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 Anleitung zum Gebrauche meines Rechenbuches, 2 . ng r. iun Anleitung . zum Gebrauche meines 1 — le de Nhant ltg⸗ Von ſanſul = iin . S“ „ Friedrich Gottlieb Buſſe. d l . . .Wr Zweyter Theil. Zzweyte verbeſſerte Auflage. —— Leipzig, 1795. Bey Siegfried Lebrecht Cruſius, ef een Geſchts , ſch an die N — hon d der Fung i den weniges hinin Ellte me de elne Aiſer, aus en Siten ind d unnl un ihne⸗ en Lodel ſchr unnc veſſher 6 Crürterung n in ſch Ne ſcn lil mngeſte ſie nnſ hieſee en ſlerc tine n Netan in nlumthte en thmet lee iehen S Elk les Rae buch uin t 8 4 ll n nan in de den hnd mnſet zr in 4 Vorrede zur erſten Ausgabe. Unm das Eigenthuͤmliche dieſes Rechenbuches aus dem richtigen Geſichtspuncte zu beurtheilen, wird es noͤthig ſeyn, ſich an die Vorrede der erſten Haͤlfte zu erinnern, der ich — von dem vielen, was ich waͤhrend der Ausar⸗ beitung fuͤr den gegenwaͤrtigen Platz verſparte — nur noch weniges hinzu fuͤgen will. Sollte mir der Vorwurf gemacht werden, daß ich meine Leſer, aus uͤbertriebner Sorgfalt, auch bey leich⸗ ten Saͤtzen und durch ſolche Schluͤſſe begleitet habe, die niemand von ihnen haͤtte verfehlen koͤnnen; ſo werde ich dieſen Tadel ſehr natuͤrlich finden. Aber ich werde mich dennoch verſichert halten, daß man mich keiner unnoͤthi⸗ gen Eroͤrterung und Vorkehrung beſchuldigen wuͤrde, wenn ich die ſchwierigen Vorſtellungen und die Schein⸗ gruͤnde vorangeſchickt haͤtte, die in manchen andern Lehr⸗ buͤchern fuͤr dieſelbe leichte Sache, ebenfalls mit Sorgfalt beygebracht ſind. Auch wird es niemand ſchwer fallen, ſich durch Erfahrungen, die ich hier nicht genauer beſtim⸗ men mag, davon zu uͤberzeugen, daß man dem gewoͤhn⸗ lichſten Unterrichte keinen großen Spielraum in Erklaͤrung der erſten arithmetiſchen Gruͤnde uͤbrig laſſen duͤrfe. Ueberdies aber hatte man, duͤnkt mich, dafuͤr zu ſorgen, daß das Rechenbuch, welches der Vater fuͤr ſeinen Sohn kauft, zugleich fuͤr ihn ſelbſt, ohne Beyhuͤlfe eines ander⸗ weitigen Lehrers, verſtaͤndlich ſey: und auch der Schuͤler mußte fuͤr ſich ſelbſt die Gruͤnde daraus nachholen koͤnnen, wenn man in den meiſten Schulen, etwa wegen der groſ⸗ ſen und vermiſchten Anzahl von Lehrlingen, nur darauf ſehen kann, daß darin jeder nach ſeinen Kraͤften mecha⸗ niſch geuͤbt werde. Sollte ich indeſſen eine zweyte Auf⸗ a 2 lage IV voooooorrede lage erleben ſo ſoll ſie allerdings, beſonders fuͤr die erſte Haͤlfte, den Nahmen einer nicht vermehrten ſondern ver⸗ kuͤrzten Ausgabe verdienen, dergleichen die Schriftſteller uͤberhaupt oͤfter beabſichtigen ſollten, als es gewoͤhnlich iſt. Dabey habe ich den beſten Willen, jede Beurtheilung, die mir uͤber dieſe, meiner Hoffnung nach gemeinnuͤtzige Arbeit bekannt wird, und deren Fluͤchtigkeit nicht auf den erſten Anblick in die Augen leuchtet, aufrichtig zu pruͤfen und zu benutzen. So wird der Herr Prediger Zimmer⸗ mann finden, daß ich ſeine mir mitgetheilten Vorſchlaͤge im §. 40 §. und §. 1 50. No. IX. ([der erſten Aufgabel vor Augen gehabt habe. Er und andere Schullehrer haben es, aus s leicht zu er⸗ gaͤnzenden Gruͤnden, ausdruͤcklich gewuͤnſcht, daß ich die Anzahl der Uebungsaufgaben noch vermehren moͤgte. Ich war aber auch ſogleich Willens, dem gegenwaͤrtigen Theile noch mehrere beyzufuͤgen, als ich bey dem erſten fuͤr noͤthig fand, beſonders da ich dort anmerken wollte, daß ſich je⸗ der Lehrer der Rechenkunſt noch eine kleine Sammlung dahin gehoͤriger Aufgaben machen muͤſſe, deren Objecte gerade aus dem Kreiſe ſeiner Lehrlinge hergenommen ſind, um ſie zu Vorſchriften in den Schreibeſtunden benutzen und dann berechnen zu laſſen. Uebrigens pflegen auch die erſten Anfaͤnger, im Durchſchnitt genommen, gern zu rechnen, auſſer andern bekannten Gruͤnden auch wohl da⸗ rum, weil man ſie ihre beſtaͤndigen Fortſchritte in dieſer Kunſt ziemlich leicht kann bemerken laſſen. Daher ſcheint es mir nicht noͤthig und auch nicht rathſam, fuͤr alle oder auch nur fuͤr die meiſten Aufgaben fremden Reiz zu entleh⸗ nen, der die Aufmerkſamkeit von der Hauptſache abzieht. Die Rechnungen dieſer zweiten Haͤlfte ſind nach meiner Crfahrittig durch ſich keloſt ſchon anziehend genug, weil der Schce⸗ Schiler ofl ſiufig iben ni ſel zu nich tilant, diei er darauf ſch enn anders da les ie Bert Ud ho it en nide, Dßich eine etuffgt habe, Ar gan das ſe Unertiehrt enigen benn umd die ber le ufue Ulen Ge in ſurfmner zie ſiitſen ſderlan r,Nun Phentn nder nin ſſgt in Ge Pne tten herve ütßngen, ni un e akr ui N e ſe Bne ſunn mmm me ſonders it et⸗ eheten ſenknr zur erſten Ausgabe. V Schuͤler wohl einſieht, daß er dergleichen noͤthig hat und haͤufig uͤben muß. Oder ſollten vielleicht einige Aufgaben viel zu kuͤnſtlich ſcheinen, indem man nur ſolche Beyſpiele verlangt, die im gemeinen Leben am gewoͤhnlichſten ſind? Aber darauf ſich aͤngſtlich einzuſchraͤnken, iſt nicht moͤglich, wenn anders das Rechenbuch ein durch Ordnung und eini⸗ ges Syſtem verkuͤrztes Ganzes ausmachen ſoll; und auch nicht rathſam, in ſo fern dabey die Uebung fuͤr ſchwere, und doch bisweilen ebenfalls vorkommende Faͤlle gaͤnzlich fehlen wuͤrde. Daß ich eine neue Rechnungsregel, die Baſedowiſche, eingefuͤhrt habe, wird mir zu keinem Vorwurfe gereichen, wenn man das Vortreffliche derſelben kennen lernt, und ihre Unentbehrlichkeit fuͤr den gemeinen Rechner nach demjenigen beurtheilt, was ich wider die Reeſiſche Re⸗ gel und die verſuchte Ausdehnungen der Kettenrechnung auf alle Aufgaben der Regula de quinque, ſeptem, nouem &c. im 34ſten Kapitel erinnert habe. Ueber⸗ dies erfordert die Erlernung jener neuen Regel keine neue Arbeit; ſie verlangt nur eine Fertigkeit in gewiſſen Schluͤſ⸗ ſen, die man doch zur Anordnung oder Pruͤfung des An⸗ ſatzes neben andern gewoͤhnlichen Regeln noͤthig hat, wenn man nicht in Gefahr gerathen will, die widerſinnigſten Antworten hervor zu rechnen, und uͤbrigens unter den 4 Betrachtungen, welche dafuͤr ſichern koͤnnen, die allge⸗ mein verſtaͤudlichſten aufſucht. Daher findet man dieſe Schluͤſſe ſchon bey der Regel de tri, der Kettenrechnung ꝛc. angebracht. Dieſe Einpaſſung der Baſedowiſchen Regel, ſo wie ihre Beweiſe und ihre Ausdehnungen in §. 612 ꝛc., ruͤh⸗ ren von mir her; und es koͤnnte gar wohl ſeyn, daß da⸗ bey noch manche Verbeſſerung Statt faͤnde. Da jede An⸗ Aa è3 ordnung „ — S VI vooeorrede ordnung eines neuen Syſtems, wenn es auch noch ſo be⸗ kannte Sachen enthaͤlt, dennoch ein etwas ununterbroche⸗ nes Nachdenken erfordert, wozu mir die an einander haͤn⸗ gende Zeit fehlet; ſo bin ich allerdings zweifelhaft, ob ich in dem gegenwaͤrtigen Verſuche, deſſen Entwurf faſt nur aus einzelnen Vorbereitungen zu meinen Lehrſtunden zuſammengeſetzt iſt, allenthalben die Ordnung getroffen habe, die mir ſelbſt, nach reiferer Ueberlegung, die beſte ſcheinen wuͤrde. Sehr wichtig werden indeſſen dergleichen Uebereilungen bey dieſem Rechenbuche nicht ſeyn, bey dem es Abſicht war, die Erklaͤrungen und Gruͤnde ſo zu geben, daß ſie fuͤr jeden einzeluen Fall, auch iſolirt und auſſer dem Syſteme, bey der Hand bleiben moͤgten. Den angefuͤhrten Nahmen ſchlage ich fuͤr die erwaͤhnte Regel vor, weil mir derjenige, den der verehrungswuͤr⸗ dige Erfinder ihr zugedacht hatte, nach dem Geſt chts⸗ puncte, woraus ich ſie betrachtet und vorgetragen habe, nicht paſſend genug ſchien. Verdient ſie aber uͤberhaupt einen neuen Nahmen? — — Wenn ein Feld ſchon ſeit Jahrhunderten von Reiſenden aller Art, bald nach die⸗ ſer, bald nach jener Richtung durchwandert iſt; ſo haͤlt es freylich ſchwer, einen Weg daruͤber zu bahnen, der nicht zum Theil aus alten Fußſtapfen beſtaͤnde. Der Leſer fuͤrchte nicht, das ich daruͤber Deduetionen anſtellen werde. Nur des Herrn Geh. Ober⸗ Baurathes Moͤn⸗ nich hier zu erwaͤhnen, ſcheint mir Schuldigkeit, da er in ſeinem Lehrbuche der Mäathematik, Berlin, 1781, ein Verfahren, welches dem Baſedowiſchen un⸗ gemein aͤhnlich iſt, als das Weſentliche der Reeſiſchen Regel angiebt. Sehr richtig fuͤgt er indeſſen Seite 139 hinzu: „Rees hat ſeine Regel erwas anders vorgetragen.⸗ „Die meinige, denke ich, ſoll zu einerlei Zweck, und . noch. “ä ) ich ſicherer lnſchzes ſehr Ner Werge 1 Uit mneine irt ihe fteylichn en von gun ſt roch kein R⸗ en 6 Geite ſe⸗ inke. Wee n 133 l für l ſeplcch lichtigen S= 3 alithmmetiſ ter lerſcheidet dern Srüͤcke ibeſen e ntern *R Dortenen ſſt nar hier oniniche eritde ic inxXI ts Pihnen Suſrire,d onn . lue ſel tectn geſk f Uniſen teſge e niin Ulnſſi es auch n twes untnee Nie u einandat⸗ 15 anno iumli zur erſten Ausgabe. vxrII „noch ſicherer fuͤhren. Sie hebt die Schwierigkeit des „Anſatzes ſehr gut, indem ſie die Aufmerkſamkeit von ei⸗ „ner Menge Objecte auf ein einziges lenket *). « So weit meine litterariſche Kenntniß in dieſem Fache reicht, welche freylich nicht die vollſtaͤndigſte iſt, aber mit meinem Willen von nun an nicht weiter vermehrt werden ſoll; ſo hat noch kein Reeſianer ſeine Regel von einer ſo vortheil⸗ haften Seite gezeigt, als Herr Moͤnnich dafuͤr erfun⸗ den hat. Wegen der Kennzeichen, die doch nach Seite 137 und 138 allein zureichen ſollen, den Platz einer jeden Zahl fuͤr die linke oder rechte Saͤule zu beſtimmen, waͤre freylich zu erinnern, daß ſie fuͤr viele Aufgaben ei⸗ nen unrichtigen Anſatz geſtatten wuͤrden, weil ſie auch der arithmetiſchen Verhaͤltniß gemein ſind. Auſſerdem unterſcheidet ſich die Baſedowiſche Form auch in manchen andern Stuͤcken, ich denke zu ihrem Vortheile; woruͤber ich indeſſen die Entſcheidung, weil ſie auf vielen kleinen Umſtaͤnden beruhet, fuͤr jetzt der eigenen Erfahrung üuͤberlaſſen will. Auch iſt Hrn Moͤnnichs Anſatz nicht ohne Proportionen erwieſen, wie ich es fuͤr den Baſedowiſchen nicht nur hier, ſondern ſchon vor 8 Jahren in dem phi⸗ lanthropiniſchen Journale, verſucht habe. Bey dem allen aber wuͤrde ich ungewiß bleiben, ob das Verfahren im hieſigen XXIIIten Kapitel nicht eben ſowohl auf Hrn Moͤn⸗ nichs Nahmen Anſpruch machen duͤrfe; wenn ich nicht gewiß waͤre, daß es ſchon vor 1779 in unſerm Inſtitute a 4 gelehrt *) Vollkommen wahr! Und — ſt magna licet componere paruis — wenn jemand den gemeinen Rechner in eben den Vortheil zu ſetzen ſuchen wollte, den der Aſtronom bey Be⸗ rechnung ſeiner Anomalien benutzt; ſo wuͤrde er ja wohl gerade auf den Kunſtgriff — ceteris paribus — verfallen muͤſſen. [Nur finde ich gegenwaͤrtig noͤthig fuͤr diejenigen, welche die Baſedowiſche Regel ebenfalls vortragen wollen, ausdruͤcklich zu erinnern, daß ceteris paribus von ceterxis vmſſis ſehr verſchieden iſt.] . VIII vorred«— gelehrt iſt*). Ich mill nur noch aufrichtig geſtehen, daß ich das eben geſagte nicht allein aus wahrer Hochachtung und Zuneigung fuͤr den Hrn Moͤnnich, ſondern auch darum mit angefuͤhrt habe, weil es der neuen Regel die⸗ ſes Buches ohne Zweifel zu einem guͤnſtigen Vorurtheile gereicht, daß ein ſo gruͤndlicher Mathematiker bereits auf eine ſehr aͤhnliche verfallen iſt. [Seit der Zeit habe ich nun auch gefunden, daß alle uͤbrige, wodurch ſich die Baſedowiſche Regel von der Moͤnnichſchen noch unter⸗ ſcheidet, ſchon laͤngſt in England, und zwar von den Gar⸗ diner, in der Einleitung zu ſeinen beruͤhmten logarith⸗ . miſchen Tafeln gebraucht iſt. Haͤtte ſich Gardiner eben⸗ falls auf das allgemeine und untruͤgliche Kennzeichen der geometriſchen Proportion gegruͤndet; ſo waͤre ſeine Regula of proportion mit der Baſedowiſchen voͤllig einerley. Denn es wuͤrde ihm dann gewiß nicht entgangen ſeyn, daß man die Diviſoren eben ſo unmittelbar als die Multipli⸗ catoren heraus finden koͤnne. Statt deſſen aber iſt er leider, um mich kurz auszudruͤcken, bey den arithmetiſchen Urſachen und Wuͤrkungen ſtehen geblieben, und ſchließt in dieſer nebelvollen Gegend faſt eben ſo undeutlich, als es die Reeſianer zu thun pflegen.] Es geſchaͤhe mir Unrecht? wenn mir z. B. bey der Anmerkung zu §. 446. jemand vorwuͤrfe, daß ich viele große Mathematiker verbeſſern wolle, welche kein Beden⸗ ken tragen, einen durch Aufhebung gefundenen Bruch eine kleinere Zahl zu nennen, als den ihm gleichen, welcher aufgehoben wurde. Wo genau zergliedert iſt, was eine Zahl ſey, da muß ſo 1585 eine groͤßere: Zahl als 4, und aller⸗ *) Man ſehe meinen Auffaß im philanthrop. Journal ſur Erzieher, 2 ten Jahrg. tes Quartal, 1779. (erdings eine ſbe ich nur gen n Buche zum unnen ſerſpalte ſ kleiner ſen on, die nur d ynen,darauf v⸗a Dinrthelung nei in werde. E w ude gevhiet ern nh ftenn bis m Neſerch ſe iſtere Schn deſs Geſtänd rede glerdin i ſten Thell d e hift at ck ſe wiel, a en ſrtich unnſr in h d hen end Wuke d eſgiun N ir nt, Ee chtig getihen i nich, ſnden der neuen Regle inſtigen Dunte. 8 gemalltt ler its 4 doe Heit der Zitſatt 4, wodurc ſhl 4 6 zur erſten Ausgabe: RH IX allerdings eine kleinere als à genannt werden; deshalb habe ich nur geſagt, wir duͤrfen hier (nach denen in die⸗ ſem Buche zum Grunde gelegten, noch lange nicht voll⸗ kommen zerſpalteten Begriffen (m. ſ. *§ 62 5) nicht ſagen, daß 2 kleiner ſey als 27. So habe ich mich in mehrern Faͤllen „die nur dem Sachverſtaͤndigen bemerkbar werden koͤnnen, darauf verlaſſen, daß maͤn auch kleine Winke zur Beurtheilung meines Geſi chtspunetes wohlmeinend beach⸗ ten werde. Es wird ja wohl auch anderer Orten, wie hier zu Lande gewoͤhnlich ſeyn, von einer groͤßern und klei⸗ nern Haͤlfte zu ſprechen? Wenigſtens habe ich mich in et⸗ was mit dieſer Hofnung getroͤſtet, als dieſe juͤngere Haͤlfte ihre aͤltere Schweſter ziemlich ſtark zu uͤberwachſen anfing. Dieſes Geſtaͤndniſſes, das mir in einer arithmetiſchen Vorrede allerdings ſchwer faͤllt, waͤre ich uͤberhoben, wenn ich einen Theil der erſten gegenwaͤrtigen Kapitel noch zur erſten Haͤlfte geſchlagen haͤtte. Dann enthielte jene auch gerade ſo viel, als man in mehrern Stadt⸗ und Land⸗ ſchulen ziemlich allgemein wird zu lehren haben. Was nunmehr in beyden Theilen vorkommt, moͤgte wohl fuͤr die hoͤhern Stadtſchulen, Gymnaſien u. dergl. gerade das rechte Maß der Rechenkunſt fuͤrs gemeine Leben ſeyn: es ſey denn, daß man etwa fuͤr einige Schuͤler noch hin⸗ zufuͤgen wollte, was ich in den Noͤthigen Kenntniſſen des Muͤnzweſens fuͤr Deut⸗ ſche, und einer Einleitung zu einigen Kaufmaͤnni⸗ ſchen Rechnungen beybringen werde. Dabey wird auch etwas ven der Zins⸗ auf Zinsrech⸗ nung u. dergl. vorkommen; aber ohne Eroͤrterung der Po⸗ 4 tenzen⸗ X Vorrede zur erſten Ausgabe. tenzenrechnung. Dieſe gehoͤrt fuͤr den mathematiſchen Unterricht; und wer fuͤr Schulen, alſo fuͤr eine jetzt noch zu bildende Generation ſchreibt, muß bey der Kuͤrze des menſchlichen Lebens darauf dringen, daß dergleichen mit der Buchſtabenrechnung zu erlernen ſey, ſo bald eine et⸗ was vollſtaͤndige Kenntniß davon noͤthig iſt. Wenn man ſolche Lehren ebenfalls in den Papinianiſchen Topf werfen, und ich ſetze hinzu, wenn man ſo ſonderbar verfahren, und bey dem Unterrichte in der Potenzenrechnung eben ſo ſchwache Anfaͤnger voraus ſetzen wollte, als es bey der Numeration — dem erſten Kapitel der Arithmetik, und woruͤber man ſich gewoͤhnlich ſo ſehr unrichtig ausdruͤckt — noͤthig iſt; dann wuͤrde freylich ein ſolches Rechenbuch zu einer kleinen Bibliothek anwachſen. nigen Bogen abdrucken laſſen?*), ſo bald ich mich wieder zu dergleichen Arbeit entſchließen kann; und hoffe durch ihre Einrichtung und Vermeidung ziemlich gewoͤhnlicher Fehler dafuͤr zu ſorgen, daß ſie nicht zu den uͤberfluͤßigen gezaͤhlt werden. Auſſerdem werde ich die beſten Rechen⸗ kunſtſtuͤcke, nebſt kurzer Erklaͤrung, dergeſtalt ordnen, wie man ſie dem Rechenſchuͤler nach und nach mittheilen kann, um ihm Veranlaſſung zu angenehmen Uebungen zu verſchaffen; die uͤberdies auch zur gehoͤrigen Beurtheilung der arithmetiſchen ſo genannten Geheimniſſe anfuͤhren koͤnnen. Deſſau, den 3ten September 1787. *) Das erſte wird naͤchſtens die Preſſe verlaſſen, iſt aber zu ſtark geworden, als daß ich den Lehrern der Arithmetik deſ⸗ ſen Ankauf zumuthen moͤgte. In Schulbibliotheken wird es hoffentlich ſeinen Platz verdienen. 5 Vorrede Pin Nes 1 tn nan in ng ſind in . den, '. 929 Diditen, der n nch ihen Unſtum vunin ch von Kinfe rden. Ois in eſcnn Teile u den Stuferk „de die erwos 5 SS Mburg ſid i Ich werde die erwaͤhnten beyden Buͤchelchen von we⸗ 5 (Phrüͤcklich, dr un ihnen honde ſſe ruch inder Eelptſichlice Ghe Zreftl de D Nſch ge t h wer Etnſs ierge i N, e der Heheineg lehele Ne het, nnd 88 nl in hngehnf 4) Deſen Thel, MIumtte Erſte⸗ 2 2 bfi zur zweyten Ausgabe. Warum das 15te Kapitel einen Anhang erhalten hat, wird man in *§ 3 52 finden. Die Aufgaben zur War⸗ nung ſind in §. 62 8 und 633 um einige neue vermehrt worden. §. 8 2,8 — 8 21 enthalten einen Vortheil beym Dividiren, der meines Wiſſens noch nirgend beygebracht iſt. Nach ihm zu ſuchen, ward ich durch den loͤblichen Umſtand veranlaßt, daß gegenwaͤrtig die Decimalbruͤche auch von Kaufleuten immer mehr und mehr gebraucht werden. Das uͤbrige des 3 ſten Kapitels ſtand ſonſt im erſten Theile. Ganz neu iſt das 32ſte Kapitel von den Stufenbruͤchen. Eul Uler, Lambert und Hin⸗ denburg ſind fuͤr dieſe Hauptlehrer. Lambert verlangt ausdruͤcklich, daß man auch in gemeinen Rechenbuͤchern von ihnen handeln ſolle*). Euler erwaͤhnt ebenfalls, daß ſie auch in der gemeinen Arithmetik von Nutzen ſind **). Ihr hauptſaͤchlicher Nutzen in der gemeinen Arithmetik iſt ohne Zweifel der, den ich in § 8 42 angegeben habe. Dieſer Abſicht gemaͤß habe ich nun den Vortrag einge⸗ richtet. Ich weiß gar wohl, daß man nach Lambert etwas weniger Rechnung gebraucht, als hier nach §. 8 36. und 839; aber das hieſige wird von ſolchen, die bloß in der gemeinen Rechenkunſt geuͤbt ſind, leichter gefaßt und behalten werden. Ich habe ſie Stufenbruͤche ge⸗ nannt, und es dabey gelaſſen, weil mein Manuſeript ſchon lange druckfertig bey Seite gelegt war, als ich fand †), daß *) Deſſen Beytraͤge zum Gebrauche der Mathematik, 2ter Theil. S. 54 ꝛc. **) Introductio in analyſin infinitorum, Tomi I. Cap. VIII. †) Im Archiv der reinen und angewandten Mathematik. Erſtes Heft, 1794. XII Vorrede daß ihnen der Hr. Prof. Hindenburg den ebenfalls ſehr ſchicklichen Nahmen der Kettenbruͤche gegeben habe. In dem gemeinnuͤtzigen Rechenbuche fuͤr Schulen ꝛc. welches zu Alttorf 1793 herausgekommen iſt, wird in der Vorrede ausvdruͤcklich angezeigt, daß man bey der dortigen Auswahl der Ausgaben die Ein⸗ foͤrmigkeit mehrer Rechenbuͤcher vermieden, und durch Abwechſelung der Gegenſtaͤnde fuͤr Unterhaltung der Auf⸗ merkſamkeit und Fertigkeit im Anordnen der Auf⸗ gaben geſorgt habe. Dieſer Tadel koͤnnte auch viele von meinen Aufgaben zu treffen ſcheinen. Aber mit Fleiß habe ich die meiſten von ihnen ſo ausgedruͤckt, daß der Schuͤler in ihrer Anſetzung keine Schwierigkeit finde. Denn ſonſt geht eine Hauptabſicht verlohren, warum ich ſo viele Uebungsaufgaben mitgetheilt habe, daß naͤhmlich ein Lehrer fuͤr viele Schuͤler hinreiche, und doch alle in ſteter Arbeit bleiben. Das gehet ſicherlich nicht, wenn der Lehrer faſt bey jeder einzelnen Aufgabe zeigen muß, wie man ſie betrachten und behandeln muͤſſe, daß ſie fuͤr die Regel paſſe. Indeſſen habe ich nun, am Ende der Uebungsaufgaben, auch ſolche hinzugeſetzt, die im Anſetzen ſelbſt uͤben koͤnnen. Ich habe ſie gerade aus dem angefuͤhrten Buche genommen; da ich gewiß ſeyn kann, daß der Hr. Verfaſſer deſſelben dieſen kleinen Nitgebrauch mir gerne zugeſtehen wird. Wer noch mehrere Aufgaben von allerley Art bey der Hand zu haben wuͤnſcht, dem empfehle ich dazu Hen Bodens Arithmetik, Hannover 1791. Darin ſind viele, theils nuͤtzliche, theils kuͤnſtliche und unterhaltende Aufgaben gut abgefaßt. Dieſes Hauptverdienſt jenes Buches zu einer neuen Sammlung zu benutzen, waͤre eine leichte — und eintrlcce 0h aber konnt lenig eutſclles ſlenn biel krlßen gous alten nn Von den n ihes Nechenbn Uteeigt hat, wr Punſtenen ſin Cindlicet Vich Cllehfuntet he . . n r ifr Ur H lhe, deſtn er fweſen Nper hege pirtie i⸗ Aler hube; hefe Uauit e N “D ben ſer ung d iie nnnmngee⸗ Lte Es v , leſ ih aunn )ethan 8 ihite 68 M 2 gegeben N Roaknach) zur zweyten Ausgabe. XIII und eintraͤgliche, auch fuͤr das Publikum nuͤtzliche Arbeit. Ich aber konnte mich ſo gegen Hrn B. zu handeln ſo wenig entſchließen, daß ich vielmehr ſeinetwegen von einem viel fruͤheren Vorſatze abſtehe, eine aͤhnliche Samm⸗ lung aus alten und neuen Rechenbuͤchern zu veranſtalten. Von dem wuͤrdigen Manne, der die erſte Ausgabe meines Rechenbuches in der Allgem. Deutſch. Bibliothek angezeigt hat, weiß ich nur, daß ziemlich viele dortige Recenſionen ſein Zeichen tragen, und jede von ihnen gruͤndliches Urtheil, Wahrheitsliebe und reichhaltige Gelehrſamkeit beweiſet. Sollte es Ihm gefaͤllig ſeyn, ſich mir naͤher bekannt zu machen; ſo wuͤrde ich mich deſſen ſehr freuen. Hier kann ich ſeine Erinnerungen nur kurz beruͤhren. Der Wink wegen der Decimal⸗ bruͤche, deſſen er erwaͤhnt *), iſt mir ſchon lange bekannt geweſen. Aber auch bey wiederholter Ueberlegung habe ich gegenwaͤrtig in meinem Vortrage der Deeimalbruͤche, und der dabey befolgten Ordnung, nichts geaͤndert; weil es mir wenigſtens ungewiß blieb, ob ich dann fuͤr Lehrer und Schuͤler eben ſo gemeinbrauchbar und gemeinver⸗ ſtaͤndlich bleiben moͤchte, als ich es, nach Anderer Ver⸗ ſicherung und eigener Erfahrung, bey der gegenwaͤrtigen Anordnung geworden bin. Es war ja wohl kein bloßes willkuͤhrliches Belie⸗ ben, daß ich die Baſedowiſche Regel nach ihrem Erfin⸗ der benannte? In wie fern ich ihn dafuͤr hielt, was ich ſelbſt dabey gethan, und was ich bey Andern ſchon vor⸗ zuͤglich aͤhnliches gefunden hatte, warum das Baſe⸗ dowiſche Verfahren fuͤr die Aufgaben der regula multi- plex uͤberhaupt, (nicht bloß fuͤr diejenigen der regula de 2*) Allgem. Deutſch. Bibl. Anhang zum 53 — 86ſten Bande. 1. Abtheil. Seite 595 zc. XIV Vorrede zur zweyten Ausgabe. de quinque) vor andern practiſchen Rechnungsformen Vorzuͤge habe; das alles habe ich freylich erſt in der An⸗ leitung zur 2ten Haͤlfte beygebracht. Dieſe hatte der Hr. Rec. wie er ſelbſt ſagt, noch nicht geſehen; und ſie iſt auch nachher in der Allgem. Deutſch. Bibliothek nicht angezeigt worden. Vollkommen richtig war die Erinnerung*), daß eine gewiſſe vortheilhafte Art zu multipliciren nicht in ſolche Anfangsgruͤnde gehoͤre. Wenigſtens habe ich ſie gegenwaͤrtig erſt in ein ſpaͤteres Kapitel, und bloß in das Handbuch des Lehrers gebracht. (*§. 82 2 ꝛc. ꝛc.). Ich habe ſie nicht fuͤr meine Erfindung ausgegeben, uͤbrigens aber allerdings nicht gewußt, daß ſie in Frankreich ſchon behandelt, und bereits im vorigen Jahrhundert von Tarragon verbeſſert iſt. Nur muß ſie dort anders als von mir vorgetragen ſeyn; weil ſonſt Tarragons Ver⸗ beſſerung aus zwey Gruͤnden nicht Statt gefunden haͤtte. Denn 1) iſt Tarragons Verfahrungsart keine andere, als die ich ſchon gleich vorher ebenfalls vorgetragen hatte; und 2²) iſt fuͤr die Faͤlle, fuͤr welche ich die andere Verfahrungsart vorſchlage, deeſe betraͤchtlich vortheil⸗ hafter. Freylich aber muß man bey ihrem Gebrauche nicht ſo umſtaͤndlich ſchreiben, als ich es bloß in der Anleitung gethan habe, wo von ihrer Erklaͤrung die Rede iſt. Die eben erwaͤhnte Beziehung zwiſchen den beyden Verfahrungsarten, habe ich nun in dieſer Auusgabe ausdruͤcklicher dargeſtellt, als es in der erſten Ausgabe geſchehen war. . Deſſau, im Januar 1795. *) Band 82, Seite 153. — Finf⸗ 0 nungei⸗ * Nylden Nege merene ſen, ſched esn ſyenuarncdh (rbiſhen r 6annchſcher der Reel ihen leißt n nnch der nſhe gndl lihradeenit ne vrnice Kkminge N nl⸗ er entirrihen „ 2„ sgabe. — — Funfzehntes Kapitel. (Fortſetzung des Dreyzehnten.) Vorn der Regel de tri. Ob man gleich alle Aufgaben, welche ſich fuͤr die J Regel de tri ſchicken, auch der Baſedowiſchen Regel unterwerfen kann, und bey weiten die mehre⸗ iten, ſobald es um die kuͤrzeſte Berechnung zu thun iiiiſt, entweder nach derſelben oder nach der Kettenregel oder waͤlſchen Practik wirklich behandeln muß; ſo iſt es dennoch ſehr rathſam, das Wenige *), was hier von der Regel de tri gelehrt wird, ſorgfaͤltig beyzu⸗ Pbringen. Leicht und angenehm wird es den Anfaͤn⸗ gern, nach der waͤlſchen Practik ſehr vernuͤnftig unnd ſehr gruͤndlich zu rechnen, wenn ſie mit den mieiiſten dazu erforderlichen Schluͤſſen ſchon bey den wveniger verwickelten Aufgaben des Dreyzehnten und des gegenwaͤrtigen Kapitels bekannt geworden ſind. Man muß aber darauf halten, daß die Bedacht⸗ ſamkeit waͤhrend der Rechnung wirklich beob⸗ achtet werde, wovon in *§ 333 eine leichte Ueber⸗ ſicht gegeben wird, nachdem ſie durch viele einzelne * Bepſpiele gezeigt iſt. Das Uebrige dieſes Kapitels Zu dieſem Wenigen gehoͤrt der Anhang nicht, . den ich bey der neuen Ausgabe dieſem Kapitel zuge⸗ 1. ſetzt habe. Ueber deſſen Abſicht und Gebrauch ſehe man *5 3 52. Buſſ. Rechenb. 2. Zaͤlfte. 4A 2 2 Funfzehntes Kapitel. macht ebenfalls bey den einfachſten Aufgaben mit andern Scͤſ en bekannt, die uns bey den folgen⸗ den ſchwierigeren Rechnungen vortheilhaft und ſicher leiten werden. — = Nach der Regel de tri kann freylich auch be⸗ rechnet werden z. B. die Aufgabe: wie viel ko⸗ ſten 2 ρ 17 oth und Quentchen, wenn 10⅝ £ 6 Loth und 2 ½ Quentchen fuͤr 2 X6 4 ₰. verkauft werden. Aber ſolche Cruces der Regel de tri wirk⸗ lich berechnen zu laſſen oder ſogar zu uͤben, erforderte die angegebene Abſicht nicht. Der vollendete Schuͤ⸗ ler dieſes Rechenbuches wird dergleichen Fragen al⸗ lerdings zu beantworten wiſſen. Wenn er das, wie wohl manche verlangen werden, nicht wiſſen ſollte; ſo wuͤrde er ja auch viele ſehr noͤthi ge Rechnungen nicht beſtreiten koͤnnen. Sonſt wird die Regel de kri in die directe und indirecte (ordentliche und umgekehrte) abgetheilt. Da ich die letztere gar nicht gebrauche (man ſehe *§ 344); ſo hat man kuͤnftig allemahl nur die directe zu verſtehen, wenn ich ſchlechthin von der Regel de tri ſpreche. Was ich aber im Anfange dieſes Hen von allen Aufgaben der Regel de tri ge⸗ ſagt habe, gilt allerdings ſowohl von den Aufgeben der directen als der indirecten. §. 32 8 — §. 332. *§. 333. Bedachtſamkeit waͤhrend der Rechnung. Wir haben uns in den bisherigen Aufgaben bey der Rechnung ſelbſt durch gewiſſe Fragen und Berrach⸗ Perochtmngen Glede nur die leinl 30) uſchenverſta i votcus der eyte Glied zu multip Wamime etir vos ani Puderen ds. un de diie Mumm din ſin⸗ ed⸗ deh Al des D Deronf de eienrie S d Und a WPir i diee⸗ Ructnoch Edinditen n Khli. — = = = Nhſe unge vi Nr Nehrnn de nen Ber Anſtbe hanmg 1 . . Von der Regel de tri. 3 Betrachtungen leiten laſſen. Wenn im erſten Gliede nur die Zahl 1 ſtand; ſo ward eine Frage, wie in 1 § 305, aufgeworfen, welche der geſunde Menſchenverſtand ſogleich zu beantworten wußte, und woraus denn ſogleich erhellete, daß man das zweyte Glied durch die Zahl des dritten Glie⸗ des zu multipliciren habe. Wenn im erſten Gliede nicht 1 ſtand, 6 dache ten wir uns anfaͤnglich ſtatt der wirklich darin vor⸗ l handenen Zahl. Fuͤr dieſen gedachten Fall entſtand tne nun die vorige Frage und Antwort, die alſo wie⸗ Dderum dahin fuͤhrte, daß man das 2te Glied durch deie Zahl des dritten Gliedes zu multiplictren habe. Darauf aber bedachten wir, daß im erſten Glliede eigentlich nicht 1, ſondern eine andere Zahl E ſtaͤnde „und fanden durch gewiſſe Betrachtungen, een daß wir in dieſer Hinſicht das vorhin erhaltene dn Product noch durch die Zahl des erſtern Glie⸗ dDes dividiren mußten, um die verlangte Antwort zu erhalten. Deos Anſtellen dieſer Feagen, Betrachtungen uund Schluͤſſe will ich Bedachtſamkeit waͤhrend ue der Rechnung nennen. 1, itruſaf c1.. Nachee §. 3,3 4 — §. 336. *§. 337. . Beweis von § 335 an ei⸗. e . . NNe nem Beyſpiele, 3 G: 4 = 7 £² asran? 1) Man iſt bey dieſem Anſatze, wegen der rten iſ y dorderung in § 335 uͤberzeugt: wenn das dritte S A 2 Glied 4 Funfßzehntes Kapitel. Glied 2 mahl ſo groß waͤre (als es wirklich iſt), ſo 4) Vem il wuͤrde auch die geſuchte Groͤße 2 mahl ſo groß aus⸗: aſen Vie fallen (als ſie nun wirklich ſeyn wird); und man iſt dricte Gle es zugleich auch von den folgenden Saͤtzen: wenn d aſt. das dritte Glied 3 mahl, 4 mahl, 7 mahl oder ifei f 100 mahl ſo groß waͤre, ſo wuͤrde auch die geſuchte das zm Groͤße ebenfalls 3 mahl, 4 mahl, 7 mahl oder inn E 100 mahl ſo groß ausfallen. Denn man iſt von dieſen Saͤtzen und von jenem erſten aus dem ge⸗.) e di⸗ meinſchaftlichen Grunde uͤberzeugt: ſo vielmahl Gik;zma mehr Waare ich haben will, ſo vielmahl mehr Unie Geld muß ich geben *). Winſ . hle Aſen Nh 2 Vollſtoͤndiger haͤtte ich in §. 