AhI400

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A. Koch, Schullehrer und Geometers, Rechenbuch für alle Stände, oder Anweisung zum Rechnen, bei allen Vorfällen des Lebens Koch, Adam Friedrich 4 . LBlü N125 10001591 021 ILNAIIIINNANINAI UB Tübingen Be. 16g. — — — W—D — — A. Koch, Schullehrer und Geometers, e ch e n bu ch fuͤr alle Staͤnd e, oder Anweiſung zum Rechnen, bei allen Vorfaͤllen des Lebens, nebſt einer Anleitung, wie beim Kauf und Verkauf kurz und leicht gerechnet n werden kann. Stuttgart bet Friedrich e bel. I1 8S o o. 8 Be ten ſ. ſelin tet Dut Uld len d wohl len u lilin Nog me bei M than dere Vorrede. Bei der gegenwaͤrtigen fuͤr die Wiſſenſchaf⸗ ten ſo gluͤcklichen Epoche wurden auch in un⸗ ſerm Vaterlande durch die beſondere landes⸗ vaͤterliche Vorſorge Sr. Herzoglichen Durchlaucht, unſers gnaͤdigſten Herrn, zur Verbeſſerung des oͤffentlichen Erziehungs⸗ und Unterrichtsweſens die heilſamſten Anſtal⸗ ten und Verordnungen getroffen. Dieſe ſo⸗ wohl als die eifrigen Bemuͤhungen und Anſtal⸗ ten unſers Herzoglichen preiswuͤrdigen Conſiſto⸗ riums, haben ſelbſt Auslaͤnder auf den Fort⸗ gang der gemachten Schulverbeſſerungen auf⸗ merkſam gemacht. Da vorhin die Arithmetik bei Seite geſezt wurde, obſchon die groͤßten Maͤnner jederzeit datur. gehalten haben, daß man die Schuhugend nicht fruͤhe genug mit derſelben bekannt machen koͤnne, ſo wurde ſchon vor mehrern Jal hren in den gegebenen Gene⸗ ral⸗Synodal⸗Rezeſſen feſtgeſezt, den Unter⸗ richt der Arithmetik auch in den deut ſchen NK2- IV Vorrede. Schulen einzufuͤhren, und auf die beſte Weiſe zu treiben *). Aber aus eben dieſer Urſache ſind noch nicht alle Schullehrer ſo weit gekommen, daß man ibhnen jezt ſchon die Lehrbuͤcher großer Ma⸗ thematiker empfehlen, oder ſolche zu ihrem Ge⸗ brauch vorlegen koͤnnte. In dieſer Ruͤkſicht glaubte ich, ſei ein gemeinverſtaͤndliches Lehr⸗ buch der Arithmetik fuͤr unſere Volksſchulen nicht unintereſſant. Denn es gehoͤrt unſtrei⸗ tig unter die erſten Beduͤrfniſſe des Schulleh⸗ *) „Wir haben naͤmlich wahrgenommen, daß in vie⸗ „len Orten des Sommers das Rechnen gar nicht „getrieben wird. Da wir nun dieſes fuͤr ſehr „nothwendig halten, und beſonders der kuͤnftige „Landmann ſolches ſehr noͤthig hat, damit er nicht „bei der Verwerthung ſeiner Felderzeugniſſe Be⸗ „truͤgereien ausgeſezt bleibe: ſo verordnen wir hie⸗ „mit, daß auf das Rechnen in der Schule ernſtli⸗ „cher gedrungen, und des Sommers wenigſtens „einmal in der Woche, oder doch wenigſtens alle „ 14 Tage darinn zuverlaͤßig Unterricht gegeben „ werden ſoll. Es iſt aber hiebei nicht unſere Mei⸗ „nung, daß nur das Rechnen auf dem Papier „getrieben werden ſolle, indeme gerade der Land⸗ „mann am wenigſten in den Fall kommt, davon „Gebrauch machen zu koͤnnen. Die Schullehrer »„haben daher mit gleichem Eifer auf das Rechnen „im Kopf zu dringen, ſich ſelbſt mit den dabei „zu benutzenden Vortheilen bekannt zu machen, „und den Kindern die noͤthige Anleitung dazu zu „ geben. S. General⸗Synodal⸗Rezeſſe de Ao. 1798 – 99. tets Nn iſt, der ſet, koin ben und geſi ds ein gen Be haln Fer N Ue kor Wen Vorred e. v rers, daß waͤhrend unſere Litteratur ſo reich an Schulſchriften von entſchiedenem Werthe iſt, wo im Gegentheil unſere Arithmetik (die der Schullehrer ſtudirt) wenig aufzuweiſen hat, und daß meiſtens auch dieſe ſehr unvoll⸗ kommen, und in einer platten Sprache geſchrie⸗ ben ſind, worinn die vorgetragene Beiſpiele und Erklaͤrungen ſich mit Dunkelheit und Un⸗ geſtuͤm verdraͤngen: — Oft haben ſie ſogar das Ungluͤck, Dinge zu erſchweren, die ſonſt ein mittelmaßiger Kopf ohne ihre Erlaͤuterun⸗ gen ſehr wohl begriffen haͤtte, oder daß ihre Beiſpiele faſt durchgaͤngig ſo leichte Zahlenver⸗ haͤltniße angeben, daß ſich der Lehrling keine Fertigkeit in der mannigfaltigen Behandlung der Zahlen erwirbt, und daher bei Berech⸗ nung mancher in buͤrgerlichen Geſchaͤften vor⸗ kommenden Aufgaben ſich nicht zu helfen weiß, wenn er auch den Anſatz richtig gemacht hat. — Ich glaube nicht, daß ſich Maͤnner, die die gelehrte Welt aus entſchiedenem Verdienſte in die unſterbliche Liſte der großen Geiſter ein⸗ getragen, durch dieſe auffallende Behauptung beleidigt glauben werden. Man wird mich verſtehen, welchen Schluß ich aus dieſer Gat⸗ tung von Rechenbuͤcher (die der Schullehrer VvVI Vorred e. in Haͤnden hat) beim Erſcheinen meiner ge⸗ genwaͤrtigen Arithmetik zu ziehen gezwungen war. Ein Werk dieſer Art ſöll ſo viel als moͤglich die Mittelſtraße zu treffen ſich bemuͤ⸗ hen, und alle zu kuͤnſtliche Theorien, die beim praktiſchen Unterricht nicht zu gebrauchen ſind, als auch den ganz alten und fehlerhaften Schlen⸗ drian zu vermeiden ſuchen. Man ſoll die Saͤ⸗ tze und Regeln der Arithmetik nicht in eine zu ſchulgerechte nach Syſtemſucht riechende Ord⸗ nung einzwaͤngen, aber dabei ſich auch nicht gegen die Geſetze der Mathematik verſtoßen. Man ſoll aus jungen angehenden Schulkan⸗ didaten, die in der Fo ge auf den Namen eines tuͤchtigen Schulmanns Anſpruch zu machen ge⸗ ſinnt ſind, abſtrahirende Mathematiker bilden, aber ihnen nebenher ſpielend andere Real⸗ und Sachkenntniß (im Vortrag) beibringen, denn ich weiß (aus vielfaͤltiger Erfahrung, die ich in einem Zeitraum von 10 Jahren ſammelte, in welchem ich Perſonen, die ſich theils dem ge⸗ lehrten, theils dem Schulſtand widmeten, ſo⸗ wohl in der Mathematik als Arithmetik insbe⸗ ſondere Unterricht gab), daß junge Leute den Teyxt doch wenig leſen, und ſich mehr auf die muͤndliche Anweiſung verlaſſen, und dies iſt aut ſh hud nig we ef Uſel Vorred e. VII ge⸗ auch der Fall in den niedern deuſchen Land⸗ nen ſchulen. als In dieſer Ruͤckſicht widmete ich dieſes Lehr⸗ einl⸗ buch Lehrern, und zwar ſolchen, welche WD beimn nigen Vorkenntniſſe inne haben, die zur An nd, wendung dieſes gemeinverſtaͤndlichen Lehrbuchs eun. erforderlich ſind. Ei⸗ Diie Brauchbarkeit deſſelben ſuchte ich ſo u viel moͤglich allgemeinnuͤtzig zu machen. Auch id⸗ fuͤr das gemeine Leben findet man am Ende des icht Buchs eine Anleitung, in der ſowohl Kuͤgſt⸗ U ler und Profeßioniſten, als: Schreiner, Ta⸗ fan⸗ pezierer, Maurer u. ſ. w. ſich Raths erholen s koͤnnen. Ob es nicht von weſentlichem Vor⸗ theil fuͤr die buͤrgerliche Geſellſchaft ſeyn muͤſſe, in, wenn ſelbſt in den gemeinſten Schulen den Kna⸗ d ben die ſo noͤthige Berechnungsart auf die ge⸗ Nenn gebene Methode beigebracht wuͤrde (an der es hin doch bisher gefehlt hat) ſtelle ich der Pruͤfung n Sachverſtaͤndiger anheim. Liebhaber der Regel Detri und Reeſiſchen , Regel finden hinlaͤngliche Beiſpiele nach ihrem er Wunſch dargeſtellt. Dieſen wird es dann ob⸗ 4 liegen (wie ich nicht zweifle) die rohen Materia⸗ e lien auszuarbeiten, das Unrichtige. zu berichti⸗ 6 gen, das Ueber fluͤßige von dem Weſentlichen zu VIII Vorrede. trennen; — manches werden ſie allenfalls zur Ausfullung der Lucken gebrauchen koͤnnen. Das hoffe ich immer geleiſtet zu haben, daß der Materiglien und Beiſpiele (mit Auswahl) genug vorhanden ſeien, und daß unter dieſen keine oder wenige von den wichtigſten Lehrſatzen mangeln werden, die man in den Schriften aͤl⸗ terer und neuerer Arithmeriker findet, und die zum ganzen Gebaͤude noͤthig ſeyn duͤrften. Daß ich aus vortreflichen wiſſenſchaftlichen Quellen, z. B. aus der Aſtronomie, Geogra⸗ phie, Hiſtorie u. ſ. w. Aufgaben und Beiſpiele ausgehoben habe, glaube ich, bedarf keiner Ent⸗ ſchuldigung, da ich die Namen der Verfaſſer und ihrer Schriften immer treulich angezeigt habe, und kein Verdienſt darinn ſuche, das, was andere bereits mit gewiſſen Ausdruͤcken gut geſagt haben, mit andern neuen, waͤre es auch eben ſo gut, zu ſagen, wozu ja nur Spra⸗ che nicht Sachkenntniß erfordert wird. Von der unpartheiiſchen Pruͤfung einſichts⸗ voller Rezenſenten wird es abhangen, ob die⸗ ſer Verſuch (denn weiter iſt es nicht) als ein brauchbares Huͤlfsmittel fuͤr unſere Volksſchu⸗ len gebraucht werden kann. . So dviel glaubte ich meinen Leſern (und Lands⸗ leuten) im voraus ſagen zu duͤrfen: — wenig⸗ ſtens freut es mich, meinem Vaterlande — da ich anders nicht konnte, doch in dieſem Theil nach Kraften gedient zu haben. Der Verfaſſer. Detri, §. 183 — 207. 152⸗ Siebenzehenter Abſchnitt. Arithmetiſche Glei⸗ ans „und daraus Herleitung der Reeſiſchen Re⸗ gel, F. 208 — KH. 211 — 213. 171. 1X r D Ueber ſicht 1) der hierinn enthaltenen Artikel. V Seite . Erſter Abſchnitt. Einleitung in die Rechenkunſt und e ihrer Lehrart, K. 1I — 22. I. Zweiter Abſchnitt. Von eraͤndekuns und Ausdruck der Zahlen, F. 23 — 10. g Dritter Abſchnitt. Von der Addition unbenannter Zahl en, §. 32 — 35. 17. 1 Vierter Abſchnitt. Von der Subtraktion unbenann⸗ ſe ter Zahlen, K. 36 — 39. 24. Fuͤnfter Abſchnitt. Von der Multiplikation unb⸗e⸗⸗ nannter Zahlen, §. „40 — 52. 33. r Sechster Abſchnitt. Von der Diviſion unbenannter Zahlen, g. 53 — 66. 46. 6 HMM Siebenter Abſchnitt. Die Proben der vier Rech⸗ % nungsarten, §. 67 —– 7 62. aA. Achter Abſchnitt. Von den Rechnungsarten in be⸗ nannten Zahlen, nebſt ihren Unterabtheilungen, G Jg. 80 — I17. 73. ⸗ Neunter Abſchuitt. Von der Addition benannter SSahlen, . IIS8 — 121. 96. =SͦYUMWU Zehnier, Abſchnitt. Von der Subtraktion benannter 6, Zahlen, JH. 122 — 126. 100. . Eilfter Abſchnitt. Von der Multiplikation benann⸗ 2 „ ter Zahlen, F. 127 — 13 103. Zwoͤlfter Abſchnitt. Von ſder Diviſion benannter Zahlen, §. 131 – 135. 105. — Dreizehenter Abſchnitt. Die Lehre von den Bruͤ⸗ chen, §K. 136 – 1532. 108. Vierzehenter Abſchnitt. Die vier Rechnungsarten „ der Bruͤche, §. 153 — 172. 121. Fuͤnfzehenter Abſchnitt. Ausziehung der Quadrat⸗ A» und Kubikwurzeln, §. 173 — 184. 144. Sechszehenter Abſchnitt. Von den Verhaͤltniſſen und Proportionen, nebſt Anwendung der Regel A * Ueberſicht der hierinn enthaltenen Artikel. S Seite Achtzehenter Abſchnitt. Von der Geſellſchaftsrech⸗ nung, §. 214 — 220. 193 Neunzehenter Abſchnitt. Alligationsregel oder Ver⸗ bindungsrechnung, g. 121 — 224. 208. Zwanzigſter Abſchnitt. Zuſammenſetzung der Ver⸗ baüͤieiſfe und Regel de Quinque, H. 225 — 227. 214. Ein und zwanzigſter Abſchnitt. Interuſurium⸗ werth einer ruuſtig zu bezahlenden Schuld, J. 228 232. . 228⸗ Anleitung zu den bei Bauweſen vorkommenden Rechnungsgegenſtaͤnden. Vorlaͤufige Erklaͤrungen, F. 1 — 9 235 Was ein Kubus oder Wuͤrfel iſt, und wie ſolcher aus⸗ gemeſſen wird, F. 10. 239. Berechnung der Korper nach Kubikmaaß, F. II. 12. 240. Von verſchiedenen Aufgaben und Rechnung gsgegenſtaͤn⸗ den beim Bauweſen, z. B. einer Mauer, d. 13. 241. Von einer ſchraͤgen (ſchiefen) Arbeit, z. B. einer , e, §K. 14. 243. Berechnung einer Saͤule, §K. 15. 244. Din Innhalt eines im halben Zirkel uͤber eine Bruͤ⸗ ckend ffnung aufgefuͤhrten tannenen Gewoͤlbes aus⸗ zurechnen und zu ſinden, §. 16. 246. Den Innhalt eines hohlen Gefaͤßes, z. B. eines vier⸗ eckigten Brunnentrogs oder Fruchtfachs zu ſinden, F. I7. Die Ausgrabung eines Kellers nach Kubikfuß zu be⸗ 5 ſtimmen, H. 18. 25 Einige zuſammengeſezte bei dem Bauweſen haͤufig vorkommende Aufgaben, §. 19. 252. Die Berechnung eines odon, welcher mit Bretter belegt werden ſoll, F. 20. 253 Die erforderlichen Mauerſteine zu einer Mauer aus⸗ zurechnen und zu beſtimmen, F. 21. 254. Die Bearbeitung eines Grabens (Teich) nach ange⸗ gebener Breite und Tiefe, wie viel Kubikfuß Er⸗ de nach der zu beſtimmenden Laͤnge muß ansge⸗ graben werden, §. 22. 256. Etwas von der politiſchen Nechenkunſt 259 ſq. Anleitung, wie beim Kauf und Verkauf kurz und leicht gerechnet werden kann. 269. , 439. 240. A1. l⸗ 15b. 469. Einleitung. Wichtigkeit einer guten Rechenmethode *). §. I. Rechnen zu koͤnnen, iſt beinahe fuͤr jeden in der Geſellſchaft lebenden Menſchen ein unentbehrliches Beduͤrfniß. Schon darum muß der Unterricht dar⸗ inn nicht fuͤr unwichtig angeſehen werden; noch weniger aber, da er bei einer guten Methode, ſelbſt in fruͤheren Jahren, eine ſchoͤne Uebung des Ver⸗ ſtandes iſt. Nun kommt dabei alles auf die gute Methode an. Das gewohnliche blos mechaniſche Rechnen fuͤhrt zwar zu einer gewiſſen Fertigkeit, die immer nuͤzlich bleibt, aber es bildet nicht, den Verſtand gar nicht — daher bloͤdfinnig oft große Rechenmeiſter ſind — ſondern man weiß ſich auch bei jedem von der Regel abweichenden Falle gar *) S. Niemeiers Grundſaͤtze der Erziehung u. ſ. we. Lte Aufl. II. Thl. 4. Kap. K§. 248 — 251. 6 = XII Einleitung. nicht zu helfen. Fuͤr den Lehrer mag es allerdings muͤhſamer ſeyn, uͤberall auf die Gruͤnde zuruͤck zu fuͤhren, und dies auf eine auch den Ungeuͤbten faß⸗ liche Art zu thun. Es ſezt voraus, daß er ſelbſt daruͤber gedacht, und ſich die Regel verdeutlicht habe. Fuͤr den Lehrling aber iſt es, ſobald man ſich nicht in einer zu ſchweren wiſſenſchaftlichen Arithmetik verliert, weit unterhaltender, wenn er ſich bei einem Geſchaͤft etwas denken, als unauf⸗ hoͤrlich mit trockenen Zahlen und ungeheuren Re⸗ chenexempeln plagen ſoll. Der gute Kopf entfeſ⸗ ſelt ſich oft ſelbſt vom Zwange der Regel, und er⸗ findet ſich Vortheile. Wie wenig Muͤhe haͤtte es bedurft, um ihn weiter zu fuͤhren? — Allgemeinere Geſetze der Methode. §. 2. Als allgemeinere Geſetze einer guten Metho⸗ dik des Rechenunterrichts bemerke man noch fol⸗ gende: 1) Anfangs vermeide man alle zu lange Exempel. Sie toͤdten Muth und Luſt. Erſt ſpaͤ⸗ terhin muͤſſen ſie mitunter vorkommen. 2) Die auf⸗ gegebene Exempel ſind am beſten wirkliche oder moͤgliche Faͤlle, und werden, wo es irgend angeht⸗ aus der Natur entlehnt. Man hat dabei zugleich Gele lichen alch Maan wiſſen linge⸗ Vech lih, 99 wung llntea Beſſe Reg⸗ kom Der man ſ, Ne⸗ fre len w wi Einleitung. 2 111 Gelegenheit, mit den wahren, wenigſtens gewoͤhn⸗ lichen, Preiſen der Dinge ſich bekannt zu machen, auch das, was billig jeder gebildete Menſch vom Maaß, Gewicht, Geld und Eintheilung der Zeit wiſſen muß, beizubringen. 3) Man ſetze dem Lehr⸗ linge das Exempel nicht ſchon eingerichtet auf die Rechentafel, ſondern gebe ihm die Aufgabe muͤnd⸗ lich, und laſſe ihn ſelbſt den Anſatz machen. 4) Man bleibe nicht gar zu lange bei einer Rech⸗ nungsart, ſondern richte nur im Fortſchritte des Unterrichts es ſo ein, daß in den aufgegebenen Beiſpielen die ſchon abgehandelten Species und die Regel Detri (Reeſiſche Regel) oft wieder vor⸗ kommen. Wenn ſo die Species und die Regel Detri durchgegangen iſt, ſo wiederhole und aͤbe man alle durch verſchiedene Rechnungsfragen, aber ſo, daß der Schuͤler ſelber auffindet, zu welcher Rechenart jede gehoͤrt und wieder ſelbſt Beiſpiele anſezt. 5) Allmaͤhlig miſche man in die Rechnungs⸗ fragen mit Abſicht einige Nebenumſtaͤnde und Zah⸗ len, die nicht zum Anſatze gehoͤren. Dadurch ge⸗ woͤhnt man ſich, erſt zu uͤberlegen, ehe angeſezt wird. 6) Eine gute Uebung zur Schaͤrfung des arithmetiſchen Verſtandes iſt die Zerlegung einer ge⸗ gebenen ganzen Zahl in alle moͤgliche Theile, ent⸗ XIvV Einleitung. weder ſo viele deren moͤglich ſind, oder in eine be⸗ ſtimmte Anzahl von Theilen. Mehrere Schuͤler koͤnnen dabei wetteifern, wer die wenigſten Thei⸗ lungsarten auslaͤßt. Eine aͤhnliche Uebung iſt die Zerfaͤllung der Zahlen in ihre Faktoren, und die Aufzaͤhlung der nicht theilbaren von Eins bis zu irgend einer beliebten Zahl. 7) Mit faͤhigeren Koͤ⸗ pfen iſt es auch nuͤzlich, die Duodezimalrechnung zur Erweiterung der Begriffe und zum Gebrauche in der Anwendung zu treiben. Man muß nur die Dutzende durch Punkte von einander ſondern; das uͤbrige iſt alles, wie in dem Dezimalſyſteme. Das Rechnen im Kopfe wird dabei geuͤbt. 8) Dies Leztere ſetze man unablaͤßig fort, und bringe in die Aufgaben eine gewiſſe Stufenfolge. Wo mehrere unterrichtet werden, laͤßt ſich der Wetteifer unge⸗ mein beleben. 9) Sehr brauchbar zur Uebung in der arithmetiſchen Aufloͤſungskunſt ſind auch die Beiſpiele, wo mittelſt gegebener Bedingungen et⸗ was Unbekanntes aus dem Bekannten geſucht wird. Leichte Aufgaben kann man als Raͤthſel vorlegen, und zugleich die erſte Idee von Buchſtabenrechnung dabei beibringen. 10) Bei der Durchſicht auf der Rechentafel (die im Ganzen beim Rechnen beque⸗ mer iſt als Papier) ausgerechneter Beiſpiele be⸗ gnuͤge tig od vͤhte ler ſe unſ, , 2 C Rechen Ehhrf len, verde huͤlfs eche dol deſe Reck len, e be⸗ huͤler die die zu ſo⸗ ung ſche die das das des N hrere ige⸗ in die ⸗ pitd. en, n Einleitung. XV gnuͤge ſich der Lehrer nicht, zu ſagen, daß es rich⸗ tig oder unrichtig ſei, ſondern laſſe ſich oft die ge⸗ waͤhlte Methode anzeigen, oder die gemachten Feh⸗ ler ſelbſt entdecken. Litterariſche Huͤlfs mittel. Boyſer, F. A., die ſelbſtlehrende Rechen⸗ kunſt, oder vollſtaͤndige Anweiſung fuͤr alle Staͤnde ꝛc. 2 Theile, gr. 8. 796 und 798. 4 fl. 40 kr. Kirchner, J. A., populaire Arithmetik, oder Rechenkunſt fuͤr alle diejenigen, welche ſowohl Schrift⸗ als Kopfrechnung gruͤndlich erlernen wol⸗ len, gr. 8. Weimar 1 fl. 30 kr. Auch ganz vorzuͤglich verdient empfohlen zu werden: Koch, J. F. W., Exempelbuch. Ein Huͤlfs mittel zur Befoͤrderung des Geſchmacks an den Rechenuͤbungen, 18 Heft, 8. Magdeb. 1800. bei Keil 50 kr. Ebendeſſelben Erempeltafeln, 18 Hft. 8. eben⸗ daſelbſt 1 fl. und Schellenberg, J. P., kurzes und d leihtes Rechenbuch fuͤr Anfaͤnger, Buͤrger⸗ und Landſchu⸗ len, 3 Theile, ꝛte verb. Aufl. 8. Gotha bei Et⸗ tinger 2 fl. 30 kr. xXVI Einleitung. Eine der brauchbarſten Schriften fuͤr Lehrer und Schuͤler iſt: Kochs vollſtaͤndiges Rechenbuch ꝛc. 4 Theile 8. Dresden. Unter den Lehrbuͤchern, die beſſer in den Haͤn⸗ den des Lehrers als des Schuͤlers ſind, ſo bald nur ſeine Methode gut iſt, verdient Empfehlung: Gerhardt, J. G., vollſtaͤndiges Rechenbuch fuͤr alle Staͤnde, 1ter u. 2ter Theil, 8. Berlin 1792 und 793. 4 fl. 30 kr. Wo man mehrere Lehrlinge von verſchiedenen Faͤ⁵⸗ô higkeiten unterrichten ſoll, ſind brauchbar: Jun⸗ kers 136 Tafeln mit 1800 abgeſondert ausgerech⸗ neten zweckmaͤßigen Exempeln. Halle 1793. 1 fl. Die Tafeln werden zerſchnitten und aufgeklebt. Was herauskommt, iſt nach der Nummer auf einen be⸗ ſondern Bogen fuͤr den Lehrer abgedruckt. In Schu⸗ len kann der Lehrer dadurch an 50 Kinder zugleich beſchaͤftigen. Auch J. G. Schmalzrieds Anleitung zur Reeſiſchen Regel nicht zu vergeſſen, und iſt beim praktiſchen Unterricht ein brauchbares Huͤlfsmittel fuͤr Lehrer und Schuͤler. Stuttgart bei Mezler, 3te Auflage 1 fl. Erſter D Iht an eiigen Wid. Zahl Ve derme heiten n i ch Lehrer enbuch Hin⸗ bald ehlung: ich fü 1 1: en Fi⸗ Jun⸗ erech⸗ fl. W nen be⸗ Schu⸗ lgleich N ſ bein fnitt Nezler , Brſter Abſchnitt. Einleitung in die Rechenkunſt und ihre Lehrart. J. I. De Rechenkunſt iſt eine Wiſſenſchaft der Zahlen. Ihr ausuͤbender Theil aber iſt eine Wiſſenſchaft aus einigen gegebenen Zahlen andere zu finden, wovon die Beſchaffenheit in Anſehung der erſtern gegeben wird. 3Z. B. man ſoll eine Zahl finden, welche den Zahlen 4 und 6 zuſammengenommen, gleich iſt. §S. 2. So wie eine jede Groͤße einer Vermehrung oder Verminderung faͤhig iſt, ſo kann auch eine jede Zahl vermehrt oder vermindert werden, wenn ſolche Ein⸗ heiten, aus denen ſie beſteht, zu ihr geſetzet, oder von ihr genommen werden. §. 3. Dieſe Vermehrung oder Verminderung geſchie⸗ het auf eine doppelte Art. Man kann entweder nach Gefallen zu einer Zahl eine oder mehrere an⸗ A dere, die jener nicht gleich ſind, hinzuſetzen. Z. B. 3 und 5, und 6 zu 14. Oder man kann eine Zahl zu wiederholtenmalen zu ſich ſelbſt hinzuſetzen, z. B. 4. und 7 und 8 zu 12. Oder man kann eine Zahl zu ſich ſelbſt hinzuſetzen, 3. B. 5 und 5, und 5 zu 5. Und ſo kann man von einer Zahl eine andere entweder nach Gefallen wegnehmen, z. B. 3 von 5, oder man kann eine gegebene Zahl von einer andern gegebenen Zahl ſo oft abziehen, bis von dieſer nichts mehr vorhanden iſt. Z. B. wenn ich 6 von 18 dreimal abziehe. §. 4. Wenn nach Gefallen zu einer Zahl eine oder mehrere andere, die jener nicht gleich ſind, geſezt werden, ſo heißt dieſe Vermehrung die Addition. Die Zahl aber, welche allen zuſammengenommen, gleich iſt, die Summe. So iſt z. B. 7 die Summe von den Zahlen 2 und 4 und 1, welche zuſammen⸗ geſezt worden ſind. J. 5. Wenn eine Zahl hingegen zu wiederholtenmalen zu ſich ſelbſt addirt wird, ſo heißt dieſe Vermehrung die Multiplikation. Die Summe, welche alsdann herauskommt, heißt das Produkt oder Faktum; die Zahl, welche multiplizirt wird, d. i. die man etliche⸗ mal zu ſich ſelbſt addirt, und die Zahl, mit welcher multiplizirt wird, d. i. welche anzeiget, wie vielmal jene addirt werde, heiſſen gemeinſchaftlich Faktoren. ſogt me 1. De 3 3, mi A0 ſt anzee etſcehe —7— mal Demn Dej⸗ 6 40 kon 4, ) techte enthelt uter er in cchte U D A „B. glen 112. en, tdere on, ndera nichts 1 18 oder eſezt en. nwen, ummme men⸗ tunlen ehrung ſdann liche⸗ elcher elnal ſoren. Z. B. wenn 4 dreimal zu ſich ſelbſt addirt wird, ſo ſagt man: 4 werden mit 3 multiplizirt. Die Sum⸗ me 12, welche herauskommt, heißt das Produkt. Die Zahl 4, welche multiplizirt wird, und die Zahl 3, mit welcher multiplizirt wird, heiſſen die Faktoren. §. 6. Man ſtelle ſich vor, die Zahl, die in der Linie Ab ſtehet, werde ſo viel mal hingeſezt, als die Zahl anzeiget, die in der ſenkrechten Reihe AC ſtehet, ſo entſtehet das Produkt ACDB. A . r e e B „ e e c e e D. Die Zahl Ab iſt in dem Produkt ACD ſo viel⸗ mal enthalten, als die Einheit in der Zahl AC. Denn fuͤr jede Einheit der Zahl 40 wird die Zahl AB einmal hingeſezt. §. 7. So viel Einheiten AC hat, ſo viel Linien wie AB kommen untereinander. Die erſte Einheit von AB, die zunaͤchſt bei A ſtehet, gibt alſo eine ſenk⸗ rechte Reihe von A nach C, welche ſo viel Einheiten enthaͤlt als AC; die zweite Einheit von AB, mit den unter ihr ſtehenden, gibt eine eben dergleithen ſenk⸗ rechte Reihe, und ſo ferner jede Einheit von AB. Alſo kommen ſo viel ſenkrechte Reihen, jede der Zahl AC gleich, ſo viel A Einheiten hat, und das A 2 4 Produkt enthaͤlt alſo AC ſo vielmal, als die Einheit in AB enthalten iſt. G§. 8. Jeder Faktor ſteckt in dem Produkt ſo vielmal als die Einheit in dem andern, und es iſt einerlei, ob AB mit AC vervielfaͤltigt wird, d. i. es iſt gleich⸗ guͤltig, welcher Faktor zuerſt geſezt wird, denn ihr Produkt wird auch bei veraͤnderter Ordnung einerlei ſeyn. Z. B. 5 multiplizirt mit 8 gibt eben ſo gut 40, als 8 multiplizirt mit 5. §. 9. Wenn von einer Zahl eine andere nach Gefallen weggenommen wird, ſo heißt dieſes Verfahren die Subtraktion, oder das Abziehen. Und was nach weggenommener Zahl uͤbrig bleibt, die Differenz, der Unterſchied, der Reſt, der Ueberſchuß. Die Zahl, von welcher weggenommen wird, heißt (Minuendus) zu vermindernde Zahl, die Zahl, welche weggenommen wird, nennt man (Subtra⸗ hendus) abzuziehende Zahl; z. B. wenn von 6 die Zahl 4. abgezogen wird, ſo iſt 6 die zu vermindern⸗ de, 4 die abzuziehende Zahl, und 2 iſt die Zahl, welche nach vorgenommenem Abzug uͤbrig bleibt, der Reſt oder die Differenz. §. 10. Die Differenz und die weggenommene Zahl zu⸗ ſammen machen die Zahl aus, von welcher der Ab⸗ zug die genon geben ſt ren he fiden, den ge Zahl, weche telche Diſde zeiget enth h, tenlc Ferthel die e gecheh gen wy. und di ereſen tie bie nheit ſelmnol nerlei, gleſhe. nn ir nerle ſo gut hefalen ten die e noch Dferent, en tuird, die gohl. (Subint⸗ von 6 de emindetn⸗ e I, tett, guhl zu der A⸗ zug geſchehen iſt. Z. B. in obigem Falle machen die Differenz 2 und die abziehende Zahl 4 zuſammen genommen, die zu vermindernde Zahl 6 aus. C. II. Wenn eine gegebene Zahl von einer andern ge⸗ gebenen Zahl ſo oft abgezogen wird, als es moͤglich iſt, ſo heißt dieſes Verfahren Diviſion, und dividi⸗ ren heißt alſo, aus zwo gegebenen Zahlen eine Zahl finden, welche andentet, wie vielmal die eine von den gegebenen in der andern enthalten iſt. Die Zahl, welche dividirt, heißt der Diviſor; die Zahl, welche dividirt wird, der Dividendus; und die Zahl, welche anzeiget, wie oft der Dioiſor ſich von dem Dividendus habe abziehen laſſen, oder, welche an⸗ zeiget, wie vielmal der Diviſor in dem Dividendus enthalten ſeye, der Quotient. Z. B. wenn ich 28 durch 7 dividire, ſo ziehe ich 7 von 28 ſo vielmal ab, als es moͤglich iſt, nemlich viermal. Die Zahl 28 iſt die Zahl, welche zertheilt oder dividirt werden ſoll, der Dividendus; die Zahl 7 iſt die Zahl, durch welche die Zertheilung geſchehen, oder welche ſo vielmal von jener abgezo⸗ gen werden ſoll, als moͤglich iſt, der Diviſor, und die Zahl 4 zeigt an, wie vielmal es moͤglich geweſen ſeye, die Zahl 7 von 28 abzuziehen, und wie vielmal 7 in 28 enthalten ſeye, iſt alſo der Quotient. J. 12. Man ſtelle ſich die Einheiten, welche E aus⸗ machen, in Linien jede von ſo viel Einheiten als F enthaͤlt, geſezt vor, ſo wird G die Menge dieſer Linien ſeyn. Fuͤr jede Linie nemlich, oder fuͤr je⸗ des b in E, kommt eine Einheit in G. Alſo ſteckt der Diviſor ſo vielmal im Dividendus, als die Ein⸗ heit im Quotienten. ze e F X Zr. X G N. . . r . . ZUMUM §. 13. Der Dividendus beſteht aus ſo viel Linien, d. i. aus ſo viel großen Stuͤcken, ſo viel Einheiten der Quotient hat, und alſo iſt die Diviſion in der That eine Eintheilung. * K . „S. I4. Der Diviſor mit dem Quotienten multiplizirt, gibt den Dividendus, und ein Produkt mit dem einen Faktor dividirt, gibt den andern. Nach dem obigen Beiſpiel gibt 7, multiplizirt mit 4, die Zahl 28. Und 28 dividirt durch 7, gibt 4, oder dividirt durch 4, gibt 72. G. 15. Wenn die Groͤße zweier oder mehrerer Dinge einerlei iſt, ſo ſind dieſe Dinge in mathematiſchem Verſit tas ) zwanz und ze eines aͤnder glch ge unt on de leren halten ehe dieſe Wen klein ſ gi Vu ſet ung aus⸗ als ieſer ! je⸗ ſeckt G⸗ tien, ſeiten in der t dem tilhet Gbt/,/ Dinge ſchen Verſtande gleich, (quales). Gleichheit (Fquali- tas) iſt alſo Einerleiheit der Groͤße. So ſind z. B. zwanzig Groſchen ein Gulden, ein Decimalſchuh und zehen Decimalzoll einander gleich; man kann eines anſtatt des andern, ohne duß die Groͤße ber⸗ aͤndert werde, hinſetzen. §. 16. Ein jeder Gegenſtand, welcher Groͤße hat, hat auch Theile; denn die Groͤße beſtehet in der Men⸗ ge und Ausdehnung der Theile. Nun kann er aber von den Theilen, welche ihn ausmachen, einige ver⸗ lieren; oder er kann auch zu demſelben mehrere er⸗ halten; d. i. ſeine Groͤße kann vermindert oder ver⸗ mehrt werden. In jenem Fall wird er kleiner, in dieſem groͤßer. Ein kleineres Ding muß vergroͤßeet werden, um einem groͤßeren gleich zu werden, ver⸗ kleinert werden, und zwar beide in jedem Fall um ſo viel als das iſt, groͤßere groͤßer als das kleinere. d. 17. Wenn von zwei oder mehreren Dingen eines großer, das andere kleiner iſt, ſo daß man ohne Veraͤnderung der Groͤße einen Theil von einem, ſtatt des Ganzen andern ſetzen kann, ſo ſind ſie ungleich. C. 18. Die Vermehrung der Groͤße ſowol als ihrer Verminderung laͤßt ſich bis in das Unendliche fort⸗ 8 denken, weil von beiden keine Graͤnze beſtimmt wer⸗ den kann. Wenn daher etwas groͤßer oder kleiner iſt, als jede Groͤße, die ſich beſtimmen laͤßt, ſo heißt es in jenem Fall unendlich groß, in dieſem unendlich klein. Im Gegenſatze dieſer beiden heißt jede Groͤße, die ſich beſtimmen laͤßt, eine endliche Groͤße. G. 19. Man kann unendliche Groͤßen mit einander vergleichen, d. i. ihr Verhaͤltniß gegeneinander ma⸗ thematiſch unterſuchen. Die Beſtimmung des Ver⸗ haͤltniſſes ungleicher Groͤßen iſt die Beſtimmung ih⸗ rer Abweichung von der Gleichheit. 3. B. ein Kaiſergulden und ein Kaiſerthaler find ungleich; ſie weichen ſo ſehr von der Gleichheit ab, daß die Groͤße in der andern zweimal enthalten iſt, oder die an⸗ dere zweimal ſo groß als die erſte. Sie verhalten ſich alſo gegen einander wie 1 zu 2. C. 20. Alle Dinge ſind einander aͤhnlich, inſofern ſie in Anſehung ihrer Beſchaffenheiten miteinander uͤber⸗ einkommen, und durch nichts, als durch die Groͤße von einander unterſchieden werden koͤnnen. So iſt, 3. B. ein Copie einem Original aͤhnlich, was das Copie im Kleinen eben die Eintheilung und das Ver⸗ haͤltniß der Theile hat, wie das Original in Groͤßen, und ſie alſo nur durch die Groͤße von einander un⸗ terſchieden werden koͤnnen. W ntale h eich genſt ſie au gerad Min der; ten lleiner Cberde einen glei eb a deg gebt W ſtgtt ſeg Deei ſnd wer⸗ kleiner t, . dieſem heißt ſdlche ender Ver⸗ g ih⸗ . ein ſie Große ie an⸗ tholten en ſie uͤber⸗ Ghze , it, das Ver⸗ hßen, un⸗ §. 2. Wenn zween Gegenſtaͤnde voͤllig einerlei Merk⸗ male haben, nur in der Groͤße verſchieden, alſo un⸗ gleich ſind, ſo ſind ſie dem ungeachtet aͤhnlich. Ge⸗ genſtaͤnde koͤnnen alſo einander aͤhnlich ſeyn, wenn ſie auch ungleich ſind; z. B. in der Geometrie ſind geradlinigte Figuren einander aͤhnlich, wenn alle Winkel der einen den Winkeln der andern in eben der Ordnung genommen, gleich ſind, und die Sei⸗ ten der einen ſich untereinander verhalten, wie die gleich gelegenen Seiten der andern. Z. B. ein kleineres und ein groͤßeres Quadrat ſind aͤhnlich, aber dem Inhalt nach nicht gleich. C. 22. Wenn aber Gegenſtaͤnde einerlei Merkmal und einerlei Groͤße haben, folglich ſowohl aͤhnlich als gleich ſind, ſo heißen ſie kongruent. Und obſchon es als ein metaphyſiſcher Grundſatz bekannt iſt, daß es im genaueſten Verſtande nicht zwei Dinge giebt, die einander vollkommen aͤhnlich und gleich waͤren; ſo iſt es doch in der reinen Mathematik ver⸗ ſtattet, ſich kongruente Gegenſtaͤnde zu denken, wenn ſie gleich nicht exiſtiren. Z. B. zwei rechtwinklichte Dreiecke, deren Grundlinien und Hohen gleich ſind, ſind kongruent. Zweiter Abſchnitt. Von Veraͤnderungen und Ausdrucke der Zahlen. N D. 23. Unm mit den Zahlen Veraͤnderungen vornehmen, ihre Vermehrung oder Verminderung, oder Ver⸗ haͤltniſſe anzeigen zu konnen, muß man fuͤr die verſchiedene Menge der Einheiten Namen haben. Wir nennen in unſerer Sprache ein einzelnes Ding eins, noch eins dazu zwei, noch eins dazu drei, u. ſ. w. vier, fuͤnf, ſechs, ſieben, acht, neun, zehn. Nun faͤngt man von vornen an, ſezt eins, zwei, u. ſ. w. zu zehn, ohne neue Namen zu geben, bis zum zweiten, drittenmal u. ſ. w. zehn gezaͤhlt ſind, da man ſtatt zehn das zweitemal zwanzig, das drittemal dreißig ſagt. Man zaͤhlt alſo zehn und eins (eilfe) zehn und zwei (zwoͤlfe) u. ſ. w. So auch ein und zwanzig u. ſ. w. bis dreißig, vierzig, fuͤnfzig, u. ſ. w. Zehenmal zehn heißen Hundert. Von da an zaͤhlt man hundert und eins, u. ſ. w. auf zweihundert, dreihundert, u. ſ. w. Zehnmal hundert werden Tauſend genannt. Von da zaͤhlt man auf eben die Art bis zwei tau⸗ 4 ſen Vor dieſe es ſind f bien ndt der bert ihr eine ein deir df weit 1 ten, Ver⸗ die nben. nes dop , ſen glcten .. w. temal zihtt blee) bis zehn. ndert dert, aunt. talt⸗ 1II ſend — zehn tauſend — hundert tauſend. Tauſend⸗ mal tauſend heißen eine Million, tauſendmal tau⸗ ſend Millionen eine Billion, tauſendmal tauſend Billionen eine Trillion, u. ſ. w. Quadrillion, Quin⸗ tillion. — Dieß iſt die allgemein angenommene und bekannte dekadiſche Zaͤhlart. , J. 24. Indeſſen wuͤrde es beym Rechnen ſehr muͤhſam ſeyn, wenn man dieſe Namen der Zahlen mit Worten ſchreiben muͤßte; daher bedient man ſich dieſer Zeichen, womit eine oder mehrere Einheiten, das heißt, eine Zahl, auegedeuckt werden; ſolche ſind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; man nennt ſie Ziffer, Zahlzeichen, und ſind urſpruͤnglich aus Ara⸗ bien uͤberlieferte Karaktere. Mehrere hat man nicht noͤthig, weil man den Werth einer jeden Ziffer nach der Art ſie zu ſchreiben, um zehnmal erhoͤhen oder verringern kann. K. 25. Jede Ziffer hat der dekadiſchen Zaͤhlart gemaͤs ihren verſchiedenen Werth, und noch auſſer dieſem einen andern von der Stelle, die ſie in einer Zahl einnimmt, nach welchem ſie Einer, Zehner, Hun⸗ derter u. ſ. w. wird. (§. 23.) Man kann dieſe Werthe aus der folgenden Tafel erſehen, und auch dieſelbe nach G. 23. leicht weiter fortſetzen. 15 14 13 12 II 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Stellen. 2 . Werthe. = = = = 2 S = S= = = S = = = . 2 2 = 2& = 2. – 2 = & + * 2 ☛ — –- „ – £ S * = 2 = = —= 2 = W * * — £S — — – 8S S = – —, 2 =, 3 2 W „5 =— =— — =– — — — — . . K. 26. Auf dieſe Regeln gruͤndet ſich die Kunſt, alle mit Ziffern geſchriebene Zahlen zu leſen, und alle mit Worten abgefaßte Zahlen durch Ziffern zu ſchrei⸗ ben, welches man das Numeriren nennet. D. 27. Wenn Zahlzeichen fehlen, um die Stellen aus⸗ zufuͤllen, die zur Rechten eines Zahlzeichens ſeyn muͤſſen, um ihnen einen gewiſſen Werth zu geben, ſo werden dieſe mit dem Zeichen o ausgedruͤckt, wel⸗ ches fuͤr ſich allein Nichts bedeutet, und daher auch Null genennet wird. 3. B. 5 bedeutet fuͤnf, 50⁰ bedeutet fuͤnfzig. §. 28. 4 Aufgabe. Jede geſchriebene Zahl, ſie mag aus ſo viel Ziffern beſtehen als ſie will, richtig zu leſen, oder was das nemliche iſt, ausſprechen. etthe. alle alle tei⸗ ſeyt ben wel⸗ auch 50 biel det M 13 Aufſlbſung. a) Man theile die gegebene Zahl in Klaſſen, von der Rechten gegen die Linke, vermittelſt kleiner Senklinien, und eigne jeder Klaſſe drey Stel⸗ len zu. Am Ende gegen die Linke moͤgen drei oder wenigere uͤbrig bleiben. b) Ueber die Zahl, welche nach der andern Senk⸗ linie kommt, macht man einen Punkt, und uͤber die, ſo nach dem vierten folgt, zwei Punkte, u. ſ. w. c) Eine bloße Senklinie ſoreche man durch Tau⸗ ſend aus, einen Punkt durch Million, zwei Punkte durch Billion, u. ſ. w. Hingegen die erſte Zahl gegen die Linke in einer Klaſſe durch Hunderte, die mittlere durch Zehner, und die lezte durch Einer. Die Zahl alſo 27 5 4 3 und heißt fuͤnf und ſiebenzig tauſend ſechs hundert und drei und vierzig. 