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Zzweyte verbeſſerte Auflage.
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Leipzig, 1795.
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Vorrede
zur erſten Ausgabe.

Unm das Eigenthuͤmliche dieſes Rechenbuches aus dem
richtigen Geſichtspuncte zu beurtheilen, wird es noͤthig
ſeyn, ſich an die Vorrede der erſten Haͤlfte zu erinnern,
der ich — von dem vielen, was ich waͤhrend der Ausar⸗
beitung fuͤr den gegenwaͤrtigen Platz verſparte — nur
noch weniges hinzu fuͤgen will.
Sollte mir der Vorwurf gemacht werden, daß ich
meine Leſer, aus uͤbertriebner Sorgfalt, auch bey leich⸗
ten Saͤtzen und durch ſolche Schluͤſſe begleitet habe, die
niemand von ihnen haͤtte verfehlen koͤnnen; ſo werde ich
dieſen Tadel ſehr natuͤrlich finden. Aber ich werde mich
dennoch verſichert halten, daß man mich keiner unnoͤthi⸗
gen Eroͤrterung und Vorkehrung beſchuldigen wuͤrde,
wenn ich die ſchwierigen Vorſtellungen und die Schein⸗
gruͤnde vorangeſchickt haͤtte, die in manchen andern Lehr⸗
buͤchern fuͤr dieſelbe leichte Sache, ebenfalls mit Sorgfalt
beygebracht ſind. Auch wird es niemand ſchwer fallen,
ſich durch Erfahrungen, die ich hier nicht genauer beſtim⸗
men mag, davon zu uͤberzeugen, daß man dem gewoͤhn⸗
lichſten Unterrichte keinen großen Spielraum in Erklaͤrung
der erſten arithmetiſchen Gruͤnde uͤbrig laſſen duͤrfe.
Ueberdies aber hatte man, duͤnkt mich, dafuͤr zu ſorgen,
daß das Rechenbuch, welches der Vater fuͤr ſeinen Sohn
kauft, zugleich fuͤr ihn ſelbſt, ohne Beyhuͤlfe eines ander⸗
weitigen Lehrers, verſtaͤndlich ſey: und auch der Schuͤler
mußte fuͤr ſich ſelbſt die Gruͤnde daraus nachholen koͤnnen,
wenn man in den meiſten Schulen, etwa wegen der groſ⸗
ſen und vermiſchten Anzahl von Lehrlingen, nur darauf
ſehen kann, daß darin jeder nach ſeinen Kraͤften mecha⸗
niſch geuͤbt werde. Sollte ich indeſſen eine zweyte Auf⸗
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IV voooooorrede

lage erleben ſo ſoll ſie allerdings, beſonders fuͤr die erſte

Haͤlfte, den Nahmen einer nicht vermehrten ſondern ver⸗
kuͤrzten Ausgabe verdienen, dergleichen die Schriftſteller
uͤberhaupt oͤfter beabſichtigen ſollten, als es gewoͤhnlich iſt.
Dabey habe ich den beſten Willen, jede Beurtheilung,
die mir uͤber dieſe, meiner Hoffnung nach gemeinnuͤtzige
Arbeit bekannt wird, und deren Fluͤchtigkeit nicht auf den
erſten Anblick in die Augen leuchtet, aufrichtig zu pruͤfen
und zu benutzen. So wird der Herr Prediger Zimmer⸗
mann finden, daß ich ſeine mir mitgetheilten Vorſchlaͤge
im §. 40 §. und §. 1 50. No. IX. ([der erſten Aufgabel
vor Augen gehabt habe.
Er und andere Schullehrer haben es, aus s leicht zu er⸗
gaͤnzenden Gruͤnden, ausdruͤcklich gewuͤnſcht, daß ich die
Anzahl der Uebungsaufgaben noch vermehren moͤgte. Ich
war aber auch ſogleich Willens, dem gegenwaͤrtigen Theile
noch mehrere beyzufuͤgen, als ich bey dem erſten fuͤr noͤthig
fand, beſonders da ich dort anmerken wollte, daß ſich je⸗

der Lehrer der Rechenkunſt noch eine kleine Sammlung

dahin gehoͤriger Aufgaben machen muͤſſe, deren Objecte
gerade aus dem Kreiſe ſeiner Lehrlinge hergenommen ſind,
um ſie zu Vorſchriften in den Schreibeſtunden benutzen
und dann berechnen zu laſſen. Uebrigens pflegen auch

die erſten Anfaͤnger, im Durchſchnitt genommen, gern zu

rechnen, auſſer andern bekannten Gruͤnden auch wohl da⸗

rum, weil man ſie ihre beſtaͤndigen Fortſchritte in dieſer

Kunſt ziemlich leicht kann bemerken laſſen. Daher ſcheint
es mir nicht noͤthig und auch nicht rathſam, fuͤr alle oder
auch nur fuͤr die meiſten Aufgaben fremden Reiz zu entleh⸗
nen, der die Aufmerkſamkeit von der Hauptſache abzieht.
Die Rechnungen dieſer zweiten Haͤlfte ſind nach meiner
Crfahrittig durch ſich keloſt ſchon anziehend genug, weil der
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zur erſten Ausgabe. V

Schuͤler wohl einſieht, daß er dergleichen noͤthig hat und
haͤufig uͤben muß. Oder ſollten vielleicht einige Aufgaben
viel zu kuͤnſtlich ſcheinen, indem man nur ſolche Beyſpiele
verlangt, die im gemeinen Leben am gewoͤhnlichſten ſind?
Aber darauf ſich aͤngſtlich einzuſchraͤnken, iſt nicht moͤglich,
wenn anders das Rechenbuch ein durch Ordnung und eini⸗
ges Syſtem verkuͤrztes Ganzes ausmachen ſoll; und auch
nicht rathſam, in ſo fern dabey die Uebung fuͤr ſchwere,

und doch bisweilen ebenfalls vorkommende Faͤlle gaͤnzlich

fehlen wuͤrde.
Daß ich eine neue Rechnungsregel, die Baſedowiſche,
eingefuͤhrt habe, wird mir zu keinem Vorwurfe gereichen,
wenn man das Vortreffliche derſelben kennen lernt, und
ihre Unentbehrlichkeit fuͤr den gemeinen Rechner nach
demjenigen beurtheilt, was ich wider die Reeſiſche Re⸗
gel und die verſuchte Ausdehnungen der Kettenrechnung
auf alle Aufgaben der Regula de quinque, ſeptem,
nouem &c. im 34ſten Kapitel erinnert habe. Ueber⸗

dies erfordert die Erlernung jener neuen Regel keine neue

Arbeit; ſie verlangt nur eine Fertigkeit in gewiſſen Schluͤſ⸗
ſen, die man doch zur Anordnung oder Pruͤfung des An⸗
ſatzes neben andern gewoͤhnlichen Regeln noͤthig hat, wenn
man nicht in Gefahr gerathen will, die widerſinnigſten
Antworten hervor zu rechnen, und uͤbrigens unter den

4 Betrachtungen, welche dafuͤr ſichern koͤnnen, die allge⸗

mein verſtaͤudlichſten aufſucht. Daher findet man dieſe
Schluͤſſe ſchon bey der Regel de tri, der Kettenrechnung ꝛc.
angebracht.
Dieſe Einpaſſung der Baſedowiſchen Regel, ſo wie
ihre Beweiſe und ihre Ausdehnungen in §. 612 ꝛc., ruͤh⸗
ren von mir her; und es koͤnnte gar wohl ſeyn, daß da⸗

bey noch manche Verbeſſerung Statt faͤnde. Da jede An⸗
Aa è3 ordnung

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VI vooeorrede

ordnung eines neuen Syſtems, wenn es auch noch ſo be⸗
kannte Sachen enthaͤlt, dennoch ein etwas ununterbroche⸗

nes Nachdenken erfordert, wozu mir die an einander haͤn⸗

gende Zeit fehlet; ſo bin ich allerdings zweifelhaft, ob
ich in dem gegenwaͤrtigen Verſuche, deſſen Entwurf faſt

nur aus einzelnen Vorbereitungen zu meinen Lehrſtunden
zuſammengeſetzt iſt, allenthalben die Ordnung getroffen
habe, die mir ſelbſt, nach reiferer Ueberlegung, die beſte

ſcheinen wuͤrde. Sehr wichtig werden indeſſen dergleichen

Uebereilungen bey dieſem Rechenbuche nicht ſeyn, bey dem
es Abſicht war, die Erklaͤrungen und Gruͤnde ſo zu
geben, daß ſie fuͤr jeden einzeluen Fall, auch iſolirt und
auſſer dem Syſteme, bey der Hand bleiben moͤgten.

Den angefuͤhrten Nahmen ſchlage ich fuͤr die erwaͤhnte
Regel vor, weil mir derjenige, den der verehrungswuͤr⸗
dige Erfinder ihr zugedacht hatte, nach dem Geſt chts⸗
puncte, woraus ich ſie betrachtet und vorgetragen habe,
nicht paſſend genug ſchien. Verdient ſie aber uͤberhaupt

einen neuen Nahmen? — — Wenn ein Feld ſchon ſeit
Jahrhunderten von Reiſenden aller Art, bald nach die⸗

ſer, bald nach jener Richtung durchwandert iſt; ſo haͤlt
es freylich ſchwer, einen Weg daruͤber zu bahnen, der
nicht zum Theil aus alten Fußſtapfen beſtaͤnde. Der
Leſer fuͤrchte nicht, das ich daruͤber Deduetionen anſtellen

werde. Nur des Herrn Geh. Ober⸗ Baurathes Moͤn⸗

nich hier zu erwaͤhnen, ſcheint mir Schuldigkeit, da
er in ſeinem Lehrbuche der Mäathematik, Berlin,
1781, ein Verfahren, welches dem Baſedowiſchen un⸗
gemein aͤhnlich iſt, als das Weſentliche der Reeſiſchen

Regel angiebt. Sehr richtig fuͤgt er indeſſen Seite 139

hinzu: „Rees hat ſeine Regel erwas anders vorgetragen.⸗

„Die meinige, denke ich, ſoll zu einerlei Zweck, und
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zur erſten Ausgabe. vxrII

„noch ſicherer fuͤhren. Sie hebt die Schwierigkeit des

„Anſatzes ſehr gut, indem ſie die Aufmerkſamkeit von ei⸗

„ner Menge Objecte auf ein einziges lenket *). « So

weit meine litterariſche Kenntniß in dieſem Fache reicht,
welche freylich nicht die vollſtaͤndigſte iſt, aber mit meinem
Willen von nun an nicht weiter vermehrt werden ſoll; ſo
hat noch kein Reeſianer ſeine Regel von einer ſo vortheil⸗
haften Seite gezeigt, als Herr Moͤnnich dafuͤr erfun⸗
den hat. Wegen der Kennzeichen, die doch nach Seite
137 und 138 allein zureichen ſollen, den Platz einer
jeden Zahl fuͤr die linke oder rechte Saͤule zu beſtimmen,
waͤre freylich zu erinnern, daß ſie fuͤr viele Aufgaben ei⸗
nen unrichtigen Anſatz geſtatten wuͤrden, weil ſie auch
der arithmetiſchen Verhaͤltniß gemein ſind. Auſſerdem
unterſcheidet ſich die Baſedowiſche Form auch in manchen
andern Stuͤcken, ich denke zu ihrem Vortheile; woruͤber

ich indeſſen die Entſcheidung, weil ſie auf vielen kleinen

Umſtaͤnden beruhet, fuͤr jetzt der eigenen Erfahrung
üuͤberlaſſen will. Auch iſt Hrn Moͤnnichs Anſatz nicht ohne
Proportionen erwieſen, wie ich es fuͤr den Baſedowiſchen

nicht nur hier, ſondern ſchon vor 8 Jahren in dem phi⸗
lanthropiniſchen Journale, verſucht habe. Bey dem allen

aber wuͤrde ich ungewiß bleiben, ob das Verfahren im
hieſigen XXIIIten Kapitel nicht eben ſowohl auf Hrn Moͤn⸗
nichs Nahmen Anſpruch machen duͤrfe; wenn ich nicht
gewiß waͤre, daß es ſchon vor 1779 in unſerm Inſtitute
a 4 gelehrt

*) Vollkommen wahr! Und — ſt magna licet componere
paruis — wenn jemand den gemeinen Rechner in eben den
Vortheil zu ſetzen ſuchen wollte, den der Aſtronom bey Be⸗
rechnung ſeiner Anomalien benutzt; ſo wuͤrde er ja wohl
gerade auf den Kunſtgriff — ceteris paribus — verfallen
muͤſſen. [Nur finde ich gegenwaͤrtig noͤthig fuͤr diejenigen,
welche die Baſedowiſche Regel ebenfalls vortragen wollen,
ausdruͤcklich zu erinnern, daß ceteris paribus von ceterxis
vmſſis ſehr verſchieden iſt.]

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VIII vorred«—
gelehrt iſt*). Ich mill nur noch aufrichtig geſtehen, daß

ich das eben geſagte nicht allein aus wahrer Hochachtung

und Zuneigung fuͤr den Hrn Moͤnnich, ſondern auch

darum mit angefuͤhrt habe, weil es der neuen Regel die⸗

ſes Buches ohne Zweifel zu einem guͤnſtigen Vorurtheile
gereicht, daß ein ſo gruͤndlicher Mathematiker bereits auf
eine ſehr aͤhnliche verfallen iſt. [Seit der Zeit habe ich
nun auch gefunden, daß alle uͤbrige, wodurch ſich die
Baſedowiſche Regel von der Moͤnnichſchen noch unter⸗
ſcheidet, ſchon laͤngſt in England, und zwar von den Gar⸗
diner, in der Einleitung zu ſeinen beruͤhmten logarith⸗
. miſchen Tafeln gebraucht iſt. Haͤtte ſich Gardiner eben⸗
falls auf das allgemeine und untruͤgliche Kennzeichen der
geometriſchen Proportion gegruͤndet; ſo waͤre ſeine Regula
of proportion mit der Baſedowiſchen voͤllig einerley.
Denn es wuͤrde ihm dann gewiß nicht entgangen ſeyn, daß

man die Diviſoren eben ſo unmittelbar als die Multipli⸗

catoren heraus finden koͤnne. Statt deſſen aber iſt er
leider, um mich kurz auszudruͤcken, bey den arithmetiſchen

Urſachen und Wuͤrkungen ſtehen geblieben, und ſchließt
in dieſer nebelvollen Gegend faſt eben ſo undeutlich, als

es die Reeſianer zu thun pflegen.]

Es geſchaͤhe mir Unrecht? wenn mir z. B. bey der
Anmerkung zu §. 446. jemand vorwuͤrfe, daß ich viele
große Mathematiker verbeſſern wolle, welche kein Beden⸗
ken tragen, einen durch Aufhebung gefundenen Bruch eine
kleinere Zahl zu nennen, als den ihm gleichen, welcher
aufgehoben wurde. Wo genau zergliedert iſt, was eine

Zahl ſey, da muß ſo 1585 eine groͤßere: Zahl als 4, und

aller⸗

*) Man ſehe meinen Auffaß im philanthrop. Journal ſur
Erzieher, 2 ten Jahrg. tes Quartal, 1779.

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zur erſten Ausgabe: RH IX

allerdings eine kleinere als à genannt werden; deshalb
habe ich nur geſagt, wir duͤrfen hier (nach denen in die⸗
ſem Buche zum Grunde gelegten, noch lange nicht voll⸗
kommen zerſpalteten Begriffen (m. ſ. *§ 62 5) nicht ſagen,

daß 2 kleiner ſey als 27. So habe ich mich in mehrern

Faͤllen „die nur dem Sachverſtaͤndigen bemerkbar werden
koͤnnen, darauf verlaſſen, daß maͤn auch kleine Winke zur

Beurtheilung meines Geſi chtspunetes wohlmeinend beach⸗

ten werde.
Es wird ja wohl auch anderer Orten, wie hier zu

Lande gewoͤhnlich ſeyn, von einer groͤßern und klei⸗
nern Haͤlfte zu ſprechen? Wenigſtens habe ich mich in et⸗

was mit dieſer Hofnung getroͤſtet, als dieſe juͤngere Haͤlfte
ihre aͤltere Schweſter ziemlich ſtark zu uͤberwachſen anfing.

Dieſes Geſtaͤndniſſes, das mir in einer arithmetiſchen

Vorrede allerdings ſchwer faͤllt, waͤre ich uͤberhoben, wenn
ich einen Theil der erſten gegenwaͤrtigen Kapitel noch zur

erſten Haͤlfte geſchlagen haͤtte. Dann enthielte jene auch

gerade ſo viel, als man in mehrern Stadt⸗ und Land⸗
ſchulen ziemlich allgemein wird zu lehren haben. Was
nunmehr in beyden Theilen vorkommt, moͤgte wohl fuͤr
die hoͤhern Stadtſchulen, Gymnaſien u. dergl. gerade
das rechte Maß der Rechenkunſt fuͤrs gemeine Leben ſeyn:
es ſey denn, daß man etwa fuͤr einige Schuͤler noch hin⸗
zufuͤgen wollte, was ich in den

Noͤthigen Kenntniſſen des Muͤnzweſens fuͤr Deut⸗

ſche, und einer Einleitung zu einigen Kaufmaͤnni⸗
ſchen Rechnungen

beybringen werde.

Dabey wird auch etwas ven der Zins⸗ auf Zinsrech⸗
nung u. dergl. vorkommen; aber ohne Eroͤrterung der Po⸗
4 tenzen⸗

X Vorrede zur erſten Ausgabe.

tenzenrechnung. Dieſe gehoͤrt fuͤr den mathematiſchen
Unterricht; und wer fuͤr Schulen, alſo fuͤr eine jetzt noch

zu bildende Generation ſchreibt, muß bey der Kuͤrze des

menſchlichen Lebens darauf dringen, daß dergleichen mit
der Buchſtabenrechnung zu erlernen ſey, ſo bald eine et⸗

was vollſtaͤndige Kenntniß davon noͤthig iſt. Wenn man

ſolche Lehren ebenfalls in den Papinianiſchen Topf werfen,
und ich ſetze hinzu, wenn man ſo ſonderbar verfahren, und
bey dem Unterrichte in der Potenzenrechnung eben ſo

ſchwache Anfaͤnger voraus ſetzen wollte, als es bey der

Numeration — dem erſten Kapitel der Arithmetik, und
woruͤber man ſich gewoͤhnlich ſo ſehr unrichtig ausdruͤckt —

noͤthig iſt; dann wuͤrde freylich ein ſolches Rechenbuch zu

einer kleinen Bibliothek anwachſen.

nigen Bogen abdrucken laſſen?*), ſo bald ich mich wieder

zu dergleichen Arbeit entſchließen kann; und hoffe durch
ihre Einrichtung und Vermeidung ziemlich gewoͤhnlicher

Fehler dafuͤr zu ſorgen, daß ſie nicht zu den uͤberfluͤßigen
gezaͤhlt werden. Auſſerdem werde ich die beſten Rechen⸗

kunſtſtuͤcke, nebſt kurzer Erklaͤrung, dergeſtalt ordnen,

wie man ſie dem Rechenſchuͤler nach und nach mittheilen
kann, um ihm Veranlaſſung zu angenehmen Uebungen zu

verſchaffen; die uͤberdies auch zur gehoͤrigen Beurtheilung der

arithmetiſchen ſo genannten Geheimniſſe anfuͤhren koͤnnen.
Deſſau, den 3ten September 1787.

*) Das erſte wird naͤchſtens die Preſſe verlaſſen, iſt aber zu
ſtark geworden, als daß ich den Lehrern der Arithmetik deſ⸗

ſen Ankauf zumuthen moͤgte. In Schulbibliotheken wird

es hoffentlich ſeinen Platz verdienen.

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Vorrede

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bfi zur zweyten Ausgabe.

Warum das 15te Kapitel einen Anhang erhalten hat,
wird man in *§ 3 52 finden. Die Aufgaben zur War⸗
nung ſind in §. 62 8 und 633 um einige neue vermehrt
worden. §. 8 2,8 — 8 21 enthalten einen Vortheil beym
Dividiren, der meines Wiſſens noch nirgend beygebracht
iſt. Nach ihm zu ſuchen, ward ich durch den loͤblichen
Umſtand veranlaßt, daß gegenwaͤrtig die Decimalbruͤche
auch von Kaufleuten immer mehr und mehr gebraucht
werden. Das uͤbrige des 3 ſten Kapitels ſtand ſonſt
im erſten Theile. Ganz neu iſt das 32ſte Kapitel
von den Stufenbruͤchen. Eul Uler, Lambert und Hin⸗
denburg ſind fuͤr dieſe Hauptlehrer. Lambert verlangt
ausdruͤcklich, daß man auch in gemeinen Rechenbuͤchern
von ihnen handeln ſolle*). Euler erwaͤhnt ebenfalls,
daß ſie auch in der gemeinen Arithmetik von Nutzen ſind **).
Ihr hauptſaͤchlicher Nutzen in der gemeinen Arithmetik iſt
ohne Zweifel der, den ich in § 8 42 angegeben habe.
Dieſer Abſicht gemaͤß habe ich nun den Vortrag einge⸗
richtet. Ich weiß gar wohl, daß man nach Lambert
etwas weniger Rechnung gebraucht, als hier nach §. 8 36.
und 839; aber das hieſige wird von ſolchen, die bloß
in der gemeinen Rechenkunſt geuͤbt ſind, leichter gefaßt
und behalten werden. Ich habe ſie Stufenbruͤche ge⸗
nannt, und es dabey gelaſſen, weil mein Manuſeript
ſchon lange druckfertig bey Seite gelegt war, als ich fand †),
daß

*) Deſſen Beytraͤge zum Gebrauche der Mathematik, 2ter
Theil. S. 54 ꝛc.
**) Introductio in analyſin infinitorum, Tomi I. Cap. VIII.
†) Im Archiv der reinen und angewandten Mathematik.
Erſtes Heft, 1794.

XII Vorrede

daß ihnen der Hr. Prof. Hindenburg den ebenfalls ſehr
ſchicklichen Nahmen der Kettenbruͤche gegeben habe.

In dem gemeinnuͤtzigen Rechenbuche fuͤr
Schulen ꝛc. welches zu Alttorf 1793 herausgekommen
iſt, wird in der Vorrede ausvdruͤcklich angezeigt, daß
man bey der dortigen Auswahl der Ausgaben die Ein⸗
foͤrmigkeit mehrer Rechenbuͤcher vermieden, und durch

Abwechſelung der Gegenſtaͤnde fuͤr Unterhaltung der Auf⸗
merkſamkeit und Fertigkeit im Anordnen der Auf⸗

gaben geſorgt habe. Dieſer Tadel koͤnnte auch viele von

meinen Aufgaben zu treffen ſcheinen. Aber mit Fleiß
habe ich die meiſten von ihnen ſo ausgedruͤckt, daß der
Schuͤler in ihrer Anſetzung keine Schwierigkeit finde.
Denn ſonſt geht eine Hauptabſicht verlohren, warum
ich ſo viele Uebungsaufgaben mitgetheilt habe, daß
naͤhmlich ein Lehrer fuͤr viele Schuͤler hinreiche, und

doch alle in ſteter Arbeit bleiben. Das gehet ſicherlich
nicht, wenn der Lehrer faſt bey jeder einzelnen Aufgabe
zeigen muß, wie man ſie betrachten und behandeln muͤſſe,
daß ſie fuͤr die Regel paſſe. Indeſſen habe ich nun, am
Ende der Uebungsaufgaben, auch ſolche hinzugeſetzt, die
im Anſetzen ſelbſt uͤben koͤnnen. Ich habe ſie gerade
aus dem angefuͤhrten Buche genommen; da ich gewiß
ſeyn kann, daß der Hr. Verfaſſer deſſelben dieſen kleinen
Nitgebrauch mir gerne zugeſtehen wird. Wer noch

mehrere Aufgaben von allerley Art bey der Hand zu

haben wuͤnſcht, dem empfehle ich dazu Hen Bodens
Arithmetik, Hannover 1791. Darin ſind viele, theils

nuͤtzliche, theils kuͤnſtliche und unterhaltende Aufgaben

gut abgefaßt. Dieſes Hauptverdienſt jenes Buches zu
einer neuen Sammlung zu benutzen, waͤre eine leichte

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zur zweyten Ausgabe. XIII

und eintraͤgliche, auch fuͤr das Publikum nuͤtzliche Arbeit.
Ich aber konnte mich ſo gegen Hrn B. zu handeln ſo
wenig entſchließen, daß ich vielmehr ſeinetwegen von
einem viel fruͤheren Vorſatze abſtehe, eine aͤhnliche Samm⸗
lung aus alten und neuen Rechenbuͤchern zu veranſtalten.
Von dem wuͤrdigen Manne, der die erſte Ausgabe
meines Rechenbuches in der Allgem. Deutſch. Bibliothek
angezeigt hat, weiß ich nur, daß ziemlich viele dortige
Recenſionen ſein Zeichen tragen, und jede von ihnen

gruͤndliches Urtheil, Wahrheitsliebe und reichhaltige

Gelehrſamkeit beweiſet. Sollte es Ihm gefaͤllig ſeyn,

ſich mir naͤher bekannt zu machen; ſo wuͤrde ich mich

deſſen ſehr freuen. Hier kann ich ſeine Erinnerungen
nur kurz beruͤhren. Der Wink wegen der Decimal⸗
bruͤche, deſſen er erwaͤhnt *), iſt mir ſchon lange bekannt
geweſen. Aber auch bey wiederholter Ueberlegung habe
ich gegenwaͤrtig in meinem Vortrage der Deeimalbruͤche,
und der dabey befolgten Ordnung, nichts geaͤndert; weil
es mir wenigſtens ungewiß blieb, ob ich dann fuͤr Lehrer
und Schuͤler eben ſo gemeinbrauchbar und gemeinver⸗
ſtaͤndlich bleiben moͤchte, als ich es, nach Anderer Ver⸗
ſicherung und eigener Erfahrung, bey der gegenwaͤrtigen
Anordnung geworden bin.
Es war ja wohl kein bloßes willkuͤhrliches Belie⸗
ben, daß ich die Baſedowiſche Regel nach ihrem Erfin⸗
der benannte? In wie fern ich ihn dafuͤr hielt, was ich
ſelbſt dabey gethan, und was ich bey Andern ſchon vor⸗
zuͤglich aͤhnliches gefunden hatte, warum das Baſe⸗
dowiſche Verfahren fuͤr die Aufgaben der regula multi-

plex uͤberhaupt, (nicht bloß fuͤr diejenigen der regula

de

2*) Allgem. Deutſch. Bibl. Anhang zum 53 — 86ſten Bande.

1. Abtheil. Seite 595 zc.

XIV Vorrede zur zweyten Ausgabe.

de quinque) vor andern practiſchen Rechnungsformen
Vorzuͤge habe; das alles habe ich freylich erſt in der An⸗

leitung zur 2ten Haͤlfte beygebracht. Dieſe hatte der

Hr. Rec. wie er ſelbſt ſagt, noch nicht geſehen; und ſie
iſt auch nachher in der Allgem. Deutſch. Bibliothek nicht
angezeigt worden.
Vollkommen richtig war die Erinnerung*), daß
eine gewiſſe vortheilhafte Art zu multipliciren nicht in

ſolche Anfangsgruͤnde gehoͤre. Wenigſtens habe ich ſie

gegenwaͤrtig erſt in ein ſpaͤteres Kapitel, und bloß in das
Handbuch des Lehrers gebracht. (*§. 82 2 ꝛc. ꝛc.). Ich
habe ſie nicht fuͤr meine Erfindung ausgegeben, uͤbrigens
aber allerdings nicht gewußt, daß ſie in Frankreich ſchon

behandelt, und bereits im vorigen Jahrhundert von

Tarragon verbeſſert iſt. Nur muß ſie dort anders als
von mir vorgetragen ſeyn; weil ſonſt Tarragons Ver⸗
beſſerung aus zwey Gruͤnden nicht Statt gefunden haͤtte.
Denn 1) iſt Tarragons Verfahrungsart keine andere,
als die ich ſchon gleich vorher ebenfalls vorgetragen
hatte; und 2²) iſt fuͤr die Faͤlle, fuͤr welche ich die andere
Verfahrungsart vorſchlage, deeſe betraͤchtlich vortheil⸗
hafter. Freylich aber muß man bey ihrem Gebrauche
nicht ſo umſtaͤndlich ſchreiben, als ich es bloß in der
Anleitung gethan habe, wo von ihrer Erklaͤrung
die Rede iſt. Die eben erwaͤhnte Beziehung zwiſchen
den beyden Verfahrungsarten, habe ich nun in dieſer
Auusgabe ausdruͤcklicher dargeſtellt, als es in der erſten
Ausgabe geſchehen war. .

Deſſau, im Januar 1795.

*) Band 82, Seite 153.

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Funfzehntes Kapitel.
(Fortſetzung des Dreyzehnten.)

Vorn der Regel de tri.
Ob man gleich alle Aufgaben, welche ſich fuͤr die
J Regel de tri ſchicken, auch der Baſedowiſchen
Regel unterwerfen kann, und bey weiten die mehre⸗
iten, ſobald es um die kuͤrzeſte Berechnung zu thun
iiiiſt, entweder nach derſelben oder nach der Kettenregel
oder waͤlſchen Practik wirklich behandeln muß; ſo iſt
es dennoch ſehr rathſam, das Wenige *), was hier
von der Regel de tri gelehrt wird, ſorgfaͤltig beyzu⸗
Pbringen. Leicht und angenehm wird es den Anfaͤn⸗
gern, nach der waͤlſchen Practik ſehr vernuͤnftig
unnd ſehr gruͤndlich zu rechnen, wenn ſie mit den
mieiiſten dazu erforderlichen Schluͤſſen ſchon bey den
wveniger verwickelten Aufgaben des Dreyzehnten und
des gegenwaͤrtigen Kapitels bekannt geworden ſind.
Man muß aber darauf halten, daß die Bedacht⸗
ſamkeit waͤhrend der Rechnung wirklich beob⸗
achtet werde, wovon in *§ 333 eine leichte Ueber⸗
ſicht gegeben wird, nachdem ſie durch viele einzelne
* Bepſpiele gezeigt iſt. Das Uebrige dieſes Kapitels
Zu dieſem Wenigen gehoͤrt der Anhang nicht,
. den ich bey der neuen Ausgabe dieſem Kapitel zuge⸗
1. ſetzt habe. Ueber deſſen Abſicht und Gebrauch
ſehe man *5 3 52.
Buſſ. Rechenb. 2. Zaͤlfte. 4A

2

2 Funfzehntes Kapitel.

macht ebenfalls bey den einfachſten Aufgaben mit
andern Scͤſ en bekannt, die uns bey den folgen⸗
den ſchwierigeren Rechnungen vortheilhaft und ſicher
leiten werden. — =
Nach der Regel de tri kann freylich auch be⸗
rechnet werden z. B. die Aufgabe: wie viel ko⸗
ſten 2 ρ 17 oth und Quentchen, wenn 10⅝ £
6 Loth und 2 ½ Quentchen fuͤr 2 X6 4 ₰. verkauft
werden. Aber ſolche Cruces der Regel de tri wirk⸗
lich berechnen zu laſſen oder ſogar zu uͤben, erforderte
die angegebene Abſicht nicht. Der vollendete Schuͤ⸗
ler dieſes Rechenbuches wird dergleichen Fragen al⸗
lerdings zu beantworten wiſſen. Wenn er das, wie
wohl manche verlangen werden, nicht wiſſen ſollte;
ſo wuͤrde er ja auch viele ſehr noͤthi ge Rechnungen
nicht beſtreiten koͤnnen.

Sonſt wird die Regel de kri in die directe

und indirecte (ordentliche und umgekehrte)
abgetheilt. Da ich die letztere gar nicht gebrauche
(man ſehe *§ 344); ſo hat man kuͤnftig allemahl
nur die directe zu verſtehen, wenn ich ſchlechthin von
der Regel de tri ſpreche. Was ich aber im Anfange
dieſes Hen von allen Aufgaben der Regel de tri ge⸗
ſagt habe, gilt allerdings ſowohl von den Aufgeben
der directen als der indirecten.

§. 32 8 — §. 332.
*§. 333.
Bedachtſamkeit waͤhrend der Rechnung.

Wir haben uns in den bisherigen Aufgaben
bey der Rechnung ſelbſt durch gewiſſe Fragen und
Berrach⸗

Perochtmngen

Glede nur die
leinl 30)
uſchenverſta
i votcus der
eyte Glied
zu multip

Wamime
etir vos ani
Puderen ds.
un de diie
Mumm din ſin⸗
ed⸗ deh Al des D
Deronf

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Khli.

— = =

=

Nhſe
unge vi
Nr Nehrnn

de
nen Ber
Anſtbe
hanmg

1
.
.

Von der Regel de tri. 3
Betrachtungen leiten laſſen. Wenn im erſten
Gliede nur die Zahl 1 ſtand; ſo ward eine Frage,
wie in 1 § 305, aufgeworfen, welche der geſunde
Menſchenverſtand ſogleich zu beantworten wußte,
und woraus denn ſogleich erhellete, daß man das

zweyte Glied durch die Zahl des dritten Glie⸗
des zu multipliciren habe.

Wenn im erſten Gliede nicht 1 ſtand, 6 dache
ten wir uns anfaͤnglich ſtatt der wirklich darin vor⸗
l handenen Zahl. Fuͤr dieſen gedachten Fall entſtand
tne nun die vorige Frage und Antwort, die alſo wie⸗
Dderum dahin fuͤhrte, daß man das 2te Glied durch
deie Zahl des dritten Gliedes zu multiplictren
habe. Darauf aber bedachten wir, daß im erſten
Glliede eigentlich nicht 1, ſondern eine andere Zahl
E ſtaͤnde „und fanden durch gewiſſe Betrachtungen,
een daß wir in dieſer Hinſicht das vorhin erhaltene
dn Product noch durch die Zahl des erſtern Glie⸗
dDes dividiren mußten, um die verlangte Antwort
zu erhalten.

Deos Anſtellen dieſer Feagen, Betrachtungen
uund Schluͤſſe will ich Bedachtſamkeit waͤhrend
ue der Rechnung nennen.

1, itruſaf

c1.. Nachee

§. 3,3 4 — §. 336.

*§. 337.
. Beweis von § 335 an ei⸗.
e . .
NNe nem Beyſpiele, 3 G: 4 = 7 £²

asran? 1) Man iſt bey dieſem Anſatze, wegen der rten

iſ y dorderung in § 335 uͤberzeugt: wenn das dritte
S A 2 Glied

4 Funfßzehntes Kapitel.
Glied 2 mahl ſo groß waͤre (als es wirklich iſt), ſo 4) Vem il
wuͤrde auch die geſuchte Groͤße 2 mahl ſo groß aus⸗: aſen Vie
fallen (als ſie nun wirklich ſeyn wird); und man iſt dricte Gle
es zugleich auch von den folgenden Saͤtzen: wenn d aſt.
das dritte Glied 3 mahl, 4 mahl, 7 mahl oder ifei f
100 mahl ſo groß waͤre, ſo wuͤrde auch die geſuchte das zm
Groͤße ebenfalls 3 mahl, 4 mahl, 7 mahl oder inn E
100 mahl ſo groß ausfallen. Denn man iſt von
dieſen Saͤtzen und von jenem erſten aus dem ge⸗.) e di⸗
meinſchaftlichen Grunde uͤberzeugt: ſo vielmahl Gik;zma
mehr Waare ich haben will, ſo vielmahl mehr Unie
Geld muß ich geben *). Winſ
. hle
Aſen Nh
2 Vollſtoͤndiger haͤtte ich in §. 3 35. fordern ſol: es
len, man muͤſſe uͤberzeugt ſeyn: wenn an der Stelle Pudre e
des dritten Gliedes ein mehrmahl groͤßeres oder ſeceiche
kleineres ſtaͤnde, alsdann auch die geſuchte Groͤe ſeihder
ebben ſo vielmahl groͤßer oder kleiner ausfallen muͤſſe. de
Aber jene abgekuͤrzte Forderung iſt fuͤr die Ausuͤbung 8 vori
hinreichend und ſehr bequem. Sollte ja in einigen e er
Faͤllen jene abgekuͤrzte ohne die vollſtaͤndige Statt
finden; ſo ſind ſie ſicherlich entweder von der Art, ſten Beile
daß kein Menſch von geſundem Verſtande in Gefahr
kommt, ſich dabey der Regel de tri zu uͤberlaſſen; iin
oder die Gefahr entſteht wegen Mangel an gelehr⸗ En de
ten, wiſſenſchaftlichen Kenntniſſen, welche durch dn
keine Rechnungsregel erſetzt werden koͤnnen. Ein inme D
Beyſpiel der erſten Art waͤre, wenn ein Schiff an D n
einer kleinen Inſel landet, wo es das erſte Schwein
fuͤr 10 Naͤgel, und die beyden erſten fuͤr 20 Naͤ⸗ ee
gel kauft; fuͤr das dritte, vierte und fuͤnfte aber mae
ſhon blnn

Von der Regel de tri. 5
nitki A) Wenn ich nun fuͤrs erſte annehme, daß im

nahlſgft erſten Gliede nur 1 ſtuͤnde; ſo waͤre das
inlenin dritte Glied (7 πι) gerade 7 mahl ſo groß, als
n ik das erſte. Ich wuͤrde alſo, um die geſuchte
ahl, inehe Groͤße zu finden,
euii⸗ das zweyte Glied durch die zahl des
ne Dritten Gliedes (7) multipliciren.
ſn u B) Aber dieſe Annahme, wonach ich das erſte
eug: ſ. din Glied 3 mahl kleiner annahm, als es wirklich iſt,

6 nielnehnſr. . verurſachte ohne Zweifel, daß ich das dritte Glied
um 3 mahl zu groß gegen das erſte Glied ſchaͤtzte.
Ich habe alſo vorher mit einer dreymahl zu
großen Zahl in das zweyte Glied multiplicirt;
e und es iſt deshalb auch das dadurch geſundere
rm Product gerade dreymahl groͤßer ausgefallen, als
eigl e die geſuchte Groͤße wirklich ſeyn muß. Alſo er⸗
Halte ich die richtige geſuchte Groͤße wenn ich
leinr uſin das vorige Product noch durch (3) die

dahl des erſten Gliedes dividire.
A è3 2) Bey

ſchon Beile und Axte hingeben muß; und das 40ſte
fuͤr alle Schaͤtze der Welt nicht erhandeln wuͤrde,
in ſo fern es auf der ganzen Inſel nur 39 giebt.
Ein Beyſpiel der zweyten Art waͤre folgendes.
Wenn Luft nur 2 mahl, 3 mahl bis 4 mahl enger
zuſammen gedruͤckt wird, ſo wird ſie auch (ſo ziem⸗
lich) nur 2 mahl, 3 bis 4 mahl ſtaͤrker wirken;
aber bey noch nehrerer Verengerung wird die
meſ (ſchon vorhandene) Unrichtigkeit in dieſer Behau⸗
un ptung immer merklicher.

