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S S . G

Anleitung
zum Gebrauche

meines

Rechenbuches.

Von
Friedrich Gottlieb Buſſe.

Erſter Theil.
—
.⸗ Zweyte verbeſſerte Auflage.
„
Leipzig, 1794.

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zur erſten Ausgabe.

Es war mir auferlegt und allerdings noͤthig, mich eine
Zeit hindurch von anſtrengenden Geiſtesarbeiten zuruͤckzu⸗
halten: und um den taͤglichen Veranlaſſungen dazu wider⸗
ſtehen zu koͤnnen, war es wohl das rathſamſte, meine
Nebenſtunden im voraus durch ein beſtimmtes, leichteres
Geſchaͤft zu beſetzen; wozu ich die Ausarbeitung des
gegenwaͤrtigen Rechenbuches waͤhlte. Wenn ich meine
Abſicht erreiche, hiermit ein ganz ungekuͤnſteltes, ſehr
gemeinverſtaͤndliches und ſo geordnetes Lehrbuch zu liefern,
wie es in den wirklich vorhandenen Schulen und ihren
mehrentheils ſehr zahlreichen Rechenklaſſen in der That
brauchbar und bequem iſt; ſo kann ich die Hoffnung
faſſen, manchem belaſteten Schulmanne einen Theil
ſeines Amtes zu erleichtern — eine Hoffnung, die
mich oft aufs neue ermuntert „ und zu meiner einmahl
angefangenen, nicht ſelten aͤuſſerſt oͤden Arbeit zuruͤck
gebracht hat. Es wird dabey freylich vorausgeſetzt, daß
ſich unter den vier bis füunf hundert, in Deutſchland
bereits gedruckten Rechenbuͤchern *) keines finde, wenig⸗
ſtens unter den gangbarſten von ihnen keines bekannt ſey,
welches alle die Eigenſchaften mit einander vereinigt,
2 die
*) Der wuͤrdige Hr. Prof. Scheibel hatte vor 5 Jahren (nach
dem reten Stuͤcke der bekannten mathematiſchen Buͤcher⸗

kenntniß) ſchon 325 deutſche grithmetiſche Schriftſteller
aufgefunden —

„und wie viele krifft man an,
„die man ſchwerlich finden kann. “

Vorrede

die ich dem meinigen wuͤnſche, und hier nach einander
anfuͤhren will.
1) Kein Rechenbuch ſollte nahe an Ungereimtheit
gruͤnzende Betrachtungen, verworrene Erklaͤrungen und
vernunftwidrige Beweiſe enthalten — Unvollkommen⸗
heiten, wogegen die ebenfalls nicht fehlenden falſchen
Rechnungsregeln kaum in Betrachtung kommen, ſo we⸗
ſentliche Beraubungen *) uͤbrigens auch dieſe ben jedem
Rechenbuche ſind.
Kaum brauche ich es zu erwähnen, daß es ſchon
ſehr viele Rechenbuͤcher giebt, denen ich dergleichen Vor⸗
wuͤrfe zu machen weit entfernt bin. Aber in Ruͤckſicht
auf die meiſten unter den gangbarſten Rechenbuͤchern
glaubte ich mich zu dieſer Warnung verpflichtet. Das
Lehrbuch der Rechenkunſt iſt es doch wohl, was ſo man⸗
cher Schulmeiſter als das non plus vltra ſeiner gelehr⸗
ten Verſtandesuͤbung betrachtet. Unter allen Gruͤbe⸗
leyen ſollte man auch wohl die arithmetiſchen, als die
unſchaͤdlichſten, ſolchen Maͤnnern empfehlen koͤnnen, deren
Lehramt, iſolirte Lage und andere Umſtaͤnde es mehren⸗
theils ſo mit ſich bringen, daß dem Denkenden und Kum⸗
mmervollen unter ihnen irgend eine Art von Gruͤbeley Be⸗
duͤrfniß wird. Iſt es nun nicht traurig, und von ander⸗

weitig gem wichtigen Einfluſſe, wenn er dieſes Beduͤrfniß
bey

*) Falſche Rechnungsregeln mittheilen, iſt nicht etwa nur

ein negirtes, ſondern ein negatives Rechnenlehren, alſo
tein bloßer Mangel, ſondern eine Beraubung. Mie
wenigſtens ſcheinen die hieher gehoͤrigen Begriffe aus
Kants Verſuch, den Begriff der negativen Groͤßen in die
Weltweisheit einzufuͤhren, einleuchtender als die metha⸗
phyſiſchen Syſteme, worin neben den Uebeln des Mangels
kein Platz fuͤr die Uebel der Beraubung vorhanden iſ.

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zur erſten Ausgabe. v

bey einem Buche befriedigen muß, deſſen ſo genannte
Erklaͤrungen und Beweiſe, wonach er duͤrſtet, recht dazu
gemacht ſind, ſeinen geſunden Menſchenverſtand zu ver⸗
wirren, und ſein natuͤrliches Gefuͤhl fuͤr Schicklichkeit
und Ordnung zu vernichten? Ich mag und will nicht
wehe thun, nicht Maͤnner kraͤnken, die fuͤr das, was
ihnen Wiſſenſchaft ſchien, den lobenswuͤrdigſten Eifer
bezeigt, Tag und Nacht gearbeitet und mit unter manchen
nuͤtzlichen Richtweg bekannt gemacht haben: ſonſt koͤnnte
ich deutlich und uͤberzeugend genug durch Beyſpiele reden.
Vielmehr wende ich mich ſogleich zu einem zweyten Grund⸗
ſatze, deſſen Vernachlaͤßigung mir eine von den Haupt⸗
urſachen ſcheint, warum die beſten unter den vorhandenen
Rechenbuͤchern ſo wenigen Eingang gefunden haben.
2) Ein Rechenbuch, das moͤglichſt gemeinfaßlich
ſeyn ſoll, muß ſeine Rechnungsregeln unmittelbar auf den
gemeinen Menſchenverſtand, auf ſolche Schluͤſſe, Re⸗
densarten und Begriffe gruͤnden, die uns ſchon im gemei⸗
nen Leben ganz gelaͤufig geworden ſind, und ſich bey jeder
einzelnen Anwendung von ſelbſt darbieten. Es muß die
Gruͤnde von der Zweckmaͤßigkeit eines vorgeſchriebenen
Verfahrens ſogleich in die dabey gebrauchten Redens⸗

arten ſelbſt hinein zu legen ſuchen, und wenn ja noch

andere Beweiſe noͤthig ſind, ſolche nicht uͤber die naͤchſten
Gruͤnde hinaustreiben, womit ſich nach vergeſſenen
Schuljahren der vernuͤnftige Geſchaͤftsmann — und waͤh⸗

rend des alltaͤglichen Rechnens nicht ſelten der Mathemae

tiker ſelbſt — zu befriedigen pflegt.
Hier wage ich es auch von denen Rechenbuͤchern
abzugehen, welche von eigentlichen Mathematikern ge⸗
ſchrieben, alſo uͤbrigens mehrentheils richtig und gut ſind.

Ein Mathematiker, dem Verhaͤltniß und Proportion,

. 3 ihre

Vorrede

ihre aus der Definition flieſſenden allgemeinen Eigen⸗

ſchaften, die Convention der gleichen Verhaͤltniſſe in ein⸗

zelnen Faͤllen, und die darauf gegruͤndete Anwendung
der allgemeinen Regel auf jeden ihr untergeordneten
Fall — ein Mathematiker, ſage ich, dem alle dieſe Be⸗
griffe und Verſtandeshandlungen — und ihre deutliche
Ueberſchauung, worauf es doch bey der Ueberzeugung
eigentlich ankommt — ganz alltaͤglich geworden ſind, kann

es à priori ſchwerlich einſehen, daß eben dieſes Verfah⸗

ren fuͤr andere Menſchen nicht ſo ganz lichtvoll und kinder⸗
leicht ſeg. Und wenn er, um ſich ſehr herabzulaſſen,
das Allgemeine in den Begriffen und Beweiſen (und
damit zugleich das Weſentliche in dieſem Gange der
Ueberzeugung) vermeidet, nur durch haͤuſige Inductionen
etwas den abſtracten Regeln aͤhnliches darzuſtellen ſucht:
ſo glaubt er den gluͤcklichſten Mittelweg zwiſchen einem
ſtrenge demonſtrativiſchen und einem bloß mechaniſchen
Rechenunterrichte getroffen zu haben.
. . . . . . . . . niſu ab vno
diſcite omnes.
Die bekannte regula de tribus dire cta iſt es doch

ohne Zweifel, welche man bey Ergreifung dieſer Mittel⸗

ſtraße zunaͤchſt vor Augen hat, und ſie iſt zugleich der
einfachſte und leichteſte Vorwurf, den man zur Pruͤfung
dieſer Methode waͤhlen kann. Man denke ſich nun einen

gemeinen Rechner, der z. B. die leichte Aufgabe, 3 P.
koſten 4 ., es koſten 7 P. alſo 9 ½ X., als Propor⸗

tionalſatz mit ſeiner moͤglichſten, auf dieſen einzelnen

Fall angewandten Ueberzeugung berechnen ſollte; wie

wuͤrde er ſich wohl daruͤber aͤußern muͤſſen?
„Der Anſatz, 3z G: 4 X 0 = 7 S:? W. muß er

vdelken . hat in der hergeſchriebenen Ordnung noch gar
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zur erſten Ausgabe. vVr

„keinen Sinn; ſondern ich muß mir ſtatt deſſen vorſtellen .

3 B: 7 XC = 4 XC: E.
„ Demn nun erſt finden die Fragen Statt, wie das erſte
„Glied in dem zweyten euthalten ſey, und ob eben ſo
„»auch das dritte Glied in dem vierten enthalten ſeyn
„muͤſſe? Da ich nunmehr allerdings einſehe, daß eben
„ſo wie 3 1, in 7 W, ſtecken, eben ſo auch der Preis
„von 4 , in dem Preiſe von 7 ſe, ſtecken muͤſſe; ſo
„bin ich uͤberzeugt, daß zu den gegebnen 3 Zahlen, in
„dieſer letzten Ordnung geſchrieben, die geſuchte Zahl von
„Thalern gerade die 4te Proportionalzahl ſeyn muͤſſe.

„Nun weiß ich ferner, daß man uͤber haupt, in jedem

„Falle, die vierte Proportionalzahl findet, wenn man
„die Zahlen der beyden mittlern Glieder in einander mul⸗
„kiplieirt, und das erhaltene Produect durchs erſte divi⸗
„dirt — Wenigſtens glaub ich es, daß dieſe Regel ſo
„allgemein ſey. Man hat mir viele einzelne Faͤlle
„vorgelegt, wo ſie zutrifft: meine Lehrer wollten mir
„auch zeigen, warum ſie jedesmahl nothwendig zutreffen
„muͤſſe; dieſen allgemeinen Beweis uͤberſah ich freylich
„nicht zu meiner voͤlligen Befriedigung, weiß aber nun
„doch, daß es dergleichen giebt — Alſo geſchehe wie geſagt
„iſt: 4 mahl 7 (oder 7 mahl 4, denn das giebt ja am
„Ende doch einerley) iſt 28, durch 3 dividirt, giebt
„»zum Facit 9 ¼; und dieſe gefundene dahl muß Thaler
„anzeigen, denn u. ſ. w. *

Giebt es wohl viele RNichtmathematiker, d deren Ueber⸗
zeugung nach der vorerwaͤhnten Methode noch ſo ſtark
wird, und im Nothfalle ſo ordentlich vorgetragen werden
koͤnnte, als ich es hier geſchildert habe? Und wie vieles
gaͤbe es nun noch zu fragen und zu beantworten, bis man
*4 vooͤllig

VIII

Vorrede—

voͤllig verſichert wͤre, daß die Proportionsregel mit aus⸗
fuͤhrlicher Ueberzeugung gebraucht werde. Und wie viele

andere, weit ſchwierigere Schluͤſſe und welche, nur durch
Ueberſchauung erreichbare, Ordnung in dieſen Schluͤſſen

muß man nicht erſt vorausſetzen, wenn man nach indirecten
und zuſammengeſetzten Verhaͤltniſſen mit wahrer und voll⸗
ſtaͤndiger Ueberzeugung rechnen will!

Gern gebe ich es zu: Rechenſchuͤler, die einen eigent⸗

lichen Mathematiker zum Lehrer haben, werden auch nach

dieſer Methode weit eher zum vernuͤnftigen Rechnen gelan⸗
gen als andere, die anfangs blos mechaniſch rechnen ler⸗
nen und ſich nur mit der Zeit durch eigenen Antrieb eine
auf die gewoͤhnlichſten Faͤlle paſſende natuͤrliche Mathema⸗

tik ausbilden. Aber was wird in den Haͤnden der mei⸗
ſten Schullehrer aus dieſer Methode werden? Man ſchlieſſe

hier de minori ad maius, von demjenigen, was eigent⸗

liche Rechenmeiſter mit Bedacht uͤber Verhaͤltniß und Pro⸗

portion fuͤr jede Meſſe drucken laſſen, auf dasjenige, was

an muͤndlichen Erlaͤuterungen daruͤber taͤglich und ſtuͤndlich

zu Tage kommen mag! Wer wollte es aber wohl von den
guten Maͤnnern, die den meiſten Rechenunterricht ertheilen

muͤſſen, ohne Unbilligkeit verlangen, daß ſie ſich neben

ihrem ſauren Tagewerke eine ſo ſchwer zu erlangende Be⸗
ſtimmtheit und Fertigkeit in der wiſſenſchaftlichen arithme⸗
tiſchen Sprache erwerben ſollten; ohne welche man doch uͤber
Verhaͤltniſſe und Proportionen nicht mit einigem Gluͤcke
lehren kann? .

Wie kann man aber, ohne ſich ausdruͤcklich auf Ver⸗

haͤltniß und Proportion zu gruͤnden, dergleichen Propor⸗
tionalſatz mit Ueberzeugung berechnen?

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zur erſten Ausgabe. 1X

Die Aufgabe war

3 : 4 ρ = 7 :? x56. und wir wollen
das leſen: 3 koſten 4 *, wie viel koſten 7 ρ?

Man laſſe den Schuͤtler, bis er etwa eigentlichen ma⸗
thematiſchen Unterricht erhaͤlt, auf folgende Weiſe ſchlieſſen.

„Wenn es hieſſe, ein ſh koſtet 4 0.; ſo wuͤrden
„7 koſten? Antw. 7 mahl 4 X6.. d. i. 2 8 X6.*) Da
„nun aber nicht ein t ſondern ſchon 3 fſh fuͤr 4 ver⸗
„kauft werden; ſo iſt die Waare 3 mahl wohlfeiler,
„koſten alſo die 7 nur den drirten Theil der eben ge.
„fundenen 2 8 , alſo nur? Antw. 9 ½ * .

So ethaͤlt der gemeine Rechner mehr wahre, fuͤr ihn
uͤberſehbare und zweckmaͤßige Ueberzeugung von der Rich⸗
tigkeit ſeines Verfahrens, als wenn man ihn durch die
Proportionsregel ſchluͤpfen laͤßt. Die weitere Ausfuͤh⸗
rung gehoͤrt fuͤr die zweyte noch ruͤckſtaͤndige Haͤlfte dieſes
Rechenbuches, worin ich dann auch zeigen werde, wie man
nach der bekannten Kettenregel — und nach der, leider! nicht
mehr allzu bekannten, faſt aus der Mode gekommenen – waͤl⸗
ſchen Practik mit aͤhnlicher, zweckmaͤßiger und zureichender
Ueberzeugung rechnen koͤnne. Andere Aufgaben aus der
Regula quinque, ſeptem, nouem &c. direécta
et inuerſa, werde ich nach der, in aͤhnlicher Hinſicht vor⸗
treflichen, Baſe dowiſchen Regel behandeln, die ich
ſchon vor mehrern Jahren in unſern paͤdagogiſchen Unter⸗
7 hand⸗
*) Das Wort mahl giebt hier hinlaͤngliche Ueberzeugung
von der Richtigkeit dieſer Antwort, und man muß beym
uͤberzeugenden Unterricht nie ein zweytes Wort gehrauchen,
wenn es an dem erſten ſchon genug iſt.

Vorrede

handlungen vorlaͤufig bekannt gemacht habe*). Die zweyte
Haͤlfte dieſes Buches wird alſo das Eigenthuͤmliche meiner
Arbeit enthalten, was mich zu ihrer Unternehmung er⸗
muntern konnte; weil ich dort erſt hauptfſaͤchlich Gelegen⸗
heit haben werde, den angefuͤhrten Grundſatz zu benutzen.

Doch muß ich ſchon ma nches in dieſer erſten Haͤlfte darnach

zu beurtheilen bitten, z. B. die Erklaͤrnng der Multipli⸗
cation und die beyden neben einander gebrauchten Erklaͤ⸗
rungen der Diviſion. Jene liegt ohne Zweifel dem Ge⸗
brauche des gemeinen Lebens weit naͤher, wenn ich ſage,
eine Zahl durch 7 multipliciren heißt eine Zahl 7 mahl
nehmen, als wenn ich ſage, durch 7 multiplieiren heißt
eine Zahl ſo oft ſetzen, als die? ſelbſt Einheiten enthaͤlt:
dieſe iſt darum zwiefach, weil man ſich beym gemeinen
Rechnen bald auf die eine, bald auf die andere zunaͤchſt
zu gruͤnden pflegt. e)
3) Wenn

* ) Wie ſchwierig und ſchaͤdlich es ſey, alles in eine einzige

Rechnungsregel hineinzwingen zu wollen, kann nicht ge⸗

hoͤrig in die Augen fallen, wenn man etwa ein Rechenbuch
durchſieht, worin dergleichen verſucht iſt: weil man darin
die Aufgaben fuͤr die Regel — uͤbrigens alſo freylich nicht
die Regel fuͤr die Aufgaben — gewaͤhlt hat.
**) Sollte man etwa mich ſo verſtanden haben, als ob ich
laugnen wolle, daß der Diviſor eine benannte Zahl ſeyn koͤnne;
ſo waͤre das ein ſehr offenbarer Mißverſtand, den ich indeſſen
nunmehr durch *s 158 ganz unmoͤglich gemacht habe. Ich
hatte ja ſchon in der erſten Ausgabe derjenigen Erklaͤrung
von Diviſion den Vorzug gegeben, nach welcher man ſucht,
wie oft der Diviſor im Dividenden ſteckt! Nach dieſer Erklaͤ⸗
rung iſt aber der Diviſor nothwendig eine benannte Zahl, ſo

oft es der Dividende iſt, und der Quotient allemahl eine

unbenannte Zahl. Legt man dagegen die Erklarung zum
Grunde: eine Zahl durch n dividiren heißt ihren nten Theil
finden,

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zur erſten Ausgabe. XI

Newte 3) Wenn uͤbrigens mehr Beſchreibungen als Er⸗
che meiner klaͤrungen vorkommen; ſo iſt das ebenfalls zweckmaͤßig.
hnung er Wie viele Menſchen pflegen doch wohl die netteſten Er⸗

Ellgen klaͤrungen wirklich als ſolche zu behandeln und zu be⸗
übengen. trachten?
fe Mnh 4) Erklaͤs⸗
Mllnzt finden; dann iſt der Diviſor offenbahr eine unbenannte Zahl,
ten Gn und dagegen der Quotient benannt oder unbenannt, je nach⸗
U dem Ge⸗ dem es der Dividende iſt.
lrich ſoge Ausreichend iſt jede von dieſen Erklarungen. Nimmt
A me man die erſte an, ſo muß man zeigen, wie und warum der
ſen f Quotient den nten Theil des Dividenden angiebt, wenn die

Zahl des Diviſors niſt. Nimmt man die zweite an, ſo muß man

Aehae
Marſit darthun, wie und warum die Zahl m des Quotienten anzeigt,

Eminn daß der Diviſor im Dividenden mmahl enthalten iſt. Bey⸗
Nr uricſe des beruhet darauf, daß n mahl m Stuͤck auch mmahl n
Stuͤck ſind. (§ 153. 5 96 und 5§ *97).
3) Venn Soll ich nun zwiſchen beyder Erklaͤrungen waͤhlen, ſo
r inge gebe ich der erſten den Vorzug, und zwar nicht etwa
nicht ee⸗ deshalb weil 4 8: : 12 ρ = 1: 3 iſt, denn es iſt ja
Nechentch eben ſo gut auch 4: 1 = 12 : 3 :
won dorit ſondern außer den Gründen, die ich ſchon in der erſten
lich nict Ausgabe angedeutet, und nunmehr in *s 157 durch ein
Par Bepyſpiele belegt habe, hauptſaͤchlich deshalb, weil
,tt wie durch wiederholte Addition multiplieirt, eben ſo durch
ſeuniune wiederholte Subtraction dinidirt wird. Auch wird man bey
üdeſen dieſer Erklaͤrung vorzuͤglich gut fahren, wenn man dereinſt zwi⸗
te, N ſchen entgegen geſetzten, poſitiv und negativ geſetzten Groͤßen
Erkttunn zu dividiren und zu proportioniren hat.
nan ſich, Fuͤr die Abſicht dieſes Buches aber ſchien es mir dienlich,
eir Eiſ⸗ indem ich das Verfahren der Diviſion lehrte, auf beyde obi⸗
tegfl 0 gen Erklaͤrungen Ruͤckſicht zu nehmen, weil man bald nach
naohl eine der einen, bald nach der andern am leichteſten einſieht;
hung un warum man jenes Verfahren anzuwenden habe.

in Ml
ſhen⸗ . D

Vorrede

/
4) Erklaͤrungen ſtehen daher an einem Orte, woe

. ls nichts helfen; wenn
i Anfaͤnger meiſtenthei D
ſenahl d erklaͤrten Sache vorangehen. ah elſzer
man auch in das entgegengeſetzte Extrem, wenn n

hauptet, daß die Erklaͤrungen allemahl am n ge n
Kapitels ſtehen muͤſſen. Die § phen 91 an cn e.
d 5 ten Kapitel ſtehen hoffentlich an ihrem grſinder
Biele Erklaͤrungen, die man ſonſt in Rechenbuͤcher iſchen
worin man gewoͤhnlich ein Kapitel von der matbenu u
Lehrart aus den Wolfiſchen Schriften entlehnt dal ne an
von mir mit Vorbedacht gaͤnzlich deengeſnen ne ver⸗
keinem Orte etwas fruchten wuͤrden, un den wir hier
mißt werden. Zahlreiche Eererniſ aine Wiſſenſchafft ſeyn
. untniß eine W WD
gegerl, beihre Re bey der gegewittigen Een
richnn gder mathematiſchen Lehrbuͤcher, ineng ener MB
Schwierigkeiten einiger hoͤchſt wenigen l irgend je⸗
teten, wirklich demonſtrativen Rechenbuͤcher, ben ſollte
mand, der die Arithmetik wiſſenſchaftlich inne harer in det
ohne zugleich auch ſo viel Kenntniß und eyſi noͤthig
Buchſtabenrechnung zu beſitzen, als zum

D . eſtehen.
iſt um das Rechenbuch eines Kaͤſtners zu verſteh
„

uaͤ⸗
Dieſes Rechenbuch *) duͤrfte man alſo wohl aig den Pes⸗
feſtein vorlegen, wenn die Frage entſtehen ſo iit wiſſen⸗
wahrſcheinlich ſey, daß jemand die Arithmet
ſchaftlich ſtudirt habe.

5) Meines Wiſſens iſt noch kein ite heet
halten h .
druckt, worin man es faͤr noͤthig gehe ſeiß
der Rechenkunſt in An⸗
*) Unter dem Titel: Fortſetzung Ra
1endangen auf mancherley Geſchaͤfte, von 4. G. Ké aſt⸗
ner. Göttingen, 1786.

reim
Preche
ausͤſet
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16, 16

zur erſten Ausgabe. XIII

weiß und roth jedesmahl ſchneefarbig und roſenfarbig zu
ſagen, ob gleich weiß und roth allgemeine Begriffe ſind.
Man trant den Kindern auch die mit den Worten Menſch,
Thier, Ofen u. dergl. verknuͤpften Notionen zu; und un⸗
gereimt waͤr es freylich, irgend jemand, mit dem man
ſprechen will, und bey dem man alſo Sprachgebrauch vor⸗
ausſetzt, kaum ſo viel allgemeine Begriffe zuzuſchreiben,
als die Glucke zeigt, welche nicht nur gewiſſe Individua,
ſondern das ganze Geſchlecht der Habichte kennt und unter⸗

ſcheidet. Nicht gar weit aber ſcheint man von der Vorſchrift

entfernt zu ſeyn, daß man dem angehenden Rechenſchuͤ⸗
ler nicht vorſagen duͤrfte, 4 und 3 ſind 7; das waͤre gar
zu abſtract: es muß heiſſen, 4 Schafe und 3 Schafe ſind
7 Schafe, 4 Aepfel und ² Aepfel ſind 7 Aepfel, 4 Bir⸗
nen und 3 Birnen ſind 7 Birnen. Wenn es irgendwo
eine Art von Geſchoͤpfen gaͤbe, die zu den vernuͤnfti⸗
gen gehoͤrten, und dennoch in dem Alter, wo ſie die Re⸗
chenkunſt erlernen ſollten und muͤßten, noch ſo wenig re⸗
flectirt haͤtten, daß ſie den Satz, 4 und 3 ſind uͤberhaupt 7,
noch nicht abgeſondert verſtehen, ſondern nur durch jene
Inductionen begreifen und faſſen koͤnnten — dann wuͤrde

man vielleicht die Methode eines Lehrers verehren, der

ihnen dieſes Erkenntniß eroͤfnete, damit er ſeinem Lehr⸗
vortrage einige Nettigkeit geben koͤnnte, und nicht je⸗
desmahl die Nebenvorſtellung der Schafe, Aepfel und
Birnen hinein zu miſchen brauchte, ſo oft er von Zahlen
zu reden hat. Und wir halten es fuͤr methodiſch, unſere
jungen Menſchen von der erſten Stufe der Vernunft
wieder hinunter zu ſtoßen, die ſie ſchon erſtiegen hatten,
ehe ſie methodiſch behandelt wurden? — — Irgendwo
habe ich freylich, in einer uͤbrigens recht guten Ab⸗
handlung geleſen „daß es gar keine unbenannten Zahlen
gebe.

Vorrede

gebe. Wenn das iſt, ſo muß man allerdings nicht damit
rechnen lehren; ſo bedarfs aber auch dieſer Warnung nicht.
Geſetzt dann, ich laſſe den Schuͤler lernen, 2 mahl 3 Aepfel
ſind 6 Aepfel, 2 mahl 4 Fuͤße ſind 8 Fuͤße, 2 mahl 5 Bir⸗
nen ſind 10 Birnen — das verſteht doch der Schuͤler, iſt
richtig, wahr und anſchaulich geſprochen — Denkt man
ſich aber bey dieſen Saͤtzen die Zahl 2 als eine benannte,
oder vielmehr als eine unbenannte Zahl? Man frage das
Kind, ſo viel man will; es wird keinen Nahmen fuͤr die
Einheit der Zahl 2 zu beſtimmen wiſſen. Sich dieſe Zahl 2
etwa als eine benannte Zahl vorzuſtellen, deren Einheit
aus 3 Aepfeln, 4 Fuͤßen oder 5 Birnen beſtaͤnde, wuͤrde

ihm wahrlich weit ſchwerer fallen, als wenn es ſich, wie

er hier von ſelbſt thut, die Zahl 2 als eine unbenannte Zahl
vorſtellt, bey der man auf den Nahmen der Einheit gar

keine Ruͤckſicht nimmt, ſondern nur auf die Art ſieht, wie

ſie ſelbſt durch Wiederholung ihrer Einheit entſteht. Dieſer
Begriff von der Wiederholung eines ſchon einmahl gedach⸗
ten macht den Begriff der Zahl aus. Will man unter⸗
ſuchen, ob ein Kind ſich dieſen Begriff von der Wiederho⸗
lung, der ihm taͤglich ſo oft wiederkehrt, ſchon hinlaͤnglich
abgeſondert habe, um mit unbenannten Zahlen rechnen zu
koͤnnen; ſo laſſe man es etwa Birnen zaͤhlen, nachdem es
ſchon Aepfel gezaͤhlt hat. Zaͤhlt es die Birnen ohne Anſtoß
eben ſo, wie es vorher die Aepfel gezaͤhlt hatte: ſo hat es
ſeine Feuerprobe uͤberſtanden, ſo kann man verſichert ſeyn,
daß es nicht bloß wiſſe, was 4 Aepfel und 4 Birnen ſind,
ſondern daß es mich auch verſtehe, wenn ich ihm geradezu
von der Zahl 4 ſpreche, der unbenannten Zahl .