7 5 9 0° 5 † Sieben hundert neun und fuͤnfzig Tauſend und ein und fuͤnfzig. V Anmerkung. So bald man ſechs Ziffern zu ordnen weiß, iſt es leicht, auch groͤßere Zahlen zu ſchrei⸗ ben und auszuſprechen; ; weil die Millionen, Bil⸗ 14 . . lionen, Trillionen, u. ſ. w. jede fuͤr ſich eben ſo gezaͤhlt und geſchrieben werden, wie die Ein⸗ zelnen. Z. B. zwei Trillionen, hundert und fuͤnf und zwanzig tauſend, vier hundert und drei und ſiebenzig Billionen, ſechs hundert und dreizehn tauſend, fuͤnf hundert und acht und ſiebenzig Millionen, vier hundert zwei und dreißig tauſend, fuͤnfhundert und ſieben und neunzig, werden ſo geſchrieben und angeordnet: 125 973 613 578 482 597 Auf eben dieſe Art laͤßt ſich eine Zahl aus⸗ ſprechen, die mit Nullen vermiſcht iſt. ,—. 3. B. 50 %%7 50 Enthaͤlt neun Einheiten, keinen Zehner, fuͤnf Hunderte, ſieben Tauſende, keinen Zehentau⸗ ſender, keinen Hunderttauſender, vier Millio⸗ nen, keinen Zehner von Millionen, fuͤnf hun⸗ dert von Millionen. Liest man ſie von vor⸗ nen, ſo ſind ſie alſo: Fuͤnfhundert und vier Millionen, ſiebentauſend, fuͤnfhundert und neun. C. 29. Aufgabe. Beiſpiel. a) Die Anzahl der Waizenkoͤrner aus⸗ zuſprechen, die dem Erfinder des Schachſpiels Seſſa (einem Philoſophen) haͤtte gegeben wer⸗ den muͤſſen, um ſeine Forderungen zu befriedigen. Et btetts Uere, fir das . 8 44 19 T 44 ten, Eunnmn )d dr eben ie Ein⸗ t und t und t und und i und en und onet: aus⸗ 1,finf heutan⸗ Milio⸗ hun⸗ n vor⸗ 8d vier ſid neug⸗ er alt⸗ n wer⸗ edigen. 15 Er fordert nemlich fuͤr das 1ſte Feld des Schach⸗ bretts 1 Koͤrnchen, fuͤr das 2ꝛte zwei, fuͤr das Zte viere, u. ſ. w. fuͤr jedes folgende doppelt ſo viel als fuͤr das vorhergehende. (Das Schachbrett hat 64 Felder.) . ”” 18 446 744 073 729 551 615. gibt nach der Bezeichnung: 18 Trillionen, vierhundert 46 tauſend ſiebenhundert 44 Billionen, 73 tauſend ſiebenhundert 29 Millio. nen, fuͤnfhundert 51 tanſend, ſechshundert und 15. Summe der Reihen, oder Anzahl der Koͤrner. b) die Anzahl der Koͤrner in Scheffel ausge⸗ druckt, iſt — 3 752 995 894 754 Scheffel. §. 30. Beiſpiele. c) Nach den richtigſten Beobachtungen eines Keplers und Neutons, ſind die mittlern Ent⸗ fernungen der Planeten von der Sonne folgende: 1. des Merkurs — 32000000 Engliſche Meilen. 2. der Venus — 59000000 — — 3. der Erde — 810000ον..ſ— —— 4. des Mars — T23000000 — — — — 5. des Jupiters — 424000000 — — 6 „des Saturns — 777000000 — — 7 16 d) Nach den beſten ſtatiſtiſchen Tabellen ſetzen ſie die Volksmenge des geſammten deutſchen Reichs auf . . . . 24598000 Menſchen. des Ruſſ. Reichs auf . 25000000. die ganze bewohnte Tuͤrkei auf 32000000. Solche hier gegebene Beiſpiele dienen dem an⸗ gehenden Rechner zu einer weit beſſern Uebung als nur blos ſolche Zahlzeichen, die gar keine Benennung zum Grunde haben. S. 31. Auſſer dieſen (§. 24.) vorgekommenen Zeichen fuͤr die Zahlen ſelbſt hat man noch andere, welche die Eigenſchaft einer Zahl oder ihr gewißes Verhaͤlt⸗ niß gegen andere kurz ausdruͤcken. Die Vornehmſten davon ſollen mitgetheilt werden. + iſt das Zeichen der Addition, und wird durch plus oder mehr ausgedruͤckt. Wenn es alſo zwiſchen zwo Zahlen ſteht, zeigt es an, man ſoll es zuſam⸗ men addiren. Alſo wird durch 5 + 3 angedeutet, daß zur Zahl 5 noch 3 addirt werden ſollen, wo denn 8 herauskommen. Eben ſo 12 + 7 – 19. 25 + 41 =– 66. Bisweilen werden auch mehrere Zahlen durch dieſes Zeichen verbunden. Z. B. 7 + 9 — 16. 15 + 5 — 20. — iſt das Zeichen der Subtraktion, und wird durch minus oder weniger ausgedruͤckt, und ſezt es der⸗ ſelben Zahl vor, welche weggenommen wird. 3. B. 7— 3, daß von der Zahl ? die Zahl 3 ſoll wegge⸗ ”MV nommen Vo D. tman e fere ge e hebe ſeten tſchen nſchen. en an⸗ g eG ennung Nchen welche erhalt⸗ berden⸗ id durch zichen zuſam⸗ deltet, n, too — 10 nehren⸗ 371r9 d dlch es der⸗ 9. B. rege nmen nommen oder ſubtrahirt werden, da denn 4 uͤbrig bleibt. iſt das Zeichen der Multiplikation. Z. B. 5.7 bedeutet fuͤnfmal ſieben, d. i. 35. 3 . 2 5 = 30. : iſt das Zeichen der Diviſion. Der Didviſor ſteht immer zulezt. Z. B. 36: 4 = 6. iſt das Zeichen der Gleichheit. 3 . B. 1 Rrhlr. = 24 Groſchen. Ein mehreres hievon zeigt meine Geometrie (K. 9.) Dritter Abſchnitt. Von der Addition unbenannter gan⸗ zer Zahlen. §. 32. De erſte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch man eine Zahl findet, welche ſo groß iſt als meh⸗ rere gegebene zuſammengenommene. Dieſe wird die Zuſammenzaͤhlung (Addition), die dabei geſuchte Zahl aber wird die Summe der gegebenen genannt. (§. 4.) B Eine noͤthige Erinnerung, ehe man das Addiren ſelbſt beſchreibt. „Soll aus dem Addiren nicht ein bloßes Zu⸗ „ſammenzaͤhlen der Finger werden, (wie es dfters „in den Landſchulen wahrgenommen wird) oder „will man nicht ſehr viel Zeit verlieren, bis die „Schuͤler eine ſichere Fertigkeit darinnen erlangen, „ſo muß man ihnen vorher auf eine vernuͤnftige „Methode das Eins zu Eins beizubringen wiſſen. „ Dieſe Tabelle ſelbſt faͤngt folgendermaßen an, und „ wird wenigſtens durch alle Einheiten (bis 9 + 10 „ iſt 19) fortgeſett. T iſt 2 r. + 5 iſt 6 2 + 2 ſind 4 1I + 2 — 3 1I † 6 — 7 2 + 3 — 5 1 + 3 —- 4 1 †+ 72 — 8 ²2 †+ 5 — 7 T1 + 4 — 5 1I + 8 — 9 2 + 6 — 8 J. 33. a) Die Zuſammenzaͤhlung geſchieht auf folgende Methode: Man ſchreibt die Zahlen ſo untere einander, daß die Einſer auf Einſer, Zehner auf Zehner, Hunderter auf Hunderter u. ſ. w. aller Zahlen in einer Reihe von oben herunter ſtehen. b) Damit man endlich die herauskommende Sum⸗ me von den Zahlen, welche addirt werden, ſogleich unterſcheiden koͤnne, ſo pflegt man ei⸗ , E lſam Gen das 6 Zu⸗ ftets ) oder die hngen, nftige viſſen. und P10 — 4 - 5 —7 — hende untere Zehter 1. etuater Guln⸗ erden, nas ei⸗ 19 nen Querſtrich zu ziehen, und unter ſelbigen erſt die Summe zu ſchreiben. c) Man zaͤhlt anfangs die Einheiten der erſten Ordnung zuſammen, von der herausgebrachten Summe derſelben laſſe man die Zehner, wenn dieſe vorkommen, weg, und das uͤbrige wird in die Einſerkolumne (Reihe) uͤbertragen, oder zugezaͤhlt. d) Man zaͤhlet die weggelaſſene Zehner zur naͤch⸗ ſten Zehnerkolumne, und was auch hier uͤber das neunfache ſteigt, wieder zur folgenden Zeh⸗ nerkolumne, ſo wie das uͤbrige an ſein beſtimm⸗ tes Ort hingeſchrieben. e) Das nemliche beobachtet man bei den uͤbrigen Kolumnen, wenn ſolche vorgeſchrieben worden ſind, und ſchreibt bei der letzten alles an, oh⸗ ne das zehnfache wegzulaſſen. Wenn z. B. 250, 6378, 12186, 2092, 130164 zuſammengezaͤhlt werden ſollen, ſo ſchreibt man ſie folgendergeſtalt hin: 2 5 0 6 378 I 2 I 8 6 2 0 9 2 1 3 0° 1I 6 4 I 5 I 0 7 0 B 2 20 In dem beigefuͤgten Falle machen die Einer zuſammen 20 aus. Dieſe 2 Zehende nimmt man als 2 zu der folgenden Zehnerkolumne, unter die Einer aber ſetzt man eine o, weil uͤber die zwan⸗ zig nichts vorhanden iſt. (c.) Die Ziffern der Zehnerkolumne machen 35, und nebſt den 2 aufbehaltenen 37 aus, woyvon die 7 heruntergeſetzt, und die 3 zur folgenden Hunder⸗ terkolumne behalten und gezaͤhlt wird. (d.) Wenn man alle Kolumnen (Reihen) zuſammen⸗ gezaͤhlt hat, ſo iſt die Zahl, welche man unter die⸗ ſelben geſchrieben hat (hier die 151070) die Summe der geſchriebenen Zahlen. Beweis. Daß nun dieſes die richtige Summe ſeye, laͤßt ſich leichtlich darthun. Denn wenn die gefundene Zahl den gegebenen Zahlen zuſammengenommen gleich iſt, ſo hat nach (§. 4.) die Sache ihre Rich⸗ tigkeit. Da nun das Ganze ſeinen wirklichen Thei⸗ len zuſammengenommen gleich iſt, und wir in dem vorgegebenen Beiſpiel alle vorgeſchriebene Einheiten, alle Zehner, alle Hunderter, alle Tauſender, u. ſ. w. aus welchen nemlich die ganze Snmme beſteht, zuſammengezaͤhlt haben, ſo kann es nicht fehlen, die gefundene Zahl muß den obigen Zahlen zuſam⸗ mengenommen gleich ſeyn, wenn man anders die gegebenen Vorſchriften (a, b, c, d, e) genau 4 leobach dn den J thode daß ei ſo me de gehi Kolunn Eheke doß die beſtehe Kluen Ehul At de nit Ve ne, wide lumn ſenden dieſeg den, niccht, Einer It man itet die zwan⸗ hen 35, oprſe di Hundet⸗ mmen⸗ er die⸗ umme e, liz: efindene. vonmen e Nich⸗ Chei⸗ in demn heien, 1, heſtet/ ſehle ſane dets e getmn 2T N beobachtet hat. So kann dies fuͤr einen Beweis von den Regeln der Addition gelten. §. 34. Man erlaube mir, auch auf eine andere Me⸗ thode das Addiren zu beſchreiben. Sind die ſummirenden Glieder ſo beſchaffen, daß eine Kolumne ſchon Hundert oder daruͤber gibt, ſo macht dies eben keine Ausnahme, wenn nur die gehorige Anzahl vom zehenfachen in die naͤchſte Kolumne uͤbertragen wird. Setzen wir z. B. die Einſerkolumnen betragen 124, ſo ſieht man klar, daß dieſe Zahl aus 12 Zehnern, und 4 Einheiten beſtehe, folglich 4 angeſchrieben und 12 zur naͤchſten Kolumne gerechnet werden muͤſſe. Weil aber das Mitzaͤhlen ſo ſtarker Zahlen den Schuͤlern die Arbeit beſchwerlich macht, ſo kann dieſe Art des Addirens, welche hier mitgetheilt wird, mit Vortheil angewandt werden. Die ganze Sum⸗ me, welche man in jeder Kolumne herauszaͤhlt, wird vollends unter den Querſtrich geſetzt, die Ko⸗ lumnen moͤgen aus Einheiten, Hunderter, Tau⸗ ſender, u. ſ. w. beſtehen, wo dann am Ende dieſe Partialſummen beſonders zuſammen addirt wer⸗ den, wie folgendes Beiſpiel die Sache anſchaulich macht. 9 9 8 wehrſe 8 4 9 ſten 9 8 9 9 82 9 9 9 Dde d 7 9 8 . Das te 8 9 7 Englo 4 6 9 Holla 7 7 8 Span 8 9 9 Portun 7 9 8 Deir g 8 8 7 Der G 9 9 9 . blen 1 0°7 Partialſummen der ein⸗ Fentre 1I 0 4 zelnen Kolumnen. I 0 2 1 I 347 Totalſumme. De Anmerkung. Ds: Eeolon Oder man kann auch ſolche Additionen, durch Holan beliebige Querſtriche in mehrere Ablheilungen Shonk berechnen, und die erhaltene Partialſummen etn zulezt am Ende in eine Hauptſumme bringen. eap . Der 6 §. 35. Forkh In dem eten Stuͤck des „Journals fuͤr Staats⸗ kunde, Politik und Kameraliſtik von Doktor Jaup und D. Crome,“ liest man folgenden Verſuch einer 23 wahrſcheinlichen Berechnung der ſaͤmtlichen Krlegs⸗ koſten von 1792 bis 1795. incl. a) Geldſumme. Die oſterreichiſche Monarchie 200 Million. Gulden. Das teutſche Reich u. Preußen 100 — — — England . . . . . . 600 — — Holland . . . . . . 27 — — —— Spanien . . . . . . 480 — — Portugall . . . . 40 — — Der Paͤbſtliche Kirchenſtaat 10 — —— Der Sardiniſche Staat 38 — — — — Rußland . . . . . . d» — — — air⸗ Frankreich . . . . . 28022 — — — — tunen. Totalverluſt von 4342 ¼ b) Menſchenſumme. Die oſterreichiſche Monarchie 150000 Koͤpfe. Das teutſche Reich und Preußen 50000 — — England * * * * * * * * 980⁰⁰ —— durch Holland . . . . . . . . 29000 — — Spanien . . . . . . . 114000 —— zilungen ſonnet Portugall . . . . . . . . 5000 — — ien Neapel . . . . . . . . 5000 —— Der Sardiniſche Staat . . . 50000 —— Frankreich . . . . . . . 100000 — Etan: Totalverluſt von 601000 — — Fou . . vierter Abſchnitt. ganzer Zahlen. d. 36. Auch hier muß, ehe man an das Subtrahiren geht, aus aͤhnlichen Gruͤnden, wie beim Addiren (F. 32.) das Eins von Eins wohl geuͤbt, und wenigſtens bis auf 10 fortgeſetzt werden. Z. B. 1 von r bleibt 0 2 von 2 bleibt 0 1 — 2 — I 2 — 3 — r 1 — 3 — 2 2 — 4 — 2 1I1 — 1I10 — 2 — 11 — 9 3 von 4 bleibt 1 4 von 5 bleibt 1 3 — 5 — 2 5 — 6 — r 3 — 6 — 3 6 — 7 — 1 3 — 7 — 4 72 — 8 — I u. ſ. w. d. 37. 4 durch man erforſchet, um wie viel eine von zwo gegebenen Zahlen groößer ſey, als die andere. Sie wird die Abzaͤhlung (Subtraktion) genannt. Die Von der Subtraction unbenannter Die zweite Rechnungsart iſt diejenige, wo⸗ eſich wel ſ mn d 69. D tichtet wirrur benen .. B. 05 ſſſ de Al terſuche tere Reſtg 6 den ſo def ſaſder die E . Aufhe Ree Netet Meg nter Nhiren ddiren und = — — — — —☛ — e, M. n z Sie Die 25 geſuchte Zahl heißt der Unterſchied (Differenz), weil ſie diejenige iſt, welche uͤbrig bleibt, wenn man die kleinere Zahl von der groͤßern wegnimmt. §. 9. Die Rechnung wird wie bei der Addition ver⸗ richtet; man faͤngt hinten an, und, um alle Ver⸗ wirrung zu vermeiden, unterſcheidet man die gege⸗ benen Zahlen von dem Reſt durch einen Onerſtrich „ z. B. man ſolle von 7 6 4 8 3 5 7 Minuendus abziehen 6 5 2 7 I 3 5 Subtrahendus ſo iſt der Reſt 1 2 1 2 3 2 Alsdenn faͤngt man bei den Einern an zu un⸗ terſuchen, wie viel uͤbrig bleibe, wenn man die un⸗ tere Ziffer von der obern wegnimmt, und ſetzt den Reſt gerade herunter. Hier laͤßt 5 von 7; 2 uͤbrig. Eben ſo verfaͤhrt man nach und nach auch in den folgenden Stellen, betrachtet aber auch hier die Ziffern als Einheiten, Zehner, Hunderter, Tau⸗ ſender, u. ſ. w. weil ihr beſonderer Werth durch die Stelle beſtimmt wird. §. 38. Der Beweis von der richtigen Aufloͤſung dieſer Aufgabe faͤllt jedem leicht in die Augen. Denn der Reſt enthaͤlt die Differenz aller Einheiten, aller Hun⸗ derter, u. ſ. w. Die gefundene Zahl iſt alſo die Sum⸗ me aller uͤbrig gebliebenen Einheiten, Zehnern, u. ſ. w. 26 folglich die wahre Differenz zwiſchen den zwo gege⸗ benen Zahlen. §. 39. S Das gegebene Beiſpiel iſt von der leichteſten Art. Es ſind aber noch zwo Gattungen der Sub⸗ traktion uͤbrig, welche etwas ſchwerer ſcheinen. I. Iſt die obere Ziffer irgendwo kleiner als die darunter ſtehende, ſo wird eine Einheit der naͤchſt hoͤhern Ordnung von der benachbarten Zif⸗ fer zur Linken dazuj entlehnt, welches zehen Ein⸗ heiten von der verlangten niedrigen Ordunng gibt; wovon ſich dann die untere Ziffer ſicher abziehen laͤßt. Es wird nicht undienlich ſeyn, jene Ziffer, von welcher 1 geborgt worden, mit; einem dar⸗ uͤber gemachten Punkte zu bezeichnen, damit man es in der Folge weiß, daß ſelbige um 1 weniger gelte. Die Sache ſoll durch folgendes Beiſpiel deutli⸗ cher werden. 6 4. 5. 3. 2 5 Min. 3 I 8 9 7 3 Subtr. Reſt 3 2 6 3 5 2 Erklaͤrung dieſes Beiſpiels. In der zweiten Zifferſtelle konnte 7 von 2 natuͤrlich nicht abgezogen werden. Man entlehnte daher von 3 in der drit⸗ ten Zifferſtelle eine Einheit, welche zehen Einhei⸗ ten von der zweiten Zifferſtelle gibt. Es kann be⸗ reits 7 von 10 + 2 = 12 ſicher abgezogen wer⸗ den, Nun g heigt e werden ſeiten 1 Nullen gleiche ulen lemm, uhee erden in begr negneh eins und d lehnen derun, lleitt nehine dele worde luſen wande len it der le b gege⸗ chteſten er Sub⸗ cheinen. ner ab heit der en Zif⸗ n Ein⸗ gibt; Hiehen Ziffer n dar⸗ t man werüger 1deutl⸗ lefer erden der drit⸗ fyvrbes en wet⸗ 27 den, (um dieſes zu verſtehen, muß man ſich den 31. §. wohl bekannt machen) und laͤßt zum Reſt 5. Nun gilt aber der punktirte 3 nur noch 2; daher heißt es jezt: 9 von 2 kann wieder nicht abgezogen werden, alsdann verfaͤhrt man wie eben bei der zweiten Zifferſtelle iſt gewieſen worden. II. Sollten aber in der zu vermindernden Zahl Nullen vorkommen, ſo verfaͤhrt man abermal auf gleiche Weiſe, nur mit dem Unterſchied, daß die Nullen, von welchen man ohnehin nichts entlehnen kann, nach geſchehener Entlehnung von dem naͤchſten Zahlzeichen, im Sinne den Neunern gleich gemacht werden muͤſſen. Die Urſache davon iſt anſchaulich zu begreifen. Denn wenn ich z. B. von 20 eins wegnehme, ſo bleibt 19; alſo wird, weil ich nur eins wegnehme, dieſe lezte Nulle zum Neuner, und der zweifache Zehner, von dem ich einen ent⸗ lehnen mußte, zu einem einfachen Zehner. Wie⸗ derum, wenn ich von 200 eins hinwegnehme, ſo bleibt 199, und die beiden Nullen werden Neuner; nehme ich von 200 zwei hinweg, ſo bleibt 199, und die lezte Nulle, welche um einen Zehner vermehrt worden, folglich gleich iſt o + wird achte uͤbrig laſſen, die naͤchſte Nulle aber in einen Neuner ver⸗ wandelt. HKM Ferner, wenn ich 2 von 2000 abziehe, ſo blei⸗ ben uͤbrig 1998; hier werden abermal alle zwiſchen der lezten Nulle und dem naͤchſten Zahlzeichen ſte⸗ hende Nullen in Neuner verwandelt. Auf gleiche Art laͤßt ſich nun begreifen, daß auch in großen Beiſpielen, die man nicht im Kopf rechnen kann, dieſe Veraͤnderung ſtatt haben muͤſſe. Der Beweis iſt nicht ſchwer zu fuͤhren und auch fuͤr angehende Rechner faßlich. Denn wie 10 — 9 + r, und 100 = 9 Zehnern †+ 9 Einheiten + 1, ſo ſind auch 1000 = 9 Hunderten + 9 Zehnern, + Einheiten + 1. Wenn demnach nur eine Einheit der lezten Klaſſe ſubtrahirt werden ſolle, ſo iſt die Differenz = 9 Hunderten + 9 Zehnern + 9 Ein⸗ heiten, u. ſ. w. Nun wirds leicht ſeyn, die noch folgende Bei⸗ ſpiele von dieſer Gattung (II.) zu berechnen. Man ſolle von 7 5. O. O. O. O. 3 9 abziehen 4 3 % 5 o 0O 5 7 ſo iſt der Reſt 3 1 9 4 9 9% 8 2 Die Sprechform iſt etwa dieſe: 7 von 9 laͤßt 2, 5 von 3 laͤßt ſich nicht abziehen, folglich borgt man von dem naͤchſten Zahlzeichen 5, welches ſchon in dem Ort der Millionen ſteht, eine Einheit der Millionen, wodurch ruͤckwaͤrts alle da⸗ zwiſchen liegende Nullen in Neuner und der Zer in 3 + 10 oder in 13 verwandelt wird. Nun ſpricht man: 5 von 13 laͤßt 8, ferner von 9 laͤßt 9; von 9 laͤßt 9, 5 von 9 laͤßt 4, o von o laͤßt 9, 3 von 4 laͤßt 1, und 4 von 7 laͤßt 3. Die Ge⸗ wißheit dieſer Rechnung erfaͤhrt man durch die Probe, welche im erſten Abſchnitt F. 11. deutlich an⸗. gezeigt iſt. 1) 9 iſt no Sis⸗ (dr ric 9d N ti he 29 gkoßen Nuͤtzliche Beiſpiele. laonn, 1) Nach Hr. Seybolds Ephemeriſchen Almanach Beweis iſt Konradin von Schwaben, der rechtmaͤßige, gehende noch einzige, Erbe der Koͤnigreiche Neapolis und 1, nd Sizilien, ein Enkel Friderichs des 2ten, 1268 ſ ſd (durch Karl von Anjou) hingerichtet worden. „,9 Wie viel Jahre ſind ſeit dieſer geſetzwidrigen Hin⸗ Enrhee richtung verfloſſen? iſt de 1I 7 9. 6 9 En⸗ 1I 2 6 8 Antwort: 5 2 8 Jahre. Bel Probe 1 7 9 6 2) Torrizelli, ein Leibarzt des Grosherzogs von von Florenz, hat im Jahr 1643, die mit Quek⸗ ſilber gefuͤllte Glasroͤhre erfunden, welche noch heut zu Tage die Torrizellianiſche Roͤhre genannt wird, wie alt iſt dieſe Erfindung? lgiehen, 1I79 6 chen 5, 1 6 4 3 t, eine Antw. 1 5 3 Jahre. “ 3) Die Poſten ſind gegen das Jahr 1641 *) durch 131 Lamoral von Taxis in dem teutſchen Reiche er⸗ n richtet worden. Wie lange iſt dieſes fuͤrſtliche Haus ſchon im Beſitze des Poſtweſens? ce⸗ 1796 O 1 6 4 1 ch de Antw. 1I 5 5 Jahre. ſichen⸗ *) Wuͤrtembergiſcher Hof⸗Almanagch von 1771. 3⁰ 4) Der beruͤhmte und gelehrte Chriſtian Mayer, (Churpfaͤlziſcher Aſtronom) erſann 1770 aus Ge⸗ legenheit des 1751 von dem Engliſchen Parla⸗ ment aufgegebenen Problems die Meereslaͤnge zu finden, durch Huͤlfe einer Uhr, eine Land⸗ charte zu entwerfen. Die Methode iſt jenem bisher uͤblichen Verfahren durch Triangel weit vorzuziehen. Wie viele Jahre iſt alſo dieſe Er⸗ findung den Geographen bekannt? 1 7 906 Antw. 2 6 Jahre. 5) Die ſchwarze Kunſt der Kupferſtecher iſt die Er⸗ findung eines Heßiſchen Obriſtlieutenants, Na⸗ mens von Siegen, im Jahr 1649; wie alt iſt dieſe Erfindung? 1 7 9. 6 1 6 4 9 Antw. 1 4 7 Jahre. 6) Oeſterreichs Kriegsmacht beſtand nach Hrn. Profeſſor Schlözers Angabe im Jahr 1778 aus 350000 Mann. Um eben dieſe Zeit war ſie in Frankreich 312926 Mann ſtark; wie viel Koͤpfe iſt die erſte Potenz ſtaͤrker als die leztere? bun nac die in Wn Mayer, als Ge⸗ Parla⸗ teblaͤnge Land⸗ t ſenem gel net dieſe E⸗ die Et⸗ 5, No⸗ e olr ſt Or. als ſein Poſe 31 Operation: 3 5. 0O. O. C. 0 3 I 2 9 2 6 Antw. 3 7 o 7 4 Mann. 7) Nach einem Extract aus dem Reichs⸗Operations⸗ buch (im Jahr 1795 im Mai Monat) betrug nach ſelbigem die Generaleinnahme 2620759 fl. die Generalausgaben 2608784 fl.; wie groß waͤre in dieſem Fall nach Abzug noch der baare Kaſſen⸗ Vorrath? Operation: 2 6 2. 0. 7. 5 9 2 6 0 8 7 8 4 I I 9 7 5 Gulden. Antw. 8) Wuͤrtemberg zaͤhlt 600200, die Marggrafſchaft Baden 200000 Einwohner. Um wie viel iſt die Bevoͤlkerung Wuͤrtembergs ſtaͤrker als Baden⸗ Durlach? Operation: 6 o0200 20°⏑0%⏑%⏑0° Antw. um 40°0⏑2% % Einwohner. 9) Alle Laͤnder des Rußiſchen Reiches ſchaͤzt Gat⸗ terer auf 201500 Quadratmeilen; hingegen alle Laͤnder des chineſiſchen Reiches auf 109312; um wie viel iſt das erſte Reich groͤßer als das leztere? Operation: 2. 0. 1I 5. 0. O I 0O 9 3 I 2 Antw. um 9 2 1 8 8 Auadratmeilen. 10) Franz Drake war der erſte, der die Kartoffeln Do 1580 aus Amerika nach Teutſchland brachte; wie viel Jahre iſt dies nüzliche Produkt den Teniſchen bekannt? Operation: 17 9 6 De⸗ 1 5 8 ee Antw. 2 1 6 Jahre. ßt mehren ar) Wilhelm Harvey, ein Engliſcher Arzt und Na⸗ 5 f. turkundiger hat 1628. den Umlauf des Gebluͤts im menſchlichen Leibe entdeckt, wie lange iſt es ſtie ſchon bekannt? 7 lch Operation: ( X 7 9. 6 TI 6 2 8 Antw. I1 6 8 Jahre. 12) Kolombs Abfahrt auf die Entdeckung von Ame⸗ rika wurde im Jahre 1402. unternommen; wie lange iſt dieſer Welttheil ſchon bekannt? . Operation: “ 1796 Uitde 1 4 9 2 Antw. 3 °4 Jahre. tze e nſere Fuͤnfter atfneilen. Kortoffeln nchte, wie Teltſen und Na⸗ Gebluts N iſt es 6O An⸗ men; e Süͤnfter Abſchnitt. Von der Multiplikation unbenannter ganzer Zahlen. d. 40. Die dritte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch eine Zahl etliche mal ſo groß gemacht wird. Dieſe heißt die Vervielfaͤltigung (Multiplikation). Das mehrere hievon kann man im erſten Abſchnitt §S. 5. 6. 7. 8. u. ſ. w. deutlich einſehen. Z. B. ich ſolle achte mit vier multipliciren, ſo ge⸗ ſchiehet dieſe wirklich durch eine ſchnelle Addition, nem⸗ lich durch eine viermalige Addition des Achters zu ſich ſelbſt. Denn wenn ich 8 viermal zu ſich ſelbſt addire 8 8 8 ſo iſt die SLumme 32. G. 41. Weil aber eine ſolche Operation zu weitlaͤufig wuͤrde, wenn man große Zahlen z3. B. 427 mit 362 multipliziren oder drei hundert und zwei und ſechzigmal zu ſich ſelbſt addiren ſollte, ſo haben ſchon unnſere Alten auf Mittel gedacht, die gewoͤhnliche aber C 34 dabei langſame Addition in eine ſchnellere, kuͤrzere, und weniger Raum einnehmende Addition zu verwandeln. §. 42. Dieſes geſchieht durch Huͤlfe des Einmal Eins, oder der pythagoriſchen Rechentafel. Dieſe Rechen⸗ tafel iſt nichts anders, als eine wirkliche Addition aller moͤglichen einfachen Zahlen ſo oft ſie ſich nach ihren Einheiten zu ſich ſelbſt addiren laſſen. Es er⸗ hellet alſo daraus, was die Summe ſey, wenn 9 zu ſich ſelbſt 9 mal, oder 8 mal, oder 7 mal, oder 6 mal u. ſ. w. addirt wird. Ueber die Zehner, Hunderter, Tauſender u. ſ. w. darf die Rechenta⸗ fel nicht hinaus gehen. 1 §. 43. Von Verfertigung einer ſolchen Rechentafel. Man zeichnet ein QLuadrat (man ſehe den F. 36. meiner Geometrie) und theilt es nach der Breite und Laͤnge in gleich viel kleinere Quadraten, nem⸗ lich auf jeder Seite in 9 Quadraten ein; ſchreibt ſodann die einfache Zahlen von bis 9 nach der Qneer und Laͤnge in die erſten Quadraten; hernach addirt man eine jede einfache Zahl nach der Ordnung 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 mal zu ſich ſelbſt, und ſchreibt die Summen in die folgenden Quadraten. 3. B. die auf folgender Seite gezeichnete Fi⸗ gur ſtellt die ganze zuſammengeſezte pythagoriſche Rechentafel vor. B — S ,— . 7 wel s g 5 mal fer he dieſer Rechte erade ſunne liſt e, und deln. Ens, ſechen⸗ Dion⸗ H nc Es et⸗ entn 9 odet hner, Penta⸗ cen 160s. Breite nein⸗ chrebt Auer oddit mg 2, , und ten. te F⸗ horſce 2 3 4 8 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 1¹0 15 20 25 30 35 40 45 2 18 24 30 30 4 48 54 7 14 ar 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 % 18 27 36 45 54 63 72 81 2 K. 44. In dieſem hier gezeichneten Quadrat (Viereck) welches zu beiden Abtheilungen gehoͤrt, findet man das Vielfache der Ziffern. So ſieht man z. B. daß 5 mal 6 zum Vielfachen 30 geben. §. 45. Soll nun eine gegebene Zahl durch einzelne Zif⸗ fer vervielfaͤltiget werden, ſo vervielfaͤltiget man mit dieſer eine Ziffer jener Zahl insbeſondere, von der Rechten gegen die Linke, und ſchreibt das Vielfache gerade herunter, doch ſo, daß man wie beim Zu⸗ ſammenzaͤhlen die Zehner zur folgenden Stelle auf⸗ behaͤlt. Nun wird es gar keine ſonderliche Kunſt E 2 36 ſeyn, alle nur moͤgliche auch noch ſo große Zahlen zu multipliziren. S. 46. Aufgabe. Eine zuſammengeſetzte Zahl durch eine einfache zu multipliziren. Aufloͤſung. 1) Man ſetze die zuſammengeſetzte Zahl als Mul⸗ tiplikant, oben an, und die einfache, als Mul⸗ tiplikator, darunter, damit man ihn immer im Geſichte habe: gewoͤhnlich geſchieht dies un⸗ ter der lezten Zifferſtelle zur Rechten und zie⸗ het eine Horizontallinie (Queerlinie) um das Produkt von dieſen beiden Faktoren abzuſon⸗ dern. 2) Man forſche, was gemaͤs dem Multiplikator das Vielfache der Einheiten von der erſten Ord⸗ nung gibt, und verhalte ſich beim Anſchreiben wie in der Addition. Eben dies thue man auch beim Vielfachen der Zehner, Hunderter, Tau⸗ ſender u. ſ. w. Zu einem wirklichen Beiſpiel nehmen wir 6 5 4 897 6 vor die Hand. Operation: 6 5 4 87 6 3 9 2 9 2 2 Einſ nach dukt und Ordr durc Iſten Mult lch, n (5. Ddie B dlet fie Zahlen einfoche Mul⸗ Mul⸗ nmer un⸗ d ⸗ a das bhte⸗ Plknter 1 Ord⸗ leiben 1 guch Tal⸗ diſptl nd⸗ 37 Erklaͤrung: 6 α 7 — 42, wobei ſich zwei Einſer und vier Zehner befinden. Man behaͤlt dem⸗ nach dieſe vier Zehner im Sinn, bis auch das Pro⸗ dukt von Zehner da iſt; dies gibt 6 Wι 8 48 und 4 dazu macht 52, wieder 5 als Zehner dieſer Ordnung behalten, dann 2 angeſchrieben, und ſo durch die ganze Zahl. Beweis. Man ſtelle den Multiplikant ſo oft als zu ſum⸗ mirendes Glied untereinander, ſo viele Einheiten der Multiplikator in ſich enthaͤlt, und man addirt wirk⸗ lich, ſo wird ſich allemal das naͤmliche ergeben, weil faſt die ulſche Verfahrungsart zum Grunde liegt (§. 40.) 65487 65 487 65487 55 487 65487 65487 399 2922 Anmerkung. Die Beweiſe werden hier freilich meiſtens nach in⸗ ductionartigem Zuſchnitte ausfallen; allein ſie ſind fuͤr die Arithmetik ſtrenge genug, weil doch bei jedem Schritte der Aufloͤſung ſo viel moͤglich der Grund des Verfahrens aus den vorangegangenen 38 angegeben wird. Allgemeinheit in Beweiſen zu erzielen, kann nur in der Algebra gefordert und geleiſtet werden. §. 47. Vorkommende Faͤlle bei der Multiplika⸗ tion in Anſehung der Nullen. Wenn die eine von beiden Zahlen, oder auch beide Nullen am Ende haben: ſo laͤßt man ſie bei der Vervielfaͤltigung weg, und ſezt ſie alle erſt zu⸗ lezt hinter das Vielfache; denn ſie dienen blos, um die andern Ziffern vorzudruͤcken. Wenn 530 mit 1600 vervielfaͤltiget werden ſollen, ſo vervielfaͤltiget man 53 mit 16, woraus B 5 3 0 I 0 0 0 5 3 8 4 800 L. 48. Es iſt einerlei, welche von beiden Zahlen man als den Multiplikator (Vervielfaͤltiger) be⸗ trachtet. Denn wenn man z. B. 3 mal 4 Punkte untereinander geſchrieben hat, 1ſ . . . ſo hat man ſeitwaͤrts 4 mal 4 . . . . 3 Punkte geſchrieben. Man ( . . . ) nimmt inzwiſchen gemeiniglich der Bequemlichkeit halben, diejenige Zahl zum Vervielfaͤltiger, welche die wenigſten Ziffern hat. ulle Nt: Ifen mehr die g ſile ch veiſen zu dert und telika⸗ . der auch n ſie bel erſt di⸗. ls, n 0 nit filtiget Zillen er) be 4 Vunk hnlhtet ,nelhe 39 Noch ein Beiſpiel hievon. 2 4 3 0°3 40°4 Oο ο 1 5 I 7 0 2 1 8 2 04 2 40°0¾⏑ d. 49. Aufgabe. Wenn ſich beim Multiplikator in der Mitte Nullen vorfinden, ſo werden ſie, um Raum und Zeit zu ſchonen, ausgelaſſen, und mit der naͤchſten Ziffer fortgefahten. Aufloſung: 3. B. 7 63003 48 3 °°5 3 8 I 50 I 7 4 G0 2 2˙ 890IO4 4 2 2 9 2 8 2 5 4 5 7 4 F. 50. Beſteht aber der Vervielfaͤltiger ebenfalls aus mehrern Ziffern, ſo ſchreibt man denſelben unter die andere Zahl, wie in den vorhergehenden Bei⸗ ſpielen. D , Erklaͤrung. Alsdenn vervielfaͤltiget man die gegebene Ziffer des Vervielfaͤltigers wie vorhin. 40 Eben ſo macht man es hernach mit der naͤchſtfol⸗ genden Ziffer, und nach und nach einer jeden der uͤbrigen, wenn der Vervielfaͤltiger ihrer mehrere hat. Das Vielfache ſchreibt man jederzeit unter das vorige, doch ſo, daß man es immer um eine Stelle weiter gegen die Linke ſezt, weil ihre fol⸗ gende Ziffer des Vervielfaͤltigers zehenmal ſo vie! gilt, als wenn ſie in der vorhergehenden Stelle ſtaͤnde, und alſo ein zehenmal ſo großes Vielfa⸗ ches geben muß. Endlich zaͤhlt man alle Vielfache zuſammen: ihre Summe iſt das geſuchte Vielfache. Man wird dieſe gegebene Regeln leicht ſelbſt auf die folgenden Beiſpiele anwenden konnen, wo 279343 mit 426, und 340475 mit 2456 vervielfaͤltiget werden. J. 2 7 9 3 4 3 4 2 6 †6 7 6 0 5 8 5 5 8 6 8 6 1 17372 I I90OOO‚OT 1I 8 II. 3 4 °4 7 5 2 4 5 6 2 04 2850 1I702 375 T 3 6 1 9 00 69095 0 8 3 6 2 0o 6 6 ° Plizirren lüuftig heiten multi dann muß normn, Doſot chſtfol⸗ den der nehrere k unter in eine hre fol⸗ ſo diel Etele Wielfe llfache fache. ufdie⸗ mit den. 41 D. 5I.⸗ Man hat noch eine Methode bei dem Multi⸗ pliziren, die aber ohne Noth gekuͤnſtelt und weit⸗ laͤuftiger als dieſe iſt; wenn man nemlich die Ein⸗ heiten, Zehner, Hunderter, u. ſ. w. des andern multiplizirt, und die Partialprodukte addirt, da dann die Summe dem ganzen Produkt gleich ſeyn muß, weil das Ganze ſeinen Theilen zuſammen ge⸗ nommen, gleich iſt. Die Sache wird folgendes Beiſpiel deutlich machen. 4 5 6 2 5 1I ₰ 3 0 25 2 ◻ 2 2 8 1 O Nuͤtzliche Beiſpiele. . 52. 1) Insgemein wird von den Geographen der Um⸗ kreis der Erde auf 5400 geographiſche Meilen *) angegeben. Die Meile hat 4000 geometriſche Schritte, ein geometriſcher Schritt 5 Schuh. Wie viel ſind ſolcher Schuhe um die Erde? *) Die naͤhere Beſtimmung hat Sulzer auf 6868 teutſche Meilen angegeben. S. Sulzers Entwurf der Geographie, I. Kap. §. II. Operation: 5 4 °ο0 4 0 00 2 I 6000⏑00 5 Antw. 1090°%0ο°οο⏑0ο½° Schuhe. 2) Wie viel Meilen braucht man die Erde zu um⸗ reiſen, da dieſer Weg 360 Grade mißt, und je⸗ der Grad 15 teutſche Meilen groß iſt? Operation: 3 6 1 5 1 8 0O O 3 6 Antw. 5 400 30) Nach Ferguſons Angabe lauft die Erde 120 mal geſchwinder als eine abgeſchoſſene Kanonenkugel, und zwar in einer Stunde 12500 Meilen. Wie hoch wird ſich die Summe der Meilen in Tag und Nacht, oder was eins iſt, beinahe in 24 Stun⸗ den belaufen? Operation: XT 2 5 °0 2 4 5 °°°⏑½ 2 5 0 Antw. 30°0°⏑0ο⏑0οûοοMeilen. 43 4) Der Schall durchzittert in einer Sekunde einen⸗ Weg von 1041 Pariſer Fuß (das macht nach der Rechnung eine Stunde und beinahe 4 Minuten Wegs); was fuͤr einen Weg wuͤrde er alſo in 15 Minuten durchzittern? Operation: I 0O4 I zu Uin⸗ . 6 0 und ſe⸗ 6 2 4 6 3 1I 2 3 00 6 2 4 6 0 Antwort. 9 3 6 9 °0 Pariſer Fuß oder 51 teutſche Meile. 5) Zwiſchen dem Blitze und dem darauf folgenden 10 fl Donner verſtreichen 28 Sekunden; wie weit eigel, war die Gewitterwolke entfernt, da der Schall 1. We in jeder Sekunde 1041 pariſer Schuhe durch⸗ Tugun ittert 2 4Gtun⸗ Operation: I O 4 T 2 8 8 328 2 6 8 2 Antw. 2 9 1 4 8 ̊ Schuhe. 44 6) Der Druck der aus dem Schießpulver entwickel⸗ 2) Zwiſchen Erbauung der Stadt Rom und der ten Luft uͤbt nach Hrn. Prof. Heinrichs akademi⸗ ſcher Preisſchrift im erſten Augenblick der Entzuͤn⸗ dung auf einen Quadratzoll eine Kraft von 10062 Pfunden aus; wie groß waͤre demnach der Druck derſelben auf einen Quadratſchuh, oder was eins iſt, auf 144 Quadratzoll? Operation: 1 9 0 6 2 1 4 4 27 6 2 4 8 7 6 2 4 8 1I9 0 6 2 Antw. 2 7 4 4 9 2 8 Pfunde. Menſchwerdung Chriſti, ſollen nach den beſten Chronologen 264 Olympiaden verfloſſen ſeyn; wie viel betraͤgt dies nach gemeiner Rechnung, da eine Olympiade (S. meine Chronologie F. 15.) eine Zeit von 4 Jahren in ſich begreift? Operation: 2 6 4 — — Antw. 1I O5 6 Jahre. 8)9) Ein Kammerherr eines gewiſſen Fuͤrſten bezieht jaͤhrlich einen Gehalt von 1200 Gulden; was be⸗ 9) 6G mne Gel Ufin „6 Nh hei wwas Deon tnickel kademi⸗ Entzin⸗ 10000 r Druck ngs eins und der jheſten ſnn; hnung, ) lezieht s be⸗ 45 ziehen die 99 Mitglieder des demſelben zugehdri⸗ gen Kaͤmmererſtabs? 1 2 0O OW 9 9 1080OO 1 O 8 Antw. 11930°0°% Gulden. 9) Ein Pfund Sterling (Engliſche Muͤnze) ſchaͤzt man auf 6 Reichsthaler, die 9 Gulden teutſches Geld betragen; wie viel Kreuzer gehen auf e ein Pfund Sterling? Operation: 9 6 Antw. 5 4 ½% Kreuzer. 10) Ein Wuͤrtembergiſcher Scheffel Korn gibt nach Abzug der Mitz des Muͤllers, welches den 14ten Theil vom Scheffel ausmacht, 66 Pfund Mehl; was giebt eine Lieferung von 386 Scheffel ſorches Proviants? Operation: 3 8 6 6 6 2 3 1I 6 . 2 3 I 6G Antw. 2 5 4 7 6 Pfunde. Sechster Abſchnitt. Von der Diviſion unbenannter gan⸗ zer Zahlen. F. 53. Die vierte Rechnungsart iſt diejenige, wodurch eine Zahl etliche mal ſo klein gemacht, oder welches einerlei iſt, ſie in etliche gleiche Theile theilet. Dieſe heißt die Theilung (Diviſion). Die Zahl, welche in gleiche Theile getheilet werden, ſoll, wird die zu theilende Zahl, die, welche die Zahl der Theile beſtimmt, der Theiler (Diviſor) und die, welche man durch dieſe Rechnung findet, der An⸗ theil Quotient) genannt. 7§. 54. Dieſe Rechnung beruhet darauf, daß man zu erforſchen wiſſe, wie viel mal der Theiler in der zu theilenden Zahl enthalten ſey, d. i. wie oft die⸗ ſes angeht, ſo oft erhaͤlt jeder Theiler eins. §. 55. Um aber dieſes dem angehenden Rechner auf keine zweckwidrige Methode beizubringen, uͤbe man ihn zue nich 5 tan zu ches ma glss der (8. 4 de gyn der ond nal 6; tegnen cſen, fudern Enheln dergl be in erſte bicl ton ſeh. g dieſelbe den Wu Ein Piſtten gan durch elches heilet. Zohl, , witd und de, der A⸗ man zu r in der 4 die htet auf ite nan 47 ihn zuerſt in denen Faͤllen, wo die eine Zahl noch nicht zehenmal in der andern enthalten iſt, daß man zunaͤchſt merke, wie vielmal ſie es ſey; wel⸗ ches man, wenn der Theiler eine einzelne Ziffer iſt, aus der pythagoriſchen Rechentafel wiſſen kann. (§. 