

Hieraus lässt sich eine sehr einfache Construetion der Kreispunkte

ableiten. Wenn nämlich eine Ellipse und eine Hyperbel gemeinschaftliche

Brennpunkte haben, dann sind die Abstände des Durchschnittspunktes

. einer

beider Curven von ihren gemeinsamen Brennpunkten gleich den Abständen

s den

eines Scheitels der einen Curve von den beiden Scheiteln der anderen.

Für das einmantelige Hyperboloid, dessen imaginäre Axe die %-Axe

n der

ist, wird C+% negativ, daher sind die Kreispunkte imaginär [folgt aus

Gleichung (8)].

y

Für das zweimantelige Hyperboloid geht, vorausgesetzt dass B > C

lächen

und die x-Axe die reelle Axe desselben sei, die Gleichung (e) des geco-

1r;l)‚

metrischen Ortes der Kreispunkte über in diejenige einer Kllipse, welche

f eine

in der Ebene der engeren der beiden Haupthyperbeln liegt.

Der Scheitel

fionen

dieser Ellipse liegt im Brennpunkt der weiteren dieser Hyperbeln und ihr

mmen

Brennpunkt ist eben der Brennpunkt der engeren Hyperbel, in deren

Ebene sie liegt.

Wir haben also wieder eine Hyperbel und eine KEllipse

des

mit gemeinschaftlichen Brennpunkten, deren Schnitte die Kreispunkte

zweimanteligen Hyperpoloids sind.

Für die Aufsuchung der letzteren

gilt

demnach genau die vorhin angegebene Construction.

zurven

Die entwickelten Gleichungen geben nun Mittel an die Hand,

die

mlich:

Krümmungslinien auf ausgeführte Modelle der Flächen zweiter Ordnung

aufzutragen.

Man verzeichnet nämlich die Ellipse oder. Hyperbel, welche durch

\JCI\IÜ'

Gleichung (7) dargestellt wird; 2 zugehörige Coordinaten dieser Curve

stellen immer 2 zugehörige Hauptaxen der Projeetion einer Krümmungs-

linie auf die zy-Ebene vor.

Wir können also eine Anzahl

solcher Pro-

jectionen aus den gefundenen Hauptaxen zeichnen, da wir ja aus Gleichung

(

(x) im speciellen Fall die Art der Curve entnehmen können.

Die Krüm-

mungslinien selbst sind dann die Schnitteurven der betreffenden Fläche

mit senkrechten Cylindern, deren Basis die Projeetionen der Krümmungs-

linien sind.

Mit den Mitteln der darstellenden Geometrie können wir diese

i t“t'f

Diese scheinbar

gcalen

Schnitteurven zeichnen und auf das Modell auftragen.

sehr umständliche Construetion

lässt sich

im

besonderen Falle ziemlich

vereinfachen, bezw. durch eine andere ersetzen, wie im Folgenden gezeigt

(d)

werden soll,

PC

l. Das Ellipsoid.

Interva

der Kr

Für das Ellipsoid wäre die oben erwähnte Art der Aufsuchung der

Krümmungslinien beschwerlich.

Wir können dieselbe umgehen, indem wir

genann

alle il

die Kreispunkte des Ellipsoids zu Hilfe ziehen, die auf die vorhin aus-

Mit

deren

Hilfe kann

die u

einandergesetzte Weise gefunden werden können.

]

man die Krümmungslinien auf einfache Weise auf die Fläche auftragen,

D

ähnliel

Man befestigt nämlich in

Y

neben einander liegenden Kreispunkten die

Enden eines Fadens, dessen Länge grösser ist als der Abstand der beiden

Punkte.

Spannt man nun mit einer Bleistiftspitze diesen Faden in irgend

öiner Stellung, so bilden die 2 von der Bleistiftsspitze ausgehenden Faden-

stücke geodätische Linien des

Ellipsoids, deren Schnittpunkt eben die

Wwo M

Bleistiftsspitze ist; letztere bezeichnet dann einen Punkt der Krümmungs-

Das 18

Man

kann

nun

die

linie, welche der gewählten Fadenlänge entspricht.

man |

Befestigungsstellen der Fadenenden so wählen, dass sie entweder den

F

Üacheren Scheitel der Ellipse oder den gekrümmteren zwischen sich haben

Ehene

und erhält dadurch Krümmungslinien zweier verschiedenen Systeme, die

jedoch in ihren Schnittpunkten orthogonal zu einander sind.

jene H

Der Beweis für die Richtigkeit dieses Verfahrens würde uns hier zu

aus de

weit führen.

kann.

Hyper

II. Das einmantelige Hyperboloid,

Halba

Bei diesem sind die Kreispunkte imaginär, daher müssen wir hier

Proje

zu dem früher angedeuteten, allgemeineren Verfahren zurückgreifen.

des ]

»

Die Gleichung des Hyperboloids lautet, wenn

P

die imaginäre Axe

Üßhi'gt

desselben ist:

2

wahre

V

— 1=0.

der X

B

C

da8 ]

diese|

Sei 4> B, dann wählen wir die xz-Ebene als ProjectionsebeneM für

Der

die Krümmungslinien, weil so bei der Verzeichnung die schärfsten Schnitte

Für diese Pro-

Krün

des Hyperboloids mit den Projectionseylindern entstehen.

jectionen erhält man ähnlich wie früher in Bezug auf die zy-Ebene die

l?('!\\f

1

$

|

Gleichung (@x) jetzt folgende:

J()‘ 44

än de

IX 3

z

)+(1

sn

dann

AA E

C(— U

+ 4)

Von ı

Für / =:— A wird diese Gleichung zu %

=—0; d. h. die 7#-Axe ı18st

der ]

Projection der Krümmungslinie und diese letztere

selbst wird die y z-Schnitt-

lauf-

hyperbel.

Für 4 = — B wird die Projeetion der Krümmungslinie:

Strui

B

W 8

=1]

(/Y

Pank

d: i: die xz-Schnitthyperbel.. Für 4= C wird z=0, d.h. die x-Axe

afe

In dem

wird Projeection' und die Krümmungslinie ist die Kehlellipse.

Teel]

SI

A&

4

AB

Intervall 4 = +C bis i = co bekommt man demnach ‚als Projeetionen

ng der

der Krümmungseurven Ellipsen.

Für 4< + € bekommt man, duürch die

em wir

genannten Specialfälle A

— B und i = — 4 hindurch, Hyperbeln, die

N al

alle ihre reelle Axe auf der x-Axe haben; endlich werden für 41 <-— 4

e kann

die Curven imaginär.

,

tragen,

Die Bedingungsgleichung zwischen den Axen der Projectionen wird,

en die

ähnlich wie die frühere (7), im vorliegenden Falle folgende:

beiden

m

N

irgend

L,

AA O OF O

Faden-

AB

BG

en die

wo m und p bezw. die Haupthalbaxen auf der z- und z-Axe bedeuten.

MUNgS-

un die

Das ist aber unter allen Umständen die Qleiclumg einer Hyperbel, die

man leicht zeichnen kann.

er den

Z&

D

haben

Für diejenigen Krümmungslinien nun, deren Projeectionen auf die x

e, die

Ebene Ellipsen sind, oder besser, Stücke von Ellipsen, wählt man am besten

jene Halbaxen, welche auf der z-Axe liegen, also die p, weil man dann schon

jer ZU

aus der Zeichnung den ungefähren Verlauf der Krümmungslinie beurtheilen

kann. Dieses gewählte p trägt man als Ordinate in die vorhin gezeichnete

Hyperbel ein und sucht sich die zugehörige Abscisse m, welche die zweite

Halbaxe der Projeetionsellipse der Krümmungseurve

darstellt.

Diese

„

y hier

Projectionsellipse kann man sich deshalb in richtiger Lage in den X Z-Riss

des Hyperboloids eintragen.

Ist das geschehen, so nimmt man eine be-

.

liebige geradlinige Erzeugende des Hyperboloids an und bestimmt die

1 Arxe

wahre Länge der Strecke dieser Geraden, welche von der Kehlellipse und

der Krümmungslinie begrenzt wird.

Diese Strecke trägt man dann auf

das Modell der Fläche auf, auf dem natürlich vorher die Kehlellipse und

dieselbe Erzeugende aufgezeichnet wurde, deren Projection wir benutzten.

e für

Der Endpunkt dieser Strecke auf dem Modell gibt einen Punkt der

ehnitte

Krümmungscurve,

Anstatt beliebige Erzeugende wird man lieber mög-

e Pro-

lichst bequem liegende wählen, das sind diejenigen, welche parallel zur

ne die

xZ- und zur yz-Ebene sind, also dieselben, die von den Tangentialebenen

an den Endpunkten der Axen der Kehlellipse ausgeschnitten werden; denn

dann ist die wirkliche Länge der erwähnten Strecken zugleich die Länge

von deren Projection. Im Allgemeinen wird es sogar genügen, die Punkte

der Krümmungscurven auf den Hauptschnitthyperbeln und zwei dazwischen

e 8l

(auf den eben erwähnten speciellen Erzeugenden) liegende Punkte zu con-

ohnitt

struiren, um den Verlanf der Curve ziemlich gut anzugeben.

Nur _ da,

wo sich das Hyperboloid mehr erweitert, wird es nöthig sein, noch weitere

Punkte zu bestimmen.

Für diejenigen Krümmungslinien, deren Projectionen auf die xZz-

Tafel Hyperbeln sind, wählt man am besten die auf der x-Axe liegenden

e 'h*

reellen Axen, also die m, und bestimmt, wie vorhin, die zugehörigen ß.

; dem

5

6

äuf da

Aus m und p kann man wieder die Projectionshyperbeln zeichnen und

Sehnen

ähnlich‘ wie vorhin einzelne Punkte der wahren Krümmungslinien be-

Tinien

stimmen.

Es sind hier schon wenige Punkte‘ ausreichend, da man an der

beschr,

Orthogonalität dieses Curvensystems mit dem vorigen sehr viele Anhalts-

yon (

punkte zum Auftragen der Curven besitzt.

Umgekehrt kann auch bei

|

Bestimmung von mehr Punkten die Orthogonalität der Curven beider Systeme

als eine Probe der Genauigkeit gelten.

Hilfe ı

zwEi T

Il._ Das zweimantelige Hyperboloid.

dassel!

Sei

%

Y

A

B

(V

die Gleichung des zweimanteligen Hyperboloids, dessen reelle Axe also

die x-Axe ist; sei B>C, dann liegt die weitere der beiden Haupt-

schnitthyperbeln auf der xy-Ebene, die engere auf der xz-Ebene,

Um die schärfsten Schnitte des Hyperboloids mit den Projections-

eylindern zu erhalten, wird es desshalb am besten sein, die Krümmungs-

curven auf die zy-Ebene projieirt zu denken; dann erhält man durch

Einsetzung von — B und —C für B und U in die Gleichung («):

Y

A

>

2

B —

‚A

AA L BEB T

/.:')]/2+ 1= 0

E

E

Für / = — A wird aus dieser Gleichung X

0; die Projection der

Krümmungslinie ist also die y-Axe; diese zählt demnach schon als Pro-

Für

v

L

—

jection einer imaginären KrümmungscurVve.

B wird y=0;

Endlich wird für

daher die xg2-Schnitthyperbel die Krümmungslinie.

A=C die Gleichung der Projection:

2

2

X

Y

)“ﬁ130,

A

B

d. i. die x y-Schnitthyperbel, für welche die Projection mit der Krümmungs-

linie selbst zusammenfällt.

Für das Intervall 1= B bis 1== ® erhalten wir demnach Ellipsen als

Projeetionen; für 4<B erhält man Hyperbeln, durch die Specialfälle

e

DE

20 1 —0 hindurch,:bıs zu 4

—A4.

Für 4< — 4 endlich bekommt

man imaginäre Curven.

Um nun die Krümmungslinien des Systems zu finden, dessen Projee-

tionen Hyperbeln sind, verfahren wir ähnlich wie vorhin; wir zeichnen

mehrere dieser Hyperbeln, indem wir deren reelle Axe annehmen und

daraus mit Hilfe der gezeichneten Curve (7) auf bekannte Art die zweite

Axe bestimmen.

Um dann einzelne Punkte der Krümmungscurven zu be-

stimmen, muss man, da es keine geraden Erzeugenden gibt, einige Schnitt-

ellipsen parallel zur yz-Tafel annehmen, die sich auf die Projectionstafel

(xy) als gerade }1i11i011 projieiren. Diese Schnittellipsen müssen wir auch

Z

A

n und

auf das Modell auftragen und durch Bestimmung der wahren Länge der

M be

Sehnen zwischen den Scheiteln der Ellipsen und Punkten der Krümmungs-

an der

linien letztere selbst bezeichnen.

Man kann sich dabei auf wenige Punkte

nhalts

beschränken und sich durch die Orthogonalität mit dem zweiten System

lı bei

von Curven die Aufgabe erleichtern.

ySteme

Das zweite System nämlich kann wieder auf mechanische Art mit

Hilfe eines gespannten Fadens gefunden werden, da ja auf jedem Mantel

zwei reelle Kreispunkte vorhanden sind.

Das Verfahren dabei ist genau

dasselbe, wie es früher bei dem Ellipsoid angegeben wurde.

München, im Januar 1878.

e S0

Taupt-

stions-

IUngS-

durch

n der

] l’rj»

z

d für

gung8

en als

AH(IH*

ommt

‘rujﬁ“'

chnen

y und

zwel

116

l he:

‚hnitt

‚stafel

auch

Druck von H. Brill in Darmstadt.

F ‚rff„

punk

Wr

h}il1u

W @1

unte

/ W

0 8

Dezi

Wo

Panl

till;n

A

S

Die Krümmungslinien auf dem Paraboloid.

Von

R. Diesel,

Studirendenm der technischen Hochschule in München,

Die Gleichung von confocalen Flächen zweiter Ordnung ohne Mittel-

punkt oder die Gleichung confocaler Paraboloide hat die Form:

X

2

2

Y

D

F

Ä

z 92 =/

?

An

+

\

worin jedem Werth von &4 eine besondere l*‘lä‚(:hvt*‚ zugehört. Diese Flächen

bilden ein orthogonales Flächensystem, d. h. zwei beliebige, verschiedenen

Werthen von 4 entsprechende Flächen des Systems schneiden sich immer

unter rechtem Winkel.

Nehmen wir nämlich aus Gleichung (1) die Flächen

A ‚und 4, heraus:

&X

2

b

Y

—

A

5

B

A +_/

X

Y

+

9

>

A5;j

1679

TE

so sind _ die Tangentialebenen an diese beiden

in einem beliebigen Punkt

beziehungsweise :

E

UT

+

Z

Z

A+*L

Ba

Z

H O A

ÜE

E

2 +Z=A)

A-+A

3 +4

Sollen in einem

wo X, Y, Z die laufenden Coordinaten der Ebenen sind.

Punkt der Schnitteurve die Flächen, resp. deren Tangentialebenen auf

einander senkrecht stehen, so besteht dafür die Bedingung:

7 Z&

“ ‚;//

P

S

Z

/

/

SB

2

X

y

letzte

+

+1=0.

UL DA

BB

hat

Diese Gleichung erhält man aber andererseits auch durch einfache Sub-

Ööffnet

traction

der beiden Flächengleichungen von

einander.

Damit

ist

die

Orthogonalität des Flächensystems (1) bewiesen.

die E

In der Gleichung (1) entspricht, wie erwähnt, jedem Werth von 4

sich

eine besondere Fläche.

Setzen wir voraus, es sei 4> B, dann bestimmt

diese Gleichung, so lange B + / positiv ist, elliptische Paraboloide, deren

Wir A

Scheitel auf der z-Axe liegen, deren Axe die

O

B

Axe selbst

ist und die

sich nach der Richtung der negativen

O

2

‚hiu öffnen. Der Abstand des

X

Scheitels der Flächen vom Ursprung i

S

$

- und die Abstände des jedes-

5

Der

maligen Scheitels von den Brennpunkten der xz-, resp. y z-Schnittparabel

sind _ beziehungsweise :

Ca EL

AL

DE

B

LEA

und

»

und

71

Diese Abstände werden um so grösser,

je grösser 4, B und / sind,

Sche

und bleiben negativ, so lange 4>-— B, d.h. so lange wir elliptische

Fläc|

Alle

diese

Paraboloide

Paraboloide der eben angegebenen Art haben.

An

können sich unter sich nicht schneiden.

Für B+Z

0 foleß aus (:

Para

y=0 und somit entsteht in der xz-Ebene eine Grenzparabel mit der

Sche;

Gleichung

X

2

8 1

SE PE B O

AB

+27z= — B.

der

B

Der Scheitel dieser Parabel hat vom Ursprung die Entfernung z# =

,

L

>

2

>

und deren Brennweite ist — ‚<„;

z

demnach ist der Abstand des Brenn-

2

punktes vom Ursprung:

kanı

A

-

B AB

e

dazu

2

2

2

6in |

und

sind aber auch die Abstände der zwei Hauptbrennpunkte

2

2

Die Grenz-

der vorigen Gruppe elliptischer Paraboloide vom Ursprung.

die]

parabel also zwischen der ersten

iruppe elliptischer und der zweiten

mit

Gruppe hyperbolischer Paraboloide liegt in der xz-Ebene, ist nach der

negativen z-Axe geöffnet und deren Scheitel und Brennpunkt befindet sich

je in einem der Hauptbrennpunkte des confocalen Systems.

ZU $

Wächst nun / noch weiter nach dem Negativen, dann wird B +%/

negativ, und so lange 4 + / noch positiv bleibt, stellt dann Gleichung (1)

5

Pr

ran

Hs

B

hyperbolische Paraboloide vor, deren Scheitel in <

Z

vom Ursprung

liegt; dieser Scheitel liegt also, da / negativ ist, auf der negativen £-Axe,

älso

welche letztere zugleich Axe der Fläche ist; die %2z-Schnittparabel der

H\ []1

A

92

SE

I

letzteren öffnet sich nach der negativen z-Axe und deren Brennpunkt

BTA CTE

an

hat vom Scheitel die Entfernung

2

Die yz-Schnittparabel aber

e Sub

st. die

öffnet sich nach der positiven z-Axe und ihr Brennpunkt hat vom Scheitel

3 +

.

die Entfernung —

Auch die Paraboloide dieser Gruppe können

on /

4

stimmt

sich unter sich nicht schneiden.

deren

Wird ferner 4 + i1=0

so folg

daraus: z = 0

daher erhalten

nl

16

wir aus Gleichung (1) wiederum die Gleichung einer Grenzparabel, nämlich:

d

;

68

Y

—A

B—A

DE

jodes

J

Der Scheitel dieser Parabel liegt in

F

und

ihre Brennweite

ist

jarabel

4

A

der zweiten Gruppe hyperbolischer

-+ Die Grenzparabel zwischen

und der dritten Gruppe wiederum elliptischer Paraboloide liegt also in der

z-Ebene, öffnet sich nach der positiven z-Axe und ihr Brennpunkt und

|

ıd

Scheitel liegt beziehungsweise in den Hauptbrennpunkten des confocalen

otische

Flächensystems.

oloide

Wird endlich auch 4 + / negativ, so bekommt man wieder elliptische

3 (l

Paraboloide, die jedoch nach der positiven z-Axe hin offen sind und deren

1 der

-Axe

Scheitel durch weiteres negatives Wachsen von 4 auf der negativen &

ins Unendliche rückt

während bei

der ersten Gruppe der Scheitel auf

A

G

DE

Axe nach und nach

der positiven

en den Ursprung hereinrückte.

—_

%.

Brenn

Die Krümmungslinien einer Fläche zweiter Ordnung sind be-

kanntlich zugleich auch die Schnittlinien derselben mit einem System von

Um also für

dazu confocalen und orthogonalen Flächen zweiter Ordnung

ein Paraboloid :

X

Y

—.

+27z=0

D

yı

akte

B

r

eNZ

die Krümmungscurven zu bestimmen, haben wir die Schnittlinien desselben

weiteh

mit dem System

oı der

€

V

e nn

+

D

f \1dl

A+

B+)

zu

suchen.

Die Elimination von

—A

2

aus beiden Gleichungen liefert die

AJ

Projection der Krümmungslinien auf die xy-Ebene:

2

2

I

(

X

Y

+

1,

AA ET

BB

A

also eine Mittelpunktscurve

zweiten

Grades,

d. h. eine Ellipse oder

AXC,

Hyperbel

Die Hauptaxen dieser Curve sind

] der

4

(22

R

A4 +

dere)

E

b.!

BB+A.

letzt

punl

Eine Beziehung zwischen den Halbaxen @ und O entsteht durch Elimination

der

von / aus diesen zwei Gleichungen, nämlich:

Sche

@*

2

b2

CONS

1,

AB DE

Die Halbaxen @ und b können demnach als Coordinaten einer Mittelpunkts-

zeicl

curve zweiten Grades aufgefasst werden, deren Bestimmungsstücke sich

wick

aus den Coeffieienten der Gleichung (I) berechnen lassen.

m,

Noch einfacher gestalten sich diese Betrachtungen an den Projeetionen

Lag

der Krümmungslinien auf die zwei anderen Coordinatenebenen.

auf,

Durch

ülimination von y aus (I) und (1) entsteht:

%* (A —- B)

FEI2=(B-E.

AA +

Die Projeetionen der Krümmungsecurven auf die %- KEbene sind also unter

die

allen Umständen Parabeln, deren Scheitel vom Ursprung den Abstand

tafel

m BA

E

hat und deren Brennweite

A(A —}—ﬁ/li

BED

.

.

Z

2

2

WOV

e

Alle diese Projectionsparabeln haben gemeinsame KEigenschaften, die

dadı

man durch Elimination von / aus den

d

9

letzten Gleichungen erhält:

mit

€

mM

E

2

a

E

2

AF

+é’-2+1=0.

Die Bestimmungsstücke — und

9

der Projeetionsparabeln sind also Coor-

in R

5

dinaten einer geraden Linie, welche auf der CoordinatenaxeM folgende

>ind

Strecken abschneidet:

Q

X

GE

gen(

für

z wırd

9

2

2

A—B

für

20 wırd

E

0

72}

D

2

Aus ersterem folgt, dass die x z-Schnittparabel auch Krümmungseurve ist,

de

E

Durch Elimination von Z aus (I) und (1) bekommt man ähnliche

Pın

Beziehungen,

Auch hier kann man die Bestimmungsstücke der Projeetions-

parabeln als Coordinaten einer Geraden betrachten.

Die y z-Schnittparabel

Weit

wird sich ebenfalls als eine Krümmungslinie ergeben.

L;lg;

Die früher erwähnten zwei Grenzparabeln zwischen den drei ver-

schiedenen Gruppen des Systems confocaler Paraboloide sind zugleich die

Schr

geometrischen Oerter aller Kreispunkte der Flächen.

Die zweite Gruppe

Auc|

hyperbolischer Paraboloide wird von keiner dieser Parabeln geschnitten,

AUS

hat also auch keine Kreispunkte. Die elliptischen Parabolvide aber besitzen

Sole]

7 OR

l

E

deren zwei und zwar auf der engeren der beiden Hauptparabeln; diese

letztere hat mit einer der genannten Grenzparabeln gemeinsamen Brenn-

lafion

punkt.

Wenn nun zwei Parabeln gemeinsamen Brennpunkt haben, so ist

der Radius Veetor des Schnittpunktes beider gleich dem Abstand ihrer

Scheitel.

Mit Hilfe dieses Satzes sind also die Kreispunkte leicht zu

construiren.

Um auf Modelle von Paraboloiden die Krümmungscurven aufzutragen,

ınkts

zeichnet man die Projectionen dieser Curven mit Hilfe der früher ent-

, sich

wickelten Gleichungen ‚in richtiger Lage und Grösse in die Risse der Fläche

ein, bestimmt durch die Methoden der darstellenden Geometrie die wahre

HoneN

Lage einzelner Punkte der Krümmungslinien und trägt sie auf das Modell

auf, wie dies im folgenden näher beschrieben wird.

[B

Das elliptische Paraboloid.

Ist

%

=0

B

unter

die Gleichung desselben und sei 4 > B, dann wählen wir als Projections-

sfand

tafel für das erste System von Krümmungslinien (nämlich für das System,

wovon die zwei Hauptparabeln specielle Fälle sind) die 7 z-Ebene, weil

dadurch in der Zeichnung die schärfsten Schnitte der:Projeetionseylinder

lı die

mit der Fläche entstehen.

Die Gleichung dieser Projectionen ist:

x° (A — B)

DE

AA

Für 1= — B bis /= — 4 erhält man alle Krümmungslinien des

[ J00T-

in Rede stehenden Systems.

Die Projeetionen derselben, die Parabeln

und

die

als Coordinaten fol-

gr;ud€

sind, haben al.s"Bcsti1mmmgs;<tückc

2

g>

gender Geraden zu betrachten sind:

M

X

E

D

5 WB

Q

Ä+1=O.

Wir zeichnen also diese Gerade, wählen ein beliebiges % (Abstand

e 186

des Scheitels der Projectionsparabel vom Ursprung) als Abseisse eines

|]lil‘hé‘

Punktes dieser Geraden; die zugehörige Ordinate gibt das

2

als Brenn-

&

n„n%

weite der Projeetionsparabel.

Letztere kannn man demnach in richtiger

‚yabel

A

Lage in den

X

U

G

Riss des Paraboloids eintragen.

Um dann Punkte der Krümmungslinie zu finden, legt man einige

yver

Schnitte senkrecht zur Axe der Fläche; diese Schnitte sind Ellipsen, die

]ı die

auch auf das Modell aufgetragen werden müssen.

Hierauf bestimmt man

nupp®

aus der Zeichnung die Länge der Sehne zwischen einem der Scheitel einer

itfen

solchen Ellipse (die sich ja als Gerade projicirt) und demjenigen Punkt

sitzeh

s

Dr

»

EL

6

der Krümmungslinie, welcher zugleich auf derselben Ellipse liegt.

Diese

Sehne kann man mit einem Zirkel direet auf das Modell auftragen und

ihr Endpunkt bestimmt einen Punkt der Krümmungslinie.

Für das zweite System von Krümmungslinien, dessen Projectionen

auf die zy-KEbene Ellipsen sind, kann man das eben erwähnte Verfahren

umgehen und mit Hilfe der Kreispunkte ein einfacheres einschlagen.

Befestigt man nämlich in den beiden Kreispunkten die Enden eines

Fadens, dessen Länge grösser ist als der Abstand der Kreispunkte, und

spannt hierauf den Faden mit einer Bleistiftspitze, so bezeichnet letztere

in jeder Lage einen Punkt der Krümmungslinie, welche zur betreffenden

Länge des Fadens gehört.

Dabei ist darauf zu achten, dass der Faden

gut gespannt sei, damit die zwei Theile desselben, die von je einem Kreis-

punkt nach der Bleistiftspitze laufen, kürzeste Linien zwischen diesen

seien.

U}

Das hyperbolische Paraboloid.

Diese Fläche hat keine Kreispunkte; man muss also hier das oben

beschriebene Verfahren anwenden und zwar für jedes System von Krüm-

mungslinien ein Mal.

Als Projeetionsebenen wählt man dabei die zwei

Hauptebenen des Paraboloids.

Ferner wird es bequemer sein, statt durch

die Fläche Hyperbelschnitte normal zur Axe zu legen, auf ihr geradlinige

Erzeugende anzunehmen und deren Schnittpunkte mit den Krümmungs-

linien auf darstellend geometrischem Wege zu bestimmen, etwa indem man

die wahre Entfernung dieser Punkte von den Schnittpunkten der betreffenden

Die benutzten Erzeugenden

Erzeugenden mit den Hauptparabeln sucht.

und die Hauptparabeln müssen dann vorher auf das Modell aufgetragen sein.

München, im Februar 1878.

PE E

Druck von H, Brill in Darmstadt,

U

)}

7

Dil‚‘\@

]

ı und

tionen

ahren

ines

‚ und

{ztere

enden

Faden

Kreis-

lesen

oben

yüm-

zwei

urch

n

]

mal

aden

den

seil,

al

äl

Ma

Er

M

€

Hi

V

J}

am

&/

Z

ST

Z

Die sphärischen und ellipsoidischen Curven

der Wellenfläche

Von

Dr. O. Böklen,

Rector der Realanstalt in Reutlingen

(Zu Serie VI, Nr. 4.)

Wenn man im Innern eines zweiaxigen Cristalls einen Punkt O an-

nimmt und auf den 3 durch denselben gehenden Elastieitätsaxen Strecken

aufträgt gleich den entsprechenden Brechungscoefficienten, so erhält

man die Axen eines Ellipsoids Z (erstes Ellipsoid nach Plücker, auch

Ergänzungsellipsoid genannt),

aus welchem die Wellenfläche abgeleitet

wird, indem man in O auf einem Centralschnitt von X ein Perpendikel

errichtet und auf demselben die Entfernungen 0M und Om gleich den

Halbaxen des Centralschnitts annimmt

Man hat nun folgendes System

von Gleichungen

)

’

2) z y =r,

a

+b+_—

Ö

‚w+

+

0,

z°

5) (@°*+4+ y°'4&?) (ax*+by*4+602?)—

aßdb+c)x+b(e+a)y?+c(a+db)z }+(1b(—_0

6)

Y

c(a

6)

a(b — c)

AA

b(a

c)

=0, %

0,

N) ’2+

c(b-—a)

0, y

0,

b(c

a)

.__O,

z=0

y

alc

0)

1) ist die Gleichung von X,

2) diejenige einer concentrischen Kugel

3) wird erhalten aus 1) und 2) durch Subtraction und stellt einen Kegel

i

B

2

m'

vor, welcher . in einer sphärischen Linie schneidet, da die Schnittlinie

5phia

von 1) und 3) auch auf 2) liegt. 4) ist die' Gleichung des Ergänzungs-

Wer

kegels, welche in 5) entwickelt ist, wo man für r seinen Werth aus 2)

m'n

gesetzt hat. 6), 7), 8) sind die Gleichungen der Focallinien der Ergänzungs-

und

kegel und werden aus 4) abgeleitet, indem man der Reihe nach ” = 4

Da 0 DE

und z=0, r=b und y=0, r=c und z=0 setzt.

angenommen wird, so ist nur das mittlere Paar reell, die beiden andern

Paare von Focallinien in der yz- und zy-Ebene sind imaginär. Die Ebene

des Centralschnitts berührt immer zwei von den Kegeln 3) zugleich, die

Berührungslinien sind die Axen der Schnitteurve, weil die Tangenten in

ihren Endpunkten auch Tangenten der sphärischen Curven sind und also

senkrecht auf ihnen stehen.

Da nun die Mantellinien der Ergänzungs-

kegel 4) senkrecht stehen auf den Tangential-Ebenen der Kegel 3) und

M

OM und Om gleich den Halbaxen der Schnitteurven dieser Ebenen mit

E sind, so ist 4), wenn man für ” seinen Werth aus 2) setzt und ebenso

El

5) die Gleichung der Wellenfläche.

Man setze 0 M’=r,, 0m’=yr,, 80

(od

erhält man nach 4):

ühr

x° +

y*+

l:O,

f}

al

9)

S

Ka

en

a

(

10)

&Z

E—

0,

2

Z

ax2+ Y 3b’”2+

2

Y

2

C

der

Ni

ÜTE GE

Y

Jede dieser Gleichungen für sich stellt einen Kegel vor, dessen Focallinien

Da letztere r nicht enthalten, so sind

(

obigen Gleichungen entsprechen.

alle diese Kegel confocal.

Die reellen Focallinien 7) sind die optischen

A

Axen der Wellenfläche oder die secundären optischen Axen des Cristalls.

fe

Weil aber noch zwei Paare imaginärer Focallinien vorhanden sind, so kann

ID

man hieraus schliessen, dass die Wellenfläche im Ganzen drei Paare 0op-

W

tischer Axen hat, wovon eines reell und die beiden andern imaginär sind,

l

Die Hauptschnitte der Fläche in den Axen-Ebenen bestehen je aus einem

de

Kreis und einer Ellipse, deren Durchschnittspunkte ebenfalls die optischen

}

Axen- bestimmen; da sie nur in der z2-Ebene reell sind, und in 'den

beiden anderen Ebenen imaginär, so wird man auch hierdurch auf die

6

Annahme imaginärer optischer Axen der Wellenfläche geleitet.

Zwei confocale Kegel, welche sich schneiden, sind orthogonal; ihre

Durchschnittslinie ist durch 9) und 10) bestimmt, woraus sich die Winkel

u

bestimmen lassen, die sie mit den Axen einschliesst. Zwei Paare confocaler

fl

Kegel bilden auf dem äussern Mantel ein Viereck M M” MM“ und auf

(

dem innern mm‘m“m““; nun lässt sich leicht beweisen, dass die nach

2 Gegenecken gezogenen Halbmesser der Wellenfläche gleiche Winkel ein-

d

schliessen, d. h. dass die Winkel MO M“ und M’OM“, oder mOm“ und

d

3

S

ttlinie

Die Gegenseiten MM und M“ M“ sind

m' Om'“ einander gleich sind.

ng

sphärische Curven, weil jede einem Kegel angehört, dem ein bestimmter

s 9}

Werth von r entspricht; ebenso sind in dem andern Viereck die Gegenseiten

Ng

m‘ m“ und m“ m* sphärische Curven. Hieraus folgt, dass M M“ — M' M'“

S

und mm“ — m'm“ d. h.

b>e

Zwei Paare-sich rechtwinklig schneidender Kegel, deren

adern

reelle‘Foca

en die secundären optischen Axen (und

Übene

deren imaginäre F

ca.lljnien also die imaginären optischen

, die

Axen) der Wellenflä

/d, schneiden aus einem Mantel

en In

derselben ein Viere@

aus, in welchem die Entfernungen

also

von je 2 Gegeneck-eﬁ einander gleich sind.

Ines

Die Linie mm, welche auf demselben Kegel liegt, wie die sphärische

- und

MM des äussern Mantels, ist eine ellipsoidische, da sie zugleich auf dem

ı ml

JENSO

Ellipsoid 11) ax? + by*+ cz2?= — liegt, welches dem Polarisations-

S0

99

(oder zweiten Ellipsoid nach Plüker) az* + bdy?+cz2?=1 ähnlich ist. Die

übrigen Seiten der beiden Vierecke, m“ m““, M' M“, M“ M”, sind gleich-

falls ellipsoidische Linien, da jeder Kegel, welcher den einen Mantel in

einer sphärischen Curve schneidet, den andern in einer ellipsoidischen

Curve trifft. Durch Combination von 2) und 4) erhält man die Gleichungen

Das

der sphärischen Curven und von 4) und 11) der ellipsoidischen.

Nähere über diese Curven ist in 2 Aufsätzen des Verfassers (Zeitschrift

von Schlömilch, Kahl und Cantor, TThl. XXIV u. XXV) enthalten.

nien

Bei der Construction des Modells (von einem Zögling der hiesigen

>illd

Oberrealschule) wurden eine Zeichnung mit den beiden Arten von Curven

ohen

zu Grunde gelegt und nach derdselben die Durchschnitte und Schablonen

:\“>U

gemacht.

Auf den drei Hauptschnitten der Fläche sind hierauf die End-

an

punkte der Curven und die Schnittlinien der confocalen Kegel bestimmt

0D

worden. Dann wurde der. Kreis gézeichnet, in welchem die Fläche von

ind,

einer Ebene berührt wird und zuletzt die Linien selbst, mit Benützung

Durch

nem

des obigen Satzes von der gleichen Entfernung der Gegenecken.

jeden Punkt 4 z. B. auf dem äusseren Mantel gehen zwei Curven, welche

‚en

mit den Hauptschnitten des Octanten 4 Vierecke bilden, also ergibt sich

den

ein solcher Punkt als der Durchschnitt von 4 Kreisbögen, die von den

die

Ecken des Octanten und dem Endpunkt der optischen Axe aus beschrieben

werden, denn die 3 Kreise in den Hauptebenen sind sphärische Curven

ilre

und die Ellipsen ellipsoidische.

Es ist also insbesondere der Abstand

ıkel

eines Punktes vom Endpunkte der optischen Axe gleich der Entfernung

aler

der Durchschnittspunkte von den beiden durch ihn gehenden Curven mit

auf

dem Kreis b und der Ellipse ac in der xz-Ebene, d.h. in der Ebene

ach

der (reellen) optischen Axe,

Nach denselben Regeln sind die Linien auf

6In

dem inneren Mantel construirt.

and

e

}

>

vA

/

e

4

Die Nabelpunkte der Wellenfläche.

Die Differentialgleichung der Krümmungslinien . hat E. Combeseure

(Annali di Matematica T. II 1859 S. 278) gegeben und F, Brioschi (ibid.

S. 285) weiter behandelt.

Die geometrische Bestimmung der Hauptkrüm-

mungs-Mittelpunkte, sowie der Richtung der Krümmungslinien in einem Punkt

der Fläche fand M. Mannheim (Comptes rendus, 1867 pag. 170 und 268).

Allein für die Zeichnung dieser Linien hat man noch keine Anhaltspunkte,

nur die Nabelpunkte lassen sich leicht auffinden, nach einer Gleichung,

die Mannheim aus seiner Construetion ableitete (Comptes rendus, 5. Mai

1879); es sind demzufolge 8 solche Punkte vorhanden, welche in den

Hauptschnitten liegen und zwar 4 in der xy-Ebene auf dem äusseren

4

b a—c

7Re

und 4 andere auf dem in-

Mantel, welche der Gleichung !74

4

b° a— C

3

ent-

neren Mantel in der yz-Ebene, welche der Gleichung 7/7=

Ö

sprechen.

Diese Punkte sind auf dem Modell durch kleine Kreise be-

zeichnet, und es mag, um Verwechslungen zu verhüten, noch bemerkt wer-

den, dass unter %- Axe diejenige verstanden ist, auf welcher die Strecken

V und Ve liegen, während auf der y-Axe die Entfernungen Vc und Va

|

Z

und auf der

O

- Axe Va_ und V17 abgeschnitten sind.

lich v

80 il

Mai 1880.

lichst

Yecht

md

Fläc

Defi

IJFi4

Ian

dur

Solch

diese

Schl

larit

Mäs

N“Ny

ihm

f=\gh

Dag,

Sag[

Sopl

C

z

7

nbeseure

hi (bid,

tkrüm-

m Punkt

d 268),

Spunkte,

Sichung,

. Mai

Modelle von Flächen dritter Ordnung.

in den

NSSCIEN

Von

jem in-

Dr. Carl Rodenberg,

C

Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Darmstadt,

- ent-

A

e e

f Wer-

(Zu Serie VII.)

recken

d W

Bei der Eintheilung einer Schaar von Flächen hat man ursprüng-

lich völlige Freiheit über die Definition des Artbegriffs, man wird jedoch

so eintheilen, dass eine Trennung der verschiedenen Gruppen mit mög-

lichst wenig Schwierigkeiten verbunden

ist und die verschiedenen Species

recht charakteristische Unterschiede in

ihrem Aussehen zeigen.

Ein Eintheilungsprincip, welches diese Eigenschaften mit sich führt

und von uns zu Grunde gelegt werden wird, geht hervor, wenn man alle

Flächen zusammenfasst, welche sich durch continuirliche

Deformation ineinander überführenlassen, ohnedass hier-

bei das Ueberschreiten einer Singularität oder die Aende-

rung etwa vorhandener Singularitäten durch höhere hin-

durch nothwendig werde.

Die Flächen dritter Ordnung wurden in

solcher Weise classificirt von Herrn Klein!) und dem Verfasser %; eben für

diese Flächen stimmt die so gewonnene Eintheilung fast ausnahmslos mit der

Schläflischen °) nach der Realität der Geraden und dem Auftreten von Singu-

laritäten überein; sie ist auch für die analytische Behandlung sehr zweck-

der-

mässig, da man meistens bei der Ueberführung von zwei Flächen

mit

selben Art und desselben Pentaeders ineinander, das letztere und

ihm die canonische Förm der Gleichung erhalten, und so durch ein ein-

faches Abzählen zwischen den Coeffieienten die Art feststellen kann:

SETW

‘S »Ueber Flächen dritter Ordnung.« Math. Annalen Bd. VI pag. 551 f.

*) »Zur Classification der Flächen dritter Ordnung«. Math. Annalen Bd

XIV

pag. 46 f. Die späteren Citate beziehen sich, wenn nicht ausdrücklich Anderes ge-

sagt ist, auf diese Arbeit.

%) On the Distribution of Surfaces of the Third Order into Species ete. Philo-

sophical Transactions, t. 153 (1863) p. 193.

g

M

2

Besprochene Deformationen schliessen keineswegs aus, dass unter

überg(

Umständen Parthien der Fläche durch’s Unendliche gezogen werden, und

und &i

zwei Modelle einer und derselben Art können daher in ihrem Aussehen

Figens

noch grosse Verschiedenheiten zeigen. Ebenso kommt man bei dem Ent-

dem

i 08

stehenlassen von Singularitäten auf einer Fläche nicht immer mit end-

eineS

lichen Deformationen zum Ziel und es ist daher für die Anschaulichkeit

Knote

des Verfahrens keineswegs gleichgültig, welche Beziehung zum Unend-

Hesse'

lichen die verschiedenen hierzu im Modelle herzustellenden Flächen haben.

AUS Z

Man reicht nun immer mit endlichen Aenderungen aus bei Zugrunde-

des ol

legung‘ von Flächen, welche von der unendlich fernen Ebene in einem

tracht

unpaaren Zuge (ohne Oval) getroffen werden; solche wurden daher mo-

dellirt.

Ist dann an diesen einmal Klarheit über das Verhalten der Fläche

AL

den n

in der Nähe einer Singularität, und über das Entstehen derselben aus

noch

niederen, insbesondere conischen Knoten gewonnen worden, so kann man

Unterschiede hinsichtlich

des Unendlichfernen leicht mit Hülfe

einer

artig

Gruppe von unter sich collinearen Flächen kennen lernen. Als besonders

geeignet erwiesen sich hierzu die Flächen mit 4 reellen Knoten, wie sie

durch die fünf Modelle 2—6 repräsentirt sind.

Sind,

Aus diesen entsteht dann auch eine Reihe mit weniger und ohne

Knoten unter Anwendung von zwei Prozessen des „Verbindens (+)“ und

„Trennens (—)“, wie sie Herr Klein a. a. O. benutzte; unter deren An-

wendung sich die ursprünglich kegelförmigen Parthien in der Nähe des

Knotens in solche umwandeln, welche bezw. dem einschaaligen und zwei-

schaaligen Hyperboloid vergleichbar sind. Auch im Falle eines imaginären

Kegels, also isolirten Knotens, führen zwei Prozesse auf Arten ohne diese

Mod

Singularität, indem man ihn entweder in ein reelles kleines Ellipsoid oder

Ans

in ein imginäres übergehen, d. h. verschwinden lässt.

(rofl

Die algebraische Durchführung des Verfahrens gab ich a. a. 0. —

Aber gewisse Arten von Flächen mit weniger als 4 Knoten kann

Ehe

man sich auf diese Weise nicht herstellen. Herr Klein gewinnt dieselbe,

Tade

indem er an einigen Knoten die „Aenderung durch die biplanare Form

Ver

vornimmt‘“.!)

des

Die Betrachtung solcher Aenderungen kann jedoch umgangen werden,

wenn man — wie wir es thun werden -— ausgeht von einer Fläche des

28i

grössten Zusammenhangs (der denjenigen mit 27 reellen Geraden zukommt)

und sich aus derselben Flächen mit conischen Kunoten herstellt.

Auch ana-

lytisch bietet dieser Weg Vortheile, da conische Knoten ohne Einfluss auf

das Pentaeder sind, dasselbe also erhalten bleiben kann, biplanare aber

Wod

an äusserst specielle Lagen der Ebenen desselben geknüpft sind.

her

Bei der Erhaltung des Pentaeders tritt nun die eigenthümliche KEr-

(a

scheinung auf, dass nicht alle Flächen derselben Art direct ineinander

3 S 478 2a. O:

tuat

AD

3

E

8 unter

übergeführt werden können, vielmehr bisweilen ein Knoten neu erzeugt

en, und

und ein anderer dafür beseitigt werden muss. Bei den meisten aus dieser

ussehen

Eigenschaft entspringenden Unterarten wird der Grund hierfür schon aus

m Ent-

dem Verhalten der Flächen zum Pentaeder allein ersichtlich, bei andern

f end-

ist es nothwendig, die Hesse’sche Fläche selbst zu untersuchen. Mit Hülfe

lichkeit

eines zu beweisenden Satzes über die Wirkung, welche die an einem

Unend-

Knoten der Originalfläche angebrachten Aenderungen + oder —, auf die

haben,

Hesse’sche ausüben, ist es möglich, ein Bild der Gestalten der letztern

runde-

aus zwei Grundformen (Modell 24, u. 25) zu gewinnen und so den Grund

/ einem

des oben erwähnten Hindernisses zu erkennen.

Hiermit wird dann die Be-

P MO-

trachtung der Flächen ohne Singularitäten oder mit conischen Knoten allein,

Fläche

Auf

zum Abschluss gebracht und darauf die Bildung höherer begonnen,

n aUS

den modellirten Flächen findet man neben der zu betrachtenden Singularität

ı man

noch immer so viel wie möglich conische Knoten, durch deren verschieden-

ineT

artige Auflösung man sich die allgemeinen erzeugen mag.

nders

Den Schluss bilden die Regelflächen.

e Sie

Die krummen ungefärbten Linien auf den Flächen dritter Ordnung

sind, wo nicht ausdrücklich Anderes gesagt ist, parabolische Curven.

ohne

‘ und

ı An-

S

e des

Flächen mit 27 reellen Geraden.!)

zWei-

nären

Von solchen Flächen gibt es in unserm Sinne nur eine Art.

Das

diese

Modell Nr. 1 bringt den Specialfall der Diagonalfläche von Clebsch zur

oder

Anschauung.

Die Geraden derselben zerfallen in zwei Gruppen zu 15

(roth) und 12 (weiss).

Ü'‚_

Die der ersten bilden die Diagonalen der Vierecke, welche von vier

kann

Ebenen des Pentaeders in der fünften verzeichnet werden.

Ie drei Ge-

selbe,

raden kreuzen sich demnach in einer Pentaederecke und liegen in der

or

Verbindungsebene mit ihrer conjugirten Kante einer „Diagonalebene“

des Pentaeders.

den,

Die Geraden der zweiten Art bilden eine Doppelsechs und sind be-

‚ de

zeichnet durch:

yınt)

1,

2,

4,

9,

6,

94

<

aDd-

1/

2/

4/

6/

au

aber

wodurch dann die Bezeichnung der übrigen durch je zwei dieser Zahlen

hervorgeht.

Die Vertheilung auf die Pentaederebenen ist gegeben durch

fr

das Schema:

s

der

5 Klein aa O: SS. 10: u: 110

Ferner: Zeuthen, Etudes des proprietes de si-

tuation des surfaces cubiques, insbesondere III, 12-—23. Math. Annalen Bd.8 pag.1.

