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 Anleitung zum Gebrauche meines Rechenbuches, 1 S S . G Anleitung zum Gebrauche meines Rechenbuches. Von Friedrich Gottlieb Buſſe. Erſter Theil. — .⸗ Zweyte verbeſſerte Auflage. „ Leipzig, 1794. Bey Siegfried Lebrecht craſine 6 per Zeit hind holtenr ſehen zu Mubenſn Geſchdcr Regenron Aſcht gemeinve Wie es in ehre⸗ ſen ſeines In ſic oſt e 6letuen Ubrnchthe ſch uter ereits ged ens unten ſelches al *) Ner deim 1 kenln Vorre d e zur erſten Ausgabe. Es war mir auferlegt und allerdings noͤthig, mich eine Zeit hindurch von anſtrengenden Geiſtesarbeiten zuruͤckzu⸗ halten: und um den taͤglichen Veranlaſſungen dazu wider⸗ ſtehen zu koͤnnen, war es wohl das rathſamſte, meine Nebenſtunden im voraus durch ein beſtimmtes, leichteres Geſchaͤft zu beſetzen; wozu ich die Ausarbeitung des gegenwaͤrtigen Rechenbuches waͤhlte. Wenn ich meine Abſicht erreiche, hiermit ein ganz ungekuͤnſteltes, ſehr gemeinverſtaͤndliches und ſo geordnetes Lehrbuch zu liefern, wie es in den wirklich vorhandenen Schulen und ihren mehrentheils ſehr zahlreichen Rechenklaſſen in der That brauchbar und bequem iſt; ſo kann ich die Hoffnung faſſen, manchem belaſteten Schulmanne einen Theil ſeines Amtes zu erleichtern — eine Hoffnung, die mich oft aufs neue ermuntert „ und zu meiner einmahl angefangenen, nicht ſelten aͤuſſerſt oͤden Arbeit zuruͤck gebracht hat. Es wird dabey freylich vorausgeſetzt, daß ſich unter den vier bis füunf hundert, in Deutſchland bereits gedruckten Rechenbuͤchern *) keines finde, wenig⸗ ſtens unter den gangbarſten von ihnen keines bekannt ſey, welches alle die Eigenſchaften mit einander vereinigt, 2 die *) Der wuͤrdige Hr. Prof. Scheibel hatte vor 5 Jahren (nach dem reten Stuͤcke der bekannten mathematiſchen Buͤcher⸗ kenntniß) ſchon 325 deutſche grithmetiſche Schriftſteller aufgefunden — „und wie viele krifft man an, „die man ſchwerlich finden kann. “ Vorrede die ich dem meinigen wuͤnſche, und hier nach einander anfuͤhren will. 1) Kein Rechenbuch ſollte nahe an Ungereimtheit gruͤnzende Betrachtungen, verworrene Erklaͤrungen und vernunftwidrige Beweiſe enthalten — Unvollkommen⸗ heiten, wogegen die ebenfalls nicht fehlenden falſchen Rechnungsregeln kaum in Betrachtung kommen, ſo we⸗ ſentliche Beraubungen *) uͤbrigens auch dieſe ben jedem Rechenbuche ſind. Kaum brauche ich es zu erwähnen, daß es ſchon ſehr viele Rechenbuͤcher giebt, denen ich dergleichen Vor⸗ wuͤrfe zu machen weit entfernt bin. Aber in Ruͤckſicht auf die meiſten unter den gangbarſten Rechenbuͤchern glaubte ich mich zu dieſer Warnung verpflichtet. Das Lehrbuch der Rechenkunſt iſt es doch wohl, was ſo man⸗ cher Schulmeiſter als das non plus vltra ſeiner gelehr⸗ ten Verſtandesuͤbung betrachtet. Unter allen Gruͤbe⸗ leyen ſollte man auch wohl die arithmetiſchen, als die unſchaͤdlichſten, ſolchen Maͤnnern empfehlen koͤnnen, deren Lehramt, iſolirte Lage und andere Umſtaͤnde es mehren⸗ theils ſo mit ſich bringen, daß dem Denkenden und Kum⸗ mmervollen unter ihnen irgend eine Art von Gruͤbeley Be⸗ duͤrfniß wird. Iſt es nun nicht traurig, und von ander⸗ weitig gem wichtigen Einfluſſe, wenn er dieſes Beduͤrfniß bey *) Falſche Rechnungsregeln mittheilen, iſt nicht etwa nur ein negirtes, ſondern ein negatives Rechnenlehren, alſo tein bloßer Mangel, ſondern eine Beraubung. Mie wenigſtens ſcheinen die hieher gehoͤrigen Begriffe aus Kants Verſuch, den Begriff der negativen Groͤßen in die Weltweisheit einzufuͤhren, einleuchtender als die metha⸗ phyſiſchen Syſteme, worin neben den Uebeln des Mangels kein Platz fuͤr die Uebel der Beraubung vorhanden iſ. 7 Uih eine Crklärun Cenocht Kren, d nid ſite, Urſache Rechen . n hil, geneiren ensarte Hel kebe eitelnen Grffnde Durfahre rten ſe andere Gruͤnde Schuleeh kend des iker ſeb H hbzugehe ſhrieben Ein N ejoander teimthei ungen und Clkonmen: den filſhen nen, ſowe bey ſehen 1 66 ſon ücen d⸗ in Ricſe ctenbichen cet. Ois was ſo nan⸗ ziver geli len Gruͤbe en, ab N zuner deren es nchten und n tͤteen Be⸗ Wn wde Derhrfn 1 ht etwa m lehen, ii abung. 4 Vereſft 1 Gektninn⸗ 6 Rdie vt 3 des N nt nden i zur erſten Ausgabe. v bey einem Buche befriedigen muß, deſſen ſo genannte Erklaͤrungen und Beweiſe, wonach er duͤrſtet, recht dazu gemacht ſind, ſeinen geſunden Menſchenverſtand zu ver⸗ wirren, und ſein natuͤrliches Gefuͤhl fuͤr Schicklichkeit und Ordnung zu vernichten? Ich mag und will nicht wehe thun, nicht Maͤnner kraͤnken, die fuͤr das, was ihnen Wiſſenſchaft ſchien, den lobenswuͤrdigſten Eifer bezeigt, Tag und Nacht gearbeitet und mit unter manchen nuͤtzlichen Richtweg bekannt gemacht haben: ſonſt koͤnnte ich deutlich und uͤberzeugend genug durch Beyſpiele reden. Vielmehr wende ich mich ſogleich zu einem zweyten Grund⸗ ſatze, deſſen Vernachlaͤßigung mir eine von den Haupt⸗ urſachen ſcheint, warum die beſten unter den vorhandenen Rechenbuͤchern ſo wenigen Eingang gefunden haben. 2) Ein Rechenbuch, das moͤglichſt gemeinfaßlich ſeyn ſoll, muß ſeine Rechnungsregeln unmittelbar auf den gemeinen Menſchenverſtand, auf ſolche Schluͤſſe, Re⸗ densarten und Begriffe gruͤnden, die uns ſchon im gemei⸗ nen Leben ganz gelaͤufig geworden ſind, und ſich bey jeder einzelnen Anwendung von ſelbſt darbieten. Es muß die Gruͤnde von der Zweckmaͤßigkeit eines vorgeſchriebenen Verfahrens ſogleich in die dabey gebrauchten Redens⸗ arten ſelbſt hinein zu legen ſuchen, und wenn ja noch andere Beweiſe noͤthig ſind, ſolche nicht uͤber die naͤchſten Gruͤnde hinaustreiben, womit ſich nach vergeſſenen Schuljahren der vernuͤnftige Geſchaͤftsmann — und waͤh⸗ rend des alltaͤglichen Rechnens nicht ſelten der Mathemae tiker ſelbſt — zu befriedigen pflegt. Hier wage ich es auch von denen Rechenbuͤchern abzugehen, welche von eigentlichen Mathematikern ge⸗ ſchrieben, alſo uͤbrigens mehrentheils richtig und gut ſind. Ein Mathematiker, dem Verhaͤltniß und Proportion, . 3 ihre Vorrede ihre aus der Definition flieſſenden allgemeinen Eigen⸗ ſchaften, die Convention der gleichen Verhaͤltniſſe in ein⸗ zelnen Faͤllen, und die darauf gegruͤndete Anwendung der allgemeinen Regel auf jeden ihr untergeordneten Fall — ein Mathematiker, ſage ich, dem alle dieſe Be⸗ griffe und Verſtandeshandlungen — und ihre deutliche Ueberſchauung, worauf es doch bey der Ueberzeugung eigentlich ankommt — ganz alltaͤglich geworden ſind, kann es à priori ſchwerlich einſehen, daß eben dieſes Verfah⸗ ren fuͤr andere Menſchen nicht ſo ganz lichtvoll und kinder⸗ leicht ſeg. Und wenn er, um ſich ſehr herabzulaſſen, das Allgemeine in den Begriffen und Beweiſen (und damit zugleich das Weſentliche in dieſem Gange der Ueberzeugung) vermeidet, nur durch haͤuſige Inductionen etwas den abſtracten Regeln aͤhnliches darzuſtellen ſucht: ſo glaubt er den gluͤcklichſten Mittelweg zwiſchen einem ſtrenge demonſtrativiſchen und einem bloß mechaniſchen Rechenunterrichte getroffen zu haben. . . . . . . . . . niſu ab vno diſcite omnes. Die bekannte regula de tribus dire cta iſt es doch ohne Zweifel, welche man bey Ergreifung dieſer Mittel⸗ ſtraße zunaͤchſt vor Augen hat, und ſie iſt zugleich der einfachſte und leichteſte Vorwurf, den man zur Pruͤfung dieſer Methode waͤhlen kann. Man denke ſich nun einen gemeinen Rechner, der z. B. die leichte Aufgabe, 3 P. koſten 4 ., es koſten 7 P. alſo 9 ½ X., als Propor⸗ tionalſatz mit ſeiner moͤglichſten, auf dieſen einzelnen Fall angewandten Ueberzeugung berechnen ſollte; wie wuͤrde er ſich wohl daruͤber aͤußern muͤſſen? „Der Anſatz, 3z G: 4 X 0 = 7 S:? W. muß er vdelken . hat in der hergeſchriebenen Ordnung noch gar „keinen vlh pein „On „Gli vouc „luuͤ „o n „bo pbiſ ie ieſer „Thal „NMun vFale⸗ yfiofc pbiet vllge phorgel plliſee: nſicht vNoch, de ſt: 4 9Ende 9Pen Pa volgeigen G letging bſed, un kunte, Ule es ens in a vendung ndneten ieſe De⸗ deutlce Mmeugung nd, kann Verithe nd kinde hhzllaſen eiſen ud Guur N ducvenn Nen ſg en einen huniſcen ſtes 1s doch ee Mittege cſuch der ur Prifum Hun einet 9e, 3 5 6 Yroen einheluen Ulte; v nuß g toc N „lnnn zur erſten Ausgabe. vVr „keinen Sinn; ſondern ich muß mir ſtatt deſſen vorſtellen . 3 B: 7 XC = 4 XC: E. „ Demn nun erſt finden die Fragen Statt, wie das erſte „Glied in dem zweyten euthalten ſey, und ob eben ſo „»auch das dritte Glied in dem vierten enthalten ſeyn „muͤſſe? Da ich nunmehr allerdings einſehe, daß eben „ſo wie 3 1, in 7 W, ſtecken, eben ſo auch der Preis „von 4 , in dem Preiſe von 7 ſe, ſtecken muͤſſe; ſo „bin ich uͤberzeugt, daß zu den gegebnen 3 Zahlen, in „dieſer letzten Ordnung geſchrieben, die geſuchte Zahl von „Thalern gerade die 4te Proportionalzahl ſeyn muͤſſe. „Nun weiß ich ferner, daß man uͤber haupt, in jedem „Falle, die vierte Proportionalzahl findet, wenn man „die Zahlen der beyden mittlern Glieder in einander mul⸗ „kiplieirt, und das erhaltene Produect durchs erſte divi⸗ „dirt — Wenigſtens glaub ich es, daß dieſe Regel ſo „allgemein ſey. Man hat mir viele einzelne Faͤlle „vorgelegt, wo ſie zutrifft: meine Lehrer wollten mir „auch zeigen, warum ſie jedesmahl nothwendig zutreffen „muͤſſe; dieſen allgemeinen Beweis uͤberſah ich freylich „nicht zu meiner voͤlligen Befriedigung, weiß aber nun „doch, daß es dergleichen giebt — Alſo geſchehe wie geſagt „iſt: 4 mahl 7 (oder 7 mahl 4, denn das giebt ja am „Ende doch einerley) iſt 28, durch 3 dividirt, giebt „»zum Facit 9 ¼; und dieſe gefundene dahl muß Thaler „anzeigen, denn u. ſ. w. * Giebt es wohl viele RNichtmathematiker, d deren Ueber⸗ zeugung nach der vorerwaͤhnten Methode noch ſo ſtark wird, und im Nothfalle ſo ordentlich vorgetragen werden koͤnnte, als ich es hier geſchildert habe? Und wie vieles gaͤbe es nun noch zu fragen und zu beantworten, bis man *4 vooͤllig VIII Vorrede— voͤllig verſichert wͤre, daß die Proportionsregel mit aus⸗ fuͤhrlicher Ueberzeugung gebraucht werde. Und wie viele andere, weit ſchwierigere Schluͤſſe und welche, nur durch Ueberſchauung erreichbare, Ordnung in dieſen Schluͤſſen muß man nicht erſt vorausſetzen, wenn man nach indirecten und zuſammengeſetzten Verhaͤltniſſen mit wahrer und voll⸗ ſtaͤndiger Ueberzeugung rechnen will! Gern gebe ich es zu: Rechenſchuͤler, die einen eigent⸗ lichen Mathematiker zum Lehrer haben, werden auch nach dieſer Methode weit eher zum vernuͤnftigen Rechnen gelan⸗ gen als andere, die anfangs blos mechaniſch rechnen ler⸗ nen und ſich nur mit der Zeit durch eigenen Antrieb eine auf die gewoͤhnlichſten Faͤlle paſſende natuͤrliche Mathema⸗ tik ausbilden. Aber was wird in den Haͤnden der mei⸗ ſten Schullehrer aus dieſer Methode werden? Man ſchlieſſe hier de minori ad maius, von demjenigen, was eigent⸗ liche Rechenmeiſter mit Bedacht uͤber Verhaͤltniß und Pro⸗ portion fuͤr jede Meſſe drucken laſſen, auf dasjenige, was an muͤndlichen Erlaͤuterungen daruͤber taͤglich und ſtuͤndlich zu Tage kommen mag! Wer wollte es aber wohl von den guten Maͤnnern, die den meiſten Rechenunterricht ertheilen muͤſſen, ohne Unbilligkeit verlangen, daß ſie ſich neben ihrem ſauren Tagewerke eine ſo ſchwer zu erlangende Be⸗ ſtimmtheit und Fertigkeit in der wiſſenſchaftlichen arithme⸗ tiſchen Sprache erwerben ſollten; ohne welche man doch uͤber Verhaͤltniſſe und Proportionen nicht mit einigem Gluͤcke lehren kann? . Wie kann man aber, ohne ſich ausdruͤcklich auf Ver⸗ haͤltniß und Proportion zu gruͤnden, dergleichen Propor⸗ tionalſatz mit Ueberzeugung berechnen? D Die — r⸗ emat 1 57 vhun ab pkouft r Pkoſten pfunden 6 ſterſche ſtet ſe Poart ung get Rechen Hochder! nehralg ſchenche lebenze Regul et inue tteſtchen ſhon vo ni eus⸗ wie diee nen iunt⸗ 1auc gnengen ſechnen u luniß an Prthenni N n ſcleſi as elgent⸗ undPre⸗ nige, tas Ofünlh von den tathelen Du ſch den ngende e er rihcne nlchüer en Glie H euf Ben Prrhe De „ zur erſten Ausgabe. 1X Die Aufgabe war 3 : 4 ρ = 7 :? x56. und wir wollen das leſen: 3 koſten 4 *, wie viel koſten 7 ρ? Man laſſe den Schuͤtler, bis er etwa eigentlichen ma⸗ thematiſchen Unterricht erhaͤlt, auf folgende Weiſe ſchlieſſen. „Wenn es hieſſe, ein ſh koſtet 4 0.; ſo wuͤrden „7 koſten? Antw. 7 mahl 4 X6.. d. i. 2 8 X6.*) Da „nun aber nicht ein t ſondern ſchon 3 fſh fuͤr 4 ver⸗ „kauft werden; ſo iſt die Waare 3 mahl wohlfeiler, „koſten alſo die 7 nur den drirten Theil der eben ge. „fundenen 2 8 , alſo nur? Antw. 9 ½ * . So ethaͤlt der gemeine Rechner mehr wahre, fuͤr ihn uͤberſehbare und zweckmaͤßige Ueberzeugung von der Rich⸗ tigkeit ſeines Verfahrens, als wenn man ihn durch die Proportionsregel ſchluͤpfen laͤßt. Die weitere Ausfuͤh⸗ rung gehoͤrt fuͤr die zweyte noch ruͤckſtaͤndige Haͤlfte dieſes Rechenbuches, worin ich dann auch zeigen werde, wie man nach der bekannten Kettenregel — und nach der, leider! nicht mehr allzu bekannten, faſt aus der Mode gekommenen – waͤl⸗ ſchen Practik mit aͤhnlicher, zweckmaͤßiger und zureichender Ueberzeugung rechnen koͤnne. Andere Aufgaben aus der Regula quinque, ſeptem, nouem &c. direécta et inuerſa, werde ich nach der, in aͤhnlicher Hinſicht vor⸗ treflichen, Baſe dowiſchen Regel behandeln, die ich ſchon vor mehrern Jahren in unſern paͤdagogiſchen Unter⸗ 7 hand⸗ *) Das Wort mahl giebt hier hinlaͤngliche Ueberzeugung von der Richtigkeit dieſer Antwort, und man muß beym uͤberzeugenden Unterricht nie ein zweytes Wort gehrauchen, wenn es an dem erſten ſchon genug iſt. Vorrede handlungen vorlaͤufig bekannt gemacht habe*). Die zweyte Haͤlfte dieſes Buches wird alſo das Eigenthuͤmliche meiner Arbeit enthalten, was mich zu ihrer Unternehmung er⸗ muntern konnte; weil ich dort erſt hauptfſaͤchlich Gelegen⸗ heit haben werde, den angefuͤhrten Grundſatz zu benutzen. Doch muß ich ſchon ma nches in dieſer erſten Haͤlfte darnach zu beurtheilen bitten, z. B. die Erklaͤrnng der Multipli⸗ cation und die beyden neben einander gebrauchten Erklaͤ⸗ rungen der Diviſion. Jene liegt ohne Zweifel dem Ge⸗ brauche des gemeinen Lebens weit naͤher, wenn ich ſage, eine Zahl durch 7 multipliciren heißt eine Zahl 7 mahl nehmen, als wenn ich ſage, durch 7 multiplieiren heißt eine Zahl ſo oft ſetzen, als die? ſelbſt Einheiten enthaͤlt: dieſe iſt darum zwiefach, weil man ſich beym gemeinen Rechnen bald auf die eine, bald auf die andere zunaͤchſt zu gruͤnden pflegt. e) 3) Wenn * ) Wie ſchwierig und ſchaͤdlich es ſey, alles in eine einzige Rechnungsregel hineinzwingen zu wollen, kann nicht ge⸗ hoͤrig in die Augen fallen, wenn man etwa ein Rechenbuch durchſieht, worin dergleichen verſucht iſt: weil man darin die Aufgaben fuͤr die Regel — uͤbrigens alſo freylich nicht die Regel fuͤr die Aufgaben — gewaͤhlt hat. **) Sollte man etwa mich ſo verſtanden haben, als ob ich laugnen wolle, daß der Diviſor eine benannte Zahl ſeyn koͤnne; ſo waͤre das ein ſehr offenbarer Mißverſtand, den ich indeſſen nunmehr durch *s 158 ganz unmoͤglich gemacht habe. Ich hatte ja ſchon in der erſten Ausgabe derjenigen Erklaͤrung von Diviſion den Vorzug gegeben, nach welcher man ſucht, wie oft der Diviſor im Dividenden ſteckt! Nach dieſer Erklaͤ⸗ rung iſt aber der Diviſor nothwendig eine benannte Zahl, ſo oft es der Dividende iſt, und der Quotient allemahl eine unbenannte Zahl. Legt man dagegen die Erklarung zum Grunde: eine Zahl durch n dividiren heißt ihren nten Theil finden, fleirn Wen eung ſchte Ur hen zur erſten Ausgabe. XI Newte 3) Wenn uͤbrigens mehr Beſchreibungen als Er⸗ che meiner klaͤrungen vorkommen; ſo iſt das ebenfalls zweckmaͤßig. hnung er Wie viele Menſchen pflegen doch wohl die netteſten Er⸗ Ellgen klaͤrungen wirklich als ſolche zu behandeln und zu be⸗ übengen. trachten? fe Mnh 4) Erklaͤs⸗ Mllnzt finden; dann iſt der Diviſor offenbahr eine unbenannte Zahl, ten Gn und dagegen der Quotient benannt oder unbenannt, je nach⸗ U dem Ge⸗ dem es der Dividende iſt. lrich ſoge Ausreichend iſt jede von dieſen Erklarungen. Nimmt A me man die erſte an, ſo muß man zeigen, wie und warum der ſen f Quotient den nten Theil des Dividenden angiebt, wenn die Zahl des Diviſors niſt. Nimmt man die zweite an, ſo muß man Aehae Marſit darthun, wie und warum die Zahl m des Quotienten anzeigt, Eminn daß der Diviſor im Dividenden mmahl enthalten iſt. Bey⸗ Nr uricſe des beruhet darauf, daß n mahl m Stuͤck auch mmahl n Stuͤck ſind. (§ 153. 5 96 und 5§ *97). 3) Venn Soll ich nun zwiſchen beyder Erklaͤrungen waͤhlen, ſo r inge gebe ich der erſten den Vorzug, und zwar nicht etwa nicht ee⸗ deshalb weil 4 8: : 12 ρ = 1: 3 iſt, denn es iſt ja Nechentch eben ſo gut auch 4: 1 = 12 : 3 : won dorit ſondern außer den Gründen, die ich ſchon in der erſten lich nict Ausgabe angedeutet, und nunmehr in *s 157 durch ein Par Bepyſpiele belegt habe, hauptſaͤchlich deshalb, weil ,tt wie durch wiederholte Addition multiplieirt, eben ſo durch ſeuniune wiederholte Subtraction dinidirt wird. Auch wird man bey üdeſen dieſer Erklaͤrung vorzuͤglich gut fahren, wenn man dereinſt zwi⸗ te, N ſchen entgegen geſetzten, poſitiv und negativ geſetzten Groͤßen Erkttunn zu dividiren und zu proportioniren hat. nan ſich, Fuͤr die Abſicht dieſes Buches aber ſchien es mir dienlich, eir Eiſ⸗ indem ich das Verfahren der Diviſion lehrte, auf beyde obi⸗ tegfl 0 gen Erklaͤrungen Ruͤckſicht zu nehmen, weil man bald nach naohl eine der einen, bald nach der andern am leichteſten einſieht; hung un warum man jenes Verfahren anzuwenden habe. in Ml ſhen⸗ . D Vorrede / 4) Erklaͤrungen ſtehen daher an einem Orte, woe . ls nichts helfen; wenn i Anfaͤnger meiſtenthei D ſenahl d erklaͤrten Sache vorangehen. ah elſzer man auch in das entgegengeſetzte Extrem, wenn n hauptet, daß die Erklaͤrungen allemahl am n ge n Kapitels ſtehen muͤſſen. Die § phen 91 an cn e. d 5 ten Kapitel ſtehen hoffentlich an ihrem grſinder Biele Erklaͤrungen, die man ſonſt in Rechenbuͤcher iſchen worin man gewoͤhnlich ein Kapitel von der matbenu u Lehrart aus den Wolfiſchen Schriften entlehnt dal ne an von mir mit Vorbedacht gaͤnzlich deengeſnen ne ver⸗ keinem Orte etwas fruchten wuͤrden, un den wir hier mißt werden. Zahlreiche Eererniſ aine Wiſſenſchafft ſeyn . untniß eine W WD gegerl, beihre Re bey der gegewittigen Een richnn gder mathematiſchen Lehrbuͤcher, ineng ener MB Schwierigkeiten einiger hoͤchſt wenigen l irgend je⸗ teten, wirklich demonſtrativen Rechenbuͤcher, ben ſollte mand, der die Arithmetik wiſſenſchaftlich inne harer in det ohne zugleich auch ſo viel Kenntniß und eyſi noͤthig Buchſtabenrechnung zu beſitzen, als zum D . eſtehen. iſt um das Rechenbuch eines Kaͤſtners zu verſteh „ uaͤ⸗ Dieſes Rechenbuch *) duͤrfte man alſo wohl aig den Pes⸗ feſtein vorlegen, wenn die Frage entſtehen ſo iit wiſſen⸗ wahrſcheinlich ſey, daß jemand die Arithmet ſchaftlich ſtudirt habe. 5) Meines Wiſſens iſt noch kein ite heet halten h . druckt, worin man es faͤr noͤthig gehe ſeiß der Rechenkunſt in An⸗ *) Unter dem Titel: Fortſetzung Ra 1endangen auf mancherley Geſchaͤfte, von 4. G. Ké aſt⸗ ner. Göttingen, 1786. reim Preche ausͤſet Sdi ſnber ſheidet Mfers ſer nie ob Ece Nec ur le N en geh Kertn ſeitt ſoch i Induer fan vie huen vortra hesnaf Birnen in tede lungen wieder ehe ſie habe hondtn Orte, w venn ſte ſe ch berfält n won be⸗ iues ſeden 3 in kten echten t. ſchernfide, themetſen nn he welſen irgends den nr ſ ſnſtekfe urti ge jgen En Pon grofen einerich tgend ie ben ſolt, htit in Nr ſiel nithi herſthen⸗ den M Ulte, 46 er viſen erbuch 9 ine, ſin veiß unſ in 16, 16 zur erſten Ausgabe. XIII weiß und roth jedesmahl ſchneefarbig und roſenfarbig zu ſagen, ob gleich weiß und roth allgemeine Begriffe ſind. Man trant den Kindern auch die mit den Worten Menſch, Thier, Ofen u. dergl. verknuͤpften Notionen zu; und un⸗ gereimt waͤr es freylich, irgend jemand, mit dem man ſprechen will, und bey dem man alſo Sprachgebrauch vor⸗ ausſetzt, kaum ſo viel allgemeine Begriffe zuzuſchreiben, als die Glucke zeigt, welche nicht nur gewiſſe Individua, ſondern das ganze Geſchlecht der Habichte kennt und unter⸗ ſcheidet. Nicht gar weit aber ſcheint man von der Vorſchrift entfernt zu ſeyn, daß man dem angehenden Rechenſchuͤ⸗ ler nicht vorſagen duͤrfte, 4 und 3 ſind 7; das waͤre gar zu abſtract: es muß heiſſen, 4 Schafe und 3 Schafe ſind 7 Schafe, 4 Aepfel und ² Aepfel ſind 7 Aepfel, 4 Bir⸗ nen und 3 Birnen ſind 7 Birnen. Wenn es irgendwo eine Art von Geſchoͤpfen gaͤbe, die zu den vernuͤnfti⸗ gen gehoͤrten, und dennoch in dem Alter, wo ſie die Re⸗ chenkunſt erlernen ſollten und muͤßten, noch ſo wenig re⸗ flectirt haͤtten, daß ſie den Satz, 4 und 3 ſind uͤberhaupt 7, noch nicht abgeſondert verſtehen, ſondern nur durch jene Inductionen begreifen und faſſen koͤnnten — dann wuͤrde man vielleicht die Methode eines Lehrers verehren, der ihnen dieſes Erkenntniß eroͤfnete, damit er ſeinem Lehr⸗ vortrage einige Nettigkeit geben koͤnnte, und nicht je⸗ desmahl die Nebenvorſtellung der Schafe, Aepfel und Birnen hinein zu miſchen brauchte, ſo oft er von Zahlen zu reden hat. Und wir halten es fuͤr methodiſch, unſere jungen Menſchen von der erſten Stufe der Vernunft wieder hinunter zu ſtoßen, die ſie ſchon erſtiegen hatten, ehe ſie methodiſch behandelt wurden? — — Irgendwo habe ich freylich, in einer uͤbrigens recht guten Ab⸗ handlung geleſen „daß es gar keine unbenannten Zahlen gebe. Vorrede gebe. Wenn das iſt, ſo muß man allerdings nicht damit rechnen lehren; ſo bedarfs aber auch dieſer Warnung nicht. Geſetzt dann, ich laſſe den Schuͤler lernen, 2 mahl 3 Aepfel ſind 6 Aepfel, 2 mahl 4 Fuͤße ſind 8 Fuͤße, 2 mahl 5 Bir⸗ nen ſind 10 Birnen — das verſteht doch der Schuͤler, iſt richtig, wahr und anſchaulich geſprochen — Denkt man ſich aber bey dieſen Saͤtzen die Zahl 2 als eine benannte, oder vielmehr als eine unbenannte Zahl? Man frage das Kind, ſo viel man will; es wird keinen Nahmen fuͤr die Einheit der Zahl 2 zu beſtimmen wiſſen. Sich dieſe Zahl 2 etwa als eine benannte Zahl vorzuſtellen, deren Einheit aus 3 Aepfeln, 4 Fuͤßen oder 5 Birnen beſtaͤnde, wuͤrde ihm wahrlich weit ſchwerer fallen, als wenn es ſich, wie er hier von ſelbſt thut, die Zahl 2 als eine unbenannte Zahl vorſtellt, bey der man auf den Nahmen der Einheit gar keine Ruͤckſicht nimmt, ſondern nur auf die Art ſieht, wie ſie ſelbſt durch Wiederholung ihrer Einheit entſteht. Dieſer Begriff von der Wiederholung eines ſchon einmahl gedach⸗ ten macht den Begriff der Zahl aus. Will man unter⸗ ſuchen, ob ein Kind ſich dieſen Begriff von der Wiederho⸗ lung, der ihm taͤglich ſo oft wiederkehrt, ſchon hinlaͤnglich abgeſondert habe, um mit unbenannten Zahlen rechnen zu koͤnnen; ſo laſſe man es etwa Birnen zaͤhlen, nachdem es ſchon Aepfel gezaͤhlt hat. Zaͤhlt es die Birnen ohne Anſtoß eben ſo, wie es vorher die Aepfel gezaͤhlt hatte: ſo hat es ſeine Feuerprobe uͤberſtanden, ſo kann man verſichert ſeyn, daß es nicht bloß wiſſe, was 4 Aepfel und 4 Birnen ſind, ſondern daß es mich auch verſtehe, wenn ich ihm geradezu von der Zahl 4 ſpreche, der unbenannten Zahl . Sehr angenehm war es mir zu erfahren, daß meine Melnung in Abſicht des erſten Rechnens durch benannte oder unbe⸗ unbene Haſe einerte ſfe il ant ſſogder Auſcheu fhune, d min bey eit es Un deſt e elliem s, wel terricht belſennde ichern, gen in b cher Zil den; t, die ſts ue thung. Loren liht ſog Leneſmne Uting urtd ſönft icht dant hnuug nicht, ; Neypfel ahl Bin⸗ Schäler iſ Nntt man e benaunte, n frage dir men ſire deſeg: eren Elt inde, phte ſc, i nunttegrde Elheit ſiht, n 1. Deſer ludih⸗ n unte Viederho⸗ nlamtch tichneni gademn 8 hne uſ⸗ Phtt ⸗ ſcert ſeyn, eren ind, geradein 14 haß nein gunteoder Uuben 2 zur erſten Ausgabe. xv unbenannte Zahlen, mit dem Urtheile des Hrn. Prof. Baſedomw uͤbereinſtimmt, der ſich wohl mehr als irgend einer von den Vaͤtern der Paͤdagogik mit pſychologiſch⸗arith⸗ metiſchen Betrachtungen beſchaͤftigt hat. Vielleicht findet man auch bey eigener Durchſicht dieſes Rechenbuches, daß beſonders durch den haͤufigen Gebrauch der Punete fuͤr die Anſchaulichkeit der Zahlbegriffe hinlaͤnglich geſorgt werden koͤnne, ohne daß man jeder primitiven Einheit einen Nah⸗ men beyzulegen ſucht. Wer dies indeſſen fernerhin — ſo weit es moͤglich iſt — fuͤr nothwendig haͤlt, der kann es anm beſten den Schuͤlern ſelbſt uͤberlaſſen, z. B. die Zahlen in §. 66 und 84, die Multiplisanden in §. 