43.) Anwendung auf obigen F. Waͤre z. B. der Theiler 5 und die zu theilen⸗ de Zahl 33, ſo wuͤrde man merken, daß erſtere in der andern zunaͤchſt 6 mal enthalten ſind, weil 5 mal 6 zum vielfachen 30 geben, welche ſich von 33 wegnehmen laſſen, da 5 mal 7 ſchon 35 ausma⸗ chen, und eine größere Zahl als 33 zu theilen er⸗ fordern wuͤrden. J. 50 Wenn aber die zu theilende Zahl nicht aus Einzelnen, ſondern Hunderten, Tauſenden, oder dergl. beſteht, ſo merkt man auf eben dieſelbe Art, im erſten Fall, wie viel Hundert, im zweiten, wie viel tauſendmal der Theiler in derſelben enthalten ſey. Kurz, die Ziffer des Antheils bleibt dabei eben dieſelbe, ihr beſonderer Werth aber richtet ſich nach dem Werthe der zu theilenden Zahl. Aufgabe. Eine jede gegebene Zahl durch eine andere zu dividiren. §. 57. Aufloͤſung. 1) Man ſchreibe zuerſt den Dividend, d. i. ſeine Zahl an, welche dividirt werden ſoll (§. 53.) und begraͤnze ſelbe zur Rechten durch einen ge⸗ raden Strich, wo nachher der Quotient hinge⸗ ſchrieben wird. 2) Setze man den Didviſor ſo weit gegen die Linke unter den Dividend, daß er blos noch von den daruͤber ſtehenden Ziffern abgezog en werden Ziff 95*&*☚ kann. 3) Man denke nach, mit welcher Zahl der Divi⸗ ſor multiplizirt werden darf, daß ſich dieſes Produkt vom ganzen Dividend abziehen laſſe. 4) Dieſe Zahl nun wird als Quotient angeſchrie⸗ ben, nachher mit dem Diviſor foͤrmlich multi⸗ plizirt, und das Produkt wirklich abgezogen. 5) Beim Reſt wiederhole man dieſe Verfahrungs⸗ art, ſo oft als es angeht, ſo hat man am Ende den Quotienten in Einſer, Zehner, Hun⸗ derter u. ſ. w. Um ihren Werth als Zehner, Hunderter u. ſ, w. hat man ſich nicht zu be⸗ kuͤmmern, weil dieſelbe, wenn man vorſchrift⸗ maͤßig verfaͤhrt, durch die nachfelgen den Zif⸗ fern beſtimmt wird. Ein — 6 und ſe Etrich ſit de b, ſtn⸗ alff Uinnne tit we eicht die de nd o 5, ( Mämnl ſr des he den i. ſeine d 5) inen ge⸗ t hinhe die Lilke bon deni weidett Divi⸗ dieſes cſe. geſchie⸗ mllte Yen. Hrorge ⸗ man e ,, Hu ehner, n be⸗ ſſhift⸗ en Z⸗ Ein 49 Ein einzifferichtes Beiſpiel ſieht ſo aus: 4 R 2 2 52 1 6 5,604 2 .2 5 2 4 - I 2 1I 2 —— △ O Erklaͤrung. Hier vergleicht man 4 mit 22, und ſezt die dadurch gefandene Zahl 5 hinter den Strich. Man multiplicirt nunmehr die 5 mit 4 ſezt das Vielfache 20 unter die 22, zaͤhlt es davon ab, und ſezt den Reſt 2 gerade herunter. Zu die⸗ ſen 2, welche noch aicht getheilt ſind, und welche auf der naͤchſtfolgenden Stelle 20 gelten, (J. 56.) nimmt man die folgende 5 der zu theilenden Zahl, mit welcher ſie alſo 25 ausmachen. Mit dieſer ver⸗ gleicht man den Theiler (Didviſor) von neuem, ſchreibt die daraus entſtehende 6 neben 5 in den Antheil, und verfaͤhrt mit dieſer, wie vorhin mit der Zahl 5, auf welche Art man uͤberhaupt fortfaͤhrt. Naͤmlich: Man vervielfaͤltiget jederzeit, die gefundene Zif⸗ fer des Antheils mit dem Theiler, zaͤhlt das Viel⸗ fache von der vorgenommenen Zahl ab, und ſezt den Reſt herunter. Zu dieſem nimmt man die fol⸗ — 50 Theilung fort, bis von derſelben keine Ziffer mehr uͤbrig iſt. Wenn man bei Vergleichung des Diviſors mit der vorgenommenen Zahl findet, daß derſelbe gar nicht enthalten iſt, ſo nimmt man noch eine Ziffer der zu theilenden Zahl dazu. In den Antheil aber ſezt man vorher eine o, damit jede Ziffer derſelben die ihr gebuͤhrende Stelle erhalte. In der 4Aten Theilung iſt z. B. der Didviſor 4 in 1 gar nicht enthalten. Man nimmt deswegen noch die folgende 6 dazu, wodurch man 16 erhaͤlt. In den Antheil aber ſezt man vorher eine o, weil ſonſt die erſteren Ziffern deſſelben nur 5630 werden wuͤrden, da ſie nach dem Werthe der 225200, wor⸗ aus ſie entſtanden ſind, 56300 werden muͤſſen. C. 56.) Wer ſich hierin einige Uebung erworben hat, wird in dieſem Fall, da der Diviſor eine einzelne Ziffer iſt, nicht noͤthig haben, die Vielfache und die Reſte allezeit auszuſchreiben, wozu das folgende Beiſpiel auch ohne fernere Regeln Anleitung ge⸗ ben kann. . . 7 3 4 03 6 1 2 00 5 1 F. 38. Man muß aber auch mit zwei und noch mit mehr Zahlzeichen dividiren koͤnnen; folglich muͤſſen gende Ziffer der zu theilenden Zahl, und ſezt die 19 der ſehr lich Ort wie nicht nril) gen ch den t die mehr mit e ger Iſfer aber ſelen ſot 4 ſegen halt. weil den wor⸗ ſeen. n hot, izelne 1d die lende 9 ge⸗ nit giſen 5 1 auch von dieſem Fall Beiſpiele die Sache anſchau⸗ lich machen. §. 59. Hier wird man ſehen, wie bequem die Metho⸗ de unter ſich zu dividiren ſeye, wo hingegen in der Manier uͤber ſich zu dividiren zwar das Ausſehen ſehr geſchmeidig ausſiehet, aber dabei die Beſchwer⸗ lichkeit hat: einen begangenen Fehler nicht an dem Ort ſeiner Begehung allemal entdecken zu koͤnnen, wie beim unter ſich dividiren, folglich (wenn man nicht einer beſtaͤndigen Verwirrung ausgeſezt ſeyn will) meiſtens die Operation von neuem anzufan⸗ gen genoͤthiget wird. 3. B. Man ſolle 64285 durch 25 dividiren. Ich ſetze die Zahl und ihren Theiler (Diviſor) nach den gegebenen Regeln (§. 57.) 1, 2, 3, 4, 5.) Ein Beiſpiel ſieht aus: 5 0% I 4. 2 12 5 — I 7 8 17 5 — 3 5 25 Reſt. D 2 re 52 Erklaͤrung. Hier ſpreche ich: 2 in 6 koͤnn⸗ te ich zwar Zmal nehmen, aber wegen dem folgen⸗ den Fünfer darf ichs nur zweimal nehmen, dann 25 iſt in 64 nur zweimal enthalten, man ſezt al/ſo 2 in die Stelle des Quotienten, und ſpricht: zwei⸗ mal 25 iſt 50; 50 von 64 laͤßt 14, zu dieſer Zahl ſezt man den folgenden Zweier neben die Zahl 144, und ſpricht wieder: 2 in 14 koͤnnte ich zmal, aber wegen dem zur Zahl 2 gehoörigen Theiler 5 kann man es nicht ſo oft nehmen, der richtige Verſuch iſt alſo fuͤnfmal, weil 25 in 142 wenigſtens fuͤnf⸗ mal enthalten ſind. Dieſes iſt alſo richtig, und aus dieſem Grund ſchreibt man dieſe Zahl 5 in die Stelle des Quotienten, und ſpricht wieder: 5mal 25 iſt 125, 125 von 142 laͤßt 17, ſodann ſezt man das folgende Ziffer 8 herunter, (jede von den theilenden Zahlen bemerkt man mit einem Punkte, um alle Verwirrung in der Didiſion zu verhuͤten, daß im erſten Fall kein Zahlzeichen vor dem an⸗ dern herabgeſetzt wird, im zweiten aber keine Zif⸗ fer vergeſſen bleibt) und verfaͤhret wie bisher ge⸗ zeigt worden. Am Ende bleibt nun nach geſchehe⸗ ner volliger Diviſion ein Reſt uͤbrig, der ſich nicht mehr durch 25 dividiren laͤßt, er gibt alſo einen Bruch, und heißt 2 oder 2. K. 60. Eben auf dieſe hier gezeigte Methode verfaͤhrt man auch, wenn der (Diviſor) Theiler mehrere nn⸗ en⸗ nn ſo dei⸗ ol 14, ber ann iich f⸗ nd de gal it den ta, , ten, all⸗ 3i ge⸗ ehe⸗ icht enen ift ſete 53 Ziffern hat. Nur daß man gleich Anfangs ſo viele Ziffern von der zu theilenden Zahl vornimmt, als man noͤthig hat, um den Theiler ein oder etliche mal darinn zu ſehen, und hiermit die erſte Ziffer des Antheiles zu finden. §. 61. Die Sache kann noch beſſer verſtanden werden, wenn man eine Tabelle verfertiget, worinn alle Produkte des Diviſors und der 9 Urzahlen enthal⸗ ten ſind, woraus ſogleich erſichtlich ſeyn wird, wel⸗ ches Produkt ſich in jedem Falle abziehen laͤßt. 3. B. 492006290: 19 △ r . e b P α ο ρο% △ +☚ de. , r Abſichtlich waͤhle ich hier wieder den Theiler mit zwei Ziffern. Z. B. S 54 10] 19 29062,9°% [25895067 das fache 3 8 5 Reſt 1I 1I. 2 das 5fache - 9 5 Reſt I 7. das gfache 1 5 2 u. ſ. w. 8. I 7 TI — 9 6 95 129 nit I 1I 4 fen 1 5.0 dere 1 3 3 „ te I R vor 1 Anmerkung. Ein jeder wird glauben, daß im Gegentheil die Diviſionen mit zuſammengeſezten Didiſorn de⸗ ſto leichter ſind, je groͤßer die erſte linke Zif⸗ 31 fer und je kleiner das dabei ſtehende ausfaͤllt. he die §. 62. ed Ein Beiſpiel, wenn der Diviſor aus 3 Ziffern beſteht, als 589, in 1914826. 6⸗I el die den de N flt fern 55 Operation: 5 8 9 r 9. 1. 4 § 2 6 3 2 5 1 7 0 7 d0 o⅓ „ O% er ARMIEOP 2 5 H ——— Erklaͤrung. Hier z. B. vergleicht man 5989 mit 1014 oder 5 mit 19 (§F. 56.) da man dann ſieht, daß einer 3 in den Antheil gehoͤrt. Hernach vervielfaͤltiget man 3 mit 599, zaͤhlt das Vielfache 1767 von 1914 ab, und ſezt den Reſt 147 herun⸗ ter, zu welchem man die folgende 8 nimmt, und von neuem 589 mit 478 vergleicht, u. ſ. w. (wie F. 57.) * D. 63. Wenn bey Vergleichung des Theilers mit der zu theilenden Zahl irgendwo gefehlt, und die Sa⸗ che auf ungewißen Verſuchen beruhet, d. i. wenn man die Ziffer in dem Antheil entweder zu groß, oder zu klein genommen hat, ſo kann man den Irrthum dadurch gleich entdecken, daß in dem erſten Falle das Vielfache des Theilers groͤßer wird, als die Zahl, wovon man es abzaͤhlen ſoll, in dem zweiten 56 aber nach geſchehener Abzaͤhlung der Reſt eben ſo groß oder groͤßer wird, als der Theiler. Hauptſaͤchlich dient in ſolchen Faͤllen die be⸗ ſchriebene Tabelle (§. 61.) hiezu. J. 64. Wenn der Diviſor Nullen am Ende hat, ſo werden ſie vor der Theilung abgeſchnitten, und eben ſo viele Ziffern von der zu theilenden Zahl. Der Antheil bleibt hierbei eben derſelbe; die abgeſchnit⸗ tenen Ziffern aber ſind ſolche, welche ohnedem uͤbrig bleiben wuͤrden. Beiſpiel: 5S 4 o o 7 6 2 ½ 5 2 r 4 5 4 2 2. 2 2 I 6 —— -—- Die Urſache dieſes Verfahrens iſt leicht zu ver⸗ ſtehen, die abgeſchnittene Zahlzeichen ſind immer kleiner als der Diviſor, weil allemal von der zu di⸗ vidirenden Zahl ein Zahlzeichen weniger als der Di⸗ viſor Zeichen hat, abgeſchnitten wird. Folglich laͤßt ſich der Reſt niemalen durch den ganzen Diviſer theilen. §. 65. Zur Uebung mag folgendes 6 Zifferichtes Bei⸗ ſpiel deshalb hier ſtehen: 99 J und wen S 57 e 999876 R9. 8 7.6.3 89 05 619 8⁸77 . 89298884 i lhe⸗ — 8. 7. 7. 5 0 5. 0 79990°0° 8 — 7. 7. 0. 0O 4. 2 5 t, ſ 609 9 91 3 2 SðJBMUĩ dehen — 7. 0. T. 2 9 3 0 Der 699091 3 2 eſchnit. — 6 1 3 8 0O4 ri —— §. 66. Nuͤzliche Beiſpiele. 14 1) Um zu unterſuchen ob ein gegebenes Jahr ein Schaltjahr ſey oder nicht, darf nur die Jahrzahl durch 4 dividirt werden. Geht die Diviſion auf ohne Reſt, ſo iſts ein Schaltjahr; bleibt aber ein Reſt, ſo zeigt dieſer, das wie vielte Jahr nach einem Schaltjahr das vorgegebene iſt. Z. B. ſttte. 1796 mit 4 dividirt, ſo zeigts ſich, daß nichts nne im Reſt uͤbrig bleibt, iſt alſo der Beweis, daß u dieſes Jahr ein Schaltjahr ſeyyye. , H c⸗ 1795 war kein Schaltjahr, denn es bleiben 3 o Jahr uͤbrig, wenn 1795 durch 4 dividirt wird, und 448 zum Quotienten; — d. i. ſeit der Menſch⸗ werdung Chriſti ſind 448 mal 4 Jahre oder 448 . Schaltjahre und 3 gemeine Jahre verfloſſen. Jezt fragt ſichs: war 1495, als man Wir⸗ 58 temberg zu einem Herzogthum erhob, ein Schalt Yge jahr oder gemeines? tid Operation: 4 495 373 I 2 = 2 9 2 8 1I 5 . 2 9) G Z zur Sy gang . Aefal Antwort: kein Schalt⸗ ſondern gemeines Jahr. daht E 2) In einem Garten ſtehen Reihenweis 1024 Baͤu⸗ me, und ſind 32 Reihen, wie viel Baͤume ſte⸗ hen in jedem Reihen? 6 Operation: 8 2 o. 2 4 3 2 Baͤume. 9 6 6 4 4 ““ — tet . WM kun 8) Eine Brunnenquelle ſoll durch eine Strecke Fel⸗ Ee des von 1664 Schuhen, durch hoͤlzerne Deicheln 1 geleitet werden; wie viel wird man dazu ndthig 59 1Schol⸗ haben, wenn ein Deichel zu 16 Schuh beſtimmt wird? Operation: 1 6 1664 104 Deichel. 6 S 4 4) Ein vom Waſſer durchwuͤhltes Wehr ſoll wieder zur Brauchbarkeit, ein einfaches Gelaͤnder von ganzen Tannenbaͤumen zu 60ger (Schuhen) auf⸗ gefuͤhrt werden, wie viel ſolcher 6oger hat man aht. dazu noͤthig, wenn das Geſtade dieſes Wehrs 4560 Schuh lang iſt? Me Operation: ne ſie 6 0 4 5 6 0 7 6 Tannenbaͤume. 4 2 0 . 3 0 0 t. 3 6 5) Richer iſt der erſte, der im Jahr 1672 beobach⸗ tet hat, daß eine Pendeluhr, die in Paris Se⸗ kunden ſchwang, folglich in einer Stunde 3600 Schwingungen machte, auf der Inſel Cayenne in 24 Stunden 86280 mal geſchwungen habe, wie viel trafen auf eine Stunde? eke Si⸗ 1 bthig Operation: 1 2 4 8 6 2 8 % 3 595 Schwingungen. hite — uin n 1 4 2 er 1I 2 0 ſehn, . verſie 2 9 2 I 6 M 12O 20. 49. 6) Die Staatseinkuͤnfte Frankreichs betrugen 1781 — 163110779 Gulden, was bezog die koͤnigliche Kammer in einem Tag? 36 5 163 110779 [457837374 fl. Hen TI 4 2 O0 in d — ftan — 2. I. T. TI 1I 82 5 2 8 6. 0 2 5 5 5 3. O0 5 7⁷7 2 0 2 O0 3. 7 7 1095 8.2 9 2 5 5 5 — 2 7 4 Uunhen⸗ 1I8r- bniglche „244 1565 61 7) Der hoͤchſte bisher bekannte Berg (Pichincha) *) in Peru, wird auf 13800 Paar Fuß ſenkrechte Hoͤhe uͤber die Oberflaͤche des Meeres geſchaͤtzt, um wie vielmal mag wol dieſer Berg hoͤher als unſere Bergveſtung Hohentwiel in Wuͤrtemberg ſeyn, die, wie eine mathematiſche Beobachtung verſichert (mit der deſagulierten Maſchine) vom Achfluß aus 4948 Pariſer Fuß mißt? Operation: 4 9 4 8 1 3 8 0 0 2 ¼3 3 mal hoͤher. 9 8 9 6 3 9 0°4 —,.vwwrU⅓ℳ B— *) Einige behaupten, der Mont blanc ſei der hoͤchſte in der alten Welt, und ſetzen ſeine Hoͤhe auf 15000 franzoͤſiſche Fuß. Siebenter Abſchnitt. Die Probe der vier Rechnungsarten. d. 67. Um ſich zu uͤberzeugen, ob man richtig gerechnet habe oder nicht, muß man durch andere Rechnung unterſuchen koͤnnen, ob die gemachte Aufloͤſung rich⸗ tig und zuverlaͤßig ſei; — und dieß heißt man eine Rechnungsprobe. Unſere Alten ſprachen ſo: Die Addition durch die Subtraktion, und die Subtraktion durch die Addition; dann die Multi⸗ plikation durch die Diviſion, und die Diviſion durch die Multiplikation. Die uͤbrigen neu erſonnenen zweierlei Proben, gewaͤhren blos Wahrſcheinlichkeit. Eine von dieſen zweien lezteren heißt die Neunenprobe, die andere nicht viel beſſere die von Hrn. Klausberg erſun⸗ dene Eilferprobe. §. 68. Jede Addition durch Subtraktion richtig zu pruͤfen. Auflodſung: Man ziehe von der Summe alle zu ſummirenden Glieder, aus welchen Theilen ſelbige als ein Gan⸗ zes b Ende! glbgenn und nie Gleeden ſehn wo ſiel 2 2 5— Uch nan n gerechre Nechnung ing nich⸗ nan eine und die Multi⸗ n dutch 4 Pben, von dieſen ie andet? 1 etfu⸗ richtig mirenden en Gar⸗ 63 zes beſteht, nach und nach ab. Wenn nun am Ende nichts uͤbrig bleibt, ſo iſt es eben darum die ausgemachteſte Probe, daß die Summe nicht mehr und nicht weniger enthalte, als die zu ſummirenden Glieder, welchen ſie zuſammen genommen gleich ſeyn will. D Zur Ueberzeugung dieſes Verfahrens ein Bei⸗ ſpiel. 5 8 9 2 9 4 8 die zu ſummirende Glieder. 2 2 0o 7 6 1 3 3 ] 2 9. o. 4 9 Summe. 5 8 9 2 Erſtes zu ſummirendes Glied. 2 3. I 5. 7 Reſt. ° 4 8 Zweites zu ſummirendes Glied. 2 2 2. 0° 9 Reſt. 2 2 0° 7 6 Drittes Glied. — I 3 3 Reſt. 1 3 3 Viertes Glied. D Reſt. C. 69. Dieſe eben angefuͤhrte Probe kann man da⸗ durch in etwas erleichtern und abkuͤrzen. Wenn man nach verrichteter Addition alle zu ſummirenden Glieder, eines ausgenommen, wieder von neuem 3 64 addirt, und dieſe Summe von der Hauptſumme ab⸗ zieht, wo dann am Ende das ausgelaſſene Glied uͤbrig bleiben muß. Denn es gilt gleichviel, ob ich alle Glieder bis zum lezten nach und nach oder auf einmal ſubtrahire; es wird in jedem Fall das naͤm⸗ liche herauskommen. Wir wollen im obigen Bei⸗ ſpiel die unterſte Zahl weglaſſen. 5 8 9 2 9 4 8 2 2, ° 7 6 r 3 3 * 2 9. 0° 4 9 Summe aller Glieder we⸗ 2 8 9 I 6 niger dem unterſten. Probereſt 1 3 3 70. Es geſchah uicht ganz ohne Abſicht, daß ich bei der Probe die erſte Zahl von unten auf in der Addition wegließ; denn es kann ſich leicht fuͤgen, daß man, wenn eine Zahl von oben weggelaſſen wird, bei den naͤmlichen Zifferkolumnen auch wie⸗ der den naͤmlichen Fehler begeht, der ſchon vorher begangen worden, in welchem Falle man ſehr hin⸗ tergangen wuͤrde. Wird aber die untere Zahl aus⸗ gelaſſen, ſo regulirt ſich groͤßtentheils die Felse der uͤbrigen Ziffern anders. Dieſes wird hier die Sache begreiflich machen⸗ Unrich⸗ „ Febe Zohl lüſte um nin oßt,/ enn chte zumm dabo mmme c⸗ ne Glied el, ich lder guf dos nan⸗ gen Bei⸗ der we⸗ tſten. 09 in der figen, Mklaſen ch ie on vortet ſet fir Nlloui⸗ er Gtged nehen Uunih 65 Unrichtige Additionen. 2 24 7 2 4 2 3 8 2 3 8 6 3 6 3 2 4 2 4 * 1 04 7 1047 3 2 3 102 5 7 2 4 unaͤchte Probe. 2 2 aͤchte Probe. K. 71. Jede Subtraktion durch Addition richtig zu pruͤfen. Die natuͤrlichſte und richtigſte Probe, ob eine Zahl von der andern richtig abgezogen worden, leiſtet die Abdition; denn wenn der Unterſchied, um was eine Zahl kleiner als die andere iſt, naͤmlich der Reſt, wieder zur kleinern Zahl, das heißt, zum Subtrahend addirt wird, ſo muß, wenn je das Verfahren mit Aufmerkſamkeit ver⸗ richtet war, die großere Zahl, der Minuend, zum Vorſchein kommen. Hier iſt ein Beweis davon. 4. 2 3. 7 9. 5 2 Min. 2 7 I 8 4 6 TI Subtr. Reſt 1 5 1 9 4 9 1 Probe 4 2 3 7 9 5 2 E K. 72. Eben ſo richtig kommt auch die Probe zum Vorſchein, wenn der Reſt der beiden Zahlen in dieſem Fall die große Zahl zur kleinen, oder was eins iſt, der Minuend zum Subtrahenden wird. Zum Beweis ſetzen wir obige Reihnungs⸗ probe nochmal her. 2 3. 7 9. 5 2 Min. 7 I 8 4 6 I Subtr. P* Reſt 1 5 1 9 4 9 r Probe 4 2 3 7 9 5 2 §. 73. ede Multiplikation durch Disiſion richtig zu pruͤfen. Man darf nur das erhaltene Produkt durch einen Faktor wieder dividiren, der Quotient, der heraus kommt, muß dem andern Faktor gleich ſeyn, wenn man anders das Beiſpiel recht multiplizirt hat. von dem Minuenden nochmal abgezogen wird, weil mi den am ſ 67 Operation: zumn , 4 8⁸ r 2 ahſenr 2 4 , wel 1I 9 2 4 8 , Ndet 9 6 2 4 henden 2 4 1 I. 5 4 8 8 4 8 X 2 nungs: 9 6 1 9 4 JI 9 2 — 2 8 2 4 - 4 8 4 8 §. 74. ior Zeode Diviſion durch Multiplikation richtig zu pruͤfen. durch Man multiplizirt den erhaltenen Quotienten t, de mit dem Diviſor. Das Produkt wird den Divi⸗ gber, denden ganz darſtellen, wenn bei der Didiſion am Ende kein Reſt geblieben iſt. Bleibt ein Reſt, ſo darf man nur dieſen zu dem gedachten Pro⸗ dukt addiren, ſo muß der Dividendus wieder zum Vorſchein kommen. ſſh E 2 Beiſpiel: 5 3 6 7 Nun iſt ? der Quotient. 3 5 der Diwiſdr⸗ Reſt 1 35 1 Reſt. 3 6 iſt der Divi⸗ dendus. Anmerkung. Daß dieſes zutreffen muß, ſieht jeder leicht ein, der bedenkt, daß Diviſion nur ein vorhande⸗ nes Multiplum zerlegt, und in dem Quotien⸗ ten allemal blos angezeigt wird, wie oft der Diviſor in dem Dividenden enthalten. §. 75. Die Probe der Addition durch Wegneh⸗ mung der Neuner, wird ſo gefuͤhrt: Man betrachtet die Ziffer aller ſummirenden Glieder als lauter Einheiten der erſten Ordnung, dann zuſammen addirt, und ſo oft als es angeht, die Zahl Neun davon wegwirft. Und eben ſo wird dieſes auch bei der Summe beobachtet. Wenn nun auf ſolche Art die Addition richtig geſche⸗ hen iſt, ſo muͤſſen die beiden Reſte einander gleich ſeyn. Folgendes Beiſpiel ſoll die Sache deutlich machen. 4 u weg Ud 3 UI Id 1 und und 4 gln Sar 4 fal wen denn ſo dies lete ganz tenn der ein, inde⸗ tien⸗ der 69 5 2 6 4 3 ,3 °4 6 7 9044 8 9° 9⁹ 2 4 Summe 19 7446 4 Wir wollen bei der erſten Zahl anfangen: 4 und 6 iſt 10, aus 10 wird eins (wegen hin⸗ weggeworfenen Neuner) 1 und 2 iſt 3 und 5 iſt 8 und 6 iſt 14, gibt 5, 5 und 4 iſt 9, gibt nichts, 3 und 3 iſt 6 und 4 iſt 10, gibt 1, 1 und 4 iſt 5 und 7 iſt 12, gibt 3 und 3 iſt 6 und 4 iſt 10, gibt 1 und 4 iſt 5 und 7 iſt 12, gibt 3; 3 und 2 iſt 5 und 8 iſt 13, gibt 4. Nun muß dieſer (Ueberſchuß) 4 ausgeworfen werden. Jezt wird eben ſo bei der Summe verfahren; 6 und 4 iſt 10, gibt 1, 1 und 4 iſt 5, und 7 iſt 12, gibt 3, 3. und 1 iſt gleich⸗ falls 4, und kann auch hinter die Summe gezaͤhlt werden. §. 76. Die Eilferprobe. Man zaͤhlt da alle ungeraden Zifferſtellen in den zuſummirenden Gliedern zuſammen, und wirft ſo oft 11 hinweg als es angeht. Nachher geſchieht dies auch bei den geraden Stellen, und zieht dieſen lezten Reſt von dem erſten ab. Laͤßt er ſich nicht ganz abziehen, ſo darf nur der erſte Reſt um 11 vermehrt werden. Wenn man das ebenfalls bei der Summe thut, ſo muͤſſen gleiche Zahlen zum 1 Vorſchein kommen, um die Richtigkeit der Addition pruͤfen zu koͤnnen. §. 77. Die Probe der Multiplikation mit Weg⸗ werfung der Neuner. Man wirft aus jedem Faktor die Neuner be⸗ ſonders weg und vervielfaͤltigt die Reſte. Eben aus dieſem Produkt thut man ſo viel Neuner weg als moͤglich, und den Reſt behaͤlt man im Sinn. Aus dieſem Produkt wirft man die Neu⸗ ner auch weg, ſo werden die beiden Reſte (Ueber⸗ ſchuͤße) gleich ſeyn, wenn man anders die Rech⸗ nung mit Anſmerlſanket gemacht hat. — , 8= 1I 9 I 2 17 Die Probe der Diviſion mit Wegwerfung der Neuner. Hier wird eben ſo verfahren wie beim Multi⸗ pliziren, wenn man den Diviſor und Quotienten als die Faktores, den Dividendum als Produkt be⸗ ſb und ſeec tien die⸗ gich ſoon mit in de de ditione Dey⸗ et lu 9 biel t man Neu⸗ her. Roh gefung Yilti Kienten ktbe 271 trachtet, nur daß man, was nach der Didiſion uͤbrig bleibt, zu dem bemerkten Reſt vom Diviſor und Quotienten addirt, und wenn Neuner darin ſtecken, ſolche wegwirft. (7 „(⸗z 5 3 8 6 5. 4 ⅝ 4 7 I2 17 5 3 9 2 1 1. 6 8 14 (53 I 0 7 6 2 — 9. 2. 4 5 3 8 7 3 8 6 7 322 0& 6 —- I O F — Aus dem Diviſor bleiben 7, aus dem Quo⸗ tienten 2, 2 mal 7 iſt 14, 9 davon bleibt 5, und die 2 aus dem Reſt gibt 7, und eben ein ſolches auch vom Dividendus. H §S. 79. Man hat noch eine Probe, wo man die Divi⸗ ſion pruͤfen kann, und gewaͤhrt mehr kichtiges als mit Wegwerfung der Neuner. Man tilgt diejenige Zahlen mit Strichgen, die in der Diviſion als dividend angeſchrieben werden, die uͤbrigen Zahlen werden in der Ordnung zuſam⸗ men addirt wie ſie ſtehen, ſo wird die zuſammen⸗ 72 gezaͤhlte Summe dem Dididend gleich ſeyn. Iſt bei der Diviſion am Ende ein Reſt geblieben, ſo wird ſolcher noch zu der Summe gezaͤhlt. 3 4 5] F. s 6 *1 9 6 2 3 2,6 63 o 6 9 0 Yz 6 1 03 § — g. & 6 9 2 2 & 7 2 „% 7 0 —2 I76 2 °7 0 1x 8 6 103 5§ — 2 9 6 Probe 8 o 2 6 8 7 64 6 Ree Pe⸗ girwwer guf derg ſch Uſt et in beg 2 = = 73 Ach ter Abſchnitt. Von den Rechnungsarten in benannten Zahlen und ihren Unterabtheilungen. §. 80. Menn man die Rechnungskunſt auf wirkliche Faͤlle anwendet; ſo gehen die dabei vorkommende Zahlen auf Groͤßen von gewiſſen Abtheilungen. Die Benennungen z. B. Rthlr. f5. Elle oder dergl. Solche Zahlen heißen benannte Zahlen. Daß ſich dadurch allerlei Groͤßen ausdruͤcken, und hie⸗ mit arithmetiſch behandeln laſſen, iſt uͤbrigens leicht zu begreifen. §. 81r. Die Berechnung derſelben ſetzt die bisherigen allgemein erklaͤrten Rechnungsarten voraus. Doch macht die Bequemlichkeit dabei noch einige beſon⸗ dere Verrichtungen noͤthig, welche hauptſaͤchlich da⸗ her entſtehen, daß wir die groͤßeren Abtheilungen des Maaßes, Gewichts, Werthes oder anderer groͤßerer und kleinerer Theilen, jedem beſondere 74 kann. §. 82. S. 83. Die ganze Sache kommt darauf an, daß man die Unterabtheilungsſorten jeder genannten Zahl wiſſe; es iſt alſo noͤthig, die uͤblichſten Ein⸗ theilungen des Maaßes und Gewichtes in un⸗ ſerm Lande hieher zu ſetzen, damit der angehen⸗ de Rechner ſich bei derlei Zweifel Raths erholen J. Vom Maaße des Raums. Hier iſt eine Ueberſicht der ſaͤmtlichen wuͤrtem⸗ bergiſchen Linienmaaßen: Ruthe. Klafter. Elle. Fuß. Zoll. Linien 1 2 38 1606 192 2304 3 6 72 864 1 2 24 288 1 12 144 1 12 Namen beilegen, und oͤfters in dem Ausdrucke eine Groͤße mehrerer ſolcher Namen, z. B. Centner, Pfunde, Lothe, mit einander verbinden. tetung den man den⸗ lder Linie ſen einer ten, het ucke eine Ceutner, En, dß5 engtittn ſen Ei⸗ in un⸗ ugehen⸗ erholen 75 d. 84. Das geometriſche Linienmaaß (Dezimalmaaß). Die aufgeklaͤrten Feldmeſſer theilen zur Erleich⸗ terung ihrer Berechnung die Ruthe in 10 Fuß, und den Fuß in 10 Zoll ein. Dieſe Eintheilung nennt man das Dezimalmaaß. Ruthe. Fuß. Zoll. Linien. Skrupel 1 10 100 1000 10000 1I 10 100 1000 1 10 100 §H. 65. Die Elle. Je nachdem die Dinge, welche gemeſſen wer⸗ den ſollen, beſchaffen ſind, gebraucht man groͤßere oder kleinere Naaße. Das Maaß, womit die aus Linien, Wolle und Seide verfertigten Zeuge gemeſ⸗ ſen werden, iſt die ſo bekannte Elle. Sie muß nach einer Herzoglichen Verordnung gerade 2 Fuß enthal⸗ ten, und wird in Halbe, Viertel, Achtel und Sechs⸗ zehntel getheilt. Die Staͤdte, wo die Wuͤrtember⸗ giſche Elle richtig verfertigt, und zu mehrerer Si⸗ 76 cherheit mit dem Zeichen des Hirſchhorns geſtem⸗ pelt oder geeicht wird, nennt man deswegen wohl Eichſtaͤdte. Sie ſind, Stuttgardt, Tuͤbingen und andere Amtsſtaͤdte. Auſſer dem Zeichen des Hirſch⸗ horns brennt oder ſchlaͤgt auch noch jede Eichſtadt ihr Stadtwappen darauf. Wird nun einmal eine Elle unrichtig erfunden, ſo weiß man gleich, in welcher (Amtsſtadt) Eichſtadt ſie verfertiget wor⸗ den iſt. Sie wird in 2722 Pariſ. Skrup. ein⸗ getheilt. 3 C. 86. Die Klafter. Ein Klafter hat 3 Ellen oder 6 Fuß, und iſt ungefaͤhr ſo lang als ein Mann mit den Spitzen der Mittelfinger an beiden Haͤnden faſſen kann, wenn er ſeine Arme in einer Horizontallaͤnge aus⸗ ſtreckt. Nach dieſem Maaß wird auch das Holz ge⸗ meſſen, und die Landesregierung hat deshalb beei⸗ digte Holzmeſſer aufgeſtellt, welche ſich nach die⸗ ſem Maaß puͤnktlich zu richten haben. Nach dieſem iſt ein Meß Holz 6 Fuß lang und 6 Fuß hoch; demnach machen 6 Fuß lang und 3 Fuß hoch + Klafter; ferner 6 Fuß lang und 1 ½ Fuß hoch 1. Meß u. ſ. w. Alſo enthaͤlt ſolches 180 oder 144 Kubikfuß. Die Scheutter hingegen ſol⸗ len 3 ½ bis 4 Schuh lang ſeyn. D Pilt 8 Nreite der B Wanm Heu i⸗ folizet ſtimntn einer! 16000 572,0 Alators Wte lic i tembe geſten⸗ d. 87. gen Das Heumeß. ngen un 4 Hirh. Wird nach Wannen beſtimmt. Eine Wanne Eichſfene haͤlt 8 Fuß in die Laͤnge und eben ſo viel in die entl eie Breite und Hoͤhe. Nach Bunden gewogen muß glih i der Bund ſchwer Gewicht 2r 5. halten, oder die iget nir⸗ Wanne = 1080 f5. Oder was eins iſt, 1 Wanne lp ei⸗ Heu iſt ein Kubus, 8 Schuh lang, breit und hoch. §F. 88. Meilenmaagße. In Wuͤrtemberg iſt die Meile von der Landes⸗ zun ſt polizei bei Verbeſſerung der Landſtraßen genau be⸗ Eich ſtimmt worden. Sie beſtimmte fuͤr das Maaß e hu, einer Reiſeſtunde 1000 Wuͤrtembergiſche Ruthen oder he gli⸗ 16000 Fuß. Nimmt man mit Hrn. de Maupertuis 57270 Franzoſiſche Klafter fuͤr einen Grad des Ae⸗ l ge⸗ quators an: ſo gibt dieſe Rechnung 390230¾ 2£ lb beei⸗ Wuͤrtembergiſche Fuß, auf einen Grad. Und folg⸗ ch di⸗ lich kommen 24 62 30. 222² α 16000 Wuͤr⸗ tembergiſche Reiſeſtunden auf einen ſolchen Grad. ng,und. e L g. . ud I Vergleichung der Quadratmaaße. his 0. Die Flaͤchenmaaßen vergleichen ſich nun auf n ſil folgende Art miteinander: ◻ Ru⸗] Riem⸗ Riem⸗ —he. Ruthe. — Fuß. Fnß, Fuß. Linien. temlen 1 16 256 3072 36864 5308416 genhe . 1= 1 16 192 2304 3317706 iſg, 1 rZz I44 20736 nch⸗ Kaufen 1 12 1728 welche buͤchen 1 144 ſohlen §. 90. Get, Die zehentheilige Eintheilung der Maaße che des iſt folgende: ulthen uf den ◻ Ru⸗ Riem⸗ . Riem⸗ the. Ruthe. — Fuß. Fuß. — Soll. 1 I0 100 1000 10000 I 10 100 1000 1I 10 100 “ 1 10 net, ſt= J. 91. 1 Ech Das Feldmaaß im Wuͤrtembergiſchen. ber Ein Wuͤrtembergiſcher Morgen Landes mußs— 150 Ruthen im Quadratmeß halten oder = 1800 G Quadratfuß. 79 Zur Einſaat deſſelben werden 8 Simri Wuͤr⸗ temberger Getraidemaaß erfordert. Ein halber Mor⸗ gen heißt auch 2 Viertel oder 75 Ruthen, das Vier⸗ tel = 37¼ Ruthen. Hiebei iſt noch zu wiſſen noͤ⸗ thig, daß in den ſaͤmtlichen Oberlanden meiſtens noch nach Jauchert, Tagwerk und Mannsmad im Kaufen und Verkaufen Ruͤckſicht genommen wird, welches aber bei Eintragung der Lagerbuͤcher (Kauf⸗ buͤcher) nicht angenommen, ſondern nach dem be⸗ fohlenen Landmeß reducirt wird. So machen 225 Ruthen Landmeß eine Jau- chert, Tagwerk, Mannsmad aus. Nach der Spra⸗ che des Landmanns iſt ein Mannsmadviertel 56 1 Ruthen: ein ordinaires Viertel wird meiſtens noch auf den Waldorten Ackerviertel genannt. II. Maaßen fluͤßiger Dingen. §. 92. Weinmaagsß. Im Wuͤrtembergiſchen hat Fuder = 6 Ay⸗ mer, 1 Aymer = 16 Jmi oder 160 Maaß, 1 Imi iſt = 10 Eichmaaß oder 11 Schenkmaaß, 1 Maaß = 4 Schoppen. 1 Aymer Truͤbeich hat 167 Maaß, X Eichmaaß hat 138 Kubikzoll, ½ Maaß 1 Pinte oder 8 Paſſons. Anmerkung: Es iſt aber zu wiſſen, daß dieſe Vergleichung eigentlich von der aecuraten Stuttgarter und — Tuͤbinger Eich zu verſtehen, die andere Wuͤr⸗ tembergiſche Orte gehen oͤfters davon ab, z. B. die Kloſterorte, und auch ſolche, die das Pri⸗ vilegium einer Schildwirthſchaft mit der Ta⸗ perne haben u. ſ. w. Wegen der Treſtereich, Truͤbeich, und Schoͤn⸗ oder Helleich iſt noch folgendes zu merken: Treſtereich wird gebraucht, wenn der Moſt ſamt den Treſtern gemeſſen wird; Truͤbeich, wenn der Wein noch truͤb iſt, von Michaelis bis Martini, die Schöoͤneich nach Martini. Auch hierin muͤſſen ſich dieuͤbrigen Unterlande nach Stuttgardt richten, welches auf den Aymer 7 Maaß rechnet. III. Maaßen trockener Dinge. K. 93. Das neue Wuͤrtembergiſche Simri. Auch bei trockenen Dingen hat man Maaßen, und das Maaß, womit in unſerm Vaterland die Frucht gemeſſen wird, hat den Namen Simri; in den aͤußerſten Gegenden Wuͤrtembergs, z. B. Horn⸗ berg, Schiltach u. ſ. w. . Seſter. Das ſeit 1557. im ganzen Land eingefuͤhrte Simri, heißt das Wuͤrtembergiſche Simri, und wird in der Eichſtadt mit dem Hirſchhorn geſtem⸗ pelt, welches alle Jahr vorgenommen wird. In eben dieſen Eichſtaͤdten befinden ſich von Metall, in Kupfer gegoſſene oder geſchlagene Probenmaaße, wornach 7 wornat ſſechte N entwed leeſa ten R 4 man chen Hoͤhe, bikinn Wute Ve⸗ Aunſ Nond Pat Pei Wir⸗ d,. J. das Pri⸗ der La⸗ Gereich, woc gebluut genſ. fribit, eich nch gibrigen welches Gini. Wynßen, etland die inni, i dehie leilhee fnni, d rn ge ⸗ ird. 6 etnl/ Gennnnßt, drnnch 81 wornach die uͤberſchickte Maaße gepruͤft oder ge⸗ pfechtet werden. Nach dieſen Probemaaßen ſoll ein jedes Simri entweder 36 fb. 31 Loth reinen trockenen Lein⸗ oder Kleeſaamen, oder 48 I5. von dem beſten gereinig⸗ ten Roggen enthalten. Dieſe Probſimri ſind unterſucht worden, und man hat gefunden, daß der Durchmeſſer eines ſol⸗ chen Simri'’s 14 3 Wirtembergiſche Zolle, und die Hoͤhe 7 ¼ Wuͤrtembergiſche Zolle betragen. Der Ku⸗ bikinnhalt eines ſolchen Simri's iſt dieſemnach 1656 Wuͤrtembergiſche oder 1105 Pariſer Kubikzoll. Vergleichung einiger Fruchtmaaße. Amſterdam 1 Schfl. = 1361 Par. Kubikz. London T Pinte — 28 (ꝰ j — — Paris 1I Septier = 6972 — — Petersburg 1 Simri = 9832 — — d. 94. Saͤmmtliche Getraidemaaßen. 1 Scheffel in rauher und glatter Frucht = Simri, 1 Simri = 4 Vierl. 1 Vrlg. = 4 Meßlen. Sonſt auch 1 Vrlg. = 2 Achtel; 1 Achtel = 2 Meß⸗ len, 1 Meßle = 2 Ecklen, 1 Eckl. = 4 Viertelen. Das Stroh wird nach Fudern, Schaͤub und Buͤſcheln gerechnet. Ein Fuder St. = 80 Stuͤck haͤlftig Schaͤub und Buͤſcheln. 1 Schaͤub oder Buͤ⸗ ſchel muß in ſeinem Umfang 6 Schuh betragen, oder ſo dick ſeyn, daß man ſie umklaftern kann. C F 82 G IV. Maaß der Schwere. §. 95. 1) Vom Handelsgewicht. Namen der großen und kleinen Handels⸗ Gewichte. Nach dem große Laſtenſoder geringere Dinge ge⸗ wogen werden ſollen, hat man auch große und klei⸗ ne Gewichte noͤthig. Um große Laſten zu waͤgen, hat man Centner, Laſten, Schiffpfund, Liespfund, gemeine Pfund, Steine u. ſ. w. Große Gewichte. 1 Centner = 100 fb., I Laſt = 24 Schiff⸗ pfund, 1 Schiffpfund = 24 Liespfund, 1 Lies⸗ pfund = 14 gemeine B., 1 Stein = 20 fH., 1 Stein Flachs hat 20 5., 1 Stein Wolle aber 1II I. Kleine Gewichte. 1b. Mark. Unzen. Loth. Quentl. 1TI 2 16 32 128 1 2 — I ⸗ 20% £ Fran guch gus Ger von ich Uth andelk⸗ Dingete⸗ und kei migen, spfund, Eihff⸗ 1 We⸗ ,16ni 1 5b. 83 §. 06. Das Einſatzgewicht. Beim Waͤgen geringer Dinge bedienen ſich die Kraͤmer noch einer andern Eintheilung des Pfundes, auch wol des ſogenannten Einſatzgewichts, welches aus 9 Gewichten beſteht, und wovon immer ein Gewicht in das andere geſetzt wird. Es wiegt da⸗ von eins 16 Loth — 8 — — 2 — — I˖ — — 2 — oder 2 Quentchen. — 1 — oder 1 Quentchen. Von den uͤbrigen 2 Gewichten wiegt jedes ein halbes Quentchen, macht zuſammen Loth oder 1 Quentchen. Dieſe betragen 31 Loth und 4 entchen, oder was eins iſe, 32 Loth oder 2) Vom Apothekergewichte. §. 97. Das Apothekergewicht iſt mit dem Handelsge⸗ wicht einerlei; auſſer daß ein Apothekerpfund nur 24 Loth, alſo eigentlich nur P. des Krämerpfunds Z enthaͤlt. Die Eintheilung dabei iſt folgende: S 2 Drach⸗ Pfund. Unzen. Drach Skrupel Gran. T 12 96 288 5760 8S 24 480 1 3 60 I 20 Dabei kann man ſich noch folgende Bezeichnun⸗ gen merken, welche die Aerzte auf ihren Rezepten gebrauchen. “ Zj heißt eine Unze; 3] ein Drachmen; 3 ein Skrupel; 36 eine halbe Unze; 36 ein halber Drach⸗ men; ein halber Skrupel; M. Manipulus, oder eine Handvoll; Mß eine halbe Handvoll; P, 5 Fin⸗ ger voll; q, s ſo viel als genug iſt; a, n eins ſo alt als das andere; f, p ſo viel als mach's zu einem Pulver. Gold⸗ und Silbergewicht. §. 98. Gold und Silber, wie auch Seide und Kameel⸗ haare, Arzneien in den Apotheken, werden in unſerm Lande, ſo wie in dem groͤßten Theile Teutſchlands nach den koͤllniſchen Markgewichten gewogen. Die Eintheilung des koͤllniſchen Pfundgewichts iſt eben ſo, wie bei unſerm Handelsgewichte, nur iſt dabei zu beobachten, daß 1 Quentlen in 4 Pfennin⸗ ge, und 1 Pfenninggewicht Koͤllniſch in 17 koͤllniſche Eſchen, oder 19 hollaͤndiſche Aſſen, oder in 256 Richtpfenninge getheilt wird. Man bedient ſich aber beim Gold und Silber nur der koͤllniſchen Mark, welche ½ . Koͤllniſch ausmacht, und deswegen heißt dies Gewicht das Markgewicht. earkgewichts. .