1*

A

/

3

56

12

34,

13,

25,

46

35

14,

26,

A

15,

24,

36

Fläche

45

16,

23,

und diejenige auf die Diagonalebenen durch:

1

12,

35,

46

aber n

12,

36,

45

Oefnu

13,

24,

56

zr Hi

45

Oeffan

13;

26,

14,

25,

36

tikaler

14

33

56

15,

26,

34

oder |

15,

923,

46

35

16,

24,

16,

25,

34

al, W

NEUN |

Die Pentaederecken

sind Knotenpunkte der Hesse’schen Fläche

und daher Doppelpunkte der parabolischen Curve.

Sie sind isolirt und

Die Diagonalfläche

Yon d

überhaupt die einzigen reellen Punkte dieser Curve.

ist sonst überall hyperbolisch gekrümmt.

Die eben besprochenen Punkte sind die Asymptotenpunkte der 15

Stelle

einer

Geraden erster Art, die andern 12 haben imaginäre Asymptotenpunkte.

Bei allen andern Flächen mit 27 reellen Geraden ist deren Ver-

theilung im Wesentlichen ebenso.

Es giebt immer eine Doppelsechs mit

imaginären Asymptotenpunkten, während die übrigen Linien reelle Asymp-

fotenpunkte haben. Aus den 10 isolirten Punkten der parabolischen Curve

sind ebenso viele Ovale geworden, welche Punkte elliptischer Krümmung

Verbi

einschliessen und von den Seiten solcher Dreicke berührt werden, wie

sie die Geraden, welche sich früher in den einzelnen Pentaederecken

1i€gen

schnitten, jetzt zwischen sich einschliessen. Die Beziehung der Drei-

ebene

ecksebenen A und B zum Pentaeder

ist insofern dieselbe

1 lej

geblieben,

als man durch continuirliche Deformationen

Dopp

sie rückwärts nur in Pentaeder- bezw. in Diagonalebenen

Tassen

überführen kann, ein Umstand, der sich für die Classification von

später zu betrachtenden Flächen als wichtig erweisen wird.

Weg\

144

S 2

Flächen mi1_; den Maximalzahlen reeller conischer Knotenpunkte.

Unterschiede in Bezug auf das unendlich Ferne.

Unser Modell der Diagonalfläche zeigt 10 Durchgänge ‘), von denen

aber nur eine Anzahl im Endlichen geschlossen ist.

Durch jede solche

Oeffnung erstreckt sich eine Doppelsechs, deren Geraden zur Hälfte reelle,

zur Hälfte imaginäre Asymptotenpunkte haben. So gehört z. B. der untern

Oeffnung, welche in ihrem Ansehen einem Rotationshyperboloid mit ver-

tikaler Achse gleicht die Doppelsechs:

-

46,

62,

24,

1’

3,

9

35 5l

1

20

4',

68

oder kurz:

135

an, wodurch auch die Oeffnung selbst bezeichnet werden mag. Die übrigen

neun sind dann:

Fläche

524, 146, 362, 354, 516, 132, 526, 142, 364,

ıf und

von denen jedoch nur die ersten sechs im Endlichen sich schliessen.

lfläche

Wie nun die Ausübung des Processes auf einen Knoten, an dessen

der 15

Stelle eine Oeffnung hervorruft, so entstehen umgekehrt durch Zuziehen

einer Reihe von Oeffnungen eben so viele conische Knoten.

nkte,

l Yer-

Z. B. entsteht das Modell 2 aus 1 durch Zuziehen von:

ıs mi

135,

524,

146,

362

\Symp-

Die 24 Geraden dieser 4 Doppelsechse sind die 6 vierfach zählenden

Ourre

Verbindungslinien von je zwei Knoten geworden, die übrigen drei:

nmg

56

12,

34,

, me

‚ocken

liegen in einer Ebene A, welche bekanntlich auch jetzt noch Pentaeder-

ebene ist.

Nimmt man von den 27 reellen Geraden drei solche fort, so

Drei-

elbe

ist leicht einzusehen, dass die übrigen 24 sich nur in einer Weise zu 4

Doppelsechsen, denen einzeln Oeffnungen zugeordnet sind,

gruppiren

on60

aneh

lassen.?)

ı von

Nimmt man andererseits 3 Gerade einer Ebene B, z. B.:

52

14,

36,

weg, so erhält man aus den übrigen die Doppelsechse:

Bn

354,

516,

132,

246,

‘) Vergl. iéléin a.a. O. pag. 575, Anmerkung; ferner Zeuthen a. a. O,

2) - Klein a. a. O, $. .12.

g f p

„//J'\

*

E

E

Da

von denen aber nur die ersten drei Oeffnungen angehören. Den drei aus

ihnen entstehenden Knoten kann also kein vierter beitreten, wir erhalten

sind, S0

eine Fläche I’ mit 3 Knoten, welche ‘nicht direct aus derjenigen mit

zeellen (

vieren abgeleitet werden kann.!) Sie ist dargestellt durch die Modelle 7 u.8.

z.B. de

KErsteres erscheint von derselben, letzteres von der entgegengesetzten

Nr.3 we

Seite im Vergleich mit dem Modelle der Diagonalfläche betrachtet. Modell 8

te

wurde ausgeführt, um das kegelförmige der Parthien in der Nähe der

30

Knoten besser zur Anschauung zu bringen, man erkennt die Ueberein-

Nr.4 un

stimmung der Art beider, wenn man eines mit seinem Fusse nach oben kehrt.

Wie nun jeder der 5 Pentaederebenen eine Fläche I mit 4 Knoten

zugeordnet ist, so entspricht jeder der 10 Diagonalebenen eine Mannig-

h

faltigkeit der I’*), deren Dreiecksebenen einfacher Geraden der betreffen-

d

den Diagonalebene benachbart sind. Bei der letzteren Art kann man ins-

S(

besondere diese Geraden durch eine Ecke gehen lassen, wie es bei den

i

modellirten Flächen der Fall ist, und damit die Fläche eindeutig durch

Nr.ß\\;

ihr Pentaeder bestimmen. — Es sei noch bemerkt, dass man zwei Knoten

einer Fläche beliebig entstehen lassen kann und dann die Wahl hat, ob

man eine I oder I‘ mit dreien aus ihr hervorgehen lassen will.®) Nimmt

4

man z. B. die Knoten 146 und 524, so liefert jeder der Knoten 135 und

362 eine I.

Aber auch den Knoten 132 kann man bilden und hat jetzt

\

‘

eine I, denn die unären Geraden 15, 34, 26 gehören einer Ebene B an.

Aus der I mit drei Knoten:

mit O

yaden

146,

524,

135,

entsteht also die I%, wenn man den Knoten 135 durch 132 ersetzt. Solche

unend)

zwei besitzen zwei gleiche Ziffern in der Bezeichnung und sind dadurch

Steh_t ;

charakterisirt.

Die bezüglichen Oeffnungen liegen zu beiden

Seiten einer Tangentialebene A und ihre Richtungen bil-

Modell

den einen rechten Winkel mit einander.

Würfe

Sie mögen einander

benachbart heissen.

Veber!

Deforı

Eine Oeffnung ist stets drei andern benachbart, z. B. 135 den Oeff-

Schon

nungen 132, 354, 516.

Mit Rücksicht auf das Frühere kann man dann

wenm

sagen: Die Flächen I und I’ mit 3 Knoten gehen ineinander

tirung

über durch Auflösen eines Knotens, und darauf folgendes

leiten

Zusammenziehen einer der neu entstandenen Oeffnung be-

nachbarten. Das Zusammenziehen solcher drei Oeffnungen,

welche einer und derselben vierten benachbart sind, er

giebt stets eine I“

Wir wenden uns jetzt zur Untersuchung der Abweichungen in der

Gestalt, welche in dem verschiedenen Verhalten der Flächen zur unend-

lich fernen Ebene ihren Grund haben.

) Vergl. ul;e; die Bezeichnung $. 2 pag. 55 und $. 3, auch $. 3 des Vorliegenden.

2) 8.7.

3) 872 pag. 55:

A4E

O SE

%

drei aus

Da alle Flächen mit 4 reellen conischen Knoten unter sich collinear

erhalten

sind, so hat man bei diesen hierzu nur nöthig, die Gegenebene einer

en mit

reellen Collineation alle verschiedenen Lagen in Bezug auf eine Fläche,

78

z. B. der Nr. 2 annehmen zu lassen.

Man findet dann den Typus:

vesetzten

Nr. 3 wenn die Gegenebene eine convexe Parthie des dem Knotenpunkt-

Modell 8

tetraeder nahe liegenden paaren Stücks der Fläche in einem Oval

Vähe der

schneidet ;

Jeberein-

Nr.4 und 5, wenn eine Curve mit Oval ausgeschnitten wird, welches drei

n kehrt,

Knotenstrahlen treffen und zwar Nr. 4 wenn es ausserhalb, 5 wenn

Knoten

es innerhalb der convexen Parthie geschieht.

Solche Schnitte gehen

Mannig-

hervor, wenn man die Ebene zunächst durch einen Knoten, etwa

etreffen-

den untern legt, so dass eine Curve mit isolirtem Doppelpunkt er-

Nan InS-

scheint, und, wenn man weiter die Ebene bezw. nach unten oder

bei den

nach oben etwas verschiebt;

z durch

Nr. 6 wenn das Oval von 4 Knotenstrahlen getroffen wird, die schneidende

Knoten

Ebene also die Knoten in zwei Gruppen zu je zweien zerlegt. Um

at, o

eine möglichst regelmässige Gestalt zu erzielen, wurde die Ebene

Nimmt

ausserdem durch eine unäre Gerade gelegt.

35 und

Löst man nun die Knoten durch Verbinden auf, so entspringen aus

$ jetzt

3, 4, 5, 6 Flächen, welche von der unendlich fernen Ebene in eine Curve

B anı

mit Oval geschnitten werden, so dass dieses bezw. von 0, 12, 12, 16 Ge-

raden getroffen wird. Nimmt man noch den Typus von 1 hinzu, dessen

unendlich ferne Schnitteurve nur aus einem unpaaren Curvenzug be-

Solche

SE(1llt 1, so hat man die vier Arten, wie sie Herr Klein fand.

ET N

durch

1) Zu dieser Art gehört auch die Fläche, welche durch das bekannte Wiener’sche

‚iden

ı bil-

Modell veranschaulicht wird. Stellt man dasselbe auf diejenige Fläche des begrenzenden

Würfels, welche der mit Text verschenen gegenüberliegt, so ist die Möglichkeit der

yander

Ueberführbarkeit in unsere Diagonalfläche unter alleiniger Anwendung von endlichen

Deformationen leicht zu bemerken.

Zwei der aufwärts strebenden Flügel sind dann

} Ü(‘ff-

schon ebenso vielen der Diagonalfläche vergleichbar, dasselbe tritt beim dritten ein,

Zur leichteren Orien-

dann

wenn man ihn wesentlich in horizontaler Richtung verflacht.

tirung stellen wir die Doppelsechse der Oeffnungen, welche den Knoten einer abzu-

nder

leitenden Fläche mit vier solchen Punkten zukommen, neben einander:

ndes

Diagonalfläche.

Wiener’sche Fläche.

&o

a

ag

Ci3

Ca4

Caı

z he-

1

3

5

5

gen,

C556

C62

C2

ba

b;

b;

)er

a,

az

az

C56

C564

C45

(

24

/

b

Co3

C831ı

Cı2

ba

be

az

Cı2

C26

C811

ı der

E

as

{

C45

58

Caa

19

bı

b‘)

nend-

aı

a4

ag

C23

C835

C52

632

ı

b

C46

Ce1

C1ı4

5

b,

bs

Einfache Linien bleiben.

nden.

12, 34, 56,

C1i5

Co4

36

SG

SS

Dass die aus 4 und 5 sich ergebenden Flächen sich durch Nichts

unterscheiden, erkennt man ohne Weiteres.

Der Verlauf der Oeffnungen ist bei der aus 3 hervorge-

gangenen Fläche — sagen wir kurz 3 — übereinstimmend mit dem aufıl.

Bei 4, 5 nenne man die oberste Oeffnung 135, dann sind die

übrigen, wie sie aus den 3 in horizontaler Ebene liegenden Knoten der

Ausgangsflächen entstehen :

früher

526,

364,

142

’

in an

lich .

und 146,

524,

362,

Jetzt

Die einfachen Geraden dieser Flächen sind:

Proze

16,

32,

54

und . 12,

34,

56.

(

(

Die symmetrisch gelegenen Oeffnungen :

516,

354,

132

erstrecken sich jetzt durch’s Unendliche, symmetrische Flächen I‘ giebt

es also hier nicht.

Aber das Zusammenziehen der benachbarten von 156

nämlich :

146

ZUSA

135,

526,

einel

liefert eine I‘ mit den unären Geraden:

1

54,

36

Nr. 6 zeigt sechs Oeffnungen, von denen 4 durch Auflösung der

Knoten entstehen. Die beiden andern sind einander benachbart, mit der

gemeinschaftlichen Ebene der (horizontalen) unären Geraden.

Eine I‘

und

erhält man am übersichtlichsten durch Auflösen der oberen Knoten und

zieh

Schliessen der ihnen benachbarten endlichen Oeffnung.

Ver

Ausser den beiden Typen der I‘, welchen im Unendlichen ein

K

unpaarer Curvenzug zukommt, giebt es also noch andere, deren Schnitt-

Ueh

curve mit Oval begabt ist und dieses entweder von keiner, oder 2 vier-

fachen und vier 2fachen, oder von 2 vierfachen und zwei zweifachen

Geraden getroffen wird. Rücksichtlich der leichten Entstehungsweise aus

den Flächen mit vier Knoten erscheint jedoch eine wirkliche Ausführung

unnöthig.

der

o}

S

h Nichts

S88

l@t\‘l)!gg.

M auf],

Flächen mit weniger oder keinem conischen Knoten.

sind _ die

oten der

Aus dem Vorhergehenden geht hervor, dass durch „Verbinden“ die

früher durch einen Knoten gehenden reellen mehrfach zählenden Geraden

in andere reelle zerfallen.

Ein „Trennen“ macht dieselben aber ersicht-

lich imaginär, da die Parthien, welche früher im Knoten zusammenhingen,

jetzt durchaus keinen Zusammenhang an jener Stelle aufweisen.

Bringt man nun an einer beliebigen Anzahl von Knoten einen dieser

Prozesse + und — an, so erhält man aus der Fläche mit 4 Knoten:

a) 5 Flächen ohne Knoten,

I + + + + mit 27 reellen Geraden,

U+++—

15

,

©

’

u A

”

7

W}

’

IY + —- ——

S

3

”

”

=%

, und 7 reellen Dreiecksebenen,

l giebt

A E

”

3

”

}

13

„

3

on 156

Alle Flächen, mit Ausnahme von V, bestehen aus einem überall

zusammenhängenden Zuge, während die genannte ausser diesem noch

einen paaren Theil aufweist.

b) 4 Flächen mit einem Knoten,

ü E

in E

a

g der

MS

it der

ine ]

und noch eine Art IV’ mit isolirten Knoten, entstehend durch Zusammen-

ziehen des päaaren Stücks der V unter a).

(Vergl. die Einleitung.)

Ein

a und

Verschwindenlassen des Knotens führt auf eine sechste Art IV‘ ohne

‚ ein

Knoten, welche aber nur bei Festhaltung des Pentaeders einer directen

Ueberführung in die IV Hindernisse entgegenstellt.

hnift-

vier-

c) 3 Flächen mit zwei Knoten,

chen

I4 +

, a

n + —

nng

ME

d) 2 Flächen mit drei Knoten,

b

N

Die Fläche I’ kann höchstens unter Anwendung des Trennens zu

den bis jetzt gefundenen Arten neue liefern, da ein Verbinden mit einer

A

RDE RE

10

dann auftretenden Oeffnung gleichzeitig die ihr benachbarte entstehen

{

lässt.

in die

Dadurch geht aber nach $. 1 die Möglichkeit der Bildung von

4 Knoten hervor.

Es giebt also die Flächen:

Unters

dass n

a) IV“ — — — ohne Knoten,

Pentad

b) _IIr

— — mit einem Knoten,

e): IF

— Mmit zwei Knoten.

Diago

dann

und D

Aber auch diese, mit Zeigern versehenen, „inversen“ Arten sind von

drei,

den übrigen mit derselben Ziffer und gleicher Anzahl Knoten nur.ver-

die n

schieden, wenn man auf das Pentaeder achtet.

Ich war früher der An-

sicht, dass nur die Arten IV sich in einander überführen liessen, während

dies in Wirklichkeit auch bei den übrigen der Fall ist, wie bald gezeigt

werden soll.

Ist neben dem (eigentlichen) Pentaeder ein Punkt des Raumes als

Knoten gegeben, so ist die Fläche vollkommen bestimmt.

In $. 7 gab

ich die Vertheilung der Knoten der verschiedenen Arten, die in Folge

dieser Eigenschaft möglich ist; die Figur 1 auf Tafel I stellt das Modell

26 dar, welches für ein reelles Pentaeder jene Vertheilung oder — wie

man sagen kann — Abbildung der Flächen giebt, sofern man den be-

stimmenden Punkt das Bild nennt.

Die polirten Drähte sind Pentaederkanten, die rothen Diagonalen

der durch jene gebildeten Vierecke, die grünen Schnittlinien der Diagonal-

ebenen unter einander.

Die durch diese Ebenen in Verbindung mit denen des Pentaeders

begrenzten Kammern sind Bilder verschiedener Arten mit einem Knoten.

un d

Den Punkten der Pentaederebenen selbst entsprechen als Flächen drei-

fache Ebenen, sie sind daher auszuschliessen. Homologen Kammern ent-

sprechen gleiche Arten, daher genügte es, von einer Reihe solcher nur

eine einzige durch die ‘charakterisirende Ziffer zu bezeichnen.

Flächen

und

mit zwei, drei und vier Knoten bilden sich bez. ab auf die Diagonal-

ebenen, deren Schnittlinien und Schnittpunkte.

Man findet die Art als

Dis

lin

Uebergang zwischen den‘ beiden mit einem Knoten weniger als die ge-

gebene.

So z. B. enthält das von zwei grünen und einer rothen Kante

We

begrenzte Feld zwischen II und III die Bilder von II mit 2 Knoten; das

gell

von zwei rothen und einer grünen Kante begrenzte die Bilder von IT‘.

kei

de

So lange das Pentaeder bleibt, ist also die Ueberleitung dieser Flächen

ineinander ersichtlich unmöglich. Das Nämliche gilt für IIL und 1II‘ mit

ZW

einem Knoten.

Man findet ferner, dass sich die I und I’ mit 3 Knoten

he

bez. auf die schrägen und horizontalen Kanten des Hexaeders I abbilden.

Rü

Nur die ersteren enthalten aber einen Schnittpunkt dreier Diagonalebenen,

ha

das Bild einer Fläche mit 4 Knoten,

den dreien der I‘ kann demnach

f]14

kein vierter beitreten.

37

D

4

fstehen

Um nun die Möglichkeit der Ueberleitung der Arten II” und JIl

Ig von

Der charakteristische

in die ungestrichenen zu zeigen, bemerken wir:

Unterschied in der Lage der Knoten einer II’ und einer II besteht darin,

dass man ohne Aenderung der Art einen Knoten der II’ zu derjenigen

Pentaederecke führen kann, welche mit ihrer conjugirten Kante seine

Diagonalebene bestimmt, während dies bei der II unmöglich ist. Sind

dann die Pentaederebenen bezeichnet durch 1, 2, 3, 4, 5, die Kanten

d von

und Diagonalebenen durch zwei Ziffern, i k, die conjugirten Ecken durch

T, Ver-

drei, 1 m n, so entspringt für die Ebene 45 eine Vertheilung, wie sie

or An-

die nebenstehende Figur angiebt,

ihrend

ezeigt

o als

7 gab

Folge

K

fodell

C

J

- wie

Z

X

A%

y he-

I

n

Z

L

\

Z

/][

A

N

nalen

4A5

n

SN

BL

;oual-

eders

Vereinigen sich die Ebenen 4 und 5 zur Doppelebene, so rücken

ofeh:

in diese auch die Diagonalebenen:

drei-

14

ent-

24

,

aur

34

;

chen

In der

al

und die Felder I, II, III reduciren sich auf die Gerade 45.

Diagonalebene der (auch jetzt noch völlig bestimmten') Schnitt-

. als

ge

linie der Doppelebene liegen also nur Knoten von Il

Werden weiter die bisher vereinigten Ebenen imaginär, so geschieht das-

anfe

das

selbe mit den oben hervorgehobenen Diagonalebenen, diese können also

keine Abtheilungen begrenzen:

Die Flächen, deren Knoten in

Il

der isolirten Kante eines Pentaeders-mit 3 reellen und

hen

zwei conjugirt imaginären Ebenen liegen, sind als Il’ zu

nif

dass nach

dem

ß

en

bezeichnen, wenn man ausdrücken will,

Rückgange zu einem völlig reellen Pentaeder, unter Er-

den

haltung der ursprünglich reellen Ebenen, ein hinzuge-

100

fügter dritter Knoten eine I‘ hervorruft,

ach

!) $. 10 pag. 76.

12

O

Lässt man jedoch andererseits ein zweites Paar Ebenen etwa 2 und

I

imaginär werden und das bisher imaginäre Paar reell, so muss man

jetzt die Fläche als II bezeichnen, da nach $. 5 durch einen neu auf-

tretenden Knoten eine II mit dreien entsteht.

Damit ist die Identität

der Arten nachgewiesen.

Für die Uebergangsflächen eines Pentaeders

schr

mit einer Doppelebene und zwei conjugirt imaginären Ebenen folgt hieraus:

Die Knoten der II gehören der Diagonalebene der Kante

der Doppelebene, die der II‘ derjenigen der isolirten Kante

an. Aber für ein Pentaeder mit 2 Paaren conjugirter Ebenen ist der Unter-

0 N

schied vollständig verschwunden. Je nachdem man das Ebenenpaar, deren

Kante die Diagonalebene der Knoten angehört oder das andere reell

werden lässt, erhält man II oder II‘

Der Fehler in meiner früheren Arbeit liegt im Satze pag. 79, Zeile 8

ersti

von unten, woselbst ich übersah, dass ein Uebergang zu zwei reellen

Ebenen auf eine II führen müsse.

ZW&

Die Resultate des $. 13 für Flächen

mit einer dreifachen Pentaederebene erleiden keine Veränderung.

Bet

nm

Für die Arten III und III‘ ist keine besondere Betrachtung noth-

wendig, mit den II und II’ sind auch sie entweder zu unterscheiden oder

von

E

das

nicht.

F

Alle inversen Arten, wie sie aus der I‘ hervorgehen, besitzen drei

einfache Linien mit reellen Asymptotenpunkten, welche einer Dreiecks-

ebene angehören und diese geht bei der Rückleitung in eine Ebene B

über. Hierdurch ist ein Unterschied bei der IV“ gegenüber den Arten IV

hes

und IV‘ begründet.

Aber bei der IV sowohl als bei der IV‘ erhält man

eine Ebene A. Den Grund, weshalb man bei der IV‘ zunächst eine

Fläche mit isolirtem Knoten zu bilden hat, um nach und nach mehr Linien

reell werden lassen zu können, werden wir durch eine Untersuchung

N

der Hesse’schen Fläche einsehen, zu der wir uns jetzt wenden.

VOl

S, 4:

Ueber eine Eigenschaft der Hesse’schen Fläche.

Ein Knotenpunkt einer algebraischen Fläche ist auch Knotenpunkt

der Hesse’schen Fläche und zwar ist sein Tangentenkegel bei beiden

un

Flächen derselbe.

Es soll nun der für die gestaltliche Untersuchung der

Hesse’schen Fläche wichtige Satz bewiesen werden: Löst man einen

Knoteneinergegebenen Fläche auf irgend eine der beiden

möglichen Weisen auf, so vollzieht sich gleichzeitig die

Auflösung des mit ihm vereinigt gelegenen Knotens der

lp\

Hesse’schen Fläche, aber auf die entgegengesetzte Weise.

SC

Unter Anwendung homogener Coordinaten der %, %, %, %, kann

Z

man die Gleichung 'einer Fläche %* Ordnung in der Form:

D

IL

13

2 und

F= . (a,, %, *+ 20,, D, % A 20 , %, z + 204 %, %, F Apz x22+ 2,2 %, %,

; man

+ 2a24 x2 x4 + a33 x32 + 2a84 x3 x4 + a44 Q742)

ı auf-

ntität

+x4n“3'f(3)(w„xz7ws)+x4n_4°f(4)(xnmﬂ;"va)+"' f<n)(a"nx2;'/va):0

eders

schreiben, in der f© vom i“ Grade ist.

Tal8;

ante

Ist

a

-

—_-

14

24

34

44

0,

fxntc

nfer-

so besitzt die Fläche einen conischen Knoten im Punkte:

deren

reell

T

= Z

a

Z

eile 8

Nimmt man jedoch die drei ersten jener Coefficienten klein von der

ellen

f

ersten, den letzten klein von der zweiten Ordnung, 58so ist der Knoten

chen

zwar aufgelöst, aber die Fläche weicht nur wenig von der früheren ab.

Betrachtet man insbesondere nur die Parthie in der Nähe des Knotens,

nofh

nimmt also die x klein von der ersten Ordnung, so werden die Glieder

oder

von F bezw. klein von den Ordnungen 2,3...%, d. h. alle sind gegen

das erste zu vernachlässigen; wir können uns auf die Untersuchung der

Fläche:

drei

oks

R

„

2

2) BL SO

e B

beschränken.

V

Setzt man:

man

0

fı=

7 ka

Q

eIDE

Ö:

d

%.

u16n

un

so ist die Art der Fläche zweiter Ordnung f==0 bekanntlich abhängig

vom Vorzeichen der Determinante:

gfu

/‘[‘7

fıs

fın

Z Z

\f21

f22

fas

f3a

f}

f3r

fa

f33

f3a

fır

f4‘2

fıs

fa

nkt

und zwar erhält man für:

jen

A>0 ein einschaaliges Hyperboloid oder ein imaginäres Ellipsoid,

der

A<0 ein zweischaaliges Hyperboloid oder ein reelles Ellipsoid.

en

en

Die beiden möglichen Flächen bei demselben Vorzeichen von 4 ent-

jie

sprechen bezw. einem reellen oder imaginären Tangentenkegel des auf-

er

gelösten Knotens. Der Indentität dieser Kegel bei der Original- und Hesse’-

b

schen Fläche wegen genügt es also zum Beweise des aufgestellten Satzes

zu zeigen, dass die Gleichungen beider Flächen’von derselben Form, aber die

un

Determinante der quadratischen Faetoren verschiedenen Vorzeichens sind.

A

)«

I

14

BED

Es ist nun

Fa

far

fﬂl

f41 + (n—2 fl

H_ 'Ü 4n-10

f

f22

fa

faz T

f

S0 18

f

fa

(r P (“'_‘2)f3

If14®4+(n

D WE 2 S F

fı fa F2@—

Dl

n—2)(n—

f

Addirt man die mit %,, %, %, multiplieirten ersten drei Reihen zur

vierten und führt darauf dasselbe für Colonnen aus, so wird

fır

fl)1

fa

(n— D,

und

4n-—10 f10

f22

f3r

W Z

HE

13

faz

fa3

zD

3

m— DA

@Dn

@— U

W Z

fır

fı

Iar

‘f1

fa2

far

== X

4n-—10

+n —17 Ar

(n— 17 b

fas

fas

‘

f}

f

f

6l

/1l

Iar

f31

f4l

fız

f‘1‘)

f3r

f42

schn

—& 4n-10 ()l'_"1)

hıs

fas

f3‘*)

fas

£

+n (n—1)f4,,

den

X

4®

24 4

f84 4

2f+/44 r42

Hä

Mer

= (n-—1)

4n 10[ ZA*])(I'

_2fA44 +“fA44]

Hes

B

EL RC E

(n—1) 4

ihre

s

n—2

29 (n-1) X 4n 10(/1-

y

A

ZE1C

die

Die Determinante des Factors von

—(n—1) x,"? jst also

Für

(Fır

f2l

/“)1

fır

fı

foz

f32

fa

Sn

E

Nn

‘f13

f2‘3

f3r

fıs

A (n— 1)

;

N

Iıs

fr

fa

fıa

EB

n

2)|

ich

also im Vorzeichen von 4 verschieden für alle »n >2, w.z.b. w

é B

M

UVeber die Hesse’sche Fläche einer Fläche dritter Ordnung mit

reellem Pentaeder

Ist die Gleichung einer Fläche dritter Ordnung bezogen auf ihr

Pentaeder z

E AT

Eel

D

Zei

CL

15

FE

f:a1 x13+a2 .£L‘23+ C x38+ A, ;I;f—l—- A 'T58=O

L N 0,

so ist die Gleichnng ihrer Tangentialebene im Punkte y:

—n 3

CZ L’/12‘7“'1 +& ;//22 %, + A, ÄI/32‘T3 - A, -7/42 %, - A Yı 4 =0.

}

Die Hesse’sche Fläche ist dann dargestellt durch:

€n ZUr

1

— 'l‚_‚

JE

1

Z

D

R

A, D,

D

5

und ihre Tangentialebene im Punkte z durch:

1

1

1

1

+

m

+

An

2

A, Z

R

8

a

AL

Q

5

)+

A, R

A, R

74

A, 2

Z

HL

A

Z + BEErhNE

+

+ 5

Z

(

a

(?‘f

x

RL

[47

A

5

A

Die (festen) Tangentialebenen an den Pentaederkanten:

‚e'|:‚e'k.___0

schneiden die Fläche in 10 Kegelschnitten, von denen je vier, wie sie

den Kanten einer und derselben Pentaederebene angehören, auf einer

Fläche zweiten Grades liegen.

Nimmt man nämlich die zerfallende Fläche

'fAu]

vierter Ordnung, welche durch die vier Ebenen dargestellt wird und die

Hesse’sche als Basisflächen eines Büschels, so geht durch einen Theil

ihrer Schnitteurve, nämlich die vier Kanten, doppelt zählend die ausge-

zeichnete Pentaederebene, der Rest achter Ordnung der Schnitteurve —

die vier Kegelschnitte — liegt also auf einer Fläche zweiter Ordnung.')

Für die Ebene z;=0 als ausgezeichnete ist diese Fläche gegeben durch:

SE läm.

Je zwei dieser Flächen haben einen der Kegelschnitte gemeinschaft-

lich. —

Wir wenden uns jetzt zur Betrachtung der Fläche:

x‚"—}-—mf—l—x£+xf+%=0

mit den 4 Knoten:

—l

—

nit

l

—2

A

1

%

—

ihr

1) Ueber eine andere Eigenthümlichkeit der Lage der 10 Kegelschnitte vgl.

Eckhardt: Eine Eigenschaft der Hesse’schen Fläche einer Fläche dritter Ordnung.

Zeitschrift für Mathematik und Physik XIX 259 ff.

RE

16

L

deren Hesse’sche Fläche:

dass di

schwaG

£

\

ist

Letztere ist durch das Modell 24, veranschaulicht.

Die horizontale

Ebene der weissen Geraden

ist

die ausgezeichnete %7, =0.

Zu den

übrigen kann man entweder die Ebenen der rothen oder die der grünen

Geraden wählen.

Die Gleichberechtigung der verschieden gefärbten ist

welche

unschwer zu erkennen.

Eine dieser Ebenen ist. %, =0 parallel, drei

eigent

Pentaederecken auf einer Kante liegen also unendlich fern, welche An-

Be-

nahme zur Erzielung einer symmetrischen Form nothwendig war.

trachtet man das grüne Tetraeder als dem Pentaeder angehörig, so sind

angehi

die Ecken des rothen Knoten der Fläche dritter Ordnung, und umgekehrt.

Die beiden Flächen, welche hiernach einer und derselben Hesse’schen

vier d

Fläche angehören*), sind resp. Nr. 2 und 5.

Bei beiden sind selbstver-

dritter

ständlich die unären Geraden dieselben:

Diagonalen des vollständigen

finden

Vierseits in %, =0.

gehend

Nimmt man Nr. 2 als ursprünglich gegebene Fläche /= 0, so ist

]

die Gleichung von Nr. 5:

['urvcy

welche

O OO N

Veber,

}

Micht.

+ra 0,

ines

Als Gleichungen der Tangentialebenen an den Kanten der beiden

dem

Tetraeder findet man:

gekr

Z a=0...i,k=1,92,3,4

einerlei ob man sie einer der beiden Flächen dritter Odnung oder der

Hesse’schen angehörig betrachtet.”) Die Kegelschnitte, in welchen letztere

ihre

getroffen wird, sind also in Doppelgeraden ausgeartet. Die eben erwähnten

6 Ebenen bilden ein Hexaeder, in dessen Nähe die Hesse’sche Fläche

derart verläuft, dass zwei der Diagonalen in einer Seitenebene der Fläche

angehören.

Nr. 24, giebt den so begrenzten sternförmigen Körper in

vergrössertem Maasstabe für ein Pentaeder, bestehend aus einem regulären

Ihre.

Tetraeder und der unendlich fernen Ebene. Bei dieser Lage wird auch das

Hexaeder regulär.

Die 6 Ebenen durch je zwei Tetraederkanten, wie sie

sich in einer Ecke von %, == 0 schneiden, bestimmen ebenso viel wei-

tere Kegelschnitte, welche durch je vier Tetraederecken gehen.

Bei 24,

sind diese Kegelschnitte Hyperbeln, welche bei 24, ausserdem gleichseitig

’‚7'

sind.

mdc.1

E

1)Eckhzudt‚ i3eitr';ige zur analyt. Geometrie des Raumes etc. Math. Ann. V pag. 30.

]llll]g‘

?) Längs der Verbindungslinie zweier Knoten haben eine Fläche dritter Ord-

Rest

nung und ihre Hesse’sche stets dieselbe Tangentialebene, nämlich die der beiden

Sekri

Knotenkegel, gemeinschaftlich.

(B

I7

SE

Die sternförmigen Parthien weichen vom Würfel nur dadurch ab,

dass die Kanten des letztern durch Hyperbelzweige, die Ebenen durch

schwach hyperbolisch gekrümmte Flächentheile ersetzt sind.

Nur die Tangentialebenen an den Kanten in %, = 0, nämlich:

ontale

1 den

5Üx+äi= ’

‚rünen

en ist

welche jetzt durch den Punkt 1, 1, 1, 1,—4 gehen, schneiden noch in

, drei

eigentlichen Kegelschnitten, welche der Fläc]16:

6 An-

D

2

SEL

5

kn

‚ Be

F+z

2+„’L'2 ')e+"xsx4

16

) sind

kehrt,

angehören. Bei 24, ist diese ein Ellipsoid, bei 24, eine Kugel. Die übrigen

schen

vier dieser Flächen sind Kegel mit je einem der 4 Knoten der Fläche

Sivel-

dritter Ordnung als Spitze.

Als Kegelschnitte auf je einem dieser Kegel

digen

finden sich einer der eben bestimmten und die 3 durch den Knoten

gehenden — doppeltzählenden — Geraden.

0 l*t

Die Hesse’sche Fläche verzeichnet auf der gegebenen die parabolische

Curve, diese besteht also aus den 6 doppeltzählenden Tetraederkanten,

welche als Curve zwölfter Ordnung keinen weiteren Zweig zulassen. KEin

3

Uebergang von Theilen verschiedener Krümmung zu einander findet daher

nicht beim Passiren der parabolischen Curve, sondern nur beim Passiren

eines Knotens statt:

Die Fläche

mit vier, Knoten ist nur

auf

dem paaren Theil elliptisch, sonst überall hyperbolisch

eiden

gekrümmt. —

Die Gleichung der Fläche I‘, Nr. 7, ist:

.’U38+x‘.'3+‘7‚53=0’

. der

x‚‘”‘+xi—}—

ziere

ihre 3 Knoten haben Coordinaten:

ınfen

2

2

1

1

äche

2

2

l

T

äche

—2

2

2

T

1,

r M

ären

ihre Hesse’sche Fliiehe‚y Nr. 25, ist dargestellt durch:

das

, S1e

CFTA A) HE

wei-

Die Ebenen %, und %, sind horizontal, ihre Pentaederkanten sind weiss,

2’l>’l

%, %, %, Sind durch die grünen Pentaederkanten gegeben.

Die rothen Ge-

JU

raden sind Verbindungslinien von je zwei Knoten der Fläche dritter Ord-

nung. Letztere Linien zählen als parabolische Curve wiederum doppelt,. der

g‚ 30:

Rest von der Ordnung 12 — 6 =6 besteht aus 7 Ovalen, welche elliptisch

Ord-

gekriümmte Parthien einschliessen. Von diesen Ovalen ist eins, das obere

jden

U = %, =X, é()‚ zum isolirten Punkte geworden, in welchem sich drei

Z

„

//)y/\})f«t« “;’/

/

18

®

unäre Geraden kreuzen. Die übrigen Ovale werden durch die drei Seiten-

in der

heile

theile der Hesse’schen Fläche ausgeschnitten, je zwei berühren eine Ge-

von €

rade der parabolischen Curve. —

elche

Mit Hülfe des im vorigen Paragraphen bewiesenen Satzes gewinnt

Weise

man nun leicht eine Vorstellung des Verlaufs aller übrigen Hesse’schen

Dreie

Flächen.

Insbesondere ergiebt sich:

Die Hesse’sche Fläche einer

Fläche

dritter

Ordnung

mit 27 reellen

Geraden

besteht

aus fünf Theilen

welche

MUL:

E

den Pe

ntaederecken

Z

und den Tetraederkammern

einzeln der-

herüh!

sammenhängen

dass

die den

letztern

angehörigen

halb_

art zugeordnet sind,

Strecken der Kanten

auf den einzelnen The

ilen vollstän-

dig verlaufen.

-

Sso

Geht man von einer solchen Fläche zu einer mit I\notcn über,

entst

wachsen zwei Parthien, wie sie sich über zwei Seitenflächen \forsclxledener

Kan

Kammern erheben

zZUusammen

Für die an 24, und 25 aufgelösten Knoten

drei

ist das direct zu sehen.

Um den Vorgang auch für weniger günsti

S0

staltete Parthien zu verfolgen, führen wir die beiden Modelle in einander

Pan

über.

meh

Gehen

Wır

aus von

24

und nehmen die grünen Linien zu Pen-

CINE

taederkanten.

mög

Ein „Trennen“, ausgeübt auf die Knoten des rothen Te-

traeders

Zwei

liefert uns dann den Typus, wie er einer I zukommt.‘)

Fl

C

der fünf Theile einer solchen sind dann das kleine Hexaeder und die sich

durchs Unendliche ziehende achsiale Parthie.

Seiten-

Jeder der übrigen drei wird durch einen obern und unter

theil, welche Stücke im Unendlichen zusammenhängen, gebildet

Beim Uebergang zu

25 bleiben

die beiden ersten 'Theile im We-

(r

sentlichen unveränder

während an den untern Seitentheilen zwischen den

und

Ebenen %, und x; seitlich Hügel entstehen, welche sich in den Knoten

Schl

der I‘ vereinigen.

Die obern Theile werden bei der Deformation durch

ung

Unendliche gerückt

B:

Ueber den Verlauf der parabolischen Curven auf den Flächen ohne

M

Knoten mit weniger als 27 reellen Geraden sehe man Zeuthen a. a. O

Wir heben hier nur hervor, dass wie früher Ovale auftreten, welche Drei-

ME

aber

bisher

solche Dreiecke nur

ecken einbeschrieben sind

Während

A

Ebenen B angehörten,

kommen sie bei den Arten II, III, IV, V zum

Un

Theil Ebenen

A zu:

Solche Zweige ftfreten

neu

auf und zwar in der

De

folgenden Weise.

Zieht man eine Oeffnung zum Knoten zusammen und

ım

löst diesen später durch Trennen auf

so hat man ersichtlich

den

ur

S0C

sprünglich überall zusammenhängenden hyperbolisch gekrümmten Theil

de

1) Das Pentaeder stimmt überein mit dem des Modells Nr. 1, die eben erzeugte

Fläche kann also als der Diagonalfläche zugehörig angesehen werden, durch Betrach-

tung beider erkennt man das Zustandekommen der 10 isolirten Punkte der paraboli-

schen Curve sehr leicht.

//J &

BT S

19

i Seiten

in der Nähe des Knotens in zwei, dort keinen Zusammenhang zeigende

in Ge

Theile von elliptischer Krümmung übergeführt.

Jeder derselben muss

von einem Zweige der parabolischen Curve umschlossen sein. Bei der II,

gewinnt

welche durch Beseitigung ‚der Oeffnung 135 in der eben geschilderten

se’schen

Weise entsteht, treten so zwei Ovale auf, welche von den Seiten der

‚ einer

Dreiecke:

©

esteht

12

34,

6, 1

en ZU-

16,

23

Z

45

n der

berührt werden.

Diese Ovale sind durch Vereinigung der Ovale inner-

jrigen

halb der Dreiecke:

Istän-

.

35, 46, 12

8

15, 26, 34;

13, 24, 56

und

35, 24, 16;

15, 23, 46;

13, 26, 45

Jer, S0

jedener

entstanden.

Während ein Oval einer Ebene B stets von drei

Knoten

Kanten; wiıe sie durch eine Ecke gehen — und nur vOn

drei solchen — getroffen wird, also stets zum isolirten

üg Be-

nander

Punkt zusammengezogen werden kann; schliesst ein Oval 4

mehrere Pentaederecken ein, deren Kanten es schneiden,

1 Pen-

eine Reduction auf einen isolirten Punkt

ist

nicht

mehr

möglich.

an Te-

Diese Bemerkung erklärt auch das

verschiedene Verhalten

der

Zwei

Flächen :

je sich

II und II’ mit 2 Knoten,

II

SN

”

1

bl

Seifen-

IV

IV ohne

”

1 We-

(IV‘ ohne Knoten schliessen wir vorläufig aus). Alle diese Flächen haben drei

n den

und nur drei unäre Geraden, welche Ovale der parabolischen Curve ein-

nofen

schliessen, aber, wie aus dem Früheren hervorgeht, gehören diese bei den

ureh's

ungestrichenen Flächen einer Ebene 4, bei den gestrichenen einer Ebene

B an, worin nach dem eben ausgesprochenen Satz der.Unterschied be-

olme

gründet ist.

40

Es erübrigt noch, die IV’ zu untersuchen, deren parabolische Curve,

Drei-

wie diejenige der IV, von Geraden einer Ebene 4 eingeschlossen wird.

nur

Zieht sich der paare Theil einer V zum Knoten (einer IV‘) zusammen

zum

und — verschwindet weiter dieser Knoten, so muss sich während der

‚ der

Deformation nach $. 3 des Vorliegenden auf der Hesse’schen Fläche aus

und

imaginären Elementen ein isolirter Knoten gebildet haben und dieser

HA

sodann in einen paaren Zug übergegangen sein.

heil

Da die Knoten der IV“ einer Tetraederkammern angehören!), so wird

der neu auftretende Zweig ganz von dem frühern eingeschlossen.

Also:

angte

Die Hesse’sche Fläche einer IV‘, wie sie aus der gleich-

yach-

‚holi-

X- $ 2 pag. 56.

« 789

FE RE

20

erhält

namigen mit isolirtem Knoten durch Verschwinden des-

welche

selben hervorgeht, besteht aus zwei paaren Theilen, von

denen der eine den andern vollkommen umschliesst, wäh-

rend bei allen andern nur Züge auftreten, welche wenig-

]

stens inden Pentaederecken zusammenhängen, womit dann

yorlie

der besondere Charakter klar gelegt ist.

Jation:

bilde

yierfa

S

die n

ist €

Die Flächen mit B,.')

folgli

jede

Der Kegel zweiter Ordnung im Knoten ist in ein Ebenenpaar zer-

fallen, welches entweder reell (Nr. 9 und 10) oder imaginär (Nr. 11) sein

es fäl

kann; aber die Schnittlinie dieser Ebenen, die: Achse des B,, ist stets

Die

reell. Dieselbe liegt übrigens nicht auf der Fläche, sondern schneidet die-

Car

selbe in drei consecutiven Punkten.

Während nun eine beliebige Ebene

MaD

durch den Knoten eine Curve mit gewöhnlichem Doppelpunkt verzeichnet,

dies

geht letzterer für einen Achsenschnitt in einen Rückkehrpunkt, mit der

Achse als Rückkehrtangente, über. Insbesondere treffen die beiden singu-

(D

lären Ebenen in Curven mit dreifachem Punkt, also hier in drei Geraden.

stehe

Am Modell 10 sind diese (rothen) „Strahlen“ reell in beiden Ebenen des

Man

Knotens. Jeder zählt dreifach, ausser ihnen gibt es noch 9 einfache Linien,

Kuot

von welchen 3 unendlich fern sind.

Die unendlich ferne Ebene ist also

Das Pentaeder besteht aus zwei

und

dreifache Tangentialebene der Fläche.

die

Doppelebenen, welche harmonisch zu denen des Knotens sind (sich

einfachen

und einer fünften

übrigens weiter zur

vereinigen können)

gäng

durch

den Knoten.

Die Doppelebenen des Pentaeders sind die Sym-

Statt

metrieebenen des Modells, die einfache enthält die horizontalen Strahlen,

was jedoch im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Die singulären Ebenen theilen den Büschel durch die Achse in zwei

Theile.

In den Ebenen des einen Theils ist die Spitze der Schnitteurve

nach. unten, in denen des andern nach oben gerichtet, beim Uebergange

treten zwei Curvenzweige — wie sie der Schnitt durch die kleine Achse

des Basisellipse besonders gut zeigt — an den Rückkehrpunkt heran,

und machen ihn zum dreifachen; später sondern sich diese Zweige in ent-

änbı

gegengesetzter Weise wieder ab.

1

Ein B, mit reellen Ebenen entsteht durch das gleich-

N

zeitige Zusammenziehen zweier benachbarfter Oeffnungen.

kann

dieser

Process dreimal

Bei einer Fläche mit 27 reellen Geraden

1

ausgeführt werden.