3 35. fordern ſol: es len, man muͤſſe uͤberzeugt ſeyn: wenn an der Stelle Pudre e des dritten Gliedes ein mehrmahl groͤßeres oder ſeceiche kleineres ſtaͤnde, alsdann auch die geſuchte Groͤe ſeihder ebben ſo vielmahl groͤßer oder kleiner ausfallen muͤſſe. de Aber jene abgekuͤrzte Forderung iſt fuͤr die Ausuͤbung 8 vori hinreichend und ſehr bequem. Sollte ja in einigen e er Faͤllen jene abgekuͤrzte ohne die vollſtaͤndige Statt finden; ſo ſind ſie ſicherlich entweder von der Art, ſten Beile daß kein Menſch von geſundem Verſtande in Gefahr kommt, ſich dabey der Regel de tri zu uͤberlaſſen; iin oder die Gefahr entſteht wegen Mangel an gelehr⸗ En de ten, wiſſenſchaftlichen Kenntniſſen, welche durch dn keine Rechnungsregel erſetzt werden koͤnnen. Ein inme D Beyſpiel der erſten Art waͤre, wenn ein Schiff an D n einer kleinen Inſel landet, wo es das erſte Schwein fuͤr 10 Naͤgel, und die beyden erſten fuͤr 20 Naͤ⸗ ee gel kauft; fuͤr das dritte, vierte und fuͤnfte aber mae ſhon blnn Von der Regel de tri. 5 nitki A) Wenn ich nun fuͤrs erſte annehme, daß im nahlſgft erſten Gliede nur 1 ſtuͤnde; ſo waͤre das inlenin dritte Glied (7 πι) gerade 7 mahl ſo groß, als n ik das erſte. Ich wuͤrde alſo, um die geſuchte ahl, inehe Groͤße zu finden, euii⸗ das zweyte Glied durch die zahl des ne Dritten Gliedes (7) multipliciren. ſn u B) Aber dieſe Annahme, wonach ich das erſte eug: ſ. din Glied 3 mahl kleiner annahm, als es wirklich iſt, 6 nielnehnſr. . verurſachte ohne Zweifel, daß ich das dritte Glied um 3 mahl zu groß gegen das erſte Glied ſchaͤtzte. Ich habe alſo vorher mit einer dreymahl zu großen Zahl in das zweyte Glied multiplicirt; e und es iſt deshalb auch das dadurch geſundere rm Product gerade dreymahl groͤßer ausgefallen, als eigl e die geſuchte Groͤße wirklich ſeyn muß. Alſo er⸗ Halte ich die richtige geſuchte Groͤße wenn ich leinr uſin das vorige Product noch durch (3) die dahl des erſten Gliedes dividire. A è3 2) Bey ſchon Beile und Axte hingeben muß; und das 40ſte fuͤr alle Schaͤtze der Welt nicht erhandeln wuͤrde, in ſo fern es auf der ganzen Inſel nur 39 giebt. Ein Beyſpiel der zweyten Art waͤre folgendes. Wenn Luft nur 2 mahl, 3 mahl bis 4 mahl enger zuſammen gedruͤckt wird, ſo wird ſie auch (ſo ziem⸗ lich) nur 2 mahl, 3 bis 4 mahl ſtaͤrker wirken; aber bey noch nehrerer Verengerung wird die meſ (ſchon vorhandene) Unrichtigkeit in dieſer Behau⸗ un ptung immer merklicher. 6 Funfzehntes Kapitel. 2) Bey der Anwendung dieſes Beweiſes wird nun die 2te Forderung in 533 5 ſchon vorausgeſetzt. Ien wen Denn nach A) ſoll die Zahl des dritten Glie⸗ S des anzeigen, wie vielmahl das dritte Glied groͤßer : ſey, als das Einfache des erſten Gliedes, welches man ſtatt des erſten Gliedes zuerſt annimmt. Ge⸗ . lt . ſetzt aber, die Aufgabe ſey, . Hoß 4 * „ . . 1 ⸗ 26⁰ 3 16 5 Loth: 4 C = 7 f5 9 ſoth? und ich nehme nun fuͤrs erſte das Einfache des erſten 194 Gliedes, 1 Loth, als das erſte Glied an; ſo kann ich, wie vielmahl das dritte Glied, 7 α und 9 Loth, Ns groͤßer ſey, als das angenommene r Loth, nicht eher R beſtimmen, als bis ich das dritte Glied unter den⸗ 1 ſelben Nahmen Loth gebracht habe. So bald ich weiß, es ſey ſo viel als 233 Lth; ſo weiß ich . ſicher, daß es 233 mahl groͤßer, als das angenom⸗ mene erſte Glied, 1 Loth, und in ſo fern das zweyte — Glied durch 233 zu multipliciren ſey. L Nach B) muß ich nun ferner auch anzugeben er wiſſen, wie vielmahl das wirkliche erſte Glied groͤßer ſey, als das angenommene 1 Loth. Das kann — ch wiederum nicht eher, als bis ich es ebenfalls nach Lothen ausgedruͤckt habe. So bald ich weiß, es ſey ſo gut als 101 Loth; ſo weiß ich freylich, daß e es 101 mahl groͤßer als 1 ſey, das dritte Glied alſo . . nide wen gegen das erſte vorhin 101 mahl zu groß geſchaͤtzt, megene⸗ und deshalb das vorhin erhaltene Product durch itte 101 zu dividiren iſt. . §. 338. nle nn i Bon der degel dent „ Nen uunug . – Man vorſtebe nun auch eben ſo die folgende de dimd Rechung. = an 3 t: r2 v8§ 6 90C = 4 3 Loth Müont 96 Lvoth 131 13 1 Loth. 882 294 24 638514 96 401 96 ſs re. 384 1424 IIA4 1761 . 96 144 . 18 96. 17 96. 12 36 18 lich uſte 21 . ehH Bey dem Aafae ſelbſt iſt ſogleich 1) gewiß, int daß die geſuchte Groͤße noch einmahl ſo groß ausfal⸗ in e len wuͤrde, wenn das z3te Glied noch einmahl ſo groß lunif⸗ waͤre. Reducirt man nun das erſte und dritte Glied 4 *õ auf Loth; ſo erhaͤlt⸗ der Anſatz 2) auch die Beſchaf⸗ te fenheit, daß im erſten und 3ten Gliede nur ein und einerley Nahme vorkoͤmmt. A 4 Nun 8 Funfzehntes Kapitel. Nun kann ich alſo mit der Zahl des dritten Glie⸗ des in das zweyte Glied multipliciren. Das iſt hier geſchehen, nachdem man das 2te Glied auf Gro⸗ ſchen reducirt hat. Das Product 38514 9 durch 96 dividirt giebt die geſuchte Antwort in der Sorte des 2ten Gliedes alſo 401 ½ - 90. Durch fernere Reductionen (die wir kuͤnftig auuf leichtere Weiſe anſtellen werden) findet man, daß 401 90 ſo viel als 16 6τ 17 960 ſind, und der 96 ſte Theil von 18 90, alſo von 18 mahl 12 d. i. 216 R iſt 2 ¾4 NR. §. 340. Solche Rechnungen, als in den vorigen beyden Fen gezeigt ſind, werden nun ziemlich muͤhſam und weitlaͤuftig. Denn 1) muͤſſen die Glieder des An⸗ ſatzes reducirt werden, um ihnen die nach § 335 erforderlichen Eigenſchaften zu geben; 2) hat man nach Vollendung dieſer Reductionen mehrentheils mit ziemlich großen Zahlen zu multiplieiren und zu dividiren; 3) iſt am Ende, wenn das Faeit in der Sorte des 2ten Gliedes gefunden iſt, ſehr oft noch eine neue Reduction auf die hoͤhere Sorte noͤthig. In der Folge werden wir ſehen, daß ſich dergleichen Aufgaben ungleich kuͤrzer, theils nach der waͤlſchen Practik, theils nach der Kettenregel berechnen laſſen. 5§. 341. §. 342. §. 343. Wenn man nunmehr in dem vorigen Anſaße das erſte und dritte Glied mit einander verwechſelt, ſo erhaͤlt man folgenden Anſatz: 12 12 Anch den mm tick chn mn den Uken12 Me Nun ſand ſchte Große un dus eeige Ounn nenſtet uen Vengte Pemit nnnl SEes HD 1 Mnſchen Plnng awsre ud. Hier 335 Eunt, mis, in 1 Mforriner nmmteens multliere Ktſen Glie or ediede ſ D ne Kn Nern Wum tl. ldesditng. te Gied ad 13851 Ar ne nNt (die wr uſit 1 nde n, P ſ1 “ NW IN, WN „ men1! Nn 15 UMahel, 1 ea e den rtend⸗ ð de Glehn N n die nu 3 ctionen ! ntſen zenic niſe chen, als die vollkommen richtige Antwort erhaͤlt. Von der Regel de tri. 9 12 Menſchen? — 5⁵5 Wochen — 4 Menſchen, den man ruͤckwaͤrts leſen muͤßte: 4 Menſchen rei⸗ chen mit dem Vorrathe 5 Wochen aus, wie lange werden 12 Menſchen damit reichen? Nun ſind wir wiederum uͤberzeugt, daß die geſuchte Groͤße zweymahl ſo groß ausfallen muͤßte, wenn das jetzige 3te Glied zweymahl ſo groß waͤre. Denn wenn ſtatt 4 Menſchen ſchon 8 Menſchen mit dem Vorrathe 5 Wochen lang ausgereicht haͤtten; ſo muͤßten wohl die Menſchen nur halb ſo viel eſſen, als es wirklich der Fall iſt, und ſo wuͤrden auch die 12 Menſchen mit dem Worrathe gerade zweymahl ſo lange ausreichen, als es wirklich der Fall ſeyn wird. Hier findet alſo die 1ſte Bedingung aus 60 335 Statt; und da uͤberdies, auch der zweyten geinaͤß „im iſten und z3ten Gliede nur ein einziger, und zwar einerley Nahme vorkommt; ſo kann man nunmehr das zweyte Glied durch die Zahl des drit⸗ ten multipliciren, und das Product durch die Zahl des erſten Gliedes dividiren, wodurch man 1 ¾ Wo⸗ — *§. 344. Eben dieſelbe richtige Antwort wird man erhal⸗ ten; wenn man zwar den Anſatz, wie er im vorigen § iſt „unveraͤndert ſtehen laͤßt, aber das Verfahren in § 334 umkehrt; alſo das 2te Glied durch die Zahl des erſten Gliedes multiplicirt, und darauf das Product durch die Zahl des dritten Gliedes dividirt. . A 35 Das SO. 40 Funfzehntes Kapitel. Das heißt dann nach der indirecten, umge⸗ kehrten Regel de tri rechnen. Wir lehren ſie nicht, ſondern verſparen dergleichen uſgaben fuͤr die Ba⸗ ſedowiſche Regel. §. 345. DM Wenn man einen Anſatz, der fuͤr die Regel de tri zu gehoͤren ſcheint, nach den Erforderniſſen in & 335 pruͤfet, ehe man ſich der Rechnung ſelbſt uͤberlaͤßt; ſo iſt man, wie geſagt, vor unrichtigen und ungereimten Anwendungen der Regel de tri geſichert. Eben denſelben Nutzen gewaͤhrt auch die Achtſamkeit waͤhrend der Rechnung 1 nach §. 333. Z. B. Wenn man ſich in der Auſgabe 342 die Frage aufwirft: wenn 1 Menſch mit dem Vor⸗ rathe 5 Wochen lang reichen koͤnnte; wie lange rei⸗ chen 12 Menſchen damit aus? ſo wird nun niemand zur Antwort geben wollen: 12 mahl 5 Wochen. Und ſobald man das Unſchickliche dieſer Antwort bemerkt; ſo wird man ja eben dadurch erinnert, daß man hier nicht, wie gewoͤhnlich, „mit der Zahl des dritten Glie⸗ des in das zweyte Glied multipliciren duͤrfe. Wirft man ferner bey der Aufgabe in §. 338, 3 Quentchen: 7 ϑ = 4 8 8 Loth? die Frage auf: wenn 1 Quentchen koſtete 7 , wie viel wuͤrden 4 ρ und 8 Loth koſten? ſo wird man ebenfalls ſtutzig werden, und nicht eher zu antwor⸗ ten wiſſen, als bis man das dritte Glied nicht nur auf Loth, ſondern auch auf Quentchen reducirt hat. Denn geſetzt, man fruͤge ſich nach Vollendung der erſten Reduction auf Loth: wenn 1 Quentchen ko⸗ ſtete 7 R, wie viel koſten 136 Loth; wird el wo ch envorte ſen Ganz 4 . Uch Ciite ſenen ude 10S0 ſelen; w. ſnin einem Geſegton nlimn uſen, Plingen: lo Ethate ſd mne Etdec nige Ne. de i⸗ 4 dame directm, n Dir lihnſet fgabenfrut der ſür e , u Naln etiſi H ch elee ch de wüd nun nihl 5Dan „ 746 Von der Regel de tri. 11 wohl antworten wollen „ daß ſie 136 mahl 7 9. koſten? Ganz gewiß nicht: denn 136 Loch iſt ja nicht 136 mahl mehr als 1 Quentchen. Nachdem man aber dieſe Loth auf 544 Quentchen reducirt hat, ſo ſieht man ſogleich ein: wenn 1 Quentchen koſtete 7 R, ſo wuͤrden 544 Quentchen offendar 544 mahl 7 R koaſten. . *9. 347. Einige Fntn zur Warnung und zur iibis in den Regeln der Vorſicht. 100 Soldaten marſchiren i in einem Tage 6 Meilen; Wwie viel marſchiren 1000 Solda⸗ L ten in einem Tage: Geſetzt auch, man habe ſich durch Eifertigkeit verleiten laſſen, dieſe Aufgabe in fol genden Anſaß zu bringen: 100 Soldaten: 6 Meilen = 1000 Soldaten? — — ſobald man ihn nur nach § 335 pruͤft; ſo wird man entdecken, daß er nicht fuͤr die Regel de tri gehoͤre. Denn 2000 Soldaten wuͤrden ja wohl nicht auch 2 mahl ſo weit marſchiren koͤnnen, als 1000 Soldatrn wirklich fortkommen! Es findet alſo hi et nicht Statt, daß die geſuchte Groͤße 2 mahl ſo groß wuͤrde, wenn das dritte Glied 2 mahl lſo groß waͤre. Nach einiger Ueberlegung; ſieht man wohl, daß 100 Soldaten, oder 1000 oder 2000 Soldaten, in in ihrem Marſche nicht weiter vorruͤcken, als jeder einzelne . kum 12 Funfßehntes Kapitel. einzelne Soldat. Die Frage war alſo bloß durch Dſt den geſunden Menſchenverſtand, ohne alle Regel de le ti zn geen tri zu beantworten. 16 1 e Bley slts nach Erfahrung in einre t en Secunde ungefaͤhr 15 Schuh tief; wie tief jeihhuun werden 100 Bley in einer Secunde fallen? mſtszmn Es iſt hier gerade der vorige Fall. 100 £ Bley Cuneſcon v neben einander gedacht, oder auch an einander ver⸗ hnuike aſe einigt, koͤnnen nicht etwa 100 mahl geſchwinder fal⸗ nün ntinz len, als 1 ρ; ſo wenig wie 100 Soldaten, die ne⸗ lat ui Cude, und ben einander marſchiren, oder ſich waͤhrend des Mar⸗ ſches anfaſſen „deshalb 100 mahl weiter fortruͤcken, iekfden als ein einzelner Soldat. Wenn gleichwohl ein in nid eſt 1oopfuͤndiges Stuͤck Bley meiſtentheils etwas ge⸗ kor N ſchwinder fallen moͤgte, als 1 ; ſo haͤngt das von In Nebenumſtaͤnden ab, die nicht in der Rechenkunſt, ifin egid ſondern in der Naturlehre zu betrachten ſind. G⸗⸗ Mrfeic nug, 100 f fallen nicht deshalb geſchwinder, ſ. Nrid weil ſie 100 mahl ſchwerer ſind als 1 fg; ſonſt muͤ⸗ iig lene ten auch 100 Soldaten ebenfalls geſchwinder, und (Autng zwar 100 mahl geſchwinder fortkommen, als 1 Sol⸗ (emin dat, weil 100 Soldaten gerade 100 mahl mehr lglng Fuͤße haben als 1 Soldat. Jedes ſz wird durch umnen i ſeine eigene Schwere zur Erde getrieben; ſo wie ußm jeder Soldat durch ſeine eignen Fuͤſſe fortmarſchirt. uf *§. 349. Geſetzt, ein Stein fiele in der erſten Se⸗ We cunde 15 Schuh, wie weit wird er in⸗ Se⸗ pſerde,. cunden fallen? Dies . r r ane cle ei fahrungnin db tef; w Secundeſe eul. te Solheten, 1 Van gecrt iſtertheis nn E; ſyrde⸗ . 9. 4. Ge tin N dei etrochen n 1. 16,68 esheb S 45 1 1s gcrim 1 14 . 66 7 fkommen, .D 00 » . . . 2£ MZ . wvwas man nicht verſteht; ob ſie gleich hoͤchſtens ſdetn mnur ſo weit befolgt werden kann, daß ein jeder nur gen das berechnet, was er zu verſtehen glaubt. *§. 350. Von der Regel de tri. 13 Dies ſcheint folgenden Anſatz fuͤr die Regel de tri zu geben: 1 Sec.: 15 Schuh = 2 Sec.? Wienn man aber aus der Naturlehre gelernt hat, daß ein Koͤrper, der in der erſten Secunde 15 Schuh durchfallen waͤre, in der 2ten Secunde ſchon wenigſtens 3 mahl 15 Schuh, und dann in der 3ten Secunde ſchon wenigſtens 5O mahl 15 Schuh durchfal⸗ len wuͤrde (auſſer, was ihn die Luft, ſo er wegtreiben muß, fernerhin zuruͤckhaͤlt); ſo weiß man, daß er in 2 Secunden nicht bloß 2 mahl ſo viel, als in der erſten Secunde, und in 4 Secunden nicht bloß 2 mahl ſo viel, als in den beyden erſten Secunden durchfaͤllt. Man wird alſo, ſowohl durch die Bedachtſamkeit waͤhrend der Rechnung, als durch die Pruͤfung des Anſatzes nach § 335 entdecken, daß man hier nicht nach der Regel de tri rechnen koͤnne. Wer freylich ſolche phyſikaliſche Kenntniſſe nicht beſitzt, der wird hier und in vielen aͤhnlichen Faͤllen unrichtige Antwerten hervor rechnen; nicht aus Man⸗ gel an Rechnungsfertigkeit, ſondern weil es ihm an anderweitigen Kenntniſſen fehlt. Hier bleibt die Regel allemahl heilſam, nichts zu berechnen, Whonn 1 Pferd 10 L zieht, wie viel ziehen 12 Pferde; wenn uͤbrigens gleich ſtarke Pferde und gleich guter Weg vorausgeſetzt werden: Wenn 14 Funfzehntes Kapitel. Wenn das eine Pferd vor einen Karren geſpannt iſt ‚ und die andern Pferde auch einzeln vor eben ſo viel Karren geſpannt werden; ſo iſt es freylich klar, daß man durch 12 Pferde unch 12 mahl ſo viel Laſt fortbringen kann, als durch 1 Pferd. Wenn aber die 12 Pferde etwa einen gemeinſchaftlichen Wagen ziehen ſollen, ſo darf man keinesweges 120 auf⸗ laden. Geſetzt auch, daß der Wagen nicht braͤche, wie es doch wahrſcheinl ich iſt; ſo druͤckt doch eine ſo große Laſt den Wagen ſo tief in den Boden, daß ſie ſchon deshalb weit mehr als 12 mahl ſo ſchwer fort⸗ zuziehen iſt; anderer Umſtaͤnd e nicht zu gedenken. *§. 3 Kl. Bine gewiſſe Arbeit wird von 15 Men⸗ ſchen in 4 TCagen vollender; wie viel T Tage werden 7 Menſchen dazu gebrauchen: Der Anſatz, 15 Menſchen: 4 Tage = 7 Men⸗ ſchen? gehoͤrt nicht fuͤr das allgemeine Verfahren der Regel de tri. Denn wenn das letzte Glied zwey mahl ſo groß waͤre; ſo wuͤrde deshalb die gefuchte Groͤße nicht auch 2 mahl ſo groß ausfallen. Viel⸗ mehr brauchen 14 Menſchen nur hald ſo viel Zeit, als 7 Menſchen zu derſelben Arbeit; vorausgeſetzt, daß ſich 14 Menſchen eben ſo bequem dabey anſtel⸗ len laſſen als 7 Menſchen. Dieſe Aufgabe iſt der in § 342 ſehr aͤhulch. Dort beſtand die Arbeit im Eſſen. e cſz Anhang, B Eirbetihn e Poſeſton ut Ciithnin uur ſhen ipten, Nterge H Iun ſecrch Ben lr d Na en A Nle 4 ikrlere ut der ier doch en inoch Been en tm H . 4 . Von der Regel de titi. 1 5 nnnee Anhang, von der Regel de tri bey Bruͤchen. D ſsnd Ein beruͤhmter Schulmann ſtellte mir vor, daß n viele Profeſſioniſten u. dergl. nach zuruͤckgelegten Schuljahren nur noch nach der Regel de tri zu ver⸗ elgan ſahren wuͤßten, und ſelbſt die Kettenregel bald wie⸗ gin der vergeſſen haͤtten: deshalb ſey es rathſam, daß Duanili man ſie auch Bruͤche in der Regel de tri behandeln he lehre. Dieſem Zwecke gemaͤß habe ich nun dazu mndn d hinreichende Regeln ſo geordnet und erklaͤrt Rdaß ſie leicht behalten und verſtanden werden. Zeder Lehrer kann dieſen Anhang nach Belieben gebrauchen oder weglaſſen. Im erſten Fall aber muß er doch entweder verſpart werden „ bis man, etwa nach Beendigung des 24ten Kapitels, den d miſ zweyten Theil bis dahin wiederholt; oder man muß unl die wenigen leichten Saͤtze von der Bruchrechnung, eebracn. welche hier nur vorausgeſetzt werden, im voraus bekannt machen. Das hat keine Schwierigkeit, und dr⸗ der folgende § zeigt dieſe Saͤtze an. 2 §. 353 — §. 30 1/ Sechzehntes Kapitel. Vom Ausdrucke eines Bruches durch niedrigere Sorten. §. 36 2. 3 Der Lehrer nehme zur Erlaͤuterung der erſten Tafel wirklich 24 9 in die Hand, zaͤhle ſie in zmey Reihen ℳ 16 Sechzehntes Kapitel. Reihen auf, und ſage dabey: 12 Geoſchen iſt andere 24 96 in drey Reihen gezaͤhlt, wo⸗ alſo einen ganzen Thaler aus. Nachdem man alle uͤbrigen Saͤtze auf eben die Weiſe dargeſtellt hat; ſo zeige man eben ſo an⸗ ſchaulich, wie viel Groſchen in ½ und ¾ l, in , 4 * E u. ſ. w. enthalten ſind, unter ſolgenden Woorten: E iſt 8 96; * (zwey Drittel) Thaler ſind alſo? S Arnntw. 2 mahl 8, d. i. 16 . 2 (drey Drittel) Thaler ſind alſo? Antw. 3 mahl 8, d. i. 24 90. 1*½ x iſt 6 g6; 2 (zwey Viertel) Thaler ſind alſo? Antw. 2 mahl 6, d. i. 12 90. d. 364 — §. 374. Was hier von den Bruͤchen einiger Geldſorten und Gewichte beygebracht iſt, wird die Schuͤler in den Stand ſetzen, bey den Bruͤchen anderer Sorten 7 ihnen ſelbſt, z. B. fuͤr Winſpel und Scheffel, eben ſolche Tafeln und Fragen aufſchreiben und beantworten laſſen, als in § 373 fuͤr e und Lothl abgedruckt ſind. werden dieſe Begriffe, wie man leicht ſieht, gar ſehr geuͤbt und zur Fertigkeit gebracht. 1* Thaler, denn 2 mahl 12 90 machen 24 96, alſo einen ganzen Thaler aus. Darauf werden durch vor Augen liegt, daß 8 90 gerade ½ Thaler ausmachen; denn 3 mahl 8 90 machen 24 90, d ſebe; auf aͤhnliche Weiſe zu verfahren. Man kann von Durch die Rechnungen des folgenden Kapitels Sieben⸗ V hchen in un deniige n wiſchnr h dunn ni ullſce Rech rſtunt ſnd. 1Giic: Wnre cag unflle, d honn ner teie iſtm n ing id⸗ ite. 12 Geſte unchen u „ 1. . ſon e e Gße ge war 4 4 D 4 31 14 . S 2 5 n „ 1 . 1n 5K! end unter ſe ſnd, Miel 4 eNt 17 Siebenzehntes Kapitel. Von der waͤlſchen Practik. *§. 376. Die Fen bis zum 399ſten werden hier ununker⸗ — brochen folgen, und ſollen einige Ueberſicht von dem eigenthuͤmlichſten Verfahren der ſo genann⸗ ten waͤlſchen Practik geben. Dergleichen ſchien mir auch darum noͤthig, weil man anjetzt nicht wenig eigentliche Rechner antrifft, welche damit gaͤnzlich unbekannt ſind. 22ð *§. 377. 1 Stuͤck: 18 = 26 Stuͤck? r2 ½ æCE 13 xrG 71 6 ⸗ 12 3 19 xC 12 . MMl Wenn 1 Stuͤck 18 9”l koſtet; ſo kann ich mir auch vorſtellen, ein Stuͤck koſte fuͤrs erſte 12 , und dann ferner noch 6 π. Weil naͤhmlich 12 gerade ½ Thaler ausmachen, und 6 wieder die Haͤlfte von 12 9c ſind; ſo erhalte ich durch dieſe Zer⸗ theilung ſolgende ſehr leichte Rechnung. In ſo fern 1 Stuͤck koſtet ., in ſo fern ko⸗ ſten die 26 Stuͤck? Antw. 26 halbe d. i. 13 ganze Thaler. Da nun ferner jedes Stuͤck auch noch 6 , alſo noch die Haͤlfte des eben berechneten Buſſ. Rechenb, 2. Haͤlfte. B ½ Tha⸗ 18 Siebenzehntes Kapitel. 4 Thalers koſtet; ſo koſten auch die 26 Stuͤck gerade Vonn es i noch halb ſo viel, als ſie wegen des eben berechn halben Thalers koſteten, alſo noch die R on 13 *“., d. i. 6 X6 12 36. Ueberhaupt alſo koſten die 26 Stuͤck ſo viel, als die Summe von 13 und 6 ° 12 90 betraͤgt, d. i. 19 X 12 ”. *§. 378. 1 B: 7 X0“ 22 90C 4 ₰ϑ 22 (2 SS 154 £. 12 xPH — — 11 „ 6 ½ — — 5 ⸗ 12 96 3 ½ — — 2 ⸗ 18 „ I — — — — 22 174 11 90 4 A* In ſo fern 1 ſt koſtet 7 b., in ſo fern koſten die 22 ⁸ offenbar 7 mahl 22, d. i. 154 6. Auſſer den 7 . koſtet aber jedes eh noch 22 90 3 R, die man ganz bequem als 12 6, 6 und 3 und 1 96 und noch 4 R betrachten kann. In ſo fern nun jedes ſig koſtet ½ v., ſo koſten die 22 s Antw. 22 halbe, d. i. 11 ganze Thaler. In ſo fern nun weiter jedes ſ noch die Haͤlfte der eben berech⸗ neten 12 96 koſtet; ſo koſten auch die 22 fg noch die Haͤlfte von 11 X., d. i. 5 XL 12 3c u. ſ. w. W ſet 22 4. peſe alo ger e lch der eſte ß ſhon 154 t bſer Uet Eonoch vapend (ldetimmn de ſſcton dent⸗ 1 II 1 en. ſnſe nn ie *§. 379. Ikaſe ſelnnfi Mratthen Muſh . (,ſatet 1 g — — dapitt. die 25 6ti, des thentein Simmem i. 1h wn —— : — 14 — — 4 ½ m W, ubſe 4 U . 1, Ab ig ber Gsf nd , mutren tin „tir 1; . Ne 4 iſe 4 auß den . . 15 u Von der waͤlſchen Practik. 19 *§. 379. WDeienn es in der vorigen Aufgabe hieße, 1 8 koſtet 22 96 4 R, wie viel koſten 22 , in dem Preiſe alſo gar keine Thaler vorkaͤmen; ſo muͤßte na⸗ tuͤrlich der erſte Schluß gaͤnzlich wegfallen, daß die 22 ſchon 154 r koſten, in ſo fern 1 6 ſchon 7 * koſtet. Uebrigens aber wuͤrde in Abſicht der 22 96 4 R gerade wie vorhin verfahren werden. Man zerſtreut naͤhmlich die 22 96 in die be⸗ quemen Theile 12, 6, 3 und :; betrachtet den er⸗ ſten als ½ *πι, den zweyten als die Haͤlfte des er⸗ ſten, den dritten als die Haͤlfte des zweyten, und den vierten als ein Drittel des dritten, und die uͤber⸗ dies noch vorhandenen 4 wiederum als ein Drit⸗ tel des vierten Theiles. Nun muͤſſen die 22 , in Abſicht auf den ½ *ο., welchen jedes koſtet, offen⸗ bar 11 x6 koſten. Wegen der folgenden 6 96 ko⸗ ſten ſie noch die Haͤlfte ſo viel, u. ſ. w. *§. 380. “ In der erſten Aufgabe §. 423. iſt die Frage, “ wie viel man fuͤr 18 90 erhaͤlt, wenn 1 f 20 Loch und 2 Quentchen fuͤr 1 96 verkauft werden. Man n ſchließet bey der Berechnung auf folgende Weiſe. In ſo fern ich fuͤr 1 96 erhalte, fuͤrs erſte 1 8, ſo erhalte ich fuͤr 18 auch 18 mahl 1 , B 2 Nun 20 Siebenzehntes Kapitel. “ Nun erhalte ich aber ferner fuͤr 1nen jeden Gro⸗ ſchen auch noch 20 Loth und 2 Quentchen: wie viel werde ich in dieſer Hinſicht, auſſer jenen 18 6, noch fuͤr die 18 erhalten? Zerſtreut man hier die 20 Loth in die beyden Theile 16 doth und 4 Loth; ſo kann man den erſten Theil als ½ , den zweyten als 4 des erſten Theils, und die noch vorhandenen 2 QAuenichen als 3 des zweyten Theils betrachten. In ſo fern ich nuin fuͤr 190 noch ¾ ſg erhalte; ſo erhalte ich fuͤr die 18 90 noch 18 halbe, d. i. 9 ganze E. U. ſtw. *§. 381. Die 16 Loth, als der erſte Theil, den wir durch die Zerſtreuung im vorigen §. erhielten, wa⸗ ren ein ſehr bequemer Theil, da ſie gerade die Haͤlfte eines Pfundes ausmachen. Indeſſen iſt auch 8 Loth als e noch ein ganz bequemer Theil, und man kann daher die 20 Loth auch, wie §. 423 No. II, in 8, 8, 4 zerſtreuen. Doch giebt das hier keine bequeme Rechnung, weil man nun 3 Theile erhaͤlt, anſtatt daß man nach der vorigen Zerſtreuung nur 2, und zwar zwey ebenfalls ganz bequeme Theile zu berechnen hatte. Meiſten⸗ theils aber iſt es vortheilhaft, in zwey gleiche Theile zu zerſtreuen, weil dann der zweyte gerade eben ei ſo viel giebt, als der erſte. K§. 382. Aus den bisherigen Beyſpielen wird man nun⸗ mehr ſchon hinlaͤnglich abnehmen, worauf es le⸗ RK dieſen 1. e mon Nnur Vo⸗ en Mehnn en u un ſucht tdie⸗ Inbijien, e in Sr Auutcſen in Pfen dagen fnen niſt Late er eiter Uergewerthen len Cem Vele, monnhe Ufnenneg, beſimmen Dunn ma ſein der Fal⸗ Proerik h . e ltcznuh Von der waͤlſchen Practik. 21 dieſen Rechnungsverkuͤrzungen eigentlich ankommt. Man ſucht die Zahlen, welche ſich auf niedere Sor⸗ ten beziehen, entweder unmittelbar als einen Theil der hoͤhern Sorte zu betrachten (wie z. B. die 2 Quentchen in §. 423. als von 4 Loth); oder man zerſtreut dergleichen Zahl in mehrere Theile, deren jeder einen bequemen Theil, entweder der hoͤhern Sorte oder einer andern ebenfalls zu betrachtenden Menge von eben derſelben Sorte, ausmacht. Man berechnet alsdann zuerſt den Ertrag der bequemſten Theile, und nutzet darauf gewoͤhnlich einen ſchon be⸗ rechneten Ertrag, um den Ertrag eines neuen Thei⸗ les zu beſtimmen. Wenn man auſſer den ſchon gezeigten noch ei⸗ nige in der Folge vorkommende Kunſtgriffe der waͤl⸗ ſchen Practik betrachtet, ſo ſiehet man leicht ein; daß man dadurch mehrentheils nach der natuͤrlichſten Methode zu rechnen ſucht, deren ſich ſelbſt der Bauer bey ſeiner Kopfrechnung bedienet; daß ſie unter allen Rechnungsarten, welche gewoͤhnlich i in den Schulen getrieben werden, die meiſte und ſchicklichſte Uebung in der Kopfrechnung darbietet, und man es ſchon in dieſer einzigen Hinſicht ſchlechterdings nicht zugeben darf, daß ſie durch andere, lange nicht ſo natuͤrliche Rechnungsarten, z. B. durch die Kettenteget, gaͤnz⸗ lich verdrungen werde. S.. 383. Wenn man irgend eine der bisherigen Aufga⸗ ben betrachtet, z. B. aus *§. 378. 1 8 koſtet 7 *0 22 96 4 ; wie viel koſten 22 ? “M B 3 ⸗ ſo 22 Siebenzehntes Kapitel. ſo erhellet ſogleich, daß der geſuchte Preis der 22 f nothwendig beſtehen muͤſſe in 22 mahl 7 0 22 4 R. Man wuͤrde alſo dieſen geſuchten Preis eben⸗ falls finden, wenn man die 7 X6 22 36 4 R ge⸗ radezu durch 22 auf die Weiſe multiplicirte, welche aus dem gten Kapitel der erſten Haͤlfte bekannt iſt. Meiſtentheils aber wird man durch das eben gezeigte Verfahren, vermittelſt der Zerſtreuung eines ſolchen vielſortigen, oder doch auf hoͤhere Sorten zu brin⸗ genden Factors, eine angenehmere, bequemere und kuͤrzere Rechnung erhalten. Selbſt in ſolchen Faͤl⸗ len, wo die Arbeit eben nicht viel geringer ſeyn moͤgte, wird man doch am liebſten vermittelſt dieſer Zerſtreuung multipliciren; weil ſich die nach und nach dadurch erhaltenen Theile des Productes, we⸗ gen ihrer bequemen und ſchicklichen Stellung, ſehr gut uͤberſehen und nachrechnen, und die etwa began⸗ genen Fehler leicht entdecken laſſen. So wie nun in der That durch das ganze in *§. 368. gezeigte Verfahren nichts anders als das Product aus 22 mahl 7 X6. 22 36 4 R gefunden wird, ſo wird man uͤberhaupt auch bey den folgenden Aufgaben dieſes Kapitels die Methoden erlernen, wie man auch an⸗ dere dazu ſchickliche benannte und ſortirte Zahlen auf die bequemſte Weiſe, vermittelſt der Zerſtreu⸗ ung, multipliciren koͤnne; und eben dieſe Art der Multiplication iſt es, worauf wir im erſten Theile §. 238. verwieſen haben. Sie fuͤhrt gewoͤhnlich den Nahmen der practiſchen Multiplication. Wenn man aber bey gewiſſen Aufgaben uͤber⸗ ſieht, daß die noͤthige Muleipliegtion vermitelſe der er⸗ D ſhren niher iien Verfth = lecht, wi ſtchenz inden foltplctren tswehrend leſchwderlche gerecht n der meße ſhtnnfinte n ittl. e Pes en ſichten Prest en e 1... . ultipltane, e ctge. 1 Hälte deie neuung enet nett, degenmn t niel geng din denint el ſch „Peodnees cen Olelnne m d Memet . „ 6 AE in. G dus Prudan d, eM! n old, E uud ſemn, ireiſt ki aN nrin tin ſier Putnians ſe lint, in en, Von der waͤlſchen Practik. 23 Zerſtreuung mehr erſchwert als erleichtert werde, und das ſchon aus dem neunten Kapitel bekannte Ver⸗ fahren naͤher zum Ziele fuͤhre; ſo bleibt man bey dieſem Verfahren. Z. B. in 6 : 7 r6 2 36 4 ϑ = 8 ? findet man ohne alle Zerſtreuung ſehr leicht, wie viel 8 mahl 7 6 2 3 4 aus⸗ machen; indem hier die Zahl 8, womir man multipliciren ſoll, nur einſtellig iſt, und uͤber⸗ dies waͤhrend der Multiplication ſelbſt keine beſchwerlichen Reductionen vorfallen koͤnnen. Aus den Tafeln in §. 401 und §. 404. wird erhellen, daß bey den Geldſorten der Meißniſchen Waͤhrung, bey welcher nach Thalern zu 24 von 12 R gerechnet wird, nicht leicht irgend eine An⸗ zahl von Groſchen vorkoͤmmt, die man nicht als ei⸗ nen oder mehrere bequeme Theile des Thalers be⸗ trachten koͤnnte; und eben ſo laͤßt ſich auch eine jede Anzahl von 2 bis auf 12 R allemahl als einen oder mehrere bequeme Theile eines Groſchens betrach⸗ ten: daher dann dieſe Waͤhrung zu den Kunſtgrif⸗ fen der waͤlſchen Practik ungemein geſchickt iſt. Bey der Braunſchweigiſchen Waͤhrung, wo der Thaler zu 36 3 von 8 gerechnet wird, kommt ſchon et⸗ was oͤfter eine Anzahl von Groſchen vor, die ſich nicht ſo ganz bequem zerſtreuen laͤßt. Und bey der Reichswaͤhrung, worin ſogar ſchon 60 Xr. auf 1 Gulden gerechnet werden, muß man noch oͤfter auf eine Anzahl von Xrn. ſtoßen, welche nicht gerade die Haͤlfte, oder das Drittel, Viertel, Fuͤnftel, Sechstel, Siebentel, Achtel, Neuntel oder Zehn⸗ “ 1 4 tel, 1 2 24 Siebenzehntes Kapitel. tel, ſondern nur etwa s, vn oder einen noch un⸗ bequemern Theil eines Guldens darbiethen. In ſolchen Faͤllen leiſten freylich die Zerſtreuungen keine ſo großen Vortheile, weil man durch 12, 15, oder noch groͤſſere Zahlen, nicht ſo leicht als durch 2 oder 3 u. ſ. w. dividiren kann. Es folgt aber daraus nur ſo viel, daß man bey dieſen beyden Waͤhrungen die Zerſtreuungsmethode nicht ſo allgemein als bey der Meißniſchen anbringen muͤſſe; woruͤber in der Folge die noͤthige Anweiſung vorkommen wird. §. 