9 8 u. dergl. mit einem beliebigen Nahmen zu belegen. Etwas auffallend iſt es, wenn man betrachtet, wie der Rath, den Rechenun⸗ terricht mit benannten Zaͤhlen zu eroͤfnen, gemeiniglich verſtanden wird. So wie man naͤhmlich in den Rechen⸗ buͤchern, unter dem viel zu unbeſtimmten Titel der 4 Spe⸗ cien in benannten Zahlen, bloß die Behandlung ſol⸗ cher Zahlen zu beachten pflegt, welche ſortirt wer⸗ den; ſo glaubte man nun auch, daß jener Rath es erfor⸗ dere, dieſe Rechnung mit den ſortirten Zahlen gleich an⸗ fangs vorzunehmen. Dergleichen Anordnung oder Un⸗ ordnung — ſollte ſie auch ihr Daſeyn bloß dieſem ſonder⸗ baren Mißverſtaͤndniſſe zu verdanken haben — iſt vielleicht nicht ſo geradezu zu verwerfen, wenn 1) die moͤglichſt an⸗ genehmſte Unterhaltung des Schuͤlers, 2) Verſtandes⸗ uͤbung und nicht Kunſtfertigkeit und Gedaͤchtnißuͤbung die Hauptabſicht bey dem erſten Rechenunterrichte ſind, und wenn 3) der Lehrer entweder nur ſehr wenige Schuͤler vor ſich hat, oder doch eine ſo auſſerordentliche Aufgelegt⸗ heit beſitzt, daß er auch bey der ordnungsloſeſten und ſchwierigſten Methode einen großen Haufen in Ordnung 2 K und Vorede und Thaͤtigkeit zu erhalten weiß. Werden aber dieſe Bedingun⸗ gen verworfen, wie es im Allgemeinen geſchehen muß; ſo faͤllt es uͤbrigens wohl in die Augen, daß man eine Rechnungs⸗ art B nicht vor einer Rechnungsart A vortragen müſſe: wenn bey A etwa nur 3 Regeln, bey B aber auſſer dieſen 3 Regeln etwa noch doppelt ſo viel andere zu beobachten ſind, und uͤberdies das Verfahren A fuͤr ſich genommen, ſchon eine ganze und ſehr oft gebrauchte Rechnungsart ausgemacht; ob ſie gleich bey der B nur als ein Theil der B und als eine Huͤlfsrechnung vorkommt. A und B ſind erlautert, wenn man ſich unter A das ſo genannte Dividiren unbenannter Zahlen — eigentlich ſolcher Zahlen, die ſich nur auf einerley primitive Einheit deziehen — und unter B das Addiren ſortirter Zahlen denkt. 6) Zu den bloß mechaniſchen Rechenbuͤchern wird man das gegenwaͤrtige hoffentlich nicht zaͤhlen; aber auf mehr Gedaͤchtniß⸗ uͤbung und Kunſtfertigkeit dringt es, als einige fuͤr noͤthig zu halten ſcheinen. Haͤtte ich etwa vor 6 oder 8§ Jahren ein Re⸗ chenbuch geſchrieben; ſo wuͤrde es freylich auch nur auf Verſtan⸗ desuͤbung abgezweckt haben. Jetzt bin ich uͤberzeugt, daß der Schade unerſetzlich iſt, wenn man das mechaniſche Gedaͤchtniß bey dem erſten Rechenuntertichte verabſaumt, und daß man da⸗ gegen einen Juͤngling, der auch nur ganz mechaniſche Kunſt⸗ fertigkeit erworben haͤtte, nicht nur bey den Rechengeſchaͤften des gemeinen Lebens, ſondern auch als einen Schuͤler der Mathe⸗ matik ungleich anſtelliger finden wird, als einen andern, der Jahre lang an arithmetiſchen Fragen, Betrachtungen und Erzaͤhlun⸗ gen hautſaͤchlich nur ſeinen Verſtand geuͤbt hat. Ob es nun gleich bey dieſem Buche meine Hauptabſicht geweſen iſt, alle darin vorkommenden Gruͤnde aufs moͤglichſte in den Unterricht des mechaniſchen Rechnens ſelbſt dergeſtalt zu verweben, oder doch ſo vorzutragen, daß ihre weitere Fortpflanzung weder auſſeror⸗ dentliche Lehrer noch Schuͤler voraueſetzt; ſo verdient dennoch kein Schullehrer daruͤber Vorwuͤrfe von ſeinen Obern, wenn er etwa auch die hier vorgetragenen Gruͤnde nicht ſogleich vollſtaͤn⸗ ditg beyzubringen weiß. Wer 20, 30 oder noch mehr perpetus mobilia vor ſich hat, mag freylich manchen Schriftſteller benei⸗ den, der ſich ſeine Schuͤler auf der einen Seite ſo aufmerk⸗ ſam und geduldig, und auf der andern wiederum ſo lebhaft und ſcharf⸗ rfſt derth ten, N lenxteu ſigker ſn on Verdet d Cerkind Dn urd ſchnnoc iu Ree Veron ſebrauchte Geohoch geyen G 91 Pur hon Schern UINen, htie uunteS ſt ſch jeite Ve ilr Verme tipliekren gen heymn ſo ſern mn hruck iſ ihn ſeme lel, wo ſeblieben ! len Reche Ulf den br Unn bielen *) üe ſeſed rer die ten T. mente ſchne e Beirgun⸗ n mos; . Rechnungt⸗ müſe: wenn en 5 Negenn n ſod, knd eine ganze 1 ſe gleich ülisrechnure NunterAdas nulch ſeher heſſchen — id en he Gehigni fie ticht in Ghren in Ne vol, Weinn lut, u, ne Gehictni Uas wan du⸗ niſhe unt⸗ geſciften de der Nethe n, der Ihe mnbufin „D u i A Mrin bnit de lder i Cher ouſert⸗ Hent umg m, w 4 bit ulin ih hehen ſſeler be hele⸗ ſ auſenet ſnet lefet U ſhß zur erſten Ausgabe. XVII ſcharfſinnig ſchofft, als er ſie jedesmahl zu wünſchen hat. Beſon⸗ ders koͤnnte der Fall gleich anfangs bey der Numerotion eintre⸗ ten, daß das fluͤchtige Kind nicht alles von der Theorie der Zah⸗ lenordnungen u. dergl. hoͤren wollte, und eben deshalb auch nachher bey der Addition, Subtraction, Multiplication und Di⸗ viſion anfangs lieber mechaniſch als nach Gruͤnden verfuͤhre *). Werdet daruͤber nicht mismuͤthig, meine Freunde! Fuͤr das Re⸗ chenkind iſt es Hauptſache, mechaniſche Fertigkeit zu erwerben. Nach und nach wird es von ſelbſt immer mehr Sinn und Ge⸗ ſchmack fuͤr die Gruͤnde des Rechnens bekommen; beſonders wenn die Veranlaſſung dazu ſchon in die beym mechaniſchen Rechnen gebrauchten Redensarten ſelbſt hinein gelegt iſt, und es ein Re⸗ chenbuch in der Hand hat, was in dieſer vinſicht zu ſeinem ei⸗ genen Gebrauche geſchrieben iſt. 7) Aller Vorſchlaͤge, Kunſtgriffe und Methoden, welche nur von vorzuͤglich aufgelegten Lehrern, oder nur mit wenigen Schuͤlern gluͤcklich ausgeuͤbt werden koͤnnen, und aller Neue⸗ rungen, die auffallend und vermeidlich waren, habe ich mich ſorgfaͤltig enthalten. Der Ausdruck, multipliciren, hat ſeine be⸗ kannte Schwierigkeit, ſobald man auf die Bruͤche kooͤnmmt. Sie laßt ſich aber durch die Seite 53. §, 102. ſchon vorldufig ange⸗ zeigte Weiſe ziemlich unvermerkt heben; wenn man nur nicht, zur Vermehrung der Schwierigkeit, das lateiniſche Wort mul⸗ tipliciren in das deutſche vermehren uͤberſetzt hat. Das Bor⸗ gen beym Subtrahiren iſt allerdings ein haͤßliches Borgen, in ſo fern man nie ans Wiedergeben denkt: aber auch dieſer Aus⸗ druck iſt ſchon ſo allgemein eingeführt, daß es am beſten war, ihn fernerhin beyzubehalten. Ich wuͤrde wichtigere Faͤlle anfuͤh⸗ ren, wo ich mancher Bedenklichkeiten ungeachtet beym Alten geblieben bin; wenn ich nicht hoffen duͤrfte, man werde es die⸗ ſem Rechenbuche uͤberhaupt gar bald anſehen, daß es moͤglichſt auf den breiteſten und gebahnteſten Wegen fort zu fuͤhren ſucht, um vielen nuͤtzlich zu werden. 8) So *) Als ein vortruffliches Huͤlfsmittel, Achtſamkeit auf die Ge⸗ ſetze der Zifferſtellnng zu erregen, muß ich noch jedem Leh⸗ rer die Erfindungsgeſchichte empfehlen, welche in dem vier⸗ ten Theile des Semmleriſchen und Schuͤtziſchen Ele⸗ mentarwerks — nicht laͤppiſch taͤndelnd, ſondern mit Ge⸗ ſchmack und zweckmaͤßiger Laune erzaͤhlt iſ. XVIII Vorrede zur erſten Ausgabe. 9) So deutlich als ich es nur wuͤnſchen duͤrfte, haͤtte ich ſi einen jeden geſchrieben, dem es ſcheinen ſollte, als ob es hm gerade eben ſo aus der Feder flieſſen wuͤrde, wenn er ohne alle Anſtrengung ein aͤhnliches Rechenbuch geradezu hinſchreiben wollte. — Wahrhaftig launige Schriftſteller, die das komiſche in die Sache ſelbſt zu legen wiſſen, machen uns ſo ganz natuͤr⸗ lich zu lachen, daß wir glauben, es muͤſſe uns eben ſo gelingen — bis wir einige vergebliche Verſuche angeſtellt haben. Doch bin ich weit davon entfernt, meine gegenwaͤrtige Arbeit mit irgend einem Genieproducte qua tali vergleichen zu wollen — Ueberhaupt muß ich jeden Beurtheiler, dem es waͤhrend dieſer Vorrede ſcheinen ſollte, als ob ich einen vorzuͤglichen Werth auf dieſe meine ſchriftſtellerliche Arbeit legte, angelegentlich bitten, mehrere andere Vorreden vor den gewoͤhnlichen Rechen⸗ buͤchern ebenfalls durchzuleſen. Dann wird es hoffentlich ein⸗ leuchten, daß ich meine Farben etwas ſtark auftragen mußte, um einigen Eindruck auf verwoͤhnte Leſer zu machen — und daß ich auch keinesweges zu vieles Latein hineingebracht habe. Daß die in dieſem Buche fehlenden phen gerade diejenigen ſind, welche die fuͤr den Schuͤler beſtimmte erſte Zaͤlfte eines gemeinfaßlichen Rechenbuches ausmachen, findet man ſchon in der Vorerinnerung jenes Buches angezeigt. Sowohl die gegenwaͤrtigen, hauptſaͤchlich fuͤr den Lehrer beſtimmten 7 Bo⸗ gen, als vorzuͤglich jene haupt ſaͤchlich fuͤr den Schuͤler gehoͤrigen 12 ¼ Bogen, koͤnnen allenfalls fuͤr ſich genommen als ein ge⸗ wiſſes Ganzes, wenigſtens in den meiſten Kapiteln, betrachtet und als ein ſolches durchleſen werden. Eigentlich aber machen dieſe beyden Buͤcher nur eins aus, ſind zu einem neben einan⸗ der fortgehenden Gebrauche eingerichtet. Die gegenſeitigen Cita⸗ tionen werden um ſo weniger Schwierigkeit machen, je leich⸗ ter man es an den beſtirnten oder nicht beſtirnten Zeichen *s. oder g§. bemerken kann, ob die eitirte Stelle, wie jeder nicht be⸗ ſtirnte §. in dem Handbuche des Schuͤlers, oder wie jeder be⸗ Kirnte (*s.) in dieſem Handbuche des Lehrers anzutreffen ſey. Deſſan, im October 1786. Zur De Dele u Uls denn Lihrers Puuden ſchwiern 2 ſointnen gerner Da ve lach der dieſen er ſchon in Nbe an E nicht ele eſes G Geniſen nahligen 1s kamn 1 laß ic deſtn der, wa fihrenf c daren ſte, gateis le, als in i denn er ohne hloſchreiken le W kiniche a ganz natir⸗ 1ſo gelgen- haben. Doch tige Niet qoe. en o e- 3 Mendbee zügiten Ven , inſeeurtic hnliben Rehen 8 iniga, Bfrue auſe⸗ nthen-N Arugt hate ade denion Halſe eine⸗ er non ſhen GSoneßl Ne nnten/ hler gekieten en als ein n, deunch ic dber Chen n ſehin enn cneliten Clal hen, liß r litrh⸗ bie ed ider utnfen nſe en gechen / Vorrede zur zweyten Ausgabe. Die Paragraphen ſind nun auch ſchon in dem erſten Theile ununterbrochen fort gezaͤhlt, um den Uebergang aus dem Handbuche des Schuͤlers in dieſes Handbuch des Lehrers bequemer zu machen. Wenn nur jedes allein ge⸗ bunden wird, ſo wird man dieſe Uebergaͤnge gar nicht ſchwierig finden. Bey der erſten Ausgabe war einiges in jenes ge⸗ kommen, was nun ſchicklicher in dieſem abgedruckt iſt. Ferner ſind einige Rechnungsvortheile fuͤr den zweyten Theil verſpart, und dagegen einige leichte Rechnungen nach der Regel de Tri und der waͤlſchen Prartik ſchon in dieſen erſten Theil gebracht; aus den Gruͤnden, die ich ſchon in der Vorrede zur zweyten Haͤlfte der erſten Aus⸗ . gabe angefuͤhrt habe. Etwas habe ich auch hie und da abgekuͤrzt; doch nicht allzu viel. Freylich wurde beſonders der erſte Theil dieſes Buches mit einer etwas aͤngſtlichen Sorgfalt und Gewiſſenhaftigkeit ausgearbeitet, die mit meinen da⸗ mahligen Geſundheitsumſtaͤnden zuſammenhieng; und es kam mir gegenwaͤrtig ſelbſt an mehrern Orten vor, daß ich allzu deutlich oder umſtaͤndlich geworden waͤre: indeſſen fand ich dennoch meiſtentheils die Urſache wie⸗ der, warum ich ein zweytes oder drittes Beyſpiel auszu⸗ fuͤhren fuͤr noͤthig gehalten hatte. Insbeſondere bitte ich darauf zu achten, daß die umſtaͤndlichen Erlaͤuterun⸗ „* ½ . * 3 gen Vorrede gen nicht ſo bloß hiſtoriſch ſind, und nicht ſo den n mechaniſche Form beabſichtigen, als es auf den e en Aublick ſcheinen moͤchte; ſondern daß ſie ubleieh a 6 wirklich erklaͤrende Eroͤrterungen des Weſentlichen aus machen. . Ein betraͤchtlicher Schein der Weitlaͤuftigkeit dadurch weggefallen, daß die Uebung aufeben ſor hang ind. Sie werden den Anhang aufgeſpart ſin mehr . * wenigſtens dieſe — z uch allein verkauft *), damit we aſten⸗ . großen Erleichterung des Unterrichtes — in den Haͤnden ſolcher Schuͤler ſeyn koͤnnen, denen das Rechenbuch im⸗ mer noch zu theuer iſt. Aus dieſem allen erhellet, daß ich neuen Fleiß a die gegenwaͤrtige Ausgabe verwandt habe, und nae wul ich denen ſchuldig, die mich fuͤr dieſe i veloons haben, hr Zutrauen B reichlich belohnt haben. ihr Zutrauen und Wohlwollen re hlich L Vor eines baldigen abermahligen Abaͤnderung dieſes Lehr buches wuͤrde man ſchon durch die Staͤrke der Auflage geſichert ſeyn; auch werden mir die Befhiſtig den n nes kuͤnftigen Amtes keine Zeit dazu laſſen, Sen vhe indeſſen eine wichtige Verbeſſerung dinde ich daftt ſpt⸗ Zeitaufwand auszufuͤhren waͤre, ſo! gen, *) Dieſes zu thun, hatte ich dem Hrn. vereger ſee groze einigen Jahren vorgeſchlagen. n m dirtefeht iñ Nu ben ſehr 4 Nutzen ſolcher Uebungsaufga 1 . Znteligend Blatte der Jenaiſchen en die⸗ eirg nder No. 69, wo die Exempeltafeln des rn. 1 angekündigt werden. Ich fuͤhre dieſes an, um glnckliche dem Verdachte zu ſichern, als ob ich nur das g Nachdenken eines andern verfolgt habe. ſen, den dadurch De l hielen ſeren ſ herſelbenea utung n Wann wie ſentichen uuoct hed Geberdſſ⸗ Reſchehet Uiſebe zu Uin etwas n heie e Auſeg⸗ und da Be Alucken, uwhten T 2 Etler i Minzſunen Uerdenerfor ie es ſ, ls des s S verden ken ere ſen L hoſt, ht ſo dls i uf den etſn ugleich auh ſentlichen ans tläuftigkelt . ufgabent den mupmi 6 dieſe in den Hiun Rechenbuc /⸗ neuen Nü⸗ „ und dha e Nbeit dun Athns haben ng dieſe c fe er Mle ftyungenm, Sulte nie 1n, de R ſc dfir n Uel lur ſtor ni der n Uurgetelt Zettund p⸗ dibers ute ,un ſich dos Aici zur zweyten Ausgabe. 21 gen, daß niemanden eine neue unangenehme Ausgabe dadurch entſtehe. Daß mein Buch nuͤtzlich geweſen ſey, iſt mir auch aus vielen von den Rechenbuͤchern, welche nachher er⸗ ſchienen ſind, ſehr einleuchtend geweſen, und in einigen derſelben ausdruͤcklich verſichert worden. Auch dieſe Be⸗ nutzung muß mir uͤberhaupt genommen ſehr lieb ſeyn. Wenn wir indeſſen auf unſere eigene Darſtellung einen ziemlichen Grad von Sorgfalt und Uebe legung ver⸗ wandt haben; ſo hat es etwas Unangenehmes, dieſes Gewand ſogleich wieder etwas umgeaͤndert zu ſehen. Es geſchiehet auch nur gar zu leicht, daß ein auderer eben daſſelbe zu ſagen ſucht und glaubt, und genau betrachtet um etwas hauptſaͤchliches davon abweichet. tein Buch iſt wirklich ſchon auf ſolche Weiſe benutzt, daß es mir erlaubt iſt, folgenden Vorſchlag zu thun, und davon zu erwarten, daß er hie und da Beyfall finden werde. Man laſſe 1) andre Uebungsaufgaben ſtatt der meinigen drucken, (verglichen mit Seite 1V der Vorrede vor dem zweyten Theile,) und laſſe allenfalls 2) auch den erſten Theil des Handbuches fuͤr den Schuͤler ſo veraͤndert abdrucken, wie es die beſondern Muͤnzſorten, Gewichte und andere Maße mancher Ge⸗ genden erfordern: gebrauche aber uͤbrigens das meinige, wie es iſt, da ſo wohl von dem Handbuche des Lehrers, als des Schuͤlers, jeder Theil auch einzeln gekauft werden kann. Jene Aenderungen werden uͤberhaupt nur den er⸗ ſten Theil, und insbeſondere das 6% — rote Kapitel be⸗ treffen, 22 Vorrede zur zweyten Ausgabe. treffen, und dieſe koͤnnen ohne Einfluß auf die uͤbrigen voͤllig abgeaͤndert werden. . 7 iſt von dem verehrungswuͤrdigen Hrn. Hofr. Kaͤſtner eine Stelle, Seite 187 der erſten Ausgabe, be⸗ ruͤhrt, die ich bloß darum nicht berichtiget habe, weil ſie ſchicklicher gaͤnzlich weg blieb. Ein anderer, mir unbe⸗ kannter, aber ſicherlich auch ſehr gelehrter und einſichts⸗ voller Recenſent, hat in der Allgem. Deutſch. Biblio⸗ thek*) verſchiedene Bemerkungen gemacht, deren ich vor dem zweyten Theile erwaͤhnen werde. Nur muß ich davon hier ſchon 1) mittheilen, daß die § 186 beygebrachte Form zu Dividiren ſchon laͤngſt in Deutſchland unter dem Nahmen à la Portugaiſe bekannt,*) auch von dem Con⸗ ſiſtorium zu Halberſtadt vor mehrern Jahren den Land⸗ ſchulmeiſtern vorgeſchrieben ſey. (Das letztere duͤrfte wohl gerade durch Baſedow veranlaßt ſeyn. Ich habe einige Gruͤnde dieſes zu vermuthen, ob ich gleich durch meine dortige Anfrage nicht gewiß daruͤber geworden bin.) . 2) Bey den Neperſchen Rechenſtaͤben habe lich wirklich ſchon in der erſten Ausgabe ausdruͤcklich verlangt, daß man ſie aus duͤnnen Scheiben machen ſolle. Dennoch wird durch meine damit zuſammenhaͤngende Veraͤnderung zum bequemern Gebrauche, ihre Verfertigung allerdings etwas erſchwert: aber die einmahl verfertigten werden vielmahl gebraucht. Deſſau, im Julius 1794. H) im s2ſten Bande Seite 152 ꝛe. und im Anhange zu 53 bis 86. 1te Abtheil. S. 594 ꝛc. . **) Die erſten Zeilen in *§ 186 ſind aus Verſehen unver⸗ andert abgedruckt. In den Goͤttingiſchen gelehrten Anzeigen, 1787, r ſoul Nr infich e emenſ Ae e der ponchen e nte de⸗ den Cehn r dl llen Dht gſtc , zih A R let ſhnd, n roß denn ſch olt 100 ſeaneh ibbertſ⸗ ſehen len lißt be. f die ibign igen, I1 Hoft. Kiſem luegie, 1 habe, wel ſ Ner, nit Ilen t und arſchn deutſt di dt, Mi r miih un 36 Mtse⸗ Sland unrkn c merlen hren e din lektere diit . Ic hen g geich du gewetden 0 delic witkie erlangt, de⸗ le Deuuß rindun tigung lrknn telſeugen Duen uN — * C Erſtes Kapitel. Vom Numeriren. 9. 1. *6. 2. uncte ſind unter allen Bildern, wodurch man an⸗ ſchauliche Begriffe von Zahlen erwecken kann, die einfachſten und eben deshalb auch die rathſam⸗ ſten. Ihre Stellung fuͤr die Zahlen von 1 bis 10, wie man ſie in §. 1 findet, iſt nicht bloß in Hinſicht auf die dort angefuͤhrten Saͤtze, ſondern auch fuͤr manchen anderweitigen Gebrauch gewaͤhlt; und ich rathe, die Einbildungskraft der Schuͤler, waͤhrend dem Gebrauche dieſes Rechenbuches, an jene ein fuͤr allemahl gewaͤhlte Stellungen zu gewoͤhnen. Deshalb koͤnnte man dieſe Bilder, etwas groͤßer gezeichnet, an die Wand des Lehrzimmers auf⸗ haͤngen. . *H. H.. Auch die 100 Puncte, wie ſie in §. 4. geord⸗ net ſind, koͤnnen zum gemeinſchaftlichen Gebrauche im Großen abgezeichnet und aufgeſtellt werden. Denn ſehr rathſam iſt es ohne Zweifel eine Menge von 100 Sruͤck (ſo ſagt man mit Fleiß, und nicht jedesmahl 100 Duncte) recht oft von den Kindern uͤberſehen zu laſſen, ehe man ſie von vielen Hunder⸗ ten, oder gar von Tauſenden und Millionen ſchwat⸗ Erſtes Kapitel. Man laſſe die 100 Puncte in §. 4. ſorgfaͤltig uͤberzaͤhlen. In der erſten Saͤule (von der rech⸗ ten Seite angefangen) ſeht ihr zehn Stuͤck; in der zweyten Saͤule ebenfalls zehn Stuͤck: in beyden Saͤulen zuſammen genommen alſo zweymahl zehn oder zwanzig Stuͤck. Noch die dritte Saͤule dazu genommen, haben wir 3 mahl zehn oder dreyßig Stuͤck vor Augen; und ſo uͤberſehen wir nach und nach auch vierzig, funfzig, ſechzig, ſiebzig, achtzig, neunzig, und endlich, wenn wir auch die letzte Saͤule dazu nehmen, zehnzig, oder wie man lieber ſagt, hundert Stuͤck. Einhundert beſteht ferner, wie ihr ebenfalls an jenen Puncten vor Augen ſeht, z. B. aus 5 mahl 10 Stuͤck und noch 5 mahl 10 Stuͤck; oder aus 6 mahl 10 Stuͤck und noch 4 mahl 10 Stuͤck u. dergl. Hiebey benutze man auch die Zeichnungen in §. 8. §. 6 — §. 8. *§. 9. Gern wuͤrde ich auch in §. 7. dem Gewoͤhnli⸗ chen treu geblieben ſeyn, und eine Menge von zehn Stuͤck ein Zehen genannt haben, wenn nur nicht dieſes Wort beym muͤndlichen Unterrichte ſo man⸗ cherley Unbequemlichkeiten veranlaßte, z. B. die Verwechſelung zwiſchen dreyzehn und drey Zehen, vierzehn und vier Zehen, oder die Nebenvorſtel⸗ lung der Zaͤhne, wenn man von Zehnen ſprechen will. Da das Wort Dutzend und ſein Begriff im gemeinen Leben ſehr gewoͤhnlich ſind: ſo wird es den Anfaͤngern leicht fallen, den aͤhnlichen Ausdruck Zeheno zu faſſen, und ſich darunter eine Menge von on 1 man! Zetre nen unrbed ndeſe ſtde⸗ ndeute deso ſen Le⸗ ſichen fannte ſelchnen een An de 4 ſogfitig der tech⸗ E in de in beyden nahl zehn le doann r drepßig rnach und n wi anch de we chenſchn 1s Ni Oder alt 4 1. dery. in 8 Gerini⸗ m in nur nict h ſnn Ne , ehe; envorſte⸗ ſrohe Gegtif in ird es den Asdn e Mege Vom Numeriren. 3 von 10 Stuͤck zu denken. Von Zehenden muß man uͤbrigens Zehner zu unterſcheiden wiſſen. Ein Zehner heißt und iſt jede Ziffer, die ihrer Stelle wegen ſo viel Zehende, als ihr Nahme angiebt, nur bedeuter und anzeigt, ohne deshalb dieſe Ze⸗ hende ſelbſt zu ſeyn. Wenn ich 34 . ſchreibe; ſo iſt die Ziffer 3 ein Zehner, welcher 3 Zehend Thaler andeutet, aber nicht ſelbſt 3 Zehend Thaler iſt. — — Die Schreib⸗ und Rechenmeiſter koͤnnten die reich⸗ ſten Leute von der Welt ſeyn; wenn die ſchrift⸗ lichen Zeichen, die Federzuͤge, wodurch man be⸗ nannte Zahlen andeutet, nichts anders als die be⸗ zeichneten Mengen ſelbſt waͤren. Von den aͤhnli⸗ chen Ausdruͤcken, Einer, Hunderter, Tauſender u. ſ. w. ſehe man H. 47. und *§. 20. 5. 10. An den 1000 Puncten in §. 10. wird man ſehr gut uͤberſehen, daß ein Tauſend aus zehn Hun⸗ derten, auch aus hundert Zehenden beſteht. Der Lehrer wird ſich die Muͤhe nicht verdrieſ⸗ ſen laſſen, auch dieſe 1000 Puncte im Großen zu zeichnen, damit er auch eine zahlreiche Klaſſe aus der Ferne darauf hinweiſen koͤnne. Noch beſſer waͤre es, die dortigen zehn Saͤulen auf eben ſo viel einzelnen Breterchen zu haben. Vor der untern Querleiſte der gewoͤhnlichen Lehrtafel ließe ſich leicht eine Rinne anbringen, in welche dieſe Breterchen nach und nach eingeſchoben, und uͤbri⸗ gens an die Tafel ſelbſt angelehnt wuͤrden. Dann 2 foͤnnte Erſtes Kapitel. koͤnnte man dieſe Saͤulen erſt nach und nach vors Auge bringen, oder auch anfangs etwas weit aus einander ſtellen, und erſt bey dem Zaͤhlen in §. 12. die ſchon uͤberzaͤhlten naͤher zuſammen ruͤcken, als die uͤbrigen ſtehen. Den Kindern ſind nun einmahl ſolche beweg⸗ liche Bilder weit lieber als die feſtſtehenden, wovon ſie weniger Veraͤnderung hoffen. Deshalb und aus noch andern Gruͤnden halte ich es auch fuͤr dienlich, dergleichen einzelne Ziffern auf ſolchen viereckigen Breterchen bey der Hand zu haben, als man in manchen Kirchen gebraucht, um die Nummern der Geſaͤnge anzuſetzen. Jeder Lehrer wird dieſe Ziffer⸗ breter von ſelbſt ſchon gehoͤrig zu benutzen wiſſen, und bisweilen Zahlen zuſammen legen, die er ſonſt nur ſchreiben wuͤrde. Indeſſen werden wir die Faͤlle, wo ſie beſonders gute Dienſte leiſten, an ih⸗ ren Orten anfuͤhren. 8. 12. §. 1 3. *§. 14. Die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lernen die Kinder ſogleich bey den Puncten in §. 1. als ſo viel verſchiedene Zahlzeichen kennen, und haben ſie nebſt der o auch ſchon zur Schreibung hoͤherer Zah⸗ len in den folgenden §§. mechaniſch brauchen gelernt. Will man nunmehr den Schuͤler auf das Geſetz auf⸗ merkſam machen, wornach ſogleich die erſte zwey⸗ ſtellige Zahl 10 geſchrieben wird; ſo legt man von den vor erwaͤhnten Zifferbretern nach und nach die 1, dann die 2, dann die 3 u. ſ. w. immer an einerley Stelle. Zuletzt liegt die 9 an dieſer Stelle. Dann nimmt man auch dieſe weg, legt wiederum die 1 an an dien derun: ge heuſt ſcben ri Stic, ſeen die St hoben wi ſndern Eo IN3, 1 Nnmn Ender leden 3 Alcdenn 9 Uſchtsand on 2o, Da alle gan n die D Saͤlen ſunt der lrrn in chſhreibe rauf n Aahlen e huler Un. 2 dnh w as weit un ening. 1.0. men ticken, ſche bereg⸗ den, woonn holb udas fir dienit⸗ Wiereckin . 1 As mmn Rummen N „. d dee e⸗ enlte oſt, det i den r de iſen, aiß 9lnmg uch d hehn ſ hiherr ⸗ utengint⸗ ſt af⸗ ſe jney gr mun m nd ſoch die ran einerie le. Dan enum Ne! Vonm Nußmeriren. 3 an dieſelbe Stelle, und ſagt: nun haͤtten wir wie⸗ derum eins; aber jetzt nehme ich die Ziffer o zu Huͤlfe. Vermittelſt dieſer o ſchiebe ich die 1 auus der erſten Stelle weg in die zweyte hinein. Nun haben wir 10, und leſen das 1 Zehend, oder 10 Stuͤck; denn die Ziffer 1 bedeutet 1 Zehend, ſobald ſie an die zweyte Stelle hingeſchoben iſt. Statt der o in 10 nunmehr eine 1 hingelegt, haben wir 11, alſo nicht mehr 1 Zehend und nichts, ſondern 1 Zehend und r, alſo eilf. So wird nun ferner nach und nach auch 2, dann 3, dann 4 u. ſ. w. auf die Einerſtelle gelegt. Iſt man bis 19 gekommen; ſo lege man ferner Statt der 9 die folgende 10 dergeſtalt hin, daß die beyden Zehner gerade uͤber einander liegen, und alsdann gegen eine 2 vertauſcht werden; indem 2 nichts anders bedeutet, als 1 und noch 1. Nun hat man 20, und legt ferner 21, 22 u. ſ. w. bis 100. Darauf werden alle Zahlen (verſteht ſich, nur alle ganze Zahlen) von 1 bis 100 durch Ziffern an die Tafel geſchrieben, wie ſie in F. 4. in 10 Saͤulen ſtehen. Dann laſſe man ſolche Saͤulen, ſamt der Ausſprache ihrer Zahlen von den Schuͤ⸗ lern in ihren Schreibeſtunden nach Vorſchriften abſchreiben. Hierauf folgen ſolche Vorſchriften, worauf nur einige zwiſchen 1 und 100 fallende Zahlen durch Ziffern geſchrieben ſind, und die Schuͤler muͤſſen ihre Ausſprache ſelbſt hinzuſchrei⸗ ben. Außer dieſer Ausſprache kann man auch A 3 noch 6 Erſtes Kapitel. noch ſolche Erklaͤrungen, wie hinter d. i. in §. 2 5. folgen, von ihnen ſelbſt hinzuſetzen laſſen. “ In noch andern Vorſchriften hat man nur den Wortausdruck einiger Zahlen, (anfangs etwa mit ſolchen Erklaͤrungen, wie hinter d. i. in F. 2 5. fol⸗ gen) aufgeſchrieben, und uͤberlaͤßt es den Schuͤlern, bey ihrer Abſchrift auch den Zifferausdruck daneben zu ſetzen. Kommt man zu den dreyſtelligen Zahlen; ſo , . . e laſſe man anfangs den §. 