Für die Paare:

(146, 516);

(524, 354);

(362

132)

1) Klein $. 3; meine Arbeit $. 1.1’ 12

21

1 dc‘s-

echaält man aus Nr.. I die / Nr. 9° mit: 3B

Jede der drei Geraden,

, VON

welche dasﬂ Modell noch aufweist, zählt neunfach:

Väh-

16 4 346 56) 41 51, 23 ete.

ehIe

}

dan

Das Pentaeder ist bei mehreren B, nicht mehr bestimmt.!) Für die

vorliegende Fläche ist auch die Hesse’sche Fläche ausgeartet in die Oscu-

Die Geraden

lationsebene an den Geraden und die Ebene der Knoten.

bilden demnach die parabolische Curve, jede zählt als solche

vierfach. Die Krümmung der Fläche ist also zu beiden Seiten der Curve

die nämliche. Die kleine Kuppe über dem endlichen Dreieck der Geraden

ist ersichtlich aus "Theilen innerhalb des Ovals 14, 36, 52 entstanden,

folglich elliptisch gekrümmt. Nun kann man von jedem Punkt zu

IT ZEI-

jedem andern gelangen, ohne einen B, zu überschreiten,

es fällt also auch diese Veranlassung zur Aenderung der Krümmung fort:

|) sein

f stefs

Die Fläche ist, abgesehen von Punkten der parabolisehen

f die

Curve, überall elliptisch gekrümmt und zwar ist sie — wie

Ebene

man durch Betrachtung aller übrigen findet — die Einzige, welche

chnet,

diese Eigenschaft hat. —

f der

Aus dem Vorstehenden geht auch die Entstehung des B, aus dem

Je nachdem man die ersten oder letzten der in Parenthese

ngl

C, _ hervor.

aden.

stehenden Oeffnungen zusammenzieht, entsteht; eine I oder I‘ mit 3 C,.

1 des

Man kann also sagen, die Fläche gehen ineinander über, wenn an ihren

inien,

Knoten die Aenderung durch die biplanare Form vollzogen wird.%)

; also

Die hierdurch erfolgte Vertauschung der Ebenen (A4) 12, 34, 56

zwei

und (B) 14, 36, 52 wird aber auch schon bewirkt, wenn ein Knoten sich

(sich

die biplanare Form ändert, also nur eine ungerade Anzahl dieser Vor-

gänge ist von Einfluss auf die Art.®)

aften

Sym-

Die Flächen mit weniger B, sind leicht erledigt. Betrachten wir

statt aller andern eine mit B, + 2.C, z. B.:

hılen,

(146, 516) + 524 +. 362.

zwei

Je nachdem man an den letzteren die Aenderungen:

I6

+ +

unge

chse

+ —

-

s

1all,

eat-

anbringt, hat man:

in jeder Ebene 3 reelle Strahlen

Schlafli III, 1;

in einer Ebene 3 reelle Strahlen, in der andern

ch

en

einen reellen Strahl

”

1, 2;

a 3

mal

Wifnyjjeder Eb(?“f einen reellen Strahl

3 gs 1"2‚ I

*) Klein a. a. O.$.4.

3) 8.3.

/f 7

S

Fi

Flächen, deren Verhalten zum Unendlichen ein anderes ist, lstellt

D

man sich leicht her aus denjenigen mit 27 reellen Geraden, wie sie die

Modelle 4, 5, 6 liefern, indem man, wie früher, benachbarte endliche

Knoten

Oeffnungen zusammenzieht. —

wäre 08

Zur Untersucehung der parabolischen Curve beim Vorhandensein eines

gulären

folgt da

einzigen B, führen wir Nr. 1 in Nr. 10 über und verfolgen die Defor-

mation der Ovale.

gehen,

yon Ar

Set der D; auf Nr. 10°

(146,

516).

auf di

Dann sind die dreifach zählenden Strahlen, wie sie zu dreien in

einer singulären Ebene liegen:

Modell

1, 46;

56

2% 43,

(S11

©&

mit D

6, 41,

51

und

zum R

X

3042

4°

9

23

4,

5,

—ä ON

©S N

Der .

MeNZ

Die 9 übrigen Geraden sind einfach.

Stücl

Hieraus ergibt sich folgende Vertheilung der 10 Ovale:

Fläc)

Vier liegen mit dem> B, vereinigt:

46,

äd;

23;

41,

6,

238

|

43,

52,

165

42,

f;

3

16

isolirt

Vier bilden Schleifen einer Curve mit vier-

lichen

fachem Punkt im B,;:

46,

3

125

56,

4Q,

13

durch

59

26

41,

36;

51,

43,

Zwei sind eigentliche Ovale geblieben:

13,

45,

6;

45,

12

36;

schei

beide sind unendlich fern. Das erstere ist insbesondere ein isolirte&‘ Punkt,

Wir.

der Schnittpunkt der Parallelen des Modells mit der unendlich fernen Geraden

der

45 ihrer Ebene.

Hess

Wir heben noch hervor, dass die Knotenstrahlen durchaus nicht

zerfa

gleichwerthig sind: In jedem der vier „erster Art“ sind zwei

mit-

Gerade mit reellen

Asymptotenpunkten vorhanden, in

Beid

jedem „zweiter Art“ befindet sich nur eine solche Gerade.

diese

Die Geraden erster Art sind die Tangenten der paraboli-

schen Curve im vierfachen Punkt.

als (

Die Pentaederebenen sind hervorgegangen aus:

zind

€

r

14,

26,

Tini

52

2

64,

13

} doppelt,

ehe

x

12,

34,

\

mit

15

24,

36 H

doppelt,

Nel

16,

32,

54, die Ebene der Strahlen zweiter Art liegt

Wer

der einfachen Pentaederebene derart

Seh

nahe, dass sie die beiden eigentlichen

Ovale der

parabolischen Curve be-

rührt.

//Ä

23

, Stellt

Für das Modell sind beide Ebenen vereinigt.

2 8i die

Der B, mit imaginären Ebenen lässt keinen weiteren reellen

dliche

Knoten i

rgend welcher Art zu, denn seine Verbindungslinien mit diesem

wäre dann reell was unmöglich, da die einzige reelle Gerade in den sin-

in eines

gulären Ebenen — die Achse — nicht auf der Fläche liegt. Hieraus

S Defor-

folgt dann auch, dass nur solche C,, durch welche keine reellen Linien

gehen, in die vor

liegenden übergeleitet werden können, also nur Knoten

von Arten IV und IV‘. Bilden wir uns die erstere durch Anwenden von:

H

EB

Aul

die Achse

des

reien in

auf die drei oberen Knoten der Nr. 26

Ebenen

durch

Modells — der späteren Achse des B, — schneiden dann in einer Curve

mit Doppelpunkt und nach oben gerichteter Schleife. Zieht sich diese

zum Rückkehrpunkt zusammen, so hat man den B, des Modells Nr. 11.

Der B, mit imaginären Ebenen entsteht also durch Zusam-

menziehen einer Oeffnung und Verschwinden eines paaren

welches nur im: erzeugten ‚C, mit den übrigen

Stückes,

Flächentheilen zusammenhängt.

S

Unter Benutzung einer IV‘ hätten dieselben Schnitte Curven mit

— —

S> &Z

S

isolirtem Punkte ergeben, dessen Herabrücken auf die Curve zum näm-

lichen Resultat geführt hätte: Die Flächen IV und IV‘ mit C, sind also

13;

durch die Aenderung durch die biplanare Form ineimander überführbar.

26

Unser Modell stellt übrigens nicht die allgemeinste Art dar, unter-

scheidet sich

im Aussehen jedoch durch nichts Wesentliches von ihr.

365

Wir haben eine Fläche mit osculirendem Kegel!) vor uns, dessen Spitze

Punkt,

der unendlich ferne Punkt der Achse ist.

Die Hesse’sche ist in den

yaden

Hesse’schen Kegel des genannten und der Ebene seiner Berührungs-Curve

nicht

zerfallen. Die parabolische Curve zerfällt in diese Curve dritter Ordnung,

zwei

mit dem B, als isolirten Doppelpunkt, und eine andere neunter Ordnung.

Beide haben die reellen Geraden zu Asymptoten.

Die Zoone, welche

, IM

diese Geraden enthält, ist. hyperbolisch, die andere elliptisch gekrümmt.

yade,

Hier ist auch der Ort zur Betrachtung der Rotationsflächen, da diese

yoli-

als diejenigen Flächen definirt werden können, welche zwei conjugirt ima-

ginäre Punkte des Kugelkreises zu B, haben.?) Die reelle Verbindungs-

linie dieser Punkte ist dann die unendlich ferne Gerade der Asymptoten-

ebene.

Alle diese Flächen sind natürlich IV, V oder die angrenzenden

mit Knoten.

Sie entstehen aus den symmetrisch gebildeten der bezeich-

neten Arten, wenn man das Dreieck der reellen Geraden unendlich gross

werden lässt, wobei dann seine Ebene zur Asymptotenebene wird, während

jeg(

seine Seiten in der unendlich fernen Geraden dieser Ebene sich vereinigen,

yart

DL

9:8017.

en

*) Siehe eine Note des $. 12.

be-

HEI

24

$ 7

R m.

Die Flächen mit einem B,.')

drei

Die Achse des Knotens liegt jetzt auf der Fläche, welche längs

auf

dieser Geraden eine constante Tangentialebene hat. Dieselbe ist dreifach

zählende Pentaederebene, die Doppelebene ist, wie beim D,, die vierte

gend

Nanl

harmonische zu jener und den Ebenen des Knotens.

e15i

Ausser der Achse wird die Fläche noch von jeder der singulären

Ebenen, welche wiederum reell oder imaginär sein können, in zwei

Nr

&

Strahlen getroffen.

ÄCil

Sl

Das Modell 12 zeigt einen B, mit reellen Ebenen.

In Folge des

Vorhandenseins von zwei weiteren C, berührt jede der Ebenen längs den

naare

(blauen) Verbindungslinien des B, mit jedem C,.

Eine Auflösung eines

C, durch + oder — führt die durch ihn gehende Gerade bezw. in zwei

reelle oder imaginäre über.

und

Bei Nr. 13 sind die singulären Ebenen imaginär.

Die Fläche hat

Tader

ebenfalls zwei C, auf den rothen Geraden.

Sie müssen imaginär sein,

ihr Auftreten macht sich aber durch die feste Tangentialebene, welche

die Fläche ersichtlich längs der rothen Geraden besitzt, bemerkbar. Die

Linie, in welche diese Ebene ausserdem noch schneidet, ist unendlich fern.

Die grüne Linie ist bei beiden Modellen die Achse.

Ein B, kann durch Vereinigung zweier C, erzeugt

werden, deren Verbindungslinie hierbei Zur Achse wird.

Dieser Prozess geht unter Annahme reeller Ebenen folgendermassen

vor sich.

Man denke sich am Modell Nr. 2 durch eine schräge rothe Ge-

rade die Syinmetrieebene gelegt. Diese schneidet ausserdem noch in einer

Ellipse, welche durch die C, auf .der gewählten

Geraden geht und diese Punkte fallen zusammen,

wenn man die Ellipse derart — nach oben — ver-

näm

schiebt, dass sie die Gerade berührt.

Sofort hat

man dann Nr. 12.

gefı

Behufs Ableitung des B, aus dem B

8

146

nehme man als solchen:

(516, 513).

f

Ba

Der Symmetrieschnitt hat dann eine Form,

wie sie die stark ausgezogene Curve in neben-

stehender Figur zeigt.

Vereinigt sich die Kuppe

mit

K mit der Spitze, welches durch Zuziehen von 416

Pı

geschieht, so hat man den B,, die Schnitteurve mit

Ka

Spitze ist in einem Kegelschnitt mit Tangente zer-

lic

fallen.

1) 8. 14.

M

S}

G

L

25

Auf einer Fläche ohne Singularitäten tritt also ein

B, mit reellen Ebenen durch das gleichzeitige Zuziehen

dreier Oeffnungen:

(416,

516,

513)

e längs

auf.

dreifach

Eine solche Reihe von Oeffnungen, in der jede der fol-

6 vierte

genden benachbart ist, soll.in Zukunft eine „Kette“ ge-

nannt werden.

Ist insbesondere die letzte Oeffnung der

gulären

erstenbenachbart, so mögedie Kette „geschlossen“ heissen.

In ZWei

Die parabolische Curve besteht auf unserem Modell, wie bei

Nr. 2 aus Kanten des früheren Tetraeders, von denen jetzt drei in der

Achse vereinigt sind. Die Krümmung ist, mit Ausnahme des elliptischen

Ige des

s den

paaren Stückes, überall hyperbolisch.

ß

z eines

Beim alleinigen Auftreten des B,

in ZWei

(416,

516,

518)

und völlig reellem Liniensystem haben wir folgende Vertheilung der Ge-

e hat

.

raden.!)

' SEl

Es liegen:

welche

In der Achse:

-

9%

, Die

1,

46,

J

6;

4y

43,

53;

ı fern,

in den vier Knotenstrahlen:

41

3

94

61

‚eugt

6,

K<

I y

42,

525

4%

3

4,

16; 13.

d

nasseH

Diese Linien sind also jetzt wieder gleichartig gebildet.

he GE

Einfach sind nur noch:

einer

12,

45,

365

K

2

ählten

Sieben Ovale der parabolischen Curve sind in die Achse gerückt,

mmel,

nämlich zu den vier bereits im B, vereinigten sind die zwei weiteren:

— vel-

26

ıf hat

13,

56, 24;

15

43,

getreten, und ein siebentes:

m B„

12

46,

ist zur Achse selbst geworden.

Dann gibt es zwei:

"orm,

14,

25,

36

und 13,

26,

45

eben-

mit Doppelpunkt im Knoten, welche zusammen eine Curve mit vierfachem

uppe

Punkt bilden. Sie werden von je zwei, in verschiedenen Ebenen liegenden

, 416

Knotenstrahlen und ausserdem von einer unären Geraden berührt.

End-

e mit

lich existirt noch ein eigentliches Oval:

d gel-

36.

EL

12,

9,

_1) Vergl. di; Vertheilung beim Bz3.

A

(f‚«u.»„

26

Nur das Ueberschreiten der Ovale, nicht das der Achse, bringt eine

Stral

Aenderung der Krümmung hervor, da die Achse als paarer Zug doppelt

holise

gerechnet werden muss.

dung‘

Denkt man sich die vorliegende Fläche aus Nr. 12 abgeleitet, so

Ellip

verläuft die Curve mit vierfachem Punkt wesentlich horizontal und be-

grenzt eine schmale Zoone, welche insbesondere auf dem früher paaren

Stück die elliptischen Theile von den durch Auffösung des Knotens hyper-

OTZE)

bolisch gewordenen trennt.

Das eigentliche Oval

ist —, wie bei der

'

Diagonalfläche — ein unendlich ferner isolirter Punkt.

Zur Ableitung des B, mit imaginären Ebenen aus zwei C,

hat man zunächst die heiden unbetheiligten Knoten — zu denen passend

wieder zwei obere des Modells 2 gewählt werden — durch „Trennen“ auf-

zulösen.

Die Ellipse des zu benützenden Symmetrieschnittes kann dann

im |

ebenfalls durch Verschiebung, aber nach unten, zur Berührung mit der

Geraden gebracht werden, wodurch der Knoten der Nr. 13 entsteht.

Also:

Ein B, mit imaginären Ebenen entsteht durch Zu-

in

ziehen von zwei Oeffnungen, welche einer und derselben

dritten benachbart sind, und Verschwinden eines nur in

den

erzeugten

C

2

mit _ den

übrigen

Flächentheilen

ZuU>

wäl

sammenhängenden paaren Stücks.

Der Vorgang ist demjenigen

der Bildung des B, und C, mit imaginären Berührungskegeln also ganz

ein

analog.

Um die abgebildete Fläche vollkommen in die durch Nr. 13 darge-

stellte überzuführen, hat man nur nöthig, die beiden sich durch die Oeff-

nung erstreckenden unären Geraden zu vereinigen und die dritte in’s Un-

endliche rücken zu lassen.

hil

Der B, bildet den Uebergang zwischen Flächen mit 2 reellen und

VOl

Letztere erhalten

wir durch weitere

solchen mit 2 imaginären Knoten.

N6

Verschiebung des Kegelschnitts im benutzten Querschnitt.

As

Die Entstehung der vorliegenden Singularität aus dem B, mit ima-

ginären Ebenen, ist nach dem auf pag. 24. Auseinandergesetzten wohl

leicht genug einzusehen.

8. 8

Die Flächen mit einem B,.

dl

(

Diese Singularität zeigt das Modell Nr. 14. Die eine Ebene des

(

Knotens berührt längs der (grünen) Achse und zählt als Pentaederebene

N

fünffach. !)

Die andere schneidet ausser

in der Achse noch

in zwei

1) 8 15.

166

27

% eine

Strahlen, welche in Folge des beigefügten C, vereinigt liegen. Die para-

Oppelt

bolische Curve besteht aus der vierfachen Achse, der fünffachen Verbin-

dungslinie der Knoten und einer Raumcurve dritter Ordnung (cubische

el 80

Ellipse).

d he-

Der Knoten kann durch Zuziehen der Kette:

9-

Daaren

(164,

165,

135

JI

hyper-

el der

erzeugt werden und ist aequivalent:

B, + C,=(164, 165) + 435.

wei (

)

Assend

Es liegen dann in der Achse:

J

r

)“ aul

1,

46,

6,

2

43,

35,

4,

9

16,

13;

damn

im Strahle der osculirenden Ebene:

it der

€

9

42,

5

4y

6‘

12;

steht,

Zu

in den beiden Strahlen der nicht osculirenden Ebene:

Iben

()7

41,

51,

9

45,

r ın

-&

4%

9,

23,

26,

1

Zu

während 36 und 2 einfach sind.

ngen

Auf der Achse liegt ausser den 7 Ovalen beim Auftreten des B,

Sanı

ein achtes:

13,

26,

45

ange-

Zwei weitere Ovale:

-

Oe‘ﬂ'-

1A,

25,

36

und. 12;

4

9,

36

Un

bilden eine Schleife mit Doppelpunkt im Knoten.

Jedes derselben wird

von dem Strahl in der berührenden Ebene, einem, hierdurch ausgezeich-

und

ifere

neten, der. schneidenden Ebene und der einfachen Geraden mit reellen

Asymptotenpunkten berührt.

IM&

yohl

S39

Die Flächen mit einem B,.

Die eine Ebene des Knotens osculirt, sie ist noch fünffache Ebene

des Pentaeders, nur dass dessen Ecken jetzt unbestimmt geworden sind.*)

Das Modell 16 zeigt neben dem B, noch einen C,.

Die parabolische

Curve besteht aus der (grünen) Achse und der (rothen) Verbindungslinien

des

der Knoten.

Jede dieser Geraden zählt sechsfach.

Nur

das

Ueber-

eN6

schreiten des Knotens ändert demnach die Krümmung, welche auf dem

‚wel

vorhandenen paaren Theil elliptisch, sonst überall hyperbolisch ist.

') $ 15

ST

L

28

Der Knoten entsteht aus der Kette

hestel

(416

516

54

543,

542)

padl

und ist aequivalent

agl

B, + B

416

516) + (543, 549)

ral

B.+C

(416

516

313) 4 542

3C, = 416 + 513 + 542

teres

geN

Diese drei conischen Knoten gehören einer I an.') Die

Nal

Knoten werden nicht gleichartig vereinigt, denn nur bei

führt

zweien wirdeine benachbarte Oeffnung zusammengezogen

die Verbindungslinie dieser beiden wird zur Achse

der

Die Vertheilung der Geraden ist die folgende

Es liegen

In der Achse

der

gele

2

”

12

4A6 56, 24 4385 4, 16 1334 4

&y

el

in den beiden Knotenstrahlen der schneidenden Ebene

L

}

en

6,

41

9,

45,

I

6

Zuz

4/

54

2

3

3,

26

41°

2

sch

Alle Linien gehen zwar durch den Knoten, aber das Oval der para-

sel

bolischen Curve

här

14

36,

4

2

— ein Kegelschnitt — ist noch geblieben

Ausser diesem und der Achse

findet man noch eine imaginäre Curve vierter Ordnung

8. 10

Die Flächen mit uniplanaren Punkten

IM

Je

Diese Flächen verhalten sich in der Nähe der Singularität wie eine

de

Doppelebene. Je nachdem dieselbe in drei getrennten Strahlen schneidet

Ne

oder längs einem berührt oder endlich osculirt, hat. man bezw. einen U,

Wa

U, oder U, vor sich

Eine willkürlich durch den Knoten gelegte Ebene

SOt

schneidet stets in einer Curve mit Spitze

Die Modelle 16 und 17 zeigen die Singularität U,

dessen Ebene

st

bezw

in drei reellen Strahlen oder in einem reellen Strahl schneidet

Solche Linien zählen achtfach ?), es sind also ausser ihnen nur noch drei

einfache vorhanden

Diese werden von den festen Tangentenebenen an

den Knotenstrahlen ausgeschnitten

Während bei der allgemeinsten Art

V

der vorliegenden Flächen, die Hesse’sche aus einem Kegel zweiten Grades

mit dem Knoten als Spitze und der doppelt zählenden singulären Ebene

ET Ag

1) Vergl dle Bildung des Ug im folgenden 8,

?) Vergl. die Bildung des Ug aus dem Bg in diesem $ pag. 30.

N

tü

Z

29

ist bei den modellirten jener Kegel ausserdem in ein Ebenen-

besteht !),

Bei 16 ist dieses Ebenenpaar

paar zerfallen; es sind Tetraederflächen.”)

imaginär, bei 17 reell.

Die parabolische Curve besteht im Allgemeinen aus den Knoten-

strahlen und einer Curve sechster Ordnung, einem Oval. Auf 16 ist letz-

teres ein isolirter Punkt, in dem sich die unären Geraden kreuzen; durch

') Die

geringe Deformation, welche die reelle Doppelgerade des genannten ima-

r hei

ginären Ebenenpaars in einen — zunächst sehr spitzen — Kegel über-

führt, gewinnt man das eigentliche Oval.

|'rg*@g1;

Nr. 17 zeigt zwei eigentliche Curven dritter Ordnung, zur Ableitung

der allgemeinen Curve sechster Ordnung hat man den Doppelpunkt auf

der unären Geraden so aufzulösen, dass diese Gerade einen der hervor-

gehenden Curvenzweige berührt.

Der U

mit drei reellen Knotenstrahlen entsteht auf

6

einer Fläche ohne Singularitäten entweder durch Zuziehen

einer Oeffnung mit den drei ihr benachbarten; oder durch

Zuziehen von drei nicht aufeinanderfolgenden einer Ze-

schlossenen Kette von sechsen, und darauf folgendes Ver-

schwinden eines

nur

mit

den

(

2

zusammen-

pard-

gewonnenen

hängenden paaren Stücks.

Die Oeffnungen :

165

chse

135

A

435

132

bilden eine Gruppe, wie sie die erstgenannte Erzeugungsart voraussetzt.

Je zwei benachbarte sind durch Striche verbunden.

Das Zuziehen der

der drei äusseren liefert nach pag. 6 dieser Arbeit zunächst eine I‘

J

Nehmen wir als solche das Modell 83) und lassen die Knoten zusammen-

let,

wachsen, was offenbar dem Zuziehen von 135 entspricht, so haben wir

U

sofort den U, auf Nr. 16.

en6

Also:

Durch Vereinigung der 3 Knoten einer ]‘ ent-

Steht eın O..

N6

Eine Kette, wie sie die zweite Entstehungsart verlangt ist:

e

(146,

346,

326,

526,

524,

124).

fel

al

Die erste, dritte, fünfte Oeffnung gehören den drei oberen Knoten

von Nr. 2 an?

Ein

Auflösen des unteren Knotens durch „Trennen“

f

68

1) 8. 19.

n6

?) 8. 18.

3) Nr. 7 und die Diagonalfläche lassen sich natürlich ebenfalls benutzen, die

Fläche erscheint dann von der andern Seite gesehen, von welcher sich die Gestal-

tung der singulären Stelle jedoch weniger gut ausnimmt,

/

C

/

Da

C

KL

30

liefert den geforderten paaren Theil, dessen Verschwinden, durch Ver-

herY

einigung der Knoten, ebenfalls Nr. 16 hervorgehen lässt.

B

d

Solche drei Knoten können aber nach dem vorigen $. auch auf

he

HET

einen B, führen, wenn man ihre Vereinigung durch Zuziehen von zwei

1Un

Oeffnungen der Kette bewirkt.

Bei der oben benutzten Kette erstrecken

sch

sich jedoch die Oeffnungen, nämlich:

16

346,

526,

124

Mod

durch’s Unendliche, wir benutzen daher, um beide Derivationen neben

\

Z

einander zu haben, besser die Kette:

die

142.

416,

516,

513,

543,

542,

liche

Eine Vereinigung der Knoten:

die

1681

go

416,

513,

542

schi

führt auf einen U,, wenn man die Oeffnung 362 beseitigt und das sich

Weı

darbietende paare Stück verschwinden lässt.

SS

Die fünf ersten Oeffnungen bilden aber auch die Kette des im

vorigen $. betrachteten B;, durch welche Bemerkung mit Rücksicht auf

he

6i

das dort Gesagte, dann der Unterschied in der Erzeugung der Singulari-

l

täten U, und B, klar hervortritt.

frül

Um den U; aus der Vereinigung der Ebenen eines B, abzuleiten,

nehmen wir das Modell 10 zur Hand und denken uns durch die grosse

Enl

Achse der Basisellipse den Symmetrieschnitt gelegt. Eine Vereinigung der

en

Spitze mit den beiden unteren Zweigen der Schnitteurve bewirkt deren

Sol

Zerfallen in drei Gerade, die Symmetrieebene ist singuläre Ebene eines

N

M

entstandenen U,.

Je zwei Gerade verschiedener Ebenen haben

sich mit

IMı

noch zwei einfachen, zum achtfach zählenden Strahl vereinigt.

Die noch

A

einfach bleibenden sind unendlich fern.

Setzt man die Deformation noch

for

weiter fort, so lösen sich zwei Curvenzweige in einer der früheren ent-

frü

gegengesetzten Weise wieder ab, die beiden Seitenflügel zeigen im End-

lichen keinen Zusammenhang mit dem unteren, jetzt kegelförmigen Theil,

M

auf dem die nach oben zeigende Spitze sich befindet.

Wir haben einen

bo

B, mit imaginären Ebenen vor uns.

Zur Ableitung des U, aus dem DB, stellen wir einen solchen aus

der Kette:

165,

135,

435

her

und ziehen dann 132 zusammen.

Aber dieser Vorgang ist

mit einem €&

nicht der Vereinigung des B,

2

gleich zu ach-

ten; denn getrennt können wir diese Singularitäten aus den uns zur Ver-

fügung stehenden Oeffnungen nicht bilden, da 132 — welche doch den C,

liefern müsste — der bereits im B, zugezogenen 135 benachbart ist.

ül

Ein U,,dessen Ebene nur einen reellen Strahl enthält,

kann aus der Vereinigung von zwei imaginären Knoten mit einem reellen

LD

31

h Ver:

hervorgehen.

Wir denken uns daher der Anschaulichkeit wegen einen

B, aus zwei imaginären Knoten gewonnen *), und zeigen: Der U, geht

ch auf

hervor durch Zuziehen einer, dem B, benachbarten Oeff-

l ZWei

W£B D

dessen Ebenen

imaginär,

oder

durch

Ver-

nung,

yecken

schwinden eines am B, liegenden paaren Stücks, wenn

diese Ebenen

reell sind.

Um die Singularität in ersterer Weise herzustellen, löse man am

neben

Modell 13 durch Ueberführung der rothen Linie in einem unpaaren Cur-

venzug die auf ihr liegenden imaginären Knoten auf.. Dadurch ist dann

die zerfallende Curve des betreffenden Symmetrieschnittes in eine eigent-

Wird

liche Curve dritter Ordnung mit isolirtem Punkte übergegangen.

dieser in Folge Zuziehens der elliptischen Oeffnung, zum Rückkehrpunkt,

Die Ver-

so hat. man den auf Nr. 17 dargestellten Knoten

gewONNEN.

schiedenheit im Aussehen der Flächen wird beseitigt, wenn man den

3 sich

Wendepunkt des Symmetrieschnitts von Nr. 17 in’s Unendliche rücken

lässt. —

8 IM

Die zweite Entstehungsart geht hervor, wenn man an Nr. 12 die

f auf

beiden Knoten durch „Trennen“ auflöst und den paaren 'Theil verschwinden

nları-

lässt.

Eine Drehung der unären Geraden, durch welche sie parallel der

früheren Achse wird, liefert die Form 17.

eiten,

Wie die vorliegende Singularität aus dem B, mit imaginären Ebenen

10880

entspringt, ist leicht zu sehen, wenn man am Modell 11 durch die Achse

g der

einen Schnitt, am besten. senkrecht zu einer Symmetrieebene, legt. Kin

deren

solcher zeigt eine symmetrische Curve mit — nach oben gerichteter —

eineS

Spitze.

Lässt man die beiden Zweige zu beiden Seiten dieser Spitze

ı mit

immer flacher werden, so geht die Curve schliesslich in eine Gerade über

noch

und. in diesem Augenblick hat man den U,;. KEine Fortsetzung der De-

noch

formation lässt die Spitze wieder erscheinen, aber ihre Richtung ist der

ent-

früheren entgegengesetzt, die Ebenen des B, sind reell geworden.

Wir wenden uns zum U,.

Die Ebene dieses Knotens berührt die

Fad-

Das Oval der

'neil,

Fläche und ebenso den Kegel der Hesse’schen.

para-

jnen

bolischen Curve hat eine Spitze erhalten.

Der U, entsteht durch Zuziehen von:

s

165

|

135

180

435

132

ch

Yer-

632

1G

Eine Bildung aus niederen Singularitäten dürfte nach den gegebenen

Entwickelungen für den U, nicht mehr mit Schwierigkeiten verbunden sein.

älf,

ME E ET

Jlen

') Vergl. pag. 26 des Vorliegenden.

; )‘ LE

32

Wir unterdrücken sie desshalb und beschränken uns auf die Darlegung

der Ueberleitung der beiden Arten von U, ineinander, bei welcher der U,

7

en

i

zu passiren jst.

Il

Stellt man das Modell 16 so, dass der Sym-

\1

Pı

metrieschnitt die Lage der Curve 1 in neben-

E

Z

stehender Figur hat und lässt diese Curve successive

N

K<

die Form der punktirten Linie annehmen, so ent-

V

steht schliesslich ein Kegelschnitt mit Tangente,

die Curve 2.

Dann hat man das Modell 18

mit

b

dem feinen nadelförmigen Theil zur Linken. Durch

A

N

d

weitere Deformation trennt sich ein Theil der Curve

l

wieder ab, die Spitze erscheint von neuem, zeigt aber nach links (Curve 3);

man hat Nr. 17.

T

Osculirt endlich die Ebene des Knotens, so liegt ein U, vor, wie

er auf dem Modell Nr. 19 zur Anschauung gebracht ist. Die mit dieser

d

1n

Singularität begabte Fläche ist stets Tetraederfläche, die Hesse’sche be-

steht aus der dreifachen Ebene des Knotens und einer vierten durch den-

selben Punkt.

Die parabolische Curve zerfällt in den zehnfachen

8

Knotenstrahl und eine Ellipse.

Der U, entsteht durch Zuziehen von:

d

165

R

135

435

132

Sl

425

632

S

und danach mag man sich auch seine Bildung aus niederen Singularitäten

ableiten.

Ein weiteres Zuziehen von 164 würde im Allgemeinen einen %,

liefern, im vorliegenden Falle einer Fläche dritter Ordnung jedoch ihre

]

Ausartung in eine dreifache Ebene herbeiführen.

N

S11

Die Regelflächen.

Die allgemeine Regelfläche dritter Ordnung ist bekanntlich der Ort

der Verbindungslinien entsprechender Punkte eines geraden Gebildes w

Auf 20 und 21

ist u

und eines ihm projectivischen Kegelschnitts K.'!)

die grüne Linie, X der eingezeichnete Kegelschnitt.

Y ÜE ET Z

1) Vergl. 7 B. Reye, »Geometrie der Lage«, 2te Auflage, pag. 1;79 oder Fiedler,

»Darstellende Geometrie«, 2te Auflage, pag. 434, auch $. 18 meiner Arbeit.

LLr

33

gng

Jede durch w gelegte Ebene schneidet den Kegelschnitt zweimal,

D,

enthält also zwei Erzeugende.

Die sämmtlichen Schnittpunkte bilden eine

Doppelgerade der Fläche, welche den Kegelschnitt schneidet. Je nachdem

Sym-

nun die sämmtlichen Ebenen des Büschels w den. Kegelschnitt in reellen

Punkten schneiden (Modell 20) oder dies nur für die Ebenen eines‘ Winkel-

ehen-

SSIVE

1

raums der Fall ist (Modell 21), welcher von zwei Tangentenebenen des

ent-

Kegelschnitts begrenzt ist, ist die Doppelgerade völlig oder nur auf einer

ente,

von zwei U, begrenzten Strecke von reellen Flächentheilen umgeben.

Die

mit

beiden durch die U, gehenden Grenzerzeugenden sind roth gezeichnet.

Die Abweichung in der Form, welche die Theile des Modells 21 in

rch

ULVE

der Nähe eines U, gegenüber Nr. 18 zeigt, erweist sich als unwesent-

63);

lich, wenn man sich die Nadel des letzteren Modells durch den isolirten

Theil der Doppelgeraden ersetzt denkt.

WE

Alle Regelflächen sind Tetraederflächen, die Hesse’sche besteht aus

den doppeltzählenden singulären Ebenen der beiden U,, sind also bei 20

16SET

; he

imaginär.

Die parabolische Curve setzt sich aus der achtfachen

Doppelgeraden und den beiden doppeltzählenden Grenzerzeugenden zn-

den

chen

sammen, die Krümmung ist also überall die nämliche: hyperbolisch.

Schneidet das gerade Gebilde u den Kegelschnitt, so liegt es mit

der Doppelgeraden vereinigt, man hat den Specialfall der Cayley’schen

Regelfläche. Auch die U, und ihre Ebenen haben sich vereinigt und die

Fläche verhält sich hier, wie ein

U,

8

Das Modell 22 zeigt den Kegelschnitt im Endlichen, der U, ist un-

endlich fern.

Verschiebt man die Ebene des Kegelschnitts parallel mit

sich selbst, so wird die Schleife der Schnitteurve kleiner und kleiner, um

schliesslich im Unendlichen sich zum Rückkehrpunkte zusammenzuziehen.

A{n

Das Modell wurde zur Vermittelung des Uebergangs von Nr. 20 ange-

fertigt.

Nr. 23 zeigt umgekehrt den U; im Endlichen und der Kegel-

schnitt ist unendlich fern.

Die beiden Gestalten sind durch Collineation

hre

ineinander überführbar.

Die Hesse’sche Fläche ist die vierfache singuläre Ebene, die para-

bolische Curve die zwölffach zählende Doppelgerade.

DA

Ar

Orf

Berichtigung.

g U

f U

Auf Seite 5 Zeile 18 von oben ist nach dem Worte »Prozesses« ein + ein-

zuschalten.

ler,

F

»

v

Fo

lin

hal

Pa

he

68

(1(]

W

el

Z

E

„.':/

2

Modell zur Fadenconstruction des Ellipsoids

aus seinen beiden Focaleurven.

Von

Dr. O. Staude.

SE

Das Modell stellt die beiden Focalcurven eines Ellipsoids dar, die

Focalellipse und die Focalhyperbel; beide sind durch ein gerad-

liniges Drahtstück verbunden, um in der richtigen Lage zu einander er-

halten. zu werden.

In dem einen Brennpunet (g,)

der Focalellipse ist das eine, in

dem entgegengesetzten Brennpunkt

(h,) der Focalhyperbel das andere

ß

DE

Ende eines Fadens befestigt; zwi-

//

schen den beiden Befestigungspunk-

„‘l

ten ist aber der Faden in bestimm-

I

ND

ter Weise um die Combination der

hf—

2

beiden

Focaleurven geschlungen.

2

X

Wenn er nämlich durch das Häk-

SE

chen gespannt wird und der span-

nende Punkt P etwa oberhalb

der Ebene der Focalellipse

und vorder Ebene der Focal-

hyperbel

liegt,

so

MUuss

der

Faden bei g. von unten her um die Focalellipse und bei h% von hinten

her über die Focalhyperbel herumlaufen. Wenn dann das Häkchen, indem

es den Faden beständig spannt, innerhalb des Raumtheiles oberhalb

der Ebene der Focalellipse und vor der Ebene der Focalhyperbel bewegt

wird, wobei der Faden fortwährend sowohl über die Focal-

ellipse (an einer variabeln Stelle g)

ALs

auch über die Focal-

&, /

hyperbel (an einer variabeln Stelle A) frei gleitet, so beschreibt der

spannende Punet P ein Viertheil eines Ellipsoids,

Mehr als dieses Viertheil kann bei der einmal gewählten Befestigung

des Fadens nicht construirt werden; zur Construction eines andern Vier-

theils würde man zwar dieselben Befestigungspunkte (g, und h,)

des Fadens wieder benutzen können, müsse aber eine neue Orientirung

des Fadens mit Bezug auf die beiden Focalcurven eintreten

lassen.

Fällt der spannende Punkt P in die Ebene der Foc

älellipse, so fällt

der Gleitpunkt % nach g,, und P bhbeschreibt den Hauptschnitt des

M

Ellipsoids, der die Brennpunkte g, und g, besitzt. Fällt der

IW

spannende Punkt P in die Ebene der Focalhyperbel, so fällt der Gleit-

punkt g nach %, und P beschreibt den Hauptschnitt des Ellip-

soids, der die Brennpunkte h, und h, besitzt.

Die Länge des Fadens ist gleich der Länge der grössten Axe

des zu construirenden Ellipsoids, vermehrt um die Differenz (h, g,) der

Excentrieitäten der beiden Focalkegelschnitte.

Der Beweis der Fadenconstruetion findet sich in den Mathematischen

Annalen Bd. XX, S. 183.

gesp

um

ein

TE N

her

der

Aur

her

5

an

eg

$

26ig

ange

Wei

Sich

S08l

des

Thei

den

beid

Lag(

“\?‘;r

U

Öines

S

Z „7 /’/

bt der

tigung

. Vier-

ad h,)

irung

ıfreten

o fällt

f des

I der

Modell zur Fadenconstruction des Ellipsoids aus

Gleit-

zwei gegebenen confocalen Flächen zweiten Grades.

llip

Von

n Axe

Dr. O. Staude.

1} der

jschen

Das Modell soll zur Veranschaulichung der in folgendem Satze aus-

gesprochenen Construction des Ellipsoids dienen:

„Wenn ein geschlossener unausdehnbarer Faden, der

um die Combination zweier gegebener confocaler Flächen,

eines Ellipsoids

und eines

einschaligen

Hyperboloids,

herumgeschlungen ist, durch einen beweglichen Punkt P

derart gespannt wird, dass er beständig jeden der beiden

durch das Ellipsoid getrennten Theile des Hyperboloids

berührt (sei es in einem Punkte oder sei es längs eines

ganzen Curvenzuges), so beschreibt der Punkt P ein den

gegebenen Flächen confocales Ellipsoid.“

Das Modell stellt die beiden gegebenen confocalen Flächen dar und

zeigt zwei characteristische Lagen, welche der geschlossene Faden bei der

angegebenen Construction annehmen kann und welche auf verschiedene

Weise den Bedingungen des Satzes genügen: der eine (rothe), indem er

sich je längs eines Stückes der Durchdringungsecurve der

gegebenen Flächen an die beiden durch das Ellipsoid geschiedenen Theile

des Hyperboloids anschmiegt, der andere (gelbe), indem er den einen

Theil ebenfalls längs eines Stückes der Durchdringungseurve,

den andern Theil nur in einem Punkte berührt.

Welchem von den

beiden im Modell dargestellten Typen im Allgemeinen die verschiedenen

Lagen des Fadens bei der Construction entsprechen, hängt in folgender

Weise von der augenblicklichen Lage des spannenden Punktes P im Raume

ausserhalb der gegebenen Flächen ab.

Zu jedem Punkte P dieses Raumes gehören 2 Gleichgewichtslagen

eines geschlossenen Fadens, die den Bedingungen der obigen Construetion

T

_

n

Z

genügen. Die geradlinigen Stücke des Fadens bei diesen beiden Gleich-

gewichtslagen sind bezeichnet durch die 4 vom Punkte P nach ‚dem. ge-

gebenen Ellipsoid hinlaufenden gemeinsamen Tangenten des letz-

teren und des Hyperboloids, welche paarweise über’s Kreuz zu-

sammengehören.

Verfolgt man nun zwei zusammengehörige dieser "T’angenten vom

Punkte P aus gegen ihren Berührungspunkt mit dem gegebenen Ellipsoid

hin, so ergeben sich folgende zwei Möglichkeiten:

Entweder berühren beide Tangenten zuerst das Ellipsoid,

wie die beiden geradlinigen Stücke des rothen Fadens (die Berührungs-

punkte mit dem Hyperboloid würden erst zum Vorschein kommen, wenn

die geradlinigen Stücke des rothen Fadens über ihren Berührungspunkt

mit dem Ellipsoid geradlinig fortgesetzt würden);

oder es berührt die eine zuerst das Ellipsoid, die andre

zuerst das Hyperboloid, wie die beiden geradlinigen Stücke des

gelben Fadens.

Nach einem bekannten Satze berührt nun jede gemeinsame gerad-

linige Tangente des gegebenen Ellipsoids und Hyperboloids in ihrem

Berührungspunkt mit dem Ellipsoid eine geodätische Linie auf diesem,

die

ihrerseits wieder bei hinreichender Verlängerung

die

Durch-

dringungscurve der beiden Flächen berührt.

Längs einer

solchen geodätischen Linie setzt sich jedesmal ein geradliniges Fadenstück

auf dem Ellipsoid bis zur Durchdringungscurve fort. Berühren die beiden

geradlinigen Fadenstücke, wie bei dem rothen Faden, beide zuerst das

Ellipsoid, so laufen ihre geodätischen Fortsetzungen in versc hiedene

Zweige der Durchdringungscurve hinein und müssen, damit ein geschlos-

sener Weg herauskommt, die beiden in der Durchdringungscurve liegenden

Fadenstücke noch durch ein als geodätische Linie von einem Zweige zum

andern laufendes Fadenstück verbunden werden.

Berührt dagegen eines

der beiden geradlinigen Fadenstücke zuerst das Hyperboloid und wird

alsdann geradlinig bis zur Berührung mit dem Ellipsoid weitergeführt, so

laufen die geodätischen Fortsetzungen auf dem Ellipsoid in denselben

Zweig der Durchdringungseurve hinein und werden durch ein in diesem

Beide Fälle bringt das Modell

Zweig verlaufendes Fadenstück vereinigt.

zur Anschauung.

Weitere Ausführungen zur Theorie der Fadenconstruction des Ellip-

soides findet man in den Mathematischen Annalen Bd. XX, 8. 147 ff.

RE a DB

/// /;>/’%8/

ıeich

M g6-

letz

Z ZU-

OM

1psoid

01d,

ungS

WEND

punkt

ndre

G

e de

N

erad-

ihrem

6SEM,

rch-

einer

stück

eiden

; das

lene

‚ıL0S-

nden

‚ zum

eines

wird

|‚[_ o

Jben

ic3‘€‘1]l

‘0(‘[l‘“

allip-

DE

J

P{

La S

S

Z

mnn E

—1

Drahfgestelle zur Darstellung von Minimalflächen,

(Erläuterung zu Nr. 1 des Nachtrags zum Catalog mathematischer Modelle

von L, Brill in Darmstadt.)

IET SEA

Diese Drahtgestelle dienen zur Erzeugung der schönen

Figuren aus Seifenwasserlamellen, die der belgische Physiker

Plateau in seinem Werke Statique des liquides, 2 Voll., be-

sehrieben und untersucht hat.

Taucht man

— bei

nicht zu

niederer Temperatur des Versuchszimmers — die Drahtgestelle

in eine Mischung von Seifenwasser und Glycerin, deren Her-

stellung unten angegeben .ist, so spannen sich zwischen die

Kanten der Gestelle Häute dieser Lösung ein, welche die Form

von Minimalflächen annehmen.

Nur: wenn

ein Raumtheil von

Flächen allseitig begrenzt wird, sind dies Flächen von con-

stanter mittlerer Krümmung.

Man erhält z. B. Rotationsflächen

von dieser Eigenschaft, wenn man zwischen die beiden Ringe

der Nr. 1)a eine Seifenblase einsetzt, und dann die Ringe coaxial

von einander entfernt oder einander ;ähert.

Anvweisung zur Herstellung der Seifenlösung.

Bei mässiger Wärme löse man einen Gewichtstheil fein zer-

theilter Marseiller (Venetianer oder Olivenöl-) Seife in 40 Gewichts-

theilen destillirten Wassers auf, lasse diese Lösung erkalten,

filtrire sie durch feinporiges Löschpapier, menge in 3 Voll.

dieser Flüssigkeit 1 Vol. chemisch reinen Glycerins, filtrire

nach 24 Stunden wieder und setze dann noch 1 Vol. Glycerin

ZU,

Die etwa sich ansammelnde trübe obere Schicht beseitigt

man am besten dadurch, dass man die helle Flüssigkeit unter

derselben mittelst eines Hebers herauszieht.

Die Blasen dieser Flüssigkeit halten sich Stunden ‚und

Tage lang.

RE

M

Abüruck ) 4

Bei Gele

angefertigtes

Die darg

allseitig hepr

metrie herrse

nerschen F1

diesen Anford

Coordinaten

i Die dre

Fläche Selhst

Endliche fort

2U nehmend,

k

Können in

(

ZUm "Theil

;'

(

Schneid

L uu

aber, q

TEn

Schneiden X

Schneiden N

zusanunmﬁall

Söndern n

1) Di$ fo

MOenen Al

Sungen auf q

l

ÄBeilunc

hes

) A, 3

13

7

Modelle von Flächen vierter Ordnung

nach Herrn Kummer in Berlin.

Abdruck!) aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der

Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1863, S. 539.

Bei Gelegenheit dieser Mittheilung legte Herr Kummer ein von ihm

angefertigies Gipsmodell der Steiner’schen Fläche vor.

Die dargestellte specielle Fläche”) ist so gewählt, dass sie eine endliche,

allseitig begränzte ist, dass in ihren Theilen die grösstmöglichste Sym-

metrie herrscht, und dass alle Haupteigenschaften der allgemeinen Stei-

nerschen Fläche an

ihr

in realer Weise

sichtbar

hervortreten.

Allen

diesen Anforderungen genügt die Fläche, deren Gleichung in rechtwinkligen

Coordinaten

y7a? + e?a? + a?y— 2c2y8E=0

ist

Die drei graden Doppellinien, welche hier nur zum Theil auf der

Fläche selbst liegen, und als isolirte Linien sich alsdann weiter in’s Un-

endliche fortsetzen, stehen auf einander senkrecht, und die auf denselben

zu nehmenden Längen, welche als Axen der Fläche bezeichnet werden

können, sind einander gleich.

Die Fläche ist zum 'Theil convex-convex,

zum 'Theil convex-concaVv.

Die Tangentialebenen an die ersteren Theile

schneiden nur je zwei imaginäre Kegelschnitte aus, die Tangentialebenen

aber, deren Berührungspunkte in den convex-concaven Theilen liegen,

schneiden reale Kegelschnittpaare aus.