- i ſchent 77?s Ini S⸗ -EBeirs,s 85 56 CI rOTr 2I 1 2c 9 SEGI T. 987% 2T Sr 1 Pzor 89 T , Sogz EISr Lor 960 b 72 91 I 7 618 80⁹ S 78 7* E 9☛H 91 ⸗1una uaſch 1atav eeeet e. vun .60 5 3 icht⸗ S. 100. Welche Gewichte von der obigen Einthei⸗ lung beim Golde, und welche beim Silber gebraͤuchlich ſind. Von der obigen Eintheilung des koͤllniſchen Markgewichts gebraucht man beim Golde: Karate und Graͤne, und beim Silber: Unzen, Loth, Quen⸗ ten, Pfenninge und Richtpfenningtheile. Zur Ab⸗ waͤgung der goldenen Muͤnzen bedient man ſich vor⸗ zuͤglich der Eſchen. . . roT. Feinheit des Goldes. Die Feinheit eines Stuͤck Goldes oder Silbers haͤngt von dem groͤßern oder geringern Zuſatze des in einer koͤllniſchen Mark befindlichen ſchlechtern Me⸗ talls ab. Das Gold iſt 24 karatig, oder feines Gold, wenn in der Mark Gold gar kein Zuſatz von frem⸗ den Metalle ſich befindet; 23 karatig, wenn die Mark 23 Karat feines Gold und 1 Karat Zuſatz von Silber oder von Silber und Kupfer enthaͤlt. 21 karatig iſt das Gold, wenn in der Mark/ 21 Karat fein Gold, und 3 Karat Zuſatz enthalten ſind. S. TI02. Feinheit des Silbers. Das Silber erhaͤlt nun den Namen 16 loͤthig oder feines Silber, wenn in der koͤllniſchen Mark ger ſchen ubt Und 4 — 1 nc ithei⸗ im ſiſken. Kornte Qler⸗ ur W ich vor⸗ ſbers ge des n Me⸗ Grb fem⸗ in die Zuſaß duthel. ontr ſid. thir Mok 87 gar kein Zuſatz iſt; 14 lothig, wenn in der koͤllni⸗ ſchen Mark 14 Loth Silber und 2 Loth Kupfer; 12 lbthig, wenn in der Mark 12 Loth fein Silber und 4 Loth Kupfer ſich befinden. J. 103. Feinheit des Zinns. Wenn das Zinn verarbeitet werden ſoll, wird es mit Blei begattet (vermiſcht). Zu einer Anzahl Pfunde reines Zinns wird immer 1 P5. Blei genom⸗ men. Je mehr Pfunde reines Zinn mit einem Pfund Blei vermiſcht werden, deſto beſſer wird das Zinn. Zweipfuͤndig, wenn 1 P5. reines Zinn mit ei⸗ nem [B. Blei vermiſcht iſt. Dreipfuͤndig, wenn 2 5. reines Zinn mit einem 5. Blei vermiſcht iſt, u. ſ. w. Das Engliſche iſt das feinſte unter allen andern. Geſchickte Haͤnde wiſſen beſonders ſolches ſo zu bearbeiten, daß es dem Silber ziemlich gleich kommt. Es iſt Topfuͤndig, und ſind alſo 9 5. rei⸗ ges Zinn mit 1 5. Blei vermiſcht. §S. 104. Das Edelgeſtein⸗Diamanten⸗ und Perlengewicht. .D Das Edelgeſtein⸗Diamanten⸗ und Perlenge⸗ nicht, welches nicht allein in Teutſchland, ſondern aach aller Orten in Europa gleich iſt, wird nach Karat zu 4 Graͤn, oder nach Ganzen, Halben, Vier⸗ — teln, Achteln, Sechzehnteln, Zwei und dreißig⸗ des ſteln, und vier und ſechzigſteln Karaten gerechnet. ſe 71 ſolcher Karaten circa ſollen 1 Loth kollniſch, 106 1 Karat aber 4 ½ hollaͤndiſche Aß oder 57 ¼ Richt⸗ uftd pfennigtheile Koͤllniſch tragen. , Schne V. Maaß der Menge. J. 105. Insgemein ſich das Zaͤhlen zu erleichtern, gibt man oft einer Menge von Dingen einen beſondern Namen, und verſteht unter einem großen Tauſend 1200 Stuͤck, — ordinairen Tauſend 10 ordinairen ode: 1000 Stuͤck, — groß 12 Dutzend oder 144 Stuͤck, — dordinairen Hundert 100 Stuͤck, — Schock 12 Mandeln oder 60 Stuͤck, — Mandel 15 Stuͤck, — Stiege 20 Stuͤck, — Decher 10 auch 20 Stuͤck. 4“ — Diutzend 12 Stuͤck. W deite G. 106. N⸗ Der Garnhandel. mnuß Sowol zum Verweben als auch zum Verkau⸗ fen wird im Wuͤrtembergiſchen (beſonders in denern Eing Oberaͤmtern Tuͤbingen und Urach) auf Pfund und inde Schneller Ruͤckſicht genommen. Der Schneller zu ſiget 1000 Faden und der Faden zu 2 Ellen im Umfangt dreiig⸗ technet. liniſch, Niht⸗ t, git vndern 1 der ick, akent deſet. d un ſer z1 fonge 89 des Haſpels gerechnet, wornach die meiſten Garn⸗ haͤſpel im Wuͤrtembergiſchen eingerichtet worden ſind. 10 Schneller, wie auch ſo viel Pfund nennt der Aufkaͤufer einen Bund. Zum Verweben muß der Schneller 1 Elle 11 Viertel breites Tuch geben. G. 107. Der Papierhandel.“ Schreib. Druck⸗ Ballen. Ries. Buch. papier papier Bogen. Bogen. 1 10 200 4800 5000 1 20 480 500 1 24 25 „D. 108. Der Blechhandel. Das Faͤßchen weiße und ſchwarze Bleche hat ohne Unterſchied 450 Blatten. In Stuttgart aber verkauft man die weißen Bleche nur 120 Blatten. Meßing und Kupfer wird dem Centner nach ver⸗ kauft, der Drath aber nach den Nummern. Noch mehr hieher einſchlagende Sachen ſinde Ein Wagen Eiſen = 120 H. Nach Huͤttengewicht in den Herzogl. Eiſenfaktorien, Chriſtophsthal, Ko⸗ nigsbronn und Ludwigsthal rechnen die Arbeiter 107 ½ [5. fuͤr 100 l5. Basler Gewicht. Beim Koh⸗ 1 lenmaaß iſt Fuder = 10 Zuͤber, und 1 Zuber = 16 gewoͤhnliche Simri, aber gehaͤuft gemeſſen. Verrſchaftliche Torfgrube bey Schopfloch, Kirchhei⸗ mer Oberamts. Maaß der Torfkohlen. Daſelbſt haͤlt der Zuber 12 und ein halb Simri Fruchtmeß oder 13 Wannen, und werden die Koh⸗ len der Wanne nach verkauft. Bei der Sindelfin⸗ ger Torfgrube iſt ein aͤhnliches Meß eingefuͤhrt. S. 100. Berechnung: Schiffs⸗— Laſt. Tonnen. — 1 20 200⁰ Centner Pfund. 4000 1 100 Kurze Schiffsbeſchreibung. Ein Kriegsſchiff vom erſten Range iſt 163 Fuß lang, 44 Fuß breit und 20 ¼½ Fuß tief. Zu deſſen groͤſſern Seegel gehoͤren 363 Franzdſiſche Ellen Lein⸗ wand und zu allen Seegeln zuſammen genommen, werden 1404 Ellen erfordert. Das groͤßte Ankertau iſt 600 Fuß lang, hat 20 Zoll im Umfange, und wiegt 7772 I5. Ein Anker, der 18 Fuß lang iſt, wiegt demeiniglich: 5832 f5. Dbs G Do Tage, Ein ge, l I E hhre 4M heinah Uur V ſey, Gre ſchen lber = en. Kichte⸗ Einti die Kth indel⸗ hhtt. G deſen erLel⸗ ninen, ſterten e, ud g iſ, 91 VI. Maaß der Zeit. J. 110. Das gemeine Jahr und das Schaltjahr. Ein gemeines Jahr chriſtlicher Zeitrechnung hat 12 Monate oder 52 Wochen und 1 Tag, oder 365 Tage, oder 8760 Stunden, oder 525600 Minuten. Ein Schaltjahr hingegen hat 52 Wochen und 2 Ta⸗ ge, oder 366 Tage. Unſere Erdkugel braucht innerhalb einem Jahre zu ihrer Reiſe um die Sonne 365 Tage 5 Stunden 48 Minnten, 45 Sekunden und 30 Terzien, oder beinahe 8766 Stunden. Iſt allgemein bekannt; nur Unwiſſende glauben noch, daß die Sonne es ſey, welche dieſe Reiſe um die Erde mache. Die uͤbrige Zeiteintheilungen koͤnnen in meiner Chronologie (§. K. 7 — 2. u. ſ. w.) deutlich einge⸗ ſehen werden. §. III. Eintheilung der Stunden. 1 Stunde hat 60 Minuten, 1 Minute — 60 Sekunden, 1 Sekunde — 60 Terzien, 1 Terzie — 3 Augenblicke. — VII. Maaß des Werths der Dinge. d. TIIZ. Die Muͤnze. Gold und Silber in großen Stangen und Bar⸗ ren gelaſſen, wuͤrden, wegen des zu großen Werths dieſer Metalle, die allgemeine Bequemlichkeit nicht verſchaffen, die man doch billig von einem Maaße des Werths der Dinge erwarten muß, um dadurch auch den Werth des kleinſten Thells eines Guts be⸗ ſtimmen zu koͤnnen. Zu dieſem Gebrauche wird daher das Gold mit dem Silber und Kupfer, und das Silber mit dem Kupfer legirt, und in groͤßere oder kleinere Stuͤcke geſtuͤckelt, dann dieſen Stuͤcken eine runde Geſtalt gegeben, und dem Volk zur Beglaubigung das Bild⸗ niß oder Wappen des Landesherrns, der ſie praͤgen laſſen, darauf geſtempelt, auch wohl darauf angemerkt, wie viel ſolcher Stuͤcke auf die feine Mark gehen. Ein ſolches Stuͤck Gold oder Silber heißt nun eine Muͤnze, und nur dann, wenn ſie gerade ſo viel Gold oder Silber enthaͤlt, wie der Landesherr beſtimmte; wenn der Unterthan mit Ueberzeugung weiß, wie viel des edlen Metalls er beſitzt, ver⸗ dient eine Muͤnze Geld genannt zu werden. J. II3. Erklaͤrung verſchiedener Woͤrter. Die Vermiſchung des Goldes mit Silber oder des Silbers mit Kupfer, heißt die Beſchickung des Metalls. Eibe ſimmn Yark Und d feinen ihr G Vo⸗ 1 bet, bon Un d Neſe an gept des einer Uſger gſh nc ſ e. und Bot⸗ 1 Wuths keit nict 1 Mothe dodurch Guts be⸗ old mit it dem Stuͤcke Geſtalt s Bid⸗ e prigen gennetkt ehen. etade ſ⸗ cdeshen teugng t, ur derdes Netals. 93 Die zum Muͤnzen beſchickte Mark Goldes oder Silbers heißt die rohe Mark. Der Landesherr be⸗ ſtimmt, wie viel Stuͤck aus der rohen oder feinen Mark Goldes oder Silbers gepraͤgt werden ſollen, und dieſe Beſtimmung nennt man den Muͤnzfuß. Die Menge des in einer Muͤnze befindlichen feinen Goldes oder Silbers wird das Korn, und ihr Gewicht das Schrot genannt. G. TII4. Worauf es bei einer Muͤnze ankomme. 1) Auf ihren innern Werth an Gold oder Sil⸗ ber, 2) auf ihre Schwere, und 3) auf den ihr von dem Landesherrn beigelegten aͤuſſern Werth. Um die Koſten fuͤrs Muͤnzen zu erſtatten, pflegt dieſer aͤuſſere Werth einer Muͤnze den innern Werth an Gold oder Silber zu uͤbertreffen. G. II5. Grundſatz zur Vergleichung der Muͤnzen. Je weniger Stuͤcke Geld aus einer feinen Mark gepraͤgt worden ſind, deſto mehr Silber enthaͤlt je⸗ des Stuͤck, und umgekehrt, je mehr Stuͤcke aus einer feinen Mark gepraͤgt worden ſind, deſto we⸗ niger Silber enthaͤlt jedes Stuͤck. Im Wuͤrtember⸗ giſchen ſind aus der feinen Mark Silber 18 Gulden, im Preußiſchen aber 21 Gulden gepraͤgt worden: folg⸗ lich ſind unſere Gelder beſſer als die Preußiſchen; und es ſind 18 fl. Wuͤrtembergiſch = 21 fl. Preußiſch. Muͤnzen. Stuttgart. S. 116. 1 Gulden = 15 Batzen = 60 Kr. = 120 Pfenning = 360 Heller. In Gold: Ducaten zu 5 Gulden. Souverains zu 14. Gulden 40 Kr. Teutſche ganze und halbe Karolins zu 11 Gul⸗ den und zu 5 Gulden 30 Kr. Teutſche Maxd'or zu 7 Gulden 20 Kr. Halbe Marxd'or oder Goldgulden zu 3 Gulden 40 Kr. Frriedrichsd'or, geſetzmaͤßig nach Regenſpurger Probe, (Preußiſche Muͤnze) Schrot in Aßen 138 95. Werth im 24 Gulden Fuß 9 Gulden. Der alte Rußiſche Rubel betraͤgt im Reichs⸗ geld nach dem 24 Gulden Fuß 2 Gulden 6 Kr.; der halbe Rubel 1 Gulden 3 Kr.; der Viertels⸗ Rubel 311 Kr.; der neue Rubel 1 Gulden 45 Kr., der halbe Rubel 52 ¾ Kr.; der Viertls⸗Rubel 26 ¾ Kr.; der alte Viertels⸗Rubel de Anno 1722 und 1761, 292¾ Kr.; der 1 Rubel oder 20 Kopeken⸗ ſtuͤck 194 Kr., 15 dito 12 ¼ Kr., 1o dito 92 Kr. Dieſe rußiſche Silbermuͤnzſorten haben alle auf dem Avers das Portrait der Regenten, auf dem Revers aber den rußiſch⸗kaiſerl. dreifach gekroͤnten doppel⸗ ten Adler, welcher auf der Bruſt einen mit einer Ordenskette umhaͤngten Wappenſchild hat, worin⸗ nen der Ritter St. Georg iſt. Die neueſten Rubel hingegen de Anno 1798 haben kein Portrait, ſon⸗ Wirklich gepraͤgte Gold⸗ und Silber⸗ dernY ſches Rickſ Wiere haben nach den⸗ Die 10 10 0 Gro hiend Gan vod 40. 2. ſern beg Ktre de; zu n ber⸗ = 110 IIG Holle r. putger 138 5 eiche⸗ 6 K; Veettl⸗ 65 Kr., ,ubel 0 17 21 opeken⸗ auf den⸗ Neben⸗ npc eiter orin⸗ Kutel ſon⸗ 95 dern auf deſſen Seiten ein Kreuz formirendes rußi⸗ ſches II. auf welch jedem eine Krone ſtehet, die Ruͤckſeite hingegen hat ein mit Laubwerk geziertes Viereck, worinn rußiſche Innſchrift ſtehet. Auch haben die hollaͤndiſche Albertusthaler einen Werth nach dem Conventionsthaler 2 Gulden von 2 Gul⸗ den 28 Kr. Die preußiſche Reichsthaler 1 Gld. 42 Kr. Die polniſche 6 Guldenſtuͤck von 1793 und 1794, 1 Gld. 42 Kr. Dergl. ulde Gulden 72¾ Kr. Dergl. 10 Groſchenſtuͤck 5 K Polniſche und Preußiſche Groſchenſtuͤck 1 ½ Kr. S. rIZ. Spaniſche, Saͤchſiſche, Braunſchweigiſche Dop⸗ piens zu 9 fl. Alte Louisd'or 11 fl. In Silber: Ganze und halbe Conventionsthaler zu 2 fl. 24 kr. und halbe 1 fl. 12 kr. I Franzoͤſiſcher oder Laubthlr. (Federthaler) von Ao. 1726 — 83 zu 2 fl. 45 kr.; von 1784 — 86 zu 2 fl. 40 kr. Schrot in Aßen 613 .. Sechs⸗ und Dreibaͤtzner zu 24 und 12 kr. Sech⸗ ſer und Groſchen zu 6 kr. und 3 kr. Ganze und hal⸗ be Kreuzer. Von den Kupfermuͤnzen ſind hier nur Kreuzer, Pfenninge und Heller im Umlauf. Alle aus waͤrtige Geldſorten hieher zu ſetzen, wuͤr⸗ de zu viel Raum einnehmen, und mich eben darum zu weit vom ausgeſteckten Ziel ableiten *). *) Ein mehreres hievon findet man in Hrn. Ger⸗ hards Handbuche und Cruſens Contoriſten. ——“ Neunter Abſchnitt. Von der Addition benannter Zahlen. §. 118. Wenn Zahlen von verſchiedenen Benennungen zu⸗ ſammengezaͤhlt werden ſollen, ſo ſchreibt man ſie der⸗ geſtalt hin, daß die von einer Benennung in einer Reihe unter einander ſtehen, mit Ruͤckſicht (§. 33.) wie ſchon gelehrt worden. Aufgabe. x) Ein Kloſtersſchaffner hat in einer halbjäͤhrigen Rechnungsperiode folgende Ausgaben geleiſtet, z. B. ſfl. kr. hlr. im Jenner 25 37 3 6) 12 2 kr. — Februar 28 10 3 12 — Merz 46 31 T — April 100 56 2 60) 178]2 fl. — Mai 189 6 T 120 — Juni 20r 36 2 58 Suma d. Ausgaben 530 1 58 — Erklaͤrung: Da 6 hlr. 1 kr. ausmachen, ſo finden ſich in Dieſe mit 6 getheilt, ma⸗ der Reihe der Heller 12. chen chen⸗ ten de 29 k. Drum werden und d hinge giebt der 5H den Ne konme aen. nhen r⸗ ſſe de : n einer 3 Gahegen tet, 5 . 2. . 8121. 20 — 58 ſch in , nne gen 97 chen 2 kr. Dieſe 2 kr. aber werden zu den Einhei⸗ ten der Reihe der kr. gezaͤhlt, welche zuſammen 28 kr. und alſo noch keinen Gulden ausmachen, darum ſchreibt man 8 beiſeite, die 2 Zehner aber werden zu den andern Zehnern der Kreuzer gezaͤhlt, und dieſe gefundene Kreuzer neben die Einheit 8 hingeſchrieben, ſolche mit 60 zu Gulden reduzirt, giebt 2 fl. und 58 kr. welche man unter die Reihe der Kreuzer ſchreibt, und die gefundene 2 fl. wer⸗ den zu den uͤbrigen Gulden addirt, ſo wird die ganze Summe der Ausgaben zum Vorſchein kommen. §. 119. Aufgab e. 2) Bei einem K. K. Feldverpflegungsmagazin wer⸗ den folgende Naturalientransporte uͤbernommen: Centner. Pfund. Vierling. An Ochſenfleiſch 380⁰ 13 2 — Kalbfleiſch 3 3 1 — Schweinefleiſch 4 1 3 — Zucker 3 12 1 — Caffe 1 58 — — RKauchtaback 6 — S — Schrnupftaback 5 96 2 — Weißmehl 416 3 1 Antwort 819 89 „. §. In der erſten Woche: 120. 6 Aufgabe. 3) Wie groß iſt der monatliche Papierverſchluß in einer Papiermuͤhle, da bei derſelben die Liſte von irgend einer Wochen ſo ausſiehet? Ballen Rieß Buch altem Silber gekauft 2* * Mark Loth 41 2 I8 12 23 8 31 — 25 II èM 36 9 15 199 6 10 132 7 14 86 5 9 Antwort. 452 9 8 S. rzar. Aufgab e. 4) Bei einem Goldarbeiter wurde eines Quint. Antw. 140 2 1 20 48 2 40 8 10 29 2 20 9 Tages an Fl eine ten in A 99 Aufgabe. 5 Laut eines Almanachs haͤlt ein Gouverneur in D in einer Feſtung viermal folgende Belagerungszei⸗ Ufeten ten aus; wie lange brachte dieſer tapfere Held in allem in der Feſtung zu, wenn es einzeln dieſe Seiten machte? Jahr. Wochen. Tag. Stunden. 14812 1 21 5 22 5 2 34 3 10 2912 — 40 1 5 20 3 — 3 15 Antw. 7 45 — 4 ges en G 2 Zehnter Abſchnitt. Von der Subtraction benannter Zahlen. S. 122. Wenn eine Groͤße mehrerer Benennungen von ei⸗ ner andern abgezaͤhlt werden ſoll, ſo ſchreibt man die erſte unter die andere, wie beim Zuſammenzaͤh⸗ len (F. 118.) 2. B. man ſoll 5 Gulden 18 kr. 2 hlr. von 45 fl. 9 kr. 3 hlr. abziehen, ſo ſchreibt man ſie wie folget: Gulden Kr. Hlr. 45 9 3 5 18 2 39 51 1 Erklaͤrung: Alsdenn verrichtet man die Abzaͤhlung bei je⸗ der Benennung insbeſondere, wobei man ebenfalls vom geringern zu dem hoͤhern geht, den Reſt einer jeden aber herunterſezt. Wenn irgendwo eine groͤſſere Zahl von einer klei⸗ nern abgezogen werden ſoll, oder wenn von der Benen⸗ nung, wovon man abziehen ſoll, gar nichts vorhanden iſt: ſo nimmt man 1 von der folgenden hoͤhern Benen⸗ nung zu Huͤlfe, welches ſo viel gilt, als der abzuzie⸗ hender Groͤße darunter begriffen ſind, alsdann kann man abziehen. gen di. ſhrer brig der 4 ſo ſi nenn olen. 1 Non e⸗ ibt mon e nenzah⸗ hf. folget: bei ſe⸗ benfols eſt eitet iretki⸗ Venin honden Veren⸗ glunzi⸗ un honn 101 Bei den Kreuzern ſollen hier 18 von 9 abgezo⸗ gen werden. Man nimmt deswegen 1 Gulden, d. i. 60 kr. zu Huͤlfe zu den 9 kr., wodurch man ihrer 60 erhaͤlt, von welchen die 18 abgezogen, 51 uͤbrig laſſen. Weil nun von der obern Benennung der 45 fl. zu den Kreuzern 1 fl. entlehnt worden, ſo ſind's nur noch 44 fl; hievon 5 fl. der untern Be⸗ nennung abgezogen, bleiben uͤbrig 39 fl. 5x kr. 1 hlr. §. 123. Aufgabe: 2) Ein Stuͤck Silber wiegt vor dem Brand 30 Mark, 13 Loth und 2 Quentl. Hernach 28 Mark, 15 Loth 2 Quentl. Wie viel iſt an Gewicht nach Ausbrennung noch uͤbrig geblieben? Operation: Mark Loth Quentl. 28 15 2 Antw. 1 Mark 14 Loth — S. 124. Aufgabe: 3) Eine meßingene Urne wiegt 29 . — Loth 1½¼ Quentl., die goldene Verzierungen dabei aber betragen 1 B. 16 Loth 2 ½¼ Quentl.: wie viel iſt eigentliches Meßing dabei? Operation: Pfund Loth Quentl. S, 28 — 1II. 1 2 — 4 1 16 2 ½ 1 — 1 Antw. 26 15 3 ½ 3 C. 125. Aufgabe: 4) Nach Hrn. Seybolds ephemeriſchen Almanach (S. den 26. Oſtermonat) fuhr Magelan um die Erde den 10. Auguſt 1519. von Sevilien weſt⸗ waͤrts ab, und kam bereits 1522. den 7. Septem⸗ ber von Oſten wieder an. Da in ſeinem Schiffs⸗ Journal erſt der 6. September ſtand, (eine na⸗ tuͤrliche Folge der Erdumreiſung weſtwaͤrts, ſo wie er oſtwaͤrts einen Tag mehr wuͤrde gezaͤhlt ha⸗ ben) wie lange blieb Hr. Magelan aus? Operation: Jahr Monat Tag 1522 8 7 1519 7 10 Antw. 3 Jahr — 27 Tage. S. 126. Aufgabe: 5) Unſer Durchlauchtigſter Herzog Friederich II. haben die Anzahl der Hohen im Jahr 1754. den 6. Nov. in der Welt vermehrt, wie hoch belauft ſich Hoͤchſtdero Alter bis 1797. den ruſten Maimonat ? 2 Operation: Jahre Monate Tage . 1797 5 22 1254 — 6 Antw. 43 Jahre 5 Mon. 18 Tage. der De Zohe an ſi ſer R al En nanech um die weſt⸗ eptenn⸗ Stfſ. ine ni⸗ ſ wie lr he⸗ SII. den 6. ft ſch gonet? ro3 Eilfter Abſchnitt. Von der Multiplikation benannter Zahlen. . 127. Die Vervielfaͤltigung und die Theilung benannter Zahlen von einer einzigen Benennung, geſchehen an ſich ſelbſt blos nach den allgemeinen Regeln die⸗ ſer Rechnungsarten. Der Vervielfaͤltiger oder der Theiler werden als unbenannte Zahlen betrachtet. Folgende Beiſpiele werden daher keine weitere Erklaͤrung noͤthig haben. Aufgabe: 1) 3. B. Man ſoll 6 Klafter 5 Schuh 9 Zoll mit der Zahl 4 vervielfaͤltigen, was macht die ganze Summe? Operation: Klftr. Schuh Zoll 4 7 Antw. 27 Klft. 4 Sch. 8 Zoll GG. 129. Aufgabe: 2) Der Kaufmann Hr. Menet in Daͤzingen beſchreibt von Frankfurt 4 Faͤßlen mit Oel, wiegt eins ins 104 andere 4 Centn. 65 W. 3 Vierl. Was macht's im Ganzen am Gewicht? Operation: Centner 5. Vierl. 4 65 3 4 18 Centn. 63 5. — F. 130. Aufgabe: Von einer Geſellſchaft Gelehrter der deutſchen Encyklopaͤdie wird behauptet, daß der Puls bei einem geſunden Menſchen in einer Minute 70mal ſchlage, was gibt es fuͤr eine Summe bei einem Menſchen von 30 Jahren? 6 0 Minuten 7 0 00ο in 1 Stunde £☛ d 0 in 1I Tag AH £ O .π °0. △ 3 6 7 9 20°0⏑0°. in 1 Jahr 11I0O37600ο☛°ο0°0ο½° äin 30 Jahren. Vor D eing men einen zer, und di nach ih Ren her — S. — — 105 machts —,ẽꝰdN 3 woͤlfter Abſchnitt. Von der Divdiſion benannter Zahlen. 8. I31. Die Diviſion in benannten Zahlen wird eben ſo eingerichtet, wie die Multiplikation (F. 127.) d. h. man bringt die zu dividirende Zahlen vorher unter einerlei Benennung, und macht die Gulden zu Kreu⸗ zer, die Ruthen zu Schuh, die Schuh zu Zoll u. ſ. w. und dividirt ſodann nach der gegebenen Regel. Dem⸗ nach werden 5 fl. 20 kr. durch 15 dividirt, wenn ich die Gulden durch die Multiplikation mit 60 zu Kreuzer mache, und zu 5 mal 60 die 20 addire, hernach gewoͤhnlicher maßen mit dividire, als: utſchen ſs bei lonl enem 300 + 20 = 320 kr. = (15) 300 20 kr. 75 2 Anmerkung. Sollte ein Quotient herauskommen, der groͤßer waͤ⸗ re als 60: ſo macht man in dieſem Fall durch die Diviſion die Kreuzer wieder zu Gulden, was uͤbrig bleibt, ſezt man in die Stelle der Krenzer. SF. 132. Aufgabe: L 2) Auf ein Wuͤrtembergiſches Pfund gehen 20 Con⸗ veentionsthaler, was haͤlt einer an Gewicht? Operation: 20 3 2 † 2 1 4 =ãᷓ 2 ——— 8 22 ¾ Quentl. ◻ 8 §. 133. 3) Im St. Chriſtophsthal bei Freudenſtadt (im Wuͤrtembergiſchen) werden im D Durchſchnitte ge⸗ nommen, 3600 Centner Eiſen gegoſſen, und dar⸗ aus gegen 18100 fl. erzielt; wie theuer mag man wohl den Centner abgeben? 3 6 00 I18IO 5 fl. I8000 — IT 0o0%%⅓ S 6 6°0%0 1 kr. 3 6 0 2 4 0 6 0 0 ehte. ſ△ — — §. 134. Aufgabe: 4) Es ſollen 834 Gulden in Mard'or zu 7 Gulden 24 kr. bezahlt werden, wie viel hat man dazu noͤthig? 14 eöt (in itte ge⸗ nd dar⸗ 9 maon ⸗ ulden. dayn 107 Operation: 8⁸ 3 4 6 4 4 4 5. O. O 4. I I 2 Maxdor. 4 4 4 1“ 5 6 4 4 4 4 I 2. O. O 8 8 8 3 1 2 J. 135. Aufgabe: 5) Die nemliche Summe ſoll mit Laubthaler zu 2 t. 42 kr. bezahlt werden, wie viel braucht man Stuͤcke dazne 60 102 5. O. O4 % 3 08⁸⅝ Laubthaler. — I 4. 4. OG 1 2 9% G . 60 71 1 2² Culdet. I 2 J 2 4 kr. Anmerkung. Das iſt das vornehmſte, was von den vier Rech⸗ nungsarten in benannten Zahlen hat vorgetragen werden koͤnnen; wir werden uns auch hier nicht laͤnger dabei aufhalten, ſondern jezt die Lehre von den Bruͤchen vor uns nehmen. ———ʒ— Dreizehnter Abſchnitt. Die Lehre von den Bruͤchen. S. 136. Erklaͤrung. Ein Bruch iſt ein Theil 5 oder mehrere Theile eines Ganzen. Vorſtellungs Wenn ſich eine Zahl, als z. B. 9 durch eine andere als 5, nicht theilen laͤßt, ſo iſt dieſes nur ſo zu verſtehen, daß ſich der Quotient nicht durch eine Zahl ausdruͤcken laͤßt, keineswegs aber, daß es an ſich unmoͤglich ſeie, ſich eine Vorſtellung von dem Quotienten zu machen. Man darf ſich nur eine Linie, die 9 Ruthen lang iſt, vorſtellen, ſo wird wohl niemand zwei⸗ feln, daß es nicht moͤglich ſeyn ſollte, dieſe Linie in 5 gleiche Theile zu zerſchneiden, und ſich eine Vorſtellung von der Groͤßt eines ſolchen Theils zu machen. §. 137. Da man ſich nun eine faßliche Vorſtellung von dem Quotienten, der in ſolchen Faͤllen herauskommt, obgleich derſelbe keine ganze Zahl iſt, ſo werden wir hiedur welche F biocher 5 didi von d ſeg welch chen nennn lidend ute. dchen ſle eines ch ene ſeſes nin ir dunh et, N lung ten Nuthen d zwe⸗ ſſe Aite ſch ent heis 1 ng von fommt, den i 109 hiedurch auf eine beſondere Art von Zahlen geleitet, welche Bruͤche (Fragmente) genennet werden. Fragment heißt in deutſcher Sprache ein abge⸗ brochenes Stuͤck, ein Bruch. Alſo haben wir in obigem Beiſpiel, wo 0 durch § dividirt werden ſollen, eine deutliche Vorſtellung von dem daher entſpringenden Quotienten, und man pflegt denſelben auf folgende Art anzuzeigen , welcher durch die Worte: fuͤnf Neuntel, ausgeſpro⸗ chen wird. Waͤre er umgekehrt 2, ſo hieße ſelbiger neun Fuͤnftel, wo die oben geſezte Zahl 9 das Di⸗ vidend, und die unten geſezte Zahl 5 der Divdiſor waͤre. G. 138. S I. Die Eintbeilung der. Bruͤche. Erklaͤrung. 1) Es giebt aͤchte, oder eigentliche Bruͤche. In dieſen iſt der Zaͤhler kleiner als der Nenner, 2) Cs giebt unaͤchte Bruͤche. In dieſen iſt der Zaͤh⸗ ler groͤßer als der Nenner, z. B. 2, oder der Zaͤhler iſt eben ſo groß als der Nenner, . B. 9. Anmerkung: Iſt der Zaͤhler ſo s als der Nenner, ſo K er ein Ganzes, z. B. 1X8. — 9. 3) Es giebt reine Bruͤche; dieſe haben vor ſich kein Ganzes; z. B. 2. 4) Es giebt gemiſchte Bruͤche; dieſe haben vor ſich eine ganze Zahl, z. B. 2 2. §. r140. II. Das Verwandeln der Bruͤche. 1) Ueberhaupt. Erklaͤrung. a) Wenn man den Zaͤhler und Nenner eines Bruchs mit einerlei Zahl vervielfaͤltiget, ſo wird der Bruch in einen andern von gleichem Werthe verwandelt. Z. B. Wenn der Zaͤhler und Nenner des Bruchs 2 mi 2 vervielfaͤltiget wird, ſo entſteht der Bruch „welcher eben ſo viel in ſeinem Werthe iſt als 3. b) Wenn der Zaͤhler und Nenner eines Bruchs durch einerlei Zahl dividirt wird, ſo wird der Bruch in einen andern von gleichem Werthe verwandelt: z. B. Wenn man den Zaͤhler und Nenner ½ durch die Zahl 2 dividirt, ſo entſteht daraus der Bruch 3 3, welches eben ſo viel iſt als §. III G. 141. ſßti III. Das Auf heben und Verkleinern der Bruͤche. 2) Insbeſondere. tor ſh Erklaͤrung. Einen Bruch ohne Veraͤnderung des Werths durch einen kleinern Zaͤhler und Nenner ausdruͤcken, heißt man einen Bruch aufheben, verkleinern. he. 1) Das Verfahren. Wenn man einen Bruch auf⸗ heben will, ſo dividire man den Zaͤhler und Nen⸗ ner mit einer ſolchen Zahl, die in beiden aufgeht. 2) Kennzeichen. Die Kennzeichen, woraus man Bruochs errkennen kann, welche Zahl in dem Zaͤhler und wird der Nenner aufgeht, ſind dieſe: a) Die Zahl 2 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, wenn am Ende ſowol im Zaͤhler als nge Nenner eine von folgenden Ziffern iſt: 4 . Btuch 2 te ſi 3 6 . us 8 z. B. e; 2½ T. In .V id der b) Die Zahl 3 geht in dem Zaͤhler und Nen⸗ ethe ner auf, wenn alle Ziffern ſowol im Zaͤhler Ceruud als in dem Nenner addirt werden, und Z in den ateet herausgekommenen Summen aufgeht, z. B. nil it 3454 N 6 112 c) Die Zahl 4 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, wenn 4 in den zwei Endsziffern ſowol in dem Zaͤhler als in dem Nenner aufgeht. 3 4 0f4 64 0 3. B. 4 8 8 8 5 8 840 d) 5 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, wenn D am Ende entweder 5 oder o ſteht. 1 2 3. 8 5 3. B. 3 4 6 0 9) 4 e) Die Zahl 6 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, wenn die Endziffern gerade ſind, und 3 ) in der Summe aller Zahlen ſowol im Zaͤhler lo⸗ als im Nenner aufgeht. 4 4 3 4 6 0 3. B. 4 8 I06 2 *⁹) Mit der Zahl 7 muß man es mit der Divi⸗ ſion verſuchen. e veſent g) Die Zahl 8 geht in dem Zaͤhler und Nenner auf, ſilige wenn ſolche in den drei Endsziffern aufgeht. ben d 4 89 408 G 3. B. 5 6 5 °0°⏑8 . htn h) Die Zahl 9 geht auf, wenn alle Ziffern einer nade Zahl addirt werden, und ſolche in der heraus⸗ dies kommenden Summe aufgeht. 89IO6 3 3. B. 5%½%1 2 1 G Wir wollen dieſe gegebene Regeln durch fol⸗ 9) d gende Beiſpiele naͤher ins Licht ſtellen. ⸗ C. 142. Manner 1 ſouol geht. f, renn Neyrer und 3 Zihler der Dir⸗ fer⸗ Uuf, alſget⸗ ſtn nme. . rnl⸗ c ſi⸗ 1. 113 D. 142. Aufgabe. d6 45 200 1014 1) 8 2) 90⁰ 3 1000 4) 8192. Aufloͤſung. 6 — 1) d8 4.. D “ 5— – — — 2) 900 180 20. 100 2 20 2 — I 5. 3) Iooo 1o 5 4 4 4 4 4 ) 1014 — 256 — — 6 — 4 — I1 4 8192 2048 512 128 32 8. §. 143. So wenig die Verkleinerung der Bruͤche, ein weſentliches Stuͤck der Rechenkunſt iſt, ſo gut kommt ſelbige doch in Rechnungen zu ſtatten. Ueberhaupt kann der Werth eines Bruches aus ſeiner kleinen Geſtalt weit eher erkannt oder geſchaͤzt werden. Wer z. B. weiß ſogleich, daß 144 Gulden ge⸗ rade 45 kr. geben; aber nach der Verkleinerung wird dies beim erſten Anblick erſichtlich. D S. 144. Beiſpiel: 1) Laut einer Bergamtlichen Liſte (von der Alpirſpa⸗ chiſchen Farbmuͤhle) daß vom Jahre 1288 bis 114 1790 von 4 Goldwaͤſchen aus der Eberhardts⸗ Berggrube Kronen (etwa ein Dukaten ſchwe⸗ res Gewicht) zum Muͤnzamte eingeſchickt wor⸗ den; wie ſieht der angehaͤngte Bruch verklei⸗ nert aus: Operation: I4 —– — I18 9 2 4 2) Nach der Bankorechnung (deutſche Encyklopaͤdie) gehen 66 436 Stuͤck hollaͤndiſche Dukaten auf eine koͤllniſche Mark; wie laͤßt ſich dieſer Bruch kleiner ausdruͤcken? Operation: 436 2 218 45 4 227. 3) Schwerartige Koͤrper machen nach Sulzers Ta⸗ heellen in der erſten Sekunde, wenn ſie frei fal⸗ len, 15 638 rheinlaͤndiſche Schuhe, in der zwo⸗ ◻ 2 5 . . — 5 ten Sekunde 45 6235, in der dritten 75 † 63 5 u. ſ. w. Kann dieſer Bruch nicht kleiner ausge⸗ druͤckt werden? Operation: 5 3 625 — 125 —–– 25 — = Iooo 200 40 8 4) Zu Ende irgend einer Diviſion blieb der Bruch 7 0* — 2 4 8 . 2 144 22 uͤbrig; — man moͤchte ſich gerne uͤberzeu⸗ gen, ob hier ſchlechterdings nicht verkleinert wer⸗ den konnte. Wie hat man die Sache anzufangen? Dnn d Reſt n Dibiſo tungs⸗ geben 440 hardts⸗ ſchwe⸗ t wor⸗ erklei. padie en auf Bruch ens Lr ſtei fil er zwo⸗ 025 700⁰0 gubge⸗ Grich berzeu⸗ tt wer⸗ nngen 1II5 Operation: Man dividirt den Nenner mit dem Zaͤhler, und dann den Zaͤhler durch den Reſt, ſo lange bis kein Reſt mehr zum Vorſchein kommt, wo dann der lezte Diviſor, wie oben gelehrt worden, die Verkleine⸗ rungszahl iſt, wenn je eine moͤglich iſt. Fuͤr den ge⸗ gebenen Bruch ſieht die Rechnung ſo aus: 440 4 1I4313 3) rIOT 44041 4 d 2rZ2 44041 — I IOTI „ lalich A40d = m 4 folglich 15513 - Weil die Diviſion 1 4313 13 zum Quotus gibt. IIO TI 3303 3303 S. 145. Iv. Das Einrichten der Brüche. Erklaͤrung. Gemwiſchte Bruͤche in unaͤchte reine Bruͤche ver⸗ wandeln, heißt man einen Bruch einrichten. Die Verfahrungsart. 1) Die ganze Zahl wird mit dem Nenner des Bru⸗ ches vervielfaͤltiget. 2) Der Zaͤhler wird dazu addirt, welchen man mit einem Queerſtrich von dem Nenner zu unterſchei⸗ H 2 116 den ſucht; z. B. Es ſoll der Bruch 2 eingerich⸗ tet werden, ſo wird 2 mit 8 multiplizirt, und zu dem Produkt 16 der Zaͤhler 5 addirt, ſo erhaͤlt man den Bruch 2, welches einerlei iſt mit 2 ¾. S. 146. 2 v. Die Erfindung eines gemeinſchaftlichen Nenners. Bruͤche laſſen ſich nur dann addiren und ſub⸗ trahiren, wenn die Nenner gleich ſind. Denn die Einheiten muͤſſen bei der Addition und Subtraktion nach (§. 33. und §. 37.) gleichartig — homogen ſeyn; oder, was auf eines hinauslaͤuft, ſie muͤſſen eine gemeinſchaftliche Benennung haben. Da nun bei Bruͤchen die Einheiten Theile ſind, und weil die Theile von ihren Nennern die Benennung erhal⸗ ten, ſo kann die Erfindung eines gemeinſchaftlichen Nenners ſtatt haben, wenn der Nenner derſelben uͤberall der naͤmliche iſt. §. 147. Hauptſatz. Bruͤche von ungleichen Nennern werden dadurch zu gleichen Nennern gebracht, wenn Nenner und Zaͤhler eines jeden Bruchs durch die Nenner der uͤbrigen Bruͤchen multiplizirt werden, d. i. wenn man zuerſt ihrer zween, welche man will, mit ein⸗ ander, deren Vielfaches mit dem dritten, das her⸗ auskommende mit dem vierten u. ſ. w. multiplizirt. 1 3 7/4/ det ma ner 3, 18662 laßt. dieſen man gung die ein nwen: danke ner o llein wenn itt Nenn ſehen hier die ſ 9, und und 4 ich ITIZ eingerich⸗ Wenn man z. B. zu den Bruͤchen 2, F, , zirt, und 1, à, m, einen gemeinen Nenner ſucht, ſo fin⸗ ſ eihi det man durch dergleichen Vervielfaͤltigung den Nen⸗ nit 2 ner 3, 9, 8, 3, 4, 6, 12 untereinander die Zahl 186624, welche ſich durch jeden von ihnen theilen ſſchhn. F. 148. Man ſieht inzwiſchen leicht, daß, wenn unter p iſ⸗ dieſen Nennern eine Zahl mehrere male vorkommt, den d man ihrer doch nur einmal bei dieſer Vervielfaͤlti⸗ eaſtor gung bedarf. Nach welcher Regel man (§. IIZ.) die eine 3 weglaſſen kann, laͤßt ſich dieſe Methode niſe anwenden. Da nun D. 149. hnd wel Man betrachte die Nenner, und mache in Ge⸗ ng eihe⸗ danken eine Zahl ausfuͤndig, welche durch jeden Nen⸗ eftin ner ohne Reſt dividirt werden kann, und zwar die derſelben kleinmoͤglichſte. Die Zaͤhler erhaͤlt man dadurch, wenn jeder Zaͤhler durch jenen Quotienten multipli⸗ zirt wird, welchen die Diviſion des eigentlichen Nenners in den gemeinſchaftlichen Nenner giebt. ES ſeyen die Bruͤche (§. 117.) gegeben, ſo laͤßt man dtrh hier die andere 3, nebſt 4 und 6, als ſolche weg, 7 . die ſchon in der Zahl 12 enthalten ſind, worauf noch n 9, 8 und 12 übrig bleiben. So laſſen ſich z. B. a 9 und 12 mit 3 theilen, und geben zu Antheilen 3 ein⸗ und 4, unter denen man aber leztere, weil ſie in der nit noch vorhandenen 8 enthalten iſt, nach der gegebe⸗ löf. nen Methode weglaſſen kann. So entſteht hier aus 118 Vervielfaͤltigung der 3, 8 und 3, die Zahl 72, wel⸗ che ſich eben ſowohl als 186624 durch alle Nenner der vorgegebenen Bruͤche theilen laͤßt. J. 150. O Sobald als man den allgemeinen Nenner hat, iſt es leicht, die Zaͤhler der vorgegebenen Bruͤche (§. 117.) darnach einzurichten. Naͤmlich man theilt den ſelben durch den Nen⸗ ner eines jeden Bruches, und multiplizirt jedesmal den Antheil (Quotienten) mit dem Zaͤhler des Bru⸗ ches. (§. 149.) 6 §. 151. Wie die Zahlen zu den Verrichtungen dieſes und des vorigen §. bequemlich zu beſchreiben und zu be⸗ handeln ſeyn, kann man aus den folgenden Bei⸗ ſpielen ſehen. Die obigen Jruche (G. 147.) werden in d ſten derſelben in 4, 49, 63, 24, 72, 99, 42, verwandelt. Erſtes Beiſpiel F. 147. J. 148. 24 — 48 3) 98 12 . 8 — 40 38 5 9 — 63 24 3 24 — 24 3 4 15 e 72 5 12 — 60 6 — 42 em er⸗ Ate == Te pIP= erI eſ S/ S ſe= en 2, wel Nenner Iner het , 1 Bliche den Mer⸗ ſedenal es Brl⸗ ſes und d A be⸗ den Vii⸗ den er⸗ 10 22 3, 72 119 S. IIS. — 3) 80101 15 2) 8310 +—43 5 15 4 6 1 2,0 3 360 Zweites Beiſpiel F. 150. 369 ) 8 360 45 10 360 36 5 e S 5 165] e 280 225 252 9 12 360 30 3— 216 9 3060 40 3 1 18 252 . 30 1I »„ 360 72 33⁰ 72 33 d r e 4 = 192 216 8 15 192 Zu mehrerer Vollkommenheit wollen wir noch ein Beiſpiel dieſer Art vor uns nehmen. 120 Es ſollen , 2, 3s, und unter einerlei Be⸗ , 5 T 7 nennung gebracht werden. Die Zahl 40 iſt der all⸗ gemeine Nenner, folglich bekommen die neuen Ren⸗ ner die Geſtalt: 5 16 12 1I0 Tr 5 e. D. 152. Aber woher weiß ich gerade, daß dieſe oder jene Zahl der kleinmoͤglichſte Nenner ſei? kann der angehende Rechner fragen. Hier verweiſe ich ihn auf das zweite Beiſpiel (§. 151.) Dier gleichen daß n Euumnmn Weil de tet, ſ Menz ſerſei De. der al⸗ nen Nen⸗ Vierzehnter Abſchnitt. Die vier Rechnung Sarten der Bruͤche. Bruͤche zu addiren. 8 §F. 13. nn di — ich in Die Zuſammenzaͤhlung ſolcher Bruͤche, welche einen gleichartigen Nenner haben, beſteht blos darinn, daß man ihre Zaͤhler zuſammenzaͤhlt, und unter ihre Summe den gemeinſchaftlichen Nenner ſetzt. Denn, weil der Nenner einerlei Theile des Ganzen bedeu⸗ tet, ſo kann man ſie als Groͤßen einer Art zuſam⸗ menzaͤhlen. 3Z. B. N— εμ NP R1α. S F. 154. 4 Die Zuſammenzaͤhlung gemiſchter Bruͤche wird verrichtet, wenn erſt die Bruͤche addirt, und dann die ausgehobenen Ganzen beigezaͤhlt werden. II. Beiſpiel. 2 2 % 10 20 8 ⅞ 15 — 15 75 9 — 77 12 62 —381 62 90 – 45 ner wirklich theilt. ſen (F. 124. II. Beiſpiel) die 4. 75 — 12 67 6 — 6 4 S 3 — 15 21 ½ 43 Anmerkung. Es traͤgt ſich ſowol bei der Zuſammenzaͤhlung als auch ſonſt in Berechnung der Bruͤche oͤfters zu, daß der Zaͤhler der herausgebrachten Zahl groͤßer wird als der Nenner. Man merkt alsdann, daß unter einem ſolchen uneigentlichen Bruche eine ganze Zahl verborgen ſei; und man erkennet ſei⸗ nen Werth, wenn man den Zaͤhler durch den Nen⸗ 3. B. Da §5 ein Ganzes ausmachen, ſo muͤſ⸗ 3 ſo viel Ganze ent⸗ halten, ſo viel mal 18 in 43 thalten ſind. ſind es 2 mal, und bleiben noch 7 uͤbrig. Daher iſt Sie derVen lekenen Wirte⸗ besma rrrebee teinb⸗ ng e kels l, gtßer n, daß e ene net ſiß den Nen⸗ niſ ent⸗ Sie her 123 der Werth des Bruchs 2 ⁄ und die Summe des ge⸗ gebenen Beiſpiels (II.) 23 2. 