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 Abhandlungen und Erläuterungen zu den mathematischen Modellen der Serien I - XII des Modellverlags von L. Brill in Darmstadt . a 73 8 F E S LE e o D - z w ‚E ® - C A e va r S M j X } 7 Y s v 7 ‘£ A ; ® a RA ß f A © UE Cr A Y S } 30 A E 3 A d A M S S 5 Üa © ‚IM 43 A d E &N Sa f 4 7n Ü %, Ka Z BA F Y Ü e % G 6 S } Zir ; ?"} S RS %e $ S MLEn Y 8 NS 5 % 8 N S A B 8 5 A N D 8 E a C IW X S€ a X S 3R } {# 3 5 i 5 SEr C A S G7 i 30 X S %i i R 1 vr A da ® X E SE A S 5 .(‚};; X Or n s i VB $ 3E &. E DE X 3 Ya E e ‚}%’ h: 8 S n e v M7 E AA S i} S Z E Ü % S A SR S %i ; 4 % D v An IM S 4S N e {A A 1 S % N D AXES ® <\: e Ü 27 K E WL 7R Ka A S $ OS n SE S E s e © = S 8 E Ln K S S b S _ > e . 8 M S - M ‘t. x A D } x kn HS X 5 \ 5a x NO ® N R ® Y a S 7 € E E Z @ * Bn f X Ü * K q 7 &® SEA H > ex 7 4 K ® S E MCa X D S 3ä_%” n E * m - S & % S E E R “# w X E C %>: f*"i \ r * A %i K ® E s 5 $ ® N &- %® X x a P \ € a R K V Cr © Tr 2 SEr A &Ä D O WEn V n 2 ban B ® ® e &. 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Abtheilung II. Unter TLieitung von Prof: Dr Brill Die Rotationsfläche der Tractrix mit geodätischen und Haupt- tangenten-Curven. Modellirt von stud. math. J. Bacharach f actrix in der Form an Nimmt man die Gleichung der ) {/r„ A fO)=C luo Y (siehe Salmon-Fiedler, höhere Curven, Art. 318), so entsteht durch Rotation um die -Axe die Fläche f(r WO Y z DE a s Y Die Fläche besitzt constantes negatives Krümmun mass Die erkennt man am besten aus einer Kigenschaft der otations- flächen, wonach die Hauptkrümmungsradien in einem Punkte einer solchen oleich sind dem Krümmungsradius des Meridians in jenem Punkte und demjenigen Stück der Normale des Meridians, welches zwischen dem Punkte und der Rotationsaxe lieet Der Krümmungsradius in einem Punkte eines Meridians ist p B S e E S — fll 2 "')l Je1 den Rechnungen ist die Grösse c gleich 25 Einheiten angenommen worden LA 2 Um die Länge % der Normalen zu finden, beachte man die Eigenschaft der Traetrix, dass der Abschnitt der Tangente in einem beliebigen Punkt derselben, gerechnet vom Berührungspunkt bis zum Schnittpunkt mit der Asymptote der Curve, die constante Länge c hat. Hiernach erhält man: C e . n= —C (— (2 Z S /‚/3 R wo das erste negative Vorzeichen davon herrührt, dass die Normale im entgegengesetzten Sinne wie der Krümmungshalbmesser zu rechnen ist Nun ist 2 C ///„ y? VE folglich TE Ve—r? W z L 2 also das Krümmungsmass O e ONn Die geodätischen Linien einer Rotationsfläche denke man sich der auf eine zur Axe senkrechte Ebene projieirt, dann ist die Gleichung Projeefion in Polarcoordinaten 7, @& (vergl. Joachimsthal, Anwendung der Differential-Rechnung ete. p. 142): dr M 42 1 2 ® € AA wo v eine Constante ist Für unsere Fläche erhält man: D= VC . dr l// P V L A 2 2 ({) D I() 1/"[Ö._‚ A l2 — i l/(-"'. V Es sei / der Die Bedeutung der Constanten v ergibt sich folgendermassen: Winkel, welchen die Projeetion der geodätischen Linie auf die x y-Ebene mit dem Grundkreis bildet (für welchen 7 = Cc), dann ist dr —V fo] ' cd P VC Ür G: x C era l// {£ fo)] daraus folgt: C: 6COSM und P= H67/ COS A —42 / (S (()\ A Dies ist die gesuchte Gleichung. Für jeden Werth von 4 bekommt man eine geodätische Linie; jede solche Curve erreicht ihren höchsten Punkt für 7=Cc.cos/, für kleinere Werthe von ” wird @® imaginär. Dagegen erhält man für jeden grösseren Werth ein gewisses @& und aus der Curven- 9 © „ G ‚ so dass es nicht schwer ist, die gleichung den zugehörigen Werth von Curven auch auf die Fläche zu übertragen. Um eine symmetrische An- ordnung zu erzielen, wurde jede Curve um einen bestimmten Winkel ge- dreht, so dass die Maximalpunkte der einzelnen Curven auf demselben Meridian liegen.*) Um zu der Differentialgleichung der Haupttangentencurven zu gelangen, hat man die Bedingung dafür aufzustellen, dass der Krümmungs- halbmesser des durch ein beliebiges Curvenelement gelegten Normalschnitts unendlich gross ist. Unter Zuhilfenahme der Bezeichnungen von Gauss (siehe Joachimsthal $. 53, Ende) lautet diese Bedingung: r {l r >+_ DD X d )2+ 2])’( 2A0 7 Aus den Gleichungen Y Fa N (r) r cOS rp Z Yy=r8in @® erhält man nun D=rf“; D Z 0 ]}I/ J }_2f/. Setzt man diese Werthe ein und lässt den gemeinschaftlichen Factor r w e& 75 sSo wird dr or F=Z0 „ d cdi (]77 bn ”rVc Z C p =log‘ Ö Auf dem Modelle ist eine Haupttangentencurve so aufgetragen, dass sie mit einer geodätischen Linie eine Berührung eingeht. Wenn dies überhaupt möglich ist, so kann es vermöge der Natur der Haupttangenten- curven nur in einem Wendepunkte der geodätischen Linie geschehen, von deren Existenz wir uns also zu überzeugen haben. Projieirt man eine Raumeurve auf eine Ebene, so werden im Allge- meinen aus den Wendepunkten der Raumecurve wieder Wendepunkte der ebenen Curve, und wir können uns daher darauf beschränken, für die Projeetionen der geodätischen Linien die Wendepunkte zu berechnen. Einem Wendepunkt entspricht ein unendlich grosser Krümmungs- halbmesser; für einen solchen muss also sein: dr d’r y? =0° \ d rP d *) Die auf dem Modell angebrachten Linien entsprechen den Werthen: r amO. 2= 450; 60“; 6 OE 724° 75°; 7841°; 84$°; für welche der Drehwinkel S beziehungsweise ist: d=122%7; 80°%8 45° 0°; 326%,2; 259%,25; 2709 J | 4 ? Berechnet man die hier auftretenden Differentialguoctienten aus der Gleichung der geodätischen Linien und setzt dieselben ein, so erhält man eine Gleichung für r, welche nach einiger Reduetion die Form annimmt: r=cVeosi. DE E E - Auf dem Modelle wurde die Curve A am / 2°20’35” ‚benutzt, für ihren Wendepunkt erhält man: An —Z 13,8. | R é ! E S AA HE S E E I5;uck vofi H Brll\v ifi Vvylr)rarrmstadt. Z SA TE \ . E e Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München. Ahbhtheilung IT. Unter Leitung v«;fi PrOf Dr. Brill. II Die Brennfläche eines Strahlensystems, welche mit der Fläche der Krümmungscentra des elliptischen Parahboloids in collinearer Verwandtschaft steht. Modellirt von stud. math. L. Schleiermacher. Die Gleichung dieser Fläche wurde von Herrn Seidel*) aufgestellt, als er die Brechung eines Strahlenbündels durch ein System von ecentrirten sphärischen Flächen untersuchte: sie ist die von den ausfallenden Strahlen umhüllte S annäherungsweise Brennfläche. Versteht man unter 2 ’ Y, rechtwinklige Coordinaten, unter v einen veränderlichen Parameter, unter A und % reelle positive Constanten, so lautet ihre Gleichung: y =ZW— A O2 AI — kg = (v + 4)%. (30 — A — 24). \) Z) Mit der Centrafläche des elliptischen Paraboloids steht sie in folgender Beziehung schreibt man die Gleichung des Paraboloids in der Form: 72 yo ON IL (47 *) Schuhmacher’s astron. Nachrichten Nr. 1027 ff., Monatsberichte der Berliner Academie, December 1872, _- fi E 2 E so ist die Gleichung der Centrafläche die folgende: (27 Z VD — — a—b 3 2 üln —OX 2 2 ?_ 23} } % ‚NR a— b ı— 0 E v + — S 0 2 _2), D DE ( worin unter v ebenfalls ein veränderlicher Parameter zu verstehen ist. Durch die lineare Transformation: 7 A X ED Z:.' Ö hnl und wenn zugleich E a— b ’ ala—b)= k Betı 2 der gesetzt wird, gehen die Gleichungen II in die Gleichungen I, über. dien Da wir hauptsächlich gestaltliche Verhältnisse zu erläutern haben, und bei geeigneter Wahl der Constanten, wie man sicht, die Gestalten S0 ( beider Flächen sehr nahe übereinstimmen *), werden wir immer von bei- den Flächen zugleich reden, bei analytischen Entwickelungen aber die Gleichungen I. zu Grunde legen. Bil Die Fläche, welche sich, wie aus ihren Gleichungen hervorgeht, zur XY- und XZ-Ebene symmetrisch verhält, besteht ihrer Natur als Centrafläche gemäss aus zwei getrennt verlaufenden Mänteln; diese er- strecken sich der Richtung der X- Axe nach in’s Unendliche und durch- Ebene Schnitte der Fläche bestehen setzen sich längs einer Doppelcurve. demnach aus zwei getrennt verlaufenden Curvenzügen; unter Umständen SO € können diese durch zwei selbständige Curven vertreten sein, wie das Z. B. ı- in den Schnitten mit den beiden Symmetrieebenen geschieht: jede dieser Ebenen schneidet die Fläche in einer gemeinen und einer Neil’schen Parabel, denn setzt man: y= 0, ind MS so erhält man, den hieraus resultirenden Parameterwerthen : der d Szum 2 A ÜE ( sind I f entsprechend, in der XZ-EKbene die Curven: 16 AJ 16 4 2 z 2) D 2 E A IV. V @ —D 27 k ( In der XY-Ebene B erhält man die den Parameterwerthen: \'nü E die *) Zur Construcetion wurde A4==1, k=— 24 gesetzt; das Modell stellt da- her sehr nahe die Centrafläche des Paraboloids: 'I„l\j_“lj Y? Z2 O a 2 dar, denn die vorzunehmende Transformation wäre: AA N Z—:-\‚ /10 XT | —_ 3 ')/ X A U — 4A WEn entsprechenden Curven: 1 16 4 16.4° = SE VE D y:‚ (TE {) 2 Y — A ]k 27.% 18l Die gemeinen Parabeln 2 O GE l(j — A) / — H6 A (x + A) k A k haben die Eigenschaft Rückkehrkanten der Fläche zu sein. Betrachtet man nämlich die senkrecht zur X-Axe geführten ebenen Schnitte der Fläche, welche zur Orientirung über deren Gestalt wohl am besten dienen, indem man Setzt: JEN, BEZ C = Const., so erhält man als Gleichung der Schnitteurve: ?hyn DE Ry G A 80r 4A C 6 VI. —k = ( ) A0 AD e 2c) Bildet Man hierfür : zur I v— A dy SO c).dw als V VA: BA ß VIL v A rch- dz .24 — €).dv, A A (‘hl‘\l i/_ I: . 30 — 2C uden so ergiebt sich für die bez. auf der Z-Axe und Y-Axe*) gelegenen Punkte . ] Ü A und v = z — A: dy E d eSET ( und OR d ö ( ;‚: Z ;Ig4']l in diesen Punkten sind also diese Axen selbst Tangenten der Curve. Daher müssen diese Punkte entweder Selbstberührungspunkte oder Rückkehrpunkte E S Y der Curve sein, denn die Curve verläuft symmetrisch zn den Axen. sind :L1301' ersichtlich Rückkehrpunkte, denn z. B. dy ist für v= 4 + dv Die Orte dieser Rückkehrpunkte sind die Curven mit d proportional. v= A und = — A, N d. h. die gemeinen Parabeln, wie behauptet war. ausserdem noch In den übrigen Punkten, in welchen die Curve VIL. von der Z-Axe und der Y-Axe durchschnitten wird, und welchen bez. die Parameterwerthe C —- n DE c+ A v — und da zugehören, wird bez. dı y O und dz 12 0, *) d. h. auf den Durchschnittslinien der Schnittebene bez. mit der XZ- und X Y-Ebene, 7 4 diese sind also gewöhnliche Maximal- resp. Minimalpunkte. Ihre Orte sind die beiden Neil’schen Parabeln, und nach Erstreckung dieser Curven ist demnach physikalisch zu reden die Fläche abgerundet. Von Interesse sind diejenigen Punkte, in welchen sich die beiden in einer Symmetrieebene gelegenen Parabeln durchschneiden, resp. berühren, Man findet folgendes: die beiden Curven der XY-Ebene schneiden sich in: o Va ‘.?c:1A ‘‚'‚Q;: — { 7 1 1G 4 I: /2 und berühren sich i - 1 / SE Ö'AZ_ g/ v V 'g/zti 4 A° \ Z die beiden Parabeln in der XZ-Ebene schneiden sich in: S s B Z T A und berühren sich in: 4 A} IX S E JE |< i‘_ 8 112. l/ Z Al 32 Jedem dieser Punkte gehören zwei Parameterwerthe v zu, für die Berührungspunkte fallen diese zusammen. Es zeigt sich, dass in diesen das Differentialverhältniss für die der Z Y-Ebene parallele Schnitteurve CN dy 0 ur dz —0 Wir wird und besonders bestimmt werden muss. Beschränken wir uns auf die CNl SS das reellen in Betracht kommenden Punkte Ü= 21 40 S AL l} S0 und bilden jenes Verhältniss für den Parameterwerth v= A oder, was hier dasselbe ist, für v = — ‚, so erhalten wir: En v — 2 DA X 0 m: dy . die d „ V Zl Dn „ e 30 + A — ‘::() 77a 3 Betrachten wir nun die erwähnte Schnitteurve im Abstande: CIN, 24 oder: { 3 (v — A)* SIM kı‚y k g° = (0 + A)%. (30—54), X so hat diese für den Parameterwerth v= 4 auf der Z-Axe a symmetrisch D X gelegene singuläre Punkte mit 4 Tangenten, denen die < angeführten Werthe von —— entsprechen. Die weitere Untersuchung ergiebt, dass an al dieser Stelle zwei Spitzen zusammenstossen. Die folgenden Figuren, welche Setz die Curve z==2 4 und zwei benachbarte ebene Schnitte darstellen, sollen Ö, den Verlauf der Fläche in der Nähe dieser merkwürdigen Punkte ver- anschaulichen. S 5 Sind 18 => Ül 4 EEZA X 3A D ı M TeN // )‘ AA FEA ED BB OS ä — L X / GE \ \ 1 % X U el Die Schnitt- und Berührungspunkte de Pa ıbeln gehören sowohl V dem einen wie dem andern Mantel an, es sind daher Punkte der Doppel- Curve in welcher beide Mäntel sich durchsetzen und zw? Z wie sich zeigen wird singuläre Punkte derselben. Die Gleichung dieser Doppel- curve soll nun aufgestellt werden. Ihre Punkte sind dadurch charakterisirt 4 ‘ dass ihnen zwei Parameterwerthe zugehören; nennt man diese v und v so müssen für die Punkte der Doppelcurve die Gleichungen gelten: (v‘— A) A) 30 + A-—2x)= k was 30' + A—22)= n 0‘ + A). ( 30 — A — ).‚()—‘(l/“+ 11)’ ( e _1 C DA= — R ‘ ( und führt Entwickelt man diese nach U und v dividirt durel die Bezeichnung Z e 0/':/_{ 4 und v die Wurzeln der Gleichung ein, so dass also w v—q.0 FEDp=0 sind, so erhält man folgende Gleichungen: l+„l‚ Oa "M—— (g’—) +24(x+ A)q-— { = 0 yiscl hrtcH q — 2p4+ d L 24Az-— A)q—24A°x=0 aus welchen folgt s al P=A(4 — 4%) }'M“ etzt man diesen Werth in eine der beiden vorhergehenden Gleichungen nlh n ein, so erhält man: Wr AA ver C —3 x q° }—— ———————— ‚q+2A’x=0 ...1 (M A oder: von d (4 — %) (4* — ; g 249 =0. (lei Jedem der beiden Factoren entspricht eine besondere Doppeleurve. g de Führt man erstens den Werth X — Q dure und den sich daraus ergebenden Werth Sym —— d é‚ A0 in die Gleichungen der Fläche I. ein, so erhält man die folgenden: Z DE ky* 9 x a hom q dl‘l' k A ): CUIV Nimmt man hierzu noch die Gleichung: Jede == S der X I[) ein so repräsentiren diese 3 Gleichungen eine Doppelcurve, die aber, wie man vor| Daher muss der andere Wactor sieht, nur imaginäre Punkte hat. Pn € ü Sq—24°=0 hins Z ZN die von uns bereits oben an einzelnen Punkten als reell erkannte Doppel- Man hat hierfür: eurve ergeben. f) ® J 2A4 #) 67 —q E a S » U — — AUS, q Gle Ia VED _a#V37 —4A © 9 D Z well Silzt Führt man diese Werthe von x und v in die Gleichungen der Fläche ein, so lassen diese sich auf folgende Formen redueiren: hez, 9 O 2 A)' (q + 4 4)® $a a ) k Ents 4 q Cur } 9) k! — E AAA }|[7 44 1), 2) und 3) repräsentiren dann die gesuchte Doppelcurve. Xl Die Doppelcurve ist von der zw ölften Ordnung ), denn schneidet man sie mit einer beliebigen Ebene '.‘\ )E] ARERULET 00 S Z 2 in diese Gleichung die Werthe d. h. setzt man an die Stelle von %, Y, ‘;]2\.\‘\‘ S Je z der *) Herr Caspary (Journal Crcllwßoréhardf, Bd. 81) hat die Flächen 3, und 4, I‘h'h Ordnung angegeben, als deren Schnittcurve dieselbe dargestellt werden kann. LO z von % X y, z in q, wie sie für die Curve bestehen, so erhält man eine Gleichung, welche, auf die rationale Form gebracht, für 9 vom 12. Grade ist. ILVE, Aus solchen Gleichungen bestimmen sich auch die Parameterwerthe q derjenigen 12 Punkte, in welchen die Coordinatenebenen die Doppelcurve durchschneiden. Curve mit den Suchen wir z. B. die Schnittpunkte der Symmetrieebenen, zuerst mit der XZ-KEbene Y=0 nachdem wir sie durch die Substitution: ‘ B q ’ d . y‘ homogen gemacht, so erhalten wir 12 Werthe von q, und es erhellt aus der Forderung, dass auch die X Y-Ebene Symmetrieebene der Doppel- curve, also auch ihrer Schnittpunkte mit der X/Z-Ebene, sein soll, dass jeder von diesen Werthen doppelt vorkommen muss. Denn jedem Punkt der Curve entspricht ausser einem bestimmten Werth des Parameters noch ein bestimmtes Vorzeichen der beiden in den Ausdrücken von y und z mal vorkommenden Wurzelgrössen: zwei symmetrisch zur X Y-Ebene gelegene Punkte unterscheiden sich also bei gleichem Werth des Parameters nur hinsichtlich des Vorzeichens der Wurzelgrösse in dem Ausdruck für ihre Z-Coordinate. ppl Führt man nun die angedeutete Berechnung der Schnittpunkte mit //: aus, so ergeben sich die Parameterwerthe derselben als die Wurzeln der Gleichung : (g‘'— 2 Ar9)‘ @ +44AryYır"=0 ’ welche, der gemachten Bemerkung entsprechend, nur Doppelwurzeln be- sitzt. Dass die Wurzeln eil, ,1;—_‚-_)‘/1 Q 4A bez. vierfach und sechsfach auftreten, sagt aus, dass in den diesen Wurzeln entsprechenden Punkten die Ebene bez. doppelt und dreifach von der Curve geschnitten wird. Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Punkte bez. Doppel- und Rückkehrpunkte der Doppelecurve sind. die ın der Durch eine analoge Rechnung findet man dann, dass XY-Ebene gelegenen Punkte ebra ( == DA GQ=WA lenn ebenfalls bez. Doppel- und Rückkehrpunkte sind. Diese Resultate zeigen die Wahrheit der oben aufgestellten Behauptung, dass die unter VIIL. und IX. verzeichneten Schnitt- und Berührungspunkte fl je zweier in einer Symmetrieebene verlaufenden Parabeln singuläre Punkte der Doppelcurve sind, denn diese Punkte sind mit den hier betrachteten d 4 identisch. m CN 1st ( M z Sche DU Defi Sege dere £fll\n Man M < A Ul Anch Druck von H, Brill Xin Darmstadt, ( A Z2 AA S Z3 Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München. Abtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill. [98 Die Centrafläche des einschaligen Hyperboloids. Modellirt von stud. math. W. Dycek. Die auf einer Fläche in benachbarten Punkten einer Krümmungs- curve errichteten Normalen schneiden sich. Der Ort ihrer Schnittpunkte ist die Centrafläche der gegebenen. Da die Krümmungscurven eine Fläche in zwei sich rechtwinklig schneidenden Systemen überdecken, so unter- scheidet man auch immer zwei Mäntel der Centrafläche, deren jeder. je einer der beiden Schaaren von Krümmungseurven entspricht. In der obigen Definition der Centrafläche ist auch der Weg zur Aufstellung ihrer Gleichung gegeben. Handelt es sich um die Centrafläche einer Fläche zweiten Grades, deren Gleichung die Form hat: 2 2 2 X E S A BEK E Ea 1 > + D A F » C (also einer Fläche mit im Endlichen gelegenen Mittelpunkt) so gelangt man unter Einführung von elliptischen Coordinaten zu folgender Flächen- gleichung : #) e SE SE *) Die Ableitung derselben, sowie ihre ausführliche Diseussion bezüglich des Ellipsoids hat Herr Cayley in seiner Abhandlung: »On the Centro-Surface of an Ellipsoid.» (>»Cambridge Philos. Transactions» vol. XII. pag. 319 ff.) gegeben. Vergl. auch Salmon-Fiedler’s analyt. Geom. d. Raumes, Bd. 1, Art. 207 und Bad. 2., Art. 244, (2; Aufl.): 2 z N —_ ByAy=A+H'A+Y=#C, che Ehbe __7CKB',Ü2_-—_(B_[_E)3(B_I_‚])=;{(Ej 4 — aßOZ=(C+ _‘_}:)‘°’(C + =WE, NN Örd in welcher der Kürze wegen gesetzt wurde: vo B—U0=4&, C——A:p’, A—B :7_ Die Parameter £& und » sind hierbei die erwähnten elliptischen Coor- hes dinaten. ;onstans erhält man also auf der Fläche zweiten Grades We Fürs - hes eine bestimmte Krümmungscurve des einen Systems und dieser entsprechend eine Curve auf dem einen Mantel der Centrafläche, welche von den Nor- dl'> S_ constans eine Krtimmungs- IN malen zu jener berührt wird. Analog liefert 7 g le curve des zweiten Systems auf der Fläche zweiten Grades und ihr ent- sprechend. eine Curve auf dem anderen Mantel der Centrafläche. Im vorliegenden Falle, wo es sich um die Fläche der Centra des Au einschaligen Hyperboloids handelt, wird man setzen: MN CY:::——(/12 A Z (l2, B 7)2, und folglich: Y} N a= b + e*; BED Ö y= d —0 E lı Bei anderer Wahl von 4, B und C gelten dann die sämmtlichen hier D0] angegebenen Resultate für die Centraflächen aller durch die erste Gleichung dargestellten Flächen. Betrachtet man zunächst die Schnitte der Fläche mit den Coordinaten- ebenen, so lässt sich leicht zeigen, dass jeder derselben aus einem Kegel- schnitt und aus der Evolute eines solchen besteht. Die letztere ist Evolute des zugehörigen Hauptschnittes des gegebenen Hyperboloids (der ja auch Der erstere entsteht N gleichzeitig eine Krümmungslinie derselben bildet). A als Schnitt derjenigen Normalen, die längs dem vorerwähnten Hauptschnitt, aber auf den zu ihm senkrechten Krümmungscurven errichtet sind. Diese IM / Normalen schneiden sich aber, weil das Hyperboloid zu jeder seiner Haupt- 20 Der geometrische ebenen symmetrisch ist, zu je dreien in einem Punkt. Ort dieser Punkte ist ersichtlich eine Rückkehreurve der Fläche, Und weil in jedem ihrer Punkte durch das anstossende Curvenelement und eine jener drei Tangenten (Normalen des Hyperboloids) eine Tangential- ebene an die Centrafläche bestimmt ist, so dass in jedem Curvenelement (Wwo sich drei unendlich benachbarte Tangentialebenen schneiden. Dies ist aber eben die Eigenschaft eines Elements einer Rückkehreurve. Die in den drei kon Hauptschnitten gelegenen Kegelschnitte bilden also Rückkehreurven der \ Fläche. I’L} Der Schnitt der Fläche mit der unendlich fernen Ebene, der durch PL)\* Homogenmachen der Flächengleichung leicht erhalten wird, wird gleichfalls von einer Evolute und einem Kegelschnitt (der auch, wie in den Haupt- F“ 74 yildet Die unendlich entfernte ebenen, Rückkehreurve der Fläche ist) g Ebene verhält sich in dieser Hinsicht wie eine Hauptebene der Fläche. Jeder Hauptschnitt besteht nun aus einer Curve der sechsten Ord- nung (die einfach gezählte Evolute) und einer dreifach gezählten der zweiten Ordnung (die Rückkehreurve). — Dies zeigt, dass die Centrafläche von der zwölften Ordnung ist Im folgenden soll gezeigt werden, dass die Fläche eine Doppelcurve besitzt welcher die beiden Mäntel der Centrafläche sich durchdringen. ades Wenn die der Fall ist, so muss ein Punkt des einen Mantels, de 1nem hend bestimmten Werthepaar (£r7) entspricht, zusammenfallen mit einem Punkt yegeben Nor- de anderen Mantels, der durch ein anderes Werthepaar ( &, Mı) ung ist Dadurch ist die edingung für die Existenz de Doppelcurve und ent gleichzeitig ihre Gleichung gegeben durch KAE,Y) = X E1 N4), W &, )= W (Ey Nı) PE D = &, A, , des Aus diesem System von Gleichungen lässt siel durch Elimination von S e und eıne Beziehung zwischen © 1 ( und %7 herstellen, welche dann der < ä Doppelcurve entspricht s empfiehlt sich jedoch statt S N, Sır Yı ZU- nächst vier andere Parameter einzuführen die es dann durch ein geeignetes liminations- und Substitutionsverfahren ermöglichen die Coordinaten der hier Doppeleurv als nur von einem einzigen Parameter abhängig darzustellen. hung Setzt man nämlich (DA & LE BD afen: @ P (© D)® ( E ®) a=® P (© olute / Z I) (© q } auch so folgt durch Substitution dieser Werthe in die erste der obigen Gleichungen teht und Ausrechnung die folgende jedingungsgleichung füı die Existenz le nif Doppeleurve: Diese 2.@P(a* + &) [P*(360?+ D?+ 3(0° — 0?*) — pf Nh P(a* + P O0.1+0 @*) + (a* @)*(3 @* +@?-+3)]=0 2 \C he, und aus den beiden andern anal » Gleichungen in O und C und Substituirt man hier: Cn al @* — @’=X, 56 SEA SS ment (woher dann: O© =— X aber 43VX o=—34V2 drei o gehen die obigen Gleichungen über in: kommt) . der BV Y=3X v + D)|[P*3X 3 PVX+ YX+ ( —+ 4]))> (Y+3)(a? + @P)?] B 2 2 } 8 ı e (Y+3)6*+ arch PVY—3X @+ @P)[P(3X*+ Y) 1>([/‚\+ TG + ‘l'}j q = 0 I P.YVY—8X(—c?+ P)[PH3 X?+ Yı — 3 PVX+ XX 1)(—e?+ y)) (Y+3)(— 0 + P - . lll’ FD C SEA Diese Gleichungen werden unter anderem befriedigt, indem wir setzen: W= C und die beiden ersten eckigen ]\141111\19114("[01m)» 0 2 Unter Berücksichtigung, dass dann 4 SE AB ?, b° + B=— @« wird folgen unmittelbar die Beziehungen: BUE &— B +3 P \+Y 248 3 Y { Diese Gleichungen zeigen, dass sich P X und Y (und damit auch z @ und @) durch einen einzigen Parameter O ausdrücken lassen. Dies geschieht indem man setzt }/Pj‘ 3=6(X+1). Diese Substitution liefert dann auf die endgültigen Gleichungen ? u S, W. —ßBya x = @E, angewendet, die folgenden Ausdrücke für die Coordinaten der Doppel- curve abhängig vom Parameter 0 f) (()((xäp’)Aa) (0(x« — ß) +28)' (0(8 — 7) —9° —-ß:/(t D (20+«Xxß)( @a D OC o’\—!—p) o Z @)® ((;(,f——(()»‚— m &« b? < (Q20+ &« B)( l j—92)* (0— 1) 0° (o( Ür )' —+ 304ß +&ä«ßcC - Qı Q O0 rrra @ß 2 wobei der Kürze wegen gesetzt wurde GEZZ0 7 S mi Die Untersuchung des Verlaufs der Doppelcurve zeigt, dass dieselbe in jeder der vier Hauptebenen (die unendlich ferne Ebene mitgerechnet) Ihr 4 einfache Schnittpunkte 4 Doppelpunkte und 4 Spitzen besitzt Ordnung bestimmt sich daher zu 4.1 + 2+4 . I — v 4 In Bezu auf die Hauptschnitte der Fläche nehmen diese Punkte folgende besondere Stellung ein: Die vier einfachen Punkte der Doppelcurve sind imaginäre Doppelpunkte der in dem betreffenden Hauptschnitt liegenden 1 Evolute. In den Doppelpunkten der Doppelcurve berühren sich der Kegel- schnitt und die Evolute des Hauptschnitts; diese Punkte bilden die Krüm- mungscentra der (imaginären) Nabelpunkte des Hyperboloids. Die Spitzen der Doppelcurve sind Schnittpunkte der beiden Curven des Hauptschnitts. Für alle vier Ebenen sind die einfachen und die Doppelpunkte der Curve i imaginär, die Spitzen sind reell oder imaginär, je nachdem 7 — « ist / Z ä 5 Tabelle der in den Hauptebenen gelegenen Punkte der Doppelcurve, geordnet nach der Aufeinanderfolge der zugehörigen Werthe von 9. Fall: V - Ö U | (Z ___'Ö2„2 A ehe? ÜE 6) 0 Reelle Spitze.**) 7i(( (_0‘—7)3 R 28 Az 0 7 ßß (!—r [84 Imag. Doppelpunkt. n s AB NS 7 2 7 Imag Heirnfa‘cher Punflkt. _/} 0 BF p)z /3f) Imag . einfacher Punkt. U xB XN 0 Imag [)oppglpunkt}.„ E EL Y} (a—f)’3'T B (y— «)? 0 Reelle Spitze. B7 « (B—))* a (B8—y7)® i’) EB a (B—7))* 0 Reelle Spitze. («—8)* y («— ß)® 7(afß)3 Z 7 n Imag. Doppelpunkt. B ß E, —Llß jzj’ [24 2 Imag. einfacher Punkt. KB ß.’ AT 7 Z 0 &« 2 1 CO Rag Imag. einfacher Punkt. Cn Kn &s Z 6 ) 0 0 7 1 | Imag. Do})1>0}ä#lfkf-. H4 y° («—8)* CD } Reelle Spitze. Wl BD E Von der Doppelcurve ist also reell der verbindende Zug zwischen 18 N der Spitze in zx=0 und der in z=0 und dann die Verbindung der Spitze in y=0 mit der in der unendlich fernen Ebene gelegenen. Wegen der Symmetrie der Curve zu den Hauptebenen stellen obige Werth- systeme je acht Züge der Fläche zugleich dar., n *) Der im Modell dargestellte Fall. **) x bedeutet hier wie im Folgenden einen Proportionalitätsfactor, w=0 die Gleichung der unendlich fernen Ebene, 0—7 /[/ n In dem Für den Fall 7y < « wird die Doppeleurve ganz imaginär. speciellen Fall 7 = « fallen je zwei Spitzen und zwar die in der Ebene w=0 mit der in der Ebene y=0, ebenso die in zx= 0 mit der in z — () zusammen. Diese drei Fälle lassen sich mit Hülfe der Modelle leicht übersehen: y >« ist der dargestellte Fall. Je mehr sich 7 dem &x nähert, um so näher rücken die Spitzen in ?= 0 und & ’ ebenso nähert die in y= 0 E sich der in der unendlich fernen Ebene gelegenen. Für PE & fallen sie ZUSsSamMMe€N. Die beiden Flächenmäntel hängen reell nur mehr in diesen beiden, in der xy-Ebene und in der unendlich fernen Ebene gelegenen Punkten, von denen also, wegen der Symmetrie, je zwei existiren, zusammen. Wird nun y<«@, 80 hört auch dieser letzte reelle Zusammenhang auf und der eine Mantel (welcher dem System der elliptischen Krümmungscurven des Hyperboloids entspricht) steht frei innerhalb des andern. Die Doppel- curve ist ganz imaginär geworden. Die oben aufgestellte Bedingungsgleichung für die Existenz der Doppelcurve wird noch befriedigt durch die Bestimmung: EZ0 Dies ergibt aber sofort £ = 1 und damit folgt eine weitere besondere Curve der Fläche, gegeben durch die Gleichung: — Bya z = (a* + yab'y” =0*+ o 2 2 :;(—(}2 S / | &)%. + a«B602 Diese Gleichung stellt acht imaginäre Kegelschnitte dar, welche zu je zweien auf einem durch den Coordinatenurspruug gehenden Kegel liegen. Diese Kegelschnitte sind Rückkehreurven unserer Fläche, so dass diese im Ganzen (mit den in den Hauptschnitten liegenden reellen) 1 D d Rückkehr- curven (und zwar Kegelschnitte) besitzt. Bezüglich der Anfertigung der Modelle mag bemerkt sein, dass hiebei das Axenverhältniss des Hyperboloids a:b:c==5:2:1 zu Grunde gelegt worden ist. Numerisch berechnet und construirt wurden von der Fläche die Hauptschnitte und noch je zwei Parallelschnitte z= 1 und z=2 (die Höhe des ganzen Modells = 4 genommen). Von der Doppelcurve ergaben sich die Spitzen durch Construetion (oder Berechnung) sofort; ausserdem wurde von ihr noch je ein weiterer Punkt berechnet. {/ A m U N l 0 U IC N N ), d 2 CF _ C u|'m‘kl v-nn 1, Brall dn Darwstadt, P Z4 Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen institufdes k. Polytechnikums in München. Abtheilung IL Unter Leitung von Prof. Dr. Brüill. IV Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid. Modellirt von stud. math. K. Rohn. - Die geodätischen Linien können durch die Bewegung eines äusseren Einwirkungen entzogenen materiellen Punktes auf der Fläche beschrieben werden. Im vorliegenden Falle, wo es sich um die Bewegung auf einer Rotationsfläche handelt, lassen sich die Lagrange’schen Differentialgleichun- gen durch das Integral der lebendigen Kraft und das Integral der Flächen- räume in Bezug auf die Rotationsaxe ersetzen. Das erste Integral liefert: Z wo v die Geschwindigkeit und A die Integrationsconstante ist. 5 V Das zweite Integral ergibt die Gleichung r p= Const., wenn und @ die Polareoordinaten in der Aequatorialebene sind. Nun treffen wir folgende Bestimmungen für die Anfangslage des Punktes: für @— 0 und r=r, sei v=vw und zwar parallel der Aequatorialebene gerichtet. Hieraus bestimmt sich unmittelbar: 2 h= Z 4 Const. = 7, . % und man erhält: ).2 ({-); E l): ‘2 ( 2 i Z S v 0 A wo noch die Gleichung der Fläche: @— F(r) = 0 hinzu kommt. 7 2 Die Integration ergibt: dr ( VEn — = = V PE OLA AA 7 —V 2 Vr o Ist die Rotationsfläche ein Ellipsoid, also: F'(r) ‘-_E%V/f 185 so sind £ und @& gegeben durch die Gleichungen : e 1 (de Va Z = EK WE E de.Varze (P 27 b @ 2 V. 2 07 wobei 02__ S 2 die numerische Excentriecität ist. Die weitere Behandlung dieser Integrale besteht zunächst ın der Zurückführung auf die Normalform und dann in der KEinführung ı der A @©- Funktionen, durch welche @ und ; O schliesslich dargestellt erscheinen. Den ersten Zweck erreichen wir durch die Substitution: Z e 2 —==% 9 a 2 == ]\'2, 70 wobei &?<1 und positiv, ferner: S n —— — z an sin’am (i&« + K,kh). € 4°am(«, k‘*) Die Gleichung für & ist für unseren Zweck nicht weiter von Interesse, die Gleichung für @& wird: E n ( k?x*dasinam(inx+ K)cosam(iax+K) /am(ix-+K) ® z 2 1 —w r C [1—*?sin’am ia +K)z]V1— .1 —k® Bezeichnet man das Integral erster Gattung mit %, das Integral dritter Gattung in der Jacobi’'schen Normalform mit I7 (w, &), so kommt: S Vra ® ( jl(lllu A ijd (IT (u,i« + K)). Für @ =0 nimmt % den Werth K, also z den Werth z an, d. h. der Winkel @ wird vom höchsten Punkte der geodätischen Linie aus ge- rechnet. Ist ferner @6 = 0 für u=0 oder 2.=0,80 ist: P—% u+4Iu,i«-+K), &S DE oder: ‚ H’ (i«) O, (u— ia) 4 AT O.u+ia) } Po H (C«) U S '/'7 wenn man @- Funktionen einführt, welche durch die Gleichungen definirt sind : U @6 (u) = 1—29 c0o8s VL Z {- i 2q*co S —— — K K T DÜR 2 Z2mu (-)Au):1—{—'2_qcos’ K K TU S d° sin — . H(u) = 2g% ( K / 205 .3„” u Z RA H H, ( = 9q* (cos 7% S q K Um von der zuletzt abgeleiteten Formel Gebrauch machen zu können, müssen noch die imaginären Argumente durch reelle ersetzt werden. Man erreicht diess dadurch, dass man tg w bildet, wodurch die Gleichung übergeht in: 1 ©, (u + i&«) — O, u — ia) E A E Z . AA An &) Die rechte Seite kann nach Jakobi (Sur la rotation d’un corps solide) durch einen reellen Ausdruck ersetzt werden, so dass: qa —d sin 20 + q“ 21 (1 — g* sin4v) + tg le/ = — 1 E DE TEg OLE hierbei ist: VL K} 2K Ka —] Nun ist aber: . H' (ic) { K ) TU& w % 7’ RR f ([) 0 S + ‘ H(i«) E Ka 3Ka Also vu I(/ ’ ) Ka m a ]’{l %X ) 7& E + N tg'(@ E U LLn Ka / )_ TE en n E ]n ’ ) 2KK‘‚ nm Für 2=% ist u= K und #=0; es ergiebt sich demnach der Werth von %,, wenn man in die letzte Gleichung für u den Werth X einführt. Wir erhalten so als Schlussgleichungen unserer Aufgabe: Z — o: Sin am u = Dn Z H (123) . — A k © (u)” und: 22 — A ( FEB DE ](/ 21 ) IU& EB E $+|— Ka + - H KK (I’—M)) LE O u ( ’](4 } ) — Diese Gleichungen stellen D Z und ®© als Funktionen- der einen Variabeln u“ dar. D ® 4 Numerische Berechnung der Werthe der Coordinaten e1NeEI geodätischen Linie. d — 9 b also A Z J ] Die Achsen des Ellipsoids seien Fa dann kommt ferner _ sei 2%,= 2 496 LO rm S6758 K 1684 K'= 2,162; Q = 0,0177; Z 00695 f 1 a V/„ . H S e d C 1—2gqgcos24 S Diese Anzahl Gliede genügt um G auf 4 Deecimalen genau zu erhalten. | I IT TU IT 7U 7U u“ K | | 0 | 2 2 ]} 6 10 1)\ P 2,000 ‘ 19 g JO | 1,698 1390 )‘\‘)1 16 1 0,347 | 0,000 ä q (1 — r/“) sin 20 to RE (P 1,2950 (K — wu)) = B € 20° l(} —r j)[) CcOS ' 7U 7U IU 7U K Ö a 3 4 6 10 K f y 0| 9° 49° J 3 41 } 1208 ‘)()°/18“ 1OPAT E 113° 4 5° 9 = 124°57 Z} Die Schlussgleichungen sind ın solcher Form &eo (>])(\„ dass” „ die Maxima der geodätischen Linien aut gleichem Meridian MEn 0 honcn. P= Die In Grenzlage derselben bildet der dazu senkrechte Teridian Lassen WIr das Maximum immer tiefer sinken bis es mit z =— ( zusammenfällt so geht die geodätische Linie in den \equ*tmmllugp d. h. in ihre andere [M (;1011/l&g@ über. Welches Stück de s Krei sSes nun als Periode aufzufassen ist, erkennen wir <*hvnfid s aus den obigen Gleichungen wenn wir nur zur Grenze übergehen und dann den Werth von 2@ bestimmen. Es wird K=—O A j Z ) ? L GE 41 v1 A dx a — ama a+ b * 5 a — b)? 1—% U H'‘(0«) T cos (£«) Arg o S da sich die Reihen von H i@x) und H(i«) 2 sin (4 &) } O ist H(i«x) auf das erste Glied reduciren, indem q= e“ (‚”“ [64 T (27 7U _.__(PO::_„___ &% [84 2 € e Da der Radius des Aequatorial-Kreises ==b ist, so ist dasjenige Stück desselben das als Periode aufzufassen ist =4.7. Es ist dies die grösste Bogenlänge des Aequators, die noch die Eigenschaft besitzt, kürzeste Linie zu sein (Jacobi Dynamik, p. 46.) I.)1;’\(k von II Bxill in I)axu.\stadt N Mathematische -Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytech'nikums zu München. Ahbtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. BrilL V € a Die s . zeodätischen Linien durch die Nabelpunkte auf dem dre } 1- ° ıXI S O € D > n Ellipsoid. Modellirt von stud. math. K. Rohn. Jakobi hat in seinen Vorlesungen über Dynamik die Gleichung der geodätischen Linien des dreiaxigen Ellipsoids in elliptischen Coordinaten abgeleitet und ist zu der Gleichung ;_l‘<*l;\1);_ä‘f / Z / 2 Ag Const. A 2 J%d [‚/ (a +A,) (a 4, )]„„+ ANBE2) + V 2 ( 4] (a AAA wenn die Gleichung des Ellipsoids: Z (47 ist. (47 Sr :;j + ((" = 1 und gleichzeitig @, <&a Die Gleichung der hierzu confocalen Flächen zweiten Grades lautet: z < 2 Y Z D 2 a L/ a v O FÜl 0 kommt das Ellipsoid selbst. Liegt 4 zwischen © und —4,, so stellt die Gleichung die confocalen Ellipsoide dar, liegt es zwischen A, und —da,, die confocalen einschaligen Hyperboloide, liegt es endlich zwischen und die confocalen ——fl__) d zweischaligen Hyperboloide. » » Durch jeden Punkt gehen solcher Flächen, da die Gleichung vom dritten Grade in Bezug auf Z ist, und zwar von jeder der 3 Arten eine. Liegt der Punkt %,, z auf dem gegebenen Ellipsoide, so wird eine Wurzel = 0, © und es gehen nur noch 4 Flächen des Systems hindurch, welche, wenn man 4, und /, als ihre Parameter betrachtet, umgekehrt den Punkt zy2 festlegen. 2 A, = Const. und 4, = Const. bestimmen also auf dem Ellipsoid z A 2 Dn zwei (sich rechtwinklig durchschneidende Curvensysteme, die Krümmungs- linien ichung gibt den Parameter des- Die Constante @ der Differentialglei 5 S jenigen Hyperboloids resp. (lu1)(1ufl0u Krümmungslinie des KEllipsoids an, welche von der geodätischen, „inie berührt wird Aus der allgemeinen Different 1«\1"1(“(‘111‘1)" folgt <iahc als Gleichung der geodätischen Linie durch die N Nabelpunkte : Ä (l/ Ad/ % S Const = J } — AVAC (a +/ + /V X a +/ Vıa + A)(@, AA 2 odeı Wenn Wır die Constante durch das bestimmte Integral ( Ad/ ersetzen | ) 9 / (a, EA)VA(a, + (A, + S Z Ad/i Äd/ 0 Fa OTA n OE «S EREU E Z E — ( S‘/‘g Vla ) (a II —G, E VÜl (« L/)m +/ Die Constante — &% gibt dabei denjenigen Werth les Parameters / % an, für welchen das zugehörige confocale einschalige Hyperboloid den Punkt de geodätischen 14 T inie auf der Ellipse in der XY-Ebene ausschneide Die Normirung der vorliegenden Integrale geschieht durch die Sub- stitutionen : A a 4 A, + A == >Hl (t’))( Ün D == 51n AMU E D *am C; W (} A, on ( KTr a EB Z a [£7 = S1n‘AM E} En k a wodurch denn unsere Gleichung übergeht in: Z w 4°amu du d’amudu . (1—/. sin’am(s+i K)sin’amu‘) } 1—%? Sın am +4iK‘)sin’amu) oder in ‘ E Cos aM (& +4K*) D Ka C . \lll (l )ll s+i K)4am(e +LK’)I_(‘U(„IW +i7 +[«lflw c+LK')] « 0 X indem man mit Jakobi die Benennung einführt SINAM € C ()\ (t7IL € ‚4dame. \1)] *am l( AA d 1 - k? hlll am € Sin (“71 u HÜ N= y i o Durch Integration folgt < cos‘am(£+iK (s+i K 1 au-—-s-iK)O(u € K)OC+ + A LEA Z [ cosam(s +&K’ (s+iK”) ] ? SQUW+e+1 K)OuU+8+i K)OC- —iK) und durch weitere eduetion ergibt sich daraus die Gleichung ()'( l‚'(u ———:) H (u — €) H(£—[—«) 704 0 (w Ya + 9 0() SHW+) Hu+s) Hec—s % D} I zu einem beliebi NE- Diese Gleichung ist jedoch nicht geeignet wählten u das zugehörige w‘ zu finden; wir werden ihr desshalb eine Ge stalt &€ en, 1 der sie nur noch w-+w‘ und u—w‘ enthält und zwar in einer Verbindung die bei willkürlicher Wahl der einen Grösse die andere leicht bestimmen lässt Man erreicht diesen Zweck durch Anwendung einer Formel welche der von Jakobi in seinen Fundamenta nova p. 155 ebildet ist nämlich gegebenen analog \ H( u——.c H (u— H (2v0—6) )8 2(v‘) — s* 0 —& )1.1s 15 ;?(0) — 870 SEETEENT )\ H (u-+ <) 7E u €) HQv0+<) !s 2y)— s + e)t. 167 />«S(l—fl)" 4 (Z e wobei. v — ar SO e und S —— OI aAm ‘) Die obige Gleichung verwandelt sich hierdurch 1( 2(2 v—c) C H20 E }} H((+.> S (u)-fis (v+ E s* (v') — s*(v —+ ©) C 9,() , FE F H( H(c & c‘(b) N vH SEl /)_____S M VD — )1 Ür S folglich \Hl (( M ( }1v (v) \m a M ( an &) Sın aAM U S F@) 1 I u-— w _1 Wählt man in dieser Gleichung © = — beliebig und berechnet v“ — — Fa _a S so erhält man BT, == 1°amu nd = 4°amu r Die rechtwinkligen Coordinaten %y bestimmen sich alsdann aus den Gleichungen Sın aAM u SE sSnam u B A sın am Va S e Y V(sm am u — sin 2 c) (\111 ((m E xm am u) R Zn y 77 SINAM € 0SAM X (‘0‚\ AMU , C0S am u“ NN Va cCos am Kehren wir zu den Gleichungen für A, und / zurück, so lässt sich u+ w“ ELn =+nK daraus leicht nachweisen, dass für den X dhelpunk‘r selbst v = ist Alsdann wird nämlich wo % eine ganze Zahl bedeute H20 — L) s v v) —- S ( = 1, demnach mus H()'o+ ) S ..L’ —$ S Ü — ') (2n K (v)—— (: +n K) K Z °) O' (5 H(c—l— Se1In, e cfinK A} HCI s?w') - Die linke Seite ist von der Einheit \(‚1.sdn(‘d(\n‚ also muss es auch seın woraus man d HE e rechte. Seite sein;, d. h. es muss s’@w)==s"(e+n K % 2 2 A E erschliesst 4°am ( ) — 4’am also 4 Nimmt S den Werth 0 + K +2K an, so erhält man einen () 4 1 u von 2 gegenüberstehenden Nabelpunkten jedem Werthsystem von L 4 zwischen nX und (n+1)K entspricht >ın von diesen Punkten eEINSE- schlossenes Stück der Curve eine Oseillation der Curve Die geodätische Linie besteht aus unendlich vielen solchen Oseillationen wie man unmittel- bar aus ihrer Gleichung schliesst ın da diese u-—+ u 2 verschiedenen Verbindungen enthält deren eine eine reelle Periode besitzt nicht abe die andere Numerische Berechnung einer geodätischen Linie D Die Achsen des Ellipsoids seien @& —«Vl (87 :V a=V ) Man erhält dann m7, Iß e 0,814 550 / )Ho) K _12 878 A 2,0 Fn)(-)(,2‚ n q 0,06822, qg‘=0,02533, TT TW:E <d@ 0,84227; E S @,/ (8) SE —0 z /J({) 2K 6, ( Machen WIr noch die Voraussetzung dass der Anfangspunkt de Linie auf de mittleren Achse xeodätischen lieee so. wird c€= K und demnach B K-+ HK Für die einzelnen l’unl([o stellen wir das Schema ) auf u-+u‘ 2(20— —K) O, ‘(e) Z l<>e Ig (+) H20 — Aö |s?(D-Ee ) S UD— ) S-(@©) F(v) { S (1;) 49 | ()‘(\ H(27 + E AAA E R 8 K 0 00( )00 10 99010 0 ()2913 —3,000 i (-+) 0,00000 0,63385 — ‚58‘)1) 0(7.3385 —1 000 ; 2K 0,11561 (-+) 0,58209 0,91087 | 0,02716 0,36163 —0,81866 | 0,51307 —1,167 —22,935 i K 0,23121 (—) 0,13597 (6414 0,22210 0,10744 / —1,29787 | 0,45 -1,58 ) —2,645 | 0,34682 (—) 0,00000 .02 2 0n A 0 VDE d 2,000 / 000 Die gleichen Werthe muss man für / und / erhalten, wenn man der Variablen u + w die Werthe von K bis ıK beileg W1e man un- mittelbar daraus ersieht, dass die geodätische Linie durch den Punkt /; 1, 4 = - —3 nnd durch zwei sich gegenüberliegende } Nabelpunkte geht A\uch aus der Gleichung zwischen v und 4 lässt sich dieses Re sultat ableiten indem man für 24 einmal K+2 das andere Mal K setzt woraus sich denn gleichzeitig eine Controle jener Formel ergibt ) Dieses Schema wurde im Ganzen für 24 verschiedene Werthe von u zwischen den Grenzen X und —3 K berechnet, was 5 Oscillationen der Curve ergab e W I€ N Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechr_1ikums zu München, Ahtheilung I. Unter Leitung von Prof, Dr. Klein. NI: Drei Modelle der Kummer’schen Fläche. Modellirt von stud. math. K. Rohn. der zweiter Bei Untersuchung Strahlensysteme Ordnung wurde Ii.0 Kummer bekanntlich zu einer merkwürdigen Fläche vierter Ordnung und vierter Classe geführt, . welche 16 Knotenpunkte und 16 singuläre —d 90 O Tangentialebenen besitzt. Es sind specielle Fälle dieser Fläche, welche in Plücker’s Untersuchung der Complexe zweiten Grades als Complex- —9640 z flächen bezeichnet sind und von denen Plücker eine grössere Reihe 2.000 von Modellen anfertigen liess. Es hat dann später Klein eine Serie von vier Modellen erscheinen lassen (Cöln, Eigel-Sohn), welche den allgemeinen Fall der Kummer’schen Fläche mit 16 reellen Knotenpunkten und ausser- Das dem die drei wichtigsten Arten der Complexflächen versinnlichen. erste dieser Modelle ist jetzt mit Aufzeichnung der Berührungscurven neu hergestellt worden und ausserdem wurden zwei andere Fälle der Kumme r’- schen Fläche hinzugefügt, welche bloss 8 resp. 4 reelle Knotenpunkte besitzen. Nimmt man noch ein Modell der Fresnel’schen Wellenfläche hinzu, so hat man alle Gestalten, welche überhaupt bei der allgemeinen Kummer’schen Fläche auftreten. Die 16 Knotenpunkte der Kummer’schen Fläche liegen zu je 6 auf den Berührungskegelschnitten der 16 Doppelebenen und dualistisch: die Doppelebenen umhüllen zu je 6 die Berührungskegel der 16 Knoten- T D © D 2 punkte. Weiter sei bemerkt, dass die Doppelverhältnisse der 6 auf einem :g Kegelschnitt liegenden Knotenpunkte für alle 16 Doppelebenen und auch die Doppelverhältnisse von 6 einen Kegel berührenden Doppelebenen für alle 16 Knotenpunkte dieselben sind. d Sind alle 16 Knotenpunkte und folglich auch alle Doppelebenen reell, so erhält man eine aus 8 tetraöderartigen Theilen bestehende Fläche, wie es das erste Modell zeigt. Lässt man 2 der 6 auf einem Kegelschnitte liegenden Knotenpunkte zusammenrücken, so muss Gleiches auf allen Kegelschnitten geschehen und auch von den 6 Doppelebenen, welche den Berührungskegel eines Knotenpunktes tangiren, müssen 2 zusammenfallen. Man erhält dann die allgemeine Plücker’sche Complexfläche mit reellen Singularitäten; sie be- steht nur noch aus 6 Theilen, von welchen zweimal je 2 längs eines Stücks der Doppelgeraden an einander stossen; zwei der 8 Flächentheile der Kummer’schen Fläche sind in isolirte Stücke der Doppelgeraden über- gegangen. Lässt man weiter die zusammengefallenen Knotenpunkte imaginär werden, so erhält man eine Kummer’sche Fläche mit 8 reellen Knoten- punkten und 8 reellen Doppelebenen; in jeder Doppelebene liegen 4 Knoten- punkte, durch jeden Knotenpunkt gehen 4 Doppelebenen. Die Fläche besteht nur noch aus 4 Theilen, sie ist der Gegenstand des zweiten Modells. Die Plücker’sche Complexfläche (mit durchaus reellen Singularitäten) bildet den Uebergang von der zuerst erwähnten Fläche zu dieser. Fallen von 4 in einer Doppelebene. liegenden Punkten wieder zwei zusammen, so erhalten wir eine Complexfläche mit nur 4 reellen Doppel- punkten und Doppelebenen. Die Fläche besteht aus 3 Theilen, wovon zwei längs eines Stücks der Doppelgeraden an einander stossen; das andere isolirte Stück der Doppelgeraden ist aus dem einen nun verschwundenen Flächentheil gebildet worden. Werden jetzt die beiden zusammengefallenen Knotenpunkte wieder imaginär, so besitzt die Fläche nur noch 4 reelle Knotenpunkte und 4 Doppelebenen. Die Knotenpunkte und Doppelebenen lassen sich auf eine einzige Weise in Paare theilen, so dass das Punktepaar auf der Schnitt- linie des zugehörigen Paares von Doppelebenen liegt. Die Fläche besteht nur noch aus 2 Theilen und wird durch das dritte Modell dargestellt. Noch sei eines speciellen Falles der Kummer’schen Fläche gedacht, welcher geeignet ist, ‚ein richtiges Licht auf die dargestellten Flächen zu werfen. Im allgemeinen Falle liegen 12 Knotenpunkte auf einer Fläche Nn zweiten Grade &9 rückt noch einer der 4 weiteren Knotenpunkte auf diese 9 Fläche, so thun diess auch die I anderen und eben diese Fläche bildet doppelt zählend die Kummer’sche Fläche; die Knotenpunkte werden durch die Durchschnitte von 4 Erzeugenden der ersten und 4 der zweiten Art 3 M gebildet, während die Kegelschnitte in diese Erzeugenden übergegangen sind. Die 8 Theile der mit reellen Singularitäten gedachten ursprünglichen ı Fläche werden vollständig flach und überdecken 8 der 16 Theile, in welche ı das Hyperboloid durch die Erzeugenden zerfällt, doppelt, während die anderen 8& Theile frei bleiben. Fallen 2 Erzeugende zusammen, so hat I man die allgemeine Plücker’sche Complexfläche, werden sie imaginär, die y Kummer’sche Fläche mit 8 reellen Knotenpunkten; fallen jetzt 2 Erzeugende der andern Art zusammen, so kommt die Complexfläche mit 4 Knotenpunkten ß und werden endlich auch diese imaginär, die Kummer’sche Fläche mit 4 reellen Knotenpunkten. Nimmt man ein Ellipsoid und 4 Paar conjugirt imaginäre Erzeugenden und damit also 4 Punkte auf dem Ellipsoide an, welche Knotenpunkte sind, denkt sich dasselbe doppelt überdeckt, so hat man die Fresnel’sche Fläche. Zuletzt sei noch KEiniges über die Construktion der Fläche erwähnt. Man wähle 4 Doppelebenen, welche ein Tetraöder bilden, beliebig aus und in der einen den Berührungskegelschnitt, seine Schnittpunkte mit dreien der 3 Kanten sind 6 Knotenpunkte; auf einer der 3 übrigen Kanten darf man noch einen Knotenpunkt beliebig annehmen und erhält die weiteren 5 Knotenpunkte auf den Kanten dadurch, dass sich die Ver- bindungslinien zweier Punkte einer Doppelebene und der entsprechenden Punkte einer anderen Doppelebene schneiden müssen. Damit sind dann alle 16 Doppelebenen und folglich auch die letzten 4 Knotenpunkte, sowie die Berührungskegelschnitte bestimmt. Sind die Knotenpunkte zum Theil imaginär, so nimmt man die zugehörige Involution zu Hilfe und construirt so die Berührungskegelschnitte. Die einzelnen Flächentheile sind in 12 resp. 8 oder 4 Doppelebenen eingeschlossen und da in diesen Ebenen Stücke von Berührungskegelschnitten liegen, so kann man aus diesen eckigen Körpern leicht die Flächentheile selbst ausschälen. München, im Juni 1877 —_> y ) //// j 2 Pa Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München. Abtheilung I. Unter Leitung von Prof. Dr. Klein. E ESESETESE T E VIL Fläche 3. Ordnung mit 4 reellen, konischen Knotenpunkten nebst Haupttangentencurven. Modellirt von stud, math. J. Bacharach. Diese Fläche, welche Herr Professor Klein seinen gestaltlichen Untersuchungen im VI. Bande der mathematischen Annalen zu Grunde legte, wurde von mir nach dem von Herrn Weiler verfertigten Modelle in etwas anderen Dimensionen reproducirt. Sie besteht aus 2 in den Knotenpunkten zusammenhängenden Theilen; der eine ist elliptisch, der andere hyperbolisch gekrümmt. Ausser den 6 Kanten des Tetraeders der Knotenpunkte besitzt die Fläche noch 3 einfach zählende in derselben Ebene liegende Gerade, die je 2 Gegenkanten des "Tetraöders verbinden. Als Seitenflächen des letzteren wurden gleichschenklige Dreiecke, als Basis ein gleichseitiges Dreieck gewählt und die Basisebene der dreifachen Tangentialebene parallel angenommen. Die Fläche wurde mittels ebener Schnitte construirt und durch einen geraden Cylinder begrenzt. Die Haupttangentencurven der Fläche sind, wie dies Clebsch zeigte, Raumcurven 6. Ordnung und 4. Classe, welche in jedem Knotenpunkte einen Rückkehrpunkt besitzen; sie lassen sich durch die Centralprojektion ebener Curven 4. Ordnung mit 3 Spitzen auf die Fläche gewinnen, (die ihrerseits wieder aus Kegelschnitten durch quadratische "T’ransformation erhalten werden.) L /3 &.‚(/;7 % Als T’1'()_jcctionscentrum wurde die Spitze des Tetra@ders der Knoten- punkte, als Projectionsebene dessen Basis gewählt. Dann projieirt sich der elliptische Theil der Fläche in das Innere des Kreises, der dem gleichseitigen Dreieck der 3 in der Projeetionsebene liegenden Knoten- Die ebenen Curven 4. Ordnung, welche die punkte umschrieben ist. Jentralprojectionen der Haupttangentencurven bilden, berühren diesen Kreis und können daher durch quadratische "Transformation aus Parabeln erhalten werden, welche die Seiten jenes Dreiecks berühren. Diese Parabeln und in Folge dessen auch die daraus abgeleiteten Curven 4. Ordnung 9 vertheilen sich gleichmässig auf die I Dreiecksräume , entsprechend dem Umstande, dass bei unserer Wahl der Bestimmungsstücke die Fläche aus 3 congruenten Theilen besteht, welche in gleicher Weise von den Haupt- tangentencurven doppelt überdeckt werden.*) Auf dem Modelle ist eine Haupttangentencurve aufgetragen; die zugehörige Parabel und Curve 4. Ordnung sind in der Figur dargestellt. R BA . VE SN ern E e ME —— EeseS RS SEA A __— L Um die Curve 4. Ordnung auf die Fläche zurückzuprojieiren, wurden Hilfsebenen angewandt, die durch eine, das Projectionscentrum enthaltende Gerade der Fläche hindurchgehen. Sehr interessant ist es, zu sehen, wie die Haupttangentencurven in die Geraden der Flächen übergehen; den Grenzfall bilden immer zwei Gegenkanten des Tetraeders und die sie verbindende einfache Gerade, München, im Juni 1877. *) Im allgemeinen Falle werden diese Theile nur zu einander collinear sein; die Fläche geht übrigens durch 24 Collineationen (zu denen die identische gehört) in sich selbst über. e / Il ol N I N 16 N n M 5 Mathematische Modelle M N angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München. Y Abtheilung II Unter Leitung von Prof. Dr. Brill. VE Die geodätischen Linien der Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung. Construirt von stud. math. A. v. Braunmühl. Die Zotationsflächen constanter mittlerer Krümmung sind definirt &. dass die Summe der reciproken Werthe der beiden durch die Bedingun ©) Hauptkrümmungsradien in allen Punkten derselben eine Constante sei. Bezieht man die Meridianeurven dieser Flächen auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem und nimmt die y-Axe zur Rotationsaxe, so ist die C Differentialgleichung in der zuerst von A. Beer 1857 S zegebenen Form: A WE L d A x?) x} Z woraus man die Integralgleichung gewinnt: S Ir S ( [24 a o 4 [ ’ 1 D Yy= @, :E (’"> 7;> — E(k, ®) / (& ) — e 1'7 A S und E und In die Le- wo %= I//L;9i}£‚ sin ® = l/ &“ 2 Z 1 gendre’schen Normalformen der elliptischen Integrale zweiter und erster Gattung sind, während &«, und «, bezw. der grösste und kleinste reelle Werth € P Q ist, den X annimmt. Führt man 7 Vz? + * an Stelle von z ein, so ergibt sich die Gleichung der Flächen selbst. In diesem Ausdruck sind nun drei wesent- lich verschiedene Flächen enthalten; benützt man das obere Zeichen, so er- gibt sich eine Fläche, die von der wellenförmigen Gestalt ihrer Meridianeurve den Namen Unduloid erhalten; dem negativen Zeichen entspricht das Nodoid, dessen Meridiancurve einen Doppelpunkt besitzt, und für &, = © ergibt sich das Catenoid, dessen Meridiancurve die Kettenlinie ist.*) Die Namen stammen von Plateau, der in seinem Werke: „Statiqgue experi- mentale et th6orique des liquides ete.“ nachwies, dass diese Flächen sämmt- lich Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten sind, die der Einwirkung der Schwere entzogen worden. Es sei noch bemerkt, dass die Meridianeurven der Rotationsflächen, nach einem von Delaunay 1841 gegebenen Prineip durch den Brennpunkt eines einer Geraden entlang rollenden Kegelschnittes beschrieben werden. Im Folgenden werden wir uns mit den geodätischen Linien der Flächen beschäftigen. Die ällgemeine Gleichung derselben auf einer Rotationsfläche ist: dy "dr / +( y y n «öy wo v eine Constante und @& den Winkel bedeutet, den ein beliebiger Meridian mit dem nullten bildet. Führen wir hier den Werth für — ein, 1 so ergibt sich für unsern Fall folgende Gleichung: (& &E @)) dr . C —& @:„£}m;_q Das Integral ist ein elliptisches erster Gattung, die Constante v aber hat, wie sich leicht zeigen lässt, den Werth »=rcos4, wenn man unter 4 den Winkel versteht, unter welchem die Linie den Parallelkreis mit dem Radius 7 schneidet. Wir ertheilen im Folgenden dem 7 in dieser Gleichung den Werth &,, So dass v = &, cos 4 wird, da diese Annahme alle wich- tigen Fälle in sich schliesst. Das Integral wird reell, so lange es sich zwischen den Grenzen » und «, bewegt; wir werden daher zweckmässig folgende Fälle unterscheiden: 1) » >« ; 2) %»< ; 3)P= a Y2=a,. Im Falle 1) erhalten wir eine geodätische Linie, welche den grössten Parallelkreis unter dem Winkel — ar6 008 —- schneidet (beim Catenoid 2 ür die Modelle wurde im Falle des Unduloids und Nodoids x, = 10mm o mm im Falle des Catenoids &ı — 200 gesetzt. &/ 6 “ T l Z > wird J ä >‚ dann nach beiden Seiten desselben sich entfernt, um die — beiden Kreise 7 v zu berühren, hierauf zum Kreise &x, zurückkehrt und ihren Lauf periodisch wiederholt. Im Falle 2) kann 7 alle Werthe von &, bis «, annehmen, daher schlingt sich die Linie über die ganze Fläche hin. Im dritten Falle reducirt sich das Integral auf ein logarithmisches, welches für den Werth 7 = «, unendlich wird; man sieht also, dass sich d die geodätische Linie dem kleinsten Kreise asymptotisch nähert, und dieser daher in sofern als geodätische Linie aufzufassen ist, als ihn jene Linie nach unendlich vielen Windungen erreicht. Der grösste Kreis dagegen (Fall 4) gehört den Linien der ersten Art an und ist nur theilweise kürzeste Linie. Um das Integral für unsere vier Fälle zu normiren, setzen wir im 2 V &X D &X el 220 /ll 2 2 Falle 1}): r® v? + ( *— °) [04 2 ıd V dann erhalten wir: AA E d &, +& 2 — — VrZAUCE @, F &, Im zweiten Falle hat man nur » mit «x, und umgekehrt zu vertauschen, V OE , —« dann wird 7 Z ya A0 Die <n!‘ßspreclmnü_m Formeln für das Catenoid erhält man wieder, indem man in den vorstehenden x, = ©& setzt. Um die Ausdrücke für den dritten Fall zu bekommen, haben wir » = &, U zu setzen, dann wird k& ’ und unser Integral reducirt sich auf: 2 « &X 10 für e= z)? (,)———— Q Z X; 2 worin man die Bestätigung der oben gemachten Bemerkung über den Verlauf der Linie erkennt. Um endlich den vierten Fall zu erledigen, € setzen wir ın den Formeln für Fall 1 V = Y COS x ), dann kommt &, 2 'I‘2 D D Z 08 I 2 da nun J=—0 sein muss für DE So A p co8* I wird 2= 1, k* nimmt aber den Werth Null an, und es ergibt sich also: d2 JE N Z 2 folglich ist der grösste Kreis in einer Länge 2 , ==w. 7 kürzeste Linie. Man erkennt leicht aus dem Werthe von %, dass, je mehr sich die Grenz- kreise » vom grössten Kreis entfernen, desto mehr die Periode des Inte- grales zunimmt und somit , =7. 7)T ihr Minimum ist. Bei dem Catenoid nimmt die Formel für den dritten Fall die einfache Gestalt an;: ; S3 ® = 410g Ka 7 ) die des vierten Falles wird natürlich hier illusorisch, da ja &, = © ist Es ist von Interesse, die Wendepunkte der Curven aufzusuchen. Dieselben entsprechen den Wendepunkten ihrer Vertikalprojection auf eine Für zur Axe senkrechte Ebene, es genügt daher diese zu untersuchen. einen Wendepunkt muss der Krümmungshalbmesser verschwinden, also: ; dir dr 7‘2+2( d fp z Z z (PZ - sein. Führt man hier die Werthe aus der Gleichung 5 5 unserer Curve ein, so erhält man: 2 V (a UF LE 1 S 0 Z eine Gleichung vom dritten Grade in r*. Die Diseriminante derselben ist: ({1 8 ((2 3 ( 4 \ \ 7 &, 0V —( &, F 2»9°) j 97 und lässt sich auf die Gestalt bringen: &X 2 V 2 C J | 27 CT - \(‚(1 ((2 8 Diese Form bestätigt den an sich verständlichen Satz, dass reelle Wende- punkte nur auf dem hyperbolisch gekrümmten 'Theile der Fläche vor- kommen können, da 7=V/«, «, der Radius des Parallelkreises ist ’ der die beiden verschieden gekrümmten Theile von einander trennt. Dabei ist aber noch zu bemerken, dass beim Unduloid (oberes Vorzeichen)- doch 2 2 e Z P(1 ‚(f‘2 ® <& ist. Für das dann erst Wendepunkte eintreten können, wenn ı 8 Catenoid reducirt sich die Wendepunktsgleichung auf die einfache Form: 2 2 Y 7 — 2 und © S ergibt sich für diese Fläche ein (mit der Aehnlichkeit *) Für die Modelle des Unduloids und Nordoids wurde in der Formel: » = &, sin 4 G gesetzt, dann ergab sich für erstere Fläche die Periode 7, X = 108°4‘, für letztere 7, X — 76°9%. Für das Catenoid ist » = 34 und 7 X = 99° 47‘ angenom- men. Im zweiten Falle ist 4 = 81° 11‘ und daher für das Unduloid Z AT für das Nodoid z‘, X = 105° 8‘. Für das Catenoid wurde » = 17mm, 97 gesetzt, daher 7K=117°11‘. Im dritten Falle endlich ist 9==80°1‘ für Unduloid und Nodoid, V = 4, = 20"m für das Catenoid. Die Perioden sind für die zwei ersten Flächen auf dem grössten, für die dritte auf dem kleinsten Kreise gemessen. Die den verschie- denen Fällen entsprechenden geodätischen Linien wurden auf den drei Modellen mit übereinstimmenden Farben aufgetragen und ebenso auf den Ring, der durch Um- drehung der Schleife der Meridiancurve des Nodoids entstanden ist, fortgesetzt. Diesen Ring kann man nach Plateau mittelst Oel an einem Drahtring in Weingeist realisiren. SA \ä\ 9 aller Kettenlinien zusammenhängender) Satz, welcher sich auf die speeielle Stellt man nämlich die Be- geodätische Linie der dritten Art bezieht. dingungsgleichung für die Existenz der Wendepunkte dieser Linie in @ auf, so resultirt eine Gleichung, welche. unabhängig von der die Fläche Y X bestimmenden Constanten «x, ist; hieraus schliessen wir, da SS für eine ( zotationsaxe haben und sich nur Schaar von Catenoiden, welche gleiche durch den Werth ihrer Parameter unterscheiden, die Wendepunkte ent- sprechender geodätischer Linien auf ein und derselben Meridianebene liegen. Wir fügen noch Einiges über die Asymptotencurven unserer Flächen bei. Bei dem Unduloid und Nodoid führt die Aufstellung der Gleichung auf ein hyperelliptisches Integral, das sich jedoch im Falle des Catenoids auf ein logarithmisches redueirt. Das Catenoid ist nämlich überall hyperbolisch gekrümmt, und daher sind bei ihm die Haupttangenten- curven nicht an die Grenze 7”= «, x, gebunden, wie bei den andern beiden Flächen. Die Gleichung der Asymptotenlinie für diese Fläche wird: S dy Vr?