Vier besondere Tangentialebenen

schneiden solche Kegelschnittpaare aus, welche in einen Kegelschnitt

zusammenfallen und berühren die Fläche nicht blos in einem Punkte,

sondern in diesen Kegelschnitten, als singuläre Tangentialebenen und

1) Die folgenden mit gütiger Erlaubniss des Herrn Verfassers' unverändert ent-

nommenen Abdrücke hat die Verlagshandlung mit in Klammern gesetzten Hinwei-

sungen auf die Nummern der neunten Serie ihrer Modelle, welche die in diesen Mit-

theilungen beschriebenen Modelle umfasst, zu begleiten sich erlaubt.

?) [Nr. 3 der neunten Serie der Verlagshandlung.]

P

2

EFE

ihre Berührungs-Kegelschnitte, welche in dem vorliegenden speeciellen

lich

Falle Kreise sind, scheiden zugleich die convex-conyexen 'Theile der

läre

Fläche von den convex-concaven.

Endlich ist noch zu bemerken, dass

die allgemeinste Steinersche Fläche, welche fünfzehn wesentliche Constanten

enthält, aus der in dem Modell dargestellten speciellen Fläche durch

collineare Verwandlung erhalten wird.

hild

lst‚

her

Abdruck aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der

Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1866, S. 216—220.

der

(3

Wenn %, Q, , S vier lineare Funktionen und &@ eine Funktion

zweiten Grades der Coordinaten %, y, z# bezeichnen, so ist

Di

m

(1.)

@— 4ipqrs= 0

ein

die Gleichung einer Fläche vierten Grades, für welche die vier Ebenen

un

p=0, qg=0, r=0, s=0, singuläre Tangentialebenen sind, die diese

Ö

Fläche in Kegelschnitten berühren.

Wenn p, gqg, r, S vier von einander

Pı

unabhängige lineare Funktionen sind, so bilden diese vier Ebenen ein

€l

Tetraeder und jede der sechs Kanten dieses Tetraöders schneidet die

A

Fläche zweiten Grades in zwei Punkten, welche Knotenpunkte der Fläche

N

vierten Grades sind ; dieselbe hat daher im Allgemeinen zwölf Knotenpunkte.

K

Lässt man die Fläche @# = 0 durch eißen der vier Eckpunkte dieses

ll

Tetraöders hindurchgehen, so vereinigen sich drei dieser zwölf Knoten-

M

punkte in einen, welcher ein uniplanarer Knotenpunkt wird, und wenn

man die Fläche @#=0 durch alle vier Eckpunkte des Tetraöders hin-

durchgehen lässt, so vereinigen sich viermal drei Knotenpunkte zu je

einem uniplanaren und man erhält eine Fläche vierten Grades mit vier

(4

uniplanaren Knotenpunkten, deren Gleichung ist:

D

(2.)

(aqgr + bdrp + cpq + dps-+ eqs+frs)?—4)1pnqrs= 0.

Die Ebenen der uniplanaren Knotenpunkte sind zugleich Tangential-

8l

ebenen der Fläche d =0; eine jede derselben schneidet aus der Fläche

al

vierten Grades eine Curve vierten Grades aus, welche in dem Knoten-

Ml

punkte einen dreifachen Punkt hat.

M

Die von einem jeden der vier Knotenpunkte ausgehenden einhüllenden

M

u

Kegel sechsten Grades bestehen aus den drei durch diesen Knotenpunkt

Y

gehenden singulären Tangentialebenen und aus einem einhüllenden Kegel

dritten Grades.

Das Modell 1.‘) zeigt diese Fläche, in welcher die Constanten so ge-

(

wählt sind, dass die Knotenpunkte real sind und dass die Fläche mög-

AA

{

1) [Modell Nr. 5 der neunten Serie der Verlagshandlung.]

©

/W

Ö

///‘

ciellen

lichst symmetrisch wird und nicht ins Unendliche geht.

Die vier singu-

le der

lären Tangentialebenen:

, däs

G

z— *k

v

a

stanten

SS

z— k

V

durch

—zwlc+yV5

S

Z

LE

bilden ein reguläres Tetraöder und da a = b=c=d=e= f=1 gewählt

ist, so wird die Fläche #= 0 zu der dem regulären Tetraö@der umschrie-

al

der

benen Kugel; die Constante A ist gleich

2

; genommen.

Die Gleichung

der durch das Modell dargestellten Fläche ist daher:

==

En

0

aktion

(3.)

(x? + y* + 2? — 834”)* — 4[(@ — k)? — 2zx”] (@ + k)* — 2y

Diese Fläche besteht aus sechs congruenten endlichen Theilen, deren jeder

in zwei Spitzen ausläuft, je drei dieser zwölf Spitzen vereinigen sich in

einem der vier uniplanaren Punkte.

Das Modell bringt die einfachste

benen

und allgemeinste Art der uniplanaren Knotenpunkte zur Anschauung,

di

68E

nämlich die der zweiten Ordnung, in welchen die Ebene des uniplanaren

an

nder

Punktes aus der Fläche eine Curve ausschneidet, die in diesem Punkte

n e

einen dreifachen Punkt hat.

Wenn die drei durch diesen Punkt gehenden

$ die

Aeste der Curve alle real sind und in diesem Punkte drei verschiedene

Jäche

Tangenten haben, so hat ein solcher uniplanarer Knotenpunkt stets die

nkte,

Eigenschaft, dass in ihm drei verschiedene Theile der Fläche sich ver-

Jiese8

einigen, welche in der Nähe des Knotenpunktes nur diesen einen Punkt

‚oten-

mit. einander gemein haben.

wenn

Einen interessanten besonderen Fall der Fläche (2.) erhält man, wenn

hin

O E d =e=f=[1, und auch _ A = I setzt, also

zu J8

yier

(4.)

(gr +r +2g9-+2s+gs +r 9“ — 4pgrs= 0,

Diese Fläche hat ausser den vier uniplanaren Knotenpunkten noch drei

gewöhnliche Knotenpunkte mit oseulirenden Kegeln zweiten Grades und

sie hat ausser den vier singulären Tangentialebenen noch sechs andere,

fial

also im Ganzen zehn singuläre Tangentialebenen.

Sie kann auch als ein

äche

specieller Fall der allgemeinen Fläche vierten Grades mit 15 Knoten-

fen-

punkten angesehen werden, nämlich als der Fall, wo von diesen 15 Knoten-

punkten viermal drei sich zu vier uniplanaren Knotenpunkten vereinigen

den

und drei als gewöhnliche Knotenpunkte bestehen bleiben.

Die von den

unkt

vier uniplanaren Knotenpunkten ausgehenden einhüllenden Kegel sechsten

egel

Grades bestehen hier jeder aus sechs der zehn singulären Tangential-

ebenen, während diese einhüllenden Kegel für jeden der drei gewöhnlichen

g

Knotenpunkte aus vier singulären Tangentialebenen und einem einhüllen-

ögr

den Kegel zweiten Grades bestehen.

Diese Fläche hat auch, wie ich an

einem anderen Orte zeigen werde, die merkwürdige Eigenschaft, dass das

*

4

au

vollständige System aller ihrer zweifach berührenden Tangenten aus sechs

getrennten Strahlensystemen zweiter Ordnung und dritter Klasse besteht.

Pın

Wenn die Fläche zweiten Grades @ =0 in der Gleichung (1.) eine

Weı

der sechs Tetraöderkanten berührt, so vereinigen sich in diesem Berüh-

(1

rungspunkte zwei Knotenpunkte der Fläche in einen und bilden so einen

biplanaren Knotenpunkt.

Lässt man die Fläche 9=0 alle sechs

el

so erhält man eine Fläche vierten Grades

Tetraöderkanten berühren,

8

mit sechs biplanaren Punkten, welche durch die Gleichung

dar

(5.) (2*+ q2+4"2—|—3?'——2qr——2rp-—2pq—2ps»2gs—2rs)2ﬂ4}„pqrs —0

übe

dargestellt wird.

Wen

Die sechs biplanaren Knotenpunkte dieser Fläche liegen so, dass

Y=

dreimal je vier in eine und dieselbe Ebene fallen, woraus unmittelbar

Ka

folgt, dass diese drei Ebenen, deren jede vier Knotenpunkte enthält, aus

N0C

der Fläche vierten Grades Kegelschnittpaare ausschneiden.

:si|m'

Der von einem jeden der sechs Knotenpunkte ausgehende einhüllende

die)

Kegel sechsten Grades besteht aus den beiden durch denselben hindurch-

auf

gehenden singulären Tangentialebenen und aus einem Kegel vierten Grades

mit einer Doppelkante, in welcher dieser Kegel sich selbst berührt.

Das Modell IL.) zeigt diese Fläche für den besonderen Fall, wo eben-

falls die vier singulären Tangentialebenen ein regelmässiges Tetraöder

bilden und die Fläche #=0 die alle sechs Kanten desselben berührende

Die Grösse 2 hat den besonderen Werth 4 =

A

1

erhalten,

Kugel ist.

für welchen die Fläche in einem endlichen Raume eingeschlossen ist und

passende Verhältnisse ihrer Dimensionen erhält. Die Gleichung dieser

bestimmten Fläche ist:

(6.) (@? + y + 2 —K + @— K? — 207 [(e +D —2907 = 0;

sie besteht aus vier besonderen einander congruenten Theilen, deren jeder

mit den drei anderen in drei biplanaren Knotenpunkten zusammenhängt.

Das Modell bringt eine besondere Art der biplanaren Knotenpunkte zur

ZW

Anschauung, nämlich diejenigen, in welchen die beiden osculirenden Ebenen

real sind und eine beliebige durch die Durchschnittslinie derselben hin-

(r

durchgehende Ebene eine Curve ausschneidet, welche in diesem Punkte

Si

sich selbst berührt.

Diese Knotenpunkte sind daher nicht als die ein-

fachsten und allgemeinsten biplanaren Knotenpunkte anzuschen, weil bei

n

diesen eine jede solche Ebene eine Curve ausschneidet, welche in dem

C

Knotenpunkte eine Spitze hat, aber nicht einen Punkt der Selbstberührung.

die

Die durch die Gleichung (5.) dargestellte allgemeine Fläche vierten

Grades mit sechs biplanaren Knotenpunkten enthält als speciellen Fall

1) [Diesem Modell entspricht der in der Abhandlung vom Jahr 1872 (s. unten)

S6

M

mit I. bezeichnete Typus, Nr. 1 der neunten Serie der Verlagshandlung.]

he

JSYGE

&,

sechs

auch die Steinersche Fläche‘), welche drei in einem und demselben

steht,

Punkte sich schneidende Doppelgrade hat, nämlich für den besonderen

EINE

Werth A = 16.

Für diesen Werth ist

erüh-

einen

(7.) (p’+g?+r? 4 s? —2gr—2rp—2ng—2ns—2qs--2rs)—64ngrs=0,

sechs

welche Gleichung in irrationaler Form durch

rades

(8.)

Vo+VarVr+Vs=0

=

0

dargestellt werden kann, da diese rational gemacht genau mit der anderen

übereinstimmt, und die allgemeine Gleichung der Steinerschen Fläche ist,

wenn die vier singulären Tangentialebenen derselben als die Ebenen

dass

Die sechs biplanaren

0 4=0, r1=0) 5=0 gewählt werden:

elbar

Knotenpunkte der allgemeineren Fläche sind an der Steinerschen Fläche

, AUS

noch erkennbar vorhanden, sie liegen aber in den drei Doppelgraden und

sind. singuläre Punkte von uniplanarer Beschaffenheit geworden; es sind

ende

diejenigen sechs Punkte, in welchen diese drei Doppelgraden aufhören

ırch-

auf der Fläche selbst zu liegen und zu isolirten Linien werden.

ades

e

BEK

1 [Nr. 3 der neunten Serie.]

hen-

öder

ende

ılten

/

Abdruck aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der

und

Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1872, S. 474—483.

Herr Kummer las:

Ueber einige besondere Arten von Flächen vierten

jeder

Grades.

ängt

Die Flächen vierten Grades, welche von einer Schaar von Flächen

‚ gur

zweiten Grades eingehüllt werden, in der Art, dass jede Fläche zweiten

ench

Grades die Fläche vierten Grades in einer Curve vierten Grades berührt,

hin-

sind alle in der Form:

|[1ka

s

(P2

——

WX%

A(A

eiD-

] bei

enthalten, wo @, W, % drei beliebige Funktionen zweiten Grades der

dem

Coordinaten darstellen.

Die Schaar der Flächen zweiten Grades, welche

diese Fläche vierten Grades einhüllt, ist durch die Gleichung

ng

ertch

« +20+%=0

5 A(B)

Fall

gegeben, in welcher « der veränderliche Parameter ist. Diese sehr allge-

\

meine Art von Flächen vierten Grades, in welcher die meisten der bisher

ınfen)

besonders behandelten

interessanteren Flächen vierten Grades enthalten

6

AA

sind, besitzt eine bemerkenswerthe, so viel ich weiss bisher noch nicht

ein }

bekannte Eigenschaft, welche das System ihrer Doppeltangenten hbetrifft,

Diesel

und welche darin besteht, dass das Strahlensystem 12. Ordnung und

vierte

28, Klasse, welches von sämmtlichen Doppeltangenten der allgemeinen

Defini

Fläche vierten Grades gebildet wird, für diese besondere Art von Flächen

ständi

vierten Grades in zwei getrennte Strahlensysteme zerfällt, deren eines

nten

von der 4. Ordnung und der 12, Klasse, das andere von der 8. Ordnung

nur

und der 16. Klasse ist.

des $

Um dies zu beweisen, betrachte ich die Schaar der einhüllenden

fläche

Flächen zweiten Grades (B).

Eine jede Fläche dieser Schaar enthält als

Strah

Fläche zweiten Grades zwei Schaaren grader Linien und alle diese graden

noch

Linien sind doppelt berührende Linien der Fläche (A); denn da jede

rühre

Fläche der Schaar (B) die Fläche (A) nur berührt und nirgends schneidet,

geme

so kann auch jede auf ihr liegende grade Linie die Fläche (A) nur be-

rühren, die vier Durchschnittspunkte, welche eine beliebige grade Linie

mit der. Fläche (A) hat, müssen also für jede auf einer Fläche der

also

Schaar (B) liegende grade Linie zu zwei Berührungspunkten vereinigt sein.

SEINE

Die sämmtliehen graden Linien der Schaar von Hyperboloiden (B)

D4

bilden also ein selbständiges Strahlensystem, welches die Fläche (A) zur

die Z

Brennfläche hat.

Um die Ordnung und Klasse dieses Strahlensystems zu

bestimmen, bemerke ich, dass durch einen jeden Punkt des Raumes.zwei

heme

Hyperboloide der Schaar (B) hindurchgehen,

da die Gleichung dieser

auf

Schaar in Beziehung auf &x quadratisch ist, und dass in jedem dieser

hedi

beiden Hyperboloide zwei grade Linien durch diesen Punkt gehen. Das

durel

Strahlensystem ist also:von der 4. Ordnung, da durch jeden Punkt des

ich n

Raumes vier Strahlen desselben gehen.

Betrachtet man ferner eine be-

Flädl

liebige feste Ebene, so wird dieselbe von 6 Hyperboloiden der Schaar (B)

berührt, denn die Bedingungsgleichung für die Berührung ist in Beziehung

auf die Co&öffieienten der berührenden Fläche zweiten Grades von drei

Der Durchschnitt

Dimensionen, also in Beziehung auf &«x vom 6. Grade.

der festen Ebene

mit

den sechs dieselbe berührenden Flächen zweiten

AUS 1

geme

Grades gibt aber 12 grade Linien, welche die in dieser Ebene liegenden

Ersel

Strahlen des Systems sind, sodass dasselbe von der 12, Klasse ist.

FPläcl

Die Bedingung, dass die Fläche zweiten Grades (B) zu einer Kegel-

dure

fläche werde, ist in Beziehung auf die Co&fficienten der Fläche von vier

Syste

Dimensionen, also in Beziehung auf den Parameter « vom achten Grade;

ef

es gibt also acht Kegel zweiten Grades, deren grade Linien dem Strahlen-

dEI(}]

systeme 4, Ordnung und 12, Klasse angehören und Strahlenkegel des-

Stral

selben bilden. Die Mittelpunkte dieser acht Kegel zweiten Grades gehören

Viert

im Allgemeinen der Brennfläche (A) nicht an.

Nach der allgemeinen De-

Grad

finition der Brennfläche, nach welcher sie der geometrische Ort der Punkte

des Raumes ist, für welche zwei der von ihnen ausgehenden Strahlen sich

Viert

zu einem vereinigen, muss aber ein jeder Mittelpunkt eines Strahlenkegels

hält

S é@

PE DE

7

nicht

ein Punkt der Brennfläche und zwar ein Knotenpunkt derselben sein.

triflt,

Dieser scheinbare Widerspruch löst sich dadurch, dass die Brennfläche

— und

vierten Grades (A) nur einen besonderen Theil der durch diese allgemeine

einen

Definition bestimmten Brennfläche "bildet. Allgemein: wenn man das voll-

ächen

ständige System aller doppelt berührenden graden Linien einer Fläche

eines

nten Grades als Strahlensystem auffasst, so ist diese Fläche %ten Grades

lnung

nur in dem Sinne die Brennfläche des Systems, als sie von allen Strahlen

des Systems zweimal berührt wird, in dem Sinne aber, dass die Brenn-

nden

fläche der geometrische Ort aller Punkte des Raumes ist, für welche zwei

I als

Strahlen sich zu einem vereinigen, enthält die Brennfläche ausserdem

aden

noch die vollständige abwickelbare Fläche, welche von allen doppelt be-

jede

rührenden Ebenen der Fläche %”ten Grades eingehüllt wird. Für die all-

oidet

)

gemeine Fläche xten Grades ist diese abwickelbare Fläche vom Grade

y be-

n (n—2) (n— 3) (n* + 2n—4),

Linie

Y

160. Grade.

Herr Salmon in

de

I

also für die Flächen vierten Grades vom

SE

seiner analytice geometry of three dimensions, p. 419 der ersten, sowie

ı (B)

p- 455 der zweiten Ausgabe, findet als Grad dieser abwickelbaren Fläche

zur

die Zahl

$ ZU

4 n (n — 2) (n — 3) (n* + 2n —4),

zwei

bemerkt jedoch selbst in der dieser Formel beigegebenen Note, dass sie

jeser

auf einen Widerspruch führe, welcher noch einer ferneren Aufklärung

jeser

bedürfe,

Dieser Widerspruch löst sich dadurch, dass der Faktor 4 nur

Das

durch einen Rechnungsfehler zu dieser Formel hinzugekommen ist, wovon

; des

ich mich‘durch eine direkte Bestimmung des Grades dieser abwickelbaren

. he-

Fläche nach zwei verschiedenen Methoden überzeugt habe.

r ®

Die drei Flächen zweiten Grades:

hung

W=0, p=0, x=0,

drei

hnitt

aus welchen die Schaar der Flächen (B) zusammengesetzt ist, haben acht

en

gemeinsame Punkte, welche, wie aus der Form der Gleichung (A) zu

Jede

yden

ersehen ist, acht Knotenpunkte dieser Fläche vierten Grades sind.

Fläche der Schaar (B) geht durch alle diese acht Knotenpunkte hindurch,

3g'91'

durch einen jeden derselben gehen also ‚unendlich viele Strahlen des

yier

Systems 4. Ordnung und 12. Klasse, dasselbe besitzt also ausser den oben

ade;

gefundenen acht‘ Strahlenkegeln zweiten Grades noch acht Strahlenkegel,

Diese acht

len-

deren Mittelpunkte in diesen acht Knotenpunkten liegen.

des-

Strahlenkegel sind die von den Knotenpunkten ausgehenden, die Fläche

ören

vierten Grades einhüllenden Kegel, welche wie bekannt Kegel sechsten

Grades sind.

De-

Die von der Schaar aller doppelt berührenden Ebenen der Fläche

nkfe

vierten Grades (A) eingehüllte abwickelbare Fläche des 160. Grades ent-

sich

hält diese acht Kegel sechsten Grades in sich und zwar jeden zweimal;

3g(‘1:

ELE

der

ferner enthält sie auch die oben gefundenen acht Kegel zweiten Grades,

jeden einmal. Da alle diese Kegel zusammen ein Gebilde des 112. Grades

ausmachen, so kann nur noch eine abwickelbare Fläche des 48. Grades

hinzukommen , welche im Allgemeinen‘ nicht konisch ist, sondern eine

in

wirkliche Wendekurve besitzt.

sod

Stellt man die beiden Schaaren grader Linien, welche auf einer jeden

Kı

Fläche der Schaar (B) liegen, gesondert dar, so enthält ihr Ausdruck als

ZWe

einzige Irrationalität die Quadratwurzel aus der Determinante A, welche

der

gleich Null gesetzt die Bedingung gibt, dass die Fläche zweiten Grades (B)

eine Kegelfläche sei. Wenn nun diese Determinante A, welche eine ganze

Sch

rationale Funktion achten Grades von «& ist, ein vollständiges Quadrat

I

ist, also A rational in Beziehung auf &, so lassen sich die beiden Schaaren

Wel

von graden Linien auf der Fläche zweiten Grades (B) trennen, in der Art,

WEl

dass beide für sich rational in Beziehung auf &« ausgedrückt werden, und

Das

man erhält statt eines Strahlensystems vierter Ordnung zwei Strahlen-

Or

systeme zweiter Ordnung. Auf diese Weise kann man alle Strahlensysteme

lieg

zweiter Ordnung herleiten, welche Brennflächen und nicht Brenncurven

dre

haben, mit alleiniger Ausnahme des Strahlensystems zweiter Ordnung und

VON

siebenter Klasse, da sich die Strahlen aller übrigen in Schaaren zusammen-

Au

fassen lassen, welche nur je eine Schaar der graden Linien eines Hyper-

boloids ausmachen.

gen

Die Strahlen des Strahlensystems zweiter Ordnung

Sch

und siebenter Klasse aber lassen sich überhaupt nicht in Schaaren von

Un

graden Linien von Hyperboloiden zusammenfassen, sowie auch die Brenn-

Q

1

fläche dieses Strahlensystems die einzige ist, welche nicht als Einhüllende

einer Schaar von Flächen zweiten Grades dargestellt werden kann.

Ich betrachte jetzt die etwas speciellere Art von Flächen vierten

für

Grades, deren Gleichungen die Form haben:

. (C)

P =DdarS

Z

wo @® eine Funktion zweiten Grades, , q, 7, S lineare Funktionen der

N

Coordinaten sind. Diese Art von Flächen lässt sich auf drei verschiedene

die

Arten als Einhüllende einer Schaar von Flächen zweiten Grades betrachten,

6}

S

denn eine jede der drei Schaaren von Flächen zweiten Grades:

VIE

hei

«*pqg + 24 + rs=0

)

Ke

B’pr + 28g + gs=0

AD

f

die

y'ps + 2y@ Ta

hat eine und dieselbe Fläche (C) zur einhüllenden Fläche.

Die vier Ebenen:

de}

D

Y

-

>

0

=0 —Z

3

ö}

s=0,

Kl

VE

die im Allgemeinen ein Tetra@der bilden, sind vier singuläre Tangential-

Jede

Sr

ebenen der Fläche, welche dieselbe in Kegelschnitten berühren.

O4

//

jTades,

der sechs Kanten dieses Tetraöders schneidet die Fläche zweiten Grades

Crades

Crades

P

n eine

in zwei Punkten, welche Knotenpunkte der Fläche vierten Grades (C) sind,

sodass dieselbe zwölf Knotenpunkte hat.

Ein jeder der von den zwölf

' jeden

ick als

Knotenpunkten ausgehenden einhüllenden Kegel sechsten Grades enthält

welche

zwei der vier singulären Tangentialebenen, wird also, wenn diese beson-

ders betrachtet werden, zu einem Kegel vierten Grades.

des (B)

Da die Fläche (C) auf drei verschiedene Weisen als Einhüllende einer

ganze

Schaar von Flächen zweiten Grades sich darstellen lässt, so werden ihre

nadrat

Doppeltangenten drei verschiedene Strahlensysteme vierter Ordnung bilden,

haaren

wenn nicht etwa zwei dieser drei Strahlensysteme entweder ganz identisch

er Art,

werden, oder doch ein niederes Strahlensystem gemeinschaftlich enthalten.

, und

Das letztere ist in der That der Fall, da die vier Strahlensysteme O ter

‚ahlen-

Ordnung und erster Klasse, welche in den vier singulären Tangentialebenen

YstemE

|

liegen, allen dreien gemeinsam sind; werden diese abgesondert, so bleiben

Ur VEn

drei Strahlensysteme vierter Ordnung und achter Klasse übrig, welche

g und

von den doppelt berührenden graden Linien der Fläche (C) gebildet werden.

mmen

Ausserdem aber enthalten je zwei der drei Strahlensysteme keine weiteren

Iyper“

gemeinsamen Strahlensysteme, sondern nur gewisse einfach unendliche

daung

Schaaren von Strahlen, welche Kegelflächen bilden und, wie eine genaue

Jı on

Untersuchung zeigt, nur die von den zwölf Knotenpunkten ausgehenden

Brenn-

Strahlenkegel vierten Grades sind, von denen je vier je zweien dieser

llende

drei Systeme gemeinsam angehören.

Die Gleichung achten Grades, welche diejenigen Werthe des «& gibt,

gerten

für welche

«’npgq+ 2a00 +rs=0

zu einer Kegelfläche wird, erniedrigt sich hier um vier Einheiten, weil

ı der

sie die beiden Wurzeln « = 0 und « = © jede zweimal enthält und für

ieden6

diese Werthe nur die Systeme zweier Ebenen p= 0, q=0 und r= 0,

chten,

s=0 ergiebt. Diese Schaar von Flächen zweiten Grades enthält also nur

vier wirkliche Kegel und da dasselbe auch bei den beiden anderen Schaaren

bei (D) der Fall ist, so hat die Fläche (C) im Ganzen zwölf einhüllende

Kegel zweiten Grades, deren Mittelpunkte nicht in den Knotenpunkten

dieser Fläche liegen.

Das vollständige System aller doppelt berührenden graden Linien

der Fläche (C) besteht also aus vier Strahlensystemen Oter Ordnung und

3g1]@113

erster Klasse und aus drei Strahlensystemen vierter Ordnung und achter

Klasse, mit zwölf von den Knotenpunkten ausgehenden Strahlenkegeln

vierten Grades und zwölf nicht von den Knotenpunkten ausgehenden

Strahlenkegeln zweiten Grades.

ential-

Jede

2

SE

10

Die abwickelbare Fläche des 160. Grades, welche von der Schaar

W

realen

aller doppelt berührenden Ebenen der Fläche (C) eingehüllt wird, besteht

für diese Art von Flächen vierten Grades nur aus Kegelflächen und Ebenen.

alsdanı

kanten

Es gehören dazu erstens die zwölf einhüllenden Kegel vierten Grades,

und zı

welche von den zwölf Knotenpunkten ausgehen, welche, da sie doppelt

zu zählen sind, zusammen ein Gebilde des 96. Grades ausmachen.

Ferner

schnitt

Samme

gehören dazu die zwölf einhüllenden Kegel zweiten Grades, welche einfach

zu zählen sind und darum ein Gebilde des 24, Grades ausmachen. Endlich

punkte

hesond

gehören noch die vier singulären Tangentialebenen dazu, deren jede zehn-

fach zu zählen ist, welche also zusammen ein Gebilde 40. Grades dar-

der K

stellen.

Hierdurch wird der Grad 160 dieser abwickelbaren Fläche voll-

za

als 3

ständig erschöpft.

Um möglichst bestimmte Anschauungen der in der Form

einand

P =pars

enthaltenen Flächen vierten Grades zu gewinnen, habe ich einige der

merkwürdigsten durch Gipsmodelle dargestellt. Dabei habe ich, um mög-

lichst symmetrische und reguläre Formen zu erhalten, die vier Ebenen

Diesel

=0,gq=0,r=0,5s5=0 als die vier Seitenflächen eines regulären

Tetraeders gewählt und die Fläche zweiten Grades d = 0 als eine Kugel-

hiplan

fläche, deren Mittelpunkt mit dem Mittelpunkte des regulären Tetraöders

Khene

zusammenfällt, nämlich:

dessen

p=z—-lc+xl/5‚

ich d

heit }

q

SS

ED

e

HA

berich

(

2+k+yV2,

]

s=2+k—yV2,

und

q>=;}—l(xz-l—yz+zz-—uk2)‚

und |

Sechs

so dass die Gleichungen der dargestellten Flächen alle die Form haben:

Knote

(x? + y? + 2 — uk?)?= 4 [Q—k)2 — 2x7] [((@ + k)? — 297.

(1€& V

Um die Flächen lvollständig darstellen zu können, habe ich nur die-

mag

Unen

jenigen‘ Werthe der Constanten gewählt, für welche sie ganz in einem

endlichen begränzten Raume enthalten sind. Dieses hängt, wie leicht zu

Tinie

sehen ist, nur von der einen Constante 4 ab und die genaue Untersuchung

ergibt, dass für die Werthe des A, welche in den Gränzen 4 =-—3 bis

A= +1 enthalten sind, diese Flächen stets in einem endlichen Raume

Mtellt

enthalten sind, für alle nicht in diesem Intervalle liegenden Werthe des

A aber sich ins Unendliche erstrecken.

Für /

R

0 erhält man zwei sich

deckende Kugelflächen, und die Gestalt der Fläche wird wesentlich ge-

die M

ändert, wenn / durch diesen Werth 4 = 0 hindurchgeht.

Veröff

M4

11

chaar

Wenn die Constante 4 kleiner als Eins ist, so hat die Fläche keine

ostelt

realen Knotenpunkte, weil die sechs Kanten des regulären Tetra@ders

6NEN,

alsdann die Kugelfläche nicht treffen. Für u= 1, wo die sechs Tetraöder-

ades,

kanten die Kugelfläche berühren, treten zuerst reale Knotenpunkte auf

ppelt

und zwar sechs biplanare Knotenpunkte, weil je zwei der zwölf Durch-

erner

schnittspunkte der sechs Tetraederkanten mit der Kugel zu einem zu-

nfach

sammenfallen. Wenn 4& grösser als Eins ist, so sind zwölf reale Knoten-

dlich

punkte mit oseulirenden Kegeln zweiten Grades vorhanden. Nur in dem

gehn-

besonderen Falle 4 = 3, wo die vier Ecken des regulären Tetraöders auf

dar-

der Kugelfläche liegen, treten je drei der zwölf Knotenpunkte zu einem

voll-

zusammen und bilden so vier uniplanare Knotenpunkte. Wenn 4 grösser

als 3 wird, so treten sie wieder zu zwölf konischen Knotenpunkten aus-

einander.

d

er

Das Modell I*) stellt die Fläche dar für die Werthe der Constanten

Il

NÖg

$

A((:1‚ },:———8

’

]C — 40 ll)!ll'

enen

‚ren

Dieselbe besteht aus vier congruenten Theilen, welche nur in den sechs

Die beiden. oseulirenden

gel-

biplanaren Knotenpunkten zusammenhängen.

615

Ebenen in jedem dieser Knotenpunkte sind real und bilden einen Winkel,

Ein Modell dieser Art von Flächen habe

dessen Cosinus gleich z& ist.

ich der Akademie schon früher vorgelegt, um an demselben die Beschaffen-

heit biplanarer Knotenpunkte anschaulich zu machen, m. s. den Monats-

bericht der Sitzung vom 23. April 1866.

Das Modell II stellt die Fläche dar für >die Werthe der Constanten

Ä=

9

u= 1

®

10>

70 — 50 llllll‚

und besteht ebenfalls aus vier congruenten Theilen, welche nur in den

sechs

biplanaren

Knotenpunkten

zusammenhängen.

Diese biplanaren

en

Knotenpunkte selbst sind aber von ganz anderer Beschaffenheit als die

des vorhergehenden Falles, da die beiden osculirenden Ebenen derselben

imaginär sind und nur eine reale Durchschnittslinie haben, so dass in

unendlicher Nähe. eines jeden Knotenpunktes die Fläche in diese grade

die

em

Linie übergeht.

zu

Das Modell VIII für die Werthe

ıng

1

k

E

—

50 mm

bis

e 2

’

m6

stellt die min in diesen Cyelus gehörende Steinersche Fläche dar,

E

s

K

-

des

') [Die oben mit I bis VI bezeichneten Modelle sind in derselben Reihenfolge

sich

die Modelle 1 bis 6 der neunten Serie der Verlagshandlung. Modell Nr, VII ist nicht

g6

vc]röffentlicht.]

PE

J4

12

E SE

Theil

welche die Eigenschaft hat, dass alle Tangentialebenen aus derselben

Ein etwas kleineres Modell derselben

punkt

Kegelschnittpaare ausschneiden.

]

habe ich der Akademie schon früher vorgelegt und erklärt, m. s. den

Fall ;

Monatsbericht der Sitzung vom 26. November 1863,

Jären

Da der Werth A =

10

5

in dem zweiten Modell dem Werthe 2= 1 für

die Steinersche Fläche nahe liegt, so kann man aus der Vergleichung

dieser beiden Modelle erkennen, wie die Fläche mit sechs biplanaren

Knotenpunkten in die Steinersche Fläche mit den drei durch einen Punkt

gehenden graden Doppellinien übergeht.

SENO

yollst

Das Modell IV mit den Werthen der Constanten

Dräh

16 8

U=3$

Z

27

k = 500m

darst

zeigt eine Fläche mit zwölf konischen Knotenpunkten, welche aus zehn

Ein

besonderen Theilen besteht, nämlich vier dreieckig ‚gestalteten und sechs

in Gö

in zwei Ecken auslaufenden, die so verbunden sind, dass an jeden drei-

und

eckigen Theil sich drei zweieckige in den Knotenpunkten ansetzen. Jede

E

der vier singulären Tangentialebenen geht durch sechs Knotenpunkte und

berührt auf der äusseren Seite drei zweieckige, auf der inneren Seite drei

dreieckige Theile.

Das Modell V mit den Werthen der Constanten

u=83, L=1, h= 2510

ist dasselbe, welches ich früher in der Sitzung der Akademie vom 23, April

1866 schon vorgezeigt habe, um an demselben die Beschaffenheit unipla-

narer Knotenpunkte der Flächen zu veranschaulichen, es besteht aus sechs

congruenten Theilen, deren jeder in zwei Spitzen ausläuft, je drei dieser

Spitzen kommen in einem der vier uniplanaren Knotenpunkte zusammen.

Das Modell VI mit den Werthen der Constanten

Al‚L=3‚ Ä,:—%

7

k = 30um

zeigt eine ganz anders gestaltete Fläche derselben Art, mit vier unipla-

naren Knoterpunkten.

Dieselbe besteht aus vier congruenten Theilen,

deren jeder in drei Spitzen ausläuft, welche ebenfalls so verbunden sind,

dass in jedem der vier uniplanaren Knotenpunkte drei dieser Theile mit

ihren Spitzen zusammenkommen.

Das Modell VII für die Werthe der Constanten

—+

&:

En

UE A=

4>

stellt eine Fläche mit zwölf konischen Knotenpunkten dar, welche in den

verlängerten Kanten des von den singulären Tangentialebenen gebildeten

regulären Tetraeders liegen.

Die Fläche besteht aus sechs congruenten

Z

/

AA

Ck

13

SE

Theilen, deren jeder in vier Ecken ausläuft, mit denen er in den Knoten-

selben

punkten mit vier anderen dieser Theile zusammentrifft.

selben

In diesen Cyeclus von Flächen vierten Grades gehört als specieller

8& den

Fall auch die Fläche vierten Grades mit 16 Knotenpunkten und 16 singu-

lären Tangentialebenen, welche man erhält, wenn

- 1 für

ichung

31

anaren

3 —W

/

Punkt

genommen wird, welche ich in der Sitzung der Akademie vom 18. April 1864

In derselben Sitzung habe ich auch ein aus

vollständig behandelt habe.

Drähten angefertigtes Modell dieser Fläche vorgezeigt, welches die in den

16 singulären Tangentialebenen liegenden 16 Berührungs - Kegelschnitte

darstellt, deren jeder durch sechs der 16 Knotenpunkte hindurchgeht.

5 zehn

Ein neues Modell derselben Fläche ist vor Kurzem von Herrn Dr. F. Klein

/ gechs

in Göttingen construirt worden, welcher dasselbe in Zinkguss‘) hat ausführen

1 drei-

und vervielfältigen lassen.

‚

Jede

6l

fe und

1) [Dasselbe Modell in Gips ist durch die Verlagshandlung zu beziehen.]

fa

drei

VM NN S

‚ April

nipla-

; gechs

dieser

men

nipla-

]lt*f]t““a

. sind,

e mit

n den

1d9i@11

Druck von H. Brill in Darmstadt,

jenten

A

GQ

$

|

ihm

gung

?an;

in d

eine

Drel

dure

den

der

güng

Cha

Il€}m

hel

N

}

£

H

/

e

Al

Die Abhängigkeit der Rückkehrelemente der Projektionen

einer unebenen Kurve von denen der Kurve selbst.

Von

Geh. Hofrath Dr. Chr. Wiener,

Professor an der Grossh. polytechnischen Schule zu Karlsruhe.

Lässt man auf einer unebenen Kurve einen Punkt P hingleiten, mit

ihm die zugehörige Tangente £ ohne Gleiten hinrollen und die Schmie-

gungsebene S sich mitdrehen, so führt der Punkt eine Bewegung auf der

Tangente gegen einen festen Punkt derselben, die Tangente eine Drehung

in der Schmiegungsebene um den augenblicklichen Berührungspunkt gegen

eine feste Gerade der Schmiegungsebene, und die Schmiegungsebene eine

Drehung um die augenblickliche Tangente gegen eine Ebene aus, welche

durch diese Tangente und einen festen, auf keiner der Tangenten liegen-

den Punkt des Raumes geht.

In einem Punkte der Kurve kann jedes

der drei Elemente, Punkt, Tangente, Schmiegungsebene, seinen Bewe-

gungssinn beibehalten oder umkehren.

Wir wollen dies Verhalten seinen

Charakter, und den Charakter beim Beibehalten des Sinnes positiv,

beim Umkehren negativ nennen; ein Element mit negativem Charakter

heisst auch ein Rückkehr- oder stationäres Element.

Es treten nun folgende acht Fälle auf:

1

2

S

S

;#

S

£

.

Z

D

2

Projieirt man die Kurve aus einem in endlichem oder in unendlichem

Abstande befindlichen Auge auf eine Ebene, so sind die Charaktere

des Punktes P‘ und der Tangente &‘ der Projektion übereinstimmend

mit denen von P und € der Kurve selbst, so lange die Tangente, bezw.

die Schmiegungsebene nicht das Auge durchschreitet.

Dann sind also

Man erkennt dies z. B. für den Punkt daran, dass seine

P'=P, F=t.

Bewegung aus derjenigen in der Tangente und aus der durch die Drehung

der Tangente und der Schmiegungsebene hervorgebrachten zusammenge-

setzt ist, welche Bewegungen der Reihe nach unendlich klein von der

ersten, zweiten und dritten Ordnung sind, dass also gegen den ersten

Bestandtheil die anderen verschwinden, und dass dies auch für die Pro-

jektionen gilt, so lange nicht die Tangente das Auge enthält. — Bewegt

sich aber die Tangente so, dass sie das Auge in sich aufnimmt und dann

über dasselbe hinausgeht, wobei also £= + ist, so sieht man 'die Tängente

vor und nach dem Durchgange durch das Auge von entgegengesetzten

punkt

Seiten, es kehrt sich hierdurch der Sinn der scheinbaren Bewegung um

_+‚

und es wird P‘’= — P, Geht andernfalls die Tangente nur bis ins Auge,

dreht sich aber dann wieder rückwärts, wobei also £= — ist, so sieht

den a

man sie nicht von entgegengesetzten Seiten und es wird P’=P. Für

]

beide Fälle gilt daher P’= —P, wobei die Zeichen + und — uneigent-

lich und ebenso miteinander multiplieirt werden sollen, wie Einheiten,

welche sie zum Vorzeichen haben.

Ebenso, wenn die Schmiegungsebene

bis zum Auge fortschreitet und es dann durchschreitet, wobei S== —+ ist,

kehrt sich die Seite um, von der man sie sieht, und es wird &* = —@{);

gelangt aber S blos bis ins Auge und kehrt dann um, wobei S = — ist,

so bleibt ‘ =t, so dass für beide Fälle £‘= — S* gilt.

Danach findet man nun die Charaktere für die Projektionen

der Kurve auf die Schmiegungsebene (P‘, £‘), auf die Normal-

ebene (P“, t”) und auf die zu beiden senkrechte, rektificirende

Ebene, welche durch die Tangente und die Binormale geht, (P“, t).

Man findet P’=P, t‘=t; P‘“=-—tP, weil die Tangente durch das Auge

geht, &“= S, weil die Tangente als Punkt erscheint und der Sinn der

scheinbaren Drekung von der vorhergehenden in die folgende Lage der

Tangente von dem Drehungssinne der Schmiegungsebene, welche die

Tangente projieirt, abhängt; endlich P“= P, t“= —, letzteres, weil

die Schmiegungsebene durch das Auge geht.

Es ist also

PE DL Z

DU P,

U =t,

tl/

Il

S,

DE

Man erhält daher in den acht Fällen die in nachstehender Tabelle ver-

zeichneten Charaktere.

A

P&

lichem

ktere

nmend

Pl

B

hezw.

] also

t

+ +

E

STG

K

=

. Seine

Pu

n

ehung

SS

{“

i

NEnge-

i

n der

i Vl'_)l'l’l +

i

J‘

Ersten

o Pro-

£

+ +

fj”

—.

—

jewegt

/

dann

Jeder der vier möglichen Fälle: des gewöhnlichen Punktes, des Wende-

@ÜN

etzten

punktes, der Spitze und des Schnabelpunktes (P und t: ++, +-—,

- — ), Kommt. in jeder Projektion zweimal vor.

g um

Die Modelle stellen die Kurve und ihre drei Hauptprojektionen in

Auge,

den acht Fällen dar.

sicht

Für

Karlsruhe, 1883.

igent-

eifen,

ebene

L 38

—f

S]

oueM

nal-

ende

‚ {/':‘/‚[

Auge

ı der

e der

, die

weil

yer

F

D

ITÄ '|

I Thei

San E

N

X

\

. CATALOG

mathematischer Modelle

für dep höheren mathemati_schen Unterricht

veröffentlicht

durch die Verlagshandlung

von

L. Brill in Da.rmstadt.

Dritte Auflage.

InkKalt.

I. Theil: Serienweise Zusammenstellung der Modelle in der Reihenfolge der seitherigen

Publicationen.

IT. Theil: Die Modelle nach ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit geordnet.

PÜ$

Die

es wüns

be

Alg

Z lassen

Z

|

Schledene

schlen €

Veröffen

Materie

zelnen ]

A

auf die

Quemer

Wissens

F

ng d

Kabe €

an der

]

Überha

U11‘[trn

ZUgewa

Profess

YCT];Ig

Gedein

X

ILI

Vorwort.

Die von Jahr zu Jahr . wachsende Ausdehnung des Modell-Verlags liess

es wünschenswerth erscheinen, der zum letzten Mal im Jahr 1882 erfolgten

Ausgabe eines Katalogs eine neue (dritte) Auflage in erweiterter Form folgen

zu lassen.

Zur besseren Uebersicht und rascheren Orientirung in den oft in ver-

schiedenen Serien zerstreuten, sachlich aber zusammengehörigen Modellen

schien. es geboten, dem ersten Theil, der die Modelle Jlediglich nach ihrer

Veröffentlichung in chronologischer Folge aufgezählt, einen zweiten,‘ die

Materie kategorienweise fügenden Theil anzureihen, in welchem den ein-

zelnen Modellen je nach Erforderniss. kurze Erläuterungen und ein Hinweis

auf die einschlägige Literatur beigegeben ‚sind.

Hierdurch wurde ein be-

quemer Ueberblick über den vorhandenen Bestand der Modelle in einzelnen

Wissenszweigen erzielt, und die Auswahl für das jeweilige Bedürfniss erleichtert.

Für die mit Gründlichkeit und Sachkenntniss vorgenommene Bearbei-

tung dieses zweiten Theils ist die Verlagshandlung dem auch bei Heraus-

gabe einzelner Modelle thätig gewesenen Herrn Th. Kuen, dermalen Assistent

an der königl. technischen Hochschule in München, zu Dank verpflichtet.

Es sei der unterzeichneten Verlagshandlung gestattet, an dieser Stelle

überhaupt allen denjenigen Herren ihren Dank auszusprechen, welche. dem

Unternehmen seither ihre thätige. Beihülfe, ihr Interesse und Wohlwollen

zugewandt haben.

Namentlich gedenkt sie hier der Betheiligung des Herrn

Professor_ Dr: A. Brill, jetzt _ın 'l‘übingen? dessen Anregung dieser Modell-

Verlag überhaupt sein Entstehen und dessen dauernder Mitwirkung er sein

Gedeihen verdankt.

IV

Wie seither, so wird es auch -künftig das Bestreben der Verlagshand-

lung sein, denjenigen wissenschaftlichen Kreisen zu dienen, welche‘ in dem

Gebrauch von Modellen und Zeichnungen ein Hülfsmittel und eine kräftige

Stütze zur Förderung und Belebung mathematischer Studien erblicken, Mit

Dank wird sie neue Anregungen in dieser Ri;httlng jederzeit entgegennehmen.

Februar 1885.

Die Verlagshandlunä von. L, Brill in Darmstadt,

Vorwort

Serienw

Cartoı

1, Serie:

2, Serie

3, Serie

4, Serie

5, Serie

6, Serie

7, Serie

8 Serie

9. Serie

10, Serie

X Serie

12. Serie

Die N

L Fläe

- - - -

I

>

E

S

29 O 6 b >

x

rlaoshand

e in dem

UgE

cken, N

nnehmen

Inhaltsverzeichniss

Seite

I

Vorwort

II

J. Theil

Serienweise Zusammenstellung der Modelle in der Reihenfolge der

seitherigen Publicationen.

°

Cartonmodelle von Flächen‘ zweiter Ordnung, nach A, Brill .

]

Ta

Serie :

Abgüsse nach Originalen des mathematischen Instituts ’der techn150hen

Hochschule München (1, Folge)

Serie :

Desgleichen (2. Folge)

Serie:

Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung von R D1ese1 in Munchen

ä

Serie :

Fadenmodelle von Flächen zweiter Ordnung

Serie:

Copien nach Originalen der techn. Hochschule Munchen (3. Folge)

II

Serie :

Desgleichen; sowie Modelle von Wellenflächen nach Böklen u. s. w

13

Serie :

Flächen dritter Ordnung nach Rodenberg .