386. Naͤchſt den Geldſorten hat man es bey den Rechnungen des gemeinen Lebens am meiſten mit den Gewichten zu thun, und zwar hauptſaͤchlich mit Pfunden und Lothen. Da 1 ſ aus 32 Loth beſteht, und 16, 8 und ſelbſt die kleine Zahl 4, ein ſehr bequemer Theil von 32 iſt; ſo kann man faſt bey jeder vorkommenden Menge von Lothen einen vor⸗ theilhaften Gebrauch von der Zerſtreuungsmethode machen. Daß die Quentchen ſehr leicht zu behan⸗ deln ſind, faͤllt von ſelbſt in die Augen; indem 1 Loth nicht mehr als 4 Quentchen enthaͤlt. Die Kornmaße, Winſpel, Scheffel und Mez⸗ zen, und die gewoͤhnlichſten Weinmaße ſind eben⸗ falls ſehr geſchickt zur Zerſtreuung. Da uͤberhaupt die allermehrſten Maße ſo eingerichtet ſind, daß man, wo nicht auch das Drittel, doch die Haͤlfte, das Viertel und auch wohl das Achtel der einen Sorte in der naͤchſt niedrigern Sorte nach ganzen Zahlen angeben kann, wovon einige nur klein ſind; J V⸗ tides ſhi ſr de Aſten , hülften be iſcte Prctk n lunmehr c eini Aheſimmen, e gech ſo 1 wo der ine i ſeheden 1e pite, der einen e darbietgen W: . 4 Arſtreuungai ch 11, 1;1 icht as duch s ſelgt ee N. Pit a 4 lſe; werld 1 gekommenund zu nn eh ace Ner Mptoch 2 12 KR 1. Al) A, imn non d, ſeg n Mhen enn eeni gene ehr ctA 7 e * e Mgenn . 4 L SteN. innt ſe . V „ 1, 5 Von der waͤlſchen Practik. 25 ſo wird es ſelbſt in ſolchen Laͤndern, deren Waͤhrung fuͤr die Zerſtreuung nicht ſehr geſchickt iſt, doch nicht an haͤlfigen Gelegenheiten fehlen, bey welchem die waͤlſche Practik ungemeine Vortheile gewaͤhrt. Es folgen nunmehr noch einige Erläuterungen uͤber ſchen Practik. J IJI. Wenn man den Ertrag von einem oder auch mehrern Stuͤcken einer gewiſſen niedrigen Sorte zu berechnen hat, es ſeyen nun , Loth, A, u. dergl.; ſo kann man ſehr oft ihren Ertrag als den Theil eines ſchon gefundenen Ertrages betrachten und beſtimmen, wie es bisher allemahl, und auch in der gleich folgenden erſten Rechnung geſchehen iſt, wo der 1ne 3t als der 6te Theil der gleich dar⸗ uͤber ſtehenden 6 ℳ betrachtet wird. 1 8: 19 = 14 36. 6 2 3 * 12 Pe. * – 1I —— — ⸗= 14 . II C;- 2 ℳ. 1 B: 19 4 = 14 . 12 ¾ °. 7 T. 6 ½ - 3 ⸗ 12 396. —I 3 — ⸗ 14 - 11 ι 2 . B 5 Aller⸗ * 26 Siebenzehntes Kapitel. Allerdings aber faͤhrt man beſſer, wenn man dieſen 1nen Groſchen nicht als den 6ten Theil des gleich daruͤber ſtehenden ſchon berechneten Theiles betrachtet, und deshalb den 6ten rheil von dem ſchon berechneten Ertrage 3 6— 12 36 aufſucht; ſon⸗ dern vielmehr den unen Groſchen fuͤr ſich betrachtet, und wiederum geradezu auf die 14 G bezieht, deren Preis man ſucht. Man ſchließt alsdann: in ſo fern 1 8 noch 1 9 koſtet in ſo fern koſten die 14 noch 14 7. 388. Will man auf diſe Weiſe verfahren; ſ. ziehe man, wie in der 2ꝛten Rechnung des vorigen §. ei⸗ nen Querſtrich zwiſchen dem inen und den daruͤber ſtehenden 6 ℳ, als ein Merkmahl, daß man den 1nen Groſchen nicht wiederum als einen Theil der 6 betrachten wolle, wie dieſe 6 als ein Theil der gleich daruͤber ſtehenden 12 betrachtet wur⸗ den; ſondern daß dieſer 1ne ganz fuͤr ſich betrach⸗ tet und berechnet werden ſolle. In dieſer Hinſicht koͤnnte dieſer Querſtrich der Groſchenſtrich ge⸗ nannt werden. *. 389 Im folgenden erſten Gempel iſt der Xrſtrich nothwendig, weil ſich die 4 Ar, weder ganz noch durch weitere Zerſtreuung, als einen bequemen Theil der gleich daruͤberſtehenden 30 Xr. betrachten laſſen. 1 : 34 XNr. = 6 G. 301½ Fl. 3 Fl. 4 Xr. — - 24 Xr. 3 Fl. 24 Xr. Sſeſern ll en Grnſ ſch u.de dorenſtich un d ⸗ 1 ſteNe urtene ing W., 5 1 le DRã ef eſtte dde Faſtn llng e mnnt, pitl beſſer, dnd en ten d rchnen he n en koſten dl e uſthen , 8 en d dan del 1s inn N 1 betuhtn in ſer⸗ N deſr zrt. Gbel if Nel⸗ , rederg ner bem tuen Von der waͤlſchen Praccfk. 27 . ℳ: 8 Loth 3 Quentchen = 20 3˙. IlnE8 — — t. oh· — — = 80 Loth. 5 E 5 ſh 15 Loth. Eben ſo rathſam iſt im zweyten Exempel der Lothſtrich. Man ſchließt alsdann dieſes Striches wegen: in ſo fern ich fuͤr 1 3 noch ½ Loth erhalte, ſo erhalte ich fuͤr 20 noch 20 halbe, d. i. 10 ganze Loth u. ſ. w. In ſo fern dergleichen abſondernder Querſtiich bald ein Groſchenſtrich, bald ein Xrſtrich, bald ein Lothſtrich u. dergl. iſt, kann er im allgemeinen ein Sortenſtrich heiſſen. eg. 300. Wenn das letzte Glied eine vielſtellige Zahl enthaͤlt, ſo muß man die Sortenſtriche zu vermei⸗ den ſuchen; in ſo fern ſie alsdann etwas beſchwer⸗ liche Reductionen veranlaſſen. Z. B. in der Rech⸗ nung XIV. a. SF. 406, wo es heißt: in ſo fern 1 koſtet ½ , koſten 1977 t auch ſo viel halbe Gro⸗ ſchen, d. i. 98 8 6 Aϑ, und wo nun aufs neue die 988 zu 41 4 reducirt werden muͤſſen. *§. 39 . Sehr oft kann man nun allerdings die Sor⸗ tenſtriche dadurch vermeiden, daß man eine andere Zerſtreuung erwaͤhlt, wobey man auf kleinere Theile kommt. So erhaͤlt man durch die Zerſtreuung i 4 28 Siebenzehntes Kapitel. XIV. b. in § 46. zum zweyten Theile nur 4 5, wovon die 6 R ein ganz bequemer Theil ſind. Indeſſen wird es bey der wirklichen Anwen⸗ dung der waͤlſchen Practik ein ſehr ſeltener Fall ſeyn, daß man im dritten Gliede ſo große Zahlen be⸗ kommt, und uͤberdies werden wir noch manche Kunſtgriffe zur Erleichterung der gewoͤhnlichſten Reductionen zeigen. 8. 392. II. Z. B. 11 ₰ betrachtet man gern als 1 96 – 1 R (als 19 weniger 1 R); 23 als 1XC – 1 , 59 Xr. als 1 Fl. –— 1 Xr., 31 Loth als 1 G I Loth, und in ſo aͤhnlichen Faͤllen 7. Der Gebrauch iſt folgender: 1 Stuͤck: 4 23 96 = 6 Stuͤck? 56 — — 30 C. 1 — —⸗ 6 . 29 0 18 . Naͤ hm⸗ . .) Jn der Buchſtabenrechnung iſt freylich ein bloßer Querſtrich (—) ſtatt des muͤhſamern Zeichens (—) gewoͤhnlich: aber in der« gemeinen Arithine⸗ tik ſcheint es allerdings rathſam, das letztere Zei⸗ chen beyzubehalten. Einen bloßen Querſtrich pflegt man in der gemeinen Rechenkunſt faſt gar nicht zu beachten, weil man dergleichen ſo haͤufig zur bloßen Anfuͤllung eines jeden leeren Raumes zu gebrau⸗ chen pflegt, der ſonſt eine unangenehme Luͤcke zwi⸗ ſchen zuſammen gehoͤrigen Zahlen laſſen wuͤrde. n s r i; Vo Nlhnlcht ve den die 6Sti ſerhirben in 6 Ue inpot wied P Pres der ehe he 90 N — 1 de 4 4 Nes n⸗ Kitng ſte hntunh de /K⸗ eg N1 Nn mn ie tutt 71 1t a pit, Theils ppn t Dale l⸗ r ſo koner Tal te N Aener e⸗ arebs Lahle “ r necn we, il ſch 1NN er gomehnie R ZZZõ ſ fuin Fun zumes 4 nunznt 4 bſn⸗ =SSõõ Von der waͤlſchen Praectik. 29 Naͤhmlich: wenn ein Stuͤck koſtete 5 x6, ſo wuͤr⸗ den die 6 Stuͤck gerade 30 x foſten. Da man aber hierbey fuͤr jedes Stuͤck 1 , fuͤr die 6 Stuͤck alſo 6 zu viel gerechnet haͤtte; ſo muß man von den 30 wiederum 6 96 abziehen, um den wah⸗ ren in Preis der 6 Stuͤck k zu erhalten. 58. 393. Hierher gehoͤrt auch, daß man z. B. 9 ** 12 9” als 10 6 & rl, oder 19 16 3 als 20 X6 – XC, auch wohl 39 18 ℳ als 40 † – ½¼ * betrachtet. Dadurch wird aller⸗ dings die Rechnung erleichtert (wie etwa die Ver⸗ gleichung zwiſchen XV. a. und XV. b. in §. 406. zeigen kann); beſonders darum, weil man mit 20, 30, 40 u. dergl. weit leichter als durch 19, 29, 39 u. dergl. mu ltipliciren kann. In dieſem Be⸗ ttacht wuͤrde ich auch noch 59 6ε 20 als 60 6 *½ * ρ, auch 199 r 21 36 als 200 X 6 – ½ 6 betrachen. Man dringe aber nicht auf den zu haͤufigen Gebrauch dieſer Rechnung durch —. Der anſchei⸗ nende Vortheil wird beſonders dadurch ſehr oft ver⸗ nichtet, daß man waͤhrend der Rechnung abſetzen, oder doch ſehr genau darauf achten muß, daß man nicht wie gewoͤhnlich zu addiren, ſondern zu ſubtra⸗ hiren habe. §. 394. III. Wenn man zwey mehrſtellige Zahlen, wie in X. F. 406. die beyden zweyſtelligen 39 und 34 in einander zu multipliciren hat; ſo braucht man ie 30 Siebenzehntes Kapitel. die beyden Theile des Productes nicht erſt in eine Summe zuſammen zu ziehen, ſondern kann ſie ein⸗ zeln ſtehen laſſen, bis man am Ende uͤberhaupt ſummir. — . 39. “ IV. Um bey dieſer Rechnungsart jeden ent⸗ behrlichen Federzug zu vermeiden, kann man wohl, wie es gewoͤhnlich iſt, z. B. in dem hier folgen⸗ den Muſter nur 2 ſtatt ½, 3 ſtatt und 4 ſtatt ſchreiben. 1 6: 9 re 20 6 J½. = 21 F. 189 *6. 12½ ι — — 10 ⸗ 12 . 612 — — 5 6 - 3 — — 1 ⸗ 18 - SS 206 . 22 “ 6 A. Allerdings iſt 1) nicht nur 2 oder 3 leichter geſchrie⸗ 6 ₰ ben als ½ oder ½, ſondern man kann auch 2) an dem Platze wo ½ oder ½ ſtehen ſollte, die 2 oder 3 deſto deutlicher ſchreiben, und endlich 3) kann man die Zahlen 2, 3, 4 auf eine ſehr leichte Weiſe fin⸗ den, indem man ſagt: 6 3 in 12 26 ſtecken 2 mahl, 2 56 in 6 ”t ſtecken 3 mahl, und 6 in 2 ſtecken 4 mahl; und auf aͤhnliche Weiſe in andern Faͤllen. Alsdann hat man beym Gebrauch dieſer Zahlen auch 4) eigentlich geradezu zu dividiren; mit der 2 in 10 6 12 36, um 5 ο 6 36 zu erhal⸗ ten; mit der 3 in 5 ρο 6 , um 1 . 18 3f zu erhalten; u. ſ. w. “ Nur V Mur mun t deſt Zeht ſch ds Verfn t, un devi rſhirenmißig n nuß ouch ſrdigver Ae tönne. Da nit unthan, gegenrinige nzgo I. zle, zee Aumen ſtde ſ Pefirre n in e niſter tn ſemfiie, ſihen nid, enoͤſcſe fthn lſſ Ann di ſhn innht Nu ing B le/ nn ummi ſeſh dpits s nict eii mn Ede un huungset at iun z ulf Aß. 19 — „ 9 245 20⁰ 77 ee n le, Nn Ggr ce N 1en 1 d 691 1 Be64 en Cend MN nden N 1 n 11 5 — Von der waͤlſchen Practik. 34 Nur muß man weder die abgekuͤrzte Schreib⸗ art dieſer Zahlen, noch ihre Auffindung nach 3), noch das Verfahren nach 4), etwa darum ergrei⸗ fen, um die waͤlſche Practik ebenfalls zu einer recht maſchinenmaͤßigen Rechnung zu machen; ſondern man muß auch beym Gebrauch dieſer Vortheile be⸗ ſtaͤndig vor Augen behalten, warum man ſo verfah⸗ ren koͤnne. Damit man dies nicht vergeſſe, ſcheint es mir rathſam, nicht etwa auch 2 ſtatt E6* in gegenwaͤrtiger Rechnung, oder 3 ſtatt ½ 36 in §. 399. III. b. zu ſchreiben: ſondern man fahre fort es recht deutlich anzumerken, daß man die 12 als ½ W., und die 4 als ½ 9” betrachtet wiſſen wolle; ſo daß man die bloßen Nenner 2, 3, 4, 5 u. dergl. ſtatt der Bruͤche ½, ½, 4, † nur da ge⸗ braucht, wo ſie anzeigen, daß das nebenſtehende als der 2te, 3te, 4Ate, 5te u. ſ. w. Theil des vor⸗ hergehenden Ertrages zu berechnen ſey. In den Exempeln fuͤr die erſten Anfaͤnger aber habe ich mich dieſer abgekuͤrzten Schreibart nicht bedient, nicht nur um ſie deſto gewiſſer von dem bloß maſchinen⸗ maͤßigen Rechnen abzuhalten; ſondern weil ihnen die verſtaͤndige Erlernung der waͤlſchen Practik am leichteſten wird, wenn ſie wirklich als Bruͤche ſchrei⸗ ben, was ich ſie dabey — der gleichfoͤrmigſten und deutlichſten Faſſung wegen — mit Fleiß als Bruͤche betrachten laſſe. Wienn die Rechenſchuͤler die waͤlſche Practik ſchon einmahl ganz durchrechnet haben, und nach Verlauf einiger Zeit zur mehrern Uebung wieder⸗ hohlen, dann zeige man ihnen dieſe Verkuͤrzung, woran ſie ſich bald genug, und dann ohne Schaden⸗ gewoͤh⸗ 32 Siebenzehntes Kapitel. gewoͤhnen werden. Auch in den Zerſtreuungstafeln wie §. 417 und 421. ſind die Bruͤche vollſtaͤndig ausgedruͤckt. Denn ſie brauchen dieſe Tafeln nur bey der erſten Erlernung, nachher muͤſſen ſie von ſelbſt zu zerſtreuen wiſſen. Bisher ſetzten wir voraus, daß das erſte Glied nur die Zahl 1 enthalte. Wenn das nicht der Fall iſt, ſo ſucht man dennoch zuvoͤrderſt, was heraus⸗ kommen wuͤrde, wenn die Zahl des erſten Gliedes nur 1 waͤre, und ſchließt aus dem was man dadurch gefunden hat, gar leicht auf den wahren Ertrag; wie aus §. 425. erhellet, und ſchon aus der Regel de tri bekannt iſt. “ S. 307. Betrachten wir das Verfahren, z. B. bey der erſten Aufgabe in §. 425.; ſo werden wir leicht ein⸗ ſehen, daß dadurch das 2te Glied 4 . 18 9 durch die Zahl des dritten Gliedes multiplieirt, und dar⸗ auf das Product durch die Zahl des erſten Gliedes, dividirt wird. In der That unterſcheidet ſich das Verfahren der waͤlſchen Practik von der Regel de tri in §. 344. hauptſaͤchlich nur dadurch, daß man— die Multiplication durch eine geſchickte Zerſtreuung abzubkuͤrzen ſucht. Schon in dieſem Betracht kann die waͤlſche Practik mit Recht eine verkuͤrzte Regel de tri genannt werden. “”́”VYñs Auch ſolche Aufgaben, deren drittes Glied aus mehrern Sorten beſteht, werden nicht ſelten durch VB ihtiches leKeenngel ungenund K heigt verden. Kd ſt, uter meh en Glidest ſiſen enen ) gunn Del, Mener Sort un ihn den ghegt. Van hſolele des - Unhen ungmegen i Mend fihren “ nden, ls es ktinen ie Nehent e Nlerdete die Zeſtnung Druhe ni er nuſen en n ds nict 1d des ſab en s Smand den w Fud⸗ ſ⸗ N 1 . 4 hrn, 10 verden or ed 4 ſ N Ne N. N lcnt 1 ſtit N ieſen n ine uiiß Von der waͤlſchen Practik. 33 ein aͤhnliches Verfahren weit vortheilhafter als durch die Kettenregel behandelt. Dieſe und andere Rech⸗ nungenund Kunſtgriffe werden im 27ſten Kapitel gezeigt werden. . §. 399 — §. 409. G. 41 O. 1) Im Durchſchnitt genommen iſt es vortheil⸗ haft, unter mehrern moͤglichen Zerfaͤllungen des letz⸗ ten Gliedes eine ſolche zu waͤhlen, wodurch man we⸗ nigſten einen Factor erhaͤlt, der gerade einen be⸗ quemen Theil, wo moͤglich die Haͤlfte, wenigſtens von einer Sorte des zweyten Gliedes angiebt „wenn man ihm den Nahmen der naͤchſtniedrigen Sorte beylegt. Von der Art iſt der Factor 6 im 2ten Beyſpiele des vorigen §., da 6 gerade ½ aus⸗ machen. 2) Mit dergleichen Factor multiplicirt man dann gerne zuerſt, ſonſt aber mit dem groͤßern. 6. 411. §. 412. *§. 413. Allgemeine Erinnerungen. Mehrere von den bisher und in der Folge aus⸗ gefuͤhrten Aufgaben koͤnnen weit kuͤrzer berechnet werden, als es wirklich geſchehen iſt. Aber nicht aus einzelnen Exempeln, ſondern aus dem Ganzen dieſes Rechenbuches muß es beurtheilt werden, ob der vollendete Schuͤler deſſelben mit der gehoͤrigen Kuͤrze und Geſchwindigkeit werde zu rechnen wiſſen. Ferner ſcheint es mir einen Hauptfehler der meiſten Buſſ. Rechenb. 2. Th. C Rechen⸗ 2 34 Siebenzehntes Kapitel ꝛc. Rechenbuͤcher auszumachen „daß ſie gegen ſiſgende Regeln anſtoßen. 1) Man muß nicht ſo viele Kunſtgriffe ange⸗ . ben, daß dadurch eine Verwirrung oder doch zu ſchwere Wahl bey Perſonen entſteht, welche die Uebung dieſer Kunſtgriffe nicht zu ihrem taͤglichen Hauptgeſchaͤfte machen koͤnnen und ſollen. 2) Man muß keinen Kunſtgriff aufnehmen, der nur fuͤr ſeltene Faͤlle brauchbar oder vortheilhaft iſt. Wer hiebey zu bedenken weiß, daß faſt fuͤr je⸗ den erſonnenen Kunſtgriff unbeſtimmbar viele Auf⸗ gaben erdacht werden koͤnnen, wird es einſehen, daß ſelbſt unzaͤhlig viele Aufgaben einer gewiſſen Art dennoch, in Vergleichung mit den wahrſcheinlichen Faͤllen, den Vorwurf der Selkenheit verdienen koͤnnen. . 3) Man muß in ſeiner Rechenkunſt nicht die meiſten Aufgaben fuͤr die Kunſtgriſſe einrichten, be⸗ ſonders nicht fuͤr ſelbſt erdachte Liebl lingskunſtgriffe; ſondern gerade umgekehrt verfahren. 4) Das mehreſte des Rechenbuches muß fur die mehreſten brauchbar und rathſam ſeyn; nicht etwa bloß fuͤr vorzuͤgliche Rechenkoͤpfe. §. 414 — §. 42⁸. rr ſ CDnd Piennriſt lhe Thei NFo. l di n Trickichzrte nigihe ſe gegn iig lle Knſni . 1 e4 7 ſecherbuges, (Cn ſee lethſun 1. Antipfe 5„ 4116 — Achtzehntes Kapitel. Von Vergleichung und Aufhebung der Bruͤche. §. 429. *§. 430. Keen Figur 2. iſt ein Zoll, wie unter A ſteht, unter B, ANC., D und E in 2g, 2%, 4 und £ abgetheilt. Die Linie unter F iſt zwar auch in 5 Theile, aber nicht i in 5 gleiche Theile alſo nicht in 5 Fuͤnftel zertheilt. In F Fig. 2. iſt eben der Zoll unter K und L i in und 1½ abgetheilt. Ohne Zweifel kann man ſich dergleichen Zoll auch in 18, oder 4 38 oder 3 * u. dgl. zertheilen. An Fig. 9. ſieht man leicht, wie ein Garten ABCD nicht nur in 2, ſondern auch in oder in 5* wirklich zertheilt werden koͤnne. Es muͤßte auch wohl moͤglich ſeyn, ihn z. B. in ½ oder ½ E zu zer⸗ theilen. In ſo fern man 24 nach Fig. 5. aufgezaͤhlte Groſchen als 1 Ganzes, als einen Thaler betrachtet; ſo hat man nach Fig. 6. nun 2 * , nach Fig. 7. ſchon πι, und nach Fig. 8. ſchon 5 *π vor Augen. Allenthalben kann man ſich auch die 24 als 2 ¼ gedenken. Aber auch z. B. in 7%, alſo in 7 gleiche Theile kann ich mir einen Thaler zertheilt vorſtellen; ob ich gleich dergleichen 7tel Thaler nicht durch lau⸗ ter ganze Groſchen oder Pfennige ausdruͤcken kann. 0 2 *G 43 1. 36 Achtzehntes Kapitel. Hat man ein Einſatzgewicht von 1 g, ſo kann man ſich dieſes Pfund nach und nach, den hier fol⸗ genden geſtirnten Zahlen gemaͤß wirklich zertheilen, und auch den uͤbrigen gemaͤß zertheilt vor⸗ Pl PIH Pir⸗ PlI §. 432 — §. 438. *§. 439. Sollte ein Garten ABCD Fig. 9. unter 3 Per⸗ ſonen gleichmaͤßig getheilt werden, ſo koͤnnte ich ihn in ſeine ¾ etwa nach den beyden geſtrichenen Linien zertheilen. Wenn ſich nun aber faͤnde, daß nicht 3 ſondern 6 Perſonen einen gleichen Anſpruch darauf zu machen haͤtten; ſo muͤßte ich ihn in 6 gleiche Theile, in zertheilen. Das ½, was nun jeder bekoͤmmt, muß 2 mahl kleiner ſeyn, als vorher , darum weil der Garten, wenn er in ? zertheilt wird, gerade in 2mahl mehr gleiche Theile zerfaͤllt, als wenn er nur in ¾ zertheilt wird. Oder haͤtte ich den Garten anfangs nur, wie nach der punctirten Linie in 2 zertheilt, und ich muͤßte ihn nun in 5⁶, alſo in 3 mahl ſo viel gleiche Stuͤcke zerlegen; ſo wird nun jedes ½ dreymahl kleiner ſeyn, als vorher jedes ½ war; weil der Garten in 5 zei theilt Por Vere helt ecde in le, as wen 1A urdl gl te Nol nur enhlſovie i en och4 m 1Rde! Vimmnung, Dumesiſtwch 8.7. u.,1 (2.7, 1, 1 eulhl: nehl ſ eierle Sennimg m ſet meerſt. ILNd Gnmug 9,7,1,10 i, des . ſ 8 n Nett n itel tmit ſt ch, dſe utih in zer * eene n geſecennd chen in ich 1 w! eſ n, N in i Cheir 14 ſans n ei, bißr ie ge te Sn, Gatte Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 37 theilt gerade in 3 mahl mehr gleiche Theile zer⸗ faͤllt, als wenn er nur in 2 zertheilt wird. 15 Zoll (in Fig. 3. unter L.) iſt 4 mahl klei⸗ ner als ½ Zoll (in Fig. 2. unter 5). Denn da der ganze Zoll nur aus 4, aber aus 2 beſteht, alſo 4 mahl ſo viel 16tel als 4tel enthaͤlt, ſo muß dage⸗ gen *o auch 4 mahl kleiner ſeyn als 4. §. 440 — §. 456, §. 457. Beweis. I. Iſt der veraͤnderte Factor der erſte in der Sendſtung, ſo iſt die Behauptung ſagleich klar. Denn es iſt wohl offenbar genug, daß z. B 8. 7. 12. 10 gerade 4 mahl mehr geben muͤſſe als 2. 7. 12.10; eben darum, weil 8 mahl ſchon 4 mahl 2 mahl iſt, alſo einerley Groͤße nach der obern Factoren⸗ Sammlung 4 mahl oͤfter, als nach der untern ge⸗ ſetzt werden ſoll. II. Iſt der veraͤnderte Factor der letzte i in der Sammlung, ſo iſt wiederum offenbar, daß z. B. 8.7. 12. 10 gerade 5 mahl mehr geben muͤſſen als 3. 7. 12. 2; eben darum, weil 10 gerade 5 mahl mehr iſt als 2, alſo das, was im erſten Falle 8. 7. 12 mahl . zu ſetzen iſt, gerade 5 mahl groͤſ⸗ ſer iſt, als was im zweyten eben ſo viel mahl geſetzt werden ſoll. 38 Achtzehntes Kapitel. III. Iſt der veraͤnderte Factor ein mittle⸗ rer in der Sammlung, z. B. bey Vergleichung von 8 . 7 12.‧10 und 8. 7. 2. 10; ſo erhellet wiederum daß 8.7 mahl 12. 10 gerade 6 mahl mehr geben als 8. 7 mahl 2. 10: eben darum, weil 1 ge⸗ rade 6 mahl mehr iſt als 2, und deshalb nach IJ. auch das Product 12. 10 gerade 6 mahl mehr iſt als 2. 10; alſo, was im erſten Falle 8. 7 mahl zu ſetzen iſt, gerade 6 mahl mehr iſt, als was im zweyten Falle eben ſo viel mahl ge⸗ ſetzt werden ſoll. ””Mſ Aunmerk. In jedem Falle bemerkt man nun eben ſo leicht, daß umgekehrt das Product aus der untern Sammlung gerade ſo vielmahl kleiner als das Product der obern Sammlung ſeyn muͤſſe, ſo vielmahl das Product der obern Sammlung groͤßer iſt, als das Product der untern Sammlung. *W9. 45‧ 8. Alſo iſt es z. B. gewiß, daß 9. 20. 3.7 ein 20 mahl groͤßeres Product geben “MMD muͤſſe, als 9. 1.3.7 ge⸗ ben wuͤrde; und umgekehrt das Product der untern Sammlung 20 mahl kleiner ausfallen muͤſſe, als das Product aus der obern Sammlung. Statt 9. 1. 3. 7 kann man dann auch ſchrei⸗ ben 9. 3. 7; man mag ſich nun denken, daß 9 ſtatt 9. 1, oder 3 ſtatt 1. 3 geſetzt ſey. 5. 419. ſoiſt e ſoiſta ſo iſt a ſoiſta . Durn ſde ſencchudn ”“ .. Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche, 39 actor ein fie §. 459. Venlin *§. 460. Beweis . 1) Ohne Zweifel iſt 1. 1. 1. 1 = 1. I. 1. 1 . mihl nihe⸗ 2) alſo iſt auch 5. I . I. I = I1. I. I 5 3) alſo iſt auch 5. 8. I. I = I. I. 8. 5 dumn, 4) alſo iſt auch 5 ,8. 9. I = 9. I. 8. 5 d deſh 5) alſo iſt auch 5 8. GO. IO = 9. 10. 8. 5 en.uß Denn jede Seite dieſer Gleichungen wird hier nach und nach 5 mahl, dann 8 mahl, dann utin 2 mahl und endlich noch 10 mahl groͤßer, nach §. 456. „R Pinin 5S. 461 — §. 46⁸. nnen Beweis füuͤr §. 468. rEmnm No. I. Z. B. 1976 beſteht aus 197 Zehend unnd 6 Einzelnen. Die Haͤlfte von 197 Zehend laͤßt ſich gewiß durch eine ganze Zahl angeben, weil die Haͤlfte eines jeden einzelnen Zehends eine ganze Zahl 5 iſt. Sobald daher auch die Haͤlfte des Einers, Zemulrne. 1 Samng. 9 wie hier der 6, eine ganze Zahl iſt; ſo muß die Haͤlfte ha der ganzen Menge 1976 eine ganze Zahl ſeyn. 1 191 . 1. No. III. Z. B. 3768 beſteht aus 3700 und 68. Da nun der vierte Theil eines jeden einzelnen Smgn Hunderts eine ganze Zahl 25 iſt, ſo iſt auch der e Ate Theil von 37 Hundert gewiß eine ganze Zahl. Sobald alſo auch der 4Ate Theil von 68 eine ganze Zahl iſt, ſo muß der 4te Theil der ganzen Menge w 2768 eine ganze Zahl ſeyn. e. C4 No. 40% Adchtzehntes Kapitel. No. VI. Z. B. 978104 beſteht aus 978000 und 104. Da nun der 8te Theil von jedem einzel⸗ nen Tauſend, alſo auch von 97tauſend eine ganze Zahl iſt; ſo kommt es nur noch auf den andern 9 Theil 104 an. Wenn auch von dieſem der 8te Theil eine ganze Zahl iſt, ſo iſt gewiß der 8te Theil der ganzen Menge 978104 eine ganze Zahl. No. IV. und No. VIII. erhellen faſt eben ſo; wenn man nur bedenkt, daß man von demjenigen Theil einer Zahl, der als lauter Zehende kann be⸗ trachtet werden, auch den roten und 5ten Theil, den ten Theil aber auſſerdem auch noch von 5 Ein⸗ zelnen, durch eine ganze Zahl angeben kann. Der Grund fuͤr No. II. und VII. ergiebt ſich aus *§. 259. . Dort iſt gezeigt, daß z. B. die Zahl 345 auſ⸗ ſer der Zifferſumme 3 + 4 + s5 eine gewiſſe gfache Menge enthaͤlt. Waͤre daher auch die Zifferſumme etwas gfaches, ſo muͤßte die ganze Menge 345 et⸗ was gfaches ſeyn. Wenn aber die Zifferſumme we⸗ nigſtens etwas zfaches iſt, ſo muß auch die ganze Menge etwas z3faches ſeyn; indem das auſſer der Zifferſumme in ihr ſteckende gfache gewiß auch et⸗ was 3 faches iſt: denn gfach iſt ja 3 mahl zfach. No. IX. aus §. 279. zu erweiſen, wuͤrde vermittelſt der Buchſtabenrechnung ſehr leicht ſeyn, aber doch zu vielen Raum hinnehmen; weil dazu manches noͤthig iſt, weshalb ich ſchon dort *§. 259. anderwaͤrts hin verwieſen habe. No. V. or Ver N.V. ! Dlitel ener. ſeuc ihr e⸗ ODen wer ſſonner ſen in in2 E d einenn Se⸗ Do nlnn d ſehen ſll ls: ſo m Ingels en i Vſiln⸗ l r uttgfe Nuint — 2„ 4 1 J Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 41 Nrsge⸗ No. V. Wenn ſowohl die Haͤlfte als das nmig Drittel einer Menge eine ganze Zahl iſt, ſo ſnd ing iſt auch ihr étel eine ganze Zahl. f den .. *. .. en aoh Denn wenn ich aus der Menge . . ... . 1Wn Minir ihre 2 Haͤlften . . . . .. . .. d ate zuſammen ſetzen will; ſo muß ich das eine Drittel h mſ” halbiren in 2 Sechstel. nkm Die Haͤlfte beſteht dann aus einem Drittel und einem Sechstel. Da nun die Haͤlfte der Menge aus lauter Gan⸗ zen beſtehen ſoll, und ein Drittel allein genommen ebenfalls; ſo muß auch das Sechstel allein genom⸗ es mDen ebenfalls aus lauter Ganzen beſtehen. S Hie ſefun gudt Fur No. X. erhellet der Grund aus einer aͤhn⸗ icn lichen Vorſtellung: ſuc üs Viertel Viertel Viertel Viertel 4 want Zwoͤlffl. Zwoͤlftl. Zwoͤlftl. e genf/ Viertel Zwoͤlftel Viertel Zwoͤlftel Viertel Zwoͤlftel mnihiit Drittel Drittel Drittel min Da raͤhmlich ein Viertel und ein Zwoͤlftel zuſam⸗ 4 rl⸗ men genommen ein Drittel ausmacht; ſo muß, „nwenn nicht nur das Drittel, ſondern auch das Vier⸗ tel aus lauter Ganzen beſteht „ auch das Zwoͤlftel ne 8 aus lauter Ganzen beſtehen. N CLCL. 5 *§. 470. r 42 Achtzehntes Kapitel. *§. 470. Anmerk. I. Daraus, daß ſich eine Zahl durch 2 und durch 4 aufheben laͤßt, folgt nicht etwa, daß ſie auch durch 8 aufzuheben ſey; weil die Theil⸗ barkeit durch 2 eine bloße Folge von der Theilbare⸗ keit durch 4 ſeyn kann. Eben ſo folgt nicht, daß ſich durch 16 aufheben laſſe, was ſich durch 8 und 2 aufheben laͤßt. Hingegen muß ſich z. B. durch 15 aufheben laſſen, was ſich durch 5 und durch 3 aufheben laͤßt; oder durch 37, was ſich durch 7 und durch 5 aufheben laͤßt. = Anmerk. 2. Von der Theilbarkeit durch 7, giebt es kein bequemes Kennzeichen. M. ſ. meinen Unterricht in der algebraiſchen Aufloͤwung, S. 333. §. 508. S 8. 47 1. 9. 472. K8. 473. Beweis. Beym Verfahren im §. 461. erſiehet man am Ende durch die letzte Diviſion, daß ſich 52 durch 13 aufheben laͤßt; folglich auch 17, welches nach voriger Diviſion = 2. 52 + 13 iſt; folglich auch 169, wel⸗ ches nach voriger Diviſ. = 1. 117 + 52 iſt; folglich auch 455, wel⸗ ches nach erſter Diviſ. = 2. 169 + 117 iſt. Es eMnerdieſen or Veg E ir kinen licges nur Affrdere n Reu Un de ſedier Ne ſen, den ſbſ nr marfnerti emn Vee; ſe ber⸗ nghc. li wee ſten n Mmn wWo U heben . ei: —1 RN „ 8 7 ſch in c. 0,* muet die en wel die e dor dſesc von de Ter ſaae G licht, 8 ech unen e e ſch ducch 14 3 el c und Nen 0 ) Und G ſich Mchr 1— 5 ch rkne e eihetar en. Rb 2 Ufioſung, V 14 .† eld. l,Aſehe nn „ 1 . e – Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 43 H Es hat keinen weitern ſchaͤdlichen Einfluß, wenn Anfaͤnger dieſen Satz ohne Beweis glauben. Auch will ich es nur gerade zu verſichern, daß der danach aufgefundene Aufheber der groͤßte unter allen iſt. §. 474. Neunzehntes Kapitel. Von der Kettenrechnung. Bey dieſer Rechnungsart iſt es wohl am rathſam⸗ ſten, den Anfaͤnger zuvoͤrderſt in dem Verfah⸗ ren ſelbſt nur mechaniſch zu uͤben, und dann erſt darauf aufmerkſam zu machen, warum er auf dem erlernten Wege zum Ziele gelange, und der Lehrſatz in §. 486. wahr ſey, worauf ſich das ganze Verfah⸗ ren gruͤndet. L §. 476 — §. 479. *SS. 480. Es werde gefragt, wie viel Wochen 3 Menſchen mit einem gewiſſen Vorrathe aus⸗ reichen, woran 80 Menſchen 6 Tage lang genug haben, und es ſey dafuͤr folgender Anſatz verfertigt: — Wochen 3 Menſchen 80 Menſchen 6 Tage 7 Tage 1 Woche 44 Neunzehntes Kapitel. Vr ſo erhellet ſchon durch No. I. des vorigen §., daß Ei ober dieſer Anſatz nicht richtig ſey. Denn 6 Menſchen ß eſihende wuͤrden ja mit einem gewiſſen Vorrathe gewiß nich z peuß zweymahl ſo viel Wochen ausreichen, als 3 Men⸗ 4 . eeu: 1ſ⸗ ſchen. Solche Aufgaben werden uͤbrigens der Ba⸗ ligt t ſedowiſchen Regel unterworfen. 14:⸗ §. 481 — F. 4 56. AYA.:⸗ Wenn man zur 2ꝛten, 3 kten und jeden folgenden Zeile des Kettenſatzes ein beliebiges drittes Glied dut hinzuſchreibt, welches den Nahmen des erſten Glie⸗ des in derſelben Zeile fuͤhrt; ſo hat man ſo viel 2 = 2£ . . uier ſen, a Aufſaͤtze, die ſich nach der Regel de tri berechnen minhi laſſen. (H. 478.) . gfülumatb Alſo iſt im folgenden jede Antwort fuͤr jeden Re⸗ — T by gel de tri Anſatz bey A, B, C, D richtig angegeben, Mhun, wobey ich uͤbrigens zur Zahl des bey A zugeſchriebe⸗. (lmummndg nen Gliedes, die Zahl 10 des erſten rechten Gliedes, Ean Ede⸗ bey B aber und jeder folgenden Zeile, allemahl das Arſihmg Product aus den Zahlen der rechten Glieder aller Aleighit vorhergehenden Zeilen gewaͤhlt habe. kfahrt m . — ϑ : 10 Loth D uinſed A) 3: Loth: 1 6. = 10 Loth? Antw. —— ſg S 3 uß ſrd B) 4G : XC=10. , Antw. —rxꝑ gder. 4 — C) I1XL : 24 10. 1. 7 .&? Antw. — — H 24 luißn 0 D) 13: 12 OAS = 10. 1.7.24 . ? Antw. ——— 2412 ſn 1 (Raene Sind . Nrigen , i enn 6Nai n, als 3 K. ( 5 4 4 D e „ Von der Kettenrechnung. 