6 Funfzehntes Kapitel.

2) Bey der Anwendung dieſes Beweiſes wird
nun die 2te Forderung in 533 5 ſchon vorausgeſetzt. Ien wen

Denn nach A) ſoll die Zahl des dritten Glie⸗ S
des anzeigen, wie vielmahl das dritte Glied groͤßer :
ſey, als das Einfache des erſten Gliedes, welches
man ſtatt des erſten Gliedes zuerſt annimmt. Ge⸗

. lt .
ſetzt aber, die Aufgabe ſey, . Hoß 4
* „ . . 1 ⸗ 26⁰
3 16 5 Loth: 4 C = 7 f5 9 ſoth?
und ich nehme nun fuͤrs erſte das Einfache des erſten 194

Gliedes, 1 Loth, als das erſte Glied an; ſo kann
ich, wie vielmahl das dritte Glied, 7 α und 9 Loth, Ns
groͤßer ſey, als das angenommene r Loth, nicht eher R
beſtimmen, als bis ich das dritte Glied unter den⸗ 1
ſelben Nahmen Loth gebracht habe. So bald
ich weiß, es ſey ſo viel als 233 Lth; ſo weiß ich .
ſicher, daß es 233 mahl groͤßer, als das angenom⸗
mene erſte Glied, 1 Loth, und in ſo fern das zweyte —
Glied durch 233 zu multipliciren ſey. L

Nach B) muß ich nun ferner auch anzugeben er
wiſſen, wie vielmahl das wirkliche erſte Glied
groͤßer ſey, als das angenommene 1 Loth. Das kann —
ch wiederum nicht eher, als bis ich es ebenfalls
nach Lothen ausgedruͤckt habe. So bald ich weiß,
es ſey ſo gut als 101 Loth; ſo weiß ich freylich, daß e
es 101 mahl groͤßer als 1 ſey, das dritte Glied alſo

. . nide wen
gegen das erſte vorhin 101 mahl zu groß geſchaͤtzt, megene⸗
und deshalb das vorhin erhaltene Product durch itte
101 zu dividiren iſt.
. §. 338. nle nn

i Bon der degel dent „
Nen uunug . –
Man vorſtebe nun auch eben ſo die folgende
de dimd Rechung. =
an 3 t: r2 v8§ 6 90C = 4 3 Loth
Müont 96 Lvoth 131 13 1 Loth.
882
294 24
638514 96 401 96 ſs re.
384 1424
IIA4 1761 .
96 144 .
18 96. 17 96.
12
36
18
lich uſte 21
. ehH Bey dem Aafae ſelbſt iſt ſogleich 1) gewiß,
int daß die geſuchte Groͤße noch einmahl ſo groß ausfal⸗
in e len wuͤrde, wenn das z3te Glied noch einmahl ſo groß
lunif⸗ waͤre. Reducirt man nun das erſte und dritte Glied
4 *õ auf Loth; ſo erhaͤlt⸗ der Anſatz 2) auch die Beſchaf⸗
te

fenheit, daß im erſten und 3ten Gliede nur ein und
einerley Nahme vorkoͤmmt.
A 4 Nun

8 Funfzehntes Kapitel.

Nun kann ich alſo mit der Zahl des dritten Glie⸗
des in das zweyte Glied multipliciren. Das iſt hier

geſchehen, nachdem man das 2te Glied auf Gro⸗
ſchen reducirt hat. Das Product 38514 9 durch
96 dividirt giebt die geſuchte Antwort in der Sorte
des 2ten Gliedes alſo 401 ½ - 90.

Durch fernere Reductionen (die wir kuͤnftig auuf

leichtere Weiſe anſtellen werden) findet man, daß
401 90 ſo viel als 16 6τ 17 960 ſind, und der
96 ſte Theil von 18 90, alſo von 18 mahl 12
d. i. 216 R iſt 2 ¾4 NR.

§. 340.

Solche Rechnungen, als in den vorigen beyden

Fen gezeigt ſind, werden nun ziemlich muͤhſam und
weitlaͤuftig. Denn 1) muͤſſen die Glieder des An⸗
ſatzes reducirt werden, um ihnen die nach § 335
erforderlichen Eigenſchaften zu geben; 2) hat man
nach Vollendung dieſer Reductionen mehrentheils
mit ziemlich großen Zahlen zu multiplieiren und zu
dividiren; 3) iſt am Ende, wenn das Faeit in der

Sorte des 2ten Gliedes gefunden iſt, ſehr oft noch
eine neue Reduction auf die hoͤhere Sorte noͤthig.
In der Folge werden wir ſehen, daß ſich dergleichen

Aufgaben ungleich kuͤrzer, theils nach der waͤlſchen

Practik, theils nach der Kettenregel berechnen laſſen.

5§. 341. §. 342.

§. 343.
Wenn man nunmehr in dem vorigen Anſaße
das erſte und dritte Glied mit einander verwechſelt,

ſo erhaͤlt man folgenden Anſatz:
12

12 Anch
den mm tick
chn mn den
Uken12 Me

Nun ſand
ſchte Große
un dus eeige
Ounn nenſtet

uen Vengte

Pemit nnnl
SEes HD
1 Mnſchen
Plnng awsre
ud. Hier
335 Eunt,

mis, in 1
Mforriner

nmmteens
multliere
Ktſen Glie

or ediede

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Kn Nern

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13851 Ar
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Nn 15 UMahel,

1 ea e
den rtend⸗

ð

de Glehn N
n die nu 3

ctionen ! ntſen

zenic niſe

chen, als die vollkommen richtige Antwort erhaͤlt.

Von der Regel de tri. 9
12 Menſchen? — 5⁵5 Wochen — 4 Menſchen,

den man ruͤckwaͤrts leſen muͤßte: 4 Menſchen rei⸗

chen mit dem Vorrathe 5 Wochen aus, wie lange
werden 12 Menſchen damit reichen?

Nun ſind wir wiederum uͤberzeugt, daß die
geſuchte Groͤße zweymahl ſo groß ausfallen muͤßte,
wenn das jetzige 3te Glied zweymahl ſo groß waͤre.

Denn wenn ſtatt 4 Menſchen ſchon 8 Menſchen mit
dem Vorrathe 5 Wochen lang ausgereicht haͤtten;
ſo muͤßten wohl die Menſchen nur halb ſo viel eſſen,

als es wirklich der Fall iſt, und ſo wuͤrden auch die
12 Menſchen mit dem Worrathe gerade zweymahl

ſo lange ausreichen, als es wirklich der Fall ſeyn
wird. Hier findet alſo die 1ſte Bedingung aus
60 335 Statt; und da uͤberdies, auch der zweyten
geinaͤß „im iſten und z3ten Gliede nur ein einziger,
und zwar einerley Nahme vorkommt; ſo kann man
nunmehr das zweyte Glied durch die Zahl des drit⸗
ten multipliciren, und das Product durch die Zahl

des erſten Gliedes dividiren, wodurch man 1 ¾ Wo⸗

—

*§. 344.

Eben dieſelbe richtige Antwort wird man erhal⸗
ten; wenn man zwar den Anſatz, wie er im vorigen
§ iſt „unveraͤndert ſtehen laͤßt, aber das Verfahren
in § 334 umkehrt; alſo das 2te Glied durch die
Zahl des erſten Gliedes multiplicirt, und darauf
das Product durch die Zahl des dritten Gliedes

dividirt.

. A 35 Das

SO.

40 Funfzehntes Kapitel.

Das heißt dann nach der indirecten, umge⸗

kehrten Regel de tri rechnen. Wir lehren ſie nicht,

ſondern verſparen dergleichen uſgaben fuͤr die Ba⸗

ſedowiſche Regel.

§. 345.

DM

Wenn man einen Anſatz, der fuͤr die Regel de

tri zu gehoͤren ſcheint, nach den Erforderniſſen in

& 335 pruͤfet, ehe man ſich der Rechnung ſelbſt
uͤberlaͤßt; ſo iſt man, wie geſagt, vor unrichtigen und

ungereimten Anwendungen der Regel de tri geſichert.
Eben denſelben Nutzen gewaͤhrt auch die Achtſamkeit
waͤhrend der Rechnung 1 nach §. 333.

Z. B. Wenn man ſich in der Auſgabe 342

die Frage aufwirft: wenn 1 Menſch mit dem Vor⸗

rathe 5 Wochen lang reichen koͤnnte; wie lange rei⸗

chen 12 Menſchen damit aus? ſo wird nun niemand
zur Antwort geben wollen: 12 mahl 5 Wochen. Und
ſobald man das Unſchickliche dieſer Antwort bemerkt;
ſo wird man ja eben dadurch erinnert, daß man hier
nicht, wie gewoͤhnlich, „mit der Zahl des dritten Glie⸗
des in das zweyte Glied multipliciren duͤrfe. Wirft
man ferner bey der Aufgabe in §. 338,
3 Quentchen: 7 ϑ = 4 8 8 Loth?
die Frage auf: wenn 1 Quentchen koſtete 7 , wie

viel wuͤrden 4 ρ und 8 Loth koſten? ſo wird man

ebenfalls ſtutzig werden, und nicht eher zu antwor⸗
ten wiſſen, als bis man das dritte Glied nicht nur
auf Loth, ſondern auch auf Quentchen reducirt hat.
Denn geſetzt, man fruͤge ſich nach Vollendung der
erſten Reduction auf Loth: wenn 1 Quentchen ko⸗
ſtete 7 R, wie viel koſten 136 Loth; wird el
wo

ch envorte
ſen Ganz
4

.
Uch

Ciite ſenen

ude
10S0
ſelen; w.
ſnin einem
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nlimn uſen,
Plingen:
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Dir lihnſet
fgabenfrut

der ſür e

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Naln etiſi H
ch elee

ch de

wüd nun

nihl 5Dan

„ 746

Von der Regel de tri. 11

wohl antworten wollen „ daß ſie 136 mahl 7 9.
koſten? Ganz gewiß nicht: denn 136 Loch iſt ja
nicht 136 mahl mehr als 1 Quentchen. Nachdem
man aber dieſe Loth auf 544 Quentchen reducirt hat,
ſo ſieht man ſogleich ein: wenn 1 Quentchen koſtete

7 R, ſo wuͤrden 544 Quentchen offendar 544 mahl
7 R koaſten. .

*9. 347.

Einige Fntn zur Warnung und zur iibis

in den Regeln der Vorſicht.

100 Soldaten marſchiren i in einem Tage
6 Meilen; Wwie viel marſchiren 1000 Solda⸗ L

ten in einem Tage:

Geſetzt auch, man habe ſich durch Eifertigkeit

verleiten laſſen, dieſe Aufgabe in fol genden Anſaß

zu bringen:
100 Soldaten: 6 Meilen = 1000 Soldaten?

— — ſobald man ihn nur nach § 335 pruͤft; ſo

wird man entdecken, daß er nicht fuͤr die Regel de

tri gehoͤre. Denn 2000 Soldaten wuͤrden ja wohl

nicht auch 2 mahl ſo weit marſchiren koͤnnen, als
1000 Soldatrn wirklich fortkommen! Es findet
alſo hi et nicht Statt, daß die geſuchte Groͤße 2 mahl
ſo groß wuͤrde, wenn das dritte Glied 2 mahl lſo

groß waͤre.

Nach einiger Ueberlegung; ſieht man wohl, daß

100 Soldaten, oder 1000 oder 2000 Soldaten,
in in ihrem Marſche nicht weiter vorruͤcken, als jeder

einzelne

. kum

12 Funfßehntes Kapitel.

einzelne Soldat. Die Frage war alſo bloß durch Dſt
den geſunden Menſchenverſtand, ohne alle Regel de le ti zn geen
tri zu beantworten. 16

1 e Bley slts nach Erfahrung in einre t en

Secunde ungefaͤhr 15 Schuh tief; wie tief jeihhuun
werden 100 Bley in einer Secunde fallen? mſtszmn

Es iſt hier gerade der vorige Fall. 100 £ Bley Cuneſcon v

neben einander gedacht, oder auch an einander ver⸗ hnuike aſe
einigt, koͤnnen nicht etwa 100 mahl geſchwinder fal⸗ nün ntinz
len, als 1 ρ; ſo wenig wie 100 Soldaten, die ne⸗ lat ui
Cude, und

ben einander marſchiren, oder ſich waͤhrend des Mar⸗
ſches anfaſſen „deshalb 100 mahl weiter fortruͤcken, iekfden
als ein einzelner Soldat. Wenn gleichwohl ein in nid eſt
1oopfuͤndiges Stuͤck Bley meiſtentheils etwas ge⸗ kor N
ſchwinder fallen moͤgte, als 1 ; ſo haͤngt das von In
Nebenumſtaͤnden ab, die nicht in der Rechenkunſt, ifin egid
ſondern in der Naturlehre zu betrachten ſind. G⸗⸗ Mrfeic
nug, 100 f fallen nicht deshalb geſchwinder, ſ. Nrid

weil ſie 100 mahl ſchwerer ſind als 1 fg; ſonſt muͤ⸗ iig lene
ten auch 100 Soldaten ebenfalls geſchwinder, und (Autng
zwar 100 mahl geſchwinder fortkommen, als 1 Sol⸗ (emin

dat, weil 100 Soldaten gerade 100 mahl mehr lglng
Fuͤße haben als 1 Soldat. Jedes ſz wird durch umnen i
ſeine eigene Schwere zur Erde getrieben; ſo wie ußm
jeder Soldat durch ſeine eignen Fuͤſſe fortmarſchirt. uf

*§. 349.
Geſetzt, ein Stein fiele in der erſten Se⸗ We
cunde 15 Schuh, wie weit wird er in⸗ Se⸗ pſerde,.
cunden fallen?
Dies

.

r r
ane cle ei

fahrungnin
db tef; w
Secundeſe
eul. te
Solheten, 1

Van gecrt

iſtertheis nn

E; ſyrde⸗
. 9. 4. Ge
tin N dei
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1. 16,68
esheb S

45 1

1s gcrim

1 14
. 66 7
fkommen,
.D

00 » . . . 2£ MZ
. wvwas man nicht verſteht; ob ſie gleich hoͤchſtens
ſdetn mnur ſo weit befolgt werden kann, daß ein jeder nur
gen das berechnet, was er zu verſtehen glaubt.
*§. 350.

Von der Regel de tri. 13
Dies ſcheint folgenden Anſatz fuͤr die Regel

de tri zu geben:

1 Sec.: 15 Schuh = 2 Sec.?
Wienn man aber aus der Naturlehre gelernt
hat, daß ein Koͤrper, der in der erſten Secunde
15 Schuh durchfallen waͤre, in der 2ten Secunde ſchon

wenigſtens 3 mahl 15 Schuh, und dann in der 3ten

Secunde ſchon wenigſtens 5O mahl 15 Schuh durchfal⸗
len wuͤrde (auſſer, was ihn die Luft, ſo er wegtreiben

muß, fernerhin zuruͤckhaͤlt); ſo weiß man, daß er in 2

Secunden nicht bloß 2 mahl ſo viel, als in der erſten
Secunde, und in 4 Secunden nicht bloß 2 mahl ſo
viel, als in den beyden erſten Secunden durchfaͤllt.
Man wird alſo, ſowohl durch die Bedachtſamkeit
waͤhrend der Rechnung, als durch die Pruͤfung des
Anſatzes nach § 335 entdecken, daß man hier nicht
nach der Regel de tri rechnen koͤnne.
Wer freylich ſolche phyſikaliſche Kenntniſſe nicht
beſitzt, der wird hier und in vielen aͤhnlichen Faͤllen
unrichtige Antwerten hervor rechnen; nicht aus Man⸗
gel an Rechnungsfertigkeit, ſondern weil es ihm an

anderweitigen Kenntniſſen fehlt. Hier bleibt die

Regel allemahl heilſam, nichts zu berechnen,

Whonn 1 Pferd 10 L zieht, wie viel ziehen
12 Pferde; wenn uͤbrigens gleich ſtarke Pferde

und gleich guter Weg vorausgeſetzt werden:

Wenn

14 Funfzehntes Kapitel.

Wenn das eine Pferd vor einen Karren geſpannt

iſt ‚ und die andern Pferde auch einzeln vor eben ſo
viel Karren geſpannt werden; ſo iſt es freylich klar,

daß man durch 12 Pferde unch 12 mahl ſo viel Laſt

fortbringen kann, als durch 1 Pferd. Wenn aber
die 12 Pferde etwa einen gemeinſchaftlichen Wagen
ziehen ſollen, ſo darf man keinesweges 120 auf⸗
laden. Geſetzt auch, daß der Wagen nicht braͤche,
wie es doch wahrſcheinl ich iſt; ſo druͤckt doch eine ſo
große Laſt den Wagen ſo tief in den Boden, daß ſie
ſchon deshalb weit mehr als 12 mahl ſo ſchwer fort⸗
zuziehen iſt; anderer Umſtaͤnd e nicht zu gedenken.

*§. 3 Kl.

Bine gewiſſe Arbeit wird von 15 Men⸗
ſchen in 4 TCagen vollender; wie viel T Tage
werden 7 Menſchen dazu gebrauchen:

Der Anſatz, 15 Menſchen: 4 Tage = 7 Men⸗

ſchen? gehoͤrt nicht fuͤr das allgemeine Verfahren
der Regel de tri. Denn wenn das letzte Glied zwey
mahl ſo groß waͤre; ſo wuͤrde deshalb die gefuchte
Groͤße nicht auch 2 mahl ſo groß ausfallen. Viel⸗

mehr brauchen 14 Menſchen nur hald ſo viel Zeit,

als 7 Menſchen zu derſelben Arbeit; vorausgeſetzt,
daß ſich 14 Menſchen eben ſo bequem dabey anſtel⸗
len laſſen als 7 Menſchen.

Dieſe Aufgabe iſt der in § 342 ſehr aͤhulch.
Dort beſtand die Arbeit im Eſſen.

e cſz

Anhang, B

Eirbetihn
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H . 4

. Von der Regel de titi. 1 5
nnnee Anhang, von der Regel de tri bey Bruͤchen. D
ſsnd Ein beruͤhmter Schulmann ſtellte mir vor, daß

n viele Profeſſioniſten u. dergl. nach zuruͤckgelegten
Schuljahren nur noch nach der Regel de tri zu ver⸗
elgan ſahren wuͤßten, und ſelbſt die Kettenregel bald wie⸗
gin der vergeſſen haͤtten: deshalb ſey es rathſam, daß
Duanili man ſie auch Bruͤche in der Regel de tri behandeln
he lehre. Dieſem Zwecke gemaͤß habe ich nun dazu
mndn d hinreichende Regeln ſo geordnet und erklaͤrt Rdaß ſie
leicht behalten und verſtanden werden.
Zeder Lehrer kann dieſen Anhang nach Belieben
gebrauchen oder weglaſſen. Im erſten Fall aber
muß er doch entweder verſpart werden „ bis man,
etwa nach Beendigung des 24ten Kapitels, den
d miſ zweyten Theil bis dahin wiederholt; oder man muß
unl die wenigen leichten Saͤtze von der Bruchrechnung,
eebracn. welche hier nur vorausgeſetzt werden, im voraus
bekannt machen. Das hat keine Schwierigkeit, und
dr⸗ der folgende § zeigt dieſe Saͤtze an.

2

§. 353 — §. 30

1/

Sechzehntes Kapitel.
Vom Ausdrucke eines Bruches durch
niedrigere Sorten.
§. 36 2.
3 Der Lehrer nehme zur Erlaͤuterung der erſten Tafel

wirklich 24 9 in die Hand, zaͤhle ſie in zmey
Reihen

ℳ

16 Sechzehntes Kapitel.
Reihen auf, und ſage dabey: 12 Geoſchen iſt

andere 24 96 in drey Reihen gezaͤhlt, wo⸗

alſo einen ganzen Thaler aus.
Nachdem man alle uͤbrigen Saͤtze auf eben die
Weiſe dargeſtellt hat; ſo zeige man eben ſo an⸗
ſchaulich, wie viel Groſchen in ½ und ¾ l,
in , 4 * E u. ſ. w. enthalten ſind, unter ſolgenden
Woorten:
E iſt 8 96; * (zwey Drittel) Thaler ſind alſo?
S Arnntw. 2 mahl 8, d. i. 16 .
2 (drey Drittel) Thaler ſind alſo?
Antw. 3 mahl 8, d. i. 24 90.
1*½ x iſt 6 g6; 2 (zwey Viertel) Thaler ſind alſo?
Antw. 2 mahl 6, d. i. 12 90.
d. 364 — §. 374.
Was hier von den Bruͤchen einiger Geldſorten
und Gewichte beygebracht iſt, wird die Schuͤler in
den Stand ſetzen, bey den Bruͤchen anderer Sorten

7

ihnen ſelbſt, z. B. fuͤr Winſpel und Scheffel, eben
ſolche Tafeln und Fragen aufſchreiben und beantworten
laſſen, als in § 373 fuͤr e und Lothl abgedruckt ſind.

werden dieſe Begriffe, wie man leicht ſieht, gar

ſehr geuͤbt und zur Fertigkeit gebracht.

1* Thaler, denn 2 mahl 12 90 machen 24 96,
alſo einen ganzen Thaler aus. Darauf werden

durch vor Augen liegt, daß 8 90 gerade ½ Thaler
ausmachen; denn 3 mahl 8 90 machen 24 90,

d ſebe;

auf aͤhnliche Weiſe zu verfahren. Man kann von
Durch die Rechnungen des folgenden Kapitels

Sieben⸗

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17

Siebenzehntes Kapitel.

Von der waͤlſchen Practik.

*§. 376.
Die Fen bis zum 399ſten werden hier ununker⸗
— brochen folgen, und ſollen einige Ueberſicht
von dem eigenthuͤmlichſten Verfahren der ſo genann⸗

ten waͤlſchen Practik geben. Dergleichen ſchien mir

auch darum noͤthig, weil man anjetzt nicht wenig
eigentliche Rechner antrifft, welche damit gaͤnzlich
unbekannt ſind. 22ð
*§. 377.
1 Stuͤck: 18 = 26 Stuͤck?
r2 ½ æCE 13 xrG
71 6 ⸗ 12 3
19 xC 12 . MMl
Wenn 1 Stuͤck 18 9”l koſtet; ſo kann ich mir
auch vorſtellen, ein Stuͤck koſte fuͤrs erſte 12 ,
und dann ferner noch 6 π. Weil naͤhmlich 12
gerade ½ Thaler ausmachen, und 6 wieder die
Haͤlfte von 12 9c ſind; ſo erhalte ich durch dieſe Zer⸗
theilung ſolgende ſehr leichte Rechnung.

In ſo fern 1 Stuͤck koſtet ., in ſo fern ko⸗
ſten die 26 Stuͤck? Antw. 26 halbe d. i. 13 ganze
Thaler. Da nun ferner jedes Stuͤck auch noch
6 , alſo noch die Haͤlfte des eben berechneten
Buſſ. Rechenb, 2. Haͤlfte. B ½ Tha⸗

18 Siebenzehntes Kapitel.

4 Thalers koſtet; ſo koſten auch die 26 Stuͤck gerade

Vonn es i

noch halb ſo viel, als ſie wegen des eben berechn
halben Thalers koſteten, alſo noch die R on
13 *“., d. i. 6 X6 12 36. Ueberhaupt alſo koſten
die 26 Stuͤck ſo viel, als die Summe von 13
und 6 ° 12 90 betraͤgt, d. i. 19 X 12 ”.

*§. 378.
1 B: 7 X0“ 22 90C 4 ₰ϑ 22
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In ſo fern 1 ſt koſtet 7 b., in ſo fern koſten

die 22 ⁸ offenbar 7 mahl 22, d. i. 154 6.

Auſſer den 7 . koſtet aber jedes eh noch 22 90
3 R, die man ganz bequem als 12 6, 6 und 3
und 1 96 und noch 4 R betrachten kann. In ſo
fern nun jedes ſig koſtet ½ v., ſo koſten die 22 s
Antw. 22 halbe, d. i. 11 ganze Thaler. In ſo fern
nun weiter jedes ſ noch die Haͤlfte der eben berech⸗
neten 12 96 koſtet; ſo koſten auch die 22 fg noch
die Haͤlfte von 11 X., d. i. 5 XL 12 3c u. ſ. w.

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*§. 379.

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Von der waͤlſchen Practik. 19

*§. 379.
WDeienn es in der vorigen Aufgabe hieße, 1 8
koſtet 22 96 4 R, wie viel koſten 22 , in dem
Preiſe alſo gar keine Thaler vorkaͤmen; ſo muͤßte na⸗
tuͤrlich der erſte Schluß gaͤnzlich wegfallen, daß die
22 ſchon 154 r koſten, in ſo fern 1 6 ſchon
7 * koſtet. Uebrigens aber wuͤrde in Abſicht der
22 96 4 R gerade wie vorhin verfahren werden.

Man zerſtreut naͤhmlich die 22 96 in die be⸗

quemen Theile 12, 6, 3 und :; betrachtet den er⸗

ſten als ½ *πι, den zweyten als die Haͤlfte des er⸗
ſten, den dritten als die Haͤlfte des zweyten, und
den vierten als ein Drittel des dritten, und die uͤber⸗
dies noch vorhandenen 4 wiederum als ein Drit⸗
tel des vierten Theiles. Nun muͤſſen die 22 , in
Abſicht auf den ½ *ο., welchen jedes koſtet, offen⸗
bar 11 x6 koſten. Wegen der folgenden 6 96 ko⸗
ſten ſie noch die Haͤlfte ſo viel, u. ſ. w.

*§. 380. “
In der erſten Aufgabe §. 423. iſt die Frage,

“ wie viel man fuͤr 18 90 erhaͤlt, wenn 1 f 20 Loch
und 2 Quentchen fuͤr 1 96 verkauft werden.

Man n ſchließet bey der Berechnung auf folgende
Weiſe. In ſo fern ich fuͤr 1 96 erhalte, fuͤrs erſte
1 8, ſo erhalte ich fuͤr 18 auch 18 mahl 1 ,

B 2 Nun

20 Siebenzehntes Kapitel. “

Nun erhalte ich aber ferner fuͤr 1nen jeden Gro⸗
ſchen auch noch 20 Loth und 2 Quentchen: wie viel

werde ich in dieſer Hinſicht, auſſer jenen 18 6, noch

fuͤr die 18 erhalten?

Zerſtreut man hier die 20 Loth in die beyden
Theile 16 doth und 4 Loth; ſo kann man den erſten

Theil als ½ , den zweyten als 4 des erſten Theils,
und die noch vorhandenen 2 QAuenichen als 3 des
zweyten Theils betrachten. In ſo fern ich nuin fuͤr

190 noch ¾ ſg erhalte; ſo erhalte ich fuͤr die 18 90
noch 18 halbe, d. i. 9 ganze E. U. ſtw.

*§. 381.

Die 16 Loth, als der erſte Theil, den wir

durch die Zerſtreuung im vorigen §. erhielten, wa⸗
ren ein ſehr bequemer Theil, da ſie gerade die Haͤlfte
eines Pfundes ausmachen.

Indeſſen iſt auch 8 Loth als e noch ein ganz
bequemer Theil, und man kann daher die 20 Loth
auch, wie §. 423 No. II, in 8, 8, 4 zerſtreuen.
Doch giebt das hier keine bequeme Rechnung, weil

man nun 3 Theile erhaͤlt, anſtatt daß man nach der

vorigen Zerſtreuung nur 2, und zwar zwey ebenfalls

ganz bequeme Theile zu berechnen hatte. Meiſten⸗
theils aber iſt es vortheilhaft, in zwey gleiche Theile

zu zerſtreuen, weil dann der zweyte gerade eben ei ſo

viel giebt, als der erſte.

K§. 382.

Aus den bisherigen Beyſpielen wird man nun⸗
mehr ſchon hinlaͤnglich abnehmen, worauf es le⸗
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Von der waͤlſchen Practik. 21

dieſen Rechnungsverkuͤrzungen eigentlich ankommt.

Man ſucht die Zahlen, welche ſich auf niedere Sor⸗

ten beziehen, entweder unmittelbar als einen Theil
der hoͤhern Sorte zu betrachten (wie z. B. die 2
Quentchen in §. 423. als von 4 Loth); oder man
zerſtreut dergleichen Zahl in mehrere Theile, deren
jeder einen bequemen Theil, entweder der hoͤhern
Sorte oder einer andern ebenfalls zu betrachtenden
Menge von eben derſelben Sorte, ausmacht. Man
berechnet alsdann zuerſt den Ertrag der bequemſten
Theile, und nutzet darauf gewoͤhnlich einen ſchon be⸗
rechneten Ertrag, um den Ertrag eines neuen Thei⸗

les zu beſtimmen.

Wenn man auſſer den ſchon gezeigten noch ei⸗
nige in der Folge vorkommende Kunſtgriffe der waͤl⸗
ſchen Practik betrachtet, ſo ſiehet man leicht ein;
daß man dadurch mehrentheils nach der natuͤrlichſten
Methode zu rechnen ſucht, deren ſich ſelbſt der Bauer

bey ſeiner Kopfrechnung bedienet; daß ſie unter allen

Rechnungsarten, welche gewoͤhnlich i in den Schulen
getrieben werden, die meiſte und ſchicklichſte Uebung
in der Kopfrechnung darbietet, und man es ſchon in
dieſer einzigen Hinſicht ſchlechterdings nicht zugeben
darf, daß ſie durch andere, lange nicht ſo natuͤrliche
Rechnungsarten, z. B. durch die Kettenteget, gaͤnz⸗
lich verdrungen werde.

S.. 383.
Wenn man irgend eine der bisherigen Aufga⸗

ben betrachtet, z. B. aus *§. 378.

1 8 koſtet 7 *0 22 96 4 ; wie viel
koſten 22 ? “M
B 3 ⸗ ſo

22 Siebenzehntes Kapitel.

ſo erhellet ſogleich, daß der geſuchte Preis der 22 f
nothwendig beſtehen muͤſſe in 22 mahl 7 0 22
4 R. Man wuͤrde alſo dieſen geſuchten Preis eben⸗
falls finden, wenn man die 7 X6 22 36 4 R ge⸗
radezu durch 22 auf die Weiſe multiplicirte, welche
aus dem gten Kapitel der erſten Haͤlfte bekannt iſt.
Meiſtentheils aber wird man durch das eben gezeigte
Verfahren, vermittelſt der Zerſtreuung eines ſolchen

vielſortigen, oder doch auf hoͤhere Sorten zu brin⸗

genden Factors, eine angenehmere, bequemere und

kuͤrzere Rechnung erhalten. Selbſt in ſolchen Faͤl⸗

len, wo die Arbeit eben nicht viel geringer ſeyn
moͤgte, wird man doch am liebſten vermittelſt dieſer
Zerſtreuung multipliciren; weil ſich die nach und
nach dadurch erhaltenen Theile des Productes, we⸗

gen ihrer bequemen und ſchicklichen Stellung, ſehr

gut uͤberſehen und nachrechnen, und die etwa began⸗
genen Fehler leicht entdecken laſſen. So wie nun
in der That durch das ganze in *§. 368. gezeigte
Verfahren nichts anders als das Product aus 22
mahl 7 X6. 22 36 4 R gefunden wird, ſo wird man
uͤberhaupt auch bey den folgenden Aufgaben dieſes

Kapitels die Methoden erlernen, wie man auch an⸗
dere dazu ſchickliche benannte und ſortirte Zahlen

auf die bequemſte Weiſe, vermittelſt der Zerſtreu⸗
ung, multipliciren koͤnne; und eben dieſe Art der
Multiplication iſt es, worauf wir im erſten Theile
§. 238. verwieſen haben. Sie fuͤhrt gewoͤhnlich
den Nahmen der practiſchen Multiplication.
Wenn man aber bey gewiſſen Aufgaben uͤber⸗
ſieht, daß die noͤthige Muleipliegtion vermitelſe der
er⸗

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Von der waͤlſchen Practik. 23

Zerſtreuung mehr erſchwert als erleichtert werde, und
das ſchon aus dem neunten Kapitel bekannte Ver⸗
fahren naͤher zum Ziele fuͤhre; ſo bleibt man bey
dieſem Verfahren. Z. B. in 6 : 7 r6 2 36
4 ϑ = 8 ? findet man ohne alle Zerſtreuung
ſehr leicht, wie viel 8 mahl 7 6 2 3 4 aus⸗
machen; indem hier die Zahl 8, womir man
multipliciren ſoll, nur einſtellig iſt, und uͤber⸗
dies waͤhrend der Multiplication ſelbſt keine
beſchwerlichen Reductionen vorfallen koͤnnen.

Aus den Tafeln in §. 401 und §. 404. wird
erhellen, daß bey den Geldſorten der Meißniſchen
Waͤhrung, bey welcher nach Thalern zu 24 von
12 R gerechnet wird, nicht leicht irgend eine An⸗
zahl von Groſchen vorkoͤmmt, die man nicht als ei⸗
nen oder mehrere bequeme Theile des Thalers be⸗
trachten koͤnnte; und eben ſo laͤßt ſich auch eine jede
Anzahl von 2 bis auf 12 R allemahl als einen oder
mehrere bequeme Theile eines Groſchens betrach⸗
ten: daher dann dieſe Waͤhrung zu den Kunſtgrif⸗
fen der waͤlſchen Practik ungemein geſchickt iſt. Bey
der Braunſchweigiſchen Waͤhrung, wo der Thaler
zu 36 3 von 8 gerechnet wird, kommt ſchon et⸗

was oͤfter eine Anzahl von Groſchen vor, die ſich

nicht ſo ganz bequem zerſtreuen laͤßt. Und bey der
Reichswaͤhrung, worin ſogar ſchon 60 Xr. auf 1
Gulden gerechnet werden, muß man noch oͤfter auf
eine Anzahl von Xrn. ſtoßen, welche nicht gerade
die Haͤlfte, oder das Drittel, Viertel, Fuͤnftel,
Sechstel, Siebentel, Achtel, Neuntel oder Zehn⸗
“ 1 4 tel,

1

2

24 Siebenzehntes Kapitel.

tel, ſondern nur etwa s, vn oder einen noch un⸗
bequemern Theil eines Guldens darbiethen. In

ſolchen Faͤllen leiſten freylich die Zerſtreuungen keine
ſo großen Vortheile, weil man durch 12, 15, oder

noch groͤſſere Zahlen, nicht ſo leicht als durch 2 oder

3 u. ſ. w. dividiren kann. Es folgt aber daraus

nur ſo viel, daß man bey dieſen beyden Waͤhrungen

die Zerſtreuungsmethode nicht ſo allgemein als bey
der Meißniſchen anbringen muͤſſe; woruͤber in der

Folge die noͤthige Anweiſung vorkommen wird.

§. 386.

Naͤchſt den Geldſorten hat man es bey den
Rechnungen des gemeinen Lebens am meiſten mit
den Gewichten zu thun, und zwar hauptſaͤchlich mit
Pfunden und Lothen. Da 1 ſ aus 32 Loth beſteht,

und 16, 8 und ſelbſt die kleine Zahl 4, ein ſehr

bequemer Theil von 32 iſt; ſo kann man faſt bey

jeder vorkommenden Menge von Lothen einen vor⸗

theilhaften Gebrauch von der Zerſtreuungsmethode
machen. Daß die Quentchen ſehr leicht zu behan⸗
deln ſind, faͤllt von ſelbſt in die Augen; indem 1
Loth nicht mehr als 4 Quentchen enthaͤlt.

Die Kornmaße, Winſpel, Scheffel und Mez⸗

zen, und die gewoͤhnlichſten Weinmaße ſind eben⸗

falls ſehr geſchickt zur Zerſtreuung. Da uͤberhaupt

die allermehrſten Maße ſo eingerichtet ſind, daß

man, wo nicht auch das Drittel, doch die Haͤlfte,
das Viertel und auch wohl das Achtel der einen
Sorte in der naͤchſt niedrigern Sorte nach ganzen
Zahlen angeben kann, wovon einige nur klein ſind;
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Von der waͤlſchen Practik. 25
ſo wird es ſelbſt in ſolchen Laͤndern, deren Waͤhrung

fuͤr die Zerſtreuung nicht ſehr geſchickt iſt, doch nicht
an haͤlfigen Gelegenheiten fehlen, bey welchem die

waͤlſche Practik ungemeine Vortheile gewaͤhrt. Es

folgen nunmehr noch einige Erläuterungen uͤber

ſchen Practik. J

IJI. Wenn man den Ertrag von einem oder auch
mehrern Stuͤcken einer gewiſſen niedrigen Sorte zu
berechnen hat, es ſeyen nun , Loth, A, u.
dergl.; ſo kann man ſehr oft ihren Ertrag als den
Theil eines ſchon gefundenen Ertrages betrachten
und beſtimmen, wie es bisher allemahl, und auch
in der gleich folgenden erſten Rechnung geſchehen
iſt, wo der 1ne 3t als der 6te Theil der gleich dar⸗
uͤber ſtehenden 6 ℳ betrachtet wird.
1 8: 19 = 14 36.