27. von den Schuͤlern ab⸗ ſchreiben, gebe ihnen darauf andere Vorſchriften mit bloßem Zifferausdrucke, und noch andere mit dem bloßen Wortausdrucke ſolcher Zahlen, die nicht uͤber 999 hinausgehen. Zu den erſtern muͤſſen ſie den Wortausdruck, und zu den letztern den Zifferaus⸗ druck ſelbſt hinz ſetzen. . Solche Verbindung der Schreibeuͤbung mit dem Rechenunterrichte iſt bey zahlreichen Klaſſen faſt unentbehrlich, und uͤberhaupt, wie man leicht einſe⸗ hen wird, in allen Faͤllen ſehr rathſam. Das Rech⸗ nen ſelbſt wird auch den Kindern deſto leichter und angenehmer, je beſſere Ziffern ſie ſchreiben. 9. 15 — §. 19. *§. 20. Jede Ziffer, ſie mag ſtehen wo ſie will, be⸗ deutet allemahl ſo viel Einheiten, als ihr Nahme angiebt. So bedeutet die Ziffer 3 allemahl drey, einen Inbegriff von drey Einheiten. Dieſe Einheit ſelbſt aber aͤndert ſich mit der Stelle, welche die Zillfer einnimmt. Sie iſt ein Einzelnes, oder ein Zehend, oder ein Hundert u. ſ. w. je nachdem die Ziffer Zffer ſteht. imerun G hend ſe hunde 14 Deerſt von ver Vorber in dieſi Nreyſig n de; edn Onng dickch⸗ Ateden Un ſchreibt len nach den er ſ keinchn S kein dh (her wol⸗ nd wer F dieſe nd ſhre nei. on nur den ema mit 13 ſe⸗ 1Schulen, ck dereben Zlen 0 Schblern ⸗ ſſheitennit dere nit M die icriit liſienn ſexn n Ziſnan⸗ bnmg ni Kuſenfſt eict ennſe Des Neh ſicſer un en. 1 vil, 1 i Nohn naßl diep Eunhei velche i ,oder ei e chdenn 4 Ie Vom Numeriren. 7 Ziffer an der erſten, zweyten dritten Stelle u. ſ. w. ſteht. Z. B. die 3 bezeichnet 1 nen und noch 1 und noch 1 nen einzelnen Groſchen, — in 3 96 1 Zehend und noch 1 Zehend und noch 1 Ze⸗ . hend von Groſchen, — — in 34 4; 1 Hundert und noch 1 Hundert und noch 1 Hundert von Groſchen, — in 345 9£. Die erſten Anfaͤnger koͤnnen ja wohl mit der Theorie von verſchiedenen Einheiten verſchont werden. Vorbereitet werden ſie dazu, wenn man ſie, wie es in dieſem Rechenunterrichte oft geſchieht, z. B. dreyßig Stuͤck als drey Zehend, alſo als 3 Einhei⸗ ten der zweyten Ordnung, oder dreyhundert Stuͤck als drey Hunderte, alſo als 3 Einheiten der dritten Ordnung u. ſ. w. denken laͤßt, ohne daß man aus⸗ druͤcklich von Einheiten verſchiedener Ordnung zu reden braucht. §. 21 — §. 30. Um das Huͤlfsmittel im §. 30 beyzubringen ſchreibt der Lehrer die ooo0 zuvoͤrderſt von der Rech⸗ ten nach der Linken zu an die Tafel, und ſagt, in⸗ dem er ſie ſchreibt: kein Einzelnes, kein Zehend, kein Hundert. Darauf lieſet er dieſe oo0 von der hoͤhern Stelle an: wir haben hier kein Hundert, kein Zehend, kein Einzelnes aufgeſchrieben. Nun aber wollen wir ſchreiben, dreyhundert und acht und vierzig, alſo nicht o hundert, ſondern 3 hundert. In dieſem Augenblicke wiſcht er die dritte Null weg, und ſchreibt an ihrer Statt die Ziffer 3 hinein u. ſ. w. A 4 Beſon⸗ — 8 Erſtes Kapitel. Beſonders nuͤtzlich iſt dergleichen Verfahren in Ab⸗ ſicht auf ſolche Zahlen, wie 108, 190 u. dergl. wo eine Stelle ledig bleibt, kein Zehend oder kein Ein⸗ zelnes zu ſchreiben iſt. Statt des Schreibens kann man auch hier mitunter die Zifferbretter gebrauchen. Rechenpfennige, wovon einige mit a, andere mit 1, andere mit 2 oder 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9 bezeichnet ſind, ſo daß man zehn verſchiedene Sorten, uͤbri⸗ gens von gleicher Farbe und Groͤße hat, die dann nach ihren Ziffern in einem Kaͤſtchen von 10 Faͤchern ſortirt liegen, koͤnnen auch zu mehrerer Veraͤnde⸗ rung, und mie groͤßerer Bequemlichkeit von den Schuͤlern ſelbſt gebraucht werden, um mancherley Zahlen zu legen. Man laͤßt alsdann die Schuͤler auf ein Blatt Papier ſchreiben, z. B. Hun⸗ Ze⸗ Ein⸗ der⸗ hen⸗ zel⸗ fe de ne und dieſe Stellen mit den Ziffern auf den Rechen⸗ pfennigen gehoͤrig belegen, um gewiſſe vorgeſagte Zahlen durch Ziffern darzuſtellen. Rechenpfennige zu gebrauchen, deren einige nur Einzelne, andere aber Zehende oder Hunderte u. ſ. w. bedeuten, und als ſolche bezeichnet ſind, waͤre zweckwidrig. Die Schuͤler ſollen ja lernen, daß die Ordnung der Einheiten durch die Stelle er⸗ hoͤht werde. . Man laſſe die Anfaͤnger keine vier⸗ und mehr⸗ ſtelligen Zahlen ſchreiben, bevor ſie nicht alle drey⸗ ſtellige Zahlen, von 100 bis auf 999, mit Fertig⸗ keit fii it beyn nol hne r 0 dran ſonen ealdt Man ſomn zenft 95 afin⸗ lir lihin ſenſt ſe n ſe de N ſcht ekir, 397 Gderan ren in ⸗ dergl do kein Cin bens konn ebrarchen. dere mitl, bezechnet ten, ibri⸗ die dann 1o Fichern Verirde it von muncſete die Scie 1 Rechen hereſtge aen eiit⸗ Huudee ihrt ſnd, 6 lernen, Zelle en Vom Numeriren. 9 keit ſchreiben und ausſprechen koͤnnen. Denn auch beym Ueberſehen der mehrſtelligen Zahlen faßt man ja allemahl drey Stellen ins Auge, ſo weit ſie vor⸗ handen ſind; naͤhmlich zuvoͤrderſt die Einer, Zeh⸗ ner und Hunderter von einzelnen Stuͤcken, darauf die Einer, Zehner und Hunderter von Tauſenden; darauf die Einer, Zehner und Hunderter von Mil⸗ lionen u. ſ. w. ſo weit es die vorhandenen Stellen erlauben. Auch beym Ausſprechen der Zahlen kann man die Abſaͤtze, worin nie mehr als 3 Stellen zu⸗ ſammengefaßt werden, ſehr bemerkbar machen. So zerfaͤllt 2893 4681, nach der Ausſprache, in 28 Millionen 934 tauſend 681 einzelne Stuͤcke. Daher gehe man mit den Anfaͤngern im Numeriren anfangs nicht uͤber dreyſtellige Zahlen, und dann in einer folgenden Epoche, nicht uͤber ſechsſtellige Zah⸗ len hinaus. Durch die Uebungsauſgaben in den er⸗ ſten folgenden Kapiteln iſt auch dafuͤr geſorgt, daß ſie mit dieſen Zahlen recht bekannt werden; indem ſie dort einige durch Worte ausgedruckte Aufgaben ſelbſt durch Ziffern anſetzen muͤſſen. In dieſer Hin⸗ ſicht iſt auch zu rathen, daß der Lehrer nicht etwa dictire: drey, neun, ſieben; wenn er die Zahl 397 dictiren will; ſondern er muß dieſe Zahl voll⸗ ſtaͤndig ausſprechen, als 3 hundert und 7 und 9 zig; oder auch, 3 hundert, 9 zig und 7. Je weniger Schuͤler man zu unterrichten hat, je laͤnger kann man auch beym Addiren und Subtra⸗ hiren dabey bleiben, daß man nicht uͤber dreyſtellige Zahlen hinausgeht. Bey mehrern Schuͤlern aber wird es fuͤr den Lehrer zu beſchwerlich, ſo viele Genn A 5 pe 10 Zweytes Kapitel. pel nachzuſehen, als bey hoͤchſtens dreyſtelligen Zah⸗ len vollendet werden. Bey den Additions⸗Aufga⸗ ben z. B. darf man doch anfangs nicht uͤber vier oder fuͤnf Zahlen unter einander ſetzen. Sonſt verrech⸗ nen ſich die Anfaͤnger gar zu oft, werden dadurch verdruͤßlich, oder verlangen wenigſtens die Huͤlfe des Lehrers oͤfter, als er ſie leiſten kann. 5§. 32 — 5§. 39. Da es einmahl Mode geworden iſt, zur Er⸗ leichterung der Numeration die Tauſende darch ein Rom ma von den Huͤnderten abzuſondern; ſo wollte ich darin keine Aenderung wagen. Doch rathe ich dazu das krumme, ſogenannte kleine Komma (.), und dagegen in der Folge zur Bezeichnung der Ei⸗ nerſtelle, ein recht großes und gerades Komma zu gebrauchen. Es wird naͤhmlich im 2ten Theile bey den Deeimalbruͤchen gezeigt werden, daß man z. B. 132,/48 zu leſen habe: 132 Ganze 4 Zehntel . und 8 Hunderttel. §. 41 —5. 51. Zweytes Kapitel. Vom Addiren. §S. 52. Voruͤbung. Wenn ich dir anfangs 2 Pfennige gaͤbe, und dann noch 2 Pfennige, und dann noch 2² Pfennige, und ſo weiter fort immer noch 2 Pfennige mehr, bis “ du du ol nach id i 100 if igen Iih⸗ 8: Aufge bier oder 1 verrech⸗ n Mncch di hiſſe. E e duchenn nz ſowale n iuge i nmma 0) der E Komma ten Veie daß man 4 Zehntl 1. und dann hfemnige eht, 6 du Vom Addiren. 11 * du an 100 heran kaͤmeſt; ſo haͤtteſt du nach und nach? Antwort: *2, 4, 6, 8 u. ſ. w... 96, 98, 100 Pfennige. Nun denke dir, du habeſt anfangs 1 Stuͤck, und ich gaͤbe dir immer fort noch 2 dazu, bis du uͤber 100 haͤtteſt; ſo erhielteſt du nach und nach 1, 3, 5, 7, 9 97, 99, IOI. Fange an von 3, und rechne immer noch 3 da⸗ zu; ſo haſt du nach und nach * 3, 6, 9, 12, 15 96, 99, 102. Von r angefangen, und immer 3 dazu gerech⸗ net, hat man nach und nach 1, 4, 7, 10, 13 94, 97, 100. Fange an mit 2, und rechne immer 3 dazu; das giebt 2, 5, 8, 14. „ *% % *% 95, 98, 101. Eben ſo uͤbe man folgende Reihen , 4, 8, 12 u. ſ. w. immer 4 dazu, bis auf 100 * 2, 6, 10, 14 ⸗ ⸗ „ = = ⸗ ⸗ 102 1, 5, 9,13 ⸗= ⸗ ⸗ = = 2 ⸗ ⸗ 101 3, 7/ II, 15 . ⸗ ⸗= ⸗= z ⸗ ⸗ 103 0,20, 30,40 2 = = 10 = ⸗ sS 100◻ * 5, 10, 15,20 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 5 ⸗ ⸗ ⸗ 100 *10, 20, 30, 40 ⸗= =£ &S = 10 g= . ⸗= 10000 *II, 21,3 1, 441 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 10 ⸗ ⸗ ⸗ 1000 *1 2, 22, 32, 42 = =* = ⸗ 10 ⸗ ⸗ ⸗„ 1002 *17, 27, 37,47 ⸗⸗ ⸗ 10 ⸗ ⸗10⁰7 Anmerk. 12 Zwehytes Kapitel. Anmerk. Das Ueberzaͤhlen ſolcher Reihen hat ohne Zweifel ſeinen großen Nutzen. Nur muß man nicht zu viele Zeit darauf verwenden, oder gar darauf beſte⸗ hen, daß ſie jeder Schuͤler mit der groͤſten Fertigkeit aus⸗ wendig wiſſen ſolle. Mit Bedacht hab ich nur die vor⸗ ſtehenden Reihen und in ihrer dortigen Ordnung hinge⸗ ſetzt. Angenehm fuͤr kleine Schuͤler wird dieſes Zaͤhlen dadurch, daß man es die Reihe herum gehen laͤßt, wie ein Lauffeuer. Dabey kaun man zur Erhaltung der Auf⸗ merkſamkeit die Einrichtung machen, daß jeder auch auſ⸗ ſer ſeiner Reihe ſogleich fortfahren muß, ſobald ihn der Lehrer anſieht, u. dergl. Vorzuͤglich uͤbe man die Rei⸗ hen, welche mit einem * bezeichnet ſind. H. 53. Wenn ich in der einen Hand 5 Pfennige und in der andern Hand 3 Pfennige habe; ſo habe ich in beyden Haͤnden zuſammen ganz gewiß 8 Pfennige. Wenn ich 6 Aepfel habe, und dann noch 4 Aepfel dazu lege; ſo habe ich uͤberhaupt 10 Aepfel. Wer 7 Eyer hat und noch 3 Eyer dazu bekoͤmmt, der hat uͤberhaupt 10 Eyer. 4 *§. 54. Kein Menſch geraͤth in die Verſuchung . daßs er fragen ſollte: wie viel Huͤhner habe ich in Sum⸗ ma, wenn ich 7 Huͤhner und 3 Enten zuſammen ad⸗ dire? Denn wenn gleich 7 und 3 zuſammen addirt 10 geben; ſo weiß doch jedermann, daß 7 Huͤhner und 3 Enten zuſammen genommen weder 10 Huͤh⸗ ner noch 10 Enten ausmachen. Jedermann ſieht ſogleich ein, daß jene Frage ungereimt iſt; alſo braucht echen hrau es de Frag nun⸗ alet ler Eiten, genon Pſome lichen Stic Oſ 8 ſunſten ben ſir den de Rn Niten d kön ehend Meil 10, ulſende uſende Aen „.dB Reihen iet man nict tauf beſts tigeit duss mur de dor⸗ nung hinge⸗ ieſes Rhler en lißt, ung ie Ai ter tih u⸗ ſbat he e wan die Re⸗ emnige und gebeichin Pamige 64Al . We t, derhet Gurg diß in Sumn ummen cd Vom Addiren. 13 braucht man niemand ſehr ausfuͤhrlich zu ſagen, daß es darauf keine Antwort gebe. Wohl entſteht die Frage, wie viel Stuͤck Federvieh man habe, wenn man 7 Huͤhner und 3 Enten beſitzt; und dann ant⸗ wortet der geſunde Menſchenverſtand, daß 7 Huͤh⸗ ner, als 7 Stuͤck Federvieh betrachtet, und 3 Enten, als 3 Stuͤck Federvieh betrachtet, dazu genommen, uͤberhaupt 10 Stuͤck Federvieh aus⸗ machen. “”MU “ Eben ſo kann man 8 Birnen und 10 Aepfel zuſammen addiren, in ſo fern ſie den gemeinſchaft⸗ lichen Nahmen Obſt fuͤhren. 8 Birnen, als 8 Stuͤck Obſt betrachtet, und 10 Aepfel, als 10 Stuͤck Obſt betrachtet, geben in Summa 18 Stuͤck Obſt. *. 59. Bey den erſten Anfaͤngern iſt es wohl am rath⸗ ſamſten, den Grund der Regel in §. 58. ſo anzuge⸗ ben, wie es dort geſchehen iſt; daß man ihn nur fuͤr den einzelnen Fall ausdruͤckt, wovon jedesmahl die Rede iſt. Naͤhmlich, wenn man beym Sum⸗ miren der Einerſaͤule bis auf 10, 20, oder 30 u. ſ. w. koͤmmt: ſo ſagt man, daß dieſe als 1, 2 oder 3 Zehend zur folgenden Zehnerſaͤule gerechnet werden, weil 10, 20 oder 30 u. ſ. w. nur 1, 2 oder 3 Zehend ausmachen. Oder wenn die Summe aus den Zehn⸗ tauſenden etwa 40 enthaͤlt, ſo ſagt man: 40 Zehn⸗ tauſende, alſo 4 mahl 10 mahl Zehntauſende, ſind ja 4 Hunderttauſende; und ſo in allen andern Faͤllen. Miit der Zeit werden ſich dann die Schuͤler ſelbſt zur Ueberſicht des allgemeinen Grundes urhe⸗ — 14 Zweytes Kapitel. ben; daß jede 10, 20, 30 u. ſ. w. aus irgend e einer Saͤule durch 1, 2, 3 u. ſ. w. in der noͤchſthoͤhern Saͤule ausgedruckt werden. §. 60, Andere ſchreiben dieſe Ziffern nicht uͤber den Strich, ſondern noch unterhalb der Summe, wie ich es ſelbſt in der erſten Ausgabe gethan habe, z. B. fuͤr die Rechnung in §. 58. auf foigende Weiſe: 89072 2 &£ Dann muß man ja die Anfuͤnger dazu anhal⸗ ten, daß ſie die anzumerkende Ziffer allemahl ge⸗ rade unter die folgende Saͤule ſchreiben. Denn ſo geſchrieben, ſtellt wirklich z z. B. die Summe aus der erſten Saͤule, naͤhmlich.*, noch ganz de deutlich die erhaltene Summe 12, und eben ſo die SLumme der dritten Saͤule °, noch ganz deutlich die erhal, tene Summe 20 dar. §. 61 — §. 63. *§. 64. Erinnerungen und Zuſauͤtze zu den in §. 63. vor⸗ geſchlagenen Huͤlfsmitteln zum geſchwinden Addiren. (Zu No. 1.) Der erſte Abſatz des Einmahl⸗ eins hilft zum geſchwinden Addiren, 1) wenn man zwey gleiche Ziffern zu addiren hat; 2) auch wenn die eine um 1 groͤßer iſt als die an. dere. Um z. B. die Summe aus 7 und 2 zu fin⸗ den, rgend iner hſchohen t ie de umme, we obe ghn f det oe⸗ clenelſ den. Dn Summe al enz deutih die Suom h necht K0 W Gorden ,bmg ren het als die in nd 5 ſS denn Vom Addireu. 15 den, duͤrft ihr nur denken: 2 maͤhl 7 iſt 14, und 1 dazu iſt 1 5. 3) Auch wenn man z. B. 18 und 8 addiren ſoll, ſo denke man: 2 mahl § iſt 16, und noch 10 dazu, iſt 26. Eben ſo wird die Summe von 3 G und 6 gefunden, indem man ſich zuvoͤrderſt vor⸗ ſtellt: 6 und 6 (alſo 2 mahl 6) iſt 12, und dazu noch 30 addirt, giebt 42. Und ſo verfaͤhrt man in jedem Falle, wo man 2 Zahlen addiren ſoll, die in ihrer Einerſtelle einerley Ziffern haben. Abber auch der zweyte Abſatz des Einmahleins, von 3 mahl 3 bis auf 3 mahl 9, iſt bisweilen beym Addiren von großem Nutzen. Denn ſoll man 1) ³¾ gleiche Zahlen addiren, z. B. 7 und 7 und 7; ſo ſagt man ſogleich, 3 mahl 7 iſt 21. 2) Oder hat man z. B. 6, 7, 6 zu addiren; ſo denkt man ſich dieſe Zahlen, als 6 und 6 und 1 und 6, alſo 3 mahl 6 (d. i. 18.) und 1 dazu, 3) Eben ſo denkt man ſich z. B. 9, 8, 9, als 8§ und 1und 8 und 8 und 1, alſo hat man 2 mahl 8 und 2, macht 24 und 2, oder 26. 4) Hat man drey Zahlen, z. B. 8, 6, 7, die ge⸗ hoͤrig geordnet (wie 6, 7, 8) in der natuͤrlichen Zahlenreihe auf einander folgen wuͤrden; ſo nimmt man in Gedanken 1 von der groͤßten weg, und legt dieſe 1 zur kleinſten hinzu. Auf dieſe Weiſe uͤberſieht man ſogleich, daß ſolche 2 Zahlen eben ſo viel geben muͤſſen, als die mittlere 3 mahl genommen, hier 3s mahl „.— Aehn⸗ 16 Zweytes Kapitel. Aehnliche Anwendungen von den folgenden Theilen des Einmahleins wird nun jeder von ſelbſt — zu machen wiſſen. B (ꝗZu No. III.) Kinder, welche mit einem guten Gedaͤchtniſſe begluͤckt ſind, werden alle dort angefuͤhrten Saͤtze gar bald auswendig behalten, als dabey (den ſo eben zu No. I. gemachten beyden erſten Zuſaͤtzen gemaͤß) vorgeſchlagen ſind. Mit ter No. IV. beſonders angeſfuͤhrten Faͤlle bey der 9 ausgenommen) auf das Einmahleins gegruͤndet. Freylich wuͤrde ſich manche dieſer Summen durch andere Vorſtellungen noch etwas leichter auffinden laſſen; allein es waͤre hier ſehr zweckwidrig, wenn man ſo vielerley Huͤlfe angeben wollte, daß der Schuͤler bey jeder Anwendung erſt wieder umher ſinnen und uͤberlegen muͤſte, was fuͤr eine Huͤlfe er nun eben zu waͤhlen habe. Nach meinen Vorſchlaͤ⸗ gen finden nur folgende 3 Faͤlle Statt. Entweder der Schuͤler weiß die Summe jeder zwwey Ziffern gerade zu auswendig, und er ſucht daher gar keine Hulfsſchluͤſſe; oder er ſucht ſich durch die aus dem Einmahleins ſchon im Gedaͤchtniß ſchwebenden Dupla der einzelnen Ziffern zu helfen: oder es kommt die Zahl 9 dabey vor; in wel⸗ und ohne Bedenken anwenden wird. und ſolcher Huͤlfsſchluͤſſe nicht lange noͤthig haben, Fleiß aber habe ich alle Huͤlfsvorſtellungen (die un⸗ chem Falle er No. IV. oder No. v. gar leicht, V ſat, de eine ande fei, doße Eirſcie⸗ und 41 Auud;1 Rund ſondet 01, wos Ale⸗ licht allen uud eifrig die grußte hne ſehk l haln im ſammeng nolen; ſo ihlen dieſ⸗ ch die Pn en ſe die⸗ wenn ſie nachzaͤlen die Begri dieſe Bent hächtrißfe ſen, ſe nn Echuͤlemn n ſlgenen deron ſin e mi eiten den dle dt dig de chalen, niciz en, achen hgden 1t. M nk W ile den N indt ummn dih Pter uffſen. vidrig, le, daß N ticder n⸗ ine hlet nn Vrihe 1. Sunne ſae ſ. 1 Gunthei⸗ 4 Dare 9 ger ⸗ ed⸗ vor; Schuͤlern verlange. Wenn es ihnen erlaubt ſeyn ſollte, Vom Addiren. 17 Wer dagegen ein gar zu untreues Gedaͤchtniß hat „ der mag ſich auch in ſolchen Faͤllen, da zur 8 eine andere Ziffer zu addiren iſt, ebenfalls dadurch hel⸗ fen, daß er zuvoͤrderſt bis auf 10 zu kommen ſucht⸗ Er ſchließe naͤhmlich, 8 und 4 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 2, alſ⸗ 12 8 und 5 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 3, alſo 13 8 und 6 iſt 8 und 2 (d. i. 10) und noch 4, alſo 14; ſo wendet er doch bey der 8 eben daſſelbe Huͤlfmittel an, was nach No. V. fuͤr die 9 gebraucht wird. Allerdings giebt es manche Koͤpfe (und das ſind nicht allemahl duͤſtere Genies, wie ein gewiſſer, braver und eifriger Rechenmeiſter behaupten wuͤrde) welche auch die groͤßten Theils ſehr leichten Suͤtze unter No. II. nicht ohne ſehr lange Uebung auswendig lernen. Dieſe moͤgen dann im Nothfalle vermittelſt der Puncte auf Seite 1 zuſammenzaͤhlen. Z. B. wenn ſie zur 7 noch 4 addiren wollen; ſo ſehen ſie die dortigen 4 Puncte:: an, und zaͤhlen dieſe zu der ſchon genannten 7 hinzu. Weil naͤhm⸗ lich die Puncte dort ſehr uͤberſehbar geſtellt ſind; ſo wer⸗ den ſie dieſelben auch geſchwinder hinzuzaͤhlen koͤnnen, als wenn ſie an ihren Fingern oder ſelbſtgemachten Puncten nachzaͤhlen. Je geſchwinder aber der Begriff 11auf die Begriffe 7 und 4 folgt, deſto leichter werden ſich dieſe Begriffe an einander heften. Nicht bey allen Ge⸗ dauͤchtnißſachen iſt es wahr, daß wir ſie deſto beſſer faſ⸗ ſen, je mehrere Muͤhe ſie uns verurſachen. Es verſteht fich uͤbrigens, daß ich etwas Anſtrengung und Achtſam⸗ keit bey Auffindung dieſer Summen allerdings von den die Zweytes Kapitel. die Summen gerade zu aus ſolchen Tafeln, wie unter §. 63. No. II. zu nehmen; ſo wuͤrden ſie freylich das Beduͤrfniß, dieſe Summen endlich auswendig zu wiſſen, gar zu wenig empfinden. Auch ſind einem ſchwachen Gedaͤchtniſſe die Bilder, wodurch die Zahlen dort (S. 1) ausgedruͤckt ſind, aus andern Gruͤnden ſehr nuͤtzlich. 1 (Zu No. VIII.) Die vorgeſchlagenen Aus⸗ druͤcke, 1ozig, 11zig, 12zig ꝛc. ſo ich bisweilen waͤhrend des Rechnens zur Ausſprache der Zahlen 100, 110, 120 ꝛc. gebrauchen, darauf aber in die gewoͤhnlichen Ausdruͤcke hundert, hundert und zehn, hundert und zwoͤlf ꝛc. veraͤndern laſſe, klingen freylich etwas neu. Allein ihr Nutzen iſt in den hier angefuͤhrten, und andern in der Folge noch vorkommenden Faͤllen, ſo einleuchtend, daß ich da⸗ fuͤr keine ausfuͤhrliche Vertheidigung noͤthig habe. Man ſagt, 8 tauſend und 3 tauſend iſt 11 tau⸗ ſend, oder 8 hundert und 3 hundert iſt 11 hundert, und addirt, eben dieſer einleuchtenden Ausdruͤcke wegen, die Tauſende und Hunderte eben ſo leicht als die Einzelnen Stuͤcke. Der analogiſche Aus⸗ druck fuͤr die Summe von 80 und 30 iſt 11zig. Nur bitte ich meine etwanigen Nachfolger, dieſen Vorſchlag nicht zu uͤbertreiben. (Zu No. IX.) Nur zu gerne pflegen Anfaͤnger, beſonders wenn ſie uͤberhaupt etwas furchtſam oder weichlich ſind, beym Addiren einer Saͤule umher zu b ſpringen, und z. B. bey der hier zur Seite ſtehen⸗ den durch folgende Spruͤnge zuſammen zu rechnen. 9⁹9 und 1 9 der 99 2 uin mit 3ulecht M ene N 1 ſe deh enich der If Springe Futt e Aſenha ) Iffern n dugeche Enlveder kechnen. hyr hon 6) lder doch en, nf Raſame n, Rentr ſe frnl w ndig u wiſn imen ſchwechn len n E. ehe nüsi. Hlagenn d ic be tuu e⸗ hundend rürden iſt he Nniſtn der ice c d, uß ihn ichighobe ſd iſt 1 ſtin hucn den A 1 Mick tbe er ſe eict ogſce e 30 Gerg ſih et, diſe en Afirge cren 1der le unſer, GSeite ſin Gn 0 — d E . Vom Addiren. 49 9 und 1 iſt 10, und 2 mit 8 dazu, giebt E, und 3 iſt 23, und 5 dazu iſt 28. H In andern Faͤllen pflegen ſie wenigſtens mit einer 8 oder 9, ob dieſe gleich in der Mitte ſteht, zuerſt anzufangen, damit ſie in der Folge dieſe große differ nicht noch hinzu zu rechnen haben. * Man widerrathe den Anſängern dieſes brin. gende Addiren. Denn 109 wird dadurch die Abſicht vereitelt, warum ſie doch ſo viele Aufgaben durchrechnen muͤſſen; naͤhmlich um ſich eine Fertigkeit im Zurechnen je⸗ der Ziffer zu erwerben. Erlaubt man ihnen das Springen; ſo naͤhren und behalten ſie eine beſtaͤndige Furcht vor gewiſſen Ziffern, die ihnen dann vielen Aufenthalt macht. 2) Setzen ſich Anfaͤnger, die noch nicht viele Ziffern mit einem Mahle uͤberſehen koͤnnen, durch dergleichen Spruͤnge der Gefahr aus, einige Ziffern entweder wegzulaſſen, oder auch wohl doppelt einzu⸗ rechnen. In dieſer Hinſicht hat man wohl uͤber⸗ haupt von dem ſpringenden Addiren mehr, Schaͤden als Vortheil. Ich nehme aber daon 3) den Fall aus, wo jemand die ganze Saͤule, oder doch einen an einander haͤngenden Theil derſel⸗ ben, auf den erſten Blick, und auch waͤhrend des Zuſammenzaͤhlens ſelbſt, gaͤnzlich uͤberſieht. Zweytes Kapitel. 3. B. in der erſten nebenſtehenden Saͤule men ſchmelzen, und ſo mit einem Mahle uͤber⸗ ſehen, daß der ganze Theil von 9 bis 1 zu⸗ ſammen genommen gerade 2 mahl 10 aus⸗ macht. „ £D 00 b E $ △£△☚ ⏑☚ Oder bey der zweyten Saule wird, indem man die⸗ 4 auf die vier onen vertheilt, auf den erſten Blick die Summe der ganzen Saͤule als viermahl 10 dargeſtellt. Bep ſolchem ſichern Ueberſpannen mehrerer Ziffern hat das ſpringende Addiren freylich einen nicht geringen Nutzen. Es wird aber eben deshalb nur den Geuͤbtern zu empfehlen ſeyn, bey denen dann anch die unter 1) angefuͤhrte Abſicht ſchon er⸗ reicht iſt. 5§. 65. §. 66. Addiren ohne Unterſchreiben. Soll man nur zwey Zahlen addiren, die ſchon neben einander geſchrieben ſind; ſo hat man nicht noͤthig, dieſe Zahlen nach dem vorigen erſt uͤber ein⸗ ander aufs neue hinzuſchreiben. Sind z. B. 84853 und 9178426 zu addiren; ſo ziehe man ei⸗ 9263279 nen Strich unter die Zahl, rrY welche zur Rechten ſteht, und bedecke mit einem Finger der linken Hand alle die e Ziffern der linken Zahl, welche an an hoͤhe tmon ſ, Dhlodt ior zder ud ſa ſee den unde kann ich mir 9 mit 1, und 2 mit 8, gleichſam in ein und eben demſelben Augenblicke, zuſam⸗ I. heoboch addirer die klei I. ſellgen en ler Dens, III. n e einſelige l nr hermehrt. hobe hn deten 170 Ve dert entſ gute Die D ſ herden Sile t ½, glicfre nblicke, zußmn n Wahle ien n g dis mahl 10 s nden mun de4 erſen dit ie 10 Mril. nnen nihnn fenic um r eha i n, bey dun ſchtſhnt ſe. rn, de ſ ke ; ſhe un e die die Ni en ſeht ſen 3 Vom Addiren. 271 an hoͤhern Stellen ſtehn „als diejenige Ziffer, welche man ſo eben zu der gleichſtelligen Ziffer der andern Zahl addiren will. Man laͤßt naͤhmlich nur die Zif⸗ fer 3 der linken Zahl unbedeckt, indem man ſagt, 3 und 6 ſind 9; man laͤßt darauf ferner auch die Zif⸗ fer 5 der linken Zahl unbedeckt, indem man ſagt, 5 und 2 ſind 7 u. ſ. w. Adiren im Koft. RM Als eine faſt allgemeine Regel kann man es beobachten, daß man ſich die groͤßte von zwey zu addirenden Zahlen zuerſt denkt, und alsdann die kleinere zu jener hinzurechnet. II. Eine einſtellige Zahl zu einer andern ein⸗ ſtelligen oder zweyſtelligen Zahl im Kopfe zu ad⸗ diren, lernt jeder ſchon waͤhrend des ſchriftlichen Ad⸗ direns. III. Beym letztern hilft gar ſehr . was 5§. 63. No. VI. angefuͤhrt iſt. Eben dies reicht auch hin, um zu einer drey⸗ oder mehrſtelligen Zahl eine einſtellige Zahl zu addiren; wenn die hinzu addirte Zahl nur nicht auch die Hunderte der erſten Zahl vermehrt. Z. B. 1224 und 6 iſt 1730. Hier habe ich nur 24 und 6 zu addiren, und die unveraͤn⸗ derten 1700 darneben zu behalten. Wenn aber aus der Summe ein neues Hun⸗ dert entſteht; ſo wird der Rath §. 63. No. VIII. gute Dienſte thun. Soll ich z. B. 1396 und 8 ad⸗ deren, ſo denke ich: 13 hundert 96 und 8 ſind 13 EE 3 hundert hundert und 4 und 10 zig, alſo 13 zhunter und 4 und noch 1 hundert, d. i. 14 hundert und 4. IV. Hat man zwey zweyſtellige Zahlen i im Kopfe zu addiren; ſo addire man zuvoͤrderſt die Zehende der zweyten Zahl zu den Zehenden der er⸗ ſten Zahl, und gebrauche dabey die §. 63. No VIII. vorgeſ ſchlagenen Ausdruͤcke, ſage naͤhmlich 10 zig, 11 zig, 12 zig, 13 zig u. ſ. w. eben ſo, wie man ſagt, 9 zig, 8 zig u. dergl. Z. B. Bey 561 und 38 denke ich: 6 und 5 zig und 3 zig ſind 6 und 8 zig, und noch 8 dazu, ſind 4 und 9 zig. Ee 65 und 36 denke ich: 5 und 6 zig und 3 zig ſind 5 und 9 zig, und noch 6 dazu, ſind 1 und 10 zig d. i. 101. Anmerk. Wenn man z. B. 4 und 11 zig denkt, ſo ſtelle man ſich dabey die 4 ſogleich zur Rechten und die 11 zur Linken ſtehend vor; ſo daß man dabey das Bild 114 in⸗ Kopfe habe. V. Iſt eine von den beyden zu addirenden Zah⸗ len eine 1ofache Zahl, wie 20, 50, 120, 270 u. d. ſo hat man nicht noͤthig nach der vorigen Regel zu⸗ voͤrderſt die Zehner zu addiren; ſondern man denkt ſich auch hier in der Summe ſogleich den Einer der andern Zahl zuerſt. Z. B. Bey 80 und 65, denke ich ſogleich: iſt 5 und 14zig, d. i. 145. Bey 38 und 20, denke ich ſogleich: iſt 8 und zig. Bey 63 und 40, denke ich ſogleich: iſt 3 und 10zig⸗ d. i. 3 und 100, alſo 103. 