— a, log £— } [24 &ı V oder durch Umkehrung ” — O 3 ( ”) — % CS 3yn P- Hiernach wurde für das Modell des Catenoids eine Asymptotencurve berechnet und construirt. München, m Juli 1877 72 ? E —BEE——— E e mA en E E LE ET Y NN Di V Fl di hi M X R W R di 4l Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums zu München. Abtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill. ED EB IX. R0tationsfläclge yvon constantem negativem Krümmungsmass. Kegel-Typus. Modellirt von stud. math. J. Bacharach. Die Rotationsflächen aus einer constanter Krümmung können Differentialgleichung *) abgeleitet werden, welche aus der Bemerkung her- vorgeht, dass die Hauptkrümmungsradien in einem beliebigen Punkte der Fläche dargestellt sind durch den Krümmungsradius des Meridians in diesem Punkte einerseits und die Normale, gerechnet von jenem Punkte bis zu ihrem Durchschnitt mit der Rotationsaxe andererseits. Bezeichnet man mit 0 jenen Krümmungsradius und mit % das fragliche Stück der Normale, so ist die Gleichung einer Curve, aus welcher man durch Rotation eine Fläche constanter Krümmung erhält: dy Ian ı| dz ı LÜ d*y d wenn Z die Rotationsaxe ist. Nach einmaliger Integration erhält man: t2 %: ZÜF (D dy E d ( } Für Flächen constanter negativer Krümmung ist daher: M dy N d2 I/y2 +c + *) Dem Verfasser stand eine Notiz des Herrn Rodenberg zur Verfügung, worin diese Differentialgleichung in der obigen Weise aufgestellt und integrirt wird. 43 2 E a Ta Man sieht, dass diese Gleichung nur für negative c reelle Werthe liefert; wir setzen daher c= —” und erhalten: SE Z ÜE ( () a ) V Y % # ‚dy. Die Gleichung (1) kann dazu benutzt werden, die Bedeutung von y sowie Bezeichnet man den ungefähren Verlauf der Curven näher zu erforschen. nämlich mit « den Winkel, welchen die Tangente in einem beliebigen Punkt der Curve mit der 2-Axe bildet, so nimmt jene Gleichung, wenn wir uns auf Flächen negativer Krümmung beschränken, die einfache Form an: V c08* x& = t2 Man erkennt zunächst, dass, je nachdem man 7 kleiner oder grösser als $ annimmt, sich verschiedene Formen ergeben. Wir unterscheiden hiernach einen „Kegel-“” und einen „Hyperboloid-Typus“ der Fläche. Im ersten Falle erhält man reelle Schnitte der Meridianeurven mit der Rotationsaxe; im letzteren werden dieselben imaginär, die Ordinate des Minimums ist Vy? —* Dabei ist 7 immer derjenige Werth von y, über welchen hinaus kein reeller Punkt der Curve mehr liegt. (Man vgl. die weiter unten folgende Figur.) Es soll nun-der Fall y< (für welchen die Fläche modellirt ist) Y D behandelt werden. Wenn wir { Z=0 ‘115 zusammengehöriges Werthepaar annehmen, so wird: E AA VE 3 V y2___ 72+ tz.dy. Durch die Substitution: == X y= —7008 @; Z erhalten wir: 2 d =,;j . 4(,x) —t.[(df{‘l.d((p‚x)’—_—'t[F(({'),X)-—_E(@,}!)] o oder: Z Aa A wo F und £ die Legendre’schen Normalintegrale bedeuten. Mit Hilfe der Legendre’schen Tabellen kann man nun die Coordinaten- werthe der Curve leicht finden, indem man zu jedem @ von Grad zu Grad das zugehörige F und E und hieraus z erhält; der entsprechende Werth von y ergibt sich aus der Gleichung: ÜE RS Durch KEinführung der Thetafunction in das Jacobi’sche Integral 2. Gattung F’-- E erhält man: @* (u) D zn - ju D K / ) X 6 (u) %4 3 er wobei: 1 1 7 *n dn dn ) E . | )) OO © Y —= 8in am = SIn / ; Yy= — 7cosamu. Wie Die Masseinheit wurde in der Weise angenommen, dass das Krüm- Nal mungsmass der Fläche mit demjenigen der schon modellirten Rotations- gen fläche der Tractrix (Math. Modelle I.) übereinstimmte, Es wurden folgende wir Werthe der Constanten angenommen: anl t= 115 WE Zn 70 0945 n K' dann ergibt sich: K 2950469 =e0 Z 03311 al Z ıch WwOo %0 2 denjenigen Werth von z bezeichnet, welcher dem Werthe y=— 0 ılle entspricht. N Der Fall 7 > € führt zu den folgenden Gleichungen: Z F E e b ler 22 0 0 ’ == % 7 1,} y=V7— Fsin’p=7.46. sf) Die Figur enthält je 2 Curven der beiden Typen und die Traetrix al als Grenzfall. Der Uebergang der einzelnen Curven ineinander ist er- {X }’:1725 y=1,10 y =1,00 y= 0,94 y=0,76 \\\‘y.\r—/ HOr \:i E — EB LO E NO RN DA B Z ELEn VE ET BA sichtlich; für die beistehenden Werthe von 7 rückt (bei constantem %) der d anfangs reelle Schnitt mit der Rotationsaxe immer weiter hinaus bis er lı für y =t unendlich weit liegt und dann für 7 >% imaginär wird. Wenn man die geodätischen Linien dem früheren Falle (€==7) analog behandelt, so erhält man als Gleichung der Projection dieser Curven al auf eine zur Rotationsaxe senkrechte Ebene in Polarecoordinaten 7, : G N "dr b f= 7 C084 Z « ] / ; V(;';;%« C ? 0087 )) Y SS 4 wo 4 den Winkel bezeichnet welchen die Projeetion der geodätischen Linie mit dem Grundkreis (für welchen 7 7) bildet Man erhält SA 7 — 26° cos* 4 P 2 S*** — are sın (‘I.I’C Sın 3S ) Hierbei sind folgende Abkürzungen eingeführt 2 t2 7 2 20y C0S M ( — 2 ’ 2 Y D-—a 2COSiL = a° + cos? / Jede geodätische Linie erreicht ihren höchsten Punkt für 7= 7 cos ; für diesen Punkt ist bE aysin 4 P — WOo SINn €& — Y Der Verlauf der geodätischen Linien auf der allgemeinen Fläche “ist nicht wesentlich verschieden von demjenigen auf der speciellen; es treten wiederum Wendepunkte auf, und man erhält für den Ra(hux des einem Wendepunkt entsprechenden Parallelkreises: r=7 Veos 2 Als Gleichung der Projection der Haupttangentencurven auf eine zur Rotationsaxe senkrechte Ebene erhält man ähnlich wie bei de Rotationsfläche des "Tractrix: E SN fll („) V E (T) wenn die Gleichung der Flaehe in der Form SEL g=f(r) jl/ 77+t2 dr, r’=4+y vorausgesetzt wird, und f‘(r), f“ (r) die bezüglichen Ableitungen von f nach 7 bedeuten Berechnet man f“ und f“ und setzt ihre Werthe ein, so kommt tdr S .fV(7’—r C D Man setze r=-—7C0s @; 7 ==X% dann wird P d® X) 0 4, %) _F(qo> Zu jedem @& ergeben die Tabellen das zugehörige wW; 7 erhält man aus der Gleichung r=-—7C08@ München, im Juli 1877 ÜE P % c N Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München. Ahbtheilung II. Unter Leitung von Prof. Dr. Brill. s X Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass. Hyperboloid-Typus. Modellirt von stud. math. W. Dyck. Die Untersuchungen über Flächen constanter Krümmung und ins- besondere das Studium der Geometrie auf diesen Flächen lassen sich an die Betrachtung einer ebenen Abbildung derselben anschliessen, die da- durch definirt ist, dass geodätische Linien der Fläche in Gerade der Ebene übergehen. Diese Abbildung, von der Beltrami!) zeigt, dass sie nur für Flächen constanter Krümmung möglich ist, legt zugleich den Zusammen- hang zwischen der Geometrie auf diesen Flächen und der Nicht-Euklidischen Geometrie klar.?) I Wir wollen zunächst die Art der Abbildung im Anschluss an die unten erwähnten Abhandlungen kurz entwickeln. E B: 1757<751t1‘mni. Risoluzione del problema: Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo, che le linee geodetiche vengano rappresentate da lineec rette. Annali di Matematica, 'Tomo VII. 1866. ?) £. Beltrami. Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea, Giornale di Matematiche. 1868. F, Klein. Ueber die sog. Nicht-Euklidische Geometrie. Mathem. Annalen. Bd, IV. 1871, } © 2 Denkt man sich jeden Punkt unserer Flächen bestimmt als Schnitt zweier Curven u = const. und v = const., die je einem Büschel von geo- dätischen Linien, die durch einen Punkt gehen angehören, so lässt sich das Linienelement der Fläche darstellen in der Form: ds= , w + a”)du? — 2uvdudv + w a°) (Ir (1) v + v° + a°)* wobei R und @ Constante (und zwar 5: das Krümmungsmass der Fläche, v @ die Masseinheit für unser Coordinatensystem %, ) bedeuten. Je nach- dem die Grössen R und a reell oder imaginär sind hat man Flächen constanter positiver oder negativer Krümmung Unter Zugrundelegung diese Ausdrucks geht die allgemeine Diffe rentialgleichung einer geodätischen Linie!) für unsere Flächen einfach in folgende über: dud’v—dvd’u=0 woraus unmittelbar kommt Au+Bv+C0=0 eodätischen Coordinaten u V d. h. jede lineare Gleichung in den stellt eine geodätische Linie der Fläche dar Bilden wir jetzt zwei unserer Flächen derart auf einander ab, dass wir, durch Annahme je eines geodätischen Coordinatensystems auf jeder Fläche, jedem Punkt der einen Fläche einen Punkt der andern zuordnen, so gehen die geodätischen Linien der einen Fläche in die geoda’mchen Tinien der andern über und wenn wir speciell eine Fläche constanter Krümmung auf die Fläche von constanter Krümmung Null d. h. auf eine Ebene abbilden, so gehen die geodätischen Linien der Fläche in Gerade der Ebene über; dem geodätischen Coordinatensystem der Fläche ent- spricht ein geradliniges der Ebene. Um die metrischen Beziehungen der Abbildung zu ermitteln, unter- suchen wir zunächst die Abbildung einer geodätischen Strecke. Der Ein- fachheit halber verlegen wir den einen Endpunkt derselben in den Ur- sprung unseres Coordinatensystems, dessen willkürliche Wahl uns ja frei- steht Bezeichnet dann 4, v, den andern Endpunkt der Strecke so _ ist die Gleichung der (durch diese beiden Punkte vollständig bestimmten) geodätischen Linie WUZ0 vu und das Linienelement d& derselben hat, wie unmittelbar aus Gleichung (1) folgt, di Form Va + v e W: ;du ( + ) +a ') Cf, Gauss. Disquisitiones generales circa superficies curvas cap. XVIII g — 2 I der gesuchte Bogen S £ ist also _| V SO n (2) L Betrachten wir hier 4, v, als variabel (= W, v), den Bogen £& als con- stant, so beschreibt der Punkt w, v eine Curve, deren geodätische Ent- fernung vom Punkte u= 0, v==0 überall dieselbe =£ist, d. h. einen yeodätischen Kreis. Dieser ist also dargestellt durch die unmittelbar aus < 2 2 (2) folgende Gleichung: JI =0. u“ + 0“ — ( U ) v In unserer Bildebene, wo das Coordinatensystem w, v durch zwei Geraden- büschel gebildet wird, stellt diese Gleichung aber im Allgemeinen einen Kegelschnitt dar. Also: Jeder geodätische Kreis der Fläche bildet sich als Kegelschnitt in der Ebene ab. Wird speciell der Bogen £& == ©, 8so Z € E S f(r S E —— ersichtlich): kommt (wie aus ©: R 27 ) ‚( e 1 u + v? + a=.0 als Kegelschnitt, der den vom Punkte w = v= 0 unendlich entfernten Punkten der Fläche entspricht; wir wollen ihn nach Beltrami kurz den „Grenzkegelschnitt“ nennen. Das in dieser Gleichung ausgesprochene Resultat können wir in fol- gendem zusammenfassen : Jede Fläche constanter Krümmung wird durch die oben definirte Abbildung derart in eine Ebene abgebildet, dass die reellen Flächentheile innerhalb des Kegelschnitts Z die unendlich fernen auf dem Kegelschnitt selbst, die imaginären ausser- halb desselben dargestellt werden; wir bezeichnen dabei als „innerhalb“ des Kegelschnitts gelegene Punkte diejenigen, von welchen aus man keine reellen Tangenten an den Kegelschnitt legen kann.') Der Grenzkegel- schnitt ist imaginär oder reell, je nachdem a reell oder imaginär ist, also je nachdem die Fläche von constanter positiver oder negativer Krüm- mung ist. Aus der Gleichung (3) schliessen wir weiter: Jedes Büschel con- C E centrischer geodätischer Kreise der Fläche (für welches also der Bogen successive andere Werthe annimmt) bildet sich in der Ebene als ein in } i)ics„c 'l‘a;;gcnte1\ würden nämlich auf der Fläche einen geodätischen Kreis mit reellem Mittelpunkt und gleichzeitig auch geodätische Linien durch eben diesen Punkt darstellen, was reell unmöglich ist, F projeetivischem Sinn concentrisches, d. i. doppeltberührendes Kegelschnitt- büschel ab. Jedem solchen Büschel gehört nun ein in eine doppeltzählende Gerade zerfallender Kegelschnitt an; daher gi®t es unter den conecentrischen geodätischen Kreisen eine geodätische Linie. Geodätische Kreise können also auch als Aequidistante einer geodätischen Linie aufgefasst werden und umgekehrt, geodätische Linien als specielle geodätische Kreise. Wir vervollständigen die Darlegung der metrischen Beziehungen zwischen der Fläche und ihrer Abbildung noch, indem wir die Länge 1 Z 9 eines durch die Punkte u,, v, und w, begrenzten geodätischen Kreis- Sei zu dem bogens in Fläche und Bild entwickeln. ünde atg- 0 Ö]) } unser geodätischer Kreis vom Radius Ü S 0 So S und Mittelpunkt u = w folgt aus Gleichung (1) 11111111?@1b;t1‘ für das Linienelement dn desselben: 2 2»l——{ du @ Z . y = Va + 14 +& a} V(uo” +7;„ Y Die Länge des zwischen den‘ Punkten w,, %, und u, v des geodätischen Kreises eingeschlossenen Bogens ist also: B u 7 / 0& © z . (4) u —40 = 7_. V‘7’(‚2+ 7702'1'}_’ dz o © 2 Setzen wir hier zur Abkiirry‘.uvjl s C Va + 2 SIn V. D % a A R so folgen aus (4) für u und v die Formeln: 7 4 / WE („ ; [84 D R [04 (5) 4 7 Ö v= % Sin ( 7 2& } ) R ): \ Die Formeln in (2), (3), (4) u. (5) geben nun den Zusammenhang zwischen « den geodätischen Polarcoordinaten s E n eines Punktes der Fläche und den Punktcoordinaten U, V der Bildebene: wir haben durch dieselben die Massbestimmung auf den Flächen constanter Krümmung vollständig festgelegt. Der Ausdruck (2) für die geodätische Entfernung zweier Punkte, der ja unmittelbar in die Gestalt: E 2 ( A - iVvu _1_ © a—iV UEL gebracht werden kann, zeigt gleichzeitig die unmittelbare Uebereinstim- mung der hier geltenden Massbestimmung mit der durch die Definitionen der Nicht-Euklidischen Geometrie getroffenen. / /“((„/ 9} H:} ß Wir wenden uns nun speciell den Flächen constanter negativer Krüm- l mung zu, für welche also d= ia,, R=iR/, ist, wo dann a, und R, l reelle Grössen bedeuten. Die Rotationsflächen constanter negativer Krüm- 1 mung können, indem wir die 2z-Axe als Rotationsaxe nehmen, in der Form!) dargestellt werden: E l —V d E=— „dr 7‚2 AA 7.! +_ Z (6) Y==U z+y-_ Als das zur Abbildung geeignetste Coordinatensystem ergibt sich natürlich das auf der Fläche durch das Meridianbüschel und die zu ihm senkrechten geodätischen Kreise, also die Parallelkreise, auf der Fläche festgelegte. Bei dieser Abbildung haben wir die beiden Haupttypen der Fläche zu unterscheiden ?) : I. y< BR,; (Kegel-Typus). Das Centrum des Coordinatensystems ist reell und im Endlichen gelegen. Die zum System der Parallelkreise ge- hörige geodätische Linie ist imaginär. Das Bild des Centrums liegt also innerhalb des Grenzkegelschnitts und das concentrische Kegelschnittbüschel hat imaginäre Berührung Il. 7 > R, (Hyperboloid-Typus). Der Coordinatenursprung ist ima- ginär; der Parallelkreis, der zugleich. geodätische Linie der Fläche ist, also reell (der sog. Kehlkreis der Fläche). In der Abbildung liegt dem- nach das Centrumbild ausserhalb des Grenzkegelschnitts. Die zugehörige Polare ist Bild jenes Kehlkreises und ihre reellen Schnittpunkte mit dem Grenzkegelschnitt sind die Berührpunkte des Büschels. Das Der Fall 7 = R, bildet die Uebergangsform beider Typen. Coordinatencentrum ist unendlich fern; der Kehlkreis (vom Radius Null) fällt mit ihm zusammen. Die Abbildung des Coordinatensystems ist ein im Centrumbild (das natürlich auf dem Grenzkegelschnitt liegt) vierpunktig berührendes Büschel. Die Polare streift im Berührungspunkt das Bild der reellen Flächentheile, stellt also in diesem Punkt den unendlich kleinen und unendlich fernen Kehlkreis der Fläche dar. Wir betrachten die Abbildung der beiden Haupttypen etwas näher und beginnen mit dem im Modell dargestellten Typus II. der Fläche: Am einfachsten nehmen wir hier als Coordinatenbüschel w, v zwei sich orthogonal schneidende Büschel‘ von Parallelstrahlen, d. h. als Grenz- 1 kegelschnitt Ü AB Üa =0 einen Kreis, weiter wählen wir als Bild des Kehlkreises einen Durch- SE 1‘) Vergl. V;>Nath. Modelle« IX. ?) Bezüglich der Form dieser Flächen verweisen wir auf das vorst. Citat, 7 6 E MeESSeCT, Dann bildet sich innerhalb des einen Halbkreises der eine ober- Z halb des Kehlkreises sich erstreckende reelle Flächentheil, innerhalb des d andern der zweite symmetrisch gestaltete Theil der Fläche ab. Die geo- dätischen Kreise unseres Polarcoordinatensystems haben nun in unserem fl Fall einen imaginären Abstand vom (imaginären) Centrum. Wir werden sie desshalb durch ihre geodätische Entfernung £& von einem gewissen dieser Kreise bestimmen und wählen hierfür den Kehlkreis der Fläche selbst, ( indem wir so die Massbestimmung auf einem geodätischen Kreise ersetzen durch die auf einer geodätischen Linie. Bezeichnet dann £ die Meridian- U länge vom Kehlkreis aus (welcher die v Coordinate der Abbildung ent- sprechen möge) und ist weiter n (u-Axe in der Abbildung) die zugehörige Länge des Kehlkreises (gemessen von irgend einem Anfangspunkt), so Q haben wir, um für unsere Parallelkreise direct die Formel (3) in Anwendung zu bringen, zunächst eine Verschiebung des Coordinatensystems (dessen UÜU=U=Z0 Mittelpunkt im gegenwärtigen Fall ja nicht Centrum der Parallelkreise ist) vorzunehmen, und zwar eine Verschiebung längs der einen Axe (des Meridians) um die (imaginäre) Entfernung des Kehlkreises yom Mittelpunkt der Parallelkreise. Statt dessen leiten wir aber einfacher C - die Formeln für den Bildpunkt w, v eines Punktes S} n der Fläche aus der Bemerkung her, dass die eine Coordinate (nach unserer Annahme die u-Coordinate) wegen der Verschiebung längs der einen (v-)Axe in Formel (3) ungeändert bleibt. Die andere Coordinate können wir dann aber unmittelbar E v für ein variables ı und constantes S S sich angeben, da ja der Punkt w auf einer zu dem erwähnten Durchmesser symmetrisch gelegenen Ellipse D < bewegen muss, deren Halbaxen a, und a, 1g sind. So erhalten wir dann F «V leicht für w und v die Formeln: — u= ag 7 a,t hyp E € a fg a, ig hyp (7) 5R n Ü = ( cCo5S CcoS hy Y ]I /1) @ Z dabei ist zur Abkürzung: 2n I Bı ] ( = 1g h„\'pl {;)1 U, S, W. ( eBı il gesetzt, wie dies auch sonst üblich. ( Unsere Fläche ist durch zwei äusserste Parallelkreise endlich be- d grenzt, deren Bild eine Ellipse der obigen Art ist. Einem durch zwei Meridiane begrenzten Stück der Fläche entspricht ein durch zwei Parallele ] < PE zur kleinen Axe begrenzter Streifen dieser KEllipse. Der Ellipse in ihrer 5 ganzen Ausdehnung entspricht die Rotationsfläche jedoch nur dann ein- deutig, wenn man sich dieselbe unendlich oft gewunden (als Schrauben- M fläche von der Ganghöhe Null) vorstellt. u Um nun für eine specielle, also durch bestimmtes y und R, gege- z S bene, Fläche die Abbildung zu finden, haben wir zunächst die Länge des ganzen Meridiaubogens und den Umfang %, des Kehlkreises zu be- 2 stimmen. w =Z== s S Y Für den letzteren, dessen Radius VZ t, hat man unmittelbar T / Z V7 ——V]{1 ® Der erstere ist, wie durch Rectification der durch die Gleichung (6) dar- ) gestellten Meridianeurve folgt, einfach l Can il( o A RET Z S 2 © y—F %i der Fläche Aus (7) folgt dann, dass die Al.'>bihh}ng einer ersten Windung begrenzt ist von einer Ellipse, deren Halbaxen < R, @, und a, tg . hyp Sı ::alf i sind, und dann von den Meridianbildern A R UZ und Ü = aV E EFLE ME ] y cos hyp R (Man ersieht hieraus zugleich, dass diese Abbildung für alle Flächen die- s ® selbe ist, für welche der Quotient 3 derselbe ist.) Die Wiederholung der Abbildung, also die Darstellung weiterer Windungen der Fläche wird dann durch die unmittelbar aus der bei- stehenden Figur ersichtliche Construction geleistet, die ihren Beweis durch congruenten Verlauf einer geodätischen Linie der Fläche zu beiden Seiten des Kehlkreises findet. Dieselbe Construetion lässt auch die einem halben, S viertels . allgemein maligen Umlauf entsprechenden Abbildungen D finden. So können wir uns also durch fortgesetzte Theilung auf der Geraden (die den Kehlkreis darstellt) einen Masstab construiren, dem Punkt für Punkt der durch fortgesetzte Halbirung des Kehlkreises der Fläche construirte Masstab entspricht. Ein ganz analoger Masstab gilt natürlich für den Meri- dianbogen und seine Abbildung. Die Uebertragung von Punkten der Fläche auf die Abbildung und die umgekehrte sind also, nachdem einmal die den Bögen &, und 7, entsprechenden Bilder (durch Rechnung) bestimmt sind, auf rein construcetivem Wege möglich. Unsere Construetion lässt sich natür- 2 8 V I Z IS E AD n / « d PE \\\ ,\ S A DE A E \ ‘} { \K\ S \ u E Za M ET b %/ U : E ;i B /; // < V C / IN Z Z ’[ S 7 LA} / “ A D i ) NIZ z M e Z % X DE Z al j zD _“\ /: j AL e __ \\_L/ A ır lich sofort für eine S 0s anz beliebige Abbildung übertragen, bei der also der Grenzkegelschnitt und das Kehlkreisbild .ganz allgemein gewählt sind.') In der beistehenden Figur ist abcd das Bild der Hälfte unserer im Modell dargestellten Fläche.?) Auf dem Modell wurden nun geodätische Linien und geodätische Kreise in der Weise aufgetragen, dass man in der Bildebene Gerade und Kreise in passender Weise einzeichnete, dann für Fläche und Bild das oben geschilderte Netz construirte und so eine punktweise Uebertragung der Abbildung ermöglichte. Die aufgetragenen geodätischen Linien sind parallele, d. h. sich im Unendlichen schneidende, denn ihre Bilder (die in der Figur strich-punktirten Geraden) schneiden sich auf dem Grenzkreis. E LA ') Wir bemerken, dass durch diese Construetion allgemein eine graphische Dar- stellung der hyperbolischen Tangenten möglich ist, wenn eine derselben be- kannt ist, weiterhin also die Darstellung der natürlichen Logarithmen (von einem bestimmten ausgehend) und andere damit zusammenhängende Aufgaben mit beliebiger Annäherung graphisch ausgeführt werden können. *) Die Constanten derselben sind R, = 0,874 und y (== dem Radius der beiden Begrenzungskreise) = 0,93. Z 9 In jedem Büschel geodätischer Linien befinden sich, wie unmittelbar die Figur ergibt, zwei, die sich dem Kehlkreis asymptotisch nähern und ihn unendlich oft umschlingen (die eine der zu unserem Büschel gehörigen ist auf dem Modell aufgetragen). Ihre Schnittpunkte mit demselben sind eben jene einzigen unendlich fernen Punkte unserer Fläche, zu denen man auf reellem Weg gelangen kann. r Betrachten wir noch in Kürze die Abbildung für den Typus I. un- serer Fläche. Indem wir wieder der Einfachheit wegen als Bild der unendlich fernen Punkte einen Kreis annehmen und als (jetzt reellen) Coordinaten- ursprung den Mittelpunkt desselben, erhalten wir als Büschelbild einfach ein System concentrischer Kreise. Auf einem derselben, und auf einem beliebigen Durchmesser treffen wir wieder die durch die Formeln in (5) und (3) gekennzeichnete Massbestimmung. Unsere Fläche ist jetzt begrenzt durch eine (uneigentliche) Spitze (das Centrum der Parallelkreise) und einen äussersten Parallelkreis, dem ein bestimmter innerhalb des Grenzkreises gelegener Kreis in der Ab- bildung entspricht. Für ein bestimmt gewähltes 7 und R, können wir uns dann wieder jenen Kreis und den einem einmaligen Umlauf der Fläche entsprechenden Seetor berechnen. Weitere Umdrehungen der Fläche stellen sich dann bei unserer speciell gewählten Abbildung einfach als Verviel- fältigung dieses Seetors, der den einmaligen Umlauf abbildet, dar. (Für den Fall eines allgemeinen Grenzkegelschnittes lassen sich diese weiteren Abbildungen wieder durch eine Construction finden, die der bei Typus II. angewendeten ganz analog ist.) Die weiteren Sectoren würden nun unsere Bildebene im allgemeinen unendlich oft überdecken. Wir müssen uns daher, wieder um wechselseitig ‚indeutigkeit der Abbildung zu erreichen, die Fläche nur aus einer sol- chen Anzahl von Windungen bestehend denken, als in eine erste Kreis- C bedeckung Sectoren fallen. s habe die Fläche so ” Windungen, (wo %, 1 . n S wie sich leicht aus unsern Formeln ergibt, I ’ Z S0 ( Rı )——'lsinz wenn wir mit x den Winkel bezeichnen, welchen die Tangente an die Spitze mit der Rotationsaxe bildet); denken wir uns dann die Fläche auf- gewickelt und den Anfangs- und Endmeridian, den wir durch die oben bestimmte Windungszahl erhalten, aneinandergesetzt, so zeigt sich, wie dies unmittelbar aus der Aehnlichkeit der Abbildung des Centrums (u= 0, v=0) folgt oder auch durch eine leichte Rechnung gezeigt wird, dass jetzt die Spitze der Fläche in einen gewöhnlichen d. h. nicht singulären Punkt der aufgewickelten Fläche übergegangen ist. Die Herstellung eines eindeutigen Entsprechens zwischen Fläche und Bild kommt hier also einer SA Z Auflösung eines Unstetigkeitspunktes derselben gleich. Weiter folgt un- mittelbar aus der Abbildung, dass die geodätische Linie der Fläche, die sich am Ööftesten windet, (2 — s) Windungen besitzt, wo & gegen 0 con- vergirt, wenn die geodätische Linie gegen die Spitze rückt. Ferner entnehmen wir der Abbildung sofort, dass wir auf reellem Weg zu keinem unendlich fernen Punkt der Fläche gelangen können. Der Zwischenfall 7y = R, unserer Flächen bildet auch hier wieder Wir können den Uebergang zu dem vorher besprochenen Flächentypus. (längs den Meridianen oder Parallelkreisen fortschreitend) zu einem un- Die Fläche endlich fernen Punkt der Fläche auf reelle Weise gelangen. ist als aus unendlich vielen Windungen bestehend zu denken, die jedoch im Unendlichen zusammenhängen. Der Unstetigkeitspunkt der Fläche (die im Unendlichen liegende Spitze derselben) wird erst durch die Entwicklung unendlich vieler Windungen zu einem nicht singulären Flächenpunkt, wie ET sich dies auch aus WE S ergibt, denn für unsern Fall ist « =0. _ München, im August 187 ( AAA d li € u N ( u M u —/ vA S V, I 16 N M Mathematische Modelle ol N angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München 6 unter Lieeitung von Prof. Dr. Brill. h 6 XII Darstellung der elliptischen Funktion @ n am (u, k£) durch eine Fläche. Von den studd, math., Th. Kuen und Chr. Wolff. Betrachtet man in dem elliptischen Integral erster Gattung: TEEF SE TE S d ”=f Vi Pante die Grössen u, @, k als Coordinaten eines Punktes, bezogen auf ein räum- liches rechtwinkeliges Coordinatensystem, so bestimmt diese Gleichung eine Fläche. Man construirt dieselbe aus den Curven, die den verschiedenen Werthen von % zugehören. Hierbei sind die Fälle % z 1 zu unterscheiden. Wenn k<1 ist, kann man den Verlauf der Curve #= am (u, &) unmittelbar aus den Legendre’schen Tabellen entnehmen. Die Curve ist periodisch, und zwar folgt aus den Gleichungen: am (u + 2n K)= @ + nmn und am 2nK—u=n1T —6, dass sich die Periode von Ö= NT, Ü= 241 his p=n-+1)x, u=20n0-+1)K erstreckt. Die Gerade, um welche sich die Curve, ähnlich wie die Sinuslinie um ihre Axe, herumschlingt, hat die Gleichung: IU u“ P 7R S und ist unter einem Winkel &, der sich aus tg x — 2K ergibt, gegen die U-Axe geneigt. Für k& D 0 wird d = u. Dieser Schnitt ist also eine P d S in ELE 2 Gerade, welche den Winkél der Coordinatenaxen halbirt. Gleichzeitig mit z E k wächst K und also die Periode, bis für /=1 XK= © wird. @® am (w, &) geht alsdann über in: @ = 2are tg e + 2 ar welche Gleichung eine Curve darstellt, die eine Parallele zur U-Axe im % Abstand % zur Asymptote hat. K=0 A D { 7 /”"” K=008 x ST K=4/8 ll E EEEENEEON. RET TEEF wr_——— Der Verlauf der Funktion @ = am (u, k) für k >1 ist folgender: Für #=0 wird u = 0, von Vielfachen der Perioden abgesehen. Die Grösse ı, die mit wachsendem w zunimmt, erreicht einen Maximalwerth = @,, der sich aus k sin , = 1 bestimmt, weil nur bis zu diesem Werthe reelle %“ sich ergeben. ® wird von da ab wieder abnehmen, während « fort und fort wächst. Mit d@ ändert nämlich für @ = @, zugleich V1ı —k sin* @ sein Vorzeichen; w ist somit eine Summe von positiven Grössen, die mit zunehmender Gliederzahl beständig wächst. Hat die Grösse —— ® denWerth'0 erreicht, so wird sie negativ, erreicht, aus demselben Grunde wie oben, mit — %, ein Minimum, und muss von hier ab wieder wachsen. Vollends klar wird der Verlauf der Curve durch den der Tangente, welche sich bestimmt aus: d® =+V1—k*sin? @. | du Für 4 = 0 i8t E @ ünl + 1. GEa Die Curve steigt also unter 45° an. Mit wachsendem ® nimmt der Neigungswinkel der Tangente gegen die U-Axe zu Null ab und wird für ® = 0 d wird hierauf negativ und erreicht im Punkte =0 u“ — den kleinsten Werth —1 , Die Gerade, um welche sich unsere Curve schlingt, hat also für &>1 beständig eine zur U-Axe parallele Lage, während für &<1 ihre Neigung Es liegt hierin eine Discon- gegen die U-Axe von 45° bis 0° abnimmt tinuität, die im reellen Werthgebiete der Grösse @, als Funktion von & A SS betrachtet, zukommt - Um die Curve g= am(u, k) für k >1 zu construiren, transformire RDa an das Integral n Z u-j V1——/»%111 G in ein Integral chp 17_j Vı = 7in A? sin w wo A/<I1 Als einfachste der vielen möglichen Transformationen wird man diejenige wählen, welche % in seinen reciproken Werth A überführ Die zugehörigen n ransformationsformeln ind 1 sin W = ksin @, v= . u=hku A vermöge deren sich in einfacher Weise zu einer Curve w = am (u, 4), A<1 die zugehörige Curve 6 = am (u, k) construiren lässt Zu bemerken ist noch, dass die Fläche in der Richtung der wachsenden k nach einem anderen Massstab zu messen. ist, wie in der der wachsenden ® und « Um nämlich den Uebergang von den Curven p = am (u, k) für k<1 zu solchen für &>1 besser zur Anschauung bringen zu können, wurden Axe im Verhältniss 3 2 vergrössert die Längen der München, im März 1880 ä 4 8 SC d AL Druck von H Hnll in l)axmfl;ladt S, ST N E E S © Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill. SE DE XIV. Ueber die auf die Kugel abwickelbaren Schrauben- und Umdrehungs-Flächen. Von stud. math. Th. Kuen. Das Quadrat des Linienelements der Kugel kann wie das jeder Rotationsfläche auf die Form gebracht werden: ds?= du?* + g*dv®, wo g eine Funktion von « allein ist, v == const. einem Meridian, u = 00{1st. einem Parallelkreis der Rotationsfläche zugehört. Da alle Flächen, deren Linienelemente gleiche Form besitzen, auf einander abwickelbar sind, so kommt unsere Aufgabe darauf hinaus, auf die oben angegebene Form das Linienelement einer Schraubenfläche zu bringen, deren rechtwinkelige Coordinaten sich auf folgende Weise durch Cylindercoordinaten darstellen lassen: W s r CcoS @ Y rsin @ T a + R, wo R eine noch zu bestimmende Funktion von r bedeutet. Aus den letzten Gleichungen ergibt sich aber: Z Y dRE SA dR K ds?= dr2< a?+r? dr ) + + (de + 2+2 Y Man erhält dann die obige Form des Liniegelcnwntes, wenn man setzt: 2 Y Z Z Ldr « (ll2(l+ a + r? ) + 17 = 4 C adR dv RE N AB (46+ l+‚1 ' C &S 2 Ist nun die Rotationsfläche gegeben, auf welche sich die gesuchte Schrauben- Für fläche abwickeln lassen soll, so ist g als Funktion von % bestimmt, und ziel damit, weil sich dR aus den letzten zwei Gleichungen als Funktion von Yinie g und w darstellen lässt, auch £ als Funktion von 7, welch Letzteres eine Yinie Funktion von w ist weil a FE=giC ]/_ z= R ist nun die Gleichung der Meridiancurve der gesuchten Schrauben- fläche Durch diese und die Ganghöhe ist sie aber vollständig bestimmt alse Wir betrachten daher zunächst nur den Ausdruck für d und erhalten R daraus durch Integration. Es ist: die dg Vrr E d A gen ÜE du yı %e — @® der Dabei ist 2a die angenommene Ganghohe c eine Constante, deren Be- hes! deutung später erörtert werden wird Pa ES sSöll aun die Schraubenfläche bestimmt. werden auf welche die Kugel abwickelbar ist Für die Kugel ist bekanntlich Dar g = bsin We also b ß7 besin — 5 V b*e*sin — b ( 1—6*0c0s* — b D R du b°c*sin‘ —— a In Dies Integral ist ein elliptisches Setzt man Sen Cur so wird v=d0s (5) i} Ma R_ dy V 0 (1— sz) : XN 5 C © 2 09) - 44 + C u el VC (bz*f)(l—sz) . Sind «& * die Wurzeln des Ausdrucks unter dem Wurzelzeichen, so wird [22 2 Mi (1) ßZ } n [1+c CN +4b2] Beide Wurzeln sind reell und positiv weil a?— d?c*<0 angenommen erh werden muss Man erkennt dies aus der Gleichung VE u g Ö U‘r\\ tUTI © s n ben und Für u= const. muss auch r ==const. sein, wie sich sofort aus der Be- von ziehung zwischen w und r ergibt; r = const. stellt nun aber eine Schrauben- €Ine linie der gesuchten Fläche dar die Coordinaten « sind also Schrauben- Für linien derselben und entsprechen den Parallelkreisen auf der Kugel Yı =— C B8* wird d R ıben O nm also auch dR alten ’ dr die Meridianeurve 2= R besitzt also in den Punkten y'= & ß? Tan- genten senkrecht zur Z-Axe ird eine reelle Fläche verlangt, so kann y“ nie grösser werden als ß da sonst R imaginär werden würde wegen Die Meridiancurve der in jenem Ausdruck vorkommenden Quadratwurzel ı Be besitzt also nur in den den beiden Werthen y= + ß entsprechenden \Iun ist Punkten Tangenten senkrecht zur Z-Axe., Jen IA O Z Vb% z Z ED ° yYy=bcos— C Daraus geht hervor, dass y ein Maximum wird, wenn r seinen kleinsten Werth erhält und umgekehrt Der grösste Werth von y“= Y'max. 1St aber B° und der kleinste Y min. —0 daher mm _ (b2 B°) c —@ 2 (2) 7' max. b22 In den den Werthen y= + entsprechenden Punkten, wo die Tangenten senkrecht zur Z-Axe sind und r ein Minimum ist, besitzt also die Meridian- curve Spitzen, deren Tangenten senkrecht zur Z-Axe verlaufen Setzt man in R: y=@z, so bewegt sich # zwischen 0 und 1, und man erhält, wenn noch m =(1— z’) (1-- x?x”) E A 2 b* — gesetzt wird dx d RE OTA UC +j’ VX VX dx SN /)’0A„L S Z UC 1— m x ® VX gird Mit Rücksicht auf b£ ( a2 ß2 2 D ( ö erhält man die Ungleichungen me \ 1 <m“< Das Integral dritter Gattung in % nimmt daher die Jacobi’sche Normal- form an, wenn gesetzt wird E 22 37 D m = sinam (iy + K) ——V K und X sind 810 wo das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen ist die vollständigen Integrale erster Gattung für den Modul x = —— und den zu ihm gehörigen complementären Modul x da Führt man nun noch die Jacobi’sche Bezeichnung ein %XX d ’ u-j‘l/..‚ HU)= - VE m* V1ı—x m! x?x? da Da VE AA H(“ Y E 195 J V1— —mM K VX So wird R= —- —4 + ac[u— E(u)| + aill(u,iy + K) S0 Cun y berechnet sich aus der Gleichung der } /a Z0 E S (3) sin am (7, x‘) = \ [82 2 ß2 = 810 ® e In Das Vorzeichen von II in R stimmt mit dem des Ausdruckes deri V1ı—-mYV1 dies der überein das letztere ist aber positiv oder negativ, je nachdem y oder Tnl sin am (7, x‘) positiv oder negativ gewählt wird Wer Nun ist weiter 4C2) (') (u W) IT(u,iy + K)= U +1 der O, G7) 8 O, (u+iy) wo 6& den Differentialquotienten von &, nach 4y bedeutet Ferner ist dabei zyn myn O,‚ Cy)=1+ ( —+ e B zyNn yN Die K+GK Rad @(u+w)—'l+2@'“ 7TZ——(@ (4) NÜ + z gn2 e na ( aby ] AB Nun ist AB %logA+ BT Z arc ig A E“e also endlich amn @O, (i7) R—u{ VM PE SEA SR }———acE(u )+a. alctgA (3) ‚C D S a Der Gang der numerischen Rechnung ist folgender Man nimmt für @ irgend einen zwischen 0 und — 5 gelegenen Werth an, dann bestimmt sich aus der Formel: ind den qu)_l/b O (7) das zugehörige r der gesuchten \Ierxdmncurve, ferner ist Ü ÜE d (8) ) V1 in @ Da nun 7 sich berechnet aus (9) A V1—/ sin” q> so erhält man aus Formel (5) z = R, die Z-Coordinate der gesuchten Curve Man Die Bedeutung der Constanten c ergibt sich in folgender Weise denke sich aus der Kugel eine von zwei gleich grossen Parallelkreisen begrenzte Zone herausgeschnitten Diese Zone kann man (s. unt. Fall IT.) in eine Rotationsfläche umwandeln, die auf die Kugel abwickelbar ist, und deren grösster Parallelkreis einen Radius bc besitzt Denkt man sich diese Rotationsfläche längs eines Meridians aufgeschnitten, so entsteht aus derselben die gesuchte Schraubenfläche in der Weise, dass die zwei Schnitt- der ränder parallel der Axe um die Ganghöhe gegeneinander verschoben werden Die Länge s der gesuchten Meridiancurve und die Breite z — 24% der zugehörigen Kugelzone kann unmittelbar angegeben werden Ihl W, = are sın Z+Tmln s=(7—2%). Die auf dem Modell dargestellte Schraubenfläche ist auf eine Kugel vom Radius b 2 =="4,33° !) abwickelbar und entspricht den Annahmen Z a.:l/3. Es ergibt sich dann 7mft)( 54967 = 3,464° rmnn )) — BA W 90° (im Bogenmass) Z 6 A E Um zu den Rotationsflächen zu gelangen, die auf die Kugel: g —0 in b abwickelbar sind, braucht man nur in den für die Schraubenflächen er- haltenen Ausdrücken @a = 0 zu setzen. Es ergibt sich dabei, dass zwei Fälle zu unterscheiden sind; nämlich je nachdem c kleiner oder grösser als 1 wird: 2 I CZU MIR b2 an g 27 2 7 2min- - O} F max. :b‘zcz X=C, R=—b.K(u), Für das beifolgende (spindelförmige) Modell wurde c== 0,8 angenommen, während 6 denselben Werth wie bei der Schraubenfläche besitzt. b2 IL c< E a‘l} ß2= l)27 (? Y 2min- z b2 (02—— 1> 12 =b202' MmaxX. R u 1).%— be.KE(w, x=>- Für das diesem Fall entsprechende Modell wurde c= 1,4, b wie oben angenommen. In Folge der Uebereinstimmung von & für die drei Modelle sind alle auf die beigegebene Kugel abwickelbar, wovon man sich etwa durch Auf- biegung eines passend geformten Staniolstreifens leicht überzeugt. München, im Januar 1880. KD 66 C D‘ruok von H. Brill in Darmstadt, (3 lich \6H DEn alle Auf- l und mu Ä\\ dar Hö Lin W Setz def 6S I<] Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill XV Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass. Von Dr d Vogel Diese Schraubenfläche vervollständigt die Reihe der in der ersten und zweiten Serie veröffentlichten Flächen von constantem negativen Krüm- Sie wird dadurch erzeugt, dass man eine Tractrix um ihre mungsmass Asymptote als Axe schraubt ihre Coordinaten sind also durch + Ve? —r X%=YC0OSG@, y=rsin®, Ü — Z — m@ + c log Cr 2 2 darstellbar, wo c die Länge der Tangenten der Tractrix, m eine mit der Höhe des Schraubengangs proportionale Grösse ist Das Quadrat des Linienelementes auf der Fläche bringt man leicht auf die Form Bn C: {—m m Ve Sı + ;dr* + (m* + r?) (d(p r (m* + r”) } y wodurch, wenn man c* + m? SE Vm? + I; ch — r? =dq; b ME dr r(m* + r* ) setzt, sofort ein System von geodätischen Polarcoordinaten auf der Fläche definirt ist Aus u Vec2 +m2 Ve?+m? r=%(m% und u u g=e}(m e Ve2+m? + Ve2+m?2 S 7 2 ergibt sich als Ausdruck für das Krümmungsmass: ET 1 d’g E g du *+ m* welcher, wie behauptet, constant ist. Bei der vorliegenden Fläche sind die Dimensionen so gewählt, dass sie auf die in Serie 2 _ Nr. X veröffentlichte Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Hyperboloid-Typus) abwickelbar ist. Die Gang- höhe der Schraube ist dieselbe wie die der Schraubenfläche constanter positiver Krümmung in Nr. XIV. dieser Serie. München, im April 1880. //7«/ [t, dass stantem ; Gang- stanter /43 G f ge ( 3l ki Eı fä M äl di S0 N (l f & E I + \‚?\ L7 Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill. S ML XVIL Die Enveloppen geodätischer Linien auf dem verlängerten und abgeplatteten Rotationsellipsoid. Von Dr. A, v. Braunmühl. Lässt man von irgend einem Punkte einer Fläche unendlich viele geodätische Linien ausgehen, so schneiden sich im Allgemeinen zwei un- endlich benachbarte derselben wieder in einem Punkte, bis zu welchem sie, von ihrem Ausgangspunkte an gerechnet, die Eigenschaft besitzen, kürzeste Linie zu sein. Die Gesammtheit dieser Linien hat somit eine Die Gestalten dieser Curve auf den Rotations- Enveloppe auf der Fläche. flächen zweiten Grades habe ich in einem früher erschienenen Aufsatze*) näher untersucht und die Art und Weise, wie dieselben zu Stande kommen, angegeben. Im Folgenden werde ich nun die allgemeinen Gleichungen dieser Curven für das verlängerte und abgeplattete Ellipsoid in eine zur sofortigen Berechnung taugliche Form bringen und die so für die vor- liegenden Modelle gewonnenen Zahlenwerthe anführen. Die Gleichung der beiden Flächen, bezogen auf ein rechtwinkliges y 2 zg dreiaxiges Coordinatensystem, sei S0 AI + = 1 dann eb @1 (@6)* a2 für das verlängerte, c*<1 für das abgeplattete Ellipsoid. Setzt man %* + 2’=r*, so ist die Gleichung der geodätischen Linien: dr (a? + [c*? — 11 r”) D © £T V(a*— r?) (r?— »”) (a* + [c*?— 1] r”). Hier bedeutet @ den Drehungswinkel der Ebene des Meridians, 7, den Radius eines Parallelkreises der Fläche, auf welchem die geodätische Linie En Z ® ) L;;thematischo Annalen, Bd. 14, S. 557, Z beginnt, und » den Radius jener beiden Parallelkreise , zwischen denen die Linie ihre Osecillationen vollbringt und die sie bei Erreichung ihres höchsten bezw. tiefsten Punktes berührt Da nun jede der von dem- selben Punkte ausgehenden geodätischen Linien zwischen zwei andern solchen Grenzkreisen v sich bewegt, so ist » der Parameter, welcher die Linien des Büschels individualisirt, und wir erhalten somit die Bedingungs- gleichung für die Enveloppe derselben, wenn wir das Differential der Gleichung (1) nach diesem Parameter mit Null vergleichen Dies gibt E d(r”) (a* + ] ) 2 (2) Vlr 2) (a *) (a 1r Jeder Werth von r, welcher diese Gleichung befriedigt, liefert, wenn v ge- geben ist, einen zugehörigen Werth von ® und mit diesem verbunden jenen Punkt der Einhüllenden, in welchem die zu » gehörige geodätische Linie die Enveloppe berührt Um die Gleichungen (1) und (2) zur Be- rechnung tauglich zu machen müssen wir dieselben für das verlängerte und das abgeplattete Ellipsoid gesondert behandeln Verlängertes Ellipsoid Zur Reduktion auf die Normalform setzen wir r°= a*— (a?— v?) und erhalten C”VZ dz (1—%&?2?)d DE md 0{ AAAn VU— — 22) z ü—272 V1 2 wo k? e— 1 d*— v und. n == k22 ä C 2 2 *— 1 Wenn man jetzt noch £==sin am “ und 0 G n n cv r o (1+n?2?) V(l - Ja DEn 25 setzt, so folgt: E —® [ucnem] ——#u+e]’[(u i@x+K) und u+ tgam u .d am u— E (u) — =0, wo U, = W + tg'am u 49amM U — E(w), während w den Werthen r =r, und z= %, entspricht und ausserdem 2 = sin’ am (i@ + K) und IT die Jacobi'sche Normalform des Integrales dritter Gattung ist Durch Einführung der @-Funktionen, resp. der Reihen für die ellip- tischen Funktionen gehen dann schliesslich diese beiden Gleichungen über in Ka z d | ( ) N D 1741 — g?) sin20+g* ?H(1—g*sin4v)+ Ka + (3) 14g 11+q?Yec0os2v0+q* ! (1+gq* cos4v)+ E ‚K„ Q ) 2 KK’I ] 4 0 — A) - Roı+3 — 81n 20 — — 81in 40 + 6 (4) 2 tgv+2rr{ 1— 1 sin6v —. } T4 3 N 8 Wwo l._.. v und K 2K l 2 R = U (K— E)+—tgv +275{ SE —— sin4% + ( ist 127 Liegt nun der Ausgangspunkt der die Enveloppe bildenden geodätischen Linien auf dem Parallelkreise r,, berechnet man aus 7, die Werthe von O Z und %, und gibt dem Parameter » irgend einen bestimmten Werth, so Löst man findet man hieraus die Constanten der beiden Gleichungen sodann (4) nach w auf und substituirt den gefundenen Werth in Gleichung (3), so ergibt sich der Werth von @, welcher dem Berührungspunkte der an- genommenen geodätischen Linie mit der Einhüllenden entspricht Für das Modell wurde die Lage der Spitzen von zwei Enveloppen berechnet Einmal wurde der Ausgangspunkt 4 der geodätischen Linien auf dem Aequator angenommen; dann liegen zwei Spitzen auf dem Aequator und werden dadurch gefunden, dass man in Gleichung (3) 7,==«@ setzt Hiedurch und zur Grenze übergeht, indem man v==@ werden lässt findet man 26 = CT und da für das Modell c= ewählt wurde, so ist ‘)@——-37[ Die beiden andern Spitzen liegen auf dem Meridiane, der durch den Punkt A geht, und man hat somit z,=a, v 0 zu setzen und erhält dann aus Gleichung (4) den Werth u = 2,838 und hiermit K 1.596 Für die zweite Enveloppe war der Ausgangspunkt 4, der Linien auf dem Kreise r,= 1,490 angenommen Zwei der Spitzen liegen in diesem Falle auf dem zweiten Parallelkreise mit dem nämlichen Radius und man findet den zugehörigen Drehungswinkel 2, indem man in Gleichung (4) v=7r, setzt Hierdurch ergibt sich 26 =— 249° 54‘ Die beiden andern Spitzen liegen nicht mehr symmetrisch zum Aequator; Diese es müssen sich somit zwei verschiedene Werthe von w“ ergeben sind: W==3,484 u = — 2,480 wozu die Werthe von 7 sind r=1,895 T 0768 Abgeplattetes llipsoid Hier setzen wir zur Reduction auf die Normalform 2 a — y"(1 3 — (a?— w7) 2 F e A T und erhalten hierdurch E v c? dz — E c& dz Ü= 0 Va*—»"(1—e*) l 1+223V1—231—k?2?) * jZ(l—z) 3 (a? — » 30 A 2 | @ wo kı= AA *_1 — c A VE 4 Setzt man jetzt wieder z = sinam &, vec? dz P © Va %lk+fiz »Vd— 2 1— kte? n D und - 1 2 sin’am (i@x + K), so folgt wieder: vc* UE u+iIM(u, ia + K), $& a jäm welche Gleichung genau dieselbe Gestalt annimmt, wie Gleichung (3). Dagegen geht durch obige Substitution die Bedingungsgleichung für die Existenz der Enveloppen über in: k” u + tgamu.d am u — E (u) — U, =0, wo U, = k” w + tg am 4 am u — E(w) ist. Diese Gleichung lässt sich dann noch durch Einführung der Reihen in folgende umsetzen: 2 2 4 6 B \ (K/»"sz)u——Ro+gtgv—}—2n'll d 3in 20 ———4si114z’+ri7;sill 60 I5 2 2 I (_4 woselbst Rı= (Kk“”— E)u+ Ztgq‚+2 m 9 WE sin20, — s 4 sin4v%+. .}ist. Die beiden Gleichungen (3) und (5) lösen somit hier die Aufgabe. Für das Modell wurden wieder die Spitzen zweier Enveloppen be- rechnet. Einmal für 7,= @; die beiden ‚auf dem Aequator liegenden l Spitzen sind dann gegeben durch: 26 =3W, während für die auf dem Meridiane liegenden w == 4,995, und somit r= 1005 gefunden wird. Für die zweite Enveloppe, bei welcher r mua 508 2,240 gesetzt wurde, er- geben sich die Spitzen auf dem zweiten Parallelkreise ”,, wenn man [\ 26= 122° 26‘ setzt, während für die beiden Spitzen auf dem Meridiane u= 5,169 und u = — 4,702 r=1,513 und r = 2,409 folgen. München, im März 1880. S ;)Vrurckrvrornwll.r i}rill in Darm‘sadt. 3 Mathematische Modelle }} angefertigt 16 im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof, Dr. Klein. XIX Die vier Arten der Raumcurven dritter Ordmmg. Von stud. math. E. Lange. Eine Ebene kann gegen eine Raumcurve dritter Ordnung vier wesent- lich von einander verschiedene Lagen annehmen; sie kann dieselbe: 1) nur in einem reellen Punkt schneiden, 2) in drei reellen Punkten schneiden, 3) in einem Punkt berühren und in einem Punkt schneiden, 4) in einem Punkt osculiren. Je nachdem nun die unendlich ferne Ebene eine der genannten vier Lagen einer Raumecurve dritter Ordnung gegenüber besitzt, bezeichnet man die letztere bezüglich als: 1) ecubische Elllipse, 2) cubische Hyperbel, 3) cubisch-hyperbolische Parabel, 4) cubische Parabel. Wie sich diese Namen rechtfertigen, wird sich sofort ergeben, wenn die Cylinder bestimmt werden, die sich durch die Curven legen lassen. Eine Raumcurve dritter Ordnung kann bekanntlich nie den voll- ständigen Schnitt zweier Flächen bilden. Man kann sie aber erzeugen als Schnitt zweier geradliniger Flächen zweiter Ordnung, die ausserdem eine Erzeugende gemein haben. Handelt es sich um wirkliche Darstellung dieser Curven, so wird man wegen der leichteren Construction lieber Kegel, resp. Cylinder als einschalige Hyperboloide benutzen. Der Satz, dass die Gesammtheit der Verbindungslinien eines Punktes einer solchen Curve P 2 KT mit allen übrigen einen Kegel zweiter Ordnung bildet, zeigt, dass man ver- WE mittelst Durchdringung zweier passender Kegel in der That alle in Betracht Die modellirten Curven sind auf mi kommenden Curven erzeugen kann. fe Cylinder aufgezeichnet, und es müssen daher zur Erklärung der Modelle WE zunächst die Cylinder bestimmt werden, welche sich durch die einzelnen Curven legen lassen. ( un 1) Verbindet man den einzigen Punkt, den die cubische Ellipse mit der unendlich fernen Ebene gemein hat, mit allen übrigen Punkten der S0 fe Curve, so erhält man statt des Kegels einen Cylinder zweiter Ordnung, und zwar nothwendig einen elliptischen Cylinder, weil sich unter allen G diesen Verbindungslinien nicht eine einzige unendlich ferne Gerade be- findet. Durch jede eubische Ellipse lässt sich also ein einziger elliptischer Z d Cylinder legen, und die Durchdringung eines elliptischen Cylinders und eines Kegels, der mit dem ersteren eine Gerade gemein hat, wird stets (‘ eine cubische Ellipse ergeben. So ist auch die vorliegende Curve erzeugt. [v 2) Die Verbindungslinien eines der drei unendlich fernen Punkte einer cubischen Hyperbel mit allen übrigen erfüllen offenbar einen hyperbolischen Cylinder, da sich unter diesen Verbindungslinien zwei unendlich ferne Gerade befinden. Durch jede cubische Hyperbel lassen sich also drei hyperbolische Cylinder legen, von denen je zwei eine unendlich ferne Gerade gemein haben. Man kann zwei solche Cylinder, aber auch einen hyper- bolischen Cylinder und einen Kegel, der mit jenem eine Gerade gemein und übrigens allgemeine Lage hat, zur Erzeugung wählen. 3) Verbindet man denjenigen Punkt, in welchem die cubisch-hyper- bolische Parabel die unendlich ferne Ebene berührt, mit allen übrigen Punkten, so erhält man einen hyperbolischen Cylinder, denn derselbe hat als unendiich ferne Erzeugende die Verbindungslinie jenes unendlich fernen Berührungspunktes mit seinem ebenfalls unendlich fernen Nachbarpunkte und ausserdem die Verbindungslinie des Berührungspunktes und des Schnitt- punktes der Curve und der unendlich fernen Ebene. Verbindet man da- gegen diesen letzteren Schnittpunkt mit allen übrigen Curvenpunkten, so erhält man einen parabolischen Cylinder, denn derselbe enthält die beiden benachbarten Verbindungslinien des Schnittpunktes mit dem unendlich fernen Berührungspunkte. Man kann also die eubisch-hyperbolische Parabel erzeugen als Schnitt eines parabolischen und eines hyperbolischen Cylinders, welche eine unendlich ferne Gerade gemein haben. Man kann die Curve auch darstellen als Schnitt eines Kegels und eines parabolischen Cylinders, die eine Gerade. gemein haben, oder auch als Schnitt eines Kegels und eines hyperbolischen Cylinders, die eine Gerade gemein haben und so gegen einander liegen, dass die durch die Kegelspitze und eine unendlich Die ferne Erzeugende des Cylinders gelegte Ebene den Kegel berührt. vorliegende Curve ist als Schnitt eines Kegels und eings parabolischen Cylinders modellirt. \\ I Vel- 4) Verbindet man den einen der drei aufeinander folgenden Punkte, acht welche eine cubische Parabel mit der unendlich fernen Ebene gemein hat, A mit allen übrigen Curvenpunkten, also auch mit seinen beiden unendlich lelle fernen Nachbarpunkten, so erhält man offenbar den einzigen Cylinder, Inen welcher sich durch die Curve legen lässt, und zwar einen parabolischen Cylinder. Die Curve wird erzeugt als Schnitt eines solchen Cylinders ml und eines Kegels, welche eine Erzeugende gemein haben und ausserdem der so zu einander liegen, dass die durch die Kegelspitze und die unendlich INg ferne Cylindererzeugcndé gelegte Ebene den Kegel berührt. llen Die Curven sind in der angegebenen Weise mit Hülfe darstellender he: Geometrie construirt. Man findet oft Raumcurven dritter Ordnung ge- her zeichnet, deren höchster und tiefster endlicher Punkt in Beziehung auf ınd den horizontalen Grundriss des Cylinders wenig hervortreten, so dass die fs Curve fast einfach schraubenförmig in die Höhe steigt. Die vorliegenden igl Curven sind so construirt, dass sie auf den Cylindern sich möglichst viel ner heben und senken und nicht zu rasch asymptotisch verlaufen, weil sicher hen der Theil der Curve der weniger interessante ist, in welchem sie an der Asymptote hinläuft. FH€‘ rel Ausserdem ist den Curven der Uebersichtlichkeit wegen auf den de Cylindern eine möglichst symmetrische Lage gegeben worden. — Beides el wurde durch eine zweckmässige Anwendung des Continuitätsprincips er- A reicht. Man construirte statt der eigentlichen Curve dritter Ordnung zu- nächst eine solche, welche in eine gerade Linie und einen schief gestellten er- ebenen Schnitt des Cylinders zerfallen war. Dieselbe wird aus dem Cylinder en nicht mehr durch einen eigentlichen Kegel zweiter Ordnung, sondern, auf mannigfache Weise, durch ein Ebenenpaar ausgeschnitten, das noch eine fremde Erzeugende mit dem Cylinder gemein hat. Das so gewonnene Ebenen- en paar verwandelte man nunmehr in einen sehr wenig von ihm verschiedenen te Kegel, indem man nämlich das Paar gerader Linien, in welchem dasselbe ff die Grundfläche des Cylinders durchdringt, durch geringe Modificationen f in eine Hyberbel übergehen liess und übrigens die Kegelspitze zweckmäsig 0 wählte. Man erhielt alsdann als Schnitt des Cylinders und des so ge- A wonnenen Kegels eine Curve dritter Ordnung, die sich an die ursprünglich ol angenommene zerfallene Curve ihrem Gesammtverlaufe nach enge anschloss. el Leicht und instruetiv ist es, sich an den vorliegenden Modellen den Uebergang der Curven in einander vorzustellen. Man denke sich 6 zunächst den elliptischen Cylinder dadurch zum parabolischen werdend, y} dass die Scheitelerzeugende des elliptischen Cylinders, welche der Curven- d 0 asymptote diametral gegenüberliegt, sich immer mehr entfernt und schliess- Das Curvenstück, h lich in die unendlich ferne Ebene zu liegen kommt. © welches auf dem elliptischen Cylinder in der Nähe des mit der Asymptote versehenen Scheitels liegt, hat bereits Aehnlichkeit mit dem modellirten Theil der cubisch-hyperbolischen Parabel und man kann sich denken, wie ME 4 bei dieser Deformation des elliptischen Cylinders, die durch Collineation geschehen kann, die cubische Ellipse in die eubisch-hyperbolische Parabel übergeht. Denkt man sich dann die Umwandlung noch andauernd, so rückt die ins Unendliche gefallene Scheitelerzeugende auf der anderen Seite wieder herein, und der parabolische Cylinder wird zum hyperbolischen. Das modellirte Stück der cubisch-hyperbolischen Parabel wird dabei zu einem (ihm am Modell bereits ähnlichen) Theil der cubischen Hyperbel, welcher auf demjenigen Ast des hyperbolischen Cylinders verläuft, der die Asymptote als Scheitelerzeugende besitzt. Ein ähnlicher Uebergang führt von der cubischen Ellipse zur cubischen Hyberbel durch die cubische Parabel hindurch. Man hat nur diejenige Scheitelerzeugende des elliptischen Cylinders, welche Asymptote der eu- bischen Ellipse ist, durch geeignete Collineation zunächst unendlich weit und dann durch das Unendliche durchrücken zu lassen. Im Mai 1880. Au RA W ( I st d C €l u ( ( FO L tion ibel 80 TEn el A bel die Mathematische Modelle en angefertigt g im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München l U unter Leitung von Prof. Dr. Brill. XX Fläche von constantem negativen Krümmungsmaass nach L. Bianchi. Von Th. Kuen, Assistent an der technischen Hochschule in München. Die Fläche von Bianchi hat durch ihre eigenthümliche Entstehungs- weise und die daran anknüpfenden Untersuchungen von Herrn Sophus Lie (Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 1878, 79, 80) allgemeineres Interesse erregt. Sie wurde desswegen im hiesigen mathematischen In- stitute von Herrn stud. math. J Mack modellirt. Verschiedene Schnitte dieser Fläche zeigten nun eine Aehnlichkeit mit denjenigen, welche Herr E. Lenz in seiner Inauguraldissertation: „Ueber die Enneper’schen Flächen constanter negativer Krümmung“, Göttingen 1879, von einer der letzteren entwarf, so dass der Gedanke nahe gelegt wurde, die Bianchi’sche Fläche besitze ebene Krümmungslinien und ihre Gleich- ung sei also nur ein specieller Fall der von Herrn A. En- neper in den Göttinger Nachrichten 1868 aufgestellten Gleichungsform. Diese Vermuthung bestätigte sich in der That. Als Parameter w und v, durch welche man sich die Fläche gegeben denkt, sollen solche gewählt werden, welchen die 2 Schaaren der Krüm- mungslinien auf den Flächen entsprechen; w= const. soll das System der ebenen Krümmungslinien ergeben. Herr Enneper gibt unter dieser Vorraussetzung in den Göttinger Nachrichten 1868 pag. 275 die Gleich- ungen der Flächen constanten negativen Krümmungsmasses an. Man kann sie auf folgende Form bringen: P} J!/ 2 T =0C08 @ Y — Q sin @ ( tgz u +0) * Z_V021 A2J(gdvl)fld T Ve=R V ( Dabei ist 1 1 cosi(u, + v,) sin g VAET d VE A2 1 du sın O =C + 4Acos2iu, Sın 20 dv IG =VC— Acos2iv =cotg O IG und o bedeutet den Winkel, unter dem die Fläche von der Ebene einer planen Krümmungslinie geschnitten wird; die Constante — — ist gleich dem Produect der beiden Hauptkrümmungsradien Im Allgemeinen erhält man @, @ und als elliptische Funetionen von % und w; im speciellen Falle können sich indess die elliptischen auf Kreisintegrale reduciren Herr Enneper behandelt einen dieser Fälle auf pag. 276 seiner vorhin citirten Arbeit; er setzt 4 =0 und erhält dadurch Schraubenflächen constanten negaliven Krümmungsmaasses mit einem System ebener Krümmungslinien Eine zweite Gruppe von Flächen, welche unter A=0 inbegriffen ist, scheint aber sowohl ihm, als auch Herrn Lenz ent- gangen zu sein Es kann nämlich der Fall eintreten, dass 0 nicht con- stant ist, trotzdem dass A4= 0 gesetzt wurde; man erhält w«, durch Inte- gration einer Differentialgleichung und braucht nur die auftretende Integra- tionsconstante unendlich gross zu wählen Es ist dies gerade diejenige Lösung, die durch Nullsetzen von B in der pag. 274 erhaltenen Formel 1 = A'’cos2iu — Bisin2iw + C } Sın verloren geht, nämlich A’ Für diesen -speciellen Fall sollen nun die Gleichungen aufgestellt werden bekommt man aus der Unter Annahme jenes Ausdruckes für 2 allgemein gültigen Bedingungsgleichung (pag. 274) EL d’ w d 1 co8% (U, +v)[ dv? I du ( Sın M i dv i sint (u, + v [g S dv )] die folgende d or dv LO amn [(e l7; )min ( (A/AV X dv inl —+ B) sint v, + ( ( dv A Da nun %, von v, unabhängig ist, zerfällt die vorstehende Gleichung in die zwei d % ILG SE 2 En A MG ( 1 1> lz'rgw fl A ) dv EB M l@c()’[om; BAg zl ( dv ) 20 Al \ Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich durch Subtraction Er dv II ( d ) = 0 — A'’cos2iv, — Bisin2iwv ich Werden mit diesen allgemeineren Ausdrücken für 2 und — die J6n Rechnungen durchgeführt welche Herr Enneper in seiner Arbeit vor- n auf nimmt um zu den Ausdrücken für 0 P und G zu gelangen so findet l man dass sich in denselben nichts ändert, als die Constante 0*— 4° ch Natürlich hat man für und welche in C*— A’””+ B* übergeht. 2 n Für ier Z “ gabei ihre Werthe den Gleichungen I. und II. zu entnehmen. ist pf den speciellen Fall 4‘= B welcher nachher allein behandelt wird D die Durchführung dieser etwas mühsamen Rechnung nicht nöthig; man 9 1 6 überzeugt sich leicht dass hier die Ausdrücke für 2 und g 7U d den von Herrn Enneper hierfür benützten dadurch hervorgehah, dass man 6 l A = 0 setzt U, % um eine unendlich grosse Constante c vermMehrt und v um sie vermindert wobei —> O AI sein soll In den Formeln für @, @ und £& hat man dann nur 4=0 zu setzen, um die für diesen Fall gültigen zu haben Setzt. man in I. und II. A‘’= B, 8o ergibt; sich I al du sın O -=0+H ALes (g du . er dv. e A —2yı d% f E < 4 AA Führt man zur Abkürzung die Bezeichnung ein: f EEEZZOS SN e 61 VL d VZ E so erhält man durch Integration aus I® und II® ( gl U CC el]l —— ‚[/* Al ( A—U® Ib Ck A/ 6—V1 — Ir k+V?