AhI400
author: Koch, Adam Friedrich

4
. LBlü

N125 10001591 021

ILNAIIIINNANINAI

UB Tübingen

Be. 16g.

— — — W—D —

—

A. Koch,

Schullehrer und Geometers,

e ch e n bu ch

fuͤr
alle Staͤnd e,
oder
Anweiſung zum Rechnen,
bei

allen Vorfaͤllen des Lebens,
nebſt
einer Anleitung,

wie beim Kauf und Verkauf kurz und leicht
gerechnet n werden kann.

Stuttgart

bet Friedrich e bel.
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Vorrede.

Bei der gegenwaͤrtigen fuͤr die Wiſſenſchaf⸗
ten ſo gluͤcklichen Epoche wurden auch in un⸗
ſerm Vaterlande durch die beſondere landes⸗
vaͤterliche Vorſorge Sr. Herzoglichen
Durchlaucht, unſers gnaͤdigſten Herrn,
zur Verbeſſerung des oͤffentlichen Erziehungs⸗
und Unterrichtsweſens die heilſamſten Anſtal⸗
ten und Verordnungen getroffen. Dieſe ſo⸗
wohl als die eifrigen Bemuͤhungen und Anſtal⸗
ten unſers Herzoglichen preiswuͤrdigen Conſiſto⸗
riums, haben ſelbſt Auslaͤnder auf den Fort⸗
gang der gemachten Schulverbeſſerungen auf⸗
merkſam gemacht. Da vorhin die Arithmetik
bei Seite geſezt wurde, obſchon die groͤßten
Maͤnner jederzeit datur. gehalten haben, daß
man die Schuhugend nicht fruͤhe genug mit
derſelben bekannt machen koͤnne, ſo wurde ſchon
vor mehrern Jal hren in den gegebenen Gene⸗
ral⸗Synodal⸗Rezeſſen feſtgeſezt, den Unter⸗
richt der Arithmetik auch in den deut ſchen
NK2-

IV Vorrede.

Schulen einzufuͤhren, und auf die beſte Weiſe

zu treiben *).

Aber aus eben dieſer Urſache ſind noch

nicht alle Schullehrer ſo weit gekommen, daß
man ibhnen jezt ſchon die Lehrbuͤcher großer Ma⸗
thematiker empfehlen, oder ſolche zu ihrem Ge⸗
brauch vorlegen koͤnnte. In dieſer Ruͤkſicht
glaubte ich, ſei ein gemeinverſtaͤndliches Lehr⸗
buch der Arithmetik fuͤr unſere Volksſchulen
nicht unintereſſant. Denn es gehoͤrt unſtrei⸗
tig unter die erſten Beduͤrfniſſe des Schulleh⸗

*) „Wir haben naͤmlich wahrgenommen, daß in vie⸗
„len Orten des Sommers das Rechnen gar nicht
„getrieben wird. Da wir nun dieſes fuͤr ſehr
„nothwendig halten, und beſonders der kuͤnftige
„Landmann ſolches ſehr noͤthig hat, damit er nicht
„bei der Verwerthung ſeiner Felderzeugniſſe Be⸗
„truͤgereien ausgeſezt bleibe: ſo verordnen wir hie⸗
„mit, daß auf das Rechnen in der Schule ernſtli⸗
„cher gedrungen, und des Sommers wenigſtens
„einmal in der Woche, oder doch wenigſtens alle
„ 14 Tage darinn zuverlaͤßig Unterricht gegeben

„ werden ſoll. Es iſt aber hiebei nicht unſere Mei⸗

„nung, daß nur das Rechnen auf dem Papier
„getrieben werden ſolle, indeme gerade der Land⸗
„mann am wenigſten in den Fall kommt, davon
„Gebrauch machen zu koͤnnen. Die Schullehrer

»„haben daher mit gleichem Eifer auf das Rechnen
„im Kopf zu dringen, ſich ſelbſt mit den dabei

„zu benutzenden Vortheilen bekannt zu machen,
„und den Kindern die noͤthige Anleitung dazu zu
„ geben. S. General⸗Synodal⸗Rezeſſe

de Ao. 1798 – 99.

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Vorred e. v

rers, daß waͤhrend unſere Litteratur ſo reich

an Schulſchriften von entſchiedenem Werthe

iſt, wo im Gegentheil unſere Arithmetik (die
der Schullehrer ſtudirt) wenig aufzuweiſen
hat, und daß meiſtens auch dieſe ſehr unvoll⸗
kommen, und in einer platten Sprache geſchrie⸗
ben ſind, worinn die vorgetragene Beiſpiele
und Erklaͤrungen ſich mit Dunkelheit und Un⸗
geſtuͤm verdraͤngen: — Oft haben ſie ſogar
das Ungluͤck, Dinge zu erſchweren, die ſonſt
ein mittelmaßiger Kopf ohne ihre Erlaͤuterun⸗
gen ſehr wohl begriffen haͤtte, oder daß ihre

Beiſpiele faſt durchgaͤngig ſo leichte Zahlenver⸗

haͤltniße angeben, daß ſich der Lehrling keine
Fertigkeit in der mannigfaltigen Behandlung
der Zahlen erwirbt, und daher bei Berech⸗
nung mancher in buͤrgerlichen Geſchaͤften vor⸗
kommenden Aufgaben ſich nicht zu helfen weiß,
wenn er auch den Anſatz richtig gemacht hat.
— Ich glaube nicht, daß ſich Maͤnner, die
die gelehrte Welt aus entſchiedenem Verdienſte

in die unſterbliche Liſte der großen Geiſter ein⸗

getragen, durch dieſe auffallende Behauptung
beleidigt glauben werden. Man wird mich
verſtehen, welchen Schluß ich aus dieſer Gat⸗
tung von Rechenbuͤcher (die der Schullehrer

VvVI Vorred e.

in Haͤnden hat) beim Erſcheinen meiner ge⸗

genwaͤrtigen Arithmetik zu ziehen gezwungen

war. Ein Werk dieſer Art ſöll ſo viel als
moͤglich die Mittelſtraße zu treffen ſich bemuͤ⸗
hen, und alle zu kuͤnſtliche Theorien, die beim
praktiſchen Unterricht nicht zu gebrauchen ſind,
als auch den ganz alten und fehlerhaften Schlen⸗
drian zu vermeiden ſuchen. Man ſoll die Saͤ⸗
tze und Regeln der Arithmetik nicht in eine zu
ſchulgerechte nach Syſtemſucht riechende Ord⸗
nung einzwaͤngen, aber dabei ſich auch nicht
gegen die Geſetze der Mathematik verſtoßen.
Man ſoll aus jungen angehenden Schulkan⸗
didaten, die in der Fo ge auf den Namen eines
tuͤchtigen Schulmanns Anſpruch zu machen ge⸗
ſinnt ſind, abſtrahirende Mathematiker bilden,
aber ihnen nebenher ſpielend andere Real⸗ und
Sachkenntniß (im Vortrag) beibringen, denn
ich weiß (aus vielfaͤltiger Erfahrung, die ich in
einem Zeitraum von 10 Jahren ſammelte, in
welchem ich Perſonen, die ſich theils dem ge⸗
lehrten, theils dem Schulſtand widmeten, ſo⸗
wohl in der Mathematik als Arithmetik insbe⸗
ſondere Unterricht gab), daß junge Leute den
Teyxt doch wenig leſen, und ſich mehr auf die

muͤndliche Anweiſung verlaſſen, und dies iſt

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Vorred e. VII

ge⸗ auch der Fall in den niedern deuſchen Land⸗
nen ſchulen.
als In dieſer Ruͤckſicht widmete ich dieſes Lehr⸗
einl⸗ buch Lehrern, und zwar ſolchen, welche WD
beimn nigen Vorkenntniſſe inne haben, die zur An
nd, wendung dieſes gemeinverſtaͤndlichen Lehrbuchs
eun. erforderlich ſind.
Ei⸗ Diie Brauchbarkeit deſſelben ſuchte ich ſo
u viel moͤglich allgemeinnuͤtzig zu machen. Auch
id⸗ fuͤr das gemeine Leben findet man am Ende des
icht Buchs eine Anleitung, in der ſowohl Kuͤgſt⸗
U ler und Profeßioniſten, als: Schreiner, Ta⸗
fan⸗ pezierer, Maurer u. ſ. w. ſich Raths erholen
s koͤnnen. Ob es nicht von weſentlichem Vor⸗
theil fuͤr die buͤrgerliche Geſellſchaft ſeyn muͤſſe,
in, wenn ſelbſt in den gemeinſten Schulen den Kna⸗
d ben die ſo noͤthige Berechnungsart auf die ge⸗
Nenn gebene Methode beigebracht wuͤrde (an der es
hin doch bisher gefehlt hat) ſtelle ich der Pruͤfung
n Sachverſtaͤndiger anheim.
Liebhaber der Regel Detri und Reeſiſchen
, Regel finden hinlaͤngliche Beiſpiele nach ihrem
er Wunſch dargeſtellt. Dieſen wird es dann ob⸗
4 liegen (wie ich nicht zweifle) die rohen Materia⸗
e lien auszuarbeiten, das Unrichtige. zu berichti⸗
6 gen, das Ueber fluͤßige von dem Weſentlichen zu

VIII Vorrede.

trennen; — manches werden ſie allenfalls zur
Ausfullung der Lucken gebrauchen koͤnnen.
Das hoffe ich immer geleiſtet zu haben, daß
der Materiglien und Beiſpiele (mit Auswahl)
genug vorhanden ſeien, und daß unter dieſen

keine oder wenige von den wichtigſten Lehrſatzen

mangeln werden, die man in den Schriften aͤl⸗

terer und neuerer Arithmeriker findet, und die

zum ganzen Gebaͤude noͤthig ſeyn duͤrften.
Daß ich aus vortreflichen wiſſenſchaftlichen
Quellen, z. B. aus der Aſtronomie, Geogra⸗
phie, Hiſtorie u. ſ. w. Aufgaben und Beiſpiele
ausgehoben habe, glaube ich, bedarf keiner Ent⸗
ſchuldigung, da ich die Namen der Verfaſſer
und ihrer Schriften immer treulich angezeigt
habe, und kein Verdienſt darinn ſuche, das,
was andere bereits mit gewiſſen Ausdruͤcken
gut geſagt haben, mit andern neuen, waͤre es
auch eben ſo gut, zu ſagen, wozu ja nur Spra⸗
che nicht Sachkenntniß erfordert wird.
Von der unpartheiiſchen Pruͤfung einſichts⸗
voller Rezenſenten wird es abhangen, ob die⸗

ſer Verſuch (denn weiter iſt es nicht) als ein

brauchbares Huͤlfsmittel fuͤr unſere Volksſchu⸗
len gebraucht werden kann. .

So dviel glaubte ich meinen Leſern (und Lands⸗

leuten) im voraus ſagen zu duͤrfen: — wenig⸗
ſtens freut es mich, meinem Vaterlande — da
ich anders nicht konnte, doch in dieſem Theil
nach Kraften gedient zu haben.

Der Verfaſſer.

Detri, §. 183 — 207. 152⸗
Siebenzehenter Abſchnitt. Arithmetiſche Glei⸗
ans „und daraus Herleitung der Reeſiſchen Re⸗
gel, F. 208 — KH. 211 — 213. 171.

1X
r
D Ueber ſicht
1) der hierinn enthaltenen Artikel.
V Seite
. Erſter Abſchnitt. Einleitung in die Rechenkunſt und
e ihrer Lehrart, K. 1I — 22. I.
Zweiter Abſchnitt. Von eraͤndekuns und Ausdruck
der Zahlen, F. 23 — 10.
g Dritter Abſchnitt. Von der Addition unbenannter
Zahl en, §. 32 — 35. 17.
1 Vierter Abſchnitt. Von der Subtraktion unbenann⸗
ſe ter Zahlen, K. 36 — 39. 24.
Fuͤnfter Abſchnitt. Von der Multiplikation unb⸗e⸗⸗
nannter Zahlen, §. „40 — 52. 33.
r Sechster Abſchnitt. Von der Diviſion unbenannter
Zahlen, g. 53 — 66. 46.
6 HMM Siebenter Abſchnitt. Die Proben der vier Rech⸗
% nungsarten, §. 67 —– 7 62.
aA. Achter Abſchnitt. Von den Rechnungsarten in be⸗
nannten Zahlen, nebſt ihren Unterabtheilungen,
G Jg. 80 — I17. 73.
⸗ Neunter Abſchuitt. Von der Addition benannter
SSahlen, . IIS8 — 121. 96.
=SͦYUMWU Zehnier, Abſchnitt. Von der Subtraktion benannter
6, Zahlen, JH. 122 — 126. 100.
. Eilfter Abſchnitt. Von der Multiplikation benann⸗
2 „ ter Zahlen, F. 127 — 13 103.
Zwoͤlfter Abſchnitt. Von ſder Diviſion benannter
Zahlen, §. 131 – 135. 105.
— Dreizehenter Abſchnitt. Die Lehre von den Bruͤ⸗
chen, §K. 136 – 1532. 108.
Vierzehenter Abſchnitt. Die vier Rechnungsarten
„ der Bruͤche, §. 153 — 172. 121.
Fuͤnfzehenter Abſchnitt. Ausziehung der Quadrat⸗
A» und Kubikwurzeln, §. 173 — 184. 144.
Sechszehenter Abſchnitt. Von den Verhaͤltniſſen
und Proportionen, nebſt Anwendung der Regel
A

* Ueberſicht der hierinn enthaltenen Artikel.

S Seite
Achtzehenter Abſchnitt. Von der Geſellſchaftsrech⸗
nung, §. 214 — 220. 193
Neunzehenter Abſchnitt. Alligationsregel oder Ver⸗
bindungsrechnung, g. 121 — 224. 208.
Zwanzigſter Abſchnitt. Zuſammenſetzung der Ver⸗

baüͤieiſfe und Regel de Quinque, H. 225 — 227. 214.

Ein und zwanzigſter Abſchnitt. Interuſurium⸗
werth einer ruuſtig zu bezahlenden Schuld, J. 228
232. . 228⸗
Anleitung zu den bei Bauweſen vorkommenden
Rechnungsgegenſtaͤnden.
Vorlaͤufige Erklaͤrungen, F. 1 — 9 235
Was ein Kubus oder Wuͤrfel iſt, und wie ſolcher aus⸗

gemeſſen wird, F. 10. 239.

Berechnung der Korper nach Kubikmaaß, F. II. 12. 240.
Von verſchiedenen Aufgaben und Rechnung gsgegenſtaͤn⸗
den beim Bauweſen, z. B. einer Mauer, d. 13. 241.
Von einer ſchraͤgen (ſchiefen) Arbeit, z. B. einer
, e, §K. 14. 243.
Berechnung einer Saͤule, §K. 15. 244.
Din Innhalt eines im halben Zirkel uͤber eine Bruͤ⸗
ckend ffnung aufgefuͤhrten tannenen Gewoͤlbes aus⸗
zurechnen und zu ſinden, §. 16. 246.
Den Innhalt eines hohlen Gefaͤßes, z. B. eines vier⸗
eckigten Brunnentrogs oder Fruchtfachs zu ſinden,
F. I7.
Die Ausgrabung eines Kellers nach Kubikfuß zu be⸗
5 ſtimmen, H. 18. 25
Einige zuſammengeſezte bei dem Bauweſen haͤufig
vorkommende Aufgaben, §. 19. 252.
Die Berechnung eines odon, welcher mit Bretter
belegt werden ſoll, F. 20. 253
Die erforderlichen Mauerſteine zu einer Mauer aus⸗
zurechnen und zu beſtimmen, F. 21. 254.
Die Bearbeitung eines Grabens (Teich) nach ange⸗
gebener Breite und Tiefe, wie viel Kubikfuß Er⸗
de nach der zu beſtimmenden Laͤnge muß ansge⸗
graben werden, §. 22. 256.

Etwas von der politiſchen Nechenkunſt 259 ſq.

Anleitung, wie beim Kauf und Verkauf kurz und
leicht gerechnet werden kann. 269.

,

439.
240.

A1.

l⸗

15b.

469.

Einleitung.

Wichtigkeit einer guten Rechenmethode *).
§. I.

Rechnen zu koͤnnen, iſt beinahe fuͤr jeden in der
Geſellſchaft lebenden Menſchen ein unentbehrliches
Beduͤrfniß. Schon darum muß der Unterricht dar⸗
inn nicht fuͤr unwichtig angeſehen werden; noch
weniger aber, da er bei einer guten Methode, ſelbſt
in fruͤheren Jahren, eine ſchoͤne Uebung des Ver⸗

ſtandes iſt. Nun kommt dabei alles auf die gute

Methode an. Das gewohnliche blos mechaniſche
Rechnen fuͤhrt zwar zu einer gewiſſen Fertigkeit,
die immer nuͤzlich bleibt, aber es bildet nicht, den
Verſtand gar nicht — daher bloͤdfinnig oft große

Rechenmeiſter ſind — ſondern man weiß ſich auch

bei jedem von der Regel abweichenden Falle gar

*) S. Niemeiers Grundſaͤtze der Erziehung u. ſ. we.
Lte Aufl. II. Thl. 4. Kap. K§. 248 — 251.

6 =

XII Einleitung.

nicht zu helfen. Fuͤr den Lehrer mag es allerdings

muͤhſamer ſeyn, uͤberall auf die Gruͤnde zuruͤck zu

fuͤhren, und dies auf eine auch den Ungeuͤbten faß⸗

liche Art zu thun. Es ſezt voraus, daß er ſelbſt

daruͤber gedacht, und ſich die Regel verdeutlicht
habe. Fuͤr den Lehrling aber iſt es, ſobald man
ſich nicht in einer zu ſchweren wiſſenſchaftlichen
Arithmetik verliert, weit unterhaltender, wenn er
ſich bei einem Geſchaͤft etwas denken, als unauf⸗
hoͤrlich mit trockenen Zahlen und ungeheuren Re⸗
chenexempeln plagen ſoll. Der gute Kopf entfeſ⸗
ſelt ſich oft ſelbſt vom Zwange der Regel, und er⸗
findet ſich Vortheile. Wie wenig Muͤhe haͤtte es
bedurft, um ihn weiter zu fuͤhren? —

Allgemeinere Geſetze der Methode.

§. 2.
Als allgemeinere Geſetze einer guten Metho⸗
dik des Rechenunterrichts bemerke man noch fol⸗
gende: 1) Anfangs vermeide man alle zu lange
Exempel. Sie toͤdten Muth und Luſt. Erſt ſpaͤ⸗
terhin muͤſſen ſie mitunter vorkommen. 2) Die auf⸗
gegebene Exempel ſind am beſten wirkliche oder
moͤgliche Faͤlle, und werden, wo es irgend angeht⸗
aus der Natur entlehnt. Man hat dabei zugleich

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Einleitung. 2 111
Gelegenheit, mit den wahren, wenigſtens gewoͤhn⸗
lichen, Preiſen der Dinge ſich bekannt zu machen,
auch das, was billig jeder gebildete Menſch vom
Maaß, Gewicht, Geld und Eintheilung der Zeit

wiſſen muß, beizubringen. 3) Man ſetze dem Lehr⸗

linge das Exempel nicht ſchon eingerichtet auf die
Rechentafel, ſondern gebe ihm die Aufgabe muͤnd⸗
lich, und laſſe ihn ſelbſt den Anſatz machen.
4) Man bleibe nicht gar zu lange bei einer Rech⸗

nungsart, ſondern richte nur im Fortſchritte des

Unterrichts es ſo ein, daß in den aufgegebenen
Beiſpielen die ſchon abgehandelten Species und die
Regel Detri (Reeſiſche Regel) oft wieder vor⸗
kommen. Wenn ſo die Species und die Regel
Detri durchgegangen iſt, ſo wiederhole und aͤbe
man alle durch verſchiedene Rechnungsfragen, aber
ſo, daß der Schuͤler ſelber auffindet, zu welcher

Rechenart jede gehoͤrt und wieder ſelbſt Beiſpiele

anſezt. 5) Allmaͤhlig miſche man in die Rechnungs⸗

fragen mit Abſicht einige Nebenumſtaͤnde und Zah⸗

len, die nicht zum Anſatze gehoͤren. Dadurch ge⸗

woͤhnt man ſich, erſt zu uͤberlegen, ehe angeſezt

wird. 6) Eine gute Uebung zur Schaͤrfung des
arithmetiſchen Verſtandes iſt die Zerlegung einer ge⸗
gebenen ganzen Zahl in alle moͤgliche Theile, ent⸗

XIvV Einleitung.

weder ſo viele deren moͤglich ſind, oder in eine be⸗
ſtimmte Anzahl von Theilen. Mehrere Schuͤler
koͤnnen dabei wetteifern, wer die wenigſten Thei⸗
lungsarten auslaͤßt. Eine aͤhnliche Uebung iſt die
Zerfaͤllung der Zahlen in ihre Faktoren, und die
Aufzaͤhlung der nicht theilbaren von Eins bis zu
irgend einer beliebten Zahl. 7) Mit faͤhigeren Koͤ⸗
pfen iſt es auch nuͤzlich, die Duodezimalrechnung
zur Erweiterung der Begriffe und zum Gebrauche
in der Anwendung zu treiben. Man muß nur die
Dutzende durch Punkte von einander ſondern; das
uͤbrige iſt alles, wie in dem Dezimalſyſteme. Das
Rechnen im Kopfe wird dabei geuͤbt. 8) Dies
Leztere ſetze man unablaͤßig fort, und bringe in die
Aufgaben eine gewiſſe Stufenfolge. Wo mehrere
unterrichtet werden, laͤßt ſich der Wetteifer unge⸗
mein beleben. 9) Sehr brauchbar zur Uebung in
der arithmetiſchen Aufloͤſungskunſt ſind auch die
Beiſpiele, wo mittelſt gegebener Bedingungen et⸗
was Unbekanntes aus dem Bekannten geſucht wird.
Leichte Aufgaben kann man als Raͤthſel vorlegen,
und zugleich die erſte Idee von Buchſtabenrechnung

dabei beibringen. 10) Bei der Durchſicht auf der

Rechentafel (die im Ganzen beim Rechnen beque⸗
mer iſt als Papier) ausgerechneter Beiſpiele be⸗

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Einleitung. XV

gnuͤge ſich der Lehrer nicht, zu ſagen, daß es rich⸗
tig oder unrichtig ſei, ſondern laſſe ſich oft die ge⸗

waͤhlte Methode anzeigen, oder die gemachten Feh⸗

ler ſelbſt entdecken.

Litterariſche Huͤlfs mittel.

Boyſer, F. A., die ſelbſtlehrende Rechen⸗
kunſt, oder vollſtaͤndige Anweiſung fuͤr alle Staͤnde
ꝛc. 2 Theile, gr. 8. 796 und 798. 4 fl. 40 kr.
Kirchner, J. A., populaire Arithmetik, oder
Rechenkunſt fuͤr alle diejenigen, welche ſowohl
Schrift⸗ als Kopfrechnung gruͤndlich erlernen wol⸗
len, gr. 8. Weimar 1 fl. 30 kr.
Auch ganz vorzuͤglich verdient empfohlen zu
werden: Koch, J. F. W., Exempelbuch. Ein
Huͤlfs mittel zur Befoͤrderung des Geſchmacks an den
Rechenuͤbungen, 18 Heft, 8. Magdeb. 1800. bei
Keil 50 kr.

Ebendeſſelben Erempeltafeln, 18 Hft. 8. eben⸗
daſelbſt 1 fl. und

Schellenberg, J. P., kurzes und d leihtes

Rechenbuch fuͤr Anfaͤnger, Buͤrger⸗ und Landſchu⸗
len, 3 Theile, ꝛte verb. Aufl. 8. Gotha bei Et⸗
tinger 2 fl. 30 kr.

xXVI Einleitung.

Eine der brauchbarſten Schriften fuͤr Lehrer
und Schuͤler iſt: Kochs vollſtaͤndiges Rechenbuch
ꝛc. 4 Theile 8. Dresden.
Unter den Lehrbuͤchern, die beſſer in den Haͤn⸗
den des Lehrers als des Schuͤlers ſind, ſo bald
nur ſeine Methode gut iſt, verdient Empfehlung:

Gerhardt, J. G., vollſtaͤndiges Rechenbuch fuͤr

alle Staͤnde, 1ter u. 2ter Theil, 8. Berlin 1792
und 793. 4 fl. 30 kr.

Wo man mehrere Lehrlinge von verſchiedenen Faͤ⁵⸗ô

higkeiten unterrichten ſoll, ſind brauchbar: Jun⸗
kers 136 Tafeln mit 1800 abgeſondert ausgerech⸗
neten zweckmaͤßigen Exempeln. Halle 1793. 1 fl.
Die Tafeln werden zerſchnitten und aufgeklebt. Was
herauskommt, iſt nach der Nummer auf einen be⸗
ſondern Bogen fuͤr den Lehrer abgedruckt. In Schu⸗
len kann der Lehrer dadurch an 50 Kinder zugleich
beſchaͤftigen.
Auch J. G. Schmalzrieds Anleitung zur
Reeſiſchen Regel nicht zu vergeſſen, und iſt beim
praktiſchen Unterricht ein brauchbares Huͤlfsmittel
fuͤr Lehrer und Schuͤler. Stuttgart bei Mezler,
3te Auflage 1 fl.

Erſter

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Brſter Abſchnitt.

Einleitung in die Rechenkunſt und
ihre Lehrart.

J. I.
De Rechenkunſt iſt eine Wiſſenſchaft der Zahlen.

Ihr ausuͤbender Theil aber iſt eine Wiſſenſchaft aus

einigen gegebenen Zahlen andere zu finden, wovon
die Beſchaffenheit in Anſehung der erſtern gegeben
wird. 3Z. B. man ſoll eine Zahl finden, welche den
Zahlen 4 und 6 zuſammengenommen, gleich iſt.

§S. 2.
So wie eine jede Groͤße einer Vermehrung oder
Verminderung faͤhig iſt, ſo kann auch eine jede Zahl
vermehrt oder vermindert werden, wenn ſolche Ein⸗
heiten, aus denen ſie beſteht, zu ihr geſetzet, oder

von ihr genommen werden.

§. 3.
Dieſe Vermehrung oder Verminderung geſchie⸗
het auf eine doppelte Art. Man kann entweder
nach Gefallen zu einer Zahl eine oder mehrere an⸗
A

dere, die jener nicht gleich ſind, hinzuſetzen. Z. B.
3 und 5, und 6 zu 14.
Oder man kann eine Zahl zu wiederholtenmalen
zu ſich ſelbſt hinzuſetzen, z. B. 4. und 7 und 8 zu 12.
Oder man kann eine Zahl zu ſich ſelbſt hinzuſetzen,
3. B. 5 und 5, und 5 zu 5.
Und ſo kann man von einer Zahl eine andere

entweder nach Gefallen wegnehmen, z. B. 3 von 5,

oder man kann eine gegebene Zahl von einer andern
gegebenen Zahl ſo oft abziehen, bis von dieſer nichts
mehr vorhanden iſt. Z. B. wenn ich 6 von 18
dreimal abziehe.

§. 4.

Wenn nach Gefallen zu einer Zahl eine oder

mehrere andere, die jener nicht gleich ſind, geſezt
werden, ſo heißt dieſe Vermehrung die Addition.

Die Zahl aber, welche allen zuſammengenommen,
gleich iſt, die Summe. So iſt z. B. 7 die Summe

von den Zahlen 2 und 4 und 1, welche zuſammen⸗
geſezt worden ſind.
J. 5.

Wenn eine Zahl hingegen zu wiederholtenmalen

zu ſich ſelbſt addirt wird, ſo heißt dieſe Vermehrung
die Multiplikation. Die Summe, welche alsdann
herauskommt, heißt das Produkt oder Faktum; die

Zahl, welche multiplizirt wird, d. i. die man etliche⸗

mal zu ſich ſelbſt addirt, und die Zahl, mit welcher
multiplizirt wird, d. i. welche anzeiget, wie vielmal
jene addirt werde, heiſſen gemeinſchaftlich Faktoren.

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ſoren.

Z. B. wenn 4 dreimal zu ſich ſelbſt addirt wird, ſo
ſagt man: 4 werden mit 3 multiplizirt. Die Sum⸗
me 12, welche herauskommt, heißt das Produkt.
Die Zahl 4, welche multiplizirt wird, und die Zahl
3, mit welcher multiplizirt wird, heiſſen die Faktoren.

§. 6.
Man ſtelle ſich vor, die Zahl, die in der Linie
Ab ſtehet, werde ſo viel mal hingeſezt, als die Zahl
anzeiget, die in der ſenkrechten Reihe AC ſtehet, ſo
entſtehet das Produkt ACDB.

A . r e e B
„ e e
c e e D.

Die Zahl Ab iſt in dem Produkt ACD ſo viel⸗
mal enthalten, als die Einheit in der Zahl AC.

Denn fuͤr jede Einheit der Zahl 40 wird die Zahl
AB einmal hingeſezt.

§. 7.
So viel Einheiten AC hat, ſo viel Linien wie
AB kommen untereinander. Die erſte Einheit von
AB, die zunaͤchſt bei A ſtehet, gibt alſo eine ſenk⸗

rechte Reihe von A nach C, welche ſo viel Einheiten

enthaͤlt als AC; die zweite Einheit von AB, mit den
unter ihr ſtehenden, gibt eine eben dergleithen ſenk⸗
rechte Reihe, und ſo ferner jede Einheit von AB.
Alſo kommen ſo viel ſenkrechte Reihen, jede der
Zahl AC gleich, ſo viel A Einheiten hat, und das
A 2

4

Produkt enthaͤlt alſo AC ſo vielmal, als die Einheit
in AB enthalten iſt.

G§. 8.
Jeder Faktor ſteckt in dem Produkt ſo vielmal
als die Einheit in dem andern, und es iſt einerlei,
ob AB mit AC vervielfaͤltigt wird, d. i. es iſt gleich⸗

guͤltig, welcher Faktor zuerſt geſezt wird, denn ihr

Produkt wird auch bei veraͤnderter Ordnung einerlei
ſeyn. Z. B. 5 multiplizirt mit 8 gibt eben ſo gut
40, als 8 multiplizirt mit 5.

§. 9.
Wenn von einer Zahl eine andere nach Gefallen
weggenommen wird, ſo heißt dieſes Verfahren die
Subtraktion, oder das Abziehen. Und was nach
weggenommener Zahl uͤbrig bleibt, die Differenz,
der Unterſchied, der Reſt, der Ueberſchuß.
Die Zahl, von welcher weggenommen wird,
heißt (Minuendus) zu vermindernde Zahl, die Zahl,
welche weggenommen wird, nennt man (Subtra⸗
hendus) abzuziehende Zahl; z. B. wenn von 6 die
Zahl 4. abgezogen wird, ſo iſt 6 die zu vermindern⸗
de, 4 die abzuziehende Zahl, und 2 iſt die Zahl,
welche nach vorgenommenem Abzug uͤbrig bleibt,
der Reſt oder die Differenz.

§. 10.
Die Differenz und die weggenommene Zahl zu⸗
ſammen machen die Zahl aus, von welcher der Ab⸗

zug
die
genon

geben
ſt
ren he
fiden,
den ge
Zahl,
weche
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Diſde
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ſo gut

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e noch

Dferent,

en tuird,
die gohl.
(Subint⸗
von 6 de
emindetn⸗
e I,

tett,

guhl zu
der A⸗

zug geſchehen iſt. Z. B. in obigem Falle machen
die Differenz 2 und die abziehende Zahl 4 zuſammen
genommen, die zu vermindernde Zahl 6 aus.

C. II.

Wenn eine gegebene Zahl von einer andern ge⸗
gebenen Zahl ſo oft abgezogen wird, als es moͤglich
iſt, ſo heißt dieſes Verfahren Diviſion, und dividi⸗
ren heißt alſo, aus zwo gegebenen Zahlen eine Zahl
finden, welche andentet, wie vielmal die eine von
den gegebenen in der andern enthalten iſt. Die
Zahl, welche dividirt, heißt der Diviſor; die Zahl,
welche dividirt wird, der Dividendus; und die Zahl,

welche anzeiget, wie oft der Dioiſor ſich von dem

Dividendus habe abziehen laſſen, oder, welche an⸗
zeiget, wie vielmal der Diviſor in dem Dividendus
enthalten ſeye, der Quotient.

Z. B. wenn ich 28 durch 7 dividire, ſo ziehe
ich 7 von 28 ſo vielmal ab, als es moͤglich iſt,
nemlich viermal. Die Zahl 28 iſt die Zahl, welche
zertheilt oder dividirt werden ſoll, der Dividendus;
die Zahl 7 iſt die Zahl, durch welche die Zertheilung
geſchehen, oder welche ſo vielmal von jener abgezo⸗
gen werden ſoll, als moͤglich iſt, der Diviſor,

und die Zahl 4 zeigt an, wie vielmal es moͤglich

geweſen ſeye, die Zahl 7 von 28 abzuziehen, und
wie vielmal 7 in 28 enthalten ſeye, iſt alſo der
Quotient.

J. 12.

Man ſtelle ſich die Einheiten, welche E aus⸗
machen, in Linien jede von ſo viel Einheiten als
F enthaͤlt, geſezt vor, ſo wird G die Menge dieſer
Linien ſeyn. Fuͤr jede Linie nemlich, oder fuͤr je⸗
des b in E, kommt eine Einheit in G. Alſo ſteckt
der Diviſor ſo vielmal im Dividendus, als die Ein⸗
heit im Quotienten.

ze e F X Zr.
X G N. . .
r . .
ZUMUM

§. 13.
Der Dividendus beſteht aus ſo viel Linien,
d. i. aus ſo viel großen Stuͤcken, ſo viel Einheiten
der Quotient hat, und alſo iſt die Diviſion in der
That eine Eintheilung.

* K

. „S. I4.
Der Diviſor mit dem Quotienten multiplizirt,
gibt den Dividendus, und ein Produkt mit dem
einen Faktor dividirt, gibt den andern.
Nach dem obigen Beiſpiel gibt 7, multiplizirt
mit 4, die Zahl 28. Und 28 dividirt durch 7, gibt 4,
oder dividirt durch 4, gibt 72.

G. 15.
Wenn die Groͤße zweier oder mehrerer Dinge
einerlei iſt, ſo ſind dieſe Dinge in mathematiſchem

Verſit
tas )
zwanz

und ze
eines

aͤnder

glch
ge unt
on de
leren

halten

ehe
dieſe
Wen
klein
ſ

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Vu
ſet
ung

aus⸗
als
ieſer
! je⸗
ſeckt
G⸗

tien,
ſeiten
in der

t dem

tilhet
Gbt/,/

Dinge

ſchen

Verſtande gleich, (quales). Gleichheit (Fquali-

tas) iſt alſo Einerleiheit der Groͤße. So ſind z. B.

zwanzig Groſchen ein Gulden, ein Decimalſchuh
und zehen Decimalzoll einander gleich; man kann
eines anſtatt des andern, ohne duß die Groͤße ber⸗
aͤndert werde, hinſetzen.

§. 16.

Ein jeder Gegenſtand, welcher Groͤße hat, hat
auch Theile; denn die Groͤße beſtehet in der Men⸗
ge und Ausdehnung der Theile. Nun kann er aber
von den Theilen, welche ihn ausmachen, einige ver⸗
lieren; oder er kann auch zu demſelben mehrere er⸗
halten; d. i. ſeine Groͤße kann vermindert oder ver⸗
mehrt werden. In jenem Fall wird er kleiner, in
dieſem groͤßer. Ein kleineres Ding muß vergroͤßeet
werden, um einem groͤßeren gleich zu werden, ver⸗
kleinert werden, und zwar beide in jedem Fall um
ſo viel als das iſt, groͤßere groͤßer als das kleinere.

d. 17.
Wenn von zwei oder mehreren Dingen eines
großer, das andere kleiner iſt, ſo daß man ohne

Veraͤnderung der Groͤße einen Theil von einem,

ſtatt des Ganzen andern ſetzen kann, ſo ſind ſie
ungleich.

C. 18.
Die Vermehrung der Groͤße ſowol als ihrer
Verminderung laͤßt ſich bis in das Unendliche fort⸗

8
denken, weil von beiden keine Graͤnze beſtimmt wer⸗
den kann. Wenn daher etwas groͤßer oder kleiner
iſt, als jede Groͤße, die ſich beſtimmen laͤßt, ſo
heißt es in jenem Fall unendlich groß, in dieſem
unendlich klein. Im Gegenſatze dieſer beiden heißt

jede Groͤße, die ſich beſtimmen laͤßt, eine endliche
Groͤße.

G. 19.
Man kann unendliche Groͤßen mit einander
vergleichen, d. i. ihr Verhaͤltniß gegeneinander ma⸗
thematiſch unterſuchen. Die Beſtimmung des Ver⸗
haͤltniſſes ungleicher Groͤßen iſt die Beſtimmung ih⸗
rer Abweichung von der Gleichheit. 3. B. ein
Kaiſergulden und ein Kaiſerthaler find ungleich; ſie
weichen ſo ſehr von der Gleichheit ab, daß die Groͤße
in der andern zweimal enthalten iſt, oder die an⸗
dere zweimal ſo groß als die erſte. Sie verhalten
ſich alſo gegen einander wie 1 zu 2.

C. 20.
Alle Dinge ſind einander aͤhnlich, inſofern ſie
in Anſehung ihrer Beſchaffenheiten miteinander uͤber⸗
einkommen, und durch nichts, als durch die Groͤße
von einander unterſchieden werden koͤnnen. So iſt,
3. B. ein Copie einem Original aͤhnlich, was das
Copie im Kleinen eben die Eintheilung und das Ver⸗
haͤltniß der Theile hat, wie das Original in Groͤßen,
und ſie alſo nur durch die Groͤße von einander un⸗
terſchieden werden koͤnnen.

W
ntale h
eich
genſt
ſie au
gerad
Min

der;
ten
lleiner
Cberde

einen
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kleiner

t, .

dieſem
heißt
ſdlche

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Ver⸗
g ih⸗
. ein
ſie
Große
ie an⸗
tholten

en ſie
uͤber⸗
Ghze
, it,
das
Ver⸗
hßen,
un⸗

§. 2.
Wenn zween Gegenſtaͤnde voͤllig einerlei Merk⸗
male haben, nur in der Groͤße verſchieden, alſo un⸗
gleich ſind, ſo ſind ſie dem ungeachtet aͤhnlich. Ge⸗
genſtaͤnde koͤnnen alſo einander aͤhnlich ſeyn, wenn
ſie auch ungleich ſind; z. B. in der Geometrie ſind
geradlinigte Figuren einander aͤhnlich, wenn alle
Winkel der einen den Winkeln der andern in eben
der Ordnung genommen, gleich ſind, und die Sei⸗
ten der einen ſich untereinander verhalten, wie die
gleich gelegenen Seiten der andern. Z. B. ein
kleineres und ein groͤßeres Quadrat ſind aͤhnlich,
aber dem Inhalt nach nicht gleich.

C. 22.

Wenn aber Gegenſtaͤnde einerlei Merkmal und
einerlei Groͤße haben, folglich ſowohl aͤhnlich als

gleich ſind, ſo heißen ſie kongruent. Und obſchon

es als ein metaphyſiſcher Grundſatz bekannt iſt,
daß es im genaueſten Verſtande nicht zwei Dinge
giebt, die einander vollkommen aͤhnlich und gleich
waͤren; ſo iſt es doch in der reinen Mathematik ver⸗
ſtattet, ſich kongruente Gegenſtaͤnde zu denken, wenn
ſie gleich nicht exiſtiren. Z. B. zwei rechtwinklichte
Dreiecke, deren Grundlinien und Hohen gleich ſind,
ſind kongruent.

Zweiter Abſchnitt.

Von Veraͤnderungen und Ausdrucke
der Zahlen.

N

D. 23.

Unm mit den Zahlen Veraͤnderungen vornehmen,
ihre Vermehrung oder Verminderung, oder Ver⸗
haͤltniſſe anzeigen zu konnen, muß man fuͤr die
verſchiedene Menge der Einheiten Namen haben.

Wir nennen in unſerer Sprache ein einzelnes

Ding eins, noch eins dazu zwei, noch eins dazu
drei, u. ſ. w. vier, fuͤnf, ſechs, ſieben, acht,
neun, zehn. Nun faͤngt man von vornen an, ſezt
eins, zwei, u. ſ. w. zu zehn, ohne neue Namen
zu geben, bis zum zweiten, drittenmal u. ſ. w.
zehn gezaͤhlt ſind, da man ſtatt zehn das zweitemal
zwanzig, das drittemal dreißig ſagt. Man zaͤhlt
alſo zehn und eins (eilfe) zehn und zwei (zwoͤlfe)
u. ſ. w. So auch ein und zwanzig u. ſ. w. bis
dreißig, vierzig, fuͤnfzig, u. ſ. w. Zehenmal zehn
heißen Hundert. Von da an zaͤhlt man hundert
und eins, u. ſ. w. auf zweihundert, dreihundert,
u. ſ. w. Zehnmal hundert werden Tauſend genannt.
Von da zaͤhlt man auf eben die Art bis zwei tau⸗

4

ſen
Vor
dieſe
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ſind
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bien
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ihr

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1

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.. w.
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bis
zehn.
ndert
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aunt.
talt⸗

1II

ſend — zehn tauſend — hundert tauſend. Tauſend⸗
mal tauſend heißen eine Million, tauſendmal tau⸗
ſend Millionen eine Billion, tauſendmal tauſend
Billionen eine Trillion, u. ſ. w. Quadrillion, Quin⸗
tillion. — Dieß iſt die allgemein angenommene
und bekannte dekadiſche Zaͤhlart. ,

J. 24.
Indeſſen wuͤrde es beym Rechnen ſehr muͤhſam
ſeyn, wenn man dieſe Namen der Zahlen mit

Worten ſchreiben muͤßte; daher bedient man ſich

dieſer Zeichen, womit eine oder mehrere Einheiten,
das heißt, eine Zahl, auegedeuckt werden; ſolche

ſind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; man nennt ſie

Ziffer, Zahlzeichen, und ſind urſpruͤnglich aus Ara⸗
bien uͤberlieferte Karaktere. Mehrere hat man nicht
noͤthig, weil man den Werth einer jeden Ziffer nach
der Art ſie zu ſchreiben, um zehnmal erhoͤhen oder
verringern kann.

K. 25.
Jede Ziffer hat der dekadiſchen Zaͤhlart gemaͤs
ihren verſchiedenen Werth, und noch auſſer dieſem
einen andern von der Stelle, die ſie in einer Zahl
einnimmt, nach welchem ſie Einer, Zehner, Hun⸗

derter u. ſ. w. wird. (§. 23.)

Man kann dieſe Werthe aus der folgenden
Tafel erſehen, und auch dieſelbe nach G. 23. leicht
weiter fortſetzen.

15 14 13 12 II 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Stellen.
2 . Werthe.
= = = = 2 S = S= = = S = = = .
2 2 = 2& = 2. – 2 = &
+ * 2 ☛ — –- „ – £
S * = 2 = = —= 2 = W *
* — £S — — –
8S S = –
—, 2 =, 3
2 W „5
=—
=— — =–
— —
— —
. .
K. 26.

Auf dieſe Regeln gruͤndet ſich die Kunſt, alle
mit Ziffern geſchriebene Zahlen zu leſen, und alle
mit Worten abgefaßte Zahlen durch Ziffern zu ſchrei⸗
ben, welches man das Numeriren nennet.

D. 27.
Wenn Zahlzeichen fehlen, um die Stellen aus⸗
zufuͤllen, die zur Rechten eines Zahlzeichens ſeyn
muͤſſen, um ihnen einen gewiſſen Werth zu geben,
ſo werden dieſe mit dem Zeichen o ausgedruͤckt, wel⸗
ches fuͤr ſich allein Nichts bedeutet, und daher auch
Null genennet wird. 3. B. 5 bedeutet fuͤnf, 50⁰
bedeutet fuͤnfzig.

§. 28.
4 Aufgabe.

Jede geſchriebene Zahl, ſie mag aus ſo viel
Ziffern beſtehen als ſie will, richtig zu leſen, oder
was das nemliche iſt, ausſprechen.

etthe.

alle
alle
tei⸗

ſeyt
ben
wel⸗
auch
50

biel
det

M 13
Aufſlbſung.
a) Man theile die gegebene Zahl in Klaſſen, von
der Rechten gegen die Linke, vermittelſt kleiner
Senklinien, und eigne jeder Klaſſe drey Stel⸗
len zu. Am Ende gegen die Linke moͤgen drei
oder wenigere uͤbrig bleiben.

b) Ueber die Zahl, welche nach der andern Senk⸗

linie kommt, macht man einen Punkt, und
uͤber die, ſo nach dem vierten folgt, zwei
Punkte, u. ſ. w.
c) Eine bloße Senklinie ſoreche man durch Tau⸗
ſend aus, einen Punkt durch Million, zwei
Punkte durch Billion, u. ſ. w. Hingegen die
erſte Zahl gegen die Linke in einer Klaſſe durch
Hunderte, die mittlere durch Zehner, und die
lezte durch Einer. Die Zahl alſo

27 5 4 3 und heißt
fuͤnf und ſiebenzig tauſend ſechs hundert und
drei und vierzig.
7 5 9 0° 5 †
Sieben hundert neun und fuͤnfzig Tauſend und
ein und fuͤnfzig.
V Anmerkung.
So bald man ſechs Ziffern zu ordnen weiß,

iſt es leicht, auch groͤßere Zahlen zu ſchrei⸗
ben und auszuſprechen; ; weil die Millionen, Bil⸗

14

. .
lionen, Trillionen, u. ſ. w. jede fuͤr ſich eben

ſo gezaͤhlt und geſchrieben werden, wie die Ein⸗

zelnen. Z. B. zwei Trillionen, hundert und

fuͤnf und zwanzig tauſend, vier hundert und
drei und ſiebenzig Billionen, ſechs hundert und
dreizehn tauſend, fuͤnf hundert und acht und
ſiebenzig Millionen, vier hundert zwei und
dreißig tauſend, fuͤnfhundert und ſieben und
neunzig, werden ſo geſchrieben und angeordnet:

125 973 613 578 482 597
Auf eben dieſe Art laͤßt ſich eine Zahl aus⸗
ſprechen, die mit Nullen vermiſcht iſt.

,—.
3. B. 50 %%7 50

Enthaͤlt neun Einheiten, keinen Zehner, fuͤnf
Hunderte, ſieben Tauſende, keinen Zehentau⸗
ſender, keinen Hunderttauſender, vier Millio⸗
nen, keinen Zehner von Millionen, fuͤnf hun⸗

dert von Millionen. Liest man ſie von vor⸗
nen, ſo ſind ſie alſo: Fuͤnfhundert und vier

Millionen, ſiebentauſend, fuͤnfhundert und neun.
C. 29.
Aufgabe.
Beiſpiel. a) Die Anzahl der Waizenkoͤrner aus⸗
zuſprechen, die dem Erfinder des Schachſpiels
Seſſa (einem Philoſophen) haͤtte gegeben wer⸗
den muͤſſen, um ſeine Forderungen zu befriedigen.

Et
btetts
Uere,
fir das

.
8 44
19 T
44
ten,
Eunnmn

)d
dr

eben
ie Ein⸗
t und
t und
t und
und
i und
en und
onet:

aus⸗

1,finf
heutan⸗
Milio⸗
hun⸗

n vor⸗
8d vier
ſid neug⸗

er alt⸗
n wer⸗
edigen.

15

Er fordert nemlich fuͤr das 1ſte Feld des Schach⸗
bretts 1 Koͤrnchen, fuͤr das 2ꝛte zwei, fuͤr das Zte

viere, u. ſ. w. fuͤr jedes folgende doppelt ſo viel als

fuͤr das vorhergehende.
(Das Schachbrett hat 64 Felder.)
. ””
18 446 744 073 729 551 615. gibt nach
der Bezeichnung:
18 Trillionen, vierhundert 46 tauſend ſiebenhundert
44 Billionen, 73 tauſend ſiebenhundert 29 Millio.

nen, fuͤnfhundert 51 tanſend, ſechshundert und 15.

Summe der Reihen, oder Anzahl der Koͤrner.

b) die Anzahl der Koͤrner in Scheffel ausge⸗
druckt, iſt

— 3 752 995 894 754 Scheffel.