6 2 3 * 12 Pe.
*

–

1I —— — ⸗= 14
. II C;- 2 ℳ.
1 B: 19 4 = 14 .
12 ¾ °. 7 T.
6 ½ - 3 ⸗ 12 396.
—I 3 — ⸗ 14 -
11 ι 2 .
B 5 Aller⸗

*

26 Siebenzehntes Kapitel.

Allerdings aber faͤhrt man beſſer, wenn man

dieſen 1nen Groſchen nicht als den 6ten Theil des
gleich daruͤber ſtehenden ſchon berechneten Theiles
betrachtet, und deshalb den 6ten rheil von dem
ſchon berechneten Ertrage 3 6— 12 36 aufſucht; ſon⸗
dern vielmehr den unen Groſchen fuͤr ſich betrachtet,
und wiederum geradezu auf die 14 G bezieht, deren
Preis man ſucht. Man ſchließt alsdann: in ſo fern
1 8 noch 1 9 koſtet in ſo fern koſten die 14
noch 14 7.
388.
Will man auf diſe Weiſe verfahren; ſ. ziehe

man, wie in der 2ꝛten Rechnung des vorigen §. ei⸗

nen Querſtrich zwiſchen dem inen und den daruͤber
ſtehenden 6 ℳ, als ein Merkmahl, daß man den

1nen Groſchen nicht wiederum als einen Theil der

6 betrachten wolle, wie dieſe 6 als ein Theil
der gleich daruͤber ſtehenden 12 betrachtet wur⸗
den; ſondern daß dieſer 1ne ganz fuͤr ſich betrach⸗
tet und berechnet werden ſolle. In dieſer Hinſicht
koͤnnte dieſer Querſtrich der Groſchenſtrich ge⸗
nannt werden.
*.

389
Im folgenden erſten Gempel iſt der Xrſtrich
nothwendig, weil ſich die 4 Ar, weder ganz noch

durch weitere Zerſtreuung, als einen bequemen Theil

der gleich daruͤberſtehenden 30 Xr. betrachten laſſen.
1 : 34 XNr. = 6 G.
301½ Fl. 3 Fl.
4 Xr. — - 24 Xr.

3 Fl. 24 Xr.

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Von der waͤlſchen Praccfk. 27

. ℳ: 8 Loth 3 Quentchen = 20 3˙.

IlnE8 — — t.
oh· — — = 80 Loth.
5 E
5 ſh 15 Loth.
Eben ſo rathſam iſt im zweyten Exempel der
Lothſtrich. Man ſchließt alsdann dieſes Striches

wegen: in ſo fern ich fuͤr 1 3 noch ½ Loth erhalte,

ſo erhalte ich fuͤr 20 noch 20 halbe, d. i. 10 ganze
Loth u. ſ. w.

In ſo fern dergleichen abſondernder Querſtiich

bald ein Groſchenſtrich, bald ein Xrſtrich, bald ein
Lothſtrich u. dergl. iſt, kann er im allgemeinen ein

Sortenſtrich heiſſen.

eg. 300.
Wenn das letzte Glied eine vielſtellige Zahl

enthaͤlt, ſo muß man die Sortenſtriche zu vermei⸗

den ſuchen; in ſo fern ſie alsdann etwas beſchwer⸗
liche Reductionen veranlaſſen. Z. B. in der Rech⸗
nung XIV. a. SF. 406, wo es heißt: in ſo fern 1
koſtet ½ , koſten 1977 t auch ſo viel halbe Gro⸗
ſchen, d. i. 98 8 6 Aϑ, und wo nun aufs neue
die 988 zu 41 4 reducirt werden muͤſſen.

*§. 39 .
Sehr oft kann man nun allerdings die Sor⸗
tenſtriche dadurch vermeiden, daß man eine andere
Zerſtreuung erwaͤhlt, wobey man auf kleinere Theile
kommt. So erhaͤlt man durch die Zerſtreuung i

4

28 Siebenzehntes Kapitel.
XIV. b. in § 46. zum zweyten Theile nur 4 5,
wovon die 6 R ein ganz bequemer Theil ſind.

Indeſſen wird es bey der wirklichen Anwen⸗
dung der waͤlſchen Practik ein ſehr ſeltener Fall ſeyn,

daß man im dritten Gliede ſo große Zahlen be⸗

kommt, und uͤberdies werden wir noch manche

Kunſtgriffe zur Erleichterung der gewoͤhnlichſten
Reductionen zeigen.

8. 392.
II. Z. B. 11 ₰ betrachtet man gern als

1 96 – 1 R (als 19 weniger 1 R); 23 als
1XC – 1 , 59 Xr. als 1 Fl. –— 1 Xr., 31 Loth

als 1 G I Loth, und in ſo aͤhnlichen Faͤllen 7.

Der Gebrauch iſt folgender:
1 Stuͤck: 4 23 96 = 6 Stuͤck?

56 — — 30 C.
1 — —⸗ 6 .
29 0 18 .

Naͤ hm⸗

. .) Jn der Buchſtabenrechnung iſt freylich ein bloßer
Querſtrich (—) ſtatt des muͤhſamern Zeichens
(—) gewoͤhnlich: aber in der« gemeinen Arithine⸗

tik ſcheint es allerdings rathſam, das letztere Zei⸗

chen beyzubehalten. Einen bloßen Querſtrich pflegt
man in der gemeinen Rechenkunſt faſt gar nicht zu
beachten, weil man dergleichen ſo haͤufig zur bloßen
Anfuͤllung eines jeden leeren Raumes zu gebrau⸗
chen pflegt, der ſonſt eine unangenehme Luͤcke zwi⸗
ſchen zuſammen gehoͤrigen Zahlen laſſen wuͤrde.

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Von der waͤlſchen Praectik. 29

Naͤhmlich: wenn ein Stuͤck koſtete 5 x6, ſo wuͤr⸗
den die 6 Stuͤck gerade 30 x foſten. Da man
aber hierbey fuͤr jedes Stuͤck 1 , fuͤr die 6 Stuͤck

alſo 6 zu viel gerechnet haͤtte; ſo muß man von
den 30 wiederum 6 96 abziehen, um den wah⸗
ren in Preis der 6 Stuͤck k zu erhalten.

58. 393.
Hierher gehoͤrt auch, daß man z. B. 9 **

12 9” als 10 6 & rl, oder 19 16 3 als

20 X6 – XC, auch wohl 39 18 ℳ als
40 † – ½¼ * betrachtet. Dadurch wird aller⸗
dings die Rechnung erleichtert (wie etwa die Ver⸗
gleichung zwiſchen XV. a. und XV. b. in §. 406.
zeigen kann); beſonders darum, weil man mit 20,
30, 40 u. dergl. weit leichter als durch 19, 29,
39 u. dergl. mu ltipliciren kann. In dieſem Be⸗
ttacht wuͤrde ich auch noch 59 6ε 20 als 60 6
*½ * ρ, auch 199 r 21 36 als 200 X 6 – ½ 6
betrachen.

Man dringe aber nicht auf den zu haͤufigen
Gebrauch dieſer Rechnung durch —. Der anſchei⸗
nende Vortheil wird beſonders dadurch ſehr oft ver⸗
nichtet, daß man waͤhrend der Rechnung abſetzen,

oder doch ſehr genau darauf achten muß, daß man

nicht wie gewoͤhnlich zu addiren, ſondern zu ſubtra⸗
hiren habe.

§. 394.
III. Wenn man zwey mehrſtellige Zahlen,
wie in X. F. 406. die beyden zweyſtelligen 39 und
34 in einander zu multipliciren hat; ſo braucht man
ie

30 Siebenzehntes Kapitel.

die beyden Theile des Productes nicht erſt in eine
Summe zuſammen zu ziehen, ſondern kann ſie ein⸗
zeln ſtehen laſſen, bis man am Ende uͤberhaupt
ſummir. —
. 39. “
IV. Um bey dieſer Rechnungsart jeden ent⸗

behrlichen Federzug zu vermeiden, kann man wohl,

wie es gewoͤhnlich iſt, z. B. in dem hier folgen⸗
den Muſter nur 2 ſtatt ½, 3 ſtatt und 4 ſtatt
ſchreiben.

1 6: 9 re 20 6 J½. = 21 F.
189 *6.

12½ ι — — 10 ⸗ 12 .
612 — — 5 6 -
3 — — 1 ⸗ 18 -

SS 206 . 22 “ 6 A.
Allerdings iſt 1) nicht nur 2 oder 3 leichter geſchrie⸗

6 ₰

ben als ½ oder ½, ſondern man kann auch 2) an

dem Platze wo ½ oder ½ ſtehen ſollte, die 2 oder 3
deſto deutlicher ſchreiben, und endlich 3) kann man
die Zahlen 2, 3, 4 auf eine ſehr leichte Weiſe fin⸗
den, indem man ſagt: 6 3 in 12 26 ſtecken 2 mahl,
2 56 in 6 ”t ſtecken 3 mahl, und 6 in 2
ſtecken 4 mahl; und auf aͤhnliche Weiſe in andern

Faͤllen. Alsdann hat man beym Gebrauch dieſer

Zahlen auch 4) eigentlich geradezu zu dividiren;
mit der 2 in 10 6 12 36, um 5 ο 6 36 zu erhal⸗
ten; mit der 3 in 5 ρο 6 , um 1 . 18 3f zu
erhalten; u. ſ. w. “

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Von der waͤlſchen Practik. 34

Nur muß man weder die abgekuͤrzte Schreib⸗

art dieſer Zahlen, noch ihre Auffindung nach 3),

noch das Verfahren nach 4), etwa darum ergrei⸗
fen, um die waͤlſche Practik ebenfalls zu einer recht
maſchinenmaͤßigen Rechnung zu machen; ſondern
man muß auch beym Gebrauch dieſer Vortheile be⸗
ſtaͤndig vor Augen behalten, warum man ſo verfah⸗
ren koͤnne. Damit man dies nicht vergeſſe, ſcheint
es mir rathſam, nicht etwa auch 2 ſtatt E6*
in gegenwaͤrtiger Rechnung, oder 3 ſtatt ½ 36
in §. 399. III. b. zu ſchreiben: ſondern man fahre
fort es recht deutlich anzumerken, daß man die 12

als ½ W., und die 4 als ½ 9” betrachtet wiſſen

wolle; ſo daß man die bloßen Nenner 2, 3, 4, 5
u. dergl. ſtatt der Bruͤche ½, ½, 4, † nur da ge⸗
braucht, wo ſie anzeigen, daß das nebenſtehende
als der 2te, 3te, 4Ate, 5te u. ſ. w. Theil des vor⸗
hergehenden Ertrages zu berechnen ſey. In den
Exempeln fuͤr die erſten Anfaͤnger aber habe ich mich
dieſer abgekuͤrzten Schreibart nicht bedient, nicht
nur um ſie deſto gewiſſer von dem bloß maſchinen⸗
maͤßigen Rechnen abzuhalten; ſondern weil ihnen
die verſtaͤndige Erlernung der waͤlſchen Practik am
leichteſten wird, wenn ſie wirklich als Bruͤche ſchrei⸗
ben, was ich ſie dabey — der gleichfoͤrmigſten und
deutlichſten Faſſung wegen — mit Fleiß als Bruͤche
betrachten laſſe.
Wienn die Rechenſchuͤler die waͤlſche Practik
ſchon einmahl ganz durchrechnet haben, und nach
Verlauf einiger Zeit zur mehrern Uebung wieder⸗
hohlen, dann zeige man ihnen dieſe Verkuͤrzung,
woran ſie ſich bald genug, und dann ohne Schaden⸗
gewoͤh⸗

32 Siebenzehntes Kapitel.
gewoͤhnen werden. Auch in den Zerſtreuungstafeln

wie §. 417 und 421. ſind die Bruͤche vollſtaͤndig
ausgedruͤckt. Denn ſie brauchen dieſe Tafeln nur

bey der erſten Erlernung, nachher muͤſſen ſie von

ſelbſt zu zerſtreuen wiſſen.
Bisher ſetzten wir voraus, daß das erſte Glied
nur die Zahl 1 enthalte. Wenn das nicht der Fall
iſt, ſo ſucht man dennoch zuvoͤrderſt, was heraus⸗

kommen wuͤrde, wenn die Zahl des erſten Gliedes
nur 1 waͤre, und ſchließt aus dem was man dadurch

gefunden hat, gar leicht auf den wahren Ertrag;
wie aus §. 425. erhellet, und ſchon aus der Regel

de tri bekannt iſt. “

S. 307.
Betrachten wir das Verfahren, z. B. bey der
erſten Aufgabe in §. 425.; ſo werden wir leicht ein⸗

ſehen, daß dadurch das 2te Glied 4 . 18 9 durch

die Zahl des dritten Gliedes multiplieirt, und dar⸗

auf das Product durch die Zahl des erſten Gliedes,

dividirt wird. In der That unterſcheidet ſich das
Verfahren der waͤlſchen Practik von der Regel de

tri in §. 344. hauptſaͤchlich nur dadurch, daß man—

die Multiplication durch eine geſchickte Zerſtreuung

abzubkuͤrzen ſucht. Schon in dieſem Betracht kann

die waͤlſche Practik mit Recht eine verkuͤrzte Regel
de tri genannt werden. “”́”VYñs
Auch ſolche Aufgaben, deren drittes Glied aus

mehrern Sorten beſteht, werden nicht ſelten durch

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Von der waͤlſchen Practik. 33

ein aͤhnliches Verfahren weit vortheilhafter als durch

die Kettenregel behandelt. Dieſe und andere Rech⸗
nungenund Kunſtgriffe werden im 27ſten Kapitel

gezeigt werden. .

§. 399 — §. 409.

G. 41 O.

1) Im Durchſchnitt genommen iſt es vortheil⸗
haft, unter mehrern moͤglichen Zerfaͤllungen des letz⸗

ten Gliedes eine ſolche zu waͤhlen, wodurch man we⸗

nigſten einen Factor erhaͤlt, der gerade einen be⸗

quemen Theil, wo moͤglich die Haͤlfte, wenigſtens

von einer Sorte des zweyten Gliedes angiebt „wenn
man ihm den Nahmen der naͤchſtniedrigen Sorte
beylegt. Von der Art iſt der Factor 6 im 2ten
Beyſpiele des vorigen §., da 6 gerade ½ aus⸗
machen.

2) Mit dergleichen Factor multiplicirt man

dann gerne zuerſt, ſonſt aber mit dem groͤßern.

6. 411. §. 412.
*§. 413.
Allgemeine Erinnerungen.

Mehrere von den bisher und in der Folge aus⸗
gefuͤhrten Aufgaben koͤnnen weit kuͤrzer berechnet
werden, als es wirklich geſchehen iſt. Aber nicht
aus einzelnen Exempeln, ſondern aus dem Ganzen
dieſes Rechenbuches muß es beurtheilt werden, ob
der vollendete Schuͤler deſſelben mit der gehoͤrigen
Kuͤrze und Geſchwindigkeit werde zu rechnen wiſſen.
Ferner ſcheint es mir einen Hauptfehler der meiſten

Buſſ. Rechenb. 2. Th. C Rechen⸗

2

34 Siebenzehntes Kapitel ꝛc.

Rechenbuͤcher auszumachen „daß ſie gegen ſiſgende
Regeln anſtoßen.

1) Man muß nicht ſo viele Kunſtgriffe ange⸗ .

ben, daß dadurch eine Verwirrung oder doch zu

ſchwere Wahl bey Perſonen entſteht, welche die

Uebung dieſer Kunſtgriffe nicht zu ihrem taͤglichen
Hauptgeſchaͤfte machen koͤnnen und ſollen.

2) Man muß keinen Kunſtgriff aufnehmen,
der nur fuͤr ſeltene Faͤlle brauchbar oder vortheilhaft
iſt. Wer hiebey zu bedenken weiß, daß faſt fuͤr je⸗

den erſonnenen Kunſtgriff unbeſtimmbar viele Auf⸗
gaben erdacht werden koͤnnen, wird es einſehen, daß
ſelbſt unzaͤhlig viele Aufgaben einer gewiſſen Art
dennoch, in Vergleichung mit den wahrſcheinlichen

Faͤllen, den Vorwurf der Selkenheit verdienen
koͤnnen. .

3) Man muß in ſeiner Rechenkunſt nicht die

meiſten Aufgaben fuͤr die Kunſtgriſſe einrichten, be⸗

ſonders nicht fuͤr ſelbſt erdachte Liebl lingskunſtgriffe;

ſondern gerade umgekehrt verfahren.

4) Das mehreſte des Rechenbuches muß fur
die mehreſten brauchbar und rathſam ſeyn; nicht

etwa bloß fuͤr vorzuͤgliche Rechenkoͤpfe.

§. 414 — §. 42⁸.

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Achtzehntes Kapitel.

Von Vergleichung und Aufhebung
der Bruͤche.

§. 429.
*§. 430.
Keen Figur 2. iſt ein Zoll, wie unter A ſteht, unter B,
ANC., D und E in 2g, 2%, 4 und £ abgetheilt. Die
Linie unter F iſt zwar auch in 5 Theile, aber nicht i in
5 gleiche Theile alſo nicht in 5 Fuͤnftel zertheilt.

In F Fig. 2. iſt eben der Zoll unter K und L i in
und 1½ abgetheilt. Ohne Zweifel kann man ſich

dergleichen Zoll auch in 18, oder 4 38 oder 3 * u. dgl.

zertheilen.

An Fig. 9. ſieht man leicht, wie ein Garten
ABCD nicht nur in 2, ſondern auch in oder in
5* wirklich zertheilt werden koͤnne. Es muͤßte auch
wohl moͤglich ſeyn, ihn z. B. in ½ oder ½ E zu zer⸗
theilen.

In ſo fern man 24 nach Fig. 5. aufgezaͤhlte
Groſchen als 1 Ganzes, als einen Thaler betrachtet;

ſo hat man nach Fig. 6. nun 2 * , nach Fig. 7.

ſchon πι, und nach Fig. 8. ſchon 5 *π vor Augen.
Allenthalben kann man ſich auch die 24 als 2 ¼
gedenken. Aber auch z. B. in 7%, alſo in 7 gleiche
Theile kann ich mir einen Thaler zertheilt vorſtellen;
ob ich gleich dergleichen 7tel Thaler nicht durch lau⸗

ter ganze Groſchen oder Pfennige ausdruͤcken kann.

0 2 *G 43 1.

36 Achtzehntes Kapitel.
Hat man ein Einſatzgewicht von 1 g, ſo kann
man ſich dieſes Pfund nach und nach, den hier fol⸗
genden geſtirnten Zahlen gemaͤß wirklich zertheilen,
und auch den uͤbrigen gemaͤß zertheilt vor⸗

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PIH
Pir⸗
PlI

§. 432 — §. 438.
*§. 439.

Sollte ein Garten ABCD Fig. 9. unter 3 Per⸗

ſonen gleichmaͤßig getheilt werden, ſo koͤnnte ich ihn
in ſeine ¾ etwa nach den beyden geſtrichenen Linien

zertheilen. Wenn ſich nun aber faͤnde, daß nicht

3 ſondern 6 Perſonen einen gleichen Anſpruch darauf
zu machen haͤtten; ſo muͤßte ich ihn in 6 gleiche

Theile, in zertheilen. Das ½, was nun jeder

bekoͤmmt, muß 2 mahl kleiner ſeyn, als vorher ,
darum weil der Garten, wenn er in ? zertheilt wird,
gerade in 2mahl mehr gleiche Theile zerfaͤllt, als
wenn er nur in ¾ zertheilt wird.

Oder haͤtte ich den Garten anfangs nur, wie
nach der punctirten Linie in 2 zertheilt, und ich muͤßte

ihn nun in 5⁶, alſo in 3 mahl ſo viel gleiche Stuͤcke

zerlegen; ſo wird nun jedes ½ dreymahl kleiner ſeyn,
als vorher jedes ½ war; weil der Garten in 5 zei
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Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 37

theilt gerade in 3 mahl mehr gleiche Theile zer⸗
faͤllt, als wenn er nur in 2 zertheilt wird.

15 Zoll (in Fig. 3. unter L.) iſt 4 mahl klei⸗

ner als ½ Zoll (in Fig. 2. unter 5). Denn da der
ganze Zoll nur aus 4, aber aus 2 beſteht, alſo

4 mahl ſo viel 16tel als 4tel enthaͤlt, ſo muß dage⸗
gen *o auch 4 mahl kleiner ſeyn als 4.

§. 440 — §. 456,

§. 457. Beweis.
I. Iſt der veraͤnderte Factor der erſte in

der Sendſtung, ſo iſt die Behauptung ſagleich klar.
Denn es iſt wohl offenbar genug, daß z. B

8. 7. 12. 10 gerade 4 mahl mehr geben muͤſſe

als 2. 7. 12.10; eben darum, weil 8 mahl ſchon
4 mahl 2 mahl iſt,

alſo einerley Groͤße nach der obern Factoren⸗
Sammlung 4 mahl oͤfter, als nach der untern ge⸗

ſetzt werden ſoll.

II. Iſt der veraͤnderte Factor der letzte i in
der Sammlung, ſo iſt wiederum offenbar, daß z. B.
8.7. 12. 10 gerade 5 mahl mehr geben muͤſſen
als 3. 7. 12. 2; eben darum, weil 10 gerade 5 mahl
mehr iſt als 2,
alſo das, was im erſten Falle 8. 7. 12 mahl

. zu ſetzen iſt, gerade 5 mahl groͤſ⸗

ſer iſt, als was im zweyten eben ſo viel
mahl geſetzt werden ſoll.

38 Achtzehntes Kapitel.

III. Iſt der veraͤnderte Factor ein mittle⸗

rer in der Sammlung, z. B. bey Vergleichung von
8 . 7 12.‧10 und 8. 7. 2. 10; ſo erhellet wiederum
daß 8.7 mahl 12. 10 gerade 6 mahl mehr geben
als 8. 7 mahl 2. 10: eben darum, weil 1 ge⸗
rade 6 mahl mehr iſt als 2, und deshalb nach IJ.
auch das Product 12. 10 gerade 6 mahl mehr iſt als
2. 10; alſo, was im erſten Falle 8. 7 mahl zu ſetzen
iſt, gerade 6 mahl mehr iſt,
als was im zweyten Falle eben ſo viel mahl ge⸗
ſetzt werden ſoll. ””Mſ
Aunmerk. In jedem Falle bemerkt man nun
eben ſo leicht, daß umgekehrt das Product aus der
untern Sammlung gerade ſo vielmahl kleiner als
das Product der obern Sammlung ſeyn muͤſſe, ſo

vielmahl das Product der obern Sammlung groͤßer

iſt, als das Product der untern Sammlung.

*W9. 45‧ 8.

Alſo iſt es z. B. gewiß, daß 9. 20. 3.7 ein
20 mahl groͤßeres Product geben “MMD
muͤſſe, als

9. 1.3.7 ge⸗
ben wuͤrde; und umgekehrt

das Product der untern Sammlung 20 mahl

kleiner ausfallen muͤſſe, als das Product aus der
obern Sammlung.

Statt 9. 1. 3. 7 kann man dann auch ſchrei⸗

ben 9. 3. 7; man mag ſich nun denken, daß 9

ſtatt 9. 1, oder 3 ſtatt 1. 3 geſetzt ſey.
5. 419.

ſoiſt e
ſoiſta
ſo iſt a
ſoiſta

.

Durn ſde

ſencchudn

”“

.. Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche, 39
actor ein fie §. 459.
Venlin *§. 460. Beweis
. 1) Ohne Zweifel iſt 1. 1. 1. 1 = 1. I. 1. 1 .
mihl nihe⸗ 2) alſo iſt auch 5. I . I. I = I1. I. I 5
3) alſo iſt auch 5. 8. I. I = I. I. 8. 5
dumn, 4) alſo iſt auch 5 ,8. 9. I = 9. I. 8. 5
d deſh 5) alſo iſt auch 5 8. GO. IO = 9. 10. 8. 5
en.uß Denn jede Seite dieſer Gleichungen wird

hier nach und nach 5 mahl, dann 8 mahl, dann
utin 2 mahl und endlich noch 10 mahl groͤßer, nach

§. 456. „R
Pinin 5S. 461 — §. 46⁸.
nnen Beweis füuͤr §. 468.

rEmnm No. I. Z. B. 1976 beſteht aus 197 Zehend
unnd 6 Einzelnen. Die Haͤlfte von 197 Zehend laͤßt
ſich gewiß durch eine ganze Zahl angeben, weil die
Haͤlfte eines jeden einzelnen Zehends eine ganze Zahl
5 iſt. Sobald daher auch die Haͤlfte des Einers,

Zemulrne.
1 Samng.

9 wie hier der 6, eine ganze Zahl iſt; ſo muß die Haͤlfte
ha der ganzen Menge 1976 eine ganze Zahl ſeyn.
1 191 .
1. No. III. Z. B. 3768 beſteht aus 3700 und

68. Da nun der vierte Theil eines jeden einzelnen
Smgn Hunderts eine ganze Zahl 25 iſt, ſo iſt auch der
e Ate Theil von 37 Hundert gewiß eine ganze Zahl.
Sobald alſo auch der 4Ate Theil von 68 eine ganze
Zahl iſt, ſo muß der 4te Theil der ganzen Menge
w 2768 eine ganze Zahl ſeyn.

e. C4 No.

40% Adchtzehntes Kapitel.

No. VI. Z. B. 978104 beſteht aus 978000
und 104. Da nun der 8te Theil von jedem einzel⸗
nen Tauſend, alſo auch von 97tauſend eine ganze

Zahl iſt; ſo kommt es nur noch auf den andern
9

Theil 104 an. Wenn auch von dieſem der 8te
Theil eine ganze Zahl iſt, ſo iſt gewiß der 8te Theil
der ganzen Menge 978104 eine ganze Zahl.

No. IV. und No. VIII. erhellen faſt eben ſo;

wenn man nur bedenkt, daß man von demjenigen
Theil einer Zahl, der als lauter Zehende kann be⸗
trachtet werden, auch den roten und 5ten Theil,

den ten Theil aber auſſerdem auch noch von 5 Ein⸗

zelnen, durch eine ganze Zahl angeben kann.

Der Grund fuͤr No. II. und VII. ergiebt ſich
aus *§. 259. .

Dort iſt gezeigt, daß z. B. die Zahl 345 auſ⸗
ſer der Zifferſumme 3 + 4 + s5 eine gewiſſe gfache
Menge enthaͤlt. Waͤre daher auch die Zifferſumme
etwas gfaches, ſo muͤßte die ganze Menge 345 et⸗
was gfaches ſeyn. Wenn aber die Zifferſumme we⸗
nigſtens etwas zfaches iſt, ſo muß auch die ganze
Menge etwas z3faches ſeyn; indem das auſſer der
Zifferſumme in ihr ſteckende gfache gewiß auch et⸗
was 3 faches iſt: denn gfach iſt ja 3 mahl zfach.

No. IX. aus §. 279. zu erweiſen, wuͤrde

vermittelſt der Buchſtabenrechnung ſehr leicht ſeyn,

aber doch zu vielen Raum hinnehmen; weil dazu
manches noͤthig iſt, weshalb ich ſchon dort *§. 259.
anderwaͤrts hin verwieſen habe.

No. V.

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N.V. !

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J Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 41

Nrsge⸗ No. V. Wenn ſowohl die Haͤlfte als das
nmig Drittel einer Menge eine ganze Zahl iſt, ſo
ſnd ing iſt auch ihr étel eine ganze Zahl.
f den .. *. ..
en aoh Denn wenn ich aus der Menge . . ... .
1Wn Minir ihre 2 Haͤlften . . . . .. . ..

d ate zuſammen ſetzen will; ſo muß ich das eine Drittel
h mſ” halbiren in 2 Sechstel.

nkm Die Haͤlfte beſteht dann aus einem Drittel
und einem Sechstel.

Da nun die Haͤlfte der Menge aus lauter Gan⸗
zen beſtehen ſoll, und ein Drittel allein genommen
ebenfalls; ſo muß auch das Sechstel allein genom⸗

es mDen ebenfalls aus lauter Ganzen beſtehen. S
Hie ſefun
gudt Fur No. X. erhellet der Grund aus einer aͤhn⸗
icn lichen Vorſtellung:
ſuc üs Viertel Viertel Viertel Viertel
4 want Zwoͤlffl. Zwoͤlftl. Zwoͤlftl.
e genf/ Viertel Zwoͤlftel Viertel Zwoͤlftel Viertel Zwoͤlftel
mnihiit Drittel Drittel Drittel
min Da raͤhmlich ein Viertel und ein Zwoͤlftel zuſam⸗
4 rl⸗ men genommen ein Drittel ausmacht; ſo muß,
„nwenn nicht nur das Drittel, ſondern auch das Vier⸗
tel aus lauter Ganzen beſteht „ auch das Zwoͤlftel
ne 8

aus lauter Ganzen beſtehen.
N CLCL. 5 *§. 470.

r

42 Achtzehntes Kapitel.
*§. 470.
Anmerk. I. Daraus, daß ſich eine Zahl

durch 2 und durch 4 aufheben laͤßt, folgt nicht etwa,

daß ſie auch durch 8 aufzuheben ſey; weil die Theil⸗

barkeit durch 2 eine bloße Folge von der Theilbare⸗
keit durch 4 ſeyn kann. Eben ſo folgt nicht, daß
ſich durch 16 aufheben laſſe, was ſich durch 8 und

2 aufheben laͤßt. Hingegen muß ſich z. B. durch
15 aufheben laſſen, was ſich durch 5 und durch 3
aufheben laͤßt; oder durch 37, was ſich durch 7 und
durch 5 aufheben laͤßt. =

Anmerk. 2. Von der Theilbarkeit durch 7,
giebt es kein bequemes Kennzeichen. M. ſ. meinen
Unterricht in der algebraiſchen Aufloͤwung, S. 333.
§. 508. S

8. 47 1. 9. 472.
K8. 473. Beweis.

Beym Verfahren im §. 461. erſiehet man am
Ende durch die letzte Diviſion, daß ſich 52 durch
13 aufheben laͤßt;

folglich auch 17, welches

nach voriger Diviſion = 2. 52 + 13 iſt;

folglich auch 169, wel⸗

ches nach voriger Diviſ. = 1. 117 + 52 iſt;

folglich auch 455, wel⸗
ches nach erſter Diviſ. = 2. 169 + 117 iſt.

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Von Vergl. u. Aufhebung der Bruͤche. 43 H

Es hat keinen weitern ſchaͤdlichen Einfluß, wenn
Anfaͤnger dieſen Satz ohne Beweis glauben. Auch

will ich es nur gerade zu verſichern, daß der danach
aufgefundene Aufheber der groͤßte unter allen iſt.

§. 474.

Neunzehntes Kapitel.

Von der Kettenrechnung.

Bey dieſer Rechnungsart iſt es wohl am rathſam⸗

ſten, den Anfaͤnger zuvoͤrderſt in dem Verfah⸗
ren ſelbſt nur mechaniſch zu uͤben, und dann erſt
darauf aufmerkſam zu machen, warum er auf dem
erlernten Wege zum Ziele gelange, und der Lehrſatz

in §. 486. wahr ſey, worauf ſich das ganze Verfah⸗

ren gruͤndet.
L §. 476 — §. 479.
*SS. 480.

Es werde gefragt, wie viel Wochen 3
Menſchen mit einem gewiſſen Vorrathe aus⸗
reichen, woran 80 Menſchen 6 Tage lang
genug haben, und es ſey dafuͤr folgender Anſatz

verfertigt:

— Wochen 3 Menſchen
80 Menſchen 6 Tage
7 Tage 1 Woche

44 Neunzehntes Kapitel. Vr
ſo erhellet ſchon durch No. I. des vorigen §., daß Ei ober
dieſer Anſatz nicht richtig ſey. Denn 6 Menſchen ß eſihende

wuͤrden ja mit einem gewiſſen Vorrathe gewiß nich z peuß
zweymahl ſo viel Wochen ausreichen, als 3 Men⸗

4 . eeu: 1ſ⸗
ſchen. Solche Aufgaben werden uͤbrigens der Ba⸗ ligt t
ſedowiſchen Regel unterworfen. 14:⸗
§. 481 — F. 4 56. AYA.:⸗

Wenn man zur 2ꝛten, 3 kten und jeden folgenden
Zeile des Kettenſatzes ein beliebiges drittes Glied dut
hinzuſchreibt, welches den Nahmen des erſten Glie⸗
des in derſelben Zeile fuͤhrt; ſo hat man ſo viel

2 =
2£ .

.

uier ſen, a

Aufſaͤtze, die ſich nach der Regel de tri berechnen minhi
laſſen. (H. 478.) . gfülumatb
Alſo iſt im folgenden jede Antwort fuͤr jeden Re⸗ — T by

gel de tri Anſatz bey A, B, C, D richtig angegeben, Mhun,
wobey ich uͤbrigens zur Zahl des bey A zugeſchriebe⸗. (lmummndg
nen Gliedes, die Zahl 10 des erſten rechten Gliedes, Ean Ede⸗
bey B aber und jeder folgenden Zeile, allemahl das Arſihmg

Product aus den Zahlen der rechten Glieder aller Aleighit
vorhergehenden Zeilen gewaͤhlt habe.

kfahrt m
.
— ϑ : 10 Loth D uinſed
A) 3: Loth: 1 6. = 10 Loth? Antw. —— ſg
S 3 uß ſrd
B) 4G : XC=10. , Antw. —rxꝑ gder.
4 —
C) I1XL : 24 10. 1. 7 .&? Antw. — — H 24
luißn
0

D) 13: 12 OAS = 10. 1.7.24 . ? Antw. ——— 2412 ſn

1 (Raene

Sind

.

Nrigen , i
enn 6Nai
n, als 3 K.
( 5 4 4
D e

„

Von der Kettenrechnung. 45

Sind aber dieſe Antworten richtig; ; ſo ſind es
auch die folgenden:

— : 10 Loth
a) 32 Loth: 1ρ◻ – 10 Loth? Antw.
d) 4: = Antw. R
10 1. „. 24

is
1

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ges dritss
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hat man ſn
de ti eer.

wort iric der
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rich gegege
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ten Clcke“

c) 1r6. 2=ðèð *C? Antw.
4) v* r =t, etken . S iat

3—1 *

Denn die — G bey b, muͤſſen wohl 32 mahl

weniger koſten, als die 10. 1 bey B; und die
Antwort bey b, giebt ja gerade 32 mahl wenie ger an,
als die Antwort bey B (nach S. 440.). Ferner die
10 . . . 7
— XC bey c, muͤſſen wohl 32. 4 mahl weni⸗
ger 9 enthalten, als die 10. 1. 7 ρ bey C; und
die Antwort bey c giebt ja gerade 32. 4 mahl we⸗

niger an, als die Antwort bey C. Eben ſo erhellet

aus Vergleichung der Antworten bey d und D, daß
auch die bey d richtig ſey.

Alſo erfaͤhrt man durch dieſe letzten Rechnungen
nach und folg gendes⸗

und dieſe koſten S 6
24 2. und das iſt : 1:1 54. 12 .
32. 4. I. 1

Alſo weiß n man, der geſuchte Preis von 10 Loth
1
iſt . 24r2 h; welches die Behauptung des

32. 24. I. 1
Lehrſatzes in §. 168. war.

10. 1. 7.

und das iſt

2

46 Neunzehntes Kapitel.
§. 488 — §. 527.

9. 5§528.

Vermittelſt der Buchſtabenrechnung kann man
das ganze Verfahren und deſſen Richtigkeit leicht
uͤberſehen.

)

Soll man naͤhmlich de finden; ſo ſuche man

cb— b
c. Daß dieſes = — ſey, erhellet ſo⸗

gleich, wenn man beyde Ausdruͤcke durch a multi⸗

Im erſten Beyſpiele des folgenden §F. 529. iſt

a = 2564, b = 2611 und c = 43.

Anmerk. Im Bruche iſt es natuͤr⸗

lich auch erlaubt, zwiſchen a und b — a oder a und e
aufzuheben. Aber das erſte wird ſelten Statt fin⸗

den, und das andere wuͤrde wiederum viele Erin⸗

nerungen noͤthig machen.

*§. 53 1. V
Herr Schmid, von dem ich dieſen Kunſtgriff
mit gehoͤriger Bedachtſamkeit entlehnt habe, giebt in
ſeiner Rechenkunſt Seite 181. ꝛc. auch noch an,
wie man ſich die dazu erforderlichen Umſtaͤnde, durch
neue Multiplicationen des Diviſors und einer ſchick⸗
lichen Zahl der rechten Saͤule, bisweilen verſchaffen
koͤnne. Dadurch wird wohl der Kunſtgriff gar zu
kuͤnſtlich

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— ſh, all

Von der Kettenrechnung. 47

kinſtlich gemacht. Er verfauͤllt ſogar auf Diviſionen,
weil er glaubt, „»die Natur dieſes Vortheils bringe
ves ſo mit ſich, daß er nicht anzuwenden ſey, wenn
„der Diviſor kleiner iſt als ein Glied, wovon er
»ſchicklich abgezogen derder koͤnne. « Aber warum

ſollte wohl in der Gleichung Q — luc †+ c = d nicht

bauch kleiner ſeyn duͤrfen als a2 Es entſteht dadurch

nur die ganz ſchickliche Veraͤnderung, daß alsdann
(b—
—— mit e, wie etwas Negatives mit dem Poſi⸗

tiven zu vereinigen iſt, und daher das Verfahren

in folgendem §.

§. 5 32 — §. §34.

Zwanzigſtes Kapitel.

Gebrauch des Kettenſatzes bey einiger
Zinsrechnung.

*§. 535.

E⸗ werden hier nur einige Faͤlle der einfachen
Zinsrechnung angefuͤhrt. Mehrere andere, die

7

man im 23ſten Kapitel ſinden wird, ſchicken ſich gar
nicht fuͤr die wahre Kettenregel.

Die zuſammengeſetzte Zinsrechnung beſchaͤf⸗
tiget ſich auch mit Zinſen von Zinſen, die etwa ſpaͤ⸗
ter bezahlt werden ſollen, als ſie faͤllig ſind.

§. § 3 6. — 5§. 543.

Das

D

Das ein und zwanzigſte Kapitel,

vom Gebrauche des Kettenſatzes bey eini⸗
gen Reductionsrechnungen,

haͤtte gar wohl, ſo wie auch das vorige und fol⸗

gende, gaͤnzlich in andere Kapitel verwebt werden
koͤnnen. Aber die Ermunterung, welche Anfang

und Ende, beſonders bey jungen Leuten verurſachen,

durfte nicht allzu ſelten werden.
§. 544 — §. 57 3.

Zwey und zwanzigſtes Kapitel.

und Verluſtrechnungen.
§. 574 — §. 576.

. Die Aufgaben §. 575. und S. 576. koͤnnte man
freylich vortheilhafter auf folgende Weiſe
anſetzen:
— x**ρ Gew. 100 —Ausl. — * ⁵ LVerl. 100 Ausl.