* k und 4 sind dabei Integrationsconstante. Unter Benützung von I” ergibt sich: f ED 0A0 du 2—C = — 4in‘0, g 'Ä2+U4 —221- U2 ( und daraus durch Integration unter Berücksichtigung der Realitätsbe- dingung: CZ 1: 2 U A 7 E (p=———arctg5 22 a 056 ( E wo %, die Integrationsconstante bedeutet, die‘der Allgemeinheit unbe- schadet Null gesetzt werden darf. Diese Gleichung lässt sich auch in der Form schreiben: CD 20 IN u(—d)- En VE Mit Hülfe der Gleichungen I” und II” erhält man für @ den Ausdruck: 2 (& KFE 03Ar Sı IV KOM Z DG Mit Benutzung von II” wird: Hs I g dv, g VAR% C ( dv )2dv=v+‘u+ C kEr & bedeutet die Integrationsconstante. Für z erhält man also: g Vr Z2=0+ Ö'k+V2+A”+ V I Ok A — 0U V'— A0 — 1)(k+V9?0* Vk+ 79 —_ AKV® V Oka —UYV' A0 VYD* K 84 5 Durch die Gleichungen IH., IV. und V. sind diejenigen Flächen constanten negativen Krümmungsmaasses mit einem System ebener Krümmungslinien bestimmt, welche durch Gleichsetzen von 4’‘ und B entstehen.*) Aus der durch die Gleichungen IlI., IV. und V. definirten Flächen- gruppe erhält man nun die von Herrn L. Bianchi angegebene Fläche constanten negativen Krümmungsmaasses durch Annahme folgender spe- ciellen Werthe für die daselbst auftretenden Constanten: OI A k VI A = — Wenn man C= 1 setzt, so nehmen die Gleichungen III., IV. und V. die Form unbestimmter Ausdrücke an; welche jedoch leicht durch Entwicklung der Exponentialfunetion in eine Reihe ausgewerthet werden können. Die Gleichung III. geht über in: e tg(%—— )— , oder SIn Z u S — tg — H. OS n — e Für 0 bekommt man folgenden Ausdruck: 2v S SE (1 + e“ Q 49g 2v N Vır IA LEa Ara Eine Schwierigkeit bei der Bestimmung dieses Werthes von Q aus der in unbestimmter Form auftretenden Gleichung IV. macht nur der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen, da sich hier die zwei ersten Glieder der Entwicklung zerstören. Man schreibe: 2 ( 1— C V wa 297 U= V + U*— 4A (j — U*— 2AU? und entwickle nun erst U* und U* in eine Reihe, von der die ersten drei Glieder zu nehmen sind. SEL Eine analoge Flächengattung von positivem Krümmungsmaass existirt nicht wegen der für diese bestehenden Realitätsbedingung (Bockwoldt, Inauguraldissertation, Göttingen 1878): LA]Z[0]+1. ED 6 S0 Für z endlich erhält man den Ausdruck: W 2g A0 2v+ 1+e a 4u? 2v 1+e ® Z 1—e y T 2v 4u? 2v D 1+e q(1+c )+ 4v 2g(1—e =1}+ 2v 4u 2r Va ä (1+e Die Gleichungen III*, IV* und V* sind aber identisch mit denjenigen Gleichungen, welche Herr Bianchi in seiner Inauguraldissertation: „Ri- %c cerche sulle superficie a curvatura costante e sulle Elicoidi“, Pisa 1879 (Auszug davon im XVI. Band der Mathem. Annalen) pag. 21 angibt; man hat nur zu setzen: u= W,g w v= glog tg _2_. vVII Die Gleichungen III*, IV* und V” nehmen dann die Gestalt an: En sin W — W COoS W E Ir tg COSW + W 8in W 2g sin W 0 M D 1x? 1 + w*sin’wW D 2g cos W Vb z=:glogtg%—}— 1 + w?sin? Will man die vonr Herrn Enneper in seiner Arbeit abgeleiteten For- meln an dieser Fläche prüfen, so muss man von der Form (<) der Glei- chungen für @, @ und z ausgehen, d. h. man muss statt der Parameter w und @, wegen der auf pag. 260 der Enneper’schen Abhandlung ge- machten Voraussetzung die Funectionen w und v dieser Parameter ein- führen. Das zweite nicht ebene System von Krümmungslinien wird wie bei allen Flächen constanter Krümmung mit einem System ebener Krümmungs- linien durch Kugeln ausgeschnitten, deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen. Die Kugeln haben hier die Gleichung: 2 8& — — w I g 22 a + y —+ <z—glogt cos ıb y 77 08° W Was die Gestalt der Fläche anlangt, so folgt aus der Gleichung der- selben unmittelbar, dass sie sowohl symmetrisch zur XY- als auch XZ- Ebene ist; denn setzt man statt W, — W beziehungsweise statt w, —W, 0l E 7 so ändert nur z beziehungsweise y sein Vorzeichen. Die Krümmungslinie w=0, die in der XZ-Ebene liegt, ist zugleich eine Rückkehrkante der Fläche; denn mit Hülfe von I” ergibt sich: du 9 n ’ cotg 0 = — = du es nähert sich also mit w auch 0 der Null, d. h. die XZ-Ebene ist Tangen- tialebene der Fläche; wegen der Symmetrie derselben in Bezug auf die letztgenannte Coordinatenebene muss daher die Krümmungslinie w = 0 Rückkehrkante sein (eine Selbstberührungscurve kann es nicht sein, wie Von dieser Rückkehrkante ausgehend, umwindet leicht zu zeigen ist). die Fläche unendlich oft die Z-Axe in beiden Richtungen; zuerst entfernt sie sich von ihr, dann aber nähert sie sich ihr wieder und erreicht die Axe erst nach unendlich vielen Windungen. Dabei findet nach jeder en halben Umwindung ein Selbstdurchsetzen der Fläche in der XZ-Ebene d statt. Ausser den dadurch entstehenden ebenen Doppelcurven besitzt sie 19 eine solche auch in der XY-Ebene. Für die Schnitteurve der letztern al Coordinatenebene mit der Fläche hat man z?=0 zu setzen, also: 2 cos 0=910gtg5+ 1 + w*sin? W Wird diese Gleichung für das Werthepaar w,, , erfüllt, so geschieht dıes auch für , m — %. Diesen zwei Werthepaaren entsprechen nun dieselben Coordinaten 4, es fallen also die jenen Parametern zu- gehörigen Punkte zusammen, d. h. obige Schnitteurve ist eine Doppelcurve. Eine Ausnahme macht nur das Werthsystem W, = e w, beliebig, welches die vorstehende Gleichung ebenfalls erfüllt; hier fallen die 2 vorher ver- schiedenen Parameterpaare zusammen, d. h. diesem Werthsystem entspricht T: eine einfache Schnitteurve. Ausser den ebenen Doppelcurven besitzt sie auch noch eine räumliche Doppelcurve, wie aus der Betrachtung der Die Fläche besitzt ferner eine räumliche r Horizontalschnitte sofort folgt. Rückkehreurve. Es zeigt sich nämlich, dass die ebenen Krümmungslinien sobald w >1 genommen wird, 2 Spitzen besitzen, weil zugleich die beiden Gleichungen : 00 R l C 0 und > ‘_ 0g bestehen, wenn: 1— w*sin’ wW=0 gewählt wird. Diese letzte Gleichung in Verbindung mit der Flächen- gleichung stellt also eine Rückkehreurve dar; sie besitzt in den 2 Punkten w= *1, in welchen sie die ebene Doppelcurve der XY-Ebene trifft, eine _ R # A 8 Spitze, denn die Tangente ist daselbst horizontal, und die Fläche Sym- metrisch in Bezug auf die XY-Ebene. Von diesen Punkten ab verläuft die Doppelcurve isolirt. -— Bei der Construction des Modelles wurde g= 5” gewählt. München, im December 1881. E M S A uft ıe Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill. EW XXI Minimalfläche neunter Ordnung. Catenoid und Schraubenfläche. Modellirt von cand. math. G. Herting. Herr Weierstrass hat in den Monatsberichten der Berliner Academie vom Jahre 1866 für die rechtwinkeligen Coordinaten einer Minimalfläche folgende Gleichungen aufgestellt : z= [1—s) f ds +S1—s,7fls,) ds, l y=ifl+s)f® ds—ifd-+sDfG)de, g=2fsf()ds+2 fs,f(s,)ds, , s und s, sind conjugirt complexe Argumente von der Form p+igq und D—Cigq, f(s) eine beliebige Funetion, f(s,) dieselbe Function mit den con- jugirt imaginären Constanten. Die Krümmungslinien und Asymptoteneurven sind dabei durch fol- gende Gleichungen definirt: 2) f(s) ds? — f(s,) ds,*=0 3) f(s) ds* + f(s,) ds,*?=0. Jeder Function f(s) entspricht eine Minimalfläche. Substituirt man in das Gleichungssystem (1): ME so erhält man eine von Enneper gefundene algebraische Minimalfläche neunter Ordnung (Göttinger Nachrichten 1871), deren Gleichungen in den Parametern , q geschrieben die Form erhalten: f E 2 2 —- 4) w=ß@—%f— 3 ) S 2 y=—a@+ß— 3 ) Z =_p2—— q’. S E Die Gleichung (2) der Krümmungslinien geht für den vorliegenden Fall über in: ds?— ds,*=0 oder dp.dgqg=0. 1 Somit sind die beiden Schaaren der Krümmungslinien durch die Gleichungen: 5) D CONST. d = Consli. gegeben. Die Gleichung (3) der Asymptotencurven ergibt: ds* + ds,*=0 oder dp* — dq%= 0. Die Integration dieser Gleichung liefert zur Bestimmung der beiden Schaaren von Asymptotencurven die Beziehung: 6) =*g+c. Dass die durch die Gleichungen (4) dargestellte Fläche von der neunten Ordnung ist, erkennt man, wenn man zu jenen Gleichungen noch die einer Geraden hinzufügt: z=at+b 2=dgy +V. Die Elimination von , y und z aus den fünf Gleichungen liefert zwei Gleichungen dritten Grades in den Parametern » und qg. Den neun Werthepaaren , q entsprechen somit neun Schnittpunkte der Geraden mit der Fläche. Da die rechtwinkeligen Coordinaten %, y, z# rational in den Para- metern » und q dargestellt sind, so entspricht jedem Werthepaar p, q eindeutig ein Punkt der Fläche. Betrachtet man also , q als Coordinaten eines rechtwinkeligen Coordinatensystems P, Q in der Ebene, so wird durch die Coordinaten v, qg eine conforme Abbildung der Fläche in die Ebene ge- leistet. Nach den Gleichungen (5) und (6) bilden sich bei. dieser Abbildungs- weise Krümmungslinien und Asymptotencurven als Gerade ab; erstere als ® parallele Gerade zur P- bezw. Q-Axe, letztere als gegen die Q-Axe unter +45° geneigte Gerade. Man bestätigt so den Satz, dass Asymptoten- curven und Krümmungslinien die Minimalfläche allenthalben in unendlich kleine Quadrate theilen. GO / 3 Wenn man also auf der Fläche zwei Systeme von Krümmungslinien so wählt, dass ihnen dieselben Werthe von » und g mit gleichen Inter- vallen entsprechen, so liegen die aufeinanderfolgenden Gegenecken der rechtwinkeligen Vierecke stets auf einer Asymptotencurve, denn diese in diagonaler Richtung aufeinanderfolgenden Schnittpunkte der Krümmungs- jen linien erfüllen stets die Gleichung (6). Auf dem Modell sind folgende Krümmungslinien verzeichnet: »=g=#*00,3 0,6 1,0 1,4 V3 2,0 2,3 2,6 2,9 und folgende Asymptotencurvenpaare : e C0 F1 E: Aus den Gleichungen (4) folgen die weiteren Beziéhungen: 7) d=D+50' —DE y'=(p*—%) (1 +32 D' + %)2 8) y=— a 40'—ag a*= (g* 4 2) (1 +3 q”—%Y— Diese Gleichungen sagen aus, dass die Krümmungslinien ebene Curven dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt sind, dessen Coordinaten: N y=0, z= — 3—2g* bezw. Z=0 2=3427 sind. Die Ebenen der Curvenschaar y == const. sind parallel zur Y-Axe und hüllen einen Cylinder ein, dessen Gleichung: z?= 2 (2—1)° ist. Die Ebenen der Curvenschaar q = const. sind parallell zur X-Axe und der von ihnen eingehüllte Cylinder hat die Gleichung: 2 F y CD Diese beiden Cylinder haben also congruente Neil’sche Parabeln als Leitcurven. Die Gleichungen (7) und (8) lassen ferner erkennen, dass die Coor- dinatenebenen: z=0 und y= 0 Symmetrieebenen der Fläche sind und dass immer je vier Krümmungs- linien, die denselben absolut gleichen Werthen von » und q entsprechen, congruent sind. In Folgendem seien noch die Schnitte mit den Coordinatenebenen betrachtet. /mn S 4 E Schnitt mit der YZ-Ebene. el Aus x%=0 folgt p= 0 und p*=3(1+4). ?=0 ist eine Krümmungslinie deren Gleichung: 2 ist —( S0 ?— 83 (1+g”) repräsentirt offenbar eine Doppelcurve der Fläche; ihre Gleichung in rechtwinkeligen Coordinaten wird: el yı=8(02—3)Z. W 2 Man erkennt darin eine Curve dritter Ordnung mit isolirtem Doppel- il punkt y= 0, z=0 und zwei Wendepunkten, deren Coordinaten: UE V2 und 2= 4 sind. M Der Schnitt mit der XZ-Ebene y= 0 ist zu diesem Schnitt congruent, denn durch Vertauschung von o mit —g geht in den Gleichungen (4) x in y und z in —2 über. Die Fläche besitzt also zwei ebene Doppelcurven dritter Ordnung, welche nichts anderes als die geometrischen Orte der Doppelpunkte der Krümmungslinien sind. Dieselben bilden sich in die Ebene als Hyper- beln ab. Schnitt mit der XY-Ebene. Man mache die rechte Seite des Gleichungssystems (4) homogen. n 8 z=pr* +pg*— 3 UZ D %3 8=(0°—q7)r WE Aus z= 0 folgt r= 0 und hieraus w= 0, die Gleichung der unend- lich fernen Ebene. Die unendlich ferne Gerade der X Y-Ebene ist also eine dreifache Gerade der Fläche. Die weitere Folgerung p= * g ergibt die Beziehung: Z'iy=0‚ Diese beiden Geraden in der XY-Ebene, welche die Asymptoten- curyen c= 0 darstellen, sind ebenfalls dreifach zu zählen. Jeder Punkt derselben hat die Eigenschaft, dass in ihm drei Tangentialebenen an die Fläche gelegt werden können, wovon jedoch zwei imaginär sind. In diesen drei Geraden findet der Uebergang vom reellen Theil der Fläche in das imaginäre Gebiet derselben statt und zwar durchdringen sich in jeder dieser Geraden zwei imaginäre Mäntel der Fläche. A 5 HEB Nach der Anfangs eingeführten Bezeichnung stellt sicfl das Curven- element auf der Minimalfläche in folgender Form dar: 9) dS*= 4 f(s) f(s,) (L + ss,)? ds ds, . Substituirt man hierin statt: F© .. 2f6) und statt f(s,).... — if(s), so erkennt man, dass das Curvenelement. keine Veränderung erleidet. Diese Substitution mit dem Gleichungssystem (1) vorgenommen liefert also eine Minimalfläche, welche auf die erstere ohne Dehnung aufgebogen werden kann (Bonnet’sche Biegungsfläche). Die Gleichungen (2) uud (3) zeigen, dass bei dieser Operätion Krümmungslinien in Asymptotencurven übergehen und umgekehrt. Für den vorliegenden Fall ergibt sich für diese Biegungsfläche, wenn man wieder nach der Integration der Gleichungen (l1) s=p, + iq,, N Sı = %, — ig setzt: ) OE OR WE Q, (1_.p12+ 3 ) 10) DE LE Va (1—912+ 3 ) 2 = —20,9,- Die Krümmungslinien dieser Fläche sind definirt durch: 2=*gq+c, die Asymptotencurven durch: P, = const. Qı = const. Es ist nun leicht erkennbar, dass beide Flächen der Form nach identisch sind. Die Substitution: Z+a4=2V2 A -gq=aV2 führt unmittelbar die Gleichungen (10) in die Gleichungen (4) über, wobei sich zwischen den rechtwinkeligen Coordinaten folgende Beziehungen herausstellen : E = O V2 VE Yy= — V s welche einer Drehung des Coordinatensystems um einen Winkel von 45° um die Z-Axe entsprechen. Die Minimalfläche neunter Ordnung kann also auf sich selbst aufge- bogen werden. Bei der Deformation muss der Punkt z=y=2=0 JS 6 LE jedenfalls in sich selbst übergehen, denn in diesem Punkt besitzt, wie ein mal Blick auf das Modell zeigt, das Krümmungsmaass, welches ja bei der Ver- biegung unverändert bleibt, einen sonst nirgends mehr auftretenden Maximal- werth. Ferner entsprechen den Krümmungslinien p q =0 die Asymp- toteneurven v, =q,=0 und den Asymptotencurven p — +g die Krüm- mungslinien , = * g,, die also gegenseitig ineinander übergehen EInE Man strecke also die Krümmungslinien in den Hauptschnitten dp= g =0 je in eine gerade Linie aus und lasse diese mit der Y- bezw. X-Axe zusammenfallen, so dass ihr Schnittpunkt z=y=%z=0 fest liegen bleibt, und drehe dann die Fläche um 45° um die Z-Axe, so wird die Fläche in sich selbst übergehen. Die deformirten Krümmungslinien kommen dann Flä auf jene Geraden zu liegen, die oben als die Asymptotencurven c=0 bezeichnet wurden Umgekehrt ‘ gehen jene Geraden der ursprünglichen kre Fläche in die Krümmungslinien in den Hauptschnitten der deformirten Fläche über m Catenoid und Schraubenfläche Substituirt man in das G1e1chungssystem (1)-die Funetion f(S) = bezw f(s,))= 4 27 so erhält man drei Glemhungen aus welchen sich durch Elimination von s und s, die Gleichung derjenigen Fläche ergibt, welche durch Rotation der Kettenlinie entsteht und die man Catenoid nennt v= Va +g —-—(e°+e “) Krümmungslinien sind hier Meridiane und Parallelkreise Für die Projection der Asymptotencurven in die X Y-Ebene ergibt sich folgende Gleichung : - „/——df—fpo+log E Da alle diese Curven congruent sind, so genügt die Kenntniss einer einzigen Die Gleichung der Curve #,= 0 nimmt die Form an A Die weitere Substitution f (9)-—— und AGT z in (1) ergibt für 4 2 Ta die zugeordnete Biegungsfläche drei Gleichungen, aus denen man durch Elimination von s und s, die Gleichung der windschiefen Schraubenfläche findet — ı— LEA tg y Yl DE T ein Für die Projection der Krümmungslinien in die XY-Ebene erhält er man folgende Gleichung in Polarcoordinaten: nal- P= ı410g D} V+; + a Un Da auch alle diese Curven congruent sind, so kann man sich mit einer derselben begnügen: =0 Axe —0 a ibt che 2 6 an Die Asymptotencurven sind die Geraden und Schraubenlinien der Fläche. hen Beim Aufbiegen des Catenoids auf die Schraubenfläche geht der Kehl- ten kreis in die Axe, die Parallelkreise in Schraubenlinien und die Meridiane in Gerade der Schraubenfläche über. München, im December 1881. on 10n ich er ( ch he 7 l S Z dl N S6 5 Q M N: ]\( Z M N W D f p O Wl 3 Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill. XXIL Fläche zwölfter Ordnung, Brennfläche der von einer leuchtenden Linie ausgehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die Linie trifft. Von stud. math. S. Finsterwalder. Diese Fläche entsteht durch Aufeinanderschichten der ebenen Brenn- linien, welche durch Reflexion der von einem leuchtenden Punkt S aus- gehenden Strahlen an einem Kreis entstehen, wenn man die Entfernung zweier Schichten dem variabeln Abstand z des Kreismittelpunktes M von dem Punkt S proportional macht, und die Mittelpunkte M, sowie die Symmetrieaxen der Brennlinien übereinander zu liegen kommen. In der That bilden dann die spiegelnden Kreise in ihrer Aufeinanderfolge einen senkrechten Cylinder und die Punkte S eine durch die Achse desselben gehende leuchtende gerade Linie. Alle Strahlen, welche von dieser Linie ausgehen und in einer Ebene senkrecht zur Cylinderachse liegen, umhüllen nach ihrer Reflexion die Brennfläche. Die übrigen Strahlen geben zu keiner weiteren Einhüllenden Anlass. Im Modelle ist der Cylinder durch seine Spur in der Deckfläche be- zeichnet, die leuchtende Linie hat man sich durch den Mittelpunkt des Modells gehend als Verbindungslinie derjenigen beiden Punkte zu denken, in welchen zwei Rückkehrkanten sich normal durchschneiden. Wir stellen im Folgenden die Gleichung dieser Brennfläche auf, indem wir die in Salmon’s Analytischer Geometrie der höheren ebenen Kurven enthaltenen Andeutungen über Klasse und Ordnung der Brennlinien aus- führen und vervollständigen. Sind T7=0, N=0 die Gleichungen von Tangente und Normale an / 2 die spiegelnde Curve, 7“ u. N‘ die Ausdrücke 7 und N nach Einsetzung der Coordinaten des leuchtenden Punktes, so ist T‘N—N’T=0 die U Gleichung des einfallenden Strahls, 7‘N+N’T=0 die Gleichung des pu hierzu in Bezug auf Tangente und Normale conjugirten, d. h. des reflec- mä tirten Strahls. Für den Fall, dass die reflectirende Curve ein Kreis ist und man S das Coordinatensystem so wählt, dass die X-Achse durch den Mittelpunkt desselben und den leuchtenden Punkt geht und die Y-Achse im ersten A fa Punkte senkrecht zur X-Achse steht, wird die Gleichung von Tangente S und Normale: % cos @ + ysin —r =0 C0 X sin P — Y cos @ =(); die Gleichung des refleqtirten Strahles ist alsdann: N DY coqu>——pxsin2q)+r(w—l—p)singp—-—rycosq)=0. dl Setzt man: B Z 1 coscp=—ä—(t—{-%-)‚ sin = 20 ( b ); wo i=V—1 ist, und bezeichnet man die Coefficienten von cos2@, sin2 @, cos, sin durch &, B, y, 0, so nimmt die Gleichung des refleetirten Strahls folgende Form an: @— BUE 0yl O Eyüt e Bi=0. X Diese Gleichung gibt unmittelbar die Klasse der Curve, denn setzt man in &, S, y, 0 die Coordinaten eines beliebigen Punktes ein, so gibt die Gleichung vier Werthe von %, denen vier Tangenten an die Brennlinie M entsprechen. Dieselbe ist also von der vierten Klasse. Um die Gleichung der Brennlinie in Punktecoordinaten zu finden, hat man aus obiger Gleichung und ihrer ersten Abgeleiteten den Parameter % zu eliminiren oder, was dasselbe ist, die Diseriminante der Gleichung aufzustellen. Eine Gleichung vierten Grades von der Form: f( a *+ 4a6 + 6a,0°+ 40a4 =0 hat als Diseriminante : (d, A, — 40, A, + 3a,7)* —27 (@, A, A, + 26, A, Az —& A,* — a A, — = 0, Setzt man hierin: &=&4-—ßi;z a=10-—70); 4=0 a =4(0+7yÜ; a,=«-+ßi, so erhält man nach einigen Reduetionen: [4 (@«? + ß?) — (d? + y7)] — 27 [a (d* — y?) + 28yd]'= 0. Berücksichtigt man schliesslich die Bedeutung von «, ß, /, O, so ergibt sich die Gleichung der Brennlinie in der Form: 42 — r?) @* + y — rn (2x +D — 27r p y? @* + y — D = 0 ; D A 3 Z A Die Brennlinie ist daher eine Curve sechster Ordnung. Setzt man / die in dieser Gleichung den Abstand p des leuchtenden Punktes vom Mittel- des punkt des spiegelnden Kreises gleich einer dritten Variablen %, SO erhält flec- man die Gleichung der oben definirten Fläche: mal 4 2? — 7?) (z? + y — r? 2 (2% + 2)]) — 27 rt2?g? @* + y° — 2 = 0, unkt Sie ist von der zwölften Ordnung. Die Variable y kommt nur. im Quadrat SEn vor; die Fläche ist daher in Bezug auf die XZ-Ebene symmetrisch. Ver- ente tauscht man in der Gleichung x mit —x und z mit —, 80 bleibt die- selbe ungeändert. Die Fläche wird daher durch die XY-Ebene in zwei congruente, aber nicht symmetrisch liegende Theile getrennt. Die Gleichung ist von der Form: P — Q=0. Setzt man P=0 und Q=0, so muss die Schnittlinie der durch diese beiden Gleichungen dargestellten Flächen eine Rückkehrkante der Brenn- fläche sein. Man erhält deren drei, die den. folgenden Gleichungen ent- sprechen: » (42? — y7)(@? + y — r’2(2x + 2)=0 Y Y Hieraus folgt die Gleichung: des 2x2+r(@ + 2)].[2xz — r (@ + 2)]= 0. Dieselbe stellt in Verbindung mit der Bedingung y==0 ein System etzt von zwei gleichseitigen Hyperbeln in der XZ-Ebene dar, die sich im Punkte %=0, z=0 berühren und deren Asymptoten Parallele zur Z und X-Achse ibt nie in den Abständen +— sind. Z hat 2) 42 — r) @ + y — r?2(2x + 2)=0 ZE=. ar Ein imaginäres Geradenpaar, dessen einziger reeller Punkt der An- ng fangspunkt ist, welcher als sechsfacher Punkt der Fläche zählt. 3) (42? — r @? + y — r?2(2% + 2)=0 z? + y?— 2’=0. Die hierdurch definirte Raumecurve hat als Projectionen auf die XZ- und YZ-Ebene Curven, deren Gleichungen sind: 22°— yr (@% + 2)=0 N 42*(g?— r) + r*gy?=0. Erstere hat für 2=0, x= 0 einen Wendepunkt, dessen Tangente unter einem Winkel von 45° zu den Achsen geneigt ist. Letztere berührt ibt im Punkte z2=0, y=0 sich selbst, was sich unmittelbar aus den Glei- chungen ergibt. Vergleicht man dieses Resultat mit den oben erhaltenen, so ergibt sich, dass in dem sechsfach zählenden Anfangspunkte einmal D 9 7 L ;' 4 DEa die beiden in der XZ-Ebene gelegenen Rückkehrkanten (Hyperbeln) sich berühren, zweitens, dass in demselben Punkte die dritte Rückkehrkante sich selbst berührt und drittens, dass allen drei Rückkehrkanten dieselbe Tangente zukommt, nämlich eine in der XZ-Ebene, gelegene, zu beiden Achsen unter einem Winkel von 45° geneigte Gerade. Die horizontalen Schnitte der Fläche sind Brennlinien der an einem Kreis reflectirten Strahlen. Dieselben haben ausser imaginären Singularitäten im Allgemeinen 4 reelle Spitzen, deren Construc- tion sich auf die Eigenschaft der Kegelschnitte stützen lässt, dass alle Strahlen, die von einem Brennpunkte ausgehen, an dem Kegelschnitt so Be- refleetirt werden, dass sie sich im anderen Brennpunkte sammeln. trachtet man nämlich den leuchtenden Punkt als den einen Brennpunkt eines Kegelschnittes, der mit dem reflectirenden Kreise eine 4punktige Berührung eingeht, so wird der andere Brenn- punkt offenbar eine Spitze der Brennlinie sein. Da ein Kreis einen Kegel- schnitt nur in 4 Punkten vierpunktig tangiren kann, so sind nur folgende Lagen möglich: a) Der Kreis berührt den Kegelschnitt (Ellipse oder Hyperbel) am Endpunkte der grossen resp. reellen Achse. Man erhält dadurch 2 Spitzen auf der Verbindungslinie des leuchtenden Punktes mit dem Mittelpunkte des Kreises, deren Construetion aus dem Satze folgt, dass der Krümmungs- mittelpunkt am Endpunkte der grossen resp. reellen Achse eines Kegel- schnittes der zum Scheitel in Bezug auf die Brennpunkte harmonisch con- jugirte Punkt ist. b) Der Kreis berührt den Kegelschnitt (Ellipse) am Endpunkt der kleinen Achse. Die Construction der Spitze wird folgende: Man errichte im leuchtenden Punkte S eine Senkrechte, welche den Kreis in T und Z“ schneidet, verbinde 7 und 7“ mit dem Mittelpunkte M und suche die Gegenpunkte zu S in Bezug auf MT und M7‘. Diese sind die verlangten Spitzen. Um die unendlich fernen Punkte oder etwa vorhandene Asym p- toten zu finden, kann man folgenden Weg einschlagen. Aus _umstehender Figur ergeben sich die Beziehungen: 2U=0@-+ D sin @ = 7 sin W Differenzirt man die Gleichungen und berücksichtigt man, dass de für den Fall, dass OT eine Asymptote sein soll, gleich Null sein muss, so erhält man für cos@ die Bedingung : Y ul cos* p = 30 Nach dem Gesagten ist es leicht, sich von der Gestalt der Curve für die verschiedenen Werthe von o Rechenschaft zu geben. (Die Curven 1AN / /,/ v U ch {e e n M AW\\ D n n le sind auf dem Modell eingeritzt; die dabeistehenden Zahlen bedeuten, um wie viele Zwölftel des Radius sie über der Curve liegen, für die p= r ist.) { I. Geht man von dem Falle p= 0 aus, so ist die Curve zuerst auf den Mittelpunkt des Reflexionskreises reducirt; für D D >0, besteht sie aus einem geschlossenen vierspitzigen Zug mit zwei Spitzen o und 0, auf e der X-Achse und zwei solchen 0, und 0, symmetrisch zu derselben (Curven R: H Wiid D= s so rückt die Spitze 0, in’s Unendliche, und die 27 X-Achse kann als Doppelasymptote betrachtet werden (Curve 6). II Wird r>p>%, 8o erscheint die Spitze 0, auf der entgegenge- setzten Seite wieder, während zugleich 2 getrennte Asymptoten mit stets wachsendem Neigungswinkel auftreten. Die Spitzen 0, und 0, nähern sich der Peripherie des spiegelnden Kreises (Curven 5—1). IV. Für den Fall, dass d»== r ist, haben die Asymptoten ihren Maximal- V winkel 90° erreicht. Sie fallen in eine Gerade zusammen, was sich durch Ausscheidung des Faktors (x — 7)* aus der Gleichung der Brennlinie für diesen Fall zu erkennen gibt. Die restirende Curve zeigt nur mehr die eine Spitze o, auf der Y-Achse, während die anderen drei im leuchtenden Punkte zusammengefallen sind. Sie ist eine Cardioide (Curve 0). V. Wird v >r, so verschwinden die Asymptoten und die Spitzen 0, 0, vollständig, dagegen erscheint die Spitze o, innerhalb des Kreises wieder. Die Brennlinie bildet einen geschlossenen zweispitzigen Linienzug, der den Kreis in den Schnittpunkten der Polare des leuchtenden Punktes berührt. VI. Wächst die Entfernung des leuchtenden Punktes bis dp=©, SO wird die Curve schliesslich symmetrisch zur Y-Achse und ist dann identisch mit einer Epieykloide, die durch Rollen eines Kreises vom Radius }r auf einem Kreis vom Radius 4r entsteht. München, im December 1881. E ON //J% DA // s ‚// e S — 7 E Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill. XXIV. Ueber die Krümmungslinien der Röhrenschraubenfläche. Von Th. Kuen, Assistent an der k. technischen Hochschule in München. Die Röhrenschraubenfläche ist die Enveloppe der Kugeln von con- stantem Radius, deren Mittelpunkte auf einer Schraubenlinie liegen. Die Gleichung der letzteren sei: EL A coS O ; @ sin @ 1.) Z —z b Die Gleichung der die Röhrenschraubenfläche erzeugenden Kugel wird dann: F(p= @— acosgp)' + (y — asing)? + @ — bg) — r’=0. 10 Zwei benachbarte Kugeln schneiden sich nach einem Kreise, welcher zugleich der Enveloppe angehört. Dieser Kreis wird bestimmt durch F(@g)=0 und die Gleichung: =d sin @ (X — a cos @) — a cos @ (y — a sin O) — b (# — bgp)=0. ML.) AT Durch Elimination von ® aus den Gleichungen II. und III. würde Einfacher sich die Gleichung der Fläche in gewöhnlicher Form ergeben. ist es jedoch, die Coordinaten der Punkte der Fläche durch zwei Para- meter auszudrücken; als den einen wählen wir @, der andere werde mit w bezeichnet. auf der Fläche sind nach dem Die Curven @ = Const. Vorhergehenden Kreise, deren Ebenen senkrecht zur Schraubenlinie (I.) $ stehen Um ein möglichst bequemes Curvennetz auf der Fläche zu er- Coett halten, soll ein solcher Parameter u gewählt werden, welchem das System scht der auf der Fläche liegenden Schraubenlinien zugehört Dies ist aber der Fall, wenn für u = Const., z° + y*= Const. wird, d. h. wenn aus dem Ausdrucke für 0°= x” + y“ nach Einführung von “ @ verschwüunden ist Aus den Gleichungen II. und IIL. folgt nun [0*? + a?— r* + (# — bg))* + 4 (e — bg)*= 4a*0°; und @ verschwindet aus diesem Ausdruck dann und nur dann, wenn 2 — b p = w gesetzt wird Dabei ist gleichgültig, welcher Funetion von &, & -— be gleichgesetzt wird indess hängt die Einfachheit der Flächengleichung davon ab Drückt man x und y als Funetion von z — b @ aus, so erhält man sind leic Sa (1 —}—(2 ß/ Al )c()>(‚0 + (@ — be) —sm P chut a* + b* Schi J—(a+l/ (z — b) )mnfp——( —00 — O Am einfachsten werden diese Gleichungen wenn man oben vorkom- mende Wurzel gleich dem Parameter « setzt; man erhält dann die Glei- chung der Röhrenschraubenfläche in der Form: Schi CONS 2+l)2 YOn und Sx=(a+u coscp—%-b>uqu 2 — w y Ist (y= (a + u).sinp —d cosgp +b2 z PE u“ Z 2+b2 und Für diese Fläche sollen nun die Krümmungslinien aufgesucht werden Aus dem bekannten Joachimsthal’schen Satze über ebene Krümmungs- linien folgt, dass die Kreise @ = Const. die eine Schaar der Krümmungs- ( schneiden die linien der Fläche bilden denn die Ebenen der Kreise Tini Fläche unter einem constanten Winkel nämlich einem Rechten Das IM zweite System, welches das erste orthogonal durchschneidet kann auf folgende Weise gefunden werden Der Ausdruck für das Linienelement wird Und 2 br?* ds*= du‘*— X 2+ 2du.de. VT VAZ 8 u?+ a! +b?) Sch + dg E V.) a* + dD? Da ein Glied dwu.dg vorkommt, so stehen die beiden Curvenschaaren u= Const. @ = Const nicht aufeinander senkrecht Statt des Para- meters u können wir aber leicht einen andern w einführen , so dass der bb l 6I Coefficient von du‘.d@ in dem Ausdruck für das Linienelement ver- en schwindet; man gebe diesem die Form: aber ds= du brda |* dem + f l/rzi_ u? Va* + &* d@®. (a + w)* + a° + b° — u*]_ a2+b2 (7 und setze: - fl) du‘ r br bg m du.l/r2__‚u.z+ Vaz+ 6? \48) ng hält Die Curven w‘= Const. stehen dann senkrecht zu @ = Const. und sind daher die zweite Schaar der Krümmungslinien; ihre Differential- gleichung erhält man durch Nullsetzen der rechten Seite in der Glei- chung (VL.). Durch Integration ergibt sich als Gleichung für die zweite Schaar von Krümmungslinen, wenn c die Integrationsconstante bezeichnet: ( + 0) — u= r sin VIE) OM Va lei- Diese Curven sind congruent ünd gehen ineinander über durch Ver- schieben der Fläche in sich selbst; es genügt also, diejenige Curve zu construiren, für welche c=0 gesetzt wird. Die geometrische Bedeutung von %, die man nothwendig kennen muss, um das Curvennetz der Kreise und Schraubenlinien @ = Const., u = Const. auf der Fläche herzustellen, ist nicht schwer zu ermitteln. Aus den Gleichungen IV. ergibt sich: 2 O= a + a2+b2 (r* — w’*) und für @# = 0: CN 2= Vrz——u"; l/a2+ b2 g8: A Q bedeutet dabei den Radius der dem Parameter w zugehörigen Schrauben- linie. Nennt man den Winkel, den die Kreisebene #=0 mit der XY- I A Ebene einschliesst, W, so ist: (22 f sin W = ; Va und wenn man in umstehender Figur MK=r7, M0 = 0, MZ= r sinwW, S,S‘=— MR macht, so folgt, dass der. Parameter w die Strecke MS, ist, d. h. die Differenz der Projection von Q, Radius der durch w“ bestimmten Schraubenlinie, auf die zugehörige Gerade OM. Ferner ist: —Ü sin & = — = also Va 237 I &« SR SE E b VIL.) l/a2 + b2 LO 4 K R A /S/ i E E S S V S N s ea $ A Nimmt man also die Kreise so an, dass ihre Mittelpunkte constanten Abstand haben, so hat man anch auf den Kreisen selbst gleiche "Theile abzutragen, die Grösse eines einzelnen Theiles berechnet sich aus der Gleichung VIIL Für das Modell der Röhrenschraubenfläche wurden für @, r und b die folgenden Werthe gewählt: Z 63mm mm —25 [ d = 21,3° München, im December 1881. fläc Bü We der Au he 68 lel SC I fa 1! fl Je IN f IM N Y S ( ( A % Mathematische Modelle angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochgchule in München fanten unter Leitung von Prof. Dr. Brill. Theile E s der ınd D (Nachtrag zu Nr. XVI). Die parabolische Ringeyclide. Von stud. math. Seb. Finsterwalder. Die im Folgendefi näher zu betrachtende Fläche wurde als Wellen- fläche desjenigen Strahlsystems gefunden, welches durch Reflexion eines Bündels paralleler Strahlen an einem hyperbolischen Paraboloid entsteht, wenn man das Centrum des Bündels auf dem unendlich fernen Punkte der Achse des Paraboloids annimmt. Nach einem bekannten Satze von Malus wird ein Normalensystem durch eine beliebige Anzahl von Reflexionen oder Brechungen am beliebig begrenzten Medien immer wieder in ein Normalensystem verwandelt, und es ist daher in unserm Falle die Existenz einer Schaar unter sich paral- leler Wellenflächen vorauszusehen. Die Construection derselben ergibt sich durch Uebertragung der von Quetelet und Cayley für ebene Brenn- linien angegebenen Prineipien auf den Raum. Man denke sich die ein- fallenden Strahlen von einer Wellenfläche W ausgehend. Eine Wellen- fläche W, der reflectirten Strahlen wird dann gefunden, wenn man für jeden von einem Punkte der Fläche W ausgehenden Strahl das Spiegel- bild dieses Punktes in Bezug auf diejenige Tangentialebene der spiegelnden Fläche nimmt, welche in dem Einfallspunkte des Strahls berührt. Nimmt man als spiegelnde Fläche ein hyperbolisches Paraboloid mit congruenten Hauptschnitten und als Wellenfläche W der einfallenden Strahlen die Tan- gentialebene S im Scheitel desselben an, so erhält man als Fläche W, die im Modell dargestellte Fläche. Ordnet man die Strahlen des Bündels nach ebenen Büscheln B, die den Hauptschnitten H,, H, des Paraboloides parallel sind, und sucht mafl'1 D N chi die Spiegelbilder O,, die den Fusspunkten 0 der Strahlen eines solchen einh Büschels B entsprechen, so liegen dieselben auf einem Kreise, dessen nich Ebene senkrecht zu den Erzeugenden desjenigen Cylinders steht, der das and Paraboloid längs der Schnitteurve mit der Ebene des Büschels berührt. Die Ebenen der Kreise, welche Büscheln parallel zu einem der Haupt- ON schnitte entsprechen, schneiden sich in einer Geraden C, resp. U, der zu- schn gehörigen Hauptschnitte H,, H.. €InE Die den Büscheln der Hauptschnitte entsprechenden Kreise K, und K, (Sie liegen in den Hauptebenen selbst und berühren die Hauptschnitte im Scheitel. Die Radien dieser Kreise haben einen kleinsten Werth y gleich läng der Focaldistanz der Hauptparabeln. Ihre gegenseitige Lage, sowie die el der Geraden C, und C, lässt sich am Modelle leicht übersehen. IN Um alle Kreise zu erhalten, deren Ebenen durch C, gehen, hat man dIst nur eine solche Ebene beliebig anzunehmen und in derselben über der SeN! Strecke MN (welche von den Schnittpunkten des Kreises K, und der Ge- raden C, mit der Ebene begrenzt ist), als Durchmesser einen Kreis zu firte 1 beschreiben, welcher dann der Fläche angehört. Analoges gilt von den wel Kreisen, welche in Ebenen des Büschels C liegen. Die Ebene jedes der Büschel C,, C,, welche parallel zur Achse des allg andern gelegt werden kann, schneidet aus der Fläche einen Kreis aus, Tel welcher in die Gerade U, resp. C, und die unendlich ferne Gerade zerfällt. fole ( Es liegen daher die Geraden C, u. C,, sowie die unendlich ferne Gerade der zu beiden parallelen Ebenen in der Fläche. Dieselbe geht auch durch AUS den imaginären Kugelkreis, weil jeder der doppelten Schaar der unter sich ın nicht parallelen Kreisschnitte zwei Punkte mit demselben gemeinsam hat. Um Ausser den Geraden C, und C, und der erwähnten unendlich fernen Ge- SC raden besitzt die Fläche noch zwei, durch den Schnittpunkt der beiden Ra Kreise K, und K, gehende zu einander senkrechte Gerade, in welchen ö sich die Fläche, das Paraboloid und dessen Scheitelebene gegenseitig ZW { durchdringen. —— du Denkt man sich die Ebenen des Büschels U, um die Achse in eine ge- I meinsame Ebene gedreht, so bilden die Kreise ein Büschel mit imaginären de 3rundpunkten , deren Entfernungen von der Hauptebene Y, +2o V pu sind. Diese Punkte Q, und Q, sowie die entsprechenden Q, und Q, der vO Geraden C, sind imaginäre Knotenpunkte der Fläche. IC Die Fläche ist dritter Ordnung, da jede Ebene nach einer Curve fl dritter Ordnung schneidet, die für die Ebenen der Büschel C, und C, in be eine Gerade und einen Kreis, für Ebenen parallel zu C, und C, in eine Hyperbel und die unendlich ferne Gerade zerfällt. Die Geraden C, u. C, de sind torsal und daher doppelt zu zählen. Von den 27 Geraden der allge- 0 meinen Fläche dritter Ordnuug sind daher 7 reell, davon zwei Paare zu- ho sammenfallend. be Betrachtet man 2 aufeinanderfolgende Kreise MN, M’N‘ derselben T & lchen Schaar, so kann man durch beide eine Kugel legen, welche der Fläche lessen einbeschrieben ist. Der Mittelpunkt P derselben liegt in der der Schaar Y das nicht angehörigen Hauptebene und zwar im Schnittpunkte der auf M M” rührt, und NN‘ errichteten Senkrechten. lapt- Die Kreise sind daher Krümmungslinien der Fläche, da sich alle r ZU- Normalen längs derselben im Mittelpunkte der einbeschriebenen Kugel schneiden. Unsere Fläche ist daher eine Dupin’sche Cyelide und zwar X eine parabolische Ausartung der allgemeinen Cyclide vierten Grades. e m (Siehe Maxwell’s Aufsatz: On the eyclide, Quarterly Journal Bd. 9.) leich Der Ort der Spitzen P der geraden Kegel, welche die Normalen , die längs einer Krümmungslinie bilden, besteht aus zwei congruenten Parabeln, welche in den Hauptebenen des Paraboloides liegen. Der Scheitel der man einen ist zugleich der Brennpunkt der andern und die gemeinsame Focal- _ der distanz gleich 2%. Diese Focalparabeln repräsentiren die in Linien de- v - generirten Mäntel der Krümmungscentrafläche. Das System der reflec- S U tirten Strahlen kann als die Gesammtheit der Geraden betrachtet werden, den welche die Focalparabeln schneiden. Maxwell hat an oben citirtem Orte auf die analoge Eigenschaft der de allgemeinen Cyclide eine mechanische Construction gegründet, deren directe VUebertragung auf unsern Fall nicht möglich ist. Als Ersatz dafür kann aus, ällf, folgende auf ähnlichen Grundsätzen beruhende gelten. yade AB Die beiden Hauptparabeln seien / urch aus dünnem Drahte hergestellt und sich in ihrer gegenseitigen Lage befestigt. \ i hat, Um die beiden Brennpunkte drehen | N (6 sich in den Ebenen der Parabeln zwei o B' den Yadıen 4 B, AB von gleicher n ‚en Länge @, welche auf den Parabeln E N flg zwei Punkte P, P‘ bestimmen, die durch eine Gerade von unbestimmter N gl Länge verbunden werden, auf welcher ren der Punkt 0 markirt ist. Der Punkt O ist nun mit jedem der End- punkte B, B‘ durch einen Faden von der Länge a —p verbunden, welcher der von B resp.. B‘ nach P resp. P‘ und von dort nach O läuft, wo er. be- festigt ist. Wenn PP‘ alle möglichen Lagen annimmt, beschreibt O die Fläche. IC Wenn P festgehalten wird, während P‘ die Parabel durchläuft, In beschreibt 0 eine Krümmungslinie. Ine Um die Klasse der Fläche zu bestimmen, geht man von der Gleichung ( derselben in Punktcoordinaten aus, die sich ohne Schwierigkeit aus obiger E Construetion ableiten lässt. Sie lautet, auf die Scheitelebene des Para- boloides als XY-, und die Hauptebenen desselben als XZ- und Y Z-REbene Al bezogen: en g (@? + gy* + 2° — 4p°) — 2n (z?—y)=0. SA 4 Die Diseriminante in Bezug auf z gibt die Gleichung des zur Z- Achse parallelen Berühreylinders: (ZÜ2+ ‚7/2_4272)8"‘_27292(%‘2_'y2)2=0- Die Leiteurve desselben ist sechster Ordnung mit vier reellen Spitzen im Durchschnitte des Geradenpaares %7 =+y mit dem Kreise: a + y = 4p° Da der unendlich ferne Punkt der Z-Achse der Fläche nicht angehört, so ist die Ordnung des Berührceylinders der Klasse der Fläche gleich; diese ist daher die sechste. München, im Januar 1883. fache fach Darhi Type Einen Frag Refle Keda Kreis HIN Die Z | Punk Von - Stral Her ETZ@ dere dem L %ı S X& -Achse Spitzen gehört, Mathematische Modelle gleich; angefertigt im mathematischen Institut der k. technischen Hochschule in München XXVUI. 3 Typen von Cycliden mit einem System sphärischer Krümmungslinien. Von Dr. S, Finsterwalder. Die im Nachfolgenden zu besprechenden Flächen bieten in mehr- facher Hinsicht Interesse: erstens als Wellenflächen gewisser optisch ein- fach zu definirender Strahlensysteme; zweitens als Cyecliden in dem von Darboux u. A. gebrauchten erweiterten Sinne; drittens als allgemeine Typen von Flächen 4. Ordnung, deren einer Mantel der Centrafläche in einen Kreis degenerirt. Wir wurden auf diese Flächen aufmerksam bei Beantwortung der Frage, die Wellenflächen eines Strahlensystemes zu finden, das durch Reflexion eines Lichtbündels an einer, als unendlich dünne Kanalfläche gedachten, spiegelnden Curve entsteht. Wir nehmen als solche einen Kreis A vom Radius r an und denken uns.den leuchtenden Punkt P ausserhalb des Kreises in einer Enffernung n von der Ebene desselben. Die Entfernung des Centrums von 4 von dem durch P gehenden Lote zur Ebene des Kreises sei qg. Jeder Strahl, der von P aus nach einem Punkte der spiegelnden Curve geht, wird dort an einem ganzen Büschel von Tangentialebenen reflectirt und daher in einen Rotationskegel von Strahlen zertheilt, dessen Axe die Tangente an die spiegelnde Curve und dessen eine Erzeugende der einfallende Strahl selbst ist. Es lässt sich demnach das System der reflectirten Strahlen aus den Erzeugenden der Rotationskegel zusammensetzen, deren Spitzen Punkte, deren Axen Tangenten der spiegelnden Curve sind, und welche ausser- Eine der Wellenflächen dieses dem durch den leuchtenden Punkt gehen. L J Z welche durch ] Strahlensystemes ist offenbar die Enveloppe von Kugeln P gehen und ihren Mittelpunkt auf 4 haben Die Gleichung dieser Wellen- dar, 4 jugirt fläche lautet (a? + y° + &* —p — 2qz) —4r @ +y)=—0 Cons dritten Dabei hat der leuchtende Punkt die Coordinaten %= 0 YEN &Z yon d der spiegelnde Kreis die Gleichung Ourve CO Umris zweiß Die Fläche ist 4. Ordnung und enthält den unendlich fernen Kugelkreis als Doppelcurve; sie ist daher eine Oyclide im Sinne von Darboux An welche parabe Singularitäten hat sie ausserdem noch 2 konische Knoten, den einen im leuchtenden Punkte P, den andern im Gegenpunkte P“ desselben in Bezug ] Fall p auf die Ebene des Kreises 4. Die Klasse beträgt daher 36 — 4—2.2 — 28 Zwei consecutive erzeugende Kugeln schneiden sich in einem Kreise, trennt welch der ganz auf der Fläche liegt und durch die beiden Knotenpunkte P und 3 scht: Derselbe gehört einem System von Krümmungslinien an. Um Chung das zweite System zu finden, fasst man die Fläche als Bestandtheil einer dreifach orthogonalen Schaar auf und erhält dann die Krümmungslinien als Zu diesem Zwecke trans- Schnitte mit den einzelnen Flächen der Schaar formirt man die Fläche durch Inversion vom leuchtenden Punkt als Pol aus. Die Ordnung 8 der inversen Fläche wird durch den unendlich fernen Die } Kugelkreis um 4 und durch den Knotenpunkt P _ im Inversionscentrum Da die transformirte Fläche wegen des zweiten Knoten- Fläche um 2 erniedrigt. IM le) punktes P‘ der Originalfläche selbst einen Knotenpunkt enthalten muss, eine ( so_ ist sie nothwendig ein Kegel 2. Ordnung. Den Erzeugenden entsprechen | die Kreise auf der Cycelide. Der Kegel bildet mit seinen Confocalen und In rot den concentrischen Kugeln eine dreifach orthogonale Schaar, aus der wir Kugel durch Inversion eine zweite erzeugen können, welcher unsere Cyclide an- Die concentrischen Kugeln gehen dabei, wie man leicht über- Mitte] gehört. sieht, in ein Kugelbüschel über, das die Punkte P und P‘ zu Nullkugeln €n Sj hat STÖSS Dieses Kugelbüschel schneidet aus unserer Fläche die zweite Schaar von Krümmungslinien aus. Bezeichnet c den Radius einer Kugel des von } Büschels, so kann man die Gleichung unserer Fläche in Polarcoordinaten Unser 0, @ (Länge), W (Breite) und dem Parameter c folgendermassen schreiben Darall Curve DA a 20 0 2 + 0 CONSE DEr O da Q +_P 7 0, = 1 — 9gco8s @ Man | ig @ = h8 en Den Werthen @ == const entspricht die erste aus Kreisen bestehende d]e \l Schaar von Krümmungslinien, den Werthen c = const eine Schaar sphä- Selber rischer Curven (Sphero-Quarties) welche das zweite System der Krüm- \md er R mungslinien bilden /// I D3 e durch Zwei der Modelle, das ringförmige und das hornförmige, stellen Flächen Wellen- dar, für welche p rein imaginär ist, die beiden Doppelpunkte also con- jugirt imaginär auftreten; bei letzterer besteht ausserdem zwischen den Constanten die Beziehung p’-+ (r — g)'= 0, welche die Existenz eines dritten (reellen) Doppelpunktes zur Folge hat. Der Umriss der Flächen l von dem unendlich fernen Punkte der Z-Axe gesehen, ist eine bicireulare Curve 4. Ordnung (Cartesisches Oval, resp. Paskal’sche Schnecke). Der Umriss, von dem unendlich fernen Punkte der Y-Axe gesehen, zerfällt in velkreis zwei Kreise und eine doppelt zu zählende Parabel *— 2gqx%x — p*—r?=0, x An welche beide Kreise doppelt berühren. Die Fläche ist dem entsprechenden men iM parabolischen Cylinder doppelt einbeschrieben. ı Bezug Das dritte, herzförmig gestaltete Modell stellt die Fläche für den B Ball » = 0 qgi= r dar. Hier sind die bei dem hornförmigen Typus ge- Kreise, trennt auftretenden Knoten zu einem uniplanaren Knotenpunkt vereinigt, P und welcher die Klasse um 6 reducirt. Dieselbe beträgt nun 26. Die Glei- , Um chungen der Fläche in dem Parameter c lauten: | einer 16r7*c?sin 2 r sin? P jen als {rans- () SE EL 0 = — 4r Is Pol zsm4q) A e? fernen frum Die Kugeln, welche die zweite Schaar der Krümmungslinien auf der Fläche ausschneiden, berühren sämmtlich die Ebene des spiegelnden Kreises ‘nofen- im leuchtenden Punkte. Der Umriss der Fläche in der XY-Ebene ist MUSS, eine Cardioide. rechen y und Um die parabolische Curve der speciellen Fläche (auf dem Modell in rother Farbe angegeben) zu finden, kann man diese dadurch auf eine er wir jde an Kugelfläche abbilden, dass man Parallele zu ihren Normalen durch den Mittelpunkt der Kugel zieht. Der ersten Schaar von Krümmungslinien t über- entspricht dann ein System von Kreisen, deren Mittelpunkte auf einem kugeln grössten Kreise U der Kugel liegen. Die Enveloppe Z dieses Systemes Schaal von Kreisen ist dann das sphärische Bild. der parabolischen Curve auf el des unserer Fläche, denn jedem Punkte von Z entsprechen zwei benachbarte inaten parallele Normalen der Fläche, deren Fusspunkt also der parabolischen eiben; Curve angehört. Es seien X und X‘ zwei benachbarte Kreise, die Bilder consecutiver Krümmungslinien. Der Abstand ihrer Mittelpunkte auf C sei d@&. Betrachtet man die zugehörigen Normalenkegel der Fläche, so findet man leicht, dass die Differenz der sphärischen Radien von X und K‘ 1d«a beträgt. Zieht man alsdann nach den Berührpunkten mit der Enveloppe X die sphärischen Radien &, R‘ der Kreise K, K*, so zeigt sich, dass die- hende selben mit dem grössten Kreise C einen Winkel von 60° einschliessen. sphü- Sind nämlich c, c‘ die Mittelpunkte von X, K‘ und e, e‘ die Fusspunkte Krül- der Radien &, R‘ auf der Enveloppe, so kann man, indem man ce auf FE 4 e’e‘ von e aus abträgt, zu einem Punkte d gelangen, der mit c verbunden das infinitesimale Dreieck cc‘d liefert, das die Hypotenuse c c‘= da und eine Kathete cd==4da, also den Winkel cc‘d = 60°, enthält. Alle zur Enveloppe X normalen Radien R R‘ haben demnach gegen den Kreis C eine Neigung von 60° und umhüllen daher einen Kreis L vom sphärischen Radius = 30°, und dieser ist die sphärische Evolute von &. Um die Punkte von X auf die Cyelide zu übertragen, bemerke man, dass dieselben auf den entsprechenden Kreisen X einen Winkelab- stand = 60° von dem einen Schnitte mit U, dem Bilde der Symmetrie- ebene, haben, und dass dieser Winkelabstand bei der Uebertragung erhalten bleibt. Die der Enveloppe X entsprechende parabolische Curve wird daher dadurch erhalten, dass man jeden der durch P gehenden Krümmungskreise in 6 Theile theilt, und die ersten Theilpunkte von P aus durch eine Linie verbindet. Daraus folgt, dass sie auch von einem Kreiskegel von 60° Oeffnungswinkel ausgeschnitten wird, der seine Spitze in P hat, und dessen Axe senkrecht zur Ebene des Kreises 4 steht. B SE des au M Zel näl do K ZU les Al hi Aı Qı SC ATE bunden Verlag von L. Brill in Darmstadt. I« und . gegen (reis L ‚ von.E, emerke nkelab- CARTON-MODELLE mefrie- yhalten / daher skreise von Flächen zweiter Ordnung, o Linie 0 ÜÜ’ dessen construirt nach Angabe von Dr. A, Brill, ord. Professor an der kgl. techn. Hochschule zu München, Wenn in neuerer Zeit die Geometrie sich mehr dem Studium des Zusammenhangs und der Gestalt einzelner Gebilde zuneigt und auf diese Weise die Anschauung des Forschenden und Studirenden in erhöhtem Mass in Anspruch nimmt, so wird der Versuch, ein- zelne geometrische Typen durch das Modell der Raumanschauung näher zu bringen, sicher nicht unwillkommen erscheinen. Schöpft doch selbst die Forschung aus dem Studium der graphischen und körperlichen Repräsentation neue Anregung und Belehrung; hier- zu kommt noch die Ersparniss an Zeit und Kraft, welche in Vor- lesungen durch eine demonstratio ad oculos erzielt wird. Instructiv sind in dieser Hinsicht besonders Flächenmodelle. Aber es fehlte bisher an handlichen und leicht zu beschaffenden Modellen dieser Art; findet man doch selbst die wenigen Typen von Flächen zweiter Ordnung in einer Modellsammlung selten vollzählig vertreten. Es schien daher der Mühe nicht unwerth, eine noch wenig bekannte $ TW uns und bisher nur in vereinzelten Fällen angewandte Construction *) der genannten Flächen, vermöge deren das Modell sich aus Kreisen W zusammensetzt, in systematischer Weise auf alle Flächen fül zweiter Ordnung anzuwenden. Nach einigen auf zweckmässige Anordnung und passende Grössenverhältnisse gerichteten Versuchen erhielt der Obengenannte Modelle, die er in dem Wunsche, dem fül erwähnten Bedürfniss zu begegnen, dem Buchhandel zu übergeben sich entschloss. Diese Modelle unterscheiden sich von den sonst wohl ge- bräuchlichen durch ihre Bewe o (o) lichkeit, vermöge deren sie nicht W nur je ein einzelnes Ellipsoid, Hyperboloid u. s w. darstellen, C sondern. eine Schaar von Flächen der einen oder anderen Art. da Wenn man nämlich den Neigungswinkel der Kreisschnitte durch einen auf das Modell in leicht erkennbarer Richtung ausgeübten IM Druck oder Zug**) sich ändern lässt, so erhält man ein einfach H unendliches System, dessen Individuen durch körperliche Formen Ist von allmählich sich ändernden Verhältnissen hindurch aus einer Di (unendlich) platten Form in eine andere ebensolche (mit anderem jer Axenverhältniss) übergehen, ohne inzwischen ihre Eigenschaft zu hy verlieren,. Ellipsoide, bezw. Hyperboloide u. s. w. darzustellen. el Die Beweglichkeit der Modelle ist durch einfaches Ineinander- de stecken der Kreise mit den einander entsprechenden Einschnitten u erzielt. Die bedruckte Seite paralleler Kreise sieht nach derselben Richtung hin. Entsprechende Einschnitte zweier Kreise sind mit Pa gleichen Zifferpaaren behaftet; z. B. 75 oder 57 stehen je an dem - Einschnitt, in welchem die Kreise D und 7 sich durchsetzen. — Fallen mehrere Kreise ab, so füge man dieselben einzeln, mit Kreisen der beiden Schaaren abwechselnd, ein. Der Vollständigkeit wegen mögen hier noch die Gleichungen *) Schon seit längerer Zeit pflegt man in der erwähnten Weise den Kegel darzustellen; in dem Besitz von Herrn Klein zu München befindet sich ferner ein nach Art der beifolgenden Modelle construirtes Paraboloid (auf der Mathematiker-Versammlung zu Göttingen 1873 ausgestellt), das nach Angabe des Besitzers von Herrn Henrici in London angefertigt ist. Z **) Man wende nur geringen Druck an, da bei rascher Bewegung der Carton sich leicht staut. 18 P n Dieselben sind in recht- unserer Flächensysteme Platz finden 1SEN winkligen Coordinaten En für M1ttelpunktsflachen SM 2 l An Sn 1 Z ( D = 1 bezw. = 0 (Kegel COS W \a a A k sin® w (l dn für das elliptische Paraboloid 2 22 2+ ’ acos M « k.sin w 1CH wo w der halbe Neigungswinkel der Kreisschnitte, @ und % reelle Jen Constante sind — Aus der ersten Gleichung geht u. A. hervor Alt dass in der Schaar der Ellipsoide sich immer eine Kugel befinde CH Bei dem hyperbolischen araboloid sind die Kreise in gerade fn Linien degenerirt Diese Fläche lässt sich nämlich als einschaliges ach Hyperboloid auffassen, dessen Mittelpunkt in’s Unendliche gerückt en ist, während der eine Scheitel der Kehlellipse im Endlichen bleibt er Die Kreisschnitte des Hyperboloids sind dann ersetzt durch die- M jenigen beiden Schaaren paralleler Ebenen, welche die auf dem A hyperbolischen Paraboloid gelegenen Geraden ausschneiden. Hieraus ergiebt sich eine Construction der Fläche aus Parallelschnitten, die el derjenigen der übrigen Flächen zweiter Ordnung völlig analog ist en und zur Herstellung des beifolgenden Modells geführt hat en Die Gleichung des entsprechenden Systems von hyperbolischen mıc Paraboloiden ist, mit Beibehaltung der obigen Bezeichnungen em X 2 22 y 0 k a cOoS” W a sın l/} HIMS München im März 1878 en gel ch oid 1a8 ist ton L7 z R Die die ( die H Sind } Mittel focale Worin Pläch || elimiı Krüm El‘ilfli] U Pläc P Tuje //.( C Die Krümmungslinien auf den Mittelpunktsflächen zweiter OÖrdnung, Von R. Diesel, Studirendem der technischen Hochschule in München, Sei allgemein: g 4 2 52 %ı A + B _{_ C 1 (D die Gleichung einer Fläche zweiten Grades mit Mittelpunkt, in Bezug auf die Hauptaxen als Coordinatenaxen. Die Krümmungslinien dieser Fläche sind bekanntlich die Schnitteurven derselben mit anderen zu ihr confocalen Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung, Die Gleichung eines Systems con- focaler Mittelpunktsflächen zweiter Ordnung lautet: 2 5 2 2 Y + + Z ] 7 2 ) Al +7 B '+’). 0 worin 4 ein variabler Parameter ist, dessen verschiedene Werthe verschiedene Flächen und somit auch verschiedene Krümmungslinien ergeben. n Wenn man aus den beiden Gleichungen (1) und (2) & ’ Y oder Z Z eliminirt, so erhält man je eine Gleichung, welche die Projeetionen der Krümmungslinien auf die yz-, xz- oder xy-KEbene darstellt. Durch A Elimination von R z. B. entsteht: C— R COA 7E 2 = Z Y 1 (@&) AA BB Es ist dies die Gleichung einer Mittelpunktseurve zweiten Grades, d. h. einer Ellipse oder Hyperbel, deren Hauptaxen mit den Axen der Fläche in der zy-Ebene zusammenfallen; nennen wir die Halbaxen dieser Projectionen m und %, so haben wir: Z 2 | A(A + i) SA M n >; A C gf“fll€ (8) A Axe d N _B(B- T S ).)_ C Schaal Der S Durch Elimination von / aus diesen beiden Gleichungen ‚entsteht Ün S die folgende Bedingungsgleichung, welcher die Grössen m” und ” genügen der 4 müssen : Hypeı M ” s 5 &e Z BT ableit i O B 6 Brenr Es können demnach die Halbaxen m” und % als Coordinaten einer bheider Mittelpunktscurve zweiten Grades angesehen werden, deren Axen aus den Eines gegebenen Grössen 4, B und C berechnet oder construirt werden. . Ganz ähnliche Beziehungen erhalten wir für die Prejectionen der 186 M Krümmungslinien auf die beiden anderen Hauptebenen. Gleicl Aus der Gleichung (y7) ergibt sich für m’= A sogleich n’= B, ähnlich für die übrigen Projeetionen, d, h. alle Hauptschnitte der Flächen und ( sind zugleich Krümmungslinien. Setzen wir ferner in Gleichung (7) x# == 0, mefri dann redueirt sich offenbar die Projection der Krümmungslinie auf eine in de Strecke der x-Axe; die Endpunkte dieser Strecke sind die Projectionen dieser der Kreispunkte der Fläche; die x-Coordinaten dieser letzteren bestimmen Bren sich deshalb aus der folgenden Gleichung: Kben A(A - X Z BET A mit g SEA A—C ZWein demn Ganz analog findet man aus der Projection der Krümmungscurven auf die _‘U z-Ebene die Werthe der z-Coordinaten der Kreispunkte, nämlich: Krün Z 2 S CB—0) . Vn AZ0 aufzu Nehmen wir statt der einzelnen Fläche (1) das ganze System confocaler Gleie Flächen (2), dann werden die Coordinaten der Kreispunkte: Stelle A UU und linie 0 AFZIO Jectie (3) (@) 7 9 CN O A—C mnng Nit s Eliminirt man aus den 2 letzten Gleichungen das A, so erhält man die Änier Gleichung des geometrischen Ortes aller Kreispunkte des confocalen Schn Systems; diese Gleichung lautet: Sehr O Y (£) Verej A-— B B Werd Z 3 Für die Ellipsoide, für welche wir A> B>C annehmen, ist dieser geometrische Ort eine Hyperbel in der Ebene der grössten und kleinsten (ö) Axe der Ellipsoide (x z - Ebene). Die Kreispunkte eines Ellipsoides der Schaar sind demnach die 4 Durchschnittpunkte derselben mit jener Hyperbel. fsfeht Der Scheitel dieser Hyperbel liegt im gemeinschaftlichen Brennpunkt der x y -Schnittellipsen; der Brennpunkt derselben aber liegt im Brennpunkt enügen S } der z-Schnittellipsen, also derjenigen Ellipsen, deren Schnitt mit der Hyperbel eben die Kreispunkte liefert. W Hieraus lässt sich eine sehr einfache Construetion der Kreispunkte ableiten. Wenn nämlich eine Ellipse und eine Hyperbel gemeinschaftliche Brennpunkte haben, dann sind die Abstände des Durchschnittspunktes . einer beider Curven von ihren gemeinsamen Brennpunkten gleich den Abständen s den eines Scheitels der einen Curve von den beiden Scheiteln der anderen. Für das einmantelige Hyperboloid, dessen imaginäre Axe die %-Axe n der ist, wird C+% negativ, daher sind die Kreispunkte imaginär [folgt aus Gleichung (8)]. y Für das zweimantelige Hyperboloid geht, vorausgesetzt dass B > C lächen und die x-Axe die reelle Axe desselben sei, die Gleichung (e) des geco- 1r;l)‚ metrischen Ortes der Kreispunkte über in diejenige einer Kllipse, welche f eine in der Ebene der engeren der beiden Haupthyperbeln liegt. Der Scheitel fionen dieser Ellipse liegt im Brennpunkt der weiteren dieser Hyperbeln und ihr mmen Brennpunkt ist eben der Brennpunkt der engeren Hyperbel, in deren Ebene sie liegt. Wir haben also wieder eine Hyperbel und eine KEllipse des mit gemeinschaftlichen Brennpunkten, deren Schnitte die Kreispunkte zweimanteligen Hyperpoloids sind. Für die Aufsuchung der letzteren gilt demnach genau die vorhin angegebene Construction. zurven Die entwickelten Gleichungen geben nun Mittel an die Hand, die mlich: Krümmungslinien auf ausgeführte Modelle der Flächen zweiter Ordnung aufzutragen. Man verzeichnet nämlich die Ellipse oder. Hyperbel, welche durch \JCI\IÜ' Gleichung (7) dargestellt wird; 2 zugehörige Coordinaten dieser Curve stellen immer 2 zugehörige Hauptaxen der Projeetion einer Krümmungs- linie auf die zy-Ebene vor. Wir können also eine Anzahl solcher Pro- jectionen aus den gefundenen Hauptaxen zeichnen, da wir ja aus Gleichung ( (x) im speciellen Fall die Art der Curve entnehmen können. Die Krüm- mungslinien selbst sind dann die Schnitteurven der betreffenden Fläche mit senkrechten Cylindern, deren Basis die Projeetionen der Krümmungs- linien sind. Mit den Mitteln der darstellenden Geometrie können wir diese i t“t'f Diese scheinbar gcalen Schnitteurven zeichnen und auf das Modell auftragen. sehr umständliche Construetion lässt sich im besonderen Falle ziemlich vereinfachen, bezw. durch eine andere ersetzen, wie im Folgenden gezeigt (d) werden soll, PC l. Das Ellipsoid. Interva der Kr Für das Ellipsoid wäre die oben erwähnte Art der Aufsuchung der Krümmungslinien beschwerlich. Wir können dieselbe umgehen, indem wir genann alle il die Kreispunkte des Ellipsoids zu Hilfe ziehen, die auf die vorhin aus- Mit deren Hilfe kann die u einandergesetzte Weise gefunden werden können. ] man die Krümmungslinien auf einfache Weise auf die Fläche auftragen, D ähnliel Man befestigt nämlich in Y neben einander liegenden Kreispunkten die Enden eines Fadens, dessen Länge grösser ist als der Abstand der beiden Punkte. Spannt man nun mit einer Bleistiftspitze diesen Faden in irgend öiner Stellung, so bilden die 2 von der Bleistiftsspitze ausgehenden Faden- stücke geodätische Linien des Ellipsoids, deren Schnittpunkt eben die Wwo M Bleistiftsspitze ist; letztere bezeichnet dann einen Punkt der Krümmungs- Das 18 Man kann nun die linie, welche der gewählten Fadenlänge entspricht. man | Befestigungsstellen der Fadenenden so wählen, dass sie entweder den F Üacheren Scheitel der Ellipse oder den gekrümmteren zwischen sich haben Ehene und erhält dadurch Krümmungslinien zweier verschiedenen Systeme, die jedoch in ihren Schnittpunkten orthogonal zu einander sind. jene H Der Beweis für die Richtigkeit dieses Verfahrens würde uns hier zu aus de weit führen. kann. Hyper II. Das einmantelige Hyperboloid, Halba Bei diesem sind die Kreispunkte imaginär, daher müssen wir hier Proje zu dem früher angedeuteten, allgemeineren Verfahren zurückgreifen. des ] » Die Gleichung des Hyperboloids lautet, wenn P die imaginäre Axe Üßhi'gt desselben ist: 2 wahre V — 1=0. der X B C da8 ] diese| Sei 4> B, dann wählen wir die xz-Ebene als ProjectionsebeneM für Der die Krümmungslinien, weil so bei der Verzeichnung die schärfsten Schnitte Für diese Pro- Krün des Hyperboloids mit den Projectionseylindern entstehen. jectionen erhält man ähnlich wie früher in Bezug auf die zy-Ebene die l?