Sehr angenehm war es mir zu erfahren, daß meine
Melnung in Abſicht des erſten Rechnens durch benannte oder

unbe⸗

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hnuug nicht,
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Nntt man
e benaunte,
n frage dir
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inde, phte
ſc, i
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ſiht, n
1. Deſer
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Viederho⸗
nlamtch
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hne uſ⸗
Phtt ⸗
ſcert ſeyn,
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14

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2

zur erſten Ausgabe. xv

unbenannte Zahlen, mit dem Urtheile des Hrn. Prof.
Baſedomw uͤbereinſtimmt, der ſich wohl mehr als irgend
einer von den Vaͤtern der Paͤdagogik mit pſychologiſch⸗arith⸗
metiſchen Betrachtungen beſchaͤftigt hat. Vielleicht findet
man auch bey eigener Durchſicht dieſes Rechenbuches, daß
beſonders durch den haͤufigen Gebrauch der Punete fuͤr die
Anſchaulichkeit der Zahlbegriffe hinlaͤnglich geſorgt werden
koͤnne, ohne daß man jeder primitiven Einheit einen Nah⸗
men beyzulegen ſucht. Wer dies indeſſen fernerhin — ſo
weit es moͤglich iſt — fuͤr nothwendig haͤlt, der kann es

anm beſten den Schuͤlern ſelbſt uͤberlaſſen, z. B. die Zahlen

in §. 66 und 84, die Multiplisanden in §. 9 8 u. dergl. mit
einem beliebigen Nahmen zu belegen. Etwas auffallend iſt
es, wenn man betrachtet, wie der Rath, den Rechenun⸗
terricht mit benannten Zaͤhlen zu eroͤfnen, gemeiniglich
verſtanden wird. So wie man naͤhmlich in den Rechen⸗
buͤchern, unter dem viel zu unbeſtimmten Titel der 4 Spe⸗
cien in benannten Zahlen, bloß die Behandlung ſol⸗
cher Zahlen zu beachten pflegt, welche ſortirt wer⸗
den; ſo glaubte man nun auch, daß jener Rath es erfor⸗
dere, dieſe Rechnung mit den ſortirten Zahlen gleich an⸗
fangs vorzunehmen. Dergleichen Anordnung oder Un⸗
ordnung — ſollte ſie auch ihr Daſeyn bloß dieſem ſonder⸗
baren Mißverſtaͤndniſſe zu verdanken haben — iſt vielleicht

nicht ſo geradezu zu verwerfen, wenn 1) die moͤglichſt an⸗

genehmſte Unterhaltung des Schuͤlers, 2) Verſtandes⸗
uͤbung und nicht Kunſtfertigkeit und Gedaͤchtnißuͤbung die
Hauptabſicht bey dem erſten Rechenunterrichte ſind, und
wenn 3) der Lehrer entweder nur ſehr wenige Schuͤler
vor ſich hat, oder doch eine ſo auſſerordentliche Aufgelegt⸗
heit beſitzt, daß er auch bey der ordnungsloſeſten und
ſchwierigſten Methode einen großen Haufen in Ordnung
2 K und

Vorede

und Thaͤtigkeit zu erhalten weiß. Werden aber dieſe Bedingun⸗
gen verworfen, wie es im Allgemeinen geſchehen muß; ſo
faͤllt es uͤbrigens wohl in die Augen, daß man eine Rechnungs⸗
art B nicht vor einer Rechnungsart A vortragen müſſe: wenn
bey A etwa nur 3 Regeln, bey B aber auſſer dieſen 3 Regeln
etwa noch doppelt ſo viel andere zu beobachten ſind, und
uͤberdies das Verfahren A fuͤr ſich genommen, ſchon eine ganze
und ſehr oft gebrauchte Rechnungsart ausgemacht; ob ſie gleich
bey der B nur als ein Theil der B und als eine Huͤlfsrechnung
vorkommt. A und B ſind erlautert, wenn man ſich unter A das
ſo genannte Dividiren unbenannter Zahlen — eigentlich ſolcher
Zahlen, die ſich nur auf einerley primitive Einheit deziehen —
und unter B das Addiren ſortirter Zahlen denkt.
6) Zu den bloß mechaniſchen Rechenbuͤchern wird man das
gegenwaͤrtige hoffentlich nicht zaͤhlen; aber auf mehr Gedaͤchtniß⸗
uͤbung und Kunſtfertigkeit dringt es, als einige fuͤr noͤthig zu
halten ſcheinen. Haͤtte ich etwa vor 6 oder 8§ Jahren ein Re⸗
chenbuch geſchrieben; ſo wuͤrde es freylich auch nur auf Verſtan⸗
desuͤbung abgezweckt haben. Jetzt bin ich uͤberzeugt, daß der
Schade unerſetzlich iſt, wenn man das mechaniſche Gedaͤchtniß
bey dem erſten Rechenuntertichte verabſaumt, und daß man da⸗
gegen einen Juͤngling, der auch nur ganz mechaniſche Kunſt⸗
fertigkeit erworben haͤtte, nicht nur bey den Rechengeſchaͤften des
gemeinen Lebens, ſondern auch als einen Schuͤler der Mathe⸗
matik ungleich anſtelliger finden wird, als einen andern, der Jahre
lang an arithmetiſchen Fragen, Betrachtungen und Erzaͤhlun⸗
gen hautſaͤchlich nur ſeinen Verſtand geuͤbt hat. Ob es nun
gleich bey dieſem Buche meine Hauptabſicht geweſen iſt, alle darin
vorkommenden Gruͤnde aufs moͤglichſte in den Unterricht des
mechaniſchen Rechnens ſelbſt dergeſtalt zu verweben, oder doch
ſo vorzutragen, daß ihre weitere Fortpflanzung weder auſſeror⸗
dentliche Lehrer noch Schuͤler voraueſetzt; ſo verdient dennoch
kein Schullehrer daruͤber Vorwuͤrfe von ſeinen Obern, wenn er
etwa auch die hier vorgetragenen Gruͤnde nicht ſogleich vollſtaͤn⸗

ditg beyzubringen weiß. Wer 20, 30 oder noch mehr perpetus

mobilia vor ſich hat, mag freylich manchen Schriftſteller benei⸗
den, der ſich ſeine Schuͤler auf der einen Seite ſo aufmerk⸗
ſam und geduldig, und auf der andern wiederum ſo lebhaft und
ſcharf⸗

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zur erſten Ausgabe. XVII

ſcharfſinnig ſchofft, als er ſie jedesmahl zu wünſchen hat. Beſon⸗
ders koͤnnte der Fall gleich anfangs bey der Numerotion eintre⸗
ten, daß das fluͤchtige Kind nicht alles von der Theorie der Zah⸗
lenordnungen u. dergl. hoͤren wollte, und eben deshalb auch
nachher bey der Addition, Subtraction, Multiplication und Di⸗
viſion anfangs lieber mechaniſch als nach Gruͤnden verfuͤhre *).
Werdet daruͤber nicht mismuͤthig, meine Freunde! Fuͤr das Re⸗
chenkind iſt es Hauptſache, mechaniſche Fertigkeit zu erwerben.

Nach und nach wird es von ſelbſt immer mehr Sinn und Ge⸗

ſchmack fuͤr die Gruͤnde des Rechnens bekommen; beſonders wenn
die Veranlaſſung dazu ſchon in die beym mechaniſchen Rechnen
gebrauchten Redensarten ſelbſt hinein gelegt iſt, und es ein Re⸗
chenbuch in der Hand hat, was in dieſer vinſicht zu ſeinem ei⸗
genen Gebrauche geſchrieben iſt.
7) Aller Vorſchlaͤge, Kunſtgriffe und Methoden, welche
nur von vorzuͤglich aufgelegten Lehrern, oder nur mit wenigen
Schuͤlern gluͤcklich ausgeuͤbt werden koͤnnen, und aller Neue⸗
rungen, die auffallend und vermeidlich waren, habe ich mich
ſorgfaͤltig enthalten. Der Ausdruck, multipliciren, hat ſeine be⸗
kannte Schwierigkeit, ſobald man auf die Bruͤche kooͤnmmt. Sie
laßt ſich aber durch die Seite 53. §, 102. ſchon vorldufig ange⸗
zeigte Weiſe ziemlich unvermerkt heben; wenn man nur nicht,
zur Vermehrung der Schwierigkeit, das lateiniſche Wort mul⸗
tipliciren in das deutſche vermehren uͤberſetzt hat. Das Bor⸗
gen beym Subtrahiren iſt allerdings ein haͤßliches Borgen, in
ſo fern man nie ans Wiedergeben denkt: aber auch dieſer Aus⸗
druck iſt ſchon ſo allgemein eingeführt, daß es am beſten war,
ihn fernerhin beyzubehalten. Ich wuͤrde wichtigere Faͤlle anfuͤh⸗
ren, wo ich mancher Bedenklichkeiten ungeachtet beym Alten
geblieben bin; wenn ich nicht hoffen duͤrfte, man werde es die⸗
ſem Rechenbuche uͤberhaupt gar bald anſehen, daß es moͤglichſt
auf den breiteſten und gebahnteſten Wegen fort zu fuͤhren ſucht,
um vielen nuͤtzlich zu werden.
8) So

*) Als ein vortruffliches Huͤlfsmittel, Achtſamkeit auf die Ge⸗
ſetze der Zifferſtellnng zu erregen, muß ich noch jedem Leh⸗
rer die Erfindungsgeſchichte empfehlen, welche in dem vier⸗
ten Theile des Semmleriſchen und Schuͤtziſchen Ele⸗
mentarwerks — nicht laͤppiſch taͤndelnd, ſondern mit Ge⸗
ſchmack und zweckmaͤßiger Laune erzaͤhlt iſ.

XVIII Vorrede zur erſten Ausgabe.

9) So deutlich als ich es nur wuͤnſchen duͤrfte, haͤtte ich
ſi einen jeden geſchrieben, dem es ſcheinen ſollte, als ob es
hm gerade eben ſo aus der Feder flieſſen wuͤrde, wenn er ohne
alle Anſtrengung ein aͤhnliches Rechenbuch geradezu hinſchreiben
wollte. — Wahrhaftig launige Schriftſteller, die das komiſche
in die Sache ſelbſt zu legen wiſſen, machen uns ſo ganz natuͤr⸗
lich zu lachen, daß wir glauben, es muͤſſe uns eben ſo gelingen —
bis wir einige vergebliche Verſuche angeſtellt haben. Doch

bin ich weit davon entfernt, meine gegenwaͤrtige Arbeit mit
irgend einem Genieproducte qua tali vergleichen zu wollen —

Ueberhaupt muß ich jeden Beurtheiler, dem es waͤhrend dieſer
Vorrede ſcheinen ſollte, als ob ich einen vorzuͤglichen Werth
auf dieſe meine ſchriftſtellerliche Arbeit legte, angelegentlich
bitten, mehrere andere Vorreden vor den gewoͤhnlichen Rechen⸗
buͤchern ebenfalls durchzuleſen. Dann wird es hoffentlich ein⸗
leuchten, daß ich meine Farben etwas ſtark auftragen mußte,
um einigen Eindruck auf verwoͤhnte Leſer zu machen — und
daß ich auch keinesweges zu vieles Latein hineingebracht habe.
Daß die in dieſem Buche fehlenden phen gerade diejenigen
ſind, welche die fuͤr den Schuͤler beſtimmte erſte Zaͤlfte eines
gemeinfaßlichen Rechenbuches ausmachen, findet man ſchon
in der Vorerinnerung jenes Buches angezeigt. Sowohl die
gegenwaͤrtigen, hauptſaͤchlich fuͤr den Lehrer beſtimmten 7 Bo⸗
gen, als vorzuͤglich jene haupt ſaͤchlich fuͤr den Schuͤler gehoͤrigen
12 ¼ Bogen, koͤnnen allenfalls fuͤr ſich genommen als ein ge⸗
wiſſes Ganzes, wenigſtens in den meiſten Kapiteln, betrachtet
und als ein ſolches durchleſen werden. Eigentlich aber machen
dieſe beyden Buͤcher nur eins aus, ſind zu einem neben einan⸗
der fortgehenden Gebrauche eingerichtet. Die gegenſeitigen Cita⸗
tionen werden um ſo weniger Schwierigkeit machen, je leich⸗
ter man es an den beſtirnten oder nicht beſtirnten Zeichen *s.
oder g§. bemerken kann, ob die eitirte Stelle, wie jeder nicht be⸗
ſtirnte §. in dem Handbuche des Schuͤlers, oder wie jeder be⸗
Kirnte (*s.) in dieſem Handbuche des Lehrers anzutreffen ſey.
Deſſan, im October 1786.

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Vorrede

zur zweyten Ausgabe.

Die Paragraphen ſind nun auch ſchon in dem erſten
Theile ununterbrochen fort gezaͤhlt, um den Uebergang

aus dem Handbuche des Schuͤlers in dieſes Handbuch des

Lehrers bequemer zu machen. Wenn nur jedes allein ge⸗
bunden wird, ſo wird man dieſe Uebergaͤnge gar nicht
ſchwierig finden.

Bey der erſten Ausgabe war einiges in jenes ge⸗
kommen, was nun ſchicklicher in dieſem abgedruckt iſt.
Ferner ſind einige Rechnungsvortheile fuͤr den zweyten
Theil verſpart, und dagegen einige leichte Rechnungen
nach der Regel de Tri und der waͤlſchen Prartik ſchon in
dieſen erſten Theil gebracht; aus den Gruͤnden, die ich
ſchon in der Vorrede zur zweyten Haͤlfte der erſten Aus⸗

. gabe angefuͤhrt habe.

Etwas habe ich auch hie und da abgekuͤrzt; doch
nicht allzu viel. Freylich wurde beſonders der erſte Theil
dieſes Buches mit einer etwas aͤngſtlichen Sorgfalt und
Gewiſſenhaftigkeit ausgearbeitet, die mit meinen da⸗
mahligen Geſundheitsumſtaͤnden zuſammenhieng; und
es kam mir gegenwaͤrtig ſelbſt an mehrern Orten vor,
daß ich allzu deutlich oder umſtaͤndlich geworden waͤre:

indeſſen fand ich dennoch meiſtentheils die Urſache wie⸗

der, warum ich ein zweytes oder drittes Beyſpiel auszu⸗
fuͤhren fuͤr noͤthig gehalten hatte. Insbeſondere bitte
ich darauf zu achten, daß die umſtaͤndlichen Erlaͤuterun⸗
„* ½ . *
3 gen

Vorrede

gen nicht ſo bloß hiſtoriſch ſind, und nicht ſo den n
mechaniſche Form beabſichtigen, als es auf den e en
Aublick ſcheinen moͤchte; ſondern daß ſie ubleieh a 6
wirklich erklaͤrende Eroͤrterungen des Weſentlichen aus
machen. .

Ein betraͤchtlicher Schein der Weitlaͤuftigkeit
dadurch weggefallen, daß die Uebung aufeben ſor
hang ind. Sie werden
den Anhang aufgeſpart ſin mehr
. * wenigſtens dieſe — z
uch allein verkauft *), damit we aſten⸗ .
großen Erleichterung des Unterrichtes — in den Haͤnden
ſolcher Schuͤler ſeyn koͤnnen, denen das Rechenbuch im⸗
mer noch zu theuer iſt.

Aus dieſem allen erhellet, daß ich neuen Fleiß a
die gegenwaͤrtige Ausgabe verwandt habe, und nae wul
ich denen ſchuldig, die mich fuͤr dieſe i veloons haben,
hr Zutrauen B reichlich belohnt haben.
ihr Zutrauen und Wohlwollen re hlich L
Vor eines baldigen abermahligen Abaͤnderung dieſes Lehr

buches wuͤrde man ſchon durch die Staͤrke der Auflage

geſichert ſeyn; auch werden mir die Befhiſtig den n
nes kuͤnftigen Amtes keine Zeit dazu laſſen, Sen vhe
indeſſen eine wichtige Verbeſſerung dinde ich daftt ſpt⸗
Zeitaufwand auszufuͤhren waͤre, ſo! gen,

*) Dieſes zu thun, hatte ich dem Hrn. vereger ſee groze
einigen Jahren vorgeſchlagen. n m dirtefeht iñ
Nu ben ſehr 4
Nutzen ſolcher Uebungsaufga 1 .
Znteligend Blatte der Jenaiſchen en die⸗ eirg nder
No. 69, wo die Exempeltafeln des rn. 1
angekündigt werden. Ich fuͤhre dieſes an, um glnckliche
dem Verdachte zu ſichern, als ob ich nur das g
Nachdenken eines andern verfolgt habe.

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dadurch

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Zettund p⸗
dibers ute
,un ſich
dos Aici

zur zweyten Ausgabe. 21

gen, daß niemanden eine neue unangenehme Ausgabe
dadurch entſtehe.

Daß mein Buch nuͤtzlich geweſen ſey, iſt mir auch
aus vielen von den Rechenbuͤchern, welche nachher er⸗
ſchienen ſind, ſehr einleuchtend geweſen, und in einigen
derſelben ausdruͤcklich verſichert worden. Auch dieſe Be⸗
nutzung muß mir uͤberhaupt genommen ſehr lieb ſeyn.
Wenn wir indeſſen auf unſere eigene Darſtellung einen
ziemlichen Grad von Sorgfalt und Uebe legung ver⸗
wandt haben; ſo hat es etwas Unangenehmes, dieſes
Gewand ſogleich wieder etwas umgeaͤndert zu ſehen. Es
geſchiehet auch nur gar zu leicht, daß ein auderer eben
daſſelbe zu ſagen ſucht und glaubt, und genau betrachtet
um etwas hauptſaͤchliches davon abweichet.

tein Buch iſt wirklich ſchon auf ſolche
Weiſe benutzt, daß es mir erlaubt iſt, folgenden
Vorſchlag zu thun, und davon zu erwarten, daß er hie
und da Beyfall finden werde. Man laſſe

1) andre Uebungsaufgaben ſtatt der meinigen
drucken, (verglichen mit Seite 1V der Vorrede vor dem
zweyten Theile,) und laſſe allenfalls

2) auch den erſten Theil des Handbuches fuͤr den
Schuͤler ſo veraͤndert abdrucken, wie es die beſondern
Muͤnzſorten, Gewichte und andere Maße mancher Ge⸗
genden erfordern: gebrauche aber uͤbrigens das meinige,
wie es iſt, da ſo wohl von dem Handbuche des Lehrers,
als des Schuͤlers, jeder Theil auch einzeln gekauft
werden kann.

Jene Aenderungen werden uͤberhaupt nur den er⸗
ſten Theil, und insbeſondere das 6% — rote Kapitel be⸗
treffen,

22 Vorrede zur zweyten Ausgabe.
treffen, und dieſe koͤnnen ohne Einfluß auf die uͤbrigen
voͤllig abgeaͤndert werden.

.
7

iſt von dem verehrungswuͤrdigen Hrn. Hofr. Kaͤſtner

eine Stelle, Seite 187 der erſten Ausgabe, be⸗
ruͤhrt, die ich bloß darum nicht berichtiget habe, weil ſie

ſchicklicher gaͤnzlich weg blieb. Ein anderer, mir unbe⸗
kannter, aber ſicherlich auch ſehr gelehrter und einſichts⸗
voller Recenſent, hat in der Allgem. Deutſch. Biblio⸗
thek*) verſchiedene Bemerkungen gemacht, deren ich vor
dem zweyten Theile erwaͤhnen werde. Nur muß ich davon
hier ſchon 1) mittheilen, daß die § 186 beygebrachte
Form zu Dividiren ſchon laͤngſt in Deutſchland unter dem
Nahmen à la Portugaiſe bekannt,*) auch von dem Con⸗
ſiſtorium zu Halberſtadt vor mehrern Jahren den Land⸗
ſchulmeiſtern vorgeſchrieben ſey. (Das letztere duͤrfte
wohl gerade durch Baſedow veranlaßt ſeyn. Ich habe
einige Gruͤnde dieſes zu vermuthen, ob ich gleich durch

meine dortige Anfrage nicht gewiß daruͤber geworden bin.)

. 2) Bey den Neperſchen Rechenſtaͤben habe lich wirklich
ſchon in der erſten Ausgabe ausdruͤcklich verlangt, daß

man ſie aus duͤnnen Scheiben machen ſolle. Dennoch
wird durch meine damit zuſammenhaͤngende Veraͤnderung

zum bequemern Gebrauche, ihre Verfertigung allerdings
etwas erſchwert: aber die einmahl verfertigten
werden vielmahl gebraucht.

Deſſau, im Julius 1794.

H) im s2ſten Bande Seite 152 ꝛe. und im Anhange zu 53
bis 86. 1te Abtheil. S. 594 ꝛc. .

**) Die erſten Zeilen in *§ 186 ſind aus Verſehen unver⸗

andert abgedruckt.

In den Goͤttingiſchen gelehrten Anzeigen, 1787,

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* C

Erſtes Kapitel.

Vom Numeriren.
9. 1.

*6. 2.
uncte ſind unter allen Bildern, wodurch man an⸗
ſchauliche Begriffe von Zahlen erwecken kann,
die einfachſten und eben deshalb auch die rathſam⸗
ſten. Ihre Stellung fuͤr die Zahlen von 1 bis 10,
wie man ſie in §. 1 findet, iſt nicht bloß in Hinſicht
auf die dort angefuͤhrten Saͤtze, ſondern auch fuͤr
manchen anderweitigen Gebrauch gewaͤhlt; und ich
rathe, die Einbildungskraft der Schuͤler, waͤhrend
dem Gebrauche dieſes Rechenbuches, an jene ein
fuͤr allemahl gewaͤhlte Stellungen zu gewoͤhnen.
Deshalb koͤnnte man dieſe Bilder, etwas groͤßer
gezeichnet, an die Wand des Lehrzimmers auf⸗
haͤngen. .
*H. H..
Auch die 100 Puncte, wie ſie in §. 4. geord⸗
net ſind, koͤnnen zum gemeinſchaftlichen Gebrauche
im Großen abgezeichnet und aufgeſtellt werden.

Denn ſehr rathſam iſt es ohne Zweifel eine Menge

von 100 Sruͤck (ſo ſagt man mit Fleiß, und nicht
jedesmahl 100 Duncte) recht oft von den Kindern
uͤberſehen zu laſſen, ehe man ſie von vielen Hunder⸗
ten, oder gar von Tauſenden und Millionen ſchwat⸗

Erſtes Kapitel.

Man laſſe die 100 Puncte in §. 4. ſorgfaͤltig
uͤberzaͤhlen. In der erſten Saͤule (von der rech⸗
ten Seite angefangen) ſeht ihr zehn Stuͤck; in der
zweyten Saͤule ebenfalls zehn Stuͤck: in beyden
Saͤulen zuſammen genommen alſo zweymahl zehn
oder zwanzig Stuͤck. Noch die dritte Saͤule dazu
genommen, haben wir 3 mahl zehn oder dreyßig
Stuͤck vor Augen; und ſo uͤberſehen wir nach und
nach auch vierzig, funfzig, ſechzig, ſiebzig,

achtzig, neunzig, und endlich, wenn wir auch

die letzte Saͤule dazu nehmen, zehnzig, oder wie
man lieber ſagt, hundert Stuͤck.
Einhundert beſteht ferner, wie ihr ebenfalls an
jenen Puncten vor Augen ſeht, z. B. aus 5 mahl
10 Stuͤck und noch 5 mahl 10 Stuͤck; oder aus 6
mahl 10 Stuͤck und noch 4 mahl 10 Stuͤck u. dergl.
Hiebey benutze man auch die Zeichnungen in §. 8.
§. 6 — §. 8.

*§. 9.
Gern wuͤrde ich auch in §. 7. dem Gewoͤhnli⸗
chen treu geblieben ſeyn, und eine Menge von zehn

Stuͤck ein Zehen genannt haben, wenn nur nicht
dieſes Wort beym muͤndlichen Unterrichte ſo man⸗

cherley Unbequemlichkeiten veranlaßte, z. B. die

Verwechſelung zwiſchen dreyzehn und drey Zehen,
vierzehn und vier Zehen, oder die Nebenvorſtel⸗
lung der Zaͤhne, wenn man von Zehnen ſprechen

will. Da das Wort Dutzend und ſein Begriff im

gemeinen Leben ſehr gewoͤhnlich ſind: ſo wird es den

Anfaͤngern leicht fallen, den aͤhnlichen Ausdruck
Zeheno zu faſſen, und ſich darunter eine Menge

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Vom Numeriren. 3

von 10 Stuͤck zu denken. Von Zehenden muß
man uͤbrigens Zehner zu unterſcheiden wiſſen. Ein
Zehner heißt und iſt jede Ziffer, die ihrer Stelle
wegen ſo viel Zehende, als ihr Nahme angiebt,
nur bedeuter und anzeigt, ohne deshalb dieſe Ze⸗
hende ſelbſt zu ſeyn. Wenn ich 34 . ſchreibe; ſo
iſt die Ziffer 3 ein Zehner, welcher 3 Zehend Thaler
andeutet, aber nicht ſelbſt 3 Zehend Thaler iſt. — —
Die Schreib⸗ und Rechenmeiſter koͤnnten die reich⸗
ſten Leute von der Welt ſeyn; wenn die ſchrift⸗

lichen Zeichen, die Federzuͤge, wodurch man be⸗

nannte Zahlen andeutet, nichts anders als die be⸗
zeichneten Mengen ſelbſt waͤren. Von den aͤhnli⸗
chen Ausdruͤcken, Einer, Hunderter, Tauſender u.
ſ. w. ſehe man H. 47. und *§. 20.

5. 10.
An den 1000 Puncten in §. 10. wird man

ſehr gut uͤberſehen, daß ein Tauſend aus zehn Hun⸗
derten, auch aus hundert Zehenden beſteht.

Der Lehrer wird ſich die Muͤhe nicht verdrieſ⸗
ſen laſſen, auch dieſe 1000 Puncte im Großen zu
zeichnen, damit er auch eine zahlreiche Klaſſe aus
der Ferne darauf hinweiſen koͤnne. Noch beſſer
waͤre es, die dortigen zehn Saͤulen auf eben ſo
viel einzelnen Breterchen zu haben. Vor der
untern Querleiſte der gewoͤhnlichen Lehrtafel ließe

ſich leicht eine Rinne anbringen, in welche dieſe

Breterchen nach und nach eingeſchoben, und uͤbri⸗
gens an die Tafel ſelbſt angelehnt wuͤrden. Dann
2 foͤnnte

Erſtes Kapitel.

koͤnnte man dieſe Saͤulen erſt nach und nach vors

Auge bringen, oder auch anfangs etwas weit aus

einander ſtellen, und erſt bey dem Zaͤhlen in §. 12.

die ſchon uͤberzaͤhlten naͤher zuſammen ruͤcken,

als die uͤbrigen ſtehen.

Den Kindern ſind nun einmahl ſolche beweg⸗
liche Bilder weit lieber als die feſtſtehenden, wovon
ſie weniger Veraͤnderung hoffen. Deshalb und aus
noch andern Gruͤnden halte ich es auch fuͤr dienlich,
dergleichen einzelne Ziffern auf ſolchen viereckigen
Breterchen bey der Hand zu haben, als man in
manchen Kirchen gebraucht, um die Nummern der
Geſaͤnge anzuſetzen. Jeder Lehrer wird dieſe Ziffer⸗
breter von ſelbſt ſchon gehoͤrig zu benutzen wiſſen,
und bisweilen Zahlen zuſammen legen, die er ſonſt
nur ſchreiben wuͤrde. Indeſſen werden wir die
Faͤlle, wo ſie beſonders gute Dienſte leiſten, an ih⸗
ren Orten anfuͤhren.
8. 12. §. 1 3.
*§. 14.
Die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lernen
die Kinder ſogleich bey den Puncten in §. 1. als ſo
viel verſchiedene Zahlzeichen kennen, und haben ſie
nebſt der o auch ſchon zur Schreibung hoͤherer Zah⸗
len in den folgenden §§. mechaniſch brauchen gelernt.
Will man nunmehr den Schuͤler auf das Geſetz auf⸗
merkſam machen, wornach ſogleich die erſte zwey⸗
ſtellige Zahl 10 geſchrieben wird; ſo legt man von
den vor erwaͤhnten Zifferbretern nach und nach die

1, dann die 2, dann die 3 u. ſ. w. immer an einerley
Stelle. Zuletzt liegt die 9 an dieſer Stelle. Dann

nimmt man auch dieſe weg, legt wiederum die 1
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Vonm Nußmeriren. 3

an dieſelbe Stelle, und ſagt: nun haͤtten wir wie⸗

derum eins; aber jetzt nehme ich die Ziffer o zu

Huͤlfe. Vermittelſt dieſer o ſchiebe ich die 1 auus

der erſten Stelle weg in die zweyte hinein. Nun
haben wir 10, und leſen das 1 Zehend, oder 10
Stuͤck; denn die Ziffer 1 bedeutet 1 Zehend, ſobald

ſie an die zweyte Stelle hingeſchoben iſt.

Statt der o in 10 nunmehr eine 1 hingelegt,
haben wir 11, alſo nicht mehr 1 Zehend und nichts,
ſondern 1 Zehend und r, alſo eilf.

So wird nun ferner nach und nach auch 2,
dann 3, dann 4 u. ſ. w. auf die Einerſtelle gelegt.
Iſt man bis 19 gekommen; ſo lege man ferner
Statt der 9 die folgende 10 dergeſtalt hin, daß die

beyden Zehner gerade uͤber einander liegen, und

alsdann gegen eine 2 vertauſcht werden; indem 2
nichts anders bedeutet, als 1 und noch 1. Nun hat
man 20, und legt ferner 21, 22 u. ſ. w. bis 100.

Darauf werden alle Zahlen (verſteht ſich, nur
alle ganze Zahlen) von 1 bis 100 durch Ziffern

an die Tafel geſchrieben, wie ſie in F. 4. in 10

Saͤulen ſtehen. Dann laſſe man ſolche Saͤulen,
ſamt der Ausſprache ihrer Zahlen von den Schuͤ⸗
lern in ihren Schreibeſtunden nach Vorſchriften
abſchreiben. Hierauf folgen ſolche Vorſchriften,
worauf nur einige zwiſchen 1 und 100 fallende
Zahlen durch Ziffern geſchrieben ſind, und die
Schuͤler muͤſſen ihre Ausſprache ſelbſt hinzuſchrei⸗
ben. Außer dieſer Ausſprache kann man auch
A 3 noch

6 Erſtes Kapitel.

noch ſolche Erklaͤrungen, wie hinter d. i. in §. 2 5.
folgen, von ihnen ſelbſt hinzuſetzen laſſen. “
In noch andern Vorſchriften hat man nur den
Wortausdruck einiger Zahlen, (anfangs etwa mit
ſolchen Erklaͤrungen, wie hinter d. i. in F. 2 5. fol⸗
gen) aufgeſchrieben, und uͤberlaͤßt es den Schuͤlern,
bey ihrer Abſchrift auch den Zifferausdruck daneben
zu ſetzen.
Kommt man zu den dreyſtelligen Zahlen; ſo

, . . e
laſſe man anfangs den §. 27. von den Schuͤlern ab⸗

ſchreiben, gebe ihnen darauf andere Vorſchriften mit
bloßem Zifferausdrucke, und noch andere mit dem
bloßen Wortausdrucke ſolcher Zahlen, die nicht uͤber

999 hinausgehen. Zu den erſtern muͤſſen ſie den

Wortausdruck, und zu den letztern den Zifferaus⸗
druck ſelbſt hinz ſetzen. .
Solche Verbindung der Schreibeuͤbung mit
dem Rechenunterrichte iſt bey zahlreichen Klaſſen faſt

unentbehrlich, und uͤberhaupt, wie man leicht einſe⸗

hen wird, in allen Faͤllen ſehr rathſam. Das Rech⸗
nen ſelbſt wird auch den Kindern deſto leichter und
angenehmer, je beſſere Ziffern ſie ſchreiben.
9. 15 — §. 19.
*§. 20.
Jede Ziffer, ſie mag ſtehen wo ſie will, be⸗
deutet allemahl ſo viel Einheiten, als ihr Nahme
angiebt. So bedeutet die Ziffer 3 allemahl drey,
einen Inbegriff von drey Einheiten. Dieſe Einheit

ſelbſt aber aͤndert ſich mit der Stelle, welche die

Zillfer einnimmt. Sie iſt ein Einzelnes, oder ein
Zehend, oder ein Hundert u. ſ. w. je nachdem die

Ziffer

Zffer
ſteht.
imerun

G

hend

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14

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Vorber

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4 Ie

Vom Numeriren. 7

Ziffer an der erſten, zweyten dritten Stelle u. ſ. w.

ſteht. Z. B. die 3 bezeichnet

1 nen und noch 1 und noch 1 nen einzelnen

Groſchen, — in 3 96
1 Zehend und noch 1 Zehend und noch 1 Ze⸗ .
hend von Groſchen, — — in 34 4;
1 Hundert und noch 1 Hundert und noch
1 Hundert von Groſchen, — in 345 9£.

Die erſten Anfaͤnger koͤnnen ja wohl mit der Theorie
von verſchiedenen Einheiten verſchont werden.
Vorbereitet werden ſie dazu, wenn man ſie, wie es
in dieſem Rechenunterrichte oft geſchieht, z. B.
dreyßig Stuͤck als drey Zehend, alſo als 3 Einhei⸗
ten der zweyten Ordnung, oder dreyhundert Stuͤck
als drey Hunderte, alſo als 3 Einheiten der dritten
Ordnung u. ſ. w. denken laͤßt, ohne daß man aus⸗

druͤcklich von Einheiten verſchiedener Ordnung

zu reden braucht.
§. 21 — §. 30.
Um das Huͤlfsmittel im §. 30 beyzubringen
ſchreibt der Lehrer die ooo0 zuvoͤrderſt von der Rech⸗
ten nach der Linken zu an die Tafel, und ſagt, in⸗
dem er ſie ſchreibt: kein Einzelnes, kein Zehend,
kein Hundert. Darauf lieſet er dieſe oo0 von der
hoͤhern Stelle an: wir haben hier kein Hundert,
kein Zehend, kein Einzelnes aufgeſchrieben. Nun
aber wollen wir ſchreiben, dreyhundert und acht
und vierzig, alſo nicht o hundert, ſondern 3 hundert.
In dieſem Augenblicke wiſcht er die dritte Null weg,
und ſchreibt an ihrer Statt die Ziffer 3 hinein u. ſ. w.
A 4 Beſon⸗

—

8 Erſtes Kapitel.

Beſonders nuͤtzlich iſt dergleichen Verfahren in Ab⸗
ſicht auf ſolche Zahlen, wie 108, 190 u. dergl. wo
eine Stelle ledig bleibt, kein Zehend oder kein Ein⸗
zelnes zu ſchreiben iſt. Statt des Schreibens kann
man auch hier mitunter die Zifferbretter gebrauchen.
Rechenpfennige, wovon einige mit a, andere mit 1,
andere mit 2 oder 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 bezeichnet
ſind, ſo daß man zehn verſchiedene Sorten, uͤbri⸗
gens von gleicher Farbe und Groͤße hat, die dann
nach ihren Ziffern in einem Kaͤſtchen von 10 Faͤchern
ſortirt liegen, koͤnnen auch zu mehrerer Veraͤnde⸗
rung, und mie groͤßerer Bequemlichkeit von den
Schuͤlern ſelbſt gebraucht werden, um mancherley

Zahlen zu legen. Man laͤßt alsdann die Schuͤler

auf ein Blatt Papier ſchreiben,
z. B. Hun⸗ Ze⸗ Ein⸗
der⸗ hen⸗ zel⸗
fe de ne

und dieſe Stellen mit den Ziffern auf den Rechen⸗

pfennigen gehoͤrig belegen, um gewiſſe vorgeſagte
Zahlen durch Ziffern darzuſtellen.