60 Ausl. 5½ 0Gew. 110Ausl. 10 Verr.

aber aus den gleichfolgenden Aufgaben, und kuͤnf⸗
tig aus *§. 632. erhellet hinlaͤnglich, daß es nicht
= nuir

Por

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Gebrauch des Kettenſatzes bey Gewinn⸗

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Von der Baſedowiſchen Regel. 49

nur bisweilen nothwendig, ſondern uͤberhaupt auch

weit ſicherer und rathſamer iſt, zuvoͤrderſt die Ein⸗
nahme fuͤr die Auslage, oder umgekehrt, zu ſuchen,

st und dann erſt den Gewinſt oder Verluſt daraus zu

§. 578 — §F. 783. 2

Drey und zwanzigſtes Kapitel.

Von der Baſedowiſchen Regel.

K. 584 — §. § 19.
Bevweis der Baſedowiſchen Regel.
*§. 620. Vorbereitung.

Bep jedem Gliede in der untern Reihe des An⸗
ſatzes wurde die Frage aufgeworfen:

Wenn dieſes Glied 2 mahl ſo groß waͤre
als es wirklich iſt, wuͤrde dadurch auch die geſuchte
Groͤße 2 mahl ſo groß, oder wuͤrde ſie 2 mabl
ſo klein werden, als ſie nun wirklich ausfallen

wird?

Dieeſe Frage iſt nur als eine Abkuͤrzung der
vollſtaͤndigeren zu betrachten:
wenn das vorgenommene Glied 2 mahl, 3
mahl, 100 mahl oder 1000 mahl ꝛc. groͤßer waͤre,
als es wirklich iſt; wuͤrde deshalb auch die geſuchte
Groͤße ebenfalls 2 mahl, 3 mahl, 10 mahl oder
Buſſ. Rechenb, 2. Zaͤlfte. D 1000

50 Drey und zwanzigſtes Kapitel.

1000 mahl ꝛc. groͤßer, oder etwa 2 mahl, 3 mahl,
10 mahl, oder 1000 mahl :c. kleiner ausfallen?

Es darf naͤhmlich hier wohl vorausgeſetzt wer⸗
den, daß niemand in Gefahr gerathe, uͤber jene
unvollſtaͤndige Frage mit ja oder nein zu entſcheiden,
wenn nicht uͤber die vollſtaͤndige eben dieſelbe Ent⸗

ſcheidung erfolgen wuͤrde, und er ſich deſſen nicht

bewußt waͤre.
O. 621I.

Wir wollen nunmehr ſogleich an einem Bey⸗
ſpiele zeigen, warum das §. 584. vorgeſchriebene
Verfahren die geſuchte Groͤße richtig herausbringen
muͤſſe. Man leſe in dieſer Hinſicht die dortige
Aufgabe.

Ihr Anſatz war: 1200 Menſchen 2400 & 4 Monath.
— Menſchen 4000 & 3 Monath.

Statt dieſes wahren Anſatzes wollen wir uns

fuͤrs erſte folgenden anſchreiben:
1200 Menſchen I1K 1 Monath
— Menſchen 4000 &£ 3 Monath,

als ob die Aufgabe waͤre: wenn 1200 Menſchen
mit 1 1 Monath lang auskommen, wie viel

Menſchen werden mit 4000 & 3 Monath hin⸗

durch ausreichen?

1) Wir waren (nach §. 584. unter II, 2.)
uͤberzeugt, daß die geſuchte Zahl der Menſchen, die
ich 3 Monath hindurch ernaͤhren koͤnnte, 2 mahl ſo
groß (als jetzt wirklich) ſeyn duͤrfte; wenn ſtatt
4000 K ein 2 mahl ſo großer Vorrath von Lebens⸗
mitteln

Von

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Von der Baſedowiſchen Regel. 51

mitteln vorhanden waͤre; weil von 2 mahl 4000

Centnern offenbar auch 2 mahl ſo viel Menſchen le⸗
ben koͤnnen, als von 4000 K. Eben deshalb
werden wir auch zugeben: in ſo fern in der untern
Reihe 4000 mahl mehr Vorrath vorhanden iſt, als
in der obern Reihe, in ſo fern muͤſſen auch in dem
untern Falle 4000 mahl ſo viel Menſchen als im

obern, alſo 4000 mahl 1200 Menſchen ernaͤhrt
werden koͤnnen.

Wenn wir alſo im untern Falle uͤbrigens auch
eben ſo lange als im obern, auch nur 1 Monath
ausreichen ſollten; ſo waͤre offenbar die richtige Ant⸗
wort, daß wir .
4000 mahl 1200 Menſchen ernaͤhren koͤnnten.

2) Aber wir ſind (wegen §. 534. unter II, 2,
verbunden mit *§. 620.) uͤberzeugt, daß wir im
untern Falle, wo wir 3 mahl laͤnger als im obern
ausreichen ſollen, eben deshalb auch nur 3 mahl

weniger Menſchen aufnehmen muͤſſen, alſo nur

den dritten Theil der eben beſtimmten, d. i.
4000 mahl 1200 Menſchen.
3 J

Denmnach erhalten wir fuͤr den erdichteten Anſatz die

richtige Antwort, wenn wir 1200 Menſchen durch
4000 multipliciren, und darauf das Produet durch

3 dividiren; und eben dies war ja, wie wir wiſſen,

die Abſicht, wenn wir 1200 und 4000 als Multi⸗
plicatoren (eigentlich 1200 Menſchen als den Mul⸗
tiplicanden, und 4000 als einen Multiplicator),
und darauf die Zahl 3 als einen Diviſor anſetzten.

D 2 3) Aber

52 Drey und zwanzigſtes Kapitel.

3) Aber fuͤr den wahren Anſatz koͤnnte dieſe
Antwort wohl noch abzuaͤndern ſeyn.

Ich multiplicirte fuͤr den erdichteten Anſatz mit

4000, weil 4000 Centner gerade 4000 mahl mehr
war, als der daruͤber ſtehende 1 Centner. Im
wahren Anſatze aber, wo der obere Vorrath 2400
und nicht 1iſt, iſt der untere Vorrath lange nicht

4000 mahl groͤßer, als der obere. Sondern wenn
ich dies annehme, und in dieſer Hinſicht mit 4000

multiplicire; ſo multiplicire ich offenbar mit einer
2400 mahl zu großen Zahl. Dieſen Fehler kann
ich nun offenbar dadurch wieder gut machen, daß ich
zwar wie vorher mit 4000 zu multipliciren, aber

darauf wieder durch 2 400 zu dividiren verlange.
Das heißt, ich muß die uͤber den 4000 ſtehen⸗

de 2400 als Diviſor anſetzen, nachdem ich

4000 ſelbſt als Multiplicator angeſchrieben

habe.

Ferner ſetzte ich die 3 im erdichteten Anſatze
als Diviſor an, weil ſie 3 mahl mehr war, als
die daruͤber ſtehende 1. Da aber im wahren An⸗
ſatze 4 und nicht wnuͤber der 3 ſteht, ſo iſt ja 3 nicht
3 mahl ſo groß, als die daruͤber ſtehende Zahl.
Sondern wenn ich nach dieſer Vorausſetzung, daß
3 dreymahl groͤßer als 4 ſey, mit der 3 dividire; ſo
dividire ich offenbar mit einer 4 mahl zu großen
Zahl, und ich kann dieſen Fehler nur dadurch wie⸗
der gut machen, daß ich wiederum durch 4 multi⸗
plicire. Das heißt, ich muß die im wahren An⸗
ſatze uͤber der 3 ſtehende Zahl als Multipli⸗
cator

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6 ſeſem

Von der Baſedowiſchen Regel. 33
cator anſetzen, nachdem ich die 3 ſelbſt als
Diviſor angeſetzt habe.
4) Indem alſo die Zahl der Antwort fuͤr den

.

3

erdichteten Anſatz war, π, ſo iſt ſie nun ſuͤr

den wahren Anſatz, ece. Daß dieſer Bruch

5 2400. 3.
mit den Saͤulen in §. 584. voͤllig einerley angiebt,
erhellet ſchon aus ihrer dortigen Behandlung und

demjenigen, was bereits aus der Kettenregel §. 49 1.

bekannt iſt.
*S. 622. =Jð
Hat man Bruͤche im Anſatze, z. B.
1200 Menſchen 2400 £ ³½ Monath.
ſo erdenke man ſich zuvoͤrderſt folgenden Anſatz:
1200 Menſchen 2400 & 4 Monath.
— Menſchen 4000 & 3 Monath.

1200. 4000. 4

Dafuͤr iſt die vorhin erwieſene Antwort ——

G 234⁰0. 3
Aber hiebey iſt nun, in Vergleichung des wahren
Anſatzes 1) mit einer 7 mahl zu großen Zahl (4)
multiplicirt; weil 4 offenbar 7 mahl groͤßer iſt, als

das wirklich vorhandene ¾.

2) Habe ich hier mit einer 5mahl zu großen
ah dividirt, weil 3 offenbar 5 mahl groͤßer iſt,
Den erſten Fehler mache ich dadurch wieder gut,
daß ich mit 7 dividire, den andern dadurch, daß

ich mit 5 multiplicire.

D 3 So

54 Drey und gwanzigſtes Kapitel.

So erhellet das in §. 589. vorgeſchriebene Ver⸗
fahren, wie bey der Kettenregel §. 506 ꝛc.
Haben untereinander ſtehende Glieder im
Anſatze verſchiedene Nahmen, ſo iſt das 1te
Verfahren in §. 6 13. durch ſich ſelbſt klar; und die
Richtigkeit des Ilten Verfahrens in §. 6 14. erhellet
ſchon daraus, daß es eben die Saͤulen giebt, welche
bey dem Iten entſtehen.

Ein anderer Beweis der Baſedowiſchen
Regel.
*§. 624.
Es ſetzt dieſer Beweis eine voͤllige Bekanntſchaft
mit der Bruchrechnung im folgenden Kapitel voraus.
Und da ich ihn uͤberhaupt nur fuͤr geuͤbtere Leſer her⸗
ſetze, ſo ſey es mir zugleich erlaubt, zur Verkuͤrzung
des Vortrages die allgemeinen Zeichen der Buchſta⸗
benrechnung zu gebrauchen.

*§. 625. Vorbereitung.
Auf die Frage, wie viel mahl a groͤßer ſey als b,

kann man allemahl antworten, — tel mahl; auch wenn

a oder b oder beyde Zahlen Bruͤche ſind. Denn was
heraus kommt, wenn mit b in a dividirt wird, iſt ja
eben die Zahl, welche anzeigt, wie viel mahl b in a
ſteckt; und eben dieſe Zahl zeigt alſo an, wie viel
mahl ich die b nehmen muͤſſe, um a zu erhalten,
daß heißt „wie viel mahl a groͤßer als b ſey.

Wenn

Von

unn alſe
mmn Nfr
ſehliſeenm
4 leuchſcic
lees Buche⸗
Phüte elsoani
1ll grihrlchen
Geifn, und da
ßeleſten, G
l i weſcht
Aenn mthr
r ben ſr abſtr
ſiner Gen

=

Von der Baſedowiſchen Regel. 55

Grihenc èh. Wenn alſo a= 2 und b= 7 waͤre, ſo haͤtte man die
don Antwort, daß 2 um mahl groͤßer als 7 waͤre? Allerdings!

Es ſind dieſe einmal eingefuͤhrten Ausdruͤcke im folgenden
deGties Kapitel auch ſchicklich genug erklaͤrt, ſo weit es die Ab⸗
binn ſicht dieſes Buches mit ſich brachte. Wer dergleichen
Ausdruͤcke als anſtoͤßig vermeiden, und doch nicht den ein⸗
fi mahl gewoͤhnlichen, der Sprache des gemeinen Lebens
8 Liltcht gemaͤßen, und dadurch fuͤr jede Geſchaͤftsrechnung ſehr
ge h vortheilhaften, Gang unſerer Rechenkunſt umaͤndern
will, der waͤſcht einen Mohren. Dieſe Redensarten
. ſind ja eine nothwendige Folge von Gewohnheiten, die
ſonſcn mur dem ſehr abſtracten Kopfe entbehrlich ſind, der be⸗
ſtaͤndig die richtige Spaltung zwiſchen Nahmen⸗ und Zahl⸗
groͤße in ſeiner Gewalt hat.
le Ven ſte
DHZ ſe. *§. 626. Beweis.
Man habe den Anſatz: Menſchen f L. g M th. 1 G taͤgl.
XMenſchen & L. Mth. 2taͤgl.

nühmlich d Menſchen reichen, mit K, g Monathb hin⸗
durch aus, wenn jeder taͤglich ! tz. enthaͤlt; wie viel
ng. Menſchen werden, mit OK, y Monath ausreichen,
wenn jeder taͤglich X g erhaͤlt?

ufe Bin ich nun uͤberzeugt, daß 2 ſtatt kommen
4 muͤſte, wenn 2 ſtatt ſtaͤnde, und eben deshalb
7t dome (*§. 620.) uͤberhaupt auch die geſuchte Zahl n x ſeyn
rrit muͤßte, wenn n ſtatt ſtaͤnde, ſo erhellet eben da⸗

sti . J
n, 1 durch auch: in ſo fern nun mahl groͤßer

l ehe
n als fiſ, und bey f L. d Menſchen Statt fin⸗
D 4 den,

56 Drey und zwanzigſtes Kapitel.
den, in ſo fern muͤßen bey nun Menſchen
Etatt finden.
Es waͤre alſ⸗ X= —. d, wenn von g und
f
A von l nicht verſchieden waͤre.

Erhellet nun aber, daß = — ſtatt Xkommen muͤſſt,

X
wenn 2 ſtatt ſtaͤnde, und deshalb uͤberhaupt — —

ſtatt x, wenn ny ſtatt ſtaͤnde; ſo muͤßte eben deshalb

* d „. 5
weil wirklich -= —. g iſt, x=

3
ſeyn, wenn uͤbrigens Xà von ! nicht verſchieden waͤre.
A
Aber im untern Falle ſoll jeder taͤglich m E

mehr erhalten als im obern; und je mehr ſpz jeder
taͤglich erhaͤlt, deſto kleiner wird x. Daher muß
O. g. d . g. 1. 4
nun wirklich = — =
f. . A f. Y. A
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1

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e nge f
. Den
. verdet

Von der Baſedowiſchen Regel. 57
Nachdem der Aufſatz fuͤr die Baſedowiſche Re⸗
gel gemacht iſt, wobey die obere Reihe einen gaͤnz⸗

lich bekannten Fall ausdruͤckt, nach welchem der dar⸗
unter geſchriebene in der zweyten Reihe ſich richten

ſoll; indem vorausgeſetzt wird, daß die geſuchte Groͤße

von den uͤbrigen Groͤßen des untern Falles eben ſo
abhaͤngen ſoll, wie die uͤber der geſuchten ſtehende

Groͤße von den uͤbrigen Groͤßen des obern Falles ab⸗

haͤngt: ſo wird nun eigentlich bey jeder Groͤße unter⸗
ſucht, ob man mit ihr in diejenige, welche uͤber der geſuch⸗
ten ſteht, zu multipliciren oder zu dividiren habe,
um die geſuchte Groͤße zu finden. Sobald nun durch
die Fragen in §. 584 II, 2, das eine oder das andere
bey jeder Groͤße der untern Reihe beſtimmt wird;

ſo hat man nach §. 584 II, 3, auch mit der daruͤber

ſtehenden Groͤße entweder zu dividiren oder zu multi⸗
pliciren. Wenn aber bey jenen Fragen erhellet, daß
eine Groͤße der Aufgabe weder als Multiplicator noch
als Diviſor anzuſetzen ſey; ſo wird man eben dadurch
erinnert, daß die Aufgabe, wenigſtens gerade zu
und nach dem gemachten Anſatze, durch die Baſe⸗
dowiſche Regel nicht in die gewoͤhnlichen Saͤulen ge⸗
bracht werden koͤnne. Gewiß kann ſie dann auch
nicht gerade zu nach der Regel de tri oder Kettenre⸗
gel behandelt werden, weil auch bey dieſen Regeln
nur ſolche Glieder vorausgeſetzt werden, wovon ein
jedes entweder multiplicirt oder dividirt. In ſolchen
Faͤllen erinnert alſo die Baſedowiſche Regel, daß
dieſes nicht Statt finde. Vielleicht ſind dann erſt
heh einige der angeſetzten Glieder vorlaͤufig zu addi⸗
, D 5 ren

58 Drey und zwanzigſtes Kapitel.
ren oder zu ſubtrahiren; oder es iſt auch die ganze
Aufgabe durch bloßes Nachdenken ohne alle Regel⸗

form zu berechnen: kurz, man muß daruͤber nach⸗
denken und ſeinen Verſtand gebrauchen. Die Ba⸗

9

ſedowiſche Regel thut genug, daß ſie zu rechter Zeit

daran erinnert, und leiſtet darin mehr als alle andere
etwas allgemeine Rechnungsregeln. Es folgen ei⸗
nige Beyſpiele. .
Aufgaben zur Warnung.
Geſetzt, 1 Maß Bier kann fuͤr 8,J₰. verkauft

werden, wenn der (Scheffel) Hopfen 15 906, die

Gerſte 20 90, die Klafter Holz 13 koſtet, und

der Brauer bey einem Gebraͤude fuͤr ſeine Arbeit und

Nebenausgaben 20 ι. erhalten ſoll; und es wuͤrde
gefragt, wie viel ein Maß koſten muͤßte, wenn
der Hopfen nur 12 90, die Gerſte nur 18 , das
Holz aber 14 3 gaͤlte, und dem Brauer fuͤr ſeine
Arbeit und Nebenausgaben nur 15 . zugeſtanden
wuͤrden: ſo koͤnnte man wohl darauf fallen, fuͤrdieſe
Aufgabe den folgenden Anſatz zu machen.

Hopfenpreis Kornpr. Holzpr. Brauergefaͤll hat man Bierpreis

bey 15 9f. 20 l. 13 l. 20 rρ. 8 .
bey 12 ⸗ 18 ⸗ 14 ⸗ 15 ⸗ — ⸗ 2

*£

Aber wenn man nun unterſucht, ob die hinge⸗
ſchriebenen Zahlen entweder Multiplicatoren oder
Diviſoren ſind; ſo erhellet, daß keines von beyden
Statt finde.

Wenn

1

‚

nr de
Vun 5 B.

fer werden,

nid B
d. Miſt1
nig in Diu
n dos wegene
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o eden de
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n:
Ueſtnng
ſädae,
110

ſtei noc

.

maffie 4

. Von der Baſedowiſchen Regel. 59

achde Wenn z. B. der Hopfen 2 mahl 12 g6 ſtatt
ne ele 12 90 gaͤlte, ſo muͤßte deshalb zwar der Bierpreis
uinih groͤßer werden, aber doch gewiß nicht 2 mahl ſo
n. Nb⸗ groß, weil das Bier nicht aus Hopfen allein gebraut
niank wird. Alſo iſt 12 kein Multiplicator, und noch
clemm weniger ein Diviſor; denn wer koͤnnte wohl anneh⸗
Eſns men, daß wegen eines 2 mahl ſo hohen Hopfenprei⸗
ſes das Bier 2 mahl weniger gelten muͤßte!

un Bey jedem der uͤbrigen Glieder erhellet auf die⸗
ſelbe Weiſe, daß es weder als Multiplicator noch
als Diviſor anzuſetzen ſey. Vielmehr ſieht man wohl,
daaß man bey jedem Gebraͤude alle dabey vorfallen⸗
lami den Ausgaben zuſammen rechnen, und daraus den
n l Bierpreis beſtimmen muͤſſe.
ſiſtet,
en H Geſetzt es habe aller Hopfen, welcher zum Ge⸗
enn braͤude noͤthig iſt, die Gerſte, das Holz und die Neben⸗
nite, N ausgaben nebſt dem Verdienſte des Brauherrn zu⸗
b ſammen genommen, in dem Falle der obern Reihe
unâ 126 ., in dem Falle der untern Reihe aber nur
oE 120 betragen; ſo koͤnnte man anſetzen:

. ger
,m Bey 126 † Unkoſten galt 1 Maß 8 R.
en 120 ⸗ ⸗ gilt ? ⸗ — o
tvndens Hier iſt nun offenbar 120 ein Multiplicator, alſo
136 ein Diviſor, und die Rechnung:
z 126 120. Antw. 7 2.
die r ,B . .
mmA Ich will noch ein Par andere Faͤlle anfuͤhren, die
man auf eine ſehr aͤhnliche Weiſe zu beurtheilen hat.

1. Vor—

5 .

4

60 Drey und zwanzigſtes Kapitel.

Vor einigen Jahren hieß es, daß der Wein in
Frankreich auf das doppelte geſtiegen ſey. Deshalb
war nicht zu befuͤrchten, daß die Franzoͤſiſchen Weine
auch bey uns auf das doppelte ſteigen wuͤrden! Denn
von jeden 100 Thalern, die wir bis dahin fuͤr aͤchte
Franzoͤſiſche Weine bezahlten, gehoͤrte ein betraͤcht⸗
licher Theil fuͤr Transſport, Acciſe und kaufmaͤn⸗
niſches Verdienſt. Geſetzt, daß dieſer Theil 60 Thlr
ausmachte, und unveraͤndert blieb; ſo verurſachte
jene Verdoppel ung des Preiſes in Frankreich nur,
daß wir nun 140 ſtatt der ſonſtigen 100 Thlr zu
zahlen hatten. Wenn wir bloß darauf zu ſehen
haͤtten; ſo koͤnnte nach folgendem Anſatze gerechnet
werden. Als von Franzoͤſiſchen Weine eine
gewiſſe Menge auf 100 zu ſtehen kam, gab man 7
fuͤr 1 Maß.
da dieſe ⸗ ⸗ 140 geſtiegen iſt, wie viell wird man
nun fuͤr 1 Maß geben?

Dann iſt 140 ein Multiplicator, u. ſ. w.

Freylich aber kommt es bey ſolchen Berechnun⸗
gen noch auf manche andere Umſtaͤnde an. So ſchien
es mir am Rheine ſelbſt ziemlich zu erhellen, daß
fuͤr unſere hieſigen Gegenden von dorther nur gutes
Gevwaͤchs kommt *). Iſt meine Vermuthung rich⸗
tig;
*) Allerdings koſtet ein Faß vom beſten Wein an
Fracht nicht mehr, als ein eben ſo großes Faß
vom ſchlechteſten; und nur jener kann ſeine Fracht
tragen: faſt eben ſo, wie ſich eigenthuͤmlich ſchwe⸗
rere Koͤrper weiter durch die Luſt werfen laſſen,
als die leichteren.

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le n gn⸗

Von der Baſedowiſchen Regel. 61

tig; ſo werden unſere hieſigen ſchlechten oder mittleren
Rheinweine hoͤchſtens nur ein Weniges von jener
guten Sorte enthalten, und uͤbrigens in Laͤndern
gewochſen ſeyn, die uns um ein betraͤchtliches naͤher
s§s der Rhein liegen. Ein neuer Grun nd, weshalb
aſer Kheinweine eben nicht ſehr zu ſteigen
brauchen, wenn gleich der Wein am Rheine be⸗
traͤchtlich theurer wird!

Ferner; man wiſſe etwa, daß

man hier 1 ¾ 90 fuͤr. 1 Reis gab, als 1 K.
in Hamburg 10 Mk. galt,
und fraͤgt wie viel 1 hier gelte, wenn 1 E
in Hamburg auf 15 Mk. geſtiegen iſt.

Keinesweges kann hier 15 als Multiplicator an⸗
geſetzt werden. Denn die 10 oder 15 Mark, welche
in Hamburg zu erlegen ſind, machen nur einen Theil
von dem aus, was unſere Kaufleute fuͤr denſelben
Centner von uns fordern; da ſie auſſer ihrem eigenen
Verdienſte auch noch Tranſport, Acciſe und dergl.
aufzuſchlagen haben.

*§. 629.
2 Leute fangen an, einen Brunnen zu graben,
und graben in anderthalb Tagen 8 Schuh tief. Wie
viel Schuh werden in den folgenden 2 Tagen gefſoͤr⸗
dert werden, wenn ich nunmehr 16 Arbeiter anſtelle?
2 Arbeiter 1 ½ Tage 8 Schuh tief
16 g. 2 - — 2
Maan kann hier die 16 ſchon darum nicht als
Multiplicator anſeßen LRweil auch bey uͤbrigens alei⸗
hen

62 Drey und zwanzigſtes Kapitel. d

chen Umſtaͤnden 2 mahl mehr Arbeiter nur dann. Ingihe
2 mahl mehr Erde ausgraben, wenn bey verdoppel⸗ hlen verde
ter Anzahl der Arbeiter jeder einzelne noch eben ſo “
bequem arbeiten kann, als vorher. Beym Aus⸗ ake

graben eines Brunnens aber koͤnnte leicht einer lon er
den andern hindern, wenn man zu viele anſtellte. ren n
Ueberdies wird auch die Herausſchaffung der Erde rtar
deſto beſchwerlicher, je tiefer man koͤmmt. ſrtlan
Mplal derde
*§. 630. . Dch wene

Wenn 100 Kap. in 12 Mth. geben 105 % Kap. u. Zinss; .

g

ſo muͤſſen 960 Kap. in 8 Mth. geben — Kap. u. Zins?s ien ben

gen Den
Die Frage iſt: wie viel Thaler Kapital und d
Zins erhalt ich aus 960 in 8 Monathen? uk
. l, dep

„

Wenn ich (ſtatt 960 ) ein zweymahl ſo großes aſine nr⸗
Kapital haͤtte; wuͤrde ich dann nach einer gewiſſen minmniſt,
Zeit auch noch zweymahl ſo viel Kapital und Zins 8
haben? Allerdings! nphuin

Denn geſetzt die 960 bringen in 8 Menathen
1 * Zins; ſo habe ich von dieſem Kapital nach 8
Monathen nun 960 + X * Kapital und Zins.
Haͤtte ich aber 2 mahl 960 ſo wuͤrde ich daraus
nach 8 Monathen haben 2 mahl 960 †+ 2X . (ddun
Kapital und Zins. lütten

Es iſt alſo 960 allerdings als Multiplicator an⸗ LN
zuſetzen, und daher 100 als Diviſor.

Aber nun zu den 8 Monathen! Wuͤrde ich nach ule te
2. 2 mahl 8 Monathen auch wohl 2 mahl ſo viel Kapi⸗ ange

tal

tt Von der Baſedowiſchen Regel. 63

tenmin tal und Zins haben, als ich nach 8 Monathen wirk⸗
ntemi lich haben werde? Keinesweges!
eins noch e
eAr Geſetzt ich habe von 960 † Kapital nach 8
i: Monathen etwa (960 † X) v. Kapital und Zins,
i uſt ſo habe ich von dieſem Kapital nach 16 Monathen
efeh nur (960 + 2 X) * Kapital und Zins; denn offen⸗
günm bar, werden hier nur die Zinſen „und nicht auch
daas Kapital verdoppelt.

Noch weniger kann man annehmen, daß man
ih nach 16 Monathen etwa nur halb ſo viel Kapital

und Zinſen haben ſollte, als nach 8 Monathen, und
deshalb 8 ein Diviſor ſey.
1ee P anten . „ „ , „
urhin Nach einiger Ueberlegung wird man nun leicht

abnehmen, daß man zu Beantwortung der vorge⸗
rentgde legten Frage, nur zuvoͤrderſt die z monathlichen Zin⸗
em ſen finden muͤſſe, wie folget:

„. e . . .
Kin n5? 100 XC Kapital geben 5 Zins in 12 Monath.

= —

=

100 60
Dafuͤr erhaͤlt man offenbar 9

die neben ſtehenden Saͤulen —
Topftal . 12

dnünein und daraus die Antwort: 32 vF.
*1 Alſo hat man nach 8 Monathen 960 X. Kapi⸗
tal und 32 X Zins, alſo 992 Kapital und Zins.
tiiem⸗

I00O*IKap. geben in 12 Mth. 106 Kap. u. Zins
„— *Kap. geben in 8 Mth. 1872 6E K. u. Zins?
Die

l,

Pirdet

6

64 Drepy und zwanzigſtes Kapitel. dd
Die Frage iſt: wie viel Kapital muß ich
haben, daß es ſammt ſeinen Zinſen nach 8 Mona⸗ a
then betrage 1872 r 06² . Ien
Hier iſt wiederum klar, daß ich um die SLumme (vin i
1872 als Kapikal und Zinſen zu erhalten, nicht enr anſten we
etwa nur halb ſo viel Kapital noͤthig habe (als nun gg dß nn:
wirklich) wenn ich 2 mahl 8 Monath ſtatt 8 Monath ſeun nan die We
warten will. Denn in? facher Zeit verdoppeln ſich (den gett⸗
nur die Zinſen, und nicht auch das Kapital, wel⸗ tieten⸗
ches unveraͤndert bleibt. Die Zahl 8 kann daher gmtuf
nicht als Dlviſor angeſetzt werden; und noch weni⸗ Prim hri
ger als Multiplicator. . “
Daher giebt dieſer Aufſatz wiederum keine Saͤu⸗ ſ be deſen d
len an die Hand; ob gleich uͤbrigens die Zahl 1872 t, ſuden
ein Multiplicator waͤre, da ich gewiß jetzt 2 mahl Nanmmce
ſo viel Kapital haben muͤßte, wenn ich nach 8 Mo⸗ ia me
nathen 2 mahl mehr Kapital und Zinſen haben ſollte.

: ekken
Um die ganze Aufgabe zu beantworten, ſinde Uim zit
man zuvoͤrderſt etwa nach folgendem Anſatze: e
e. nhn,
100 * Kapital 12 Monath. 6 Zins bon
100 X 2 8 ⸗= —⸗ ⸗= 1

daß die 8 monathlichen Zinſen von 100 £ Kapital l
gerade 4 betragen; alſo in 104 , als 100 *C. d
Kapital ſamt deſſen monathlichen Zinſen, die Zin⸗ ich e⸗
ſen gerade den 26ſten Theil der Summe aus Kapi⸗ Pin hvon
tal und Zins ausmachen. . N man

Alſo ſteckt in den 1872 Kap. und Zins, offenbar Phülſnit
deſſen 26 ſtel, d. i. 72 als Zins, und bamn g

die uͤbrigen 1800 x machen das Kapital aus.
18 ſale
eczet 1

.

Kabte.

pital muſ 6

un die im

1 Ehalten, at

habe er,

chſtatt Nes

t dedttne

dee Qamlint w
38 Kadital. de

.

ederun kin
4 e
rs de A
te
SN
6 e
irſckerſe
V

kaht

emn aſatet

. 0 WNe

Von der Baſedowiſchen Regel. 65

1 zu 6 verkauft gebe 8 p. C. Gewinſt
3 ‧ zu 17 ⸗ verkauft giebt — p. C. Gewinſt?
Es waͤre falſch wenn man hier 17 als Multipli⸗
cator anſetzen wollte, in der unrichtigen Vorausſez⸗

zung, daß man 2 mahl ſo viel pro cent gewoͤnne,

wenn man die Waare 2 mahl ſo theuer verkaufte.
(Denn geſetzt, ich loͤſe aus einer Menge Waare,
die mir gerade 100 gekoſtet hak, anjetzt, das
zu 2 ½ 9t verkauft, 125 wobey ich alſo-25 p. c.
gewinne; ſo wuͤrde ich aus derſelben Menge Waare,
das tg zu 5 verkauft, offenbar 250 * loͤſen,

alſo bey dieſem verdoppelten Ladenpreiſe nicht etwa
50 p. c., ſondern ſchon 150 p. c. gewinnen.)

Man mache etwa folgenden Anſatz:
1 zu 6 46' verkauft giebt 108 Einn. fuͤr 100 † Auslage
3 ⸗ zu 17 verkauft giebt 2 Einn fuͤr 100 Auslage
ſo iſt nun 3 ein Diviſor; denn wenn ich zweymahl

3 fuͤr 17 ℳ verkaufte, ſo haͤtte ich nur halb ſo
viel Einnahme. Und 17 iſt Multiplicator; denn

wenn ich mir ſtatt deſſen 2 mahl 17 bezahlen
lieſſe, ſo haͤtte ich auch 2 mahl mehr Einnahme fuͤr
jede 100 Auslage. RWR
Dadurch erhaͤlt man A — 102 *0:

3‧ 6 3

alſo zur Antwort, 2 P. c.

Oder man koͤnnte auch folgenden Anſatz aus der

Aufgabe herleiten:

6 3 Ladenpr. giebt 108 Einnahme fuͤr Hundert Auslage
5 ⸗= . Nſx — 3 RKZ ⸗ . 2
wo offenbar 5¾ ein Multiplicakor wird.
Buſſ. Bechenb. 2. Theil. E §. 633.

66 Drey und zwanzigſtes Kapitel.
*§. 633.
Auf einer Aue weiden 50 Ochſen, 72 Tage⸗ hin⸗
durch und taͤglich 8 Stunden, fuͤr 40 . Wie viel

Ochſen darf man 30 Tage lang, taͤglich 6 Stunden
fuͤr 50 *C. weiden?

Wird man fuͤr einen Ochſen, wenn er 16 Stun⸗
den taͤglich auf der Weide bleibt, doppelt ſo viel
zahlen, als wenn er nur 3 Stunden darauf gelaſſen
wird? Das wird keiner thun, und keiner verlangen:
denn ein Ochſe pflegt ſich fuͤr jede Zeit nur einmahl
ſatt zu freſſen. Kann er das in 8 Stunden fuͤr jeden

Tag; ſo wird er in 16 Stunden taͤglichen Fraßes

nicht mehr zu ſich nehmen, als in 8 Stunden.
Beynahe eben ſo ſicher wird man auf der andern
Seite behaupten koͤnnen, daß ſich auch Ochſen etwas
in die Zeit ſchicken, und in 6 Stunden eben ſo ſatt
freſſen wuͤrden, als in 8 Stunden.

. *§. 634.
Wenn jemand vermittelſt der Baſedowiſchen
Regel herausbringen ſollte, daß 1 Fluß der durch 1
Zell Gefaͤlle ungefaͤhr 2 Fuß Geſchwindigkeit erhal⸗
ten hute, bey 3 Zoll Gefaͤlle ſchon etwa 6 Schuh

Geſchwindigkeit erlangen koͤnne; ſo iſt die Baſedo⸗

wiſche Regel wegen dieſes Irrthums in keinen An⸗

ſpruch zu nehmen. Warum haͤlt ſich der Rechner

uͤberzeugt, daß ein 2 mahl oder 3 mahl groͤßeres Ge⸗
faͤlle auch ſchon eine 2 mahl oder 3 mahl groͤßere Ge⸗
ſchwindigkeit veranlaſſe, ohne die noͤthigen Unter⸗
ſuchungen und Erfahrungen in der Naturlehre zu
berathen! Wenn er nach der Reeſiſchen Regel zu
rechnen

e

Von d

cen geoß
c zwerſich
Grf gngt i
r ⸗ d

=
E
=

ſer ſtt en 4
en ud ele
ſter de Neſe

ogl koſe
lehi lng iſt
lagz dbreie

Lei

nnd hich

4 N Nſ
Kettn k,i

keiiete
Ninn e
Uen linte
n wos l ſede
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uliie

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S==

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ſe 4

=

N N

Kaoite.

QAe
. = 1
10 47
40 †, Enl

e⸗ 6E
wenn er 10 C
e Dandals ſe Nee
t, doppel e
den daran gacſ

Okeiner verlonn.

un an e

uunden ehen ſet

de Brewint
1s dr dut
6oinditetH
n eii
4 ſenb⸗

Von der Baſedowiſchen Regel. 67

rechnen gewohnt iſt, ſo wird er dieſen Irrthum nur

noch zuverſichtlicher behaupten, indem er hier
gewiß geneigt iſt, die Hoͤhe des Gefaͤlles als Urſache

der Geſchwindigkeit zu betrachten, und ſich ſo darauf
zu gruͤnden meynt, daß die Wirkungen ſich wie die
Urſachen verhalten muͤſſen. Freylich iſt dieſer Satz
auſſer Streit; wenn es nur nicht ſo leicht waͤre in ſei⸗
ner Anwendung zu irren, und um auszumachen, was
eigentlich Urſach und Wirkung ſey, oftmahls Einſich⸗
ten und Ueberlegung noͤthig waͤren, die ihrem Be⸗
ſitzer die Reeſiſchen Regeln ganz entbehrlich machen.

*§. 63 5.
100 Fl. koſtet ein Garten, der 40 Fuß breit und

60 Fuß lang iſt; wie viel Fl. koſtet hiernach einer,

der 35 Fuß breit und 45 Fuß lang iſt.

Allerdings werden ſelbſt Mathematiker bey ſol⸗
chen und aͤhnlichen Aufgaben die Form der Baſedo⸗
wiſchen Regel, ſo wie in andern Faͤllen gewiß auch
den Kettenſatz, nicht ſelten mit Vortheil gebrauchen.
Aber dieſe beduͤrfen dazu gewiß keiner beſondern An⸗
weiſung, und andere — die z. B. bey der eben vor⸗
gelegten Aufgabe nicht einmahl deutlich wiſſen moͤg⸗
ten, was in jedem Falle als die Breite und Laͤnge
des Gartens zu meſſen ſey — moͤgen doch ja von
allen Aufgaben wegbleiben, bey denen von Flaͤchen
oder koͤrperlichen Raͤumen geredet wird. Natuͤrlich
macht hier das Meſſen der Zeuge eine Ausnahme,
wobey kein Fehler zu beſorgen iſt. Bey der Scheuer
in F. 584. No, 30. ſetze ich freylich voraus, daß es
wegen des Daches u. dgl. nicht ſo genau genommen
E 2 werde;

68 Vier und zwanzigſtes Kapitel.
werde; und bey dem arithmetiſchen Graben in §. 591.
den ich wohl nicht weglaſſen durfte, habe ich auch das

Noͤthige erinnert, ſonſt aber alle Aufgaben weggelaſ⸗
ſen, welche geometriſche Kenntniſſe voraus ſetzen.

Vier und zwanzigſtes Kapitel.

Vom Addiren, Subtrahiren, Multipli ⸗

ciren und Dividiren der Bruche.

§. 626. — §. 641.

Beweis fuͤr die Richtigkeit des Verfahrens
in §. 64A—,.z“

Das in 120 dividirt 20 giebt, ſo iſt klar, daß man
den Renner des erſten Bruches durch dieſe 20
multipliciren muͤſſe, um wiederum 120 zu erhalten.
Multiplicirt man nun durch dieſe 20 nicht nur den
Nenner, ſondern auch den Zaͤhler im erſten Bruche
4; ſo erhaͤlt man den Bruch 123%, welcher (nach
§. 442) eben ſo viel werth iſt, als ¾.