('!\\f 1 $ | Gleichung (@x) jetzt folgende: J()‘ 44 än de IX 3 z )+(1 sn dann AA E C(— U + 4) Von ı Für / =:— A wird diese Gleichung zu % =—0; d. h. die 7#-Axe ı18st der ] Projection der Krümmungslinie und diese letztere selbst wird die y z-Schnitt- lauf- hyperbel. Für 4 = — B wird die Projeetion der Krümmungslinie: Strui B W 8 =1] (/Y Pank d: i: die xz-Schnitthyperbel.. Für 4= C wird z=0, d.h. die x-Axe afe In dem wird Projeection' und die Krümmungslinie ist die Kehlellipse. Teel] SI A& 4 AB Intervall 4 = +C bis i = co bekommt man demnach ‚als Projeetionen ng der der Krümmungseurven Ellipsen. Für 4< + € bekommt man, duürch die em wir genannten Specialfälle A — B und i = — 4 hindurch, Hyperbeln, die N al alle ihre reelle Axe auf der x-Axe haben; endlich werden für 41 <-— 4 e kann die Curven imaginär. , tragen, Die Bedingungsgleichung zwischen den Axen der Projectionen wird, en die ähnlich wie die frühere (7), im vorliegenden Falle folgende: beiden m N irgend L, AA O OF O Faden- AB BG en die wo m und p bezw. die Haupthalbaxen auf der z- und z-Axe bedeuten. MUNgS- un die Das ist aber unter allen Umständen die Qleiclumg einer Hyperbel, die man leicht zeichnen kann. er den Z& D haben Für diejenigen Krümmungslinien nun, deren Projeectionen auf die x e, die Ebene Ellipsen sind, oder besser, Stücke von Ellipsen, wählt man am besten jene Halbaxen, welche auf der z-Axe liegen, also die p, weil man dann schon jer ZU aus der Zeichnung den ungefähren Verlauf der Krümmungslinie beurtheilen kann. Dieses gewählte p trägt man als Ordinate in die vorhin gezeichnete Hyperbel ein und sucht sich die zugehörige Abscisse m, welche die zweite Halbaxe der Projeetionsellipse der Krümmungseurve darstellt. Diese „ y hier Projectionsellipse kann man sich deshalb in richtiger Lage in den X Z-Riss des Hyperboloids eintragen. Ist das geschehen, so nimmt man eine be- . liebige geradlinige Erzeugende des Hyperboloids an und bestimmt die 1 Arxe wahre Länge der Strecke dieser Geraden, welche von der Kehlellipse und der Krümmungslinie begrenzt wird. Diese Strecke trägt man dann auf das Modell der Fläche auf, auf dem natürlich vorher die Kehlellipse und dieselbe Erzeugende aufgezeichnet wurde, deren Projection wir benutzten. e für Der Endpunkt dieser Strecke auf dem Modell gibt einen Punkt der ehnitte Krümmungscurve, Anstatt beliebige Erzeugende wird man lieber mög- e Pro- lichst bequem liegende wählen, das sind diejenigen, welche parallel zur ne die xZ- und zur yz-Ebene sind, also dieselben, die von den Tangentialebenen an den Endpunkten der Axen der Kehlellipse ausgeschnitten werden; denn dann ist die wirkliche Länge der erwähnten Strecken zugleich die Länge von deren Projection. Im Allgemeinen wird es sogar genügen, die Punkte der Krümmungscurven auf den Hauptschnitthyperbeln und zwei dazwischen e 8l (auf den eben erwähnten speciellen Erzeugenden) liegende Punkte zu con- ohnitt struiren, um den Verlanf der Curve ziemlich gut anzugeben. Nur _ da, wo sich das Hyperboloid mehr erweitert, wird es nöthig sein, noch weitere Punkte zu bestimmen. Für diejenigen Krümmungslinien, deren Projectionen auf die xZz- Tafel Hyperbeln sind, wählt man am besten die auf der x-Axe liegenden e 'h* reellen Axen, also die m, und bestimmt, wie vorhin, die zugehörigen ß. ; dem 5 6 äuf da Aus m und p kann man wieder die Projectionshyperbeln zeichnen und Sehnen ähnlich‘ wie vorhin einzelne Punkte der wahren Krümmungslinien be- Tinien stimmen. Es sind hier schon wenige Punkte‘ ausreichend, da man an der beschr, Orthogonalität dieses Curvensystems mit dem vorigen sehr viele Anhalts- yon ( punkte zum Auftragen der Curven besitzt. Umgekehrt kann auch bei | Bestimmung von mehr Punkten die Orthogonalität der Curven beider Systeme als eine Probe der Genauigkeit gelten. Hilfe ı zwEi T Il._ Das zweimantelige Hyperboloid. dassel! Sei % Y A B (V die Gleichung des zweimanteligen Hyperboloids, dessen reelle Axe also die x-Axe ist; sei B>C, dann liegt die weitere der beiden Haupt- schnitthyperbeln auf der xy-Ebene, die engere auf der xz-Ebene, Um die schärfsten Schnitte des Hyperboloids mit den Projections- eylindern zu erhalten, wird es desshalb am besten sein, die Krümmungs- curven auf die zy-Ebene projieirt zu denken; dann erhält man durch Einsetzung von — B und —C für B und U in die Gleichung («): Y A > 2 B — ‚A AA L BEB T /.:')]/2+ 1= 0 E E Für / = — A wird aus dieser Gleichung X 0; die Projection der Krümmungslinie ist also die y-Axe; diese zählt demnach schon als Pro- Für v L — jection einer imaginären KrümmungscurVve. B wird y=0; Endlich wird für daher die xg2-Schnitthyperbel die Krümmungslinie. A=C die Gleichung der Projection: 2 2 X Y )“fi130, A B d. i. die x y-Schnitthyperbel, für welche die Projection mit der Krümmungs- linie selbst zusammenfällt. Für das Intervall 1= B bis 1== ® erhalten wir demnach Ellipsen als Projeetionen; für 4<B erhält man Hyperbeln, durch die Specialfälle e DE 20 1 —0 hindurch,:bıs zu 4 —A4. Für 4< — 4 endlich bekommt man imaginäre Curven. Um nun die Krümmungslinien des Systems zu finden, dessen Projee- tionen Hyperbeln sind, verfahren wir ähnlich wie vorhin; wir zeichnen mehrere dieser Hyperbeln, indem wir deren reelle Axe annehmen und daraus mit Hilfe der gezeichneten Curve (7) auf bekannte Art die zweite Axe bestimmen. Um dann einzelne Punkte der Krümmungscurven zu be- stimmen, muss man, da es keine geraden Erzeugenden gibt, einige Schnitt- ellipsen parallel zur yz-Tafel annehmen, die sich auf die Projectionstafel (xy) als gerade }1i11i011 projieiren. Diese Schnittellipsen müssen wir auch Z A n und auf das Modell auftragen und durch Bestimmung der wahren Länge der M be Sehnen zwischen den Scheiteln der Ellipsen und Punkten der Krümmungs- an der linien letztere selbst bezeichnen. Man kann sich dabei auf wenige Punkte nhalts beschränken und sich durch die Orthogonalität mit dem zweiten System lı bei von Curven die Aufgabe erleichtern. ySteme Das zweite System nämlich kann wieder auf mechanische Art mit Hilfe eines gespannten Fadens gefunden werden, da ja auf jedem Mantel zwei reelle Kreispunkte vorhanden sind. Das Verfahren dabei ist genau dasselbe, wie es früher bei dem Ellipsoid angegeben wurde. München, im Januar 1878. e S0 Taupt- stions- IUngS- durch n der ] l’rj» z d für gung8 en als AH(IH* ommt ‘rujfi“' chnen y und zwel 116 l he: ‚hnitt ‚stafel auch Druck von H. Brill in Darmstadt. F ‚rff„ punk Wr h}il1u W @1 unte / W 0 8 Dezi Wo Panl till;n A S Die Krümmungslinien auf dem Paraboloid. Von R. Diesel, Studirendenm der technischen Hochschule in München, Die Gleichung von confocalen Flächen zweiter Ordnung ohne Mittel- punkt oder die Gleichung confocaler Paraboloide hat die Form: X 2 2 Y D F Ä z 92 =/ ? An + \ worin jedem Werth von &4 eine besondere l*‘lä‚(:hvt*‚ zugehört. Diese Flächen bilden ein orthogonales Flächensystem, d. h. zwei beliebige, verschiedenen Werthen von 4 entsprechende Flächen des Systems schneiden sich immer unter rechtem Winkel. Nehmen wir nämlich aus Gleichung (1) die Flächen A ‚und 4, heraus: &X 2 b Y — A 5 B A +_/ X Y + 9 > A5;j 1679 TE so sind _ die Tangentialebenen an diese beiden in einem beliebigen Punkt beziehungsweise : E UT + Z Z A+*L Ba Z H O A ÜE E 2 +Z=A) A-+A 3 +4 Sollen in einem wo X, Y, Z die laufenden Coordinaten der Ebenen sind. Punkt der Schnitteurve die Flächen, resp. deren Tangentialebenen auf einander senkrecht stehen, so besteht dafür die Bedingung: 7 Z& “ ‚;// P S Z / / SB 2 X y letzte + +1=0. UL DA BB hat Diese Gleichung erhält man aber andererseits auch durch einfache Sub- Ööffnet traction der beiden Flächengleichungen von einander. Damit ist die Orthogonalität des Flächensystems (1) bewiesen. die E In der Gleichung (1) entspricht, wie erwähnt, jedem Werth von 4 sich eine besondere Fläche. Setzen wir voraus, es sei 4> B, dann bestimmt diese Gleichung, so lange B + / positiv ist, elliptische Paraboloide, deren Wir A Scheitel auf der z-Axe liegen, deren Axe die O B Axe selbst ist und die sich nach der Richtung der negativen O 2 ‚hiu öffnen. Der Abstand des X Scheitels der Flächen vom Ursprung i S $ - und die Abstände des jedes- 5 Der maligen Scheitels von den Brennpunkten der xz-, resp. y z-Schnittparabel sind _ beziehungsweise : Ca EL AL DE B LEA und » und 71 Diese Abstände werden um so grösser, je grösser 4, B und / sind, Sche und bleiben negativ, so lange 4>-— B, d.h. so lange wir elliptische Fläc| Alle diese Paraboloide Paraboloide der eben angegebenen Art haben. An können sich unter sich nicht schneiden. Für B+Z 0 foleß aus (: Para y=0 und somit entsteht in der xz-Ebene eine Grenzparabel mit der Sche; Gleichung X 2 8 1 SE PE B O AB +27z= — B. der B Der Scheitel dieser Parabel hat vom Ursprung die Entfernung z# = , L > 2 > und deren Brennweite ist — ‚<„; z demnach ist der Abstand des Brenn- 2 punktes vom Ursprung: kanı A - B AB e dazu 2 2 2 6in | und sind aber auch die Abstände der zwei Hauptbrennpunkte 2 2 Die Grenz- der vorigen Gruppe elliptischer Paraboloide vom Ursprung. die] parabel also zwischen der ersten iruppe elliptischer und der zweiten mit Gruppe hyperbolischer Paraboloide liegt in der xz-Ebene, ist nach der negativen z-Axe geöffnet und deren Scheitel und Brennpunkt befindet sich je in einem der Hauptbrennpunkte des confocalen Systems. ZU $ Wächst nun / noch weiter nach dem Negativen, dann wird B +%/ negativ, und so lange 4 + / noch positiv bleibt, stellt dann Gleichung (1) 5 Pr ran Hs B hyperbolische Paraboloide vor, deren Scheitel in < Z vom Ursprung liegt; dieser Scheitel liegt also, da / negativ ist, auf der negativen £-Axe, älso welche letztere zugleich Axe der Fläche ist; die %2z-Schnittparabel der H\ []1 A 92 SE I letzteren öffnet sich nach der negativen z-Axe und deren Brennpunkt BTA CTE an hat vom Scheitel die Entfernung 2 Die yz-Schnittparabel aber e Sub st. die öffnet sich nach der positiven z-Axe und ihr Brennpunkt hat vom Scheitel 3 + . die Entfernung — Auch die Paraboloide dieser Gruppe können on / 4 stimmt sich unter sich nicht schneiden. deren Wird ferner 4 + i1=0 so folg daraus: z = 0 daher erhalten nl 16 wir aus Gleichung (1) wiederum die Gleichung einer Grenzparabel, nämlich: d ; 68 Y —A B—A DE jodes J Der Scheitel dieser Parabel liegt in F und ihre Brennweite ist jarabel 4 A der zweiten Gruppe hyperbolischer -+ Die Grenzparabel zwischen und der dritten Gruppe wiederum elliptischer Paraboloide liegt also in der z-Ebene, öffnet sich nach der positiven z-Axe und ihr Brennpunkt und | ıd Scheitel liegt beziehungsweise in den Hauptbrennpunkten des confocalen otische Flächensystems. oloide Wird endlich auch 4 + / negativ, so bekommt man wieder elliptische 3 (l Paraboloide, die jedoch nach der positiven z-Axe hin offen sind und deren 1 der -Axe Scheitel durch weiteres negatives Wachsen von 4 auf der negativen & ins Unendliche rückt während bei der ersten Gruppe der Scheitel auf A G DE Axe nach und nach der positiven en den Ursprung hereinrückte. —_ %. Brenn Die Krümmungslinien einer Fläche zweiter Ordnung sind be- kanntlich zugleich auch die Schnittlinien derselben mit einem System von Um also für dazu confocalen und orthogonalen Flächen zweiter Ordnung ein Paraboloid : X Y —. +27z=0 D yı akte B r eNZ die Krümmungscurven zu bestimmen, haben wir die Schnittlinien desselben weiteh mit dem System oı der € V e nn + D f \1dl A+ B+) zu suchen. Die Elimination von —A 2 aus beiden Gleichungen liefert die AJ Projection der Krümmungslinien auf die xy-Ebene: 2 2 I ( X Y + 1, AA ET BB A also eine Mittelpunktscurve zweiten Grades, d. h. eine Ellipse oder AXC, Hyperbel Die Hauptaxen dieser Curve sind ] der 4 (22 R A4 + dere) E b.! BB+A. letzt punl Eine Beziehung zwischen den Halbaxen @ und O entsteht durch Elimination der von / aus diesen zwei Gleichungen, nämlich: Sche @* 2 b2 CONS 1, AB DE Die Halbaxen @ und b können demnach als Coordinaten einer Mittelpunkts- zeicl curve zweiten Grades aufgefasst werden, deren Bestimmungsstücke sich wick aus den Coeffieienten der Gleichung (I) berechnen lassen. m, Noch einfacher gestalten sich diese Betrachtungen an den Projeetionen Lag der Krümmungslinien auf die zwei anderen Coordinatenebenen. auf, Durch ülimination von y aus (I) und (1) entsteht: %* (A —- B) FEI2=(B-E. AA + Die Projeetionen der Krümmungsecurven auf die %- KEbene sind also unter die allen Umständen Parabeln, deren Scheitel vom Ursprung den Abstand tafel m BA E hat und deren Brennweite A(A —}—fi/li BED . . Z 2 2 WOV e Alle diese Projectionsparabeln haben gemeinsame KEigenschaften, die dadı man durch Elimination von / aus den d 9 letzten Gleichungen erhält: mit € mM E 2 a E 2 AF +é’-2+1=0. Die Bestimmungsstücke — und 9 der Projeetionsparabeln sind also Coor- in R 5 dinaten einer geraden Linie, welche auf der CoordinatenaxeM folgende >ind Strecken abschneidet: Q X GE gen( für z wırd 9 2 2 A—B für 20 wırd E 0 72} D 2 Aus ersterem folgt, dass die x z-Schnittparabel auch Krümmungseurve ist, de E Durch Elimination von Z aus (I) und (1) bekommt man ähnliche Pın Beziehungen, Auch hier kann man die Bestimmungsstücke der Projeetions- parabeln als Coordinaten einer Geraden betrachten. Die y z-Schnittparabel Weit wird sich ebenfalls als eine Krümmungslinie ergeben. L;lg; Die früher erwähnten zwei Grenzparabeln zwischen den drei ver- schiedenen Gruppen des Systems confocaler Paraboloide sind zugleich die Schr geometrischen Oerter aller Kreispunkte der Flächen. Die zweite Gruppe Auc| hyperbolischer Paraboloide wird von keiner dieser Parabeln geschnitten, AUS hat also auch keine Kreispunkte. Die elliptischen Parabolvide aber besitzen Sole] 7 OR l E deren zwei und zwar auf der engeren der beiden Hauptparabeln; diese letztere hat mit einer der genannten Grenzparabeln gemeinsamen Brenn- lafion punkt. Wenn nun zwei Parabeln gemeinsamen Brennpunkt haben, so ist der Radius Veetor des Schnittpunktes beider gleich dem Abstand ihrer Scheitel. Mit Hilfe dieses Satzes sind also die Kreispunkte leicht zu construiren. Um auf Modelle von Paraboloiden die Krümmungscurven aufzutragen, ınkts zeichnet man die Projectionen dieser Curven mit Hilfe der früher ent- , sich wickelten Gleichungen ‚in richtiger Lage und Grösse in die Risse der Fläche ein, bestimmt durch die Methoden der darstellenden Geometrie die wahre HoneN Lage einzelner Punkte der Krümmungslinien und trägt sie auf das Modell auf, wie dies im folgenden näher beschrieben wird. [B Das elliptische Paraboloid. Ist % =0 B unter die Gleichung desselben und sei 4 > B, dann wählen wir als Projections- sfand tafel für das erste System von Krümmungslinien (nämlich für das System, wovon die zwei Hauptparabeln specielle Fälle sind) die 7 z-Ebene, weil dadurch in der Zeichnung die schärfsten Schnitte der:Projeetionseylinder lı die mit der Fläche entstehen. Die Gleichung dieser Projectionen ist: x° (A — B) DE AA Für 1= — B bis /= — 4 erhält man alle Krümmungslinien des [ J00T- in Rede stehenden Systems. Die Projeetionen derselben, die Parabeln und die als Coordinaten fol- gr;ud€ sind, haben al.s"Bcsti1mmmgs;<tückc 2 g> gender Geraden zu betrachten sind: M X E D 5 WB Q Ä+1=O. Wir zeichnen also diese Gerade, wählen ein beliebiges % (Abstand e 186 des Scheitels der Projectionsparabel vom Ursprung) als Abseisse eines |]lil‘hé‘ Punktes dieser Geraden; die zugehörige Ordinate gibt das 2 als Brenn- & n„n% weite der Projeetionsparabel. Letztere kannn man demnach in richtiger ‚yabel A Lage in den X U G Riss des Paraboloids eintragen. Um dann Punkte der Krümmungslinie zu finden, legt man einige yver Schnitte senkrecht zur Axe der Fläche; diese Schnitte sind Ellipsen, die ]ı die auch auf das Modell aufgetragen werden müssen. Hierauf bestimmt man nupp® aus der Zeichnung die Länge der Sehne zwischen einem der Scheitel einer itfen solchen Ellipse (die sich ja als Gerade projicirt) und demjenigen Punkt sitzeh s Dr » EL 6 der Krümmungslinie, welcher zugleich auf derselben Ellipse liegt. Diese Sehne kann man mit einem Zirkel direet auf das Modell auftragen und ihr Endpunkt bestimmt einen Punkt der Krümmungslinie. Für das zweite System von Krümmungslinien, dessen Projectionen auf die zy-KEbene Ellipsen sind, kann man das eben erwähnte Verfahren umgehen und mit Hilfe der Kreispunkte ein einfacheres einschlagen. Befestigt man nämlich in den beiden Kreispunkten die Enden eines Fadens, dessen Länge grösser ist als der Abstand der Kreispunkte, und spannt hierauf den Faden mit einer Bleistiftspitze, so bezeichnet letztere in jeder Lage einen Punkt der Krümmungslinie, welche zur betreffenden Länge des Fadens gehört. Dabei ist darauf zu achten, dass der Faden gut gespannt sei, damit die zwei Theile desselben, die von je einem Kreis- punkt nach der Bleistiftspitze laufen, kürzeste Linien zwischen diesen seien. U} Das hyperbolische Paraboloid. Diese Fläche hat keine Kreispunkte; man muss also hier das oben beschriebene Verfahren anwenden und zwar für jedes System von Krüm- mungslinien ein Mal. Als Projeetionsebenen wählt man dabei die zwei Hauptebenen des Paraboloids. Ferner wird es bequemer sein, statt durch die Fläche Hyperbelschnitte normal zur Axe zu legen, auf ihr geradlinige Erzeugende anzunehmen und deren Schnittpunkte mit den Krümmungs- linien auf darstellend geometrischem Wege zu bestimmen, etwa indem man die wahre Entfernung dieser Punkte von den Schnittpunkten der betreffenden Die benutzten Erzeugenden Erzeugenden mit den Hauptparabeln sucht. und die Hauptparabeln müssen dann vorher auf das Modell aufgetragen sein. München, im Februar 1878. PE E Druck von H, Brill in Darmstadt, U )} 7 Dil‚‘\@ ] ı und tionen ahren ines ‚ und {ztere enden Faden Kreis- lesen oben yüm- zwei urch n ] mal aden den seil, al äl Ma Er M € Hi V J} am &/ Z ST Z Die sphärischen und ellipsoidischen Curven der Wellenfläche Von Dr. O. Böklen, Rector der Realanstalt in Reutlingen (Zu Serie VI, Nr. 4.) Wenn man im Innern eines zweiaxigen Cristalls einen Punkt O an- nimmt und auf den 3 durch denselben gehenden Elastieitätsaxen Strecken aufträgt gleich den entsprechenden Brechungscoefficienten, so erhält man die Axen eines Ellipsoids Z (erstes Ellipsoid nach Plücker, auch Ergänzungsellipsoid genannt), aus welchem die Wellenfläche abgeleitet wird, indem man in O auf einem Centralschnitt von X ein Perpendikel errichtet und auf demselben die Entfernungen 0M und Om gleich den Halbaxen des Centralschnitts annimmt Man hat nun folgendes System von Gleichungen ) ’ 2) z y =r, a +b+_— Ö ‚w+ + 0, z° 5) (@°*+4+ y°'4&?) (ax*+by*4+602?)— aßdb+c)x+b(e+a)y?+c(a+db)z }+(1b(—_0 6) Y c(a 6) a(b — c) AA b(a c) =0, % 0, N) ’2+ c(b-—a) 0, y 0, b(c a) .__O, z=0 y alc 0) 1) ist die Gleichung von X, 2) diejenige einer concentrischen Kugel 3) wird erhalten aus 1) und 2) durch Subtraction und stellt einen Kegel i B 2 m' vor, welcher . in einer sphärischen Linie schneidet, da die Schnittlinie 5phia von 1) und 3) auch auf 2) liegt. 4) ist die' Gleichung des Ergänzungs- Wer kegels, welche in 5) entwickelt ist, wo man für r seinen Werth aus 2) m'n gesetzt hat. 6), 7), 8) sind die Gleichungen der Focallinien der Ergänzungs- und kegel und werden aus 4) abgeleitet, indem man der Reihe nach ” = 4 Da 0 DE und z=0, r=b und y=0, r=c und z=0 setzt. angenommen wird, so ist nur das mittlere Paar reell, die beiden andern Paare von Focallinien in der yz- und zy-Ebene sind imaginär. Die Ebene des Centralschnitts berührt immer zwei von den Kegeln 3) zugleich, die Berührungslinien sind die Axen der Schnitteurve, weil die Tangenten in ihren Endpunkten auch Tangenten der sphärischen Curven sind und also senkrecht auf ihnen stehen. Da nun die Mantellinien der Ergänzungs- kegel 4) senkrecht stehen auf den Tangential-Ebenen der Kegel 3) und M OM und Om gleich den Halbaxen der Schnitteurven dieser Ebenen mit E sind, so ist 4), wenn man für ” seinen Werth aus 2) setzt und ebenso El 5) die Gleichung der Wellenfläche. Man setze 0 M’=r,, 0m’=yr,, 80 (od erhält man nach 4): ühr x° + y*+ l:O, f} al 9) S Ka en a ( 10) &Z E— 0, 2 Z ax2+ Y 3b’”2+ 2 Y 2 C der Ni ÜTE GE Y Jede dieser Gleichungen für sich stellt einen Kegel vor, dessen Focallinien Da letztere r nicht enthalten, so sind ( obigen Gleichungen entsprechen. alle diese Kegel confocal. Die reellen Focallinien 7) sind die optischen A Axen der Wellenfläche oder die secundären optischen Axen des Cristalls. fe Weil aber noch zwei Paare imaginärer Focallinien vorhanden sind, so kann ID man hieraus schliessen, dass die Wellenfläche im Ganzen drei Paare 0op- W tischer Axen hat, wovon eines reell und die beiden andern imaginär sind, l Die Hauptschnitte der Fläche in den Axen-Ebenen bestehen je aus einem de Kreis und einer Ellipse, deren Durchschnittspunkte ebenfalls die optischen } Axen- bestimmen; da sie nur in der z2-Ebene reell sind, und in 'den beiden anderen Ebenen imaginär, so wird man auch hierdurch auf die 6 Annahme imaginärer optischer Axen der Wellenfläche geleitet. Zwei confocale Kegel, welche sich schneiden, sind orthogonal; ihre Durchschnittslinie ist durch 9) und 10) bestimmt, woraus sich die Winkel u bestimmen lassen, die sie mit den Axen einschliesst. Zwei Paare confocaler fl Kegel bilden auf dem äussern Mantel ein Viereck M M” MM“ und auf ( dem innern mm‘m“m““; nun lässt sich leicht beweisen, dass die nach 2 Gegenecken gezogenen Halbmesser der Wellenfläche gleiche Winkel ein- d schliessen, d. h. dass die Winkel MO M“ und M’OM“, oder mOm“ und d 3 S ttlinie Die Gegenseiten MM und M“ M“ sind m' Om'“ einander gleich sind. ng sphärische Curven, weil jede einem Kegel angehört, dem ein bestimmter s 9} Werth von r entspricht; ebenso sind in dem andern Viereck die Gegenseiten Ng m‘ m“ und m“ m* sphärische Curven. Hieraus folgt, dass M M“ — M' M'“ S und mm“ — m'm“ d. h. b>e Zwei Paare-sich rechtwinklig schneidender Kegel, deren adern reelle‘Foca en die secundären optischen Axen (und Übene deren imaginäre F ca.lljnien also die imaginären optischen , die Axen) der Wellenflä /d, schneiden aus einem Mantel en In derselben ein Viere@ aus, in welchem die Entfernungen also von je 2 Gegeneck-efi einander gleich sind. Ines Die Linie mm, welche auf demselben Kegel liegt, wie die sphärische - und MM des äussern Mantels, ist eine ellipsoidische, da sie zugleich auf dem ı ml JENSO Ellipsoid 11) ax? + by*+ cz2?= — liegt, welches dem Polarisations- S0 99 (oder zweiten Ellipsoid nach Plüker) az* + bdy?+cz2?=1 ähnlich ist. Die übrigen Seiten der beiden Vierecke, m“ m““, M' M“, M“ M”, sind gleich- falls ellipsoidische Linien, da jeder Kegel, welcher den einen Mantel in einer sphärischen Curve schneidet, den andern in einer ellipsoidischen Curve trifft. Durch Combination von 2) und 4) erhält man die Gleichungen Das der sphärischen Curven und von 4) und 11) der ellipsoidischen. Nähere über diese Curven ist in 2 Aufsätzen des Verfassers (Zeitschrift von Schlömilch, Kahl und Cantor, TThl. XXIV u. XXV) enthalten. nien Bei der Construction des Modells (von einem Zögling der hiesigen >illd Oberrealschule) wurden eine Zeichnung mit den beiden Arten von Curven ohen zu Grunde gelegt und nach derdselben die Durchschnitte und Schablonen :\“>U gemacht. Auf den drei Hauptschnitten der Fläche sind hierauf die End- an punkte der Curven und die Schnittlinien der confocalen Kegel bestimmt 0D worden. Dann wurde der. Kreis gézeichnet, in welchem die Fläche von ind, einer Ebene berührt wird und zuletzt die Linien selbst, mit Benützung Durch nem des obigen Satzes von der gleichen Entfernung der Gegenecken. jeden Punkt 4 z. B. auf dem äusseren Mantel gehen zwei Curven, welche ‚en mit den Hauptschnitten des Octanten 4 Vierecke bilden, also ergibt sich den ein solcher Punkt als der Durchschnitt von 4 Kreisbögen, die von den die Ecken des Octanten und dem Endpunkt der optischen Axe aus beschrieben werden, denn die 3 Kreise in den Hauptebenen sind sphärische Curven ilre und die Ellipsen ellipsoidische. Es ist also insbesondere der Abstand ıkel eines Punktes vom Endpunkte der optischen Axe gleich der Entfernung aler der Durchschnittspunkte von den beiden durch ihn gehenden Curven mit auf dem Kreis b und der Ellipse ac in der xz-Ebene, d.h. in der Ebene ach der (reellen) optischen Axe, Nach denselben Regeln sind die Linien auf 6In dem inneren Mantel construirt. and e } > vA / e 4 Die Nabelpunkte der Wellenfläche. Die Differentialgleichung der Krümmungslinien . hat E. Combeseure (Annali di Matematica T. II 1859 S. 278) gegeben und F, Brioschi (ibid. S. 285) weiter behandelt. Die geometrische Bestimmung der Hauptkrüm- mungs-Mittelpunkte, sowie der Richtung der Krümmungslinien in einem Punkt der Fläche fand M. Mannheim (Comptes rendus, 1867 pag. 170 und 268). Allein für die Zeichnung dieser Linien hat man noch keine Anhaltspunkte, nur die Nabelpunkte lassen sich leicht auffinden, nach einer Gleichung, die Mannheim aus seiner Construetion ableitete (Comptes rendus, 5. Mai 1879); es sind demzufolge 8 solche Punkte vorhanden, welche in den Hauptschnitten liegen und zwar 4 in der xy-Ebene auf dem äusseren 4 b a—c 7Re und 4 andere auf dem in- Mantel, welche der Gleichung !74 4 b° a— C 3 ent- neren Mantel in der yz-Ebene, welche der Gleichung 7/7= Ö sprechen. Diese Punkte sind auf dem Modell durch kleine Kreise be- zeichnet, und es mag, um Verwechslungen zu verhüten, noch bemerkt wer- den, dass unter %- Axe diejenige verstanden ist, auf welcher die Strecken V und Ve liegen, während auf der y-Axe die Entfernungen Vc und Va | Z und auf der O - Axe Va_ und V17 abgeschnitten sind. lich v 80 il Mai 1880. lichst Yecht md Fläc Defi IJFi4 Ian dur Solch diese Schl larit Mäs N“Ny ihm f=\gh Dag, Sag[ Sopl C z 7 nbeseure hi (bid, tkrüm- m Punkt d 268), Spunkte, Sichung, . Mai Modelle von Flächen dritter Ordnung. in den NSSCIEN Von jem in- Dr. Carl Rodenberg, C Professor der Mathematik an der technischen Hochschule zu Darmstadt, - ent- A e e f Wer- (Zu Serie VII.) recken d W Bei der Eintheilung einer Schaar von Flächen hat man ursprüng- lich völlige Freiheit über die Definition des Artbegriffs, man wird jedoch so eintheilen, dass eine Trennung der verschiedenen Gruppen mit mög- lichst wenig Schwierigkeiten verbunden ist und die verschiedenen Species recht charakteristische Unterschiede in ihrem Aussehen zeigen. Ein Eintheilungsprincip, welches diese Eigenschaften mit sich führt und von uns zu Grunde gelegt werden wird, geht hervor, wenn man alle Flächen zusammenfasst, welche sich durch continuirliche Deformation ineinander überführenlassen, ohnedass hier- bei das Ueberschreiten einer Singularität oder die Aende- rung etwa vorhandener Singularitäten durch höhere hin- durch nothwendig werde. Die Flächen dritter Ordnung wurden in solcher Weise classificirt von Herrn Klein!) und dem Verfasser %; eben für diese Flächen stimmt die so gewonnene Eintheilung fast ausnahmslos mit der Schläflischen °) nach der Realität der Geraden und dem Auftreten von Singu- laritäten überein; sie ist auch für die analytische Behandlung sehr zweck- der- mässig, da man meistens bei der Ueberführung von zwei Flächen mit selben Art und desselben Pentaeders ineinander, das letztere und ihm die canonische Förm der Gleichung erhalten, und so durch ein ein- faches Abzählen zwischen den Coeffieienten die Art feststellen kann: SETW ‘S »Ueber Flächen dritter Ordnung.« Math. Annalen Bd. VI pag. 551 f. *) »Zur Classification der Flächen dritter Ordnung«. Math. Annalen Bd XIV pag. 46 f. Die späteren Citate beziehen sich, wenn nicht ausdrücklich Anderes ge- sagt ist, auf diese Arbeit. %) On the Distribution of Surfaces of the Third Order into Species ete. Philo- sophical Transactions, t. 153 (1863) p. 193. g M 2 Besprochene Deformationen schliessen keineswegs aus, dass unter überg( Umständen Parthien der Fläche durch’s Unendliche gezogen werden, und und &i zwei Modelle einer und derselben Art können daher in ihrem Aussehen Figens noch grosse Verschiedenheiten zeigen. Ebenso kommt man bei dem Ent- dem i 08 stehenlassen von Singularitäten auf einer Fläche nicht immer mit end- eineS lichen Deformationen zum Ziel und es ist daher für die Anschaulichkeit Knote des Verfahrens keineswegs gleichgültig, welche Beziehung zum Unend- Hesse' lichen die verschiedenen hierzu im Modelle herzustellenden Flächen haben. AUS Z Man reicht nun immer mit endlichen Aenderungen aus bei Zugrunde- des ol legung‘ von Flächen, welche von der unendlich fernen Ebene in einem tracht unpaaren Zuge (ohne Oval) getroffen werden; solche wurden daher mo- dellirt. Ist dann an diesen einmal Klarheit über das Verhalten der Fläche AL den n in der Nähe einer Singularität, und über das Entstehen derselben aus noch niederen, insbesondere conischen Knoten gewonnen worden, so kann man Unterschiede hinsichtlich des Unendlichfernen leicht mit Hülfe einer artig Gruppe von unter sich collinearen Flächen kennen lernen. Als besonders geeignet erwiesen sich hierzu die Flächen mit 4 reellen Knoten, wie sie durch die fünf Modelle 2—6 repräsentirt sind. Sind, Aus diesen entsteht dann auch eine Reihe mit weniger und ohne Knoten unter Anwendung von zwei Prozessen des „Verbindens (+)“ und „Trennens (—)“, wie sie Herr Klein a. a. O. benutzte; unter deren An- wendung sich die ursprünglich kegelförmigen Parthien in der Nähe des Knotens in solche umwandeln, welche bezw. dem einschaaligen und zwei- schaaligen Hyperboloid vergleichbar sind. Auch im Falle eines imaginären Kegels, also isolirten Knotens, führen zwei Prozesse auf Arten ohne diese Mod Singularität, indem man ihn entweder in ein reelles kleines Ellipsoid oder Ans in ein imginäres übergehen, d. h. verschwinden lässt. (rofl Die algebraische Durchführung des Verfahrens gab ich a. a. 0. — Aber gewisse Arten von Flächen mit weniger als 4 Knoten kann Ehe man sich auf diese Weise nicht herstellen. Herr Klein gewinnt dieselbe, Tade indem er an einigen Knoten die „Aenderung durch die biplanare Form Ver vornimmt‘“.!) des Die Betrachtung solcher Aenderungen kann jedoch umgangen werden, wenn man — wie wir es thun werden -— ausgeht von einer Fläche des 28i grössten Zusammenhangs (der denjenigen mit 27 reellen Geraden zukommt) und sich aus derselben Flächen mit conischen Kunoten herstellt. Auch ana- lytisch bietet dieser Weg Vortheile, da conische Knoten ohne Einfluss auf das Pentaeder sind, dasselbe also erhalten bleiben kann, biplanare aber Wod an äusserst specielle Lagen der Ebenen desselben geknüpft sind. her Bei der Erhaltung des Pentaeders tritt nun die eigenthümliche KEr- (a scheinung auf, dass nicht alle Flächen derselben Art direct ineinander 3 S 478 2a. O: tuat AD 3 E 8 unter übergeführt werden können, vielmehr bisweilen ein Knoten neu erzeugt en, und und ein anderer dafür beseitigt werden muss. Bei den meisten aus dieser ussehen Eigenschaft entspringenden Unterarten wird der Grund hierfür schon aus m Ent- dem Verhalten der Flächen zum Pentaeder allein ersichtlich, bei andern f end- ist es nothwendig, die Hesse’sche Fläche selbst zu untersuchen. Mit Hülfe lichkeit eines zu beweisenden Satzes über die Wirkung, welche die an einem Unend- Knoten der Originalfläche angebrachten Aenderungen + oder —, auf die haben, Hesse’sche ausüben, ist es möglich, ein Bild der Gestalten der letztern runde- aus zwei Grundformen (Modell 24, u. 25) zu gewinnen und so den Grund / einem des oben erwähnten Hindernisses zu erkennen. Hiermit wird dann die Be- P MO- trachtung der Flächen ohne Singularitäten oder mit conischen Knoten allein, Fläche Auf zum Abschluss gebracht und darauf die Bildung höherer begonnen, n aUS den modellirten Flächen findet man neben der zu betrachtenden Singularität ı man noch immer so viel wie möglich conische Knoten, durch deren verschieden- ineT artige Auflösung man sich die allgemeinen erzeugen mag. nders Den Schluss bilden die Regelflächen. e Sie Die krummen ungefärbten Linien auf den Flächen dritter Ordnung sind, wo nicht ausdrücklich Anderes gesagt ist, parabolische Curven. ohne ‘ und ı An- S e des Flächen mit 27 reellen Geraden.!) zWei- nären Von solchen Flächen gibt es in unserm Sinne nur eine Art. Das diese Modell Nr. 1 bringt den Specialfall der Diagonalfläche von Clebsch zur oder Anschauung. Die Geraden derselben zerfallen in zwei Gruppen zu 15 (roth) und 12 (weiss). Ü'‚_ Die der ersten bilden die Diagonalen der Vierecke, welche von vier kann Ebenen des Pentaeders in der fünften verzeichnet werden. Ie drei Ge- selbe, raden kreuzen sich demnach in einer Pentaederecke und liegen in der or Verbindungsebene mit ihrer conjugirten Kante einer „Diagonalebene“ des Pentaeders. den, Die Geraden der zweiten Art bilden eine Doppelsechs und sind be- ‚ de zeichnet durch: yınt) 1, 2, 4, 9, 6, 94 < aDd- 1/ 2/ 4/ 6/ au aber wodurch dann die Bezeichnung der übrigen durch je zwei dieser Zahlen hervorgeht. Die Vertheilung auf die Pentaederebenen ist gegeben durch fr das Schema: s der 5 Klein aa O: SS. 10: u: 110 Ferner: Zeuthen, Etudes des proprietes de si- tuation des surfaces cubiques, insbesondere III, 12-—23. Math. Annalen Bd.8 pag.1. 1* A / 3 56 12 34, 13, 25, 46 35 14, 26, A 15, 24, 36 Fläche 45 16, 23, und diejenige auf die Diagonalebenen durch: 1 12, 35, 46 aber n 12, 36, 45 Oefnu 13, 24, 56 zr Hi 45 Oeffan 13; 26, 14, 25, 36 tikaler 14 33 56 15, 26, 34 oder | 15, 923, 46 35 16, 24, 16, 25, 34 al, W NEUN | Die Pentaederecken sind Knotenpunkte der Hesse’schen Fläche und daher Doppelpunkte der parabolischen Curve. Sie sind isolirt und Die Diagonalfläche Yon d überhaupt die einzigen reellen Punkte dieser Curve. ist sonst überall hyperbolisch gekrümmt. Die eben besprochenen Punkte sind die Asymptotenpunkte der 15 Stelle einer Geraden erster Art, die andern 12 haben imaginäre Asymptotenpunkte. Bei allen andern Flächen mit 27 reellen Geraden ist deren Ver- theilung im Wesentlichen ebenso. Es giebt immer eine Doppelsechs mit imaginären Asymptotenpunkten, während die übrigen Linien reelle Asymp- fotenpunkte haben. Aus den 10 isolirten Punkten der parabolischen Curve sind ebenso viele Ovale geworden, welche Punkte elliptischer Krümmung Verbi einschliessen und von den Seiten solcher Dreicke berührt werden, wie sie die Geraden, welche sich früher in den einzelnen Pentaederecken 1i€gen schnitten, jetzt zwischen sich einschliessen. Die Beziehung der Drei- ebene ecksebenen A und B zum Pentaeder ist insofern dieselbe 1 lej geblieben, als man durch continuirliche Deformationen Dopp sie rückwärts nur in Pentaeder- bezw. in Diagonalebenen Tassen überführen kann, ein Umstand, der sich für die Classification von später zu betrachtenden Flächen als wichtig erweisen wird. Weg\ 144 S 2 Flächen mi1_; den Maximalzahlen reeller conischer Knotenpunkte. Unterschiede in Bezug auf das unendlich Ferne. Unser Modell der Diagonalfläche zeigt 10 Durchgänge ‘), von denen aber nur eine Anzahl im Endlichen geschlossen ist. Durch jede solche Oeffnung erstreckt sich eine Doppelsechs, deren Geraden zur Hälfte reelle, zur Hälfte imaginäre Asymptotenpunkte haben. So gehört z. B. der untern Oeffnung, welche in ihrem Ansehen einem Rotationshyperboloid mit ver- tikaler Achse gleicht die Doppelsechs: - 46, 62, 24, 1’ 3, 9 35 5l 1 20 4', 68 oder kurz: 135 an, wodurch auch die Oeffnung selbst bezeichnet werden mag. Die übrigen neun sind dann: Fläche 524, 146, 362, 354, 516, 132, 526, 142, 364, ıf und von denen jedoch nur die ersten sechs im Endlichen sich schliessen. lfläche Wie nun die Ausübung des Processes auf einen Knoten, an dessen der 15 Stelle eine Oeffnung hervorruft, so entstehen umgekehrt durch Zuziehen einer Reihe von Oeffnungen eben so viele conische Knoten. nkte, l Yer- Z. B. entsteht das Modell 2 aus 1 durch Zuziehen von: ıs mi 135, 524, 146, 362 \Symp- Die 24 Geraden dieser 4 Doppelsechse sind die 6 vierfach zählenden Ourre Verbindungslinien von je zwei Knoten geworden, die übrigen drei: nmg 56 12, 34, , me ‚ocken liegen in einer Ebene A, welche bekanntlich auch jetzt noch Pentaeder- ebene ist. Nimmt man von den 27 reellen Geraden drei solche fort, so Drei- elbe ist leicht einzusehen, dass die übrigen 24 sich nur in einer Weise zu 4 Doppelsechsen, denen einzeln Oeffnungen zugeordnet sind, gruppiren on60 aneh lassen.?) ı von Nimmt man andererseits 3 Gerade einer Ebene B, z. B.: 52 14, 36, weg, so erhält man aus den übrigen die Doppelsechse: Bn 354, 516, 132, 246, ‘) Vergl. iéléin a.a. O. pag. 575, Anmerkung; ferner Zeuthen a. a. O, 2) - Klein a. a. O, $. .12. g f p „//J'\ * E E Da von denen aber nur die ersten drei Oeffnungen angehören. Den drei aus ihnen entstehenden Knoten kann also kein vierter beitreten, wir erhalten sind, S0 eine Fläche I’ mit 3 Knoten, welche ‘nicht direct aus derjenigen mit zeellen ( vieren abgeleitet werden kann.!) Sie ist dargestellt durch die Modelle 7 u.8. z.B. de KErsteres erscheint von derselben, letzteres von der entgegengesetzten Nr.3 we Seite im Vergleich mit dem Modelle der Diagonalfläche betrachtet. Modell 8 te wurde ausgeführt, um das kegelförmige der Parthien in der Nähe der 30 Knoten besser zur Anschauung zu bringen, man erkennt die Ueberein- Nr.4 un stimmung der Art beider, wenn man eines mit seinem Fusse nach oben kehrt. Wie nun jeder der 5 Pentaederebenen eine Fläche I mit 4 Knoten zugeordnet ist, so entspricht jeder der 10 Diagonalebenen eine Mannig- h faltigkeit der I’*), deren Dreiecksebenen einfacher Geraden der betreffen- d den Diagonalebene benachbart sind. Bei der letzteren Art kann man ins- S( besondere diese Geraden durch eine Ecke gehen lassen, wie es bei den i modellirten Flächen der Fall ist, und damit die Fläche eindeutig durch Nr.ß\\; ihr Pentaeder bestimmen. — Es sei noch bemerkt, dass man zwei Knoten einer Fläche beliebig entstehen lassen kann und dann die Wahl hat, ob man eine I oder I‘ mit dreien aus ihr hervorgehen lassen will.®) Nimmt 4 man z. B. die Knoten 146 und 524, so liefert jeder der Knoten 135 und 362 eine I. Aber auch den Knoten 132 kann man bilden und hat jetzt \ ‘ eine I, denn die unären Geraden 15, 34, 26 gehören einer Ebene B an. Aus der I mit drei Knoten: mit O yaden 146, 524, 135, entsteht also die I%, wenn man den Knoten 135 durch 132 ersetzt. Solche unend) zwei besitzen zwei gleiche Ziffern in der Bezeichnung und sind dadurch Steh_t ; charakterisirt. Die bezüglichen Oeffnungen liegen zu beiden Seiten einer Tangentialebene A und ihre Richtungen bil- Modell den einen rechten Winkel mit einander. Würfe Sie mögen einander benachbart heissen. Veber! Deforı Eine Oeffnung ist stets drei andern benachbart, z. B. 135 den Oeff- Schon nungen 132, 354, 516. Mit Rücksicht auf das Frühere kann man dann wenm sagen: Die Flächen I und I’ mit 3 Knoten gehen ineinander tirung über durch Auflösen eines Knotens, und darauf folgendes leiten Zusammenziehen einer der neu entstandenen Oeffnung be- nachbarten. Das Zusammenziehen solcher drei Oeffnungen, welche einer und derselben vierten benachbart sind, er giebt stets eine I“ Wir wenden uns jetzt zur Untersuchung der Abweichungen in der Gestalt, welche in dem verschiedenen Verhalten der Flächen zur unend- lich fernen Ebene ihren Grund haben. ) Vergl. ul;e; die Bezeichnung $. 2 pag. 55 und $. 3, auch $. 3 des Vorliegenden. 2) 8.7. 3) 872 pag. 55: A4E O SE % drei aus Da alle Flächen mit 4 reellen conischen Knoten unter sich collinear erhalten sind, so hat man bei diesen hierzu nur nöthig, die Gegenebene einer en mit reellen Collineation alle verschiedenen Lagen in Bezug auf eine Fläche, 78 z. B. der Nr. 2 annehmen zu lassen. Man findet dann den Typus: vesetzten Nr. 3 wenn die Gegenebene eine convexe Parthie des dem Knotenpunkt- Modell 8 tetraeder nahe liegenden paaren Stücks der Fläche in einem Oval Vähe der schneidet ; Jeberein- Nr.4 und 5, wenn eine Curve mit Oval ausgeschnitten wird, welches drei n kehrt, Knotenstrahlen treffen und zwar Nr. 4 wenn es ausserhalb, 5 wenn Knoten es innerhalb der convexen Parthie geschieht. Solche Schnitte gehen Mannig- hervor, wenn man die Ebene zunächst durch einen Knoten, etwa etreffen- den untern legt, so dass eine Curve mit isolirtem Doppelpunkt er- Nan InS- scheint, und, wenn man weiter die Ebene bezw. nach unten oder bei den nach oben etwas verschiebt; z durch Nr. 6 wenn das Oval von 4 Knotenstrahlen getroffen wird, die schneidende Knoten Ebene also die Knoten in zwei Gruppen zu je zweien zerlegt. Um at, o eine möglichst regelmässige Gestalt zu erzielen, wurde die Ebene Nimmt ausserdem durch eine unäre Gerade gelegt. 35 und Löst man nun die Knoten durch Verbinden auf, so entspringen aus $ jetzt 3, 4, 5, 6 Flächen, welche von der unendlich fernen Ebene in eine Curve B anı mit Oval geschnitten werden, so dass dieses bezw. von 0, 12, 12, 16 Ge- raden getroffen wird. Nimmt man noch den Typus von 1 hinzu, dessen unendlich ferne Schnitteurve nur aus einem unpaaren Curvenzug be- Solche SE(1llt 1, so hat man die vier Arten, wie sie Herr Klein fand. ET N durch 1) Zu dieser Art gehört auch die Fläche, welche durch das bekannte Wiener’sche ‚iden ı bil- Modell veranschaulicht wird. Stellt man dasselbe auf diejenige Fläche des begrenzenden Würfels, welche der mit Text verschenen gegenüberliegt, so ist die Möglichkeit der yander Ueberführbarkeit in unsere Diagonalfläche unter alleiniger Anwendung von endlichen Deformationen leicht zu bemerken. Zwei der aufwärts strebenden Flügel sind dann } Ü(‘ff- schon ebenso vielen der Diagonalfläche vergleichbar, dasselbe tritt beim dritten ein, Zur leichteren Orien- dann wenn man ihn wesentlich in horizontaler Richtung verflacht. tirung stellen wir die Doppelsechse der Oeffnungen, welche den Knoten einer abzu- nder leitenden Fläche mit vier solchen Punkten zukommen, neben einander: ndes Diagonalfläche. Wiener’sche Fläche. &o a ag Ci3 Ca4 Caı z he- 1 3 5 5 gen, C556 C62 C2 ba b; b; )er a, az az C56 C564 C45 ( 24 / b Co3 C831ı Cı2 ba be az Cı2 C26 C811 ı der E as { C45 58 Caa 19 bı b‘) nend- aı a4 ag C23 C835 C52 632 ı b C46 Ce1 C1ı4 5 b, bs Einfache Linien bleiben. nden. 12, 34, 56, C1i5 Co4 36 SG SS Dass die aus 4 und 5 sich ergebenden Flächen sich durch Nichts unterscheiden, erkennt man ohne Weiteres. Der Verlauf der Oeffnungen ist bei der aus 3 hervorge- gangenen Fläche — sagen wir kurz 3 — übereinstimmend mit dem aufıl. Bei 4, 5 nenne man die oberste Oeffnung 135, dann sind die übrigen, wie sie aus den 3 in horizontaler Ebene liegenden Knoten der Ausgangsflächen entstehen : früher 526, 364, 142 ’ in an lich . und 146, 524, 362, Jetzt Die einfachen Geraden dieser Flächen sind: Proze 16, 32, 54 und . 12, 34, 56. ( ( Die symmetrisch gelegenen Oeffnungen : 516, 354, 132 erstrecken sich jetzt durch’s Unendliche, symmetrische Flächen I‘ giebt es also hier nicht. Aber das Zusammenziehen der benachbarten von 156 nämlich : 146 ZUSA 135, 526, einel liefert eine I‘ mit den unären Geraden: 1 54, 36 Nr. 6 zeigt sechs Oeffnungen, von denen 4 durch Auflösung der Knoten entstehen. Die beiden andern sind einander benachbart, mit der gemeinschaftlichen Ebene der (horizontalen) unären Geraden. Eine I‘ und erhält man am übersichtlichsten durch Auflösen der oberen Knoten und zieh Schliessen der ihnen benachbarten endlichen Oeffnung. Ver Ausser den beiden Typen der I‘, welchen im Unendlichen ein K unpaarer Curvenzug zukommt, giebt es also noch andere, deren Schnitt- Ueh curve mit Oval begabt ist und dieses entweder von keiner, oder 2 vier- fachen und vier 2fachen, oder von 2 vierfachen und zwei zweifachen Geraden getroffen wird. Rücksichtlich der leichten Entstehungsweise aus den Flächen mit vier Knoten erscheint jedoch eine wirkliche Ausführung unnöthig. der o} S h Nichts S88 l@t\‘l)!gg. M auf], Flächen mit weniger oder keinem conischen Knoten. sind _ die oten der Aus dem Vorhergehenden geht hervor, dass durch „Verbinden“ die früher durch einen Knoten gehenden reellen mehrfach zählenden Geraden in andere reelle zerfallen. Ein „Trennen“ macht dieselben aber ersicht- lich imaginär, da die Parthien, welche früher im Knoten zusammenhingen, jetzt durchaus keinen Zusammenhang an jener Stelle aufweisen. Bringt man nun an einer beliebigen Anzahl von Knoten einen dieser Prozesse + und — an, so erhält man aus der Fläche mit 4 Knoten: a) 5 Flächen ohne Knoten, I + + + + mit 27 reellen Geraden, U+++— 15 , © ’ u A ” 7 W} ’ IY + —- —— S 3 ” ” =% , und 7 reellen Dreiecksebenen, l giebt A E ” 3 ” } 13 „ 3 on 156 Alle Flächen, mit Ausnahme von V, bestehen aus einem überall zusammenhängenden Zuge, während die genannte ausser diesem noch einen paaren Theil aufweist. b) 4 Flächen mit einem Knoten, ü E in E a g der MS it der ine ] und noch eine Art IV’ mit isolirten Knoten, entstehend durch Zusammen- ziehen des päaaren Stücks der V unter a). (Vergl. die Einleitung.) Ein a und Verschwindenlassen des Knotens führt auf eine sechste Art IV‘ ohne ‚ ein Knoten, welche aber nur bei Festhaltung des Pentaeders einer directen Ueberführung in die IV Hindernisse entgegenstellt. hnift- vier- c) 3 Flächen mit zwei Knoten, chen I4 + , a n + — nng ME d) 2 Flächen mit drei Knoten, b N Die Fläche I’ kann höchstens unter Anwendung des Trennens zu den bis jetzt gefundenen Arten neue liefern, da ein Verbinden mit einer A RDE RE 10 dann auftretenden Oeffnung gleichzeitig die ihr benachbarte entstehen { lässt. in die Dadurch geht aber nach $. 1 die Möglichkeit der Bildung von 4 Knoten hervor. Es giebt also die Flächen: Unters dass n a) IV“ — — — ohne Knoten, Pentad b) _IIr — — mit einem Knoten, e): IF — Mmit zwei Knoten. Diago dann und D Aber auch diese, mit Zeigern versehenen, „inversen“ Arten sind von drei, den übrigen mit derselben Ziffer und gleicher Anzahl Knoten nur.ver- die n schieden, wenn man auf das Pentaeder achtet. Ich war früher der An- sicht, dass nur die Arten IV sich in einander überführen liessen, während dies in Wirklichkeit auch bei den übrigen der Fall ist, wie bald gezeigt werden soll. Ist neben dem (eigentlichen) Pentaeder ein Punkt des Raumes als Knoten gegeben, so ist die Fläche vollkommen bestimmt. In $. 7 gab ich die Vertheilung der Knoten der verschiedenen Arten, die in Folge dieser Eigenschaft möglich ist; die Figur 1 auf Tafel I stellt das Modell 26 dar, welches für ein reelles Pentaeder jene Vertheilung oder — wie man sagen kann — Abbildung der Flächen giebt, sofern man den be- stimmenden Punkt das Bild nennt. Die polirten Drähte sind Pentaederkanten, die rothen Diagonalen der durch jene gebildeten Vierecke, die grünen Schnittlinien der Diagonal- ebenen unter einander. Die durch diese Ebenen in Verbindung mit denen des Pentaeders begrenzten Kammern sind Bilder verschiedener Arten mit einem Knoten. un d Den Punkten der Pentaederebenen selbst entsprechen als Flächen drei- fache Ebenen, sie sind daher auszuschliessen. Homologen Kammern ent- sprechen gleiche Arten, daher genügte es, von einer Reihe solcher nur eine einzige durch die ‘charakterisirende Ziffer zu bezeichnen. Flächen und mit zwei, drei und vier Knoten bilden sich bez. ab auf die Diagonal- ebenen, deren Schnittlinien und Schnittpunkte. Man findet die Art als Dis lin Uebergang zwischen den‘ beiden mit einem Knoten weniger als die ge- gebene. So z. B. enthält das von zwei grünen und einer rothen Kante We begrenzte Feld zwischen II und III die Bilder von II mit 2 Knoten; das gell von zwei rothen und einer grünen Kante begrenzte die Bilder von IT‘. kei de So lange das Pentaeder bleibt, ist also die Ueberleitung dieser Flächen ineinander ersichtlich unmöglich. Das Nämliche gilt für IIL und 1II‘ mit ZW einem Knoten. Man findet ferner, dass sich die I und I’ mit 3 Knoten he bez. auf die schrägen und horizontalen Kanten des Hexaeders I abbilden. Rü Nur die ersteren enthalten aber einen Schnittpunkt dreier Diagonalebenen, ha das Bild einer Fläche mit 4 Knoten, den dreien der I‘ kann demnach f]14 kein vierter beitreten. 37 D 4 fstehen Um nun die Möglichkeit der Ueberleitung der Arten II” und JIl Ig von Der charakteristische in die ungestrichenen zu zeigen, bemerken wir: Unterschied in der Lage der Knoten einer II’ und einer II besteht darin, dass man ohne Aenderung der Art einen Knoten der II’ zu derjenigen Pentaederecke führen kann, welche mit ihrer conjugirten Kante seine Diagonalebene bestimmt, während dies bei der II unmöglich ist. Sind dann die Pentaederebenen bezeichnet durch 1, 2, 3, 4, 5, die Kanten d von und Diagonalebenen durch zwei Ziffern, i k, die conjugirten Ecken durch T, Ver- drei, 1 m n, so entspringt für die Ebene 45 eine Vertheilung, wie sie or An- die nebenstehende Figur angiebt, ihrend ezeigt o als 7 gab Folge K fodell C J - wie Z X A% y he- I n Z L \ Z /][ A N nalen 4A5 n SN BL ;oual- eders Vereinigen sich die Ebenen 4 und 5 zur Doppelebene, so rücken ofeh: in diese auch die Diagonalebenen: drei- 14 ent- 24 , aur 34 ; chen In der al und die Felder I, II, III reduciren sich auf die Gerade 45. Diagonalebene der (auch jetzt noch völlig bestimmten') Schnitt- . als ge linie der Doppelebene liegen also nur Knoten von Il Werden weiter die bisher vereinigten Ebenen imaginär, so geschieht das- anfe das selbe mit den oben hervorgehobenen Diagonalebenen, diese können also keine Abtheilungen begrenzen: Die Flächen, deren Knoten in Il der isolirten Kante eines Pentaeders-mit 3 reellen und hen zwei conjugirt imaginären Ebenen liegen, sind als Il’ zu nif dass nach dem ß en bezeichnen, wenn man ausdrücken will, Rückgange zu einem völlig reellen Pentaeder, unter Er- den haltung der ursprünglich reellen Ebenen, ein hinzuge- 100 fügter dritter Knoten eine I‘ hervorruft, ach !) $. 10 pag. 76. 12 O Lässt man jedoch andererseits ein zweites Paar Ebenen etwa 2 und I imaginär werden und das bisher imaginäre Paar reell, so muss man jetzt die Fläche als II bezeichnen, da nach $. 5 durch einen neu auf- tretenden Knoten eine II mit dreien entsteht. Damit ist die Identität der Arten nachgewiesen. Für die Uebergangsflächen eines Pentaeders schr mit einer Doppelebene und zwei conjugirt imaginären Ebenen folgt hieraus: Die Knoten der II gehören der Diagonalebene der Kante der Doppelebene, die der II‘ derjenigen der isolirten Kante an. Aber für ein Pentaeder mit 2 Paaren conjugirter Ebenen ist der Unter- 0 N schied vollständig verschwunden. Je nachdem man das Ebenenpaar, deren Kante die Diagonalebene der Knoten angehört oder das andere reell werden lässt, erhält man II oder II‘ Der Fehler in meiner früheren Arbeit liegt im Satze pag. 79, Zeile 8 ersti von unten, woselbst ich übersah, dass ein Uebergang zu zwei reellen Ebenen auf eine II führen müsse. ZW& Die Resultate des $. 13 für Flächen mit einer dreifachen Pentaederebene erleiden keine Veränderung. Bet nm Für die Arten III und III‘ ist keine besondere Betrachtung noth- wendig, mit den II und II’ sind auch sie entweder zu unterscheiden oder von E das nicht. F Alle inversen Arten, wie sie aus der I‘ hervorgehen, besitzen drei einfache Linien mit reellen Asymptotenpunkten, welche einer Dreiecks- ebene angehören und diese geht bei der Rückleitung in eine Ebene B über. Hierdurch ist ein Unterschied bei der IV“ gegenüber den Arten IV hes und IV‘ begründet. Aber bei der IV sowohl als bei der IV‘ erhält man eine Ebene A. Den Grund, weshalb man bei der IV‘ zunächst eine Fläche mit isolirtem Knoten zu bilden hat, um nach und nach mehr Linien reell werden lassen zu können, werden wir durch eine Untersuchung N der Hesse’schen Fläche einsehen, zu der wir uns jetzt wenden. VOl S, 4: Ueber eine Eigenschaft der Hesse’schen Fläche. Ein Knotenpunkt einer algebraischen Fläche ist auch Knotenpunkt der Hesse’schen Fläche und zwar ist sein Tangentenkegel bei beiden un Flächen derselbe. Es soll nun der für die gestaltliche Untersuchung der Hesse’schen Fläche wichtige Satz bewiesen werden: Löst man einen Knoteneinergegebenen Fläche auf irgend eine der beiden möglichen Weisen auf, so vollzieht sich gleichzeitig die Auflösung des mit ihm vereinigt gelegenen Knotens der lp\ Hesse’schen Fläche, aber auf die entgegengesetzte Weise. SC Unter Anwendung homogener Coordinaten der %, %, %, %, kann Z man die Gleichung 'einer Fläche %* Ordnung in der Form: D IL 13 2 und F= . (a,, %, *+ 20,, D, % A 20 , %, z + 204 %, %, F Apz x22+ 2,2 %, %, ; man + 2a24 x2 x4 + a33 x32 + 2a84 x3 x4 + a44 Q742) ı auf- ntität +x4n“3'f(3)(w„xz7ws)+x4n_4°f(4)(xnmfl;"va)+"' f<n)(a"nx2;'/va):0 eders schreiben, in der f© vom i“ Grade ist. Tal8; ante Ist a - —_- 14 24 34 44 0, fxntc nfer- so besitzt die Fläche einen conischen Knoten im Punkte: deren reell T = Z a Z eile 8 Nimmt man jedoch die drei ersten jener Coefficienten klein von der ellen f ersten, den letzten klein von der zweiten Ordnung, 58so ist der Knoten chen zwar aufgelöst, aber die Fläche weicht nur wenig von der früheren ab. Betrachtet man insbesondere nur die Parthie in der Nähe des Knotens, nofh nimmt also die x klein von der ersten Ordnung, so werden die Glieder oder von F bezw. klein von den Ordnungen 2,3...%, d. h. alle sind gegen das erste zu vernachlässigen; wir können uns auf die Untersuchung der Fläche: drei oks R „ 2 2) BL SO e B beschränken. V Setzt man: man 0 fı= 7 ka Q eIDE Ö: d %. u16n un so ist die Art der Fläche zweiter Ordnung f==0 bekanntlich abhängig vom Vorzeichen der Determinante: gfu /‘[‘7 fıs fın Z Z \f21 f22 fas f3a f} f3r fa f33 f3a fır f4‘2 fıs fa nkt und zwar erhält man für: jen A>0 ein einschaaliges Hyperboloid oder ein imaginäres Ellipsoid, der A<0 ein zweischaaliges Hyperboloid oder ein reelles Ellipsoid. en en Die beiden möglichen Flächen bei demselben Vorzeichen von 4 ent- jie sprechen bezw. einem reellen oder imaginären Tangentenkegel des auf- er gelösten Knotens. Der Indentität dieser Kegel bei der Original- und Hesse’- b schen Fläche wegen genügt es also zum Beweise des aufgestellten Satzes zu zeigen, dass die Gleichungen beider Flächen’von derselben Form, aber die un Determinante der quadratischen Faetoren verschiedenen Vorzeichens sind. A )« I 14 BED Es ist nun Fa far ffll f41 + (n—2 fl H_ 'Ü 4n-10 f f22 fa faz T f S0 18 f fa (r P (“'_‘2)f3 If14®4+(n D WE 2 S F fı fa F2@— Dl n—2)(n— f Addirt man die mit %,, %, %, multiplieirten ersten drei Reihen zur vierten und führt darauf dasselbe für Colonnen aus, so wird fır fl)1 fa (n— D, und 4n-—10 f10 f22 f3r W Z HE 13 faz fa3 zD 3 m— DA @Dn @— U W Z fır fı Iar ‘f1 fa2 far == X 4n-—10 +n —17 Ar (n— 17 b fas fas ‘ f} f f 6l /1l Iar f31 f4l fız f‘1‘) f3r f42 schn —& 4n-10 ()l'_"1) hıs fas f3‘*) fas £ +n (n—1)f4,, den X 4® 24 4 f84 4 2f+/44 r42 Hä Mer = (n-—1) 4n 10[ ZA*])(I' _2fA44 +“fA44] Hes B EL RC E (n—1) 4 ihre s n—2 29 (n-1) X 4n 10(/1- y A ZE1C die Die Determinante des Factors von —(n—1) x,"? jst also Für (Fır f2l /“)1 fır fı foz f32 fa Sn E Nn ‘f13 f2‘3 f3r fıs A (n— 1) ; N Iıs fr fa fıa EB n 2)| ich also im Vorzeichen von 4 verschieden für alle »n >2, w.z.b. w é B M UVeber die Hesse’sche Fläche einer Fläche dritter Ordnung mit reellem Pentaeder Ist die Gleichung einer Fläche dritter Ordnung bezogen auf ihr Pentaeder z E AT Eel D Zei CL 15 FE f:a1 x13+a2 .£L‘23+ C x38+ A, ;I;f—l—- A 'T58=O L N 0, so ist die Gleichnng ihrer Tangentialebene im Punkte y: —n 3 CZ L’/12‘7“'1 +& ;//22 %, + A, ÄI/32‘T3 - A, -7/42 %, - A Yı 4 =0. } Die Hesse’sche Fläche ist dann dargestellt durch: €n ZUr 1 — 'l‚_‚ JE 1 Z D R A, D, D 5 und ihre Tangentialebene im Punkte z durch: 1 1 1 1 + m + An 2 A, Z R 8 a AL Q 5 )+ A, R A, R 74 A, 2 Z HL A Z + BEErhNE + + 5 Z ( a (?‘f x RL [47 A 5 A Die (festen) Tangentialebenen an den Pentaederkanten: ‚e'|:‚e'k.