15. d. 155. Aufgabe. Was betragen die Koſten zur Ausruͤſtung eines Wirtembergiſchen Landmilizes, da man ſeines Lei⸗ besmontirung ſchaͤzt auf 4 ¾ Rthlr. Mantel 2 — Mousquete 5 — Patrontaſche + — Sabel 1— Kuppel 2 — Gamaſchen — V Huth „— Operation: 3 — 8 Ganze. JYU 4 — 6 2 2 — 9 5 12) 38 3 2 36 3⁰ 15 ½Rthlr. 2 G. I56. Aufgabe. Im Gutachter⸗Thal, einem Doͤrfchen Wuͤr⸗ tembergs, an der Graͤnze des Landes, beſtehen die Bauerſchaften in folgenden Hoͤfen: 124 I LI LI I LI TI I II 1 75⸗ Tr/ 6, 6 6, 6 §S g, S, TZ/, Ta-. Wie viel ganze Hoͤfe machen ſie zuſammen? 0 — Operation: Der abgekuͤrzte Ausdruck waͤre demnach 31½T4 † a = 2 †+ 1 † 3 † à 6= r 1 — 268 + 432 + 216 + 96 576 768 4 3 2 2 I 6 — 264 5 5 20 — I I 5 2 360 folglich in allem 2 „ Hofe. d. 157. Einem Kaufmann wurden 5 Kiſten mit Waa⸗ ren gebracht, dieſe haben auf der Mauth folgendes an Gewicht gewogen: 75 ¼ I5., 76 ¾ B., 8 ¾ 1., 9 ½ B., 28 2 I5. Was waͤgen wohl alle 5 Kiſten zuſammen? ſtorde S Iuf 125 A ,k. 75 1 — ⁶6 70 ¾ — — 9 8 F — — 8 9 5 — — I0 28 ½ —7 12 4 3 . 241 3 6 75 —4 5 V 1 111 8 1, 2 199 ½ . Aufgabe. K. 158. Nach einer Darſtellung des gegenwaͤrtigen Zu⸗ ſtandes des Wuͤrtembergiſchen Militairs betraͤgt der Sold eines einfachen Officier⸗Perſonals bei einem 33 Infanterie⸗ (und Genie⸗Corps) wenn 1 Obriſt⸗Lieutenant 1200 ¼ Gulden 1 Major— 1000 — X Kapitain 800 % — 1 Adjutant 400 3à — 1 Lieutenant 400 4. — 1 Auditeur 100 — DVre 1 Rechnungsfuͤhrer 200 %ℛ — ſent 1 Feldweibel 180 g . 1 Korporal 144 F — 15, 1 Tambour⸗Korporal 144 — Fſen 1 Tambour— 605 — Antw. 4434 35 fl. Operation mit Ruͤckſicht (§J. 154. 155.) I2 60 1680 19890 2 0 I 6 2 I OO⅓ 2160 2 2 05 2 2 4 6 4 2520 1I5 5 5 I 6 2 5 fl. 15 320 — 2 3 1 §. 159. Die Subtraktion gebrochener Zahlen. Wienn ein Bruch von dem andern, der mit ihm einen gleichen Nenner hat, ſubtrahirt werden ſoll, ſo wird der Zaͤhler des andern ſubtrahirt (abgezaͤhlt) und unter den Reſt der gemeinen Nenner geſetzt. Hier koͤn⸗ nen folgende Beiſpiele die Sache anſchaulich machen. 1) Soll man 4 von ſubtrahiren: ſo zaͤhlt man 4 von 7 ab, da denn der Reſt, folglich der ge⸗ ſuchte Reſt 3 oder iſt. 2) 35 von ., was iſt der Reſt? von 5 — 9 S 15 — 3 6 eerGA a v 1IO/ 2 6 10 — tel. o tnfffe ehtec athet ab d linen liein ze eins in dern ll z1 uhe n. nit itn ſol, ſ⸗ t) ud ierkön⸗ cchen. ſtt nmen der he 127 23 D von — 17 17 23 Ungleiche Nenner. 8. 160. In dieſem Fall werden die Nenner unter einen gebracht, d. i. man muß ſolche wie beim addiren vorher in einerlei Natur bringen: das uͤbrige lauft auf obige (Geſtalt) Operation F. 159. 1) 2) 3) hinaus. Erſtes Beiſpiel. Zweites Beiſpiel. 1P. 2 — 22 . 8¾ 1 — 2 3 — 15 57 3 — 3 7 3¾ 4 §. 161. Soll aber ein groͤßerer Bruch von einem klei⸗ nern ſubtrahirt werden, welches bei dieſem eine gan⸗ ze Zahl vorausſezt: ſo nimmt man von den Ganzen eins in Geſtalt eines Bruches weg, der mit den an⸗ dern Bruͤchen einen Nenner, folglich auch eben dieſe Zahl zum Zaͤhler hat, und zaͤhlt es zu dem kleineren Bruche, alsdann kann man den andern davon ſub⸗ trahiren. 7 Wenn z. B. 7 von 6 ¾ ſubtrahirt werden ſol⸗ len: ſo nimmt man von den 6 Ganzen unter der — Geſtalt von 5§ und zaͤhlt es zu den 3, wodurch entſtehen, von welchen die 75 ſubtrahirt 1 oder 1 uͤbrig laſſen. Von den 6 Ganzen aber muß man das geborgte 1 wegnehmen, daher ihrer nur 5 bleiben. 3 Erſtes Beiſpiel. Zweites Beiſpiel. De 6 ₰ Pr % 5 — 5 „7 35 . 3 6 — 1 5 ⅝ 4 12 . oder 5 . 4 ½b 17 JQ. 162. Aufgabe. Es ſollen 3 von 100 ſubtrahirt werden; was bleibt im Reſt? 12 — von 100 2 8 — 4 3 2 Antw. 199 tel. 8 3 3 9 Der Grund dieſer Verfahrungsart leuchtet von ſelbſt ein, wenn man mehrere urſpruͤngliche Benen⸗ nungen damit vergleicht. G. 163. 1) A ſchic ande viel S- ) Won neg den ſol⸗ lter der rch I .(der 1 Uman N046 blebben. el. —) 35 1 n, in Getton Benen⸗ 14 129 §. 163. AnfgabeZ. 1) Zwei Bauren auf dem Schwarzwalde vertauſchen ſchicklicher Lage willen, ihre zwei Waͤlder mit ein⸗ ander. Der eine haͤlt 7. 7 Morgen, der andere 7 ¾ Morgen wirklich gepruͤftes Landmeß; um wie viel iſt der erſtere groͤͤßer als der lezte? Operation: 23 5 2 — 2 — 1I èͤ Antwort: um 1 Morgen. K. 164. Aufgabe. 2) Von 13 ¾ Morgen Feldes ſollen 5 †. Morgen weggemeſſen werden, was bleibt noch uͤbrig? 2 13 2 1 18 — 8 35 — — — — 3 38 60 4⁸ ”UM 48 —W 24 Antwort: 8 ¾† Morgen bleiben noch im Reſt. 3) Ein Obriſt⸗Lieutenant bezieht in rußiſchen Dien⸗ ſten jaͤhrlich 915 % Rthlr.; in Oeſterreich hinge⸗ gen 852 ¼ Rthlr. um wie viel iſt der Sold des eiſten groͤßer? Oderation: 9 15 7 5— „½= 21 8 52 – Antw. 6 34 Rthlr. 8 =— A0 — X. 2 4 R 22 S§. 165. Aufgabe: 4) Der ſcharfſinnige Archimedes *) gab den Um⸗ kreis eines Schuh hohen Zirkels 22 Fuß an. Lu⸗ dolph von Koͤlln ſezte ihn nach genauerer Unter⸗ ſuchung auf 2½ oder 2 Fuß. Um wie viel war die erſtere Angabe gegen der leztern gehal⸗ ten zu groß? Operation: 22 I7 7 350 IIOO — I 0 9 9 . I 3 Antwort: um Fuß. F. 166. Aufgabe. 5) Der bekannte Geograph Hr. Buͤſching ſezt den Quadratinnhalt von Amerika auf 572110 ¼½ Mei⸗ len, und den von Europa auf 171834 £ Meilen, um wie viel iſt Amerika groͤßer als Europa? Operation: 572110 9 — 5–— 54— 40 . 171834. 2 * ² 48 Antw. um 400275 7. ◻ Meil. – 14 1 4 7522 M 34365 24 *) S. meine Geometrie §. 52. u. ſ. f. De D ien Br Zihlere Nenne⸗ von be trachte O che mul ben, ww ſol. D t der es die ten miiſſen ſe Nn die erfe Eng: und N ler glbt en Ge den Un⸗ n. A. er luter⸗ Lie 1n geſe⸗ ſezt den 1 Me⸗ elen, e wo: 7 13 1 Die Multiplikation gebrochener Zahlen. F. 167. Die Multiplikation einer ganzen Zahl durch ei⸗ nen Bruch wird demnach durch Vervielfaͤltigung des Zaͤhlers mit dem Ganzen, und Beibehaltung des Nenners verrichtet; deswegen es einerlei iſt, welche von beiden Zahlen man als den Vervielfaͤltiger be⸗ trachtet. Oder, wenn Eins eine ſolche Zahl giebet, wel⸗ che multiplizirt wird, was wird die ganze Zahl ge⸗ ben, wodurch man die Vervielfaͤltigung verrichten ſoll. es die Verhaͤltniſſe beſtimmen. Aus dieſem laͤßt ſich herleiten, daß in der zwei⸗ ten Kolumne (Seite) alle Bruͤche geſezt werden muͤſſen, die multiplizirt werden ſollen; man tilgt die Nummer mit einem Strich'gen und ſezt ſie in die erſte Kolumne und verfaͤhrt wie beim Reeſiſchen Satz; d. i. man vervielfaͤltiget Zaͤhler mit Zaͤhler, und Nenner mit Nenner. Das Vielfache der Zaͤh⸗ ler gibt den Zaͤhler, und das Vielfache der Nenner, den Nenner des geſuchten Wielſachen. §. 168. 1) 3. B. Wenn 4 mit 2 multiplizirt werden ſol⸗ 5 len: ſo ſind das zweifache der g£; der dritte Theil hievon aber 13 iſt die geſuchte Zahl. J 2 Dieſe Methode, die Fragzahl auszuſorechen, iſt der Natur der Reeſiſchen Regel gemaͤß, ſo, wie Vielf. I a) 3. B. 12 ¼ mit 7 ¾ was kommt zum Produkt? 5 2 . 61 4 28 14 3 1 6 1 183 20) 1 89I 94 ¾ 180 — 9 † 8 0 I I Anmerkung: Wie Bruͤche durch ganze Zahlen multiplizirt werden, iſt bereits ſchon aus F. 167. klar; man richtet ſie, wie die Beiſpiele 1 und 2 ausſehen, ein, und verfaͤhrt hernach wie beim Reeſiſchen Satz. Beiſpiel 3). Ein Forſter fand bei der Pruͤfung ei⸗ nes Klaftermaaßes, daß die Laͤnge nur 5 , die Hoͤhe 54¾, und die Scheuterlaͤnge 3 ½ Schuh Wuͤr⸗ 11 2 ½ Deſe 133 tembergiſches Maaß habe. Wie viel Kabikſchuhe mag wol ſo ein Klafter halten? Man findet aber die Kubatur eines Klafters, wenn man erſt Hoͤhe mit Laͤnge, und dann dieſes Produkt auch mit der Scheuterlaͤnge multiplizirt. Operation: 11 5. — 5 9 butt! 2 2 ¼z 5 4 3 „ . - L9 3 3 3 195 66 e 678 5 102 Kubikfuße. 1 8 5 1 3 2 5 3 Anmerkung. Dieſes ganze Verfahren iſt die Grundlage von der nuͤzlichen Berechnung, welche man in Forſtſachen t werden, machen muß, wenn man die Klafter aus den zu ſhrt e⸗ ſchlagenden Baͤumen auf einem Schlage beſtim⸗ (t, a N men ſoll. Man nimmt die Staͤmme der Baͤume als abgekuͤrzte Kegel an, und verfaͤhrt wie oben— gelehrt worden. Hierauf aber kubirt man ein 6 Klafter, die gewoͤhnlich 3 Ellen (oder 6 Fuß) ifune breit und hoch geſezt wird, und deren Scheuter 3 ½ Fuß lang ſind. Dieſe, die Elle zu 2 Schuh ge⸗ der Zwiſchenraͤume 14 bis 16 Schuh abgezogen werden muͤſſen, ſo, daß 92 bis 94 Schuh blei⸗ ben, mit welchen man in den koͤrperlichen Inn⸗ halt des Tannenbaums dividiren muß, um die Klafterzahl zu bekommen. J. T170. 4) Ein Erzkuͤbel *) (ein in dem Oberlande uͤbliches Maaß bei Bergwerken) haͤlt in der Laͤnge 28 7. Zoll, in der Breite 15 ½ Zoll, und in der Tiefe 7 ¼ Zoll; wie viel Kubikzoll faßt es in ſich? Man bekommt aber dieſen Innhalt, wenn man Laͤnge, Hoͤhe und Tiefe durcheinander vervielfaͤltiget. 27 28 28 2 2 § 1 39 ye L36 34 r 7 9 §8 8 5§ 1 2 =— 1L55 . 2 6r r2 5 818 72 Kubikzoll. 1 I 32) Iſt eben ſo viel als 2 Simri (Wuͤrtemberger Maaß) geſtrichen. rechnet, betraͤgt 108 Kubikſchuh, wovon wegen hrine wegen hgezogen lh blei⸗ en Jnn⸗ uun die blichs nge 29. et Tief: 2 Man biuge, et. Mirc 135 4) Eln Arbeiter verdient taͤglich ? Gulden, wie hoch bringt er ſeinen Verdienſt in 56 Tagen? Operation: TI 2 18 fl. iſt ſein Verdienſt. 5.2 4 8⁸ 4 — 5) Eben ſo laſſen ſich alle Theile aller Arten von Zahlen finden. Wenn man z. B. 3 von 84 wiſ⸗ ſen wollte, ſo iſt das Verfahren wie oben. R 4 — 8 4 2,5 2 6 3 136 ₰ℳ 6) Ein fuͤrſtliches Bel- Etage (Zimmer) iſt 642¾ Fuß lang, und 36 3 3 Fuß breit; wie viele Menſchen koͤnnen darinnen ſtehen, wenn man auf Einen 1 Quadratfuß rechnet? Operation: 6A 1 9 4 36 4 1 4 7 1 3 5 8 7 7 0 1 9 4 12 2 851 S 2 4 4. 5 3 6 — 9. 1I 8 4 7 8 7 2 —,— 6 — Antwort: 2376 ¼ Menſchen. 2) Was machen 450 Dukaten zu 5 ¾ f. an ordinai⸗ rer Gelobenennung, das iſt, in Gulden? 9) Eil halt f . 2☚ — Dibiſi lf de gebe n De tet den Eeen 137 42 Fiß Operation: ſeuſchen 2 (Einen 5 „2 7 4 50 9 2 4 3 fl. iſt die Benennung. 8) Eine Rolle Laubthaler haͤlt 96 Stuͤck, wie viel haͤlt dies in Gulden, wenn ſie nach dem Geſetz 2¾ fl. gelten? Operation: 3 2. 4 1 1 H 9 6 4 § 3. 24 4 4 . 2 2 Antwort: 2 6 4 fl. Die Dioiſion gebrochener Zahlen. . TII. Die Anwendung der Reeſiſchen Regel auf die Diviſion der gebrochenen Zahlen oder Bruͤche kommt auf den Satz an. Dieſes begreiflich zu machen, gebe man auf folgendes Achtung. Der Bruch, der getheilt werden ſoll, wird hin⸗ ter den Vertikalſtrich rechter Hand, und der andere nei⸗ , gegebene Bruch gegenuͤber linker Hand geſetzt. Die Verfahrungsart iſt eben diejenige, welche §§. und 168. u. ſ. w. gezeigt worden iſt. 1) Z. B. Es ſollen 5 mit 3 getheilt werden; was gibt es zum Antheil? 2) ⅝ in 3, was der Quotient? Aufloͤſung. e —₰ ¾ OM Beiſpiele mit gemiſchten Zahlen. 3) Als: 6 ¾ mit 2 ¼, was kommt zum Antheil? rx. =2 . 1. 4) 100 mit 3, was iſt der Antheil? . Aufloͤſung: n, was D 49 6 2 ⏑ I 2 O zum Antheil. 5) Wie viel machen 4000 fl. unſers Geldes in franzo⸗ ſiſchen Livres, da bekannt der Liore 1 fl. betraͤgt? Aufloͤſung. II 10°0⁸6. 24 2 4 160 00 8 11I 9.6000O 9727 Liores. 88. . = 8.0 77 et. 3 0 hele 22 —9 O 17 6) Wie viel gibt ein Holzſtamm von 85 Fuß Scheu⸗ terlaͤngen, wenn ſie nach befohlenen Geſetzen 3 ¼ Fuß groß werden ſollen? Aufloͤſung: „ 7 170% 24¾ Scheuterlaͤngen. –— 4 4 3.0 2 8 - 2 77) Der dritte Trabant des Jupiters vollendet ſeine Laufbahn um den Hauptplaneten (wie Keppler verſichert) in 7 ¼ Tag; wie oft drehet er ſich in einem vollen Jahre um ſelbigen herum? Aufloͤſung. 7 5 43 2 190 504 alſo beinahe 5 rmal. 2 1 5 . — 40 . 8) Der Mond lauft um die Erde in 27 ¼ Tag; wie oft geſchieht deſſen Wanderung um die Erde in 4 Jahren, oder was eins iſt, in 1460 Tagen? Aufloͤſung. 53 ½¼ mal in 4 Jahren. Uen Probe i t ſeine ſepplt ſch n Hunn. 6, i⸗ be in en! 141 Proben von den vier Rechnungsarten der Bruͤche. §. 172. Addition und Subtraktion dienen einander zur Probe. . Bei dem Addiren. 1) Von der Summel aller Bruͤche ſubtrahire man einen der addirten Bruͤche. 2) Nun addire man auch die uͤbrigen Bruͤche, ſo muͤſſen jene Reſt und dieſe Summe gleich ſeyn. 3. B. 3 + 4 †+ 7 △ 8 4 (105 1 5 1 6 9 1IO 5 1 + Probe: 1) Von der Summe 1. 64: ſubtrahire man 3, ſo kommt J1 64. — — 105 3 3 15 192 50°7 (3 I 5 2 10 9 297 33 3 I 5 35 142 2) Nun addire man die uͤbrigen Bruͤche. 5 3 5 0 . e 0 ne — 1 Da nun dieſe Summe jenem Reſt gleich iſt, ſo war die Addition richtig. Bei der Subtraktion: Man addire den Reſt zu dem Subtrahenten, ſo muß der Subtrahendus herauskommen. 3. B. — = Probe. Reſt 34 + 55 (77 — — 374 —— Goz 55 5tel, wel⸗ Reſt 72 847 77 7 ches der Subtra⸗ hendus war. Bei der Multiplikation: Man dividire das Produkt mit einem der mul⸗ tiplizirten Bruͤche, ſo muß der andere Bruch oder das Produkt der uͤbrigen Bruͤche als Ondtient her⸗ auskommen. 3. B. und it, nten, el bel EGts der Eubtr⸗ Hendus Gnt. e nl⸗ h oder t het⸗ 2 3 3 —2. 6 3 3 2 Probe: 2 3 — — I0 3 5 3 3 9 und 2 5 I= 10 9 6£ 9 3 3 Bei der Diviſion. Der Quotient mit dem Diviſor multiplizirt muß den Dividendus geben. Z. B. Dividend. Diviſ. 1 1è3 Quot. 18 . 20 15 2E 1 18 256 Zs zS S 12 6 4 2 Probe. 5§ 5 Quotient. Diviſor. 19 Divid. 20– 15 15 1 T† 129 2 — 1 g 6 73 ———— Juͤnfsehnter Abſchnitt. Ausziehung der Quadratwurzel. d. 173. Das Produkt einer Zahl in ſich ſelbſt, heißt ihr Qunadrat; das Produkt aus der Zahl in das Qua⸗ drat, der Kubus oder Wuͤrfel; aus dem Kubus in die Zahl das Biquadrat. Dieſe Produkte und die auf aͤhnliche Art fortgeſezten nennt man auch Po⸗ tenzen; die Zahl ſelbſt die erſte, das Quadrat die zweite, den Kubus die dritte u. ſ. w. Vorſtellung hievon. 3. B. Von der Zahl 8 iſt das Quadrat 64, denn 8 mal 8 iſt 64. Der Kubus 512, denn 8 mal 64 iſt 512. Das Biquadrat 4096, denn 8 mal 512 iſt 4096. Die Zahl, welche auf dieſe Art in ſich ſelbſt multiplizirt wird, heißt die Wurzel, die Qua⸗ dratwurzel fuͤr ein Quadrat, die Kubikwurzel fuͤr u. ſ. w. Bezeichnung der Quadratzahlen. S. 174. —;— Das Quadrat einer Zahl wird durch eine rechts uͤber dieſelbe geſchriebene Zahl angedeutet. Z. B. 99 will ein Quadrat, die Kubikwurzel fuͤr einen Kubus, Wur Ouc ſoton ſch die und n D heißt he das Quu⸗ Fllbus in jnd die ch Ye⸗ drat die rat 64, n gnel mal 51 t in ſch die Oug⸗ Kullt, 6. ne techtb B. tl 145 will heißen, 9 ſei 2 mal ein Faktor, nemlich 9. 9 d. i. 91, daher 9 — LrI. G. 175. So lange eine Quadratzahl kleiner iſt als 100, ſo iſt ihre Wurzel eine einzelne Ziffer, und wird durch das Einmaleins leicht gefunden. So ſieht man z. B. leicht, daß die Quadratwurzel der 81 die 9 iſt, weil 9 mal 9 die 81 ausmachen. . 176 Erhebung in das Quadrat. Quadrattafel der einfachen Zahlen. Wurzel 1 2 3 4 5 6 82 Quadrate 1 49 i6 35 36 40 167 l Eben ſo Letfahet man bei groͤßern Zahlen. 172 7 2 . 4 3. B. 7 2 3 4 = = 4 multiplizirt, kommt ea = 7234 J. 179. Das Quadrat eines Bruchs entſteht, wenn man ſowohl ſeinen Zaͤhler als ſeinen Nenner jeden mit ſich multiplizirt. Will man alſo aus einem Bruch die Quadratwurzel ziehen, ſo muß dies aus Zaͤhler und Nenner beſonders geſchehen, und aus den Wur⸗ zeln ein neuer Bruch gemacht werden. Z. B. die Quadratwurzel von 29 iſt 2. K 146 S. 178. Wenn die vorgegebene Zahl keine vollkommene Quadratzahl iſt, ſo kann man doch die Wurzel einer ſol⸗ chen Zahl finden, die von ihr um ſo wenig als man will, oder ſo groß man ſie noͤthig finden wird, unterſchieden ſei. Man haͤngt nemlich der vorgegebenen Zahl ein oder etliche paar Nullen an, und betrachtet ſie hernach als einen Bruch, deſſen Nenner eine 1 mit eben ſo vie⸗ len Nullen waͤre, und aus welchem man die Wurzel zu ziehen haͤtte. Dieſe Zahlen heißen Irrationalzahlen. §. 179. Am bequemſten laͤßt ſich dieſes durch die De⸗ zimalbruͤche ausfuͤhren, welche den Werth einer ſol⸗ chen ſo nahe als man haben will, auseinander ſetzen, welche Rechnung das Ausziehen der Wurzeln durch Naͤherung genannt wird. S. I180. Wenn die Quadratwurzel einer ganzen Zahl nicht durch eine gefunden wird: ſo laͤßt ſie ſich auch durch Dezimalbruͤche nie vollkommen finden. Denn man merkt leicht, daß ein Bruch mit einem Bruche vervielfaͤltiget, auch wieder einen Bruch hervorbrin⸗ geen muß. Ausziehung der Quadratwurzel. S. 192. Aufgabe. Soll man aus 746496 die Quadratwurzel fin⸗ den, ſo zieht man jene Theile nach der Ordnung in ihren Stellen ab. 147 Quadrat Wurzel Unnnen 7 ½ 64½ 96 S α½† nerſol⸗ 6 4 dan wil, tſchieden 166 5 9 5 lldin — ehennh 68 96 enſetit 1724 68906 Purzelzt 0 ſen Aufloͤſung. e De 2) Man ſchneidet von der gegebenen Zahl, ſo oft ſe De. es angeht, von der rechten gegen die linke zu zwo ſet ſol⸗ Ziffern ab, und zieht hinter dieſelbe einen Strich ſegen, wie bei der Diviſion. n dur b) Alsdenn ſucht man unter dem Einmaleins enthal⸗ tenen Quadraten dasjenige aus, welches der in t der erſten Abtheilung befindlichen Zahl (74) am n naͤchſten kommt, zieht es von derſelben ab; ſeine ſch n Wurzel aber ſezt man, als den erſten Theil der W geſuchten Wurzel, hinter den Strich. Zu dem nie Reſt (10) ſezt man die Ziffern (64) der folgen⸗ den Abtheilungen. c) Hierauf verdoppelt man den gefundenen Theil (8) der Wurzel, theilt mit dem Vielfachen (16) die Zahl (106), welche die erſte (6) der dazu genommenen Ziffern mit dem Reſte (10) macht, r⸗ und ſezt den Antheil (6) nicht nur hinter den Strich als einen neuen Theil der geſuchten Wur⸗ nung zel, ſondern auch neben den Theiler zur rechten. K· 2 148 d) Die hiedurch entſtehende Zahl (166) vervielfaͤl⸗ tiget man mit dem Antheile, zaͤhlet das Vielfa⸗ che (996) von dem vorgenommenen Theile (1064) der Quadratwurzel ab, und ſezt den Reſt (68) herunter. e) Hat die vorgegebene Zahl noch mehrere Ziffern, ſo ſezt man die folgende Abtheilung (96) neben den Reſt; verdoppelt den ganzen gefundenen Theil der Wurzel (86), und wendet die gegebene Re⸗ geln (od und e) ſo lange an, bis man alle Ab⸗ theilungen durchgegangen iſt. Wir fuͤgen noch ein zweites Beiſpiel bei. 5 2 0 7 5 6 7234 3 3 38 3 3 (4) 2 2 8 4 4 9 0°272 (1 4 4) 3 4 3 2 9 5 7 8 5 6 (x 4 4 6) 4 5 7 8 5 0 G. 183. Wenn nach dieſer Verrichtung von der vorge⸗ gebenen Zahl nichts uͤbrig bleibt, ſo hat man ihre Ouat mas, Uige . 65 kei get d zuzie 1N gen ſuc Murz Dugk Kyl ee lle⸗ ſul ſ ielfil⸗ Wielfa⸗ (104) 1(68) Iffen, 6) Ne jen Del hene Rt. ale A⸗ oorge⸗ non ir 149 Quadratwurzel richtig gefunden. Bleibt aber et⸗ was, ſo kann man durchaus ſchließen, daß dieſel⸗ bige keine vollkommene Quadratzahl iſt, oder, daß es keine Zahl gibt, die mit ſich ſelbſt vervielfaͤlti⸗ get die gegebene hervorbringt. Ausziehung der Kubikwurzel. F. 184. Aufg a b e. Aus einer gegebenen Zahl die Kubikwurzel aus⸗ zuziehen. Aufloͤſung. 381]Nτ88 r25 7 2) Man theile die gegebene Zahl von der rechten ge⸗ gen die linke in Klaſſen, jede zu 3 Ziffern, und ſuche (in dem hier entworfenen Kubiktaͤfelchen) Wurzel 12 3 45 6 27 18 90„ I0 Quadr. 14—9IO 25 306 9 64 8SI 1I00 Kubik 1I[ Z27 64 [125 216 343 512 729 1000 die Kubikwurzel der Klaſſen 38r oder die naͤchſte kleinere Kubikzahl 343, ſo bekommt man 7. Dieſe 7 nenne man den erſten Theil der Wurzel und ſubtrahire ſeinen Kubum 343 von der erſten Klaſſe, ſo bleiben 38. ðèG 3 4 1 8 07 8 7 42 242 3 147 2) Zu dem Reſt 38 nehme man eine neue Klaſſe (078 herunter. Den Diviſor zu erhalten, nehme man das Quadrat des erſten Theils 7 .7 = 49 dreifach, d. i. 3. 49 = 147, und ſchreibe dieſes Produkt alſo unter, daß die Stellen unter den beiden lezten Ziffern leer bleiben. 3) Man dividire 1 in 3 zu 2 mal, und ſchreibe 2 als den zweiten Theil der Wurzel hinter den er⸗ ſten 7. Nun muß man 3 Reihen berechnen. 3 ⁸ 1 ſo7 8 2 5 7 2 3 4 3 3 8 0°7,8 (T 4 7) 2 00 ◻ +£ W£△☚ £☚ 3 °2 4 8 7 830 Die erſte Reihe kommt, wenn man den Divi⸗ ſor 147, mit dem gefundenen zweiten Theil, 2, multiplizirt. 2. 147 =— 294. Die zweite Reihe: wenn man den erſten Theil 7 dreifach nimmt, 3.7 — 2²1, und mit dem Qua⸗ drat des zweiten 2. 2 = 4 multiplizirt, ſo hat man 984, welche um eine Stelle mehr rechts unter⸗ ſchrieben wird. Die dritte Reihe iſt der Kubus des zweiten Theils 2 .2 = 8, welcher um eine Stelle mehr vechts unterſchrieben wird. 4 Gunn, 93 ſern ds dre ter den der Nr⸗ 1I5 ½ ſe Klaſe Dieſe 3 Reihen addire man, und ſubtrahire die „ lehme Summe 30248 von 38078, ſo bleiben 7830. 12 3 5 ˙7 8r 25 7a5 be dieſe⸗ 3 4 3 Unler det 72 3 8 0°7 8 (1 47) 2 ſhriben 2 9 4 So4 t den e⸗ 8 4 iIS4 8 3 3 2 4 8 15552 7 830° 1 2 5 (X 5 5 5 2) 7 7 7 6 O 5 4 Oο° I 2 5 7 8 30I 2 5 — Dit 4) Zu dem Reſt nehme man eine neue Klaſſe, 125, : herunter 2: nenne 72 den erſten Theil. / hi, Den Diviſor zu erhalten, nehme man wie 2. das Quadrat des erſten Theils 72: 72 = 5184 “ dreifach, ſo hat man 15552, welche Zahl alſo un⸗ rd terſchrieben werden muß, daß die Nullen unter n den beiden lezten Zahlen leer bleiben. ht . rer Nun heißt es: 1 in 7 zu 5 mal, 5 heißt jezt 7 der 2te Theil der Wurzel, und man muß wie in Nro. 3) drei Reihen berechnen und ihre Summe ce hit ſubtrahiren u. ſ. w. le ni⸗ Sechszehnter Abſchnitt. Zwelte Abtheilung der Rechenkunſt. Vo Verhaͤltniſſen und Proportionen. . S. 185. Ein Verhaͤltniß iſt eine Verknuͤpfung zweier Groſ⸗ ſen, in Abſicht auf die Zuſammenſetzung der einen aus den gleichen Theilen der andern. Man gibt der einen Größe irgend eine Anzahl gleiche Thei⸗ le, und ſtellt ſich die andere als eine Vielheit eben diieſer gleichen Theile vor. Die Menge der gleichen Theile in der erſten iſt willkuͤhrlich. Daher kann das Verhaͤltniß derſelben zwei Groͤßen auf unzaͤhlich viele Arten in Zahlen dargeſtellt werden, ſo wie auch ein Paar anderer, von jenen ganz verſchiede⸗ nen Groͤßen, wenn jene naͤmlich in Abſicht auf die Menge der gleichen Theile mit dieſen uͤbereinſtim⸗ men. Es kommt alſo bei einem Verhaͤltniſſe nicht auf die Groͤße der Glieder an und fuͤr ſich betrach⸗ tet, oder auf die abſolute an, ſondern auf ihre ver⸗ gleichungsmaͤßige oder relative Groͤße. 6 deren Theil zwo. dieſe wuͤrd laſſen Großea gllf zu terſuch andere mehr i trakti holtn Thei hetro h gek iind zwe ae 153 J. 196. Jede Zahl enthaͤlt einen Begriff eines Verhaͤlt⸗ niſſes, naͤmlich in Beziehung auf die Einheit, durch deren Wiederholung ſie entſteht, oder aus deren Theilen ſie zuſammengeſezt wird. Es werden alſo lunf⸗ zwo Zahlen zu einem Verhaͤltniß erfordert, und dieſe muͤſſen von einer Art ſeyn. Zwei Ruthen wuͤrden ſich alſo mit 4 Stunden nicht vergleichen laſſen. Da man aber dieſe Zahlen in Anſehung der en. Groͤße miteinander vergleichen ſoll, ſo kann dieſes auf zweierlei Art geſchehen. Erſtens kann man un⸗ terſuchen: wie viel Einheiten die eine mehr als die andere hat; z. B. ich ſuche, wie viele Einheiten mehr in 9 ſeyen als in 3, ſo finde ich durch Sub⸗ Gaͤ⸗ traktion 6, und kenne nun das arithmetiſche Ver⸗ te haͤltniß von 9 zu 3. n got §. 187. Ter Unterſucht man aber, wie viel eine Zahl oder it eben Theile von ihr in einer andern enthalten ſeyen, ſo heichen betrachtet man das geometriſche Verhaͤltniß beider hhmm Zahlen. gahecch 3. B. ich ſuche, wie vielmal 3 in 9 oder um⸗ ſ ne gekehrt, welcher Theil von 9 in 3 enthalten ſey, ſo ſhile. findet ſich's durch die Diviſion im erſten Fall 3 mal, im Cif e zweiten 3 oder 3. fin⸗ §. 188. D Die zwo Zahlen, woraus ein Verhaͤltniß be⸗ euer ſteht, nennt man die Glieder des Verhaͤltniſſes (termini rationis). Ein Glied, welches man als 154 das erſte anſiehet, wird das vorhergehende (termi⸗ nus antecedens), und das andere, das folgende (consequens) genannt. Es iſt aber willkuͤhrlich, welches von beiden man als das vorhergehende Glied annimmt. Anmerkung. Wenn das Wort Verhaͤltniß, ohne eines von den Beiwoͤrtern arithmetiſch oder geometriſch hinzuzu⸗ fuͤgen, geſezt wird, ſo pflegt man allemal das geometriſche Verhaͤltniß zu verſtehen; weil unſere Alten nur geometriſche Verhaͤltniſſe betrachtet ha⸗ ben, und dieſelbe ſchlechthin Verhaͤltniſſe nannten. §. 189. Zwei arithmetiſche Verhaͤltniſſe ſind gleich, wenn die vorhergehenden Glieder um dieſelbe Groͤße vermehrt oder vermindert, die nachfolgenden Glie⸗ der geben. Z. B. 20 — 8 und 10 — 4. §. 100. Zwei gleiche arithmetiſche Verhaͤltniſſe geben eine arithmetiſche Proportion, welche ihrer Natur zufol⸗ ge ſo bezeichnet wird: 8 — 20 – 4 — 16. Das erſte und vierte Glied heiſſen die beiden aͤuſſern, d die andern die mittlern Glieder. Bezeichnung. §. 191. Zu Bezeichnung des arithmetiſchen Verhaͤltniſ⸗ ſes bediente man ſich des Zeichens der Subtraktion: Eum deepr ſr haͤt der d ſche, Honn abze dn gen Pt Net i (tem. Ulgende ihrüch, de Gen Pe a hirurer⸗ mal dos unſete tet hi⸗ hunten. eGrigt en Ge⸗ eneine zufet⸗ D , de⸗ ltrſ⸗ hktion: 155 z. B. 16— 4 will heiſſen, man betrachtet die Zah⸗ len 16 und 4 in ihrem arithmetiſchen Verhaͤltniß. Zu Bezeichnung des geometriſchen Verhaͤltniſſes wird das Diviſionszeichen gebraucht. 3. B. 16 zu 4, oder 16:4 will heiſſen, man betrachte 16 und 4 in ihrem geometriſchen Verhaͤltniß. §. 192. In der Proportion 8 — 20 =– 4 — 16 iſt 20 + 4 – 16 + 8, beidemal daſſelbe, naͤmlich die Summe der aͤuſſern und mittlern Glieder. Waͤre die Proportion ſo geſchrieben, 20 — 8 = 16 — 4, ſo haͤtte man 20 + 4 = 8⁸ + 16, beidemal wie⸗ der die Summe der aͤuſſern und mittlern Glieder. §. 193. Aus den drei erſten Gliedern einer arithmeti⸗ ſchen Proportion erhaͤlt man das vierte, wenn man von der Summe des zweiten und dritten das erſte abzieht. Sind die beiden mittlern Glieder einander gleich, ſo heißt die Proportion eine zuſammenhaͤn⸗ gende oder ſtetige, z. B. 6 — 9 =– 9 — 12. §. 194. In einer zuſammenhaͤngenden arithmetiſchen Proportion iſt das mittlere Glied die halbe Summe der beiden aͤußern. Alſo findet man es gleich durch die Halbirung der Summe der beiden aͤußern, wenn dieſe gegeben ſind. SF. 195. Das arithmetiſche Mittel von zwei oder meh⸗ rern Zahlen iſt die Summe aller, dividirt durch die Anzahl derſelben. Als: von 110, 104, 1I16, 98 iſt das arithmetiſche Mittel 428 dividirt durch 4, d. i. 107. Dieſes kommt haͤufig vor, z. B. wenn man den Ertrag eines Gutes aus dem Durchſchnitte der Ertrage mehrerer Jahre berechnet, oder die An⸗ zahl der jaͤhrlich Gebohrnen, Sterbenden und Ge⸗ trauten an einem Orte nach der Mittelzahl angibt. Geometriſche Verhaͤltniſſe ſind gleich, wenn das folgende Glied jedes Verhaͤltniſſes aus dem vor⸗ hergehenden durch die Multiplikation mit derſelben Zahl, ganzen oder gebrochenen entſteht, oder wenn die Exponenten gleich ſind. So ſind gleich die Ver⸗ haͤltniſſe 12: 4 und 15: 5, desgleichen 8: 14 und 12: 21. F. 197. Zwei gleiche geometriſche Verhaͤltniſſe gebeu eine geometriſche Proportion, welche uͤberhaupt bezeich⸗ net wird, wie 8: 14 = 12: 21. Die vier Groͤ⸗ en in der Ordnung, wie ſie ſtehen, heiſſen pro⸗ portionale. Man ſpricht die geometriſche Propor⸗ tion gewoͤhnlich ſo aus: 8 verhaͤlt ſich zu 14, wie 12 zu 21. Das erſte und vierte Glied heiſſen auch hier die beiden aͤuſſern, das zweite und dritte die beiden mittlern Glieder. Sind die beiden mittlern Glit ſainnn De h tiiche Aut ſſt ei Glied din der 8 5 euth Vrn des Den Zah gen vela lere mehe ch die rch,, benn ſchnite⸗ die Au nd Ge⸗ ngibt. wenn ww vol⸗ etſelben Wenn he Ver⸗ 9114 eine bheſch Git⸗ 1 Pi⸗ orot⸗ tuch re de ſttlern 16, 99 157¾ Glieder einander gleich, ſo iſt die Proportion eine zu⸗ ſammenhaͤngende oder ſtetige, wie 8: 12 = 12: 18. Die beiden mittlern heiſſen jedes die mittlere geome⸗ triſche Proportionalzahl zwiſchen den beiden aͤuſſern. §. 198. Quotient eines geometriſchen Verkhaͤlt⸗ niſſes. . Der Quotient eines geometriſchen Verhaͤltniſſes iſt eine Zahl, welche angibt, wie vielmal das eine Glied in dem andern enthalten ſeye. Z. B. von 8: 16 iſt 2 der Quotient, zveil amal 8 in 16 enthalten iſt. Von 8: 16 iſt *o.oder der Quotient, weil der zweite Theil von 16 in 2 enthalten iſt. K. 199. Hauptſatz. Der Quotient eines Verhaͤltniſſes iſt einem Bruch gleich, welcher zum Zaͤhler das eine Glied des Verhaͤltniſſes, zum Nenner das andere hat. Den Beweis zu fuͤhren iſt leicht; man verkange die Zahl zu wiſſen, welche anzeige, auf was Art 7 in 9 enthalten ſey, d. i. wie man 7 nehmen oder mit welcher Zahl man multipliziren muͤße, damit 9 herauskomme. 158 Anwendung der Regel Detri mit benann⸗ ten Zahlen. L. 200. Im gemeinen Leben kommen unendlich viele Faͤlle vor, da man zu drei gegebenen Zahlen die 4te Proportionalzahl wiſſen muß. Das Verfahren, das 4te Glied zu finden, iſt daſſelbe, wie bei dem ordentlichen Verhaͤltniſſe. Nur die Stellung der Groͤßen macht den Unterſchied aus. J. 201. Unſere alten Rechenmeiſter pflegten die mit der geſuchten Groͤße gleichnamige in die Mitte zu ſetzen. Sie muͤßte richtiger, das dritte Glied ſeyn. Hieran iſt inzwiſchen nichts gelegen, wenn man nur das mechaniſche Anſetzen, nach den Ausdruͤcken der Fra⸗ ge, ſich nicht verfuͤhren laͤſſet; ein umgekehrtes Verhaͤltniß als ein ordentliches anzuſetzen, oder eine Proportion anzunehmen, wo keine ſtatt findet. Regel Detri mit benannten Zahlen. d. 202. Aufgabe. Zu drei gegebenen benannten Zahlen die 4te Proportionalzahl zu finden. Auflbſung. Man unterſuche, ob die gegebene Dinge in geraden oder verkehrten Verhaͤltniß ſtehen; welches leicht eines ander den Weit der hant⸗ ih viee die ſte den, e. Nut ed le. iſt der ſetzen. Hieran ue dos er Fre⸗ kkehrtes et eine t. en. Ne ℳ ige in velches 159 leicht daraus zu erkennen iſt, wenn man annimmt, eines von beiden vermehre ſich, und aufmerkt, ob das andere ſich auch vermehre oder ob es abnehme. A. Der Anſatz. a) Man bezeichnet die unbekannte Zahl mit ei⸗ nem?, (Interrogationspunkt) und ſetze ? zur rechten. b) Man ſetze die Fragzahl um eine Stelle weiter zur linken. 0) Diejenige Zahl, welche mit der Fragzahl einer⸗ lei Namen hat, ſetze man an den erſten Platz. 4d) Diejenige Zahl, welche mit? einerlei Namen hat, ſetze man an den zweiten Platz. e) Zwiſchen dem erſten und zweiten Gliede, wie auch zwiſchen dem dritten und vierten Gliede ſetze man das Diviſionszeichen (:), in die Mitte aber ſetze man das Gleichheitszeichen (=—). Z. B. Wenn 5 fH. Garn 3 fl. koſten, wie viel Gulden koſten 12 f5 ² Aufloͤſung. I5. fl. IB. fl. 5 3 — 12 7 2 Man ſieht, daß die unbekannte Anzahl Gul⸗ den zur rechten, die Fragzahl 12 fB. um eine Stelle weiter zur linken ſtehe; das erſte Glied 5 15 iſt mit der Fragzahl 12 I5, und das zweite Glied 3 fl. iſt mit dem vierten Glied? gleichnamig. §. 203. B. Kennzeichen. IJ. Kennzeichen der geraden Regel Detri. 1) Man ſetze die Fragzahl in Gedanken groͤßer. 2) Wenn man ſodann vorſieht, daß das vierte Glied auch groͤßer werden muͤßte . ſo gehoret das Beiſpiel zur geraden Regel Detri. 3. B. Wenn 4 Ellen 5 fl. koſten, wie viel Gulden koſten 20 Ellen? Dies Beiſpiel gehort zu der geraden Regel Detri. Ellen. fl. Ellen. 4 : 5 — 20 : à2 Wenn man anſtatt der Fragzahl 20 Ellen, 30 ſetzet, ſo ſieht man leicht, daß 30 Ellen mehr koſten wuͤrden, als 20, daher gehoret dies Beiſpiel zur geraden (einfachen) Regel Detri. . Detri. a) Man ſetze die Fragzahl in Gedanken groͤßer. b) Weil man ſodann vorſieht, daß das vierte Glied kleiner werden muͤßte, ſo gehoͤrt das Beiſpiel zur umgekehrten Regel Detri. 3. B. §5 Arbeiter verfertigen eine Arbeit in 11 Ta⸗ gen, wie viele Tage werden 3 Arbeiter brau⸗ chen, das naͤmliche Geſchaͤft zu verfertigen. Arbeiter. Tage. Arbeiter. . 5 . zI — 3 : 2 II. Kennzeichen der umgekehrten Reget ſieht heit in her ge De N — 6 dun Detti. geoher. das bete ſo ganer el Guden Detri. Clen, ehr boen eſpiel z Regel guͤtt. dos biet⸗ chitt N . 3 rI u⸗ er bral⸗ nthen. NN 161 Man ſetze anſtatt 3 Arbeiter 20 Arbeiter, ſo ſieht man leicht, daß 20 Arbeiter die naͤmliche Ar⸗ beit in wenigern Tagen fertig machen wuͤrden; da⸗ her gehoͤrt dies Beiſpiel zur umgekehrten Regel Detri. O. 204. C. Verfahren. I. Bei der geraden Regel Detri. a) Mit ganzen Zahlen. 1) Man multiplizire die zwei mittlere Glieder mit einander. S . 2) Dann dividire man das Produkt durch das erſte Glied, ſo erhaͤlt man die Antwort.⸗ Z. B. 5 15 koſten 3 fl., was koſten 12 152 Die Rechnung ſieht ſo aus: B. fl. W5. (. 5 3 — 12 2 5 36 135 1 7 – fl. Da iſt 3 mit 12 multiplizirt, und das Produkt 36 durch 5 dividirt worden. . peo) Mit Bruͤchen. 1) Wenn das erſte Glied ein Bruch iſt. a) Man multiplizire entweder das zweite oder das dritte Glied mit dem Nenner des Bruches. 2 162 b) den Nenner laſſe weg. c) Man verfahre wie im erſten Falle. 3. B. Wenn 2½ Elle 3 fl. koſtet, was koſten 40 Ellen? Elle. fl. Ellen. fl. . 3 40 2 1 6 4 0 2 Man ſieht, daß der Nenner 2 weggelaſſen, und das zweite Glied 3 mit 2 multiplizirt iſt. Daher iſt ? gleich 240 fl. 2) Wenn das zweite Glied ein Bruch iſt. a) Man multiplizire das erſte Glied mit dem Nenner. b) Man laſſe den Nenner weg. c) Sodann verfahre man wie im erſten Falle. 3. B. Wenn 3 15. Farbe 7 fl. koſten, wie viel W. kauft man von der naͤmlichen Farbe um 168 fl. Aufloͤſung . f. P. fl. 7: à — 168:2 56 : 3 = 168: 2 Man ſieht, daß der Nenner 8 weggelaſſen, und das erſte Glied 7 mit 8 multiplizirt iſt. 3) Wenn das dritte Glied ein Bruch iſt. a) Man multiplizire das erſte Glied durch den Nennner. b) Sodann laͤßt man den Nenner weg. c) Man verfaͤhrt wie im erſten Falle. 3 nich d koſten n, nnd Deen ſt dem en Fale. nietel 106 1 163 3. B. Wenn 9 Ellen 168 fl. koſten, was koſtet nach dieſem Einkauf 3 Ellen? Ellen. fl. Ellen. fl. 2 9 168— 3 : 7 2 168— 3 : 2 Antwort ?2 – 7 Gulden. 