§. 30.
Beiſpiele.
c) Nach den richtigſten Beobachtungen eines
Keplers und Neutons, ſind die mittlern Ent⸗
fernungen der Planeten von der Sonne folgende:

1. des Merkurs — 32000000 Engliſche Meilen.
2. der Venus — 59000000 — —
3. der Erde — 810000ον..ſ— ——
4. des Mars — T23000000 — — — —
5. des Jupiters — 424000000 — —
6

„des Saturns — 777000000 — —

7

16

d) Nach den beſten ſtatiſtiſchen Tabellen ſetzen
ſie die Volksmenge des geſammten deutſchen

Reichs auf . . . . 24598000 Menſchen.

des Ruſſ. Reichs auf . 25000000.
die ganze bewohnte Tuͤrkei auf 32000000.
Solche hier gegebene Beiſpiele dienen dem an⸗
gehenden Rechner zu einer weit beſſern Uebung als
nur blos ſolche Zahlzeichen, die gar keine Benennung
zum Grunde haben.

S. 31.
Auſſer dieſen (§. 24.) vorgekommenen Zeichen
fuͤr die Zahlen ſelbſt hat man noch andere, welche
die Eigenſchaft einer Zahl oder ihr gewißes Verhaͤlt⸗
niß gegen andere kurz ausdruͤcken.
Die Vornehmſten davon ſollen mitgetheilt werden.
+ iſt das Zeichen der Addition, und wird durch
plus oder mehr ausgedruͤckt. Wenn es alſo zwiſchen
zwo Zahlen ſteht, zeigt es an, man ſoll es zuſam⸗

men addiren. Alſo wird durch 5 + 3 angedeutet,

daß zur Zahl 5 noch 3 addirt werden ſollen, wo
denn 8 herauskommen. Eben ſo 12 + 7 – 19.
25 + 41 =– 66. Bisweilen werden auch mehrere
Zahlen durch dieſes Zeichen verbunden. Z. B. 7 + 9
— 16. 15 + 5 — 20.
— iſt das Zeichen der Subtraktion, und wird durch
minus oder weniger ausgedruͤckt, und ſezt es der⸗
ſelben Zahl vor, welche weggenommen wird. 3. B.
7— 3, daß von der Zahl ? die Zahl 3 ſoll wegge⸗
”MV nommen

Vo

D.

tman e

fere ge

e
hebe

ſeten
tſchen
nſchen.

en an⸗
g eG
ennung

Nchen
welche
erhalt⸗

berden⸗
id durch
zichen
zuſam⸗

deltet,

n, too
— 10

nehren⸗

371r9

d dlch
es der⸗
9. B.
rege
nmen

nommen oder ſubtrahirt werden, da denn 4 uͤbrig
bleibt.

iſt das Zeichen der Multiplikation. Z. B.
5.7 bedeutet fuͤnfmal ſieben, d. i. 35. 3 . 2
5 = 30.
: iſt das Zeichen der Diviſion. Der Didviſor
ſteht immer zulezt. Z. B. 36: 4 = 6.
iſt das Zeichen der Gleichheit. 3 . B. 1 Rrhlr.
= 24 Groſchen.

Ein mehreres hievon zeigt meine Geometrie

(K. 9.)

Dritter Abſchnitt.

Von der Addition unbenannter gan⸗
zer Zahlen.

§. 32.
De erſte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch
man eine Zahl findet, welche ſo groß iſt als meh⸗
rere gegebene zuſammengenommene.

Dieſe wird die Zuſammenzaͤhlung (Addition),
die dabei geſuchte Zahl aber wird die Summe der
gegebenen genannt. (§. 4.)
B

Eine noͤthige Erinnerung, ehe man das
Addiren ſelbſt beſchreibt.

„Soll aus dem Addiren nicht ein bloßes Zu⸗
„ſammenzaͤhlen der Finger werden, (wie es dfters
„in den Landſchulen wahrgenommen wird) oder
„will man nicht ſehr viel Zeit verlieren, bis die
„Schuͤler eine ſichere Fertigkeit darinnen erlangen,
„ſo muß man ihnen vorher auf eine vernuͤnftige
„Methode das Eins zu Eins beizubringen wiſſen.
„ Dieſe Tabelle ſelbſt faͤngt folgendermaßen an, und
„ wird wenigſtens durch alle Einheiten (bis 9 + 10

„ iſt 19) fortgeſett.

T iſt 2 r. + 5 iſt 6 2 + 2 ſind 4
1I + 2 — 3 1I † 6 — 7 2 + 3 — 5
1 + 3 —- 4 1 †+ 72 — 8 ²2 †+ 5 — 7
T1 + 4 — 5 1I + 8 — 9 2 + 6 — 8
J. 33.

a) Die Zuſammenzaͤhlung geſchieht auf folgende
Methode: Man ſchreibt die Zahlen ſo untere
einander, daß die Einſer auf Einſer, Zehner
auf Zehner, Hunderter auf Hunderter u. ſ. w.
aller Zahlen in einer Reihe von oben herunter
ſtehen.

b) Damit man endlich die herauskommende Sum⸗
me von den Zahlen, welche addirt werden,
ſogleich unterſcheiden koͤnne, ſo pflegt man ei⸗

,
E

lſam
Gen

das

6 Zu⸗
ftets
) oder
die
hngen,
nftige
viſſen.
und
P10

—
4
- 5
—7
—

hende
untere
Zehter

1.
etuater

Guln⸗
erden,
nas ei⸗

19

nen Querſtrich zu ziehen, und unter ſelbigen
erſt die Summe zu ſchreiben.

c) Man zaͤhlt anfangs die Einheiten der erſten
Ordnung zuſammen, von der herausgebrachten
Summe derſelben laſſe man die Zehner, wenn
dieſe vorkommen, weg, und das uͤbrige wird
in die Einſerkolumne (Reihe) uͤbertragen, oder
zugezaͤhlt.

d) Man zaͤhlet die weggelaſſene Zehner zur naͤch⸗
ſten Zehnerkolumne, und was auch hier uͤber
das neunfache ſteigt, wieder zur folgenden Zeh⸗
nerkolumne, ſo wie das uͤbrige an ſein beſtimm⸗
tes Ort hingeſchrieben.

e) Das nemliche beobachtet man bei den uͤbrigen
Kolumnen, wenn ſolche vorgeſchrieben worden
ſind, und ſchreibt bei der letzten alles an, oh⸗
ne das zehnfache wegzulaſſen.

Wenn z. B. 250, 6378, 12186, 2092, 130164
zuſammengezaͤhlt werden ſollen, ſo ſchreibt man ſie

folgendergeſtalt hin:

2 5 0
6 378
I 2 I 8 6
2 0 9 2
1 3 0° 1I 6 4

I 5 I 0 7 0

B 2

20

In dem beigefuͤgten Falle machen die Einer
zuſammen 20 aus. Dieſe 2 Zehende nimmt man
als 2 zu der folgenden Zehnerkolumne, unter die
Einer aber ſetzt man eine o, weil uͤber die zwan⸗
zig nichts vorhanden iſt. (c.)

Die Ziffern der Zehnerkolumne machen 35,

und nebſt den 2 aufbehaltenen 37 aus, woyvon die
7 heruntergeſetzt, und die 3 zur folgenden Hunder⸗

terkolumne behalten und gezaͤhlt wird. (d.)

Wenn man alle Kolumnen (Reihen) zuſammen⸗
gezaͤhlt hat, ſo iſt die Zahl, welche man unter die⸗
ſelben geſchrieben hat (hier die 151070) die Summe
der geſchriebenen Zahlen.

Beweis.

Daß nun dieſes die richtige Summe ſeye, laͤßt
ſich leichtlich darthun. Denn wenn die gefundene
Zahl den gegebenen Zahlen zuſammengenommen
gleich iſt, ſo hat nach (§. 4.) die Sache ihre Rich⸗
tigkeit. Da nun das Ganze ſeinen wirklichen Thei⸗
len zuſammengenommen gleich iſt, und wir in dem
vorgegebenen Beiſpiel alle vorgeſchriebene Einheiten,
alle Zehner, alle Hunderter, alle Tauſender, u. ſ.
w. aus welchen nemlich die ganze Snmme beſteht,
zuſammengezaͤhlt haben, ſo kann es nicht fehlen,
die gefundene Zahl muß den obigen Zahlen zuſam⸗
mengenommen gleich ſeyn, wenn man anders die
gegebenen Vorſchriften (a, b, c, d, e) genau
4

leobach
dn den

J
thode

daß ei
ſo me
de gehi
Kolunn
Eheke
doß die
beſtehe
Kluen

Ehul
At de
nit Ve
ne,
wide
lumn
ſenden
dieſeg
den,

niccht,

Einer
It man
itet die
zwan⸗

hen 35,
oprſe di
Hundet⸗

mmen⸗
er die⸗
umme

e, liz:

efindene.

vonmen
e Nich⸗
Chei⸗
in demn
heien,
1,
heſtet/
ſehle
ſane

dets e

getmn

2T

N

beobachtet hat. So kann dies fuͤr einen Beweis

von den Regeln der Addition gelten.

§. 34.

Man erlaube mir, auch auf eine andere Me⸗
thode das Addiren zu beſchreiben.

Sind die ſummirenden Glieder ſo beſchaffen,
daß eine Kolumne ſchon Hundert oder daruͤber gibt,
ſo macht dies eben keine Ausnahme, wenn nur
die gehorige Anzahl vom zehenfachen in die naͤchſte
Kolumne uͤbertragen wird. Setzen wir z. B. die
Einſerkolumnen betragen 124, ſo ſieht man klar,
daß dieſe Zahl aus 12 Zehnern, und 4 Einheiten

beſtehe, folglich 4 angeſchrieben und 12 zur naͤchſten

Kolumne gerechnet werden muͤſſe.

Weil aber das Mitzaͤhlen ſo ſtarker Zahlen den
Schuͤlern die Arbeit beſchwerlich macht, ſo kann dieſe
Art des Addirens, welche hier mitgetheilt wird,
mit Vortheil angewandt werden. Die ganze Sum⸗
me, welche man in jeder Kolumne herauszaͤhlt,
wird vollends unter den Querſtrich geſetzt, die Ko⸗
lumnen moͤgen aus Einheiten, Hunderter, Tau⸗
ſender, u. ſ. w. beſtehen, wo dann am Ende
dieſe Partialſummen beſonders zuſammen addirt wer⸗

den, wie folgendes Beiſpiel die Sache anſchaulich

macht.

9 9 8 wehrſe

8 4 9 ſten
9 8 9
9 82
9 9 9 Dde d
7 9 8 . Das te
8 9 7 Englo
4 6 9 Holla
7 7 8 Span
8 9 9 Portun
7 9 8 Deir g
8 8 7 Der G
9 9 9 . blen
1 0°7 Partialſummen der ein⸗ Fentre
1I 0 4 zelnen Kolumnen.
I 0 2

1 I 347 Totalſumme.

De
Anmerkung. Ds:
Eeolon
Oder man kann auch ſolche Additionen, durch Holan
beliebige Querſtriche in mehrere Ablheilungen Shonk
berechnen, und die erhaltene Partialſummen etn
zulezt am Ende in eine Hauptſumme bringen. eap
. Der 6
§. 35. Forkh

In dem eten Stuͤck des „Journals fuͤr Staats⸗
kunde, Politik und Kameraliſtik von Doktor Jaup
und D. Crome,“ liest man folgenden Verſuch einer

23
wahrſcheinlichen Berechnung der ſaͤmtlichen Krlegs⸗
koſten von 1792 bis 1795. incl.
a) Geldſumme.

Die oſterreichiſche Monarchie 200 Million. Gulden.
Das teutſche Reich u. Preußen 100 — — —

England . . . . . . 600 — —
Holland . . . . . . 27 — — ——
Spanien . . . . . . 480 — —
Portugall . . . . 40 — —
Der Paͤbſtliche Kirchenſtaat 10 — ——
Der Sardiniſche Staat 38 — — — —
Rußland . . . . . . d» — — —
air⸗ Frankreich . . . . . 28022 — — — —
tunen. Totalverluſt von 4342 ¼

b) Menſchenſumme.
Die oſterreichiſche Monarchie 150000 Koͤpfe.
Das teutſche Reich und Preußen 50000 — —
England * * * * * * * * 980⁰⁰ ——

durch Holland . . . . . . . . 29000 — —
Spanien . . . . . . . 114000 ——

zilungen
ſonnet Portugall . . . . . . . . 5000 — —
ien Neapel . . . . . . . . 5000 ——
Der Sardiniſche Staat . . . 50000 ——
Frankreich . . . . . . . 100000 —
Etan: Totalverluſt von 601000 — —
Fou . .

vierter Abſchnitt.

ganzer Zahlen.

d. 36.
Auch hier muß, ehe man an das Subtrahiren
geht, aus aͤhnlichen Gruͤnden, wie beim Addiren
(F. 32.) das Eins von Eins wohl geuͤbt, und
wenigſtens bis auf 10 fortgeſetzt werden. Z. B.

1 von r bleibt 0 2 von 2 bleibt 0
1 — 2 — I 2 — 3 — r
1 — 3 — 2 2 — 4 — 2
1I1 — 1I10 — 2 — 11 — 9
3 von 4 bleibt 1 4 von 5 bleibt 1
3 — 5 — 2 5 — 6 — r
3 — 6 — 3 6 — 7 — 1
3 — 7 — 4 72 — 8 — I
u. ſ. w.
d. 37. 4

durch man erforſchet, um wie viel eine von zwo
gegebenen Zahlen groößer ſey, als die andere. Sie
wird die Abzaͤhlung (Subtraktion) genannt. Die

Von der Subtraction unbenannter

Die zweite Rechnungsart iſt diejenige, wo⸗

eſich
wel ſ
mn d

69.
D
tichtet
wirrur
benen
.. B.

05

ſſſ de

Al
terſuche
tere
Reſtg

6
den ſo
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die E

.

Aufhe
Ree
Netet
Meg

nter

Nhiren
ddiren
und

= — —

— — —☛ —

e, M.
n z
Sie
Die

25
geſuchte Zahl heißt der Unterſchied (Differenz),

weil ſie diejenige iſt, welche uͤbrig bleibt, wenn

man die kleinere Zahl von der groͤßern wegnimmt.

§. 9.

Die Rechnung wird wie bei der Addition ver⸗
richtet; man faͤngt hinten an, und, um alle Ver⸗
wirrung zu vermeiden, unterſcheidet man die gege⸗
benen Zahlen von dem Reſt durch einen Onerſtrich „
z. B. man ſolle
von 7 6 4 8 3 5 7 Minuendus
abziehen 6 5 2 7 I 3 5 Subtrahendus

ſo iſt der Reſt 1 2 1 2 3 2

Alsdenn faͤngt man bei den Einern an zu un⸗
terſuchen, wie viel uͤbrig bleibe, wenn man die un⸗
tere Ziffer von der obern wegnimmt, und ſetzt den
Reſt gerade herunter. Hier laͤßt 5 von 7; 2 uͤbrig.

Eben ſo verfaͤhrt man nach und nach auch in
den folgenden Stellen, betrachtet aber auch hier
die Ziffern als Einheiten, Zehner, Hunderter, Tau⸗
ſender, u. ſ. w. weil ihr beſonderer Werth durch
die Stelle beſtimmt wird.

§. 38.
Der Beweis von der richtigen Aufloͤſung dieſer
Aufgabe faͤllt jedem leicht in die Augen. Denn der
Reſt enthaͤlt die Differenz aller Einheiten, aller Hun⸗
derter, u. ſ. w. Die gefundene Zahl iſt alſo die Sum⸗
me aller uͤbrig gebliebenen Einheiten, Zehnern, u. ſ. w.

26

folglich die wahre Differenz zwiſchen den zwo gege⸗

benen Zahlen.

§. 39. S
Das gegebene Beiſpiel iſt von der leichteſten

Art. Es ſind aber noch zwo Gattungen der Sub⸗

traktion uͤbrig, welche etwas ſchwerer ſcheinen.
I. Iſt die obere Ziffer irgendwo kleiner als
die darunter ſtehende, ſo wird eine Einheit der
naͤchſt hoͤhern Ordnung von der benachbarten Zif⸗
fer zur Linken dazuj entlehnt, welches zehen Ein⸗
heiten von der verlangten niedrigen Ordunng gibt;
wovon ſich dann die untere Ziffer ſicher abziehen
laͤßt. Es wird nicht undienlich ſeyn, jene Ziffer,
von welcher 1 geborgt worden, mit; einem dar⸗
uͤber gemachten Punkte zu bezeichnen, damit man
es in der Folge weiß, daß ſelbige um 1 weniger
gelte.
Die Sache ſoll durch folgendes Beiſpiel deutli⸗
cher werden.

6 4. 5. 3. 2 5 Min.
3 I 8 9 7 3 Subtr.

Reſt 3 2 6 3 5 2
Erklaͤrung dieſes Beiſpiels. In der zweiten
Zifferſtelle konnte 7 von 2 natuͤrlich nicht abgezogen
werden. Man entlehnte daher von 3 in der drit⸗
ten Zifferſtelle eine Einheit, welche zehen Einhei⸗
ten von der zweiten Zifferſtelle gibt. Es kann be⸗
reits 7 von 10 + 2 = 12 ſicher abgezogen wer⸗

den,
Nun g
heigt e
werden
ſeiten

1
Nullen
gleiche
ulen
lemm,
uhee
erden
in begr
negneh
eins
und d
lehnen
derun,
lleitt
nehine
dele
worde
luſen
wande
len it
der le

b gege⸗

chteſten
er Sub⸗
cheinen.
ner ab
heit der
en Zif⸗
n Ein⸗
gibt;
Hiehen
Ziffer
n dar⸗
t man
werüger

1deutl⸗

lefer
erden
der drit⸗

fyvrbes

en wet⸗

27

den, (um dieſes zu verſtehen, muß man ſich den
31. §. wohl bekannt machen) und laͤßt zum Reſt 5.
Nun gilt aber der punktirte 3 nur noch 2; daher
heißt es jezt: 9 von 2 kann wieder nicht abgezogen

werden, alsdann verfaͤhrt man wie eben bei der

zweiten Zifferſtelle iſt gewieſen worden.

II. Sollten aber in der zu vermindernden Zahl
Nullen vorkommen, ſo verfaͤhrt man abermal auf
gleiche Weiſe, nur mit dem Unterſchied, daß die
Nullen, von welchen man ohnehin nichts entlehnen
kann, nach geſchehener Entlehnung von dem naͤchſten
Zahlzeichen, im Sinne den Neunern gleich gemacht

werden muͤſſen. Die Urſache davon iſt anſchaulich

zu begreifen. Denn wenn ich z. B. von 20 eins
wegnehme, ſo bleibt 19; alſo wird, weil ich nur
eins wegnehme, dieſe lezte Nulle zum Neuner,
und der zweifache Zehner, von dem ich einen ent⸗
lehnen mußte, zu einem einfachen Zehner. Wie⸗
derum, wenn ich von 200 eins hinwegnehme, ſo
bleibt 199, und die beiden Nullen werden Neuner;
nehme ich von 200 zwei hinweg, ſo bleibt 199, und
die lezte Nulle, welche um einen Zehner vermehrt
worden, folglich gleich iſt o + wird achte uͤbrig
laſſen, die naͤchſte Nulle aber in einen Neuner ver⸗
wandelt. HKM
Ferner, wenn ich 2 von 2000 abziehe, ſo blei⸗
ben uͤbrig 1998; hier werden abermal alle zwiſchen
der lezten Nulle und dem naͤchſten Zahlzeichen ſte⸗
hende Nullen in Neuner verwandelt. Auf gleiche

Art laͤßt ſich nun begreifen, daß auch in großen
Beiſpielen, die man nicht im Kopf rechnen kann,
dieſe Veraͤnderung ſtatt haben muͤſſe. Der Beweis
iſt nicht ſchwer zu fuͤhren und auch fuͤr angehende

Rechner faßlich. Denn wie 10 — 9 + r, und

100 = 9 Zehnern †+ 9 Einheiten + 1, ſo ſind

auch 1000 = 9 Hunderten + 9 Zehnern, +

Einheiten + 1. Wenn demnach nur eine Einheit

der lezten Klaſſe ſubtrahirt werden ſolle, ſo iſt die

Differenz = 9 Hunderten + 9 Zehnern + 9 Ein⸗
heiten, u. ſ. w.
Nun wirds leicht ſeyn, die noch folgende Bei⸗
ſpiele von dieſer Gattung (II.) zu berechnen.

Man ſolle von 7 5. O. O. O. O. 3 9
abziehen 4 3 % 5 o 0O 5 7
ſo iſt der Reſt 3 1 9 4 9 9% 8 2
Die Sprechform iſt etwa dieſe:
7 von 9 laͤßt 2, 5 von 3 laͤßt ſich nicht abziehen,
folglich borgt man von dem naͤchſten Zahlzeichen 5,
welches ſchon in dem Ort der Millionen ſteht, eine
Einheit der Millionen, wodurch ruͤckwaͤrts alle da⸗
zwiſchen liegende Nullen in Neuner und der Zer in
3 + 10 oder in 13 verwandelt wird. Nun ſpricht
man: 5 von 13 laͤßt 8, ferner von 9 laͤßt 9;
von 9 laͤßt 9, 5 von 9 laͤßt 4, o von o laͤßt 9,
3 von 4 laͤßt 1, und 4 von 7 laͤßt 3. Die Ge⸗
wißheit dieſer Rechnung erfaͤhrt man durch die

Probe, welche im erſten Abſchnitt F. 11. deutlich an⸗.

gezeigt iſt.

1) 9
iſt
no
Sis⸗
(dr

ric

9d
N
ti
he

29

gkoßen Nuͤtzliche Beiſpiele.
laonn, 1) Nach Hr. Seybolds Ephemeriſchen Almanach
Beweis iſt Konradin von Schwaben, der rechtmaͤßige,
gehende noch einzige, Erbe der Koͤnigreiche Neapolis und
1, nd Sizilien, ein Enkel Friderichs des 2ten, 1268
ſ ſd (durch Karl von Anjou) hingerichtet worden.
„,9 Wie viel Jahre ſind ſeit dieſer geſetzwidrigen Hin⸗
Enrhee richtung verfloſſen?
iſt de 1I 7 9. 6
9 En⸗ 1I 2 6 8
Antwort: 5 2 8 Jahre.
Bel Probe 1 7 9 6

2) Torrizelli, ein Leibarzt des Grosherzogs von

von Florenz, hat im Jahr 1643, die mit Quek⸗
ſilber gefuͤllte Glasroͤhre erfunden, welche noch
heut zu Tage die Torrizellianiſche Roͤhre genannt
wird, wie alt iſt dieſe Erfindung?

lgiehen, 1I79 6
chen 5, 1 6 4 3
t, eine Antw. 1 5 3 Jahre.
“ 3) Die Poſten ſind gegen das Jahr 1641 *) durch
131 Lamoral von Taxis in dem teutſchen Reiche er⸗
n richtet worden. Wie lange iſt dieſes fuͤrſtliche
Haus ſchon im Beſitze des Poſtweſens?
ce⸗ 1796
O 1 6 4 1
ch de Antw. 1I 5 5 Jahre.
ſichen⸗

*) Wuͤrtembergiſcher Hof⸗Almanagch von 1771.

3⁰
4) Der beruͤhmte und gelehrte Chriſtian Mayer,
(Churpfaͤlziſcher Aſtronom) erſann 1770 aus Ge⸗
legenheit des 1751 von dem Engliſchen Parla⸗
ment aufgegebenen Problems die Meereslaͤnge
zu finden, durch Huͤlfe einer Uhr, eine Land⸗
charte zu entwerfen. Die Methode iſt jenem
bisher uͤblichen Verfahren durch Triangel weit
vorzuziehen. Wie viele Jahre iſt alſo dieſe Er⸗
findung den Geographen bekannt?

1 7 906

Antw. 2 6 Jahre.

5) Die ſchwarze Kunſt der Kupferſtecher iſt die Er⸗

findung eines Heßiſchen Obriſtlieutenants, Na⸗
mens von Siegen, im Jahr 1649; wie alt iſt
dieſe Erfindung?
1 7 9. 6
1 6 4 9

Antw. 1 4 7 Jahre.

6) Oeſterreichs Kriegsmacht beſtand nach Hrn.
Profeſſor Schlözers Angabe im Jahr 1778 aus
350000 Mann. Um eben dieſe Zeit war ſie in
Frankreich 312926 Mann ſtark; wie viel Koͤpfe
iſt die erſte Potenz ſtaͤrker als die leztere?

bun
nac
die
in
Wn

Mayer,
als Ge⸗
Parla⸗
teblaͤnge
Land⸗
t ſenem
gel net
dieſe E⸗

die Et⸗
5, No⸗
e olr ſt

Or.
als
ſein
Poſe

31
Operation:

3 5. 0O. O. C. 0
3 I 2 9 2 6

Antw. 3 7 o 7 4 Mann.

7) Nach einem Extract aus dem Reichs⸗Operations⸗
buch (im Jahr 1795 im Mai Monat) betrug
nach ſelbigem die Generaleinnahme 2620759 fl.
die Generalausgaben 2608784 fl.; wie groß waͤre
in dieſem Fall nach Abzug noch der baare Kaſſen⸗
Vorrath?
Operation:
2 6 2. 0. 7. 5 9
2 6 0 8 7 8 4
I I 9 7 5 Gulden.

Antw.

8) Wuͤrtemberg zaͤhlt 600200, die Marggrafſchaft
Baden 200000 Einwohner. Um wie viel iſt die
Bevoͤlkerung Wuͤrtembergs ſtaͤrker als Baden⸗
Durlach?
Operation:
6 o0200
20°⏑0%⏑%⏑0°

Antw. um 40°0⏑2% % Einwohner.

9) Alle Laͤnder des Rußiſchen Reiches ſchaͤzt Gat⸗
terer auf 201500 Quadratmeilen; hingegen alle
Laͤnder des chineſiſchen Reiches auf 109312; um
wie viel iſt das erſte Reich groͤßer als das leztere?

Operation:
2. 0. 1I 5. 0. O
I 0O 9 3 I 2
Antw. um 9 2 1 8 8 Auadratmeilen.
10) Franz Drake war der erſte, der die Kartoffeln Do
1580 aus Amerika nach Teutſchland brachte; wie
viel Jahre iſt dies nüzliche Produkt den Teniſchen
bekannt?
Operation:
17 9 6 De⸗
1 5 8 ee
Antw. 2 1 6 Jahre. ßt
mehren
ar) Wilhelm Harvey, ein Engliſcher Arzt und Na⸗ 5 f.
turkundiger hat 1628. den Umlauf des Gebluͤts
im menſchlichen Leibe entdeckt, wie lange iſt es ſtie
ſchon bekannt? 7 lch
Operation: (
X 7 9. 6
TI 6 2 8
Antw. I1 6 8 Jahre.
12) Kolombs Abfahrt auf die Entdeckung von Ame⸗
rika wurde im Jahre 1402. unternommen; wie
lange iſt dieſer Welttheil ſchon bekannt?
. Operation:
“ 1796 Uitde
1 4 9 2
Antw. 3 °4 Jahre. tze
e nſere
Fuͤnfter

atfneilen.

Kortoffeln
nchte, wie
Teltſen

und Na⸗
Gebluts
N iſt es

6O An⸗

men; e

Süͤnfter Abſchnitt.

Von der Multiplikation unbenannter

ganzer Zahlen.

d. 40.
Die dritte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch
eine Zahl etliche mal ſo groß gemacht wird. Dieſe

heißt die Vervielfaͤltigung (Multiplikation). Das

mehrere hievon kann man im erſten Abſchnitt §S.
5. 6. 7. 8. u. ſ. w. deutlich einſehen.
Z. B. ich ſolle achte mit vier multipliciren, ſo ge⸗

ſchiehet dieſe wirklich durch eine ſchnelle Addition, nem⸗

lich durch eine viermalige Addition des Achters zu ſich
ſelbſt. Denn wenn ich 8 viermal zu ſich ſelbſt addire
8

8
8

ſo iſt die SLumme 32.
G. 41.

Weil aber eine ſolche Operation zu weitlaͤufig
wuͤrde, wenn man große Zahlen z3. B. 427 mit

362 multipliziren oder drei hundert und zwei und

ſechzigmal zu ſich ſelbſt addiren ſollte, ſo haben ſchon

unnſere Alten auf Mittel gedacht, die gewoͤhnliche aber

C

34

dabei langſame Addition in eine ſchnellere, kuͤrzere, und
weniger Raum einnehmende Addition zu verwandeln.

§. 42.
Dieſes geſchieht durch Huͤlfe des Einmal Eins,
oder der pythagoriſchen Rechentafel. Dieſe Rechen⸗
tafel iſt nichts anders, als eine wirkliche Addition
aller moͤglichen einfachen Zahlen ſo oft ſie ſich nach
ihren Einheiten zu ſich ſelbſt addiren laſſen. Es er⸗
hellet alſo daraus, was die Summe ſey, wenn 9
zu ſich ſelbſt 9 mal, oder 8 mal, oder 7 mal, oder
6 mal u. ſ. w. addirt wird. Ueber die Zehner,
Hunderter, Tauſender u. ſ. w. darf die Rechenta⸗
fel nicht hinaus gehen.

1 §. 43.
Von Verfertigung einer ſolchen
Rechentafel.
Man zeichnet ein QLuadrat (man ſehe den F. 36.
meiner Geometrie) und theilt es nach der Breite
und Laͤnge in gleich viel kleinere Quadraten, nem⸗
lich auf jeder Seite in 9 Quadraten ein; ſchreibt
ſodann die einfache Zahlen von bis 9 nach der Qneer
und Laͤnge in die erſten Quadraten; hernach addirt
man eine jede einfache Zahl nach der Ordnung 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 mal zu ſich ſelbſt, und
ſchreibt die Summen in die folgenden Quadraten.
3. B. die auf folgender Seite gezeichnete Fi⸗
gur ſtellt die ganze zuſammengeſezte pythagoriſche
Rechentafel vor. B

— S

,—

.

7

wel
s g
5 mal

fer he
dieſer
Rechte
erade
ſunne
liſt

e, und
deln.

Ens,
ſechen⸗
Dion⸗
H nc
Es et⸗
entn 9
odet
hner,
Penta⸗

cen

160s.
Breite
nein⸗
chrebt
Auer
oddit
mg 2,
, und
ten.
te F⸗
horſce

2 3 4 8
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 1¹0 15 20 25 30 35 40 45
2 18 24 30 30 4 48 54
7 14 ar 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
% 18 27 36 45 54 63 72 81

2
K. 44.
In dieſem hier gezeichneten Quadrat (Viereck)
welches zu beiden Abtheilungen gehoͤrt, findet man
das Vielfache der Ziffern. So ſieht man z. B. daß
5 mal 6 zum Vielfachen 30 geben.

§. 45.

Soll nun eine gegebene Zahl durch einzelne Zif⸗
fer vervielfaͤltiget werden, ſo vervielfaͤltiget man mit
dieſer eine Ziffer jener Zahl insbeſondere, von der
Rechten gegen die Linke, und ſchreibt das Vielfache
gerade herunter, doch ſo, daß man wie beim Zu⸗
ſammenzaͤhlen die Zehner zur folgenden Stelle auf⸗
behaͤlt. Nun wird es gar keine ſonderliche Kunſt
E 2

36

ſeyn, alle nur moͤgliche auch noch ſo große Zahlen
zu multipliziren.

S. 46.
Aufgabe.
Eine zuſammengeſetzte Zahl durch eine einfache

zu multipliziren.

Aufloͤſung.

1) Man ſetze die zuſammengeſetzte Zahl als Mul⸗

tiplikant, oben an, und die einfache, als Mul⸗
tiplikator, darunter, damit man ihn immer
im Geſichte habe: gewoͤhnlich geſchieht dies un⸗
ter der lezten Zifferſtelle zur Rechten und zie⸗
het eine Horizontallinie (Queerlinie) um das
Produkt von dieſen beiden Faktoren abzuſon⸗

dern.
2) Man forſche, was gemaͤs dem Multiplikator

das Vielfache der Einheiten von der erſten Ord⸗

nung gibt, und verhalte ſich beim Anſchreiben
wie in der Addition. Eben dies thue man auch

beim Vielfachen der Zehner, Hunderter, Tau⸗
ſender u. ſ. w. Zu einem wirklichen Beiſpiel
nehmen wir 6 5 4 897 6 vor die Hand.

Operation:
6 5 4 87
6

3 9 2 9 2 2

Einſ
nach
dukt
und
Ordr
durc

Iſten
Mult
lch,
n
(5.

Ddie B
dlet
fie

Zahlen

einfoche

Mul⸗
Mul⸗
nmer
un⸗
d ⸗
a das
bhte⸗

Plknter
1 Ord⸗
leiben

1 guch

Tal⸗
diſptl
nd⸗

37
Erklaͤrung: 6 α 7 — 42, wobei ſich zwei

Einſer und vier Zehner befinden. Man behaͤlt dem⸗

nach dieſe vier Zehner im Sinn, bis auch das Pro⸗
dukt von Zehner da iſt; dies gibt 6 Wι 8 48
und 4 dazu macht 52, wieder 5 als Zehner dieſer
Ordnung behalten, dann 2 angeſchrieben, und ſo
durch die ganze Zahl.

Beweis.
Man ſtelle den Multiplikant ſo oft als zu ſum⸗
mirendes Glied untereinander, ſo viele Einheiten der
Multiplikator in ſich enthaͤlt, und man addirt wirk⸗
lich, ſo wird ſich allemal das naͤmliche ergeben, weil

faſt die ulſche Verfahrungsart zum Grunde liegt

(§. 40.)

65487
65 487
65487
55 487
65487

65487

399 2922

Anmerkung.
Die Beweiſe werden hier freilich meiſtens nach in⸗
ductionartigem Zuſchnitte ausfallen; allein ſie ſind
fuͤr die Arithmetik ſtrenge genug, weil doch bei
jedem Schritte der Aufloͤſung ſo viel moͤglich der
Grund des Verfahrens aus den vorangegangenen

38

angegeben wird. Allgemeinheit in Beweiſen zu
erzielen, kann nur in der Algebra gefordert und
geleiſtet werden.

§. 47.
Vorkommende Faͤlle bei der Multiplika⸗
tion in Anſehung der Nullen.
Wenn die eine von beiden Zahlen, oder auch
beide Nullen am Ende haben: ſo laͤßt man ſie bei
der Vervielfaͤltigung weg, und ſezt ſie alle erſt zu⸗
lezt hinter das Vielfache; denn ſie dienen blos, um
die andern Ziffern vorzudruͤcken. Wenn 530 mit
1600 vervielfaͤltiget werden ſollen, ſo vervielfaͤltiget
man 53 mit 16, woraus

B 5 3 0
I 0 0 0
5 3
8 4 800

L. 48.

Es iſt einerlei, welche von beiden Zahlen

man als den Multiplikator (Vervielfaͤltiger) be⸗
trachtet. Denn wenn man z. B. 3 mal 4 Punkte
untereinander geſchrieben hat, 1ſ . . .
ſo hat man ſeitwaͤrts 4 mal 4 . . . .
3 Punkte geſchrieben. Man ( . . . )
nimmt inzwiſchen gemeiniglich der Bequemlichkeit
halben, diejenige Zahl zum Vervielfaͤltiger, welche
die wenigſten Ziffern hat.

ulle
Nt:
Ifen

mehr
die g
ſile
ch

veiſen zu
dert und

telika⸗
.
der auch
n ſie bel

erſt di⸗.

ls, n
0 nit
filtiget

Zillen
er) be
4 Vunk

hnlhtet
,nelhe

39
Noch ein Beiſpiel hievon.

2 4

3 0°3 40°4 Oο ο
1 5 I 7 0 2

1 8 2 04 2 40°0¾⏑

d. 49.
Aufgabe.
Wenn ſich beim Multiplikator in der Mitte
Nullen vorfinden, ſo werden ſie, um Raum und
Zeit zu ſchonen, ausgelaſſen, und mit der naͤchſten

Ziffer fortgefahten.

Aufloſung:

3. B. 7 63003 48
3 °°5

3 8 I 50 I 7 4 G0
2 2˙ 890IO4 4

2 2 9 2 8 2 5 4 5 7 4

F. 50.
Beſteht aber der Vervielfaͤltiger ebenfalls aus
mehrern Ziffern, ſo ſchreibt man denſelben unter
die andere Zahl, wie in den vorhergehenden Bei⸗
ſpielen. D ,
Erklaͤrung. Alsdenn vervielfaͤltiget man die
gegebene Ziffer des Vervielfaͤltigers wie vorhin.

40

Eben ſo macht man es hernach mit der naͤchſtfol⸗

genden Ziffer, und nach und nach einer jeden der
uͤbrigen, wenn der Vervielfaͤltiger ihrer mehrere
hat. Das Vielfache ſchreibt man jederzeit unter
das vorige, doch ſo, daß man es immer um eine
Stelle weiter gegen die Linke ſezt, weil ihre fol⸗
gende Ziffer des Vervielfaͤltigers zehenmal ſo vie!
gilt, als wenn ſie in der vorhergehenden Stelle
ſtaͤnde, und alſo ein zehenmal ſo großes Vielfa⸗
ches geben muß. Endlich zaͤhlt man alle Vielfache
zuſammen: ihre Summe iſt das geſuchte Vielfache.
Man wird dieſe gegebene Regeln leicht ſelbſt auf die
folgenden Beiſpiele anwenden konnen, wo 279343 mit
426, und 340475 mit 2456 vervielfaͤltiget werden.

J. 2 7 9 3 4 3
4 2 6

†6 7 6 0 5 8
5 5 8 6 8 6
1 17372

I I90OOO‚OT 1I 8

II. 3 4 °4 7 5
2 4 5 6
2 04 2850
1I702 375
T 3 6 1 9 00
69095 0
8 3 6 2 0o 6 6 °

Plizirren
lüuftig
heiten
multi

dann
muß
normn,
Doſot

chſtfol⸗
den der
nehrere
k unter
in eine
hre fol⸗
ſo diel
Etele
Wielfe
llfache
fache.
ufdie⸗
mit
den.

41

D. 5I.⸗
Man hat noch eine Methode bei dem Multi⸗

pliziren, die aber ohne Noth gekuͤnſtelt und weit⸗
laͤuftiger als dieſe iſt; wenn man nemlich die Ein⸗

heiten, Zehner, Hunderter, u. ſ. w. des andern
multiplizirt, und die Partialprodukte addirt, da
dann die Summe dem ganzen Produkt gleich ſeyn
muß, weil das Ganze ſeinen Theilen zuſammen ge⸗
nommen, gleich iſt. Die Sache wird folgendes
Beiſpiel deutlich machen.

4 5 6 2
5
1I ₰
3 0
25

2 ◻

2 2 8 1 O

Nuͤtzliche Beiſpiele.
. 52.
1) Insgemein wird von den Geographen der Um⸗
kreis der Erde auf 5400 geographiſche Meilen *)
angegeben. Die Meile hat 4000 geometriſche
Schritte, ein geometriſcher Schritt 5 Schuh. Wie
viel ſind ſolcher Schuhe um die Erde?

*) Die naͤhere Beſtimmung hat Sulzer auf 6868
teutſche Meilen angegeben. S. Sulzers Entwurf
der Geographie, I. Kap. §. II.

Operation:

5 4 °ο0
4 0 00

2 I 6000⏑00

5
Antw. 1090°%0ο°οο⏑0ο½° Schuhe.

2) Wie viel Meilen braucht man die Erde zu um⸗
reiſen, da dieſer Weg 360 Grade mißt, und je⸗
der Grad 15 teutſche Meilen groß iſt?
Operation:
3 6
1 5
1 8 0O O
3 6
Antw. 5 400

30) Nach Ferguſons Angabe lauft die Erde 120 mal
geſchwinder als eine abgeſchoſſene Kanonenkugel,
und zwar in einer Stunde 12500 Meilen. Wie
hoch wird ſich die Summe der Meilen in Tag und
Nacht, oder was eins iſt, beinahe in 24 Stun⸗
den belaufen?
Operation:
XT 2 5 °0
2 4
5 °°°⏑½
2 5 0
Antw. 30°0°⏑0ο⏑0οûοοMeilen.

43
4) Der Schall durchzittert in einer Sekunde einen⸗
Weg von 1041 Pariſer Fuß (das macht nach der
Rechnung eine Stunde und beinahe 4 Minuten
Wegs); was fuͤr einen Weg wuͤrde er alſo in 15
Minuten durchzittern?

Operation:
I 0O4 I
zu Uin⸗ . 6 0
und ſe⸗
6 2 4 6
3 1I 2 3 00
6 2 4 6 0
Antwort. 9 3 6 9 °0 Pariſer Fuß oder 51
teutſche Meile.
5) Zwiſchen dem Blitze und dem darauf folgenden
10 fl Donner verſtreichen 28 Sekunden; wie weit
eigel, war die Gewitterwolke entfernt, da der Schall
1. We in jeder Sekunde 1041 pariſer Schuhe durch⸗
Tugun ittert 2
4Gtun⸗
Operation:
I O 4 T
2 8
8 328
2 6 8 2

Antw. 2 9 1 4 8 ̊ Schuhe.

44

6) Der Druck der aus dem Schießpulver entwickel⸗

2) Zwiſchen Erbauung der Stadt Rom und der

ten Luft uͤbt nach Hrn. Prof. Heinrichs akademi⸗

ſcher Preisſchrift im erſten Augenblick der Entzuͤn⸗

dung auf einen Quadratzoll eine Kraft von 10062

Pfunden aus; wie groß waͤre demnach der Druck

derſelben auf einen Quadratſchuh, oder was eins
iſt, auf 144 Quadratzoll?
Operation:
1 9 0 6 2
1 4 4
27 6 2 4 8

7 6 2 4 8
1I9 0 6 2

Antw. 2 7 4 4 9 2 8 Pfunde.

Menſchwerdung Chriſti, ſollen nach den beſten
Chronologen 264 Olympiaden verfloſſen ſeyn;
wie viel betraͤgt dies nach gemeiner Rechnung,
da eine Olympiade (S. meine Chronologie F. 15.)
eine Zeit von 4 Jahren in ſich begreift?
Operation:
2 6 4
— —
Antw. 1I O5 6 Jahre.

8)9) Ein Kammerherr eines gewiſſen Fuͤrſten bezieht
jaͤhrlich einen Gehalt von 1200 Gulden; was be⸗

9) 6G
mne
Gel

Ufin

„6

Nh
hei
wwas
Deon

tnickel
kademi⸗
Entzin⸗

10000

r Druck
ngs eins

und der
jheſten
ſnn;
hnung,

)

lezieht
s be⸗

45

ziehen die 99 Mitglieder des demſelben zugehdri⸗
gen Kaͤmmererſtabs?

1 2 0O OW
9 9
1080OO
1 O 8
Antw. 11930°0°% Gulden.

9) Ein Pfund Sterling (Engliſche Muͤnze) ſchaͤzt
man auf 6 Reichsthaler, die 9 Gulden teutſches
Geld betragen; wie viel Kreuzer gehen auf e ein
Pfund Sterling?
Operation:

9
6

Antw. 5 4 ½% Kreuzer.

10) Ein Wuͤrtembergiſcher Scheffel Korn gibt nach
Abzug der Mitz des Muͤllers, welches den 14ten
Theil vom Scheffel ausmacht, 66 Pfund Mehl;
was giebt eine Lieferung von 386 Scheffel ſorches
Proviants?
Operation:
3 8 6
6 6
2 3 1I 6
. 2 3 I 6G
Antw. 2 5 4 7 6 Pfunde.

Sechster Abſchnitt.

Von der Diviſion unbenannter gan⸗
zer Zahlen.

F. 53.

Die vierte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch
eine Zahl etliche mal ſo klein gemacht, oder welches
einerlei iſt, ſie in etliche gleiche Theile theilet.
Dieſe heißt die Theilung (Diviſion). Die Zahl,

welche in gleiche Theile getheilet werden, ſoll, wird

die zu theilende Zahl, die, welche die Zahl der
Theile beſtimmt, der Theiler (Diviſor) und die,
welche man durch dieſe Rechnung findet, der An⸗
theil Quotient) genannt.

7§. 54.
Dieſe Rechnung beruhet darauf, daß man zu
erforſchen wiſſe, wie viel mal der Theiler in der
zu theilenden Zahl enthalten ſey, d. i. wie oft die⸗
ſes angeht, ſo oft erhaͤlt jeder Theiler eins.

§. 55.
Um aber dieſes dem angehenden Rechner auf

keine zweckwidrige Methode beizubringen, uͤbe man

ihn zue
nich 5
tan zu
ches ma
glss der

(8. 4

de gyn
der ond
nal 6;
tegnen
cſen,
fudern

Enheln
dergl be
in erſte
bicl ton
ſeh. g
dieſelbe

den Wu

Ein
Piſtten

gan

durch
elches
heilet.
Zohl,
, witd
und de,
der A⸗

man zu
r in der
4 die

htet auf

ite nan

47

ihn zuerſt in denen Faͤllen, wo die eine Zahl noch
nicht zehenmal in der andern enthalten iſt, daß
man zunaͤchſt merke, wie vielmal ſie es ſey; wel⸗
ches man, wenn der Theiler eine einzelne Ziffer iſt,
aus der pythagoriſchen Rechentafel wiſſen kann.
(§. 43.)

Anwendung auf obigen F.

Waͤre z. B. der Theiler 5 und die zu theilen⸗
de Zahl 33, ſo wuͤrde man merken, daß erſtere in
der andern zunaͤchſt 6 mal enthalten ſind, weil 5
mal 6 zum vielfachen 30 geben, welche ſich von 33
wegnehmen laſſen, da 5 mal 7 ſchon 35 ausma⸗
chen, und eine größere Zahl als 33 zu theilen er⸗
fordern wuͤrden.

J. 50
Wenn aber die zu theilende Zahl nicht aus
Einzelnen, ſondern Hunderten, Tauſenden, oder
dergl. beſteht, ſo merkt man auf eben dieſelbe Art,
im erſten Fall, wie viel Hundert, im zweiten, wie
viel tauſendmal der Theiler in derſelben enthalten

ſey. Kurz, die Ziffer des Antheils bleibt dabei eben
dieſelbe, ihr beſonderer Werth aber richtet ſich nach

dem Werthe der zu theilenden Zahl.

Aufgabe.

Eine jede gegebene Zahl durch eine andere zu
dividiren.

§. 57.
Aufloͤſung.
1) Man ſchreibe zuerſt den Dividend, d. i. ſeine
Zahl an, welche dividirt werden ſoll (§. 53.)
und begraͤnze ſelbe zur Rechten durch einen ge⸗
raden Strich, wo nachher der Quotient hinge⸗
ſchrieben wird.

2) Setze man den Didviſor ſo weit gegen die Linke

unter den Dividend, daß er blos noch von den

daruͤber ſtehenden Ziffern abgezog en werden
Ziff 95*&*☚
kann.

3) Man denke nach, mit welcher Zahl der Divi⸗
ſor multiplizirt werden darf, daß ſich dieſes
Produkt vom ganzen Dividend abziehen laſſe.

4) Dieſe Zahl nun wird als Quotient angeſchrie⸗

ben, nachher mit dem Diviſor foͤrmlich multi⸗
plizirt, und das Produkt wirklich abgezogen.

5) Beim Reſt wiederhole man dieſe Verfahrungs⸗
art, ſo oft als es angeht, ſo hat man am

Ende den Quotienten in Einſer, Zehner, Hun⸗

derter u. ſ. w. Um ihren Werth als Zehner,
Hunderter u. ſ, w. hat man ſich nicht zu be⸗
kuͤmmern, weil dieſelbe, wenn man vorſchrift⸗
maͤßig verfaͤhrt, durch die nachfelgen den Zif⸗
fern beſtimmt wird.

Ein

—

6
und ſe
Etrich
ſit de
b,
ſtn⸗
alff
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5, (
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Divi⸗
dieſes
cſe.

geſchie⸗
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Yen.

Hrorge ⸗

man e
,, Hu
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n be⸗
ſſhift⸗
en Z⸗

Ein

49
Ein einzifferichtes Beiſpiel ſieht ſo aus:

4 R 2 2 52 1 6 5,604
2

.2 5
2 4

- I 2
1I 2

——
△ O

Erklaͤrung. Hier vergleicht man 4 mit 22,
und ſezt die dadurch gefandene Zahl 5 hinter den
Strich. Man multiplicirt nunmehr die 5 mit 4

ſezt das Vielfache 20 unter die 22, zaͤhlt es davon

ab, und ſezt den Reſt 2 gerade herunter. Zu die⸗
ſen 2, welche noch aicht getheilt ſind, und welche
auf der naͤchſtfolgenden Stelle 20 gelten, (J. 56.)
nimmt man die folgende 5 der zu theilenden Zahl,

mit welcher ſie alſo 25 ausmachen. Mit dieſer ver⸗
gleicht man den Theiler (Didviſor) von neuem, ſchreibt
die daraus entſtehende 6 neben 5 in den Antheil,
und verfaͤhrt mit dieſer, wie vorhin mit der Zahl

5, auf welche Art man uͤberhaupt fortfaͤhrt.
Naͤmlich:
Man vervielfaͤltiget jederzeit, die gefundene Zif⸗
fer des Antheils mit dem Theiler, zaͤhlt das Viel⸗
fache von der vorgenommenen Zahl ab, und ſezt
den Reſt herunter. Zu dieſem nimmt man die fol⸗

—

50

Theilung fort, bis von derſelben keine Ziffer mehr
uͤbrig iſt.
Wenn man bei Vergleichung des Diviſors mit
der vorgenommenen Zahl findet, daß derſelbe gar
nicht enthalten iſt, ſo nimmt man noch eine Ziffer
der zu theilenden Zahl dazu. In den Antheil aber
ſezt man vorher eine o, damit jede Ziffer derſelben
die ihr gebuͤhrende Stelle erhalte.