Eben ſo erhellet beym zweyten Bruche ¼, daß
man ſeinen Zaͤhler und Nenner durch 30 multiplici⸗
ren muͤſſe, um einen Bruch 2½ zu erhalten, der
eben ſo viel werch iſt als 3, und doch 120 zum Ren⸗
N Und

2

obbey d
(nt nun ſ
e mlth
ch ſerhatt
Drun jed
ni veth iſ
AVbnr Ciue
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—

Ktpite

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der rſaon.

gſit, Are
zes utcht⸗
mgiis
uiftin

andi

2, neiht

3
Geget, 4, 4 6
utn
chiin, .
R

1

gleichen Zahl iſt nun ganz gewiß das folgende Pro⸗
E 3

Vom Addiren der Bruͤche. 69
Und bey dem dritten Bruche 4 2 iſt 24 die Zahl,

womit man ſeinen Nenner und zug leich auch den

Zaͤhler multipliciren muß, um durch ε einen
Bruch zu erhalten, der eben ſo gut als ½ iſt.
Da nun jeder Bruch in der dritten Saͤule eben

ſo viel werth iſt, als der nebenſtehende Bruch in
der erſten Saͤule; ſo muß auch die Summe aus den

Bruͤchen der dritten Saͤule, alſo 214 Hundert⸗ und

zwanzigſtel, der verlangten Smme aus den Bruͤ⸗

chen der erſten Saͤule gleich ſeyn.

§. 643.
H §. 644.
Aus dem Erweiſe in *§. 642 erhellet, daß der

Generalnenner eine ſolche Zahl ſeyn muͤſſe, worin
jeder Nenner der gegebenen Bruͤche aufgeht. Der⸗

gleichen Zahl iſt nun freylich das Product aus allen
Nennern, welches wir dort zum Generalnenner ge⸗
braucht haben. Denn 120 muß als = 6. 4. 5
durch 6 dividirt geben 4. 5, durch 4 dividirt geben
6. 5, durch 5 dividirt geben 6. 4. Aber ſehr oft
wird man eine ungleich kleinere Zahl zum General⸗
nenner gebrauchen koͤnnen.

§. 64 5.
*§. 646.
Bewen⸗ fuͤr die Richtigkeit des Verſahrens
in §. 645. G
Der Generalnenner muß eine Zahl ſeyn, worin
jeder von den gegebenen Nennern aufgeht. Der⸗

duet

70 Vier und zwanzigſtes Kapitel.

duet bey A, das Product aus allen gegebenen Nen⸗

nern.
1). Aber wenn ich ſtatt H

des Productes A) 21. 7. 30.13.6. 56

auch nur das kleinere B) 21 . 30.13 56

gebrauche; ſo geht doch die weggelaſſene 7 und 6 auch

in dieſem kleinern Producte auf. Denn ich kann
mir das Product bey auch als 7. 3. 6. 5. 13. 56
vorſtellen; welches offenbar etwas7 faches und 6 fa⸗

ches ausmacht. Daraus erhellet das Verfahren bey I.

§. 645.
2). Die Richtigkeit des Verfahrens bey II. er⸗
giebt ſich, ſobald man uͤberzeugt iſt, daß man von
folgenden Producten bey B, C, D, E

B) 21. 30.13.56.
C) 7. 3. 30. 13. 8
D) 7. 3 10.13. 8
E) 7.3. 2. 5.13. 4

nach und nach C ſtatt B, D ſtatt C und endlich E ſtatt
D gebrauchen duͤrfe. .
Man kann aber C ſtatt B gebrauchen. Denn
da Ceinerley iſt mit 21. 30. 13. 8, und auch einer⸗
ley iſt mit 3. 30. 13. 56; ſo geht ja nicht nur 30
und 13, ſondern auch 21 und 56, in C noch eben ſo
gut auf, wie in B.
Man kann eben ſo D ſtatt C gebrauchen, weil
D einerley iſt mit 7. 30. 13. 8, alſo auch die 30 in
D noch aufgeht.
Man

Vo

un konn
lcerey iſt m
lc nit

ilnh uuſge

Dam

kente: ſon

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lſazeng

lner tugie
Ofcberde

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egebenen ar.

Denn ien

Vefahenig

rens derl.

ſi, W nnß
5

— –

adii i

nuttn n
Ind wteit⸗
ittu;
(
C e

muuchen, 4

g ir
*

Vom Addiren der Bruͤche. 71

Man kann endlich E ſtatt D gebrauchen, weil
E einerley iſt mit 7. 32. 10. 13. 4 .
und auch mit 7. 3. F. 13.8; alſo auch 10 und. 8
in E noch aufgeht, wie in D.
2). Da man nun nach 1) ſchon B ſtatt A gebrau⸗
chen konnte; ſo weiß man nunmehr, daß man Eſtatt
A gebrauchen kann, alſo durch das Multiplieiren bey
III, §. 645 ein Product findet, welches zum Gene⸗
ralnenner tauglich iſt.

Daß aber dieſe Zahl auch unter allen, zum Ge⸗
neralnenner ſchicklichen Zahlen, die kleinſte ſey, moͤ⸗

gen mir die Leſer auf meine Verſicherung glau⸗

ben.
§. 647. — §. 649.

X*S. 6ſ0.
Meiſtentheils, beſonders aber bey großen Zahlen,

iſt es vortheilhaft, daß man an der Stelle des

Generalnenners nur die Factoren anſchreibt, deren
Product den Generalnenner ausmacht. Man ver⸗
u.s gleiche nur folgende Rechnung mit

. der in F. 641. Es iſt naͤhmlich gar
— 20 100 leicht zu uͤberſehen, daß 6 in 6. 4. 5
6 dividirt, den Quotienten 4. 5 alſo
3 30 90 20; ferner 4 in 6.4. 5 dividirt, den
4 Quotienten 5. 6 alſo 30, und 5 in
1 ſ2 4 24 6.4. § dividirt, den Quotienten
3 — 6. 4 alſo 24 geben muͤſſe.
124

E 4 Dieſer

W☛

72 Vier und zwanzigſtes Kapitel.
Dieſer Vortheil findet auch Statt, wenn man
einen verkleinerten Generalnenner gebraucht. Man
vergleiche nur die folgende angefangene Rechnung
mit der in §. 631. L
2.3.2.5

5
4
4
1
51

10 wird gefunden als 2. 5

15 wird gefunden als 3. 5

12 wird gefunden als 2.3. 2 u. ſ. w.

65. 651. — 5§. 657.
*§. 658.

Aus dem Verfahren des vorigen 5. erhellet die
folgende Regel:

Soll ein Bruch durch eine ganze Zahl

multiplicirt werden; ſo multiplicirt man den
ZJaͤhler des Bruches durch die gegebne ganze
Zahl, und laͤßt den Nenner des Bruches un⸗
veraͤndert.
Aber wozu ſoll man ſich an die mechaniſche Be⸗
folgung einer Regel gewoͤhnen, wo die erſte Betrach⸗
tung der Sache ſelbſt das noͤthige Verahren ſogleich
un die Hand giebt?

§. 659.
FS. 600.

Hieraus erhellet freylich „daß man beym Mul⸗
tſpliciren durch 3, †, ½ u. ſ. w. eben daſſelbe zum

Pro⸗

8

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634

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1

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S

Vom Addiren der Bruͤche. 73

Producke erhaͤlt, was man zum Quotienten erhalten
wuͤrde, wenn man durch 2, 3, 4 u. ſ. w. dividirte.

Denn da man z. B. die Zahl 10 durch multipli⸗

cirt, das heißt, H mahl genommen hat, wenn man
mit ihrem 1 mahligen Rehmen erſt zum zten Theile
fertig geworden iſt; ſo hat man bey dem Multiplici⸗

ren der 10 durch nichts anders als ihren Sten Theil

zum Product erhalten: den man ebenfalls erhaͤlt,
wenn man 10 durch 5 dividirt.

*S. 661.

7

Es giebt aber mancherley Faͤlle, wobey man

zunaͤchſt darauf verfaͤllt, daß man eine gewiſſe Groͤße

2 mahl, ½ mahl, ½ mahl u. dergl. zu nehmen

habe, und daraus etwa erſt folgert, daß das Ver⸗

langte gerade der 2te, 3te, oder 4Ate Theil von jener

Groͤße ſeyn muͤſſe. Man leſe nur folgende Saͤtze
nach einander durch. 1

Jedes ſz koſtet 6 *., alſo koſten 2 Gα

Antw.: 6 2 mahl genommen.
Jedes g koſtet 6 π, alſo koſtet 1 6S ?
Antw.: 6 rI mahl genommen.
Jedes e koſtet 6 r, alſo koſtet 4 ?
Antw.: 6 ½ mahl genommen.

ig Jedesſy koſtet 6 vC6, alſo koſtet 4 ?

eines Ges, 6 xc, durch die Zahl der einzukaufenden

Antw.: 6 0 ½ mahl genommen.
*§. 662.

Die Art, wie man hier den beſtimmten Preis

5 Pfunde

74 Vier und zwanzigſtes Kapitel.

Pfunde behandelt, ſie mag ganz oder gebrochen ſeyn,
verdient doch wohl einen gemeinſchaftlichen Nahmen,

da ſie beſtaͤndig aus einerley Vorſtellung hergeleitet

wird, daß die geſuchten Koſten der Groͤße der an⸗
zukaufenden Waare gemaͤß angeſetzt werden muͤſſen;
naͤhmlich 2ꝛmahl, 3zmahl, Amahl u. ſ. w. groͤßer,
oder 2 mahl, zmahl, Amahl u. ſ. w. kleiner als
6 65–5 je nachdem die einzukaufende Waare 2 mahl,
zmahl, Amahl mehr, oder 2 mahl, zmahl, 4 mahl
weniger als 1 fg iſt.
Es hat nun das Verfahren, wodurch man eine
gewiſſe Zahl der Groͤße einer andern Zahl gemaͤß

ſetzt, ganz allgemein den Nahmen des Multiplieirens

erhalten (§H. 102.); eine Benennung, die ſich
eigentlich nur fuͤr die Faͤlle ſchickt, wo der Multipli⸗
cator groͤßer als 1 iſt. Wenn dagegen der Multi⸗
plicator kleiner als 1iſt, ſo bringt man durch dieſes
Verfahren freylich keine Zahl hervor, die man als
eine durch VBermehrung des Multiplieanden ent⸗
ſtandene Zahl betrachten koͤnnte. Vielmehr muß
alsdann, nach der Vorſtellung in §. 6559, das Pro⸗
duct ganz natuͤrlich kleiner werden, als der Multi⸗
plicande ſelbſt iſt. Man ſetzt ja den Multiplicanden

nur 1 mahl, als das verlangte Product hin, wenn

der Multiplicator 1 iſt; und nur ½ oder 1 mahl,
wen der Multiplicator nur ½ oder iſt. Daher
hat man einen vergroͤßernden Multiplicator, wenn
er groͤßer als 1 iſt; und dagegen einen verkleinern⸗

den Multiplicator, ſo bald er ſelbſt kleiner als 1 iſt.

Wenn daher bey den verkleinernden Multipli⸗

ckli

catoren der Nahme des Multiplicirens eben ſo un⸗
ſchicklich

Vonn

ſcich ſſien,
Hnun, ſo ſuc
ſe Bertelun

Vemich n
bte ſerhalee
(tteſihr non
Eetnrhl deb
Ecen uglen
ice Eiget
ſenel, as
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ſin Klüſteſt
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7

ſcren
teoturen

Vom Multipliciren der Bruͤche. 75
ſchicklich ſchien, als er fuͤr die vergroͤßernden ſchick⸗

lich war; ſo ſuchte man ſich ohne Zweifel durch fol⸗

gende Vorſtellung zu beruhigen.

Wenn ich mir ſtatt z mahl 4, lieber 4 mahl ⸗

denke; ſo erhalte ich offenbar das Produkt , wobey
auf eine ſehr natuͤrliche Weiſe multiplicirt iſt. Daß
aber mahl 4 eben ſo viel geben muͤſſe, als 4 mahl ,
wird man zu glauben gewoͤhnt worden ſeyn durch die

aͤhnlichen Saͤtze bey ganzen Zahlen. Z. B., 5 mahl

4 iſt ſo viel, als 4 mahl ỹy. Man ſpringet ja, blos
auf aͤhnliche Redensarten geſtuͤtzt, wohl uͤber ungleich
groͤßere Kluͤfte fort. Eigentlich aber ſollte nan frey⸗
lich erſt fragen, was mahl 4 heiſſen ſolle, ehe man
annaͤhme, daß es eben ſo viel ſeyn muͤſſe, als
4 mahl ½. (Man ſehe §. 66 5.)

§. 664. — §. 672.

Vom Dididiren der Bruͤche.
§. 673. — §. 676.
*§. 677.

Schon in der Vorrede zum erſten Theile, Seite X,

iſt es angefuͤhrt, daß ich mit Fleis das Dividiren
auf 2 Begriffe gruͤnde, die nicht geradehin einerley
ſind. So erforderte es die Abſicht dieſes Rechen⸗
buches, und es iſt bereits dort beym Dividiren gan⸗
zer Zahlen zu dem gegenwaͤrtigen Gebrauche dieſer
beyden Begriffe vorbereitet. In der Folge, wo
der Diviſor ein Bruch iſt, haͤlt man ſich nur an dem
einen dabey gegebnen Begriff.
§. 67 %.

76 Fuͤnf und zwanzigſtes Kapitel. Wn
5. 690 ”M lin, wde
Noͤthige Erinnerung

2 2
FIf
Wer als ½ von betrachten wollte, dem

wuͤrde dieſer Ausdruck eben das bezeichnen, was g de⸗
durch 2. richtig ausgedruͤckt wird. Da man der⸗
gleichen unrichtige Deutung nicht nur uͤberhaupt in WD
viielen, ſondern auch in ſolchen Rechenbuͤchern findet, J „ N
deren Verfaſſer ſich ſonſt als nachdenkende Schrift⸗: —
ſteller zeigen, z. B. in des wuͤrdigen Reccards
Lehrbuche, Seite 114 der dritten Auflage; ſo muß Secs
es doch einen ſcheinbaren Grund dafuͤr geben, und

den haben ohne Zweifel die Faͤlle in §. 685 darge⸗ irn
.7 ” N
Allerdings iſt es dort richtig, ſich z. B. — als *½
vom atel zu denken, wodurch man wohl veranlaßt
iſt, auch —als von zu betrachten. 3
4 M ſeher tden
Ctrcht
Aber eben darum, weil 2 ſo viel als ½ von ½ be⸗ W
4 8 Nhen
. 2 cdu
deutet und bedeuten ſoll, kann ja nicht — ebenfalls ſſen
5 iſzie

durch 1½ von geleſen werden; und es darf dies eder Aler

Vonm Multipliciren der Bruͤche. 77
ſ wenig geſchehen, als es erlaubt iſt, fuͤr 4 von

zu halten, oder ¾ fuͤr das zfache von 4, fuͤr
3 mahl 4.

e blt, Fuͤnf und zwanzigſtes Kapite.

wgihm 1 Von den Decimalbruͤchen.
n iunfnt E⸗ enthaͤlt F. 691 — 722.

8
cend

Sechs und zwanzigſtes Kapitel.

. Machtrag einiger Vortheile beym Divi⸗
diren und Reduciren.
§. 723 — §. 734.
u. Was hier vom Reduciren einiger Geldſorten bey⸗
gebracht iſt, wird hinlaͤnglich zeigen, wie man
ſich auch die Reductionen anderer Sorten erleichtern
koͤnne. Naͤhmlich, wenn man in gewiſſen Sorten
haͤufig zu reduciren hat; ſo macht man ſich Tafeln,
4 wie in §. 727, und behaͤlt auswendig, oder hat es eben⸗
ict falls aufgeſchrieben bey der Hand, wie viel gewiſſe
runde Zahlen von einer niedrigern Sorte nach der
H hoͤhern

78 Sieben und zwanzigſtes Kapitel.

hoͤhern Sorte betragen. In jedem Falle ſucht man

vortheilhafte Multiplicationen und Diviſionen zu

gebrauchen. Der Nutzen des Aufhebens iſt dabey

ſchon z. B. aus §. 462 — §. 464. bekannt.

Sieben und zwanzigſtes Kapitel.
(eine Fortſetzung des vierzehnten.)

„

Von der waͤlſchen Practik.
§. 736.

*9. 737.

Das Aufheben zwiſchen dem 1ken und 2ten Gliede
wird noch am haͤufigſten wirklich gebraucht
werden; weil es auch bey den Aufgaben Statt fin⸗

den kann, wo im 3ten Gliede nur 1 vorkommt. Im

Handel und Wandel weiß man naͤhmlich gewoͤhnlich
ſchon, wie viel ein koſtet, wenn man mehrere
kaufen will. Oder wenn man etwa fuͤr mehrere 13
zuſammen genommen ein gewiſſes Geld bezahlt hat;
ſo entſteht alsdann gewoͤhnlich nur die Frage, wie
viel ein & davon koſtet. Nicht leicht tritt alſo der
Fall ein, daß man bey denen fuͤr die waͤlſche Practik
gehoͤrigen Auffaͤtzen im erſten und dritten Gliede
zugleich eine andere Zahl als 1 erhielte; ſondern
man hat meiſtentheils im 1ten oder dritten Gliede
nux eine 1.

b. 738

NReg

nſzzbe
ſatk, vo de
un feſt
ftoneme
7

Man m

ſcche G
venn dos
Goikich
het das

he
Ulge wer
Kaſet

uſg
ihe
1

linrgenſſe

Von der waͤlſchen Practtitk. 79
ebens in⸗ 19. 25r.
Ni Regeln der Vorſicht,

wie in §. 356 oder §. 479, hat man bey der waͤlſchen
Lahitel Practik, wo die beſtaͤndige Achtſamkeit waͤhrend der
Rechnung faſt erzwungen wird, eben nicht noͤthig:

Ma] ſonſt koͤnnte man folgende angeben.
1595 Man muß uͤberzeugt ſeyn, daß auch die ge⸗
Practt ſuchte Groͤße 2 mahl groͤßer ausfallen wuͤrde,
wenn das dritte Glied 2 mahl groͤßer waͤre, als
es wirklich iſt. B
2) Hat das dritte Glied nur eine Sorte; ſo muß
ſie mit der Sorte des erſten Gliedes einerley
nmd m0e ſeyn; hat es mehrere, ſo muß man doch die⸗
gitſch en jenige zuerſt berechnen, welche mit der Sorte
lnbin ⸗ des erſten Gliedes einerley iſt.
nen eheel
Rü Aufgabe zur Warnung.
Geb tiit 4 Menſchen brauchen 3 Wochen und 2 Tage,

iken um eine gewiſſe Arbeit zu vollenden; wie viel Zeit
ictn woerden 9 Menſchen dazu brauchen?
ſe W
i Der Anſatz, 4 Menſchen: 3 Woch. 2 Tage = 9 Menſchen?
t ließe ſich nach dem hier vorgetragenen Verfahren der
. Fitne waͤlſchen Practik nicht behandeln; weil die geſuchte
Hroͤße nicht zweymahl groͤßer ausfallen wuͤrde, wenn
das dritte Glied zweymahl groͤßer wuͤrde. Denn
3 18 Menſchen

80 Acht und zwanzigſtes Kapitel. H W
18 Menſchen brauchen nicht zweymahl ſo viel, Mnd
ſondern nur halb ſo viel Zeit als 9 Menſchen, um ohe nn di
die beſtimmte Arbeit zu vollenden. tnt
. ge den
Udcht und zwanzigſtes Kapitel.

Von der Geſellſchaftsrechnung. ee⸗

ſic Nnner,

§. 753 — §. 767C rrzir
*S. 768. t 1nb.
„. . i
Evn vielen Rechenbuͤchern ſindet man Aufgaben ſol⸗ Mis dn
J gender Art: nn derbeyn
1000 *5 ſollen unter 3 Perſonen dergeſtalt ver⸗
theilt werden, daß der eine ¾, der andere und der
dritte ½ bekomme. n ſthe
d,

Da nun ½, und ½ zuſammen genommen, ſchon ifttn
uͤber ein Ganzes, naͤhmlich ſchon 1 Ganzes und S5

e — . . d
ausmachen, ſo muͤßte man offenbar auſſer dem vor⸗ ra
handenen Tauſend noch Tauſend zu vertheilen i
haben; wenn den theilnehmenden Perſonen wirklich “
8

4⸗ und †⸗ und tel Tauſend zufallen ſollte, wie die
Aufgabe zu verlangen ſcheint.
In der That verlangt man bey dergleichen Auf⸗
gaben etwas anders, als man ausdruͤckt. Es ſol⸗
len naͤhmlich die 1000 dergeſtalt vertheilt wer⸗
den, daß ſich die Theile unter einander ver⸗
halten wie ½, ½ und ½, alſo auch (§H. 442) wie
— 4 ⅝ Nihen,

cpit.

mahl ſone
Menſche,n

1
8
en ,

Von der Geſellſchaftsrechnung. 81

45, 1 und ., alſo auch wie 15, 10 und 6. Alſo be⸗
trachte man die zu theilenden 1000 * als eine aus
15 †+ 10 †+ 6 d. i. aus 31 Theilen beſtehende Groͤße;

und gebe dem erſten 15. 92° Xρ, dem andern

10. 22° ** und dem dritten 6. ¹22° πι.

S8. 769.
Sollten 400 in zwey Theile ſo getheilt wer⸗
den, daß ſich dieſe Theile wie ½ und ½ verhalten;
ſo bringe man dieſe Bruͤche, wie vorhin, unter
gleiche Nenner, das giebt ½ und 116. Offenbar
iſt nun * in W eben ſo oft enthalten, als uͤber⸗

haupt 2 in 6. Alſo zerlege man die Groͤße von

400 *π in 8 gleiche Theile, und nehme 2 dieſer
Achtel als den einen, und 6 dieſer Achtel als den
andern der beyden verlangten Theile.

*9. 770.
Man findet noch mancherley andere Aufga⸗
ben, bald dieſe, bald jene, unter dem Nahmen der
Geſellſchaftsrechnung angefuͤhrt. Sie gehoͤren aber
theils zu den bloßen Kunſtaufgaben, welche ſehr
entbehrlich ſind, theils ſind ſie von der Art, daß
von ihnen ebenfalls gilt, was in *§. 797. wird

geſagt werden.

Buſſ. Rechenb. 2. Haͤlfte. F Neun

1

82

Neun und zwanzigſtes Kapitel.

Von der Vermiſchungsregel.
§. 771. — §F. 786.
* . 787.
Miſchung aus drey Sorten.

B Man unterſcheide dabey folgende zwey Faͤlle:

1) wenn unter den Preiſen der drey Sorten nur
ein Preis hoͤher iſt, als der fuͤr die Miſchung
beſtimmte, wie in der folgenden erſten Auf⸗
gabe;

2) wenn unter den Preiſen der drey Sorten nur
ein Preis niedriger iſt, als der fuͤr die Mi⸗
ſchung beſtimmte, wie in der folgenden zwey⸗
ten Aufgabe.

Erſte Aufgabe: Ein Weinhaͤndler will aus
drey Sorten Wein, wovon die erſte 16 , die
andere 13 *., und die dritte 8 ρ (etwa der Anker)
gilt, eine Miſchung machen, deren Preis (auf den
Anker) 14 * ausmacht; wie viel muß er von jeder
Sorte nehmen?
Zweyte Aufgabe: Man will aus den vori⸗
gen drey Sorten eine Miſchung machen, die 10
koſtet; wie viel iſt von jeder Sorte zu nehmen?

Wenn alſo a den Preis der erſten, b den
Preis der zweyten, und c den Preis der dritten
. Sorte,

Vo

Sre, und
ſee On

nriſen
ſihen

Win en

hügn

Serſte

nden

a 2u.n
lnee —
14

dred Cntnn
fir de Mcn
den eſen ie

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ird 4

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lſte 14 1 /
rwe N l 8

his en

nus e tſe⸗

us da

hen, de ao

ußmm!

ſen, 5
6 de der M

.

3 ken ⸗

Von der Vermiſchungsregel. 83
Sorte, und m den Preis der Miſchung bebeutet;

ſoiſt die Ordnung dieſer Preiſe

im erſten Falle: a, m, b,
naͤhmlich: 16 X6, 14 rC, 13 *£, 6 e.
und im 2ten Falle: a, b, m, c,
naͤhmlich: 16 r, 13 c, 40 xC, 8 rοτ.
*. 788.

Im erſten Falle nehme man

von der alſo ſe die 1te Aufgabe
e 28—
1ten Sorte⸗ — –, +☛ — — 21 P .
Aien 2— m 16 14 ⸗
. 2 a –- (b † c)' 32 « 21 7
eben ſo viel; ebenfalls = ½¾r

. *. 789.
Im zweyten Falle nehme man

alſo fuͤr die 2te Aufgabe

von der
— 10 — 8
1ten Sorte . 5 — = 1†T Anker.
a † b — 2 c 29 –— 16
2ten ⸗ eben ſo viel; ebenfalls = r .
a † b — 2 m 29 — 20
ten — = 27T *
3 a † b — 2 c' 29 — 16 7
F. 2

Neun und zwanzigſtes Kapitel.

*S. 790. Die Probe
iſt z. B. fuͤr die 2te Aufgabe folgende.
1„ Anker à 16 koſten ¾ = 2r *b.

7 *

„ 13 wL§ foſten = 2

8 * koſten = 5773 ⸗

1 Anker Miſchung koſtet alſo 10 10*.

*§. 791.

Bey Miſchungen aus vier Sorten unterſcheide

man folgende 3 Faͤlle:
1tr Fall. 2tr Fall. 3tr Fall.

3
m b
b m
C C
d d

ter a, b, c, d die vier
Preiſe, vom theuerſten

ſten b, und unter m
den Preis der Miſchung

4
b
m
d denken, der im erſten

Falle zwiſchen a und b,

im zweyten zwiſchen b und ec, und im dritten zwi⸗
ſchen c und d faͤllt.

*§. 792.

Nun nehme man

im ten Falle, im 2 ten Falle, im 3ten Falle.

von 3 m- (bcd) mec ma 4

itr Sorte 3 a ( (b†c ) b. (αι⁵ a† b † c- 3

a⸗- m

m d

2tr Sorte

3 a- TcTd); . ccTq

z eben ſo viel.

3tr Sorte, eben ſo viel: — ͤ eben ſo viel.

it. (c† 4)
b-m a † b c. 3 m

4tr Sorte, eben ſo viel;: — —

a † b⸗ (edh a †b †c- Tc-3d
*§. 793

1
S en

indem wir uns un⸗

a, bis auf den niedrig⸗

Ne 1, N

V

ie Ee
e 6 eine
e Errte be

d
ditt ſe
1 huſn n
Elnrte,
gCort, 6

Ete, e

Ne Diſcn

N Boc
A N⸗

Re du
Nlitti lhe⸗

ln
derde.
unt

RN ſten An

gen

Khnng.

it

Arſten

dDH Von der Vermiſchungsregel. 85
4 *S. 793.

dere 15, eine dritte 12, und Waſſer, als
vwvwierte Sorte betrachtet, o π; und ein „. — — 1
Faß Miſchung daraus ſoll 10 6 koſten: — 10
, ſo iſt hier die Ordnung der Preiſe, wie = 5
zur Seite ſteht, und man hat nach vori⸗ 4
gem §. zu nehmen, von

b= 15

e 4 3
n wterc

umr 2— —
n 3 der 1ten Sorte, — = ¼½5 Faß, koſtet = 4 4¾ 5.
e e
don Herein der 2ten Sorte, ebenfalls — z p, ,
* der 3 ten Sorte, ebenfalls ⸗9 ⸗ 2 2=% = 2 5 ⸗
47 — 30 17.0
nd u⸗ der 4. S. noch ; 2 = 90 ⸗
6 Diieſe Miſchung macht alſo 1 Faß, und koſtet 10 6.
niſcen 1) 1 nd ke
in Mn N §. 794.

Wer Buchſtabenrechnung zu gebrauchen weiß,
wird die Richtigkeit dieſes Verfahrens beſonders
durch die deutliche Stellung in *§. 788, 789 und
„ 792 leicht uͤberſehen koͤnnen. Ich will nur noch

— dem gemeinen Rechner verſtaͤndliche Antworten ge⸗
te . waͤhren werde — aber freylich nicht gerade die

oft moͤglichen Antworten, noch weniger deren Ueber⸗
ſiicht. Das gewaͤhrt im Allgemeinen nur die Buch.
ſtab enrechnung.

Abten . Ich koͤnnte leicht dieſen aͤhnliche Regeln auch
H fuͤr r Vermiſchung aus 5 oder mehrern Sorten auf⸗
6 F 3 ⸗ finden.

hinzuſetzen „daß es allemahl auch ſchickliche, und

J Eine Sorte Wein koſte 20, eine a = 20G

„ ſcicklichſten unter den vielen bey ſolchen Aufgaben

86 Neun und zwanzigſtes Kapitel c.

finden. Aber da ſie in Vergleichung der vollſtaͤndi⸗
gen und ſchicklichſten Antworten immer weniger und
weniger leiſten; ſo beruͤhre ich dieſe, ſo wie viele
andere Aufgaben gar nicht, welche in manchen, be⸗
ſonders in alten Rechenbuͤchern, unter dem Nah⸗
men der Regula Falſi, Regula Coͤci u. dergl.
vorkommen, und zum Theil auch ſehr entbehrliche

Kunſtaufgaben ſind. Vielleicht gehoͤrt dahin ſchon

die folgende.

E§. 79.
Jemand ſoll fuͤr 2 XC 20 3 gerade 10 fg
Kaffe kaufen von zwey verſchiedenen Sorten, deren
eine 8 £, die andre nur 6 koſtet. Wie viel ſ8
muß er von jeder Sorte nehmen?

Man denke ſich, daß der wirklich anzukau⸗
fende Kafſe in eins gemiſcht werde, ſo wuͤrde 1
dieſer Miſchung den 10ten Theil von 2 *0“ 20 9,
alſo 6 ¾ koſten.

Alſo hat man nach §. 774. zu jedem 1zelnen
der Miſchung von der theuren Sorte zu nehmen

4 — 6 4
5 7 = ²¾; zu allen 10 fg alſo * = 4 G,

und von der geringern Sorte die uͤbrigen 6 8.

—

ngeſth

1n
zn)

Witzen
Prinekl,
Nlptenn

n ech des

Amfibrt

ang von
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ennd. i
Uund doz,
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finnige.

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Se Cten, d

4. Weudt

i 4 aht⸗
, uce I
nichng

ſeen ur
e pu

4 ⸗
init

87

Dreyßig ſes Kapitel.

———.,.,.——

Vermiſchte Aufgaben.

§. 796 — §F⸗ 797.
*9. 798.

Die angefuͤhrten Ungelder ſteigen zwar mit dem
Weitzenpreiſe, aber nicht eben ſo, nicht eben

ſo vielmahl; weil z. B. die Acciſe gar nicht, und

das Fuhrlohn nur wenig und langſam erhoͤht wird,
wenn auch das Getraide uͤberhaupt ſteigt. Unter
den angefuͤhrten Stuͤcken der Ungelder iſt nur die
Mahlmetze von der Art, daß ſie 2 mahl, 3 mahl
mehr oder weniger Unkoſten verurſacht, ſobald der
Weitzen 2 mahl, 3 mahl u. ſ. w. theurer oder wohl⸗
feiler wird. Uebrigens ſind die Angaben in §. 796,
801 und 803, aus des Herrn Philippi verthei⸗

digtem Kornjuden, Berlin, 1765. genommen.

§. 799.
*§. 800.
Natuͤrlich ſteckt unter den in §. 796. angeführ⸗
ten 72 Mehl auch das grobe, welches nicht zu
Semmel, ſondern nur zu Brod oder Salzkuchen
verbraucht werden kann; daher dem Baͤcker nicht ſo

viel Gewinſt zufaͤllt, als es ohne dieſe Bemerkung—

ſcheinen moͤgte.
§. 801 — §. 816.

*§. 817.
Offenbar kann eben ſo in jedem Falle verfah⸗
ren werden „wo man aus der gegebnen Anzahl
F 4 von

88 Dreyßigſtes Kapitel.

von Schuhen in einer Meile, ihre Schritte

finden ſoll, weil das allemahl darauf hinaus
kommt, daß man jene Anzahl durch *2 multiplicirt.

Hat man nun viele ſolche Aufgaben vor ſich „ wie

z. B. bey Verfertigung der VIten Tafel im An⸗
hange, ſo verlohnt es ſich wohl der Muͤhe, auf
deren moͤglich leichteſte Berechnung zu denken *).

In ſo fern man nun die eben angefuͤhrte Art von

Aufgaben ſchon nach einem allgemeinern Verfahren
der Regel de tri, oder Kettenregel ꝛc. zu berechnen
weiß, nennt man eine ſolche „nur auf einige Faͤlle
paſſende Vorſchrift, eine Specialregel. Die
Buchſtabenrechnung iſt das beſte Inſtrument zur
Auffindung und Pruͤfung der meiſten Sperialregeln
in verwickelten Faͤllen.

§. 8§ 18.
*§. 819.

Die Regel im vorigen §. erhellet ſehr leicht.

Wenn der Louisd'or z. B. 7 9l Agio gilt, ſo betraͤgt
die Agio don 100 in ons or ofſenbare 20. 7 ,

und wenn man ſtatt 7 3 X Aaio 3 3 “ ſoe er⸗

hielte man eben ſo (1 — ½). 3 6.

Wenn Geſchaͤftsleute dergleichen Specialregeln
wuͤnſchen, ſo duͤrfen ſie nur einen Mathematiker darum
fragen , der ſie meiſtentheils ahne Muͤhe auffinden wird.

Bis⸗

2 Wobey ich hier der Logarichmen nicht erwaͤhnen
kann.

Peer Nn

elen kann
ſtlehßcfre ni⸗
en ſine Reyel
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—w—

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1 1,7

.

Grene, 6

Eeultß⸗
wilker on
ufihe ti
N

it min

Vermiſchte Aufgaben. 89

Bisweilen kann er auch daruͤber beſtimmen, daß keine

vortheilhafte moͤglich ſey). Das meiſte Lob verdient er,

wenn ſeine Regel ſo einfach und leicht wird, daß hinter⸗

her ein jeder glaubt, er haͤtte ſie eben ſo gut aus⸗
fertigen koͤnnen.

Ein und dreyßigſtes Kapitel.

Zweyter Nachtrag von Vortheilen beym
Multipliciren und Dividiren.
XyS§. 820.
Vortheilhaftes Multipliciren.
1.

Wenn der eine Factor ziemlich nahe an eine
ſolche Zahl reicht, die einen bequemen
Multiplicator abgiebt:

ſo mag man zuvoͤrderſt durch dieſen multiplici.

ren, und dann das dadurch erhaltene Product ge⸗
hoͤrig vermindern. Z. B.

Soll 436 durch 999 multiplicirt werden; ſo

ſchließt man:

436000 waͤre 1000 mahl 436,
davon 436 als 1 mahl 436, abge⸗

zogen, laͤßt 235564 als 999 mahl 436 uͤbrig.
F 5 Soll

90% Ein und dreyßigſtes Kapitel.
Soll man durch 399 multipliciren; ſo ge⸗
brauche man zuvoͤrderſt 400. Z. B.
4963
durch 400 multiplicirt
giebt 1985200 als 400 mahl 4963.
Davon 4963 als 1 mahl 4963 abgezogen,
laͤßt 1980237 als 399 mahl 4963 uͤbrig.
Soll man durch 4998 multipliciren; ſo mul⸗
tiplicire man zuvoͤrderſt durch 5000, und ziehe von
dem ſo erhaltenen Producte das Zwiefache des Mul⸗
tiplicanden ab. Z. B.
86745 .
durch 5000 multiplicirt
giebt 433725000 als 5000 mahl 86745.

Davon 173490 als 2 mahl 86745 abgezo⸗

gen laͤßt 433551510 als 4998 mahl 86745 uͤ⸗brig.

Wenn der bequeme Multiplicator gerade Ein

Hundert, Ein Tauſend u. ſ. w. ausmacht; ſo kann
dieſes Verfahren auch bey einem etwas betrraͤchtli⸗

chen Unterſchiede zwiſchen ihm und dem eigentlichen

Factor vortheilhaft bleiben. Wenn aber der be⸗
queme Multiplicator ſelbſt ſchon mehrere Hunderte,
oder Tauſende u. ſ. w. ausmacht, wie in den bey⸗

den letzten Beyſpielen, ſo iſt es nur anzurathen, wo

S

jener Unterſchied ſehr gering iſt.
*§. 821. Zuſatz.
Sollte jemand oft durch 9 zu multipliciren ha⸗
ben, z. B. in den Gegenden, wo nach Thalern zu

Vorth

,utern
et N Mu⸗
lehen gen
Mrlanon

nſg⸗

ſen;
Eenen den
rgo. Nn
1 Pehner
N wrs ſn

3.
ſen
6z ihi

ſanng ſn
„und zeen
eichee

gts
niſ iß
ntgiin
mrgendel

nuch bi
was de be rict

n ihti
her N
nene hnint

/ 1 den n

ſem 16

9

Vortheile beym Multiplieiren ꝛc. 91

90 Kreutzern gerechnet wird: ſo koͤnnte es ihm viel⸗
leicht der Muͤhe werth ſcheinen, ſich das folgende
Verfahren gelaͤufig zu machen; beſonders da die
Multiplication durch 9 gewoͤhnlich etwas aufzuhal⸗

ten pflegt.

Es ſey z. B. 13 529 durch 9 zu multipliciren;
ſo ſetzt man dem Multiplicanden eine o vor, hat alſo
135290. Nun ſucht man vom Einer den Zehner,

vom Zehner den Hunderter u. ſ. w. abzuziehen, und

borgt, wo es ſonſt nicht gehen will, wie folget.

13 5˙2 9˙% 9 von o geht nicht; alſo mache ich

12 1761 bey der 9 ſelbſt einen Borgepunct,
und ſage, 9 von 10 bleibt 1; welche

unter dem Striche angeſchrieben wird. Ferner:

2 von 9' bleibt 6; welche wiederum unterm Striche
angeſchrieben wird u. ſ. w. Die 1 endlich, ſo an
der hoͤchſten Stelle ſteht „ wird geradezu herunter⸗
geſchrieben.