Rechenpfennige zu gebrauchen, deren einige

nur Einzelne, andere aber Zehende oder Hunderte
u. ſ. w. bedeuten, und als ſolche bezeichnet ſind,

waͤre zweckwidrig. Die Schuͤler ſollen ja lernen,
daß die Ordnung der Einheiten durch die Stelle er⸗
hoͤht werde. .

Man laſſe die Anfaͤnger keine vier⸗ und mehr⸗
ſtelligen Zahlen ſchreiben, bevor ſie nicht alle drey⸗
ſtellige Zahlen, von 100 bis auf 999, mit Fertig⸗
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it

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6 lernen,
Zelle en

Vom Numeriren. 9

keit ſchreiben und ausſprechen koͤnnen. Denn auch
beym Ueberſehen der mehrſtelligen Zahlen faßt man
ja allemahl drey Stellen ins Auge, ſo weit ſie vor⸗
handen ſind; naͤhmlich zuvoͤrderſt die Einer, Zeh⸗
ner und Hunderter von einzelnen Stuͤcken, darauf
die Einer, Zehner und Hunderter von Tauſenden;
darauf die Einer, Zehner und Hunderter von Mil⸗
lionen u. ſ. w. ſo weit es die vorhandenen Stellen
erlauben. Auch beym Ausſprechen der Zahlen kann
man die Abſaͤtze, worin nie mehr als 3 Stellen zu⸗
ſammengefaßt werden, ſehr bemerkbar machen. So
zerfaͤllt 2893 4681, nach der Ausſprache, in

28 Millionen 934 tauſend 681 einzelne Stuͤcke.

Daher gehe man mit den Anfaͤngern im Numeriren

anfangs nicht uͤber dreyſtellige Zahlen, und dann in
einer folgenden Epoche, nicht uͤber ſechsſtellige Zah⸗
len hinaus. Durch die Uebungsauſgaben in den er⸗
ſten folgenden Kapiteln iſt auch dafuͤr geſorgt, daß
ſie mit dieſen Zahlen recht bekannt werden; indem
ſie dort einige durch Worte ausgedruckte Aufgaben
ſelbſt durch Ziffern anſetzen muͤſſen. In dieſer Hin⸗
ſicht iſt auch zu rathen, daß der Lehrer nicht etwa
dictire: drey, neun, ſieben; wenn er die Zahl
397 dictiren will; ſondern er muß dieſe Zahl voll⸗
ſtaͤndig ausſprechen, als 3 hundert und 7 und 9 zig;
oder auch, 3 hundert, 9 zig und 7.

Je weniger Schuͤler man zu unterrichten hat,
je laͤnger kann man auch beym Addiren und Subtra⸗
hiren dabey bleiben, daß man nicht uͤber dreyſtellige
Zahlen hinausgeht. Bey mehrern Schuͤlern aber
wird es fuͤr den Lehrer zu beſchwerlich, ſo viele Genn
A 5 pe

10 Zweytes Kapitel.
pel nachzuſehen, als bey hoͤchſtens dreyſtelligen Zah⸗

len vollendet werden. Bey den Additions⸗Aufga⸗

ben z. B. darf man doch anfangs nicht uͤber vier oder
fuͤnf Zahlen unter einander ſetzen. Sonſt verrech⸗
nen ſich die Anfaͤnger gar zu oft, werden dadurch
verdruͤßlich, oder verlangen wenigſtens die Huͤlfe
des Lehrers oͤfter, als er ſie leiſten kann.

5§. 32 — 5§. 39.
Da es einmahl Mode geworden iſt, zur Er⸗
leichterung der Numeration die Tauſende darch ein
Rom ma von den Huͤnderten abzuſondern; ſo wollte
ich darin keine Aenderung wagen. Doch rathe ich
dazu das krumme, ſogenannte kleine Komma (.),
und dagegen in der Folge zur Bezeichnung der Ei⸗
nerſtelle, ein recht großes und gerades Komma
zu gebrauchen. Es wird naͤhmlich im 2ten Theile
bey den Deeimalbruͤchen gezeigt werden, daß man

z. B. 132,/48 zu leſen habe: 132 Ganze 4 Zehntel .

und 8 Hunderttel.
§. 41 —5. 51.

Zweytes Kapitel.
Vom Addiren.
§S. 52.

Voruͤbung.

Wenn ich dir anfangs 2 Pfennige gaͤbe, und dann
noch 2 Pfennige, und dann noch 2² Pfennige,
und ſo weiter fort immer noch 2 Pfennige mehr, bis
“ du

du ol

nach

id i
100

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8: Aufge

bier oder

1 verrech⸗
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Komma
ten Veie
daß man
4 Zehntl

1.

und dann

hfemnige
eht, 6
du

Vom Addiren. 11

*

du an 100 heran kaͤmeſt; ſo haͤtteſt du nach und
nach? Antwort:

*2, 4, 6, 8 u. ſ. w... 96, 98, 100 Pfennige.

Nun denke dir, du habeſt anfangs 1 Stuͤck,
und ich gaͤbe dir immer fort noch 2 dazu, bis du uͤber
100 haͤtteſt; ſo erhielteſt du nach und nach

1, 3, 5, 7, 9 97, 99, IOI.

Fange an von 3, und rechne immer noch 3 da⸗
zu; ſo haſt du nach und nach

* 3, 6, 9, 12, 15 96, 99, 102.

Von r angefangen, und immer 3 dazu gerech⸗
net, hat man nach und nach

1, 4, 7, 10, 13 94, 97, 100.

Fange an mit 2, und rechne immer 3 dazu;
das giebt

2, 5, 8, 14. „ *% % *% 95, 98, 101.
Eben ſo uͤbe man folgende Reihen
, 4, 8, 12 u. ſ. w. immer 4 dazu, bis auf 100

*

2, 6, 10, 14 ⸗ ⸗ „ = = ⸗ ⸗ 102
1, 5, 9,13 ⸗= ⸗ ⸗ = = 2 ⸗ ⸗ 101
3, 7/ II, 15 . ⸗ ⸗= ⸗= z ⸗ ⸗ 103
0,20, 30,40 2 = = 10 = ⸗ sS 100◻
* 5, 10, 15,20 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 5 ⸗ ⸗ ⸗ 100
*10, 20, 30, 40 ⸗= =£ &S = 10 g= . ⸗= 10000
*II, 21,3 1, 441 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 10 ⸗ ⸗ ⸗ 1000
*1 2, 22, 32, 42 = =* = ⸗ 10 ⸗ ⸗ ⸗„ 1002
*17, 27, 37,47 ⸗⸗ ⸗ 10 ⸗ ⸗10⁰7
Anmerk.

12 Zwehytes Kapitel.

Anmerk. Das Ueberzaͤhlen ſolcher Reihen hat
ohne Zweifel ſeinen großen Nutzen. Nur muß man nicht

zu viele Zeit darauf verwenden, oder gar darauf beſte⸗
hen, daß ſie jeder Schuͤler mit der groͤſten Fertigkeit aus⸗
wendig wiſſen ſolle. Mit Bedacht hab ich nur die vor⸗
ſtehenden Reihen und in ihrer dortigen Ordnung hinge⸗
ſetzt. Angenehm fuͤr kleine Schuͤler wird dieſes Zaͤhlen
dadurch, daß man es die Reihe herum gehen laͤßt, wie
ein Lauffeuer. Dabey kaun man zur Erhaltung der Auf⸗
merkſamkeit die Einrichtung machen, daß jeder auch auſ⸗
ſer ſeiner Reihe ſogleich fortfahren muß, ſobald ihn der
Lehrer anſieht, u. dergl. Vorzuͤglich uͤbe man die Rei⸗
hen, welche mit einem * bezeichnet ſind.

H. 53.

Wenn ich in der einen Hand 5 Pfennige und
in der andern Hand 3 Pfennige habe; ſo habe ich in

beyden Haͤnden zuſammen ganz gewiß 8 Pfennige.

Wenn ich 6 Aepfel habe, und dann noch 4 Aepfel

dazu lege; ſo habe ich uͤberhaupt 10 Aepfel. Wer

7 Eyer hat und noch 3 Eyer dazu bekoͤmmt, der hat
uͤberhaupt 10 Eyer. 4

*§. 54.

Kein Menſch geraͤth in die Verſuchung . daßs

er fragen ſollte: wie viel Huͤhner habe ich in Sum⸗
ma, wenn ich 7 Huͤhner und 3 Enten zuſammen ad⸗
dire? Denn wenn gleich 7 und 3 zuſammen addirt

10 geben; ſo weiß doch jedermann, daß 7 Huͤhner

und 3 Enten zuſammen genommen weder 10 Huͤh⸗

ner noch 10 Enten ausmachen. Jedermann ſieht

ſogleich ein, daß jene Frage ungereimt iſt; alſo
braucht

echen

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Vom Addiren. 13

braucht man niemand ſehr ausfuͤhrlich zu ſagen, daß
es darauf keine Antwort gebe. Wohl entſteht die
Frage, wie viel Stuͤck Federvieh man habe, wenn
man 7 Huͤhner und 3 Enten beſitzt; und dann ant⸗
wortet der geſunde Menſchenverſtand, daß 7 Huͤh⸗
ner, als 7 Stuͤck Federvieh betrachtet, und 3
Enten, als 3 Stuͤck Federvieh betrachtet, dazu
genommen, uͤberhaupt 10 Stuͤck Federvieh aus⸗
machen. “”MU “
Eben ſo kann man 8 Birnen und 10 Aepfel
zuſammen addiren, in ſo fern ſie den gemeinſchaft⸗
lichen Nahmen Obſt fuͤhren. 8 Birnen, als 8
Stuͤck Obſt betrachtet, und 10 Aepfel, als 10 Stuͤck
Obſt betrachtet, geben in Summa 18 Stuͤck Obſt.
*. 59.
Bey den erſten Anfaͤngern iſt es wohl am rath⸗
ſamſten, den Grund der Regel in §. 58. ſo anzuge⸗

ben, wie es dort geſchehen iſt; daß man ihn nur

fuͤr den einzelnen Fall ausdruͤckt, wovon jedesmahl
die Rede iſt. Naͤhmlich, wenn man beym Sum⸗
miren der Einerſaͤule bis auf 10, 20, oder 30 u. ſ.
w. koͤmmt: ſo ſagt man, daß dieſe als 1, 2 oder 3
Zehend zur folgenden Zehnerſaͤule gerechnet werden,
weil 10, 20 oder 30 u. ſ. w. nur 1, 2 oder 3 Zehend
ausmachen. Oder wenn die Summe aus den Zehn⸗
tauſenden etwa 40 enthaͤlt, ſo ſagt man: 40 Zehn⸗
tauſende, alſo 4 mahl 10 mahl Zehntauſende, ſind
ja 4 Hunderttauſende; und ſo in allen andern Faͤllen.
Miit der Zeit werden ſich dann die Schuͤler
ſelbſt zur Ueberſicht des allgemeinen Grundes urhe⸗

—

14 Zweytes Kapitel.

ben; daß jede 10, 20, 30 u. ſ. w. aus irgend e einer
Saͤule durch 1, 2, 3 u. ſ. w. in der noͤchſthoͤhern
Saͤule ausgedruckt werden.

§. 60,

Andere ſchreiben dieſe Ziffern nicht uͤber den
Strich, ſondern noch unterhalb der Summe, wie
ich es ſelbſt in der erſten Ausgabe gethan
habe, z. B. fuͤr die Rechnung in §. 58. auf
foigende Weiſe:

89072
2 &£
Dann muß man ja die Anfuͤnger dazu anhal⸗

ten, daß ſie die anzumerkende Ziffer allemahl ge⸗

rade unter die folgende Saͤule ſchreiben. Denn

ſo geſchrieben, ſtellt wirklich z z. B. die Summe aus

der erſten Saͤule, naͤhmlich.*, noch ganz de deutlich

die erhaltene Summe 12, und eben ſo die SLumme

der dritten Saͤule °, noch ganz deutlich die erhal,
tene Summe 20 dar.

§. 61 — §. 63.
*§. 64.
Erinnerungen und Zuſauͤtze zu den in §. 63. vor⸗
geſchlagenen Huͤlfsmitteln zum geſchwinden
Addiren.

(Zu No. 1.) Der erſte Abſatz des Einmahl⸗

eins hilft zum geſchwinden Addiren,
1) wenn man zwey gleiche Ziffern zu addiren hat;

2) auch wenn die eine um 1 groͤßer iſt als die an.

dere. Um z. B. die Summe aus 7 und 2 zu fin⸗
den,

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denn

Vom Addireu. 15

den, duͤrft ihr nur denken: 2 maͤhl 7 iſt 14, und
1 dazu iſt 1 5.

3) Auch wenn man z. B. 18 und 8 addiren ſoll,
ſo denke man: 2 mahl § iſt 16, und noch 10
dazu, iſt 26. Eben ſo wird die Summe von 3 G
und 6 gefunden, indem man ſich zuvoͤrderſt vor⸗
ſtellt: 6 und 6 (alſo 2 mahl 6) iſt 12, und
dazu noch 30 addirt, giebt 42. Und ſo verfaͤhrt
man in jedem Falle, wo man 2 Zahlen addiren
ſoll, die in ihrer Einerſtelle einerley Ziffern haben.
Abber auch der zweyte Abſatz des Einmahleins,
von 3 mahl 3 bis auf 3 mahl 9, iſt bisweilen beym
Addiren von großem Nutzen. Denn ſoll man
1) ³¾ gleiche Zahlen addiren, z. B. 7 und 7 und 7;
ſo ſagt man ſogleich, 3 mahl 7 iſt 21.
2) Oder hat man z. B. 6, 7, 6 zu addiren; ſo
denkt man ſich dieſe Zahlen, als 6 und 6 und 1
und 6, alſo 3 mahl 6 (d. i. 18.) und 1 dazu,
3) Eben ſo denkt man ſich z. B. 9, 8, 9, als 8§ und
1und 8 und 8 und 1, alſo hat man 2 mahl 8
und 2, macht 24 und 2, oder 26.

4) Hat man drey Zahlen, z. B. 8, 6, 7, die ge⸗
hoͤrig geordnet (wie 6, 7, 8) in der natuͤrlichen
Zahlenreihe auf einander folgen wuͤrden; ſo nimmt
man in Gedanken 1 von der groͤßten weg, und
legt dieſe 1 zur kleinſten hinzu. Auf dieſe Weiſe
uͤberſieht man ſogleich, daß ſolche 2 Zahlen eben
ſo viel geben muͤſſen, als die mittlere 3 mahl
genommen, hier 3s mahl „.—
Aehn⸗

16 Zweytes Kapitel.

Aehnliche Anwendungen von den folgenden
Theilen des Einmahleins wird nun jeder von ſelbſt

—

zu machen wiſſen. B
(ꝗZu No. III.) Kinder, welche mit einem
guten Gedaͤchtniſſe begluͤckt ſind, werden alle dort
angefuͤhrten Saͤtze gar bald auswendig behalten,

als dabey (den ſo eben zu No. I. gemachten beyden
erſten Zuſaͤtzen gemaͤß) vorgeſchlagen ſind. Mit

ter No. IV. beſonders angeſfuͤhrten Faͤlle bey der 9
ausgenommen) auf das Einmahleins gegruͤndet.
Freylich wuͤrde ſich manche dieſer Summen durch
andere Vorſtellungen noch etwas leichter auffinden
laſſen; allein es waͤre hier ſehr zweckwidrig, wenn
man ſo vielerley Huͤlfe angeben wollte, daß der
Schuͤler bey jeder Anwendung erſt wieder umher
ſinnen und uͤberlegen muͤſte, was fuͤr eine Huͤlfe er
nun eben zu waͤhlen habe. Nach meinen Vorſchlaͤ⸗
gen finden nur folgende 3 Faͤlle Statt.

Entweder der Schuͤler weiß die Summe jeder
zwwey Ziffern gerade zu auswendig, und er

ſucht daher gar keine Hulfsſchluͤſſe;

oder er ſucht ſich durch die aus dem Einmahleins
ſchon im Gedaͤchtniß ſchwebenden Dupla der
einzelnen Ziffern zu helfen:

oder es kommt die Zahl 9 dabey vor; in wel⸗

und ohne Bedenken anwenden wird.

und ſolcher Huͤlfsſchluͤſſe nicht lange noͤthig haben,

Fleiß aber habe ich alle Huͤlfsvorſtellungen (die un⸗

chem Falle er No. IV. oder No. v. gar leicht,

V
ſat, de
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fei, doße

Eirſcie⸗

und 41

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1 Gunthei⸗
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ger ⸗
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vor;

Schuͤlern verlange. Wenn es ihnen erlaubt ſeyn ſollte,

Vom Addiren. 17

Wer dagegen ein gar zu untreues Gedaͤchtniß
hat „ der mag ſich auch in ſolchen Faͤllen, da zur 8
eine andere Ziffer zu addiren iſt, ebenfalls dadurch hel⸗
fen, daß er zuvoͤrderſt bis auf 10 zu kommen ſucht⸗

Er ſchließe naͤhmlich,

8 und 4 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 2, alſ⸗ 12
8 und 5 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 3, alſo 13
8 und 6 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 4, alſo 14;

ſo wendet er doch bey der 8 eben daſſelbe Huͤlfmittel
an, was nach No. V. fuͤr die 9 gebraucht wird.

Allerdings giebt es manche Koͤpfe (und das ſind

nicht allemahl duͤſtere Genies, wie ein gewiſſer, braver

und eifriger Rechenmeiſter behaupten wuͤrde) welche auch
die groͤßten Theils ſehr leichten Suͤtze unter No. II. nicht
ohne ſehr lange Uebung auswendig lernen. Dieſe moͤgen
dann im Nothfalle vermittelſt der Puncte auf Seite 1
zuſammenzaͤhlen. Z. B. wenn ſie zur 7 noch 4 addiren

wollen; ſo ſehen ſie die dortigen 4 Puncte:: an, und

zaͤhlen dieſe zu der ſchon genannten 7 hinzu. Weil naͤhm⸗
lich die Puncte dort ſehr uͤberſehbar geſtellt ſind; ſo wer⸗
den ſie dieſelben auch geſchwinder hinzuzaͤhlen koͤnnen, als
wenn ſie an ihren Fingern oder ſelbſtgemachten Puncten

nachzaͤhlen. Je geſchwinder aber der Begriff 11auf

die Begriffe 7 und 4 folgt, deſto leichter werden ſich
dieſe Begriffe an einander heften. Nicht bey allen Ge⸗
dauͤchtnißſachen iſt es wahr, daß wir ſie deſto beſſer faſ⸗

ſen, je mehrere Muͤhe ſie uns verurſachen. Es verſteht

fich uͤbrigens, daß ich etwas Anſtrengung und Achtſam⸗
keit bey Auffindung dieſer Summen allerdings von den

die

Zweytes Kapitel.

die Summen gerade zu aus ſolchen Tafeln, wie unter
§. 63. No. II. zu nehmen; ſo wuͤrden ſie freylich das
Beduͤrfniß, dieſe Summen endlich auswendig zu wiſſen,
gar zu wenig empfinden. Auch ſind einem ſchwachen
Gedaͤchtniſſe die Bilder, wodurch die Zahlen dort (S. 1)
ausgedruͤckt ſind, aus andern Gruͤnden ſehr nuͤtzlich.

1

(Zu No. VIII.) Die vorgeſchlagenen Aus⸗

druͤcke, 1ozig, 11zig, 12zig ꝛc. ſo ich bisweilen

waͤhrend des Rechnens zur Ausſprache der Zahlen
100, 110, 120 ꝛc. gebrauchen, darauf aber in die
gewoͤhnlichen Ausdruͤcke hundert, hundert und
zehn, hundert und zwoͤlf ꝛc. veraͤndern laſſe,

klingen freylich etwas neu. Allein ihr Nutzen iſt in
den hier angefuͤhrten, und andern in der Folge noch

vorkommenden Faͤllen, ſo einleuchtend, daß ich da⸗
fuͤr keine ausfuͤhrliche Vertheidigung noͤthig habe.

Man ſagt, 8 tauſend und 3 tauſend iſt 11 tau⸗
ſend, oder 8 hundert und 3 hundert iſt 11 hundert,
und addirt, eben dieſer einleuchtenden Ausdruͤcke
wegen, die Tauſende und Hunderte eben ſo leicht

als die Einzelnen Stuͤcke. Der analogiſche Aus⸗
druck fuͤr die Summe von 80 und 30 iſt 11zig.
Nur bitte ich meine etwanigen Nachfolger, dieſen

Vorſchlag nicht zu uͤbertreiben.

(Zu No. IX.) Nur zu gerne pflegen Anfaͤnger,

beſonders wenn ſie uͤberhaupt etwas furchtſam oder

weichlich ſind, beym Addiren einer Saͤule umher zu b

ſpringen, und z. B. bey der hier zur Seite ſtehen⸗
den durch folgende Spruͤnge zuſammen zu rechnen.
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. Vom Addiren. 49

9 und 1 iſt 10, und 2 mit 8 dazu, giebt E,
und 3 iſt 23, und 5 dazu iſt 28. H

In andern Faͤllen pflegen ſie wenigſtens
mit einer 8 oder 9, ob dieſe gleich in der
Mitte ſteht, zuerſt anzufangen, damit ſie in
der Folge dieſe große differ nicht noch hinzu
zu rechnen haben.

*

Man widerrathe den Anſängern dieſes brin.
gende Addiren. Denn

109 wird dadurch die Abſicht vereitelt, warum
ſie doch ſo viele Aufgaben durchrechnen muͤſſen;
naͤhmlich um ſich eine Fertigkeit im Zurechnen je⸗
der Ziffer zu erwerben. Erlaubt man ihnen das
Springen; ſo naͤhren und behalten ſie eine beſtaͤndige
Furcht vor gewiſſen Ziffern, die ihnen dann vielen

Aufenthalt macht.

2) Setzen ſich Anfaͤnger, die noch nicht viele
Ziffern mit einem Mahle uͤberſehen koͤnnen, durch
dergleichen Spruͤnge der Gefahr aus, einige Ziffern
entweder wegzulaſſen, oder auch wohl doppelt einzu⸗
rechnen. In dieſer Hinſicht hat man wohl uͤber⸗
haupt von dem ſpringenden Addiren mehr, Schaͤden
als Vortheil. Ich nehme aber daon
3) den Fall aus, wo jemand die ganze Saͤule,
oder doch einen an einander haͤngenden Theil derſel⸗
ben, auf den erſten Blick, und auch waͤhrend des
Zuſammenzaͤhlens ſelbſt, gaͤnzlich uͤberſieht.

Zweytes Kapitel.
3. B. in der erſten nebenſtehenden Saͤule

men ſchmelzen, und ſo mit einem Mahle uͤber⸗
ſehen, daß der ganze Theil von 9 bis 1 zu⸗
ſammen genommen gerade 2 mahl 10 aus⸗
macht.

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Oder bey der zweyten Saule wird, indem man die⸗ 4
auf die vier onen vertheilt, auf den erſten Blick die
Summe der ganzen Saͤule als viermahl 10 dargeſtellt.

Bep ſolchem ſichern Ueberſpannen mehrerer
Ziffern hat das ſpringende Addiren freylich einen
nicht geringen Nutzen. Es wird aber eben deshalb
nur den Geuͤbtern zu empfehlen ſeyn, bey denen
dann anch die unter 1) angefuͤhrte Abſicht ſchon er⸗
reicht iſt.

5§. 65. §. 66.
Addiren ohne Unterſchreiben.

Soll man nur zwey Zahlen addiren, die ſchon
neben einander geſchrieben ſind; ſo hat man nicht

noͤthig, dieſe Zahlen nach dem vorigen erſt uͤber ein⸗

ander aufs neue hinzuſchreiben. Sind z. B.

84853 und 9178426 zu addiren; ſo ziehe man ei⸗
9263279 nen Strich unter die Zahl,
rrY welche zur Rechten ſteht, und
bedecke mit einem Finger der
linken Hand alle die e Ziffern der linken Zahl, welche
an

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kann ich mir 9 mit 1, und 2 mit 8, gleichſam
in ein und eben demſelben Augenblicke, zuſam⸗

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Vom Addiren. 271
an hoͤhern Stellen ſtehn „als diejenige Ziffer, welche

man ſo eben zu der gleichſtelligen Ziffer der andern

Zahl addiren will. Man laͤßt naͤhmlich nur die Zif⸗
fer 3 der linken Zahl unbedeckt, indem man ſagt, 3
und 6 ſind 9; man laͤßt darauf ferner auch die Zif⸗
fer 5 der linken Zahl unbedeckt, indem man ſagt, 5
und 2 ſind 7 u. ſ. w.

Adiren im Koft.

RM Als eine faſt allgemeine Regel kann man es
beobachten, daß man ſich die groͤßte von zwey zu
addirenden Zahlen zuerſt denkt, und alsdann
die kleinere zu jener hinzurechnet.

II. Eine einſtellige Zahl zu einer andern ein⸗
ſtelligen oder zweyſtelligen Zahl im Kopfe zu ad⸗
diren, lernt jeder ſchon waͤhrend des ſchriftlichen Ad⸗
direns.
III. Beym letztern hilft gar ſehr . was 5§. 63.
No. VI. angefuͤhrt iſt. Eben dies reicht auch hin,
um zu einer drey⸗ oder mehrſtelligen Zahl eine

einſtellige Zahl zu addiren; wenn die hinzu addirte

Zahl nur nicht auch die Hunderte der erſten Zahl
vermehrt. Z. B. 1224 und 6 iſt 1730. Hier

habe ich nur 24 und 6 zu addiren, und die unveraͤn⸗

derten 1700 darneben zu behalten.

Wenn aber aus der Summe ein neues Hun⸗
dert entſteht; ſo wird der Rath §. 63. No. VIII.
gute Dienſte thun. Soll ich z. B. 1396 und 8 ad⸗
deren, ſo denke ich: 13 hundert 96 und 8 ſind 13
EE 3 hundert

hundert und 4 und 10 zig, alſo 13 zhunter und 4
und noch 1 hundert, d. i. 14 hundert und 4.
IV. Hat man zwey zweyſtellige Zahlen i im
Kopfe zu addiren; ſo addire man zuvoͤrderſt die
Zehende der zweyten Zahl zu den Zehenden der er⸗
ſten Zahl, und gebrauche dabey die §. 63. No VIII.

vorgeſ ſchlagenen Ausdruͤcke, ſage naͤhmlich 10 zig,

11 zig, 12 zig, 13 zig u. ſ. w. eben ſo, wie man
ſagt, 9 zig, 8 zig u. dergl. Z. B.
Bey 561 und 38 denke ich: 6 und 5 zig und 3 zig ſind
6 und 8 zig, und noch 8

dazu, ſind 4 und 9 zig.

Ee 65 und 36 denke ich: 5 und 6 zig und 3 zig
ſind 5 und 9 zig, und noch
6 dazu, ſind 1 und 10 zig
d. i. 101.

Anmerk. Wenn man z. B. 4 und 11 zig denkt,

ſo ſtelle man ſich dabey die 4 ſogleich zur Rechten und die

11 zur Linken ſtehend vor; ſo daß man dabey das Bild

114 in⸗ Kopfe habe.
V. Iſt eine von den beyden zu addirenden Zah⸗
len eine 1ofache Zahl, wie 20, 50, 120, 270 u. d.
ſo hat man nicht noͤthig nach der vorigen Regel zu⸗
voͤrderſt die Zehner zu addiren; ſondern man denkt

ſich auch hier in der Summe ſogleich den Einer der

andern Zahl zuerſt. Z. B.

Bey 80 und 65, denke ich ſogleich: iſt 5 und 14zig,

d. i. 145.
Bey 38 und 20, denke ich ſogleich: iſt 8 und zig.
Bey 63 und 40, denke ich ſogleich: iſt 3 und 10zig⸗
d. i. 3 und 100, alſo 103.

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Vom Addiren. 23

VI. Steigt eine von den zu addirenden Zah⸗
len ſehr nahe an eine zehnfache Zahl, indem ſie nur
etwa um 1, 2, 3, oder allenfalls um 4 kleiner iſt, als
20, 50, 90, 100, 110, u. dergl.; ſo addirt man
anfangs an ihrer Statt die beynahe von ihr erreichte
zehnfache Zahl, und nimmt darauf von der dabey
erhaltenen Summe ſo viel zuruͤck, als man, um die
zehnfache Zahl zu erreichen, zu viel gerechner hatte.
3.*

*

Bey 59 und 32 denke ich: 60 und 32 waͤren 2 und
9 zig, und 1 davon zuruͤck genom⸗
maen, bleibt 1 und 9 zig.
Bey 85 und 28 denke ich: 85 und 30 waͤren 5 und
11zig, und 2 davon zuruͤck genom⸗
men bleiben 3 und I 1zig, d. i. 113.

Anmerk. Waͤhrend des Ueberrechnens ſtrecke
man ſo viele Finger hervor, als man der einen Zahl zu⸗
legt, um die nahe zehnfache zu erreichen: ſo erinnern

dieſe vorgeſtreckten Finger ſehr gut, wie viel man nach⸗

her wieder zuruͤck zu nehmen habe.

VII. Zwey mehr als zweyſtellige Zahlen zu
addiren, iſt nicht jedermanns Sache, diejenigen
Faͤlle ausgenommen, wo eine von beyden ſchon eine
zehnfache Zahl iſt, oder doch dergleichen faſt er⸗
reicht, (wobey man denn nach V oder VI verfaͤhrt).
Noch einige andere leichte Faͤlle wird jeder, der ih⸗
nen gewachſen iſt, von ſelbſt richtig angreifen, wenn
er in den bisherigen geuͤbt iſt. Es laͤßt ſich z. B.
im Kopfe addiren:

B 198

24 Zwehytes Kapitel. Vom Addiren.
198 und 167, indem ich denke: 200 und 167

waͤren 367, und 2 davon zu⸗

ruͤck genommen bleiben 36 5.

Oder 367 und 60, indem ich denke: 36zig und zig
macht 42zig, d. i. 420, und

noch 7, iſt 427.

Ferner 803 und 140 iſt 300 und 100, d. i. 900, und

40 und 3, alſo 943.