14

Serie:

Copien nach Originalen der technischen Hochschule Munchen (4: 1‘ olge)

I7

Serie :

Flächen vierter Ordnung nach Kummer

19

x

—

© ©O©DNIANOANHWON

Serie :

ı. u, 2. Nachtrag zu den Copien nach Originalen etc., ferner Modelle

von O. Staude

21

u

Serie :

Drahtmodelle zu den unebenen Cu1ven nach Chr1511an \Vlcner

3

12

Serie :

Vier Fadenmodelle zum Studium der Raumcurve vierter Ordnung erster

Art nach Hermann Wiener

IJ. Theil

Die Modelle nach ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit geordnet.

nebst”einleitenden Bemerkungen und Erläuterungen.

I. Flächen zweiter Ordnung

A, Ellipsoide

27

B. Hyperboloide und chcl

2

C. Paraboloide

29

IL Algebrausche Flächen hoherer Ordnung

A,

Serie von Flächen dritter Ordnung

30

Cycliden .

33

Kummer’sche Flachen

35

Serie von Flächen.vierter Ordnung mit 4 11ngs Kre1sen bcruhrendcn Ebenen 36

ä

Diverse algebr‘usche Flächen vierter und höherer Ordnung

36

i

NI

Seite

IN Transcendente Flächen

37

IVY. Raumcurven

38

V. Krümmung der Flachen

A, Krümmungslinien, Asymptotencurven und geodätische Linien auf Flächen

39

B. Flächen von constantem Krümmungsmass und auf einander abwickelbare

Flächen

42

C. Flächen von constante1 m1ttle1cr Krummung, \Ilnln1alﬁachen

44

D. Centraflächen, Brennflächen

46

VI. Modelle zur. darstellenden Geornetme, Phy51k Mecharuk etc

47

Cartı

Dar

/"‘E‘

K

z

Z

/\P.

Erklärung der Abkürzungen u.s. w

//K‘

Die Modelle sind, wenn nicht Anderes ausdrücklich erwähnt, in Gips ausgeführt

dass das betr

Ein Stern * an der laufenden Nummer des IT, Theils : bedeutet

Die Car

Modell einzeln nicht abgegeben wird, sondern entweder nur zusammen mit der ganzen

&n Ays

” Gruppe

der sie im I. Theil einverleibt ist

oder

mit den zugehörigen Modellen der-

selben Nummer

Die Grösse der Modelle ist nur bis auf Centimeter genau angegeben

Die Figuren stellen die im Text voraufgehenden Nummern. dar

Auf Ve

1h er

Zum A

b OI

GL\[[\

dürch

Wend

dlt bt

al \1\«nl

Überflü

Tläche

Möge

Seite

37

30

8

chen ‘ 2

Ibare

42

4#

46

Erster Theil. -

4

B

SS

Carton-Modelle von Flächen zweiter Ordriung,

construirt nach Angabe

von

Dr. A. Brill,

ord. Professor an der kgl. techn. Hochschule zu München.

Dargestellt durch ineinandergefügte Ausschnitte aus l'arbigém Cartonpapier.,

. Ellipsoid, gebildet aus 22 Kreisen., I, A.4.

Ä8

desgl.,

anderer Construction, gebildet aus 30 Kreisen. I.A.5.

. Hyperboloid, einschaliges, gebildet aus 34 Kreisen. I, B.

desgl.,

zweischaliges, (eine Hälfte) gebildet aus 24 Kreisen.

. Paraboloid,

elliptisches, gebildet aus 28 Kreisen.

z

desgl.,

hyperbolisches, gebildet aus 26 geradlinig begrenzten Schnitten,

\\a M

\ On S WUN

. Kegel, (eine Hälfte) gebiljdet aus 26 Kreisen.

führ

Die Cartonscheiben sind, unbcschadet der Beweglichkeit, gegenseitig so. befestigt , dass

das betr,

ein Auseinanderfallen der Modelle verhütet wird.

anzen

Eine wissenschaftliche Erläuterung

ist beigcfügt.

Jlen der

Preis der Serie: 16 Mark.

Auf Verlangen werden die Modelle Nr. 4 und 7, damit die beiden Flächenmäntel in

ihrer gegenseitigen Lage veranschaulicht werden könmen, je in 2 Exemplaren geliefert.

Zum Aufstecken des Doppelkegels eignet sich dann das für das einschalige Hyper-

boloid bestimmte Gestell ’Nr. 2, während für Nr. 4 (zweischaliges Hyperboloid) zwei

Gestelle (Nr. 1) erforderlich sind. Die Mehrkosten betragen Mark 2. 30. für jedes weitere

Modell,

Die vorliegenden Modelle, welche die Idee, Flächen zweiter Ordnung

durch ihre Kreisschnitte darzustellen, in systematischer Weise zur An-

wendung bringen, haben seit ihrem ersten Erscheinen (1874) allenthalben

die beifälligste Aufnahme und ‚die günstigste Beurtheilung seitens in- und

ausländischer Fachjournale erfahren, so däss eine besondere Empfehlung

überflüssig erscheint.

Es. sei‘! nur bemerkt, dass sich dieselben von anderen

Flächenmodellen besonders durch ihre Beweglichkeit unterscheiden, ver-

möge deren jedes einzelne. Modell. niıcht nur ein einzelnes Ellipsoid, Hyper-

2

boloid etc., sondern ein ganzes System von Flächen der einen oder anderen

Art darstellt, Flächenformen, welche das Modell der Reihe ngch durch

Anwendung eines leichten Druckes oder Zuges annimmt.

Bei der Biegsamkeit des Stoffs, aus dem die Modelle hergestellt sind,

schien es geboten, zweckentsprechende Stative anfertigen zu lassen, um die

Modelle bei dem Gebrauch zu schonen und einzelne Formtheile beim An-

fassen mit der Hand nicht undeutlich \ver_den zu lassen.

Ag

!MZ.-/

StativNr. ı zum Aufstecken der Mod. Nr. ı, 2, 4, 5 u.7. Preis Mark ı. 50,

»

—”

» 2 zum Aufstecken des Mod. Nr. 3. Preis Mark 2. —.

al

>

»

3 zum Aufstellen des Mod. Nr. 6. Preis Mark 1.—.

Bei Bestellung der Stative ohne Angabe der gewünschten Anzahl werden dieselben für

sämmtliche Modelle mitgeliefert, mithin 5 Stück von Nr. ı, je ı Stück von Nr. 2 u 3.

Abgüs:

f 1 Diel

Mod

Prei

/ I_ Die|

tent

von

]

bl

r XD

W

4}1

»

. Die

K

\ Die

Col

OR En

Be

des } ]

KIH?L {

Untersu

ng jj

Modell

ler anderen

yach durch

estellt sınd

cn

ım dıe

beim An:

Erste Serie.

k 150

ur

Gips-Modelle

Nr 203

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen

Hochschule in München angefertigten Originalen

Ausgeführt

unter Leitung von Prof. Dr. Brill

Die Rotationsfiäche der Tractrix mit geodätischen und Haupttangenten-Curven

A0

m.

Modellirt von stud. math. 7. Bacharach

(Grösse- des Modells 25-— 18 cm.)

Preis 9 Mark

A

—

Die Brennfläche eines Strahlensystems, welche mit der Fläche der Krümmungs- 4 77

centra des elliptischen Paraboloids in collinearer Verwandtschaft steht. Modellirt

von stud. math. Z. Schleizermacher.

a) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt. (Grösse 10—10 nnd 7—7 ecm.) ä 5 Mark

) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 10—11cm.) 5

5 Mark.,

Die Centrafläche des einschaligen Hyperboloids

Modelhrt von stud math. A 7X‚

2R u

W. Dyck

) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt (Grösse I/ —16 und ‘ 17—16 cm.)

äa 8 und 9 Mark

b) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 17—16 cm.) 10 Mark

AI

Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid. Construirt von stud. math. 473

K. Rohn

(Grösse 12 —18 cm.) 6 Mark

/\/v

Die geodätischen Linien durch die Nabelpunkte des dreiaxigen Ellipsoids. 474

Construirt von stud, math. X. Rohn

(Grösse 10—18 cm.) 6 Mark

Ganze Serie: 60 Mark

excl.

Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 8.— pro ganze Serie in Anrechnung

Bei Gelegenheit der Uebungen, welche in dem mathematischen Institut

des k. Polytechnikums in München von den Herren Professoren Brill und

wurde als Zweck und Endziel der auszuführenden

Klein geleitet werden

Untersuchungen mehrfach die Herstellung :eines Modells oder einer Zeich-

nung ins Auge gefasst

Einige der so als' Uebungsbeispiele entstandenen

Modelle. erwiesen sich

mit Rücksicht darauf, dass an. derartigen‘ Anschau-

1*

4

4

|

ungsmitteln kein Ueberfluss ist; als der Vervielfältigung werth, und eine

erste Serie derselben, welche unter Leitung von Herrn Brill entstanden ist,

wird hiermit der Oeffentlichkeit übergeben. Die Modelle sind in der Folge,

wie sie gerade ausgeführt wurden, aneinandergereiht und erheben, ‚schon in

Folge ihrer Entstehungsweise, nicht den Anspruch, etwas in sich Abge-

schlossenes zu geben oder allen Anforderungen eines weiteren Gesichtskreises

zu genügen.

Immerhin dürften dieselben auch in dieser Form :manches

Neue und des Interesses Werthe enthalten, wie denn die beigefügten Ab-

handlungen keineswegs blos Bekanntes reproduciren; und der Zweck, den

Urheber und Verleger im Auge haben, wäre erreicht, wenn die Anregung,

die von räumlichen Darstellungen auszugehen pflegt, einen Vorzug auch

d‘6r vorliegenden Modelle bilden würde.

Darmstadt;, 1877.

Abgüss

Anmerkung, Die Modelle dieser Serie wie vieler folgenden, deren Originale dem

mathematischen Institut der königl. technischen Hochschule zu München ent-

stammen, sind, zur äusseren Kennzeichnung ihres gemeinsamen Ursprungs und

zur besseren Unterscheidung von den selbständigen Modellpublicationen der

Verlagshandlung, mit fortlaufenden römischen Zahlen numerirt.

{}) Yır

8)

(

) VI Fl

Hay

Prei

')/ I, Die

Lin

a)

b)

0

/

zx R5

Nel

(6

3)

Und' eine

ANdEN 1st,

‘ICT F()IU

schon

mn

ich Abge

htskreises

manches

ioten Ab-

Zweite Serie.

sck, den

\nregung,

ug auch

Gips-Modelle

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen

Hochschule in München angefertigten Originalen

®

Ausgeführt

nale dem

unter Leitung der Proff. Dr. Brill und Dr. Klein.,

X

hen ent-

und

v

nen der

A. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Klein

7

VI. Drei Modelle der Kummer’schen Fläche

Von stud. math. X. Rohn

A

(Grösse ‘des Modells 21—18 cm.)

) Alle sechszehn Knotenpunkte sind reell

266

Preis 24 Mark

(Grösse 30 —20 cm.)

Preis 28 Mark,

—268

b) Acht Knotenpunkte reell,

c) Vier Knotenpunkte reell.

(Grösse 20—15 cm.)

Preis 18 Mark.

v€ VII Fläche dritter' Ordnung. mit vier reellen conischen Knotenpunkten nebst

Haupttangentencurven

Von stud. math. . Bacharach

(Grösse 13—22 cm.)

Preis 14 Mark

B. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Brill

}/VIII Die Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung nebst geodätischen A/f

Linien.

Von stud. mäth. A4. v. Braunmühl.

a) Onduloid (Grösse 12—26 cm.) Preis 9 Mark

b) Nodoid

(Grösse 11—8 cm.) Preis 8 Mark

) Ring des Nodoids, durch Umdrehung der Schleife entstanden

Preis 2 Mark

) Catenoid (Grösse 16—10cm.) Preis 8 Mark

Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Kegel-Typus /'/5

4‘ —X

nebst geodätischen und Asymptoten-Linien

Von stud, math, 7. Bacharach

Preis 9. Mark

(Grösse 17—17 cm.)

_— X. Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Hyperboloid-Typus)

Ä/7

mit parallelen geodätischen Linien und geodätischen Kreisen. Von stud. math.

D

W. Dyck.

(Grösse 13—21 cm.)

Preis 12 Mark.

— XI. Bahncurve eines schweren Punktes auf einer Kuge!l. Von stud, math.Z. Schleier- /4 /5

macher.

(Grösse 18 - 14 cm.) Preis 11 Mark,

A

6.)

Ganze Serie:. 120 Mark

exel. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 10.—. pro ganze Serie in Anrechnung:

Jeder Nummer ist ein erläuternder Text beigefügt, bei Nr. XI. ist die

erforderliche Erläuterung unmittelbar an dem Modell angebracht

Darmstadt

1877

A FV

m /

nath,

ier- A

ng

Dritte Serie.

die

Gips-Modelle von Flächen zWeitet Ordnung,

ausgeführt

von

R. Diesel,

Studirendem der kgl. techn. Hochschule in München,

Ganze Serie, bestehend aus 18 Modellen.

I. Gruppe, 7 Modelle (Nr. 1, 3, 5, 8, 10, 13.u. 17). — II. Gruppe, ı1 Modelle

(NI: 24; 65 7 9, IT 12141051 18):

Ellipsoid, grosse Halbaxe = 5 cm, ; Axenverhältniss V3uV2:V1. Preis Mark 1.40. ;

(

.

2

805

Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark

AII8

4

Ü

Ellipsoid, grosse Halbaxe = 9cm. ; Axenverhältniss V3 : V2: V ı. Preis Mark 1.90.-

Preis Mark 6. 80.

)

Dasselbe mit Krümmungslinien;

NS \V.N

Einschaliges Hyperboloid mit dem Asymptoten-Kegel; grosse Halbaxe der Kehl-

AL

ellipse = 4cm., Höhe des Modells:: 23cm. Preis Mark 8, 20.

‚6

Dasselbe mit den beiden Schaaren von geraden Erzeugenden, Preis Mark 13.60. 4270

w 7

Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 11.—.

AQLZT

Zweischaliges Hyperboloid (vgl. Nr. 17), reelle Halbaxe = 0,93 cm., Höhe des

Modells: 23 cm: Preis Mark 13.60.

—

Dasselbe mit Krümmungslinien, Preis Mark 16.40.

ALa

10,

Elliptisches Paraboloid, Halbaxen der Grundellipse 9,5 cm. und 6 cm., Höhe des

Modells: 20cm. Preis Mark 2.80,

Pa

Dasselbe mit Schnitten parallel zur Grundellipse. Preis Mark 3.80.

A273

ı2

Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 6, 80.

Ad

13

Hyperbolisches Paraboloid (gleichseitig), Durchmesser des Begrenzungscylinders

= 14 0m,; Preis Mark . 3; 80.

14

Dasselbe mit ebenen Hyperbel-Schnitten, Preis Mark 6. 80.

ACZE

x

Dasselbe mit den beiden Schaaren von Erzeugenden, Preis Mark 5. 60.

278

“{6

Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 4: 70.

2

17

Elliptischer Kegel, Halbaxen der Grundellipse: 10,4 cm. und 5,4cm.; Höhe des

E

Modells: 11,5cm. Dieser Kegel ist Asymptoten-Kegel sowohl zu dem

einschaligen Hyperboloid (Nr. 5), wie zu dem zweischaligen (Nr. 8). Preis Mark 3. 80,

. 18

Derselbe mit Krümmungslinien, Preis Mark 5. 60.

AL Z

Auf sämmtlicixcn Modellen der I. Gruppe sind die Hauptschnitte angegeben,

- Preis der completen Serie:v 100 Mark,

»

»

1. Gruppe:

35

»

>

»

»

»

IT

75

excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk, 15. —. pro ganze Serie,

für Gruppe I. Mk, 7.—., für Gruppe II. Mk. 8.—. in Anrechnung.

n

Die vorliegende Serie von Modellen richtet sich an den grossen Kreis

derjenigen Mathematiker, die im Verlauf ihrer ILehrthätigkeit oder gelegent-

lich ihrer Untersuchungen ‘ das . Bedürfniss einer anschaulichen Darstellung

der verschiedenen 'Typen der Flächen zweiter Ordnung empfunden haben.

50 lange schon dieses Bedürfniss besteht, so wenig ist bis jetzt geschehen,

demselben abzuhelfen; existirte bis dahin doch eine systematische Zusammen-

Fa

stellung der Flächentypen zweiter Ordnung — mit einziger Ausnahme der

in diesem Verlag erschienenen Cartonmodelle — überhaupt nicht, von Mo-

dellen mit Krümmungslinien gar nicht zu reden.

So entschloss sich die

Verlagshandlung zur Herstellung der ‚obigen Serie und es gelang ihr, in

dem Autor derselben eine wissenschaftlich wie _ technisch gleich befähigte

Kraft zur Ausführung ihres Unternehmens zu gewinnen. Um jedem Wunsche

begegnen zu können, wurde die Serie in zwei Gruppen getheilt, von denen

die erstere sämmtliche Flächen zweiter Ordnung, theilweise in mehreren

A

Typen vertreten, jedoch nur mit Angabe der Hauptschnitte, umfasst, wäh-

Erzeu

Alista

rend die zweite dieselben Typen mit den beiden Schaaren von Krüm-

mungslinien, ferner einige mit Parallelschnitten und einige mit den geraden

ein K

Erzeugenden enthält. Der letzten Abtheilung sind zwei kleine Abhandlungen

einanı

über die Herstellung der Krümmungslinien beigefügt.

Fläch

Durch diese Eintheilung glaubt die Verlagshandlung den Wünschen

7‚\\-isc.]

der Hochschulen

eben

so sehr

wie

denen

der technischen

gen

Die

Mittelschulen entgegen zu kommen. Den Industrie- und Gewerbeschulen,

Yäuft

Real- und Kunstschulen namentlich glaubt der Verleger die erste Gruppe

Nische

der Serie empfehlen zu dürfen,. auch wenn die Lehrpläne und Studien-

programme derselben nicht in das Studium der Flächen zweiter Ordnung

Wie ]

unmittelbar einführen; sollte doch jedem zukünftigen Techniker die Gelegen-

Sind

heit geboten werden, sich wenigstens auf dem Wege der Anschauung eine

in

Vorstellung davon zu erwerben, was man ‚unter einem Paraboloid, einem

Dreh

Ellipsoid u. s. w.. versteht.

Andererseits dürften bei Vorträgen an Hoch-

Hpp

schulen die Modelle der zweiten Gruppe, welche wichtige Eigenschaften

]\*ge

Wech

derselben, zur Anschauung bringen, 'nicht weniger willkommen sein.

Abst

So erlaubt sich denn die Verlagshandlung das vorliegende neue Unter-

Höh

nehmen einer ebenso wohlwollenden Aufnahme zu empfehlen, wie sie die

früher von ihr ausgegebenen Serien von Modellen /bei dem mathematischen

Offen

Publikum bereits gefunden haben.

dich

ZWei

Darmstadt, 1878.

ara

Senk:

Kreis

P}

(

nt

lung

Vierte Serie.l

ben,

E

hen,

nen-

der

Faden-Modelle von Flächen zweiter Ordnung,

Mo

dargestellt

r.]'ic

durch. Seidenfäden in Messinggestellen.

m

sche

Ganze Serie, bestehend aus 5 Modellen.

nn

®

—

1. Unveränderliches Hyperbolofd. Das Modell zeigt zwei Systeme von Flächen-

AI79

äh

erzeugenden nebst Asymptotenkegel,

Jedes System wird durch 64 Fäden. repräsentirt,

Abstand der Grundplatten 24 cm., Axenverhältniss der Kehlellipse: 21 : 13.

um

2) Bewegliches Hyperboloid, in der einen Grenzlage ein Cylinder, in der anderen

d

Cn

ein Kegel.

Das Modell ist so angeordnet, dass beide Grundplatten beliebig. gegen

gn

einander gedreht und geneigt werden können.

Die durch 64 Erzeugende gebildete

Fläche durchläuft dabei alle Lagen des. geraden oder schiefen Rotations-Hyperboloids

zwischen Cylinder und geradem, bezw. schiefem, Kegel und bildet bei gegen einander

en

en

geneigten Grundplatten Flächen vierter Ordnung mit leicht erkennbarer Striktionslinie,

Die durch 22 Erzeugende dargestellte Tangentenebene an Cylinder und Kegel durch-

CN

läuft alle Lagen des das Hyperboloid längs einer Erzeugenden tangirenden hyperbo-

lischen Paraboloids, Abstand der Grundplatten ‚26 cm., Höhe des ganzen Modells 55 cm,

pC

Auf Wunsch kann das Modell auch mit 2 Systemen von Erzeugenden , ähnlich

wie bei Nr. 3, hergestellt werden.

ng

3. Bewegliches Hyperboloid, in beiden Grenzlagen ein Kegel. Die Grundplatten

en-

sind beweglich wie in Nr. 2, aber es sind zwei Systeme von Fäden gespannt, welche

inc

in einer mittleren Lage die Erzeugenden eines Hyperboloids darstellen, ‚ bei einer

cn

Drehung der Grundplatten jedoch sich von einander ‘trennen und zwei verschiedene

Hyperboloide bilden, welche in der (in der Abbildung dargestellten) Grenzlage in zwei

ch

Kegel übergehen.

Die durch 22 Erzeugende dargestellte' Tangentenebene durchläuft

en

wechselnde Lagen des die äussere Fläche berührenden hyperbolischen Paraboloids,

Abstand der Grundplatten 22,5 cm., Durchmesser der oberen 10 cm., der unteren 20 cm.,

el

Höhe des ganzen Modells 50 cm.

die

4. Unveränderliches hyperbolisches Paraboloid.

Da die Fläche eine allseitig

en

offene ist, so wurde die Vorstellung des Flächenhaften durch Anordnung besonders

dicht gespannter Fäden zu erhöhen gesucht.

Die Tangentialebene im Scheitel enthält

zwei Erzeugende der Fläche, welche normal zu einander stehen.,

Eine dieser Ebene

parallele bildet die Grundplatte des Modells; ‚der Abstand der beiden anderen dazu

senkrechten Begrenzungsebenen beträgt 17 cm.

10

5. Bewegliches hyperbolisches Parahboloid. Die Fläche ist in ein gleichseitiges

Aze

windschiefes Viereck einbeschrieben, dessen Seiten paarweise fest verbunden Ssind,

Durch Drehung um eine horizontale Axe (Diagonale des Vierseits) lassen sich diese

äät

Seitenpaare aus der horizontalen in eine vertikale Grenzlage drehen, wobei die aus 2

sich kreuzenden Systemen von je 42 Erzeugenden gebildete Fläche aus einer horizon-

Durch Klemmschrauben ist die

talen Ebene in eine vertikale Doppelebene übergeht.

Fläche in jeder Lage leicht festzustellen.

Seite des Vierecks = 32 cm.

Diese Serie dient den Darstellun?;sarten der Cartonmodell-Serie und der Serie 3

der Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung als wesentliche Ergänzung.

Preis der ganzen Serie: 270 Mark.

Bei Einzel-Bezug der Modelle kostet Nr. ı 30 Mark, Nr. 2 170 Mark (mit Doppel-

fadensystem 75 Mark), Nr. 3 75 Mark, Nr. 4 44 Mark, Nr. 5 70 Mark

exel. Emballage \1}1d Versendungskosten; für erstere kommen bei Bezug der ganzen Serie Mk. 20. — in

Anrechnung, ‚bei Bezug einzelner Modelle werden dieselben nach Verhältniss berechnet.

Die Modelle. werden gewöhnlich mit schwarz gebeizten Messinggestellen

geliefert, auf besonderen Wunsch jedoch auch mit messingfarbenen, zum

Schutz gegen Anlaufen mit. Lacküberzug versehenen Gestellen zu gleichem

Preise.

Bei sämmtlichen Modellen, insbesöndere bei den beweglichen, sind

die Verbindungen der Messingtheile mit aller Sorgfalt einfach und dauerhaft

hergestellt.

Darmstadt, 1879.

l(/

A

4}

;

H

Fünfte Serie.

Gips-Modelle.

i

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen

Hochschule in München-angefertigten Originalen.

.

Neue (dritte) Folge.

Ausgeführt

‚unter Leitung von Prof. Dr. Brill.

Darstellung der -elliptischen Funktion v = a (u,%) durch eine Fläche. Von

ÄZI

/ D XI

den studd, math. 7%. Kuen und Chr. Wolff. (Grösse 19—25—35 cm.) Preis Mark 18.

Rotationsflächen von constantem positiven Krümmungsmass mit geodätischen

AZZ

Linien (drei Typen mit gleichem Krümmungsmass). Nach den Zeichnungen

_ Z / Z Z

von E. Bour (Journal de l’Ecole Polyt., Tome 22) modellirt und. mit geodä-

tischen Linien versehen von Assistent Dr. P. Vogel.

a) Die Kugel.

(Grösse 9 cm.) Preis Mark 1.

b) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe, (Grösse 11—7 cm.)

Preis Mark 4.

c) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe nicht,

(Grösse

10—12cm.) Preis Mark 9.

3) — xn

Schraubenfläche von constantem positiven Krümmungsmass (Letzteres ist

v/‚113-

das der Flächen unter XIIL.). Von stud, math. 7%. Kuen. (Grösse 24—15 cm.)

Preis Mark .13.

G

z’;

XN

Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Meridiancurve

A2S

ist die Tractrix;

Vgl. U. Dini, Comptes Rendus Acad, Sc. Paris 1865, 1, Sem,

Si 340):

Von Dr. P. Vogel.

(Grösse 24—15 cm.) Preis Mark 15, 50.

LA KNI.

AALS

Vier Formen der Dupin’schen Cyclide (vgl. die Abhandlung von Clerk Maxwell

in Quart, Journ, of Math, Bd. 9. S. 111) von Dr. P. Vogel.

a) Ringcyclide (mit imaginären Knotenpunkten). (Grösse 7—14 cm.) Preis Mark 9,

b) Horncyclide (zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei auseinander liegende

Flächenmäntel).

(Grösse 6—19 cm.) Preis Mark 11. 50.

c) Spindelcyclide (zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei ineinander liegende

Flächenmäntel).

(Grösse 10—11 cm.) Preis Mark 6. 50.

d) Parabolische Cyclide mit zwei reellen Knotenpunkten (erstreckt sich mit

einem unpaaren Flächenmantel ins Unendliche,

(Grösse 12—15 cm.) Preis

Mark ıı, 50,

12

’

L} / XVIT. Die Kettenlinie auf der Kugel. (Vgl. die Abhandlung von Clebsch in Crelle’s

Journ; Bd. 57, S. 104.)

(Grösse 9 cm.). Preis Mark 8

2 ALG

Die beiden (auf einer Kugel vereinigten) Typen entsprechen dem Fall, woi

das elliptische Integral sich auf ein Kreisintegral reducirt,

In den Bezeich-

nungen der ‚genannten Abhandlung: osine= I, a) o= %, b) o=%

v XVII. Die Enveloppen der von einem.Punkt ausgehenden geodätischen Linien auf

7

dem Rotationsellipsoid. Von Dr. A.v. Braunmühl. (Vgl. dessen Abhandlung

in den Math. Annalen Bd. ı4. S. 557.)

A17

a) Das verlängerte Rotationsellipsoid (ein Ausgangspunkt).

(Grösse

12—8.cm.)

Preis Mark 6, 50

b) Das Sphäroid, mit den Enveloppen für zwei verschiedene Ausgangspunkte,

(Grösse 7—10 cm.) Preis Mark 6, 50..

Ganze Serie: 100 Mark

exel. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 8. —. pro ganze Serie in Anrechnung.

Den Nummern XIIL., XIV., XV.V und XVIII. sind Abhandlungen. bei-

gefügt, in welchen der Gang der Rechnung ku„rz dargelegt wird.

Darmstadt, 1880.

]ä

13

Sechste Serie.

Gips-Modelle.

XIX

Die Raumcurven dritter Ordnung auf Cylindern zweiter Ordnung dargestellt

ARS

von stud, math. Z. Zange. Gipsabgüsse nach den unter Leitung von Professor

Dr., K/ein im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München

angefertigten Originalen,

(Grösse 10,5—6,5 cm.) Preis Mark 18.

a) Die cubische Ellipse,

b) Die cubische Hyperbel,

c) Die cubische Parabel,

d) Die cubisch-hyperbolische Parabel.

M

SN LE

-

Die Weliénﬂäche für optisch zweiaxige Krystalle. Verhältniss der Axenlängen

AT

12:8,3:6,1. «(Grösse 12—8 cm.) Preis Mark .9

a) Der äussere Mantel (längs eines Hauptschnittes zerlegbar) mit.Ausschnitten,

die den inneren Mantel zeigen,

(Grösse ı2 cr1}.)

b) Der innere Mantel,

N

Das zugehörige Ellipsoid (mit den gleichen Axen).‘ Preis Mark 4

A29

—

Die Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle (mit negativer Doppelbrechung).

ASO

Ein Ausschnitt des Sphäroids zeigt die Kugel. ‚Das Axenverhältniss 8,8 : 7,8 ist

ungefähr das des Kalkspaths.

(Grösse 8—9 cm.) Preis. Mark 4.

(Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle mit positiver Doppelbrecixuhg

s. X. Serie, '1, Nachtrag Nr. 7.)

Die Wellenfläche für optisch zweiaxige Krystalle in einzelnen Octanten, mit

AÄST

den sphärischen und ellipsoidischen Linien auf beiden Mänteln und 8 Nabel-

punkten. - Verhältniss der Axenlänge 12:9:6

Grösse der halben Fläche (2 Oc-

tanten) 24—9 cm.

Preis Mark 8, 50.

un

Ein Kreiskegel mit Ellipsen-, Hyperbel- und Parabel-Schnitt,

Die einzeln en

ASZ

Stücke sind ‚beweglich,

(Grösse 32—19 cm.) Preis Mark 22,

Ganze Serie: 60 Mark

excl. Emballage und Vérsendungskoston: für erstere kommen Mk. 7. —. "pro ganze Serie in Anrechnung.”

Der Nr XIX. ist eine Abhandlung des Verfertigers, der Nr. 4 eine

solche von Herrn Rector Dr. Böklen in Reutlingen beigefügt.

VDarmstadt‚ 1880.

14

Siebente Serie.

Gips-Modelle von Flächen dritter Ordnung

Die verschiedenen Gestalten der Flächen dritter Ordnung mit parabolischen

Curven und die wichtigsten ihrer Hesse’schen Flächen

von

Carl Rodenberg,

Professor der Mathematik an der Gr. technischen Hochschule zu Darmstadt

Ganze Serie, bestehend aus 27 Modellen.

I. Gruppe Mod. Nr. 1 —15, II Gruppe Mod. Nr. 16 — 26

A33

Va

Diagonalfläche mit 27 reellen Geraden.

6. Flächen mit 4 reellen C,*), welche unter sich collinear sind, und nur im Ver-

A34-38 __

halten zur unendlich fernen Ebene Unterschiede zeigen

A3

Fläche mit 3 reellen C,, zu denen kein vierter treten kann

_7

Dieselbe Art, von .der

andern Flächenseite betrachtet

A4

zur Bildung des: Ur

(Modell 16)

AT

Z

Fläche mit 3 reellen B,

10,

Fläche mit B,, dessen Ebenen in je drei reellen Knotenstrahlen schneiden

%2

Das Modell dient gleichzeitig zur Ueberführung des B, in einen Urg

Fläche mit 3, , dessen Ebenen conjugirt imaginär sind

A 43

u I1

Fläche mit 3, +

f reellen

A[,[, Ün 12013

\ ımagınaren

} Ca. Bei 12 sind die Ebenen des B, reell, bei

4S

13 ımagınar.

14

Fläche

mit B.,+ C

A H6

AT

I5

Fläche

mit Bg + C:

Fläche

Strahlen

A 4g-lj‚ 16u

27

mit Ug, dessen Ebene in { S }1cellen {

eınem

S

hl

} schneidet

ASO

18

Fläche

mit. U7.

Fläche

ASI

19

Mit - Ug:

20

Regelfläche, deren Doppelgerade völlig von reellen Flächentheilen umgeben ist,

ASRk

21

AS}

%

Regelfläche, bei deren Doppelgerade dies nur für eine endliche von zwei Cuspidal-

punkten begrenzten Strecke der Fall ist

unnn

) Die- Buchstaben C’, B, U bedeuten bezw. einen conischen, einen biplanaren, einen

uniplanaren. Knoten, der angehängte. Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten, um

welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird. — Vergl. übrigens

die Ausführungen im 2. Theil

15

anendlich‘ fernem

ASGSS

— 22u.23. Cayley’sche Regelfläche m1t{

im Endlichen Oeleﬂcncm

} Cuspidalpunkte,

vm 243. Hesse’sche Fläche zu 2 und 5

AS6

24 b. Sternförmiger Theil der vorhergehenden für ein Pentaeder, das aus der unendlich A S77

E

fernen Ebene und einem regulären Tetraeder besteht

.“

25. Hesse’sche Fläche zu 7.

ASS

— 26. (Drahtmodell) Abbildung der Flächen mit 1, 2, 3, 4 C,, welche einem reellen ,4f9

Pentaeder angehören, auf den Punktraum.

Die wenigen bis jetzt publicirten Modelle von Flächen’ dritter Ordnung

stehen, wenn man von den einfachsten Arten, den Regelflächen, absieht, in

keinem organischen Zusammenhange mit einander und weisen nur die

niedrigsten Singularitäten auf.

Durch die vorliegende Serie wird nun eine

Darstellung sämmtlicher charakteristischen Typen von Flächen

dritter Ordnung, namentlich auch. der mit höheren Singularitäten be-

gäbten

beabsichtigt

mit deren Hülfe man sich ein vollständiges und

abgeschlossenes Bild aller möglichen Formen von Flächen

dritter Ordnung, die für eine Gesammtdarstellung zu zahlreich wären

verschaffen kann

indem man jeden beliebigen T'ypus aus einem der gege-

benen (und ebenso irgend zwei der vorliegenden aus einander) durch con-

tinuirliche Deformation auf anschauliche Weise und ohne’‘ jede Schwierigkeit

ableiten kann

Dieselbe Aufgabe ist zugleich für diejenigen Hesse’schen

welche. einem eigentlichen reellen Pentaeder

Flächen gelöst

angehören

Von der nicht mehr schwierigen Behandlung der übrigen

Arten dieser Fläche

welche den verschiedentlich degenerirten Pentaedern

zukommen, wie sie der Verfasser im Bd. ı4 der Math. Annalen aüfgezählt

hat, konnte füglich abgesehen werden

Für die wirkliche Darstellung erwiesen sich besonders diejenigen Typen

geagnet

die ‚neben der gegebenen höheren Singularität noch so viel wie

möglich conische Knoten zeigen, und wurden daher diese Flächen modellirt.

Die übrigen mit weniger und keinem conischen Knoten mag man sich dann

durch Anwendung der beiden Processe des »Verbindens« und »Trennens«,

wie sie Herr Prof. Klein in seiner Arbeit

Math. Annalen Bd. VI., benutzt

und welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, ableiten. Dies

gilt auch namentlich für Flächen mit nur conischen Knoten

oder ohne

Singularitäten, welche imaginäre Linien haben

Unterschiede in der Gestalt, welche in verschiedenem Verhalten einer

und derselben Art zur unendlich fernen Ebene ihren Grund haben

sind

welche sıch

nur an einer Gruppe,. den Flächen mit 4'C,,.klar gelegt

hierzu besonders eignen. ’ Alle übrigen — mit Ausnahme der Regelflächen —

werden von der unendlich fernen Ebene in einem unpaaren Curvenzuge

getroffen, da sich gerade bei dieser Annahme die Bildung höherer Singu-

larıtäten aus niederen, insbesondere aus €,, sehr anschaulich macht, indem

(;g

16

Hat man an letzteren

nur endliche Deformationen nothwendig werden.

Modellen dann einmal das Verhalten der Fläche in der Nähe der Singularität

und deren Entstehung kennen gelernt, so gibt ein Blick auf d?ejenigen mit

4 C, eine Vorstellung von den ihnen collinearen Gestalten. «

Da ein conischer Knoten in einem gegebenen Punkt bei festem eigent-

lichen Pentaeder die Fläche ‚vollständig bestimmt, so kann er als Bild der-

selben gedacht werden.

Mit Hülfe

des Modells 26 kann man dann ohne

Weiteres die Art der zugehörigen Fläche angeben und eine Vorstellung von

ihrem ungefähren Verlaufe gewinnen.

Preis der ganzen Serie: 300 Mark

»

>

x

I. Gruppe:

140

»

»

»

IT

»

160

»

excl. Emballage und' Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 16. —. pro ganze Serie,

für Gruppe I. Mk. 8.—., für Gruppe II. Mk. 8.—. in Anrechnung.

®

Den Modellen . ist eine. 2 4Bogen in gr. 8° umfassende Abhandlung

beigefügt.

Darmstadt, 188 r

D

/l

4

Z

/

d

17

Achte Serie

Gips-Modelle

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen

Hochschule in München angefertigten Originalen

Fortsetzung (vierte Folge)

Ausgeführt

unter Leitung von Prof. Dr. Brill

XX

Fläche von constantem negativen Krümmungsmass mit ebenen Krümmungs-

A60

4)

linien (nach‘Z. Biancht, vergl. Mathematische Annalen Bd., 16, sowie 4. Enneper

Göttinger Nachrichten 1868)

Von stud, math, 7. Mack

(Grösse 24—18 cm.)

Preis Mark ı16

—— XXI

Minimalfläche neunter Ordnung (nach Znneper, vgl. Göttinger Nachrichten

AG67T

1871 S: 28)

Von cand, math. &. Herting

(Grösse 26 —34 cm.) Preis Mark 21

S)ı— XX

Fläche zwölfter Ordnung, Brennfläche der von einer leuchtenden Linie aus-

462

gehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die

Linie trifft, Von stud. math. S. /insterwalder. (Grösse 13—20—12 cm.)' Preis

Mark ı5

XX

Reliefperspectivische Darstellung eines Würfels, einer Kugel, eines Kegels

A

und eines Hohlceylinders, auf einem Untersatz vereinigt. Von stud. math. X. Z7hkoma

(Grösse 20—45—95 cm.) Preis Mark 23

L xxiv

Von Assistent 7A. Kuen

Röhren-Schraubenfläche nebst Krümmungslinien

AbCGS

(Grösse 20—30cm.) Preis Mark 13.

XXVa

Windschiefe Schraubenfläche nebst Krümmungslinien und Asymptotencunen

A6$

Von cand. math. &. Herting.

(Grösse 23—22 cm,) Preis Mark. 17. °

A

Um die Abwicklung dieser Fläche auf ein Catenoid zu zeigen

222

Catenoid (Umdrehungsfläche der Kettenlinie) aus biegsamem Messingblech,*)

Ay=

Preis Mark 2

AMU7

Dasselbe in Gips, nebst Krümmungslinien und Asymptotencurven

(Grösse

4A65

10—22 cm.). Preis Mark 10. 50.

Das Catenoid aus Messingblech wird in die windschiefe Schraubenﬂache“

in der Weise übergeführt, dass man die Endpunkte des Kehlkreises fasst und

diesen in eine gerade Linie auszieht, indem man gleichzeitig ein wenig tordirt

) Der Kehlkreis der Rotationsfläche geht bei der Deformation in die Axe der Schrau-

benfläche über.

2

18

XXVIa. Auf. das Rotationsellipsoid abwickelbare Schraubenfläche (nach Z. Bowr,

7

)—

(Grösse 25 —12 cm.)

Preis

Journal de l’Ecole polytechnique Bd. XXIL,)

Mark 10. 50.

A66

b. Rotationsellipsoid aus biegsamem Messingblech. Preis Mark 2. 50

c. Dasselbe in Gips.

(Grösse 3—9 cm.)

Preis Mark ı. 50.

Ganze Serie: 125 Mark

excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 11.—. pro ganze Serie in Anrechnung.

Der Nr. XX. ist eine Abhandlung von Assistent 7’h. Kuen, den Num-

mern XXI., XXII., XXIV. sind Abhandlungen der Verfertiger beigefügt. Die

Erläuterung zu Nr. XXIIL ist auf dem Modell selbst angebracht.

Darmstadt, 1882.

19

Neunte Serie.

Gips-Modelle von Flächen vierter Ordnung

nach Herrn Kummer in Berlin.

Copien nach den im Besitze des mathematischen Seminars der k. Universität

zu Berlin befindlichen Originalen, von Herrn Kummer besprochen in den

Monatsberichten der k. Academie der. Wissenschaften zu Berlin von 1862,

1866 , I87;.

1—6

Sechs Typen. von Flächen vierter Ordnung mit vier längs Kreisen

berührenden Ebenen.

Die Kreise sind die Durchschnittslinien einer Kugel mit den Seitenflächen

eines regulären concentrischen Tetraeders,

Die Fläche besteht aus vier congruenten Theilen, die in sechs biplanaren A 730

Knotenpunkten zusammenhängen.

Preis Mark 17.

Wie in Nr. ı, die Tangentialebenen in den Knotenpunkten sind jedoch imaginär. 4 73/

Preis Mark 19,

Die Römische Fläche von Steiner. Sie besitzt drei Doppelgerade, die sich 4 /J2

in einem Punkte treffen.

Preis Mark 8,

Die Fläche besteht aus zehn (sechs und vier je unter sich congruenten) Theilen, A 723

die in zwölf conischen Knotenpunkten zusammenhängen.

Preis Mark 23.

un

Die Fläche besteht aus sechs congruenten Theilen, die in vier uniplanaren AT7J4

Knotenpunkten zusammenhängen. Preis Mark 21.

Die Fläche besteht aus vier congruenten Theilen, die. in vier uniplanarenﬁ/ßf

Knotenpunkten zusammenhängen.

Preis Mark 23.

7

©

Zwei Modelle der Dupin’schen Cyelide mit den Schnittcurven mehrerer doppelt 4 73 6

berührenden Ebenen.

Preis zusammen Mark ı2.

32

Nl

Fläche vierter Ordnung mit einer Doppelgeraden: geometrischer Ort der Krüm- A/38

mungskreise der Normalschnitte einer beliebigen Fläche in einem positiv ge-

krümmten Flächenelement,

Preis Mark 6

(Vergl. Salmon-Fiedler, Analytische

Geometrie des 3aumes, 2. Theil, 3. Aufl., Cap. VL, é.\308).

Die Verlagshandlung hat von Herrn Professor Dr. Kummer in Berlin

die Erlaubniss zur Entnahme von Copien der von ihm gefertigten und dem

2*

20

math. Seminar der kgl. Universität zu Berlin überlassenen Modelle erhalten.

Diese Förderung ihrer Absichten von berufenster Seite erfüllt sie mit Genug-

thuung und verpflichtet sie zu um so lebhafterem Dank, als diese bisher

unveröffentlichten Modelle des berühmten Geometers: zu den schönsten und

elegantesten gehören, die bisher entstanden sind. Mit gütiger Einwilligung

des Herrn Professor Dr. Weierstrass in Berlin wurden die Copien unmittelbar

von den Originalen entnommen.

Bei der Bedeutung des Gegenstandes, den die Modelle darstellen —

es befindet sich z. B. die berühmte Steiner’sche Fläche darunter — und mit

Rücksicht auf das Interesse, welches sich zur Zeit überhaupt an die 'Theorie

der Flächen vierter Ordnung knüpft,-hegt die Verlagshandlung die Ueber-

zeugung, dass auch dieser neue bedeutsame Zuwachs zu ihrem von Jahr zu

Jahr sich ausdehnenden Modell-Verlag seinen Weg in die Sammlungen von

Unterrichtsmitteln der Univgrsitäten und technischen Hochschulen in Kürze

finden wird.

Ganze Serie: 120 Mark

excl. Emballage und Verse#dungskosten; für erstere kommen Mk. 5. —, pro ganze Serie in Anrechnung.

Den Modellen 1—6 legt ein Abdruck der +in den Monatsberichten

der Berliner Academie von 1863, 1866 und 1872 erschienenen Besprechungen

der Modelle: von Herrn Kummer bei.

Darmstadt, 1883.

21

Zehnte Serie.

E

I. Nachtrag

zu den im math. Institut der k. techn. Hochschule in München unter Leitung

von Prof. Dr. Brill angefertigten Modellen, nebst zwei Modellen

von Dr. 0, Staude

AA

z ı. Drahtgestelle zur Darstellung von Minimalflächen mittelst Seifenlösung. Preis

der ı1r Gestelle 12 Mark

a. Zwei Ringe mit Griff und Füssen zur Darstellung der Rotationsflächen con-

stanter mittlerer Krümmung (Plateau

Statique des liquides, T. 1. p. 93—103)

b. Schraubenlinie zur Darstellung der windschiefen Schraubenfläche (ibd, p. 216)

c—g. Kanten des Octaeders, der vierseitigen Pyramide, des dreiseitigen Prisma’s,

des Tetraeders und Würfels (vgl. Schwarz; . Bestimmung /einer speciellen Mini-

malfläche 1871, p. 84)

h. Kanten des sechsseitigen. Prisma’s (ibd. p. 93)

i. Drahtgestell zur Darstellung der ersten der fünf von Scherck (Crelle’s Journal

XI. p. 185) angegebenen Minimalflächen.

k. Zwei.rechtwinklig gekreuzte Rechtecke zur Darstellung der fünften Scherck’schen

Minimalfläche

(Nebst einer Anweisung zur Herstellung der Seifenlösung.)

Mlt

/2

Zwei Modelle für Fadenconstructionen des Elllp30|d3‚ von Dr. O. Staude,

AL

zwei Abhandlungen.

Preis Mark ı2.

a. Construction aus den beiden Focalcurven

b. Construction aus einem confocalen Ellipsoid und Hyperboloid

—;

Dreiaxiges Ellipsoid in Gips, längs eines Kreisschnittes in zwei Theile zerlegbar

43

Preis Mark 4.

Nr. XXVII. Modell einer Fläche vierter Ordnung mit zwei 51ch schneidenden

As

Doppelgeraden. Von stud. math. S. Finsterwalder. (Grösse 10cm.) Preis Mark 3. 50.

Nachtrag zu den Dupin’schen Cycliden der 5. Serie (Nr. XVI)

AS

Parabolische Cyclide mit vier imaginären Knotenpunkten. Modellirt von stud

math. S. Znsterwalder. Mit einer Abhandlung. (Grösse des Modells

2—20cm.)

Preis Mark 10

Zur 5.Serie Nr. XIII. Flächenstreifen von constantem positiven Krümmungsmass

1416

aus dünnem Messingblech. Preis zusammen Mark 4. 50

AAGE

A

Nachtrag zu den Wellenflächen der 6. Serie (Nr. 1—4)

ASa

ad3. Die Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle mit positiver Doppel-

brechung ,

dessen Axenverhältnisse un<'fefahr dem Zinnober entsprechen,

(Grösse 9cm.) Preis Mark 4.