In der 4Aten Theilung iſt z. B. der Didviſor 4

in 1 gar nicht enthalten. Man nimmt deswegen
noch die folgende 6 dazu, wodurch man 16 erhaͤlt.
In den Antheil aber ſezt man vorher eine o, weil
ſonſt die erſteren Ziffern deſſelben nur 5630 werden
wuͤrden, da ſie nach dem Werthe der 225200, wor⸗

aus ſie entſtanden ſind, 56300 werden muͤſſen.

C. 56.)

Wer ſich hierin einige Uebung erworben hat,
wird in dieſem Fall, da der Diviſor eine einzelne
Ziffer iſt, nicht noͤthig haben, die Vielfache und die
Reſte allezeit auszuſchreiben, wozu das folgende

Beiſpiel auch ohne fernere Regeln Anleitung ge⸗

ben kann. . .
7 3 4 03 6 1 2 00 5
1
F. 38.

Man muß aber auch mit zwei und noch mit
mehr Zahlzeichen dividiren koͤnnen; folglich muͤſſen

gende Ziffer der zu theilenden Zahl, und ſezt die

19

der

ſehr
lich
Ort
wie
nicht
nril)
gen

ch
den

t die
mehr

mit
e ger
Iſfer
aber
ſelen

ſot 4

ſegen
halt.
weil
den
wor⸗

ſeen.

n hot,
izelne
1d die
lende

9 ge⸗

nit
giſen

5 1

auch von dieſem Fall Beiſpiele die Sache anſchau⸗
lich machen.

§. 59.
Hier wird man ſehen, wie bequem die Metho⸗
de unter ſich zu dividiren ſeye, wo hingegen in der
Manier uͤber ſich zu dividiren zwar das Ausſehen
ſehr geſchmeidig ausſiehet, aber dabei die Beſchwer⸗

lichkeit hat: einen begangenen Fehler nicht an dem

Ort ſeiner Begehung allemal entdecken zu koͤnnen,
wie beim unter ſich dividiren, folglich (wenn man
nicht einer beſtaͤndigen Verwirrung ausgeſezt ſeyn
will) meiſtens die Operation von neuem anzufan⸗
gen genoͤthiget wird.
3. B. Man ſolle 64285 durch 25 dividiren.
Ich ſetze die Zahl und ihren Theiler (Diviſor) nach
den gegebenen Regeln (§. 57.) 1, 2, 3, 4, 5.)

Ein Beiſpiel ſieht aus:

5 0%
I 4. 2
12 5
— I 7 8
17 5
— 3 5
25
Reſt.
D 2

re

52
Erklaͤrung. Hier ſpreche ich: 2 in 6 koͤnn⸗

te ich zwar Zmal nehmen, aber wegen dem folgen⸗
den Fünfer darf ichs nur zweimal nehmen, dann

25 iſt in 64 nur zweimal enthalten, man ſezt al/ſo

2 in die Stelle des Quotienten, und ſpricht: zwei⸗
mal 25 iſt 50; 50 von 64 laͤßt 14, zu dieſer Zahl

ſezt man den folgenden Zweier neben die Zahl 144,

und ſpricht wieder: 2 in 14 koͤnnte ich zmal, aber
wegen dem zur Zahl 2 gehoörigen Theiler 5 kann
man es nicht ſo oft nehmen, der richtige Verſuch
iſt alſo fuͤnfmal, weil 25 in 142 wenigſtens fuͤnf⸗
mal enthalten ſind. Dieſes iſt alſo richtig, und
aus dieſem Grund ſchreibt man dieſe Zahl 5 in die
Stelle des Quotienten, und ſpricht wieder: 5mal
25 iſt 125, 125 von 142 laͤßt 17, ſodann ſezt

man das folgende Ziffer 8 herunter, (jede von den
theilenden Zahlen bemerkt man mit einem Punkte,

um alle Verwirrung in der Didiſion zu verhuͤten,
daß im erſten Fall kein Zahlzeichen vor dem an⸗
dern herabgeſetzt wird, im zweiten aber keine Zif⸗
fer vergeſſen bleibt) und verfaͤhret wie bisher ge⸗
zeigt worden. Am Ende bleibt nun nach geſchehe⸗
ner volliger Diviſion ein Reſt uͤbrig, der ſich nicht
mehr durch 25 dividiren laͤßt, er gibt alſo einen
Bruch, und heißt 2 oder 2.

K. 60.

Eben auf dieſe hier gezeigte Methode verfaͤhrt
man auch, wenn der (Diviſor) Theiler mehrere

nn⸗
en⸗
nn
ſo
dei⸗
ol

14,

ber
ann
iich
f⸗
nd
de
gal
it
den

ta, ,

ten,
all⸗
3i
ge⸗
ehe⸗
icht

enen

ift
ſete

53
Ziffern hat. Nur daß man gleich Anfangs ſo viele
Ziffern von der zu theilenden Zahl vornimmt, als
man noͤthig hat, um den Theiler ein oder etliche
mal darinn zu ſehen, und hiermit die erſte Ziffer
des Antheiles zu finden.

§. 61.

Die Sache kann noch beſſer verſtanden werden,
wenn man eine Tabelle verfertiget, worinn alle
Produkte des Diviſors und der 9 Urzahlen enthal⸗
ten ſind, woraus ſogleich erſichtlich ſeyn wird, wel⸗
ches Produkt ſich in jedem Falle abziehen laͤßt.
3. B. 492006290: 19

△ r . e
b P α ο
ρο% △ +☚ de.

, r

Abſichtlich waͤhle ich hier wieder den Theiler
mit zwei Ziffern. Z. B. S

54

10] 19 29062,9°% [25895067

das fache 3 8 5
Reſt 1I 1I. 2
das 5fache - 9 5
Reſt I 7.
das gfache 1 5 2
u. ſ. w. 8.
I 7 TI
— 9 6
95
129 nit
I 1I 4 fen
1 5.0 dere
1 3 3
„ te
I
R vor
1
Anmerkung.

Ein jeder wird glauben, daß im Gegentheil die
Diviſionen mit zuſammengeſezten Didiſorn de⸗

ſto leichter ſind, je groͤßer die erſte linke Zif⸗ 31
fer und je kleiner das dabei ſtehende ausfaͤllt. he
die
§. 62.
ed
Ein Beiſpiel, wenn der Diviſor aus 3 Ziffern

beſteht, als 589, in 1914826.

6⸗I

el die
den de
N
flt

fern

55
Operation:

5 8 9 r 9. 1. 4 § 2 6 3 2 5
1 7 0 7

d0 o⅓

„
O% er

ARMIEOP

2
5
H
———

Erklaͤrung. Hier z. B. vergleicht man 5989
mit 1014 oder 5 mit 19 (§F. 56.) da man dann
ſieht, daß einer 3 in den Antheil gehoͤrt. Hernach
vervielfaͤltiget man 3 mit 599, zaͤhlt das Vielfache
1767 von 1914 ab, und ſezt den Reſt 147 herun⸗
ter, zu welchem man die folgende 8 nimmt, und
von neuem 589 mit 478 vergleicht, u. ſ. w. (wie

F. 57.)

*

D. 63.
Wenn bey Vergleichung des Theilers mit der

zu theilenden Zahl irgendwo gefehlt, und die Sa⸗

che auf ungewißen Verſuchen beruhet, d. i. wenn man
die Ziffer in dem Antheil entweder zu groß, oder
zu klein genommen hat, ſo kann man den Irrthum
dadurch gleich entdecken, daß in dem erſten Falle
das Vielfache des Theilers groͤßer wird, als die
Zahl, wovon man es abzaͤhlen ſoll, in dem zweiten

56

aber nach geſchehener Abzaͤhlung der Reſt eben ſo
groß oder groͤßer wird, als der Theiler.
Hauptſaͤchlich dient in ſolchen Faͤllen die be⸗
ſchriebene Tabelle (§. 61.) hiezu.

J. 64.
Wenn der Diviſor Nullen am Ende hat, ſo
werden ſie vor der Theilung abgeſchnitten, und eben
ſo viele Ziffern von der zu theilenden Zahl. Der
Antheil bleibt hierbei eben derſelbe; die abgeſchnit⸗

tenen Ziffern aber ſind ſolche, welche ohnedem uͤbrig
bleiben wuͤrden.

Beiſpiel:
5S 4 o o 7 6 2 ½ 5 2 r 4
5 4
2 2. 2
2 I 6
—— -—-

Die Urſache dieſes Verfahrens iſt leicht zu ver⸗
ſtehen, die abgeſchnittene Zahlzeichen ſind immer
kleiner als der Diviſor, weil allemal von der zu di⸗
vidirenden Zahl ein Zahlzeichen weniger als der Di⸗
viſor Zeichen hat, abgeſchnitten wird. Folglich laͤßt
ſich der Reſt niemalen durch den ganzen Diviſer
theilen.

§. 65.

Zur Uebung mag folgendes 6 Zifferichtes Bei⸗

ſpiel deshalb hier ſtehen:

99

J
und
wen
S

57

e 999876 R9. 8 7.6.3 89 05 619 8⁸77
. 89298884
i lhe⸗ — 8. 7. 7. 5 0 5. 0
79990°0° 8
— 7. 7. 0. 0O 4. 2 5
t, ſ 609 9 91 3 2 SðJBMUĩ
dehen — 7. 0. T. 2 9 3 0
Der 699091 3 2
eſchnit. — 6 1 3 8 0O4
ri ——
§. 66.
Nuͤzliche Beiſpiele.
14 1) Um zu unterſuchen ob ein gegebenes Jahr ein
Schaltjahr ſey oder nicht, darf nur die Jahrzahl
durch 4 dividirt werden. Geht die Diviſion auf
ohne Reſt, ſo iſts ein Schaltjahr; bleibt aber ein
Reſt, ſo zeigt dieſer, das wie vielte Jahr nach
einem Schaltjahr das vorgegebene iſt. Z. B.
ſttte. 1796 mit 4 dividirt, ſo zeigts ſich, daß nichts
nne im Reſt uͤbrig bleibt, iſt alſo der Beweis, daß
u dieſes Jahr ein Schaltjahr ſeyyye.
, H
c⸗ 1795 war kein Schaltjahr, denn es bleiben 3
o Jahr uͤbrig, wenn 1795 durch 4 dividirt wird,
und 448 zum Quotienten; — d. i. ſeit der Menſch⸗
werdung Chriſti ſind 448 mal 4 Jahre oder 448
. Schaltjahre und 3 gemeine Jahre verfloſſen.

Jezt fragt ſichs: war 1495, als man Wir⸗

58
temberg zu einem Herzogthum erhob, ein Schalt Yge

jahr oder gemeines? tid
Operation:
4 495 373
I 2
= 2 9
2 8
1I 5
. 2 9) G
Z zur
Sy gang
. Aefal
Antwort: kein Schalt⸗ ſondern gemeines Jahr. daht
E

2) In einem Garten ſtehen Reihenweis 1024 Baͤu⸗
me, und ſind 32 Reihen, wie viel Baͤume ſte⸗
hen in jedem Reihen? 6

Operation:

8 2 o. 2 4 3 2 Baͤume.

9 6
6 4 4 ““
— tet
. WM kun
8) Eine Brunnenquelle ſoll durch eine Strecke Fel⸗ Ee
des von 1664 Schuhen, durch hoͤlzerne Deicheln 1

geleitet werden; wie viel wird man dazu ndthig

59

1Schol⸗ haben, wenn ein Deichel zu 16 Schuh beſtimmt
wird?
Operation:
1 6 1664 104 Deichel.
6

S

4

4) Ein vom Waſſer durchwuͤhltes Wehr ſoll wieder
zur Brauchbarkeit, ein einfaches Gelaͤnder von
ganzen Tannenbaͤumen zu 60ger (Schuhen) auf⸗
gefuͤhrt werden, wie viel ſolcher 6oger hat man

aht. dazu noͤthig, wenn das Geſtade dieſes Wehrs 4560
Schuh lang iſt?
Me Operation:
ne ſie
6 0 4 5 6 0 7 6 Tannenbaͤume.
4 2 0
. 3 0 0
t. 3 6

5) Richer iſt der erſte, der im Jahr 1672 beobach⸗
tet hat, daß eine Pendeluhr, die in Paris Se⸗
kunden ſchwang, folglich in einer Stunde 3600
Schwingungen machte, auf der Inſel Cayenne
in 24 Stunden 86280 mal geſchwungen habe,
wie viel trafen auf eine Stunde?

eke Si⸗
1 bthig

Operation: 1
2 4 8 6 2 8 % 3 595 Schwingungen. hite
— uin n
1 4 2 er
1I 2 0 ſehn,
. verſie
2 9
2 I 6 M
12O
20. 49.
6) Die Staatseinkuͤnfte Frankreichs betrugen 1781 —
163110779 Gulden, was bezog die koͤnigliche
Kammer in einem Tag?
36 5 163 110779 [457837374 fl. Hen
TI 4 2 O0 in d
— ftan
— 2. I. T. TI
1I 82 5
2 8 6. 0
2 5 5 5
3. O0 5 7⁷7
2 0 2 O0
3. 7 7
1095
8.2 9
2 5 5 5
— 2 7 4

Uunhen⸗

1I8r-

bniglche

„244

1565

61

7) Der hoͤchſte bisher bekannte Berg (Pichincha) *)
in Peru, wird auf 13800 Paar Fuß ſenkrechte
Hoͤhe uͤber die Oberflaͤche des Meeres geſchaͤtzt,
um wie vielmal mag wol dieſer Berg hoͤher als
unſere Bergveſtung Hohentwiel in Wuͤrtemberg
ſeyn, die, wie eine mathematiſche Beobachtung
verſichert (mit der deſagulierten Maſchine) vom
Achfluß aus 4948 Pariſer Fuß mißt?

Operation:
4 9 4 8 1 3 8 0 0 2 ¼3 3 mal hoͤher.
9 8 9 6
3 9 0°4

—,.vwwrU⅓ℳ B—

*) Einige behaupten, der Mont blanc ſei der hoͤchſte
in der alten Welt, und ſetzen ſeine Hoͤhe auf 15000
franzoͤſiſche Fuß.

Siebenter Abſchnitt.
Die Probe der vier Rechnungsarten.

d. 67.

Um ſich zu uͤberzeugen, ob man richtig gerechnet

habe oder nicht, muß man durch andere Rechnung
unterſuchen koͤnnen, ob die gemachte Aufloͤſung rich⸗
tig und zuverlaͤßig ſei; — und dieß heißt man eine
Rechnungsprobe. Unſere Alten ſprachen ſo:
Die Addition durch die Subtraktion, und die

Subtraktion durch die Addition; dann die Multi⸗

plikation durch die Diviſion, und die Diviſion durch
die Multiplikation.
Die uͤbrigen neu erſonnenen zweierlei Proben,
gewaͤhren blos Wahrſcheinlichkeit. Eine von dieſen
zweien lezteren heißt die Neunenprobe, die andere

nicht viel beſſere die von Hrn. Klausberg erſun⸗

dene Eilferprobe.

§. 68.
Jede Addition durch Subtraktion richtig
zu pruͤfen.
Auflodſung:
Man ziehe von der Summe alle zu ſummirenden
Glieder, aus welchen Theilen ſelbige als ein Gan⸗

zes b
Ende!
glbgenn
und nie
Gleeden
ſehn wo

ſiel

2 2

5—

Uch

nan n

gerechre
Nechnung
ing nich⸗
nan eine

und die
Multi⸗
n dutch

4 Pben,
von dieſen
ie andet?

1 etfu⸗

richtig

mirenden
en Gar⸗

63

zes beſteht, nach und nach ab. Wenn nun am
Ende nichts uͤbrig bleibt, ſo iſt es eben darum die
ausgemachteſte Probe, daß die Summe nicht mehr
und nicht weniger enthalte, als die zu ſummirenden
Glieder, welchen ſie zuſammen genommen gleich

ſeyn will. D

Zur Ueberzeugung dieſes Verfahrens ein Bei⸗
ſpiel.

5 8 9 2
9 4 8 die zu ſummirende Glieder.
2 2 0o 7 6
1 3 3 ]
2 9. o. 4 9 Summe.
5 8 9 2 Erſtes zu ſummirendes Glied.
2 3. I 5. 7 Reſt.
° 4 8 Zweites zu ſummirendes Glied.
2 2 2. 0° 9 Reſt.
2 2 0° 7 6 Drittes Glied.
— I 3 3 Reſt.
1 3 3 Viertes Glied.
D Reſt.

C. 69.
Dieſe eben angefuͤhrte Probe kann man da⸗
durch in etwas erleichtern und abkuͤrzen. Wenn

man nach verrichteter Addition alle zu ſummirenden

Glieder, eines ausgenommen, wieder von neuem

3

64

addirt, und dieſe Summe von der Hauptſumme ab⸗
zieht, wo dann am Ende das ausgelaſſene Glied

uͤbrig bleiben muß. Denn es gilt gleichviel, ob ich
alle Glieder bis zum lezten nach und nach oder auf
einmal ſubtrahire; es wird in jedem Fall das naͤm⸗
liche herauskommen. Wir wollen im obigen Bei⸗
ſpiel die unterſte Zahl weglaſſen.

5 8 9 2
9 4 8
2 2, ° 7 6
r 3 3 *
2 9. 0° 4 9 Summe aller Glieder we⸗
2 8 9 I 6 niger dem unterſten.

Probereſt 1 3 3

70.
Es geſchah uicht ganz ohne Abſicht, daß ich
bei der Probe die erſte Zahl von unten auf in der
Addition wegließ; denn es kann ſich leicht fuͤgen,
daß man, wenn eine Zahl von oben weggelaſſen
wird, bei den naͤmlichen Zifferkolumnen auch wie⸗
der den naͤmlichen Fehler begeht, der ſchon vorher
begangen worden, in welchem Falle man ſehr hin⸗
tergangen wuͤrde. Wird aber die untere Zahl aus⸗
gelaſſen, ſo regulirt ſich groͤßtentheils die Felse der
uͤbrigen Ziffern anders.
Dieſes wird hier die Sache begreiflich machen⸗

Unrich⸗

„

Febe

Zohl
lüſte
um
nin
oßt,/

enn

chte

zumm
dabo

mmme c⸗
ne Glied
el, ich
lder guf
dos nan⸗
gen Bei⸗

der we⸗
tſten.

09

in der
figen,
Mklaſen
ch ie
on vortet
ſet fir
Nlloui⸗
er

Gtged

nehen

Uunih

65
Unrichtige Additionen.

2 24 7 2 4
2 3 8 2 3 8
6 3 6 3
2 4 2 4 *
1 04 7 1047
3 2 3 102 5

7 2 4 unaͤchte Probe. 2 2 aͤchte Probe.

K. 71.
Jede Subtraktion durch Addition richtig
zu pruͤfen.

Die natuͤrlichſte und richtigſte Probe, ob eine
Zahl von der andern richtig abgezogen worden,
leiſtet die Abdition; denn wenn der Unterſchied,
um was eine Zahl kleiner als die andere iſt,
naͤmlich der Reſt, wieder zur kleinern Zahl, das
heißt, zum Subtrahend addirt wird, ſo muß,
wenn je das Verfahren mit Aufmerkſamkeit ver⸗
richtet war, die großere Zahl, der Minuend,
zum Vorſchein kommen. Hier iſt ein Beweis

davon.
4. 2 3. 7 9. 5 2 Min.
2 7 I 8 4 6 TI Subtr.
Reſt 1 5 1 9 4 9 1
Probe 4 2 3 7 9 5 2
E

K. 72.
Eben ſo richtig kommt auch die Probe zum
Vorſchein, wenn der Reſt der beiden Zahlen

in dieſem Fall die große Zahl zur kleinen, oder
was eins iſt, der Minuend zum Subtrahenden
wird. Zum Beweis ſetzen wir obige Reihnungs⸗
probe nochmal her.

2 3. 7 9. 5 2 Min.
7 I 8 4 6 I Subtr.

P*

Reſt 1 5 1 9 4 9 r
Probe 4 2 3 7 9 5 2

§. 73.
ede Multiplikation durch Disiſion
richtig zu pruͤfen.

Man darf nur das erhaltene Produkt durch
einen Faktor wieder dividiren, der Quotient, der
heraus kommt, muß dem andern Faktor gleich ſeyn,
wenn man anders das Beiſpiel recht multiplizirt
hat.

von dem Minuenden nochmal abgezogen wird, weil

mi
den
am
ſ

67

Operation:
zumn , 4 8⁸ r 2
ahſenr 2 4
, wel 1I 9 2 4 8
, Ndet 9 6 2 4
henden 2 4 1 I. 5 4 8 8 4 8 X 2
nungs: 9 6
1 9 4
JI 9 2
— 2 8
2 4
- 4 8
4 8
§. 74.
ior Zeode Diviſion durch Multiplikation
richtig zu pruͤfen.
durch Man multiplizirt den erhaltenen Quotienten
t, de mit dem Diviſor. Das Produkt wird den Divi⸗
gber, denden ganz darſtellen, wenn bei der Didiſion

am Ende kein Reſt geblieben iſt. Bleibt ein Reſt,
ſo darf man nur dieſen zu dem gedachten Pro⸗
dukt addiren, ſo muß der Dividendus wieder zum
Vorſchein kommen.

ſſh

E 2

Beiſpiel:
5 3 6 7 Nun iſt ? der Quotient.
3

5 der Diwiſdr⸗

Reſt 1 35
1 Reſt.

3 6 iſt der Divi⸗
dendus.

Anmerkung.

Daß dieſes zutreffen muß, ſieht jeder leicht ein,
der bedenkt, daß Diviſion nur ein vorhande⸗
nes Multiplum zerlegt, und in dem Quotien⸗
ten allemal blos angezeigt wird, wie oft der
Diviſor in dem Dividenden enthalten.

§. 75.

Die Probe der Addition durch Wegneh⸗
mung der Neuner, wird ſo gefuͤhrt:

Man betrachtet die Ziffer aller ſummirenden
Glieder als lauter Einheiten der erſten Ordnung,
dann zuſammen addirt, und ſo oft als es angeht,
die Zahl Neun davon wegwirft. Und eben ſo
wird dieſes auch bei der Summe beobachtet. Wenn
nun auf ſolche Art die Addition richtig geſche⸗
hen iſt, ſo muͤſſen die beiden Reſte einander gleich
ſeyn. Folgendes Beiſpiel ſoll die Sache deutlich
machen.

4 u
weg
Ud

3 UI

Id
1 und
und
4 gln
Sar
4
fal
wen

denn
ſo
dies
lete

ganz
tenn
der

ein,
inde⸗
tien⸗
der

69
5 2 6 4
3 ,3 °4 6
7 9044
8 9° 9⁹ 2 4
Summe 19 7446 4

Wir wollen bei der erſten Zahl anfangen:
4 und 6 iſt 10, aus 10 wird eins (wegen hin⸗
weggeworfenen Neuner) 1 und 2 iſt 3 und 5 iſt 8
und 6 iſt 14, gibt 5, 5 und 4 iſt 9, gibt nichts,

3 und 3 iſt 6 und 4 iſt 10, gibt 1, 1 und 4 iſt 5

und 7 iſt 12, gibt 3 und 3 iſt 6 und 4 iſt 10, gibt
1 und 4 iſt 5 und 7 iſt 12, gibt 3; 3 und 2 iſt 5
und 8 iſt 13, gibt 4. Nun muß dieſer (Ueberſchuß)
4 ausgeworfen werden. Jezt wird eben ſo bei der
Summe verfahren; 6 und 4 iſt 10, gibt 1, 1 und
4 iſt 5, und 7 iſt 12, gibt 3, 3. und 1 iſt gleich⸗
falls 4, und kann auch hinter die Summe gezaͤhlt

werden.

§. 76.
Die Eilferprobe.

Man zaͤhlt da alle ungeraden Zifferſtellen in
den zuſummirenden Gliedern zuſammen, und wirft

ſo oft 11 hinweg als es angeht. Nachher geſchieht

dies auch bei den geraden Stellen, und zieht dieſen
lezten Reſt von dem erſten ab. Laͤßt er ſich nicht
ganz abziehen, ſo darf nur der erſte Reſt um 11

vermehrt werden. Wenn man das ebenfalls bei
der Summe thut, ſo muͤſſen gleiche Zahlen zum

1

Vorſchein kommen, um die Richtigkeit der Addition
pruͤfen zu koͤnnen.

§. 77.
Die Probe der Multiplikation mit Weg⸗
werfung der Neuner.

Man wirft aus jedem Faktor die Neuner be⸗
ſonders weg und vervielfaͤltigt die Reſte.

Eben aus dieſem Produkt thut man ſo viel
Neuner weg als moͤglich, und den Reſt behaͤlt man
im Sinn. Aus dieſem Produkt wirft man die Neu⸗
ner auch weg, ſo werden die beiden Reſte (Ueber⸗
ſchuͤße) gleich ſeyn, wenn man anders die Rech⸗
nung mit Anſmerlſanket gemacht hat.

— , 8=
1I 9 I 2

17

Die Probe der Diviſion mit Wegwerfung
der Neuner.
Hier wird eben ſo verfahren wie beim Multi⸗

pliziren, wenn man den Diviſor und Quotienten
als die Faktores, den Dividendum als Produkt be⸗

ſb
und
ſeec

tien
die⸗
gich

ſoon
mit

in de
de

ditione

Dey⸗

et lu

9 biel
t man
Neu⸗

her.

Roh

gefung

Yilti
Kienten

ktbe

271
trachtet, nur daß man, was nach der Didiſion
uͤbrig bleibt, zu dem bemerkten Reſt vom Diviſor
und Quotienten addirt, und wenn Neuner darin
ſtecken, ſolche wegwirft.

(7 „(⸗z
5 3 8 6 5. 4 ⅝ 4 7 I2 17
5 3 9
2 1 1. 6 8
14 (53 I 0 7 6
2 — 9. 2. 4
5 3 8
7 3 8 6 7
322 0& 6
—- I O F
—

Aus dem Diviſor bleiben 7, aus dem Quo⸗
tienten 2, 2 mal 7 iſt 14, 9 davon bleibt 5, und
die 2 aus dem Reſt gibt 7, und eben ein ſolches
auch vom Dividendus.

H §S. 79.
Man hat noch eine Probe, wo man die Divi⸗
ſion pruͤfen kann, und gewaͤhrt mehr kichtiges als

mit Wegwerfung der Neuner.

Man tilgt diejenige Zahlen mit Strichgen, die
in der Diviſion als dividend angeſchrieben werden,
die uͤbrigen Zahlen werden in der Ordnung zuſam⸗
men addirt wie ſie ſtehen, ſo wird die zuſammen⸗

72

gezaͤhlte Summe dem Dididend gleich ſeyn. Iſt

bei der Diviſion am Ende ein Reſt geblieben, ſo

wird ſolcher noch zu der Summe gezaͤhlt.

3 4 5] F. s 6 *1 9 6 2 3 2,6 63 o

6 9 0

Yz 6
1 03 §

— g. &
6 9

2 2 & 7
2 „% 7 0
—2 I76
2 °7 0

1x 8 6
103 5§

— 2 9 6

Probe 8 o 2 6 8 7 64 6

Ree

Pe⸗

girwwer
guf

derg
ſch
Uſt et
in beg

2
=

=

73

Ach ter Abſchnitt.
Von den
Rechnungsarten in benannten Zahlen

und
ihren Unterabtheilungen.

§. 80.

Menn man die Rechnungskunſt auf wirkliche Faͤlle
anwendet; ſo gehen die dabei vorkommende Zahlen
auf Groͤßen von gewiſſen Abtheilungen.

Die Benennungen z. B. Rthlr. f5. Elle oder
dergl. Solche Zahlen heißen benannte Zahlen. Daß
ſich dadurch allerlei Groͤßen ausdruͤcken, und hie⸗
mit arithmetiſch behandeln laſſen, iſt uͤbrigens leicht
zu begreifen.

§. 81r.
Die Berechnung derſelben ſetzt die bisherigen
allgemein erklaͤrten Rechnungsarten voraus. Doch
macht die Bequemlichkeit dabei noch einige beſon⸗
dere Verrichtungen noͤthig, welche hauptſaͤchlich da⸗
her entſtehen, daß wir die groͤßeren Abtheilungen
des Maaßes, Gewichts, Werthes oder anderer

groͤßerer und kleinerer Theilen, jedem beſondere

74

kann.

§. 82.

S. 83.

Die ganze Sache kommt darauf an, daß
man die Unterabtheilungsſorten jeder genannten
Zahl wiſſe; es iſt alſo noͤthig, die uͤblichſten Ein⸗
theilungen des Maaßes und Gewichtes in un⸗
ſerm Lande hieher zu ſetzen, damit der angehen⸗
de Rechner ſich bei derlei Zweifel Raths erholen

J. Vom Maaße des Raums.

Hier iſt eine Ueberſicht der ſaͤmtlichen wuͤrtem⸗
bergiſchen Linienmaaßen:

Ruthe. Klafter. Elle. Fuß. Zoll. Linien
1 2 38 1606 192 2304
3 6 72 864
1 2 24 288
1 12 144
1 12

Namen beilegen, und oͤfters in dem Ausdrucke eine
Groͤße mehrerer ſolcher Namen, z. B. Centner,
Pfunde, Lothe, mit einander verbinden.

tetung
den
man

den⸗
lder
Linie
ſen
einer
ten,
het

ucke eine
Ceutner,

En, dß5
engtittn

ſen Ei⸗
in un⸗
ugehen⸗
erholen

75

d. 84.
Das geometriſche Linienmaaß
(Dezimalmaaß).

Die aufgeklaͤrten Feldmeſſer theilen zur Erleich⸗

terung ihrer Berechnung die Ruthe in 10 Fuß, und

den Fuß in 10 Zoll ein. Dieſe Eintheilung nennt
man das Dezimalmaaß.

Ruthe. Fuß. Zoll. Linien. Skrupel
1 10 100 1000 10000
1I 10 100 1000
1 10 100
§H. 65.
Die Elle.

Je nachdem die Dinge, welche gemeſſen wer⸗

den ſollen, beſchaffen ſind, gebraucht man groͤßere
oder kleinere Naaße. Das Maaß, womit die aus

Linien, Wolle und Seide verfertigten Zeuge gemeſ⸗

ſen werden, iſt die ſo bekannte Elle. Sie muß nach

einer Herzoglichen Verordnung gerade 2 Fuß enthal⸗
ten, und wird in Halbe, Viertel, Achtel und Sechs⸗
zehntel getheilt. Die Staͤdte, wo die Wuͤrtember⸗
giſche Elle richtig verfertigt, und zu mehrerer Si⸗

76

cherheit mit dem Zeichen des Hirſchhorns geſtem⸗

pelt oder geeicht wird, nennt man deswegen wohl
Eichſtaͤdte. Sie ſind, Stuttgardt, Tuͤbingen und
andere Amtsſtaͤdte. Auſſer dem Zeichen des Hirſch⸗
horns brennt oder ſchlaͤgt auch noch jede Eichſtadt
ihr Stadtwappen darauf. Wird nun einmal eine
Elle unrichtig erfunden, ſo weiß man gleich, in
welcher (Amtsſtadt) Eichſtadt ſie verfertiget wor⸗
den iſt. Sie wird in 2722 Pariſ. Skrup. ein⸗
getheilt. 3

C. 86.
Die Klafter.

Ein Klafter hat 3 Ellen oder 6 Fuß, und iſt
ungefaͤhr ſo lang als ein Mann mit den Spitzen
der Mittelfinger an beiden Haͤnden faſſen kann,
wenn er ſeine Arme in einer Horizontallaͤnge aus⸗
ſtreckt.
Nach dieſem Maaß wird auch das Holz ge⸗
meſſen, und die Landesregierung hat deshalb beei⸗

digte Holzmeſſer aufgeſtellt, welche ſich nach die⸗

ſem Maaß puͤnktlich zu richten haben.

Nach dieſem iſt ein Meß Holz 6 Fuß lang und
6 Fuß hoch; demnach machen 6 Fuß lang und 3

Fuß hoch + Klafter; ferner 6 Fuß lang und 1 ½
Fuß hoch 1. Meß u. ſ. w. Alſo enthaͤlt ſolches 180
oder 144 Kubikfuß. Die Scheutter hingegen ſol⸗
len 3 ½ bis 4 Schuh lang ſeyn.

D
Pilt 8
Nreite
der B
Wanm
Heu i⸗

folizet
ſtimntn
einer!
16000
572,0
Alators
Wte
lic i
tembe

geſten⸗ d. 87.
gen Das Heumeß.
ngen un
4 Hirh. Wird nach Wannen beſtimmt. Eine Wanne

Eichſfene haͤlt 8 Fuß in die Laͤnge und eben ſo viel in die
entl eie Breite und Hoͤhe. Nach Bunden gewogen muß
glih i der Bund ſchwer Gewicht 2r 5. halten, oder die
iget nir⸗ Wanne = 1080 f5. Oder was eins iſt, 1 Wanne
lp ei⸗ Heu iſt ein Kubus, 8 Schuh lang, breit und hoch.

§F. 88.
Meilenmaagße.

In Wuͤrtemberg iſt die Meile von der Landes⸗

zun ſt polizei bei Verbeſſerung der Landſtraßen genau be⸗
Eich ſtimmt worden. Sie beſtimmte fuͤr das Maaß
e hu, einer Reiſeſtunde 1000 Wuͤrtembergiſche Ruthen oder
he gli⸗ 16000 Fuß. Nimmt man mit Hrn. de Maupertuis
57270 Franzoſiſche Klafter fuͤr einen Grad des Ae⸗
l ge⸗ quators an: ſo gibt dieſe Rechnung 390230¾ 2£
lb beei⸗ Wuͤrtembergiſche Fuß, auf einen Grad. Und folg⸗
ch di⸗ lich kommen 24 62 30. 222² α 16000 Wuͤr⸗
tembergiſche Reiſeſtunden auf einen ſolchen Grad.
ng,und.
e L g. .
ud I Vergleichung der Quadratmaaße.
his 0. Die Flaͤchenmaaßen vergleichen ſich nun auf

n ſil folgende Art miteinander:

◻ Ru⸗] Riem⸗ Riem⸗
—he. Ruthe. — Fuß. Fnß, Fuß. Linien.
temlen
1 16 256 3072 36864 5308416 genhe
. 1=
1 16 192 2304 3317706 iſg,
1 rZz I44 20736 nch⸗
Kaufen
1 12 1728 welche
buͤchen
1 144
ſohlen
§. 90. Get,
Die zehentheilige Eintheilung der Maaße che des
iſt folgende: ulthen
uf den
◻ Ru⸗ Riem⸗ . Riem⸗
the. Ruthe. — Fuß. Fuß. — Soll.
1 I0 100 1000 10000
I 10 100 1000
1I 10 100
“ 1 10 net,
ſt=
J. 91. 1 Ech
Das Feldmaaß im Wuͤrtembergiſchen. ber
Ein Wuͤrtembergiſcher Morgen Landes mußs—
150 Ruthen im Quadratmeß halten oder = 1800 G
Quadratfuß.

79
Zur Einſaat deſſelben werden 8 Simri Wuͤr⸗

temberger Getraidemaaß erfordert. Ein halber Mor⸗

gen heißt auch 2 Viertel oder 75 Ruthen, das Vier⸗
tel = 37¼ Ruthen. Hiebei iſt noch zu wiſſen noͤ⸗
thig, daß in den ſaͤmtlichen Oberlanden meiſtens
noch nach Jauchert, Tagwerk und Mannsmad im
Kaufen und Verkaufen Ruͤckſicht genommen wird,
welches aber bei Eintragung der Lagerbuͤcher (Kauf⸗
buͤcher) nicht angenommen, ſondern nach dem be⸗

fohlenen Landmeß reducirt wird.

So machen 225 Ruthen Landmeß eine Jau-
chert, Tagwerk, Mannsmad aus. Nach der Spra⸗
che des Landmanns iſt ein Mannsmadviertel 56 1
Ruthen: ein ordinaires Viertel wird meiſtens noch
auf den Waldorten Ackerviertel genannt.

II. Maaßen fluͤßiger Dingen.

§. 92.
Weinmaagsß.

Im Wuͤrtembergiſchen hat Fuder = 6 Ay⸗
mer, 1 Aymer = 16 Jmi oder 160 Maaß, 1 Imi
iſt = 10 Eichmaaß oder 11 Schenkmaaß, 1 Maaß
= 4 Schoppen. 1 Aymer Truͤbeich hat 167 Maaß,
X Eichmaaß hat 138 Kubikzoll, ½ Maaß 1 Pinte
oder 8 Paſſons.

Anmerkung:
Es iſt aber zu wiſſen, daß dieſe Vergleichung
eigentlich von der aecuraten Stuttgarter und

—

Tuͤbinger Eich zu verſtehen, die andere Wuͤr⸗
tembergiſche Orte gehen oͤfters davon ab, z. B.
die Kloſterorte, und auch ſolche, die das Pri⸗
vilegium einer Schildwirthſchaft mit der Ta⸗
perne haben u. ſ. w. Wegen der Treſtereich,

Truͤbeich, und Schoͤn⸗ oder Helleich iſt noch

folgendes zu merken: Treſtereich wird gebraucht,
wenn der Moſt ſamt den Treſtern gemeſſen

wird; Truͤbeich, wenn der Wein noch truͤb iſt,

von Michaelis bis Martini, die Schöoͤneich nach
Martini. Auch hierin muͤſſen ſich dieuͤbrigen
Unterlande nach Stuttgardt richten, welches
auf den Aymer 7 Maaß rechnet.

III. Maaßen trockener Dinge.

K. 93.
Das neue Wuͤrtembergiſche Simri.

Auch bei trockenen Dingen hat man Maaßen,
und das Maaß, womit in unſerm Vaterland die
Frucht gemeſſen wird, hat den Namen Simri; in
den aͤußerſten Gegenden Wuͤrtembergs, z. B. Horn⸗
berg, Schiltach u. ſ. w. . Seſter.

Das ſeit 1557. im ganzen Land eingefuͤhrte

Simri, heißt das Wuͤrtembergiſche Simri, und
wird in der Eichſtadt mit dem Hirſchhorn geſtem⸗
pelt, welches alle Jahr vorgenommen wird. In
eben dieſen Eichſtaͤdten befinden ſich von Metall,

in Kupfer gegoſſene oder geſchlagene Probenmaaße,

wornach

7

wornat
ſſechte
N
entwed
leeſa
ten R

4

man
chen
Hoͤhe,
bikinn

Wute

Ve⸗
Aunſ
Nond
Pat
Pei

Wir⸗
d,. J.
das Pri⸗
der La⸗
Gereich,
woc
gebluut
genſ.
fribit,
eich nch
gibrigen

welches

Gini.

Wynßen,

etland die

inni, i

dehie

leilhee
fnni, d
rn ge ⸗
ird.
6 etnl/
Gennnnßt,
drnnch

81

wornach die uͤberſchickte Maaße gepruͤft oder ge⸗
pfechtet werden.
Nach dieſen Probemaaßen ſoll ein jedes Simri

entweder 36 fb. 31 Loth reinen trockenen Lein⸗ oder
Kleeſaamen, oder 48 I5. von dem beſten gereinig⸗
ten Roggen enthalten.
Dieſe Probſimri ſind unterſucht worden, und
man hat gefunden, daß der Durchmeſſer eines ſol⸗

chen Simri'’s 14 3 Wirtembergiſche Zolle, und die

Hoͤhe 7 ¼ Wuͤrtembergiſche Zolle betragen. Der Ku⸗
bikinnhalt eines ſolchen Simri's iſt dieſemnach 1656
Wuͤrtembergiſche oder 1105 Pariſer Kubikzoll.

Vergleichung einiger Fruchtmaaße.
Amſterdam 1 Schfl. = 1361 Par. Kubikz.
London T Pinte — 28 (ꝰ j — —
Paris 1I Septier = 6972 — —
Petersburg 1 Simri = 9832 — —

d. 94.

Saͤmmtliche Getraidemaaßen.

1 Scheffel in rauher und glatter Frucht =
Simri, 1 Simri = 4 Vierl. 1 Vrlg. = 4 Meßlen.
Sonſt auch 1 Vrlg. = 2 Achtel; 1 Achtel = 2 Meß⸗

len, 1 Meßle = 2 Ecklen, 1 Eckl. = 4 Viertelen.

Das Stroh wird nach Fudern, Schaͤub und
Buͤſcheln gerechnet. Ein Fuder St. = 80 Stuͤck
haͤlftig Schaͤub und Buͤſcheln. 1 Schaͤub oder Buͤ⸗

ſchel muß in ſeinem Umfang 6 Schuh betragen, oder

ſo dick ſeyn, daß man ſie umklaftern kann.
C
F

82 G
IV. Maaß der Schwere.
§. 95.
1) Vom Handelsgewicht.

Namen der großen und kleinen Handels⸗
Gewichte.

Nach dem große Laſtenſoder geringere Dinge ge⸗
wogen werden ſollen, hat man auch große und klei⸗
ne Gewichte noͤthig. Um große Laſten zu waͤgen,
hat man Centner, Laſten, Schiffpfund, Liespfund,
gemeine Pfund, Steine u. ſ. w.

Große Gewichte.

1 Centner = 100 fb., I Laſt = 24 Schiff⸗

pfund, 1 Schiffpfund = 24 Liespfund, 1 Lies⸗
pfund = 14 gemeine B., 1 Stein = 20 fH., 1 Stein
Flachs hat 20 5., 1 Stein Wolle aber 1II I.

Kleine Gewichte.

1b. Mark. Unzen. Loth. Quentl.

1TI 2 16 32 128
1 2

—

I

⸗ 20% £

Fran
guch
gus
Ger
von

ich
Uth

andelk⸗

Dingete⸗
und kei
migen,
spfund,

Eihff⸗

1 We⸗
,16ni
1 5b.

83
§. 06.
Das Einſatzgewicht.
Beim Waͤgen geringer Dinge bedienen ſich die
Kraͤmer noch einer andern Eintheilung des Pfundes,
auch wol des ſogenannten Einſatzgewichts, welches
aus 9 Gewichten beſteht, und wovon immer ein
Gewicht in das andere geſetzt wird. Es wiegt da⸗
von

eins 16 Loth

— 8 —
— 2 —
— I˖ —
— 2 — oder 2 Quentchen.
— 1 — oder 1 Quentchen.

Von den uͤbrigen 2 Gewichten wiegt jedes ein
halbes Quentchen, macht zuſammen Loth oder
1 Quentchen. Dieſe betragen 31 Loth und 4
entchen, oder was eins iſe, 32 Loth oder

2) Vom Apothekergewichte.

§. 97.
Das Apothekergewicht iſt mit dem Handelsge⸗

wicht einerlei; auſſer daß ein Apothekerpfund nur 24

Loth, alſo eigentlich nur P. des Krämerpfunds

Z enthaͤlt.

Die Eintheilung dabei iſt folgende:
S 2

Drach⸗
Pfund. Unzen. Drach Skrupel Gran.

T 12 96 288 5760

8S 24 480

1 3 60

I 20

Dabei kann man ſich noch folgende Bezeichnun⸗
gen merken, welche die Aerzte auf ihren Rezepten
gebrauchen. “
Zj heißt eine Unze; 3] ein Drachmen; 3 ein
Skrupel; 36 eine halbe Unze; 36 ein halber Drach⸗
men; ein halber Skrupel; M. Manipulus, oder
eine Handvoll; Mß eine halbe Handvoll; P, 5 Fin⸗
ger voll; q, s ſo viel als genug iſt; a, n eins ſo alt als
das andere; f, p ſo viel als mach's zu einem Pulver.

Gold⸗ und Silbergewicht.

§. 98.
Gold und Silber, wie auch Seide und Kameel⸗
haare, Arzneien in den Apotheken, werden in unſerm

Lande, ſo wie in dem groͤßten Theile Teutſchlands

nach den koͤllniſchen Markgewichten gewogen.
Die Eintheilung des koͤllniſchen Pfundgewichts iſt
eben ſo, wie bei unſerm Handelsgewichte, nur iſt
dabei zu beobachten, daß 1 Quentlen in 4 Pfennin⸗
ge, und 1 Pfenninggewicht Koͤllniſch in 17 koͤllniſche
Eſchen, oder 19 hollaͤndiſche Aſſen, oder in 256
Richtpfenninge getheilt wird.
Man bedient ſich aber beim Gold und Silber nur
der koͤllniſchen Mark, welche ½ . Koͤllniſch ausmacht,
und deswegen heißt dies Gewicht das Markgewicht.

earkgewichts.

.-
i ſchent

77?s Ini

S⸗

-EBeirs,s

85

56 CI
rOTr 2I 1
2c 9 SEGI T.
987% 2T Sr 1
Pzor 89 T ,
Sogz EISr Lor
960 b 72 91 I
7 618 80⁹ S 78 7*
E 9☛H 91
⸗1una uaſch
1atav eeeet e. vun
.60 5 3

icht⸗

S. 100.
Welche Gewichte von der obigen Einthei⸗
lung beim Golde, und welche beim
Silber gebraͤuchlich ſind.
Von der obigen Eintheilung des koͤllniſchen
Markgewichts gebraucht man beim Golde: Karate
und Graͤne, und beim Silber: Unzen, Loth, Quen⸗
ten, Pfenninge und Richtpfenningtheile. Zur Ab⸗
waͤgung der goldenen Muͤnzen bedient man ſich vor⸗
zuͤglich der Eſchen. .

. roT.
Feinheit des Goldes.
Die Feinheit eines Stuͤck Goldes oder Silbers
haͤngt von dem groͤßern oder geringern Zuſatze des

in einer koͤllniſchen Mark befindlichen ſchlechtern Me⸗

talls ab.

Das Gold iſt 24 karatig, oder feines Gold,

wenn in der Mark Gold gar kein Zuſatz von frem⸗
den Metalle ſich befindet; 23 karatig, wenn die
Mark 23 Karat feines Gold und 1 Karat Zuſatz
von Silber oder von Silber und Kupfer enthaͤlt.
21 karatig iſt das Gold, wenn in der Mark/ 21
Karat fein Gold, und 3 Karat Zuſatz enthalten ſind.

S. TI02.
Feinheit des Silbers.

Das Silber erhaͤlt nun den Namen 16 loͤthig
oder feines Silber, wenn in der koͤllniſchen Mark

ger

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gar kein Zuſatz iſt; 14 lothig, wenn in der koͤllni⸗
ſchen Mark 14 Loth Silber und 2 Loth Kupfer;
12 lbthig, wenn in der Mark 12 Loth fein Silber
und 4 Loth Kupfer ſich befinden.

J. 103.
Feinheit des Zinns.
Wenn das Zinn verarbeitet werden ſoll, wird
es mit Blei begattet (vermiſcht). Zu einer Anzahl
Pfunde reines Zinns wird immer 1 P5. Blei genom⸗
men. Je mehr Pfunde reines Zinn mit einem Pfund
Blei vermiſcht werden, deſto beſſer wird das Zinn.
Zweipfuͤndig, wenn 1 P5. reines Zinn mit ei⸗
nem [B. Blei vermiſcht iſt.
Dreipfuͤndig, wenn 2 5. reines Zinn mit einem
5. Blei vermiſcht iſt, u. ſ. w.
Das Engliſche iſt das feinſte unter allen andern.
Geſchickte Haͤnde wiſſen beſonders ſolches ſo
zu bearbeiten, daß es dem Silber ziemlich gleich
kommt. Es iſt Topfuͤndig, und ſind alſo 9 5. rei⸗
ges Zinn mit 1 5. Blei vermiſcht.