Ueber das Rechnen im Kopfe laſſen ſich nicht
viele Regeln geben. Wer es oft noͤthig hat, und
in einem vorzuͤglichen Grade dazu faͤhig iſt, pflegt
ſich mancherley Vortheile und Kunſtgriffe zu merken

und auszubilden, die dann fuͤr ſeine eigenthuͤmlichen
Kraͤfte und Umſtaͤnde gewoͤhnlich die beſten ſind;

fuͤr andere aber, die ihm etwa an Einbildungskraft
und Gedaͤchtniß nachſtehen, eine Marter, und fuͤr

noch andre, die ihn darin uͤbertrefſen, nur eine

Buͤrde ſeyn wuͤrden. Auch werden dem einen Rech⸗

ner dieſe, dem andern jene Zahlen, als Summen,

Producte, Differenzen u. dergl. ſehr gelaͤufig, und
dieſe nutzt er dann von ſelbſt zur Erſparung des ſchrift⸗
ſichen Rechnens, wo es Gelegenheit dazu giebt.

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ODrittes Kapitel.

Vom Subtrahiren.

Erinnerungen und Zuſaͤtze zu §. 81.

I.

Man laſſe von den Anfaͤngern die Reihen 10, 9,
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, und 12, 10, 8, 6, 4,
2, 0 und 11, 9, 7, 5, 3, Ieinige Mahle herſagen;
indem man ſie bemerken laͤßt, daß die Glieder der
erſten um 1, die Glieder der beyden andern um 2 ab⸗
nehmen. Raͤhmlich, 10 weniger 1 iſt 9, 9 weni⸗
ger 1 iſt 8 ꝛc. und 12 weniger 2 iſt 10, 10 weniger
2 iſt 8 ꝛc. Dadurch werden ſie ſogleich lernen, daß

man beym Abziehen der kleinen Zahlen 1 und 2,

durchs Zuruͤckzaͤhlen der groͤßern Zahl, wovon
man abziehen ſoll, die verlangten Unterſchiede leich⸗
ter findet, als durchs Oinzuzaͤhlen zur kleinern
Zahl, welche man abziehen ſoll.

2)) In den uͤbrigen Faͤllen aber, wo groͤßere
Zahlen abzuziehen ſind, gewoͤhne man ſie dazu, die
Unterſchiede durchs Hinzuzaͤhlen zur kleinen Zahl zu
finden, laſſe ſie z. B. denken: 3 bis 7 hin iſt noch 4.

*“RK Kinder von gutem Gedaͤchtniſſe werden nun
aus denen bey der Addition S. 30 ꝛc. gelernten Saͤtzen
die meiſten vorkommenden Unterſchiede ſogleich aus
43 B 5 ʒð dem

Drittes Kapitel.
dem Kopfe, ohne weitere Mittelſchluͤſſe, anzugeben
wiſſen. Andere werden durch den Gebrauch der Ta⸗

fel §. 81. auch etwas leichter zu dieſer Fertigkeit ge⸗
langen, als wenn ſie ſich durch das Nachzaͤhlen an den

Fingern oder ſelbſt gemachten Puncten zu helfen ſuchen;
ob man ihnen gleich dergleichen Nachzaͤhlen gar wohl

geſtatten kann, wo der Unterſchied nur 3 betraͤgt.

3) Die Gruͤnde, wonach die Tafel §. 8 1. ver⸗

fertigt iſt, werden aus ihr ſelbſt und den nachgeſetz⸗

ten Regeln leicht in die Augen fallen. Man wird

daraus auch abnehmen, daß man den Anfaͤngern

4) vorzuͤglich die Reſte von 10 gar ſehr ge⸗

laͤufig machen muͤſſe, wozu man ſich ſehr gut der
Puncte i:: bedienen kann. Man ſchreibt naͤhmlich die
10 Punkte i in vorſtehender Form an die Tafel, und
bedeckt eine ihrer Reihen oder Saͤulen von 3 Puncten
durch ein Lineal oder dergl., ſo bald man gefragt hat:
3 von 10 bleiben? — Eben ſo bedeckt man die 4 in
der mittlern Saͤule ſtehenden Puncte, ſo bald man

gefragt hat: 4 von 12 bleiben? — Daß 5 von 10

abgezogen noch 5 uͤbrig laſſen, wird aus den Satze,

2 mahl 5 iſt 10, beantwortet. Fraͤgt man aber, 0

von 10 bleibt? oder 7 von 10 bleibt? — ſo kann
man wiederum die 6 oder 7 abzuziehenden Puncte
ſehr bequem bedecken.

Dies vorausgeſetzt laſſe ich mit Recht z.
13] denken: 7 bis 10 iſt 3, bis 13 alſo 6. aa
dings moͤgte es hier leichter ſcheinen, zu ſagen,
7 von 14 bleibt 7, von 13 alſo 6; beſonders
wenn man im Kopfe rechnet. Allein fuͤr die
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Vom Subtrahiren. 27

erſten Anfaͤnger iſt es gewiß leichter und rathſamer,
den von 7 bis zu 10 hin gefundenen Unterſchied 3 zu
der vor Augen ſtehenden Ziffer 3 zu addiren. Und
wer nicht mehr Anfaͤnger iſt, wird den Unterſchied
6 zwiſchen 7 und 13 geradezu anzugeben wiſſen, und
auf keine Huͤlfsſchluͤſſe Ruͤckſicht nehmen.

) beute von ſehr ſchlechtem Gedaͤchtniſſe aber
werden uͤberhaupt am beſten fahren, wenn ſie auch
beym Subtrahiren im Kopfe immer nur zuvoͤrderſt
von 10, 20, 30 u. ſ. w. abzuziehen ſuchen, wo doch
einmahl beym Abziehen der Zehner angegriffen wer⸗
den muß. Z. B. um 7 von 23 abzuziehen, moͤgen
ſie ſchließen: 7 von 20 bleibt 13, von 23 alſo 16.

§. 8 3 — §. 8 5.
s. 86.

Die Erklaͤrung des ſogenannten Kunſtſtuͤckes,
§. 85, hat gar keine Schwierigkeit. Denn wenn
ich, wie in dem dortigen erſten Exempel die drey
Zahlen neben a, b und c zuſammen addire, und
von der erhaltenen Summe s, welche = a †+ b † iſt
(ich meine, welche die drey Zahlen bey a und bey b

und bey e in ſich faßt) die erſte Zahl bey a abziehe;

ſo muß die uͤbrigbleibende Zahl bey r noch = = b † c
ſeyn (noch die beyden Zahlen bey b und bey e in ſich
faſſen). Ziehe ich nun davon ferner noch die bey b
ab; ſo muß nothwendig die Zahl bey c uͤbrig bleiben.

Ich pflege die Anfaͤnger viele dergleichen Kunſt⸗

ſtuͤcke rechnen zu laſſen. Denn

1) die⸗

4 —R

28 Drittes Kapitel.

1) dienen ſie zur Uebung i im Addiren und

Subtrahiren zugleich.

2) Koͤnnen ſie ſelbſt am Ende ſehen, ob ſie
richtig gerechnet haben, oder doch den begangenen
Fehler, deſſen Gegend ihnen durch die abweichenden
Ziffern in der zuletzt erhaltenen Reihe ziemlich genau

angezeigt wird, ſelbſt aufſuchen und verbeſſern. Denn
ſo bald am Ende eine unrichtige Ziffer uͤbrig bleibt;

ſo darf man nur ſogleich dieſe Saͤule und etwa noch.

die vorhergehende nachrechnen.

39) Rechnen die Anfaͤnger ſehr gern auf dieſe
Weiſe. Das Wiederhervorgehen einer ſchon vor⸗
handenen Reihe, und die daraus entſtehende Gewiß⸗

heit von der Richtigkeit ihrer ganzen Rechnung, pflegt
ihnen kein geringes Vergnuͤgen zu gewaͤhren.

Bepy den Beyſpielen in §. 87. zeigen ſich uͤber⸗

dies waͤhrend des Rechnens ſelbſt ſolche Reihen, die

den Kindern zu einigen ihnen angenehmen Bemer⸗
kungen Gelegenheit geben, als eine Reihe von einer⸗

ley Ziffern, oder von irgend einer andern in die Au⸗
gen fallenden Ordnung. Auſſer dieſen Beyſpielen
kann man nun auch noch die Uebungsaufgaben zur
Addition zur oͤftern Wiederhohlung dieſes Kunſt⸗
ſtuͤckes gebrauchen laſſen.

§9. 87. §. 88.

*9. 89.
Subtrahiren ohne Unterſchreiben.

Auch bey neben einander geſchriebenen Zahlen

usr ſch das Subtrahiren ganz gut verrichten, wenn
man

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ſchten,
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.

Vom Subtrahiren. 29

man in der abzuziehenden Zahl alle die Ziffern

mit einem Finger bedeckt, welche an hoͤhern Stellen
ſtehen, als diejenige, ſo man jedesmahl abzieht.
Man kennt dieſes Huͤlfsmittel ſchon aus *§. 67.
Nicht ſelten hat man, beſonders in zuſammen
haͤngenden Rechnungen, eine Zahl von einer gerade
darunter ſtehenden abzuziehen; wie in dem folgenden

Falle, wenn uͤber 1752 etwa ſchon andere Zahlen

ſtehen ſollten.

— — waren daher noch 1 7 5 2 †β. Verluſt.
Nach einem Gewinnſt von 2.0. 0. 0 Xπι. aber

hat man nun 2 4 8 X. Gewinn.

„H. 90
Subtrahiren im Kopfe.

Jede einſtellige Zahl von einer andern einſtelli⸗
en oder auch zweyſtelligen Zahl im Kopfe abzuzie⸗
den „lernt man ſchon bey dem bisherigen ſchriftli⸗
chen Abziehen; und zur Erleichterung dienen die in
§H. 81. angezeigten Huͤlfsmittel.
Iſt dabey die Zahl, wovon man abziehen ſoll,
groͤßer als 20, ſo verfahre man auch dabey eben ſo,
wie beym ſchriftlichen Rechnen, z. B.

Iſt 8 von 63 abzuziehen, ſo denke man: 8 von 13

bleibt 5, von 63 alſo 55.
Iſt 6 von 44 abzuziehen, ſo denke man: 6 von 14
. bleibt 8, von 44 alſo 38. HW
Oder wenn dies zu ſchwer ſallen ſollte; ſo vet⸗
fahre man auf folgende Weiſe.

30 Drittes Kapitel. Vom Subtrahiren.

Bey 8 von 63 abzuziehen, denke man: 8 von 60
bleibt 52, von 63 alſo, 55.
Bey 6 von 44 abzuziehen, denke man: 6 von 40
bleibt 34, von 44 alſo, 388. 9
Hierbey braucht man naͤhmlich nur alle Reſte
von 10 recht fertig inne zu haben. Weiß man dieſe,
ſo weiß man auch ſogleich 5z. B..
30 zo 30 60 80
weniger 2 3 4 f „ Mrre
bleibt 38 47 206 f5 74 D
Denn 2 von 40 bleibt 38; indem2 von 10 noch 8 bleibt. niſe,
Ferner, 3 von bleibt 47; indem 3 von 10 noch 7 bleibt. n

S w. . inge Ei
Soll man eine zweyſtellige Zahl von einer mgin
andern zwey⸗ oder dreyſtelligen abziehen; ſo ſucht man herchiedene
ſich der abzuziehenden Zehner zuerſt zu entledigen, en
und gebraucht dabey die ſchon bekannten Ausdruͤcke. .

Iſt 36 von 84 abzuziehen; ſo bleibt, nachdem Frin
zuvoͤrderſt die 30 von den 80 abgenommen ſind, noch M das
6 von 54 abzuziehen uͤbrig, und das laͤßt 48. Ganz geläu
Iſt 45 von 108 (8 und 10 zig) abzuziehen;
ſo bleibt, zuvoͤrderſt die 4 zig von 10 zig abgenom⸗ dreyſche
men, noch 5 von 68 abzuziehen uͤbrig, und das ie dieen
Auch dreyſtellige Zahlen kann man bisweilen Anlnſ
ſehr leicht im Kopfe von einander abziehen, z. B. aſrehſ
120 von 180, als 12 zig von 18 zig, bleibt 6 zig. rtet

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Viertes Kapitel.

Vom Multipliciren.
R §. 91 — §. 93.

9. 94.

Mit Uebergehung aller Spielereyen, die man zur
Beybringung des Einmahleins erdacht hat,
und fuͤr die gewoͤhnlichſten Lehrer und Schulen weder
rathſam noch anwendbar finden moͤchte, will ich hier,
naͤchſt den wichtigen Voruͤbungen in *H. 52. nur
Linige Erleichterungen angeben, wie ſie jeder Lehrer,
auch in zahlreichen Rechenklaſſen, mit Schuͤlern von
verſchiedenen Faͤhigkeiten und Fortſchritten gebrau⸗

chen kann.

1) Man laſſe den Schuͤler das zfache niche
eher erlernen, als bis er das 2fache vollkommen inne
hat; das Afache nicht eher, als bis ihm das 3 fache
ganz gelaͤufig iſt, u. ſ. w.

2) Zu der Zeit, wo er mit Erlernung des
Zweyfachen und Dreyfachen beſchaͤkftigt iſt, kann er
die Additionsaufgaben §. 66. No. 21. bis 30. und
No. 52 bis 63 rechnen; und die Multiplications⸗
Aufgaben §. 98. No. 1 bis 17 dienen aufs neue zur
Wiederholung dieſer 2⸗ und 3ſachen Producte. Iſt

er mit Erlernung der Afachen beſchaͤftigt, ſo rechnet

er die Aufgaben No. 18 bis 21 u. ſ. w.

32

Viertes Kapitel.

Iſt ein Anfaͤnger auf dieſe Weiſe etwa eine
ganze Stunde hindurch mit dem Gebrauche, z. B.
bloß der 3fachen Producte beſchaͤftigt geweſen; ſo
kann es faſt nicht fehlen, daß ihm nicht, auch außer
den Lehrſtunden, einige von dieſen ſo oft gebrauchten
Saͤtzen, durch den Kopf gehen ſollten, und zwar rich⸗
H tig und ohne Verwirrung, da es nicht mehr als ſie⸗
ben Saͤtze ſind.

3) Eine oder auch mehrere Lehrſtunden hin⸗
nem gewiſſen Vielfachen auf die eben gezeigte Weiſe

beſchaͤftigt wird, erlaube man es ihm ſehr gerne, ſich
den dieſe Vielfachen enthaltenden Abſatz des Ein⸗

was er gebraucht, geradezu daraus hernimmt.

anfangs die einzelnen Abſaͤtze nach und nach, ſo wie
er nach dem eben geſagten damit beſchaͤftigt iſt, und
dann am Ende auch das ganze Einmahleins, der

nigſtens nicht, wie man es bey einem etwas großen
Haufen anders anfangen ſollte, um ohne großen Zeit⸗
aufwand zu erfahren, ob das Aufgegebene erlernt ſey.
mahl 7 iſt 14, 2 mahl 8 iſt 16, 2 mahl 9 iſt 18,

2 mahl 8 geſagt iſt, hinzuſetzen — ſechzehn. In⸗
deſſen gebe man den Schuͤlern=

1

durch, worin der Schuͤler zum erſten Mahle mit ei⸗

mahleins aufzuſchreiben, oder auch aus der Tafel
im Rechenbuche zu nutzen; ſo daß er jedes Vielfache,

4) Zur voͤlligen Sicherheit muß der Schuͤler

Reihe nach zu Hauſe lernen, und in den Lehrſtunden
ebenfalls der Reihe nach aufſagen. Ich wuͤßte we⸗

Und wenn unſere Lippen nur ſehr oft geſagt haben, 2
u. ſ. w. ſo werden wir auch auſſer der Reihe, ſo bald

⁵)
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des lenen
verfuher.
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. Vom Mutltiplieiren. 33
Veſe nia 5) den Rath, daß ſie die Zahlen, 2, 3, 4, 5,

Dhrace, „ 6, 7, 8, 9, 10, recht deutlich geſchrieben, waͤhrend
i gnen des Lernens vor Augen nehmen, und nach der Reihe
nct h verfolgen. Sie heften naͤhmlich ihren Blick nach
eſgun und nach auf 4, 5, 6 ꝛc. indem ſie z. B. lernen:
emß viermahl 4 iſt ſechzehn, viermahl 5 iſt zwanzig,
cenes viermahl 6 iſt vier und zwanzig ꝛc. Schreibt man
ihnen nun auch

Ceheirnn ie 6) beym oͤffentlichen Aufſagen eben dieſe Zah⸗
lenreihe an die Tafel; ſo werden ſie ſich von ſelbſt die
1 Muͤhe erſparen, beym Erlernen des Einmahleins
m auch auf die Ordnung der Saͤtze zu achten, und

dagegen die Vorſtellung der Vielfachen einer jeden
Zahl deſto mehr an die Zahl ſelbſt heften.

eS. 29) Endlich laſſe man ſie auch das Einmahl⸗
Smm eins ruͤckwaͤrts herſagen; indem ſie ebenfalls die vor⸗
hin geſchriebene Zahlenreihe vor Augen behalten.
Marn wird finden, daß ihnen dieſes eben nicht ſchwer
“ faͤllt, wenn No. 5 und 6 beobachtet iſt.

§H. 9 5⁵. §. 96.
3 snt Indem ich zu den einmahl hingeſetzten 4 Stuͤcken

„W WNI
TE

beegttid noch zwey mahl 4 Stuͤck hinzugeſetzt habe; ſo kann
ich mir denken, daß ich zu jedem einzelnen der er⸗
e ſten 4 Stuͤcke noch 2 hinzugethan, alſo jedes Ein⸗
zelne in den erſten 4 Stuͤcken gleichſam zu 3 Stuͤck
e gemacht habe. So erhellet es ſehr uͤberzeugend,
1 gene daß jede 3 mahl 4 Stuͤck auch 4 mahl 3 Stuͤck
Sausmachen. Vä

3 C Auuufs
N1

Viertes Kapitel.

einmahl 3 Stuͤck.

Denn indem man 4 Stuck hinſetzet dreymahl;
ſo wird ja auch jedes einzelne der 4 Stuͤcke 3 mahl
hingeſetzt. Und da ſchließt man:

Dreymahl 4 Stuͤck ſind
3 mal 1EStuͤck, noch 3 mal 1St. noch 3 mal 1St. u. noch 3 mal St.

alſo 3 St. u. noch 3 St. u. noch 3 St. u. noch 3 St.;

und das ſind auch
qmal 3 Stuͤck, noch 1 mal 3 St. noch 1 mal 3 St. u. nochn 1 mal 3St.
ſind alſo auch viermahl 3 Stuͤck.

„ *§. 9 — 100.
*O. 101.
3 und 8 heiſſen auch Factoren von 24, in ſo
fern 3 und 8 in einander multiplicirt das Product

24 geben. Auch kann man 24. z. B. in die drey
Factoren 3 und 2 und 4 zerfaͤllen; denn 3 mahl 2

mahl 4 iſt 24. (Naͤhmlich, 3 mahl 2 iſt 6, und

6 mahl 4 iſt 24). Mit Fleiß habe ich des Nah⸗
mens der garroren bey den erſten Anfaͤngern nicht
ſogleich erwaͤhnen wollen. Der verſtaͤndige Ge⸗

brauch dieſes Wortes, welches den Begriff des Mul⸗

tiplicators und des Multiplicanden umfaßt, ſetzt

ſchon einige Uebung i in dieſen Begriffen voraus. Es
iſt daher auf Seite 67. §. 126. uerſt bekannt ge⸗

Macht und gebraucht.

Aufs genauſte betrachtet, gruͤndet man ſich dabey
auf die voͤllig klaren Saͤtze: daß dreymahl 1 Stuͤck
ſind 3 Stuͤck, und dieſe 3 Stuͤck dann auch ſind

nni die eni

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hmehl dt. faͤnger recht ausdruͤcklich bemerken zu laſſen, daß der

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Vom Multipliciren. 35

Haͤlt man es fuͤr noͤthig, ſogleich die erſten An⸗

Multiplicator nie eine benannte Zahl ſeyn koͤnne;
ſo frage man ſie, ob es einen Sinn habe, wenn man
etwa fordern wollte, 8 zu nehmen 3 — mahl!
oder 8 α zu nehmen 3 Quentchen mahl!
§F. 102 — 3 127.

* §. 12

Man hat noch manhee, andere Kunſtgriffe

zur Erleichterung des Multiplicirens erſonnen. Der
erfinderiſche Herr Vicum hat beſonders auf ſolche
Methoden gedacht, wobey man nur wenig Zahlen
aufzuſchreiben braucht. Das Verfahren in §.
127. habe ich zuerſt von ihm gelernt, ob es

gleich ebenfalls ſchon in aͤltern Rechenbuͤchern
vorkoͤmmt; und ich halte es fuͤr gut. Wenn
man aber ein eigenthuͤmliches Verfahren fuͤr die

Multiplicatoren 21; 31; 41 ꝛc. ein anderes fuͤr
12; 13; 14 ꝛc. noch ein anderes fuͤr 121; 131 ꝛe.
wiederum ein anderes fuͤr 211; 311 ꝛc. abermahls
ein anderes fuͤr 201; 202 ꝛc. u. ſ. w. u. ſ. w. bis
zur fertigen Anwendung erlernen und behalten ſoll;
ſo erfordert das ein ganz eigenes Studium, welches

g—

ſich am Ende nicht belohnt. Man muß ja doch alle

die Zahlen denken, im Hopfe behalten, und auf

eine unbequeme Weiſe im Kopfe zuſammen ad⸗
diren, die man bey etwas fertigem Zahlenſchreiben
in ſehr großer Geſchwindigkeit dem Papiere anver⸗
traut, und ſo mit weit groͤßerer Sicherheit und Be⸗
quemlichkeit behandelt. Mehrentheils erreichen doch

wohl diejenigen Wanderer am ſpaͤteſten das Ziel ih⸗
C

2 rer

Viertes Kapitel.

rer Reiſe „welche allenthalben nach Fußſteigen fra⸗

gen; und beſonders iſt es einem jeden, der waͤhrend
des Weges auf die ganze Abſicht ſeiner Reiſe zu den⸗
ken hat, gar ſehr anzurathen, daß er auf der Land⸗
ſtraße bleibe, oder doch nur ſolche Richtwege einſchlage,
die ſich ihm ganz ungeſucht darbieten. Es gehoͤrt
auch ein ganz beſonderes Rechengenie dazu, ſo vieler⸗

ley Kunſtgriffe beſtaͤndig gegenwaͤrtig zu haben; und
auch ſehr vielen guten Koͤpfen fehlen die Gaben, de⸗

ren Mangel Herr Vicum ein duͤſteres Genie zu nen⸗
nen ſcheint. Dieſe werden bey den meiſten, von
dieſem eifrigen Rechenmeiſter vorgeſchlagenen Richt⸗
wegen, einen großen Aufenthalt finden.

Eben ſo uͤbergehe ich andere gar zu kuͤnſtliche

Kunſtgriffe, die dem groͤßten Haufen der Rechen⸗

ſchuͤler nicht zu empfehlen ſind. Wer zur gluͤcklichen
Anwendung ſolcher Kunſtgriffe geſchickt iſt, wird ſie
zu rechter Zeit von ſelbſt erfinden, wenn er nur mit
Verſtand und Ueberſicht ſeines Zweckes rechnet.

Auch wird die Buchſtabenrechnung ihren meiſten ahſimni
5

Schuͤlern unter andern auch den Vortheil gewaͤhren,
daß ſie die Richtigkeit und Allgemeinheit vorgeſchla⸗
gener oder vermutheter Rechnungsverkuͤrzungen

1 leichte pruͤfen koͤnnen.

Einige vortheilhafte Multiplicationen verſpare

ſch fuͤr den zweyten Theil. Hier will ich nur noch der

Neperſchen Rechenſtaͤbe

erwaͤhnen. Sie werden nicht nur ſehr oft genannt;

ſondern es koͤnnte allerdings wohl der Muͤhe werth

ſeyn, ſich an ihren Gebrauch zu gewoͤhnen, wenn
man

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Vom Multipliciren. 37

man oft in den Fall koͤmmt, daß man Zahlen von
ſehr vielen Ziffern zu multipliciren hat.

Man klebt das Einmahleins in der Form wie

es vor dem Tittelblatte dieſes Handbuches, Fig. 1.

abgedruckt iſt, auf Pappe, Holz, Blech oder eine

aͤhnliche duͤnne und feſte Scheibe, und zerſchnei⸗

det es in ſeine 10 Saͤulen (naͤhmlich nach den Stri⸗

ſondert werden); ſo hat man die Neperſchen Rechen⸗
ſtaͤbe. Nur habe ich des, meinem Beduͤnken nach,
bequemeren Gebrauches wegen, die Saͤulen etwas
ſchraͤge gezeichnet, da ſie ſonſt gerade auf zu ſtehen

pflegen. (Sturm in ſeiner Matheſi iuuenili ſucht

die hier abgezweckte Bequemlichkeit durch gewiſſe
Illumination der Staͤbe zu erhalten). Auch habe

ich die Querſtriche mit Steis vorzuͤglich ſtark ge⸗
zeichnet.

Soll man nun z. B. 4097 durch 753 mul⸗

tipliciren; ſo legt man diejenigen vier Staͤbe, deren

oberſte Ziffern 4,0, 9,7 ſind, neben einander, und

darauf die erſte Saͤule davor, wie es die 2te Figur

neben dem Titel darſtellt. Dann findet man neben

der 3 der erſten Saͤule ſogleich das 3fache, neben

der 5 der erſten Saͤule das 5fache, und neben der 7
der erſten Saͤule das 7 fache des Multiplicanden

4097. Indem man ein ſolches Vielfaches ab⸗

ſchreibt, addirt man ſogleich die (bey der hier ge⸗
waͤhlten ſchraͤgen Lage der Saͤulen) ziemlich ge⸗
rade unter einander ſtehenden Ziffern, und ſchreibt
es alsdann dergeſtalt auf, daß man durch das gehoͤ⸗
C 32 rige

chen, wodurch die oberſten Ziffern von einander ge⸗

Fuͤnftes Kapitel.

rige Einruͤcken das Sfache zum zofachen, und das
Yfache zum 700 fachen macht, naͤhmlich

12291 (als 3 mahl 4097)
20483. (als z0 mahl 4097)

28679 . (als 700 mahl 4097) ſ hat man⸗ die

Summe 30350 3085041 als 753 mahl 4097.

Da in manchem Multiplicanden eine Ziffer

mehrere Mahle vorkoͤmmt, z. B. 5 in 4595; ſo
muß man mehrere ſolche Tafeln, als die erſte Zeich⸗
nung vor dem Titel darſtellt, verfertigen und d zer⸗
ſchneiden.

Funftes Kapitel.

Dom Dividiren.

(E§. 120.

De Halfte von 6 iſt 3; denn 2 mahl 3 iſt 6.
Die Haͤlfte von 14 iſt 7; denn 2 mahl 7 iſt 14.
Die Haͤlfte von 24 iſt 12; denn 2 mahl 12 iſt 24.

Das Drittel von 12 iſt 4; denn 3 mahl 4 iſt 1,.
Des Drittel von 6 iſt 2; denn 3 mahl? iſt 6.

Das Viertel von 12 iſt 3; denn 4 mahl 3 iſt 2 12.

Das Viertel von 20 iſt 5; denn 4 mahl 5 iſt 20.

Das Fuͤnftel von 10 iſt 2; denn 5 mahl 2
iſt 10. M .
So wird man die Haͤlfte, „ das Dritcel, d das

Vietel, das Fuͤnftel, das Sechstei u. ſ. neh⸗

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Vom Dioidiren. 39

mehrern andern Zahlen ohne Muͤhe angeben koͤnnen.
Auch bey großen Zahlen laſſen ſich dergleichen Theile
bisweilen ſehr leicht beſtimmen. Z. B.

Die Haͤlfte von 642 iſt ohne Zweifel 321.

Denn 642 beſteht aus den drey Theilen 600 u. 40 u. 2,
und 321 beſteht aus den Haͤlften dieſer drey Theile,

naͤhmlich aus 300 und 20 und 1.
Faſt eben ſo leicht kann man von 963 das

Drittel 321 angeben. Denn 300 iſt das Drittel

von 900, und 20 das Drittel von 60, und 1iſt das
Drittel von 3. Ferner: der vierte Theil von 808
iſt 202; denn 200 iſt das Viertel von 800, und 2
iſt das Viertel von 8. Wenn ſich alſo 4 Perſonen

in 808 * dergeſtalt theilen ſollen, daß ſie alle gleich

viel bekommen; ſo wird jeder 202 0. erhalten.
*. 13 r. “L
In andern Faͤllen muß man ſchon etwas mehr

daruͤber nachdenken. Z. B. Es ſollen ſich 2 Per⸗
ſonen in 74 Aepfel theilen, wie viel bekommt jeder?
Es verſteht ſich hier und bey allen folgenden aͤhn⸗
lichen Fragen von ſelbſt, daß die Perſonen den Vor⸗
rath gleichmaͤßig, oder dergeſtalt unter ſich ver⸗
theilen ſollen, daß alle gleich viel erhalten. Schrei⸗
bet nun auf folgende Weiſe:

274]1 die zu vertheilende Anzahl zwiſchen 2
Striche. Setzet die 2 als die Anzahl

der theilnehmenden Perſonen vor den erſten Strich,
und hinter den zweyten ſchreibet zwey Puncte.

Da naͤhmlich die zu vertheilende Anzahl aus
7 Zehenden und 4 Enzelnen beſteht; ſo ſeuet
C 4 eun

40⁰ Fuͤnftes Kapitel.

euch vor, der erſte Punct hinter dem Striche frage,
wie viel Zehend, und der zweyte, wie viel Ein⸗
zelne bekommt ein jeder?

Die Ziffer, welche die erſte Frage beantwor⸗

tet, wird alsdann unter den erſten, und die Ziffer,

welche die zweyte Frage beantwortet, unter den

zweyten Punct geſchrieben.

Wie nunmehr, nach dieſer vorlaͤufigen Ein⸗
richtung, die Fragen ſelbſt nach und nach beantwor⸗

tet werden, erhellet hinlaͤnglich aus §. 132 und 133.

§F. 132 — §. 134.
*9. 137.
Der Anſatz des Exempels in §. 134. iſt folgender:
219536]*.
denn jedesmahl werden hinter den letzten Strich

eben ſo viele Duncte geſetzt, als die zu verthei⸗

lende Anzahl Stellen einnimmt. .

Hier fraͤgt nun der erſte Punct, wie viel
auſende, der zweyte, wie viel Hunderte, der

dritte, wie viel Zehende, und der vierte, wie
viel Einzelne erhaͤlt eine jede PBerſſon:

Auf jede dieſer Fragen gehoͤrt eine Antwort;

und man muß es den Anfaͤngern zum Geſetz machen,
eine jede von dieſen Fragen einzeln zu beantworten.

Die Antwort beſteht darin, daß man nach und nach
unter jeden dieſer Fragepuncte die gehoͤrige Ziffer
ſchreibt, die nun nach folgenden Schluͤſſen gefun⸗
den wird. (Man nehme die Rechnung in §. 6.
vor Augen). = V
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Vom Dididiren. 4

Wenn theilnehmende Perſonen da ſind, wie
viel Tauſende kann ein jeder von 9 Tauſenden
bekommen? Antwort. 4 Tauſende. Denn alle
beyde bekommen alsdann zuſammen genommen
2 mahl 4, d. i. 8 Cauſende; und dieſe hiermit ver⸗

theilten 8 Tauſend laſſen, von den vorhandenen
Nauſend abgezogen, nur noch 1 Tauſend uͤbrig.