___0 schneiden die Fläche in 10 Kegelschnitten, von denen je vier, wie sie den Kanten einer und derselben Pentaederebene angehören, auf einer Fläche zweiten Grades liegen. Nimmt man nämlich die zerfallende Fläche 'fAu] vierter Ordnung, welche durch die vier Ebenen dargestellt wird und die Hesse’sche als Basisflächen eines Büschels, so geht durch einen Theil ihrer Schnitteurve, nämlich die vier Kanten, doppelt zählend die ausge- zeichnete Pentaederebene, der Rest achter Ordnung der Schnitteurve — die vier Kegelschnitte — liegt also auf einer Fläche zweiter Ordnung.') Für die Ebene z;=0 als ausgezeichnete ist diese Fläche gegeben durch: SE läm. Je zwei dieser Flächen haben einen der Kegelschnitte gemeinschaft- lich. — Wir wenden uns jetzt zur Betrachtung der Fläche: x‚"—}-—mf—l—x£+xf+%=0 mit den 4 Knoten: —l — nit l —2 A 1 % — ihr 1) Ueber eine andere Eigenthümlichkeit der Lage der 10 Kegelschnitte vgl. Eckhardt: Eine Eigenschaft der Hesse’schen Fläche einer Fläche dritter Ordnung. Zeitschrift für Mathematik und Physik XIX 259 ff. RE 16 L deren Hesse’sche Fläche: dass di schwaG £ \ ist Letztere ist durch das Modell 24, veranschaulicht. Die horizontale Ebene der weissen Geraden ist die ausgezeichnete %7, =0. Zu den übrigen kann man entweder die Ebenen der rothen oder die der grünen Geraden wählen. Die Gleichberechtigung der verschieden gefärbten ist welche unschwer zu erkennen. Eine dieser Ebenen ist. %, =0 parallel, drei eigent Pentaederecken auf einer Kante liegen also unendlich fern, welche An- Be- nahme zur Erzielung einer symmetrischen Form nothwendig war. trachtet man das grüne Tetraeder als dem Pentaeder angehörig, so sind angehi die Ecken des rothen Knoten der Fläche dritter Ordnung, und umgekehrt. Die beiden Flächen, welche hiernach einer und derselben Hesse’schen vier d Fläche angehören*), sind resp. Nr. 2 und 5. Bei beiden sind selbstver- dritter ständlich die unären Geraden dieselben: Diagonalen des vollständigen finden Vierseits in %, =0. gehend Nimmt man Nr. 2 als ursprünglich gegebene Fläche /= 0, so ist ] die Gleichung von Nr. 5: ['urvcy welche O OO N Veber, } Micht. +ra 0, ines Als Gleichungen der Tangentialebenen an den Kanten der beiden dem Tetraeder findet man: gekr Z a=0...i,k=1,92,3,4 einerlei ob man sie einer der beiden Flächen dritter Odnung oder der Hesse’schen angehörig betrachtet.”) Die Kegelschnitte, in welchen letztere ihre getroffen wird, sind also in Doppelgeraden ausgeartet. Die eben erwähnten 6 Ebenen bilden ein Hexaeder, in dessen Nähe die Hesse’sche Fläche derart verläuft, dass zwei der Diagonalen in einer Seitenebene der Fläche angehören. Nr. 24, giebt den so begrenzten sternförmigen Körper in vergrössertem Maasstabe für ein Pentaeder, bestehend aus einem regulären Ihre. Tetraeder und der unendlich fernen Ebene. Bei dieser Lage wird auch das Hexaeder regulär. Die 6 Ebenen durch je zwei Tetraederkanten, wie sie sich in einer Ecke von %, == 0 schneiden, bestimmen ebenso viel wei- tere Kegelschnitte, welche durch je vier Tetraederecken gehen. Bei 24, sind diese Kegelschnitte Hyperbeln, welche bei 24, ausserdem gleichseitig ’‚7' sind. mdc.1 E 1)Eckhzudt‚ i3eitr';ige zur analyt. Geometrie des Raumes etc. Math. Ann. V pag. 30. ]llll]g‘ ?) Längs der Verbindungslinie zweier Knoten haben eine Fläche dritter Ord- Rest nung und ihre Hesse’sche stets dieselbe Tangentialebene, nämlich die der beiden Sekri Knotenkegel, gemeinschaftlich. (B I7 SE Die sternförmigen Parthien weichen vom Würfel nur dadurch ab, dass die Kanten des letztern durch Hyperbelzweige, die Ebenen durch schwach hyperbolisch gekrümmte Flächentheile ersetzt sind. Nur die Tangentialebenen an den Kanten in %, = 0, nämlich: ontale 1 den 5Üx+äi= ’ ‚rünen en ist welche jetzt durch den Punkt 1, 1, 1, 1,—4 gehen, schneiden noch in , drei eigentlichen Kegelschnitten, welche der Fläc]16: 6 An- D 2 SEL 5 kn ‚ Be F+z 2+„’L'2 ')e+"xsx4 16 ) sind kehrt, angehören. Bei 24, ist diese ein Ellipsoid, bei 24, eine Kugel. Die übrigen schen vier dieser Flächen sind Kegel mit je einem der 4 Knoten der Fläche Sivel- dritter Ordnung als Spitze. Als Kegelschnitte auf je einem dieser Kegel digen finden sich einer der eben bestimmten und die 3 durch den Knoten gehenden — doppeltzählenden — Geraden. 0 l*t Die Hesse’sche Fläche verzeichnet auf der gegebenen die parabolische Curve, diese besteht also aus den 6 doppeltzählenden Tetraederkanten, welche als Curve zwölfter Ordnung keinen weiteren Zweig zulassen. KEin 3 Uebergang von Theilen verschiedener Krümmung zu einander findet daher nicht beim Passiren der parabolischen Curve, sondern nur beim Passiren eines Knotens statt: Die Fläche mit vier, Knoten ist nur auf dem paaren Theil elliptisch, sonst überall hyperbolisch eiden gekrümmt. — Die Gleichung der Fläche I‘, Nr. 7, ist: .’U38+x‘.'3+‘7‚53=0’ . der x‚‘”‘+xi—}— ziere ihre 3 Knoten haben Coordinaten: ınfen 2 2 1 1 äche 2 2 l T äche —2 2 2 T 1, r M ären ihre Hesse’sche Fliiehe‚y Nr. 25, ist dargestellt durch: das , S1e CFTA A) HE wei- Die Ebenen %, und %, sind horizontal, ihre Pentaederkanten sind weiss, 2’l>’l %, %, %, Sind durch die grünen Pentaederkanten gegeben. Die rothen Ge- JU raden sind Verbindungslinien von je zwei Knoten der Fläche dritter Ord- nung. Letztere Linien zählen als parabolische Curve wiederum doppelt,. der g‚ 30: Rest von der Ordnung 12 — 6 =6 besteht aus 7 Ovalen, welche elliptisch Ord- gekriümmte Parthien einschliessen. Von diesen Ovalen ist eins, das obere jden U = %, =X, é()‚ zum isolirten Punkte geworden, in welchem sich drei Z „ //)y/\})f«t« “;’/ / 18 ® unäre Geraden kreuzen. Die übrigen Ovale werden durch die drei Seiten- in der heile theile der Hesse’schen Fläche ausgeschnitten, je zwei berühren eine Ge- von € rade der parabolischen Curve. — elche Mit Hülfe des im vorigen Paragraphen bewiesenen Satzes gewinnt Weise man nun leicht eine Vorstellung des Verlaufs aller übrigen Hesse’schen Dreie Flächen. Insbesondere ergiebt sich: Die Hesse’sche Fläche einer Fläche dritter Ordnung mit 27 reellen Geraden besteht aus fünf Theilen welche MUL: E den Pe ntaederecken Z und den Tetraederkammern einzeln der- herüh! sammenhängen dass die den letztern angehörigen halb_ art zugeordnet sind, Strecken der Kanten auf den einzelnen The ilen vollstän- dig verlaufen. - Sso Geht man von einer solchen Fläche zu einer mit I\notcn über, entst wachsen zwei Parthien, wie sie sich über zwei Seitenflächen \forsclxledener Kan Kammern erheben zZUusammen Für die an 24, und 25 aufgelösten Knoten drei ist das direct zu sehen. Um den Vorgang auch für weniger günsti S0 staltete Parthien zu verfolgen, führen wir die beiden Modelle in einander Pan über. meh Gehen Wır aus von 24 und nehmen die grünen Linien zu Pen- CINE taederkanten. mög Ein „Trennen“, ausgeübt auf die Knoten des rothen Te- traeders Zwei liefert uns dann den Typus, wie er einer I zukommt.‘) Fl C der fünf Theile einer solchen sind dann das kleine Hexaeder und die sich durchs Unendliche ziehende achsiale Parthie. Seiten- Jeder der übrigen drei wird durch einen obern und unter theil, welche Stücke im Unendlichen zusammenhängen, gebildet Beim Uebergang zu 25 bleiben die beiden ersten 'Theile im We- (r sentlichen unveränder während an den untern Seitentheilen zwischen den und Ebenen %, und x; seitlich Hügel entstehen, welche sich in den Knoten Schl der I‘ vereinigen. Die obern Theile werden bei der Deformation durch ung Unendliche gerückt B: Ueber den Verlauf der parabolischen Curven auf den Flächen ohne M Knoten mit weniger als 27 reellen Geraden sehe man Zeuthen a. a. O Wir heben hier nur hervor, dass wie früher Ovale auftreten, welche Drei- ME aber bisher solche Dreiecke nur ecken einbeschrieben sind Während A Ebenen B angehörten, kommen sie bei den Arten II, III, IV, V zum Un Theil Ebenen A zu: Solche Zweige ftfreten neu auf und zwar in der De folgenden Weise. Zieht man eine Oeffnung zum Knoten zusammen und ım löst diesen später durch Trennen auf so hat man ersichtlich den ur S0C sprünglich überall zusammenhängenden hyperbolisch gekrümmten Theil de 1) Das Pentaeder stimmt überein mit dem des Modells Nr. 1, die eben erzeugte Fläche kann also als der Diagonalfläche zugehörig angesehen werden, durch Betrach- tung beider erkennt man das Zustandekommen der 10 isolirten Punkte der paraboli- schen Curve sehr leicht. //J & BT S 19 i Seiten in der Nähe des Knotens in zwei, dort keinen Zusammenhang zeigende in Ge Theile von elliptischer Krümmung übergeführt. Jeder derselben muss von einem Zweige der parabolischen Curve umschlossen sein. Bei der II, gewinnt welche durch Beseitigung ‚der Oeffnung 135 in der eben geschilderten se’schen Weise entsteht, treten so zwei Ovale auf, welche von den Seiten der ‚ einer Dreiecke: © esteht 12 34, 6, 1 en ZU- 16, 23 Z 45 n der berührt werden. Diese Ovale sind durch Vereinigung der Ovale inner- jrigen halb der Dreiecke: Istän- . 35, 46, 12 8 15, 26, 34; 13, 24, 56 und 35, 24, 16; 15, 23, 46; 13, 26, 45 Jer, S0 jedener entstanden. Während ein Oval einer Ebene B stets von drei Knoten Kanten; wiıe sie durch eine Ecke gehen — und nur vOn drei solchen — getroffen wird, also stets zum isolirten üg Be- nander Punkt zusammengezogen werden kann; schliesst ein Oval 4 mehrere Pentaederecken ein, deren Kanten es schneiden, 1 Pen- eine Reduction auf einen isolirten Punkt ist nicht mehr möglich. an Te- Diese Bemerkung erklärt auch das verschiedene Verhalten der Zwei Flächen : je sich II und II’ mit 2 Knoten, II SN ” 1 bl Seifen- IV IV ohne ” 1 We- (IV‘ ohne Knoten schliessen wir vorläufig aus). Alle diese Flächen haben drei n den und nur drei unäre Geraden, welche Ovale der parabolischen Curve ein- nofen schliessen, aber, wie aus dem Früheren hervorgeht, gehören diese bei den ureh's ungestrichenen Flächen einer Ebene 4, bei den gestrichenen einer Ebene B an, worin nach dem eben ausgesprochenen Satz der.Unterschied be- olme gründet ist. 40 Es erübrigt noch, die IV’ zu untersuchen, deren parabolische Curve, Drei- wie diejenige der IV, von Geraden einer Ebene 4 eingeschlossen wird. nur Zieht sich der paare Theil einer V zum Knoten (einer IV‘) zusammen zum und — verschwindet weiter dieser Knoten, so muss sich während der ‚ der Deformation nach $. 3 des Vorliegenden auf der Hesse’schen Fläche aus und imaginären Elementen ein isolirter Knoten gebildet haben und dieser HA sodann in einen paaren Zug übergegangen sein. heil Da die Knoten der IV“ einer Tetraederkammern angehören!), so wird der neu auftretende Zweig ganz von dem frühern eingeschlossen. Also: angte Die Hesse’sche Fläche einer IV‘, wie sie aus der gleich- yach- ‚holi- X- $ 2 pag. 56. « 789 FE RE 20 erhält namigen mit isolirtem Knoten durch Verschwinden des- welche selben hervorgeht, besteht aus zwei paaren Theilen, von denen der eine den andern vollkommen umschliesst, wäh- rend bei allen andern nur Züge auftreten, welche wenig- ] stens inden Pentaederecken zusammenhängen, womit dann yorlie der besondere Charakter klar gelegt ist. Jation: bilde yierfa S die n ist € Die Flächen mit B,.') folgli jede Der Kegel zweiter Ordnung im Knoten ist in ein Ebenenpaar zer- fallen, welches entweder reell (Nr. 9 und 10) oder imaginär (Nr. 11) sein es fäl kann; aber die Schnittlinie dieser Ebenen, die: Achse des B,, ist stets Die reell. Dieselbe liegt übrigens nicht auf der Fläche, sondern schneidet die- Car selbe in drei consecutiven Punkten. Während nun eine beliebige Ebene MaD durch den Knoten eine Curve mit gewöhnlichem Doppelpunkt verzeichnet, dies geht letzterer für einen Achsenschnitt in einen Rückkehrpunkt, mit der Achse als Rückkehrtangente, über. Insbesondere treffen die beiden singu- (D lären Ebenen in Curven mit dreifachem Punkt, also hier in drei Geraden. stehe Am Modell 10 sind diese (rothen) „Strahlen“ reell in beiden Ebenen des Man Knotens. Jeder zählt dreifach, ausser ihnen gibt es noch 9 einfache Linien, Kuot von welchen 3 unendlich fern sind. Die unendlich ferne Ebene ist also Das Pentaeder besteht aus zwei und dreifache Tangentialebene der Fläche. die Doppelebenen, welche harmonisch zu denen des Knotens sind (sich einfachen und einer fünften übrigens weiter zur vereinigen können) gäng durch den Knoten. Die Doppelebenen des Pentaeders sind die Sym- Statt metrieebenen des Modells, die einfache enthält die horizontalen Strahlen, was jedoch im Allgemeinen nicht der Fall ist. Die singulären Ebenen theilen den Büschel durch die Achse in zwei Theile. In den Ebenen des einen Theils ist die Spitze der Schnitteurve nach. unten, in denen des andern nach oben gerichtet, beim Uebergange treten zwei Curvenzweige — wie sie der Schnitt durch die kleine Achse des Basisellipse besonders gut zeigt — an den Rückkehrpunkt heran, und machen ihn zum dreifachen; später sondern sich diese Zweige in ent- änbı gegengesetzter Weise wieder ab. 1 Ein B, mit reellen Ebenen entsteht durch das gleich- N zeitige Zusammenziehen zweier benachbarfter Oeffnungen. kann dieser Process dreimal Bei einer Fläche mit 27 reellen Geraden 1 ausgeführt werden. Für die Paare: (146, 516); (524, 354); (362 132) 1) Klein $. 3; meine Arbeit $. 1.1’ 12 21 1 dc‘s- echaält man aus Nr.. I die / Nr. 9° mit: 3B Jede der drei Geraden, , VON welche dasfl Modell noch aufweist, zählt neunfach: Väh- 16 4 346 56) 41 51, 23 ete. ehIe } dan Das Pentaeder ist bei mehreren B, nicht mehr bestimmt.!) Für die vorliegende Fläche ist auch die Hesse’sche Fläche ausgeartet in die Oscu- Die Geraden lationsebene an den Geraden und die Ebene der Knoten. bilden demnach die parabolische Curve, jede zählt als solche vierfach. Die Krümmung der Fläche ist also zu beiden Seiten der Curve die nämliche. Die kleine Kuppe über dem endlichen Dreieck der Geraden ist ersichtlich aus "Theilen innerhalb des Ovals 14, 36, 52 entstanden, folglich elliptisch gekrümmt. Nun kann man von jedem Punkt zu IT ZEI- jedem andern gelangen, ohne einen B, zu überschreiten, es fällt also auch diese Veranlassung zur Aenderung der Krümmung fort: |) sein f stefs Die Fläche ist, abgesehen von Punkten der parabolisehen f die Curve, überall elliptisch gekrümmt und zwar ist sie — wie Ebene man durch Betrachtung aller übrigen findet — die Einzige, welche chnet, diese Eigenschaft hat. — f der Aus dem Vorstehenden geht auch die Entstehung des B, aus dem Je nachdem man die ersten oder letzten der in Parenthese ngl C, _ hervor. aden. stehenden Oeffnungen zusammenzieht, entsteht; eine I oder I‘ mit 3 C,. 1 des Man kann also sagen, die Fläche gehen ineinander über, wenn an ihren inien, Knoten die Aenderung durch die biplanare Form vollzogen wird.%) ; also Die hierdurch erfolgte Vertauschung der Ebenen (A4) 12, 34, 56 zwei und (B) 14, 36, 52 wird aber auch schon bewirkt, wenn ein Knoten sich (sich die biplanare Form ändert, also nur eine ungerade Anzahl dieser Vor- gänge ist von Einfluss auf die Art.®) aften Sym- Die Flächen mit weniger B, sind leicht erledigt. Betrachten wir statt aller andern eine mit B, + 2.C, z. B.: hılen, (146, 516) + 524 +. 362. zwei Je nachdem man an den letzteren die Aenderungen: I6 + + unge chse + — - s 1all, eat- anbringt, hat man: in jeder Ebene 3 reelle Strahlen Schlafli III, 1; in einer Ebene 3 reelle Strahlen, in der andern ch en einen reellen Strahl ” 1, 2; a 3 mal Wifnyjjeder Eb(?“f einen reellen Strahl 3 gs 1"2‚ I *) Klein a. a. O.$.4. 3) 8.3. /f 7 S Fi Flächen, deren Verhalten zum Unendlichen ein anderes ist, lstellt D man sich leicht her aus denjenigen mit 27 reellen Geraden, wie sie die Modelle 4, 5, 6 liefern, indem man, wie früher, benachbarte endliche Knoten Oeffnungen zusammenzieht. — wäre 08 Zur Untersucehung der parabolischen Curve beim Vorhandensein eines gulären folgt da einzigen B, führen wir Nr. 1 in Nr. 10 über und verfolgen die Defor- mation der Ovale. gehen, yon Ar Set der D; auf Nr. 10° (146, 516). auf di Dann sind die dreifach zählenden Strahlen, wie sie zu dreien in einer singulären Ebene liegen: Modell 1, 46; 56 2% 43, (S11 ©& mit D 6, 41, 51 und zum R X 3042 4° 9 23 4, 5, —ä ON ©S N Der . MeNZ Die 9 übrigen Geraden sind einfach. Stücl Hieraus ergibt sich folgende Vertheilung der 10 Ovale: Fläc) Vier liegen mit dem> B, vereinigt: 46, äd; 23; 41, 6, 238 | 43, 52, 165 42, f; 3 16 isolirt Vier bilden Schleifen einer Curve mit vier- lichen fachem Punkt im B,;: 46, 3 125 56, 4Q, 13 durch 59 26 41, 36; 51, 43, Zwei sind eigentliche Ovale geblieben: 13, 45, 6; 45, 12 36; schei beide sind unendlich fern. Das erstere ist insbesondere ein isolirte&‘ Punkt, Wir. der Schnittpunkt der Parallelen des Modells mit der unendlich fernen Geraden der 45 ihrer Ebene. Hess Wir heben noch hervor, dass die Knotenstrahlen durchaus nicht zerfa gleichwerthig sind: In jedem der vier „erster Art“ sind zwei mit- Gerade mit reellen Asymptotenpunkten vorhanden, in Beid jedem „zweiter Art“ befindet sich nur eine solche Gerade. diese Die Geraden erster Art sind die Tangenten der paraboli- schen Curve im vierfachen Punkt. als ( Die Pentaederebenen sind hervorgegangen aus: zind € r 14, 26, Tini 52 2 64, 13 } doppelt, ehe x 12, 34, \ mit 15 24, 36 H doppelt, Nel 16, 32, 54, die Ebene der Strahlen zweiter Art liegt Wer der einfachen Pentaederebene derart Seh nahe, dass sie die beiden eigentlichen Ovale der parabolischen Curve be- rührt. //Ä 23 , Stellt Für das Modell sind beide Ebenen vereinigt. 2 8i die Der B, mit imaginären Ebenen lässt keinen weiteren reellen dliche Knoten i rgend welcher Art zu, denn seine Verbindungslinien mit diesem wäre dann reell was unmöglich, da die einzige reelle Gerade in den sin- in eines gulären Ebenen — die Achse — nicht auf der Fläche liegt. Hieraus S Defor- folgt dann auch, dass nur solche C,, durch welche keine reellen Linien gehen, in die vor liegenden übergeleitet werden können, also nur Knoten von Arten IV und IV‘. Bilden wir uns die erstere durch Anwenden von: H EB Aul die Achse des reien in auf die drei oberen Knoten der Nr. 26 Ebenen durch Modells — der späteren Achse des B, — schneiden dann in einer Curve mit Doppelpunkt und nach oben gerichteter Schleife. Zieht sich diese zum Rückkehrpunkt zusammen, so hat man den B, des Modells Nr. 11. Der B, mit imaginären Ebenen entsteht also durch Zusam- menziehen einer Oeffnung und Verschwinden eines paaren welches nur im: erzeugten ‚C, mit den übrigen Stückes, Flächentheilen zusammenhängt. S Unter Benutzung einer IV‘ hätten dieselben Schnitte Curven mit — — S> &Z S isolirtem Punkte ergeben, dessen Herabrücken auf die Curve zum näm- lichen Resultat geführt hätte: Die Flächen IV und IV‘ mit C, sind also 13; durch die Aenderung durch die biplanare Form ineimander überführbar. 26 Unser Modell stellt übrigens nicht die allgemeinste Art dar, unter- scheidet sich im Aussehen jedoch durch nichts Wesentliches von ihr. 365 Wir haben eine Fläche mit osculirendem Kegel!) vor uns, dessen Spitze Punkt, der unendlich ferne Punkt der Achse ist. Die Hesse’sche ist in den yaden Hesse’schen Kegel des genannten und der Ebene seiner Berührungs-Curve nicht zerfallen. Die parabolische Curve zerfällt in diese Curve dritter Ordnung, zwei mit dem B, als isolirten Doppelpunkt, und eine andere neunter Ordnung. Beide haben die reellen Geraden zu Asymptoten. Die Zoone, welche , IM diese Geraden enthält, ist. hyperbolisch, die andere elliptisch gekrümmt. yade, Hier ist auch der Ort zur Betrachtung der Rotationsflächen, da diese yoli- als diejenigen Flächen definirt werden können, welche zwei conjugirt ima- ginäre Punkte des Kugelkreises zu B, haben.?) Die reelle Verbindungs- linie dieser Punkte ist dann die unendlich ferne Gerade der Asymptoten- ebene. Alle diese Flächen sind natürlich IV, V oder die angrenzenden mit Knoten. Sie entstehen aus den symmetrisch gebildeten der bezeich- neten Arten, wenn man das Dreieck der reellen Geraden unendlich gross werden lässt, wobei dann seine Ebene zur Asymptotenebene wird, während jeg( seine Seiten in der unendlich fernen Geraden dieser Ebene sich vereinigen, yart DL 9:8017. en *) Siehe eine Note des $. 12. be- HEI 24 $ 7 R m. Die Flächen mit einem B,.') drei Die Achse des Knotens liegt jetzt auf der Fläche, welche längs auf dieser Geraden eine constante Tangentialebene hat. Dieselbe ist dreifach zählende Pentaederebene, die Doppelebene ist, wie beim D,, die vierte gend Nanl harmonische zu jener und den Ebenen des Knotens. e15i Ausser der Achse wird die Fläche noch von jeder der singulären Ebenen, welche wiederum reell oder imaginär sein können, in zwei Nr & Strahlen getroffen. ÄCil Sl Das Modell 12 zeigt einen B, mit reellen Ebenen. In Folge des Vorhandenseins von zwei weiteren C, berührt jede der Ebenen längs den naare (blauen) Verbindungslinien des B, mit jedem C,. Eine Auflösung eines C, durch + oder — führt die durch ihn gehende Gerade bezw. in zwei reelle oder imaginäre über. und Bei Nr. 13 sind die singulären Ebenen imaginär. Die Fläche hat Tader ebenfalls zwei C, auf den rothen Geraden. Sie müssen imaginär sein, ihr Auftreten macht sich aber durch die feste Tangentialebene, welche die Fläche ersichtlich längs der rothen Geraden besitzt, bemerkbar. Die Linie, in welche diese Ebene ausserdem noch schneidet, ist unendlich fern. Die grüne Linie ist bei beiden Modellen die Achse. Ein B, kann durch Vereinigung zweier C, erzeugt werden, deren Verbindungslinie hierbei Zur Achse wird. Dieser Prozess geht unter Annahme reeller Ebenen folgendermassen vor sich. Man denke sich am Modell Nr. 2 durch eine schräge rothe Ge- rade die Syinmetrieebene gelegt. Diese schneidet ausserdem noch in einer Ellipse, welche durch die C, auf .der gewählten Geraden geht und diese Punkte fallen zusammen, wenn man die Ellipse derart — nach oben — ver- näm schiebt, dass sie die Gerade berührt. Sofort hat man dann Nr. 12. gefı Behufs Ableitung des B, aus dem B 8 146 nehme man als solchen: (516, 513). f Ba Der Symmetrieschnitt hat dann eine Form, wie sie die stark ausgezogene Curve in neben- stehender Figur zeigt. Vereinigt sich die Kuppe mit K mit der Spitze, welches durch Zuziehen von 416 Pı geschieht, so hat man den B,, die Schnitteurve mit Ka Spitze ist in einem Kegelschnitt mit Tangente zer- lic fallen. 1) 8. 14. M S} G L 25 Auf einer Fläche ohne Singularitäten tritt also ein B, mit reellen Ebenen durch das gleichzeitige Zuziehen dreier Oeffnungen: (416, 516, 513) e längs auf. dreifach Eine solche Reihe von Oeffnungen, in der jede der fol- 6 vierte genden benachbart ist, soll.in Zukunft eine „Kette“ ge- nannt werden. Ist insbesondere die letzte Oeffnung der gulären erstenbenachbart, so mögedie Kette „geschlossen“ heissen. In ZWei Die parabolische Curve besteht auf unserem Modell, wie bei Nr. 2 aus Kanten des früheren Tetraeders, von denen jetzt drei in der Achse vereinigt sind. Die Krümmung ist, mit Ausnahme des elliptischen Ige des s den paaren Stückes, überall hyperbolisch. ß z eines Beim alleinigen Auftreten des B, in ZWei (416, 516, 518) und völlig reellem Liniensystem haben wir folgende Vertheilung der Ge- e hat . raden.!) ' SEl Es liegen: welche In der Achse: - 9% , Die 1, 46, J 6; 4y 43, 53; ı fern, in den vier Knotenstrahlen: 41 3 94 61 ‚eugt 6, K< I y 42, 525 4% 3 4, 16; 13. d nasseH Diese Linien sind also jetzt wieder gleichartig gebildet. he GE Einfach sind nur noch: einer 12, 45, 365 K 2 ählten Sieben Ovale der parabolischen Curve sind in die Achse gerückt, mmel, nämlich zu den vier bereits im B, vereinigten sind die zwei weiteren: — vel- 26 ıf hat 13, 56, 24; 15 43, getreten, und ein siebentes: m B„ 12 46, ist zur Achse selbst geworden. Dann gibt es zwei: "orm, 14, 25, 36 und 13, 26, 45 eben- mit Doppelpunkt im Knoten, welche zusammen eine Curve mit vierfachem uppe Punkt bilden. Sie werden von je zwei, in verschiedenen Ebenen liegenden , 416 Knotenstrahlen und ausserdem von einer unären Geraden berührt. End- e mit lich existirt noch ein eigentliches Oval: d gel- 36. EL 12, 9, _1) Vergl. di; Vertheilung beim Bz3. A (f‚«u.»„ 26 Nur das Ueberschreiten der Ovale, nicht das der Achse, bringt eine Stral Aenderung der Krümmung hervor, da die Achse als paarer Zug doppelt holise gerechnet werden muss. dung‘ Denkt man sich die vorliegende Fläche aus Nr. 12 abgeleitet, so Ellip verläuft die Curve mit vierfachem Punkt wesentlich horizontal und be- grenzt eine schmale Zoone, welche insbesondere auf dem früher paaren Stück die elliptischen Theile von den durch Auffösung des Knotens hyper- OTZE) bolisch gewordenen trennt. Das eigentliche Oval ist —, wie bei der ' Diagonalfläche — ein unendlich ferner isolirter Punkt. Zur Ableitung des B, mit imaginären Ebenen aus zwei C, hat man zunächst die heiden unbetheiligten Knoten — zu denen passend wieder zwei obere des Modells 2 gewählt werden — durch „Trennen“ auf- zulösen. Die Ellipse des zu benützenden Symmetrieschnittes kann dann im | ebenfalls durch Verschiebung, aber nach unten, zur Berührung mit der Geraden gebracht werden, wodurch der Knoten der Nr. 13 entsteht. Also: Ein B, mit imaginären Ebenen entsteht durch Zu- in ziehen von zwei Oeffnungen, welche einer und derselben dritten benachbart sind, und Verschwinden eines nur in den erzeugten C 2 mit _ den übrigen Flächentheilen ZuU> wäl sammenhängenden paaren Stücks. Der Vorgang ist demjenigen der Bildung des B, und C, mit imaginären Berührungskegeln also ganz ein analog. Um die abgebildete Fläche vollkommen in die durch Nr. 13 darge- stellte überzuführen, hat man nur nöthig, die beiden sich durch die Oeff- nung erstreckenden unären Geraden zu vereinigen und die dritte in’s Un- endliche rücken zu lassen. hil Der B, bildet den Uebergang zwischen Flächen mit 2 reellen und VOl Letztere erhalten wir durch weitere solchen mit 2 imaginären Knoten. N6 Verschiebung des Kegelschnitts im benutzten Querschnitt. As Die Entstehung der vorliegenden Singularität aus dem B, mit ima- ginären Ebenen, ist nach dem auf pag. 24. Auseinandergesetzten wohl leicht genug einzusehen. 8. 8 Die Flächen mit einem B,. dl ( Diese Singularität zeigt das Modell Nr. 14. Die eine Ebene des ( Knotens berührt längs der (grünen) Achse und zählt als Pentaederebene N fünffach. !) Die andere schneidet ausser in der Achse noch in zwei 1) 8 15. 166 27 % eine Strahlen, welche in Folge des beigefügten C, vereinigt liegen. Die para- Oppelt bolische Curve besteht aus der vierfachen Achse, der fünffachen Verbin- dungslinie der Knoten und einer Raumcurve dritter Ordnung (cubische el 80 Ellipse). d he- Der Knoten kann durch Zuziehen der Kette: 9- Daaren (164, 165, 135 JI hyper- el der erzeugt werden und ist aequivalent: B, + C,=(164, 165) + 435. wei ( ) Assend Es liegen dann in der Achse: J r )“ aul 1, 46, 6, 2 43, 35, 4, 9 16, 13; damn im Strahle der osculirenden Ebene: it der € 9 42, 5 4y 6‘ 12; steht, Zu in den beiden Strahlen der nicht osculirenden Ebene: Iben ()7 41, 51, 9 45, r ın -& 4% 9, 23, 26, 1 Zu während 36 und 2 einfach sind. ngen Auf der Achse liegt ausser den 7 Ovalen beim Auftreten des B, Sanı ein achtes: 13, 26, 45 ange- Zwei weitere Ovale: - Oe‘fl'- 1A, 25, 36 und. 12; 4 9, 36 Un bilden eine Schleife mit Doppelpunkt im Knoten. Jedes derselben wird von dem Strahl in der berührenden Ebene, einem, hierdurch ausgezeich- und ifere neten, der. schneidenden Ebene und der einfachen Geraden mit reellen Asymptotenpunkten berührt. IM& yohl S39 Die Flächen mit einem B,. Die eine Ebene des Knotens osculirt, sie ist noch fünffache Ebene des Pentaeders, nur dass dessen Ecken jetzt unbestimmt geworden sind.*) Das Modell 16 zeigt neben dem B, noch einen C,. Die parabolische Curve besteht aus der (grünen) Achse und der (rothen) Verbindungslinien des der Knoten. Jede dieser Geraden zählt sechsfach. Nur das Ueber- eN6 schreiten des Knotens ändert demnach die Krümmung, welche auf dem ‚wel vorhandenen paaren Theil elliptisch, sonst überall hyperbolisch ist. ') $ 15 ST L 28 Der Knoten entsteht aus der Kette hestel (416 516 54 543, 542) padl und ist aequivalent agl B, + B 416 516) + (543, 549) ral B.+C (416 516 313) 4 542 3C, = 416 + 513 + 542 teres geN Diese drei conischen Knoten gehören einer I an.') Die Nal Knoten werden nicht gleichartig vereinigt, denn nur bei führt zweien wirdeine benachbarte Oeffnung zusammengezogen die Verbindungslinie dieser beiden wird zur Achse der Die Vertheilung der Geraden ist die folgende Es liegen In der Achse der gele 2 ” 12 4A6 56, 24 4385 4, 16 1334 4 &y el in den beiden Knotenstrahlen der schneidenden Ebene L } en 6, 41 9, 45, I 6 Zuz 4/ 54 2 3 3, 26 41° 2 sch Alle Linien gehen zwar durch den Knoten, aber das Oval der para- sel bolischen Curve här 14 36, 4 2 — ein Kegelschnitt — ist noch geblieben Ausser diesem und der Achse findet man noch eine imaginäre Curve vierter Ordnung 8. 10 Die Flächen mit uniplanaren Punkten IM Je Diese Flächen verhalten sich in der Nähe der Singularität wie eine de Doppelebene. Je nachdem dieselbe in drei getrennten Strahlen schneidet Ne oder längs einem berührt oder endlich osculirt, hat. man bezw. einen U, Wa U, oder U, vor sich Eine willkürlich durch den Knoten gelegte Ebene SOt schneidet stets in einer Curve mit Spitze Die Modelle 16 und 17 zeigen die Singularität U, dessen Ebene st bezw in drei reellen Strahlen oder in einem reellen Strahl schneidet Solche Linien zählen achtfach ?), es sind also ausser ihnen nur noch drei einfache vorhanden Diese werden von den festen Tangentenebenen an den Knotenstrahlen ausgeschnitten Während bei der allgemeinsten Art V der vorliegenden Flächen, die Hesse’sche aus einem Kegel zweiten Grades mit dem Knoten als Spitze und der doppelt zählenden singulären Ebene ET Ag 1) Vergl dle Bildung des Ug im folgenden 8, ?) Vergl. die Bildung des Ug aus dem Bg in diesem $ pag. 30. N tü Z 29 ist bei den modellirten jener Kegel ausserdem in ein Ebenen- besteht !), Bei 16 ist dieses Ebenenpaar paar zerfallen; es sind Tetraederflächen.”) imaginär, bei 17 reell. Die parabolische Curve besteht im Allgemeinen aus den Knoten- strahlen und einer Curve sechster Ordnung, einem Oval. Auf 16 ist letz- teres ein isolirter Punkt, in dem sich die unären Geraden kreuzen; durch ') Die geringe Deformation, welche die reelle Doppelgerade des genannten ima- r hei ginären Ebenenpaars in einen — zunächst sehr spitzen — Kegel über- führt, gewinnt man das eigentliche Oval. |'rg*@g1; Nr. 17 zeigt zwei eigentliche Curven dritter Ordnung, zur Ableitung der allgemeinen Curve sechster Ordnung hat man den Doppelpunkt auf der unären Geraden so aufzulösen, dass diese Gerade einen der hervor- gehenden Curvenzweige berührt. Der U mit drei reellen Knotenstrahlen entsteht auf 6 einer Fläche ohne Singularitäten entweder durch Zuziehen einer Oeffnung mit den drei ihr benachbarten; oder durch Zuziehen von drei nicht aufeinanderfolgenden einer Ze- schlossenen Kette von sechsen, und darauf folgendes Ver- schwinden eines nur mit den ( 2 zusammen- pard- gewonnenen hängenden paaren Stücks. Die Oeffnungen : 165 chse 135 A 435 132 bilden eine Gruppe, wie sie die erstgenannte Erzeugungsart voraussetzt. Je zwei benachbarte sind durch Striche verbunden. Das Zuziehen der der drei äusseren liefert nach pag. 6 dieser Arbeit zunächst eine I‘ J Nehmen wir als solche das Modell 83) und lassen die Knoten zusammen- let, wachsen, was offenbar dem Zuziehen von 135 entspricht, so haben wir U sofort den U, auf Nr. 16. en6 Also: Durch Vereinigung der 3 Knoten einer ]‘ ent- Steht eın O.. N6 Eine Kette, wie sie die zweite Entstehungsart verlangt ist: e (146, 346, 326, 526, 524, 124). fel al Die erste, dritte, fünfte Oeffnung gehören den drei oberen Knoten von Nr. 2 an? Ein Auflösen des unteren Knotens durch „Trennen“ f 68 1) 8. 19. n6 ?) 8. 18. 3) Nr. 7 und die Diagonalfläche lassen sich natürlich ebenfalls benutzen, die Fläche erscheint dann von der andern Seite gesehen, von welcher sich die Gestal- tung der singulären Stelle jedoch weniger gut ausnimmt, / C / Da C KL 30 liefert den geforderten paaren Theil, dessen Verschwinden, durch Ver- herY einigung der Knoten, ebenfalls Nr. 16 hervorgehen lässt. B d Solche drei Knoten können aber nach dem vorigen $. auch auf he HET einen B, führen, wenn man ihre Vereinigung durch Zuziehen von zwei 1Un Oeffnungen der Kette bewirkt. Bei der oben benutzten Kette erstrecken sch sich jedoch die Oeffnungen, nämlich: 16 346, 526, 124 Mod durch’s Unendliche, wir benutzen daher, um beide Derivationen neben \ Z einander zu haben, besser die Kette: die 142. 416, 516, 513, 543, 542, liche Eine Vereinigung der Knoten: die 1681 go 416, 513, 542 schi führt auf einen U,, wenn man die Oeffnung 362 beseitigt und das sich Weı darbietende paare Stück verschwinden lässt. SS Die fünf ersten Oeffnungen bilden aber auch die Kette des im vorigen $. betrachteten B;, durch welche Bemerkung mit Rücksicht auf he 6i das dort Gesagte, dann der Unterschied in der Erzeugung der Singulari- l täten U, und B, klar hervortritt. frül Um den U; aus der Vereinigung der Ebenen eines B, abzuleiten, nehmen wir das Modell 10 zur Hand und denken uns durch die grosse Enl Achse der Basisellipse den Symmetrieschnitt gelegt. Eine Vereinigung der en Spitze mit den beiden unteren Zweigen der Schnitteurve bewirkt deren Sol Zerfallen in drei Gerade, die Symmetrieebene ist singuläre Ebene eines N M entstandenen U,. Je zwei Gerade verschiedener Ebenen haben sich mit IMı noch zwei einfachen, zum achtfach zählenden Strahl vereinigt. Die noch A einfach bleibenden sind unendlich fern. Setzt man die Deformation noch for weiter fort, so lösen sich zwei Curvenzweige in einer der früheren ent- frü gegengesetzten Weise wieder ab, die beiden Seitenflügel zeigen im End- lichen keinen Zusammenhang mit dem unteren, jetzt kegelförmigen Theil, M auf dem die nach oben zeigende Spitze sich befindet. Wir haben einen bo B, mit imaginären Ebenen vor uns. Zur Ableitung des U, aus dem DB, stellen wir einen solchen aus der Kette: 165, 135, 435 her und ziehen dann 132 zusammen. Aber dieser Vorgang ist mit einem €& nicht der Vereinigung des B, 2 gleich zu ach- ten; denn getrennt können wir diese Singularitäten aus den uns zur Ver- fügung stehenden Oeffnungen nicht bilden, da 132 — welche doch den C, liefern müsste — der bereits im B, zugezogenen 135 benachbart ist. ül Ein U,,dessen Ebene nur einen reellen Strahl enthält, kann aus der Vereinigung von zwei imaginären Knoten mit einem reellen LD 31 h Ver: hervorgehen. Wir denken uns daher der Anschaulichkeit wegen einen B, aus zwei imaginären Knoten gewonnen *), und zeigen: Der U, geht ch auf hervor durch Zuziehen einer, dem B, benachbarten Oeff- l ZWei W£B D dessen Ebenen imaginär, oder durch Ver- nung, yecken schwinden eines am B, liegenden paaren Stücks, wenn diese Ebenen reell sind. Um die Singularität in ersterer Weise herzustellen, löse man am neben Modell 13 durch Ueberführung der rothen Linie in einem unpaaren Cur- venzug die auf ihr liegenden imaginären Knoten auf.. Dadurch ist dann die zerfallende Curve des betreffenden Symmetrieschnittes in eine eigent- Wird liche Curve dritter Ordnung mit isolirtem Punkte übergegangen. dieser in Folge Zuziehens der elliptischen Oeffnung, zum Rückkehrpunkt, Die Ver- so hat. man den auf Nr. 17 dargestellten Knoten gewONNEN. schiedenheit im Aussehen der Flächen wird beseitigt, wenn man den 3 sich Wendepunkt des Symmetrieschnitts von Nr. 17 in’s Unendliche rücken lässt. — 8 IM Die zweite Entstehungsart geht hervor, wenn man an Nr. 12 die f auf beiden Knoten durch „Trennen“ auflöst und den paaren 'Theil verschwinden nları- lässt. Eine Drehung der unären Geraden, durch welche sie parallel der früheren Achse wird, liefert die Form 17. eiten, Wie die vorliegende Singularität aus dem B, mit imaginären Ebenen 10880 entspringt, ist leicht zu sehen, wenn man am Modell 11 durch die Achse g der einen Schnitt, am besten. senkrecht zu einer Symmetrieebene, legt. Kin deren solcher zeigt eine symmetrische Curve mit — nach oben gerichteter — eineS Spitze. Lässt man die beiden Zweige zu beiden Seiten dieser Spitze ı mit immer flacher werden, so geht die Curve schliesslich in eine Gerade über noch und. in diesem Augenblick hat man den U,;. KEine Fortsetzung der De- noch formation lässt die Spitze wieder erscheinen, aber ihre Richtung ist der ent- früheren entgegengesetzt, die Ebenen des B, sind reell geworden. Wir wenden uns zum U,. Die Ebene dieses Knotens berührt die Fad- Das Oval der 'neil, Fläche und ebenso den Kegel der Hesse’schen. para- jnen bolischen Curve hat eine Spitze erhalten. Der U, entsteht durch Zuziehen von: s 165 | 135 180 435 132 ch Yer- 632 1G Eine Bildung aus niederen Singularitäten dürfte nach den gegebenen Entwickelungen für den U, nicht mehr mit Schwierigkeiten verbunden sein. älf, ME E ET Jlen ') Vergl. pag. 26 des Vorliegenden. ; )‘ LE 32 Wir unterdrücken sie desshalb und beschränken uns auf die Darlegung der Ueberleitung der beiden Arten von U, ineinander, bei welcher der U, 7 en i zu passiren jst. Il Stellt man das Modell 16 so, dass der Sym- \1 Pı metrieschnitt die Lage der Curve 1 in neben- E Z stehender Figur hat und lässt diese Curve successive N K< die Form der punktirten Linie annehmen, so ent- V steht schliesslich ein Kegelschnitt mit Tangente, die Curve 2. Dann hat man das Modell 18 mit b dem feinen nadelförmigen Theil zur Linken. Durch A N d weitere Deformation trennt sich ein Theil der Curve l wieder ab, die Spitze erscheint von neuem, zeigt aber nach links (Curve 3); man hat Nr. 17. T Osculirt endlich die Ebene des Knotens, so liegt ein U, vor, wie er auf dem Modell Nr. 19 zur Anschauung gebracht ist. Die mit dieser d 1n Singularität begabte Fläche ist stets Tetraederfläche, die Hesse’sche be- steht aus der dreifachen Ebene des Knotens und einer vierten durch den- selben Punkt. Die parabolische Curve zerfällt in den zehnfachen 8 Knotenstrahl und eine Ellipse. Der U, entsteht durch Zuziehen von: d 165 R 135 435 132 Sl 425 632 S und danach mag man sich auch seine Bildung aus niederen Singularitäten ableiten. Ein weiteres Zuziehen von 164 würde im Allgemeinen einen %, liefern, im vorliegenden Falle einer Fläche dritter Ordnung jedoch ihre ] Ausartung in eine dreifache Ebene herbeiführen. N S11 Die Regelflächen. Die allgemeine Regelfläche dritter Ordnung ist bekanntlich der Ort der Verbindungslinien entsprechender Punkte eines geraden Gebildes w Auf 20 und 21 ist u und eines ihm projectivischen Kegelschnitts K.'!) die grüne Linie, X der eingezeichnete Kegelschnitt. Y ÜE ET Z 1) Vergl. 7 B. Reye, »Geometrie der Lage«, 2te Auflage, pag. 1;79 oder Fiedler, »Darstellende Geometrie«, 2te Auflage, pag. 434, auch $. 18 meiner Arbeit. LLr 33 gng Jede durch w gelegte Ebene schneidet den Kegelschnitt zweimal, D, enthält also zwei Erzeugende. Die sämmtlichen Schnittpunkte bilden eine Doppelgerade der Fläche, welche den Kegelschnitt schneidet. Je nachdem Sym- nun die sämmtlichen Ebenen des Büschels w den. Kegelschnitt in reellen Punkten schneiden (Modell 20) oder dies nur für die Ebenen eines‘ Winkel- ehen- SSIVE 1 raums der Fall ist (Modell 21), welcher von zwei Tangentenebenen des ent- Kegelschnitts begrenzt ist, ist die Doppelgerade völlig oder nur auf einer ente, von zwei U, begrenzten Strecke von reellen Flächentheilen umgeben. Die mit beiden durch die U, gehenden Grenzerzeugenden sind roth gezeichnet. Die Abweichung in der Form, welche die Theile des Modells 21 in rch ULVE der Nähe eines U, gegenüber Nr. 18 zeigt, erweist sich als unwesent- 63); lich, wenn man sich die Nadel des letzteren Modells durch den isolirten Theil der Doppelgeraden ersetzt denkt. WE Alle Regelflächen sind Tetraederflächen, die Hesse’sche besteht aus den doppeltzählenden singulären Ebenen der beiden U,, sind also bei 20 16SET ; he imaginär. Die parabolische Curve setzt sich aus der achtfachen Doppelgeraden und den beiden doppeltzählenden Grenzerzeugenden zn- den chen sammen, die Krümmung ist also überall die nämliche: hyperbolisch. Schneidet das gerade Gebilde u den Kegelschnitt, so liegt es mit der Doppelgeraden vereinigt, man hat den Specialfall der Cayley’schen Regelfläche. Auch die U, und ihre Ebenen haben sich vereinigt und die Fläche verhält sich hier, wie ein U, 8 Das Modell 22 zeigt den Kegelschnitt im Endlichen, der U, ist un- endlich fern. Verschiebt man die Ebene des Kegelschnitts parallel mit sich selbst, so wird die Schleife der Schnitteurve kleiner und kleiner, um schliesslich im Unendlichen sich zum Rückkehrpunkte zusammenzuziehen. A{n Das Modell wurde zur Vermittelung des Uebergangs von Nr. 20 ange- fertigt. Nr. 23 zeigt umgekehrt den U; im Endlichen und der Kegel- schnitt ist unendlich fern. Die beiden Gestalten sind durch Collineation hre ineinander überführbar. Die Hesse’sche Fläche ist die vierfache singuläre Ebene, die para- bolische Curve die zwölffach zählende Doppelgerade. DA Ar Orf Berichtigung. g U f U Auf Seite 5 Zeile 18 von oben ist nach dem Worte »Prozesses« ein + ein- zuschalten. ler, F » v Fo lin hal Pa he 68 (1(] W el Z E „.':/ 2 Modell zur Fadenconstruction des Ellipsoids aus seinen beiden Focaleurven. Von Dr. O. Staude. SE Das Modell stellt die beiden Focalcurven eines Ellipsoids dar, die Focalellipse und die Focalhyperbel; beide sind durch ein gerad- liniges Drahtstück verbunden, um in der richtigen Lage zu einander er- halten. zu werden. In dem einen Brennpunet (g,) der Focalellipse ist das eine, in dem entgegengesetzten Brennpunkt (h,) der Focalhyperbel das andere ß DE Ende eines Fadens befestigt; zwi- // schen den beiden Befestigungspunk- „‘l ten ist aber der Faden in bestimm- I ND ter Weise um die Combination der hf— 2 beiden Focaleurven geschlungen. 2 X Wenn er nämlich durch das Häk- SE chen gespannt wird und der span- nende Punkt P etwa oberhalb der Ebene der Focalellipse und vorder Ebene der Focal- hyperbel liegt, so MUuss der Faden bei g. von unten her um die Focalellipse und bei h% von hinten her über die Focalhyperbel herumlaufen. Wenn dann das Häkchen, indem es den Faden beständig spannt, innerhalb des Raumtheiles oberhalb der Ebene der Focalellipse und vor der Ebene der Focalhyperbel bewegt wird, wobei der Faden fortwährend sowohl über die Focal- ellipse (an einer variabeln Stelle g) ALs auch über die Focal- &, / hyperbel (an einer variabeln Stelle A) frei gleitet, so beschreibt der spannende Punet P ein Viertheil eines Ellipsoids, Mehr als dieses Viertheil kann bei der einmal gewählten Befestigung des Fadens nicht construirt werden; zur Construction eines andern Vier- theils würde man zwar dieselben Befestigungspunkte (g, und h,) des Fadens wieder benutzen können, müsse aber eine neue Orientirung des Fadens mit Bezug auf die beiden Focalcurven eintreten lassen. Fällt der spannende Punkt P in die Ebene der Foc älellipse, so fällt der Gleitpunkt % nach g,, und P bhbeschreibt den Hauptschnitt des M Ellipsoids, der die Brennpunkte g, und g, besitzt. Fällt der IW spannende Punkt P in die Ebene der Focalhyperbel, so fällt der Gleit- punkt g nach %, und P beschreibt den Hauptschnitt des Ellip- soids, der die Brennpunkte h, und h, besitzt. Die Länge des Fadens ist gleich der Länge der grössten Axe des zu construirenden Ellipsoids, vermehrt um die Differenz (h, g,) der Excentrieitäten der beiden Focalkegelschnitte. Der Beweis der Fadenconstruetion findet sich in den Mathematischen Annalen Bd. XX, S. 183. gesp um ein TE N her der Aur her 5 an eg $ 26ig ange Wei Sich S08l des Thei den beid Lag( “\?‘;r U Öines S Z „7 /’/ bt der tigung . Vier- ad h,) irung ıfreten o fällt f des I der Modell zur Fadenconstruction des Ellipsoids aus Gleit- zwei gegebenen confocalen Flächen zweiten Grades. llip Von n Axe Dr. O. Staude. 1} der jschen Das Modell soll zur Veranschaulichung der in folgendem Satze aus- gesprochenen Construction des Ellipsoids dienen: „Wenn ein geschlossener unausdehnbarer Faden, der um die Combination zweier gegebener confocaler Flächen, eines Ellipsoids und eines einschaligen Hyperboloids, herumgeschlungen ist, durch einen beweglichen Punkt P derart gespannt wird, dass er beständig jeden der beiden durch das Ellipsoid getrennten Theile des Hyperboloids berührt (sei es in einem Punkte oder sei es längs eines ganzen Curvenzuges), so beschreibt der Punkt P ein den gegebenen Flächen confocales Ellipsoid.“ Das Modell stellt die beiden gegebenen confocalen Flächen dar und zeigt zwei characteristische Lagen, welche der geschlossene Faden bei der angegebenen Construction annehmen kann und welche auf verschiedene Weise den Bedingungen des Satzes genügen: der eine (rothe), indem er sich je längs eines Stückes der Durchdringungsecurve der gegebenen Flächen an die beiden durch das Ellipsoid geschiedenen Theile des Hyperboloids anschmiegt, der andere (gelbe), indem er den einen Theil ebenfalls längs eines Stückes der Durchdringungseurve, den andern Theil nur in einem Punkte berührt. Welchem von den beiden im Modell dargestellten Typen im Allgemeinen die verschiedenen Lagen des Fadens bei der Construction entsprechen, hängt in folgender Weise von der augenblicklichen Lage des spannenden Punktes P im Raume ausserhalb der gegebenen Flächen ab. Zu jedem Punkte P dieses Raumes gehören 2 Gleichgewichtslagen eines geschlossenen Fadens, die den Bedingungen der obigen Construetion T _ n Z genügen. Die geradlinigen Stücke des Fadens bei diesen beiden Gleich- gewichtslagen sind bezeichnet durch die 4 vom Punkte P nach ‚dem. ge- gebenen Ellipsoid hinlaufenden gemeinsamen Tangenten des letz- teren und des Hyperboloids, welche paarweise über’s Kreuz zu- sammengehören. Verfolgt man nun zwei zusammengehörige dieser "T’angenten vom Punkte P aus gegen ihren Berührungspunkt mit dem gegebenen Ellipsoid hin, so ergeben sich folgende zwei Möglichkeiten: Entweder berühren beide Tangenten zuerst das Ellipsoid, wie die beiden geradlinigen Stücke des rothen Fadens (die Berührungs- punkte mit dem Hyperboloid würden erst zum Vorschein kommen, wenn die geradlinigen Stücke des rothen Fadens über ihren Berührungspunkt mit dem Ellipsoid geradlinig fortgesetzt würden); oder es berührt die eine zuerst das Ellipsoid, die andre zuerst das Hyperboloid, wie die beiden geradlinigen Stücke des gelben Fadens. Nach einem bekannten Satze berührt nun jede gemeinsame gerad- linige Tangente des gegebenen Ellipsoids und Hyperboloids in ihrem Berührungspunkt mit dem Ellipsoid eine geodätische Linie auf diesem, die ihrerseits wieder bei hinreichender Verlängerung die Durch- dringungscurve der beiden Flächen berührt. Längs einer solchen geodätischen Linie setzt sich jedesmal ein geradliniges Fadenstück auf dem Ellipsoid bis zur Durchdringungscurve fort. Berühren die beiden geradlinigen Fadenstücke, wie bei dem rothen Faden, beide zuerst das Ellipsoid, so laufen ihre geodätischen Fortsetzungen in versc hiedene Zweige der Durchdringungscurve hinein und müssen, damit ein geschlos- sener Weg herauskommt, die beiden in der Durchdringungscurve liegenden Fadenstücke noch durch ein als geodätische Linie von einem Zweige zum andern laufendes Fadenstück verbunden werden. Berührt dagegen eines der beiden geradlinigen Fadenstücke zuerst das Hyperboloid und wird alsdann geradlinig bis zur Berührung mit dem Ellipsoid weitergeführt, so laufen die geodätischen Fortsetzungen auf dem Ellipsoid in denselben Zweig der Durchdringungseurve hinein und werden durch ein in diesem Beide Fälle bringt das Modell Zweig verlaufendes Fadenstück vereinigt. zur Anschauung. Weitere Ausführungen zur Theorie der Fadenconstruction des Ellip- soides findet man in den Mathematischen Annalen Bd. XX, 8. 147 ff. RE a DB /// /;>/’%8/ ıeich M g6- letz Z ZU- OM 1psoid 01d, ungS WEND punkt ndre G e de N erad- ihrem 6SEM, rch- einer stück eiden ; das lene ‚ıL0S- nden ‚ zum eines wird |‚[_ o Jben ic3‘€‘1]l ‘0(‘[l‘“ allip- DE J P{ La S S Z mnn E —1 Drahfgestelle zur Darstellung von Minimalflächen, (Erläuterung zu Nr. 1 des Nachtrags zum Catalog mathematischer Modelle von L, Brill in Darmstadt.) IET SEA Diese Drahtgestelle dienen zur Erzeugung der schönen Figuren aus Seifenwasserlamellen, die der belgische Physiker Plateau in seinem Werke Statique des liquides, 2 Voll., be- sehrieben und untersucht hat. Taucht man — bei nicht zu niederer Temperatur des Versuchszimmers — die Drahtgestelle in eine Mischung von Seifenwasser und Glycerin, deren Her- stellung unten angegeben .ist, so spannen sich zwischen die Kanten der Gestelle Häute dieser Lösung ein, welche die Form von Minimalflächen annehmen. Nur: wenn ein Raumtheil von Flächen allseitig begrenzt wird, sind dies Flächen von con- stanter mittlerer Krümmung. Man erhält z. B. Rotationsflächen von dieser Eigenschaft, wenn man zwischen die beiden Ringe der Nr. 1)a eine Seifenblase einsetzt, und dann die Ringe coaxial von einander entfernt oder einander ;ähert. Anvweisung zur Herstellung der Seifenlösung. Bei mässiger Wärme löse man einen Gewichtstheil fein zer- theilter Marseiller (Venetianer oder Olivenöl-) Seife in 40 Gewichts- theilen destillirten Wassers auf, lasse diese Lösung erkalten, filtrire sie durch feinporiges Löschpapier, menge in 3 Voll. dieser Flüssigkeit 1 Vol. chemisch reinen Glycerins, filtrire nach 24 Stunden wieder und setze dann noch 1 Vol. Glycerin ZU, Die etwa sich ansammelnde trübe obere Schicht beseitigt man am besten dadurch, dass man die helle Flüssigkeit unter derselben mittelst eines Hebers herauszieht. Die Blasen dieser Flüssigkeit halten sich Stunden ‚und Tage lang. RE M Abüruck ) 4 Bei Gele angefertigtes Die darg allseitig hepr metrie herrse nerschen F1 diesen Anford Coordinaten i Die dre Fläche Selhst Endliche fort 2U nehmend, k Können in ( ZUm "Theil ;' ( Schneid L uu aber, q TEn Schneiden X Schneiden N zusanunmfiall Söndern n 1) Di$ fo MOenen Al Sungen auf q l ÄBeilunc hes ) A, 3 13 7 Modelle von Flächen vierter Ordnung nach Herrn Kummer in Berlin. Abdruck!) aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1863, S. 539. Bei Gelegenheit dieser Mittheilung legte Herr Kummer ein von ihm angefertigies Gipsmodell der Steiner’schen Fläche vor. Die dargestellte specielle Fläche”) ist so gewählt, dass sie eine endliche, allseitig begränzte ist, dass in ihren Theilen die grösstmöglichste Sym- metrie herrscht, und dass alle Haupteigenschaften der allgemeinen Stei- nerschen Fläche an ihr in realer Weise sichtbar hervortreten. Allen diesen Anforderungen genügt die Fläche, deren Gleichung in rechtwinkligen Coordinaten y7a? + e?a? + a?y— 2c2y8E=0 ist Die drei graden Doppellinien, welche hier nur zum Theil auf der Fläche selbst liegen, und als isolirte Linien sich alsdann weiter in’s Un- endliche fortsetzen, stehen auf einander senkrecht, und die auf denselben zu nehmenden Längen, welche als Axen der Fläche bezeichnet werden können, sind einander gleich. Die Fläche ist zum 'Theil convex-convex, zum 'Theil convex-concaVv. Die Tangentialebenen an die ersteren Theile schneiden nur je zwei imaginäre Kegelschnitte aus, die Tangentialebenen aber, deren Berührungspunkte in den convex-concaven Theilen liegen, schneiden reale Kegelschnittpaare aus. Vier besondere Tangentialebenen schneiden solche Kegelschnittpaare aus, welche in einen Kegelschnitt zusammenfallen und berühren die Fläche nicht blos in einem Punkte, sondern in diesen Kegelschnitten, als singuläre Tangentialebenen und 1) Die folgenden mit gütiger Erlaubniss des Herrn Verfassers' unverändert ent- nommenen Abdrücke hat die Verlagshandlung mit in Klammern gesetzten Hinwei- sungen auf die Nummern der neunten Serie ihrer Modelle, welche die in diesen Mit- theilungen beschriebenen Modelle umfasst, zu begleiten sich erlaubt. ?) [Nr. 3 der neunten Serie der Verlagshandlung.] P 2 EFE ihre Berührungs-Kegelschnitte, welche in dem vorliegenden speeciellen lich Falle Kreise sind, scheiden zugleich die convex-conyexen 'Theile der läre Fläche von den convex-concaven. Endlich ist noch zu bemerken, dass die allgemeinste Steinersche Fläche, welche fünfzehn wesentliche Constanten enthält, aus der in dem Modell dargestellten speciellen Fläche durch collineare Verwandlung erhalten wird. hild lst‚ her Abdruck aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1866, S. 216—220. der (3 Wenn %, Q, , S vier lineare Funktionen und &@ eine Funktion zweiten Grades der Coordinaten %, y, z# bezeichnen, so ist Di m (1.) @— 4ipqrs= 0 ein die Gleichung einer Fläche vierten Grades, für welche die vier Ebenen un p=0, qg=0, r=0, s=0, singuläre Tangentialebenen sind, die diese Ö Fläche in Kegelschnitten berühren. Wenn p, gqg, r, S vier von einander Pı unabhängige lineare Funktionen sind, so bilden diese vier Ebenen ein €l Tetraeder und jede der sechs Kanten dieses Tetraöders schneidet die A Fläche zweiten Grades in zwei Punkten, welche Knotenpunkte der Fläche N vierten Grades sind ; dieselbe hat daher im Allgemeinen zwölf Knotenpunkte. K Lässt man die Fläche @# = 0 durch eißen der vier Eckpunkte dieses ll Tetraöders hindurchgehen, so vereinigen sich drei dieser zwölf Knoten- M punkte in einen, welcher ein uniplanarer Knotenpunkt wird, und wenn man die Fläche @#=0 durch alle vier Eckpunkte des Tetraöders hin- durchgehen lässt, so vereinigen sich viermal drei Knotenpunkte zu je einem uniplanaren und man erhält eine Fläche vierten Grades mit vier (4 uniplanaren Knotenpunkten, deren Gleichung ist: D (2.) (aqgr + bdrp + cpq + dps-+ eqs+frs)?—4)1pnqrs= 0. Die Ebenen der uniplanaren Knotenpunkte sind zugleich Tangential- 8l ebenen der Fläche d =0; eine jede derselben schneidet aus der Fläche al vierten Grades eine Curve vierten Grades aus, welche in dem Knoten- Ml punkte einen dreifachen Punkt hat. M Die von einem jeden der vier Knotenpunkte ausgehenden einhüllenden M u Kegel sechsten Grades bestehen aus den drei durch diesen Knotenpunkt Y gehenden singulären Tangentialebenen und aus einem einhüllenden Kegel dritten Grades. Das Modell 1.‘) zeigt diese Fläche, in welcher die Constanten so ge- ( wählt sind, dass die Knotenpunkte real sind und dass die Fläche mög- AA { 1) [Modell Nr. 5 der neunten Serie der Verlagshandlung.] © /W Ö ///‘ ciellen lichst symmetrisch wird und nicht ins Unendliche geht. Die vier singu- le der lären Tangentialebenen: , däs G z— *k v a stanten SS z— k V durch —zwlc+yV5 S Z LE bilden ein reguläres Tetraöder und da a = b=c=d=e= f=1 gewählt ist, so wird die Fläche #= 0 zu der dem regulären Tetraö@der umschrie- al der benen Kugel; die Constante A ist gleich 2 ; genommen. Die Gleichung der durch das Modell dargestellten Fläche ist daher: == En 0 aktion (3.) (x? + y* + 2? — 834”)* — 4[(@ — k)? — 2zx”] (@ + k)* — 2y Diese Fläche besteht aus sechs congruenten endlichen Theilen, deren jeder in zwei Spitzen ausläuft, je drei dieser zwölf Spitzen vereinigen sich in einem der vier uniplanaren Punkte. Das Modell bringt die einfachste benen und allgemeinste Art der uniplanaren Knotenpunkte zur Anschauung, di 68E nämlich die der zweiten Ordnung, in welchen die Ebene des uniplanaren an nder Punktes aus der Fläche eine Curve ausschneidet, die in diesem Punkte n e einen dreifachen Punkt hat. Wenn die drei durch diesen Punkt gehenden $ die Aeste der Curve alle real sind und in diesem Punkte drei verschiedene Jäche Tangenten haben, so hat ein solcher uniplanarer Knotenpunkt stets die nkte, Eigenschaft, dass in ihm drei verschiedene Theile der Fläche sich ver- Jiese8 einigen, welche in der Nähe des Knotenpunktes nur diesen einen Punkt ‚oten- mit. einander gemein haben. wenn Einen interessanten besonderen Fall der Fläche (2.) erhält man, wenn hin O E d =e=f=[1, und auch _ A = I setzt, also zu J8 yier (4.) (gr +r +2g9-+2s+gs +r 9“ — 4pgrs= 0, Diese Fläche hat ausser den vier uniplanaren Knotenpunkten noch drei gewöhnliche Knotenpunkte mit oseulirenden Kegeln zweiten Grades und sie hat ausser den vier singulären Tangentialebenen noch sechs andere, fial also im Ganzen zehn singuläre Tangentialebenen. Sie kann auch als ein äche specieller Fall der allgemeinen Fläche vierten Grades mit 15 Knoten- fen- punkten angesehen werden, nämlich als der Fall, wo von diesen 15 Knoten- punkten viermal drei sich zu vier uniplanaren Knotenpunkten vereinigen den und drei als gewöhnliche Knotenpunkte bestehen bleiben. Die von den unkt vier uniplanaren Knotenpunkten ausgehenden einhüllenden Kegel sechsten egel Grades bestehen hier jeder aus sechs der zehn singulären Tangential- ebenen, während diese einhüllenden Kegel für jeden der drei gewöhnlichen g Knotenpunkte aus vier singulären Tangentialebenen und einem einhüllen- ögr den Kegel zweiten Grades bestehen. Diese Fläche hat auch, wie ich an einem anderen Orte zeigen werde, die merkwürdige Eigenschaft, dass das * 4 au vollständige System aller ihrer zweifach berührenden Tangenten aus sechs getrennten Strahlensystemen zweiter Ordnung und dritter Klasse besteht. Pın Wenn die Fläche zweiten Grades @ =0 in der Gleichung (1.) eine Weı der sechs Tetraöderkanten berührt, so vereinigen sich in diesem Berüh- (1 rungspunkte zwei Knotenpunkte der Fläche in einen und bilden so einen biplanaren Knotenpunkt. Lässt man die Fläche 9=0 alle sechs el so erhält man eine Fläche vierten Grades Tetraöderkanten berühren, 8 mit sechs biplanaren Punkten, welche durch die Gleichung dar (5.) (2*+ q2+4"2—|—3?'——2qr——2rp-—2pq—2ps»2gs—2rs)2fl4}„pqrs —0 übe dargestellt wird. Wen Die sechs biplanaren Knotenpunkte dieser Fläche liegen so, dass Y= dreimal je vier in eine und dieselbe Ebene fallen, woraus unmittelbar Ka folgt, dass diese drei Ebenen, deren jede vier Knotenpunkte enthält, aus N0C der Fläche vierten Grades Kegelschnittpaare ausschneiden. :si|m' Der von einem jeden der sechs Knotenpunkte ausgehende einhüllende die) Kegel sechsten Grades besteht aus den beiden durch denselben hindurch- auf gehenden singulären Tangentialebenen und aus einem Kegel vierten Grades mit einer Doppelkante, in welcher dieser Kegel sich selbst berührt. Das Modell IL.) zeigt diese Fläche für den besonderen Fall, wo eben- falls die vier singulären Tangentialebenen ein regelmässiges Tetraöder bilden und die Fläche #=0 die alle sechs Kanten desselben berührende Die Grösse 2 hat den besonderen Werth 4 = A 1 erhalten, Kugel ist. für welchen die Fläche in einem endlichen Raume eingeschlossen ist und passende Verhältnisse ihrer Dimensionen erhält. Die Gleichung dieser bestimmten Fläche ist: (6.) (@? + y + 2 —K + @— K? — 207 [(e +D —2907 = 0; sie besteht aus vier besonderen einander congruenten Theilen, deren jeder mit den drei anderen in drei biplanaren Knotenpunkten zusammenhängt. Das Modell bringt eine besondere Art der biplanaren Knotenpunkte zur ZW Anschauung, nämlich diejenigen, in welchen die beiden osculirenden Ebenen real sind und eine beliebige durch die Durchschnittslinie derselben hin- (r durchgehende Ebene eine Curve ausschneidet, welche in diesem Punkte Si sich selbst berührt. Diese Knotenpunkte sind daher nicht als die ein- fachsten und allgemeinsten biplanaren Knotenpunkte anzuschen, weil bei n diesen eine jede solche Ebene eine Curve ausschneidet, welche in dem C Knotenpunkte eine Spitze hat, aber nicht einen Punkt der Selbstberührung. die Die durch die Gleichung (5.) dargestellte allgemeine Fläche vierten Grades mit sechs biplanaren Knotenpunkten enthält als speciellen Fall 1) [Diesem Modell entspricht der in der Abhandlung vom Jahr 1872 (s. unten) S6 M mit I. bezeichnete Typus, Nr. 1 der neunten Serie der Verlagshandlung.] he JSYGE &, sechs auch die Steinersche Fläche‘), welche drei in einem und demselben steht, Punkte sich schneidende Doppelgrade hat, nämlich für den besonderen EINE Werth A = 16. Für diesen Werth ist erüh- einen (7.) (p’+g?