45 Sind aber dieſe Antworten richtig; ; ſo ſind es auch die folgenden: — : 10 Loth a) 32 Loth: 1ρ◻ – 10 Loth? Antw. d) 4: = Antw. R 10 1. „. 24 is 1 nd edenſte ges dritss n des etſttc hat man ſn de ti eer. wort iric der S rich gegege 4 ncri⸗ en te enb 6 E ſmmel! eile, Ainie ten Clcke“ c) 1r6. 2=ðèð *C? Antw. 4) v* r =t, etken . S iat 3—1 * Denn die — G bey b, muͤſſen wohl 32 mahl weniger koſten, als die 10. 1 bey B; und die Antwort bey b, giebt ja gerade 32 mahl wenie ger an, als die Antwort bey B (nach S. 440.). Ferner die 10 . . . 7 — XC bey c, muͤſſen wohl 32. 4 mahl weni⸗ ger 9 enthalten, als die 10. 1. 7 ρ bey C; und die Antwort bey c giebt ja gerade 32. 4 mahl we⸗ niger an, als die Antwort bey C. Eben ſo erhellet aus Vergleichung der Antworten bey d und D, daß auch die bey d richtig ſey. Alſo erfaͤhrt man durch dieſe letzten Rechnungen nach und folg gendes⸗ und dieſe koſten S 6 24 2. und das iſt : 1:1 54. 12 . 32. 4. I. 1 Alſo weiß n man, der geſuchte Preis von 10 Loth 1 iſt . 24r2 h; welches die Behauptung des 32. 24. I. 1 Lehrſatzes in §. 168. war. 10. 1. 7. und das iſt 2 46 Neunzehntes Kapitel. §. 488 — §. 527. 9. 5§528. Vermittelſt der Buchſtabenrechnung kann man das ganze Verfahren und deſſen Richtigkeit leicht uͤberſehen. ) Soll man naͤhmlich de finden; ſo ſuche man cb— b c. Daß dieſes = — ſey, erhellet ſo⸗ gleich, wenn man beyde Ausdruͤcke durch a multi⸗ Im erſten Beyſpiele des folgenden §F. 529. iſt a = 2564, b = 2611 und c = 43. Anmerk. Im Bruche iſt es natuͤr⸗ lich auch erlaubt, zwiſchen a und b — a oder a und e aufzuheben. Aber das erſte wird ſelten Statt fin⸗ den, und das andere wuͤrde wiederum viele Erin⸗ nerungen noͤthig machen. *§. 53 1. V Herr Schmid, von dem ich dieſen Kunſtgriff mit gehoͤriger Bedachtſamkeit entlehnt habe, giebt in ſeiner Rechenkunſt Seite 181. ꝛc. auch noch an, wie man ſich die dazu erforderlichen Umſtaͤnde, durch neue Multiplicationen des Diviſors und einer ſchick⸗ lichen Zahl der rechten Saͤule, bisweilen verſchaffen koͤnne. Dadurch wird wohl der Kunſtgriff gar zu kuͤnſtlich V ſlt genea ule gnbt, Eſ ntſch, Dir ke icth chgeze beglrder R 1 1 6 1Manßz ſchi . — mte, 1 „ ae vereinge eden 0. Pernſ Nnhnn Winzeg ſtde lah Eſen igſheuhn kigte betd chuumng kemmr Nfge i⸗ ſe ſen 1 Ne 5— 1G 4 4 d ſelten rtn . dieſen M gnr hete . c . lnicn rin⸗ ſ ui 4 D — ſh, all Von der Kettenrechnung. 47 kinſtlich gemacht. Er verfauͤllt ſogar auf Diviſionen, weil er glaubt, „»die Natur dieſes Vortheils bringe ves ſo mit ſich, daß er nicht anzuwenden ſey, wenn „der Diviſor kleiner iſt als ein Glied, wovon er »ſchicklich abgezogen derder koͤnne. « Aber warum ſollte wohl in der Gleichung Q — luc †+ c = d nicht bauch kleiner ſeyn duͤrfen als a2 Es entſteht dadurch nur die ganz ſchickliche Veraͤnderung, daß alsdann (b— —— mit e, wie etwas Negatives mit dem Poſi⸗ tiven zu vereinigen iſt, und daher das Verfahren in folgendem §. §. 5 32 — §. §34. Zwanzigſtes Kapitel. Gebrauch des Kettenſatzes bey einiger Zinsrechnung. *§. 535. E⸗ werden hier nur einige Faͤlle der einfachen Zinsrechnung angefuͤhrt. Mehrere andere, die 7 man im 23ſten Kapitel ſinden wird, ſchicken ſich gar nicht fuͤr die wahre Kettenregel. Die zuſammengeſetzte Zinsrechnung beſchaͤf⸗ tiget ſich auch mit Zinſen von Zinſen, die etwa ſpaͤ⸗ ter bezahlt werden ſollen, als ſie faͤllig ſind. §. § 3 6. — 5§. 543. Das D Das ein und zwanzigſte Kapitel, vom Gebrauche des Kettenſatzes bey eini⸗ gen Reductionsrechnungen, haͤtte gar wohl, ſo wie auch das vorige und fol⸗ gende, gaͤnzlich in andere Kapitel verwebt werden koͤnnen. Aber die Ermunterung, welche Anfang und Ende, beſonders bey jungen Leuten verurſachen, durfte nicht allzu ſelten werden. §. 544 — §. 57 3. Zwey und zwanzigſtes Kapitel. und Verluſtrechnungen. §. 574 — §. 576. . Die Aufgaben §. 575. und S. 576. koͤnnte man freylich vortheilhafter auf folgende Weiſe anſetzen: — x**ρ Gew. 100 —Ausl. — * ⁵ LVerl. 100 Ausl. 60 Ausl. 5½ 0Gew. 110Ausl. 10 Verr. aber aus den gleichfolgenden Aufgaben, und kuͤnf⸗ tig aus *§. 632. erhellet hinlaͤnglich, daß es nicht = nuir Por bveilen ic cerer un inn fir die⸗ don erſt d (em — beveis (ſſden G Gebrauch des Kettenſatzes bey Gewinn⸗ ſchawede g nitih D miſ Pin ede ſſhieß, cit ungen Rart s und t s vorlge ud ſ ſas erde verwedt wede “ eten dennſc Von der Baſedowiſchen Regel. 49 nur bisweilen nothwendig, ſondern uͤberhaupt auch weit ſicherer und rathſamer iſt, zuvoͤrderſt die Ein⸗ nahme fuͤr die Auslage, oder umgekehrt, zu ſuchen, st und dann erſt den Gewinſt oder Verluſt daraus zu §. 578 — §F. 783. 2 Drey und zwanzigſtes Kapitel. Von der Baſedowiſchen Regel. K. 584 — §. § 19. Bevweis der Baſedowiſchen Regel. *§. 620. Vorbereitung. Bep jedem Gliede in der untern Reihe des An⸗ ſatzes wurde die Frage aufgeworfen: Wenn dieſes Glied 2 mahl ſo groß waͤre als es wirklich iſt, wuͤrde dadurch auch die geſuchte Groͤße 2 mahl ſo groß, oder wuͤrde ſie 2 mabl ſo klein werden, als ſie nun wirklich ausfallen wird? Dieeſe Frage iſt nur als eine Abkuͤrzung der vollſtaͤndigeren zu betrachten: wenn das vorgenommene Glied 2 mahl, 3 mahl, 100 mahl oder 1000 mahl ꝛc. groͤßer waͤre, als es wirklich iſt; wuͤrde deshalb auch die geſuchte Groͤße ebenfalls 2 mahl, 3 mahl, 10 mahl oder Buſſ. Rechenb, 2. Zaͤlfte. D 1000 50 Drey und zwanzigſtes Kapitel. 1000 mahl ꝛc. groͤßer, oder etwa 2 mahl, 3 mahl, 10 mahl, oder 1000 mahl :c. kleiner ausfallen? Es darf naͤhmlich hier wohl vorausgeſetzt wer⸗ den, daß niemand in Gefahr gerathe, uͤber jene unvollſtaͤndige Frage mit ja oder nein zu entſcheiden, wenn nicht uͤber die vollſtaͤndige eben dieſelbe Ent⸗ ſcheidung erfolgen wuͤrde, und er ſich deſſen nicht bewußt waͤre. O. 621I. Wir wollen nunmehr ſogleich an einem Bey⸗ ſpiele zeigen, warum das §. 584. vorgeſchriebene Verfahren die geſuchte Groͤße richtig herausbringen muͤſſe. Man leſe in dieſer Hinſicht die dortige Aufgabe. Ihr Anſatz war: 1200 Menſchen 2400 & 4 Monath. — Menſchen 4000 & 3 Monath. Statt dieſes wahren Anſatzes wollen wir uns fuͤrs erſte folgenden anſchreiben: 1200 Menſchen I1K 1 Monath — Menſchen 4000 &£ 3 Monath, als ob die Aufgabe waͤre: wenn 1200 Menſchen mit 1 1 Monath lang auskommen, wie viel Menſchen werden mit 4000 & 3 Monath hin⸗ durch ausreichen? 1) Wir waren (nach §. 584. unter II, 2.) uͤberzeugt, daß die geſuchte Zahl der Menſchen, die ich 3 Monath hindurch ernaͤhren koͤnnte, 2 mahl ſo groß (als jetzt wirklich) ſeyn duͤrfte; wenn ſtatt 4000 K ein 2 mahl ſo großer Vorrath von Lebens⸗ mitteln Von n wrhend ſoenen ofenbe kanen, al tden dir ang ntnne zMtken Nei ſten dele goe en, 4 400 Pcer finen. Veo wir ſenſen e als Atierl len; M wir oomahl 127 mite, von Aichen ſeen nnr Menſche küin Del 00 mhehelen e linet, ii nde = ahit. 2 naht, iner gisſlle uthe, ir iden diſle⸗ er ſch an . 4 Pnec⸗ 3 Mnchh 7 4 1200 N nmen, M. 1 Mn 94. nte 1 Neſche nt,2 in in h m, Von der Baſedowiſchen Regel. 51 mitteln vorhanden waͤre; weil von 2 mahl 4000 Centnern offenbar auch 2 mahl ſo viel Menſchen le⸗ ben koͤnnen, als von 4000 K. Eben deshalb werden wir auch zugeben: in ſo fern in der untern Reihe 4000 mahl mehr Vorrath vorhanden iſt, als in der obern Reihe, in ſo fern muͤſſen auch in dem untern Falle 4000 mahl ſo viel Menſchen als im obern, alſo 4000 mahl 1200 Menſchen ernaͤhrt werden koͤnnen. Wenn wir alſo im untern Falle uͤbrigens auch eben ſo lange als im obern, auch nur 1 Monath ausreichen ſollten; ſo waͤre offenbar die richtige Ant⸗ wort, daß wir . 4000 mahl 1200 Menſchen ernaͤhren koͤnnten. 2) Aber wir ſind (wegen §. 534. unter II, 2, verbunden mit *§. 620.) uͤberzeugt, daß wir im untern Falle, wo wir 3 mahl laͤnger als im obern ausreichen ſollen, eben deshalb auch nur 3 mahl weniger Menſchen aufnehmen muͤſſen, alſo nur den dritten Theil der eben beſtimmten, d. i. 4000 mahl 1200 Menſchen. 3 J Denmnach erhalten wir fuͤr den erdichteten Anſatz die richtige Antwort, wenn wir 1200 Menſchen durch 4000 multipliciren, und darauf das Produet durch 3 dividiren; und eben dies war ja, wie wir wiſſen, die Abſicht, wenn wir 1200 und 4000 als Multi⸗ plicatoren (eigentlich 1200 Menſchen als den Mul⸗ tiplicanden, und 4000 als einen Multiplicator), und darauf die Zahl 3 als einen Diviſor anſetzten. D 2 3) Aber 52 Drey und zwanzigſtes Kapitel. 3) Aber fuͤr den wahren Anſatz koͤnnte dieſe Antwort wohl noch abzuaͤndern ſeyn. Ich multiplicirte fuͤr den erdichteten Anſatz mit 4000, weil 4000 Centner gerade 4000 mahl mehr war, als der daruͤber ſtehende 1 Centner. Im wahren Anſatze aber, wo der obere Vorrath 2400 und nicht 1iſt, iſt der untere Vorrath lange nicht 4000 mahl groͤßer, als der obere. Sondern wenn ich dies annehme, und in dieſer Hinſicht mit 4000 multiplicire; ſo multiplicire ich offenbar mit einer 2400 mahl zu großen Zahl. Dieſen Fehler kann ich nun offenbar dadurch wieder gut machen, daß ich zwar wie vorher mit 4000 zu multipliciren, aber darauf wieder durch 2 400 zu dividiren verlange. Das heißt, ich muß die uͤber den 4000 ſtehen⸗ de 2400 als Diviſor anſetzen, nachdem ich 4000 ſelbſt als Multiplicator angeſchrieben habe. Ferner ſetzte ich die 3 im erdichteten Anſatze als Diviſor an, weil ſie 3 mahl mehr war, als die daruͤber ſtehende 1. Da aber im wahren An⸗ ſatze 4 und nicht wnuͤber der 3 ſteht, ſo iſt ja 3 nicht 3 mahl ſo groß, als die daruͤber ſtehende Zahl. Sondern wenn ich nach dieſer Vorausſetzung, daß 3 dreymahl groͤßer als 4 ſey, mit der 3 dividire; ſo dividire ich offenbar mit einer 4 mahl zu großen Zahl, und ich kann dieſen Fehler nur dadurch wie⸗ der gut machen, daß ich wiederum durch 4 multi⸗ plicire. Das heißt, ich muß die im wahren An⸗ ſatze uͤber der 3 ſtehende Zahl als Multipli⸗ cator Vyn k necen Doeſt crve⸗ Iden Cietn Arſes unnihen Mit 4 eder Senhen tlt ſten us — Wſergen dal cont ſi nan 2 lno Men Mr Prinnn ſ i Men — Mnſ Rfie der leſtbeni elhmit fliin we Kltihver L hhe lt, 11 = — = ſen 9 7 intzn apits. nſet thnne ihtttn itn 1e Vunthmn 7 rroth . d Wd. nge W Sandeen lrplichn r ividiten min⸗ den o ſie n, nuchhent r onſcie 1nehe n 6 ſeſem Von der Baſedowiſchen Regel. 33 cator anſetzen, nachdem ich die 3 ſelbſt als Diviſor angeſetzt habe. 4) Indem alſo die Zahl der Antwort fuͤr den . 3 erdichteten Anſatz war, π, ſo iſt ſie nun ſuͤr den wahren Anſatz, ece. Daß dieſer Bruch 5 2400. 3. mit den Saͤulen in §. 584. voͤllig einerley angiebt, erhellet ſchon aus ihrer dortigen Behandlung und demjenigen, was bereits aus der Kettenregel §. 49 1. bekannt iſt. *S. 622. =Jð Hat man Bruͤche im Anſatze, z. B. 1200 Menſchen 2400 £ ³½ Monath. ſo erdenke man ſich zuvoͤrderſt folgenden Anſatz: 1200 Menſchen 2400 & 4 Monath. — Menſchen 4000 & 3 Monath. 1200. 4000. 4 Dafuͤr iſt die vorhin erwieſene Antwort —— G 234⁰0. 3 Aber hiebey iſt nun, in Vergleichung des wahren Anſatzes 1) mit einer 7 mahl zu großen Zahl (4) multiplicirt; weil 4 offenbar 7 mahl groͤßer iſt, als das wirklich vorhandene ¾. 2) Habe ich hier mit einer 5mahl zu großen ah dividirt, weil 3 offenbar 5 mahl groͤßer iſt, Den erſten Fehler mache ich dadurch wieder gut, daß ich mit 7 dividire, den andern dadurch, daß ich mit 5 multiplicire. D 3 So 54 Drey und gwanzigſtes Kapitel. So erhellet das in §. 589. vorgeſchriebene Ver⸗ fahren, wie bey der Kettenregel §. 506 ꝛc. Haben untereinander ſtehende Glieder im Anſatze verſchiedene Nahmen, ſo iſt das 1te Verfahren in §. 6 13. durch ſich ſelbſt klar; und die Richtigkeit des Ilten Verfahrens in §. 6 14. erhellet ſchon daraus, daß es eben die Saͤulen giebt, welche bey dem Iten entſtehen. Ein anderer Beweis der Baſedowiſchen Regel. *§. 624. Es ſetzt dieſer Beweis eine voͤllige Bekanntſchaft mit der Bruchrechnung im folgenden Kapitel voraus. Und da ich ihn uͤberhaupt nur fuͤr geuͤbtere Leſer her⸗ ſetze, ſo ſey es mir zugleich erlaubt, zur Verkuͤrzung des Vortrages die allgemeinen Zeichen der Buchſta⸗ benrechnung zu gebrauchen. *§. 625. Vorbereitung. Auf die Frage, wie viel mahl a groͤßer ſey als b, kann man allemahl antworten, — tel mahl; auch wenn a oder b oder beyde Zahlen Bruͤche ſind. Denn was heraus kommt, wenn mit b in a dividirt wird, iſt ja eben die Zahl, welche anzeigt, wie viel mahl b in a ſteckt; und eben dieſe Zahl zeigt alſo an, wie viel mahl ich die b nehmen muͤſſe, um a zu erhalten, daß heißt „wie viel mahl a groͤßer als b ſey. Wenn Von unn alſe mmn Nfr ſehliſeenm 4 leuchſcic lees Buche⸗ Phüte elsoani 1ll grihrlchen Geifn, und da ßeleſten, G l i weſcht Aenn mthr r ben ſr abſtr ſiner Gen = Von der Baſedowiſchen Regel. 55 Grihenc èh. Wenn alſo a= 2 und b= 7 waͤre, ſo haͤtte man die don Antwort, daß 2 um mahl groͤßer als 7 waͤre? Allerdings! Es ſind dieſe einmal eingefuͤhrten Ausdruͤcke im folgenden deGties Kapitel auch ſchicklich genug erklaͤrt, ſo weit es die Ab⸗ binn ſicht dieſes Buches mit ſich brachte. Wer dergleichen Ausdruͤcke als anſtoͤßig vermeiden, und doch nicht den ein⸗ fi mahl gewoͤhnlichen, der Sprache des gemeinen Lebens 8 Liltcht gemaͤßen, und dadurch fuͤr jede Geſchaͤftsrechnung ſehr ge h vortheilhaften, Gang unſerer Rechenkunſt umaͤndern will, der waͤſcht einen Mohren. Dieſe Redensarten . ſind ja eine nothwendige Folge von Gewohnheiten, die ſonſcn mur dem ſehr abſtracten Kopfe entbehrlich ſind, der be⸗ ſtaͤndig die richtige Spaltung zwiſchen Nahmen⸗ und Zahl⸗ groͤße in ſeiner Gewalt hat. le Ven ſte DHZ ſe. *§. 626. Beweis. Man habe den Anſatz: Menſchen f L. g M th. 1 G taͤgl. XMenſchen & L. Mth. 2taͤgl. nühmlich d Menſchen reichen, mit K, g Monathb hin⸗ durch aus, wenn jeder taͤglich ! tz. enthaͤlt; wie viel ng. Menſchen werden, mit OK, y Monath ausreichen, wenn jeder taͤglich X g erhaͤlt? ufe Bin ich nun uͤberzeugt, daß 2 ſtatt kommen 4 muͤſte, wenn 2 ſtatt ſtaͤnde, und eben deshalb 7t dome (*§. 620.) uͤberhaupt auch die geſuchte Zahl n x ſeyn rrit muͤßte, wenn n ſtatt ſtaͤnde, ſo erhellet eben da⸗ sti . J n, 1 durch auch: in ſo fern nun mahl groͤßer l ehe n als fiſ, und bey f L. d Menſchen Statt fin⸗ D 4 den, 56 Drey und zwanzigſtes Kapitel. den, in ſo fern muͤßen bey nun Menſchen Etatt finden. Es waͤre alſ⸗ X= —. d, wenn von g und f A von l nicht verſchieden waͤre. Erhellet nun aber, daß = — ſtatt Xkommen muͤſſt, X wenn 2 ſtatt ſtaͤnde, und deshalb uͤberhaupt — — ſtatt x, wenn ny ſtatt ſtaͤnde; ſo muͤßte eben deshalb * d „. 5 weil wirklich -= —. g iſt, x= 3 ſeyn, wenn uͤbrigens Xà von ! nicht verſchieden waͤre. A Aber im untern Falle ſoll jeder taͤglich m E mehr erhalten als im obern; und je mehr ſpz jeder taͤglich erhaͤlt, deſto kleiner wird x. Daher muß O. g. d . g. 1. 4 nun wirklich = — = f. . A f. Y. A 1 e el, innf 1 uden e Von Nocen de nctiſt ſ, ſ Eummen t geſcteben =,== 6 iümnen NN übigen i Peon den ſr wirdn eCnanniti Uſit, mu le geſcheel eder Grete nun noch iren se ſen Vunn in Giken Gede 1Nſr 4 fanu utt, Nnd n gel 1 nwis trhemmans, deſcidutt tigicm e nge f . Den . verdet Von der Baſedowiſchen Regel. 57 Nachdem der Aufſatz fuͤr die Baſedowiſche Re⸗ gel gemacht iſt, wobey die obere Reihe einen gaͤnz⸗ lich bekannten Fall ausdruͤckt, nach welchem der dar⸗ unter geſchriebene in der zweyten Reihe ſich richten ſoll; indem vorausgeſetzt wird, daß die geſuchte Groͤße von den uͤbrigen Groͤßen des untern Falles eben ſo abhaͤngen ſoll, wie die uͤber der geſuchten ſtehende Groͤße von den uͤbrigen Groͤßen des obern Falles ab⸗ haͤngt: ſo wird nun eigentlich bey jeder Groͤße unter⸗ ſucht, ob man mit ihr in diejenige, welche uͤber der geſuch⸗ ten ſteht, zu multipliciren oder zu dividiren habe, um die geſuchte Groͤße zu finden. Sobald nun durch die Fragen in §. 584 II, 2, das eine oder das andere bey jeder Groͤße der untern Reihe beſtimmt wird; ſo hat man nach §. 584 II, 3, auch mit der daruͤber ſtehenden Groͤße entweder zu dividiren oder zu multi⸗ pliciren. Wenn aber bey jenen Fragen erhellet, daß eine Groͤße der Aufgabe weder als Multiplicator noch als Diviſor anzuſetzen ſey; ſo wird man eben dadurch erinnert, daß die Aufgabe, wenigſtens gerade zu und nach dem gemachten Anſatze, durch die Baſe⸗ dowiſche Regel nicht in die gewoͤhnlichen Saͤulen ge⸗ bracht werden koͤnne. Gewiß kann ſie dann auch nicht gerade zu nach der Regel de tri oder Kettenre⸗ gel behandelt werden, weil auch bey dieſen Regeln nur ſolche Glieder vorausgeſetzt werden, wovon ein jedes entweder multiplicirt oder dividirt. In ſolchen Faͤllen erinnert alſo die Baſedowiſche Regel, daß dieſes nicht Statt finde. Vielleicht ſind dann erſt heh einige der angeſetzten Glieder vorlaͤufig zu addi⸗ , D 5 ren 58 Drey und zwanzigſtes Kapitel. ren oder zu ſubtrahiren; oder es iſt auch die ganze Aufgabe durch bloßes Nachdenken ohne alle Regel⸗ form zu berechnen: kurz, man muß daruͤber nach⸗ denken und ſeinen Verſtand gebrauchen. Die Ba⸗ 9 ſedowiſche Regel thut genug, daß ſie zu rechter Zeit daran erinnert, und leiſtet darin mehr als alle andere etwas allgemeine Rechnungsregeln. Es folgen ei⸗ nige Beyſpiele. . Aufgaben zur Warnung. Geſetzt, 1 Maß Bier kann fuͤr 8,J₰. verkauft werden, wenn der (Scheffel) Hopfen 15 906, die Gerſte 20 90, die Klafter Holz 13 koſtet, und der Brauer bey einem Gebraͤude fuͤr ſeine Arbeit und Nebenausgaben 20 ι. erhalten ſoll; und es wuͤrde gefragt, wie viel ein Maß koſten muͤßte, wenn der Hopfen nur 12 90, die Gerſte nur 18 , das Holz aber 14 3 gaͤlte, und dem Brauer fuͤr ſeine Arbeit und Nebenausgaben nur 15 . zugeſtanden wuͤrden: ſo koͤnnte man wohl darauf fallen, fuͤrdieſe Aufgabe den folgenden Anſatz zu machen. Hopfenpreis Kornpr. Holzpr. Brauergefaͤll hat man Bierpreis bey 15 9f. 20 l. 13 l. 20 rρ. 8 . bey 12 ⸗ 18 ⸗ 14 ⸗ 15 ⸗ — ⸗ 2 *£ Aber wenn man nun unterſucht, ob die hinge⸗ ſchriebenen Zahlen entweder Multiplicatoren oder Diviſoren ſind; ſo erhellet, daß keines von beyden Statt finde. Wenn 1 ‚ nr de Vun 5 B. fer werden, nid B d. Miſt1 nig in Diu n dos wegene de Bier n o eden de ſee, deß 6Duironzuſh un ben jeden Plegcben zia iisbeſimn lſet aühel zet 14 itt ſ in nebſ de nn gumnen S nden nrplngn; Nuny n: Ueſtnng ſädae, 110 ſtei noc . maffie 4 . Von der Baſedowiſchen Regel. 59 achde Wenn z. B. der Hopfen 2 mahl 12 g6 ſtatt ne ele 12 90 gaͤlte, ſo muͤßte deshalb zwar der Bierpreis uinih groͤßer werden, aber doch gewiß nicht 2 mahl ſo n. Nb⸗ groß, weil das Bier nicht aus Hopfen allein gebraut niank wird. Alſo iſt 12 kein Multiplicator, und noch clemm weniger ein Diviſor; denn wer koͤnnte wohl anneh⸗ Eſns men, daß wegen eines 2 mahl ſo hohen Hopfenprei⸗ ſes das Bier 2 mahl weniger gelten muͤßte! un Bey jedem der uͤbrigen Glieder erhellet auf die⸗ ſelbe Weiſe, daß es weder als Multiplicator noch als Diviſor anzuſetzen ſey. Vielmehr ſieht man wohl, daaß man bey jedem Gebraͤude alle dabey vorfallen⸗ lami den Ausgaben zuſammen rechnen, und daraus den n l Bierpreis beſtimmen muͤſſe. ſiſtet, en H Geſetzt es habe aller Hopfen, welcher zum Ge⸗ enn braͤude noͤthig iſt, die Gerſte, das Holz und die Neben⸗ nite, N ausgaben nebſt dem Verdienſte des Brauherrn zu⸗ b ſammen genommen, in dem Falle der obern Reihe unâ 126 ., in dem Falle der untern Reihe aber nur oE 120 betragen; ſo koͤnnte man anſetzen: . ger ,m Bey 126 † Unkoſten galt 1 Maß 8 R. en 120 ⸗ ⸗ gilt ? ⸗ — o tvndens Hier iſt nun offenbar 120 ein Multiplicator, alſo 136 ein Diviſor, und die Rechnung: z 126 120. Antw. 7 2. die r ,B . . mmA Ich will noch ein Par andere Faͤlle anfuͤhren, die man auf eine ſehr aͤhnliche Weiſe zu beurtheilen hat. 1. Vor— 5 . 4 60 Drey und zwanzigſtes Kapitel. Vor einigen Jahren hieß es, daß der Wein in Frankreich auf das doppelte geſtiegen ſey. Deshalb war nicht zu befuͤrchten, daß die Franzoͤſiſchen Weine auch bey uns auf das doppelte ſteigen wuͤrden! Denn von jeden 100 Thalern, die wir bis dahin fuͤr aͤchte Franzoͤſiſche Weine bezahlten, gehoͤrte ein betraͤcht⸗ licher Theil fuͤr Transſport, Acciſe und kaufmaͤn⸗ niſches Verdienſt. Geſetzt, daß dieſer Theil 60 Thlr ausmachte, und unveraͤndert blieb; ſo verurſachte jene Verdoppel ung des Preiſes in Frankreich nur, daß wir nun 140 ſtatt der ſonſtigen 100 Thlr zu zahlen hatten. Wenn wir bloß darauf zu ſehen haͤtten; ſo koͤnnte nach folgendem Anſatze gerechnet werden. Als von Franzoͤſiſchen Weine eine gewiſſe Menge auf 100 zu ſtehen kam, gab man 7 fuͤr 1 Maß. da dieſe ⸗ ⸗ 140 geſtiegen iſt, wie viell wird man nun fuͤr 1 Maß geben? Dann iſt 140 ein Multiplicator, u. ſ. w. Freylich aber kommt es bey ſolchen Berechnun⸗ gen noch auf manche andere Umſtaͤnde an. So ſchien es mir am Rheine ſelbſt ziemlich zu erhellen, daß fuͤr unſere hieſigen Gegenden von dorther nur gutes Gevwaͤchs kommt *). Iſt meine Vermuthung rich⸗ tig; *) Allerdings koſtet ein Faß vom beſten Wein an Fracht nicht mehr, als ein eben ſo großes Faß vom ſchlechteſten; und nur jener kann ſeine Fracht tragen: faſt eben ſo, wie ſich eigenthuͤmlich ſchwe⸗ rere Koͤrper weiter durch die Luſt werfen laſſen, als die leichteren. £ 7 ſeee Vor de imd denun Penene ſot Gaorte ent uchen ſyn, e hein ſe Uee Rheinn kir wenng ſſeteh lpnr Penen mn un hier 14 Ubfitwier ſinspees Ppaden. 5 friung e s, n. mum f. N ldene ſe Nch n ſe 0 ohte. aß der Wai ſeh. n nwirden! Dn Wuir ſerit int en bett ud iun⸗ Delbo ; nein 1 Ferkricn igen o dater e, ge ic Vent iit n, Pnnſ ſr DB i neu⸗ Pridun inl ip he frup mnth ehen en gnhi finn ſee 4 miſi ſ perfet, . le n gn⸗ Von der Baſedowiſchen Regel. 61 tig; ſo werden unſere hieſigen ſchlechten oder mittleren Rheinweine hoͤchſtens nur ein Weniges von jener guten Sorte enthalten, und uͤbrigens in Laͤndern gewochſen ſeyn, die uns um ein betraͤchtliches naͤher s§s der Rhein liegen. Ein neuer Grun nd, weshalb aſer Kheinweine eben nicht ſehr zu ſteigen brauchen, wenn gleich der Wein am Rheine be⸗ traͤchtlich theurer wird! Ferner; man wiſſe etwa, daß man hier 1 ¾ 90 fuͤr. 1 Reis gab, als 1 K. in Hamburg 10 Mk. galt, und fraͤgt wie viel 1 hier gelte, wenn 1 E in Hamburg auf 15 Mk. geſtiegen iſt. Keinesweges kann hier 15 als Multiplicator an⸗ geſetzt werden. Denn die 10 oder 15 Mark, welche in Hamburg zu erlegen ſind, machen nur einen Theil von dem aus, was unſere Kaufleute fuͤr denſelben Centner von uns fordern; da ſie auſſer ihrem eigenen Verdienſte auch noch Tranſport, Acciſe und dergl. aufzuſchlagen haben. *§. 629. 2 Leute fangen an, einen Brunnen zu graben, und graben in anderthalb Tagen 8 Schuh tief. Wie viel Schuh werden in den folgenden 2 Tagen gefſoͤr⸗ dert werden, wenn ich nunmehr 16 Arbeiter anſtelle? 2 Arbeiter 1 ½ Tage 8 Schuh tief 16 g. 2 - — 2 Maan kann hier die 16 ſchon darum nicht als Multiplicator anſeßen LRweil auch bey uͤbrigens alei⸗ hen 62 Drey und zwanzigſtes Kapitel. d chen Umſtaͤnden 2 mahl mehr Arbeiter nur dann. Ingihe 2 mahl mehr Erde ausgraben, wenn bey verdoppel⸗ hlen verde ter Anzahl der Arbeiter jeder einzelne noch eben ſo “ bequem arbeiten kann, als vorher. Beym Aus⸗ ake graben eines Brunnens aber koͤnnte leicht einer lon er den andern hindern, wenn man zu viele anſtellte. ren n Ueberdies wird auch die Herausſchaffung der Erde rtar deſto beſchwerlicher, je tiefer man koͤmmt. ſrtlan Mplal derde *§. 630. . Dch wene Wenn 100 Kap. in 12 Mth. geben 105 % Kap. u. Zinss; . g ſo muͤſſen 960 Kap. in 8 Mth. geben — Kap. u. Zins?s ien ben gen Den Die Frage iſt: wie viel Thaler Kapital und d Zins erhalt ich aus 960 in 8 Monathen? uk . l, dep „ Wenn ich (ſtatt 960 ) ein zweymahl ſo großes aſine nr⸗ Kapital haͤtte; wuͤrde ich dann nach einer gewiſſen minmniſt, Zeit auch noch zweymahl ſo viel Kapital und Zins 8 haben? Allerdings! nphuin Denn geſetzt die 960 bringen in 8 Menathen 1 * Zins; ſo habe ich von dieſem Kapital nach 8 Monathen nun 960 + X * Kapital und Zins. Haͤtte ich aber 2 mahl 960 ſo wuͤrde ich daraus nach 8 Monathen haben 2 mahl 960 †+ 2X . (ddun Kapital und Zins. lütten Es iſt alſo 960 allerdings als Multiplicator an⸗ LN zuſetzen, und daher 100 als Diviſor. Aber nun zu den 8 Monathen! Wuͤrde ich nach ule te 2. 2 mahl 8 Monathen auch wohl 2 mahl ſo viel Kapi⸗ ange tal tt Von der Baſedowiſchen Regel. 63 tenmin tal und Zins haben, als ich nach 8 Monathen wirk⸗ ntemi lich haben werde? Keinesweges! eins noch e eAr Geſetzt ich habe von 960 † Kapital nach 8 i: Monathen etwa (960 † X) v. Kapital und Zins, i uſt ſo habe ich von dieſem Kapital nach 16 Monathen efeh nur (960 + 2 X) * Kapital und Zins; denn offen⸗ günm bar, werden hier nur die Zinſen „und nicht auch daas Kapital verdoppelt. Noch weniger kann man annehmen, daß man ih nach 16 Monathen etwa nur halb ſo viel Kapital und Zinſen haben ſollte, als nach 8 Monathen, und deshalb 8 ein Diviſor ſey. 1ee P anten . „ „ , „ urhin Nach einiger Ueberlegung wird man nun leicht abnehmen, daß man zu Beantwortung der vorge⸗ rentgde legten Frage, nur zuvoͤrderſt die z monathlichen Zin⸗ em ſen finden muͤſſe, wie folget: „. e . . . Kin n5? 100 XC Kapital geben 5 Zins in 12 Monath. = — = 100 60 Dafuͤr erhaͤlt man offenbar 9 die neben ſtehenden Saͤulen — Topftal . 12 dnünein und daraus die Antwort: 32 vF. *1 Alſo hat man nach 8 Monathen 960 X. Kapi⸗ tal und 32 X Zins, alſo 992 Kapital und Zins. tiiem⸗ I00O*IKap. geben in 12 Mth. 106 Kap. u. Zins „— *Kap. geben in 8 Mth. 1872 6E K. u. Zins? Die l, Pirdet 6 64 Drepy und zwanzigſtes Kapitel. dd Die Frage iſt: wie viel Kapital muß ich haben, daß es ſammt ſeinen Zinſen nach 8 Mona⸗ a then betrage 1872 r 06² . Ien Hier iſt wiederum klar, daß ich um die SLumme (vin i 1872 als Kapikal und Zinſen zu erhalten, nicht enr anſten we etwa nur halb ſo viel Kapital noͤthig habe (als nun gg dß nn: wirklich) wenn ich 2 mahl 8 Monath ſtatt 8 Monath ſeun nan die We warten will. Denn in? facher Zeit verdoppeln ſich (den gett⸗ nur die Zinſen, und nicht auch das Kapital, wel⸗ tieten⸗ ches unveraͤndert bleibt. Die Zahl 8 kann daher gmtuf nicht als Dlviſor angeſetzt werden; und noch weni⸗ Prim hri ger als Multiplicator. . “ Daher giebt dieſer Aufſatz wiederum keine Saͤu⸗ ſ be deſen d len an die Hand; ob gleich uͤbrigens die Zahl 1872 t, ſuden ein Multiplicator waͤre, da ich gewiß jetzt 2 mahl Nanmmce ſo viel Kapital haben muͤßte, wenn ich nach 8 Mo⸗ ia me nathen 2 mahl mehr Kapital und Zinſen haben ſollte. : ekken Um die ganze Aufgabe zu beantworten, ſinde Uim zit man zuvoͤrderſt etwa nach folgendem Anſatze: e e. nhn, 100 * Kapital 12 Monath. 6 Zins bon 100 X 2 8 ⸗= —⸗ ⸗= 1 daß die 8 monathlichen Zinſen von 100 £ Kapital l gerade 4 betragen; alſo in 104 , als 100 *C. d Kapital ſamt deſſen monathlichen Zinſen, die Zin⸗ ich e⸗ ſen gerade den 26ſten Theil der Summe aus Kapi⸗ Pin hvon tal und Zins ausmachen. . N man Alſo ſteckt in den 1872 Kap. und Zins, offenbar Phülſnit deſſen 26 ſtel, d. i. 72 als Zins, und bamn g die uͤbrigen 1800 x machen das Kapital aus. 18 ſale eczet 1 . Kabte. pital muſ 6 un die im 1 Ehalten, at habe er, chſtatt Nes t dedttne dee Qamlint w 38 Kadital. de . ederun kin 4 e rs de A te SN 6 e irſckerſe V kaht emn aſatet . 0 WNe Von der Baſedowiſchen Regel. 65 1 zu 6 verkauft gebe 8 p. C. Gewinſt 3 ‧ zu 17 ⸗ verkauft giebt — p. C. Gewinſt? Es waͤre falſch wenn man hier 17 als Multipli⸗ cator anſetzen wollte, in der unrichtigen Vorausſez⸗ zung, daß man 2 mahl ſo viel pro cent gewoͤnne, wenn man die Waare 2 mahl ſo theuer verkaufte. (Denn geſetzt, ich loͤſe aus einer Menge Waare, die mir gerade 100 gekoſtet hak, anjetzt, das zu 2 ½ 9t verkauft, 125 wobey ich alſo-25 p. c. gewinne; ſo wuͤrde ich aus derſelben Menge Waare, das tg zu 5 verkauft, offenbar 250 * loͤſen, alſo bey dieſem verdoppelten Ladenpreiſe nicht etwa 50 p. c., ſondern ſchon 150 p. c. gewinnen.) Man mache etwa folgenden Anſatz: 1 zu 6 46' verkauft giebt 108 Einn. fuͤr 100 † Auslage 3 ⸗ zu 17 verkauft giebt 2 Einn fuͤr 100 Auslage ſo iſt nun 3 ein Diviſor; denn wenn ich zweymahl 3 fuͤr 17 ℳ verkaufte, ſo haͤtte ich nur halb ſo viel Einnahme. Und 17 iſt Multiplicator; denn wenn ich mir ſtatt deſſen 2 mahl 17 bezahlen lieſſe, ſo haͤtte ich auch 2 mahl mehr Einnahme fuͤr jede 100 Auslage. RWR Dadurch erhaͤlt man A — 102 *0: 3‧ 6 3 alſo zur Antwort, 2 P. c. Oder man koͤnnte auch folgenden Anſatz aus der Aufgabe herleiten: 6 3 Ladenpr. giebt 108 Einnahme fuͤr Hundert Auslage 5 ⸗= . Nſx — 3 RKZ ⸗ . 2 wo offenbar 5¾ ein Multiplicakor wird. Buſſ. Bechenb. 2. Theil. E §. 633. 