1 len ſen etwe u 50, ſings tihnftche e fn ll hr⸗ “D 39. D6, By 651 Ann nen ſo riel elt, umn dge erpek leniten Ull. len, il⸗ 11s rite⸗ icht, n ch aiie nen genec er in den in Kopſ ndert und 6 und 4. e Ithen in vrderſt die nden deret⸗ 33. NVI. mlch 1 ſo, wienmn undzieſn ,,ind nh und 99. un ; i i un nc dumdoſ dnſttun⸗ Recn un Nabey das dhenden N⸗ 10, 1⁰ .d n Mi n en n den Ener d 4 2 Vom Addiren. 23 VI. Steigt eine von den zu addirenden Zah⸗ len ſehr nahe an eine zehnfache Zahl, indem ſie nur etwa um 1, 2, 3, oder allenfalls um 4 kleiner iſt, als 20, 50, 90, 100, 110, u. dergl.; ſo addirt man anfangs an ihrer Statt die beynahe von ihr erreichte zehnfache Zahl, und nimmt darauf von der dabey erhaltenen Summe ſo viel zuruͤck, als man, um die zehnfache Zahl zu erreichen, zu viel gerechner hatte. 3.* * Bey 59 und 32 denke ich: 60 und 32 waͤren 2 und 9 zig, und 1 davon zuruͤck genom⸗ maen, bleibt 1 und 9 zig. Bey 85 und 28 denke ich: 85 und 30 waͤren 5 und 11zig, und 2 davon zuruͤck genom⸗ men bleiben 3 und I 1zig, d. i. 113. Anmerk. Waͤhrend des Ueberrechnens ſtrecke man ſo viele Finger hervor, als man der einen Zahl zu⸗ legt, um die nahe zehnfache zu erreichen: ſo erinnern dieſe vorgeſtreckten Finger ſehr gut, wie viel man nach⸗ her wieder zuruͤck zu nehmen habe. VII. Zwey mehr als zweyſtellige Zahlen zu addiren, iſt nicht jedermanns Sache, diejenigen Faͤlle ausgenommen, wo eine von beyden ſchon eine zehnfache Zahl iſt, oder doch dergleichen faſt er⸗ reicht, (wobey man denn nach V oder VI verfaͤhrt). Noch einige andere leichte Faͤlle wird jeder, der ih⸗ nen gewachſen iſt, von ſelbſt richtig angreifen, wenn er in den bisherigen geuͤbt iſt. Es laͤßt ſich z. B. im Kopfe addiren: B 198 24 Zwehytes Kapitel. Vom Addiren. 198 und 167, indem ich denke: 200 und 167 waͤren 367, und 2 davon zu⸗ ruͤck genommen bleiben 36 5. Oder 367 und 60, indem ich denke: 36zig und zig macht 42zig, d. i. 420, und noch 7, iſt 427. Ferner 803 und 140 iſt 300 und 100, d. i. 900, und 40 und 3, alſo 943. Ueber das Rechnen im Kopfe laſſen ſich nicht viele Regeln geben. Wer es oft noͤthig hat, und in einem vorzuͤglichen Grade dazu faͤhig iſt, pflegt ſich mancherley Vortheile und Kunſtgriffe zu merken und auszubilden, die dann fuͤr ſeine eigenthuͤmlichen Kraͤfte und Umſtaͤnde gewoͤhnlich die beſten ſind; fuͤr andere aber, die ihm etwa an Einbildungskraft und Gedaͤchtniß nachſtehen, eine Marter, und fuͤr noch andre, die ihn darin uͤbertrefſen, nur eine Buͤrde ſeyn wuͤrden. Auch werden dem einen Rech⸗ ner dieſe, dem andern jene Zahlen, als Summen, Producte, Differenzen u. dergl. ſehr gelaͤufig, und dieſe nutzt er dann von ſelbſt zur Erſparung des ſchrift⸗ ſichen Rechnens, wo es Gelegenheit dazu giebt. Driltes 2,0 Un indem n elſten un leßnen. eriſt ſtz. mhan bey duchs 5 Mnchi ter ſinde do, 9 Doblena Untaſte fiden K usdene Nemei dien. 200 M 0 12 Mn Ne. len bz. zozguudo i. ſo, ud di. goo, e 4. bſen ſch i ſchight u ig i, en ſſe u ntn gentßünt e beſten ſt ſbidungetni te, uſ t n, nu ei n ener Nee . 16 Somunen gtife gte⸗ Nlite ODrittes Kapitel. Vom Subtrahiren. Erinnerungen und Zuſaͤtze zu §. 81. I. Man laſſe von den Anfaͤngern die Reihen 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, und 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0 und 11, 9, 7, 5, 3, Ieinige Mahle herſagen; indem man ſie bemerken laͤßt, daß die Glieder der erſten um 1, die Glieder der beyden andern um 2 ab⸗ nehmen. Raͤhmlich, 10 weniger 1 iſt 9, 9 weni⸗ ger 1 iſt 8 ꝛc. und 12 weniger 2 iſt 10, 10 weniger 2 iſt 8 ꝛc. Dadurch werden ſie ſogleich lernen, daß man beym Abziehen der kleinen Zahlen 1 und 2, durchs Zuruͤckzaͤhlen der groͤßern Zahl, wovon man abziehen ſoll, die verlangten Unterſchiede leich⸗ ter findet, als durchs Oinzuzaͤhlen zur kleinern Zahl, welche man abziehen ſoll. 2)) In den uͤbrigen Faͤllen aber, wo groͤßere Zahlen abzuziehen ſind, gewoͤhne man ſie dazu, die Unterſchiede durchs Hinzuzaͤhlen zur kleinen Zahl zu finden, laſſe ſie z. B. denken: 3 bis 7 hin iſt noch 4. *“RK Kinder von gutem Gedaͤchtniſſe werden nun aus denen bey der Addition S. 30 ꝛc. gelernten Saͤtzen die meiſten vorkommenden Unterſchiede ſogleich aus 43 B 5 ʒð dem Drittes Kapitel. dem Kopfe, ohne weitere Mittelſchluͤſſe, anzugeben wiſſen. Andere werden durch den Gebrauch der Ta⸗ fel §. 81. auch etwas leichter zu dieſer Fertigkeit ge⸗ langen, als wenn ſie ſich durch das Nachzaͤhlen an den Fingern oder ſelbſt gemachten Puncten zu helfen ſuchen; ob man ihnen gleich dergleichen Nachzaͤhlen gar wohl geſtatten kann, wo der Unterſchied nur 3 betraͤgt. 3) Die Gruͤnde, wonach die Tafel §. 8 1. ver⸗ fertigt iſt, werden aus ihr ſelbſt und den nachgeſetz⸗ ten Regeln leicht in die Augen fallen. Man wird daraus auch abnehmen, daß man den Anfaͤngern 4) vorzuͤglich die Reſte von 10 gar ſehr ge⸗ laͤufig machen muͤſſe, wozu man ſich ſehr gut der Puncte i:: bedienen kann. Man ſchreibt naͤhmlich die 10 Punkte i in vorſtehender Form an die Tafel, und bedeckt eine ihrer Reihen oder Saͤulen von 3 Puncten durch ein Lineal oder dergl., ſo bald man gefragt hat: 3 von 10 bleiben? — Eben ſo bedeckt man die 4 in der mittlern Saͤule ſtehenden Puncte, ſo bald man gefragt hat: 4 von 12 bleiben? — Daß 5 von 10 abgezogen noch 5 uͤbrig laſſen, wird aus den Satze, 2 mahl 5 iſt 10, beantwortet. Fraͤgt man aber, 0 von 10 bleibt? oder 7 von 10 bleibt? — ſo kann man wiederum die 6 oder 7 abzuziehenden Puncte ſehr bequem bedecken. Dies vorausgeſetzt laſſe ich mit Recht z. 13] denken: 7 bis 10 iſt 3, bis 13 alſo 6. aa dings moͤgte es hier leichter ſcheinen, zu ſagen, 7 von 14 bleibt 7, von 13 alſo 6; beſonders wenn man im Kopfe rechnet. Allein fuͤr die erſten eſten den von der vor wer nicht jriſhe Aſkeine N Verden ii boyen Se dn 10,7 eunnf Bon mnu iſte De h ie Zahenn von dere (ih mnei Und bey 4 nnuß di ſn nh ſoſen). 0; ſom G₰ ſicke ke⸗ , unnnten * V Fenigker ge zihleanden nhefinſchen; ihlen geo⸗ t3 benig⸗ el den nhiſc n. Undi 1 Mfingen na i ut mand 4i ,bie nen zun nuden Sißh tman chr, 1- bim te guct 1ce, 1666. M r Vom Subtrahiren. 27 erſten Anfaͤnger iſt es gewiß leichter und rathſamer, den von 7 bis zu 10 hin gefundenen Unterſchied 3 zu der vor Augen ſtehenden Ziffer 3 zu addiren. Und wer nicht mehr Anfaͤnger iſt, wird den Unterſchied 6 zwiſchen 7 und 13 geradezu anzugeben wiſſen, und auf keine Huͤlfsſchluͤſſe Ruͤckſicht nehmen. ) beute von ſehr ſchlechtem Gedaͤchtniſſe aber werden uͤberhaupt am beſten fahren, wenn ſie auch beym Subtrahiren im Kopfe immer nur zuvoͤrderſt von 10, 20, 30 u. ſ. w. abzuziehen ſuchen, wo doch einmahl beym Abziehen der Zehner angegriffen wer⸗ den muß. Z. B. um 7 von 23 abzuziehen, moͤgen ſie ſchließen: 7 von 20 bleibt 13, von 23 alſo 16. §. 8 3 — §. 8 5. s. 86. Die Erklaͤrung des ſogenannten Kunſtſtuͤckes, §. 85, hat gar keine Schwierigkeit. Denn wenn ich, wie in dem dortigen erſten Exempel die drey Zahlen neben a, b und c zuſammen addire, und von der erhaltenen Summe s, welche = a †+ b † iſt (ich meine, welche die drey Zahlen bey a und bey b und bey e in ſich faßt) die erſte Zahl bey a abziehe; ſo muß die uͤbrigbleibende Zahl bey r noch = = b † c ſeyn (noch die beyden Zahlen bey b und bey e in ſich faſſen). Ziehe ich nun davon ferner noch die bey b ab; ſo muß nothwendig die Zahl bey c uͤbrig bleiben. Ich pflege die Anfaͤnger viele dergleichen Kunſt⸗ ſtuͤcke rechnen zu laſſen. Denn 1) die⸗ 4 —R 28 Drittes Kapitel. 1) dienen ſie zur Uebung i im Addiren und Subtrahiren zugleich. 2) Koͤnnen ſie ſelbſt am Ende ſehen, ob ſie richtig gerechnet haben, oder doch den begangenen Fehler, deſſen Gegend ihnen durch die abweichenden Ziffern in der zuletzt erhaltenen Reihe ziemlich genau angezeigt wird, ſelbſt aufſuchen und verbeſſern. Denn ſo bald am Ende eine unrichtige Ziffer uͤbrig bleibt; ſo darf man nur ſogleich dieſe Saͤule und etwa noch. die vorhergehende nachrechnen. 39) Rechnen die Anfaͤnger ſehr gern auf dieſe Weiſe. Das Wiederhervorgehen einer ſchon vor⸗ handenen Reihe, und die daraus entſtehende Gewiß⸗ heit von der Richtigkeit ihrer ganzen Rechnung, pflegt ihnen kein geringes Vergnuͤgen zu gewaͤhren. Bepy den Beyſpielen in §. 87. zeigen ſich uͤber⸗ dies waͤhrend des Rechnens ſelbſt ſolche Reihen, die den Kindern zu einigen ihnen angenehmen Bemer⸗ kungen Gelegenheit geben, als eine Reihe von einer⸗ ley Ziffern, oder von irgend einer andern in die Au⸗ gen fallenden Ordnung. Auſſer dieſen Beyſpielen kann man nun auch noch die Uebungsaufgaben zur Addition zur oͤftern Wiederhohlung dieſes Kunſt⸗ ſtuͤckes gebrauchen laſſen. §9. 87. §. 88. *9. 89. Subtrahiren ohne Unterſchreiben. Auch bey neben einander geſchriebenen Zahlen usr ſch das Subtrahiren ganz gut verrichten, wenn man on in mit ein ſtehen, Myke N Prgend Druntet Fale, n ſehen ſi — - Much ein Je Ven oder ſen, len hen hſe N Nrſer a Wie beym Runn Ns 4 R ſ hre R Mirn u ſchen, d ſ 7 den begengenen iechweihenden eeniihgenn erbeſem Den er ubrig eit; und en n gen af i ner ſhon do ſihede Cerſß Nechung N ewahren ſigen ſiie ge Nen d. ehnen Veng⸗ Nie mrintr derin de ⸗ ſen Beſten geiglte 17 ben. ceren N ſchten, nichten, . Vom Subtrahiren. 29 man in der abzuziehenden Zahl alle die Ziffern mit einem Finger bedeckt, welche an hoͤhern Stellen ſtehen, als diejenige, ſo man jedesmahl abzieht. Man kennt dieſes Huͤlfsmittel ſchon aus *§. 67. Nicht ſelten hat man, beſonders in zuſammen haͤngenden Rechnungen, eine Zahl von einer gerade darunter ſtehenden abzuziehen; wie in dem folgenden Falle, wenn uͤber 1752 etwa ſchon andere Zahlen ſtehen ſollten. — — waren daher noch 1 7 5 2 †β. Verluſt. Nach einem Gewinnſt von 2.0. 0. 0 Xπι. aber hat man nun 2 4 8 X. Gewinn. „H. 90 Subtrahiren im Kopfe. Jede einſtellige Zahl von einer andern einſtelli⸗ en oder auch zweyſtelligen Zahl im Kopfe abzuzie⸗ den „lernt man ſchon bey dem bisherigen ſchriftli⸗ chen Abziehen; und zur Erleichterung dienen die in §H. 81. angezeigten Huͤlfsmittel. Iſt dabey die Zahl, wovon man abziehen ſoll, groͤßer als 20, ſo verfahre man auch dabey eben ſo, wie beym ſchriftlichen Rechnen, z. B. Iſt 8 von 63 abzuziehen, ſo denke man: 8 von 13 bleibt 5, von 63 alſo 55. Iſt 6 von 44 abzuziehen, ſo denke man: 6 von 14 . bleibt 8, von 44 alſo 38. HW Oder wenn dies zu ſchwer ſallen ſollte; ſo vet⸗ fahre man auf folgende Weiſe. 30 Drittes Kapitel. Vom Subtrahiren. Bey 8 von 63 abzuziehen, denke man: 8 von 60 bleibt 52, von 63 alſo, 55. Bey 6 von 44 abzuziehen, denke man: 6 von 40 bleibt 34, von 44 alſo, 388. 9 Hierbey braucht man naͤhmlich nur alle Reſte von 10 recht fertig inne zu haben. Weiß man dieſe, ſo weiß man auch ſogleich 5z. B.. 30 zo 30 60 80 weniger 2 3 4 f „ Mrre bleibt 38 47 206 f5 74 D Denn 2 von 40 bleibt 38; indem2 von 10 noch 8 bleibt. niſe, Ferner, 3 von bleibt 47; indem 3 von 10 noch 7 bleibt. n S w. . inge Ei Soll man eine zweyſtellige Zahl von einer mgin andern zwey⸗ oder dreyſtelligen abziehen; ſo ſucht man herchiedene ſich der abzuziehenden Zehner zuerſt zu entledigen, en und gebraucht dabey die ſchon bekannten Ausdruͤcke. . Iſt 36 von 84 abzuziehen; ſo bleibt, nachdem Frin zuvoͤrderſt die 30 von den 80 abgenommen ſind, noch M das 6 von 54 abzuziehen uͤbrig, und das laͤßt 48. Ganz geläu Iſt 45 von 108 (8 und 10 zig) abzuziehen; ſo bleibt, zuvoͤrderſt die 4 zig von 10 zig abgenom⸗ dreyſche men, noch 5 von 68 abzuziehen uͤbrig, und das ie dieen Auch dreyſtellige Zahlen kann man bisweilen Anlnſ ſehr leicht im Kopfe von einander abziehen, z. B. aſrehſ 120 von 180, als 12 zig von 18 zig, bleibt 6 zig. rtet Piertes bueßie. en N ,55. nant 6 on , 30. me dle Ne⸗ Vißmm de⸗ 1 – £ — — on 1o rc en 1o s . 1 ſn. 1 Zul wnin n ſitn⸗ atedig unn Nci ebe, nhn⸗ mmen inden s lit 4. 8 Viertes Kapitel. Vom Multipliciren. R §. 91 — §. 93. 9. 94. Mit Uebergehung aller Spielereyen, die man zur Beybringung des Einmahleins erdacht hat, und fuͤr die gewoͤhnlichſten Lehrer und Schulen weder rathſam noch anwendbar finden moͤchte, will ich hier, naͤchſt den wichtigen Voruͤbungen in *H. 52. nur Linige Erleichterungen angeben, wie ſie jeder Lehrer, auch in zahlreichen Rechenklaſſen, mit Schuͤlern von verſchiedenen Faͤhigkeiten und Fortſchritten gebrau⸗ chen kann. 1) Man laſſe den Schuͤler das zfache niche eher erlernen, als bis er das 2fache vollkommen inne hat; das Afache nicht eher, als bis ihm das 3 fache ganz gelaͤufig iſt, u. ſ. w. 2) Zu der Zeit, wo er mit Erlernung des Zweyfachen und Dreyfachen beſchaͤkftigt iſt, kann er die Additionsaufgaben §. 66. No. 21. bis 30. und No. 52 bis 63 rechnen; und die Multiplications⸗ Aufgaben §. 98. No. 1 bis 17 dienen aufs neue zur Wiederholung dieſer 2⸗ und 3ſachen Producte. Iſt er mit Erlernung der Afachen beſchaͤftigt, ſo rechnet er die Aufgaben No. 18 bis 21 u. ſ. w. 32 Viertes Kapitel. Iſt ein Anfaͤnger auf dieſe Weiſe etwa eine ganze Stunde hindurch mit dem Gebrauche, z. B. bloß der 3fachen Producte beſchaͤftigt geweſen; ſo kann es faſt nicht fehlen, daß ihm nicht, auch außer den Lehrſtunden, einige von dieſen ſo oft gebrauchten Saͤtzen, durch den Kopf gehen ſollten, und zwar rich⸗ H tig und ohne Verwirrung, da es nicht mehr als ſie⸗ ben Saͤtze ſind. 3) Eine oder auch mehrere Lehrſtunden hin⸗ nem gewiſſen Vielfachen auf die eben gezeigte Weiſe beſchaͤftigt wird, erlaube man es ihm ſehr gerne, ſich den dieſe Vielfachen enthaltenden Abſatz des Ein⸗ was er gebraucht, geradezu daraus hernimmt. anfangs die einzelnen Abſaͤtze nach und nach, ſo wie er nach dem eben geſagten damit beſchaͤftigt iſt, und dann am Ende auch das ganze Einmahleins, der nigſtens nicht, wie man es bey einem etwas großen Haufen anders anfangen ſollte, um ohne großen Zeit⸗ aufwand zu erfahren, ob das Aufgegebene erlernt ſey. mahl 7 iſt 14, 2 mahl 8 iſt 16, 2 mahl 9 iſt 18, 2 mahl 8 geſagt iſt, hinzuſetzen — ſechzehn. In⸗ deſſen gebe man den Schuͤlern= 1 durch, worin der Schuͤler zum erſten Mahle mit ei⸗ mahleins aufzuſchreiben, oder auch aus der Tafel im Rechenbuche zu nutzen; ſo daß er jedes Vielfache, 4) Zur voͤlligen Sicherheit muß der Schuͤler Reihe nach zu Hauſe lernen, und in den Lehrſtunden ebenfalls der Reihe nach aufſagen. Ich wuͤßte we⸗ Und wenn unſere Lippen nur ſehr oft geſagt haben, 2 u. ſ. w. ſo werden wir auch auſſer der Reihe, ſo bald ⁵) 6,7, 97 des lenen verfuher. b nach a Nermahl 4 Uermahl lhren mun 6)ber tihe and Meſpo Cuch af di hegen die Zall deſto 360 eins rlckva hin gechril Mnnitdf ſll, wenn Mten noch zwe, chnir denk en 4Eti D in den emocht hen daß N emocee. . Vom Mutltiplieiren. 33 Veſe nia 5) den Rath, daß ſie die Zahlen, 2, 3, 4, 5, Dhrace, „ 6, 7, 8, 9, 10, recht deutlich geſchrieben, waͤhrend i gnen des Lernens vor Augen nehmen, und nach der Reihe nct h verfolgen. Sie heften naͤhmlich ihren Blick nach eſgun und nach auf 4, 5, 6 ꝛc. indem ſie z. B. lernen: emß viermahl 4 iſt ſechzehn, viermahl 5 iſt zwanzig, cenes viermahl 6 iſt vier und zwanzig ꝛc. Schreibt man ihnen nun auch Ceheirnn ie 6) beym oͤffentlichen Aufſagen eben dieſe Zah⸗ lenreihe an die Tafel; ſo werden ſie ſich von ſelbſt die 1 Muͤhe erſparen, beym Erlernen des Einmahleins m auch auf die Ordnung der Saͤtze zu achten, und dagegen die Vorſtellung der Vielfachen einer jeden Zahl deſto mehr an die Zahl ſelbſt heften. eS. 29) Endlich laſſe man ſie auch das Einmahl⸗ Smm eins ruͤckwaͤrts herſagen; indem ſie ebenfalls die vor⸗ hin geſchriebene Zahlenreihe vor Augen behalten. Marn wird finden, daß ihnen dieſes eben nicht ſchwer “ faͤllt, wenn No. 5 und 6 beobachtet iſt. §H. 9 5⁵. §. 96. 3 snt Indem ich zu den einmahl hingeſetzten 4 Stuͤcken „W WNI TE beegttid noch zwey mahl 4 Stuͤck hinzugeſetzt habe; ſo kann ich mir denken, daß ich zu jedem einzelnen der er⸗ e ſten 4 Stuͤcke noch 2 hinzugethan, alſo jedes Ein⸗ zelne in den erſten 4 Stuͤcken gleichſam zu 3 Stuͤck e gemacht habe. So erhellet es ſehr uͤberzeugend, 1 gene daß jede 3 mahl 4 Stuͤck auch 4 mahl 3 Stuͤck Sausmachen. Vä 3 C Auuufs N1 Viertes Kapitel. einmahl 3 Stuͤck. Denn indem man 4 Stuck hinſetzet dreymahl; ſo wird ja auch jedes einzelne der 4 Stuͤcke 3 mahl hingeſetzt. Und da ſchließt man: Dreymahl 4 Stuͤck ſind 3 mal 1EStuͤck, noch 3 mal 1St. noch 3 mal 1St. u. noch 3 mal St. alſo 3 St. u. noch 3 St. u. noch 3 St. u. noch 3 St.; und das ſind auch qmal 3 Stuͤck, noch 1 mal 3 St. noch 1 mal 3 St. u. nochn 1 mal 3St. ſind alſo auch viermahl 3 Stuͤck. „ *§. 9 — 100. *O. 101. 3 und 8 heiſſen auch Factoren von 24, in ſo fern 3 und 8 in einander multiplicirt das Product 24 geben. Auch kann man 24. z. B. in die drey Factoren 3 und 2 und 4 zerfaͤllen; denn 3 mahl 2 mahl 4 iſt 24. (Naͤhmlich, 3 mahl 2 iſt 6, und 6 mahl 4 iſt 24). Mit Fleiß habe ich des Nah⸗ mens der garroren bey den erſten Anfaͤngern nicht ſogleich erwaͤhnen wollen. Der verſtaͤndige Ge⸗ brauch dieſes Wortes, welches den Begriff des Mul⸗ tiplicators und des Multiplicanden umfaßt, ſetzt ſchon einige Uebung i in dieſen Begriffen voraus. Es iſt daher auf Seite 67. §. 126. uerſt bekannt ge⸗ Macht und gebraucht. Aufs genauſte betrachtet, gruͤndet man ſich dabey auf die voͤllig klaren Saͤtze: daß dreymahl 1 Stuͤck ſind 3 Stuͤck, und dieſe 3 Stuͤck dann auch ſind nni die eni Hul famnger e Whplc ſoſicge na e fordert der g Man r Erleich erfinderich Veßhoden aufzuſchre 1. habe geih ſhenf. ufinnt; mnan ober ei Nuligicata 1²) 19; 1 wiedeume ein ſern Ut ſertigen P einn ſc nm Erde in el de e Unbe⸗ Uen, 8 in ſehe ge⸗ df⸗ kaut, Ud neniͤe eit detmaenſce hmehl dt. faͤnger recht ausdruͤcklich bemerken zu laſſen, daß der i dumn uhſ zinſtet an 14 Sic zn ſid 1GSt... vgzwnd Et. 1. nde. 36., 1 wlri ten n i Get e Mu zBi Ne en; N m uf ngfi gabe icd eN en nge n t riunie d e Vom Multipliciren. 35 Haͤlt man es fuͤr noͤthig, ſogleich die erſten An⸗ Multiplicator nie eine benannte Zahl ſeyn koͤnne; ſo frage man ſie, ob es einen Sinn habe, wenn man etwa fordern wollte, 8 zu nehmen 3 — mahl! oder 8 α zu nehmen 3 Quentchen mahl! §F. 102 — 3 127. * §. 12 Man hat noch manhee, andere Kunſtgriffe zur Erleichterung des Multiplicirens erſonnen. Der erfinderiſche Herr Vicum hat beſonders auf ſolche Methoden gedacht, wobey man nur wenig Zahlen aufzuſchreiben braucht. Das Verfahren in §. 127. habe ich zuerſt von ihm gelernt, ob es gleich ebenfalls ſchon in aͤltern Rechenbuͤchern vorkoͤmmt; und ich halte es fuͤr gut. Wenn man aber ein eigenthuͤmliches Verfahren fuͤr die Multiplicatoren 21; 31; 41 ꝛc. ein anderes fuͤr 12; 13; 14 ꝛc. noch ein anderes fuͤr 121; 131 ꝛe. wiederum ein anderes fuͤr 211; 311 ꝛc. abermahls ein anderes fuͤr 201; 202 ꝛc. u. ſ. w. u. ſ. w. bis zur fertigen Anwendung erlernen und behalten ſoll; ſo erfordert das ein ganz eigenes Studium, welches g— ſich am Ende nicht belohnt. Man muß ja doch alle die Zahlen denken, im Hopfe behalten, und auf eine unbequeme Weiſe im Kopfe zuſammen ad⸗ diren, die man bey etwas fertigem Zahlenſchreiben in ſehr großer Geſchwindigkeit dem Papiere anver⸗ traut, und ſo mit weit groͤßerer Sicherheit und Be⸗ quemlichkeit behandelt. Mehrentheils erreichen doch wohl diejenigen Wanderer am ſpaͤteſten das Ziel ih⸗ C 2 rer Viertes Kapitel. rer Reiſe „welche allenthalben nach Fußſteigen fra⸗ gen; und beſonders iſt es einem jeden, der waͤhrend des Weges auf die ganze Abſicht ſeiner Reiſe zu den⸗ ken hat, gar ſehr anzurathen, daß er auf der Land⸗ ſtraße bleibe, oder doch nur ſolche Richtwege einſchlage, die ſich ihm ganz ungeſucht darbieten. Es gehoͤrt auch ein ganz beſonderes Rechengenie dazu, ſo vieler⸗ ley Kunſtgriffe beſtaͤndig gegenwaͤrtig zu haben; und auch ſehr vielen guten Koͤpfen fehlen die Gaben, de⸗ ren Mangel Herr Vicum ein duͤſteres Genie zu nen⸗ nen ſcheint. Dieſe werden bey den meiſten, von dieſem eifrigen Rechenmeiſter vorgeſchlagenen Richt⸗ wegen, einen großen Aufenthalt finden. Eben ſo uͤbergehe ich andere gar zu kuͤnſtliche Kunſtgriffe, die dem groͤßten Haufen der Rechen⸗ ſchuͤler nicht zu empfehlen ſind. Wer zur gluͤcklichen Anwendung ſolcher Kunſtgriffe geſchickt iſt, wird ſie zu rechter Zeit von ſelbſt erfinden, wenn er nur mit Verſtand und Ueberſicht ſeines Zweckes rechnet. Auch wird die Buchſtabenrechnung ihren meiſten ahſimni 5 Schuͤlern unter andern auch den Vortheil gewaͤhren, daß ſie die Richtigkeit und Allgemeinheit vorgeſchla⸗ gener oder vermutheter Rechnungsverkuͤrzungen 1 leichte pruͤfen koͤnnen. Einige vortheilhafte Multiplicationen verſpare ſch fuͤr den zweyten Theil. Hier will ich nur noch der Neperſchen Rechenſtaͤbe erwaͤhnen. Sie werden nicht nur ſehr oft genannt; ſondern es koͤnnte allerdings wohl der Muͤhe werth ſeyn, ſich an ihren Gebrauch zu gewoͤhnen, wenn man man oft ſehr vien Mar 6 dor den ebgedruck ahnlche 1 er es iſ⸗ (en, nodt ſüdet wen ſhe. N begnemeren ſtie ge Pfegen. de hier e Ilimmti de Ae⸗ chnet. Sl erſte N daranfdie neben den der der der der⸗ el der erſten 4097, ſuſt, wiͤhlenſe rade unter es alsden Fußſteigenft 1, der wührn Nien de⸗ f M ind wegeinſc, en. E ger daſd ſ ite⸗ g zu haben mn dee Gale es Geniein en meiſn, W ſhlgenn N den. rp fſice uf ſen de e er ur tin gickiſt, ſt ven e uni Nveckes 5 85 tfne⸗ g ihn n nrilo hrthe i 4 ihen rtetanſche ngsretunn⸗ . liun 4 be geront de dRi u n nen, ni Vom Multipliciren. 37 man oft in den Fall koͤmmt, daß man Zahlen von ſehr vielen Ziffern zu multipliciren hat. Man klebt das Einmahleins in der Form wie es vor dem Tittelblatte dieſes Handbuches, Fig. 1. abgedruckt iſt, auf Pappe, Holz, Blech oder eine aͤhnliche duͤnne und feſte Scheibe, und zerſchnei⸗ det es in ſeine 10 Saͤulen (naͤhmlich nach den Stri⸗ ſondert werden); ſo hat man die Neperſchen Rechen⸗ ſtaͤbe. Nur habe ich des, meinem Beduͤnken nach, bequemeren Gebrauches wegen, die Saͤulen etwas ſchraͤge gezeichnet, da ſie ſonſt gerade auf zu ſtehen pflegen. (Sturm in ſeiner Matheſi iuuenili ſucht die hier abgezweckte Bequemlichkeit durch gewiſſe Illumination der Staͤbe zu erhalten). Auch habe ich die Querſtriche mit Steis vorzuͤglich ſtark ge⸗ zeichnet. Soll man nun z. B. 4097 durch 753 mul⸗ tipliciren; ſo legt man diejenigen vier Staͤbe, deren oberſte Ziffern 4,0, 9,7 ſind, neben einander, und darauf die erſte Saͤule davor, wie es die 2te Figur neben dem Titel darſtellt. Dann findet man neben der 3 der erſten Saͤule ſogleich das 3fache, neben der 5 der erſten Saͤule das 5fache, und neben der 7 der erſten Saͤule das 7 fache des Multiplicanden 4097. Indem man ein ſolches Vielfaches ab⸗ ſchreibt, addirt man ſogleich die (bey der hier ge⸗ waͤhlten ſchraͤgen Lage der Saͤulen) ziemlich ge⸗ rade unter einander ſtehenden Ziffern, und ſchreibt es alsdann dergeſtalt auf, daß man durch das gehoͤ⸗ C 32 rige chen, wodurch die oberſten Ziffern von einander ge⸗ Fuͤnftes Kapitel. rige Einruͤcken das Sfache zum zofachen, und das Yfache zum 700 fachen macht, naͤhmlich 12291 (als 3 mahl 4097) 20483. (als z0 mahl 4097) 28679 . (als 700 mahl 4097) ſ hat man⸗ die Summe 30350 3085041 als 753 mahl 4097. Da in manchem Multiplicanden eine Ziffer mehrere Mahle vorkoͤmmt, z. B. 5 in 4595; ſo muß man mehrere ſolche Tafeln, als die erſte Zeich⸗ nung vor dem Titel darſtellt, verfertigen und d zer⸗ ſchneiden. Funftes Kapitel. Dom Dividiren. (E§. 120. De Halfte von 6 iſt 3; denn 2 mahl 3 iſt 6. Die Haͤlfte von 14 iſt 7; denn 2 mahl 7 iſt 14. Die Haͤlfte von 24 iſt 12; denn 2 mahl 12 iſt 24. Das Drittel von 12 iſt 4; denn 3 mahl 4 iſt 1,. Des Drittel von 6 iſt 2; denn 3 mahl? iſt 6. Das Viertel von 12 iſt 3; denn 4 mahl 3 iſt 2 12. Das Viertel von 20 iſt 5; denn 4 mahl 5 iſt 20. Das Fuͤnftel von 10 iſt 2; denn 5 mahl 2 iſt 10. M . So wird man die Haͤlfte, „ das Dritcel, d das Vietel, das Fuͤnftel, das Sechstei u. ſ. neh⸗ nehrerne Auch leyg 4 hüowien ſ De! Dennb42 und z2 be lahnich a Faſt Dütel 32 don 900, Diittel ve iſt 202; iſt das Vi in dod niel befann Jnan Deriber ach lni 74 E ver iſtcht lchen Fog tarh gec heien ole bet fun uf le Rdet hlneh und hinterd . ſochen, mi mich 1 1) iN unden a R in h ss de e kfatgn — el Vom Dioidiren. 