§S. 104.
Das Edelgeſtein⸗Diamanten⸗ und
Perlengewicht. .D

Das Edelgeſtein⸗Diamanten⸗ und Perlenge⸗
nicht, welches nicht allein in Teutſchland, ſondern
aach aller Orten in Europa gleich iſt, wird nach
Karat zu 4 Graͤn, oder nach Ganzen, Halben, Vier⸗

—

teln, Achteln, Sechzehnteln, Zwei und dreißig⸗ des

ſteln, und vier und ſechzigſteln Karaten gerechnet. ſe
71 ſolcher Karaten circa ſollen 1 Loth kollniſch, 106
1 Karat aber 4 ½ hollaͤndiſche Aß oder 57 ¼ Richt⸗ uftd
pfennigtheile Koͤllniſch tragen. , Schne

V. Maaß der Menge.

J. 105.
Insgemein ſich das Zaͤhlen zu erleichtern, gibt
man oft einer Menge von Dingen einen beſondern
Namen, und verſteht unter
einem großen Tauſend 1200 Stuͤck,
— ordinairen Tauſend 10 ordinairen ode:
1000 Stuͤck,
— groß 12 Dutzend oder 144 Stuͤck,
— dordinairen Hundert 100 Stuͤck,
— Schock 12 Mandeln oder 60 Stuͤck,
— Mandel 15 Stuͤck,
— Stiege 20 Stuͤck,
— Decher 10 auch 20 Stuͤck. 4“

— Diutzend 12 Stuͤck. W
deite
G. 106. N⸗
Der Garnhandel. mnuß
Sowol zum Verweben als auch zum Verkau⸗
fen wird im Wuͤrtembergiſchen (beſonders in denern Eing
Oberaͤmtern Tuͤbingen und Urach) auf Pfund und inde
Schneller Ruͤckſicht genommen. Der Schneller zu ſiget
1000 Faden und der Faden zu 2 Ellen im Umfangt

dreiig⸗
technet.

liniſch,
Niht⸗

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1 der

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89

des Haſpels gerechnet, wornach die meiſten Garn⸗
haͤſpel im Wuͤrtembergiſchen eingerichtet worden ſind.
10 Schneller, wie auch ſo viel Pfund nennt der
Aufkaͤufer einen Bund. Zum Verweben muß der
Schneller 1 Elle 11 Viertel breites Tuch geben.

G. 107.
Der Papierhandel.“
Schreib. Druck⸗
Ballen. Ries. Buch. papier papier
Bogen. Bogen.

1 10 200 4800 5000
1 20 480 500
1 24 25
„D. 108.

Der Blechhandel.

Das Faͤßchen weiße und ſchwarze Bleche hat
ohne Unterſchied 450 Blatten. In Stuttgart aber
verkauft man die weißen Bleche nur 120 Blatten.

Meßing und Kupfer wird dem Centner nach ver⸗

kauft, der Drath aber nach den Nummern.

Noch mehr hieher einſchlagende Sachen ſinde
Ein Wagen Eiſen = 120 H. Nach Huͤttengewicht
in den Herzogl. Eiſenfaktorien, Chriſtophsthal, Ko⸗
nigsbronn und Ludwigsthal rechnen die Arbeiter
107 ½ [5. fuͤr 100 l5. Basler Gewicht. Beim Koh⸗

1

lenmaaß iſt Fuder = 10 Zuͤber, und 1 Zuber =
16 gewoͤhnliche Simri, aber gehaͤuft gemeſſen.
Verrſchaftliche Torfgrube bey Schopfloch, Kirchhei⸗
mer Oberamts.
Maaß der Torfkohlen.
Daſelbſt haͤlt der Zuber 12 und ein halb Simri
Fruchtmeß oder 13 Wannen, und werden die Koh⸗
len der Wanne nach verkauft. Bei der Sindelfin⸗
ger Torfgrube iſt ein aͤhnliches Meß eingefuͤhrt.

S. 100.
Berechnung:

Schiffs⸗—
Laſt. Tonnen.

—

1 20 200⁰

Centner Pfund.

4000

1 100

Kurze Schiffsbeſchreibung.

Ein Kriegsſchiff vom erſten Range iſt 163 Fuß

lang, 44 Fuß breit und 20 ¼½ Fuß tief. Zu deſſen

groͤſſern Seegel gehoͤren 363 Franzdſiſche Ellen Lein⸗
wand und zu allen Seegeln zuſammen genommen,
werden 1404 Ellen erfordert. Das groͤßte Ankertau

iſt 600 Fuß lang, hat 20 Zoll im Umfange, und

wiegt 7772 I5. Ein Anker, der 18 Fuß lang iſt,

wiegt demeiniglich: 5832 f5.

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91
VI. Maaß der Zeit.
J. 110.
Das gemeine Jahr und das Schaltjahr.
Ein gemeines Jahr chriſtlicher Zeitrechnung hat
12 Monate oder 52 Wochen und 1 Tag, oder 365
Tage, oder 8760 Stunden, oder 525600 Minuten.

Ein Schaltjahr hingegen hat 52 Wochen und 2 Ta⸗
ge, oder 366 Tage.

Unſere Erdkugel braucht innerhalb einem Jahre
zu ihrer Reiſe um die Sonne 365 Tage 5 Stunden
48 Minnten, 45 Sekunden und 30 Terzien, oder
beinahe 8766 Stunden. Iſt allgemein bekannt;
nur Unwiſſende glauben noch, daß die Sonne es
ſey, welche dieſe Reiſe um die Erde mache.

Die uͤbrige Zeiteintheilungen koͤnnen in meiner
Chronologie (§. K. 7 — 2. u. ſ. w.) deutlich einge⸗
ſehen werden.

§. III.
Eintheilung der Stunden.
1 Stunde hat 60 Minuten,
1 Minute — 60 Sekunden,
1 Sekunde — 60 Terzien,
1 Terzie — 3 Augenblicke.

—

VII. Maaß des Werths der Dinge.
d. TIIZ.
Die Muͤnze.
Gold und Silber in großen Stangen und Bar⸗
ren gelaſſen, wuͤrden, wegen des zu großen Werths
dieſer Metalle, die allgemeine Bequemlichkeit nicht
verſchaffen, die man doch billig von einem Maaße
des Werths der Dinge erwarten muß, um dadurch

auch den Werth des kleinſten Thells eines Guts be⸗

ſtimmen zu koͤnnen.
Zu dieſem Gebrauche wird daher das Gold mit
dem Silber und Kupfer, und das Silber mit dem

Kupfer legirt, und in groͤßere oder kleinere Stuͤcke

geſtuͤckelt, dann dieſen Stuͤcken eine runde Geſtalt
gegeben, und dem Volk zur Beglaubigung das Bild⸗
niß oder Wappen des Landesherrns, der ſie praͤgen
laſſen, darauf geſtempelt, auch wohl darauf angemerkt,
wie viel ſolcher Stuͤcke auf die feine Mark gehen.
Ein ſolches Stuͤck Gold oder Silber heißt nun
eine Muͤnze, und nur dann, wenn ſie gerade ſo
viel Gold oder Silber enthaͤlt, wie der Landesherr
beſtimmte; wenn der Unterthan mit Ueberzeugung

weiß, wie viel des edlen Metalls er beſitzt, ver⸗

dient eine Muͤnze Geld genannt zu werden.

J. II3.
Erklaͤrung verſchiedener Woͤrter.
Die Vermiſchung des Goldes mit Silber oder des
Silbers mit Kupfer, heißt die Beſchickung des Metalls.

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Geſtalt
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Netals.

93

Die zum Muͤnzen beſchickte Mark Goldes oder
Silbers heißt die rohe Mark. Der Landesherr be⸗
ſtimmt, wie viel Stuͤck aus der rohen oder feinen
Mark Goldes oder Silbers gepraͤgt werden ſollen,
und dieſe Beſtimmung nennt man den Muͤnzfuß.
Die Menge des in einer Muͤnze befindlichen
feinen Goldes oder Silbers wird das Korn, und
ihr Gewicht das Schrot genannt.

G. TII4.
Worauf es bei einer Muͤnze ankomme.
1) Auf ihren innern Werth an Gold oder Sil⸗
ber, 2) auf ihre Schwere, und 3) auf den ihr
von dem Landesherrn beigelegten aͤuſſern Werth.
Um die Koſten fuͤrs Muͤnzen zu erſtatten, pflegt
dieſer aͤuſſere Werth einer Muͤnze den innern Werth
an Gold oder Silber zu uͤbertreffen.

G. II5.
Grundſatz zur Vergleichung der
Muͤnzen.
Je weniger Stuͤcke Geld aus einer feinen Mark
gepraͤgt worden ſind, deſto mehr Silber enthaͤlt je⸗
des Stuͤck, und umgekehrt, je mehr Stuͤcke aus
einer feinen Mark gepraͤgt worden ſind, deſto we⸗
niger Silber enthaͤlt jedes Stuͤck. Im Wuͤrtember⸗
giſchen ſind aus der feinen Mark Silber 18 Gulden,
im Preußiſchen aber 21 Gulden gepraͤgt worden: folg⸗

lich ſind unſere Gelder beſſer als die Preußiſchen; und

es ſind 18 fl. Wuͤrtembergiſch = 21 fl. Preußiſch.

Muͤnzen. Stuttgart.

S. 116.
1 Gulden = 15 Batzen = 60 Kr. = 120
Pfenning = 360 Heller.
In Gold: Ducaten zu 5 Gulden.
Souverains zu 14. Gulden 40 Kr.
Teutſche ganze und halbe Karolins zu 11 Gul⸗
den und zu 5 Gulden 30 Kr.

Teutſche Maxd'or zu 7 Gulden 20 Kr. Halbe

Marxd'or oder Goldgulden zu 3 Gulden 40 Kr.
Frriedrichsd'or, geſetzmaͤßig nach Regenſpurger
Probe, (Preußiſche Muͤnze) Schrot in Aßen 138 95.
Werth im 24 Gulden Fuß 9 Gulden.
Der alte Rußiſche Rubel betraͤgt im Reichs⸗
geld nach dem 24 Gulden Fuß 2 Gulden 6 Kr.;
der halbe Rubel 1 Gulden 3 Kr.; der Viertels⸗
Rubel 311 Kr.; der neue Rubel 1 Gulden 45 Kr.,
der halbe Rubel 52 ¾ Kr.; der Viertls⸗Rubel
26 ¾ Kr.; der alte Viertels⸗Rubel de Anno 1722
und 1761, 292¾ Kr.; der 1 Rubel oder 20 Kopeken⸗

ſtuͤck 194 Kr., 15 dito 12 ¼ Kr., 1o dito 92 Kr.

Dieſe rußiſche Silbermuͤnzſorten haben alle auf dem
Avers das Portrait der Regenten, auf dem Revers
aber den rußiſch⸗kaiſerl. dreifach gekroͤnten doppel⸗
ten Adler, welcher auf der Bruſt einen mit einer
Ordenskette umhaͤngten Wappenſchild hat, worin⸗
nen der Ritter St. Georg iſt. Die neueſten Rubel
hingegen de Anno 1798 haben kein Portrait, ſon⸗

Wirklich gepraͤgte Gold⸗ und Silber⸗

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ſon⸗

95

dern auf deſſen Seiten ein Kreuz formirendes rußi⸗
ſches II. auf welch jedem eine Krone ſtehet, die

Ruͤckſeite hingegen hat ein mit Laubwerk geziertes

Viereck, worinn rußiſche Innſchrift ſtehet. Auch
haben die hollaͤndiſche Albertusthaler einen Werth
nach dem Conventionsthaler 2 Gulden von 2 Gul⸗
den 28 Kr. Die preußiſche Reichsthaler 1 Gld. 42 Kr.
Die polniſche 6 Guldenſtuͤck von 1793 und 1794,
1 Gld. 42 Kr. Dergl. ulde Gulden 72¾ Kr. Dergl.
10 Groſchenſtuͤck 5 K Polniſche und Preußiſche
Groſchenſtuͤck 1 ½ Kr.

S. rIZ.
Spaniſche, Saͤchſiſche, Braunſchweigiſche Dop⸗
piens zu 9 fl. Alte Louisd'or 11 fl. In Silber:
Ganze und halbe Conventionsthaler zu 2 fl. 24 kr.
und halbe 1 fl. 12 kr.
I Franzoͤſiſcher oder Laubthlr. (Federthaler) von
Ao. 1726 — 83 zu 2 fl. 45 kr.; von 1784 — 86 zu
2 fl. 40 kr. Schrot in Aßen 613 ..
Sechs⸗ und Dreibaͤtzner zu 24 und 12 kr. Sech⸗
ſer und Groſchen zu 6 kr. und 3 kr. Ganze und hal⸗
be Kreuzer. Von den Kupfermuͤnzen ſind hier nur
Kreuzer, Pfenninge und Heller im Umlauf.
Alle aus waͤrtige Geldſorten hieher zu ſetzen, wuͤr⸗
de zu viel Raum einnehmen, und mich eben darum
zu weit vom ausgeſteckten Ziel ableiten *).

*) Ein mehreres hievon findet man in Hrn. Ger⸗
hards Handbuche und Cruſens Contoriſten.

——“

Neunter Abſchnitt.

Von der Addition benannter Zahlen.

§.

118.

Wenn Zahlen von verſchiedenen Benennungen zu⸗
ſammengezaͤhlt werden ſollen, ſo ſchreibt man ſie der⸗
geſtalt hin, daß die von einer Benennung in einer
Reihe unter einander ſtehen, mit Ruͤckſicht (§. 33.)

wie ſchon gelehrt worden.

Aufgabe.

x) Ein Kloſtersſchaffner hat in einer halbjäͤhrigen
Rechnungsperiode folgende Ausgaben geleiſtet, z. B.

ſfl. kr. hlr.
im Jenner 25 37 3 6) 12 2 kr.
— Februar 28 10 3 12
— Merz 46 31 T
— April 100 56 2 60) 178]2 fl.
— Mai 189 6 T 120
— Juni 20r 36 2 58
Suma d. Ausgaben 530 1 58 —
Erklaͤrung:

Da 6 hlr. 1 kr. ausmachen, ſo finden ſich in
Dieſe mit 6 getheilt, ma⸗

der Reihe der Heller 12.

chen

chen⸗
ten de
29 k.

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werden

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2.

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20

—

58

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gen

97

chen 2 kr. Dieſe 2 kr. aber werden zu den Einhei⸗

ten der Reihe der kr. gezaͤhlt, welche zuſammen
28 kr. und alſo noch keinen Gulden ausmachen,

darum ſchreibt man 8 beiſeite, die 2 Zehner aber

werden zu den andern Zehnern der Kreuzer gezaͤhlt,
und dieſe gefundene Kreuzer neben die Einheit 8
hingeſchrieben, ſolche mit 60 zu Gulden reduzirt,
giebt 2 fl. und 58 kr. welche man unter die Reihe
der Kreuzer ſchreibt, und die gefundene 2 fl. wer⸗
den zu den uͤbrigen Gulden addirt, ſo wird
die ganze Summe der Ausgaben zum Vorſchein
kommen.

§. 119.
Aufgab e.
2) Bei einem K. K. Feldverpflegungsmagazin wer⸗
den folgende Naturalientransporte uͤbernommen:

Centner. Pfund. Vierling.

An Ochſenfleiſch 380⁰ 13 2
— Kalbfleiſch 3 3 1
— Schweinefleiſch 4 1 3
— Zucker 3 12 1
— Caffe 1 58 —
— RKauchtaback 6 — S
— Schrnupftaback 5 96 2
— Weißmehl 416 3 1
Antwort 819 89 „.

§.

In der erſten Woche:

120.

6 Aufgabe.
3) Wie groß iſt der monatliche Papierverſchluß in
einer Papiermuͤhle, da bei derſelben die Liſte von
irgend einer Wochen ſo ausſiehet?

Ballen Rieß Buch

altem Silber gekauft

2*
*

Mark Loth
41 2
I8 12
23 8
31 —
25 II

èM

36 9 15
199 6 10
132 7 14
86 5 9
Antwort. 452 9 8
S. rzar.
Aufgab e.

4) Bei einem Goldarbeiter wurde eines

Quint.

Antw. 140

2

1

20 48 2

40
8

10 29 2
20

9

Tages an

Fl
eine
ten
in

A

99

Aufgabe.
5 Laut eines Almanachs haͤlt ein Gouverneur in
D in einer Feſtung viermal folgende Belagerungszei⸗
Ufeten ten aus; wie lange brachte dieſer tapfere Held

in allem in der Feſtung zu, wenn es einzeln dieſe
Seiten machte?

Jahr. Wochen. Tag. Stunden.

14812
1 21 5 22
5 2 34 3 10
2912 — 40 1 5
20
3 — 3 15
Antw. 7 45 — 4
ges en

G 2

Zehnter Abſchnitt.
Von
der Subtraction benannter Zahlen.

S. 122.

Wenn eine Groͤße mehrerer Benennungen von ei⸗
ner andern abgezaͤhlt werden ſoll, ſo ſchreibt man
die erſte unter die andere, wie beim Zuſammenzaͤh⸗
len (F. 118.)
2. B. man ſoll 5 Gulden 18 kr. 2 hlr. von 45 fl.
9 kr. 3 hlr. abziehen, ſo ſchreibt man ſie wie folget:
Gulden Kr. Hlr.
45 9 3

5 18 2
39 51 1
Erklaͤrung:

Alsdenn verrichtet man die Abzaͤhlung bei je⸗
der Benennung insbeſondere, wobei man ebenfalls
vom geringern zu dem hoͤhern geht, den Reſt einer
jeden aber herunterſezt.
Wenn irgendwo eine groͤſſere Zahl von einer klei⸗
nern abgezogen werden ſoll, oder wenn von der Benen⸗

nung, wovon man abziehen ſoll, gar nichts vorhanden

iſt: ſo nimmt man 1 von der folgenden hoͤhern Benen⸗
nung zu Huͤlfe, welches ſo viel gilt, als der abzuzie⸗
hender Groͤße darunter begriffen ſind, alsdann kann
man abziehen.

gen
di.
ſhrer
brig
der 4
ſo ſi

nenn

olen.

1 Non e⸗
ibt mon
e
nenzah⸗

hf.
folget:

bei ſe⸗
benfols
eſt eitet

iretki⸗
Venin
honden
Veren⸗
glunzi⸗
un honn

101

Bei den Kreuzern ſollen hier 18 von 9 abgezo⸗
gen werden. Man nimmt deswegen 1 Gulden,
d. i. 60 kr. zu Huͤlfe zu den 9 kr., wodurch man
ihrer 60 erhaͤlt, von welchen die 18 abgezogen, 51
uͤbrig laſſen. Weil nun von der obern Benennung
der 45 fl. zu den Kreuzern 1 fl. entlehnt worden,
ſo ſind's nur noch 44 fl; hievon 5 fl. der untern Be⸗
nennung abgezogen, bleiben uͤbrig 39 fl. 5x kr. 1 hlr.
§. 123.
Aufgabe:

2) Ein Stuͤck Silber wiegt vor dem Brand 30 Mark,

13 Loth und 2 Quentl. Hernach 28 Mark,
15 Loth 2 Quentl. Wie viel iſt an Gewicht
nach Ausbrennung noch uͤbrig geblieben?

Operation:
Mark Loth Quentl.
28 15 2
Antw. 1 Mark 14 Loth —
S. 124.
Aufgabe:

3) Eine meßingene Urne wiegt 29 . — Loth

1½¼ Quentl., die goldene Verzierungen dabei aber
betragen 1 B. 16 Loth 2 ½¼ Quentl.: wie viel iſt
eigentliches Meßing dabei?

Operation:
Pfund Loth Quentl. S,
28 — 1II. 1
2 — 4
1 16 2 ½ 1 — 1
Antw. 26 15 3 ½ 3

C. 125.
Aufgabe:
4) Nach Hrn. Seybolds ephemeriſchen Almanach
(S. den 26. Oſtermonat) fuhr Magelan um die
Erde den 10. Auguſt 1519. von Sevilien weſt⸗
waͤrts ab, und kam bereits 1522. den 7. Septem⸗

ber von Oſten wieder an. Da in ſeinem Schiffs⸗

Journal erſt der 6. September ſtand, (eine na⸗
tuͤrliche Folge der Erdumreiſung weſtwaͤrts, ſo wie
er oſtwaͤrts einen Tag mehr wuͤrde gezaͤhlt ha⸗
ben) wie lange blieb Hr. Magelan aus?

Operation:
Jahr Monat Tag
1522 8 7
1519 7 10
Antw. 3 Jahr — 27 Tage.
S. 126.
Aufgabe:

5) Unſer Durchlauchtigſter Herzog Friederich II.
haben die Anzahl der Hohen im Jahr 1754. den 6.
Nov. in der Welt vermehrt, wie hoch belauft ſich
Hoͤchſtdero Alter bis 1797. den ruſten Maimonat ? 2

Operation:
Jahre Monate Tage .
1797 5 22
1254 — 6

Antw. 43 Jahre 5 Mon. 18 Tage.

der

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Zohe
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SII.
den 6.
ft ſch
gonet?

ro3

Eilfter Abſchnitt.
Von
der Multiplikation benannter Zahlen.

. 127.
Die Vervielfaͤltigung und die Theilung benannter
Zahlen von einer einzigen Benennung, geſchehen
an ſich ſelbſt blos nach den allgemeinen Regeln die⸗
ſer Rechnungsarten. Der Vervielfaͤltiger oder der
Theiler werden als unbenannte Zahlen betrachtet.
Folgende Beiſpiele werden daher keine weitere
Erklaͤrung noͤthig haben.
Aufgabe:
1) 3. B. Man ſoll 6 Klafter 5 Schuh 9 Zoll mit
der Zahl 4 vervielfaͤltigen, was macht die ganze
Summe?
Operation:
Klftr. Schuh Zoll
4 7
Antw. 27 Klft. 4 Sch. 8 Zoll
GG. 129.
Aufgabe:
2) Der Kaufmann Hr. Menet in Daͤzingen beſchreibt
von Frankfurt 4 Faͤßlen mit Oel, wiegt eins ins

104

andere 4 Centn. 65 W. 3 Vierl. Was macht's
im Ganzen am Gewicht?

Operation:
Centner 5. Vierl.
4 65 3

4
18 Centn. 63 5. —

F. 130.
Aufgabe:
Von einer Geſellſchaft Gelehrter der deutſchen
Encyklopaͤdie wird behauptet, daß der Puls bei
einem geſunden Menſchen in einer Minute 70mal
ſchlage, was gibt es fuͤr eine Summe bei einem
Menſchen von 30 Jahren?
6 0 Minuten
7 0
00ο in 1 Stunde

£☛ d

0 in 1I Tag

AH £
O .π °0.

△

3 6 7 9 20°0⏑0°. in 1 Jahr
11I0O37600ο☛°ο0°0ο½° äin 30 Jahren.

Vor

D
eing
men
einen
zer,
und di
nach
ih
Ren
her

—

S. — —

105

machts —,ẽꝰdN

3 woͤlfter Abſchnitt.
Von der Divdiſion benannter Zahlen.

8. I31.
Die Diviſion in benannten Zahlen wird eben ſo
eingerichtet, wie die Multiplikation (F. 127.) d. h.
man bringt die zu dividirende Zahlen vorher unter
einerlei Benennung, und macht die Gulden zu Kreu⸗
zer, die Ruthen zu Schuh, die Schuh zu Zoll u. ſ. w.
und dividirt ſodann nach der gegebenen Regel. Dem⸗
nach werden 5 fl. 20 kr. durch 15 dividirt, wenn
ich die Gulden durch die Multiplikation mit 60 zu
Kreuzer mache, und zu 5 mal 60 die 20 addire,
hernach gewoͤhnlicher maßen mit dividire, als:

utſchen
ſs bei
lonl
enem

300 + 20 = 320 kr. = (15) 300 20 kr.
75

2
Anmerkung.
Sollte ein Quotient herauskommen, der groͤßer waͤ⸗
re als 60: ſo macht man in dieſem Fall durch die
Diviſion die Kreuzer wieder zu Gulden, was
uͤbrig bleibt, ſezt man in die Stelle der Krenzer.
SF. 132.
Aufgabe:
L 2) Auf ein Wuͤrtembergiſches Pfund gehen 20 Con⸗
veentionsthaler, was haͤlt einer an Gewicht?

Operation:

20 3 2 †
2
1

4

=ãᷓ

2
———
8 22 ¾ Quentl.
◻
8

§. 133.
3) Im St. Chriſtophsthal bei Freudenſtadt (im
Wuͤrtembergiſchen) werden im D Durchſchnitte ge⸗
nommen, 3600 Centner Eiſen gegoſſen, und dar⸗
aus gegen 18100 fl. erzielt; wie theuer mag man
wohl den Centner abgeben?
3 6 00 I18IO 5 fl.
I8000
— IT 0o0%%⅓
S 6
6°0%0 1 kr.
3 6 0
2 4 0

6
0 0 ehte.
ſ△

— —

§. 134.
Aufgabe:
4) Es ſollen 834 Gulden in Mard'or zu 7 Gulden
24 kr. bezahlt werden, wie viel hat man dazu
noͤthig?

14

eöt (in
itte ge⸗
nd dar⸗
9 maon ⸗

ulden.
dayn

107

Operation:
8⁸ 3 4
6
4 4 4 5. O. O 4. I I 2 Maxdor.
4 4 4 1“
5 6 4
4 4 4
I 2. O. O
8 8 8
3 1 2
J. 135.

Aufgabe:
5) Die nemliche Summe ſoll mit Laubthaler zu 2 t.
42 kr. bezahlt werden, wie viel braucht man Stuͤcke
dazne

60
102
5. O. O4 % 3 08⁸⅝ Laubthaler.
— I 4. 4. OG
1 2 9% G .
60 71 1 2² Culdet.
I 2 J
2 4 kr.
Anmerkung.

Das iſt das vornehmſte, was von den vier Rech⸗
nungsarten in benannten Zahlen hat vorgetragen
werden koͤnnen; wir werden uns auch hier nicht
laͤnger dabei aufhalten, ſondern jezt die Lehre von
den Bruͤchen vor uns nehmen.
———ʒ—

Dreizehnter Abſchnitt.
Die Lehre von den Bruͤchen.

S. 136.
Erklaͤrung.
Ein Bruch iſt ein Theil 5 oder mehrere Theile eines
Ganzen.
Vorſtellungs
Wenn ſich eine Zahl, als z. B. 9 durch eine
andere als 5, nicht theilen laͤßt, ſo iſt dieſes nur
ſo zu verſtehen, daß ſich der Quotient nicht durch
eine Zahl ausdruͤcken laͤßt, keineswegs aber, daß
es an ſich unmoͤglich ſeie, ſich eine Vorſtellung von
dem Quotienten zu machen.
Man darf ſich nur eine Linie, die 9 Ruthen
lang iſt, vorſtellen, ſo wird wohl niemand zwei⸗
feln, daß es nicht moͤglich ſeyn ſollte, dieſe Linie
in 5 gleiche Theile zu zerſchneiden, und ſich eine
Vorſtellung von der Groͤßt eines ſolchen Theils zu
machen.
§. 137.
Da man ſich nun eine faßliche Vorſtellung von
dem Quotienten, der in ſolchen Faͤllen herauskommt,
obgleich derſelbe keine ganze Zahl iſt, ſo werden wir

hiedur
welche

F
biocher
5 didi
von d
ſeg
welch
chen
nennn
lidend
ute.

dchen

ſle eines

ch ene

ſeſes nin
ir dunh
et, N
lung ten

Nuthen
d zwe⸗
ſſe Aite
ſch ent
heis 1

ng von
fommt,
den i

109

hiedurch auf eine beſondere Art von Zahlen geleitet,
welche Bruͤche (Fragmente) genennet werden.

Fragment heißt in deutſcher Sprache ein abge⸗
brochenes Stuͤck, ein Bruch.

Alſo haben wir in obigem Beiſpiel, wo 0 durch
§ dividirt werden ſollen, eine deutliche Vorſtellung
von dem daher entſpringenden Quotienten, und man
pflegt denſelben auf folgende Art anzuzeigen ,
welcher durch die Worte: fuͤnf Neuntel, ausgeſpro⸗
chen wird. Waͤre er umgekehrt 2, ſo hieße ſelbiger
neun Fuͤnftel, wo die oben geſezte Zahl 9 das Di⸗
vidend, und die unten geſezte Zahl 5 der Divdiſor
waͤre.

G. 138. S
I. Die Eintbeilung der. Bruͤche.
Erklaͤrung.
1) Es giebt aͤchte, oder eigentliche Bruͤche. In
dieſen iſt der Zaͤhler kleiner als der Nenner,
2) Cs giebt unaͤchte Bruͤche. In dieſen iſt der Zaͤh⸗

ler groͤßer als der Nenner, z. B. 2, oder der
Zaͤhler iſt eben ſo groß als der Nenner, . B. 9.

Anmerkung:

Iſt der Zaͤhler ſo s als der Nenner, ſo K er
ein Ganzes, z. B. 1X8.

—

9.
3) Es giebt reine Bruͤche; dieſe haben vor ſich kein
Ganzes; z. B. 2.

4) Es giebt gemiſchte Bruͤche; dieſe haben vor ſich

eine ganze Zahl, z. B. 2 2.

§. r140.
II. Das Verwandeln der Bruͤche.
1) Ueberhaupt.
Erklaͤrung.

a) Wenn man den Zaͤhler und Nenner eines Bruchs

mit einerlei Zahl vervielfaͤltiget, ſo wird der
Bruch in einen andern von gleichem Werthe
verwandelt. Z. B.

Wenn der Zaͤhler und Nenner des Bruchs 2
mi 2 vervielfaͤltiget wird, ſo entſteht der Bruch

„welcher eben ſo viel in ſeinem Werthe iſt

als 3.

b) Wenn der Zaͤhler und Nenner eines Bruchs
durch einerlei Zahl dividirt wird, ſo wird der
Bruch in einen andern von gleichem Werthe
verwandelt: z. B. Wenn man den Zaͤhler und
Nenner ½ durch die Zahl 2 dividirt, ſo entſteht
daraus der Bruch 3 3, welches eben ſo viel iſt
als §.

III

G. 141.
ſßti III. Das Auf heben und Verkleinern
der Bruͤche.
2) Insbeſondere.
tor ſh Erklaͤrung.
Einen Bruch ohne Veraͤnderung des Werths
durch einen kleinern Zaͤhler und Nenner ausdruͤcken,
heißt man einen Bruch aufheben, verkleinern.

he. 1) Das Verfahren. Wenn man einen Bruch auf⸗
heben will, ſo dividire man den Zaͤhler und Nen⸗
ner mit einer ſolchen Zahl, die in beiden aufgeht.
2) Kennzeichen. Die Kennzeichen, woraus man

Bruochs errkennen kann, welche Zahl in dem Zaͤhler und
wird der Nenner aufgeht, ſind dieſe:

a) Die Zahl 2 geht in dem Zaͤhler und Nenner
auf, wenn am Ende ſowol im Zaͤhler als

nge Nenner eine von folgenden Ziffern iſt:
4 .
Btuch 2
te ſi 3
6 .
us 8 z. B. e; 2½ T.
In .V
id der b) Die Zahl 3 geht in dem Zaͤhler und Nen⸗
ethe ner auf, wenn alle Ziffern ſowol im Zaͤhler
Ceruud als in dem Nenner addirt werden, und Z in den
ateet herausgekommenen Summen aufgeht, z. B.
nil it

3454

N

6

112
c) Die Zahl 4 geht in dem Zaͤhler und Nenner
auf, wenn 4 in den zwei Endsziffern ſowol
in dem Zaͤhler als in dem Nenner aufgeht.

3 4 0f4 64 0
3. B. 4 8 8 8 5 8 840

d) 5 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, wenn D
am Ende entweder 5 oder o ſteht. 1
2 3. 8 5
3. B. 3 4 6 0 9) 4
e) Die Zahl 6 geht in dem Zaͤhler und Nenner
auf, wenn die Endziffern gerade ſind, und 3 )
in der Summe aller Zahlen ſowol im Zaͤhler lo⸗
als im Nenner aufgeht.
4 4 3 4 6 0
3. B. 4 8 I06 2
*⁹) Mit der Zahl 7 muß man es mit der Divi⸗
ſion verſuchen. e
veſent
g) Die Zahl 8 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, ſilige
wenn ſolche in den drei Endsziffern aufgeht. ben d
4 89 408 G
3. B. 5 6 5 °0°⏑8 . htn
h) Die Zahl 9 geht auf, wenn alle Ziffern einer nade
Zahl addirt werden, und ſolche in der heraus⸗ dies
kommenden Summe aufgeht.
89IO6 3
3. B. 5%½%1 2 1 G
Wir wollen dieſe gegebene Regeln durch fol⸗ 9) d
gende Beiſpiele naͤher ins Licht ſtellen. ⸗
C. 142.

Manner
1 ſouol

geht.

f, renn

Neyrer

und 3
Zihler

der Dir⸗

fer⸗ Uuf,

alſget⸗

ſtn nme.

. rnl⸗

c ſi⸗

1.

113

D. 142.
Aufgabe.
d6 45 200 1014
1) 8 2) 90⁰ 3 1000 4) 8192.
Aufloͤſung.
6 —
1) d8 4..
D “
5— – — —
2) 900 180 20.
100 2
20 2 — I 5.
3) Iooo 1o 5
4 4 4 4 4
) 1014 — 256 — — 6 — 4 — I1
4 8192 2048 512 128 32 8.
§. 143.

So wenig die Verkleinerung der Bruͤche, ein
weſentliches Stuͤck der Rechenkunſt iſt, ſo gut kommt
ſelbige doch in Rechnungen zu ſtatten. Ueberhaupt
kann der Werth eines Bruches aus ſeiner kleinen
Geſtalt weit eher erkannt oder geſchaͤzt werden.

Wer z. B. weiß ſogleich, daß 144 Gulden ge⸗

rade 45 kr. geben; aber nach der Verkleinerung wird
dies beim erſten Anblick erſichtlich. D

S. 144.
Beiſpiel:
1) Laut einer Bergamtlichen Liſte (von der Alpirſpa⸗
chiſchen Farbmuͤhle) daß vom Jahre 1288 bis

114

1790 von 4 Goldwaͤſchen aus der Eberhardts⸗
Berggrube Kronen (etwa ein Dukaten ſchwe⸗

res Gewicht) zum Muͤnzamte eingeſchickt wor⸗
den; wie ſieht der angehaͤngte Bruch verklei⸗
nert aus:

Operation:

I4 —– —

I18 9 2

4

2) Nach der Bankorechnung (deutſche Encyklopaͤdie)

gehen 66 436 Stuͤck hollaͤndiſche Dukaten auf
eine koͤllniſche Mark; wie laͤßt ſich dieſer Bruch
kleiner ausdruͤcken?
Operation:
436 2 218
45 4 227.
3) Schwerartige Koͤrper machen nach Sulzers Ta⸗
heellen in der erſten Sekunde, wenn ſie frei fal⸗
len, 15 638 rheinlaͤndiſche Schuhe, in der zwo⸗

◻
2 5 . . — 5
ten Sekunde 45 6235, in der dritten 75 † 63 5

u. ſ. w. Kann dieſer Bruch nicht kleiner ausge⸗

druͤckt werden?

Operation:
5 3
625 — 125 —–– 25 — =
Iooo 200 40 8

4) Zu Ende irgend einer Diviſion blieb der Bruch

7 0* — 2 4 8 . 2
144 22 uͤbrig; — man moͤchte ſich gerne uͤberzeu⸗

gen, ob hier ſchlechterdings nicht verkleinert wer⸗

den konnte. Wie hat man die Sache anzufangen?

Dnn d

Reſt n
Dibiſo
tungs⸗
geben

440

hardts⸗
ſchwe⸗

t wor⸗

erklei.

padie
en auf
Bruch

ens Lr
ſtei fil
er zwo⸗
025
700⁰0

gubge⸗

Grich
berzeu⸗
tt wer⸗
nngen

1II5
Operation:
Man dividirt den Nenner mit dem Zaͤhler, und
dann den Zaͤhler durch den Reſt, ſo lange bis kein
Reſt mehr zum Vorſchein kommt, wo dann der lezte
Diviſor, wie oben gelehrt worden, die Verkleine⸗
rungszahl iſt, wenn je eine moͤglich iſt. Fuͤr den ge⸗
gebenen Bruch ſieht die Rechnung ſo aus:

440 4 1I4313 3) rIOT 44041 4
d 2rZ2 44041
— I IOTI „
lalich A40d = m 4
folglich 15513 -

Weil die Diviſion 1 4313 13 zum Quotus gibt.
IIO TI
3303
3303

S. 145.
Iv. Das Einrichten der Brüche.

Erklaͤrung.

Gemwiſchte Bruͤche in unaͤchte reine Bruͤche ver⸗
wandeln, heißt man einen Bruch einrichten.
Die Verfahrungsart.

1) Die ganze Zahl wird mit dem Nenner des Bru⸗
ches vervielfaͤltiget.

2) Der Zaͤhler wird dazu addirt, welchen man mit
einem Queerſtrich von dem Nenner zu unterſchei⸗

H 2

116
den ſucht; z. B. Es ſoll der Bruch 2 eingerich⸗
tet werden, ſo wird 2 mit 8 multiplizirt, und
zu dem Produkt 16 der Zaͤhler 5 addirt, ſo erhaͤlt
man den Bruch 2, welches einerlei iſt mit 2 ¾.

S. 146. 2
v. Die Erfindung eines gemeinſchaftlichen
Nenners.

Bruͤche laſſen ſich nur dann addiren und ſub⸗
trahiren, wenn die Nenner gleich ſind. Denn die
Einheiten muͤſſen bei der Addition und Subtraktion
nach (§. 33. und §. 37.) gleichartig — homogen
ſeyn; oder, was auf eines hinauslaͤuft, ſie muͤſſen
eine gemeinſchaftliche Benennung haben. Da nun

bei Bruͤchen die Einheiten Theile ſind, und weil

die Theile von ihren Nennern die Benennung erhal⸗
ten, ſo kann die Erfindung eines gemeinſchaftlichen
Nenners ſtatt haben, wenn der Nenner derſelben
uͤberall der naͤmliche iſt.

§. 147.
Hauptſatz.
Bruͤche von ungleichen Nennern werden dadurch
zu gleichen Nennern gebracht, wenn Nenner und
Zaͤhler eines jeden Bruchs durch die Nenner der
uͤbrigen Bruͤchen multiplizirt werden, d. i. wenn
man zuerſt ihrer zween, welche man will, mit ein⸗
ander, deren Vielfaches mit dem dritten, das her⸗
auskommende mit dem vierten u. ſ. w. multiplizirt.

1 3
7/4/
det ma

ner 3,
18662
laßt.

dieſen
man
gung
die ein
nwen:

danke
ner o
llein
wenn
itt
Nenn
ſehen
hier
die ſ
9,
und
und 4
ich

ITIZ
eingerich⸗ Wenn man z. B. zu den Bruͤchen 2, F, ,
zirt, und 1, à, m, einen gemeinen Nenner ſucht, ſo fin⸗
ſ eihi det man durch dergleichen Vervielfaͤltigung den Nen⸗
nit 2 ner 3, 9, 8, 3, 4, 6, 12 untereinander die Zahl
186624, welche ſich durch jeden von ihnen theilen
ſſchhn. F. 148.
Man ſieht inzwiſchen leicht, daß, wenn unter
p iſ⸗ dieſen Nennern eine Zahl mehrere male vorkommt,
den d man ihrer doch nur einmal bei dieſer Vervielfaͤlti⸗
eaſtor gung bedarf. Nach welcher Regel man (§. IIZ.)
die eine 3 weglaſſen kann, laͤßt ſich dieſe Methode
niſe anwenden.
Da nun D. 149.
hnd wel Man betrachte die Nenner, und mache in Ge⸗
ng eihe⸗ danken eine Zahl ausfuͤndig, welche durch jeden Nen⸗
eftin ner ohne Reſt dividirt werden kann, und zwar die
derſelben kleinmoͤglichſte. Die Zaͤhler erhaͤlt man dadurch,
wenn jeder Zaͤhler durch jenen Quotienten multipli⸗
zirt wird, welchen die Diviſion des eigentlichen
Nenners in den gemeinſchaftlichen Nenner giebt. ES
ſeyen die Bruͤche (§. 117.) gegeben, ſo laͤßt man
dtrh hier die andere 3, nebſt 4 und 6, als ſolche weg,
7 . die ſchon in der Zahl 12 enthalten ſind, worauf noch
n 9, 8 und 12 übrig bleiben. So laſſen ſich z. B.
a 9 und 12 mit 3 theilen, und geben zu Antheilen 3
ein⸗ und 4, unter denen man aber leztere, weil ſie in der
nit noch vorhandenen 8 enthalten iſt, nach der gegebe⸗

löf. nen Methode weglaſſen kann. So entſteht hier aus

118

Vervielfaͤltigung der 3, 8 und 3, die Zahl 72, wel⸗
che ſich eben ſowohl als 186624 durch alle Nenner
der vorgegebenen Bruͤche theilen laͤßt.

J. 150.

O

Sobald als man den allgemeinen Nenner hat,

iſt es leicht, die Zaͤhler der vorgegebenen Bruͤche

(§. 117.) darnach einzurichten.
Naͤmlich man theilt den ſelben durch den Nen⸗
ner eines jeden Bruches, und multiplizirt jedesmal
den Antheil (Quotienten) mit dem Zaͤhler des Bru⸗
ches. (§. 149.)

6 §. 151.
Wie die Zahlen zu den Verrichtungen dieſes und
des vorigen §. bequemlich zu beſchreiben und zu be⸗
handeln ſeyn, kann man aus den folgenden Bei⸗
ſpielen ſehen.

Die obigen Jruche (G. 147.) werden in d
ſten derſelben in 4, 49, 63, 24, 72, 99, 42,
verwandelt.
Erſtes Beiſpiel F. 147. J. 148.
24 — 48 3) 98 12
. 8 — 40 38
5 9 — 63 24
3 24 — 24 3
4 15 e 72
5 12 — 60
6 — 42

em er⸗

Ate

== Te

pIP= erI eſ

S/

S ſe=

en

2, wel

Nenner

Iner het ,

1 Bliche

den Mer⸗
ſedenal
es Brl⸗

ſes und
d A be⸗
den Vii⸗

den er⸗
10 22

3, 72

119
S. IIS.
— 3) 80101 15
2) 8310
+—43 5
15
4
6
1 2,0
3
360
Zweites Beiſpiel F. 150.
369 )
8 360 45 10 360 36
5 e S 5 165] e
280 225 252
9
12 360 30
3— 216 9 3060 40 3 1
18 252 . 30
1I »„ 360 72 33⁰
72 33 d r e 4
= 192 216 8
15 192

Zu mehrerer Vollkommenheit wollen wir noch
ein Beiſpiel dieſer Art vor uns nehmen.

120

Es ſollen , 2, 3s, und unter einerlei Be⸗
, 5 T 7
nennung gebracht werden. Die Zahl 40 iſt der all⸗
gemeine Nenner, folglich bekommen die neuen Ren⸗

ner die Geſtalt:

5 16 12 1I0
Tr 5 e.
D. 152.
Aber woher weiß ich gerade, daß dieſe oder
jene Zahl der kleinmoͤglichſte Nenner ſei? kann der
angehende Rechner fragen. Hier verweiſe ich ihn
auf das zweite Beiſpiel (§. 151.)

Dier

gleichen
daß n
Euumnmn
Weil de
tet, ſ
Menz

ſerſei De.
der al⸗
nen Nen⸗

Vierzehnter Abſchnitt.
Die vier Rechnung Sarten der Bruͤche.

Bruͤche zu addiren.
8 §F. 13.
nn di —
ich in Die Zuſammenzaͤhlung ſolcher Bruͤche, welche einen
gleichartigen Nenner haben, beſteht blos darinn,
daß man ihre Zaͤhler zuſammenzaͤhlt, und unter ihre
Summe den gemeinſchaftlichen Nenner ſetzt. Denn,
weil der Nenner einerlei Theile des Ganzen bedeu⸗

tet, ſo kann man ſie als Groͤßen einer Art zuſam⸗
menzaͤhlen.

3Z. B.

N— εμ NP R1α.

S

F. 154.
4 Die Zuſammenzaͤhlung gemiſchter Bruͤche wird
verrichtet, wenn erſt die Bruͤche addirt, und dann
die ausgehobenen Ganzen beigezaͤhlt werden.

II. Beiſpiel.

2
2 % 10 20
8 ⅞ 15 — 15
75 9 — 77
12 62 —381 62
90 – 45

ner wirklich theilt.

ſen (F. 124. II. Beiſpiel) die 4.

75 — 12
67 6 — 6
4 S 3 — 15
21 ½ 43
Anmerkung.

Es traͤgt ſich ſowol bei der Zuſammenzaͤhlung als
auch ſonſt in Berechnung der Bruͤche oͤfters zu,
daß der Zaͤhler der herausgebrachten Zahl groͤßer
wird als der Nenner. Man merkt alsdann, daß
unter einem ſolchen uneigentlichen Bruche eine
ganze Zahl verborgen ſei; und man erkennet ſei⸗
nen Werth, wenn man den Zaͤhler durch den Nen⸗

3. B. Da §5 ein Ganzes ausmachen, ſo muͤſ⸗

3 ſo viel Ganze ent⸗

halten, ſo viel mal 18 in 43 thalten ſind.
ſind es 2 mal, und bleiben noch 7 uͤbrig. Daher iſt

Sie

derVen
lekenen

Wirte⸗
besma

rrrebee

teinb⸗

ng e

kels l,

gtßer
n, daß
e ene
net ſiß
den Nen⸗

niſ
ent⸗
Sie
her

123

der Werth des Bruchs 2 ⁄ und die Summe des ge⸗
gebenen Beiſpiels (II.) 23 2.

15.
d. 155.
Aufgabe.

Was betragen die Koſten zur Ausruͤſtung eines
Wirtembergiſchen Landmilizes, da man ſeines Lei⸗
besmontirung ſchaͤzt auf 4 ¾ Rthlr.

Mantel 2 —
Mousquete 5 —
Patrontaſche + —
Sabel 1—
Kuppel 2 —
Gamaſchen — V
Huth „—
Operation:
3 — 8 Ganze.
JYU 4
— 6 2
2 — 9 5
12) 38 3 2 36
3⁰ 15 ½Rthlr.
2
G. I56.
Aufgabe.

Im Gutachter⸗Thal, einem Doͤrfchen Wuͤr⸗
tembergs, an der Graͤnze des Landes, beſtehen die
Bauerſchaften in folgenden Hoͤfen:

124

I LI LI I LI TI I II 1
75⸗ Tr/ 6, 6 6, 6 §S g, S, TZ/, Ta-.

Wie viel ganze Hoͤfe machen ſie zuſammen?

0 —

Operation:

Der abgekuͤrzte Ausdruck waͤre demnach

31½T4 † a = 2 †+ 1 † 3 † à
6= r 1
— 268 + 432 + 216 + 96
576
768
4 3 2
2 I 6
— 264 5 5
20 —
I I 5 2
360
folglich in allem 2 „ Hofe.
d. 157.

Einem Kaufmann wurden 5 Kiſten mit Waa⸗

ren gebracht, dieſe haben auf der Mauth folgendes
an Gewicht gewogen: 75 ¼ I5., 76 ¾ B., 8 ¾ 1.,
9 ½ B., 28 2 I5. Was waͤgen wohl alle 5 Kiſten
zuſammen?

ſtorde
S
Iuf

125
A
,k. 75 1 — ⁶6
70 ¾ — — 9
8 F — — 8
9 5 — — I0
28 ½ —7
12 4 3 .
241 3 6 75 —4 5
V 1
111 8
1, 2
199 ½ .
Aufgabe.
K. 158.

Nach einer Darſtellung des gegenwaͤrtigen Zu⸗
ſtandes des Wuͤrtembergiſchen Militairs betraͤgt der
Sold eines einfachen Officier⸗Perſonals bei einem

33 Infanterie⸗ (und Genie⸗Corps) wenn
1 Obriſt⸗Lieutenant 1200 ¼ Gulden
1 Major— 1000 —
X Kapitain 800 % —
1 Adjutant 400 3à —
1 Lieutenant 400 4. —
1 Auditeur 100 —
DVre 1 Rechnungsfuͤhrer 200 %ℛ —
ſent 1 Feldweibel 180 g
. 1 Korporal 144 F —
15, 1 Tambour⸗Korporal 144 —
Fſen 1 Tambour— 605 —
Antw. 4434 35 fl.

Operation mit Ruͤckſicht (§J. 154. 155.)

I2 60
1680
19890
2 0 I 6
2 I OO⅓
2160
2 2 05

2 2 4 6 4

2520 1I5 5 5 I 6 2 5 fl.
15 320
— 2 3 1

§. 159.
Die Subtraktion gebrochener Zahlen.

Wienn ein Bruch von dem andern, der mit ihm
einen gleichen Nenner hat, ſubtrahirt werden ſoll, ſo
wird der Zaͤhler des andern ſubtrahirt (abgezaͤhlt) und
unter den Reſt der gemeinen Nenner geſetzt. Hier koͤn⸗
nen folgende Beiſpiele die Sache anſchaulich machen.
1) Soll man 4 von ſubtrahiren: ſo zaͤhlt man
4 von 7 ab, da denn der Reſt, folglich der ge⸗
ſuchte Reſt 3 oder iſt.
2) 35 von ., was iſt der Reſt?

von 5 — 9 S
15 — 3

6

eerGA a v

1IO/

2

6
10

— tel.

o

tnfffe

ehtec
athet
ab d
linen

liein

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eins in
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ll z1
uhe

n.
nit itn
ſol, ſ⸗
t) ud
ierkön⸗
cchen.