+r? 4 s? —2gr—2rp—2ng—2ns—2qs--2rs)—64ngrs=0, sechs welche Gleichung in irrationaler Form durch rades (8.) Vo+VarVr+Vs=0 = 0 dargestellt werden kann, da diese rational gemacht genau mit der anderen übereinstimmt, und die allgemeine Gleichung der Steinerschen Fläche ist, wenn die vier singulären Tangentialebenen derselben als die Ebenen dass Die sechs biplanaren 0 4=0, r1=0) 5=0 gewählt werden: elbar Knotenpunkte der allgemeineren Fläche sind an der Steinerschen Fläche , AUS noch erkennbar vorhanden, sie liegen aber in den drei Doppelgraden und sind. singuläre Punkte von uniplanarer Beschaffenheit geworden; es sind ende diejenigen sechs Punkte, in welchen diese drei Doppelgraden aufhören ırch- auf der Fläche selbst zu liegen und zu isolirten Linien werden. ades e BEK 1 [Nr. 3 der neunten Serie.] hen- öder ende ılten / Abdruck aus den Monatsberichten der Königlich Preussischen Akademie der und Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1872, S. 474—483. Herr Kummer las: Ueber einige besondere Arten von Flächen vierten jeder Grades. ängt Die Flächen vierten Grades, welche von einer Schaar von Flächen ‚ gur zweiten Grades eingehüllt werden, in der Art, dass jede Fläche zweiten ench Grades die Fläche vierten Grades in einer Curve vierten Grades berührt, hin- sind alle in der Form: |[1ka s (P2 —— WX% A(A eiD- ] bei enthalten, wo @, W, % drei beliebige Funktionen zweiten Grades der dem Coordinaten darstellen. Die Schaar der Flächen zweiten Grades, welche diese Fläche vierten Grades einhüllt, ist durch die Gleichung ng ertch « +20+%=0 5 A(B) Fall gegeben, in welcher « der veränderliche Parameter ist. Diese sehr allge- \ meine Art von Flächen vierten Grades, in welcher die meisten der bisher ınfen) besonders behandelten interessanteren Flächen vierten Grades enthalten 6 AA sind, besitzt eine bemerkenswerthe, so viel ich weiss bisher noch nicht ein } bekannte Eigenschaft, welche das System ihrer Doppeltangenten hbetrifft, Diesel und welche darin besteht, dass das Strahlensystem 12. Ordnung und vierte 28, Klasse, welches von sämmtlichen Doppeltangenten der allgemeinen Defini Fläche vierten Grades gebildet wird, für diese besondere Art von Flächen ständi vierten Grades in zwei getrennte Strahlensysteme zerfällt, deren eines nten von der 4. Ordnung und der 12, Klasse, das andere von der 8. Ordnung nur und der 16. Klasse ist. des $ Um dies zu beweisen, betrachte ich die Schaar der einhüllenden fläche Flächen zweiten Grades (B). Eine jede Fläche dieser Schaar enthält als Strah Fläche zweiten Grades zwei Schaaren grader Linien und alle diese graden noch Linien sind doppelt berührende Linien der Fläche (A); denn da jede rühre Fläche der Schaar (B) die Fläche (A) nur berührt und nirgends schneidet, geme so kann auch jede auf ihr liegende grade Linie die Fläche (A) nur be- rühren, die vier Durchschnittspunkte, welche eine beliebige grade Linie mit der. Fläche (A) hat, müssen also für jede auf einer Fläche der also Schaar (B) liegende grade Linie zu zwei Berührungspunkten vereinigt sein. SEINE Die sämmtliehen graden Linien der Schaar von Hyperboloiden (B) D4 bilden also ein selbständiges Strahlensystem, welches die Fläche (A) zur die Z Brennfläche hat. Um die Ordnung und Klasse dieses Strahlensystems zu bestimmen, bemerke ich, dass durch einen jeden Punkt des Raumes.zwei heme Hyperboloide der Schaar (B) hindurchgehen, da die Gleichung dieser auf Schaar in Beziehung auf &x quadratisch ist, und dass in jedem dieser hedi beiden Hyperboloide zwei grade Linien durch diesen Punkt gehen. Das durel Strahlensystem ist also:von der 4. Ordnung, da durch jeden Punkt des ich n Raumes vier Strahlen desselben gehen. Betrachtet man ferner eine be- Flädl liebige feste Ebene, so wird dieselbe von 6 Hyperboloiden der Schaar (B) berührt, denn die Bedingungsgleichung für die Berührung ist in Beziehung auf die Co&öffieienten der berührenden Fläche zweiten Grades von drei Der Durchschnitt Dimensionen, also in Beziehung auf &«x vom 6. Grade. der festen Ebene mit den sechs dieselbe berührenden Flächen zweiten AUS 1 geme Grades gibt aber 12 grade Linien, welche die in dieser Ebene liegenden Ersel Strahlen des Systems sind, sodass dasselbe von der 12, Klasse ist. FPläcl Die Bedingung, dass die Fläche zweiten Grades (B) zu einer Kegel- dure fläche werde, ist in Beziehung auf die Co&fficienten der Fläche von vier Syste Dimensionen, also in Beziehung auf den Parameter « vom achten Grade; ef es gibt also acht Kegel zweiten Grades, deren grade Linien dem Strahlen- dEI(}] systeme 4, Ordnung und 12, Klasse angehören und Strahlenkegel des- Stral selben bilden. Die Mittelpunkte dieser acht Kegel zweiten Grades gehören Viert im Allgemeinen der Brennfläche (A) nicht an. Nach der allgemeinen De- Grad finition der Brennfläche, nach welcher sie der geometrische Ort der Punkte des Raumes ist, für welche zwei der von ihnen ausgehenden Strahlen sich Viert zu einem vereinigen, muss aber ein jeder Mittelpunkt eines Strahlenkegels hält S é@ PE DE 7 nicht ein Punkt der Brennfläche und zwar ein Knotenpunkt derselben sein. triflt, Dieser scheinbare Widerspruch löst sich dadurch, dass die Brennfläche — und vierten Grades (A) nur einen besonderen Theil der durch diese allgemeine einen Definition bestimmten Brennfläche "bildet. Allgemein: wenn man das voll- ächen ständige System aller doppelt berührenden graden Linien einer Fläche eines nten Grades als Strahlensystem auffasst, so ist diese Fläche %ten Grades lnung nur in dem Sinne die Brennfläche des Systems, als sie von allen Strahlen des Systems zweimal berührt wird, in dem Sinne aber, dass die Brenn- nden fläche der geometrische Ort aller Punkte des Raumes ist, für welche zwei I als Strahlen sich zu einem vereinigen, enthält die Brennfläche ausserdem aden noch die vollständige abwickelbare Fläche, welche von allen doppelt be- jede rührenden Ebenen der Fläche %”ten Grades eingehüllt wird. Für die all- oidet ) gemeine Fläche xten Grades ist diese abwickelbare Fläche vom Grade y be- n (n—2) (n— 3) (n* + 2n—4), Linie Y 160. Grade. Herr Salmon in de I also für die Flächen vierten Grades vom SE seiner analytice geometry of three dimensions, p. 419 der ersten, sowie ı (B) p- 455 der zweiten Ausgabe, findet als Grad dieser abwickelbaren Fläche zur die Zahl $ ZU 4 n (n — 2) (n — 3) (n* + 2n —4), zwei bemerkt jedoch selbst in der dieser Formel beigegebenen Note, dass sie jeser auf einen Widerspruch führe, welcher noch einer ferneren Aufklärung jeser bedürfe, Dieser Widerspruch löst sich dadurch, dass der Faktor 4 nur Das durch einen Rechnungsfehler zu dieser Formel hinzugekommen ist, wovon ; des ich mich‘durch eine direkte Bestimmung des Grades dieser abwickelbaren . he- Fläche nach zwei verschiedenen Methoden überzeugt habe. r ® Die drei Flächen zweiten Grades: hung W=0, p=0, x=0, drei hnitt aus welchen die Schaar der Flächen (B) zusammengesetzt ist, haben acht en gemeinsame Punkte, welche, wie aus der Form der Gleichung (A) zu Jede yden ersehen ist, acht Knotenpunkte dieser Fläche vierten Grades sind. Fläche der Schaar (B) geht durch alle diese acht Knotenpunkte hindurch, 3g'91' durch einen jeden derselben gehen also ‚unendlich viele Strahlen des yier Systems 4. Ordnung und 12. Klasse, dasselbe besitzt also ausser den oben ade; gefundenen acht‘ Strahlenkegeln zweiten Grades noch acht Strahlenkegel, Diese acht len- deren Mittelpunkte in diesen acht Knotenpunkten liegen. des- Strahlenkegel sind die von den Knotenpunkten ausgehenden, die Fläche ören vierten Grades einhüllenden Kegel, welche wie bekannt Kegel sechsten Grades sind. De- Die von der Schaar aller doppelt berührenden Ebenen der Fläche nkfe vierten Grades (A) eingehüllte abwickelbare Fläche des 160. Grades ent- sich hält diese acht Kegel sechsten Grades in sich und zwar jeden zweimal; 3g(‘1: ELE der ferner enthält sie auch die oben gefundenen acht Kegel zweiten Grades, jeden einmal. Da alle diese Kegel zusammen ein Gebilde des 112. Grades ausmachen, so kann nur noch eine abwickelbare Fläche des 48. Grades hinzukommen , welche im Allgemeinen‘ nicht konisch ist, sondern eine in wirkliche Wendekurve besitzt. sod Stellt man die beiden Schaaren grader Linien, welche auf einer jeden Kı Fläche der Schaar (B) liegen, gesondert dar, so enthält ihr Ausdruck als ZWe einzige Irrationalität die Quadratwurzel aus der Determinante A, welche der gleich Null gesetzt die Bedingung gibt, dass die Fläche zweiten Grades (B) eine Kegelfläche sei. Wenn nun diese Determinante A, welche eine ganze Sch rationale Funktion achten Grades von «& ist, ein vollständiges Quadrat I ist, also A rational in Beziehung auf &, so lassen sich die beiden Schaaren Wel von graden Linien auf der Fläche zweiten Grades (B) trennen, in der Art, WEl dass beide für sich rational in Beziehung auf &« ausgedrückt werden, und Das man erhält statt eines Strahlensystems vierter Ordnung zwei Strahlen- Or systeme zweiter Ordnung. Auf diese Weise kann man alle Strahlensysteme lieg zweiter Ordnung herleiten, welche Brennflächen und nicht Brenncurven dre haben, mit alleiniger Ausnahme des Strahlensystems zweiter Ordnung und VON siebenter Klasse, da sich die Strahlen aller übrigen in Schaaren zusammen- Au fassen lassen, welche nur je eine Schaar der graden Linien eines Hyper- boloids ausmachen. gen Die Strahlen des Strahlensystems zweiter Ordnung Sch und siebenter Klasse aber lassen sich überhaupt nicht in Schaaren von Un graden Linien von Hyperboloiden zusammenfassen, sowie auch die Brenn- Q 1 fläche dieses Strahlensystems die einzige ist, welche nicht als Einhüllende einer Schaar von Flächen zweiten Grades dargestellt werden kann. Ich betrachte jetzt die etwas speciellere Art von Flächen vierten für Grades, deren Gleichungen die Form haben: . (C) P =DdarS Z wo @® eine Funktion zweiten Grades, , q, 7, S lineare Funktionen der N Coordinaten sind. Diese Art von Flächen lässt sich auf drei verschiedene die Arten als Einhüllende einer Schaar von Flächen zweiten Grades betrachten, 6} S denn eine jede der drei Schaaren von Flächen zweiten Grades: VIE hei «*pqg + 24 + rs=0 ) Ke B’pr + 28g + gs=0 AD f die y'ps + 2y@ Ta hat eine und dieselbe Fläche (C) zur einhüllenden Fläche. Die vier Ebenen: de} D Y - > 0 =0 —Z 3 ö} s=0, Kl VE die im Allgemeinen ein Tetra@der bilden, sind vier singuläre Tangential- Jede Sr ebenen der Fläche, welche dieselbe in Kegelschnitten berühren. O4 // jTades, der sechs Kanten dieses Tetraöders schneidet die Fläche zweiten Grades Crades Crades P n eine in zwei Punkten, welche Knotenpunkte der Fläche vierten Grades (C) sind, sodass dieselbe zwölf Knotenpunkte hat. Ein jeder der von den zwölf ' jeden ick als Knotenpunkten ausgehenden einhüllenden Kegel sechsten Grades enthält welche zwei der vier singulären Tangentialebenen, wird also, wenn diese beson- ders betrachtet werden, zu einem Kegel vierten Grades. des (B) Da die Fläche (C) auf drei verschiedene Weisen als Einhüllende einer ganze Schaar von Flächen zweiten Grades sich darstellen lässt, so werden ihre nadrat Doppeltangenten drei verschiedene Strahlensysteme vierter Ordnung bilden, haaren wenn nicht etwa zwei dieser drei Strahlensysteme entweder ganz identisch er Art, werden, oder doch ein niederes Strahlensystem gemeinschaftlich enthalten. , und Das letztere ist in der That der Fall, da die vier Strahlensysteme O ter ‚ahlen- Ordnung und erster Klasse, welche in den vier singulären Tangentialebenen YstemE | liegen, allen dreien gemeinsam sind; werden diese abgesondert, so bleiben Ur VEn drei Strahlensysteme vierter Ordnung und achter Klasse übrig, welche g und von den doppelt berührenden graden Linien der Fläche (C) gebildet werden. mmen Ausserdem aber enthalten je zwei der drei Strahlensysteme keine weiteren Iyper“ gemeinsamen Strahlensysteme, sondern nur gewisse einfach unendliche daung Schaaren von Strahlen, welche Kegelflächen bilden und, wie eine genaue Jı on Untersuchung zeigt, nur die von den zwölf Knotenpunkten ausgehenden Brenn- Strahlenkegel vierten Grades sind, von denen je vier je zweien dieser llende drei Systeme gemeinsam angehören. Die Gleichung achten Grades, welche diejenigen Werthe des «& gibt, gerten für welche «’npgq+ 2a00 +rs=0 zu einer Kegelfläche wird, erniedrigt sich hier um vier Einheiten, weil ı der sie die beiden Wurzeln « = 0 und « = © jede zweimal enthält und für ieden6 diese Werthe nur die Systeme zweier Ebenen p= 0, q=0 und r= 0, chten, s=0 ergiebt. Diese Schaar von Flächen zweiten Grades enthält also nur vier wirkliche Kegel und da dasselbe auch bei den beiden anderen Schaaren bei (D) der Fall ist, so hat die Fläche (C) im Ganzen zwölf einhüllende Kegel zweiten Grades, deren Mittelpunkte nicht in den Knotenpunkten dieser Fläche liegen. Das vollständige System aller doppelt berührenden graden Linien der Fläche (C) besteht also aus vier Strahlensystemen Oter Ordnung und 3g1]@113 erster Klasse und aus drei Strahlensystemen vierter Ordnung und achter Klasse, mit zwölf von den Knotenpunkten ausgehenden Strahlenkegeln vierten Grades und zwölf nicht von den Knotenpunkten ausgehenden Strahlenkegeln zweiten Grades. ential- Jede 2 SE 10 Die abwickelbare Fläche des 160. Grades, welche von der Schaar W realen aller doppelt berührenden Ebenen der Fläche (C) eingehüllt wird, besteht für diese Art von Flächen vierten Grades nur aus Kegelflächen und Ebenen. alsdanı kanten Es gehören dazu erstens die zwölf einhüllenden Kegel vierten Grades, und zı welche von den zwölf Knotenpunkten ausgehen, welche, da sie doppelt zu zählen sind, zusammen ein Gebilde des 96. Grades ausmachen. Ferner schnitt Samme gehören dazu die zwölf einhüllenden Kegel zweiten Grades, welche einfach zu zählen sind und darum ein Gebilde des 24, Grades ausmachen. Endlich punkte hesond gehören noch die vier singulären Tangentialebenen dazu, deren jede zehn- fach zu zählen ist, welche also zusammen ein Gebilde 40. Grades dar- der K stellen. Hierdurch wird der Grad 160 dieser abwickelbaren Fläche voll- za als 3 ständig erschöpft. Um möglichst bestimmte Anschauungen der in der Form einand P =pars enthaltenen Flächen vierten Grades zu gewinnen, habe ich einige der merkwürdigsten durch Gipsmodelle dargestellt. Dabei habe ich, um mög- lichst symmetrische und reguläre Formen zu erhalten, die vier Ebenen Diesel =0,gq=0,r=0,5s5=0 als die vier Seitenflächen eines regulären Tetraeders gewählt und die Fläche zweiten Grades d = 0 als eine Kugel- hiplan fläche, deren Mittelpunkt mit dem Mittelpunkte des regulären Tetraöders Khene zusammenfällt, nämlich: dessen p=z—-lc+xl/5‚ ich d heit } q SS ED e HA berich ( 2+k+yV2, ] s=2+k—yV2, und q>=;}—l(xz-l—yz+zz-—uk2)‚ und | Sechs so dass die Gleichungen der dargestellten Flächen alle die Form haben: Knote (x? + y? + 2 — uk?)?= 4 [Q—k)2 — 2x7] [((@ + k)? — 297. (1€& V Um die Flächen lvollständig darstellen zu können, habe ich nur die- mag Unen jenigen‘ Werthe der Constanten gewählt, für welche sie ganz in einem endlichen begränzten Raume enthalten sind. Dieses hängt, wie leicht zu Tinie sehen ist, nur von der einen Constante 4 ab und die genaue Untersuchung ergibt, dass für die Werthe des A, welche in den Gränzen 4 =-—3 bis A= +1 enthalten sind, diese Flächen stets in einem endlichen Raume Mtellt enthalten sind, für alle nicht in diesem Intervalle liegenden Werthe des A aber sich ins Unendliche erstrecken. Für / R 0 erhält man zwei sich deckende Kugelflächen, und die Gestalt der Fläche wird wesentlich ge- die M ändert, wenn / durch diesen Werth 4 = 0 hindurchgeht. Veröff M4 11 chaar Wenn die Constante 4 kleiner als Eins ist, so hat die Fläche keine ostelt realen Knotenpunkte, weil die sechs Kanten des regulären Tetra@ders 6NEN, alsdann die Kugelfläche nicht treffen. Für u= 1, wo die sechs Tetraöder- ades, kanten die Kugelfläche berühren, treten zuerst reale Knotenpunkte auf ppelt und zwar sechs biplanare Knotenpunkte, weil je zwei der zwölf Durch- erner schnittspunkte der sechs Tetraederkanten mit der Kugel zu einem zu- nfach sammenfallen. Wenn 4& grösser als Eins ist, so sind zwölf reale Knoten- dlich punkte mit oseulirenden Kegeln zweiten Grades vorhanden. Nur in dem gehn- besonderen Falle 4 = 3, wo die vier Ecken des regulären Tetraöders auf dar- der Kugelfläche liegen, treten je drei der zwölf Knotenpunkte zu einem voll- zusammen und bilden so vier uniplanare Knotenpunkte. Wenn 4 grösser als 3 wird, so treten sie wieder zu zwölf konischen Knotenpunkten aus- einander. d er Das Modell I*) stellt die Fläche dar für die Werthe der Constanten Il NÖg $ A((:1‚ },:———8 ’ ]C — 40 ll)!ll' enen ‚ren Dieselbe besteht aus vier congruenten Theilen, welche nur in den sechs Die beiden. oseulirenden gel- biplanaren Knotenpunkten zusammenhängen. 615 Ebenen in jedem dieser Knotenpunkte sind real und bilden einen Winkel, Ein Modell dieser Art von Flächen habe dessen Cosinus gleich z& ist. ich der Akademie schon früher vorgelegt, um an demselben die Beschaffen- heit biplanarer Knotenpunkte anschaulich zu machen, m. s. den Monats- bericht der Sitzung vom 23. April 1866. Das Modell II stellt die Fläche dar für >die Werthe der Constanten Ä= 9 u= 1 ® 10> 70 — 50 llllll‚ und besteht ebenfalls aus vier congruenten Theilen, welche nur in den sechs biplanaren Knotenpunkten zusammenhängen. Diese biplanaren en Knotenpunkte selbst sind aber von ganz anderer Beschaffenheit als die des vorhergehenden Falles, da die beiden osculirenden Ebenen derselben imaginär sind und nur eine reale Durchschnittslinie haben, so dass in unendlicher Nähe. eines jeden Knotenpunktes die Fläche in diese grade die em Linie übergeht. zu Das Modell VIII für die Werthe ıng 1 k E — 50 mm bis e 2 ’ m6 stellt die min in diesen Cyelus gehörende Steinersche Fläche dar, E s K - des ') [Die oben mit I bis VI bezeichneten Modelle sind in derselben Reihenfolge sich die Modelle 1 bis 6 der neunten Serie der Verlagshandlung. Modell Nr, VII ist nicht g6 vc]röffentlicht.] PE J4 12 E SE Theil welche die Eigenschaft hat, dass alle Tangentialebenen aus derselben Ein etwas kleineres Modell derselben punkt Kegelschnittpaare ausschneiden. ] habe ich der Akademie schon früher vorgelegt und erklärt, m. s. den Fall ; Monatsbericht der Sitzung vom 26. November 1863, Jären Da der Werth A = 10 5 in dem zweiten Modell dem Werthe 2= 1 für die Steinersche Fläche nahe liegt, so kann man aus der Vergleichung dieser beiden Modelle erkennen, wie die Fläche mit sechs biplanaren Knotenpunkten in die Steinersche Fläche mit den drei durch einen Punkt gehenden graden Doppellinien übergeht. SENO yollst Das Modell IV mit den Werthen der Constanten Dräh 16 8 U=3$ Z 27 k = 500m darst zeigt eine Fläche mit zwölf konischen Knotenpunkten, welche aus zehn Ein besonderen Theilen besteht, nämlich vier dreieckig ‚gestalteten und sechs in Gö in zwei Ecken auslaufenden, die so verbunden sind, dass an jeden drei- und eckigen Theil sich drei zweieckige in den Knotenpunkten ansetzen. Jede E der vier singulären Tangentialebenen geht durch sechs Knotenpunkte und berührt auf der äusseren Seite drei zweieckige, auf der inneren Seite drei dreieckige Theile. Das Modell V mit den Werthen der Constanten u=83, L=1, h= 2510 ist dasselbe, welches ich früher in der Sitzung der Akademie vom 23, April 1866 schon vorgezeigt habe, um an demselben die Beschaffenheit unipla- narer Knotenpunkte der Flächen zu veranschaulichen, es besteht aus sechs congruenten Theilen, deren jeder in zwei Spitzen ausläuft, je drei dieser Spitzen kommen in einem der vier uniplanaren Knotenpunkte zusammen. Das Modell VI mit den Werthen der Constanten Al‚L=3‚ Ä,:—% 7 k = 30um zeigt eine ganz anders gestaltete Fläche derselben Art, mit vier unipla- naren Knoterpunkten. Dieselbe besteht aus vier congruenten Theilen, deren jeder in drei Spitzen ausläuft, welche ebenfalls so verbunden sind, dass in jedem der vier uniplanaren Knotenpunkte drei dieser Theile mit ihren Spitzen zusammenkommen. Das Modell VII für die Werthe der Constanten —+ &: En UE A= 4> stellt eine Fläche mit zwölf konischen Knotenpunkten dar, welche in den verlängerten Kanten des von den singulären Tangentialebenen gebildeten regulären Tetraeders liegen. Die Fläche besteht aus sechs congruenten Z / AA Ck 13 SE Theilen, deren jeder in vier Ecken ausläuft, mit denen er in den Knoten- selben punkten mit vier anderen dieser Theile zusammentrifft. selben In diesen Cyeclus von Flächen vierten Grades gehört als specieller 8& den Fall auch die Fläche vierten Grades mit 16 Knotenpunkten und 16 singu- lären Tangentialebenen, welche man erhält, wenn - 1 für ichung 31 anaren 3 —W / Punkt genommen wird, welche ich in der Sitzung der Akademie vom 18. April 1864 In derselben Sitzung habe ich auch ein aus vollständig behandelt habe. Drähten angefertigtes Modell dieser Fläche vorgezeigt, welches die in den 16 singulären Tangentialebenen liegenden 16 Berührungs - Kegelschnitte darstellt, deren jeder durch sechs der 16 Knotenpunkte hindurchgeht. 5 zehn Ein neues Modell derselben Fläche ist vor Kurzem von Herrn Dr. F. Klein / gechs in Göttingen construirt worden, welcher dasselbe in Zinkguss‘) hat ausführen 1 drei- und vervielfältigen lassen. ‚ Jede 6l fe und 1) [Dasselbe Modell in Gips ist durch die Verlagshandlung zu beziehen.] fa drei VM NN S ‚ April nipla- ; gechs dieser men nipla- ]lt*f]t““a . sind, e mit n den 1d9i@11 Druck von H. Brill in Darmstadt, jenten A GQ $ | ihm gung ?an; in d eine Drel dure den der güng Cha Il€}m hel N } £ H / e Al Die Abhängigkeit der Rückkehrelemente der Projektionen einer unebenen Kurve von denen der Kurve selbst. Von Geh. Hofrath Dr. Chr. Wiener, Professor an der Grossh. polytechnischen Schule zu Karlsruhe. Lässt man auf einer unebenen Kurve einen Punkt P hingleiten, mit ihm die zugehörige Tangente £ ohne Gleiten hinrollen und die Schmie- gungsebene S sich mitdrehen, so führt der Punkt eine Bewegung auf der Tangente gegen einen festen Punkt derselben, die Tangente eine Drehung in der Schmiegungsebene um den augenblicklichen Berührungspunkt gegen eine feste Gerade der Schmiegungsebene, und die Schmiegungsebene eine Drehung um die augenblickliche Tangente gegen eine Ebene aus, welche durch diese Tangente und einen festen, auf keiner der Tangenten liegen- den Punkt des Raumes geht. In einem Punkte der Kurve kann jedes der drei Elemente, Punkt, Tangente, Schmiegungsebene, seinen Bewe- gungssinn beibehalten oder umkehren. Wir wollen dies Verhalten seinen Charakter, und den Charakter beim Beibehalten des Sinnes positiv, beim Umkehren negativ nennen; ein Element mit negativem Charakter heisst auch ein Rückkehr- oder stationäres Element. Es treten nun folgende acht Fälle auf: 1 2 S S ;# S £ . Z D 2 Projieirt man die Kurve aus einem in endlichem oder in unendlichem Abstande befindlichen Auge auf eine Ebene, so sind die Charaktere des Punktes P‘ und der Tangente &‘ der Projektion übereinstimmend mit denen von P und € der Kurve selbst, so lange die Tangente, bezw. die Schmiegungsebene nicht das Auge durchschreitet. Dann sind also Man erkennt dies z. B. für den Punkt daran, dass seine P'=P, F=t. Bewegung aus derjenigen in der Tangente und aus der durch die Drehung der Tangente und der Schmiegungsebene hervorgebrachten zusammenge- setzt ist, welche Bewegungen der Reihe nach unendlich klein von der ersten, zweiten und dritten Ordnung sind, dass also gegen den ersten Bestandtheil die anderen verschwinden, und dass dies auch für die Pro- jektionen gilt, so lange nicht die Tangente das Auge enthält. — Bewegt sich aber die Tangente so, dass sie das Auge in sich aufnimmt und dann über dasselbe hinausgeht, wobei also £= + ist, so sieht man 'die Tängente vor und nach dem Durchgange durch das Auge von entgegengesetzten punkt Seiten, es kehrt sich hierdurch der Sinn der scheinbaren Bewegung um _+‚ und es wird P‘’= — P, Geht andernfalls die Tangente nur bis ins Auge, dreht sich aber dann wieder rückwärts, wobei also £= — ist, so sieht den a man sie nicht von entgegengesetzten Seiten und es wird P’=P. Für ] beide Fälle gilt daher P’= —P, wobei die Zeichen + und — uneigent- lich und ebenso miteinander multiplieirt werden sollen, wie Einheiten, welche sie zum Vorzeichen haben. Ebenso, wenn die Schmiegungsebene bis zum Auge fortschreitet und es dann durchschreitet, wobei S== —+ ist, kehrt sich die Seite um, von der man sie sieht, und es wird &* = —@{); gelangt aber S blos bis ins Auge und kehrt dann um, wobei S = — ist, so bleibt ‘ =t, so dass für beide Fälle £‘= — S* gilt. Danach findet man nun die Charaktere für die Projektionen der Kurve auf die Schmiegungsebene (P‘, £‘), auf die Normal- ebene (P“, t”) und auf die zu beiden senkrechte, rektificirende Ebene, welche durch die Tangente und die Binormale geht, (P“, t). Man findet P’=P, t‘=t; P‘“=-—tP, weil die Tangente durch das Auge geht, &“= S, weil die Tangente als Punkt erscheint und der Sinn der scheinbaren Drekung von der vorhergehenden in die folgende Lage der Tangente von dem Drehungssinne der Schmiegungsebene, welche die Tangente projieirt, abhängt; endlich P“= P, t“= —, letzteres, weil die Schmiegungsebene durch das Auge geht. Es ist also PE DL Z DU P, U =t, tl/ Il S, DE Man erhält daher in den acht Fällen die in nachstehender Tabelle ver- zeichneten Charaktere. A P& lichem ktere nmend Pl B hezw. ] also t + + E STG K = . Seine Pu n ehung SS {“ i NEnge- i n der i Vl'_)l'l’l + i J‘ Ersten o Pro- £ + + fj” —. — jewegt / dann Jeder der vier möglichen Fälle: des gewöhnlichen Punktes, des Wende- @ÜN etzten punktes, der Spitze und des Schnabelpunktes (P und t: ++, +-—, - — ), Kommt. in jeder Projektion zweimal vor. g um Die Modelle stellen die Kurve und ihre drei Hauptprojektionen in Auge, den acht Fällen dar. sicht Für Karlsruhe, 1883. igent- eifen, ebene L 38 —f S] oueM nal- ende ‚ {/':‘/‚[ Auge ı der e der , die weil yer F D ITÄ '| I Thei San E N X \ . CATALOG mathematischer Modelle für dep höheren mathemati_schen Unterricht veröffentlicht durch die Verlagshandlung von L. Brill in Da.rmstadt. Dritte Auflage. InkKalt. I. Theil: Serienweise Zusammenstellung der Modelle in der Reihenfolge der seitherigen Publicationen. IT. Theil: Die Modelle nach ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit geordnet. PÜ$ Die es wüns be Alg Z lassen Z | Schledene schlen € Veröffen Materie zelnen ] A auf die Quemer Wissens F ng d Kabe € an der ] Überha U11‘[trn ZUgewa Profess YCT];Ig Gedein X ILI Vorwort. Die von Jahr zu Jahr . wachsende Ausdehnung des Modell-Verlags liess es wünschenswerth erscheinen, der zum letzten Mal im Jahr 1882 erfolgten Ausgabe eines Katalogs eine neue (dritte) Auflage in erweiterter Form folgen zu lassen. Zur besseren Uebersicht und rascheren Orientirung in den oft in ver- schiedenen Serien zerstreuten, sachlich aber zusammengehörigen Modellen schien. es geboten, dem ersten Theil, der die Modelle Jlediglich nach ihrer Veröffentlichung in chronologischer Folge aufgezählt, einen zweiten,‘ die Materie kategorienweise fügenden Theil anzureihen, in welchem den ein- zelnen Modellen je nach Erforderniss. kurze Erläuterungen und ein Hinweis auf die einschlägige Literatur beigegeben ‚sind. Hierdurch wurde ein be- quemer Ueberblick über den vorhandenen Bestand der Modelle in einzelnen Wissenszweigen erzielt, und die Auswahl für das jeweilige Bedürfniss erleichtert. Für die mit Gründlichkeit und Sachkenntniss vorgenommene Bearbei- tung dieses zweiten Theils ist die Verlagshandlung dem auch bei Heraus- gabe einzelner Modelle thätig gewesenen Herrn Th. Kuen, dermalen Assistent an der königl. technischen Hochschule in München, zu Dank verpflichtet. Es sei der unterzeichneten Verlagshandlung gestattet, an dieser Stelle überhaupt allen denjenigen Herren ihren Dank auszusprechen, welche. dem Unternehmen seither ihre thätige. Beihülfe, ihr Interesse und Wohlwollen zugewandt haben. Namentlich gedenkt sie hier der Betheiligung des Herrn Professor_ Dr: A. Brill, jetzt _ın 'l‘übingen? dessen Anregung dieser Modell- Verlag überhaupt sein Entstehen und dessen dauernder Mitwirkung er sein Gedeihen verdankt. IV Wie seither, so wird es auch -künftig das Bestreben der Verlagshand- lung sein, denjenigen wissenschaftlichen Kreisen zu dienen, welche‘ in dem Gebrauch von Modellen und Zeichnungen ein Hülfsmittel und eine kräftige Stütze zur Förderung und Belebung mathematischer Studien erblicken, Mit Dank wird sie neue Anregungen in dieser Ri;httlng jederzeit entgegennehmen. Februar 1885. Die Verlagshandlunä von. L, Brill in Darmstadt, Vorwort Serienw Cartoı 1, Serie: 2, Serie 3, Serie 4, Serie 5, Serie 6, Serie 7, Serie 8 Serie 9. Serie 10, Serie X Serie 12. Serie Die N L Fläe - - - - I > E S 29 O 6 b > x rlaoshand e in dem UgE cken, N nnehmen Inhaltsverzeichniss Seite I Vorwort II J. Theil Serienweise Zusammenstellung der Modelle in der Reihenfolge der seitherigen Publicationen. ° Cartonmodelle von Flächen‘ zweiter Ordnung, nach A, Brill . ] Ta Serie : Abgüsse nach Originalen des mathematischen Instituts ’der techn150hen Hochschule München (1, Folge) Serie : Desgleichen (2. Folge) Serie: Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung von R D1ese1 in Munchen ä Serie : Fadenmodelle von Flächen zweiter Ordnung Serie: Copien nach Originalen der techn. Hochschule Munchen (3. Folge) II Serie : Desgleichen; sowie Modelle von Wellenflächen nach Böklen u. s. w 13 Serie : Flächen dritter Ordnung nach Rodenberg . 14 Serie: Copien nach Originalen der technischen Hochschule Munchen (4: 1‘ olge) I7 Serie : Flächen vierter Ordnung nach Kummer 19 x — © ©O©DNIANOANHWON Serie : ı. u, 2. Nachtrag zu den Copien nach Originalen etc., ferner Modelle von O. Staude 21 u Serie : Drahtmodelle zu den unebenen Cu1ven nach Chr1511an \Vlcner 3 12 Serie : Vier Fadenmodelle zum Studium der Raumcurve vierter Ordnung erster Art nach Hermann Wiener IJ. Theil Die Modelle nach ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit geordnet. nebst”einleitenden Bemerkungen und Erläuterungen. I. Flächen zweiter Ordnung A, Ellipsoide 27 B. Hyperboloide und chcl 2 C. Paraboloide 29 IL Algebrausche Flächen hoherer Ordnung A, Serie von Flächen dritter Ordnung 30 Cycliden . 33 Kummer’sche Flachen 35 Serie von Flächen.vierter Ordnung mit 4 11ngs Kre1sen bcruhrendcn Ebenen 36 ä Diverse algebr‘usche Flächen vierter und höherer Ordnung 36 i NI Seite IN Transcendente Flächen 37 IVY. Raumcurven 38 V. Krümmung der Flachen A, Krümmungslinien, Asymptotencurven und geodätische Linien auf Flächen 39 B. Flächen von constantem Krümmungsmass und auf einander abwickelbare Flächen 42 C. Flächen von constante1 m1ttle1cr Krummung, \Ilnln1alfiachen 44 D. Centraflächen, Brennflächen 46 VI. Modelle zur. darstellenden Geornetme, Phy51k Mecharuk etc 47 Cartı Dar /"‘E‘ K z Z /\P. Erklärung der Abkürzungen u.s. w //K‘ Die Modelle sind, wenn nicht Anderes ausdrücklich erwähnt, in Gips ausgeführt dass das betr Ein Stern * an der laufenden Nummer des IT, Theils : bedeutet Die Car Modell einzeln nicht abgegeben wird, sondern entweder nur zusammen mit der ganzen &n Ays ” Gruppe der sie im I. Theil einverleibt ist oder mit den zugehörigen Modellen der- selben Nummer Die Grösse der Modelle ist nur bis auf Centimeter genau angegeben Die Figuren stellen die im Text voraufgehenden Nummern. dar Auf Ve 1h er Zum A b OI GL\[[\ dürch Wend dlt bt al \1\«nl Überflü Tläche Möge Seite 37 30 8 chen ‘ 2 Ibare 42 4# 46 Erster Theil. - 4 B SS Carton-Modelle von Flächen zweiter Ordriung, construirt nach Angabe von Dr. A. Brill, ord. Professor an der kgl. techn. Hochschule zu München. Dargestellt durch ineinandergefügte Ausschnitte aus l'arbigém Cartonpapier., . Ellipsoid, gebildet aus 22 Kreisen., I, A.4. Ä8 desgl., anderer Construction, gebildet aus 30 Kreisen. I.A.5. . Hyperboloid, einschaliges, gebildet aus 34 Kreisen. I, B. desgl., zweischaliges, (eine Hälfte) gebildet aus 24 Kreisen. . Paraboloid, elliptisches, gebildet aus 28 Kreisen. z desgl., hyperbolisches, gebildet aus 26 geradlinig begrenzten Schnitten, \\a M \ On S WUN . Kegel, (eine Hälfte) gebiljdet aus 26 Kreisen. führ Die Cartonscheiben sind, unbcschadet der Beweglichkeit, gegenseitig so. befestigt , dass das betr, ein Auseinanderfallen der Modelle verhütet wird. anzen Eine wissenschaftliche Erläuterung ist beigcfügt. Jlen der Preis der Serie: 16 Mark. Auf Verlangen werden die Modelle Nr. 4 und 7, damit die beiden Flächenmäntel in ihrer gegenseitigen Lage veranschaulicht werden könmen, je in 2 Exemplaren geliefert. Zum Aufstecken des Doppelkegels eignet sich dann das für das einschalige Hyper- boloid bestimmte Gestell ’Nr. 2, während für Nr. 4 (zweischaliges Hyperboloid) zwei Gestelle (Nr. 1) erforderlich sind. Die Mehrkosten betragen Mark 2. 30. für jedes weitere Modell, Die vorliegenden Modelle, welche die Idee, Flächen zweiter Ordnung durch ihre Kreisschnitte darzustellen, in systematischer Weise zur An- wendung bringen, haben seit ihrem ersten Erscheinen (1874) allenthalben die beifälligste Aufnahme und ‚die günstigste Beurtheilung seitens in- und ausländischer Fachjournale erfahren, so däss eine besondere Empfehlung überflüssig erscheint. Es. sei‘! nur bemerkt, dass sich dieselben von anderen Flächenmodellen besonders durch ihre Beweglichkeit unterscheiden, ver- möge deren jedes einzelne. Modell. niıcht nur ein einzelnes Ellipsoid, Hyper- 2 boloid etc., sondern ein ganzes System von Flächen der einen oder anderen Art darstellt, Flächenformen, welche das Modell der Reihe ngch durch Anwendung eines leichten Druckes oder Zuges annimmt. Bei der Biegsamkeit des Stoffs, aus dem die Modelle hergestellt sind, schien es geboten, zweckentsprechende Stative anfertigen zu lassen, um die Modelle bei dem Gebrauch zu schonen und einzelne Formtheile beim An- fassen mit der Hand nicht undeutlich \ver_den zu lassen. Ag !MZ.-/ StativNr. ı zum Aufstecken der Mod. Nr. ı, 2, 4, 5 u.7. Preis Mark ı. 50, » —” » 2 zum Aufstecken des Mod. Nr. 3. Preis Mark 2. —. al > » 3 zum Aufstellen des Mod. Nr. 6. Preis Mark 1.—. Bei Bestellung der Stative ohne Angabe der gewünschten Anzahl werden dieselben für sämmtliche Modelle mitgeliefert, mithin 5 Stück von Nr. ı, je ı Stück von Nr. 2 u 3. Abgüs: f 1 Diel Mod Prei / I_ Die| tent von ] bl r XD W 4}1 » . Die K \ Die Col OR En Be des } ] KIH?L { Untersu ng jj Modell ler anderen yach durch estellt sınd cn ım dıe beim An: Erste Serie. k 150 ur Gips-Modelle Nr 203 Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Originalen Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Brill Die Rotationsfiäche der Tractrix mit geodätischen und Haupttangenten-Curven A0 m. Modellirt von stud. math. 7. Bacharach (Grösse- des Modells 25-— 18 cm.) Preis 9 Mark A — Die Brennfläche eines Strahlensystems, welche mit der Fläche der Krümmungs- 4 77 centra des elliptischen Paraboloids in collinearer Verwandtschaft steht. Modellirt von stud. math. Z. Schleizermacher. a) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt. (Grösse 10—10 nnd 7—7 ecm.) ä 5 Mark ) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 10—11cm.) 5 5 Mark., Die Centrafläche des einschaligen Hyperboloids Modelhrt von stud math. A 7X‚ 2R u W. Dyck ) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt (Grösse I/ —16 und ‘ 17—16 cm.) äa 8 und 9 Mark b) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 17—16 cm.) 10 Mark AI Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid. Construirt von stud. math. 473 K. Rohn (Grösse 12 —18 cm.) 6 Mark /\/v Die geodätischen Linien durch die Nabelpunkte des dreiaxigen Ellipsoids. 474 Construirt von stud, math. X. Rohn (Grösse 10—18 cm.) 6 Mark Ganze Serie: 60 Mark excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 8.— pro ganze Serie in Anrechnung Bei Gelegenheit der Uebungen, welche in dem mathematischen Institut des k. Polytechnikums in München von den Herren Professoren Brill und wurde als Zweck und Endziel der auszuführenden Klein geleitet werden Untersuchungen mehrfach die Herstellung :eines Modells oder einer Zeich- nung ins Auge gefasst Einige der so als' Uebungsbeispiele entstandenen Modelle. erwiesen sich mit Rücksicht darauf, dass an. derartigen‘ Anschau- 1* 4 4 | ungsmitteln kein Ueberfluss ist; als der Vervielfältigung werth, und eine erste Serie derselben, welche unter Leitung von Herrn Brill entstanden ist, wird hiermit der Oeffentlichkeit übergeben. Die Modelle sind in der Folge, wie sie gerade ausgeführt wurden, aneinandergereiht und erheben, ‚schon in Folge ihrer Entstehungsweise, nicht den Anspruch, etwas in sich Abge- schlossenes zu geben oder allen Anforderungen eines weiteren Gesichtskreises zu genügen. Immerhin dürften dieselben auch in dieser Form :manches Neue und des Interesses Werthe enthalten, wie denn die beigefügten Ab- handlungen keineswegs blos Bekanntes reproduciren; und der Zweck, den Urheber und Verleger im Auge haben, wäre erreicht, wenn die Anregung, die von räumlichen Darstellungen auszugehen pflegt, einen Vorzug auch d‘6r vorliegenden Modelle bilden würde. Darmstadt;, 1877. Abgüss Anmerkung, Die Modelle dieser Serie wie vieler folgenden, deren Originale dem mathematischen Institut der königl. technischen Hochschule zu München ent- stammen, sind, zur äusseren Kennzeichnung ihres gemeinsamen Ursprungs und zur besseren Unterscheidung von den selbständigen Modellpublicationen der Verlagshandlung, mit fortlaufenden römischen Zahlen numerirt. {}) Yır 8) ( ) VI Fl Hay Prei ')/ I, Die Lin a) b) 0 / zx R5 Nel (6 3) Und' eine ANdEN 1st, ‘ICT F()IU schon mn ich Abge htskreises manches ioten Ab- Zweite Serie. sck, den \nregung, ug auch Gips-Modelle Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Originalen ® Ausgeführt nale dem unter Leitung der Proff. Dr. Brill und Dr. Klein., X hen ent- und v nen der A. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Klein 7 VI. Drei Modelle der Kummer’schen Fläche Von stud. math. X. Rohn A (Grösse ‘des Modells 21—18 cm.) ) Alle sechszehn Knotenpunkte sind reell 266 Preis 24 Mark (Grösse 30 —20 cm.) Preis 28 Mark, —268 b) Acht Knotenpunkte reell, c) Vier Knotenpunkte reell. (Grösse 20—15 cm.) Preis 18 Mark. v€ VII Fläche dritter' Ordnung. mit vier reellen conischen Knotenpunkten nebst Haupttangentencurven Von stud. math. . Bacharach (Grösse 13—22 cm.) Preis 14 Mark B. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Brill }/VIII Die Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung nebst geodätischen A/f Linien. Von stud. mäth. A4. v. Braunmühl. a) Onduloid (Grösse 12—26 cm.) Preis 9 Mark b) Nodoid (Grösse 11—8 cm.) Preis 8 Mark ) Ring des Nodoids, durch Umdrehung der Schleife entstanden Preis 2 Mark ) Catenoid (Grösse 16—10cm.) Preis 8 Mark Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Kegel-Typus /'/5 4‘ —X nebst geodätischen und Asymptoten-Linien Von stud, math, 7. Bacharach Preis 9. Mark (Grösse 17—17 cm.) _— X. Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Hyperboloid-Typus) Ä/7 mit parallelen geodätischen Linien und geodätischen Kreisen. Von stud. math. D W. Dyck. (Grösse 13—21 cm.) Preis 12 Mark. — XI. Bahncurve eines schweren Punktes auf einer Kuge!l. Von stud, math.Z. Schleier- /4 /5 macher. (Grösse 18 - 14 cm.) Preis 11 Mark, A 6.) Ganze Serie:. 120 Mark exel. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 10.—. pro ganze Serie in Anrechnung: Jeder Nummer ist ein erläuternder Text beigefügt, bei Nr. XI. ist die erforderliche Erläuterung unmittelbar an dem Modell angebracht Darmstadt 1877 A FV m / nath, ier- A ng Dritte Serie. die Gips-Modelle von Flächen zWeitet Ordnung, ausgeführt von R. Diesel, Studirendem der kgl. techn. Hochschule in München, Ganze Serie, bestehend aus 18 Modellen. I. Gruppe, 7 Modelle (Nr. 1, 3, 5, 8, 10, 13.u. 17). — II. Gruppe, ı1 Modelle (NI: 24; 65 7 9, IT 12141051 18): Ellipsoid, grosse Halbaxe = 5 cm, ; Axenverhältniss V3uV2:V1. Preis Mark 1.40. ; ( . 2 805 Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark AII8 4 Ü Ellipsoid, grosse Halbaxe = 9cm. ; Axenverhältniss V3 : V2: V ı. Preis Mark 1.90.- Preis Mark 6. 80. ) Dasselbe mit Krümmungslinien; NS \V.N Einschaliges Hyperboloid mit dem Asymptoten-Kegel; grosse Halbaxe der Kehl- AL ellipse = 4cm., Höhe des Modells:: 23cm. Preis Mark 8, 20. ‚6 Dasselbe mit den beiden Schaaren von geraden Erzeugenden, Preis Mark 13.60. 4270 w 7 Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 11.—. AQLZT Zweischaliges Hyperboloid (vgl. Nr. 17), reelle Halbaxe = 0,93 cm., Höhe des Modells: 23 cm: Preis Mark 13.60. — Dasselbe mit Krümmungslinien, Preis Mark 16.40. ALa 10, Elliptisches Paraboloid, Halbaxen der Grundellipse 9,5 cm. und 6 cm., Höhe des Modells: 20cm. Preis Mark 2.80, Pa Dasselbe mit Schnitten parallel zur Grundellipse. Preis Mark 3.80. A273 ı2 Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 6, 80. Ad 13 Hyperbolisches Paraboloid (gleichseitig), Durchmesser des Begrenzungscylinders = 14 0m,; Preis Mark . 3; 80. 14 Dasselbe mit ebenen Hyperbel-Schnitten, Preis Mark 6. 80. ACZE x Dasselbe mit den beiden Schaaren von Erzeugenden, Preis Mark 5. 60. 278 “{6 Dasselbe mit Krümmungslinien. Preis Mark 4: 70. 2 17 Elliptischer Kegel, Halbaxen der Grundellipse: 10,4 cm. und 5,4cm.; Höhe des E Modells: 11,5cm. Dieser Kegel ist Asymptoten-Kegel sowohl zu dem einschaligen Hyperboloid (Nr. 5), wie zu dem zweischaligen (Nr. 8). Preis Mark 3. 80, . 18 Derselbe mit Krümmungslinien, Preis Mark 5. 60. AL Z Auf sämmtlicixcn Modellen der I. Gruppe sind die Hauptschnitte angegeben, - Preis der completen Serie:v 100 Mark, » » 1. Gruppe: 35 » > » » » IT 75 excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk, 15. —. pro ganze Serie, für Gruppe I. Mk, 7.—., für Gruppe II. Mk. 8.—. in Anrechnung. n Die vorliegende Serie von Modellen richtet sich an den grossen Kreis derjenigen Mathematiker, die im Verlauf ihrer ILehrthätigkeit oder gelegent- lich ihrer Untersuchungen ‘ das . Bedürfniss einer anschaulichen Darstellung der verschiedenen 'Typen der Flächen zweiter Ordnung empfunden haben. 50 lange schon dieses Bedürfniss besteht, so wenig ist bis jetzt geschehen, demselben abzuhelfen; existirte bis dahin doch eine systematische Zusammen- Fa stellung der Flächentypen zweiter Ordnung — mit einziger Ausnahme der in diesem Verlag erschienenen Cartonmodelle — überhaupt nicht, von Mo- dellen mit Krümmungslinien gar nicht zu reden. So entschloss sich die Verlagshandlung zur Herstellung der ‚obigen Serie und es gelang ihr, in dem Autor derselben eine wissenschaftlich wie _ technisch gleich befähigte Kraft zur Ausführung ihres Unternehmens zu gewinnen. Um jedem Wunsche begegnen zu können, wurde die Serie in zwei Gruppen getheilt, von denen die erstere sämmtliche Flächen zweiter Ordnung, theilweise in mehreren A Typen vertreten, jedoch nur mit Angabe der Hauptschnitte, umfasst, wäh- Erzeu Alista rend die zweite dieselben Typen mit den beiden Schaaren von Krüm- mungslinien, ferner einige mit Parallelschnitten und einige mit den geraden ein K Erzeugenden enthält. Der letzten Abtheilung sind zwei kleine Abhandlungen einanı über die Herstellung der Krümmungslinien beigefügt. Fläch Durch diese Eintheilung glaubt die Verlagshandlung den Wünschen 7‚\\-isc.] der Hochschulen eben so sehr wie denen der technischen gen Die Mittelschulen entgegen zu kommen. Den Industrie- und Gewerbeschulen, Yäuft Real- und Kunstschulen namentlich glaubt der Verleger die erste Gruppe Nische der Serie empfehlen zu dürfen,. auch wenn die Lehrpläne und Studien- programme derselben nicht in das Studium der Flächen zweiter Ordnung Wie ] unmittelbar einführen; sollte doch jedem zukünftigen Techniker die Gelegen- Sind heit geboten werden, sich wenigstens auf dem Wege der Anschauung eine in Vorstellung davon zu erwerben, was man ‚unter einem Paraboloid, einem Dreh Ellipsoid u. s. w.. versteht. Andererseits dürften bei Vorträgen an Hoch- Hpp schulen die Modelle der zweiten Gruppe, welche wichtige Eigenschaften ]\*ge Wech derselben, zur Anschauung bringen, 'nicht weniger willkommen sein. Abst So erlaubt sich denn die Verlagshandlung das vorliegende neue Unter- Höh nehmen einer ebenso wohlwollenden Aufnahme zu empfehlen, wie sie die früher von ihr ausgegebenen Serien von Modellen /bei dem mathematischen Offen Publikum bereits gefunden haben. dich ZWei Darmstadt, 1878. ara Senk: Kreis P} ( nt lung Vierte Serie.l ben, E hen, nen- der Faden-Modelle von Flächen zweiter Ordnung, Mo dargestellt r.]'ic durch. Seidenfäden in Messinggestellen. m sche Ganze Serie, bestehend aus 5 Modellen. nn ® — 1. Unveränderliches Hyperbolofd. Das Modell zeigt zwei Systeme von Flächen- AI79 äh erzeugenden nebst Asymptotenkegel, Jedes System wird durch 64 Fäden. repräsentirt, Abstand der Grundplatten 24 cm., Axenverhältniss der Kehlellipse: 21 : 13. um 2) Bewegliches Hyperboloid, in der einen Grenzlage ein Cylinder, in der anderen d Cn ein Kegel. Das Modell ist so angeordnet, dass beide Grundplatten beliebig. gegen gn einander gedreht und geneigt werden können. Die durch 64 Erzeugende gebildete Fläche durchläuft dabei alle Lagen des. geraden oder schiefen Rotations-Hyperboloids zwischen Cylinder und geradem, bezw. schiefem, Kegel und bildet bei gegen einander en en geneigten Grundplatten Flächen vierter Ordnung mit leicht erkennbarer Striktionslinie, Die durch 22 Erzeugende dargestellte Tangentenebene an Cylinder und Kegel durch- CN läuft alle Lagen des das Hyperboloid längs einer Erzeugenden tangirenden hyperbo- lischen Paraboloids, Abstand der Grundplatten ‚26 cm., Höhe des ganzen Modells 55 cm, pC Auf Wunsch kann das Modell auch mit 2 Systemen von Erzeugenden , ähnlich wie bei Nr. 3, hergestellt werden. ng 3. Bewegliches Hyperboloid, in beiden Grenzlagen ein Kegel. Die Grundplatten en- sind beweglich wie in Nr. 2, aber es sind zwei Systeme von Fäden gespannt, welche inc in einer mittleren Lage die Erzeugenden eines Hyperboloids darstellen, ‚ bei einer cn Drehung der Grundplatten jedoch sich von einander ‘trennen und zwei verschiedene Hyperboloide bilden, welche in der (in der Abbildung dargestellten) Grenzlage in zwei ch Kegel übergehen. Die durch 22 Erzeugende dargestellte' Tangentenebene durchläuft en wechselnde Lagen des die äussere Fläche berührenden hyperbolischen Paraboloids, Abstand der Grundplatten 22,5 cm., Durchmesser der oberen 10 cm., der unteren 20 cm., el Höhe des ganzen Modells 50 cm. die 4. Unveränderliches hyperbolisches Paraboloid. Da die Fläche eine allseitig en offene ist, so wurde die Vorstellung des Flächenhaften durch Anordnung besonders dicht gespannter Fäden zu erhöhen gesucht. Die Tangentialebene im Scheitel enthält zwei Erzeugende der Fläche, welche normal zu einander stehen., Eine dieser Ebene parallele bildet die Grundplatte des Modells; ‚der Abstand der beiden anderen dazu senkrechten Begrenzungsebenen beträgt 17 cm. 10 5. Bewegliches hyperbolisches Parahboloid. Die Fläche ist in ein gleichseitiges Aze windschiefes Viereck einbeschrieben, dessen Seiten paarweise fest verbunden Ssind, Durch Drehung um eine horizontale Axe (Diagonale des Vierseits) lassen sich diese äät Seitenpaare aus der horizontalen in eine vertikale Grenzlage drehen, wobei die aus 2 sich kreuzenden Systemen von je 42 Erzeugenden gebildete Fläche aus einer horizon- Durch Klemmschrauben ist die talen Ebene in eine vertikale Doppelebene übergeht. Fläche in jeder Lage leicht festzustellen. Seite des Vierecks = 32 cm. Diese Serie dient den Darstellun?;sarten der Cartonmodell-Serie und der Serie 3 der Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung als wesentliche Ergänzung. Preis der ganzen Serie: 270 Mark. Bei Einzel-Bezug der Modelle kostet Nr. ı 30 Mark, Nr. 2 170 Mark (mit Doppel- fadensystem 75 Mark), Nr. 3 75 Mark, Nr. 4 44 Mark, Nr. 5 70 Mark exel. Emballage \1}1d Versendungskosten; für erstere kommen bei Bezug der ganzen Serie Mk. 20. — in Anrechnung, ‚bei Bezug einzelner Modelle werden dieselben nach Verhältniss berechnet. Die Modelle. werden gewöhnlich mit schwarz gebeizten Messinggestellen geliefert, auf besonderen Wunsch jedoch auch mit messingfarbenen, zum Schutz gegen Anlaufen mit. Lacküberzug versehenen Gestellen zu gleichem Preise. Bei sämmtlichen Modellen, insbesöndere bei den beweglichen, sind die Verbindungen der Messingtheile mit aller Sorgfalt einfach und dauerhaft hergestellt. Darmstadt, 1879. l(/ A 4} ; H Fünfte Serie. Gips-Modelle. i Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München-angefertigten Originalen. . Neue (dritte) Folge. Ausgeführt ‚unter Leitung von Prof. Dr. Brill. Darstellung der -elliptischen Funktion v = a (u,%) durch eine Fläche. Von ÄZI / D XI den studd, math. 7%. Kuen und Chr. Wolff. (Grösse 19—25—35 cm.) Preis Mark 18. Rotationsflächen von constantem positiven Krümmungsmass mit geodätischen AZZ Linien (drei Typen mit gleichem Krümmungsmass). Nach den Zeichnungen _ Z / Z Z von E. Bour (Journal de l’Ecole Polyt., Tome 22) modellirt und. mit geodä- tischen Linien versehen von Assistent Dr. P. Vogel. a) Die Kugel. (Grösse 9 cm.) Preis Mark 1. b) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe, (Grösse 11—7 cm.) Preis Mark 4. c) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe nicht, (Grösse 10—12cm.) Preis Mark 9. 3) — xn Schraubenfläche von constantem positiven Krümmungsmass (Letzteres ist v/‚113- das der Flächen unter XIIL.). Von stud, math. 7%. Kuen. (Grösse 24—15 cm.) Preis Mark .13. G z’; XN Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Meridiancurve A2S ist die Tractrix; Vgl. U. Dini, Comptes Rendus Acad, Sc. Paris 1865, 1, Sem, Si 340): Von Dr. P. Vogel. (Grösse 24—15 cm.) Preis Mark 15, 50. LA KNI. AALS Vier Formen der Dupin’schen Cyclide (vgl. die Abhandlung von Clerk Maxwell in Quart, Journ, of Math, Bd. 9. S. 111) von Dr. P. Vogel. a) Ringcyclide (mit imaginären Knotenpunkten). (Grösse 7—14 cm.) Preis Mark 9, b) Horncyclide (zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei auseinander liegende Flächenmäntel). (Grösse 6—19 cm.) Preis Mark 11. 50. c) Spindelcyclide (zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei ineinander liegende Flächenmäntel). (Grösse 10—11 cm.) Preis Mark 6. 50. d) Parabolische Cyclide mit zwei reellen Knotenpunkten (erstreckt sich mit einem unpaaren Flächenmantel ins Unendliche, (Grösse 12—15 cm.) Preis Mark ıı, 50, 12 ’ L} / XVIT. Die Kettenlinie auf der Kugel. (Vgl. die Abhandlung von Clebsch in Crelle’s Journ; Bd. 57, S. 104.) (Grösse 9 cm.). Preis Mark 8 2 ALG Die beiden (auf einer Kugel vereinigten) Typen entsprechen dem Fall, woi das elliptische Integral sich auf ein Kreisintegral reducirt, In den Bezeich- nungen der ‚genannten Abhandlung: osine= I, a) o= %, b) o=% v XVII. Die Enveloppen der von einem.Punkt ausgehenden geodätischen Linien auf 7 dem Rotationsellipsoid. Von Dr. A.v. Braunmühl. (Vgl. dessen Abhandlung in den Math. Annalen Bd. ı4. S. 557.) A17 a) Das verlängerte Rotationsellipsoid (ein Ausgangspunkt). (Grösse 12—8.cm.) Preis Mark 6, 50 b) Das Sphäroid, mit den Enveloppen für zwei verschiedene Ausgangspunkte, (Grösse 7—10 cm.) Preis Mark 6, 50.. Ganze Serie: 100 Mark exel. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 8. —. pro ganze Serie in Anrechnung. Den Nummern XIIL., XIV., XV.V und XVIII. sind Abhandlungen. bei- gefügt, in welchen der Gang der Rechnung ku„rz dargelegt wird. Darmstadt, 1880. ]ä 13 Sechste Serie. Gips-Modelle. XIX Die Raumcurven dritter Ordnung auf Cylindern zweiter Ordnung dargestellt ARS von stud, math. Z. Zange. Gipsabgüsse nach den unter Leitung von Professor Dr., K/ein im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Originalen, (Grösse 10,5—6,5 cm.) Preis Mark 18. a) Die cubische Ellipse, b) Die cubische Hyperbel, c) Die cubische Parabel, d) Die cubisch-hyperbolische Parabel. M SN LE - Die Weliénfläche für optisch zweiaxige Krystalle. Verhältniss der Axenlängen AT 12:8,3:6,1. «(Grösse 12—8 cm.) Preis Mark .9 a) Der äussere Mantel (längs eines Hauptschnittes zerlegbar) mit.Ausschnitten, die den inneren Mantel zeigen, (Grösse ı2 cr1}.) b) Der innere Mantel, N Das zugehörige Ellipsoid (mit den gleichen Axen).‘ Preis Mark 4 A29 — Die Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle (mit negativer Doppelbrechung). ASO Ein Ausschnitt des Sphäroids zeigt die Kugel. ‚Das Axenverhältniss 8,8 : 7,8 ist ungefähr das des Kalkspaths. (Grösse 8—9 cm.) Preis. Mark 4. (Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle mit positiver Doppelbrecixuhg s. X. Serie, '1, Nachtrag Nr. 7.) Die Wellenfläche für optisch zweiaxige Krystalle in einzelnen Octanten, mit AÄST den sphärischen und ellipsoidischen Linien auf beiden Mänteln und 8 Nabel- punkten. - Verhältniss der Axenlänge 12:9:6 Grösse der halben Fläche (2 Oc- tanten) 24—9 cm. Preis Mark 8, 50. un Ein Kreiskegel mit Ellipsen-, Hyperbel- und Parabel-Schnitt, Die einzeln en ASZ Stücke sind ‚beweglich, (Grösse 32—19 cm.) Preis Mark 22, Ganze Serie: 60 Mark excl. Emballage und Vérsendungskoston: für erstere kommen Mk. 7. —. "pro ganze Serie in Anrechnung.” Der Nr XIX. ist eine Abhandlung des Verfertigers, der Nr. 4 eine solche von Herrn Rector Dr. Böklen in Reutlingen beigefügt. VDarmstadt‚ 1880. 14 Siebente Serie. Gips-Modelle von Flächen dritter Ordnung Die verschiedenen Gestalten der Flächen dritter Ordnung mit parabolischen Curven und die wichtigsten ihrer Hesse’schen Flächen von Carl Rodenberg, Professor der Mathematik an der Gr. technischen Hochschule zu Darmstadt Ganze Serie, bestehend aus 27 Modellen. I. Gruppe Mod. Nr. 1 —15, II Gruppe Mod. Nr. 16 — 26 A33 Va Diagonalfläche mit 27 reellen Geraden. 6. Flächen mit 4 reellen C,*), welche unter sich collinear sind, und nur im Ver- A34-38 __ halten zur unendlich fernen Ebene Unterschiede zeigen A3 Fläche mit 3 reellen C,, zu denen kein vierter treten kann _7 Dieselbe Art, von .der andern Flächenseite betrachtet A4 zur Bildung des: Ur (Modell 16) AT Z Fläche mit 3 reellen B, 10, Fläche mit B,, dessen Ebenen in je drei reellen Knotenstrahlen schneiden %2 Das Modell dient gleichzeitig zur Ueberführung des B, in einen Urg Fläche mit 3, , dessen Ebenen conjugirt imaginär sind A 43 u I1 Fläche mit 3, + f reellen A[,[, Ün 12013 \ ımagınaren } Ca. Bei 12 sind die Ebenen des B, reell, bei 4S 13 ımagınar. 14 Fläche mit B.,+ C A H6 AT I5 Fläche mit Bg + C: Fläche Strahlen A 4g-lj‚ 16u 27 mit Ug, dessen Ebene in { S }1cellen { eınem S hl } schneidet ASO 18 Fläche mit. U7. Fläche ASI 19 Mit - Ug: 20 Regelfläche, deren Doppelgerade völlig von reellen Flächentheilen umgeben ist, ASRk 21 AS} % Regelfläche, bei deren Doppelgerade dies nur für eine endliche von zwei Cuspidal- punkten begrenzten Strecke der Fall ist unnn ) Die- Buchstaben C’, B, U bedeuten bezw. einen conischen, einen biplanaren, einen uniplanaren. Knoten, der angehängte. Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten, um welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird. — Vergl. übrigens die Ausführungen im 2. Theil 15 anendlich‘ fernem ASGSS — 22u.23. Cayley’sche Regelfläche m1t{ im Endlichen Oeleflcncm } Cuspidalpunkte, vm 243. Hesse’sche Fläche zu 2 und 5 AS6 24 b. Sternförmiger Theil der vorhergehenden für ein Pentaeder, das aus der unendlich A S77 E fernen Ebene und einem regulären Tetraeder besteht .“ 25. Hesse’sche Fläche zu 7. ASS — 26. (Drahtmodell) Abbildung der Flächen mit 1, 2, 3, 4 C,, welche einem reellen ,4f9 Pentaeder angehören, auf den Punktraum. Die wenigen bis jetzt publicirten Modelle von Flächen’ dritter Ordnung stehen, wenn man von den einfachsten Arten, den Regelflächen, absieht, in keinem organischen Zusammenhange mit einander und weisen nur die niedrigsten Singularitäten auf. Durch die vorliegende Serie wird nun eine Darstellung sämmtlicher charakteristischen Typen von Flächen dritter Ordnung, namentlich auch. der mit höheren Singularitäten be- gäbten beabsichtigt mit deren Hülfe man sich ein vollständiges und abgeschlossenes Bild aller möglichen Formen von Flächen dritter Ordnung, die für eine Gesammtdarstellung zu zahlreich wären verschaffen kann indem man jeden beliebigen T'ypus aus einem der gege- benen (und ebenso irgend zwei der vorliegenden aus einander) durch con- tinuirliche Deformation auf anschauliche Weise und ohne’‘ jede Schwierigkeit ableiten kann Dieselbe Aufgabe ist zugleich für diejenigen Hesse’schen welche. einem eigentlichen reellen Pentaeder Flächen gelöst angehören Von der nicht mehr schwierigen Behandlung der übrigen Arten dieser Fläche welche den verschiedentlich degenerirten Pentaedern zukommen, wie sie der Verfasser im Bd. ı4 der Math. Annalen aüfgezählt hat, konnte füglich abgesehen werden Für die wirkliche Darstellung erwiesen sich besonders diejenigen Typen geagnet die ‚neben der gegebenen höheren Singularität noch so viel wie möglich conische Knoten zeigen, und wurden daher diese Flächen modellirt. Die übrigen mit weniger und keinem conischen Knoten mag man sich dann durch Anwendung der beiden Processe des »Verbindens« und »Trennens«, wie sie Herr Prof. Klein in seiner Arbeit Math. Annalen Bd. VI., benutzt und welche an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, ableiten. Dies gilt auch namentlich für Flächen mit nur conischen Knoten oder ohne Singularitäten, welche imaginäre Linien haben Unterschiede in der Gestalt, welche in verschiedenem Verhalten einer und derselben Art zur unendlich fernen Ebene ihren Grund haben sind welche sıch nur an einer Gruppe,. den Flächen mit 4'C,,.klar gelegt hierzu besonders eignen. ’ Alle übrigen — mit Ausnahme der Regelflächen — werden von der unendlich fernen Ebene in einem unpaaren Curvenzuge getroffen, da sich gerade bei dieser Annahme die Bildung höherer Singu- larıtäten aus niederen, insbesondere aus €,, sehr anschaulich macht, indem (;g 16 Hat man an letzteren nur endliche Deformationen nothwendig werden. Modellen dann einmal das Verhalten der Fläche in der Nähe der Singularität und deren Entstehung kennen gelernt, so gibt ein Blick auf d?ejenigen mit 4 C, eine Vorstellung von den ihnen collinearen Gestalten. « Da ein conischer Knoten in einem gegebenen Punkt bei festem eigent- lichen Pentaeder die Fläche ‚vollständig bestimmt, so kann er als Bild der- selben gedacht werden. Mit Hülfe des Modells 26 kann man dann ohne Weiteres die Art der zugehörigen Fläche angeben und eine Vorstellung von ihrem ungefähren Verlaufe gewinnen. Preis der ganzen Serie: 300 Mark » > x I. Gruppe: 140 » » » IT » 160 » excl. Emballage und' Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 16. —. pro ganze Serie, für Gruppe I. Mk. 8.