Der Grund dieſes Verfahrens faͤllt in die Au⸗
gen, wenn man folgendes betrachtet.

135290 iſt 10 mahl 13529.

Davon 13529 als 1 mahl 13529 abgezogen,

laͤßt 121761 als 9 mahl 13529 uͤbrig.

Im obigen Verfahren wird nur der Abzug

nicht beſonders hingeſchrieben, und daher ſo abge⸗
jzogen, wie dort gezeigt iſt.

Es

92 Ein und dreyßigſtes Kapitel.

Es ſind noch einige Beyſpiele noͤthig. Geſetzt
es ſey 4346 durch 9 zu multipliciren; ſo heißt es:

4·3 4 6‧0 6 von 10 bleibt 4; 4 von 5 bleibt 1;
39 1 1 4 3 von 4 bleibt 1; 4 von 13 bleibt 9;
und endlich wird, was an der letzten

Stelle ſteht, als 3 herunter geſchrieben.

Oder 100860 iſt durch 9 zu multiplieiren;

heißt es:

1·0 0 86*οο von o bleibt o; 6 von r0 bleibt

°771410 4 8⁸ von r5 bleibt 7; von 8.

bleibt 7; 0 von o bleibt o; 1 von
10 bleibt 9. Die 1. an der letzten Stelle als o her⸗
unter zu ſetzen, iſt hier nicht noͤthig.
E. 822. 4
II. Wenn ſowohl der Multiplicator als der

Multiplicande von 1000 oder 10000 u. dergl. nicht

ſehr viel unterſchieden ſind, und dabey wenigſtens

der eine von dieſen beyden Unterſchieden nur eine
einſtellige Zahl ausmacht: ſo kann man noch vor⸗

theilhafter als nach S. 820. verfahren.

Soll z. B. 986 durch 998 multiplicirt wer⸗
den; ſo ſchreibt man wie folget.

1000 Naͤhmlich 986 iſt von 1000 um 14,

986] 14 und 998 iſt von 1000 um 2
998 2 unterſchieden. Das Product beyder
155 3⸗5 Unterſchiede iſt 28.

daher noch nicht bis unter die dritte o der oben ange⸗
ſchrie⸗

Da dieſes Product nur zweyſtellig iſt, 1 und

hne Vegta

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No⸗s d

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Vortheile beym Multipliciren ze. 93

ſchriebenen 1000 reicht; ſo fuͤllt man dieſe dritte
Stelle mit einer o aus. Darauf ſchreibt man die
Summe der beyden Factoren, alſo 1984, daran;
doch mit Weglaſſung der 1 an ihrer hoͤchſten Stelle.

Die nunmehr neben einander ſtehenden 6 Zif⸗
fern 984028 druͤcken das verlangte Product aus.
Es folgen noch einige Beyſpiele:

1 O00O 1 000 1 0O00O
9957 3 983 17 83 2
9998 2 982 8 97 3

9995 0006 965 136 95 06

Im erſten muͤſſen, hinter dem Producte 6,
drey olen eingeruͤckt werden, nach Anleitung der
oben hingeſchriebenen 10000, wovon man die bey⸗
den Factoren 9997 und 9998 abgezogen hatte.

Im zweyten aber darf man keine Stelle noch

terſchiede ſelbſt ſchon eben ſo viel Stellen
einnimmt, als in der Zahl 1000, wovon man

I dritten iſt eben der Kunſtgriff bey Facto⸗
ren gebraucht, die nahe an 100 reichen. Nur ver⸗
ſchafft er in ſolchem Falle ſelten eine betraͤchtliche
Erleichterung; und er iſt ohne allen Nutzen, wenn
beyde Factoren kleiner als 10 ſind,

Mit

mit einer o anfuͤllen, da das Product der Un⸗

die beyden Factoren abgezogen hat, olen
vorkommen.

94 Ein und dreyßigſtes Kapitel.
Mit Fleiß habe ich gleich anfangs geſagt, daß
wenigſtens ein Unterſchied nur eine einſtellige Zahl
ſeyn muͤſſe. Denn wenn das nicht iſt; ſo iſt die
Erleichterung nicht
S — groß. Wollte man
9855 155 888 222 dennoch das Verfah⸗
99671 33 995 ren gebrauchen; ſo

465 884 110 muͤſte man etwa ſo
465 X ſchreiben, wie in dem

I1 0000 I 0°00

9832 5115 Beyſpiele.

Das zweyte Beyſpiel zeigt, wie man die
vierte Stelle des Productes der Unterſchiede ſo⸗

gleich zur nebenſtehenden Summe der Factoren hin⸗

zurechnen muͤſſe, nachdem von den 3 erſten Stel⸗
len des Productes ſchon ſo viele Stellen angefuͤllt
ſind, als die Zahl 1000, wovon man abgezogen
hatte, olen hat.
« *§. 823.
Es iſt nun darzuthun, daß man durch dieſes Ver⸗

fahren allemahl das Product erhalten muͤſſe. Ohne
Buchſtabenrechnung koͤnnen dieſe und aͤhnliche

Gruͤnde nicht ohne große Weitlaͤuftigkeit dargeſſtellt
werden. Wenn ſich nun auch der Schriftſteller die
Geduld dazu nimmt, ſo weiß mans ihm doch keinen
Dank; ſondern er wird ſeiner Weitlaͤuftigkeit we⸗
gen von hoͤchſt wenigen geleſen, und von noch weni⸗
gern verſtanden werden. Diejenigen, welche ver⸗
mittelſt der Buchſtabenrechnung ſchon eine Fertig⸗
keit in Betrachtung der arithmetiſchen Grundfor⸗
ſchungen erlangt haben, moͤgten dergleichen Eroͤrte⸗

nebenſtehenden erſten

rungen

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Vortheile beym Multipliciren ꝛc. 95

rungen noch am erſten uͤberſehen; wenn nicht eben

dieſe gerade die wenigſte Luſt zu ſolchen muͤhſeligen
Weitlaͤuftigkeiten haͤtten. Einige andere martern
fich durch die langen Betrachtungen groͤßtentheils

ohne allen Nutzen. Zwanzig oder dreyßig arithme⸗
tiſche Grundforſchungen oder allgemeine Formeln

mit Vermeidung aller Buchſtabenrechnung ordent⸗

lich zu faſſen und zu uͤberſchauen, erfordert vielleicht

mehr Zeit und Anſtrengung, als die ganze Erler⸗
nung der Buchſtabenrechnung, wodurch man un⸗
zaͤhlig viele wichtige arithmetiſche Unterſuchungen
und Rechnungsregeln ſelbſt zu eroͤrtern faͤhig wird
— wenn man uͤberhaupt dazu aufgelegt iſt. Einige
meiner Leſer werden es ſehr gerne ſehen, daß ich
hier und an einigen vorhergehenden Orten Buchſta⸗
benrechnung gebraucht habe; und andere moͤgen

bey ſolcher Gelegenheit zu ihrer Erlernung ermun⸗

tert werden.

*§. 824.
Es ſey der eine Factor a= n —
der andere Factor b= n — G
ſſpo iſt + = 2n — ( † )
Es wird alſo (ab) n= 2 nn — (« †+ β) n
urnd (a † b) n † & S= 2 nn — (&g †+— βι) n †+α
I. — nin †¼ (a b) n†π n — (&† βι † α
Da nun bey a =7 n —
und b = n — G

auch a b = nn — (o†β&½) + S iſt;
ſo hat man — nn (a † b) n †+ æ = à b.

96 Ein und dreyßigſtes Kapitel.

Die linke Seite dieſer letzten Gleichung legt
nun das ganze Verfahren, „wie es §. 822. gelehrt
iſt, vor Augen. Im dortigen erſten Bepſpiele
war a = 986; b = 998

und 1 0O00=n

alſo 986 14= a † o
und 28 2=— b † ₰
Ferner waͤre 1984 ooo= (a b) n
und — 1000 0οσ0ο nn

allſo wird 984 028 =— nn?†(abynaß alſo
nach der letzten Gleichung

des vorigen den, =ab

*§. 826.

Wer dieſe leichte Buchſtabenrechnung ver⸗
ſteht, uͤberſieht nun ſogleich, daß man fuͤr
n auch eine ſolche Ziffer waͤhlen koͤnne, die kleiner

iſt, als die beyden Factoren a und b; ſo daß a =⸗

n †+ α und b = n †+ 8 wird, indem wiederum e
den Unterſchied zwiſchen a und n, und 6 den Unter⸗

ſchied zwiſchen b und n bedeutet. Denn man hat

in allen Gleichungen des *§. 824. alsdann † (2+ 6)
ſtatt des jetzigen — (a + 3), und kommt am Ende
wiederum darauf hinaus, daß

— nn -- (a - b'n † æ =a b wird.

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Vortheile beym Multipliciren ꝛc. 97
Es ſey, um nur ein Beyſpiel zu geben,

= 1084 und b = 1003,

ferner 1 00ο n

ſo iſt 1084 184 = a T†T eℳ
und 100311 3 — b †

und 252 = c

und 2087 00ο0ο= (a †+ b) n
und — 1000 OOO = — nnhn

alſo 1087 252 = — nn †+ (a † b) naα α b.

Beym Gebrauche kann man ſich das Schrei⸗
ben der 3 unterſten Zeilen ganz erſparen; in⸗
dem man das, was = (a † b) n iſt, gleich neben
252 hineinſchreibt, und dann 1000000, durch

bloße Veraͤnderung der 2 in 1, davon abzieht.

WS. 827.
Es erhellet ferner, daß man n nicht nothwen⸗

dig = 100 oder 1000 oder 10000 ꝛc. ſetzen muͤſſe,

ſondern auch jede andere Zahl ſtatt n gebrauchen
koͤnne; wenn ſie nur groͤßer, oder nach vorigem *§.
auch kleiner iſt, als jeder von den beyden Factoren.

So koͤnnte man n = 30000 ſetzen, wenn

29987 und 29993 in einander zu multipliciren waͤ⸗

ren. Das dabey noͤthige Verfahren kann man

aus folgendem Beyſpiele hinlaͤnglich kennen lernen.

Vuſſ. Rechenb. 2. Th. G 30000

98 Ein und dreyßigſtes Kapitel.
3 oOOO = n
29987] 13 = a †+
29993+ 7 = b † ⁶
59980 00ο91 = (a † b) 10000 † 6

179940 00οω0ο (a† b) n
— 9000οοοοο – nn

89940 Oοσ0οο= – nn† (a † b)n † αε= ab.

Ob man nun gleich dabey noch viele Ziffern
erſparen koͤnnte: ſo wuͤrde es doch nicht rathſam
ſeyn, ſich waͤhrend des practiſchen Rechnens auf ſo
kuͤnſtliche Kunſtgriffe einzulaſſen. Ich habe daher
dieſen §. nur fuͤr einzelne Leſer geſchrieben, welche
an dergleichen Betrachtungen Vergnuͤgen finden.
Vortheilhaftes Dividiren.
Wenn der Diviſor nur um eine einſtellige Zahl
kleiner als Ein Hundert, Tauſend oder Zehntauſend
u. ſ. w. iſt, und der etwanige Bruch des Quotien⸗
ten in Decimaltheilen verlangt wird; ſo kann man
auf folgende Weiſe ſehr vortheilhaft verfahren.

999 48663
100048,663... — B
48663.. „ —

QG 48,71171 1663

Der Dividende iſt 48663. Statt des wah⸗
ren Diviſors 999 das um 1 zu große 1000 ge⸗
braucht, gaͤbe den Quotienten neben B. Dieſer iſt

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D

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Vortheilhaftes Dividiren. 99
nun kleiner als der geſuchte, fuͤrs erſte um I58 B,
ferner um †SSSSSS5 B, ferner um † τό5 53 8

u. ſ. w. Die Summe neben C wird der geſuchte
Quotient.

98 486 63
100486,63.. = B
2 9,7326. — 2355
194652 . . = 25558 B

389304 = f
Q= 496,5611
Statt des wahren Diviſors 98 den um 2 zu großen
Huͤlfsdiviſor 100 gebraucht, giebt den Quotienten B,
der zu klein iſt um ½ε B, ferner um 283. 285 B,
u. ſ. w. Was neben C ſteht iſt nur noch um einige
10000tel, 100000tel u. ſ. w. zu klein.

Anmerk. Die gemachten Puncte ſichern das
richtige Vorruͤcken der Stellen. Man ſetzt ihrer 2 oder
3 oder 4 u. ſ. w. je nachdem der Huͤlfsdiviſor 100 oder
1000 oder 10000 u. ſ. w. iſt.

§. 829. H
Zuſatz. Wenn der Huͤlfsdiviſor ſchon 10000
oder noch groͤßer wird, ſo bleibt obiges Verfahren
noch ſehr vortheilhaft, wenn gleich der gegebne Di⸗
viſor um eine zweyſtellige Zahl zu klein iſt. Z. B.

9954 4 866z3z3
100004,866zꝛ3. — B
40 194652. — 498 365 B
6 291978 = 1 S8 56S B
Q= 4,888
G 2 Von

100 Ein und dreyßigſtes Kapitel.

Von den 45885 B muͤßte man aufs neue
4 5855ò ſuchen, wenn man den Quotienten noch ge⸗
nauer haben wollte. Aber bis auf die hingeſchrie⸗
benen Tauſendtel iſt er ſicherlich ſchon richtig. Denn
der groͤßte von den fehlenden Theilen waͤre nur

T3 65 · T†T38686 =— Tr855S5ο alſo noch kein
156

14 866 lange; ſo wird man fuͤr
9954 4 3663. mehrere Ziffern nur die

10000 4,8663 . . . Stellen durch Puncte be⸗

400 192.‧.‧ ... zeichnen.
6 24 „ „
4,8879
*§. 830.

Aus der Buchſtabenrechnung iſt ſehr bekannt,

A 4 a n an n ann n

dzen d d dJ ad d t ddd A .

und dem gemaͤß habe ich obiges Verfahren einge⸗

richtet; indem ich mir unter d den Huͤlfsdiviſor, und

unter n die Zahl dachte, um welche der gegebne

kleiner iſſt.

Iſt dagegen der gegebne Diviſor um etwas

groͤßer als die zum Huͤlfsdiviſor bequeme Zahl, ſo
muͤßte man nach folgender Reihe verfahren:

2 2 a n 1an n ann n
dn d d H qd d dad d“
Indeſſen

6

2

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Vorheilhaftes Dioidiren. 101

Indeſſen iſt das Dividiren durch 102; 1005;
1o0os u. dergl. ohne dies ziemlich leicht.

O. 83 1.
Anmerk. Allerdings wird nun, was durch
obiges Verfahren als Quotient gefunden wird, alle⸗
mahl Deeimalbruͤche angeben, auch i in denen Faͤllen,
da der ganz genaue Quotient eine ganze Zahl aus⸗
macht. Indeſſen wird man z. B. in der nebenſte⸗
henden Rechnung, durch

998 16,966 die vielen gnen ſchon daran
1000 16,966 . . . eerinnert, daß der Quoti⸗

67864 und man braucht dann nur
den Diviſor durch 17 zu
106,999999 multipliciren, um daruͤber
gewiß zu werden.

33932.. . ent etwa 17 ſeyn moͤchte;

Zweny und dreyßigſtes Kapitel.

Von den Stufenbruͤchen.

*§. 832.
Jrder aͤchte Bruch der nicht ſelbſt einen einzelnen
Theil, wie ½, 4, us, 22 u. dergl. ausmacht,
muß doch zwiſchen zwey naͤchſte Glieder der fol⸗
genden Reihe fallen:

1 1 1 1
1, 2 2, +, 4, †, E, 7/8/ 5„„ 15 , r, 2, 1;. u. ſ. w.

Um zu finden, zwiſchen welche er falle, ver⸗

fahre man mit ihm, als ob man ihn durch ſeinen

G 7 Zaͤhler

2 Zwepy und dreyßigſtes Kapitel.

Zaͤhler aufheben wolle. Dadurch ergiebt ſich z. B.
bey dem Bruche 2¾, daß er dem Doppelbruche
2

gleich, folglich kleiner als 2 und groͤßer als 3 iſt.

*§. 833.

Engere Graͤnzen, als dieſe beyden, werden nun
fuͤr den vorgegebnen Bruch 2, auf dieſer erſten
Stufe des hieſigen Verfahrens nicht gefunden: weil
dabey 1) verlangt wird, daß man die Graͤnzen nur
durch einzelne Theile (*§ 832) beſtimme; und
dieſes haͤngt damit zuſammen, daß man nur durch
den ganzen Zaͤhler dividirt, und gleichſam aufzu⸗
heben ſucht. Wird nun, ebenfalls der ſichern Ord⸗
nung wegen, uͤberdies auch 2) feſtgeſetzt, daß man
nur von der hoͤchſten Graͤnze Gebrauch machen
ſolle; ſo hat man von den vorhin gefundenen beyden
Graͤnzen nur zu bemerken, daß fuͤr 3 ¾, unter den
einzelnen Theilen, ½ der naͤchſtgroͤßere ſey.

*§K. 834.

Nach dieſen beyden Bedingungen wuͤrde alſo

der Bruch ., der doch einen Theil des Nenners in

— ausmacht, geradezu weggelaſſen! Das

verurſacht einen ziemlichen Fehler. Weniger wuͤrde

ich doch ſicherlich fehlen, wenn ich die Groͤße 7 72
nicht ſo ganz aus der Acht ließe, ſondern wiederum
von denen beyden naͤchſten einzelnen Theilen, zwi⸗
ſchen welche ſie faͤllt, den groͤßten gebrauchte. Um
ihn zu finden, wird nun auch der Bruch 2 ſo behan⸗
delt,

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Ule. Dodn

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Von den Stufenbruͤchen. 103

delt, als ob man ihn durch ſeinen Zaͤhler aufheben
wolle. Dadurch ergiebt ſich, daß 1½ = iſt,

zwiſchen ½ und faͤllt, und ¼ der naͤchſigroͤere
einfache Theil iſt.

*§. 835.

1 1 .
Da nun 32 = — ganz genau iſt;
2—.& 21 ganz 9 ſt;

4
4 7

ners, kleiner ſeyn 32¾: ſicherlich aber iſt es um

weniger von ½ verſchieden, als es das bloße ½ war.

Denn da 2 und ½ nur um =s verſchieden ſind,
und *2 zwiſchen beyde faͤllt; ſo muß der Unterſchied
zwiſchen und *12 noch kleiner als 3*, zwiſchen
und o aber noch groͤßer als ſeyn; muß alſo ½ ſtatt
7 gebraucht, der Wahrheit naͤher bringen, als
wenn ich 1 geradezu weglaſſe.

Deas jzuerſt gefundene ½ 2 kann man als eine erſte
Stufe der Annaͤherung an 3½ betrachten, ſo macht

en eine zweyte aus, bey deren Erſteigung

ebenfalls die beyden Bedingungen des vorlegten . L
beobachtet ſind.

*§. 836.
Um das bisherige Verfahren und deſſen fernere
Fortſetzung leicht zu faſſen, und in deutlicher Ordnung

zu erhalten, rathe ich auf ſaherde Weiſe zu ſchreiben:
32

*§. 837.

Man erhaͤlt naͤhmlich zur Annaͤherung⸗ an
nach und nach folgende Ausdruͤcke:

I. I. II. W. v.

*§. 838.

. um 1a zu klein iſt.

gen Fehler, wodurch er zu groß wurde, allzuſtark
erſeht, wenn man ¾ ſtatt * ſchreibt, da doch 772

Der

Der Iſte Bruch iſt zu groß, weil ſein Nenner

Der IIte Bruch iſt zu klein, weil man des vori⸗

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Von den Stufenbruͤchen. 105

Der IIIte Bruch iſt wiederum zu groß, weil
man des vorigen Fehler, wodurch er zu klein wurde,
allzuſtark erſetzt, wenn man 1 ſtatt ½ anhaͤngt, da

doch 3 nur = iſt.

1 ¾

Der IVte Bruch iſt wiederum zu klein, weil
man den vorigen Fehler allzuſtark erſetzt, wenn

man ½ ſtatt ¾ anhaͤngt, da doch 3 nur = iſt.
. E

Der Vte Bruch aber muß ganz genau ſeyn, weil
man hier wirklich auch den letzten Bruch , der

nun ſelbſt einen einzelnen Theil ausmacht, geradezu

gebraucht.

*§. 839.
Obige Stufenbruͤche auf reine Bruͤche
zuruͤck zu bringen.

Der IIte Ausdruck iſt ein bloßer Doppelbruch,
den wir ſchon nach § 689 auf einen reinen Bruch

iuruͤchzn bringen wiſſen. Er giebt dann .

Im IIIten, IVten und Vten Ausdrucke wird der
Nenner immer weiter und weiter gebrochen. Ich
will hier nur den letzten auf einen reinen Bruch ſo
zuruͤck bringen, daß man das naͤhmliche Verfahren
allgemein gebrauchen kann. Es iſt naͤhmlich nach
und nach

7

G 5§ 1

1 1 1 1
2 †+† 1 2 †+ 1 2 + 1 2 + 1
4 †1 4 † 4 + 4 †
1I †+ 1 I + 1 1 † ¼
1+4 *†
1 1 1 1 32
2 †+ 1 2 1 24 ½ 171

Wenn man eben dieſes Verfahren ben III und
IV anwendet, ſo wird man dabey auf r und 225
hinauskommen: Und hat nun fuͤr die Bruͤche
unter I1 II III IV und V in *§ 837.

die folgenden 2 4 Ir 2 5 .

Anm. Dieſes Verfahren iſt zwar etwas muͤhſam,
aber leicht zu behalten. Daher ich allen, die mit der⸗

gleichen Stufenbruͤchen nicht ſehr oft und viel zu thun

haben, rathen moͤchte, unter den folgenden Fen diejeni⸗

gen, welche mit zwey Sternen bezeichnet ſnd, geradezu

zu uͤberſchlagen.

xerG. 840.
Kuͤrzeres Verfahren.

Wenn man nur I. II. III. IV.
von den Bruͤchen 3 ur 5 u. ſ. w.
den I. und II. hat, und ꝛ 4 1 1I u. ſ. w.
als den erſten, zweyten, dritten, vierten ꝛc.
Quoriemten kennt, (eigentlich als die ganzen

Jahlen,

.

lr, vei

pei ri
).

Chels

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Von den Stufenbruͤchen. 107

Zahlen, welche bey dem erſten, zweyten, dritten ꝛc.
dividiren nach *§. 836, in die Quotienten kom⸗
men): ſo kann man ſchon den IUIIten Bruch, aus

den beyden vorigen und aus dem dritten Quotienten,

auf folgende Weiſe finden.

Den Zaͤhler des IIten Bruches durch den dritten
Quotienten mulkxiplicirt, und zu dieſem Producte
den Zaͤhler des Iten Bruchs addirt, giebt den Zaͤh⸗

ler des UIten Bruches.

Ebenfalls auch den Nenner des IIten Bruches
durch den dritten Quotienten multiplicirt, und zu
dieſem Producte den Nenner des lten Bruches addirt,
giebt den Nenner des IIIten Bruches.

Eben ſo wird dann ferner, aus dem IIIten und
Ilten Bruche und dem vierten Quotienten, der IVte
Bruch gefunden; u. ſ. w.

Anm. Nur fuͤr ſolche Leſer, welche mit den Aus⸗

druͤcken und 2 ſchon bekannt ſind, will ich anfuͤhren,
daß dieſe als zwey erſte und aͤnßerſte Graͤnzen allemahl,

fuͤr jeden vorgegebenen Bruch, angeſetzt, und bey dem
eben gewieſenen Verfahren als zwey vorangehende Bruͤche,
2 als der vorerſte, und ½ vorvorerſte, ſo benutzt werden
koͤnnen, daß man aus ibnen beyden und der ganzen Zahl
des erſten Quotienten ſchon den Iten Bruch, und dann
aus dieſem und dem vorerſten nebſt der ganzen Zahl des
zweyten Quotienten, ſchon den IIten Bruch finden kann.

**§. 841.

Die Bruͤche unter I, II, III, IV im letzten

und vorletzten §. ſind nun mit den Ausdruͤcken unter

108 Zwey und dreyßigſtes Kapitel.
le, Ve G

I, II, III, IV in § 837 von gleicher Groͤße, und en derlie
haben demnach mit jenen die Cigenſchaft gemein, e (Gi
daß ſie dem vorgegebenen Bruche ½½ immer naͤher

und naͤher kommen. Man kann ſich die Art ih⸗ W
rer Annaͤherung et⸗ ½ 4 d
naa nach beyſtehen: ⸗ „ iniſdn
dem Bilde verſinn⸗ 35 zriſ
lichen. 22 a lihr
lis anſdie
Naͤhmlich ½ und 1 ſind zu groß aber niche
uwnmnm ſo viel, als es ½ iſt; lrter
l

4 und und 2 ſind zu klein , aber ⸗ 28 nicht um (hn nlinn

ſo viel, als es β iſt. “ n Re, hnn
Auch trifft r ſchon naͤher als „und 235 noch W elten
genauer als *†. f
Ueberdies kann man vetſichert ſeyn, daß es öIng
auſſer dieſen Bruͤchen keinen andern giebt, deſ/ſen X

Nenner zwiſchen die Nenner (oder deſſen Zaͤhler
,7 zwiſchen die Zaͤhler) von zwey naͤchſten jener Bruͤhe —
fiele, ohne von der Wahrheit noch mehr abzuwei⸗ ſr
chhen, als der unwahrſte von jenen beyden. B

*§. 842.

Durch die Kenntniß dieſer Bruͤche ſind wir al/ſo Nenichn
in den Stand geſetzt, daß wir ſtatt eines vorgegee⸗. Muhndi
benen Bruches einen von ihnen gebrauchen koͤnnen.
und zwar einen, der nur wenig, oder einen andern, —
der etwas mehr von ihm abweicht, je nachdem es
uns mehr um einen noch ziemlich genauen, oder mehr *
um einen ſehr deutlichen Ausdruck zu thun iſt. Auch
wird es bisweilen lieb ſeyn zu wiſſen, daß der lIte,
IIIte,

Von den Stufenbruͤchen. 109
Griß 4 IIIte, Vte Bruch u. ſ. w. etwas zu groß, und da⸗
heſt “ gegen der Ute, IVte, VIte u. ſ. w. etwas zu klein
inmane ſind. (So viel kann uns das Verfahren in §. 808
delhs und 809 nicht gewaͤhren.)
Um die letzte Verſicherung des *§. 8411 zu be⸗
gruͤnden, hat man Betrachtungen noͤthig, auf die

ich mich hier nicht einlaſſen kann. Alles uͤbrige wird
3¹ aus dem bisherigen Vortrage ſelbſt ſchon einleuch⸗
ten; bis auf die Verkuͤrzung in **. 840. .

Um deren Richtigkeit etwas allgemein zu uͤber⸗
ſehen, wollen wir die ganze Zahl im Quotienten und
den Reſt, beym erſten Dividiren durch 4 und r.
n e beym zweyten durch q und r : ‚ꝓbeym dritten
durch q und r... u. ſ. w. bezeichnen: ſo iſt

Z.
jeder Bruch Lanz genau

— 1 1 u. ſ. w.
nthe onete A r. — d — 1
R 7 4 T 4†—
Cen r 4 „„. +I
e Ziemlich nahe, und immer naͤher und naͤher,
nn kommen ihm die Ausdruͤcke
nin 11 1 —
nen qg. g. r A r —- A
tusdmen6 4. 9˙˙† — 4——
, Cder ne⸗ . 9 „ „ 9· P1
v N Der
N

1 10 Zwehy und dreyßigſtes Kapitel.

Der te hat ſchon die Geſtalt eines reinen Bru⸗
ches, da ſein Nenner q' eine ganze Zahl bedeutet.

Er bleibt daher unveränderten⸗ .

Der IIte kann nach §. 689. auf den reinen

Bruch —— — gebracht werden.
ch. gebracht

Da nun der IIIte Ausdruck vom IIten nur
darin verſchieden iſt, daß in ihm noch — an 4.:
haͤngt; ſo muß der IIIte auch ſeyn =
: 4

alſo Zaͤhler und Nenner
4·4· †+ 1 † 4· ...
q * + 1

1

durch 1 * multiplicirt, auch⸗

Da ferner der IVte Ausdruck vom IIIten nur

*°% %

darin abweicht, daß in ihm noch = an 4.**

haͤngt; ſo muß er auch ſeyn =

4 q † 1 † 4 * —

ͤ 4 †. 0
(ꝗq·· ꝗ· * + 1) 9q‧ + q“
(A4 q" T I q- T† ) q:. T (q- 1 5
Durch

(ꝗ- q- T 1) 4.. T d.

.
Durch

llen un
ſnin .

N ge⸗

Pnpſerdru

ſiß eſengs
ſegehgen
ſeben ſoch
ſſonn

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1
Renſenen

ſ inen

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4
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Krofahe

4 apun Rec

ſite ſh
i⸗ eiBrice
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frNen

1

tenenda

glucde.

den in

n IHIe

— 0
4

eund Pre

Von den Stufenbruͤchen. 111

Durch die hier gefundenen letzten Formen fuͤr
den liten und IVten Ausdruck wird nun das Ver⸗
fahren in *§. 840. beſtaͤtigt.
*§. 844.
Mit Fleiß habe ich das Verfahren, wodurch
die Stufenbruͤche nach *§. 836. gefunden werden,
gleich anfangs ſo vorgeſtellt, als ob man dabey den
vorgegebnen Bruch durch ſeinen eignen Zaͤhler auf⸗

zuheben ſuche; darauf den Bruch, welcher da⸗
bey entſtanden iſt, wiederum durch ſeinen Zaͤhler

aufzuheben ſuche, und ſo weiter fort; bis man end⸗
lich auf einen Bruch kommt, der ſelbſt einen ein⸗
zelnen Theil ausmacht, ich meyne, eine 1 zum
Zaͤhler hat, alſo dadurch, daß man ihn durch ſeinen
Zaͤhler aufzuheben ſucht, nicht weiter veraͤndert wird,

und o zum Reſte giebt.

Findet ſich aber unter dieſen nach und nach ent⸗
ſtehenden Bruͤchen einer, der ſich wirklich durch ſeinen

Zaͤhler aufheben laͤßt, indem dieſer mehr als wiſt, und

doch den Nenner ohne Reſt dividirt, wie der Bruch
* ½ in folgendem Beyſpiele:

169 I
45 2 ¼½ — —
169 1 + 1
4471 2 +¼ 1 1
M 52 4 †
ſo iſt dies ein Beweis, daß ſich der vorgegebne
Bruch ε ſelbſt noch aufheben laͤßt; und zwar wie
1½ ebenfalls durch 13. WUM
Denn

112 Zwey und dreyßigſtes Kapitel.
Denn der Ausdruck 1I

1T 1
2 †+ 13

muß, wie aus ſeiner Entſtehung klar iſt, etwas
eben ſo großes als der Bruch 4½ 2 bedeuten; und
wird auch auf einen reinen Bruch zuruͤck gebracht,
gerade den Bruch ½2% wieder geben.

Da nun aber ½ gerade eben ſo viel iſt als ½2; .
ſo wird ½ ſtatt in den vorigen Ausdruck geſchrie⸗

ben, einen andern geben der noch eben ſo gut, wie
der vorige, = ½ 6% iſt. Gleichwohl wird der ſo
veraͤnderte Ausdruck auf einen reinen Bruch zuruͤck⸗

gebracht, fuͤr Zaͤhler und Nenner 13 mahl kleinere

Zahlen angeben, als der vorige. (Das erhellet
aus den beyden letzten Ausdruͤcken in *§. 843.
Denn das dortige q: wird hier entweder = 52,
oder = 4, je nachdem man gier z 2 oder ½ ſchreibt;
und durch q muß der Zaͤhler und Nenner des
dortigen vorletzten Ausdruces multiplicirt werden,
um den letzten, als einen reinen Bruch zu erhalten.)

*S. 845.

In der That ſind die Diviſionen, wodurch
wir hier zu dem Aufheber 13 gelangt ſind, mit

denen einerley, wodurch wir ihn oben in §. 471.
fanden. Indeſſen gewaͤhrt uns der hieſige Zuſen.

menhang einen neuen Vortheil. Wir wiſſen naͤhm⸗

lich nunmehr von dem ſo behandelten Bruche ½

nicht

l

tur,t
ſedan

ierken,
uß, ⸗
mt niher
llleawe
bnngerz,
i Günun
irt anſe

Bute run

1 un hdn

Der B
nn Ceie
ke gerin de
36 l ſcril

Aionn
ete 6. de⸗

inet fuhen

N chen

Von den Stufenbruͤchen. 113

nicht nur, daß er ſich durch 13 aufheben laͤßt; wel⸗
ches dann ½ giebt, und unter den Bruͤchen

I. II. III. IV.

4 * SZ, die man nach §. 840.
finden kann, den letzten ausmacht: ſondern wir wiſ⸗
ſen auch, daß die drey vorhergehenden dem gegebnen
immer naͤher und naͤher kommen; und daß der Ite
und IIte etwas zu groß, der IIte etwas zu klein iſt,
und weniger zu klein, als der erſte zu groß iſt. Wir

wiſſen alſo nun, daß wir etwa 3¾ oder allenfalls auch

oder ½ anſtatt ½D zu gebrauchen haben, wenn es
uns mehr um einen deutlichen als um einen ganz ge⸗
nauen Ausdruck zu thun iſt.

*§. 846.

Der Bruch 122⁄%¾ (welchen Lambert, Bey⸗
traͤge II. Seite 61. gebraucht) iſt ſehr geſchickt, um
Anfaͤnger in dem obigen Verfahren zu uͤben. Nach
*H. 836. ſchreibt man dabey folgendes:
216 1

1147 5 + 67 1
216 3 †15 1
67 1111
X5 2 †+ r.
7 70.
Daraus nimmt und findet man, wenn man nach
**§. 840. verfahren will, von den folgenden fuͤnf
Stufenbruͤchen, nur die beyden erſten,
Buſſ. Rechenb. 2. Theil. ◻ I.

114 Zwey und dreyßigſtes Kapitel.

53 3.4 %1 13 13. 2 † ê5 29 29,7 + 13 21¹6

— — —— —— —

16 16. 1+ 5½ 69 69. 2 % 154 154.7 + 69 1147

ſchreibt ſich 2 „ als den
dritten, vierten und letzten Quotienten hin, und findet
dann den IIIten IVten und Vten Bruch.

Die Auffindung des letzten dienet zur

Probe, zum Beweiſe, daß man auch fuͤr die vori⸗
gen richtig gerechnet habe.

Anmerk. Wer die Anmerkung zu *⸗ g. 840.
bemßhen will, findet ſchon I. und II. auf folgende
Weiſe.

Vorvor I. Vor 1

indem er auch ſchon 5 und 3, als den

erſten und zweyten Quotienten zu gebrauchen hat.

Ein anderes nuͤtzliches Beyſpiel.

Nach Gerhardts Comtoiriſten iſt eine Rhein⸗
laͤndiſche Ruthe = ¾2 der Churſaͤchſ. Ruthe, und
ich habe dieſe Angabe nach Erfahrung und Verſu⸗
chen richtig befunden. Gleichwohl iſt es ſehr ge⸗
woͤhnlich, ſtatt des vorigen Bruches den leichtern
zu gebrauchen. Aber nach *§. 836. verfahren hat
man hier

Unitlueg
ummnn po
iri u
Nhipen4

ſc bran
ſen Buu

i B.

1

1 1

——-

1.7 6,

7, dsden

1 und t

un flgen

Von den Stufenbruͤchen. 115

33 57 S
8 und daraus die Stu⸗
fenbruͤche und?! und!
1 ⅓ 1TXIK
8 8 † † †
Der mittlere giebt den reinen en Bruch 5½, und dieſen
kann man wohl gebrauchen, wenn es um einen leich⸗

ten Bruch zu thun iſt. Er iſt nur um 5o zu groß;

da hingegen ½ um ½nò zu klein iſt.

*§. 847.
Ich brauche kaum zu erinnern, daß der vor⸗

gegebne Bruch auch ein Decimalbruch ſeyn kann.

er ſey z. B. 133 ſo hat man fuͤr ihn

—

I45 1

I 1126 1

4; 5T/S
26 1I †r 1
15 141
1 S 1

I. II. II.. IVv. v. vI. VI. VlIII.

½ y. Tr * 13 25 1.

1 5. T 1 2 1 3‧

H⸗2 Drey

116

Drey und dreyßigſtes Kapitel.

Von den Proben vermittelſt des Neun⸗
und Eilffachen.
(Fortſetzung des 10ten Kapitels.)
*§. 848.
Probe der Diviſion *).
1.

Wenn der Quotient eine ganze Zahl iſt,

z. B. Diviſor 25, Divid. 10325, Quot. 413, u. deren

ner P. Zahl. (7 (2 (8 ſind,
ſo ſage man: 7 mahls iſt 56, dieſes Productes Pz. 2.

Des Dividenden Pz. iſt nun ebenfalls 2.

Oder waͤhlt man die Probezahlen durchs 11fache
ſo hat man (3 (7 (6
ſagt alſo: 3 mahl 6 iſt 18, Pz. 7.
Des Dividenden Probezahl iſt nun ebenfalls 7

II. Wenn im Quotienten ein Bruch vorkommt,.,

er mag ſchon aufgehoben ſeyn oder nicht,
Z. B. Diviſor 250, Divid. 43522, Quot. 194
oner Pr. Zahlen (7 (3 (52
ſo ſage man: 8 mahl 5 iſt 40, dazu iſt 42, Pz. ⁵⁶;
6 mahl 7 iſt 42 und deſſen Probezahl 6.
Ferner:
*) Sie kommt freylich ſchon in *§. 269. §. 284
und 285 vor; aber ich wiederhole ſie hier, weil
ich oft darauf zuruͤck weiſen muß.