ſtt nmen

der he

127

23

D
von — 17

17
23

Ungleiche Nenner.
8. 160.
In dieſem Fall werden die Nenner unter einen
gebracht, d. i. man muß ſolche wie beim addiren
vorher in einerlei Natur bringen: das uͤbrige lauft
auf obige (Geſtalt) Operation F. 159. 1) 2) 3)

hinaus.
Erſtes Beiſpiel. Zweites Beiſpiel.
1P. 2 — 22 . 8¾ 1 — 2
3 — 15 57 3 — 3
7 3¾ 4

§. 161.

Soll aber ein groͤßerer Bruch von einem klei⸗
nern ſubtrahirt werden, welches bei dieſem eine gan⸗
ze Zahl vorausſezt: ſo nimmt man von den Ganzen
eins in Geſtalt eines Bruches weg, der mit den an⸗
dern Bruͤchen einen Nenner, folglich auch eben dieſe
Zahl zum Zaͤhler hat, und zaͤhlt es zu dem kleineren
Bruche, alsdann kann man den andern davon ſub⸗
trahiren.

7

Wenn z. B. 7 von 6 ¾ ſubtrahirt werden ſol⸗
len: ſo nimmt man von den 6 Ganzen unter der

—

Geſtalt von 5§ und zaͤhlt es zu den 3, wodurch
entſtehen, von welchen die 75 ſubtrahirt 1 oder 1
uͤbrig laſſen. Von den 6 Ganzen aber muß man das

geborgte 1 wegnehmen, daher ihrer nur 5 bleiben.

3

Erſtes Beiſpiel. Zweites Beiſpiel.
De
6 ₰ Pr % 5 — 5
„7 35
. 3 6 — 1
5 ⅝ 4 12 .
oder 5 . 4 ½b 17
JQ. 162.
Aufgabe.

Es ſollen 3 von 100 ſubtrahirt werden; was
bleibt im Reſt?

12
—

von 100 2 8 — 4
3 2

Antw. 199 tel.

8
3
3
9

Der Grund dieſer Verfahrungsart leuchtet von
ſelbſt ein, wenn man mehrere urſpruͤngliche Benen⸗
nungen damit vergleicht.

G. 163.

1) A
ſchic
ande
viel

S-

) Won

neg

den ſol⸗
lter der
rch I
.(der 1

Uman N046

blebben.
el.

—)

35
1

n, in

Getton
Benen⸗

14

129

§. 163.
AnfgabeZ.
1) Zwei Bauren auf dem Schwarzwalde vertauſchen
ſchicklicher Lage willen, ihre zwei Waͤlder mit ein⸗
ander. Der eine haͤlt 7. 7 Morgen, der andere
7 ¾ Morgen wirklich gepruͤftes Landmeß; um wie
viel iſt der erſtere groͤͤßer als der lezte?

Operation:
23 5 2 — 2 — 1I
èͤ
Antwort: um 1 Morgen.
K. 164.

Aufgabe.
2) Von 13 ¾ Morgen Feldes ſollen 5 †. Morgen
weggemeſſen werden, was bleibt noch uͤbrig? 2

13 2 1 18 — 8
35 — — — —
3 38 60 4⁸
”UM
48 —W 24

Antwort: 8 ¾† Morgen bleiben noch im Reſt.

3) Ein Obriſt⸗Lieutenant bezieht in rußiſchen Dien⸗
ſten jaͤhrlich 915 % Rthlr.; in Oeſterreich hinge⸗
gen 852 ¼ Rthlr. um wie viel iſt der Sold des
eiſten groͤßer?
Oderation:
9 15 7 5— „½= 21
8 52 –

Antw. 6 34 Rthlr.

8 =—

A0

— X.
2
4

R

22

S§. 165.
Aufgabe:

4) Der ſcharfſinnige Archimedes *) gab den Um⸗

kreis eines Schuh hohen Zirkels 22 Fuß an. Lu⸗
dolph von Koͤlln ſezte ihn nach genauerer Unter⸗

ſuchung auf 2½ oder 2 Fuß. Um wie viel

war die erſtere Angabe gegen der leztern gehal⸗

ten zu groß?

Operation:
22 I7
7 350
IIOO
— I 0 9 9
. I 3
Antwort: um Fuß.
F. 166.
Aufgabe.

5) Der bekannte Geograph Hr. Buͤſching ſezt den
Quadratinnhalt von Amerika auf 572110 ¼½ Mei⸗
len, und den von Europa auf 171834 £ Meilen,
um wie viel iſt Amerika groͤßer als Europa?

Operation:
572110 9 — 5–— 54— 40
. 171834. 2 * ² 48
Antw. um 400275 7. ◻ Meil. – 14 1
4 7522 M 34365 24

*) S. meine Geometrie §. 52. u. ſ. f.

De

D

ien Br

Zihlere
Nenne⸗
von be
trachte
O

che mul
ben, ww
ſol.
D

t der
es die
ten
miiſſen
ſe Nn
die erfe
Eng:
und N
ler glbt

en Ge

den Un⸗

n. A.

er luter⸗
Lie
1n geſe⸗

ſezt den
1 Me⸗
elen,
e
wo:

7 13 1
Die Multiplikation gebrochener Zahlen.

F. 167.
Die Multiplikation einer ganzen Zahl durch ei⸗

nen Bruch wird demnach durch Vervielfaͤltigung des

Zaͤhlers mit dem Ganzen, und Beibehaltung des
Nenners verrichtet; deswegen es einerlei iſt, welche
von beiden Zahlen man als den Vervielfaͤltiger be⸗
trachtet.
Oder, wenn Eins eine ſolche Zahl giebet, wel⸗
che multiplizirt wird, was wird die ganze Zahl ge⸗
ben, wodurch man die Vervielfaͤltigung verrichten
ſoll.

es die Verhaͤltniſſe beſtimmen.
Aus dieſem laͤßt ſich herleiten, daß in der zwei⸗
ten Kolumne (Seite) alle Bruͤche geſezt werden
muͤſſen, die multiplizirt werden ſollen; man tilgt
die Nummer mit einem Strich'gen und ſezt ſie in
die erſte Kolumne und verfaͤhrt wie beim Reeſiſchen
Satz; d. i. man vervielfaͤltiget Zaͤhler mit Zaͤhler,

und Nenner mit Nenner. Das Vielfache der Zaͤh⸗

ler gibt den Zaͤhler, und das Vielfache der Nenner,

den Nenner des geſuchten Wielſachen.

§. 168.

1) 3. B. Wenn 4 mit 2 multiplizirt werden ſol⸗

5

len: ſo ſind das zweifache der g£; der dritte

Theil hievon aber 13 iſt die geſuchte Zahl.
J 2

Dieſe Methode, die Fragzahl auszuſorechen,
iſt der Natur der Reeſiſchen Regel gemaͤß, ſo, wie

Vielf.

I

a) 3. B. 12 ¼ mit 7 ¾ was kommt zum Produkt?

5 2 . 61
4
28 14 3 1
6 1
183
20) 1 89I 94 ¾
180
— 9 †
8 0
I I
Anmerkung:

Wie Bruͤche durch ganze Zahlen multiplizirt werden,
iſt bereits ſchon aus F. 167. klar; man richtet ſie,
wie die Beiſpiele 1 und 2 ausſehen, ein, und
verfaͤhrt hernach wie beim Reeſiſchen Satz.
Beiſpiel 3). Ein Forſter fand bei der Pruͤfung ei⸗

nes Klaftermaaßes, daß die Laͤnge nur 5 , die
Hoͤhe 54¾, und die Scheuterlaͤnge 3 ½ Schuh Wuͤr⸗

11

2 ½

Deſe

133

tembergiſches Maaß habe. Wie viel Kabikſchuhe
mag wol ſo ein Klafter halten?
Man findet aber die Kubatur eines Klafters,
wenn man erſt Hoͤhe mit Laͤnge, und dann dieſes
Produkt auch mit der Scheuterlaͤnge multiplizirt.
Operation:
11 5. — 5 9
butt!
2
2 ¼z 5 4 3

„ .
- L9
3 3 3 195

66 e 678 5 102 Kubikfuße.

1 8 5
1 3 2
5 3
Anmerkung.
Dieſes ganze Verfahren iſt die Grundlage von der
nuͤzlichen Berechnung, welche man in Forſtſachen
t werden, machen muß, wenn man die Klafter aus den zu
ſhrt e⸗ ſchlagenden Baͤumen auf einem Schlage beſtim⸗
(t, a N men ſoll. Man nimmt die Staͤmme der Baͤume
als abgekuͤrzte Kegel an, und verfaͤhrt wie oben—
gelehrt worden. Hierauf aber kubirt man ein
6 Klafter, die gewoͤhnlich 3 Ellen (oder 6 Fuß)
ifune breit und hoch geſezt wird, und deren Scheuter 3 ½

Fuß lang ſind. Dieſe, die Elle zu 2 Schuh ge⸗

der Zwiſchenraͤume 14 bis 16 Schuh abgezogen
werden muͤſſen, ſo, daß 92 bis 94 Schuh blei⸗
ben, mit welchen man in den koͤrperlichen Inn⸗
halt des Tannenbaums dividiren muß, um die
Klafterzahl zu bekommen.

J. T170.

4) Ein Erzkuͤbel *) (ein in dem Oberlande uͤbliches

Maaß bei Bergwerken) haͤlt in der Laͤnge 28 7.
Zoll, in der Breite 15 ½ Zoll, und in der Tiefe
7 ¼ Zoll; wie viel Kubikzoll faßt es in ſich? Man
bekommt aber dieſen Innhalt, wenn man Laͤnge,
Hoͤhe und Tiefe durcheinander vervielfaͤltiget.
27
28 28 2 2 §
1
39 ye L36 34 r 7
9
§8
8 5§

1
2 =— 1L55
. 2
6r r2 5 818 72 Kubikzoll.
1 I

32) Iſt eben ſo viel als 2 Simri (Wuͤrtemberger Maaß)
geſtrichen.

rechnet, betraͤgt 108 Kubikſchuh, wovon wegen

hrine

wegen
hgezogen
lh blei⸗
en Jnn⸗
uun die

blichs
nge 29.
et Tief:
2 Man
biuge,
et.

Mirc

135
4) Eln Arbeiter verdient taͤglich ? Gulden, wie hoch
bringt er ſeinen Verdienſt in 56 Tagen?

Operation:

TI 2 18 fl. iſt ſein Verdienſt.
5.2
4 8⁸

4

—

5) Eben ſo laſſen ſich alle Theile aller Arten von
Zahlen finden. Wenn man z. B. 3 von 84 wiſ⸗
ſen wollte, ſo iſt das Verfahren wie oben.

R

4 —

8 4

2,5 2 6 3

136

₰ℳ

6) Ein fuͤrſtliches Bel- Etage (Zimmer) iſt 642¾ Fuß
lang, und 36 3 3 Fuß breit; wie viele Menſchen
koͤnnen darinnen ſtehen, wenn man auf Einen
1 Quadratfuß rechnet?

Operation:

6A 1 9 4

36 4 1 4 7
1 3 5 8
7 7 0
1 9 4

12 2 851 S

2 4

4. 5
3 6
— 9. 1I
8 4

7 8
7 2

—,—

6

—

Antwort: 2376 ¼ Menſchen.

2) Was machen 450 Dukaten zu 5 ¾ f. an ordinai⸗
rer Gelobenennung, das iſt, in Gulden?

9) Eil
halt

f

.

2☚

—

Dibiſi
lf de
gebe n
De
tet den

Eeen

137
42 Fiß Operation:

ſeuſchen 2
(Einen 5 „2 7
4 50 9

2 4 3 fl. iſt die Benennung.

8) Eine Rolle Laubthaler haͤlt 96 Stuͤck, wie viel
haͤlt dies in Gulden, wenn ſie nach dem Geſetz
2¾ fl. gelten?

Operation:
3
2. 4 1 1
H 9 6 4 §
3. 24
4 4
. 2 2
Antwort: 2 6 4 fl.

Die Dioiſion gebrochener Zahlen.

. TII.
Die Anwendung der Reeſiſchen Regel auf die
Diviſion der gebrochenen Zahlen oder Bruͤche kommt
auf den Satz an. Dieſes begreiflich zu machen,
gebe man auf folgendes Achtung.
Der Bruch, der getheilt werden ſoll, wird hin⸗
ter den Vertikalſtrich rechter Hand, und der andere

nei⸗
, gegebene Bruch gegenuͤber linker Hand geſetzt. Die

Verfahrungsart iſt eben diejenige, welche §§.
und 168. u. ſ. w. gezeigt worden iſt.
1) Z. B. Es ſollen 5 mit 3 getheilt werden; was
gibt es zum Antheil?

2) ⅝ in 3, was der Quotient?

Aufloͤſung.

e

—₰
¾
OM

Beiſpiele mit gemiſchten Zahlen.
3) Als: 6 ¾ mit 2 ¼, was kommt zum Antheil?
rx.

=2

. 1. 4) 100 mit 3, was iſt der Antheil?
. Aufloͤſung:
n, was D
49 6
2 ⏑

I 2 O zum Antheil.

5) Wie viel machen 4000 fl. unſers Geldes in franzo⸗
ſiſchen Livres, da bekannt der Liore 1 fl. betraͤgt?

Aufloͤſung.
II 10°0⁸6.
24 2 4
160 00
8
11I 9.6000O 9727 Liores.
88. .
= 8.0
77
et. 3 0
hele 22
—9 O
17
6) Wie viel gibt ein Holzſtamm von 85 Fuß Scheu⸗

terlaͤngen, wenn ſie nach befohlenen Geſetzen
3 ¼ Fuß groß werden ſollen?

Aufloͤſung:

„
7 170% 24¾ Scheuterlaͤngen.
–— 4 4
3.0
2 8
- 2

77) Der dritte Trabant des Jupiters vollendet ſeine

Laufbahn um den Hauptplaneten (wie Keppler
verſichert) in 7 ¼ Tag; wie oft drehet er ſich in
einem vollen Jahre um ſelbigen herum?
Aufloͤſung.
7 5
43 2 190 504 alſo beinahe 5 rmal.
2 1 5 .

— 40 .
8) Der Mond lauft um die Erde in 27 ¼ Tag; wie
oft geſchieht deſſen Wanderung um die Erde in
4 Jahren, oder was eins iſt, in 1460 Tagen?
Aufloͤſung.

53 ½¼ mal in 4 Jahren.

Uen

Probe

i

t ſeine
ſepplt

ſch n

Hunn.

6, i⸗
be in
en!

141

Proben
von den vier Rechnungsarten der Bruͤche.
§. 172.
Addition und Subtraktion dienen einander zur
Probe. .
Bei dem Addiren.

1) Von der Summel aller Bruͤche ſubtrahire man
einen der addirten Bruͤche.

2) Nun addire man auch die uͤbrigen Bruͤche, ſo
muͤſſen jene Reſt und dieſe Summe gleich ſeyn.

3. B. 3 + 4 †+

7 △
8 4 (105
1 5
1 6 9
1IO 5 1 +
Probe:
1) Von der Summe 1. 64: ſubtrahire man 3,
ſo kommt
J1 64. — —
105 3
3 15
192
50°7 (3 I 5
2 10 9
297 33

3 I 5 35

142
2) Nun addire man die uͤbrigen Bruͤche.
5

3 5

0
. e 0 ne

—
1

Da nun dieſe Summe jenem Reſt gleich iſt, ſo
war die Addition richtig.
Bei der Subtraktion:

Man addire den Reſt zu dem Subtrahenten,
ſo muß der Subtrahendus herauskommen.

3. B. — = Probe.
Reſt 34 +
55 (77 — —
374
—— Goz 55 5tel, wel⸗
Reſt 72 847 77 7 ches der
Subtra⸗
hendus
war.

Bei der Multiplikation:
Man dividire das Produkt mit einem der mul⸗
tiplizirten Bruͤche, ſo muß der andere Bruch oder
das Produkt der uͤbrigen Bruͤche als Ondtient her⸗
auskommen. 3. B.

und

it,

nten,

el bel
EGts der
Eubtr⸗
Hendus
Gnt.

e nl⸗
h oder
t het⸗

2 3
3 —2.
6 3
3 2
Probe:
2 3 — — I0
3 5 3 3 9
und
2 5
I= 10
9 6£ 9
3 3

Bei der Diviſion.
Der Quotient mit dem Diviſor multiplizirt muß
den Dividendus geben. Z. B.

Dividend. Diviſ. 1 1è3 Quot.
18 . 20 15 2E 1
18 256 Zs zS S 12
6 4
2
Probe.
5§ 5
Quotient. Diviſor. 19 Divid.
20– 15 15
1 T† 129 2 — 1 g
6 73
————

Juͤnfsehnter Abſchnitt.
Ausziehung der Quadratwurzel.

d. 173.
Das Produkt einer Zahl in ſich ſelbſt, heißt ihr
Qunadrat; das Produkt aus der Zahl in das Qua⸗
drat, der Kubus oder Wuͤrfel; aus dem Kubus in
die Zahl das Biquadrat. Dieſe Produkte und die
auf aͤhnliche Art fortgeſezten nennt man auch Po⸗
tenzen; die Zahl ſelbſt die erſte, das Quadrat die
zweite, den Kubus die dritte u. ſ. w.

Vorſtellung hievon.
3. B. Von der Zahl 8 iſt das Quadrat 64,
denn 8 mal 8 iſt 64. Der Kubus 512, denn 8 mal
64 iſt 512. Das Biquadrat 4096, denn 8 mal 512
iſt 4096. Die Zahl, welche auf dieſe Art in ſich
ſelbſt multiplizirt wird, heißt die Wurzel, die Qua⸗
dratwurzel fuͤr ein Quadrat, die Kubikwurzel fuͤr

u. ſ. w.
Bezeichnung der Quadratzahlen.
S. 174.

—;— Das Quadrat einer Zahl wird durch eine rechts

uͤber dieſelbe geſchriebene Zahl angedeutet. Z. B. 99
will

ein Quadrat, die Kubikwurzel fuͤr einen Kubus,

Wur
Ouc

ſoton
ſch
die
und
n
D

heißt he
das Quu⸗
Fllbus in
jnd die
ch Ye⸗
drat die

rat 64,
n gnel
mal 51

t in ſch
die Oug⸗

Kullt,

6.

ne techtb
B.
tl

145
will heißen, 9 ſei 2 mal ein Faktor, nemlich 9. 9

d. i. 91, daher 9 — LrI.

G. 175.
So lange eine Quadratzahl kleiner iſt als 100,
ſo iſt ihre Wurzel eine einzelne Ziffer, und wird
durch das Einmaleins leicht gefunden. So ſieht man
z. B. leicht, daß die Quadratwurzel der 81 die 9
iſt, weil 9 mal 9 die 81 ausmachen.

. 176
Erhebung in das Quadrat.
Quadrattafel der einfachen Zahlen.
Wurzel 1 2 3 4 5 6 82

Quadrate 1 49 i6 35 36 40 167 l
Eben ſo Letfahet man bei groͤßern Zahlen.
172 7 2 . 4

3. B. 7 2 3 4 = = 4 multiplizirt,

kommt ea = 7234

J. 179.
Das Quadrat eines Bruchs entſteht, wenn man
ſowohl ſeinen Zaͤhler als ſeinen Nenner jeden mit
ſich multiplizirt. Will man alſo aus einem Bruch
die Quadratwurzel ziehen, ſo muß dies aus Zaͤhler
und Nenner beſonders geſchehen, und aus den Wur⸗
zeln ein neuer Bruch gemacht werden. Z. B. die

Quadratwurzel von 29 iſt 2.

K

146

S. 178.
Wenn die vorgegebene Zahl keine vollkommene
Quadratzahl iſt, ſo kann man doch die Wurzel einer ſol⸗
chen Zahl finden, die von ihr um ſo wenig als man will,
oder ſo groß man ſie noͤthig finden wird, unterſchieden
ſei. Man haͤngt nemlich der vorgegebenen Zahl ein
oder etliche paar Nullen an, und betrachtet ſie hernach
als einen Bruch, deſſen Nenner eine 1 mit eben ſo vie⸗
len Nullen waͤre, und aus welchem man die Wurzel zu
ziehen haͤtte. Dieſe Zahlen heißen Irrationalzahlen.

§. 179.
Am bequemſten laͤßt ſich dieſes durch die De⸗
zimalbruͤche ausfuͤhren, welche den Werth einer ſol⸗
chen ſo nahe als man haben will, auseinander ſetzen,
welche Rechnung das Ausziehen der Wurzeln durch
Naͤherung genannt wird.
S. I180.
Wenn die Quadratwurzel einer ganzen Zahl
nicht durch eine gefunden wird: ſo laͤßt ſie ſich auch
durch Dezimalbruͤche nie vollkommen finden. Denn
man merkt leicht, daß ein Bruch mit einem Bruche
vervielfaͤltiget, auch wieder einen Bruch hervorbrin⸗

geen muß.

Ausziehung der Quadratwurzel.
S. 192.
Aufgabe.

Soll man aus 746496 die Quadratwurzel fin⸗
den, ſo zieht man jene Theile nach der Ordnung in
ihren Stellen ab.

147

Quadrat Wurzel
Unnnen 7 ½ 64½ 96 S α½†
nerſol⸗ 6 4
dan wil,
tſchieden 166 5 9 5
lldin —
ehennh 68 96
enſetit 1724 68906
Purzelzt 0
ſen Aufloͤſung.

e De 2) Man ſchneidet von der gegebenen Zahl, ſo oft
ſe De.

es angeht, von der rechten gegen die linke zu zwo
ſet ſol⸗ Ziffern ab, und zieht hinter dieſelbe einen Strich
ſegen, wie bei der Diviſion.
n dur b) Alsdenn ſucht man unter dem Einmaleins enthal⸗
tenen Quadraten dasjenige aus, welches der in
t der erſten Abtheilung befindlichen Zahl (74) am
n naͤchſten kommt, zieht es von derſelben ab; ſeine
ſch n Wurzel aber ſezt man, als den erſten Theil der
W geſuchten Wurzel, hinter den Strich. Zu dem
nie Reſt (10) ſezt man die Ziffern (64) der folgen⸗

den Abtheilungen.

c) Hierauf verdoppelt man den gefundenen Theil
(8) der Wurzel, theilt mit dem Vielfachen (16)
die Zahl (106), welche die erſte (6) der dazu
genommenen Ziffern mit dem Reſte (10) macht,
r⸗ und ſezt den Antheil (6) nicht nur hinter den
Strich als einen neuen Theil der geſuchten Wur⸗
nung zel, ſondern auch neben den Theiler zur rechten.
K· 2

148

d) Die hiedurch entſtehende Zahl (166) vervielfaͤl⸗

tiget man mit dem Antheile, zaͤhlet das Vielfa⸗
che (996) von dem vorgenommenen Theile (1064)
der Quadratwurzel ab, und ſezt den Reſt (68)
herunter.
e) Hat die vorgegebene Zahl noch mehrere Ziffern,
ſo ſezt man die folgende Abtheilung (96) neben
den Reſt; verdoppelt den ganzen gefundenen Theil
der Wurzel (86), und wendet die gegebene Re⸗
geln (od und e) ſo lange an, bis man alle Ab⸗
theilungen durchgegangen iſt.
Wir fuͤgen noch ein zweites Beiſpiel bei.

5 2 0 7 5 6 7234

3 3

38 3 3
(4) 2
2 8 4

4 9 0°272
(1 4 4) 3
4 3 2 9

5 7 8 5 6
(x 4 4 6) 4
5 7 8 5 0

G. 183.
Wenn nach dieſer Verrichtung von der vorge⸗

gebenen Zahl nichts uͤbrig bleibt, ſo hat man ihre

Ouat
mas,
Uige .
65 kei
get d

zuzie

1N
gen
ſuc

Murz

Dugk
Kyl

ee

lle⸗

ſul
ſ

ielfil⸗
Wielfa⸗
(104)
1(68)

Iffen,
6) Ne
jen Del

hene Rt.

ale A⸗

oorge⸗

non ir

149
Quadratwurzel richtig gefunden. Bleibt aber et⸗
was, ſo kann man durchaus ſchließen, daß dieſel⸗
bige keine vollkommene Quadratzahl iſt, oder, daß
es keine Zahl gibt, die mit ſich ſelbſt vervielfaͤlti⸗
get die gegebene hervorbringt.

Ausziehung der Kubikwurzel.

F. 184.
Aufg a b e.
Aus einer gegebenen Zahl die Kubikwurzel aus⸗
zuziehen.
Aufloͤſung.

381]Nτ88 r25 7

2) Man theile die gegebene Zahl von der rechten ge⸗

gen die linke in Klaſſen, jede zu 3 Ziffern, und
ſuche (in dem hier entworfenen Kubiktaͤfelchen)

Wurzel 12 3 45 6 27 18 90„ I0
Quadr. 14—9IO 25 306 9 64 8SI 1I00
Kubik 1I[ Z27 64 [125 216 343 512 729 1000

die Kubikwurzel der Klaſſen 38r oder die naͤchſte
kleinere Kubikzahl 343, ſo bekommt man 7. Dieſe
7 nenne man den erſten Theil der Wurzel und
ſubtrahire ſeinen Kubum 343 von der erſten Klaſſe,

ſo bleiben 38.
ðèG
3 4 1
8 07 8 7
42
242
3
147

2) Zu dem Reſt 38 nehme man eine neue Klaſſe
(078 herunter. Den Diviſor zu erhalten, nehme
man das Quadrat des erſten Theils 7 .7 = 49
dreifach, d. i. 3. 49 = 147, und ſchreibe dieſes
Produkt alſo unter, daß die Stellen unter den
beiden lezten Ziffern leer bleiben.
3) Man dividire 1 in 3 zu 2 mal, und ſchreibe 2
als den zweiten Theil der Wurzel hinter den er⸗
ſten 7.
Nun muß man 3 Reihen berechnen.
3 ⁸ 1 ſo7 8 2 5 7 2
3 4 3
3 8 0°7,8
(T 4 7)
2

00 ◻ +£
W£△☚ £☚

3 °2 4 8
7 830
Die erſte Reihe kommt, wenn man den Divi⸗
ſor 147, mit dem gefundenen zweiten Theil, 2,
multiplizirt.
2. 147 =— 294.
Die zweite Reihe: wenn man den erſten Theil
7 dreifach nimmt, 3.7 — 2²1, und mit dem Qua⸗
drat des zweiten 2. 2 = 4 multiplizirt, ſo hat
man 984, welche um eine Stelle mehr rechts unter⸗
ſchrieben wird.
Die dritte Reihe iſt der Kubus des zweiten

Theils 2 .2 = 8, welcher um eine Stelle mehr

vechts unterſchrieben wird.

4

Gunn,

93
ſern

ds
dre
ter
den

der
Nr⸗

1I5 ½

ſe Klaſe Dieſe 3 Reihen addire man, und ſubtrahire die
„ lehme Summe 30248 von 38078, ſo bleiben 7830.
12 3 5 ˙7 8r 25 7a5
be dieſe⸗ 3 4 3
Unler det 72
3 8 0°7 8
(1 47) 2
ſhriben 2 9 4 So4
t den e⸗ 8 4 iIS4
8 3
3 2 4 8 15552
7 830° 1 2 5
(X 5 5 5 2)
7 7 7 6 O
5 4 Oο°
I 2 5
7 8 30I 2 5
—
Dit 4) Zu dem Reſt nehme man eine neue Klaſſe, 125,
: herunter 2: nenne 72 den erſten Theil.
/
hi, Den Diviſor zu erhalten, nehme man wie 2.
das Quadrat des erſten Theils 72: 72 = 5184
“ dreifach, ſo hat man 15552, welche Zahl alſo un⸗
rd terſchrieben werden muß, daß die Nullen unter
n den beiden lezten Zahlen leer bleiben.
ht .
rer Nun heißt es: 1 in 7 zu 5 mal, 5 heißt jezt
7

der 2te Theil der Wurzel, und man muß wie in
Nro. 3) drei Reihen berechnen und ihre Summe

ce
hit ſubtrahiren u. ſ. w.

le ni⸗

Sechszehnter Abſchnitt.

Zwelte Abtheilung der Rechenkunſt.

Vo
Verhaͤltniſſen und Proportionen.

.

S. 185.

Ein Verhaͤltniß iſt eine Verknuͤpfung zweier Groſ⸗

ſen, in Abſicht auf die Zuſammenſetzung der einen
aus den gleichen Theilen der andern. Man gibt
der einen Größe irgend eine Anzahl gleiche Thei⸗
le, und ſtellt ſich die andere als eine Vielheit eben

diieſer gleichen Theile vor. Die Menge der gleichen

Theile in der erſten iſt willkuͤhrlich. Daher kann
das Verhaͤltniß derſelben zwei Groͤßen auf unzaͤhlich
viele Arten in Zahlen dargeſtellt werden, ſo wie
auch ein Paar anderer, von jenen ganz verſchiede⸗
nen Groͤßen, wenn jene naͤmlich in Abſicht auf die

Menge der gleichen Theile mit dieſen uͤbereinſtim⸗

men. Es kommt alſo bei einem Verhaͤltniſſe nicht
auf die Groͤße der Glieder an und fuͤr ſich betrach⸗

tet, oder auf die abſolute an, ſondern auf ihre ver⸗

gleichungsmaͤßige oder relative Groͤße.

6

deren
Theil
zwo.
dieſe
wuͤrd
laſſen
Großea
gllf zu
terſuch
andere
mehr i
trakti
holtn

Thei
hetro
h

gek

iind
zwe

ae

153

J. 196.
Jede Zahl enthaͤlt einen Begriff eines Verhaͤlt⸗
niſſes, naͤmlich in Beziehung auf die Einheit, durch
deren Wiederholung ſie entſteht, oder aus deren
Theilen ſie zuſammengeſezt wird. Es werden alſo
lunf⸗ zwo Zahlen zu einem Verhaͤltniß erfordert, und
dieſe muͤſſen von einer Art ſeyn. Zwei Ruthen
wuͤrden ſich alſo mit 4 Stunden nicht vergleichen
laſſen. Da man aber dieſe Zahlen in Anſehung der
en. Groͤße miteinander vergleichen ſoll, ſo kann dieſes
auf zweierlei Art geſchehen. Erſtens kann man un⸗
terſuchen: wie viel Einheiten die eine mehr als die
andere hat; z. B. ich ſuche, wie viele Einheiten
mehr in 9 ſeyen als in 3, ſo finde ich durch Sub⸗
Gaͤ⸗ traktion 6, und kenne nun das arithmetiſche Ver⸗
te haͤltniß von 9 zu 3.
n got §. 187.
Ter Unterſucht man aber, wie viel eine Zahl oder
it eben Theile von ihr in einer andern enthalten ſeyen, ſo
heichen betrachtet man das geometriſche Verhaͤltniß beider
hhmm Zahlen.
gahecch 3. B. ich ſuche, wie vielmal 3 in 9 oder um⸗
ſ ne gekehrt, welcher Theil von 9 in 3 enthalten ſey, ſo
ſhile. findet ſich's durch die Diviſion im erſten Fall 3 mal, im
Cif e zweiten 3 oder 3.
fin⸗ §. 188.
D Die zwo Zahlen, woraus ein Verhaͤltniß be⸗
euer ſteht, nennt man die Glieder des Verhaͤltniſſes

(termini rationis). Ein Glied, welches man als

154

das erſte anſiehet, wird das vorhergehende (termi⸗

nus antecedens), und das andere, das folgende

(consequens) genannt. Es iſt aber willkuͤhrlich,

welches von beiden man als das vorhergehende Glied
annimmt.

Anmerkung.

Wenn das Wort Verhaͤltniß, ohne eines von den

Beiwoͤrtern arithmetiſch oder geometriſch hinzuzu⸗

fuͤgen, geſezt wird, ſo pflegt man allemal das

geometriſche Verhaͤltniß zu verſtehen; weil unſere
Alten nur geometriſche Verhaͤltniſſe betrachtet ha⸗
ben, und dieſelbe ſchlechthin Verhaͤltniſſe nannten.

§. 189.
Zwei arithmetiſche Verhaͤltniſſe ſind gleich,
wenn die vorhergehenden Glieder um dieſelbe Groͤße
vermehrt oder vermindert, die nachfolgenden Glie⸗
der geben. Z. B. 20 — 8 und 10 — 4.

§. 100.
Zwei gleiche arithmetiſche Verhaͤltniſſe geben eine
arithmetiſche Proportion, welche ihrer Natur zufol⸗

ge ſo bezeichnet wird: 8 — 20 – 4 — 16. Das

erſte und vierte Glied heiſſen die beiden aͤuſſern, d die
andern die mittlern Glieder.

Bezeichnung.

§. 191.
Zu Bezeichnung des arithmetiſchen Verhaͤltniſ⸗
ſes bediente man ſich des Zeichens der Subtraktion:

Eum
deepr
ſr haͤt
der d

ſche,
Honn
abze
dn
gen

Pt

Net
i

(tem.
Ulgende
ihrüch,
de Gen

Pe a

hirurer⸗
mal dos
unſete
tet hi⸗
hunten.

eGrigt
en Ge⸗

eneine
zufet⸗
D
, de⸗

ltrſ⸗

hktion:

155
z. B. 16— 4 will heiſſen, man betrachtet die Zah⸗
len 16 und 4 in ihrem arithmetiſchen Verhaͤltniß.

Zu Bezeichnung des geometriſchen Verhaͤltniſſes
wird das Diviſionszeichen gebraucht. 3. B. 16 zu
4, oder 16:4 will heiſſen, man betrachte 16 und 4
in ihrem geometriſchen Verhaͤltniß.

§. 192.
In der Proportion 8 — 20 =– 4 — 16 iſt 20
+ 4 – 16 + 8, beidemal daſſelbe, naͤmlich die
Summe der aͤuſſern und mittlern Glieder. Waͤre
die Proportion ſo geſchrieben, 20 — 8 = 16 — 4,
ſo haͤtte man 20 + 4 = 8⁸ + 16, beidemal wie⸗
der die Summe der aͤuſſern und mittlern Glieder.

§. 193.
Aus den drei erſten Gliedern einer arithmeti⸗
ſchen Proportion erhaͤlt man das vierte, wenn man
von der Summe des zweiten und dritten das erſte
abzieht. Sind die beiden mittlern Glieder einander

gleich, ſo heißt die Proportion eine zuſammenhaͤn⸗
gende oder ſtetige, z. B. 6 — 9 =– 9 — 12.

§. 194.

In einer zuſammenhaͤngenden arithmetiſchen
Proportion iſt das mittlere Glied die halbe Summe
der beiden aͤußern. Alſo findet man es gleich durch
die Halbirung der Summe der beiden aͤußern, wenn

dieſe gegeben ſind.

SF. 195.
Das arithmetiſche Mittel von zwei oder meh⸗
rern Zahlen iſt die Summe aller, dividirt durch die
Anzahl derſelben. Als: von 110, 104, 1I16, 98
iſt das arithmetiſche Mittel 428 dividirt durch 4,
d. i. 107. Dieſes kommt haͤufig vor, z. B. wenn
man den Ertrag eines Gutes aus dem Durchſchnitte
der Ertrage mehrerer Jahre berechnet, oder die An⸗
zahl der jaͤhrlich Gebohrnen, Sterbenden und Ge⸗
trauten an einem Orte nach der Mittelzahl angibt.

Geometriſche Verhaͤltniſſe ſind gleich, wenn
das folgende Glied jedes Verhaͤltniſſes aus dem vor⸗
hergehenden durch die Multiplikation mit derſelben
Zahl, ganzen oder gebrochenen entſteht, oder wenn

die Exponenten gleich ſind. So ſind gleich die Ver⸗

haͤltniſſe 12: 4 und 15: 5, desgleichen 8: 14
und 12: 21.

F. 197.
Zwei gleiche geometriſche Verhaͤltniſſe gebeu eine
geometriſche Proportion, welche uͤberhaupt bezeich⸗
net wird, wie 8: 14 = 12: 21. Die vier Groͤ⸗
en in der Ordnung, wie ſie ſtehen, heiſſen pro⸗
portionale. Man ſpricht die geometriſche Propor⸗
tion gewoͤhnlich ſo aus: 8 verhaͤlt ſich zu 14, wie
12 zu 21. Das erſte und vierte Glied heiſſen auch

hier die beiden aͤuſſern, das zweite und dritte die
beiden mittlern Glieder. Sind die beiden mittlern

Glit
ſainnn
De h
tiiche

Aut

ſſt ei
Glied

din
der 8

5

euth

Vrn
des
Den
Zah

gen

vela
lere

mehe
ch die

rch,,
benn
ſchnite⸗
die Au
nd Ge⸗
ngibt.

wenn
ww vol⸗
etſelben

Wenn

he Ver⸗
9114

eine
bheſch
Git⸗
1 Pi⸗
orot⸗
tuch
re de
ſttlern

16, 99

157¾

Glieder einander gleich, ſo iſt die Proportion eine zu⸗
ſammenhaͤngende oder ſtetige, wie 8: 12 = 12: 18.
Die beiden mittlern heiſſen jedes die mittlere geome⸗
triſche Proportionalzahl zwiſchen den beiden aͤuſſern.

§. 198.
Quotient eines geometriſchen Verkhaͤlt⸗
niſſes. .

Der Quotient eines geometriſchen Verhaͤltniſſes
iſt eine Zahl, welche angibt, wie vielmal das eine
Glied in dem andern enthalten ſeye.

Z. B. von 8: 16 iſt 2 der Quotient, zveil amal
8 in 16 enthalten iſt. Von 8: 16 iſt *o.oder
der Quotient, weil der zweite Theil von 16 in 2
enthalten iſt.

K. 199.
Hauptſatz.
Der Quotient eines Verhaͤltniſſes iſt einem
Bruch gleich, welcher zum Zaͤhler das eine Glied
des Verhaͤltniſſes, zum Nenner das andere hat.
Den Beweis zu fuͤhren iſt leicht; man verkange die
Zahl zu wiſſen, welche anzeige, auf was Art 7 in
9 enthalten ſey, d. i. wie man 7 nehmen oder mit
welcher Zahl man multipliziren muͤße, damit 9
herauskomme.

158
Anwendung der Regel Detri mit benann⸗
ten Zahlen.

L. 200.
Im gemeinen Leben kommen unendlich viele

Faͤlle vor, da man zu drei gegebenen Zahlen die 4te

Proportionalzahl wiſſen muß.
Das Verfahren, das 4te Glied zu finden, iſt

daſſelbe, wie bei dem ordentlichen Verhaͤltniſſe. Nur

die Stellung der Groͤßen macht den Unterſchied aus.
J. 201.
Unſere alten Rechenmeiſter pflegten die mit der
geſuchten Groͤße gleichnamige in die Mitte zu ſetzen.
Sie muͤßte richtiger, das dritte Glied ſeyn. Hieran
iſt inzwiſchen nichts gelegen, wenn man nur das
mechaniſche Anſetzen, nach den Ausdruͤcken der Fra⸗
ge, ſich nicht verfuͤhren laͤſſet; ein umgekehrtes
Verhaͤltniß als ein ordentliches anzuſetzen, oder eine
Proportion anzunehmen, wo keine ſtatt findet.

Regel Detri mit benannten Zahlen.
d. 202.
Aufgabe.
Zu drei gegebenen benannten Zahlen die 4te
Proportionalzahl zu finden.
Auflbſung.
Man unterſuche, ob die gegebene Dinge in
geraden oder verkehrten Verhaͤltniß ſtehen; welches

leicht
eines
ander

den
Weit
der

hant⸗

ih viee
die ſte

den,

e. Nut
ed le.

iſt der
ſetzen.
Hieran
ue dos
er Fre⸗
kkehrtes
et eine
t.

en.

Ne ℳ

ige in
velches

159

leicht daraus zu erkennen iſt, wenn man annimmt,
eines von beiden vermehre ſich, und aufmerkt, ob das

andere ſich auch vermehre oder ob es abnehme.

A. Der Anſatz.
a) Man bezeichnet die unbekannte Zahl mit ei⸗
nem?, (Interrogationspunkt) und ſetze ? zur
rechten.

b) Man ſetze die Fragzahl um eine Stelle weiter
zur linken.

0) Diejenige Zahl, welche mit der Fragzahl einer⸗
lei Namen hat, ſetze man an den erſten Platz.
4d) Diejenige Zahl, welche mit? einerlei Namen
hat, ſetze man an den zweiten Platz.
e) Zwiſchen dem erſten und zweiten Gliede, wie
auch zwiſchen dem dritten und vierten Gliede
ſetze man das Diviſionszeichen (:), in die Mitte
aber ſetze man das Gleichheitszeichen (=—).

Z. B. Wenn 5 fH. Garn 3 fl. koſten, wie viel
Gulden koſten 12 f5 ²

Aufloͤſung.
I5. fl. IB. fl.
5 3 — 12 7 2

Man ſieht, daß die unbekannte Anzahl Gul⸗
den zur rechten, die Fragzahl 12 fB. um eine Stelle
weiter zur linken ſtehe; das erſte Glied 5 15 iſt mit

der Fragzahl 12 I5, und das zweite Glied 3 fl. iſt

mit dem vierten Glied? gleichnamig.

§. 203.
B. Kennzeichen.
IJ. Kennzeichen der geraden Regel Detri.
1) Man ſetze die Fragzahl in Gedanken groͤßer.
2) Wenn man ſodann vorſieht, daß das vierte
Glied auch groͤßer werden muͤßte . ſo gehoret
das Beiſpiel zur geraden Regel Detri. 3. B.
Wenn 4 Ellen 5 fl. koſten, wie viel Gulden
koſten 20 Ellen?
Dies Beiſpiel gehort zu der geraden Regel Detri.

Ellen. fl. Ellen.
4 : 5 — 20 : à2
Wenn man anſtatt der Fragzahl 20 Ellen, 30
ſetzet, ſo ſieht man leicht, daß 30 Ellen mehr koſten
wuͤrden, als 20, daher gehoret dies Beiſpiel zur
geraden (einfachen) Regel Detri. .

Detri.
a) Man ſetze die Fragzahl in Gedanken groͤßer.
b) Weil man ſodann vorſieht, daß das vierte
Glied kleiner werden muͤßte, ſo gehoͤrt das
Beiſpiel zur umgekehrten Regel Detri. 3. B.
§5 Arbeiter verfertigen eine Arbeit in 11 Ta⸗
gen, wie viele Tage werden 3 Arbeiter brau⸗
chen, das naͤmliche Geſchaͤft zu verfertigen.

Arbeiter. Tage. Arbeiter. .

5 . zI — 3 : 2

II. Kennzeichen der umgekehrten Reget

ſieht
heit in
her ge

De N

—

6 dun

Detti.
geoher.
das bete
ſo ganer
el Guden

Detri.

Clen,
ehr boen
eſpiel z

Regel

guͤtt.
dos biet⸗
chitt N
. 3
rI u⸗
er bral⸗
nthen.

NN

161

Man ſetze anſtatt 3 Arbeiter 20 Arbeiter, ſo
ſieht man leicht, daß 20 Arbeiter die naͤmliche Ar⸗
beit in wenigern Tagen fertig machen wuͤrden; da⸗
her gehoͤrt dies Beiſpiel zur umgekehrten Regel Detri.

O. 204.
C. Verfahren.
I. Bei der geraden Regel Detri.
a) Mit ganzen Zahlen.

1) Man multiplizire die zwei mittlere Glieder
mit einander. S .

2) Dann dividire man das Produkt durch das
erſte Glied, ſo erhaͤlt man die Antwort.⸗
Z. B. 5 15 koſten 3 fl., was koſten 12 152

Die Rechnung ſieht ſo aus:
B. fl. W5. (.
5 3 — 12 2
5 36
135

1

7 – fl.

Da iſt 3 mit 12 multiplizirt, und das Produkt
36 durch 5 dividirt worden. .
peo) Mit Bruͤchen.
1) Wenn das erſte Glied ein Bruch iſt.
a) Man multiplizire entweder das zweite oder
das dritte Glied mit dem Nenner des Bruches.
2

162

b) den Nenner laſſe weg.
c) Man verfahre wie im erſten Falle.
3. B. Wenn 2½ Elle 3 fl. koſtet, was koſten
40 Ellen?
Elle. fl. Ellen. fl.
. 3 40 2
1 6 4 0 2

Man ſieht, daß der Nenner 2 weggelaſſen, und
das zweite Glied 3 mit 2 multiplizirt iſt. Daher
iſt ? gleich 240 fl.
2) Wenn das zweite Glied ein Bruch iſt.
a) Man multiplizire das erſte Glied mit dem
Nenner.
b) Man laſſe den Nenner weg.
c) Sodann verfahre man wie im erſten Falle.
3. B. Wenn 3 15. Farbe 7 fl. koſten, wie viel
W. kauft man von der naͤmlichen Farbe um 168 fl.

Aufloͤſung .
f. P. fl.
7: à — 168:2
56 : 3 = 168: 2

Man ſieht, daß der Nenner 8 weggelaſſen, und
das erſte Glied 7 mit 8 multiplizirt iſt.
3) Wenn das dritte Glied ein Bruch iſt.
a) Man multiplizire das erſte Glied durch den
Nennner.
b) Sodann laͤßt man den Nenner weg.
c) Man verfaͤhrt wie im erſten Falle.

3
nich d

koſten

n, nnd
Deen

ſt dem

en Fale.
nietel
106 1

163

3. B. Wenn 9 Ellen 168 fl. koſten, was koſtet
nach dieſem Einkauf 3 Ellen?

Ellen. fl. Ellen. fl.
2

9 168— 3 :
7 2 168— 3 : 2
Antwort ?2 – 7 Gulden.

4) Wenn das erſte und zweite Glied Bruͤche ſind.
a) Man muͤltiplizire den Zaͤhler des erſten Bru⸗
ches mit dem Nenner des zweiten, und den
Zaͤhler des zweiten mit dem Nenner des er⸗
ſten Bruches.
b) Man laſſe den Nenner weg.
3. B. 2 Ellen koſten 2 fl., wie hoch im Preis
kommen 7 Ellen?

Aufloͤſung.
Ellen. fl. L
3: * — 27: 2 Hier iſt der Zaͤhler
18: 20 — 7: 2 3 nindenr agier
— und der Zaͤhler
Antwort ? = 7 ⅞ fl. zmit dem Nenner

multiplizirt.

3) Wenn das erſte und dritte Glied Bruͤche ſind.
a) Man multiplizire das zweite Glied mit dem
Renner des erſten, und den Zaͤhler des er⸗
ſten Gliedes mit dem Nenner des dritten
Gliedes.
b) Man laſſe den Nenner weg.
c) Man verfahre wie im erſten Falle.
L 2

Aufgabe.

Wenn 2 Zentner 8 fl. koſten, was koſten nach
dieſem Ankauf 2 Zentner?

Zentner. fl. Zentner. fl
2 . — 4 . 2
3 . 8 — 2 2 2
1r4 : 24 — 4 : 2
Antwort? — 6” fl.
Erklaͤrung.

Hier iſt das erſte Glied 8 mit dem Nenner 3,
und der Zaͤhler des zweiten Gliedes 2, mit dem
Nenner des dritten Gliedes 7 vervielfaͤltigt worden.
6) Wenn alle 3 Glieder (Saͤtze) Bruͤche ſind.
a) Man vervielfaͤltigt den Zaͤhler des erſten
Bruches mit dem Nenner des zweiten, und
dieſes Produkt multiplizirt man noch mit
dem Nenner des dritten Bruches.
b) Die Nenner, mit denen man vorhin mul⸗
tipliziret hat, laſſe man weg.
c) Man multiplizire das zweite Glied mit dem
Renner des erſten. V
d) Man efan wie im erſten Falle.

9 W. 2²
Aufloſung.

3. B. Wenn PB. 4 fl. koſtet, wie kommen

it 5
des d
mit d
tet w

Wenn
ſten
ſind
nd

Venn,
dene
den
et
dor
jed

nnet 3,
fit dem
vordent.

eſind.
etſten
a, und
ch nit
in mue

git demn

lommnen

165

Erklaͤrung.
Hier iſt der Zaͤhler 2 des erſten Bruches zuerſt
mit 5 multiplizirt, ſodann das Produkt 10 mit 7
des dritten Bruchs; dann iſt das zweite Glied 4
mit dem Nenner 3 des erſten Bruches multiplizi⸗
ret worden.
Erſte Anmerkung.
Wenn in dem erſten und zweiten, oder in dem er⸗
ſten und dritten Gliede die Nenner einander gleich
ſind, ſo kann man dieſe Nenner hinweglaſſen,
und ſogleich wie im erſten Falle verfahren.