Um auch dieſes uͤbrig gebliebene une Tauſend
vertheilen zu koͤnnen, betrachte ich es als 10 Gun⸗
derte, und indem ich auch die im Vorrathe vorhan⸗
denen 5 Hunderte herunterziehe; ſo ſtehen mir uͤber⸗
haupt 15 Hunderte zur Vertheilung vor Augen.
2 Perſonen bekommen nun von 15 Hunder⸗
ten, ein jeder, wie viel Hundert: Antwort:
7 Hundert. Alle beyde zuſammen erhalten alſo
2 mahl 7, d. i. 14 Hundert, welche von den 15
Hunderten abgezogen noch 1 Hundert zur Verthei⸗
lung uͤbrig laſſen.
Zu dieſem uͤbrigen 1 Hundert oder 10 Ze⸗
henden auch noch die im Vorrathe vorhandenen 3 Ze⸗
hend heruntergezogen, hat man 13 Zehend zur
Vertheilung vor Augen.
Davon bekommt ein jeder? Antw. 6 Zehend;
alle beyde zuſammen erhalten alſo 2 mahl 6, d. i.
12 Zehend, und nachdem ich dieſe 12 Ze hend wirk⸗

1

lich weggegeben habe, ſo bleibt mir nur noch 1 Ze⸗
hend uͤbrig.

Hierzu noch die 6 Einzelnen aus dem Vorrathe

heruntergezogen, ſtehen mir uͤberhaupt noch 16 Ein⸗

zelne zur Vertheilung vor Augen.
C 5 Davon

—

42 Fuͤnftes Kapitel.

Dovon bekommt ein jeder? Antw. 8; denn

2 mahl 8 iſt 16. Nachdem ich auch dieſe 16 weg⸗
gegeben habe, ſo bleibt mir von dem ganzen Vor⸗
rathe nichts mehr uͤbrig; ſondern er iſt nun gaͤnzlich
unter die beyden Perſe onen, und zwar gleichmaͤßig ver⸗
theilt, ſo daß der eine eben ſp viel erhalten hat. als
der andere.
§. 1 36.

. Die in §. 136. Boſundene Antwort iſt: jeder
bekommt o892 *½., das iſt nichts mehr und nichts

weniger als 892 .; daher man die zur Linken ſte⸗
hende . gaͤnzlich wegloͤſchen kann. Dennoch war es
gut, daß ſie anfangs hingeſchrieben wurde. Denn

der Anfaͤnger kann vieler andern, weit ſchwierigern
Regeln uͤberhoben ſeyn; wenn er ſich (bis zu hin⸗
laͤnglicher Fertigkeit im Dividiren) ſtrenge daran
haͤlt, daß er eden ſo viel Puncte hinſchreibt,
als die 5 Zahl, wodurch der zu vertheilende Vorrath
ausgedruͤckt wird, Srellen hat; und wenn er es ſich

alsdann zum Geſeß macht, unter jeden dieſer Fra⸗

gepuncte irgend eine Ziffer, ſollte es auch nur eine o
ſeyn koͤnnen, zur Antwort hinzuſchreiben.

Natuͤrlich iſt es doch auch, nach den Tau⸗
ſenden zu fragen, die einem jeden zufallen koͤnnten,

ſo bald in dem Vorrathe Tauſende vorkommen:

wenn man es gleich bald genug einſieht, daß freylich

keiner auch nur ein Tauſend erhalten kann, wennn

die Anzahl der vorhandenen Tauſende geringer iſt,

als die Anzahl der gleichmaͤßig theilnehmenden Per⸗ .

ſonen.
Ferner

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Vom Dividiren. 43
Ferner iſt eine ſolche Antworksziffer unge⸗
mein wichtig und darf ſchlechterdings nicht wegge⸗
laſſen werden, wenn ſie ſchon eine andere ſelbſtbe⸗
deutende Ziffer zur inken hat. So werden wir in
dem gleichfolgenden Exempel §. 139. finden, daß der
Antheil eines jeden 24050 betraͤgt. Wenn man nun
dort die beyden Nullen nicht anſetzen wollte; ſo haͤtte
man ja nur 245 und nicht 24050. Vor dergleichen
Fehlern ſichern aber offenbar die vorgeſchlagenen Fra⸗

gepunete gar ſehr, und gerade dergleichen Fehler ſ ſind

es, die ſonſt von den Anfaͤngern im Dividiren am
ſchwerſten erkannt und vermieden werden. H

§. 13 §, §. 139.

*6. 140.

Die Schluͤſſe, wodurch in §. 1 39. die Anmper.
ten i geſanden werden, ſind folgende:

Von den 7 Zehntauſenden bekommt jeder von
den 3 Perſonen? Antw. 2 Zehntauſende: denn
3 mahl 2 Zehntauſende ſind 6 Zehntauſende, und
dieſe weggegeben, bleibt mir von den 7 Zehntauſen⸗
den nur noch 1 Zehntauſend uͤbrig.

Dazu die folgenden2 Tauſende heruntetgezo⸗
gen, hab ich 12 Tauſende zur Verthelung vor
Augen.

Davon bekommt ein jeder? Antw. 4. Denn
3 mahl 4 tauſend ſind 12 tauſend, und dieſe von
den vorhandenen 12 tauſend weggegeben, bleibt mir
gar kein tauſend weiter uͤbrig.

Ich ziehe nunmehr das folgende 1 SHundert

herunter. Da nun drey Perſonen gleichmaͤßigen An⸗
ſpruch darauf machen; ſo kann keiner auch nur 1
Hundert bekommen. Die Antwort iſt alſo daß j ie
der o Hundert bekommt.

Ich ſchlage daher das noch nicht vertheilte 1
Hundert zu den heruntergezogenen 5 Zehenden;
ſo hab ich uͤberhaupt 15 Zehend vor Augen.

Davon bekommt ein jeder? Antw. 5 Zehend.
Denn 3 mahl 5 Zehend ſind 15 Zehend. Und wenn
dieſe wirklich weggegeben ſind, ſo bleibt mir gar kein

Zehend weiter uͤbrig.

Von den nunmehr heruntergezogenen o Ein⸗
zelnen bekommt jeder? Antw. ο Einzelne. Da⸗
her die o zur Beantwortung des letzten Fragepunctes
angeſchrieben wird.

§. 141. §. 142.
*§. 143.
Nicht allemahl geht es bey dergleichen Verthei⸗

lungen am Ende ſo gut auf, wie in den bisherigen

Beyſpielen, wo uns von dem Vorrathe niemahls
etwas uͤbrig blieb, ſo bald wir die letzte Frage beant⸗

wortet hatten, wie viel Einzelne ein jeder erhalte?

Man ſtelle ſich nur den leichten Fall vor, daß wir 7
Aepfel unter 2 Perſonen vertheilen ſollen, ſo daß
beyde gleich viel bekommen. Mehr als 3 kann man
doch einem jeden an ganzen Aepfeln nicht geben. Und

wenn man das gethan hat, ſo bleibt der 7te Apfel
noch uͤbrig.

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Ppfel inz
zerſchrehen
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Vom Dididiren. 45

Ohne Zweifel muͤſſen wir den noch uͤbrigen

Apfel in zwey gleiche Theile, in zwey Haͤlften

zerſchneiden, um dann jeder Perſon noch ½ Apel,
d. i. einen halben Apfel zu geben; ſo daß ein jeder
uͤberhaupt 3 ¾ Apfel, d. h. 3 ganze und noch die
Haͤlfte von 1nem Apfel erhaͤlt.
Sollen ſich 3 Perſonen in 7 Aepfel theilen, ſo
wuͤrden einem jeden fuͤrs erſte 2 Aepfel zufallen. Und
von dem alsdann noch uͤbrigen 7ten Apfel gebuͤhrt
einem jeden noch †½ Apfel, noch der dritre Theil
von 1 nem Apfel.
Waͤren 3 Perſonen und 8 Aepfel vorhanden,
ſo wuͤrde ein jeder 2 ¼ Aepfel, d. h. 2 ganze Aepfel
und dann noch den dritten Theil von 2 Aepfeln er⸗
halten muͤſſen.
Z *§. 144.
Wenn ich 344 . unter 3 Perſonen theilen
ſoll, und zu dem Ende die drey Fragen, wie viel
Hunderte, wie viel Zehende und

3 340 114¾ . wie viel Einzelne ein jeder be⸗
32 kromme, nach dem ſchon bekann⸗
4 ten Verfahren beantwortet habe;
3. ſo bleiben mir am Ende noch 2
k449 einzelne Thaler im Reſte, die ich
12 ebenfalls unter die 3 Perſonen
— vertheilen muß. Ichzeige dieſes
2 dadurch an, daß ich zu dem ge⸗
fundenen Antheile 114 noch ¾ xE6ρ. hinzuſchreibe.

Dieſer Ausdruck ½ v5. bedeutet alſo hier nichts an⸗
ders, als daß ein jeder noch den 3ten Theil von 2
Thalern erhalten ſoll.
Wollte

46 Fuͤnftes Kapitel.
Wollte man nun jeden
von den beyden uͤbrigen Tha⸗ O △
lern, wie zur Seite vorgeſtellt

iſt, in drey gleiche Theile zerthei⸗
len und jeder Perſon, von j⸗e⸗ GWM α
dem der beyden Thaler, ein ſol⸗

ches Drittel geben; ſo haͤtte ge⸗
wiß ein jeder den 3ten Theil von den beyden ruͤck⸗
ſtaͤndigen Thalern erhalten.

Zerſchneiden wird man freylich dergleichen
Muͤnzen nicht gerne; ſondern da der dritte Theil ei⸗

nes Thalers 8 Groſchen verth iſt, ſo wuͤrde man lie⸗

ber einer jeden Perſon 2 mahl 8 Groſchen geben.

Wie man dergleichen Bruͤche, dergleichen

aus einem gleichſam zerbrochenen Ganzen ent⸗

ſtandene Theile, am bequemſten darſtellen koͤnne,

davon wird erſt in der Folge geredet werden. Hier
kam es nur darauf an, dem Anfaͤnger irgend ein

verſchaffen.
*0. 14 5/. 7
Eben ſo bedeutet nun Fl. den ten Theit von
3 Gulden, und ½ G. den oten Theil von 5 Pfun⸗
den: und es wird eben ſo * 9t. den 7ten Theil von
2 Groſchen bedeuten; 3 3 R. den 8ten Theil von 3
Pfennigen; „ Xr. den 12ten Theil von 3 Kreutzern;
. den 2aſten Theil von Inem Thaler.
§. 146 — §. 145.
§. 149.
Die Vorſtellungen, deren wir uns bisher ber
dient haben, um den 2ten, 3ten, 4Aten ꝛc. Theil

. einer

ncn anß ih
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Katen.

Vom Dididiren. 47
einer Zahl aufzufinden, ſind ohne Zweifel die bequem⸗
ſten, um den Anfaͤnger an das Verfahren zu gewoͤh⸗
nen, welches zum Dividiren gebraucht wird. Wollte
man auch ſagen: eine Zahl durch 7 dividiren, heiße
den 7ten Theil dieſer Zahl finden; ſo haͤtte man in
der That eine Erklaͤrung gegeben, welche in ſehr vie⸗
len Faͤllen der Anwendung am naͤchſten liegt. Aber
fuͤr noch mehrere, oder doch gerade fuͤr die ſchwierig⸗

ſten Faͤlle iſt es rathſamer ſich an diejenige Erklaͤrung
zu halten, die man in §. 152. finden wird. Um die

Anfaͤnger dazu vorzubereiten, ſehe man ſorgfaͤltig
darauf, daß ſie in den Aufgaben §. 150. gerade nach
der dortigen Vorſtellung verfahren; erinnere auch
wegen der dort gebrauchten Ausdruͤcke ausdruͤcklich

folgendes.

Wenn waͤhrend der Beantwortung der Frage⸗
puncte bey der Diviſion z. B. die Frage entſteht,
wie oft ſteckt 7 in 19? ſo ſey ihre Antwort:
2 mahl, und 5 bleiben noch uͤbrig.
Oder es werde gefragt, wie oft ſteckt 8 in 35?
ſo ſey ihre Antwort: ꝗ mahl, (denn 4 mahl 8 iſt
32) und 3 bleiben noch uͤbrig.
Oder wenn gefragt wird, wie viel hundert⸗
mahl ſteckt 8 in 35 hundert? ſo ſey ihre Antwort:
4 hundertmahl (denn 4 hundertmahl 8 iſt 32
hundert) und 5 hundert bleiben noch uͤbrig.

§. 150%— §. IF4.
Ich will doch die beyden Erklaͤrungen, de⸗
fen ich in *9. 149. erwaͤhnt habe, neben einander

48 Fuͤnftes Kapitel.

ſtellen. Es ſind die gewoͤhnlichſten, auch meiner Ein. uß mme
ſicht nach, die beyden beſten; und was ich hier ganz egich/
gemeinverſtaͤndlich von ihnen beybringen werde, kann mamnne,
vielleicht andern viele Zeit erſparen. eml ſin

Man kann I ſagen: eine Zahl z. B. durch Oer

4 dividiren, heißt ihren 4ten Theil finden. Uſeld
14 . ☚ hen) geraden
Dann iſt der gefundene Quotient des Divi⸗ ena .
ch 4 maht

denden 4ter Theil, fuͤr den Diviſor 4. in
Oder II: mit 4 in eine andere Zahl divi⸗ mien i
diren, heißt eine Zahl finden, welche anzeigt, Cnnc
wie oft jene 4 in der andern ſteckt.
Dann iſt der gefundene Quotient eine Zahl, S
welche anzeigt, wie oft der Diviſor im Divi⸗ (ſnbtit
denden ſteckt.
*§. 156. udante
.

Haͤtte man nach I gefunden, daß der ate ien ſene
CTheil des Dividenden (12) iſt 3; ſo weiß man di
eben dadurch, daß 4 mahl 3, folglich*) auch 3 mahl Quenhen

4, den Dividenden ausmacht, alſo 4 im Dividen⸗ End

Hat man dagegen nach II gefunden, daß san
4 im Dividenden (12) 3 mahl ſtecke; ſo weiß een w
man eben dadurch daß 3 mahl 4, folglich auch Nl
4 mahl 3, den Dividenden ausmacht, alſo der 4te 4 en
Theil des Dividenden iſt 3. 1 ir

Beyde Schluͤſſe behalten auch ihre Richtigkeit, fuimng⸗
wenn man mit benannten Zahlen rechnet; z. B.
Haͤtte man nach 1 gefunden, der 4te i,
Theil des Dividenden ſey 3 QOuentchen;
w .
690

4

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1.
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ie
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Cunt

Vom Dioidiren. 49

weiß man eben deshalb, daß 4 mahl 3 Quentchen,
folglich *) auch 3 mahl 4 Quentchen den Dividenden
ausmachen, alſo 4 Quentchen im Dividenden
3 mahl ſtecken.
Oder hat man nach II gefunden, daß der
Diviſor (4 Quentchen) im Dividenden (12 Quent⸗
chen) gerade 3 mahl ſteckt; ſo weiß man eben
dadurch auch, daß 3 mahl 4 Quentchen, folglich
auch 4 mahl 3 Quentchen den Dividenden aus⸗
machen, alſo der 4te Thetl des Dividenden iſt
3 Quentchen.
*G. 1 5,7.
Innn der Ausuͤbung wird bald die eine bald die
andere Erklaͤrung der Anwendung am naͤchſten liegen.

Fraͤgt man z. B. wie viel bekommt jeder, wenn
12 QAQuentchen unter 4 Perſonen gleich vertheilt wer⸗
den; ſo werden wir ſagen: laßt uns den zten
Theil von 12 Quentchen ſuchen, das ſind 3
Quentchen. èè”
Soeypy dagegen die Frage: wie viel Loth ſind 12
Quentchen? Da wird man am natuͤrlichſten ſagen:
jede 4 Quentchen machen 1 Loth aus, alſo laßt uns
ſichen, wie oft 4 QOuentchen ſtecken in 12
Quenrtchen? Antw. 3 mahl.
Bep der Frage, was giebt ½ mahl 12 f? ge⸗
langt man am kuͤrzeſten zur Antwort, wenn man den
3ten Theil einer Groͤße finden, oder ſie durch 2
dividiren, geradezu fuͤr gleichbedeutend haͤlt. D
Wo man dagegen durch einen Bruch z. B.
durch ¾ zu dividiren hat, da gehe man deuelicher,
) §. 96 und *§ 97.

W☛☚n

50 Fuͤnftes Kapitel.

wenn man fraͤgt, wie oft ½ im Dividenden ſteckt,
als wenn man fraͤgt, welches iſt der Fte Theil des
Dividenden? Auf dieſem le Aleern Wege iſt ſchon

mancher ſorgſame Rechner fe gegangen.

*H. 158.

Sollte man es noͤthig finden, aͤhnliche Erin⸗

nerungen wie in *§. 101. Seite 35. auch hier dem

Anfaͤnger zu machen; ſo laſſe man ihn bemerken, daß
entweder der Diviſor nur eine unbenannte Zahl iſt,

und der Quotient dem Dividenden gleichartig und
gleichnahmig wird, oder der Diviſor dem Dividen⸗
den gleichartig und lechasleri ſeyn muß, und der
Quotient eine unbenannte Zahl iſt; je nachdem man
die erſte oder die zweyte Erklaͤrung in *§. 155 zum
Grunde legt. Man ſehe noch die Vorrede, Seite X.

S§. 159 — §. 162.
*G. 163.

Der groͤßte Aufenthalt beym Dividiren ent⸗

ſteht bey den Fragen, wie oft der Diviſor in gewiſ.
ſen Stellen des Dividenden ſtecke!

1) Mit voͤlliger Gewisheit kann man dieſe Fragen .

ſogleich beantworten, wenn man das 2fache, 3fa⸗
che, 4fache u. ſ. w. bis zum gfachen des Divi⸗
ſors entweder auswendig lernt, oder nur zum Ge⸗

brauche einer vorhabenden Diviſion aufſchreibt

und vor Augen legt. Es iſt aber nicht moͤglich,
dergleichen Vielfache von allen Zahlen auswendig
zu behalten, womit man bisweilen zu dividiren
hat, und auch ſchon zu langweilig iſt es, derglei⸗
chen. Tafel fuͤr einen eben vorhandenen Diviſor

jedes⸗

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ung,

Vom Dividiren. 51

jedesmahl zu verfertigen. Wo dieſes letztere rath⸗
ſam ſey, und wie man dabey am beſten verfahre,
wird in *§. 181. vorkommen.

2) Das gewoͤhnlichſte Huͤlfsmittel, deſſen man ſich
nun wirklich zu bedienen pflegt, um die Zahl fuͤr
jene Fragen wenigſtens ziemlich nahe zu treffen,
wird ſich aus folgenden Beyſpielen am beſten er⸗
lernen laſſen. (Ein neues Huͤlfsmittel fuͤr die
ſchwierigſten Faͤlle werde ich in *g. 180. bey⸗
bringen.)
*§. 104.

Wenn die Frage iſt, wie oft 28 in 173 ſtecke;
ſo ſchreibt man die 28 eingeklammert unter 173, wie
es Seite 81 §. 159. geſchehen. iſt,

ng, und ſchließet auf folgende Weiſe.
Da 2 in den uͤberſtehenden 17 nicht oͤfter als H
8 mahl ſteckt, ſo kann auch 28 in 173 gewiß nicht
oͤfter als 8 mahl ſtecken. Durch die Muleiplica⸗

tionen 28 28 28

224 196 168 findet man nun
ferner, daß nicht nur 8 mahl 28, ſondern auch 7

mahl 28 noch zu groß werde, als daß es in 173

ſtecken koͤnnte. Darauf aber findet man, daß
6 mahl 28 nur 168 giebt, welches ſich von 173
abziehen laͤßt.

Ferner entſteht in dem dortigen Eranel die
Frage: wie oft 28 in 56 ſtecke? — — Gewiß

nicht oſter 9 als 2 mahl. Denr 2 ſteckt in der uͤberſte⸗

2 henden

S

58 Fuͤnftes Kapitel.

henden 5 (ſiehe das dortige Exempel) nur 2 mahl.
Nun giebt 2 mahl 28 gerade 56, welches ſich aller⸗

dings von 56 abziehen laͤßt.
*§. 16 5.

In §. 161. Seite 82. iſt die Frage, wie voft

ſteckt 326 in 5212 Antwort, gewiß nicht oͤfter als

1 mahl; denn die Ziffer 3 (an der hoͤchſten Stelle

des Diviſors) ſteckt in der uͤber ihr ſtehenden Ziffer 5
nicht oͤfter als 1 mahl. Und wenn gleich darauf die
Frage iſt, wie oft ſteckt 326 in 1956? ſo heißt es
ebenfalls: gewiß nicht oͤfter als 6 mahl; weil 326

unter 1956 geſchrieben, wie dort zu ſehen iſt, die

3, an der hoͤchſten Stelle des Diviſors, in der dar⸗
uͤberſtehenden Zahl 19 nicht oͤfter als 3 mahl ſteckt.
Der Grund dieſes Schluſſes faͤllt uͤbrigens leicht
in die Augen. Naͤhmlich wenn 3 hundert in 19
hundert nur 6 mahl ſteckt; ſo kann auch 3 hundert
in 1956 (alſo in 19 hundert mit einem Zuſatze, der
noch kein ganzes Gundert ausmacht) unmoͤg⸗
lich oͤfter als mahl ſtecken. Wenn
aber ſchon 300 in 1956 nicht oͤfter als 6 mahl
en t ſtteckt, ſo kann noch
viel weniger die groͤſ⸗
ſere Zahl 326 in 1956 noch ofter als 6 mahl

ſtecken.

Ein geuͤbter Rechner erfaͤhrt nicht nur auf die

in *§. 164. gezeigte Weiſe, daß 28 in 173 nichtoͤfter
als 8 mahl ſtecken koͤnne; ſondern er uͤberſieht auch

ahl

durch eine geſchwinde Schaͤtzung des Productes 8

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17 als
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Vom Dividiren. 33”3

mahl 28, daß auch dieſes Product noch groͤßer als
173 ausfallen werde. Mit einem eben ſo geſchwin⸗
den Blicke koͤnnte er auch wohl vermuthen, daß auch
7 mahl 28 noch mehr als 173 geben werde.

Alsdann laͤßt er dieſe beyden zu großen Pro⸗

ducte ſogleich aus der Acht, und verſucht nur mit

dem naͤchſt kleinern, 6 mahl 28.

*d. 167.
Wenn man aber auf ſolche Weiſe mit einigen
(durch die in *§H. 164 und *§. 165. angegebnen
Schluͤſſe noch nicht ausgeſchloſſenen) Vielfachen des
Didviſors gar nicht verſucht, in der Vermuthung,
daß ſie zu groß ausfallen moͤgten; ſo kann man ſich
allerdings darin uͤbereilen. In dieſem Falle wird
nach dem Abzuge eines zu kleinen Vielfachen ein
Reſt bleiben, der ſelbſt noch groͤßer als der Di⸗
„iſor iſt. Z. B. Man koͤnnte auf folgende Weiſe
afabree⸗
8 17 6 5 Obgleich 2 in 17 allerdings 8
mahl ſteckt; ſo moͤgte doch der
140 Diviſor 28, weil ſeine vorletzte
3·6 Zirffer 8 etwas groß iſt, vielleicht
nur 5 mahl in 176 ſtecken. In

2
— dieſer Vermuthung ſchriebe man
8 denn 5 im Quotienten an, zoͤge

5 mahl 28, d. i. 140 von 176 ab, und ſiehe da!
der Reſt 36 iſt groͤßer als der Diviſot ſelbſt, zum
hinlaͤnglichen Beweiſe, daß dieſer wenigſtens noch
1mahl mehr, uberhau alſo 6 mahl in 176 ent⸗

halten iſt.
D 3 um

54 Fuͤnftes Kapitel.

Um nun dieſen begangenen Fehler zu verbeſ⸗
ſern, kann man entweder die hingeſchriebene 5, und
alles was ihrentwegen hingeſetzt war, wieder wegloͤ⸗

ſchen; oder da man von dem Reſte 36 den Diviſor

28 noch 1 mahl abziehen kann, ſo thut man das,
und ſchreibt dann nur ſtatt der 5 im Quotienten die

um r groͤßere Zahl 6 an. Denn man hat nunmehr
den Diviſor 5 mahl und dann noch 1 mahl, uͤber⸗

haupt alſo 6 mahl abgezogen.
*§. 168.

Haͤtte man den Fehler gar nicht bemerkt; ſo
wuͤrde man auf folgende Weiſe fortfahren.

28 res 5 28 in 365 ſteckt? Antw. 13 mahl.

(28) ] 3² Denn 13 mahl 28 giebt 364, wel⸗
140% chhes allerdings noch in 365 enthal⸗
65 ten iſt. Der zweyte Fragepunct
(2) waͤtre alſo mit 13 zu beantworten.

Ein ſolcher Umſtand, daß ein Fragepunct mit
einer Zahl, die groͤßer als 9 iſt, zu beantworten

waͤre, zeiget nun, wenn uͤbrigens richtig gerechnet
iſt, allemahl an, daß man den vorhergehenden Fra⸗
gepunct zu niedrig beantwortet habe; und es wird
das rathſamſte ſeyn, dieſen Fehler erſt zu verbeſſern.
Wenn das geſchehen iſt; ſo wird gewiß der unbe⸗
queme Fall nicht weiter vorhanden ſeyn, daß man

den gegenwaͤrtigen Fragepunct mit einer Zahl, die

groͤßer als 9 iſt, zu beantworten haͤtte.
s. 1696.
Ueberhaupt iſt es gewiß, daß entweder

einer der vorhergehenden Fragepuncte zu
eerig

drig beent
ſehler ben⸗
mit eimr
graſir als

A. VB
ſeden, dder
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Vom Dividiren. 55

drig beantwortet, oder ſonſt ein Rechnungs⸗
fehler begangen iſt, ſo bald ein Fragepunct

mit einer Zahl zu beantworten waͤre, welche

groͤßer als 9 iſt. .
§. 170 — §.
*6. 18.
XI. Wenn ein zweyſtelliger Diviſor in ſeinen
beyden, oder ein mehrſtelliger Diviſor in ſeinen bey⸗
den hoͤchſten Stellen, ſolche Ziffern hat, deren
Summe 10 oder noch mehr betraͤgt; ſo mag man
ſich dieſe Stellen lieber mit der naͤchſt groͤßern 10fa⸗

chen Zahl beſchrieben denken, um die Ziffern des

Quotienten leichter zu finden. Z. B. Statt des

Diviſors, 19, 29, 99, 5943 oder 84675
mag man ſich 20 30 100 60.. 90. ..

einbilden, ſo lange man fraͤgt, wie vielmahl der Di.

viſor zu nehmen ſey!
Freylich wird die dafuͤr gefundene Autwort,
alſo die neue Ziffer des Quotienten, bisweilen um
1 zu klein ausfallen; aber dieſe Faͤlle ſind fuͤrs erſte
nur ſelten. Es ſind ihrer z. B. ſchon bey 19 faſt
dreymahl, bey 29 faſt füͤnfmahl u. ſ. w. bey 99 faſt
19 mahl weniger, als der uͤbrigen, bey denen

die geſuchte Ziffer des Quotienten fuͤr den wirklichen

Diviſor nicht groͤßer iſt, als fuͤr den eingebildeten *).
D 4 Fuͤrs

*) Ich habe die Wahrſcheinlichkeiten auch fuͤr den
uͤbrigen Umfang meiner Regel aufgeſucht, oder
vielmehr meine Regel jenen Wahrſcheinlichkeiten

gemaͤß eingerichtet. Vielleicht iſt einigen meiner
Leſer

Fuͤnftes Kapitel.

56

Fuͤrs zweyte iſt in den wenigen fehlerhaften Faͤllen
die Verbeſſerung gar leicht zu Stande gebracht,

nach *C6. 167. Im folgenden Beyſpiele:

„ „% %

796668675484 wird des Quotienten erſte
6368 4 Ziffer ganz richtig dadurch
4187 . gefunden, daß man ſich im
2388 Diviſor 80 ſtatt 79 denkt,
und fraͤgt: wie oft ſteckt 80
799 in 66? Fuͤr des Quotien⸗
22694 ten zweyte Ziffer wird frey⸗
3 lich auf dieſe Weiſe nur 3

beſtimmt; und dieſe ge⸗
braucht, laͤßt einen Reſt 799, der groͤſſer iſt, als

der Diviſor! Daher zieht man den Diviſor noch
einmahl ab, und ſetzt nun 4 ſtatt jener 3.

*OQ. 181.
XlI. Bevy ſo ſchwierigen Diviſoren, als wir
im vorigen 5. beſchrieben haben, oder auch bey ſehr
vielſtelligen Dividenden, kann ſichs wohl der Muͤhe
verlohnen, daß man alle Vielfache des Diviſors bis
auf ſein gfaches im voraus verſertigt, und vor Au⸗

gen behaͤlt. Man finde alle dieſe Vielfache durch

Addi⸗

Leſer mit der Jallgemelnen Beſtimmung gedient.

Bey der Behauptung, daß auf obige Weiſe die

neue Zifſer des Quotienten aufzufinden, d†
an Statt des wahren Diviſors d gebraucht, einer⸗
ſey mit ihm gebe, verhalten ſich die Fehler 1 den
Trreffern =5e: d — 6.

Addttion,
den Donſe
chen peden
Durt vüd
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Ert. Zur
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16

Addition, indem man zum zfachen des Diviſors
den Diviſor addirt, zu dem dadurch gefundenen zfa⸗
chen wiederum den Diviſor addirt, u. ſ. w. Da⸗
durch wird das 3fache, Afache u. ſ. w. endlich auch
das gfache des Diviſors leichter gefunden, als wenn

man ihn nach und nach durch 3, 4 u. ſ. w. multipli⸗
cirt. Zur Probe aber multiplicire man auch

den Diviſor durch 3, und dieſes 3fache abermahls

durch 3. Wenn dann dieſes ſo gefundene gfache
mit dem vorigen uͤbereinſtimmt; ſo ſind hoͤchſt wahr⸗

ſcheinlich alle Vielfache richtig. (Oder man addire
zu jenem auf die erſte Weiſe gefundenen gfachen,
den Diviſor noch einmahl, und ſehe ob man dann

das richtige 10fache habe!)

*GC. 182.

XIII. Das Aufſuchen dieſer Vielfachen kann
man ſich erſparen, wenn man die Neperſchen
Rechenſtaͤbe bey der Hand hat, die ich mit einer
bequemen Veraͤnderung ſchon oben *§. 128. an⸗

gefuͤhrt habe. In der That leiſten ſie bey großen

Diviſionen noch mehrern Nutzen, als beym Multi⸗

pliciren. Iſt z. B. 4097 der Diviſor, ſo legt man

ſie, wie in der 2ten Figur vor dem Titelblatte, der⸗
geſtalt, daß ihre obern Ziffern den Diviſer darſtel⸗
len. Dann hat man alle erforderlichen Vielfachen
des Diviſors, von 2⸗ bis zum gfachen, faſt eben ſo
gut und deutlich vor Augen, als ob man ſich ein
eigenes Taͤfelchen davon verfertigt haͤtte.

D 5 Ver⸗

58 Fuͤnftes Kapitel.
Verſchiedene Formen der Dſwiſion.
*. 183.

I. Die Form, welche von §. 132 bis zu §. 162

gebraucht wird, iſt ſeit mehrern Jahren ſchon ſehr
allgemein geworden, und zum erſten Unterrichte

ohne Zweifel fuͤr Lehrer und Schuͤler die allerbe⸗

quemſte. Man pflegt ſie wohl die mathematiſche
Diviſionsart zu nennen. In Ermangelung eines
beſſern Nahmens mag ſie die herunterziehende Form
beiſſen. B
Mehrere empfehlen fuͤr ſie folgende Abaͤnde⸗
rung, die durch Vergleichung mit §. 161. leicht zu
verſtehen iſt.