39 mehrern andern Zahlen ohne Muͤhe angeben koͤnnen. Auch bey großen Zahlen laſſen ſich dergleichen Theile bisweilen ſehr leicht beſtimmen. Z. B. Die Haͤlfte von 642 iſt ohne Zweifel 321. Denn 642 beſteht aus den drey Theilen 600 u. 40 u. 2, und 321 beſteht aus den Haͤlften dieſer drey Theile, naͤhmlich aus 300 und 20 und 1. Faſt eben ſo leicht kann man von 963 das Drittel 321 angeben. Denn 300 iſt das Drittel von 900, und 20 das Drittel von 60, und 1iſt das Drittel von 3. Ferner: der vierte Theil von 808 iſt 202; denn 200 iſt das Viertel von 800, und 2 iſt das Viertel von 8. Wenn ſich alſo 4 Perſonen in 808 * dergeſtalt theilen ſollen, daß ſie alle gleich viel bekommen; ſo wird jeder 202 0. erhalten. *. 13 r. “L In andern Faͤllen muß man ſchon etwas mehr daruͤber nachdenken. Z. B. Es ſollen ſich 2 Per⸗ ſonen in 74 Aepfel theilen, wie viel bekommt jeder? Es verſteht ſich hier und bey allen folgenden aͤhn⸗ lichen Fragen von ſelbſt, daß die Perſonen den Vor⸗ rath gleichmaͤßig, oder dergeſtalt unter ſich ver⸗ theilen ſollen, daß alle gleich viel erhalten. Schrei⸗ bet nun auf folgende Weiſe: 274]1 die zu vertheilende Anzahl zwiſchen 2 Striche. Setzet die 2 als die Anzahl der theilnehmenden Perſonen vor den erſten Strich, und hinter den zweyten ſchreibet zwey Puncte. Da naͤhmlich die zu vertheilende Anzahl aus 7 Zehenden und 4 Enzelnen beſteht; ſo ſeuet C 4 eun 40⁰ Fuͤnftes Kapitel. euch vor, der erſte Punct hinter dem Striche frage, wie viel Zehend, und der zweyte, wie viel Ein⸗ zelne bekommt ein jeder? Die Ziffer, welche die erſte Frage beantwor⸗ tet, wird alsdann unter den erſten, und die Ziffer, welche die zweyte Frage beantwortet, unter den zweyten Punct geſchrieben. Wie nunmehr, nach dieſer vorlaͤufigen Ein⸗ richtung, die Fragen ſelbſt nach und nach beantwor⸗ tet werden, erhellet hinlaͤnglich aus §. 132 und 133. §F. 132 — §. 134. *9. 137. Der Anſatz des Exempels in §. 134. iſt folgender: 219536]*. denn jedesmahl werden hinter den letzten Strich eben ſo viele Duncte geſetzt, als die zu verthei⸗ lende Anzahl Stellen einnimmt. . Hier fraͤgt nun der erſte Punct, wie viel auſende, der zweyte, wie viel Hunderte, der dritte, wie viel Zehende, und der vierte, wie viel Einzelne erhaͤlt eine jede PBerſſon: Auf jede dieſer Fragen gehoͤrt eine Antwort; und man muß es den Anfaͤngern zum Geſetz machen, eine jede von dieſen Fragen einzeln zu beantworten. Die Antwort beſteht darin, daß man nach und nach unter jeden dieſer Fragepuncte die gehoͤrige Ziffer ſchreibt, die nun nach folgenden Schluͤſſen gefun⸗ den wird. (Man nehme die Rechnung in §. 6. vor Augen). = V HD G Wenn Peherach Ver niel Cuin bekinnen! bgte heknn 1Nlh,d. lten 9 Nauſende Un an Nrheien er ne, und dunn hn Pupelz Pe⸗ un, en hunde 1nufl/, Oderena lngihigl N di hend ienn Ortein n Stiei wie viel d Zeng hutnn , dezſ Nrtet, ue N orlitin i nd noc kene ipurg 4 N n en pu R ardar N Ne imn, w Nuſe! in n b nin 1 vonto Nnchunt hirhe eng 4 = 4 = ee =☛ 9 =. iſ nung Vom Dididiren. 4 Wenn theilnehmende Perſonen da ſind, wie viel Tauſende kann ein jeder von 9 Tauſenden bekommen? Antwort. 4 Tauſende. Denn alle beyde bekommen alsdann zuſammen genommen 2 mahl 4, d. i. 8 Cauſende; und dieſe hiermit ver⸗ theilten 8 Tauſend laſſen, von den vorhandenen Nauſend abgezogen, nur noch 1 Tauſend uͤbrig. Um auch dieſes uͤbrig gebliebene une Tauſend vertheilen zu koͤnnen, betrachte ich es als 10 Gun⸗ derte, und indem ich auch die im Vorrathe vorhan⸗ denen 5 Hunderte herunterziehe; ſo ſtehen mir uͤber⸗ haupt 15 Hunderte zur Vertheilung vor Augen. 2 Perſonen bekommen nun von 15 Hunder⸗ ten, ein jeder, wie viel Hundert: Antwort: 7 Hundert. Alle beyde zuſammen erhalten alſo 2 mahl 7, d. i. 14 Hundert, welche von den 15 Hunderten abgezogen noch 1 Hundert zur Verthei⸗ lung uͤbrig laſſen. Zu dieſem uͤbrigen 1 Hundert oder 10 Ze⸗ henden auch noch die im Vorrathe vorhandenen 3 Ze⸗ hend heruntergezogen, hat man 13 Zehend zur Vertheilung vor Augen. Davon bekommt ein jeder? Antw. 6 Zehend; alle beyde zuſammen erhalten alſo 2 mahl 6, d. i. 12 Zehend, und nachdem ich dieſe 12 Ze hend wirk⸗ 1 lich weggegeben habe, ſo bleibt mir nur noch 1 Ze⸗ hend uͤbrig. Hierzu noch die 6 Einzelnen aus dem Vorrathe heruntergezogen, ſtehen mir uͤberhaupt noch 16 Ein⸗ zelne zur Vertheilung vor Augen. C 5 Davon — 42 Fuͤnftes Kapitel. Dovon bekommt ein jeder? Antw. 8; denn 2 mahl 8 iſt 16. Nachdem ich auch dieſe 16 weg⸗ gegeben habe, ſo bleibt mir von dem ganzen Vor⸗ rathe nichts mehr uͤbrig; ſondern er iſt nun gaͤnzlich unter die beyden Perſe onen, und zwar gleichmaͤßig ver⸗ theilt, ſo daß der eine eben ſp viel erhalten hat. als der andere. §. 1 36. . Die in §. 136. Boſundene Antwort iſt: jeder bekommt o892 *½., das iſt nichts mehr und nichts weniger als 892 .; daher man die zur Linken ſte⸗ hende . gaͤnzlich wegloͤſchen kann. Dennoch war es gut, daß ſie anfangs hingeſchrieben wurde. Denn der Anfaͤnger kann vieler andern, weit ſchwierigern Regeln uͤberhoben ſeyn; wenn er ſich (bis zu hin⸗ laͤnglicher Fertigkeit im Dividiren) ſtrenge daran haͤlt, daß er eden ſo viel Puncte hinſchreibt, als die 5 Zahl, wodurch der zu vertheilende Vorrath ausgedruͤckt wird, Srellen hat; und wenn er es ſich alsdann zum Geſeß macht, unter jeden dieſer Fra⸗ gepuncte irgend eine Ziffer, ſollte es auch nur eine o ſeyn koͤnnen, zur Antwort hinzuſchreiben. Natuͤrlich iſt es doch auch, nach den Tau⸗ ſenden zu fragen, die einem jeden zufallen koͤnnten, ſo bald in dem Vorrathe Tauſende vorkommen: wenn man es gleich bald genug einſieht, daß freylich keiner auch nur ein Tauſend erhalten kann, wennn die Anzahl der vorhandenen Tauſende geringer iſt, als die Anzahl der gleichmaͤßig theilnehmenden Per⸗ . ſonen. Ferner er mnein nic loſſet nede deltnde Zf dn gleichfe tel eie ort de beid nanja tur: ſehlern ſche epunete ge 6, de ſon ſporſene Des gfnden Vand ; Pene nahl1 e ene Uen r oh . uch ltn den gne riſt muͤt tetchned⸗ rgkihniir twen i. die r hat t Grii L nes e n Ema Uncte ſe N hheiledt I Ve 1 d ouge eden NN 6 4 8 e uns Vom Dividiren. 43 Ferner iſt eine ſolche Antworksziffer unge⸗ mein wichtig und darf ſchlechterdings nicht wegge⸗ laſſen werden, wenn ſie ſchon eine andere ſelbſtbe⸗ deutende Ziffer zur inken hat. So werden wir in dem gleichfolgenden Exempel §. 139. finden, daß der Antheil eines jeden 24050 betraͤgt. Wenn man nun dort die beyden Nullen nicht anſetzen wollte; ſo haͤtte man ja nur 245 und nicht 24050. Vor dergleichen Fehlern ſichern aber offenbar die vorgeſchlagenen Fra⸗ gepunete gar ſehr, und gerade dergleichen Fehler ſ ſind es, die ſonſt von den Anfaͤngern im Dividiren am ſchwerſten erkannt und vermieden werden. H §. 13 §, §. 139. *6. 140. Die Schluͤſſe, wodurch in §. 1 39. die Anmper. ten i geſanden werden, ſind folgende: Von den 7 Zehntauſenden bekommt jeder von den 3 Perſonen? Antw. 2 Zehntauſende: denn 3 mahl 2 Zehntauſende ſind 6 Zehntauſende, und dieſe weggegeben, bleibt mir von den 7 Zehntauſen⸗ den nur noch 1 Zehntauſend uͤbrig. Dazu die folgenden2 Tauſende heruntetgezo⸗ gen, hab ich 12 Tauſende zur Verthelung vor Augen. Davon bekommt ein jeder? Antw. 4. Denn 3 mahl 4 tauſend ſind 12 tauſend, und dieſe von den vorhandenen 12 tauſend weggegeben, bleibt mir gar kein tauſend weiter uͤbrig. Ich ziehe nunmehr das folgende 1 SHundert herunter. Da nun drey Perſonen gleichmaͤßigen An⸗ ſpruch darauf machen; ſo kann keiner auch nur 1 Hundert bekommen. Die Antwort iſt alſo daß j ie der o Hundert bekommt. Ich ſchlage daher das noch nicht vertheilte 1 Hundert zu den heruntergezogenen 5 Zehenden; ſo hab ich uͤberhaupt 15 Zehend vor Augen. Davon bekommt ein jeder? Antw. 5 Zehend. Denn 3 mahl 5 Zehend ſind 15 Zehend. Und wenn dieſe wirklich weggegeben ſind, ſo bleibt mir gar kein Zehend weiter uͤbrig. Von den nunmehr heruntergezogenen o Ein⸗ zelnen bekommt jeder? Antw. ο Einzelne. Da⸗ her die o zur Beantwortung des letzten Fragepunctes angeſchrieben wird. §. 141. §. 142. *§. 143. Nicht allemahl geht es bey dergleichen Verthei⸗ lungen am Ende ſo gut auf, wie in den bisherigen Beyſpielen, wo uns von dem Vorrathe niemahls etwas uͤbrig blieb, ſo bald wir die letzte Frage beant⸗ wortet hatten, wie viel Einzelne ein jeder erhalte? Man ſtelle ſich nur den leichten Fall vor, daß wir 7 Aepfel unter 2 Perſonen vertheilen ſollen, ſo daß beyde gleich viel bekommen. Mehr als 3 kann man doch einem jeden an ganzen Aepfeln nicht geben. Und wenn man das gethan hat, ſo bleibt der 7te Apfel noch uͤbrig. ohne On Ppfel inz zerſchrehen deihen ehnnt; Aievon Sulen Uitden einen len den als ien icden n en Viren würde ein Und dann n llen niſ Denn Il, und N 8 — 4, 3. — 12 — 2 ſudere die l erg, is en 4 e 1 hnhert ihnißige l er alch e ſ ilſe, daß p che vetele 5 zeheden Auge. ltn.; Aes gend. dden Ge mi gri henm En Engine d nnggn cen Beh denbehei⸗ mithe ſienis rne er ahat , daß i ln, 4 Ztum in rgben i der jte — e. e Vom Dididiren. 45 Ohne Zweifel muͤſſen wir den noch uͤbrigen Apfel in zwey gleiche Theile, in zwey Haͤlften zerſchneiden, um dann jeder Perſon noch ½ Apel, d. i. einen halben Apfel zu geben; ſo daß ein jeder uͤberhaupt 3 ¾ Apfel, d. h. 3 ganze und noch die Haͤlfte von 1nem Apfel erhaͤlt. Sollen ſich 3 Perſonen in 7 Aepfel theilen, ſo wuͤrden einem jeden fuͤrs erſte 2 Aepfel zufallen. Und von dem alsdann noch uͤbrigen 7ten Apfel gebuͤhrt einem jeden noch †½ Apfel, noch der dritre Theil von 1 nem Apfel. Waͤren 3 Perſonen und 8 Aepfel vorhanden, ſo wuͤrde ein jeder 2 ¼ Aepfel, d. h. 2 ganze Aepfel und dann noch den dritten Theil von 2 Aepfeln er⸗ halten muͤſſen. Z *§. 144. Wenn ich 344 . unter 3 Perſonen theilen ſoll, und zu dem Ende die drey Fragen, wie viel Hunderte, wie viel Zehende und 3 340 114¾ . wie viel Einzelne ein jeder be⸗ 32 kromme, nach dem ſchon bekann⸗ 4 ten Verfahren beantwortet habe; 3. ſo bleiben mir am Ende noch 2 k449 einzelne Thaler im Reſte, die ich 12 ebenfalls unter die 3 Perſonen — vertheilen muß. Ichzeige dieſes 2 dadurch an, daß ich zu dem ge⸗ fundenen Antheile 114 noch ¾ xE6ρ. hinzuſchreibe. Dieſer Ausdruck ½ v5. bedeutet alſo hier nichts an⸗ ders, als daß ein jeder noch den 3ten Theil von 2 Thalern erhalten ſoll. Wollte 46 Fuͤnftes Kapitel. Wollte man nun jeden von den beyden uͤbrigen Tha⸗ O △ lern, wie zur Seite vorgeſtellt iſt, in drey gleiche Theile zerthei⸗ len und jeder Perſon, von j⸗e⸗ GWM α dem der beyden Thaler, ein ſol⸗ ches Drittel geben; ſo haͤtte ge⸗ wiß ein jeder den 3ten Theil von den beyden ruͤck⸗ ſtaͤndigen Thalern erhalten. Zerſchneiden wird man freylich dergleichen Muͤnzen nicht gerne; ſondern da der dritte Theil ei⸗ nes Thalers 8 Groſchen verth iſt, ſo wuͤrde man lie⸗ ber einer jeden Perſon 2 mahl 8 Groſchen geben. Wie man dergleichen Bruͤche, dergleichen aus einem gleichſam zerbrochenen Ganzen ent⸗ ſtandene Theile, am bequemſten darſtellen koͤnne, davon wird erſt in der Folge geredet werden. Hier kam es nur darauf an, dem Anfaͤnger irgend ein verſchaffen. *0. 14 5/. 7 Eben ſo bedeutet nun Fl. den ten Theit von 3 Gulden, und ½ G. den oten Theil von 5 Pfun⸗ den: und es wird eben ſo * 9t. den 7ten Theil von 2 Groſchen bedeuten; 3 3 R. den 8ten Theil von 3 Pfennigen; „ Xr. den 12ten Theil von 3 Kreutzern; . den 2aſten Theil von Inem Thaler. §. 146 — §. 145. §. 149. Die Vorſtellungen, deren wir uns bisher ber dient haben, um den 2ten, 3ten, 4Aten ꝛc. Theil . einer ncn anß ih der ſen Hhe uiin . Filen der ſeug ner n hileſfte⸗ elan, die Uingr dun Mi Wſe Nr ign B her de det ene. Vonr Uunk e de e of ſec i Bild von der durch *. ausgedrücken Griße i4 Nm Derss ſn helr ) mdz Dery nußl ſeackt 4 futn nder) nd 00 0 den hade gich ſett iin Nreſcenes che, Mhit nen Gann 6 rſetn i nude. N N 4 Thel wm) V lmj, itn lvonz Katen. Vom Dididiren. 47 einer Zahl aufzufinden, ſind ohne Zweifel die bequem⸗ ſten, um den Anfaͤnger an das Verfahren zu gewoͤh⸗ nen, welches zum Dividiren gebraucht wird. Wollte man auch ſagen: eine Zahl durch 7 dividiren, heiße den 7ten Theil dieſer Zahl finden; ſo haͤtte man in der That eine Erklaͤrung gegeben, welche in ſehr vie⸗ len Faͤllen der Anwendung am naͤchſten liegt. Aber fuͤr noch mehrere, oder doch gerade fuͤr die ſchwierig⸗ ſten Faͤlle iſt es rathſamer ſich an diejenige Erklaͤrung zu halten, die man in §. 152. finden wird. Um die Anfaͤnger dazu vorzubereiten, ſehe man ſorgfaͤltig darauf, daß ſie in den Aufgaben §. 150. gerade nach der dortigen Vorſtellung verfahren; erinnere auch wegen der dort gebrauchten Ausdruͤcke ausdruͤcklich folgendes. Wenn waͤhrend der Beantwortung der Frage⸗ puncte bey der Diviſion z. B. die Frage entſteht, wie oft ſteckt 7 in 19? ſo ſey ihre Antwort: 2 mahl, und 5 bleiben noch uͤbrig. Oder es werde gefragt, wie oft ſteckt 8 in 35? ſo ſey ihre Antwort: ꝗ mahl, (denn 4 mahl 8 iſt 32) und 3 bleiben noch uͤbrig. Oder wenn gefragt wird, wie viel hundert⸗ mahl ſteckt 8 in 35 hundert? ſo ſey ihre Antwort: 4 hundertmahl (denn 4 hundertmahl 8 iſt 32 hundert) und 5 hundert bleiben noch uͤbrig. §. 150%— §. IF4. Ich will doch die beyden Erklaͤrungen, de⸗ fen ich in *9. 149. erwaͤhnt habe, neben einander 48 Fuͤnftes Kapitel. ſtellen. Es ſind die gewoͤhnlichſten, auch meiner Ein. uß mme ſicht nach, die beyden beſten; und was ich hier ganz egich/ gemeinverſtaͤndlich von ihnen beybringen werde, kann mamnne, vielleicht andern viele Zeit erſparen. eml ſin Man kann I ſagen: eine Zahl z. B. durch Oer 4 dividiren, heißt ihren 4ten Theil finden. Uſeld 14 . ☚ hen) geraden Dann iſt der gefundene Quotient des Divi⸗ ena . ch 4 maht denden 4ter Theil, fuͤr den Diviſor 4. in Oder II: mit 4 in eine andere Zahl divi⸗ mien i diren, heißt eine Zahl finden, welche anzeigt, Cnnc wie oft jene 4 in der andern ſteckt. Dann iſt der gefundene Quotient eine Zahl, S welche anzeigt, wie oft der Diviſor im Divi⸗ (ſnbtit denden ſteckt. *§. 156. udante . Haͤtte man nach I gefunden, daß der ate ien ſene CTheil des Dividenden (12) iſt 3; ſo weiß man di eben dadurch, daß 4 mahl 3, folglich*) auch 3 mahl Quenhen 4, den Dividenden ausmacht, alſo 4 im Dividen⸗ End Hat man dagegen nach II gefunden, daß san 4 im Dividenden (12) 3 mahl ſtecke; ſo weiß een w man eben dadurch daß 3 mahl 4, folglich auch Nl 4 mahl 3, den Dividenden ausmacht, alſo der 4te 4 en Theil des Dividenden iſt 3. 1 ir Beyde Schluͤſſe behalten auch ihre Richtigkeit, fuimng⸗ wenn man mit benannten Zahlen rechnet; z. B. Haͤtte man nach 1 gefunden, der 4te i, Theil des Dividenden ſey 3 QOuentchen; w . 690 4 ,anchnin; dwes ihſe ringenorns 1. zahl in noteen el⸗ wiſor ander r 1,welcens ſtek: R Diriſrd⸗ 13: iuf⸗ zic 8 ſſonn I gine hl ſckhi ie ſe nden/ 1 Cunt Vom Dioidiren. 49 weiß man eben deshalb, daß 4 mahl 3 Quentchen, folglich *) auch 3 mahl 4 Quentchen den Dividenden ausmachen, alſo 4 Quentchen im Dividenden 3 mahl ſtecken. Oder hat man nach II gefunden, daß der Diviſor (4 Quentchen) im Dividenden (12 Quent⸗ chen) gerade 3 mahl ſteckt; ſo weiß man eben dadurch auch, daß 3 mahl 4 Quentchen, folglich auch 4 mahl 3 Quentchen den Dividenden aus⸗ machen, alſo der 4te Thetl des Dividenden iſt 3 Quentchen. *G. 1 5,7. Innn der Ausuͤbung wird bald die eine bald die andere Erklaͤrung der Anwendung am naͤchſten liegen. Fraͤgt man z. B. wie viel bekommt jeder, wenn 12 QAQuentchen unter 4 Perſonen gleich vertheilt wer⸗ den; ſo werden wir ſagen: laßt uns den zten Theil von 12 Quentchen ſuchen, das ſind 3 Quentchen. èè” Soeypy dagegen die Frage: wie viel Loth ſind 12 Quentchen? Da wird man am natuͤrlichſten ſagen: jede 4 Quentchen machen 1 Loth aus, alſo laßt uns ſichen, wie oft 4 QOuentchen ſtecken in 12 Quenrtchen? Antw. 3 mahl. Bep der Frage, was giebt ½ mahl 12 f? ge⸗ langt man am kuͤrzeſten zur Antwort, wenn man den 3ten Theil einer Groͤße finden, oder ſie durch 2 dividiren, geradezu fuͤr gleichbedeutend haͤlt. D Wo man dagegen durch einen Bruch z. B. durch ¾ zu dividiren hat, da gehe man deuelicher, ) §. 96 und *§ 97. W☛☚n 50 Fuͤnftes Kapitel. wenn man fraͤgt, wie oft ½ im Dividenden ſteckt, als wenn man fraͤgt, welches iſt der Fte Theil des Dividenden? Auf dieſem le Aleern Wege iſt ſchon mancher ſorgſame Rechner fe gegangen. *H. 158. Sollte man es noͤthig finden, aͤhnliche Erin⸗ nerungen wie in *§. 101. Seite 35. auch hier dem Anfaͤnger zu machen; ſo laſſe man ihn bemerken, daß entweder der Diviſor nur eine unbenannte Zahl iſt, und der Quotient dem Dividenden gleichartig und gleichnahmig wird, oder der Diviſor dem Dividen⸗ den gleichartig und lechasleri ſeyn muß, und der Quotient eine unbenannte Zahl iſt; je nachdem man die erſte oder die zweyte Erklaͤrung in *§. 155 zum Grunde legt. Man ſehe noch die Vorrede, Seite X. S§. 159 — §. 162. *G. 163. Der groͤßte Aufenthalt beym Dividiren ent⸗ ſteht bey den Fragen, wie oft der Diviſor in gewiſ. ſen Stellen des Dividenden ſtecke! 1) Mit voͤlliger Gewisheit kann man dieſe Fragen . ſogleich beantworten, wenn man das 2fache, 3fa⸗ che, 4fache u. ſ. w. bis zum gfachen des Divi⸗ ſors entweder auswendig lernt, oder nur zum Ge⸗ brauche einer vorhabenden Diviſion aufſchreibt und vor Augen legt. Es iſt aber nicht moͤglich, dergleichen Vielfache von allen Zahlen auswendig zu behalten, womit man bisweilen zu dividiren hat, und auch ſchon zu langweilig iſt es, derglei⸗ chen. Tafel fuͤr einen eben vorhandenen Diviſor jedes⸗ jedesne ſonn ſe, idin 1) Dos ge⸗ nun wirkl ſene Fe⸗ ſch lemen laf hrirc hingen) Vennt ſichebtnne Ciet⸗ 1 1, 69 Nꝛi Enil ſeͤ Ker e titen — imnr, deß ofl 29 nu f ken finne . der ie dit 1Be ⸗ gonge n, ihrhed 1)ͦ ach ſer h hrbe mettn, tenn e Bi en gecen niſerden De ſon nu, h ſe kine . mir ſi⸗ he i n Dutin Doiſr ie du ni gue 3 i⸗ e nct n. ag, Gd velini igſie, 1 ung, Vom Dividiren. 51 jedesmahl zu verfertigen. Wo dieſes letztere rath⸗ ſam ſey, und wie man dabey am beſten verfahre, wird in *§. 181. vorkommen. 2) Das gewoͤhnlichſte Huͤlfsmittel, deſſen man ſich nun wirklich zu bedienen pflegt, um die Zahl fuͤr jene Fragen wenigſtens ziemlich nahe zu treffen, wird ſich aus folgenden Beyſpielen am beſten er⸗ lernen laſſen. (Ein neues Huͤlfsmittel fuͤr die ſchwierigſten Faͤlle werde ich in *g. 180. bey⸗ bringen.) *§. 104. Wenn die Frage iſt, wie oft 28 in 173 ſtecke; ſo ſchreibt man die 28 eingeklammert unter 173, wie es Seite 81 §. 159. geſchehen. iſt, ng, und ſchließet auf folgende Weiſe. Da 2 in den uͤberſtehenden 17 nicht oͤfter als H 8 mahl ſteckt, ſo kann auch 28 in 173 gewiß nicht oͤfter als 8 mahl ſtecken. Durch die Muleiplica⸗ tionen 28 28 28 224 196 168 findet man nun ferner, daß nicht nur 8 mahl 28, ſondern auch 7 mahl 28 noch zu groß werde, als daß es in 173 ſtecken koͤnnte. Darauf aber findet man, daß 6 mahl 28 nur 168 giebt, welches ſich von 173 abziehen laͤßt. Ferner entſteht in dem dortigen Eranel die Frage: wie oft 28 in 56 ſtecke? — — Gewiß nicht oſter 9 als 2 mahl. Denr 2 ſteckt in der uͤberſte⸗ 2 henden S 58 Fuͤnftes Kapitel. henden 5 (ſiehe das dortige Exempel) nur 2 mahl. Nun giebt 2 mahl 28 gerade 56, welches ſich aller⸗ dings von 56 abziehen laͤßt. *§. 16 5. In §. 161. Seite 82. iſt die Frage, wie voft ſteckt 326 in 5212 Antwort, gewiß nicht oͤfter als 1 mahl; denn die Ziffer 3 (an der hoͤchſten Stelle des Diviſors) ſteckt in der uͤber ihr ſtehenden Ziffer 5 nicht oͤfter als 1 mahl. Und wenn gleich darauf die Frage iſt, wie oft ſteckt 326 in 1956? ſo heißt es ebenfalls: gewiß nicht oͤfter als 6 mahl; weil 326 unter 1956 geſchrieben, wie dort zu ſehen iſt, die 3, an der hoͤchſten Stelle des Diviſors, in der dar⸗ uͤberſtehenden Zahl 19 nicht oͤfter als 3 mahl ſteckt. Der Grund dieſes Schluſſes faͤllt uͤbrigens leicht in die Augen. Naͤhmlich wenn 3 hundert in 19 hundert nur 6 mahl ſteckt; ſo kann auch 3 hundert in 1956 (alſo in 19 hundert mit einem Zuſatze, der noch kein ganzes Gundert ausmacht) unmoͤg⸗ lich oͤfter als mahl ſtecken. Wenn aber ſchon 300 in 1956 nicht oͤfter als 6 mahl en t ſtteckt, ſo kann noch viel weniger die groͤſ⸗ ſere Zahl 326 in 1956 noch ofter als 6 mahl ſtecken. Ein geuͤbter Rechner erfaͤhrt nicht nur auf die in *§. 164. gezeigte Weiſe, daß 28 in 173 nichtoͤfter als 8 mahl ſtecken koͤnne; ſondern er uͤberſieht auch ahl durch eine geſchwinde Schaͤtzung des Productes 8 nahl 25 17 als den Bict⸗ InuHl:8 lde uete ſogle len nich Ven (durch de Ehliſen Doſſets 9 daß ſe Ulerdings i) den, Zeſ blebe riſt 5 ufhee: der W 3 ftingite mnahl n len iſ. A)un delchesſit 9 in pat, “ fal künir 4 3 zbui un , ae Denn dſier n k, . t ntn unni e⸗ „ Vom Dividiren. 33”3 mahl 28, daß auch dieſes Product noch groͤßer als 173 ausfallen werde. Mit einem eben ſo geſchwin⸗ den Blicke koͤnnte er auch wohl vermuthen, daß auch 7 mahl 28 noch mehr als 173 geben werde. Alsdann laͤßt er dieſe beyden zu großen Pro⸗ ducte ſogleich aus der Acht, und verſucht nur mit dem naͤchſt kleinern, 6 mahl 28. *d. 167. Wenn man aber auf ſolche Weiſe mit einigen (durch die in *§H. 164 und *§. 165. angegebnen Schluͤſſe noch nicht ausgeſchloſſenen) Vielfachen des Didviſors gar nicht verſucht, in der Vermuthung, daß ſie zu groß ausfallen moͤgten; ſo kann man ſich allerdings darin uͤbereilen. In dieſem Falle wird nach dem Abzuge eines zu kleinen Vielfachen ein Reſt bleiben, der ſelbſt noch groͤßer als der Di⸗ „iſor iſt. Z. B. Man koͤnnte auf folgende Weiſe afabree⸗ 8 17 6 5 Obgleich 2 in 17 allerdings 8 mahl ſteckt; ſo moͤgte doch der 140 Diviſor 28, weil ſeine vorletzte 3·6 Zirffer 8 etwas groß iſt, vielleicht nur 5 mahl in 176 ſtecken. In 2 — dieſer Vermuthung ſchriebe man 8 denn 5 im Quotienten an, zoͤge 5 mahl 28, d. i. 140 von 176 ab, und ſiehe da! der Reſt 36 iſt groͤßer als der Diviſot ſelbſt, zum hinlaͤnglichen Beweiſe, daß dieſer wenigſtens noch 1mahl mehr, uberhau alſo 6 mahl in 176 ent⸗ halten iſt. D 3 um 54 Fuͤnftes Kapitel. Um nun dieſen begangenen Fehler zu verbeſ⸗ ſern, kann man entweder die hingeſchriebene 5, und alles was ihrentwegen hingeſetzt war, wieder wegloͤ⸗ ſchen; oder da man von dem Reſte 36 den Diviſor 28 noch 1 mahl abziehen kann, ſo thut man das, und ſchreibt dann nur ſtatt der 5 im Quotienten die um r groͤßere Zahl 6 an. Denn man hat nunmehr den Diviſor 5 mahl und dann noch 1 mahl, uͤber⸗ haupt alſo 6 mahl abgezogen. *§. 168. Haͤtte man den Fehler gar nicht bemerkt; ſo wuͤrde man auf folgende Weiſe fortfahren. 28 res 5 28 in 365 ſteckt? Antw. 13 mahl. (28) ] 3² Denn 13 mahl 28 giebt 364, wel⸗ 140% chhes allerdings noch in 365 enthal⸗ 65 ten iſt. Der zweyte Fragepunct (2) waͤtre alſo mit 13 zu beantworten. Ein ſolcher Umſtand, daß ein Fragepunct mit einer Zahl, die groͤßer als 9 iſt, zu beantworten waͤre, zeiget nun, wenn uͤbrigens richtig gerechnet iſt, allemahl an, daß man den vorhergehenden Fra⸗ gepunct zu niedrig beantwortet habe; und es wird das rathſamſte ſeyn, dieſen Fehler erſt zu verbeſſern. Wenn das geſchehen iſt; ſo wird gewiß der unbe⸗ queme Fall nicht weiter vorhanden ſeyn, daß man den gegenwaͤrtigen Fragepunct mit einer Zahl, die groͤßer als 9 iſt, zu beantworten haͤtte. s. 1696. Ueberhaupt iſt es gewiß, daß entweder einer der vorhergehenden Fragepuncte zu eerig drig beent ſehler ben⸗ mit eimr graſir als A. VB ſeden, dder den hechſten Gumme 10 ſcdiſe Et ſin h be Aenertenle Diviſers ng nan ſch iſtiden, ſol Fruwhn Nraih 1ſedir rere 1uklein a n ſiten. dehnel, 19 nßl w Ugſche⸗ nſſrnigt Shler ns i te i ſe; . d 4 * n. O Mineh H . c ng 1 r ich rt ſerfi. etn ein ine n ſ, 1 a s ſh the N h⸗ 6te men Kndg ger en n inn itin 1 Vom Dividiren. 55 drig beantwortet, oder ſonſt ein Rechnungs⸗ fehler begangen iſt, ſo bald ein Fragepunct mit einer Zahl zu beantworten waͤre, welche groͤßer als 9 iſt. . §. 170 — §. *6. 18. XI. Wenn ein zweyſtelliger Diviſor in ſeinen beyden, oder ein mehrſtelliger Diviſor in ſeinen bey⸗ den hoͤchſten Stellen, ſolche Ziffern hat, deren Summe 10 oder noch mehr betraͤgt; ſo mag man ſich dieſe Stellen lieber mit der naͤchſt groͤßern 10fa⸗ chen Zahl beſchrieben denken, um die Ziffern des Quotienten leichter zu finden. Z. B. Statt des Diviſors, 19, 29, 99, 5943 oder 84675 mag man ſich 20 30 100 60.. 90. .. einbilden, ſo lange man fraͤgt, wie vielmahl der Di. viſor zu nehmen ſey! Freylich wird die dafuͤr gefundene Autwort, alſo die neue Ziffer des Quotienten, bisweilen um 1 zu klein ausfallen; aber dieſe Faͤlle ſind fuͤrs erſte nur ſelten. Es ſind ihrer z. B. ſchon bey 19 faſt dreymahl, bey 29 faſt füͤnfmahl u. ſ. w. bey 99 faſt 19 mahl weniger, als der uͤbrigen, bey denen die geſuchte Ziffer des Quotienten fuͤr den wirklichen Diviſor nicht groͤßer iſt, als fuͤr den eingebildeten *). D 4 Fuͤrs *) Ich habe die Wahrſcheinlichkeiten auch fuͤr den uͤbrigen Umfang meiner Regel aufgeſucht, oder vielmehr meine Regel jenen Wahrſcheinlichkeiten gemaͤß eingerichtet. Vielleicht iſt einigen meiner Leſer Fuͤnftes Kapitel. 