Zweite Anmerkung.

Wenn in einem oder mehreren Gliedern gemiſchte

Bruͤche ſind, ſo richtet man dieſelbe ein und be⸗
handelt ſolche, wie bisher gezeigt worden.

Dritte Anmerkung.
Wenn ein Glied aus Zahlen beſteht, welche verſchie⸗
dene Namen haben, ſo reſolvire man die Zahl
von groͤßerem Namen, addire die Zahl von klei⸗
nerm Namen dazu, und verfahre uͤbrigens wie
vorhin, ſo findet man die geſuchte Zahl, welche
jedesmal die Eigenſchaft des zweiten Gliedes hat.

Probe der Regel Detri.

G. 205.
Zur Probe, ob das gefundene vierte Glied ich⸗

tig berechnet ſey, darf man nur die Frage umkeh⸗

ren. Nemlich von denen anfaͤnglich bekannten Zah⸗

166

len nehme man eine als unbekannte an, und ſuche
jezt zu den beiden bekannten und der berechneten
die vierte Proportionalzahl, ſo muß dieſe mit ihrem
anfangs gegebenen Werth uͤbereinſtimmen. 3. B.
4 Zentner koſten 6 fl., was iſt der Pteis von 48
Zentner?
Zentner. fl. Zentner.
4 6 — 148 ; 2
Antwort? — 72 fl.
Man fand, daß man 48 Zentner fuͤr 272 fl. erhal⸗
ten, wenn 4 Zentner 6 f. koſten; zur Probe frage
man alſo:

Zentner. fl. Zentner.
4 8; — 72 4 * 2
4
4 8 2,88 6 fl.
2 8 8

Man ſieht alſo, daß das zweite Glied wieder zum
Vorſchein kommt.

Die umgekehrte Regel Detri.
S. 206.
a) In ganzen Zahlen.
1) Man multiplizire das erſte Glied mit dem
zweiten. .
2) Das Produkt aus dem erſten und zweiten
Gliede dividire man mit dem dritten Gliede,
ſo erhaͤlt man das verlangte.

ter
ber
u

dd ſuche
chneten
t ihrem
3. B.
don 9

ſ. ethal⸗
be fage

der zunn

mnit denn

zveſten
Gliede,

167

3. B. Wenn 6 Holzhauer in 5 Tagen 21 Klaf⸗
ter Holz zu Stande bringen, in wie viel Tagen
werden 10 Holzhauer das nemliche Klafter⸗Meß
zu Stande bringen.
Holzhauer. Tag. Mann.
6 : 15 — I0O 2
6

90 9 Tagen.
9 △
b) Mit Bruͤchen.
1) Wenn ein Beiſpiel, bei welchem Bruͤche
vorhanden ſind, zur umgekehrten Regel De⸗
tri gehoͤrt, ſo ſetze man das erſte Glied an
den Platz des dritten, und das dritte an den
Platz des erſten.

2) Man ſchaffe die Bruͤche ab, wie bei der
geraden Regel Detri.

10

3) Man multiplizire die 2 mittlern Glieder mit
einander, und dividire das Produkt davon
durch das erſte Glied, ſo erhaͤlt man die
verlangte Zahl.

Aufgabe.

a) Jemand bringt Garn zum Weber, und verlangt
von ihm zu wiſſen, wie viel es wohl Ellen lau⸗
fen werde. Die Antwort war: 140 Ellen, wenn
das Tuch ½ Elle breit werden darf. Der Eigen⸗

R

168

thuͤmer will aber 5 Breite, wie viel wird es El⸗
len abgeben?

Breite. Ellen. Breite. Ellen.
1I— „ . 2
3 — 140 . 2
IL 6 35
6 —— 2
6 8 40% 10
r 840 84 Ellen.
80
4 0
4 0

b) Ein Soldat wird wegen ſchlechter Handlung ver⸗
urtheilt, durch 400 Mann 6 mal die Gaſſe zu
laufen. Es koͤnnen aber wegen gewiſſen Umſtaͤn⸗
den nur 300 Mann bei der Execution erſcheinen;
wie oft muß er durch dieſe Mannſchaft laufen,
damit ſeine beſtimmte Strafe erfuͤllt wird?

Mann. mal. Mann. mal.
400οι: — 6 300; 2
6
2400

30°2 40 3 mal.
2400

als b
undl
Esbe
ſteine
ter i

1).
N

169

Die zuſammengeſezte Regel Detrt,
oder Quinque.

§. 207.
Lehrſatz.
Jede Regel Quinque kann angeſehen werden,
als beſtaͤnde ſie aus zween Regel Detri Anſauͤtzen,
und laͤßt ſich allemal in dieſelbige zerfaͤllen. 3. B.
Es verarbeiten 6 Maurer in 5 Tagen 2800 Ziegel⸗
ſteine, wie viel ſolcher Ziegelſteine werden 10 Mau⸗
rer in 8 Tagen verarbeiten?

2) Spreche man zuerſt: 6 Maurer verarbeiten 2800⁰
Ziegelſteine, wie viel verarbeiten 10 Maurer?

un Maurer. Ziegelſt. Maurer. Ziegelſt.
ſe t 6 — 2800 LoO : 2
hUnſtän⸗ 1„5
heinen; —,,.——,,3
ſaufen, 6 2 80 90 ů 4666 Ziegelſteine,
S 4 oder man ſezt es ſo an:
—. B 4.0 28000 Ziegelſt.
360 6
4.0
. 3 6
4.0
3 6
,

2) Jezt ſpreche man: in 5 Tagen werden 2oE
Ziegelſteine verarbeitet, wie viel in 8 Tagen?

„k : — 28000
3⁰ 200⏑⁄0—⏑
8
3 2 3266 7466 Tegelſteine.

1210

140
120

2 ſ△⏑◻½
180

200%
180

2

Anmerkung.

Dar man aus dem bisherigen genugſam in Stand ge⸗
ſezt worden aͤhnliche Faͤlle aufzulbſen, ſo wird es
uͤberfluͤßig ſeyn, mehrere anzufuͤhren. Weil aber
dergleichen Aufgaben beſonders im gemeinen Le⸗
ben ſehr haͤufig vorkommen, und die wiederholte
Anwendung der Regel Detri neben der Weitlaͤu⸗
figkeit eine ziemliche Aufmerkſamkeit und Uebung
erfordert, ſo hat man ſchon laͤngſt die Aufloͤſung
ſolcher Fragen durch die Rechnung mit arithme⸗

tiſchen Gleichungen (Reeſiſche Regel) ſehr abge⸗
kuͤrzt, welche nun wegen ihrem ungemein großen
Nutzen umſtaͤndlich abgehandelt und erklaͤrt wer⸗

den ſoll.

ge
man
den

ſee.

fund e⸗
wirdes
elober
en Le⸗
dethole
Velir⸗
Uebung
ſbng
tine⸗
ohge⸗
Gßen

t we⸗

171

Siebenzehnter Abſchnitt.
Rechnung mit arithmetiſchen Glei⸗
chungen.

Q. 208.

Eine arithmetiſche Gleichung iſt ein Ausdruck, wel⸗
cher anzeigt, wie viele Einheiten eines gewiſſen
Dinges eben ſo viel werth ſeyen als eine Menge von
Einheiten eines andern Dinges.

Z. B. 2 Pferde — 26 Karolin heißt: der
Werth von Pferden iſt gleich dem Werth von 20 Ka⸗
rolin. Aus der arithmetiſchen Gleichung zweier Din⸗
ge erhaͤlt man das Verhaͤltniß ihrer Einheiten wann
man die eine Zahl und ihren Namen aber zu aͤuſſe⸗
ren Gliedern einer Proportion nimmt.

3. B.
1 Pferd: 1 Karol. — 206: 2 — 13 – I
Und umgekehrt:
Aus dem Verhaͤltniß der Einheiten zweier Dinge
bekommt man ihre arithmetiſche Gleichung, wenn

man den mittlern Namen und die mittlere Zahl,
alsdann den aͤußern Namen und die aͤußere Zahl

172
zuſammen nimmt. 3. B. 1 Pariſer Fuß: 1 Stutt⸗

garter Fuß = 25: 22 alſo 22 Pariſer Fuß = 25
Stuttgarter Fuß.

§. 209.

Die Rechnung, welche Fragen von der wieder⸗
holten Regel Detri, d. i. wenn die Regel Detri zu

einem Beiſpiel mehr als einmal angewandt wer⸗
den muß, heißt: Gleichungsregel, Kettenrechnnng,
(Regula multiplex), Generalſatz, Reeſiſche Regel,
weil Rees ihren Gebrauch im erſten Viertel dieſes
I8ten Jahrhunderts beſonders in Kaufmaͤnniſchen
Rechnungen gewieſen hat *).

Von der Aufloͤſung dieſer Regel.
GS. 210.

Dabei kommen folgende Regeln zu betrachten
vor. 3 “
Dieie erſte iſt, man faͤngt bei einer Zahl an, die
geſucht wird, ſezt ihren Namen auf der linken Seite
hin und bemerkt den Abgang der Zahl ſelbſt durch

ein * oder X, oder auch durch einen Interroga⸗

tionspunkt (?).

*) Nach Hrn. K. F. Reeſens allgemeinen Regel
u. ſ. w. die in Goͤttingen 1739. das erſtemal ge⸗
drukt worden, hat Hr. Colonius, Evangeliſcher Pre⸗
diger zu Gronau und Altenberg, in einem gr. Ok⸗
tavband vieles geleiſtet, und iſt fuͤr den Anfaͤnger
des Studiums der Reeſiſchen Regel eines der nuͤz⸗
lichſten Buͤcher.

die

noch
der 5
links
komn
das
ſes d

de,
liche
ſche
rech
ein
het

ſ ke
den,
Wed⸗
chen
End

mul

Pro

nem

Ve

Stutt⸗
25

wieder⸗
etti
t wer⸗
nung,
Negel,
dieſes
ſchen

l.

kuchten

h, die
Eeite
durch
eog⸗

eel
l e⸗
eltr⸗
. D⸗
finger
nuy⸗

173
Die zweite iſt, rechts gegen uͤber ſchreibe man
die Fragzahl ſamt ihrer Benennung.

Die dritte iſt, nun muß ſich in der Aufgabe
noch eine Zahl vorfinden, die gleichen Namen mit
der Fragzahl gemein hat, und dieſe ſetze man wieder
links unter die erſte Anſchreibung; rechts daneben
kommt jene Zahl zu ſtehen, welche den Werth oder
das Maas oder irgend eine andere Benennung die⸗

ſes dritten Satzes ausdruͤcken.

Die vierte iſt, ſind noch Zahlen in der Aufgabe
da, ſo ſuche man wieder eine hervor, welche die nem⸗
liche Benennung wie die lezte zur rechten hat, und
ſchreibe ſie mehrmals links an, ſo wie ihren Werth
rechts. Zulezt wird allemal auf der rechten Seite
ein Satz erſcheinen, der die nemliche Benennung
hat, wie die erſte links, womit angefangen worden.

Die lezte Regel iſt, nachdem der Anſatz fertig,
ſo kann auf die Verkleinerung der Saͤtze geſehen wer⸗

den, durch gemeinſchaftliche Zahlen links und rechts,

wobei man die verkleinerten Zahlen allemal durchſtrei⸗
chen ſoll, um keine Verwirrung zu veranlaſſen. Am
Ende werden alle Zahlen jeder Seite durcheinander
multiplizirt, und das Produkt zur rechten durch das
Produkt zur linken dividirt. Der Quotient erhaͤlt die
nemliche Benennung, wie der erſte Satz links hatte.

Gehen die Zahlen alle zu beiden Seiten durch
Verkleinerung auf, ſo dient die Einheit zur Ant⸗

174

wort. Gehen ſie links alleinig auf, ſo gilt das Pro⸗

dukt zur rechten als Facit. Gehen ſie hingegen nur

rechts auf, ſo iſt die Antwort ein Bruch, der zum

Zaͤhler die Einheit und zum Nenner das Produkt
zur linken erhaͤlt.

Um dieſes deutlich zu machen, wollen wir erſt⸗
lich ein Beiſpiel in genohnlichen Zahlen zur Aufgabe
angeben.

G. 21I.

a) Herr Chappe in Paris, Ingenieur, erfand .„)

eine Korreſpondenzmaſchine, (TDelegraph) (eine
der vorzuͤglichſten Erfindung neuerer Zeiten) mit
welcher man im Stande iſt durch einen leichten
Mechaniſmus, eine Nachricht von 80 Meilen wei⸗
ter Entfernung innerhalb 20 Minuten an den be⸗
ſtimmten Ort anzubringen. Wie viel wird nach
dieſem Verſuch Zeit erfordert zu einer Entfernung
von 10 Meilen?ꝰ

Anſa 6.
Minuten 212 Meilen.
Meilen 84 70 Minuten. .
.
6 4

. 6 4 “
) 65 B)

2 4
8 Minuten.
38 4

³) 1794.

liſer
guf l
ſeg
te m
A be
die
ge
ſche

Pro⸗
en nur
er zuun
Pudut

Ut aſ⸗
foee

nd )
(eine
) wit
ichten
en we⸗
den be⸗
id toch

erno

utee

175
Erklaͤrung.

Ein Vortheil, welcher die Reeſiſche Auflöoͤſung
einer Aufgabe gewaͤhrt, iſt dieſer, daß wenn
auf beeden Seiten (A und B) Nullen vorkommen,
ſie gegeneinander ausſtreichen, doch in keiner Sei⸗
te mehr als in der andern. Man hat z. B. in
A bei 80 und in B bei 10 ſolches beobachtet, und
die Aufloͤſung iſt dardurch erleichtert. Das uͤbri⸗
ge Verfahren, iſt (110.) in der 5ten Regel deut⸗
lich einzuſehen.

*

Anmerkung.

Sobald man eine Aufgabe nach Reeſiſcher Metho⸗
de aufgeloßt hat, ſo hat man eine Regel ge⸗
funden, um alle aͤhnliche Aufgaben aufzuldbſen.
Man darf nemlich in der lezten Formel (80
und 10) als Einheiten betrachten, welche in
jedem Fall ihr Verhaͤltniß (Werth) ausmachen.
Welche Erinnerung wir hier, ein fuͤr allemal
machen, und durch das obige Beiſiel erlaͤutert
haben.

b) Zu Sulz am Neckar (im Wirtembergiſchen)
werden jaͤhrlich 300οσ0ο Simri Salz geſotten,
wovon das Simri fuͤr 1 fl. 24 kr. abgegeben
wird; was fuͤr eine Summe wirft hier das
Salzweſen ab?

Simri 1

Dukaten ?

Aufloͤſung.

Fuder 1.
Aimer 1
Maas 5

Gulden 4 ½

0°0οο⏑0ο% Simri.
1 5 fl.
7

60O0%0

Antw. 4200ο⏑ισ⏑ fl.

* Erklaͤrung:
Gemiſchte Zahlen, d. i. Ganze und Bruͤche (im
obigen Beiſpiel 12) werden, nachdem ſie angeſezt
ſind, in uneigentlche Bruͤche verwandelt, wobei der
Zaͤhler der Bruͤche auf derſelben Seite (in A oder B)
ſtehen bleiben, wo ſie ſind, die Nenner aber auf die
andere Seite geſchrieben werden. 3

6) Fuͤnf Maaß Rheinwein koſten 5 fl. 6 kr. was
koſten nach dieſem Preis 7¼ Fuder?

Anſa tz.

7 ¼ Fuder
6 Aimer
160 Maas
5 1. Gulden
1 Dukat

Antw. 16681 Dukaten.

Auf⸗

heb
won
Re
ſte

he
geſezt
li der⸗
der )
auf die

fr. nONH

177
Aufldſung:
17 I 5 3
3

—r
R

3 2

N. 10 F 5 6

6 Nenner⸗

O
S
—

168
3 2

—.pu.—

336
504
5370
9
29 13 4.8 3 8 4 16682¾ Dukaten,

174

— 1,9 8
174
2 44
2 3 2

I 2
Erklaͤrungen.
1) Bei dieſem Beiſpiel iſt hauptſaͤchlich das Auf⸗
heben der Zahlen von der rechten Seite, gegen die
von der linken nach denen (F. X10.) gegebenen
Regeln nicht zu vergeſſen, weil dadurch in den mei⸗
ſten Faͤllen die Rechnung abgekuͤrzt wird.
M

2) Wenn unter den gegebenen Zahlen mehrna⸗
migte (wie in der Aufgabe (0c) der Fall iſt,) oder
zuſammengeſezte benannte Zahlen ſind, d. i. Kreuzer
u. f. w. ſo reduzire man dieſelbe noch vor dem Anſe⸗
tzen mit dem Namen des Groͤßern: z. B. 1 fl. 24 kr.
ſieht im Anſatz ſo, 12 fl. Auf die kleinſte Einheit
reduzirt waͤre 12 fl. 84 kr., iſt aber nach Reeſiſcher
Regel der Sache angemeſſener, wann man mehr⸗
namigte oder zuſammengeſezte benannte Zahlen in
den Werth des Groͤßern reduzirt, und vermittelſt
der Bruͤche an dieſelbe anhaͤngt.
—
Z. B. Anſtatt: 1. fl. 15 kr. 3 hlr.
Wuͤrde man ſetzen 1 2 fl.

100 32 4
— — — .
3 Centner 7 5. 5 Loth 1 Quintl.
Sieht im Anſatz ſo aus: 3 156 327 4¾ Centn.

10 Ellen 3 Viertel 6. tel.
Sezt man 43 . Ellen.

Anmerkung:
Wer freilich die Behandlungsart der Bruͤche nicht
verſteht, thut beſſer, er reduzire die gegebene
mehrnamigte oder zuſammengeſezte Zahlen auf
die kleinſte Einheit hinaus. In allen zwei Faͤl⸗
len kann man die Sache nach Belieben anſe⸗
tzen, welches wir dem Leſer uͤberlaſſen.

47

heng:
oder
teuzet
uſe⸗
2Ar.

Eiſett

eſſcſer
melti
len in
Bttelt

entn.

d) Ein Loth Farbentuſche koſtet 9 kr. 4 hlr.; wie
kauft man nach dieſem Kauf 5 . 18 Loth
2 Quintlen?

Anſatz.
fl. 2 5 † 1 4 15.
b. 1 32 Loth
Loth 1 1 kr.
kr. 60 1 fl.
Antw. 28 2065 Gulden.

Aufloͤſung.

r. 18
32 5 S 16

2 T1I 272 17 8 ½
1 1
1 19
4 2 2 13
240 1 357
6.7 8 3] 2 8 23; fl.
4 80

1983
1920

1 .

— 63
e) Nach des Wirtembergiſchen Hrn. Geheimen Rath
Moͤglings technologiſchen Verſuch und Vervoll⸗
M 2

180

kommung der Saile, vermittelſt einer ganz neuen
Fahrikation; der ſich darauf gruͤndet, daß die FaͤÜ⸗
den nicht wie gewoͤhnlich gedreht und uͤbereinander
gewunden, ſondern gerade und parallel laufend
· mit einander verbunden werden: hat man ge⸗
funden, daß jeder einzelne Faden 3 ¼ ſ5 Laſt traͤgt;
wie viel Pfund tragen nach dieſem Verſuch 715
Faͤden?

Aufloͤſung:
15. 2 715 Faden
Faden 1 2 P.
2 7
2 5905 250 2 2½ W.
4 oder 25 Centn. u. 2 ¼ 5.

10
1 0

f) Aus einem Herrſchaftl. Holzgarten hat man 34. .V
Meß 3 ¼ Viertel Buchen, und 59 Meß 1 ½¼ Viertel
Tannenholz gekauft, von erſterer Gattung war der
8 Preis fuͤr 1 Meß (Klafter) 11 fl. 50 kr., von der
2ten Gattung 7 fl. 32 kr. Was betraͤgt der Holzkauf ²

nelen
Fi⸗ I. Beiſpiel.
ander fl. 2 3 a — Me „
fend 2 5 Buchen.
2 5„
nge M. 1 1. I. 3) 69
tragt, 5 2 3
2 2 3
21 3
1 42
4 16 S 46Sa f. von niſchenen.
33
3 2
1I
. II. Beiſviel.
fl. 59 3 . Meß 47 5
9 5
Meß x z. fl.
15 II 3
3 — 22
339
1017
24 10509 471 fl. von Tanmenem.
18.8
131 13˙8
atek
der 29
der .

182

2) Ein Wuͤrtembergiſcher Secunde⸗Lieutenant be⸗
kommt alle Monat aus der Kriegskaſſe 24 fl.,

wie hoch dient ſich derſelbe in 1 FJahr?
Anſatz nebſt der A ä/1b ſung.

fl. 2
Wochen
Tage 5½

5

7

5 2 wochen 26
Tage.
2
12 1
2 6

726
2 42

3146

2

2.2 02 2 293 4 ¼ fl.

Die Sprechform bei dieſem Beiſpiel war dieſe:
man hat gefragt: wie viel Gulden bekommt der Lieu⸗
tenant in 52 Wochen, wenn 1 Woche, 7 Tage und
in 30 Tagen er 241½ fl. bekommt.

150
= 7.0 2

6 7.5

2 7.2
2 2 5

Q

1833

t be⸗ h) Jemand kemertt genau an ſeiner Taſchenuhr, daß
1 ſe, ſie taͤglich um *† Stund zu fruͤh gehe; wie lange
wuͤrde dieſe HW brauchen , bis ſie ungeahndet ih⸗
ren Fehler wieder gut machte?

Tage 2 1 2 Stunden.
Stunden 2. I Tag. N
2 4
2 4
4 8
2 4
7 [288 41¼ Tag
128

9) Zu Neumarket (in England) brauchte einſt 1 Pferd
im Wettrennen zu 4 engliſchen Melen 8 Minuten;
wie lange wuͤrde ein ſolches Pferd zu einer deut⸗
ſchen Meile gebraucht haben, da 16 engliſche Mei⸗
len 5 deutſche ausmachen?

Minuten 2 1 d. Meile.
d. Meilen 5 Y 6 e. Meilen.
e. Meilen 8 Minuten.
4
eſe 5 3 2 6%¾ Minutẽé.
el⸗ 301

und

.
R

184

k) Der kleine Friz kauft von einem Vogelhaͤndler in m)
einem Tragkaͤfig 30 Kanarieuvoͤgel, je halb 2 um 4

46 kr. 3 hlr. und halb 3 mn 1 fl. 10 kr., was be⸗ ne
traͤgt dieſer VBoͤgelkauf? den
Aufloſung. ber
a . b unn
f.² 15 K. B. fl. 2 15 Kan. V.
K. V. 2 46 ¾ kr. K. V. 3 1 fl.
Fr. 60 T fl. 5.
— . I
Antwort e fl. a) Antwort 3 ¾ fl.
Antwort o. 18 kr. 4. hl.
1) Von einem Auktor geben 2 ½ Bogen Manuſcript
allemal 1½ Bogen Druck; wie viel muß derſelbe
Boͤgen Manzſcript haben, um 1 Werkchen von
16 ½¾ Boͤgen zu liefern?
“ Aufloͤſung.
2. 3 3
. * 2 - . .
M. B 1 6 B. D 3
2 r
D. B. 15 2– Manuſe. 9 9
. 2
4 9 32 8 9 1 272¾ Bogen. 9)
2 3 64¼
4 251
8 2 2.4
= 2 7

185

der in m) Die Bleiſtiftfabrike zu Erdberg, liefert jaͤhrlich
2 un 424000 Dutzend verſchiedener Arten Bleiſtifte,
go be⸗ welche beim Verkauf mit 34586 fl. bezahlt wer⸗

den; was betrug dieſer Handlungszweig ſeit den
verfloſſenen 20 Jahren an Dukaten, (à 4 fl. 45 kr.)
und wie hoch kommt ein Bleiſtift?

n.V.
.
D. 2 34586 fl.
fl. 4 ½ r D.
Arntwort 7281 Dukaten.
tipt
ſebe b
bn kr. 2 I Bleiſtift.

Blſt. 424000 72871 „ Dukaten.
Dukaten 1 4 3

fl. 1 60 kr.

Antwort 2 kr. u. beinahe 2 hl.

.

n) Ein Kapitaliſt ohne Erben wurde einſt von irgend
er. einem Nativitaͤtſteller (Chiromanten) verſichert,
daß er noch 11 Jahre 11 Wochen leben werde.
Er kuͤndete daher ſeine Kapitalien von 38500 fl.
auf, und beſchloß, daſſelbe waͤhrend dieſer Zeit
rein aufzuzehren; es fragt ſich nun, was taͤglich
zu verzehren trifft?

fl. 2 1 Tag.
Tage 3 65 1 Jahr.
Jahre 11 pv½ 38500 fl.

Antwort 9 fl. 2 6 =, kr.

0) Wie viel Stuttgarter Gulden wird man fuͤr 3
Stuttgarter Centner von einer gewiſſen Waare be⸗
zahlen muͤſſen, wann 7 Amſterdamer 5 14 hol⸗
laͤndiſche Gulden koſten, und 97 Amſterdamer b

machen 102 Stuttgarter, ferner 1 hollaͤndiſcher

Gulden gilt 54 kr.?

Stuttg. fl. 2 3 Stuttg. Centner.
St. Centner 1 100 5.
St. 5. 102 9 7 Amſt. [5.
Amſt. b. 7 14 holl. fl.
holl. fl. T 54 kr.
kr. 60 X fl.

Antwort 5 13 Stuttg. fl. und 32 kr.

p) Wie viel Boͤgen Papier muß man vor 5 Feder⸗
kiel geben, wenn das Dutzend Kiel 12 kr. und 1 Buch
Papier 7 kr. koſtet?
Boͤgen 2 5 Kiele.
Kiele 12 1 Dutzend.
Dutzend XI 12 kr.
kr. 7 1 Buch.
Buch 1 2 4 Boͤgen.

Antw. 17 Boͤgen.

en flt 3
gacre be⸗
14 ſol
danter ſ
andiche

5 2 1.

Feder⸗
1B

187

4) Was betraͤgt der Zehend an Gulden, von 15 Mor⸗
gen Ackerfeld, wann 1 Morgen 80 Garben liefert,
und 9 Garben 1 Scheffel geben, und 1 Scheffel
Dinkel 5 fl. 30 kr. koſtet?

fl. ?2 1S Morgen.
Morgen 1 8 Garben.
Garben 10 1 Garbe Zehend.
Garben 9 Scheffel.
Scheffel 5 ½ fl.

Antwort 6 6 ¾ ſi

r) Wie viel Laib Brod geben 87 Scheffel Dinkel,
wann 1 Scheffel Dinkel 3 Simri Vierling Ker⸗
nen gibt, 1 Simri Kernen 1½ Simri Mehl, und
1 Vierling Mehl 1 Laib Brod gibt?

Lailb 2 Z ½ Scheffel.
Scheffel 3 1 Simri.
Simri 1 1½¼ Simri.
Simri 1 4 Vierling.
Vierling 1 1 Laib.

Antwort 6 5 Laib Brod.

⁸) Eine Frau bringt einem Weber 40 5 Garn, und
fragt, wie viel Ellen das 15 wohl geben koͤnne?
der Weber ſagt: das ſ5 gibt 23 Ellen zu 11 Ellen
breites Tuch; die Frau will aber ihr Tuch 2 Ellen
breit haben; fragt ſichs: wie viel Ellen es nach An⸗
gabe der Frau gebe?

Aufloſung.
Ellen 2 46 .
IB. TI 2 ½ Ellen.

Ellen 2 1. Elle. 1 6
2 3 5
4 II

3 3
5

2 ſ165 82 ¾ Ellen.
16

c

0°) Ein Muͤller bekommt zu ſeinem Lohn von dem
was er mahlt: wann nun einer 6 ¼ Scheffel mah⸗
len laͤßt, und dem Muͤller ſeinen Theil abkaufen
will, und zwar dem Scheffel nach zu 5½ fl., wie
viel muß er dem Muͤller bezahlen?

fl. 2 6 ¼ Scheffel.
Scheffel 16 1 Scheffel.
Scheffel 1 5 ½

3₰

Antwort 2 fl. 10 kr.

u) Eine Herrſchaft nimmt einen Bedienten 1 Jahr
in ihre Dienſte an, und verſpricht ihme eine ge⸗

—

Drtm

man
50 fl
Antn
ſoble

ten

e
D
de

Gln den
felnat⸗
hbkanfen
,

0
1 N

eine ge

189
wiſſe Anzahl Gulden nebſt einem Kleide von 30 fl.
am Werth. Nach Verfluß von 27 Wochen be
kommt der Bediente (wegen uͤberwieſener ſchlech⸗
ter Handlung) ſeinen Abſchied, und erhaͤlt nebſt
dem Kleide noch von Geld 20 fl. Was iſt dem⸗
nach dem Bedienten an baarem Gelde verſprochen
worden? ,

Aufloͤſung.

fl. 2 5 2 Wochen.
W. 27 50 fl.
227 2 600
2 4 3
17.0
xX 6 2
— 8

96 . fl.

Bei dieſem Beiſpiel ſieht man, daß der Bediente

in 27 Wochen das Kleid und 20 fl. erhalten, ad⸗

dirt man dieſes zuſammen, ſo machts Z0 fl.; jezt fragt
man beim Anſetzen, in 27 Wochen hat der Bediente
50 fl. verdient, was bekommt er in 52 Wochen 2
Antwort: 96 3, fl. zieht man 30 fl. von 96 2, fl. ab,
ſo bleiben noch 68 3, fl. und ſo viel iſt dem Bedien⸗
ten jaͤhrlich verſprochen worden.

v) Ein 360 Schuh langer Seidenfaden, ſo wie ihn der

Wurm ſpinnt, wiegt (nach Sturms Betrachtungen
der Werke Gottes ꝛc.) den 12ten Theil eines Quint⸗

190

chens; wie groß wuͤrde das Gewicht eines ſolchen
Seidenfadens ſeyn, der bis an den Mond hinauf⸗
reichte, wenn wir ſeinen mittlern Abſtand zu 30
ganzen Erddurchmeſſern, oder was eins iſt, zu
1238400000 Schuhen annehmen.

Auflodſung.
IB. 2 1I238400000 Schuh
Schuh 360 Quint.
Quintl. 4 1 Loth

Loth 32 1I 5.

Antw. 2239 f5.
oder 22 Zentner 39 IB. 18 Loth 2 Quintlen.

W) Ein Eilbotte macht eine Reiſe von 24 Tagen,

und hinterlegt jeden Tag 8 ½¼ Meilen; wie viel ver⸗

dient er ſich, da er fuͤr die Meile 15 kr. zum Lohn
erhaͤlt, und was bleibt ihm, wenn er jeden Tag
34 kr. verzehrt?

I.
fl. 2? 274 Tage
.
T — 2
Tag 1 ⁸ 5 Meile 12
Meile 1 1y kr.
kr. ℳ0 1 fl. 3
E 4 Antw. 51 fl.

Noch

Af
jeden
151

n
gen

chuh

len.

Hhielber⸗
Uin An
den Lu

191

II.
fl. ? 24 Tage
T. I 34 kr.
kr. 60 1 fl. 4
3 6 1 3f.
△
65
3
6 .
—
fl. kr.
51 — Verdienſt
13 36

Nach Abzug 37 fl. 24 kr. bleibt ihme noch uͤbrig.

C. 213.
Probe bei der Reeſiſchen Regel.

Im Beiſpiel (w) wurde gefunden, daß der Botte
51 fl. in 24 Tagen Verdienſt bekommt, wenn er
jeden Tag 8 ¼ Meilen zuruͤklegt, und fuͤr 1 Meile
15 kr. erhaͤlt.

1) Um nun zu verſuchen ob die 51 fl. richtig ſeyen,
frage man alſo:

Wie viel bekommt er von einer Meile, wenn er
in einem Tag 81 Meile zuruͤcklegt, und in 24 Ta⸗
gen 51 fl. bekommt?

„

. Aufloͤſung.
kr. I Meile
Meile 34 1 Tag
Tage 2½ 5tr fl.

fl. 1 gy kr.
17 2
5

12
. 2ſa 2,5 5 15 Kreuzer.

erg

2) Uebrigens kann man ſich mit Vortheil auch der
ſogenannten aufgehenden Probe bedienen.
Es wird nemlich anſtatt (?) die gefundene
Zahl geſezt, ſo muͤſſen ſich die Zahlen der einen Seite
gegen die auf der andern aufheben, oder welches ei⸗
nerlei iſt, das Produkt der Zahlen von der einen Seite

gleich ſeyn. Z. B. in der Aufgabe (§F. 211. a)
wurde gefunden 8 ½ Minuten, ſezt man nun

Min. 5 6. 19 Meilen
M. 8 79S Minuten
79 £
19

ſo wird man beiderſeits eine Einheit erhalten, wenn
man ſo lang aufhebt als es angeht.

Acht⸗

muß dem Produkt der Zahlen von der andern Seite

Ge⸗

llir
gthort
Zahl in
ei gen

Jahl
halte
dieſel
les ſi
tman:
zen,
ſucht
ren

fler.

ch dee

.
efundene
hen te
elchtst⸗
enete

n Sete

AII. 9)
n

4 wenn

ch⸗

193

Achtzehnter Abſchnitt.
Von der

Geſellſchaftsrechnung.

D. 214.
Unter die nuͤzlichſte Anwendung der Regel Detri
gehoͤrt auch die Geſellſchaftsrechnung „wodurch eine
Zahl in eine verlangte Zahl Theile getheilt wird, die
ein gewiſſes Verhaͤltniß untereinander haben.

§. 215.
Wenn dieſes Verhaͤltniß durch gewiſſe gegebene
Zahlen beſtimmt wird, die ſich untereinander ver⸗

halten, wie die zu findenden Theile: ſo zaͤhlt man

dieſelben zuſammen, um zu ſehen, was fuͤr ein Gan⸗
zes ſie mikteinander ausmachen. Hernach ſchließt
man: wie dieſes Ganze zu dem zu theilenden Gan⸗

zen, ſo jede der gegebenen Zahlen zu einem der ge⸗

ſuchten Theile, deren jeden man durch eine beſonde⸗
ren Reeſiſchen Anſatz findet.

Eintheilung.

S. 217.
Die Geſellſchaftsrechnung theilt ſich ab in die
einfache, und in die zuſammengeſezte. Einfach iſt

194

ſie, wenn neben den zum Grund gelegten Zahlen wei⸗
ters keine andere Umſtaͤnde vorkommen, worauf bei
der Theilung geſehen werden muß; zuſammengeſezt,
wenn nebenher noch dergleichen Beſtimmungen Plaz

greiffen.

I. Beiſpiel von der Einſachen.

12) 1000 fl. ſollen in 4 Theile getheilt werden, die

ſich untereinander verhalten, wie die Zahlen
4, 5, 7, 9. Man zaͤhlet dieſe zuſammen, wor⸗
aus 25 entſtehen. Hernach hat man zu Fin⸗
dung der vier Theile folgende Saͤtze zu vier⸗
maliger Wiederholung des Reeſiſchen Anſatzes
noͤthig. Zur erſten: 25, 1000,4, zur zweiten
25, 1000, 5, zur dritten 25, 1000, 7, und zur
vierten 25, 1000,9. Man findet die Theile

160, 200, 280, 360 Thlr.
2) Es haben ihrer 3 eine Kompagnie errichtet, da⸗

zu hat Juſt gelegt 1000 fl., Auguſt 1200 fl.,
Clemens 1500 fl., gewinnen in kurzer Zeit
277 ½ fl.; wie muß ihr Gewinn rechtmaͤßig ge⸗
theilt werden?

Aufldſung.
JJuſt ⸗ 1000 2
Auguſt 1200 fl. 2 3700 fl.
Clemens 1500 fl. 277 4 1000 fl.
Summe 3700 Antw. 75 fl. Juſt.

ſr

ten un

gus
ein
2

ſf

d. .
ine
Re

en wer⸗
guf bei
ngeſezt,
en Plaz

en, die
Zohlen
, mr
Fin⸗
vſer⸗
nſaßes
wweſten
od zu
Tee

t, dl⸗
00 fl.,

t Nn

oe

195
b CC
fl. 2 3700 fl. fl. 2 3700 fl.
fl. 277 ½ 1200 fl. fl. 277 ½ 1500 fl.
Antw. 9o fl. Auguſt. Antw. 112 ½ fl. Cle⸗

mens.
Prrobe.
75 Juſt.
90°% Auguſt.
112 Clemens.

2 77½ fl.
Zur Probe kann man die gefundenen Theile addi⸗
ren und ſehen, ob die zu theilende Zahl herauskomme.
Doch koͤnnte es geſchehen, daß das Ganze her⸗

auskaͤme und doch in den Theilen gefehlt waͤre, z. B.

ein Theil waͤre um 2 zu groß, ein anderer aber um
2 zu klein gefunden worden, welcher Fall aber aͤuſ⸗
ſerſt ſelten iſt.

Beweis.
Eigentlich ſollte man nach der Regel Detri

ſchließen:

Theile Theilen
3700 : TOO = 277 2 : X

Alſo iſt X = 1000. 277 F
3700

d. i. die zu theilende Zahl mit der Verhaͤltnißzahl

eines Theils multiplizirt und durch die Summe der

Verhaͤltnißzahlen aller Theile dividirt, gibt den Theil.

N 2

196

3) Drei Seminariſten miethen ſich ein Zimmer, wo⸗
fuͤr ſie im voraus ſogleich 36 fl. bezahlen. K....

ſtiftet auf , S.... auf 15, L..... auf 24 Wochen;
wie viel muß jeder zum Hauszins beitragen?
9 fl. 2 9 Wochen
15 Wochen 8 36 fl.
2 4 8 6
4,8 Wochen 4 13
— 27 6 ¾ fl. K.. .
2 4
3
—
fl. 2 1IS5 W. fl. 2 24 W
W. 49 2 fl. W. 483 26 fl.
S 6 8 6
2 2
— 4 5 II fl. S... 18 fl. L..
—— Probe.
Gulden Kr.
6 45
18 —

4) A B und C finden beim Jahrſchluße, daß ſie in ih⸗

rer gemeinſchaftlichen Handlung um 1600 Thlr.
zuruͤlgekommen ſind, und wollen den Verluſt
nach Verhaͤltniß derer Kapitalien, die jeder in

—
„2„ =

tel

12

197
, m⸗ der Handlung hat, theilen. A hat 12640 Rthlr.,

i B 10500, C 3260; wie viel buͤßt jeder ein?
chen;

Antw. A 766 2, Rthlr. Einbuß.
C 1972 — —

5) 24 Loth Arzenei haben fuͤnferlei Zuthaten, nem⸗
lich 2 Loth A, 7 Loth B, 5 Loth C, 6 Loth D und
4 Loth E. Wenn nun davon 16 f gemacht werden

K. ſollen, wie viel wird von jeder Zuthat erfordert?
Aufloͤſung.
7 B Loth 2 ½ 16 .
56 D % 4 1 ½ P. 102 Loth A.
4 E 3 3
D 24 Loth —
l, . Nach dieſem Anſatz werden die uͤbrigen Zutha⸗

ten B C D E gleichfalls behandelt, und kommen fuͤr B
4 5 21r½ Loth, C 3 I5 r02¾ Loth, D 4 F, und fuͤr

. E 2 I5 21 ½ Loth.
65 . Probe.
14 Pfund Loth
— . T 10 5
— 4 21 4
3 10 ¾
pinig⸗ 4 —
D. 2 21
beltſ 16 fſb. dieſe Bruchslothe machen

det in 4 Ganze.

Pir

r

Hlr= èl

6) Im gegenwaͤrtigen Franzoſenkrieg, mußte ein
Doͤrfchen (am Murgfluß, an den Grenzen
Wirtembergs) von 10 Bauren 1000 fl. an baa⸗
rem Geld, 78 Scheffel Haber, und 390 Zent⸗

ner Heu geben; was trift jedem Bauren, da

A – Hof, B C und D jeder 1 ganzen Hof,

E und F jeder à Hof, G, H und I endlich jeder

1½ Hof ſtark iſt
Aufloſung in Ruͤckſicht des Gelds.

I. II.
fl. 2 1¼ Hof fl. ? 1I H.
H. 7 ½ 1000 fl. H. 7 ½ 1000 fl.
Antw. 200 fl. A. Antw. 199 ½ fl.
jeder von B Cu. D.
III.
fl. 2 Hof.
H. 7 ½ 1000 fl.
Antw. 100 fl. jeder von E und F.
IV.
Hof. .
fl. 2 1. Hof.
H. 7 ½ 1000 fl.

Antw. 66 ¾ fl. jeder von G H und I.

Aufloͤſung in Ruͤckſicht des Habers.
„
Schfl. 2 1 ½ H.
H. 7 ½ 78 Schfl.
Antw. 15 ¾ Schfl.

Schfl

jeden
von

ißte ſii

Grenzen
.an bag⸗

3 Zent⸗
huten, N

gen he,,
dlchzede

9Cnh.

15 F.

End. .

199
Schfl. Hof Schfl. Hof
H. 7 ½ 178 Schfl. H. 7 ½ 178 Schfl.
Antw. 5 1 Schfl. Antw. 2 ¾ Schfl.
4)

Schfl. 1 Hof
H. 7 ½ 78 Schfl.

Antw. 5 ¼ Schfl.
In Ruͤckſicht des Heues trifts A 74 Centner,

jeder von G H und I 24 ½ Zentner, und jeder

von E und F 37 Zenller, jeder von B C und D
49 ½ Zentner.

7) Andreas und Gottlob treiben einen Schaaf⸗
handel, und waren zur Zeit einer Raude dabei
ſo ungluͤklich, daß ſie zu ihren Einlaggeldern, wel⸗
che in 345 fl. und 500 fl. beſtanden, noch 273 fl.
zuſetzen, und dann zu handeln aufhoͤren mußten;
was trifts jedem von dieſer erlittenen Einbuße?

Aufloͤſung.
Einleggelder. fl. 2 509 fr
5 °9
8 5 4 fl. Antw. S i fl. Gottlob.

fl. 2 345 fl.
fl. 854 273 fl.
Antw. 110 S1 fl. Andreas.

J. 2109.
Wenn das Verhaͤltniß eines jeden Theils zu
dem naͤchſtfolgenden beſonders beſtimmt wird, z. B.
wenn der erſte ſich zum zweiten wie 7 zu 3, dieſer

ſich zum dritten wie 5 zu 2, und dieſer ſich zum
vierten wie 3 zu 1, u. ſ. w. verhalten ſoll: ſo ver⸗

vielfaͤltigt man die beiden Glieder des erſten Ver⸗
haͤltniſſes mit dem erſten Gliede des zweiten, und die

leztere Glieder beider Verhaͤltniße mit einander. Die

hierdurch entſtandene Zahlen vervielfaͤltigt man,

wenn mehrere Verhaͤltniße gegeben ſind, mit dem

erſten Gliede des folgenden, und die lezte dieſer

Zahlen mit ſeinem lezten Gliede, auf welche Art
man beſtaͤndig fortfaͤhrt, wenn der Verhaͤltniße meh⸗
rere ſind.

Hierdurch erhaͤlt man ſo viele Zahlen als Theile
ſind, und zwar ſolche, wodurch das Verhaͤltniß der⸗
ſelben wie vorhin, einfach beſtimmt wird; daher

man auch alsdann eben ſo verfahren kann. Wir

wollen folgendes als einen Beweis annehmen.

Wenn die obige Verhaͤltniße gelten ſollen, wuͤr⸗
de man ſie auf folgende Art behandeln:

7 3
5 2
35 15 6

Verhaͤltniß der Theile

135

45

der ftl
nihtf

tman
gebrie

fehl
glof
leege
auf
M.
nat.
Gen
die
ewe
n
Uet

heils zu
,z. B.
3, dieſet
ſch zun
ſ ver⸗
en Ver⸗
und die
det. Die
t man,
jit dem
dieſer
e Art
e meh⸗

201

Man ſieht leicht, daß ſich jede dieſer Zahlen zu
der folgenden ſo verhaͤlt, wie jeder Theil ſich zum
naͤchſtfolgenden verhalten ſollte.
Da ſie ſich aber alle mit 3 theilen laſſen, kann
man auch an ihrer Stelle die Antheile 45, 15, 6, 2,
gebrauchen.

8. 220.

II. Von der zuſammengeſezten Geſelſchaſts⸗
rechnung.

Aufgabe. .
8) A und B treten in Geſellſchaft, A legte 920 fl.
auf 3 Monat, und B 600 fl. auf 4 Monat.
Sie gewinnen 340 fl., was trifts jedem?

Aufloͤſung.
Setzen wir, ihre Einlaggelder waͤren gleich, un⸗
fehlbar muͤßten dann die Antheile des Gewinns ſo
ausfallen wie die Zeiten, in welchen ſie das Geld
liegen gelaſſen, denn haͤtten beide ihre Einlaggelder
auf Intereſſen gelegt, ſo wuͤrde der ꝛte ſicher in 4
Monat mehr Intereſſe ziehen als der erſte in 3 Mo⸗
nat. Es iſt daher billig, daß dieſer leztere auch mehr
Gewinn begehrt, als der erſte, gerade ſo, als wenn

die Zeiten gleich, aber deſſen Leggeld einmal ſtaͤrker

geweſen waͤre. Dieß wirft aber die Rechnung nur
dann aus, wenn man das Einlaggeld eines jeden
zuerſt mit der Zeit multipliziret, und dann die Pro⸗
dukte als in eine Summe bringt.

—

202

pagniſten genau nach Zeit und Einlaggeld zugleich.
Anſicht des gegebenen Beiſpiels.

nat) multiplizirt, gibt zum Produkt 2760. B 600 fl.
mit 4 (Monat) multiplizirt, kommt zum Produkt
2400⁰.
Die Rechnung abzukuͤrzen, kann man dieſe Pro⸗
dukte auf folgende Art verkleinern:

3

3. B. 27 0 ο 9

24000°50°8

1 7
Operation:
fl. 2 9 fl. 2 8
17 340 fl. 17 340⁰

Antw. 180 fl. A Antw. 160 fl. B

Probe:
Gewinn von A 180 fl.
— — B 16090 fl.

Hauptgewinn 3 40 fl.

9) Es mietheten 4 Schaafhalter eine Waide fuͤr
ihre Schaafe um 250 fl. Der erſte trieb 20 Stuͤck
9 Wochen darauf, der zweite 32 Stuͤck 12

Auf dieſe Art richten ſich die Antheile der Kom⸗

Das Einleggeld A 920 fl. mit der Zahl 3 (Mo⸗

Wochen, der dritte 48 Stuͤck 16 Wochen, der

et Kott⸗
zuglech.
ls.
3(M. 20
Hof. —2
Ptodekt 180
384
ſſechr⸗ 768
1536
2868 Stuͤck.
fl. 2
St. 2868
Antwort
fl. 2
St. 2868
3 Antwort
fl. 2
St. 2868
Antwort
d. 2
ck 12 Antwort

1, det

203

vierte 64 Stuͤck 24 Wochen; wie viel muß jeder
zum Beſtand beitragen?

Operation:
32 48 64
12 16 24
64 288 256
32 48 128
384 768 1536
180 Stuͤck.
250 fl.

15 fl. 41 ½ kr. der Erſte.

384 Stuͤck.

250 fl.
33 fl. 28 3,35 kr. der Zweite.

768 Stuͤck.

250 fl.
66 fl. 56 75 kr. der Dritte.

239

1536 Stuͤck.
250 fl.

133 fl. 53 ½ kr. der Vierte.

Probe.

fl. kr.
I. I 5 4 1 3
II. 3 3 2 8 8-
III. 66 56 236
IV. 13 3 53 275
2 5 fl. — 47 2 kr.
23 9
47 8
△

10) Ein Partheigaͤnger, ein Unterofficier, ein Huſar
und ein Bauer haben zuſammen 1810 Rthlr. erbeu⸗
tet, und verglichen ſich, daß, ſo oft der Partheigaͤn⸗
ger 10 erhaͤlt, ein Unteroffizier 8, der Huſar 6,
der Bauer 3 haben ſoll. Wie viel erhaͤlt jeder?

. Aufloͤſung.

◻ R ι°

—
—

27 Theile, haben nach Verhaͤltniß an 1810
= Rthlr., wie 10, 9, 6, 3.
Rthlr. 2 10
27 1810 Rthlr.

Antwort 67012⁹ Rthlr. der Partheigaͤnger.

205
Rthlr. 2 8
27 1810 Rthlr.
Antwort 536 ½, Rthlr. der Unteroffizier.

Rthlr. ?2 6
27 1810 Rthlr.

Antwort 4012 Rthlr. der Huſar.
Rthlr. 2 3
27 1810 Rthlr.