—., für Gruppe II. Mk. 8.—. in Anrechnung. ® Den Modellen . ist eine. 2 4Bogen in gr. 8° umfassende Abhandlung beigefügt. Darmstadt, 188 r D /l 4 Z / d 17 Achte Serie Gips-Modelle Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in München angefertigten Originalen Fortsetzung (vierte Folge) Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Brill XX Fläche von constantem negativen Krümmungsmass mit ebenen Krümmungs- A60 4) linien (nach‘Z. Biancht, vergl. Mathematische Annalen Bd., 16, sowie 4. Enneper Göttinger Nachrichten 1868) Von stud, math, 7. Mack (Grösse 24—18 cm.) Preis Mark ı16 —— XXI Minimalfläche neunter Ordnung (nach Znneper, vgl. Göttinger Nachrichten AG67T 1871 S: 28) Von cand, math. &. Herting (Grösse 26 —34 cm.) Preis Mark 21 S)ı— XX Fläche zwölfter Ordnung, Brennfläche der von einer leuchtenden Linie aus- 462 gehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die Linie trifft, Von stud. math. S. /insterwalder. (Grösse 13—20—12 cm.)' Preis Mark ı5 XX Reliefperspectivische Darstellung eines Würfels, einer Kugel, eines Kegels A und eines Hohlceylinders, auf einem Untersatz vereinigt. Von stud. math. X. Z7hkoma (Grösse 20—45—95 cm.) Preis Mark 23 L xxiv Von Assistent 7A. Kuen Röhren-Schraubenfläche nebst Krümmungslinien AbCGS (Grösse 20—30cm.) Preis Mark 13. XXVa Windschiefe Schraubenfläche nebst Krümmungslinien und Asymptotencunen A6$ Von cand. math. &. Herting. (Grösse 23—22 cm,) Preis Mark. 17. ° A Um die Abwicklung dieser Fläche auf ein Catenoid zu zeigen 222 Catenoid (Umdrehungsfläche der Kettenlinie) aus biegsamem Messingblech,*) Ay= Preis Mark 2 AMU7 Dasselbe in Gips, nebst Krümmungslinien und Asymptotencurven (Grösse 4A65 10—22 cm.). Preis Mark 10. 50. Das Catenoid aus Messingblech wird in die windschiefe Schraubenflache“ in der Weise übergeführt, dass man die Endpunkte des Kehlkreises fasst und diesen in eine gerade Linie auszieht, indem man gleichzeitig ein wenig tordirt ) Der Kehlkreis der Rotationsfläche geht bei der Deformation in die Axe der Schrau- benfläche über. 2 18 XXVIa. Auf. das Rotationsellipsoid abwickelbare Schraubenfläche (nach Z. Bowr, 7 )— (Grösse 25 —12 cm.) Preis Journal de l’Ecole polytechnique Bd. XXIL,) Mark 10. 50. A66 b. Rotationsellipsoid aus biegsamem Messingblech. Preis Mark 2. 50 c. Dasselbe in Gips. (Grösse 3—9 cm.) Preis Mark ı. 50. Ganze Serie: 125 Mark excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk. 11.—. pro ganze Serie in Anrechnung. Der Nr. XX. ist eine Abhandlung von Assistent 7’h. Kuen, den Num- mern XXI., XXII., XXIV. sind Abhandlungen der Verfertiger beigefügt. Die Erläuterung zu Nr. XXIIL ist auf dem Modell selbst angebracht. Darmstadt, 1882. 19 Neunte Serie. Gips-Modelle von Flächen vierter Ordnung nach Herrn Kummer in Berlin. Copien nach den im Besitze des mathematischen Seminars der k. Universität zu Berlin befindlichen Originalen, von Herrn Kummer besprochen in den Monatsberichten der k. Academie der. Wissenschaften zu Berlin von 1862, 1866 , I87;. 1—6 Sechs Typen. von Flächen vierter Ordnung mit vier längs Kreisen berührenden Ebenen. Die Kreise sind die Durchschnittslinien einer Kugel mit den Seitenflächen eines regulären concentrischen Tetraeders, Die Fläche besteht aus vier congruenten Theilen, die in sechs biplanaren A 730 Knotenpunkten zusammenhängen. Preis Mark 17. Wie in Nr. ı, die Tangentialebenen in den Knotenpunkten sind jedoch imaginär. 4 73/ Preis Mark 19, Die Römische Fläche von Steiner. Sie besitzt drei Doppelgerade, die sich 4 /J2 in einem Punkte treffen. Preis Mark 8, Die Fläche besteht aus zehn (sechs und vier je unter sich congruenten) Theilen, A 723 die in zwölf conischen Knotenpunkten zusammenhängen. Preis Mark 23. un Die Fläche besteht aus sechs congruenten Theilen, die in vier uniplanaren AT7J4 Knotenpunkten zusammenhängen. Preis Mark 21. Die Fläche besteht aus vier congruenten Theilen, die. in vier uniplanarenfi/ßf Knotenpunkten zusammenhängen. Preis Mark 23. 7 © Zwei Modelle der Dupin’schen Cyelide mit den Schnittcurven mehrerer doppelt 4 73 6 berührenden Ebenen. Preis zusammen Mark ı2. 32 Nl Fläche vierter Ordnung mit einer Doppelgeraden: geometrischer Ort der Krüm- A/38 mungskreise der Normalschnitte einer beliebigen Fläche in einem positiv ge- krümmten Flächenelement, Preis Mark 6 (Vergl. Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des 3aumes, 2. Theil, 3. Aufl., Cap. VL, é.\308). Die Verlagshandlung hat von Herrn Professor Dr. Kummer in Berlin die Erlaubniss zur Entnahme von Copien der von ihm gefertigten und dem 2* 20 math. Seminar der kgl. Universität zu Berlin überlassenen Modelle erhalten. Diese Förderung ihrer Absichten von berufenster Seite erfüllt sie mit Genug- thuung und verpflichtet sie zu um so lebhafterem Dank, als diese bisher unveröffentlichten Modelle des berühmten Geometers: zu den schönsten und elegantesten gehören, die bisher entstanden sind. Mit gütiger Einwilligung des Herrn Professor Dr. Weierstrass in Berlin wurden die Copien unmittelbar von den Originalen entnommen. Bei der Bedeutung des Gegenstandes, den die Modelle darstellen — es befindet sich z. B. die berühmte Steiner’sche Fläche darunter — und mit Rücksicht auf das Interesse, welches sich zur Zeit überhaupt an die 'Theorie der Flächen vierter Ordnung knüpft,-hegt die Verlagshandlung die Ueber- zeugung, dass auch dieser neue bedeutsame Zuwachs zu ihrem von Jahr zu Jahr sich ausdehnenden Modell-Verlag seinen Weg in die Sammlungen von Unterrichtsmitteln der Univgrsitäten und technischen Hochschulen in Kürze finden wird. Ganze Serie: 120 Mark excl. Emballage und Verse#dungskosten; für erstere kommen Mk. 5. —, pro ganze Serie in Anrechnung. Den Modellen 1—6 legt ein Abdruck der +in den Monatsberichten der Berliner Academie von 1863, 1866 und 1872 erschienenen Besprechungen der Modelle: von Herrn Kummer bei. Darmstadt, 1883. 21 Zehnte Serie. E I. Nachtrag zu den im math. Institut der k. techn. Hochschule in München unter Leitung von Prof. Dr. Brill angefertigten Modellen, nebst zwei Modellen von Dr. 0, Staude AA z ı. Drahtgestelle zur Darstellung von Minimalflächen mittelst Seifenlösung. Preis der ı1r Gestelle 12 Mark a. Zwei Ringe mit Griff und Füssen zur Darstellung der Rotationsflächen con- stanter mittlerer Krümmung (Plateau Statique des liquides, T. 1. p. 93—103) b. Schraubenlinie zur Darstellung der windschiefen Schraubenfläche (ibd, p. 216) c—g. Kanten des Octaeders, der vierseitigen Pyramide, des dreiseitigen Prisma’s, des Tetraeders und Würfels (vgl. Schwarz; . Bestimmung /einer speciellen Mini- malfläche 1871, p. 84) h. Kanten des sechsseitigen. Prisma’s (ibd. p. 93) i. Drahtgestell zur Darstellung der ersten der fünf von Scherck (Crelle’s Journal XI. p. 185) angegebenen Minimalflächen. k. Zwei.rechtwinklig gekreuzte Rechtecke zur Darstellung der fünften Scherck’schen Minimalfläche (Nebst einer Anweisung zur Herstellung der Seifenlösung.) Mlt /2 Zwei Modelle für Fadenconstructionen des Elllp30|d3‚ von Dr. O. Staude, AL zwei Abhandlungen. Preis Mark ı2. a. Construction aus den beiden Focalcurven b. Construction aus einem confocalen Ellipsoid und Hyperboloid —; Dreiaxiges Ellipsoid in Gips, längs eines Kreisschnittes in zwei Theile zerlegbar 43 Preis Mark 4. Nr. XXVII. Modell einer Fläche vierter Ordnung mit zwei 51ch schneidenden As Doppelgeraden. Von stud. math. S. Finsterwalder. (Grösse 10cm.) Preis Mark 3. 50. Nachtrag zu den Dupin’schen Cycliden der 5. Serie (Nr. XVI) AS Parabolische Cyclide mit vier imaginären Knotenpunkten. Modellirt von stud math. S. Znsterwalder. Mit einer Abhandlung. (Grösse des Modells 2—20cm.) Preis Mark 10 Zur 5.Serie Nr. XIII. Flächenstreifen von constantem positiven Krümmungsmass 1416 aus dünnem Messingblech. Preis zusammen Mark 4. 50 AAGE A Nachtrag zu den Wellenflächen der 6. Serie (Nr. 1—4) ASa ad3. Die Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle mit positiver Doppel- brechung , dessen Axenverhältnisse un<'fefahr dem Zinnober entsprechen, (Grösse 9cm.) Preis Mark 4. 22 IXl. Nachtrag. / öf). XXVIII. Drei Typen von Cycliden, für welche die Krümmungslinien Kreise und sphä- rische Curven vierter Ordnung sind, Von S. Finsterwalder. Preis zusammen Mark 1ı2, AMf-I$T Nebst ‚einer Abhandlung von S. Hinsterwalder. Fläche achter Ordnung, die durch Bewegung einer Kreislinie entsteht, deren %) MOM Ebene senkrecht zur Ebene zweier sich senkrecht schneidender Geraden bleibt, während die Endpunkte eines Durchmessers bezw. auf dieser Geraden gleiten ; Arı oder: durch Bewegung des Randes ‚einer Kreisscheibe, welche gegen eine verticale und eine horizontale Wand gelehnt aus der verticalen in die hori- zontale Lage gleitet. Von S. Finsterwalder. Preis. Mark 4. 4R XXX Y ) Zwö!f Typen von Rotationsflächen mit aufgezeichneten Asymptoten- (Haupt- tangenten-) Curven. Von &. Herting. Preis der Collection: Mark 60. Es befindet sich darunter die Fläche, die durch Umdrehung der Sinuslinie um eine Axe senkrecht zur Wellenrichtung entstanden ist (diese Eine mod, ATSS- 164 von H. Sievert) , ferner solche, für welche die Projection der Asymptoten- curven auf eine Ebene senkrecht zur Umdrehungsaxe ein System von Kreisen, von logarithmischen und anderen Spiralen, von Pascal’schen Schneckenlinien u. s. w. ist. Nebst einer Abhandlung von &. Herting. ! XT Bohnenförmig gestaltete Körper zur versuchsweisen Bestimmung der para- AT6S 166 bolischen Curve, der Krümmungs- und Asymptotenlinien u.s.w. Preis zu- sammen Mark ıI, 50. Enveloppen der von einem Punkt ausgehenden geodätischen Linien. Von { y ] xxxar. Dr. A. v. Braunmühl. a) Auf einem dreiaxigen Ellipsoid, AI67 '/1/ b) Auf einem grossen abgeplatteten Rotationsellipsoid (zur Demonstration mit gespanntem Faden, der an einem Stift in dem Ausgangspunkt befestigt ist, geeignet). c) Auf einem grossen verlängerten Rotationsellipsoid (desgleichen). Preis zusammen Mark 14. AD FiXXXUN. Dreiaxiges Ellipsoid mit dem Axenverhältniss 1:2:3. Preis Mark ı. 20. J4 )XXXIV. Nachtrag zu den Modellen von Flächen von constantem pegativem Krüm- mungsmass ; Zwei Flächenstreifen von constantem negativem Krümmungsmass aus AL AL biegsamem Messingblech, mit deren Hilfe das Aufbiegen einer solchen A148 Fläche auf eine andere und deren Verschieblichkeit in sich, überhaupt der Begriff einer »Geometrie« auf diesen Flächen erläutert werden kann, Das 2A28 Krümmungsmass ist dasjenige von Nr. X. der zweiten Serie, Preis Mark 4. — Preis der ganzen Serie: 135 Mark, » des I. Nachtrags: 45 » » » » » . 90 i exel. Emballage und Versendungskosten: für erstere kommen Mk. 12,—. pro ganze Serie in Anrechnung. » 5. —. beim I, Nachtrag. ” T— » IL ” Darmstadt, 1885. Elfte Serie. SS Acht Modelle *über die Abhängigkeit der Rückkehrelemente der Projektionen einer unebenen Kurve von denen der Kurve selbst. Von A Geh. Hofrath Dr. Chr. Wiener, Professor an der Grossh. polytechnischen Schule zu Karlsruhe. 139146 + Wenn sich auf einer unebenen Kurve ein Punkt u-nd mit ihm die Tangente und die Schmiegungsebene der Kurve hinbewegt, so kann an einer Stelle jedes dieser Elemente seinen Bewegungssinn beibehalten oder ihn um- kehren. Dieses Verhalten wird der Charakter der Kurve und eın umkehrendes Element ein Rückkehrelement genannt. Durch Verbin- dung der verschiedenen Charaktere treten acht Möglichkeiten ein. — Die Projektion der Kurve auf-eine Ebene zeigt im allgemeinen für den Punkt und die Tangente dieselben Charaktere wie die unebene Kurve selbst, Nur bei den Projektionen auf die drei Hauptebenen, die Schmiegungs-, die Normal- und die rektificirende Ebene, zeigen sich Aenderungen der Cha- raktere, so dass hier Spitzen und Wendepunkte in der Projektion auftreten können, die an der Kurve nicht vorhanden sind, und solche verschwinden, die sich an der Kurve befinden. Die Modelle zeigen die acht möglichen Fälle, Sie stellen die Kurven aus Draht und die Projektionen auf die drei Hauptebenen durch Zeichnung dar und lassen durch Visiren oder Schattenwerfen die Abhängigkeit ihrer Charaktere, und ‘durch allmähliche Aenderung der Projektionsrichtung die Entstehung der Singularitäten der Projektionen erkennen. Ganze Serie: 45 Mark excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen Mk, 1. —. pro Serie in Axxreuhfiu11g. - Darmstadt, 1884. 24 Zwölfte .Serie. AD Vier Fadenmodelle zu der Raumcurve vierter Ordnung erster Art und ihrer abwickelbaren Fläche Von Dr. Hermann Wiener in Karlsruhe 1 Erster Fall Die Curve liegt auf vier reellen Kegeln Darstellung der Curve als Schnitt dieser Kegel » » Die abwickelbare Fläche der Tangenten der Curve Dar- Zweiter Fall Die Curve liegt auf zwei reellen und zwei imaginären Kegeln stellung als Schnitt jener beiden Die abwickelbare Fläche ihrer Tangenten Dritter Fall Die Curve liegt auf vier imaginären Kegeln Darstellung als Schnitt zweier geradliniger Hyperboloide Die abwickelbare Fläche der Tangenten Die ‘ vorliegenden Modelle sollen die Haupteigenschaften derjenigen Raumcurven yierter Ordnung, die der Schnitt der Flächen zweiter Ordnung eines. Büschels sind, sowie der abwickelbaren Fläche ihrer Tangenten und der Doppelcurve dieser Fläche zur Anschauung bringen Und zwar ist dies für die drei wesentlich verschiedenen Formen der als reell. vorausgesetzten Raumcurve durchgeführt, welche von der Reellität der vier im Flächenbüschel enthaltenen Kegel abhängen ”). Je nachdem von d1esen nämlich vier, oder zwei, oder keine reell sind, besitzt ihre Schnitt- curve zwei pare Aeste, einen einzigen Ast oder zwei unpare Aeste. Das erste Modell zeigt die ‘Curve, welche der Durchschnitt von yier zeellen Kezeln 1st Von jedem derselben ist eine Anzahl von Er- zeugenden durch Fäden dargestellt. Es laufen dann immer vier Fäden durch ’ einen Curvenpunkt und halten eine Perle, deren Gesammtheit d1e Curve veranschaulicht. Das zweite Modell b11det eine Ergänzung des ersten, indem es dieselbe Curve wie jenes vorführt diesmal aber eingehüllt durch ihre ver- *) Man vergleiche v. Staudt, »Beiträge zur Geometrie der Lage«, Art, 558, 560 u, 561 25 mittelst Fäden dargestellten Tangenten. In den Ebenen je. dreier Kegel- spitzen treffen sich die Tangenten parweise und bilden so die aus vier rationalen ebenen Curven vierter Ordnung zusammengesetzte Doppelcurve der abwickelbaren Fläche. Jede ‚dieser vier Curven besitzt in drei Die Punkte der Kegelspitzen Doppelpunkte, von denen je einer isolirt. ist. Doppelcurve sind. da, wo sich zwei Fäden treffen, wieder durch Perlen be- zeichnet. Da sie aber auch isolirte Theile enthält, in denen sie die Die Fläche ‚verlässt, so. zeigen Drähte ihren vollständigen Verlauf an. Zwickpunkte der Doppelcurve, in denen die isolirten Theile auf die Fläche stossen, sind die Schnittpunkte der vier Ebenen, in denen sie liegt, mit der Raumcurve. Diese Punkte sind auch bezüglich der Raumcurve ausgezeichnet, indem sie singuläre Punkte derselben sind. Sie besitzen nämlich Rückkehr- schmiegungsebenen (diese Singularität ist im zweiten Modell der Serie XI. dargestellt)l Es ist dadurch zugleich der allgemeine Satz veranschaulicht, dass in einem derart singulären Punkt einer beliebigen Raumcurve die ab- wickelbare Fläche diese verlässt und weiterhin yi_solirt verläuft. Das dritte Modell, welches die Curve darstellt, durch die nur zwei reelle Kegel gehen, vereinigt für diesen Fall, was für den ersten in zwei Modelle getrennt ist. Das vierte Modell stellt die Raumcurve vierter Ordnung ‚dar, / durch welche kein reeller Kegel geht. Da die Curve die Eigenthümlichkeit hat, dass sie nurauf geradlinigen Flächen zweiter Ordnung liegt, so war es möglich, sie durch zwei Hyperboloide herzüstellen, von welchen je eine Schaar von Erzeugenden durch eine Anzahl von Fäden veranschaulicht ist. Die vier imaginären Kegelspitzen liegen parweise auf zwei reellen‘ Geraden und diese sind einander conjugirt in Bezug auf jedes der beiden Hyper- boloide, d. h. sie sind Gegenkanten von zwei Tetraedern, deren übrige Kanten durch Erzeugende je einer der Fläche ‚gebildet sind. Diese Erzeu- gendéhsind durch besondere Fäden, jene Gegenkanten durch Drähte her- vorgehoben. Jeder von diesen schneidet die beiden Hyperboloide in sich trennenden Punkteparen, den Eckpunkten der Tetraeder. Die Involution, der diese Punktepare angehören, hat die imaginären Kegelspitzen zu Doppel- punkten. Die abwickelbare Fläche ist auch hier angegeben, sie zerfällt, wie die Curve selbst, in zwei Theile, die in diesem Falle vollständig getrennt sind, indem ihre Doppelcurve durchweg imaginär ist. Es stellen die ersten beiden Modelle die Gebilde in der grössten /auf-, tretenden Vollständigkeit dar; in dem einfacheren Falle konnten sie in einem einzigen Modelle, dem dritten, vereinigt werden; das vierte Modell zeigt von den anderen völlig verschiedene, beson.ders interessante Formen. 26 Zum Schluss mag noch auf die verschiedenen Formen hingewiesen werden, welche die Projectionen der Raumcurve auf eine Ebene an- nehmen. Dieselben sind ‘ Curven mit zwei Doppelpunkten und erschöpfen sämmtliche Formen, die eine solche Curve aufweisen kann. Auch hier tritt, wie bei den Raumcuryven, der Unterschied derer mit zwei paren Aesten, einem einzigen Ast, oder zwei unparen Aesten auf. Aber in jeder. dieser Abteilung treten noch sehr verschiedenartige Formen auf, welche erkannt werden, wenn man das Auge in die verschiedenen Theile des Raumes bringt, die durch die Kegel und die abwickelbare Fläche begrenzt werden. So sind _ allein. bei der Curve des ersten Falles ı8 verschiedene Formen der Projection zu unterscheiden, während im zweiten und dritten Falle ı1 bezw. 3 verschiedene Formen auftreten. Die Anregung zur Anfertigung dieser Modelle hat .der V erfasser durch seinen Vater erhalten, indem er schon in seiner Studienzeit am- Polytechnikum zu Karlsruhe ein zu dieser Gruppe gehöriges Modell für die Sammlung des Unterrichts für .darstellende Geometrie ausfüh#e. Preis der ganzen Serie: 380 Mark. Bei. Einzel-Bezug der Modelle kostet Nr. ı 110 Mark, Nr. 2 110 Mark, Nr, 3 110 Mark, Nr. 4 70 Mark excl. Emballage und Versendungskosten; für erstere kommen bei Bezug der ganzen Serie Mk. 6.—. in 3 Anrechnung, bei Bezug einzelner Modelle werden dieselben nach Verhältniss berechnet. A Darmstadt, 1884. x} \ 2 2 27 I. Flächen A Ordnuné: A Efiipsoide. B, Hyperboloide und Kegel, Zweiter Theil. I. Flächen zweiter Ordnung.‘). i)ie im Folgenden aufgeführten Modelle von Flächen zweiter Ordnung in Gips sind mit Ausnahme von Nr. 3, 4 und 8:von dem Studirenden E. Diesel an der techn. Hochschule in München angefertigt. 7. Messinggabel mit Holzfuss, zur Aufs£ellung eines der Cartonmodelle Nr. 5, 6 dienlich, auch A. Ellipsoide., für die Modelle Nr. 10, 16, 22 pro Stück . 1.50. 1. (IIT. ı.) Ellipsoid mit Angabe der Haupt- Gestelle und Gabeln zum Aufstecken sämmt- schnitte; Axenverhältniss: V3: V2: V ı, grosse | licher Cartonmodelle, ‚nebst Holzteller, zu- Halbaxe = 5 cm, (10—6 cm.). M 1.40. | sammen „ M' 10. 50. 2. (IIL 3.) Desgl.; grosse Halbaxe = 9 cm. (18—11 cm.) Mo.1.90. ä 3.(X., 2.N., xxxın.) Ellipsoid; Axenverhält- niss 3:2:1, grosse Halbaxe = 17cm. (17—6cm.) M 1.20. 4.(X., 1.N.,3:) Ellipsoid, iängs eines Kreis- S — é Z= 1 A; schnittes in 2 Theile zerlegbar (13—7 cm.) M, 4. —. =——_—__ 5.* (Cart.-S. 1.) Ellipsoid aus Cartonscheiben, NB. Modelle von Ellipsoiden mit Krüfi1— beweglich, gebildet von 2 aus Carton geschnit- mungslinien, geodätischen Linien u,s. w. sind tenen, in einander gesteckten Kreisen. unter Nr. V..A. aufgeführt, B. Hyperboloide und Kegel. => z LE 7 8. (III. 5.) Einschaliges Hyperboloid mit An- - Z ‚gabe der Hauptschnitte und des Asymptoten- Z Z Z /‚ kegels, grosse Halbaxe der Kehlellipse = 4 cm. S S € < © |(23—14 cm.) . M. 8 20. © N A ?\\ SA &S X | A& \ S S4 Z X ' 9. (III. 6.) Dasselbe mit den beiden Schaaren ALYO % S x S © S SA Z ZNZ < von Erzeugenden (23—14 cm.) M 13:60. P S Z S N fl“ SI E < NS N=- S M BT Unter Anwendung eines leichten Druckes n T kann man das Ellipsoid eine mehrfache Mannig- % S C& X XX XXAA %i O D faltigkeit von Gestalten durchlaufen lassen, S A XX RSN 0000 SOM O 00 XX XX K O 6S (Diese Bemerkung gilt für alle Cartonmo- Un A ': X NN 6S N S \ delle; Erläuterung hierzu, von Prof, Dr. Brill Ö verfasst, wird denselben beigegeben.) \ M N d f Ag 6.* (Cart.-S.2.) Dasselbe, anderer Construc- / tion, gebildet aus 30 Kreisen, UU TWar RS eEE 1) Die Flächen zweiter Ordnung mit Krümmungslinien, geodätischen Linien u, s. w. finden sich unter V, A. aufgeführt. 28 I, Flächen 2, Ordnu]n_g:r B HyperboloideÄ AS 10.* (Cart.-S, 3.) Einséhaligcs Hyperboloid aus ® Cartonscheiben, bewegl., gebildet aus 34 Kreisen, ä I1. (IV. 1.), Einschaliges Hyperboloid, unver- 1 /1/7j änderliches Fadenmodell, Es zeigt beide Systeme A | r \‚ä von Erzeugenden nebst dem Asymptotenkegel; jedes System wird durch 64 Fäden repräsentirt, AD B 31 Axenverhältniss der Kehlellipse 21 : 13. (14— } \ 24 cm.) ; M 300 —. 48 | M \ a ' M | i \\\ ANAN N \ "V N S W XX X % Ü OM l / \ X C A Ü / N f ! | *1 M L | | # 4275( OO l'l { UE &o MM HN 200 f Al x N T 000 } N N f Yı f f N N j MI M A Y w.. Ü N SN .j‚/_\ Sn ;/' 1, X M Y 7 (Zu Ord. N 13 IV- 3. 14. (IIT. 17.) Elliptischer Kegel; H‚alba#en der 12. (IV.2:) Einschaliges Hyperboloid, beweg- 7 liches Fadenmodell, in der einen Grenzlage ein Grundellipse 10,4 und 5,4 cm., Höhe 11,5 cm. 5 Dieser Kegel ist Asymptotenkegel sowohl zum Cylinder, in der andern ein Kegel, bei gegen- seitiger Neigung der Leitkreise eine Fläche vierter ’einschaligen Hyperboloid Nr.8, wie zum zwei- E schaligen Nr.17. (23—13 cm.) M 3.80. Ordnung. Die Beschreibung im I. Theil,. IV. ı 4 15. (VL. 5.) Kreiskegel mit Ellipsen-, Hyperbel- Serie, Nr. 2. (22—55 cn_1.) . M6.70.—. 4A3 u. Parabel-Schnitten ; zerlegbär, (21-33cm.) „ß{7_22. 16.* (Cart.-S. 7.) Kegel, bewegliches Carton- A8 4 j( © %i modell, gebildet aus 26 Kreisen, E A a s A Z S 17.(LIT. 8.) Zweischaliges Hyperboloid mit den A \\ Hauptschnitten und demselben Asymptoten- } \ N N \ Y 4 kegel wie das einschalige/Nr. 8, Reelle Haupt- “ % axe = 0,93 cm. (13—23.cm.) . Mb.13. 60, 18.* (Cart.-S. 4.) Zweischaliges Hyperboloid SIN N aus Cartonscheiben, beweglich; jede Hälfte aus As X N N } A } \ \ 24 Kreisen gebildet, ; M \ 19. Zwei, Messinggabeln mit Holzfuss, zum N N \ Aufstecken von Nr. 18 M.2.— aı / / I8 E N ! | | Il M . '1 i! | Il | | { 4 U 11 M d Al enl } | J! ( il | |:li 11 „ — S —> ..| 13. (IV.3.) Bewegliches, einschaliges Hyper- | boloid, in beiden Grenzlagen ein Kegel. Vergl. | die Beschreibung im I, Theil, IV. Serie, Nr. 30 NB. Modelle von Hyperboloiden mit Krüm- (22+—50 cm.) . M.75.—. | mungslinien sind unter Nr, V, A, aufgeführt, I. Flächen 2. Ordnung: C. Paraboloide. 20 C. Paraboloide. | 28. (IV.4.) Hyperbolisches Paraboloid, unver- | änderliches Fadenmodell. Die Beschreibung im 20. (III. 10.) Elliptisches Paraboloid mit den I. Theil, IV. Serie, Nr. 4: (18—30cm.) M 44. —. Haüptschnitten; Halbaxen der Grundellipse 9,5 und 6cm. (6—20 cm.) M.2.80. —l 273 21. (III. 1 1.) Dasselbe mit Schnitten parallel zur i Ü % d Ü A ]l;‚ Grundellipse (6—20 cm.) . M 3.80. Ü M fl A anı } HRN 22.* (Cart.-S. 5:) Elliptisches Paraboloid ’aus E BTA Il '1A Cartonscheiben, beweglich, 28 Kreise. aaan S H T / B W S S S 9 9 / Al 23. (III. 13.) Hyperbol. Paraboloid (gleich- ‘\Ä‘„\ 4 : ;” H ü Durchmesser ' seitig) mit den Hauptschnitten, K M des Begrenzungscyl. = 14 cm. (15-13 cm.) /. 3. 80. SS .':'." .':':;I:: :: nhn“‘l\lu-« &S X © .’" S 24 (1I1. 14.) Dasselbe mit Horizontalschnitten S ---.ml' [42 MNb. 6. 80. (gleichs. Hyperbeln) (15—13 cm.) 25. (III, 15:). Dasselbe mit beiden Schaaren | AL von Erzeugenden (15—13 cm.) 6508 | 20.(1V35): : Dasselbe; beweglicheé Faden- Ä10 |modell” Die Beschre ; EV. SeHe, libung im I. Theil Nf. 5 MO \ S Z Z E a Z 5 26.* (Cart.-S. 6.) Hyperbolisches Paraboloid, o A bewegliches Cartonmodell, gebildet aus 26 gerad- S dl 7 linig begrenzten Schnitten, Al 4S XX X 0 % ) F A X > d ( e \ g S ! / il O D 27. Holzteller : zum Aufstellen des vorigen Z Modells . ML —. NB. Modelle von Paraboloiden mit Krüm- &x En mungslinien sind unter Nr. V. A. aufgeführt, 30 IT. Algebraische Flächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung. ‘ Al II. Algebraische Flächen höheren Grades. % di A. Serie von Flächen 3. Ordnung Fläche, In die 6 rothen Verbindungsstrahlen T} je zweier Knoten (Knotenstrahlen). sind je 4 M nach Angabe von Prof. Dr. C.Rodenberg. Geraden hinein gefallen; die 3 weissen Geraden Vergleiche Rodenberg’s Aufsatz: »Zur Classifi- dagegen sind einfach ‚(un är). Der durch die cation der Flächen 3. Ordnung«, Mathem. An- nalen Bd, XIV, pag. 46 ff. Der Serie ist eine 4 Eckpunkte bestimmte tetraederförmige Flächen- 2 theil liegt ganz im Endlichen und ist positiv A von Rodenberg verfasste Abhandlung beige- geben., gekrümmt. (13—15 cm.) j 4A33 30. (VII. 1.) Diagonalfläche mit 27 reellen 32.*.33.* 34.* 35.* (VIL 3, 4,.5, 6)) Sämmtliche A3 Geraden, 10 der 15 Dreiecke, welche auf der 4 Flächen sind Collineationen der Fläche Nr. 31. allgemeinen Fläche dritter Ordnung von den Je nachdem man zur Gegenebene (Ebene, die 15 rothen Geraden gebildet werden, und inner- bei der Collineation zur unendlich fernen Ebene halb welcher 10 Ovale der parabolischen Curve gemacht. wird) eine Ebene wählt, welche den M4 tetraederförmigen Theil nicht trifft und. die D liegen, sind hier auf Punkte (Ovalpunkte) zu- sammengeschrumpft , in welchen sich je 3 Ge- Fläche nach einer Curve dritter Ordnung mit raden schneiden. Die 15 rothen Geraden haben Oval schneidet, oder von diesem . Theil eine je zwei reelle Asymptotenpunkte, d. h. unter den Kuppe abtrennt, oder einen Knoten des tetra@der- Kegelschnitten, nach welchen alle durch eine förmigen Theils von den 3 übrigen, oder end- solche hindurchgehenden Ebenen die Fläche lich 2 Knoten desselben von den 2 übrigen schneiden, befinden sich 2 reelle, diese Gerade abscheidet, erhält man der Reihe nach aus Nr. 31 in den vorhin genannten Punkten berührende, die Flächen Nr. 32, 33, 34, 35. In den drei ersten Fällen wurde ausserdem die Gegenebene hori- Die 12 weissen Geraden bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die Asymptotenpunkte imaginär. zontal gewählt, im letzten durch /‚eine der unären Geraden (s. Nr. 31) gelegt, so dass beim Mit Ausnahme der Oyalpunkte und der erwähnten f Asymptotenpuhkte ist die ganze Fläche negativ Modell Nr. 35 eine dieser 3 Geraden im Unend- M 20. — lichen liegt. Der tetraederförmige Theil erstreckt gekrümmt. (15—24 cm.) sich' bei allen, mit Ausnahme von Nr. 32, in’s Unendliche . und ist immer positiv gekrümmt. i;;‚ f (13—15 cm,) / 36.* (VIT. 7.) Fläche mit 3 conischen Knoten- ,43q A punkten C,. Sie entsteht aus der Diagonal- 7 e 1 / ß CN N / | N fläche durch Zusammenziehen der 3 unteren 1 ellipsenförmigen Oeffnungen zu Knoten, Die II ( S 3 weissen Geraden sind daher unär und besitzen } ‘ reelle Asymptotenpunkte, in die blauen sind 2, / in die rothen (Knotenstrahlen) 4 Gerade hinein- gefallen. Die parabolische Curve besteht, ab- A aa gesehen von den 3 als Theile derselben doppelt 31.* (VIT. 2.) Fläche mit 4 reellen conischen zählenden Knotenstrahlen , aus einer -Curve A34 Knotenpunkten C„*). Man erhält dieselbe durch sechster Ordnung mit 3 Doppelpunkten in den Knoten, deren Tangenten daselbst die blau ge- Zusammenzichen der 4 Hälse aus der vorherigen zeichneten Geraden sind. (11—15cm.) *) Die Buchstaben C, 3, U bedeuten be- 37.* (VIL. 8.) Dieselbe Fläche, aber von der A% ziehungsweise conische, biplanare, uniplanare anderen Flächenseite Knoten; der angehängte Zeiger gibt die Anzahl betrachtet - (der andere der Einheiten an, um welche die Classe durch Raumtheil ausgefüllt). Sie veranschaulicht die die betreffende Singularität erniedrigt wird, Bildung des Ug von Nr.45 aus 3 C,. (11—15 cm.) _ II. Algebraische Flächen höheren Grades A, Serie von Flächen 3. Ordnung 31 ® Ausnahme von Punkten parabolischer Krüm- /( %Z 38.* (VII. 10.) Fläche mit einem biplanaren Knoten B;, dessen 2 Tangentialebenen (auch mung) positiv gekrümmt (13—15 cm.) Hauptebenen genannt) reell sind und der die 42.* (VII. 13.) Fläche mit einem. biplanaren, A4S Classe um 3 erniedrigt Ausser den 6. durch die Classe um 4 erniedrigenden Knoten B, mit den B, gehenden, dreifach zählenden Geraden imaginärem Hauptebenenpaar und ausserdem (roth) existiren noch 9 unäre (s. oben) Geraden noch 2 imaginären conischen Knoten C,. Ausser \€l 4 (weiss), wovon 5 reelle, 4 imaginäre Asymptoten- der .durch 3, gehenden vierfach zu rechnenden n le punkte besitzen Die parabolische Curve be- Geraden (grün), nach welcher sich die beiden steht aus einem paaren Zug mit 4 Schleifen und imaginären Hauptebenen daselbst schneiden D IV 2 Ovalen. B, ist ein achtfacher Punkt derselben, liegt noch eine die 2 imaginären. Knoten ver- es gehen aber nur 4 reelle Aeste durch ihn bindende vierfach zählende Gerade (roth) und ‚A hindurch, elche zu je zweien die beiden Haupt- unendlich fern, die beiden eben genannten ebenen, nicht aber die Knotenstrahlen be- schneidend, eine unäre Gerade auf ihr Die M rühren, die in denselben liegen Die Fläche Fläche ist negativ gekrümmt (13—16 cm.) e veranschaulicht die Entstehung des Ug aus dem 43 (VII. 14.) Fläche mit einem conischen A Bg durch Vereinigung seiner Ebenen, (10—15 cm.) Knoten C, und einem biplanaren B,, welcher A%3 39 (VIT. 11.) Fläche mit einem biplanaren ein reelles Hauptebenenpaar besitzt und die Knoten B, , dessen Hauptebenen conjugirt ima- Classe um 5 erniedrigt Die 2 Hauptebenen ginär sind. Die parabolische Curve, welche im gehen durch die zehnfach zählende grüne Ge- Allgemeinen bei Flächen mit einem Ssolchen rade, die eine berührt die Fläche längs derselben Knoten eine aus 3 reellen Ovalen bestehende und schneidet sie nach der fünffach zählenden Curve ı2, Ordnung mit einem isolirten acht- durch B, gehenden. weissen. die andere berührt fachen Punkt im Knoten ist degenerirt hier längs der zehnfach zu rechnenden rothen Geraden in eine ebene Curve dritter Ordnung und eine Ausserdem liegt auf der Fläche noch die zwei- Raumcurve neunter Ordnung. Die Fläche ent- fache, durch C, gehende weisse Gerade Ab- hält nur mehr 3 reelle unäre Gerade mit reellen gesehen von, als Theile der parabolischen Curve, (12—15 cm.) mehrfach zählenden Geraden (rothe fünffach Asymptotenpunkten 40.* (VII. 9.) Fläche mit 3 reellen biplanaren grüne vierfach), ist die parabolische Curve eine A%T Knoten B;, von denen jeder die Classe um Curve dritter Ordnung, welche die erstgenannte 3 erniedrigt und für welche sämmtlich die Hauptebene in 3, zur Schmiegungsebene be- Tangentialebenenpaare reell sind Die 3 ver- sitzt und in C, die durch denselben gehende weisse Gerade berührt (13—15.) schiedenen Hauptebenen gehen durch je 2 der 3 Knotenstrahlen, in welche je 4 Gerade hinein- 44 (VII. 15.) Fläche mit einem reellen co- A%T7 A gefallen sind, und osculiren die Fläche längs nischen Knoten C, und einem biplanaren Bg derselben Die Fläche ist durchaus positiv ge- mit reellem Hauptebenenpaar, der die Classen- zahl um 6 reducirt krümmt mit. Ausnahme der Knotenstrahlen, Beide Hauptebenen gehen welche, jeder als Theil der parabolischen Curve durch die fünfzehnfach zählende grüne Gerade ; vierfach zählend, die parabolische Curve reprä- die eine osculirt die Fläche längs derselben, die sentiren. (11—15 cm.) andere berührt längs der zwölffach zu rechnenden rothen Der zwischen den. beiden Knoten- ‚4{/9 41.* (VII. 12.) Fläche mit einem biplanaren, punkten liegende geschlossene Flächentheil ist die Classe um 4 erniedrigenden Knoten B, mit reellem Hauptebenenpaar und ausserdem positiv gekrümmt, der andere negativ. (12-15 cm.) noch 2 reellen conischen Knoten C,. Diejenigen 45 (VII. 16.) Fläche mit einem uniplanaren, A% die Classenzahl um 6 reducirenden Knoten Ug, beiden grünen Geraden, welche 3, mit je einemn der C, verbinden, zählen achtfach die dritte dessen Hauptebene die Fläche in 3 achtfach zählenden rothen Geraden schneidet, Sie ent- grüne Gerade, in der sich die Hauptebenen von 4 Sschneiden, sechsfach; der rothe Knoten- steht aus"Nr, 37 durch Zusammenziehen der 3 @ DE strahl vierfach; die weisse Gerade ist unär und Knotenpunkte in den Ug ; die 3 unären Geraden enthält 2 reelle Asymptotenpunkte, Der zwischen von Nr. 37 bleiben dabei erhalten und. besitzen den 3 Knoten gelegene Flächentheil ist (mit ebenfalls reelle Asymptotenpunkte Im Allge- 32 e AlgebraischéFlächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung. * meinen, besitzt eine solche Fläche zur pafabo- den, weissen Kegelschnittes (Kreis) gebildet und lischen Curve eine solche sechster Ordnung, ist, wie alle Regelflächen, von derselben Classe welche die Form eines die 3 unären Geraden wie Ordnung, d. h. hier der dritten.. Die grüne berührenden Ovals besitzt, Weil aber auf dem Gerade durchsetzt die Ebene des Kreises hier vorliegenden Modell diese 3 Geraden sich schnei- in seinem Innern, (13—15 cm.) den, verschwindet dieses Oval und die Fläche 50.* (VIT. 21.) Dasselbe, nur verläuft die $3 ist negativ gekrümmt. (12—15 cm.) Doppelgerade zum Theil isolirt; sie verlässt die reellen Flächentheile \ 46.* (VIL 17.) Dasselbe, jedoch schneidet die in 2. Zwickpunkten *), A4y Tangentialebene im uniplanaren Ug die Fläche welche auf der Fläche durch den Durchschnitt nur nach einer reellen rothen Geraden, Ausser der 2 rothen Erzeugenden mit der Doppelge- dieser enthält die Fläche nur noch eine reelle raden markirt werden, Diejenigen durch die unäre Gerade (weiss), welche reelle Asymptoten- grüne Gerade (hier ausserhalb des Kreises ver- punkte besitzt, Die parabolische Curve, im laufend) gehenden 2 Ebenen, welche den Kreis allgemeinen Fall eine aus 2 Ovalen bestehende, berühren, liefern die 2 rothen Erzeugenden, jeden Knotenstrahl in Ug berührende‘ Curve (13—15 cm.) Y sechster Ordnung, ist hier in 2 ebene Curven 51.* (VIL. 22.) Cayley’sche Regelfläche dritter S dritter Ordnung ausgeartet, von denen jede in Ordnung. Die beiden Zwickpunkte der vorigen Ug einen Rückkehrpunkt besitzt, (12—15cm.) Fläche häben sich im unendlich fernen Punkt A50 47-* (VIT. 18.) Fläche mit einem uniplanaren, der Doppelgeraden vereinigt. Sie entsteht dann, wenn die grüne (vergl. Nr. 49) Gerade den Kreis die Classe um 7 reducirenden Knoten U,, dessen Tangentialebene die Fläche längs der sechzehn- trifft; diese Gerade wird dann zugleich die d Doppelgerade.‘ (13—15 cm.) fach zählenden grünen Geraden berührt und nach der zehnfachen rothen schneidet, Die 52.* (VII. 23.) Dasselbe, Collineation der $ vorigen Fläche; der Kegelschnitt liegt im Un- Tangentialebene längs der letzteren Geraden enthält die einzige unäre Gerade der Fläche endlichen. (13—15 cm.) A mit 2 reellen Asymptotenpunkten, Die para- 53.* (VITI. 26.) Drahtmodell, Abbildung der bolische Curve. ist, von den dazu gehörigen Flächen mit 1, 2, 3, 4 conischen Knoten C,, Geraden abgesehen (grüne sechsfach, rothe welche einem reellen Penta@der angehören, auf ”. doppelt), eine Curve vierter Ordnung, welche den Punktraum, Im Allgemeinen lässt sich die aus einem einzigen Oval besteht und in U, Gleichung einer jeden Fläche dritter Ordnung eine Spitze mit der grünen Geraden als Tan- als die Summe von 5 Cuben von linearen Aus- gente daselbst besitzt, Durch diese Fläche drücken in den Coordinaten darstellen , und findet der Uebergang von Nr. 45 zu 46 statt, zwar_ nur ‚auf. eine Weise, Diese 5 Ebenen (12—15 cm.) bilden das zu dieser Fläche gehörige Penta&der, sıe bestimmen AST 48.* (VIL. 19.) Fläche mit einem uniplanaren 10 Schnittgerade (Penta@der- Knoten Ug, durch welche die Classenzahl um kanten), und 10 Schnittpunkte (Penta&derecken) ; 8 vermindert wird. Die Tangentialebene in Ug ausserdem gibt es noch 10 Ebenen, welche je durch eine Penta@derecke und die gegenüber- osculirt die Fläche längs der einzigen sieben- undzwanzigfach zählenden Geraden, Sieht man liegende Kante gehen (Diagonalebenen). Das vorliegende Drahtmodell stellt nun schematisch von dieser als Theil der parabolischen Curve das allen Flächen‘ mit nur conischen Knoten zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist die (Nr. 30—37) gemeinsame Penta@der dar, (Für parabolische Curve ein Kegelschnitt, der in Ug ‚MS die Gerade der Fläche berührt, (12—15 cm,) die Diagonalfläche Nr, 30 lässt sich dasselbe sofort / angeben. Die 10 Ovalpunkte dieser M 49.* (VIL. 20.) Regelfläche, deren Doppel- A gerade völlig von reellen Flächentheilen um- *) So nennt man diejenigen Punkte einer geben ist. Sie wird (wie Nr. 50 und 571) durch Doppelcurve, in welchen die beiden Tangential- ebenen zusammenfallen; sie trennen im Allge- die Verbindungsgeraden entsprechender Ele- meinen ı die isolirt verlaufenden Theile der mente der grünen Geraden und des auf sie Doppelcurve von den reellen und sind als” uni- projectivisch bezogenen, auf der Fläche liegen- planare Punkte zu betrachten, —_ * IT. Algebraische Flächen höheren Grades: A, Serie von Flächen 3. Ordnung; B. Cycliden, 33 ü Fläche sind die 10 Eckpunkte des Pentaöders; Schnittpunkte je einer rothen und weissen Ge- die 5 Ebenen desselben sind diejenigen Ebenen raden (3 davon liegen im Unendlichen).-' Auf der welche je 3 nicht durch einen Punkt gehende Hesse’schen Fläche liegen ferner 16 Geraden, r rothe Gerade enthalten; die 10 Diagonalebenen längs welchen dieselbe Tangentialebene berührt, sind _ die Tangentialebenen in den Ovalpunkten,) Die gelben Drähte sind die Kanten des Pen- I0 davon sind die Kanten des der zugehörigen Sß Fläche dritter Ordnung angehörenden Pentaöders A ta&ders (dazu gehört noch die in 'der Hori- die 6 andern sind zugleich die 6 Knotenstrahlen zontalebene gelegene, unendlich ferne Gerade), der Fläche dritter Ordnung. (Wird die obige ihre Schnittpunkte (wovon 3 im Unendlichen) die Ecken desselben ; die rothen Geraden Schnitte Fläche als Hesse’sche Fläche von Nr. 31 ange- sehen‚ so sind die rothen Geraden auf ihr die von Penta&der- und Diagonalebenen ; die Knotenstrahlen die grünen Pentaederkanten grünen von Diagonalebenen mit einander Die für Nr. 32 verhält es sich umgekehrt). (21-25 cm.) Diagonal- und Penta&derebenen theilen den Raum 55.*(VII.24 b.) Der durch die Knotenpunkte ım ganzen in 15 Kammern, wovon 5 von 4 (Te- ASA tra&derkammern) I0 von 5 Ebenen (Penta&der- begrenzte ; endliche Theil der vorhergehenden E kammern) begrenzt werden Fläche vergrössert und regelmässig angenommen — In jedem Pentaöder gibt es im Allgemeinen nur eine einzige Fläche Derselbe würde ein Theil der Hesse’schen Fläche einer solchen Fläche. dritter Ordnung 'sein, _ für welche in einem gegebenen Punkt einen Doppel- punkt besitzt Je nachdem nun dieser Punkt in welche. das Tetra@der der Knotenpunkte ein reguläres ist und bei der die Ebene der 3 unären verschiedenen Kammern gewählt wird, gibt es e verschiedene Arten von Flächen dritter Ordnung, (weissen) Geraden im Unendlichen liegt. (13-16 cm,) die durch die römischen Zahlen im Modell ge- kennzeichnet sind, Ausser der beiliegenden Er- klärung, von Rodenberg verfasst vergleiche dessen V Abhandlung in den Mathem. Annalen Bd 14, pag. 46 ff.; bezüglich des Pentaöders ferner die M Abhandlung von Clebsch im Crelle’schen Journal l f H Bd. 59, pag. 194 ff. ; ferner Salmon Fiedler, Geom des Raumes IL, Theil, Art. 269, 82. 2. Aufl = (14—22 cm.) | S \ i V / | | :ZE8 H ( I Al d 56.* (VIL.25.) Hesse’sche Fläche zu Nr. 36, ASS F aus Zweckmässigkeitsgründen ‚in etwas andern k A KFE - PE Dimensionen modellirt, Sie besitzt 13 reelle Kno- ten, davon 3 im Unendlichen; ferner ı 3 Gerade, W: 10 davon sind die Kanten des Penta@ders (eine ist unendlich fern), 3 die Knotenstrahlen der ihr A zugehörenden Fläche dritter Ordnung. (21 25 cm.,) SE E '/45'6 54.* (VIL. 24 a.) Hesse’sche Fläche zu Nr. 3 und 32. Sie ist eine Fläche vierter Ordnung mit 14 reellen Doppelpunkten, von denen im vor- B. Cycliden. ) liegenden Fall 3 im Unendlichen liegen. In den Unter Cycliden im allgemeinen Sinn (nach 4 Knotenpunkten der Fläche dritter Ordnung Darboux) versteht man alle diejenigen Flächen (Nr. 31), welche zugleich der Hesse’schen Fläche vierter Ordnung welche den unendlich fernen nn m— angehören, kommen noch diejenigen 10 Knoten imaginären Kugelkreis zur Doppelcurve haben hinzu, welche in den 10 Eckpunkten des ihr deren Sie sind die Enveloppen aller Kugeln UE zugehörigen Penta&ders liegen; 6 davon sind die Mittelpunkte auf ’einer, Fläche zweiten Grades 3 ‘ 34 II. Algebraische Flächen höheren Grades: B. Cycliden, liegen und eine gegebene Kugel stets orthogonal 60. (V.xvıb.) Horncyclide. Sie besitzt neben A 2 imaginären 2 2 schneiden, Sie besitzen zwei Schaaren von reelle Knotenpunkte, ; welche 4$ Kr isen, den beiden Schaaren von Erzeugenden 2 aus einander liegende Flächenmäntel vereinigen ; der X Jächen zweiter Ordnung entsprechend, doch die‘ aufgezeichneten Kreise sind Krümmungs- sind ‚dieselben nicht nothwendig zugleich Krüm- linien. (19-—6cm.) . 11505 mungslinien; die Krümmungslinien sind im All- gemeinen vielmehr höhere algebraische Curven, Z Diese Flächen können bis zu 4 Knotenpunkte enthalten, Die Flächen mit 1, 2, 3, 4 Doppel- } D Z punkten erhält man auch durch Transformation mittelst reciproker. Radien beziehungsweise aus folgenden Flächen zweiter Ordnung: a) allge- meine Fläche zweiter Ordnung, b) beliebiger 61. (V.xvıc.) Spindelcyclide, Sie besitzt neben Kegel, c) Rotationsfläche , d) Kreiskegel. Da D z die Krümmungslinien dabei erhalten bleiben, 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte, welche 23 2 ineinander liegende Flächenmäntel vereinigen ; und Gerade und Kreise im Allgemeinen in Kreise, 1/ Ebenen und Kugeln in Kugeln übergeführt wer- die aufgezeichneten Kreise sind Krümmungs- linien, (12-9 cm.) M 6.50. den,.so besteht im Falle b) und c) das eine A A System von Krümmungslinien aus Kreisen, die 62. (V. xvıd.) ‚Parabolische Horncyclide, Sie;4 ; .1Ä8’ sich in 2 Doppelpunkten der Fläche schneiden, besitzt 2 reelle Kinotenpunkte, welche durch ,Z‚5 ‚ das andre wird durch Kugeln ausgeschnitten eine auf der Fläche liegende Gerade verbunden (ist sphärisch). Im Falle d) sind die beiden sind; die 2 imaginären Knotenpunkte liegen ebenfalls auf einer zur ersten senkrechten Ge- Kreisschaaren, welche aus den Erzeugenden resp. Parallelkreisen des Rotationskegels sich ergeben, raden; die Fläche ist blos dritter Ordnung (die von denen die ersteren sich in den 2 reellen, reelle unendlich ferne Ebene sondert sich ab). die anderen in den 2 imaginären Knotenpunkten (15—11 cm.) . M.11.50. sich schneiden, zugleich Krümmungslinien, Man 63. (X., I.N.,5.) Parabolische Ringcyclide. Bei nennt diese letzteren Dupin’sche Cycliden, Die- ihr sind alle 4 Knotenpunkte imaginär, die Ver- selben ergeben sich auch als Enveloppen aller bindungsgeraden beider Paare, welche ganz auf Kugeln, welche .3 gegebene berühren. Vergl., ; der Fläche liegen, dagegen reell. Ausser diesen die Abhandlung von Maxwell in Quart, Journ. befinden sich noch 2 sich schneidende Gerade of Math. Bd. 9, pag. 111, sowie Salmon-Fiedler, und eine unendlich ferne auf der Fläche, die Geometrie des Raumes, II. Theil, Art. 313—323 Die aufgezeich- (2. Aufl.). von der dritten Ordnung ist, neten Curven (Kreise) sind Krümmungslinien, 57—63..Dupin’sche Cycliden. Sie wurden Die Fläche enthält, wie Nr. 62, den unendlich mit Ausnahme von Nr, 58; 59 und 63 von Assistent fernen imaginären. Kugelkreis nur mehr einfach, NN Dr. P. Vogel mogellirt. es sondert sich die unendlich ferne Ebene als ein 57. (V. xvıa.) Ringceyclide mit 4 imaginären Bestandtheil ab. Von stud, math. Finsterwalder. ALS M.10.5— Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche Wulst- Erklärung beigegeben, (18—12 cm.) fläche ein specieller Fall). Die aufgezeichneten 2 Kreisschaaren sind die Krümmungslinien, Die 3 folgenden Flächen (Nr. 64, 65, 66; X A (17—6 cm.) M.9. —. ILN., xxvın.) sind Cycliden im weiteren /Ä/? | Sinn mit 3, beziehungsweise 2 Knotenpunkten — AB6 58. 59. (IX. 7 u. 8.) Dasselbe in zwei verschie- denen Verhältnissen, Auf beiden sind ausser und wurden von stud, math, Finsterwalder ge-/1f7 fertigt. Erläuterung beigegeben. 437 den Krümmungslinien noch Schnittcurven meh- Preis zusammen M, 12. — rerer doppelt berührender Ebenen aufgezeichnet, 64. Fläche mit 2 conjugirt imaginären Doppel- Diese beiden Modelle sind Abgüsse der im Be- sitze des mathematischen Seminars in Berlin punkten. (10—7 cm.) befindlichen ‘von Herrn Kummer angefertigten 65. Fläche mit 2 conjugirt imaginären Doppel- Originale, (12—5 u. 9 - 6 cm.) M 12.—. punkten und einem reellen. (10—5 cm.) IT. Algebraische flächen höheren Grades: C, Kummer’sche Flächen; D, Flächen 4. Ordnung, 35 4 { 66. Fläche mit einem uniplanaren Knoten, Ü der durch Zusammenziehung der 3 Knoten ent- D. Serie von Flächen 4, Ordnung mit 4 längs Kreisen berührenden steht. Ebenen. X Die beiden letzteren Flächen sind Orthoéonal— flächen desjenigen Strahlensystems, welches durch 79—75. (IX.. 1—6.) Diese Modelle sind Copien nach den im Besitze des mathematischen Semi- Reflexion eines Strahlenbüschels an einem un- A Im Falle nares. der k. Universität zu Berlin- befindlichen endlich dünnen Kreisringe entsteht, 730 65. liegt der leuchtende Punkt ausserhalb des S Originalen, von Herrn Kummer besprochen in den Monatsberichten der k. Akademie der Wis- Kreises in der Ebene desselben, im Falle 66. auf dem Kreise selbst. senschaften zu Berlin von 1862, 1866, 1872, (Abdrücke beigelegt.) Die. 3 Flächen sind Repräsentanten von Flächen vierter Ordnung, für die ein Mantel Die Gleichung aller. dieser Flächen lässt sich in die Form bringen': der Centrafläche sich auf einen Kreis reducirt, — 1pgqgrs=0, wo @ die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung ; $ D,gq,r,s die von 4 Ebenen bedeuten; es sind C. Kummer’sche Flächen. dies diejenigen 4 Tangentialebenen, welche die Flächen längs einer Curve berühren, Die 4 Ebenen 266 Die Kummersche Fläche (Singularitätenfläche bilden in den Modellen ein reguläres Tetraeder : 4 ‘ eines Complexes, zweiten Grades) ist von der 268 vierten Ordnung und von der vierten Classe 2= %+ C Ar 2 S —- und besitzt 16 Knotenpunkte und ebensoviele —x+y—z—a Doppeltangentialebenen , welche je 6 Knoten- r —xX—y+z—a punkte enthalten, Vergl. Kummer, Abhand- D S G lungen der Berliner Akademie von 1866 pag.62ff. ; und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten desselben Plückers Werk: Neue Geometrie des Raumes ete., mit der Fläche zweiter Ordnung, einer Kugel, Leipzig 1868; Salmon: Geometrie des Raumes IT. pag. 411—414, sowie Kapitel XII, deren Mittelpunkt mit dem des Tetraöders zu- sammenfällt und deren Gleichung daher ist: z 67. (II. vıa.) Alle 16 Knotenpunkte und Dop- P +F, peltangentialebenen sind reell. (22—19 cm.) M6 24. sind Knotenpunkte der dargestellten Fläche vierter Ordnung. Je nach der Annahme des Radius der Kugel 7 und des Parameters 2 (das Tetraöder als gegeben ‚betrachtet) erhält man N AA verschiedene Typen, von ‚denen die charakte- ßä ristischen modellirt sind, z 70. (IX. 1.) Die Fläche besteht aus. 4 con- d“ | gruenten Theilen, die in 6 biplanaren Knoten- 430 T punkten zusammenhängen. Die > 2 Tangential- ebenen in jedem solchen Punkt sind reell und A berühren. die Fläche in Kreisen. Sie entsteht, 68.(II. vıb.) 8 der Knotenpunkte und Doppel- indem die Kugel die Kanten. des‘ Tetraöders M tangentialebenen sind reell, (30—20 cm.) M, 28. — berührt, d. h. indem a=r7, 1<o. Die aufge- \ 69. (IT. vıc.) 4 der 16 Knotenpunkte und Dop- zeichneten Curven sind die Kegelschnittpaare, ( nach welchen die Fläche von jeder Tetraöder- peltangentialebenen sind reell, (20-16 cm.) . 18.—. fläche geschnitten wird, Die biplanaren Knoten Alle 3 Modelle wurden von stud, math. Rohn besitzen hier die Eigenthümlichkeit, dass in den- modellirt; Erläuterungen hierzu beigegeben. Zu selben jede durch den Schnitt der beiden Tan- den Kummer’schen Flächen ist ferner noch die gentialebenen gehende Ebene die Fläche nach unter Nr. VI. aufgeführte Wellenfläche zu rechnen einer Curve mit Berührpunkt statt mit Spitze (Nr. 159 und 161). schneidet, (11-—1I cm.) . M 17.—. 9* 36 11. Algebraische Flächen höheren Grades: D. Flächen 4. Ordng.; E, Flächen 4. u. höherer Ordng. 71.(IX.2.) Wie oben, In den biplanaren E. Diverse algebraische Flächen A Knotenpunkten sind jedoch die Tangentialebenen vierter und höherer Ordnung. / imaginär; man erhält sie, wenn man a = ”7 setzt 76. (IX. 9.) Fläche vierter Ordnung mit einer /4 und 21>0 wählt. (10—10 cm.) . M.19. —. Auf derselben liegen 2 Zwick- Doppelgeraden., AM32 72. (IX.3.) Römische Fläche von Steiner. punkte und ein 3 facher Punkt, Durchstosspunkt /38 Man erhält sie, indem man a =7, 1= I Setzt. der. Doppelgeraden mit der Fläche, Alle durch Sie besitzt 3 sich schneidende Doppelgerade und diese Gerade gelegten Ebenen schneiden die ist von der dritten Classe. (10—10cm.) M.8.—. Fläche nach Kreisen. Die Fläche ist der geo- A metrische Ort der Krümmungskreise sämmtlicher A Ul Normalschnitte in einem gewöhnlichen Punkte Z (positiver Krümmung) einer beliebigen Fläche. A (Vergl. Salmon-Fiedler, Geometrie des Raumes, IL, Theil, 2. Aufl, Cap. VI.$. 308. (9—3 cm.) M 6.—. N Abguss nach einem von Herrn Kummer an- 'Ul) ıy gefertigten und in dem Besitze des mathema- tischen Seminars der Berliner Universität befind- lichen Modell. Ar33 73.(1X.4.) Fläche aus 10 (6 und 4 je unter sich 77.(X., I. N., 4.) Fläche vierter Ordnung mit 2 congruenten) Theilen bestehend, welche in 12 sich schneidenden Doppelgeraden (böhmisches conischen Knotenpunkten zusammenhängen ; Gewölbe). Sie besitzt auf jeder der Doppel- geraden 2 Zwickpunkte, einen einfachen Selbst- ©a berührungspunkt, 4 nach Kreisen berührende (11-— 11 cm,) . 2>o‚' . M.23. —. Tangentialebenen und entsteht dadurch, dass man den Mittelpunkt eines Kreises auf einem 74 (1X. 5.) Fläché‚ bestehend aus 6‘ con- andern von gleichem Radius fortrücken lässt, _Ä'/34 gruenten Theilen, welche in 4 uniplanaren Knoten wobei die Ebene des beweglichen Kreises stets zusammenhängen, Die Kugel geht durch die zu sich parallel und senkrecht zur Ebene des Ecken des Tetra@ders, die 3 Knoten der drei- festen vom Mittelpunkt des beweglichen durch- zipfligen Theile der vorigen Fläche vereinigen laufenen bleibt, Von stud, math, Finsterwalder, sich zu einem uniplanaren. Man erhält sie ‚für : (6—10 cm.) M. 3. 50. Man nie c r=aV2, 1>0. (10—10cm,). . M.21. —. = S Z Al \ Z“ 78.(X.,1L.N., xxıx.) Fläche achter Ordnung, Sie A besitzt 2 zu einander senkrechte, sich schnei- RLD LA Y % dende Selbstberührungsgerade, von denen jede in 2 uniplanaren Punkten höherer Ordnung nd aus 4 Ccon- (durch Zusammenziehen. von 2 Zwickpunkten \\iä 75. (IX. 6.) Fläd%e, bestehe entstanden) aus ihr heraustritt, 2 congruente gruenten Theilen, die in 4 uniplanaren Knoten ebene Doppelcurven vierter Ordnung, die im zusammenhängen, Man erhält sie für > = a V2, Mittelpunkt (hohe Singularität) einen Selbstbe- 2 <o. (12—12.) . M.23. —. rührungspunkt besitzen und aus der Fläche in Diesen Modellen ist als Erläuterung ein Ab- zusammen 8 Zwickpunkten heraustreten, endlich 2 Doppeltangentialebenen, welche die Fläche druck der in den Berliner Akademieberichten Sie entsteht vom Jahre 1863, 1866, 1872 erschienenen Ab- Jlängs zweier Kreise berühren, durch die Bewegung eines Kreises von unver- handlungen von Prof, Kummer über diesen änderlichem Radius dadurch, dass die End- Gegenstand beigegeben, HI. Transcendente Flächen. 37 punkte eines Durchmessers desselben stets auf angesehen werden als ein Theil der Brennfläche 2 zu einander senkrechten Geraden gleiten (die der von einer leuchtenden Linie ausgehenden beiden Selbstberührungsgeraden), während die Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder ’ dessen Axe die Linie trifft, Die Fläche besitzt Ebene des beweglichen Kreises stets auf der- jenigen der beiden Geraden senkrecht steht. Die als Rückkehrkanten 2 sich in einem Punkte be- M genannte Fläche enthält den unendlich fernen rührende gleichseitige Hyperbeln und eine wei- imaginären Kugelkreis als Doppelcurve. Von tere Raumcurve, die sich selbst und die Hy- stud. math. Finsterwalder, (7—5 cm.) M 4. —. perbeln in dem: genannten Punkt berührt, Von stud. math. Finsterwalder, hierzu eine Erläute- A 79. (VIIT. xx11.) Fläche zwölfter Ordnung, Ihre Horizontalschnitte sind solche Brennlinien, wie rung. (20—15 cm.) . . M.15. —. 62 sie durch Reflexion eines‘ von einem Punkt aus- Dahin gehören ferner die unter V,C, auf- gehenden Strahlenbüschels an einem Kreise ent- geführten algebraischen Flächen, und zwar die stehen, Dieselben sind so auf, einander ge- Minimalfläche neunter Ordnung (Nr. 147), einige schichtet, dass die reflectirenden Kreise einen der Rotationsflächen mit/ Asymptotencurven Kreiscylinder bilden, während die leuchtenden (Nr. 113—-117, 119—122) und die Krümmungs- centraflächen des Paraboloides Nr. 157, des Punkte eine um 45° gegen die Horizontalebene geneigte Gerade ausfüllen, Die Fläche kann Hyperboloides Nr. 160., n s III. Transcendente Flächen. 2? <ı transformiren, am besten 2?= Es E ILEL Z ergibt sich dann, dass im Intervall %? > ı das Modell in vertikaler Richtung sich nicht in’s Unendliche erstreckt, sondern eine endliche Höhe besitzt, die um so kleiner wird, je grösser £? ist, ( . Z Modellirt und mit, einer Erläuterung versehen von studd. math. Th.. Kuen und Chr, Wolff, F==—=>— (35— 19 cm.) . M.18.—. Sie 81. (VIII. xxıv.) Röhrenschraubenfläche, A64 ist die Enyveloppe aller Kugeln von.constantem A 0, (V. xu.) Darstellung der elliptischen Func- Radius, deren Centra auf einer Schraubenlinie liegen. Das eine System der Krümmungslinien 21 tion8 @==am ( £) durch eine Fläche, @ wurde besteht aus den zur mittleren. Schraubenlinie vertikal, £ und ‚x horizontal aufgetragen (Mass- senkrechten Kreisen, das andere aus transcen- stab für Z-Achse wurde %mal so gross als der für die 2 andern Grössen genommen). Für £? < ı denten Curven (weiss), die jedoch nicht Schrau- % benlinien wie die blau gezeichneten sind, Das genügen zur Construction des Modelles die Le- gendre’schen‘ Tabellen, und in diesem Intervall Problem führt auf Kreisfunctionen, die Asymp- totencurven führen dagegen auf elliptische Func- erstreckt sich die Fläche auch in vertikaler Rich- tionen, ä tung in’s Unendliche, Zur Construction des Von Assistent Th. Kuen, dazu eine Erläuterung. (20—30 cm.) . M 13 —. Modells für die Werthe %? > ı muss man das elliptische Integral : Andere dieser Rubrik angehörige Flächen d finden sich unter V.A. Nr. 118, 123, I24, die sämmtlichen Flächen unter V. 8., von Ellipsoiden „;j0"’ V ı— R sin? @ und Kugeln abgesehen, und unter V, c, Nr, 140 f auf ein anderes solches Integral mit einem Modul 45 38 IV, Raumcurven, IV. Raumcurven. VE DE Sa e m C z £E Paweie Y SA Z ‘t / m Z Z | JEETTEETTHETENETTENTENTTTENE {l lr ET TE üın Beschreibt ein Punkt (P) eine unebene Raum- 91. Erster. Fall: Die Curve liegt auf vier curve, so bewegt sich im Allgemeinen zugleich reellen Kegeln, Darstellung der Curve als Schnitt %l seine Tangente und die Schmiegungsebene, Dabei dieser Kegel, M.a10. —. kann es sich ereignen, dass von den 3 Elementen 92. Desgl. : Die abwickelbare Fläche der eines oder 2 oder alle 3 stationär werden. Den . M 110. —. die hierbei eintreten Tangenten der Curve 8 verschiedenen Fällen, können, entsprechen 8 Typen eines Elementes S ME Hia Z einer Raumcurve mit im Allgemeinen singulärem ‚w 0 Verhalten, Vergl. Ausführung zur 10, Serie im av |f"‘ F I. Theil dieses Cataloges. :„[ S 82—89. (XI.) Modelle (aus Draht) der_ eben \ 138 genannten 8 Typen von Prof, Wiener in Carls- =—=—® / S ruhe, (I‚I_'I7 cm.) zusammen M, 45. —. 146 f 00 (Vdxix a D:, d Die Raumcurven ıl \DATS | VZZ S SSS : Mit0l Marn Zenk PE gu B dritter Ordnung auf Cylindern zweiter Ordnung. Je nachdem die unendlich ferne Ebene einer 28 93. Zweiter Fall: . Die Curve liegt auf zwei solchen Curve in einem reellen, oder in 3 reellen, oder in einem reellen und 2 zusammenfallenden reellen und zwei imaginären Kegeln, Darstel- lung als Schnitt jener beiden. Das Modell zeigt (Berührung), oder endlich in 3 zusammenfallenden 4 (Osculation) Punkten getroffen wird, unterscheidet zugleich die abwickelbare Fläche ihrer Tan- genten . M.110.