22

IXl. Nachtrag. /

öf).

XXVIII. Drei Typen von Cycliden, für welche die Krümmungslinien Kreise und sphä-

rische Curven vierter Ordnung sind, Von S. Finsterwalder. Preis zusammen

Mark 1ı2,

AMf-I$T

Nebst ‚einer Abhandlung von S. Hinsterwalder.

Fläche achter Ordnung, die durch Bewegung einer Kreislinie entsteht, deren

%) MOM

Ebene senkrecht zur Ebene zweier sich senkrecht schneidender Geraden bleibt,

während die Endpunkte eines Durchmessers bezw. auf dieser Geraden gleiten ;

Arı

oder: durch Bewegung des Randes ‚einer Kreisscheibe, welche gegen eine

verticale und eine horizontale Wand gelehnt aus der verticalen in die hori-

zontale Lage gleitet.

Von S. Finsterwalder.

Preis. Mark 4.

4R

XXX

Y

)

Zwö!f Typen von Rotationsflächen mit aufgezeichneten Asymptoten- (Haupt-

tangenten-) Curven. Von &. Herting. Preis der Collection: Mark 60.

Es befindet sich darunter die Fläche, die durch Umdrehung der Sinuslinie

um eine Axe senkrecht zur Wellenrichtung entstanden ist (diese Eine mod,

ATSS- 164

von H. Sievert) , ferner solche, für welche die Projection der Asymptoten-

curven auf eine Ebene senkrecht zur Umdrehungsaxe ein System von

Kreisen, von logarithmischen und anderen Spiralen, von Pascal’schen

Schneckenlinien u. s. w. ist.

Nebst einer Abhandlung von &. Herting.

!

XT

Bohnenförmig gestaltete Körper zur versuchsweisen Bestimmung der para-

AT6S 166

bolischen Curve, der Krümmungs- und Asymptotenlinien u.s.w. Preis zu-

sammen Mark ıI, 50.

Enveloppen der von einem Punkt ausgehenden geodätischen Linien. Von

{ y ] xxxar.

Dr. A. v. Braunmühl.

a) Auf einem dreiaxigen Ellipsoid,

AI67 '/1/

b) Auf einem grossen abgeplatteten Rotationsellipsoid (zur Demonstration mit

gespanntem Faden, der an einem Stift in dem Ausgangspunkt befestigt

ist, geeignet).

c) Auf einem grossen verlängerten Rotationsellipsoid (desgleichen).

Preis zusammen Mark 14.

AD

FiXXXUN.

Dreiaxiges Ellipsoid mit dem Axenverhältniss 1:2:3.

Preis Mark ı. 20.

J4 )XXXIV.

Nachtrag zu den Modellen von Flächen von constantem pegativem Krüm-

mungsmass ;

Zwei Flächenstreifen von constantem negativem Krümmungsmass aus

AL AL

biegsamem Messingblech, mit deren Hilfe das Aufbiegen einer solchen

A148

Fläche auf eine andere und deren Verschieblichkeit in sich, überhaupt der

Begriff einer »Geometrie« auf diesen Flächen erläutert werden kann,

Das

2A28

Krümmungsmass ist dasjenige von Nr. X. der zweiten Serie, Preis Mark 4. —

Preis der ganzen Serie: 135 Mark,

»

des I. Nachtrags:

45

»

»

»

»

»

.

90

i exel. Emballage und Versendungskosten: für erstere kommen Mk. 12,—. pro ganze Serie in Anrechnung.

»

5. —. beim I, Nachtrag.

”

T—

»

IL

”

Darmstadt, 1885.

Elfte Serie.

SS

Acht Modelle

*über die Abhängigkeit der Rückkehrelemente der Projektionen

einer unebenen Kurve von denen der Kurve selbst.

Von

A

Geh. Hofrath Dr. Chr. Wiener,

Professor an der Grossh. polytechnischen Schule zu Karlsruhe.

139146

+

Wenn sich auf einer unebenen Kurve ein Punkt u-nd mit ihm die

Tangente und die Schmiegungsebene der Kurve hinbewegt, so kann an einer

Stelle jedes dieser Elemente seinen Bewegungssinn beibehalten oder ihn um-

kehren.

Dieses Verhalten wird der Charakter der Kurve und eın

umkehrendes Element ein Rückkehrelement genannt.

Durch Verbin-

dung der verschiedenen Charaktere treten acht Möglichkeiten ein. — Die

Projektion der Kurve auf-eine Ebene zeigt im allgemeinen für den Punkt

und die Tangente dieselben Charaktere wie die unebene Kurve selbst, Nur

bei den Projektionen auf die drei Hauptebenen, die Schmiegungs-, die

Normal- und die rektificirende Ebene, zeigen sich Aenderungen der Cha-

raktere, so dass hier Spitzen und Wendepunkte in der Projektion auftreten

können, die an der Kurve nicht vorhanden sind, und solche verschwinden,

die sich an der Kurve befinden.

Die Modelle zeigen die acht möglichen Fälle, Sie stellen die Kurven

aus Draht und die Projektionen auf die drei Hauptebenen durch Zeichnung

dar und lassen durch Visiren oder Schattenwerfen die Abhängigkeit ihrer

Charaktere, und ‘durch allmähliche Aenderung der Projektionsrichtung die

Entstehung der Singularitäten der Projektionen erkennen.

Ganze Serie: 45 Mark

excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk, 1. —. pro Serie in Axxreuhﬁu11g.

- Darmstadt, 1884.

24

Zwölfte .Serie.

AD

Vier Fadenmodelle

zu der Raumcurve vierter Ordnung erster Art und ihrer

abwickelbaren Fläche

Von

Dr. Hermann Wiener

in Karlsruhe

1

Erster Fall

Die Curve liegt auf vier reellen Kegeln

Darstellung der Curve als

Schnitt dieser Kegel

»

»

Die abwickelbare Fläche der Tangenten der Curve

Dar-

Zweiter Fall

Die Curve liegt auf zwei reellen und zwei imaginären Kegeln

stellung als Schnitt jener beiden

Die abwickelbare Fläche ihrer Tangenten

Dritter Fall

Die Curve liegt auf vier imaginären Kegeln

Darstellung als Schnitt

zweier geradliniger Hyperboloide

Die abwickelbare Fläche der Tangenten

Die ‘ vorliegenden Modelle sollen die Haupteigenschaften derjenigen

Raumcurven yierter Ordnung, die der Schnitt der Flächen zweiter

Ordnung eines. Büschels sind, sowie der abwickelbaren Fläche ihrer

Tangenten und der Doppelcurve dieser Fläche zur Anschauung bringen

Und zwar ist dies für die drei wesentlich verschiedenen Formen der als

reell. vorausgesetzten Raumcurve durchgeführt, welche von der Reellität der

vier im Flächenbüschel enthaltenen Kegel abhängen ”).

Je nachdem von

d1esen nämlich vier,

oder zwei, oder keine reell sind, besitzt ihre Schnitt-

curve zwei pare Aeste, einen einzigen Ast oder zwei unpare Aeste.

Das erste Modell zeigt die ‘Curve, welche der Durchschnitt von

yier zeellen Kezeln 1st

Von jedem derselben ist eine Anzahl von Er-

zeugenden durch Fäden dargestellt.

Es laufen dann immer vier Fäden

durch ’ einen Curvenpunkt und halten eine Perle, deren Gesammtheit d1e

Curve veranschaulicht.

Das zweite Modell b11det eine Ergänzung des ersten, indem es

dieselbe Curve wie jenes vorführt

diesmal aber eingehüllt durch ihre ver-

*) Man vergleiche v. Staudt, »Beiträge zur Geometrie der Lage«, Art, 558, 560 u, 561

25

mittelst Fäden dargestellten Tangenten.

In den Ebenen je. dreier Kegel-

spitzen treffen sich die Tangenten parweise und bilden so die aus vier

rationalen ebenen Curven vierter Ordnung zusammengesetzte Doppelcurve

der abwickelbaren Fläche.

Jede ‚dieser vier Curven besitzt in drei

Die Punkte der

Kegelspitzen Doppelpunkte, von denen je einer isolirt. ist.

Doppelcurve sind. da, wo sich zwei Fäden treffen, wieder durch Perlen be-

zeichnet.

Da sie aber auch isolirte Theile enthält, in denen sie die

Die

Fläche ‚verlässt, so. zeigen Drähte ihren vollständigen Verlauf an.

Zwickpunkte der Doppelcurve, in denen die isolirten Theile auf die

Fläche stossen, sind die Schnittpunkte der vier Ebenen, in denen sie liegt,

mit der Raumcurve.

Diese Punkte sind auch bezüglich der Raumcurve ausgezeichnet, indem

sie singuläre Punkte derselben sind. Sie besitzen nämlich Rückkehr-

schmiegungsebenen (diese Singularität ist im zweiten Modell der Serie XI.

dargestellt)l Es ist dadurch zugleich der allgemeine Satz veranschaulicht,

dass in einem derart singulären Punkt einer beliebigen Raumcurve die ab-

wickelbare Fläche diese verlässt und weiterhin yi_solirt verläuft.

Das dritte Modell, welches die Curve darstellt, durch die nur zwei

reelle Kegel gehen, vereinigt für diesen Fall, was für den ersten in zwei

Modelle getrennt ist.

Das vierte Modell stellt die Raumcurve vierter Ordnung ‚dar, / durch

welche kein reeller Kegel geht.

Da die Curve die Eigenthümlichkeit hat,

dass sie nurauf geradlinigen Flächen zweiter Ordnung liegt, so war

es möglich, sie durch zwei Hyperboloide herzüstellen, von welchen je eine

Schaar von Erzeugenden durch eine Anzahl von Fäden veranschaulicht ist.

Die vier imaginären Kegelspitzen liegen parweise auf zwei reellen‘ Geraden

und diese sind einander conjugirt in Bezug auf jedes der beiden Hyper-

boloide, d. h. sie sind Gegenkanten von zwei Tetraedern, deren übrige

Kanten durch Erzeugende je einer der Fläche ‚gebildet sind.

Diese Erzeu-

gendéhsind durch besondere Fäden, jene Gegenkanten durch Drähte her-

vorgehoben.

Jeder von diesen schneidet die beiden Hyperboloide in sich

trennenden Punkteparen, den Eckpunkten der Tetraeder.

Die Involution,

der diese Punktepare angehören, hat die imaginären Kegelspitzen zu Doppel-

punkten.

Die abwickelbare Fläche ist auch hier angegeben, sie zerfällt, wie die

Curve selbst, in zwei Theile, die in diesem Falle vollständig getrennt sind,

indem ihre Doppelcurve durchweg imaginär ist.

Es stellen die ersten beiden Modelle die Gebilde in der grössten /auf-,

tretenden Vollständigkeit dar; in dem einfacheren Falle konnten sie in einem

einzigen Modelle, dem dritten, vereinigt werden; das vierte Modell zeigt von

den anderen völlig verschiedene, beson.ders interessante Formen.

26

Zum Schluss mag noch auf die verschiedenen Formen hingewiesen

werden, welche die Projectionen der Raumcurve auf eine Ebene an-

nehmen.

Dieselben sind ‘ Curven mit zwei Doppelpunkten und erschöpfen

sämmtliche Formen, die eine solche Curve aufweisen kann.

Auch hier tritt,

wie bei den Raumcuryven, der Unterschied derer mit zwei paren Aesten,

einem einzigen Ast, oder zwei unparen Aesten auf.

Aber in jeder. dieser

Abteilung treten noch sehr verschiedenartige Formen auf, welche erkannt

werden, wenn man das Auge in die verschiedenen Theile des Raumes bringt,

die durch die Kegel und die abwickelbare Fläche begrenzt werden.

So

sind _ allein. bei der Curve des ersten Falles ı8 verschiedene Formen der

Projection zu unterscheiden, während im zweiten und dritten Falle ı1 bezw.

3 verschiedene Formen auftreten.

Die Anregung zur Anfertigung dieser Modelle hat .der V erfasser durch

seinen Vater erhalten, indem er schon in seiner Studienzeit am- Polytechnikum

zu Karlsruhe ein zu dieser Gruppe gehöriges Modell für die Sammlung des

Unterrichts für .darstellende Geometrie ausfüh#e.

Preis der ganzen Serie: 380 Mark.

Bei. Einzel-Bezug der Modelle kostet Nr. ı 110 Mark, Nr. 2 110 Mark,

Nr, 3 110 Mark, Nr. 4 70 Mark

excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen bei Bezug der ganzen Serie Mk. 6.—. in

3

Anrechnung, bei Bezug einzelner Modelle werden dieselben nach Verhältniss berechnet.

A

Darmstadt, 1884.

x}

\

2

2

27

I. Flächen

A Ordnuné: A Eﬁipsoide. B, Hyperboloide und Kegel,

Zweiter Theil.

I. Flächen zweiter Ordnung.‘).

i)ie im Folgenden aufgeführten Modelle von Flächen zweiter Ordnung in Gips

sind mit Ausnahme von Nr. 3, 4 und 8:von dem Studirenden E. Diesel an der

techn. Hochschule in München angefertigt.

7. Messinggabel mit Holzfuss, zur Aufs£ellung

eines der Cartonmodelle Nr. 5, 6 dienlich, auch

A. Ellipsoide.,

für die Modelle Nr. 10, 16, 22 pro Stück . 1.50.

1. (IIT. ı.) Ellipsoid mit Angabe der Haupt-

Gestelle und Gabeln zum Aufstecken sämmt-

schnitte; Axenverhältniss: V3: V2: V ı, grosse | licher Cartonmodelle, ‚nebst Holzteller, zu-

Halbaxe = 5 cm, (10—6 cm.).

M 1.40. | sammen

„ M' 10. 50.

2. (IIL 3.) Desgl.; grosse Halbaxe = 9 cm.

(18—11 cm.)

Mo.1.90.

ä

3.(X., 2.N., xxxın.) Ellipsoid; Axenverhält-

niss 3:2:1, grosse Halbaxe = 17cm. (17—6cm.)

M 1.20.

4.(X., 1.N.,3:) Ellipsoid, iängs eines Kreis-

S —

é

Z=

1 A;

schnittes in 2 Theile zerlegbar (13—7 cm.) M, 4. —.

=——_—__

5.* (Cart.-S. 1.) Ellipsoid aus Cartonscheiben,

NB. Modelle von Ellipsoiden mit Krüﬁ1—

beweglich, gebildet von

2 aus Carton geschnit-

mungslinien, geodätischen Linien u,s. w. sind

tenen, in einander gesteckten Kreisen.

unter Nr. V..A. aufgeführt,

B. Hyperboloide und Kegel.

=>

z

LE

7

8. (III. 5.) Einschaliges Hyperboloid mit An-

-

Z

‚gabe der Hauptschnitte und des Asymptoten-

Z

Z

Z

/‚

kegels, grosse Halbaxe der Kehlellipse = 4 cm.

S

S

€

<

©

|(23—14 cm.) .

M. 8 20.

©

N

A

?\\

SA

&S

X

|

A&

\

S

S4

Z

X

'

9. (III. 6.) Dasselbe mit den beiden Schaaren

ALYO

%

S

x

S

©

S

SA

Z

ZNZ

<

von Erzeugenden (23—14 cm.)

M 13:60.

P

S

Z

S

N

fl“

SI

E

<

NS

N=-

S

M

BT

Unter Anwendung eines leichten Druckes

n

T

kann man das Ellipsoid eine mehrfache Mannig-

%

S

C&

X

XX

XXAA

%i

O

D

faltigkeit von Gestalten durchlaufen lassen,

S

A

XX

RSN

0000

SOM

O

00

XX

XX

K

O

6S

(Diese Bemerkung gilt für alle Cartonmo-

Un

A

':

X

NN

6S

N

S

\

delle; Erläuterung hierzu, von Prof, Dr. Brill

Ö

verfasst, wird denselben beigegeben.)

\

M

N

d

f

Ag

6.* (Cart.-S.2.) Dasselbe, anderer Construc-

/

tion, gebildet aus 30 Kreisen,

UU TWar RS eEE

1) Die Flächen zweiter Ordnung mit Krümmungslinien, geodätischen Linien u, s. w. finden

sich unter V, A. aufgeführt.

28

I, Flächen 2, Ordnu]n_g:r B HyperboloideÄ

AS

10.* (Cart.-S, 3.) Einséhaligcs Hyperboloid aus

®

Cartonscheiben, bewegl., gebildet aus 34 Kreisen,

ä

I1. (IV. 1.), Einschaliges Hyperboloid, unver-

1

/1/7j

änderliches Fadenmodell, Es zeigt beide Systeme

A

|

r

\‚ä

von Erzeugenden nebst dem Asymptotenkegel;

jedes System wird durch 64 Fäden repräsentirt,

AD

B

31

Axenverhältniss der Kehlellipse 21 : 13. (14—

}

\

24 cm.)

; M 300 —.

48

|

M

\

a

'

M

|

i

\\\

ANAN

N

\

"V

N

S

W

XX

X

%

Ü

OM

l

/

\

X

C

A

Ü

/

N

f

!

|

*1

M

L

|

|

# 4275(

OO

l'l

{

UE

&o

MM

HN

200

f

Al

x

N

T

000

}

N

N

f

Yı

f

f

N

N

j

MI

M

A

Y

w..

Ü

N

SN

.j‚/_\

Sn

;/'

1, X

M

Y 7

(Zu Ord. N 13 IV- 3.

14. (IIT. 17.) Elliptischer Kegel; H‚alba#en der

12. (IV.2:) Einschaliges Hyperboloid, beweg-

7

liches Fadenmodell, in der einen Grenzlage ein

Grundellipse 10,4 und 5,4 cm., Höhe 11,5 cm.

5

Dieser Kegel ist Asymptotenkegel sowohl zum

Cylinder, in der andern ein Kegel, bei gegen-

seitiger Neigung der Leitkreise eine Fläche vierter

’einschaligen Hyperboloid Nr.8, wie zum zwei-

E

schaligen Nr.17. (23—13 cm.)

M 3.80.

Ordnung. Die Beschreibung im I. Theil,. IV.

ı

4

15. (VL. 5.) Kreiskegel mit Ellipsen-, Hyperbel-

Serie, Nr. 2. (22—55 cn_1.)

. M6.70.—.

4A3

u. Parabel-Schnitten ; zerlegbär, (21-33cm.) „ß{7_22.

16.* (Cart.-S. 7.) Kegel, bewegliches Carton-

A8

4

j(

©

%i

modell, gebildet aus 26 Kreisen,

E

A

a

s

A

Z

S

17.(LIT. 8.) Zweischaliges Hyperboloid mit den

A

\\

Hauptschnitten

und

demselben Asymptoten-

}

\

N

N

\

Y

4

kegel wie das einschalige/Nr. 8, Reelle Haupt-

“

%

axe = 0,93 cm. (13—23.cm.)

. Mb.13. 60,

18.* (Cart.-S. 4.) Zweischaliges Hyperboloid

SIN

N

aus Cartonscheiben, beweglich; jede Hälfte aus

As

X

N

N

}

A

}

\

\

24 Kreisen gebildet,

;

M

\

19. Zwei, Messinggabeln mit Holzfuss, zum

N

N

\

Aufstecken von Nr. 18

M.2.—

aı

/

/

I8

E

N

!

|

|

Il

M

.

'1

i!

|

Il

|

|

{

4

U

11

M

d

Al

enl

}

|

J!

(

il

|

|:li

11

„

—

S

—>

..|

13. (IV.3.) Bewegliches, einschaliges Hyper- |

boloid, in beiden Grenzlagen ein Kegel. Vergl. |

die Beschreibung im I, Theil, IV. Serie, Nr. 30

NB. Modelle von Hyperboloiden mit Krüm-

(22+—50 cm.)

. M.75.—. | mungslinien sind unter Nr, V, A, aufgeführt,

I. Flächen 2. Ordnung: C. Paraboloide.

20

C. Paraboloide.

|

28. (IV.4.) Hyperbolisches Paraboloid, unver-

| änderliches Fadenmodell.

Die Beschreibung im

20. (III. 10.) Elliptisches Paraboloid mit den

I. Theil, IV. Serie, Nr. 4: (18—30cm.) M 44. —.

Haüptschnitten; Halbaxen der Grundellipse 9,5

und 6cm. (6—20 cm.)

M.2.80.

—l

273

21. (III. 1 1.) Dasselbe mit Schnitten parallel zur

i

Ü

%

d

Ü

A

]l;‚

Grundellipse (6—20 cm.) .

M 3.80.

Ü

M

fl

A

anı

}

HRN

22.* (Cart.-S. 5:) Elliptisches Paraboloid ’aus

E

BTA

Il

'1A

Cartonscheiben, beweglich, 28 Kreise.

aaan

S

H

T

/

B

W

S

S

S

9

9

/

Al

23. (III. 13.) Hyperbol. Paraboloid (gleich-

‘\Ä‘„\

4

:

;”

H

ü

Durchmesser

'

seitig) mit den Hauptschnitten,

K

M

des Begrenzungscyl. = 14 cm. (15-13 cm.) /. 3. 80.

SS

.':'."

.':':;I::

::

nhn“‘l\lu-«

&S

X

©

.’"

S 24 (1I1. 14.)

Dasselbe mit Horizontalschnitten

S

---.ml'

[42

MNb. 6. 80.

(gleichs. Hyperbeln) (15—13 cm.)

25. (III, 15:). Dasselbe mit beiden Schaaren |

AL

von Erzeugenden (15—13 cm.)

6508 | 20.(1V35): : Dasselbe; beweglicheé Faden- Ä10

|modell” Die Beschre

; EV. SeHe,

libung im I. Theil

Nf. 5

MO

\

S

Z

Z

E

a

Z

5

26.* (Cart.-S. 6.) Hyperbolisches Paraboloid,

o

A

bewegliches Cartonmodell, gebildet aus 26 gerad-

S

dl 7

linig begrenzten Schnitten,

Al

4S

XX

X

0

%

)

F

A

X

>

d

(

e

\

g

S

!

/

il

O

D

27. Holzteller : zum Aufstellen des vorigen

Z

Modells .

ML —.

NB. Modelle von Paraboloiden mit Krüm-

&x

En

mungslinien sind unter Nr. V. A. aufgeführt,

30

IT. Algebraische Flächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung.

‘

Al

II. Algebraische Flächen höheren Grades.

%

di

A. Serie von Flächen 3. Ordnung

Fläche,

In die 6 rothen Verbindungsstrahlen

T}

je zweier Knoten (Knotenstrahlen). sind je 4

M

nach Angabe von Prof. Dr. C.Rodenberg.

Geraden hinein gefallen; die 3 weissen Geraden

Vergleiche Rodenberg’s Aufsatz: »Zur Classifi-

dagegen sind einfach ‚(un är).

Der durch die

cation der Flächen 3. Ordnung«, Mathem. An-

nalen Bd, XIV, pag. 46 ff. Der Serie ist eine

4 Eckpunkte bestimmte tetraederförmige Flächen-

2

theil liegt ganz im Endlichen und ist positiv

A

von Rodenberg verfasste Abhandlung beige-

geben.,

gekrümmt. (13—15 cm.)

j

4A33

30. (VII. 1.) Diagonalfläche mit 27 reellen

32.*.33.* 34.* 35.* (VIL 3, 4,.5, 6)) Sämmtliche

A3

Geraden,

10 der 15 Dreiecke, welche auf der

4 Flächen sind Collineationen der Fläche Nr. 31.

allgemeinen Fläche dritter Ordnung von den

Je nachdem man zur Gegenebene (Ebene, die

15 rothen Geraden gebildet werden, und inner-

bei der Collineation zur unendlich fernen Ebene

halb welcher 10 Ovale der parabolischen Curve

gemacht. wird) eine Ebene wählt,

welche den

M4

tetraederförmigen Theil nicht trifft und. die

D

liegen, sind hier auf Punkte (Ovalpunkte) zu-

sammengeschrumpft , in welchen sich je 3 Ge-

Fläche nach einer Curve dritter Ordnung mit

raden schneiden. Die 15 rothen Geraden haben

Oval schneidet, oder von diesem . Theil eine

je zwei reelle Asymptotenpunkte, d. h. unter den

Kuppe abtrennt, oder einen Knoten des tetra@der-

Kegelschnitten, nach welchen alle durch eine

förmigen Theils von den 3 übrigen, oder end-

solche hindurchgehenden Ebenen die Fläche

lich 2 Knoten desselben von den 2 übrigen

schneiden, befinden sich 2 reelle, diese Gerade

abscheidet, erhält man der Reihe nach aus Nr. 31

in den vorhin genannten Punkten berührende,

die Flächen Nr. 32, 33, 34, 35. In den drei ersten

Fällen wurde ausserdem die Gegenebene hori-

Die 12 weissen Geraden bilden eine Doppelsechs,

auf ihnen sind die Asymptotenpunkte imaginär.

zontal gewählt,

im letzten durch /‚eine der

unären Geraden (s. Nr. 31) gelegt, so dass beim

Mit Ausnahme der Oyalpunkte und der erwähnten

f

Asymptotenpuhkte ist die ganze Fläche negativ

Modell Nr. 35 eine dieser 3 Geraden im Unend-

M 20. —

lichen liegt. Der tetraederförmige Theil erstreckt

gekrümmt. (15—24 cm.)

sich' bei allen, mit Ausnahme von Nr. 32, in’s

Unendliche . und ist immer positiv gekrümmt.

i;;‚ f

(13—15 cm,)

/

36.* (VIT. 7.) Fläche mit 3 conischen Knoten- ,43q

A

punkten C,.

Sie entsteht aus der Diagonal-

7

e

1

/

ß

CN

N

/

|

N

fläche durch Zusammenziehen der 3 unteren

1

ellipsenförmigen Oeffnungen zu Knoten,

Die

II

(

S

3 weissen Geraden sind daher unär und besitzen

} ‘

reelle Asymptotenpunkte, in die blauen sind 2,

/

in die rothen (Knotenstrahlen) 4 Gerade hinein-

gefallen.

Die parabolische Curve besteht, ab-

A

aa

gesehen von den 3 als Theile derselben doppelt

31.* (VIT. 2.) Fläche mit 4 reellen conischen

zählenden Knotenstrahlen ,

aus einer -Curve

A34

Knotenpunkten C„*). Man erhält dieselbe durch

sechster Ordnung mit 3 Doppelpunkten in den

Knoten, deren Tangenten daselbst die blau ge-

Zusammenzichen der 4 Hälse aus der vorherigen

zeichneten Geraden sind. (11—15cm.)

*) Die Buchstaben C, 3, U bedeuten be-

37.* (VIL. 8.) Dieselbe Fläche, aber von der A%

ziehungsweise conische, biplanare, uniplanare

anderen

Flächenseite

Knoten; der angehängte Zeiger gibt die Anzahl

betrachtet - (der andere

der Einheiten an, um welche die Classe durch

Raumtheil ausgefüllt).

Sie veranschaulicht die

die betreffende Singularität erniedrigt wird,

Bildung des Ug von Nr.45 aus 3 C,. (11—15 cm.)

_

II. Algebraische Flächen höheren Grades

A, Serie von Flächen 3. Ordnung

31

®

Ausnahme von Punkten parabolischer Krüm-

/( %Z 38.* (VII. 10.) Fläche mit einem biplanaren

Knoten B;, dessen 2 Tangentialebenen (auch

mung) positiv gekrümmt

(13—15 cm.)

Hauptebenen genannt) reell sind und der die

42.* (VII. 13.) Fläche mit einem. biplanaren,

A4S

Classe um 3 erniedrigt

Ausser den 6. durch

die Classe um 4 erniedrigenden Knoten B, mit

den B, gehenden, dreifach zählenden Geraden

imaginärem Hauptebenenpaar und ausserdem

(roth) existiren noch 9 unäre (s. oben) Geraden

noch 2 imaginären conischen Knoten C,. Ausser

\€l

4

(weiss), wovon 5 reelle, 4 imaginäre Asymptoten-

der .durch 3, gehenden vierfach zu rechnenden

n

le

punkte besitzen

Die parabolische Curve be-

Geraden (grün), nach welcher sich die beiden

steht aus einem paaren Zug mit 4 Schleifen und

imaginären Hauptebenen daselbst

schneiden

D

IV

2 Ovalen. B, ist ein achtfacher Punkt derselben,

liegt noch eine die 2 imaginären. Knoten ver-

es gehen aber nur 4 reelle Aeste durch ihn

bindende vierfach zählende Gerade (roth) und

‚A

hindurch,

elche zu je zweien die beiden Haupt-

unendlich fern,

die beiden eben genannten

ebenen, nicht aber die Knotenstrahlen be-

schneidend, eine unäre Gerade auf ihr

Die

M

rühren, die in denselben liegen

Die Fläche

Fläche ist negativ gekrümmt

(13—16 cm.)

e

veranschaulicht die Entstehung des Ug aus dem

43

(VII. 14.) Fläche mit einem conischen

A

Bg durch Vereinigung seiner Ebenen, (10—15 cm.)

Knoten C, und einem biplanaren B,, welcher

A%3

39

(VIT. 11.) Fläche mit einem biplanaren

ein reelles Hauptebenenpaar besitzt und die

Knoten B, , dessen Hauptebenen conjugirt ima-

Classe um 5 erniedrigt

Die 2 Hauptebenen

ginär sind. Die parabolische Curve, welche im

gehen durch die zehnfach zählende grüne Ge-

Allgemeinen bei Flächen mit einem Ssolchen

rade, die eine berührt die Fläche längs derselben

Knoten eine aus 3 reellen Ovalen bestehende

und schneidet sie nach der fünffach zählenden

Curve ı2, Ordnung mit einem isolirten acht-

durch B, gehenden. weissen. die andere berührt

fachen Punkt im Knoten ist

degenerirt hier

längs der zehnfach zu rechnenden rothen Geraden

in eine ebene Curve dritter Ordnung und eine

Ausserdem liegt auf der Fläche noch die zwei-

Raumcurve neunter Ordnung. Die Fläche ent-

fache, durch C, gehende weisse Gerade

Ab-

hält nur mehr 3 reelle unäre Gerade mit reellen

gesehen von, als Theile der parabolischen Curve,

(12—15 cm.)

mehrfach zählenden Geraden (rothe fünffach

Asymptotenpunkten

40.* (VII. 9.) Fläche mit 3 reellen biplanaren

grüne vierfach), ist die parabolische Curve eine

A%T

Knoten B;, von denen jeder die Classe um

Curve dritter Ordnung, welche die erstgenannte

3 erniedrigt

und für welche sämmtlich

die

Hauptebene in 3, zur Schmiegungsebene be-

Tangentialebenenpaare reell sind

Die 3 ver-

sitzt und in C, die durch denselben gehende

weisse Gerade berührt

(13—15.)

schiedenen Hauptebenen gehen durch je 2 der

3 Knotenstrahlen, in welche je 4 Gerade hinein-

44

(VII. 15.) Fläche mit einem reellen co-

A%T7

A

gefallen sind, und osculiren die Fläche längs

nischen Knoten C, und einem biplanaren Bg

derselben

Die Fläche ist durchaus positiv ge-

mit reellem Hauptebenenpaar, der die Classen-

zahl um 6 reducirt

krümmt mit. Ausnahme

der Knotenstrahlen,

Beide Hauptebenen gehen

welche, jeder als Theil der parabolischen Curve

durch die fünfzehnfach zählende grüne Gerade ;

vierfach zählend, die parabolische Curve reprä-

die eine osculirt die Fläche längs derselben, die

sentiren. (11—15 cm.)

andere berührt längs der zwölffach zu rechnenden

rothen

Der zwischen

den. beiden Knoten-

‚4{/9 41.* (VII. 12.) Fläche mit einem biplanaren,

punkten liegende geschlossene Flächentheil ist

die Classe um 4 erniedrigenden Knoten B,

mit reellem Hauptebenenpaar und ausserdem

positiv gekrümmt, der andere negativ. (12-15 cm.)

noch 2 reellen conischen Knoten C,. Diejenigen

45

(VII. 16.) Fläche mit einem uniplanaren,

A%

die Classenzahl um 6 reducirenden Knoten Ug,

beiden grünen Geraden, welche 3, mit je einemn

der C, verbinden, zählen achtfach

die dritte

dessen Hauptebene die Fläche in 3 achtfach

zählenden rothen Geraden schneidet,

Sie ent-

grüne Gerade, in der sich die Hauptebenen von

4 Sschneiden, sechsfach; der rothe Knoten-

steht aus"Nr, 37 durch Zusammenziehen der 3

@

DE

strahl vierfach; die weisse Gerade ist unär und

Knotenpunkte in den Ug ; die 3 unären Geraden

enthält 2 reelle Asymptotenpunkte, Der zwischen

von Nr. 37 bleiben dabei erhalten und. besitzen

den 3 Knoten gelegene Flächentheil ist (mit

ebenfalls reelle Asymptotenpunkte

Im Allge-

32

e AlgebraischéFlächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung.

*

meinen, besitzt eine solche Fläche zur pafabo-

den, weissen Kegelschnittes (Kreis) gebildet und

lischen Curve eine solche sechster Ordnung,

ist, wie alle Regelflächen, von derselben Classe

welche die Form eines die 3 unären Geraden

wie Ordnung, d. h. hier der dritten.. Die grüne

berührenden Ovals besitzt,

Weil aber auf dem

Gerade durchsetzt die Ebene des Kreises hier

vorliegenden Modell diese 3 Geraden sich schnei-

in seinem Innern, (13—15 cm.)

den, verschwindet dieses Oval und die Fläche

50.* (VIT. 21.) Dasselbe, nur verläuft die $3

ist negativ gekrümmt. (12—15 cm.)

Doppelgerade zum Theil isolirt; sie verlässt die

reellen Flächentheile

\ 46.* (VIL 17.) Dasselbe, jedoch schneidet die

in 2. Zwickpunkten *),

A4y

Tangentialebene im uniplanaren Ug die Fläche

welche auf der Fläche durch den Durchschnitt

nur nach einer reellen rothen Geraden, Ausser

der 2 rothen Erzeugenden mit der Doppelge-

dieser enthält die Fläche nur noch eine reelle

raden markirt werden,

Diejenigen durch die

unäre Gerade (weiss), welche reelle Asymptoten-

grüne Gerade (hier ausserhalb des Kreises ver-

punkte besitzt,

Die parabolische Curve, im

laufend) gehenden 2 Ebenen, welche den Kreis

allgemeinen Fall eine aus 2 Ovalen bestehende,

berühren, liefern die 2 rothen Erzeugenden,

jeden Knotenstrahl in Ug berührende‘ Curve

(13—15 cm.)

Y

sechster Ordnung, ist hier in 2 ebene Curven

51.* (VIL. 22.) Cayley’sche Regelfläche dritter S

dritter Ordnung ausgeartet, von denen jede in

Ordnung. Die beiden Zwickpunkte der vorigen

Ug einen Rückkehrpunkt besitzt, (12—15cm.)

Fläche häben sich im unendlich fernen Punkt

A50

47-* (VIT. 18.) Fläche mit einem uniplanaren,

der Doppelgeraden vereinigt. Sie entsteht dann,

wenn die grüne (vergl. Nr. 49) Gerade den Kreis

die Classe um 7 reducirenden Knoten U,, dessen

Tangentialebene die Fläche längs der sechzehn-

trifft; diese Gerade wird dann zugleich die

d

Doppelgerade.‘ (13—15 cm.)

fach zählenden grünen Geraden berührt und

nach der zehnfachen rothen schneidet,

Die

52.* (VII. 23.) Dasselbe, Collineation der $

vorigen Fläche; der Kegelschnitt liegt im Un-

Tangentialebene längs der letzteren Geraden

enthält die einzige unäre Gerade der Fläche

endlichen. (13—15 cm.)

A

mit 2 reellen Asymptotenpunkten,

Die para-

53.* (VITI. 26.) Drahtmodell, Abbildung der

bolische Curve. ist, von den dazu gehörigen

Flächen mit 1, 2, 3, 4 conischen Knoten C,,

Geraden

abgesehen

(grüne sechsfach, rothe

welche einem reellen Penta@der angehören, auf ”.

doppelt), eine Curve vierter Ordnung, welche

den Punktraum, Im Allgemeinen lässt sich die

aus einem einzigen Oval besteht und in U,

Gleichung einer jeden Fläche dritter Ordnung

eine Spitze mit der grünen Geraden als Tan-

als die Summe von 5 Cuben von linearen Aus-

gente daselbst besitzt,

Durch diese Fläche

drücken in den Coordinaten darstellen ,

und

findet der Uebergang von Nr. 45 zu 46 statt,

zwar_ nur ‚auf. eine Weise,

Diese 5 Ebenen

(12—15 cm.)

bilden das zu dieser Fläche gehörige Penta&der,

sıe

bestimmen

AST

48.* (VIL. 19.) Fläche mit einem uniplanaren

10 Schnittgerade (Penta@der-

Knoten Ug, durch welche die Classenzahl um

kanten), und 10 Schnittpunkte (Penta&derecken) ;

8 vermindert wird. Die Tangentialebene in Ug

ausserdem gibt es noch 10 Ebenen, welche je

durch eine Penta@derecke und die gegenüber-

osculirt die Fläche längs der einzigen sieben-

undzwanzigfach zählenden Geraden, Sieht man

liegende Kante gehen (Diagonalebenen). Das

vorliegende Drahtmodell stellt nun schematisch

von dieser als Theil der parabolischen Curve

das allen Flächen‘ mit nur conischen Knoten

zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist die

(Nr. 30—37) gemeinsame Penta@der dar,

(Für

parabolische Curve ein Kegelschnitt, der in Ug

‚MS

die Gerade der Fläche berührt, (12—15 cm,)

die Diagonalfläche Nr, 30 lässt sich dasselbe

sofort / angeben.

Die 10 Ovalpunkte dieser

M

49.* (VIL. 20.) Regelfläche, deren Doppel-

A

gerade völlig von reellen Flächentheilen um-

*) So nennt man diejenigen Punkte einer

geben ist.

Sie wird (wie Nr. 50 und 571) durch

Doppelcurve, in welchen die beiden Tangential-

ebenen zusammenfallen; sie trennen im Allge-

die Verbindungsgeraden entsprechender Ele-

meinen ı die

isolirt verlaufenden Theile der

mente der grünen Geraden und des auf sie

Doppelcurve von den reellen und sind als” uni-

projectivisch bezogenen, auf der Fläche liegen-

planare Punkte zu betrachten,

—_

*

IT. Algebraische Flächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung; B. Cycliden, 33

ü

Fläche sind die 10 Eckpunkte des Pentaöders;

Schnittpunkte je einer rothen und weissen Ge-

die 5 Ebenen desselben sind diejenigen Ebenen

raden (3 davon liegen im Unendlichen).-' Auf der

welche je 3 nicht durch einen Punkt gehende

Hesse’schen Fläche liegen ferner 16 Geraden,

r

rothe Gerade enthalten; die 10 Diagonalebenen

längs welchen dieselbe Tangentialebene berührt,

sind _ die Tangentialebenen in den Ovalpunkten,)

Die gelben Drähte sind die Kanten des Pen-

I0 davon sind die Kanten des der zugehörigen

Sß

Fläche dritter Ordnung angehörenden Pentaöders

A

ta&ders (dazu gehört noch die in 'der Hori-

die 6 andern sind zugleich die 6 Knotenstrahlen

zontalebene gelegene, unendlich ferne Gerade),

der Fläche dritter Ordnung.

(Wird die obige

ihre Schnittpunkte (wovon 3 im Unendlichen)

die Ecken desselben ; die rothen Geraden Schnitte

Fläche als Hesse’sche Fläche von Nr. 31 ange-

sehen‚ so sind die rothen Geraden auf ihr die

von

Penta&der-

und Diagonalebenen ;

die

Knotenstrahlen

die grünen Pentaederkanten

grünen von Diagonalebenen mit einander

Die

für Nr. 32 verhält es sich umgekehrt). (21-25 cm.)

Diagonal- und Penta&derebenen theilen den Raum

55.*(VII.24 b.) Der durch die Knotenpunkte

ım ganzen in 15 Kammern, wovon 5 von 4 (Te-

ASA

tra&derkammern)

I0 von 5 Ebenen (Penta&der-

begrenzte ; endliche Theil der vorhergehenden

E

kammern) begrenzt werden

Fläche vergrössert und regelmässig angenommen

—

In jedem Pentaöder

gibt es im Allgemeinen nur eine einzige Fläche

Derselbe würde ein Theil der Hesse’schen Fläche

einer solchen Fläche. dritter Ordnung 'sein, _ für

welche in einem gegebenen Punkt einen Doppel-

punkt besitzt

Je nachdem nun dieser Punkt in

welche. das Tetra@der der Knotenpunkte ein

reguläres ist und bei der die Ebene der 3 unären

verschiedenen Kammern gewählt wird, gibt es

e

verschiedene Arten von Flächen dritter Ordnung,

(weissen) Geraden im Unendlichen liegt. (13-16 cm,)

die durch die römischen Zahlen im Modell ge-

kennzeichnet sind, Ausser der beiliegenden Er-

klärung, von Rodenberg verfasst vergleiche dessen

V

Abhandlung in den Mathem. Annalen Bd 14,

pag. 46 ff.; bezüglich des Pentaöders ferner die

M

Abhandlung von Clebsch im Crelle’schen Journal

l

f

H

Bd. 59, pag. 194 ff. ; ferner Salmon Fiedler, Geom

des Raumes

IL, Theil, Art. 269,

82. 2. Aufl

=

(14—22 cm.)

|

S

\

i

V

/

|

|

:ZE8

H

(

I

Al

d

56.* (VIL.25.) Hesse’sche Fläche zu Nr. 36, ASS

F

aus Zweckmässigkeitsgründen ‚in etwas andern

k A KFE - PE

Dimensionen modellirt, Sie besitzt 13 reelle Kno-

ten, davon 3 im Unendlichen; ferner ı 3 Gerade,

W:

10 davon sind die Kanten des Penta@ders (eine

ist unendlich fern), 3 die Knotenstrahlen der ihr

A

zugehörenden Fläche dritter Ordnung. (21 25 cm.,)

SE E

'/45'6 54.* (VIL. 24 a.) Hesse’sche Fläche zu Nr. 3

und 32. Sie ist eine Fläche vierter Ordnung mit

14 reellen Doppelpunkten, von denen im vor-

B. Cycliden.

)

liegenden Fall 3 im Unendlichen liegen. In den

Unter Cycliden im allgemeinen Sinn (nach

4 Knotenpunkten der Fläche dritter Ordnung

Darboux) versteht man alle diejenigen Flächen

(Nr. 31), welche zugleich der Hesse’schen Fläche

vierter Ordnung

welche den unendlich fernen

nn m—

angehören, kommen noch diejenigen 10 Knoten

imaginären Kugelkreis zur Doppelcurve haben

hinzu, welche in den 10 Eckpunkten des ihr

deren

Sie sind die Enveloppen aller Kugeln

UE

zugehörigen Penta&ders liegen; 6 davon sind die

Mittelpunkte auf ’einer, Fläche zweiten Grades

3

‘

34

II. Algebraische Flächen höheren Grades: B. Cycliden,

liegen und eine gegebene Kugel stets orthogonal

60. (V.xvıb.) Horncyclide. Sie besitzt neben A

2 imaginären

2

2

schneiden,

Sie besitzen zwei Schaaren von

reelle Knotenpunkte, ; welche 4$

Kr

isen, den beiden Schaaren von Erzeugenden

2 aus einander liegende Flächenmäntel vereinigen ;

der

X

Jächen zweiter Ordnung entsprechend, doch

die‘ aufgezeichneten Kreise sind Krümmungs-

sind ‚dieselben nicht nothwendig zugleich Krüm-

linien.

(19-—6cm.) .

11505

mungslinien; die Krümmungslinien sind im All-

gemeinen vielmehr höhere algebraische Curven,

Z

Diese Flächen können bis zu 4 Knotenpunkte

enthalten, Die Flächen mit 1, 2, 3, 4 Doppel-

}

D

Z

punkten erhält man auch durch Transformation

mittelst reciproker. Radien beziehungsweise aus

folgenden Flächen zweiter Ordnung:

a) allge-

meine Fläche zweiter Ordnung,

b) beliebiger

61. (V.xvıc.) Spindelcyclide, Sie besitzt neben

Kegel, c) Rotationsfläche , d) Kreiskegel. Da

D

z

die Krümmungslinien dabei erhalten bleiben,

2

imaginären

2

reelle Knotenpunkte,

welche

23

2 ineinander liegende Flächenmäntel vereinigen ;

und Gerade und Kreise im Allgemeinen in Kreise,

1/

Ebenen und Kugeln in Kugeln übergeführt wer-

die aufgezeichneten Kreise sind Krümmungs-

linien,

(12-9 cm.)

M 6.50.

den,.so besteht im Falle b) und c) das eine

A

A

System von Krümmungslinien aus Kreisen, die

62. (V. xvıd.) ‚Parabolische Horncyclide, Sie;4 ; .1Ä8’

sich in 2 Doppelpunkten der Fläche schneiden,

besitzt 2 reelle Kinotenpunkte, welche durch ,Z‚5 ‚

das andre wird durch Kugeln ausgeschnitten

eine auf der Fläche liegende Gerade verbunden

(ist sphärisch).

Im Falle d) sind die beiden

sind; die 2 imaginären Knotenpunkte liegen

ebenfalls auf einer zur ersten senkrechten Ge-

Kreisschaaren, welche aus den Erzeugenden resp.

Parallelkreisen des Rotationskegels sich ergeben,

raden; die Fläche ist blos dritter Ordnung (die

von denen die ersteren sich in den 2 reellen,

reelle unendlich ferne Ebene sondert sich ab).

die anderen in den 2 imaginären Knotenpunkten

(15—11 cm.)

. M.11.50.

sich schneiden, zugleich Krümmungslinien, Man

63. (X., I.N.,5.) Parabolische Ringcyclide. Bei

nennt diese letzteren Dupin’sche Cycliden, Die-

ihr sind alle 4 Knotenpunkte imaginär, die Ver-

selben ergeben sich auch als Enveloppen aller

bindungsgeraden beider Paare, welche ganz auf

Kugeln, welche .3 gegebene berühren.

Vergl.,

;

der Fläche liegen, dagegen reell. Ausser diesen

die Abhandlung von Maxwell in Quart, Journ.

befinden sich noch 2 sich schneidende Gerade

of Math. Bd. 9, pag. 111, sowie Salmon-Fiedler,

und eine unendlich ferne auf der Fläche, die

Geometrie des Raumes, II. Theil, Art. 313—323

Die aufgezeich-

(2. Aufl.).

von der dritten Ordnung ist,

neten Curven (Kreise) sind Krümmungslinien,

57—63..Dupin’sche Cycliden. Sie wurden

Die Fläche enthält, wie Nr. 62, den unendlich

mit Ausnahme von Nr, 58; 59 und 63 von Assistent

fernen imaginären. Kugelkreis nur mehr einfach,

NN

Dr. P. Vogel mogellirt.

es sondert sich die unendlich ferne Ebene als ein

57. (V. xvıa.) Ringceyclide mit 4 imaginären

Bestandtheil ab. Von stud, math. Finsterwalder.