—

ohe

nrt 81
Cenfells

ſil

h un gwe

II. VP.
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lii,

41,,A Nen

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maͤenics

Proben durch das 9⸗ und 11fache. 117

Ferner: 8 mahl 3 iſt 24 und deſſen Probezahl
ebenfalls 6. “
Im folgenden Beyſpiele ſind die Probezahlen
durch 11 gewaͤhlt.
Diviſ. 81, Dividende 55563, Quotient 68 525
4) 2) 3 ¾)
und man ſagt: 5m mahl 3 iſt 15 und 4 iſt 19, Pz. 8;
8 mahl 4 iſt 32, Pz. 10.
Ferner: 5ömahl 2 iſt 10, u. deſſen Pz. ebenfalls 10.

III. Wenn des Diviſors Probezahl durchs
gfache wird, ſo beſtimmt ſie gar nichts fuͤr die
Richtigkeit der ganzen Zahl im Quotienten und des
Zaͤhlers in ſeinem Bruche; daher man dan
aus dieſem Grunde die Probezahlen des 11 fachen
zu waͤhlen hat, wenn des Diviſors Probezahl nicht

dabey ebenfalls o wird. .

IV. Wenn dagegen des Diviſors Probezahl
durch 11, aber nicht die durch 9 ebenfalls o wird,
ſo muß man die letztern gebrauchen.

*§. 849.
Probe eines aufgehobenen Bruches.
Will man wiſſen, ob wirklich 12 = ¾ ſey;
ſo multiplicirt man des erſten Zaͤhlers Probezahl 8
durch des zweyren Nenners Probezahl 7, giebt

56, deſſen Pz. 2 iſt. Darauf multiplicirt man

des erſten Nenners Probezahl 4 durch des zwey⸗
ten Zaͤhlers Probezahl 5, giebt 20, deſſen Pz.

ebenfalls 2 iſt. S
1I 3 Gebraucht

*

11 8 Drey und dreyßigſtes Kapitel.

Gebraucht man die Probezahlen durchs rrfa
che; ſo betr man hier:
3 mahl 7 iſt 21, Pz. 10.
2 mahl 5 iſt 10, Pz. ebenfalls 10.
Anm. Wenn des erſten Bruches Zaͤhler (oder
Neuner) eine o zur Probezahl giebt; ſo wird dadurch
fuͤr die Richtigkeit des Nenners (oder Zaͤhlers) im an⸗
dern erleichterten Bruche nichts beſtimmt; daher man
zur Vermeidung ſolcher olen, bald durch 11, bald durch

9 probiren muß. Wenn beyde Probearten ſowohl fuͤr

Zaͤhler als Nenner eine o gaͤben, ſo waͤren ſie beyde ohne
allen Nutzen.

Probezahlen von Producten aus mehrern
Factoren.

Sollen die Zahlen der folgenden erſten Saͤule
in einander multiplicirt werden; ſo verfahre man

mit ihren nebenſtehenden Probezahlen, wozi hier
die durch 11 gewaͤhlt ſind, auf

32 10 folgende Weiſe:
4 9 10 mahl 9 iſt 90, Dzʒ. 2.
1 5½ 4] 2 mahl 4 iſt 8, Pz. 8.

Dieſe 8 iſt nun die Probezahl des Productes
3297 .‧ 15.
Eben ſo in folgendem Beyſpiele
2486 kann man ſagen:
16 mahl 1iſt 6, Pz. 6
286 6 mahl 6 iſt 36, Dz. 32
2412] 3 mahl 2 iſt 6, Pz. 6.

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aa
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2 44

ahler (
bin Mn

ſten Ei
ſſet⸗

4 ð

Proben durch das 9⸗ und 11fache. 119

und dieſe 6 iſt nun die Probezahl des Productes

248. 1. 28. 24. Marn ſieht aber ſogleich, daß
die Probezahl 1, weil ſie gar nichts aͤndert, gerade
zu kann weggelaſſen werden.

*§. 851.
Probe der Kettenregel.

Fuͤr die Aufgabe: 97 f koſten 28 56, wie
viel koſten 16 ¾ Loth, wird man nach Ein⸗
richtung des Bruches und Verſetzung des
Zaͤhlers

folgende Saͤulen erhalten. Die Probezahlen jeder

— l 248 Loth Saͤule 8 und 6 werden wir im

32 — 1 £ vorigen §. gefunden „und darun⸗
97 — 28 erb ter geſetzt. Unter der Antwort

1 — 24 ſtehen die Probe⸗ 4
15 Antw. 32 ¾ . zahlen, wie un⸗
8) 6) 38) ter dem Quotienten

in *§. 848. II, und

es wird td nunmehr auch gerade wie dort verfahren; da

allerdings die Antwort des Kettenſatzes dem Quo⸗
tienten gleich ſeyn muß, den n an erhalten wuͤrde,

wenn man mit dem Producte der linken Saͤule „ in

das Product der rechten gerade zu dividirte.

Alſo ſagt man: 1 mahl 3 iſt 3 und 6 iſt 9, Pz. 33

9 mahl 8 iſt 72. Pz. 6.
Ferner: 1mahl 6 iſt 6, Pz. ebenfalls 6.

120 Drey und dreyßigſtes Kapitel.

*§. 852.
Anmerkungen.
1) Beſteht die Antwort in einer reinen gan⸗
zen Zahl, ſo wird die Probe noch leichter nach
*§. 848. I.
2) Iſt die Antwort ein reiner Bruch; ſo hat
man ſie als den erleichterten Bruch zu betrachten,
der durch Aufhebung desjenigen entſtanden iſt, worin

das Product der rechten Saͤule den Zaͤhler und das

Product der linken Saͤule den Nenner ausmacht:
alſo nach §. 849. zu verfahren.
3) Wegen Vermeidung der olen in den Pro⸗
bezahlen gelten alſo auch hier No. III und IV. aus
*§. 848. und die Anm. in *§. 849.
4) Die Proben verſichern nur, daß beym
Aufheben, Multipliciren und Dividiren der probir⸗
ten Saͤulen, um kein 9⸗ oder 11faches gefehlt ſey.
) Man kann wohl rathen, ſie erſt fuͤr die
Jahlen zu gebrauchen, welche nach vollen⸗
deter Aufhebung uͤbrig bleiben, ſo oft dieſe
groß ſind, und ſchwierige Multiplicationen und Di⸗
viſionen verurſachen. Beym Aufheben wird ja ein
geuͤbter Rechner nicht leichte fehlen. è
6) Faſt alles bisher geſagte ſetzt voraus, daß
der Nahme der Antwort mit dem Nahmen

des Fragegliedes noch voͤllig einerley ſey; alſo

nicht etwa der eine und der andere A, oder

und enthalte. Im Gegenfalle werden die Pro⸗

ben oft gar ſehr verwickelt; doch findet man daruͤber
etwas in *§. 856.
“õl *§. 853.

In
ſomtrrh
Noepet
Ne, und wi
pwort

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ent,N

Nahm
4
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de⸗ *

endeie

gender Aufgabe

Proben durch das 9⸗ und 11fache. 121

*§. 853.
Probe der Regel de tri oder waͤlſchen
. Practik.
Man gebraucht dabey die Probegroͤßen be⸗
nannter Zahlen, (m. ſ. *S. 27 1 ꝛc.) und ſorgt dafuͤr,
daß die Probezahlen des erſten und dritten Glie⸗
des, und wiederum des zweyten Gliedes und der
Antwort einerley Nahmen fuͤhren.

So hat man fuͤr die

Aufgabe: 6 6g: 4 18 = 19 f? Antw. 15 6 1 3

die Pz. *) ( (4 . (S (9 3
Nun ſage man: 6 mahl 9 iſt 54, Pz. 10.
Ferner: 4 mahl 8 iſt 32, Pz. ebenfalls 10.

*§. 854.
Kommt ein Bruch vor, ſo betrachte man deſ⸗
ſen Nenner als den Mahmen einer geringern
Sorte, und ſorge dafuͤr, daß die Probezahl des
zweyten Gliedes eben denſelben Nahmen fuͤhre,
(m. ſ. *§. 276). Alſo denkt man ſich bey fol⸗

H 5 23 *6:

)) Naͤhmlich die Probezahlen durch 11. Beym 2ten

Gliede heißt es: 1 (haͤlt 24 , alſo uͤbers
11fache 2 36) giebt in der Probe 2 , 4 *0
geben alſo 4 mahl 2, d. i. 8 9'7; dazu 18 46,
oder deren Pz. 7 9t, giebt 15 , deren Pz.
4 iſt. Beym 3ten Gliede ferner: 1 5 hal⸗
ten 4 Probethaler, alſo 4 mahl 2, d. i. 8 Pro⸗
begroſchen; dazu 1 , giebt 9 Probegroſchen.

122 Drepy und dreyßigſtes Kapitel.

23 *6: 2 Ballen 6 Rieß = 280 t2 Antw.
31 Ballen 6 Rieß 10 ½2% Buch,

die Antwort als 31 Ballen, 6 Rieß, 10 Buch

10 Drey und zwanzigſtel Buch.

Bey Auffindung der Probezahlen durch 11 heißt es
nun: 31 Ballen geben 9 Probeballen, und dieſe
halten (da 1 Ballen 10 Proberieß haͤlt) 90, alſo
2 Proberieß; dazu 6 Rieß giebt 8 Proberieß.

Dieſe halten (da 1 Rieß, als 20 Buch, noch

Prrobebuch haͤlt) 8 mahl 9, d. i. 72, alſo 6 Pro⸗

bebuch; dazu 10 Buch, hat man 16, alſo 5 Pro⸗

bebuch. Dieſe halten (da 1 Buch nun 23 Drey
und zwanzigſtel Buch, alſo 1 Probe⸗23ſtel⸗Buch
haͤlt) auch 5 mahl 1, d. i. 5 Probe⸗ 23ſtel⸗Buch,
dazu noch 10, giebt 15, alſe 4 Probe⸗23 ſtel⸗Buch.
Eben ſo findet man fuͤr das zweyte Glied 3
Probe⸗2 3ſtel⸗Buch.
Uebrigens verfaͤhrt man mit den Probezahlen
ci e (3 23ſtel⸗Buch (56 (4 23ſtel⸗Buch,
wie vorhin, ſagt alſo: 1 mahl 4 iſt 4, Pz. 4
Ferner: 3 mahl 5 iſt 15, Pzʒ. ebenf. 4.

*S. 85. 4

Anmerk. Dieſe Behandlung wuͤrde hinrei⸗

chen, wenn auch in allen 4 Gliedern (die Antwort
macht das Ate aus) Bruͤche vorkaͤmen; doch unter
der Bedingung, daß die beyden im erſten und drit⸗
ten, und wiederum im zweyten und vierten Gliede
einerley Nenner haben. Wenn das nicht Statt
ſnder ſo wird das Verfahren noch muͤhſamer. .
*§. 85

g⸗

Nulrl
nigerben
ſetenegebe
rennſin
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mer⸗

Preben durch das H9⸗ und 1 fache.
55. 856.
Natuͤrlich koͤnnten die Aufgaben, welche wir

in vorigen beyden Fen probirt haben, auch nach der

Kettenregel berechnet worden ſeyn, und dennoch eben
ſo wie vorhin probirt werden. Daraus erhellet, wie
man beym Probiren der Kettenregel zu verfahren
ſuchen muͤßte, wenn man ſich auf die Vorausſetzung
in *§. 852. No. 6. nicht einſchraͤnken wollte. Man
muß ſich dabey die Aufgabe als fuͤr die Regel de tri
angeſetzt vorſtellen. Wenn aber dann die Probe⸗
zahl des erſten und dritten, oder des 3ten und 4ten
Gliedes wohl ſogar durch verſchiedene Geldarten,
oder Waͤhrungen, fremde und einheimiſche Maße
u. dergl. hindurch zu fuͤhren waͤre, bis ſie einerley

wmuͤrden; ſo koͤnnte die Arbeit aͤußerſt verdruͤßlich

werden.

*§. 857.

Bey der Baſedowiſchen Regel halte ichs auch
fuͤrs rathſamſte, bloß die Saͤulen zu probiren; und

zwar nach *§. 852. No. 5, und unter der er dortigen

Einſhrankung.

Vier

Vier und dreyßigſtes Kapitel.

—

Erinnerungen uͤber ſehr gewoͤhnliche

Verfahrungsarten bey der ſogenannten Ket⸗
tenregel und den Reeſiſchen Anſaͤtzen.
I.

Da das Product! einer Saͤule durch die verſchie⸗
dene Ordnung ihrer Glieder nicht geaͤndert
wird; ſo muß der folgende zweyte Anſatz mit dem
erſten einerley Antwort geben.
1 2

— Fl. 8 Loth. — Fl. 8 Loth
32 Loth 1 G 9 ρ 4 *X
9 G rC 4*0 32 Loth 1
2 ι 3 Fl. 2 3 Fl.

. II. Bey dem zweyten befolgt man, ſtatt der
Verkettung im erſten, nur die Regel: daß je der
Nahrme in der einen Saͤule eben ſo oft vor⸗
kommen muͤſſe, als in der andern.

III. In Ruͤckſicht auf dasjenige, was ich hier
zu ſagen habe, muß ich unter allen Aufgaben, die

man gewoͤhnlich nach der Kettenregel zu behandeln V

glaubt, ganz gemeinfaßlich unterſcheiden,

a) diejenigen, die ſich ganz bequem durch lauter

Saͤtze ausdruͤcken laſſen, worin entweder nur
zwey Zahlen erwaͤhnt werden, oder doch jede
uͤbrige Zahl ſchon als ein Nahmentheil (als Be⸗
ſtimmung

Eii

ſimmun
hetechte
Aslage
Kopitalg
ventiorege
3 lh n

e 737 5

en er

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t, gehe
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ſſien.

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itt gint
ſis nidn

—
☛

S

☛e 6

1, ſutt
daß
ſoſ wo

—

Erinnerungen uͤber Kettenſatz ꝛc. 125

ſtimmung einer Einheit) jener beyden Zahlen
betrachtet wird. Dergleichen Saͤtze ſind: 100 6
Auslage verurſachen 120 . Einnahme; 100
Kapital geben 5 * Zinſen; 20 Gulden Con⸗
ventionsgeld gelten 21 Gulden Preuß. Current;
32 Loth machen 1 aus; 67 Ducaten halten
Ine 23 ¾ Karat feine Goldmark; wie viel Fl.
koſten 8 Loth? *)

b) Zu den uͤbrigen, wobey dieſes nicht Statt ſin⸗

det, gehoͤrt z. B.: 100 6 Kapital geben 5 E*
Zinſen in 1 Jahre, wie viel Zinſen geben 80 .
Kapital in 7 Monathen?

Am natuͤrlichſten wird doch wohl dieſe Aufgabe
durch die beyden angefuͤhrten Saͤtze ausgedruͤckt, de⸗
ren jeder ſich ſchon auf 3 fuͤr ſich beſtehende Zahlen
bezieht; ob es gleich nicht unmoͤglich waͤre, ihre
Frage und uͤbrigen Beſtimmungen durch lauter
Saͤtze der erſten Art vorzuſtellen *). Die meiſten
Auf⸗
*) Die Logiker erlauben mir wohl, in dieſem Re⸗
chenbuche auch bloße Fragen mit dem Nahmen ei⸗
nes Satzes zu beehren; da ich es damit doch lange
nicht ſo arg mache, als faſt alle meine Bruͤder,
welche in einem einzigen Anſatze der Regel de tri
ſchon 3 Saͤtze zu haben glauben.

*) Naͤhmlich: wie viel ſiebenmonathliche Zinſen
giebt ein Kapital von 80 *τ, da 100 X Kapi⸗
tal giebt 5“ jaͤhrliche Zinſen, und 1 jaͤhr⸗
licher Zinſen Statt findet bey 1 *ν ſiebenme⸗
nathlicher Zinſen? Man ſieht leicht, worauf de
Kunſt⸗

—

1:2²6 Erinnerungen uͤber Kettenſatz lunn, d
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Aufgaben des 20ſten Kapitels ſind ſo beſchaffen, hißenſe
daß man ſie nicht, ohne viele unbequeme Kuͤnſteley, der
auf lauter Saͤtze der erſten Art bringen kann, ſon. u ſvli
dern am natuͤrlichſten durch Saͤtze ausdruͤckt, worin n, Nn
3 oder noch mehrere Zahlen vorkommen, deren keine ſterh
zum Nahmen einer andern gehoͤrt.

7
IV. Wenn man nun 1) die Regel in II, nur fRrn
auf die Aufgaben der erſten Art einſchraͤnken, und aril
ſich auch 2) die Zertheilung der Nahmen nicht enn
erlauben wollte, wovon in XV. deutlicher gehandelt ſinßen
wird; ſondern dabey verlangte, daß jeder, in Be⸗ tti
ziehung auf die Aufgabe vollſtaͤndige, Nah⸗ ig as i
me eines Gliedes der einen Saͤule auch eben inn
ſo, und eben ſo oft, als ein vollſtaͤndiger luor
Nahme eines Gliedes der andern Saͤule an⸗ en Ni
zutreffen ſey: ſo waͤre dieſe Regel zwar practiſc dne
wahr *), aber zugleich ſehr entbehrlich. Denn der .

Bequemlichkeit, welche bisweilen daraus entſtehen
kann, alin, 5
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Kunſtgriff beruht: die Beſtimmung einiger Zah⸗ ſſel daden
len wird dem Nahmen, der Einheit einer andern n de Ket

Zahl einverleibt. Eile
) practiſch wahr — in ſo fern ſie denjenigen, ſlichſte,n
der ſie mit gutem Willen gebraucht, in keinen Irr: ( Futene

ſal fuͤhret, ob ſich gleich manche Chikane dagegen Mmmen
erdenken ließe. Wenn man ſich ganz in die practi⸗ ce, ven
ſche Lage hineingedacht hat, ſo kann man es bis⸗
weilen uͤberſehen, daß jedesmahl, wo man eine
gewiſſe Regel gebrauchen wird, auch gewiſſe Um⸗ n
ſtaͤnde eintreten, welche den innern Mangel der lit,
Regel hinreichend erſetzen. Phale

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und Reeſiſche Regell. 127

kann, daß man ein Par etwa ſchon hingeſchriebene
Groͤßen ſogleich zu den Saͤulen ſelbſt nutzet, ohne

ſie der Verkettung wegen erſt verſetzen zu duͤrfen,

kann ſogleich die Bemerkung entgegen geſetzt wer⸗
den, daß die Erſparung in §. 525. nur bey voraus
geſetzter Verkettung Statt finder.
V. Es iſt aber dieſe Art, die Saͤulen ohne
Verkettung und doch im Glauben an die Kettenre⸗
gel anzuſetzen, ohne Zweifel aus einer andern Ab⸗

ſicht entſtanden. Die Kettenregel hatte das Schick⸗

ſal mehrerer andern Rechnungsformen, deren Nutzen
von praktiſchen Rechenmeiſtern mehr durch Erfah⸗
rung als Urtheil erkannt wurde; ſie ſollte etwas
werden, was man nicht fruͤher auffinden wird „ als
die Univerſalmedicein. Da ſich nun auch unter
denen Aufgaben, welche man vorzuͤglich beachtete,
die zweyte Art in III, gar nicht wollte einketten
laſſen *); ſo zerbrach man die Kette „ohne daran
zu denken, daß einzelne ganze, oder gar nur halbe
und Viertel⸗Glieder keine Kette ausmachen. Man
erhielt dadurch eine Rechnungsform, die den Nah⸗

men der Kettenregel gar nicht verdient, ſondern nur

etwa Saͤulenrechnung heiſſen ſollte. Denn der vor⸗
zuͤglichſte, und ich kann ſagen, weſentliche Nutzen
der Kettenrechnung beſteht in dem Kettenaͤhnlichen

Zuſammenhange des ganzen Anſatzes; und dieſer
findet, wenigſtens fuͤr die Rechner, welche deſſelben

vorzuͤglich

*) Zum Gluͤcke fiel man wohl nicht auf die Moͤglich⸗
keit, welche aus der Note auf der, vorletzten Seite
erhellet,

128 Erinnerungen über Kettenſatz

vorzuͤglich noͤthig haben, nicht ferner Statt, wenn
die zur Aufgabe gehoͤrigen Zahlen nicht wirklich, und
zwar vermittelſt ihres, in Abſicht auf alle ſie betref⸗
fenden Umſtaͤnde der Aufgabe vollſtaͤndig beſtimmten
Nahmens, nicht etwa bloß nach gewiſſen allgemei⸗
nen Begriffen, verkettet ſind.
vVljl. Aufgaben, wobey ſich dergleichen offen⸗
bare Verkettung nicht von ſelbſt darbietet, ſollte
man gar nicht nach der Kettenregel zu behandeln
ſuchen, oder irrig danach zu behandeln glauben.
Eine der einfachſten dieſer Art iſt folgende:

108 Weilen weit faͤhrt man 240 £ fuͤr

46 *c; wie viel Meilen muß man 160 fg fuͤr
40 * fahren?

In Herrn Schmids Rechenbuch findet man

dafuͤr Seite 202 den folgenden Anſatz *):

— Meilen) „00
46 x. [240 .

L108 Meilen.
H VII.
*) Ich fuͤhre hier und in der Folge gerade aus Herrn

Schmids Rechenkunſt, Leipzig, 1774.

die noͤthigen Beiſpiele an, weil ich dieſes Rechen⸗
buch fuͤr das beſte oder doch bekannteſte unter denen
halte, welche die Kettenregel gar zu allgemein
anwenden. Uebrigens weiß man, daß dieſer
wuͤrdige Mann auch von denen Achtung und Liebe
verdient, die ihn nur aus ſeinen Schriften zu beur⸗
theilen wiſſen.

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und Reeſiſche Regel. 129

VII. Mit der Bedeutung und Entſtehung die⸗
ſes Anſatzes ſind diejenigen bekannt, fuͤr welche ich
hier zu ſchreiben noͤthig glaubte. Sollten mir einige
ſeiner Vertheidiger folgendes,

— Meilen 40 ι¼.
46 X —. 240 G.
160 6. 108 Meilen.

als eine Kette vorlegen, worein ſich jene Aufgabe
bringen ließe; ſo haͤtte ich mit ihnen nichts weiter zu

reden. Ein Kektenſatz muß ja aus Saͤtzen beſte⸗
hen, und jeder Satz muß ſich leſen laſſen, und ſeinen

Verſtand haben. (§. 478).

VIII. Ein denkender Mann, wie Schmid war,
konnte freylich nicht dabey bleiben, daß es fuͤr Auf⸗
gaben dieſer Art auch nur practiſch zureichend ſey,
den Anſatz bloß nach der Regel in II. zu pruͤfen. Er
giebt in einem beſondern Abſchnitte, vom Ordnen
der Kettenregel, nur zu viele andere Regeln,
welche auch noch noͤthig ſind, und dennoch, ſeiner
eigenen Einſicht nach, wiederum noch eines neuen
Abſchnittes nicht entbehren konnten, worin nur Bey⸗
ſpielsweiſe gezeigt wird, daß man mehrere Aufgaben
nicht durch ſolchen Anſatz berechnen koͤnne. Aller⸗
dings giebt es Aufgaben, wofuͤr man einen falſchen
Anſatz machen koͤnnte, der gleichwohl ſeinen vielen,
und dennoch nicht hinlaͤnglich beſtimmenden Regeln
Genuͤge zu leiſten ſcheinen wuͤrde.
IX. Waͤren die Regeln, wonach man die Auf⸗
gaben der zweyten Art in III. nach der ſo genannten
Kettenregel ordnen ſoll, auch nur practiſch richtig,
und eines dem gemeinen Rechner ganz verſtaͤndli⸗
chen, uͤberzeugenden Vortrages faͤhig; ſo wuͤrde ich
Buſſ. Rechenb. 2. Th. 1 ſie, S

130 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz

ſie, weil dergleichen einmahl ſo gewoͤhnlich geworden
ſind, ebenfalls lehren; oder es muͤßte mich dennach
die Betrachtung davon abhalten, daß die wirkliche
Kettenregel, ohne die fremde Einmiſchung, eine
weit zuverlaͤßigere und leichter zu verfolgende Fuͤh⸗
rerin bleib⸗
Andere ſcheinen nun freylich — denn mit
Gewißhei getraue ich mir daruͤber nichts heraus zu
ſinden — ſolche Anſaͤtze wie in IV. nicht mehr zur
Kettenrechnung zu zaͤhlen, ſondern es fuͤr die Ree⸗
ſiſche Regel zu halten, wenn ſie dergleichen Auf⸗
gaben ebenfalls in 2 Saͤulen anzuſetzen wiſſen. Da⸗
fuͤr Regeln zu geben, ohne ſie auf die allgemeinen
Lehren von Zuſammenſetzung der Verhaͤltniffe und
Proportionen zu gruͤnden, macht wohl die Abſicht
der Reeſiſchen Regeln aus. So ſcheint es mir,
wenn ich mich aus dem Labyrinthe von Vorſchriften,
die man faſt in jedem Buche anders unter dem Nah⸗
men der Reeſiſchen vorgetragen findet, zur Quelle
ſelbſt begebe, wofuͤr doch wohl gelten muß, was
Rees ſelbſt daruͤber geſchrieben hat *). Freylich
fuͤhren nicht alle Quellen bey ihrer erſten Tagung
das reinſte Waſſer, und die gegenwaͤrtige ſprudelt
nur allzu truͤbe. Rees ſelbſt wuͤrde auch meine Er⸗
klaͤrung nicht ſogleich billigen: weil er alles auf Ver⸗
haͤltniß zu gruͤnden glaubt, dieſes ausdruͤcklich be⸗
hauptet, und in dieſer Hinſicht gleich anfangs fol⸗
gendes als Erklaͤrung von Verhaͤltniß angiebt.
„Ver⸗
2) Allgemeine Regel der Rechenkunſt,

von R. F. de Rees, aus dem Hollaͤndiſchen

überſetzt, von einem Liebhaber mathematiſcher
Kuͤnſtes 6te Aufl. Bremen, 17987.

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und Reeſiſche Regel. 131

»Verhaͤlkniß der Zahlen zu einander, heiſſen wir
„verſtaͤndlich und kurz: Wenn zwiſchen zwo oder
„»mehr Zahlen eine gewiſſe Relation und Ueber⸗
veinſtimmung befindlich iſt. Dergleichen hat nun
»ſtatt: I. Wenn eine Zahl aus der andern ent⸗
„ſtehet. II. Wenn eine den Werth der andern
vausmacht. III. Wenn ſich eine Zahl von der
v„andern ſagen laͤßt. IV. Wenn ſich die Groͤße
„der einen nach der andern richtet. V. Wenn eine
„Zahl von der andern gefragt wird, u. dergl.“
Aber eben aus dieſer Erklaͤrung erhellet ſeine
wahre Lage. Ohne Zweifel ſuchte er aus den Auf⸗
gaben, die er nach der Regel de tri, Regel de quin⸗
que, ſeptem ꝛc. berechnet fand, und nun durch zwey
Saͤulen anſetzen wollte, gewiſſe Kennzeichen zu ab⸗

ſtrahiren, woran man entdecken koͤnnte, ob eine

vorhabende Aufgabe wirklich fuͤr ſeine Saͤulen paſſe.
Auf dieſe Kennzeichen ſuchte er die Regeln ſeines
Anſatzes zu gruͤnden; und da er gehoͤrt hatte, daß
alles Rechnen auf Verhaͤltniſſen beruhe; ſo hielt er
die Kennzeichen ſeiner Gruͤnde auch fuͤr die Kenn⸗
zeichen der Verhaͤltniß. Das alles aber that er,
ohne zu wiſſen, was Verhaͤltniß ſey oder nicht ſey,
wie es ſein Buch faſt auf jedem Blatte beweiſet.
XI. Unter den Regeln, die man in der Folge

fuͤr Reeſens Anſatz gegeben hat, gehen mich hier, nach

Vorrede zum erſten Theile, S. 5, No. 2, diejeni⸗
gen nichts an, welche ihre Saͤulenſetzung durch die
Lehren der Propertionen rechtfertigen. Man kann
auch wohl dagegen einwenden, daß, wer eine Auf⸗

gabe nach Einſicht der darin vorkommenden zuſam⸗

mengeſetzten Verhaͤltniſſe berechnen wolle, die Ree⸗
1 2½ ſiſche

132 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz

ſiſche Regel gar nicht noͤthig habe, ſondern wenig⸗
ſtens eben ſo bequem nach denen durch ſie verdraͤng⸗
ten Formen der regula multiplex verfahren koͤnne.
Unter denen Vorſchriften aber, die den wah⸗
ren Umſtaͤnden des Erfinders angemeſſener ſind, iſt
wohl diejenige vorzuͤglich bekannt worden, die ſich
hauptſaͤchlich auf den ontologiſch⸗ mathematiſchen
Satz gruͤnden ſoll, daß ſich zwey Wirkungen ver⸗
halten muͤſſen, wie die Producte aus den Zahlen,
weiche die Verhaͤltniſſe zwiſchen den intenſiven und
extenſiven Groͤßen ihrer Urſachen vorſtellen. Daß
dieſer Satz fuͤr deutlich denkende Mathematiker ſehr
unterhaltende Betrachtungen veranlaſſe, hat noch
neulich der Hr. Hofrath Kaͤſtner in einem neuen
Beyſpiele von den Wirkungen des zweyten, dritten
Grades u. ſ. w. gezeigt *). Daß er aber fuͤr ge⸗
meine Rechner zu hoch ſey, und auch in Abſicht auf
die Urſachen und Wirkungen der Reeſiſchen Regel

nur ſehr undeutlich werde gebraucht werden, iſt leicht

zu uͤberſehen. Vielleicht wird er von vielen, die
davon reden, gar nicht gebraucht; ſondern ſie ha⸗
ben das richtige Facit ihrer langen Uebung in aͤhn⸗
lichen Aufgaben, oder ihrem geſunden Verſtande zu

danken, der einen ſo hohen Erkenntnißgrund bey

Seite ſetzt, und fuͤr ſich allein rechnet.
Manchen Schriftſtellern muß man zugeſtehen,
daß ſie beſtaͤndig den Grund ihrer Rechnungen an⸗
geben; ob man ſie gleich mit Recht beſchuldigen
kann, daß ſie ſich hoͤchſt ſelten darauf gruͤnden. Sie
reden beſtaͤndig von Verhaͤltniß, und freylich gruͤn⸗
den ſich alle arithmetiſche Behandlungen auf Ver⸗
haͤltniß.
*) Fortſetzung der Rechenkunſt ꝛc. Goͤttingen, 1786.

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und Reeſiſche Regel. 133

haͤltniß. Wenn man aber bey beſtimmten Faͤllen
fragen wollte, ob man die geometriſche oder arith⸗
metiſche Ration, oder etwa irgend eine von den un.
zaͤhligen Relationen, die wir Deutſche freylich auch
Verhaͤltniſſe nennen, zu befolgen haben: ſo moͤgte
dieſe Entwickelung manche Schwierigkeit verur⸗
ſachen. Eben ſo, und faſt noch mehr, werden
die Saͤtze von Urſache und Wirkung gemisbraucht.
Man leitet Rechnungen aus ihnen her, wo gar
keine eigentlichen Urſachen und Wirkungen vorhan⸗
den ſind, bisweilen nur ſolche Verhaͤltniſſe vorkom⸗
men, als zwiſchen andern Groͤßen bey Urſachen und
Wirkungen ebenfalls Statt finden.
Xhll. Die brauchbarſte Regel, welche bei Gele⸗

genheit des angefuͤhrten Satzes und deſſen Anwen⸗

dung auf die Reeſiſche Regel entſtanden ſeyn mag,
iſt wohl, daß man jede Wirkung (oder was man
zum arithmetiſchen Gebrauche ſo betrachtet) ihrer
Urſache gegen uͤber, und die beyden Wirkungen eben⸗
falls in zwey verſchiedene Saͤulen ſetzen muͤſſe; und
dieſe ungekuͤnſtelte Anleitung fuͤhrt in der That, der
vorhin gemachten Anmerkung ungeachtet, den gut⸗
willigen Rechner ziemlich weit. Aber wenn nun die
Grade der Urſachen ſelbſt, oder auch ihre Dauer,
ſchon durch mehrere Zahlen beſtimmt werden; ſo ent⸗
ſteht die Frage, wie dieſe Zahlen, die aus ihrer
Zuſammenſetzung entſtehende Groͤße beſtimmen?
Wenn man freylich lauter ſolche Aufgaben vorlegt,
worin ſie entweder Multiplicatoren oder Diviſoren
ſind; ſo reicht die angefuͤhrte Regel ziemlich zu.
Aber wenn nun dem Geſchaͤftsmanne etwas andere
Aufgaben vorkommen; ſo könnte er oft zum Reeſi⸗
SS 13 ſchen

134 34. Kap. Erinner, uͤber Kettenſatz
ſchen Anſatze ſchlagen, was gar nicht dahin gehoͤrt.

Dieſen Mangel wollte, duͤnkt mich, Raphael Levi

durch ſeine Rechnungsmethode erſetzen; und daß er
ſeine, wo nicht allzu ſcharfſinnigen, doch ziemlich

tiefſinnigen *) Mittel nicht gerade zu verwarf „ be⸗

weiſet mir, wie ſehr er dieſen Mangel im Nahmen
des gemeinen Rechners fuͤhlte.
XII. Bey dieſen Bemuͤhungen liegt ohne Zwei⸗
fel der Wunſch nach gewiſſen Kennzeichen zum Grun⸗
de, woraus man abnehmen koͤnne, ob man mit die⸗
ſer oder jener Zahl einer Aufgabe wirklich dividiren
oder multipliciren muͤſſe; wonach, noch einmal ge⸗
ſagt, niemand zu ſuchen hat, der ſich auf Proportio⸗
nen gruͤnden will.
XIII. So oft ich mich nun nach dergleichen
Kennzeichen umſehe, wodurch man denn natuͤrlich

gerade die wirklichen oder ſo genannten Urſachen und

Wirkungen, womit ſich der Reeſiſche Anſatz allein
nur beſchaͤftigt, gehoͤrig erkennt und unterſcheidet;
ſo gerathe ich allemahl auf die Betrachtungen, wel⸗
che, ohne allen aus genannten Gebrauch der allgemei⸗

nen Begriffe von Urſache und Wirkung, bey der

Baſedowiſchen Regel zu rechte weiſen. Darnach

laſſe

7 Iſt es wohl nicht eine ſehr gemeine Eigenſchaft
gelehrter Iſraeliten, daß ſie mehr tiefſinnig als

ſcharfſinnig denken? Uebrigens war Raphael Levi,
da er ein gelehrter Iſraelit war, gewiß auch ein

Metaphyſiker; und dies voraus geſetzt, ſcheint es
wohl, daß ſeine Methode durch die Bemuͤhungen
veranlaßt iſt, die er zur Schaͤtzung der Grade durch
Dimenſionen, oder gleichfoͤrmig uͤbers Subject
verbreitete Praͤdicate bereits vorgefunden hat.

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und Reeſiſche Regel. 135
laſſe ich alſo alle ſolche Aufgaben der zweyten Art
in III. berechnen, welche einige meiner Leſer als Auf⸗
gaben der Regel de quinque, ſeptem, novem ꝛc. der
directen oder indirecten, kennen werden. So bleibt
die Kettenregel das, was ſie auch ihrer hiſtoriſchen
Entſtehung nach, unter dem Nahmen der Arbitragen
oder Wechſelrechnung u. dergl., anfangs war und
ſeyn ſollte: eine bequeme und ſichere Form fuͤr Auf⸗
gaben, die ſich ohne Kuͤnſteley durch lauter Saͤtze der
erſten Art in III. ausdruͤcken, und auch in einen
Kettenſatz von der in §. 478. beſtimmten Beſchaf⸗
fenheit bringen laſſen; bey deſſen Berechnung uͤbri⸗
gens die Vortheile des Aufhebens wenigſtens zu ver⸗
muthen ſind, und der den groͤßten Nutzen bey ſol⸗
chen Aufgaben leiſtet, worin viele Nahmenaͤnderun⸗

gen vorkommen.

XIV. Aber auch bey dieſen Aufgaben, welche
eigentlich fuͤr die Kettenregel gehoͤren, giebt man ſich
durch zu weit getriebene Erſparung und Bequem⸗
lichkeit in ſehr große Gefahr, voͤllig unrichtig zu
rechnen; worauf ſich die 2te Bedingung in IV.
bezieht. Ich muß dieſe Behauptung erweiſen, weil
mich manche ſparſame Rechenmeiſter ſehr bemitlei⸗
den werden, daß ich, auch nach Befolgung des
§. 526, noch ziemlich viel an den Nahmen zu ſchrei⸗
ben habe. Ich waͤhle dazu zuvoͤrderſt ein Beiſpiel —

deren es unzaͤhlige giebt — aus einem der beſten

Rechenbuͤcher, worin dieſe Kuͤrze gebilligt wird.
Es kauft jemand 3 Q Waare, Bremer Ge⸗
wicht, fuͤr 186 Gold; fuͤr wie viel Kaſſengeld
muß er bey Hannoͤveriſchem Gewichte das Quentchen

wieder verkaufen, wenn er 20 auf 100 gewinnen will?
I 4 100 —

136 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz

100 e Bremer ſey 99 f Hannoͤveriſch.
— R Kaſſeng. gehoben 1 Quentl. Hannoͤv.

3 Bremer 186 * Gold ausgelegt.
16 36 960
1 90. 8 α
100 6 1 L.
32 Loth . ſ
en .
15 hne 1 4 Kaſſengeld.
39 Hannoͤveriſch 100 Bremer.
100 ausgelegt 120 gehoben.

Fac. 1 ⁄2¾ Kaſſengeld? “

xv. Ich will jedes Wort eines Nahmens,

z. B. jedes von den drey Woͤrtern, Pfennig Haſ⸗
ſengeld gehoben, einen Nahmentheil nennen;
ſo ſieht man bey Verfertigung dieſes Anſatzes die

Regel zum Grunde liegen, daß jeder Nahmen⸗

theil in beyden Saͤulen gleich ofte vorkom⸗
men muͤſſe.

Demnach koͤnnte die Richtigkeit dieſes Anſatzes

adurch gepruͤft werden, daß man gegen einander
dadrch gerraſt Wort Pfennig im erſten linken
Gliede gegen Pfennig im vierten rechten; Kaſſen⸗
geld im erſten linken, gegen Kaſſengeld im achoen
rechten; gehoben im erſten linken, gegen gehoben
im letzten rechten, und ſo fort, bis man alle Nah⸗
mentheile auf beyden Seiten gegen einander iwegge⸗
ſtrichen haͤtte. Dies waͤre dann natuͤrlich eine rich⸗
tige Verſicherung „daß der Anſatz der gegebenen
Regel gemaͤß ſey.