326 L
32652168007160024
1956 1956
652 800
1304 1487
183

Es wird dadurch nicht nur Raum erſpart; ſondern
es iſt auch in mehrerer Hinſicht gut und bequem,

daß man die Multipla des Diviſors unter einander

vor Augen hat. Aber den Zuſammenhang des gan⸗

zen Verfahrens wird der Anfaͤnger nicht ſo leicht, als

nece 161, faſſen und behalten. „

In §. 176. iſt ſchon die kuͤrzere Form ge⸗
geige, eth bey einſteligen Diviſoren die be⸗
Niemſte iſt.

eg. 184.

Fon, n
Lhen ſe
1606
16 1 66*
149991
40
145
174

lehbtinge,

Das 1
ſeten 6
ſ⸗ enn ſ.
ſem

thede

nictin⸗

ſ Vom Dididiren. 59
III. Sehr gewoͤhnlich war vormahls die folgende
tuierti Form, wo der Diviſor (29) ſo wie es hier vor
BeNe . Augen ſteht, unter den Dividenden geſchrieben
rin wird, ſo oft man eine neue Ziffer
des Quotienten finden will. Noch
tiefer ſtehen die Producte, 87 als
3 mahl 29; 145 als 5 mahl 290
und 174 als 6 mahl 29, welche

erſen Nuntte 2.2
chuler de lah X99.6
emathentni Z. . 3 § 356

mddg 242 von dem Dividenden nach und nach
18 7 abgezogen werden; ſo daß der Reſt
erhh 145 jedesmahl uͤber die Zahlen geſetzt
oD 174 wird, wovon man ſo eben abgezo⸗

gen hat. Waͤhrend der Rechnung
durchſtreicht man eine Ziffer nach der andern, ſo⸗
bald ſie verbraucht iſt. Und jedes untergeſchrie⸗
u bene Product pflegt man gewoͤhnlich auszuloͤſchen,
ſobald es abgezogen iſt.

Außer einigen in die Augen fallenden verdrieß⸗
lichen Schwierigkeiten, welche dieſes Verfahren bey
dem erſten Unterrichte der Anfaͤnger veranlaſſen muß,
„will ich nur noch folgende Erinnerungen dagegen
n beybringen.

1) Das Abziehen der Producte wird aus einem dop⸗
nmnetete pelten Grunde gar ſehr erſchwert; weil 1) die
rticrtit⸗ Ziffern, ſo dabey ins Auge gefaßt werden muͤſſen,
ſ ſehr weit, und durch ſo viele andere dazwiſchen
ſtehende Ziffern, von einander getrennt ſind,
e und 2) die Zahlen, wovon man abziehen ſoll,
nicht in einer Reihe neben einander ſtehen.

2)

60 Fuͤnftes Kapitel.

2) Der Lehrer iſt, wenn er auch die aͤußerſt verdrießi⸗

liche Arbeit bey der Durchſicht eines ſolchen Exem⸗
pels nicht ſcheuen wollte, dennoch gar ſelten im
Stande, einen begangenen Fehler dem Anfaͤnger

deutlich vor Augen zu legen; es ſey denn, daß
er beſtaͤndig neben ihm ſitzen, und ihn Schritt

vor Schritt verfolgen kann.

3) Wenn die Ziffern recht deutlich geſchrieben, or⸗

dentlich uͤber einander geſtellt und mit Behutſam⸗

keit durchſtrichen ſind; ſo ſieht ein ſolches Exem⸗
pel — zwar immer noch bunt genug — aber doch
ganz ertraͤglich aus. Aber, aber! der Anblick dieſer

Exempel, wie ſie in den Rechenſchulen nothwen⸗

dig vorkommen muͤſſen, muß Lehrer und Schuͤler

verwirren und misvergnuͤgt machen.

) Der Vortheil dieſer Form beſteht einzig und
allein in der Erſparung des Raumes; denn

4

S . 7

Ziffern werden im Durchſchnitt genommen eben

ſo piel als bey der herunterziehenden Form
geſchrieben. Und die Erſparung des Raumes

ſindet doch auch nur Statt, ſo lange man mit

Schiefer oder Kreide rechnet, wobey man die

Laͤßt man dieſe Producte ſtehen, wie es auch hier

im Druck geſchehen mußte; ſo hat man freylich
den Nutzen, daß man dieſe Producte nebſt dem

5)

letzten Reſte zuſammen addiren, und dann uͤber⸗
ſehen kann, ob dieſe Summe auch den Dividen⸗
den wieder herſtelle. Dieſes ſcheint ſogleich
eine ſehr bequeme Probe der Diviſion abzugeben.
Allein genauer betrachtet beweiſet dieſe Wieder⸗
herſtellung

herſtellnn
ducte hun⸗
zogin hn
don ſeb
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Productee
Unan an E
den Durſr
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Denn de
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untergeſetzten Producte wieder wegloͤſchen kan. ) Nt

ertſi,
nehrern 9
agepune
Atetiht

IV. Vd
moͤghec

. Vom Dividiren. 61
ißetng herſtellung nur ſo viel, daß man die als Pro⸗
ines ſitene ducte hingeſchriebenen Zaͤhlen richtig abge⸗
nech gr eint zogen habe. Ein Fehler in den hingeſchriebenen
Arnhin Zahlen ſelbſt wuͤrde dabey voͤllig unbemerkt blei⸗:
e ſo n ben. Wollte man nun auch in dieſer Hinſicht die
en Producte einzeln noch einmahl pruͤfen; ſo haͤtte
man am Ende mehr Arbeit, als wenn man
chi den Diviſor mit dem Quotienten nach der ganz
H gewohnten und gelaͤufigen Form multiplicirt,
und erhielte dennoch nur eine geringere Sicherheit.
Denn bey dem zweyten Nachrechnen der ſchon
hingeſchriebenen Producte kann man ſehr leicht in
den alten Fehler hineinſchleichen. (Die bekann⸗
ten Wirkungen der aſſociirten Begriffe bringen es
ja wohl ſo mit ſich, daß man an der alten Stelle,
un in, mit und unter den alten Bildern und Ver⸗
ie haͤltniſſen auch am leichteſten den alten Fehler
Mn; wuiederhohlt.)
in gum, 6) Lͤßt man nun aber nach No. 5. die Producte ſte⸗
uftein i hen, es ſey aus Roth oder der Probe wegen; ſo
ung NM wird dadurch die unter No. 1. beruͤhrte Unbequem⸗
u ülitchkeit gar ſehr vergroͤßert.
4, uen 7) Die Unbequemlichkeiten dieſer Form werden un⸗
r ngiſe ertraͤglich, wenn der Diviſor aus drey oder noch

nm —

leer mnet⸗

nen mehrern Ziffern beſteht; oder wenn auch nur viele
ſeni Fragepuncte zu beantworten ſind, und die Pro⸗
kn duete nicht weggeloͤſcht werden koͤnnen.
in din *§. 185. . ”ä
6 Wõ IV. Wenm daran gelegen iſt, ſo wenig Ziffern als
eit Nn

moͤglich zu ſchreiben, der gewoͤhne ſich lieber

iniſ, an die folgende Form, wobey geuͤbte Rechner in
t dleſer

der

62

29 1350

. 40
3.. 67

29 450
— g
Xx2

29 Taα
65 A5⁰σ
365 2 5§
2

deſezt iſt.

Fuͤnftes Kapitel.

der That ganz gut zu fahren pflegen. Es wird
dabey mit der neuen Ziffer im Quotienten zu⸗
er ſt die Ziffer an der hoͤchſten Stelle des Di⸗
viſors multiplicirt (z. B. gleich im Anfange heißt
es, 3 mahl 2 iſt 6); dies Product wird alsdann
ſogleich im Kopfe (von der dabey durchſtrichenen
10) abgezogen, und der Reſt (4) unterwaͤrts ge⸗

ſchrieben. Darauf erſt wird die
folgende Ziffer des Diviſors mul⸗
tiplicirt, und das Product (3 mahl
9 iſt 27) von 43 abgezogen; bleibt
16. .
Nun heißt es weiter: 29 in 16 5
ſteckt 5 mahl. 5 mahl iſt 10 von

16 abgezogen laͤßt 6 uͤbrig. Ferner:

5 mahl 9 iſt 45 von 65 abgezogen,
laͤßt 20 uͤbrig.
Endlich: 29 in 200 ſtecr 6

mahl. 6 mahl 2 iſt 12, von 20
abgezogen laͤßt uͤbrig 8. 6 mahl

9 iſt 54 von 80 abgezogen laͤßt
uͤbrig 26.

Aunmerk. Wenn der Diviſor mehr als aſtellig
iſt; ſo iſt freylich auch dieſe Form ſchon mehrern Verſehen
ausgeſetzt, als die vorhin ſogenannte herunterziehende Form.
Daher bleibe man in ſolchen Faͤllen bey jener, die man
uͤberdies ſchon gut inne haben muß, wenn man die gegen⸗
waͤrtige mit Leichtigkeit erlernen will. Uebrigens werden
die Reſte unterwaͤrts geſchrieben, weil es hier ſeltener an
Raum fehlt, als uͤber dem Dividenden; wo er bey an
einander haͤngenden Rechnungen mehrentheils ſchon

*§. 186.

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„ESrn

Vom Dividiren. 63

fenn. e K§. 196.
Quag Die folgende Form iſt vom Hrn. Prof. Baſedow
neup erfunden. Sie hat gar ſehr viel empfehlendes in
ginif Ruͤckſicht auf die Demonſtration, wo man zeigen will,
ntinch daß der Diviſor vom Dividenden ſo oft als moͤg⸗

haduttien 22 licnch abgezogen werde, und
lrnn . 111696 am Ende die Summe alles
Retickuid 29 103;5 Abgezogenen und des Reſtes

ieNan. 3 mahl 29 iſt 87.. den Dividenden wieder ge⸗
. ben muͤſſe. Daher wuͤrde
wNinga 5 mahl 29 iſt 145. „en muſſe
em 6 mahl 29 iſt 174 ich dieſe Form auch allen an⸗
Beofme. — — dern mir bekannten Formen
d. mit Vergnuͤgen vorziehen,
n und nur etwa noch 3.. mahl und 5. mahl, ſtatt
un 3 mahl und 5 mahl ., im obigen Beyſpiele ſetzen;
wienn es meine Abſicht waͤre, ein hauptſaͤchlich de⸗
w iſe monſtratives Lehrbuch fuͤr Geuͤbtere zu ſchreiben.
. Zur erſten Erlernung der diviſoriſchen Operationen
Lbber wird ſie dem Anfaͤnger ſchon darum Schwierig⸗
keiten verurſachen, und nur eine ſehr langſame
Auusuͤbung verſtatten, weil er den Diviſor nicht
unterſetzen kann, um deſto beſſer zu ſehen, wie oft er
ihn zu nehmen habe. Ueberdies aber finden auch faſt
alle die Erinnerungen in *§. 184. mehr oder weniger
dagegen Statt.

10350

So eben *) theilt mir der Hr. Prof. Baſedow
guͤtigſt noch eine neue Veraͤnderung der obigen Form
mit,
*) Waͤhrend des Abdrucks der erſten Ausgabe. Man
ſehe die Vorrede. .

õl

Sechſtes Kapitel.
22 mit, wodurch man auch den Diviſor 29
166“ und den nach und nach gefundenen Quo⸗
AS5 tienten 356 recht deutlich als die beyden
29.. Factoren vor Augen hat, aus denen auf
3,;6 eine ebenfalls ſehr uͤberſehbare Weiſe die
Produrte entſtehen, welche nebſt dem
87.„ Reſte 26 den ganzen Dividenden aus⸗
14 5°1 machen. L “
174
26

—

—

10370

Sechſtes Kapitel.

Von der Nahmenaͤnderung.
§. 187.
Wo Thaler und Groſchen nicht die gewoͤhnlichſten
— Muͤnzſorten ſind, da kann man die erſte, und
in andern Gegenden, wo die Anfaͤnger mit Gulden
und Xrn gar nichts zu thun haben, die zweyte Auf⸗
gabe im vorigen §. fuͤrs erſte uͤberſchlagen. Soll⸗
te ferner dieſes Rechenbuch auch gebraucht wer⸗
den, wo man nach Thalern zu 36 Mariengroſchen
von 8 Pfennigen rechnet; ſo wuͤrde der Lehrer an⸗
fangs nur in dieſen Geldſorten einige den hier gege⸗
benen aͤhnliche Aufgaben vorzulegen haben, und bey
den Uebungsaufgaben in §. 19 5. No. 1, 2, 5 bis 10

erinnern koͤnnen, daß man auch dort unker . nur
Marien⸗

9

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.

Von der Nahmenaͤnderung. 65

Mariengroſchen zu verſtehen habe. In den Beant⸗
wortungen der Uebungsaufgaben im Anhange dieſes

Buches findet man auch die Antworten fuͤr dieſen
Fall angezeigt; und dieſe doppelten Antworten konn⸗
ten hier um ſo mehr Platz finden, da man in den
meiſten Gegenden, wo Mariengroſchen zu 8 ₰ ge⸗
braucht werden, zugleich auch nach guten Groſchen
zu 12 R, ſelbſt im gemeinen Leben, zu rechnen
pflegt. Sehr rathſam iſt es uͤbrigens wohl, daß
man die jungen Schuͤler anfangs nur nach den in
ihrem Lande uͤblichen Muͤnzſorten rechnen laͤßt, ehe
man ſie auch durch auswaͤrtige belaſtet und zerſtreut.
Daher kann man bey dem erſten Durchgehen dieſes
Rechenbuches diejenigen Aufgaben ganz uͤberſchla⸗

gen, worin fremde Muͤnzwaͤhrungen vorkommen.
§. 189 — §. 199.
Nur hoͤchſt wahrſcheinlich iſt es „daß man
richtig gerechnet habe, wenn z. B. die §. 198. ge⸗
fundenen 234 0 8 96 7 R ruͤckwaͤrts, nach der
Nahmenverkleinerung, wiederum 67495 Pfennige
geben. Denn ob es gleich in dieſem Falle beynahe
ſo gut als gewiß iſt, daß man richtig gerechnet
habe; ſo waͤre es doch nicht ganz unmoͤglich, daß
die erſte Rechnung durch die letztere beſtaͤtigt
ſchiene, und gleichwohl in jener gefehlt waͤre.
Man koͤnnte naͤhmlich ebenfalls auch bey der
Proberechnung falſch multiplicirt, und zwar gerade
einen ſolchen Fehler begangen haben, der einen
beym Dividiren eingeſchlichenen Fehler wieder auf.
hoͤbe. Allerdings aber iſt ein ſolches Zuſammentref⸗
E fen

1 2

66 Sechhſtes Kapitel.

fen zweyer oder noch mehrerer Fehler, die ihre Merk⸗
barkeit vernichten, in dem gegenwaͤrtigen Falle

hoͤchſt unwahrſcheinlich, und daher die Waohrſchein⸗
lichkeit, daß man richtig gerechnet habe, ungemein
groß, faſt ſo gut als Gewißheit.

Eine andere, geſchwindere, „ob gleich nicht 6

zuverlaͤßige Probe wird im 1 1ten n Kapitel vorge⸗

tragen.

Die vortheilzafteſten uſgiſſe und Verkirßun,

gen bey der N ahmenvergroͤßerung

beſtehen 1) darin, daß man z . B. alle runde Zab⸗

len von Groſchen ſogleich nach Thalern und Gro⸗

ſchen, ohne weitere Rechnung, auswendig anzuge⸗
ben wiſſe. Bey manchen Muͤnzſorten und andern

Maßabt heilungen kann man ſich dabey wieder auf
einige wenige Hauptſaͤtze beziehen, die man dann
nur mit voͤlliger Gewißheit beſtaͤndig gegenwaͤrtig
haben muß. Z. B. Wer da weiß, 100 ſind
4 X6 4 k, und dies iſt ſehr leicht zu behalten, der
ſchließt daraus gar leicht die folgenden Saͤtze: 200 ℳ
ſind 8 6 8 t£, 300 3 ſind 12 X6 12 ; 400 96
ſind 6 6 16 %; 500 3 ſind 20 rt. 20 und
600 36 ſind gerade 25 *.—

600 36 ſind 25 6., iſt nun wiederum ein ſo
bequemer und dabey ſo leicht zu behaltender Satz,
daß man ihn ebenfalls als Hauptſatz gebrauchen
muß. Er praͤgt ſich ſogleich ſehr feſt ein, wenn man

bedenkt „daß 6 * einen Viertelthaler, 600 t alſo

hun⸗

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Von der Nahmenaͤnderung. 67
hundert Viertelthaler, alſo ein Viertelhundert ganze
Thaler ausmachen.

1 Nun betrachtet man 700 als 600 †1 90) *,
welches (25 ρ4) 4 giebt.

800 Groſchen betrachte man, weil 8 3 ein
Drittelthaler iſt, als 100 Drittelthaler, die alſo den
dritten Theil von 100 „ganzen Thalern alſo 33 ½
ausmachen.

900 3 ſind (600† 300) 9, alſo (25 1 2. 25 ) *,

3. i. (25 † 1⸗4½) 37 ¾ Er

2) Giebt die Bruchrechnung noch auf andere
Weiſe ſehr große Vortheile bey t der Nahmenwer⸗
groͤßerung an die Hand.

Beyde Vortheile gehören fur den 2ten Theil
dieſes Rechenbuches. Vorangehen mußte hier eine
allgemeine Form der Reductionen, wonach ein jeder
zum Ziele gelangen kann, wenn er auch ſolche eben⸗
gedachte Hauptſaͤtze, entweder wegen eines zu ſchlech⸗
ten Zahlengedaͤchtniſſes, oder aus Mangel an taͤgli⸗
cher Uebung nicht auswendig weiß. Ueber dies muß
doch jeder, der ſich nur einige Rechenkunſt zuſchrei⸗

ben will, die in dieſem Kapitel gelehrten allgemei⸗

nen Formen kennen, wenn er gleich bey practiſchen
Rechnungsgeſchaͤften mehrentheils nach kuͤrzern For⸗
men n z rechnen ſucht.

B 2z Sieben⸗

1

Vom Addiren in venannten Zahlen,
welche ſortirt werden. pl

115§. 1051

5§. 304.

Durch die gewoͤhnliche neinihrit, vom Addi⸗
ren in benannten Zahlen, wird in der That

nicht angezeigt, „was man darunter zu verſtehen hat,

und auch in dem gegenwaͤrtigen Kapitel vorgetragen
findet. Vielleicht wird es durch den Zuſaß hinlaͤng⸗

lich beſtimmt, da die benannten Zahlen ſorttrt
e

werden; indem theils ſchon die zu ſummirenden
Zahlen nach gewiſten Sorten geordnet ſind, theils
auch die aufzufindende Summe nach den dahin e⸗
horigen S Sorten ausgedruͤckt werden ſoll. 38 a16

xd. 20 5⁵.

Hier iſt es ohne Zweifel ſehr rathſam undnübe

lich, die erſten Aufgaben durch wirkliches Geld vor
Augen zu legen und zu behandeln. Sur ebne ſrein
etwa euf den Tiſch hin: 3 r6 18 9e,2 ,9

ſerner 1AH99⸗ 22*

ſerner 2 22 ⸗ 10 ⸗

1 und loge
zugleich eben ſo viel Geld, als er ſchreibt, wirklich

uͤbet

daruͤberz ſo daß z. B. in der er oberſten Reihe gerade

Siebentes Kariter⸗

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1t. De
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n. De ihe⸗

Vom Addiren in benannten Zahlen. 69
ber der 8 auch 8 einzelne Groſchen, in einem nicht

ganz gerade uͤber einander geſchobenen Haͤufchen,

uͤber 1aber 1 Zehend von Groſchen, in einem ganz

gerade aufgethuͤrmten Haͤufchen, zu liegen kommen
u. ſ. w. Darauf nehme man die einzelnen Pfennige

zuſammen, und thuͤrme von den dadurch erhaltenen

15 R ihrer Zehn als ein Zehend auf einander. Die
uͤbrigen 5 werden darauf auf die Ziffer 5 unterm
Striche, und das Zehend auf die Stelle der durch⸗
ſtrichenen Ziffer hingelegt. Wird nun auch das
Zehend der zu ſummirenden Pfennige herunter ge⸗

ſetzt; ſo hat man uͤber der 2 unter dem Striche: 2 Ze⸗

hend Pfennige zu ſtehen.

D
=

Alle 25 Pfennige nunmehr, . ſor weit es gehen

will, zu Groſchen verwechſelt, erhaͤlt man 2 90

1 R. Der ine Rn wird unter die Einerſaͤule der

Pfennige, unter den Strich und gerade dahin gelegt,
wohin man ihn ſonſt nur zu ſchreiben pflegt, und die
2 eingewechſelten Groſchen kommen uͤber die kleine
Ziffer 2 unter den einzelnen Groſchen zu ſtehen.

Eben ſo verfahre man nun auch bey den Groſchen,
lege naͤhmlich die wirklichen Groſchen und jeden waͤh⸗

rend der Rechnung aus ihnen entſtehenden Ertrag
auf eben die Stellen, wohin man ſonſt nur ihre Zahl⸗
zeichen zu ſchreiben pflegt.
Au“unmerk. Natuͤrlich waͤhlt man zu dergleichen

Darſtellungen nicht Thaler, Groſchen und Pfennige,

ſondern Gulden, Kreutzer und Pfennige in ſolchen Ge⸗
genden, wo nach dieſer Muͤnzwaͤhrung gerechnet wird.
Wenn ferner die Geldſorten, wonach man zu rechnen
pflegt, unter den ausgepraͤgten Münzſorten nicht anzu⸗
E 3 treffen

.

70]%%%W Siebentes Kapitel.

treffen ſind; wie man z. B. in unſern Gegenden keine
Thalerſtuͤcke zu 24 l hat, ob wir gleich nach Thalern
zu 24 9 rechnen: ſo kann man ſich nur einige ſchick⸗
liche, den Muͤnzen aͤhnliche Formen aus Pape,
Karten oder ſteifem Papier ſchneiden.

§. 205 — §. 213.
*. 214.
Vortheile bey der Addition in benann⸗
ten Zahlen.

Es gehoͤren 1) dahin die Kunſtgriffe „wodurch das
Addiren der Ziffern in jeder Saͤule erleichterr

wird, wie ſie ſchon aus dem zweyten Kapitel be⸗
kannt ſind;

2) die Vortheile bey den Reductionen welche wih⸗
rent der Rechnung vorkommen, und deren wir
ſchon §. 202. vorlaͤufßig erwaͤhnt haben.

8 Einige pflegen die kleinen Sorten, z. B. die

Lothe ſo zu addiren, daß ſie immer auf ein ganzes
tp kommen, und dann jedes erhaltene ganze ſg
durch einen Punct unter der Einerſaͤule der Pfunde
Agnzuzeichnen. Erlaubt man ſich dabey das ſprung⸗

weiſe Addiren; ſo gilt faſt alles dafuͤr und dawi⸗

der, was ſchon *§. 64. Seite 19 und 20, an⸗
gefuͤhrt iſt. Wer nur nach *§. 202. geſchwinde
zu reduciren weiß, der faͤhrt gewiß im Ganzen
genommen am beſten, wenn er jede Saͤule gerade

fort zuſammen addirt.
4) Wenn die Saͤulen gar zu lang werden, ſo zer⸗

theilt man dieſelben, ſucht die Summen der ein⸗
zelnen

Vom

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Rechnung.

Vom Addiren in benannten Zahlen. 71
zelnen Theile, und addirt am Ende dieſe Theile

aufs neue zuſammen, um die Totalſumme zu er⸗

halten. Die Sache wird bey der Ausuͤbung ſo
leicht erkannt, daß mich der Platz gereute, den
ich zu einzelnen Beyſpielen noͤthig gehabt haͤtte.

Wenn ſolche Rechnungen mehrere Seiten ein⸗
nehmen; ſo faͤllt ſchon jeder von ſelbſt darauf, die

Summe aus den Saͤulen einer jeden Seite beſon⸗

ders zu ziehen, und dieſe Summe heißt dann Sum-
ma lateris, die Summe der Seitte. In einigen
Rechnungsbuͤchern wird nun z. B. die Summe der
erſten Seite uͤber die Saͤulen der zweyten Seite
ſogleich hingeſchrieben, und bey Addirung dieſer
Seite ſogleich mit eingerechnet; ſo daß die Summe
unter den Saͤulen dieſer Seite ſogleich die Sum⸗
me der beyden erſten Seiten angiebt. In andern
Rechnungsbuͤchern addirt man zuvoͤrderſt nur die
Saͤulen der zweyten Seite, und ſchreibt unter ihre
Summe alsdann die Summe der erſten Seite; ad⸗

dirt darauf aufs neue, und findet ſo die Summe der

beyden Seiten. Man uͤberſieht ſolche Einrichtun⸗
gen bey dem erſten Anblicke einer wohl geordneten

Adchtes Kapitel.

Vom Subtrahiren in benannten Zahlen,

welche ſortirt werden.
§. 216 — 5§. 217.
*g. 218.

Auch ſolche Aufgaben, bey denen man nicht noͤthig

hat, von den groͤßern Sorten zu borgen, moͤgen

immerhin durch wirkliches Geld oder Gewicht u. dergl⸗
ganz anſchaulich dargelegt werden. Noch noͤthiger
aber iſt dieſes bey den erſten Aufgaben der Art, wie

ſie in dem folgenden §. gegeben ſind. Man ſchreibt
z. B. auf den Tiſch “
diie Zahlen 3 6 17 96 4 ,

und lege nur in der erſten Reihe die darin be⸗.
zeichneten Muͤnzen wirklich daruͤber. Wir wollen

nun, heißt es, 6 R ausgeben, da wir doch nur
4 R haben; alſo nehmen wir einen von den 17
Groſchen weg, und verwechſeln ihn wirklich gegen
112 . Dieſe 12 O zu den ſchon vorhandenen 4 *½
gelegt, haben wir 16 oι. Davon 6 Jr. ausgege⸗
ben, behalten wir noch 10 ₰, die wir nun unter
den Serich, als 1 Zehend von Pfennigen, wirklich
hinlegen u. ſ. w.

Hat man den Reſt unter dem Striche liegen;

ſo lege man das nach und nach ausgegebene Geld
auf die daſſelbe bezeichnenden Zahlen der e
. eihe.

n M

Voné

Neihe. An
Geld wiehr,

belde Neen

ie ſſen .
e Weiſe d
Uungin 9.²2
lahich
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Anege,
ierig

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NBeis
,M

Anp

1.
Ge
den g
,sdeneben

Auber de ,

Vom Subtrah. in benannten Zahlen. 73

Reihe. Nun muͤſſen wir, heißt es, unſer erſtes
Geld wieder zuſammen haben. Darauf addirt man
beyde Reihen in dem wirklich da liegenden Gelde,
wie ſchon *§. 205. gezeigt iſt, und erlaͤutert auf
dieſe Weiſe das ganze Verfahren der Proberech⸗
nung in §. 222.
Aehnliche Darſtellungen durch wirkliches Geld
auch fuͤr ſolche Faͤlle, wo man noch oͤfter zu borgen
hat, werden fuͤr Anfaͤnger ungemein nuͤtzlich ſeyn.

RNeuntes Kapitel

Vom Multipliciren ſolcher benannten
Zahlen, welche ſortirt werden.

Auch hier kann man auf den Tiſch hinſchreiben und
an wirklichem Gelde daruͤber legen, z. B.

2 X6 9⁹ 96 7 Aϑ. . Man ſchreibt darauf den

(3 Multiplicator 3 an ſeine ge⸗

woͤhnliche Stelle, und indem man ſagt, 3 mahl

7 R ſind 21 R, ſo legt man zu den heruntergenom⸗
menen 7 noch 2 mahl 7 R hinzu, daß man
21 R vor Augen hat. Darauf verwechſelt man 12 ₰
zu Inen 96, den man fuͤr die Groſchen aufhebt, und

legt die uͤbrigen 9 ) an ihre Stelle u. ſ. w.

§. 226 — §. 239.

G.

77 —
ehntes Kapitel. o iſ dift
3 9 — . e htr

Nbit, ſai

Vom Dividiren ſolcher benannten Zah. hien

leen, welche ſortirt werden. nän
§. 240. i W geute
6. 241. hhl ,
Ach hier wird den Anfaͤngern das ganze Verſah⸗:
ren gar ſehr erlaͤutert werden, wenn man die er⸗ aſce
ſten kleinen Exempel durch wirkliches Geld darſtellt. imn wen n
.— Aſte n ih
7 . he ger
Eilftes Kapitel. —EFiſ, a
Ullcler nit

Von den Proben vermittelſt des Neun⸗. Afeme

W rg. e
fachen und des Eilffachen. . n 14
. SS Gute vil
. 2 /r4. ie de⸗
„Erklaäͤrung. Nnchedt.

Nuunfach heißt jede Zahl, deren Oter Theil durch
eine ganze Zahl kann ausgedruͤckt werden.
Neunfache Zahlen ſind alſo 9, 18, 27, 36, 99, u. d. lri
denn der gte Theil z. B. von 36 beſteht aus 4 Gan⸗ gißt

ð „ . W
zen. Wenn man 99 durch 9 dividirt; ſo erhaͤlt man, an
11 Ganze, als den 9gten Theil von 99. *
c eſt,
*G. 25§. Gſchninn

Dagegen kann der gte Theil von 100 nicht fer ih g⸗

ohne Bruch angegeben werden. Er iſt 11 ⅞, ed llaſint⸗

Wunnnnz

werden.

mwed

Kden, N

ie⸗
Amll.

zmien

Ueberſchuß 5 enthaͤlt.

è

i e

IJI. Probe durch das Neunfache. 775

100 iſt daher keine gfache Zahl. Eben ſo iſt 203
keine gfache Zahl. Denn wenn man ſie durch 9 di⸗
vidirt; ſo ergiebe ſich, daß ihr gter Theil außer

22 Ganzen noch ½ enthaͤlt, alſo nicht ohne Bruch
ausgedruͤckt werden kann. Dieſe Zahl 203 beſtehe
demnach aus 9 mahl 22 und noch 5, enthaͤlt alſſo

uͤber das groͤßte in ihr ſteckende gfache noch den

eberſchuß 3. !M
19. 356. ”M

Bey jeder Zahl, ſie mag gfach ſeyn oder nicht,
kann man nach ihrem Ueberſchuß uͤber das

groͤßte in ihr ſteckende gfache fragen. Iſt ſie

ſelbſt Ofach; ſo iſt dieſer Ueberſchuß o, wie bey 415,
welche das groͤßte in ihr ſteckende gfache, 5 mahl 9,

ſelbſt iſt, alſo daſſelbe um nichts uͤbertrifft. Iſt eine

Zahl aber nicht gfach, ſo uͤbertrifft ſie das groͤßte
in ihr ſteckende gfache um 1 oder 2, 3, 4, 5, 6 , 7
oder 8. Iſt endlich eine Zahl ſelbſt noch kleiner
als 9; ſo kann man doch, um des gleichfoͤrmigen
Ausdruckes willen, dieſe Zahl ſelbſt als den Ueber⸗
ſchuß uͤber das groͤßte in ihr ſteckende Neunache,
9 mahl 0 d. i. O betrachten. S

*§. 357.