66 Drey und zwanzigſtes Kapitel. *§. 633. Auf einer Aue weiden 50 Ochſen, 72 Tage⸗ hin⸗ durch und taͤglich 8 Stunden, fuͤr 40 . Wie viel Ochſen darf man 30 Tage lang, taͤglich 6 Stunden fuͤr 50 *C. weiden? Wird man fuͤr einen Ochſen, wenn er 16 Stun⸗ den taͤglich auf der Weide bleibt, doppelt ſo viel zahlen, als wenn er nur 3 Stunden darauf gelaſſen wird? Das wird keiner thun, und keiner verlangen: denn ein Ochſe pflegt ſich fuͤr jede Zeit nur einmahl ſatt zu freſſen. Kann er das in 8 Stunden fuͤr jeden Tag; ſo wird er in 16 Stunden taͤglichen Fraßes nicht mehr zu ſich nehmen, als in 8 Stunden. Beynahe eben ſo ſicher wird man auf der andern Seite behaupten koͤnnen, daß ſich auch Ochſen etwas in die Zeit ſchicken, und in 6 Stunden eben ſo ſatt freſſen wuͤrden, als in 8 Stunden. . *§. 634. Wenn jemand vermittelſt der Baſedowiſchen Regel herausbringen ſollte, daß 1 Fluß der durch 1 Zell Gefaͤlle ungefaͤhr 2 Fuß Geſchwindigkeit erhal⸗ ten hute, bey 3 Zoll Gefaͤlle ſchon etwa 6 Schuh Geſchwindigkeit erlangen koͤnne; ſo iſt die Baſedo⸗ wiſche Regel wegen dieſes Irrthums in keinen An⸗ ſpruch zu nehmen. Warum haͤlt ſich der Rechner uͤberzeugt, daß ein 2 mahl oder 3 mahl groͤßeres Ge⸗ faͤlle auch ſchon eine 2 mahl oder 3 mahl groͤßere Ge⸗ ſchwindigkeit veranlaſſe, ohne die noͤthigen Unter⸗ ſuchungen und Erfahrungen in der Naturlehre zu berathen! Wenn er nach der Reeſiſchen Regel zu rechnen e Von d cen geoß c zwerſich Grf gngt i r ⸗ d = E = ſer ſtt en 4 en ud ele ſter de Neſe ogl koſe lehi lng iſt lagz dbreie Lei nnd hich 4 N Nſ Kettn k,i keiiete Ninn e Uen linte n wos l ſede rnne n uliie ahin S== fr dus ip nt en ſe 4 = N N Kaoite. QAe . = 1 10 47 40 †, Enl e⸗ 6E wenn er 10 C e Dandals ſe Nee t, doppel e den daran gacſ Okeiner verlonn. un an e uunden ehen ſet de Brewint 1s dr dut 6oinditetH n eii 4 ſenb⸗ Von der Baſedowiſchen Regel. 67 rechnen gewohnt iſt, ſo wird er dieſen Irrthum nur noch zuverſichtlicher behaupten, indem er hier gewiß geneigt iſt, die Hoͤhe des Gefaͤlles als Urſache der Geſchwindigkeit zu betrachten, und ſich ſo darauf zu gruͤnden meynt, daß die Wirkungen ſich wie die Urſachen verhalten muͤſſen. Freylich iſt dieſer Satz auſſer Streit; wenn es nur nicht ſo leicht waͤre in ſei⸗ ner Anwendung zu irren, und um auszumachen, was eigentlich Urſach und Wirkung ſey, oftmahls Einſich⸗ ten und Ueberlegung noͤthig waͤren, die ihrem Be⸗ ſitzer die Reeſiſchen Regeln ganz entbehrlich machen. *§. 63 5. 100 Fl. koſtet ein Garten, der 40 Fuß breit und 60 Fuß lang iſt; wie viel Fl. koſtet hiernach einer, der 35 Fuß breit und 45 Fuß lang iſt. Allerdings werden ſelbſt Mathematiker bey ſol⸗ chen und aͤhnlichen Aufgaben die Form der Baſedo⸗ wiſchen Regel, ſo wie in andern Faͤllen gewiß auch den Kettenſatz, nicht ſelten mit Vortheil gebrauchen. Aber dieſe beduͤrfen dazu gewiß keiner beſondern An⸗ weiſung, und andere — die z. B. bey der eben vor⸗ gelegten Aufgabe nicht einmahl deutlich wiſſen moͤg⸗ ten, was in jedem Falle als die Breite und Laͤnge des Gartens zu meſſen ſey — moͤgen doch ja von allen Aufgaben wegbleiben, bey denen von Flaͤchen oder koͤrperlichen Raͤumen geredet wird. Natuͤrlich macht hier das Meſſen der Zeuge eine Ausnahme, wobey kein Fehler zu beſorgen iſt. Bey der Scheuer in F. 584. No, 30. ſetze ich freylich voraus, daß es wegen des Daches u. dgl. nicht ſo genau genommen E 2 werde; 68 Vier und zwanzigſtes Kapitel. werde; und bey dem arithmetiſchen Graben in §. 591. den ich wohl nicht weglaſſen durfte, habe ich auch das Noͤthige erinnert, ſonſt aber alle Aufgaben weggelaſ⸗ ſen, welche geometriſche Kenntniſſe voraus ſetzen. Vier und zwanzigſtes Kapitel. Vom Addiren, Subtrahiren, Multipli ⸗ ciren und Dividiren der Bruche. §. 626. — §. 641. Beweis fuͤr die Richtigkeit des Verfahrens in §. 64A—,.z“ Das in 120 dividirt 20 giebt, ſo iſt klar, daß man den Renner des erſten Bruches durch dieſe 20 multipliciren muͤſſe, um wiederum 120 zu erhalten. Multiplicirt man nun durch dieſe 20 nicht nur den Nenner, ſondern auch den Zaͤhler im erſten Bruche 4; ſo erhaͤlt man den Bruch 123%, welcher (nach §. 442) eben ſo viel werth iſt, als ¾. Eben ſo erhellet beym zweyten Bruche ¼, daß man ſeinen Zaͤhler und Nenner durch 30 multiplici⸗ ren muͤſſe, um einen Bruch 2½ zu erhalten, der eben ſo viel werch iſt als 3, und doch 120 zum Ren⸗ N Und 2 obbey d (nt nun ſ e mlth ch ſerhatt Drun jed ni veth iſ AVbnr Ciue ihededen umrigſe der ien eeſn uden E Ceeumenner (ErDeerder in z ſt um, wech u hebe, Wb dudet , dc ionen eie r gchch = ſir ine M den opi. rabeninſeg, hab heihatz fgaben nui orcns ean. — Ktpite ten, Mtin. der rſaon. gſit, Are zes utcht⸗ mgiis uiftin andi 2, neiht 3 Geget, 4, 4 6 utn chiin, . R 1 gleichen Zahl iſt nun ganz gewiß das folgende Pro⸗ E 3 Vom Addiren der Bruͤche. 69 Und bey dem dritten Bruche 4 2 iſt 24 die Zahl, womit man ſeinen Nenner und zug leich auch den Zaͤhler multipliciren muß, um durch ε einen Bruch zu erhalten, der eben ſo gut als ½ iſt. Da nun jeder Bruch in der dritten Saͤule eben ſo viel werth iſt, als der nebenſtehende Bruch in der erſten Saͤule; ſo muß auch die Summe aus den Bruͤchen der dritten Saͤule, alſo 214 Hundert⸗ und zwanzigſtel, der verlangten Smme aus den Bruͤ⸗ chen der erſten Saͤule gleich ſeyn. §. 643. H §. 644. Aus dem Erweiſe in *§. 642 erhellet, daß der Generalnenner eine ſolche Zahl ſeyn muͤſſe, worin jeder Nenner der gegebenen Bruͤche aufgeht. Der⸗ gleichen Zahl iſt nun freylich das Product aus allen Nennern, welches wir dort zum Generalnenner ge⸗ braucht haben. Denn 120 muß als = 6. 4. 5 durch 6 dividirt geben 4. 5, durch 4 dividirt geben 6. 5, durch 5 dividirt geben 6. 4. Aber ſehr oft wird man eine ungleich kleinere Zahl zum General⸗ nenner gebrauchen koͤnnen. §. 64 5. *§. 646. Bewen⸗ fuͤr die Richtigkeit des Verſahrens in §. 645. G Der Generalnenner muß eine Zahl ſeyn, worin jeder von den gegebenen Nennern aufgeht. Der⸗ duet 70 Vier und zwanzigſtes Kapitel. duet bey A, das Product aus allen gegebenen Nen⸗ nern. 1). Aber wenn ich ſtatt H des Productes A) 21. 7. 30.13.6. 56 auch nur das kleinere B) 21 . 30.13 56 gebrauche; ſo geht doch die weggelaſſene 7 und 6 auch in dieſem kleinern Producte auf. Denn ich kann mir das Product bey auch als 7. 3. 6. 5. 13. 56 vorſtellen; welches offenbar etwas7 faches und 6 fa⸗ ches ausmacht. Daraus erhellet das Verfahren bey I. §. 645. 2). Die Richtigkeit des Verfahrens bey II. er⸗ giebt ſich, ſobald man uͤberzeugt iſt, daß man von folgenden Producten bey B, C, D, E B) 21. 30.13.56. C) 7. 3. 30. 13. 8 D) 7. 3 10.13. 8 E) 7.3. 2. 5.13. 4 nach und nach C ſtatt B, D ſtatt C und endlich E ſtatt D gebrauchen duͤrfe. . Man kann aber C ſtatt B gebrauchen. Denn da Ceinerley iſt mit 21. 30. 13. 8, und auch einer⸗ ley iſt mit 3. 30. 13. 56; ſo geht ja nicht nur 30 und 13, ſondern auch 21 und 56, in C noch eben ſo gut auf, wie in B. Man kann eben ſo D ſtatt C gebrauchen, weil D einerley iſt mit 7. 30. 13. 8, alſo auch die 30 in D noch aufgeht. Man Vo un konn lcerey iſt m lc nit ilnh uuſge Dam kente: ſon unchen k lſazeng lner tugie Ofcberde ohenrerſcich iI Nelſ dpi. egebenen ar. Denn ien Vefahenig rens derl. ſi, W nnß 5 — – adii i nuttn n Ind wteit⸗ ittu; ( C e muuchen, 4 g ir * Vom Addiren der Bruͤche. 71 Man kann endlich E ſtatt D gebrauchen, weil E einerley iſt mit 7. 32. 10. 13. 4 . und auch mit 7. 3. F. 13.8; alſo auch 10 und. 8 in E noch aufgeht, wie in D. 2). Da man nun nach 1) ſchon B ſtatt A gebrau⸗ chen konnte; ſo weiß man nunmehr, daß man Eſtatt A gebrauchen kann, alſo durch das Multiplieiren bey III, §. 645 ein Product findet, welches zum Gene⸗ ralnenner tauglich iſt. Daß aber dieſe Zahl auch unter allen, zum Ge⸗ neralnenner ſchicklichen Zahlen, die kleinſte ſey, moͤ⸗ gen mir die Leſer auf meine Verſicherung glau⸗ ben. §. 647. — §. 649. X*S. 6ſ0. Meiſtentheils, beſonders aber bey großen Zahlen, iſt es vortheilhaft, daß man an der Stelle des Generalnenners nur die Factoren anſchreibt, deren Product den Generalnenner ausmacht. Man ver⸗ u.s gleiche nur folgende Rechnung mit . der in F. 641. Es iſt naͤhmlich gar — 20 100 leicht zu uͤberſehen, daß 6 in 6. 4. 5 6 dividirt, den Quotienten 4. 5 alſo 3 30 90 20; ferner 4 in 6.4. 5 dividirt, den 4 Quotienten 5. 6 alſo 30, und 5 in 1 ſ2 4 24 6.4. § dividirt, den Quotienten 3 — 6. 4 alſo 24 geben muͤſſe. 124 E 4 Dieſer W☛ 72 Vier und zwanzigſtes Kapitel. Dieſer Vortheil findet auch Statt, wenn man einen verkleinerten Generalnenner gebraucht. Man vergleiche nur die folgende angefangene Rechnung mit der in §. 631. L 2.3.2.5 5 4 4 1 51 10 wird gefunden als 2. 5 15 wird gefunden als 3. 5 12 wird gefunden als 2.3. 2 u. ſ. w. 65. 651. — 5§. 657. *§. 658. Aus dem Verfahren des vorigen 5. erhellet die folgende Regel: Soll ein Bruch durch eine ganze Zahl multiplicirt werden; ſo multiplicirt man den ZJaͤhler des Bruches durch die gegebne ganze Zahl, und laͤßt den Nenner des Bruches un⸗ veraͤndert. Aber wozu ſoll man ſich an die mechaniſche Be⸗ folgung einer Regel gewoͤhnen, wo die erſte Betrach⸗ tung der Sache ſelbſt das noͤthige Verahren ſogleich un die Hand giebt? §. 659. FS. 600. Hieraus erhellet freylich „daß man beym Mul⸗ tſpliciren durch 3, †, ½ u. ſ. w. eben daſſelbe zum Pro⸗ 8 L W n ohnt eh uawan 1o d (abe ce Pitf runr l n Und d dara ge gerad deden fiſn nnts hüe dn “ ef iſn ekirt Mweſc N ſet Nd, ſe,6. cbitt. tt, wernte raucht. N gene Nehng 31 ſ2 ⸗ 634 ſehn i gen ien imn cenortn s Buen 1 ntchi 5 S Vom Addiren der Bruͤche. 73 Producke erhaͤlt, was man zum Quotienten erhalten wuͤrde, wenn man durch 2, 3, 4 u. ſ. w. dividirte. Denn da man z. B. die Zahl 10 durch multipli⸗ cirt, das heißt, H mahl genommen hat, wenn man mit ihrem 1 mahligen Rehmen erſt zum zten Theile fertig geworden iſt; ſo hat man bey dem Multiplici⸗ ren der 10 durch nichts anders als ihren Sten Theil zum Product erhalten: den man ebenfalls erhaͤlt, wenn man 10 durch 5 dividirt. *S. 661. 7 Es giebt aber mancherley Faͤlle, wobey man zunaͤchſt darauf verfaͤllt, daß man eine gewiſſe Groͤße 2 mahl, ½ mahl, ½ mahl u. dergl. zu nehmen habe, und daraus etwa erſt folgert, daß das Ver⸗ langte gerade der 2te, 3te, oder 4Ate Theil von jener Groͤße ſeyn muͤſſe. Man leſe nur folgende Saͤtze nach einander durch. 1 Jedes ſz koſtet 6 *., alſo koſten 2 Gα Antw.: 6 2 mahl genommen. Jedes g koſtet 6 π, alſo koſtet 1 6S ? Antw.: 6 rI mahl genommen. Jedes e koſtet 6 r, alſo koſtet 4 ? Antw.: 6 ½ mahl genommen. ig Jedesſy koſtet 6 vC6, alſo koſtet 4 ? eines Ges, 6 xc, durch die Zahl der einzukaufenden Antw.: 6 0 ½ mahl genommen. *§. 662. Die Art, wie man hier den beſtimmten Preis 5 Pfunde 74 Vier und zwanzigſtes Kapitel. Pfunde behandelt, ſie mag ganz oder gebrochen ſeyn, verdient doch wohl einen gemeinſchaftlichen Nahmen, da ſie beſtaͤndig aus einerley Vorſtellung hergeleitet wird, daß die geſuchten Koſten der Groͤße der an⸗ zukaufenden Waare gemaͤß angeſetzt werden muͤſſen; naͤhmlich 2ꝛmahl, 3zmahl, Amahl u. ſ. w. groͤßer, oder 2 mahl, zmahl, Amahl u. ſ. w. kleiner als 6 65–5 je nachdem die einzukaufende Waare 2 mahl, zmahl, Amahl mehr, oder 2 mahl, zmahl, 4 mahl weniger als 1 fg iſt. Es hat nun das Verfahren, wodurch man eine gewiſſe Zahl der Groͤße einer andern Zahl gemaͤß ſetzt, ganz allgemein den Nahmen des Multiplieirens erhalten (§H. 102.); eine Benennung, die ſich eigentlich nur fuͤr die Faͤlle ſchickt, wo der Multipli⸗ cator groͤßer als 1 iſt. Wenn dagegen der Multi⸗ plicator kleiner als 1iſt, ſo bringt man durch dieſes Verfahren freylich keine Zahl hervor, die man als eine durch VBermehrung des Multiplieanden ent⸗ ſtandene Zahl betrachten koͤnnte. Vielmehr muß alsdann, nach der Vorſtellung in §. 6559, das Pro⸗ duct ganz natuͤrlich kleiner werden, als der Multi⸗ plicande ſelbſt iſt. Man ſetzt ja den Multiplicanden nur 1 mahl, als das verlangte Product hin, wenn der Multiplicator 1 iſt; und nur ½ oder 1 mahl, wen der Multiplicator nur ½ oder iſt. Daher hat man einen vergroͤßernden Multiplicator, wenn er groͤßer als 1 iſt; und dagegen einen verkleinern⸗ den Multiplicator, ſo bald er ſelbſt kleiner als 1 iſt. Wenn daher bey den verkleinernden Multipli⸗ ckli catoren der Nahme des Multiplicirens eben ſo un⸗ ſchicklich Vonn ſcich ſſien, Hnun, ſo ſuc ſe Bertelun Vemich n bte ſerhalee (tteſihr non Eetnrhl deb Ecen uglen ice Eiget ſenel, as fiite Ned ſin Klüſteſt heſfigen Uhne, Ni⸗ lt. (N — =e☛e apiis. gebraheſer ſichen Nim ung hergir Große n werden nig . . . . Kipen d. Here 6 Wunne m zuctl tne õ n 6 Mllzinm Ne N der Mlye Dan nun duc i , de mme tigleondene⸗ Vllbni N 66 N Ry, 1, ddut t Ne N 1 ſe. A 170 plant,6 en vekenn einrce nden 7 ſcren teoturen Vom Multipliciren der Bruͤche. 75 ſchicklich ſchien, als er fuͤr die vergroͤßernden ſchick⸗ lich war; ſo ſuchte man ſich ohne Zweifel durch fol⸗ gende Vorſtellung zu beruhigen. Wenn ich mir ſtatt z mahl 4, lieber 4 mahl ⸗ denke; ſo erhalte ich offenbar das Produkt , wobey auf eine ſehr natuͤrliche Weiſe multiplicirt iſt. Daß aber mahl 4 eben ſo viel geben muͤſſe, als 4 mahl , wird man zu glauben gewoͤhnt worden ſeyn durch die aͤhnlichen Saͤtze bey ganzen Zahlen. Z. B., 5 mahl 4 iſt ſo viel, als 4 mahl ỹy. Man ſpringet ja, blos auf aͤhnliche Redensarten geſtuͤtzt, wohl uͤber ungleich groͤßere Kluͤfte fort. Eigentlich aber ſollte nan frey⸗ lich erſt fragen, was mahl 4 heiſſen ſolle, ehe man annaͤhme, daß es eben ſo viel ſeyn muͤſſe, als 4 mahl ½. (Man ſehe §. 66 5.) §. 664. — §. 672. Vom Dididiren der Bruͤche. §. 673. — §. 676. *§. 677. Schon in der Vorrede zum erſten Theile, Seite X, iſt es angefuͤhrt, daß ich mit Fleis das Dividiren auf 2 Begriffe gruͤnde, die nicht geradehin einerley ſind. So erforderte es die Abſicht dieſes Rechen⸗ buches, und es iſt bereits dort beym Dividiren gan⸗ zer Zahlen zu dem gegenwaͤrtigen Gebrauche dieſer beyden Begriffe vorbereitet. In der Folge, wo der Diviſor ein Bruch iſt, haͤlt man ſich nur an dem einen dabey gegebnen Begriff. §. 67 %. 76 Fuͤnf und zwanzigſtes Kapitel. Wn 5. 690 ”M lin, wde Noͤthige Erinnerung 2 2 FIf Wer als ½ von betrachten wollte, dem wuͤrde dieſer Ausdruck eben das bezeichnen, was g de⸗ durch 2. richtig ausgedruͤckt wird. Da man der⸗ gleichen unrichtige Deutung nicht nur uͤberhaupt in WD viielen, ſondern auch in ſolchen Rechenbuͤchern findet, J „ N deren Verfaſſer ſich ſonſt als nachdenkende Schrift⸗: — ſteller zeigen, z. B. in des wuͤrdigen Reccards Lehrbuche, Seite 114 der dritten Auflage; ſo muß Secs es doch einen ſcheinbaren Grund dafuͤr geben, und den haben ohne Zweifel die Faͤlle in §. 685 darge⸗ irn .7 ” N Allerdings iſt es dort richtig, ſich z. B. — als *½ vom atel zu denken, wodurch man wohl veranlaßt iſt, auch —als von zu betrachten. 3 4 M ſeher tden Ctrcht Aber eben darum, weil 2 ſo viel als ½ von ½ be⸗ W 4 8 Nhen . 2 cdu deutet und bedeuten ſoll, kann ja nicht — ebenfalls ſſen 5 iſzie durch 1½ von geleſen werden; und es darf dies eder Aler Vonm Multipliciren der Bruͤche. 77 ſ wenig geſchehen, als es erlaubt iſt, fuͤr 4 von zu halten, oder ¾ fuͤr das zfache von 4, fuͤr 3 mahl 4. e blt, Fuͤnf und zwanzigſtes Kapite. wgihm 1 Von den Decimalbruͤchen. n iunfnt E⸗ enthaͤlt F. 691 — 722. 8 cend Sechs und zwanzigſtes Kapitel. . Machtrag einiger Vortheile beym Divi⸗ diren und Reduciren. §. 723 — §. 734. u. Was hier vom Reduciren einiger Geldſorten bey⸗ gebracht iſt, wird hinlaͤnglich zeigen, wie man ſich auch die Reductionen anderer Sorten erleichtern koͤnne. Naͤhmlich, wenn man in gewiſſen Sorten haͤufig zu reduciren hat; ſo macht man ſich Tafeln, 4 wie in §. 727, und behaͤlt auswendig, oder hat es eben⸗ ict falls aufgeſchrieben bey der Hand, wie viel gewiſſe runde Zahlen von einer niedrigern Sorte nach der H hoͤhern 78 Sieben und zwanzigſtes Kapitel. hoͤhern Sorte betragen. In jedem Falle ſucht man vortheilhafte Multiplicationen und Diviſionen zu gebrauchen. Der Nutzen des Aufhebens iſt dabey ſchon z. B. aus §. 462 — §. 464. bekannt. Sieben und zwanzigſtes Kapitel. (eine Fortſetzung des vierzehnten.) „ Von der waͤlſchen Practik. §. 736. *9. 737. Das Aufheben zwiſchen dem 1ken und 2ten Gliede wird noch am haͤufigſten wirklich gebraucht werden; weil es auch bey den Aufgaben Statt fin⸗ den kann, wo im 3ten Gliede nur 1 vorkommt. Im Handel und Wandel weiß man naͤhmlich gewoͤhnlich ſchon, wie viel ein koſtet, wenn man mehrere kaufen will. Oder wenn man etwa fuͤr mehrere 13 zuſammen genommen ein gewiſſes Geld bezahlt hat; ſo entſteht alsdann gewoͤhnlich nur die Frage, wie viel ein & davon koſtet. Nicht leicht tritt alſo der Fall ein, daß man bey denen fuͤr die waͤlſche Practik gehoͤrigen Auffaͤtzen im erſten und dritten Gliede zugleich eine andere Zahl als 1 erhielte; ſondern man hat meiſtentheils im 1ten oder dritten Gliede nux eine 1. b. 738 NReg nſzzbe ſatk, vo de un feſt ftoneme 7 Man m ſcche G venn dos Goikich het das he Ulge wer Kaſet uſg ihe 1 linrgenſſe Von der waͤlſchen Practtitk. 79 ebens in⸗ 19. 25r. Ni Regeln der Vorſicht, wie in §. 356 oder §. 479, hat man bey der waͤlſchen Lahitel Practik, wo die beſtaͤndige Achtſamkeit waͤhrend der Rechnung faſt erzwungen wird, eben nicht noͤthig: Ma] ſonſt koͤnnte man folgende angeben. 1595 Man muß uͤberzeugt ſeyn, daß auch die ge⸗ Practt ſuchte Groͤße 2 mahl groͤßer ausfallen wuͤrde, wenn das dritte Glied 2 mahl groͤßer waͤre, als es wirklich iſt. B 2) Hat das dritte Glied nur eine Sorte; ſo muß ſie mit der Sorte des erſten Gliedes einerley nmd m0e ſeyn; hat es mehrere, ſo muß man doch die⸗ gitſch en jenige zuerſt berechnen, welche mit der Sorte lnbin ⸗ des erſten Gliedes einerley iſt. nen eheel Rü Aufgabe zur Warnung. Geb tiit 4 Menſchen brauchen 3 Wochen und 2 Tage, iken um eine gewiſſe Arbeit zu vollenden; wie viel Zeit ictn woerden 9 Menſchen dazu brauchen? ſe W i Der Anſatz, 4 Menſchen: 3 Woch. 2 Tage = 9 Menſchen? t ließe ſich nach dem hier vorgetragenen Verfahren der . Fitne waͤlſchen Practik nicht behandeln; weil die geſuchte Hroͤße nicht zweymahl groͤßer ausfallen wuͤrde, wenn das dritte Glied zweymahl groͤßer wuͤrde. Denn 3 18 Menſchen 80 Acht und zwanzigſtes Kapitel. H W 18 Menſchen brauchen nicht zweymahl ſo viel, Mnd ſondern nur halb ſo viel Zeit als 9 Menſchen, um ohe nn di die beſtimmte Arbeit zu vollenden. tnt . ge den Udcht und zwanzigſtes Kapitel. Von der Geſellſchaftsrechnung. ee⸗ ſic Nnner, §. 753 — §. 767C rrzir *S. 768. t 1nb. „. . i Evn vielen Rechenbuͤchern ſindet man Aufgaben ſol⸗ Mis dn J gender Art: nn derbeyn 1000 *5 ſollen unter 3 Perſonen dergeſtalt ver⸗ theilt werden, daß der eine ¾, der andere und der dritte ½ bekomme. n ſthe d, Da nun ½, und ½ zuſammen genommen, ſchon ifttn uͤber ein Ganzes, naͤhmlich ſchon 1 Ganzes und S5 e — . . d ausmachen, ſo muͤßte man offenbar auſſer dem vor⸗ ra handenen Tauſend noch Tauſend zu vertheilen i haben; wenn den theilnehmenden Perſonen wirklich “ 8 4⸗ und †⸗ und tel Tauſend zufallen ſollte, wie die Aufgabe zu verlangen ſcheint. In der That verlangt man bey dergleichen Auf⸗ gaben etwas anders, als man ausdruͤckt. Es ſol⸗ len naͤhmlich die 1000 dergeſtalt vertheilt wer⸗ den, daß ſich die Theile unter einander ver⸗ halten wie ½, ½ und ½, alſo auch (§H. 442) wie — 4 ⅝ Nihen, cpit. mahl ſone Menſche,n 1 8 en , Von der Geſellſchaftsrechnung. 81 45, 1 und ., alſo auch wie 15, 10 und 6. Alſo be⸗ trachte man die zu theilenden 1000 * als eine aus 15 †+ 10 †+ 6 d. i. aus 31 Theilen beſtehende Groͤße; und gebe dem erſten 15. 92° Xρ, dem andern 10. 22° ** und dem dritten 6. ¹22° πι. S8. 769. Sollten 400 in zwey Theile ſo getheilt wer⸗ den, daß ſich dieſe Theile wie ½ und ½ verhalten; ſo bringe man dieſe Bruͤche, wie vorhin, unter gleiche Nenner, das giebt ½ und 116. Offenbar iſt nun * in W eben ſo oft enthalten, als uͤber⸗ haupt 2 in 6. Alſo zerlege man die Groͤße von 400 *π in 8 gleiche Theile, und nehme 2 dieſer Achtel als den einen, und 6 dieſer Achtel als den andern der beyden verlangten Theile. *9. 770. Man findet noch mancherley andere Aufga⸗ ben, bald dieſe, bald jene, unter dem Nahmen der Geſellſchaftsrechnung angefuͤhrt. Sie gehoͤren aber theils zu den bloßen Kunſtaufgaben, welche ſehr entbehrlich ſind, theils ſind ſie von der Art, daß von ihnen ebenfalls gilt, was in *§. 797. wird geſagt werden. Buſſ. Rechenb. 2. Haͤlfte. F Neun 1 82 Neun und zwanzigſtes Kapitel. Von der Vermiſchungsregel. §. 771. — §F. 786. * . 787. Miſchung aus drey Sorten. B Man unterſcheide dabey folgende zwey Faͤlle: 1) wenn unter den Preiſen der drey Sorten nur ein Preis hoͤher iſt, als der fuͤr die Miſchung beſtimmte, wie in der folgenden erſten Auf⸗ gabe; 2) wenn unter den Preiſen der drey Sorten nur ein Preis niedriger iſt, als der fuͤr die Mi⸗ ſchung beſtimmte, wie in der folgenden zwey⸗ ten Aufgabe. Erſte Aufgabe: Ein Weinhaͤndler will aus drey Sorten Wein, wovon die erſte 16 , die andere 13 *., und die dritte 8 ρ (etwa der Anker) gilt, eine Miſchung machen, deren Preis (auf den Anker) 14 * ausmacht; wie viel muß er von jeder Sorte nehmen? Zweyte Aufgabe: Man will aus den vori⸗ gen drey Sorten eine Miſchung machen, die 10 koſtet; wie viel iſt von jeder Sorte zu nehmen? Wenn alſo a den Preis der erſten, b den Preis der zweyten, und c den Preis der dritten . Sorte, Vo Sre, und ſee On nriſen ſihen Win en hügn Serſte nden a 2u.n lnee — 14 dred Cntnn fir de Mcn den eſen ie tnmn ird 4 de h nhinirtl4 lſte 14 1 / rwe N l 8 his en nus e tſe⸗ us da hen, de ao ußmm! ſen, 5 6 de der M . 3 ken ⸗ Von der Vermiſchungsregel. 83 Sorte, und m den Preis der Miſchung bebeutet; ſoiſt die Ordnung dieſer Preiſe im erſten Falle: a, m, b, naͤhmlich: 16 X6, 14 rC, 13 *£, 6 e. und im 2ten Falle: a, b, m, c, naͤhmlich: 16 r, 13 c, 40 xC, 8 rοτ. *. 788. Im erſten Falle nehme man von der alſo ſe die 1te Aufgabe e 28— 1ten Sorte⸗ — –, +☛ — — 21 P . Aien 2— m 16 14 ⸗ . 2 a –- (b † c)' 32 « 21 7 eben ſo viel; ebenfalls = ½¾r . *. 789. Im zweyten Falle nehme man alſo fuͤr die 2te Aufgabe von der — 10 — 8 1ten Sorte . 5 — = 1†T Anker. a † b — 2 c 29 –— 16 2ten ⸗ eben ſo viel; ebenfalls = r . a † b — 2 m 29 — 20 ten — = 27T * 3 a † b — 2 c' 29 — 16 7 F. 2 Neun und zwanzigſtes Kapitel. *S. 790. Die Probe iſt z. B. fuͤr die 2te Aufgabe folgende. 1„ Anker à 16 koſten ¾ = 2r *b. 7 * „ 13 wL§ foſten = 2 8 * koſten = 5773 ⸗ 1 Anker Miſchung koſtet alſo 10 10*. *§. 791. Bey Miſchungen aus vier Sorten unterſcheide man folgende 3 Faͤlle: 1tr Fall. 2tr Fall. 3tr Fall. 3 m b b m C C d d ter a, b, c, d die vier Preiſe, vom theuerſten ſten b, und unter m den Preis der Miſchung 4 b m d denken, der im erſten Falle zwiſchen a und b, im zweyten zwiſchen b und ec, und im dritten zwi⸗ ſchen c und d faͤllt. *§. 792. Nun nehme man im ten Falle, im 2 ten Falle, im 3ten Falle. von 3 m- (bcd) mec ma 4 itr Sorte 3 a ( (b†c ) b. (αι⁵ a† b † c- 3 a⸗- m m d 2tr Sorte 3 a- TcTd); . ccTq z eben ſo viel. 3tr Sorte, eben ſo viel: — ͤ eben ſo viel. it. (c† 4) b-m a † b c. 3 m 4tr Sorte, eben ſo viel;: — — a † b⸗ (edh a †b †c- Tc-3d *§. 793 1 S en indem wir uns un⸗ a, bis auf den niedrig⸗ Ne 1, N V ie Ee e 6 eine e Errte be d ditt ſe 1 huſn n Elnrte, gCort, 6 Ete, e Ne Diſcn N Boc A N⸗ Re du Nlitti lhe⸗ ln derde. unt RN ſten An gen Khnng. it Arſten dDH Von der Vermiſchungsregel. 85 4 *S. 793. dere 15, eine dritte 12, und Waſſer, als vwvwierte Sorte betrachtet, o π; und ein „. — — 1 Faß Miſchung daraus ſoll 10 6 koſten: — 10 , ſo iſt hier die Ordnung der Preiſe, wie = 5 zur Seite ſteht, und man hat nach vori⸗ 4 gem §. zu nehmen, von b= 15 e 4 3 n wterc umr 2— — n 3 der 1ten Sorte, — = ¼½5 Faß, koſtet = 4 4¾ 5. e e don Herein der 2ten Sorte, ebenfalls — z p, , * der 3 ten Sorte, ebenfalls ⸗9 ⸗ 2 2=% = 2 5 ⸗ 47 — 30 17.0 nd u⸗ der 4. S. noch ; 2 = 90 ⸗ 6 Diieſe Miſchung macht alſo 1 Faß, und koſtet 10 6. niſcen 1) 1 nd ke in Mn N §. 794. Wer Buchſtabenrechnung zu gebrauchen weiß, wird die Richtigkeit dieſes Verfahrens beſonders durch die deutliche Stellung in *§. 788, 789 und „ 792 leicht uͤberſehen koͤnnen. Ich will nur noch — dem gemeinen Rechner verſtaͤndliche Antworten ge⸗ te . waͤhren werde — aber freylich nicht gerade die oft moͤglichen Antworten, noch weniger deren Ueber⸗ ſiicht. Das gewaͤhrt im Allgemeinen nur die Buch. ſtab enrechnung. Abten . Ich koͤnnte leicht dieſen aͤhnliche Regeln auch H fuͤr r Vermiſchung aus 5 oder mehrern Sorten auf⸗ 6 F 3 ⸗ finden. hinzuſetzen „daß es allemahl auch ſchickliche, und J Eine Sorte Wein koſte 20, eine a = 20G „ ſcicklichſten unter den vielen bey ſolchen Aufgaben 86 Neun und zwanzigſtes Kapitel c. finden. Aber da ſie in Vergleichung der vollſtaͤndi⸗ gen und ſchicklichſten Antworten immer weniger und weniger leiſten; ſo beruͤhre ich dieſe, ſo wie viele andere Aufgaben gar nicht, welche in manchen, be⸗ ſonders in alten Rechenbuͤchern, unter dem Nah⸗ men der Regula Falſi, Regula Coͤci u. dergl. vorkommen, und zum Theil auch ſehr entbehrliche Kunſtaufgaben ſind. Vielleicht gehoͤrt dahin ſchon die folgende. E§. 79. Jemand ſoll fuͤr 2 XC 20 3 gerade 10 fg Kaffe kaufen von zwey verſchiedenen Sorten, deren eine 8 £, die andre nur 6 koſtet. Wie viel ſ8 muß er von jeder Sorte nehmen? Man denke ſich, daß der wirklich anzukau⸗ fende Kafſe in eins gemiſcht werde, ſo wuͤrde 1 dieſer Miſchung den 10ten Theil von 2 *0“ 20 9, alſo 6 ¾ koſten. Alſo hat man nach §. 774. zu jedem 1zelnen der Miſchung von der theuren Sorte zu nehmen 4 — 6 4 5 7 = ²¾; zu allen 10 fg alſo * = 4 G, und von der geringern Sorte die uͤbrigen 6 8. — ngeſth 1n zn) Witzen Prinekl, Nlptenn n ech des Amfibrt ang von cr weri lina meh ennd. i Uund doz, oni Nrttih I N am, nde (utded boin, finnige. Peber Uugen An. er lire⸗ wenigenn de ⸗ mnanchen, k n den N (Kir gr enbeſei int Mn ſee gerde Se Cten, d 4. Weudt i 4 aht⸗ , uce I nichng ſeen ur e pu 4 ⸗ init 87 Dreyßig ſes Kapitel. ———.,.,.—— Vermiſchte Aufgaben. §. 796 — §F⸗ 797. *9. 798. Die angefuͤhrten Ungelder ſteigen zwar mit dem Weitzenpreiſe, aber nicht eben ſo, nicht eben ſo vielmahl; weil z. B. die Acciſe gar nicht, und das Fuhrlohn nur wenig und langſam erhoͤht wird, wenn auch das Getraide uͤberhaupt ſteigt. Unter den angefuͤhrten Stuͤcken der Ungelder iſt nur die Mahlmetze von der Art, daß ſie 2 mahl, 3 mahl mehr oder weniger Unkoſten verurſacht, ſobald der Weitzen 2 mahl, 3 mahl u. ſ. w. theurer oder wohl⸗ feiler wird. Uebrigens ſind die Angaben in §. 796, 801 und 803, aus des Herrn Philippi verthei⸗ digtem Kornjuden, Berlin, 1765. genommen. §. 799. *§. 800. Natuͤrlich ſteckt unter den in §. 796. angeführ⸗ ten 72 Mehl auch das grobe, welches nicht zu Semmel, ſondern nur zu Brod oder Salzkuchen verbraucht werden kann; daher dem Baͤcker nicht ſo viel Gewinſt zufaͤllt, als es ohne dieſe Bemerkung— ſcheinen moͤgte. §. 801 — §. 816. *§. 817. Offenbar kann eben ſo in jedem Falle verfah⸗ ren werden „wo man aus der gegebnen Anzahl F 4 von 88 Dreyßigſtes Kapitel. von Schuhen in einer Meile, ihre Schritte finden ſoll, weil das allemahl darauf hinaus kommt, daß man jene Anzahl durch *2 multiplicirt. Hat man nun viele ſolche Aufgaben vor ſich „ wie z. B. bey Verfertigung der VIten Tafel im An⸗ hange, ſo verlohnt es ſich wohl der Muͤhe, auf deren moͤglich leichteſte Berechnung zu denken *). In ſo fern man nun die eben angefuͤhrte Art von Aufgaben ſchon nach einem allgemeinern Verfahren der Regel de tri, oder Kettenregel ꝛc. zu berechnen weiß, nennt man eine ſolche „nur auf einige Faͤlle paſſende Vorſchrift, eine Specialregel. Die Buchſtabenrechnung iſt das beſte Inſtrument zur Auffindung und Pruͤfung der meiſten Sperialregeln in verwickelten Faͤllen. §. 8§ 18. *§. 819. Die Regel im vorigen §. erhellet ſehr leicht. Wenn der Louisd'or z. B. 7 9l Agio gilt, ſo betraͤgt die Agio don 100 in ons or ofſenbare 20. 7 , und wenn man ſtatt 7 3 X Aaio 3 3 “ ſoe er⸗ hielte man eben ſo (1 — ½). 3 6. Wenn Geſchaͤftsleute dergleichen Specialregeln wuͤnſchen, ſo duͤrfen ſie nur einen Mathematiker darum fragen , der ſie meiſtentheils ahne Muͤhe auffinden wird. Bis⸗ 2 Wobey ich hier der Logarichmen nicht erwaͤhnen kann. Peer Nn elen kann ſtlehßcfre ni⸗ en ſine Reyel il ſcer gar finkonne —w— En Mlin⸗ onder en c lptene. ſin na onn 6 mnider ☛ n⸗ e Schin D i e 3 mlltris hlcr, Vor ſch, Tſt inh Whr 4 Ain⸗ fihete n en Viihn . A berhe uuf enie Alregel. D tnmt E 1Speilnge let 4 A, ni ber0)9 4 1 1,7 . Grene, 6 Eeultß⸗ wilker on ufihe ti N it min Vermiſchte Aufgaben. 