*) Aus Schmids Rechenkunſt Seite 207.

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und Reeſiſche Regel. 137

XVI. Eine andere Frage iſt nun, ob die Befol⸗
gung dieſer Regel hinreichend geweſen ſey, uns einen
zuverlaͤßig richtigen Anſatz zu verſchaffen? Wenn
ich ihre Vertheidiger frage, ob in dem Sten Satze
Hannoͤveriſches Gewicht oder Bremer zu verſtehen

ſey, ſo werden ſie das nicht zu beſtimmen wiſſen; und
das iſt ein ſehr nachtheiliges Geſtaͤndniß. Es koͤnnte

ja ſeyn, daß zwar 100 Hannoͤveriſche einen Han⸗
noͤveriſchen L, aber dagegen erſt etwa 116 Bre⸗
mer einen Bremer ausmachten; und nun
waͤre doch wohl zu wiſſen noͤthig, welches von beyden
eigentlich hieher gehoͤre? Herr Schmid nimmt frey⸗
lich in ſeinem Rechenbuche ein fuͤr allemahl an, daß

man 100 f8 auf 1 & rechnen ſolle; einen ſo ſtarken

Gebrauch haͤtte er, nebenher geſagt, von der Ent⸗
ſchuldigung, exempla non requirunt veritatem,
nicht machen ſollen, wo er doch verſchiedene Gewichte
mit einander zu vergleichen ganz eigentlich lehren
wollte. Aber man nehme nun die wahren Saͤtze an,
daß in Hannover 112 ſt, in Bremen aber 116

den reſpectiven L ausmachen; ſo erhellet ganz buͤn⸗

dig, was ich beweiſen wollte, daß die Regel in XV

keinesweges hinreicht, die wirkliche Verkettung zu
erſetzen. Das folgende Beyſpiel wird eben daſſelbe

beweiſen, und zugleich zu andern Erinnerungen Ge⸗

legenheit geben.

XVII. Wie viel Coͤllniſch Gewicht muß man
gegen 200 t Berliner Gewicht eintauſchen, wenn
man 20 auf 100 bey dieſem Tauſche gewinnen will?
827 Berliner ſ machen uͤbrigens 829 Coͤlniſche
aus, und im Berliniſchen gehen 110 , im Coͤl⸗

niſchen aber 116 auf einen K.

1 5 Mache

138 34. Kap. Erinner. uͤber Ketttenſatz

Mache ich nun folgenden Anſatz:
— L Coͤln. Einnahme 200 Berl. Ausg.

100 Ausgabe 120 Einnahme.
827 Berliniſch 829 Coͤlniſch.
110 % 1 K.

ſo iſt dieſer Anſatz der Regel xv. vollkommen gemaͤß;
denn jeder Nahmentheil kommt in beyden Saͤulen
gleich oft vor. Auch ſtimmt jeder einzelne Satz deſ⸗
ſelben mit der Aufgabe uͤberein, wenn man den drit⸗
ten Satz von Berliniſchen und Coͤlniſchen Pfun⸗
den verſteht. Hier ſind alſo lauter wahre Saͤtze,
und wovon man gar wohl vermuthen kann, daß ſie
zur Aufgabe und deſſen richtigem Anſatze gehoͤren,
der Regel in XV. gemaͤß angeſetzt. Dennoch iſt der
Anſatz falſch, wie es der folgende kettenfoͤrmige An⸗
ſatz darthut.
— L Coͤln. Einnahme 200 g Berl. Ausg.
827 Berl. Ausgabe 829 ρ Coͤln. Ausg.
116 Coͤln Ausgabe 1 Coͤln. Ausg.

100 & Coͤln. Ausgabe 120 CK Coͤln. Einn.

XVIII. Ich habe ſo eben gelegentlich beruͤhrt,

daß man bey dem Satze, 827 Berliniſch geben

329 Coͤlniſch, gerade Pfund verſtehen muͤſſe, nicht
Centner. Denn eben darum weil dieſe Vergleichung
in Pfunden richtig iſt; ſo iſt es falſch, daß 827
Centner Berliniſch auch 829 Centner Coͤlniſch ge⸗
ben. Die Urſach iſt einleuchtend: weil der Berlini⸗
ſche Centner aus 110, und dagegen der Coͤlniſche
aus 116 der reſpectiven Pfunde beſteht.
Hieraus iſt klar genug, daß auch dieſe abge⸗

kuͤrzte Schreibung in großen Irrthum verleiten

foͤnne.

XIX.

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69.

und Reeſiſche Regel. 139

XIX. Eben dieſelbe Erinnerung trifft auch die
achte Zeile im Schmidſchen Anſatze XI V. Wenn
15 ° Gold = 14 * Kaſſengeld ſind, ſo ſind

freylich auch 15 ι Gold = 14 ſ Kaſſengeld, in

ſo fern 1 ϑ Gold den 288ſten Theil eines Thalers
in Gold, und 1 Kaſſengeld ebenfalls den 288ſten
Theil eines Thalers in Kaſſengeld ausmacht. Aber
eben deshalb wuͤrde man etwas falſches behaupten,
wenn man auch 15 96 Gold = 14 96 Kaſſengeld
ſetzte, und doch unter Groſchen in Kaſſengeld nur
Groſchen von 8 R, unter Groſchen Gold aber Gro⸗
ſchen von 12 R verſtaͤnde. Da nun dieſes in man⸗
chen Gegenden einſchleichen koͤnnte; ſo iſt es ſehr be⸗
denklich, ſo gerade zu den unbeſtimmten Satz zu
gebrauchen, daß 15 Gold = 14 Kaſſengeld iſt.
Ich will das Mißliche dieſer Kuͤrze an einem—
Beyſpiele zeigen, wobey ſie in jeder Gegend eine

falſche Rechnung geſtatten und veranlaſſen wuͤrde.

XX. Wie viel Xr. leichtes Geld koſten 3 Loth,
wenn 1 ſ fuͤr 8 90 Saͤchſiſch Geld verkauft wird?
Es ſoll hier unter leichtem Gelde das Geld nach dem
24 Guldenfuße verſtanden werden; daher denn 24
leichte Gulden mit 20 Gulden Saͤchſiſchem, conven⸗
tionsmaͤßigen Gelde einerley Werth haben.

— Xr. leicht Gold. . 3 Loth.

1 8 96 Saͤchß. Geldd)
32 Loth. 1 .
19 12 .
4 ſ₰ 1 Xr. “Z
20 Saͤchß. Geld. 24 leicht Geld.

(xs

140 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz

— Xr. leicht Geld. 3 Loth.
32 Loth. L 1 .
1 B6BS 8 3˙ Saͤchſiſch.
1 9 Saͤchſiſch. 12 . Suaͤchſiſch.
20 R Saͤchſiſch. 24 leicht Geld.
4 J leicht Geld. 1 Xr. leicht Geld.

AXrujl. Von dieſen beyden unrichtigen Anſaͤtzen
iſt der vte der Regel in XV. gemaͤß verfertigt. Der
2te wird demjenigen entſtehen, der zwar eine wirk⸗
ligche Kette zu erhalten ſucht, aber an den unbeſtimm⸗
ten Ausdruck gewoͤhnt iſt: 20 Conventionsgeld
gleich 24 leichtes Geld. Wenn ihm dieſer Satz
ſchon ganz gelaͤufig geworden iſt; ſo ſchreibt er natuͤr⸗
lich ohne alles Bedenken auch hin, daß 20 N
Saͤchſiſch Geld ebenfalls 24 R leichtes Geld aus⸗
machen. Das iſt aber unrichtig, weil die 8 im
Saͤchſiſchen Gelde, nach der in Sachſen uͤblichen

Waͤhrung zu 12 R gerechnet werden, wonach ein

ſolcher Pfennig den 192ſten Theil eines Saͤchſiſchen
Guldens ausmacht; da hingegen bey der Reichs⸗
waͤhrung, worin Xr. zu 4 vorkommen, ein Pfen⸗
nig nur den 240ſten Theil eines Guldens betraͤgt.
XXII. Iſt man dagegen gewohnt, ſich auf den
hinlaͤnglich beſtimmten Satz zu gruͤnden, daß 20
Gulden Conventionsgeld mit 24 Gulden leichtes
Geld gleichen Werth haben; ſo wird man nicht ſo⸗
gleich Pfennige ſtatt Gulden hineinſchreiben. Und
wenn man dann bey einiger Bedachtſamkeit bemerkt,
daß dieſe Vertauſchung nicht erlaubt iſt, weil der
letztere Satz aus dem erſtern nicht folget; ſo fuͤhrt
man gewiß die Kette auf den richtigen Satz hin.
. Dadurch

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ig
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10
liches
igt

und Reeſiſche Regel. 141
Dadurch erhaͤlt man folgenden richtigen Anſatz:

— Xr leicht Geld 3 Loth.
32 Loth . 1 B.
1 8 8 . Saͤchſiſch.
16,97“ Saͤchß. 1 Gulden Saͤchß.

20 Gulden Saͤchß. 24 Gulden leicht Geld.
1 Gulden leicht Geld 60 Xr. leicht Geld.

XXIII. Allerdings giebt es mehrere Faͤlle, wo

man ſich entweder mit voͤlliger Richtigkeit, oder doch

ohne beſorglichen Nachtheil, auf ſolche allgemeine
oder abgekuͤrzte Vergleichungen beziehen kann.
So rechnet man im Brandenburgiſchen, wie in
Churſachſen, nach Thalern, Groſchen und Pfennigen,
und in beyden Gegenden iſt auch ein Groſchen der

24ſte, und 1 R der 288ſte Theil eines Thalers.
Wenn daher, wie es der innere Gehalt beyder Geld⸗

arten mit ſich bringt, 20 Thaler Saͤchſiſch = 21 Tha⸗
ler Preußiſch geſetzt werden; ſo hat man auch 20 Gro⸗
ſchen Saͤchſiſch mit 21 Groſchen Preußiſch, und

20 Pfennig Saͤchſiſch mit 21 Pfennig Preußiſch,

wenigſtens als Rechnungsmuͤnze betrachtet, fuͤr
gleich zu achten. Natuͤrlich iſt es jedem erlaubt,
wenn er dies deutlich einſieht, auch 20 3 (oder α½)
Saͤchſiſch = 21 3l (oder ) Preußiſch, in dem

Kettenſatze zu gebrauchen. Das erſpart bisweilen

mehrere Saͤtze, die man ſonſt noͤthig haͤtte, um bis
zu den Thalern hinauf, und von da wieder herab zu
ſteigen. Will man aber nun auch gerade zu, 20 Saͤch⸗
ſiſch = 21 Preußiſch ſchreiben; ſo wird dadurch die

Kette unterbrochen: und das iſt ein groͤßeres Uebel,

als das Hinſchreiben einiger Zeichen von und 97.
XXIV

142 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz

XXIV. Vollkommen, und in ſeiner ganzen All⸗
gemeinheit richtig, druͤckt man ſich z. B. auch aus,
wenn man fuͤr den Fall, wo man 20 auf 100 gewin⸗
nen ſoll, ſagt, daß 100 Ausgabe uns 120 Einnah⸗
me bewirken ſoll. Denn in dieſem Falle ſoll man
20 * auf 100 *, 20 9 auf 100 37, 20 Xr. auf
100 Xr., 20 Blafferte auf 100 Blafferte, oder bey
bloßer Vertauſchung zwiſchen Waaren, auch 20 Q,
ſ, oder Scheffel auf 100 K, Scheffel und
dergl. gewinnen; und eben ſo richtig iſt der allge⸗
meine Ausdruck, daß man etwa 4 auf 100 zu ver⸗
lieren habe, alſo nur 94 Einnahme fuͤr 100 Aus⸗
gabe erhalte. Daher man die Erleichterung, welche
dieſe Allgemeinheit gewaͤhrt, bey der Gewinn⸗ und
Verluſtrechnung allerdings benutzen kann.

XXV. Man findet z. B. bey den Muͤnzrech⸗
nungen, und ſelbſt in den Schriften des großen
Denkers Graumann, der uͤbrigens durch vorzuͤglich
genaue Beobachtung der Kette wohl gezeigt hat,
daß er das eigenthuͤmliche Gute des Kereenſäßee
gekannt habe, Anſaͤtze folgender Art:

— Gewicht fein Silber 1 Gewicht fein Gold.

212¾ Karat fein Gold 335 Friedrichsd'or.
1 Friedrichd'or 5XPreuß. Curr. *).
14 * Preuß. Current 1 Mark fein Silber.
1 Mark 24 Karat.
XXVI.

*) Graumann wollte naͤhmlich bey der erſten Einrich⸗
tung ſeines Muͤnzfußes in den Brandenburgiſchen
Staaten, daß 1 Friedrichsd'or mit 5 † Preuß.
Current bezablt werden ſollte; ob ſich gleich der

Gold⸗⸗ .

peis, 1
eheben
beis ſet
genecht
ſen Eint
g. 0
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Gold
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M
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nzen ⸗

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nichr⸗
geſtrd

4
det al⸗

O An

100 M
, weche
ian⸗ Wd

und Reeſiſche Regel. 143

XXVI. Auf dieſen Anſatz paßt nun der Be⸗
weis, welchen wir (*§. 507.) von dem Kettenſatze
gegeben haben, wiederum nicht. Denn jener Be⸗
weis ſetzt voraus, daß man wirklich einen Kettenſatz
gemacht habe; aber die Nahmen der hergeſchriebe⸗
nen Saͤnlen ſtehen ja nicht in der gehoͤrigen Verket⸗
tung. Gleichwohl kommt das Facit allemahl und
in allen aͤhnlichen Faͤllen richtig heraus? Allerdings!
Aber das hat man wiederum nicht der Kettenrech⸗
nung zu verdanken, welche hier nicht beobachtet iſt,
ſondern dem gluͤcklichen Nebenumſtande, daß alle⸗

mahl ein Schluß dabey Statt findet, wo⸗

durch der Fehler des Anſatzes er gaͤnzt wird.
Um das einzuſehen, hat man nur, ſtatt des unbe⸗
ſtimmten Ausdruckes Gewicht, das Gewicht Ka⸗
rat hin zu ſchreiben, welches die Kette hier verlangt.

Dann erhaͤlt man folgende richtige Kette:

— Karat fein Silber 1 Karat fein Gold.
21 Karat fein Gold 35 Friedrichd'or.
1 Friedrichd'or 5 v*† Preuß. Current.
14 r Preuß⸗ Curr. 1 Mark fein Silber.
1 Mark fein Silber 24 Karat fein Silber.
Hierdurch erfaͤhrt man nun mit erwieſener Rich⸗
tigkeit, daß 1 Karat fein Gold fuͤr 13 4½¼ Karat f.

Silber gegeben werde. Und nun kann man leicht

den
Goldpreis doch wieder geſteigert hat, daher man
nun Agio giebt. Wegen ſeiner Urtheile uͤber das
Muͤnzweſen, die uns zur Verehrung ſeines Ver⸗
ſtandes hinreiſſen, habe ich ihn einen großen Den⸗
ker genannt; nicht etwa deshalb, weil er die Ket⸗
tenrechnung richtiger als andere anſetzt,

144 34. Kap. Erinner. uͤber Kettenſatz ꝛc.
den Schluß hinzu fuͤgen: wenn 1 Karat fein Gold
= 134 ½¼ Karat fein Silber iſt; ſo iſt auch z. B.
1 Mark fein Gold = 13 ½½ Mark fein Silber, und
ſo uͤberhaupt jedes andere beliebige Gewicht f. Gold

mmit 134 ½ dieſes Gewichtes in feinen Silber gleich.

So verfahren, weiß man alles aus ſeinen Gruͤnden;
und hat das richtige Facit nicht gewiſſen gluͤcklichen
Nebenumſtaͤnden zu verdanken, die man vielleicht
nicht einmahl kennt.

XXVII. Noch andere Fehler bey kettenaͤhnlichen
Anſuͤtzen kann ich unberuͤhrt laſſen, da ich ſie bereits
in des Hrn. Peterſen Magazin fuͤr die Arith⸗
merik gelegentlich angezeigt finde; wovon ich ſo eben
erſt die beyden erſten Stuͤcke erhalten habe. In der
dortigen Abhandlung uͤber den Unterſchied der Reeſi⸗
ſchen und der Kettenrechnung trifft manches mit mei⸗
nen hieſigen Aeußerungen uͤberein. Wer aber beydes
lieſet, wird finden, daß jeder von uns in ſeinem eige⸗
nen Geſichtspuncte ſteht, und was er ſagt, mit meines
Nachbars kleinem Carl zu reden, aus ſich ſelber hat.

Meine Kenntniß von Raphael Levis Rechnungsme⸗
thode (XI.) iſt indeſſen lediglich aus des Hrn. Peter⸗
ſen Vorſtellung genommen. Er hat gewiß nichts

daran verdorben, und ließ mich mit leichter Muͤhe
uͤberſehen, was ich wahrſcheinlich nicht ohne groͤßern
Zeitaufwand aus der fruͤhern Quelle geſchoͤpft haben
murde; die ich mir auch nicht ſogleich verſchaffen
onnte.

— Bernn 8

Anhang.

nꝛ
,dDO Anhang.
Ner, und —
en Beantwortung der Uebungsaufgaben.
er geh. .
Drnden Regel de tri. §. 350.
Ri No.] §. 332. 18 9 Stuͤck. J
n 342 Ducaten. e,
n⸗ 3 142 Monath. Ausdruck der Bſche
ti 5 23 Schfl. 5 ¼ Metzen. In Meißniſch. Waͤhrung.
be⸗ 6 2 Schfl. 14 Metzen.
Nis 7 133 Wſpl. 18 Schfl. Jo No
gini 8 100 Fl. 48 Xr. II6 9c 81 7 9 e *
Snnt hne⸗ 1 .
der beds 914 t 2†7 21182 9 18 2⸗
R 109½ * 3 9 ⸗ 1021 ⸗
ei Reegel de tri bey 51,8 „ 12 8⸗
hunle⸗ Bruͤchen. 6 110 ⸗ 13 5 „
nen 12 ⸗ 14 &S ⸗
..Pa No. §. 357. 7 RK . r .
ſit⸗ 1II II10 *ε 6 46 SS
Ne 12 „ . E In Braunſchn. Waͤhrung.
u 13 6 3 37½5 ₰ No. No
1 14 13 96 10 56⅓ MAr 1 8 Mgl. 7 10Mgl.
C. 2 3 115 ⸗ 9128—
No.] 8. 359. 3, 10 3.
16 6 36 11 ½ 5 20 ⸗ 11 6 ⸗
17 6& 13 ethig Ouel. 6 21 ⸗ 12182
eH Buſſ. Rechenb. 2. Theil. K In

1406 Anhang. Be⸗

In der Reichswahrung. N. 4
No. No. No. §. 40 5. 2
I18 Xr. 6 20 XKr. 19 66 X C 16
2 50 ½ 7 42 20 55.⸗ 61
3124 ⸗ 8 3 211116 ⸗ 16 ⸗ 9.
4 40 ⸗ 9 3 Aà 22 71 ⸗ 18 ⸗ 134
5 48 2 10 2 23 116 ⸗ 6 1527:
24 115 ⸗ 14 ⸗ nad
No.] §. 402. 26 25 ²‧ 16
27149 ⸗‧ 12 ⸗
28 ‧° ⸗ 29] 35 ⸗ ſen
3 2 ⸗ 4 30 49⸗ 8 ⸗ ſig⸗
4 11 ½ 3 31 9 ⸗ 15⸗ 3
⁸° — ⸗ 321 6 9 ⸗ 6
6 12 6 — S
7 2 *° 12 3 No. §. 407. z
8 1 ⸗ 1‧ 6N. 33 122 re 9 e
9 1 0 34 253 ⸗ i
10 1T *α.° 17 7 z 5 z4 5 £⸗ ,
11 22 9 ⸗ 36 816 ‧ 16 ⸗- iguos
12 3 ‧,9 ½ 372 ro62 ⸗ 12 ⸗ Glron
13 13 ⸗ 6⸗ 38 479 ⸗ 6 ⸗
141 1 ‧ 10 ⸗ 8 39 1282 9 ug
15111 = 9 ‧°9 2 40 279 2 18 2
47 10 ⸗ 12
No. S. 40;˙5. 42 36 ⸗ 20 ⸗„
16 125 . 43 755 ⸗ 10
.,1717 21 - 44 1102 ⸗ 19 ⸗
1811422 2 9. 451 195 ⸗ 10 ⸗ 1

Bꝛantwortung der Uebungsaufgaben. 147
No. §. 407. No. §S. 418.
46 52 0 6 % 73 — xC 16 Mgl.
4 47 15 ⸗ 12 ⸗ 74— ⸗ 25 ⸗
48 97 ‧ 1I5 — 75— ⸗ 18 ⸗ 6
49 47 ‧ 5 ⸗ 4 W 76 r5oXC I8
3 . 50134 9 2 771 27 27 8
h⸗ 51 27 ⸗ 14 ⸗ 6 2- 78143 * I2 -
4 52 29 ⸗ 8 ⸗ 79 134 ⸗ 1 2
11 53 1 89 3 ‧ 3 ⸗. 80 88 ⸗ — ⸗
te 54 114 4 2 5 ⸗ 811153 ⸗ 12 ⸗
1 82 52 ⸗ 18 ⸗
. 1 ⸗ 2.
35 493 * C 15 3 33 34 —
8⸗ 561428 ⸗‧ 4 ⸗
57 34‧ 5 ‧4 Aà 851 28 „ —
¹ 58 437 = 7 ⸗ 4 86 4 ⸗ 8 ⸗
59 88 ⸗ 6 ⸗ 6 ⸗
bℳ% e1 33 ⸗ 15 88 67 ⸗ 13 ⸗ 4 ⸗
62 36 ⸗ 14 ⸗ 9 ⸗ 89 19 ‧ 9 ⸗
9 63 255 ⸗ 10 ⸗ 6 ⸗ 90260 — -
15: 64 1106 2 18 8 2- 91 81 9 .
4 65 10032 ⸗ 4 ⸗— ⸗ 92 122 2 „ 2
: 93 210 ⸗ 30
6⸗ 67 527 ⸗ 18 ⸗ I ⸗ .
6 4‧ 38 No.] S. 422.
o 70 866 ⸗ 21 2 95 123 Fl. 12 Xr.
9¹ 2I 425 ⸗ 20 ⸗ 96 ſ231 ⸗ 18 ⸗
9; 72 5 ⸗ 6 ⸗ 88 ⸗ 971 97 ‧° 4
. K 2 9. 422.

110
III
112
113

114
115
116
117
118
119

120
121
122
123
124

4

Anhang.
§. 422. No. §. 424.
129 Fl. 36 Xr. 125151 G
128 ⸗ 20 ⸗„ 126 2 ε 2 Loth 2 Qutl.
272 ⸗ 30 ⸗ 127119 28 Lth. 2 Qtl.
103 ⸗ 12 ⸗ 128 22 13 16 Lth.
219 ⸗ 27 ‧ 129 49 K 29 ρ 12 Lth.
374 ‧— ⸗ 130 27 Wſpl. 17Schfl.
101 ⸗„ 12 ⸗„ 131167 Anker 12 Maß.
50 ⸗ — ⸗ 132 576 Anker.
6⸗ 25 ⸗ 133 79 Wſpl. 18 Schfl.
7 ⸗ 36 ⸗ 134 52 fρ 19 tth. 2 Qtl.
1⸗ 52 ⸗ 135133 ε 10 Loth.
13611 & 70 8 Loth.
3 ⸗ 15 ⸗ 2 ₰ℳ. .
19 ⸗ 34 ⸗= 2 ——68.
14 ⸗ 1I1I ⸗ No. §. 427.
138 ⸗ 51 ⸗ 3 ⸗ 137 5 24 6 Lt. 2 ¾ Ot.
108 ⸗ 1 ⸗ 2 ⸗ 13811⁸ 16 Loth 3 ½ Qutl.
“B 139 7Wſpl. 9Sch fl. 91½Mz
610 ⸗ 52 ⸗ 140 3 ρι 14 Loth 2 ½ Qutl.
281 ⸗ 38 ⸗ 1411246 X6 4 36 6 ‿“
696 ⸗ 30 142 1 6 9 906 * A.
12479 Fl. 4 Nr. 143 2 C 14 2 ¾
13527 ⸗ 482 13 2 1 K 13 G 24 Loth.
1306 ⸗ 40 2⸗ 14512 Ball. 5 Rß. 25 Buch
146 3 29 Loth 1½ Qutl.
448 Fl. 10 Xr. 20. 14760 Xπ 10ο 3 8 J.
303 ⸗ 51 ⸗ 3 · 148 11 X 10 3t 6
1029 ⸗ — ⸗ 2⸗ 149 ¹2² Loth ½2% QAutl.
1160 ⸗ 47 ⸗ 2⸗ 150 4 X C 9e
9606 ⸗‧ 15 ⸗ 151 1 6 1 3t 9 A½⅓

§. 427.

„

— =–☛☚
— E
==—

— — —
— = = S==

==—=
—

Beantwortung der Uebungsaufgaben. 149
No. §. 427.
1352 10 3 10¾ J₰. Kettenregel.
N 153 10 96 10¾ ₰ Nach Meißniſcher Waͤhrung.
A. 154ſ27 Mgl. 4 ½ ℳ 10 [§. 505.
1el. 1551 Fl. 32 Xr. No.
. 156 10½¾ Schock. 129 ¼ * 0.
ei. 157 6 f 20 Loth 2¾ Qutl. 2 16 36 4 ₰
M. 15816 ι² Loth 1 ¼ Qutl. 3194¾ 96
159 1 13 3 1½ 4 36 X° 16
S 160 4 Fl. 11 Xr. 2 ¾ ₰ſ 5 5 ¾ ſ△
A 6 13 *6 8 90
Vergleichung der 7 1 3e 3 ₰.
9H Bruͤche. 8 20 .
No. No. 10 24 * 0 8 3
1 F szac⸗ 11 1 0 1123 R*
a. 2 z fl. 7 5619 Fl. 12 872; „2
1Ou. 3 4 0 8 1522 ¼ ₰£ 1315 18 90 10¾
1M 1 „»
n L 19 aes Nach der Reichswaͤhrung.
5 7Z 2
6
4 0, : . .
7 H 14 27% Xr.
f II S 14 z 15 122 Fl.
Duß 12 %½ 15 £ 16 — ⸗ 1832 Xr.
. 13 5 1612 17 — ⸗‧ 2Xr. 2 .ℳ
4 No. No. 18 144¾ FSl.
4 1715 225 19 100 ⸗ 48 Xr.
18 3 23123 20 16 ⸗
19 24 21 9 ⸗ 4 ⸗
20 £½ 2515 22 15 ‧ 12 ⸗
21 ½ K 3 Nach

150
No.
23

26

NFao.

41
42
43
44

24

39
4012 19 Tage

Anhang.

Nach Braunſchw. Waͤhrung.

35 6 20 Mrgl.

7¾ ρ
65 *
12 ¾ Mrgl.

O₰◻☚
◻
& e ee

P—

42 Stunden

§. 514

No.

48
49 22

◻
57 = –—
—
—

00
α —
2
—
—
—
—

,

2249 Quentchen

95 Metzen

2. 9 5 6

—.—

§. 523.

6 ½ 96
39 X6 2 96 8 ₰
28 6. 13 9 8 A

653 Fl. 7 NXr. 2 ₰.
9 13 96 7

13 ſ 13 tt. 3 ¾ Qtl.
S. 723.

= =
= — = =
=
=

— — — =
— — —
—
——

. .

Beantwortung der uebungsaufgaben. 151

No. S, 523. Reductionsrechnung.
71 C A. 10 A No.] §S. 562.
227ρ 4”t. utl. M
23 9 C 48 N A 96 1 1 9 2 A.
7 29 10 SI. 97 2 6 23 96 42 O.
75/20 x6 2 96 2 ¾ 98 ſ2 * 0 20 % t
768 r6 22 90 14 - 99 45 *C.
77166 Fl. 51 Xr. 1 ¼ ₰. 1¹100189 xC 9 ½¼ Mrgl.
78 49 18 96C 1I /½ A
79 4 r6 18 3 1221 A No. §. 567.
Zinsrechnung. 45 ¾ R
No.] S. 539. 102]112 X6 6 96
103 4 r6 5 96 72r ℳ
81 52 ¾ Fl. 104 9 96 11
82 5 Fl. 24 KXr. 10 5
518 9 9 ½
8311 96 2 A 106 121 90 2 ¾ ₰ℳe
84 55 7 90 2 A 107 3 r6 1 96 5 2 N
85 126 Fl. 10814 x6 16 ” (oder
86 6666 ¾ x6 4 rC 24 Mrgl.)
37 1¾ . 109 59 96 6 ₰
88 2 90 10 A& 110]7 *0— 9 ” 9 ½ .*
89145 Xr. 2
No. §. 541. No. §. 573.
9015 x. 11ITYZ332 Mrgl.
91 Zu 7 ½¼ p. c. II2 II X II 96
92Zu 3 103 ⅞2 R
93 Zu 5 p. c. 113 20 r6 12 90 1 ½ R
94 Zu 12 ½ p. c 114124 7 6' 10
95 Zu 5 % p. c. 115182777
R 4 §. 5§73.

152
1 eſe oe 2122 4 Meilen, “ 8112 Arbeiter
och üͤber 3 ⅞ Meilen 9 9¾ Monath
117 14 ¾ Meile weniger 10 8 Monath
172τας Meile 11 6400 Arbeiter
121500
Gewinn⸗ und Verluſt⸗ 1 3 . Tag.
Rechnung. 14 800 πℳ
No.] S. 581. 15113 ½ Wochen
5
118141 P. C. 1611r5 6
119 10¾ p. C. .603.
120 11 x6 9 96 No. §. 603
12 112 90 5½2 1715¾ Fl.
122 Er gewinnt 425 p. c. 18 6 Meilen
19 100 Stuͤck
No. §. 583. 20◻ 21 5 Monath
123 Er verliert 25 p. c. ²1]240 Fl.
124123 2¾ P. C. L
12 518 2 No.] §. 611.
,B 2215¾ Ellen
Baſedowiſche Regel. 23 23 Ellen
11½ G 26 Wuen 2) Ellen
2 16 ¼ Stunden 27 90666 ¾ Stuͤck—
3 6 Tage L 28 456 Flieſen
4 5 14 6 29 39 ⅝ Schuh
*† P. c. HD’R 30 167 Sehſ⸗
10 ¾½ Stu 3 1 872½ Winſpe
7166 ⅝ Himten 321272 ¾½ Stuͤck

ugand.

. 619.

r

E

Beantwortung der Uebungsaufgaben. 133

No.] §. 619. No.] §. 656.
33125793 ¾ . 17 *.
34 10138 ¾ * 0 18 2α.
35 15 . 19 91.
36 6 ½ Perſonen. 20 13 ¾7.
.—. 2184.
Addiren in Bruͤchen. 22 104 –
640. 23112¼.
do. . 6G44 24 9 ½⁸.
1 %½. 25 16 ¾½/2.
2 1 . „. „ „ .
5 114½. Multipliciren und Di⸗
4 11 ¾. vidiren in Bruͤchen.
No §. 651. 25116.
2 26 6 ¾æ.
6 1 72 27]1132†2.
er F. 28 †
8 ⸗r. 29 * ½.
9 ⸗23 , 30 85 4¼.
10 2z*. 3145138.
11 I5. 32 175.
12414%¾2 33 60 2 ⅜ r
1348 ⅞. 34 230¾2
14 506 .
15 69 ½% No.
Subtrah. in Bruͤchen. 35 t.
16 ½5 ¾ oder 5 ¾. 38 ¾2.

51
52
53
54

55

No.

t d

◻
Ir

R ◻ωT8

α =

* .

S

Ae le ir
5

r
Plr
IH

1

Rechnung mit Deci⸗

malbruͤchen.

533,73
348,85145
39,686
241,306
5,057606

§. 705.

6 0,3654
7[62,2 5
8 9,02
9 149,844
10]0,393009

No. 9. 71 0.

110,01877
12 2,62 5
13116,0 326012
140,540063
156,686

161440
17 16,89
1811II4900

1915810
201581000

No. §. 72r.
21 3,3858 ꝛc.

22 3666,086 ꝛc.
2314115,22 ꝛc.
24 0,4723 c.
24] 32,707 ꝛc.

Waͤlſche

21

No.

Beantwortung der Uebungsaufgaben. 155

Waͤlſche Practik.

No.
12
14
15
20

22
36
39
42

139

140

155

(Fortſetzung.)
§. 739.

27 X. 4 36 9 ¾ ₰
8 Fl. 30 Xr.
144 r6 16 3
5 v 20 3
13 90 9 ₰
374 ° Ü20 6 ½*
14 ¾ Monath
33 Winſpl. 18 Schfl.
9 ½

No.

IOO
11
12
13
14
15
16
17
18

7 Winſpl. 9 Schfl. No.

9 ¾ Metzen.
3 6 14 Lt. 2 ½ Qtl.

1 Fl. 32 Xr.

§. 741.
5 *C“ 21 9 7 ¾ A£
2 ρι 18 Lth. 1 ¼ Qutl.

79 & 82 f 16 Kth.
2 5C 17 5 4 ₰

.§. 743. S=

600 r 9 36 4
24 1 9t 6 A₰
8188 *° 12 3
12231 Fl.
2851 24 Mrgl.

19
20
21
22

23

S

§. 746.

11 r — 3t 4
2 Fl. 23 Xr. 1¾
61 24 Loth
18 r 0 I5
30 X 16 36
1 XE I4 3

2 C — 2*2° 1 ½ ₰

644 Stuͤck
18 *C 3 96

§. 748.
1XC 4 4 ₰
§. XC — 10
3 0 1 . 3 ¾ ₰
32 G— Lth 2 ½¼ Qtl.

69 ſ 2 1 Lth 1¼ Qtl.

2410 r° 2 3

No.
25
26
27
28
29

§. 750.

28 r6 21 4 *½
1 vD5 22 8 ₰
13 Loth 2 Quentl.

9 Winſpl. 12 Schfl.
1 K& 65 .

Ge ſell⸗

—

“ 156 Anhang. “ d
Geſellſchaftsrechnung. No.] §. 767.
1 Der erſte, 87 ½3 ¾

1

ſ⸗ zweyte, 311 5 ⸗
dritte, 4864 ⸗

₰ vierte, 344¾ 492 . * dritte, 40 X*

⸗ vierte, 60 X⁰

2 Der erſte, 1282 ½ 4 Fl.
⸗ fuͤnfte, 64 vOů.

⸗ zweyte, 40 X 6.
. V

2

U

⸗ zweyte, duzi .
dritte, 230 ¾ 2
S „ vierte, 76942 3 2
“ſ” 8 Der erſte, 75 6

i1

3 Der erſte, 75 0. 2⸗ zweyte, 25 ⸗ 4
⸗= zweyte, 100
dritte, 130 ⸗ 9 Der erſte, 750
⸗= zweyte, 562 ½
4 Der erſte, 2 6 ⸗ dritte, 187 ¼
k:⸗- zweyte u. ſte,
vierte u. zte, 1
te, 1 . 10 Der erſte, 150 Wo)
S⸗ te, 400
5 Der erſte, 3846 ¼ 6 edein “ . 1u
zweyte, 288 7 8 .. 1
⸗ dritte, 264 44
. Vermiſchungsregel.
No. §. 767. 3 34

26 Der erſte, 2 * 3
zweyte, 4 ⸗ 116 90 8 ½ ₰ſA 8
dritte, 13 1 2 2 1X6. 5 *5 xA.— „
vierte, 4 = 3 33 X 5 0% .

V

.

Beantwortung der Uebungsaufgaben. 157

No.
4

§. 779.

Von der erſten Sorte,
24 = 8: 144⁄¾ Loth

Von der weylen Sorte, 4.
7¾ = 27 ρ 30 ¾ Loth

Man nehme von der erſten Sorte, 4
und ⸗ ⸗ zweyten ⸗ 22

Von der erſten Sorte, ½ C
⸗ ⸗ zweyten ⸗ 4 K

Von der erſten Sorte, ¾ Scheffel

g ◻△ 90

⸗ ⸗ zweyten -⸗ 2 Scheffel

Vermiſchte Aufgaben,
(Man ſehe die Vorrede Seite XII.)

124 ¾ Ellen 2=
Taͤglich 5 Stunden, d. i. * des Tages: jaͤhrlich
alſo 2* Jahr, welches fuͤr 30 Jahre betraͤgt 63¾
Jahr
34¾ Eimer
Der achte Theil, alſo 2 ½ Fl.

1

75
1X n 3 ½
Der erſte: denn dieſer laͤuft in einer Stunde ¾ Mei⸗
len, und der andere nur 5 Meilen. Es iſt aber

5* um =ræJ kleiner als 5
No.

ð

158 Anhang. Beantwortung ꝛc.

No. “

Jedes koſtet 1 ι 2 6⁶6 R. Alle zuſammen,
6 X £ 15
9 130 Garben
10 6 Fl. 13 Xr. 1¼ ſℳ .
11 48 X 6“ 5 96 è
12 In 20 % Stunden
13 133 XCâ 8 o
14 440 Tafeln, welche 55 * koſten—
1519 XC 17 96
16 Er verlor 2 6 2 6 £
17 Den Eimer zu 1 X6 2 96 2

18 Fuͤr 30 x6.
19 Vierteljaͤhrig 16 Fl. 9 Xr. 3 . Monaͤthlich 5 Fl.
23 Xr. 1 ℳ
20 9125 *C.
21 Auf meinen roghatet kam — = v6, a meinen

Vater — 7rC, und auf mich nur noch — =
1200 6.

Anmerk. Man kann den Zuſammenhang dieſer
Bruͤche ſehr anſchaulich durch ſolche Zeichnungen darſtellen,
wie ſie in Stammtafeln vorzukommen pflegen; und es wird
nicht undienlich ſeyn, mehrere dergleichen Aufgaben fuͤr das
i8te Kapitel beyzubringen.

—õ

ſnen

ſe
ll,
d

Verbeſſerungen. .
In der Vorrede Seite VIII Zeile 10 Statt: von den lies: von
6⸗ ⸗ .„ ⸗ ⸗ 29 ſo ſogar,

1.
*
1
1
8
1
. 7
.
.
1
1
.
.

gr.

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