Antwort 201 ⅞ Rthlr. der Bauer.

hrr Probe.
erber⸗ 670 2 Rthlr. der P.
egir⸗ 5 36 W ⸗- — u.
lſer , 40°1 23 – — H.
der? 200 T 7 — — B.

kommen 1810 (2 ganze Rthlr., dieſe zu jenen addirt.

1II) Fuͤnf Bauren haueten gemeinſchaftlich ein un⸗
wachsſames Bezirk Wald von 18 Morgen aus.
“ aa..,. B und 0 gaben jeder 4 Taͤgloͤhner auf 7 Wo⸗
chen zu dieſem Geſchaͤft her; D und h aber jeder

3 Taglohner, welche 11 Wochen lang arbeiteten.
Nun wollen ſie ſelbiges unter ſich theilen, wie
viel darf jedem nach Recht und Billigkeit zuge⸗
e. ſprochen werden?

Aufldſung:

7 11
4 —
2 8 , 8 3
28 Mrg. 2 28 Wochen.
28 W. yg 1YS8 Morgen.
28 75 9
33 251 3
33 — ⁸ 4 3222 Morgen, jeder
51 von A, B und C.

750 Wochen.

Mrg. 2] 33 Wochen.
W. Xyg 18 Morgen.
50 6
98 3 4⅝ Morgen, jede
150 von D und E.

12) Es hinterlaͤßt jemand bei ſeinem Abſterben
ein Vermoͤgen von 8802 Reichsthaler, welches
vermoͤg Teſtaments unter A B C getheilt wer⸗
den ſoll, daß ſich die Theile verhalten wie die

Zahlen , und . Wie viel bekommt jeder?

12 5

*
— P
+r b ◻

O

welche
nuſn di

= =

en, jeder
Bundl.

,jene
uh.

ſerten

belches

ſt en

nrie N
D “

207

Aus der zu theilenden Zahl 9 und den Zahlen

welche das Verhaͤltniß der Theile anzeigen, wird
nun die Gröͤße eines jeden Theils alſo berechnet.

R. 2 822 Rthlr. A.

9 3
3 2934
R. 2 § % 2% 2
9 2
3 2934
2

3 5 6 195 6 Rthlr. B.
3 *—

2 8
2 7
. 16
15 .
— 1 8⁸
18
R. 2 8802
9 4
3 2934
— –
3 1886. 36 2 Rthlr. C.
22
1 8
Probe. 1 S
B I9 5 6 3
C 3912 6
§80/2α Rthlr. 6

Keunzehnter Abſchnitt.

Alligationsregel oder Verbindungs⸗

rechnung.

§. 221.

Wenn mehrere Dinge ſo gemiſcht werden ſollen,
daß eine gegebene Menge herauskomme, in wel⸗
cher die gemiſchten Dinge ein verlangtes Verhaͤltniß
haben, ſo lehrt die Vermiſchungsrechnung die Men⸗
ge finden, welche von jedem Dinge genommen wer⸗
den muß.

3. B. Man ſoll 50 †5 Metall aus Kupfer und
Silber zuſammen ſchmelzen, die Menge des darinn
befindlichen Kupfers aber ſoll ſich zur Menge Silber
wie 3: 5 verhalten. Wie viel braucht man Kupfer
und Silber?
D. 222.
Mittlerer Werth oder Gehalt.
Wenn von einerlei Dinge mehrere Sorten von
verſchiedenen Preiſen (oder Gehalt) miteinander
vermiſcht werden, ſo muß ein gewiſſer Theil von
Gemiſch weniger werth (oder geringhaltiger) ſeyn,

als ein eben ſo großer Theil von der beſſern
Sorte;

Gorke
ſepnt,
ten Go

D
miſche
Mlitel
einer e
von d
man d
miſche
ten W
von der
Maß
werch

Pei

Ne
und
Ger

gene
und
der

unge⸗

ſolen,
1 wel⸗

iltnis

„Men⸗

en wer⸗

fer uid
dorinn
Silber
upſer

lt
en o
ander
l won⸗
) ſeyn,
beſſenn
dtte;

209

Sorte; hingegen werth (oder p von beßern Gehalt)

ſeyn, als ein eben ſo großer Theil von der ſchlech⸗
ten Sorte.

Demnach muß eine gewiße Menge von Ge⸗
miſch einen Werth (oder Gehalt) haben, der ein
Mittel haͤlt zwiſchen dem Werth (oder Gehalt)
einer eben ſo großen Menge von der beſten und
von der ſchlechteſten Sorte, und dieſen nennt
man den mittlern Werth (oder Gehalt) des Ge⸗
miſches, z. B. Es miſcht jemand zweierlei Sor⸗
ten Weins, von der erſten koſtet die Maaß 12 kr.,
von der andern 10 kr., ſo wird vom Gemiſche eine

Maaß weniger als 12 kr. und mehr als 10 kr.

werth ſeyn.

Aus den Preiſen und Menge der Mixtorum den
Preis des Mixti.

§. 223:
Erſte Aufgabe.

Man gibt die Preiſe (oder den Gehalt) und
die Menge der zu einem Gemiſch genommenen Sorte,
und verlangt den mittleren Preis (oder Gehalt) des
Gemiſches zu wiſſen.

Aufloͤſung.
Man addire die von den verſchiedenen Sorten

genommene Menge oder ihre Preiſe (oder Gehalt)

und dividire die Summe der Preiſe durch die Summe
der Mengen.

Beiſpiel.
a) Ein Weinhaͤndler miſcht dreierlei Sorten Wein.
1 Aimer von A koſtet 80 fl., von B 72 fl., und von
C 95 fl.
Nun nimmt er von A 4 Aimer, von B 6 Ai⸗
mer und von C 10 Aimer.

Wie viel iſt 1 Aimer des Gemiſches werth?

4 Aimer fl. fl.
von A 4 — à 80° thut 320
— B 6 — à 72 ⸗ 432
— C r1o — à 905 ⸗ 950
20 1792 893 fl.
16 G
02
180
1 2
BB

Alſo 1 Aimer vom Gemiſch koſtet — 89 fl.

b) Es ſollen dreierlei Sorten Metall A B 0 zu⸗
ſammen geſchmolzen werden, jede Sorte beſteht
aus Silber und Kupfer, und zwar enthalten
16 Loth oder eine Mark von A, 15 Loth fein

Silber, von B 5 Loth, von C 9 Loth. Wie viel

Loth fein Silber werden auſſer dem Kupfer in
einer Mark des gemiſchten Metalls ſtecken, wenn
man von à 9 Mark, von B 20 Mark, und von
C 30 Mark nimmt? .

0
30

99

luth

9)W
Mei
ſind

S=

111II1E E

—

1 Weir.

und von

3 6 %

verth!

3
f.

0 N
beſceh⸗
Itfilt⸗
th fen
U ti
er in
wern
d bon

211

Aufloͤſung.

A 9 Mark à 9 Loth thut 135 Loth f. Silber
B 20 –— à 5 — — 100 — – —
030 — à 9 – — 270 –— – —
59 50 Mrk. Gemiſch enthalten 59 5.0 5 8 23 Loth
35

Alſo 1 Mark vom Gemiſch beſteht aus 8 + 3½
Loth fein Silber und 7 + 2 Loth Kupfer.

c) Was iſt die mittlere Sterbezahl von 22000
Menſchen in Stuttgart, von welchen geſtorben
ſind:
AO. 700 enſchen
80°0
75
8 2 0

780
8 1

780
272

8 Angaben 8 D 62 37 779 Menſchen
6

e
1IEIII
IIII

63
5 6
77
7 2

85
O 2

Menſchen, iſt alſo zwiſchen 779 und 780 Menſchen.
Aus den Preiſen der Mixtorum und des Mixti
die Menge der Mixtorum. .

. 224.
Zweite Aufgabe.
Man gibt die Preiſe (oder den Gehalt) der zu

miſchenden Sorten und den mittleren Preis oder Ge⸗

halt, welchen das Gemiſch haben ſoll und verlangt

die Mengen zu wiſſen, welche von den verſchiedenen

Sorten genommen werden muͤſſen.

Aufloſung.

I. Wenn das Gemiſch nur aus zwo
Sorten zuſammeng eſezt werden ſoll, z. B.
Man ſoll aus einem Wein, wovon die Maaß
24 kr. und einem andern, wovon ſie 16 kr. koſtet,
einen Wein machen, wovon die Maaß 9 kr. koſtet.

Beſſere Sorte: Mittlere Menge von den
Kreutzer 24 Sorte: 3 beſſern Sorten,
ſchlechtere 16 Kreuzer 19 5 von der ſchlechten.
Man ſubtrahire von dem Preis (24) der beſ⸗
ſern Sorte den mittleren Preis (19), ſo iſt der

Reſt (5) die von der geringern Sorte zunehmende

Menge. Nun ſubtrahire man von dem mittlern
Preis (19) den geringern (16), ſo zeigt der Reſt
(3) die erforderliche Menge der beſten Sorte.

Die mittlere jaͤhrliche Sterbezahl von 220090

z

von
10

Sor

22000
enſchen.
8s Müri

) der
lder Ge⸗
herlangt
jedenen

6 ziot
1,5.B.
Mnß
loſtet,
ſoſtet.

n den
orten,

lcten⸗

derl⸗
ſt der
mende
gttletn

Neſt

213

II. Wenn das Gemiſch aus mehr als

zwo Sorten beſtehen ſo ll, z. B.

Man ſoll dreierlei Sorten Kaffee miſchen;
1I 5 von A koſtet 14 Batzen, von B 12 Batzen,
von C 9 Batzen, und 1 [5 vom Gemiſch ſoll
10 Batzen koſten, wie viel muß man von jeder

Sorte nehmen?

1) Zuvor iſt zu merken, daß man hier von zwo
Sorten die Menge annehmen kann wie man
will, und die Aufgabe doch aufgelost bleibt,
z. B. Man nehme von A 3 5, von B 5 .

2) Nun berechne man nach (§. 223.) den Werth
eines Gemiſches aus beiden willkuͤhrlichen Men⸗
gen von A und B. Nemlich:

A 3 f5 à II Batzen, thut 33 Batzen,
B 5 15 8 — — 40 —
8 f vom Gemiſch 23 Batzen.
folglich 1 5 vom Gemiſch 0ε Batzen.

-

Zwanzigſter Abſchnitt.

Die Regel de Quinque u. ſ. w.

und

Zuſammenſetzung der Verhaͤltniſſe.

§. 225.
.

WVft beſtimmt ſich eine Groͤße nicht aus einer al⸗

leein, ſondern aus mehrern zugleich. Alsdann muß

man unterſuch en, wie ſie ſich aus jeder allein beſtim⸗
men wuͤrde; wenn die andern beiſeite geſezt wer⸗
den, z. B.

1) Intereßen verhalten ſich bei gleichen Zeiten und

Procenten wie die Kapitalien; bei gleichen Kapi⸗

talien und Procenten wie die Zeiten; bei gleichen
Zeiten und Kapitalien wie die Procente.
2) Wenn die Rede iſt von Arbeitern, der Zeit, wel⸗
che ſie brauchen, den taͤglichen Arbeitsſtunden

und dem Werk, das ſie verfertigen, ſo iſt klar,

daß mehrere Arbeiter in mehr Zeit, und wenn ſie
taͤglich mehr Arbeitsſtunden nehmen, ein groͤßeres
Werk zu Stande bringen; z. B. 60 Perſonen
bringen innerhalb 8 Wochen einen Graben, wel⸗
cher 210 Fuß lang, 15 Fuß breit und 8 tief iſt,
zu Stande, wie viel braucht man zu einem an⸗
dern Graben, welcher 170 Fuß lang, 12 Fuß

von
her

1..

ſiſe.

ner ol⸗
n nuß
Reſtiurn⸗
ign wer

eten und
en Kopi⸗

gleicſen

t, wel⸗
Sſtunden
,
gennſe
guifns
letſoten
1, wel⸗

ef iſt,

n en

1

215

breit und 5 Fuß tief werden ſoll, um ſelbigen
in 10 Wochen herzuſtellen?
Hier helfen Perſonen und Wochen die Arbeit
beſtimmen, und die Arbeit ſelbſt haͤngt wieder ab
von der Laͤnge, Breite und Tiefe des Grabens, da⸗
her muͤſſen die Beſtimmungen beieinander bleiben.
Das oben gegebene Beiſpiel erhaͤlt (bei der
Reeſiſchen Regel) folgende Stellung:

Perſonen 2
Wochen 1
Graben 1
F. Laͤnge 210
F. Breite 15
7
3
5

Anſa tz.

1 Graben
179 Fuß lang
12 Fuß breit!
5 Fuß tief
8 Wochen
6ο Perſonen
4
2 136

10 4

54 4
I

35 ]5.4 4 0] 126 ¾2 Perſonen
35 d. Arbeiter.

9 4
7 ◻
2 4
210

- 3 ◻

*

Anmerkung.

Der Bruch 30 Arbeiter bedeutet nichts ungereim⸗
tes, weil eigentlich nicht die Perſon eines Arbei⸗
ters ſondern ſeine Arbeit in Rechnung gebracht wird,
welche ſich wohl theilen laͤßt.

3) Iſt die Frage von Proviant, von Verzehrenden,
und der Zeit in welcher ſie denſelben verzehren, ſo
. iſt bekannt, daß mehr Verzehrende in mehr Zeit
auch mehr Proviant brauchen, alſo iſt Proviant
die beſtimmte Groͤße.
Dieſe Faͤlle und Erklaͤrungen werden hinreichen,
um andere darnach zu beurtheilen.

Regel der Zuſammenſetzung der Verhaͤltniſſe und
der zu beſtimmenden Groͤße.

d. 226. —
Man ſezt alle Verhaͤltniße, wovon die beſtimmte

dentlichen Verhaͤltnißen das vorhergehende Glied zu
der gegebenen Groͤße, die mit der geſuchten gleich⸗
namig iſt, gehoͤre, das folgende aber zu der geſuch⸗
ten Groͤße ſelbſt, in den umgekehrten aber dieſe Stel⸗
lung umgekehrt werde. Das Produkt aller vorher⸗
gehenden Glieder gibt das erſte Glied der Propor⸗
tion, das Produkt der folgenden das zweite, die ge⸗
gebene mit der geſuchten Groͤße gleichnamige, das
dritte und die geſuchte Groͤße iſt das vierte Glied.
Jedes der komponirenden Verhaͤltniße muß mit die⸗

Groͤße abhaͤngt, unter einander, ſo daß in den or⸗

ſen be
richtig
ſilni⸗

Frage

3
ein Fe
ſelbee
beide⸗

ein Gre
ſen, v
und J
che 3

komm

ngerein⸗
s Arber

ſchtwis,

hrenden,

ehren, ſ.

nehr Net
Povicrt

nreichen,

e vnd

Ffinnt⸗
en ot⸗
lied zu
gleih⸗
geſch
Ent⸗
ther⸗
Moror⸗
Neege⸗
„ da
Gled.
die⸗

217

ſen beiden Gliedern, was die Stellung betrift, eine
richtige Proportion machen, wenn alle uͤbrige Ver⸗
haͤltniße auf die Seite geſezt werden.

Fragen, da die beſtimmte Große ein Produkt iſt.

§. 227.
Wenn die beſtimmte Groͤße eine Flaͤche iſt, z. B.
ein Feld, welches bearbeitet werden ſoll, ſo iſt die⸗
ſelbe ein Produkt aus der Laͤnge und Breite, welche
beide Zahlen immer unter einander geſchrieben werden.

Iſt die beſtimmte Groͤße ein Koͤrper, z. B.

ein Graben, eine Mauer, ein Heu⸗ oder Holzhau⸗

fen, u. ſ. w. ſo iſt dieſelbe ein Produkt aus Laͤnge
und Breite und Hohe oder Tiefe oder Dicke, wel⸗

che 3 Zahlen, auch mehrere⸗ immer unter einander

kommen.

Aufgabe.

2) Mit 2 Pferden iſt man in einem Tag im Stande
ein Feld umzuackern, welches 16 Ruthen lang und
6 Ruthen breit iſt; wenn nun ein Feld 21 Ruthen
lang und 8 Ruthen breit iſt, wie viel Tage haben
4 Pferde daran umzuackern? (die Ruthh⸗ zu 16
Fuß.)
Dis iſt die Bedingung: „
Wie viel Tage werden 4 Pferde an einem Felde
ackern, welches 21 Ruthen lang und 8 Ruthen
breit iſt; wenn 2 Pferde in einem Tag ein Feld

218
beackern, das 16 Ruthen lang und 6 Ruthen breit
iſt? dis iſt die Frage der Aufgabe.
Aufloͤſung.
Tag ? 44
([Pferd z 191
(Tag r MM ,
[B. F. 227 8
CL. F. 7 2
2
7— 88 1IX Tag.
71
—
l ibelde
3
Der Anſatz kann auch ſo angeſchrieben werden: beſti
„ man dividirt mit dem Produkt, welches auf der de
Seite von (?) herauskommt, das Produkt von der 2
andern Seite gibt dem Quotienten den Namen, der 5.
neben (?) ſteht. daß
([Pferde 2 16 F. lang) . r
[Tag r. 6 F. breit 2=
(Laͤnge 21 4 Pferde in
(Breite 8 2 R
„ Antw. 1 ¼ Tag.

3) Ein hoͤlzerner Balken, der 4 Fuß lang, 3 Fuß
breit, und 2 Fuß dick iſt, wiegt 240 I5; wie viel
wird ein anderer Balken von dem nemlichen Holz
waͤgen, der 10 Fuß lang 4 Fuß breit 1 Fuß dick

hen bret

werden:
auf der
tbon der
hen, de

—

3 li
ie tiel
n h

219
. 2 1 Balken
ſlang, Fuß 1g9 Fuß lang]
6 breit, — *£ Fuß breit
(dick, — 2 1 Fuß dick
223 [5.
80
5

— ——

—

Antw. 400 IB.

Erklaͤrung.
Hier bei der Frage der Aufgabe darf man nur
uͤberdenken, daß die Laͤnge von 4 Fuß die Breite von
3 und die Dicke von 2 Fuß die Schwere des Balkens
beſtimmen; folglich muͤſſen nach der Regel (§. 226.)
die erſten Zahlen auf eine Seite zu ſtehen kom⸗
men, und das dadurch beſtimmte Gewicht von 240
B. auf die andere. Nun zeigt ſich ſchon von ſelbſt,
daß die uͤbrigen gegebenen Zahlen auf die Seite,
wo 240 f5. ſtehen, gebracht werden muͤſſen, weil
ſie, vermoͤg der Regel, den andern Groͤßen, die
einerlei Bedingung haben, gegenuͤber zu ſtellen ſind.

(§K. 227.)

4) Gewiſſe Unterthanen, denen jaͤhrlich 3000 Klaf⸗
ter Holz zu 2 fl. zu ſchlagen erlaubt war, verlaͤn⸗
gerten den wirtembergiſchen Schuh um 1tels Zoll.
Wie viel darf die Herrſchaft zur Schadloshaltung
an Geld fordern, wenn ſie 7 Jahre hindurch die⸗
ſen gewiſſenloſen Betrug geſpielt haben?

fl. ? 7 Jahr
Klafter 1 3000 Klafter
Jahr 1 12 ¼ Zoll in der Breite
W. 3. 12 124. Zoll in der Laͤnge
L. 3. 12 Cr⸗ Zoll in der Scheuterlaͤnge
Scheuterl. Z. 12 2 “
Antw. 44680 3 fl.
42000

Schadloshaltung 2680

—.—

S fl. s

fl. ? 3 °0°6⏑ Klafter
Klafter 1 7
Jahr 1 2 fl.
2 1IOOι¾ O½
2
42000⏑ fl.
5) Wie viel Gulden koſtet der Sand zu einer Mauer,
welche 15 Fuß lang, 4 Fuß breit und 5 Fuß hoch iſt,
in Vergleichung mit einer andern Mauer, welche 28
Fuß lang, 2 Fuß breit und 4 Fuß hoch iſt, wozu man
32 Kaͤſten Sand brauchte, und der Kaſten Sand
28 kr. koſtete?
fl. 2 1 Mauer
Mauer x. 15 Fuß lang)
1 breit, FPFuß 28 4 Fuß breit 4
4lang, Fuß 2 5 Fuß hoch)
U hoch, dus 4 28 kr.
kr. 60 1 fl.
Antwort 20 fl.

.
mmit en
Podu

V dio

G
kunger
kunge
dingn
wirke
Zeite
Pitel
lende

6)
2

terline

Peuer,
ch iſ,
ſche 28
zumman
1Gnnd

22 1

Wenn auch mehrere Bedingungen auf dieſe Art
mit einander verbunden werden, ſo ſind doch ihre
Produkte proportional.

Als:

Es ſey alſ T : t
und C: e

ſo iſt C T : e

I II

WV : e

EP: e V

Oder wenn man die beiden letern Glieder durch
V dividirt, ſo iſt CT : ec E :

Es bedeuten hier T und t Zeiten, E und e Wir⸗
kungen, C und e die Urſachen, welche dieſe Wir⸗
kungen hervorbringen, ſo ſind allemal die beiden Be⸗
dingungen (Proportionen) richtig, nemlich wenn die
wirkenden Urſachen gleich ſind, ſo verhalten ſich die

Zeiten wie die Wirkungen. z. B. Es wuͤrde ein Ka⸗
pital von 7836 fl. angelehnt, ſo iſt dieſes eine wir⸗

kende Urſache.

6) Als: 7836 fl. zu 4 ¼ Procent angelegt, wie viel
Intereſſe traͤgt es in 5 Jahren 7 Monaten und
25 Tagen?

Aufloͤſung.
Intereſſe fl. 2 7836 Kapital fl.

fl. 100 5 3 & fl.
( Jahr 1 HD fl. Int.
62

7) Einer bekommt alle halb Jahr 2½ Reichsthaler
Intereſſe von 100 Reichsthaler Kapital, und fin⸗
det in ſeinem Schuldbuch, daß er in 8 Jahren
eben 920 Rthlr. Intereſſe eingenommen habe; wie
viel iſt ſein Kapital geweſen?
(Kap. Rthlr. 100] 2¼ Rthlr. Intereſſe
J. 4, ?2 Rthlr. Kapital
3 Jahr 3

Antw. 2300 Rthlr.

—

) Wuͤrdige Vorſteher eines Konſiſtoriums ſind ent⸗
ſchloſſen, ,ein Erziehungsſeminarium (zur Bildung
fuͤr Schulkandidaten) anzulegen, das monatlich
250 fl. zu unterhalten koſtet: Was muͤſſen die
Landſtaͤnde fuͤr ein Kapital vorſchieſſen, wenn man
dieſe nuͤzliche Anſtalt mit jaͤhrlichem Intereſſe zu
5 Procent unterhalten will?

Aufloͤſung.

fl. 2 1 32 fl.
M. r 12
3. fl. 5 2 5 fl.

Antw. 600ο⁄ο⏑ιο⏑ fl.

7S
2ut
lang!

10) We
ches⸗

11)
gtbe
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1)

—

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eſſe
l

ſud ent⸗
Bildung
Cgatlich
ſen die
vennmnn
ereſe u

9) Wie viel Kubikruthen haͤlt eine Mauer, welche
7 Ruthen lang, 4 Ruthen breit (oder hoch) und
2 Ruthen dick iſt. Eine Kubikruthe iſt = I Ruthe

lang und 1 Ruthe breit und dick.

R. K. 2 7 Fuß lang
[lang 1 4 Fuß breit
4Nbreit 1 2 Fuß dick
(dick 1
Antw. 56 Kubikruthen.

10) Wie viel Quadratſe chuh haͤlt ein Fenſter, wel⸗

ches 5 Fuß lang oder hoch, und 4. Fuß breit iſt?
F. OQ. 2 5 Fuß, lang
(lang 1 4 Fuß breit
breit 1 1I Quadratfuß
Antw. 20 ◻ Fuß.
11) Wie viel Kubikfuß haͤlt ein in das Gevierte be⸗
arbeitetes Stuͤck Holz, welches 36 Fuß lang, 18
Zoll breit und 16 Zoll dick iſt?
F. K. 2 36 Fuß lang
1I2 18 Zoll breit
1r12 16 Zoll dick.
1 12

Antw. 6 Kubikfuß.

12) 25 Schreiber, von welchen jeder in einem Tag
9 Stunden ſchreibt, ſchreiben in 8 Tagen 36 Buch
Papier; wenn man 15 Schreiber nimmt, deren

224

jeder in einem Tag 8 Stunden ſchreibt, in wie
viel Tagen ſchreiben ſelbige 28 ¾ Buch Papier voll?

Tage 2 [25 Schreiber
Pap. Bch. 36 r Tag
[Schr. 15 [„ Stunden
8 T. r 284 Buch Papier
St. 8
Antw. in 12 Tagen.

13) Ein Kapitaliſt, ſo von Intereſſen lebt, wurde
einſt von einem andern gefragt: wie hoch ſein
ausgeliehenes Kapital wohl ſich belaufe? Er er⸗
wiederte, ſo richtig wiſſe er es eben nicht anzu⸗
geben — doch in 4 ½¼ Jahren erhalte er laut ſeines
Schuldbuchs 462 ¼ fl. Zins, und bekaͤme dem Zins⸗

fuß nach nicht weiter als 3½¼ fl. Was hat dieſer 4

Kapitaliſt fuͤr eine SLumme ausgeliehen gehabt?
Kap. fl. 2 (462 4 fl. Zins
[Zins fl. 3 ½ 1 Jahr
¶Jahre 4 rvoo fl. K.

3,g fl.

T 3
35

3 5 I IIO9600 3 1 6 1
rosà. .
3 6
5 I

T
T

D DO

£ ο
.P ρ

19) M
ch
den,
VFu⸗
mern
in
3

225⁵

„in wie 14) Mit einem Malter ungeloſchten Kalk können
lertaata! nach Loſchung deſſelben 8 Zimmer geweißet wer⸗
den, deren jedes 28 Fuß lang, 10 Fuß breit und
12 Fuß hoch iſt; wie viel wird man Kalk zu 14 Zim⸗
mern brauchen, wovon eins 32 Fuß in die Laͤnge,

Du 18 in der Breite, und 15 in die Hoöhe betraͤgt?
Malter 2 14 Zimmer
(Zimmer 8§ 22 Fuß Laͤnge
Laͤnge Fuß 73 185 Fuß Breite
t, vgee Breite — 1 15 Fuß Hoͤhe
ſoch ſen Hoͤhe — 7 r Malter
Er elt⸗ 2 7
t anz⸗ 4 9 ⸗
n ſoins 14 4
en ⸗ —
hot deſe . 4 6

15) Wie viel Aimer (160 Maaß) haͤlt ein viereckig⸗
ter Waſſertrog, welcher 16 Fuß lang, 4 Fuß breit,
ſ⸗ und 3 Fuß hoch und dick iſt?
Aimer ? 16 Fuß lang
lang, Fuß 1 4 — breit d
breit, — 1 3 — dick
dich, — r
Kubikfuß 24 Maaß
Maaß 160 1 Aimer

Antw. 28 4 Aimer.

—

226

16) Wann ein Scheffel Dinkel 5§ fl. koſtet, ſo ver⸗
kauffen die Becken (in unſerer Gegend nach einer
Schatzung von Stuttgart) 3 5 Brod fuͤr 7 ¼ kr.
Was koſtet dieſe Portion Brod (eben dieſes Ge⸗
wichts) wenn der Scheffel Dinkel 8 ½ fl. koſtet?
Scheffel 1 7 z kr.
fl. 5 [r Scheffel
C P. 3 3 81 fl.
kr. 2 C 3 PF.

Antwort: 12 ¾ Kreuzer.

17) Ein Fuhrmann, der die Fracht Meilenweiſe be⸗

dingt, laͤßt ſich von 6 Waͤgen 9 Meilen weit 72 fl.
bezahlen, wie viel gebuͤhrt ihm, wenn er mit 27
Waͤgen (Fuhren) 15 Meilen weit fahren muß?
fl. 2 27 Wochen
15 Meilen
Waͤgen 6 7y2 fl.
Meilen 9 12 3
36
15
180
3 6
Antw. 5 40 fl. koſten 27 Waͤgen,
15 Meils weit zu fahren.

18) Mit einem gewißen Vorrath von Lebensmitteln
koͤnnten 3500 Mann auf 4 Monat 2 Taͤge er⸗

halt
mne.
der
zure
wer

96
duß
8 9
muͤf
fel

lan

ſo bet⸗
ch einer
71 t.
iſes Ge⸗
l beſte!

Kreuger.

elſe be⸗
f.
Wit 21
muß!

Viten,
ſſrfen.

nitielt

ile

227

halten werden, wenn jeder taͤglich 2½ f5 bekaͤ⸗
me. Nun kommen noch 300 Mann dazu, und
der nemliche Vorrath ſoll auf 5 Monat 18 Tag
zureichen; wie viel kann jezt einem Mann gereicht
werden?
Mann 3500 I Vorrath
Tage 127 3800 Mann
taͤgl. 15. 2 168 T
Vorrath 1. 2 5 taͤglicher Vorrath

Antwort: 1 5. 23 ¾ Loth.

19) Ein Fruchtboden, welcher 48 Fuß lang, und 50
Fuß breit iſt, faßt 220 Scheffel Frucht, wenn
es 9 Zoll hoch gelegt werden darf. Wie hoch
muͤſſen auf einem andern Fruchtboden 180 Schef⸗
fel aufgeſchuͤttet werden, welcher nur 32 Fuß
lang und 18 Fuß breit iſt?
Fruchtboden 220 Scheffel
(S. F. 32 3 hoch
4 I. F. 18 48 F. l.
Schfl. 220 ( 50 F. br.

Antw. 1 2, Fuß hoch.

Lin und zwanzigſter Abſchnitt.

Das leichteſte und nothwendigſte
von der

Interuſurienrechnung.

. 228.
Interuſurium oder Rabatt.
Einer hat uͤber 1 Jahr 100 fl. einzunehmen, und

wuͤnſchte ſolche gleich jezt in baarer Geldſumme zu
erheben; fragt ſich, was ihme muͤſſe bezahlt werden?

zieht man ihm die gewoͤhnliche Zinſe mit 5 fl. davon,
ſo hat er noch 95 fl., legt er ſolche in Zinſe an, ſo

betragen ſolche = 4 fl. 45 kr., werden die 95 fl. Ka⸗

pital dazu geſchlagen, ſo kommen = 99 fl. 45 kr.
Er ſolle aber 100 fl. haben, und muͤßte ihm wirk⸗

lich Unrecht geſchehen, woraus ſicher folgt, daß,
weil er das, was er jetzo baar empfaͤngt, ſamt dem,
was ſolches in einem Jahr Zins traͤgt, juſt 100 fl.
ausmachen ſollte, ihm baar bezahlt werden muß:
= 99 fl. 14 .1 kr.
Hiezu den Zins aus 9 fl., thut 4 fl. 45 kr.
— 14
20
6 3 kr.
420 210
100 ſ. ſamt Intereſſe.

U00

biel h
andere
obzube
rium.

Ver

G
gebenen
ahitol
lent we

.
jhrli
ſll,
ird,
ſn,
wo
den ab
mit
bis z
ſo ſi
3
llo f
zon
I hle.

229

Die Rechnung, wodurch gefunden wird', wie

viel baares Kapital eben ſo viel ausmache als ein
iſtt. anderes, welches erſt nach Verfluß einiger Zeit
abzubezahlen iſt, heißt Rabatt — oder Interuſu⸗
rium.
Verwandlung eines aufgezielten Kapi⸗
119. tals in baares.
§. 229.
Aufgabe.
. Eiin gegebenes Kapital ſollte erſt nach einer ge⸗
gebenen Zeit bezahlt werden, wie groß muß ein
1, und Kapital ſeyn, welches anſtatt des uͤbrigen baar er⸗
hnnd 1. legt werden darf?
miet Aufldſung.
S Man verfaͤhrt alſo: man bringt das Ziel, das
ſe an, 6 jaͤhrlich, oder auch mehrere Jahre bezahlt werden
Gll ſoll, zu Kreutzer, und wenn ganz genau gerechnet
. Skr. wird, zu Heller, und werden 5 von 100 abge⸗
n vit⸗ zogen, ſo muß der Kreutzer oder Hellerſumme mit
1, , 100 multiplizirt, und mit 105 dividirt werden; wer⸗
antden, den aber 6 von. 100 abgezogen, ſo multiplizirt man
ſtrf mit 100 und dividirt mit 106, ſollten aber 7, 8
en muß! bis 10 wie gewoͤhnlich von 100 abgezogen werden,
. ſo wird immer mit 100 multiplizirt und mit 107,

108, 109 u. ſ. w. dividirt.
3. B. wenn 100 fl. in 10 Jahren jaͤhrlich mit
3t. 1I0 fl. bezahlt werden ſollen, ſo ſind ſolche, wenn
5 vom 100 abgezogen werden, baar werth 77113 kr.
te geſe⸗ 1 hlr.

Das Verfahren dabei:
10 fl. geben 600 Kreutzer oder 3600 Heller, die⸗
ſe mit 100 multiplizirt und mit 105 d dividirt, gibt
fuͤrs erſte Jahr 3429 Heller. 3429 mit 100 multi⸗
plizirt und mit 105 dividirt, gibt fuͤrs zweyte Jahr
3265 Heller.
8265] ( z3te Jahr 3110 hlr.

3110 Ate — 2962 –
2962 Ite — 2821 —

2821 mit 100 multiplizirt, und 6te — 2686 —
2686 f mit 105 dividirt, gibt fuͤs 7te — 2558 –

2558 8te — 2437 —
2437 gte — 2321 —
2321 rote — 2210 –

Ganze Hellerſumme 27799
Dieſe mit 6 zu Kreutzer, und mit 60 zu Gul⸗
den gemacht, iſt = 77 fl. 13 kr. X hlr.
Diieſe hier angezeigte Methode iſt auf alle vor⸗
kommende Jahrzieler anwendbar.

Verwandlung der Zieler in baares
Kapital.

G. 230.
Eben ſo wird verfahren, wenn ein Kapital Zie⸗
lerweiſe, d. i. wenn die Theile eines Kapitals zu
verſchiedenen Zeiten (Zielern) bezahlt werden ſollen.
Man berechne nemlich nach obigem (§F. 229.)
fuͤr jeden Theil des Kapitals das gleichgeltende baare,
und bringe die erhaltene Zahlen in eine Summe.

Vet

Zeitt
Nun
ner d

den:
Md
dem

Fil
lun
alß⸗
lerbea
481
han

er, Ne:

tt, gbt
00 fflti⸗
ehte Joſt

loft.
29602 —
l =
2686-
355—
497 —
21 =

210—
—

20
zu

ole vor⸗

ſates

nle⸗
bnlͦ N
0 ſlen.
29.
ebaalt,
nine.

231

Verwandlung mehrerer Zeitterminen

in einen einzigen.
. 231.
Aufgabe.

Man gibt die Theile eines Kapitals und die
Zeittermine, da ſie haͤtten ſollen bezahlt werden.

Nun will man die Zeit wiſſen, wie lang der Schuld⸗

ner das ganze Kapital beiſammen behalten duͤrfe.

Aufloͤſung.
Man multiplizire jeden Theil des Kapitals mit
den Zeitterminen, in welchen er ſollte abbezahlt
werden, addire dieſe Produkte und dididire ſie mit
dem ganzen Kapital.
Dis wird hinlaͤnglich ſeyn, alle vorkommende
Faͤlle leicht zu berechnen. Wer es vollſtaͤndiger ver⸗
langt, dem empfehle ich meine im Jahr 1797 her⸗
ausgegebene „Anweiſung zu einer vollſtaͤndigen Zie⸗
lerberechnungs⸗Methode ꝛc. mit Tafeln“ welche fuͤr
48 kr. bei mir und bei Hrn. F. Chr. Loflund, Buch⸗
haͤndler (in der Gymnaſiums⸗Gaſſe) in Stuttgart
zu haben iſt.

Von andern Rechnungsregeln.

§. 232.

Mit denen bisher gegebenen Regeln laſſen ſich
alle Aufgaben leicht beantworten, welche im gemei⸗
nen Leben noch weiter vorkommen. Als: Holz⸗

232

Heu⸗ Accis ⸗Tauſch⸗Theilungs⸗Steuer⸗Wechſel⸗
Gewinn und Verluſt⸗Bergwerks⸗Muͤnz⸗Gold⸗
und Silber⸗Rechnung, u. ſ. w.

Zur Berechnung derſelben, werden nur die vier
Rechnungsarten: Reeſiſche Regel, Regel de Quin⸗
que, und die uͤbrigen hier vorgetragenen Regeln,
entweder einzeln oder einige zugleich erfordert, in⸗
dem es uͤberfluͤßig waͤre, die Bogenanzahl zu ver⸗
mehren — und das Buch aus dieſer Urſache koſt⸗
ſpielig zu machen.

ur die lier
de Auln
Regeln,
dert, i⸗
zu ber⸗

che koſ⸗

Anleitung

zu den
beim Bauweſen
vorkommenden

Rechnungsgegenſtaͤnden.

Vorlaͤufige Erklaͤrungen.

Q. I.
Was ein Koͤrper iſt.

Aues was wir hier vor uns ſehen, Tiſche, Buͤ⸗
cher u. d. gl. wie es auch Namen haben mag, nen⸗
net man uͤberhaupt Korper; und an dieſen Koͤrpern
bemerkt man, daß ſie nach drei verſchiedenen Rich⸗
tungen ausgedehnt ſind, welches man die Laͤnge,
Breite und Dicke nennt.

QD. 2.
Was eine Flaͤche iſt.
Das Aeußerſte was man an einem Koͤrper ſieht,
heißt die Flaͤche deſſelben. Daher kann eine Flaͤche
blos nach der Laͤnge und Breite betrachtet werden.
Denn ſo bald man die Dicke mit in Erwaͤgung zoͤge, ſo
wuͤrde man nicht mit der Flaͤche allein, ſondern mit
dem ganzen Koͤrper ſich beſchaͤftigen. (§K. 1.)

Was eine Linie iſt.

Das Aeußerſte oder die Grenze einer Flaͤche nen⸗
net man die Linie. Folglich ſiehet man bei einer Li⸗

nie blos auf die Ausdehnung nach der Laͤnge, ohne
dabei an die Breite und Dicke zu denken.

Was der Punkt iſt.

Die Stelle wo ſich zwei Linien ſchneiden, nennt
man einen Punkt. Daher betrachtet man auch den

Punkt als die Grenze der Linie, da nemlich, wo die

Laͤnge der Linie aufhoͤrt, iſt der Punkt.

§. 5.
Was Meſſen heißt.
Die Koͤrper, Flaͤchen und Linien haben eine ge⸗
wiſſe begrenzte Groͤße. Und wenn man dieſe Groͤße

auf eine zuverlaͤßige Weiſe ſo beſtimmt, daß ein jeder
ſich davon einen Begriff machen kann, ſo heißt das:

man mißt den Koͤrper, die Flaͤche oder die Linie aus.

§. 6.
Was der Maasſtab iſt.

Zur Ausmeſſung der Linien nimmt man eine
andere beſtimmte Linie, welche mit der Laͤnge des
Fußes oder Schuhes eines erwachſenen Menſchen
ungefaͤhr uͤbereinkommt, und nennt dieſes einen Fuß
oder Schuh. Und ein Staab, worauf eine oder
mehrere von dieſen Fuͤßen verzeichnet ſind, heißt ein
Maasſtab. — Dieſer Maasſtab dienet demnach zur

Ausmeſſung der Linien, und man ſagt z. B. eine

Linie ſ
Linge

ſen 9

Maam
die E
den ſ
lebien
lözn
eine A
obet
uß b
und d
chen.
welche
tman ſ.
ne

Ein
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ein
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huch den

,bo die

anege⸗
Griß⸗
ef eder
r dos:
eane.

gen ein
e de
Perſher
lder
ftein
h zur
eine

237

Linie ſey 122 Fuß lang, wenn 12 einzelne Fuͤße die
Laͤnge der ganzen Linie ausmachen.

. 7.
Wie vielerlei Maaße es gibt.
Es muß ſo vielerlei Maaße geben, als es Groͤ⸗
ßen gibt, welche ausgemeſſen werden koͤnnen. Die
Maaße muͤſſen auch von der nemlichen Art ſeyn, wie
die Sache ſelbſt, welche dadurch ausgemeſſen wer⸗
den ſoll, das heißt: zur Ausmeſſung eines Koͤrpers

bedient man ſich eines Koͤrpers; um eine Flaͤche

auszumeſſen bedient man ſich einer Flaͤche, und um

eine Linie auszumeſſen einer Linie. Nehmen wir

aber eine Flaͤche, welche einen Fuß lang und einen
Fuß breit iſt, ſo nennt man das einen Quadratfuß,
und dieſer dient demnach zur Ausmeſſung der Flaͤ⸗
chen. Nimmt man aber endlich auch einen Koͤrper,
welcher einen Fuß lang, breit und dick iſt, ſo heißt
man ſelbigen einen Kubikfuß, und dieſer dient zur
Ausmeſſung eines Koͤrpers.

Anmerkung.

Ein korperliches Maaß iſt ein ſo ungewohnliches Ding
nicht als es anfangs ſcheint. Denn daß man z. B.
ein Aimerigs Faß mit Kannenmaaß ausmißt, iſt
eine alltaͤgliche Sache. Man gebe aber dem Kan⸗
nenmaaß eine kubiſche Geſtalt oder die Figur eines
Wuͤrfels, ſo wird man einen Begriff davon be⸗
kommen, wie ein Koͤrper, z. B. ein Aimerigs Faß,
durch einen wuͤrfelformigen, d. i. durch einen ku⸗

“

238

biſchen Korper ausgemeſſen werden kann. — Das
Quadrat oder Flaͤchenmaaß iſt auch im Anfang nicht
gleich auffallend deutlich und bekannt, doch ſind
verſchiedene Handwerker, namentlich Schreiner
und Glaſer gewohnt, Fußboden und Fenſter nach
Quadratfuͤßen auszumeſſen; und ſelbſt der Schnei⸗
der fraͤgt, ob man 10 oder 11 Viertel breites Tuch
zum Kleide nehmen will, ehe er die Anzahl der
Ellen beſtimmt, d. i. er beſtimmt die Quantitaͤt des
Tuches nach Quadratellen, obgleich ſeine Idee
dabei nicht vollkommen klar iſt; er treibt es ut
apes geometriam. .

Fernere Abtheilung der Maaße.
§. 8.

Eine Linie kann ſo lang ſeyn, daß es unbequem

fiele, ſelbige mit einzelnen Fuͤßen auszumeſſen.
Man nimmt alsdann (10) 12 oder 16 Fuß (beim
Bauweſen nur 12) auf einen Maaßſtab bei einan⸗
der, und nennet das 1 Ruthe. Oder die Linie kann
ſo kurz ſeyn, daß die Laͤnge eines Fußes zu groß
dazu waͤre. Um aber die Worte Ruthen, Fuͤße,
Zoll u. ſ. w. kurz auszudruͤcken, bezeichnet man
ſolche o,, , , z. B. 4 Ruthen, 3 Fuß,
5§5 Zoll, 7 Linien, ſchreibt man ſo: 40 3. 50 2577.

Von Ausrechnung des Quadrats.

Ein Quadrat halte auf jeder Seite 6 Fuß; —

wenn man nun das Ganze durch die den Seiten pa⸗

1

ralele
ſudet
ßen, ſi
ans fe
OQuad
mit ſi
6 gil

Ws

3) En

cher
ſen

gi
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Fr
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3 iß/

61.

H
ts.

6,=
len tpe

239

rallellauffende Linien in Quadratfuße abtheilt, ſo
findet ſich, daß 6 Reihen, jede von 6 Quadratfuͤ⸗
ßen, ſich darinn befinden, welches 24 betraͤgt. Dar⸗
aus folgt alſo die Regel, daß der Innhalt eines
Quadrats gefunden wird, wenn man ſeine Seite
mit ſich ſelbſt multiplizirt, d. i. in dieſem Fall 6mal
6 gibt 24 Quadratfuͤße.

Was ein Kubus oder Wuͤrfel iſt und wie ebher
ausgemeſſen wird.

G. 10. 3.
Erklaͤrungen.

) Ein Kubus oder Wuͤrfel iſt ein Koͤrper, wel⸗
cher durch ſechs Quadrate rechtwinklicht eingeſchloſ⸗
ſen iſt.
2) Man kann ſolche Figur, (um einen deutlichen Be⸗
griff zu bekommen,) aus Pappe zuſammen kleben,
wenn man die ſechs Quadrate in der Ordnung
zuſammen zeichnet und abwechſelnd eine Seite um
die andere einen kleinen Rand zum anleimen ſte⸗
hen laͤßt.
3) Wenn dieſe ſechs Quadrate, jedes 1 Fuß lang
und breit ſind, ſo ſind es Quadratfuͤße (§. 7.) und
der daraus zuſammengelegte Wuͤrfel heißt ein Ku⸗
bikfuß (S. 7.)
4) Dieſer Kubikfuß nun iſt das Maaß, womit groͤ⸗
ßere Koͤrper ausgemeſſen werden koͤnnen; indem
man nemlich unterſucht, wie viel dergleichen Wuͤr⸗
fel in einem groͤßern Koͤrper enthalten ſind.

24⁰

5) Damit man aber auch kleinere Koͤrper ausmeſ⸗
ſen koͤnne, ſo theilt man den Kubikfuß in Kubik⸗
zolle, und bei naͤherer Betrachtung eines ſolchen
Kubikfußes findet man: a) daß die Oberflaͤche
12mal 12 Quadratzolle, und alſo zunaͤchſt un⸗
ter der Oberflaͤche 144 Kubikzolle enthalten ſind.

p) Daß dergleichen Lagen von 144 Kubikzoll 12 an

der Zahl vorhanden ſind, mithin 12mal 144 Ku⸗
bikzolle in dem ganzen Wuͤrfel, d. i. 1728 Kubik⸗
zolle im Kubikfuße enthalten ſind.

Berechnung der Koͤrper nach Kubikmaaß.

. TII.
VPorſtellung hievon:
3. B. Ein rechtwinklichter Koͤrper oder eine
Mauer waͤre 30 Fuß lang, 5 Fuß breit oder dick
und 12 Fuß hoch, ſo iſt leicht einzuſehen, daß, um
eine gleiche große Mauer von Kubikfuͤße (geſezt,
man haͤtte ſolche Wuͤrfel (F. 10.) 4) die einen Fuß
lang, breit und hoch waͤren) aufzuſtellen, man auf
die vorgedachte Laͤnge von 30 Fuß, 30 dergleichen
Kubikfuß neben einander ſtellen konnte; ferner, daß
man in der Breite von 5 Fuß, 5 Reihen ſolcher Ku⸗
bikfuße, alſo auf die Grundflaͤche der Mauer 5mal
30, d. i. 150 Kubikfuß ſetzen koͤnnte. Wenn nun
die Mauer 12 Fuß hoch werden ſoll, ſo iſt wieder⸗
um klar, daß 12 ſolcher Schichten, jede von 150
Kubikfuß aufeinander geſtellt werden muͤßten, alſo
rzmal 150, d. i. 1800 Kubikfuß wuͤrden den Inn⸗

halt der Mauer ausmachen. .
Hieraus

Innhe
ſenkres
Maue
Breit
multi

ihre
mlltip

multi

W
bei
all

gubͤrneſ⸗
in Kubik⸗
es ſolßen
Obetſiche
naͤchſt um
lten ſid.
zoll Iu
144 K
1 Kubt⸗

nuiß.

der e⸗
del N
duß, n
(Ne,
elten Fuß
mnan af
etgleche
net, M
lcherke⸗
er i
Venn fuun
nidee
ton 190
, N
en IJnm

jergls⸗

Hieraus fließt die Regel, daßs man, um den
Innhalt der rechtwinklichten Koͤrper, als z. B. die
ſenkrecht aufgefuͤhrten, unten und oben gleich dicken
Mauern zu finden, die Laͤnge derſelben mit ihrer
Breite, und das, was herauskommt, mit der Hohe
multipliziren muß.
Aufgabe.
S. 2.
Es ſey z. B. die Laͤnge einer Mauer 82 Fuß,
ihre Breite 4 Fuß, und die Hoͤhe 16 Fuß, ſo iſt
8 2
multiplizirt mit 4 ⸗

multiplizirt mit 1 6
1968
3 2 8

5 2 4 8 Kubikfuß, der Inhalt d. Mauer
Anmerkung.