ALS

M.10.5—

Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche Wulst-

Erklärung beigegeben,

(18—12 cm.)

fläche ein specieller Fall).

Die aufgezeichneten

2 Kreisschaaren

sind

die Krümmungslinien,

Die 3 folgenden Flächen (Nr. 64, 65, 66; X A

(17—6 cm.)

M.9. —.

ILN., xxvın.) sind Cycliden im weiteren /Ä/? |

Sinn mit 3, beziehungsweise 2 Knotenpunkten —

AB6

58. 59. (IX. 7 u. 8.) Dasselbe in zwei verschie-

denen Verhältnissen,

Auf beiden sind ausser

und wurden von stud, math, Finsterwalder ge-/1f7

fertigt. Erläuterung beigegeben.

437

den Krümmungslinien noch Schnittcurven meh-

Preis zusammen M, 12. —

rerer doppelt berührender Ebenen aufgezeichnet,

64. Fläche mit 2 conjugirt imaginären Doppel-

Diese beiden Modelle sind Abgüsse der im Be-

sitze des mathematischen Seminars in Berlin

punkten. (10—7 cm.)

befindlichen ‘von Herrn Kummer angefertigten

65. Fläche mit 2 conjugirt imaginären Doppel-

Originale, (12—5 u. 9 - 6 cm.)

M 12.—.

punkten und einem reellen. (10—5 cm.)

IT. Algebraische flächen höheren Grades: C, Kummer’sche Flächen; D, Flächen 4. Ordnung, 35

4 {

66. Fläche mit einem uniplanaren Knoten,

Ü

der durch Zusammenziehung der 3 Knoten ent-

D. Serie von Flächen 4, Ordnung

mit 4 längs Kreisen berührenden

steht.

Ebenen.

X

Die beiden letzteren Flächen sind Orthoéonal—

flächen desjenigen Strahlensystems, welches durch

79—75. (IX.. 1—6.) Diese Modelle sind Copien

nach den im Besitze des mathematischen Semi-

Reflexion eines Strahlenbüschels an einem un-

A

Im Falle

nares. der k. Universität zu Berlin- befindlichen

endlich dünnen Kreisringe entsteht,

730

65. liegt der leuchtende Punkt ausserhalb des

S

Originalen, von Herrn Kummer besprochen in

den Monatsberichten der k. Akademie der Wis-

Kreises in der Ebene desselben, im Falle 66.

auf dem Kreise selbst.

senschaften zu Berlin von 1862, 1866, 1872,

(Abdrücke beigelegt.)

Die. 3 Flächen

sind Repräsentanten von

Flächen vierter Ordnung, für die ein Mantel

Die Gleichung aller. dieser Flächen lässt sich

in die Form bringen':

der Centrafläche sich auf einen Kreis reducirt,

— 1pgqgrs=0, wo

@ die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung ;

$

D,gq,r,s die von 4 Ebenen bedeuten; es sind

C. Kummer’sche Flächen.

dies diejenigen 4 Tangentialebenen, welche die

Flächen längs einer Curve berühren, Die 4 Ebenen

266

Die Kummersche Fläche (Singularitätenfläche

bilden in den Modellen ein reguläres Tetraeder :

4 ‘

eines Complexes, zweiten Grades) ist von der

268

vierten Ordnung und von der vierten Classe

2=

%+

C Ar 2

S

—-

und besitzt 16 Knotenpunkte und ebensoviele

—x+y—z—a

Doppeltangentialebenen , welche je 6 Knoten-

r

—xX—y+z—a

punkte enthalten,

Vergl. Kummer, Abhand-

D

S

G

lungen der Berliner Akademie von 1866 pag.62ff. ;

und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten desselben

Plückers Werk: Neue Geometrie des Raumes ete.,

mit der Fläche zweiter Ordnung, einer Kugel,

Leipzig 1868; Salmon: Geometrie des Raumes

IT. pag. 411—414, sowie Kapitel XII,

deren Mittelpunkt mit dem des Tetraöders zu-

sammenfällt und deren Gleichung daher ist:

z

67. (II. vıa.) Alle 16 Knotenpunkte und Dop-

P

+F,

peltangentialebenen sind reell. (22—19 cm.) M6 24.

sind Knotenpunkte

der

dargestellten Fläche

vierter Ordnung.

Je nach der Annahme des

Radius der Kugel 7 und des Parameters 2 (das

Tetraöder als gegeben ‚betrachtet) erhält man

N

AA

verschiedene Typen, von ‚denen die charakte-

ßä

ristischen modellirt sind,

z

70. (IX. 1.) Die Fläche besteht aus. 4 con- d“

|

gruenten Theilen, die in 6 biplanaren Knoten-

430

T

punkten zusammenhängen.

Die

>

2

Tangential-

ebenen in jedem solchen Punkt sind reell und

A

berühren. die Fläche in Kreisen.

Sie entsteht,

68.(II. vıb.) 8 der Knotenpunkte und Doppel-

indem die Kugel die Kanten. des‘ Tetraöders

M

tangentialebenen sind reell, (30—20 cm.) M, 28. —

berührt, d. h. indem a=r7, 1<o.

Die aufge-

\

69. (IT. vıc.) 4 der 16 Knotenpunkte und Dop-

zeichneten Curven sind die Kegelschnittpaare,

(

nach welchen die Fläche von jeder Tetraöder-

peltangentialebenen sind reell, (20-16 cm.) . 18.—.

fläche geschnitten wird, Die biplanaren Knoten

Alle 3 Modelle wurden von stud, math. Rohn

besitzen hier die Eigenthümlichkeit, dass in den-

modellirt; Erläuterungen hierzu beigegeben. Zu

selben jede durch den Schnitt der beiden Tan-

den Kummer’schen Flächen ist ferner noch die

gentialebenen gehende Ebene die Fläche nach

unter Nr. VI. aufgeführte Wellenfläche zu rechnen

einer Curve mit Berührpunkt statt mit Spitze

(Nr. 159 und 161).

schneidet, (11-—1I cm.)

. M 17.—.

9*

36 11. Algebraische Flächen höheren Grades: D. Flächen 4. Ordng.; E, Flächen 4. u. höherer Ordng.

71.(IX.2.) Wie oben,

In den biplanaren

E. Diverse algebraische Flächen

A

Knotenpunkten sind jedoch die Tangentialebenen

vierter und höherer Ordnung.

/

imaginär; man erhält sie, wenn man a = ”7 setzt

76. (IX. 9.) Fläche vierter Ordnung mit einer /4

und 21>0 wählt. (10—10 cm.)

. M.19. —.

Auf derselben liegen 2 Zwick-

Doppelgeraden.,

AM32

72. (IX.3.) Römische Fläche von Steiner.

punkte und ein 3 facher Punkt, Durchstosspunkt

/38

Man erhält sie, indem man a =7, 1= I Setzt.

der. Doppelgeraden mit der Fläche, Alle durch

Sie besitzt 3 sich schneidende Doppelgerade und

diese Gerade gelegten Ebenen schneiden die

ist von der dritten Classe. (10—10cm.) M.8.—.

Fläche nach Kreisen.

Die Fläche ist der geo-

A

metrische Ort der Krümmungskreise sämmtlicher

A

Ul

Normalschnitte in einem gewöhnlichen Punkte

Z

(positiver Krümmung) einer beliebigen Fläche.

A

(Vergl. Salmon-Fiedler, Geometrie des Raumes,

IL, Theil, 2. Aufl, Cap. VI.$. 308. (9—3 cm.) M 6.—.

N

Abguss nach einem von Herrn Kummer an-

'Ul)

ıy

gefertigten und in dem Besitze des mathema-

tischen Seminars der Berliner Universität befind-

lichen Modell.

Ar33

73.(1X.4.) Fläche aus 10 (6 und 4 je unter sich

77.(X., I. N., 4.) Fläche vierter Ordnung mit 2

congruenten) Theilen bestehend, welche in 12

sich schneidenden Doppelgeraden (böhmisches

conischen Knotenpunkten zusammenhängen ;

Gewölbe).

Sie besitzt auf jeder der Doppel-

geraden 2 Zwickpunkte, einen einfachen Selbst-

©a

berührungspunkt, 4 nach Kreisen berührende

(11-— 11 cm,) .

2>o‚'

. M.23. —.

Tangentialebenen und entsteht dadurch, dass

man den Mittelpunkt eines Kreises auf einem

74 (1X. 5.)

Fläché‚ bestehend aus 6‘ con-

andern von gleichem Radius fortrücken lässt,

_Ä'/34

gruenten Theilen, welche in 4 uniplanaren Knoten

wobei die Ebene des beweglichen Kreises stets

zusammenhängen,

Die Kugel geht durch die

zu sich parallel und senkrecht zur Ebene des

Ecken des Tetra@ders, die 3 Knoten der drei-

festen vom Mittelpunkt des beweglichen durch-

zipfligen Theile der vorigen Fläche vereinigen

laufenen bleibt,

Von stud, math, Finsterwalder,

sich zu einem uniplanaren. Man erhält sie ‚für :

(6—10 cm.)

M. 3. 50.

Man nie c

r=aV2, 1>0. (10—10cm,).

. M.21. —.

=

S

Z

Al

\

Z“

78.(X.,1L.N., xxıx.) Fläche achter Ordnung, Sie A

besitzt 2 zu einander senkrechte, sich schnei-

RLD

LA Y

%

dende Selbstberührungsgerade, von denen jede

in 2 uniplanaren Punkten höherer Ordnung

nd aus 4 Ccon-

(durch Zusammenziehen. von 2 Zwickpunkten

\\iä 75. (IX. 6.) Fläd%e, bestehe

entstanden) aus ihr heraustritt, 2 congruente

gruenten Theilen, die in 4 uniplanaren Knoten

ebene Doppelcurven vierter Ordnung, die im

zusammenhängen, Man erhält sie für > = a V2,

Mittelpunkt (hohe Singularität) einen Selbstbe-

2 <o. (12—12.)

. M.23. —.

rührungspunkt besitzen und aus der Fläche in

Diesen Modellen ist als Erläuterung ein Ab-

zusammen 8 Zwickpunkten heraustreten, endlich

2 Doppeltangentialebenen, welche die Fläche

druck der in den Berliner Akademieberichten

Sie entsteht

vom Jahre 1863, 1866, 1872 erschienenen Ab-

Jlängs zweier Kreise berühren,

durch die Bewegung eines Kreises von unver-

handlungen von Prof, Kummer über diesen

änderlichem Radius dadurch, dass die End-

Gegenstand beigegeben,

HI. Transcendente Flächen.

37

punkte eines Durchmessers desselben stets auf

angesehen werden als ein Theil der Brennfläche

2 zu einander senkrechten Geraden gleiten (die

der von einer leuchtenden Linie ausgehenden

beiden Selbstberührungsgeraden), während die

Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder

’

dessen Axe die Linie trifft,

Die Fläche besitzt

Ebene des beweglichen Kreises stets auf der-

jenigen der beiden Geraden senkrecht steht. Die

als Rückkehrkanten 2 sich in einem Punkte be-

M

genannte Fläche enthält den unendlich fernen

rührende gleichseitige Hyperbeln und eine wei-

imaginären Kugelkreis als Doppelcurve.

Von

tere Raumcurve, die sich selbst und die Hy-

stud. math. Finsterwalder, (7—5 cm.)

M 4. —.

perbeln in dem: genannten Punkt berührt, Von

stud. math. Finsterwalder, hierzu eine Erläute-

A

79. (VIIT. xx11.) Fläche zwölfter Ordnung, Ihre

Horizontalschnitte sind solche Brennlinien, wie

rung. (20—15 cm.)

.

. M.15. —.

62

sie durch Reflexion eines‘ von einem Punkt aus-

Dahin gehören ferner die unter V,C, auf-

gehenden Strahlenbüschels an einem Kreise ent-

geführten algebraischen Flächen, und zwar die

stehen,

Dieselben sind so auf, einander ge-

Minimalfläche neunter Ordnung (Nr. 147), einige

schichtet, dass die reflectirenden Kreise einen

der

Rotationsflächen

mit/ Asymptotencurven

Kreiscylinder bilden, während die leuchtenden

(Nr. 113—-117, 119—122) und die Krümmungs-

centraflächen

des Paraboloides Nr. 157,

des

Punkte eine um 45° gegen die Horizontalebene

geneigte Gerade ausfüllen,

Die Fläche kann

Hyperboloides Nr. 160.,

n s

III. Transcendente Flächen.

2? <ı transformiren, am besten 2?=

Es

E ILEL Z

ergibt sich dann, dass im Intervall %? > ı das

Modell in vertikaler Richtung sich nicht in’s

Unendliche erstreckt, sondern eine endliche Höhe

besitzt, die um so kleiner wird, je grösser £? ist,

(

.

Z

Modellirt und mit, einer Erläuterung versehen

von

studd. math. Th.. Kuen und Chr, Wolff,

F==—=>—

(35— 19 cm.)

. M.18.—.

Sie

81. (VIII. xxıv.) Röhrenschraubenfläche,

A64

ist die Enyveloppe aller Kugeln von.constantem

A

0, (V. xu.) Darstellung der elliptischen Func-

Radius, deren Centra auf einer Schraubenlinie

liegen.

Das eine System der Krümmungslinien

21

tion8

@==am (

£) durch eine Fläche, @ wurde

besteht aus den zur mittleren. Schraubenlinie

vertikal, £ und ‚x horizontal aufgetragen (Mass-

senkrechten Kreisen, das andere aus transcen-

stab für Z-Achse wurde %mal so gross als der

für die 2 andern Grössen genommen). Für £? < ı

denten Curven (weiss), die jedoch nicht Schrau-

%

benlinien wie die blau gezeichneten sind, Das

genügen zur Construction des Modelles die Le-

gendre’schen‘ Tabellen, und in diesem Intervall

Problem führt auf Kreisfunctionen, die Asymp-

totencurven führen dagegen auf elliptische Func-

erstreckt sich die Fläche auch in vertikaler Rich-

tionen,

ä

tung in’s Unendliche,

Zur Construction des

Von Assistent Th. Kuen, dazu eine

Erläuterung. (20—30 cm.)

. M 13 —.

Modells für die Werthe %? > ı muss man das

elliptische Integral :

Andere dieser Rubrik angehörige Flächen

d

finden sich unter V.A. Nr. 118, 123, I24, die

sämmtlichen Flächen unter V. 8., von Ellipsoiden

„;j0"’

V ı— R sin? @

und Kugeln abgesehen, und unter V, c, Nr, 140

f

auf ein anderes solches Integral mit einem Modul

45

38

IV, Raumcurven,

IV. Raumcurven.

VE

DE

Sa

e m

C

z

£E

Paweie

Y

SA Z

‘t

/

m

Z

Z

|

JEETTEETTHETENETTENTENTTTENE

{l

lr

ET TE

üın

Beschreibt ein Punkt (P) eine unebene Raum-

91. Erster. Fall:

Die Curve liegt auf vier

curve, so bewegt sich im Allgemeinen zugleich

reellen Kegeln, Darstellung der Curve als Schnitt

%l

seine Tangente und die Schmiegungsebene, Dabei

dieser Kegel,

M.a10. —.

kann es sich ereignen, dass von den 3 Elementen

92. Desgl. :

Die abwickelbare Fläche der

eines oder 2 oder alle 3 stationär werden. Den

. M 110. —.

die hierbei eintreten

Tangenten der Curve

8 verschiedenen Fällen,

können, entsprechen 8 Typen eines Elementes

S

ME

Hia

Z

einer Raumcurve mit im Allgemeinen singulärem

‚w

0

Verhalten,

Vergl. Ausführung zur 10, Serie im

av

|f"‘

F

I. Theil dieses Cataloges.

:„[

S

82—89. (XI.) Modelle (aus Draht) der_ eben

\

138

genannten 8 Typen von Prof, Wiener in Carls-

=—=—®

/

S

ruhe, (I‚I_'I7 cm.)

zusammen M, 45. —.

146

f

00 (Vdxix a D:, d

Die

Raumcurven

ıl

\DATS

|

VZZ

S

SSS

:

Mit0l Marn Zenk PE

gu

B

dritter Ordnung auf Cylindern zweiter Ordnung.

Je nachdem die unendlich ferne Ebene einer

28

93. Zweiter Fall: . Die Curve liegt auf zwei

solchen Curve in einem reellen, oder in 3 reellen,

oder in einem reellen und 2 zusammenfallenden

reellen und zwei imaginären Kegeln,

Darstel-

lung als Schnitt jener beiden. Das Modell zeigt

(Berührung), oder endlich in 3 zusammenfallenden

4

(Osculation) Punkten getroffen wird, unterscheidet

zugleich die abwickelbare Fläche ihrer Tan-

genten

. M.110.—.

man 4 verschiedene Typen, welche beziehungs-

weise cubische Ellipse, Hyperbel, cubisch-hyper-

G

bolische Parabel und cubische Parabel genannt

1

%.

N

S

{

N

iY

%.

L

werden, und die auf elliptischen, hyperbolischen

M

(darauf befindet sich sowohl die Hyperbel als

N

D

V

I

auch die cubisch - hyperbolische Parabel) und

ll

W

parabolischen Cylindern liegen. Vergl. Salmon-

X

Y

Fiedler, Geom. des Raumes, II. Theil, pag. 88 f£,

N

(2. Aufl.) Von stud, math. Lange modellirt und

0

N

ß

Z

N

U

W

errn ran ealrnnn

mit einer Erläuterung versehen,

(7—10 cm.)

äl

il

A

V LA

d

i

S

@N

\

zusammen M, 18. —.

Die Curve liegt auf vier

91—094. (XIT. 1—4.) Vier Fadenmodelle zu

94. Dritter Fall:

der Raumcurve vierter- Ordnung erster Art und

imaginären Kegeln,

Darstellung als Schnitt

ihrer abwickelbaren Fläche,

Von Dr. Hermann

Das Modell

zweier geradliniger Hyperboloide.

Wiener in Carlsruhe.

Vergl. die Beschreibung

zeigt zugleich die abwickelbare Fläche der Tan-

auf S, 24 —27 des Catalogs,

genten

M 70. —.

N Krümmupg d. Flächen: A. Krümmungslinien, Asymptotencurven u, geod, Linien auf Flächen, 39

V. Krümmung der Flächen.

A, Krümmungslinien, Asymptoten- |

97. (IIT. 7.) Einschaliges Hyperboloid mit Krüm-

curven”)und geodätische Linien auf mungslinien (vergl. Bemerkung zu Nr. 95). (23—

M

Flächen.

Z

3 cm.)

MLE

|

95—101. Krümmungslinien von Flächen zwei-

98. (III. 18.)

Elliptischer Kegel mit Krüm-

ter Ordnung. Modellirt von R. Diesel, Stud. der

mungslinien.. Die eine Schaar von Krümmungs-

278

techn. Hochschule München,

Nebst zwei erläu-

Jinien sind hier die Erzeugenden, die andern

ternden Abhandlungen.

sphärische Curven; sie werden durch einen End-

95. (IIT. 2.) Ellipsoid mit den beiden Schaaren

punkt eines Fadens beschrieben, dessen anderer

A

(78

von Krümmungslinien. Die Hyperboloide . erster

Endpunkt in der Spitze befestigt.ist, Dieser Kegel

ist Asymptotenkegel zu 97 und 99.

(23—13 cm.)

und zweiter Art, welche mit dem Ellipsoid zu

demselben ‘confocalen Flächensystem

gehören,

M 5.60:

schneiden aus ihm die Krümmungslinien aus (die

IN

N

Schnittcurven

eines confocalen , Flächensystems

N

N

sind für alle 3 Schaaren Krümmungslinien). Man

E&

\

\

kann diese Curven auch dadurch erhalten, dass

JE

man in 2 von den 4 Nabelpunkten (den Berühr-

£]

punkten der zu den Kreisschnitten parallelen

Tangentialebenen) die Endpunkte eines Fadens

befestigt und ihn vermittelst eines Stiftes anspannt.

99. (IIT. 9.)

Zweischaliges Hyperboloid mit

Tässt man den Stift sich bewegen, so beschreibt

er eine Krümmungslinie,

Axenverhältniss des

Krümmungslinien,

Es besitzt 4 reelle Nabel-

Z

punkte, Das eine System von Krümmungslinien,

Ellipsoids \/37 VE grosse Halbaxe 5 cm.

(10—6 cm.)

M.2.80.

das aus der Fläche durch die Ellipsoide des zu-

gehörigen confocalen Systems ausgeschnitten wird,

96. (IIT. 4.) Dasselbe, grosse Halbaxe 9 cm.

kann durch dieselbe Fadenconstruction -wie beim

(18—11 cm.)

M6.6.80.

Ellipsoid construirt werden, das andere durch die

V

—

einschaligen Hyperboloide ausgeschnittene aber

M 16. 40.

nicht. (23—13 cm.)

%

e

.

4

S

}

J

P

7

p

"’." +

Z

-

OE

*) Eine Asymptoten- oder Haupttangenten-

curve ist eine [übrigens nur für die sattelförmigen

-d, h, convex-concaven (negativ-gekrümmten) Par-

+\*

Dn

tien der Fläche reelle] Linie, längs deren jede

In

Tangente in 3 consecutiven Punkten trifft,

solchen Partien ist demnach die Fläche von 2 Sy-

a

stemen Asymptoten - Curven überdeckt, welche

nn

m— ON

d

IS

im Allg. nicht, wie die beiden Systeme von Krüm-

mungslinien , allenthalben auf einander senkrecht

A

stehen, deren Winkel jedoch überall. von den

100, (IIT. 12.) Elliptisches Paraboloid mit Krüm-

Elementen der Krümmungslinien halbirt werden.

mungslinien. Diese Curven schlingen sich um die

274

- A

Die Asymptotencurven stehen nur senkrecht bei

solchen Flächen, für welche die Indicatrix allent-

2 reellen Nabelpunkte de$selben; das geschlossene

System lässt sich durch die beim Ellipsoid ange-

halben eine gleichseitige Hyperbel ist, d, h, bei

Diese Fläche

den Minimalflächen,

gebene Fadenconstruction finden.

V

40 V Krümmung d, Flächen: A, Krümmuﬁgsﬁnien, Asy@ptotencurven u. geod, Linien auf Flächen,

géhört ebenfalls einem dreifach orthogonalén Sy-

Systemen solcher, welche von einem Punkt aus-

X

2

M

2

gehen.

Diejenigen geodätischen Linien, welche

SM OE

+22=12),

2

stem an _ [Gleichung: Ara +

B

die ‘ symmetrisch gestaltete der

2

rothen , vier-

spitzigen. Curven umhüllen, kommen von einem

das 2 Systeme von elliptischen Paraboloiden, eines

nach der positiven, das andere nach der negativen

Punkte 4 des Aequators, diejenigen, welche die

andere rothe Curve berühren, von einem auf einem

°Seite der z-Axe geöffnet, und ein System hyper-

bolischer Paraboloide enthält,

Die Durchdring-

Parallelkreis gelegenen Punkte 4,. 2 der 4 Spitzen

ungscurven dieser Flächen sind Krümmungslinien

der zu 4, gehörigen Enveloppe liegen selbstver-

derselben, (12—20 cm.)

Y

M6.6.80.

ständlich in dem durch 4, gehenden Meridian,

die 2 andern aufdem zum Parallelkreis durch A,

symmetrisch gelegenen Parallelkreis und zugleich

auf der ‚geodätischen Linie, welche in 4, den

Parallelkreis durch 4, berührt. (Vergl. Nr. 106,)

(12—8 cm.) .

M.6.50.

105.*(X., II.N., xxx11C.) Dasselbe in grösserem

?

Massstab. Die von einem Punkt A ausgehenden

76

geodätischen Linien bilden eine Enveloppe, die

von einem' in A befestigten Faden umhüllt wird,

1

(18—12 cm.)

106.* (V. xvın b.) Sphäroid (abgéplattetés Ro-

tationsellipsoid) mit geodätischen Linien und En-

A

101, (IIT. 16.) Hyperbolisches Paraboloid mit

Krümmungslinien (vergl. Bemerkung zu der vor-

veloppen von Systemen solcher, welche von einem

47

Punkt ausgehen. Die Bedeutung und Gestalt der

hergehenden Fläche). (16—12 cm.)

M 4.70.

ä

Curven wie in Nr. 104. (10—7 cm.)

M.6. 50.

Hieher gehören ferner die unter II. 3. aufge-

107.* (X., II.N., xxx11b.) Dasselbe, grösserer

|

führten Cycliden, deren Krümmungslinien be-

kannt sind, die unter III. als Nr. 81 aufgeführte

Massstab. Durch einen im Punkte A befestigten

168

Röhrenschraubenfläche

und die

Bianchi’sche

Faden kann man die Erzeugung der Enveloppen

Fläche V.8. Nr. 136.

demonstriren. (18—13 cm.)

102. (I. ıy.) Geodätische Linien auf dem ver-

108,* (X., II.N., xxx11a.) Dreiaxiges Ellipsoid

A13

nebst Andeutung der Enveloppe von geodätischen

längerten Rotationsellipsoid, Das Problem führt

767 M

auf elliptische Functionen,

Es sind 3 Linien

Linien, welche von einem Punkt ausgehen. Durch

den Ausgangspunkt der geodätischen Linien gehen

(roth, blau, violett) aufgezeichnet. Construirt und

4r

mit Erklärung versehen von stud, math. Rohn.

2 Krümmungslinien ; die 4 Spitzen der Enveloppe

(auch hier ist, sie ein vierspitziger Curvenzug)

(18—12 cm.)

M.6. —.

liegen zu je zweien auf denjenigen Krümmungs-

103. (I. v.) Geodätische Linien durch die Nabel-

linien, welche zu den durch den Ausgangspunkt

AlU

punkte (siehe Bemerkung zu Nr. 95) eines drei-

gehenden. beiden symmetrisch liegen.

(Vergl.

b

axigen Ellipsoides,

Das Problem führt

auf

Dr. A, von Braunmühl’s Abhandlung in den

elliptische Funktionen,

Eine geodätische Linie

Mathem. Annalen, Bd, 20, pag. 557 ff.) (19-11cm.)

durch den einen Nabelpunkt geht stets auch

Nr..105, 107 u. 108 zusammmen M, 14. —.

durch den ihm gegenüber liegenden und nähert

sich. nach einer’Richtung asymptotisch demjenigen

Die Modelle Nr. 104 bis 108 wurden von

Dr. A, von Braunmühl construirt. (Vergl. dessen

Hauptschnitt, der durch die beiden Nabelpunkte

geht.

(Vergl. Salmon - Fiedler, Raumgeometrie

Abhandlung in den. Mathem, Annalen Bd., 14,

pag. 553 ff. und Bd. 20.). Erläuterung beigegeben,

IT. Theil, 2. Auflage, pag. 167 ff. Berechnet und

construirt von stud, math. Rohn.

Erläuterung

109.*(X., I.N., 2 b.) Modell zu Staude’s Faden-

2

”

beigegeben. (19-—11 cm.)

M 6, —.

construction des Ellipsoides aus

2

gegebenen con-

focalen Flächen zweiten Grades,

Wenn ein ge-

104. (V. xvın a.) Verlängertes Rotationsellipsoid

A

m

it geodätischen Linien und Enveloppen vor:| schlossener unausdehnbarer Faden, der um zwei

f8}

V. Krümmung d, Flächen: A. Krümmungslinien, Asymptotencurven u, geod; Linien auf Flächen, 41

ineinandergefügte confocale Flächen, ein Ellip-

Scheiteltangente.,

Gleichung der Fläche:

soid und ein einschaliges Hyperboloid, herum-

UE

W=VAÄFLy),

geschlungen ist, durch einen beweglichen Punkt

der Projection der Asymptotencurven in Polar-

derart gespannt wird, dass er beständig jeden

coordinaten: @ =

1}_logr. (19—13cm.)

der beiden durch das Ellipsoid getrennten Theile

des Hyperboloides berührt

(sei es in einem

114.* (X., IL1.N., xxx b.) Rotationsfläche , ent-

Punkt oder längs eines ganzen Curvenzugs), so

standen durch Umdrehung der cubischen Parabel

[$$

beschreibt der Punkt ein den gegebenen Flächen

um ihre Wendetangente,

Gleichung der Fläche:

confocales Ellipsoid.

Der rothe Faden legt sich

z =27r7, der Projection der Asymtotencurven

an beide Theile des Hyperboloides längs eines

in Polarcoordinaten: p = Vg log7. (14—14 cm.)

Theiles der Schnittcurve an (erster Fall), der andere,

115.* (X., IL.N., xxxf.) Rotationsfläche, ent-

gelbe, nur an den einen Theil, berührt dagegen

den andern nur in einem Punkt (zweiter Fall).

standen durch Umdrehung der Neil’schen Parabel

um ihre Rückkehrtangente, Gleichung der Fläche :

767

(20—9 cm.)

110.*(X., I.N.; 22.)

29 — 25r%, der Projection der Asymptotencurven

Modell (aus Draht) zu

in Polarcoordinaten: #= Vi1logr. (14—17 cm.)

A

Staude’s Fadenconstruction des Ellipsoides aus den

7

2 Focalcurven des zum Ellipsoid gehörigen con-

116,*(X., IL.N., xxx d.) Rotationsfläche , ent-

focalen Flächensystems. (Specieller Fall der vorigen

standen durch Umdrehung der gleichseitigen Hy-

760

Erzeugungsweise). Der Apparat gestattet nur. das

perbel um eine ihrer Asymptoten. Gleichung der

obere vordere Viertel des Ellipsoides zu con-

Fläche z.7=6, der Projection der _Asymptoten-

struiren; dabei muss sich der Faden von unten

Z

curven in Polarcoordinaten: @ =—

21logr. (15—

an die Ellipse, von hinten an die Hyperbel an-

16 cm.)

legen.

Die . Länge des Fadens: ist gleich der

grössten Axe des Ellipsoides, vermehrt um die

117.* (X., II. N., xxxc.) Rotationsfläche, deren

Gleichung ist:

7?=8. Gleichung der Asymp-

1764

Differenz der Excentricität der Ellipse und Hy-

perbel. (20—10 cm.)

totencurven: @ =

3 logr. (15—16 cm.)

,

Ö

Beide Modelle sind von Dr. O. Staude con-

118.* (X.,, II, N., xxxe.) Rotationéﬂäche‚ ent-

struirt, (Vergl, dessen Abhandlung in den Mathem,

standen durch Umdrehung der logarithmischen

Annal, Bd., 20, pag. 147.) Erläuterungen desselben

Spirale um ihre Asymptote. Gleichung der Fläche :

1763

Verfassers sind beigegeben, Beide zus, M, 12. —

2 = 6 log 7, der Projection der Asymptotencurven :

y=logr. (16—11 cm.)

l

111.*(X., IL N., xxx1a.) Bohnenförmiger Kör-

per mit Symmetrieebenen zur Anstellung von

119.* (X., II.N., xxxk.) Rotationsfläche , ent-

Proben bezüglich des Verlaufes der Krümmungs-

standen durch Drehung der Parabel um eine Pa-

4/éf'

linien, Asymptoten- und parabolischen Curven auf

T

einer Fläche, (14---8 cm.)

rallele zur Axe,Gleichung der Fläche : z = « (r—a)?,

der Projection der Asymptotencurve:

RT

112.* (X., II.N., xxx1b.) Dasselbe, andere Ge-

” , (Cardioide). (16—16 cm.)

stath (tordirte Bohne, (10—6 cm.)

w V

a

4

166

Beide Modelle zusammen A, ı. 50.

113—125. (X., II.N., xxx a—m.) Modelle von

120.* (X., II.N., xxxg.) Rotationsfläche, ent-

standen durch Umdrehung der Parabel um eine

verschiedenen Rotationsflächen mit aufgezeichneten

TER

Asymtotencurven,

Man gelangte zu denselben

Parallele zur Scheiteltangente,

Gleichung der

Fläche:

22 — a?(y— a),

der Projection der

durch die Frage nach solchen Rotationsflächen,

deren Asymptotencurven zur Projektion auf eine

Asymptotencurven :

Ebene senkrecht zur Axe, gegebene Curvensysteme

2(r+ Vr(r—a))———rz

(logarithmische Linien, Kreise etc.) besitzen. a.bis 1,

P= \/%— 10g «

a

(18—15 cm.)

R

von stud. math. Herting berechnet und modellirt.

Zusammen /6. 60. —.

121.* (X., IL.N., xxxh.) Rotationsfläche, ent-

A

113.* (X., II.N., xxx a.) Rotationsfläche , ent-

standen durch Umdrehung der Cubischen Parabel

1SE

/' f7 standen durch Umdrehung der Parabel um ihre

um eine Parallele zur Wendetangente, Gleichung

.

42 v Krümmung d. Flächen: B. Fl. von const. Krümmungsmass u, aufeinander abwickelbare F1

der Fläche

z = aB(y— a)

der Projection der

B. Flächen von constantem Krüm-

Asymptotencurven

mungsmass und auf einander ab-

wickelbare Flächen.

20 +V7

7(r+a))+a

p= V3 1og

a

Für die Flächen von constantem Krümmungs-

(18— 19 cm.)

mass ist das Produkt der beiden Hauptkrüm-

122.* (X., IL1.N., xxxi.) Rotationsfläche, ent-

mungsradien, dessen reciproker Werth nach Gauss

standen durch Umdrehung der Neil’schen Parabel

gleich dem Krümmungsmass der Fläche in dem

A

3

betrachteten Punkt

um eine. Parallele zur Rückkehrkante

Gleichung

ist,

an jeder Stelle . das-

selbe

Nach dem Vorzeichen dieses Produktes

der Fläche: z = a® (r — a)

der Projection der

Asymptotencuryven

unterscheidet man Flächen von constanter posi-

tiver oder negativer Krümmung oder von der

(r + Vr(m — a))

P= Vı log

a

Krümmung Null

Alle Flächen von gleichem

(13—17 cm.)

constanten Krümmungsmass sind ohne Faltung

und Dehnung auf einander aufbiegbar und in

123

(X., IL N., xxx1.) Rotationsfläche, deren

sich selbst verschiebbar

wie z. B. die Ebene

188

Gleichung ist

oder die Kugel

Man kann auf solchen Flächen

r

7V C arccos —

daher von Congruenz der Figüren reden, weil man

E

)

getrennt gelegene Flächenstücke durch Verschie-

Die Projection der Asymptotencurven ergibt ein

bung zur Deckung Bringen und mit einander

System von Kreisen, die durch denselben Punkt

vergleichen kann

Die nothwendige Bedingung

gehen. (14—20 cm.)

zum Autbau einer Geometrie, im Euklidischen

Sinn

124

(X., II.N., xxxm.) Rotationsfläche, ent-

ist damit für diese Flächen gegeben; an

standen durch Rotation der Sinuslinie: z = cos 7

die Stelle der »Geraden« tritt hier nur die kürzeste

Die

184

Das Modell erläutert das Verhalten der Asymp-

oder allgemeiner die »geodätische Linie«

Geometrie auf den Flächen von constanter po-

totencurven in der Nähe der parabolischen Curve

Im Allgemeinen setzen die Asymptotencurven auf

sitiver Krümmung ist die gewöhnliche sphärische

Geometrie ;

die auf den Flächen von constanter

die parabolische Curve mit Spitzen auf

und

negativer Krümmung wird die Nicht-Euklidische

nur wenn letztere die Berührungscurve einer

Doppeltangentialebene ist

wird sie

von den

Geometrie genannt und deckt sich mit der durch

Lobatschewsky begründeten, welche des’elften

Asymptotencurven berührt

Die, aufgezeichneten

Kreise bilden die parabolische Curve

Berechnet

Axioms von, Euklid entbehrt.

Der Unterschied

dieser und der sphärischen ist im verschiedenen

und construirt von stud, math, Sievert in München

(21—5 cm.)

Verhalten ‚ der , geodätischen Linien begründet

Q\Ä

(vergl. die diesbezüglichen Anmerkungen, bei bei-

125. (II. vıı.) Fläche - dritter Ordnung vierter

den ‚Flächengattungen)

Classe mit 4 reellen konischen Knoten, auf welche

Die nachfolgenden Flächenmodelle sind unter

eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet ist

anderm dem Studium dieser Geometrie zu dienen

entspricht dualistisch einer Asymptotencurve der

bestimmt

Zu diesem Zweck

sind einzelnen

&3

Nummern verbiegbare Messingbleche von dem

Steiner’schen Fläche (vierter Ordnung, dritter

Classe) und ist nach Clebsch (Crelle Bd. 67, S. 9)

Krümmungsmass der Flächen beigegeben

durch

eine Raumcurve sechster Ordnung, vierter Classe,

Die partielle

Differentialgleichung ,

die in jedem Knotenpunkt der Fläche einen Rück-

welche diese Flächen definirt sind, wird unter

kehrpunkt besitzt

Von stud. math, Bacharach

Voranssetzung einer Rotationsfläche zu einer

Erläuterung beigegeben. (14—22 cm.)

MTa

gewöhnlichen integrirbaren - und liefert für die

Meridiancurve der Fläche die Gleichung

Geodätische Linien bezw. Asymptotencurven

—#}

finden sich auch auf den Flächen von constantem

ars

®

VE

—c+t“’

Krümmungsmass V. ®. Nr. 126

1275

132—134

und von constanter mittlerer Krümmung V.Cc

wobei.+ z? das constante Krümmungsmass der

Nr, 140—144, 146 u. 147

Fläche bezeichnet

V. Krümmung d. Flächen; B, Fl. von const. Krümmungsmass u, aufeinander äb\viclielbare Fl 43

Sowohl für die Flächen positiver: wie für

Von stud, math, Kuen,

Erläuterung hierzu

die negativer Krümmung, erhält man

”

2

A ASiE

und auch‘ zu den vorhergehenden Rotations-

schiedene‘ Typen, zwischen denen ein Ueber-

flächen beigegeben.

gangsfall mit

einfachern Eigenschaften liegt

Die Flächen constanten negativen Krüm-

(Kugel und Tractrixfläche).

mungsmasses unterscheiden sich wesentlich durch

126—128, (V. xun.) Rotationsflächen von éon—

die Eigenschaftgn ihrer geodätischen Linien von

Die von einem

A

stantem positiven Krümmungsmäss mit geodä-

denen positiver Krümmung.

tischen Linien,

3 Typen mit gleichem Krüm-

Punkt ausgehenden Linien treffen sich über-

Durch einen Punkt-der

mungsmass =

(in Centimetermass). Da diese

haupt nicht mehr.

%

2

Fläche gehen unendlich viele Linien,. die

Flächen auf eine Kugel abwickelbar sind und

eine gegebene geodätische Linie schneiden,

geodätische Linien bei der Abwicklung erhalten

zwei (nach jeder Seite eine) zu ihr parallele

bleiben, so treffen sich alle von einem Punkt

(sie im Unendlichen treffende) und unendlich

ausgehenden geodätischen Linien wieder

ın

viele sie nicht schneidende.

Unter einem

einem Punkt. Nach Zeichnungen von E. Bour

geodätischen Kreis versteht man diejenige Curve,

eines am

anderen End-

(Journal de l’Ecole : Polytechnique, Tome 22)

die der Endpunkt

modellirt und mit geodätischen Linien versehen

punkte befestigten, auf der Fläche aufliegenden,

von Assistent Dr. P. Vogel:;

angespannten Fadens beschreibt,

Um. Vieldeu-

= 126.(V. zı b.)

tigkeit zu vermeiden, hat man 'sich eine Rota-

Spindeltypus; die Meridian-

curve trifft die Axe, (7—11cm.)

M.4. —.

tionsfläche als unendlich dünne, über das Modell

der Rotationsfläche unendlich oft gewickelte Haut

—127. (V. xu1C.)

Wulsttypus;‘ die Meridian-

curve der Fläche trifft die Axe nicht.

zu denken (als Schraubenfläche von der Gang-

(12__

10 cm.)

Mbo.9. —.

höhe Null).

132. (II. ıx.) Rotationsfläche von constantem

DA128.(V xına.)

Kugell-

Zwischenfall, Radius

4,33 cm. (9—9 cm.)

MI —.

negativen Krümmungsmass ‚(Kegeltypus), nebst

geodätischen Linien (blau) und einer Haupttan-

é

_ Die Flächen constanter Krümmung sind, wie

gentencurve,

Von stud, math, Bacharach.

Er-

bereits erwähnt, in sich selbst verschiebbar und

läuterung beigegeben, (18—1‘/ cm.)

M.9. —.

auf einander abwickelbar,

Man kann dies durch

133. (IT. x.), Ebenso (Hyperboloidtypus).

Es

die biegsamen, auf die Flächen

aufgepassten

ist ein System paralleler geodätischer Linien

A

Streifen von Messingblech verificiren,

aufgezeichnet (grün), worunter sich 2 (roth) be-

” 129.(X., I.N.,6.) Flächenstreifen von constan-

finden, die sich dem Kehlkreis asymptotisch

ter positiver Krümmung aus Messing (Kugelzone,

nähern,

DE

Die geschlossenen Curven sind geodä-

einem Centriwinkel von fast 90° entsprechend).

tische Kreise,

Von: stud. math. W. Dyck.

Er-

M.12.—

— 130. (X., I.N., 6.), Halbkugel aus Messing.

läuterung beigegeben. (14—21 cm.)

g

zusammen . 4. 50.

a

131. (V.xıv.) Schraubenfläche von constantem

23

positiven Krümmungsmass, auf die vorhergehen-

den 3 Flächen abwickelbar, indem das Krüm-

Z

müngsmass mit dem der vorhergehenden Flächen

T

übereinstimmt. Die Gleichung der Meridiancurve

V

führt auf elliptische Funktionen. Ganghöhe der

Schraube 10,9 cm.

Schneidet man/aus der vor-

a

herigen Kugel eine von 2 gleich grossen Parallel-

—

kreisen begrenzte Zone (einem Centriwinkel von

E

90° éntsprechend) heraus, so geht diese durch

gegenseitige Verschiebung der Endschnitte in

134. (I.-1.) Rotationsfläche der Tractrix, durch

diese Schraubenfläche über, wie sich dies mit

Umdrehung um ihre Asymptote entstanden. (Die

70

Hülfe der Kugelzone aus Messingblech: zeigen

Tractrix ist durch die Eigenschaft definirt, dass

lässt. (15—34 cm.)

. M.13.—

alle Tangenten zwischen dem Berührpunkt und

44 vV.Krümmung d. Flächen: C. Fläf:llen von constanter mittlerer Krümmung, Minimalflächen,

einer Geraden, der Asymptote, constante Länge

stimmtem / Sinn _ aufträgt,

Die Fläche besitzt

besitzen).

eine ebene und eine räumliche Rückkehrkante mit

Diese Fläche bildet den Uebergang

zwischen

den. beiden

vorgenannten

Flächen

2 Spitzen, sowie eine Doppelcurve.

Das eine

und entspricht der Kugel bei den Flächen

System von Krümmungslinien wird von Ebenen

constanter positiver Krümmung.

Die blau ge-

ausgeschnitten, welche durch eine (im Modell

zeichneten Curven auf ihr sind verschiedene geo-

vertikal gestellte) Gerade hindurch gehen. Das

dätische Linien, die rothe i$t eine Asymptoten-

andere System liegt auf Kugeln, deren Mittel-

curve, Von stud. math. Bacharach. Erläuterung

punkte in dieser Geraden liegen. (Vergl.Bianchi,

beigegeben. (19—-24 cm.)

M.9: —:

Math. Annalen Bd, 16, sowie Enneper, Göttinger

a

Nachrichten 1868; Th. Kuen, Sitzungsberichte

der kgl. bayr, Acad, 1884, Heft IT.)

Modellirt

3

von stud, math, Mack; Erläuterung hierzu von

A'ssistent Th. Kuen. (16—25 cm.)

. M.16.—.

\

S

On

135. (V. xv.) Schraubenfläche von constantem

negativen Krümmungsmass, deren Meridiancurve

O

die Tractrix ist,

Sie ist die einzige Schrauben-

En

L

fläche von der erwähnten Art, in deren Glei-

O

I

;

chung nicht elliptische Funktionen eintreten,

(Bei Flächen constanter positiver Krümmung

7 137. (VIII. xxvia.) Schraubenfläche, auf das

Rotationsellipsoid Nr. 138 abwickelbar (nach

gibt es keine von dieser Eigenschaft,)

Vergl.

U, Dini, Comptes Rendus, Acad, Sc. Paris 1865,

E. Bour, Journal de l’Ecole Polyt. Bd. XXIL.).

Von Assistent Dr. P. Vogel. (12—26 cm.) M.10. 50.

1 Sem. pag. 340; Th. Kuen, Berichte der kgl.

66

Jr

bayr. Acad. 1884.

Von Dr. P. Vogel. Erläute-

— 138.(VIII. xxvıc.) Rotationsellipsoid, auf die

rung beigegeben. (15—24 cm.)

; M 15. 50.

vorige Fläche abwickelbar. (9—3 cm.) . 1: 50.

213890 (VALxxy1 b))

Rotationsellipsoid . aus

biegsamem Messingblech zur Demonstration der

erwähnten Abwicklung.

Die durch ‘2 gleich

grosse Parallelkreise begrenzte Zone obigen El-

lipsoids geht durch einen leichten Druck in die

vorhin erwähnte Schraubenfläche über. %. 2. 50.

Z

In diesen Abschnitt gehört noch die in der

folgenden Abtheilung ‚aufgezählte windschiefe

Schraubenfläche Nr. 145, welche auf das Catenoid

abwickelbar ist,

W

136. (VIII. xx.). Fläche von constantem nega-

C.Flächen von constanter mittlerer

tiven Krümmungsmass mit ebenen Krümmungs-

Krümmung, Minimalflächen,

60

Jinien,

Sie entsteht aus der Tractrixfläche da-

Die Flächen von constanter mittlerer Krüm-

durch, dass man auf den Tangenten an ein

mung sind dadurch definirt, dass die Summe

System von. parallelen geodätischen _Linien

der reciproken Werthe ihrer 2 Hauptkrümmungs-

(Kﬁimmung derselben +—%) das Stück £ in be-

radien an jeder Stelle denselben Zahlenwerth

f

\

45

V. Krümmung d, Flächen: C, Flächen von constanter mittlerer Krümmung, Minimalflächen

\

besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch

je nach dem Winkel, unter dem sie den grössten

welche sie definirt sind, geht in eine integrirbare

Parallelkreis trifft, ein verschiedenes

Entweder

totale über, wenn man sich auf Rotations-

bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau)

flächen beschränkt, und zwar erhält man für

oder sie nähert sich asymptotisch dem Kehl-

die. Meridiancurve die Gleichung :

kreis, d.i. Parallelkreis von kleinstem Radius

Vz+otlaz

FA E EDBL SE EL UTE

(grün), oder sie läuft über die ganze Fläche hin

r)

Von stud,. math, A, v

Braunmühl

Erläuterung

n

(r? — «2 ?)