4) Wenn das erſte und zweite Glied Bruͤche ſind. a) Man muͤltiplizire den Zaͤhler des erſten Bru⸗ ches mit dem Nenner des zweiten, und den Zaͤhler des zweiten mit dem Nenner des er⸗ ſten Bruches. b) Man laſſe den Nenner weg. 3. B. 2 Ellen koſten 2 fl., wie hoch im Preis kommen 7 Ellen? Aufloͤſung. Ellen. fl. L 3: * — 27: 2 Hier iſt der Zaͤhler 18: 20 — 7: 2 3 nindenr agier — und der Zaͤhler Antwort ? = 7 ⅞ fl. zmit dem Nenner multiplizirt. 3) Wenn das erſte und dritte Glied Bruͤche ſind. a) Man multiplizire das zweite Glied mit dem Renner des erſten, und den Zaͤhler des er⸗ ſten Gliedes mit dem Nenner des dritten Gliedes. b) Man laſſe den Nenner weg. c) Man verfahre wie im erſten Falle. L 2 Aufgabe. Wenn 2 Zentner 8 fl. koſten, was koſten nach dieſem Ankauf 2 Zentner? Zentner. fl. Zentner. fl 2 . — 4 . 2 3 . 8 — 2 2 2 1r4 : 24 — 4 : 2 Antwort? — 6” fl. Erklaͤrung. Hier iſt das erſte Glied 8 mit dem Nenner 3, und der Zaͤhler des zweiten Gliedes 2, mit dem Nenner des dritten Gliedes 7 vervielfaͤltigt worden. 6) Wenn alle 3 Glieder (Saͤtze) Bruͤche ſind. a) Man vervielfaͤltigt den Zaͤhler des erſten Bruches mit dem Nenner des zweiten, und dieſes Produkt multiplizirt man noch mit dem Nenner des dritten Bruches. b) Die Nenner, mit denen man vorhin mul⸗ tipliziret hat, laſſe man weg. c) Man multiplizire das zweite Glied mit dem Renner des erſten. V d) Man efan wie im erſten Falle. 9 W. 2² Aufloſung. 3. B. Wenn PB. 4 fl. koſtet, wie kommen it 5 des d mit d tet w Wenn ſten ſind nd Venn, dene den et dor jed nnet 3, fit dem vordent. eſind. etſten a, und ch nit in mue git demn lommnen 165 Erklaͤrung. Hier iſt der Zaͤhler 2 des erſten Bruches zuerſt mit 5 multiplizirt, ſodann das Produkt 10 mit 7 des dritten Bruchs; dann iſt das zweite Glied 4 mit dem Nenner 3 des erſten Bruches multiplizi⸗ ret worden. Erſte Anmerkung. Wenn in dem erſten und zweiten, oder in dem er⸗ ſten und dritten Gliede die Nenner einander gleich ſind, ſo kann man dieſe Nenner hinweglaſſen, und ſogleich wie im erſten Falle verfahren. Zweite Anmerkung. Wenn in einem oder mehreren Gliedern gemiſchte Bruͤche ſind, ſo richtet man dieſelbe ein und be⸗ handelt ſolche, wie bisher gezeigt worden. Dritte Anmerkung. Wenn ein Glied aus Zahlen beſteht, welche verſchie⸗ dene Namen haben, ſo reſolvire man die Zahl von groͤßerem Namen, addire die Zahl von klei⸗ nerm Namen dazu, und verfahre uͤbrigens wie vorhin, ſo findet man die geſuchte Zahl, welche jedesmal die Eigenſchaft des zweiten Gliedes hat. Probe der Regel Detri. G. 205. Zur Probe, ob das gefundene vierte Glied ich⸗ tig berechnet ſey, darf man nur die Frage umkeh⸗ ren. Nemlich von denen anfaͤnglich bekannten Zah⸗ 166 len nehme man eine als unbekannte an, und ſuche jezt zu den beiden bekannten und der berechneten die vierte Proportionalzahl, ſo muß dieſe mit ihrem anfangs gegebenen Werth uͤbereinſtimmen. 3. B. 4 Zentner koſten 6 fl., was iſt der Pteis von 48 Zentner? Zentner. fl. Zentner. 4 6 — 148 ; 2 Antwort? — 72 fl. Man fand, daß man 48 Zentner fuͤr 272 fl. erhal⸗ ten, wenn 4 Zentner 6 f. koſten; zur Probe frage man alſo: Zentner. fl. Zentner. 4 8; — 72 4 * 2 4 4 8 2,88 6 fl. 2 8 8 Man ſieht alſo, daß das zweite Glied wieder zum Vorſchein kommt. Die umgekehrte Regel Detri. S. 206. a) In ganzen Zahlen. 1) Man multiplizire das erſte Glied mit dem zweiten. . 2) Das Produkt aus dem erſten und zweiten Gliede dividire man mit dem dritten Gliede, ſo erhaͤlt man das verlangte. ter ber u dd ſuche chneten t ihrem 3. B. don 9 ſ. ethal⸗ be fage der zunn mnit denn zveſten Gliede, 167 3. B. Wenn 6 Holzhauer in 5 Tagen 21 Klaf⸗ ter Holz zu Stande bringen, in wie viel Tagen werden 10 Holzhauer das nemliche Klafter⸗Meß zu Stande bringen. Holzhauer. Tag. Mann. 6 : 15 — I0O 2 6 90 9 Tagen. 9 △ b) Mit Bruͤchen. 1) Wenn ein Beiſpiel, bei welchem Bruͤche vorhanden ſind, zur umgekehrten Regel De⸗ tri gehoͤrt, ſo ſetze man das erſte Glied an den Platz des dritten, und das dritte an den Platz des erſten. 2) Man ſchaffe die Bruͤche ab, wie bei der geraden Regel Detri. 10 3) Man multiplizire die 2 mittlern Glieder mit einander, und dividire das Produkt davon durch das erſte Glied, ſo erhaͤlt man die verlangte Zahl. Aufgabe. a) Jemand bringt Garn zum Weber, und verlangt von ihm zu wiſſen, wie viel es wohl Ellen lau⸗ fen werde. Die Antwort war: 140 Ellen, wenn das Tuch ½ Elle breit werden darf. Der Eigen⸗ R 168 thuͤmer will aber 5 Breite, wie viel wird es El⸗ len abgeben? Breite. Ellen. Breite. Ellen. 1I— „ . 2 3 — 140 . 2 IL 6 35 6 —— 2 6 8 40% 10 r 840 84 Ellen. 80 4 0 4 0 b) Ein Soldat wird wegen ſchlechter Handlung ver⸗ urtheilt, durch 400 Mann 6 mal die Gaſſe zu laufen. Es koͤnnen aber wegen gewiſſen Umſtaͤn⸗ den nur 300 Mann bei der Execution erſcheinen; wie oft muß er durch dieſe Mannſchaft laufen, damit ſeine beſtimmte Strafe erfuͤllt wird? Mann. mal. Mann. mal. 400οι: — 6 300; 2 6 2400 30°2 40 3 mal. 2400 als b undl Esbe ſteine ter i 1). N 169 Die zuſammengeſezte Regel Detrt, oder Quinque. §. 207. Lehrſatz. Jede Regel Quinque kann angeſehen werden, als beſtaͤnde ſie aus zween Regel Detri Anſauͤtzen, und laͤßt ſich allemal in dieſelbige zerfaͤllen. 3. B. Es verarbeiten 6 Maurer in 5 Tagen 2800 Ziegel⸗ ſteine, wie viel ſolcher Ziegelſteine werden 10 Mau⸗ rer in 8 Tagen verarbeiten? 2) Spreche man zuerſt: 6 Maurer verarbeiten 2800⁰ Ziegelſteine, wie viel verarbeiten 10 Maurer? un Maurer. Ziegelſt. Maurer. Ziegelſt. ſe t 6 — 2800 LoO : 2 hUnſtän⸗ 1„5 heinen; —,,.——,,3 ſaufen, 6 2 80 90 ů 4666 Ziegelſteine, S 4 oder man ſezt es ſo an: —. B 4.0 28000 Ziegelſt. 360 6 4.0 . 3 6 4.0 3 6 , 2) Jezt ſpreche man: in 5 Tagen werden 2oE Ziegelſteine verarbeitet, wie viel in 8 Tagen? „k : — 28000 3⁰ 200⏑⁄0—⏑ 8 3 2 3266 7466 Tegelſteine. 1210 140 120 2 ſ△⏑◻½ 180 200% 180 2 Anmerkung. Dar man aus dem bisherigen genugſam in Stand ge⸗ ſezt worden aͤhnliche Faͤlle aufzulbſen, ſo wird es uͤberfluͤßig ſeyn, mehrere anzufuͤhren. Weil aber dergleichen Aufgaben beſonders im gemeinen Le⸗ ben ſehr haͤufig vorkommen, und die wiederholte Anwendung der Regel Detri neben der Weitlaͤu⸗ figkeit eine ziemliche Aufmerkſamkeit und Uebung erfordert, ſo hat man ſchon laͤngſt die Aufloͤſung ſolcher Fragen durch die Rechnung mit arithme⸗ tiſchen Gleichungen (Reeſiſche Regel) ſehr abge⸗ kuͤrzt, welche nun wegen ihrem ungemein großen Nutzen umſtaͤndlich abgehandelt und erklaͤrt wer⸗ den ſoll. ge man den ſee. fund e⸗ wirdes elober en Le⸗ dethole Velir⸗ Uebung ſbng tine⸗ ohge⸗ Gßen t we⸗ 171 Siebenzehnter Abſchnitt. Rechnung mit arithmetiſchen Glei⸗ chungen. Q. 208. Eine arithmetiſche Gleichung iſt ein Ausdruck, wel⸗ cher anzeigt, wie viele Einheiten eines gewiſſen Dinges eben ſo viel werth ſeyen als eine Menge von Einheiten eines andern Dinges. Z. B. 2 Pferde — 26 Karolin heißt: der Werth von Pferden iſt gleich dem Werth von 20 Ka⸗ rolin. Aus der arithmetiſchen Gleichung zweier Din⸗ ge erhaͤlt man das Verhaͤltniß ihrer Einheiten wann man die eine Zahl und ihren Namen aber zu aͤuſſe⸗ ren Gliedern einer Proportion nimmt. 3. B. 1 Pferd: 1 Karol. — 206: 2 — 13 – I Und umgekehrt: Aus dem Verhaͤltniß der Einheiten zweier Dinge bekommt man ihre arithmetiſche Gleichung, wenn man den mittlern Namen und die mittlere Zahl, alsdann den aͤußern Namen und die aͤußere Zahl 172 zuſammen nimmt. 3. B. 1 Pariſer Fuß: 1 Stutt⸗ garter Fuß = 25: 22 alſo 22 Pariſer Fuß = 25 Stuttgarter Fuß. §. 209. Die Rechnung, welche Fragen von der wieder⸗ holten Regel Detri, d. i. wenn die Regel Detri zu einem Beiſpiel mehr als einmal angewandt wer⸗ den muß, heißt: Gleichungsregel, Kettenrechnnng, (Regula multiplex), Generalſatz, Reeſiſche Regel, weil Rees ihren Gebrauch im erſten Viertel dieſes I8ten Jahrhunderts beſonders in Kaufmaͤnniſchen Rechnungen gewieſen hat *). Von der Aufloͤſung dieſer Regel. GS. 210. Dabei kommen folgende Regeln zu betrachten vor. 3 “ Dieie erſte iſt, man faͤngt bei einer Zahl an, die geſucht wird, ſezt ihren Namen auf der linken Seite hin und bemerkt den Abgang der Zahl ſelbſt durch ein * oder X, oder auch durch einen Interroga⸗ tionspunkt (?). *) Nach Hrn. K. F. Reeſens allgemeinen Regel u. ſ. w. die in Goͤttingen 1739. das erſtemal ge⸗ drukt worden, hat Hr. Colonius, Evangeliſcher Pre⸗ diger zu Gronau und Altenberg, in einem gr. Ok⸗ tavband vieles geleiſtet, und iſt fuͤr den Anfaͤnger des Studiums der Reeſiſchen Regel eines der nuͤz⸗ lichſten Buͤcher. die noch der 5 links komn das ſes d de, liche ſche rech ein het ſ ke den, Wed⸗ chen End mul Pro nem Ve Stutt⸗ 25 wieder⸗ etti t wer⸗ nung, Negel, dieſes ſchen l. kuchten h, die Eeite durch eog⸗ eel l e⸗ eltr⸗ . D⸗ finger nuy⸗ 173 Die zweite iſt, rechts gegen uͤber ſchreibe man die Fragzahl ſamt ihrer Benennung. Die dritte iſt, nun muß ſich in der Aufgabe noch eine Zahl vorfinden, die gleichen Namen mit der Fragzahl gemein hat, und dieſe ſetze man wieder links unter die erſte Anſchreibung; rechts daneben kommt jene Zahl zu ſtehen, welche den Werth oder das Maas oder irgend eine andere Benennung die⸗ ſes dritten Satzes ausdruͤcken. Die vierte iſt, ſind noch Zahlen in der Aufgabe da, ſo ſuche man wieder eine hervor, welche die nem⸗ liche Benennung wie die lezte zur rechten hat, und ſchreibe ſie mehrmals links an, ſo wie ihren Werth rechts. Zulezt wird allemal auf der rechten Seite ein Satz erſcheinen, der die nemliche Benennung hat, wie die erſte links, womit angefangen worden. Die lezte Regel iſt, nachdem der Anſatz fertig, ſo kann auf die Verkleinerung der Saͤtze geſehen wer⸗ den, durch gemeinſchaftliche Zahlen links und rechts, wobei man die verkleinerten Zahlen allemal durchſtrei⸗ chen ſoll, um keine Verwirrung zu veranlaſſen. Am Ende werden alle Zahlen jeder Seite durcheinander multiplizirt, und das Produkt zur rechten durch das Produkt zur linken dividirt. Der Quotient erhaͤlt die nemliche Benennung, wie der erſte Satz links hatte. Gehen die Zahlen alle zu beiden Seiten durch Verkleinerung auf, ſo dient die Einheit zur Ant⸗ 174 wort. Gehen ſie links alleinig auf, ſo gilt das Pro⸗ dukt zur rechten als Facit. Gehen ſie hingegen nur rechts auf, ſo iſt die Antwort ein Bruch, der zum Zaͤhler die Einheit und zum Nenner das Produkt zur linken erhaͤlt. Um dieſes deutlich zu machen, wollen wir erſt⸗ lich ein Beiſpiel in genohnlichen Zahlen zur Aufgabe angeben. G. 21I. a) Herr Chappe in Paris, Ingenieur, erfand .„) eine Korreſpondenzmaſchine, (TDelegraph) (eine der vorzuͤglichſten Erfindung neuerer Zeiten) mit welcher man im Stande iſt durch einen leichten Mechaniſmus, eine Nachricht von 80 Meilen wei⸗ ter Entfernung innerhalb 20 Minuten an den be⸗ ſtimmten Ort anzubringen. Wie viel wird nach dieſem Verſuch Zeit erfordert zu einer Entfernung von 10 Meilen?ꝰ Anſa 6. Minuten 212 Meilen. Meilen 84 70 Minuten. . . 6 4 . 6 4 “ ) 65 B) 2 4 8 Minuten. 38 4 ³) 1794. liſer guf l ſeg te m A be die ge ſche Pro⸗ en nur er zuun Pudut Ut aſ⸗ foee nd ) (eine ) wit ichten en we⸗ den be⸗ id toch erno utee 175 Erklaͤrung. Ein Vortheil, welcher die Reeſiſche Auflöoͤſung einer Aufgabe gewaͤhrt, iſt dieſer, daß wenn auf beeden Seiten (A und B) Nullen vorkommen, ſie gegeneinander ausſtreichen, doch in keiner Sei⸗ te mehr als in der andern. Man hat z. B. in A bei 80 und in B bei 10 ſolches beobachtet, und die Aufloͤſung iſt dardurch erleichtert. Das uͤbri⸗ ge Verfahren, iſt (110.) in der 5ten Regel deut⸗ lich einzuſehen. * Anmerkung. Sobald man eine Aufgabe nach Reeſiſcher Metho⸗ de aufgeloßt hat, ſo hat man eine Regel ge⸗ funden, um alle aͤhnliche Aufgaben aufzuldbſen. Man darf nemlich in der lezten Formel (80 und 10) als Einheiten betrachten, welche in jedem Fall ihr Verhaͤltniß (Werth) ausmachen. Welche Erinnerung wir hier, ein fuͤr allemal machen, und durch das obige Beiſiel erlaͤutert haben. b) Zu Sulz am Neckar (im Wirtembergiſchen) werden jaͤhrlich 300οσ0ο Simri Salz geſotten, wovon das Simri fuͤr 1 fl. 24 kr. abgegeben wird; was fuͤr eine Summe wirft hier das Salzweſen ab? Simri 1 Dukaten ? Aufloͤſung. Fuder 1. Aimer 1 Maas 5 Gulden 4 ½ 0°0οο⏑0ο% Simri. 1 5 fl. 7 60O0%0 Antw. 4200ο⏑ισ⏑ fl. * Erklaͤrung: Gemiſchte Zahlen, d. i. Ganze und Bruͤche (im obigen Beiſpiel 12) werden, nachdem ſie angeſezt ſind, in uneigentlche Bruͤche verwandelt, wobei der Zaͤhler der Bruͤche auf derſelben Seite (in A oder B) ſtehen bleiben, wo ſie ſind, die Nenner aber auf die andere Seite geſchrieben werden. 3 6) Fuͤnf Maaß Rheinwein koſten 5 fl. 6 kr. was koſten nach dieſem Preis 7¼ Fuder? Anſa tz. 7 ¼ Fuder 6 Aimer 160 Maas 5 1. Gulden 1 Dukat Antw. 16681 Dukaten. Auf⸗ heb won Re ſte he geſezt li der⸗ der ) auf die fr. nONH 177 Aufldſung: 17 I 5 3 3 —r R 3 2 N. 10 F 5 6 6 Nenner⸗ O S — 168 3 2 —.pu.— 336 504 5370 9 29 13 4.8 3 8 4 16682¾ Dukaten, 174 — 1,9 8 174 2 44 2 3 2 I 2 Erklaͤrungen. 1) Bei dieſem Beiſpiel iſt hauptſaͤchlich das Auf⸗ heben der Zahlen von der rechten Seite, gegen die von der linken nach denen (F. X10.) gegebenen Regeln nicht zu vergeſſen, weil dadurch in den mei⸗ ſten Faͤllen die Rechnung abgekuͤrzt wird. M 2) Wenn unter den gegebenen Zahlen mehrna⸗ migte (wie in der Aufgabe (0c) der Fall iſt,) oder zuſammengeſezte benannte Zahlen ſind, d. i. Kreuzer u. f. w. ſo reduzire man dieſelbe noch vor dem Anſe⸗ tzen mit dem Namen des Groͤßern: z. B. 1 fl. 24 kr. ſieht im Anſatz ſo, 12 fl. Auf die kleinſte Einheit reduzirt waͤre 12 fl. 84 kr., iſt aber nach Reeſiſcher Regel der Sache angemeſſener, wann man mehr⸗ namigte oder zuſammengeſezte benannte Zahlen in den Werth des Groͤßern reduzirt, und vermittelſt der Bruͤche an dieſelbe anhaͤngt. — Z. B. Anſtatt: 1. fl. 15 kr. 3 hlr. Wuͤrde man ſetzen 1 2 fl. 100 32 4 — — — . 3 Centner 7 5. 5 Loth 1 Quintl. Sieht im Anſatz ſo aus: 3 156 327 4¾ Centn. 10 Ellen 3 Viertel 6. tel. Sezt man 43 . Ellen. Anmerkung: Wer freilich die Behandlungsart der Bruͤche nicht verſteht, thut beſſer, er reduzire die gegebene mehrnamigte oder zuſammengeſezte Zahlen auf die kleinſte Einheit hinaus. In allen zwei Faͤl⸗ len kann man die Sache nach Belieben anſe⸗ tzen, welches wir dem Leſer uͤberlaſſen. 47 heng: oder teuzet uſe⸗ 2Ar. Eiſett eſſcſer melti len in Bttelt entn. d) Ein Loth Farbentuſche koſtet 9 kr. 4 hlr.; wie kauft man nach dieſem Kauf 5 . 18 Loth 2 Quintlen? Anſatz. fl. 2 5 † 1 4 15. b. 1 32 Loth Loth 1 1 kr. kr. 60 1 fl. Antw. 28 2065 Gulden. Aufloͤſung. r. 18 32 5 S 16 2 T1I 272 17 8 ½ 1 1 1 19 4 2 2 13 240 1 357 6.7 8 3] 2 8 23; fl. 4 80 1983 1920 1 . — 63 e) Nach des Wirtembergiſchen Hrn. Geheimen Rath Moͤglings technologiſchen Verſuch und Vervoll⸗ M 2 180 kommung der Saile, vermittelſt einer ganz neuen Fahrikation; der ſich darauf gruͤndet, daß die FaͤÜ⸗ den nicht wie gewoͤhnlich gedreht und uͤbereinander gewunden, ſondern gerade und parallel laufend · mit einander verbunden werden: hat man ge⸗ funden, daß jeder einzelne Faden 3 ¼ ſ5 Laſt traͤgt; wie viel Pfund tragen nach dieſem Verſuch 715 Faͤden? Aufloͤſung: 15. 2 715 Faden Faden 1 2 P. 2 7 2 5905 250 2 2½ W. 4 oder 25 Centn. u. 2 ¼ 5. 10 1 0 f) Aus einem Herrſchaftl. Holzgarten hat man 34. .V Meß 3 ¼ Viertel Buchen, und 59 Meß 1 ½¼ Viertel Tannenholz gekauft, von erſterer Gattung war der 8 Preis fuͤr 1 Meß (Klafter) 11 fl. 50 kr., von der 2ten Gattung 7 fl. 32 kr. Was betraͤgt der Holzkauf ² nelen Fi⸗ I. Beiſpiel. ander fl. 2 3 a — Me „ fend 2 5 Buchen. 2 5„ nge M. 1 1. I. 3) 69 tragt, 5 2 3 2 2 3 21 3 1 42 4 16 S 46Sa f. von niſchenen. 33 3 2 1I . II. Beiſviel. fl. 59 3 . Meß 47 5 9 5 Meß x z. fl. 15 II 3 3 — 22 339 1017 24 10509 471 fl. von Tanmenem. 18.8 131 13˙8 atek der 29 der . 182 2) Ein Wuͤrtembergiſcher Secunde⸗Lieutenant be⸗ kommt alle Monat aus der Kriegskaſſe 24 fl., wie hoch dient ſich derſelbe in 1 FJahr? Anſatz nebſt der A ä/1b ſung. fl. 2 Wochen Tage 5½ 5 7 5 2 wochen 26 Tage. 2 12 1 2 6 726 2 42 3146 2 2.2 02 2 293 4 ¼ fl. Die Sprechform bei dieſem Beiſpiel war dieſe: man hat gefragt: wie viel Gulden bekommt der Lieu⸗ tenant in 52 Wochen, wenn 1 Woche, 7 Tage und in 30 Tagen er 241½ fl. bekommt. 150 = 7.0 2 6 7.5 2 7.2 2 2 5 Q 1833 t be⸗ h) Jemand kemertt genau an ſeiner Taſchenuhr, daß 1 ſe, ſie taͤglich um *† Stund zu fruͤh gehe; wie lange wuͤrde dieſe HW brauchen , bis ſie ungeahndet ih⸗ ren Fehler wieder gut machte? Tage 2 1 2 Stunden. Stunden 2. I Tag. N 2 4 2 4 4 8 2 4 7 [288 41¼ Tag 128 9) Zu Neumarket (in England) brauchte einſt 1 Pferd im Wettrennen zu 4 engliſchen Melen 8 Minuten; wie lange wuͤrde ein ſolches Pferd zu einer deut⸗ ſchen Meile gebraucht haben, da 16 engliſche Mei⸗ len 5 deutſche ausmachen? Minuten 2 1 d. Meile. d. Meilen 5 Y 6 e. Meilen. e. Meilen 8 Minuten. 4 eſe 5 3 2 6%¾ Minutẽé. el⸗ 301 und . R 184 k) Der kleine Friz kauft von einem Vogelhaͤndler in m) einem Tragkaͤfig 30 Kanarieuvoͤgel, je halb 2 um 4 46 kr. 3 hlr. und halb 3 mn 1 fl. 10 kr., was be⸗ ne traͤgt dieſer VBoͤgelkauf? den Aufloſung. ber a . b unn f.² 15 K. B. fl. 2 15 Kan. V. K. V. 2 46 ¾ kr. K. V. 3 1 fl. Fr. 60 T fl. 5. — . I Antwort e fl. a) Antwort 3 ¾ fl. Antwort o. 18 kr. 4. hl. 1) Von einem Auktor geben 2 ½ Bogen Manuſcript allemal 1½ Bogen Druck; wie viel muß derſelbe Boͤgen Manzſcript haben, um 1 Werkchen von 16 ½¾ Boͤgen zu liefern? “ Aufloͤſung. 2. 3 3 . * 2 - . . M. B 1 6 B. D 3 2 r D. B. 15 2– Manuſe. 9 9 . 2 4 9 32 8 9 1 272¾ Bogen. 9) 2 3 64¼ 4 251 8 2 2.4 = 2 7 185 der in m) Die Bleiſtiftfabrike zu Erdberg, liefert jaͤhrlich 2 un 424000 Dutzend verſchiedener Arten Bleiſtifte, go be⸗ welche beim Verkauf mit 34586 fl. bezahlt wer⸗ den; was betrug dieſer Handlungszweig ſeit den verfloſſenen 20 Jahren an Dukaten, (à 4 fl. 45 kr.) und wie hoch kommt ein Bleiſtift? n.V. . D. 2 34586 fl. fl. 4 ½ r D. Arntwort 7281 Dukaten. tipt ſebe b bn kr. 2 I Bleiſtift. Blſt. 424000 72871 „ Dukaten. Dukaten 1 4 3 fl. 1 60 kr. Antwort 2 kr. u. beinahe 2 hl. . n) Ein Kapitaliſt ohne Erben wurde einſt von irgend er. einem Nativitaͤtſteller (Chiromanten) verſichert, daß er noch 11 Jahre 11 Wochen leben werde. Er kuͤndete daher ſeine Kapitalien von 38500 fl. auf, und beſchloß, daſſelbe waͤhrend dieſer Zeit rein aufzuzehren; es fragt ſich nun, was taͤglich zu verzehren trifft? fl. 2 1 Tag. Tage 3 65 1 Jahr. Jahre 11 pv½ 38500 fl. Antwort 9 fl. 2 6 =, kr. 0) Wie viel Stuttgarter Gulden wird man fuͤr 3 Stuttgarter Centner von einer gewiſſen Waare be⸗ zahlen muͤſſen, wann 7 Amſterdamer 5 14 hol⸗ laͤndiſche Gulden koſten, und 97 Amſterdamer b machen 102 Stuttgarter, ferner 1 hollaͤndiſcher Gulden gilt 54 kr.? Stuttg. fl. 2 3 Stuttg. Centner. St. Centner 1 100 5. St. 5. 102 9 7 Amſt. [5. Amſt. b. 7 14 holl. fl. holl. fl. T 54 kr. kr. 60 X fl. Antwort 5 13 Stuttg. fl. und 32 kr. p) Wie viel Boͤgen Papier muß man vor 5 Feder⸗ kiel geben, wenn das Dutzend Kiel 12 kr. und 1 Buch Papier 7 kr. koſtet? Boͤgen 2 5 Kiele. Kiele 12 1 Dutzend. Dutzend XI 12 kr. kr. 7 1 Buch. Buch 1 2 4 Boͤgen. Antw. 17 Boͤgen. en flt 3 gacre be⸗ 14 ſol danter ſ andiche 5 2 1. Feder⸗ 1B 187 4) Was betraͤgt der Zehend an Gulden, von 15 Mor⸗ gen Ackerfeld, wann 1 Morgen 80 Garben liefert, und 9 Garben 1 Scheffel geben, und 1 Scheffel Dinkel 5 fl. 30 kr. koſtet? fl. ?2 1S Morgen. Morgen 1 8 Garben. Garben 10 1 Garbe Zehend. Garben 9 Scheffel. Scheffel 5 ½ fl. Antwort 6 6 ¾ ſi r) Wie viel Laib Brod geben 87 Scheffel Dinkel, wann 1 Scheffel Dinkel 3 Simri Vierling Ker⸗ nen gibt, 1 Simri Kernen 1½ Simri Mehl, und 1 Vierling Mehl 1 Laib Brod gibt? Lailb 2 Z ½ Scheffel. Scheffel 3 1 Simri. Simri 1 1½¼ Simri. Simri 1 4 Vierling. Vierling 1 1 Laib. Antwort 6 5 Laib Brod. ⁸) Eine Frau bringt einem Weber 40 5 Garn, und fragt, wie viel Ellen das 15 wohl geben koͤnne? der Weber ſagt: das ſ5 gibt 23 Ellen zu 11 Ellen breites Tuch; die Frau will aber ihr Tuch 2 Ellen breit haben; fragt ſichs: wie viel Ellen es nach An⸗ gabe der Frau gebe? Aufloſung. Ellen 2 46 . IB. TI 2 ½ Ellen. Ellen 2 1. Elle. 1 6 2 3 5 4 II 3 3 5 2 ſ165 82 ¾ Ellen. 16 c 0°) Ein Muͤller bekommt zu ſeinem Lohn von dem was er mahlt: wann nun einer 6 ¼ Scheffel mah⸗ len laͤßt, und dem Muͤller ſeinen Theil abkaufen will, und zwar dem Scheffel nach zu 5½ fl., wie viel muß er dem Muͤller bezahlen? fl. 2 6 ¼ Scheffel. Scheffel 16 1 Scheffel. Scheffel 1 5 ½ 3₰ Antwort 2 fl. 10 kr. u) Eine Herrſchaft nimmt einen Bedienten 1 Jahr in ihre Dienſte an, und verſpricht ihme eine ge⸗ — Drtm man 50 fl Antn ſoble ten e D de Gln den felnat⸗ hbkanfen , 0 1 N eine ge 189 wiſſe Anzahl Gulden nebſt einem Kleide von 30 fl. am Werth. Nach Verfluß von 27 Wochen be kommt der Bediente (wegen uͤberwieſener ſchlech⸗ ter Handlung) ſeinen Abſchied, und erhaͤlt nebſt dem Kleide noch von Geld 20 fl. Was iſt dem⸗ nach dem Bedienten an baarem Gelde verſprochen worden? , Aufloͤſung. fl. 2 5 2 Wochen. W. 27 50 fl. 227 2 600 2 4 3 17.0 xX 6 2 — 8 96 . fl. Bei dieſem Beiſpiel ſieht man, daß der Bediente in 27 Wochen das Kleid und 20 fl. erhalten, ad⸗ dirt man dieſes zuſammen, ſo machts Z0 fl.; jezt fragt man beim Anſetzen, in 27 Wochen hat der Bediente 50 fl. verdient, was bekommt er in 52 Wochen 2 Antwort: 96 3, fl. zieht man 30 fl. von 96 2, fl. ab, ſo bleiben noch 68 3, fl. und ſo viel iſt dem Bedien⸗ ten jaͤhrlich verſprochen worden. v) Ein 360 Schuh langer Seidenfaden, ſo wie ihn der Wurm ſpinnt, wiegt (nach Sturms Betrachtungen der Werke Gottes ꝛc.) den 12ten Theil eines Quint⸗ 190 chens; wie groß wuͤrde das Gewicht eines ſolchen Seidenfadens ſeyn, der bis an den Mond hinauf⸗ reichte, wenn wir ſeinen mittlern Abſtand zu 30 ganzen Erddurchmeſſern, oder was eins iſt, zu 1238400000 Schuhen annehmen. Auflodſung. IB. 2 1I238400000 Schuh Schuh 360 Quint. Quintl. 4 1 Loth Loth 32 1I 5. Antw. 2239 f5. oder 22 Zentner 39 IB. 18 Loth 2 Quintlen. W) Ein Eilbotte macht eine Reiſe von 24 Tagen, und hinterlegt jeden Tag 8 ½¼ Meilen; wie viel ver⸗ dient er ſich, da er fuͤr die Meile 15 kr. zum Lohn erhaͤlt, und was bleibt ihm, wenn er jeden Tag 34 kr. verzehrt? I. fl. 2? 274 Tage . T — 2 Tag 1 ⁸ 5 Meile 12 Meile 1 1y kr. kr. ℳ0 1 fl. 3 E 4 Antw. 51 fl. Noch Af jeden 151 n gen chuh len. Hhielber⸗ Uin An den Lu 191 II. fl. ? 24 Tage T. I 34 kr. kr. 60 1 fl. 4 3 6 1 3f. △ 65 3 6 . — fl. kr. 51 — Verdienſt 13 36 Nach Abzug 37 fl. 24 kr. bleibt ihme noch uͤbrig. C. 213. Probe bei der Reeſiſchen Regel. Im Beiſpiel (w) wurde gefunden, daß der Botte 51 fl. in 24 Tagen Verdienſt bekommt, wenn er jeden Tag 8 ¼ Meilen zuruͤklegt, und fuͤr 1 Meile 15 kr. erhaͤlt. 1) Um nun zu verſuchen ob die 51 fl. richtig ſeyen, frage man alſo: Wie viel bekommt er von einer Meile, wenn er in einem Tag 81 Meile zuruͤcklegt, und in 24 Ta⸗ gen 51 fl. bekommt? „ . Aufloͤſung. kr. I Meile Meile 34 1 Tag Tage 2½ 5tr fl. fl. 1 gy kr. 17 2 5 12 . 2ſa 2,5 5 15 Kreuzer. erg 2) Uebrigens kann man ſich mit Vortheil auch der ſogenannten aufgehenden Probe bedienen. Es wird nemlich anſtatt (?) die gefundene Zahl geſezt, ſo muͤſſen ſich die Zahlen der einen Seite gegen die auf der andern aufheben, oder welches ei⸗ nerlei iſt, das Produkt der Zahlen von der einen Seite gleich ſeyn. Z. B. in der Aufgabe (§F. 211. a) wurde gefunden 8 ½ Minuten, ſezt man nun Min. 5 6. 19 Meilen M. 8 79S Minuten 79 £ 19 ſo wird man beiderſeits eine Einheit erhalten, wenn man ſo lang aufhebt als es angeht. Acht⸗ muß dem Produkt der Zahlen von der andern Seite Ge⸗ llir gthort Zahl in ei gen Jahl halte dieſel les ſi tman: zen, ſucht ren fler. ch dee . efundene hen te elchtst⸗ enete n Sete AII. 9) n 4 wenn ch⸗ 193 Achtzehnter Abſchnitt. Von der Geſellſchaftsrechnung. D. 214. Unter die nuͤzlichſte Anwendung der Regel Detri gehoͤrt auch die Geſellſchaftsrechnung „wodurch eine Zahl in eine verlangte Zahl Theile getheilt wird, die ein gewiſſes Verhaͤltniß untereinander haben. §. 215. Wenn dieſes Verhaͤltniß durch gewiſſe gegebene Zahlen beſtimmt wird, die ſich untereinander ver⸗ halten, wie die zu findenden Theile: ſo zaͤhlt man dieſelben zuſammen, um zu ſehen, was fuͤr ein Gan⸗ zes ſie mikteinander ausmachen. Hernach ſchließt man: wie dieſes Ganze zu dem zu theilenden Gan⸗ zen, ſo jede der gegebenen Zahlen zu einem der ge⸗ ſuchten Theile, deren jeden man durch eine beſonde⸗ ren Reeſiſchen Anſatz findet. Eintheilung. S. 217. Die Geſellſchaftsrechnung theilt ſich ab in die einfache, und in die zuſammengeſezte. Einfach iſt 194 ſie, wenn neben den zum Grund gelegten Zahlen wei⸗ ters keine andere Umſtaͤnde vorkommen, worauf bei der Theilung geſehen werden muß; zuſammengeſezt, wenn nebenher noch dergleichen Beſtimmungen Plaz greiffen. I. Beiſpiel von der Einſachen. 12) 1000 fl. ſollen in 4 Theile getheilt werden, die ſich untereinander verhalten, wie die Zahlen 4, 5, 7, 9. Man zaͤhlet dieſe zuſammen, wor⸗ aus 25 entſtehen. Hernach hat man zu Fin⸗ dung der vier Theile folgende Saͤtze zu vier⸗ maliger Wiederholung des Reeſiſchen Anſatzes noͤthig. Zur erſten: 25, 1000,4, zur zweiten 25, 1000, 5, zur dritten 25, 1000, 7, und zur vierten 25, 1000,9. Man findet die Theile 160, 200, 280, 360 Thlr. 2) Es haben ihrer 3 eine Kompagnie errichtet, da⸗ zu hat Juſt gelegt 1000 fl., Auguſt 1200 fl., Clemens 1500 fl., gewinnen in kurzer Zeit 277 ½ fl.; wie muß ihr Gewinn rechtmaͤßig ge⸗ theilt werden? Aufldſung. JJuſt ⸗ 1000 2 Auguſt 1200 fl. 2 3700 fl. Clemens 1500 fl. 277 4 1000 fl. Summe 3700 Antw. 75 fl. Juſt. ſr ten un gus ein 2 ſf d. . ine Re en wer⸗ guf bei ngeſezt, en Plaz en, die Zohlen , mr Fin⸗ vſer⸗ nſaßes wweſten od zu Tee t, dl⸗ 00 fl., t Nn oe 195 b CC fl. 2 3700 fl. fl. 2 3700 fl. fl. 277 ½ 1200 fl. fl. 277 ½ 1500 fl. Antw. 9o fl. Auguſt. Antw. 112 ½ fl. Cle⸗ mens. Prrobe. 75 Juſt. 90°% Auguſt. 112 Clemens. 2 77½ fl. Zur Probe kann man die gefundenen Theile addi⸗ ren und ſehen, ob die zu theilende Zahl herauskomme. Doch koͤnnte es geſchehen, daß das Ganze her⸗ auskaͤme und doch in den Theilen gefehlt waͤre, z. B. ein Theil waͤre um 2 zu groß, ein anderer aber um 2 zu klein gefunden worden, welcher Fall aber aͤuſ⸗ ſerſt ſelten iſt. Beweis. Eigentlich ſollte man nach der Regel Detri ſchließen: Theile Theilen 3700 : TOO = 277 2 : X Alſo iſt X = 1000. 277 F 3700 d. i. die zu theilende Zahl mit der Verhaͤltnißzahl eines Theils multiplizirt und durch die Summe der Verhaͤltnißzahlen aller Theile dividirt, gibt den Theil. N 2 196 3) Drei Seminariſten miethen ſich ein Zimmer, wo⸗ fuͤr ſie im voraus ſogleich 36 fl. bezahlen. K.... ſtiftet auf , S.... auf 15, L..... auf 24 Wochen; wie viel muß jeder zum Hauszins beitragen? 9 fl. 2 9 Wochen 15 Wochen 8 36 fl. 2 4 8 6 4,8 Wochen 4 13 — 27 6 ¾ fl. K.. . 2 4 3 — fl. 2 1IS5 W. fl. 2 24 W W. 49 2 fl. W. 483 26 fl. S 6 8 6 2 2 — 4 5 II fl. S... 18 fl. L.. —— Probe. Gulden Kr. 6 45 18 — 4) A B und C finden beim Jahrſchluße, daß ſie in ih⸗ rer gemeinſchaftlichen Handlung um 1600 Thlr. zuruͤlgekommen ſind, und wollen den Verluſt nach Verhaͤltniß derer Kapitalien, die jeder in — „2„ = tel 12 197 , m⸗ der Handlung hat, theilen. A hat 12640 Rthlr., i B 10500, C 3260; wie viel buͤßt jeder ein? chen; Antw. A 766 2, Rthlr. Einbuß. C 1972 — — 5) 24 Loth Arzenei haben fuͤnferlei Zuthaten, nem⸗ lich 2 Loth A, 7 Loth B, 5 Loth C, 6 Loth D und 4 Loth E. Wenn nun davon 16 f gemacht werden K. ſollen, wie viel wird von jeder Zuthat erfordert? Aufloͤſung. 7 B Loth 2 ½ 16 . 56 D % 4 1 ½ P. 102 Loth A. 4 E 3 3 D 24 Loth — l, . Nach dieſem Anſatz werden die uͤbrigen Zutha⸗ ten B C D E gleichfalls behandelt, und kommen fuͤr B 4 5 21r½ Loth, C 3 I5 r02¾ Loth, D 4 F, und fuͤr . E 2 I5 21 ½ Loth. 65 . Probe. 14 Pfund Loth — . T 10 5 — 4 21 4 3 10 ¾ pinig⸗ 4 — D. 2 21 beltſ 16 fſb. dieſe Bruchslothe machen det in 4 Ganze. Pir r Hlr= èl 6) Im gegenwaͤrtigen Franzoſenkrieg, mußte ein Doͤrfchen (am Murgfluß, an den Grenzen Wirtembergs) von 10 Bauren 1000 fl. an baa⸗ rem Geld, 78 Scheffel Haber, und 390 Zent⸗ ner Heu geben; was trift jedem Bauren, da A – Hof, B C und D jeder 1 ganzen Hof, E und F jeder à Hof, G, H und I endlich jeder 1½ Hof ſtark iſt Aufloſung in Ruͤckſicht des Gelds. I. II. fl. 2 1¼ Hof fl. ? 1I H. H. 7 ½ 1000 fl. H. 7 ½ 1000 fl. Antw. 200 fl. A. Antw. 199 ½ fl. jeder von B Cu. D. III. fl. 2 Hof. H. 7 ½ 1000 fl. Antw. 100 fl. jeder von E und F. IV. Hof. . fl. 2 1. Hof. H. 7 ½ 1000 fl. Antw. 66 ¾ fl. jeder von G H und I. Aufloͤſung in Ruͤckſicht des Habers. „ Schfl. 2 1 ½ H. H. 7 ½ 78 Schfl. Antw. 15 ¾ Schfl. Schfl jeden von ißte ſii Grenzen .an bag⸗ 3 Zent⸗ huten, N gen he,, dlchzede 9Cnh. 15 F. End. . 199 Schfl. Hof Schfl. Hof H. 7 ½ 178 Schfl. H. 7 ½ 178 Schfl. Antw. 5 1 Schfl. Antw. 2 ¾ Schfl. 4) Schfl. 1 Hof H. 7 ½ 78 Schfl. Antw. 5 ¼ Schfl. In Ruͤckſicht des Heues trifts A 74 Centner, jeder von G H und I 24 ½ Zentner, und jeder von E und F 37 Zenller, jeder von B C und D 49 ½ Zentner. 7) Andreas und Gottlob treiben einen Schaaf⸗ handel, und waren zur Zeit einer Raude dabei ſo ungluͤklich, daß ſie zu ihren Einlaggeldern, wel⸗ che in 345 fl. und 500 fl. beſtanden, noch 273 fl. zuſetzen, und dann zu handeln aufhoͤren mußten; was trifts jedem von dieſer erlittenen Einbuße? Aufloͤſung. Einleggelder. fl. 2 509 fr 5 °9 8 5 4 fl. Antw. S i fl. Gottlob. fl. 2 345 fl. fl. 854 273 fl. Antw. 110 S1 fl. Andreas. J. 2109. Wenn das Verhaͤltniß eines jeden Theils zu dem naͤchſtfolgenden beſonders beſtimmt wird, z. B. wenn der erſte ſich zum zweiten wie 7 zu 3, dieſer ſich zum dritten wie 5 zu 2, und dieſer ſich zum vierten wie 3 zu 1, u. ſ. w. verhalten ſoll: ſo ver⸗ vielfaͤltigt man die beiden Glieder des erſten Ver⸗ haͤltniſſes mit dem erſten Gliede des zweiten, und die leztere Glieder beider Verhaͤltniße mit einander. Die hierdurch entſtandene Zahlen vervielfaͤltigt man, wenn mehrere Verhaͤltniße gegeben ſind, mit dem erſten Gliede des folgenden, und die lezte dieſer Zahlen mit ſeinem lezten Gliede, auf welche Art man beſtaͤndig fortfaͤhrt, wenn der Verhaͤltniße meh⸗ rere ſind. Hierdurch erhaͤlt man ſo viele Zahlen als Theile ſind, und zwar ſolche, wodurch das Verhaͤltniß der⸗ ſelben wie vorhin, einfach beſtimmt wird; daher man auch alsdann eben ſo verfahren kann. Wir wollen folgendes als einen Beweis annehmen. Wenn die obige Verhaͤltniße gelten ſollen, wuͤr⸗ de man ſie auf folgende Art behandeln: 7 3 5 2 35 15 6 Verhaͤltniß der Theile 135 45 der ftl nihtf tman gebrie fehl glof leege auf M. nat. Gen die ewe n Uet heils zu ,z. B. 3, dieſet ſch zun ſ ver⸗ en Ver⸗ und die det. Die t man, jit dem dieſer e Art e meh⸗ 201 Man ſieht leicht, daß ſich jede dieſer Zahlen zu der folgenden ſo verhaͤlt, wie jeder Theil ſich zum naͤchſtfolgenden verhalten ſollte. Da ſie ſich aber alle mit 3 theilen laſſen, kann man auch an ihrer Stelle die Antheile 45, 15, 6, 2, gebrauchen. 8. 220. II. Von der zuſammengeſezten Geſelſchaſts⸗ rechnung. Aufgabe. . 8) A und B treten in Geſellſchaft, A legte 920 fl. auf 3 Monat, und B 600 fl. auf 4 Monat. Sie gewinnen 340 fl., was trifts jedem? Aufloͤſung. Setzen wir, ihre Einlaggelder waͤren gleich, un⸗ fehlbar muͤßten dann die Antheile des Gewinns ſo ausfallen wie die Zeiten, in welchen ſie das Geld liegen gelaſſen, denn haͤtten beide ihre Einlaggelder auf Intereſſen gelegt, ſo wuͤrde der ꝛte ſicher in 4 Monat mehr Intereſſe ziehen als der erſte in 3 Mo⸗ nat. Es iſt daher billig, daß dieſer leztere auch mehr Gewinn begehrt, als der erſte, gerade ſo, als wenn die Zeiten gleich, aber deſſen Leggeld einmal ſtaͤrker geweſen waͤre. Dieß wirft aber die Rechnung nur dann aus, wenn man das Einlaggeld eines jeden zuerſt mit der Zeit multipliziret, und dann die Pro⸗ dukte als in eine Summe bringt. — 202 pagniſten genau nach Zeit und Einlaggeld zugleich. Anſicht des gegebenen Beiſpiels. nat) multiplizirt, gibt zum Produkt 2760. B 600 fl. mit 4 (Monat) multiplizirt, kommt zum Produkt 2400⁰. Die Rechnung abzukuͤrzen, kann man dieſe Pro⸗ dukte auf folgende Art verkleinern: 3 3. B. 27 0 ο 9 24000°50°8 1 7 Operation: fl. 2 9 fl. 2 8 17 340 fl. 17 340⁰ Antw. 180 fl. A Antw. 160 fl. B Probe: Gewinn von A 180 fl. — — B 16090 fl. Hauptgewinn 3 40 fl. 9) Es mietheten 4 Schaafhalter eine Waide fuͤr ihre Schaafe um 250 fl. Der erſte trieb 20 Stuͤck 9 Wochen darauf, der zweite 32 Stuͤck 12 Auf dieſe Art richten ſich die Antheile der Kom⸗ Das Einleggeld A 920 fl. mit der Zahl 3 (Mo⸗ Wochen, der dritte 48 Stuͤck 16 Wochen, der et Kott⸗ zuglech. ls. 3(M. 20 Hof. —2 Ptodekt 180 384 ſſechr⸗ 768 1536 2868 Stuͤck. fl. 2 St. 2868 Antwort fl. 2 St. 2868 3 Antwort fl. 2 St. 2868 Antwort d. 2 ck 12 Antwort 1, det 203 vierte 64 Stuͤck 24 Wochen; wie viel muß jeder zum Beſtand beitragen? Operation: 32 48 64 12 16 24 64 288 256 32 48 128 384 768 1536 180 Stuͤck. 250 fl. 15 fl. 41 ½ kr. der Erſte. 384 Stuͤck. 250 fl. 33 fl. 28 3,35 kr. der Zweite. 768 Stuͤck. 250 fl. 66 fl. 56 75 kr. der Dritte. 239 1536 Stuͤck. 250 fl. 133 fl. 53 ½ kr. der Vierte. Probe. fl. kr. I. I 5 4 1 3 II. 3 3 2 8 8- III. 66 56 236 IV. 13 3 53 275 2 5 fl. — 47 2 kr. 23 9 47 8 △ 10) Ein Partheigaͤnger, ein Unterofficier, ein Huſar und ein Bauer haben zuſammen 1810 Rthlr. erbeu⸗ tet, und verglichen ſich, daß, ſo oft der Partheigaͤn⸗ ger 10 erhaͤlt, ein Unteroffizier 8, der Huſar 6, der Bauer 3 haben ſoll. Wie viel erhaͤlt jeder? . Aufloͤſung. ◻ R ι° — — 27 Theile, haben nach Verhaͤltniß an 1810 = Rthlr., wie 10, 9, 6, 3. Rthlr. 