Wenn nun in die Laͤnge, Breite und Hoͤhe, oder
bei einigen von dieſen Stuͤcken, oder bei einem
allein, Fuͤße und Zolle vorkaͤmen, ſo muß alles
zu Zolle gemacht werden.
Aufgahbe.
S. 13.
Z. B. Eine Mauer ſey 24 Fuß 5 Zoll lang,
3 Fuß 4 Zoll breit, und 8 Fuß 27 Zoll hoch, ſo be⸗

tragen:

242

1) 24 Fuß 5 Zoll — —– 293 Zoll als die Laͤnge
2) 3 Fuß 4 Zoll — – 400 Zoll als die Breite
3) 8 Fuß 7 Zoll — — 1023 Zoll als die Hohe

293 Zoll die Laͤnge
multiplizirt mit 40 Zoll die Breite

11720 Quadratzoll, ſo die Grund⸗
flaͤche hat, wiederum mul⸗
tiplizirt mit 103
35160
22⁰

ſind 1207160 Kubikzoll, der Innhalt der

Mauer.

a) Will man nun aber wiſſen, wie viel dies Kubik⸗

fuß ſind, ſo muß man mit 1228 dividiren, weil
nach (F. 10.) 1 Kubikfuß 1728 Kubikzoll hat.

17281I207I60 69 3 Kubikfuß.
1036 8

17036
I 5. 5. 5 2
1484.0
13824

1016
—

Der Bruch 2916 gibt 42¾ Kubikfuß.

b) Will man ferner wiſſen, wie viel Schachtruthen
(Quadratruthe) dieſe 698 K. F. betragen, ſo darf

mar
eine

Man
e m
mitde
daß w
multis
bar 3
Nnn
die
ware
flan⸗
Und

oddir
holb⸗

die
ſobe
die

eLange
ie Breit
ie Hoe

Grund.

Uum mll,

ele der

el.

Kct.

en, wel
A het.

gubikfub.

ruthen
ſodarf

243

man nur mit 144 dividiren, weil nach (F. 10.)
eine Schachtruthe 144 K. F. enthaͤlt.
Als: 144 6984 Sch. Ruthen u. 122 Kubikfuß.
576
1 2 2
Aufgabe:
§. 14.
Von einer ſchraͤgen (ſchiefen) Arbeit, z. B. einer
Mauer, (oder einem andern Fundament) wird die Laͤn⸗

ge mit der Breite multiplizirt, und was herauskommt,

mit der Hoͤhe. Hier wird aber folgendes beobachtet:
daß weder mit der untern noch mit der obern Breite
multiplizirt werden muß, denn erſteres wuͤrde offen⸗
bar zu viel und lezters zu wenig Innhalt geben.
Es muͤſſen alſo erſt beide Breiten addirt, und

dann die Summen halbirt werden, wodurch man

die mittlere Breite bekommt. Z. B. eine Mauer
waͤre unten 6 Fuß und oben 4 Fuß, ſo iſt, wenn
man zu 6 als die obere Breite,
und 4 als die untere

addirt, 10
halb. 5 Fuß fuͤr die mittlere Breite.
Iſt nun die Mauer ⸗⸗⸗⸗ 82 Fuß lang,
die mittlere Breitt⸗e⸗:⸗ ⸗⸗ 5
ſo bekomt man durch die Multiplikat. 4ro
dieſe wieder durch die ſenkrechte
Hoͤhe multiplizirt, welche wir zu 8 allehmen,
ſo enthaͤlt die Mauer ⸗⸗⸗ 3280 Kubikfuß.

244

Berechnung eines Pfalers.
Es ſey z. B. der lete unten

Fuß lang
Fuß breit

halt der Unterflaͤche.
Die Oberflaͤche ſey 4 Fuß lang
3 Fuß breit

12 Fuß fuͤr die Oberflaͤche
Die Unterflaͤche hatte 2 ο Quadratfuß
Die Oberflaͤche 1 2

3 2
16 Quadratfuß fuͤr die mitt⸗
lere Flaͤche.
Dieſe mit der Hoͤhe des 1 6 Quadratfuß
Pfeilers ſo wir zu 6 Fuß anehmen multiplizirt

gibt⸗⸗⸗ ⸗ 96 Kubikfuß fuͤr den Innhalt
des Pfeilers.

Aufg a b e:
Die Berechnung einer Saͤule,

die oben eine kleinere Zirkelflaͤche hat als die untere.

C. r5.
Aufldſung.
Es ſey der Diameter (Durchmeſſer) der untern
Flaͤche 2 Fuß 8 Zoll. Der Durchmeſſer der obern
Flaͤche 2 Fuß 5 Zoll, und die Hoͤhe 16 Fuß.

2,0 ◻ Fuß, als den Inn⸗

tl

jeztdi

2 s

en Inne

tfliche.

herfaͤche

Newwitt⸗
l.

ſtillzet

unhri.
.

Uutere.

Utett
obbern

245
7 – 22 32 Zoll, (d. i. 2 Fuß 8 Zoll.)

2 2

64
6 4

7 704 100 fuͤr den Umkreis.

0
4

Der gefundene Umkreis mit dem Diameter mul⸗
tiplizirt, als: 100 Zoll Urnmkreis
3 2 Diameter

2 △σ½
300
kerrrtineels 3200 800 Quadratzoll Inn⸗
halt der Unterflaͤche.

Berechnung der Oberflaͤche, deren Diameter
2 Fuß 5 Zoll iſt.
7 — 22 29 (d. i. 2 Fuß 5 Zoll

2 2

5 8
5 8

7 [638 91 ½ Zoll fuͤr den Um⸗
63 kreis der Oberflaͤche.

246

Dieſen Umkreis mit dem Diameter multiplizirt,
als: 9 1

2 9
8 82
1 1 8 2
dividirt mit 4/2 7 22 675 ¼ Quadratinnhalt der
2 4 Oberflaͤche.
3.0
2 G8
675 ¼ Soll.
2 2 (8 0
2 ₰ — —
— 1475 ½
2 2 – —
— 7374 U ZSoll

fuͤr die mittlere Flaͤche.
Dieſe mit der Hoͤhe 16 Fuß, oder da hier ſchon

Zoll ſind, mit 2737
T 9 2

1474
6633
3 7
iſt I 4 I 5 04 Kubikzoll fuͤr den ganzen
Flaͤcheninnhalt der Saͤule, oder mit 1728 dividirt,
gibt 81 Kubikfuß.
Aufgabe:
D. 16.
Den Innhalt eines im halben Zirkel uͤber eine
Bruͤckendffnung aufgefuͤhrten tannenen Gewolbes
auszurechnen und zu finden.

D
Dicke
undde
dlaͤch
gibtne

=

ilßern

fuden,

tlin

dirde

iplizitt,

holt de
he.

l.

ZDl
eige.

ſer ſchen

gpddt,

et eine
wolbes

multiplizirt

247

Aufldſung.
Der Diameter (Durchmeſſer) mit Inbegriff der
Dicke des Gewolbes, oder der aͤußere Diameter ſey 24
und der innere Diameter 18“; ſo muß man erſtlich den
Flaͤcheninnhalt des ganzen Zirkels ſuchen nach (§. 15.)
gibt nach der Rechnung 757
2 4“ Diameter
300
150
190/0 hievon den 4ten Theil
iſt = 450 Quadratfuß Innhalt des großen oder
aͤußern Zirkels.
Den Innhalt des innern oder kleinern Zirkels zu
finden, ſezt man: 7 — 22 18˖;
22

7 396 56 Fuß der kleine
35 Umkreis.
46

42

(*

1
6 d. Umkr.
18 d. Diamet.
8

—1

△

4
— 5 %
dividirt mit r 00°=8 25 2¾ Quadratfaß Innhalt des
8 kleinen Zirkels.

2˙◻
2 ◻

8
8

248
Das Maaß fuͤr den groͤßern Zirkel iſt = 450 ◻ Fuß

— kleinern = 252 ſubtrahirt

kommen 198 [Fuß fuͤr
das Stuͤck zwiſchen beide Zirkel.

Anmerkung:
Weil aber bei einem Gewolbe nur die Haͤlfte dieſes Zwi⸗
ſchenraums zwiſchen beiden Zirkeln oder die Stirne
des Gewoͤlbes in Betrachtung kommt, ſo muß auch
von obiger Zahl (198) nur die Haͤlfte genommen

,B Stirne des Gewoͤlbes.
Dieſe mit der Laͤnge des Gewoͤlbes multiplizirt,

ſie ſei 32 Fuß 9 9
3 2

19 8
297

Ganzer Innhalt des Gew. 3 1 68 Kubilfuß.

Erſte Anmerkung.
1) In der vorigen Aufgabe iſt der Bogen zu 3 Fuß
angenommen, bei ſchwaͤchern Boͤgen, als uͤber die
Keller, welche nur 1 bis 1 Fuß dick ſind, wird
die Bezahlung des Arbeitslohns nach dem Flaͤ⸗
cheninnhalt des Raums, den das Gewolbe be⸗
dekt, bezahlt, weshalb auch gemeiniglich in den
Anſchlaͤgen ſteht, ſo und ſo viel Quadratruthen in
plano gemeſſen, zu uͤberwoͤlben. Dieſer Ausdruck
will ſagen, daß nicht nach der Rundung des Ge⸗

werden 2P. 99 Fuß der Innhalt der

wolb
des;

breit
Oug
den

2) De

dick,
monn
guf /
Keng
NerS
Weß
ingtea
den,
ter
wer
erfte
dße
und
guf
eff.

249

S⸗ woͤlbes, ſondern nur nach der Laͤnge und Breite
trahitt des zu uͤberwoͤlbenden Raums gerechnet worden.
3. B. ein Keller waͤre 60 Fuß lang und 24 Fuß

Ne breit, ſo betruͤge deſſen gerade Grundflaͤche 10
Quadratruthen, und ſo viele Quadratruthen wer⸗
den nur zu uͤberwoͤlben angeſezt.
ſee Zweite Anmerkung.
ah 2) Die Kellergewolbe ſind gemeiniglich nur ½ Stein
namen dick, haben jedoch Gurte; zu den Gewoͤlben nimmt
man auch eine kleine Steinform. Man kann alſo
t de auf eine R. Kuffengewolbe 1000 Stuͤck, bei
lit Kreuzgewoͤlben aber wegen des mehrern Verhauens
liict, der Steine auf X R. 1200 Steine rechnen. —
Weiß man dieſes, ſo kann man den Arbeitslohn,
ingleichen wie viel Kalk und Sand erfordert wer⸗
den, berechnen, wenn man weiß, daß dem Mau⸗
rer fuͤr das Kubik⸗Klafter, d. i. 36 Fuß, bezahlt
. werde: im Fundament und im Heller 24 kr. im
erſten Stock 28 kr. im zweiten Stock 32 kr. und
daß auf 4 Klafter Maurerwerk 1 Kubikfuß Steine,
38 und auf 13 Klafter Maurerwerk 1 Fuder Steine,
ſerte auf 1 Klafter Maurerwerk aber 1 Karren Sand
1D erfordert werde.
Aufga bee:
e be⸗
n den C. 17.
n Den Innhalt eines hohlen Gefaͤſſes, z. B. ei⸗
Kunc nes viereckigten Brunnentrogs oder Fruchtfachs zu

finden.

250

Aufloͤſung:
Man meſſe die innwendige Laͤnge, Breite und
Tiefe, multiplizire die gefundene Maaße miteinan⸗
der, ſo zeigt das Produkt den Innhalt des Brun⸗
nentrogs oder Fruchtfachs an. 3. B. eines Brun⸗
nentrogs ſey 8 Fuß 4 Zoll innwendige Laͤnge
Die Breite 4 Fuß 5 Zoll
Die Tiefe 3 Fuß 4 Zoll

Dieſe dreierlei Maaße miteinander multiplizirt
gibt Laͤnge 8 4“3]
Breite 4 5

4 2
3 3 6

3 7 8 0“] multiplizirt
Tiefe 37 44)
I 5 I 2 O
I I 3 4 0
1I 2 85 2 0“ Innhalt des Brunnen⸗
trogs an Kubikfuße u. Zolle.

multiplizirt

Anmerkung.

Wuͤrde aber der Korper oben weiter als unten ſeyn, ſo
muͤßten die untere und obere Weiten genau gemeſ⸗
ſen, und miteinander verglichen werden. (§. 14.)
Dieſe Aufloͤſung laͤßt ſich beim Ausmeſſen eines
Heubar u. dgl. anwenden.

deuhrer

diemte
die ober

De Ve
jent
der
dut
Int

ſll;

ite und
teinan⸗
Mun⸗

Vla

ge

kubnere
4.M.

,

geneß

“

eines

251

3. B.
1 „ ,£ 4 47
die untere Laͤnge ſi 804) addirt
8
1I 2“
2) 7

85˙69 mittlere Laͤnge
die untere Breite 4 5] „addz
add
die obere Breite 4 99 irt

2 7 9² 40
— ——
4¹˙7“ mittlere Breite
Die Tiefe 3˙ 4*7
jezt multiplizire man die verglichene Laͤnge mit
der verglichenen Breite, und das kommende Pro⸗
dukt mit der Hoͤhe oder Tiefe, ſo kommt der
Innhalt des Brunnenkaſtens heraus.

mittlere Laͤnge 3 multiplizirt

4 0 4 2) z I:
multiplizirt
3˙4 vinz
1 3 774 2 89 Kubikfuß des Trogs.

Aufgabe:
§. 18.

2. B. Ein Keller ſolle ausgegraben werden, der
3° 2 lang, 2° 9; breit, und 10⁄52 tief werden
ſoll; wie viel Kubikfuß muß man ausgraben?

Aufldſung.

30 n multiplizirt
90 s- multiplizirt “

19
13° 920“ muͤſſen ausgegraben werden.

Dieſe Aufloſung genauer beſtimmt, bedient man
ſich der gegebenen Regeln (F. 13.) a) und b). d. i.
was machen 13 Ruthen in Fuͤße und Zolle ausge⸗

druͤckt?

Man didvidirt nun die gegebene Zahl mit der

Reſolvirung ihrer Einheit (mit 144) ſo gibt der Quo⸗
tient die naͤchſt groͤßere Einheiten als Fuͤße und Zolle.

C. 19.
Nun folgen noch einige zuſammengeſezte bei dem
Bauweſen haͤufig vorkommende Aufgaben.
3Z. B. es ſoll eine Fluhr, (Wohr) ſo 36 Fuß lang
und 20 Fuß breit iſt, mit Flieſen belegt werden,
welche 8 Zoll ins Gevierte groß ſind; fragt ſich,
wie viele Flieſen erforderlich ſind?

Au fldſung:
Der Fluhr iſt = 3 6“ lang
2 07 breit

Innhalt derſelben 720 Quadratfuß
Eine Flieſe = 8“ lang
8 breit

Innhalt 6 4 Quadratzoll

V
drotfuß

ytdelt

gib zun

halt de
Dbidir
als den
ijner

bteſif,
und nos

(uͤnde

ſch:

werder.
t mnan
). di.
gubge⸗

it der

ON⸗

Zole.

heidett

Slen

verden,

ſch,

253

Weil wir nun hier Quadratzolle und oben Qua⸗
dratfuße haben, ſo muͤſſen ſolche nach (§. 13.) be⸗
handelt werden, als:
. 720 Quadratfuß

muͤſſen mit 1 4 4 multiplizirt werden, weil

—— –— ein ◻Fuß 144 Zoll hat.
103680

gib zum Produkt 103680 Quadratzoll fuͤr den Inn⸗

halt des Fluhrs.
dividirt mit 64 103 680 1620, ſo viel Flieſen
als den Innhalt 6. 4Kwerden zu Belegung
einer Flieſe. 9G6 des Fluhrs erfordert.
384
- 128
I 2 8
C

Aufgabe.

H S. 20.
Es ſoll ein Boden, welcher 204 lang und 42˙
breit iſt, mit Bretter belegt werden, welche 22 lang
und nach Abzug des Pfunds, oder wenn ſie unge⸗

ſpuͤndet gelegt werden, 11 Zoll breit ſind. Fragt

ſich: wie viel dergleichen Bretter erfordert werden?

Aufloͤſung.
Der Boden iſt = = 2 04“ lang
4 2“ breit
408
8 1 6

enthaͤlt alſo 8 5 68 Quadratfuß

254

Ein Brett iſt 22“ lang, wofuͤr wir gleich ſetzen
2 6 435
und 1 1“ breit

2 6 4
264
es enthaͤlt alſo ein Brett 2 9 °ο4 Quadratzoll
Die 98568 Quadratfuß ſo der Boden enthielte,
mit 144 multiplizirt, weil nach (§. 13.) ein
—– Auadratfuß 144 Quadratzoll hat,
gibt 1233216 Quadratzoll. Werden dieſe mit 2904
Quadratzoll, als den Innhalt einer Diele dividirt,
ſo kommen 424 heraus, als ſo viel Bretter zur Be⸗
legung des Bodens erfordert werden.

Aufgabe.
S8. 271.

Die erforderlichen Mauerſteine zu einer Mauer
auszurechnen und zu beſtimmen.

Aufloͤſung.
Es ſey die Mauer — 75 lang
ihre Breite und Dicke betragen = 3
2,2 5 ◻ Fuß.
Die Hoͤhe der Mauer ſey = 12
4 50
2 2 5

Innhalt 2 700° Kubikfuß.

N Beze
die Fe
gerech
gen,
Fonſer
ſot, 9
etech
Gter d
erden

Ein

hſir

3)
Hol hen⸗
nit 2004
r Be⸗

Mane

s

fii

255

Anmerkung.

Bei Bezahlung des Mauerlohns werden nun zwar

e

die Fenſter⸗ und Thuͤroͤffnungen als volle Mauer
gerechnet, weil der Maurer wegen der Schmi⸗
gen, Anſchlaͤge und Ueberwoͤlben der Thuͤr⸗ und
Fenſterbffnungen ſo viel und mehr zu thun
hat, als wenn alles voll Mauer waͤre. Bei
Berechnung der erforderlichen Steine muͤſſen
aber die Fenſter⸗ und Thuͤrbffnungen abgezogen
werden.

Als:
Die Thuͤrbffnung von 4 Fuß breit

3 Fuß tief d. i. ſo viel als die
Mauer dik iſt.

12

7 Hoͤhe der Thuͤr

—

84 Kubikſuß, betraͤgt die Oeff⸗
nung der Thuͤr.

Ein Fenſter 3 Fuß breit
3 Fuß tief die Dicke der Mauer.

9
6 Fuß hoch

ſind 54 Kubikfuß ſo eine Fenſteroͤffnung
enthaͤlt.

—

Ein Fenſter betraͤgt 54 Kubikfuß
deren ſind 5

alſo 270 Kubikfuß.

Die Thuͤroͤffnung enthielt = 84 Kubikfuß
die 5 Fenſter = 270

zuſammen 354 Kubikfuß.

Der Inhalt der ganzen Mauer

war — — =— 2700 K. F.
Hievon fuͤr die Thuͤr⸗ und Fen⸗
ſterdffnungen abgezogen — 354

2346 5 Kubikfuß haͤlt
alſo die reine Mauer.

Aufgab e.
G. 22.
Es ſey ein Graben (Teich) zu machen, deſſen
obere Breite 18 die untere aber 147, die Tiefe 9 9
wie viel Kubikfuß Erde muß man ausgraben, wenn
der Graben 500 Fuß lang werden ſoll?

4
Anmerkung.
Waeil hier die obere und untere Breite ungleich iſt,
muß man eine mittlere Breite ſuchen, welches ge⸗
ſchieht, wenn man die obere und untere Breite
zuſammen addirt, und das herausgebrachte mit 2
dividirt. Z. B.

18 obere

hiebei i
nachd
ſtimn
o
Oreſe
Urbeite
Dieſe
Grabe
net iſ
lotte

divf

ecore
e ane

, deſet

Tife 9,
en, wven

eih 1,
ſſuge
Vleite

e nit?

Cbere

18˙ obere Breite,
14“ untere —
2 3 2 1 6, mittl. Breite,
2 97 Tiefe,
144“ dieſes mit der Laͤnge des Grabens
12 500 multiplizirt.
7200°0° Kubikfuß Erde muͤßen ausge⸗
graben werden.
Hiebei iſt noch folgendes zu bemerken: man muß,
nachdem die Laͤnge und Breite des Grabens be⸗
ſtimmt worden, verſchiedene Stellen bemerken,
wo das Erdreich am hoͤchſten, und wo es am nie⸗
drigſten iſt; an dieſen Stellen muͤßen die Graben⸗
arbeiter Kegel von Erden bilden und ſtehen laſſen.
Dieſe werden nun, wenn die Grundflaͤche des
Grabens nach der Wage ausgegraben und geeb⸗

net iſt, verſchiedene Hoͤhen haben. Z. B. man

hatte 10 ſolcher Kegel ſtellen muͤßen, wovon der
xte 3 Fuß hoch
2te
Z3te 3
4te 2
5te 7
6te 4
2te 2
Lte 3
4

gte L
Iote 6

ti t t i1
LEEIIIIII

dieſe mit der Anzahl

O
2
„

7

To dividirt,

als: 10 40 4 Fuß fuͤr die mittlere Durch⸗
40 ſchhnittstiefe des Grabens.

R

258

Die Laͤnge des Grabens betraͤgt:
3 50°0%6
die mittlere Breite 16

3 ₰◻ ◻D
500
800ο0ο ◻ Fuß fuͤr die Flaͤche
dieſe Anzahl ◻ Fuß des Grabens.
mit der Tiefe
multiplizirt, 9

gibt: 7200ο650ο Kubikfuß;
dieſe nach (§F. 13.) dividirt mit 144 72000 500 LR.

welche ausgegraben werden muͤßen.

Polt

Vun
loonen D
jede den
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Wenn man annimmt, daß ungefaͤhr 1000 Mil⸗
lionen Menſchen auf der Erde leben, und daß eine
jede Generation aus 33 Jahren beſteht: ſo ſterben
in 33 Jahren 1000 Millionen Menſchen. Folglich
iſt die Anzahl der Todten auf Erden:

Alle Jahre 30 Millionen
Alle Tage 82000
Alle Stunden 340⁰⁰
Eine jede Minute 60
Eine jede Sekunde 1

Da ſich nun die Anzahl der Verſtorbenen zu der
Anzahl der Gebohrnen verhaͤlt, wie 10 zu 12, ſo
werden auch wieder gebohren:
Alle Jahre 26 Millionen

Alle Tage 98400
Alle Stunden 4080
Alle Minuten 7
Alle Sekunden 1

Wenn kein Menſch auf Erden ſtuͤrbe, ſo lebten in

dem gegenwaͤrtigen 5748 ſten Jahre nach Erſchaffung

R 2

260

der Welt (nach A. F. W. Crome) 146262500 Mil⸗
lionen Menſchen beiſammen. Da nun das feſte
Land (eben nach obigem) 164090 Quadratmeilen
haͤlt, ſo wuͤrde jeder Menſch doch noch 1000 Qua⸗
dratfuͤße zu ſeinem Plaz (Raum) bekommen.

Wenn man auf 100 Jahre drei Generationen
rechnet, und annimmt, daß die Welt wenigſtens
6000 Jahr alt iſt, ſo ſind ſeit Erſchaffung der Welt
nicht mehr als 171 Generationen, ſeit der Suͤnd⸗
fluth 124, und ſeit Chriſti Geburt 53 verfloſſen.
Da keine Familie iſt, welche ihren Urſprung bis uͤber
Karln den Großen hinausfuͤhren kann: ſo folgt dar⸗
aus, daß die aͤlteſten Haͤuſer in Europa 30 Genera⸗
tionen zaͤhlen koͤnnen. Aber auch ſo weit koͤnnen es
nur ſehr wenige bringen; und was iſt ein Glanz
von 30 Ahnen gegen 140 andere, von welchen man
nicht einmal weiß, wer ſie geweſen ſind?

Die Zahl der Einwohner eines Landes oder ei⸗
ner Stadt wird beinahe alle 30 Jahre erneuert,
und in 100 Jahren erneuert ſich das menſchliche Ge⸗
ſchlecht 34mal.

Von allen Einwohnern eines Landes wohnt
gemeiniglich in den Staͤdten, und die uͤbrigen 3.
befinden ſich auf den Dorfern.
Wenn man die Todtenregiſter mit einander ver⸗
gleicht, ſo ſieht man, daß auf den Dorfern gemei⸗
niglich 1 von 40, in den kleinen Staͤdten 1 von
32, in mittelmaͤßigen 1 von 28, und in den groͤß⸗

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261
ten Staͤdten 2 von 24 — 25 jaͤhrlich ſtirbet. Fuͤr
ein ganzes Land zuſammen genommen, rechnet man
X von 36. Von 1000 Lebenden ſterben alſo alle
Jahre 28. H
Wenn r00 Kinder zu gleicher Zeit geboren wer⸗
den, ſo ſind von denſelben noch uͤbrig:
nach 6 Jahren 64

16 — 4⁰
— 26 — 25
— 36 — 16
— 46 — 10
— 56 — 6
— 60 — 3
— 70 — 18
— 80 — 0

Unter 100 Kindern, die in einem Jahre ſterben,
muß man allezeit drei todtgebohrne rechnen: In ein⸗
zelnen Oertern trift dieſes Verhaͤltniß nicht allemal
zu. In Dresden iſt unter 16 Kindern 1 todtgebohr⸗
nes, in Stuttgart unter 30, und in Schweden nur
unter 50.

Man hat beobachtet, daß an den natuͤrlichen
Blattern mehr Maͤdchen als Knaben ſterben. Von
1000 Kindern, melche die Muͤtter ſtillen, ſterben
hoͤchſtens 300; aber von 1000 Kindern welche durch

Ammen geſtillet werden, ſterben gewiß 500.

Von Kindern, die die natuͤrlichen Blattern he⸗
kommen, ſterben 8 von 100.

262

gefaͤhr 2500.

ſind, befunden:

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von

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101

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1I 1 8

Jahren

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Unter einer Million Verſtorbener waren

C

1IIIE

Von 300 Kindern, denen die Blattern einge⸗
pfropft werden, ſtirbt nur 1.
net man jaͤhrlich die an den Blattern ſterben, un⸗

In Wirtemberg rech⸗

Nach einer in England gemachten Berechnung
haben ſich unter 1000000 Menſchen, die geſtorben

Nach dieſem Verhaͤltniß befinden ſich unter 3125
Todten nur 9 Perſonen von 100 Jahren.
Menſchen gegeben, welche ein ganz auſſerordentli⸗
ches Alter erreicht haben.

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263
Unter den vorzuͤglich alt gewordenen Menſchen
der neueſten Zeiten, deren Alter man mit voͤlli⸗
ger Gewißheit angeben kann, nimmt Heinrich
Jenkins den erſten Platz ein. Im Jahr r1513.
den gten September war er bereits 12 Jahr alt,
und ſtarb erſt im Jahr 1670. zu Ellerton in
England, alſo in ſeinem 170ſten Lebensjahre, ſo
daß er wirklich 169 Jahr durchlebt hatte. Nicht
ganz ſo ausgemacht zuverlaͤßig, obgleich auch ziem⸗
lich glaubwuͤrdig iſt die Erzaͤhlung, daß Johann
Stevin in Ungarn Ao. 1727. bereits 172 Jahr,
ſeine Frau aber 164 Jahr alt geweſen. Er ſoll

147 Jahr im Eheſtand mit ihr gelebt, und ſein

juͤngſter Sohn damals ſchon das 118te Jahr ers
reicht haben.

Von den meiſten dieſer alten Leute wird es
ausdruͤcklich angemerkt, daß ſie von Jugend auf ſehr
maͤßig, arbeitſam und tugendhaft gelebt haben.

In bergigten Laͤndern findet man mehr alte Leu⸗
te, als in niedrigen.

Man kann rechnen, daß der Menſch allenthal⸗
ben 90 bis 100 Jahre alt wird, wenn ſein Leben
nicht durch aͤußerliche Zufaͤlle verkuͤrzt wird.

Aus Vergleichung verſchiedener Todtenliſten laͤſ⸗
ſet ſich eine muthmaßliche Berechnung machen, wie
lange eine Perſon von gewiſſem Alter wahrſcheinli⸗
cher Weiſe noch leben koͤnne. Es iſt nemlich wahr⸗

ſcheinlich, daß ein neugebohrnes Kind noch lebe demne
wird 334 Jahr 6 Monat ſe hen
Ein Kind von 1 Jahr 41 — 9 — leben a
3 — 45 — 7 — 8
5 — 46 — 4 —
0% — 44 — 9 — einen
Eine Perſon von 15 — 41 — 6 — den,dr
20 – 38 — 3 — dr n
25 — 35 — 3 — wie 27
30 —-· 32 —- 3 — Verheur
35 — 209 — 8
40 — 26 — 6 — nnhet
45 23 Mnt
50 20 — 1I1 — ſd
55 17 — elmte
60 — 14 — 2 —
65 — II — 5 —
70 8 — II — füitbt
725 – 5 — 8 —- n
80 — 4 — 10 — llen,
85 — 3 — 3 – RN
90 — ⸗ — - —
Das Alter von ſieben Jahren iſt dasjenige, werd
worinn man noch die groͤßte Anzahl Jahre zu leben nmua
Hoffnung hat.
In dem Alter von 12 bis 13 Jahren hat man hilt
den 4ten Theil ſeines Lebens zuruͤckgelegt. Mit Nen
25 und 29 iſt man in der Haͤlfte ſeines Lebens, und
mit 50 Jahren hat man 3 deſſelben vollbracht. Aus e

1

enge,

Gtoan

Nt

, und

H

n

265

dem Sterbregiſter erhellet, daß die Weiber, wenn
ſie gewiſſe Jahre uͤberlebt haben, insgemein laͤnger
leben als die Maͤnner.

Wenn man die Summe der Verſtorbenen in
einem Lande zuſammen nimmt, ſo wird man fin⸗
den, daß die der verſtorbenen Mannsperſonen ſich zu

der Anzahl der verſtorbenen Weibsperſonen verhaͤlt,

wie 27 zu 25. Unter den Weibern ſelber leben die
verheuratheten laͤnger, als die unverheuratheten.

Aus Beobachtung von einer Zeit von 50 Jah⸗
ren hat ſich ergeben, daß die meiſten Menſchen im
Monat Merz, wie auch im Auguſt und September
ſterben; die wenigſten hingegen im November, De⸗
eember und Februar.

Die Haͤlfte derjenigen, die gebohren werden,
ſtirbt vor dem Alter von 17 Jahren, ſo daß dieje⸗
nigen, die dieſen Zeitpunkt weniger oder mehr uͤber⸗
leben, einen Vorzug genießen, zu welchem die Haͤlf⸗
te des menſchlichen Geſchlechts nicht gelangt.

Nach den Beobachtungen des großen Boerhaave
werden die geſundeſten Kinder in den Monaten Ja⸗
nuar, Februar und Merz gebohren.

Die Anzahl derer, die jaͤhrlich ſterben, „ver⸗

haͤlt ſich zu der Anzahl derer, die gebohren wer⸗

den, wie 10 zu 12 dder 13, ſo daß in einem
Lande jaͤhrlich 2, oder 3. Menſchen mehr geboh⸗
ren werden, als ſterben.

4

6
4

Wenn der ganze Haufe der Lebenden in zween

Theile getheilt wird, ſo iſt ein Theil 27 Jahre und

daruͤber alt, und der andere Theil iſt unter dieſem

Alter. .
Die Zahl der Knaben, die jaͤhrlich gebohren
werden, verhaͤlt ſich zu der Zahl der Maͤdchen wie
21 zu 20, oder wie 104 zu 100. Allein da in der
Kindheit wieder ½ mehr Knaben als Maͤdchen ſter⸗
ben, ſo wird die Anzahl der Manns⸗ und Weibsper⸗
ſonen gegen das mannbare Alter wieder gleich.

Unter 65 bis 70 Kindern, die gebohren wer⸗

den, befindet ſich gemeiniglich nur 1 Paar Zwillinge.

Die Anzahl der getauften Kinder verhaͤlt ſich
zu der Anzahl der Familien in einem Lande wie 10
zu 66, ſo daß man auf 66 Familien jaͤhrlich nur
10 getaufte Kinder rechnen kann.
In einem wohlbevolkerten Lande kann man un⸗
ter 50 oder 52 Perſonen jaͤhrlich nicht mehr als
eine Perſon rechnen, die ſich verheurathet.
Die Maͤnner, die im Stande ſind, Waffen zu
tragen, machen in einem ganzen Lande allezeit den
vierten Theil der Einwohner aus.

In Engelland wird dasjenige, was ein Menſch
jaͤhrlich zu ſeiner nothduͤrftigen Unterhaltung ge⸗
braucht, auf 7 5 Sterling gerechnet. In Frank⸗
reich ſchaͤzt man es nur auf 100 Liores. In Deutſch⸗
land rechnert man es ohngefehr 30 Thaler. Da
aber dieſe Berechnung blos die Landleute und die

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4 267

aͤrmſten Einwohner der Staͤdte betrift, ſo hat der
Herr Unger in einer Schrift von dem Preis des Ge⸗
treides, ſich bemuͤhet, eine Regel anzugeben, wel⸗
che auf Perſonen mittlern Standes in mittelmaͤßi⸗
gen Staͤdten anzuwenden waͤre. Nach dieſer Re⸗
gel muß man zuerſt wiſſen, wie viele Malter,
(Scheffel) Korn in einem Lande eine Perſon jaͤhrlich
zu ihrem Unterhalt noͤthig hat. Hierauf machet man
den Preis dieſes Korns zu Pfenningen, und dividirt
die Summe mit 64. Der Quotient wird alsdann

ſo viele Thaler anzeigen, als man fuͤr den jaͤhrli⸗

chen Unterhalt einer Perſon in dieſem Lande rechnen
muß. 3. B. in den Laͤndern, wo man 2¼ Malter
Korn auf eine Perſon rechnet, und das Malter
3 Thaler 8 Groſchen gilt, wird dieſe Summe 2400
Pfenninge machen, dieſe mit 64 dividirt, geben
37 Thaler, welches dieſe Summe anzeiget, die
man zum jaͤhrlichen Unterhalt einer Perſon rechnen
muß. Dieſer Schriftſteller hat ſeine Regel auch
auf die vergangene Jahrhunderte angewandt, und
vermittelſt der Vergleichung des Preiſes, des Ge⸗
treides, in jenen Zeiten die Rechnung gemacht, daß
in Deutſchland eine Familie von Perſonen, zu ih⸗
rem jaͤhrlichen Unterhalt noͤthig gehabt haben:

im Jahr I1500 — 5 ¾ Thaler
— 1550 — 3 33 —
— 1600 — 6 33
— 1I650 — 92 ½ —
— 1700° — 1 2 3 ¾ —
— 1750 — 150 —

26

Eben dieſer Regel hat er ſich auch bedient, die
Menge des Geldes zu beſtimmen, welches zu ver⸗
ſchiedenen Zeiten in Deutſchland geweſen iſt. Die⸗
ſemnach rechnet er

im Jahr 1 500

—, 1550
— 1600
—, 1650
— 1700
—— 1750
Die

—

7 ¾ Millionen Thlr.

4 5
9 9 5

1 33 ☛

28349
4284

—

—

—

—

—

Arbeit von 25 erwachſenen Perſonen iſt
hinlaͤnglich, 100 andern erwachſenen Perſonen die
Nothdurft und Unterhalt zu verſchaffen.

wie
gu

R
oder

Euin
V. de

nt, die
u ver⸗
Die⸗

Anleitung,

wie bei mehrern Faͤllen, ſowol im Kaufen als
auch Verkaufen, kurz und leicht gerechnet
werden kann.

Wenn ſich der Werth eines einzelnen in Sechſern
oder Groſchen beſtimmen laͤßt, und man daraus die
Summe von mehrern, z. E. W. Ellen, Maaßen
ꝛc. berechnen will, ſo verfahre man auf folgende
Art, als:
So viel Sechſer 1 fH. oder Elle ꝛc. koſtet,
multiplizire man mit der Anzahl 5. oder Ellen,
von denen man den Werth wiſſen will, und ſchnei⸗
de durch ein Comma die lezte Ziffer rechter Hand
davon ab, ſo bezeichnen die vorherſtehende die fl⸗
und die abgeſchnittene ſind Sechſer; z. B.
Ich kaufe 798 [5, wovon jedes 42 kr. koſtet,
was habe ich zu bezahlen?
Zuerſt muß man wiſſen, wie viel Sechſer 42
kr. ſind; man dividire daher mit 6 in 42, ſo fin⸗
det man 7; mit dieſem Ener multiplizire man 78 5,
ſo kommt 54,6, daran unterſcheide man durch ein
Comma 6, ſo gilt 54 vor ſich und bezeichnet 54 fl.
und der abgetheilte 6er ſind 6 Sechſer, folglich
36 kr. mithin in allem 54 fl. 36 kr.

78 .
2
5 4,6

270
Eine Elle um 36 kr., was koſten 94 Ellen?

Man dividire zuerſt wieder mit 6 kr. eines Sech⸗
ſers, ſo findet man, daß 36 kr. 6 Sechſer machen;

folglich nach obiger Anleitung:
9 4 Ellen
fl. 5 6, 4 Sechſer heißt 56 fl. 24 kr.
weil die lezt abgeſchnittene Zahl 4 Sechſer ſind.

Einer giebt taͤglich vor Koſt und Wohnung 54 kr.;
wie viel hat er in 178 Tagen zu zahlen?

1 7 8 Tage

54 kr. machen 9 Sechſer
1 6 0, 2 thut 160 fl. 2 Sechſer od. 12 kr.

Was koſten 134 Imi Wein, 1 Maaß zu 48 kr. ²
Zuerſt muͤſſen die Imi in Maaß verwandelt
werden, dieß geſchieht, wenn ſolche mit 10 multi⸗
plizirt werden, weil 1 Imi 10 Maaß iſt. Man
ſage: 13 mal 10 iſt 130, und 5 Maaß von dein
halben Imi dazu, macht 135, und dann 6 iſt in

48 kr. 8 mal, und nun wie oben multiplizirt.
13 5 D
8

110 8,0 macht 108 fl. und keine kr.,

denn wenn die lezte abgetheilte Ziffer eine Null iſt,

ſo macht es immer nur fl. und nichts mehr dazu.

Auf dieſe Art wird immer durch alle Zahlen,

welche ſich in Sechſer theilen laſſen, verfahren.
Da nun aber viele Zahlen ſich nicht immer in
Sechſer, ofters aber in Groſchen eintheilen laſſen,
ſo verfahre man auf folgende Art: ,
Man dividire mit 3 in die Kreuzer eines ein⸗

zelnen Pfunds ꝛc., wenn es aufgeht, ſo giebt die
neue

neue
der
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und d

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eue

271

neue Zahl die Groſchen, dieſe multiplizire man mit
der Anzahl I5, Ellen ꝛc., das kommende Produkt
dividire man mit 20, ſo bringt der Quotient die fl.
und der Reſt ſind Groſchen. Z. B.
1 15. um 33 kr., was koſten 89 152

3 iſt in 33 kr. 11 mal, mithin machen 33 kr.
11 Groſchen, dieſe mit 89 multiplizirt
„

1
8 9
8 9
2,0) 9 7 9 48 fl. 19 Groſchen.
8 0
1 7
1I 6G

(1 9 Groſchen, od. 3 mal 10 iſt 57 kr.
Der Kuͤrze wegen ſetze man immer ſogleich die
Null unter die lezte Ziffer des Produkts, und divi⸗
dire die vorherigen nur mit 2 von 20, zu dem Reſt
wird aber immer die uͤber der Null ſtehende Zahl
geſezt.
1 Elle um 27 kr. was koſten 236 Ellen?

3 kr. eines Groſchen ſind in 27 kr. 0 mal, folg⸗
lich o mit den Ellen multiplizirt, und das kommen⸗
de mit 20 dividirt. .
2 3 6
. 9
2) 2 I 2 4 T0O06 fl. I 2 kr.

.

Groſchen iſt 4 mal3 = 12 kr.

272

Ein Beck backt taͤglich 3 mal, und zwar auf ein⸗

mal 4 Laib, jeden zu 6 b, und 52 Laib, je⸗

den zu 3 l5, der 6 pfuͤndige Laib wird um 21 kr.
gegeben; vor wie viel Gulden backt er taͤglich
Brod?

Man ſage zuerſt, 52 Laib zu 3 . machen

26 Laib zu 6 f5. aus, weil 2 ſo ſchwer als ein gro⸗
ßer ſind, addire nun 54 und 26, ſo kommt 80,

welche er auf einmal backt, und auf 3 mal 240

Laib, folalich taͤglich vor 240 mal 7 Groſchen, weil
21 kr. 7 Groſchen machen.
240
— —
6 80°% 84 Gulden.
6 ‧0

1I
I

2)

D

Wenn die lezte Zahl im Produkt eine Null iſt,

und von der vorhergehenden kein Reſt bleibt, ſo
macht es nur Gulden und keine Groſchen oder kr.

aus; bleibt aber bei der lezten im dividiren nur 1.

und die lezte iſt eine Null, ſo wird die Null hinter

I zum Reſt herunter geſezt, und zeigt dann uͤber

die Gulden noch 10 Groſchen an.

Ein Meiſter hat 0 Geſellen, und giebt jedem taͤg⸗
lich 30 kr., wie viel hat er an jeden, und alle,
in der ganzen Woche, (das heißt in 6 Tagen)
zu bezahlen? S
3 kr. ſind in 30 kr. 13 mal, folglich erhaͤlt einer
taͤglich 13 Groſchen, und in 6 Tagen, 13 mal
thut 78 Groſchen.

2) 8 3 fl. 54 kr. einer woͤchentlich
S .

—

1 8 Groſchen.

und

und
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21 kr.

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ud

273

und 9 Geſellen haben 9 mal 3 fl. 54 kr., welche auf
zweierlei Art kurz gefunden werden koͤnnen.

1) Man ſage, 3 fl. machen 3 mal 10 Sechſer, und
9 Sechſer von 54. kr. dazu, thut 3 9 Sechſer,
dieſe multiplizirt mit . . . 9 Geſellen
fl. 3 5, I Sechſer.
35 fl. 6 kr. bekommen 90 Geſellen woͤchentlich.
2) Man multiplizire 13 Groſchen mit 9 Geſellen,
und das kommende noch mit 6 Tagen, ſo hat
man die ganze Summe in Groſchen.

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1 I

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) 2 [3 5 fl. 2 Groſchen oder 6 kr.

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— —
ο

2
1 Elle um 51 kr., was koſten 96 Ellen?

r lr. machen 17 Groſchen, dieſe mit 96 mul⸗
tiplizirt.

2) 1632 8r fl. 12 Groſchen oder 36 kr.

16‧ 0
—

3

2
1 2 Groſchen.
S

274

Nun laſſen ſich aber mehrere Zahlen, weder in

Sechſer noch Groſchen, wohl aber in 6 Theile eines
Guldens, wie zum Beweis, 10 kr., 20 kr., 40 kr.,
50 kr. verwandeln, oder berechnen.

Dabei iſt nun folgende Regel zu merken:
Wenn 1 P, Elle ꝛc. 10 kr. koſtet, ſo dividire

man ſogleich, ohne zu multipliciren das ganze Quan⸗
tum mit 6, ſo bringt der Quotient die Gulden und

der Reſt mit 10 multiplizirt bringt kr.
Zum Beweis:
1 P. um 10 kr., was koſten 59 15Bͦ2
6) 5 9 fl. 50 kr.
—
S
10
5 0 kr.

1 Maas um ro kr., was koſtet der Eimer?
1 Eimer hat im Wuͤrtemb. 160 Maas.
6) 1 6 % 26 fl. 40° kr.

1I 2 *
4.
3 6
(4
1 0

4 0 kfr. .
115. um 20 kr., was koſten 2 Centn. 68 f5?²

2 Centner 68 5. machen 268 P5. dieſe muͤßen
zuerſt mit 2 von 20 multiplizirt, und dann das
kommende mit 6 dividirt werden, weil 20 kr. 2 Sechs⸗
theile eines Guldens ſind.

An

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eines

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und

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Sichi⸗

7

275

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W
◻R .

.

89 fl. 2,0 kr.

1
0

multiplizirt mit 10 thut 20 kr.

◻ O1
D ◻△

1 Vierling Haber um 20 kr., was koſten 28
Scheffel?

Anmerkung. Die Scheffel muͤßen zuerſt zu Simri;
und dann zu Vierlg. gemacht werden.

2 8 Scheffel
8 Simri
2 2 4 Simri
24
8 9° 6 Vierling
von 20 kr. 2 5 M
6) 1722 2 9 8 fl. 4 kr.

I 2 R*

„W01
+— ◻

2
8
(4
1I O

4 kr.

P£ 1

1 Elle um 40 kr. was koſten 95 Ellen?
Anmerkung. 4 von 40 kr. wird zuerſt mit den
Ellen multiplizirt.

S 2

10
4 0 kr.

Einer braucht taͤglich zu ſeinen beſtimmten Aus⸗
gaben 50 kr., wie viel macht es jaͤhrlich?

Anmerkung. 5 von 50 kr. wird mit 365 Tagen,
die ein gemeines Jahr hat, multiplizirt und dann
mit 6 dividirt.

3 6 5
5
6) 1825 304 fl. X o kr.
. I 8. 141 „
2 5
2 4
7. (1
1
1 o kr.

Wenn man franzoſiſche Liores in Gulden be⸗
rechnen will, ſo multiplizire man die Anzahl Livres
mit 11 und dividire das Produkt mit 24, bleibt ein

bleibt dann wieder ein Reſt, ſo enthaͤlt ſolcher Heller;
3. Beweis: wie viel Gulden machen 375 Liores?

Reſt, ſo wird ſolcher mit 60 multiplizirt, das kom⸗
mende wieder mit 24 dividirt, ſo erhaͤlt man die kr.,

den,
didir
ein
1
divi
Der

277

3 7 5 .
1 1
3 7 5
3 2 5
(24) 4. 1 2 5 1I 7 1 fl. 3 2 kr. 3 hlr.
2 4 1
1I 7. 2
I 6 8
25
2 4
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Reſt 2 1
6
en, — e
dent 24) 1260 52 kx.
I 2 O.
6.0
4 8
(1 2
6
24) 7 2l 3 hlr.
7 2

—

Sollen aber Gulden in Liores berechnet wer⸗
den, ſo multiplizirt man die Gulden mit 24 und di⸗
vidirt das Produkt mit 11 ſo kommen Livres, bleibt
ein Reſt, ſo wird ſolcher mit 20 multiplizirt (weil
I Liores 20 Sols iſt) das kommende mit 11 wieder
D dividirt, ſo erhaͤlt nan Sols, im folgenden Reſt ſind
en H Deniers enthalten. Z. Beweis:

Wie viel Liores machen 2 8 6 0. fl. ?
jin⸗ 2 4
lekrer 1 I 4 4 0
elet; H72
6 8 6 4

378

1 1) 68 64 6240 Liores

6 6 7

d

+ £—+ △

4
4

Wie viel Liores ſind 578 fl.?

5 7 8 fl.
2 4
2 3 1I 2
I F 5 6
5 1) I 3 98722 1261 Liores 1 Sols
1 X 2 und 9 ½21 Deniers.
2 8
2 2
6 7
6 6
1 2
X 1
r
Reſt 1
2 0
II) 2.0 2.0 1 Sols
I I

9
I 2 weil 1 Sols 12 Den. iſt.

55 rr Der

9

che⸗
dire
den

did

Jol

mit

lt⸗

DM

279

Das jaͤhrliche Intereſſe eines Capitals, wel⸗
ches zu 5 pro Cent ausgeſtellt iſt zu finden, divi⸗
dire man das Capital mit 20, ſo bringt der Quotient
den Zins; bleibt ein Reſt, ſo wird ſolcher nur mit

3 multiplizirt, ſo erhaͤlt man kr. ohne weiters zu

dividiren. Z. B.

Wie viel jaͤhrl. Zins bringen 2678 Gulden Capi⸗
tal zu 5 pro Cent?

2,0) 2 678 I33 fl. 5 4 kr.
2 0

—

—

O

6
6
1 8
54 kr.

Will man aber das Intereſſe von mehr als einem
Jahr wiſſen, ſo multiplizire man zuerſt die Jahre

mit dem Capital, und dividire das Produkt mit 20.

3. Beweis. Wie viel Zins zu 5 pro Cent bringen
975 Gulden Capital in 3 Jahren?
9 75 fl.
3 Jahr
2,0) 292 5 4 6 fl. 1 5 kr.
2 5 l2

Druckfehler:

Seite 239. Zeile 3. und 7. ſtatt 24 lies: 36 24.⸗
— 253. — 20. ſtatt Pfunds lies: Spunds⸗

—

A. Koch,

Schullehrer und Geometers,

Rechenbuch

fuͤr
alle Staͤnd e,
. oder
Anweiſung zum Rechnen,
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allen Vorfaͤllen des Lebens,

nebſt

einer Anl itung,

wie beim Kauf und. Verkauf kurz und leicht
gerechnekn werden kann.

Stuttgart
be i Friedrich üUebel.

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