Bey jeder Zahl koͤnnte man den Ueberſchuß
uͤber ihr groͤßtes Neunfache durch die Diviſion ſin⸗

den. Wenn wir z. B. 302 durch 9 dividiren; ſo

geht die Diviſion nicht auf, ſondern es bleiben noch
5 im Reſte, nachdem i im Quotienten 33 Ganze an⸗
geſchrieben ſind, zum Beweiſe, daß die Zahl 302
uͤber ihr groͤßtes 9gfache, 9 mahl 33, noch den

*§. 358.

SSSõõ

76 Eilftes Kapitel. 19
*S. 358. Ne l4
Es laͤßt ſich aber dieſer Ueberſchuß auf eine ( M100,
weit leichtere und geſchwindere Weiſe finden. Man 1

braucht naͤhmlich nur die Ziffern, wodurch die Zahl mas n
geſchrieben iſt, ohne Ruckſicht auf ihre hoͤhern Stel⸗ mubson
len, bloß als lauter Einer betrachtet, zu einander zu chgge
addiren. Um eben ſo viel, als dieſe Zifferſumme OWJ”V
uͤber das groͤßte in ihr ſteckende gfache enthaͤlt, um Auſt;
eben ſo viel wird auch die Zahl ſelbſt das groͤßte in enr nſche

ihr ſteckende gfache uͤbertrefſfen. ſrbt ine an

„. d zss
So uͤbertrifft bey der Zahl 302 ihre Ziſſer⸗ h de Me

ſumme, 3 † 0 + 2 d. i. 5, das groͤßte in ihr ſtek⸗ Nne
kende 9fache, welches hier 9 mahl o iſt, um 5, und Nek de
die Zahl 302 wird nun das groͤßte in ihr ſeckende ſiene e
gfache ebenfalls um 5 uͤbertreffen. tuzeie

Bey der Zahl 102481 uͤbertrifft die Ziffer⸗ fz enhein
ſumme, 1 + 2 † 4 † 8 + 1 d. i. 16, das groͤßte in Een te
ihr ſteckende gfache, 1 mahl 9, um 7; und um eben ſeth
ſo viel wird nun auch die durch 102481 bezeich in di
nete Menge von 102 tauſend 4 hundert und 1und Awad
8zig das groͤßte in dieſer Menge ſteckende gfache ht alſt ora
uͤbertreffen. dan
1

Von der Zahl 3024 fann man verſichert ſeyn, nuſihu ß
daß ſie 9fach ſey, oder das groͤßte in ihr ſteckende Krals eiſe
gfache um uͤbertreffe; ſo wie ihre Zifferſumme G
3 †¼ +2 † 4 d. i. 9, das groͤßte in ihr ſeckende „Anmet,

Neunfache um o uͤbertrifft.
*§. 2 59. ii ann
Warum dies ſo zutreffe. –

wird aus einigen Beyſpielen hinlaͤnglich erhelle⸗ Nr 1,

.

Lbarſtei
Deiſ fne!
m, rtk;
teuſheſin:
rihe Ue
um fer
nde cenne
i iuß
ſn.

as Niit
, Krſe

miſe.

1. Probe durch das Neunfache. 22

Die Zahl 345 beſteht aus den dren Aheiln; 5 und
40 und 300, alſa e
und aus 40 d. 4 mal 9 u. noch (4mal roder) 4
und aus 300 d. i. z mal 99 U. noch (3 mal oder) 3

Alſo beſteht 345 aus 4 mahl 9 u. 3 mahl 99 und noch . 4 73 3

Nun iſt 4 mahl 9 ſowohl, als 3 mahl 99, jedes
eine e neunfache Menge, alſo auch ihre Summe of⸗
fenbar eine neunfache Menge, und es enthaͤlt alſo
die Zahl 345 außer einer gewiß gfachen Menge
noch die Menge 5 + 4 †+ 3. So wie nun dieſe
Menge 5 ¼ 4 †+3, die Zifferſumme der Zahl 345,
ſelbſt 12 ausmacht, und daher 3 uͤber das noch in ihr
ſteckende gfache enthaͤltz ſo muß offenbar die Zahl
345 außer allen in ihr ſteckenden gfachen ebenfalls

mnoch 3 enthalten.

Ferner beſteht die Zahl 504 aus 4 und aus 30o,
und aus 300 d. .1. zmahl 99 u. noch 6 mahl 1, ,Dder , be⸗
ſteht alſo 304 aus einer gfachen Menge und nocha 5.

Da nun dieſes letzte 44 ebenfalls etwas

s neunfaches iſt; ſo beſteht die Zahl 504 ganz und
3 gar aus einer 9fachen Menge.

Anmerk. Im allgemeinen beruht nun dieſes zu⸗
teeffen darauf, daß jeder Zehner, er mag 1 oder 2 u. ſ. w.
8, oder 9 ſeyn, fo viel mahl 10, alſo auch ſo vielmahl
9 † ausdruͤckt, als ſein Nahme andeutet, und eben ſo
jeder Hunderter, ſo vielmahl 100, alſo auch ſovielmahl
99+ 1, jeder Tanſender ſovielmahl 1000, alſo auch
viel⸗

6

728 Eirfftes Kapitel. — 19

bielmahl 999 †+ 1, jeder Zehntauſender ſo vielmahl
10000, alſo auch ſovielmahl 9999 + 1 ausdruͤckt, als Whenet
ſein Nahme andeutet, uͤbrigens aber gewiſſe Mahle 4 der Pobezet
oder 99 oder 999 oder 399% u. ſ. w. genommen, wiederum

etwas Neunfaches ausmacht. Am allgemeinſten und kuͤrze. 1 bnntder
ſten aber, alſo auch am deutlichſten und anſchautichſten, kann unn,
man dieſe und ſo viele aͤhnliche arithmetiſche Betrachtungen mnfat:
vortragen, wen man die Zeichen der Buchſtabenrechnung ACumme.
zu Huͤlfe nehmen darf. Man findet hierzu brauchbare inden
Vorſtellungen im erſten Bande meines erſten y end
Unterrichts in der algebraiſchen Aufloͤſung t u
arithm. und grome. Aufgaben 5. 510. — in
. ertiöran 8 Oher nn

Der e Ueberſchuß einer tenge uͤber d6 te A
graße in ihr ſteckende Neunfache ſoll, des uuren
ſolgenden Gebrauches wegen, ihre probe⸗ ſftſce din

zaͤht genannt werden. e⸗ ud
Man erhaͤlt dieſe Probezahl nache . 2 8, in⸗ 4 nrt
dem man die Ziffern, wodurch die Menge geſchrie⸗: t “D
ben iſt, zuſammen addirt, und dieſer Zifferſumme 1 n
Probezahl findet: welches zugleich die geſuchte Pro⸗ e ed
bezahl der vorhandenen Menge iſt; es mag nun dieſe n n
Menge durch eine oder durch mehrere Zahlenreihen Puifnl le,
ausgedruͤckt ſeyn. So iſt 8 die rsa derjeni⸗ ael

654 gen Menge, welche durch die 4 nebenſte⸗ gnnh,
843 henden Zahlenreihen ausgedruͤckt iſt; indem iſe
92 dieſer Menge Zifferſumme = 6 † 544 †½ 8 “”“
3217 4443 †9†οr2 † 2 r r 1. 7 = z3.

S—S— fahl 9 und noch 8 iſt. 5 .

I. Probe durch das Neunfache. 79

eH Man erleichtert ſich aber die Auffindung
mh der Probezahl auf eine doppelte Weiſe.
1I. Entweder addirt man die Ziffern außer der
Ordnung, und nimmt dann, ſo lange es angeht,
immerfort? oder mehrere Ziffern zuſammen, de⸗
rreen Summe gerade 9 ausmacht; ſagt alſo z. B.
ie GBy4 in dem nebenſtehenden Falle: 5 und 4 iſt 9
m 844 6 und 3 kſt 9; 8 und r iſt 9; 9 iſt 9;
itn hi 902 2 und 7 iſt 9; wobey man jede gebrauchte
Nd Ziffer durchſtreicht. Die Summe der uͤbrig⸗
gebliebenen 4 ¼ 2 †+ 2 =8, welche nun klei⸗
4 ner als 9 iſt, iſt die geſuchte Probezahl.

E II. Oder man addirt die Ziffern in einer beſtimm⸗

mſin. 2 247

rn . » . „ 2.
ae ken Ordnung, etwa ſo wie ſie im vorigen neben
ner ſianr einander gedruckt ſind, nach und nach zuſammen,
n laͤßt jede waͤhrend dieſes Addirens erreichte 9 ſo⸗

en ih gleich aus der Acht, und addirt nur den gebliebe⸗
nen Ueberſchuß ferner zur folgenden Ziffer hinzu.
A 65 4 Im nebenſtehenden Falle heißt es dann, wie
1 rf 843 folget: 6 und 5 iſt 11, alſo uͤber 9 noch 2.
902 Zu dieſem Ueberſchuſſe 2 die naͤchſte Ziffer 4
eißefi 2217 addirt, giebt 6, dazu die 8 der folgenden
Ne ens Reihe, giebt 14, das iſt uber 9 noch 5.
N e Zu dieſem Ueberſchuß 5 die naͤchſte 4 abdirt, giebk

ezet gerade 9. Ferner, 3 und 9 iſt 12, alſo uͤber

Onoch 3. Dazu die naͤchſte 2 giebt 5, dazu die
n ti naͤchſte 2 giebt 7, und dazu noch die naͤchſte 2,
gaebt wiederum 9. Die beyden noch uͤbrigen
.. Ziffern 1 und ?7 beſtimmen die Probezahl 8.
Aliunmerk.

80 Elilftes Kapitel. 1

Das letzte Verfahren ſcheint mir im Durch⸗ iſche Phen
ſchnitt genommen, nicht nur das ordentlichſte und (ibe, ſtc
fauberſte, ſondern auch das geſchwindeſte zu ſeyn. berdenifti
Man muß nur bedenken, daß man z. B. den Ueber. iilt blüme
ſchuß, der uͤber 9 in 14 ſteckt, nicht etwa durch Subtra⸗ als e ſ ei
ction der 9 von 14 zu finden braucht, ſondern ſo⸗. Mſe och efen
gleich durch Addirung der Ziffern 1 und 4, wodurch (ͤhien ſehn ſe
man vierzehn ſchreiben wuͤrde ,B beſtimmen kannz

nach §. 258. ſpe
ingegen
Probe der Rorenn vermittelſt des (renſmngne
Neunfachen. ei , Rer 19
„ Munfa
7§. 262. 1e; den en

654 Man ſuche die Probezahl aus den 4 im ne⸗. P decet
843 benſtehenden Exempel zu addirenden Zah⸗ ne der
9021 len. Sie iſt 8, nach vorigem G! No. oder II. uten

2217 Man ſuche ferner die Probezahl der Zahl enegesdien
7516 4616, die man als die Summe der vori⸗
2 gen vier Zahlen gefunden hat. Da dieſe Ide deh
“ ebenfalls 8 iſt; ſo iſt es ziemlich wahr⸗ Mnh, ſor
Gennc, daß man richtig addirt habe. 4 Pnng
E 5§. 263. D undn d
Ausgemacht gewiß iſt es, daß man falſch ſſt, en
gerechnet habe, ſo bald die beyden Probezahlen pigſen nei
nicht uͤbereinſtimmen. Denn wenn in dem vori⸗
gen Exempel die Probezahl der Menge, welche Anmm,
durch die 4 zu addirenden Zahlen dargeſtelt wird, erb hen,
8& iſt; ſo weiß man, daß dieſe Menge uͤber das iſd thtinet,
groͤßte in ihr ſteckende Neunfache noch 8 enthalte. meiſn n

Wenn nun die als Summe angeſetzte Menge nicht ſ ngn *
“ die⸗

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I. Probe durch das Neunfache. 81

dieſelbe Probezahl 8, ſondern eine andere, etwa 5
gaͤbe, folglich die als Summe angeſetzte Menge
uͤber das groͤßte in ihr ſteckende Neunfache nur 5 ent⸗
hielte: ſo koͤnnte ja dieſe Menge nicht der Inbegriff
aus den 4 zu einander zu addirenden Zahlen ſeyn;
wie ſie doch offenbar ſeyn muß, wenn ſie die Summe
aus ihnen ſeyn ſoall.

*G. 264.

Hingegen koͤnnten wohl beyde Probezahlen
uͤbereinſtimmen, ob man gleich beym Addiren
um 9 oder 18 oder 27 oder irgend ein anderes
Neunfaches gefehlt haͤtte. Z. B. in
103 dem nebenſtehenden kleinen Exempel traͤfe
1 0 die Probe zu, wenn man 583 als die Sum⸗
583 me der beyden uͤberſtehenden Reihen be⸗
trachten wollte, und es waͤre gleichwohl 583
keinesweges die wahre Summe.

In der wahren Summe 853 ſteckt 94 mahl 9
und noch 7, ſo wie in den beyden Zahlen 103 und
750 zuſammen genommen ebenfalls 94 mahl 9 und
noch 7 ſteckt. Aber in 583 ſteckt nur 64 mahl 9
und noch 7; und ſo waͤre hier wirklich um 30 mahl 9
gefehlt, ohne daß die Probezahl dieſen Fehler im
geringſten anzeigen kann.

Anmerk. In einem von den vorzuͤglichſten neuern

Rechenbuͤchern, und ich denke in noch mehrern andern,

wird behauptet, daß man, um die Neunnerprobe voͤllig
zuverlaͤßig zu machen, nur darauf zu achten habe, wie

ofßf man waͤhrend dem Summiren ſelbſt, und dann noch

F waͤh⸗

82 Ellftes Kapitel.

waͤhrend dem Auffinden der Probezahl aus den Ziffern
der Summe, eine 9“ wegwerfe. Wie oft das waͤh⸗
rend dem Summiren geſchehe, beſtimmen ſogleich die im
Exempel *g§. 262 unter der Summe ſtehenden, durch⸗
ſtrichenen Ziffern. Indem naͤhmlich 10 Einzelne, 10
Zehende und 20 Hunderte als 1 Zehend, 1 Hundert und
2 Tauſende augeſchrieben werden; ſo wird wegen der
10 Einzelnen, die 9 und 1 Einzelne ausmachen, nur 1,
wegen der 10 Zehend, die 9 und 1 Zehend ausmachen,
wiederum nur 1, und wegen der 20 Hunderte, die 2
mahl 9 und 2 Hunderte ausmachen, nur 2 in diejenigen
Ziffern gebracht, wodurch man die Summe ſchreibt; und

es werden in dieſem Verſtande (1 und 1 und2 „alſo)

vier Neunfache weggeworfen. Sucht man nun
ferner die Probezahl aus den Ziffern der Summe auf, ſo
kommt man dabey auch noch einmahl auf eine 9, die
bey dieſer Beſtimmung der Probezahl ebenſalls wegge⸗
worfen wird. “

Waͤhrend daß man nun die Probezahl aus den

ſummirten Zahlen findet, beſonders wenn es nach No. 1.
n *§. 2 61 geſchieht, wird man bemerken, daß man

ſtimmung, verbunden mit der Uebereinſtimmung der
beyden Probezahlen, ſollte es nun voͤllig gewiß machen,
daß man richtig gerechnet habe? Man ſieht leicht, daß
man, um auf dieſem Wege eine voͤllig entſcheidende Probe
zu erhalten, zugleich darauf achten muͤßte, ob in den
ſummirten Zahlen und in der Summe gleich ofte 9, und
gleich ofte 99, und gleich ofte 999 ꝛc. weggeworfen
wuͤrde; welches viel zu große Arbeit erfordert.)

*5. 265

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dabey ebenfalls 5 mahl auf 9 kommt. Dieſe Uebereinse

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1. Probe durch das Neunfache. 83
* §. 265.

Begh dem allen gewaͤhrt doch dieſe Probe eine
ziemliche Beruhigung, weil ſie unter allen uͤberhaupt
moͤglichen Fehlern ihrer achte ausſchließt, und nur
noch den gten uͤbrig laͤßt. Wer naͤhmlich dieſe Probe
angeſtellt und zutreffend befunden hat, der kann ver⸗
ſichert ſeyn, daß ſeine als Summe angeſetzte Zahl
gewiß nicht um 1 oder 2 oder 3, 4, 5, 6, 7 oder 8,
ſondern allenfalls nur noch um 9, ferner nicht um
10, oder 11, 12, 13, 14, 15, 16 oder 17, ſondern
allenfalls nur noch um 18, groͤßer oder kleiner als
die wahre Summe ſeyn koͤnne, u. ſ. v.

*§. 266.

Nur iſt dieſe Probeart gar zu muͤhſam, und
erfordert mehrentheils faſt eben ſo viel Zeit und Ar⸗
beit, als die wiederholte Berechnung einer Addi⸗
tionsaufgabe. Daher iſt ſie außer andern Urſachen
hauptſaͤchlich nur deshalb hier angefuͤhrt; weil ſie
den Anfaͤngern zu einer ſo angenehmen als nuͤtzli⸗
chen Uebung im Addiren einzelner Ziffern und im
Abziehen der 9 gereichen kann, uͤbrigens auch den
Anfaͤngern, die noch ſehr ofte fehlen, ſehr ofte Feh⸗
ler anzeigt, und dadurch eine neue Berechnung der

Aufgabe auferlegt.

Noch weit weniger rathſam wuͤrde derglei⸗
chen Probe fuͤr die Subtraction ſeyn, die man
vermittelſt der Addition auf die natuͤrlichſte, leich⸗
teſte und beſte Weiſe probirt. Dagegen iſt aller⸗
dings zu empfehlen die folgende

F 2 *§. 267.

. 7

84 Eilftes Kapitel.
*§. 267.

Probe der Multiplication.
aͤhmlich die Probezahl
7809 (6 des Multiplicanden iſt 6
74 (2 des Multiplicators iſt 2.
31236 (12 Beyder Product iſt 12, und
54668 (3 dieſer 12 Probezahl iſt 3.
577866 (3 Da mun ebenfalls auch 3 als die
Probezahl der als Product angeſetzten Zahl 577866
gefünden wird; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man
richtig gerechnet habe.
In folgenden Beyſpiele iſt die Probezahl
801 des Multiplicanden,
12 des Multiplicators, 3.
1602 Beyder Product iſt o, und die⸗
801 ſer o Probezahl ſelbſt, o
9612 Da nun ebenfalls o als die Probe⸗
zahl der als Product angeſetzten Zahl 9612 gefun⸗

den wird; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man richtig

gerechnet habe.

Auch hier wird es durch das Zutreffen der Pro⸗

bezahlen immer nur wahrſcheinlich, nicht gewiß,
daß man gar nicht gefehlt habe. Es bleibt naͤhm⸗
lich auch hier moͤglich, daß die gefundene Zahl um
irgend ein gfaches von dem wahren Producte ab⸗
weiche. Indeſſen wird ein geuͤbter Rechner nicht

leicht

D

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ſicht un dent
bey Anſdngem!

in glor, def

G, elrachenu

Pbenrt ben de

lid e iſt doen

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n. No veit
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Nult des

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Ulitſhike.

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ahcn.

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glicanden i
mlicatars ſ
Y/ ch
emels dud 1
. 0,,
akchenic, 9

I. Probe durch das Neunfache. 85

leicht um dergleichen gfaches fehlen, welches ſelbſt
bey Anfaͤngern hauptſaͤchlich nur dadurch zu geſche⸗
hen pflegt, daß ſie etwa 54 ſtatt 45, oder 36 ſtatt
63 gebrauchen u. dergl. Uebrigens aber macht dieſe
Probeart bey der Multiplication keine große Muͤhe;
und es iſt dagegen bey etwas großen Factoren gar
ſehr beſchwerlich, die ganze Rechnung zu wiederho⸗
len. Noch weit beſchwerlicher waͤre es, wenn man
ein gefundenes Product durch die Diviſion pruͤfen
wollte; daher denn in der That fuͤr die Multiplica⸗

tion keine andere Probe uͤbrig bleibt, als die eben

angsfuͤhrte, oder die aͤhnliche, bald d ſigende ver⸗
mittelſt des 1 rfachen.

e5. 269.
Probe der Diviſion.

1) Wenn der Quotient eine ganze Zahl iſt,

z. B. Diviſor 25, Divid. 10325, Quot. 413, deren
Probezahlen (7 (2 (IS ſind
ſo ſagt man: 8 mahl 7 iſt 56, und der 56 Probe⸗
zahl iſt 2. S

Da nun des Dividenden Probezahl eben⸗
falls 2 iſt; ſo kann man verſichert ſeyn, daß man

entweder gar nicht, oder geraden nur um ein gfaches

gefehlt habe.

II.) Wenn im Quotienten ein Bruch vorkommt,
z. B. Diviſor 2500, Divid. 1032944, Quot. 413 ½½

ſchreibt man (7 (5 (8 ¾ als
Probezahlen an, indem in dem Ausdrucke 2, der
F 3 dem

86 Eilftes Kapitel.

dem Bruch *ÿ½ zugehoͤrt, die 3 des Zaͤhlers, und
die 4 des Nenners Probezahl iſt *).

Dann ſagt man: 4 mahl 8 iſt 32, und dazu
3 giebt 35, deren Probezahl iſt 8. Dieſe 8 mul⸗
tiplicirt in 7 giebt 56, deren Probezahl iſt 2.

Ferner: 4 mahl ; iſt 20, undt deren Probe⸗
zahl iſt ebenfalls 2.

*G. 270.
Bey ſehr großen Diviſionen macht dieſe Probe
ungleich weniger Muͤhe, als wenn man durch die
Ul⸗

*) Zch halte es fuͤr Schuldigkeit „ mich hiebey dem
gewoͤhnlichen Verfahren wieder mehr zu naͤhern,
als in meinen Beytraͤgen; da ich dort einen
practiſchen Vortheil uͤberſehen habe. Nur muß
man ja nicht ½ die Probezahl von ½ nennen,
welches ſich mit der Erklaͤrung §. 260 gar nicht
vertraͤgt: ſondern 3 iſt des Zaͤhlers und 4 des
Nenners Probezahl. Eben ſo wuͤrde 2 fuͤr e
nichts anders bedeuten, als daß 4 des Zaͤhlers 13,
und o des Nenners 36 Probezahl ſey; da hinge⸗
gen dieſer Ausdruck denjenigen doch etwas auf⸗
fallen ſollte, welche geradezu fuͤr die Probezahl
des Bruches an gete

8

D
= D (GN +?), folglich auch die Probezahl
von A N, der Probezahl von D (GNTZ)
gleich ſen. Darauf kann man das Verfahren
im Texte gruͤnden.

A
Wenn — = G † iſt, ſo muß auch A N
1

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I. Probe durch das Neunfache. 87

Multiplication probirt, wie im fuͤnften Kapitel; ob⸗
gleich jene Probe allerdings zuverlaͤßiger iſt. Wenn

man indeſſen bedenkt, daß ein geuͤbter Rechner beym

Dividiren nicht leicht um 9 oder 18 oder irgend ein
anderes gfaches fehlen koͤnne; ſo ſieht man wohl,

daß die Sicherheit der eben gezeigten Probeart nicht

zu verachten ſey.
*§. 271.
Von den Probegroͤßen benannter Zahlen.

Ein Thaler haͤlt 6 Probegroſchen, das heißt:
ein Thaler, der aus z 9 beſteht, enthaͤlt uͤber
ſeine groͤßte gfache Menge von Groſchen noch
6 4.
Ein Groſchen hoͤlt 3 Probepſennige, das
heißt: ein Groſchen der aus 12 A beſteht, ent⸗
haͤlt uͤber ſeine groͤßte glache Menge von Pfenni⸗
gen noch 3 R.
Ein Thaler haͤlt alſo o Probepfennige. Denn

die 24 3'l eines Thalers ſind gfach bis auf ſeine

6 Probegroſchen. Jeder dieſer Groſchen aber
haͤlt 3 Probepfennige, und es iſt daher diejenige

Menge von Pfennigen ganz gewiß gfach, welche

in den 6 r außer 6 mahl 3 oder 18 R ſteckt.
Da nun auch dieſer 18 Probegroͤße 0, alſo 18
eine neunfache Zahl iſt; ſo muß die ganze Menge
von Pfennigen, welche einen Thaler ausmachen,
gfach ſeyn.
1 Fl. von 60 Xr. haͤlt 6 Probekreuger „d

1 Areutzer hoͤlt 4 Probepfennige.

88 Eilftes Kapitel.
1 El. haͤlt alſo auch 6 Probepfennige. Naͤhm⸗

lich 1 Fl. als 60 Xr. enthaͤlt eine gfache Anzahl

und noch 6 Xr. Dieſe 6 Xr. halten 4 mahl 6,

alſo 24 R, das iſt eine 9gfache Menge von Pfen. du
(ſe.
Ein haͤlt 5 Probeloth, ein Loth aber

nigen und noch 6 R.

4 Probequentchen.

Ein (ſs haͤlt alſo 2 Probequentchen. Naͤhm⸗
lich 1 als 32 Loth betrachtet, enthaͤlt eine
gfache Anzahl von Lothen und noch 5 Loth.
Dieſe 5 Loth halten 4 mahl 5, alſo 20 Quent⸗
chen, d. i. eine gfache Menge von Quentchen

3

unnd noch 2 Quentchen.

Ein Centner von 110 fg haͤlt 2 Probepfund,
oder 1 Probeloth oder 4 Probequentchen.

Ein Winſpel haͤlt 6 Probeſcheffel, ein Scheſ⸗

fel aber 7 Probemetzen.

Ein Winſpel haͤlt alſo auch 6 Probemetzen.
Denn 7 mahlé iſt 42, und deſſen Probezahl iſt 6.

Ein Rieß haͤlt ? Probebuch; ein Buch von 25
Bogen aber haͤlt 72 Probebogen.

Ein Nieß haͤlt alſo 5 Probebogen.
*§. 272.
Alle dieſe und aͤhnlich. Redensarten wird man

hoffentlich nach folgender Erlaͤuterung hinlaͤnglich

verſtehen.

Wenn ich ſage, 1 Rieß Druckpapier haͤlt
Probebogen; ſo heißt das nichts anders, als daß

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I. Probe durch das Neunfache. 89

die Anzahl der Bogen, welche ein Rieß ausmachen,
außer der groͤßten in ihr ſteckenden gfachen Menge
noch 5 enthalte, oder gfach ſey bis auf 5 Bogen.
Dieſe 5 Probebogen findet man nun durch folgende

Schluͤſſe.

1 Rieß haͤlt 20 Buch, alſo uͤber die in ihm
ſteckende gfache Menge von Buͤchern noch 2 Buͤcher
(nach *§. 358.). Da nun jede gfache Menge
von Buͤchern ganz offenbar auch eine (25 mahl

groͤßere) ebenfalls gfache Menge von Bogen,

ausmacht; ſo ſind bey Erforſchung der Probebogen
fuͤr das Rieß nur noch die 2 Drobebuͤcher! in
Betrachtung zu nehmen.

Ein Buch aber, das aus 25 Bogen beſteht,
enthaͤlt 7 Probebogen, iſt eine gfache Menge von
Bogen bis auf 7 Bogen.

Zwey Buͤcher ſind alſo eine gfache Menge von
Bogen, bis auf 2 mahl 7, d. i. 14 Bogen. Und
da dieſe 14 Bogen wiederum nur 5 uͤbers Neun⸗
fache enthalten; ſo koͤnnen auch die 2 Buͤcher uͤber⸗
haupt nur 5 Bogen uͤber die groͤßte in ihnen ſtek⸗
kende 9fache Menge enthalten.
*§. 273.
Daraus, daß 1 Rieß eine neunſache Bogen⸗
zahl haͤlt bis auf 5, kann man nun weiter ſchlieſſen;
daß 2 Rieß eine gfache Bogenzahl halten bis auf
2 mahl 5, d. i. 10, alſo bis auf 1, da 10 wiederum
gfach iſt bis auf 1.
Eben ſo findet man die Probebogen von 6 Rieß

auf folgende Weiſe. 1 Rieß haͤlt 5 Probebogen,

F è3 o Rieß

— —

90 Elilftes Kapitel.

6 Rieß halten alſo bis auf 5 mahl 6, d. i. 30 Bo⸗
gen, ganz gewiß eine 9fache Menge von Bogen,
halten alſo 3 Probebogen.

Wie viel Probebogen halten 56 Rieß? Antv.

Die 56 Rieß halten 2 Proberieß, und dieſe 2 Pro⸗

berieß halten eine gfache Bogenzahl bis auf 2 mahl 5,
d. i. 10 Bogen, alſo auch bis auf 1 Bogen. Alſo
halten die 56 Rieß ebenfalls 1 Probebogen.

*§. 274.
Wie viel Probeloth halten 16 f und 14 Loth?
Antw. 16 t halten 7 Probepfund. Da nun

1 fp haͤlt 5 Probeloth, ſo ſagt man: 7 mahl 5 Loth

iſt 35 Loth, welche 8 Probeloth halten. Darzu die

5 Probeloth der noch vorhandenen 14 oeh addirt

hat man 8 P 5 d. i. 13, alſo 4 Probeloth.
Hiebey liegen folgende Schluͤſſe zum Grunde.

16 ſind eine gfache Anzahl von ſg, und noch

7 ,

alſo auch eine gfache Anzahl von Lothen und nech

5 mahl 7, d. i. 35 Loth,

alſo auch eine gfache Anzahl von Lothen und noch

8 Loth.

Da nun die noch vorhandenen 14 Loth noch 5
uͤber ihr gfaches enthalten „ſo weiß man nunmehr:

16 l und 14 Loth ſind eine gfache Anzahl und noch
8 †+ 5, d. i. 13 Loth,

aſſo eine 9fache Anzahl und noch 4 Loth.
*§. 275

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1. Probe durch das Neunfache. 91

Eben ſo iſt folgendes Verfahren zu verſtehen,

wodurch man die Probepfennige

von 234 X 6. 8 96. 7 . findet.

Die 234 m*. halten o Probethaler, alſo auch o Pro⸗
begroſchen, und auch Probepfennige.

Die 8 90. halten, weil 1 ℳ. hat 2 Probepfennige,

ſo viel als 3 mahl 8, d. i. 24, alſo 6 Probepfen⸗
nige. Dazu die noch gegebnen 7 . addirt, hat
man 13 R., alſo 4 Probepfennige.
Probe der Nahmenveraͤnderung vermittelſt
des Neunfachen.
Z. B. um die Rechnung in F§. 190. zu probi⸗
ren, nach welcher 234 6. 8 . 7 ₰₰. ausmachen
67495 . ſucht man W
1) die Probepfennige von 234 r6. 8 96. 7 R., und
dieſe ſind 4 . Da nun
2) das Facit 67495 J. ebenfalls 4 Probepfennige
haͤlt; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man richtig
gerechnet habe.
Oder um die Aufgabe in F. 201. zu probiren,

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1) die Probemetzen der gegebnen 13838 Metzen,
es ſind 5Metzen;
2) die Probemetzen des Facit von 36 Winſpel und
14 Metzen. Da man hier ebenfalls 5 Probe⸗
metzen findet; ſo hat die Rechnung wahrſcheinlich
ihre

è

92 Elilftes Kapitel.

ihre Richtigkeit. Man koͤnnte naͤmlich nur noch um
irgend ein gfaches gefehlt haben.

So, wie in dieſen beyden Beyſpielen, muß
man nun uͤberhaupt die Probegroͤße, der aufgegebnen

Zahl ſowohl als des gefundenen Facit, in dem nie⸗
drigſten Nahmen ſuchen, der uͤberhaupt i in der gan⸗
zen Rechnung vorkommt, es ſey im Facit, oder in

der aufgegebnen Zahl. Dieſe Regel gilt auch fuͤr

die folgenden Proben.