—. man 4 verschiedene Typen, welche beziehungs- weise cubische Ellipse, Hyperbel, cubisch-hyper- G bolische Parabel und cubische Parabel genannt 1 %. N S { N iY %. L werden, und die auf elliptischen, hyperbolischen M (darauf befindet sich sowohl die Hyperbel als N D V I auch die cubisch - hyperbolische Parabel) und ll W parabolischen Cylindern liegen. Vergl. Salmon- X Y Fiedler, Geom. des Raumes, II. Theil, pag. 88 f£, N (2. Aufl.) Von stud, math. Lange modellirt und 0 N ß Z N U W errn ran ealrnnn mit einer Erläuterung versehen, (7—10 cm.) äl il A V LA d i S @N \ zusammen M, 18. —. Die Curve liegt auf vier 91—094. (XIT. 1—4.) Vier Fadenmodelle zu 94. Dritter Fall: der Raumcurve vierter- Ordnung erster Art und imaginären Kegeln, Darstellung als Schnitt ihrer abwickelbaren Fläche, Von Dr. Hermann Das Modell zweier geradliniger Hyperboloide. Wiener in Carlsruhe. Vergl. die Beschreibung zeigt zugleich die abwickelbare Fläche der Tan- auf S, 24 —27 des Catalogs, genten M 70. —. N Krümmupg d. Flächen: A. Krümmungslinien, Asymptotencurven u, geod, Linien auf Flächen, 39 V. Krümmung der Flächen. A, Krümmungslinien, Asymptoten- | 97. (IIT. 7.) Einschaliges Hyperboloid mit Krüm- curven”)und geodätische Linien auf mungslinien (vergl. Bemerkung zu Nr. 95). (23— M Flächen. Z 3 cm.) MLE | 95—101. Krümmungslinien von Flächen zwei- 98. (III. 18.) Elliptischer Kegel mit Krüm- ter Ordnung. Modellirt von R. Diesel, Stud. der mungslinien.. Die eine Schaar von Krümmungs- 278 techn. Hochschule München, Nebst zwei erläu- Jinien sind hier die Erzeugenden, die andern ternden Abhandlungen. sphärische Curven; sie werden durch einen End- 95. (IIT. 2.) Ellipsoid mit den beiden Schaaren punkt eines Fadens beschrieben, dessen anderer A (78 von Krümmungslinien. Die Hyperboloide . erster Endpunkt in der Spitze befestigt.ist, Dieser Kegel ist Asymptotenkegel zu 97 und 99. (23—13 cm.) und zweiter Art, welche mit dem Ellipsoid zu demselben ‘confocalen Flächensystem gehören, M 5.60: schneiden aus ihm die Krümmungslinien aus (die IN N Schnittcurven eines confocalen , Flächensystems N N sind für alle 3 Schaaren Krümmungslinien). Man E& \ \ kann diese Curven auch dadurch erhalten, dass JE man in 2 von den 4 Nabelpunkten (den Berühr- £] punkten der zu den Kreisschnitten parallelen Tangentialebenen) die Endpunkte eines Fadens befestigt und ihn vermittelst eines Stiftes anspannt. 99. (IIT. 9.) Zweischaliges Hyperboloid mit Tässt man den Stift sich bewegen, so beschreibt er eine Krümmungslinie, Axenverhältniss des Krümmungslinien, Es besitzt 4 reelle Nabel- Z punkte, Das eine System von Krümmungslinien, Ellipsoids \/37 VE grosse Halbaxe 5 cm. (10—6 cm.) M.2.80. das aus der Fläche durch die Ellipsoide des zu- gehörigen confocalen Systems ausgeschnitten wird, 96. (IIT. 4.) Dasselbe, grosse Halbaxe 9 cm. kann durch dieselbe Fadenconstruction -wie beim (18—11 cm.) M6.6.80. Ellipsoid construirt werden, das andere durch die V — einschaligen Hyperboloide ausgeschnittene aber M 16. 40. nicht. (23—13 cm.) % e . 4 S } J P 7 p "’." + Z - OE *) Eine Asymptoten- oder Haupttangenten- curve ist eine [übrigens nur für die sattelförmigen -d, h, convex-concaven (negativ-gekrümmten) Par- +\* Dn tien der Fläche reelle] Linie, längs deren jede In Tangente in 3 consecutiven Punkten trifft, solchen Partien ist demnach die Fläche von 2 Sy- a stemen Asymptoten - Curven überdeckt, welche nn m— ON d IS im Allg. nicht, wie die beiden Systeme von Krüm- mungslinien , allenthalben auf einander senkrecht A stehen, deren Winkel jedoch überall. von den 100, (IIT. 12.) Elliptisches Paraboloid mit Krüm- Elementen der Krümmungslinien halbirt werden. mungslinien. Diese Curven schlingen sich um die 274 - A Die Asymptotencurven stehen nur senkrecht bei solchen Flächen, für welche die Indicatrix allent- 2 reellen Nabelpunkte de$selben; das geschlossene System lässt sich durch die beim Ellipsoid ange- halben eine gleichseitige Hyperbel ist, d, h, bei Diese Fläche den Minimalflächen, gebene Fadenconstruction finden. V 40 V Krümmung d, Flächen: A, Krümmufigsfinien, Asy@ptotencurven u. geod, Linien auf Flächen, géhört ebenfalls einem dreifach orthogonalén Sy- Systemen solcher, welche von einem Punkt aus- X 2 M 2 gehen. Diejenigen geodätischen Linien, welche SM OE +22=12), 2 stem an _ [Gleichung: Ara + B die ‘ symmetrisch gestaltete der 2 rothen , vier- spitzigen. Curven umhüllen, kommen von einem das 2 Systeme von elliptischen Paraboloiden, eines nach der positiven, das andere nach der negativen Punkte 4 des Aequators, diejenigen, welche die andere rothe Curve berühren, von einem auf einem °Seite der z-Axe geöffnet, und ein System hyper- bolischer Paraboloide enthält, Die Durchdring- Parallelkreis gelegenen Punkte 4,. 2 der 4 Spitzen ungscurven dieser Flächen sind Krümmungslinien der zu 4, gehörigen Enveloppe liegen selbstver- derselben, (12—20 cm.) Y M6.6.80. ständlich in dem durch 4, gehenden Meridian, die 2 andern aufdem zum Parallelkreis durch A, symmetrisch gelegenen Parallelkreis und zugleich auf der ‚geodätischen Linie, welche in 4, den Parallelkreis durch 4, berührt. (Vergl. Nr. 106,) (12—8 cm.) . M.6.50. 105.*(X., II.N., xxx11C.) Dasselbe in grösserem ? Massstab. Die von einem Punkt A ausgehenden 76 geodätischen Linien bilden eine Enveloppe, die von einem' in A befestigten Faden umhüllt wird, 1 (18—12 cm.) 106.* (V. xvın b.) Sphäroid (abgéplattetés Ro- tationsellipsoid) mit geodätischen Linien und En- A 101, (IIT. 16.) Hyperbolisches Paraboloid mit Krümmungslinien (vergl. Bemerkung zu der vor- veloppen von Systemen solcher, welche von einem 47 Punkt ausgehen. Die Bedeutung und Gestalt der hergehenden Fläche). (16—12 cm.) M 4.70. ä Curven wie in Nr. 104. (10—7 cm.) M.6. 50. Hieher gehören ferner die unter II. 3. aufge- 107.* (X., II.N., xxx11b.) Dasselbe, grösserer | führten Cycliden, deren Krümmungslinien be- kannt sind, die unter III. als Nr. 81 aufgeführte Massstab. Durch einen im Punkte A befestigten 168 Röhrenschraubenfläche und die Bianchi’sche Faden kann man die Erzeugung der Enveloppen Fläche V.8. Nr. 136. demonstriren. (18—13 cm.) 102. (I. ıy.) Geodätische Linien auf dem ver- 108,* (X., II.N., xxx11a.) Dreiaxiges Ellipsoid A13 nebst Andeutung der Enveloppe von geodätischen längerten Rotationsellipsoid, Das Problem führt 767 M auf elliptische Functionen, Es sind 3 Linien Linien, welche von einem Punkt ausgehen. Durch den Ausgangspunkt der geodätischen Linien gehen (roth, blau, violett) aufgezeichnet. Construirt und 4r mit Erklärung versehen von stud, math. Rohn. 2 Krümmungslinien ; die 4 Spitzen der Enveloppe (auch hier ist, sie ein vierspitziger Curvenzug) (18—12 cm.) M.6. —. liegen zu je zweien auf denjenigen Krümmungs- 103. (I. v.) Geodätische Linien durch die Nabel- linien, welche zu den durch den Ausgangspunkt AlU punkte (siehe Bemerkung zu Nr. 95) eines drei- gehenden. beiden symmetrisch liegen. (Vergl. b axigen Ellipsoides, Das Problem führt auf Dr. A, von Braunmühl’s Abhandlung in den elliptische Funktionen, Eine geodätische Linie Mathem. Annalen, Bd, 20, pag. 557 ff.) (19-11cm.) durch den einen Nabelpunkt geht stets auch Nr..105, 107 u. 108 zusammmen M, 14. —. durch den ihm gegenüber liegenden und nähert sich. nach einer’Richtung asymptotisch demjenigen Die Modelle Nr. 104 bis 108 wurden von Dr. A, von Braunmühl construirt. (Vergl. dessen Hauptschnitt, der durch die beiden Nabelpunkte geht. (Vergl. Salmon - Fiedler, Raumgeometrie Abhandlung in den. Mathem, Annalen Bd., 14, pag. 553 ff. und Bd. 20.). Erläuterung beigegeben, IT. Theil, 2. Auflage, pag. 167 ff. Berechnet und construirt von stud, math. Rohn. Erläuterung 109.*(X., I.N., 2 b.) Modell zu Staude’s Faden- 2 ” beigegeben. (19-—11 cm.) M 6, —. construction des Ellipsoides aus 2 gegebenen con- focalen Flächen zweiten Grades, Wenn ein ge- 104. (V. xvın a.) Verlängertes Rotationsellipsoid A m it geodätischen Linien und Enveloppen vor:| schlossener unausdehnbarer Faden, der um zwei f8} V. Krümmung d, Flächen: A. Krümmungslinien, Asymptotencurven u, geod; Linien auf Flächen, 41 ineinandergefügte confocale Flächen, ein Ellip- Scheiteltangente., Gleichung der Fläche: soid und ein einschaliges Hyperboloid, herum- UE W=VAÄFLy), geschlungen ist, durch einen beweglichen Punkt der Projection der Asymptotencurven in Polar- derart gespannt wird, dass er beständig jeden coordinaten: @ = 1}_logr. (19—13cm.) der beiden durch das Ellipsoid getrennten Theile des Hyperboloides berührt (sei es in einem 114.* (X., IL1.N., xxx b.) Rotationsfläche , ent- Punkt oder längs eines ganzen Curvenzugs), so standen durch Umdrehung der cubischen Parabel [$$ beschreibt der Punkt ein den gegebenen Flächen um ihre Wendetangente, Gleichung der Fläche: confocales Ellipsoid. Der rothe Faden legt sich z =27r7, der Projection der Asymtotencurven an beide Theile des Hyperboloides längs eines in Polarcoordinaten: p = Vg log7. (14—14 cm.) Theiles der Schnittcurve an (erster Fall), der andere, 115.* (X., IL.N., xxxf.) Rotationsfläche, ent- gelbe, nur an den einen Theil, berührt dagegen den andern nur in einem Punkt (zweiter Fall). standen durch Umdrehung der Neil’schen Parabel um ihre Rückkehrtangente, Gleichung der Fläche : 767 (20—9 cm.) 110.*(X., I.N.; 22.) 29 — 25r%, der Projection der Asymptotencurven Modell (aus Draht) zu in Polarcoordinaten: #= Vi1logr. (14—17 cm.) A Staude’s Fadenconstruction des Ellipsoides aus den 7 2 Focalcurven des zum Ellipsoid gehörigen con- 116,*(X., IL.N., xxx d.) Rotationsfläche , ent- focalen Flächensystems. (Specieller Fall der vorigen standen durch Umdrehung der gleichseitigen Hy- 760 Erzeugungsweise). Der Apparat gestattet nur. das perbel um eine ihrer Asymptoten. Gleichung der obere vordere Viertel des Ellipsoides zu con- Fläche z.7=6, der Projection der _Asymptoten- struiren; dabei muss sich der Faden von unten Z curven in Polarcoordinaten: @ =— 21logr. (15— an die Ellipse, von hinten an die Hyperbel an- 16 cm.) legen. Die . Länge des Fadens: ist gleich der grössten Axe des Ellipsoides, vermehrt um die 117.* (X., II. N., xxxc.) Rotationsfläche, deren Gleichung ist: 7?=8. Gleichung der Asymp- 1764 Differenz der Excentricität der Ellipse und Hy- perbel. (20—10 cm.) totencurven: @ = 3 logr. (15—16 cm.) , Ö Beide Modelle sind von Dr. O. Staude con- 118.* (X.,, II, N., xxxe.) Rotationéfläche‚ ent- struirt, (Vergl, dessen Abhandlung in den Mathem, standen durch Umdrehung der logarithmischen Annal, Bd., 20, pag. 147.) Erläuterungen desselben Spirale um ihre Asymptote. Gleichung der Fläche : 1763 Verfassers sind beigegeben, Beide zus, M, 12. — 2 = 6 log 7, der Projection der Asymptotencurven : y=logr. (16—11 cm.) l 111.*(X., IL N., xxx1a.) Bohnenförmiger Kör- per mit Symmetrieebenen zur Anstellung von 119.* (X., II.N., xxxk.) Rotationsfläche , ent- Proben bezüglich des Verlaufes der Krümmungs- standen durch Drehung der Parabel um eine Pa- 4/éf' linien, Asymptoten- und parabolischen Curven auf T einer Fläche, (14---8 cm.) rallele zur Axe,Gleichung der Fläche : z = « (r—a)?, der Projection der Asymptotencurve: RT 112.* (X., II.N., xxx1b.) Dasselbe, andere Ge- ” , (Cardioide). (16—16 cm.) stath (tordirte Bohne, (10—6 cm.) w V a 4 166 Beide Modelle zusammen A, ı. 50. 113—125. (X., II.N., xxx a—m.) Modelle von 120.* (X., II.N., xxxg.) Rotationsfläche, ent- standen durch Umdrehung der Parabel um eine verschiedenen Rotationsflächen mit aufgezeichneten TER Asymtotencurven, Man gelangte zu denselben Parallele zur Scheiteltangente, Gleichung der Fläche: 22 — a?(y— a), der Projection der durch die Frage nach solchen Rotationsflächen, deren Asymptotencurven zur Projektion auf eine Asymptotencurven : Ebene senkrecht zur Axe, gegebene Curvensysteme 2(r+ Vr(r—a))———rz (logarithmische Linien, Kreise etc.) besitzen. a.bis 1, P= \/%— 10g « a (18—15 cm.) R von stud. math. Herting berechnet und modellirt. Zusammen /6. 60. —. 121.* (X., IL.N., xxxh.) Rotationsfläche, ent- A 113.* (X., II.N., xxx a.) Rotationsfläche , ent- standen durch Umdrehung der Cubischen Parabel 1SE /' f7 standen durch Umdrehung der Parabel um ihre um eine Parallele zur Wendetangente, Gleichung . 42 v Krümmung d. Flächen: B. Fl. von const. Krümmungsmass u, aufeinander abwickelbare F1 der Fläche z = aB(y— a) der Projection der B. Flächen von constantem Krüm- Asymptotencurven mungsmass und auf einander ab- wickelbare Flächen. 20 +V7 7(r+a))+a p= V3 1og a Für die Flächen von constantem Krümmungs- (18— 19 cm.) mass ist das Produkt der beiden Hauptkrüm- 122.* (X., IL1.N., xxxi.) Rotationsfläche, ent- mungsradien, dessen reciproker Werth nach Gauss standen durch Umdrehung der Neil’schen Parabel gleich dem Krümmungsmass der Fläche in dem A 3 betrachteten Punkt um eine. Parallele zur Rückkehrkante Gleichung ist, an jeder Stelle . das- selbe Nach dem Vorzeichen dieses Produktes der Fläche: z = a® (r — a) der Projection der Asymptotencuryven unterscheidet man Flächen von constanter posi- tiver oder negativer Krümmung oder von der (r + Vr(m — a)) P= Vı log a Krümmung Null Alle Flächen von gleichem (13—17 cm.) constanten Krümmungsmass sind ohne Faltung und Dehnung auf einander aufbiegbar und in 123 (X., IL N., xxx1.) Rotationsfläche, deren sich selbst verschiebbar wie z. B. die Ebene 188 Gleichung ist oder die Kugel Man kann auf solchen Flächen r 7V C arccos — daher von Congruenz der Figüren reden, weil man E ) getrennt gelegene Flächenstücke durch Verschie- Die Projection der Asymptotencurven ergibt ein bung zur Deckung Bringen und mit einander System von Kreisen, die durch denselben Punkt vergleichen kann Die nothwendige Bedingung gehen. (14—20 cm.) zum Autbau einer Geometrie, im Euklidischen Sinn 124 (X., II.N., xxxm.) Rotationsfläche, ent- ist damit für diese Flächen gegeben; an standen durch Rotation der Sinuslinie: z = cos 7 die Stelle der »Geraden« tritt hier nur die kürzeste Die 184 Das Modell erläutert das Verhalten der Asymp- oder allgemeiner die »geodätische Linie« Geometrie auf den Flächen von constanter po- totencurven in der Nähe der parabolischen Curve Im Allgemeinen setzen die Asymptotencurven auf sitiver Krümmung ist die gewöhnliche sphärische Geometrie ; die auf den Flächen von constanter die parabolische Curve mit Spitzen auf und negativer Krümmung wird die Nicht-Euklidische nur wenn letztere die Berührungscurve einer Doppeltangentialebene ist wird sie von den Geometrie genannt und deckt sich mit der durch Lobatschewsky begründeten, welche des’elften Asymptotencurven berührt Die, aufgezeichneten Kreise bilden die parabolische Curve Berechnet Axioms von, Euklid entbehrt. Der Unterschied dieser und der sphärischen ist im verschiedenen und construirt von stud, math, Sievert in München (21—5 cm.) Verhalten ‚ der , geodätischen Linien begründet Q\Ä (vergl. die diesbezüglichen Anmerkungen, bei bei- 125. (II. vıı.) Fläche - dritter Ordnung vierter den ‚Flächengattungen) Classe mit 4 reellen konischen Knoten, auf welche Die nachfolgenden Flächenmodelle sind unter eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet ist anderm dem Studium dieser Geometrie zu dienen entspricht dualistisch einer Asymptotencurve der bestimmt Zu diesem Zweck sind einzelnen &3 Nummern verbiegbare Messingbleche von dem Steiner’schen Fläche (vierter Ordnung, dritter Classe) und ist nach Clebsch (Crelle Bd. 67, S. 9) Krümmungsmass der Flächen beigegeben durch eine Raumcurve sechster Ordnung, vierter Classe, Die partielle Differentialgleichung , die in jedem Knotenpunkt der Fläche einen Rück- welche diese Flächen definirt sind, wird unter kehrpunkt besitzt Von stud. math, Bacharach Voranssetzung einer Rotationsfläche zu einer Erläuterung beigegeben. (14—22 cm.) MTa gewöhnlichen integrirbaren - und liefert für die Meridiancurve der Fläche die Gleichung Geodätische Linien bezw. Asymptotencurven —#} finden sich auch auf den Flächen von constantem ars ® VE —c+t“’ Krümmungsmass V. ®. Nr. 126 1275 132—134 und von constanter mittlerer Krümmung V.Cc wobei.+ z? das constante Krümmungsmass der Nr, 140—144, 146 u. 147 Fläche bezeichnet V. Krümmung d. Flächen; B, Fl. von const. Krümmungsmass u, aufeinander äb\viclielbare Fl 43 Sowohl für die Flächen positiver: wie für Von stud, math, Kuen, Erläuterung hierzu die negativer Krümmung, erhält man ” 2 A ASiE und auch‘ zu den vorhergehenden Rotations- schiedene‘ Typen, zwischen denen ein Ueber- flächen beigegeben. gangsfall mit einfachern Eigenschaften liegt Die Flächen constanten negativen Krüm- (Kugel und Tractrixfläche). mungsmasses unterscheiden sich wesentlich durch 126—128, (V. xun.) Rotationsflächen von éon— die Eigenschaftgn ihrer geodätischen Linien von Die von einem A stantem positiven Krümmungsmäss mit geodä- denen positiver Krümmung. tischen Linien, 3 Typen mit gleichem Krüm- Punkt ausgehenden Linien treffen sich über- Durch einen Punkt-der mungsmass = (in Centimetermass). Da diese haupt nicht mehr. % 2 Fläche gehen unendlich viele Linien,. die Flächen auf eine Kugel abwickelbar sind und eine gegebene geodätische Linie schneiden, geodätische Linien bei der Abwicklung erhalten zwei (nach jeder Seite eine) zu ihr parallele bleiben, so treffen sich alle von einem Punkt (sie im Unendlichen treffende) und unendlich ausgehenden geodätischen Linien wieder ın viele sie nicht schneidende. Unter einem einem Punkt. Nach Zeichnungen von E. Bour geodätischen Kreis versteht man diejenige Curve, eines am anderen End- (Journal de l’Ecole : Polytechnique, Tome 22) die der Endpunkt modellirt und mit geodätischen Linien versehen punkte befestigten, auf der Fläche aufliegenden, von Assistent Dr. P. Vogel:; angespannten Fadens beschreibt, Um. Vieldeu- = 126.(V. zı b.) tigkeit zu vermeiden, hat man 'sich eine Rota- Spindeltypus; die Meridian- curve trifft die Axe, (7—11cm.) M.4. —. tionsfläche als unendlich dünne, über das Modell der Rotationsfläche unendlich oft gewickelte Haut —127. (V. xu1C.) Wulsttypus;‘ die Meridian- curve der Fläche trifft die Axe nicht. zu denken (als Schraubenfläche von der Gang- (12__ 10 cm.) Mbo.9. —. höhe Null). 132. (II. ıx.) Rotationsfläche von constantem DA128.(V xına.) Kugell- Zwischenfall, Radius 4,33 cm. (9—9 cm.) MI —. negativen Krümmungsmass ‚(Kegeltypus), nebst geodätischen Linien (blau) und einer Haupttan- é _ Die Flächen constanter Krümmung sind, wie gentencurve, Von stud, math, Bacharach. Er- bereits erwähnt, in sich selbst verschiebbar und läuterung beigegeben, (18—1‘/ cm.) M.9. —. auf einander abwickelbar, Man kann dies durch 133. (IT. x.), Ebenso (Hyperboloidtypus). Es die biegsamen, auf die Flächen aufgepassten ist ein System paralleler geodätischer Linien A Streifen von Messingblech verificiren, aufgezeichnet (grün), worunter sich 2 (roth) be- ” 129.(X., I.N.,6.) Flächenstreifen von constan- finden, die sich dem Kehlkreis asymptotisch ter positiver Krümmung aus Messing (Kugelzone, nähern, DE Die geschlossenen Curven sind geodä- einem Centriwinkel von fast 90° entsprechend). tische Kreise, Von: stud. math. W. Dyck. Er- M.12.— — 130. (X., I.N., 6.), Halbkugel aus Messing. läuterung beigegeben. (14—21 cm.) g zusammen . 4. 50. a 131. (V.xıv.) Schraubenfläche von constantem 23 positiven Krümmungsmass, auf die vorhergehen- den 3 Flächen abwickelbar, indem das Krüm- Z müngsmass mit dem der vorhergehenden Flächen T übereinstimmt. Die Gleichung der Meridiancurve V führt auf elliptische Funktionen. Ganghöhe der Schraube 10,9 cm. Schneidet man/aus der vor- a herigen Kugel eine von 2 gleich grossen Parallel- — kreisen begrenzte Zone (einem Centriwinkel von E 90° éntsprechend) heraus, so geht diese durch gegenseitige Verschiebung der Endschnitte in 134. (I.-1.) Rotationsfläche der Tractrix, durch diese Schraubenfläche über, wie sich dies mit Umdrehung um ihre Asymptote entstanden. (Die 70 Hülfe der Kugelzone aus Messingblech: zeigen Tractrix ist durch die Eigenschaft definirt, dass lässt. (15—34 cm.) . M.13.— alle Tangenten zwischen dem Berührpunkt und 44 vV.Krümmung d. Flächen: C. Fläf:llen von constanter mittlerer Krümmung, Minimalflächen, einer Geraden, der Asymptote, constante Länge stimmtem / Sinn _ aufträgt, Die Fläche besitzt besitzen). eine ebene und eine räumliche Rückkehrkante mit Diese Fläche bildet den Uebergang zwischen den. beiden vorgenannten Flächen 2 Spitzen, sowie eine Doppelcurve. Das eine und entspricht der Kugel bei den Flächen System von Krümmungslinien wird von Ebenen constanter positiver Krümmung. Die blau ge- ausgeschnitten, welche durch eine (im Modell zeichneten Curven auf ihr sind verschiedene geo- vertikal gestellte) Gerade hindurch gehen. Das dätische Linien, die rothe i$t eine Asymptoten- andere System liegt auf Kugeln, deren Mittel- curve, Von stud. math. Bacharach. Erläuterung punkte in dieser Geraden liegen. (Vergl.Bianchi, beigegeben. (19—-24 cm.) M.9: —: Math. Annalen Bd, 16, sowie Enneper, Göttinger a Nachrichten 1868; Th. Kuen, Sitzungsberichte der kgl. bayr, Acad, 1884, Heft IT.) Modellirt 3 von stud, math, Mack; Erläuterung hierzu von A'ssistent Th. Kuen. (16—25 cm.) . M.16.—. \ S On 135. (V. xv.) Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass, deren Meridiancurve O die Tractrix ist, Sie ist die einzige Schrauben- En L fläche von der erwähnten Art, in deren Glei- O I ; chung nicht elliptische Funktionen eintreten, (Bei Flächen constanter positiver Krümmung 7 137. (VIII. xxvia.) Schraubenfläche, auf das Rotationsellipsoid Nr. 138 abwickelbar (nach gibt es keine von dieser Eigenschaft,) Vergl. U, Dini, Comptes Rendus, Acad, Sc. Paris 1865, E. Bour, Journal de l’Ecole Polyt. Bd. XXIL.). Von Assistent Dr. P. Vogel. (12—26 cm.) M.10. 50. 1 Sem. pag. 340; Th. Kuen, Berichte der kgl. 66 Jr bayr. Acad. 1884. Von Dr. P. Vogel. Erläute- — 138.(VIII. xxvıc.) Rotationsellipsoid, auf die rung beigegeben. (15—24 cm.) ; M 15. 50. vorige Fläche abwickelbar. (9—3 cm.) . 1: 50. 213890 (VALxxy1 b)) Rotationsellipsoid . aus biegsamem Messingblech zur Demonstration der erwähnten Abwicklung. Die durch ‘2 gleich grosse Parallelkreise begrenzte Zone obigen El- lipsoids geht durch einen leichten Druck in die vorhin erwähnte Schraubenfläche über. %. 2. 50. Z In diesen Abschnitt gehört noch die in der folgenden Abtheilung ‚aufgezählte windschiefe Schraubenfläche Nr. 145, welche auf das Catenoid abwickelbar ist, W 136. (VIII. xx.). Fläche von constantem nega- C.Flächen von constanter mittlerer tiven Krümmungsmass mit ebenen Krümmungs- Krümmung, Minimalflächen, 60 Jinien, Sie entsteht aus der Tractrixfläche da- Die Flächen von constanter mittlerer Krüm- durch, dass man auf den Tangenten an ein mung sind dadurch definirt, dass die Summe System von. parallelen geodätischen _Linien der reciproken Werthe ihrer 2 Hauptkrümmungs- (Kfiimmung derselben +—%) das Stück £ in be- radien an jeder Stelle denselben Zahlenwerth f \ 45 V. Krümmung d, Flächen: C, Flächen von constanter mittlerer Krümmung, Minimalflächen \ besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch je nach dem Winkel, unter dem sie den grössten welche sie definirt sind, geht in eine integrirbare Parallelkreis trifft, ein verschiedenes Entweder totale über, wenn man sich auf Rotations- bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) flächen beschränkt, und zwar erhält man für oder sie nähert sich asymptotisch dem Kehl- die. Meridiancurve die Gleichung : kreis, d.i. Parallelkreis von kleinstem Radius Vz+otlaz FA E EDBL SE EL UTE (grün), oder sie läuft über die ganze Fläche hin r) Von stud,. math, A, v Braunmühl Erläuterung n (r? — «2 ?) Nach Delaunay (Comtes rendus XIITI, 1841) beigegeben —140. (ITI. vına.), Onduloid, Die Meridiancurve ergibt sich die Meridiancurve dieser Flächen auch als diejenige Curve die der Brennpunkt ergibt sich für x, ="ICM., &, = 5,77 cm. aus der oben angegebenen Gleichung, falls von den 2 eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Ge- daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere raden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird (positive) gewählt wird (12—26 cm.) M.9.— Den 3 Kegelschnitten : Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend erhält man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke »Statique experimentale et theorique des liquides etc,« beziehungsweise Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, n von Flächen constanter mittlerer Krümmung begrenzt Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflächen zu Flächen von con- stantem positiven Krümmungsmass definiren Einen speciellen Fall davon bilden die Minimal- flächen deren mittlere Krümmung Null ist „ 141. (IL. vnıb.) Nodoid, x, und x, wie oben Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren aber in der Gleichung ist das untere (negative) Flächeninhalt zu besitzen als jede andere be- Vorzeichen zu wählen (11—8 cm.,) M.8. — bb ıe nachbarte Fläche die durch eine beliebige auf ihr geführte geschlossene Randcurve hindurch &— 142. (IT. vu c.) Ring. des Nodoids durch Umdrehung der Schleife der Meridiancurve von gelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als welche die zwischen eine b. entstanden (9—3 cm.) . M.2.— diejenigen Flächen gegebene Randcurve sich einspannende Flüssig- , 143. (II. vı d.) Catenoid, durch Umdrehung der Kettenlinie um ihre Axe entstanden. Ausser keitshaut (durch Eintauchen .der Curve in Seifen- lösung zu erhalten) annimmt. den 3 verschiedenen Typen von geodätischen Die Minimalflächen werden sowohl durch Linien ist hier auch noch eine Asymptotencurve ihre Krümmungs- wie auch ihre Asymptoten- (gelb) aufgezeichnet. Diese Fläche ist eine Mi- nimalfläche, sie besitzt die constante mittlere curven in unendlich kleine Quadrate getheilt (Die Indicatrix ist für diese Flächen eine gleich- Krümmung Null (16—10 cm.) M.8. — desshalb stehen auch die seitige Hyperbel 144. (VIIL xxv ) Dasselbe, grösser, mit Asymptotencurven auf einander senkrecht) Zu aufgezeichneten Krümmungslinien (weiss) und 6S Diese Fläche ist die jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre so- Asymptotencurven (roth) genannte Bonnet’sche Biegungsfläche welche Bonnet’sche Biegungsfläche zur folgenden wind- auf sie derart abwickelbar ist dass die Krüm- Beim Auf- schiefen Schraubenfläche (Nr. 146) mungslinien der einen in die A symptotencurven biegen beider auf einander geht der Kehlkreis in die Axe der letzteren über die Meridiane der andern übergehen. Vergl. Schwarz in Crelle’s Journ. Bd, 80, in die geraden Erzeugenden, Parallelkreise in die Schraubenlinien en Un Arl ° 140—143. (IT. vın.) Drei Typen von Rotations- (20—15 cm.) B HIS6 15 flächen constanter mittlerer Krümmung mit geo- 145. (VIIL, xxv b.) Dasselbe aus biegsamem /4 dätischen Linien, Das Verhalten der letzteren ist Messingblech, Die Fläche wird in’die windschiefe © w d 4 ; A Yrl 46 V. Krümmung d, Flächen: D. Centraflächen, Minimalflächen, Sie Schraubenfläche dadurc)h übergeführt, dass man gehenden Mänteln sind aber 2 imaginär, die Endpunkte des Kehlkreises fasst und diesen lässt sich dadurch mit sich selbst zur Deckung in eine Gerade auszieht, indem man gleichzeitig bringen, dass man die eine Doppelcurve in die M.2.-— andere verlegt. Ihre Bonnet’sche Biegungsfläche ein wenig tordirt ist sie selbst‘ wieder, d. h.-diese Fläche kann Al auf sich selbst aufgebogen werden. Dabei gehen Krümmungslinien (weiss) in die Asymptoten- curven (roth) über. Von cand, math, Herting. Erläuterung beigegeben. (34—26 cm.) M.21. —. I 148. (X., I.N., 1.a—k.) Verschiedene Draht- gestelle zur Darstellung von Minimalflächen x durch Lamellen von Seifenwasser nebst einer Anweisung zur Herstellung der Seifenlösung nach Angabe von Plateau (Statique des liquides). M ı2.—, = —Z—>_ Z Windschiefe Schrauben- i 146. (VIIL. xxv a.) b S fläche, Minimalfläche, nebst Krümmungslinien und Asymptotencurven ; auf das Catenoid (Nr, 14.3) abwickelbar, Von cand, math. Herting. (22— - Näheres siehe I. Theil dieses Catalogs, 23 cm.) . M 17. — X, Serie, I. Nachtrag. 5 E vun AALZ LE Zn e D. Centraflächen, Brennflächen. D Z Brennfläche eines Strahl- 149—151. (L 1.) AT systems, welche mit der Fläche der Krümmungs- centra des elliptischen Paraboloides in collinearer Z PE /i / Verwandtschaft steht, (Vergl. Seidel, Schü- E TE machers Astron, Nachrichten, Nr. 1027 ff., Mo- natsberichte der Berliner Academie, Dec. 1872.) A Sa R Das vorliegende Modell stellt sehr nahe die 147. (VIIL xxı.) Minimalfläche neunter Ord- | Centrafläche des Paraboloides: nung nach Enneper (vergl. Göttinger Nachrichten 2 y) Z 61 1871, pag. 28 ff.). Sie _ besitzt 2 ebene Doppel- R curven dritter Ordnung, in welchen die aufge- dar; die vorzunehmende Transformation wäre zeichneten beiden Schaaren von Krümmungs- linien (ebenfalls ebene Curven dritter Ordnung X=kx, Y=ey, Z=Vi2.2 Die Fläche ist die Ebenen derselben sind alle je einer Geraden von der zwölften Ordnung und besitzt 2 Rück- kehrkanten, beide gewöhnliche Parabeln, welche parallel) je einen Doppelpunkt besitzen. Die Fläche besitzt 3 dreifache Gerade, nämlich. die in zu einander senkrechten Ebenen liegen ; ferner unendlich ferne Gerade in der Horizontalebene eine Doppelcurve zwölfter Ordnung, längs deren / und die in einer solchen Ebene liegenden 2 \ sich die beiden Mäntel durchsetzen, Von stud. rothen Geraden. Von den.3 durch diese letztere ' math. Schleiermacher, Erläuterung beigegeben, VI. Modelle zur darstellenden Geometrie, Physik und Mechanik 47 7 149 U, 150, (I. 118.) Die beiden Mäntel der — 152.u. 153. (I. ma.) Die beiden Mäntel ge- Fläche getrennt (11—9 u. 7—11cm.) ä 5. — trennt. (16—-13 cm.) zusammen M, 17. — 2451 (1 11b.) Die beiden Mäntel vereinigt (11—9 cm.) M.5.— 472 152—154 (I.ı1.) Centrafläche des einschaligen Hyperboloides Sie ist zwölfter Ordnung und besitzt 3 ebene Rückkehrkanten, nämlich 2 Hy- perbeln und eine Ellipse, welche in 3 zu einander } senkrechten Ebenen liegen ferner eine Doppel- curve 24.. Ordnung (Vergl. Cayley »On the = A A Centro-Surface of an Ellipsoid Cambridge, Philos, Transactions, vol. XII. pag. 319 ff. ; Sal- mon-Fiedler, Analyt. Geometrie des Raumes Bd. ı e7154. (T u11 b.) Die beiden Mäntel vereinigt Art. 207 und Bd.’2, Art. 244, 2. Aufl.).: Von stud (16—17 cm.) M.10. — l math. W. Dyck. Erläuterung beigegeben VI. Modelle zur darstellenden Geometr1e Physik und Mechanik. 155. (VIIL xxm1.) Rehefperspecüusche Dar- der Kugel vereinigten Typen entsprechen dem eines Würfels H e3 stellung einer Kugel eınes Fall, wo das elliptische Integral sich auf ein Kegels und eines Hohlcylinders auf einem Kreisintegral reducirt in den Bezeichnungen Untersatz vereinigt der genannten Abhandlung E 0Sn = I a) e z ) 9 S xoz Durch eine Schnur von Glasperlen lassen S > N sich die Curven leicht experimentell verificiren, Berechnet von Assistent Fischer. (9-15 cm.) . 8.— S lé‘ &© 157.(IL. xı.) Bahncurve eines schweren Punktes Ä AA auf der Kugel (Sphärisches Pendel). Es ist /8 Der Augenpunkt befindet sich in der Ver- der Fall dargestellt, wo der oberste (Ausgangs-) längerung der Rotationsaxe des; Kugelreliefs Punkt der Bahn sich in der Höhe des Mittel- 56 cm. vor der vorderen Bildfläche des Modells, punktes befindet, und die Anfangsgeschwindig- genauer vor der Collineationsebene, die durch keit in diesem Punkte ist so gross gewählt die obere‘ Kante des Gesimses welches die dass die Bahncurve sich nach 3 Perioden schliesst Basis des Modells begrenzt, hindurchgeht, Die Auch ist der‘geometrische Ort der untersten Fluchtebene des Bildraums ist 28 cm. hinter der Punkte der verschiedenen Ortslinien angegeben, Collineationsebene gelegen Die Tiefe des ab- welche verschieden grossen Anfangsgeschwin- gebildeten Raums beträgt etwa 16,5 cm Um Die digkeiten im Anfangspunkt entsprechen den gewünschten Eindruck zu erhalten, stelle Berechnung der Bahn u. s. w. ist von stud. math man das Modell in gedämpftem Licht vor einer Schleiermacher ausgeführt. (20—15 cm.) / 11. — einfarbigen Wandfläche auf und betrachte es durch einen im Augenpunkt angebrachten kleinen 158. (VI. 3.) Wellenfläche für optisch einaxige /4 Krystalle mit negativer Doppelbrechung, Ein Q kreisförmigen Ausschnitt Ausschnitt des Sphäroids zeigt die Kugel, welche 156. (V. xvı1.) Die Kettenlinie auf der Kugel mit jenem zusammen die Wellenfläche bildet (Vergl. die Abhandlung von Clebsch in Crelle’s Das Axenverhältniss ze 8,8:: 7,8 ist ungefähr das Journal, Bd, 57, pag. 104 ff.) Die beiden auf des Kalkspathes (9—8 cm.) M 4: — 48 V_I.'Modelle zur darstellendén Geometn'e,\Physik und Mechanik, 159. (X., I.N., 7.) Dasselbe für optisch ein- Man erhält diese / Fläche ;aus dem folgenden axige Krystalle: mit positiver Doppelbrechung. Ellipsoid dadurch, dass man auf den im Mittel- Ein Ausschnitt der Kugel zeigt das verlängerte punkt errichteten Normalen zu Centralschnitten Rotationsellipsoid, Das Axenverhältniss ent- (Ebenen durch den Mittelpunkt) die 2 Haupt- spricht ungefähr dem des Zinnobers, (9—9 cm.) axen dieser Schnittcurven (Ellipsen) nach beiden M.4.—. Seiten hin abträgt. Vergl, Salmon-Fiedler, Geom. 160 (VL: 1}) Fresnel’sche Wellenfläche für des Raumes, II. Thl., 4. Cap. (12—8cm.) .9 -—. optisch zweiaxige Krystalle, längs eines Haupt- 161. (VI.2.) Ellipsoid hierzu, aus dem die x schnittes zerlegbar, so dass der innere Mantel eben genannte Wellenfläche auf die angegebene in den Hohlraum des äussern eingefügt werden Weise hervorgeht. (12—6cm.) M4 —. Z kann. Sie ist eine Fläche vierter Ordnung und 162. (VI.4.) Wellenfläche für optisch 'zwei- Classe (eine Kummer’sche Fläche, vergl. IT. c.,), axige Krystalle in einzelnen Octanten mit den 37 sphärischen und ellipsoidischen Curven, die also Z beziehungsweise durch Kugeln und- Ellipsoide Z S ausgeschnitten werden, Auf jedem der beiden D Z ) Z Mäntel ist das eine System sphärisch, das andere ellipsoidisch, Auf dem Modell sind ferner noch Sa z Z die Nabelpunkte angegeben. Die Oefl"nungen an f arkiren die Richtung des zugehörigen Strahls. Von Herrn Rector Dr, Böklen in Reutlingen, nebst einer Erläuterung. (24—12 cm.) M.8. 50. besitzt 4 reelle konische Knotenpunkte und E ebensoviele längs Kreisen berührende Doppel- Zu dieser Gruppe sind auch die unter V,C,,D tangentialebenen (die 12 andern sind imaginär.) aufgeführten Flächen zu rechnen, S ” ET PE e EFE E y n FE KL dl Die Gips-Modelle sind hervorgegangen aus dem Atelier von J. Kreittmayr, Formator des k. Nationalmuseums in München, % A E | n B —— NS ELTW s CUSı: €ÖC V w v (&@ NN \ ‚(\r\(/ NN N < G CC((( Gr N S Y Y Y J Y «///M y y IIN S W (\ S /m\ < VV V VV © Y \ VE e V N AA V UU w V SS N f U U v (((C VWr @m Y vv IS Ö © M HL//M\\.. f L £‚ W\\F SCS V SEA DB Y “ Y Q( S Y s /\C >] (( \ (CC Yuy f\/\/\ V Y w ÄÜRN W „\ NN \ S VGU V \ex> Y “ M » w x M V u L(C( WEl v _D V OS S \ < S K AA vu &S v “ Y U C(( V Y y e“ N SYYYSCT Y VV N R N SW AA / i _/\ WQKMOW SSS AAA EEZEEEEEE na E 7- 100 Z A 70 —96 Vier Modelle zur Theorie der Linien-Complexe zweiten Grades. Ausgeführt (nach Angaben von Prof. Dr. F. Klein in München) von FOKN: BKIGEL SO Mechanische Werkstätte Cöln a. Rh. bl —- <-!g> >—0— — In der Liniengeometrie*) bestimmt man die gerade Linie im Raume durch 4 Coordinaten, für welche man die 4 Constanten 7, , S . o c nehmen kann, die in der Gleichung ihrer Projecetionen vorkommen: %X Sn o y D S # f 6 Ei;1e1‘ Gleichung zwischen 7, S, 0, 6: f (r, S, 0 6o) = .0 genügen nur noch die Coordinaten gewisser Linien, deren gemeinsame Eigen- thümlichkeit eben durch diese Gleichung ausgesprochen wird. Derartige Mannigfaltigkeiten von Geraden, die aus der Gesammtheit aller Geraden durch eine Gleichung ausgeschieden werden, bezeichnet man, nach Plücker, als Linien-Complexe. Die geometrische Vorstellung eines solchen Linien- Complexes wird dadurch schwierig, weil die unendlich vielen Linien, welche ihn constituiren, den Raum vollständig ausfüllen, weil @lso das vorzustellende Gebilde keine Gestalt hat. Um so mehr ist es wünschenswerth, Modelle zu besitzen, welche der geometrischen Anschauung zu Hülfe kommen. Die vorliegenden Flächen-Modelle sind in diesem Sinne für das Studium der Linien-Complexe zweiten Grades**) bestimmt. Aber abgesehen von diesem besonderen Zwecke bringen sie eine Reihe Eigenthümlichkeiten der höheren algebraischen Flächen zur Anschauung, von denen man ohne ein solches Hülfsmittel nur schwer eine Vorstellung gewinnen kann. Für Linien-Complexe zweiten Grades gilt der Satz, dass die Geraden des Complexes, welche durch. einen Punkt hindurchgehen, einen Kegel der Linie als Raumelement, *) Vergl. Plücker, Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Leipzig, B. G. Teubner, 1868, 69. **) Ein Linien-Complex heisst vom %Nten Grade, wenn die ihn definirende Gleichung f = G in den Veränderlichen P S On dOr mit diesen gleichberechtigt auftretenden Verbindung (TG — SQ) vom %Nten Grade ist, zweiten Ordnung bilden, sowie dass die Geraden des Complexes, welche in einer Ebene liegen, eine Curve der zweiten Classe einen Kegelschnitt umhüllen. Plücker untersucht nun 1nsbe=onde1e*) diejenige Fläche, die von Ö dem Complex-Kegelschnitten gebildet wird, die in den durch eine 0eoebelle Gerade h1ndulcho'eledten Ebenen liegen. Es ist dies dieselbe Fläche, die von den Complez—Ke<feln umhüllt wnd die von den Punkten der ge<mbenen Geraden ausgehen Diese Fläche, die sogenannte allgemeine Complexfläche ist durch Modell I vorgestellt Die allgemeine Complexfläche ist Wıe sämmtliche vier modellirte Flächen, von der vierten Ordnung und der vierten Classe Die gegebene Gerade ist eine Doppellinie derselben Von jeder durch die Doppellinie hindurchgehenden Ebene wird die Fläche in einem Kegelschnitte geschnitten Für vier besondere Lagen der schneiden- den Ebene wird der Kegelschnitt eine doppeltzählende Gerade Auf ihr befinden sich jedesmal zwei Punkte, welche Doppelpunkte der Fläche sind Dieselben liegen 8 mal So hat die Fläche im Ganzen 8 Doppelpunkte zu 4 in einer Ebene Jede solche Ebene ist eine sogenannte Doppelebene der Fläche d. h. eine Ebene welche die Fläche nach der ganzen KEr- streckung eines Kegelschnittes berührt — Alle diese Eigenthümlichkeiten sind im Modelle deutlich zu übersehen; man vergl dazu Plücker’s Neue Geometrie, n. 168—179 n. 215—224 Die Modelle II und III stellen die beiden wichtigsten Particularisatio- nen der allgemeinen Complexfläche dar Im Modelle II gehört die gegebene Gerade, mit deren Hülfe die Fläche construirt wird, selbst dem Complexe an Sie ist dann nicht mehr Doppel- linie sondern Cuspidallinie der Fläche; jede Ebene schneidet die Fläche in eıner Curve, Jede durch die welche auf der Geraden eine Spitze hat. Gerade hmdmchoelecrte Ebene enthält einen Kegelschnitt, welcher die Ge- rade berührt. D1e F1ache besitzt jetzt 4 Knotenpunkte. Die 4 Ebenen, welche 3 derselben enthalten, berühren die Fläche nach einem Kegelschnitt. Vergl. Plücker’s Neue Geometue n. 225—232. Im Modelle III ist als gegebene Gerade eine. der aus%ze10hneten welche Plücker singuläre Lnuen nennt Complexlinien‘* genommen worden, (Neue Geometrie, n. 300, n. 305 306) In jeder dumh die Gerade hin- durchgelegten Ebene liegt ein Kegelschnitt. der die Gerade in einem festen Punkte berührt. Die Fläche hat noch 2 Doppelpunkte und 2 Doppelebenen Modell. IV endlich ste]lt die Singularitätenfläche des allgemeinen Com- Die Singularitätenfläche ist der Ort solcher plexes zweiten Grades dar Punkte, deren Complexkegel in 2 Ebenen zerfällt, oder was auf dasselbe- hinauskommt je wird umhüllt von allen Ebenen deren Complexcurven in ein Punktepaar ausartet (Neue Geometrie. n. 312—323.) Es ist”dies wieder eine Fläche vierter Ordnung und vierter Classe Dieselbe besitzt 16 Doppelpunkte und 16 Doppelebenen In jeder Doppelebene liegen‘ Es ist 6 Doppelpunkte, durch jeden Doppelpunkt gehen 6 Doppelebenen diese merkwürdige Fläche zuerst von Herrn Kumme untersucht worden der sie als Verallgemeinerung der Fresnel’schen Wellenfläche auffand 7 ) Neue Geometrie. Abschnitt I und III der Theorie der Complexe zweiten Grades **) Monatsberichte der Berl. Akademie, 1864. Abhandlungen, 1866 Modelle A der Plücker’schen Flächen. p Die in Metall gearbeiteten Modelle stellen einige derjenigen Flächen vor, welche von der vierten Ordnung und der vierten Classe sind, und im allgemeinen Falle 8.conische Doppelpunkte, 8 die Fläche nach Kegel- schnitten berührende Doppelebenen und eine Doppellinie besitzen. Diese Flächen knüpfen sich an die Theorie der „Complexe‘, die durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen den 4 Coordinaten in derselben Weise dargestellt werden, wie man eine Fläche zweiten Grades durch eine Gleichung zwischen den 3 Coordinaten eines Punktes oder einer Ebene darstellt. Die modellirten Flächen sind mit Bezug auf die Complexe das, was mit Bezug auf Flächen zweiten Grades die ebenen Schnitte und um- schriebenen Kegel sind. Sie . dienen ausserdem dazu, die Linienflächen vierten Grades zu construiren.*) Man unterscheidet a. Aequatorialflächen, welche durch einen ver- änderlichen Kegelschnitt beschrieben werden, dessen Ebene sich parallel zu sich selbst bewegt und dessen Mittelpunkt eine gerade Linie beschreibt, und d. Meridianflächen, die durch “einen veränderlichen Kegelschnitt besehrieben werden, dessen Ebene sich um eine: feste Axe dreht. A.‘Aequatorialflächen. a. Die Axen der Kegelschnitte sind parallel. In diesem Falle liegen ihre Scheitel auf 2 festen Kegelschnitten, die in 2 auf einander und auf den Ebenen der erzeugenden Kegelschnitte senkrechten Ebenen enthalten sind. Diese beiden festen Kegelschnitte sind die „Leiteurven‘“, welche un- mittelbar die Construction der Flächen ergeben. Die Leiteurven sind: KEine Ellipse und eine Hyperbel mit demselben Centrum; die Hauptaxe der Hyperbel fällt mit einer der Axen der Ellipse zusammen, II Zwei Systeme reeller gerader Linien. E Die Geraden des einen Systems sind parallel. IN Zwei concentrische Ellipsen. . V Ein System zweier reeller und ein System zweier imaginärer ge- rader Linien. VI Zwei Hyperbeln, die sich in einem ihrer Scheitel schneiden. » VII Zwei Ellipsen mit einem gemeinsamen Punkte. » VIIL Eine Ellipse und ein paar imaginärer Geraden, deren reeller Schnittpunkt auf einen der Scheitel der Ellipse fällt. IX Eine Parabel und zwei sich in ihrem Scheitel schneidende Gerade. X Eine HyperbeI' und eine concentrische Ellipse, deren eine Axe mit der Hauptaxe der Hyperbel zusammenfällt. + XI Zwei Hyperbeln, deren Hauptäxen sich kreuzen. a XII Zwei concentrische Ellipsen, von denen die eine imaginär ist. \ *) Vergl, darüber: les Mondes de M. 1’Abbe Moigno, 1867, 10. Janvier. XII Eine Hyperbel und eine concentrische imaginäre Ellipse, deren eine Axe mit der Hauptaxe der Hyperbel zusammenfällt. XIV Zwei Hyperbeln, deren Nebenaxen dieselbe Richtung haben. XN Eine Hyperbel und eine concentrische imaginäre. Ellipse, deren eine Axe mit der Nebenaxe der Hyperbel gleichgerichtet ist. &x Die erzeugenden Kegelschnitte sind Parabeln. bd. Gedrehte Flächen; die Axen der erzeugenden Kegelschnitte sind nicht mehr parallel, X: Das- Modell- entspricht dem: Modell . 1V,. welches.4. reelle. doppelt- zählende Gerade hat; die Doppelpunkte- auf zweien derselben sind reell, auf den beiden anderen imaginär, / XVML. Die erzeugenden Kegelschnitte sind Hyperbeln, deren eine Asymp- ” tote eine feste Richtung hat. Die erzeugenden Kegelschnitte sind Parabeln, /.„..:?(IX B. Meridianflächen. XX Die aus 9 Theilen bestehende Fläche hat 8 reelle Doppelpunkte und 8 reelle Doppelebenen, von welchen 6 die Fläche nach Hy- perbeln, 2 nach Ellipsen berühren, XXI Die Fläche, aus 7 Theilen bestehend, hat 4 doppeltzählende Gerade, von denen 2 durch reelle, 2 durch imaginäre Doppelpunkte hin- durchgehen. Es gibt keine Doppelebenen, » XXIT Die aus 4 Theilen bestehende Fläche hat 2 reelle doppeltzählende Linien, welche durch reelle Doppelpunkte gehen, und 4 reelle Doppelebenen, welche die Fläche nach Ellipsen berühren. Die Fläche besteht aus 5 Theilen. Zwei der Ellipsen des vor- hergehenden ‘ Falles sind durch Hyperbeln ersetzt. / }£XI'V Die aus zwei Theilen bestehende Fläche hat zwei doppeltzählende Gerade; die auf einer derselben gelegenen Doppelpunkte sind reell, die auf der andern befindlichen fallen zusammen, Zwei der vier Doppelt Qnßentia‚lebenen fallen zusammen, die beiden andern be- rühren ije‘ Flächen nach Ellipsen. XXV Die Generatricen sind concentrische Kreise, Es gibt 4 Doppel- ebenen, welche die Fläche nach 2 Paaren einander berührender Kreise tangiren. XXVI Aehnliches Modell, Die Generatricen sind Ellipsen, ebenso die Berührungs - Curven. XXVII Die Axen der erzeugenden Ellipsen sind gegen die Rotationsaxe geneigt. Zwei Paar Doppelpunkte fallen zusammen. Es gibt 4 Doppelebenen, welche die Flächen nach 2 Kreisen und 2 Ellipsen berühren, Preise der Collectionen in ka ausrgeführt und auf polirten Mahagony- Brettchen ‚aufgestellt: 4 Modelle nach Professor Dr. Klein 120 M.; 27 Modelle nach Professor Dr. Plücker 360 M. Beide Colleetionen zusammen genommen 450 M. DLieferung ab Cöln, freie Emballage. Druck von R. G.Teubner in Leipzig, Modeles des surfaces Plücker par J. Epkens ä& Bonn. NN ;3;ä&‚„„ RN Les modeles en bois de buis representent quelques unes de ces surfaces qui sont du quatrie&me ordre et de la quatrie&me classe et qui, dans le cas general, possedent huit points doubles, centres de cönes du second ordre circonscrits aux surfaces et situcs, deux ä deux, sur quatre lignes doubles et huit plans doubles, touchant la surface sui- vant de coniques ef, passant, deux &ä deux, par les quatre m6mes lignes doubles. Ces surfaces se ratachent ä& la th6orie des „complexes“, representes par une 6quation du second degre entre les quatres coor- donnees de la ligne droite, comme on represente une surface du second degre par une 6quation entre les trois coordonnees du point ou du plan. Les surfaces modelees sont, par rapport aux complexes, ce que, par rapport aux surfaces du second degre, sont les sections planes et les cönes circonscrits. Elles servent encore ä construire les sur- faces reglees du quatri&me degre *). L’on distingue 1° des surfaces 6quatoriales decrites par une Co- nique variable, dont le plan se meut parallelement ä lui. möme et dont le centre decrit une ligne droite, et 2° des surfaces meridionales , de- crites par une conique variable dont le plan tourne antour d’un axe fixe. A. Surfaces équa.torialeé. a. Les axes des coniques sont paralleles. Dans ce cas leurs extremites sont situees sur deux coniques fixes, comprises dans deux plans perpendiculaires entre. cux et aux plans paralleles des coniques generatrices. Ces deux coniques fixes sont les „direetrices“ qui don- nent immediatement la construction des surfaces. — A eanl *) Voir, & ce sujet, les Mondes de M. l’Abbe Moigno. 1867, 10 Janvier. Les deux directrices sont: une ellipse et, une hyperbole ayant m@me centre, l’axe reel -J% la?;d.‘;']' de l’hyperbole est situe sur l’un des axes de Vellipse; ..4—-‘/f'“4n deux systemes de deux lignes droites reelles; — AF —mI les lignes droites de ’un des deux syste&mes sont paralleles; Ö SR D N deux ellipses concentriques; un systeme de deux lignes droites reelles et un syteme de an 270 HV deux lignes droites imaginaires ; vr O VI deux ellipses ayant un point commun; - 257— V deux hyperboles qui se coupent dans ’un des sommets de leur axe reel; — LE Saa une ellipse et un systöme de deux lignes droites imaginaires, dont le point d’intersection reel est ’un des sommets d’un des deux axes de Vellipse; W IT IX une parabole et deux lignes droites se coupant daus son sommet; une hyperbole et une ellipse concentrique, dont ’un des axes fait partie de l’axe reel de ’hyperbole; — CZ deux hyperboles, dont les axes r6els se croisent; — Z0 XI deux ellipses concentriqgues dont l’une est imaginaire; % Z une hyperbole et une ellipse imaginaire concentrique, dont l’un des axes imaginaires est dirig6 suivant l’axe r6el de l’hyperbole; deux hyperboles, ayant leurs axes imaginaires diriges suivant DE T ÜEXKIN. la m6me ligne droite. une hyperbole et une ellipse imaginaire concentrique, dont 4 SE DU ’un des axes est dirige suivant l’axe imaginaire de l’hyperbole ; G TE Les coniques göneratrices sont des paraboles ; O Surfaces tordues; les axes des coniques generatrices ne sont leles. plus pal:al 6 20»——XVII. Le modele correspond au modele III, ayant quatre lignes daoubles r6elles; les points doubles sur deux d’elles sont r6els, sur les deux autres imaginaires ; BA ZAXVUL Les coniques generatrices sont des hyperboles ayant l’une de Jeurs deux asymptotes parallele ; Da l Les-generatrices sont des paraboles; LE B Surfaces meridionales. La surfäcc, compos6e de neuf nappes, a huit points doubles D .?afxx. r6els et huit plans tangents doubles, dont six touchent la sur- face suivant des hyperboles et deux suivant des ellipses. — LO XX1. La surface, composee de sept nappes a quatre lignes doubles dont deux passent par des points doubles reels, les deux autres par des points doubles imaginaires Il n’y a pas des plans tangents doubles - G ELE xx La surface, composee de quatre nappes, a deux lignes dou- bles reelles passant par des points doubles reels, et quatre plans tangents doubles, touchant la surface suivant des ellipses Y S72 XX La surface est composee de cinq nappes Deux des quatre ellipses du cas precedent sont remplac6es par des hyperboles 4 — Q2U0-XXIV La surface, compos6e de deux nappes, a deux lignes doubles reelles, les points doubles situes sur l’une d’elles sont reels, les points doubles sur l’autre coincident Deux des quatre plans tangents doubles coineident, les deux autres touchent la surface suivant des ellipses Les generatrices sont des cercles concentriques. Il y a quatre 4y — AO_XXNV plans tangents doubles, qui touchent la surface suivant deux couples de cercles tangent ’un ä& l’autre 4 2ZOXXVI Modele semblable. Les generatrices sont des ellipses, de möme que les courbes de contact E — ADZXNU L’axe des ellipses generatrices concentriques est incline sur axe de rotation Deux couples de points doubles coincidents Quatre plans tangents doubles, touchant la surface suivant deux cercles et deux ellipses Z SA A /R/M A Pa y B UE aM ‚„„;4£„‚./ 76 B /7ß„„é„/ m„.%/ß7»« A Wr — — RR kß/fl/„„.4 II HE: Orn A RA £„7/AA/ » ;/$’ß'{/& Imprimerie de P, Neusser 4 Bonn ä ?...f/o’*0 GE P Yier Modelle ;ur Theorie der Linien-Complexe 5me}iten®taüeä.f —O L>O0 —— Ausgeführt (nach Angaben von Dr. F. Klein in Göttingen) von Kigel «& Lesemeister AMedhanifde Werkfätfke CS1n a. Rh., n In der Liniengeometrie *) bestimmt man die gerade Linie im Raume durch 4 Coordinaten, für welche man die 4 Constanten F, 3, D, 6 nehmen kann, die in der Gleichung ihrer Projectionen vorkommen: X =. 73 + P. E a Y 8& JE Einer Gleichung zwischen r, S, P, 9: f (7'‚ S7 : 9) = 0 genügen nur noch die Coordinaten gewisser Linien, deren gemeinsame HEigen- thümlichkeit eben durch diese Gleichung ausgesprochen wird. Derartige Mannig- faltigkeiten von Geraden, die aus der Gesammtheit‘ aller Geraden durch eine Gleichung ausgeschieden werden, bezeichnet man, nach Plücker, als Linien- Complexe. Die geometrische Vorstellung eines solchen Linien-Complexes wird dadurch schwierig, weil die unendlich vielen Linien, welche ihn con- stituiren, den Raum vollständig ausfüllen, weil also das vorzustellende Gebilde keine Gestalt hat. Um so mehr ist es wünschenswerth , Modelle zu besitzen, welche der geometrischen Anschauung zu Hülfe kommen. Die vorliegenden Flächen-Modelle sind in diesem Sinne für das Studium der Linien-Complexe zweiten Grades **) bestimmt. Aber abgesehen von diesem besonderen Zwecke *) Vergl. Plücker, Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement. Leipzig, B. G. Teubner, 1868, 69, **) Ein Linien-Complex heisst vom Yıten Grade, wenn die ihn definiren?e Gleichung f — 0 in den Veränderlichen 7, S, P, S und der mit diesen gleichberechtigt auftretenden Verbindung (r — Sp) vom Yten Grade ist. bringen sie eine Reihe Eigenthümlichkeiten der höheren algebraischen Flächen zur Anschauung, von denen man ohne ein solches Hülfsmittel nur schwer eine Vorstellung gewinnen kann. Für Linien-Complexe zweiten Grades gilt der Satz, dass die Geraden des Complexes, welche durch einen Punkt hindurchgehen, einen Kegel der zweiten Ordnung bilden, sowie, dass die Geraden des Complexes, welche in einer Ebene liegen, eine Curve der zweiten Classe, einen Kegelschnitt, um- hüllen. Plücker untersucht nun insbesondere *) diejenige Fläche, die von den Complex-Kegelschnitten gebildet wird, die in den durch eine gegebene Gerade hindurchgelegten Ebenen liegen. Es ist dies dieselbe Fläche, die von den Complexkegeln umhüllt wird, die von ‚den Punkten der gegebenen Geraden ausgehen. Diese Fläche, die sogenannte allgemeine Complexfläche, ist durch Modell I vorgestellt. E3 M Die allgemeine Complexfläche ist, wie sämmtliche vier AG7 modellirte Flächen; von der vierten Ordnung‘ und der vierten Classe. Die ge- gebene Gerade ist eine Doppellinie derselben. Von jeder durch die Doppel- linie hindurchgehenden Ebene wird die. Fläche in einem Kegelschnitte ge- schnitten. Für vier besondere Lagen der schneidenden Ebene wird der Kegel- schnitt eine doppeltzählende Gerade, Auf ihr befinden sich jedesmal zwei Punkte, welche Doppelpunkte der Fläche sind. So hat die Fläche im Ganzen 8 Doppelpunkte. Dieselben liegen 8 mal zu4 in einer Ebene. Jede solche Ebene ist eine sogenanute Doppelebene der Fläche, d.h. eine Ebene, welche die Fläche nach der ganzen Erstreckung eines Kegelschnittes berührt. — Alle diese Eigen- thümlichkeiten sind im Modelle deutlich zu übersehen ; man vergl. dazu Plücker’s Neue Geometrie, n. 168—179, n. 215—224. Die Modelle II und IIT stellen die beiden wichtigsten Particularisationen der allgemeinen Complexfläche dar. Im Modelle II gehört die gegebene Gerade, mit deren Hülfe die Fläche AG8 construirt wird, selbst dem Complexe an. Sie ist dann nicht mehr Doppellinie sondern Cuspidallinie der Fläche; jede Ebene ‘schneidet die Fläche in einer Curve, welche auf der Geraden eine Spitze hat. Jede durch die Gerade hin- durchgelegte Ebene enthält einen Kegelschnitt, welcher die Gerade berührt. Die Fläche besitzt jetzt 4 Kuotenpunkte, Die 4 Ebenen , welche 3 derselben enthalten, berühren die Fläche nach einem Kegelschnitt. Vergl. Plücker’s neue Geometrie n. 225—2832, Im Modelle IIT ist als gegebene Gerade eine der ausgezeichneten Com- Agt plexlinien genommen worden, welche Plücker singuläre Linien nennt (Neue Geometrie, n. 300, n. 305— 306). In jeder durch die Gerade hindurchgelegten Ebene liegt ein Kegelschnitt, der die Gerade in einem festen Punkte berührt. Die Fläche hat noch 2 Doppelpunkte und 2 Doppelebenen. Modell IV endlich stellt die Söngularitätenfläche des allgemeinen Com- plexes zweiten Grades dar. Die Singularitätenfläche ist der Ort solcher Punkte, -100 deren Complexkegel in zwei Ebenen zerfällt, oder, was auf dasselbe hinaus- *) Neue Geometrie. Abschnitt I und IM der Theorie der Complexe zweiten Grades. kommt, sie wird umhüllt von allen Ebenen, deren Complexcurven in ein Punkte- paar ausartet. (Neue Geometrie n. 312—323.) Es ist dies wieder eine Fläche vierter Ordnung und vierter Classe. Dieselbe besitzt 16 Doppelpunkte und 16 Doppelebenen. In jeder Doppelebene liegen 6 Doppelpunkte, durch jeden Doppelpunkt gehen 6 Doppelebenen. Es ist diese merkwürdige Fläche zuerst von Herrn Kummer untersucht worden, der sie als Verallgemeinerung der Fresnel’schen Wellenfläche auffand. *) *) Monatsberichte der Berl. Akademie, 1864. Abhandlungen, 1866. D DE —m Steven’s Druckerei, Cöln, Brüderstrasse 13. „a A NS N ED Z G - AD TI A D A Nan Z ( SS SNNS SS —4 Z aal Ü\x(f\(\r.\(\( \AA AA — en i DE VV w NS \r \ / (C( Sn wNS S Z v QC( VW /\(/\CC /.\/\C / SA e SV V SN SS Y V (/1\/\ JSNANZAS \ Z DA \(\/.\(f\( vu S V ME Y V UE \ cC£( ÜV C VV JC Y UU ING fi&f/.\(;\ /.\(/\ N 4 ANAN ((( < (;(\C \(c((((( C< Ug (/\ W N \\ \r\((C Wr —n V O IMS r.\(fa\r&((\ UU W r\(\/.\ V AA NZENG > S S Z :Ä„ wl W vv \A A JM VW E SN W M vua %(C U VE M.\ C(\/.L/.l\ C ] < \Z v V w W Y S E (/«(i . / V x V > N S 7 \A /1\ * | 4S A ‚ E E B e nm n n S A n BED S en r inser —— N _ D C E B Oan s A SAr D 8 Z i 8 8 ..We.„‘ * z fr Y E F C SE z « r e &- A X E A 3 fn A | w„„ .. } .W S ® n A SV A .„\ x E Oa ; S C / S * ın S A % K H &e Ma 5 W e * % S r A e x E B 5 E E E SE D A %, KF w„ D f R ia A 2 a & + e 0 . &. „ Ü a 6 1 e SA n xW B, * B C 3E %. E E { 3 D % SE „« S A N - R S CN e f „„ n SE K n W E e | &. N E xx Ü& S ö P S 5g < | } * —n ® “ Ar „ at Z P R * a I . S .„ z > är T! 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Um eine symmetrische An- ordnung zu erzielen, wurde jede Curve um einen bestimmten Winkel ZE- dreht, so dass die Maximalpunkte der einzelnen Curven auf demselben Meridian liegen.*) Um zu der Differentialgleichung der Haupttangentencurven zu gelangen, hat man die Bedingung dafür aufzustellen, dass der Krümmungs- halbmesser des durch ein beliebiges Curvenelement gelegten Normalschnitts 19 unendlich gr0ss ist. Unter Zuhilfenahme der Bezeichnungen von Gauss (siehe Joachimsthal $. 53, Ende) lautet diese Bedingung dy dr 18 In z VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset N d \ ( /(I) )+ D“ —0, 36 Aus den Gleichungen % & f(); —— TC0OS @: ÜE sin rp 16 erhält man nun DEZ @: ä DE VE 7Zf/- 15 Setzt man diese Werthe ein und lässt den l‘ä gemeinschaftlicheu Factor r weg, ä sSo wird S S 14 )+ Pr Z M d / cdr 13 (7(‚') Z 12 e—V (()_'_' - loe E Ö 11 Auf dem Modelle ist eine Haupttangentenecurve so aufgetragen, dass E Wenn dies sie mit einer geodätischen Linie eine Berührung eingeht. 10 überhaupt möglich ist, so kann es vermöge der Natur der Haupttangenten- curven nur in einem Wendepunkte der geodätischen Linie geschehen, von deren Existenz wir uns also zu überzeugen haben. Projieirt man eine Raumcurve auf eine Ebene, so werden im Allge- meinen aus den Wendepunkten der kaumeurve wieder Wendepunkte der ebenen Curve, und wir können uns daher darauf beschränken, für die Projectionen der geodätischen Linien die Wendepunkte zu berechnen. KEinem Wendepunkt entspricht ein unendlich grosser Krümmungs- 6 halbmesser; für einen solchen muss also sein: S i dy d’y 5 4 } r(/(‚‘()2 d 4 *) Die auf dem Modell angebrachten Linien entsprechen den Werthen: — j% 1=45°; 60°; 67° 724° 75° 7849; 84£0; für welche der Drehwinkel 9 beziehungsweise ist: 3 80022 0 ‚65 80%,8 4595 1095 326% 20 2502025 : 270% Z 3 ®L' Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com 3