2 10 27 1810 Rthlr. Antwort 67012⁹ Rthlr. der Partheigaͤnger. 205 Rthlr. 2 8 27 1810 Rthlr. Antwort 536 ½, Rthlr. der Unteroffizier. Rthlr. ?2 6 27 1810 Rthlr. Antwort 4012 Rthlr. der Huſar. Rthlr. 2 3 27 1810 Rthlr. Antwort 201 ⅞ Rthlr. der Bauer. hrr Probe. erber⸗ 670 2 Rthlr. der P. egir⸗ 5 36 W ⸗- — u. lſer , 40°1 23 – — H. der? 200 T 7 — — B. kommen 1810 (2 ganze Rthlr., dieſe zu jenen addirt. 1II) Fuͤnf Bauren haueten gemeinſchaftlich ein un⸗ wachsſames Bezirk Wald von 18 Morgen aus. “ aa..,. B und 0 gaben jeder 4 Taͤgloͤhner auf 7 Wo⸗ chen zu dieſem Geſchaͤft her; D und h aber jeder 3 Taglohner, welche 11 Wochen lang arbeiteten. Nun wollen ſie ſelbiges unter ſich theilen, wie viel darf jedem nach Recht und Billigkeit zuge⸗ e. ſprochen werden? Aufldſung: 7 11 4 — 2 8 , 8 3 28 Mrg. 2 28 Wochen. 28 W. yg 1YS8 Morgen. 28 75 9 33 251 3 33 — ⁸ 4 3222 Morgen, jeder 51 von A, B und C. 750 Wochen. Mrg. 2] 33 Wochen. W. Xyg 18 Morgen. 50 6 98 3 4⅝ Morgen, jede 150 von D und E. 12) Es hinterlaͤßt jemand bei ſeinem Abſterben ein Vermoͤgen von 8802 Reichsthaler, welches vermoͤg Teſtaments unter A B C getheilt wer⸗ den ſoll, daß ſich die Theile verhalten wie die Zahlen , und . Wie viel bekommt jeder? 12 5 * — P +r b ◻ O welche nuſn di = = en, jeder Bundl. ,jene uh. ſerten belches ſt en nrie N D “ 207 Aus der zu theilenden Zahl 9 und den Zahlen welche das Verhaͤltniß der Theile anzeigen, wird nun die Gröͤße eines jeden Theils alſo berechnet. R. 2 822 Rthlr. A. 9 3 3 2934 R. 2 § % 2% 2 9 2 3 2934 2 3 5 6 195 6 Rthlr. B. 3 *— 2 8 2 7 . 16 15 . — 1 8⁸ 18 R. 2 8802 9 4 3 2934 — – 3 1886. 36 2 Rthlr. C. 22 1 8 Probe. 1 S B I9 5 6 3 C 3912 6 §80/2α Rthlr. 6 Keunzehnter Abſchnitt. Alligationsregel oder Verbindungs⸗ rechnung. §. 221. Wenn mehrere Dinge ſo gemiſcht werden ſollen, daß eine gegebene Menge herauskomme, in wel⸗ cher die gemiſchten Dinge ein verlangtes Verhaͤltniß haben, ſo lehrt die Vermiſchungsrechnung die Men⸗ ge finden, welche von jedem Dinge genommen wer⸗ den muß. 3. B. Man ſoll 50 †5 Metall aus Kupfer und Silber zuſammen ſchmelzen, die Menge des darinn befindlichen Kupfers aber ſoll ſich zur Menge Silber wie 3: 5 verhalten. Wie viel braucht man Kupfer und Silber? D. 222. Mittlerer Werth oder Gehalt. Wenn von einerlei Dinge mehrere Sorten von verſchiedenen Preiſen (oder Gehalt) miteinander vermiſcht werden, ſo muß ein gewiſſer Theil von Gemiſch weniger werth (oder geringhaltiger) ſeyn, als ein eben ſo großer Theil von der beſſern Sorte; Gorke ſepnt, ten Go D miſche Mlitel einer e von d man d miſche ten W von der Maß werch Pei Ne und Ger gene und der unge⸗ ſolen, 1 wel⸗ iltnis „Men⸗ en wer⸗ fer uid dorinn Silber upſer lt en o ander l won⸗ ) ſeyn, beſſenn dtte; 209 Sorte; hingegen werth (oder p von beßern Gehalt) ſeyn, als ein eben ſo großer Theil von der ſchlech⸗ ten Sorte. Demnach muß eine gewiße Menge von Ge⸗ miſch einen Werth (oder Gehalt) haben, der ein Mittel haͤlt zwiſchen dem Werth (oder Gehalt) einer eben ſo großen Menge von der beſten und von der ſchlechteſten Sorte, und dieſen nennt man den mittlern Werth (oder Gehalt) des Ge⸗ miſches, z. B. Es miſcht jemand zweierlei Sor⸗ ten Weins, von der erſten koſtet die Maaß 12 kr., von der andern 10 kr., ſo wird vom Gemiſche eine Maaß weniger als 12 kr. und mehr als 10 kr. werth ſeyn. Aus den Preiſen und Menge der Mixtorum den Preis des Mixti. §. 223: Erſte Aufgabe. Man gibt die Preiſe (oder den Gehalt) und die Menge der zu einem Gemiſch genommenen Sorte, und verlangt den mittleren Preis (oder Gehalt) des Gemiſches zu wiſſen. Aufloͤſung. Man addire die von den verſchiedenen Sorten genommene Menge oder ihre Preiſe (oder Gehalt) und dividire die Summe der Preiſe durch die Summe der Mengen. Beiſpiel. a) Ein Weinhaͤndler miſcht dreierlei Sorten Wein. 1 Aimer von A koſtet 80 fl., von B 72 fl., und von C 95 fl. Nun nimmt er von A 4 Aimer, von B 6 Ai⸗ mer und von C 10 Aimer. Wie viel iſt 1 Aimer des Gemiſches werth? 4 Aimer fl. fl. von A 4 — à 80° thut 320 — B 6 — à 72 ⸗ 432 — C r1o — à 905 ⸗ 950 20 1792 893 fl. 16 G 02 180 1 2 BB Alſo 1 Aimer vom Gemiſch koſtet — 89 fl. b) Es ſollen dreierlei Sorten Metall A B 0 zu⸗ ſammen geſchmolzen werden, jede Sorte beſteht aus Silber und Kupfer, und zwar enthalten 16 Loth oder eine Mark von A, 15 Loth fein Silber, von B 5 Loth, von C 9 Loth. Wie viel Loth fein Silber werden auſſer dem Kupfer in einer Mark des gemiſchten Metalls ſtecken, wenn man von à 9 Mark, von B 20 Mark, und von C 30 Mark nimmt? . 0 30 99 luth 9)W Mei ſind S= 111II1E E — 1 Weir. und von 3 6 % verth! 3 f. 0 N beſceh⸗ Itfilt⸗ th fen U ti er in wern d bon 211 Aufloͤſung. A 9 Mark à 9 Loth thut 135 Loth f. Silber B 20 –— à 5 — — 100 — – — 030 — à 9 – — 270 –— – — 59 50 Mrk. Gemiſch enthalten 59 5.0 5 8 23 Loth 35 Alſo 1 Mark vom Gemiſch beſteht aus 8 + 3½ Loth fein Silber und 7 + 2 Loth Kupfer. c) Was iſt die mittlere Sterbezahl von 22000 Menſchen in Stuttgart, von welchen geſtorben ſind: AO. 700 enſchen 80°0 75 8 2 0 780 8 1 780 272 8 Angaben 8 D 62 37 779 Menſchen 6 e 1IEIII IIII 63 5 6 77 7 2 85 O 2 Menſchen, iſt alſo zwiſchen 779 und 780 Menſchen. Aus den Preiſen der Mixtorum und des Mixti die Menge der Mixtorum. . . 224. Zweite Aufgabe. Man gibt die Preiſe (oder den Gehalt) der zu miſchenden Sorten und den mittleren Preis oder Ge⸗ halt, welchen das Gemiſch haben ſoll und verlangt die Mengen zu wiſſen, welche von den verſchiedenen Sorten genommen werden muͤſſen. Aufloſung. I. Wenn das Gemiſch nur aus zwo Sorten zuſammeng eſezt werden ſoll, z. B. Man ſoll aus einem Wein, wovon die Maaß 24 kr. und einem andern, wovon ſie 16 kr. koſtet, einen Wein machen, wovon die Maaß 9 kr. koſtet. Beſſere Sorte: Mittlere Menge von den Kreutzer 24 Sorte: 3 beſſern Sorten, ſchlechtere 16 Kreuzer 19 5 von der ſchlechten. Man ſubtrahire von dem Preis (24) der beſ⸗ ſern Sorte den mittleren Preis (19), ſo iſt der Reſt (5) die von der geringern Sorte zunehmende Menge. Nun ſubtrahire man von dem mittlern Preis (19) den geringern (16), ſo zeigt der Reſt (3) die erforderliche Menge der beſten Sorte. Die mittlere jaͤhrliche Sterbezahl von 220090 z von 10 Sor 22000 enſchen. 8s Müri ) der lder Ge⸗ herlangt jedenen 6 ziot 1,5.B. Mnß loſtet, ſoſtet. n den orten, lcten⸗ derl⸗ ſt der mende gttletn Neſt 213 II. Wenn das Gemiſch aus mehr als zwo Sorten beſtehen ſo ll, z. B. Man ſoll dreierlei Sorten Kaffee miſchen; 1I 5 von A koſtet 14 Batzen, von B 12 Batzen, von C 9 Batzen, und 1 [5 vom Gemiſch ſoll 10 Batzen koſten, wie viel muß man von jeder Sorte nehmen? 1) Zuvor iſt zu merken, daß man hier von zwo Sorten die Menge annehmen kann wie man will, und die Aufgabe doch aufgelost bleibt, z. B. Man nehme von A 3 5, von B 5 . 2) Nun berechne man nach (§. 223.) den Werth eines Gemiſches aus beiden willkuͤhrlichen Men⸗ gen von A und B. Nemlich: A 3 f5 à II Batzen, thut 33 Batzen, B 5 15 8 — — 40 — 8 f vom Gemiſch 23 Batzen. folglich 1 5 vom Gemiſch 0ε Batzen. - Zwanzigſter Abſchnitt. Die Regel de Quinque u. ſ. w. und Zuſammenſetzung der Verhaͤltniſſe. §. 225. . WVft beſtimmt ſich eine Groͤße nicht aus einer al⸗ leein, ſondern aus mehrern zugleich. Alsdann muß man unterſuch en, wie ſie ſich aus jeder allein beſtim⸗ men wuͤrde; wenn die andern beiſeite geſezt wer⸗ den, z. B. 1) Intereßen verhalten ſich bei gleichen Zeiten und Procenten wie die Kapitalien; bei gleichen Kapi⸗ talien und Procenten wie die Zeiten; bei gleichen Zeiten und Kapitalien wie die Procente. 2) Wenn die Rede iſt von Arbeitern, der Zeit, wel⸗ che ſie brauchen, den taͤglichen Arbeitsſtunden und dem Werk, das ſie verfertigen, ſo iſt klar, daß mehrere Arbeiter in mehr Zeit, und wenn ſie taͤglich mehr Arbeitsſtunden nehmen, ein groͤßeres Werk zu Stande bringen; z. B. 60 Perſonen bringen innerhalb 8 Wochen einen Graben, wel⸗ cher 210 Fuß lang, 15 Fuß breit und 8 tief iſt, zu Stande, wie viel braucht man zu einem an⸗ dern Graben, welcher 170 Fuß lang, 12 Fuß von her 1.. ſiſe. ner ol⸗ n nuß Reſtiurn⸗ ign wer eten und en Kopi⸗ gleicſen t, wel⸗ Sſtunden , gennſe guifns letſoten 1, wel⸗ ef iſt, n en 1 215 breit und 5 Fuß tief werden ſoll, um ſelbigen in 10 Wochen herzuſtellen? Hier helfen Perſonen und Wochen die Arbeit beſtimmen, und die Arbeit ſelbſt haͤngt wieder ab von der Laͤnge, Breite und Tiefe des Grabens, da⸗ her muͤſſen die Beſtimmungen beieinander bleiben. Das oben gegebene Beiſpiel erhaͤlt (bei der Reeſiſchen Regel) folgende Stellung: Perſonen 2 Wochen 1 Graben 1 F. Laͤnge 210 F. Breite 15 7 3 5 Anſa tz. 1 Graben 179 Fuß lang 12 Fuß breit! 5 Fuß tief 8 Wochen 6ο Perſonen 4 2 136 10 4 54 4 I 35 ]5.4 4 0] 126 ¾2 Perſonen 35 d. Arbeiter. 9 4 7 ◻ 2 4 210 - 3 ◻ * Anmerkung. Der Bruch 30 Arbeiter bedeutet nichts ungereim⸗ tes, weil eigentlich nicht die Perſon eines Arbei⸗ ters ſondern ſeine Arbeit in Rechnung gebracht wird, welche ſich wohl theilen laͤßt. 3) Iſt die Frage von Proviant, von Verzehrenden, und der Zeit in welcher ſie denſelben verzehren, ſo . iſt bekannt, daß mehr Verzehrende in mehr Zeit auch mehr Proviant brauchen, alſo iſt Proviant die beſtimmte Groͤße. Dieſe Faͤlle und Erklaͤrungen werden hinreichen, um andere darnach zu beurtheilen. Regel der Zuſammenſetzung der Verhaͤltniſſe und der zu beſtimmenden Groͤße. d. 226. — Man ſezt alle Verhaͤltniße, wovon die beſtimmte dentlichen Verhaͤltnißen das vorhergehende Glied zu der gegebenen Groͤße, die mit der geſuchten gleich⸗ namig iſt, gehoͤre, das folgende aber zu der geſuch⸗ ten Groͤße ſelbſt, in den umgekehrten aber dieſe Stel⸗ lung umgekehrt werde. Das Produkt aller vorher⸗ gehenden Glieder gibt das erſte Glied der Propor⸗ tion, das Produkt der folgenden das zweite, die ge⸗ gebene mit der geſuchten Groͤße gleichnamige, das dritte und die geſuchte Groͤße iſt das vierte Glied. Jedes der komponirenden Verhaͤltniße muß mit die⸗ Groͤße abhaͤngt, unter einander, ſo daß in den or⸗ ſen be richtig ſilni⸗ Frage 3 ein Fe ſelbee beide⸗ ein Gre ſen, v und J che 3 komm ngerein⸗ s Arber ſchtwis, hrenden, ehren, ſ. nehr Net Povicrt nreichen, e vnd Ffinnt⸗ en ot⸗ lied zu gleih⸗ geſch Ent⸗ ther⸗ Moror⸗ Neege⸗ „ da Gled. die⸗ 217 ſen beiden Gliedern, was die Stellung betrift, eine richtige Proportion machen, wenn alle uͤbrige Ver⸗ haͤltniße auf die Seite geſezt werden. Fragen, da die beſtimmte Große ein Produkt iſt. §. 227. Wenn die beſtimmte Groͤße eine Flaͤche iſt, z. B. ein Feld, welches bearbeitet werden ſoll, ſo iſt die⸗ ſelbe ein Produkt aus der Laͤnge und Breite, welche beide Zahlen immer unter einander geſchrieben werden. Iſt die beſtimmte Groͤße ein Koͤrper, z. B. ein Graben, eine Mauer, ein Heu⸗ oder Holzhau⸗ fen, u. ſ. w. ſo iſt dieſelbe ein Produkt aus Laͤnge und Breite und Hohe oder Tiefe oder Dicke, wel⸗ che 3 Zahlen, auch mehrere⸗ immer unter einander kommen. Aufgabe. 2) Mit 2 Pferden iſt man in einem Tag im Stande ein Feld umzuackern, welches 16 Ruthen lang und 6 Ruthen breit iſt; wenn nun ein Feld 21 Ruthen lang und 8 Ruthen breit iſt, wie viel Tage haben 4 Pferde daran umzuackern? (die Ruthh⸗ zu 16 Fuß.) Dis iſt die Bedingung: „ Wie viel Tage werden 4 Pferde an einem Felde ackern, welches 21 Ruthen lang und 8 Ruthen breit iſt; wenn 2 Pferde in einem Tag ein Feld 218 beackern, das 16 Ruthen lang und 6 Ruthen breit iſt? dis iſt die Frage der Aufgabe. Aufloͤſung. Tag ? 44 ([Pferd z 191 (Tag r MM , [B. F. 227 8 CL. F. 7 2 2 7— 88 1IX Tag. 71 — l ibelde 3 Der Anſatz kann auch ſo angeſchrieben werden: beſti „ man dividirt mit dem Produkt, welches auf der de Seite von (?) herauskommt, das Produkt von der 2 andern Seite gibt dem Quotienten den Namen, der 5. neben (?) ſteht. daß ([Pferde 2 16 F. lang) . r [Tag r. 6 F. breit 2= (Laͤnge 21 4 Pferde in (Breite 8 2 R „ Antw. 1 ¼ Tag. 3) Ein hoͤlzerner Balken, der 4 Fuß lang, 3 Fuß breit, und 2 Fuß dick iſt, wiegt 240 I5; wie viel wird ein anderer Balken von dem nemlichen Holz waͤgen, der 10 Fuß lang 4 Fuß breit 1 Fuß dick hen bret werden: auf der tbon der hen, de — 3 li ie tiel n h 219 . 2 1 Balken ſlang, Fuß 1g9 Fuß lang] 6 breit, — *£ Fuß breit (dick, — 2 1 Fuß dick 223 [5. 80 5 — —— — Antw. 400 IB. Erklaͤrung. Hier bei der Frage der Aufgabe darf man nur uͤberdenken, daß die Laͤnge von 4 Fuß die Breite von 3 und die Dicke von 2 Fuß die Schwere des Balkens beſtimmen; folglich muͤſſen nach der Regel (§. 226.) die erſten Zahlen auf eine Seite zu ſtehen kom⸗ men, und das dadurch beſtimmte Gewicht von 240 B. auf die andere. Nun zeigt ſich ſchon von ſelbſt, daß die uͤbrigen gegebenen Zahlen auf die Seite, wo 240 f5. ſtehen, gebracht werden muͤſſen, weil ſie, vermoͤg der Regel, den andern Groͤßen, die einerlei Bedingung haben, gegenuͤber zu ſtellen ſind. (§K. 227.) 4) Gewiſſe Unterthanen, denen jaͤhrlich 3000 Klaf⸗ ter Holz zu 2 fl. zu ſchlagen erlaubt war, verlaͤn⸗ gerten den wirtembergiſchen Schuh um 1tels Zoll. Wie viel darf die Herrſchaft zur Schadloshaltung an Geld fordern, wenn ſie 7 Jahre hindurch die⸗ ſen gewiſſenloſen Betrug geſpielt haben? fl. ? 7 Jahr Klafter 1 3000 Klafter Jahr 1 12 ¼ Zoll in der Breite W. 3. 12 124. Zoll in der Laͤnge L. 3. 12 Cr⸗ Zoll in der Scheuterlaͤnge Scheuterl. Z. 12 2 “ Antw. 44680 3 fl. 42000 Schadloshaltung 2680 —.— S fl. s fl. ? 3 °0°6⏑ Klafter Klafter 1 7 Jahr 1 2 fl. 2 1IOOι¾ O½ 2 42000⏑ fl. 5) Wie viel Gulden koſtet der Sand zu einer Mauer, welche 15 Fuß lang, 4 Fuß breit und 5 Fuß hoch iſt, in Vergleichung mit einer andern Mauer, welche 28 Fuß lang, 2 Fuß breit und 4 Fuß hoch iſt, wozu man 32 Kaͤſten Sand brauchte, und der Kaſten Sand 28 kr. koſtete? fl. 2 1 Mauer Mauer x. 15 Fuß lang) 1 breit, FPFuß 28 4 Fuß breit 4 4lang, Fuß 2 5 Fuß hoch) U hoch, dus 4 28 kr. kr. 60 1 fl. Antwort 20 fl. . mmit en Podu V dio G kunger kunge dingn wirke Zeite Pitel lende 6) 2 terline Peuer, ch iſ, ſche 28 zumman 1Gnnd 22 1 Wenn auch mehrere Bedingungen auf dieſe Art mit einander verbunden werden, ſo ſind doch ihre Produkte proportional. Als: Es ſey alſ T : t und C: e ſo iſt C T : e I II WV : e EP: e V Oder wenn man die beiden letern Glieder durch V dividirt, ſo iſt CT : ec E : Es bedeuten hier T und t Zeiten, E und e Wir⸗ kungen, C und e die Urſachen, welche dieſe Wir⸗ kungen hervorbringen, ſo ſind allemal die beiden Be⸗ dingungen (Proportionen) richtig, nemlich wenn die wirkenden Urſachen gleich ſind, ſo verhalten ſich die Zeiten wie die Wirkungen. z. B. Es wuͤrde ein Ka⸗ pital von 7836 fl. angelehnt, ſo iſt dieſes eine wir⸗ kende Urſache. 6) Als: 7836 fl. zu 4 ¼ Procent angelegt, wie viel Intereſſe traͤgt es in 5 Jahren 7 Monaten und 25 Tagen? Aufloͤſung. Intereſſe fl. 2 7836 Kapital fl. fl. 100 5 3 & fl. ( Jahr 1 HD fl. Int. 62 7) Einer bekommt alle halb Jahr 2½ Reichsthaler Intereſſe von 100 Reichsthaler Kapital, und fin⸗ det in ſeinem Schuldbuch, daß er in 8 Jahren eben 920 Rthlr. Intereſſe eingenommen habe; wie viel iſt ſein Kapital geweſen? (Kap. Rthlr. 100] 2¼ Rthlr. Intereſſe J. 4, ?2 Rthlr. Kapital 3 Jahr 3 Antw. 2300 Rthlr. — ) Wuͤrdige Vorſteher eines Konſiſtoriums ſind ent⸗ ſchloſſen, ,ein Erziehungsſeminarium (zur Bildung fuͤr Schulkandidaten) anzulegen, das monatlich 250 fl. zu unterhalten koſtet: Was muͤſſen die Landſtaͤnde fuͤr ein Kapital vorſchieſſen, wenn man dieſe nuͤzliche Anſtalt mit jaͤhrlichem Intereſſe zu 5 Procent unterhalten will? Aufloͤſung. fl. 2 1 32 fl. M. r 12 3. fl. 5 2 5 fl. Antw. 600ο⁄ο⏑ιο⏑ fl. 7S 2ut lang! 10) We ches⸗ 11) gtbe AI 1) — ſchetheler nd ſin⸗ 9 Juhten etes ie eſſe l ſud ent⸗ Bildung Cgatlich ſen die vennmnn ereſe u 9) Wie viel Kubikruthen haͤlt eine Mauer, welche 7 Ruthen lang, 4 Ruthen breit (oder hoch) und 2 Ruthen dick iſt. Eine Kubikruthe iſt = I Ruthe lang und 1 Ruthe breit und dick. R. K. 2 7 Fuß lang [lang 1 4 Fuß breit 4Nbreit 1 2 Fuß dick (dick 1 Antw. 56 Kubikruthen. 10) Wie viel Quadratſe chuh haͤlt ein Fenſter, wel⸗ ches 5 Fuß lang oder hoch, und 4. Fuß breit iſt? F. OQ. 2 5 Fuß, lang (lang 1 4 Fuß breit breit 1 1I Quadratfuß Antw. 20 ◻ Fuß. 11) Wie viel Kubikfuß haͤlt ein in das Gevierte be⸗ arbeitetes Stuͤck Holz, welches 36 Fuß lang, 18 Zoll breit und 16 Zoll dick iſt? F. K. 2 36 Fuß lang 1I2 18 Zoll breit 1r12 16 Zoll dick. 1 12 Antw. 6 Kubikfuß. 12) 25 Schreiber, von welchen jeder in einem Tag 9 Stunden ſchreibt, ſchreiben in 8 Tagen 36 Buch Papier; wenn man 15 Schreiber nimmt, deren 224 jeder in einem Tag 8 Stunden ſchreibt, in wie viel Tagen ſchreiben ſelbige 28 ¾ Buch Papier voll? Tage 2 [25 Schreiber Pap. Bch. 36 r Tag [Schr. 15 [„ Stunden 8 T. r 284 Buch Papier St. 8 Antw. in 12 Tagen. 13) Ein Kapitaliſt, ſo von Intereſſen lebt, wurde einſt von einem andern gefragt: wie hoch ſein ausgeliehenes Kapital wohl ſich belaufe? Er er⸗ wiederte, ſo richtig wiſſe er es eben nicht anzu⸗ geben — doch in 4 ½¼ Jahren erhalte er laut ſeines Schuldbuchs 462 ¼ fl. Zins, und bekaͤme dem Zins⸗ fuß nach nicht weiter als 3½¼ fl. Was hat dieſer 4 Kapitaliſt fuͤr eine SLumme ausgeliehen gehabt? Kap. fl. 2 (462 4 fl. Zins [Zins fl. 3 ½ 1 Jahr ¶Jahre 4 rvoo fl. K. 3,g fl. T 3 35 3 5 I IIO9600 3 1 6 1 rosà. . 3 6 5 I T T D DO £ ο .P ρ 19) M ch den, VFu⸗ mern in 3 225⁵ „in wie 14) Mit einem Malter ungeloſchten Kalk können lertaata! nach Loſchung deſſelben 8 Zimmer geweißet wer⸗ den, deren jedes 28 Fuß lang, 10 Fuß breit und 12 Fuß hoch iſt; wie viel wird man Kalk zu 14 Zim⸗ mern brauchen, wovon eins 32 Fuß in die Laͤnge, Du 18 in der Breite, und 15 in die Hoöhe betraͤgt? Malter 2 14 Zimmer (Zimmer 8§ 22 Fuß Laͤnge Laͤnge Fuß 73 185 Fuß Breite t, vgee Breite — 1 15 Fuß Hoͤhe ſoch ſen Hoͤhe — 7 r Malter Er elt⸗ 2 7 t anz⸗ 4 9 ⸗ n ſoins 14 4 en ⸗ — hot deſe . 4 6 15) Wie viel Aimer (160 Maaß) haͤlt ein viereckig⸗ ter Waſſertrog, welcher 16 Fuß lang, 4 Fuß breit, ſ⸗ und 3 Fuß hoch und dick iſt? Aimer ? 16 Fuß lang lang, Fuß 1 4 — breit d breit, — 1 3 — dick dich, — r Kubikfuß 24 Maaß Maaß 160 1 Aimer Antw. 28 4 Aimer. — 226 16) Wann ein Scheffel Dinkel 5§ fl. koſtet, ſo ver⸗ kauffen die Becken (in unſerer Gegend nach einer Schatzung von Stuttgart) 3 5 Brod fuͤr 7 ¼ kr. Was koſtet dieſe Portion Brod (eben dieſes Ge⸗ wichts) wenn der Scheffel Dinkel 8 ½ fl. koſtet? Scheffel 1 7 z kr. fl. 5 [r Scheffel C P. 3 3 81 fl. kr. 2 C 3 PF. Antwort: 12 ¾ Kreuzer. 17) Ein Fuhrmann, der die Fracht Meilenweiſe be⸗ dingt, laͤßt ſich von 6 Waͤgen 9 Meilen weit 72 fl. bezahlen, wie viel gebuͤhrt ihm, wenn er mit 27 Waͤgen (Fuhren) 15 Meilen weit fahren muß? fl. 2 27 Wochen 15 Meilen Waͤgen 6 7y2 fl. Meilen 9 12 3 36 15 180 3 6 Antw. 5 40 fl. koſten 27 Waͤgen, 15 Meils weit zu fahren. 18) Mit einem gewißen Vorrath von Lebensmitteln koͤnnten 3500 Mann auf 4 Monat 2 Taͤge er⸗ halt mne. der zure wer 96 duß 8 9 muͤf fel lan ſo bet⸗ ch einer 71 t. iſes Ge⸗ l beſte! Kreuger. elſe be⸗ f. Wit 21 muß! Viten, ſſrfen. nitielt ile 227 halten werden, wenn jeder taͤglich 2½ f5 bekaͤ⸗ me. Nun kommen noch 300 Mann dazu, und der nemliche Vorrath ſoll auf 5 Monat 18 Tag zureichen; wie viel kann jezt einem Mann gereicht werden? Mann 3500 I Vorrath Tage 127 3800 Mann taͤgl. 15. 2 168 T Vorrath 1. 2 5 taͤglicher Vorrath Antwort: 1 5. 23 ¾ Loth. 19) Ein Fruchtboden, welcher 48 Fuß lang, und 50 Fuß breit iſt, faßt 220 Scheffel Frucht, wenn es 9 Zoll hoch gelegt werden darf. Wie hoch muͤſſen auf einem andern Fruchtboden 180 Schef⸗ fel aufgeſchuͤttet werden, welcher nur 32 Fuß lang und 18 Fuß breit iſt? Fruchtboden 220 Scheffel (S. F. 32 3 hoch 4 I. F. 18 48 F. l. Schfl. 220 ( 50 F. br. Antw. 1 2, Fuß hoch. Lin und zwanzigſter Abſchnitt. Das leichteſte und nothwendigſte von der Interuſurienrechnung. . 228. Interuſurium oder Rabatt. Einer hat uͤber 1 Jahr 100 fl. einzunehmen, und wuͤnſchte ſolche gleich jezt in baarer Geldſumme zu erheben; fragt ſich, was ihme muͤſſe bezahlt werden? zieht man ihm die gewoͤhnliche Zinſe mit 5 fl. davon, ſo hat er noch 95 fl., legt er ſolche in Zinſe an, ſo betragen ſolche = 4 fl. 45 kr., werden die 95 fl. Ka⸗ pital dazu geſchlagen, ſo kommen = 99 fl. 45 kr. Er ſolle aber 100 fl. haben, und muͤßte ihm wirk⸗ lich Unrecht geſchehen, woraus ſicher folgt, daß, weil er das, was er jetzo baar empfaͤngt, ſamt dem, was ſolches in einem Jahr Zins traͤgt, juſt 100 fl. ausmachen ſollte, ihm baar bezahlt werden muß: = 99 fl. 14 .1 kr. Hiezu den Zins aus 9 fl., thut 4 fl. 45 kr. — 14 20 6 3 kr. 420 210 100 ſ. ſamt Intereſſe. U00 biel h andere obzube rium. Ver G gebenen ahitol lent we . jhrli ſll, ird, ſn, wo den ab mit bis z ſo ſi 3 llo f zon I hle. 229 Die Rechnung, wodurch gefunden wird', wie viel baares Kapital eben ſo viel ausmache als ein iſtt. anderes, welches erſt nach Verfluß einiger Zeit abzubezahlen iſt, heißt Rabatt — oder Interuſu⸗ rium. Verwandlung eines aufgezielten Kapi⸗ 119. tals in baares. §. 229. Aufgabe. . Eiin gegebenes Kapital ſollte erſt nach einer ge⸗ gebenen Zeit bezahlt werden, wie groß muß ein 1, und Kapital ſeyn, welches anſtatt des uͤbrigen baar er⸗ hnnd 1. legt werden darf? miet Aufldſung. S Man verfaͤhrt alſo: man bringt das Ziel, das ſe an, 6 jaͤhrlich, oder auch mehrere Jahre bezahlt werden Gll ſoll, zu Kreutzer, und wenn ganz genau gerechnet . Skr. wird, zu Heller, und werden 5 von 100 abge⸗ n vit⸗ zogen, ſo muß der Kreutzer oder Hellerſumme mit 1, , 100 multiplizirt, und mit 105 dividirt werden; wer⸗ antden, den aber 6 von. 100 abgezogen, ſo multiplizirt man ſtrf mit 100 und dividirt mit 106, ſollten aber 7, 8 en muß! bis 10 wie gewoͤhnlich von 100 abgezogen werden, . ſo wird immer mit 100 multiplizirt und mit 107, 108, 109 u. ſ. w. dividirt. 3. B. wenn 100 fl. in 10 Jahren jaͤhrlich mit 3t. 1I0 fl. bezahlt werden ſollen, ſo ſind ſolche, wenn 5 vom 100 abgezogen werden, baar werth 77113 kr. te geſe⸗ 1 hlr. Das Verfahren dabei: 10 fl. geben 600 Kreutzer oder 3600 Heller, die⸗ ſe mit 100 multiplizirt und mit 105 d dividirt, gibt fuͤrs erſte Jahr 3429 Heller. 3429 mit 100 multi⸗ plizirt und mit 105 dividirt, gibt fuͤrs zweyte Jahr 3265 Heller. 8265] ( z3te Jahr 3110 hlr. 3110 Ate — 2962 – 2962 Ite — 2821 — 2821 mit 100 multiplizirt, und 6te — 2686 — 2686 f mit 105 dividirt, gibt fuͤs 7te — 2558 – 2558 8te — 2437 — 2437 gte — 2321 — 2321 rote — 2210 – Ganze Hellerſumme 27799 Dieſe mit 6 zu Kreutzer, und mit 60 zu Gul⸗ den gemacht, iſt = 77 fl. 13 kr. X hlr. Diieſe hier angezeigte Methode iſt auf alle vor⸗ kommende Jahrzieler anwendbar. Verwandlung der Zieler in baares Kapital. G. 230. Eben ſo wird verfahren, wenn ein Kapital Zie⸗ lerweiſe, d. i. wenn die Theile eines Kapitals zu verſchiedenen Zeiten (Zielern) bezahlt werden ſollen. Man berechne nemlich nach obigem (§F. 229.) fuͤr jeden Theil des Kapitals das gleichgeltende baare, und bringe die erhaltene Zahlen in eine Summe. Vet Zeitt Nun ner d den: Md dem Fil lun alß⸗ lerbea 481 han er, Ne: tt, gbt 00 fflti⸗ ehte Joſt loft. 29602 — l = 2686- 355— 497 — 21 = 210— — 20 zu ole vor⸗ ſates nle⸗ bnlͦ N 0 ſlen. 29. ebaalt, nine. 231 Verwandlung mehrerer Zeitterminen in einen einzigen. . 231. Aufgabe. Man gibt die Theile eines Kapitals und die Zeittermine, da ſie haͤtten ſollen bezahlt werden. Nun will man die Zeit wiſſen, wie lang der Schuld⸗ ner das ganze Kapital beiſammen behalten duͤrfe. Aufloͤſung. Man multiplizire jeden Theil des Kapitals mit den Zeitterminen, in welchen er ſollte abbezahlt werden, addire dieſe Produkte und dididire ſie mit dem ganzen Kapital. Dis wird hinlaͤnglich ſeyn, alle vorkommende Faͤlle leicht zu berechnen. Wer es vollſtaͤndiger ver⸗ langt, dem empfehle ich meine im Jahr 1797 her⸗ ausgegebene „Anweiſung zu einer vollſtaͤndigen Zie⸗ lerberechnungs⸗Methode ꝛc. mit Tafeln“ welche fuͤr 48 kr. bei mir und bei Hrn. F. Chr. Loflund, Buch⸗ haͤndler (in der Gymnaſiums⸗Gaſſe) in Stuttgart zu haben iſt. Von andern Rechnungsregeln. §. 232. Mit denen bisher gegebenen Regeln laſſen ſich alle Aufgaben leicht beantworten, welche im gemei⸗ nen Leben noch weiter vorkommen. Als: Holz⸗ 232 Heu⸗ Accis ⸗Tauſch⸗Theilungs⸗Steuer⸗Wechſel⸗ Gewinn und Verluſt⸗Bergwerks⸗Muͤnz⸗Gold⸗ und Silber⸗Rechnung, u. ſ. w. Zur Berechnung derſelben, werden nur die vier Rechnungsarten: Reeſiſche Regel, Regel de Quin⸗ que, und die uͤbrigen hier vorgetragenen Regeln, entweder einzeln oder einige zugleich erfordert, in⸗ dem es uͤberfluͤßig waͤre, die Bogenanzahl zu ver⸗ mehren — und das Buch aus dieſer Urſache koſt⸗ ſpielig zu machen. ur die lier de Auln Regeln, dert, i⸗ zu ber⸗ che koſ⸗ Anleitung zu den beim Bauweſen vorkommenden Rechnungsgegenſtaͤnden. Vorlaͤufige Erklaͤrungen. Q. I. Was ein Koͤrper iſt. Aues was wir hier vor uns ſehen, Tiſche, Buͤ⸗ cher u. d. gl. wie es auch Namen haben mag, nen⸗ net man uͤberhaupt Korper; und an dieſen Koͤrpern bemerkt man, daß ſie nach drei verſchiedenen Rich⸗ tungen ausgedehnt ſind, welches man die Laͤnge, Breite und Dicke nennt. QD. 2. Was eine Flaͤche iſt. Das Aeußerſte was man an einem Koͤrper ſieht, heißt die Flaͤche deſſelben. Daher kann eine Flaͤche blos nach der Laͤnge und Breite betrachtet werden. Denn ſo bald man die Dicke mit in Erwaͤgung zoͤge, ſo wuͤrde man nicht mit der Flaͤche allein, ſondern mit dem ganzen Koͤrper ſich beſchaͤftigen. (§K. 1.) Was eine Linie iſt. Das Aeußerſte oder die Grenze einer Flaͤche nen⸗ net man die Linie. Folglich ſiehet man bei einer Li⸗ nie blos auf die Ausdehnung nach der Laͤnge, ohne dabei an die Breite und Dicke zu denken. Was der Punkt iſt. Die Stelle wo ſich zwei Linien ſchneiden, nennt man einen Punkt. Daher betrachtet man auch den Punkt als die Grenze der Linie, da nemlich, wo die Laͤnge der Linie aufhoͤrt, iſt der Punkt. §. 5. Was Meſſen heißt. Die Koͤrper, Flaͤchen und Linien haben eine ge⸗ wiſſe begrenzte Groͤße. Und wenn man dieſe Groͤße auf eine zuverlaͤßige Weiſe ſo beſtimmt, daß ein jeder ſich davon einen Begriff machen kann, ſo heißt das: man mißt den Koͤrper, die Flaͤche oder die Linie aus. §. 6. Was der Maasſtab iſt. Zur Ausmeſſung der Linien nimmt man eine andere beſtimmte Linie, welche mit der Laͤnge des Fußes oder Schuhes eines erwachſenen Menſchen ungefaͤhr uͤbereinkommt, und nennt dieſes einen Fuß oder Schuh. Und ein Staab, worauf eine oder mehrere von dieſen Fuͤßen verzeichnet ſind, heißt ein Maasſtab. — Dieſer Maasſtab dienet demnach zur Ausmeſſung der Linien, und man ſagt z. B. eine Linie ſ Linge ſen 9 Maam die E den ſ lebien lözn eine A obet uß b und d chen. welche tman ſ. ne Ein nie ein ein nen VD d t, ohne , nernt huch den ,bo die anege⸗ Griß⸗ ef eder r dos: eane. gen ein e de Perſher lder ftein h zur eine 237 Linie ſey 122 Fuß lang, wenn 12 einzelne Fuͤße die Laͤnge der ganzen Linie ausmachen. . 7. Wie vielerlei Maaße es gibt. Es muß ſo vielerlei Maaße geben, als es Groͤ⸗ ßen gibt, welche ausgemeſſen werden koͤnnen. Die Maaße muͤſſen auch von der nemlichen Art ſeyn, wie die Sache ſelbſt, welche dadurch ausgemeſſen wer⸗ den ſoll, das heißt: zur Ausmeſſung eines Koͤrpers bedient man ſich eines Koͤrpers; um eine Flaͤche auszumeſſen bedient man ſich einer Flaͤche, und um eine Linie auszumeſſen einer Linie. Nehmen wir aber eine Flaͤche, welche einen Fuß lang und einen Fuß breit iſt, ſo nennt man das einen Quadratfuß, und dieſer dient demnach zur Ausmeſſung der Flaͤ⸗ chen. Nimmt man aber endlich auch einen Koͤrper, welcher einen Fuß lang, breit und dick iſt, ſo heißt man ſelbigen einen Kubikfuß, und dieſer dient zur Ausmeſſung eines Koͤrpers. Anmerkung. Ein korperliches Maaß iſt ein ſo ungewohnliches Ding nicht als es anfangs ſcheint. Denn daß man z. B. ein Aimerigs Faß mit Kannenmaaß ausmißt, iſt eine alltaͤgliche Sache. Man gebe aber dem Kan⸗ nenmaaß eine kubiſche Geſtalt oder die Figur eines Wuͤrfels, ſo wird man einen Begriff davon be⸗ kommen, wie ein Koͤrper, z. B. ein Aimerigs Faß, durch einen wuͤrfelformigen, d. i. durch einen ku⸗ “ 238 biſchen Korper ausgemeſſen werden kann. — Das Quadrat oder Flaͤchenmaaß iſt auch im Anfang nicht gleich auffallend deutlich und bekannt, doch ſind verſchiedene Handwerker, namentlich Schreiner und Glaſer gewohnt, Fußboden und Fenſter nach Quadratfuͤßen auszumeſſen; und ſelbſt der Schnei⸗ der fraͤgt, ob man 10 oder 11 Viertel breites Tuch zum Kleide nehmen will, ehe er die Anzahl der Ellen beſtimmt, d. i. er beſtimmt die Quantitaͤt des Tuches nach Quadratellen, obgleich ſeine Idee dabei nicht vollkommen klar iſt; er treibt es ut apes geometriam. . Fernere Abtheilung der Maaße. §. 8. Eine Linie kann ſo lang ſeyn, daß es unbequem fiele, ſelbige mit einzelnen Fuͤßen auszumeſſen. Man nimmt alsdann (10) 12 oder 16 Fuß (beim Bauweſen nur 12) auf einen Maaßſtab bei einan⸗ der, und nennet das 1 Ruthe. Oder die Linie kann ſo kurz ſeyn, daß die Laͤnge eines Fußes zu groß dazu waͤre. Um aber die Worte Ruthen, Fuͤße, Zoll u. ſ. w. kurz auszudruͤcken, bezeichnet man ſolche o,, , , z. B. 4 Ruthen, 3 Fuß, 5§5 Zoll, 7 Linien, ſchreibt man ſo: 40 3. 50 2577. Von Ausrechnung des Quadrats. Ein Quadrat halte auf jeder Seite 6 Fuß; — wenn man nun das Ganze durch die den Seiten pa⸗ 1 ralele ſudet ßen, ſi ans fe OQuad mit ſi 6 gil Ws 3) En cher ſen gi wen zuſe de hen un der lif 9D ſet n — Ms ng nicht och ſind Schteinet ſter nich 1 Schne⸗ tes An nzafl N tfrürde ine Ne bt es u ße. rbegtet zunefen⸗ e einan⸗ ie kann zu geoß Fr ne nn 3 iß/ 61. H ts. 6,= len tpe 239 rallellauffende Linien in Quadratfuße abtheilt, ſo findet ſich, daß 6 Reihen, jede von 6 Quadratfuͤ⸗ ßen, ſich darinn befinden, welches 24 betraͤgt. Dar⸗ aus folgt alſo die Regel, daß der Innhalt eines Quadrats gefunden wird, wenn man ſeine Seite mit ſich ſelbſt multiplizirt, d. i. in dieſem Fall 6mal 6 gibt 24 Quadratfuͤße. Was ein Kubus oder Wuͤrfel iſt und wie ebher ausgemeſſen wird. G. 10. 3. Erklaͤrungen. ) Ein Kubus oder Wuͤrfel iſt ein Koͤrper, wel⸗ cher durch ſechs Quadrate rechtwinklicht eingeſchloſ⸗ ſen iſt. 2) Man kann ſolche Figur, (um einen deutlichen Be⸗ griff zu bekommen,) aus Pappe zuſammen kleben, wenn man die ſechs Quadrate in der Ordnung zuſammen zeichnet und abwechſelnd eine Seite um die andere einen kleinen Rand zum anleimen ſte⸗ hen laͤßt. 3) Wenn dieſe ſechs Quadrate, jedes 1 Fuß lang und breit ſind, ſo ſind es Quadratfuͤße (§. 7.) und der daraus zuſammengelegte Wuͤrfel heißt ein Ku⸗ bikfuß (S. 7.) 4) Dieſer Kubikfuß nun iſt das Maaß, womit groͤ⸗ ßere Koͤrper ausgemeſſen werden koͤnnen; indem man nemlich unterſucht, wie viel dergleichen Wuͤr⸗ fel in einem groͤßern Koͤrper enthalten ſind. 24⁰ 5) Damit man aber auch kleinere Koͤrper ausmeſ⸗ ſen koͤnne, ſo theilt man den Kubikfuß in Kubik⸗ zolle, und bei naͤherer Betrachtung eines ſolchen Kubikfußes findet man: a) daß die Oberflaͤche 12mal 12 Quadratzolle, und alſo zunaͤchſt un⸗ ter der Oberflaͤche 144 Kubikzolle enthalten ſind. p) Daß dergleichen Lagen von 144 Kubikzoll 12 an der Zahl vorhanden ſind, mithin 12mal 144 Ku⸗ bikzolle in dem ganzen Wuͤrfel, d. i. 1728 Kubik⸗ zolle im Kubikfuße enthalten ſind. Berechnung der Koͤrper nach Kubikmaaß. . TII. VPorſtellung hievon: 3. B. Ein rechtwinklichter Koͤrper oder eine Mauer waͤre 30 Fuß lang, 5 Fuß breit oder dick und 12 Fuß hoch, ſo iſt leicht einzuſehen, daß, um eine gleiche große Mauer von Kubikfuͤße (geſezt, man haͤtte ſolche Wuͤrfel (F. 10.) 4) die einen Fuß lang, breit und hoch waͤren) aufzuſtellen, man auf die vorgedachte Laͤnge von 30 Fuß, 30 dergleichen Kubikfuß neben einander ſtellen konnte; ferner, daß man in der Breite von 5 Fuß, 5 Reihen ſolcher Ku⸗ bikfuße, alſo auf die Grundflaͤche der Mauer 5mal 30, d. i. 150 Kubikfuß ſetzen koͤnnte. Wenn nun die Mauer 12 Fuß hoch werden ſoll, ſo iſt wieder⸗ um klar, daß 12 ſolcher Schichten, jede von 150 Kubikfuß aufeinander geſtellt werden muͤßten, alſo rzmal 150, d. i. 1800 Kubikfuß wuͤrden den Inn⸗ halt der Mauer ausmachen. . Hieraus Innhe ſenkres Maue Breit multi ihre mlltip multi W bei all gubͤrneſ⸗ in Kubik⸗ es ſolßen Obetſiche naͤchſt um lten ſid. zoll Iu 144 K 1 Kubt⸗ nuiß. der e⸗ del N duß, n (Ne, elten Fuß mnan af etgleche net, M lcherke⸗ er i Venn fuun nidee ton 190 , N en IJnm jergls⸗ Hieraus fließt die Regel, daßs man, um den Innhalt der rechtwinklichten Koͤrper, als z. B. die ſenkrecht aufgefuͤhrten, unten und oben gleich dicken Mauern zu finden, die Laͤnge derſelben mit ihrer Breite, und das, was herauskommt, mit der Hohe multipliziren muß. Aufgabe. S. 2. Es ſey z. B. die Laͤnge einer Mauer 82 Fuß, ihre Breite 4 Fuß, und die Hoͤhe 16 Fuß, ſo iſt 8 2 multiplizirt mit 4 ⸗ multiplizirt mit 1 6 1968 3 2 8 5 2 4 8 Kubikfuß, der Inhalt d. Mauer Anmerkung. Wenn nun in die Laͤnge, Breite und Hoͤhe, oder bei einigen von dieſen Stuͤcken, oder bei einem allein, Fuͤße und Zolle vorkaͤmen, ſo muß alles zu Zolle gemacht werden. Aufgahbe. S. 13. Z. B. Eine Mauer ſey 24 Fuß 5 Zoll lang, 3 Fuß 4 Zoll breit, und 8 Fuß 27 Zoll hoch, ſo be⸗ tragen: 242 1) 24 Fuß 5 Zoll — —– 293 Zoll als die Laͤnge 2) 3 Fuß 4 Zoll — – 400 Zoll als die Breite 3) 8 Fuß 7 Zoll — — 1023 Zoll als die Hohe 293 Zoll die Laͤnge multiplizirt mit 40 Zoll die Breite 11720 Quadratzoll, ſo die Grund⸗ flaͤche hat, wiederum mul⸗ tiplizirt mit 103 35160 22⁰ ſind 1207160 Kubikzoll, der Innhalt der Mauer. a) Will man nun aber wiſſen, wie viel dies Kubik⸗ fuß ſind, ſo muß man mit 1228 dividiren, weil nach (F. 10.) 