§. 277.
Probe der Multiplication in benannten und
ſoortirten Zahlen.
Z. B. In §. 235 iſt der Multiplicande 14 k.
8 Hg., der Multiplicator 321, das Facit 4517 L.
38 .
Man finde
1) des Multiplicanden Probepfunde, o G.
2) des Multiplikators Probezahl 6

beyder Produet iſt o . u. dieſer o ſß.
Probezahl wiederum o g. Da nun

3) des Facit Probepfunde ebenfalls o . ſind; ſo hat

man wahrſcheiulich nicht gefehlt.

Probe der Didiſion in benannten Zahlen.
Z. B. in §. 244. iſt der Dividende 28 Win⸗

ſpel, der Diviſor 5, der Quotient 5 Minſpel 14

Scheffel 6 ¾ Metzen.
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2) ℳ. Darſſrrs
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1. Probe durch das Neunfache. 93
Man finde

1) Des Quotienten Probemetzen, ohne aff
ſeinen Bruch zu achten; ſie ſind 8 Metzen
2) Des Diviſors Probezahl — F

Beyder Product iſt 40 Metzen, und die⸗
ſes Productes Probezahl 4 Metzen. Hierzu
3) die Pr obezahl des Zählers in dem
Bruche ½, alſſ — 2 ad⸗ =
dirt, giebt 6ö. Und da nun
4) der Dividende ebenfalls 6 Probemetzen haͤlt „ſo hat
man wahrſcheinlich nicht gefehlt. .

Noͤthige Anmerkung.
Bey dieſem Verfahren wird vorausgeſetzt, daß der

1 ine Nenner des Bruches, welcher etwa im Quotienten vor⸗

kommt, dem Diviſor gleich „der Bruch alſo noch nicht
verkleinert ſey.

II. Von den Proben vermitte lſt des
Eilffachen.
*§. 479.

Statt der bisher gebrauchten Reſte uͤber das
Nerunfache bedient man ſich auch der Reſte uͤber das

Eilffache zu aͤhnlichen Proben. Es werden aber dieſe

Probezahlen des 11fachen auf ſolgende Ite oder Ute
Weiſe gefunden. -

I. Man addirt die Ziffern der ungeraden
Stellen, z. B. in der Zahl 38 1069 die Ziffern 9,
o, 8 welches 17 giebt, und darauf auch die dabey
uͤber ſprungenen Ziffern an den geraden Stellen,
alſo 6, 1 und 3 welches 10 giebt.

94 Eilftes Kapitel.
Laͤßt ſich nun 1) von der Zifferſumme der un⸗
geraden Stellen die Zifferſumme der geraden Stel⸗
len abziehen; ſo thut man das, und der gefundene
Unterſchied, in unſerm Beiſpiele 2, iſt alsdann ſo⸗

gleich die geſuchte Probezahl; oder man weiß, daß
38 1069 aus einem 1 Ifachen und noch 7 beſteht.

Laͤßt ſich aber 2) auf ſolche Weiſe nicht abzie⸗
hen, weil die Zifferſumme der ungeraden Stellen zu
klein iſt; ſo addirt man zu derſelben noch 11, oder,
wenn auch das nicht hinreichen ſollte, noch 22, oder
gar 33 oder 44 u. dergl. bis man abziehen kann.

So wird z. B. bey der Zahl 34260 der un⸗
geraden Stellen Zifferſumme 5 um 11 vermehrt,
welches 16 giebt, wovon ſich alsdann der geraden

Stellen Zifferſumme 10 allerdings abziehen laͤßt.

Der bleibende Reſt 6 iſt nunmehr die verlangte Pro⸗
bezahlz naͤhmlich man weiß nunmehr, daß 34260
etwas 1 1faches und noch 6 iſt.

Wienn endlich 3) der nach 1¹) geſundene Reſt
ſelbſt noch nicht kleiner als 11 ſeyn ſollte, z. B. in
7281809; ſo verfaͤhrt man mit ſolchem Reſte aufs
neue nach 1¹) oder 2); und zwar mit dem gegenwaͤr⸗
tigen 29 nach 1), weil ſich von der 9, der Ziffer an
der ungeraden Stelle, die Ziffer an der geraden
Stelle, 2, ſogleich abziehen laͤßt. Der Reſt 7 iſt
die geſuchte Probezahl von 7281809.

Zuſatz. Sollte auch der zweyte Reſt noch nicht
kleiner als 11 ſeyn; ſo muͤßte man dieſen zweyten Neſ
aufs neue nach 3) behandeln.

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II. Probe durch das Eilffache. 95
H §. 280.
Oder II, man ziehe die Ziffer der hoͤchſten
Stelle von der naͤchſtvorhergehenden ab, den Reſt wie⸗
derum von der naͤchſtvorhergehenden u. ſ. w.; und
wenn eine Ziffer fuͤr dieſes Abziehen zu klein iſt, ſo
vermehrt man dieſelbe um 11. Der letzte Reſt giebt
die Probezahl. Z. B. Fuͤr die obige Zahl 38 1069
ſagt man: 3 von 8 bleibt 5; 5 von 1 + 11 d. i. 12
bleibt 7; 7 von o+ 11 d. i. 11 bleibt 4; 4 von 6
bleibt 2; 2 von 9 bleibt 7, welches nun die Probe⸗
zahl iſt.
Anmerk. Dieſes Verfahren iſt eben nicht kuͤr⸗
zer, und beſonders bey dreyſtelligen Zahlen gar oft etwas
unbequemer, als das erſte; aber es iſt leichter zu behal⸗
ten, und in ſo fern ſicherer.

*§. 281. .
Das ganze Verfahren gruͤndet ſich darauf, daß
1) jedes Einzelne, jedes Hundert, Zehntauſend ꝛc.
etwas 11faches und noch „,··
2) dagegen jedes Zehend, jedes Tauſend, Hun⸗
derttauſend ꝛc. etwas 1 1faches weniger 1 iſt;
folglich auch
Z. B. 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) Einzelne, Hunderte

oder Zehntauſende ꝛc. etwas 1 1faches und noch 2
(oder 3 oder 4 ꝛc.)

dagegen z. B. 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) Zehende, Tau⸗
ſende oder Hunderttauſende ꝛc. etwas 11faches
weniger 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) ſind. H

*§. 9 82 .

96 Eliilftes Kapitel.
§. 282.

Inxn benannten Zahlen wird z. B. 1 halten

2 Probegroſchen, weil in 24 noch 2 uͤbers

in 12 noch 1 R uͤber 11 ſteckt.
1¹ Centner zu 110 f gerechnet, haͤlt Pro⸗
bepfennige, weil o die Probezahl von 110 iſt;
und 1 tg haͤlt 10 Probeloth, weil 10 die Probezahl
von 32 iſt.
Nachdem man nun auf dieſe Weiſe die Probe⸗
zahlen des 1rfachen zu finden weiß; ſo wird uͤbri⸗

gens ihr Gebrauch ſelbſt keine weitere Schwierig.

keit machen. Man verfaͤhrt dabey gerade wie mit
Probezahlen des gfachen.
So wird bey der Mulrtiplication in *§. 267
die Probezahl des Multiplicanden 10, durch des
Multiplicators Probezahl 8 multiplicirt, und dieſes
Productes 80 Probezahl geſucht, welche 3 iſt. Da
nun der als Product gefundenen Zahl 577866 Pro⸗
bezahl ebenfalls 3 iſt; ſo iſt es wahrſcheihlich, daß
man richtig gerechnet habe.

Bep der Diviſion 1) in *§. 269. ſind die Pro⸗
bezahlen des Eilffachen: IJM 8
(3, fuͤr den Diviſor, (27 fuͤr den Dividen⸗
den und (6 fuͤr den Quotienten. 2
Allſo heißt es: 6 mahl 3 iſt 18, deren Probe⸗
zahl iſt 7; und des Dividenden Probezahl iſt eben
2

falls 7.

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1rfache ſtecken. 1 23 haͤlt 1 Probepfennig, weil Drgingi

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2) Firde
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II. Probe durch das Eilffache. 97

2) Fuͤr den Fall, daß im Quokienten ein Bruch vor⸗

kommt, will ich ein neues Beyſpiel herſetzen. Es ſeyen

Diviſor 81, Dividende 55563, Quot. 685¾
Probezahlen (4 H (2 (34
35 mahlz iſt 15, dazu 4 addirt giebt 19, deren
Probezahl iſt 8. Nun 8 mahl (4 iſt 32, und deren

EE Probezahl, I10.

Ferner: 5 mahl 2 iſt 10, und deren Probe.

8r. zahl ebenfalle 10.

*§. 28 ſ.
Anm. Wollte man hier durchs Meunfache probiren,

ſo waͤre des Diviſors Probezahl o; und dadurch wuͤrde

fuͤr die Richtigkeit der ganzen Zahl im Quotienten, und
des Zaͤhlers in ſeinem Bruche gar nichts beſtimmt.

Dagegen wuͤrde z. B. fuͤr den Diviſor 77 die Pro⸗

bezahl des 11 fachen o ſeyn, und man muͤßte deshalb
die Probe durchs Neunfache waͤhlen.

Sollte auch dafuͤr die Probezahl o werden, z. B.
bey dem Diviſor 99, ſo waͤren beyde Proben ohne
Nutzen. Das erhellet vollſtaͤndig aus den Gleichungen
unter *§. 2 6 9, oder hinreichend fuͤr uns auch auf ſol⸗

gende Weiſe.
Es ſeyen des Diviſors, des Dividenden und des Quotienten

Probezahlen do (7 L3;

ſo heißt es etwa: 5 mahl 2 iſt 10 und 4 iſt 14, deſſen

Probezahl 5; und 5 mahl o iſt o. Ferner: 7 mahl o

vd iſt ebenfalls o. Freylich! Aber Statt 5 und 7 koͤnnten

nun ganz andre Zahlen ſtehen, und man wuͤrde gleichwohl
auf jenes Ebenfalls te kommen. “
G Fuͤr

98 Elilftes Kapitel.
Fuͤr den Fall, daß der Quotient eine ganze Zahl
iſt, muß man mun noch bedenken, daß alsdann auch des
Dividenden Probezahl o wird, ſo bald des Diviſors

Probezahl iſt. Daher auch in dieſem Falle durch der⸗
gleichen Probe nichts beſtimmt wird.

*§. 286.

Bey der ſchon in *§ 277. probirten Multipli⸗
cation in benannten Zahlen, wo der Multiplicande
14 & 8 , der Multiplicator 321 und das Facit

4517 L 38 f war, wuͤrden als die Probegroͤßen

des 1 fachen gefunden werden:
1) des Multiplicanden Probepfunde
als — — 8
2) des Multiplicators Probezahl 2

beyder Product 16

3) des Facit Probezahl ebenfalls 5 .
*§. 287.

I.

Unſochen Ni

wickelr, un

Nach dieſen Beyſpielen wird es wohl nicht

ſchwer fallen, auch bey den noch uͤbrigen Rechnungs⸗

arten dieſe Probezahlen des 1 rfachen eben ſo zu ge⸗

brauchen, wie die Probezahlen des gfachen. Mit

Sr in⸗

Ausnahme der wenigen Faͤlle in *§. 285. hat man
unter beyden zu waͤhlen; und welche verdienen dann
den Vorzug? Freylich kann man nur noch um ein

11 aches gefehlt haben, wo die Probe des 11fachen

zutrifft, und es giebt weniger 11fache als 9fache

Zahlen. Indeſſen iſt dagegen die Auffindung der
1 1 fachen

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II. Probe durch das Eilffache.

1Ifachen Probezahlen ungleich muͤhſamer und ver⸗
wickelter, und eben deshalb auch ſchon die Beſorg⸗

niß weit groͤßer, daß man in der Proberechnung
ſelbſt gefehlt haben moͤgte, wodurch denn die durch

ſie zu erreichende Sicherheit gar ſehr verminderrt
wird. Umſtaͤndlichere Eroͤrterungen dieſer Proben,

alſo auch die Gruͤnde von dem Verfahren in *§. 267.
*G. 269. u. dergl. findet man im erſten Theile mei⸗

ner Beytraͤge zur Mathematik und Phyſik
und deren Lehrmethode, der anjetzt ebenfalls zu
des Hrn. Cruſius Verlag in Leipzig gehoͤrt.

Zwoͤlftes Kapitel.

Addition und Subtraction bey Zeitraͤumen.

§. 288 — §. 303.

Dreyzehntes Kapitel.

Leichte Aufgaen fuͤr die Regel de Tri.

5. 304.
Sen in in der Vorrede zur erſten Ausgabe habe ich

angefuͤhrt, warum ich einiges aus den erſten
Kapiteln des zweyten Theiles in den erſten haͤtte

bringen ſollen. Ich rathe ſogar, die taͤglich brauch⸗

baren Rechnungen des jetzigen 13ten und 14ten Ka⸗
pitels ſchon viel fruͤher zu uͤben, als es ihre hieſige
G 2 Stelle

7

100 Dreyzehntes Kapitel ꝛc.

nach Beendigung des ſechsten durchrechnet werden.
Mehrere von ihnen werden ſchon nach dem vierten,
und die uͤbrigen nach dem fuͤnften Kapitel voͤllig be⸗
griffen, wenn man nur zeigt, daß man z. B. durch
12 zu dividiren habe, um Pfennige nach Groſchen

Lehrer, nach Beendigung jener Kapitel, jedesmahl
er davon ſchon gebrauchen koͤnne; und ſetze uͤbrigens
voraus, daß er ſich ſelbſt ſehr viele den hieſigen aͤhn⸗
liche Aufgaben ſelbſt verfertige, auch aus dem Kopfe
wenn ihn nicht eine allzu zahlreiche oder vermiſchte
Klaſſe daran hindert. Aufgaben von der Art, wie

ſie in dieſen beyden Kapiteln vorkommen, und be⸗
ſonders ſolche, die ſich den leichteſten Behandlun⸗

lichſte Gelegenheit zur Rechnung im Kopfe dar.

Vollſtaͤndiger werden die Regel de Tri und
ihre Abkuͤrzung durch die ſo genannte Waͤlſche Pra⸗

ſich ſchon fuͤr das Hieſige mit den dortigen drey er⸗
ſten Kapiteln bekannt zu machen.

Stelle angiebt. Wenigſtens koͤnnen ſie alle ſchon

auszudruͤcken, u. dergl. Ich wuͤnſche nun, daß der 4

dieſe beyden durchſehe, und ſelbſt beurtheile, was

angebe, und von den Schuͤlern ſelbſt angeben laſſe,

gen der waͤlſchen Practik nach dem 14ten Kapitel
unterwerfen laſſen, biethen die ſchoͤnſte und nuͤtz

ctik im zweyten Theil behandelt, und der Lehrer hat

(N ſed:
A; 10 R,d

tel⸗Grochen)

Donn per
nuct:

ſed

gane Oreſch

3 ganze Groch

1 ſrd
ganze roſhe

Wder
Gen die ſeſe
inn man l⸗

wiil . —.—— . 107
kimn Eet S .
aininctn Vierzehntes Kapitel.
e hden
G Leichte Aufgaben fuͤr die waͤlſche
„ Mmn; N
e Practit. M

Mi iberſee, anfaas auch durch aufpezüblte
u Pfennige, die Saͤtte

6 ſind ½ ; d ns x; 18) ſind
(3 halbe) Oroſchen u. ſ. f.

ank 2 36; 16 A al 4 mahl 4 K, ſan 4 , (2 dei⸗
ii⸗ Groſchen) u. ſ. w.

Dann werden die folgenden ſehr gelaͤufig ge⸗
re macht:

i 2 ſind 1 X; 4 86, als 2 mahl 96, ſind
2 ganze Groſchen; £ t, als 3. mahl 2½ 9t, ſind
NeNd 3 ganze Groſchen u. ſ. w. .

inend⸗ 3 3 ſind 1 ; 3, als 2 mahl: 2 4e, ſind
2 ganze Groſchen; u. ſ. w.

. P
r Nerdᷣ

t M en
achen. 8. 329 — 5§. 32 2 2. —
ſin H. 323.

Ben der Rechnung im Kopfe, wozu ich ſchon
— oben die hieſigen Aufgaben ſehr empfohlen habe,
kann man allerdings z. B. die letzte im vorigen §.
G 3 auch

102 Vierzehntes Kapitel.
auch auf folgende Weiſe behandeln. Wenn 1 Elle

koſtet 4 3, ſo koſten 6 Ellen gerade Inen Thaler;
„2 mahl 6 oder 12 Ellen alſo 2 6; 3 mahl 6 oder
18 Ellen alſo 3 u. ſ. w. endlich, 7 mahl 6 d. i.
42 Ellen koſten 7 *, und die 3 uͤbrigen Ellen ko⸗
ſten noch 3 mahl 4 , alſo 12 36. Aber der dort
angegebene Gang iſt ſicherer, ſchließt ſich naͤher und
allgemeiner an das ſchriftliche Rechnen an, und giebt
eine beſſere Vorbereitung zur leichten Behanduh KL’

der Bruͤche ab.

Ich ſetze uͤbrigens voraus, daß man! bey dem

vorigen §. fuͤr die Thalerbruͤche eben ſolche Uebun⸗
gen anſtellt, als ich in *§. 319. fuͤr die Groſchen⸗
bruͤche angefuͤhrt habe; und weiſe hier noch einmahlauf

das 16te Kapitel hin.

apn.

— 103
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rtiii Beantwortung der Uebungsaufgaben im

de; d ieͤ Anhange zum Rechenduche.
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1 N . N §. 66. No. † Noj
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1544 24-175286 47 31484
1546 25113578 48 33 37
ens, Mn! 1199 26 159726 49 32752

1I17 27 169934 50 47624
1796 281197596 51 552852
1605 29 173750 52 206268
98 1 30 197596 53 295035
969 31 4081 54 170394
. 290⁰⁰ 32 2636 55 189747
i 10 2900 33 3563 56 284061
11 243 34 2732 57 110952
12 137 35 3269 58 293595
13 2243 36 23312 59 164094
— 14 2138 37 48990 60 2330064
15 3636 38 33870 61 267370
16 3003 39 33656 62 310594
17 3331 40 27252 62 175536
18 2523 41 26091 64 241803
19 3394 42 31082 65 219310
20 3491 43 28767 66f 292938
21 96138 44 19100 67 262758
22 114736 45 29931 68 25876
231171394 46] 23333 691 274691

riche n ⸗
,
Kln kne
. zle — .„
ett G
dteſehethee

● % , „ ω ° —

2
S

Q 0 D△ ς d e

5365252

276584

270906

348100
220189

137365

6 1463 62 500 Menſchen
174090 Quadratmei⸗

iſt die Summe = 1656
Jahr.

§. 84.
153453
111009
108090
93313
I
1001

3209902
3001135

300348

458985

len

Im Subtrahiren.

Anhang. Beantwortung

No.
11

16
17
18
19
20
21
22

23

Im
No.

1
2
3
4
5
6
7
8

1 37501
12
135
14
1 56

9618
499879
10995

311111
10956
2600071
90909
199818

503350

10121439

Mulipluten.

5F. 98.
46134
807570
189738
168194
4046 256
3720272
32703328

3171707368

32832

„

*

10
11
12

13

14

16
17
18
19
20
21
22

24
25

26

27
28
29
30

31

32
33
34

35

37
38

der Uebungsaufgaben.

327707864

25035

1224903
14890⁰35

2403912
24192918
110601315

244683396

2806024707
15027264
3199928704
3242745088
9904749056
4481710

55639680625

8400494400
65628862500
228008808

1077132168

7727151168
11910643101
1052636816
82467444724
412846592
2543735808
2543 93298

7027608843

59993326620
1994492200
146497320

No.
39
40

42

44

45

46

47

48
49
50

5 1
52
53
54

5 ½

56
57
58
59
60

67

62
63

43

. H
815491080
445 566770800
§8S. 107.
2724820
22531150
27863680
36548100
11357840
192940000
2437820000
35761200
3180984000
1725000000

§. 109.
1861482
15387998

190223055
66787066

186496062

979404624
§. 113.

393148070
102125272

2

KAe

366275796
36722488
12207699

312009594

33356736—

No.

“ 106

No.
64
65
66

43 861742892
1227836

2946815856
31944718845
9 93 191343 192
§. 123.
268
1260
2160
7200
4494
6528
439488

24948
27360

857610

Im Dididiren.

. 7186707 r6

§. 138.

456 6
3782 *.

1
2
3 16289
4 28917 G ,—
5
6

2153 K

60228 96
§. 142.

4sSoz 663

1999009

Anhang. Beantwortung

No.
8 2 367104 *0
9 11350100 X
102673667 6
11 13537 G
12 5871 L
13 20 1062 ρ
14 6805*
1 9784
16 80386
17 16
18 512
19 5006 Stuͤck
20 450149
21]1025043
4 §. 148.
23 1015¾ .
24 4450¾ *αι
25 1683¾
26 11485 0
27 20058 ½¼ Elle
28 98 5
29 12786¾
30 125050
31 157 mahl
32 172 mah
33 56 mahl

.

1
uPzn
hi
649 13,rbr⸗
rr
620
64 dua

— —
— —

— — — —.
2=ͤ+ ä —

—

— —
= — = =
— 2
=—☛2 —
= —

ttung

6natt

dlo⸗ 14
d nozdrn

izni
3) ꝛonotr;
i
16,

„11

No.

35
36

37

—

der Uebungsaufgaben.

580¾ mahl
13607 ¾ mahl
1296422 mahl

38 65176 ¾ mahl
39 6516 ⅝ mahl
40] 25849 ⅞ mahl
§. 160.
41 13253 1¾ mahl
42 93 594% ⸗
43 235262 ¾ ⸗
44 154297 ⸗
45 250 ‧₰
46 82142 -⸗
47 3
48 3 ½ ⸗
§. 162.
51 29538*
532 11333¾2 ¾
53 15734½
54 32 ½42
55 176 ¾34
56 141623 8
57 16 ¾4
58 3312432
59 322
60114888 ⅛3

61
62
63
64

R

107

§.
37101452
121094
2515 12
1972

—
J
G◻
„*

Ole. Oi Ole Oe
Ole

2 010
Od O8.
G OG

Im Redueiren.

Erinneruns. Die klein
gedruckten Zahlen in den

Parentheſen enthalten die

Antwort, wenn man
unter 90 nur Marien⸗
greoſchen verſtehen laͤßt.
No.] §. 195.
1/32544 ₰
(ebenfalls 32544 Jr.
2 9552 96
(14328 Mrgl.)
3 11136 Loth
4 161824 Quentch.
5 243 ₰
(2407 A)
63699 AR
(3619 R)
* 247 .

(1¹67 R)

10

12
13
14

16

200

1 08 Anhang.

11

15

4569 90
(6849 Mrgl.)
52420 ſℳ.

288000
3120 Metzen

834 Scheffel

579 Loth

7120 Quentl.
38732 Loth
22186
460800 Loth
4343 ℳ.
1190 Xr.
2562 ₰ℳ
242 ₰⅓
1727 ₰
880 Mrgl.
6. 20.
8 90 4
(12 Mrgl. 4 ₰)
41 X6“ 16 90
(27 X6 28 Mrgl.)
1800 *£
(1200 X 69)
69 C1ο9° 8

(69 ¹6 Mrgl.)

(ebenfalls 52420,oι

291 Metzen
61060 Metzen

3776 Quentl.

Beantwortung

No.

31

32
33
34
35

36
3711
38
39 5

347 rC 5 96 4 *½
(347 °“ ⁸ Mrgl.)

93 24 Loth
12 Winſpel 12 Schfl.

8 Metzen.
1323 th 22 Loth
1 Fl. 4² Xr. ₰
5 Mrgl.

4012

Im Addiren benanmet

§. 215.

3 X6 23 96 9 A₰
1324 ρ 17 90

2449 0 2 90 „ .

17 & 18 8
48 t 5 Loth
5 Ballen 6 Buch
z71 Fl. 28 Xr.

811157 r 11 Mrgl. 5.

20 Winſpel 13 Schfl.
11 Metzen
102 ι 10 10.

Im

7⁸ Winſpel 3 Scheffel

7 Winſpel 19 Scheffel

* 11 Mrgi. 2

In Gben

Hhuannter

Wo (

1 Me
ter
Mß⸗
ſu
6 i
n 9e b
In Multpt
Hannter 9

1r.
ig
ahn
1

=
.-2

en
N

on 6

at

der Uebungsaufgaben.
Im Subtrahiren be⸗

nannter Zahlen.

0
1
2
3
4

5
6
7
8
9

§. 223

S0 r6 14 96 0.

3 22 90 8⁸ ₰½
28 E 19 Loth
13 Metzen.
1 Anker 6 Berliner
Maß.
10 17 Mrgl. 7 ι
12 Fl. 45 XNr. I ₰
8 96 10 ₰½.
12 90 6

Im Multipliciren be⸗
nannter Zahlen.
No.

1

6
7
8
9
0
1
2
3

1

9. 230.
498 ρ 9 90

2 195 60 2 96

3

928 0 13 36 6 ₰

4 401 6 15 96 4 *

5

168 X C 190 8 ₰ℳ
34 5th. 2 Quentl.

810 ε 12 Loth.
5 8 Loth 3 Quentl.
1713 Winſpel.
142200 rπ 8 90
911 24 Loth.
1280 6 Loth.
48606 £ 18 960

No-

14
15

165
17
18

19
20◻
2 1 2
22
23
24
25
26

2
28
29

31

32
33
34

35

36

37

38

ü

109

5C 7 96 9 A
4 100 ℳε 3 1 Loth
2 Quenkchen.
XC 27 Mrgl. 6,A△
3 Fl. 33 Xr. 2
§. 234.
300 rσ 20 NE
4856 I
83 0°ℳ–1ʃ
225 72 16 oth.
75 Wſpl. 2 Schfl.
8 Metzen.
3068 Wſul⸗ 8 Schfl.
288 Fl. 54 Kr.
17 £ 22 Mrgl. 4, ℳ½.
§. 239.
296 — 2 9 %
272 6 5 90 8 .₰½
13518 Hk!3
234 ° 10 96 6 ₰

12 & 76 16 Loth

54 ρ 25 Loth 3 Qutl.
4858 X ι 12 Mrgl.
10663 Fl. 25 Xr.
1583 K 76 14h.
740 0.
18218 * 18 260
24635 X 10 960

Im

110 Anhang. Beantwortung

Im Dividiren be⸗
nannter Zahlen.
No. §. 253.

4 X6 18 960
4 ° 4 96 9 ¾ *
6 4 %A
15 ρ 10 Lth. 2¾ Qutl.
5 Schfl. 2 ¼ Metzen
IIXC IS 90
16 X 6 2 96 8 A.
3 Schfl. 5½ Metze.
35 X °— 3 90 2 .
44 6 5 90 7 ½ R₰
846 16 90 1 ſι

ιος h ρν ° d

10
11
12
13 53 r6 1696 11¾ I.
14 44 2096 9 ¾ R₰à
15112 Xρ 1 90 2 △
16 12 25 Lth. 1 Atl.
1759 ° 12 96 5 ½
18 -63 ° 8⁸ 9 10 5⅛ £
19 1 Wſpl. 13 Scheffel
II Metzen.
20 3 Schfl. 4¾ Mtz.
21 II X6ο 8 .
22 1142 AxA
2310%
24 *
2 5 ₰
26 2715 ₰ .
27 1 Fl. 24 Nr. 27 ℳ₰½

6 Winſpel 8 Schfſl.

No.
28]2 Xr. 2 4 ₰
39 3 8 Mrgl. 5 R
3016 Mrgl. 1⅞

Im Addiren und Sub⸗
trahiren bey Zeit⸗
raͤumen.
No. §. 294.
62 Jahr 3 Mon. 8 Tage
6;3 ⸗ 2 „ 3 ⸗
53 —
47
52
36
84
70
62
I

6
10 *
%*
,„4 ⸗
„ 23 ⸗₰
.
6
6

.—

⸗ 28
3 24

56. 297.

Q aA a a a „ u au

„

O M — ,⸗ an e

4

I I
12
1 3
14
1

20. 1727.

§. 2099
1483 den 10 November⸗

16
1712 den 24 Januar.

7

18 1750 d. 24 Nov. um zUlht
1782 den 11 Januar.
Leichte

12

a0. 1786, den 17 Auguſſ

a0. 814, den 28 Januar
1694, den 16 September
1789, den 6 October.

Nn Ddeer Uebungsaufgaben. 111
Leichte Aufgaben fuͤr No.

N die Regel de tri. 26 134¼. Buch
No. d. 308. 27130 loth
N. 1 6 6E 28 120
Wü 157 29 180 Fl.
MRünnn 2 6 % 9A 390 4 Nr. 1 ¾ ₰
ahiren 332 312 r
5 47045 X. No. §. 318.
1a grie;De! 7/76800 Fl. 33 2 XC 22 3
.1. 9 2 Fl. 55 Xr. 35 12 . 3 8 ℛ-
ℳ₰ 10 33 r0 8 936 36 1ι 18 36 9 ₰
** No §. 314. 37 18 „ R
65 , 4 — 3823 16 3
3 11 a Ml. 18 2 6 R* 39 3 *6 13 4 ..
. 13 r Fl. 3 xr. AT II 3 A-r
1 1119 14 8 Fl. 30 Xr. 42 11I X6& 13 4
y 16ſ80 12 3 6 33 10
44 3 9
Aen 17 3 2 Mrgl. 3 ¼ ₰ 45112
1 42 Nr. 2 .
an 1 W “l 3 R Leichte Aufgaben fuͤr
wth⸗ D
% 2 13 9 deiie waͤlſche Praktik.
(„ 22874 20 2 62A No. §. 321.
“ No. 5§. 316. 119
Auß N 3
„„ 23 ‧5 G. 20 Loth. 2 ° 9% 8 ₰
ah⸗ 24 70 2 4 3
vunz 25137 ¾ Ellen A1l5 3 N
No.

5
6
7

8
9
10
11
12
14

112 Anhang.
No.

1XC 2 9 Ns
20 7ℳtlt 16
§. 324 18
23 X0C 12 £ 1
9 1 1
7 6 18 9 21
3 * 8 3%. 3²
10 r 6 16 3
8 ½W
5 XC 8

*

Beantwertung ꝛc.

§. 326.
15 J.
17 Fl. .
5 Fl. 36 Xr.
6 Fl.
38 Fl.

4 Fl. 12 NXr.

Unrichtigkeiten im erſten Theile des Rechenbuches.

Geite 4² Zeile 3

141

15 von oben vor § 102 ſoll noch ſtehen * 101.
unten ſatt 414 Dl ſeben 314.

von oben ſtatt 24 ſoll ſtehen 44.
7 von unten ſtatt 1) ſoll ſtehen 1) u. 11)

ſtehen

⸗ 20520 ſoll ſtehen 20760.
2 § 304 ſoll ſtehen 5 303.
⸗ 108 ſoll ſtehen 103

46 . 13 ⸗ ⸗ 5 84 ſoll ſtehen § 84.
53 *
57 ⸗ 5 2
80 ⸗ I1 ⸗ 5
116 ⸗ 13 2 5
136 ⸗ 10 2 2
5 13 6½

5
Anleitun 9 G
zum Gebrauche
meines .
=—

Rechenbuches.

—
—

10

Von
Friedrich Gottlieb Buſſe,

3 Erſter Theil.
73. .
— Sren
2 9 1/
Zweyte verbeſſerte Auflage. . °
94, S5
. 5
Leipzig, 1794. L
Bey Siegfried Lebrecht Eruſius. .
J

1