Nach Delaunay (Comtes rendus XIITI, 1841)

beigegeben

—140. (ITI. vına.), Onduloid, Die Meridiancurve

ergibt sich die Meridiancurve dieser Flächen

auch als diejenige Curve

die der Brennpunkt

ergibt sich für x, ="ICM., &, = 5,77 cm. aus der

oben angegebenen Gleichung, falls von den 2

eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Ge-

daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere

raden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird

(positive) gewählt wird

(12—26 cm.)

M.9.—

Den 3 Kegelschnitten : Ellipse, Hyperbel, Parabel

entsprechend erhält man 3 verschiedene Typen,

die von Plateau in seinem Werke

»Statique

experimentale et theorique des liquides etc,«

beziehungsweise

Onduloid, Nodoid, Catenoid

genannt wurden

Nach Laplace werden die

Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche

der Einwirkung der Schwere entzogen sind,

n

von Flächen constanter mittlerer Krümmung

begrenzt

Geometrisch lassen sie sich auch als

gewisse Parallelflächen zu Flächen von con-

stantem positiven Krümmungsmass

definiren

Einen speciellen Fall davon bilden die Minimal-

flächen

deren mittlere Krümmung Null ist

„ 141. (IL. vnıb.) Nodoid, x, und x, wie oben

Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren

aber in der Gleichung ist das untere (negative)

Flächeninhalt zu besitzen als jede andere be-

Vorzeichen zu wählen

(11—8 cm.,)

M.8. —

bb

ıe

nachbarte Fläche

die durch eine beliebige auf

ihr geführte geschlossene Randcurve hindurch

&— 142. (IT. vu c.)

Ring. des Nodoids

durch

Umdrehung der Schleife der Meridiancurve von

gelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als

welche die zwischen eine

b. entstanden

(9—3 cm.)

.

M.2.—

diejenigen Flächen

gegebene Randcurve sich einspannende Flüssig-

, 143. (II. vı d.) Catenoid, durch Umdrehung

der Kettenlinie um ihre Axe entstanden. Ausser

keitshaut (durch Eintauchen .der Curve in Seifen-

lösung zu erhalten) annimmt.

den 3 verschiedenen Typen von geodätischen

Die Minimalflächen

werden sowohl durch

Linien ist hier auch noch eine Asymptotencurve

ihre Krümmungs- wie auch ihre Asymptoten-

(gelb) aufgezeichnet.

Diese Fläche ist eine Mi-

nimalfläche, sie besitzt die constante mittlere

curven in unendlich kleine Quadrate getheilt

(Die Indicatrix ist für diese Flächen eine gleich-

Krümmung Null

(16—10 cm.)

M.8. —

desshalb stehen auch

die

seitige Hyperbel

144. (VIIL xxv

)

Dasselbe, grösser, mit

Asymptotencurven auf einander senkrecht)

Zu

aufgezeichneten Krümmungslinien (weiss) und

6S

Diese Fläche ist die

jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre so-

Asymptotencurven (roth)

genannte Bonnet’sche Biegungsfläche

welche

Bonnet’sche Biegungsfläche zur folgenden wind-

auf sie derart abwickelbar ist

dass die Krüm-

Beim Auf-

schiefen Schraubenfläche (Nr. 146)

mungslinien der einen in die A symptotencurven

biegen beider auf einander geht der Kehlkreis

in die Axe der letzteren über

die Meridiane

der andern übergehen. Vergl. Schwarz in Crelle’s

Journ. Bd, 80,

in die geraden Erzeugenden, Parallelkreise in

die Schraubenlinien

en Un Arl °

140—143. (IT. vın.) Drei Typen von Rotations-

(20—15 cm.)

B HIS6

15

flächen constanter mittlerer Krümmung mit geo-

145. (VIIL, xxv b.) Dasselbe aus biegsamem /4

dätischen Linien, Das Verhalten der letzteren ist

Messingblech, Die Fläche wird in’die windschiefe

©

w d

4

;

A

Yrl

46

V. Krümmung d, Flächen: D. Centraflächen, Minimalflächen,

Sie

Schraubenfläche dadurc)h übergeführt, dass man

gehenden Mänteln sind aber 2 imaginär,

die Endpunkte des Kehlkreises fasst und diesen

lässt sich dadurch mit sich selbst zur Deckung

in eine Gerade auszieht, indem man gleichzeitig

bringen, dass man die eine Doppelcurve in die

M.2.-—

andere verlegt. Ihre Bonnet’sche Biegungsfläche

ein wenig tordirt

ist sie selbst‘ wieder, d. h.-diese Fläche kann

Al

auf sich selbst aufgebogen werden. Dabei gehen

Krümmungslinien (weiss) in die Asymptoten-

curven (roth) über.

Von cand, math, Herting.

Erläuterung beigegeben. (34—26 cm.) M.21. —.

I

148. (X., I.N., 1.a—k.) Verschiedene Draht-

gestelle

zur Darstellung von Minimalflächen

x

durch Lamellen von Seifenwasser nebst einer

Anweisung zur Herstellung der Seifenlösung

nach Angabe von Plateau (Statique des liquides).

M ı2.—,

=

—Z—>_

Z

Windschiefe

Schrauben-

i

146. (VIIL. xxv a.)

b

S fläche, Minimalfläche, nebst Krümmungslinien

und Asymptotencurven ; auf das Catenoid (Nr, 14.3)

abwickelbar,

Von cand, math. Herting.

(22—

- Näheres

siehe I. Theil dieses

Catalogs,

23 cm.)

. M 17. —

X, Serie, I. Nachtrag.

5 E vun AALZ LE

Zn

e

D. Centraflächen, Brennflächen.

D

Z

Brennfläche eines Strahl-

149—151. (L 1.)

AT

systems, welche mit der Fläche der Krümmungs-

centra des elliptischen Paraboloides in collinearer

Z

PE /i /

Verwandtschaft

steht,

(Vergl. Seidel, Schü-

E TE

machers Astron, Nachrichten, Nr. 1027 ff., Mo-

natsberichte der Berliner Academie, Dec. 1872.)

A

Sa R

Das vorliegende Modell stellt sehr nahe die

147. (VIIL xxı.) Minimalfläche neunter Ord- | Centrafläche des Paraboloides:

nung nach Enneper (vergl. Göttinger Nachrichten

2

y)

Z

61

1871, pag. 28 ff.).

Sie _ besitzt 2 ebene Doppel-

R

curven dritter Ordnung, in welchen die aufge-

dar; die vorzunehmende Transformation wäre

zeichneten beiden Schaaren von Krümmungs-

linien (ebenfalls ebene Curven dritter Ordnung

X=kx, Y=ey, Z=Vi2.2

Die Fläche ist

die Ebenen derselben sind alle je einer Geraden

von der zwölften Ordnung und besitzt 2 Rück-

kehrkanten, beide gewöhnliche Parabeln, welche

parallel) je einen Doppelpunkt besitzen. Die

Fläche besitzt 3 dreifache Gerade, nämlich. die

in zu einander senkrechten Ebenen liegen ; ferner

unendlich ferne Gerade in der Horizontalebene

eine Doppelcurve zwölfter Ordnung, längs deren

/

und die in einer solchen Ebene liegenden 2 \ sich die beiden Mäntel durchsetzen, Von stud.

rothen Geraden. Von den.3 durch diese letztere ' math. Schleiermacher, Erläuterung beigegeben,

VI. Modelle zur darstellenden Geometrie, Physik und Mechanik

47

7 149 U, 150, (I. 118.)

Die beiden Mäntel der

— 152.u. 153. (I. ma.)

Die beiden Mäntel ge-

Fläche getrennt

(11—9 u. 7—11cm.) ä 5. —

trennt.

(16—-13 cm.)

zusammen M, 17. —

2451 (1 11b.)

Die beiden Mäntel vereinigt

(11—9 cm.)

M.5.—

472

152—154 (I.ı1.) Centrafläche des einschaligen

Hyperboloides

Sie ist zwölfter Ordnung und

besitzt 3 ebene Rückkehrkanten, nämlich 2 Hy-

perbeln und eine Ellipse, welche in 3 zu einander

}

senkrechten Ebenen liegen

ferner eine Doppel-

curve 24.. Ordnung (Vergl. Cayley

»On the

=

A

A

Centro-Surface of an Ellipsoid

Cambridge,

Philos, Transactions, vol. XII. pag. 319 ff. ; Sal-

mon-Fiedler, Analyt. Geometrie des Raumes Bd. ı

e7154. (T u11 b.)

Die beiden Mäntel vereinigt

Art. 207 und Bd.’2, Art. 244, 2. Aufl.).: Von stud

(16—17 cm.)

M.10. —

l

math. W. Dyck. Erläuterung beigegeben

VI. Modelle zur darstellenden Geometr1e Physik

und Mechanik.

155. (VIIL xxm1.) Rehefperspecüusche Dar-

der Kugel vereinigten Typen entsprechen dem

eines Würfels

H e3

stellung

einer Kugel

eınes

Fall, wo das elliptische Integral sich auf ein

Kegels und eines Hohlcylinders

auf einem

Kreisintegral reducirt

in den Bezeichnungen

Untersatz vereinigt

der genannten Abhandlung

E

0Sn = I

a) e

z

) 9

S

xoz

Durch eine Schnur von Glasperlen lassen

S

>

N

sich die Curven leicht experimentell verificiren,

Berechnet von Assistent Fischer. (9-15 cm.) . 8.—

S

lé‘

&©

157.(IL. xı.) Bahncurve eines schweren Punktes Ä

AA

auf der Kugel (Sphärisches Pendel).

Es ist /8

Der Augenpunkt befindet sich in der Ver-

der Fall dargestellt, wo der oberste (Ausgangs-)

längerung der Rotationsaxe des; Kugelreliefs

Punkt der Bahn sich in der Höhe des Mittel-

56 cm. vor der vorderen Bildfläche des Modells,

punktes befindet, und die Anfangsgeschwindig-

genauer

vor der Collineationsebene, die durch

keit in diesem Punkte ist so gross gewählt

die obere‘ Kante des Gesimses

welches die

dass die Bahncurve sich nach 3 Perioden schliesst

Basis des Modells begrenzt, hindurchgeht,

Die

Auch ist der‘geometrische Ort der untersten

Fluchtebene des Bildraums ist 28 cm. hinter der

Punkte der verschiedenen Ortslinien angegeben,

Collineationsebene gelegen

Die Tiefe des ab-

welche verschieden grossen Anfangsgeschwin-

gebildeten Raums beträgt etwa 16,5 cm

Um

Die

digkeiten im Anfangspunkt entsprechen

den gewünschten Eindruck zu erhalten, stelle

Berechnung der Bahn u. s. w. ist von stud. math

man das Modell in gedämpftem Licht vor einer

Schleiermacher ausgeführt. (20—15 cm.) / 11. —

einfarbigen Wandfläche auf und betrachte es

durch einen im Augenpunkt angebrachten kleinen

158. (VI. 3.) Wellenfläche für optisch einaxige /4

Krystalle mit negativer Doppelbrechung, Ein

Q

kreisförmigen Ausschnitt

Ausschnitt des Sphäroids zeigt die Kugel, welche

156. (V. xvı1.) Die Kettenlinie auf der Kugel

mit jenem zusammen die Wellenfläche bildet

(Vergl. die Abhandlung von Clebsch in Crelle’s

Das Axenverhältniss

ze

8,8:: 7,8 ist ungefähr das

Journal, Bd, 57, pag. 104 ff.)

Die beiden auf

des Kalkspathes

(9—8 cm.)

M 4: —

48

V_I.'Modelle zur darstellendén Geometn'e,\Physik und Mechanik,

159. (X., I.N., 7.) Dasselbe für optisch ein-

Man erhält diese / Fläche ;aus dem folgenden

axige Krystalle: mit positiver Doppelbrechung.

Ellipsoid dadurch, dass man auf den im Mittel-

Ein Ausschnitt der Kugel zeigt das verlängerte

punkt errichteten Normalen zu Centralschnitten

Rotationsellipsoid,

Das Axenverhältniss ent-

(Ebenen durch den Mittelpunkt) die 2 Haupt-

spricht ungefähr dem des Zinnobers, (9—9 cm.)

axen dieser Schnittcurven (Ellipsen) nach beiden

M.4.—.

Seiten hin abträgt. Vergl, Salmon-Fiedler, Geom.

160 (VL: 1})

Fresnel’sche Wellenfläche für

des Raumes, II. Thl., 4. Cap. (12—8cm.) .9 -—.

optisch zweiaxige Krystalle, längs eines Haupt-

161. (VI.2.) Ellipsoid hierzu, aus dem die

x

schnittes zerlegbar, so dass der innere Mantel

eben genannte Wellenfläche auf die angegebene

in den Hohlraum des äussern eingefügt werden

Weise hervorgeht. (12—6cm.)

M4 —.

Z

kann. Sie ist eine Fläche vierter Ordnung und

162. (VI.4.) Wellenfläche für optisch 'zwei-

Classe (eine Kummer’sche Fläche, vergl. IT. c.,),

axige Krystalle in einzelnen Octanten mit den

37

sphärischen und ellipsoidischen Curven, die also

Z

beziehungsweise durch Kugeln und- Ellipsoide

Z

S

ausgeschnitten werden,

Auf jedem der beiden

D

Z

)

Z

Mäntel ist das eine System sphärisch, das andere

ellipsoidisch, Auf dem Modell sind ferner noch

Sa

z

Z

die Nabelpunkte angegeben.

Die Oeﬂ"nungen

an

f

arkiren die Richtung des zugehörigen Strahls.

Von Herrn Rector Dr, Böklen in Reutlingen,

nebst einer Erläuterung. (24—12 cm.) M.8. 50.

besitzt 4 reelle konische Knotenpunkte und

E

ebensoviele längs Kreisen berührende Doppel-

Zu dieser Gruppe sind auch die unter V,C,,D

tangentialebenen (die 12 andern sind imaginär.)

aufgeführten Flächen zu rechnen,

S

”

ET

PE

e

EFE E

y

n

FE

KL dl

Die Gips-Modelle sind hervorgegangen aus dem Atelier von J. Kreittmayr, Formator

des k. Nationalmuseums in München,

%

A

E

|

n B ——

NS

ELTW

s

CUSı: €ÖC

V

w

v

(&@

NN

\

‚(\r\(/ NN

N <

G

CC(((

Gr

N

S

Y

Y

Y

J

Y

«///M

y

y

IIN

S

W

(\

S

/m\

<

VV

V

VV

©

Y

\

VE

e

V

N AA

V

UU

w

V

SS

N

f

U

U

v

(((C

VWr

@m

Y

vv

IS

Ö

©

M

HL//M\\..

f L

£‚

W\\F

SCS

V

SEA

DB

Y

“

Y

Q(

S

Y

s

/\C

>]

((

\

(CC

Yuy

f\/\/\ V

Y

w

ÄÜRN

W

„\

NN

\

S

VGU

V

\ex>

Y

“

M

»

w

x

M

V

u

L(C(

WEl

v

_D

V

OS

S

\

<

S

K AA

vu

&S

v

“

Y

U

C((

V

Y

y

e“

N

SYYYSCT

Y

VV

N

R N

SW

AA /

i

_/\

WQKMOW

SSS AAA

EEZEEEEEE

na

E

7- 100

Z

A 70 —96

Vier Modelle

zur Theorie der Linien-Complexe zweiten Grades.

Ausgeführt

(nach Angaben von Prof. Dr. F. Klein in München)

von

FOKN: BKIGEL SO

Mechanische Werkstätte

Cöln a. Rh.

bl

—- <-!g> >—0— —

In der Liniengeometrie*) bestimmt man die gerade Linie im Raume

durch 4 Coordinaten, für welche man die 4 Constanten 7,

,

S

.

o

c nehmen

kann, die in der Gleichung ihrer Projecetionen vorkommen:

%X

Sn

o

y

D

S

#

f

6

Ei;1e1‘ Gleichung zwischen 7, S, 0, 6:

f (r, S, 0 6o) = .0

genügen nur noch die Coordinaten gewisser Linien, deren gemeinsame Eigen-

thümlichkeit eben durch diese Gleichung ausgesprochen wird.

Derartige

Mannigfaltigkeiten von Geraden, die aus der Gesammtheit aller Geraden

durch eine Gleichung ausgeschieden werden, bezeichnet man, nach Plücker,

als Linien-Complexe.

Die geometrische Vorstellung eines solchen Linien-

Complexes wird dadurch schwierig, weil die unendlich vielen Linien, welche

ihn constituiren, den Raum vollständig ausfüllen, weil @lso das vorzustellende

Gebilde keine Gestalt hat.

Um so mehr ist es wünschenswerth, Modelle

zu besitzen, welche der geometrischen Anschauung zu Hülfe kommen.

Die

vorliegenden Flächen-Modelle sind in diesem Sinne für das Studium der

Linien-Complexe zweiten Grades**) bestimmt. Aber abgesehen von diesem

besonderen Zwecke bringen sie eine Reihe Eigenthümlichkeiten der höheren

algebraischen Flächen zur Anschauung, von denen man ohne ein solches

Hülfsmittel nur schwer eine Vorstellung gewinnen kann.

Für Linien-Complexe zweiten Grades gilt der Satz, dass die Geraden

des Complexes, welche durch. einen Punkt hindurchgehen, einen Kegel der

Linie als Raumelement,

*) Vergl. Plücker, Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden

Leipzig, B. G. Teubner, 1868, 69.

**) Ein Linien-Complex heisst vom %Nten Grade, wenn die ihn definirende Gleichung f = G

in den Veränderlichen P S On dOr mit diesen gleichberechtigt auftretenden Verbindung

(TG — SQ) vom %Nten Grade ist,

zweiten Ordnung bilden, sowie

dass die Geraden des Complexes, welche

in einer Ebene liegen, eine Curve der zweiten Classe

einen Kegelschnitt

umhüllen.

Plücker untersucht nun 1nsbe=onde1e*) diejenige Fläche, die von

Ö

dem Complex-Kegelschnitten gebildet wird, die in den durch eine 0eoebelle

Gerade h1ndulcho'eledten Ebenen liegen.

Es ist dies dieselbe Fläche,

die

von den Complez—Ke<feln umhüllt wnd die von den Punkten der ge<mbenen

Geraden ausgehen

Diese Fläche, die sogenannte allgemeine Complexfläche

ist

durch Modell I vorgestellt

Die allgemeine Complexfläche ist

Wıe

sämmtliche vier

modellirte Flächen, von der

vierten Ordnung und der

vierten Classe

Die gegebene Gerade ist eine Doppellinie derselben

Von

jeder durch die Doppellinie hindurchgehenden Ebene wird die Fläche in

einem Kegelschnitte geschnitten

Für vier besondere Lagen der schneiden-

den Ebene wird der Kegelschnitt eine doppeltzählende Gerade

Auf ihr

befinden sich jedesmal zwei Punkte, welche Doppelpunkte der Fläche sind

Dieselben liegen 8 mal

So hat die Fläche im Ganzen 8 Doppelpunkte

zu 4 in einer Ebene

Jede solche Ebene ist eine sogenannte Doppelebene

der Fläche

d. h. eine Ebene

welche

die Fläche nach

der

ganzen KEr-

streckung eines Kegelschnittes berührt

— Alle diese Eigenthümlichkeiten

sind im Modelle deutlich zu übersehen; man vergl

dazu Plücker’s Neue

Geometrie, n. 168—179

n. 215—224

Die Modelle II und III stellen die beiden wichtigsten Particularisatio-

nen der allgemeinen Complexfläche dar

Im Modelle II gehört die gegebene Gerade, mit deren Hülfe die Fläche

construirt wird, selbst dem Complexe an

Sie ist dann nicht mehr Doppel-

linie sondern Cuspidallinie der Fläche; jede Ebene schneidet die Fläche in

eıner

Curve,

Jede durch die

welche auf der Geraden eine Spitze hat.

Gerade hmdmchoelecrte Ebene enthält einen Kegelschnitt, welcher die Ge-

rade berührt.

D1e F1ache besitzt jetzt 4 Knotenpunkte.

Die 4 Ebenen,

welche 3 derselben enthalten, berühren die Fläche nach einem Kegelschnitt.

Vergl. Plücker’s Neue Geometue n. 225—232.

Im Modelle III ist als gegebene Gerade eine. der aus%ze10hneten

welche Plücker

singuläre Lnuen nennt

Complexlinien‘* genommen worden,

(Neue Geometrie, n. 300, n. 305 306)

In jeder dumh die Gerade hin-

durchgelegten Ebene liegt ein Kegelschnitt.

der die Gerade in einem festen

Punkte berührt. Die Fläche hat noch 2 Doppelpunkte und 2 Doppelebenen

Modell. IV endlich ste]lt die Singularitätenfläche des allgemeinen Com-

Die Singularitätenfläche ist der Ort solcher

plexes zweiten Grades dar

Punkte, deren Complexkegel in 2 Ebenen zerfällt, oder

was auf dasselbe-

hinauskommt

je wird umhüllt von allen Ebenen

deren Complexcurven

in ein Punktepaar ausartet

(Neue Geometrie. n. 312—323.) Es ist”dies

wieder eine Fläche vierter Ordnung und vierter Classe

Dieselbe besitzt

16 Doppelpunkte und 16 Doppelebenen

In jeder

Doppelebene liegen‘

Es ist

6 Doppelpunkte, durch jeden Doppelpunkt gehen 6 Doppelebenen

diese merkwürdige Fläche zuerst von Herrn Kumme

untersucht worden

der sie als Verallgemeinerung der Fresnel’schen Wellenfläche auffand 7

) Neue Geometrie. Abschnitt I und III der Theorie der Complexe zweiten Grades

**) Monatsberichte der Berl. Akademie, 1864. Abhandlungen, 1866

Modelle

A

der Plücker’schen Flächen.

p

Die in Metall gearbeiteten Modelle stellen einige derjenigen Flächen

vor, welche von der vierten Ordnung und der vierten Classe sind, und im

allgemeinen Falle 8.conische Doppelpunkte, 8 die Fläche nach Kegel-

schnitten berührende Doppelebenen und eine Doppellinie besitzen.

Diese

Flächen knüpfen sich an die Theorie der „Complexe‘, die durch eine

Gleichung zweiten Grades zwischen den 4 Coordinaten in derselben Weise

dargestellt

werden,

wie man eine Fläche

zweiten Grades

durch

eine

Gleichung zwischen den 3 Coordinaten eines Punktes oder einer Ebene

darstellt.

Die modellirten Flächen sind mit Bezug auf die Complexe das, was

mit Bezug auf Flächen zweiten Grades

die ebenen Schnitte und um-

schriebenen Kegel sind.

Sie . dienen ausserdem dazu, die Linienflächen

vierten Grades zu construiren.*)

Man unterscheidet a. Aequatorialflächen, welche durch einen ver-

änderlichen Kegelschnitt beschrieben werden, dessen Ebene sich parallel zu

sich selbst bewegt und dessen Mittelpunkt eine gerade Linie beschreibt,

und d. Meridianflächen, die durch “einen veränderlichen Kegelschnitt

besehrieben werden, dessen Ebene sich um eine: feste Axe dreht.

A.‘Aequatorialflächen.

a. Die Axen der Kegelschnitte sind parallel.

In diesem Falle liegen

ihre Scheitel auf 2 festen Kegelschnitten, die in 2 auf einander und auf

den Ebenen der erzeugenden Kegelschnitte senkrechten Ebenen enthalten

sind.

Diese beiden festen Kegelschnitte sind die „Leiteurven‘“, welche un-

mittelbar die Construction der Flächen ergeben.

Die Leiteurven sind:

KEine Ellipse und eine Hyperbel mit demselben Centrum; die Hauptaxe

der Hyperbel fällt mit einer der Axen der Ellipse zusammen,

II

Zwei Systeme reeller gerader Linien.

E

Die Geraden des einen Systems sind parallel.

IN

Zwei concentrische Ellipsen.

. V

Ein System zweier reeller und ein System zweier imaginärer ge-

rader Linien.

VI

Zwei Hyperbeln, die sich in einem ihrer Scheitel schneiden.

» VII

Zwei Ellipsen mit einem gemeinsamen Punkte.

» VIIL

Eine Ellipse und ein paar imaginärer Geraden, deren reeller

Schnittpunkt auf einen der Scheitel der Ellipse fällt.

IX

Eine Parabel und zwei sich in ihrem Scheitel schneidende Gerade.

X

Eine HyperbeI' und eine concentrische Ellipse, deren eine Axe mit

der Hauptaxe der Hyperbel zusammenfällt.

+

XI

Zwei Hyperbeln, deren Hauptäxen sich kreuzen.

a XII

Zwei concentrische Ellipsen, von denen die eine imaginär ist.

\

*) Vergl, darüber: les Mondes de M. 1’Abbe Moigno,

1867, 10. Janvier.

XII

Eine Hyperbel und eine concentrische imaginäre Ellipse, deren

eine Axe mit der Hauptaxe der Hyperbel zusammenfällt.

XIV

Zwei Hyperbeln, deren Nebenaxen dieselbe Richtung haben.

XN

Eine Hyperbel und eine concentrische imaginäre. Ellipse, deren

eine Axe mit der Nebenaxe der Hyperbel gleichgerichtet ist.

&x

Die erzeugenden Kegelschnitte sind Parabeln.

bd. Gedrehte Flächen; die Axen der erzeugenden Kegelschnitte sind

nicht mehr parallel,

X:

Das- Modell- entspricht dem: Modell . 1V,. welches.4. reelle. doppelt-

zählende Gerade hat; die Doppelpunkte- auf zweien derselben sind

reell, auf den beiden anderen imaginär,

/

XVML.

Die erzeugenden Kegelschnitte sind Hyperbeln, deren eine Asymp-

”

tote eine feste Richtung hat.

Die erzeugenden Kegelschnitte sind Parabeln,

/.„..:?(IX

B. Meridianﬂächen.

XX

Die aus 9 Theilen bestehende Fläche hat 8 reelle Doppelpunkte

und 8 reelle Doppelebenen, von welchen 6 die Fläche nach Hy-

perbeln, 2 nach Ellipsen berühren,

XXI

Die Fläche, aus 7 Theilen bestehend, hat 4 doppeltzählende Gerade,

von denen 2 durch reelle, 2 durch imaginäre Doppelpunkte hin-

durchgehen.

Es gibt keine Doppelebenen,

» XXIT

Die aus 4 Theilen bestehende Fläche hat 2 reelle doppeltzählende

Linien, welche durch reelle Doppelpunkte gehen, und 4 reelle

Doppelebenen, welche die Fläche nach Ellipsen berühren.

Die Fläche besteht aus 5 Theilen.

Zwei der Ellipsen des vor-

hergehenden ‘ Falles sind durch Hyperbeln ersetzt.

/ }£XI'V

Die aus zwei Theilen bestehende Fläche hat zwei doppeltzählende

Gerade; die auf einer derselben gelegenen Doppelpunkte sind reell,

die auf der andern befindlichen fallen zusammen,

Zwei der vier

Doppelt Qnßentia‚lebenen fallen zusammen, die beiden andern be-

rühren

ije‘ Flächen nach Ellipsen.

XXV

Die Generatricen sind concentrische Kreise,

Es gibt 4 Doppel-

ebenen, welche die Fläche nach 2 Paaren einander berührender

Kreise tangiren.

XXVI

Aehnliches Modell,

Die Generatricen sind Ellipsen, ebenso die

Berührungs - Curven.

XXVII

Die Axen der erzeugenden Ellipsen sind gegen die Rotationsaxe

geneigt.

Zwei Paar Doppelpunkte fallen zusammen.

Es gibt

4 Doppelebenen, welche die Flächen nach 2 Kreisen und 2 Ellipsen

berühren,

Preise der Collectionen in ka ausrgeführt und auf polirten Mahagony-

Brettchen ‚aufgestellt:

4 Modelle nach Professor

Dr.

Klein 120 M.;

27 Modelle

nach Professor Dr.

Plücker

360

M.

Beide

Colleetionen

zusammen genommen 450 M. DLieferung ab Cöln, freie Emballage.

Druck von R. G.Teubner in Leipzig,

Modeles des surfaces Plücker

par

J. Epkens ä& Bonn.

NN

;3;ä&‚„„ RN

Les modeles en bois de buis representent quelques unes de ces

surfaces qui sont du quatrie&me ordre et de la quatrie&me classe et qui,

dans le cas general, possedent huit points doubles, centres de cönes

du second ordre circonscrits aux surfaces et situcs, deux ä deux, sur

quatre lignes doubles et huit plans doubles, touchant la surface sui-

vant de coniques ef, passant, deux &ä deux, par les quatre m6mes

lignes doubles. Ces surfaces se ratachent ä& la th6orie des „complexes“,

representes par une 6quation du second degre entre les quatres coor-

donnees de la ligne droite, comme on represente une surface du second

degre par une 6quation entre les trois coordonnees du point ou du

plan.

Les surfaces modelees sont, par rapport aux complexes, ce que,

par

rapport aux surfaces du second degre, sont les sections planes

et les cönes circonscrits.

Elles servent encore ä construire les sur-

faces reglees du quatri&me degre *).

L’on distingue 1° des surfaces 6quatoriales decrites par une Co-

nique variable, dont le plan se meut parallelement ä lui. möme et dont

le centre decrit une ligne droite, et 2° des surfaces meridionales , de-

crites par une conique variable dont le plan tourne antour d’un axe fixe.

A.

Surfaces équa.torialeé.

a. Les axes des coniques sont paralleles.

Dans ce cas leurs

extremites sont situees sur deux coniques fixes, comprises dans deux

plans perpendiculaires entre. cux et aux plans paralleles des coniques

generatrices.

Ces deux coniques fixes sont les „direetrices“ qui don-

nent immediatement la construction des surfaces.

— A

eanl

*) Voir, & ce sujet, les Mondes de M. l’Abbe Moigno. 1867, 10 Janvier.

Les deux directrices sont:

une ellipse et, une hyperbole ayant m@me centre, l’axe reel

-J% la?;d.‘;']'

de l’hyperbole est situe sur l’un des axes de Vellipse;

..4—-‘/f'“4n

deux systemes de deux lignes droites reelles;

—

AF —mI

les lignes droites de ’un des deux syste&mes sont paralleles;

Ö

SR D N

deux ellipses concentriques;

un systeme de deux lignes droites reelles et un syteme de

an

270 HV

deux lignes droites imaginaires ;

vr

O VI

deux ellipses ayant un point commun;

-

257— V

deux hyperboles qui se coupent dans ’un des sommets de

leur axe reel;

—

LE Saa

une ellipse et un systöme de deux lignes droites imaginaires,

dont le point d’intersection reel est ’un des sommets d’un

des deux axes de Vellipse;

W

IT

IX

une parabole et deux lignes droites se coupant daus son sommet;

une hyperbole et une ellipse concentrique, dont ’un des axes

fait partie de l’axe reel de ’hyperbole;

—

CZ

deux hyperboles, dont les axes r6els se croisent;

—

Z0 XI

deux ellipses concentriqgues dont l’une est imaginaire;

%

Z

une hyperbole et une ellipse imaginaire concentrique, dont

l’un des axes imaginaires est dirig6 suivant l’axe r6el de

l’hyperbole;

deux hyperboles, ayant leurs axes imaginaires diriges suivant

DE T ÜEXKIN.

la m6me ligne droite.

une hyperbole et une ellipse imaginaire concentrique, dont

4 SE DU

’un des axes est dirige suivant l’axe imaginaire de l’hyperbole ;

G TE

Les coniques göneratrices sont des paraboles ;

O

Surfaces tordues; les axes des coniques generatrices ne sont

leles.

plus pal:al

6 20»——XVII. Le modele correspond au modele III, ayant quatre lignes

daoubles r6elles; les points doubles sur deux d’elles sont r6els,

sur les deux autres imaginaires ;

BA ZAXVUL

Les coniques generatrices sont des hyperboles ayant l’une de

Jeurs deux asymptotes parallele ;

Da l

Les-generatrices sont des paraboles;

LE

B

Surfaces meridionales.

La surfäcc, compos6e de neuf nappes, a huit points doubles

D .?afxx.

r6els et huit plans tangents doubles, dont six touchent la sur-

face suivant des hyperboles et deux suivant des ellipses.

—

LO XX1.

La surface, composee de sept nappes a quatre lignes doubles

dont deux passent par des points doubles reels, les deux

autres par des points doubles imaginaires

Il n’y a pas des

plans tangents doubles

- G ELE xx

La surface, composee de quatre nappes, a deux lignes dou-

bles reelles passant par des points doubles reels, et quatre

plans tangents doubles, touchant la surface suivant des ellipses

Y S72 XX

La surface est composee de cinq nappes

Deux des quatre

ellipses du cas precedent sont remplac6es par des hyperboles

4 — Q2U0-XXIV

La surface, compos6e de deux nappes, a deux lignes doubles

reelles, les points doubles situes sur l’une d’elles sont reels, les

points doubles sur l’autre coincident

Deux des quatre plans

tangents doubles coineident, les deux autres touchent la surface

suivant des ellipses

Les generatrices sont des cercles concentriques. Il y a quatre

4y — AO_XXNV

plans tangents doubles, qui touchent la surface suivant deux

couples de cercles tangent ’un ä& l’autre

4 2ZOXXVI

Modele semblable. Les generatrices sont des ellipses, de möme

que les courbes de contact

E — ADZXNU

L’axe des ellipses generatrices concentriques est incline sur

axe de rotation

Deux couples de points doubles coincidents

Quatre plans tangents doubles, touchant la surface suivant

deux cercles et deux ellipses

Z

SA

A

/R/M

A Pa

y

B

UE aM

‚„„;4£„‚./

76

B /7ß„„é„/ m„.%/ß7»« A

Wr — —

RR

kß/ﬂ/„„.4

II HE: Orn A RA £„7/AA/

»

;/$’ß'{/&

Imprimerie de P, Neusser 4 Bonn

ä

?...f/o’*0

GE

P

Yier Modelle

;ur Theorie der Linien-Complexe 5me}iten®taüeä.f

—O L>O0 ——

Ausgeführt

(nach Angaben von Dr. F. Klein in Göttingen)

von

Kigel «& Lesemeister

AMedhanifde Werkfätfke

CS1n a. Rh.,

n

In der Liniengeometrie *) bestimmt man die gerade Linie im Raume

durch 4 Coordinaten, für welche man die 4 Constanten F, 3, D, 6 nehmen

kann, die in der Gleichung ihrer

Projectionen vorkommen:

X

=. 73 + P.

E

a

Y

8& JE

Einer Gleichung zwischen

r, S, P, 9:

f (7'‚ S7

: 9) = 0

genügen nur noch die Coordinaten gewisser Linien, deren gemeinsame HEigen-

thümlichkeit eben durch diese Gleichung ausgesprochen wird. Derartige Mannig-

faltigkeiten von Geraden, die aus der Gesammtheit‘ aller Geraden durch eine

Gleichung ausgeschieden werden, bezeichnet man, nach Plücker, als Linien-

Complexe. Die geometrische Vorstellung eines solchen Linien-Complexes

wird dadurch schwierig, weil die unendlich vielen Linien, welche ihn con-

stituiren, den Raum vollständig ausfüllen, weil also das vorzustellende Gebilde

keine Gestalt hat. Um so mehr ist es wünschenswerth , Modelle zu besitzen,

welche der geometrischen Anschauung zu Hülfe kommen.

Die vorliegenden

Flächen-Modelle sind in diesem Sinne für das Studium der Linien-Complexe

zweiten Grades **) bestimmt. Aber abgesehen von diesem besonderen Zwecke

*) Vergl. Plücker, Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der

geraden Linie als Raumelement. Leipzig, B. G. Teubner, 1868, 69,

**) Ein Linien-Complex heisst vom Yıten Grade, wenn die ihn definiren?e Gleichung

f — 0 in den Veränderlichen 7, S, P, S und der mit diesen gleichberechtigt auftretenden

Verbindung (r — Sp) vom Yten Grade ist.

bringen sie eine Reihe Eigenthümlichkeiten der höheren algebraischen Flächen

zur Anschauung, von denen man ohne ein solches Hülfsmittel nur schwer

eine Vorstellung gewinnen kann.

Für Linien-Complexe zweiten Grades gilt der Satz, dass die Geraden

des Complexes, welche durch einen Punkt hindurchgehen, einen Kegel der

zweiten Ordnung bilden, sowie, dass die Geraden des Complexes, welche in

einer Ebene liegen, eine Curve der zweiten Classe, einen Kegelschnitt, um-

hüllen. Plücker untersucht nun insbesondere *) diejenige Fläche, die von

den Complex-Kegelschnitten gebildet wird, die in den durch eine gegebene

Gerade hindurchgelegten Ebenen liegen. Es ist dies dieselbe Fläche, die von

den Complexkegeln umhüllt wird, die von ‚den Punkten der gegebenen Geraden

ausgehen.

Diese Fläche, die sogenannte allgemeine Complexfläche, ist durch

Modell I vorgestellt.

E3

M

Die allgemeine Complexfläche ist, wie sämmtliche vier

AG7

modellirte Flächen; von der vierten Ordnung‘ und der vierten Classe.

Die ge-

gebene Gerade ist eine Doppellinie derselben.

Von jeder durch die Doppel-

linie hindurchgehenden Ebene wird die. Fläche in einem Kegelschnitte ge-

schnitten.

Für vier besondere Lagen der schneidenden Ebene wird der Kegel-

schnitt eine doppeltzählende Gerade,

Auf ihr befinden sich jedesmal zwei

Punkte, welche Doppelpunkte der Fläche sind. So hat die Fläche im Ganzen 8

Doppelpunkte. Dieselben liegen 8 mal zu4 in einer Ebene. Jede solche Ebene

ist eine sogenanute Doppelebene der Fläche, d.h. eine Ebene, welche die Fläche

nach der ganzen Erstreckung eines Kegelschnittes berührt. — Alle diese Eigen-

thümlichkeiten sind im Modelle deutlich zu übersehen ; man vergl. dazu Plücker’s

Neue Geometrie, n. 168—179, n. 215—224.

Die Modelle II und IIT stellen die beiden wichtigsten Particularisationen

der allgemeinen Complexfläche dar.

Im Modelle II gehört die gegebene Gerade, mit deren Hülfe die Fläche

AG8

construirt wird, selbst dem Complexe an.

Sie ist dann nicht mehr Doppellinie

sondern Cuspidallinie der Fläche; jede Ebene ‘schneidet die Fläche in einer

Curve, welche auf der Geraden eine Spitze hat.

Jede durch die Gerade hin-

durchgelegte Ebene enthält einen Kegelschnitt, welcher die Gerade berührt.

Die Fläche besitzt jetzt 4 Kuotenpunkte,

Die 4 Ebenen , welche 3 derselben

enthalten, berühren die Fläche nach einem Kegelschnitt. Vergl. Plücker’s neue

Geometrie n. 225—2832,

Im Modelle IIT ist als gegebene Gerade eine der ausgezeichneten Com-

Agt

plexlinien genommen worden, welche Plücker singuläre Linien nennt (Neue

Geometrie, n. 300, n. 305— 306). In jeder durch die Gerade hindurchgelegten

Ebene liegt ein Kegelschnitt, der die Gerade in einem festen Punkte berührt.

Die Fläche hat noch 2 Doppelpunkte und 2 Doppelebenen.

Modell IV endlich stellt die Söngularitätenfläche des allgemeinen Com-

plexes zweiten Grades dar. Die Singularitätenfläche ist der Ort solcher Punkte,

-100

deren Complexkegel in zwei Ebenen zerfällt, oder, was auf dasselbe hinaus-

*) Neue Geometrie. Abschnitt I und IM der Theorie der Complexe zweiten Grades.

kommt, sie wird umhüllt von allen Ebenen, deren Complexcurven in ein Punkte-

paar ausartet. (Neue Geometrie n. 312—323.) Es ist dies wieder eine Fläche

vierter Ordnung und vierter Classe.

Dieselbe besitzt 16 Doppelpunkte und

16 Doppelebenen. In jeder Doppelebene liegen 6 Doppelpunkte, durch jeden

Doppelpunkt gehen 6 Doppelebenen.

Es ist diese merkwürdige Fläche zuerst

von Herrn Kummer untersucht worden, der sie als Verallgemeinerung der

Fresnel’schen Wellenfläche auffand. *)

*) Monatsberichte der Berl. Akademie, 1864. Abhandlungen, 1866.

D DE —m

Steven’s Druckerei, Cöln, Brüderstrasse 13.

„a A NS N

ED Z G - AD TI

A

D A

Nan Z

(

SS

SNNS

SS

—4

Z aal

Ü\x(f\(\r.\(\( \AA

AA

— en i

DE

VV

w

NS

\r

\

/

(C(

Sn

wNS

S

Z

v QC(

VW

/\(/\CC /.\/\C

/

SA

e

SV

V

SN

SS

Y

V

(/1\/\

JSNANZAS

\ Z

DA

\(\/.\(f\(

vu

S

V

ME

Y

V

UE

\ cC£(

ÜV

C

VV

JC

Y

UU

ING

ﬁ&f/.\(;\

/.\(/\

N

4

ANAN

(((

<

(;(\C

\(c(((((

C<

Ug

(/\

W

N

\\ \r\((C

Wr

—n

V

O IMS

r.\(fa\r&((\

UU

W

r\(\/.\

V

AA

NZENG >

S

S

Z

:Ä„

wl

W

vv

\A

A

JM

VW

E

SN

W

M

vua

%(C

U

VE

M.\

C(\/.L/.l\

C

]

<

\Z

v

V

w

W

Y

S

E

(/«(i

. /

V

x

V

>

N

S 7 \A /1\

*

|

4S

A

‚

E

E

B e nm

n

n S

A

n

BED S

en

r inser

——

N

_

D

C

E

B

Oan

s

A

SAr

D

8

Z

i

8

8

..We.„‘

*

z

fr

Y

E

F

C

SE

z

«

r

e

&-

A

X

E

A

3

fn

A

|

w„„

..

}

.W

S

®

n

A

SV

A

.„\

x

E

Oa

;

S

C

/

S

*

ın

S

A

%

K

H

&e

Ma

5

W

e

*

%

S

r

A

e

x

E

B

5

E

E

E

SE

D

A

%,

KF

w„

D

f

R

ia

A

2

a

&

+

e

0

.

&.

„

Ü

a

6

1

e

SA

n

xW

B,

*

B

C

3E

%.

E

E

{

3

D

%

SE

„«

S

A

N

-

R

S

CN

e

f

„„

n

SE

K

n

W

E

e

|

&.

N

E

xx

Ü&

S

ö

P

S

5g

<

|

}

*

—n

®

“

Ar

„ at

Z

P

R

*

a

I

.

S

.„

z

>

är

T!

S

n

E

S

n

Sn

e

S

An

“

e

E

-

w

4

n

z

s

„

j

S

E

Ca

B

R7

S

A

Z

K

f

w

‚3

C

S

©

A

.

Al

O

R

ü

-

an

n

37

{

wr

®

Cal

P

A

n

D

A

N

“

ELE

x

M

0 Fa

e

a

_

e

Kn

W

‚e

M

S

{

E

Z

>

A

K

M

%.

e

H

E

>

r

E

>

Yr

5

m*v. u

“

Ü

A

&

‚„„

-

Ü

Z

A

B

S

bra

$

_„

A

Z

&M

N

E

U

S

A

©

D

DE

w

/„‚

w

®

‚ﬂW.

M

e

G

xx

n

.w 4

E

X

e

An

A

<

fn

A

Z

Z

.

’

E

Y

D

%

x

r

en

ﬂ@

E

4

®

*

A

R

&.

&.

&

z

s

8

K

Kra

ea

P

S

S

4

C

l

E

S

-

ca

S

n

M

>

w

e

B

Z

}

R

S

«x

Z

A

K

n

ä

M

E

-

i

x

4

S

n

Yr

Man

4

A

%

x

&

Fa

&.

M

m„

p

F

B

3

S

„m.

A

S

ö

K

.

S

B:

*

S

L

x

x

6

47

8

XT

A

%n

m.v‚

3

e

C

”

P

e

n

s

S

CR

O

cn

a

r

G

3

E

gleichung den zugehörigen Werth von

&, so dass es nicht schwer ist, die

Curven auch auf die Fläche zu übertragen.

Um eine symmetrische An-

ordnung zu erzielen, wurde jede Curve um einen bestimmten Winkel ZE-

dreht, so dass die Maximalpunkte der einzelnen Curven auf demselben

Meridian liegen.*)

Um zu der Differentialgleichung der Haupttangentencurven

zu gelangen, hat man die Bedingung dafür aufzustellen, dass der Krümmungs-

halbmesser des durch ein beliebiges Curvenelement gelegten Normalschnitts

19

unendlich gr0ss ist.

Unter Zuhilfenahme der Bezeichnungen von Gauss

(siehe Joachimsthal $. 53, Ende) lautet diese Bedingung

dy

dr

18

In

z

VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset

N

d

\

(

/(I)

)+ D“ —0,

36

Aus den Gleichungen

%

&

f();

——

TC0OS @:

ÜE sin rp

16

erhält man nun

DEZ @:

ä

DE

VE 7Zf/-

15

Setzt man diese Werthe ein und lässt den

l‘ä

gemeinschaftlicheu Factor r weg,

ä

sSo wird

S

S

14

)+ Pr

Z

M

d

/

cdr

13

(7(‚') Z

12

e—V

(()_'_'

- loe

E

Ö

11

Auf dem Modelle ist eine Haupttangentenecurve so aufgetragen, dass

E

Wenn dies

sie mit einer geodätischen Linie eine Berührung eingeht.

10

überhaupt möglich ist, so kann es vermöge der Natur der Haupttangenten-

curven nur in einem Wendepunkte der geodätischen Linie geschehen, von

deren Existenz wir uns also zu überzeugen haben.

Projieirt man eine Raumcurve auf eine Ebene, so werden im Allge-

meinen aus den Wendepunkten der

kaumeurve wieder Wendepunkte der

ebenen Curve, und wir können uns daher darauf beschränken, für die

Projectionen der geodätischen Linien die Wendepunkte zu berechnen.

KEinem Wendepunkt entspricht ein unendlich grosser Krümmungs-

6

halbmesser; für einen solchen muss also sein:

S

i

dy

d’y

5

4

}

r(/(‚‘()2

d

4

*) Die auf dem Modell angebrachten Linien entsprechen den Werthen:

—

j%

1=45°; 60°; 67° 724° 75° 7849; 84£0;

für welche der Drehwinkel 9 beziehungsweise ist:

3

80022

0

‚65

80%,8

4595 1095 326% 20 2502025 : 270%

Z

3

®L' Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com

3