56 Fuͤrs zweyte iſt in den wenigen fehlerhaften Faͤllen die Verbeſſerung gar leicht zu Stande gebracht, nach *C6. 167. Im folgenden Beyſpiele: „ „% % 796668675484 wird des Quotienten erſte 6368 4 Ziffer ganz richtig dadurch 4187 . gefunden, daß man ſich im 2388 Diviſor 80 ſtatt 79 denkt, und fraͤgt: wie oft ſteckt 80 799 in 66? Fuͤr des Quotien⸗ 22694 ten zweyte Ziffer wird frey⸗ 3 lich auf dieſe Weiſe nur 3 beſtimmt; und dieſe ge⸗ braucht, laͤßt einen Reſt 799, der groͤſſer iſt, als der Diviſor! Daher zieht man den Diviſor noch einmahl ab, und ſetzt nun 4 ſtatt jener 3. *OQ. 181. XlI. Bevy ſo ſchwierigen Diviſoren, als wir im vorigen 5. beſchrieben haben, oder auch bey ſehr vielſtelligen Dividenden, kann ſichs wohl der Muͤhe verlohnen, daß man alle Vielfache des Diviſors bis auf ſein gfaches im voraus verſertigt, und vor Au⸗ gen behaͤlt. Man finde alle dieſe Vielfache durch Addi⸗ Leſer mit der Jallgemelnen Beſtimmung gedient. Bey der Behauptung, daß auf obige Weiſe die neue Zifſer des Quotienten aufzufinden, d† an Statt des wahren Diviſors d gebraucht, einer⸗ ſey mit ihm gebe, verhalten ſich die Fehler 1 den Trreffern =5e: d — 6. Addttion, den Donſe chen peden Durt vüd osgſchede nun ihn nos Ert. Zur en Doſſer Nlch 3. D nl den ver ſhenichan ſenen u n Dſrior Nrichige UI. nin ſche⸗ Nehnſi Ueglenen let he Duſinn ſleer. neir Nl, de⸗ in Durn gut Ud den lgenes . 4 erheſn t Srnde enn Boſe 4 MR Hiee⸗ cd..,0 4 63 Qurerten chets Ners honz mihes N , das manſe 4 o ſot T : Me oft ſee⸗ a „ . de N . . N 1 ee eer 1 1 „Aiſe i en art ena ;, Diſra N ſſeche e N Aſenng, isſe Vee dieſe J u N uſfinn NN * ASE 16 Addition, indem man zum zfachen des Diviſors den Diviſor addirt, zu dem dadurch gefundenen zfa⸗ chen wiederum den Diviſor addirt, u. ſ. w. Da⸗ durch wird das 3fache, Afache u. ſ. w. endlich auch das gfache des Diviſors leichter gefunden, als wenn man ihn nach und nach durch 3, 4 u. ſ. w. multipli⸗ cirt. Zur Probe aber multiplicire man auch den Diviſor durch 3, und dieſes 3fache abermahls durch 3. Wenn dann dieſes ſo gefundene gfache mit dem vorigen uͤbereinſtimmt; ſo ſind hoͤchſt wahr⸗ ſcheinlich alle Vielfache richtig. (Oder man addire zu jenem auf die erſte Weiſe gefundenen gfachen, den Diviſor noch einmahl, und ſehe ob man dann das richtige 10fache habe!) *GC. 182. XIII. Das Aufſuchen dieſer Vielfachen kann man ſich erſparen, wenn man die Neperſchen Rechenſtaͤbe bey der Hand hat, die ich mit einer bequemen Veraͤnderung ſchon oben *§. 128. an⸗ gefuͤhrt habe. In der That leiſten ſie bey großen Diviſionen noch mehrern Nutzen, als beym Multi⸗ pliciren. Iſt z. B. 4097 der Diviſor, ſo legt man ſie, wie in der 2ten Figur vor dem Titelblatte, der⸗ geſtalt, daß ihre obern Ziffern den Diviſer darſtel⸗ len. Dann hat man alle erforderlichen Vielfachen des Diviſors, von 2⸗ bis zum gfachen, faſt eben ſo gut und deutlich vor Augen, als ob man ſich ein eigenes Taͤfelchen davon verfertigt haͤtte. D 5 Ver⸗ 58 Fuͤnftes Kapitel. Verſchiedene Formen der Dſwiſion. *. 183. I. Die Form, welche von §. 132 bis zu §. 162 gebraucht wird, iſt ſeit mehrern Jahren ſchon ſehr allgemein geworden, und zum erſten Unterrichte ohne Zweifel fuͤr Lehrer und Schuͤler die allerbe⸗ quemſte. Man pflegt ſie wohl die mathematiſche Diviſionsart zu nennen. In Ermangelung eines beſſern Nahmens mag ſie die herunterziehende Form beiſſen. B Mehrere empfehlen fuͤr ſie folgende Abaͤnde⸗ rung, die durch Vergleichung mit §. 161. leicht zu verſtehen iſt. 326 L 32652168007160024 1956 1956 652 800 1304 1487 183 Es wird dadurch nicht nur Raum erſpart; ſondern es iſt auch in mehrerer Hinſicht gut und bequem, daß man die Multipla des Diviſors unter einander vor Augen hat. Aber den Zuſammenhang des gan⸗ zen Verfahrens wird der Anfaͤnger nicht ſo leicht, als nece 161, faſſen und behalten. „ In §. 176. iſt ſchon die kuͤrzere Form ge⸗ geige, eth bey einſteligen Diviſoren die be⸗ Niemſte iſt. eg. 184. Fon, n Lhen ſe 1606 16 1 66* 149991 40 145 174 lehbtinge, Das 1 ſeten 6 ſ⸗ enn ſ. ſem thede nictin⸗ ſ Vom Dididiren. 59 III. Sehr gewoͤhnlich war vormahls die folgende tuierti Form, wo der Diviſor (29) ſo wie es hier vor BeNe . Augen ſteht, unter den Dividenden geſchrieben rin wird, ſo oft man eine neue Ziffer des Quotienten finden will. Noch tiefer ſtehen die Producte, 87 als 3 mahl 29; 145 als 5 mahl 290 und 174 als 6 mahl 29, welche erſen Nuntte 2.2 chuler de lah X99.6 emathentni Z. . 3 § 356 mddg 242 von dem Dividenden nach und nach 18 7 abgezogen werden; ſo daß der Reſt erhh 145 jedesmahl uͤber die Zahlen geſetzt oD 174 wird, wovon man ſo eben abgezo⸗ gen hat. Waͤhrend der Rechnung durchſtreicht man eine Ziffer nach der andern, ſo⸗ bald ſie verbraucht iſt. Und jedes untergeſchrie⸗ u bene Product pflegt man gewoͤhnlich auszuloͤſchen, ſobald es abgezogen iſt. Außer einigen in die Augen fallenden verdrieß⸗ lichen Schwierigkeiten, welche dieſes Verfahren bey dem erſten Unterrichte der Anfaͤnger veranlaſſen muß, „will ich nur noch folgende Erinnerungen dagegen n beybringen. 1) Das Abziehen der Producte wird aus einem dop⸗ nmnetete pelten Grunde gar ſehr erſchwert; weil 1) die rticrtit⸗ Ziffern, ſo dabey ins Auge gefaßt werden muͤſſen, ſ ſehr weit, und durch ſo viele andere dazwiſchen ſtehende Ziffern, von einander getrennt ſind, e und 2) die Zahlen, wovon man abziehen ſoll, nicht in einer Reihe neben einander ſtehen. 2) 60 Fuͤnftes Kapitel. 2) Der Lehrer iſt, wenn er auch die aͤußerſt verdrießi⸗ liche Arbeit bey der Durchſicht eines ſolchen Exem⸗ pels nicht ſcheuen wollte, dennoch gar ſelten im Stande, einen begangenen Fehler dem Anfaͤnger deutlich vor Augen zu legen; es ſey denn, daß er beſtaͤndig neben ihm ſitzen, und ihn Schritt vor Schritt verfolgen kann. 3) Wenn die Ziffern recht deutlich geſchrieben, or⸗ dentlich uͤber einander geſtellt und mit Behutſam⸗ keit durchſtrichen ſind; ſo ſieht ein ſolches Exem⸗ pel — zwar immer noch bunt genug — aber doch ganz ertraͤglich aus. Aber, aber! der Anblick dieſer Exempel, wie ſie in den Rechenſchulen nothwen⸗ dig vorkommen muͤſſen, muß Lehrer und Schuͤler verwirren und misvergnuͤgt machen. ) Der Vortheil dieſer Form beſteht einzig und allein in der Erſparung des Raumes; denn 4 S . 7 Ziffern werden im Durchſchnitt genommen eben ſo piel als bey der herunterziehenden Form geſchrieben. Und die Erſparung des Raumes ſindet doch auch nur Statt, ſo lange man mit Schiefer oder Kreide rechnet, wobey man die Laͤßt man dieſe Producte ſtehen, wie es auch hier im Druck geſchehen mußte; ſo hat man freylich den Nutzen, daß man dieſe Producte nebſt dem 5) letzten Reſte zuſammen addiren, und dann uͤber⸗ ſehen kann, ob dieſe Summe auch den Dividen⸗ den wieder herſtelle. Dieſes ſcheint ſogleich eine ſehr bequeme Probe der Diviſion abzugeben. Allein genauer betrachtet beweiſet dieſe Wieder⸗ herſtellung herſtellnn ducte hun⸗ zogin hn don ſeb . Va Productee Unan an E den Durſr gewohnte nd ethieke Denn de hirgechneb den glen len Wicki ſa wahl ſ⸗ in, it 14 Hlriſen iterrtt. life nmnt in, tͤf icddednr ſchket n untergeſetzten Producte wieder wegloͤſchen kan. ) Nt ertſi, nehrern 9 agepune Atetiht IV. Vd moͤghec . Vom Dividiren. 61 ißetng herſtellung nur ſo viel, daß man die als Pro⸗ ines ſitene ducte hingeſchriebenen Zaͤhlen richtig abge⸗ nech gr eint zogen habe. Ein Fehler in den hingeſchriebenen Arnhin Zahlen ſelbſt wuͤrde dabey voͤllig unbemerkt blei⸗: e ſo n ben. Wollte man nun auch in dieſer Hinſicht die en Producte einzeln noch einmahl pruͤfen; ſo haͤtte man am Ende mehr Arbeit, als wenn man chi den Diviſor mit dem Quotienten nach der ganz H gewohnten und gelaͤufigen Form multiplicirt, und erhielte dennoch nur eine geringere Sicherheit. Denn bey dem zweyten Nachrechnen der ſchon hingeſchriebenen Producte kann man ſehr leicht in den alten Fehler hineinſchleichen. (Die bekann⸗ ten Wirkungen der aſſociirten Begriffe bringen es ja wohl ſo mit ſich, daß man an der alten Stelle, un in, mit und unter den alten Bildern und Ver⸗ ie haͤltniſſen auch am leichteſten den alten Fehler Mn; wuiederhohlt.) in gum, 6) Lͤßt man nun aber nach No. 5. die Producte ſte⸗ uftein i hen, es ſey aus Roth oder der Probe wegen; ſo ung NM wird dadurch die unter No. 1. beruͤhrte Unbequem⸗ u ülitchkeit gar ſehr vergroͤßert. 4, uen 7) Die Unbequemlichkeiten dieſer Form werden un⸗ r ngiſe ertraͤglich, wenn der Diviſor aus drey oder noch nm — leer mnet⸗ nen mehrern Ziffern beſteht; oder wenn auch nur viele ſeni Fragepuncte zu beantworten ſind, und die Pro⸗ kn duete nicht weggeloͤſcht werden koͤnnen. in din *§. 185. . ”ä 6 Wõ IV. Wenm daran gelegen iſt, ſo wenig Ziffern als eit Nn moͤglich zu ſchreiben, der gewoͤhne ſich lieber iniſ, an die folgende Form, wobey geuͤbte Rechner in t dleſer der 62 29 1350 . 40 3.. 67 29 450 — g Xx2 29 Taα 65 A5⁰σ 365 2 5§ 2 deſezt iſt. Fuͤnftes Kapitel. der That ganz gut zu fahren pflegen. Es wird dabey mit der neuen Ziffer im Quotienten zu⸗ er ſt die Ziffer an der hoͤchſten Stelle des Di⸗ viſors multiplicirt (z. B. gleich im Anfange heißt es, 3 mahl 2 iſt 6); dies Product wird alsdann ſogleich im Kopfe (von der dabey durchſtrichenen 10) abgezogen, und der Reſt (4) unterwaͤrts ge⸗ ſchrieben. Darauf erſt wird die folgende Ziffer des Diviſors mul⸗ tiplicirt, und das Product (3 mahl 9 iſt 27) von 43 abgezogen; bleibt 16. . Nun heißt es weiter: 29 in 16 5 ſteckt 5 mahl. 5 mahl iſt 10 von 16 abgezogen laͤßt 6 uͤbrig. Ferner: 5 mahl 9 iſt 45 von 65 abgezogen, laͤßt 20 uͤbrig. Endlich: 29 in 200 ſtecr 6 mahl. 6 mahl 2 iſt 12, von 20 abgezogen laͤßt uͤbrig 8. 6 mahl 9 iſt 54 von 80 abgezogen laͤßt uͤbrig 26. Aunmerk. Wenn der Diviſor mehr als aſtellig iſt; ſo iſt freylich auch dieſe Form ſchon mehrern Verſehen ausgeſetzt, als die vorhin ſogenannte herunterziehende Form. Daher bleibe man in ſolchen Faͤllen bey jener, die man uͤberdies ſchon gut inne haben muß, wenn man die gegen⸗ waͤrtige mit Leichtigkeit erlernen will. Uebrigens werden die Reſte unterwaͤrts geſchrieben, weil es hier ſeltener an Raum fehlt, als uͤber dem Dividenden; wo er bey an einander haͤngenden Rechnungen mehrentheils ſchon *§. 186. de Doi gila e Nicſitt uf eehrgiſt ſnuhlꝛ iſt inahl 29 iſ 1c r eewe )Nnd ; rinn ts neine uumſmtes a Acce E G her pih 1 de ſin vnn ſe gl ibmng der leſtenkn innn hnen edieEinn gegen En „ESrn Vom Dividiren. 63 fenn. e K§. 196. Quag Die folgende Form iſt vom Hrn. Prof. Baſedow neup erfunden. Sie hat gar ſehr viel empfehlendes in ginif Ruͤckſicht auf die Demonſtration, wo man zeigen will, ntinch daß der Diviſor vom Dividenden ſo oft als moͤg⸗ haduttien 22 licnch abgezogen werde, und lrnn . 111696 am Ende die Summe alles Retickuid 29 103;5 Abgezogenen und des Reſtes ieNan. 3 mahl 29 iſt 87.. den Dividenden wieder ge⸗ . ben muͤſſe. Daher wuͤrde wNinga 5 mahl 29 iſt 145. „en muſſe em 6 mahl 29 iſt 174 ich dieſe Form auch allen an⸗ Beofme. — — dern mir bekannten Formen d. mit Vergnuͤgen vorziehen, n und nur etwa noch 3.. mahl und 5. mahl, ſtatt un 3 mahl und 5 mahl ., im obigen Beyſpiele ſetzen; wienn es meine Abſicht waͤre, ein hauptſaͤchlich de⸗ w iſe monſtratives Lehrbuch fuͤr Geuͤbtere zu ſchreiben. . Zur erſten Erlernung der diviſoriſchen Operationen Lbber wird ſie dem Anfaͤnger ſchon darum Schwierig⸗ keiten verurſachen, und nur eine ſehr langſame Auusuͤbung verſtatten, weil er den Diviſor nicht unterſetzen kann, um deſto beſſer zu ſehen, wie oft er ihn zu nehmen habe. Ueberdies aber finden auch faſt alle die Erinnerungen in *§. 184. mehr oder weniger dagegen Statt. 10350 So eben *) theilt mir der Hr. Prof. Baſedow guͤtigſt noch eine neue Veraͤnderung der obigen Form mit, *) Waͤhrend des Abdrucks der erſten Ausgabe. Man ſehe die Vorrede. . õl Sechſtes Kapitel. 22 mit, wodurch man auch den Diviſor 29 166“ und den nach und nach gefundenen Quo⸗ AS5 tienten 356 recht deutlich als die beyden 29.. Factoren vor Augen hat, aus denen auf 3,;6 eine ebenfalls ſehr uͤberſehbare Weiſe die Produrte entſtehen, welche nebſt dem 87.„ Reſte 26 den ganzen Dividenden aus⸗ 14 5°1 machen. L “ 174 26 — — 10370 Sechſtes Kapitel. Von der Nahmenaͤnderung. §. 187. Wo Thaler und Groſchen nicht die gewoͤhnlichſten — Muͤnzſorten ſind, da kann man die erſte, und in andern Gegenden, wo die Anfaͤnger mit Gulden und Xrn gar nichts zu thun haben, die zweyte Auf⸗ gabe im vorigen §. fuͤrs erſte uͤberſchlagen. Soll⸗ te ferner dieſes Rechenbuch auch gebraucht wer⸗ den, wo man nach Thalern zu 36 Mariengroſchen von 8 Pfennigen rechnet; ſo wuͤrde der Lehrer an⸗ fangs nur in dieſen Geldſorten einige den hier gege⸗ benen aͤhnliche Aufgaben vorzulegen haben, und bey den Uebungsaufgaben in §. 19 5. No. 1, 2, 5 bis 10 erinnern koͤnnen, daß man auch dort unker . nur Marien⸗ 9 4 1 Nmariengre wortungen Buches ,fn Fll angezei n heer un neſten eg ucht verd 112 )R, ſ ſege. Se non di jon hen londe nhun ſe at Dihertum Necerbuhe gen, worin uh fi gerhn ndenen 23 Nihnervek Aben. Der 6 gut as ſber ſni ſt aſe g ſene, mnd n Eirne berchin ten ſicen teſn Dep ſte. M der Duſtn geſtndererde ch es Reben t, s Met rſhben Din welche it Diderdas eet. heune geiß . Von der Nahmenaͤnderung. 65 Mariengroſchen zu verſtehen habe. In den Beant⸗ wortungen der Uebungsaufgaben im Anhange dieſes Buches findet man auch die Antworten fuͤr dieſen Fall angezeigt; und dieſe doppelten Antworten konn⸗ ten hier um ſo mehr Platz finden, da man in den meiſten Gegenden, wo Mariengroſchen zu 8 ₰ ge⸗ braucht werden, zugleich auch nach guten Groſchen zu 12 R, ſelbſt im gemeinen Leben, zu rechnen pflegt. Sehr rathſam iſt es uͤbrigens wohl, daß man die jungen Schuͤler anfangs nur nach den in ihrem Lande uͤblichen Muͤnzſorten rechnen laͤßt, ehe man ſie auch durch auswaͤrtige belaſtet und zerſtreut. Daher kann man bey dem erſten Durchgehen dieſes Rechenbuches diejenigen Aufgaben ganz uͤberſchla⸗ gen, worin fremde Muͤnzwaͤhrungen vorkommen. §. 189 — §. 199. Nur hoͤchſt wahrſcheinlich iſt es „daß man richtig gerechnet habe, wenn z. B. die §. 198. ge⸗ fundenen 234 0 8 96 7 R ruͤckwaͤrts, nach der Nahmenverkleinerung, wiederum 67495 Pfennige geben. Denn ob es gleich in dieſem Falle beynahe ſo gut als gewiß iſt, daß man richtig gerechnet habe; ſo waͤre es doch nicht ganz unmoͤglich, daß die erſte Rechnung durch die letztere beſtaͤtigt ſchiene, und gleichwohl in jener gefehlt waͤre. Man koͤnnte naͤhmlich ebenfalls auch bey der Proberechnung falſch multiplicirt, und zwar gerade einen ſolchen Fehler begangen haben, der einen beym Dividiren eingeſchlichenen Fehler wieder auf. hoͤbe. Allerdings aber iſt ein ſolches Zuſammentref⸗ E fen 1 2 66 Sechhſtes Kapitel. fen zweyer oder noch mehrerer Fehler, die ihre Merk⸗ barkeit vernichten, in dem gegenwaͤrtigen Falle hoͤchſt unwahrſcheinlich, und daher die Waohrſchein⸗ lichkeit, daß man richtig gerechnet habe, ungemein groß, faſt ſo gut als Gewißheit. Eine andere, geſchwindere, „ob gleich nicht 6 zuverlaͤßige Probe wird im 1 1ten n Kapitel vorge⸗ tragen. Die vortheilzafteſten uſgiſſe und Verkirßun, gen bey der N ahmenvergroͤßerung beſtehen 1) darin, daß man z . B. alle runde Zab⸗ len von Groſchen ſogleich nach Thalern und Gro⸗ ſchen, ohne weitere Rechnung, auswendig anzuge⸗ ben wiſſe. Bey manchen Muͤnzſorten und andern Maßabt heilungen kann man ſich dabey wieder auf einige wenige Hauptſaͤtze beziehen, die man dann nur mit voͤlliger Gewißheit beſtaͤndig gegenwaͤrtig haben muß. Z. B. Wer da weiß, 100 ſind 4 X6 4 k, und dies iſt ſehr leicht zu behalten, der ſchließt daraus gar leicht die folgenden Saͤtze: 200 ℳ ſind 8 6 8 t£, 300 3 ſind 12 X6 12 ; 400 96 ſind 6 6 16 %; 500 3 ſind 20 rt. 20 und 600 36 ſind gerade 25 *.— 600 36 ſind 25 6., iſt nun wiederum ein ſo bequemer und dabey ſo leicht zu behaltender Satz, daß man ihn ebenfalls als Hauptſatz gebrauchen muß. Er praͤgt ſich ſogleich ſehr feſt ein, wenn man bedenkt „daß 6 * einen Viertelthaler, 600 t alſo hun⸗ 1 Urdert B Doler uen Munet neces (1. Noo Diitelhrier liten Yei⸗ Aemcchen. Poff i(zen )Ge W ſihe Goperung on Berde! Uie dehen Aeneire 3 n nn elhmn ider, d l, hbamen 6 Fungs e nng = S= = = = = = = = =S == S= S= . er deiink Vnwinn e de Vu N habe, ur ken Kapiat * iſeud Ve gorigeueg inte N uf ni 11 te gendenden D 7l 8 17 9 1d „77 m um u en ultt, ſſtin te Von der Nahmenaͤnderung. 67 hundert Viertelthaler, alſo ein Viertelhundert ganze Thaler ausmachen. 1 Nun betrachtet man 700 als 600 †1 90) *, welches (25 ρ4) 4 giebt. 800 Groſchen betrachte man, weil 8 3 ein Drittelthaler iſt, als 100 Drittelthaler, die alſo den dritten Theil von 100 „ganzen Thalern alſo 33 ½ ausmachen. 900 3 ſind (600† 300) 9, alſo (25 1 2. 25 ) *, 3. i. (25 † 1⸗4½) 37 ¾ Er 2) Giebt die Bruchrechnung noch auf andere Weiſe ſehr große Vortheile bey t der Nahmenwer⸗ groͤßerung an die Hand. Beyde Vortheile gehören fur den 2ten Theil dieſes Rechenbuches. Vorangehen mußte hier eine allgemeine Form der Reductionen, wonach ein jeder zum Ziele gelangen kann, wenn er auch ſolche eben⸗ gedachte Hauptſaͤtze, entweder wegen eines zu ſchlech⸗ ten Zahlengedaͤchtniſſes, oder aus Mangel an taͤgli⸗ cher Uebung nicht auswendig weiß. Ueber dies muß doch jeder, der ſich nur einige Rechenkunſt zuſchrei⸗ ben will, die in dieſem Kapitel gelehrten allgemei⸗ nen Formen kennen, wenn er gleich bey practiſchen Rechnungsgeſchaͤften mehrentheils nach kuͤrzern For⸗ men n z rechnen ſucht. B 2z Sieben⸗ 1 Vom Addiren in venannten Zahlen, welche ſortirt werden. pl 115§. 1051 5§. 304. Durch die gewoͤhnliche neinihrit, vom Addi⸗ ren in benannten Zahlen, wird in der That nicht angezeigt, „was man darunter zu verſtehen hat, und auch in dem gegenwaͤrtigen Kapitel vorgetragen findet. Vielleicht wird es durch den Zuſaß hinlaͤng⸗ lich beſtimmt, da die benannten Zahlen ſorttrt e werden; indem theils ſchon die zu ſummirenden Zahlen nach gewiſten Sorten geordnet ſind, theils auch die aufzufindende Summe nach den dahin e⸗ horigen S Sorten ausgedruͤckt werden ſoll. 38 a16 xd. 20 5⁵. Hier iſt es ohne Zweifel ſehr rathſam undnübe lich, die erſten Aufgaben durch wirkliches Geld vor Augen zu legen und zu behandeln. Sur ebne ſrein etwa euf den Tiſch hin: 3 r6 18 9e,2 ,9 ſerner 1AH99⸗ 22* ſerner 2 22 ⸗ 10 ⸗ 1 und loge zugleich eben ſo viel Geld, als er ſchreibt, wirklich uͤbet daruͤberz ſo daß z. B. in der er oberſten Reihe gerade Siebentes Kariter⸗ Vor ſer der gong gerch ſber roher ernde auſge 1t. De Pfunmen, Ahrs ibihen e Grige, mnd ſtienen Zi aped dee; ſet;ſhern Ped Hanie Aen nil, 18. ODer enige unt nu ihntf 1 unt Cbenſo der lege nihnie lend der Na Afeben de⸗ ſichen e ſh u uljꝗ,l glungen frdmnge Uenden, r Vunn imne fint, unn — tel. min e rden. 4 ſcn r rr mr ſtr lmm ga si ma Woſt 3 ne n Arden ſ ſon 4 niheet n. De ihe⸗ Vom Addiren in benannten Zahlen. 69 ber der 8 auch 8 einzelne Groſchen, in einem nicht ganz gerade uͤber einander geſchobenen Haͤufchen, uͤber 1aber 1 Zehend von Groſchen, in einem ganz gerade aufgethuͤrmten Haͤufchen, zu liegen kommen u. ſ. w. Darauf nehme man die einzelnen Pfennige zuſammen, und thuͤrme von den dadurch erhaltenen 15 R ihrer Zehn als ein Zehend auf einander. Die uͤbrigen 5 werden darauf auf die Ziffer 5 unterm Striche, und das Zehend auf die Stelle der durch⸗ ſtrichenen Ziffer hingelegt. Wird nun auch das Zehend der zu ſummirenden Pfennige herunter ge⸗ ſetzt; ſo hat man uͤber der 2 unter dem Striche: 2 Ze⸗ hend Pfennige zu ſtehen. D = Alle 25 Pfennige nunmehr, . ſor weit es gehen will, zu Groſchen verwechſelt, erhaͤlt man 2 90 1 R. Der ine Rn wird unter die Einerſaͤule der Pfennige, unter den Strich und gerade dahin gelegt, wohin man ihn ſonſt nur zu ſchreiben pflegt, und die 2 eingewechſelten Groſchen kommen uͤber die kleine Ziffer 2 unter den einzelnen Groſchen zu ſtehen. Eben ſo verfahre man nun auch bey den Groſchen, lege naͤhmlich die wirklichen Groſchen und jeden waͤh⸗ rend der Rechnung aus ihnen entſtehenden Ertrag auf eben die Stellen, wohin man ſonſt nur ihre Zahl⸗ zeichen zu ſchreiben pflegt. Au“unmerk. Natuͤrlich waͤhlt man zu dergleichen Darſtellungen nicht Thaler, Groſchen und Pfennige, ſondern Gulden, Kreutzer und Pfennige in ſolchen Ge⸗ genden, wo nach dieſer Muͤnzwaͤhrung gerechnet wird. Wenn ferner die Geldſorten, wonach man zu rechnen pflegt, unter den ausgepraͤgten Münzſorten nicht anzu⸗ E 3 treffen . 70]%%%W Siebentes Kapitel. treffen ſind; wie man z. B. in unſern Gegenden keine Thalerſtuͤcke zu 24 l hat, ob wir gleich nach Thalern zu 24 9 rechnen: ſo kann man ſich nur einige ſchick⸗ liche, den Muͤnzen aͤhnliche Formen aus Pape, Karten oder ſteifem Papier ſchneiden. §. 205 — §. 213. *. 214. Vortheile bey der Addition in benann⸗ ten Zahlen. Es gehoͤren 1) dahin die Kunſtgriffe „wodurch das Addiren der Ziffern in jeder Saͤule erleichterr wird, wie ſie ſchon aus dem zweyten Kapitel be⸗ kannt ſind; 2) die Vortheile bey den Reductionen welche wih⸗ rent der Rechnung vorkommen, und deren wir ſchon §. 202. vorlaͤufßig erwaͤhnt haben. 8 Einige pflegen die kleinen Sorten, z. B. die Lothe ſo zu addiren, daß ſie immer auf ein ganzes tp kommen, und dann jedes erhaltene ganze ſg durch einen Punct unter der Einerſaͤule der Pfunde Agnzuzeichnen. Erlaubt man ſich dabey das ſprung⸗ weiſe Addiren; ſo gilt faſt alles dafuͤr und dawi⸗ der, was ſchon *§. 64. Seite 19 und 20, an⸗ gefuͤhrt iſt. Wer nur nach *§. 202. geſchwinde zu reduciren weiß, der faͤhrt gewiß im Ganzen genommen am beſten, wenn er jede Saͤule gerade fort zuſammen addirt. 4) Wenn die Saͤulen gar zu lang werden, ſo zer⸗ theilt man dieſelben, ſucht die Summen der ein⸗ zelnen Vom Zehun guſo ute Men ct ake ennz Vum nhnenz ſor Cunme as les zu dhe alateri, Nechmungsk lſten Seite gech hin Seit ſoe Uter den E ne der beyde Nchnngebt Giler der Slmmne als dun ledden Se Kete bihde Neh ung. .. ſen Gepenae, Reich n d ſch mn ue Re . e Krmen N . den. ua N n n. enß 7 dNe ahae Dent, e de Oäle A n ue D mmnen N wihen en em imma Eneer ſch eed .— “ eite 19 E, Rechnung. Vom Addiren in benannten Zahlen. 71 zelnen Theile, und addirt am Ende dieſe Theile aufs neue zuſammen, um die Totalſumme zu er⸗ halten. Die Sache wird bey der Ausuͤbung ſo leicht erkannt, daß mich der Platz gereute, den ich zu einzelnen Beyſpielen noͤthig gehabt haͤtte. Wenn ſolche Rechnungen mehrere Seiten ein⸗ nehmen; ſo faͤllt ſchon jeder von ſelbſt darauf, die Summe aus den Saͤulen einer jeden Seite beſon⸗ ders zu ziehen, und dieſe Summe heißt dann Sum- ma lateris, die Summe der Seitte. In einigen Rechnungsbuͤchern wird nun z. B. die Summe der erſten Seite uͤber die Saͤulen der zweyten Seite ſogleich hingeſchrieben, und bey Addirung dieſer Seite ſogleich mit eingerechnet; ſo daß die Summe unter den Saͤulen dieſer Seite ſogleich die Sum⸗ me der beyden erſten Seiten angiebt. In andern Rechnungsbuͤchern addirt man zuvoͤrderſt nur die Saͤulen der zweyten Seite, und ſchreibt unter ihre Summe alsdann die Summe der erſten Seite; ad⸗ dirt darauf aufs neue, und findet ſo die Summe der beyden Seiten. Man uͤberſieht ſolche Einrichtun⸗ gen bey dem erſten Anblicke einer wohl geordneten Adchtes Kapitel. Vom Subtrahiren in benannten Zahlen, welche ſortirt werden. §. 216 — 5§. 217. *g. 218. Auch ſolche Aufgaben, bey denen man nicht noͤthig hat, von den groͤßern Sorten zu borgen, moͤgen immerhin durch wirkliches Geld oder Gewicht u. dergl⸗ ganz anſchaulich dargelegt werden. Noch noͤthiger aber iſt dieſes bey den erſten Aufgaben der Art, wie ſie in dem folgenden §. gegeben ſind. Man ſchreibt z. B. auf den Tiſch “ diie Zahlen 3 6 17 96 4 , und lege nur in der erſten Reihe die darin be⸗. zeichneten Muͤnzen wirklich daruͤber. Wir wollen nun, heißt es, 6 R ausgeben, da wir doch nur 4 R haben; alſo nehmen wir einen von den 17 Groſchen weg, und verwechſeln ihn wirklich gegen 112 . Dieſe 12 O zu den ſchon vorhandenen 4 *½ gelegt, haben wir 16 oι. Davon 6 Jr. ausgege⸗ ben, behalten wir noch 10 ₰, die wir nun unter den Serich, als 1 Zehend von Pfennigen, wirklich hinlegen u. ſ. w. Hat man den Reſt unter dem Striche liegen; ſo lege man das nach und nach ausgegebene Geld auf die daſſelbe bezeichnenden Zahlen der e . eihe. n M Voné Neihe. An Geld wiehr, belde Neen ie ſſen . e Weiſe d Uungin 9.