89 Bisweilen kann er auch daruͤber beſtimmen, daß keine vortheilhafte moͤglich ſey). Das meiſte Lob verdient er, wenn ſeine Regel ſo einfach und leicht wird, daß hinter⸗ her ein jeder glaubt, er haͤtte ſie eben ſo gut aus⸗ fertigen koͤnnen. Ein und dreyßigſtes Kapitel. Zweyter Nachtrag von Vortheilen beym Multipliciren und Dividiren. XyS§. 820. Vortheilhaftes Multipliciren. 1. Wenn der eine Factor ziemlich nahe an eine ſolche Zahl reicht, die einen bequemen Multiplicator abgiebt: ſo mag man zuvoͤrderſt durch dieſen multiplici. ren, und dann das dadurch erhaltene Product ge⸗ hoͤrig vermindern. Z. B. Soll 436 durch 999 multiplicirt werden; ſo ſchließt man: 436000 waͤre 1000 mahl 436, davon 436 als 1 mahl 436, abge⸗ zogen, laͤßt 235564 als 999 mahl 436 uͤbrig. F 5 Soll 90% Ein und dreyßigſtes Kapitel. Soll man durch 399 multipliciren; ſo ge⸗ brauche man zuvoͤrderſt 400. Z. B. 4963 durch 400 multiplicirt giebt 1985200 als 400 mahl 4963. Davon 4963 als 1 mahl 4963 abgezogen, laͤßt 1980237 als 399 mahl 4963 uͤbrig. Soll man durch 4998 multipliciren; ſo mul⸗ tiplicire man zuvoͤrderſt durch 5000, und ziehe von dem ſo erhaltenen Producte das Zwiefache des Mul⸗ tiplicanden ab. Z. B. 86745 . durch 5000 multiplicirt giebt 433725000 als 5000 mahl 86745. Davon 173490 als 2 mahl 86745 abgezo⸗ gen laͤßt 433551510 als 4998 mahl 86745 uͤ⸗brig. Wenn der bequeme Multiplicator gerade Ein Hundert, Ein Tauſend u. ſ. w. ausmacht; ſo kann dieſes Verfahren auch bey einem etwas betrraͤchtli⸗ chen Unterſchiede zwiſchen ihm und dem eigentlichen Factor vortheilhaft bleiben. Wenn aber der be⸗ queme Multiplicator ſelbſt ſchon mehrere Hunderte, oder Tauſende u. ſ. w. ausmacht, wie in den bey⸗ den letzten Beyſpielen, ſo iſt es nur anzurathen, wo S jener Unterſchied ſehr gering iſt. *§. 821. Zuſatz. Sollte jemand oft durch 9 zu multipliciren ha⸗ ben, z. B. in den Gegenden, wo nach Thalern zu Vorth ,utern et N Mu⸗ lehen gen Mrlanon nſg⸗ ſen; Eenen den rgo. Nn 1 Pehner N wrs ſn 3. ſen 6z ihi ſanng ſn „und zeen eichee gts niſ iß ntgiin mrgendel nuch bi was de be rict n ihti her N nene hnint / 1 den n ſem 16 9 Vortheile beym Multiplieiren ꝛc. 91 90 Kreutzern gerechnet wird: ſo koͤnnte es ihm viel⸗ leicht der Muͤhe werth ſcheinen, ſich das folgende Verfahren gelaͤufig zu machen; beſonders da die Multiplication durch 9 gewoͤhnlich etwas aufzuhal⸗ ten pflegt. Es ſey z. B. 13 529 durch 9 zu multipliciren; ſo ſetzt man dem Multiplicanden eine o vor, hat alſo 135290. Nun ſucht man vom Einer den Zehner, vom Zehner den Hunderter u. ſ. w. abzuziehen, und borgt, wo es ſonſt nicht gehen will, wie folget. 13 5˙2 9˙% 9 von o geht nicht; alſo mache ich 12 1761 bey der 9 ſelbſt einen Borgepunct, und ſage, 9 von 10 bleibt 1; welche unter dem Striche angeſchrieben wird. Ferner: 2 von 9' bleibt 6; welche wiederum unterm Striche angeſchrieben wird u. ſ. w. Die 1 endlich, ſo an der hoͤchſten Stelle ſteht „ wird geradezu herunter⸗ geſchrieben. Der Grund dieſes Verfahrens faͤllt in die Au⸗ gen, wenn man folgendes betrachtet. 135290 iſt 10 mahl 13529. Davon 13529 als 1 mahl 13529 abgezogen, laͤßt 121761 als 9 mahl 13529 uͤbrig. Im obigen Verfahren wird nur der Abzug nicht beſonders hingeſchrieben, und daher ſo abge⸗ jzogen, wie dort gezeigt iſt. Es 92 Ein und dreyßigſtes Kapitel. Es ſind noch einige Beyſpiele noͤthig. Geſetzt es ſey 4346 durch 9 zu multipliciren; ſo heißt es: 4·3 4 6‧0 6 von 10 bleibt 4; 4 von 5 bleibt 1; 39 1 1 4 3 von 4 bleibt 1; 4 von 13 bleibt 9; und endlich wird, was an der letzten Stelle ſteht, als 3 herunter geſchrieben. Oder 100860 iſt durch 9 zu multiplieiren; heißt es: 1·0 0 86*οο von o bleibt o; 6 von r0 bleibt °771410 4 8⁸ von r5 bleibt 7; von 8. bleibt 7; 0 von o bleibt o; 1 von 10 bleibt 9. Die 1. an der letzten Stelle als o her⸗ unter zu ſetzen, iſt hier nicht noͤthig. E. 822. 4 II. Wenn ſowohl der Multiplicator als der Multiplicande von 1000 oder 10000 u. dergl. nicht ſehr viel unterſchieden ſind, und dabey wenigſtens der eine von dieſen beyden Unterſchieden nur eine einſtellige Zahl ausmacht: ſo kann man noch vor⸗ theilhafter als nach S. 820. verfahren. Soll z. B. 986 durch 998 multiplicirt wer⸗ den; ſo ſchreibt man wie folget. 1000 Naͤhmlich 986 iſt von 1000 um 14, 986] 14 und 998 iſt von 1000 um 2 998 2 unterſchieden. Das Product beyder 155 3⸗5 Unterſchiede iſt 28. daher noch nicht bis unter die dritte o der oben ange⸗ ſchrie⸗ Da dieſes Product nur zweyſtellig iſt, 1 und hne Vegta Derunm No⸗s d Pſen nrche 1o — M) co n hſin en iinge ſe ſegechnet Pienre tngo⸗ werte inH f ſſhece ſßf mmnnt, as Ehnen — nne te hig. ie heihes⸗ n Se n e een en. Ulipfeke . 6 den blebkeo; Iv 2, ſe , . Seele Go Girtr e O1 M i en venden iden i nun hn . nitclent⸗ 1000 IH NCNN nbut Ni ſ, rlbnah⸗ N Vortheile beym Multipliciren ze. 93 ſchriebenen 1000 reicht; ſo fuͤllt man dieſe dritte Stelle mit einer o aus. Darauf ſchreibt man die Summe der beyden Factoren, alſo 1984, daran; doch mit Weglaſſung der 1 an ihrer hoͤchſten Stelle. Die nunmehr neben einander ſtehenden 6 Zif⸗ fern 984028 druͤcken das verlangte Product aus. Es folgen noch einige Beyſpiele: 1 O00O 1 000 1 0O00O 9957 3 983 17 83 2 9998 2 982 8 97 3 9995 0006 965 136 95 06 Im erſten muͤſſen, hinter dem Producte 6, drey olen eingeruͤckt werden, nach Anleitung der oben hingeſchriebenen 10000, wovon man die bey⸗ den Factoren 9997 und 9998 abgezogen hatte. Im zweyten aber darf man keine Stelle noch terſchiede ſelbſt ſchon eben ſo viel Stellen einnimmt, als in der Zahl 1000, wovon man I dritten iſt eben der Kunſtgriff bey Facto⸗ ren gebraucht, die nahe an 100 reichen. Nur ver⸗ ſchafft er in ſolchem Falle ſelten eine betraͤchtliche Erleichterung; und er iſt ohne allen Nutzen, wenn beyde Factoren kleiner als 10 ſind, Mit mit einer o anfuͤllen, da das Product der Un⸗ die beyden Factoren abgezogen hat, olen vorkommen. 94 Ein und dreyßigſtes Kapitel. Mit Fleiß habe ich gleich anfangs geſagt, daß wenigſtens ein Unterſchied nur eine einſtellige Zahl ſeyn muͤſſe. Denn wenn das nicht iſt; ſo iſt die Erleichterung nicht S — groß. Wollte man 9855 155 888 222 dennoch das Verfah⸗ 99671 33 995 ren gebrauchen; ſo 465 884 110 muͤſte man etwa ſo 465 X ſchreiben, wie in dem I1 0000 I 0°00 9832 5115 Beyſpiele. Das zweyte Beyſpiel zeigt, wie man die vierte Stelle des Productes der Unterſchiede ſo⸗ gleich zur nebenſtehenden Summe der Factoren hin⸗ zurechnen muͤſſe, nachdem von den 3 erſten Stel⸗ len des Productes ſchon ſo viele Stellen angefuͤllt ſind, als die Zahl 1000, wovon man abgezogen hatte, olen hat. « *§. 823. Es iſt nun darzuthun, daß man durch dieſes Ver⸗ fahren allemahl das Product erhalten muͤſſe. Ohne Buchſtabenrechnung koͤnnen dieſe und aͤhnliche Gruͤnde nicht ohne große Weitlaͤuftigkeit dargeſſtellt werden. Wenn ſich nun auch der Schriftſteller die Geduld dazu nimmt, ſo weiß mans ihm doch keinen Dank; ſondern er wird ſeiner Weitlaͤuftigkeit we⸗ gen von hoͤchſt wenigen geleſen, und von noch weni⸗ gern verſtanden werden. Diejenigen, welche ver⸗ mittelſt der Buchſtabenrechnung ſchon eine Fertig⸗ keit in Betrachtung der arithmetiſchen Grundfor⸗ ſchungen erlangt haben, moͤgten dergleichen Eroͤrte⸗ nebenſtehenden erſten rungen . Vor er nch Ehente turfite durt die Hecln Nu ſte Cundf. Vemedu nſeſenun Nr n Ng der Bu⸗ in idee n pdrir onn 1 Gancße lnl) RN M nun . geſa, A nſtihge d ſt; ſſte Krung ſit Wllt nu das Vi ahruuhen non en en, wen ſeheddnin iee. rie nn Uterſtice⸗ e umun ele ni nan rer 4 ntde niſe N 7d iyſn ſit uuſt⸗ crftinn in tie Catckern on oc on 1 velte N eine ℳ en Gnſe Vortheile beym Multipliciren ꝛc. 95 rungen noch am erſten uͤberſehen; wenn nicht eben dieſe gerade die wenigſte Luſt zu ſolchen muͤhſeligen Weitlaͤuftigkeiten haͤtten. Einige andere martern fich durch die langen Betrachtungen groͤßtentheils ohne allen Nutzen. Zwanzig oder dreyßig arithme⸗ tiſche Grundforſchungen oder allgemeine Formeln mit Vermeidung aller Buchſtabenrechnung ordent⸗ lich zu faſſen und zu uͤberſchauen, erfordert vielleicht mehr Zeit und Anſtrengung, als die ganze Erler⸗ nung der Buchſtabenrechnung, wodurch man un⸗ zaͤhlig viele wichtige arithmetiſche Unterſuchungen und Rechnungsregeln ſelbſt zu eroͤrtern faͤhig wird — wenn man uͤberhaupt dazu aufgelegt iſt. Einige meiner Leſer werden es ſehr gerne ſehen, daß ich hier und an einigen vorhergehenden Orten Buchſta⸗ benrechnung gebraucht habe; und andere moͤgen bey ſolcher Gelegenheit zu ihrer Erlernung ermun⸗ tert werden. *§. 824. Es ſey der eine Factor a= n — der andere Factor b= n — G ſſpo iſt + = 2n — ( † ) Es wird alſo (ab) n= 2 nn — (« †+ β) n urnd (a † b) n † & S= 2 nn — (&g †+— βι) n †+α I. — nin †¼ (a b) n†π n — (&† βι † α Da nun bey a =7 n — und b = n — G auch a b = nn — (o†β&½) + S iſt; ſo hat man — nn (a † b) n †+ æ = à b. 96 Ein und dreyßigſtes Kapitel. Die linke Seite dieſer letzten Gleichung legt nun das ganze Verfahren, „wie es §. 822. gelehrt iſt, vor Augen. Im dortigen erſten Bepſpiele war a = 986; b = 998 und 1 0O00=n alſo 986 14= a † o und 28 2=— b † ₰ Ferner waͤre 1984 ooo= (a b) n und — 1000 0οσ0ο nn allſo wird 984 028 =— nn?†(abynaß alſo nach der letzten Gleichung des vorigen den, =ab *§. 826. Wer dieſe leichte Buchſtabenrechnung ver⸗ ſteht, uͤberſieht nun ſogleich, daß man fuͤr n auch eine ſolche Ziffer waͤhlen koͤnne, die kleiner iſt, als die beyden Factoren a und b; ſo daß a =⸗ n †+ α und b = n †+ 8 wird, indem wiederum e den Unterſchied zwiſchen a und n, und 6 den Unter⸗ ſchied zwiſchen b und n bedeutet. Denn man hat in allen Gleichungen des *§. 824. alsdann † (2+ 6) ſtatt des jetzigen — (a + 3), und kommt am Ende wiederum darauf hinaus, daß — nn -- (a - b'n † æ =a b wird. Vor 6 lo u Crer an Gel N; me 1 und das, fi SN lindenn 4 1 Gehe 4 PS der n aic i e enn ſen Gire Uſt, lünte Midh d299 4 D dal hden ſ Nne⸗ ie Nlechnelt n 82. r ſen Dare⸗ ——, tprns ent Unchung 8 das n nn 1 une, e Ki ; r⸗ n wedemg 50 30 d Ntln Demn uuf domt 1 nnt nh⸗ ih. — Vortheile beym Multipliciren ꝛc. 97 Es ſey, um nur ein Beyſpiel zu geben, = 1084 und b = 1003, ferner 1 00ο n ſo iſt 1084 184 = a T†T eℳ und 100311 3 — b † und 252 = c und 2087 00ο0ο= (a †+ b) n und — 1000 OOO = — nnhn alſo 1087 252 = — nn †+ (a † b) naα α b. Beym Gebrauche kann man ſich das Schrei⸗ ben der 3 unterſten Zeilen ganz erſparen; in⸗ dem man das, was = (a † b) n iſt, gleich neben 252 hineinſchreibt, und dann 1000000, durch bloße Veraͤnderung der 2 in 1, davon abzieht. WS. 827. Es erhellet ferner, daß man n nicht nothwen⸗ dig = 100 oder 1000 oder 10000 ꝛc. ſetzen muͤſſe, ſondern auch jede andere Zahl ſtatt n gebrauchen koͤnne; wenn ſie nur groͤßer, oder nach vorigem *§. auch kleiner iſt, als jeder von den beyden Factoren. So koͤnnte man n = 30000 ſetzen, wenn 29987 und 29993 in einander zu multipliciren waͤ⸗ ren. Das dabey noͤthige Verfahren kann man aus folgendem Beyſpiele hinlaͤnglich kennen lernen. Vuſſ. Rechenb. 2. Th. G 30000 98 Ein und dreyßigſtes Kapitel. 3 oOOO = n 29987] 13 = a †+ 29993+ 7 = b † ⁶ 59980 00ο91 = (a † b) 10000 † 6 179940 00οω0ο (a† b) n — 9000οοοοο – nn 89940 Oοσ0οο= – nn† (a † b)n † αε= ab. Ob man nun gleich dabey noch viele Ziffern erſparen koͤnnte: ſo wuͤrde es doch nicht rathſam ſeyn, ſich waͤhrend des practiſchen Rechnens auf ſo kuͤnſtliche Kunſtgriffe einzulaſſen. Ich habe daher dieſen §. nur fuͤr einzelne Leſer geſchrieben, welche an dergleichen Betrachtungen Vergnuͤgen finden. Vortheilhaftes Dividiren. Wenn der Diviſor nur um eine einſtellige Zahl kleiner als Ein Hundert, Tauſend oder Zehntauſend u. ſ. w. iſt, und der etwanige Bruch des Quotien⸗ ten in Decimaltheilen verlangt wird; ſo kann man auf folgende Weiſe ſehr vortheilhaft verfahren. 999 48663 100048,663... — B 48663.. „ — QG 48,71171 1663 Der Dividende iſt 48663. Statt des wah⸗ ren Diviſors 999 das um 1 zu große 1000 ge⸗ braucht, gaͤbe den Quotienten neben B. Dieſer iſt * nun 0000 n keiner al merun ks⸗ Auttiet. 100 495 19 : g Sttdes⸗ lrir io⸗ neken iſ iſt We Me,100 net, ſie Vondr Kun wo lder 1o0 es 4 in ſln eine 81448 48 . . nkab⸗l wie n ſicht urſe hruten, e hige inn ren. „A ℳ. 4 Z de Ahruit t e s , ſ im N Nfthen . 7575 G der ſe 1000 D = Vortheilhaftes Dividiren. 99 nun kleiner als der geſuchte, fuͤrs erſte um I58 B, ferner um †SSSSSS5 B, ferner um † τό5 53 8 u. ſ. w. Die Summe neben C wird der geſuchte Quotient. 98 486 63 100486,63.. = B 2 9,7326. — 2355 194652 . . = 25558 B 389304 = f Q= 496,5611 Statt des wahren Diviſors 98 den um 2 zu großen Huͤlfsdiviſor 100 gebraucht, giebt den Quotienten B, der zu klein iſt um ½ε B, ferner um 283. 285 B, u. ſ. w. Was neben C ſteht iſt nur noch um einige 10000tel, 100000tel u. ſ. w. zu klein. Anmerk. Die gemachten Puncte ſichern das richtige Vorruͤcken der Stellen. Man ſetzt ihrer 2 oder 3 oder 4 u. ſ. w. je nachdem der Huͤlfsdiviſor 100 oder 1000 oder 10000 u. ſ. w. iſt. §. 829. H Zuſatz. Wenn der Huͤlfsdiviſor ſchon 10000 oder noch groͤßer wird, ſo bleibt obiges Verfahren noch ſehr vortheilhaft, wenn gleich der gegebne Di⸗ viſor um eine zweyſtellige Zahl zu klein iſt. Z. B. 9954 4 866z3z3 100004,866zꝛ3. — B 40 194652. — 498 365 B 6 291978 = 1 S8 56S B Q= 4,888 G 2 Von 100 Ein und dreyßigſtes Kapitel. Von den 45885 B muͤßte man aufs neue 4 5855ò ſuchen, wenn man den Quotienten noch ge⸗ nauer haben wollte. Aber bis auf die hingeſchrie⸗ benen Tauſendtel iſt er ſicherlich ſchon richtig. Denn der groͤßte von den fehlenden Theilen waͤre nur T3 65 · T†T38686 =— Tr855S5ο alſo noch kein 156 14 866 lange; ſo wird man fuͤr 9954 4 3663. mehrere Ziffern nur die 10000 4,8663 . . . Stellen durch Puncte be⸗ 400 192.‧.‧ ... zeichnen. 6 24 „ „ 4,8879 *§. 830. Aus der Buchſtabenrechnung iſt ſehr bekannt, A 4 a n an n ann n dzen d d dJ ad d t ddd A . und dem gemaͤß habe ich obiges Verfahren einge⸗ richtet; indem ich mir unter d den Huͤlfsdiviſor, und unter n die Zahl dachte, um welche der gegebne kleiner iſſt. Iſt dagegen der gegebne Diviſor um etwas groͤßer als die zum Huͤlfsdiviſor bequeme Zahl, ſo muͤßte man nach folgender Reihe verfahren: 2 2 a n 1an n ann n dn d d H qd d dad d“ Indeſſen 6 2 iſe iſt ooo) del gert e Verot Deinel gen ge 4 d ch. deſ — cos ic. in duſe ne nar ſhit D len Lie I ſo t Muun I Liſen ve bird wen ie e⸗ ſe n m h Ponr * 1 ce likiee be bereee. ſ e . 1 1 1—+ 9 4 Co 11 uſthen ⸗ 6ſeowiſe, N G r n nd ne e 1 Vorheilhaftes Dioidiren. 101 Indeſſen iſt das Dividiren durch 102; 1005; 1o0os u. dergl. ohne dies ziemlich leicht. O. 83 1. Anmerk. Allerdings wird nun, was durch obiges Verfahren als Quotient gefunden wird, alle⸗ mahl Deeimalbruͤche angeben, auch i in denen Faͤllen, da der ganz genaue Quotient eine ganze Zahl aus⸗ macht. Indeſſen wird man z. B. in der nebenſte⸗ henden Rechnung, durch 998 16,966 die vielen gnen ſchon daran 1000 16,966 . . . eerinnert, daß der Quoti⸗ 67864 und man braucht dann nur den Diviſor durch 17 zu 106,999999 multipliciren, um daruͤber gewiß zu werden. 33932.. . ent etwa 17 ſeyn moͤchte; Zweny und dreyßigſtes Kapitel. Von den Stufenbruͤchen. *§. 832. Jrder aͤchte Bruch der nicht ſelbſt einen einzelnen Theil, wie ½, 4, us, 22 u. dergl. ausmacht, muß doch zwiſchen zwey naͤchſte Glieder der fol⸗ genden Reihe fallen: 1 1 1 1 1, 2 2, +, 4, †, E, 7/8/ 5„„ 15 , r, 2, 1;. u. ſ. w. Um zu finden, zwiſchen welche er falle, ver⸗ fahre man mit ihm, als ob man ihn durch ſeinen G 7 Zaͤhler 2 Zwepy und dreyßigſtes Kapitel. Zaͤhler aufheben wolle. Dadurch ergiebt ſich z. B. bey dem Bruche 2¾, daß er dem Doppelbruche 2 gleich, folglich kleiner als 2 und groͤßer als 3 iſt. *§. 833. Engere Graͤnzen, als dieſe beyden, werden nun fuͤr den vorgegebnen Bruch 2, auf dieſer erſten Stufe des hieſigen Verfahrens nicht gefunden: weil dabey 1) verlangt wird, daß man die Graͤnzen nur durch einzelne Theile (*§ 832) beſtimme; und dieſes haͤngt damit zuſammen, daß man nur durch den ganzen Zaͤhler dividirt, und gleichſam aufzu⸗ heben ſucht. Wird nun, ebenfalls der ſichern Ord⸗ nung wegen, uͤberdies auch 2) feſtgeſetzt, daß man nur von der hoͤchſten Graͤnze Gebrauch machen ſolle; ſo hat man von den vorhin gefundenen beyden Graͤnzen nur zu bemerken, daß fuͤr 3 ¾, unter den einzelnen Theilen, ½ der naͤchſtgroͤßere ſey. *§K. 834. Nach dieſen beyden Bedingungen wuͤrde alſo der Bruch ., der doch einen Theil des Nenners in — ausmacht, geradezu weggelaſſen! Das verurſacht einen ziemlichen Fehler. Weniger wuͤrde ich doch ſicherlich fehlen, wenn ich die Groͤße 7 72 nicht ſo ganz aus der Acht ließe, ſondern wiederum von denen beyden naͤchſten einzelnen Theilen, zwi⸗ ſchen welche ſie faͤllt, den groͤßten gebrauchte. Um ihn zu finden, wird nun auch der Bruch 2 ſo behan⸗ delt, t b⸗ Ule. Dodn ſihen: un ſrfeche dhe Derun Ptitdſtepich Ure, kener Migrwon; unde Mnt und g che oc Mutt, unnih n ge N per uun n — Tin s de e te. deſtI nt- ßer 6 3 n, werden u f Mer e gefunden ol ſeGrnnn heſtinne, nun mu bicſen ſe eſcnd e ſe Crench nitn 3, une N e n Von den Stufenbruͤchen. 103 delt, als ob man ihn durch ſeinen Zaͤhler aufheben wolle. Dadurch ergiebt ſich, daß 1½ = iſt, zwiſchen ½ und faͤllt, und ¼ der naͤchſigroͤere einfache Theil iſt. *§. 835. 1 1 . Da nun 32 = — ganz genau iſt; 2—.& 21 ganz 9 ſt; 4 4 7 ners, kleiner ſeyn 32¾: ſicherlich aber iſt es um weniger von ½ verſchieden, als es das bloße ½ war. Denn da 2 und ½ nur um =s verſchieden ſind, und *2 zwiſchen beyde faͤllt; ſo muß der Unterſchied zwiſchen und *12 noch kleiner als 3*, zwiſchen und o aber noch groͤßer als ſeyn; muß alſo ½ ſtatt 7 gebraucht, der Wahrheit naͤher bringen, als wenn ich 1 geradezu weglaſſe. Deas jzuerſt gefundene ½ 2 kann man als eine erſte Stufe der Annaͤherung an 3½ betrachten, ſo macht en eine zweyte aus, bey deren Erſteigung ebenfalls die beyden Bedingungen des vorlegten . L beobachtet ſind. *§. 836. Um das bisherige Verfahren und deſſen fernere Fortſetzung leicht zu faſſen, und in deutlicher Ordnung zu erhalten, rathe ich auf ſaherde Weiſe zu ſchreiben: 32 *§. 837. Man erhaͤlt naͤhmlich zur Annaͤherung⸗ an nach und nach folgende Ausdruͤcke: I. I. II. W. v. *§. 838. . um 1a zu klein iſt. gen Fehler, wodurch er zu groß wurde, allzuſtark erſeht, wenn man ¾ ſtatt * ſchreibt, da doch 772 Der Der Iſte Bruch iſt zu groß, weil ſein Nenner Der IIte Bruch iſt zu klein, weil man des vori⸗ In u wrig pinkerſe Hfu= de Wie udn vort nt ſatt Arte n ſer nikt E einen acht, ſee Dr li N fuh di Von den Stufenbruͤchen. 105 Der IIIte Bruch iſt wiederum zu groß, weil man des vorigen Fehler, wodurch er zu klein wurde, allzuſtark erſetzt, wenn man 1 ſtatt ½ anhaͤngt, da doch 3 nur = iſt. 1 ¾ Der IVte Bruch iſt wiederum zu klein, weil man den vorigen Fehler allzuſtark erſetzt, wenn man ½ ſtatt ¾ anhaͤngt, da doch 3 nur = iſt. . E Der Vte Bruch aber muß ganz genau ſeyn, weil man hier wirklich auch den letzten Bruch , der nun ſelbſt einen einzelnen Theil ausmacht, geradezu gebraucht. *§. 839. Obige Stufenbruͤche auf reine Bruͤche zuruͤck zu bringen. Der IIte Ausdruck iſt ein bloßer Doppelbruch, den wir ſchon nach § 689 auf einen reinen Bruch iuruͤchzn bringen wiſſen. Er giebt dann . Im IIIten, IVten und Vten Ausdrucke wird der Nenner immer weiter und weiter gebrochen. Ich will hier nur den letzten auf einen reinen Bruch ſo zuruͤck bringen, daß man das naͤhmliche Verfahren allgemein gebrauchen kann. Es iſt naͤhmlich nach und nach 7 G 5§ 1 1 1 1 1 2 †+† 1 2 †+ 1 2 + 1 2 + 1 4 †1 4 † 4 + 4 † 1I †+ 1 I + 1 1 † ¼ 1+4 *† 1 1 1 1 32 2 †+ 1 2 1 24 ½ 171 Wenn man eben dieſes Verfahren ben III und IV anwendet, ſo wird man dabey auf r und 225 hinauskommen: Und hat nun fuͤr die Bruͤche unter I1 II III IV und V in *§ 837. die folgenden 2 4 Ir 2 5 . Anm. Dieſes Verfahren iſt zwar etwas muͤhſam, aber leicht zu behalten. Daher ich allen, die mit der⸗ gleichen Stufenbruͤchen nicht ſehr oft und viel zu thun haben, rathen moͤchte, unter den folgenden Fen diejeni⸗ gen, welche mit zwey Sternen bezeichnet ſnd, geradezu zu uͤberſchlagen. xerG. 840. Kuͤrzeres Verfahren. Wenn man nur I. II. III. IV. von den Bruͤchen 3 ur 5 u. ſ. w. den I. und II. hat, und ꝛ 4 1 1I u. ſ. w. als den erſten, zweyten, dritten, vierten ꝛc. Quoriemten kennt, (eigentlich als die ganzen Jahlen, . lr, vei pei ri ). Chels den deit ſen Peduct ſtt den Ren luenſon n Bruce lac giim unn. N lint un? idies ſaſwe frſin ueg uenſen rerſ en 66 1, M Elſen non Giſſend Pyen dt R R An ete n ber 1 die i e eewcs nihen 1, die ni d ril den ſe in ſd, en ne 16 1 “ 1 ,wiem 6 e Von den Stufenbruͤchen. 107 Zahlen, welche bey dem erſten, zweyten, dritten ꝛc. dividiren nach *§. 836, in die Quotienten kom⸗ men): ſo kann man ſchon den IUIIten Bruch, aus den beyden vorigen und aus dem dritten Quotienten, auf folgende Weiſe finden. Den Zaͤhler des IIten Bruches durch den dritten Quotienten mulkxiplicirt, und zu dieſem Producte den Zaͤhler des Iten Bruchs addirt, giebt den Zaͤh⸗ ler des UIten Bruches. Ebenfalls auch den Nenner des IIten Bruches durch den dritten Quotienten multiplicirt, und zu dieſem Producte den Nenner des lten Bruches addirt, giebt den Nenner des IIIten Bruches. Eben ſo wird dann ferner, aus dem IIIten und Ilten Bruche und dem vierten Quotienten, der IVte Bruch gefunden; u. ſ. w. Anm. Nur fuͤr ſolche Leſer, welche mit den Aus⸗ druͤcken und 2 ſchon bekannt ſind, will ich anfuͤhren, daß dieſe als zwey erſte und aͤnßerſte Graͤnzen allemahl, fuͤr jeden vorgegebenen Bruch, angeſetzt, und bey dem eben gewieſenen Verfahren als zwey vorangehende Bruͤche, 2 als der vorerſte, und ½ vorvorerſte, ſo benutzt werden koͤnnen, daß man aus ibnen beyden und der ganzen Zahl des erſten Quotienten ſchon den Iten Bruch, und dann aus dieſem und dem vorerſten nebſt der ganzen Zahl des zweyten Quotienten, ſchon den IIten Bruch finden kann. **§. 841. Die Bruͤche unter I, II, III, IV im letzten und vorletzten §. ſind nun mit den Ausdruͤcken unter 108 Zwey und dreyßigſtes Kapitel. le, Ve G I, II, III, IV in § 837 von gleicher Groͤße, und en derlie haben demnach mit jenen die Cigenſchaft gemein, e (Gi daß ſie dem vorgegebenen Bruche ½½ immer naͤher und naͤher kommen. Man kann ſich die Art ih⸗ W rer Annaͤherung et⸗ ½ 4 d naa nach beyſtehen: ⸗ „ iniſdn dem Bilde verſinn⸗ 35 zriſ lichen. 22 a lihr lis anſdie Naͤhmlich ½ und 1 ſind zu groß aber niche uwnmnm ſo viel, als es ½ iſt; lrter l 4 und und 2 ſind zu klein , aber ⸗ 28 nicht um (hn nlinn ſo viel, als es β iſt. “ n Re, hnn Auch trifft r ſchon naͤher als „und 235 noch W elten genauer als *†. f Ueberdies kann man vetſichert ſeyn, daß es öIng auſſer dieſen Bruͤchen keinen andern giebt, deſ/ſen X Nenner zwiſchen die Nenner (oder deſſen Zaͤhler ,7 zwiſchen die Zaͤhler) von zwey naͤchſten jener Bruͤhe — fiele, ohne von der Wahrheit noch mehr abzuwei⸗ ſr chhen, als der unwahrſte von jenen beyden. B *§. 842. Durch die Kenntniß dieſer Bruͤche ſind wir al/ſo Nenichn in den Stand geſetzt, daß wir ſtatt eines vorgegee⸗. Muhndi benen Bruches einen von ihnen gebrauchen koͤnnen. und zwar einen, der nur wenig, oder einen andern, — der etwas mehr von ihm abweicht, je nachdem es uns mehr um einen noch ziemlich genauen, oder mehr * um einen ſehr deutlichen Ausdruck zu thun iſt. Auch wird es bisweilen lieb ſeyn zu wiſſen, daß der lIte, IIIte, Von den Stufenbruͤchen. 109 Griß 4 IIIte, Vte Bruch u. ſ. w. etwas zu groß, und da⸗ heſt “ gegen der Ute, IVte, VIte u. ſ. w. etwas zu klein inmane ſind. (So viel kann uns das Verfahren in §. 808 delhs und 809 nicht gewaͤhren.) Um die letzte Verſicherung des *§. 8411 zu be⸗ gruͤnden, hat man Betrachtungen noͤthig, auf die ich mich hier nicht einlaſſen kann. Alles uͤbrige wird 3¹ aus dem bisherigen Vortrage ſelbſt ſchon einleuch⸗ ten; bis auf die Verkuͤrzung in **. 840. . Um deren Richtigkeit etwas allgemein zu uͤber⸗ ſehen, wollen wir die ganze Zahl im Quotienten und den Reſt, beym erſten Dividiren durch 4 und r. n e beym zweyten durch q und r : ‚ꝓbeym dritten durch q und r... u. ſ. w. bezeichnen: ſo iſt Z. jeder Bruch Lanz genau — 1 1 u. ſ. w. nthe onete A r. — d — 1 R 7 4 T 4†— Cen r 4 „„. +I e Ziemlich nahe, und immer naͤher und naͤher, nn kommen ihm die Ausdruͤcke nin 11 1 — nen qg. g. r A r —- A tusdmen6 4. 9˙˙† — 4—— , Cder ne⸗ . 9 „ „ 9· P1 v N Der N 1 10 Zwehy und dreyßigſtes Kapitel. Der te hat ſchon die Geſtalt eines reinen Bru⸗ ches, da ſein Nenner q' eine ganze Zahl bedeutet. Er bleibt daher unveränderten⸗ . Der IIte kann nach §. 689. auf den reinen Bruch —— — gebracht werden. ch. gebracht Da nun der IIIte Ausdruck vom IIten nur darin verſchieden iſt, daß in ihm noch — an 4.: haͤngt; ſo muß der IIIte auch ſeyn = : 4 alſo Zaͤhler und Nenner 4·4· †+ 1 † 4· ... q * + 1 1 durch 1 * multiplicirt, auch⸗ Da ferner der IVte Ausdruck vom IIIten nur *°% % darin abweicht, daß in ihm noch = an 4.** haͤngt; ſo muß er auch ſeyn = 4 q † 1 † 4 * — ͤ 4 †. 0 (ꝗq·· ꝗ· * + 1) 9q‧ + q“ (A4 q" T I q- T† ) q:. T (q- 1 5 Durch (ꝗ- q- T 1) 4.. T d. . Durch llen un ſnin . N ge⸗ Pnpſerdru ſiß eſengs ſegehgen ſeben ſoch ſſonn rer 1 Renſenen ſ inen i 1deil 4 jn, l Krofahe 4 apun Rec ſite ſh i⸗ eiBrice ludin frNen 1 tenenda glucde. den in n IHIe — 0 4 eund Pre Von den Stufenbruͤchen. 111 Durch die hier gefundenen letzten Formen fuͤr den liten und IVten Ausdruck wird nun das Ver⸗ fahren in *§. 840. beſtaͤtigt. *§. 844. Mit Fleiß habe ich das Verfahren, wodurch die Stufenbruͤche nach *§. 836. gefunden werden, gleich anfangs ſo vorgeſtellt, als ob man dabey den vorgegebnen Bruch durch ſeinen eignen Zaͤhler auf⸗ zuheben ſuche; darauf den Bruch, welcher da⸗ bey entſtanden iſt, wiederum durch ſeinen Zaͤhler aufzuheben ſuche, und ſo weiter fort; bis man end⸗ lich auf einen Bruch kommt, der ſelbſt einen ein⸗ zelnen Theil ausmacht, ich meyne, eine 1 zum Zaͤhler hat, alſo dadurch, daß man ihn durch ſeinen Zaͤhler aufzuheben ſucht, nicht weiter veraͤndert wird, und o zum Reſte giebt. Findet ſich aber unter dieſen nach und nach ent⸗ ſtehenden Bruͤchen einer, der ſich wirklich durch ſeinen Zaͤhler aufheben laͤßt, indem dieſer mehr als wiſt, und doch den Nenner ohne Reſt dividirt, wie der Bruch * ½ in folgendem Beyſpiele: 169 I 45 2 ¼½ — — 169 1 + 1 4471 2 +¼ 1 1 M 52 4 † ſo iſt dies ein Beweis, daß ſich der vorgegebne Bruch ε ſelbſt noch aufheben laͤßt; und zwar wie 1½ ebenfalls durch 13. WUM Denn 112 Zwey und dreyßigſtes Kapitel. Denn der Ausdruck 1I 1T 1 2 †+ 13 muß, wie aus ſeiner Entſtehung klar iſt, etwas eben ſo großes als der Bruch 4½ 2 bedeuten; und wird auch auf einen reinen Bruch zuruͤck gebracht, gerade den Bruch ½2% wieder geben. Da nun aber ½ gerade eben ſo viel iſt als ½2; . ſo wird ½ ſtatt in den vorigen Ausdruck geſchrie⸗ ben, einen andern geben der noch eben ſo gut, wie der vorige, = ½ 6% iſt. Gleichwohl wird der ſo veraͤnderte Ausdruck auf einen reinen Bruch zuruͤck⸗ gebracht, fuͤr Zaͤhler und Nenner 13 mahl kleinere Zahlen angeben, als der vorige. (Das erhellet aus den beyden letzten Ausdruͤcken in *§. 843. Denn das dortige q: wird hier entweder = 52, oder = 4, je nachdem man gier z 2 oder ½ ſchreibt; und durch q muß der Zaͤhler und Nenner des dortigen vorletzten Ausdruces multiplicirt werden, um den letzten, als einen reinen Bruch zu erhalten.) *S. 845. In der That ſind die Diviſionen, wodurch wir hier zu dem Aufheber 13 gelangt ſind, mit denen einerley, wodurch wir ihn oben in §. 471. fanden. Indeſſen gewaͤhrt uns der hieſige Zuſen. menhang einen neuen Vortheil. Wir wiſſen naͤhm⸗ lich nunmehr von dem ſo behandelten Bruche ½ nicht l tur,t ſedan ierken, uß, ⸗ mt niher llleawe bnngerz, i Günun irt anſe Bute run 1 un hdn Der B nn Ceie ke gerin de 36 l ſcril Aionn ete 6. de⸗ inet fuhen N chen Von den Stufenbruͤchen. 113 nicht nur, daß er ſich durch 13 aufheben laͤßt; wel⸗ ches dann ½ giebt, und unter den Bruͤchen I. II. III. IV. 4 * SZ, die man nach §. 