1 Kubikfuß 1728 Kubikzoll hat. 17281I207I60 69 3 Kubikfuß. 1036 8 17036 I 5. 5. 5 2 1484.0 13824 1016 — Der Bruch 2916 gibt 42¾ Kubikfuß. b) Will man ferner wiſſen, wie viel Schachtruthen (Quadratruthe) dieſe 698 K. F. betragen, ſo darf mar eine Man e m mitde daß w multis bar 3 Nnn die ware flan⸗ Und oddir holb⸗ die ſobe die eLange ie Breit ie Hoe Grund. Uum mll, ele der el. Kct. en, wel A het. gubikfub. ruthen ſodarf 243 man nur mit 144 dividiren, weil nach (F. 10.) eine Schachtruthe 144 K. F. enthaͤlt. Als: 144 6984 Sch. Ruthen u. 122 Kubikfuß. 576 1 2 2 Aufgabe: §. 14. Von einer ſchraͤgen (ſchiefen) Arbeit, z. B. einer Mauer, (oder einem andern Fundament) wird die Laͤn⸗ ge mit der Breite multiplizirt, und was herauskommt, mit der Hoͤhe. Hier wird aber folgendes beobachtet: daß weder mit der untern noch mit der obern Breite multiplizirt werden muß, denn erſteres wuͤrde offen⸗ bar zu viel und lezters zu wenig Innhalt geben. Es muͤſſen alſo erſt beide Breiten addirt, und dann die Summen halbirt werden, wodurch man die mittlere Breite bekommt. Z. B. eine Mauer waͤre unten 6 Fuß und oben 4 Fuß, ſo iſt, wenn man zu 6 als die obere Breite, und 4 als die untere addirt, 10 halb. 5 Fuß fuͤr die mittlere Breite. Iſt nun die Mauer ⸗⸗⸗⸗ 82 Fuß lang, die mittlere Breitt⸗e⸗:⸗ ⸗⸗ 5 ſo bekomt man durch die Multiplikat. 4ro dieſe wieder durch die ſenkrechte Hoͤhe multiplizirt, welche wir zu 8 allehmen, ſo enthaͤlt die Mauer ⸗⸗⸗ 3280 Kubikfuß. 244 Berechnung eines Pfalers. Es ſey z. B. der lete unten Fuß lang Fuß breit halt der Unterflaͤche. Die Oberflaͤche ſey 4 Fuß lang 3 Fuß breit 12 Fuß fuͤr die Oberflaͤche Die Unterflaͤche hatte 2 ο Quadratfuß Die Oberflaͤche 1 2 3 2 16 Quadratfuß fuͤr die mitt⸗ lere Flaͤche. Dieſe mit der Hoͤhe des 1 6 Quadratfuß Pfeilers ſo wir zu 6 Fuß anehmen multiplizirt gibt⸗⸗⸗ ⸗ 96 Kubikfuß fuͤr den Innhalt des Pfeilers. Aufg a b e: Die Berechnung einer Saͤule, die oben eine kleinere Zirkelflaͤche hat als die untere. C. r5. Aufldſung. Es ſey der Diameter (Durchmeſſer) der untern Flaͤche 2 Fuß 8 Zoll. Der Durchmeſſer der obern Flaͤche 2 Fuß 5 Zoll, und die Hoͤhe 16 Fuß. 2,0 ◻ Fuß, als den Inn⸗ tl jeztdi 2 s en Inne tfliche. herfaͤche Newwitt⸗ l. ſtillzet unhri. . Uutere. Utett obbern 245 7 – 22 32 Zoll, (d. i. 2 Fuß 8 Zoll.) 2 2 64 6 4 7 704 100 fuͤr den Umkreis. 0 4 Der gefundene Umkreis mit dem Diameter mul⸗ tiplizirt, als: 100 Zoll Urnmkreis 3 2 Diameter 2 △σ½ 300 kerrrtineels 3200 800 Quadratzoll Inn⸗ halt der Unterflaͤche. Berechnung der Oberflaͤche, deren Diameter 2 Fuß 5 Zoll iſt. 7 — 22 29 (d. i. 2 Fuß 5 Zoll 2 2 5 8 5 8 7 [638 91 ½ Zoll fuͤr den Um⸗ 63 kreis der Oberflaͤche. 246 Dieſen Umkreis mit dem Diameter multiplizirt, als: 9 1 2 9 8 82 1 1 8 2 dividirt mit 4/2 7 22 675 ¼ Quadratinnhalt der 2 4 Oberflaͤche. 3.0 2 G8 675 ¼ Soll. 2 2 (8 0 2 ₰ — — — 1475 ½ 2 2 – — — 7374 U ZSoll fuͤr die mittlere Flaͤche. Dieſe mit der Hoͤhe 16 Fuß, oder da hier ſchon Zoll ſind, mit 2737 T 9 2 1474 6633 3 7 iſt I 4 I 5 04 Kubikzoll fuͤr den ganzen Flaͤcheninnhalt der Saͤule, oder mit 1728 dividirt, gibt 81 Kubikfuß. Aufgabe: D. 16. Den Innhalt eines im halben Zirkel uͤber eine Bruͤckendffnung aufgefuͤhrten tannenen Gewolbes auszurechnen und zu finden. D Dicke undde dlaͤch gibtne = ilßern fuden, tlin dirde iplizitt, holt de he. l. ZDl eige. ſer ſchen gpddt, et eine wolbes multiplizirt 247 Aufldſung. Der Diameter (Durchmeſſer) mit Inbegriff der Dicke des Gewolbes, oder der aͤußere Diameter ſey 24 und der innere Diameter 18“; ſo muß man erſtlich den Flaͤcheninnhalt des ganzen Zirkels ſuchen nach (§. 15.) gibt nach der Rechnung 757 2 4“ Diameter 300 150 190/0 hievon den 4ten Theil iſt = 450 Quadratfuß Innhalt des großen oder aͤußern Zirkels. Den Innhalt des innern oder kleinern Zirkels zu finden, ſezt man: 7 — 22 18˖; 22 7 396 56 Fuß der kleine 35 Umkreis. 46 42 (* 1 6 d. Umkr. 18 d. Diamet. 8 —1 △ 4 — 5 % dividirt mit r 00°=8 25 2¾ Quadratfaß Innhalt des 8 kleinen Zirkels. 2˙◻ 2 ◻ 8 8 248 Das Maaß fuͤr den groͤßern Zirkel iſt = 450 ◻ Fuß — kleinern = 252 ſubtrahirt kommen 198 [Fuß fuͤr das Stuͤck zwiſchen beide Zirkel. Anmerkung: Weil aber bei einem Gewolbe nur die Haͤlfte dieſes Zwi⸗ ſchenraums zwiſchen beiden Zirkeln oder die Stirne des Gewoͤlbes in Betrachtung kommt, ſo muß auch von obiger Zahl (198) nur die Haͤlfte genommen ,B Stirne des Gewoͤlbes. Dieſe mit der Laͤnge des Gewoͤlbes multiplizirt, ſie ſei 32 Fuß 9 9 3 2 19 8 297 Ganzer Innhalt des Gew. 3 1 68 Kubilfuß. Erſte Anmerkung. 1) In der vorigen Aufgabe iſt der Bogen zu 3 Fuß angenommen, bei ſchwaͤchern Boͤgen, als uͤber die Keller, welche nur 1 bis 1 Fuß dick ſind, wird die Bezahlung des Arbeitslohns nach dem Flaͤ⸗ cheninnhalt des Raums, den das Gewolbe be⸗ dekt, bezahlt, weshalb auch gemeiniglich in den Anſchlaͤgen ſteht, ſo und ſo viel Quadratruthen in plano gemeſſen, zu uͤberwoͤlben. Dieſer Ausdruck will ſagen, daß nicht nach der Rundung des Ge⸗ werden 2P. 99 Fuß der Innhalt der wolb des; breit Oug den 2) De dick, monn guf / Keng NerS Weß ingtea den, ter wer erfte dße und guf eff. 249 S⸗ woͤlbes, ſondern nur nach der Laͤnge und Breite trahitt des zu uͤberwoͤlbenden Raums gerechnet worden. 3. B. ein Keller waͤre 60 Fuß lang und 24 Fuß Ne breit, ſo betruͤge deſſen gerade Grundflaͤche 10 Quadratruthen, und ſo viele Quadratruthen wer⸗ den nur zu uͤberwoͤlben angeſezt. ſee Zweite Anmerkung. ah 2) Die Kellergewolbe ſind gemeiniglich nur ½ Stein namen dick, haben jedoch Gurte; zu den Gewoͤlben nimmt man auch eine kleine Steinform. Man kann alſo t de auf eine R. Kuffengewolbe 1000 Stuͤck, bei lit Kreuzgewoͤlben aber wegen des mehrern Verhauens liict, der Steine auf X R. 1200 Steine rechnen. — Weiß man dieſes, ſo kann man den Arbeitslohn, ingleichen wie viel Kalk und Sand erfordert wer⸗ den, berechnen, wenn man weiß, daß dem Mau⸗ rer fuͤr das Kubik⸗Klafter, d. i. 36 Fuß, bezahlt . werde: im Fundament und im Heller 24 kr. im erſten Stock 28 kr. im zweiten Stock 32 kr. und daß auf 4 Klafter Maurerwerk 1 Kubikfuß Steine, 38 und auf 13 Klafter Maurerwerk 1 Fuder Steine, ſerte auf 1 Klafter Maurerwerk aber 1 Karren Sand 1D erfordert werde. Aufga bee: e be⸗ n den C. 17. n Den Innhalt eines hohlen Gefaͤſſes, z. B. ei⸗ Kunc nes viereckigten Brunnentrogs oder Fruchtfachs zu finden. 250 Aufloͤſung: Man meſſe die innwendige Laͤnge, Breite und Tiefe, multiplizire die gefundene Maaße miteinan⸗ der, ſo zeigt das Produkt den Innhalt des Brun⸗ nentrogs oder Fruchtfachs an. 3. B. eines Brun⸗ nentrogs ſey 8 Fuß 4 Zoll innwendige Laͤnge Die Breite 4 Fuß 5 Zoll Die Tiefe 3 Fuß 4 Zoll Dieſe dreierlei Maaße miteinander multiplizirt gibt Laͤnge 8 4“3] Breite 4 5 4 2 3 3 6 3 7 8 0“] multiplizirt Tiefe 37 44) I 5 I 2 O I I 3 4 0 1I 2 85 2 0“ Innhalt des Brunnen⸗ trogs an Kubikfuße u. Zolle. multiplizirt Anmerkung. Wuͤrde aber der Korper oben weiter als unten ſeyn, ſo muͤßten die untere und obere Weiten genau gemeſ⸗ ſen, und miteinander verglichen werden. (§. 14.) Dieſe Aufloͤſung laͤßt ſich beim Ausmeſſen eines Heubar u. dgl. anwenden. deuhrer diemte die ober De Ve jent der dut Int ſll; ite und teinan⸗ Mun⸗ Vla ge kubnere 4.M. , geneß “ eines 251 3. B. 1 „ ,£ 4 47 die untere Laͤnge ſi 804) addirt 8 1I 2“ 2) 7 85˙69 mittlere Laͤnge die untere Breite 4 5] „addz add die obere Breite 4 99 irt 2 7 9² 40 — —— 4¹˙7“ mittlere Breite Die Tiefe 3˙ 4*7 jezt multiplizire man die verglichene Laͤnge mit der verglichenen Breite, und das kommende Pro⸗ dukt mit der Hoͤhe oder Tiefe, ſo kommt der Innhalt des Brunnenkaſtens heraus. mittlere Laͤnge 3 multiplizirt 4 0 4 2) z I: multiplizirt 3˙4 vinz 1 3 774 2 89 Kubikfuß des Trogs. Aufgabe: §. 18. 2. B. Ein Keller ſolle ausgegraben werden, der 3° 2 lang, 2° 9; breit, und 10⁄52 tief werden ſoll; wie viel Kubikfuß muß man ausgraben? Aufldſung. 30 n multiplizirt 90 s- multiplizirt “ 19 13° 920“ muͤſſen ausgegraben werden. Dieſe Aufloſung genauer beſtimmt, bedient man ſich der gegebenen Regeln (F. 13.) a) und b). d. i. was machen 13 Ruthen in Fuͤße und Zolle ausge⸗ druͤckt? Man didvidirt nun die gegebene Zahl mit der Reſolvirung ihrer Einheit (mit 144) ſo gibt der Quo⸗ tient die naͤchſt groͤßere Einheiten als Fuͤße und Zolle. C. 19. Nun folgen noch einige zuſammengeſezte bei dem Bauweſen haͤufig vorkommende Aufgaben. 3Z. B. es ſoll eine Fluhr, (Wohr) ſo 36 Fuß lang und 20 Fuß breit iſt, mit Flieſen belegt werden, welche 8 Zoll ins Gevierte groß ſind; fragt ſich, wie viele Flieſen erforderlich ſind? Au fldſung: Der Fluhr iſt = 3 6“ lang 2 07 breit Innhalt derſelben 720 Quadratfuß Eine Flieſe = 8“ lang 8 breit Innhalt 6 4 Quadratzoll V drotfuß ytdelt gib zun halt de Dbidir als den ijner bteſif, und nos (uͤnde ſch: werder. t mnan ). di. gubge⸗ it der ON⸗ Zole. heidett Slen verden, ſch, 253 Weil wir nun hier Quadratzolle und oben Qua⸗ dratfuße haben, ſo muͤſſen ſolche nach (§. 13.) be⸗ handelt werden, als: . 720 Quadratfuß muͤſſen mit 1 4 4 multiplizirt werden, weil —— –— ein ◻Fuß 144 Zoll hat. 103680 gib zum Produkt 103680 Quadratzoll fuͤr den Inn⸗ halt des Fluhrs. dividirt mit 64 103 680 1620, ſo viel Flieſen als den Innhalt 6. 4Kwerden zu Belegung einer Flieſe. 9G6 des Fluhrs erfordert. 384 - 128 I 2 8 C Aufgabe. H S. 20. Es ſoll ein Boden, welcher 204 lang und 42˙ breit iſt, mit Bretter belegt werden, welche 22 lang und nach Abzug des Pfunds, oder wenn ſie unge⸗ ſpuͤndet gelegt werden, 11 Zoll breit ſind. Fragt ſich: wie viel dergleichen Bretter erfordert werden? Aufloͤſung. Der Boden iſt = = 2 04“ lang 4 2“ breit 408 8 1 6 enthaͤlt alſo 8 5 68 Quadratfuß 254 Ein Brett iſt 22“ lang, wofuͤr wir gleich ſetzen 2 6 435 und 1 1“ breit 2 6 4 264 es enthaͤlt alſo ein Brett 2 9 °ο4 Quadratzoll Die 98568 Quadratfuß ſo der Boden enthielte, mit 144 multiplizirt, weil nach (§. 13.) ein —– Auadratfuß 144 Quadratzoll hat, gibt 1233216 Quadratzoll. Werden dieſe mit 2904 Quadratzoll, als den Innhalt einer Diele dividirt, ſo kommen 424 heraus, als ſo viel Bretter zur Be⸗ legung des Bodens erfordert werden. Aufgabe. S8. 271. Die erforderlichen Mauerſteine zu einer Mauer auszurechnen und zu beſtimmen. Aufloͤſung. Es ſey die Mauer — 75 lang ihre Breite und Dicke betragen = 3 2,2 5 ◻ Fuß. Die Hoͤhe der Mauer ſey = 12 4 50 2 2 5 Innhalt 2 700° Kubikfuß. N Beze die Fe gerech gen, Fonſer ſot, 9 etech Gter d erden Ein hſir 3) Hol hen⸗ nit 2004 r Be⸗ Mane s fii 255 Anmerkung. Bei Bezahlung des Mauerlohns werden nun zwar e die Fenſter⸗ und Thuͤroͤffnungen als volle Mauer gerechnet, weil der Maurer wegen der Schmi⸗ gen, Anſchlaͤge und Ueberwoͤlben der Thuͤr⸗ und Fenſterbffnungen ſo viel und mehr zu thun hat, als wenn alles voll Mauer waͤre. Bei Berechnung der erforderlichen Steine muͤſſen aber die Fenſter⸗ und Thuͤrbffnungen abgezogen werden. Als: Die Thuͤrbffnung von 4 Fuß breit 3 Fuß tief d. i. ſo viel als die Mauer dik iſt. 12 7 Hoͤhe der Thuͤr — 84 Kubikſuß, betraͤgt die Oeff⸗ nung der Thuͤr. Ein Fenſter 3 Fuß breit 3 Fuß tief die Dicke der Mauer. 9 6 Fuß hoch ſind 54 Kubikfuß ſo eine Fenſteroͤffnung enthaͤlt. — Ein Fenſter betraͤgt 54 Kubikfuß deren ſind 5 alſo 270 Kubikfuß. Die Thuͤroͤffnung enthielt = 84 Kubikfuß die 5 Fenſter = 270 zuſammen 354 Kubikfuß. Der Inhalt der ganzen Mauer war — — =— 2700 K. F. Hievon fuͤr die Thuͤr⸗ und Fen⸗ ſterdffnungen abgezogen — 354 2346 5 Kubikfuß haͤlt alſo die reine Mauer. Aufgab e. G. 22. Es ſey ein Graben (Teich) zu machen, deſſen obere Breite 18 die untere aber 147, die Tiefe 9 9 wie viel Kubikfuß Erde muß man ausgraben, wenn der Graben 500 Fuß lang werden ſoll? 4 Anmerkung. Waeil hier die obere und untere Breite ungleich iſt, muß man eine mittlere Breite ſuchen, welches ge⸗ ſchieht, wenn man die obere und untere Breite zuſammen addirt, und das herausgebrachte mit 2 dividirt. Z. B. 18 obere hiebei i nachd ſtimn o Oreſe Urbeite Dieſe Grabe net iſ lotte divf ecore e ane , deſet Tife 9, en, wven eih 1, ſſuge Vleite e nit? Cbere 18˙ obere Breite, 14“ untere — 2 3 2 1 6, mittl. Breite, 2 97 Tiefe, 144“ dieſes mit der Laͤnge des Grabens 12 500 multiplizirt. 7200°0° Kubikfuß Erde muͤßen ausge⸗ graben werden. Hiebei iſt noch folgendes zu bemerken: man muß, nachdem die Laͤnge und Breite des Grabens be⸗ ſtimmt worden, verſchiedene Stellen bemerken, wo das Erdreich am hoͤchſten, und wo es am nie⸗ drigſten iſt; an dieſen Stellen muͤßen die Graben⸗ arbeiter Kegel von Erden bilden und ſtehen laſſen. Dieſe werden nun, wenn die Grundflaͤche des Grabens nach der Wage ausgegraben und geeb⸗ net iſt, verſchiedene Hoͤhen haben. Z. B. man hatte 10 ſolcher Kegel ſtellen muͤßen, wovon der xte 3 Fuß hoch 2te Z3te 3 4te 2 5te 7 6te 4 2te 2 Lte 3 4 gte L Iote 6 ti t t i1 LEEIIIIII dieſe mit der Anzahl O 2 „ 7 To dividirt, als: 10 40 4 Fuß fuͤr die mittlere Durch⸗ 40 ſchhnittstiefe des Grabens. R 258 Die Laͤnge des Grabens betraͤgt: 3 50°0%6 die mittlere Breite 16 3 ₰◻ ◻D 500 800ο0ο ◻ Fuß fuͤr die Flaͤche dieſe Anzahl ◻ Fuß des Grabens. mit der Tiefe multiplizirt, 9 gibt: 7200ο650ο Kubikfuß; dieſe nach (§F. 13.) dividirt mit 144 72000 500 LR. welche ausgegraben werden muͤßen. Polt Vun loonen D jede den in , ſt de De Azelt werden . ſhe i. olN. 259 E t w a 6 von der politiſchen Rechenkun ſt. Wenn man annimmt, daß ungefaͤhr 1000 Mil⸗ lionen Menſchen auf der Erde leben, und daß eine jede Generation aus 33 Jahren beſteht: ſo ſterben in 33 Jahren 1000 Millionen Menſchen. Folglich iſt die Anzahl der Todten auf Erden: Alle Jahre 30 Millionen Alle Tage 82000 Alle Stunden 340⁰⁰ Eine jede Minute 60 Eine jede Sekunde 1 Da ſich nun die Anzahl der Verſtorbenen zu der Anzahl der Gebohrnen verhaͤlt, wie 10 zu 12, ſo werden auch wieder gebohren: Alle Jahre 26 Millionen Alle Tage 98400 Alle Stunden 4080 Alle Minuten 7 Alle Sekunden 1 Wenn kein Menſch auf Erden ſtuͤrbe, ſo lebten in dem gegenwaͤrtigen 5748 ſten Jahre nach Erſchaffung R 2 260 der Welt (nach A. F. W. Crome) 146262500 Mil⸗ lionen Menſchen beiſammen. Da nun das feſte Land (eben nach obigem) 164090 Quadratmeilen haͤlt, ſo wuͤrde jeder Menſch doch noch 1000 Qua⸗ dratfuͤße zu ſeinem Plaz (Raum) bekommen. Wenn man auf 100 Jahre drei Generationen rechnet, und annimmt, daß die Welt wenigſtens 6000 Jahr alt iſt, ſo ſind ſeit Erſchaffung der Welt nicht mehr als 171 Generationen, ſeit der Suͤnd⸗ fluth 124, und ſeit Chriſti Geburt 53 verfloſſen. Da keine Familie iſt, welche ihren Urſprung bis uͤber Karln den Großen hinausfuͤhren kann: ſo folgt dar⸗ aus, daß die aͤlteſten Haͤuſer in Europa 30 Genera⸗ tionen zaͤhlen koͤnnen. Aber auch ſo weit koͤnnen es nur ſehr wenige bringen; und was iſt ein Glanz von 30 Ahnen gegen 140 andere, von welchen man nicht einmal weiß, wer ſie geweſen ſind? Die Zahl der Einwohner eines Landes oder ei⸗ ner Stadt wird beinahe alle 30 Jahre erneuert, und in 100 Jahren erneuert ſich das menſchliche Ge⸗ ſchlecht 34mal. Von allen Einwohnern eines Landes wohnt gemeiniglich in den Staͤdten, und die uͤbrigen 3. befinden ſich auf den Dorfern. Wenn man die Todtenregiſter mit einander ver⸗ gleicht, ſo ſieht man, daß auf den Dorfern gemei⸗ niglich 1 von 40, in den kleinen Staͤdten 1 von 32, in mittelmaͤßigen 1 von 28, und in den groͤß⸗ R ten 6 irga 1 von Jahre den, ſe muß n Zelnen l. e, unter Wtte 1000 ſochſe Antre 50o il⸗ das ſeſe dtatmneſeen 000 Ql⸗ nen. heratioren genigſtens der Vit er Eind⸗ berſoſe. bis ibet ſolgt dor⸗ Genera⸗ anen 6 in Gon lchen mian . 6 oder i⸗ ltetet/ ſiche G⸗ ; ope fkihen, hrte⸗ n gene 1 bn 261 ten Staͤdten 2 von 24 — 25 jaͤhrlich ſtirbet. Fuͤr ein ganzes Land zuſammen genommen, rechnet man X von 36. Von 1000 Lebenden ſterben alſo alle Jahre 28. H Wenn r00 Kinder zu gleicher Zeit geboren wer⸗ den, ſo ſind von denſelben noch uͤbrig: nach 6 Jahren 64 16 — 4⁰ — 26 — 25 — 36 — 16 — 46 — 10 — 56 — 6 — 60 — 3 — 70 — 18 — 80 — 0 Unter 100 Kindern, die in einem Jahre ſterben, muß man allezeit drei todtgebohrne rechnen: In ein⸗ zelnen Oertern trift dieſes Verhaͤltniß nicht allemal zu. In Dresden iſt unter 16 Kindern 1 todtgebohr⸗ nes, in Stuttgart unter 30, und in Schweden nur unter 50. Man hat beobachtet, daß an den natuͤrlichen Blattern mehr Maͤdchen als Knaben ſterben. Von 1000 Kindern, melche die Muͤtter ſtillen, ſterben hoͤchſtens 300; aber von 1000 Kindern welche durch Ammen geſtillet werden, ſterben gewiß 500. Von Kindern, die die natuͤrlichen Blattern he⸗ kommen, ſterben 8 von 100. 262 gefaͤhr 2500. ſind, befunden: — — — — — ◻△ £ ιο— — von 1I00°α 101 10 2 1 03 10 4 105 1I0O6 107 108 109 I I O I I I I I 2 1I16 1I 1 8 Jahren “ Unter einer Million Verſtorbener waren C 1IIIE Von 300 Kindern, denen die Blattern einge⸗ pfropft werden, ſtirbt nur 1. net man jaͤhrlich die an den Blattern ſterben, un⸗ In Wirtemberg rech⸗ Nach einer in England gemachten Berechnung haben ſich unter 1000000 Menſchen, die geſtorben Nach dieſem Verhaͤltniß befinden ſich unter 3125 Todten nur 9 Perſonen von 100 Jahren. Menſchen gegeben, welche ein ganz auſſerordentli⸗ ches Alter erreicht haben. Es hat l der nen ger G Fenkin den 9 und Englen daß er ganz ſ. lch g Stebin ſine g nce teicht euoͤdt nußi 8 te, ben ſicht ſf ln he n einge rg tec en, unn eiſnin heſtolken 6,915 E t dentl⸗ 263 Unter den vorzuͤglich alt gewordenen Menſchen der neueſten Zeiten, deren Alter man mit voͤlli⸗ ger Gewißheit angeben kann, nimmt Heinrich Jenkins den erſten Platz ein. Im Jahr r1513. den gten September war er bereits 12 Jahr alt, und ſtarb erſt im Jahr 1670. zu Ellerton in England, alſo in ſeinem 170ſten Lebensjahre, ſo daß er wirklich 169 Jahr durchlebt hatte. Nicht ganz ſo ausgemacht zuverlaͤßig, obgleich auch ziem⸗ lich glaubwuͤrdig iſt die Erzaͤhlung, daß Johann Stevin in Ungarn Ao. 1727. bereits 172 Jahr, ſeine Frau aber 164 Jahr alt geweſen. Er ſoll 147 Jahr im Eheſtand mit ihr gelebt, und ſein juͤngſter Sohn damals ſchon das 118te Jahr ers reicht haben. Von den meiſten dieſer alten Leute wird es ausdruͤcklich angemerkt, daß ſie von Jugend auf ſehr maͤßig, arbeitſam und tugendhaft gelebt haben. In bergigten Laͤndern findet man mehr alte Leu⸗ te, als in niedrigen. Man kann rechnen, daß der Menſch allenthal⸗ ben 90 bis 100 Jahre alt wird, wenn ſein Leben nicht durch aͤußerliche Zufaͤlle verkuͤrzt wird. Aus Vergleichung verſchiedener Todtenliſten laͤſ⸗ ſet ſich eine muthmaßliche Berechnung machen, wie lange eine Perſon von gewiſſem Alter wahrſcheinli⸗ cher Weiſe noch leben koͤnne. Es iſt nemlich wahr⸗ ſcheinlich, daß ein neugebohrnes Kind noch lebe demne wird 334 Jahr 6 Monat ſe hen Ein Kind von 1 Jahr 41 — 9 — leben a 3 — 45 — 7 — 8 5 — 46 — 4 — 0% — 44 — 9 — einen Eine Perſon von 15 — 41 — 6 — den,dr 20 – 38 — 3 — dr n 25 — 35 — 3 — wie 27 30 —-· 32 —- 3 — Verheur 35 — 209 — 8 40 — 26 — 6 — nnhet 45 23 Mnt 50 20 — 1I1 — ſd 55 17 — elmte 60 — 14 — 2 — 65 — II — 5 — 70 8 — II — füitbt 725 – 5 — 8 —- n 80 — 4 — 10 — llen, 85 — 3 — 3 – RN 90 — ⸗ — - — Das Alter von ſieben Jahren iſt dasjenige, werd worinn man noch die groͤßte Anzahl Jahre zu leben nmua Hoffnung hat. In dem Alter von 12 bis 13 Jahren hat man hilt den 4ten Theil ſeines Lebens zuruͤckgelegt. Mit Nen 25 und 29 iſt man in der Haͤlfte ſeines Lebens, und mit 50 Jahren hat man 3 deſſelben vollbracht. Aus e 1 enge, Gtoan Nt , und H n 265 dem Sterbregiſter erhellet, daß die Weiber, wenn ſie gewiſſe Jahre uͤberlebt haben, insgemein laͤnger leben als die Maͤnner. Wenn man die Summe der Verſtorbenen in einem Lande zuſammen nimmt, ſo wird man fin⸗ den, daß die der verſtorbenen Mannsperſonen ſich zu der Anzahl der verſtorbenen Weibsperſonen verhaͤlt, wie 27 zu 25. Unter den Weibern ſelber leben die verheuratheten laͤnger, als die unverheuratheten. Aus Beobachtung von einer Zeit von 50 Jah⸗ ren hat ſich ergeben, daß die meiſten Menſchen im Monat Merz, wie auch im Auguſt und September ſterben; die wenigſten hingegen im November, De⸗ eember und Februar. Die Haͤlfte derjenigen, die gebohren werden, ſtirbt vor dem Alter von 17 Jahren, ſo daß dieje⸗ nigen, die dieſen Zeitpunkt weniger oder mehr uͤber⸗ leben, einen Vorzug genießen, zu welchem die Haͤlf⸗ te des menſchlichen Geſchlechts nicht gelangt. Nach den Beobachtungen des großen Boerhaave werden die geſundeſten Kinder in den Monaten Ja⸗ nuar, Februar und Merz gebohren. Die Anzahl derer, die jaͤhrlich ſterben, „ver⸗ haͤlt ſich zu der Anzahl derer, die gebohren wer⸗ den, wie 10 zu 12 dder 13, ſo daß in einem Lande jaͤhrlich 2, oder 3. Menſchen mehr geboh⸗ ren werden, als ſterben. 4 6 4 Wenn der ganze Haufe der Lebenden in zween Theile getheilt wird, ſo iſt ein Theil 27 Jahre und daruͤber alt, und der andere Theil iſt unter dieſem Alter. . Die Zahl der Knaben, die jaͤhrlich gebohren werden, verhaͤlt ſich zu der Zahl der Maͤdchen wie 21 zu 20, oder wie 104 zu 100. Allein da in der Kindheit wieder ½ mehr Knaben als Maͤdchen ſter⸗ ben, ſo wird die Anzahl der Manns⸗ und Weibsper⸗ ſonen gegen das mannbare Alter wieder gleich. Unter 65 bis 70 Kindern, die gebohren wer⸗ den, befindet ſich gemeiniglich nur 1 Paar Zwillinge. Die Anzahl der getauften Kinder verhaͤlt ſich zu der Anzahl der Familien in einem Lande wie 10 zu 66, ſo daß man auf 66 Familien jaͤhrlich nur 10 getaufte Kinder rechnen kann. In einem wohlbevolkerten Lande kann man un⸗ ter 50 oder 52 Perſonen jaͤhrlich nicht mehr als eine Perſon rechnen, die ſich verheurathet. Die Maͤnner, die im Stande ſind, Waffen zu tragen, machen in einem ganzen Lande allezeit den vierten Theil der Einwohner aus. In Engelland wird dasjenige, was ein Menſch jaͤhrlich zu ſeiner nothduͤrftigen Unterhaltung ge⸗ braucht, auf 7 5 Sterling gerechnet. In Frank⸗ reich ſchaͤzt man es nur auf 100 Liores. In Deutſch⸗ land rechnert man es ohngefehr 30 Thaler. Da aber dieſe Berechnung blos die Landleute und die — . aͤrnſt Herr! treides che ar gen gel n (Ehe zu ihre den Pr die S 6 Get chen nuc. Rr 341 Pfe man muß alf Re trei in ren 1 zween hre und dieſen gebehten chen nie in der hen ſet⸗ deiböper⸗ leich. en et⸗ Uilinge- Pr ſih e wie o lch nur mon ur⸗ ſehr dofen ezet din Mineh ung Ne F⸗ Duntſch⸗ N 1rd N 4 267 aͤrmſten Einwohner der Staͤdte betrift, ſo hat der Herr Unger in einer Schrift von dem Preis des Ge⸗ treides, ſich bemuͤhet, eine Regel anzugeben, wel⸗ che auf Perſonen mittlern Standes in mittelmaͤßi⸗ gen Staͤdten anzuwenden waͤre. Nach dieſer Re⸗ gel muß man zuerſt wiſſen, wie viele Malter, (Scheffel) Korn in einem Lande eine Perſon jaͤhrlich zu ihrem Unterhalt noͤthig hat. Hierauf machet man den Preis dieſes Korns zu Pfenningen, und dividirt die Summe mit 64. Der Quotient wird alsdann ſo viele Thaler anzeigen, als man fuͤr den jaͤhrli⸗ chen Unterhalt einer Perſon in dieſem Lande rechnen muß. 3. B. in den Laͤndern, wo man 2¼ Malter Korn auf eine Perſon rechnet, und das Malter 3 Thaler 8 Groſchen gilt, wird dieſe Summe 2400 Pfenninge machen, dieſe mit 64 dividirt, geben 37 Thaler, welches dieſe Summe anzeiget, die man zum jaͤhrlichen Unterhalt einer Perſon rechnen muß. Dieſer Schriftſteller hat ſeine Regel auch auf die vergangene Jahrhunderte angewandt, und vermittelſt der Vergleichung des Preiſes, des Ge⸗ treides, in jenen Zeiten die Rechnung gemacht, daß in Deutſchland eine Familie von Perſonen, zu ih⸗ rem jaͤhrlichen Unterhalt noͤthig gehabt haben: im Jahr I1500 — 5 ¾ Thaler — 1550 — 3 33 — — 1600 — 6 33 — 1I650 — 92 ½ — — 1700° — 1 2 3 ¾ — — 1750 — 150 — 26 Eben dieſer Regel hat er ſich auch bedient, die Menge des Geldes zu beſtimmen, welches zu ver⸗ ſchiedenen Zeiten in Deutſchland geweſen iſt. Die⸗ ſemnach rechnet er im Jahr 1 500 —, 1550 — 1600 —, 1650 — 1700 —— 1750 Die — 7 ¾ Millionen Thlr. 4 5 9 9 5 1 33 ☛ 28349 4284 — — — — — Arbeit von 25 erwachſenen Perſonen iſt hinlaͤnglich, 100 andern erwachſenen Perſonen die Nothdurft und Unterhalt zu verſchaffen. wie gu R oder Euin V. de nt, die u ver⸗ Die⸗ Anleitung, wie bei mehrern Faͤllen, ſowol im Kaufen als auch Verkaufen, kurz und leicht gerechnet werden kann. Wenn ſich der Werth eines einzelnen in Sechſern oder Groſchen beſtimmen laͤßt, und man daraus die Summe von mehrern, z. E. W. Ellen, Maaßen ꝛc. berechnen will, ſo verfahre man auf folgende Art, als: So viel Sechſer 1 fH. oder Elle ꝛc. koſtet, multiplizire man mit der Anzahl 5. oder Ellen, von denen man den Werth wiſſen will, und ſchnei⸗ de durch ein Comma die lezte Ziffer rechter Hand davon ab, ſo bezeichnen die vorherſtehende die fl⸗ und die abgeſchnittene ſind Sechſer; z. B. Ich kaufe 798 [5, wovon jedes 42 kr. koſtet, was habe ich zu bezahlen? Zuerſt muß man wiſſen, wie viel Sechſer 42 kr. ſind; man dividire daher mit 6 in 42, ſo fin⸗ det man 7; mit dieſem Ener multiplizire man 78 5, ſo kommt 54,6, daran unterſcheide man durch ein Comma 6, ſo gilt 54 vor ſich und bezeichnet 54 fl. und der abgetheilte 6er ſind 6 Sechſer, folglich 36 kr. mithin in allem 54 fl. 36 kr. 78 . 2 5 4,6 270 Eine Elle um 36 kr., was koſten 94 Ellen? Man dividire zuerſt wieder mit 6 kr. eines Sech⸗ ſers, ſo findet man, daß 36 kr. 6 Sechſer machen; folglich nach obiger Anleitung: 9 4 Ellen fl. 5 6, 4 Sechſer heißt 56 fl. 24 kr. weil die lezt abgeſchnittene Zahl 4 Sechſer ſind. Einer giebt taͤglich vor Koſt und Wohnung 54 kr.; wie viel hat er in 178 Tagen zu zahlen? 1 7 8 Tage 54 kr. machen 9 Sechſer 1 6 0, 2 thut 160 fl. 2 Sechſer od. 12 kr. Was koſten 134 Imi Wein, 1 Maaß zu 48 kr. ² Zuerſt muͤſſen die Imi in Maaß verwandelt werden, dieß geſchieht, wenn ſolche mit 10 multi⸗ plizirt werden, weil 1 Imi 10 Maaß iſt. Man ſage: 13 mal 10 iſt 130, und 5 Maaß von dein halben Imi dazu, macht 135, und dann 6 iſt in 48 kr. 8 mal, und nun wie oben multiplizirt. 13 5 D 8 110 8,0 macht 108 fl. und keine kr., denn wenn die lezte abgetheilte Ziffer eine Null iſt, ſo macht es immer nur fl. und nichts mehr dazu. Auf dieſe Art wird immer durch alle Zahlen, welche ſich in Sechſer theilen laſſen, verfahren. Da nun aber viele Zahlen ſich nicht immer in Sechſer, ofters aber in Groſchen eintheilen laſſen, ſo verfahre man auf folgende Art: , Man dividire mit 3 in die Kreuzer eines ein⸗ zelnen Pfunds ꝛc., wenn es aufgeht, ſo giebt die neue neue der dibidir und d 11 G Null dire d wird geſozt lche den Heche hen; k. 21. t.2 hudett ut⸗ Mn Dden ſen 4 v/ i, len , t ſen, eint eue 271 neue Zahl die Groſchen, dieſe multiplizire man mit der Anzahl I5, Ellen ꝛc., das kommende Produkt dividire man mit 20, ſo bringt der Quotient die fl. und der Reſt ſind Groſchen. Z. B. 1 15. um 33 kr., was koſten 89 152 3 iſt in 33 kr. 11 mal, mithin machen 33 kr. 11 Groſchen, dieſe mit 89 multiplizirt „ 1 8 9 8 9 2,0) 9 7 9 48 fl. 19 Groſchen. 8 0 1 7 1I 6G (1 9 Groſchen, od. 3 mal 10 iſt 57 kr. Der Kuͤrze wegen ſetze man immer ſogleich die Null unter die lezte Ziffer des Produkts, und divi⸗ dire die vorherigen nur mit 2 von 20, zu dem Reſt wird aber immer die uͤber der Null ſtehende Zahl geſezt. 1 Elle um 27 kr. was koſten 236 Ellen? 3 kr. eines Groſchen ſind in 27 kr. 0 mal, folg⸗ lich o mit den Ellen multiplizirt, und das kommen⸗ de mit 20 dividirt. . 2 3 6 . 9 2) 2 I 2 4 T0O06 fl. I 2 kr. . Groſchen iſt 4 mal3 = 12 kr. 272 Ein Beck backt taͤglich 3 mal, und zwar auf ein⸗ mal 4 Laib, jeden zu 6 b, und 52 Laib, je⸗ den zu 3 l5, der 6 pfuͤndige Laib wird um 21 kr. gegeben; vor wie viel Gulden backt er taͤglich Brod? Man ſage zuerſt, 52 Laib zu 3 . machen 26 Laib zu 6 f5. aus, weil 2 ſo ſchwer als ein gro⸗ ßer ſind, addire nun 54 und 26, ſo kommt 80, welche er auf einmal backt, und auf 3 mal 240 Laib, folalich taͤglich vor 240 mal 7 Groſchen, weil 21 kr. 7 Groſchen machen. 240 — — 6 80°% 84 Gulden. 6 ‧0 1I I 2) D Wenn die lezte Zahl im Produkt eine Null iſt, und von der vorhergehenden kein Reſt bleibt, ſo macht es nur Gulden und keine Groſchen oder kr. aus; bleibt aber bei der lezten im dividiren nur 1. und die lezte iſt eine Null, ſo wird die Null hinter I zum Reſt herunter geſezt, und zeigt dann uͤber die Gulden noch 10 Groſchen an. Ein Meiſter hat 0 Geſellen, und giebt jedem taͤg⸗ lich 30 kr., wie viel hat er an jeden, und alle, in der ganzen Woche, (das heißt in 6 Tagen) zu bezahlen? S 3 kr. ſind in 30 kr. 13 mal, folglich erhaͤlt einer taͤglich 13 Groſchen, und in 6 Tagen, 13 mal thut 78 Groſchen. 2) 8 3 fl. 54 kr. einer woͤchentlich S . — 1 8 Groſchen. und und zwei ti e , ſe⸗ 21 kr. ticſch machen in are: nt Jo, al 0 , wel ul ſ, ebt, ſet kr⸗ nut 1 hinter ber en ti⸗ 10 ale, Lnen) ſt erte 3 l etich ud 273 und 9 Geſellen haben 9 mal 3 fl. 54 kr., welche auf zweierlei Art kurz gefunden werden koͤnnen. 1) Man ſage, 3 fl. machen 3 mal 10 Sechſer, und 9 Sechſer von 54. kr. dazu, thut 3 9 Sechſer, dieſe multiplizirt mit . . . 9 Geſellen fl. 3 5, I Sechſer. 35 fl. 6 kr. bekommen 90 Geſellen woͤchentlich. 2) Man multiplizire 13 Groſchen mit 9 Geſellen, und das kommende noch mit 6 Tagen, ſo hat man die ganze Summe in Groſchen. 1 3 O 1 I △Qα☚ ) 2 [3 5 fl. 2 Groſchen oder 6 kr. 0 O RN — — ο 2 1 Elle um 51 kr., was koſten 96 Ellen? r lr. machen 17 Groſchen, dieſe mit 96 mul⸗ tiplizirt. 2) 1632 8r fl. 12 Groſchen oder 36 kr. 16‧ 0 — 3 2 1 2 Groſchen. S 274 Nun laſſen ſich aber mehrere Zahlen, weder in Sechſer noch Groſchen, wohl aber in 6 Theile eines Guldens, wie zum Beweis, 10 kr., 20 kr., 40 kr., 50 kr. verwandeln, oder berechnen. Dabei iſt nun folgende Regel zu merken: Wenn 1 P, Elle ꝛc. 10 kr. koſtet, ſo dividire man ſogleich, ohne zu multipliciren das ganze Quan⸗ tum mit 6, ſo bringt der Quotient die Gulden und der Reſt mit 10 multiplizirt bringt kr. Zum Beweis: 1 P. um 10 kr., was koſten 59 15Bͦ2 6) 5 9 fl. 50 kr. — S 10 5 0 kr. 1 Maas um ro kr., was koſtet der Eimer? 1 Eimer hat im Wuͤrtemb. 160 Maas. 6) 1 6 % 26 fl. 40° kr. 1I 2 * 4. 3 6 (4 1 0 4 0 kfr. . 115. um 20 kr., was koſten 2 Centn. 68 f5?² 2 Centner 68 5. machen 268 P5. dieſe muͤßen zuerſt mit 2 von 20 multiplizirt, und dann das kommende mit 6 dividirt werden, weil 20 kr. 2 Sechs⸗ theile eines Guldens ſind. An don er in eines ., bidire uan⸗ und nüßen n des Sichi⸗ 7 275 d W ◻R . . 89 fl. 2,0 kr. 1 0 multiplizirt mit 10 thut 20 kr. ◻ O1 D ◻△ 1 Vierling Haber um 20 kr., was koſten 28 Scheffel? Anmerkung. Die Scheffel muͤßen zuerſt zu Simri; und dann zu Vierlg. gemacht werden. 2 8 Scheffel 8 Simri 2 2 4 Simri 24 8 9° 6 Vierling von 20 kr. 2 5 M 6) 1722 2 9 8 fl. 4 kr. I 2 R* „W01 +— ◻ 2 8 (4 1I O 4 kr. P£ 1 1 Elle um 40 kr. was koſten 95 Ellen? Anmerkung. 4 von 40 kr. wird zuerſt mit den Ellen multiplizirt. S 2 10 4 0 kr. Einer braucht taͤglich zu ſeinen beſtimmten Aus⸗ gaben 50 kr., wie viel macht es jaͤhrlich? Anmerkung. 5 von 50 kr. wird mit 365 Tagen, die ein gemeines Jahr hat, multiplizirt und dann mit 6 dividirt. 3 6 5 5 6) 1825 304 fl. X o kr. . I 8. 141 „ 2 5 2 4 7. (1 1 1 o kr. Wenn man franzoſiſche Liores in Gulden be⸗ rechnen will, ſo multiplizire man die Anzahl Livres mit 11 und dividire das Produkt mit 24, bleibt ein bleibt dann wieder ein Reſt, ſo enthaͤlt ſolcher Heller; 3. Beweis: wie viel Gulden machen 375 Liores? Reſt, ſo wird ſolcher mit 60 multiplizirt, das kom⸗ mende wieder mit 24 dividirt, ſo erhaͤlt man die kr., den, didir ein 1 divi Der 277 3 7 5 . 1 1 3 7 5 3 2 5 (24) 4. 1 2 5 1I 7 1 fl. 3 2 kr. 3 hlr. 2 4 1 1I 7. 2 I 6 8 25 2 4 Ul (2 1 Reſt 2 1 6 en, — e dent 24) 1260 52 kx. I 2 O. 6.0 4 8 (1 2 6 24) 7 2l 3 hlr. 7 2 — Sollen aber Gulden in Liores berechnet wer⸗ den, ſo multiplizirt man die Gulden mit 24 und di⸗ vidirt das Produkt mit 11 ſo kommen Livres, bleibt ein Reſt, ſo wird ſolcher mit 20 multiplizirt (weil I Liores 20 Sols iſt) das kommende mit 11 wieder D dividirt, ſo erhaͤlt nan Sols, im folgenden Reſt ſind en H Deniers enthalten. Z. Beweis: Wie viel Liores machen 2 8 6 0. fl. ? jin⸗ 2 4 lekrer 1 I 4 4 0 elet; H72 6 8 6 4 378 1 1) 68 64 6240 Liores 6 6 7 d + £—+ △ 4 4 Wie viel Liores ſind 578 fl.? 5 7 8 fl. 2 4 2 3 1I 2 I F 5 6 5 1) I 3 98722 1261 Liores 1 Sols 1 X 2 und 9 ½21 Deniers. 2 8 2 2 6 7 6 6 1 2 X 1 r Reſt 1 2 0 II) 2.0 2.0 1 Sols I I 9 I 2 weil 1 Sols 12 Den. iſt. 55 rr Der 9 che⸗ dire den did Jol mit lt⸗ DM 279 Das jaͤhrliche Intereſſe eines Capitals, wel⸗ ches zu 5 pro Cent ausgeſtellt iſt zu finden, divi⸗ dire man das Capital mit 20, ſo bringt der Quotient den Zins; bleibt ein Reſt, ſo wird ſolcher nur mit 3 multiplizirt, ſo erhaͤlt man kr. ohne weiters zu dividiren. Z. B. Wie viel jaͤhrl. Zins bringen 2678 Gulden Capi⸗ tal zu 5 pro Cent? 2,0) 2 678 I33 fl. 5 4 kr. 2 0 — — O 6 6 1 8 54 kr. Will man aber das Intereſſe von mehr als einem Jahr wiſſen, ſo multiplizire man zuerſt die Jahre mit dem Capital, und dividire das Produkt mit 20. 3. Beweis. Wie viel Zins zu 5 pro Cent bringen 975 Gulden Capital in 3 Jahren? 9 75 fl. 3 Jahr 2,0) 292 5 4 6 fl. 1 5 kr. 2 5 l2 Druckfehler: Seite 239. Zeile 3. und 7. ſtatt 24 lies: 36 24.⸗ — 253. — 20. ſtatt Pfunds lies: Spunds⸗ — A. Koch, Schullehrer und Geometers, Rechenbuch fuͤr alle Staͤnd e, . oder Anweiſung zum Rechnen, bei allen Vorfaͤllen des Lebens, nebſt einer Anl itung, wie beim Kauf und. Verkauf kurz und leicht gerechnekn werden kann. Stuttgart be i Friedrich üUebel. I 8 o o. Euroskala Offset VierFarbSelector Standard*- 8 4 Copyright 4/1999 VXyMaster GmbH wwWW.yxymaster. com 7