²2 lahich Oll ſt ſech r, verden — duhee ſier ka n warkt 9ge⸗ rinlihe 6 Nſndr. henn 7 1 No Anege, ierig wer tide igon Nhi NBeis ,M Anp 1. Ge den g ,sdeneben Auber de , Vom Subtrah. in benannten Zahlen. 73 Reihe. Nun muͤſſen wir, heißt es, unſer erſtes Geld wieder zuſammen haben. Darauf addirt man beyde Reihen in dem wirklich da liegenden Gelde, wie ſchon *§. 205. gezeigt iſt, und erlaͤutert auf dieſe Weiſe das ganze Verfahren der Proberech⸗ nung in §. 222. Aehnliche Darſtellungen durch wirkliches Geld auch fuͤr ſolche Faͤlle, wo man noch oͤfter zu borgen hat, werden fuͤr Anfaͤnger ungemein nuͤtzlich ſeyn. RNeuntes Kapitel Vom Multipliciren ſolcher benannten Zahlen, welche ſortirt werden. Auch hier kann man auf den Tiſch hinſchreiben und an wirklichem Gelde daruͤber legen, z. B. 2 X6 9⁹ 96 7 Aϑ. . Man ſchreibt darauf den (3 Multiplicator 3 an ſeine ge⸗ woͤhnliche Stelle, und indem man ſagt, 3 mahl 7 R ſind 21 R, ſo legt man zu den heruntergenom⸗ menen 7 noch 2 mahl 7 R hinzu, daß man 21 R vor Augen hat. Darauf verwechſelt man 12 ₰ zu Inen 96, den man fuͤr die Groſchen aufhebt, und legt die uͤbrigen 9 ) an ihre Stelle u. ſ. w. §. 226 — §. 239. G. 77 — ehntes Kapitel. o iſ dift 3 9 — . e htr Nbit, ſai Vom Dividiren ſolcher benannten Zah. hien leen, welche ſortirt werden. nän §. 240. i W geute 6. 241. hhl , Ach hier wird den Anfaͤngern das ganze Verſah⸗: ren gar ſehr erlaͤutert werden, wenn man die er⸗ aſce ſten kleinen Exempel durch wirkliches Geld darſtellt. imn wen n .— Aſte n ih 7 . he ger Eilftes Kapitel. —EFiſ, a Ullcler nit Von den Proben vermittelſt des Neun⸗. Afeme W rg. e fachen und des Eilffachen. . n 14 . SS Gute vil . 2 /r4. ie de⸗ „Erklaäͤrung. Nnchedt. Nuunfach heißt jede Zahl, deren Oter Theil durch eine ganze Zahl kann ausgedruͤckt werden. Neunfache Zahlen ſind alſo 9, 18, 27, 36, 99, u. d. lri denn der gte Theil z. B. von 36 beſteht aus 4 Gan⸗ gißt ð „ . W zen. Wenn man 99 durch 9 dividirt; ſo erhaͤlt man, an 11 Ganze, als den 9gten Theil von 99. * c eſt, *G. 25§. Gſchninn Dagegen kann der gte Theil von 100 nicht fer ih g⸗ ohne Bruch angegeben werden. Er iſt 11 ⅞, ed llaſint⸗ Wunnnnz werden. mwed Kden, N ie⸗ Amll. zmien Ueberſchuß 5 enthaͤlt. è i e IJI. Probe durch das Neunfache. 775 100 iſt daher keine gfache Zahl. Eben ſo iſt 203 keine gfache Zahl. Denn wenn man ſie durch 9 di⸗ vidirt; ſo ergiebe ſich, daß ihr gter Theil außer 22 Ganzen noch ½ enthaͤlt, alſo nicht ohne Bruch ausgedruͤckt werden kann. Dieſe Zahl 203 beſtehe demnach aus 9 mahl 22 und noch 5, enthaͤlt alſſo uͤber das groͤßte in ihr ſteckende gfache noch den eberſchuß 3. !M 19. 356. ”M Bey jeder Zahl, ſie mag gfach ſeyn oder nicht, kann man nach ihrem Ueberſchuß uͤber das groͤßte in ihr ſteckende gfache fragen. Iſt ſie ſelbſt Ofach; ſo iſt dieſer Ueberſchuß o, wie bey 415, welche das groͤßte in ihr ſteckende gfache, 5 mahl 9, ſelbſt iſt, alſo daſſelbe um nichts uͤbertrifft. Iſt eine Zahl aber nicht gfach, ſo uͤbertrifft ſie das groͤßte in ihr ſteckende gfache um 1 oder 2, 3, 4, 5, 6 , 7 oder 8. Iſt endlich eine Zahl ſelbſt noch kleiner als 9; ſo kann man doch, um des gleichfoͤrmigen Ausdruckes willen, dieſe Zahl ſelbſt als den Ueber⸗ ſchuß uͤber das groͤßte in ihr ſteckende Neunache, 9 mahl 0 d. i. O betrachten. S *§. 357. Bey jeder Zahl koͤnnte man den Ueberſchuß uͤber ihr groͤßtes Neunfache durch die Diviſion ſin⸗ den. Wenn wir z. B. 302 durch 9 dividiren; ſo geht die Diviſion nicht auf, ſondern es bleiben noch 5 im Reſte, nachdem i im Quotienten 33 Ganze an⸗ geſchrieben ſind, zum Beweiſe, daß die Zahl 302 uͤber ihr groͤßtes 9gfache, 9 mahl 33, noch den *§. 358. SSSõõ 76 Eilftes Kapitel. 19 *S. 358. Ne l4 Es laͤßt ſich aber dieſer Ueberſchuß auf eine ( M100, weit leichtere und geſchwindere Weiſe finden. Man 1 braucht naͤhmlich nur die Ziffern, wodurch die Zahl mas n geſchrieben iſt, ohne Ruckſicht auf ihre hoͤhern Stel⸗ mubson len, bloß als lauter Einer betrachtet, zu einander zu chgge addiren. Um eben ſo viel, als dieſe Zifferſumme OWJ”V uͤber das groͤßte in ihr ſteckende gfache enthaͤlt, um Auſt; eben ſo viel wird auch die Zahl ſelbſt das groͤßte in enr nſche ihr ſteckende gfache uͤbertrefſfen. ſrbt ine an „. d zss So uͤbertrifft bey der Zahl 302 ihre Ziſſer⸗ h de Me ſumme, 3 † 0 + 2 d. i. 5, das groͤßte in ihr ſtek⸗ Nne kende 9fache, welches hier 9 mahl o iſt, um 5, und Nek de die Zahl 302 wird nun das groͤßte in ihr ſeckende ſiene e gfache ebenfalls um 5 uͤbertreffen. tuzeie Bey der Zahl 102481 uͤbertrifft die Ziffer⸗ fz enhein ſumme, 1 + 2 † 4 † 8 + 1 d. i. 16, das groͤßte in Een te ihr ſteckende gfache, 1 mahl 9, um 7; und um eben ſeth ſo viel wird nun auch die durch 102481 bezeich in di nete Menge von 102 tauſend 4 hundert und 1und Awad 8zig das groͤßte in dieſer Menge ſteckende gfache ht alſt ora uͤbertreffen. dan 1 Von der Zahl 3024 fann man verſichert ſeyn, nuſihu ß daß ſie 9fach ſey, oder das groͤßte in ihr ſteckende Krals eiſe gfache um uͤbertreffe; ſo wie ihre Zifferſumme G 3 †¼ +2 † 4 d. i. 9, das groͤßte in ihr ſeckende „Anmet, Neunfache um o uͤbertrifft. *§. 2 59. ii ann Warum dies ſo zutreffe. – wird aus einigen Beyſpielen hinlaͤnglich erhelle⸗ Nr 1, . Lbarſtei Deiſ fne! m, rtk; teuſheſin: rihe Ue um fer nde cenne i iuß ſn. as Niit , Krſe miſe. 1. Probe durch das Neunfache. 22 Die Zahl 345 beſteht aus den dren Aheiln; 5 und 40 und 300, alſa e und aus 40 d. 4 mal 9 u. noch (4mal roder) 4 und aus 300 d. i. z mal 99 U. noch (3 mal oder) 3 Alſo beſteht 345 aus 4 mahl 9 u. 3 mahl 99 und noch . 4 73 3 Nun iſt 4 mahl 9 ſowohl, als 3 mahl 99, jedes eine e neunfache Menge, alſo auch ihre Summe of⸗ fenbar eine neunfache Menge, und es enthaͤlt alſo die Zahl 345 außer einer gewiß gfachen Menge noch die Menge 5 + 4 †+ 3. So wie nun dieſe Menge 5 ¼ 4 †+3, die Zifferſumme der Zahl 345, ſelbſt 12 ausmacht, und daher 3 uͤber das noch in ihr ſteckende gfache enthaͤltz ſo muß offenbar die Zahl 345 außer allen in ihr ſteckenden gfachen ebenfalls mnoch 3 enthalten. Ferner beſteht die Zahl 504 aus 4 und aus 30o, und aus 300 d. .1. zmahl 99 u. noch 6 mahl 1, ,Dder , be⸗ ſteht alſo 304 aus einer gfachen Menge und nocha 5. Da nun dieſes letzte 44 ebenfalls etwas s neunfaches iſt; ſo beſteht die Zahl 504 ganz und 3 gar aus einer 9fachen Menge. Anmerk. Im allgemeinen beruht nun dieſes zu⸗ teeffen darauf, daß jeder Zehner, er mag 1 oder 2 u. ſ. w. 8, oder 9 ſeyn, fo viel mahl 10, alſo auch ſo vielmahl 9 † ausdruͤckt, als ſein Nahme andeutet, und eben ſo jeder Hunderter, ſo vielmahl 100, alſo auch ſovielmahl 99+ 1, jeder Tanſender ſovielmahl 1000, alſo auch viel⸗ 6 728 Eirfftes Kapitel. — 19 bielmahl 999 †+ 1, jeder Zehntauſender ſo vielmahl 10000, alſo auch ſovielmahl 9999 + 1 ausdruͤckt, als Whenet ſein Nahme andeutet, uͤbrigens aber gewiſſe Mahle 4 der Pobezet oder 99 oder 999 oder 399% u. ſ. w. genommen, wiederum etwas Neunfaches ausmacht. Am allgemeinſten und kuͤrze. 1 bnntder ſten aber, alſo auch am deutlichſten und anſchautichſten, kann unn, man dieſe und ſo viele aͤhnliche arithmetiſche Betrachtungen mnfat: vortragen, wen man die Zeichen der Buchſtabenrechnung ACumme. zu Huͤlfe nehmen darf. Man findet hierzu brauchbare inden Vorſtellungen im erſten Bande meines erſten y end Unterrichts in der algebraiſchen Aufloͤſung t u arithm. und grome. Aufgaben 5. 510. — in . ertiöran 8 Oher nn Der e Ueberſchuß einer tenge uͤber d6 te A graße in ihr ſteckende Neunfache ſoll, des uuren ſolgenden Gebrauches wegen, ihre probe⸗ ſftſce din zaͤht genannt werden. e⸗ ud Man erhaͤlt dieſe Probezahl nache . 2 8, in⸗ 4 nrt dem man die Ziffern, wodurch die Menge geſchrie⸗: t “D ben iſt, zuſammen addirt, und dieſer Zifferſumme 1 n Probezahl findet: welches zugleich die geſuchte Pro⸗ e ed bezahl der vorhandenen Menge iſt; es mag nun dieſe n n Menge durch eine oder durch mehrere Zahlenreihen Puifnl le, ausgedruͤckt ſeyn. So iſt 8 die rsa derjeni⸗ ael 654 gen Menge, welche durch die 4 nebenſte⸗ gnnh, 843 henden Zahlenreihen ausgedruͤckt iſt; indem iſe 92 dieſer Menge Zifferſumme = 6 † 544 †½ 8 “”“ 3217 4443 †9†οr2 † 2 r r 1. 7 = z3. S—S— fahl 9 und noch 8 iſt. 5 . I. Probe durch das Neunfache. 79 eH Man erleichtert ſich aber die Auffindung mh der Probezahl auf eine doppelte Weiſe. 1I. Entweder addirt man die Ziffern außer der Ordnung, und nimmt dann, ſo lange es angeht, immerfort? oder mehrere Ziffern zuſammen, de⸗ rreen Summe gerade 9 ausmacht; ſagt alſo z. B. ie GBy4 in dem nebenſtehenden Falle: 5 und 4 iſt 9 m 844 6 und 3 kſt 9; 8 und r iſt 9; 9 iſt 9; itn hi 902 2 und 7 iſt 9; wobey man jede gebrauchte Nd Ziffer durchſtreicht. Die Summe der uͤbrig⸗ gebliebenen 4 ¼ 2 †+ 2 =8, welche nun klei⸗ 4 ner als 9 iſt, iſt die geſuchte Probezahl. E II. Oder man addirt die Ziffern in einer beſtimm⸗ mſin. 2 247 rn . » . „ 2. ae ken Ordnung, etwa ſo wie ſie im vorigen neben ner ſianr einander gedruckt ſind, nach und nach zuſammen, n laͤßt jede waͤhrend dieſes Addirens erreichte 9 ſo⸗ en ih gleich aus der Acht, und addirt nur den gebliebe⸗ nen Ueberſchuß ferner zur folgenden Ziffer hinzu. A 65 4 Im nebenſtehenden Falle heißt es dann, wie 1 rf 843 folget: 6 und 5 iſt 11, alſo uͤber 9 noch 2. 902 Zu dieſem Ueberſchuſſe 2 die naͤchſte Ziffer 4 eißefi 2217 addirt, giebt 6, dazu die 8 der folgenden Ne ens Reihe, giebt 14, das iſt uber 9 noch 5. N e Zu dieſem Ueberſchuß 5 die naͤchſte 4 abdirt, giebk ezet gerade 9. Ferner, 3 und 9 iſt 12, alſo uͤber Onoch 3. Dazu die naͤchſte 2 giebt 5, dazu die n ti naͤchſte 2 giebt 7, und dazu noch die naͤchſte 2, gaebt wiederum 9. Die beyden noch uͤbrigen .. Ziffern 1 und ?7 beſtimmen die Probezahl 8. Aliunmerk. 80 Elilftes Kapitel. 1 Das letzte Verfahren ſcheint mir im Durch⸗ iſche Phen ſchnitt genommen, nicht nur das ordentlichſte und (ibe, ſtc fauberſte, ſondern auch das geſchwindeſte zu ſeyn. berdenifti Man muß nur bedenken, daß man z. B. den Ueber. iilt blüme ſchuß, der uͤber 9 in 14 ſteckt, nicht etwa durch Subtra⸗ als e ſ ei ction der 9 von 14 zu finden braucht, ſondern ſo⸗. Mſe och efen gleich durch Addirung der Ziffern 1 und 4, wodurch (ͤhien ſehn ſe man vierzehn ſchreiben wuͤrde ,B beſtimmen kannz nach §. 258. ſpe ingegen Probe der Rorenn vermittelſt des (renſmngne Neunfachen. ei , Rer 19 „ Munfa 7§. 262. 1e; den en 654 Man ſuche die Probezahl aus den 4 im ne⸗. P decet 843 benſtehenden Exempel zu addirenden Zah⸗ ne der 9021 len. Sie iſt 8, nach vorigem G! No. oder II. uten 2217 Man ſuche ferner die Probezahl der Zahl enegesdien 7516 4616, die man als die Summe der vori⸗ 2 gen vier Zahlen gefunden hat. Da dieſe Ide deh “ ebenfalls 8 iſt; ſo iſt es ziemlich wahr⸗ Mnh, ſor Gennc, daß man richtig addirt habe. 4 Pnng E 5§. 263. D undn d Ausgemacht gewiß iſt es, daß man falſch ſſt, en gerechnet habe, ſo bald die beyden Probezahlen pigſen nei nicht uͤbereinſtimmen. Denn wenn in dem vori⸗ gen Exempel die Probezahl der Menge, welche Anmm, durch die 4 zu addirenden Zahlen dargeſtelt wird, erb hen, 8& iſt; ſo weiß man, daß dieſe Menge uͤber das iſd thtinet, groͤßte in ihr ſteckende Neunfache noch 8 enthalte. meiſn n Wenn nun die als Summe angeſetzte Menge nicht ſ ngn * “ die⸗ 4 iel kint ni ind Ns oldenic nm; Ixr l ſchtava ne 4 1 brunche, M ſen nd e, heſcin Wme E * emteee N wumt *WMM (l. ℳ wel 1, ar Drebeeg 6 Reyr Nezehes ne! de Eum A * 6 im . u R . 4 “ es, g teniß⸗ 6 nn wean- 4 der N hlen d S ge e! n / t,, , I. Probe durch das Neunfache. 81 dieſelbe Probezahl 8, ſondern eine andere, etwa 5 gaͤbe, folglich die als Summe angeſetzte Menge uͤber das groͤßte in ihr ſteckende Neunfache nur 5 ent⸗ hielte: ſo koͤnnte ja dieſe Menge nicht der Inbegriff aus den 4 zu einander zu addirenden Zahlen ſeyn; wie ſie doch offenbar ſeyn muß, wenn ſie die Summe aus ihnen ſeyn ſoall. *G. 264. Hingegen koͤnnten wohl beyde Probezahlen uͤbereinſtimmen, ob man gleich beym Addiren um 9 oder 18 oder 27 oder irgend ein anderes Neunfaches gefehlt haͤtte. Z. B. in 103 dem nebenſtehenden kleinen Exempel traͤfe 1 0 die Probe zu, wenn man 583 als die Sum⸗ 583 me der beyden uͤberſtehenden Reihen be⸗ trachten wollte, und es waͤre gleichwohl 583 keinesweges die wahre Summe. In der wahren Summe 853 ſteckt 94 mahl 9 und noch 7, ſo wie in den beyden Zahlen 103 und 750 zuſammen genommen ebenfalls 94 mahl 9 und noch 7 ſteckt. Aber in 583 ſteckt nur 64 mahl 9 und noch 7; und ſo waͤre hier wirklich um 30 mahl 9 gefehlt, ohne daß die Probezahl dieſen Fehler im geringſten anzeigen kann. Anmerk. In einem von den vorzuͤglichſten neuern Rechenbuͤchern, und ich denke in noch mehrern andern, wird behauptet, daß man, um die Neunnerprobe voͤllig zuverlaͤßig zu machen, nur darauf zu achten habe, wie ofßf man waͤhrend dem Summiren ſelbſt, und dann noch F waͤh⸗ 82 Ellftes Kapitel. waͤhrend dem Auffinden der Probezahl aus den Ziffern der Summe, eine 9“ wegwerfe. Wie oft das waͤh⸗ rend dem Summiren geſchehe, beſtimmen ſogleich die im Exempel *g§. 262 unter der Summe ſtehenden, durch⸗ ſtrichenen Ziffern. Indem naͤhmlich 10 Einzelne, 10 Zehende und 20 Hunderte als 1 Zehend, 1 Hundert und 2 Tauſende augeſchrieben werden; ſo wird wegen der 10 Einzelnen, die 9 und 1 Einzelne ausmachen, nur 1, wegen der 10 Zehend, die 9 und 1 Zehend ausmachen, wiederum nur 1, und wegen der 20 Hunderte, die 2 mahl 9 und 2 Hunderte ausmachen, nur 2 in diejenigen Ziffern gebracht, wodurch man die Summe ſchreibt; und es werden in dieſem Verſtande (1 und 1 und2 „alſo) vier Neunfache weggeworfen. Sucht man nun ferner die Probezahl aus den Ziffern der Summe auf, ſo kommt man dabey auch noch einmahl auf eine 9, die bey dieſer Beſtimmung der Probezahl ebenſalls wegge⸗ worfen wird. “ Waͤhrend daß man nun die Probezahl aus den ſummirten Zahlen findet, beſonders wenn es nach No. 1. n *§. 2 61 geſchieht, wird man bemerken, daß man ſtimmung, verbunden mit der Uebereinſtimmung der beyden Probezahlen, ſollte es nun voͤllig gewiß machen, daß man richtig gerechnet habe? Man ſieht leicht, daß man, um auf dieſem Wege eine voͤllig entſcheidende Probe zu erhalten, zugleich darauf achten muͤßte, ob in den ſummirten Zahlen und in der Summe gleich ofte 9, und gleich ofte 99, und gleich ofte 999 ꝛc. weggeworfen wuͤrde; welches viel zu große Arbeit erfordert.) *5. 265 1 Gy d Zenlife Ben icen ⸗ ſic den gten ngeſelt und; ſcen ſen, d rß nicht un ſndern glerfe 10, dder 11,1 Clenfels urn Me neßn Ein Nrſe) fthe ber ehren let, 6s die ſis snſgebe. u lhfſchichn en Afingen er ben Mlung dabey ebenfalls 5 mahl auf 9 kommt. Dieſe Uebereinse ſeſen der ffirgenn, keanſir, 1 liſbe Alfen Noh e anpoode Uniteſtde t ic beſt s Men l. deahl mu; ihmic ie Wen; ſ N e ..: N e. 4 mIM n de Emme e 1 mIEE nde1 mln 7 6 2* wotſen. da „ . Prie! ReLe Aes! Peda 4 . E un Me e SW 8 en e, 4 lenti,? Den an . de 9 I 7 . 1Ke. „ fegerewo e! 2 4 unn ni Eumm iſ Pettinn 4 1. Probe durch das Neunfache. 83 * §. 265. Begh dem allen gewaͤhrt doch dieſe Probe eine ziemliche Beruhigung, weil ſie unter allen uͤberhaupt moͤglichen Fehlern ihrer achte ausſchließt, und nur noch den gten uͤbrig laͤßt. Wer naͤhmlich dieſe Probe angeſtellt und zutreffend befunden hat, der kann ver⸗ ſichert ſeyn, daß ſeine als Summe angeſetzte Zahl gewiß nicht um 1 oder 2 oder 3, 4, 5, 6, 7 oder 8, ſondern allenfalls nur noch um 9, ferner nicht um 10, oder 11, 12, 13, 14, 15, 16 oder 17, ſondern allenfalls nur noch um 18, groͤßer oder kleiner als die wahre Summe ſeyn koͤnne, u. ſ. v. *§. 266. Nur iſt dieſe Probeart gar zu muͤhſam, und erfordert mehrentheils faſt eben ſo viel Zeit und Ar⸗ beit, als die wiederholte Berechnung einer Addi⸗ tionsaufgabe. Daher iſt ſie außer andern Urſachen hauptſaͤchlich nur deshalb hier angefuͤhrt; weil ſie den Anfaͤngern zu einer ſo angenehmen als nuͤtzli⸗ chen Uebung im Addiren einzelner Ziffern und im Abziehen der 9 gereichen kann, uͤbrigens auch den Anfaͤngern, die noch ſehr ofte fehlen, ſehr ofte Feh⸗ ler anzeigt, und dadurch eine neue Berechnung der Aufgabe auferlegt. Noch weit weniger rathſam wuͤrde derglei⸗ chen Probe fuͤr die Subtraction ſeyn, die man vermittelſt der Addition auf die natuͤrlichſte, leich⸗ teſte und beſte Weiſe probirt. Dagegen iſt aller⸗ dings zu empfehlen die folgende F 2 *§. 267. . 7 84 Eilftes Kapitel. *§. 267. Probe der Multiplication. aͤhmlich die Probezahl 7809 (6 des Multiplicanden iſt 6 74 (2 des Multiplicators iſt 2. 31236 (12 Beyder Product iſt 12, und 54668 (3 dieſer 12 Probezahl iſt 3. 577866 (3 Da mun ebenfalls auch 3 als die Probezahl der als Product angeſetzten Zahl 577866 gefünden wird; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man richtig gerechnet habe. In folgenden Beyſpiele iſt die Probezahl 801 des Multiplicanden, 12 des Multiplicators, 3. 1602 Beyder Product iſt o, und die⸗ 801 ſer o Probezahl ſelbſt, o 9612 Da nun ebenfalls o als die Probe⸗ zahl der als Product angeſetzten Zahl 9612 gefun⸗ den wird; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man richtig gerechnet habe. Auch hier wird es durch das Zutreffen der Pro⸗ bezahlen immer nur wahrſcheinlich, nicht gewiß, daß man gar nicht gefehlt habe. Es bleibt naͤhm⸗ lich auch hier moͤglich, daß die gefundene Zahl um irgend ein gfaches von dem wahren Producte ab⸗ weiche. Indeſſen wird ein geuͤbter Rechner nicht leicht D 1 ſicht un dent bey Anſdngem! in glor, def G, elrachenu Pbenrt ben de lid e iſt doen rbchvaic, n. No veit ndenes les diher de iin ine ander ngſiite, ode Nult des Unede Cee nich Ulitſhike. NWan Puterhen ahcn. nich die ee glicanden i mlicatars ſ Y/ ch emels dud 1 . 0,, akchenic, 9 I. Probe durch das Neunfache. 85 leicht um dergleichen gfaches fehlen, welches ſelbſt bey Anfaͤngern hauptſaͤchlich nur dadurch zu geſche⸗ hen pflegt, daß ſie etwa 54 ſtatt 45, oder 36 ſtatt 63 gebrauchen u. dergl. Uebrigens aber macht dieſe Probeart bey der Multiplication keine große Muͤhe; und es iſt dagegen bey etwas großen Factoren gar ſehr beſchwerlich, die ganze Rechnung zu wiederho⸗ len. Noch weit beſchwerlicher waͤre es, wenn man ein gefundenes Product durch die Diviſion pruͤfen wollte; daher denn in der That fuͤr die Multiplica⸗ tion keine andere Probe uͤbrig bleibt, als die eben angsfuͤhrte, oder die aͤhnliche, bald d ſigende ver⸗ mittelſt des 1 rfachen. e5. 269. Probe der Diviſion. 1) Wenn der Quotient eine ganze Zahl iſt, z. B. Diviſor 25, Divid. 10325, Quot. 413, deren Probezahlen (7 (2 (IS ſind ſo ſagt man: 8 mahl 7 iſt 56, und der 56 Probe⸗ zahl iſt 2. S Da nun des Dividenden Probezahl eben⸗ falls 2 iſt; ſo kann man verſichert ſeyn, daß man entweder gar nicht, oder geraden nur um ein gfaches gefehlt habe. II.) Wenn im Quotienten ein Bruch vorkommt, z. B. Diviſor 2500, Divid. 1032944, Quot. 413 ½½ ſchreibt man (7 (5 (8 ¾ als Probezahlen an, indem in dem Ausdrucke 2, der F 3 dem 86 Eilftes Kapitel. dem Bruch *ÿ½ zugehoͤrt, die 3 des Zaͤhlers, und die 4 des Nenners Probezahl iſt *). Dann ſagt man: 4 mahl 8 iſt 32, und dazu 3 giebt 35, deren Probezahl iſt 8. Dieſe 8 mul⸗ tiplicirt in 7 giebt 56, deren Probezahl iſt 2. Ferner: 4 mahl ; iſt 20, undt deren Probe⸗ zahl iſt ebenfalls 2. *G. 270. Bey ſehr großen Diviſionen macht dieſe Probe ungleich weniger Muͤhe, als wenn man durch die Ul⸗ *) Zch halte es fuͤr Schuldigkeit „ mich hiebey dem gewoͤhnlichen Verfahren wieder mehr zu naͤhern, als in meinen Beytraͤgen; da ich dort einen practiſchen Vortheil uͤberſehen habe. Nur muß man ja nicht ½ die Probezahl von ½ nennen, welches ſich mit der Erklaͤrung §. 260 gar nicht vertraͤgt: ſondern 3 iſt des Zaͤhlers und 4 des Nenners Probezahl. Eben ſo wuͤrde 2 fuͤr e nichts anders bedeuten, als daß 4 des Zaͤhlers 13, und o des Nenners 36 Probezahl ſey; da hinge⸗ gen dieſer Ausdruck denjenigen doch etwas auf⸗ fallen ſollte, welche geradezu fuͤr die Probezahl des Bruches an gete 8 D = D (GN +?), folglich auch die Probezahl von A N, der Probezahl von D (GNTZ) gleich ſen. Darauf kann man das Verfahren im Texte gruͤnden. A Wenn — = G † iſt, ſo muß auch A N 1 1 P Nultiptenten gechſerhre mon itdſſerbe Dublen ich Cthnes gfoches fdie Sicheh vercchten ſey Juden 2 Lin Chebe lerh ein dhelr, ſite e gͤſte . En Groſtt eßt: ein G hil iber ſein Gen noch 3 Ein Thaler h die 24 ei 6 Pabege to hilt3 n n von in den Danun an Enne ſeinfach un ſenig Gech ſgn. §. n 6 1 Riuge . des Aet zip ui tg. Deſn Nobezchlin 1, und nd 8 inn nctiek ven un 4 bitit, aaſt⸗ . er wie1 in ie K ”lõ I. Probe durch das Neunfache. 87 Multiplication probirt, wie im fuͤnften Kapitel; ob⸗ gleich jene Probe allerdings zuverlaͤßiger iſt. Wenn man indeſſen bedenkt, daß ein geuͤbter Rechner beym Dividiren nicht leicht um 9 oder 18 oder irgend ein anderes gfaches fehlen koͤnne; ſo ſieht man wohl, daß die Sicherheit der eben gezeigten Probeart nicht zu verachten ſey. *§. 271. Von den Probegroͤßen benannter Zahlen. Ein Thaler haͤlt 6 Probegroſchen, das heißt: ein Thaler, der aus z 9 beſteht, enthaͤlt uͤber ſeine groͤßte gfache Menge von Groſchen noch 6 4. Ein Groſchen hoͤlt 3 Probepſennige, das heißt: ein Groſchen der aus 12 A beſteht, ent⸗ haͤlt uͤber ſeine groͤßte glache Menge von Pfenni⸗ gen noch 3 R. Ein Thaler haͤlt alſo o Probepfennige. Denn die 24 3'l eines Thalers ſind gfach bis auf ſeine 6 Probegroſchen. Jeder dieſer Groſchen aber haͤlt 3 Probepfennige, und es iſt daher diejenige Menge von Pfennigen ganz gewiß gfach, welche in den 6 r außer 6 mahl 3 oder 18 R ſteckt. Da nun auch dieſer 18 Probegroͤße 0, alſo 18 eine neunfache Zahl iſt; ſo muß die ganze Menge von Pfennigen, welche einen Thaler ausmachen, gfach ſeyn. 1 Fl. von 60 Xr. haͤlt 6 Probekreuger „d 1 Areutzer hoͤlt 4 Probepfennige. 88 Eilftes Kapitel. 1 El. haͤlt alſo auch 6 Probepfennige. Naͤhm⸗ lich 1 Fl. als 60 Xr. enthaͤlt eine gfache Anzahl und noch 6 Xr. Dieſe 6 Xr. halten 4 mahl 6, alſo 24 R, das iſt eine 9gfache Menge von Pfen. du (ſe. Ein haͤlt 5 Probeloth, ein Loth aber nigen und noch 6 R. 4 Probequentchen. Ein (ſs haͤlt alſo 2 Probequentchen. Naͤhm⸗ lich 1 als 32 Loth betrachtet, enthaͤlt eine gfache Anzahl von Lothen und noch 5 Loth. Dieſe 5 Loth halten 4 mahl 5, alſo 20 Quent⸗ chen, d. i. eine gfache Menge von Quentchen 3 unnd noch 2 Quentchen. Ein Centner von 110 fg haͤlt 2 Probepfund, oder 1 Probeloth oder 4 Probequentchen. Ein Winſpel haͤlt 6 Probeſcheffel, ein Scheſ⸗ fel aber 7 Probemetzen. Ein Winſpel haͤlt alſo auch 6 Probemetzen. Denn 7 mahlé iſt 42, und deſſen Probezahl iſt 6. Ein Rieß haͤlt ? Probebuch; ein Buch von 25 Bogen aber haͤlt 72 Probebogen. Ein Nieß haͤlt alſo 5 Probebogen. *§. 272. Alle dieſe und aͤhnlich. Redensarten wird man hoffentlich nach folgender Erlaͤuterung hinlaͤnglich verſtehen. Wenn ich ſage, 1 Rieß Druckpapier haͤlt Probebogen; ſo heißt das nichts anders, als daß 19 de Aneli Uler Nrgri lch efel Me ppbe Reß ſetece gſcche lut fſ 358 Puchern Noher) der Olanactz ſn ir dos Neß Bncchung Ln H Unhitt7 Pr an hbͦ an zweyB en, bön diee ſhe enhalt hupt nn; fende Cſccſe Derans lharbis nllzd Cſchintis Ebe 6 f “ . ſemnin i t an Nnemß , in laht Wenchen. N nachte Ntd. : pn „ ſ ust / 7 ch 0 oben h. inih vogen. ogen an densanl autenn NN Ml 4 NRers, uders, achtne I. Probe durch das Neunfache. 89 die Anzahl der Bogen, welche ein Rieß ausmachen, außer der groͤßten in ihr ſteckenden gfachen Menge noch 5 enthalte, oder gfach ſey bis auf 5 Bogen. Dieſe 5 Probebogen findet man nun durch folgende Schluͤſſe. 1 Rieß haͤlt 20 Buch, alſo uͤber die in ihm ſteckende gfache Menge von Buͤchern noch 2 Buͤcher (nach *§. 358.). Da nun jede gfache Menge von Buͤchern ganz offenbar auch eine (25 mahl groͤßere) ebenfalls gfache Menge von Bogen, ausmacht; ſo ſind bey Erforſchung der Probebogen fuͤr das Rieß nur noch die 2 Drobebuͤcher! in Betrachtung zu nehmen. Ein Buch aber, das aus 25 Bogen beſteht, enthaͤlt 7 Probebogen, iſt eine gfache Menge von Bogen bis auf 7 Bogen. Zwey Buͤcher ſind alſo eine gfache Menge von Bogen, bis auf 2 mahl 7, d. i. 14 Bogen. Und da dieſe 14 Bogen wiederum nur 5 uͤbers Neun⸗ fache enthalten; ſo koͤnnen auch die 2 Buͤcher uͤber⸗ haupt nur 5 Bogen uͤber die groͤßte in ihnen ſtek⸗ kende 9fache Menge enthalten. *§. 273. Daraus, daß 1 Rieß eine neunſache Bogen⸗ zahl haͤlt bis auf 5, kann man nun weiter ſchlieſſen; daß 2 Rieß eine gfache Bogenzahl halten bis auf 2 mahl 5, d. i. 10, alſo bis auf 1, da 10 wiederum gfach iſt bis auf 1. Eben ſo findet man die Probebogen von 6 Rieß auf folgende Weiſe. 1 Rieß haͤlt 5 Probebogen, F è3 o Rieß — — 90 Elilftes Kapitel. 