840. finden kann, den letzten ausmacht: ſondern wir wiſ⸗ ſen auch, daß die drey vorhergehenden dem gegebnen immer naͤher und naͤher kommen; und daß der Ite und IIte etwas zu groß, der IIte etwas zu klein iſt, und weniger zu klein, als der erſte zu groß iſt. Wir wiſſen alſo nun, daß wir etwa 3¾ oder allenfalls auch oder ½ anſtatt ½D zu gebrauchen haben, wenn es uns mehr um einen deutlichen als um einen ganz ge⸗ nauen Ausdruck zu thun iſt. *§. 846. Der Bruch 122⁄%¾ (welchen Lambert, Bey⸗ traͤge II. Seite 61. gebraucht) iſt ſehr geſchickt, um Anfaͤnger in dem obigen Verfahren zu uͤben. Nach *H. 836. ſchreibt man dabey folgendes: 216 1 1147 5 + 67 1 216 3 †15 1 67 1111 X5 2 †+ r. 7 70. Daraus nimmt und findet man, wenn man nach **§. 840. verfahren will, von den folgenden fuͤnf Stufenbruͤchen, nur die beyden erſten, Buſſ. Rechenb. 2. Theil. ◻ I. 114 Zwey und dreyßigſtes Kapitel. 53 3.4 %1 13 13. 2 † ê5 29 29,7 + 13 21¹6 — — —— —— — 16 16. 1+ 5½ 69 69. 2 % 154 154.7 + 69 1147 ſchreibt ſich 2 „ als den dritten, vierten und letzten Quotienten hin, und findet dann den IIIten IVten und Vten Bruch. Die Auffindung des letzten dienet zur Probe, zum Beweiſe, daß man auch fuͤr die vori⸗ gen richtig gerechnet habe. Anmerk. Wer die Anmerkung zu *⸗ g. 840. bemßhen will, findet ſchon I. und II. auf folgende Weiſe. Vorvor I. Vor 1 indem er auch ſchon 5 und 3, als den erſten und zweyten Quotienten zu gebrauchen hat. Ein anderes nuͤtzliches Beyſpiel. Nach Gerhardts Comtoiriſten iſt eine Rhein⸗ laͤndiſche Ruthe = ¾2 der Churſaͤchſ. Ruthe, und ich habe dieſe Angabe nach Erfahrung und Verſu⸗ chen richtig befunden. Gleichwohl iſt es ſehr ge⸗ woͤhnlich, ſtatt des vorigen Bruches den leichtern zu gebrauchen. Aber nach *§. 836. verfahren hat man hier Unitlueg ummnn po iri u Nhipen4 ſc bran ſen Buu i B. 1 1 1 ——- 1.7 6, 7, dsden 1 und t un flgen Von den Stufenbruͤchen. 115 33 57 S 8 und daraus die Stu⸗ fenbruͤche und?! und! 1 ⅓ 1TXIK 8 8 † † † Der mittlere giebt den reinen en Bruch 5½, und dieſen kann man wohl gebrauchen, wenn es um einen leich⸗ ten Bruch zu thun iſt. Er iſt nur um 5o zu groß; da hingegen ½ um ½nò zu klein iſt. *§. 847. Ich brauche kaum zu erinnern, daß der vor⸗ gegebne Bruch auch ein Decimalbruch ſeyn kann. er ſey z. B. 133 ſo hat man fuͤr ihn — I45 1 I 1126 1 4; 5T/S 26 1I †r 1 15 141 1 S 1 I. II. II.. IVv. v. vI. VI. VlIII. ½ y. Tr * 13 25 1. 1 5. T 1 2 1 3‧ H⸗2 Drey 116 Drey und dreyßigſtes Kapitel. Von den Proben vermittelſt des Neun⸗ und Eilffachen. (Fortſetzung des 10ten Kapitels.) *§. 848. Probe der Diviſion *). 1. Wenn der Quotient eine ganze Zahl iſt, z. B. Diviſor 25, Divid. 10325, Quot. 413, u. deren ner P. Zahl. (7 (2 (8 ſind, ſo ſage man: 7 mahls iſt 56, dieſes Productes Pz. 2. Des Dividenden Pz. iſt nun ebenfalls 2. Oder waͤhlt man die Probezahlen durchs 11fache ſo hat man (3 (7 (6 ſagt alſo: 3 mahl 6 iſt 18, Pz. 7. Des Dividenden Probezahl iſt nun ebenfalls 7 II. Wenn im Quotienten ein Bruch vorkommt,., er mag ſchon aufgehoben ſeyn oder nicht, Z. B. Diviſor 250, Divid. 43522, Quot. 194 oner Pr. Zahlen (7 (3 (52 ſo ſage man: 8 mahl 5 iſt 40, dazu iſt 42, Pz. ⁵⁶; 6 mahl 7 iſt 42 und deſſen Probezahl 6. Ferner: *) Sie kommt freylich ſchon in *§. 269. §. 284 und 285 vor; aber ich wiederhole ſie hier, weil ich oft darauf zuruͤck weiſen muß. — ohe nrt 81 Cenfells ſil h un gwe II. VP. ſteo rid ſtiheer der in den G fiter he, hlerſls . chnn in Uni nnn lii, 41,,A Nen ſd dter maͤenics Proben durch das 9⸗ und 11fache. 117 Ferner: 8 mahl 3 iſt 24 und deſſen Probezahl ebenfalls 6. “ Im folgenden Beyſpiele ſind die Probezahlen durch 11 gewaͤhlt. Diviſ. 81, Dividende 55563, Quotient 68 525 4) 2) 3 ¾) und man ſagt: 5m mahl 3 iſt 15 und 4 iſt 19, Pz. 8; 8 mahl 4 iſt 32, Pz. 10. Ferner: 5ömahl 2 iſt 10, u. deſſen Pz. ebenfalls 10. III. Wenn des Diviſors Probezahl durchs gfache wird, ſo beſtimmt ſie gar nichts fuͤr die Richtigkeit der ganzen Zahl im Quotienten und des Zaͤhlers in ſeinem Bruche; daher man dan aus dieſem Grunde die Probezahlen des 11 fachen zu waͤhlen hat, wenn des Diviſors Probezahl nicht dabey ebenfalls o wird. . IV. Wenn dagegen des Diviſors Probezahl durch 11, aber nicht die durch 9 ebenfalls o wird, ſo muß man die letztern gebrauchen. *§. 849. Probe eines aufgehobenen Bruches. Will man wiſſen, ob wirklich 12 = ¾ ſey; ſo multiplicirt man des erſten Zaͤhlers Probezahl 8 durch des zweyren Nenners Probezahl 7, giebt 56, deſſen Pz. 2 iſt. Darauf multiplicirt man des erſten Nenners Probezahl 4 durch des zwey⸗ ten Zaͤhlers Probezahl 5, giebt 20, deſſen Pz. ebenfalls 2 iſt. S 1I 3 Gebraucht * 11 8 Drey und dreyßigſtes Kapitel. Gebraucht man die Probezahlen durchs rrfa che; ſo betr man hier: 3 mahl 7 iſt 21, Pz. 10. 2 mahl 5 iſt 10, Pz. ebenfalls 10. Anm. Wenn des erſten Bruches Zaͤhler (oder Neuner) eine o zur Probezahl giebt; ſo wird dadurch fuͤr die Richtigkeit des Nenners (oder Zaͤhlers) im an⸗ dern erleichterten Bruche nichts beſtimmt; daher man zur Vermeidung ſolcher olen, bald durch 11, bald durch 9 probiren muß. Wenn beyde Probearten ſowohl fuͤr Zaͤhler als Nenner eine o gaͤben, ſo waͤren ſie beyde ohne allen Nutzen. Probezahlen von Producten aus mehrern Factoren. Sollen die Zahlen der folgenden erſten Saͤule in einander multiplicirt werden; ſo verfahre man mit ihren nebenſtehenden Probezahlen, wozi hier die durch 11 gewaͤhlt ſind, auf 32 10 folgende Weiſe: 4 9 10 mahl 9 iſt 90, Dzʒ. 2. 1 5½ 4] 2 mahl 4 iſt 8, Pz. 8. Dieſe 8 iſt nun die Probezahl des Productes 3297 .‧ 15. Eben ſo in folgendem Beyſpiele 2486 kann man ſagen: 16 mahl 1iſt 6, Pz. 6 286 6 mahl 6 iſt 36, Dz. 32 2412] 3 mahl 2 iſt 6, Pz. 6. Nr AT hen tung de en te Sir aa i —2. 2 44 ahler ( bin Mn ſten Ei ſſet⸗ 4 ð Proben durch das 9⸗ und 11fache. 119 und dieſe 6 iſt nun die Probezahl des Productes 248. 1. 28. 24. Marn ſieht aber ſogleich, daß die Probezahl 1, weil ſie gar nichts aͤndert, gerade zu kann weggelaſſen werden. *§. 851. Probe der Kettenregel. Fuͤr die Aufgabe: 97 f koſten 28 56, wie viel koſten 16 ¾ Loth, wird man nach Ein⸗ richtung des Bruches und Verſetzung des Zaͤhlers folgende Saͤulen erhalten. Die Probezahlen jeder — l 248 Loth Saͤule 8 und 6 werden wir im 32 — 1 £ vorigen §. gefunden „und darun⸗ 97 — 28 erb ter geſetzt. Unter der Antwort 1 — 24 ſtehen die Probe⸗ 4 15 Antw. 32 ¾ . zahlen, wie un⸗ 8) 6) 38) ter dem Quotienten in *§. 848. II, und es wird td nunmehr auch gerade wie dort verfahren; da allerdings die Antwort des Kettenſatzes dem Quo⸗ tienten gleich ſeyn muß, den n an erhalten wuͤrde, wenn man mit dem Producte der linken Saͤule „ in das Product der rechten gerade zu dividirte. Alſo ſagt man: 1 mahl 3 iſt 3 und 6 iſt 9, Pz. 33 9 mahl 8 iſt 72. Pz. 6. Ferner: 1mahl 6 iſt 6, Pz. ebenfalls 6. 120 Drey und dreyßigſtes Kapitel. *§. 852. Anmerkungen. 1) Beſteht die Antwort in einer reinen gan⸗ zen Zahl, ſo wird die Probe noch leichter nach *§. 848. I. 2) Iſt die Antwort ein reiner Bruch; ſo hat man ſie als den erleichterten Bruch zu betrachten, der durch Aufhebung desjenigen entſtanden iſt, worin das Product der rechten Saͤule den Zaͤhler und das Product der linken Saͤule den Nenner ausmacht: alſo nach §. 849. zu verfahren. 3) Wegen Vermeidung der olen in den Pro⸗ bezahlen gelten alſo auch hier No. III und IV. aus *§. 848. und die Anm. in *§. 849. 4) Die Proben verſichern nur, daß beym Aufheben, Multipliciren und Dividiren der probir⸗ ten Saͤulen, um kein 9⸗ oder 11faches gefehlt ſey. ) Man kann wohl rathen, ſie erſt fuͤr die Jahlen zu gebrauchen, welche nach vollen⸗ deter Aufhebung uͤbrig bleiben, ſo oft dieſe groß ſind, und ſchwierige Multiplicationen und Di⸗ viſionen verurſachen. Beym Aufheben wird ja ein geuͤbter Rechner nicht leichte fehlen. è 6) Faſt alles bisher geſagte ſetzt voraus, daß der Nahme der Antwort mit dem Nahmen des Fragegliedes noch voͤllig einerley ſey; alſo nicht etwa der eine und der andere A, oder und enthalte. Im Gegenfalle werden die Pro⸗ ben oft gar ſehr verwickelt; doch findet man daruͤber etwas in *§. 856. “õl *§. 853. In ſomtrrh Noepet Ne, und wi pwort Soſe ſite: 6 Nunſene Fn ſunm t Nenr Oer, un men Gie⸗ Ge u Nir Glede lfi Phen 1der en 4 let . keinm ger ichter h rch iſt bennn. den it worn eer uds en: irde ndIV. MH tin n dergeche ſeht⸗ uſfitt ch wn ND ſnd 4 ent,N Nahm 4 Nde4 de⸗ * endeie gender Aufgabe Proben durch das 9⸗ und 11fache. 121 *§. 853. Probe der Regel de tri oder waͤlſchen . Practik. Man gebraucht dabey die Probegroͤßen be⸗ nannter Zahlen, (m. ſ. *S. 27 1 ꝛc.) und ſorgt dafuͤr, daß die Probezahlen des erſten und dritten Glie⸗ des, und wiederum des zweyten Gliedes und der Antwort einerley Nahmen fuͤhren. So hat man fuͤr die Aufgabe: 6 6g: 4 18 = 19 f? Antw. 15 6 1 3 die Pz. *) ( (4 . (S (9 3 Nun ſage man: 6 mahl 9 iſt 54, Pz. 10. Ferner: 4 mahl 8 iſt 32, Pz. ebenfalls 10. *§. 854. Kommt ein Bruch vor, ſo betrachte man deſ⸗ ſen Nenner als den Mahmen einer geringern Sorte, und ſorge dafuͤr, daß die Probezahl des zweyten Gliedes eben denſelben Nahmen fuͤhre, (m. ſ. *§. 276). Alſo denkt man ſich bey fol⸗ H 5 23 *6: )) Naͤhmlich die Probezahlen durch 11. Beym 2ten Gliede heißt es: 1 (haͤlt 24 , alſo uͤbers 11fache 2 36) giebt in der Probe 2 , 4 *0 geben alſo 4 mahl 2, d. i. 8 9'7; dazu 18 46, oder deren Pz. 7 9t, giebt 15 , deren Pz. 4 iſt. Beym 3ten Gliede ferner: 1 5 hal⸗ ten 4 Probethaler, alſo 4 mahl 2, d. i. 8 Pro⸗ begroſchen; dazu 1 , giebt 9 Probegroſchen. 122 Drepy und dreyßigſtes Kapitel. 23 *6: 2 Ballen 6 Rieß = 280 t2 Antw. 31 Ballen 6 Rieß 10 ½2% Buch, die Antwort als 31 Ballen, 6 Rieß, 10 Buch 10 Drey und zwanzigſtel Buch. Bey Auffindung der Probezahlen durch 11 heißt es nun: 31 Ballen geben 9 Probeballen, und dieſe halten (da 1 Ballen 10 Proberieß haͤlt) 90, alſo 2 Proberieß; dazu 6 Rieß giebt 8 Proberieß. Dieſe halten (da 1 Rieß, als 20 Buch, noch Prrobebuch haͤlt) 8 mahl 9, d. i. 72, alſo 6 Pro⸗ bebuch; dazu 10 Buch, hat man 16, alſo 5 Pro⸗ bebuch. Dieſe halten (da 1 Buch nun 23 Drey und zwanzigſtel Buch, alſo 1 Probe⸗23ſtel⸗Buch haͤlt) auch 5 mahl 1, d. i. 5 Probe⸗ 23ſtel⸗Buch, dazu noch 10, giebt 15, alſe 4 Probe⸗23 ſtel⸗Buch. Eben ſo findet man fuͤr das zweyte Glied 3 Probe⸗2 3ſtel⸗Buch. Uebrigens verfaͤhrt man mit den Probezahlen ci e (3 23ſtel⸗Buch (56 (4 23ſtel⸗Buch, wie vorhin, ſagt alſo: 1 mahl 4 iſt 4, Pz. 4 Ferner: 3 mahl 5 iſt 15, Pzʒ. ebenf. 4. *S. 85. 4 Anmerk. Dieſe Behandlung wuͤrde hinrei⸗ chen, wenn auch in allen 4 Gliedern (die Antwort macht das Ate aus) Bruͤche vorkaͤmen; doch unter der Bedingung, daß die beyden im erſten und drit⸗ ten, und wiederum im zweyten und vierten Gliede einerley Nenner haben. Wenn das nicht Statt ſnder ſo wird das Verfahren noch muͤhſamer. . *§. 85 g⸗ Nulrl nigerben ſetenegebe rennſin un ien P f nie . 6. 6 8 nit horſ . Pſe ode nſ ſar h 4 iſfit tulting l 4 A. B 10 h Nſel Deh. 1 geſte und g. 1 Poberi⸗ ch, tg ) Nlo le; e H l⸗Vh zie⸗Doc l⸗N 1d 4 Ne Cin beſchen tel⸗D 64 Ceſ/ ſde in elund 1 n GN ict S mer⸗ Preben durch das H9⸗ und 1 fache. 55. 856. Natuͤrlich koͤnnten die Aufgaben, welche wir in vorigen beyden Fen probirt haben, auch nach der Kettenregel berechnet worden ſeyn, und dennoch eben ſo wie vorhin probirt werden. Daraus erhellet, wie man beym Probiren der Kettenregel zu verfahren ſuchen muͤßte, wenn man ſich auf die Vorausſetzung in *§. 852. No. 6. nicht einſchraͤnken wollte. Man muß ſich dabey die Aufgabe als fuͤr die Regel de tri angeſetzt vorſtellen. Wenn aber dann die Probe⸗ zahl des erſten und dritten, oder des 3ten und 4ten Gliedes wohl ſogar durch verſchiedene Geldarten, oder Waͤhrungen, fremde und einheimiſche Maße u. dergl. hindurch zu fuͤhren waͤre, bis ſie einerley wmuͤrden; ſo koͤnnte die Arbeit aͤußerſt verdruͤßlich werden. *§. 857. Bey der Baſedowiſchen Regel halte ichs auch fuͤrs rathſamſte, bloß die Saͤulen zu probiren; und zwar nach *§. 852. No. 5, und unter der er dortigen Einſhrankung. Vier Vier und dreyßigſtes Kapitel. — Erinnerungen uͤber ſehr gewoͤhnliche Verfahrungsarten bey der ſogenannten Ket⸗ tenregel und den Reeſiſchen Anſaͤtzen. I. Da das Product! einer Saͤule durch die verſchie⸗ dene Ordnung ihrer Glieder nicht geaͤndert wird; ſo muß der folgende zweyte Anſatz mit dem erſten einerley Antwort geben. 1 2 — Fl. 8 Loth. — Fl. 8 Loth 32 Loth 1 G 9 ρ 4 *X 9 G rC 4*0 32 Loth 1 2 ι 3 Fl. 2 3 Fl. . II. Bey dem zweyten befolgt man, ſtatt der Verkettung im erſten, nur die Regel: daß je der Nahrme in der einen Saͤule eben ſo oft vor⸗ kommen muͤſſe, als in der andern. III. In Ruͤckſicht auf dasjenige, was ich hier zu ſagen habe, muß ich unter allen Aufgaben, die man gewoͤhnlich nach der Kettenregel zu behandeln V glaubt, ganz gemeinfaßlich unterſcheiden, a) diejenigen, die ſich ganz bequem durch lauter Saͤtze ausdruͤcken laſſen, worin entweder nur zwey Zahlen erwaͤhnt werden, oder doch jede uͤbrige Zahl ſchon als ein Nahmentheil (als Be⸗ ſtimmung Eii ſimmun hetechte Aslage Kopitalg ventiorege 3 lh n e 737 5 en er Adi t, gehe Iſenin Ktlin mti uc de berd nſdder ſſte; o in und hedererſe N fenure Ns St iht ſaa Neſhe in ſen;0 uh ſͤt ein l giebe ſde 3 lch vörice . nten e⸗ ſſien. de wſt⸗ itt gint ſis nidn — ☛ S ☛e 6 1, ſutt daß ſoſ wo — Erinnerungen uͤber Kettenſatz ꝛc. 125 ſtimmung einer Einheit) jener beyden Zahlen betrachtet wird. Dergleichen Saͤtze ſind: 100 6 Auslage verurſachen 120 . Einnahme; 100 Kapital geben 5 * Zinſen; 20 Gulden Con⸗ ventionsgeld gelten 21 Gulden Preuß. Current; 32 Loth machen 1 aus; 67 Ducaten halten Ine 23 ¾ Karat feine Goldmark; wie viel Fl. koſten 8 Loth? *) b) Zu den uͤbrigen, wobey dieſes nicht Statt ſin⸗ det, gehoͤrt z. B.: 100 6 Kapital geben 5 E* Zinſen in 1 Jahre, wie viel Zinſen geben 80 . Kapital in 7 Monathen? Am natuͤrlichſten wird doch wohl dieſe Aufgabe durch die beyden angefuͤhrten Saͤtze ausgedruͤckt, de⸗ ren jeder ſich ſchon auf 3 fuͤr ſich beſtehende Zahlen bezieht; ob es gleich nicht unmoͤglich waͤre, ihre Frage und uͤbrigen Beſtimmungen durch lauter Saͤtze der erſten Art vorzuſtellen *). Die meiſten Auf⸗ *) Die Logiker erlauben mir wohl, in dieſem Re⸗ chenbuche auch bloße Fragen mit dem Nahmen ei⸗ nes Satzes zu beehren; da ich es damit doch lange nicht ſo arg mache, als faſt alle meine Bruͤder, welche in einem einzigen Anſatze der Regel de tri ſchon 3 Saͤtze zu haben glauben. *) Naͤhmlich: wie viel ſiebenmonathliche Zinſen giebt ein Kapital von 80 *τ, da 100 X Kapi⸗ tal giebt 5“ jaͤhrliche Zinſen, und 1 jaͤhr⸗ licher Zinſen Statt findet bey 1 *ν ſiebenme⸗ nathlicher Zinſen? Man ſieht leicht, worauf de Kunſt⸗ — 1:2²6 Erinnerungen uͤber Kettenſatz lunn, d e N EN En, da Aufgaben des 20ſten Kapitels ſind ſo beſchaffen, hißenſe daß man ſie nicht, ohne viele unbequeme Kuͤnſteley, der auf lauter Saͤtze der erſten Art bringen kann, ſon. u ſvli dern am natuͤrlichſten durch Saͤtze ausdruͤckt, worin n, Nn 3 oder noch mehrere Zahlen vorkommen, deren keine ſterh zum Nahmen einer andern gehoͤrt. 7 IV. Wenn man nun 1) die Regel in II, nur fRrn auf die Aufgaben der erſten Art einſchraͤnken, und aril ſich auch 2) die Zertheilung der Nahmen nicht enn erlauben wollte, wovon in XV. deutlicher gehandelt ſinßen wird; ſondern dabey verlangte, daß jeder, in Be⸗ tti ziehung auf die Aufgabe vollſtaͤndige, Nah⸗ ig as i me eines Gliedes der einen Saͤule auch eben inn ſo, und eben ſo oft, als ein vollſtaͤndiger luor Nahme eines Gliedes der andern Saͤule an⸗ en Ni zutreffen ſey: ſo waͤre dieſe Regel zwar practiſc dne wahr *), aber zugleich ſehr entbehrlich. Denn der . Bequemlichkeit, welche bisweilen daraus entſtehen kann, alin, 5 ⸗ 1d Berel⸗ Kunſtgriff beruht: die Beſtimmung einiger Zah⸗ ſſel daden len wird dem Nahmen, der Einheit einer andern n de Ket Zahl einverleibt. Eile ) practiſch wahr — in ſo fern ſie denjenigen, ſlichſte,n der ſie mit gutem Willen gebraucht, in keinen Irr: ( Futene ſal fuͤhret, ob ſich gleich manche Chikane dagegen Mmmen erdenken ließe. Wenn man ſich ganz in die practi⸗ ce, ven ſche Lage hineingedacht hat, ſo kann man es bis⸗ weilen uͤberſehen, daß jedesmahl, wo man eine gewiſſe Regel gebrauchen wird, auch gewiſſe Um⸗ n ſtaͤnde eintreten, welche den innern Mangel der lit, Regel hinreichend erſetzen. Phale leſbeſt, Kirſen kun i ckt, umn dern tie Anbr pinkan, an Gbwmen iee ie, Ni⸗ cich den liid Gileen ver i, „ Damd 1s Aſd in, inige eiter alden etſenun inn ed Re Ntß . nun 66 man e unſſt / und Reeſiſche Regell. 127 kann, daß man ein Par etwa ſchon hingeſchriebene Groͤßen ſogleich zu den Saͤulen ſelbſt nutzet, ohne ſie der Verkettung wegen erſt verſetzen zu duͤrfen, kann ſogleich die Bemerkung entgegen geſetzt wer⸗ den, daß die Erſparung in §. 525. nur bey voraus geſetzter Verkettung Statt finder. V. Es iſt aber dieſe Art, die Saͤulen ohne Verkettung und doch im Glauben an die Kettenre⸗ gel anzuſetzen, ohne Zweifel aus einer andern Ab⸗ ſicht entſtanden. Die Kettenregel hatte das Schick⸗ ſal mehrerer andern Rechnungsformen, deren Nutzen von praktiſchen Rechenmeiſtern mehr durch Erfah⸗ rung als Urtheil erkannt wurde; ſie ſollte etwas werden, was man nicht fruͤher auffinden wird „ als die Univerſalmedicein. Da ſich nun auch unter denen Aufgaben, welche man vorzuͤglich beachtete, die zweyte Art in III, gar nicht wollte einketten laſſen *); ſo zerbrach man die Kette „ohne daran zu denken, daß einzelne ganze, oder gar nur halbe und Viertel⸗Glieder keine Kette ausmachen. Man erhielt dadurch eine Rechnungsform, die den Nah⸗ men der Kettenregel gar nicht verdient, ſondern nur etwa Saͤulenrechnung heiſſen ſollte. Denn der vor⸗ zuͤglichſte, und ich kann ſagen, weſentliche Nutzen der Kettenrechnung beſteht in dem Kettenaͤhnlichen Zuſammenhange des ganzen Anſatzes; und dieſer findet, wenigſtens fuͤr die Rechner, welche deſſelben vorzuͤglich *) Zum Gluͤcke fiel man wohl nicht auf die Moͤglich⸗ keit, welche aus der Note auf der, vorletzten Seite erhellet, 128 Erinnerungen über Kettenſatz vorzuͤglich noͤthig haben, nicht ferner Statt, wenn die zur Aufgabe gehoͤrigen Zahlen nicht wirklich, und zwar vermittelſt ihres, in Abſicht auf alle ſie betref⸗ fenden Umſtaͤnde der Aufgabe vollſtaͤndig beſtimmten Nahmens, nicht etwa bloß nach gewiſſen allgemei⸗ nen Begriffen, verkettet ſind. vVljl. Aufgaben, wobey ſich dergleichen offen⸗ bare Verkettung nicht von ſelbſt darbietet, ſollte man gar nicht nach der Kettenregel zu behandeln ſuchen, oder irrig danach zu behandeln glauben. Eine der einfachſten dieſer Art iſt folgende: 108 Weilen weit faͤhrt man 240 £ fuͤr 46 *c; wie viel Meilen muß man 160 fg fuͤr 40 * fahren? In Herrn Schmids Rechenbuch findet man dafuͤr Seite 202 den folgenden Anſatz *): — Meilen) „00 46 x. [240 . L108 Meilen. H VII. *) Ich fuͤhre hier und in der Folge gerade aus Herrn Schmids Rechenkunſt, Leipzig, 1774. die noͤthigen Beiſpiele an, weil ich dieſes Rechen⸗ buch fuͤr das beſte oder doch bekannteſte unter denen halte, welche die Kettenregel gar zu allgemein anwenden. Uebrigens weiß man, daß dieſer wuͤrdige Mann auch von denen Achtung und Liebe verdient, die ihn nur aus ſeinen Schriften zu beur⸗ theilen wiſſen. “ WI. Me ſerg ſcre er Ven — 4. 1bo! Gein Ket ingen lehe den. En ſen, und n Vuſidt 0 nte ſehie ſten dieſt luſtgt ſſt in ene Rernn he orch (n En⸗ ☛Wà d trtsn neſege tnh i gebt ſis nne iſ encch bie l N z D b enes E r, ſien ſ eh tt, ten ſich ,d ſebent⸗ eſtinnen 1lgen⸗ cen tet, e 1beſden n gain. e: ftdenn . I. hm , 11 ſ Nehen ner denen algeen i iſ unn Uee Nn und Reeſiſche Regel. 129 VII. Mit der Bedeutung und Entſtehung die⸗ ſes Anſatzes ſind diejenigen bekannt, fuͤr welche ich hier zu ſchreiben noͤthig glaubte. Sollten mir einige ſeiner Vertheidiger folgendes, — Meilen 40 ι¼. 46 X —. 240 G. 160 6. 108 Meilen. als eine Kette vorlegen, worein ſich jene Aufgabe bringen ließe; ſo haͤtte ich mit ihnen nichts weiter zu reden. Ein Kektenſatz muß ja aus Saͤtzen beſte⸗ hen, und jeder Satz muß ſich leſen laſſen, und ſeinen Verſtand haben. (§. 478). VIII. Ein denkender Mann, wie Schmid war, konnte freylich nicht dabey bleiben, daß es fuͤr Auf⸗ gaben dieſer Art auch nur practiſch zureichend ſey, den Anſatz bloß nach der Regel in II. zu pruͤfen. Er giebt in einem beſondern Abſchnitte, vom Ordnen der Kettenregel, nur zu viele andere Regeln, welche auch noch noͤthig ſind, und dennoch, ſeiner eigenen Einſicht nach, wiederum noch eines neuen Abſchnittes nicht entbehren konnten, worin nur Bey⸗ ſpielsweiſe gezeigt wird, daß man mehrere Aufgaben nicht durch ſolchen Anſatz berechnen koͤnne. Aller⸗ dings giebt es Aufgaben, wofuͤr man einen falſchen Anſatz machen koͤnnte, der gleichwohl ſeinen vielen, und dennoch nicht hinlaͤnglich beſtimmenden Regeln Genuͤge zu leiſten ſcheinen wuͤrde. IX. Waͤren die Regeln, wonach man die Auf⸗ gaben der zweyten Art in III. nach der ſo genannten Kettenregel ordnen ſoll, auch nur practiſch richtig, und eines dem gemeinen Rechner ganz verſtaͤndli⸗ chen, uͤberzeugenden Vortrages faͤhig; ſo wuͤrde ich Buſſ. Rechenb. 2. Th. 1 ſie, S 130 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz ſie, weil dergleichen einmahl ſo gewoͤhnlich geworden ſind, ebenfalls lehren; oder es muͤßte mich dennach die Betrachtung davon abhalten, daß die wirkliche Kettenregel, ohne die fremde Einmiſchung, eine weit zuverlaͤßigere und leichter zu verfolgende Fuͤh⸗ rerin bleib⸗ Andere ſcheinen nun freylich — denn mit Gewißhei getraue ich mir daruͤber nichts heraus zu ſinden — ſolche Anſaͤtze wie in IV. nicht mehr zur Kettenrechnung zu zaͤhlen, ſondern es fuͤr die Ree⸗ ſiſche Regel zu halten, wenn ſie dergleichen Auf⸗ gaben ebenfalls in 2 Saͤulen anzuſetzen wiſſen. Da⸗ fuͤr Regeln zu geben, ohne ſie auf die allgemeinen Lehren von Zuſammenſetzung der Verhaͤltniffe und Proportionen zu gruͤnden, macht wohl die Abſicht der Reeſiſchen Regeln aus. So ſcheint es mir, wenn ich mich aus dem Labyrinthe von Vorſchriften, die man faſt in jedem Buche anders unter dem Nah⸗ men der Reeſiſchen vorgetragen findet, zur Quelle ſelbſt begebe, wofuͤr doch wohl gelten muß, was Rees ſelbſt daruͤber geſchrieben hat *). Freylich fuͤhren nicht alle Quellen bey ihrer erſten Tagung das reinſte Waſſer, und die gegenwaͤrtige ſprudelt nur allzu truͤbe. Rees ſelbſt wuͤrde auch meine Er⸗ klaͤrung nicht ſogleich billigen: weil er alles auf Ver⸗ haͤltniß zu gruͤnden glaubt, dieſes ausdruͤcklich be⸗ hauptet, und in dieſer Hinſicht gleich anfangs fol⸗ gendes als Erklaͤrung von Verhaͤltniß angiebt. „Ver⸗ 2) Allgemeine Regel der Rechenkunſt, von R. F. de Rees, aus dem Hollaͤndiſchen überſetzt, von einem Liebhaber mathematiſcher Kuͤnſtes 6te Aufl. Bremen, 17987. Verh werſi⸗ vmneyr ptſnin ſet . nſthet. Nlömes vordern er ein 1Zn 8 e. Uufte en de en, die ge, ſerte n Eilen an fthiren, Uthabende lſdeee E ſte 1 is Nhne ſe ar ſte de . ſen uſſ ſtes 8ſend ung, in gende di⸗ = denn „ r W hens 4 Nt n ir Ne ee kichen OH biſen. De⸗ Alyeimn iniſt ud di e int e N, Vorſctiſen ag ur Wel! . ,4 nunß, N ret en Tohnn ie Nte neel 8a N ftin . futs ſ⸗ entunt ibſſten enitſte 1, Ve⸗ 7 und Reeſiſche Regel. 131 »Verhaͤlkniß der Zahlen zu einander, heiſſen wir „verſtaͤndlich und kurz: Wenn zwiſchen zwo oder „»mehr Zahlen eine gewiſſe Relation und Ueber⸗ veinſtimmung befindlich iſt. Dergleichen hat nun »ſtatt: I. Wenn eine Zahl aus der andern ent⸗ „ſtehet. II. Wenn eine den Werth der andern vausmacht. III. Wenn ſich eine Zahl von der v„andern ſagen laͤßt. IV. Wenn ſich die Groͤße „der einen nach der andern richtet. V. Wenn eine „Zahl von der andern gefragt wird, u. dergl.“ Aber eben aus dieſer Erklaͤrung erhellet ſeine wahre Lage. Ohne Zweifel ſuchte er aus den Auf⸗ gaben, die er nach der Regel de tri, Regel de quin⸗ que, ſeptem ꝛc. berechnet fand, und nun durch zwey Saͤulen anſetzen wollte, gewiſſe Kennzeichen zu ab⸗ ſtrahiren, woran man entdecken koͤnnte, ob eine vorhabende Aufgabe wirklich fuͤr ſeine Saͤulen paſſe. Auf dieſe Kennzeichen ſuchte er die Regeln ſeines Anſatzes zu gruͤnden; und da er gehoͤrt hatte, daß alles Rechnen auf Verhaͤltniſſen beruhe; ſo hielt er die Kennzeichen ſeiner Gruͤnde auch fuͤr die Kenn⸗ zeichen der Verhaͤltniß. Das alles aber that er, ohne zu wiſſen, was Verhaͤltniß ſey oder nicht ſey, wie es ſein Buch faſt auf jedem Blatte beweiſet. XI. Unter den Regeln, die man in der Folge fuͤr Reeſens Anſatz gegeben hat, gehen mich hier, nach Vorrede zum erſten Theile, S. 5, No. 2, diejeni⸗ gen nichts an, welche ihre Saͤulenſetzung durch die Lehren der Propertionen rechtfertigen. Man kann auch wohl dagegen einwenden, daß, wer eine Auf⸗ gabe nach Einſicht der darin vorkommenden zuſam⸗ mengeſetzten Verhaͤltniſſe berechnen wolle, die Ree⸗ 1 2½ ſiſche 132 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz ſiſche Regel gar nicht noͤthig habe, ſondern wenig⸗ ſtens eben ſo bequem nach denen durch ſie verdraͤng⸗ ten Formen der regula multiplex verfahren koͤnne. Unter denen Vorſchriften aber, die den wah⸗ ren Umſtaͤnden des Erfinders angemeſſener ſind, iſt wohl diejenige vorzuͤglich bekannt worden, die ſich hauptſaͤchlich auf den ontologiſch⸗ mathematiſchen Satz gruͤnden ſoll, daß ſich zwey Wirkungen ver⸗ halten muͤſſen, wie die Producte aus den Zahlen, weiche die Verhaͤltniſſe zwiſchen den intenſiven und extenſiven Groͤßen ihrer Urſachen vorſtellen. Daß dieſer Satz fuͤr deutlich denkende Mathematiker ſehr unterhaltende Betrachtungen veranlaſſe, hat noch neulich der Hr. Hofrath Kaͤſtner in einem neuen Beyſpiele von den Wirkungen des zweyten, dritten Grades u. ſ. w. gezeigt *). Daß er aber fuͤr ge⸗ meine Rechner zu hoch ſey, und auch in Abſicht auf die Urſachen und Wirkungen der Reeſiſchen Regel nur ſehr undeutlich werde gebraucht werden, iſt leicht zu uͤberſehen. Vielleicht wird er von vielen, die davon reden, gar nicht gebraucht; ſondern ſie ha⸗ ben das richtige Facit ihrer langen Uebung in aͤhn⸗ lichen Aufgaben, oder ihrem geſunden Verſtande zu danken, der einen ſo hohen Erkenntnißgrund bey Seite ſetzt, und fuͤr ſich allein rechnet. Manchen Schriftſtellern muß man zugeſtehen, daß ſie beſtaͤndig den Grund ihrer Rechnungen an⸗ geben; ob man ſie gleich mit Recht beſchuldigen kann, daß ſie ſich hoͤchſt ſelten darauf gruͤnden. Sie reden beſtaͤndig von Verhaͤltniß, und freylich gruͤn⸗ den ſich alle arithmetiſche Behandlungen auf Ver⸗ haͤltniß. *) Fortſetzung der Rechenkunſt ꝛc. Goͤttingen, 1786. Z galiß. ſagen neriſhe ſihligen. Varhile diſe Ert ſchen de Sie ſerheit de Ang auf ſuch,, Pn orith , wei ndrin fürne, den da :. kſid de ſh mnmtſchen Ngen v⸗ n Duen ſoen nikt ſhr Nr y n mun 1, Witn det fir ge bſcta en Al ſlice den, Ne nſe ſ⸗ n i Knten nud h Gſthen gen eH n. e Hgin S i und Reeſiſche Regel. 