6 Rieß halten alſo bis auf 5 mahl 6, d. i. 30 Bo⸗ gen, ganz gewiß eine 9fache Menge von Bogen, halten alſo 3 Probebogen. Wie viel Probebogen halten 56 Rieß? Antv. Die 56 Rieß halten 2 Proberieß, und dieſe 2 Pro⸗ berieß halten eine gfache Bogenzahl bis auf 2 mahl 5, d. i. 10 Bogen, alſo auch bis auf 1 Bogen. Alſo halten die 56 Rieß ebenfalls 1 Probebogen. *§. 274. Wie viel Probeloth halten 16 f und 14 Loth? Antw. 16 t halten 7 Probepfund. Da nun 1 fp haͤlt 5 Probeloth, ſo ſagt man: 7 mahl 5 Loth iſt 35 Loth, welche 8 Probeloth halten. Darzu die 5 Probeloth der noch vorhandenen 14 oeh addirt hat man 8 P 5 d. i. 13, alſo 4 Probeloth. Hiebey liegen folgende Schluͤſſe zum Grunde. 16 ſind eine gfache Anzahl von ſg, und noch 7 , alſo auch eine gfache Anzahl von Lothen und nech 5 mahl 7, d. i. 35 Loth, alſo auch eine gfache Anzahl von Lothen und noch 8 Loth. Da nun die noch vorhandenen 14 Loth noch 5 uͤber ihr gfaches enthalten „ſo weiß man nunmehr: 16 l und 14 Loth ſind eine gfache Anzahl und noch 8 †+ 5, d. i. 13 Loth, aſſo eine 9fache Anzahl und noch 4 Loth. *§. 275 1 P Ehen e wedunhnmde on 23 Diezl P he legeſchen u Nes ge hele 6 Ulats; i d mn e Ne⸗ B n nn ui veſch ingz d ſt depen ſeubenf eſta )Mhet6 ſit ſi⸗ ſ Suchn. De m he nen ) ube aſnz ) e ube 14 Me neßen fn mnge Den 1565 Ne ln . „ und eer e glbis aint 1Bogn . Prhetegen „ 4 ud u ltnind. Dr enen 11 9 4. n 1 iſſe nen 2 6 on /A n n vhen 1. Probe durch das Neunfache. 91 Eben ſo iſt folgendes Verfahren zu verſtehen, wodurch man die Probepfennige von 234 X 6. 8 96. 7 . findet. Die 234 m*. halten o Probethaler, alſo auch o Pro⸗ begroſchen, und auch Probepfennige. Die 8 90. halten, weil 1 ℳ. hat 2 Probepfennige, ſo viel als 3 mahl 8, d. i. 24, alſo 6 Probepfen⸗ nige. Dazu die noch gegebnen 7 . addirt, hat man 13 R., alſo 4 Probepfennige. Probe der Nahmenveraͤnderung vermittelſt des Neunfachen. Z. B. um die Rechnung in F§. 190. zu probi⸗ ren, nach welcher 234 6. 8 . 7 ₰₰. ausmachen 67495 . ſucht man W 1) die Probepfennige von 234 r6. 8 96. 7 R., und dieſe ſind 4 . Da nun 2) das Facit 67495 J. ebenfalls 4 Probepfennige haͤlt; ſo iſt es wahrſcheinlich, daß man richtig gerechnet habe. Oder um die Aufgabe in F. 201. zu probiren, ſuche man nen An eämmumn „ 4 . 0 4 e 1lt 6 5 1) die Probemetzen der gegebnen 13838 Metzen, es ſind 5Metzen; 2) die Probemetzen des Facit von 36 Winſpel und 14 Metzen. Da man hier ebenfalls 5 Probe⸗ metzen findet; ſo hat die Rechnung wahrſcheinlich ihre è 92 Elilftes Kapitel. ihre Richtigkeit. Man koͤnnte naͤmlich nur noch um irgend ein gfaches gefehlt haben. So, wie in dieſen beyden Beyſpielen, muß man nun uͤberhaupt die Probegroͤße, der aufgegebnen Zahl ſowohl als des gefundenen Facit, in dem nie⸗ drigſten Nahmen ſuchen, der uͤberhaupt i in der gan⸗ zen Rechnung vorkommt, es ſey im Facit, oder in der aufgegebnen Zahl. Dieſe Regel gilt auch fuͤr die folgenden Proben. §. 277. Probe der Multiplication in benannten und ſoortirten Zahlen. Z. B. In §. 235 iſt der Multiplicande 14 k. 8 Hg., der Multiplicator 321, das Facit 4517 L. 38 . Man finde 1) des Multiplicanden Probepfunde, o G. 2) des Multiplikators Probezahl 6 beyder Produet iſt o . u. dieſer o ſß. Probezahl wiederum o g. Da nun 3) des Facit Probepfunde ebenfalls o . ſind; ſo hat man wahrſcheiulich nicht gefehlt. Probe der Didiſion in benannten Zahlen. Z. B. in §. 244. iſt der Dividende 28 Win⸗ ſpel, der Diviſor 5, der Quotient 5 Minſpel 14 Scheffel 6 ¾ Metzen. Man 1 Pu Mun ſwde 1¹) Des Oleninten ſeiter BGruch in 2) ℳ. Darſſrrs Pepder roduet (SsPeoduetes 3) de Mobezahl Delche , 4) e Drderde nn baßeſchein ne dey deſen Menner des Ben kommt, denn Or Ueklerert ſe,. I In Sett de⸗ Niuitid Eifiche rchn bezchſen de⸗ iſt geiunden. Nn n , dicl. tenänihun ſden Ween 1 egise Nae enen zutt ue e Uberheneru Sſh in ſuct 4 e Ne Ker 1. Probe durch das Neunfache. 93 Man finde 1) Des Quotienten Probemetzen, ohne aff ſeinen Bruch zu achten; ſie ſind 8 Metzen 2) Des Diviſors Probezahl — F Beyder Product iſt 40 Metzen, und die⸗ ſes Productes Probezahl 4 Metzen. Hierzu 3) die Pr obezahl des Zählers in dem Bruche ½, alſſ — 2 ad⸗ = dirt, giebt 6ö. Und da nun 4) der Dividende ebenfalls 6 Probemetzen haͤlt „ſo hat man wahrſcheinlich nicht gefehlt. . Noͤthige Anmerkung. Bey dieſem Verfahren wird vorausgeſetzt, daß der 1 ine Nenner des Bruches, welcher etwa im Quotienten vor⸗ kommt, dem Diviſor gleich „der Bruch alſo noch nicht verkleinert ſey. II. Von den Proben vermitte lſt des Eilffachen. *§. 479. Statt der bisher gebrauchten Reſte uͤber das Nerunfache bedient man ſich auch der Reſte uͤber das Eilffache zu aͤhnlichen Proben. Es werden aber dieſe Probezahlen des 11fachen auf ſolgende Ite oder Ute Weiſe gefunden. - I. Man addirt die Ziffern der ungeraden Stellen, z. B. in der Zahl 38 1069 die Ziffern 9, o, 8 welches 17 giebt, und darauf auch die dabey uͤber ſprungenen Ziffern an den geraden Stellen, alſo 6, 1 und 3 welches 10 giebt. 94 Eilftes Kapitel. Laͤßt ſich nun 1) von der Zifferſumme der un⸗ geraden Stellen die Zifferſumme der geraden Stel⸗ len abziehen; ſo thut man das, und der gefundene Unterſchied, in unſerm Beiſpiele 2, iſt alsdann ſo⸗ gleich die geſuchte Probezahl; oder man weiß, daß 38 1069 aus einem 1 Ifachen und noch 7 beſteht. Laͤßt ſich aber 2) auf ſolche Weiſe nicht abzie⸗ hen, weil die Zifferſumme der ungeraden Stellen zu klein iſt; ſo addirt man zu derſelben noch 11, oder, wenn auch das nicht hinreichen ſollte, noch 22, oder gar 33 oder 44 u. dergl. bis man abziehen kann. So wird z. B. bey der Zahl 34260 der un⸗ geraden Stellen Zifferſumme 5 um 11 vermehrt, welches 16 giebt, wovon ſich alsdann der geraden Stellen Zifferſumme 10 allerdings abziehen laͤßt. Der bleibende Reſt 6 iſt nunmehr die verlangte Pro⸗ bezahlz naͤhmlich man weiß nunmehr, daß 34260 etwas 1 1faches und noch 6 iſt. Wienn endlich 3) der nach 1¹) geſundene Reſt ſelbſt noch nicht kleiner als 11 ſeyn ſollte, z. B. in 7281809; ſo verfaͤhrt man mit ſolchem Reſte aufs neue nach 1¹) oder 2); und zwar mit dem gegenwaͤr⸗ tigen 29 nach 1), weil ſich von der 9, der Ziffer an der ungeraden Stelle, die Ziffer an der geraden Stelle, 2, ſogleich abziehen laͤßt. Der Reſt 7 iſt die geſuchte Probezahl von 7281809. Zuſatz. Sollte auch der zweyte Reſt noch nicht kleiner als 11 ſeyn; ſo muͤßte man dieſen zweyten Neſ aufs neue nach 3) behandeln. 1 Oell, Silun dern Dn von der n ere dife Unehrt mand Ur e t lir lt 1ven i nerk r, und beſond hetnentt, n, und in ſ enen Dugnn ſſos En ncs 4. Nrgee , ud Nee ele 1, iſte der mantis wNach re I 1N emn u 4 1ſn ſle,, nit ſhen or ni M n deg Ne N Zſe e. d 81809 44 II. Probe durch das Eilffache. 95 H §. 280. Oder II, man ziehe die Ziffer der hoͤchſten Stelle von der naͤchſtvorhergehenden ab, den Reſt wie⸗ derum von der naͤchſtvorhergehenden u. ſ. w.; und wenn eine Ziffer fuͤr dieſes Abziehen zu klein iſt, ſo vermehrt man dieſelbe um 11. Der letzte Reſt giebt die Probezahl. Z. B. Fuͤr die obige Zahl 38 1069 ſagt man: 3 von 8 bleibt 5; 5 von 1 + 11 d. i. 12 bleibt 7; 7 von o+ 11 d. i. 11 bleibt 4; 4 von 6 bleibt 2; 2 von 9 bleibt 7, welches nun die Probe⸗ zahl iſt. Anmerk. Dieſes Verfahren iſt eben nicht kuͤr⸗ zer, und beſonders bey dreyſtelligen Zahlen gar oft etwas unbequemer, als das erſte; aber es iſt leichter zu behal⸗ ten, und in ſo fern ſicherer. *§. 281. . Das ganze Verfahren gruͤndet ſich darauf, daß 1) jedes Einzelne, jedes Hundert, Zehntauſend ꝛc. etwas 11faches und noch „,·· 2) dagegen jedes Zehend, jedes Tauſend, Hun⸗ derttauſend ꝛc. etwas 1 1faches weniger 1 iſt; folglich auch Z. B. 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) Einzelne, Hunderte oder Zehntauſende ꝛc. etwas 1 1faches und noch 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) dagegen z. B. 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) Zehende, Tau⸗ ſende oder Hunderttauſende ꝛc. etwas 11faches weniger 2 (oder 3 oder 4 ꝛc.) ſind. H *§. 9 82 . 96 Eliilftes Kapitel. §. 282. Inxn benannten Zahlen wird z. B. 1 halten 2 Probegroſchen, weil in 24 noch 2 uͤbers in 12 noch 1 R uͤber 11 ſteckt. 1¹ Centner zu 110 f gerechnet, haͤlt Pro⸗ bepfennige, weil o die Probezahl von 110 iſt; und 1 tg haͤlt 10 Probeloth, weil 10 die Probezahl von 32 iſt. Nachdem man nun auf dieſe Weiſe die Probe⸗ zahlen des 1rfachen zu finden weiß; ſo wird uͤbri⸗ gens ihr Gebrauch ſelbſt keine weitere Schwierig. keit machen. Man verfaͤhrt dabey gerade wie mit Probezahlen des gfachen. So wird bey der Mulrtiplication in *§. 267 die Probezahl des Multiplicanden 10, durch des Multiplicators Probezahl 8 multiplicirt, und dieſes Productes 80 Probezahl geſucht, welche 3 iſt. Da nun der als Product gefundenen Zahl 577866 Pro⸗ bezahl ebenfalls 3 iſt; ſo iſt es wahrſcheihlich, daß man richtig gerechnet habe. Bep der Diviſion 1) in *§. 269. ſind die Pro⸗ bezahlen des Eilffachen: IJM 8 (3, fuͤr den Diviſor, (27 fuͤr den Dividen⸗ den und (6 fuͤr den Quotienten. 2 Allſo heißt es: 6 mahl 3 iſt 18, deren Probe⸗ zahl iſt 7; und des Dividenden Probezahl iſt eben 2 falls 7. / 1rfache ſtecken. 1 23 haͤlt 1 Probepfennig, weil Drgingi Nllterhliſt. obezahl, 1 unn Aebe Wefe Gſger eDr Mlen I 2) Firde anunt, lit Diſeren ſinhtzi Ferner: 5 lebenfals Num. Volt ſo ware des Div ſir die Richie s Zihlers in ſ Oagchen eehl des 1 i Perbe dunchs Elte euch in n Drſſe DMin. Dust nn ) h,, beſatlen likrs 4 Uuikiltz n teſcls 0 Pun gineidre ufetzdde il. N! Arhit Pr R d. A! 1* II. Probe durch das Eilffache. 97 2) Fuͤr den Fall, daß im Quokienten ein Bruch vor⸗ kommt, will ich ein neues Beyſpiel herſetzen. Es ſeyen Diviſor 81, Dividende 55563, Quot. 685¾ Probezahlen (4 H (2 (34 35 mahlz iſt 15, dazu 4 addirt giebt 19, deren Probezahl iſt 8. Nun 8 mahl (4 iſt 32, und deren EE Probezahl, I10. Ferner: 5 mahl 2 iſt 10, und deren Probe. 8r. zahl ebenfalle 10. *§. 28 ſ. Anm. Wollte man hier durchs Meunfache probiren, ſo waͤre des Diviſors Probezahl o; und dadurch wuͤrde fuͤr die Richtigkeit der ganzen Zahl im Quotienten, und des Zaͤhlers in ſeinem Bruche gar nichts beſtimmt. Dagegen wuͤrde z. B. fuͤr den Diviſor 77 die Pro⸗ bezahl des 11 fachen o ſeyn, und man muͤßte deshalb die Probe durchs Neunfache waͤhlen. Sollte auch dafuͤr die Probezahl o werden, z. B. bey dem Diviſor 99, ſo waͤren beyde Proben ohne Nutzen. Das erhellet vollſtaͤndig aus den Gleichungen unter *§. 2 6 9, oder hinreichend fuͤr uns auch auf ſol⸗ gende Weiſe. Es ſeyen des Diviſors, des Dividenden und des Quotienten Probezahlen do (7 L3; ſo heißt es etwa: 5 mahl 2 iſt 10 und 4 iſt 14, deſſen Probezahl 5; und 5 mahl o iſt o. Ferner: 7 mahl o vd iſt ebenfalls o. Freylich! Aber Statt 5 und 7 koͤnnten nun ganz andre Zahlen ſtehen, und man wuͤrde gleichwohl auf jenes Ebenfalls te kommen. “ G Fuͤr 98 Elilftes Kapitel. Fuͤr den Fall, daß der Quotient eine ganze Zahl iſt, muß man mun noch bedenken, daß alsdann auch des Dividenden Probezahl o wird, ſo bald des Diviſors Probezahl iſt. Daher auch in dieſem Falle durch der⸗ gleichen Probe nichts beſtimmt wird. *§. 286. Bey der ſchon in *§ 277. probirten Multipli⸗ cation in benannten Zahlen, wo der Multiplicande 14 & 8 , der Multiplicator 321 und das Facit 4517 L 38 f war, wuͤrden als die Probegroͤßen des 1 fachen gefunden werden: 1) des Multiplicanden Probepfunde als — — 8 2) des Multiplicators Probezahl 2 beyder Product 16 3) des Facit Probezahl ebenfalls 5 . *§. 287. I. Unſochen Ni wickelr, un Nach dieſen Beyſpielen wird es wohl nicht ſchwer fallen, auch bey den noch uͤbrigen Rechnungs⸗ arten dieſe Probezahlen des 1 rfachen eben ſo zu ge⸗ brauchen, wie die Probezahlen des gfachen. Mit Sr in⸗ Ausnahme der wenigen Faͤlle in *§. 285. hat man unter beyden zu waͤhlen; und welche verdienen dann den Vorzug? Freylich kann man nur noch um ein 11 aches gefehlt haben, wo die Probe des 11fachen zutrifft, und es giebt weniger 11fache als 9fache Zahlen. Indeſſen iſt dagegen die Auffindung der 1 1 fachen uiß weir gie ſebſ eigt 1 ſe enticen id. Unttin (ſc ach die (269, 1 der e Beytrige und deren Ler Nhmn Crnſt 4 — Piton mnt und dieſer 16 6 Probezahl, 5 ſg. Und nun iſt — Dr ce Nn ungefu Ktiin de hiteſte leten Nehn tels ſchen . Nieut dnr te daß alenn ald di⸗ 6 1deſen zu . u w 6 N Ne m. . nd Pfunde (8 - 11 „ 8— — duct lot ,(I2 14. l5 9 7. n wid 64¼ 1 chiunn 1* lſchne N in⸗ „ velhen 4 man r N 4 Pruk beN 41 er nict; de II. Probe durch das Eilffache. 1Ifachen Probezahlen ungleich muͤhſamer und ver⸗ wickelter, und eben deshalb auch ſchon die Beſorg⸗ niß weit groͤßer, daß man in der Proberechnung ſelbſt gefehlt haben moͤgte, wodurch denn die durch ſie zu erreichende Sicherheit gar ſehr verminderrt wird. Umſtaͤndlichere Eroͤrterungen dieſer Proben, alſo auch die Gruͤnde von dem Verfahren in *§. 267. *G. 269. u. dergl. findet man im erſten Theile mei⸗ ner Beytraͤge zur Mathematik und Phyſik und deren Lehrmethode, der anjetzt ebenfalls zu des Hrn. Cruſius Verlag in Leipzig gehoͤrt. Zwoͤlftes Kapitel. Addition und Subtraction bey Zeitraͤumen. §. 288 — §. 303. Dreyzehntes Kapitel. Leichte Aufgaen fuͤr die Regel de Tri. 5. 304. Sen in in der Vorrede zur erſten Ausgabe habe ich angefuͤhrt, warum ich einiges aus den erſten Kapiteln des zweyten Theiles in den erſten haͤtte bringen ſollen. Ich rathe ſogar, die taͤglich brauch⸗ baren Rechnungen des jetzigen 13ten und 14ten Ka⸗ pitels ſchon viel fruͤher zu uͤben, als es ihre hieſige G 2 Stelle 7 100 Dreyzehntes Kapitel ꝛc. nach Beendigung des ſechsten durchrechnet werden. Mehrere von ihnen werden ſchon nach dem vierten, und die uͤbrigen nach dem fuͤnften Kapitel voͤllig be⸗ griffen, wenn man nur zeigt, daß man z. B. durch 12 zu dividiren habe, um Pfennige nach Groſchen Lehrer, nach Beendigung jener Kapitel, jedesmahl er davon ſchon gebrauchen koͤnne; und ſetze uͤbrigens voraus, daß er ſich ſelbſt ſehr viele den hieſigen aͤhn⸗ liche Aufgaben ſelbſt verfertige, auch aus dem Kopfe wenn ihn nicht eine allzu zahlreiche oder vermiſchte Klaſſe daran hindert. Aufgaben von der Art, wie ſie in dieſen beyden Kapiteln vorkommen, und be⸗ ſonders ſolche, die ſich den leichteſten Behandlun⸗ lichſte Gelegenheit zur Rechnung im Kopfe dar. Vollſtaͤndiger werden die Regel de Tri und ihre Abkuͤrzung durch die ſo genannte Waͤlſche Pra⸗ ſich ſchon fuͤr das Hieſige mit den dortigen drey er⸗ ſten Kapiteln bekannt zu machen. Stelle angiebt. Wenigſtens koͤnnen ſie alle ſchon auszudruͤcken, u. dergl. Ich wuͤnſche nun, daß der 4 dieſe beyden durchſehe, und ſelbſt beurtheile, was angebe, und von den Schuͤlern ſelbſt angeben laſſe, gen der waͤlſchen Practik nach dem 14ten Kapitel unterwerfen laſſen, biethen die ſchoͤnſte und nuͤtz ctik im zweyten Theil behandelt, und der Lehrer hat (N ſed: A; 10 R,d tel⸗Grochen) Donn per nuct: ſed gane Oreſch 3 ganze Groch 1 ſrd ganze roſhe Wder Gen die ſeſe inn man l⸗ wiil . —.—— . 107 kimn Eet S . aininctn Vierzehntes Kapitel. e hden G Leichte Aufgaben fuͤr die waͤlſche „ Mmn; N e Practit. M Mi iberſee, anfaas auch durch aufpezüblte u Pfennige, die Saͤtte 6 ſind ½ ; d ns x; 18) ſind (3 halbe) Oroſchen u. ſ. f. ank 2 36; 16 A al 4 mahl 4 K, ſan 4 , (2 dei⸗ ii⸗ Groſchen) u. ſ. w. Dann werden die folgenden ſehr gelaͤufig ge⸗ re macht: i 2 ſind 1 X; 4 86, als 2 mahl 96, ſind 2 ganze Groſchen; £ t, als 3. mahl 2½ 9t, ſind NeNd 3 ganze Groſchen u. ſ. w. . inend⸗ 3 3 ſind 1 ; 3, als 2 mahl: 2 4e, ſind 2 ganze Groſchen; u. ſ. w. . P r Nerdᷣ t M en achen. 8. 329 — 5§. 32 2 2. — ſin H. 323. Ben der Rechnung im Kopfe, wozu ich ſchon — oben die hieſigen Aufgaben ſehr empfohlen habe, kann man allerdings z. B. die letzte im vorigen §. G 3 auch 102 Vierzehntes Kapitel. auch auf folgende Weiſe behandeln. Wenn 1 Elle koſtet 4 3, ſo koſten 6 Ellen gerade Inen Thaler; „2 mahl 6 oder 12 Ellen alſo 2 6; 3 mahl 6 oder 18 Ellen alſo 3 u. ſ. w. endlich, 7 mahl 6 d. i. 42 Ellen koſten 7 *, und die 3 uͤbrigen Ellen ko⸗ ſten noch 3 mahl 4 , alſo 12 36. Aber der dort angegebene Gang iſt ſicherer, ſchließt ſich naͤher und allgemeiner an das ſchriftliche Rechnen an, und giebt eine beſſere Vorbereitung zur leichten Behanduh KL’ der Bruͤche ab. Ich ſetze uͤbrigens voraus, daß man! bey dem vorigen §. fuͤr die Thalerbruͤche eben ſolche Uebun⸗ gen anſtellt, als ich in *§. 319. fuͤr die Groſchen⸗ bruͤche angefuͤhrt habe; und weiſe hier noch einmahlauf das 16te Kapitel hin. apn. — 103 dch. Nrn ern A n 5 a n g. rtiii Beantwortung der Uebungsaufgaben im de; d ieͤ Anhange zum Rechenduche. Eer it Im Addiren. te Rcandn. . MU * 1 N . N §. 66. No. † Noj r licea N 1544 24-175286 47 31484 1546 25113578 48 33 37 ens, Mn! 1199 26 159726 49 32752 1I17 27 169934 50 47624 1796 281197596 51 552852 1605 29 173750 52 206268 98 1 30 197596 53 295035 969 31 4081 54 170394 . 290⁰⁰ 32 2636 55 189747 i 10 2900 33 3563 56 284061 11 243 34 2732 57 110952 12 137 35 3269 58 293595 13 2243 36 23312 59 164094 — 14 2138 37 48990 60 2330064 15 3636 38 33870 61 267370 16 3003 39 33656 62 310594 17 3331 40 27252 62 175536 18 2523 41 26091 64 241803 19 3394 42 31082 65 219310 20 3491 43 28767 66f 292938 21 96138 44 19100 67 262758 22 114736 45 29931 68 25876 231171394 46] 23333 691 274691 riche n ⸗ , Kln kne . zle — .„ ett G dteſehethee ● % , „ ω ° — 2 S Q 0 D△ ς d e 5365252 276584 270906 348100 220189 137365 6 1463 62 500 Menſchen 174090 Quadratmei⸗ iſt die Summe = 1656 Jahr. §. 84. 153453 111009 108090 93313 I 1001 3209902 3001135 300348 458985 len Im Subtrahiren. Anhang. Beantwortung No. 11 16 17 18 19 20 21 22 23 Im No. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 37501 12 135 14 1 56 9618 499879 10995 311111 10956 2600071 90909 199818 503350 10121439 Mulipluten. 5F. 98. 46134 807570 189738 168194 4046 256 3720272 32703328 3171707368 32832 „ * 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37 38 der Uebungsaufgaben. 327707864 25035 1224903 14890⁰35 2403912 24192918 110601315 244683396 2806024707 15027264 3199928704 3242745088 9904749056 4481710 55639680625 8400494400 65628862500 228008808 1077132168 7727151168 11910643101 1052636816 82467444724 412846592 2543735808 2543 93298 7027608843 59993326620 1994492200 146497320 No. 39 40 42 44 45 46 47 48 49 50 5 1 52 53 54 5 ½ 56 57 58 59 60 67 62 63 43 . H 815491080 445 566770800 §8S. 107. 2724820 22531150 27863680 36548100 11357840 192940000 2437820000 35761200 3180984000 1725000000 §. 109. 1861482 15387998 190223055 66787066 186496062 979404624 §. 113. 393148070 102125272 2 KAe 366275796 36722488 12207699 312009594 33356736— No. “ 106 No. 64 65 66 43 861742892 1227836 2946815856 31944718845 9 93 191343 192 §. 123. 268 1260 2160 7200 4494 6528 439488 24948 27360 857610 Im Dididiren. . 7186707 r6 §. 138. 456 6 3782 *. 1 2 3 16289 4 28917 G ,— 5 6 2153 K 60228 96 §. 142. 4sSoz 663 1999009 Anhang. Beantwortung No. 8 2 367104 *0 9 11350100 X 102673667 6 11 13537 G 12 5871 L 13 20 1062 ρ 14 6805* 1 9784 16 80386 17 16 18 512 19 5006 Stuͤck 20 450149 21]1025043 4 §. 148. 23 1015¾ . 24 4450¾ *αι 25 1683¾ 26 11485 0 27 20058 ½¼ Elle 28 98 5 29 12786¾ 30 125050 31 157 mahl 32 172 mah 33 56 mahl . 1 uPzn hi 649 13,rbr⸗ rr 620 64 dua — — — — — — — —. 2=ͤ+ ä — — — — = — = = — 2 =—☛2 — = — ttung 6natt dlo⸗ 14 d nozdrn izni 3) ꝛonotr; i 16, „11 No. 35 36 37 — der Uebungsaufgaben. 580¾ mahl 13607 ¾ mahl 1296422 mahl 38 65176 ¾ mahl 39 6516 ⅝ mahl 40] 25849 ⅞ mahl §. 160. 41 13253 1¾ mahl 42 93 594% ⸗ 43 235262 ¾ ⸗ 44 154297 ⸗ 45 250 ‧₰ 46 82142 -⸗ 47 3 48 3 ½ ⸗ §. 162. 51 29538* 532 11333¾2 ¾ 53 15734½ 54 32 ½42 55 176 ¾34 56 141623 8 57 16 ¾4 58 3312432 59 322 60114888 ⅛3 61 62 63 64 R 107 §. 37101452 121094 2515 12 1972 — J G◻ „* Ole. Oi Ole Oe Ole 2 010 Od O8. G OG Im Redueiren. Erinneruns. Die klein gedruckten Zahlen in den Parentheſen enthalten die Antwort, wenn man unter 90 nur Marien⸗ greoſchen verſtehen laͤßt. No.] §. 195. 1/32544 ₰ (ebenfalls 32544 Jr. 2 9552 96 (14328 Mrgl.) 3 11136 Loth 4 161824 Quentch. 5 243 ₰ (2407 A) 63699 AR (3619 R) * 247 . (1¹67 R) 10 12 13 14 16 200 1 08 Anhang. 11 15 4569 90 (6849 Mrgl.) 52420 ſℳ. 288000 3120 Metzen 834 Scheffel 579 Loth 7120 Quentl. 38732 Loth 22186 460800 Loth 4343 ℳ. 1190 Xr. 2562 ₰ℳ 242 ₰⅓ 1727 ₰ 880 Mrgl. 6. 20. 8 90 4 (12 Mrgl. 4 ₰) 41 X6“ 16 90 (27 X6 28 Mrgl.) 1800 *£ (1200 X 69) 69 C1ο9° 8 (69 ¹6 Mrgl.) (ebenfalls 52420,oι 291 Metzen 61060 Metzen 3776 Quentl. Beantwortung No. 31 32 33 34 35 36 3711 38 39 5 347 rC 5 96 4 *½ (347 °“ ⁸ Mrgl.) 93 24 Loth 12 Winſpel 12 Schfl. 8 Metzen. 1323 th 22 Loth 1 Fl. 4² Xr. ₰ 5 Mrgl. 4012 Im Addiren benanmet §. 215. 3 X6 23 96 9 A₰ 1324 ρ 17 90 2449 0 2 90 „ . 17 & 18 8 48 t 5 Loth 5 Ballen 6 Buch z71 Fl. 28 Xr. 811157 r 11 Mrgl. 5. 20 Winſpel 13 Schfl. 11 Metzen 102 ι 10 10. Im 7⁸ Winſpel 3 Scheffel 7 Winſpel 19 Scheffel * 11 Mrgi. 2 In Gben Hhuannter Wo ( 1 Me ter Mß⸗ ſu 6 i n 9e b In Multpt Hannter 9 1r. ig ahn 1 = .-2 en N on 6 at der Uebungsaufgaben. Im Subtrahiren be⸗ nannter Zahlen. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 §. 223 S0 r6 14 96 0. 3 22 90 8⁸ ₰½ 28 E 19 Loth 13 Metzen. 1 Anker 6 Berliner Maß. 10 17 Mrgl. 7 ι 12 Fl. 45 XNr. I ₰ 8 96 10 ₰½. 12 90 6 Im Multipliciren be⸗ nannter Zahlen. No. 1 6 7 8 9 0 1 2 3 1 9. 230. 498 ρ 9 90 2 195 60 2 96 3 928 0 13 36 6 ₰ 4 401 6 15 96 4 * 5 168 X C 190 8 ₰ℳ 34 5th. 2 Quentl. 810 ε 12 Loth. 5 8 Loth 3 Quentl. 1713 Winſpel. 142200 rπ 8 90 911 24 Loth. 1280 6 Loth. 48606 £ 18 960 No- 14 15 165 17 18 19 20◻ 2 1 2 22 23 24 25 26 2 28 29 31 32 33 34 35 36 37 38 ü 109 5C 7 96 9 A 4 100 ℳε 3 1 Loth 2 Quenkchen. XC 27 Mrgl. 6,A△ 3 Fl. 33 Xr. 2 §. 234. 300 rσ 20 NE 4856 I 83 0°ℳ–1ʃ 225 72 16 oth. 75 Wſpl. 2 Schfl. 8 Metzen. 3068 Wſul⸗ 8 Schfl. 288 Fl. 54 Kr. 17 £ 22 Mrgl. 4, ℳ½. §. 239. 296 — 2 9 % 272 6 5 90 8 .₰½ 13518 Hk!3 234 ° 10 96 6 ₰ 12 & 76 16 Loth 54 ρ 25 Loth 3 Qutl. 4858 X ι 12 Mrgl. 10663 Fl. 25 Xr. 1583 K 76 14h. 740 0. 18218 * 18 260 24635 X 10 960 Im 110 Anhang. Beantwortung Im Dividiren be⸗ nannter Zahlen. No. §. 253. 4 X6 18 960 4 ° 4 96 9 ¾ * 6 4 %A 15 ρ 10 Lth. 2¾ Qutl. 5 Schfl. 2 ¼ Metzen IIXC IS 90 16 X 6 2 96 8 A. 3 Schfl. 5½ Metze. 35 X °— 3 90 2 . 44 6 5 90 7 ½ R₰ 846 16 90 1 ſι ιος h ρν ° d 10 11 12 13 53 r6 1696 11¾ I. 14 44 2096 9 ¾ R₰à 15112 Xρ 1 90 2 △ 16 12 25 Lth. 1 Atl. 1759 ° 12 96 5 ½ 18 -63 ° 8⁸ 9 10 5⅛ £ 19 1 Wſpl. 13 Scheffel II Metzen. 20 3 Schfl. 4¾ Mtz. 21 II X6ο 8 . 22 1142 AxA 2310% 24 * 2 5 ₰ 26 2715 ₰ . 27 1 Fl. 24 Nr. 27 ℳ₰½ 6 Winſpel 8 Schfſl. No. 28]2 Xr. 2 4 ₰ 39 3 8 Mrgl. 5 R 3016 Mrgl. 1⅞ Im Addiren und Sub⸗ trahiren bey Zeit⸗ raͤumen. No. §. 294. 62 Jahr 3 Mon. 8 Tage 6;3 ⸗ 2 „ 3 ⸗ 53 — 47 52 36 84 70 62 I 6 10 * %* ,„4 ⸗ „ 23 ⸗₰ . 6 6 .— ⸗ 28 3 24 56. 297. Q aA a a a „ u au „ O M — ,⸗ an e 4 I I 12 1 3 14 1 20. 1727. §. 2099 1483 den 10 November⸗ 16 1712 den 24 Januar. 7 18 1750 d. 24 Nov. um zUlht 1782 den 11 Januar. Leichte 12 a0. 1786, den 17 Auguſſ a0. 814, den 28 Januar 1694, den 16 September 1789, den 6 October. Nn Ddeer Uebungsaufgaben. 111 Leichte Aufgaben fuͤr No. N die Regel de tri. 26 134¼. Buch No. d. 308. 27130 loth N. 1 6 6E 28 120 Wü 157 29 180 Fl. MRünnn 2 6 % 9A 390 4 Nr. 1 ¾ ₰ ahiren 332 312 r 5 47045 X. No. §. 318. 1a grie;De! 7/76800 Fl. 33 2 XC 22 3 .1. 9 2 Fl. 55 Xr. 35 12 . 3 8 ℛ- ℳ₰ 10 33 r0 8 936 36 1ι 18 36 9 ₰ ** No §. 314. 37 18 „ R 65 , 4 — 3823 16 3 3 11 a Ml. 18 2 6 R* 39 3 *6 13 4 .. . 13 r Fl. 3 xr. AT II 3 A-r 1 1119 14 8 Fl. 30 Xr. 42 11I X6& 13 4 y 16ſ80 12 3 6 33 10 44 3 9 Aen 17 3 2 Mrgl. 3 ¼ ₰ 45112 1 42 Nr. 2 . an 1 W “l 3 R Leichte Aufgaben fuͤr wth⸗ D % 2 13 9 deiie waͤlſche Praktik. („ 22874 20 2 62A No. §. 321. “ No. 5§. 316. 119 Auß N 3 „„ 23 ‧5 G. 20 Loth. 2 ° 9% 8 ₰ ah⸗ 24 70 2 4 3 vunz 25137 ¾ Ellen A1l5 3 N No. 5 6 7 8 9 10 11 12 14 112 Anhang. No. 1XC 2 9 Ns 20 7ℳtlt 16 §. 324 18 23 X0C 12 £ 1 9 1 1 7 6 18 9 21 3 * 8 3%. 3² 10 r 6 16 3 8 ½W 5 XC 8 * Beantwertung ꝛc. §. 326. 15 J. 17 Fl. . 5 Fl. 36 Xr. 6 Fl. 38 Fl. 4 Fl. 12 NXr. Unrichtigkeiten im erſten Theile des Rechenbuches. Geite 4² Zeile 3 141 15 von oben vor § 102 ſoll noch ſtehen * 101. unten ſatt 414 Dl ſeben 314. von oben ſtatt 24 ſoll ſtehen 44. 7 von unten ſtatt 1) ſoll ſtehen 1) u. 11) ſtehen ⸗ 20520 ſoll ſtehen 20760. 2 § 304 ſoll ſtehen 5 303. ⸗ 108 ſoll ſtehen 103 46 . 13 ⸗ ⸗ 5 84 ſoll ſtehen § 84. 53 * 57 ⸗ 5 2 80 ⸗ I1 ⸗ 5 116 ⸗ 13 2 5 136 ⸗ 10 2 2 5 13 6½ 5 Anleitun 9 G zum Gebrauche meines . =— Rechenbuches. — — 10 Von Friedrich Gottlieb Buſſe, 3 Erſter Theil. 73. . — Sren 2 9 1/ Zweyte verbeſſerte Auflage. . ° 94, S5 . 5 Leipzig, 1794. L Bey Siegfried Lebrecht Eruſius. . J 1