133 haͤltniß. Wenn man aber bey beſtimmten Faͤllen fragen wollte, ob man die geometriſche oder arith⸗ metiſche Ration, oder etwa irgend eine von den un. zaͤhligen Relationen, die wir Deutſche freylich auch Verhaͤltniſſe nennen, zu befolgen haben: ſo moͤgte dieſe Entwickelung manche Schwierigkeit verur⸗ ſachen. Eben ſo, und faſt noch mehr, werden die Saͤtze von Urſache und Wirkung gemisbraucht. Man leitet Rechnungen aus ihnen her, wo gar keine eigentlichen Urſachen und Wirkungen vorhan⸗ den ſind, bisweilen nur ſolche Verhaͤltniſſe vorkom⸗ men, als zwiſchen andern Groͤßen bey Urſachen und Wirkungen ebenfalls Statt finden. Xhll. Die brauchbarſte Regel, welche bei Gele⸗ genheit des angefuͤhrten Satzes und deſſen Anwen⸗ dung auf die Reeſiſche Regel entſtanden ſeyn mag, iſt wohl, daß man jede Wirkung (oder was man zum arithmetiſchen Gebrauche ſo betrachtet) ihrer Urſache gegen uͤber, und die beyden Wirkungen eben⸗ falls in zwey verſchiedene Saͤulen ſetzen muͤſſe; und dieſe ungekuͤnſtelte Anleitung fuͤhrt in der That, der vorhin gemachten Anmerkung ungeachtet, den gut⸗ willigen Rechner ziemlich weit. Aber wenn nun die Grade der Urſachen ſelbſt, oder auch ihre Dauer, ſchon durch mehrere Zahlen beſtimmt werden; ſo ent⸗ ſteht die Frage, wie dieſe Zahlen, die aus ihrer Zuſammenſetzung entſtehende Groͤße beſtimmen? Wenn man freylich lauter ſolche Aufgaben vorlegt, worin ſie entweder Multiplicatoren oder Diviſoren ſind; ſo reicht die angefuͤhrte Regel ziemlich zu. Aber wenn nun dem Geſchaͤftsmanne etwas andere Aufgaben vorkommen; ſo könnte er oft zum Reeſi⸗ SS 13 ſchen 134 34. Kap. Erinner, uͤber Kettenſatz ſchen Anſatze ſchlagen, was gar nicht dahin gehoͤrt. Dieſen Mangel wollte, duͤnkt mich, Raphael Levi durch ſeine Rechnungsmethode erſetzen; und daß er ſeine, wo nicht allzu ſcharfſinnigen, doch ziemlich tiefſinnigen *) Mittel nicht gerade zu verwarf „ be⸗ weiſet mir, wie ſehr er dieſen Mangel im Nahmen des gemeinen Rechners fuͤhlte. XII. Bey dieſen Bemuͤhungen liegt ohne Zwei⸗ fel der Wunſch nach gewiſſen Kennzeichen zum Grun⸗ de, woraus man abnehmen koͤnne, ob man mit die⸗ ſer oder jener Zahl einer Aufgabe wirklich dividiren oder multipliciren muͤſſe; wonach, noch einmal ge⸗ ſagt, niemand zu ſuchen hat, der ſich auf Proportio⸗ nen gruͤnden will. XIII. So oft ich mich nun nach dergleichen Kennzeichen umſehe, wodurch man denn natuͤrlich gerade die wirklichen oder ſo genannten Urſachen und Wirkungen, womit ſich der Reeſiſche Anſatz allein nur beſchaͤftigt, gehoͤrig erkennt und unterſcheidet; ſo gerathe ich allemahl auf die Betrachtungen, wel⸗ che, ohne allen aus genannten Gebrauch der allgemei⸗ nen Begriffe von Urſache und Wirkung, bey der Baſedowiſchen Regel zu rechte weiſen. Darnach laſſe 7 Iſt es wohl nicht eine ſehr gemeine Eigenſchaft gelehrter Iſraeliten, daß ſie mehr tiefſinnig als ſcharfſinnig denken? Uebrigens war Raphael Levi, da er ein gelehrter Iſraelit war, gewiß auch ein Metaphyſiker; und dies voraus geſetzt, ſcheint es wohl, daß ſeine Methode durch die Bemuͤhungen veranlaßt iſt, die er zur Schaͤtzung der Grade durch Dimenſionen, oder gleichfoͤrmig uͤbers Subject verbreitete Praͤdicate bereits vorgefunden hat. ſſe ich lll.ben gben de ectenod Ne Keten Crtſehung Or Veh ſl ſole: en, deſ ſten At Kerenc ſtſer tin s de Ulthen ſcs n iufd Mrotken W. iſeniihſt Mh n ſttt in tnen;: e ſ ic nan W wade 516, lalebe. 1 ſet n dt hotl d nd e eni worf, le Nuen hne ⸗ Pne m nide Hdivde Pund ge Nceie Nheicen titig chenun s AAn ſceidet n, ber Algen Ne Dnh Grintt ig d eint 4 hunyn e H ii . und Reeſiſche Regel. 135 laſſe ich alſo alle ſolche Aufgaben der zweyten Art in III. berechnen, welche einige meiner Leſer als Auf⸗ gaben der Regel de quinque, ſeptem, novem ꝛc. der directen oder indirecten, kennen werden. So bleibt die Kettenregel das, was ſie auch ihrer hiſtoriſchen Entſtehung nach, unter dem Nahmen der Arbitragen oder Wechſelrechnung u. dergl., anfangs war und ſeyn ſollte: eine bequeme und ſichere Form fuͤr Auf⸗ gaben, die ſich ohne Kuͤnſteley durch lauter Saͤtze der erſten Art in III. ausdruͤcken, und auch in einen Kettenſatz von der in §. 478. beſtimmten Beſchaf⸗ fenheit bringen laſſen; bey deſſen Berechnung uͤbri⸗ gens die Vortheile des Aufhebens wenigſtens zu ver⸗ muthen ſind, und der den groͤßten Nutzen bey ſol⸗ chen Aufgaben leiſtet, worin viele Nahmenaͤnderun⸗ gen vorkommen. XIV. Aber auch bey dieſen Aufgaben, welche eigentlich fuͤr die Kettenregel gehoͤren, giebt man ſich durch zu weit getriebene Erſparung und Bequem⸗ lichkeit in ſehr große Gefahr, voͤllig unrichtig zu rechnen; worauf ſich die 2te Bedingung in IV. bezieht. Ich muß dieſe Behauptung erweiſen, weil mich manche ſparſame Rechenmeiſter ſehr bemitlei⸗ den werden, daß ich, auch nach Befolgung des §. 526, noch ziemlich viel an den Nahmen zu ſchrei⸗ ben habe. Ich waͤhle dazu zuvoͤrderſt ein Beiſpiel — deren es unzaͤhlige giebt — aus einem der beſten Rechenbuͤcher, worin dieſe Kuͤrze gebilligt wird. Es kauft jemand 3 Q Waare, Bremer Ge⸗ wicht, fuͤr 186 Gold; fuͤr wie viel Kaſſengeld muß er bey Hannoͤveriſchem Gewichte das Quentchen wieder verkaufen, wenn er 20 auf 100 gewinnen will? I 4 100 — 136 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz 100 e Bremer ſey 99 f Hannoͤveriſch. — R Kaſſeng. gehoben 1 Quentl. Hannoͤv. 3 Bremer 186 * Gold ausgelegt. 16 36 960 1 90. 8 α 100 6 1 L. 32 Loth . ſ en . 15 hne 1 4 Kaſſengeld. 39 Hannoͤveriſch 100 Bremer. 100 ausgelegt 120 gehoben. Fac. 1 ⁄2¾ Kaſſengeld? “ xv. Ich will jedes Wort eines Nahmens, z. B. jedes von den drey Woͤrtern, Pfennig Haſ⸗ ſengeld gehoben, einen Nahmentheil nennen; ſo ſieht man bey Verfertigung dieſes Anſatzes die Regel zum Grunde liegen, daß jeder Nahmen⸗ theil in beyden Saͤulen gleich ofte vorkom⸗ men muͤſſe. Demnach koͤnnte die Richtigkeit dieſes Anſatzes adurch gepruͤft werden, daß man gegen einander dadrch gerraſt Wort Pfennig im erſten linken Gliede gegen Pfennig im vierten rechten; Kaſſen⸗ geld im erſten linken, gegen Kaſſengeld im achoen rechten; gehoben im erſten linken, gegen gehoben im letzten rechten, und ſo fort, bis man alle Nah⸗ mentheile auf beyden Seiten gegen einander iwegge⸗ ſtrichen haͤtte. Dies waͤre dann natuͤrlich eine rich⸗ tige Verſicherung „daß der Anſatz der gegebenen Regel gemaͤß ſey. *) Aus Schmids Rechenkunſt Seite 207. ſenn, d eriſche Uer ſße Uie doch Certihh ſh ſeie nin 100. Nirunch ſuligen itt noch Nl iinen lle. 1 Wuhe Nn eſer os kinneg ſten. leiſn, ee — ge) Nhnen ng N ei nennen; lſctade Jahmen, votkon 1 eitnnde mn luin ſn in ihn/ ghte e N⸗ wege enen⸗ eben und Reeſiſche Regel. 137 XVI. Eine andere Frage iſt nun, ob die Befol⸗ gung dieſer Regel hinreichend geweſen ſey, uns einen zuverlaͤßig richtigen Anſatz zu verſchaffen? Wenn ich ihre Vertheidiger frage, ob in dem Sten Satze Hannoͤveriſches Gewicht oder Bremer zu verſtehen ſey, ſo werden ſie das nicht zu beſtimmen wiſſen; und das iſt ein ſehr nachtheiliges Geſtaͤndniß. Es koͤnnte ja ſeyn, daß zwar 100 Hannoͤveriſche einen Han⸗ noͤveriſchen L, aber dagegen erſt etwa 116 Bre⸗ mer einen Bremer ausmachten; und nun waͤre doch wohl zu wiſſen noͤthig, welches von beyden eigentlich hieher gehoͤre? Herr Schmid nimmt frey⸗ lich in ſeinem Rechenbuche ein fuͤr allemahl an, daß man 100 f8 auf 1 & rechnen ſolle; einen ſo ſtarken Gebrauch haͤtte er, nebenher geſagt, von der Ent⸗ ſchuldigung, exempla non requirunt veritatem, nicht machen ſollen, wo er doch verſchiedene Gewichte mit einander zu vergleichen ganz eigentlich lehren wollte. Aber man nehme nun die wahren Saͤtze an, daß in Hannover 112 ſt, in Bremen aber 116 den reſpectiven L ausmachen; ſo erhellet ganz buͤn⸗ dig, was ich beweiſen wollte, daß die Regel in XV keinesweges hinreicht, die wirkliche Verkettung zu erſetzen. Das folgende Beyſpiel wird eben daſſelbe beweiſen, und zugleich zu andern Erinnerungen Ge⸗ legenheit geben. XVII. Wie viel Coͤllniſch Gewicht muß man gegen 200 t Berliner Gewicht eintauſchen, wenn man 20 auf 100 bey dieſem Tauſche gewinnen will? 827 Berliner ſ machen uͤbrigens 829 Coͤlniſche aus, und im Berliniſchen gehen 110 , im Coͤl⸗ niſchen aber 116 auf einen K. 1 5 Mache 138 34. Kap. Erinner. uͤber Ketttenſatz Mache ich nun folgenden Anſatz: — L Coͤln. Einnahme 200 Berl. Ausg. 100 Ausgabe 120 Einnahme. 827 Berliniſch 829 Coͤlniſch. 110 % 1 K. ſo iſt dieſer Anſatz der Regel xv. vollkommen gemaͤß; denn jeder Nahmentheil kommt in beyden Saͤulen gleich oft vor. Auch ſtimmt jeder einzelne Satz deſ⸗ ſelben mit der Aufgabe uͤberein, wenn man den drit⸗ ten Satz von Berliniſchen und Coͤlniſchen Pfun⸗ den verſteht. Hier ſind alſo lauter wahre Saͤtze, und wovon man gar wohl vermuthen kann, daß ſie zur Aufgabe und deſſen richtigem Anſatze gehoͤren, der Regel in XV. gemaͤß angeſetzt. Dennoch iſt der Anſatz falſch, wie es der folgende kettenfoͤrmige An⸗ ſatz darthut. — L Coͤln. Einnahme 200 g Berl. Ausg. 827 Berl. Ausgabe 829 ρ Coͤln. Ausg. 116 Coͤln Ausgabe 1 Coͤln. Ausg. 100 & Coͤln. Ausgabe 120 CK Coͤln. Einn. XVIII. Ich habe ſo eben gelegentlich beruͤhrt, daß man bey dem Satze, 827 Berliniſch geben 329 Coͤlniſch, gerade Pfund verſtehen muͤſſe, nicht Centner. Denn eben darum weil dieſe Vergleichung in Pfunden richtig iſt; ſo iſt es falſch, daß 827 Centner Berliniſch auch 829 Centner Coͤlniſch ge⸗ ben. Die Urſach iſt einleuchtend: weil der Berlini⸗ ſche Centner aus 110, und dagegen der Coͤlniſche aus 116 der reſpectiven Pfunde beſteht. Hieraus iſt klar genug, daß auch dieſe abge⸗ kuͤrzte Schreibung in großen Irrthum verleiten foͤnne. XIX. IIN che Zeil G ichich a⸗ ſern 19 (Do,un Uleins: ſl dethal Cenn nan ſtte, un Groſhende ſhen den er Cegend N . Mrchen, An boſpiele; ſ ſte Nen it hide ed mumtsig N. engeniß n Eiten SH nden en PN Sie , Nſe. . ghirn, ciſte mmige Ar ueg sg. Eion. htit Nn ſe,n lihn , ſh Belct hiſte hye le 2 69. und Reeſiſche Regel. 139 XIX. Eben dieſelbe Erinnerung trifft auch die achte Zeile im Schmidſchen Anſatze XI V. Wenn 15 ° Gold = 14 * Kaſſengeld ſind, ſo ſind freylich auch 15 ι Gold = 14 ſ Kaſſengeld, in ſo fern 1 ϑ Gold den 288ſten Theil eines Thalers in Gold, und 1 Kaſſengeld ebenfalls den 288ſten Theil eines Thalers in Kaſſengeld ausmacht. Aber eben deshalb wuͤrde man etwas falſches behaupten, wenn man auch 15 96 Gold = 14 96 Kaſſengeld ſetzte, und doch unter Groſchen in Kaſſengeld nur Groſchen von 8 R, unter Groſchen Gold aber Gro⸗ ſchen von 12 R verſtaͤnde. Da nun dieſes in man⸗ chen Gegenden einſchleichen koͤnnte; ſo iſt es ſehr be⸗ denklich, ſo gerade zu den unbeſtimmten Satz zu gebrauchen, daß 15 Gold = 14 Kaſſengeld iſt. Ich will das Mißliche dieſer Kuͤrze an einem— Beyſpiele zeigen, wobey ſie in jeder Gegend eine falſche Rechnung geſtatten und veranlaſſen wuͤrde. XX. Wie viel Xr. leichtes Geld koſten 3 Loth, wenn 1 ſ fuͤr 8 90 Saͤchſiſch Geld verkauft wird? Es ſoll hier unter leichtem Gelde das Geld nach dem 24 Guldenfuße verſtanden werden; daher denn 24 leichte Gulden mit 20 Gulden Saͤchſiſchem, conven⸗ tionsmaͤßigen Gelde einerley Werth haben. — Xr. leicht Gold. . 3 Loth. 1 8 96 Saͤchß. Geldd) 32 Loth. 1 . 19 12 . 4 ſ₰ 1 Xr. “Z 20 Saͤchß. Geld. 24 leicht Geld. (xs 140 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz — Xr. leicht Geld. 3 Loth. 32 Loth. L 1 . 1 B6BS 8 3˙ Saͤchſiſch. 1 9 Saͤchſiſch. 12 . Suaͤchſiſch. 20 R Saͤchſiſch. 24 leicht Geld. 4 J leicht Geld. 1 Xr. leicht Geld. AXrujl. Von dieſen beyden unrichtigen Anſaͤtzen iſt der vte der Regel in XV. gemaͤß verfertigt. Der 2te wird demjenigen entſtehen, der zwar eine wirk⸗ ligche Kette zu erhalten ſucht, aber an den unbeſtimm⸗ ten Ausdruck gewoͤhnt iſt: 20 Conventionsgeld gleich 24 leichtes Geld. Wenn ihm dieſer Satz ſchon ganz gelaͤufig geworden iſt; ſo ſchreibt er natuͤr⸗ lich ohne alles Bedenken auch hin, daß 20 N Saͤchſiſch Geld ebenfalls 24 R leichtes Geld aus⸗ machen. Das iſt aber unrichtig, weil die 8 im Saͤchſiſchen Gelde, nach der in Sachſen uͤblichen Waͤhrung zu 12 R gerechnet werden, wonach ein ſolcher Pfennig den 192ſten Theil eines Saͤchſiſchen Guldens ausmacht; da hingegen bey der Reichs⸗ waͤhrung, worin Xr. zu 4 vorkommen, ein Pfen⸗ nig nur den 240ſten Theil eines Guldens betraͤgt. XXII. Iſt man dagegen gewohnt, ſich auf den hinlaͤnglich beſtimmten Satz zu gruͤnden, daß 20 Gulden Conventionsgeld mit 24 Gulden leichtes Geld gleichen Werth haben; ſo wird man nicht ſo⸗ gleich Pfennige ſtatt Gulden hineinſchreiben. Und wenn man dann bey einiger Bedachtſamkeit bemerkt, daß dieſe Vertauſchung nicht erlaubt iſt, weil der letztere Satz aus dem erſtern nicht folget; ſo fuͤhrt man gewiß die Kette auf den richtigen Satz hin. . Dadurch Des Aplit 1lh 1. b Ei uden 1Glden IUI fnſchen Ge keſr Crchye Cor⸗ Hrithen Uinnitſ pagic n E 1 Mn ligſee ſ N Ben di rſe m ud v,A ſihn ſh, lenrin Edes ſh. ⸗ Held. liſtte . Ne eine uit⸗ eſirn tonshed ſer anctin 6n Hid as⸗ ſlchen nech a tſſtn enhin ig hafd 10 liches igt und Reeſiſche Regel. 141 Dadurch erhaͤlt man folgenden richtigen Anſatz: — Xr leicht Geld 3 Loth. 32 Loth . 1 B. 1 8 8 . Saͤchſiſch. 16,97“ Saͤchß. 1 Gulden Saͤchß. 20 Gulden Saͤchß. 24 Gulden leicht Geld. 1 Gulden leicht Geld 60 Xr. leicht Geld. XXIII. Allerdings giebt es mehrere Faͤlle, wo man ſich entweder mit voͤlliger Richtigkeit, oder doch ohne beſorglichen Nachtheil, auf ſolche allgemeine oder abgekuͤrzte Vergleichungen beziehen kann. So rechnet man im Brandenburgiſchen, wie in Churſachſen, nach Thalern, Groſchen und Pfennigen, und in beyden Gegenden iſt auch ein Groſchen der 24ſte, und 1 R der 288ſte Theil eines Thalers. Wenn daher, wie es der innere Gehalt beyder Geld⸗ arten mit ſich bringt, 20 Thaler Saͤchſiſch = 21 Tha⸗ ler Preußiſch geſetzt werden; ſo hat man auch 20 Gro⸗ ſchen Saͤchſiſch mit 21 Groſchen Preußiſch, und 20 Pfennig Saͤchſiſch mit 21 Pfennig Preußiſch, wenigſtens als Rechnungsmuͤnze betrachtet, fuͤr gleich zu achten. Natuͤrlich iſt es jedem erlaubt, wenn er dies deutlich einſieht, auch 20 3 (oder α½) Saͤchſiſch = 21 3l (oder ) Preußiſch, in dem Kettenſatze zu gebrauchen. Das erſpart bisweilen mehrere Saͤtze, die man ſonſt noͤthig haͤtte, um bis zu den Thalern hinauf, und von da wieder herab zu ſteigen. Will man aber nun auch gerade zu, 20 Saͤch⸗ ſiſch = 21 Preußiſch ſchreiben; ſo wird dadurch die Kette unterbrochen: und das iſt ein groͤßeres Uebel, als das Hinſchreiben einiger Zeichen von und 97. XXIV 142 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz XXIV. Vollkommen, und in ſeiner ganzen All⸗ gemeinheit richtig, druͤckt man ſich z. B. auch aus, wenn man fuͤr den Fall, wo man 20 auf 100 gewin⸗ nen ſoll, ſagt, daß 100 Ausgabe uns 120 Einnah⸗ me bewirken ſoll. Denn in dieſem Falle ſoll man 20 * auf 100 *, 20 9 auf 100 37, 20 Xr. auf 100 Xr., 20 Blafferte auf 100 Blafferte, oder bey bloßer Vertauſchung zwiſchen Waaren, auch 20 Q, ſ, oder Scheffel auf 100 K, Scheffel und dergl. gewinnen; und eben ſo richtig iſt der allge⸗ meine Ausdruck, daß man etwa 4 auf 100 zu ver⸗ lieren habe, alſo nur 94 Einnahme fuͤr 100 Aus⸗ gabe erhalte. Daher man die Erleichterung, welche dieſe Allgemeinheit gewaͤhrt, bey der Gewinn⸗ und Verluſtrechnung allerdings benutzen kann. XXV. Man findet z. B. bey den Muͤnzrech⸗ nungen, und ſelbſt in den Schriften des großen Denkers Graumann, der uͤbrigens durch vorzuͤglich genaue Beobachtung der Kette wohl gezeigt hat, daß er das eigenthuͤmliche Gute des Kereenſäßee gekannt habe, Anſaͤtze folgender Art: — Gewicht fein Silber 1 Gewicht fein Gold. 212¾ Karat fein Gold 335 Friedrichsd'or. 1 Friedrichd'or 5XPreuß. Curr. *). 14 * Preuß. Current 1 Mark fein Silber. 1 Mark 24 Karat. XXVI. *) Graumann wollte naͤhmlich bey der erſten Einrich⸗ tung ſeines Muͤnzfußes in den Brandenburgiſchen Staaten, daß 1 Friedrichsd'or mit 5 † Preuß. Current bezablt werden ſollte; ob ſich gleich der Gold⸗⸗ . peis, 1 eheben beis ſet genecht ſen Eint g. 0 nclenih ler des ung zu ſdern de nobhl ein urch den n duen ſinmnen lath n 1r Nn ert ⸗ —ſaret iſfn tat 1Far P 1Mark Hiadn .H t, en Gold tun M ſene ler temn ſc⸗ nzen ⸗ duch an o gein Einh ſolrn . N u ,Cdete nichr⸗ geſtrd 4 det al⸗ O An 100 M , weche ian⸗ Wd und Reeſiſche Regel. 143 XXVI. Auf dieſen Anſatz paßt nun der Be⸗ weis, welchen wir (*§. 507.) von dem Kettenſatze gegeben haben, wiederum nicht. Denn jener Be⸗ weis ſetzt voraus, daß man wirklich einen Kettenſatz gemacht habe; aber die Nahmen der hergeſchriebe⸗ nen Saͤnlen ſtehen ja nicht in der gehoͤrigen Verket⸗ tung. Gleichwohl kommt das Facit allemahl und in allen aͤhnlichen Faͤllen richtig heraus? Allerdings! Aber das hat man wiederum nicht der Kettenrech⸗ nung zu verdanken, welche hier nicht beobachtet iſt, ſondern dem gluͤcklichen Nebenumſtande, daß alle⸗ mahl ein Schluß dabey Statt findet, wo⸗ durch der Fehler des Anſatzes er gaͤnzt wird. Um das einzuſehen, hat man nur, ſtatt des unbe⸗ ſtimmten Ausdruckes Gewicht, das Gewicht Ka⸗ rat hin zu ſchreiben, welches die Kette hier verlangt. Dann erhaͤlt man folgende richtige Kette: — Karat fein Silber 1 Karat fein Gold. 21 Karat fein Gold 35 Friedrichd'or. 1 Friedrichd'or 5 v*† Preuß. Current. 14 r Preuß⸗ Curr. 1 Mark fein Silber. 1 Mark fein Silber 24 Karat fein Silber. Hierdurch erfaͤhrt man nun mit erwieſener Rich⸗ tigkeit, daß 1 Karat fein Gold fuͤr 13 4½¼ Karat f. Silber gegeben werde. Und nun kann man leicht den Goldpreis doch wieder geſteigert hat, daher man nun Agio giebt. Wegen ſeiner Urtheile uͤber das Muͤnzweſen, die uns zur Verehrung ſeines Ver⸗ ſtandes hinreiſſen, habe ich ihn einen großen Den⸗ ker genannt; nicht etwa deshalb, weil er die Ket⸗ tenrechnung richtiger als andere anſetzt, 144 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz ꝛc. den Schluß hinzu fuͤgen: wenn 1 Karat fein Gold = 134 ½¼ Karat fein Silber iſt; ſo iſt auch z. B. 1 Mark fein Gold = 13 ½½ Mark fein Silber, und ſo uͤberhaupt jedes andere beliebige Gewicht f. Gold mmit 134 ½ dieſes Gewichtes in feinen Silber gleich. So verfahren, weiß man alles aus ſeinen Gruͤnden; und hat das richtige Facit nicht gewiſſen gluͤcklichen Nebenumſtaͤnden zu verdanken, die man vielleicht nicht einmahl kennt. XXVII. Noch andere Fehler bey kettenaͤhnlichen Anſuͤtzen kann ich unberuͤhrt laſſen, da ich ſie bereits in des Hrn. Peterſen Magazin fuͤr die Arith⸗ merik gelegentlich angezeigt finde; wovon ich ſo eben erſt die beyden erſten Stuͤcke erhalten habe. In der dortigen Abhandlung uͤber den Unterſchied der Reeſi⸗ ſchen und der Kettenrechnung trifft manches mit mei⸗ nen hieſigen Aeußerungen uͤberein. Wer aber beydes lieſet, wird finden, daß jeder von uns in ſeinem eige⸗ nen Geſichtspuncte ſteht, und was er ſagt, mit meines Nachbars kleinem Carl zu reden, aus ſich ſelber hat. Meine Kenntniß von Raphael Levis Rechnungsme⸗ thode (XI.) iſt indeſſen lediglich aus des Hrn. Peter⸗ ſen Vorſtellung genommen. Er hat gewiß nichts daran verdorben, und ließ mich mit leichter Muͤhe uͤberſehen, was ich wahrſcheinlich nicht ohne groͤßern Zeitaufwand aus der fruͤhern Quelle geſchoͤpft haben murde; die ich mir auch nicht ſogleich verſchaffen onnte. — Bernn 8 Anhang. nꝛ ,dDO Anhang. Ner, und — en Beantwortung der Uebungsaufgaben. er geh. . Drnden Regel de tri. §. 350. Ri No.] §. 332. 18 9 Stuͤck. J n 342 Ducaten. e, n⸗ 3 142 Monath. Ausdruck der Bſche ti 5 23 Schfl. 5 ¼ Metzen. In Meißniſch. Waͤhrung. be⸗ 6 2 Schfl. 14 Metzen. Nis 7 133 Wſpl. 18 Schfl. Jo No gini 8 100 Fl. 48 Xr. II6 9c 81 7 9 e * Snnt hne⸗ 1 . der beds 914 t 2†7 21182 9 18 2⸗ R 109½ * 3 9 ⸗ 1021 ⸗ ei Reegel de tri bey 51,8 „ 12 8⸗ hunle⸗ Bruͤchen. 6 110 ⸗ 13 5 „ nen 12 ⸗ 14 &S ⸗ ..Pa No. §. 357. 7 RK . r . ſit⸗ 1II II10 *ε 6 46 SS Ne 12 „ . E In Braunſchn. Waͤhrung. u 13 6 3 37½5 ₰ No. No 1 14 13 96 10 56⅓ MAr 1 8 Mgl. 7 10Mgl. C. 2 3 115 ⸗ 9128— No.] 8. 359. 3, 10 3. 16 6 36 11 ½ 5 20 ⸗ 11 6 ⸗ 17 6& 13 ethig Ouel. 6 21 ⸗ 12182 eH Buſſ. Rechenb. 2. Theil. K In 1406 Anhang. Be⸗ In der Reichswahrung. N. 4 No. No. No. §. 40 5. 2 I18 Xr. 6 20 XKr. 19 66 X C 16 2 50 ½ 7 42 20 55.⸗ 61 3124 ⸗ 8 3 211116 ⸗ 16 ⸗ 9. 4 40 ⸗ 9 3 Aà 22 71 ⸗ 18 ⸗ 134 5 48 2 10 2 23 116 ⸗ 6 1527: 24 115 ⸗ 14 ⸗ nad No.] §. 402. 26 25 ²‧ 16 27149 ⸗‧ 12 ⸗ 28 ‧° ⸗ 29] 35 ⸗ ſen 3 2 ⸗ 4 30 49⸗ 8 ⸗ ſig⸗ 4 11 ½ 3 31 9 ⸗ 15⸗ 3 ⁸° — ⸗ 321 6 9 ⸗ 6 6 12 6 — S 7 2 *° 12 3 No. §. 407. z 8 1 ⸗ 1‧ 6N. 33 122 re 9 e 9 1 0 34 253 ⸗ i 10 1T *α.° 17 7 z 5 z4 5 £⸗ , 11 22 9 ⸗ 36 816 ‧ 16 ⸗- iguos 12 3 ‧,9 ½ 372 ro62 ⸗ 12 ⸗ Glron 13 13 ⸗ 6⸗ 38 479 ⸗ 6 ⸗ 141 1 ‧ 10 ⸗ 8 39 1282 9 ug 15111 = 9 ‧°9 2 40 279 2 18 2 47 10 ⸗ 12 No. S. 40;˙5. 42 36 ⸗ 20 ⸗„ 16 125 . 43 755 ⸗ 10 .,1717 21 - 44 1102 ⸗ 19 ⸗ 1811422 2 9. 451 195 ⸗ 10 ⸗ 1 Bꝛantwortung der Uebungsaufgaben. 147 No. §. 407. No. §S. 418. 46 52 0 6 % 73 — xC 16 Mgl. 4 47 15 ⸗ 12 ⸗ 74— ⸗ 25 ⸗ 48 97 ‧ 1I5 — 75— ⸗ 18 ⸗ 6 49 47 ‧ 5 ⸗ 4 W 76 r5oXC I8 3 . 50134 9 2 771 27 27 8 h⸗ 51 27 ⸗ 14 ⸗ 6 2- 78143 * I2 - 4 52 29 ⸗ 8 ⸗ 79 134 ⸗ 1 2 11 53 1 89 3 ‧ 3 ⸗. 80 88 ⸗ — ⸗ te 54 114 4 2 5 ⸗ 811153 ⸗ 12 ⸗ 1 82 52 ⸗ 18 ⸗ . 1 ⸗ 2. 35 493 * C 15 3 33 34 — 8⸗ 561428 ⸗‧ 4 ⸗ 57 34‧ 5 ‧4 Aà 851 28 „ — ¹ 58 437 = 7 ⸗ 4 86 4 ⸗ 8 ⸗ 59 88 ⸗ 6 ⸗ 6 ⸗ bℳ% e1 33 ⸗ 15 88 67 ⸗ 13 ⸗ 4 ⸗ 62 36 ⸗ 14 ⸗ 9 ⸗ 89 19 ‧ 9 ⸗ 9 63 255 ⸗ 10 ⸗ 6 ⸗ 90260 — - 15: 64 1106 2 18 8 2- 91 81 9 . 4 65 10032 ⸗ 4 ⸗— ⸗ 92 122 2 „ 2 : 93 210 ⸗ 30 6⸗ 67 527 ⸗ 18 ⸗ I ⸗ . 6 4‧ 38 No.] S. 422. o 70 866 ⸗ 21 2 95 123 Fl. 12 Xr. 9¹ 2I 425 ⸗ 20 ⸗ 96 ſ231 ⸗ 18 ⸗ 9; 72 5 ⸗ 6 ⸗ 88 ⸗ 971 97 ‧° 4 . K 2 9. 422. 110 III 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 4 Anhang. §. 422. No. §. 424. 129 Fl. 36 Xr. 125151 G 128 ⸗ 20 ⸗„ 126 2 ε 2 Loth 2 Qutl. 272 ⸗ 30 ⸗ 127119 28 Lth. 2 Qtl. 103 ⸗ 12 ⸗ 128 22 13 16 Lth. 219 ⸗ 27 ‧ 129 49 K 29 ρ 12 Lth. 374 ‧— ⸗ 130 27 Wſpl. 17Schfl. 101 ⸗„ 12 ⸗„ 131167 Anker 12 Maß. 50 ⸗ — ⸗ 132 576 Anker. 6⸗ 25 ⸗ 133 79 Wſpl. 18 Schfl. 7 ⸗ 36 ⸗ 134 52 fρ 19 tth. 2 Qtl. 1⸗ 52 ⸗ 135133 ε 10 Loth. 13611 & 70 8 Loth. 3 ⸗ 15 ⸗ 2 ₰ℳ. . 19 ⸗ 34 ⸗= 2 ——68. 14 ⸗ 1I1I ⸗ No. §. 427. 138 ⸗ 51 ⸗ 3 ⸗ 137 5 24 6 Lt. 2 ¾ Ot. 108 ⸗ 1 ⸗ 2 ⸗ 13811⁸ 16 Loth 3 ½ Qutl. “B 139 7Wſpl. 9Sch fl. 91½Mz 610 ⸗ 52 ⸗ 140 3 ρι 14 Loth 2 ½ Qutl. 281 ⸗ 38 ⸗ 1411246 X6 4 36 6 ‿“ 696 ⸗ 30 142 1 6 9 906 * A. 12479 Fl. 4 Nr. 143 2 C 14 2 ¾ 13527 ⸗ 482 13 2 1 K 13 G 24 Loth. 1306 ⸗ 40 2⸗ 14512 Ball. 5 Rß. 25 Buch 146 3 29 Loth 1½ Qutl. 448 Fl. 10 Xr. 20. 14760 Xπ 10ο 3 8 J. 303 ⸗ 51 ⸗ 3 · 148 11 X 10 3t 6 1029 ⸗ — ⸗ 2⸗ 149 ¹2² Loth ½2% QAutl. 1160 ⸗ 47 ⸗ 2⸗ 150 4 X C 9e 9606 ⸗‧ 15 ⸗ 151 1 6 1 3t 9 A½⅓ §. 427. „ — =–☛☚ — E ==— — — — — = = S== ==—= — Beantwortung der Uebungsaufgaben. 149 No. §. 427. 1352 10 3 10¾ J₰. Kettenregel. N 153 10 96 10¾ ₰ Nach Meißniſcher Waͤhrung. A. 154ſ27 Mgl. 4 ½ ℳ 10 [§. 505. 1el. 1551 Fl. 32 Xr. No. . 156 10½¾ Schock. 129 ¼ * 0. ei. 157 6 f 20 Loth 2¾ Qutl. 2 16 36 4 ₰ M. 15816 ι² Loth 1 ¼ Qutl. 3194¾ 96 159 1 13 3 1½ 4 36 X° 16 S 160 4 Fl. 11 Xr. 2 ¾ ₰ſ 5 5 ¾ ſ△ A 6 13 *6 8 90 Vergleichung der 7 1 3e 3 ₰. 9H Bruͤche. 8 20 . No. No. 10 24 * 0 8 3 1 F szac⸗ 11 1 0 1123 R* a. 2 z fl. 7 5619 Fl. 12 872; „2 1Ou. 3 4 0 8 1522 ¼ ₰£ 1315 18 90 10¾ 1M 1 „» n L 19 aes Nach der Reichswaͤhrung. 5 7Z 2 6 4 0, : . . 7 H 14 27% Xr. f II S 14 z 15 122 Fl. Duß 12 %½ 15 £ 16 — ⸗ 1832 Xr. . 13 5 1612 17 — ⸗‧ 2Xr. 2 .ℳ 4 No. No. 18 144¾ FSl. 4 1715 225 19 100 ⸗ 48 Xr. 18 3 23123 20 16 ⸗ 19 24 21 9 ⸗ 4 ⸗ 20 £½ 2515 22 15 ‧ 12 ⸗ 21 ½ K 3 Nach 150 No. 23 26 NFao. 41 42 43 44 24 39 4012 19 Tage Anhang. Nach Braunſchw. Waͤhrung. 35 6 20 Mrgl. 7¾ ρ 65 * 12 ¾ Mrgl. O₰◻☚ ◻ & e ee P— 42 Stunden §. 514 No. 48 49 22 ◻ 57 = –— — — 00 α — 2 — — — — , 2249 Quentchen 95 Metzen 2. 9 5 6 —.— §. 523. 6 ½ 96 39 X6 2 96 8 ₰ 28 6. 13 9 8 A 653 Fl. 7 NXr. 2 ₰. 9 13 96 7 13 ſ 13 tt. 3 ¾ Qtl. S. 723. = = = — = = = = — — — = — — — — —— . . Beantwortung der uebungsaufgaben. 151 No. S, 523. Reductionsrechnung. 71 C A. 10 A No.] §S. 562. 227ρ 4”t. utl. M 23 9 C 48 N A 96 1 1 9 2 A. 7 29 10 SI. 97 2 6 23 96 42 O. 75/20 x6 2 96 2 ¾ 98 ſ2 * 0 20 % t 768 r6 22 90 14 - 99 45 *C. 77166 Fl. 51 Xr. 1 ¼ ₰. 1¹100189 xC 9 ½¼ Mrgl. 78 49 18 96C 1I /½ A 79 4 r6 18 3 1221 A No. §. 567. Zinsrechnung. 45 ¾ R No.] S. 539. 102]112 X6 6 96 103 4 r6 5 96 72r ℳ 81 52 ¾ Fl. 104 9 96 11 82 5 Fl. 24 KXr. 10 5 518 9 9 ½ 8311 96 2 A 106 121 90 2 ¾ ₰ℳe 84 55 7 90 2 A 107 3 r6 1 96 5 2 N 85 126 Fl. 10814 x6 16 ” (oder 86 6666 ¾ x6 4 rC 24 Mrgl.) 37 1¾ . 109 59 96 6 ₰ 88 2 90 10 A& 110]7 *0— 9 ” 9 ½ .* 89145 Xr. 2 No. §. 541. No. §. 573. 9015 x. 11ITYZ332 Mrgl. 91 Zu 7 ½¼ p. c. II2 II X II 96 92Zu 3 103 ⅞2 R 93 Zu 5 p. c. 113 20 r6 12 90 1 ½ R 94 Zu 12 ½ p. c 114124 7 6' 10 95 Zu 5 % p. c. 115182777 R 4 §. 5§73. 152 1 eſe oe 2122 4 Meilen, “ 8112 Arbeiter och üͤber 3 ⅞ Meilen 9 9¾ Monath 117 14 ¾ Meile weniger 10 8 Monath 172τας Meile 11 6400 Arbeiter 121500 Gewinn⸗ und Verluſt⸗ 1 3 . Tag. Rechnung. 14 800 πℳ No.] S. 581. 15113 ½ Wochen 5 118141 P. C. 1611r5 6 119 10¾ p. C. .603. 120 11 x6 9 96 No. §. 603 12 112 90 5½2 1715¾ Fl. 122 Er gewinnt 425 p. c. 18 6 Meilen 19 100 Stuͤck No. §. 583. 20◻ 21 5 Monath 123 Er verliert 25 p. c. ²1]240 Fl. 124123 2¾ P. C. L 12 518 2 No.] §. 611. ,B 2215¾ Ellen Baſedowiſche Regel. 23 23 Ellen 11½ G 26 Wuen 2) Ellen 2 16 ¼ Stunden 27 90666 ¾ Stuͤck— 3 6 Tage L 28 456 Flieſen 4 5 14 6 29 39 ⅝ Schuh *† P. c. HD’R 30 167 Sehſ⸗ 10 ¾½ Stu 3 1 872½ Winſpe 7166 ⅝ Himten 321272 ¾½ Stuͤck ugand. . 619. r E Beantwortung der Uebungsaufgaben. 133 No.] §. 619. No.] §. 656. 33125793 ¾ . 17 *. 34 10138 ¾ * 0 18 2α. 35 15 . 19 91. 36 6 ½ Perſonen. 20 13 ¾7. .—. 2184. Addiren in Bruͤchen. 22 104 – 640. 23112¼. do. . 6G44 24 9 ½⁸. 1 %½. 25 16 ¾½/2. 2 1 . „. „ „ . 5 114½. Multipliciren und Di⸗ 4 11 ¾. vidiren in Bruͤchen. No §. 651. 25116. 2 26 6 ¾æ. 6 1 72 27]1132†2. er F. 28 † 8 ⸗r. 29 * ½. 9 ⸗23 , 30 85 4¼. 10 2z*. 3145138. 11 I5. 32 175. 12414%¾2 33 60 2 ⅜ r 1348 ⅞. 34 230¾2 14 506 . 15 69 ½% No. Subtrah. in Bruͤchen. 35 t. 16 ½5 ¾ oder 5 ¾. 38 ¾2. 51 52 53 54 55 No. t d ◻ Ir R ◻ωT8 α = * . S Ae le ir 5 r Plr IH 1 Rechnung mit Deci⸗ malbruͤchen. 533,73 348,85145 39,686 241,306 5,057606 §. 705. 6 0,3654 7[62,2 5 8 9,02 9 149,844 10]0,393009 No. 9. 71 0. 110,01877 12 2,62 5 13116,0 326012 140,540063 156,686 161440 17 16,89 1811II4900 1915810 201581000 No. §. 72r. 21 3,3858 ꝛc. 22 3666,086 ꝛc. 2314115,22 ꝛc. 24 0,4723 c. 24] 32,707 ꝛc. Waͤlſche 21 No. Beantwortung der Uebungsaufgaben. 155 Waͤlſche Practik. No. 12 14 15 20 22 36 39 42 139 140 155 (Fortſetzung.) §. 739. 27 X. 4 36 9 ¾ ₰ 8 Fl. 30 Xr. 144 r6 16 3 5 v 20 3 13 90 9 ₰ 374 ° Ü20 6 ½* 14 ¾ Monath 33 Winſpl. 18 Schfl. 9 ½ No. IOO 11 12 13 14 15 16 17 18 7 Winſpl. 9 Schfl. No. 9 ¾ Metzen. 3 6 14 Lt. 2 ½ Qtl. 1 Fl. 32 Xr. §. 741. 5 *C“ 21 9 7 ¾ A£ 2 ρι 18 Lth. 1 ¼ Qutl. 79 & 82 f 16 Kth. 2 5C 17 5 4 ₰ .§. 743. S= 600 r 9 36 4 24 1 9t 6 A₰ 8188 *° 12 3 12231 Fl. 2851 24 Mrgl. 19 20 21 22 23 S §. 746. 11 r — 3t 4 2 Fl. 23 Xr. 1¾ 61 24 Loth 18 r 0 I5 30 X 16 36 1 XE I4 3 2 C — 2*2° 1 ½ ₰ 644 Stuͤck 18 *C 3 96 §. 748. 1XC 4 4 ₰ §. XC — 10 3 0 1 . 3 ¾ ₰ 32 G— Lth 2 ½¼ Qtl. 69 ſ 2 1 Lth 1¼ Qtl. 2410 r° 2 3 No. 25 26 27 28 29 §. 750. 28 r6 21 4 *½ 1 vD5 22 8 ₰ 13 Loth 2 Quentl. 9 Winſpl. 12 Schfl. 1 K& 65 . Ge ſell⸗ — “ 156 Anhang. “ d Geſellſchaftsrechnung. No.] §. 767. 1 Der erſte, 87 ½3 ¾ 1 ſ⸗ zweyte, 311 5 ⸗ dritte, 4864 ⸗ ₰ vierte, 344¾ 492 . * dritte, 40 X* ⸗ vierte, 60 X⁰ 2 Der erſte, 1282 ½ 4 Fl. ⸗ fuͤnfte, 64 vOů. ⸗ zweyte, 40 X 6. . V 2 U ⸗ zweyte, duzi . dritte, 230 ¾ 2 S „ vierte, 76942 3 2 “ſ” 8 Der erſte, 75 6 i1 3 Der erſte, 75 0. 2⸗ zweyte, 25 ⸗ 4 ⸗= zweyte, 100 dritte, 130 ⸗ 9 Der erſte, 750 ⸗= zweyte, 562 ½ 4 Der erſte, 2 6 ⸗ dritte, 187 ¼ k:⸗- zweyte u. ſte, vierte u. zte, 1 te, 1 . 10 Der erſte, 150 Wo) S⸗ te, 400 5 Der erſte, 3846 ¼ 6 edein “ . 1u zweyte, 288 7 8 .. 1 ⸗ dritte, 264 44 . Vermiſchungsregel. No. §. 767. 3 34 26 Der erſte, 2 * 3 zweyte, 4 ⸗ 116 90 8 ½ ₰ſA 8 dritte, 13 1 2 2 1X6. 5 *5 xA.— „ vierte, 4 = 3 33 X 5 0% . V . Beantwortung der Uebungsaufgaben. 157 No. 4 §. 779. Von der erſten Sorte, 24 = 8: 144⁄¾ Loth Von der weylen Sorte, 4. 7¾ = 27 ρ 30 ¾ Loth Man nehme von der erſten Sorte, 4 und ⸗ ⸗ zweyten ⸗ 22 Von der erſten Sorte, ½ C ⸗ ⸗ zweyten ⸗ 4 K Von der erſten Sorte, ¾ Scheffel g ◻△ 90 ⸗ ⸗ zweyten -⸗ 2 Scheffel Vermiſchte Aufgaben, (Man ſehe die Vorrede Seite XII.) 124 ¾ Ellen 2= Taͤglich 5 Stunden, d. i. * des Tages: jaͤhrlich alſo 2* Jahr, welches fuͤr 30 Jahre betraͤgt 63¾ Jahr 34¾ Eimer Der achte Theil, alſo 2 ½ Fl. 1 75 1X n 3 ½ Der erſte: denn dieſer laͤuft in einer Stunde ¾ Mei⸗ len, und der andere nur 5 Meilen. Es iſt aber 5* um =ræJ kleiner als 5 No. ð 158 Anhang. Beantwortung ꝛc. No. “ Jedes koſtet 1 ι 2 6⁶6 R. Alle zuſammen, 6 X £ 15 9 130 Garben 10 6 Fl. 13 Xr. 1¼ ſℳ . 11 48 X 6“ 5 96 è 12 In 20 % Stunden 13 133 XCâ 8 o 14 440 Tafeln, welche 55 * koſten— 1519 XC 17 96 16 Er verlor 2 6 2 6 £ 17 Den Eimer zu 1 X6 2 96 2 18 Fuͤr 30 x6. 19 Vierteljaͤhrig 16 Fl. 9 Xr. 3 . Monaͤthlich 5 Fl. 23 Xr. 1 ℳ 20 9125 *C. 21 Auf meinen roghatet kam — = v6, a meinen Vater — 7rC, und auf mich nur noch — = 1200 6. Anmerk. Man kann den Zuſammenhang dieſer Bruͤche ſehr anſchaulich durch ſolche Zeichnungen darſtellen, wie ſie in Stammtafeln vorzukommen pflegen; und es wird nicht undienlich ſeyn, mehrere dergleichen Aufgaben fuͤr das i8te Kapitel beyzubringen. —õ ſnen ſe ll, d Verbeſſerungen. . In der Vorrede Seite VIII Zeile 10 Statt: von den lies: von 6⸗ ⸗ .„ ⸗ ⸗ 29 ſo ſogar, 1. * 1 1 8 1 . 7 . . 1 1 . . gr. Anleitung zum Gebrauche iI. meines b n Friedrich Gottlieb Buſſe. Zweyter Theil. zweyte verbeſſerte Auflage. Leipzig, 1795. Bey Siegfried Lebrecht Cruſius, T15 Balance Focus N — 8 4 5 6 . Copyright 4/1999 VxyMaster Gmba www.yXymaster. com 3 2 -Euroskala Offset VierFarbSelector Standard“